1
B GIÁO DC VÀ ĐÀO TO
ĐI HC ĐÀ NNG
XAYAPHET KEODAVANH
LÝ THUYT TÍCH PHÂN
VÀ NG DNG
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cp
Mã s : 60.46.40
TÓM TT LUN VĂN THC SĨ KHOA HC
Đà Nng – Năm 2012
2
Công trình ñưc hoàn thành ti
ĐI HC ĐÀ NNG
Ngưi hưng dn khoa hc: TS. CAO VĂN NUÔI
Phn bin 1: GS. TSKH. Nguyn Văn Mu
Phn bin 2: PGS. TSKH. Trn Quc Chin
Lun văn s ñưc bo v trưc Hi ñng chm Lun văn tt nghip
thc sĩ toán hc hp ti Đi hc Đà Nng, vào ngày…..tháng ……
năm …….
Có th tìm hiu ti:
- Trung tâm Thông tin – Hc liu, Đi hc Đà Nng
- Thư vin trưng Đi hc Sư phm, Đi hc Đà Nng
3
M ĐU
I. LÝ DO CHN Đ TÀI
Trong chương trình toán c a Lào, lý thuyt tích phân ñưc hc t!
lp 10, 11, 12, vy có th nói lý thuyt tích phân ñóng mt vai trò
khá quan trng trong vic hc và ging dy b môn toán. Trong
chương trình toán " bc trung hc, phn kin th#c v$ tích phân chim
mt t% l ln. Trong quá trình ging dy " trưng ph& thông, tôi phát
hin ra r'ng thông thưng các hc sinh ñ$u cm thy lúng túng khi
gii các bài toán v$ tích phân, chính vì vy tôi mun nghiên c#u mt
phn lý thuyt tích phân nh'm góp phn ph(c v( cho công vic ging
dy " trưng ph& thông. Đó là lý do ñ tôi chn ñ tài “Lý thuyt tích
phân và #ng d(ng” làm lun văn tt nghip thc sĩ c a mình.
II. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CU
D)a vào s) #ng d(ng sau này c a ñ$ tài nên chúng tôi s* d(ng
các phương pháp gii quyt vn ñ$ thiên v$ cách ch#ng minh c a
toán sơ cp. M+c dù th trong mt vài tinh hung ñ+c bit chúng tôi
cũng mnh dn m" rng vn ñ$ theo hưng toán hc hin ñi.
Phương pháp ch yu ñưc s* d(ng trong lun văn này là kt hp các
kt qu ñã có trong các tài liu chuyên kho có liên quan ñn ñ$ tài
và s) liên h ñn các #ng d(ng c a nó trong chương trình toán ph&
thông.
III. ĐI TƯNG NGHIÊN CU
Đi tưng mà chúng tôi tp trung nghiên c#u là lý thuyt tích
phân và s) #ng d(ng c a chúng ñ gii toán " bc ph& thong trung
hc và có th dùng ñ ging dy cho các sinh viên ñi hc. Ngoài ra
4
ch#ng tôi có xét mt vài trưng hp m" rng ñ ch#ng t- lĩnh v)c
này có th phát trin xa hơn v$ m+t lý thuyt cũng như #ng d(ng.
IV. NI DUNG NGHIÊN CU
Ni dung nghiên c#u c a lun văn này ñưc gii hn trong phm
vi v$ lý thuyt tích phân theo ñ ño, khuych ñ ño và các #ng d(ng
c a tích phân trong vt lý. Sau ñó chúng tôi có ñưa ra mt s ví d( c(
th trong chương cui ñ minh ha cho vic #ng d(ng c a chúng ñn
vic gii toán " bc trung hc ph& thông.
V. Ý NGHĨA KHOA HC VÀ TH!C TI"N C$A Đ TÀI
5.1. Ý nghĩa khoa h*c: Hthng kin th#c v$ tip cn lý thuyt tích
phân và s* d(ng tích phân vào vic gii mt s bài toán th)c t.
5.2. Ý nghĩa th+c ti,n: Đ$ tài hoàn thành tr" thành tài liu tham
kho b& ích cho giáo viên, sinh viên " các trưng ñi hc, cao ñ9ng
và hc sinh " trưng trung hc ph& thông, các bn yêu toán
VI. C-U TRÚC LUN VĂN
Lun văn gm 3 chương vi cu trúc như sau:
• M" ñu
• Chương 1: Đ ño dương
• Chương 2: Lý thuyt tích phân
• Chương 3: Các #ng d(ng c a tích phân
• Kt lun
5
Chương 1- Đ ĐO DƯƠNG
1.1 TP HP
Đnh lý 1.1.1
[
]
2
Nu
A n
=
, thì |
(
)
A
|
n
=
.
Đnh lý 1.1.2
[
]
2
Quan h bao hàm có các tính cht sau ñây
- Phn x: Vi mi tp
A
thì
A A
⊂
.
- Phn ñi xng: Vi mi tp
,
A B
sao cho
A B
⊂
và
B A
⊂
thì
A B
=
.
- Bc cu: Vi mi tp
, ,
ABC
sao cho
A B
⊂
và
B C
⊂
thì
A C
⊂
.
1.2. CÁC PHÉP TOÁN TP HP
Cho các tp
A
và
B
. Ta ñ;nh nghĩa các phép toán sau:
• phép hiu: Hiu c a
A
và
B
, ký hiu
\
A B
là tp
{
\
A B x x A
= ∈
và
}
x B
∉.
• Phn bù: Cho tp
X
và
A X
⊂
. Phn bù c a
A
(trong
X
)
là tp ký hiu b"i
(
)
X
C A
và ñưc xác ñ;nh b"i:
(
)
\
X
C A X A
=.
• Phép hp: Hp c a
A
và
B
, ký hiu
A B
∪
là tp ñưc
xác ñ;nh b"i:
{
A B x x A
∪ = ∈
ho+c
}
x B
∈.
• Phép giao: Giao c a
A
và
B
, ký hiu
A B
∩
là tp ñưc
xác ñ;nh b"i:
{
A B x x A
∩ = ∈
và
}
x B
∈
• Phân hoch mt tp hp:
Nu A B
φ
∩ =
, ta nói
A
và
B
ri nhau. Nu các tp
1 2
, ,...,
n
X X X
th-a mãnvà chúng ri nhau t!ng ñôi mt, ta nói
{
}
1 2
, ,...,
n
X X X
là
mt phân hoch c a tp hp
A
.
6
Đnh lý 1.2.1
[
]
2
Gi s
{
}
1 2
, ,...,
n
X X X
là mt phân hoch ca
tp
S
. Khi ñó:
1 2
...
n
S X X X
= + + +
• H qu:
A B A B A B
∪ = + − ∩
.
Đnh lý 1.2.2
[
]
2
Cho các tp
, ,
A B C
trong tp vũ tr
,
U
khi ñó ta có:
- Lut kt hp:
(
)
(
)
( ) ( )
A B C A B C
A B C A B C
∪ ∪ = ∪ ∪
∩ ∩ = ∩ ∩
- Lut giao hoán:
A B B A
A B B A
∪ = ∪
∩ = ∩
- Lut phân b:
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
A B C A B A C
A B C A B A C
∪ ∩ = ∪ ∩ ∪
∩ ∪ = ∩ ∪ ∩
- Lut bù kép (ñi hp):
A A
=
(trong ñó:
)
\
A U A
=.
- Lut ñi ngu De Morgan:
A B A B
∪ = ∩
,
A B A B
∩ = ∪
1 2 1 2
1 2 1 2
... ...
... ... .
n n
n n
A A A A A A
A A A A A A
∪ ∪ ∪ = ∩ ∩ ∩
∩ ∩ ∩ = ∪ ∪ ∪
1.3. CÁC C-U TRÚC TRONG DI S TP HP
1.3.1. Vành Boole (Boole, Boolean ring).
Đ.nh nghĩa 1.3.1
[
]
1
Mt vành Boole (Boole, Boolean ring), các tp
7
hp là mt tp hp
ℜ
Các tp hp th-a mãn nu ,A B
∈ℜ ∈ℜ
thì
A B
∪ ∈ℜ
và \A B
∈ℜ
.
Mnh ñ 1.3.1
[
]
1
cho
ℜ
là mt vành Boole, khi ñó
φ
∈ℜ
, các
phép hiu ñi xng và giao ca hai tp hp là ñóng trong
ℜ
.
1.3.2. Đ/i s Boole (Boolean algebra).
Đ.nh nghĩa 1.3.2
[
]
1
Mt lp các tp hp
A
ñưc gi là mt ñi s
Boole nu th-a mãn:
/
a
NuA
∈ℜ
và B
∈ℜ
thì A B
∪ ∈ℜ
.
/
b
NuA
∈ℜ
thì
c
A
∈ℜ
, (
c
A
là phn bù c a
A
).
Rõ rang m<i ñi s Boole là mt vành Boole vì:
(
)
\
c
c c
A B A B A B
= ∩ = ∪ .
Mnh ñ 1.3.2
[
]
1
cho
ℜ
là mt vành Boole các tp con ca
X
.
Vành
ℜ
là mt ñi s khi và ch khi X
∈ℜ
.
1.4. VÀNH SINH (generated ring),
σ
- VÀNH (
σ
- ring )
Đ.nh nghĩa 1.4.1
[
]
1
cho
ε
là mt lp các tp hp. Vành nh- nht
ch#a
ε
ñưc gi là vành sinh b"i lp
ε
và ñưc ký hiu b"i
(
)
R
ε
.
Đnh lý 1.4.1
[
]
1
Nu
ε
là lp các tp hp bt kỳ thì tn ti mt vành
sinh bi lp
ε
duy nht
(
)
R
ε
.
Đnh lý 1.4.2
[
]
1
Nu
ε
là mt lp bt kỳ các tp hp thì mi tp
trong
(
)
R
ε
ñưc ph bi mt h hu hn các tp trong
ε
.
8
Đnh lý 1.4.3
[
]
1
Nu
ε
là mt lp ñm ñưc các tp hp, thì
(
)
ε
ℜ
là ñm ñưc.
Đ.nh nghĩa 1.4.2
[
]
1
Mt lp không r<ng
S
các tp hp ñưc gi là
σ
- vành nu nó th-a mãn:
/
a
Nu
E S
∈
và
F S
∈
thì \
E F S
∈
.
/
b
Nu
{
}
nn N
E S
∈
⊂
thì n
n N
E S
∈
∈
U
.
Đ.nh nghĩa 1.4.3
[
]
1
Cho mt lp bt kỳ các tâp hp
,
ε σ
- vành nh-
nht ch#a lp
ε
ñưc gi là
σ
- vành sinh b"i lp
ε
là ñưc ký hiu
b"i
(
)
σ ε
.
Đnh lý 1.4.4
[
]
1
Nu
ε
là mt lp bt kỳ các tp hp và
E
là mt
tp bt kỳ trong
(
)
σ ε
thì tn ti mt lp ñm ñưc
D
ca
ε
sao
cho
(
)
E D
σ
∈.
Đnh lý 1.4.5
[
]
1
Nu
ε
là lp bt kỳ các tp hp con ca tp
X
và
A
là tp con bt kỳ ca
X
thì
(
)
(
)
A A
σ ε σ ε
∩ = ∩ .
1.5. CÁC L0P ĐƠN ĐI1U (monotone classes)
1.5.1. Gi2i h/n trên (the superior limit)
Đ.nh nghĩa 1.5.1
[
]
1
Cho
{
}
n
n N
E
∈
là mt dãy các tp con c a
X
,
tp
E
∗
gm tt c các phn t* c a
X
thuc
n
E
vi vô hn các giá
tr; c a
n
ñưc gi là gii hn trên c a dãy
{
}
n
E
và ký hiu:
.
lim sup
n
n
E E
∗
=
9
1.5.2. Gi2i h/n dư2i (the inferior limit)
Đ.nh nghĩa 1.5.2
[
]
1
Cho
{
}
n
n N
E
∈
là mt dãy các tp con c a
X
, tp
E
∗
gm tt c các phn t* c a
X
thuc mi
n
E
tr! mt s h>u hn
các giá tr; c a
n
ñưc gi là gii hn dưi c a dãy
{
}
n
E
và ký hiu:
liminf
n
n
E E
∗
=
Nu xy ra trưng hp
E E
∗
∗
=
thì ta ký hiu
lim
n
n
E E E
∗∗
= =
và
gi là gii hn c a dãy
{
}
n
E
.
- Dãy các tp hp
{
}
n
E
ñưc gi là tăng (ñng bin) nu
1,n n
E E n N
+
⊂ ∀ ∈
.
- Dãy các tp hp
{
}
n
E
ñưc gi là gim (ngh;ch bin) nu
1
, .
n n
E E n N
+
⊂ ∀ ∈ Mt dãy các tp hp tăng hay là gim ñưc
gi dãy ñơn ñiu (monotone).
Đ.nh nghĩa 1.5.3
[
]
1
Mt lp không r<ng các tp ñưc gi là ñơn
ñiu nu mi dãy ñơn ñiu các tp
{
}
n
E
trong ta có lim
n
n
E
∈
.
Đ.nh nghĩa 1.5.4
[
]
1
Lp ñơn ñiu nh- nht ch#a lp
ε
ñưc gi là
lp ñơn ñiu sinh b"i lp
ε
và ñưc ký hiu b"i
(
)
M
ε
.
Đnh lý 1.5.1
[
]
1
Mt lp
ε
là mt
σ
- vành khi và ch khi nó là
vành ñơn ñiu.
1.6 . Đ ĐO; KHÔNG GIAN ĐO; Đ ĐO Đ$; Đ ĐO
σ
-
H3U HN .
10
Đ.nh nghĩa 1.6.1
[
]
1
Ánh x
:
µ

[
]
0,
→ +∞
ñưc gi là mt ñ ño
dương trên
σ
- ñi s nu vi mi h ñm ñưc các tp ñôi mt
không giao nhau
{
}
k
k N
A
∈
, trong ñó
k
A
∈
vi mi
k N
∈
, ta có:
( )
k k
k N
k N
A A
µ µ
∈
∈
=
∑ và
(
)
0
µ φ
=
.
Đ.nh nghĩa 1.6.2
[
]
1
Tp
X
vi
σ
- ñi s các tp con c a
X
và
ñ ño dương
µ
trên thì b ba
(
,
X
,
)
µ
ñưc gi là mt không
gian ño.
Đ.nh nghĩa 1.6.3
[
]
1
Ta nói
µ
là
σ
- h>u hn nu
X
là hp c a mt
h ñm ñưc các tp có ñ ño h>u hn.
Đ.nh nghĩa 1.6.4
[
]
1
Nu vi mi
A
∈
th-a mãn
(
)
0
A
µ
=
và vi
mi
'
A A
⊂
ta có:
'
A
∈
, thì ta nói r'ng
σ
- ñi s là
µ
−
ñ
(t#c là ñ theo ñ ño
µ
).
Đ.nh nghĩa 1.6.5
[
]
1
B ba
(
,
X
,
)
µ
ñưc gi là mt không gian
có ñ ño ñ ,
σ
- h>u hn nu
µ
là ñ ño dương
σ
- h>u hn và là
µ
−
ñ .
1.7 . CÁC TÍNH CH-T C$A Đ ĐO C4M SINH
1.7.1. Đ5 ño ngoài
Đ.nh nghĩa 1.7.1.1
[
]
1
Mt lp không r<ng các tp hp
ε
ñưc gi là
lp di truy$n nu vi mi tp E
ε
∈
và
F E
⊂
thì
.
F
ε
∈