Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Chỉ số chính quy của s điểm béo ở vị trí tổng quát trong Pn, s ≤ n + 2"

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 53, 2009

CHỈ SỐ CHÍNH QUI CỦA s ĐIỂM BÉO Ở VỊ TRÍ TỔNG QUÁT TRONG Pn, s ≤ n + 2

Phan Văn Thiện Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế

TÓM TẮT

Chúng tôi sẽ chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui của tập s điểm béo ở vị trí tổng quát trong Pn, s ≤ n + 2, công thức này mở rộng kết quả của M.V. Catalissano, N.V. Trung và G. Valla [2] về chỉ số chính qui của tập điểm béo ở vị trí tổng quát. Sau đó chúng tôi sẽ chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui của tập s điểm béo tùy ý trong Pn, s ≤ 4.

1 Giới thiệu

Cho P1, . . . , Ps là các điểm phân biệt trong không gian xạ ảnh n-chiều Pn := Pn k , với k là trường đóng đại số. Cho ℘1, . . . , ℘s là các iđêan nguyên tố thuần nhất trong vành đa thức R := k[X0, . . . , Xn] được xác định bởi các điểm P1, . . . , Ps tương ứng. Cho m1, . . . , ms là các số nguyên dương. Lược đồ chiều không

Z := m1P1 + · · · + msPs

1 ∩ · · · ∩ ℘ms

s được gọi là s điểm béo trong Pn.

được xác định bởi iđêan ℘m1

Vành toạ độ thuần nhất của tập điểm béo m1P1 + · · · + msPs là:

1 ∩ · · · ∩ ℘ms

s ).

A := R/(℘m1

At là k-đại số phân bậc Cohen-Macaulay một chiều có số bội là Vành A = ⊕ t≥0

r (cid:80) i=1

e := (cid:1). Với mỗi t, phần phân bậc At là một k-không gian véc tơ hữu (cid:0)mi+n−1 n

hạn chiều. Hàm Hilbert HA(t) := dimk At là hàm tăng chặt cho đến khi nó đạt đến số bội e, tại đó nó dừng. Chỉ số chính qui của tập điểm béo Z được định nghĩa là số nguyên t bé nhất sao cho HA(t) = e và chúng tôi ký hiệu nó là reg(A) (hay reg(Z)).

Chỉ số chính qui reg(A) cho chúng ta biết nhiều thông tin về tập điểm béo Z, nhưng việc tính toán được chỉ số chính qui của một tập điểm béo là rất khó. Vì vậy, thay vào đó người ta thường tìm những chặn trên cho reg(A) (xem [1]-[10]).

119

Bài toán tìm chặn trên cho reg(A) cũng không phải là dễ, hiện nay giả thuyết của N.V. Trung (xem [9]) về chặn trên cho chỉ số chính qui của một tập điểm béo tùy ý được xem là tốt nhất, giả thuyết này đã được chứng minh trong một số trường hợp không gian xạ ảnh có chiều bé (xem [4]-[5], [8]-[10]).

Bởi vì việc tính toán chỉ số chính qui reg(A) là không dễ, cho nên đến nay chỉ có rất ít kết quả được công bố: với tập s điểm béo m1P1 + · · · + msPs trong Pn, E.D. Davis và A.V. Geramita (xem [3]) đã chứng minh

reg(A) = m1 + · · · + ms − 1

khi và chỉ khi tất cả các điểm P1, . . . , Ps nằm trên cùng một đường thẳng.

Tập điểm béo trong Pn được gọi là ở vị trí tổng quát nếu không có j + 2 điểm trong chúng nằm trên cùng một j-phẳng với mọi j < n. Cho n ≥ 3, 2 ≤ s ≤ n + 2 và m1P1 + · · · + msPs là tập s điểm béo ở vị trí tổng quát trong Pn với 2 ≤ m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ ms. M.V. Catalissano, N.V. Trung và G. Valla (xem [2], Corollary 8) đã chứng minh

reg(A) = m1 + m2 − 1.

Những kết quả trên giúp cho chúng tôi chứng minh được một công thức tính chỉ số chính qui của s điểm béo ở vị trí tổng quát trong Pn với s ≤ n + 2 (Định lý 3.1), công thức này mở rộng kết quả của M.V. Catalissano, N.V. Trung và G. Valla ([2], Corollary 8). Sau đó, chúng tôi sẽ chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui của tập s điểm béo tùy ý trong Pn, s ≤ 4 (Định lý 3.3).

