Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số vấn đề chọn lọc về dãy số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> NGUYỄN THỊ THÙY NHI<br /> <br /> MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC VỀ DÃY SỐ<br /> <br /> Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp<br /> Mã số: 60. 46. 01. 13<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Đà Nẵng – Năm 2015<br /> <br /> Công trình được hoàn thành tại<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN<br /> <br /> Phản biện 1: TS. PHẠM QUÝ MƯỜI<br /> Phản biện 2: TS. HOÀNG QUANG TUYẾN<br /> <br /> Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt<br /> nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 27<br /> tháng 6 năm 2015.<br /> <br /> Có thể tìm hiểu Luận văn tại:<br /> - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng<br /> - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng<br /> <br /> 1<br /> MỞ ĐẦU<br /> 1. Tính cấp thiết của đề tài<br /> Dãy số chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng trong Giải tích<br /> toán học: dãy số không chỉ là một đối tượng để nghiên cứu mà nó<br /> còn đóng vai trò là một công cụ đắc lực trong các mô hình rời rạc<br /> của giải tích, trong lý thuyết vi phân hàm, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết<br /> biểu diễn... Các vấn đề liên quan đến dãy số là rất phong phú. Có thể<br /> kể ra đây một số chủ đề thường gặp: giới hạn dãy số, công thức tìm<br /> số hạng tổng quát, tính đơn điệu và tính bị chặn của dãy số, tính chất<br /> của dãy số nguyên...<br /> Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán học<br /> quốc tế, hay những kì thi giải toán của nhiều tạp chí toán học thì các<br /> bài toán về dãy số xuất hiện khá nhiều và được xem như những dạng<br /> toán loại khó ở bậc Trung học phổ thông. Một trong các nội dung<br /> thường gặp trong các bài toán về dãy số là xác định số hạng tổng<br /> quát và tìm giới hạn của dãy số. Hiện nay đã có nhiều tài liệu đề cập<br /> đến các khía cạnh khác nhau của dãy số. Tuy nhiên, các tài liệu được<br /> hệ thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải thì chưa có<br /> nhiều và tôi mong muốn cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là<br /> các em học sinh giỏi hoặc yêu thích toán, thêm một tài liệu tham<br /> khảo về dãy số. Tôi cố gắng hệ thống các phương pháp giải bài toán<br /> tìm số hạng tổng quát và bài toán về giới hạn của dãy số.<br /> Với những lý do trên và qua khả năng tìm hiểu, nghiên cứu, tôi<br /> chọn “Một số vấn đề chọn lọc về dãy số” làm đề tài cho luận văn tốt<br /> nghiệp bậc cao học của mình.<br /> 2. Mục tiêu nghiên cứu<br /> Mục tiêu của đề tài là nhằm hệ thống lại một số phương pháp<br /> hiệu quả để giải quyết bài toán xác định công thức tổng quát và<br /> <br /> 2<br /> chứng minh sự tồn tại hoặc tìm giới hạn của dãy số.<br /> 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu<br /> Đối tượng nghiên cứu của đề tài là dãy số.<br /> Phạm vi nghiên cứu: Đề tài chủ yếu đề cập đến phương pháp<br /> xác định công thức tổng quát của dãy số và chứng minh sự tồn tại<br /> hoặc tìm giới hạn của dãy số.<br /> 4. Phƣơng pháp nghiên cứu<br /> Tham khảo các tài liệu viết về dãy số, đặc biệt là các tài liệu<br /> về xác định công thức tổng quát và giới hạn của dãy số, sau đó hệ<br /> thống lại kiến thức.<br /> Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn để trình<br /> bày nội dung các vấn đề của luận văn một cách phù hợp.<br /> 5. Bố cục đề tài<br /> Chương 1: Kiến thức chuẩn bị<br /> Chương 2: Xác định công thức tổng quát của dãy số<br /> Chương 3: Một số phương pháp chứng minh sự tồn tại hoặc<br /> tìm giới hạn của dãy số<br /> 6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu<br /> Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên<br /> quan đến Dãy số và ứng dụng thực tế qua các ví dụ, bài tập áp dụng,<br /> nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên<br /> cứu về Dãy số.<br /> Đưa ra một số bài toán, cũng như một số ví dụ minh họa<br /> nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập.<br /> <br /> 3<br /> CHƢƠNG I<br /> KIẾN THỨC CHUẨN BỊ<br /> 1.1. DÃY SỐ<br /> Định nghĩa 1.1.1.[3] Một hàm số u xác định trên tập hợp các<br /> số nguyên dương<br /> <br /> *<br /> <br /> được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là<br /> <br /> dãy số).<br /> Dãy số với các phần tử un thường được kí hiệu là<br /> <br /> un  , n  1,2,... hoặc  un  .<br /> Giả sử cho  <br /> <br /> và cho hai dãy số:<br /> <br /> (an )  (a1, a2 ,..., an ,...);<br /> (bn )  (b1, b2 ,..., bn ,...);<br /> Định nghĩa 1.1.2.[3]<br /> <br />  cn  :  an  bn    a1  b1 , a2  b2 ,..., an  bn ,... được<br /> gọi là tổng của 2 dãy  an  và  bn  ;<br /> b. Dãy  dn  :  an  bn    a1  b1 , a2  b2 ,..., an  bn ,... được<br /> gọi là hiệu của 2 dãy  an  và  bn  ;<br /> c. Dãy  bn    b1 , b2 ,..., bn ,... được gọi là tích của hằng<br /> số  và dãy  bn  .<br /> a. Dãy<br /> <br /> 1.2. DÃY SỐ BỊ CHẶN<br /> Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số<br /> M sao cho: n <br /> <br /> *<br /> <br /> , un  M .<br /> <br /> Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một<br /> số m sao cho: n <br /> <br /> *<br /> <br /> , un  m .<br /> <br /> Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên,<br /> vừa bị chặn dưới. Nghĩa là, tồn tại một số M và một số m sao cho:<br /> <br /> n <br /> <br /> *<br /> <br /> ,m  un  M .<br /> <br />