Tông h p cac bai toan đai sô ôn thi HSG Quôc Gia ơ
Ng i soan : Vu Minh Hoang 11A-THPT Yên Mô A - Ninh Binhươ
Bai 1. Cho tr c sô nguyên tô p va sô nguyên d ng a v i 1 < a ≤ p-1. Gia s ươ ươ ơ ư
A = a .
Ch ng minh răng v i moi c nguyên tô q cua A ta đêu co q-1 chia hêt cho p.ư ơ ươ
Bai 2. Tim sô t nhiên n l n nhât sao cho sô 1995 băng tông cua n sô a, a, a..., a ư ơ
trong đo cac sô a (i=1,2,...,n) đêu la h p sô. ơ
Bai 3. Cho a,b,c la ba sô h u ti thoa man: ư
abc=1 va + + = + +
Ch ng minh răng it nhât môt trong 3 sô a,b,c la binh ph ng cua 1 sô h u ti. ư ươ ư
Bai 4. Cho day sô (b), (n=1,2,...) đ c xac đinh b i: b=0; b=14; b=-18 va ươ ơ
b = 7b - 6b v i moi n ≥ 3.ơ
Ch ng minh răng v i moi sô nguyên tô p ta đêu co b chia hêt cho p.ư ơ
Bai 5. Giai ph ng trinh nghiêm nguyên ươ
4y = 2 +
2
199 2x x− −
Bai 6. Tim tât ca cac sô t nhiên a đê ph ng trinh ư ươ
x - ax+a+1=0
co nghiêm nguyên.
Bai 7. Ch ng minh răng v i moi sô t nhiên n (n ≥ 2) ta đêu coư ơ ư
C.C chia hêt cho 4.
Bai 8. Tim cac sô t nhiên m,n đê A = 3 +4 la sô nguyên tô. ư
Bai 9. Tim cac nghiêm nguyên (x ; n) cua ph ng trinh ươ
x +
1 1
2 4
x x+ + +
= n.
Vu Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh
Bai 10. Cho p la sô nguyên tô. Ch ng minh răng v i moi sô m nguyên không âm bât ư ơ
ki, tôn tai môt đa th c Q co hê sô nguyên sao cho p la c chung l n nhât cua tât ca ư ươ ơ
cac sô
a = (p+1) +Q v i n=1,2,3,... ơ
Bai 11. Cho day sô nguyên (a), (n=0,l,2,...) thoa man
a + a = 2(a + a) v i n=1,2,...ơ
Ch ng to răng tôn tai sô nguyên M không phu thuôc vao n sao cho M+4a.a la sôư
chinh ph ng v i moi n ươ ơ ∈ N.
Bai 12. Cho A co 1997 ch sô trong đo co 1996 ch sô 5 va môt ch sô khac 5. Hoi ư ư ư
A co thê la sô chinh ph ng hay không? ươ
Bai 13. Cho day sô (a), (n=1,2,...) đ c xac đinh b i ươ ơ
a = 1, a = 3, a = (n+2)a - (n+1)a ∀ n ≥ 2.
Tim tât ca cac gia tri cua n đê a la sô chinh ph ng. ươ
Bai 14. Ch ng minh răng nêu môt câp sô nhân co n sô hang (n ư ≥ 3) la cac sô t ư
nhiên phân biêt va công bôi cung la môt sô t nhiên thi tông cua tât ca n sô hang đo ư
không thê la luy th a cua 5. ư
Bai 15. Giai ph ng trinh nghiêm nguyên ươ
xy - x - 8y = 2xy
Bai 16. Xet day sô h u ti (a), (n=1,2,...) thoa man ư
a = 3a - 2 ∀ n ≥ 1.
Tim tât ca cac sô h u ti a đê tôn tai cac sô m,n phân biêt thoa man a = a. ư
Bai 17. Tim cac sô nguyên tô x, y thoa man ph ng trinh ươ
[] + [] + ... + [] = y
Bai 18. Gia s x va y la hai sô nguyên d ng sao cho x + y + 6 chia hêt cho xy. ư ươ
Ch ng minh răng la lâp ph ng cua môt sô t nhiên.ư ươ ư
Bai 19. Cho cac sô không âm x, y, z thoa man x+y+z=1, va n ∈ N. Tim gia tri l n ơ
nhât cua biêu th c ư
P = xy + yz + zx.
Vu Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh
Bai 20. Ch ng minh bât đăng th c sau v i a, b, c la cac sô d ngư ư ơ ươ
+ + ≥
Bai 21. Ch ng minh bât đăng th cư ư
+ + ≤
Bai 22. Giai hê ph ng trinh ươ
Bai 23. Ch ng minh bât đăng th c sau v i n ư ư ơ ≥ 5:
1,71 < 1 + + +...+ < 1,72.
Bai 24. Tim tât ca cac đa th c P v i cac hê sô th c va thoa man: ư ơ ư
P = 0, P = P + 1, v i moi x ơ ∈ R
Bai 25. Cho ham sô ϕ : R → R, đăt A = {x ∈ R, ϕ = x}; A = {x ∈ R, ϕ(ϕ) = x}
Gia s A ư \A la môt tâp h p h u han va tôn tai ham sô f: R ơ ư → R thoa man
f(f) = ϕ ∀ x ∈ R.
Ch ng minh răng sô phân t cua Aư ư \A la môt sô nguyên chia hêt cho 4.
Bai 26. Cho a, b, c, d, e, f la 6 sô th c thoa man ư
ab + bc + cd + de + ef = 1.
Ch ng minh răng a + b + c + d + e + f ư ≥
Bai 27. Hay tim cac gia tri x, y, z, t đê biêu th c ư
A = (x-y) + (y-z) + (z-t) + (t-x)
Đat gia tri nho nhât, trong đo 4 sô x, y, z, t la cac sô 1930, 1945, 1975, 1995.
Bai 28. Cho day (a), (n=0, 1, 2,...) đ c xac đinh nh sau ươ ư
a = , a = a(4a - 10a +5) ∀ n=0, 1, 2,...
Tim sô hang tông quat a
Vu Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh
Bai 29. Tim nghiêm d ng cua hê ph ng trinh ươ ươ
Bai 30. Giai ph ng trinh ươ
729x + 8 = 36
Bai 31. Gia s a, b, c la ba sô d ng, n ư ươ ∈ N, n ≥ 2. Ch ng minh răngư
+ + > .
Bai 32. Tim tât ca cac ham sô f: R → R thoa man
f((x+1).f(y)) = y(f(x)+1) ∀ x, y ∈ R.
Bai 33. Tim tât ca cac gia tri cua m đê hê ph ng trinh ươ
co năm nghiêm.
Bai 34. Xet song anh f: N → N, ch ng minh răng tôn tai vô sô bô (a, b, c) ư