BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
____________________
NGUYỄN MINH HOÀNG
ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG CÁC
BÀI TOÁN SƠ CẤP
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng – Năm 2016
Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hoàng Trí
Phản biện 1: TS. Nguyên Duy Thái Sơn Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến
Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016.
Có thể tìm hiểu luận văn tại :
Trung tâm Thông tin- Học liệu, Đại học Đà Nẵng
Thư viện trường Đại học Sư phạm , Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong các ngành của toán học thì số phức xuất hiện khá muộn kể từ thế kỷ XVI
khi các nhà toán học nghiên cứu về các phương trình đại số. Mặc dù sinh sau nhưng
số phức có rất nhiều đóng góp trong các ngành toán học như đại số, giải tích , lượng
giác, hình học…
Ở trường phổ thông thì học sinh chỉ được tiếp xúc với số phức khi học đến lớp
12. Số phức là một nội dung khá mới mẻ, thời lượng không nhiều, học sinh chỉ mới
biết được những kiến thức cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số
phức còn khá hạn chế, đặc biệt là khai thác số phức để giải quyết các bài toán sơ cấp
khó.
Nhằm mục đích đào sâu tìm hiểu về số phức, các ứng dụng của số phức trong
việc giải các bài toán sơ cấp và đáp ứng mong muốn của bản thân về một đề tài phù
hợp mà sau này có thể phục vụ cho việc giảng dạy của mình ở trường trung học phổ
thông nên tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng số phức trong các bài
toán sơ cấp”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nhằm nghiên cứu các ứng dụng của số phức trong việc giải một số dạng toán
thường gặp trong các đề thi cao đẳng, đại học cũng như thi học sinh giỏi. Phân tích
cách giải có sử dụng số phức và so sánh với những cách giải không sử dụng số phức
để rút ra ưu, nhược điểm trong từng cách giải.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu: Các ứng dụng của số phức trong các bài toán sơ cấp
phổ thông : đại số, giải tích, lượng giác, hình học.
3.2. Phạm vi nghiên cứu: Từ các nguồn tài liệu, giáo trình của các thầy, cô có
nhiều kinh nghiệm trên cùng lĩnh vực, các tài liệu trên mạng và các tài liệu ôn thi cao
đẳng, đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi, các tạp chí toán học…
2
4. Phương pháp nghiên cứu
- Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo và các tài liệu trên
internet có liên quan đến đề tài của luận văn) để thu thập thông tin và tập hợp các bài
toán phục vụ cho yêu cầu của đề tài.
- Trao đổi, thảo luận với Thầy hướng dẫn khoa học.
5. Ý nghĩa khoa học
Xây dựng được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi
toán ở bậc trung học phổ thông. Góp phần thiết thực cho việc dạy và học toán ở nhà
trường, đem lại niềm say mê, hứng thú, sáng tạo cho giáo viên và học sinh.
6. Cấu trúc luận văn
Dự kiến cấu trúc của luận văn gồm:
Chương 1: Số phức và các khái niệm cơ bản
Chương 2: Ứng dụng của số phức trong lượng giác, đại số
Chương 3: Ứng dụng của số phức trong hình học
Mặc dù đã cố gắng để hoàn thành luận văn. Tuy nhiên do thời gian và trình độ có
hạn, chắc chắn luận văn sẽ không thể tránh khỏi các thiếu sót, tác giả rất mong nhận
được sự chỉ bảo tận tình của các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân
thành cảm ơn!
3
CHƯƠNG 1
SỐ PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
Tương truyền vào những năm đầu thế kỉ XVI, có lẽ trên thế giới chưa ai biết cách
3
x
p
x
giải phương trình bậc 3. Có nguồn tin nói rằng một giáo sư toán trường ĐH Bologne
, q
(Ý) tên là Scipione del Ferro ( 1465-1526) đã biết cách giải phương trình
nhưng ông không hề công bố, người ra nghĩ rằng cách giải của ông chưa hoàn chỉnh.
Mãi đến khi ông sắp qua đời, ông mới truyền lại cách giải (chưa hoàn chỉnh) cho học
trò ông là một nhà toán học ít tên tuổi là Antonio Mario Fior.
Nhưng dù có nguồn tin như vậy, Tartaglia vẫn tìm ra cách giải một độc lập.
Nhưng Fior không tin, tìm cách giảm uy tín của Tartaglia bèn thách thức Tartaglia giả
30 phương trình bậc 3 trong 2h. Ngược lại , Fior cũng nhận thách thức sẽ giải 30
phương trình bậc 3 do Tartaglia đặt ra.
Thời bấy giờ, việc giải các phương trình bậc 3 nói trên đều được làm một cách
mò mẫm. Trong đêm 12 sáng ngày 13 tháng hai năm 1535 là hạn cuối cùng cuộc thi
giữa Tartaglia và Fior thì Tartaglia đã tìm ra cách giải tổng quát 30 phương trình mà
Fior đã ra cho ông trong khi đó thì Fior đang bí và chỉ giải được một phương trình mà
thôi vì vậy chi sau vài giờ là Tartaglia đã giải xong toàn bộ để lãnh thưởng là 30 bữa
tiệc liên tiếp. Ông giữ kín phương pháp giải, hy vọng còn dự thi lần nữa để lấy
thưởng.
Cardano (1501-1576) lúc này cũng chưa tìm ra cách giải phương trình bậc 3
trong trường hợp tổng quát. Khi nghe tin Tartaglia thắng Fior , Cardano muốn gặp
ngay Tartaglia. Tháng 3 năm 1539 nhân gặp Tartaglia ở Milan, Cardano bèn chớp cơ
hội nhơ Tartaglia bày cho mình cách giải tổng quát phương trình bậc 3. Cardano phải
thề thốt rằng sẽ không bao giờ truyền cho ai “bí mật” này hoặc công bố trên sách, báo
chí. Nhưng sau đó nghe loáng thoáng rằng giáo sư Scipione del Ferro đã tìm ra cách
giải trước Tartaglia nên Cardano đã không giữ lời hứa với Tartaglia bèn cho công bố
trong tác phẩm của ông là Ars magna vào năm 1545.
4
Tartaglia vô cùng tức giận, bèn quyết tâm vạch mặt Cardano trong quyển sách
của mình nhan đề “New Problems and inventions”. Từ đó xảy ra cuộc cải vã giữa hai
người này, và cuộc cải vã này sẽ không có hồi kết thúc nếu như không có sự xuất
hiện công trình nghiên cứu của Bombelli về số ảo. Vì khi đi giải phương trình bậc 3
cả Tartaglia và Cardano đều chưa biết số phức là gì cho nên nếu gặp phải căn bậc 2
của số âm thì cả hai đều cho là vô lý.
Nhân nói về Cardano thì ông là một nhà bác học người Ý. Ông sinh năm 1501,
đạt học vị tiến sĩ y khoa năm 1526, nhưng không được hành nghề y, mà trở thành
thầy giáo dạy toán. Ông có trên 200 công trình về các lĩnh vực Toán học, Y học, Triết
học, Thiên văn học, Âm nhạc và Thần học. Năm 1545 ông xuất bản quyển sách
“Nghệ thuật lớn giải các phương trình đại số”. Trong cuốn sách này ông trình bày
cách giải phương trình bậc 3, bậc 4 và đề cập tới căn bậc hai của số âm. Có thể nói sự
nghiên cứu số phức khởi nguồn từ công trình này.
Còn đối với R.Bombelli (1526-1573), người ta xem ông là một kỹ sư đồng thời là
nhà toán học, nhưng ít ai biết lai lịch của ông. Sự đóng góp của nhà khoa học người
Ý này chủ yếu là hệ thống hóa kiến thức về các phép tính số phức. Năm 1560
3
x
m
x
n
R.Bombelli viết tác phẩm Đại số trong đó có điều thú vị là ông xét phương trình bậc
và ông chỉ ra rằng phương trình trên có 3 nghiệm thực nếu
n m 2 3
3: là âm.
Trong trường hợp này công thức của Tartaglia-Cardano không dùng được vì trong
trường hợp này ta gặp phải căn bậc 2 của số âm, là một trở ngại vào thời đó chưa ai
3 x
15x
4
vượt qua nổi. Với sự sáng tạo của mình , Bombelli vẫn dùng công thức trên nhưng
, ông làm việc với
a b
1
tìm cách vượt qua trở ngại đó. Ví dụ với phương trình
như đối với số thực, ông nhận xét rằng 2 1
là căn bậc 3
4
121
các số có dạng
x là một nghiệm
3 x
15x
4
của 2 và công thức Cardano-Tartaglia đã cho ông kết quả
, còn các nghiệm khác có được là nhờ ba căn bậc 3 của
2
121
của phương trình
. Điều này đưa ông đến chỗ tìm được các qui tắc tính toán đối với số phức.
Đời sau đánh giá Bombelli là người có công đầu tiên trong việc tìm hiểu số phức.
5
Đến thế kỷ XVIII bản chất đại số và bản chất hình học của các đại lượng ảo
không được hình dung một cách rõ ràng mà còn đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử cũng
ghi lại rằng I.Newton đã không thừa nhận các đại lượng ảo và không xem các đại
lượng ảo thuộc vào các khái niệm số, còn G.Leibniz thì thốt lên rằng: “Các đại lượng
ảo- đó là nơi ẩn náy đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dường
như một giống lưỡng cư sống ở một chốn nào đấy giữa cái có thật và không có thật”.
Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K.Gauss( năm 1831) . Vào thế kỷ
XVII-XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của đại lượng
ảo (số phức!) và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng hạn L.Euler mở rộng khái
niệm logarit cho số phức bất kì (1738) , còn Moa-vrơ nghiên cứ và giải bài toán căn
bậc tự nhiên đối với số phức (1736).
