Tuyệt Chiêu Hàm Số

Chia sẻ: Hà Thị Ánh Tuyết | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

1.397
lượt xem 820
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyệt chiêu hàm số, với các bài tập hàm số bổ ích, giúp các bạn ôn thi thật hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyệt Chiêu Hàm Số

Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 TÍNH ðƠN ðI U C A HÀM S TÓM T T LÝ THUY T 1. ð nh nghĩa : Gi s K là m t kho ng , m t ño n ho c m t n a kho ng . Hàm s f xác ñ nh trên K ñư c g i là ( ) ( ) • ð ng bi n trên K n u v i m i x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f x 1 < f x 2 • Ngh ch bi n trên K n u v i m i x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f ( x ) > f (x ) 1 2 2. ði u ki n c n ñ hàm s ñơn ñi u : Gi s hàm s f có ñ o hàm trên kho ng I ( ) • N u hàm s f ñ ng bi n trên kho ng I thì f ' x ≥ 0 v i m i x ∈ I • N u hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I thì f ' ( x ) ≤ 0 v i m i x ∈I 3. ði u ki n ñ ñ hàm s ñơn ñi u : ð nh lý 1 : ð nh lý v giá tr trung bình c a phép vi phân (ð nh lý Lagrange): ( ) N u hàm s f liên t c trên a;b  và có ñ o hàm trên kho ng a;b thì t n t i ít nh t m t ñi m c ∈ a;b   ( ) () () ( )( sao cho f b − f a = f ' c b − a ) ð nh lý 2 : Gi s I là m t kho ng ho c n a kho ng ho c m t ño n , f là hàm s liên t c trên I và có ñ o hàm t i m i ñi m trong c a I ( t c là ñi m thu c I nhưng không ph i ñ u mút c a I ) .Khi ñó : ( ) • N u f ' x > 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f ñ ng bi n trên kho ng I • N u f ' (x ) < 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I • N u f ' (x ) = 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f không ñ i trên kho ng I Chú ý : ( ) ( ) • N u hàm s f liên t c trên a;b  và có ñ o hàm f ' x > 0 trên kho ng a;b thì hàm s f ñ ng bi n   trên a;b    ( ) ( ) • N u hàm s f liên t c trên a;b  và có ñ o hàm f ' x < 0 trên kho ng a;b thì hàm s f ngh ch   bi n trên a;b    5
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 CÁC BÀI TOÁN CƠ B N Ví d 1: Xét chi u bi n thiên c a các hàm s : 1 ( ) a ) f x = x 3 − 3x 2 + 8x − 2 3 x 2 − 2x b) f x =( ) x −1 ( ) c) f x = x 3 + 3x 2 + 3x + 2 1 3 1 2 d) f x = ( ) 3 x − x − 2x + 2 2 Gi i : 1 3 a) f x =( ) 3 x − 3x 2 + 8x − 2 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có f ' x = x 2 − 6x + 8 ( ) f ' x = 0 ⇔ x = 2, x = 4 Chi u bi n thiên c a hàm s ñư c nêu trong b ng sau : x −∞ 2 4 +∞ ( ) f' x + 0 − 0 + f (x ) +∞ −∞ ( ) ( ) V y hàm s ñ ng bi n trên m i kho ng −∞;2 và 4; +∞ , ngh ch bi n trên kho ng 2; 4 ( ) x 2 − 2x ( ) b) f x = x −1 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên t p h p ℝ \ 1 . {} (x − 1) + 1 > 0, x ≠ 1 2 x 2 − 2x + 2 Ta có f ' x = ( ) = ( x − 1) ( x − 1) 2 2 Chi u bi n thiên c a hàm s ñư c nêu trong b ng sau : x −∞ 1 +∞ ( ) f' x + + +∞ +∞ ( ) f x −∞ −∞ 6
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 V y hàm s ñ ng bi n trên m i kho ng −∞;1 và 1; +∞ ( ) ( ) ( ) c) f x = x 3 + 3x 2 + 3x + 2 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) ( ) 2 Ta có f ' x = 3x 2 = 6x + 3 = 3 x + 1 ( ) ( ) f ' x = 0 ⇔ x = −1 và f ' x > 0 v i m i x ≠ −1 ( ) Vì hàm s ñ ng bi n trên m i n a kho ng −∞; −1 và  −1; +∞ nên hàm s ñ ng bi n trên ℝ .   Ho c ta có th dùng b ng bi n thiên c a hàm s : x −∞ −1 +∞ ( ) f' x + 0 + f (x ) +∞ 1 −∞ ( ) Vì hàm s ñ ng bi n trên m i n a kho ng −∞; −1 và  −1; +∞ nên hàm s ñ ng bi n trên ℝ .   1 1 ( ) d ) f x = x 3 − x 2 − 2x + 2 Tương t bài a ) 3 2 Ví d 2: Xét chi u bi n thiên c a các hàm s : ( ) a ) f x = 2x 3 + 3x 2 + 1 b) f (x ) = x 4 − 2x 2 − 5 4 2 ( ) c) f x = − x 3 + 6x 2 − 9x − 3 3 d) f (x ) = 2x − x 2 Gi i : ( ) a ) f x = 2x 3 + 3x 2 + 1 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có f ' x = 6x 2 + 6x ( ) ( )( ) ( ) ( f ' x > 0, x ∈ −∞; −1 , 0; +∞ ⇒ f x ñ ng bi n trên m i kho ng −∞; −1 và 0; +∞ . ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −1; 0 ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên kho ng ( −1; 0 ) . Ngoài ra : H c sinh có th gi i f ' ( x ) = 0 , tìm ra hai nghi m x = −1, x = 0 , k b ng bi n thiên r i k t lu n. 7
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 ( ) b ) f x = x 4 − 2x 2 − 5 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có f ' x = 4x 3 − 4x ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f ' x > 0, x ∈ −1; 0 , 1; +∞ ⇒ f x ñ ng bi n trên m i kho ng −1; 0 và 1; +∞ . f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −∞; −1) , ( 0;1) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên m i kho ng ( −∞; −1) và ( 0;1) . Ngoài ra : H c sinh có th gi i f ' ( x ) = 0 , tìm ra hai nghi m x = −1, x = 0, x = 1 , k b ng bi n thiên r i k t lu n. 4 2 ( ) c) f x = − x 3 + 6x 2 − 9x − 3 3 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) ( ) 2 Ta có f ' x = −4x 2 + 12x − 9 = − 2x − 3 3 3 ( ) f' x =0⇔x = 2 ( ) và f ' x < 0 v i m i x ≠ 2  3 3  Vì hàm s ngh ch bi n trên m i n a kho ng  −∞;  và  ; +∞  nên hàm s ngh ch bi n trên ℝ .  2 2  ( ) d ) f x = 2x − x 2 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên 0;2  .   1−x ( ) Ta có f ' x = , x ∈ 0;2 ( ) 2x − x 2 ( ) ( ) ( ) f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x ñ ng bi n trên kho ng ( 0;1) f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên kho ng (1;2 ) Ho c có th trình bày : ( ) ( ) ( ) f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x ñ ng bi n trên ño n 0;1   f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên ño n 1;2    Ví d 3: ( ) Ch ng minh r ng hàm s f x = 4 − x 2 ngh ch bi n trên ño n 0;2    Gi i : −x D th y hàm s ñã cho liên t c trên ño n 0;2  và có ñ o hàm f ' x =   ( )
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Ví d 4: ( ) 1. Ch ng minh r ng hàm s f x = x 3 + x − cos x − 4 ñ ng bi n trên ℝ . 2 . Ch ng minh r ng hàm s f ( x ) = cos 2x − 2x + 3 ngh ch bi n trên ℝ . Gi i : 1. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có f ' x = 3x 2 + 1 + sin x Vì 3x 2 ≥ 0, x ∈ ℝ ( ) 1 + sin x ≥ 0, x ∈ ℝ nên f ' x ≥ 0, x ∈ ℝ . Do ñó hàm s ñ ng bi n trên ℝ . 2 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . π ( ) ( ) ( ) Ta có f ' x = −2 sin 2x + 1 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ và f ' x = 0 ⇔ sin 2x = −1 ⇔ x = − 4 + kπ , k ∈ ℤ  π π  ( ) Hàm s ngh ch bi n trên m i ño n  − + k π ; − + k + 1 π  , k ∈ ℤ . Do ñó hàm s ngh ch bi n trên  4 4  ℝ. Ví d 5: ( ) Tìm kho ng ñơn ñi u c a hàm s f x = sin x trên kho ng 0;2π ( ) Gi i : ( ) Hàm s ñã cho xác ñ nh trên kho ng 0;2π và có ñ o hàm f ' x = cos x , x ∈ 0;2π . ( ) ( ) 3π π ( ) ( f ' x = 0, x ∈ 0;2π ⇔ x = )2 2 ,x = Chi u bi n thiên c a hàm s ñư c nêu trong b ng sau : π 3π x 0 2π 2 2 ( ) f' x + 0 − 0 + f (x ) 1 0 0 −1  π   3π   π 3π  Hàm s ñ ng bi n trên m i kho ng  0;  và  ;2π  , ngh ch bi n trên kho ng  ; .  2  2  2 2  9
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Ví d 6:  π Ch ng minh r ng : sin x + tan x > 2x , ∀x ∈  0;  .  2 Gi i :  π ( ) Xét hàm s f x = sin x + tan x − 2x liên t c trên n a kho ng 0;  .Ta có :  2 1 1  π ( ) f ' x = cos x + cos2 x − 2 > cos2 x + cos2 x ( ) − 2 > 0, ∀x ∈  0;  ⇒ f x là hàm s ñ ng bi n trên  2  π  π  π ( ) () 0;  và f x > f 0 , ∀x ∈  0;  hay sin x + tan x > 2x , ∀x ∈  0;  .  2  2  2 NG D NG ð O HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ð I S Ví d 1: 81 Gi i phương trình : 81sin x + cos x = 10 10 256 () * Gi i : ð t t = sin x ; 0 ≤ t ≤ 1 . 2 81 () Khi ñó phương trình * ⇔ 81t + (1 − t ) = 5 5 256 , t ∈ 0;1   Xét hàm s f (t ) = 81t + (1 − t ) liên t c trên ño n  0;1 , ta có: 5 5   f '(t ) = 5[81t 4 − (1 − t )4 ],t ∈ 0;1   81t 4 = (1 − t )4  1 f '(t ) = 0 ⇔  ⇔t = t ∈ 0;1    4 81 1 L p b ng bi n thiên và t b ng bi n thiên ta có: f (t ) ≥ f ( ) = 256 4 1 1 1 π V y phương trình có nghi m t = ⇔ sin 2 x = ⇔ cos 2x = ⇔ x = + k π (k ∈ Z ) . 4 4 2 6 10
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Ví d 2: Gi i phương trình : 1. 3x (2 + 9x 2 + 3) + (4x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0 2  π π 2. e tan x + cosx=2 ,x ∈  - ;  .  2 2 3. 2003x + 2005x = 4006x + 2 4. 3x = 1 + x + log 3(1 + 2x ) Gi i : 1. 3x (2 + 9x 2 + 3) + (4x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0 (1) Phương trình (1) ⇔ −3x (2 + ( ) (−3x )2 + 3) = (2x + 1)(2 + (2x + 1)2 + 3) (2) ð t u = −3x , v = 2x + 1, u, v > 0 Phương trình (1) ⇔ u(2 + u 2 + 3) = v(2 + v 2 + 3) (3) Xét hàm s f (t ) = 2t + t 4 + 3t 2 , t > 0 2t 3 + 3t Ta có f '(t ) = 2 + () ( > 0, ∀t > 0 ⇒ f t ñ ng bi n trên kho ng 0; +∞ . ) t + 3t 4 2 1 Khi ñó phương trình (3) ⇔ f (u ) = f (v ) ⇔ u = v ⇔ −3x = 2x + 1 ⇔ x = − 5 1 V yx =− là nghi m duy nh t c a phương trình. 5 Chú ý : ( ) N u hàm s y = f x luôn ñơn ñi u nghiêm ngo c ( ho c luôn ñ ng bi n ho c luôn ngh ch bi n ) thì ( ) s nghi m c a phương trình : f x = k s không nhi u hơn m t và f x = f y ( ) () khi và ch khi x =y. 2  π π 2. e tan x + cosx =2 ,x ∈  - ;   2 2 tan2 x  π π Xét hàm s : f (x ) = e + cosx liên t c trên kho ng x ∈  - ;  . Ta có  2 2 11
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12  tan2x  1 2  2e − cos3x  f '(x ) = 2 tan x . e tan x − sin x = sin x 2 cos x  cos3x    tan2 x Vì 2e ≥ 2 > cos x > 0 3 Nên d u c a f '(x ) chính là d u c a sin x . T ñây ta có f (x ) ≥ f (0) = 2 V y phương trình ñã cho có nghi m duy nh t x = 0 . 3. 2003x + 2005x = 4006x + 2 x x Xét hàm s : f (x ) = 2003 + 2005 − 4006x − 2 x x Ta có: f '(x ) = 2003 ln 2003 + 2005 ln 2005 − 4006 f ''(x ) = 2003x ln2 2003 + 2005x ln2 2005 > 0 ∀x ⇒ f "(x ) = 0 vô nghi m ( ) ( ) f ' x = 0 có nhi u nh t là m t nghi m . Do ñó phương trình f x = 0 có nhi u nh t là hai nghi m và f ( 0 ) = f (1) = 0 nên phương trình ñã cho có hai nghi m x = 0, x = 1 Chú ý : ( ) • N u hàm s y = f x luôn ñơn ñi u nghiêm ngo c ( ho c luôn ñ ng bi n ho c luôn ngh ch bi n ) ( ) và hàm s y = g x luôn ñơn ñi u nghiêm ngo c ( ho c luôn ñ ng bi n ho c luôn ngh ch bi n ) trên D , thì s nghi m trên D c a phương trình f x = g x ( ) ( ) không nhi u hơn m t. ( ) • N u hàm s y = f x ) có ñ o hàm ñ n c p n và phương trình f (k ) (x ) = 0 có m nghi m, khi ñó (k −1) phương trình f (x ) = 0 có nhi u nh t là m + 1 nghi m 4. 3x = 1 + x + log 3(1 + 2x ) 1 x >− 2 Phương trình cho ⇔ 3x + x = 1 + 2x + log3 (1 + 2x ) ⇔ 3x + log3 3x = 1 + 2x + log3 (1 + 2x ) * () Xét hàm s : f (t ) = t + log 3 t, t > 0 ta có f ' (t ) = 1 + > 0, t > 0 ⇒ f (t ) là hàm ñ ng bi n 1 t ln 3 kho ng ( 0; +∞ ) nên phương trình (*) ⇔ f (3x ) = f (1 + 2x ) ⇔ 3x = 2x + 1 ⇔ 3x − 2x − 1 = 0 (* *) x x x 2 Xét hàm s : f (x ) = 3 − 2x − 1 ⇒ f '(x ) = 3 ln 3 − 2 ⇒ f "(x ) = 3 ln 3 > 0 12
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 () ⇒ f (x ) = 0 có nhi u nh t là hai nghi m, và f (0) = f 1 = 0 nên phương trình ñã cho có hai nghi m x = 0, x = 1 . Ví d 3: 3 x −x 2 −1 Gi i phương trình : log 3 ( )1 x 2 − 3x + 2 + 2 +   5 () =2 * Gi i : ði u ki n x 2 − 3x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ∨ x ≥ 2 ð t u = x 2 − 3x + 2, u ≥ 0 1−u 2 1 1 2 () ( Phương trình * ⇔ log 3 u + 2 +   ) ( ) = 2 ⇔ log 3 u + 2 +   .5u = 2, u ≥ 0 * * ( ) 5 5 1 2 ( ) ( ) Xét hàm s : f u = log 3 u + 2 +   .5u liên t c trên n a kho ng 0; +∞ , ta có :  ) 5 1 1 2 f ' (u ) = ( )  + 5u .ln 5.2u > 0, ∀u ≥ 0 ⇒ f u ñ ng bi n trên n a kho ng 0; +∞ và (u + 2)ln 3 5 ) () f 1 = 2 ⇒ u = 1 là nghi m phương trình * * . ( )  3− 5 x = Khi ñó x 2 − 3x + 2 = 1 ⇔ x 2 − 3x + 1 = 0 ⇔  2 tho ñi u ki n.  3+ 5 x =  2 Ví d 4: Gi i h phương trình : 2x 3 4 y 4 (1) 1. 2y 3 4 x 4 (2)  x 3 + 2x = y ( 1 )  2.  3   y + 2y = x ( 2 )    x 3 − 3x = y 3 − 3y (1)  3.  x + y = 1 6 6 (2)  13
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Gi i : 2x 3 4 y 4 (1) 1. 2y 3 4 x 4 (2)  3  − ≤ x ≤ 4  ði u ki n:  2  .  3 − ≤ x ≤ 4   2  Cách 1: Tr (1) và (2) ta ñư c: 2x + 3 − 4 − x = 2y + 3 − 4 − y (3)  3  Xét hàm s f (t ) = 2t + 3 − 4 − t , t ∈  − ; 4  , ta có:  2  1 1  3  f / (x ) = + > 0, ∀t ∈  − ; 4  ⇒ (3) ⇔ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y .    2t + 3 2 4 − t  2   Thay x = y vào (1) ,ta ñư c: 2x + 3 + 4 − x = 4 ⇔ x + 7 + 2 (2x + 3)(4 − x ) = 16 9 − x ≥ 0 x = 3 2    ⇔ 2 −2x + 5x + 12 = 9 − x ⇔  2 ⇔   9x − 38x + 33 = 0   x = 11   9   11 x = 3 x =   V y h phương trình có 2 nghi m phân bi t   ,   9 . y = 3    11  y =   9 Cách 2: Tr (1) và (2) ta ñư c: (2x + 3) − (2y + 3) (4 − y ) − (4 − x ) ( 2x + 3 − 2y + 3 + ) ( ) 4 −y − 4 −x = 0 ⇔ 2x + 3 + 2y + 3 + 4 −y + 4−x =0  2 1   = 0 ⇔ x = y. ⇔ (x − y )   +    2x + 3 + 2y + 3  4 −y + 4−x   Thay x = y vào (1) ,ta ñư c: 2x + 3 + 4 − x = 4 ⇔ x + 7 + 2 (2x + 3)(4 − x ) = 16 9 − x ≥ 0 x = 3 2    ⇔ 2 −2x + 5x + 12 = 9 − x ⇔  2 ⇔   9x − 38x + 33 = 0   x = 11   9 14
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12   11 x = 3 x =   V y h phương trình có 2 nghi m phân bi t   ,   9 . y = 3    11  y =   9  3  x + 2x = y ( 1 )  2.  3  y + 2y = x ( 2 )    Cách 1 : Xét hàm s f (t ) = t 3 + 2t ⇒ f / (t ) = 3t 2 + 2 > 0, ∀t ∈ ℝ .   f (x ) = y (1) H phương trình tr thành   .  f (y ) = x (2)   + N u x > y ⇒ f (x ) > f (y ) ⇒ y > x (do (1) và (2) d n ñ n mâu thu n). + N u x < y ⇒ f (x ) < f (y ) ⇒ y < x (mâu thu n). Suy ra x = y , th vào h ta ñư c x 3 + x = 0 ⇔ x ( x 2 + 1 ) = 0 ⇔ x = 0 vì x 2 + 1 > 0. x = 0  V y h có nghi m duy nh t   . y = 0   Cách 2: Tr (1) và (2) ta ñư c: x 3 − y 3 + 3x − 3y = 0 ⇔ (x − y )(x 2 + y 2 + xy + 3) = 0  2  y 3y 2 ⇔ (x − y )   x +  +    + 3  = 0 ⇔ x = y   2 4   Th x = y vào (1) và (2) ta ñư c: x 3 + x = 0 ⇔ x ( x 2 + 1 ) = 0 ⇔ x = 0 x = 0  V y h phương trình có nghi m duy nh t   . y = 0   x 3 − 3x = y 3 − 3y (1)  3.  x + y = 1 6 6 (2)  T (1) và (2) suy ra −1 ≤ x , y ≤ 1 (1) ⇔ f (x ) = f (y ) (*) Xét hàm s f (t ) = t − 3t liên t c trên ño n [ −1;1] , ta có 3 () f '(t ) = 3(t 2 − 1) ≤ 0 ∀t ∈ [ −1;1] ⇒ f t ngh ch bi n trên ño n [ −1;1] 1 Do ñó: (*) ⇔ x = y thay vào (2) ta ñư c nghi m c a h là: x = y = ± . 6 2 Ví d 5: 15
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Gi i h phương trình :  x − 1 = y − 1   (1) 1.  x y  2  2x − xy − 1 = 0 (2)      x − 1 = y − 1 (1)   2.  x y   2y = x 3 + 1 (2)    Gi i :  x − 1 = y − 1   (1) 1.  x y  2  2x − xy − 1 = 0 (2)    ði u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0 . Ta có: y = x  1 = 0 ⇔  (1) ⇔ (x − y )  1 +      xy  y = − 1 .  x • y = x phương trình (2) ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1 . 1 • y = − phương trình (2) vô nghi m. x  x = 1  x = −1   V y h phương trình có 2 nghi m phân bi t   ;   .  y = 1  y = −1     Bình lu n:  x − 1 = y − 1   (1) Cách gi i sau ñây sai:  x y .  2  2x − xy − 1 = 0 (2)    ði u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0 . 1 1 Xét hàm s f (t ) = t − , t ∈ ℝ \ {0} ⇒ f / (t ) = 1 + > 0, ∀t ∈ ℝ \ {0} . t t2 Suy ra (1) ⇔ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y ! Sai do hàm s f (t ) ñơn ñi u trên 2 kho ng r i nhau (c th f ( −1 ) = f ( 1 ) = 0 ). 1 1 x y (1) 2. x y 2y x3 1 (2) Cách 1: ði u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0. 16
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 x −y  1 1 (1) ⇔ x − y + = 0 ⇔ (x − y )  1 +  = 0 ⇔ x = y ∨ y = − .    xy   xy  x −1 ± 5 • x = y phương trình (2) ⇔ x = 1 ∨ x = . 2 1 • y =− phương trình (2) ⇔ x 4 + x + 2 = 0. x −1 Xét hàm s f (x ) = x 4 + x + 2 ⇒ f / (x ) = 4x 3 + 1 = 0 ⇔ x = . 3 4  −1   3 f 3  = 2 − 3 > 0, lim = lim = +∞ ⇒ f (x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ x 4 + x + 2 = 0  4   4 4 x →−∞ x →+∞ vô nghi m. Cách 2: ði u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0. x −y  1 1 (1) ⇔ x − y +  = 0 ⇔ (x − y )  1 +  = 0 ⇔ x = y ∨ y = − . xy    xy  x −1 ± 5 • x = y phương trình (2) ⇔ x = 1 ∨ x = . 2 1 • y =− phương trình (2) ⇔ x 4 + x + 2 = 0. x • V i x < 1 ⇒ x + 2 > 0 ⇒ x4 + x + 2 > 0 . • V i x ≥ 1 ⇒ x 4 ≥ x ≥ −x ⇒ x 4 + x + 2 > 0 . Suy ra phương trình (2) vô nghi m.     −1 + 5  −1 − 5 x = 1 x =    x =  V y h phương trình có 3 nghi m phân bi t   ∨ 2 ∨ 2 . y = 1     y = −1 + 5  y = − 1 − 5       2    2 Ví d 6: Gi i h phương trình: x + x 2 − 2x + 2 = 3y −1 + 1  1.  (x , y ∈ R) x −1 y + y − 2y + 2 = 3 + 1 2  (1 + 42x −y )51−2x +y = 1 + 22x −y +1 (1) 2.   3 2 y + 4x + 1 + ln(y + 2x ) = 0 (2)  17
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Gi i : x + x 2 − 2x + 2 = 3y −1 + 1  1.  (x , y ∈ R) x −1 y + y − 2y + 2 = 3 + 1 2  ð t u = x − 1, v = y − 1  2 v u + u + 1 = 3 (I ) vi t l i  (II ) v + v 2 + 1 = 3u  ( ) Xét hàm s : f x = x + x 2 + 1 liên t c ∀x ∈ ℝ , ta có x2 + 1 + x x +x () f x =1+ 2 x = 2 > 2 ( ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ f x ñ ng bi n ∀x ∈ ℝ . x +1 x +1 x +1 ( ) () N u u > u ⇒ f u > f v ⇒ 3v > 3u ⇒ v > u vô lý Tương t n u v > u cũng d n ñ n vô lý   u + u 2 + 1 = 3u 1 = 3u ( u 2 + 1 − u ) (1) Do ñó h ( ) II ⇔ ⇔ u = v  u = v  ( ) ð t: g u = 3u ( u 2 + 1 − u ) liên t c ∀u ∈ R , ta có  u    1  g '(u ) = 3u ln 3( u 2 + 1 − u ) + 3u  − 1  = 3u  u 2 + 1 − u   ln 3 −  > 0, ∀u ∈ R  2    2   u +1   u +1 ( ) () Do ñó g u ñ ng bi n ∀u ∈ R và g 0 = 1 ⇒ u = 0 là nghi m duy nh t c a 1 . () Nên ( II ) ⇔ u = v = 0 . V y (I ) ⇔ x = y = 1 (1 + 42x −y )51−2x +y = 1 + 22x −y +1 (1) 2.   3 2 y + 4x + 1 + ln(y + 2x ) = 0 (2)  1 4 ð t t = 2x − y . Khi ñó phương trình (1) tr thành: 5[( ) + ( ) ] = 1 + 2.2 5 t 5 t t (* ) 1 4 () t Xét f t = 5[( ) + ( ) ] , g t = 1 + 2.2 5 5 t () t () 1t 4t () D th y : f t = 5[( ) + ( ) ] là hàm ngh ch bi n và g t = 1 + 2.2 5 5 t là hàm ñ ng bi n và f (1) = g (1) = 5 ⇒ t = 1 là m t nghi m c a ( * ) . Do ñó ( * ) có nghi m duy nh t t = 1 . t = 1 ⇔ 2x − y = 1 ⇔ 2x = y + 1 khi ñó: (2) ⇔ y 3 + 2y + 3 + ln(y 2 + y + 1) = 0 ( * * ) 18
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 3 2 Xét hàm s f (y ) = y + 2y + 3 + ln(y + y + 1) , ta có: 2 2y + 1 2 2y 2 + 4y + 3 f '(y ) = 3y + 2 + = 3y + > 0 ⇒ f (y ) là hàm ñ ng bi n 2 2 y +y +1 y +y +1 ( ) và f (−1) = 0 nên * * có nghi m duy nh t y = −1 x = 0  V y nghi m c a h là:  . y = −1  Ví d 7:  x y e = 2007 −  y 2 − 1 1 có ñúng 2 nghi m th a mãn ñi u ki n Ch ng minh r ng h phương trình  x () e y = 2007 −   x2 − 1 x > 1, y > 1 Gi i : () ð t: f t = e t , g t = () t ( liên t c trên kho ng 1, +∞ , ta có ) t2 − 1 () () f ' t = e t > 0, ∀t > 1 ⇒ f t ñ ng bi n trên kho ng 1, +∞ ( ) −1 g / (t ) = 3 () < 0, ∀t > 1 ⇒ g t ngh ch bi n trên kho ng 1, +∞ . ( ) (t − 1) 2 2  x y e = 2007 −  H phương trình  2  ( ) y − 1 1 ⇔  f x + g y = 2007 ⇒ f x + g y = f y + g x () () ( ) () () ( )  e y = 2007 − x  f y + g x = 2007  () ( )   x2 − 1 ( ) () N u x > y ⇒ f x > f y ⇒ g y < g x ⇒ y > x vô lý. () ( ) Tương t y > x cũng vô lý .  x y e = 2007 −    x x Khi ñó  y − 1 1 ⇔ e + 2 − 2007 = 0 () 2 () x x −1 2 e = 2007 − y x = y    x2 − 1 Xét hàm s : h x = e x +( ) x − 2007 liên t c trên kho ng 1; +∞ , ta có ( ) x2 − 1 19
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 3 5 ( ) 1 ( ) ( ) ( 3 2 ) 3x − − h ' x = ex − 3 = ex − x 2 − 1 2 , h '' x = e x + x −1 2 .2x = e x + 5 >0 2 (x 2 −1 ) 2 (x 2 −1 ) 2 + x →1 ( ) và lim h x = +∞, lim h x = +∞ x →+∞ ( ) V y h ( x ) liên t c và có ñ th là ñư ng cong lõm trên 1; +∞ . ( ) () Do ñó ñ ch ng minh 2 có 2 nghi m l n hơn 1 ta ch c n ch ng minh t n t i x 0 > 1 mà h x 0 < 0 . ( ) 2 () Ch n x 0 = 2 : h 2 = e 2 + ( ) − 2007 < 0 ⇒ h x = 0 có ñúng hai nghi m x > 1 3 () V y h phương trình 1 có ñúng 2 nghi m th a mãn ñi u ki n x > 1, y > 1 . Ví d 8: Gi i h phương trình sau:  2x y =  1 − x2  2y 1. z =  1 − y2  2z x = 1 − z 2  y 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0  2. z 3 − 9y 2 + 27y − 27 = 0 x 3 − 9z 2 + 27z − 27 = 0  Gi i :  2x y =  1 − x2  2y 1. z =  1 − y2  2z x =  1 − z2 Gi s x > y > z Xét hàm s : f t = () 2t 1 − t2 ,xác ñ nh trên D = ℝ \ ±1 .Ta có { } 2(t 2 + 1) () f t = (1 − t 2 )2 () > 0, ∀x ∈ D ⇒ f t luôn ñ ng bi n trên D . 20
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 ( ) () () Do ñó : x > y > z ⇒ f x > f y > f z ⇒ y > z > x . Mâu thu n, do ñó ñi u gi s sai . Tương t x < y < z không tho . V yx =y =z ( ) ( H cho có nghi m : x ; y; z = 0; 0; 0 ) y 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0  2. z 3 − 9y 2 + 27y − 27 = 0 x 3 − 9z 2 + 27z − 27 = 0  y 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0 y 3 = 9x 2 + 27x − 27  3  3 z − 9y + 27y − 27 = 0 ⇔ z = 9y + 27y − 27 2 2 x 3 − 9z 2 + 27z − 27 = 0 x 3 = 9z 2 + 27z − 27   Xét hàm s ñ c trưng : f (t ) = 9t 2 − 27t + 27 ⇒ f '(t ) = 18t − 27  3 3  f '(t ) > 0, ∀t >  f '(t ) = 0 ⇔ 18t − 27 = 0 ⇔ t = ⇒  2 2   ()  f ' t < 0, ∀t < 3 2 3   3 Hàm s ñ ng bi n trên kho ng  ; +∞  và ngh ch bi n trên kho ng  −∞;  2   2 3  3  27 Hàm s ñ t giá tr nh nh t t i t = ⇒f = 2 2 4  3 3 x ≥ 3 > 27 27 27 3 3  4 2 Và f (t ) ≥ ⇔ 9x 2 − 27x + 27 ≥ ⇒ y3 ≥ ⇒y ≥ > ⇒ 4 4 4 4 2 z ≥ 3 > 3 3   3 4 2  f (x ) = y  V y x , y, z thu c mi n ñ ng bi n, suy ra h phương trình  f (y ) = z là h hoán v vòng quanh.  f (z ) = x  Không m t tính t ng quát gi s x ≥ y ⇒ f (x ) ≥ f (y ) ⇒ y 3 ≥ z 3 ⇒ y ≥ z ⇒ f (y ) ≥ f (z ) ⇒ z 3 ≥ x 3 ⇒ z ≥ x ⇒x ≥y ≥z ≥x ⇒x =y =z Thay vào h ta có: x 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0 ⇒ x = 3 . Suy ra: x = y = z = 3 Ví d 9: Gi i h phương trình : x 3 + 3x − 3 + ln(x 2 − x + 1) = y  21  3 2 1. y + 3y − 3 + ln(y − y + 1) = z
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Gi i : x 3 + 3x − 3 + ln(x 2 − x + 1) = y   1. y 3 + 3y − 3 + ln(y 2 − y + 1) = z  3 2 z + 3z − 3 + ln(z − z + 1) = x   f (x ) = y   H phương trình có d ng :  f (y ) = z .   f (z ) = x  Ta gi s (x ; y; z ) là nghi m c a h . Xét hàm s f (t ) = t 3 + 3t − 3 + ln(t 2 − t + 1), t ∈ R . 2t − 1 2 Ta có: f '(t ) = 3t + 3 + 2 () > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f t là hàm ñ ng bi n ∀t ∈ R . 2 t −t +1 { } Gi s : x = max x ; y; z thì y = f (x ) ≥ f (y ) = z ⇒ z = f (y ) ≥ f (z ) = x 3 2 V y x = y = z . Vì phương trình x + 2x − 3 + ln(x − x + 1) = 0 ( ) 3 2 ( ) Xét hàm s g x = x + 2x − 3 + ln(x − x + 1), x ∈ R , hàm s g x ñ ng bi n trên R và () ( ) g 1 = 0 , do ñó phương trình g x = 0 có nghi m duy nh t x = 1 . Do ñó h ñã cho có nghi m là x = y = z = 1 .  x 2 − 2x + 6 log (6 − y ) = x  3  2 2.  y − 2y + 6 log3 (6 − z ) = y  2  z − 2z + 6 log3 (6 − x ) = z  22
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12  x log3 (6 − y ) =  x 2 − 2x + 6  f (y ) = g(x )   y  H cho ⇔ log3 (6 − z ) = ⇔  f (z ) = g(y )  y 2 − 2y + 6  f (x ) = g(z )  z  log3 (6 − x ) =   z 2 − 2z + 6 t Xét hàm s f (t ) = log3 (6 − t ) ; g (t ) = , t ∈ (−∞;6) 2 t − 2t + 6 1 Ta có f '(t ) = − () < 0, t ∈ (−∞;6) ⇒ f t ngh ch bi n trên kho ng (−∞;6) và ( 6 − t ln 3 ) 6 −t g '(t ) = > 0, () ∀t ∈ (−∞;6) ⇒ g t ñ ng bi n trên kho ng (−∞;6) . (t ) 3 2 − 2t + 6 Ta gi s (x ; y; z ) là nghi m c a h thì x = y = z thay vào h ta có: x log3 (6 − x ) = ⇔x =3 2 x − 2x + 6 V y nghi m c a h ñã cho là x = y = z = 3 . Chú ý :H HOÁN V VÒNG QUANH:  f (x1) = g(x 2 )   f (x 2 ) = g(x 3 ) ð nh nghĩa: Là h có d ng:  (I) .................  f (x n ) = g(x1)  ð nh lí 1: N u f , g là các hàm cùng tăng ho c cùng gi m trên A và (x1, x 2,..., x n ) là nghi m c a h trên A thì x1 = x 2 = ... = x n ð nh lí 2:N u f , g khác tính ñơn ñi u trên A và (x1, x 2,..., x n ) là nghi m c a h trên A thì x1 = x 3 = ... = x n −1  x1 = x 2 = ... = x n n u n l và  n u n ch n x 2 = x 4 = ... = x n  Ví d 10: Gi i h phương trình : sin x − sin y = 3x − 3y (1)  23  π 1. x + y = (2)
Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Gi i : sin x − sin y = 3x − 3y (1)   π 1. x + y = (2)  5 x , y > 0  (3) T (2 ) , ( 3 ) ⇒ x, y ∈ (0; π ) 5 (1) ⇔ sin x − 3x = sin y − 3y (*) . π π Xét hàm s f (t ) = sin t − 3t, t ∈ (0; ) ta có f ' (t ) = cos t − 3 < 0, t ∈ (0; ) ⇒ f (t ) là hàm 5 5 π ngh ch bi n trên kho ng t ∈ (0; 5 ) nên ( * ) ⇔ f ( x ) = f (y ) ⇔ x = y π () V i x = y thay vào 2 ta tìm ñư c x = y = 10 π π  ( ) V y x;y =  ;  là nghi m c a h . 10 10   log 2 (1 + 3 cos x ) = log 3 (sin y ) + 2  2.  log 2 (1 + 3 sin y ) = log 3 (cos x ) + 2   cos x > 0 ði u ki n :  sin y > 0  24