Tổng hợp bài tập Phương pháp toán lí: Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:120

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn sách "Bài tập Phương pháp toán lí" Phần 2 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: phương trình Parabolic; phương trình Hypecbolic; phương trình Eliptics. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tổng hợp bài tập Phương pháp toán lí: Phần 2

CHƯƠNG 5 PHƯƠNG TR ÌN H H Y P E C B O LIC 5.1. Phương trình sóng một chiểu 5.1.2. Các kiến thứ c c ơ bản a. P hân loại các phương trình vi phân đạo hàm riêng h ạ n g hai Phương trình đ ạ o hàm riê n g g ọ i là tu yến tính n ếu n ó là b ậ c n hất đ ố i với hàm chư a b iế t v à đ ạo h à m riê n g c ủ a nó. Đ ể đơn g iản ta x é t v iệ c phân lo ạ i c á c phươ ng trình đ ạo h à m riê n g tuyến tính c ấ p hai với hai b iế n s ố đ ộ c lậ p . T rư ờ n g hợp n h iều b iế n s ố đ ộ c lậ p c ũ n g được phản loại tương tự. D ạng tổng quát của phương trình như vậy là: A^ + 2B ^ +C ^ + D ^ + E ^ + F .U = G ( x ,y ), (5.1) ổx dx.ôy õy ôx dy tro n g đ ó h àm chưa b iế t u p h ụ th u ộ c hai b iế n s ố đ ộ c lập X, y: u = u (x ,y ), các hệ số A, B, c , D, E, F là những hàm của X, y. Khi G = 0, ta có phương trình (5.1) là phương trình tu yế n tính thuần nhất. 1) Nếu B2 —A C < ũ trong m ột m iền nào đó, thì phương trình (5.1) có thê viết được dưới d ạn g : u â a + u p p + D i u ’ + E l u p + F 1U = G 1 • a (5.2) Phương trình (5.2) được gọi là phương trình loại eliptic. D ạng đơn g ià n nhất c ủ a phương trình e lip tic là phương trình la p la c e : u”x + u ’ y = 0 . (5.3) 2) Nếu B2- A C > 0 trong m ột m iền nào đó thì phương trình (5-1) có thé viết được dưới dạng: u â a - U p p + D 2 u' „ + E 2 UÍ3 + F 2 u = G 2 . (5. 4) Phương trình (5.4) là dạng chính tắc thứ hai cùa phương trình loai hipebolic. Dạng đơn gián nhất cùa phương trình hipcbolic là phương trình đao đỏna cua dây: u â - a 2u ;x = -g (x ,t). (5.5) 114
3) N ếu B: - A C = 0 tro n g m ộ t m iề n n à o đó th ì p h ư ơ n g trìn h (5 .1 ) c ó th ể viết được dưới dạng: u' n + D ju ’ + E3u'n + F3u = G3 . e (5.6) Phư ơng trìn h n à y gọi là phương trìn h loại p a rab o lic . D ạ n g đơ n g iản n h ấ t là phương trìn h tru y ền nhiệt: u; - a 2u ”x = — g ( x ,t ) . (5 .7 ) cp Các phươ ng trìn h (5 .2 ), (5.4) và (5.6) đ ề u có vò sô' n g h iệ m vì v ậ y c ần p h á i có thêm cấc điều k iện phụ đ ể xác đ ịn h n g h iệm vật lí c ủ a ch ú n g . 1) Đ iều k iện b a n đ ầ u c h o b iế t trạn g th ái lúc t = 0. 2) Đ iểu kiện biên c h o b iế t q u á trìn h x ả y ra ờ b iê n c ủ a k h o ả n g k h ô n g gian. + Bài to án tìm n g h iệ m c ù a phư ơ ng trìn h th o ả m ã n các đ iều k iệ n b a n đ ầ u và điều kiện biên gọi là bài to án h ỗ n hợp. + N ế u q u á tr ìn h x ả y r a trê n c ả k h o ả n g v ô h ạ n -00 < X < +00 th ì c h ỉ c ó điều kiện ban đầu. Bài to án tìm n g h iệ m của phư ơ ng trìn h th o ả m ãn đ iều kiện b a n đẩu gọi là bài to án C auchy. + Phương trìn h (5.3) k h ô n g ch ứ a thời gian, x u ấ t h iện khi n a h iè n cứ u các q u á ữình dim s. Đ e xác đ ịn h n s h iệ m ta chỉ cần các đ iều k iện b iên , vì vậy, b ài to án này được gọi là bài toán biên. b. P hư ơ ng trình dao độn g m ộ t chiều X ét sợi đ à n hồi d a o đ ộ n g n a a n g tro n g đ iều kiện d â y c ã n s . Đ ặ t hệ trụ c tọ a độ sao cho ò trạng thái càn bằng sợi dày nằm dọc theo trục X. Gọi u(x,t) là li độ cùa đièm X ờ thời đ iểm t. Phương trình tìm u (x ,t) c ò n gọi là p h ư ơ n s trìn h d a o đ ộ n a có d ạ n a u ’ ( x . t ) - a : u "x (x . t ) = - g ( x . t) (5.8) a ch ín h là vận tốc tru y ền sóng. P hư one trìn h d a o đ ộ n s c ủ a d ã y (5.8) là m ộ t p h ư ơ n s trin h vi phàn đạo hàm rièna h ạ n a hai c ó h ệ sô là h ằ n s số d ạ n s h y p ecb o lic. b. B à i toán C a u ch y th u ầ n n h ấ t m ộ t chiểu * Bùi toán: T im n e h iệ m phươ ng trình u" ( x . t ) - a ~ u " x ( x .t ) = 0 -oc < X < 00, t > 0 (5.9) 115
thỏa m ãn điều kiện ban đầu u ( x ,0 ) = f(x), (5.10) u't (x,0) = F (x ). (5.11) Bài toán chính là xác đinh dao động của sợi dày vô hạn với trạng thái ban đầu là f(x) và vận tốc ban đầu F(x) sau đó sợi dây tự nó chuyển động. H àm f(x) và F(x) phải được xác đinh trên toàn bộ trục X. * Giãi bài toán Cauchy M uốn tìm nghiệm của phương trình có thể sử dụng phương pháp D ’Alembert bằng cách đổi biến số. Đặt: 4 = X + at và r| = X - at, rồi thay vào phương trình (5.9) để giải được: u(x, t) = (p(x + at) + V|/(x - at) (5.12) trong đó cp , V là các hàm tuỳ ý, khả vi liên tục hai lần để cho phép đổi biến số trên j/ là đúng. Nghiệm (5.12) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (5.9). Sử dụng điểu kiện ban đầu ta sẽ thu được nghiệm D ’A lem bert của bài toán Cauchy đối với phương trình hypecbolic m ột chiều: . - x + at u(x, t) = J {f(x - at) + f (x + at)} + y - jF(4)d4 . (5.13) x -at c. B ài toán hỗn hợp 1 chiểu Phương trình hypecbolic được phân loại theo dạng của điểu kiện biên. * Các loại điêu kiện biên Xét m ột vật thể có chều dài L dao động thỏa m ãn phương trình hypecbolic u ; - a 2u ' x = 0 0 < x < L , t> 0 (5.14) được đặt trong hệ trục tọa độ sao cho lúc cân bằng nó nằm trùng với Ox trong đoạn từ 0 — L. Ta xét điều kiện biên tại X = 0 (và tương tự suy ra tại X = L). » Trường hợp 1: Ta xét là m ột sợi dây dao động ngang, đầu m út tại X = 0 được gắn chặt, điều này tương ứng với điểu kiện biên m à ta buộc dao động cùa dây phải thòa mãn: u |v = u ( 0 ,t ) = 0. (5.15) 116
Còn nếu đầu mút X = 0 chuyển động tuân theo một quy luật h,(t) nào đó thì ta có: uịx = 0 = u ( 0 , t ) = h,(t). (5.16) Trường hợp 2: Khi vật ta xét là m ộ t lò xo dao đ ộ n g dọc, đ ầ u m ú t tại X = 0 được đ ể tự do, tức là lực c ă n g ở đ ầ u m ú t X = 0 là b ằ n g k h ô n g , đ iề u n à y tư ơ n g ứ n g v ớ i đ iề u k iệ n : u ’ |x = 0 = u ' ( 0 , t ) = 0 . (5 .1 7 ) C òn n ế u đ ầ u X = 0 c h ịu t á c d ụ n g c ủ a lự c c h o trư ó c , ta lạ i c ó : u'x|x=0= u 'x(0,t) = f(t). (5.18) Trường họp 3: Có m ộ t loại đ iều k iệ n b iê n k h á c là điều k iện b u ộ c đ à n hồ i. K hi đ ầ u m ú t tại X = 0 c ó đ iề u k iệ n b u ộ c đ à n h ồ i, tức là đ ầ u X = 0 c ó th ể d ịc h c h u y ể n nh ư n g lự c đ à n hồi ờ đó sinh ra m ộ t lực càn g k é o đ ầ u n à y trở về vị trí cân b ằ n g và c ó đ ộ lớn ti lệ với độ dịch c h u y ển u(0, t) (tuân th eo đ ịn h lu ậ t H o o k ). Đ iề u n à y tư ơ ng ứng với điều kiện: u'x|x=0 = p u ( 0 ,t ) = h.u(0,t). (5.19) N ếu đ iểm b u ộ c đ à n h ồ i có thể d ịch c h u y ển và đ ộ lệc h c ủ a n ó k hỏi vị trí cân bằng được m ô tả bờ i h à m v(t), ta lạ i có: u * L o = ^ - [ u ( 0 ,t) - v ( t) ] = h .[u ( 0 ,t) -v ( t) ] . ( 5 .2 0 ) chú ý rằng cũng điều kiện (5.20) áp d ụng cho đầu m ú t X = L sẽ là: u '* lx = L = “ - W L , t) - v (t)] = - h .[ u ( L , t ) - v ( t ) ] . (5 .2 1 ) N hư vậy m ộ t đ ầ u m ú t X = 0 có thê’ có b a d ạ n g đ iều k iệ n b iê n (5 .1 8 ), (5.19), (5.20) và c ũ n g tư ơ ng tự k h i x é t tại đ ầ u m ú t X = L. T ổ hợ p các d ạ n g đ iểu k iện biên tại hai đầu c h o ta c h ín lo ạ i b ài to án h ỗ n h ợ p k h á c nhau. d. T ín h du y n h ấ t của n g h iệm của bài toán h ỗ n hợp X ét phư ơ ng trình u„" - a 2u „ " = - g (x ,t) (5 .2 2 ) 117
với các điều kiện biên tuỳ ý: u|x=0 = h j (t) (la ); u |x = L = h 2(t) (2a); u'*lx=0 = f ' (t) (lb ); u'x |x=L= f 2 (t) (2b); (5.23) u 'x |x = 0 = h l H x = 0 ~ V l (t)] (lc); U ' x L - L = _ h 2 [U L . L " V 2 (t^ (2c) và các điều kiện ban đầu tuỳ ý: u |t= 0= f ( x ) , u ’ |t=ũ = F ( x ) , t (5.24) trong đó để tổng quất ta giả sử là tồn tại m ột trong các tổ hợp b ất kì (la),(2a); (laX (2b); (1 a),(2c); (lb ),(2 a ); (lb ),(2 b ); (lb ),(2 c ); (lc),(2 a); (lc ),(2 b ); (lc ), (2c); tức là xét đầy đủ các loại bài toán hỗn hợp giải được bằng phưcmg pháp tách biến. G iả sử rằng có tồn tại hai hàm Uj và u 2 thoả m ãn phương trình (5.22), điều kiện ban đầu (5.24) và tổ hợp bất kì điều kiện biên (5.23). Khi đó hiệu của chúng u = Uị - u 2 p h ải th o ả m ã n p h ư ơ ng trìn h th u ầ n n h ất u„" - a2u „ " = 0 (5.25) với điều kiện ban đầu: u | , . o = 0, u ,'|, =0 = 0 (5.26) và tổ hợp điều kiện biên: uU = ° ( 1 A >; uL l = 0 (2 A ); u ’ |x=0 = 0 (1 B ); x u 'x | x l ~ = 0 (2 B ); (5.27) u'x|x=0- h i u | x=u = 0 (1 C ); u'x |x=L + h , u |x= L = 0 ( 2 C ) ; Các bài toán này dễ dàng giải được và đều cho nghiệm u = 0, hay u, = u2. Chúng ta thấy rằng không thể tồn tại hơn m ột nghiệm của các bài toán như vậy. 5. 1.2. Một sô bài tập mẫu và nhũng luu ý a. M ột số lưu ý N goài phương pháp D ’A lem bert, các phương trình thuẩn nhất đẻu có thể giải bằng phương pháp Fourier hay phương pháp tách biến. V iệc giải phương trình hypecbolic không thuần nhất cũng phái phán chia bài toán thành chín loại như đối với phương trình thuần nhất. I 18
K h i k h a i triể n h à m s ố th à n h c h u ỗ i F o u rie r, c h ú n g ta c ầ n k iể m tra x e m h à m s ố đó c ó th ỏ a m ãn đ iều k iệ n khai triển. T rong n h iều trư ờ ng hợp, c h ú n g ta có thể k é o dài giải tíc h đ ể đượ c h à m s ố th ỏ a m ãn điều k iện k h a i triể n c h u ỗ i F o u rie r. H ai phư ơ ng p h á p c ơ b ả n sử d ụ n g đ ể g iải p h ư ơ n g trìn h vi p h ân tu y ến tín h không th u ần n h ấ t là phư ơ ng pháp biến th iê n h ằ n g số (p h ư ơ n g p h áp L a g ra n g ) và phương p h áp tìm n g h iệ m riên g củ a phươ ng trìn h vi p h â n k h ô n g th u ầ n n h ấ t được sử dụng để giải các phư ơ n g trìn h vật lí to án đ ề u c h o n h ữ n g k ế t q u ả tố t đẹp. C h ú n g tôi xin giới th iệ u hai phư ơ n g p h áp n à y q u a m ô h ìn h g iải b à i to án h ỗ n hợ p k h ô n g th u ần nhất 1 chiều, các b ài to án k h á c c ũ n g được suy ra tư ơ n g tự. V ề m ặt lí th u y ết, m ọi b ài to án tổ n g q u á t loại 1 (có đ iều k iện b iê n thuộc trường hợp 1) đ ề u c ó thể đư a về b ài to án c ơ b ả n có d ạ n g n h ư sau: * Bùi toán cơ bản loại 1: T im n g h iệm c ủ a phưcm g trìn h k h ô n g th u ần nhất u " - a 2u " x = - g ( x , t ) 0 < X < L , t > 0 thoả m ãn đ iều k iê n b iên : u =0, u , = 0, lx=0 lx=L và diều k iên b a n đầu: u| , = fix ), u', I , = F (x). ■ 11=0 ' ’ lt=o ' ' * Phương pháp 1: (phư ơ ng p h áp b iến th iên h ằ n g số). Đ ầu tiên ta giải phư ơ ng trìn h th u ần n h ấ t trước và có n g h iệ m (x em bài m ẫu 1 của dạng bài 2) Ă ^ í krcat . k n a tì . k n x 1 u = Z j Uk = A Ì a k C0S---------H bk s i n -------f.s in - k=l k=l I L L J L Đ ể giải phương trình thuần nhất chúng ta giả thiết ak và bfc là những hàm số. T ổng 00 kĩtx quát nhất thì a,. = ak(x, t), và b k = b k(x, t). N hư vây u = ^ w k ( x , t ) s i n —— được coi í k=i L là ngh iệm b ài to án và th ay vào để tìm w k. T uy n h iê n với việc g iải tổng quát nh ư vậy sẽ gặp n h iều k h ó k h ă n n ê n tro n g m ộ t số trư ờ ng h ọ p đơn g iản , người ta g iả ièu ! thiết rằng ak = a k(t), và b k = b k(t) và n g h iệ m u sẽ được tìm dưới dạng: 00 kĩix u ( x ,t ) = ^ T k (t)s in . (*) k=l L D ễ th ấy rằ n g u (x , t) th o ả m ãn các điều k iện biên. N ếu th ay th ế c huỗi (*) vào phương trìn h , ta có: 119
X X T k "(t) + T k ( t ) Ị s i n - ^ — = - g ( x , t) k=l V ấn đề cần chú ý là nếu g(x,t) không thể khai triển thành chuỗi thì bài toán cẩn phải giái theo hướng tổng quát hơn. T a giả sừ rằng đối với m ỗi t > 0, hàm - g (x , t) phân tích được thành chuỗi theo sin: K hi đó ta có đồng nhất thức X kĩtx I k=i ỉ L Từ đó ta rút ra ,2 2 2 Tk M + — ^ n - T k (t) = y k (t) (với k = 1 ,2 ,3 ,. ) Từ phương trình này cùng với hai điều kiện ban đầu từ đầu bài, chúng ta sê tìm được Tk(t). * Phương pháp 2: (tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất). Giả sử rằng nghiệm cùa bài toán có dạng tổng của hai hàm S(x,t) và V(x,t), trong đó S(x,t) tương ứng với phưong trình thuần nhất (dao động tự do) và V(x,t) tương ứng là nghiệm riêng của phương ữình không thuần nhất (dao động cưỡng bức). U (x,t) = S(x,t) + V (x,t). K hi đó đòi hòi V (x,t) và S(x,t) thòa mãn: s;-a X = o v ”- z ' K = - g ;(x .t) ' SU =0 (A ) và (B) - S|X = 0 _L 120
C húng ta phải sử d ụ n g phương pháp tìm nghiệm riên g cù a phươ ng trình vi phân tuyến tính hạng hai k h ô n g thuần nhất để giải (A ). Sau khi tìm được V (x, t), th ay vào (B) ta giải th eo phương p h áp tách biến (xem bài m ẫu 1 c ủ a d ạ n g b ài 2). b. M ộ t sô' bài tập m ẩ u * D ạng hùi 1: Bài to án C au ch y m ộ t chiều Bài m áu 1: C ho phươ ng trình u" ( x , t ) - 4 .u "x ( x , t) - 0 0 < X < L, t > 0 thỏa m ãn điều kiện b a n đầu 0 k h ix < -l u (x, 0) = f(x ) = • - X 2 - X khi _ 1 < X < 0 0 khi X > 0 u't (x ,0 ) = F (x ) = 0 . 1) V ẽ d ạn g sợi d â y tại c ác thời đ iểm t = 0(s), t = 0 ,5 (s), t = l(s). 2) X ác đ ịn h d a o đ ộ n g c ủ a c ác đ iểm X = 0 và X = 1 . Giải: N ghiệm phư ơ ng trìn h c ó dạng: u = — {f(x - a t) + f ( x + at)} = — {f(x - 2 t) + f ( x + 2 t ) } . 1) V ẽ đ ồ thị 121
2 / D ao động cùa điểm X = 0 được biểu diẻn bời hàm số: khi 0 < t < 0,5 u = i { f ( - 2 t ) + f(2t)} = Ị t - 2 t 2 2 [o khi t > 0,5 Dao động của í l i p m S n r r riií> điểm V X = t A\rnr' biểu diễn bời hàm số: — 1 được Ị-tiÁu 0 k h iO < t < 0 .5 u = i { f ( l - 2 t ) + f ( l + 2t)} = - 2 t 2 + 3 t - l khi 0 .5 < t 1 Bài mẫu 2: Cho phương trình u ' ( x , t ) - 4 . u ' x( x ,t ) = 0 0 < x < L , t > 0 thòa m ãn điều kiện ban đầu u(x, 0) = f(x) = 0 0 k h ix < 0 u't (x.O) = F (x) = - X - X' khi 0 < X < 1 0 khi X > 1 x á c đ ịn h d a o đ ộ n g c ủ a đ iể m X = 0 . Giải: N ghiệm phương trình có dạna: u ( x . t ) = 4 f F (4)dệ 4 ,x - 2,t Dao đ ộ n g c ủ a đ iể m X = 0 đ ư ợ c b iể u d iễ n b ở i h à m số : 8 tM Ị 2t .21 khi 0 < t < 0 ,5 u ( x .t) = 4 ÍF (4 )d 4 = 4 ị¥ (Ị)d í = ’ 3 J 4 -:, 4 0 r khi t > 0 .5 24 Nliư vậy là từ thời điểm t = 0. vị trí X = 0 đã bắt đẩu chuyển đòng lèn phía trẽn cùa trục Ox. Tới thời điểm t = 0.5(s) điếm này đạt tới li đõ cực đại và dừng lại ơ đó m à k hòna chuyến động nữa. Đ ói với các đicm khác ch ú n s ta cũng có kít quả tươns tự.
* DụiiíỊ bùi 2: Bài to án h ỗ n hợp th u án n h ấ t m ộ t c h iề u Bùi m ẫu ì : (P hư ơng trìn h th u ần nhất loại 1) X ác đ ịn h d a o đ ộ n g tự d o của sợi dây đ ồ n g n h ấ t có c h iề u d à i L , g ắ n c h ặt tại X , x (L -x ) s = 0 v à X = L, n ế u d ạ n g c ủ a sợi d â y b a n đ â u là c u n g p a r a b o l f ( x ) = -------------- v à v ậ n tốc ban đầu F (x ) = 0. + Bài to án c ó d ạ n g to án học: T ìm n g h iệm c ủ a phưcm g trìn h th u ần nhất u " - a 2u " x = 0 0 < X < L, t > 0 thoả m ãn điều kiện b iên: u lx=0 = 0, „ u|lx=I = 0, . 7 và điều kiên b a n đ ầ u u| „ = f ( x ) = -^ T —— , M = F (x ) = 0. Giải: (Phư ơng p h áp tác h b iến ) G iả sử n g h iệ m riên g củ a bài to án chi th ỏ a m ãn phương trình và các đ iều k iệ n biên có thể viết dướ i d ạ n g tíc h c ủ a m ộ t h à m chi phụ thuộc X với m ột hàm c h ỉ p h ụ th u ộ c t: u(x, t) = X (x ).T (t). Ta có U„” = X .T ” ; u „ " = X ” .T. „ ___ T"(t) 2 X "(x) In a y vào phươ ng trìn h , ta thấy: — -— = a ----- — . T (t) X (x ) Bời vì v ế trái củ a đ ẳ n g thức n à y k h ô n g phụ thuộc vào X, c ò n v ế phải k hông phụ thuộc vào t. D o đ ó cả T "/T lẫ n X "/X k h ô n g phụ th u ộ c vào X và t, n g h ĩa là 1 T"(t) X "(x) = = c = const, a 2 T ( t) X (x ) ÍX ”- C X = 0 (I) ^ | T " ( t ) - a 2C T = 0 (II) Các n g h iệm riên g cần phải tìm thoả m ãn c ác đ iều k iện b iên , nên với m ọi t ta có: i|x=0 = X (0 ).T (t), u |x=L = X (L ).T (t). 123
Đ ế tìm nghiệm không đổng nhất bằng không, ta phải có: X (0) = 0 và X (L) = 0. Trường hợp 1: c = X1 > 0, nghiệm tổng quát cùa (I) là: X (x) = C ,eX + x trong đó Cj, C, là những hằng sô' tùy ý. í c , + c 2 =0 Từ các điều kiên biên ta có: ■ ! „ [c,e + C2e =0 N ghiệm của hệ này là c , = C, = 0. =s> T rong trường hợp này bài toán chi có nghiệm X = u = 0. Trường họp 2: c = 0, phương trình (I) có nghiệm tổng quát là: X(x) = C[ + c ,x . - . . . fc,=0 Từ các điểu kiên biên ta có: { Ị C ,+ C ,L = 0 do đó c , = C, = 0 => X = u = 0. Trường hợp 3: c = -X 2 < 0, nghiệm tổng quát của (I) là: X (x) = QCOSẦX+ C ,sin^x. fc, = 0 Từ cấc điéu kiên biên ta đươc: ^ [ c , cos + C , sin WL = 0 N ếu C, * 0 thì sinÀL = 0 => X = . =— , k L lúc đó (I) sẽ có nghiệm không tầm thưòng: X k(x ) = D k sin —■ . — Trong đó: D k là hằng sô' tuỳ ý có ứiể lấy dấu tuỳ ý, k là số nguyên khác không, X k(x) gọi là hàm riêng tương ứng cùa phương trình (I). Các hàm X t (x) lặp thành m ột họ hàm trực giao trong khoảng [0, L], nghĩa là: J x k(x ).x (x).dx = 0 n ế u k * j . 0 Với giá trị tương ứng của c , phương trinh (II) có nghiệm tổng quát là: 124
^ „ krcat ^ krcat Tk ( t) = E k c o s - ^ = - + Ft sin . T h ay vào ta được c á c n g h iệm riên g của phư ơ ng trìn h th o ả m ã n đ iều kiện biên là: s ( kĩtat _ . knat^Ị Ictix u k( x ,t ) = X kTk =1 A k COS—Ị— + B k s i n ^ r ^ l s i n ^ 1 với A k và Bk là c ác h ằ n g số b ấ t đ ịn h tùy ý. C ác d a o đ ộ n g c ủ a d â y ứng với u k(x, t) gọi là các dao đ ộ n g riên g h a y các sóng đứng. K hi xét riên g m ộ t só n g đ ứ ng u k(x, t) với k > 1, m ỗ i đ iểm Xcủ a sợi d â y thực hiện các d a o đ ộ n g đ iều h o à c ó tần số: k ĩlâ ,. I 2 2 ■ Jk = Ả v a cov - /',k a = — — v ớ i b iê n đ ộ -y/aJ s in Ả k x . N hờ tín h ch ất tu y ế n tín h v à đ ồ n g n h ấ t c ủ a phư ơ n g trìn h , ta có h àm : V- 1 _ 'SP I krat , k ĩta t] . kroc .s i n — (1) u = 2 Juk = Z | a k C0S L k ~ i r T 5U1T là tổng hay là c h ồ n g c h ậ p c ác sóng đứng, c ũ n g là n g h iệm c ủ a phư ơ ng trìn h dao đ ộn g, n ếu c h u ỗ i ( 1 ) là h ộ i tụ v à c ó th ể v i p h â n đượ c th e o X v à th e o t b iể u th ứ c dưới tổng hai lần. N goài ra h à m (1) h iển n h iên th o ả m ãn các điều k iệ n b iên n h ư m ỗ i u k với các giá trị b ấ t k ì c ủ a a k và b k. Từ c ác đ iều k iệ n bím đ ầ u c ủ a b ài toán, ta có I —V 7 f. ■ N u L = 2 . aksin T = f(x )’ k=l L I ^ Ttak k?tx u; L = z j L k sin L (x )' N hư vậy ak và b k phải là các h ệ số F o u rie r c ủ a các hàm f(x ) và F (x) trong khai triển c húng th eo sin trên quãng [0, L]. Đ ể m ộ t hàm số f(x) có thể khai triển thành chuỗi trên đòi h ỏ i f(x) phải là hàm tu ần h o àn với chu k ì 2L , lẻ, f(0) = f(L ) = 0. Đó cũng chính là đ iều k iện để bài toán thiết lập đ úng. C hú ý rằng: V . k ĩix m7ix , L - s i n —— s i n — — đ x = — 5 L . J L L 2 125
nên các hệ số của chúng được tính theo cóng thức: ak = f J f(S )s in -^ d £ L 0 L 2 L( ak = — fe (L -4 )s in — ^ = LM 0 J L 2 - iạ ( L - ạ ) .c o s ^ 4 LM K7I L 0 L+ 14710 k^(L_2^ CsL ịd" OJ 2 L L . kít r , 4L2 kn E i(L -2 4 )s in ^ n — c o s— 4 k 7 iM K71 L 0 + 7T 0 k" Jsin T L ^ k 7Ĩ M L 4L2 4L2 ( l - c o s k 7 i) = kV M kV M và b t = 0. ... , , . , _ . _ 4L2 V M - ( - l ) k k,7tat krtệ Vậy — > — -------- COS _ s i n — — . t a c ó đ i n h l u ậ t d a o đ ộ n g l à : u = —— 7I3M t r k3 L L Bùi mẫu 2: (Phương trình thuần nhất loại 2) Tìm nghiệm của phương trình thuần nhất u " - a 2u"x = 0 0 < X < L, t > 0 thoả m ãn điều kiên biên «lx=0 =0, u'.| = 0, và điều kiện ban đầu UI,=0 = f w - u ; L =pw - Giải: G iả s ử nghiệm riêng của bài toán chỉ thỏa m ãn phương trình và các điều kiện biên có thể viết dưới dạng tích cùa một hàm chỉ phụ thuộc X với m ó t hàm chỉ phụ thuộc t u(x. t) = X (x).T(t). 126
Ta có u„" = X.T”; u„" = X”.T. ^ . , .. ... T"(t) 2 X"(x) T hay vào phư ơ ng trìn h ta thấy: — = a ------------- ■ T (t) X (x ) B ởi vì v ế trá i c ủ a đ ẳ n g th ứ c n à y k h ô n g p h ụ th u ộ c v à o X, c ò n v ế p h ả i k h ô n g phụ thuộc vào t. D o đ ó c ả T '/T lẫn X "/X k h ố n g p h ụ th u ộ c vào X và t n g h ĩa là 1 T"(t) X "(x) _ _ = = c = const. a 2 T ( t) X (x ) ÍX ”- C X = 0 (I) ^ Ị r ( t ) - a 2CT = 0 (n) Các nghiệm riên g c ần phải tìm th o ả m ãn c ác đ iề u k iện b iên , n ê n với m ọ i t ta có: u ’ |x=0 = X (0 ).T (t), x u ' | x=L = X (L ).T (t). Đ ể tìm n g h iệm k h ô n g đ ồ n g n h ấ t b ằn g k h ô n g , ta phải có: X ’(0) = 0 và X ’(L) = 0. Tvườìig họp 1: c = X2 > 0, n g h iệm tổ n g q u á t c ủ a (I) là: X(x) = C ,eX + x => X ’(x) = x.c.e’1 - x c ^ * trong đó C |, c , là nh ữ n g h ằ n g số tùy ý. fc ,- c 2 = 0 Từ c ác điều k iên b iê n ta có: ị [c,e -C,e =0 N ghiệm c ủ a hệ n à y là c , = C 2 = 0. => T rong trư ờ ng h ợ p n à y bài to án c h ỉ có n g h iệm X = u = 0. Trường hợp 2: c = 0, phư ơ ng trìn h (I) c ó n g h iệm tổ n g q u á t là: X(x) = c , + C 2x = > X ’(x) = C2. Từ các điều k iệ n b iê n ta có: c , = 0 do đó X 0 = C | = co n st là m ộ t n g h iệm riên g c ủ a (I). T rong trường hợ p này (II) có n g h iệm riên g là => T0 = D. + D ,t. V à n g h iệm riên g c ủ a phươ ng trình có dạng: u 0 = X„.T0 = B0t + A„ trong đ ó A n và B,, là n h ũ n g h ằn g số bâl đ ịnh tùy ý. 127
Trường hợp 3: c = —X2 < 0, nghiệm tổng quát của (I) là: X (x) = C,cosÂx+ Q sinÂ x => X ’(x) = -X C ,sinX x+ ÂC,cos>.x. fc , = 0 T ừ các điéu kiện biên ta được: { [ - C , sin XL + C 2 COS ?.L = 0 Nếu c , * 0 thì sinẦL = 0 => X = =— L lúc đó (I) sẽ có nghiệm không tầm thường: X k (x ) = D k C O S . T rong đó: D k là hằng số tuỳ ý có thể lấy dấu tuỳ ý, k là số nguyên khác không, X k(x) gọi là hàm riêng tương ứng của phương trình (I). Các hàm X k(x) lập thành m ột họ hàm trực giao trong khoảng [0, L], n ghĩa là: L Ị x k(x ) .x j (x).dx = 0 n íu k j . 0 Với giá trị tương ứng của c , phưcmg trình (n ) có nghiệm tổng quát là: „ . . _ kĩtat kirat Tk(t) = E k COS— + Fk s in — . T hay vào ta dược các nghiệm riêng của phương trình thoả m ãn các điều kiện biên là: . ( kĩtat . k n a t V _ kTtx u k (x , t) = X kTk = I a k COS~ + b k sin ICOS với A k và Bk là các hằng số bất định tùy ý. N hờ tính chất tuyến tính và đổng nhất của phương trình bài toán, hàm: V" n ' T f_ __k7iat S' kĩiatì k7ix u = 2 J u k = B 0t + A 0 + 2_,4 ak COS - + bk sin— — ỉ-.cos^1^ (2) k k=i l L L J L cũng là nghiệm cùa phương trình này, nếu chuỗi (2) là hội tu và có thể vi phân được theo X v à theo t b iể u thức dưới tổn g hai lần. N g o à i ra hàm (2 ) h iển n h ién thoả mãn các điều kiện biên như m ỗi uk với các giá trị bất kì của Ao, B0, \ và bk. Từ các điều kiện ban đẩu, ta có , A ^ k7Dí . k ĩix u U = A 0+ Z a *.c o s T = ^ AkC0S T =f(x)’ k=l >- k=0 L 128
trong đ ó ta đ ặt a k = A k và — — b k = Bk khi k * 1. N h ư v ậ y A k và Bk phải là các hệ số F o u rie r c ủ a c ác hàm f(x ) và F (x ) trong k h a i triể n c h ú n g th eo c o sin trên q u ã n g [0, L]. Đ ể m ộ t hàm số f(x ) có thể k h a i triể n th à n h c h u ỗ i trê n đòi h ỏ i f(x) phải là hàm tuần h o àn với c h u kì 2L , chẵn, f ’(0) = f ’(L ) = 0. Đ ó c ũ n g c h ín h là đ iề u k iện để bài to án th iế t lập đ ú n g . C hú ý rằng: 0 khi k * m khi k = m * 0 L khi k = m = 0 nên các hệ sô' củ a c h ú n g được tín h th eo c ô n g thức: A 0 = - íf(£ )d £ , a,. = - f f f c i c o s — Sdạ B0 = ij F ( 4 ) d ệ , bk = - ? - JFf ê ) c o s ^ d 5 Bài mẫu 3: (P hư ơng trìn h th u ần n h ấ t lo ại 3) Tìm n g h iệm c ủ a phư ơ ng trìn h th u ần nhất u " - a 2u " x = 0 0 < X < L, t > 0 thoả m ãn đ iều kiên b iên u l x = 0 = 0, „ u 'x l x = L = 0 , và điều kiện ban đ ầ u u| = = f(x ), u j |=0= F (x ). Giải: G iả sử n g h iệm riên g củ a b ài to án chỉ th o ả m ãn phư ơ ng trìn h và các điều kiện biên có thể v iết dưới d ạ n g tíc h c ủ a m ộ t hàm chỉ phụ th u ộ c X với m ộ t hàm chi phụ thuộc t u(x, t) = X (x ).T (t). X " -C X = 0 (I) Tưcmg tự các b à i to án loại 1 và 2, ta có: T " ( t ) - a 2C T = 0 (II) Các nghiệm riêng cần phải tìm thoả m ãn cấc điều k iện biên, nên với m ọi t ta có: 129
X ’(x) = i c , e ' x - Ã.c,e_ " > T rong đó c,, c , là nhưng hằng số tùy ý. [c ,+ c ,=0 Từ các điều kiện biên ta có: C ,eỈJ- - C , e - iJ- = 0 N ghiệm của hệ này là c , = c , = 0 => T rong tnrcmg hợp này bài toán chì có nghiệm X = u = 0. Tnícnig hợp 2: c = 0, phương trình (I) có nghiệm tổ n a quát là: X (x) = c , + C.X => X ’(x) = C, Từ các điều kiện biên ta có: c , = c , = 0 do đó X = u = 0 là m ột nghiệm tầm thường trong trường hợp này. Trường hợp 3: c = - X2 < 0, nghiệm tổng quất cùa (I) là: X(x) = C,cos>tx+ C,smXx => X ’(x) = -Í.Q sin Ầ x + ÀCxosÂx Từ các điều kiện biên ta được: c , cos XL = 0 N ếu c 0 thì c o s^L = 0 =>X = X ị.= (2k + 1)ĩI K 2L (— + 1)tĩx k lúc đó (I) sẽ có nghiệm không tầm thường: X k (x) = D k s in -------—----- T rong đó: D k là hằng số tuỳ ý có thể lấy dấu tuỳ ý, k là số nguyên khác không, X k(x) gọi là hàm riêng tươns ứng cùa phương trình (I). Các hàm X k(x) lập thành m ột họ hàm trực giao trona khoảng [0. L], nghĩa là: L J x k (x).X j(x).dx = 0 nếu k * j . 0 Với giá trị tưona ứna của c, phương trình (n ) có nghiệm tống quát là: 130
_ „ (2 k + l)7iat . (2 k + l)7iat Tk ( t) = E k c o s ^ — — + Fk s i n ------ ^ — T h ay vào ta được c ác n g h iêm riên g củ a phươ ng trìn h th o ả m ãn các đ iều k iện biên là: ( (2k + l)7iat . (2k + l)7iat'l (2k + l)7ĩx u k( x ,t ) = X kTk =1 A,k cos -----2L — + B Ks i n - -----2L ----- s i n - ----- —----- A — k — { * 2L 2L J 2L với A k và Bk là các h ằn g số b ất đ ịn h tùy ý. N hờ tính c h ất tu y ến tín h và đ ồ n g nhất c ủ a phư ơ ng trìn h , hàm : 00 JO f (2 k + l)7iat . (2 k + l) 7 ia t| . (2 k + l)7ix u = Z Uk = z a k cos L+ b k sin (3) k k=° L 2L 2L ■s 2L cũng là ngh iệm c ủ a phư ơ ng trìn h này , n ế u ch u ỗ i (3) là hội tụ và c ó th ể vi phân được theo X và theo t biểu thức dưới tống hai lần. N goài ra hàm (3) hiển n h iên thoả mãn các điểu kiện biên n h ư m ỗ i u k với cấc g iá trị b ất kì của Ao, B0, ak và b k. T ừ các điều k iện b a n đầu, ta có I _ V1 (2k + l)7TX u L = Z J a k s i n ----- --------- = f (x ) ’ k=0 2L (2 k + l)7ia . (2 k + l)7ix u;lt=o =4-1 b , s i n -----— -------- = F ( x ) . 1L ỉ 2L k 2L k=0 Tt.ak T rong đ ó ta đặt a k và — b k là c ác h ệ số F o u rie r c ủ a c ác hàm f(x) và F(x) — trong khai triể n c h ú n g th eo sin trên q u ã n g [0, L ]. Đ ể m ộ t h à m số f(x) có thế khai triển thành ch u ỗ i trên đ ò i hỏi f(x) phải là h à m tu ần h o àn với c h u kì 2L , lẻ, f(0) = f ’(L) = 0. Đ ó c ũ n g c h ín h là đ iều kiện đ ể bài to án th iế t lập đ ú n g . C hú ý rằng: khi k # m (2 k + l)7ix . (2 m + l)7ix Ị s ir -sin dx = < 2L 2L khi k = m nên các hệ số c ủ a c h ú n g được tín h th eo c ô n g thức: (2 k + l)7i ■-Ĩ& 2L (2 k + 1)71 bw= (2 k + l)7ta ị 2L 131
Bài mẫu 4: (Phương trình thuần nhất loại 4) Tìm nghiệm của phương trình thuần nhất u n ~ a2uM = 0 0 < X < L, t > 0 thoả m ãn điều kiện biên :0 , u •x=l = 0 . x Ix=0 và điẻu kiện ban đầu u |t = 0 = f(x ), u't |l = 0 = F (x ). Giải: Tưcmg tự như trường hợp phương trình loại 3 chúng ta thu được kết quả: (2k + l)ĩta t . (2k + l)7iat] (2k + l)7a u=Ệu =ẳ{ at cos----- 2L^ -----+ t\ sin-----—i---- i>.cos------^— k k — k=0 L 2L j 2L với các hệ sô' cùa chúng được tính theo cóng thức: (2 k + l)7t 2L (2 k + 1)71 bL= ■ J f « ) c o s -----——— t d t (2k + l)7ia 2L Trong đó f(x) và F(x) phải là hàm tuẩn hoàn với chu kì 2L, chẩn, P(0) = f(L) = 0. * Dạng bài 3: Bài toán hỗn hợp không thuần nhất 1 chiều. Bái mẩu 1: Tim dao động cưỡng bức của sợi dây gắn chặt tại X = 0 và X = L, nếu dạng của sợi dáy ban đầu là cung parabol f ( x ) = — ĩ l và vãn tốc ban đầu M F(x) = 0. G iả sử rằng g(x,t) = g là hằng số dương đủ nhò. Giải: Bài toán dẫn tới việc tìm hàm u = u(x,t) thoả m ãn phương trình U n " - a 2 . u xx" = - g với các điểu kiện biên ul_ = 0 , u;l x = L = 0 , lx=0 x (l-x ) và các điều kiện ban đầu 11=0 = 0 - 1 „ M ’ Giải: (Phương pháp biến thiên hằng số) N ếu ứng dụng phương pháp 1. V'-T- / \ • kroí nghiệm u sẽ được tìm dưới dạng: u ( x ,t) = ^ T k( t) s in —— . k= l L 132
D ễ thấy rằng u thoả m ãn các điều k iện biên. N ếu th ay vào phươ ng trinh, ta có: Tk( t U s i n ^ — = - g trong trư ờ ng hợ p g đ ủ n h ỏ , h ằn g s ố - g có thể coi g ầ n đ ú n g là k h a i triể n được chuỗi th eo sin tro n g k h o ả n g (0, L). . k7ix - g = ẳ Y k, s i n ^ — ! k=l L .. - 2 L . k 7 t, r 2g k 7 tL 2 g (, , . k ,1 T ừ đó ta có: Yk = - ^ í g s i n - y ^ . d ệ = - p - c o s - y - = ^ slỊ ( - 1) - l | . 1_/ Q 1I — K7I JL Q K7I Vì g k h ô n g p h ụ th u ộ c t n ê n ở đ â y Ỵk c ũ n g k h ô n g p h ụ th u ộ c t. D o đ ó đ ố i vói các hàm chư a b iế t T k(t), c h ú n g ta có: T„+ k W T = 2 g | (_ 1)k_ 1| k ' L2 _ , . . k ĩia t _ . knat 2gL 2 . , . ki => Tk( t) = A k c o s - ^ p - + B k s i n - 3*7 2 { l - ( - l ) } L Ì-I K Tí ã . k ra t , . k7iat2gL 2 r, , , xk) . k7IX u ( * .t ) = z a k cos + b k sin - 7 3 2 {1 - ( - 1 ) } s i n —— k_j JL/ L K 71 ã L Từ điều k iện b a n đ ầ u ta có: a, 2gL ■ k7tx _ tí s i n —— = í ( x )^ uL o = ẳ k=l k k 37i3a 2 L 4 =0 = ẳ • — _-Ct \ __ 0 s i n — t x = F (x ) = A k7 k=l L = { 1 - ( - 1) " } + 4 i t t í 1 - ( - 0 k} = { — + 4 - 1 -^T T i 1 - ( - > ) k} kV M 1 > k 71 a ' > U m a ) k 7t 1 và bk = 0. D o đó n g h iệm c ủ a bài to án trong trư ờng hợ p đ ã c h o là hàm , .. _ 4 L 2 ^ 1 ỊỴ 2 L g 'l (2 n + l)7iat g . (2 n + l)7tx u ( x ,t ) = — r > ----- :— T — + -%- c o s - — — ----------- x s i n --------------- 71 tỉ{2n + ìf a ) 133