Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật bằng các mô hình vật lý thống kê

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

……..….***………… NGUYỄN PHƢỚC THỂ NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA GOM CỤM CỦA CÁC LOÀI SINH VẬT BẰNG CÁC MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ

Chuyên ngành: Vật lý thuyết và Vật lý toán

Mã số: 62440103

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Hà nội - 2016

1

Công trình đƣợc hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công

nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học 1: TS. Ngô Văn Thanh

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học 2: GS. TSKH Nguyễn Ái Việt

Phản biện 1: …

Phản biện 2: …

Phản biện 3: ….

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp tại

Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công

nghệ Việt Nam vào hồi … giờ ..’, ngày … tháng … năm 201….

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

2

Ngày nay, cùng với sự phát triển của Khoa học và Công nghệ thì vấn đề về Sinh thái – Môi trường đặt ra nhiều thách thức cho con người. Chẳng hạn như vấn đề tăng trưởng - tuyệt chủng của các loài, biến đổi gen, bệnh lạ do các chủng virut mới, khí thải độc hại và hiệu ứng nhà kính… Đã có nhiều cách tiếp cận từ các ngành khoa học khác nhau để nghiên cứu vấn đề này, các nhà sinh học thường quan tâm đến một số vấn đề liên quan đến sự tiến hóa, hành vi của các loài. Các nhà nghiên cứu vật lý cũng đã có nhiều đóng góp quan trọng như vấn đề hiệu ứng nhà kính, bức xạ, giải thích một số hành vi của các loài sinh vật.

MỞ ĐẦU

Một trong những chủ đề rất thú vị của hệ sinh thái là hành vi tập thể của các loài sinh vật, thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong những năm qua. Trong đó, các hành vi tập thể như flocking, schooling hay swarming đã được nghiên cứu rộng rãi trong vài chục năm trở lại đây. Để nghiên cứu vấn đề này, các nhà toán học đề xuất các mô hình giải tích dựa trên cơ sở các phương trình động lực học cổ điển.

Nghiên cứu về các hành vi của các loài sinh vật nói chung và chuyển pha trong các hệ này nói riêng là một vấn đề mở để nghiên cứu. Các mô hình vật lý vẫn chưa được ứng dụng nhiều trong các bài toán phức tạp liên ngành. Bởi vậy, chúng tôi chọn hướng nghiên cứu này làm chủ điểm với tiêu đề của bản luận án :

“Nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật bằng các mô hình vật lý thống kê”.

Ta biết rằng, đối với các loài sinh vật mà đặc biệt là sinh vật bậc cao, chúng có thể tương tác với nhau và với môi trường bằng các giác quan. Trong đó, khả năng quan sát của mắt có tính chất rất quan trọng và quyết định đến sự vận động, đặc biệt là hành vi tập thể. Để nghiên cứu vấn đề này, chúng tôi sử dụng lại mô hình của Vicsek, khảo sát sự phụ thuộc của thông số trật tự vào nhiễu tương ứng với các góc quan sát khác nhau.

Đến nay các nghiên cứu dùng mô hình Vicsek làm cơ sở chỉ tập trung vào việc giải thích hành vi chuyển pha từ trật tự sang mất trật tự tại vùng nhiễu cao. Tuy nhiên, các loài sinh vật ở trạng thái bình thường (không bị nhiễu từ bên ngoài) thì hệ ở trạng thái tự do, phân bố ngẫu nhiên, các con vật tỏa ra xung quanh để tìm kiếm thức ăn. Hành vi này tương ứng với

3

pha mất trật tự trong hệ vật lý. Khi bị tác động từ bên ngoài thì chúng gom cụm lại và sắp xếp trật tự (pha trật tự). Hành vi chuyển pha từ mất trật tự sang trật tự này không thể giải thích được từ mô hình của Vicsek. Thêm vào đó, theo quan sát thực nghiệm người ta dự đoán chuyển pha của hệ là chuyển pha loại I, bởi vì hành vi này diễn ra rất nhanh. Trong khi đó, từ mô hình Vicsek thì chuyển pha xảy ra là liên tục. Để giải quyết những hạn chế này, chúng tôi đã đề xuất hai mô hình mới:

Mô hình thứ nhất chúng tôi xây dựng là từ cơ sở mô hình spin XY, Hamiltonian của hệ được định nghĩa bởi các thế tương tác giữa các cá thể với nhau bao gồm tương tác trao đổi, thế Morse và thế hóa học.

Mô hình thứ hai dựa trên cơ sở mô hình Potts đồng hồ q trạng thái (q-Potts). Chúng tôi giả thuyết rằng, mỗi cá thể như một hạt với hai bậc tự do: một là tham số bên ngoài đặc trưng cho định hướng của chuyển động; hai là tham số nội tại để mô tả cho trạng thái bị kích thích hoặc không bị kích thích của mỗi cá thể dưới tác động của nhiễu. Trạng thái nội tại là tham số điều khiển tương tác của các cá thể. Các kết quả thu được phù hợp với quan sát thực nghiệm và đã khắc phục được những nhược điểm của mô hình spin XY.

Nội dung của bản tóm tắt luận án được trình bày trong 3 chương. Tổng quan về hành vi tập thể của các loài sinh vật cũng như các mô hình lý thuyết sẽ được trình bày trong Chương 1. Lý thuyết chuyển pha và các phương pháp mô phỏng trên máy tính sẽ được trình bày trong Chương 2, với đầy đủ các thuật toán ứng dụng trong mô phỏng. Chương 3 trình bày những kết quả nghiên cứu về hiệu ứng góc quan sát đối với chuyển pha gom cụm, trình bày chi tiết về các mô hình mới được đề xuất và ứng dụng của chúng trong nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật, đặc biệt là chuyển pha ở vùng nhiễu thấp.

4

Chƣơng 1. HÀNH VI TẬP THỂ CỦA CÁC LOÀI SINH VẬT

1.1 Tổng quan 1.1.1 Hành vi tập thể

Hành vi tập thể của các loài sinh vật là hành vi của một hệ bao gồm các cá thể sinh vật cùng loài như cá, chim… Đặc điểm hành vi tập thể được hình thành từ các tác động qua lại lẫn nhau của cá thể để hình nên các quy tắc, tính chất động học của cả hệ. Ví dụ, quy tắc sắp xếp để các cá thể sinh vật sắp xếp theo hướng của các con lân cận để dễ dàng cùng di chuyển và có lợi về năng lượng. Một số hành vi đặc trưng là flocking, schooling hay swaming đã được nghiên cứu trong một thời gian dài cho đến nay [1, 2], [14]. 1.1.2 Hệ tự tổ chức

Tự tổ chức (self-organized) là một quá trình hình thành vận động tập thể bởi các quy tắc tương tác cục bộ từ một hệ hỗn loạn ban đầu. Quá trình này là tự phát, không có sự chỉ đạo hoặc kiểm soát bởi bất cứ tác nhân hoặc hệ con từ bên trong hoặc bên ngoài [14]. 1.1.3 Hệ có con đầu đàn

Trái lại với hệ tự tổ chức, trong một nhóm sinh vật có một hoặc một số con đầu đàn, nó có ưu thế nổi bật, có đầy đủ thông tin và khả năng thực hiện lãnh đạo đàn gọi là hệ có tổ chức [14] 1.2 t ố hành vi tập thể của các loài sinh vật 1.2.1 Schooling

Trong hệ các loài động vật, nếu một nhóm các cá thể cùng loài, cùng kích thước, chuyển động cùng tốc độ và cùng chiều gọi là hành vi schooling [14]. 1.2.2 Flocking

Trong vật lý, hành vi flocking là hành vi chuyển động tự hợp của một đàn sinh vật cùng loài được hình thành từ một số tương tác giữa các thành phần trong hệ với nhau [3]. 1.2.3 Swarming

Swarming là hành vi của số lớn các cá thể sinh vật có kích thước tương tự, chúng tụ tập tạo thành bầy đàn đông đúc để cùng chung sống, duy trì nòi giống, chống lại vặt săn, tiết kiệm năng lượng [4].

5

1.3 Giới thiệu các mô hình lý thuyết 1.3.1 Mô hình SPP

Mô hình SPP (self-propelled particles) được đề xuất bởi Viscek và cộng sự năm 1995, mục đích của mô hình là thành lập các điều kiện "tối thiểu", cần thiết để giải thích hành vi tập thể của các loài sinh vật, điển hình là hành vi chuyển pha [14, 15]. Mô hình được xây dựng bởi hai thông tin chủ đạo là sắp xếp và nhiễu, quy tắc sắp xếp thiết lập trên cơ sở mô hình spin XY, nhiễu có vai trò như nhiệt độ là tham số điều khiển.

Để nghiên cứu chuyển pha, Vicsek sử dùng thông số trật tự được định nghĩa bởi công thức

. (1.1)

Trong đó là vận tốc của cá thể thứ i và

bằng 1 khi nhiễu thấp và bằng 0 khi nhiễu cao.

là giá trị tuyệt đối của vận tốc. Tương tự như lý thuyết nhiệt động học, chuyển pha trong mô hình SPP là chuyển pha liên tục từ trật tự sang mất trật tự khi tăng cường độ nhiễu. Giá trị của 1.3.2 Mô hình CS

Mô hình nghiên cứu hành vi tập thể dưới dạng các phương trình động học Bolzmann được đề xuất bởi Cucker và Smale vào năm 2007 mà ta gọi là mô hình CS [3]. Mô hình toán học này đầu tiên dùng để nghiên cứu hiện tượng gom cụm của đàn chim, các con chim chuyển động trong một không gian .

1.4 Kết luận

Trong chương này chúng tôi giới thiệu tổng quan về nghiên cứu hành vi của các loài sinh vật theo các cách tiếp cận khác nhau như sinh học, vật lý và toán học. Các hành vi điển hình được nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần đây là schooling, flocking và swarming. Các mô hình vật lý toán áp dụng tốt cho nghiên cứu các hành vi này hiện nay là SPP hay CS với hai thông tin chủ đạo là quy tắc sắp xếp và nhiễu.

Trong chương tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày về các cơ sở lý thuyết vật lý trong việc nghiên cứu hành vi của các loài sinh vật.

6

Chƣơng 2. CHUYỂN PHA VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP Ô

PHỎNG

2.1 Chuyển pha và các mô hình spin 2.1.1 Chuyển pha

Như chúng ta biết, chuyển pha là sự thay đổi trạng thái từ mức độ đối xứng này sang mức độ đối xứng khác để hình thành nên các đặc điểm, tính chất mới của hệ. L. D. Landau đưa ra khái niệm thông số trật tự [12]. Thông số trật tự thay đổi từ 0 (hỗn độn tuyệt đối) đến 1 (trật tự tuyệt , hệ chuyển từ trạng thái hỗn độn sang đối). Dưới điểm tới hạn trật tự một phần, nếu tiếp tục giảm nhiệt độ thì trật tự hoàn toàn có thể đạt được. Nếu thông số trật tự thay đổi không liên tục trong quá trình chuyển pha tại điểm tới hạn [5], chúng ta gọi là chuyển pha loại I, nếu liên tục là chuyển pha loại II. 2.1.2 Các mô hình spin a) Mô hình spin Ising

Mô hình spin Ising là một mô hình nghiên cứu sắt từ trong cơ học thống kê. Mô hình gồm các spin, nó có thể ở một trong hai trạng thái  hoặc , mỗi spin tương tác với hầu hết các spin lân cận của nó. Mô hình Ising là một trong các mô hình thống kê đơn giản nhất để nghiên cứu sự chuyển pha. b) Mô hình spin XY

tại các vị trí mạng

Mô hình XY cổ điển còn được gọi là mô hình quay cổ điển hay mô hình O(2), đây là trường hợp đặc biệt của mô hình n-véc tơ với n = 2. Trong mô hình XY, các spin cổ điển hai chiều được biểu diễn bởi một véc tơ trên một mặt hai chiều. c) Mô hình spin Heisenberg

Mô hình spin Heisenberg là trường hợp n = 3 của mô hình n-véc tơ, một trong số các mô hình sử dụng vật lý thống kê để nghiên cứu hành vi của sắt từ và các hiện tượng khác. d) Mô hình q-Potts

Trong cơ học thống kê, mô hình Potts là một sự tổng quát hoá của mô hình Ising, là mô hình về các spin tương tác trên một mạng tinh thể. Điểm mạnh của mô hình Potts không chỉ là mô hình hoá tốt các hệ vật lý đơn

7

giản mà còn các hệ phức tạp khác. Mô hình Potts gồm các spin sắp xếp trên một mạng, mạng thường được chọn là mạng Euclide vuông hai chiều, nhưng nó thường được tổng quát hoá cho các chiều khác hoặc các mạng khác. 2.2 Phƣơng pháp mô phỏng đ ng học phân tử 2.2.1 Khái niệm

MD là một phương pháp mô phỏng được sử dụng để nghiên cứu sự thay đổi theo thời gian của hệ nhiều vật với nhiều tương tác khác nhau. Yếu tố căn bản nhất của phương pháp này là xác định được thế năng tương tác giữa các vật thể trong hệ đang xét [9]. Từ đó ta có thể xác định được lực tương tác và xây dựng được phương trình chuyển động của các thành phần trong hệ. Giải phương trình chuyển động cho ta kết quả về cấu hình của hệ tại mỗi thời điểm: toạ độ và vận tốc. 2.2.2 Phương trình chuyển động và thế năng tương tác

Trong phương pháp MD, sự thay đổi theo thời gian của vị trí và vận tốc các hạt trong hệ được tính qua tích phân chuyển động theo phương trình chuyển động Newton

, (2.1)

trong đó, là khối lượng, gia tốc và lực tác dụng lên hạt thứ i.

Biểu thức tính lực sẽ xác định thông qua đạo hàm riêng của thế năng theo khoảng cách

(2.2)

Dạng đơn giản nhất của thế năng tương tác được biểu diễn bằng tổng các thế năng tương tác cặp đôi giữa các hạt trong hệ

(2.3) ,

là thế năng tương tác cặp đôi giữa hạt thứ i và j.

trong đó, 2.2.3 Thuật toán Verlet

và toạ độ Phương pháp Verlet được đề xuất bởi Verlet là một trong những phương pháp được dùng phổ biến nhất trong việc tính tích phân phương trình chuyển động [13]. Vận tốc được xác định bởi hệ phương trình sau

8

, (2.4)

, (2.5)

là tổng hợp lực tác dụng lên hạt tại thời điểm t.

ở đây, 2.2.4 Thuật toán Leap – Frog

ở thời điểm và vận tốc

Một cải tiến của phương pháp Verlet có tính đến giá trị vận tốc của các hạt được đề xuất bởi Hockney có tên là Leap–Frog [11]. Thuật toán này sử dụng vị trí . ở thời điểm được tính toán thông qua các biểu Vận tốc và vị trí tại thời điểm thức dưới đây

(2.6)

Thuật toán này tạo ra quỹ đạo tương tự như kết quả thu được từ thuật toán Verlet, các vị trí cập nhật của chúng được xác định bởi

. (2.7)

Đây là thuật toán bậc 3 theo toạ độ và có thể tính ngược thời gian.

