intTypePromotion=1
ADSENSE

BÀI GIẢNG TOÁN TÍCH PHÂN

Chia sẻ: Tran Cong Dat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

135
lượt xem
24
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho f là hàm số liên tục trên khoảng [a,b]. Đặt S là diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của f, trục hoành và các đường thẳng góc với trục hoành tại các đầu mút a và b với trục hoành. Cho một số thực dương, chúng ta sẽ tính xấp xỉ S với sai số nhỏ hơn. Nhưng dt(S) là gì? Làm sao xác định nó?

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: BÀI GIẢNG TOÁN TÍCH PHÂN

  1. T Í C H P H AÂ N 413
  2. 414
  3. Ñònh nghóa. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng cuûa — vaø f laø moät aùnh xaï töø A vaøo —, ta noùi f laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc ñeàu treân A neáu vaø chæ neáu "  > 0 , $ () > 0 sao cho | f(x) - f(y) | <  " x vaø y  A sao cho |y - x | < () . Cho I laø moät khoaõng trong A coù chieàu daøi ñd(I) nhoû hôn (). Cho x vaø y trong I sao cho f(x) vaø f(y) laàn löôït laø cöïc tieåu vaø cöïc ñaïi cuûa f trong I . Luùc ñoù f(y) – f (x) <  I ñd(I) < () 415
  4. Cho f laø moät haøm soá lieân tuïc treân khoaûng [a,b]. Ñaët S laø laø dieän tích cuûa hình giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa f , truïc hoaønh vaø caùc ñöôøng thaúng thaúng goùc vôùi truïc hoaønh taïi caùc ñaàu muùt a vaø b vôùi truïc hoaønh. S a b Cho moät soá thöïc döông , chuùng ta seõ tính xaáp xæ S vôùi sai soá nhoû hôn  . Nhöng dt(S) laø gì ? Laøm sao xaùc ñònh noù ? 416
  5. Ñònh nghóa. Cho moät khoaûng ñoùng [a, b]. Cho 2n+1 soá thöïc a0, a1,   , an, c1,   , cn sao cho a = a0 < a1 <    < an-1 < an = b vaø ck  [ak-1, ak] vôùi moïi k =1,   , n. Luùc ñoù ta noùi P = a0 , a1,   , an-1 , an; c1,   , cn laø moät phaân hoaïch cuûa khoaûng [a, b] vaø ñaët |P | = maxa1 - a0 , a2- a1,   , an - an-1. Ñaët P([a,b]) laø taäp hôïp taát caû caùc phaân hoaïch cuûa [a, b]. a b a0 c1 a1 c2 a2 c3 a3 a n-1 cn an 417
  6. Ñònh nghóa. Cho moät haøm soá thöïc f treân moät khoaûng ñoùng [a, b] vaø P = a0,a1,   , an-1,an; c1,   , cn laø moät phaân hoaïch cuûa khoaûng [a, b]. Ta ñaët n S ( f , P )   f (ck )(a k  a k 1 ) k 1 vaø goïi toång soá naøy laø toång Riemann töông öùng vôùi phaân hoaïch P. 418 a0 c1 a1 c2 a2 c3 a3 a n-1c n a n
  7. Ñònh nghóa. Cho P = a0,a1,   , an-1,an; c1,   , cn laø moät phaân hoaïch cuûa khoaûng [a,b]. Ta ñaët di = ai-1 vôùi moïi i trong {1,. . ., n} vaø P’ = a0,a1,   , an-1,an; d1,   , dn. Ta thaáy P’ laø moät phaân hoaïch cuûa [a,b]. d2 d3 d4 dn-1 d c1 a b a0 c1 a1 c2 a2 c3 a 3 a n-1 c n an Baøi toaùn TP1. Cho moät haøm soá thöïc f lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [a, b], vaø  laø moät soá thöïc döông. Chöùng minh coù moät soá thöïc döông () sao cho |S(f,P) - S(f,P’)| <   P P ([a, b]), |P| < (). 419
  8. Baøi toaùn TP1. Cho moät haøm soá thöïc f lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [a, b], vaø  laø moät soá thöïc döông. Chöùng minh coù moät soá thöïc döông () sao cho |S(f,P) - S(f,P’)| <   P P ([a, b]), |P| < (). Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,P) - S(f,P’)| <   P P ([a, b]), |P| < (). Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao cho |f(y) - f(x)| < ’  x,y  [a, b], |y-x| < ’(’). n 1 n 1 S ( f , P )   f (ck )(ak 1  ak ) S ( f , P ')   f (ak )(ak 1  ak ) k 0 k 0 n 1 n 1 | S( f , P )  S( f , P ') |  |  f (ck )(ak 1  ak )   f (ak )(ak 1420 ak ) |  k 0 k 0
  9. Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,P) - S(f,P’)| <   P P ([a, b]), |P| < (). Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao cho |f(y) - f(x)| < ’  x,y  [a, b], |y-x| < ’(’). n 1 n 1 | S( f , P )  S( f , P ') |  |  f (ck )(ak 1  ak )   f (ak )(ak 1  ak ) | k 0 k 0 n 1 n 1  |  [ f (ck )  f (ak )](ak 1  ak ) |   | f (ck )  f (ak ) | (ak 1  ak ) k 0 k 0 d2 d3 d4 dn-1 d c1 a b a0 c1 a1 c2 a2 c3 a 3 a n-1 cn an n 1 | S( f , P )  S ( f , P ') |    '(ak 1  ak )  '(b  a) neáu | P |   '( ') k 0 421
  10. Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,P) - S(f,P’)| <   P P ([a, b]), |P| < (). Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao cho |f(y) - f(x)| < ’  x,y  [a, b], |y-x| < ’(’). n 1 | S( f , P )  S ( f , P ') |    '(ak 1  ak )  '(b  a) neáu | P |   '( ') k 0 Cho  > 0, ñaët ’ = (b-a)-1 . Ta coù ’(’) > 0 . Ñaët () = ’(’). Ta coù |S(f,P) - S(f,P’)| <   P P ([a, b]), |P| < (). 422
  11. Ñònh nghóa. Cho P = a0,a1,   , an-1,an; a0,   , an-1 vaø Q = d0,d1,   , dm-1,dm; d0,   , dm-1 laø caùc phaân hoaïch cuûa khoaûng [a,b]. Ta noùi P  Q neáu vaø chæ neáu a0,a1,   , an-1,an }  d0,d1,   , dm-1,dm} d0 d1 d2 d3 d4 d6 d7 d8 d9 d10 dm-2 dm-1 dm a b a0 a1 a2 a3 an-1 1 an Baøi toaùn TP2. Cho moät haøm soá thöïc f lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [a, b], vaø  laø moät soá thöïc döông. Chöùng minh coù moät soá thöïc döông () sao cho |S(f,P’) - S(f,Q’)| <   P, Q P ([a, b]), P’  Q’ |P| < () 423
  12. d0 d1 d2 d3 d4 d6 d7 d8 d9 d10 dm-2 dm-1 dm a b a0 a1 a2 a3 an-1 1 an Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,Q’) - S(f,P’)| <   P, Q P ([a, b]),P’  Q’ |P| < () m 1 S( f , Q ')   f (dk )(dk 1  dk ) k 0 n 1 n 1 S ( f , P ')   f (a j )(a j 1  a j )   f (a j )  (dk 1  dk ) j 0 j 0 a j  dk  a j 1 n 1   f (a j )(dk 1  dk ) j  0 a j  dk  a j 1 424
  13. Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,Q’) - S(f,P’)| <   P, Q P ([a, b]),P’  Q’ |P| < () m 1 S( f , Q ')   f (dk )(dk 1  dk ) k 0 n 1 S( f , P ')    f (a j )(dk 1  dk ) j  0 a j  dk  a j 1 n 1 S( f , Q ')    f (dk )(dk 1  dk ) j  0 a j  dk  a j 1 n 1 | S( f , Q ')  S ( f , P ') |  |   [ f (dk )  f (a j )](dk 1  dk ) | j  0 a j  dk  a j 1 425
  14. Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,Q’) - S(f,P’)| <   P, Q P ([a, b]),P’  Q’, |P| < () n 1 | S( f , Q ')  S( f , P ') |  |   [ f (dk )  f (a j )](dk 1  dk ) | j  0 a j  dk  a j 1 n 1   | f (dk )  f (a j ) | (dk 1  dk ) j  0 a j  dk  a j 1 d0 d1 d2 d3 d4 d6 d7 d8 d9 d10 dm-2 dm-1 dm a b a0 a1 a2 a3 an-1 1 an Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao cho |f(y) - f(x)| < ’  x,y  [a, b], |y-x| < ’(’). n 1 | S( f , Q ')  S( f , P ') |     '(dk 1  dk ) neáu | P |  '( ') 426 j  0 a j  dk  a j 1
  15. Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,Q’) - S(f,P’)| <   P, Q P ([a, b]),P’  Q’ |P| < () Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao cho |f(y) - f(x)| < ’  x,y  [a, b], |y-x| < ’(’). n 1 | S( f , Q ')  S( f , P ') |     '(dk 1  dk ) neáu | P |  '( ') j  0 a j  dk  a j 1 n 1 | S( f , Q ')  S( f , P ') |   '   (dk 1  dk )   '(b  a) j  0 a j  dk  a j 1 neáu | P |   '( '). Cho  > 0 , ñaët ’ = (b-a)-1  , ta coù ’(’). Ñaët () = ’(’) 427
  16. Baøi toaùn TP3. Cho moät haøm soá thöïc f lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [a, b], vaø  laø moät soá thöïc döông. Chöùng minh coù moät soá thöïc döông () sao cho |S(f,P) - S(f,Q)| <   P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < () Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,P) - S(f,Q)| <   P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < () Cho  > 0, coù () > 0 sao cho |S(f,P) - S(f,P’)| <   P P ([a, b]), |P| < (). Cho  > 0, coù () > 0 sao cho |S(f,Q’) - S(f,P’)| <   P, Q P ([a, b]),P’  Q’, |P| < () 428
  17. Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,P) - S(f,Q)| <   P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < () Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao cho |S(f,R) - S(f,R’)| < ’  R P ([a, b]), |R| < ’(’). Cho ” > 0, coù ”(”) > 0 sao cho |S(f,U’) - S(f,V’)| < ”  U, V P ([a, b]), U’  V’, |U| < ”(”) |S(f,P) - S(f,Q)|  |S(f,P) - S(f,P’)| + |S(f,P’) - S(f,Q’)| + + |S(f,Q’) - S(f,Q)| < 2 ’ + |S(f,P’) - S(f,Q’)|  P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < ’(’) . Ta öôùc löôïng |S(f,P’) - S(f,Q’)| 429
  18. Ta öôùc löôïng |S(f,P’) - S(f,Q’)| Cho ” > 0, coù ”(”) > 0 sao cho |S(f,U’) - S(f,V’)| < ”  U, V P ([a, b]), U’  V’, |U| < ”(”) Neáu P vaø Q laø caùc phaân hoaïch cuûa [a,b] thaønh caùc ñoaïn coù ñaàu muùt laàn löôït laø {a0,a1, . . .,an} vaø {d0,d1, . . .,dm}, choïn V laø moät phaân hoaïch cuûa [a,b] thaønh caùc ñoaïn coù ñaàu muùt laø {a0,a1, . . .,an,d0,d1, . . .,dm}. S(f,P’) - S(f,Q’)|  S(f,P’) - S(f,V’)| + S(f,Q’) - S(f,V’)| S(f,P’) - S(f,Q’)| < 2”  P, Q P ([a, b]), |P|, |Q| < ”(”) 430
  19. Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,P) - S(f,Q)| <   P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < () |S(f,P) - S(f,Q)|  |S(f,P) - S(f,P’)| + |S(f,P’) - S(f,Q’)| + + |S(f,Q’) - S(f,Q)| < 2 ’ + |S(f,P’) - S(f,Q’)|  P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < ’(’) . S(f,P’) - S(f,Q’)| < 2”  P, Q P ([a, b]), |P|, |Q| < ”(”) S(f,P) - S(f,Q)| < 2’ + 2”  P, Q P ([a, b]), |P|, |Q| < min{’(’) , ”(”)} Cho  > 0, ñaët ’= ” = 4-1 , vaø () = min{’(’),”(”)} 431
  20. Ñònh nghóa. Cho moät khoaûng ñoùng [a, b], ñaët an,k = a + n-1k(b-a)  n  , k = 0,1, . . ., n. Pn = {an,0 , an,1,. . .,b; an,0 , an,1,. . ., an,n-1} Ta goïi Pn laø phaân hoaïch ñeàu thöù n cuûa ñoaïn [a,b] a b Baøi toaùn TP4. Cho moät haøm soá thöïc f lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [a, b], ñaët sn = S(f,Pn) vôùi moïi soá nguyeân n. Chöùng minh {sn} hoäi tuï veà moät soá thöïc s. Cho moät  > 0, tìm moät soá nguyeân N sao cho |sn – sm | <  n>m N 432
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2