UỐN PHẲNG THANH THẲNG

Chia sẻ: Nguyen Tan Nghia | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

524
lượt xem 93
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một thanh chịu uốn là thanh có trục bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực. Những thanh chịu uốn nằm ngang gọi là dầm. Ví dụ: trục của bánh xe, xà nhà, dầm cầu vv... Ngoại lực gây nên uốn có thể là lực tập trung hay phân bố có phương tác dụng vuông góc với trục thanh hay là những mômen nằm trong mặt phẳng chứa trục thanh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: UỐN PHẲNG THANH THẲNG

-1- BÀI GIẢNG SỐ: 06. UỐN PHẲNG THANH THẲNG MỤC ĐÍCH: Giới thiệu khái niệm, phương pháp tính toán thanh thẳng chịu uốn phẳng. YÊU CẦU: Nắm được khái niệm, xây dựng biểu đồ nội lực, thiết lập công thức tính ứng suất và áp dụng để giải những bài toán cụ thể. THỜI GIAN: 08 Tiết. ( 04 tiết Lý thuyết; 04 tiết Bài tập) VẬT CHẤT ĐẢM BẢO: 1. Phòng học và thiết bị học tập. 2. Bài giảng, tài liệu hướng dẫn thí nghiệm. 3. Tài liệu tham khảo: • LÊ HOÀNG TUẤN - BÙI CÔNG THÀNH. SBVL Tập 1. Nhà XB Đại học Bách khoa TP Hồ Chí Minh (Từ trang 97 đến trang 117). • NGUYỄN VĂN NHẬM - ĐINH DĂNG MIỄN. SBVL. NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp (Từ trang 135 đến trang 168). NỘI DUNG - PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng phần Lý thuyết chia làm 2 cặp tiết: 1. Cặp tiết thứ nhất gồm: Những khái niệm cơ bản và phần uốn thuần tuý phẳng. 2. Cặp tiết thứ 2 gồm: Phần uốn ngang phẳng và hướng dẫn nghiên cứu.
-2- (Cặp tiết thứ nhất) KHÁI NIỆM VỀ UỐN PHẲNG. UỐN THUẦN TUÝ PHẲNG PHẦN I : KHÁI NIỆM VỀ THANH CHỊU UỐN PHẲNG Thời gian: 10 phút Phương pháp: Thuyết trình. 1. Khái niệm: • Một thanh chịu uốn là thanh có trục bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực. Những thanh chịu uốn nằm ngang gọi là dầm. Ví dụ: trục của bánh xe, xà nhà, dầm cầu vv... Ngoại lực gây nên uốn có thể là lực tập trung hay phân bố có phương tác dụng vuông góc với trục thanh hay là những mômen nằm trong mặt phẳng chứa trục thanh. • Giới hạn nghiên cứu: - Mặt cắt ngang của thanh có ít nhất 1 trục đối xứng. Trên suốt chiều dài thanh có 1 mặt đối xứng tạo nên bởi trục đối xứng và trục thanh (nó cũng là mặt phẳng quán tính trung tâm). Ta giả thuyết ngoại lực tác dụng lên thanh nằm trong mặt phẳng đối xứng. - Mặt cắt ngang có bề rộng bé hơn so với chiều cao. • Một số định nghã khác:  Mặt phẳng tải trọng: là mặt phẳng chứa trục dầm và chứa tải trọng.  Đường tải trọng: là giao tuyến của mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang.  Nếu trục của dầm sau khi bị uốn cong mà vẫn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm (mặt phẳng chứa trục dầm và trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang) thì sự uốn đó gọi là uốn phẳng hay uốn đơn. 2. Phân loại: Có 2 loại uốn phẳng như sau:  Uốn thuần tuý phẳng: Một thanh được gọi là uốn thuần tuý phẳng là khi trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có 1 thành phần nội lực là mômen uốn nằm trong mặt quán tính chính trung tâm.  Uốn ngang phẳng: Một thanh được gọi là uốn ngang phẳng là khi trên mọi mặt cắt ngang của nó có 2 thành phần nội lực là Mômen uốn và lực cắt nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. 3. Biểu đồ nội lực:
-3- Biểu đồ nội lực của thanh chụi uốn phẳng gồm 2 biểu đồ biểu diễn sự biến thiên của mômen uốn và lực cắt. Cách thiết lập biểu đồ nội lực như đã giới thiệu ở Bài giảng số 02. PHẦN II UỐN THUẦN TUÝ PHẲNG I - ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ: Thời gian: 05 Phút Phương pháp: thuyết trình 1. Định nghĩa: Một thanh gọi là uốn thuần tuý phẳng khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có 1 thành phần nội lực là Mômen uốn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. P P 2. Ví dụ: Ta xét trường hợp chịu B A lực của trục bánh xe tàu C hoả. Trọng lượng toa xe PD P truyền qua ổ trục đặt PC P lên trục ở các điểm A và D B. Phản lực của đường B A P P ray truyền qua bánh xe. Nếu bỏ qua trọng lượng bản thân của trục thì sơ Qy đồ chịu lực của trục được biểu diễn như hình vẽ 6-1. Bằng phương pháp mặt cắt ta Mx vẽ được biểu đồ Qy và Mx . Ta thấy đoạn CD H nh ì chỉ có Mx mà không có 6- 1 Qy. Ta nói đoạn CD chịu uốn thuần tuý phẳng II - BIẾN DẠNG CỦA THANH CHỊU UỐN THUẦN TUÝ PHẲNG Thời gian: 10 Phút Phương pháp: Thuyết trình. Để xác định cách tính ứng suất của dầm khi chịu uốn, trước hết chúng ta cần phải xét biến dạng của dầm đó.
