BÀI GI NGẢ
ƯỢ
Ố TOÁN TH NG KÊ Y D
C
Ví d 1ụ
ề ặ ẳ ồ • Gieo 1 đ ng ti n xu trên m t ph ng.
Đó là m t ộ phép thử.
ể ả ề ế ả ồ • K t qu có th x y ra khi gieo đ ng ti n:
ệ ấ “xu t hi n m t ặ x pấ ”
ệ ặ ấ ho c “xu t hi n m t ặ ng aử ”
Đó là m t ộ bi n c . ế ố
Ví d 2ụ
ấ ạ ố Gieo 1 h t ngô xu ng đ t màu.
Đó là m t ộ phép th .ử
ể ả ế ạ ả • K t qu có th x y ra khi gieo h t ngô:
ặ ạ “h t ngô ầ n yả m m” ho c
ạ “h t ngô không n yả m m”ầ
Đó là m t ộ bi n c . ế ố
ị
• Vi c
ệ ộ ệ ể ́ ấ ụ ề L y ca c ví d v
phép thử và bi n ế
Đ nh nghĩa ộ ệ ự ệ th c hi n m t ơ ề nhóm các đi u ki n c ả b n đ quan sát m t hi n ượ t ng nào đó G i là m t
ọ ộ phép thử cu c ộ cố trong
ể ả ả có th x y
s ng?ố
• Các k t qu ế ủ ử ra c a phép th Đ c g i là ượ ọ ế ố bi n c .
Ví d 3ụ
ắ
ố
Tung 1 con xúc s c cân đ i,
ặ ượ
ấ
ồ
đ ng ch t, các m t đ
c
ố ừ
đánh s t
ế 1 đ n 6.
ệ ấ • Goi ̣ A là bi n c xu t hi n m t ặ ế ố
ậ
ả
(cid:0) ố ấ có s ch m 6.
ề Có nh n xét gì v ả kh năng x y ra ế ố A va ̀ ủ c a bi n c
B?
ế ố ệ ấ ặ • B là bi n c xu t hi n m t có
ố ấ s ch m > 7.
́ ́
Chu ý Chu ý
ấ ị
ế ố nh t đ nh
Bi n c ch c ch n: ế ố ắ ự
ử
ắ là bi n c ệ khi th c hi n phép th .
x y raả
W
ế ố
Ký hi u: ệ Bi n c không th :
ế ố không th ể
ử
ự
ể là bi n c ệ khi th c hi n phép th .
x y raả
Ký hi u: ệ
(cid:0)
ị ạ Đ nh nghĩa 1 (d ng c đi n
ấ ủ ế ố ổ ể ) Xác su t c a bi n c A la ̀
m tộ
ố
=
ắ ồ ể ả ả ị s ố không âm, ký hi u ệ P(A), ế bi u th kh năng x y ra bi n
ượ ố c A và đ
Ví d 1ụ Gieo 1 con xúc x c cân đ i ấ đ ng ch t. Tính ấ ấ xác su t xu t ặ ẻ . hi n m t l
m ị c xác đ nh ( ) P A n ư nh sau: = S� tr��ng h�p thu�n l�i cho A S� tr��ng h�p c� th� x�y ra
ệ
B1
Nhân xe t́
̣
B3
̉
́ ̀ươ ́
̉
́
́ ế
́ ́ Ti nh sô ̀ươ ợ ng h p tr ̣ ợ i đê thuân l ́ ́ biê n cô A xay ra ́ (Ti nh m=?)
Xa c suâ t cua ̀ ́ bi n cô A la :
B2 ́ Ti nh sô ợ ng h p tr co thê xay ́ ra (Ti nh n =?)
=
( ) P A
m n
́
́
̀
̀
̉ ̉ ̉
. Môt nho m sinh viên ti nh nguyên cua Tr
̀
̀
̣ ̣ ̣ ̉
ươ ng Cao ́ 6 sinh viên 10 sinh viên Miê n Bă c, ̃
̀
̉ ̣
̀
̣
̀
̣ ượ
̉ ̣ ̣ ̣ ̣ ̉
́ ở
c môt
Vi du 2 ́ ượ đăng D c Phu Tho gô m: ̀ ̀ 2 Sinh viên Miê n Nam. Chon ngâ u nhiên 3 Miê n Trung va ́ ́ ̀ sinh viên đê lâp tha nh môt đôi ti nh nguyên. Ti nh xa c suâ t đê ca ba miê ǹ ̣ đôi ti nh nguyên ? chon đ
̣ co ́ sinh viên
̣ ̉
W
́ ị ̣ Đ nh nghĩa 2 (theo dang thô ng kê)
ạ ử ộ ầ i m t phép th nào đó Làm đi làm l n l n mà có m
ấ ệ ế ố
ế ố ấ ủ ầ ọ ỷ ố m/n g i là t n su t c a bi n c A.
ư ổ
ộ dao đ ng quanh ầ l n bi n c A xu t hi n. T s Khi n thay đ i, ổ m/n cũng thay đ i. Nh ng nó luôn ộ ố ấ ị , n càng m t s nh t đ nh nào đó
ầ ố ố ị ớ l n thì m/n càng g n s c đ nh đó.
ượ ọ c g i là ấ đ
( ) P A
(cid:0) ́ ̣ S c đ nh y ố ố ị ố A theo nghĩa th ng kê. Ky hiêu ế ố xác su tấ c a bi n c ủ m n
̀
́ ́ VD3. Tâ n suâ t sinh con ga i
̀ ̀
Ng Ng
̀ ươ ̀ i Trung hoa năm 2228, ty lê la 0,5 ươ i Trung hoa năm 2228, ty lê la 0,5
̉ ̣ ̉ ̣
́ ́
̣ ̉ ̣ ̣ ̉ ̣
̀ ̀
̀ ̀
̀ ̀
Laplace trong 10 năm tai London, ty lê Laplace trong 10 năm tai London, ty lê la 21/43 gâ n bă ng 0,4884 la 21/43 gâ n bă ng 0,4884
(cid:0)
́ ́ Xa c suâ t Xa c suâ t ́ ́ theo thô ng theo thô ng kê 0,50,5 kê
́ ́
̀ ̀
̀ ̀
Đacnon tai pha p, ty lê gâ n bă ng 0,486 Đacnon tai pha p, ty lê gâ n bă ng 0,486
̣ ̉ ̣ ̣ ̉ ̣
́
̣
Vi du 4
́ ̉ ̣ Kiêm tra 1000 viên thuô c do môt
́ ́ ̣ ma y dâp viên ta thâ y 10 viên bi ̣
́ ́ ư ̣ ư ̉ ̉ ̣ s ́ ́ t me. Khi đo ty lê thuô c bi s t
̃ ̉ ̣ ̣ ? Chon ngâ u nhiên môt viên me là
́ ́ ̃ ́ ̣ ́ thuô c do ma y đa dâp, ti nh ́ xa c suâ t
́ ́ ̣ ư ̉ c viên thuô c bi s ̉? t me đê chon đ
̀ ̉ ̣ ̉
́ 0,01. ̀ ̀ ́ t me la 15/1000= ̣ ư ̉ ̉ ́ ́ t me la xâ p xi bă ng
̣ ượ Ty lê thuô c bi s ́ ̣ ư Xa c suâ t thuô c bi s ́ ́ 0,01
ấ ấ ủ Các tính ch t c a xác su t
) 1
0
P A ( • Tính ch t 1ấ : v i m i bi n c ế ố
(cid:0) (cid:0) ớ ọ
W =
P
� (
) 1
(
P= ) 0, • Tính ch t 2ấ :
A.
A B(cid:0)
P A ( )
P B (
)
(cid:0)
+
P A (
= ) 1
• Tính ch t 3ấ : N u thì
+
P A ( )
P AB (
)
P AB (
)
ế P A ) ( • Tính ch t 4ấ : =
• Tính ch t 5ấ :
́
́
́ ơ
́ Ca c Phe p toa n v
́ ́ i biê n cô
ủ
ệ
ế ế ố ả
ế ỉ
ộ
ố ố T ngổ c a 2 bi n c A và B, ký hi u là A+B, là bi n c ấ ả x y ra khi và ch khi có ít nh t m t trong hai bi n c x y ra
ủ
ế
ố
Ti ch́
̀
̀
ố AB, là bi n c ả
ệ ơ
ế ỉ
Ti ch́ c a 2 bi n c A và B, ký hi u là ả x y ra khi và ch khi A và B đô ng th i x y ra
4
ọ
Tông̉
ế
ố bi n c xung
Xung khă ć
N u ế AB = thì A và B g i là 2 kh cắ
(cid:0)
́ ư
Công th
́ ́ c công xa c suâ t
̣
ư
̉ ̣ P(A+B)=P(A)+P(B) – P(AB) (1)
́
́ ́ ́
̣
̀
(cid:0) ́ ̀ Nê u AB= thi P(AB)=0
̣
Đê a p dung công ́ th c công xa c suâ t chu ng ta ́ câ n xa c đinh ́ ́ xem biê n cô A ́ xung ̀ va B co ́ơ ́ khă c v i nhau hay không
Khi đo ́ P(A+B)=P(A)+P(B) (2)
ộ ạ
ẫ
6 lo i. Tìm xác su t đ có không quá ượ ấ ế ẩ ấ ể c l y ra. ố ồ 10 lo i khác nhau, trong Ví d 1.ụ M t lô thu c g m ẩ ấ ế ạ đó có 2 lo i ph ph m. L y ng u nhiên không hoàn ạ ạ ừ lô hàng ra i t l ạ 1 lo i ph ph m trong 6 lo iạ đ
ướ H ng d n ế ố
ế
ẩ
ạ ượ ấ
c l y
ẫ • G i ọ A là bi n c không có ph ph m trong 6 lo i đ
ra
ế ố
ạ ượ ấ
ế
ẩ
c l y
B là bi n c có đúng 1 ph ph m trong 6 lo i đ
ra
ế ố
ế
ẩ
ạ C là bi n c có không quá 1 ph ph m trong 6 lo i
ượ ấ
đ
=
=
=
+
=
P A B
)
)
(
P C (
+ ắ
2 3
c l y ra • C = A+B ? A, B có xung kh c? ắ 1 5 C C . 8 2 + + = 2 8 P B P A ( ) ) ( • A và B là 2 bi n c xung kh c và ế ố C= A+B. Do đó 6 C 15 15 10
6 C 8 6 C 10
ỏ
i môn Bào ch ,
ọ 9 SV gi
ượ
ọ
ỏ
ế 15 SV gi ỏ ẫ ọ ọ c SV gi
ế ấ ể ọ
ớ Ví d 2ụ . L p CĐ3A1 có 40 sinh viên (SV), trong đó có 20 i ỏ SV gi i môn Y h c, ả 1 SV trong c 2 môn Bào ch và Y h c. Ch n ng u nhiên ấ ớ l p. Tính xác su t đ ch n đ i ít nh t 1 trong 2 ế môn Bào ch và Y h c?
ẫ ớ
ỏ i Y h c .
ế ố ọ ượ ế ố ọ ượ ế ố ọ ượ ấ ỏ c SV gi ỏ c gi c SV gi ế i Bào ch . ọ i ít nh t 1 trong
Hu ng d n • G i ọ A là bi n c ch n đ B là bi n c ch n đ C là bi n c ch n đ ọ ế 2 môn Bào ch và Y h c.
ắ ớ
và
C = A+B ?
• Khi đó A, B có xung kh c v i nhau không?
̀
́ Ba i tâp tră c nghiêm
ố ồ
ấ
ộ
ắ Câu 1. Gieo m t con xúc x c cân đ i đ ng ch t. Tìm
ấ ể
ệ
ế
ấ
ặ
ấ
ố
xác su t đ xu t hi n m t có s ch m chia h t cho 2
ế
ặ
ho c chia h t 3?
A. 1/2
B. 2/3
C. 1/6
D. 1/3
ố ồ
ấ
ộ
ắ Câu 2. Gieo m t con xúc x c cân đ i đ ng ch t. Tìm
ấ ể
ế
ệ
ấ
ấ
ặ
ố
xác su t đ xu t hi n m t có s ch m chia h t cho 2
và 3?
A. 1/2
B. 2/3
C. 1/6
D. 1/3
̣ ̣
ệ
ề
ấ
Xác su t có đi u ki n
§Þnh nghÜa :
• X¸c suÊt cña biÕn cè A víi ®iÒu kiÖn
biÕn cè B x¶y ra ®îc gäi lµ x¸c suÊt cã
®iÒu kiÖn cña biÕn cè A.
• Ký hiÖu: P(A/B)=P(AB)/P(B).
C«ng thø c nh©n x¸c s uÊt
•
P(AB) = P(A).P(B/A)= P(B).P(A/B).
• NÕu A,B lµ hai biÕn cè ®éc lËp, th×
P(AB) = P(A).P(B)
•
P(ABC) = P(A).P(B/A).P(C/AB).
VÝ dô :
Hép thø nhÊt cã 2 bi tr¾ng vµ 10 bi
®en.
Hép thø hai cã 8 bi tr¾ng vµ 4 bi
®en.
Tõ mçi hép lÊy ra 1 viªn bi. T×m x¸c
suÊt ®Ó:
a. C¶ hai viªn bi ®Òu tr¾ng.
b.1 bi tr¾ng, 1 bi ®en
§Þnh ng hÜa
• §¹i lîng ngÉu nhiªn lµ ®¹i lîng biÕn ®æi biÓu
thÞ
gi¸ trÞ kÕt qu¶ cña mét phÐp thö ngÉu nhiªn.
• Ta thêng ký hiÖu ®¹i lîng ngÉu nhiªn bëi ch÷
c¸i hoa nh X,Y,Z.
VÝ dô :
Tung mét con xóc x¾c.
Gäi X lµ sè chÊm xuÊt hiÖn trªn mÆt con
xóc
s¾c, th× X lµ mét ®¹i lîng ngÉu nhiªn
nhËn c¸c
gi¸ trÞ cã thÓ lµ 1,2,3,4,5,6.
§¹i lîng ng Éu nhiªn rê i r¹c .
§Þnh ng hÜa
• §¹i lîng ngÉu nhiªn ®îc gäi lµ rêi r¹c
nÕu
nã chØ nhËn mét sè h÷u h¹n hoÆc mét
sè v« h¹n ®Õm ®îc c¸c gi¸ trÞ.
IV. c ¸c tham s è ®Æc trng c ña ®¹i lîng ng Éu nhiªn
ả
ố
2. B ng phân ph i xác su tấ
B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt: dïng ®Ó thiÕt lËp luËt ph©n phèi x¸c suÊt
cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn rêi r¹c.
...,
nx
...,
1x 1p
2x 2p
np
X
P
VÝ dô : Tung mét con xóc x¾c ®ång chÊt. • Gäi X lµ sè chÊm xuÊt hiÖn trªn mÆt con
xóc x¾c
• th× X lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn rßi r¹c cã ph©n
phèi x¸c suÊt cho bëi:
X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Kú väng (Epe c tatio n)
n
)
• §Þnh nghÜa :
( E X
x p i i
Kú väng cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn X Ký hiÖu E(X) hoặc (M(X)), = (cid:0)
i
= 1
lµ sè x¸c ®Þnh bëi :
Gi¶ sö X lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn liªn tôc cã hµm mËt ®é x¸c suÊt . Kú väng cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn X ®îc x¸c ®Þnh bëi:
+(cid:0)
)
) ( xf x dx
( XE
= (cid:0)
- (cid:0)
TÝnh chÊt
• • • •
E(C) = C, C lµ h»ng sè. E(CX) = c.E(X) E(X+Y) =E(X) +E(Y) NÕu X vµ Y lµ hai ®¹i lîng ngÉu nhiªn
®éc lËp th×:
E(X.Y) =E(X).E(Y).
Ý ng hÜa c ña kú väng
• Kú väng cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn: xÊp xØ
víi
trung b×nh sè häc c¸c gi¸ trÞ quan s¸t cña
®¹i
lîng ngÉu nhiªn. Do ®ã cã thÓ nãi kú väng cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn chÝnh lµ gi¸ trÞ trung b×nh (theo nghÜa x¸c suÊt) cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn.
• Nã ph¶n ¸nh gi¸ trÞ trung t©m cña ph©n phèi x¸c suÊt
Ph¬ng s ai (Varianc e )
§Þnh nghÜa:
2
2
• Ph¬ng sai (®é lÖch b×nh ph¬ng trung b×nh)
=
cña ®¹i
(
- lîng ngÉu nhiªn X, Ký hiÖu Var(X) hay D(X), ®îc ®Þnh nghÜa b»ng c«ng thøc: ) )
{
}2
V
( ar X
X
� �
2
E X E� � ) (
E-
V
) ( 2 [ X ]
ar(X)=E X
Hay:
c¸c
,...,
,...,
p p , 1 2
• NÕu X lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn rêi r¹c nhËn x n gi¸ trÞ cã thÓ víi c¸c x¸c suÊt t
x x , 1 2 p n ¬ng øng th×:
2
n
x
p
XE (
)
i
i
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
i
1
Var(X) =
• NÕu X lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn liªn tôc cã
2
(cid:0)
hµm
(cid:0) (cid:0)
XEx
(
)
dxxf )(
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
mËt ®é, th×: Var(X) =
(cid:0) (cid:0)
TÝnh c hÊt Var(c) =0 (C lµ h»ng sè)
1.
Var(cX) =cVar(X) 2.
NÕu X vµ Y lµ hai ®¹i lîng ngÉu nhiªn độc 3.
lËp th×:
*Var(X+Y)=Var(X) + Var(Y)
*Var(X-Y)=Var(X) + Var(Y)
*Var(C+X) = Var(X)
ý ng hÜa c ña ph¬ng s ai
• Ta thÊy X-E(X) lµ ®é lÖch khái gi¸ trÞ
trung
b×nh nªn Var(X) = E lµ ®é lÖch b×nh
ph¬ng
trung b×nh. Do ®ã: ph¬ng sai ph¶n ¸nh møc ®é
ph©n t¸n
c¸c gi¸ trÞ cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn
chung
quanh gi¸ trÞ trung b×nh.
§é lÖc h c huÈn
( X(cid:0)
)
§Þnh nghÜa:
s
=
(
)
)
x
V
( ar X
• §é lÖch chuÈn cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn X. • Ký hiÖu: • Đîc ®Þnh nghÜa nh sau:
Mo de
§Þnh nghÜa: • Mod(X) lµ gi¸ trÞ cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn X cã
kh¶
n¨ng xuÊt hiÖn lín nhÊt trong mét l©n cËn nµo ®ã
cña nã. §èi víi ®¹i lîng ngÉu nhiªn rêi r¹c, mod(X) lµ
gi¸ trÞ cña X øng víi x¸c suÊt lín nhÊt. §èi víi ®¹i lîng ngÉu nhiªn liªn tôc th× mod(X) lµ gi¸ trÞ cña X t¹i ®ã hµm mËt ®é ®¹t gi¸ trÞ cùc
®¹i.
Trung vÞ
§Þnh nghÜa:
• Trung vÞ cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn X lµ gi¸
trÞ
cña X chia ph©n phèi x¸c suÊt thµnh hai
phÇn
cã x¸c suÊt gièng nhau. • KÝ hiÖu: Med(X)
ậ
Bài T p 6 (GT)
ộ
Gieo m t con xúc x c
ắ 1 l nầ . Ký hi u ệ A
ế
ệ
ặ
ấ
ố
là bi n c xu t hi n “m t trên có
1
ấ
ấ
ch m, ho c
ấ ặ 2 ch m ho c
ặ 3 ch m”.
B là
ế
ặ
ấ
ố
ệ bi n c xu t hi n “m t trên có
3 ch m, ấ
ấ
ấ ho c ặ 4 ch m ho c
ặ 5 ch m”. Tính xác
ấ ủ
ế
su t c a các bi n c
ố A; B; A+B; AB;
A\B?
ậ ố
Bài T p s 1
ấ ứ ở ộ ệ
ạ ượ
ệ
ố
ẫ
S ca c p c u
m t b nh vi n là đ i l
ng ng u
ờ ạ
ư
ả
ấ
ố
nhiên r i r c có b ng phân ph i xác su t nh sau:
X
0
1
2
3
4
5
P
0,15
0,2
0,3
0,2
0,1
0,05
ố ặ
ư
a. Tính các tham s đ c tr ng?
ế ằ
ế
ơ
ả
t r ng n u có
ấ ứ thì ph i tăng
b, Bi
h n 2 ca c p c u
ấ
ả
ườ
ườ c
ng thêm bác sĩ. Tính xác su t ph i tăng c
ng
thêm bác sĩ?
Bài T p 7ậ
ộ
ả
ẩ
M t lô hàng có
12 s n ph m trong đó có
8 s n ả
ế
ẩ ph m t
ẩ . ố và 4 ph ph m
t
ế
ẫ
i
a, Rút ng u nhiên liên ti p không hoàn l
ạ 2 s n ả
ừ
ẩ
ẩ ph m t
lô hàng. Tìm xác su t đ c
ả ấ ể ả 2 s n ph m đó
ẩ
ả
ố
là s n ph m t
t?
ả
ẩ
ừ
lô hàng và không
ẫ b, Rút ng u nhiên
1 s n ph m t
ớ ả
ế ả
ẩ
ẩ
ể đ ý t
ứ i s n ph m đó. Sau đó rút ti p s n ph m th
ấ ể ả
ẩ
ấ
ầ
2. Tìm xác su t đ s n ph m l y ra l n th
ứ 2 là s n ả
ố
ẩ ph m t
t?
ậ ố
Bài T p s 2
ộ
Gieo m t con xúc x c
ắ 2 l nầ . Ký hi u ệ X
ấ
ấ
ặ
ệ ố ch m xu t hi n trên m t con
là t ng sổ
ắ
ầ
ấ
xúc x c sau 2 l n gieo. Tính xác su t
ườ
trong các tr
ợ ng h p sau:
ế
a, X=5; b, X<5; c, X chia h t cho 3
ừ
ế
ả
ả
ậ
d, T các k t qu trên hãy l p b ng phân
ấ ủ
ố
ph i xác su t c a X?