Sự nghi ngờ đối với số ảo ( số phức) chỉ tiêu tan khi nhà toán học người Nauy là
C.Wessel đưa sự minh họa hình học về số phức và các phép toán trên chúng trong
công trình công bố năm 1799. Đôi khi phép biểu diễn minh họa số phức cũng được
gọi là “sơ đồ Argand” để ghi nhận công lao của nhà toán học Thụy Sỹ R.Argand-
người thu được kết quả như của Wessel một cách độc lập.
a b a R b R
,
Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực có
được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là W.Hamilton(1837).
thứ tự ( ; ),
Ở đây đơn vị “ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ tự - cặp (0;1) , tức là đơn
vị “ảo” được lí giả một cách hiện thực.
Cho đến thế kỷ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách vững
chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng minh
chính xác đầu tiên đối với Định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số
phức C mọi phương trình đa thức đều có nghiệm.
2
R
R R *
{( ,
x y
) |
1.2. ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC
} x y R ,
Xét tập
x 2 y
x 1 y 1
2
Hai phần tử (x1, y1) và (x2, y2) bằng nhau khi và chỉ khi :
6
(
),
z
(
)
2 R
z 1
x y ; 1 1
2
x y ; 2
2
z
(
x
,
y
)
Ta xây dựng các phép toán trên R2 như sau:
2
x 1
2
y 1
2
z z .
(
)
Phép cộng : 1 z
2
x x 1 2
y y x y , 1 2
1
2
x y 2 1
Phép nhân: 1
Định nghĩa 1.2.
x y
)
Tập R2 cùng với hai phép toán cộng và nhân được định nghĩa như trên gọi là tập
C là một số phức.
số phức C, phần tử ( ,
Kí hiệu C* để chỉ tập hợp C\{(0;0)}.
Định lý 1.2.2.
(C,+,.) là một trường ( nghĩa là trên C với các phép toán đã định nghĩa có các
tính chất tương tự trên R với các phép toán cộng nhân thông thường)
1.3. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
{0}
1.3.1. Xây dựng số i
f R : x
R x ( ; 0)
Xét tương ứng
x
y ( , 0)
(
x
y
x , 0); ( , 0)( , 0)
y
(
xy
, 0)
Dễ thấy f là ánh xạ và hơn nữa là một song ánh.
x
Ngoài ra ta cũng có: ( , 0)
x
i
(0,1)
i
(0,1)(0,1)
( 1, 0)
Vì là song ánh nên ta có thể đồng nhất ( , 0)
1
z
x y ( ,
)
x ( , 0)
(0,
y
)
x ( , 0)
y ( , 0)(0,1)
x
yi
Đặt thì 2
và
Từ đó ta có kết quả sau:
2
z
x y ( ,
)
R
Định lí 1.3.1.
có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
z
x
yi
, ,
x y R
1
trong đó 2
i .
yi
z
x y ( ;
)
Mỗi số phức
x
z Re( )
Biểu thức x được gọi là dạng đại số của số phức
y
z Im( )
Kí hiệu : gọi là phần thực của số phức z
gọi là phần ảo của số phức z
z
a
i 0
Chú ý
a
i 0
a R C
Số phức có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là
7
z
0
bi
bi b R
(
);
i
i 0 1
1 i
i 0 0
i 0
Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo ( còn gọi là số thuần ảo) :
z
a
bi a b R z
( ,
),
'
a
'
b i a b
' (
',
'
R
)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
gọi là bằng nhau nếu
a
a b ',
b
'
z
z
'
Hai số phức
. Khi đó ta viết
z
ax
bi a b R
( ,
)
1.3.2. Biểu diễn hình học của số phức
được biểu diễn bởi điểm M
Xét mặt phẳng Oxy . Mỗi số phức
z
ax
bi a b R
( ,
)
M a (
bi
)
. Ta còn viết
có tọa độ (a;b). Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức
( )M z .
hay
Vì thế mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức còn gọi là mặt phẳng phức.
Gốc tọa độ O biểu diễn số 0.
Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực, nên gọi là trục thực.
Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn số ảo nên gọi là trục ảo.
1.3.3. Phép cộng và phép trừ số phức
a. Tổng của hai số phức
z
a
bi a b R z
( ,
),
'
a
'
b i a b
' (
',
'
R
)
Định nghĩa 1.3.3.
là số phức
z
z
'
a
a
'
(
b b i ')
Tổng của hai số phức
Tinh chất của phép cộng số phức:
(
z
z
')
z
''
z
z ( '
z
"),
z z ,
z ', "
C
Tính chất kết hợp:
z
z
'
'
z
z
,
z z C , '
Tính chất giao hoán:
z
0
0
z
z
,
z C
z
a
bi a b R
( ,
)
Cộng với 0:
, nếu kí hiệu số phức a bi
z
(
z
)
z
z
)
(
0
Với mỗi số phức là z thì ta có:
z được gọi là số đối của số phức z.
Số
8
b. Phép trừ hai số phức
z
z
'
z
(
z
')
z
a
bi a b R z
( ,
),
'
a
'
b i a b
' (
',
'
R
Hiệu của hai số phức z và z’ là tổng của z với –z’ tức là:
thì: )
z
z
'
a a
'
(
b b i ')
Nếu
a
bi
Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ
a
bi
. Ta cũng coi mỗi vecto u
Trong mặt phẳng phức , ta coi điểm M có tọa độ (a;b) biểu diễn số phức z
Khi đó, nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa là vecto OM
có tọa độ (a;b) biểu diễn số phức z
biểu diễn số
u u ' ,
phức đó.
z z thì ' ,
z
z
'
theo thứ tự biểu diễn các số phức
biểu diễn số phức
z
z
'
Dễ thấy rằng, nếu u u ' u u ' biểu diễn số phức .
1.3.4. Phép nhân số phức
z
a
bi a b R z
( ,
),
'
a
'
b i a b
' (
',
'
R
)
a. Tích của hai số phức
. Thực hiện phép nhân một
a
'
b i '
1
Cho hai số phức
i , ta được
2
(
a
bi a )(
'
b i ' )
aa '
bb i '
(
ab
"
a b i ' )
aa '
bb
'
(
ab
'
a b i ' )
cách hình thức biểu thức a bi với biểu thức rồi thay 2
z
a
bi a b R z
( ,
),
'
a
'
b i a b
' (
',
'
R
)
Định nghĩa 1.3.4
là số phức
z z '
aa '
bb
'
(
ab
'
a b i ' )
Tích của hai số phức
a
bi a b R
( ,
Nhận xét 1.3.4.
thì: )
k a (
bi
)
(
k
i a 0 )(
bi
)
k
a
kbi
0,
Với mọi số thực k và mọi số phức
z C
Đặc biệt : 0z
b. Tính chất của phép nhân số phức
z z '
z z '
,
z z C , '
Tính chất giao hoán:
9
z ( z ') ''
z
z z z ( ' "),
z z ,
z ', "
C
Tính chất kết hợp:
1.
z
z .1
z
,
z C
Nhân với 1:
z z ( '
z
")
z z'
z z ",
z z ,
z ', "
C
Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
1.3.5. Số phức liên hợp và môđun của số phức
a. Số phức liên hợp
a bi
z
a
bi a b R
( ,
Định nghĩa
là z )
Số phức liên hợp của số phức
Nhận xét
z
z
Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng với
nhau qua trục thực Ox.
z
z
,
Định lý
z R
1.
.z z R
z
z
2.
2
z 1
2
,
C
3. 1 z
z z 1 2
z z , 1
2
1
1
z
z ( )
,
4. 1 2 z z
z C
,
C
5.
z z , 1
2
z 1 z
z 1 z
2
2
z
z
z
z
z , Im( )
6.
2
2 i
7. Re( ) z
b. Môđun của số phức
2
2
z
a
bi a b R
( ,
)
a
b
Định nghĩa
là số thực không âm
Môđun của số phức và được kí
|z
hiệu là |
10
Định lý
|
z
| Re( ) z
|
z
|
|
z
|
z Im( )
|
z
|
Cho số phức z thì
1. và
z | 0
z
| z |
|
|
z
|
2. |
|
| |
||
z
|
3. |
z z . 1
2
z 1
2
|
|
|
z
| |
z
| |
|
|
z
|
4.
z 1
2
z 1
2
z 1
2
1
1
|
z
| |
z
|
5.
z ,
6.
0
2
z 1 z
| |
z 1 z
| |
2
2
7.
1.3.6. Phép chia cho số phức khác 0
z
z
Định nghĩa 1.3.6.
1 2 z |
|
Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là 1 .
'z z
'
1
z z '.
Thương của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số
z z
phức nghịch đảo của z, tức là
1.3.7. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
a. Căn bậc hai của số phức
a
bi a b R
( ,
)
z
x
yi x y R
( ,
)
Định nghĩa
. Mỗi số phức
gọi là một căn bậc
Cho số phức w
2
2
a
z
2 w
x y 2x
y
b
hai của w khi và chỉ khi :
2
Az
B z
C
0(
A
0)
b. Phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai có dạng: . Trong đó A, B, C là các số
phức
Cách giải:
0 thì phương trình có nghiệm kép
Nếu
11
z
z 1
2
B 2A
0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
,
z
z 1
2
B 2A
B 2A
Nếu
trong đó là một căn bậc hai của
1.4. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
z 0
1.4.1. Acgumen của số phức
0
Định nghĩa 1.4.1.
z . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Số
Cho số phức
đo (rađian) của một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đươc gọi là một acgumen
của z.
2 , k
k
Nhận xét 1.4.1.
Z
0
Nếu là một agumen của z thì mọi acgumen của z có dạng
z là l là số thực dương) có acgumen sai khác 2k ,vì
Hai số phức z và lz ( với
các điểm biểu diễn của chúng cùng thuộc một tia gốc O.
z
a
bi
0( ,
a b R
1.4.2. Dạng lượng giác của số phức
)
Xét số phức
a
rc
os ,
r b
sin
Kí hiệu r là môđun của z và là một acgumen của z thì dễ thấy:
. Từ đây ta có
0
z
r c ( os
i sin )
Định nghĩa 1.4.2.
r được gọi dạng lượng giác của số phức
z 0
Dạng trong đó
1.4.3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
z
r c ( os
i sin )
Định lí 1.4.3.
z
'
r c '( os '
i sin ') (r,r'
0)
r r '[ os(
c ')
i sin(
')]
Nếu
c [ os(
')
i sin(
')]
thì z ' z
r ) 0
z z
'
r r
'
( khi
12
1.4.4. Công thức Moa-vrơ
n
r c
n i sin )]
r
(cos
n
i sin
) n
Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ dàng
n
c
i sin )
cos
n
i sin
suy ra rằng với mọi số nguyên dương n[ ( os
1r thì: ( os
Đặc biệt: khi n
1.4.5. Căn bậc n của số phức dưới dạng lượng giác
Định nghĩa 1.4.5.
wnz
Ta gọi số phức z là căn bậc n của số phức w nếu
n ) 1
( n là số nguyên cho trước,
R c
( os
i
sin ),
R
0
Định lí 1.4.5.
. Khi đó căn
n
z
R
[(cos(
)]
i
sin(
k
0,1,...,
n
Khi w 0 , ta viết w dưới dạng lượng giác w
ta 1
k ) n
2 n
k n
2 n
bậc n của w là số phức . Lấy
được n căn bậc n phân biệt của w.
13
CHƯƠNG 2
ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG
ĐẠI SỐ, LƯỢNG GIÁC
2.1. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC
Trong phần này ta xét các bài toán lượng giác hay gặp như tính giá trị lượng giác
của một biểu thức, chứng minh đẳng thức lượng giác, giải phương trình lượng giác,...
Đôi khi có những bài toán khá khó khăn để giải thuần túy bằng lượng giác. Việc áp
dụng các kiến thức về số phức, công thức Moa-vrơ, khai triển nhị thức Newton sẽ
giúp ta giải quyết các bài toán nhẹ nhàng, tự nhiên hơn.
A
sin
Bài toán 2.1.1.
2 5
Tính giá trị biểu thức : ?
B c
os
c
os
c os
Bài toán 2.1.2.
7
2 7
3 7
Tính giá trị biểu thức ( IMO lần 5)
C c
os
c
os
c os
c os
c
os
?
Bài toán 2.1.3.
11
3 11
5 11
7 11
9 11
Tính giá trị biểu thức:
Bài toán 2.1.4.
D c
os
c
os
c os
...
c os
3
2 3
3 3
2016 3
Tính giá trị biểu thức:
n
Z*,
a
2
k k ,
Bài toán 2.1.5.
: Z
E c
osx
c
os(
x
a
)
c
os(
x
2a)
...
c
os(
x
na
) ?
Tính giá trị biểu thức với
F c
os
c . os
c . os
Bài toán 2.1.6.
9
2 9
4 9
Tính tích
14
x y z R , ,
, sin
x
sin
y
sin
z
0, cos
x
cos
y
cos
z
Bài toán 2.1.7.
. 0
sin 2x sin 2
y
sin 2z
0 và cos 2
x
cos 2
y
cos 2
z
0
Cho Chứng minh:
2
2
2
c os
c os
c
os
Bài toán 2.1.8.
18
5 18
7 18
3 2
Chứng minh
3
3
c
os3x
c 4 os
x
c 3 osx;sin 3x
3sin
x
4 sin
x
Bài toán 2.1.9.
Chứng minh:
Bài toán 2.1.10.
4
3
5
2
sin 5
x
5cos
x
sin
x
10 cos
x
sin
x
sin
x
4
5
4
2
cos 5
x
cos
x
10 cos
x
sin
x
x 5 cos . sin
x
Chứng minh
n
c
Bài toán 2.1.11.
nx theo các lũy thừa của osx;sin
x
Biểu diễn cos x;sin
Bài toán 2.1.12.
4
4
c os
x
c ( os4
x
4 cos 2
x
3), sin
x
(cos 4
x
2 cos 2
x
3)
1 8
1 8
5
5
c os
x
(cos 5
x
5cos 3
x
x 10 cos );sin
x
(sin 5
x
5sin 3
x
x 10 sin )
1 16
1 16
Chứng minh :
n
n
x
c
x
, sin
Bài toán 2.1.13.
x theo các hàm sin , cos
x
Biểu diễn os
x
cos 2
x
cos 3
x
Bài toán 2.1.14.
1
Giải phương trình : cos
2.2. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ
z
a bi z
,
'
a
'
b i '
2.2.1. Ứng dụng số phức giải hệ phương trình
a
'
z
a
z
'
bi
a
'
Xét hai số phức .
' b i
b
'
a b
Ta có : . Như vậy 2 số phức bằng nhau dẫn tới 1
hệ phương trình. Điều này giúp ta có ý tưởng ngược lại là sử dụng số phức để giải hệ
phương trình.
15
Cụ thể khi gặp các hệ có dạng đẳng cấp, đối xứng,... ta nhân hai vế của một
phương trình với ki và cộng với phương trình còn lại. Đưa về giải phương trình theo
2
2
2
2
z
(
x
yi
)
x
y
2xyi
3
3
3
2
2
z
(
x
yi
)
x
3xy
(3x
y
3 y i )
4
4
2
2
4
3
z
x
6x
y
y
(4x
y
3 y i 4x )
số phức. Khi biến đổi ta chú ý hay sử dụng các hằng đẳng thức số phức sau :
3
2
x
y 3x
0 (1)
Sau đây ta xét các bài toán minh họa cho cách làm trên
2
3
3x
y
y
1 (2)
3
2
x
y 3x
1 (1)
Bài toán 2.2.1. Giải hệ :
3
2
y
3x
y
3 (2)
4
2
2
4
x
6x
y
3 (1)
Bài toán 2.2.2. Giải hệ:
3 x y
3 y x
(2)
y 1 4
xy
2x 5
y
2
0 (1)
Bài toán 2.2.3. Giải hệ
2
2
x
y
10x
4
y
21 0 (2)
x
3 (1)
Bài toán 2.2.4. Giải hệ :
0 (2)
3x 2 x x 2 x
y 2 y y 3 2 y
y
3x (1
)
2
x
y
Bài toán 2.2.5. Giải hệ : (Tạp chí Kvant)
y 7 (1
)
4 2
x
y
1 1
3
2
2
2
x
xy
7x
7
y
5x 7 5
y
0
Bài toán 2.2.6. Giải hệ :
3
y
2 x y
7 5
x
5
y
0
Bài toán 2.2.7. Giải hệ :
16
x
|
z
| |
|
|
z
|
2.2.2. Ứng dụng số phức chứng minh bất đẳng thức
x 1
y i z ; 1
2
2
y i 2
z 1
2
z 1
2
(
t
0)
thì Xét hai số phức 1 z
x 2 y
2
tx 1 ty 1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
|
z
| |
|
|
z
|
z 1
2
z 1
2
2
2
(
x
)
(
y
)
x
y
x 1
2
y 1
2
2 x 1
2 y 1
2 2
2 2
2
2
x
)
(
y
)
x
y
2 (
)(
x
y
)
( x 1
2
y 1
2
2 x 1
2 y 1
2 2
2 2
2 x 1
2 y 1
2 2
2 2
(
)(
x
y
)
x x 1 2
y y 1
2
2 x 1
2 y 1
2 2
2 2
|
|
(
)(
x
y
)
Chứng minh:
x x 1 2
y y 1
2
x x 1 2
y y 1
2
2 x 1
2 y 1
2 2
2 2
0
Mà (Đúng theo BĐT Bunhiacopxki)
x x 1 2 x y 1
2
y y 1 2 x y 2 1
y
x
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
ky 2 1
0
k
0
kx 1 2 kx 1
2 ky 1
Đặt
Vậy BĐT cần chứng minh đúng
|
z
...
z
| |
|
|
z
|
...
|
z
|
z 1
2
n
z 1
2
n
(
k
0)
Mở rộng :
k x 1 1 k y 2 1
x i y i
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
( Dễ dàng chứng minh BĐT trên bằng qui nạp )
2
2
x
4x 7
x
4x 7
28(
Bài toán 2.2.8.
x R )
Chứng minh :
2
2
2
2
x
4
y
2x 1
x
4
y
6x 12
y
18
x R
5(
Bài toán 2.2.9.
)
Chứng minh :
2
2
2
2
2
2
x
xy
y
x
x
z
z
y
yz
z
Bài toán 2.2.10.
x y z R , ,
Chứng minh rằng:
x y z R , ,
Bài toán 2.2.11.
:
2
2
2
2
4 sin
x
sin
y
2 sin (
x
y
)
4 cos
x
cos
y
2 sin (
x
y
)
2
Chứng minh rằng
17
0
,
Bài toán 2.2.12.
a b c : ,
2
2
2
2
2
2
a
ab b
b
bc
c
c
ca a
3(
a b c
)
Chứng minh rằng
(Đại học quan hệ quốc tế năm 1997)
a b c , ,
0
Bài toán 2.2.13.
a
b c
1
2
2
2
a
b
c
82
Cho
1 2 a
1 2 b
1 2 c
Chứng minh
Dấu “=” xảy ra khi nào ?
18
CHƯƠNG 3
ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC
x
yi
3.1. KIẾN THỨC SỬ DỤNG
Ta biết rằng mỗi số phức z được biểu diễn bởi một điểm M(x;y) trong mặt
phẳng phức Oxy. Do đó cũng như phương pháp tọa độ, khi đồng nhất mỗi điểm trong
mặt phẳng phức bởi một số phức thì bài toán trong hình học trở thành bài toán với số
phức. Do đó ta có thể sử dụng số phức để giải các bài toán hình học.
3.1.1. Khoảng cách giữa hai điểm
|
z
|
Giả sử các số phức z1, z2 có biểu diễn hình học là các điểm M1, M2 khi đó khoảng
M M 1
2
2
z 1
cách giữa hai điểm M1 và M2 được cho bởi công thức
3.1.2. Điều kiện để điểm nằm giữa hai điểm
Cho A(a), B(b) là hai điểm phân biệt trong mặt phẳng phức. Khi đó điểm M(m)
m a m b ,
a m
|
|
m b
| |
a b
|
|
nằm giữa A và B nếu thỏa mãn hệ thức sau :
3.1.3. Chia đoạn thẳng theo một tỉ số
k R
Cho hai điểm A(a), B(b) phân biệt. Một điểm M(z) nằm trên đường thẳng AB
\ {1} MA k MB
a
z
k b (
z
)
z
a
b
a kb k 1
1
1
k
k
1
k
t
z
(1
t a )
tb
chia đoạn AB theo tỉ số khi hệ thức vecto sau thỏa mãn:
k 1 k
Nhận xét: Nếu đặt thì M, A, B thẳng hàng .
3.1.4. Góc định hướng, góc giữa hai đường thẳng
Một tam giác được định hướng nếu như các đỉnh của nó được chỉ rõ thứ tự. Tam
giác có hướng dương nếu hướng các đỉnh ngược chiều kim đồng hồ, hướng âm nếu
ngược chiều kim đồng hồ. Lấy M1(z1) và M2(z2) là hai điểm phân biệt khác gốc tọa
độ trong mặt phẳng phức Oxy. Góc M1OM2 được gọi là góc định hướng nếu các điểm
M1, M2 có thứ tự thuận chiều kim đồng hồ.
19
arg
2
z Khi đó 2 M OM 1 z 1
k
1, 2, 3, 4
arg
Cho bốn điểm Mk(zk), thì góc định hướng tạo bởi đường thẳng M1M3
z 4 z
3
z 2 z 1
với M2M4 bằng
3.1.5. Hai tam giác đồng dạng
c a b a
c b
' '
a a
' '
Hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng cùng hướng khi và chỉ khi :
c a b a
c b
' '
a a
' '
Và hai tam giác ABC, A’B’C’ đồng dạng ngược hướng khi và chỉ khi :
3.1.6. Tích vô hướng của hai số phức
Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M1(z1), M2(z2).Khi đó:
OM OM OM OM
.
. cos
1 2
2 a
)
(cos
osa
a
)
1 r r c . os( . 1 2
2
M OM 1 2 r r 1 2
a 1
a c 1
2
sin a sin 1
2
Nếu zk có môđun bằng rk và có argument bằng ak thì
(
)
R
z z ; 1
2
z z . 1
2
z z . 1
2
z z ; 1
2
z z ; 1
2
1 2
Nên tích vô hướng của hai số phức z1,z2 là :
z z ,
zz
|
z
2 |
, w
, w z
z w,
, w
z
, w>
2
z
z
1
2
k
k
z
1
, w>,
z
z
, w , k R
k R Tính chất 3.1.6. Nhận xét 3.1.6. AB C b a d D ; 0 c Re( ) 0 b a
c
d Nếu A(a), B(b), C(c), D(d) là bốn điểm phân biệt của mặt phẳng phức Oxy thì 20 3.1.7. Phép quay M M M M M M M M '; (
')
; Phép quay tâm M0(z0) góc quay là phép biến hình biến M(z) thành điểm M’(z’) 0 0 0 0
i z ' e ( z ) z
0 z
0 mà . Khi đó ta có công thức: 3.1.8. Định lí( điều kiện để 3 điểm thẳng hàng) 3 3
R Im( ) 0 z
z
z
z
2 z
1
z
1 2 z
1
z
1 Ba điểm M1(z1) , M2(z2), M3(z3) thẳng hàng khi và chỉ khi 3.1.9. Tam giác đều M M M M Cho 3 điểm M1(z1), M2(z2), M3(z3) là đỉnh của tam giác đều định hướng khi và 060 , 1 3 1 2 chỉ khi và góc định hướng quay M1M2 quanh M1 đến vị trí M1M3 là 0 0 w c os60 i sin 60 i z w( z z ) w( z ) nghĩa là 3 z
1 z
1 3 z
1 2 z
1 2 1
2 3
2 ; với 3.1.10. Phương trình đường thẳng z ) z ( z ) z ( ) 0
(
z
1 2 z
1 2 z z
1 2 z z
1 2
z
2
z
z
2
z z
z
1 2 z
z
1 2 Đường thẳng d đi qua M1(z1), M2(z2) trong mặt phẳng phức có phương trình là : 3.1.11. Đường tròn 2 4 k : R Bốn điểm phân biệt M1(z1), M2(z2),M3(z3), M4(z4) cùng nằm trên một đường
z
z
z
z z
3
z
1 2 z
3
z
1 4 thẳng hoặc đường tròn khi Số k được gọi là tỉ số kép của bốn điểm M1(z1), M2(z2),M3(z3), M4(z4) 3.1.12. Định lí Trong mặt phẳng phức cho tam giác ABC với các tọa vị a, b, c. Gọi G, H lần lượt g là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC với các tọa vị g, h tương ứng. Khi đó:
a b c
3 (i)
a b c (ii) Nếu tam giác ABC nội tiếp đường tròn đơn vị thì h 21 Bài toán 3.2.1. Cho tứ giác ABCD, trên các cạnh AB,BC, CD, DA ta lần lượt dựng về phía ngoài ; O O
1
3 O O O O O O
1
4 4 2 3 2 của tứ giác các hình vuông có tâm O1, O2, O3, O4. Chứng minh rằng Bài toán 3.2.2. Về phía ngoài của tam giác ABC, lần lượt dựng các tam giác ABR, BCP sao cho 0
45 0 30
PBC CAQ
BCP QCA
RAB
AB R 0
15 Q P
R
RQ RP : Chứng minh: 0
90 , (IMO 17th,1975) Bài toán 3.2.3. Dựng về phía ngoài tam giác ABC ba tam giác đều có hướng dương AC’B, BA’C, CB’A. Chứng minh rằng các trọng tâm của ba tam giác là đỉnh của một tam giác đều (Bài toán Napoleon) Bài toán 3.2.4. Cho lục giác đều ABCDEF, K là trung điểm của BD, M là trung điểm của EF. Chứng minh AMK là tam giác đều? AB C . D
A BC AC B D. . D Bài toán 3.2.5. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng : . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A, B, C, D theo thứ tự tạo thành 4 đỉnh của một tứ giác lồi nội tiếp đường tròn. (BĐT Ptolemy) Bài toán 3.2.6. Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC ta dựng các tam giác đồng dạng cùng hướng ADB, BEC, CFA. Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác DEF có cùng trọng tâm 22 Bài toán 3.2.7. S A S B
', ' Cho tam giác ABO đều với tâm S, tam giác đều khác A’B’O có cùng hướng với tam giác ABO và .Gọi M, N lần lượt là trung điểm A’B và AB’. Chứng minh rằng tam giác SB’M và SA’N đồng dạng (IMO 30th) Bài toán 3.2.8. BE D APC Trên các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC lấy các điểm E và D tương ứng sao A
DC E 1
A 2 .Chứng minh rằng, nếu P là giao điểm của BD, CE thì 090 cho Bài toán 3.2.9. AP MN AP MN
, Về phía ngoài tam giác ABC vẽ các tam giác cân MAB, NAC và PCB theo thứ tự nhận các điểm M, N,P làm đỉnh góc vuông. Chứng minh rằng: Bài toán 3.2.10. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB và DA BC CD, E và F là giao lần lượt của các đường thẳng AD và BC với MN. Chứng minh nếu thì EA M BFM Bài toán 3.2.11. Gọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AB và E là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng CD và OE vuông góc khi và chỉ khi AB AC Bài toán 3.2.12. Cho tam giác A1A2A3.Lấy các điểm B1, B2, B3 lần lượt trên các đường thẳng
A B
2
1
k B A A B
;
3
1
2 1 3
k B A A B
;
2
1
3 1 2
k B A
3
3
2 1 k k k . Chứng minh rằng A2A3, A3A1, A1A2 sao cho những đường thẳng A1B1, A2B2, A3B3 đồng quy tại 1 điểm khi và chỉ khi 1 2 3 (định lí CéVa) Bài toán 3.2.13. Cho tam giác A1A2A3.Lấy các điểm B1, B2, B3 lần lượt trên các đường thẳng
A B
2
1
k B A A B
;
3
1
2 1 3
k B A A B
;
2
1
3 1 2
k B A
3
3
2 k k k
1 . Chứng minh rằng A2A3, A3A1, A1A2 sao cho ba điểm B1, B2, B3 nằm trên cùng đường thẳng khi và chỉ khi 1 1 3 (Định lí Menelaus) 23 Bài toán 3.2.14. Cho đa giác đều A1A2A3...An nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Chứng minh 2 2 ( ... . ) 2
OM R
( )n MA MA MA MA
.
2
n 3 1 rằng với mọi điểm M thì: Bài toán 3.2.15. 2 MA MB MB MC MC MA t . . . Cho tam giác đều ABC cạnh t và một điểm M bất kì. Chứng minh rằng: Bài toán 3.2.16.
1 MB MC MC MA MA MB
.
.
.
CA CB
.
BC BA
.
AB AC
. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng : Dấu “=” xảy ra khi nào ? Bài toán 3.2.17. 2 2 2 2 2 2 MA MB MC GA GB GC Cho G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm bất kỳ. Chứng minh 2 2 2 MA MB MC . Từ đó xác định vị trí điểm M sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Bài toán 3.2.18. 2 2 AB BC 2
CA 29R Cho tam giác ABC có R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh rằng Bài toán 3.2.19. Gọi G, H , O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi A1, B1, C1 là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Gọi A2, B2, C2 là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C. Gọi A3, B3, C3 là trung điểm các đoạn thẳng AH, BH, CH. Chứng minh 9 điểm A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, C3 nằm trên cùng một (đường tròn euler) đường tròn ? Bài toán 3.2.20.
BH
3 D H AKC Cho tam giác ABC có trực tâm H và BD là đường cao. Gọi K là trung điểm của đường cao này. Chứng minh rằng 090 biết . 24 Qua luận văn này tác giả đã trình bày lịch sử phát triển của số phức và ứng dụng số phức như một cách khác để giải các bài toán sơ cấp. Cụ thể như sau: Sử dụng số phức để giải các bài toán lượng giác, đại số. Sử dụng số phức để giải các bài toán hình học sơ cấp. Hi vọng rằng công cụ số phức sẽ đem đến những điều thú vị, mới mẻ cho các em học sinh khá, giỏi cũng như bồi dưỡng năng lực giải toán của các em. Luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy (cô) và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện tốt hơn.3.2. BÀI TẬP
KẾT LUẬN
