NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 1
ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH HỌC
VÀO BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
.
1. Bài toán liên quan đến tiếp tuyến:
Bài toán 1. Cho hàm số y=f(x). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số cắt hai trục tọa độ lần lượt tại Avà Bsao cho tam giác OAB
cân, với Olà gốc tọa độ.
Cách giải:
Để ý rằng hai trục tọa độ vuông góc với nhau và các đường thẳng tạo
với hai trục tọa độ một tam giác cân tại gốc tọa độ khi và chỉ khi đường
thẳng đó tạo với trục hoành và trục tung một góc 45onên hệ số góc
của đường thẳng chỉ có thể là 1hoặc −1. Từ đó dễ dàng suy ra hoành
độ tiếp điểm của tiếp tuyến bằng cách giải phương trình f′(x) = 1 và
f′(x) = −1.
Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=2x+ 1
2x−1
sao cho tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B và tam giác
OAB là tam giác vuông cân tại Ovới Olà gốc tọa độ.
Lời giải:
Để ý rằng tam giác OAB với Olà gốc tọa độ và A,Bnằm trên
hai trục tọa độ thì đường thẳng AB có hệ số góc là 1hoặc −1. Do
y′=−4
(2x+ 1)2<0∀x6=1
2nên ta chỉ xét phương trình y′=−1.
Ta có: y′=−1⇔−4
(2x−1)2=−1⇔(2x−1)2= 4
⇔
x=3
2
x=−1
2
Với x=3
2ta có phương trình tiếp tuyến là: y=−x+7
2
Với x=−1
2ta có phương trình tiếp tuyến là: y=−x−1
2
Ví dụ 2. (Khối D-2007-Dự bị) Cho hàm số y=x
x−1. Lập phương
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó cắt hai tiệm cận
tại A, B và tam giác IAB vuông cân với Ilà giao hai đường tiệm cận
BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG
NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 2
của đồ thị.
Lời giải:
Để ý rằng hai tiệm cận của đồ thị hàm số song song với hai trục tọa
độ. Lập luận tương tự như trên ta có:
y′=−1
(x−1)2<0∀x6= 1 nên tiếp tuyến cần dựng có hệ số góc là −1.
Khi đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: −1
(x−1)2=−1
⇔x= 0
x= 2
Với x= 0 ta có phương trình tiếp tuyến: y=−x
Với x= 2 ta có phương trình tiếp tuyến: y=−x+ 4
Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x−1
x+ 1
biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao
cho tam giác IAB cân tại Ivới Ilà giao hai đường tiệm cận.
Lời giải:
Lập luận như ví dụ trên ta cũng có y′=2
(x+ 1)2>0,∀x6=−1và
y′= 1 (vì hai tiệm cận của đồ thị hàm số song song với các trục Ox và
Oy). Khi đó xét phương trình:
y′= 1 ⇔2
(x+ 1)2= 1 ⇔(x+ 1)2= 2
⇔
x=√2−1
x=√2 + 1
Với x=√2 + 1 ta có phương trình tiếp tuyến là: y=x
Với x=√2−1ta có phương trình tiếp tuyến là: y=x+ 2 −√2
Ví dụ 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
y=x3−3x2+x+ 1 với hệ số góc dương sao cho tiếp tuyến cắt hai
trục tọa độ là Avà Bđể tam giác OAB là tam giác cân tại O
Lời giải:
Tương tự như ví dụ trên, tuy nhiên, yêu cầu hệ số góc của tiếp tuyến
dương nên ta chỉ xét giá trị 1. Như vậy, nếu giả sử xolà hoành độ tiếp
điểm thì y′(xo) = 1.
Từ lập luận trên ta đi giải phương trình y′(x) = 1 (1)
Ta có: y′(x) = 3x2−6x+ 1
BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG
NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 3
y′(x) = 1 ⇔3x2−6x= 0 ⇔
x= 0
x= 2
Với mỗi giá trị xtìm được ở trên ta có phương trình tiếp tuyến tương
ứng:
x= 0 thì phương trình tiếp tuyến là: y=x+ 1
x= 2 thì phương trình tiếp tuyến là: y=x−1
2. Bài toán liên quan đến cực trị:
Bài toán 2. Cho hàm số y=f(x, m). Tìm điều kiện của tham số mđể
đồ thị hàm số có các điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Cách giải: ta thường chú ý đến điều kiện của tam giác. Chẳng hạn
tam giác cân, vuông, đều ... đồng thời các công thức tính diện tích, độ
dài trung tuyến, ... để từ đó tìm ra hướng giải quyết bài toán.
Ví dụ 5. Cho hàm số: y=x4−2m2x2+ 4m+m4. Tìm điều kiện của
tham số mđể
a) Đồ thị hàm số có 3cực trị và các cực trị này tạo thành một tam
giác vuông cân.
b) Đồ thị hàm số có 3cực trị và các cực trị tạo với nhau thành một
tam giác đều.
c) Đồ thị hàm số có 3cực trị và tam giác tạo bởi ba cực trị có diện
tích bằng 32.
Lời giải:
Dễ thấy hàm số có đạo hàm f′(x) = 4x3−4m2x= 4x(x2−m2)
Khi đó phương trình f′(x) = 0 luôn có ba nghiệm phân biệt:
x= 0
x=m
x=−m
khi m6= 0
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử m > 0
Với m > 0ta có ba cực trị của hàm số là:
A(0; 4m+m4),B(−m; 4m)và C(m; 4m)trong đó Alà điểm nằm trên
trục tung.
BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG
NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 4
A
B C
x
y
O
H
Nhìn trên hình vẽ ta dễ dàng nhận thấy:
AH =f(0) −f(m) = m4, và HC =BC
2=m
a) Để ý rằng tam giác ABC là tam giác vuông cân tại Akhi AH =
HC. Khi đó:
m4−m= 0
Khi đó m= 0
m= 1. Do m > 0nên chỉ nhận giá trị m= 1.
Vậy với m= 1 thì đồ thị hàm số có 3cực trị A, B, C và tam giác
ABC vuông cân tại A.
b) Tương tự như trên. Tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi:
\
ACH = 60o⇔AH
HC = tan 60o=√3
⇔m4
m√3⇔m=6
√3
c) Ta thấy diện tích tam giác ABC:SABC =1
2.AH.BC =AH.HC =
m5.
Như vậy, để diện tích tam giác ABC bằng 32 ta có ngay:
m5= 32 ⇒m= 2.
Ví dụ 6. Tìm các giá trị của tham số mđể hàm số y=x4−2mx2+m−1
có 3điểm cực trị A, B, C và tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại
tiếp là R= 1
Lời giải:
Dễ dàng thấy f′(x) = 4x(x2−m)nên đồ thị hàm số có 3cực trị khi
và chỉ khi m > 0. Khi đó 3điểm cực trị lần lượt có tọa độ là:
A(0; m−1), b(−√m;−m2+m−1) và C(√m;−m2+m−1), trong
đó Alà đỉnh nằm trên trục tung.
BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG
NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 5
Chú ý rằng tam giác ABC luôn cân nên tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC nằm trên trục tung. Khi đó giả sử I(0; a)là tâm đường
tròn thì ta có:
R= 1 ⇔AI =IC = 1
⇔((m−1−a)2= 1
(√m)2+ (−m2+m−1−a)2= 1
⇔((m−1−a)2= 1 (1)
(−m2+m−1−a)2= 1 −m(2)
Từ (2) thế vào (1) ta được:
(−m2+ 1)2= 1 −m
(−m2−1)2= 1 −m
⇔m4−2m2+ 1 = 1 −m
m4+ 2m2+ 1 = 1 −m
⇔m(m3−2m+ 1) = 0
m(m3+ 2m+ 1) = 0
⇔m3−2m+ 1 = 0 (do điều kiện m > 0)
Giải phương trình trên ta được
m= 1
m=−1−√5
2
m=−1 + √5
2
Do điều kiện m > 0nên ta chỉ còn hai giá trị
m= 1
m=−1 + √5
2
thỏa
mãn yêu cầu của bài toán.
Ví dụ 7. Tìm mđể hàm số y=x3
3−2x2+ (10m−7)x−8
3có cực
đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực trị của hàm số nằm về hai phía của
đường thẳng d:y=−x−1
Lời giải:
Ta có: y′=x2−4x+ 10m−7 (1)
Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi y′= 0 ⇔x2−4x+
10m−7 = 0 (1) có 2nghiệm phân biệt.
⇔∆′= 11 −10m > 0⇔m < 11
10
Không mất tính tổng quát, ta gọi: A(x1y1)và B(x2;y2)là các cực trị
của đồ thị hàm số trong đó x1, x2là các nghiệm của phương trình (1)
BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG