Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

Trường đại học Mỏ-Địa Chất MÔN HỌC

Bộ môn sức bền vật liệu CƠ HỌC KẾT CẤU

Bài tập lớn số 2

TÍNH KHUNG SIÊU TĨNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP LỰC

Bảng số liệu:

STT

1 Kích thƣớc hình học L1 8

L2 12

Tải trọng q(kN/m) 30 P(kN) 80 M(kN.m) 150

YÊU CẦU VÀ THỨ TỰ THỰC HIỆN

1. hệ siêu tĩnh chịu Tính hệ siêu tĩnh do tải trọng tác dụng

1.1. Vẽ các biểu đồ nội lực: Mô men uốn , lực cắt trên hệ ( ) siêu tĩnh đã cho. Biết F= 10J/

1) Xác định bậc siêu tĩnh và chọn hệ cơ bản. 2) Thành lập các phương trình chính tắc dạng tổng quát. 3) Xác định các hệ số và số hạng tự do của phương trình chính tắc, kiểm tra

các kết quả tính được.

4) Giải hệ phương trình chính tắc. 5) Vẽ biểu đồ mô men trên hệ siêu tĩnh đã cho do tải trọng tác dụng . Kiểm

tra cân bằng các nút và kiểm tra điều kiện chuyển vị.

6) Vẽ biểu đồ lực cắt và lực dọc trên hệ siêu tĩnh đã cho.

( ).

1.2. Xác định chuyển vị ngang của điểm I hoặc góc xoay của tiết diện K. Biết E=

2. Kn/ , J=

2. Tính tác dụng cả 3 nguyên nhân ( Tải trọng , nhiệt độ thay đổi và chuyển vị gối tựa ).

2.1. Viết hệ phương trình chính tắc dạng số. 2.2. Thứ tự thực hiện:

1) Cách vẽ biểu đồ mô men do 3 nguyên nhân đồng thời tác dụng trên hệ

siêu tĩnh đã cho và cách kiểm tra.

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

1

2) Cách tính các chuyển vị đã nêu ở mục trên

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

Biết: - Nhiệt độ thay đổi trong thanh xiên: thớ biên trên là =+ , thớ biên dưới là

=+

- Thanh xiên có chiều cao h=0.12m - Hệ số giãn nở dài vì nhiệt độ α= - Chuyển vị gối tựa:

F

K

P=80KN

M=150KN.m

2J

6m

2J

E

B

q=30KN/m C 2J

3J

12m

J

J

A

D

H

8m

4m

4m

8m

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

2

Gối D dịch chuyển sang phải một đoạn =0,001 (m) Gối H bị lún xuống một đoạn =0,001 (m)

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

BÀI LÀM

1. Tính hệ siêu tĩnh do tải trọng tác dụng

1.1. Vẽ các biểu đồ nội lực: Mô men uốn , lực cắt trên hệ ( ) siêu tĩnh đã cho. Biết F= 10J/

1) Xác định bậc siêu tĩnh và chọn hệ cơ bản.

a) Xác định bậc siêu tĩnh.

Gọi mỗi thanh riêng rẽ là một miếng cứng ta có:

+ Số miếng cứng: D = 7

+ Số liên kết đơn nối đất: C = 7

T = 0; K = 1; H = 5

- Kiểm tra điều kiện cần:

Ta có:

n= T + 2K + 3H + C - 3D

= 0 + 2.1 + 3.5 + 7 – 3.7 = 3

n = 3 0 do đó thỏa mãn điều kiện cần

- Kiểm tra điều kiện đủ:

Đưa hệ trên về hệ gồm 3 miếng cứng là khung ABC, khung HEFD và trái đất liên kết với nhau bởi 3 khớp không thẳng hàng tại C, H và D. Vậy hệ thỏa mãn điều kiện đủ. Do đó hệ trên là hệ BBH

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

3

Vậy hệ trên là hệ siêu tĩnh bậc 3

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

b) Chọn hệ cơ bản

F

P=80KN

K M=150KN.m

2J

6m

x 3

2J

q=30KN/m x 2

E

x 2

B

x 3

3J

12m

J

J

A

D

H

x 1

4m

4m

8m

8m

Hệ cơ bản chọn như hình vẽ sau:

2) Thành lập các phương trình chính tắc dạng tổng quát.

{

3) Xác định các hệ số và số hạng tự do của phương trình chính tắc, kiểm tra

các kết quả tính được.

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

4

Các biểu đồ mô men uốn lần lượt do ; ; và do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản như các hình vẽ sau:

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

18

18

18

12

x 2 =1

x 2 =1

M 2

M 1

x D =1

D

x 1 =1

D x D =1

H

12

H Y H = 3 4

Y D = 3 4

1005

2160

2

x 3 =1

4

4

150

x 3 =1

M 3

M p

H

2160

D Y D = 1 4

Y H = 5

4

12

a) Các hệ số và số hạng tự do của phương trình chính tắc:

(

(

) (

) (

(

) (

= ( ̅̅̅̅ ). ( ̅̅̅̅ ) = ) )

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

5

= = ( ̅̅̅̅ ). ( ̅̅̅̅ ) = )

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

= = ( ̅̅̅̅ ). ( ̅̅̅̅ ) =

( ) (

= )

(

) ( )

(

= ( ̅̅̅̅ ). ( ̅̅̅̅ ) = )

( ) (

= = ( ̅̅̅̅ ). ( ̅̅̅̅ ) = )= )

) ( ) = ( ̅̅̅̅ ).( ̅̅̅̅ ) = (

).( ̅̅̅̅ ) =

(

( ) ( ( = (

))) ( ( ))

).( ̅̅̅̅

) = ( = (

( )) ( )

).( ̅̅̅̅ ) =

( ( ) ( = (

)) ( ( ))

b) Kiểm tra các hệ số và số hạng tự do của hệ phương trình chính tắc

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

6

Bằng cách nhân biểu đồ: Lập biểu đồ mô men uốn đơn vị tổng cộng ( ̅̅̅̅ như hình vẽ sau:

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

32

36

16

x 3 =1

4

x 2 =1

4

x 2

x 3

12

M S

H

x 1 =1

x D =2

D

16

Y H = 5 8

Y D = 3 8

 Kiểm tra các hệ số ở hàng thứ nhất:

.( ( ) (

( ̅̅̅̅).( ̅̅̅̅ ) = = ( ) )

Mặt khác:

= + + =

Kết quả phù hợp.

 Kiểm tra các hệ số ở hàng thứ hai:

) = ( ) ( )) ( ( ̅̅̅̅).( ̅̅̅̅

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

7

( ( ))

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

Mặt khác:

= + + =

Kết quả phù hợp.

 Kiểm tra các hệ số ở hàng thứ ba:

(

) = ( ) )

( ̅̅̅̅).( ̅̅̅̅ ( ) ( ) ( )

Mặt khác:

= + + =

Kết quả phù hợp.

 Kiểm tra các số hạng tự do:

(

= ( ) ) ( ̅̅̅̅).( )

( ) ( ) ( )

( )

Mặt khác:

= + + =

Kết quả phù hợp

4) Giải hệ phương trình chính tắc.

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

8

Thay các hệ số và số hạng tự do đã tìm được vào hệ phương trình chính tắc, sau khi đã giản ước ta được:

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

{

Giải hệ phương trình trên ta được kết quả là

{

5) Vẽ biểu đồ mô men trên hệ siêu tĩnh đã cho do tải trọng tác dụng . Kiểm

tra cân bằng các nút và kiểm tra điều kiện chuyển vị.

 Vẽ biểu đồ mô men uốn trên hệ siêu tĩnh

Áp dụng biểu thức: ( ) = ( ̅̅̅̅ ). ( ̅̅̅̅ ). ( ̅̅̅̅ ). )

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

9

Kết quả ta có biểu đồ mô men uốn như sau:

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

618,642

123,404

F

K

274,472

E

B

C

476,136

351,664

M p

D

H

A

2436,964

 Kiểm tra cân bằng các nút: +) Xét cân bằng nút B:

B

274,472

274,472

Ta có:

= 274,472-274,472 = 0

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

10

Vậy mô men tại nút B thỏa mãn điều kiện cân bằng.

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

150

351,664

274,472

E

476,136

+) Xét cân bằng nút E:

Ta có:

= 150 + 476,136 – 274,472 – 351,664 = 0

Vậy mô men tại nút E thỏa mãn điều kiện cân bằng

123,404

+) Xét cân bằng nút K

K

123,404

F

618,642

618,642

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

11

Ta có:

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

= 123,404 - 123,404 = 0

Vậy mô men tại nút K thỏa mãn điều kiện cân bằng

+) Xét cân bằng nút F:

Ta có:

= 618,642 - 618,642 = 0

Vậy mô men tại nút F thỏa mãn điều kiện cân bằng

Mô men tại các nút cân bằng nên biểu đồ mô men là chính xác.

 Kiểm tra điều kiện chuyển vị

Điều kiện kiểm tra là:

= ( ).( ̅̅̅̅ ) = 0 ( K= 1; 2; 3)

.(

=

= ( ).( ̅̅̅̅ ) = )

(

=

)

Δ2p=( ).( ̅̅̅̅)

(

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

12

Δ3p=( ).( ̅̅̅̅)

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

)

Các giá trị chuyển vị tại các liên kết bỏ đi (liên kết “thừa”) là không đáng kể nên ta có thể coi là bằng không.

Vậy biểu đồ là đạt yêu cầu.

6) Vẽ biểu đồ lực cắt và lực dọc trên hệ siêu tĩnh đã cho.

a) Biểu đồ lực cắt được vẽ theo biểu đồ mô men uốn trên cơ sở áp dụng

công thức : Qtr =

[ ] Qph = [ ]

92,756

-

45,953

28,218 -

-

149.651

+

+

+

Q p

39,678

405,953

34,369

Ta có biểu đồ nội lực như hình vẽ sau:

b) Biểu đồ lực dọc được vẽ theo biểu đồ lực cắt bằng biện pháp tách nút

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

13

để khảo sát cân bằng. kết quả như hình dưới đây:

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

85,631

97,1548

+

+

45,903

+

-

-

+

N p

47,758

68,618

20,86

o) như

1.2. Xác định chuển vị ngang của điểm I hoặc góc xoay của tiết diện K. Biết 4 (m4).

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

14

E = 2.108 (KN/m2); J = 10-6 L1 Ta có : Δkp = (Mp).( ̅ ) Đặt tại K một mômen có giá trị bằng 1 đơn vị ta có biểu đồ (Mk sau:

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

Vậy chuyển vị ( góc xoay ) tại K là:

)

=

Δkp ( ).( ̅ (

(rad) )

Vậy tại tiết diện K bị xoay 1 góc có giá trị là = 8,827.10-5 rad ngược chiều kim đồng hồ ( trái với chiều giả thiết ).

2. Tính hệ siêu tĩnh chịu tác dụng cả 3 nguyên nhân ( tải trọng, nhiệt độ thay

đổi và độ lún gối tựa ). 2.1. Viết hệ phương trình chính tắc dạng số,

Khi hệ siêu tĩnh chịu tác dụng cả 3 nguyên nhân : tải trọng, nhiệt độ thay đổi và độ lún gối tựa thì hệ phương trình chính tắc có dạng:

{

Trong đó các hệ số của ẩn và các số hạng tự do đã tính được ở phần trên. Để giải hệ phương trình thì ta đi xác định các số hạng và :

2.1.1. Xác định :

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

15

- Biểu đồ Ni :

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

X 2 = 1

1

_

_

_

_

-

3 4

N 2

+

9 20

1

x D =1

H

D

3 4

3 4

3 4

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

16

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

1 4

1

3 20

_

+

X 3 =1

_

+

N 3

H

5 4

5 4

1 4

∫ * ̅̅̅

(*) ∑ ( ) ̅ +

Vì chỉ có thanh xiên với có sự thay đổi nhiệt độ nên ta chỉ xét nội lực Mi và Ni trên thanh đó.

Trong công thức trên ta có:

α = 10-5 t2 – t1 = 30 - 45 = -150

h = 0,12m = tc =

Thay các giá trị trên vào công thức (*) ta được:

∫

* ̅̅̅+ + ∫ [ ̅ ]

= -1,25.10-3. ∫ ̅̅̅ + 37,5.10-5. ∫ ̅

Hay

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

17

= 37,5.10-5.( ̅ ) – 1,25.10-3( ̅̅̅)

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

Từ biểu đồ Ni ta có:

̅̅̅ =

̅̅̅̅ =

̅̅̅̅ =

Vậy ta có:

.10) – 1,25.10-3.( = 0,1872 = 37,5.10-5.(

) = 0,074831 .10) - 1,25.10-3.( = 37,5.10-5.(

.10) - 1,25.10-3.(-(2 = 0,037443 = 37,5.10-5.(

2.1.2. Xác định :

= ∑ ̅

Trong đó :

Z1 = 0,001.8 = 8.10-3m

Z2 = 0,001.12 = 12.10-3m

̅ = -1 ̅ = 0

̅ =

̅ = -1

̅ = 0 ̅ = -

Vậy ta có: $

= -( ̅ .z1 + ̅ .z2) = -(-1.8.10-3 + .12.10-3) = -1.10-3

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

18

= -( ̅ .z1 + ̅ .z2) = -(-1.8.10-3 + 0.12.10-3) = 8.10-3

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

= -( ̅ .z1 + ̅ .z2) = -(0.8.10-3 - .12.10-3) = 0,015

Thay các số hạng và và kết hợp với phần đầu đã tính ta có hệ phương trình chính tắc dạng số như sau:

{ Ta có EJ = 2.108.84.10-6 = 819200

Do đó ta có hệ phương trình dạng số là:

X1 = -104,972

 X2 = -8,4578

X3 = 55,88

2.2. Trình bày:

2.2.1. Cách vẽ biểu đồ Mc do 3 nguyên nhân đồng thời tác dụng lên hệ siêu

tĩnh đã cho và cách kiểm tra.

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

19

- Thay các giá trị Xi đã tính được từ bước giải hệ phương trình chính tắc vào hệ tĩnh định tương đương, dùng phương pháp mặt cắt ta vẽ được biểu đồ nội lực (Mc) như sau:

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

F

K

M=150KN.m

P=80KN

2J

q=30KN/m

2J

E

B

3J

55,88

J

J

D

A

H

8,4578

104,972 16,5142

164,9961 109,1161

Tính PLLK:

MD = 150 + 80.18 + 8,4578.8 + 55,88.20 – 16YH = 0

 YH = 164,9961

∑ = 80 + 8,4578– 104,972– XD = 0

 XD = -16,5142

∑ = 55,88– 164,9961+ YD = 0

 YD = 109,1161

M DF

z

D

X D

Y D

 Cách 1: Dùng phƣơng pháp mặt cắt ta có:

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

20

MDF = 16,5142.z (0 ≤ z ≤ 18)

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

z = 0 => MDF = 0 z = 18 => MDF = 16,5142.18 = 297,2556

MKF = 109,1161.z – 16,5142.18 (0 ≤ z ≤ 12) z = 0 => MKF = -297,2556 z = 12 => MKF = 1012,1376

 MEK = 109,1161.(8 + z. .z) (0 ≤ z ≤ 10) .z – 16,5142.(18 - ) – 80. z = 0 => MEK = 575,6732 z = 12 => MEK = 972,4585

 MEH = 104,972.z (0 ≤ z ≤ 8) z = 0 => MEH = 0 z = 8 => MEH = 839,776

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

21

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

MCE = 55,88.z (0 ≤ z ≤ 4) z = 0 => MCE = 0 z = 4 => MCE = 223,52

MBC = 55,88.z (0 ≤ z ≤ 4) z = 0 => MBC = 0 z = 4 => MBC = 223,52

– 8,4578.z (0 ≤ z ≤ 12)

MAB = 55,88 + 30. z = 0 => MAB = 223,52 z = 12 => MAB = 2282,0264

Kiểm tra điều kiện chuyển vị:

= 0

̅̅̅̅) +

+

Điều kiện kiểm tra là:

ΔKC = (MC).(

̅̅̅̅) +

+

 Khi K=1; ta có:

Δ1C = (MC).(

= = 0,1872

= = 8.10-3

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

22

Trong đó:

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

̅̅̅̅) =

*

+ = - 0,12944

(MC).(

̅̅̅̅) +

+

 Δ1c = 0,1872+ 8.10-3 – 0,12944 = 0  Khi K=2; ta có:

Δ2C = (MC).(

= = 0,074831

= = -1.10-3

̅̅̅̅) =

*

Trong đó:

+ = - 0,05

(MC).(

̅̅̅̅) +

+

 Δ2c = 0,074831 -1.10-3 – 0,05 = -0,019(m)  Khi K=3, ta có:

Δ3C = (MC).(

= = 0,037443

= = 0,015

̅̅̅̅) =

Trong đó:

*

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053

23

(MC).(

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2

+ = - 0,06

 Δ3c = 0,037443 + 0,015- 0,06 = -7,557.10-3(m)

Chuyển vị không đáng kể.

Vậy kết quả phù hợp.

2.2.2. Tính chuyển vị xoay tại K:

(1)

̅̅̅̅) +

+

Áp dụng công thức:

̅̅̅̅) =

*

ΔKC = (MC).(

+ = -8,165.10-5 rad

̅

 (MC).(

̅ – 1,25.10-3 ̅

=

=

= = 37,5.10-5 ̅ ̅ ̅ rad  = -∑ 

̅ ̅ ̅

= -(0.0,001.8 + .0,001.12) = - 6.10-4 rad

Thay các giá trị chuyển vị đã tính vào (1) ta được: ΔKm = -8,165.10-5+ – 6.10-4 = 1,829.10-3 rad Vậy tại K có chuyển vị xoay 1 góc có giá trị là: =1,829.10-3 rad, thuận chiều kim đồng hồ!

Hết!.

24

SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053