2.3 Phƣơng pháp mô phỏng Monte Carlo

Monte Carlo (MC) là phương pháp dùng số ngẫu nhiên để lấy mẫu

(sampling) trong một tập hợp thống kê bất kỳ cho trước [7,11]. 2.3.1 Nguyên tắc cơ bản của phương pháp mô phỏng Monte Carlo

Mục đích của phương pháp MC là tính giá trị trung bình của các đại lượng vĩ mô của một hệ nhiều hạt khi biết được Hamiltonian của hệ. Một số đại lượng thường gặp là tính năng lượng trung bình , độ từ hóa trung bình … Thuật toán cơ bản nhất trong mô phỏng Monte-Carlo là thuật toán Metropolis và nó có thể được diễn tả bởi biểu thức xác suất cho phép chuyển cấu hình

. (2.8)

2.3.2 Lấy mẫu quan trọng

Phép thử quan trọng quyết định bởi cách chọn hàm xác suất sao cho . Có hai cách chọn nó thoả mãn biểu thức xác xuất chuyển trạng thái

9

, (2.9)

hoặc là

(2.10)

là một hệ số tùy ý mà nó có thể chọn là đơn vị [11].

2.3.3 Các phương pháp biểu đồ a) Phương pháp biểu đồ đơn

Mô phỏng Monte Carlo được thực hiện tại nhiệt độ T0 bằng cách tạo ra các cấu hình với xác suất tỉ lệ thuận với trọng số Boltzmann tronng đó là Hamiltonian của hệ.

Biểu thức phân bố xác suất với , và bất kỳ có dạng

, (2.11)

. H(E,M) là biểu đồ thu được từ mô phỏng.

trong đó Từ nào của E , giá trị trung bình của bất cứ hàm và M, có thể được tính như là một hàm liên tục của K

. (2.12)

b) Phương pháp đa biểu đồ

Phương pháp đa biểu đồ [8] cho phép xác định các đại lượng vật lý chính xác hơn trong một khoảng nhiệt độ rộng hơn.

Hệ phương trình đa biểu đồ có dạng

, (2.13)

trong đó . (2.14)

Như vậy, giá trị trung bình của toán tử nào của S bất kỳ có thể tính được như là một hàm liên tục theo K. Đó là

10

, (2.15)

trong đó . (2.16)

c) Phương pháp Wang-Landau

Các phương pháp biểu đồ chỉ có hiệu quả cao trong việc tính toán các hiệu ứng kích thước hữu hạn. Vì vậy, Wang và Landau đã đề xuất một thuật toán mới được gọi là “thuật toán biểu đồ phẳng” áp dụng trong không gian năng lượng nhằm xác định hàm mật độ trạng thái, từ đó xác định các đại lượng vật lý như là hàm liên tục theo nhiệt độ [16]. Trong vật lý thống kê thì tổng thống kê có thể viết dưới dạng (2.17)

Khi tìm được mật độ trạng thái g(E), các đại lượng vật lý như năng lượng, độ từ hoá, nhiệt dung riêng, độ cảm từ… có thể tính được một cách dễ dàng như là một hàm liên tục theo nhiệt độ

, (2.18)

trong đó, Z là tổng thống kê.

2.4 Kết luận

Chuyển pha gom cụm tồn tại trong hầu hết các loài sinh vật. Ở đó, các quy tắc sắp xếp đóng vai trò chủ đạo cùng với tham số trường ngoài (nhiễu) để cấu thành hành vi. Lý thuyết chuyển pha trong các hệ vật lý được áp dụng một cách tương tự cho hệ sinh học, mặc dù trong các hệ này chỉ từ vài chục đến vài triệu đơn vị. Vì vậy, hiểu rõ chuyển pha trong các hệ vật lý có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc nghiên cứu hành vi của các loài sinh vật.

Hành vi tập thể của các loài sinh vật, đặc biệt là hành vi gom cụm được mô phỏng tốt bằng các mô hình spin trong hệ vật lý. Trong chương này chúng tôi có giới thiệu khái quát về các mô hình spin: Ising, XY, Heisenberg và q-Potts, đó là cơ sở lý luận quan trọng cho việc lựa chọn mô hình để nghiên cứu trong luận án.

11

Ngoài ra, chúng tôi cũng đã trình bày về phương pháp mô phỏng MD và mô phỏng MC. Trong nghiên cứu về chuyển pha thì phương pháp MC với thuật toán Metropolis được sử dụng rất hiệu quả. Để nghiên cứu hiệu ứng kích thước hữu hạn, người ta sử dụng các phương pháp biểu đồ để tính chính xác các lũy thừa tới hạn. Thuật toán biểu đồ phẳng được đề xuất gần đây bởi Wang và Landau, đây là phương pháp hữu hiệu trong việc xác định chuyển pha loại I.

Trên cơ sở lý thuyết này, tùy thuộc vào hành vi của sinh vật và mục đích nghiên cứu, chúng ta sẽ lựa chọn các mô hình và phương pháp hiệu quả nhất để áp dụng. Trong chương tiếp theo chúng tôi sẽ giới thiệu các kết quả nghiên cứu về chuyển pha gom cụm trong các hệ sinh vật bằng các phương pháp mô phỏng MD và MC.

Chƣơng 3. NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA TRONG CÁC HỆ

TỰ TỔ CHỨC

3.1 Giới thiệu chung

Để áp dụng các mô hình vật lý trong việc nghiên cứu các hành vi của các loài sinh vật, người ta đưa ra một số khái niệm và đại lượng tương đương giữa hai hệ này: - Những tác động từ bên ngoài gây ảnh hưởng đến hành vi của các cá thể trong nhóm sinh vật được gọi là “nhiễu”, nó đóng vai trò tương đương với một đại lượng vật lý cơ bản, đó là nhiệt độ. - Hành vi của các loài sinh vật và pha trong mô hình spin sắt từ:

 Khi không có sự tác động của các yếu tố xung quanh, gây nguy hiểm đến tính mạng, các cá thể trong bầy (đàn) sinh vật sẽ có khuynh hướng di chuyển tản mát ra xung quanh tìm kiếm thức ăn. Vị trí và hướng chuyển động của chúng trong không gian là khác nhau, vì vậy mà chúng được xem như là một hệ hỗn độn. Hành vi này được gọi là hành vi tự do và nó tương đương với pha mất trật tự trong mô hình spin.

 Khi có tác động từ bên ngoài thì các cá thể sinh vật sẽ chuyển động lại gần nhau và tạo thành cụm (flocking), chúng cố gắng sắp xếp theo cùng một định hướng nhằm tạo nên một khối vững chắc để tự vệ. Hành vi này được gọi là gom cụm (flocking), và có thể xem như tương đương với pha trật tự của hệ spin ở nhiệt độ thấp.

12

 Khi tác động từ bên ngoài trở nên rất mạnh và nó có thể gây nguy hiểm đến tính mạng của các cá thể sinh vật, thì chúng sẽ bỏ chạy tán loạn ra mọi hướng với tốc độ di chuyển nhanh nhất mà chúng có thể. Hành vi này tương đương với pha mất trật tự ở nhiệt độ cao trong mô hình spin.

- Chuyển pha: quá trình chuyển từ hành vi này sang hành vi khác của các loài sinh vật được gọi là “chuyển pha”. Điển hình là quá trình thay đổi hành vi gom cụm sang hành vi chạy tán loạn của các loài sinh vật.

Hình 3-1 Thông số trật tự phụ thuộc nhiễu tương ứng với các góc quan sát xác định [10].

3.2 Hiệu ứng góc quan sát 3.2.1 Góc quan sát

Trong việc nghiên cứu hiệu ứng góc quan sát, Gao và các cộng sự [10]

đã đưa vào định nghĩa mới cho thông số trật tự và

và khảo sát được sự phụ thuộc của thông số trật tự vào nhiễu. Tuy nhiên, kết quả công bố cho thấy rằng, nhiễu tới hạn tăng khi giảm góc giới hạn từ . Mặt khác, thông số trật tự mà họ thu được không diễn tả đúng xuống dáng điệu của thông số trật tự tương ứng với các góc quan sát (Hình 3-1).

Để nghiên cứu về vấn đề này, chúng tôi sử dụng mô hình Vicsek chuẩn kết hợp với định nghĩa góc quan sát để khảo sát ảnh hưởng của góc quan sát vào hành vi flocking.

13

3.2.2 Phát triển mô hình

Mô hình lý thuyết được đề xuất bởi Vicsek và các cộng sự [15], hệ cá thể, ký hiệu bởi chỉ số i trong khoảng từ 1 đến N, chuyển với điều kiện biên tuần có trị và vận tốc bao gồm động trong mặt phẳng (x, y) có kích thước hoàn. Cá thể thứ i được đặc trưng bởi vị trí tuyệt đối .

các hạt , chiều có giá trị ngẫu . Quy tắc cập nhật vị trí và chiều ở thời của cá thể thứ i có dạng

Trong mô phỏng ta sử dụng điều kiện đầu tại thời điểm phân bố ngẫu nhiên trong không gian với cùng vận tốc tuyệt đối chuyển động của mỗi cá thể được xác định bởi góc nhiên trong khoảng từ 0 đến điểm (3.1) (3.2) , ,

(3.3)

là bước thời gian, và

ở đây tương ứng là các thành phần vị trí và hướng của cá thể thứ i ở thời điểm t. Số hạng cuối trong công thức (3.3) là một số ngẫu nhiên được chọn trong khoảng được gọi là nhiễu mà nó đóng vai trò như thông số nhiệt là trung bình của các hướng chuyển động của các cá , độ. Ký hiệu

bán kính R quanh các thể i và chính nó, được xác thể trong vòng tròn định bởi biểu thức sau

. (3.4)

Để nghiên cứu hiệu ứng về góc quan sát, chúng tôi giả thiết rằng khả năng quan sát của cá thể thứ i được xác định bởi hình rẻ quạt có bán kính (Hình 3-2). Trong trường R. Góc nhìn toàn phần được xác định bởi góc , ta thu lại được mô hình Vicsek chuẩn. Để thuận tiện trong hợp việc tính toán do tính đối xứng góc qua véc tơ định hướng , ta sử dụng ký hiệu . Như vậy, chỉ có các cá thể lân cận nằm trong tầm nhìn của của cá thể thứ i mới được xét đến trong quá trình tương tác, nghĩa là được đưa vào tính toán góc trung bình trên công thức (3.4).

14

Hình 3-2 Góc quan sát của cá thể thứ i, ký hiệu

là một

nửa góc quan sát.

Thông số trật tự của hệ này được viết lại dưới dạng

, (3.5)

trong đó N là tổng số cá thể. Dĩ nhiên, thông số trật tự là một hàm của nhiễu . Tương tự như trong lý thuyết nhiệt động lực học, chúng ta sử dụng biểu thức variance của thông số trật tự (hay còn gọi là độ cảm từ)

. (3.6)

đạt giá trị cực đại. mà

Từ đó, chúng ta có thể xác định được giá trị tới hạn của nhiễu tại điểm chuyển pha thông qua việc xác định giá trị 3.2.3 Kết quả mô phỏng

và bước thời gian

và mật độ xác định . Tổng số cá thể của hệ được xét là

Trong tất cả các mô phỏng, chúng tôi sử dụng các tham số mô hình cụ , vận thể như sau: bán kính đường tròn , nghĩa là kích tốc tuyệt đối thước không gian 100, 196, 400, 900, 1600, 2500 và 3600, N được gọi là kích thước hệ. Góc quan sát thay đổi giữa 0 và , hay .

Đầu tiên chúng tôi khảo sát trong trường hợp tới hạn khi góc quan sát của các cá thể là 360o, chúng ta thu được thông số trật tự và variance của biểu diễn trên các Hình 3-3 với kích thước hệ N nó phụ thuộc nhiễu = 100. Kết quả này hoàn toàn phù hợp với kết quả mô phỏng của Vicsek. Sau đó thay đổi các góc quan sát và thu được giá trị nhiễu tới hạn tính toán được tương ứng với các góc quan sát là . Kết quả chỉ rõ rằng, trong tất cả và

15

Hình 3-3 Thông số trật tự (hình bên trái) và varian của nó (hình bên

phải) biến thiên theo

với các góc quan sát

và

.

các trường hợp góc quan sát thay đổi, giá trị thông số trật tự đều bằng 1 tại miền nhiễu thấp và dần về 0 khi nhiễu cao. Điều này là đúng với ý nghĩa của Landau về thông số trật tự. Kết quả này đã khắc phục tồn tại trong nghiên cứu của Gao và các cộng sự (Hình 3-1).

Ta thấy trên Hình 3-3 thông số trật tự đạt giá trị cực đại (

) ở vùng nhiễu thấp. Các cá thể trong nhóm chuyển động song song với nhau theo cùng một hướng nào đó, và hệ được xem như ở pha trật tự. Trạng thái này tương đương với hành vi gom cụm của các loài sinh vật. Khi tăng nhiễu lên thì các cá thể bắt đầu chuyển động với định hướng lệch so với hướng trung bình của các cá thể lân cận, bởi vậy giá trị trung bình hướng chuyển động của các cá thể giảm, dẫn đến thông số trật tự giảm. Ở vùng nhiễu cao, các cá thể trong nhóm sinh vật chuyển động một cách hỗn loạn, dẫn đến thông số trật tự của hệ giảm dần đến zero. Trạng thái này của hệ được gọi là hỗn độn hay pha mất trật tự ở vùng nhiễu cao. Nó tương đương với hành vi chạy tán loạn của các loài sinh vật khi gặp nguy hiểm.

(nghĩa là

Tiếp tục khảo sát chi tiết trên nhiều giá trị khác nhau của góc quan sát, biến thiên với ). Kết quả chỉ ra trong Hình giảm nhanh khi giảm góc quan sát trong miền chúng ta thiết lập giản đồ pha trong không gian trong khoảng từ 0 đến 3-4 cho chúng ta thấy giá trị tới hạn từ giảm chậm , sau đó đến .

16

Hình 3-4 Giản đồ pha trong không gian

với N = 100, 400

và 900. Pha (I) và (II) ứng với góc quan sát của con mồi và vật săn.

Hình 3-5 Nhiễu tới hạn

như là hàm của nghịch đảo của kích

thước hệ 1/N đối với

.

Chúng ta dễ dàng nhận thấy giản đồ được chia thành hai pha phân . Pha thứ nhất (pha I) tương ứng với góc cách bởi góc quan sát quan sát rộng của các loài con mồi có cấu trúc mắt nằm ở hai bên. Pha thứ hai tương ứng với các loài thú săn có cấu trúc mắt nằm ở phía trước. Một câu hỏi gợi mở từ điều này là phải chăng có sự tách pha xảy ra tại ? Để giải đáp cho câu hỏi này, chúng ta tiến giá trị góc quan sát hành khảo sát giá trị tới hạn của nhiễu phụ thuộc vào kích thước của hệ với các giá trị của góc quan sát khác nhau.

giảm khi tăng kích thước Trên Hình 3-5. Ta thấy, nhiễu tới hạn của hệ N. Đối với các giá trị góc quan sát ở pha I ( hội tụ về ), một giá trị không đổi (hằng số). Ngược lại, đối với góc quan sát hội tụ về 0, nghĩa là không có chuyển pha trong ở pha II thì

17

miền này. Kết quả này đã thêm phần khẳng định về sự tách pha theo góc quan sát tại giá trị tới hạn , phù hợp với những nhận xét trên giản đồ pha. Tóm lại, chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật chỉ xảy ra đối với các loài sinh vật thuộc loại con mồi với cấu trúc mắt có góc quan sát rộng hơn 180o, .

Như chúng ta đã biết thì luỹ thừa tới hạn

mà nó được xác định dựa trên hệ thức

trong hệ spin được xác [7], trong đó L là kích thước mạng định thông qua hệ thức và là một luỹ thừa tới hạn khác. Chú ý là ta không thể xác định được luỹ thừa tới hạn trong mô hình đang xét. Bởi vậy, ta đưa vào một định , nghĩa tương đương với N là tổng số cá thể của hệ và là giá trị cực đại của variance (công thức (3.6)).

Hình 3-6 Sự phụ thuộc của

vào N tính theo tỷ lệ

.

Xét một số trường hợp góc tới hạn mà chúng đại diện cho pha (I) và , và pha (II), chúng ta tính toán được các luỹ thừa tới hạn tương ứng với các góc quan sát , tương ứng với .

đối với các góc quan sát rộng (pha I), và Kết quả tính toán luỹ thừa tới hạn này đã được trình bày trên Hình 3-6. Các điểm số liệu gần như hoàn toàn nằm trên đường thẳng lý thuyết. Về mặt định lượng, ta thấy có sự khác biệt về độ lớn của luỹ thừa tới hạn. Giá trị tương ứng với trường hợp ngược lại của góc quan sát (pha II).

Tóm lại, dưới tác động của môi trường xung quanh, hành vi của các loài sinh vật thay đổi từ pha gom cụm có trật tự sang pha mất trật tự. Chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật phụ thuộc rất nhiều vào khả năng quan sát của các loài sinh vật. Khả năng quan sát càng rộng thì hành

18

vi gom cụm càng thể hiện rõ. Có sự tồn tại của giá trị tới hạn của góc quan sát mà nó phân chia chuyển pha gom cụm thành hai miền (pha I và II) tương ứng với cấu trúc mắt của hai loài con mồi và thú săn. Khi số lượng cá thể của hệ tăng lên thì giá trị tới hạn của nhiễu tại điểm chuyển pha giảm. Như vậy, nhiễu tới hạn không chỉ phụ thuộc vào góc quan sát mà còn phụ thuộc vào kích thước hệ N. 3.3 Đề xuất các mô hình mới để nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật

Trong nghiên cứu chuyển pha trật tự của các hệ các loài sinh vật, cơ sở nghiên cứu là mô hình Vicsek chỉ giải thích được chuyển pha ở miền nhiễu cao, nghĩa là chuyển pha từ trật tự sang mất trật tự mà không giải thích được chuyển pha trong miền nhiễu thấp. Mặc khác, các kết quả nghiên cứu từ đó cũng cho rằng chuyển pha là liên tục. Tuy nhiên, quan sát các kết quả thực nghiệm ta nhận thấy chuyển trạng thái diễn ra rất nhanh nên ta dự đoán là chuyển pha gián đoạn (loại I). Vì vậy chúng tôi sẽ nghiên cứu rõ các vấn đề chuyển pha này bằng cách đề xuất các mô hình mới dựa trên cơ sở các mô hình vật lý thống kê. 3.3.1 Mô hình spin XY

Trong mô hình này, chúng ta xét các cá thể trong nhóm giống như các spin XY, có thể chuyển động tự do với cùng vận tốc trong mặt phẳng có . Hướng chuyển động của cá thể thứ i được diễn tả bởi kích thước véc tơ spin hai thành phần . Định nghĩa này tương tự với vận tốc trong mô hình Vicsek.

a) Định nghĩa tương tác

Xét một hệ tự tổ chức gồm N phần tử chuyển động liên tục trong mặt và hướng chuyển động

phẳng (x, y). Phần tử thứ i có vị trí với giá trị tuyệt đối là .

, (3.7)

Hamiltonian của hệ được định nghĩa dưới dạng trong đó được gọi là tương tác trao đổi giữa các cá thể. Nghĩa là

(3.8) ,

19

là khoảng cách giữa cá thể thứ i và thứ j.

với là hằng số dương, đặc trưng cho tương tác sắt từ trong mô hình spin. Số hạng thứ hai trong phương trình (3.7) có dạng thế Morse

, (3.9)

là các hằng số đặc trưng cho mô hình. Do sự cạnh tranh ở đây, tương tác giữa tương tác trao đổi và thế Morse ở khoảng cách gần, các hạt có xu hướng tiến lại gần nhau và đồng thời đổi hướng . Để tránh hiện tượng này, chúng ta đưa thêm vào thế hoá học có biểu thức được viết dưới dạng như sau

, (3.10)

là hằng số, được xác định qua biểu thức với và là tổng số hạt trong một đơn vị diện tích bao quanh cá thể i.

Phép lấy tổng trong các công thức (3.8) và (3.9) được tính cho các cá thể lân cận gần nằm trong vòng tròn bán kính có tâm tại vị trí của hạt đang xét. Bán kính này được gọi là bán kính cắt (cut-off) sao cho giá trị của thế tương tác giữa hai hạt đủ bé khi khoảng cách giữa chúng lớn hơn bán kính này ( ).

Tương tự như trong mô hình spin, chúng ta sử dụng các định nghĩa cho thông số trật tự (độ từ hoá) là

(3.11) ,

Để đánh giá mức độ gom cụm của các cá thể trong một hệ, ta sử dụng đại lượng mật độ có dạng

(3.12) .

3.3.2 Kết quả mô phỏng

Bây giờ ta áp dụng thuật toán vừa được trình bày ở phần trên để mô phỏng tính toán các đại lượng cơ bản của mô hình mới. Chúng ta sử dụng , bán kính cut-off của thế tương các tham số mô hình như sau: . Các tác trao đổi (3.8) và thế hoá học (3.10) được chọn là . Thế tham số cho thế Morse là và

20

. Vận tốc cực đại có giá trị không đổi , thời gian tính cân bằng là

Hình 3-7 Thông số trật tự và mật độ phụ thuộc vào nhiễu với N = 100.

cá thể chuyển động tự do trong không gian giới hạn . Thông số trật tự của hệ và mật độ các . Với hoá học mỗi giá trị nhiễu bước MC trên mỗi cá thể, số bước MC trên mỗi cá thể thực hiện để tính toán các đại lượng trung bình là . Điều kiện biên tuần hoàn được áp dụng trên cả hai chiều x, y. Xét hệ gồm bởi hình vuông kích thước cá thể được xác định thông qua các biểu thức (3.11) và (3.12).

Ta thấy rằng, hệ trải qua hai điểm chuyển pha khi nhiễu thấp và nhiễu cao I, II và III tương ứng với nhiễu thấp và nhiễu cao có giá trị khoảng 0.2 và mật độ

Hình 3-7 là đồ thị của thông số trật tự và mật độ phụ thuộc vào nhiễu. . Các điểm chuyển pha tách hệ thành 3 pha: pha , nhiễu trung bình . Trong pha I, thông số trật tự . Ta nói, hệ ở pha không trật tự với mật độ thấp. Pha I có thể xem như tương ứng với hành vi tự do của các loài sinh vật khi không bị tác động của trường ngoài, ở đó các cá thể phân bố rộng trong không gian và định hướng mất trật tự để dễ dàng tìm kiếm thức ăn.

Trong trường hợp nhiễu cao

giảm nhanh về 0, đồng thời mật độ

, hệ thay đổi từ pha trật tự mật độ cao (pha II) sang pha không trật tự mật độ thấp (III). Thông số trật tự giảm nhanh xấp xỉ bằng 0. Pha III tương ứng với hành vi chạy tán loạn của các cá thể trong nhóm sinh vật, chúng chạy tản ra theo mọi hướng khác nhau với tốc độ nhanh nhất nhằm tránh xa thú săn để bảo toàn sinh mạng.

Như vậy, với việc đề xuất mô hình mới dựa trên một số định nghĩa tương tác đã biết trong vật lý, chúng ta đã diễn tả được một cách đầy đủ

21

cả hai quá trình chuyển pha ở vùng nhiễu thấp và ở vùng nhiễu cao. Diễn tả được các hành vi của các loài sinh vật. Đã khắc phục được hạn chế của các mô hình đã được đề xuất trước đây bởi các tác giả khác. Tuy nhiên, mô hình mới được đề xuất vẫn còn tồn đọng một số hạn chế, đó là chưa xác định được loại chuyển pha gom cụm. Nguyên nhân là phải thực hiện thời gian mô phỏng rất lâu để có thể đưa hệ về trạng thái cân bằng ở vùng nhiễu thấp. Đôi khi, hệ rơi vào trạng thái đông cứng từng phần (frozen). Để khắc phục những hạn chế trên, chúng tôi sẽ tiếp tục đề xuất một mô hình khác dựa trên mô hình q-Potts và sẽ được trình bày trong mục tiếp theo của chương này. 3.3.3 Mô hình q-Potts

Trên quan sát thực tế thì các cá thể sinh vật trong cùng một nhóm có phản ứng khác nhau trước tác động của môi trường bên ngoài. Ví dụ như khi đối mặt với một đối tượng kích thích nào đó, một số cá thể sẽ phản ứng ngay với kích thích này, trong khi đó có một số cá thể sẽ phản ứng chậm hơn hoặc không có phản ứng gì. Hiện tượng này thường được diễn tả bởi các tập logic “mờ” (fuzzy logic). Hay nói cách khác, hành vi phản ứng của các loài sinh vật thường là không đồng nhất, cho dù chúng sống chung trong cùng một bầy đàn.

a) Xây dựng mô hình

mà nó chỉ nhận một trong hai giá trị:

Dựa vào cơ sở suy luận vừa trình bày ở trên, chúng ta đưa ra giả thiết rằng, mỗi một cá thể sinh vật được đặc trưng bởi hai bậc tự do, tương ứng với trạng thái nội tại và trạng thái thể hiện ra bên ngoài của chúng. Trạng thái nội tại có thể rơi vào một trong hai lựa chọn: hoặc là bị kích thích, hoặc là không bị kích thích. Trạng thái nội tại này được lượng hoá bởi ký hiệu nếu như cá thể này bị nếu như nó không bị kích thích. Trạng thái bên ngoài kích thích và trong không (bậc tự do thứ 2) của một cá thể được đặc trưng bởi vị trí gian và hướng chuyển động . Chú ý là trạng thái nội tại là một thông số quan trọng của mô hình và nó sẽ quyết định cho hành vi của mỗi cá thể trong đàn, nghĩa là quyết định cho việc tương tác hay không tương tác với các cá thể lân cận.

Chúng ta giả thiết thêm rằng, trạng thái nội tại của một cá thể nào đó ở trạng thái không bị kích thích (không lo lắng, sợ hãi) thì năng lượng nội (với là một số dương). Ngược lại, năng lượng tại của nó có giá trị là

22

của nó sẽ là nếu như chúng cảm thấy sợ hãi trước tác động của nhiễu, hay còn gọi là trạng thái bị kích thích. Theo lý thuyết vật lý thống kê thì hoặc bị xác suất để cá thể nào đó nằm ở trạng thái không bị kích thích kích thích có thể xác định được dựa trên các biểu thức [6]:

, (3.13)

trong đó là hàm tổng thống kê và được định nghĩa bởi công thức

.

Chú ý rằng, do (3.14) . Bởi vậy, xu hướng chuyển về trạng . Từ đó ta tính được tổng số thái không bị kích thích sẽ tỷ lệ với cá thể ở trạng thái không bị kích thích:

.

(3.15)

là tổng số cá thể trong hệ. Từ đây ta có thể suy ra số các cá thể bị

.

với kích thích (3.16) Bây giờ, chúng ta đặt hệ bao gồm N cá thể này trên một mạng có cấu trúc tam giác 2 chiều với kích thước . Kích thước không gian được chọn sao cho tổng số các nút mạng phải lớn hơn nhiều so với tổng số các cá thể, nghĩa là . Nhờ vậy mà các cá thể có thể dịch chuyển dễ dàng từ nút mạng này sang nút mạng khác. Trạng thái định hướng của mỗi cá thể được chọn tương tự với spin trong mô hình Potts đồng hồ q so với trục hoành trạng thái, nghĩa là véc tơ định hướng có góc lệnh với nhận q giá trị gián đoạn từ 0 đến , nghĩa là tương ứng . Để đơn giản, chúng ta chọn giá trị với 6 lân cận gần nhất của một cá thể trong mạng tam giác. Lúc đó, trạng thái định hướng của mỗi cá thể được gán cho các giá trị là . với các góc lệch tương ứng Các véc tơ định hướng này được diễn tả trên Hình 3-8.

23

Hình 3-8 Sơ đồ các véc tơ định hướng với

trạng thái.

Hamiltonian của hệ được viết dưới dạng

, (3.17)

được tính trên các cá thể lân cận bậc III. Hệ số

ở đây tổng được chọn có dạng của thế Lennard-Jones:

, (3.18)

và . Ta chọn là khoảng cách giữa hai cá thể trong đó để cho và

, và

(tính theo đơn vị hằng số mạng), tại khoảng cách hoàn toàn phụ là một số dương. Tương tác giữa hai cá thể nếu cả hai cá thuộc vào trạng thái nội tại của chúng. Cụ thể là thể không bị kích thích trong các trường hợp còn lại. Chú ý là một cá thể ở trạng thái bị kích thích vẫn tương tác với các cá thể không bị kích thích, nhờ vậy mà nó có thể diễn tả được hành vi tập thể của các loài sinh vật.

b) Nghiên cứu chuyển pha trong hành vi gom cụm

Tương tự như đã thực hiện mô phỏng cho mô hình spin XY, chúng ta và mật độ sử dụng lại các đại lượng vật lý cơ bản như thông số trật tự

được định nghĩa như sau: - Thông số trật tự

, (3.19)

. (3.20) với

Phép tính tổng trong công thức (3.20) được thực hiện trên tất cả các cá thể của hệ. Ta thấy rằng, khi hệ ở pha trật tự thì tất cả các cá thể có cùng

24

, do đó mà thông số trật tự đạt giá trị cực đại . Đối , một giá trị với pha mất trật tự, các cá thể có thể nhận tất cả các giá trị khả dĩ của nghĩa là với mọi giá trị , dẫn đến .

- Mật độ

, (3.21)

là số cá thể lân cận gần nhất xung quanh . Đại lượng

với trong công thức (3.21) đặc trưng cho phân bố không gian của các cá thể. Như vậy, hành vi của một nhóm sinh vật hoàn toàn có thể được mô tả đầy đủ bởi hai tham số và .

,

Tiếp theo, chúng ta thực hiện mô phỏng bằng phương pháp Monte- Carlo với các thông số mô hình được chọn như sau: và 900, kích (tính theo đơn vị năng lượng), kích thước hệ thước mạng không gian . Ban đầu, vị trí của các cá thể được gieo ngẫu nhiên tuân theo phân bố đều trên không gian mạng. Giá trị định hướng của các cá thể cũng được gieo ngẫu nhiên bởi các số nguyên từ 1 đến 6.

Tại mỗi bước mô phỏng với một giá trị xác định của nhiễu

Xét trường hợp kích thước của hệ và

, ta tính dựa trên công thức (3.16). Sau đó ta toán số các cá thể bị kích thích cá thể trong hệ và gán trạng thái nội tại của chúng chọn ngẫu nhiên . Các cá thể còn lại hiển nhiên được gán với trạng thái bị kích thích cho trạng thái không bị kích thích . Vị trí và định hướng của một cá thể đang xét sẽ được cập nhật theo thuật toán Metropolis. Quá trình mô phỏng được thực hiện với bước MC trên một cá thể để đưa hệ về trạng thái cân bằng, các đại lượng trung bình thống kê được tính toán trên bước MC cho mỗi cá thể. Để bảo toàn số hạt trong không gian đang xét, ta sử dụng điều kiện biên tuần hoàn trên cả hai chiều x và y. ta thấy trên Hình 3-9 thông số trật tự và mật độ phụ thuộc vào nhiễu có dáng điệu tương tự như kết quả mô phỏng cho mô hình spin XY. Các đồ thị cho thấy rõ hệ được chia thành 3 pha : pha I ở vùng nhiễu thấp, pha II ở vùng nhiễu trung bình và pha III ở vùng nhiễu cao.

25

Hình 3-9 Thông số trật tự và mật độ phụ vào thuộc nhiễu với kích thước hệ

và

.

Ở vùng nhiễu thấp hoặc không có nhiễu, số lượng các cá thể ở trạng thái bị kích thích là rất ít, chúng gần như không tương tác với nhau, dễ dàng thay đổi vị trí và định hướng, kết quả là hệ ở pha mất trật tự với mật . Khi kích thích bên ngoài đủ lớn, số lượng các cá độ thấp thể bị kích thích tăng lên và chúng bắt đầu tương tác tập thể với nhau. Chúng cố gắng tiến lại gần nhau và sắp xếp có trật tự để có lợi hơn về năng lượng. Hệ chuyển từ pha I sang pha II. Trạng thái trật tự này được giữ trong khoảng khá lớn của nhiễu (từ khoảng 0.1 đến 0.5), cho đến khi nhiễu quá mạnh thì hệ chuyển qua pha mất trật tự với mật độ thấp (pha III). Pha này tương đương với hành vi chạy tán loạn của các loài sinh vật khi đối mặt với sự nguy hiểm, chẳng hạn như khi bị các loài thú săn tấn công.

Chuyển pha ở vùng nhiễu cao có thể xem như là chuyển pha thông thường vì nó có thể tìm thấy trong đa số các mô hình spin cũng như các mô hình khác dựa trên cơ sở lý thuyết của mô hình Vicsek. Ưu điểm chính của mô hình mới được đề xuất là đã giải thích được hành vi chuyển pha gom cụm ở vùng nhiễu thấp, hệ chuyển từ pha mất trật tự sang pha có trật tự khi tăng kích thích.

Đáng chú ý hơn là thông số trật tự biến đổi nhanh qua các điểm tới hạn, kể cả ở vùng nhiễu thấp và nhiễu cao. Quan sát này gợi mở cho câu hỏi là phải chăng chuyển pha của hệ này là chuyển pha loại I (chuyển pha không liên tục)? Để giải đáp cho câu hỏi này, chúng ta sử dụng phương pháp mô phỏng Monte-Carlo với thuật toán Wang-Landau để xác định hàm phân bố năng lượng của hệ [16].

26

Áp dụng vào các hệ có kích thước và

Hình 3-10 Hàm phân bố theo năng lượng với các kích thước

và

tại vùng nhiễu thấp (bên trái) và nhiễu cao (bên phải).

, ta xác định biểu đồ (histogram) năng lượng của hệ tại các điểm chuyển pha ở vùng , và ở vùng nhiễu cao và nhiễu thấp và .

Hình 3-11 Thông số trật tự tương ứng với mô hình mạng khí (lattice

gas) có

.

và mô hình mạng (lattice) có

Đồ thị hàm phân bố năng lượng được thể hiện trên Hình 3-10 tương ứng với chuyển pha ở miền nhiễu thấp và nhiễu cao. Ta thấy rõ các đỉnh kép của hàm phân bố theo năng lượng, đây là điều kiện “cần” cho chuyển pha loại I (chuyển pha không liên tục). Ngoài ra, độ lõm giữa hai đỉnh tăng khi kích thước của hệ tăng, phù hợp với lý thuyết về chuyển pha loại I. Từ đây, ta có thể kết luận rằng, hệ có hai chuyển pha tại vùng nhiễu thấp và vùng nhiễu cao và cả hai chuyển pha đều là chuyển pha bậc nhất.

27

trong khi đó

Để kiểm chứng nguyên nhân gây ra chuyển pha ở vùng nhiễu cao, ta xét thêm mô hình mạng q-Potts với tổng số cá thể bằng với số nút mạng . Thông số trật tự tương ứng với hai trường hợp được so sánh trên Hình 3-11. Ta thấy rằng giá trị nhiễu tới hạn tại điểm chuyển pha trong mô hình mạng (lattce) lớn hơn so với mô hình linh động (lattice gas). Trong mô hình linh động là đối với mô hình mạng. 3.4 Kết luận

Trong chương này của bản tóm tắt luận án, chúng tôi đã trình bày chi tiết những kết quả nghiên cứu về chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật. Đã khắc phục được một số hạn chế của một số mô hình và kết quả nghiên cứu của các tác giả khác.

tương ứng với góc quan sát và

Chúng tôi đã khảo sát chi tiết sự ảnh hưởng của góc quan sát của các cá thể trong hệ đối với hành vi chuyển pha. Nhiễu tới hạn không chỉ phụ thuộc vào góc quan sát, mà nó còn phụ thuộc vào kích thước của hệ. Giá trị tới hạn của góc quan sát giảm theo tổng số cá thể của hệ N tăng, và giảm nhanh khi góc quan sát giảm. Đã tìm được giá trị tới hạn của góc mà nó chia chuyển pha của hệ thành hai miền. Miền quan sát có góc quan sát rộng tương ứng với giá trị nhiễu tới hạn lớn, và nó phù hợp với cấu trúc đôi mắt của các loài con mồi. Với góc quan sát bé thì giá trị nhiễu tới hạn rất bé và tiến đến 0 khi kích thước hệ tăng, nó tương ứng với hành vi của các loài thú săn. Hiệu ứng kích thước hữu hạn cũng đã được khảo sát với các giá trị của góc quan sát khác nhau, luỹ thừa tới tương ứng hạn . Nó thể hiện sự khác biệt rõ rệt của hành vi gom cụm giữa hai loài thú săn và con mồi. Kết quả nghiên cứu đã giải thích được hành vi chuyển pha gom cụm là hành vi phổ biến của các loài sinh vật thuộc loại con mồi. Đôi khi hành vi này thể hiện ở một số loài thú săn có số lượng lớn các cá thể trong đàn.

Chúng tôi đã đề xuất hai mô hình mới để khảo sát chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật, đặc biệt là chuyển pha ở vùng nhiễu thấp. Xây dựng được biểu thức Hamiltonian cho hệ để có thể áp dụng phương pháp mô phỏng Monte-Carlo, là phương pháp có hiệu quả cao trong nghiên cứu chuyển pha trong các hệ nhiều hạt nói chung. Với mô hình spin XY, tương tác giữa các cá thể được định nghĩa dựa trên thế tương tác trao đổi, thế Morse và thế hoá học. Kết quả mô phỏng đã diễn tả được quá trình chuyển pha của hệ ở vùng nhiễu thấp, ở đó hệ chuyển từ pha mất trật tự với mật độ thấp sang có trật tự với mật độ cao, khắc phục được hạn chế

28

của các mô hình đã được đề xuất trước đây. Giải thích được hành vi chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật. Dưới tác động của môi trường xung quanh, hệ trải qua 3 pha pha mất trật tự ở vùng nhiễu thấp, pha có trật tự ở vùng nhiễu trung bình và pha mất trật tự ở vùng nhiễu cao. Các pha này tương ứng với các hành vi của các loài sinh vật: hành vi chuyển động tự do, hành vi gom cụm và hành vi chạy tán loạn.

mà nó có thể nhận một trong hai giá trị:

Mô hình thứ hai được đề xuất dựa trên mô hình Potts linh động q trạng thái, trong đó trạng thái nội tại của mỗi cá thể được định nghĩa bởi tham số khi nó bị kích thích, và khi nó không bị kích thích. Đây là tham số chính của mô hình, nó điều khiển kiểu tương tác giữa các cá thể với nhau. Mô hình này không chỉ diễn tả được toàn bộ quá trình chuyển pha giữa các hành vi của các loài sinh vật ở vùng nhiễu thấp và nhiễu cao (như đã thu được trong mô hình XY), mà còn giải thích được chuyển pha tức thời của hệ (chuyển pha loại I). Đã chứng tỏ được chuyển pha ở vùng nhiễu cao là chuyển pha tan chảy, tương ứng với quá trình chuyển từ hành vi gom cụm sang hành vi chạy tán loạn của các loài sinh vật dưới tác động mạnh của môi trường xung quanh.

KẾT LUẬN CHUNG

Hành vi tập thể đã được trình bày một cách khái quát trong Chương 1 của bản tóm tắt luận án. Một nhóm sinh vật nói chung thường được chia thành hai loại, nhóm có con đầu đàn được gọi là hệ có tổ chức và nhóm không có con đầu đàn được gọi là hệ tự tổ chức. Phần thứ hai của chương đã giới thiệu một số hành vi điển hình trong các hành vi tập thể của các loài sinh vật, bao gồm hành vi schooling, flocking và swamming. Các mô hình lý thuyết đã và đang được ứng dụng để nghiên cứu hành vi tập thể cũng đã được giới thiệu một cách ngắn gọn trong phần cuối của Chương. Chương 2 của bản tóm tắt luận án đã trình bày một số khái niệm cơ bản về lý thuyết chuyển pha trong vật lý, giới thiệu một số mô hình spin bao gồm spin Ising, XY và Heisenberg, và mô hình Potts có q trạng thái. Các phương pháp mô phỏng hiện đại trên máy tính đã được trình bày chi tiết trong phần thứ 2 và phần thứ 3. Nội dung chính của bản tóm tắt luận án được trình bày trong

Chương 3 bao gồm 3 bài toán lớn: - Khảo sát sự ảnh hưởng của góc quan sát lên quá trình chuyển pha trong hành vi gom cụm (flocking) của các loài sinh vật. Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng khả năng gom cụm của một nhóm sinh vật

29

càng tốt nếu như góc quan sát của chúng càng rộng. Có thể khẳng định, hành vi gom cụm chỉ xảy ra phổ biến ở các loài con mồi có cấu tạo của đôi mắt nằm hai bên, nhờ đó mà khả năng quan sát của chúng rất rộng (có thể đạt đên 360o). Trong khi đó, các loài thú săn mồi có khả năng quan sát rất hẹp với mức hội tụ cao, nhờ đó mà chúng có thể xác định chính xác vị trí và tốc độ dịch chuyển của con mồi.

- Hai mô hình mới đã được đề xuất nhằm diễn tả được toàn bộ quá trình chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật, khắc phục được hạn chế của các mô hình được đưa ra bởi các tác giả khác trước đây. Cả hai mô hình không chỉ giải thích được quá trình chuyển pha ở vùng nhiễu cao từ hành vi gom cụm sang hành vi chạy tán loạn, mà còn giải thích được chuyển pha ở vùng nhiễu thấp, hệ chuyển từ hành vi tự do sang hành vi gom cụm. Sử dụng mô hình Potts linh động, chúng ta đã giải thích thêm được chuyển pha tức thời của hệ, được diễn tả bởi chuyển pha loại I hay chuyển pha gián đoạn. Bản chất chuyển pha ở vùng nhiễu cao là do hệ chuyển từ pha đông đặc sang pha lỏng hay pha tan chảy. Các kết quả nghiên cứu trình bày trong luận án đã được công bố trên các tạp chí trong nước và quốc tế có uy tín, đóng góp một phần vào kho tàng tri thức về hành vi của các loài sinh vật nói riêng và các hệ sinh thái- môi trường nói chung. Nghiên cứu của chúng tôi thêm phần khẳng định rằng, các mô hình lý thuyết vật lý cũng như các phương pháp mô phỏng hiện đại có thể ứng dụng rất có hiệu quả trong nghiên cứu các vấn đề phức tạp trong các ngành khoa học khác. Khẳng định vai trò chủ đạo của vật lý trong nghiên cứu khoa học liên ngành.

30

1. Study on the phase transition behavior of fishes schooling system

Nguyen phuoc the, Lee Sang- Hee, Van Thanh Ngo and Nguyen Ai Viet

Communications in Physics, Vol. 23, No. 2 (2013), pp. 121-125

2. Effect of vision angle on the phase transition in flocking behavior of

animal groups

P. The Nguyen, Sang-Hee Lee and V. Thanh Ngo,

Phys. Rev. E 92, 032716 (2015)

3. Monte Carlo Simulation on the phase transition of animal group

P. The Nguyen, V. Thanh Ngo,

Communications in Physics, Vol. 25, No. 1 (2015), pp. 51-57

4. Monte-Carlo Study of the Collective Behavior in Animal Group: A q-

state Potts model

P. The Nguyen, V. Thanh Ngo, Communications in Physics, Vol. 25, No. 3 (2015), pp. 203-210

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ

31

TÀI LIỆU THAM KHẢO

University, Princeton, NJ 08544, USA 2009).

[1] Chaté H., Ginelli F., Grégoire G. and Raynaud F., Collective motion of self-propelled particles interacting without cohesion, Physical Review E 77, 046113 (2008). [2] Couzin I. D., Collective cognition in animal groups, (Princeton

on Automatic Control 52, 852–862 (2007).

[3] Cucker F. and Smale S, Emergent behavior in flocks, IEEE Transactions

Domb C. and Lebowitz J. L., (Academic, London, 10 1986).

[4] CzirókA., Matsushita M. and Vicsek T., Theory of periodic swarming of bacteria: Application to proteus mirabilis, Physical Review E 63 (3), 031915 (2001). [5] Diehl H. W., Phase Transitions and Critical Phenomena, edited by

[6] Diep H. T., Statistical Physics: Fundaments and application to condensed matter, lectures, problems and solutions, (World Scientific, Singapore 2015).

analysis, Phys. Rev. Lett. 63, 1195 (1989).

[7] David P. Landau and Kurt Binder K., Aguide to Monte Carlo Simulationsin Statistical Physics, (Cambridge University Press, The Edinburgh Building, Cambridge CB2 8RU, UK 2009). [8] Ferrenberg A. M. and Swendsen R. H., Optimized Monte Carlo data

applications, (Academic press 2002).

[9] Frenkel D., Understanding Molecular Simulation: from algorithms to

[10] Gao J., Havlin S., Xu X., and Stanley H. E., Angle restriction enhances synchronization of self-propelled objects, Phys. Rev. E 84, 046115 (2011).

Oxford. New York. Toronto. Sydney. Braunshweig 1969).

experiments

classical

fluids.

on

[11] Hockney R. W., Goel S. P. and Eastwood J., Quiet High Resolution Computer Models of a Plasma, J. Comp. Phys. 14, 148 (1974) [12] Landau L. D and Lifshitz, Statistical physics, (Pergamon Presss,

[13] Verlet L., Computer

I. Thermodynamical properties of Lennard-Jones molecules, Phys. Rev. 159, 98 (1967).

140 135 (2012).

[14] Vicsek T. and Zafeiris A., Collective motion, Physics Reports 517, 71–

[15] Vicsek T., Czirók A., Ben-Jacob E., Cohen I, I. and Shochet O., Novel type of phase transition in a system of self-driven particles, Phys. Rev. Lett. 75, 1226 (1995).

[16] Wang F. and Landau D. P., Efficient, Multiple-Range Random Walk Algorithm to Calculate the Density of States, Phys. Rev. Lett. 86, 2050 (2001); Phys. Rev. E 64, 056101 (2001).

32

33