-4- 1. Thí nghiệm: Ta lấy 1 thanh có mặt cắt x z ngang hình chữ nhật. Trước khi cho thanh chịu uốn ta kẻ y những đường thẳng // và M M những đường thẳng vuông góc với trục thanh, tạo với nhau thành lưới ô vuông. Các đường thẳng này thể hiện cá y thớ dọc và mặt cắt ngang Trục trung của thanh. Sau đó cho thanh hoà chịu mômen uốn ở 2 đầu H nh ì thanh. Quan sát thanh bị uốn 6- 2 ta thấy: • Những đường thẳng // với trục thanh khi bị biến dạng chở thành những đường cong vẫn // với trục thanh. • Những đường vuông góc với trục thanh khi bị biến dạng vẫn thẳng và vuông góc với trục thanh. • Những góc vuông khi biến dạng vẫn vuông. Từ thí nghiệm trên ta đưa ra 1 số giả thuyết làm cơ sở tính toán sau này. 2. Các giả thuyết:  Giả thuyết về mặt cắt ngang (Giả thuyết Béc nu li): Mặt cắt ngang của thanh ban đầu phẳng và vuông góc với trục thanh thì khi biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh.  Giả thuyết về các thớ dọc: Trong quá trình biến dạng các thớ dọckhông ép lên nhau và cũng không đẩy xa nhau. Ngoài ra chúng ta vẫn coi vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi và tuân theo định luật Húc. 3. Biến dạng tương đối của dầm: Quan sát biến dạng của thanh ta thấy: các thớ phía trên bị co lại. Càng về phía trên càng co nhiều hơn, càng về phía dưới càng dãn nhiều hơn. Như vậy từ thớ co chuyển sang thớ dãn (trên xuống dưới)sẽ có thớ không co và cũng không dãn. Đó là thớ trung hoà. Các thớ trung hoà tạo thành 1 lớp gọi là lớp trung hoà. Giao tuyến của lớp trung hoà với mặt ρ cắt ngang gọi là đường trung hoà. Quan sát mặt cắt ngang khi biến dạng ta 1 2 dϕ thấy: vì các thớ trên bị co nên bề 2/ 1/ rộng của mặt cắt ngang ở phía trên bị phình ra. Còn ở phía dưới các thớ bị dãn nên bề rộng mặt o2 cắt ngang phía dưới bị thu hẹp lại. Mặt cắt o1 ngang của thanh bị biến dạng có hình dẻ quạt. b/ Nên đường trung hoà là đường cong. Song vì a/ y a b/ 2 11/ 2 d z H nh ì
-5- biến dạng trên mặt cắt ngang nhỏ nên có thể coi nó không thay đổi hình dáng khi biến dạng. Tức là mặt cắt ngang vẫn là hình chữ nhật và đường trung hoà coi như vẫn thẳng. Như vậy ta có thể coi biến dạng của mặt cắt ngang là sự quay của mặt cắt xung quanh đường trung hoà. Để tính biến dạng dài tương đối của dầm ta tách ra 1 đoạn thanh dz bởi 2 mặt cắt 1-1 và 2-2. Sau biến dạng 2 mặt cắt này làm với nhau 1 góc dϕ . Gọi ρ là bán kính cong của thớ trung hoà. Do các thớ trung hoà không bị biến dạng nên vẫn có độ dài ban đầu dz. Tức là: ρ .dϕ = dz. Xét thớ ab = dz . Khi biến dạng thành cung a/b/ = (ρ+ y).dϕ (y là khoảng cách từ thớ ab đến thớ trung hoà). Vậy biến dạng dài tương đối của thớ ab là ε z. ( ρ + y ) dϕ − ρ.dϕ = y a ′b′ − ab ⇒ εz = ε z = ε ab = ρ.dϕ ρ ab III - ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG Thời gian: 25 Phút Phương pháp: Thuyết trình. x 1. Sự liên hệ giữa ứng suất và biến Mx dạng Xét 1 mặt cắt ngang nào đó của thanh chịu z OA uốn thuàn tuý phẳng. Chọn hệ trục toạ độ như yx sau: • OX là đường trung hoà. σ zd yd • OY là trục đối xứng. F • OZ là trục vuông góc với mặt cắt σz σz ngang. Tại điểm A trên mặt cắt ngang ta tách 1 phân A tố hình hộp bằng các mặt cắt // với trục toạ độ. Điểm A cách trục trung hoà 1 đoạn bằng y. H nh ì Theo giả thuyết Béc nu li: trước và sau biến 6- 4 dạng các góc vuông của phân tố được bảo toàn. Nên không có ứng suất tiếp. Tức là: τ zy = τ xy =....= 0. Ngoài ra trong quá trình biến dạng các thớ dọc không ép và đẩy nhau. Do đó: σ y = σ x = 0. Vậy trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại 1 thành phần ứng suất pháp σ z. Và trạng thái ứng suất trên phân tố là TTƯS đơn. Do đó định luật Húc được viết: σ z = E .ε z ∗ ε z là biến dạng tương đối theo phương z Trong đó: * σ z là ứng suất pháp theo phương z. * E là Môđuyn đàn hồi của vật liệu khi kéo hoặc nén.
