Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tích phân và ứng dụng

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

115
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Với mong muốn hệ thống lại kiến thức về nguyên hàm, tích phân xác định và các ứng dụng của nó, đề tài “Tích phân và ứng dụng” cho luận văn của mình được thực hiện. Về bố cục luận văn gồm 3 chương: Chương 1 - Nguyên hàm, Chương 2 - Tích phân xác định và ứng dụng, Chương 3 - Các bài toán khác. Sau đây là tóm tắt của luận văn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tích phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015 1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. VŨ ĐỖ LONG Hà Nội – Năm 2015 2
LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa học, lời đầu tiên tôi xin trân trọng cảm ơn đến các thầy cô giáo công tác tại khoa Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã giảng dạy và cung cấp những kiến thức khoa học quý báu trong suốt những năm học vừa qua để tôi có nền tảng kiến thức thực hiện luận văn này. Tiếp theo tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn tôi là PGS. TS Vũ Đỗ Long, người đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ và tạo điều kiện về nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội, ban giám hiệu trường THPT Phan Huy Chú – Đống Đa – Hà Nội đã tạo điều kiện tối đa để tôi có thời gian học tập tốt nhất và hoàn thành khóa học của mình. Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2015 Học viên Ngô Thị Sinh 3
MỞ ĐẦU Tích phân là nội dung chính trong giải tích và là chuyên đề quan trọng trong toán THPT Tích phân có ứng dụng trong một số bài toán về tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, hay tính tổng… Với mong muốn hệ thống lại kiến thức về nguyên hàm, tích phân xác định và các ứng dụng của nó tôi đã lựa chọn đề tài “Tích phân và ứng dụng” cho luận văn của mình , cụ thể luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Nguyên hàm Trong chương nhắc đến khái niệm và các tính chất của nguyên hàm, bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp và một số phương pháp tính nguyên hàm.. Chương 2: Tích phân xác định và ứng dụng Ở chương này nêu định nghĩa tích phân xác định, điều kiện khả tích và các tính chất của tích phân xác định. Đặc biệt trong chương 2 thể hiện những ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và tính thể tích của vật tròn xoay khi quay một hình phẳng xung quanh trục Ox, Oy. Chương 3: Các bài toán khác Chương này đề cập đến những ứng dụng tuyệt vời của tích phân trong các bài toán phức tạp như là tìm giới hạn, tìm tổng hay chứng minh bất đẳng thức. 4
CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM 1.1. Định nghĩa nguyên hàm. a. Giả sử hàm y  f  x  liên tục trên khoảng  a;b  . Khi đó hàm số y  F  x  được gọi là một nguyên hàm của hàm số y  f  x  khi và chỉ khi F '  x   f  x  , x   a; b  . b. Nếu y  F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  f  x  thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số y  f x là tập I   F  x   c, c  R và tập này còn được ký hiệu là: I   f  x  dx  F  x   c . 1.2. Các tính chất của nguyên hàm. a. Nếu y  f  x  là hàm số có nguyên hàm thì   f  x  dx  '  f  x  ; d   f  x  dx   f  x  dx b. Nếu F  x  có đạo hàm thì  d  F  x    F  x   c . c. Phép cộng Nếu f  x  và g  x  có nguyên hàm thì  f  x  dx   g  x  dx    f  x   g  x   dx . d. Phép trừ Nếu f  x  và g  x  có nguyên hàm thì  f  x  dx  g  x  dx    f  x   g  x  dx . e. Phép nhân với một hẳng số khác 0  kf  x  dx  k  f  x  dx, k  0 . f. Công thức đổi biến số Cho y  f  u  và u  g  x  .Nếu  f  x  dx  F  x   c thì 5
 f  g  x   g '  x  dx   f  u  du  F  u   c . 1.3. Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số.  0dx  C ;  dx  x  c dx 1 x  a 2  x 2  a arctan a  c  a  0   1 1  ax  b  dx 1 a x  c,   1 a 2  x 2  2a ln a  x  c    ax  b  dx  a  1 1 1 1  ax  b dx  a ln ax  b  c  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c ax  b 1 ax b 1 e dx  a e c  sin  ax  b  dx  a cos  ax  b   c ax b 1 1 m dx  m ax b  c  tan  ax  b  dx  ln cos  ax  b   c a ln m a  b 1 c  ax  b  dx  ln sin  ax  b   c  ln  ax  b  dx   x  a  ln  ax  b   x cot a dx x 1 1   arcsin  c a  0 cot  ax  b   c 2 a x 2 a  sin  ax  b  dx  2 a dx 1 1   ln x  x 2  a  c  cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   c 2 2 ax 1.4. Một số phương pháp tính nguyên hàm. 1.4.1. Phương pháp ghép vi phân thích hợp. a. Phương pháp. Sử dụng biến đổi f '  x  .dx  d  f  x   6
b. Một số ví dụ. Ví dụ 1.1.1. ([1]) dx 1 d  2 x  3 1 I     ln 2 x  3  c . 2x  3 2 2x  3 2 Ví dụ 1.1.2. ([1])  2 x  3 dx  d  x 2  3x  5 I  2  2  ln x 2  3 x  5  c . x  3x  5 x  3x  5 1.4.2. Nguyên hàm các hàm phân thức hữu tỉ. Một số ví dụ. Ví dụ 1.2.1. ([4]) 2 x 2  5x  3 I  dx x3  x2  2x Ta có Q  x   x  x  1 x  2  Giả sử P  x   2 x  5 x  3  A  B  C , x 2 Q  x  x3  x 2  2 x x x  1 x  2  2 x 2  5 x  3  A  x  1 x  2   Bx  x  2   Cx  x  1 , x * Cách 1 ( Phương pháp hệ số bất định) *  2 x 2  5 x  3   A  B  C  x 2   A  2 B  C  x  2 A, x A  3 / 2, B  2, C  5 / 2 Do đó 3 2 5 3 5 I   dx  dx  dx  ln x  2ln x  1  ln x  2  c 2x  x  1  2  x  2 2 2 1.4.3. Nguyên hàm theo từng phần. a. Công thức tính nguyên hàm từng phần. Giả sử u  u  x  ; v  v  x  có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có: 7
d  uv   udv  vdu   d  uv    udv   vdu  uv   udv   vdu   udv  uv   vdu b. Các dạng nguyên hàm từng phần cơ bản và cách chọn u, dv Nguyên hàm u dv  P  x  .sin  ax  b  dx P  x sin  ax  b  dx P x cos  ax  b  dx  P  x  .cos  ax  b  dx ax  b P  x max  b dx  P  x  .m dx log m  ax  b  P  x  dx  P  x  .log m  ax  b  dx k sin  log a x  x k dx  x sin  log a x  dx k  x cos  log x  dx a cos  log a x  x k dx ax  b  m sin  x    dx max b sin  x    dx ax  b max b cos  x    dx  m cos  x    dx Một số ví dụ minh họa. Ví dụ 1.3.1. ([3]) Tính A2   x 3e5 x 1dx 1 3 1 Ta có A2   x3 e5 x 1dx   x d  e5 x 1    x3e5 x 1   e5 x 1d  x3   5 5  1 1 3  5  5 5    x 3e5 x 1  3 x 2 e5 x 1dx    x3e5 x 1   x 2 d e5 x 1     1 3 6  x 3e5 x 1  x 2e5 x 1   xe5 x 1dx 5 25 25 1 3 6  x 3e5 x1  x 2e5 x 1  xd  e5 x 1  5 25 125  1 3 6 6 5 x 1  x 3e5 x1  x 2e5 x 1  xe5 x 1  e c 5 25 125 625 8
Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n thì ta phải n lần sử dụng tích phân từng phần. 1.4.4. Nguyên hàm hàm số có căn thức. a. Nguyên hàm hàm vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa. Các dạng nguyên hàm và các phép đổi biến số thông thường Dạng nguyên hàm Đổi biến số Điều kiện biến số 1.  2 2  f x, a  x dx x  a.sin t t     ,  2 2  2.  2 2  f x, x  a dx  x a cos t     3  t  0,    ,   2  2  x  a.tan t  f  x,    3. a 2  x 2 dx t   0,   2  ax  x  a.cos 2t   4. t   0,   f  x,  dx a  x   2 5.  f  x,  x  a b  x   dxx  a   b  a  sin   tt 0,   2 1.4.5. Nguyên hàm hàm lượng giác. a. Các dạng nguyên hàm cơ bản của hàm lượng giác. n Dạng 1. A1    s inx  n dx ; A2    cosx  dx Dạng 2. B   sin m x.cos n x.dx  m, n  N  Dạng 3. C1   tan n x.dx ; C2   cot n x.dx n  N  tan m x cot m x Dạng 4. D1   cos n x .dx ; D2   sin n x .dx  m, n  N  Dạng 5. Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng. Một số ví dụ minh họa. Ví dụ 1.5.1. ([3]) 9
