ẢNH HƯỞNG CỦA TỪ TRƯỜNG LÊN
SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM (PHONON ÂM) DO HẤP THỤ BỨC XẠ
LASER TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ VỚI HỐ THẾ VÔ HẠN
Phạm Thị Nguyệt Nga, Nguyễn Quang Báu
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia Hà Nội
Trần Công Phong, Trường Đại học Sư Phạm, Đại học Huế
Lương Văn Tùng, Trường Đại học Sư phạm Đồng Tháp
1. MỞ ĐẦU
Lý thuyết gia tăng sóng âm do hấp thụ bức xạ laser là một đề tài được
nghiên cứu rộng rãi do nó cho nhiều thông tin về phổ năng lượng và cơ chế tán
xạ của điện tử. Trước đây, vấn đề đã được giải quyết cho bán dẫn khối [1-3]
trong trường hợp hấp thụ một photon và hấp thụ nhiều photon đối với hệ điện tử
suy biến và không suy biến. Bài toán này cũng đã được giải quyết cho hố lượng
tử [4,5], có xét thêm ảnh hưởng của từ trường, và không sử dụng những công
thức gần đúng thô như trong [6]. Mới đây bài toán được đặt ra đối với dây lượng
tử hình trụ với hố thế vô hạn [7] và hố thế parabol [8] khi hấp thụ một photon và
hấp thụ nhiều photon. Tuy nhiên, sự ảnh hưởng của từ trường lên sự gia tăng
sóng âm trong các cấu trúc một chiều chưa được xét đến.
Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu sự ảnh hưởng của từ trường lên sự
gia tăng sóng âm do hấp thụ bức xạ laser trong dây lượng tử hình trụ với thế
giam giữ có độ sâu vô hạn với giả thiết phonon khối (không bị ảnh hưởng của sự
giảm số chiều) [6,11]. Dựa vào phương trình động lượng tử cho phonon trong
dây lượng tử, chúng tôi thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm,
điều kiện cho sự gia tăng sóng âm, và điều kiện xung lượng cho điện tử tham gia
vào quá trình gia tăng sóng âm khi có mặt của từ trường trong hai trường hợp hấp
thụ một photon và hấp thụ nhiều photon. Các kết quả lý thuyết được tính số và vẽ
đồ thị đối với dây lượng tử GaAs/GaAsAl.
2. MÔ HÌNH DÂY LƯỢNG TỬ
Xét dây lượng tử hình trụ bán kính R, chiều dài L, thế giam giữ vô hạn theo
biên dây. Giả sử từ trường đồng nhất được đặt song song với trục của dây. Khi
đó, hàm sóng và phổ năng lượng điện tử được viết trong hệ toạ độ trụ (r,,z) dưới
N
n
2/
ikz
2/
il eee
a
,
n
dạng [9]:
ln ,
F 1
1
, (1a)
;1
ln ,
L 2
2
2
n
a
ln ,
c
ln ,
k *2 m
n 2
1 2
2
k
, (1b)
,0,0
k
2
r
2/(
)
,...3,2,1l
n
,2,1,0
...
c
/(
eB
)
với là véctơ sóng điện tử, m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử,
2 c
2 c
/(
)
, , , là bán kính cyclotron,
c
2 m * c
R
n
2
là tần số cyclotron, và N là thừa số chuẩn hoá:
N
e
a
,
n
;1
2 c
2 F 1
1
,
d
, ln
0
a
n
;1
F 11
,, ln
lna , là nghiệm của
a
n
;1
là hàm siêu bội tổng quát (hữu hạn ở =0),
0
F 11
R
,, ln
hàm siêu bội: (xác định từ điều kiện hàm sóng bằng không
ở biên r=R).
C
i
q
2/(
)
C
Hệ số tương tác điện tử-phonon khi có mặt từ trường được xác định theo
q
q
Vv s
lnln ',' ,,
IC lnlnq ,, ','
công thức: , trong đó đối với tương tác
điện tử -phonon âm, q
là véctơ sóng phonon, là hằng số thế biến dạng, là
sv là vận tốc sóng âm, V là thể tích chuẩn hoá,
iqr
khối lượng riêng,
I
e
dr
,, lnln ','
* ',' ln
, ln
R 0
gọi là thừa số dạng, phụ thuộc vào đặc trưng của dây
lượng tử và vào từ trường.
lnlnI ',' ,,
Với hàm sóng chứa hàm siêu bội, thừa số không cho kết quả ở dạng
biểu thức giải tích. Để tiện lợi trong quá trình xử lý số, chúng tôi xét trường hợp
2
A
J
A
2 ln ,
1
zi
ikz
, ,
z
e
e
giới hạn từ trường yếu. Khi đó, hàm sóng và phổ năng lượng có dạng [9]:
r
ln ,
c
, ln
2
2
n J
22 k *2 m
n 2
*2
Rm
, ln A
n
1
Rr ln
,
2
LR
x 0)(
, , (2)
J n
lnA , là nghiệm thứ l của hàm Bessel bậc n:
trong đó .
2
3
r
r
12
Sử dụng hàm sóng gần đúng cho hai vùng năng lượng đầu tiên trong [10]:
1,0
1,1
2
3
r R
R
R
13
;
, (3)
thừa số dạng của dây lượng tử hình trụ với hố thế sâu vô hạn khi từ trường yếu
I
;
I
.
là:
q
q
1,0,1,0
1,0,1,1
J qR 24 3 3 qR
J qR 48 4 3 qR
(4)
3. HỆ SỐ GIA TĂNG SÓNG ÂM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ
t
Hamiltonian của hệ điện tử-phonon tương tác trong trường laser
A t
A 0 sin
và khi có mặt từ trường có dạng:
k
H t
A t
n l ,
b b q q q
a a n l k n l k , , , ,
e c
q
n l k , ,
C
q a
n l n l , , ', '
b q
b q
a n l k q n l k , , ', ',
,
, n l n l k q ', ',
, ,
(5)
qb ) lần lượt tương ứng là toán tử sinh và toán tử
qb và
klna ,,
klna ,,
(
cE
/
)
cos
t
tA )(
trong đó và (
là tần số phonon,
q
huỷ điện tử (phonon), là thế véctơ phụ
thuộc vào trường laser.
Sử dụng Hamiltonian (5), sau khi thực hiện các phép biến đổi toán tử và theo
phương pháp tương tự như trong [1-3], chúng tôi thu được phương trình động
t
2
C
f
q
f
q
k
b q
i q
b q
lnln ',' ,,
ln ,
ln ','
k
t
b tq
t
1
lnln ',' ,,
t
1 2
k
lượng tử cho phonon:
J
J
t t
i
i
t
k
k
v
ln ','
ln ,
1
1
tq
i
v
,
exp
dt 1
f
a
(6)
k
, ln
tx là trung bình thống kê của toán tử x,
kln ,,
a ,, kln
t
*
ở đây và
/(
)
mEqe 0
.
Từ (6), thực hiện phép biến đổi Fourier, chúng tôi thu được hệ số hấp thụ
2
f
f
q
q
q
k
k
,, lnln ','
',' ln
, ln
sóng âm tổng quát trong dây lượng tử khi có mặt từ trường:
C ,, lnln ','
k
q
k
k
2 J
',' ln
, ln
(7)
với (x) là hàm Delta Dirac.
Từ biểu thức tổng quát này chúng tôi tiếp tục tính toán để thu đươc biểu thức
tường minh cho hệ số hấp thụ sóng âm với giả thiết hệ điện tử là không suy biến
trong hai trường hợp hấp thụ một photon và hấp thụ nhiều photon.
3.1. Trường hợp hấp thụ một photon
Do trong biểu thức hấp thụ sóng âm chỉ có hàm Bessel chứa năng lượng
trường laser (đối số ) nên trong trường hợp cường độ trường laser không quá
mạnh, thỏa mãn điều kiện , và giới hạn các số hạng đầu tiên trong tổng
theo , sau khi thực hiện một số tính toán chúng tôi thu được biểu thức tường
2
q
2
2
q
C
q
exp
a
n l n l , , ', '
A c n l ,
2
2
2 * m L 5 2 q 4
* m 2 2 2 q
n l n l , , ', '
minh cho hệ số hấp thụ sóng âm và điều kiện xung lượng cho điện tử:
q
q
sin
exp
sin
2
2
2
2
m a * 2 q
m a * 2 q
exp
2
2
, kTk
A
a
(8)
a
A
A
ln ,
B
B
ln ,
c
ln ,
ln ','
q
n 2
1 2
n 2
q *2 m
với , , là hằng
số Boltzmann,
k
A
A
c
, ln
',' ln
q
* m q
mq 2 2
* q
(9)
nghĩa là chỉ có những điện tử thoả mãn điều kiện (9) mới tham gia vào quá trình
gia tăng sóng âm.
q
Từ (8) ta thấy khi , hệ số hấp thụ nhận giá trị âm, hay ta có hệ số gia
tăng sóng âm:
2
2
m
sinh
A
A
q
q
lnln ,, ','
c
q
ln ,
ln ','
* Lm 5
2
* 2
2
q
q
C ',' lnln ,,
*
q
2
2
2
sinh
A
a
c
ln ,
2
2
m 22 q
2
exp
(10)
3.2. Trường hợp hấp thụ nhiều photon:
2
E
J
vE
Sử dụng công thức gần đúng trong [11,12]:
x )(
2 v
2
x x
0 0
v
1 0
2 2
E
, với
Từ công thức tổng quát (7), sau khi tính toán, chúng tôi thu được biểu thức
cho hệ số hấp thụ sóng âm do hấp thụ bức xạ laser trong trường hợp hấp thụ
2/3
*
exp
q
Lm 3 q
2
2 m * 2 2 q 2
nhiều photon:
2
2
2
2
2
q
,, lnln ','
v , ln
v ',' ln
q *
*
2/1 v ! v
C ,, lnln ','
ov
m 2
2
q m
(11)
x )(
(
A
A
)
x
ln ,
I
c
ln ,
ln ','
q
(
A
A
)
m * 22 q
c
ln ,
ln ','
2
exp
A
(
A
A
)
x
c
ln ,
ln ,
q
ln ','
c
m * 22 2 q
)(x
với:
I
trong đó là hàm Bessel đối số phức x, (x) là hàm Gamma.
Tương tự như (9), ta tìm được điều kiện để điện tử tham gia vào quá trình
hấp thụ sóng âm:
*
k
A
A
|
|
c
ln ,
ln ,'
q
mq 2 2
q
. (12)
2
2
2
2
Chú ý rằng nếu:
v ln ,
v ln ','
q *
q *
2
m
2
m
, (13)
0q
thì , chúng ta có hệ số gia tăng sóng âm, hay số phonon trong dây tăng
dần theo thời gian.
4. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN
Để tiện cho việc tính số, chúng tôi xét trường hợp từ trường yếu và sử dụng
công thức gần đúng (4) cho thừa số dạng của dây lượng tử. Các đồ thị dưới đây
là sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ sóng âm vào véctơ sóng phonon (hình 1), tần
ln ,'
n
l
'
số trường laser (hình 2) và nhiệt độ (hình 3); trường hợp hấp thụ một photon ở
(hấp thụ bên trái và trường hợp hấp thụ nhiều photon ở bên phải. Số liệu được dùng để vẽ: B=0.1 Tesla, m*=0.067m0, vs=4078 ms-1, =137.324 J,
ngoại vùng) và lấy tới sáu vùng năng lượng đầu tiên.
1410
1410
Số sóng phonon ( ) Số sóng phonon
( )
Hình 1: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ sóng âm vào số sóng phonon
với =250 THz, R=15 nm, T=77 K.
Hình 2: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ sóng âm vào tần số trường laser
với R=17 nm, T=77 K.
Có thể nhận thấy rằng trong các công thức (8) và (11) chỉ có sự đóng góp
của những điện tử thoả mãn điều kiện tương ứng (9) và (12). Những điều kiện
này thực chất là định luật bảo toàn năng xung lượng cho tương tác điện tử-
q
phonon. Từ các công thức (8) và (11) cũng dễ dàng rút ra các điều kiện (
đối với trường hợp hấp thụ một photon và (13) đối với trường hợp hấp thụ nhiều
photon) để nhận giá trị âm, tức là ta có hệ số gia tăng sóng âm. Nói một cách
khác, đây chính là điều kiện để số phonon trong hệ tăng dần theo thời gian. Từ
(8) và (11), ta thấy những khác nhau trong sự phụ thuộc vào năng lượng trường
*
bức xạ laser đối với trường hợp hấp thụ một photon (phụ thuộc vào bậc hai do
2 với
/(
)
mEqe 0
chứa ) và trường hợp hấp thụ nhiều photon (phụ thuộc bậc
cao hơn hai do đối số nằm trong hàm Bessel đối số phức).
So sánh với các công thức tương ứng đối với trường hợp không có từ trường,
ta nhận thấy chúng chỉ khác nhau ở những số hạng chứa hàm sóng (trong thừa số
dạng) và phổ năng lượng. Tuy nhiên, các kết quả này có vùng giá trị của véctơ
sóng phonon để xảy ra gia tăng sóng âm khác hẳn với kết quả của hố lượng tử
[4,5].
5. KẾT LUẬN
Trong phần kết luận, chúng tôi muốn lưu ý một số kết quả chính sau:
1. Thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm, điều kiện xảy ra
sự gia tăng sóng âm, và điều kiện xung lượng cho điện tử tham gia vào quá trình
gia tăng sóng âm khi có mặt từ trường trong dây lượng tử hình trụ hố thế vô hạn.
2. Sự gia tăng sóng âm trong trường hợp hấp thụ một photon chỉ phụ thuộc
vào năng lượng trường bức xạ laser theo bậc hai, trong khi sự phụ thuộc này có
bậc lớn hơn hai trong trường hợp hấp thụ nhiều photon.
3. Chỉ những điện tử thoả mãn một số điều kiện xung lượng cụ thể mới
tham gia vào quá trình gia tăng sóng âm.
4. Các kết quả cho thấy từ trường ảnh hưởng đến sự gia tăng sóng âm so với
khi không có từ trường đặt vào.
Lời cảm ơn: Công trình được tài trợ bởi chương trình nghiên cứu cơ bản
cấp nhà nước mã số 411301 và 411501.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
2. Nguyen Quang Bau, Nguyen Vu Nhan, Chhoumm Navy, VNU. Journal
of science, Nat. Sci., 15, 1 (1999).
3. E.M. Epstein, Radio Physics, 18, 785 (1975).
4. E.M. Epstein, Lett. JETP., 13, 511 (1971).
5. Nguyễn Quang Báu, Vũ Thanh Tâm, Nguyễn Vũ Nhân, Thông tin Khoa
học kỹ thuật Quân sự (Tạp chí Khoa học của của các viện nghiên cứu
trong quân đội), Số 24, 38 (1998).
6. Nguyen Quang Bau, Nguyen Vu Nhan, Nguyen Manh Trinh.
Proceedings of IWOMS’99, Hanoi 1999, 869.
7. Peiji Zhao, Phys.Rev., B49, 13589 (1994).
8. Nguyen Quoc Hung, Nguyen Vu Nhan, Nguyen Quang Bau, arXiv:
cond-mat/0204563 v1 25 (2002).
9. Nguyen Quoc Hung, Dinh Quoc Vuong, Nguyen Quang Bau, arXiv:
cond-mat/0204260 v1 11 (2002).
10. Nguyen Hong Son, Shmelev G.M, Epstein E.M, Izv. VUZov USSR,
Physics, 5, 19 (1984).
11. L.Sholimal, Tunnel effects in semiconductors and applications, Moscow,
(1974).
12. Spiros V. Branis, Gang Li, K. K. Bajai, Phys. Rev. B47, 1316 (1990).
13. Gold and Ghazali, Phys. Rev., B41, 8318 (1990).
TÓM TẮT
Ảnh hưởng của từ trường lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây
lượng tử hình trụ với hố thế sâu vô hạn khi hấp thụ bức xạ laser được nghiên cứu
dựa vào phương trình động lượng tử cho phonon. Các biểu thức giải tích cho hệ
số gia tăng sóng âm, điều kiện gia tăng sóng âm, và điều kiện xung lượng của
các điện tử tham gia vào quá trình gia tăng sóng âm khi có mặt từ trường trong
hai trường hợp hấp thụ một photon và hấp thụ nhiều photon đã được thu nhận.
Sự khác nhau giữa hai trường hấp thụ một photon và hấp thụ nhiều photon được
thảo luận. Kết quả tính số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl, so sánh
các kết quả thu được với bài toán tương tự trong bán dẫn khối, hố lượng tử và
trong trường hợp dây lượng tử khi không có từ trường được thực hiện.
THE INFLUENCE OF A MAGNETIC FIELD ON THE
AMPLIFICATION
OF ACOUSTIC PHONON BY THE ABSORPTION OF A LASER
RADIATION
IN A CYLINDERED QUANTUM WIRE WITH INFINITE POTENTIAL
Pham Thi Nguyet Nga, Nguyen Quang Bau,
College of Natural Sciences, Hanoi National University
Tran Cong Phong, College of Pedagogy, Hue University
Luong Van Tung, Dong Thap University of Pedagogy
SUMMARY
The influence of a magnetic field on the amplification of acoustic phonon in
a cylindered quantum wire with an infinite potential by the absorption of the
laser radiation is calculated based on the quantum kinetic equation for phonon.
The analytic expressions of the amplification coefficient, the conditions for the
amplification of sound and conditions for momentum of electrons that participate
in the amplification of sound in the case of the presence of the magnetic field are
obtained for two cases of mono-photon and multi-photon absorption. The
differences between the mono-photon and multi-photon absorption are discussed.
The numerical results and are plots for specific quantum wire GaAs/GaAsAl, the
differences between the phonon amplifications in a quantum well, in bulk
semiconductors, and in a quantum wire in the case of the absence of a magnetic
field are presented.
