TUYỂN TẬP
CÁC CHUYÊN
ĐỀ HAY ÔN
THI ĐẠI HỌC
– Tạp chí THTT
Phiên bản 1.0
GSTT GROUP tổng hợp
Lovebook.vn | 1
Lovebook.vn – Nhà sách duy nhất cung cấp sách do đội ngũ thủ khoa GSTT GROUP viết | 2
MỘT VÀI ĐIỂM CẦN CHÚ Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Nguyễn Tất Thu
(GV THPT Lê Hồng Phong, Biên Hòa, Đồng Nai)
Phương trình lượng giác (PTLG) luôn xuất hiện trong các đề thi đại học và cũng gây không ít khó khăn cho các
thí sinh. Trong bài viết này chúng tôi trao đổi với các bạn một số điểm cần chú ý khi giải các PTLG. Về phương
pháp chung thì để giải PTLG ta sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đưa phương trình ban đầu về PTLG
thường gặp.
Chúng ta biến đổi PTLG theo các hướng sau:
1. Đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cosin
Với dạng này ta cần lưu ý một số biến đổi sau:
sin √ cos sin(
) cos(
)
√ sin cos sin(
) cos(
)
sin cos √ sin(
) √ cos(
)
♠ Thí dụ 1:
Giải phương trình
√ (1)
ờ ả Ta có sin √ cos sin(
) nên (1) sin(
) sin
[
k
1 k.
,k .
♠ Thí dụ 2:
Giải phương trình
. √ ( )
(Đề thì ĐH khối B – 2009)
ờ ả Phương trình đã cho tương đương với
sin 1
sin √ cos cos
sin 1
sin
sin √ cos cos cos(
) cos [
k
k.
.
2. Biến đổi về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác
Với phương pháp này chúng ta cần lưu ý tới một số đẳng thức sau:
sin cos 1 1
sin
sin cos 1
sin
sin tan
1 tan cos 1 tan
1 tan .
♠ í ụ ả ươ ì ( ( ) )
√ ( )
(Đề thi ĐH khối A – 2006)
ờ ả Điều kiệnsin √
( ) (1
sin ) 1
sin sin sin sin 1
k (k ).
Đối chiếu điều kiện ta có
n ,n là nghiệm c a phương trình đã cho.
♠ í ụ ả ươ ì . 1
11
.
( )
ờ ả Ta có ( ) (1 cos )cos 1 cos sin11
sin
1 cos .cos sin11
.sin
1 1
(cos cos1 ) 1
(cos cos1 )
cos cos cos cos cos 1 k ,k .
Lovebook.vn | 3
♠ í ụ ả ươ ì (
) 1 ( )
ờ ả Điều kiệncos(
)
k .
( ) 1 tan
1 tan tan 1
1 tan tan ( tan tan ) tan k ,k .
♠ Thí dụ 6:
Giải phương trình
(1 ) ( )
(Đề thi ĐH khối B – 2004)
ờ ả Điều kiện cos
k
( ) sin (1 sin )sin
cos sin (1 sin )sin
1 sin sin sin
1 sin
( sin )(1 sin ) sin sin sin
sin 1
sin
[
k
k ,k .
Cả hai họ nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện nên là hai họ nghiệm c a PT (5).
♠ Thí dụ 7:
Giải phương trình
√ ( ) ( )
ờ ả ( ) cos(
) sin(
) 1 sin (
) sin(
)
[sin(
)
sin(
) 1
[
k
k
k ,k .
3. Biến đổi về phương trình tích
Để biến đổi về phương trình tích, chúng ta cần tạo ra các thừa số chung. Một số lưu ý khi tìm nhân tử chung: Các
biểu thức
* 1 sin cos 1 tan 1 cot có thừa số chung là sin cos .
* 1 sin cos 1 tan 1 cot có thừa số chung là cos sin .
* sin tan có thừa số chung là (1 cos )(1 cos ).
* cos cot có thừa số chung là (1 sin )(1 sin ).
♠ í ụ ả ươ ì (
) (
) √
( )
ờ ả Ta có ( ) sin(
) sin
sin(
) cos sin(
) sin(
)
[sin(
)
cos 1
[
k
k ,k .
♠ í ụ ả ươ ì √ (
) ( )
Lời giải :
Ta có ( ) cos (1 sin ) (sin cos )
(cos sin )(cos sin ) (sin cos ) (sin cos )
(sin cos )( sin cos ) sin cos
k ,k .
(Do nên PT sin cos vô nghiệm).
♠ í ụ ả ươ ì (
) ( )
(Đề thi ĐH khối D – 2003)
ờ ả Điều kiện cos
k .
( ) (1 cos(
))sin
cos (1 cos ) (1 sin )sin
1 sin (1 cos )
sin
1 sin (1 cos ) (1 cos ) (1 cos )(1 sin ) (1 cos )(cos sin )
Lovebook.vn – Nhà sách duy nhất cung cấp sách do đội ngũ thủ khoa GSTT GROUP viết | 4
*cos 1
sin cos * k
k ,k .
ết hợp với điều kiện ta có * k
k ,k là tất cả các nghiệm c a PT ( ).
♠ í ụ ả ươ ì
1 √
(
) (1 )
(Đề thi dự bị D – 2008)
ờ ả Điều kiện
k ,k .
Ta có (1 ) cos (tan tan ) 1
(sin cos ) (sin sin cos ) sin cos
(sin cos )( sin 1)
[
k
k
k (k ).
Cả ba họ nghiệm này đều thỏa mãn điệu kiện bài toán.
♠ Thí dụ 12:
Giải phương trình
(11)
Lời giải:
(11) sin cos 1 sin sin cos
cos ( sin 1) ( sin 1)(sin ) ( sin 1)( cos sin )
sin 1
[
k
k (Vì cos sin √ nên cos sin ).
***
Cuối cùng chúng tôi in đưa ra một số bài toán để các bạn tự luyện tập.
Giải các phương trình lượng giác sau
)cot sin (1 tan tan )
) (1 sin )cos
(1 sin )(1 sin ) √
3) √ cos sin cos sin
4) cot √ sin ( √ )cos
) cos (cos 1)
sin cos (1 sin )
6) 1 sin cos sin cos
) cos sin cos(
)sin(
)
8) sin cos sin
)cot tan sin
sin
10) cos .cos cos