4 Tính I  cos 3 xdx  2  1  cos 6 x  1 I   cos 4 3xdx     dx   1  2 cos 6 x  cos 6x  dx 2  2  4 1 2 1    3 x  sin 6 x  sin12 x   c . 8 3 12  b. Các dạng nguyên hàm lượng giác sử dụng các phép biến đổi nâng cao. Dạng 1. Nguyên hàm liên kết . Ví dụ 1.5.5. ([4]) Tính A2   sin x.dx 7sin x  3cos x cos x.dx Xét nguyên hàm liên kết với A2 là A2*   7 sin x  3cos x Ta có:  * 3cos x  7 sin x 7 A2  3 A2   7 sin x  3cos x dx   dx  x  c1  3 A  7 A *  7 cos x  3sin x dx  ln 7 sin x  3cos x  c  2 2  7 sin x  3cos x 2 1 A2  58  3ln 7 sin x  3cos x  7 x   c Dạng 2. Nguyên hàm dạng C   a sin x  b cos x  c dx m sin x  n cos x  p a sin x  b cos x  c    m sin x  n cos x  p     mcos x  n sin x    . CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG 2.1. Định nghĩa tích phân xác định. Giả sử hàm số y  f  x  xác định và bị chặn trên đoạn  a; b  . Xét một phân hoạch  bất kì của đoạn  a; b  , tức là chia đoạn  a; b thành n phần 10
tùy ý bởi các điểm chia : a  x0  x1  ...  xn  b . Trên mỗi đoạn  xk 1 ; xk  lấy bất kì điểm  k   xk 1 ; xk  và gọi  k  xk  xk 1 là độ dài của đoạn  xk 1; xk  . Khi đó n  f   k 1 k k  f 1  1  f  2   2  ...  f  n   n gọi là tổng tích phân của hàm f  x  trên đoạn  a; b  . Tổng tích phân này phụ thuộc vào phân hoạch  , số khoảng chia n và phụ thuộc vào cách chọn điểm  k . n Nếu tồn tại lim  f   k k (là một số xác định) thì giới hạn này gọi là max  k  0 k 1 tích phân xác định của hàm số f  x  trên đoạn  a; b  và kí hiệu là: b  f  x  dx . Khi đó hàm số y  f  x  được gọi là khả tích trên đoạn a; b .   a 2.2. Điều kiện khả tích. Cho hàm số y  f  x  xác định trên  a; b  . Chia đoạn trên  a; b thành n phần tùy ý bởi các điểm chia : a  x0  x1  ...  xn  b . Ký hiệu: mi  inf f  x  : x   xi 1 ; xi  ; M i  sup f  x  : x   xi 1 ; xi  n n Đặt: sn   mi  i ; Sn   M i  i i 1 i 1 Khi đó y  f  x  khả tích trên đoạn  a; b   lim  S n  sn   0 .  0 i 2.3. Tính chất của tích phân xác định. 2.4. Công thức Newton – Leipnitz. b b Nếu  f  x  dx  F  x   c thì  f  x dx  F  x   F b   F  a  . a a 2.5. Ứng dụng. 2.5.1. Tính tích phân xác định theo Newton – Leipnitz. Ví dụ 2.1.1. 11
1 Tính I  x 2 dx  0 Theo định nghĩa tính tích phân ta làm như sau Xét hàm số f  x   x 2 xác định trên đoạn  0;1 . Ta chia đoạn  0;1 thành n đoạn 0; 1  ,  1 ; 2  ,…,  n  1 ; n  Trên mỗi đoạn  n   n n   n n     k  1 k  lấy k 1  n ; n  xk  và xk  , khi đó theo định nghĩa tích phân n n xác định thì 1 n n n 2 2 1 k 1 I   x 2 dx  lim xk  0    k 1 f x k xk  lim  x k n  k 1   n  lim    n  k 1  n  n 0 1   1 n  n  1 2n  1  2 1  lim  3 12  22  ...  n 2    lim  3   n  n n  n 6     6 3 . Tuy nhiên không phải bài toán nào ta cũng có thể dễ dàng phân hoạch và chọn được xk . Vì vậy ta có thể sử dụng cách tìm nguyên hàm của f  x  sau đó dùng công thức Newton – Leipnitz. 1 Ví dụ như cần tính I   x 2 dx . Ta có 0 1 3 1 x 13 03 1 I   x2 dx     0 3 0 3 3 3 Dùng công thức Newton – Leipnitz nhanh hơn nhiều. Thể hiện ứng dụng ưu việt của công thức trong việc tính tích phân xác định. 12
Như vậy để tính tích phân xác định ta thường tính nguyên hàm của hàm số đó (Chương 1) sau đó dùng công thức Newton – Leipnitz để tính ra kết quả của tích phân cần tìm. 2.5.2. Tính diện tích hình phẳng. a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  f  x  Lý thuyết  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong - Bài toán. Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi  C1  : y  f  x  ;  C2  : y  g  x   .  x  a, x  b b - Công thức tổng quát S  f  x   g  x  dx .  a  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tự cắt khép kín - Bài toán . Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi  C1  : y  f  x   .  C2  : y  g  x  + Bước 1. Giải phương trình f  x   g  x    x  a  x  b b + Bước 2. Sử dụng công thức: S  f  x   g  x  dx .  a  Chú ý. Cần phải điền “đvdt” vào kết quả cuối cùng trong các bài toán tính diện tích hình phẳng. Một số ví dụ minh họa. Ví dụ 2.2.1. ([4]) 2  P  : y  2 x  4 x  6 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi  . Ox : y  0; x  2, x  4 13
1 3 4   2x  4 x  6 dx    2 x 2  4 x  6 dx    2 x 2  4 x  6 dx 2 S 2 1 3 1 3 4 2  2  2  92   x3  2 x 2  6 x    x 3  2 x 2  6 x    x 3  2 x 2  6 x   3  2  3  1  3 3 3 (đvdt). b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường có phương trình tham số. Lý thuyết.  Giả sử đường cong  C  : y  f  x  có phương trình tham số  x    t   .  y    t  b Trong công thức tính diện tích S  f  x  dx ta thay thế y  f  x   a bởi y    t  , dx được thay thế bởi  '  t  dt , còn 2 cận a, b được thay thế bởi  ,  lần lượt là nghiệm của a    t  ; b    t  . Khi  đó: S    t   '  t  dt .    Nếu đường cong  C  có phương trình tham số  x    t    0  t  T  l là đường kín trơn từng phần, chạy  y    t  ngược chiều kim đồng hồ và giới hạn diện tích S ở phía trái thì T 1 S   t  '  t    t   '  t  dt . 2 0  Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.3.1. ([5]) 14
x2 y2 Tính diện tích hình elip giới hạn bởi  E  :  1 a2 b2 y Phương trình tham số của  x  a cos t E :  ;0  t  2  y  b sin t S1 x -3 -2 -1 1 2 3 Xét phần diện tích của  E  nằm trong góc phần tư thứ nhất trên mặt phẳng  Oxy  . Đổi cận ta có: 0  a cos t t   / 2   a  a cos t t  0 0  /2  /2 1  cos 2t S  4 S1  4  b sin t  a sin t dt  4ab  sin 2 tdt  4ab  dt   ab  /2 0 0 2 (đvdt). c.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong trong hệ tọa độ cực.  Công thức tính diện tích hình phẳng trong hệ tọa độ Cực. Trong hệ tọa độ Cực, diện tích S của hình giới hạn bởi các tia:  1    ,    và đường r  f   là S   r 2  d . 2 Một số ví dụ minh họa. Ví dụ 2.4.1. ([4]) Tính diện tích S của hình giới hạn bởi đường cong Cardioide 15
y r  a 1  cos    1 S1    2 2 S  2 S1  2.  r 2  d  a 1  2 cos   cos  d x 20 0   1  cos 2    a 2 1  2 cos   d 0  2   32 1  3a 2  a    2 sin   sin 2   (đvdt). 2 4 0 2 2.5.3. Tính thể tích khối tròn xoay. a. Lý thuyết  Vx sinh bởi diện tích S quay xung quanh Ox  C1  : y  f  x  ;  C2  : y  g  x  S : 0  g  x   f  x  ; 1 ,  2 : x  a, x  b b Công thức: Vx    f 2  x   g 2  x   dx .  a  Vy sinh bởi diện tích S quay xung quanh Oy  C  : y  f  x  ; Oy : x  0 S : .  1 ,  2 : y  f  a  , y  f  b  + Bước 1. y  f  x   x  f 1  y  . f b 2 + Bước 2. Vy    f 1  y   dy .  f a  Vy sinh bởi diện tích đường cong bậc 2 f  x, y   0 quay xung quanh Oy 16
+ Bước 1. Tách đường cong bậc hai f  x, y   0  C  x  f1  y  thành:  1 ,   2C  x  f 2  y  và giả sử 0  f 2  y   f1  y  . + Bước 2. Xác định các cận x  a; x  b . f b Khi đó Vy    f  a   f  y  1 2 2    f 2  y   dy .  Chú ý. Cần phải điền “đvtt” vào kết quả cuối cùng trong các bài toán tính thể tích khối tròn xoay. b. Một số ví dụ minh họa. Ví dụ 2.5.1. ([2])  C  : y  xe x Tính V, sinh bởi S : Ox; y  0 quay quanh Ox. x  1  y x Xét  C   Ox : xe  0  x  0 . 1 1 1 2  Vx     xe x  dx   x 2 e2 x dx  x 2 d e2 x 0 0 2 0 1 1   S  x2e2 x  e d x  2x 2 2 0 2 0 1 1 1 1 1  e2   e2   e2    xd  e   2x 2x    2 xe dx    xe2 x  e 2 x dx 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 1  e2  e2  e2 x   2  2  2 2  2 e 2  1 (đvtt). 0 17
2.5.4. Tính độ dài đường cong phẳng. a. Các công thức tính độ dài đường cong phẳng.  Độ dài của đường cong có phương trình y  f  x  trong hệ tọa độ Đềcác. Độ dài L của đường cong trơn (khả vi liên tục) y  f  x  , a  x  b là b 2 L   1   f '  x   dx . a  Độ dài của đường cong có phương trình tham số trong hệ tọa độ Đềcác. Nếu đường cong có phương trình tham số x  x  t  , y  y  t  ,   x   ứng với a  x  b thì độ dài  đường cong là: L   x '  t   2   y '  t   2 dt .    Độ dài của đường cong phẳng trong hệ tọa độ Cực. Nếu đường cong có phương trình trong hệ tọa độ cực r  r   , y  y  t  ,       thì độ dài đường cong L là L  r   2  r '   2 d .       Dạng 3. Độ dài của đường cong trong hệ tọa độ Cực. Ví dụ 2.6.3. ([4]) Tính độ dài đường tròn có bán kính R Phương trình đường tròn trong hệ tọa độ cực là x  R, 0    2 2 2 L  4  Rd  4 R 0  2 R (đvđd). 0 CHƯƠNG 3. CÁC BÀI TOÁN KHÁC. 3.1. Tìm giới hạn bằng tích phân. 18
3.1.1. Đặt vấn đề. Xét bài toán: Cho S n  u1  u2  u3  ...  un . Tìm lim Sn n  Bước 1. Biến đổi tổng giới hạn về biểu thức ba n  ba Sn   n i 1 f  a  i.  n  . Bước 2. Xây dựng hàm f  x  khả tích trong đoạn  a; b  b b Bước 3. Tính tích phân f  x  dx suy ra lim Sn   f  x  dx  a n  a 3.1.2. Một số ví dụ minh họa. Ví dụ 3.1.1. ([5]) 1 2 n Cho Sn  2  2  ...  2 . Tính lim Sn . n n n n  Giải 1 2 n 11 2 n 1 n i Biến đổi Sn  2  2  ...  2     ...     n n n nn n n  n i 1 n Xét hàm số f  x   x liên tục trên  0;1 nên khả tích trên  0;1 . 1 1 1 n i  1 n  i  x2 1 lim Sn  lim     lim   f      xdx   x  n n   i 1 n  x   n i 1  n  0 2 0 2 . 3.2. Bất đẳng thức tích phân. 3.2.1. Đánh giá theo hàm số và cận tích phân. a. Một số ví dụ minh họa. Ví dụ 3.2.1. ([4])  /2  dx  Chứng minh rằng:   5  3cos 3  . 16 0 x 10 Giải 19
1   Xét f  x  liên tục trên  0;  . Ta có 5  3cos3 x 2     0  cos x  1 x   0;   2   1 1 1    0  cos3 x  1 x  0;    3  , x  0;   2  8 5  3cos x 5  2  /2  /2  /2  1 dx 1     dx   3   dx  . 16 0 8 0 5  3cos x 0 5 10 3.2.2. Bất đẳng thức cổ điển tích phân và ứng dụng. a. Một số bất đẳng thức cổ điển tích phân.  Bất đẳng thức tích phân Cauchy – Schwarz. Cho hai hàm số f , g liên tục trên  a; b  . Khi đó ta có 2 b  b 2 b 2   f  x  g  x  dx    f  x  dx  g  x  dx a  a a  Bất đẳng thức Young. 1 1 Cho p, q  1 thỏa mãn   1 . Chứng minh rằng: p q a p bq ab   a, b  0 p q  Bất đẳng thức tích phân Holder. 1 1 Cho p, q  1 với   1 và f , g là 2 hàm liên tục trên  a; b  . p q Khi đó ta có: b 1/ p 1/ q b p  b q   f  x  g  x  dx    f  x  dx  .   g  x  dx  a a  a  20