intTypePromotion=3

Về một lược đồ đối ngẫu trong tối ưu dạng phân thức tuyến tính

Chia sẻ: ViVatican2711 ViVatican2711 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

0
3
lượt xem
0
download

Về một lược đồ đối ngẫu trong tối ưu dạng phân thức tuyến tính

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết trình bày một lược đồ đối ngẫu của bài toán tối ưu dạng phân thức tuyến tính do Seshan đề xuất. Điểm đặc biệt của lược đồ đối ngẫu này là bài toán gốc và bài toán đối ngẫu có cùng hàm mục tiêu.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Về một lược đồ đối ngẫu trong tối ưu dạng phân thức tuyến tính

  1. TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 23 (48) - Thaùng 12/2016 Về một lược đồ đối ngẫu trong tối ưu dạng phân thức tuyến tính A note on duality in linear fractional programming ThS. Huỳnh Khoa Trường THPT Nguyễn Thị Diệu Huynh Khoa, M.Sc. Nguyen Thi Dieu High School Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi quan tâm đến một lược đồ đối ngẫu của bài toán tối ưu dạng phân thức tuyến tính do Seshan [12] đề xuất. Điểm đặc biệt của lược đồ đối ngẫu này là bài toán gốc và bài toán đối ngẫu có cùng hàm mục tiêu. Mặc dù lược đồ này đã thu hút sự quan tâm và được khảo cứu lại trong các tài liệu, nhưng các bước để dẫn đến sự hình thành lược đồ dường như chưa được làm rõ. Mục đích của bài báo này là chỉ rõ rằng, lược đồ đối ngẫu ấy có thể nhận được từ các phép biến đổi Charnes- Cooper và phép biến đổi của Dinkelbach. Ví dụ minh họa được giới thiệu. Từ khóa: đối ngẫu Seshan, phương pháp Charnes - Cooper, phương pháp Dinkelbach. Abstract We are interested in the duality scheme of a linear fractional programming problem proposed by Seshan. The specification of the duality scheme is that the dual problem and the primal problem have the same objective functions. Despite having academic attentions and having been studied in literature, the motivation for the scheme is not clear. The aim of this paper is to show that the duality scheme can be obtained based on the Charnes-Cooper and Dinkelbach transformations. An example is given. Keywords: Seshan’s duality, Charnes – Cooper method, Dinkelbach method. 1. Phần giới thiệu  c1   d1  Bài toán tối ưu dạng phân thức tuyến      c2  d tính được nhiều nhà toán học quan tâm từ trong đó c  , d   2  là các     rất sớm [14], [8], [7], [5]. Như là một sự     mở rộng tự nhiên của bài toán tối ưu dạng  cn   dn  tuyến tính, người ta quan tâm dạng bài toán  b1  tối ưu phân thức tuyến tính sau đây   b cT x  c0 vectơ cột gồm n thành phần; b   2  là (P)Max F ( x)  T (1.1)   d x  d0    bm  Đ.k. Ax  b, (1.2) vectơ cột gồm m thành phần; c0 , d0 là x  0, (1.3) những hằng số, A là ma trận cấp m  n 155
  2. ( m  n , hạng của A bằng m). Từ bài toán qua một lược đồ đối ngẫu cải biên, các (P), nếu mẫu thức là hằng số, ta có bài toán định lí về đối ngẫu yếu và đối ngẫu mạnh quy hoạch tuyến tính thông thường. Tuy được thiết lập. Hơn thế nữa, đặc trưng tập nhiên nếu mẫu thức không là hàm số thì nghiệm của (P) đã được giới thiệu. Lược hàm mục tiêu thường là không là lồi. Điều đồ đối ngẫu nói trên đã được tổng hợp và đó có nghĩa, bài toán tối ưu dạng phân thức giới thiệu trong tài liệu [3]. Mặc dù lược tuyến tính là bài toán tối ưu không lồi. Có đồ đối ngẫu Seshan thu hút được quan tâm, nhiều phương pháp giải bài toán này đã nhưng các bước tiến hành xây dựng bài được tổng hợp và giới thiệu trong tài liệu toán đối ngẫu Seshan dường như vẫn chưa [3], [11]. Hơn thế nữa nhiều lược đồ đối được làm rõ và câu hỏi về cơ sở để hình ngẫu cho bài toán tối ưu dạng phân thức thành được bài toán đối ngẫu Seshan vẫn tuyến tính đã được thiết lập [1], [13], [6], còn bỏ ngỏ trong nhiều năm. Năm 2010, [7], [2], [12]. trong bài báo số [4], các tác giả đã làm rõ Chúng ta đã biết rõ rằng: trong tối ưu một số lược đồ đối ngẫu tương đương của tuyến tính, đối ngẫu của bài toán tối ưu bài toán (P). Đặc biệt tác giả chỉ ra lược đồ tuyến tính cũng có dạng bài toán tối ưu đối ngẫu của (P) do Gol'stein đề nghị trong tuyến tính. Câu hỏi này được đặt ra cho bài bài báo số [9] có thể dẫn tới đối ngẫu toán (P) nêu trên: Có hay không một lược Seshan thông qua một hàm Lagrange thích đồ đối ngẫu của bài toán tối ưu dạng phân hợp dạng phân thức và phép biến đổi của thức tuyến tính mà bài toán đối ngẫu cũng Charnes-Coopper. là dạng phân thức tuyến tính? Mục đích của nghiên cứu này là đưa Theo sự hiểu biết của chúng tôi, trong ra lời giải thích về sự hình thành bài toán tất cả các lược đồ đối ngẫu áp dụng cho bài đối ngẫu mà Seshan đã giới thiệu trong toán phân thức tuyến tính, chỉ có lược đồ [12]. Bằng cách tiếp cận bài toán đối ngẫu đối ngẫu Seshan [12] đưa ra vào năm 1980 theo kiểu biến đổi của Charnes - Cooper là trả lời được câu hỏi nêu trên. [10] và theo kiểu biến đổi Dinkelbach [3], Từ bài toán (P), trong bài báo [12], chúng tôi đã đưa ra được các giải thích năm 1980, Seshan đã giới thiệu một bài hợp lý cho việc hình thành lược đồ đối toán đối ngẫu của (P) như sau: ngẫu của Seshan. Chú ý rằng, mặc dù sử cT u  c0 dụng biến đổi Charnes-Cooper để đi đến (D) Min I (u, v)  T (1.4) d u  d0 lược đồ đối ngẫu Seshan, nhưng cách tiếp cận của chúng tôi là không trùng lặp với Đ.k. c  d T u   d  cT u   AT v  c0 d  d0 c, (1.5) hướng tiếp cận của Gol'strein mà bài báo c0 d T u  d0 cT u  bT v  0, (1.6) [4] đã bình luận. Trong các phần còn lại của bài báo u  0, v  0. (1.7) này, phần tiếp theo được dành cho một số Với bài toán này, các định lý đối ngẫu kết quả cơ bản đã biết để phục vụ cho các yếu và đối ngẫu mạnh cho bài toán (P) đã chứng minh trong bài báo. Trong phần được thiết lập. Năm 2006, T.Q. Sơn trong cuối cùng, cũng là phần chính của bài bài báo [2] đã quan tâm đến lược đồ này. báo, chúng tôi nêu ra hai cách tiếp cận để Bằng cách điều chỉnh miền chấp nhận được giải thích sự hình thành bài toán đối ngẫu của bài toán (P) một cách thích hợp, thông đã giới thiệu trong [12]. Một ví dụ cũng 156
  3. được giới thiệu để minh họa cho kết quả z  0  zn1  0  . nghiên cứu. Theo quy tắc đối ngẫu của bài toán 2. Các kí hiệu và kiến thức cơ bản quy hoạch tuyến tính thông thường, ta thu Kí hiệu X  x   n  Ax  b, x  0 là được bài toán đối ngẫu của (L1) có dạng: tập chấp nhận được của bài toán (P). Giả (DL1) Min H     T g sử d T x  d0  0 với mọi x  X , tập X là Đ. k. i  0, i  1, m , bị chặn và hàm mục tiêu F của bài toán m1  , (P) không phải là hàm hằng trên X . Kí hiệu Y là tập chấp nhận được của bài toán  T B  hT , (D) và giả sử d T u  d0  0 với mọi  1  0      u, v   Y . trong đó    , g   có  m  0 Từ bài toán (P), bằng cách sử dụng     phép đổi biến của Charnes – Cooper [3],   m 1  1 1  A b  đặt t  T d x  d0 và y  tx ta thu được bài  m  1 thành phần, B   T  là ma d d0  toán quy hoạch tuyến tính có dạng trận cấp  m  1   n  1 . (L1) Max G  y, t   cT y  c0 t (2.8) Với bài toán phân thức tuyến tính Đ. k. Ay  bt  0, (2.9) (P), giả sử d T x  d0  0 với mọi x  X . d T y  d0 t  1 , Đặt f  x   cT x  c0 , g  x   d T x  d0 . (2.10) y  0, t  0. (2.11) Chúng tôi quan tâm bổ đề sau đây : Kí hiệu F1 là tập chấp nhận được của Bổ đề 2.1 (L1). Hàm E     max  f  x    g  x  ,   xX  c1   y1  là hàm giảm.     Bằng cách đặt h    , z   , Chứng minh. Lấy 1 , 2 sao cho  cn   yn      2  1 . Ta có  c0   t  E  2   max  f  x   2 g  x   xX  d1     f  x2   2 g  x2  k    , A  [ A  b] là ma trận cấp  f  x2   1 g  x2   dn     d0   max  f  x   1 g  x    E  1  xX m   n  1 với cột thứ  n  1 là b , bài Vậy E    là hàm giảm. toán (L1) được viết gọn lại như sau : Định lí sau đây thiết lập sự mối liên Max hT z hệ giữa bài toán phân thức tuyến tính và Đ. k. Az  0, bài toán quy hoạch tuyến tính tham số. Định lí 2.1 ([3], trang 88) Với kT z  1 , 157
  4. f  x   cT x  c0 , g  x   d T x  d0 , giả sử E  1   E  0   max  x1  x2  . xX X   và g  x   0 với mọi x  X . Khi f  X1  Khi đó E  1   1. Đặt 2   1 đó x0  X là nghiệm tối ưu của (P) nếu và g  X1  2 chỉ nếu Bước 2 : max  f  x   0 g  x   E  0   0, 1  1  E  2   E    max  x1  x2   x1  x2  1  xX   2 xX  2  f  x0  1 1 trong đó 0  .  max   x1  x2    g  x0  xX 2 2  0. Do E    là hàm giảm, áp dụng định lí 1 Do đó 2  là giá trị tối ưu của (P1) và 2.1 nghiệm tối ưu của (P) tìm được dựa 2 vào thuật toán sau đây (xem [3], trang 88): 0 Bước 1: Với   1  0 , tìm x1 là X 1    là nghiệm của (P1). 1  nghiệm của bài toán E  1   max f  x  . 3. Nội dung chính xX f  x1  3.1. Đối ngẫu Seshan nhận được từ Đặt 2  . biến đổi của Charnes – Cooper g  x1  Theo phương pháp đổi biến của Bước 2: Tìm x2 là nghiệm của bài Charnes – Cooper, bài toán (P) và (L1) là toán E  2   max  f  x   2 g  x  . Đặt tương đương. xX Bổ đề 3.1 Giả sử d T x  d0  0 với mọi f  x2  3  . x  X . Khi đó, bài toán (P) có nghiệm khi g  x2  và chỉ khi bài toán (L1) có nghiệm và Bước 3: Tương tự như Bước 2 và tiếp chúng có chung giá trị tối ưu. tục. Dừng lại nếu E  k   0 . Khi đó ta tìm Chứng minh. Lấy x* là nghiệm của được xk 1 là nghiệm của (P) và k là giá trị (P). Đặt t *  T * 1 và y*  t * x* . Khi tối ưu của (P). d x  d0 Ví dụ 2.1 Xét bài toán đó  y* , t *   F1 . Thật vậy x1  x2 (P1) Max F ( x)  Ay*  bt *  t * Ax*  bt *  t *  Ax*  b   0, x1  x2  1 Đ.k. x1  x2  1, d T y*  d0 t *  d T t * x*  d0 t *  t *  d T x*  d0   1, x1 , x2  0. y*  0, t *  0 . Kí hiệu X là tập chấp nhận được của (P1). Ta có cT y*  c0 t * cT t * x*  c0 t * t  c x  c0  * T * E     max  x1  x2    x1  x2  1  T *  T * .(3.12) xX d T x*  d 0 d x  d0 d x  d0 Bước 1:   1  0 , chọn được Vì x* là nghiệm tối ưu của (P) nên 0 cT x*  c0 cT x  c0 X 1    là một nghiệm của bài toán  với mọi x  X . (3.13) 1  d T x*  d 0 d T x  d 0 158
  5. Với mọi  y, t   F1 thì t  0 (do   Như vậy nếu y, t là nghiệm của (L1) d x  d0  0 với mọi x  X ). T y thì x  là nghiệm của (P) và y t Đặt x  . Khi đó x  X . Thật vậy, t cT x  c0 do  y, t   F1 nên  F x  d T x  d0    cT t x  c0 t  cT y  c0 t  G y, t . y Chú ý rằng với quy tắc đối ngẫu của Ay  bt  0  A  b  0  Ax  b bài toán quy hoạch tuyến tính thông t và x  0 . Từ (3.12), (3.13), ta có thường, ta thu được bài toán đối ngẫu của cT y*  c0 t * (L1) như sau: d T x*  d 0  t *  c T y  c0  t ,    1 y , t  F (DL1) Min H     T g hay Đ. k. i  0, i  1, m , c y  c0t  c y  c0t ,   y, t   F1 . T * * T m1  , Suy ra  y ,t  * * là nghiệm tối ưu của  T B  hT , (L1) và  1  0 cT x *  c     G  y* , t *   cT y*  c0 t *  cT t * x*  c0 t *  T * 0  F  x*  . d x  d0 trong đó    , g   có  m  0 Ngược lại, lấy  y, t  là nghiệm của     m 1    1 (L1), tức là  A b  c y  d0 t  c y  d0 t ,   y, t   F1 . T T  m  1 thành phần, B   T  là ma d d0  Giả sử x  y không là nghiệm của trận cấp  m  1   n  1 . t Từ bài toán (DL1), gọi ai là vectơ (P). Khi đó tồn tại x0  X sao cho  1  cT x0  c0 cT x  c0    . cột thứ i của ma trận A, 1, n . Đặt     d T x0  d0 d T x  d 0    m cT x  c0 Do  cT y  c0 t , và   m1 . Khi đó: d x  d0 T  T B   a1T    d1 ,..., anT    dn , bT    d0  . cT x0  c0 Nên  cT y  c0 t . Như vậy d x0  d 0 T  B  hT  AT    d  c và bT    d0  c0 . T Đặt t0  1 và y0  t0 x0 . Khi đó d x0  d 0 T Mặt khác,  T g  m1   . Bài toán cT x0  c0 (DL1) chính là bài toán sau đây:  cT y0  c0 t0 ,  y0 , t0   F1 . Min  d x0  d0 T ( Q ) (3.14) Do đó cT y0  c0 t0  cT y  c0 t Đ. k. AT   c   d , (3.15) bT   c0   d0  0,   (mâu thuẩn vì y, t là nghiệm của (L1) ). (3.16) 159
  6.   0,   m . (3.17) của bài toán quy hoạch tuyến tính. Ta sẽ chỉ ra rằng, bài toán ( Q ) có thể 3.2. Đối ngẫu Seshan nhận được từ biến đổi Dinkelbach biến đổi thành bài toán đối ngẫu Seshan. Dựa vào định lí 2.1, bài toán (P) tương Thật vậy, với d T u  d0  0 với mọi u  0 đương với bài toán cT u  c0 (L2) Max cT x  c0    d T x  d0  và đặt   , v  (d T u  d0 ) . d T u  d0 Đ. k. Ax  b , Ta có : x  0. AT   c   d   AT    d  c trong đó  là giá trị tối ưu của (P) và   A v    d  c   d u  d0  T T giá trị tối ưu của (L2) bằng 0. Chú ý rằng   d T u  c   cT u  d  AT v   d T u  c   cT u  d   c   d   d T u  d 0  nếu sắp xếp lại hàm mục tiêu của bài toán   d T u  c   cT u  d  AT v   d T u  c   cT u  d   d T u  c  d 0 c   cT u  c0  d thì (L2) viết lại như sau:   d T u  c   cT u  d  AT v  c0 d  d 0 c . Max {(c-d )T x  c0  d0 } Nhận xét 3.1: Ràng buộc (1.5) là Đ.k. Ax  b, tương đương ràng buộc (3.15) x  0. Hơn thế nữa, ta cũng có Giả sử x là nghiệm tối ưu của (L2). bT   c0   d0  0 Bài toán (L2) là bài toán dạng quy   d T u  d0  bT   c0  d T u  d0   d0  cT u  c0   0 hoạch tuyến tính. Theo quy tắc đối ngẫu  bT v  c0 d T u  d 0 cT u  0 của bài toán quy hoạch tuyến tính, ta xác Nhận xét 3.2: Ràng buộc (1.6) là định được bài toán đối ngẫu của (L2) có tương đương ràng buộc (3.16) dạng: Nhận xét 3.3: Ngoài ra, do cách đặt  1  (DL2)  Min bT   c0  d0      nên   0 và do v  (d u  d0 ) T Đ.k. AT   c  d ,    m   0,   m . nên v  0 . Giả sử rằng v là nghiệm tối ưu của Nhận xét 3.4: Do các Nhận xét 3.1, (DL2). Kí hiệu F2 là tập chấp nhận được 3.2, 3.3 và với cách đặt   cT u  c0 , bài T d u  d0 của (DL2). toán ( Q ) là tương đương với bài toán Bổ đề 3.2: Hàm số (D). R( ) = Min bT   c0   d0 | AT   c   d ,   0,   m  Tóm lại, từ Bổ đề 3.1, kết hợp với các là một hàm giảm. nhận xét 3.1, 3.2 và 3.3 và với cách đặt Chứng minh. Giả sử 2  1. . Ta có: cT u  c0 R( 2 ) = Min bT   c0  2 d0 | AT   c  2 d ,   0,    T , ta thấy rằng bài toán đối m  d u  d0 = bT v  c0  2 d0 . ngẫu Seshan là tương đương với một bài toán mà bài toán ấy lại có thể nhận được từ Khi đó, theo quy tắc đối ngẫu giữa bài toán (P) bằng cách kết hợp phép đổi (L2) và (DL2) ta cũng có: biến Charnes-Cooper với phép lấy đối ngẫu R(2 )  Max{(c  2 d )T x  c0  2 d0 | Ax  b, x  0} 160
  7. = (c  2 d )T x  c0  2 d0 đương với bài toán ( Q )  (c  1d )T x  c0  1d0 Tóm lại: từ Bổ đề 3.3, kết hợp với các Nhận xét 3.4 và 3.5 ta thấy rằng bài toán  Max{(c  1d )T x  c0  1d0 | Ax  b, x  0} đối ngẫu Seshan có thể nhận được từ bài  Min bT   c0  1d0 | AT   c  1d ,   0,   m  toán (P) bằng cách kết hợp phép đổi biến = R(1 ) . Dinkelbach với phép lấy đối ngẫu của bài toán quy hoạch tuyến tính. Do đó R( ) là hàm giảm. Ví dụ 3.1. Xét bài toán Bổ đề 3.3: Giả sử  là giá trị tối ưu x  x2 (P1) Max F(x)= 1 của (P). Khi đó v là nghiệm của (DL2) nếu x1  x2  1 và chỉ nếu ( v ,  ) là nghiệm của ( Q ). Đ.k. x1  x2  1 , Chứng minh. Lấy v là nghiệm của x1 , x2  0. (DL2). Khi đó: Ký hiệu X   x   x1  | x1  x2  1, x1 , x2  0 b v  c0  d0  0 , T x  2   A v  c  d và v  0. T là tập chấp nhận được của (P1). Giá trị Do đó 1 tối ưu của (P1) là và R( )  0 và (v,  )  F2 . 2 Với mọi ,    F2 thì   x1    Sol (P1)    | x1  x2  1, x1 , x2  0  . R( )  0   x2     R( )  R( ) Bài toán đối ngẫu Seshan của (P1) có dạng:    . u  u2 Vậy  là giá trị tối ưu của ( Q ), tức là (D1) Min I (u, v)  1 u1  u2  1 ( v ,  ) là nghiệm của ( Q ). Đ.k. v  1, Ngược lại, lấy ( v ,  ) là nghiệm của u1  u2  v  0, ( Q ), ta có: u1 , u2 , v  0. bT v  c0  d0  0, Ký hiệu Y = (u, v) |  u1  u2  v  0, v  1, u  (u1 , u2 )  0, v   AT v  c  d và v  0. Vì  là giá trị tối ưu của (P) nên là tập chấp nhận được của (D1). Giá trị F2  min b   co  d0  0. T  1 tối ưu của (D1) là và 2 Mặt khác, bT v  c0  d0  min bT   co  d0   0. F2 Sol (D1) = (u,1) | u  (u1 , u2 )  0, u1  u2  1. Do đó Theo hướng tiếp cận Charnes – bT v  c0  d0  0. Cooper, (P1) được đưa về dạng bài toán Như vậy v là nghiệm tối ưu của (DL2). quy hoạch tuyến tính thông thường như Nhận xét 3.5: Bài toán (DL2) là tương sau, ký hiệu (L3): 161
  8. Max G( y, t )  y1  y2 (L4)  Max x1  x2   ( x1  x2  1)  Đ.k. y1  y2  t  0, Đ.k. x1  x2  1; y1  y2  t  1, x1 , x2  0 . y1 , y2 , t  0. trong đó  là giá trị tối ưu của (P1). Sol (L3) = ( y1 , y2 , 1 ) | y1  y2  1 , y1 , y2  0. Ta tìm được giá trị tối ưu của (P1) là  2 2  1 Theo quy tắc đối ngẫu thông thường,   (xem ví dụ 2.1) 2 ta xác định được bài toán đối ngẫu của nên (L3), ký hiệu (DL3): 1 1 Min H (l )  l T g  l2 (L4) Max  ( x1  x2 )   2 2 Đ.k. l1  0, Đ.k. x1  x2  1; l1  l2  0, x1 , x2  0 . l1  l2  1. Bài toán đối ngẫu của (L4) có dạng:  l1  0  1 trong đó l    , g    . (DL4) Min     l2  1   2 Bằng cách đặt   l2 và   l1 , ta thấy 1 Đ.k.   , (DL3) có dạng bài toán tham số 2 (K  ) Min   . Giá trị tối ưu của (DL4) là 0 và Đ.k.     0, 1    1  , Sol(DL4)=   . 2   0. Theo bổ đề 3.3, (DL4) đưa về dạng bài Giá trị tối ưu của (K  ) là 1 và 2 toán tham số  1 1    K  Min  Sol (K  ) =  ,   .  2 2   Đ.k.     0, u  u2   1  , Đặt   1 với u1 , u2  0. và u1  u2  1   0. v  (u1  u2  1) . Khi đó Giá trị tối ưu của  K  là 1 và 2     0  u1  u2  v  0;   1    v  1; Sol  K   =  1 ; 1   .  2 2     0  v  0. Bằng cách đặt   u1  u2 với Do đó (K  ) được viết lại giống bài u1  u2  1 toán đối ngẫu (D1). u1 , u2  0. và v  (u1  u2  1)  , thì  K   Theo hướng tiếp cận Dinkelbach, (P1) được viết lại giống bài toán đối ngẫu (D1). được đưa về bài toán quy hoạch tuyến tính Để kết thúc bài báo này chúng tôi giới tham số thiệu sơ đồ hình thành lược đồ đối ngẫu Seshan. 162
  9. Hình 1: Lược đồ thiết lập bài toán đối ngẫu Seshan TÀI LIỆU THAM KHẢO programs, Oper. Research, 24, 675-699. 1. B. D. Craven, B. Mond (1973), The dual of a 8. E. G. Gol'stein (1967), Dual problems of fractional linear program, Journal of convex and fractionally-convex programming mathematical analysis and appications, 42, in functional spaces, Soviet Math. Dokl, 8, 507-512. 212-216. 2. Ta Quang Son (2006), On a duality scheme in 9. E. G. Gol'stein (1971), Duality Theory in linear fractional programming, Nonlinear Mathematical Programming, Nauka, Mosow. analysis forum, 42, 137-145. 10. A. Chanes and W.W. Cooper (1962), 3. I. M. Stancu - Minasian (1997), Fractional Programming with Linear Fractional Programming, Kluwer Academic Publishers, Functionals, Naval Research Quarterly, 8, U.S.A. 181-186. 4. S. Jahan and M.A. Islam (2010), Equivalence 11. S. Schaible (1976), Fractional programming. of duals in linear fractional programming, I, Duality, Management Science, 22, 858-867. Dhaka Univ. Journal of Sciences, 58, 73-78. 12. C. R. Seshan (1980), On duality in linear 5. K. Swarup (1965), Linear fractional fractional programming, Proc. Indian Acad. functionals programming, Oper. Research, 13, Sci. (Math. Sci.), 89, 35-42. 1029 - 1036. 13. K. Swarup (1965), Linear fractional 6. S.F. Tantawy (2008), A new procedure for functionals programming, per.Research, 13, solving linear fractional programming 1029-1036. problems, Mathematical and computer 14. T. Weir (1991), Symmetric dual modelling, 48, 969-973. multiobective fractional programming, 7. G. R. Bitran, T. L. Magnanti (1976), Duality J. Austral. Math. Soc. (Series A), 50, 67-74. and sensitivity analysis for fractional Ngày nhận bài: 05/10/2016 Biên tập xong: 15/12/2016 Duyệt đăng: 20/12/2016 163

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản