zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Kiến trúc - Xây dựng

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 6 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

Chia sẻ: Tomcangnuongphomai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Báo xấu

34
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 6 Bài toán phẳng trong tọa độ descartes cung cấp cho người học những kiến thức như: Hai trường hợp của bài toán phẳng; Bài toán ứng suất phẳng; Bài toán biến dạng phẳng; So sánh và kết luận chung; Các phương trình cơ bản trong bài toán phẳng; Phép giả bài toán theo ứng suất – hàm ứng suất Airy;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 6 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục CHƯƠNG 6 – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES 6.1. HAI TRƯỜNG HỢP CỦA BÀI TOÁN PHẲNG I. Khái niệm : Trong nhiều bài toán kỹ thuật, vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng hay ứng suất trong 1 mặt phẳng (Mặt phẳng này được qui ước là mặt phẳng oxy). Các bài toán này được gọi là các bài toán phẳng. Bài toán phẳng chia ra 2 loại : 1. Bài toán ứng suất phẳng : Nếu chỉ tồn tại ứng suất trong mặt phẳng xoy. 2.Bài toán biến dạng phẳng : Nếu chỉ tồn tại biến dạng trong mặt phẳng xoy. Hai bài toán này khác nhau về mặt vật lý song rất giống nhau về mặt toán học. Giải bài toán phẳng về mặt toán học được đơn giản rất nhiều so với bài toán không gian.
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục II. Bài toán ứng suất phẳng : Xét những mặt phẳng, ví dụ tấm tường, đĩa mỏng chịu lực phân bố đều trên bề dày tấm và song song với mặt trung bình như hình vẽ. Ta nhận thấy mặt bên của tấm không có tải trọng, ứng suất là hằng theo bề dày. Do đó điều kiện của bài toán sẽ là : σz = Txz = Tyz = 0 (a) Mặt khác, biến dạng dài theo phương bề dày là tự do nên : εz ≠ 0 (b) Các điều kiện (a), (b) là định nghĩa của bài toán ứng suất phẳng. Ân số của bài toán gồm có:
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục Các ứng suất : σx, σy, Txy. Các biến dạng : εx, εy, γxy, εz ≠ 0. Theo định luật Hooke, từ (a) ta có : γxz =γyz = 0 ; εy = (σy - µσx) εx = (σx - µσy) ; εz =- (σx + σy) (c) γxy = = Txy Từ biểu thức (c) ta có các biến dạng đều tính theo 3 ẩn số ứng suất là σx, σy, Txy với E, µ là 2 hằng số đàn hồi của vật liệu. III. Bài toán biến dạng phẳng : Khi tính những vật thể hình lăng trụ, có chiều dài lớn chịu tải trọng không đổi theo chiều dài, ví dụ đập chắn, tường chịu áp lực, đường ống dẫn, vỏ hầm... ta thường xét 1 đoạn vật thể có chiều dài bằng 1 đơn vị.
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục Như thế, bài toán đối với vật thể lăng trụ trở thành bài toán tấm phẳng như biểu diễn trên hình vẽ sau : Nhận xét tấm bị kẹp giữa chiều dài của vật thể nên không thể có biến dạng dài theo phương bề dày z, và mặt bên của tấm sẽ chịu những áp lực pháp tuyến theo phương z. Do đó, điều kiện của bài toán đối với tấm trong trường hợp đang xét sẽ là : εz = γxz = γyz = 0 (d) và σz ≠ 0 (e) Các điều kiện (d), (e) là định nghĩa của bài toán biến dạng phẳng. Ẩn số của bài toán gồm có: Các ứng suất : σx, σy, Txy, σz≠0 Các biến dạng : εx, εy, γxy. Theo định luật Hooke, từ (d) ta có : - Các ứng suất tiếp Txz = Tyz = 0
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục - Còn ứng suất pháp σz sẽ được tìm từ biểu thức εz = 0 εz = =0 Vậy σy = µ(σx + σy). Quan hệ giữa các ứng suất và các biến dạng còn sẽ là : εx = = εx = Tương tự εy = (*) γxy = Txy Đặt E1 = ; µ1 = (g) (*)⇔ εx = (σx - µ1σy) ; εy = (σy - µ1σx) ; (f) γxy = Txy = Txy
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục IV. So sánh và kết luận chung : 1. Trong cả 2 bài toán phẳng, các ẩn số chính về ứng suất và về biến dạng là như nhau : σx, σy, Txy, εx, εy, γxy. → Những ứng suất hay biến dạng còn lại đều có thể biểu diễn qua các ẩn số chính. 2. Quan hệ giữa các ứng suất hay biến dạng theo (c) hay (f) là hoàn toàn tương tự như nhau, sự khác nhau chỉ thể hiện ở chỗ : - Trong bài toán ứng suất phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E, µ còn trong bài toán biến dạng phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E1, µ1 theo cách đặt (g). 3. Do sự giống nhau về mặt toán học như vậy nên phép giải của 2 bài toán hoàn toàn như nhau. 6.2. Các phương trình cơ bản trong bài toán phẳng 1. Về mặt tĩnh học : Phương trình cân bằng Cauchy : + fx = 0 + fy = 0 (6.1)
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục 2. Về mặt hình học : Phương trình biến dạng Cauchy : εx = ; εy = ; (6.2) γxy = + . Các biến dạng phải thỏa mãn điều kiện liên tục của biến dạng, trong bài toán phẳng điều kiện này chỉ còn 1 phương trình : (6.3) 3. Về mặt vật lý : Phương trình định luật Hooke. a. Biểu thức biến dạng qua ứng suất : εx = (σx - µσy) εy = (σy - µσx) (6.4) γxy = Txy
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục b. Biểu thức ứng suất qua biến dạng : σx = (εx+ µεy) σy = (εy+ µεx) (6.5) Txy = γxy Nếu giải bài toán biến dạng phẳng, chỉ cần thay E, µ bằng E1, µ1. Hệ tám phương trình độc lập trên, chứa 8 ẩn số là ba ứng suất, ba biến dạng và hai chuyển vị là một hệ khép kín, cho phép ta giải được bài toán. 4. Các điều kiện biên : a. Điều kiện biên tĩnh học : σxl + Tyxm = Txyl + σym = (6.6) b. Điều kiện biên động học : Trên bề mặt S của vật thể cho trước các chuyển vị uo , vo hay các đạo hàm của các chuyển vị theo các biến số tọa độ. Nghiệm chuyển vị của bài toán phải thỏa mãn điều kiện : us = uo ; vs= vo .
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục 6.3. Phép giả bài toán theo ứng suất – hàm ứng suất Airy I. Phép giải theo ứng suất : - Chọn ẩn số chính là các ứng suất : σx, σy, Txy. Các ứng suất này phải thỏa mãn phương trình cân bằng (6.1) . = - fx = - fy Nghiệm của (6.1) sẽ là tổng của nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất (6.8) =0 =0 (6.8) và nghiệm riêng của phương trình (6.9) = - fx = - fy (6.9)
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục - Nghiệm riêng của phương trình (6.8) tìm được không khó khăn, nó phụ thuộc vào dạng cụ thể của các lực thể tích. Ví dụ nghiệm riêng có thể lấy là : * σx = 0 ; σy = 0 ; Txy = -Px khi fx = 0 ; fy = P = hằng số. * σx = + bx ; σy = Txy = 0 khi fx = ax + b ; fy = 0 * σx = 0 ; σy = -a ; Txy = khi fx = axy , fy = 0. II. Hàm ứng suất Airy : Để giải hệ (6.1) ta đưa ra một hàm ẩn mới gọi là hàm ứng suất Airy. Xét hệ phương trình phương trình vi phân thuần nhất (6.8):
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục Điều kiện cần và đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y) tức p(x,y)dx + q(x,y)dy là vi phân toàn phần của 1 hàm u(x,y) nào đó thì giữa p và q phải có quan hệ : . - Phương trình thứ (1) của hệ (6.8) ⇔ Tức (σx.dy - Txy.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm A(x,y) nào đó. Nên ta có quan hệ σx = ; Tyx = - (a) Tương tự, phương trình thứ 2 : ⇒ (σy.dx - Txy.dy) là vi phân toàn phần của1 hàm B(x,y) nào đó : → Ta có quan hệ : σy = ; Txy = - (b) So sánh (a) và (b) ta có : = (c) ⇒ (A.dy + B.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm ϕ(x,y) nào đó : → Ta có quan hệ : A = ;B= (d)
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục Thay (d) vào (a) và (b) ta có: σx = ; σy = ; Txy = - (6.10) Hàm ϕ(x,y) : Gọi là làm ứng suất Airy, là hàm để giải bài toán phẳng theo ứng suất. III. Phương trình hàm ứng suất Airy : - Trong chương 5 ta có hệ phương trình (5.5) Beltrmi là hệ phương trình giải bài toán đàn hồi theo ứng suất đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học, và vật lý của môi trường. Sử dụng (5.5) để tính cho biểu thức ứng suất phẳng. (1 + µ)∇2σx + =0 + (1 + µ)∇2σy + =0 (1 + µ)∇2σz + =0 (1+µ)∇2S +∇2S = 0 ⇔ ∇2S = 0 Với S = σx+ σy+ σz. Vì trong bài toán ứng suất phẳng σz=0 nên S= σx + σy
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục Trong bài toán biến dạng phẳng : S= σx + σy + σz = σx + σy +µ(σx + σy) =(1+µ)(σx + σy). Nên trong bài toán đàn hồi phẳng ta đều có : ∇2S = ∇2(σx + σy) = 0 (6.11) (6.11) : Phương trình LêVy. Thay các ứng suất bởi hàm ϕ thay (6.10) vào (6.11) ta có : ⇔ (6.12) ⇔ ∇2(∇2ϕ) = ∇4ϕ = 0 (6.13) Phương trình (6.13) : phương trình trùng điều hòa. Hàm ϕ = ϕ(x,y) : là hàm trùng điều hòa . Kết luận : - Bài toán đàn hồi phẳng giải theo ứng suất dẫn đến việc giải phương trình (6.12) sau đó tìm các ứng suất theo (6.10). + Nếu fx, fy ≠ 0 ⇒ Cộng thêm các nghiệm riêng. - Theo (6.10) : Việc thêm hay bớt hàm ϕ một lượng A+ Bx+Cy thì các ứng suất không thay đổi.
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục - Các hệ số tích phân được xác định theo điều kiện biên tĩnh học : (6.14) Nếu (6.13) đủ để xác định các hằng số tích phân thì các ứng suất theo (6.10); (6.12) & (6.14) hoàn toàn không liên quan đến các hệ số đàn hồi của vật liệu. Những bài toán như thế là bài toán có liên kết bên ngoài tĩnh định. ⇒ Định lý LeVy-Michell : Trong biểu thức đàn hồi phẳng tĩnh định, chịu các ngoại lực tác động trên biên thì sự phân bố ứng suất không phụ thuộc vào các hằng số đàn hồi và như nhau đối với tổng cả các vật liệu. 6.4. Điều kiện biên của hàm ứng suất Airy. Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất rút lại thành việc giải phường trình trùng điều hòa (6.12). Nghiệm của phương trình này là hàm ứng suất ϕ phải thỏa mãn điều kiện biên. (6.15) Xét trường hợp fx = fy = 0
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục Xét trường hợp fx = fy = 0 Thay (6.10) vào (6.11) ta có (6.16) Theo (H.6.3) ta có : l = cos(n, x) = cos(900 + α) = - sinα = - m = cos(n, y) = cosβ = (6.15) ⇔ - =- - =- . (6.17) + = . Lấy điểm so bất kỳ trên chu tuyến làm gốc : (6.17) ⇔ (6.18)
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục Trong đó : A&B : Các hệ số tùy ý, biểu diễn giá trị của đạo hàm của chu vi . X(S) , Y(S) : Ký hiệu mang ý nghĩa tĩnh học sẽ nói đến dưới đây. Để rõ ràng ta đưa ra sự tương tự như sau : Thay chu vi vật thể khảo sát bằng thanh có cùng dạng và cắt tại điểm S0 (H.6.4). Tại đó ta đặt các lực : A // S0x B // S0y Và ngẫu lực C như hình vẽ Như vậy : X(S) & Y(S) : Chính là tổng hình chiếu của các ngoại lực tác dụng lên đoạn S0S chiếu lên trục x & y. + Nếu chúng ta lấy trục t ≡ trục tiếp tuyến ngoài tại điểm S n ≡ pháp tuyến ngoại tại điểm S. Thì : N(S) (6.19) = Q(S) (6.20)
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục N(S) : Lực dọc cũng tại điểm S của thanh, được xem là dương → nếu là lực kéo. (S) Q : Lực cắt tại điểm s của thanh. So sánh quan hệ giữa nội lực là moment uốn và lực cắt trong sức bằng vật liệu: Q(s) Q(s) ⇒ϕ=M (6.21) M(s) : Moment của lực đặt trên đoạn S0S của thanh đối với điểm s. Vậy tại điểm trên chu tuyến của vật thể ta có thể xác định giá trị của hàm ứng suất ϕ(x,y) và các đạo hàm theo phương pháp tuyến tại các điểm ở trên chu vi theo trọng đã cho dựa vào công thức (6.21) và (6.19) , quá trình ///đó giống như tìm moment uốn S lực dọc gây ra bởi tải trọng cho trước trên chu vi nếu tưởng tượng chu vi đó là ////mà cắt ra tại 1 tải diện bất kỳ. ϕ có dạng bất kỳ : Chuỗ Taylor, Furiê, hàm phức,... chuổi đặc biệt. ⇒ ϕ có dạng đa thức.
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục 6.5. Hàm ứng suất dưới dạng đa thức. Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất là tìm một hàm ứng suất ϕ thỏa mãn 2 yêu cầu : - Phương trình trùng điều hòa - Điều kiện biên + Tính ứng suất trên tấm công chịu lực tập trung đặt tại đầu tự do như hình vẽ 1. Dạng hàm ϕ + Theo kết quả ở sức bền vật liệu: σx = ⇒ ϕ là hàm đa thức bậc 4 đối với x, y theo hàm ϕ : σx = ϕ(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx3 + cx2y + fxy2 + gy3 + hx4 + ix3y + ix2y2 + kxy3 + ly4. (a)
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục ϕ phải thỏa mãn phương trình trùng điều hòa : + + =0 =h ; =j; = l. → h + 2j + l = 0 → h = j =l = 0 (1) σx = = 2c + 2fx + 6gy + 6kxy. σy = = 2c + 6dx + 6ey + 6ixy. (b) Txy = - =-(b + 2ex+ 2fy + 3ix2 + 3ky2 2. Các điều kiện : Xét điều kiện biên theo ứng suất : * Biên trên (y = : Txy = 0 , (c) σy = 0 (d) * Biên dưới (y =- : Txy = 0 , (e) σy = 0 (f
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục Từ (c) & (e) ta có : 2a +6dx +2e( )+6ix( ) = 0 2a + 6dx - 2e - 6ix =0 ⇒e=i=0 e = i=f=0 (2) Từ (d) & (f) ta có : a=d=0 (3) * Biên trái (x = 0, ∀y ) ta có : σx= 0 (g) (h) Từ (g) ⇒ c = g = 0 (5) ⇒ Txy = - (- kt2 + 3ky2) = kt2 - 3ky2

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2431 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.