-6- 2. Sự liên hệ giữa ứng suất và nội lực - Công thức tính ứng suất Ta đi tìm quy luật phân bố và trị số của σ z trên mặt cắt ngang. Từ công thức: y ε z = y⁄ρ và σ z =E.ε z suy ra σ z = E. (*) ρ Qua công thức (*) ta thấy những điểm có cùng khoảng cách y đến trục trung hoà thì có cùng 1 trị số ứng suất. (σ z tỷ lệ bậc nhất với khoảng cách tới thớ trung hoà).Biểu thức này chưa xác định được trị số σ z. Vì y và ρ chưa biết. Tức là vị trí trục trung hoà chưa được xác định. Do vậy :muốn xác định vị trí trục trung hoà ta phải xét sự liên hệ giữa ứng suất và nội lực. Bằng cách lấy quanh A 1 phân tố diện tích dF (Hình 6-4). Nội lực tác dụng lên phân tố diện tích dF là: σ z.dF. Nếu quy về gốc toạ độ O của hệ trục toạ độ trên mặt cắt ngang đang xét ta sẽ có các thành phần phân tố nội lực như sau: dNz = σ z.dF dMy = (σ z.dF).x (6-1) dMx = (σ z.dF).y Vì thanh ta đang nghiên cứu là thanh chịu uốn thuần tuý phẳng nên trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có Mx còn Nz = My = 0. Do đó ta có : (a )  = ∫ σ z . dF = 0 Nz   F = ∫ σ z .x.dF = 0 ( 6 − 2) My ( b )  F = ∫ σ z .y .dF ≠ 0 Mx (c )   F  E E E ∫ ρ .y.dF ∫ y.dF = ρ .Sx = 0  Nz = = ρF  F  E E E ∫ ρ .y.x.dF = ρ .∫ y.x.dF = ρ .J xy = 0 My = Thay (*) vào ( 6 - 2)ta có  F F E E2 E M ∫ ρ .y.y.dF = ρ .∫ y .dF = ρ .J x ≠ 0 x=  F F E (Ở đây tỷ số là hằng số ở mọi mặt cắt ngang nên có thể đưa ra ngoài ρ dấu tích phân). Xuất phát từ định nghĩa thanh chịu uốn thuần tuý phẳng nên chỉ có M x ≠ 0. Còn lại Nz = My = 0. Do vậy ta có thể nhận ra rằng: E • Vì Nz = 0 có nghĩa là .Sx = 0 => Sx = 0. Tức là Mômen tĩnh của ρ
-7- mặt cắt ngang đối với trục trung hoà OX phải bằng 0. Hay nói cách khác trục trung hoà phải đi qua trọng tâm mặt cắt. Hơn nữa ta có trục OY là trục đối xứng của mặt cắt nên hệ trục OXY là hệ trục quán tính chính trung tâm. Như vậy trục trung hoà được xác định. E • Mặt khác phương trình M y = ∫ σ z .x.dF = × J xy = 0 luôn được ρ F thoả mãn. Vì hệ trục OXY là hệ trục quán tính chính trung tâm nên Jxy là Mômen quán tính ly tâm của mặt cắt ngang với hệ trục đó phải bằng 0 => My = 0. • Sau khi xác định được vị trí trục trung hoà ta thiết lập công thức tính 1 σ z trên cơ sở tính độ cong theo Mx. ρ Mx E 1 Từ công thức Mx = Jx => = ρ ρ E.J x Trong đó: - Jx là MMQT của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà. - E.Jx gọi là độ cứng của thanh khi bị uốn (vì tích E.Jx càng lớn 1 thì độ cong càng nhỏ). ρ M 1 σ z = x × y (**) Thay vào (*) ta có : ρ Jx Trong đó: - Mx Mômen uốn trên mặt cắt ngang. Mx > 0 khi làm căng các thớ về phía dương trục y và ngược lại thì Mx < 0. - Jx là MMQT của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà. - y là tung độ của điểm cần tính ứng suất. - Ứng suất pháp σ z mang dấu (+) là ứng suất kéo, mang dấu(-)là ứng suất nén. 3. Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp cực đại và cực tiểu. • Cách vẽ biểu đồ ứng suất pháp: Từ công thức (**) ta nhận thấy: - Những điểm càng xa trục trung hoà (| y| càng lớn)thì trị số tuyệt đối của σ z càng lớn. - Những điểm cùng nằm trên 1 đường thẳng // với đường trung hoà (cùng khoảng cách y) thì có cùng trị số σ z. Do vậy ta chỉ cần biểu diễn sự biến thiên của σ z theo chiều cao của mặt cắt ngang. Từ nhận xét đó ta có thể vẽ biểu đồ ứng suất pháp như sau: - Kéo dài đường trung hoà. Kẻ đường chuẩn ⊥ đường trung hoà (đường chuẩn tượng trưng cho chiều cao của mặt cắt ngang). Mx × y Có nghĩa là σ z tỷ lệ bậc nhất với y. Nên - Theo (**) ta có σ z = Jx
-8- để vẽ được biểu đồ ta chỉ việc tính ứng suất tại 1 điểm nào đó trên mặt cắt ngang. Ví dụ: Tại điểm A trên σ min mặt cắt ngang ta tính được: Mx × yA σ z (A) = ynMax Jx x o Từ điêm A kẻ đưòng o thẳng // với trục trung hoà cắt yk ykMax b a đường chuẩn tại a. Lấy ab = σ z(A). Mặt khác ta thấy tại σ Max y những điểm trên đường trung σ z = 0 (vì y = 0). Nối hoà H nh ì b với O và kéo dài ta được 6- 5 biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang. Dấu (+) là ứng suất pháp kéo, dấu (-) là ứng suất pháp nén. • Tính ứng suất pháp cực đại và cực tiểu - Trường hợp trục trung hoà chia đôi mặt cắt theo chiều cao (như mặt cắt hình chữ nhật đang xét trên) thì trị số tuyệt đối của ứng suất kéo lớn nhất và ứng suất nén lớn nhất là như nhau. Và ta có thể tính bằng công thức sau: Mx M M h × y Max = x × =x σ Max = (6-3) Jx Jx 2 Wx Mx M M h × y Max = − x × =− x σ Min = - Jx Jx 2 Wx Jx gọi là Mômen chống uốn của tiết diện. Và ở đây ta có: Trong đó Wx = h2 yk = yn = y Max Max Max - Trường hợp đường trung hoà không chia đôi chiều cao mặt cắt thì trị so tuyệt đối của ứng suất kéo lớn nhất và ứng yn suất nén lớn nhất sẽ khác nhau x Max Mx Mx × yk σ Max = = yk Max k Jx Wx (6-3)' Max M M y σ Min = − x × y n =− x Max n Jx Wx Hình k n Trong đó y Max va y Max là khoảng cách hình học 66 từ điểm chịu kéo và nén xa nhất đến đường trung hoà. Ở đây ta có thể thấy rõ ý nghĩa của Mômen chống uốn của mặt cắt ngang là: Wx càng lớn thì dầm có thể chịu được Mômen uốn càng lớn. Như vậy Wx đặc trưng cho ảnh hưởng của hình dạng và kích thước của mặt cắt ngang đối với độ bền của dầm khi các ứng suất pháp chưa vượt quá giới hạn tỷ lệ.
-9- • Mômen chống uốn của 1 số hình đơn giản: - Mặt cắt ngang hình chữ nhật có cạnh ngắn b, chiều cao h b ⋅ h3 h ⋅ b3 b ⋅ h2 h ⋅ b2 Jx = ; Jy = ⇒ Wx = ; Wy = 12 12 6 6 - Mặt cắt ngang hình tròn bán kính R π ⋅ R4 k π ⋅ R3 π ⋅ D3 Jx n ≈ 0,1 ⋅ D 3 Jx = ; y Max = y Max = R ⇒ Wx = = = 4 R 4 32 - Mặt cắt ngang hình vành khăn có bán kính ngoài R, bán kính trong là r ( ) ( ) ( ) π ⋅ R4 π ⋅ D3 D 4 k n 1 − η4 ≈ 0,1 ⋅ D 3 1 − η4 Jx = 1 − η ; y Max = y Max = R = ⇒ Wx = 4 2 32 r d = Với η = R D ĐIỀU KIỆN BỀN IV. Thời gian: 10 Phút Phương pháp: Thuyết trình. • Muốn dầm làm việc được bền thì ứng suất pháp lớn nhất khi kéo và khi nén ở mặt cắt ngang nguy hiểm không được vượt quá [σ ] của vật liệu. • Mặt cắt ngang nguy hiểm là mặt cắt có Mômen uốn lớn nhất. Nghĩa là ở mặt cắt đó có σ max và  σ min có trị số lớn nhất so với mọi mặt cắt khác. Từ đó ta có thể viết điều kiện bền theo 2 trường hợp sau: 1. Với vật liệu dẻo: Trong 2 giá trị σ max và σ min chọn lấy trị số lớn nhất Tức là: Max σ  để so sánh với [σ ]. Điều kiện bền là: Max  σ  ≤ [σ ]. 2. Với vật liệu dòn : Trong trường hợp này ứng suất cho phép khi kéo và khi nén khác nhau, nên ta phải kiểm tra cả 2 điều kiện: σ max ≤ [σ ]k Trong đó [σ ]k và [σ ]n là ứng suất cho phép a) σ min  ≤ [σ ]n b) khi kéo và khi nén. 3. Ba bài toán cơ bản :  Kiểm tra bền: theo các điều kiện sau: Max  σ  ≤ [σ ]; σ Max ≤ [σ ]k ;  σ min  ≤ [σ ]n .  Chọn kích thước mặt cắt ngang : Mx Mx ≤ [ σ] ⇒ Wx ≥ - Vật liệu dẻo: σ max =  σ min  = [ σ] Wx Mx Mx ≤ [ σ] k ⇒ Wx ≥ k - Vật liệu dòn: σ max = [ σ] k k Wx Mx Mx ≤ [ σ] n ⇒ Wx ≥ n  σ min  = [ σ] n n Wx  Chọn tải trọng cho phép [P]:
- 10 - [Mx] ≤ [σ ]× Wx. Từ điều kiện: [Mx] ≤ [σ ]k × Wxk Suy ra [P ] qua [Mx]. [Mx] ≤ [σ ]n × Wxn V. HÌNH DÁNG HỢP LÝ CỦA MẶT CẮT NGANG Thời gian: 20 Phút Phương pháp: Thuyết trình. Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang là hình dáng sao cho khả năng chịu lực của dầm là lớn nhất nhưng đồng thời tốn ít vật liệu nhất. 1. Hình dáng mặt cắt ngang đảm bảo cho dầm có khả năng chịu lực lớn nhất • Dầm làm bằng vật liệu dòn: Mặt cắt của dầm sẽ hợp lý nhất khi: σ max = [σ ]k và  σ min  n M M σ max = x × y k = [ σ] k và σ min = x × y n = [ σ] n Mà ta đã biết: max max Jx Jx Chia vế với vế của 2 đẳng thức trên ta có: [ σ] k yk = max [ σ] n (*) ynmax Từ đó suy ra đối với vật liệu dòn hình dáng hợp lý của mặt cắt phải sao cho đường trung hoà chia chiều cao mặt cắt theo tỷ số của y k và y n thoả max max mãn đẳng thức (*) trên. • Dầm làm bằng vật liệu dẻo: Với vật liệu dẻo thì [σ ]k = [σ ]n nên khi thay vào (*)ta có: y k = y n . Cho nên đường trung hoà là trục đối max max xứng của mặt cắt. 2. Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang đảm bảo cho sự tiết kiệm vật liệu nhất Qua biểu đồ ứng suất như hình vẽ ta nhận thấy tại những điểm càng gần trục trung hoà thì ứng suất pháp càng nhỏ. Nghĩa là ở những nơi đó vật liệu làm việc ít hơn ở những điểm xa trục trung hoà. Vì vậy người ta có xu hướng cấu tạo hình dáng mặt cắt sao cho vật liệu phân bố xa trục trung hoà. Như vậy hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang tiết kiệm vật liệu nhất là: - Với vật liệu dòn: Ta có mặt cắt ngang dạng chữ T (hình 6-7 a). - Với vật liệu dẻo: Ta có mặt cắt ngang dạng chữ I, 2 chữ [ ghép lại (Hình 6-7b) x x x x y y y y (a) (b) (b) (b) Hình 6-7
- 11 - 3. So sánh sự tiết kiệm vật liệu của các loại mặt cắt có Wxk =Wxn (Mặt cắt ngang của dầm làm bằng vật liệu dẻo) W Để so sánh người ta dùng tỷ số: x . Hình dáng mặt cắt nào có tỷ số đó F càng cao, nghĩa là với khả năng chống uốn của 1 đơn vị diện tích càng lớn, thì hình dáng đó càng hợp lý. W Vì tỷ số x là 1 số có thứ nguyên nên việc so sánh chưa thuận tiện. Do đó F Wx người ta dùng tỷ số để so sánh. F3 Wx Ví dụ: - Với mặt cắt ngang là hình tròn: = 0,140 F3 Wx - Với mặt cắt ngang là hình chữ nhật: = 0,167 F3 Wx = 1,02 ÷ 1,51 chữ I: - // F3 Wx = 0,57 ÷ 1,35 chữ [: - // F3 Wx = 0,73 ÷ 0,81 - // Hình vành khăn: F3 Qua các trị số đó ta thấy mặt cắt hình chữ I là hợp lý nhất. 4. Ví dụ: Trên mặt cắt ngang của dầm chữ T chịu mômen uốn M x = 7.200 N.m.Vật liệu của dầm có [σ ]k = 20 MN/m2, [σ ]n = 30MN/m2. Kiểm tra bền biết: Jx=5312,5cm4. BÀI LÀM 50 Ta có y k = 75 mm = 7,5.10-2m max y n = 125 mm = 12,5.10-2m 125 max Mx và y 5312,5.10 −8 Jx = 425.10 −6 m 3 n =n = Wx −2 75 y max 12,5.10 50 5312,5.10 −8 Jx = 708,3.10 −6 m 3 k =k = y Wx Z 150 −2 y max 7,5.10 Hình 6-8 Do đó ta có:
- 12 - Mx 7.200 ≈ 10,2 × 10 6 N 2 = 10,2 MN / m 2 σ max = = −6 m k Wx 708,3.10 M 7.200 ≈ 17 × 10 6 N 2 = 17 MN / m 2 Và: σ min = x= −6 m n Wx 425.10 σ max = 10,2 MN/m2 < [σ ]k Như vậy: Dầm đủ điều kiện  σ min  = 17 MN/m2 < [σ ]n bền. KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG DẪN NGHIÊN CỨU VI. Thời gian: 05 Phút Phương pháp: Thuyết trình, gợi ý, hướng dẫn - Nắm vững khái niệm, định nghĩa uốn thuần tuý phẳng. - Biết cách xác định ứng suất và biến dạng, trên cơ sở đó giải 3 bài toán cơ bản thành thạo. - Vận dụng thực tế để xác định mặt cắt ngang hợp lý HƯỚNG DẪN NGHIÊN CỨU 1. Nắm khái niệm, định nghĩa uốn thuần tuý phẳng và các giả thuyết khi nghiên cứu. Trên cơ sở đó xác định biến dạng tương đối của dầm. 2. Cách xác định ứng suất pháp trên mặt cắt ngang và cách vẽ biểu đồ ứng suất pháp. 3. Điều kiện bền, 3 bài toán cơ bản. 4. Thế nào là hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang.
- 13 - (Cặp tiết thứ hai) KIỂM TRA BÀI CŨ Thời gian: 05 phút Phương pháp: Kiểm tra miệng.(2 Đồng chí) NỘI DUNG CHÍNH PHẦN III UỐN NGANG PHẲNG ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ: I. Thời gian: 05 Phút Phương pháp: Thuyết trình. 1. Định nghĩa: Một thanh chịu uốn ngang phẳng là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có 2 thành phần nội lực là Mômen uốn M x và lực cắt Qy nằm trong mặt phẳng quán tính2 chính trung tâm. 1 2. Ví dụ: q   Có 1 dầm chịu lực và biểu đồ nội lực như hình vẽ 6-9 1 2 l x   h Qy+dQy Qy Q ql ⊕ y y b ql2/ Mx H nh ì Mx 2 Mx+dMx 6- 9
- 14 - Như biểu đồ nội lực trên ta thấy ngay ở các mặt cắt 1-1 và 2-2 nào đó của dầm đều có 2 thành phần nội lực là Mx và Qy II. CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC Thời gian: 05 Phút Phương pháp: Thuyết trình. I. Thí nghiệm: Trên bề mặt ngoài của thanh chịu uốn ngang phẳng có tiết diện hình chữ nhật ta kẻ những đường thẳng // và ⊥ với trục thanh. z B Mx Q y x z B Hình 6 y 10 Sau khi thanh bị biến dạng ta thấy những đường thẳng // với trục thanh thì vẫn // với trục thanh, còn những đường ⊥ thì không còn thẳng nữa. Chúng chở thành những đường cong (Hình 6-10) II. Trạng thái ứng suất Nếu tại 1 điểm B nào đó ta tách ra 1 phân tố hình hộp bởi các mặt cắt // với các trục toạ độ. Ta thấy các góc vuông của phân tố không còn vuông nữa. Chứng tỏ phân tố đó bị biến dạng.(Hình 6-11). τy Như thế khác với trường hợp uốn thuần tuý phẳng là ngoài ứng suất pháp σ z do Mx gây ra còn τz σz có thành phần ứng suất tiếp τ zy do Qy gây ra. Ngoài ra theo định luật đối ứng của ứng suất tiếp σ z τz ta thấy trên mặt cắt vuông góc với mặt cắt ngang τy Hình 6 11
- 15 - cũng có các thành phần ứng suất tiếp τ yz bằng và trái dấu với τ zy. Vậy TTƯS của phân tố là TTƯS phẳng đặc biệt. Trên mặt của phân tố // với trục Z còn có ứng suất pháp σ y nhưng vì giá trị nhỏ nên ta có thể bỏ qua. III. CÔNG THỨC TÍNH ỨNG SUẤT TRONG UỐN NGANG PHẲNG Thời gian: 20 Phút Phương pháp: Thuyết trình 1. Ứng suất pháp Trong trường hợp dầm chịu uốn thuần tuý phẳng thì Mx = Const. Mx ×y Mặt khác ta có: σ z = Jx dM x Nếu Mx là hàm số thì trên mặt cắt ngang có lực cắt Qy = dz Nhưng với sai số không lớn lắm ta vẫn chấp nhận công thức tính ứng suất trong thanh chịu uốn ngang phẳng là: Mx ×y σz = Jx 2. Ứng suất tiếp Để đơn giản bài toán chúng ta giả thuyết mặt cắt ngang của dầm là hình chữ nhật hẹp (chiều rộng nhỏ hơn nhiều so với chiều cao) a) Xét luật phân bố ứng suất trên thớ AC nào đó // với trục trung hoà Ox • Tại điểm C: ứng suất tiếp là τ có phương bất kỳ nào đó. Ta Mx phân tích τ theo 2 thành phần là: τ xy // oy và τ zx // ox. Qy • Theo định luật đối ứng của z τz ứng suất tiếp thì trên mặt cắt x τz τx τ ngang có τ zx thì trên mặt bên cạnh có τ xz. Nhưng mặt cạnh Hình 6 là mặt ngoài của thanh nên τ xz y 12 = 0 => τ zx = 0. Tại C chỉ có thành phần τ zy // oy. • Tại A: cũng xét tương tự • Tại D: (nằm trên trục y) vì ta thấy tính chất đối xứng của vật thể và tải trọng nên ứng suất tiếp tại D cũng nằm trên trụcy • Tại 1 điểm B bất kỳ nào đó: Vì mặt cắt là hình chữ nhật hẹp nên ta coi ứng suất tại B cũng có phương // oy. Ta thừa nhận giả thuyết ứng suất tiếp τ zy phân bố đều trên AC. Nghĩa là τ zy = const ở mọi điểm trên AC.
- 16 - b) Tính trị số τ zy : Để tính τ zy ta tưởng tượng tách khỏi thanh 1 đoạn dz vô cùng bé bằng 2 mặt cắt 1-1 và 2-2. Các thành phần nội lực được biểu diễn như hình vẽ 6-13. Sau đó dùng mặt cắt thứ 3 đi qua AC vuông góc với lực cắt và cách trục trung hoà 1 khoảng y*. Bỏ qua phần trên (phần gạch nét chấm). Xét sự cân bằng của phần dưới ACBDEFHG. Chiếu các lực lên phương trục dầm oz ta có: Mx+dM Qy+dQ 1 d 1 Mx z Mx+dM Qy F Mx σ z2 y x A N2 N E τy z 1 τz x D Qy+dQ A C G C dz y dz σ z1 2 2 y Hình 6 B 13 a) Trên mặt ACBD ứng suất N 2 = ∫ σ z 2 dF pháp tác dụng tại 1 điểm bất c F τ yz b dz FC kỳ cách trục trung hoà ox 1 E C khoảng y là σ z1 A Mx H σ z1 = ×y G Jx D Hình chiếu của các lực trên N1 = ∫ σ z1 dF B Hình 6 ACBD lên phương oz là: FC 14 Mx Mx c N1 = ∫ σ z1 dF = ∫ ydF = J Sx J x FC x FC Trong đó : Fc là diện tích mặt ACBD và gọi là diiện tích cắt Sc là mômen tĩnh của phần diện tích bị cắt với trục trung hoà x b) Trên mặt EFHG: ứng suất pháp tác dụng tại 1 điểm bất kỳ cách trục ox 1 khoảng y là σ z2 M x + dM x σ z2 = ×y Jx Hình chiếu của các lực trên EFHG lên trục oz là: M x + dM x M x + dM x N 2 = ∫ σ z2 dF = ∫ ydF = × Sc x Jx Jx FC Fc
- 17 - c) Trên mặt ACEF: Theo giả thuyết về các thớ dọc (Bỏ qua sự ép lên nhau của các thớ dọc, tức là bỏ qua σ y vì nó quá nhỏ). Vì vậy trên mặt này chỉ có ứng suất tiếp τ yz = τ zy. Như đã nói trên ta công nhận τ yz cũng phân bố đều tren AC và có dz là vô cùng bé nên τ yz cũng phân bố đều tren ACEF (Mặt ACEF là mặt // trục thanh và ⊥ lực cắt Qy) Hình chiếu của nội lực tác dụng trên ACEF lên oz là: T = τ yz× FACEF = τ yz× bc× dz (Trong đó bc là chiều dài đoạn AC và gọi là b cắt) Vậy phương trình hình chiếu của các nội lực tác dụng lên phần đang xét xuống trục oz là: ∑ Z = N2 – N1 – T = 0 (Vì N2 > N1) Sc M x + dM x c Mx dM x c c => − × Sx + S x − τ yz .b .dz = 0 ⇒ τ zy = × xc Jx Jx dz J x .b Q y .Sc x 1. τ yz = τ zy = ( Đây là công thức Durapsky) J x .b c Trong đó: - Qy là lực cắt tại mặt cắt đang xét - Sxc là Mômen tĩnh đối với trục trung hoà của phần diện tích mặt cắt ngang bị cắt bởi mặt phẳng // oz, vuông góc với Qy - Jx là MMQT của mặt cắt ngang đối với trục x - bc là bề rộng mặt cắt ngang bị cắt Vì điều kiện cân bằng nên τ yz phải cùng chiều với σ z1 nênτ zy phải cùng chiều với lực cắt Qy SỰ PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRÊN MỘT SỐ MC THƯỜNG IV. GẶP Thời gian: 15 Phút Phưong pháp: Thuyết trình 1. Mặt cắt hình chữ nhật: có cạnh b × h Để xác định sự phân bố ứng b suất τ zy trên toàn bộ mặt cắt ta tính τ zy tại điểm B. Kẻ AC đi Qy τ Max qua B và // ox. Chiều dài AC = x b = b. Ta có Mômen tĩnh phần C h BO bị cắt (gạch chéo)với trục ox là: y yC C Sc = FC × y C = τB A x h   −y  y h  2 Hình 6 + y b − y   2  2 15    
- 18 - 1 2 y2  2 = b.h 1 − 4 2  Mặt khác ta lại có J x = b.h Từ đó ta có: theo Sc =>  h x 8 12   3 Qy  y2  1 − 4 2  công thức Durapsky: τ zy = 2 b.h  h   Như vậy theo công thức trên ta thấy quy luật phân bố τ zy dọc theo chiều cao là 1 đường Parabon bậc 2. Khi y = ± h/2 (Ở mép mặt cắt) thì τ zy = 0 Khi y = 0 (Các điểm trên đường trung hoà) thì τ zy lớn nhất 3 Qy τ Max = Lúc đó: 2 b.h 2. Mặt cắt ngang hình chữ I: Để đơn giản ta coi 2 đế của chữ I là 2 hình chữ nhật hẹp đặy thẳng đứng. a) Ứng suất tiếp trên lòng chữ I b Ta có: bc = d và Sx là Mômen tĩnh của τ Ma 1/ 2 mặt cắt chữ I với trục ox. Vậy Mômen tĩnh của phần chữ T gạch chéo d x c đen là: S x h y y2 y C A Sc = S x − y.d. = S x − d B x 2 2 Vì lòng chữ I là hình chữ nhật hẹp nên τ t ta sử dụng công thức Durapsky: y 1  d.y  2 Q y  Sx −   2  Biểu đồ là   H nh6- ì τ zy = J x .d 14 hình Parabon • Tại điểm tiếp giáp giữa lòng và đế chữ I trị số của τ zy là τ 1:   2 h  − t  Qy  S − d  2   τ1 = x J x .d   2     • Tại trục trung hoà ( y = 0 ) ta có ứng suất tiếp lớn nhất là τ Max Q ySx τ Max = Ta thấy τ 1 và τ Max khác nhau rất ít. J xd b) Ứng suất tiếp trên đế chữ I h t  Q y .t.x −   2 2  = Qy ( h − t) ⋅ x c Ta có bc = t nên τ = Q yS x = zx J x bc J x .t 2.J x
- 19 - Như vậy τ zx là hàm bậc nhất với x. Ở đây ta không xét phần chéo ca rô như hình 6-16 3. Mặt cắt ngang là hình tròn: bc = 2 R 2 − y 2 Ta có: π.R 4 R R Sc = ∫y η.b ηdη = ∫y 2 R 2 − y 2 .ηdη Jx = Và: ; x 4 ( ) 22 2 32 c => S x = R − y τ Ma 3 R 4 Qy  y2  1 −  Do đó: τ zy = ⋅ x y 3 πR 2  R 2    A B O C η V. KIỂM TRA BỀN TRONG dη UỐN NGANG PHẲNG bη y τB Thời gian: 15 Phút H nh 6- ì Phương pháp: Thuyết trình. c 15 b Trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng có 2 loại ứng suất: • Ứng suất pháp do Mx gây ra. • Ứng suất tiếp do Qy gây ra Nhưng không phải TTƯS tại mọi điểm trên mặt cắt ngang như nhau. Ta xét một dầm có mặt cắt ngang là hình chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng. Ta biểu diễn biểu đồ σ z và τ zy theo chiều cao của mặt cắt ngang (Hình 6-16) σ Max σ min σ mi τ Ma A D A Mx Qy x B τ Max τC σ zc z C D σ c B C z y τC σ Max H nh 6- ì 16 Dựa vào biểu đồ ta thấy TTƯS của các phân tố trên mặt cắt ngang sẽ khác nhau. Cụ thể: a) Các điểm ở mép trên cùng mặt cắt là A và mép dưới cùng là D có: σ = σ Max = σ min  Phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.  τ = τ Max b) Các điểm ở trên trục trung hoà (B) có:
- 20 -  σ= 0  Phân tố ở trạng thái ứng suất trượt thuần tuý τ = τ Max c) Điểm C bất kỳ trên mặt cắt có: σ = σ Cz  Phân tố ở TTƯS phẳng đặc biệt C τ=τ  Như vậy điều kiện bền của 3 phân tố ở 3 trường hợp trên không giống nhau. Cho nên đối với dầm chịu uốn ngang phẳng ta phải kiểm tra bền cho cả 3 phân tố. Cụ thể như sau: 1. Phân tố ở trạng thái ứng suất đơn: ta kiểm tra ở mặt cắt có | Mx| đạt giá trị Max. Điểm kiểm tra nằm tại mép trên cùng và dưới cùng của mặt cắt. Theo thuyết bền 1 ta có: Với vật liệu dẻo: Max| σ | ≤ [σ ] Với vật liệu dòn: σ Max ≤ [σ ]K ; σ min ≤ [σ ]N 2. Phân tố ở TTƯS trượt thuần tuý: Ta kiểm tra ở mặt cắt có | Qy| Max. Điểm kiểm tra nằm trên trục trung hoà. Với vật liệu dẻo: Theo thuyết bền 3: τ Max ≤ [σ ]/ 2 Theo thuyết bền 4: τ Max ≤ [σ ] / √3 Với vật liệu dòn: Dùng thuyết bền Mo 3. Phân tố ở TTƯS phẳng đặc biệt: Ta kiểm tra ở mặt cắt có | Mx| và | Qy| cùng lớn. Trên mặt cắt đó điểm kiểm tra nằm ở vị trí có σ và τ cùng lớn. Ví dụ như mặt cắt chữ I là điểm tiếp giáp giữa lòng và đế của chữ I.  Xác định ứng suất chính: 2 σ σ σ1 σ Max,min = σ 1,3 = ±   + τ2 = ± σ 2 + 4τ 2 2 2 22  Kiểm tra bền: σ t 3 = σ 2 + 4τ 2 ≤ [ σ] Với vật liệu dẻo: Theo TB3: z zy ≤ [ σ] σ t 4 = σ 2 + 3τ 2 Theo TB4: z zy Với vật liệu dòn: Dùng thuyết bền Mo. VI. BA BÀI TOÁN CƠ BẢN Thời gian: 15 Phút Phương pháp: Thuyết trình. 1. Kiểm tra bền: như đã xét trên 2. Chọn kích thước mặt cắt ngang: