intTypePromotion=3

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric

Chia sẻ: ViVatican2711 ViVatican2711 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

0
2
lượt xem
0
download

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết đưa ra một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian metric đầy đủ. Các kết quả này là mở rộng thực sự của một số kết quả trong các tài liệu

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric

  1. TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 24 (49) - Thaùng 01/2017 Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric About the existence of fixed point results for generalized Chatterjea-type Cyclic weakly contractive mappings in metric spaces PGS.TS. Đinh Huy Hoàng, Trường Đại học Vinh Dinh Huy Hoang, Assoc.Prof., Ph.D., Vinh University ThS. Đậu Hồng Quân, Trường Đại học Vinh Dau Hong Quan, Vinh University Nguyễn Hoài Phương, Trường Đại học Vinh Nguyen Hoai Phuong, Vinh University Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi đưa ra một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian metric đầy đủ. Các kết quả này là mở rộng thực sự của một số kết quả trong các tài liệu [1], [2], [4], [6]. Từ khóa: điểm bất động, ánh xạ cyclic co yếu, không gian mêtric. Abstract In this paper, we obtain fixed-point results for generalized Chatterjea-type cyclic weakly contractive mappings in complete metric spaces. Our results extend and generalize well-known comparable results in [1], [2], [4], [6]. Keywords: fixed point, cyclic weakly contractive maps, metric space. 1. Mở đầu những hướng mở rộng đó là thay đổi các Nguyên lý Banach về sự tồn tại duy điều kiện co. Năm 1972, Chatterjea [1] đã nhất điểm bất động của ánh xạ co trong đưa ra định nghĩa sau. không gian mêtric đầy đủ là một trong 1.1. Định nghĩa ([1]). Giả sử ( X , d ) những kết quả quan trọng đầu tiên của lý là không gian mêtric và f : X  X . Ánh thuyết điểm bất động. Nó có nhiều ứng xạ f được gọi là co kiểu Chatterjea nếu dụng quan trọng trong toán học và các ngành kỹ thuật khác. Do đó, việc mở rộng  1 tồn tại   0;  sao cho nguyên lý Banach đã thu hút được sự quan  2 tâm của nhiều nhà toán học. Người ta đã d ( fx, fy)    d ( x, fy)  d ( y, fx) x, y  X . mở rộng nguyên lý Banach cho nhiều loại Trong [1], Chatterjea đã chứng minh ánh xạ và nhiều loại không gian. Một trong được rằng, mọi ánh xạ co kiểu Chatterjea 22
  2. trong không gian mêtric đầy đủ có duy m Ai  m Ai được gọi là cyclic  - co i 1 i 1 nhất một điểm bất động. Sau đó, yếu nếu f là ánh xạ cyclic và tồn tại ánh xạ Choudhury [2] đưa ra khái niệm ánh xạ co yếu kiểu Chatterjea như sau. : [0, +)  [0, +) liên tục, tăng và 1.2. Định nghĩa ([2]). Giả sử ( X , d ) (t) = 0 khi và chỉ t = 0 sao cho d ( fx, fy)  d ( x, y)   (d ( x, y)) , với mọi x là không gian mêtric và f : X  X . Ánh xạ  Ai, yAi+1, i=1,…,m, trong đó Am+1 = A1. f được gọi là co yếu kiểu Chatterjea nếu 1 d ( fx, fy)   d ( x, fy )  d ( y, fx)   (d ( x, fy ), d ( y, fx))  Ta kí hiệu F1   : 0,    0,    2 2 nửa liên tục dưới và  (t , u)  0  t  u  0 x, y  X , và trong đó : [0, +)2  [0, +) là F2   : 0,    0,    nửa liên 4 hàm liên tục và  (u, t )  0 khi và chỉ khi u  t  0. tục dưới và  ( x, y, t, u)  0  x  y  t  u  0 . Trong [2], Choudhury đã chứng minh 1.5. Định nghĩa ([4]). Giả sử (X, d) là được rằng, mọi ánh xạ co yếu kiểu không gian mêtric, A1, A2,…, Am là các tập Chatterjea trong không gian mêtric đầy đủ con khác rỗng của X và f : có duy nhất một điểm bất động. Vào năm m m A  i 1 Ai . i 1 i 2003, Kirk và các cộng sự [5] đã đưa ra khái niệm ánh xạ cyclic và nghiên cứu sự 1) Ánh xạ f được gọi là cyclic co yếu tồn tại điểm bất động của nó trong không kiểu Chatterjea nếu f là cyclic và tồn tại  1 gian mêtric.   F1 ,    0,  sao cho 1.3. Định nghĩa ([5]). Giả sử A1 ,…,  2 Am là các tập con khác rỗng của không gian d ( fx, fy)    d ( x, fy)  d ( y, fx)   (d ( x, fy), d ( y, fx)) với mọi x  A i , y  Ai 1 , i  1, 2,..., m , trong m m mêtric (X, d) và f : i 1 Ai  i 1 Ai . Ánh xạ f được gọi là m-cyclic (nói gọn là đó Am1  A1. cyclic) nếu f ( Ai )  Ai 1 với mọi i = 1, 2) Ánh xạ f được gọi là cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng nếu f là cyclic và 2,…, m; trong đó Am+1 = A1. Khi đó, tập  1 Y m Ai được gọi là biểu diễn cyclic tồn tại   F2 ,    0,  sao cho i 1  4 của Y tương ứng với f. d ( fx, fy)    d ( x, fx)  d ( y, fy)  d ( x, fy)  d ( y,, fx) Sau đó, vào năm 2011 và 2012,  (d ( x, fx), d ( x, fy), d ( y, fy), d ( y, fx)) Karapinar và các cộng sự trong ([3], [4]) đã với mọi x  Ai , y  Ai 1 , i  1, 2,..., m , trong đó giới thiệu các khái niệm ánh xạ cyclic  - co yếu, co yếu kiểu Chatterjea, co yếu kiểu Am1  A1. Chatterjea suy rộng và chứng minh một số Trong [3], [4] Karapinar cùng các định lý về sự tồn tại điểm bất động của các cộng sự đã đưa ra các định lý khẳng định lớp ánh xạ này trong không gian mêtric. rằng, trong không gian mêtric đầy đủ các 1.4. Định nghĩa ([3]). Giả sử (X, d) là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy không gian mêtric, A1,…,An là các tập con rộng có suy nhất một điểm bất động trong m khác rỗng của X. Ánh xạ f : i 1 Ai . 23
  3. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra 3d ( xn1 , xn1 )   4 d ( xn , xn )  5d ( xn , xn1 ) một định lý và một số hệ quả của nó về sự  (d ( xn1 , xn ), d ( xn1 , xn1 ), d ( xn , xn1 ), 0) tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic  (1   2 )d ( xn1 , xn )  3 d ( xn1, xn )  d ( xn , xn1 )  5d ( xn , xn1 ) co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong  (d ( xn1 , xn ), d ( xn1 , xn1 ), d ( xn , xn1 ),0) . (4) không gian mêtric. Các kết quả này là sự mở rộng của một số kết quả chính trong Do đó, với mọi n = 1, 2, … ta có 1   2   3 [1], [2], [4], [6]. d ( xn , xn1 )  d ( xn1 , xn )  d ( xn1 , xn ). 1  3  5 2. Các kết quả chính Ta kí hiệu Điều này chứng tỏ d ( xn , xn1 ) là dãy F3   : 0,    0,    ( x, y, u, v)  0  x  y  u  v  0 4 các số không âm và giảm. Do đó, tồn tại và lim d ( xn , xn1)    0. Từ (4) và tính chất liminf  ( xn , yn , un , vn )   (liminf xn ,liminf yn ,liminf un ,liminf v )}. n  n n n n n của ánh xạ  suy ra n 2.1. Định lí. Giả sử (X, d) là không   (1   2  23  5 )   ( ,liminf d ( xn1, xn1 ),  ,0). gian mêtric đầy đủ, A1, A2,.., An là các tập n con đóng khác rỗng của X và f : Vì 1   2  23  5  1 nên từ bất đẳng m m i 1 Ai  i 1 Ai là ánh xạ cyclic. Khi đó, thức này suy ra  ( ,liminf d ( xn1, xn1 ),  ,0)  0. n nếu tồn tại F3 và các số không âm Do đó từ tính chất của  suy ra = 0, 1 ,  2 ,..., 5 thỏa mãn tức là 1   2  23  5  1, (1) lim d ( xn , xn1 )  0 . (5) n  1  3   4  1 (2) Tiếp theo, ta chứng minh rằng với mọi và   0 tồn tại số tự nhiên n sao cho với d ( fx, fy)  1d ( x, y)   2d ( x, fx)  3d ( x, fy)   4d ( y, fx) mọi r,q  N mà r – q = 1(mod m), 5d ( y, fy)   (d ( x, fx), d ( x, fy), d ( y, fy), d ( y, fx)) (3) r  n , q  n thì d (x r , x q )   . Giả sử điều với mọi x  Ai , y  Ai 1 , i  1, 2,..., m , này không đúng. Khi đó,tồn tại   0 sao trong đó Am1  A1 thì f có điểm bất động cho với mỗi n  N tồn tại các số tự nhiên m rn, qn sao cho rn > qn ≥ n, rn – qn =1(mod duy nhất z  i 1 Ai . m) và d ( xrn , xq )   . m Chứng minh. Lấy x0  i 1 Ai và xác n (6) định dãy  xn  bởi xn  fxn1 , n  1, 2,... Lấy n > 2m. Khi đó, với qn ≥ n ta có thể chọn rn sao cho rn là số tự nhiên nhỏ Nếu tồn tại n0  sao cho xn0  xn0 1 nhất mà rn > qn, rn – qn = 1(mod m) và thì fxn0  xn0 1  xn0 . Như vậy xn0 là điểm d ( xrn , xq )   . Do đó, d ( xqn , xr m )   . Từ n n bất động của f . Giả sử xn  xn1 với mọi đó, sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có n=0,1,… Khi đó, với mọi n=0,1… ắt tồn m m   d ( xq , xrn )  d ( xqn , xr m )   d ( xr i , xrn i1 )     d ( xr i , xrn i1 ) tại i 1, 2,..., m sao cho xn  Ai . Do n n i 1 n i 1 n Cho n   trong bất đẳng thức trên và sử đó xn1  fxn  Ai 1 . Từ đó, sử dụng điều dụng (5) ta có kiện (3), với mọi n = 1, 2,… ta có lim d ( xq , xr )   . (7) n  d ( xn , xn1 )  d ( fxn1 , fxn )  1d ( xn1 , xn )  2d ( xn1 , xn ) n n 24
  4. Ta có   d ( xq , xr )  d ( xq , xq 1 )  d ( xq 1 , xr 1 )  d ( xr 1 , xr ) n n n n n n n n  d ( xqn , xq 1 )  d ( xq 1 , xqn )  d ( xqn , xr )  d ( xrn , xr 1 )  d ( xr 1 , xrn ) n n n n n  2d ( xqn , xq 1 )  d ( xrn , xq )  2d ( xrn , xr 1 ). n n n Cho n   ta được  d ( xr , xq )  . (9) lim d ( xqn 1 , xrn 1 )   . (8) 2 n  Mặt khác, từ (5) ta suy ra tồn tại Vì rn  qn  1(mod m) nên tồn tại n2  N * sao cho i 1, 2,..., m sao cho xr n  Ai và  d ( xn , xn1 )  , n  n2 . (10) xqn  Ai 1 hoặc xq n  Ai và xrn  Ai 1 .Nếu 2m xr n  Ai và xqn  Ai 1 thì Với mọi n  n0  max n1 , n2  , với mọi d ( xqn 1 , xrn 1 )  d ( fxrn , fxqn )  1d ( xrn , xqn )  2d ( xrn , xrn 1 ) p= 0,1,..., giả sử p – k = 0(mod m ), 3d ( xrn , xqn 1 )   4 d ( xqn , xrn 1 )  5d ( xqn , xqn 1 ) k 1, 2,..., m , k  p . Khi đó,  (d ( xrn , xrn 1 ), d ( xrn , xqn 1 ), d ( xqn , xqn 1 ), d ( xqn , xrn 1 )) (n  p  k  1)  n  1(mod m) Do đó, theo  1d ( xrn , xqn )   2 d ( xrn , xrn 1 )  3 d ( xrn , xqn )  d ( xqn , xqn 1 )  (9) ta có  4 d ( xrn , xqn )  d ( xrn , xrn 1 )   5d ( xqn , xqn 1 )  d ( xn , xn  p k 1 )  . (11)  (d ( xrn , xrn 1 ), d ( xrn , xqn 1 ), d ( xqn , xqn 1 ), d ( xqn , xrn 1 )). 2 Cho n   , sử dụng (5),(7),(8) và tính Từ bất đẳng thức tam giác và (10) suy chất của  ta được ra   (1  3   4 )   (0,lim inf d ( xr , xq 1 ),0,lim inf d ( xq , xr 1 )) n n n n n n d ( xn pk 1, xn p )  d ( xn pk 1, xn pk 2 )  d ( xn pk 2 , xn pk 3 ) Vì 1  3   4  1 nên    (0,lim inf d ( xr , xq 1 ),0,lim inf d ( xq , xr 1 ))  0. ...  d ( xn p 1 , xn  p )  (k  1)  . (12) n n n n n n 2m 2 Do đó lim inf d ( xq , xr 1 )  0. Mặt khác, ta Từ (11) và (12) suy ra rằng, với mọi n  n n có   d ( xr , xq )  d ( xr , xq 1 )  d ( xq 1, xq ). n  n0 và mọi p=0,1,...ta có n n n n n n d ( xn , xn p )  d ( xn , xn pk 1 )  d ( xn pk 1, xn p )   Do đó   liminf d ( xrn , xq 1 )  0. Điều này Do đó  xn  là dãy Cauchy. Vì X đầy đủ nên n n mâu thuẫn với   0. tồn tại z  X sao cho xn  z . Từ cách xây Nếu xqn  Ai và xrn  Ai 1 thì chứng dựng dãy  xn  và f là ánh xạ cyclic suy ra minh tương tự ta cũng có một điều mâu thuẫn. rằng, với mỗi i = 1, 2, …, m, tồn tại dãy Bây giờ, ta chứng minh  xn  là dãy Cauchy. Giả sử   0 . Khi đó, theo chứng con x  in của  xn  sao   cho xin  Ai . Vì minh trên ắt tồn tại n1  N * sao cho với Ai đóng trong X và xin  z với mỗi i = 1, mọi r  n1 và q  n1 mà r  q  1(mod m) thì 2,…, m nên z  Ai với mỗi i = 1, 2, .., m 25
  5. m yếu kiểu Chatterjea nên tồn tại  1 tức là z  i 1 Ai .   F1 ,    0,   2 Bây giờ, ta chứng minh z là điểm bất thỏa mãn Định nghĩa 1.5.1).Ta xác định động của f. Vì z  Ai với mỗi i=1,2,…, m hàm 1 : 0,  4  0,   bởi nên áp dụng điều kiện (3), với mọi 1 (a, b, c, d )   (b, d )   (a, c), (a, b, c, d )  0,   4 n=1,2,… ta có d ( xn1, fz)  d ( fxn , fz)  1d ( xn , z)  2d ( xn , xn1 ) Vì    F1   : 0,    0,    nửa 2 3d ( xn , fz )   4 d ( z, xn1 )  5d ( z, fz ) liên tục dưới và  ( x, y)  0  x  y nên ta có 1 (a, b, c, d )  0  a  b  c  d  0.  (d ( xn , xn1 ), d ( xn , fz), d ( z, fz), d ( z, xn1 )) Mặt khác, từ tính nửa liên tục dưới của  Vì xn  z khi n   nên từ bất đẳng suy ra thức này suy ra liminf 1 (an , bn , cn , dn )  liminf  (bn , dn )   (an , cn  d (z, fz)  (3  5 )d ( z, fz )   (0, d ( z, fz ), d ( z, fz ),0). n n Kết hợp với 3  5  1 suy ra  liminf  (bn , dn )  liminf  (an , cn ) n n  (0, d ( z, fz), d ( z, fz),0)  0 . Do đó d(z, fz)   (liminf bn , liminf dn )   (liminf an , lim inf cn ) n  n n  n  = 0 tức là fz = z. Vậy z là điểm bất động  1 (liminf an , liminf bn , liminf cn , liminf dn ) n n n n của f. Như vậy 1  F3 . Giả sử u  X cũng là điểm bất động của f. Khi đó, vì f là ánh xạ cyclic suy ra u Bây giờ, dễ dàng kiểm tra các điều  Ai với mọi i = 1, 2, …, m. Do đó, theo kiện của Định lí 2.1 được thỏa mãn với điều kiện (3) ta có 1  2  5  0,3  4   và 1 được d (u, z)  d ( fu, fz)  1d (u, z)  2d (u, u)  3d (u, z)  4d ( z, u)  5d ( z, z) xác định như trên. Do đó, từ Định lí 2.1 ta  (0, d (u, z),0, d (u, z)) có điều phải chứng minh.  (1  3  4 )d (u, z)   (0, d (u, z),0, d (u, z)). 2.3. Hệ quả. ([4] Theorem 2.9) Cho (X,d) là không gian mêtric đầy đủ Từ 1  3   4  1 và tính chất của  A1 , A2 ,..., Am là các tập con đóng khác suy ra d(u, z) = 0, tức là u = z. Vậy điểm m rỗng của X, và X  Ai . Giả sử rằng f: bất động của f là duy nhất. i 1 X  X là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Sau đây là các hệ quả của Định lý 2.1 Chatterjea suy rộng. Khi đó, f có duy nhất 2.2. Hệ quả. ([4] Theorem 2.9). Cho m (X, d) là không gian mêtric đầy đủ một điểm bất động z  i 1 Ai . A1 , A2 ,..., Am là các tập con đóng khác Chứng minh. Vì F2  F3 nên từ Định m rỗng của X, và X  Ai . Giả sử rằng nghĩa 1.5. 2) dễ dàng kiểm tra được các i 1 điều kiện của Định lý 1.2 được thỏa mản f: X  X là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea. Khi đó, f có duy nhất một điểm với 1  0,  2  3   4  5     0, 1  và m  4 bất động z  i 1 Ai .   F2 . Do đó kết quả cần chứng minh Chứng minh. Vì f là ánh xạ cyclic co được suy ra từ Định lí 1.2. 26
  6. Trong Định lý 2.1, lấy A1  A2  ...  An  X 1  3  4  1 (14) ta nhận được hệ quả sau. và 2.4. Hệ quả. Giả sử (X, d) là không d ( fx, fy)  1d ( x, y)   2 d ( x, fx)  3 ( x, fy) gian mêtric đầy đủ và f: X  X là ánh xạ  4 d ( y, fx)  5d ( y, fy) (15) cyclic sao cho tồn tại   F3 và các số với mọi x  Ai , y  Ai 1 , i  1, 2,..., m, không âm 1 ,  2 ,..., 5 thỏa mãn trong đó Am1  A1 thì f có điểm bất động 1   2  2 3   5  1 m và duy nhất trong Ai . 1   3   4  1 i 1 d ( fx, fy)  1d ( x, y)   2 d ( x, fx)  3d ( x, fy)   4 d ( y, fx) Chứng minh. Từ (13) và (14) suy ra  5d ( y, fy)   (d ( x, fx), d ( x, fy), d ( y, fy), d ( y, fx)) tồn tại các hằng số không âm 1 ,  2 ,..., 5 với mọi x, y  X. Khi đó, f có điểm bất sao cho các điều kiện (1) và (2) trong Định động duy nhất z  X. lý 2.1 được thỏa mản và i  i với 2.5. Hệ quả. Giả sử (X, d) là không i=1,2,…,5. Ta xác định hàm gian mêtric đầy đủ A1 , A2 ,... Am , là các tập  : 0,    0,   bởi công thức 4 con đóng, khác rỗng của X và f: m m  (a, b, c, d )  (2  2 )a  (3  3 )b  (4   4 )d  (5  5 )c A A là ánh xạ cyclic. Khi đó, với mọi (a, b, c, d )   0,   . Khi đó,  4 i 1 i i 1 i nếu tồn tại các hằng số không âm liên tục và từ i  i với mọi i = 1, 2, .., 5 1 , 2 ,..., 5 sao cho suy ra rằng, nếu (a, b, c, d) = 0 thì a =b = 1  2  23  5  1, (13) c = d =0. Do đó,   F3 . Từ (15) suy ra d ( fx, fy )  1d ( x, y )   2 d ( x, fx)   3d ( x, fy )   4d ( y, fx)   5 d ( y, fy )   (d ( x, fx ), d ( x, fy ), d ( y, fy ), d ( y, fx))  1d ( x, y )   2 d ( x, fx )   3d ( x, fy )   4d ( y , fx )   5 d ( y, fy )   (d ( x, fx), d ( x, fy ), d ( y, fy ), d ( y, fx)) với mọi x  Ai , y  Ai 1 , i  1, 2,..., m và d ( fx, fy)  1d ( x, y)   2 d ( x, fx)  3d ( x, fy) .Như vậy các điều kiện của Định lý 2.1 (17)   4d ( y, fx)  5d ( y, fy ) được thỏa mãn. Do đó f có một điểm bất m với mọi x, y  X thì f có duy nhất một động duy nhất trong A. i 1 i điểm bất động trong X. 2.6. Hệ quả. Giả sử (X, d) là không Chứng minh. Theo điều kiện (17) ta có d ( fy, fx)  1d ( x, y)  2d ( y, fy)  3d ( y, fx)  4d ( x, fy)  5d ( x, fx) gian mêtric đầy đủ, f: X  X. Khi đó, nếu tồn tại các hằng số không âm 1 ,  2 ,..., 5 x, y  X (18) sao cho Từ (17) và (18) suy ra  2  5  3 4 d ( fx, fy )  1d ( x, y )  d ( x, fx)  1   2  3   4  5  1 d ( x, fy ) (16) 2 2 (19)  4  3 5   2  d ( y , fx )  d ( y, fy ) x, y  X 2 2 27
  7. Đặt 1  1 , 2  5   2  5 , 3   4  3   4 . f 1  2, f 2  f 3  f 4  4. 2 2 Trên X ta xét mêtric d được cho bởi Khi đó, từ (16) suy ra 1  2  23  5  1 i) d ( x, y)  0  x  y và 1  3  4  1. ii) d ( x, y)  d ( y, x), x, y  X Mặt khác, nếu lấy A1  A2  ...  Am  X 3 thì từ (19) suy ra f thỏa mãn (15). Như vậy iii) d (1, 2)  d (1,3)  d (1, 4)  các điều kiện trong Hệ quả 2.5 được thỏa 2 mãn. Do đó f có một điểm bất động duy iv) d (2,3)  d (2, 4)  d (3, 4)  1. nhất trong X. Khi đó, (X, d) là không gian mêtric 2.7. Hệ quả ([6] Theorem 3.1). Giả sử đầy đủ, A1 , A2 là các tập con đóng, khác A1 , A2 ,..., Am là các tập con đóng khác rỗng của X và f là ánh xạ cyclic. rỗng của không không gian mêtric đầy đủ Bây giờ, ta xác định hàm : (X, d) và f: im1 Ai  im1 Ai là ánh xạ 0,   0,  bởi 4 cyclic. Khi đó, nếu tồn tại  1  1 0 nếu a = b = c = d = 0 a  (0,1), b   0,  , c   0,  sao cho mỗi   2  2  (a, b, c, d )   1 nếu xảy ra các trường hợp  3 còn lại cặp (x, y)  Ai x Ai 1 , i  1, 2,..., m, Am1  A1 một trong ba điều kiện sau được thỏa mãn nếu a = b = c = d = 0 nếu xảy ra các 1) d ( fx, fy)  ad ( x, y); trường hợp còn lại Ta thấy   F3 . 2) d ( fx, fy)  b  d ( x, fx)  d ( y, fy); Đặt 1  1;2  3   4  5  0. Khi đó, ta 3) d ( fx, fy)  c  d ( x, fy)  d ( y, fx) dễ dàng kiểm tra được hàm f thỏa mãn tất thì f có duy nhất điểm bất động cả các điều kiện của Định lý 2.1. Do đó m Định lý 2.1 áp dụng được cho f. z i 1 Ai . Tiếp theo, ta chứng minh Định lý 2.2 Chứng minh. Hệ quả này được suy ra và Định lý 2.9 trong [4] không áp dụng trực tiếp từ Hệ quả 2.5 bằng việc lấy được cho f. 1) 1  a, 2  3  4  5  0; Ta có d ( f 1, f 2)  d (2, 4)  1  1 d (1, f 2)  d (2, f 1)  3 . 2 4 2) 1  0, 2  5  b, 3  4  0; Từ đó suy ra f không là ánh xạ cyclic 3) 1  2  3  0, 3  4  c. co yếu kiểu Chatterjea. Do đó Định lý 2.2 trong [4] không áp dụng được cho f. Hệ quả 2.2 và Hệ quả 2.3 đã chỉ ra rằng Định lý 2.1 là mở rộng của hai Định Mặt khác lý 2.2 và 2.9 trong [4]. Ví dụ sau đây cho d ( f 1, f 2)  1  1  d (1, f 1)  d (1, f 2)  d (2, f 1)  d (2, f 2) 4 thấy Định lý 2.1 thực sự mạnh hơn hai 3 3 3 3   ( , , 0,1)  1   ( , , 0,1). Định lý 2.2 và 2.9 trong [4]. 2 2 2 2 với mọi   F2 . Điều này chứng tỏ f 2.8. Ví dụ không là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Giả sử X  1, 2,3, 4 , A1  1, 4 , A2  2,3, 4 Chatterjea suy rộng. Do đó Định lí 2.2 và f : X  X là hàm được cho bởi trong [4] không áp dụng được cho f. 28
  8. TÀI LIỆU THAM KHẢO point theorem for cyclic Chatterjea type contraction, Journal of Applied Mathematics, 1. S.K. Chatterjea (1972), Fixed-point theorems. Volune 2012, Article ID 165698, 15 pages, Acad Bulgare Sci, vol. 25, pp 727-730. doi: 10.1155/2012/165698. 2. B.S. Choudhury (2009), Unique fixed point 5. W.A.Kirk, P.S. Srinivasan, and P.Veeramani theorem for weak C - contractive mappings, (2003), Fixed point for mappings satisfying Kathmandu University Journal of Science, cyclic contractive conditions, Fixed point Engineering and Technology, vol.4, no.1, pp 6-13. Theory, vol. 4, no. 1, pp 79-89. 3. E. Karapinar (2011), Fixed point theory for 6. M.Petric, Bzalatanov (2010), Fixed point cyclic weak  - contraction, Applied theorems of Kannan type for cyclical Mathematics Letters, vol. 24, no.6, pp 822-825. contractive conditions, Anniversary 4. E. Karapinar and H.K. Nashine (2012), Fixed International Conference REMIA. Ngày nhận bài: 22/12/2016 Biên tập xong: 15/01/2017 Duyệt đăng: 20/01/2017 29

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản