Tuyển tập một số bài toán sơ cấp chọn lọc

Chia sẻ: Huỳnh Văn Phước | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:131

Thêm vào BST

Báo xấu

945
lượt xem 301
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong cuốn sách này chúng tôi giới thiệu với các bạn 250 bài toán thuộ c 5 chủ đề lớn của toán phổ thông bao gồm Số Họ c, Tổ Hợp, Hình Họ c, Giải Tích và Đại Số. Kèm theo các đề toán là khoảng 20 bài viết chuyên đề nhỏ xoay quanh các bài toán Số Họ c, Tổ Hợp. Trong mỗi bài viết chúng tôi đã cố gắng thể hiện đầy đủ những thảo luận của các bạn trên diễn đàn về những bài toán đó....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập một số bài toán sơ cấp chọn lọc

Tuyển tập một số bài toán sơ cấp chọn lọc
Tuy n t p m t s v n đ ch n l c www.diendantoanhoc.net 05 - 08 - 2006
2
L i nói đ u Cu n sách nh "Tuy n t p m t s bài toán sơ c p ch n l c trên www.diendantoanhoc.net" là món quà đ c bi t mà BTC kỳ thi VMEO II dành t ng cho các b n thành viên đã tham gia và đo t gi i. Đây cũng là m t món quà mùa hè mà Nhóm Qu n Lý mu n dành t ng cho t t c các b n h c sinh chuyên toán nói riêng và các b n yêu thích toán sơ c p nói chung. Trong cu n sách này chúng tôi gi i thi u v i các b n 250 bài toán thu c 5 ch đ l n c a toán ph thông bao g m S H c, T H p, Hình H c, Gi i Tích và Đ i S . Kèm theo các đ toán là kho ng 20 bài vi t chuyên đ nh xoay quanh các bài toán S H c, T H p. Trong m i bài vi t chúng tôi đã c g ng th hi n đ y đ nh ng th o lu n c a các b n trên di n đàn v nh ng bài toán đó. M t s bài vi t chưa đư c post lên di n đàn mà m i ch là nh ng trao đ i riêng gi a các thành viên cũng đư c gi i thi u trong tài li u này. Chúng tôi r t vui m ng vì bi t đư c r ng, nh ng trao đ i riêng như th là khá ph bi n gi a các b n thành viên. Đây th c s là m t mong mu n l n nh t c a nh ng ngư i đi u hành di n đàn như chúng tôi. S H c và T H p đ u là nh ng ch đ thú v và đ p đ c a toán sơ c p. Tuy nhiên đ vi t m t tài li u v hai ch đ này là đi u không d . Đ i v i S H c chúng tôi l a ch n nhi u ch đ nh d a trên b khung là các bài toán đã có trên di n đàn, và các ki n th c cơ b n nh t c a S H c l n lư t đư c đưa vào các bài vi t nh , các b n có th đ c qua các bài vi t này và tìm hi u k hơn v lý thuy t s sơ c p trong các cu n sách chuyên kh o hơn, chúng tôi gi i thi u hai cu n sách: An introduction to the theory of number c a G.H.Hardy & E.M.Wright và Elementary theory of number c a Sierpinsky. B n đi n t c a hai cu n sách này đ u đã đư c gi i thi u trên di n đàn. V T H p, chúng tôi ch trương l a ch n các ch đ m t cách tương đ i r i r c, vì cho r ng không nên khi n các b n ph i ti p thu các ki n th c t h p m t cách quá giáo khoa. Đ i v i các bài toán t h p chúng tôi cho r ng v đ p c a t ng bài toán có ý nghĩa cao hơn t i vi c nh n th c c a m i ngư i. Do đó chúng tôi c g ng l a ch n nh ng bài toán t h p đ p đ đ kích thích tính tìm tòi c a các b n đ c. Hai cu n sách sơ c p v t h p không nên b qua là 102 combinatorial problem c a Titu Andrecscu & Zuming Feng và Extrenal combinatorics c a Stasys Jukna. T t nhiên các ch đ v Hình H c, Gi i Tích và Đ i S cũng r t thú v , nhưng đó s là n i dung c a các n ph m ti p theo c a di n đàn. Và b i vì các n ph m c a di n đàn ch y u đư c xây d ng d a trên nh ng th o lu n c a chính các b n nên hi v ng trong th i gian t i chúng ta s còn có nhi u ch đ thú v và ch t lư ng ngày càng cao. Cu n sách nh này ra đ i d a trên s c ng tác c a r t nhi u b n thành viên. Đó là các b n K09, TuanTS, lehoan, NDTPX, clmt, anhminh, neverstop, bk2004, chuyentoan, camum, 3
4 hungkhtn và lovepearl_maytrang. B n camum l a ch n h u h t các bài toán gi i tích, m c t h p do lehoan tuy n ch n v i s c ng tác c a NDTPX, các bài toán hình h c do MrMATH so n cùng v i s giúp đ nhi t tình c a bk2004, chuyentoan và đã nh n đư c nhi u ý ki n c a b n neverstop. Cu i cùng các bài toán s h c đư c l a ch n b i K09 và lehoan, sau đó TuanTS và MrMATH đã có nhi u th o lu n đ hoàn thi n b n th o. Trong quá trình tuy n ch n chúng tôi nh n ra r ng có r t nhi u bài toán đư c sáng t o b i chính các b n thành viên. Trong th i gian t i mong r ng đi u này s đư c phát huy hơn n a. Cu n sách này đư c so n b ng ph n m m PCTEX version 5.0, gói vntex đư c gi i thi u b i b n tamnd. File cài đ t chương trình và gói l nh các b n có th dowload trên m ng không quá khó khăn. N u có th c m c v vi c s d ng TEX các b n có th gi i quy t b ng các tham kh o các cu n sách c a tác gi Nguy n H u Đi n (sách cho Vi n Toán H c n hành), ngoài ra các b n có th tham gia các di n đàn v TEX như www.viettug.com ho c trao đ i v i các thành viên có kinh nghi m so n th o trên di n đàn. M c dù đã c g ng trong vi c ki m tra b n th o, nhưng r t có th chúng tôi v n b sót m t s l i. M i ý ki n đóng góp c v n i dung l n hình th c xin g i v đ a ch mail nqk_mrmath@yahoo.com. Chúng tôi xin chân thành cám ơn và h a s c g ng hơn trong vi c thi t k các n ph m ti p theo. Thay m t Ban Biên T p a MrMATH www.diendantoanhoc.net Nguy n Qu c Khánh SV K9 H Đào T o CNKHTN ĐHKHTN ĐHQG Hà N i
C ng tác viên Trong th i gian hoàn thành b n th o, th c ra nh ng gì đư c gi i thi u trong cu n sách nh không hoàn toàn là t t c nh ng gì nhóm CTV làm đư c. Trên th c t nhóm CTV đã hoàn thi n đư c h u h t các đ m c cho ba n i dung Hình H c, Gi i Tích và Đ i S . Tuy nhiên vi c gi i thi u đ ng th i t t c 5 ch đ có l là không phù h p l m v i m c đích chính. B n li t kê dư i đây không nêu lên h t đư c các CTV và công vi c c a h , nhưng dù sao cũng là m t tra c u đ dùng cho các b n đ c.Trong n ph m ti p n i c a cu n sách nh này, công vi c c a các CTV s đư c gi i thi u m t các đ y đ và chi ti t hơn. a 1. Tr n Nam Dũng (namdung) GV ĐHKHTN ĐHQG TP H Chí Minh: [1]. a 2. Tr n Qu c Hoàn (K09) SV K50 CA Đ i H c Công Ngh Hà N i: [2], [3.6], [3.8]. a 3. Tr n M nh Tu n (TuanTS) SV K9 CNTN ĐHKHTN ĐHQG Hà N i: [2], [3.2], [3.3],[3.4]. a 4. Lê H ng Quý (lehoan) HS l p 12 chuyên toán ĐHSP Vinh: [6], [7.2], [7.3], [7.7]. a 5. Tr n Đ c Anh (camum) SV năm nh t h CLC ĐHSP Hà N i: [10]. 5
6
M cl c I M t s ch đ S H c 9 1 T ng hai bình phương 11 2 Các đ toán s h c ch n l c 17 3 M t s ch đ s h c ch n l c 23 3.1 S b p bênh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Đ nh lý F ermat nh và m t ng d ng đ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 M t s tính ch t c a hàm t ng các ch s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4 Hai ng d ng c a phương trình P ell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.5 Đ nh lý ph n dư Trung Hoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.6 Bi u di n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.7 M t d ng phương trình Diophante đ c bi t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.8 S nguyên ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.8.1 Các khái ni m m đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.8.2 Thu t toán Euclid và ư c chung l n nh t c a hai s nguyên ph c . . . 41 3.8.3 S ph c nguyên t và v n đ phân tích các s nguyên ph c . . . . . . . 43 3.8.4 S d ng s nguyên ph c đ gi i m t s bài toán . . . . . . . . . . . . . 44 3.9 Phương trình Carmichael . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.10 M t s bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4 T ng ngh ch đ o 53 II M t s ch đ T H p 59 5 B đ Sperner 61 5.1 Bao l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.2 B đ KKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.3 Ch ng minh đ nh lý đi m b t đ ng Brower . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6 Các đ toán t h p ch n l c 65 7 M t s ch đ t h p ch n l c 71 7.1 Bài toán Rubik l c lăng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.2 Nguyên lý b t bi n và n a b t bi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7
8 M CL C 7.2.1 B t bi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.2.2 N a b t bi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.3 Phương pháp phân nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.4 Vai trò c a các b s đ c bi t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.5 Hai bài toán v ph các hình vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.6 Câu h i m v m t tính ch t c a chùm các đư ng tròn . . . . . . . . . . . . . 86 7.7 Đ nh lí Konig-Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.8 Đ nh lý Erdos - Skerezes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.9 M t s bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 8 Góc cùng màu 95 8.1 Khái ni m góc cùng màu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8.2 M r ng bài toán 6 ngư i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.3 Phương pháp hàm đ m và vài ng d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.4 M r ng m t đ thi IMO 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 III M t s bài toán khác 109 9 Hình H c 111 10 Gi i Tích 117 11 Đ i S 125
Ph n I M t s ch đ S H c 9
Chương 1 T ng hai bình phương Tr n Nam Dũng Gi i thi u. Đ nh lý F ermat Euler là m t viên ng c tuy t v i c a Toán H c th k 17 − 18. T th i ph thông khi đ c đư c ch ng minh (c a Lagrange) dư i đây, tôi đã t ng ngây ng t trư c v đ p c a nó. Nhi u năm nay đ c l i bài vi t c a GS.T ikhomirov trên t p chí Kvant, tôi l i ti p t c b t ng v i nh ng ch ng minh m i c a m t k t qu cũ. Quá thích thú v i bài báo, tôi đã d ch ra Ti ng Vi t và nhi u l n truy n v đ p c a các phép ch ng minh th n di u trong bài đ n các th h h c sinh c a tôi. Hôm nay, tôi xin dành t ng các b n thành viên di n đàn www.diendantoanhoc.net b n d ch này. Các b n hãy đ ý xem nh ng s nguyên t đ u tiên 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Các s 5, 13 và 17 có th bi u di n đư c dư i d ng t ng c a hai bình phương: 5 = 12 + 22 13 = 22 + 32 17 = 12 + 42 . Còn các s còn l i 3, 7, 11, 19 thì không th bi u di n như v y đư c. Có th b ng cách nào đó gi i thích đi u đó hay không? Có, và đúng hơn là ta có đ nh lý sau đây: Đ nh lý F ermat Euler. Đi u ki n c n và đ đ m t s nguyên t l có th bi u di n đư c dư i d ng t ng hai bình phương là s dư trong phép chia s y cho 4 là 1. Trong các trư ng h p ban đ u c a p có th ki m tra tính đúng đ n c a đ nh lý này 5 = 4.1+1, 13 = 4.3 + 1, 17 = 4.4 + 1 còn 3 = 4.0 + 3, 7 = 4.1 + 3, 11 = 4.2 + 3 và 19 = 4.4 + 3. Đôi chút v l ch s đ nh lý. Ai là ngư i đ u tiên phát hi n ra đi u này, và khi nào? Vào d p Noel năm 1640 (trong thư đ ngày 25.12.1640) nhà toán h c vĩ đ i P ierre de F ermat (1601-1665) đã thông báo cho Mersenne, b n thân c a Descartes và là "liên l c viên" chính c a các nhà bác h c đương th i r ng "M i s nguyên t có s dư trong phép chia cho 4 b ng 1 đ u có th bi u di n m t cách duy nh t dư i d ng t ng c a hai bình phương". Th i đó chưa có các t p chí toán h c, tin t c đư c trao đ i qua các lá thư và các k t qu thông thư ng ch đư c thông báo mà không kèm theo ch ng minh. 11
12 CHƯƠNG 1. T NG HAI BÌNH PHƯƠNG Th c ra thì sau g n 20 năm sau b c thư đó, trong b c thư g i cho Carcavi, đư c g i vào tháng 8 năm 1659, F ermat đã ti t l ý tư ng c a phép ch ng minh đ nh lý trên. Ông vi t r ng ý tư ng chính c a phép ch ng minh là dùng phương pháp xu ng thang, cho phép t gi thi t r ng đ nh lý không đúng v i p = 4k + 1, suy ra nó không đúng v i m t s nh hơn, cu i cùng ta s đi đ n s 5, mà khi đó rõ ràng là mâu thu n. Nh ng cách ch ng minh đ u tiên đư c Euler (1707-1783) tìm ra trong kho ng 1742-1747. Hơn n a, đ t rõ v trí c a F ermat, ngư i mà ông h t s c kính tr ng, Euler đã tìm ra phép ch ng minh d a theo đúng ý tư ng trên đây c a F ermat. Vì v y, ta g i đ nh lý này là đ nh lý F ermat Euler. Nh ng k t qu toán h c thư ng có m t tính ch t chung ta có th đ n đư c b ng nhi u con đư ng khác nhau, có th t n công chúng t nhi u hư ng, và m i m t con đư ng như v y s đem đ n cho nh ng ngư i không bi t s khó khăn nh ng khoái c m tuy t v i. Tôi mu n ch ng t đi u này trên ví d đ nh lý F ermat Euler. Ta s đi đ n đ nh cao, đư c phát minh vào th k XVII b ng ba con đư ng khác nhau. M t trong chúng đư c tìm ra vào th k XVIII, con đư ng khác - th k XIX và con đư ng th ba - th k XX. 1. Cách ch ng minh c a Lagrange. Cách ch ng minh này (có thay đ i đôi chút) hi n nay đư c trình bày trong h u h t các cu n sách v lý thuy t s . Nó d a trên b đ W ilson nói r ng n u p là s nguyên t thì s (p−)! + 1 chia h t cho p. Đ không quá đi sâu vào ch ng minh k t qu ph này ta ch tư ng minh ý tư ng chính c a phép ch ng minh trên ví d s 13. V i m t s n m gi a 2 và 11 (k c nh ng s này) ta tìm m t s mà tích c a chúng khi chia cho 13 dư 1. Ta có: (13 − 1)! = 12! = (2.7).(3.9).(4.10).(5.8).(6.11).12. Rõ ràng t ng c p hai s trong d u ngo c đơn có tích chia 13 dư 1. T đó suy ra 12! khi chia cho 13 có s dư là 12, nghĩa là 12! + 1 chia h t cho 13. Trư ng h p t ng quát cũng có th ch ng minh tương t như v y. T b đ W ilson ta rút ra h qu là n u p = 4n + 1 là m t s nguyên t thì ((2n)!)2 + 1 chia h t cho p. Th t v y, b i vì (b đ W ilson) (4n)! + 1 chia h t cho p, b ng nh ng phép bi n đ i cơ b n ta thu đư c: (4n)! + 1 = 1.2.3.....(2n).(2n + 1).....(4n) + 1 = 1.2.....(2n).(p − 2n).(p − 2n + 1).....(p − 1) + 1 = (2n)!.(−1)2n.(2n)! ≡ ((2n)!)2 + 1 mod p. Suy ra đi u ph i ch ng minh. Đ t N = (2n)!, ta đã ch ng minh N 2 ≡ −1 mod p. Bây gi ta √ ph i vư t qua khó khăn chính, xét t t c các c p s nguyên (m, s) sao cho 0 ≤ m, s ≤ [ p] √ ( đây [x] ch ph n nguyên c a x). S các c p như v y b ng ([ p] + 1)2 > p.
13 Do đó v i ít nh t hai c p s (m1, s1) và (m2 , s2) s dư trong phép chia m1 + Ns1 và m2 + Ns2 cho p s gi ng nhau, nghĩa là s a + Nb trong đó a = m1 − m2 và b = s1 − s2 s chia h t cho p. Nhưng khi đó a2 − N 2 b2 = (a + Nb)(a − Nb) chia h t cho p và chú ý r ng N 2 ≡ −1 mod p ta thu đư c a2 + b2 chia h t p, nghĩa là a2 + b2 = rp v i r nguyên dương. M t khác a2 + b2 < 2p suy ra r = 1 và như th a2 + b2 = p. Đ nh lý đư c ch ng minh. 2. Ch ng minh c a D.T sagir. Phép ch ng minh c a nhà toán h c đương đ i D.T sagir làm tôi hoàn toàn b t ng , đây là m t đi u kỳ di u khi mà k t qu thu đư c tư ng ch ng như không t cái gì c . Sau đây là cách ch ng minh đó. Ta hãy xét phép bi n đ i mà m i b ba s nguyên dương (x, y, z) đư c đ t tương ng v i ba s (x , y , z ) theo quy t c:  x = x + 2z, y = z, z = y − x − z n u x < y − z  x = 2y − x, y = y, z = x − y + z n u y − z ≤ x ≤ 2y   x = x − 2y, y = x − y + z, z = y trong các trư ng h p còn l i. Ta ký hi u phép bi n đ i này là B : B(x, y, z) = (x , y , z ). R t d dàng ch ng minh r ng phép bi n đ i B gi nguyên d ng c a x2 +4yz. Ta ch ng minh đi u này, ch ng h n cho trư ng h p th nh t trong cách xác đ nh trên. Ta có: x 2 + 4y z = (x + 2z)2 + 4z(y − z − x) = x2 + 4xz + 4z 2 + 4yz − 4xz − 4z 2 = x2 + 4yz. Trong các trư ng h p còn l i vi c ki m tra cũng đơn gi n như v y. Có nghĩa là n u như đ i v i m t s p nào đó ta có đ ng th c x2 +4yz = p thì đ ng th c đó gi nguyên sau phép bi n đ i B. Ta ki m ch ng r ng phép bi n đ i B là xo n, có nghĩa là n u áp d ng B hai l n thì chúng ta s quay tr l i v trí ban đ u. Ta l i làm đi u này cho công th c th nh t trên, các trư ng h p còn l i ch ng minh tương t . V i x < y − z khi đó x = 2z + x, y = z, z = y − z − x t đó x > 2y và nghĩa là ph i tính B(x , y , z ) theo công th c th ba. Nghĩa là:  x = x − 2y = x + 2z − 2z = x  y = x − y + z = x + 2z − z + y − x − z = y   z = y = z. Bây gi ta gi s r ng p là s nguyên t có d ng 4n + 1. Khi đó, th nh t phương trình x2 + 4yz = p có ít nh t hai nghi m (x = 1, y = n, z = 1) và (x = 1, y = 1, z = n). Và th hai là phương trình này có h u h n nghi m (nguyên dương). N u như gi s r ng trong các nghi m c a phương trình này không có nghi m mà y = z (n u như có nghi m như v y thì p = x2 + (2y)2 và đ nh lý đư c ch ng minh), ta thu đư c r ng phép bi n đ i B chia t t c các nghi m thành các c p ((x, y, z), B((x, y, z))), n u như, t t nhiên (x, y, z) = B((x, y, z)). Ta th tìm xem có nh ng c p như v y không, hay như ngư i ta thư ng nói, t n t i chăng nh ng đi m b t đ ng c a phép bi n đ i B.
14 CHƯƠNG 1. T NG HAI BÌNH PHƯƠNG N u nhìn vào công th c xác đ nh B ta s d dàng nh n th y r ng nh ng đi m b t đ ng c a B là nh ng đi m mà x = y. Nhưng khi x = y > 1 thì phương trình x2 + 4yz = p không có nghi m (vì p không chia h t cho y). Nghĩa là ch có m t đi m b t đ ng duy nh t (1, 1, n). T t t c các lý lu n trên ta suy ra r ng s nghi m c a phương trình x2 + 4yz = p là s l và có m t đi m b t đ ng (1, 1, n) còn t t c các nghi m khác đư c chia thành t ng c p. Nhưng, ta l i có m t phép bi n đ i n a, ký hi u là J , J thay đ i ch c a y và z nghĩa là J (x, y, z) = (x, z, y). Phép bi n đ i này t t nhiên cũng gi nguyên d ng x2 + 4yz và cũng xo n. Ta th xem, nh ng b ba s nào trong nh ng nghi m c a phương trình x2 + 4yz = p đư c J gi nguyên. t c là nh ng b nào mà J (x, y, z) = (x, y, z). Ta đã gi s t trư c là y = z. Nhưng khi đó thì không th có đi m b t đ ng. T t c các nghi m đư c chia thành t ng c p. Như v y s các nghi m là ch n. Nhưng ta v a kh ng đ nh r ng s nghi m này là l . Mâu thu n. V y ph i t n t i nghi m c a phương trình x2 + 4yz = p mà y = z, như th p là t ng c a hai bình phương. Đ nh lý đư c ch ng minh. 3. Cách ch ng minh th ba. Cách ch ng minh c a Minkowsky đư c s a đ i đôi chút mà chúng ta s nói đ n bây gi , s còn làm chúng ta ng c nhiên g p b i. Đáng ti c là cách ch ng minh này không sơ c p l m, c th là ta c n th nào là elippse và công th c tính di n tích c a nó. T t c b t đ u t m t k t qu c a Minkowsky mà tư ng ch ng không có liên h gì v i đ nh lý F ermat Euler mà chúng ta đang quan tâm. Đ nh lý. Cho a, b, c là các s nguyên, a > 0 và ac − b2 = 1. Khi đó phương trình ax2 + 2bxy + cy 2 = 1 có nghi m nguyên. Ch ng minh. Ta xét h t a đ Descartes vuông góc và cho trên đó tích vô hư ng b ng công th c: ((x, y), (x , y )) = axx + byy + czz . Tích vô hư ng này cho ta kho ng cách t g c t a đ đ n đi m (x, y) là: d((0, 0), (x, y)) = ((x, x), (y, y)) = ax2 + 2bxy + cy 2. Ta tìm kho ng cách ng n nh t t g c t a đ đ n m t đi m khác nó c a lư i nguyên (m, n) (m, n là nh ng s nguyên). G i kho ng cách này là d∗ và đ t đư c t i đi m (m∗, n∗ ), như th : 2 2 2 am∗ + 2bm∗ n∗ + cn∗ = d∗ . T p h p t t c nh ng đi m (x, y) c a m t ph ng th a mãn b t đ ng th c: 2 ax2 + 2bxy + cy 2 ≤ d∗
15 là m t ellipse. T cách xây d ng c a ta suy ra r ng n u v t ellipse này theo t s 1/2 r i đưa ellipse "co" này đ n các tâm n m trên các đi m nguyên (t nh ti n) thì t t c các ellipse thu đư c n u có c t nhau thì ch c t nhau theo nh ng đi m biên. D th y r ng di n tích ph n giao c a các ellipse v i tam giác có đ nh (0, 0), (1, 0), (1, 1) b ng n a di n tích c a toàn ellipse. Mà di n tích này thì b ng (ch không sơ c p duy nh t): 2 2 πd∗ πd∗ · (ac − b2) = . 4 4 2 πd∗ Như v y di n tích ph n mà các ellipse chi m trong tam giác b ng và đây ch là m t 8 n a di n tích tam giác, nghĩa là: 2 πd∗ 1 2 4 < =⇒ d∗ < . 4 2 π 2 B i vì d∗ là s nguyên dương, cho nên d∗ = 1. Đ nh lý Minkowsky đư c ch ng minh. Nhưng k t qu tuy t v i này thì có liên quan gì đ n đ nh lý F ermat Euler? Liên quan tr c ti p đ y! Ta bi t t b đ W ilson r ng s b2 + 1 trong đó chia h t cho p, đúng không?! b2 + 1 Bây gi áp d ng đ nh lý Minkowsky cho các s a = p và c = . Ta thu đư c r ng a t n t i nh ng s nguyên m và n sao cho: 1 = am2 + 2bmn + cn2 =⇒ a = a2m2 + 2abmn + (b2 + 1)n2 = (am + bn)2 + n2 . Như th (nh l i r ng a = p) ta có p = (am + bn)2 + n2 nghĩa là p là t ng c a hai bình phương. M t l n n a, đ nh lý l i đư c ch ng minh. namdung www.diendantoanhoc.net Tr n Nam Dũng Gi ng Viên Đ i H c KHTN ĐHQG TP H Chí Minh Ph l c. Chúng tôi xin d n ra đây m t cách ch ng minh sơ c p c a đ nh lý Minkowsky. Gi s b ≥ 0 và ch ng minh quy n p theo b. V i b = 0 m nh đ đúng. Gi s m nh đ đã đúng v i 0, 1, .., b − 1, ta s ch ng minh nó cũng đúng v i b. S d ng phép đ i bi n (x = X − Y, y = Y ) =⇒ ax2 + 2bxy + cy 2 = aX 2 + (2b − a)XY + (c + a − 2b)Y 2 = AX 2 + 2BXY + CY 2. Trong đó A = a, B = b − a và C = c + a − 2b. Suy ra B 2 = AC + 1 và A > 0, 0 ≤ B ≤ b − 1. S d ng gi thi t quy n p ta suy ra m nh đ đúng v i b và do đó đ nh lý đư c ch ng minh. K09 www.diendantoanhoc.net Tr n Qu c Hoàn K50 CA Đ i H c Công Ngh Hà N i
16 CHƯƠNG 1. T NG HAI BÌNH PHƯƠNG
Chương 2 Các đ toán s h c ch n l c Bài toán 2.1. Tìm t t c các s nguyên dương nguyên t cùng nhau v i m i ph n t c a dãy: an = 2n + 3n + 6n − 1 n ≥ 1. Bài toán 2.2. Gi i phương trình nghi m nguyên dương x2 − (a2 + b2 ) · y 4 = 1. Bài toán 2.3. Cho k s t nhiên 1 ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ak ≤ n th a mãn [ai, aj ] > n v i m i 1 ≤ i ≤ j ≤ k. Ch ng minh r ng: k k 1 3 1 6 (i) < (ii) < . i=1 ai 2 i=1 ai 5 Bài toán 2.4. Hãy tìm t t c các s nguyên dương n sao cho t n t i hoán v {a1, a2, ..., an} c a {1, 2, ..., n} tho mãn tính ch t m t trong hai t p h p sau đây: (i) {a1, a1a2, ..., a1a2...an} (ii) {a1, a1 + a2 , ..., a1 + a2 + ... + an } l p thành m t h th ng dư đ y đ modun n. Bài toán 2.5. Tìm s nguyên dương k l n nh t đ t n t i 2k s nguyên dương đôi m t phân bi t a1, a2 , ..., ak, b1, b2 , ..., bk mà k t ng a1 + b1, a2 + b2, ..., ak + bk đôi m t khác nhau và nh hơn 2005. Bài toán 2.6. Gi s p là m t s nguyên t . Ch ng minh r ng trong 2p − 1 s nguyên b t kì đ u t n t i p s có t ng là b i s c a p. K t lu n c a bài toán thay đ i như th nào n u b đi gi thi t p nguyên t . Bài toán 2.7. Ch ng minh r ng s các h p s thu c m t trong hai d ng sau đ u là vô h n: n n (i) 22 + 1 (ii) 62 + 1. Bài toán 2.8. Gi s a, b, c là các s nguyên dương nguyên t cùng nhau sao cho đ ng th c an = b2 + c2 đúng v i s nguyên n > 1 nào đó. Ch ng minh r ng a có th vi t thành t ng c a hai s chính phương. 17
18 CHƯƠNG 2. CÁC Đ TOÁN S H C CH N L C Bài toán 2.9. M t s t nhiên là b p bênh n u khi đem nó nhân v i 9 ta đư c chính s đó nhưng vi t theo th t ngư c l i c a các ch s . Ch ng h n s 1089 là m t s b p bênh có 4 ch s b i vì 1089.9 = 9801. V n đ c a chúng ta là tìm t t c các s b p bênh có n ch s . Hơn n a hãy tính s t t c các s b p bênh có n ch s . Bài toán 2.10. Ch ng minh r ng v i s t nhiên n b t kỳ đ u t n t i hai s nguyên x, y tho mãn n|x2 − 34y 2 + 1. Bài toán 2.11. Tìm t t c các s t nhiên k sao cho t n t i s th c dương ck thoã mãn: S(kn) ≥ ck ∀n ∈ N. S(n) Bài toán 2.12. Tìm t p giá tr c a N đ phương trình sau có nghi m nguyên dương: x2 + x2 + ... + x2 = N (x1x2 ...xn − 1). 1 2 n Bài toán 2.13. Dãy s p1 .p2 , ..., pn, ... là dãy t t c các s nguyên t . Ch ng minh r ng t n t i ba s h ng liên ti p trong dãy trên tho mãn tính ch t m i s trong chúng đ u l n hơn bình phương ch s c a chính s đó. Bài toán 2.14. Ch ng minh r ng t n t i s t nhiên n đ s 2n + 3n có đúng 23 ư c s nguyên t . Bài toán 2.15. Cho dãy tăng các s t nhiên {an } có tính ch t t n t i h ng s M sao cho an+1 − an < M v i m i n ∈ N . Ch ng minh r ng t p ư c s nguyên t c a dãy trên là vô h n. Bài toán 2.16. Xét M = n(n − 1)...(n − k + 1) v i n ≥ 2k. Ch ng minh r ng M có ư c s nguyên t l n hơn k. Bài toán 2.17. Gi s p là m t s nguyên t có d ng 4k + 3. Ch ng minh khi đó p − 1 s t nhiên liên ti p không th chia làm hai nhóm có tích các th a s trong m i nhóm b ng nhau. Bài toán 2.18. Tìm s nguyên dương n nh nh t sau cho n2 − n + 11 là tích c a b n s nguyên t (không c n phân bi t). Bài toán 2.19. Tìm t t c các b ba s nguyên dương (x, y, z) v i z bé nh t có th sao cho t n t i các s nguyên dương a, b, c, d có các tính ch t:  xy = z b = cd , x > a > c  z = ab = cd   x + y = a + b. Bài toán 2.20. Cho các s nguyên a1, a2, ..., an và b1, b2 , ..., bn trong đó ai ≥ 2 ∀i = 1, n. Ch ng minh r ng t n t i vô h n các b s nguyên (c1 , c2, ..., cn) sao cho ta có tính ch t sau: b1c1 + b2c2 + ...bncn |ca1 + ca2 + ... + can . 1 2 n Bài toán 2.21. Tìm t t c các s t nhiên n sao cho n u v i m i hoán v (a1 , a2, ..., an) c a {1, 2, ..., n} thì ta luôn tìm đư c ch s i mà a1 + a2 + ... + ai là m t s chính phương.
19 Bài toán 2.22. Tìm t t c các s nguyên dương n sao cho n3 − 1 là s chính phương. Bài toán 2.23. Ch ng minh r ng v i hai s nguyên dương s, a (s) không chia h t cho 3) luôn t n t i s t nhiên n tho mãn S(ns) = a v i S(x) là t ng các ch s c a x. Bài toán 2.24. Cho s nguyên dương n > 1. Tìm s nguyên dương nh nh t không có d ng na − nb v i b t kỳ các s nguyên dương a, b, c, d nào đó. nc − nd Bài toán 2.25. Cho s nguyên không âm a và s nguyên dương d. Ch ng minh r ng trong 73 s a, a + d, ..., a + 72d có ít nh t m t s mà trong bi u di n th p phân c a nó có ch s 9. Bài toán 2.26. Ch ng minh r ng v i m i s th c δ ∈ [0, 1] và v i m i ε > 0 b t đ ng th c: ϕ(n) −δ 2. Ch ng minh r ng: nn n 1989|nn − nn .