BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
NGUYỄN ĐÌNH ĐỘ - C00806
NHỊ THỨC NEWTON
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
NGUYỄN ĐÌNH ĐỘ - C00806
NHỊ THỨC NEWTON
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: Phương pháp toán sơ cấp
MÃ SỐ: 8 46 01 13
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN CÔNG SỨ
Hà Nội - Năm 2018
1
PHẦN MỞ ĐẦU
Nhị thức Newton đã được đưa vào giảng dạy trong chương
trình phổ thông trung học từ rất lâu. Tuy nhiên do hạn chế về
thời lượng, khối lượng và cả nội dung kiến thức, nên nhị thức
Newton với học sinh phổ thông lâu nay đơn giản chỉ là cách xây
dựng công thức tổng quát từ các trường hợp cụ thể và rèn luyện
kỹ năng sử dụng các công thức đó trong việc giải các bài toán có
liên quan. Trong khi thực tế thì công thức nhị thức Newton là
đóng góp đáng kể của nhiều nhà toán học trước đó. Và sau cùng
là Newton vào kho tàng toán học của nhân loại cả về phương
diện lý thuyết lẫn thực tế tính toán, cả trong lĩnh vực toán học
sơ cấp lẫn toán cao cấp.
Cũng đã có một vài luận văn thạc sĩ đề cập đến lĩnh vực này,
nhưng chỉ dừng lại ở các phương pháp xây dựng công thức nhị
thức với số mũ nguyên. và vận dụng nó vào việc giải bài toán sơ
cấp trong chương trình trung học phổ thông.
Luận văn này ngoài việc trình bày phương pháp xây dựng
chứng minh công thức theo trình tự lịch sử, thì mục đích chính
của luận văn là việc mở rộng, chứng minh sự đúng đắn của công
thức nhị thức Newton với số mũ bất kỳ thông qua khai triển về
chuỗi, sự hội tụ của chuỗi lũy thừa. Ngoài việc mở rộng công thức
nhị thức Newton, tác giả cũng đề cập đến ý nghĩa toán học to
lớn của công thức trong lĩnh vực tính toán các giá trị của hàm
số siêu việt,hàm số lượng giác (sin x, cos x).
2
Các vấn đề trên được trình bày đầy đủ và hệ thống trong
Chương 1 và Chương 2 của luận văn từ trang 05 đến trang 49.
Chương 3 của luận văn dành riêng để giới thiệu ứng dụng khai
triển công thức nhị thức Newton trong việc giải một số bài toán
sơ cấp nâng cao có liên quan đến việc tính tổng các biểu thức tổ
hợp, đến việc xét tính chia hết, việc tìm số dư trong phép chia
các số lớn. Những bài toán này cũng thường gặp trong các lĩnh
vực khác của khoa học toán ứng dụng. Đặc biệt là các mã đại số
và mật mã trong lý thuyết mã.
3
Chương 1
KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1 VÀI NÉT LỊCH SỬ VỀ XÂY DỰNG CÔNG THỨC
NHỊ THỨC NEWTON
1.1.1 Vài nét lịch sử
Cần phải nói rằng trước Newton rất lâu rất nhiều các nhà
toán học đã quan tâm đến việc nâng một nhị thức lên lũy thừa.
Vào 1303 trong bài viết của nhà toán học Trung Quốc (Chu Sinh)
người ta đã gặp bảng sau:
Cứ theo các số trên thì ta thấy đó là bảng các hệ số của khai
triển nhị thức cấp từ 0 đến 8, mặc dù nhà toán học này không
nói gì cho hệ số tiếp theo, nhưng theo cùng cách lập bảng của
ông thì dễ dàng lập được hàng tiếp theo. Tính quy luật ở đây là:
Tổng hai số cách nhau trong cùng một hàng bằng số đứng giữa
chúng ở hàng dưới.