2 Một số bổ đề cần dùng

Chúng tôi sẽ cần đến các bổ đề sau đây, chúng đã được chứng minh trong [2]. Bổ đề đầu tiên cho phép chúng ta tính chỉ số chính qui bằng qui nạp trên số các điểm.

1 ∩ · · · ∩ ℘mr r

, I = J ∩ ℘a và A = R/I, thì Bổ đề 2.1. [2, Lemma 1] Cho P1, . . . , Pr, P là các điểm phân biệt trong Pn và cho ℘ là iđêan xác định bởi điểm P . Nếu m1, . . . , mr và a là các số nguyên dương, J = ℘m1

reg(A) = max {a − 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘a))} .

1 ∩ · · · ∩ ℘ms s

Bổ đề thứ hai cho chúng ta một chặn dưới cho chỉ số chính qui của một tập điểm béo.

Bổ đề 2.2. [2, Corollary 2] Cho s ≥ 2, P1, . . . , Ps là các điểm phân biệt trong Pn và m1 ≥ . . . ≥ ms là các số nguyên dương. Đặt I = ℘m1 và A = R/I. Khi đó

reg(A) ≥ m1 + m2 − 1.

M.V. Catalisano. N.V. Trung và G. Valla đã chỉ ra một chặn trên cho chỉ số chính qui của một tập điểm béo ở vị trí tổng quát.

120

và A = R/I. Khi đó, Bổ đề 2.3. [2, Theorem 6] Cho s ≥ 2, P1, . . . , Ps là các điểm phân biệt ở vị trí tổng quát trong Pn và m1 ≥ . . . ≥ ms là các số nguyên dương. Đặt I = ℘m1 1 ∩ · · · ∩ ℘ms s

(cid:40) (cid:35)(cid:41) (cid:34)

s (cid:88) (

i=1

reg(A) ≤ max . m1 + m2 − 1, mi + n − 2)/n

Sau đó, các tác giả này đã chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui của một tập s điểm béo ở vị trí tổng quát trong Pn, với n ≥ 3 và 2 ≤ s ≤ n + 2 như sau.

1 ∩ · · · ∩ ℘ms s

và A = R/I. Khi đó, Bổ đề 2.4. [2, Corollarry 8] Cho n ≥ 3, 2 ≤ s ≤ n + 2 và P1, . . . , Ps là các điểm phân biệt ở vị trí tổng quát trong Pn. Nếu 2 ≤ m1 ≥ . . . ≥ ms là các số nguyên dương, I = ℘m1

reg(A) = m1 + m2 − 1.

1 ∩· · ·∩℘mr r

Bổ đề sau đây chỉ ra một tính chất của vành artin R/(J + ℘a).

0 M ∈ J + ℘i+1 với mọi đơn thức M bậc i theo các biến

Bổ đề 2.5. [2, Lemma 3] Cho P1, . . . , Pr là các điểm phân biệt trong Pn và m1, . . . , mr, a là các số nguyên dương. Đặt J = ℘m1 và ℘ = (X1, . . . , Xn). Khi đó, reg(R/(J + ℘a)) ≤ b

nếu và chỉ nếu X b−i X1, . . . , Xn, i = 0, . . . , a − 1.

3 Các kết quả của bài báo

Chúng ta đến kết quả đầu tiên của bài báo này, nó mở rộng một kết quả của M.V. Catalisano, N.V. Trung và G. Valla ([2], Corollary 8).

và A = R/I. Khi đó, Định lý 3.1. Cho s ≤ n + 2 và P1, . . . , Ps là các điểm phân biệt ở vị trí tổng quát trong Pn. Nếu 2 ≤ m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ ms là các số nguyên dương, I = ℘m1 1 ∩ · · · ∩ ℘ms s

s (cid:88)

i=1

(cid:110) (cid:105)(cid:111) (cid:104)(cid:0) reg(A) = max h − 1, , mi + n − 2(cid:1)/n

chúng ta đều biết là với h = max (cid:8)mi1 + · · · + miq |Pi1, . . . , Piq nằm trên một đường thẳng(cid:9). Chứng minh: Nếu s = 1, thì h − 1 = m1 − 1 ≥ (cid:2)(m1 + n − 1)/n(cid:3). Khi đó, với vành artin A = R/℘m1 1

1 ) = m1 − 1.

reg(A) = reg(R/℘m1

Nếu s ≥ 2, chúng ta xem xét ba trường hợp sau:

121

Trường hợp n = 1: Khi đó P1, . . . , Ps nằm trên một đường thẳng. Trong trường hợp này, E.D. Davis và A.V. Geramita [3] đã chứng minh:

reg(A) = m1 + · · · + ms − 1 = h − 1.

Trường hợp n = 2: Nếu m1 + m2 − 1 ≥ , thì h − 1 = m1 + m2 − 1 = (cid:105) mi/2 (cid:104) s (cid:80) i=1 (cid:110) (cid:105)(cid:111) max h − 1, . Theo Bổ đề 2.2 và Bổ đề 2.3 chúng ta nhận được mi/2 (cid:104) s (cid:80) i=1

i=1

(cid:110) (cid:105)(cid:111) (cid:104) s (cid:88) h − 1, . reg(A) = m1 + m2 − 1 = max mi/2

(cid:105) mi/2 Nếu m1 + m2 − 1 < , thì s = 4, m1 = m2 = m3 = m4 = m và (cid:104) s (cid:80) i=1

3 , I = J ∩ ℘m 2 ∩ ℘m 4 nên reg(R/(J + ℘m

1 ∩ ℘m X m /∈ J + ℘m được reg(A) ≥ 2m.

h−1 = 2m−1. Do các điểm P1, . . . , Ps ở vị trí tổng quát trong Pn nên chúng ta có thể giả sử rằng P4 = (1, 0, 0), P1 = (0, 1, 0), P2 = (0, 1, 0) và P3 = (1, a, b), ab (cid:54)= 0. Vì vậy, ℘4 = (X1, X2), ℘1 = (X0, X2), ℘2 = (X1, X2), ℘3 = (aX0 − X1, bX0 − X2). 4 . Bởi vì vành R/(J + ℘m 4 ) là vành artin và 4 )) ≥ 2m. Theo Bổ đề 2.1 chúng ta nhận Đặt J = ℘m 0 X m−1 1

Mặt khác, theo Bổ đề 2.3 chúng ta có reg(A) ≤ 2m. Từ đó,

i=1

(cid:110) (cid:105)(cid:111) (cid:104) 4 (cid:88) reg(A) = 2m = max h − 1, . mi/2

(cid:110) Trường hợp n ≥ 3 : Khi đó, m1 + m2 − 1 = max m1 + m2 − 1, mi + n − (cid:104)(cid:0) s (cid:80) i=1 (cid:105)(cid:111) 2(cid:1)/n .

Theo Bổ đề 2.4 chúng ta nhận được

s (cid:88)

i=1

(cid:110) (cid:105)(cid:111) (cid:104)(cid:0) reg(A) = max . m1 + m2 − 1, mi + n − 2(cid:1)/n

Định lý 3.1 đã được chứng minh xong.

. (cid:105) mi + n − 2(cid:1)/n Trong Định lý 3.1 trên, nếu n ≥ 3 thì h = m1 + m2 − 1 ≥ (cid:104)(cid:0) s (cid:80) i=1

Lúc đó, từ Định lý 3.1 chúng ta nhận được kết quả của M.V. Catalissano, N.V. Trung và G. Valla ([2], Corollary 8).

Bây giờ chúng ta sẽ tính chỉ số chính qui của tập 4 điểm béo tùy ý trong Pn.

122

4

1 ∩ · · · ∩ ℘m4

Mệnh đề 3.2. Cho P1, . . . , P4 là bốn điểm phân biệt tuỳ ý trong Pn và m1 ≥ · · · ≥ m4 là các số nguyên dương. Đặt I = ℘m1 và A = R/I. Với j = 1, . . . , n, đặt

(cid:105) (cid:111) (cid:110)(cid:104)mi1 + · · · + miq + j − 2 , Tj = max |Pi1, ..., Piq nằm trên một j-phẳng j

T = max{Tj|j = 1, . . . , n}.

Khi đó, reg(A) = T.

Chứng minh: Chúng ta xét ba trường hợp sau:

Trường hợp 1: Các điểm P1, . . . , P4 ở vị trí tổng quát trong Pn. Khi đó, T1 = (cid:111) (cid:110) . Theo Định lý 3.1 chúng ta có m1 + m2 − 1 = max Tj|j = 1, . . . , n − 1

4 (cid:88) (

i=1

(cid:105)(cid:111) (cid:110) (cid:104) reg(A) = max = T. mi + n − 2)/n T1,

Trường hợp 2: Các điểm P1, . . . , P4 nằm trên một đường thẳng. Khi đó, T1 =

4 (cid:80) i=1 chứng minh

mi − 1 = T . Trong trường hợp này, E.D. Davis và A.V. Geramita (xem [3]) đã

reg(A) = T.

mik ik

Trường hợp 3: Các điểm P1, . . . , P4 không ở vị trí tổng quát của Pn và không nằm trên một đường thẳng. Khi đó, tồn tại một đường thẳng, gọi là l, chứa đúng ℘mi . 3 điểm của {P1, P2, P3, P4} và có duy nhất một điểm Pik /∈ l. Đặt J = ∩ i Pi∈l . Khi đó, I = J ∩ ℘

m1+m2−mik 0

Chúng ta có thể giả sử Pik = (1, 0, . . . , 0), do đó ℘ik = (X1, . . . , Xn). Bởi vì Pik /∈ l nên chúng ta có thể tìm được một siêu phẳng L thỏa mãn l ⊂ L và Pik /∈ L. Vì Pik = (1, 0, . . . , 0), ℘ik = (X1, . . . , Xn) và Pik /∈ L nên chúng ta có thể viết L = X0 + H, với một dạng tuyến tính H ∈ ℘ik. Do Lm1+m2−mik ∈ J nên chúng ta có X ∈ J + ℘ik.

m1+m2−mik 0

và theo trên chúng ta có X ∈ J + ℘ik, do đó X

mik ik

mik ik

Với mọi đơn thức M bậc i theo n biến X1, . . . , Xn, 0 ≤ i ≤ mik − 1. Bởi vì m1+m2−mik M ∈ 0 )) ≤ m1 + m2 − 1. M ∈ ℘i ik J + ℘i+1 ik . Theo Bổ đề 2.5 chúng ta nhận được reg(R/(J + ℘ Do I = J ∩ ℘

mik ik

))(cid:9) . , nên theo Bổ đề 2.1 chúng ta có reg(A) = max (cid:8)mik − 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘

Pi∈l mi − 1. Nếu (cid:80)

Pi∈l mi − 1 = T . Vì vậy,

Pi∈l mi ≥ m1 + m2 thì T1 = (cid:80) reg(A) = reg(R/J) = T.

Vì các điểm của {P1, P2, P3, P4} \ {Pik} nằm trên đường thẳng l nên theo kết quả của E.D. Davis và A.V. Geramita (xem [3]) chúng ta nhận được reg(R/J) = (cid:80)

123

Pi∈l mi < m1+m2 thì T1 = m1+m2−1 = T . Do reg(R/J) = (cid:80)

mik ik

Nếu (cid:80) Pi∈l mi−1 ≤ m1 + m2 − 1 và reg(R/(J + ℘ )) ≤ m1 + m2 − 1 nên chúng ta có reg(A) ≤ m1 + m2 − 1. Hơn nữa, theo Bổ đề 2.2 chúng ta có reg(A) ≥ m1 + m2 − 1. Từ đó suy ra,

reg(A) = m1 + m2 − 1 = T.

Mệnh đề 3.2 đã được chứng minh xong.

1 ∩ · · · ∩ ℘ms s

Từ Định lý 3.1 và Mệnh đề 3.2 chúng ta suy ra công thức tính chỉ số chính qui của tập s điểm béo tùy ý trong Pn, s ≤ 4 như sau:

Định lý 3.3. Cho s ≤ 4 và P1, . . . , Ps là các điểm phân biệt tuỳ ý trong Pn. Cho m1 ≥ · · · ≥ ms là các số nguyên dương. Đặt I = ℘m1 và A = R/I. Với j = 1, . . . , n, đặt

(cid:105) (cid:111) (cid:110)(cid:104) mi1 + · · · + miq + j − 2 . Tj = max |Pi1, ..., Piq nằm trên một j-phẳng j

Khi đó,

i) Nếu s = 1 thì

reg(A) = m1 − 1.

ii) Nếu s = 2 thì

reg(A) = m1 + m2 − 1.

iii) Nếu s = 3 và các điểm P1, P2, P3 nằm trên cùng một đường thẳng thì

reg(A) = m1 + m2 + m3 − 1.

Nếu s = 3 và các điểm P1, P2, P3 không nằm trên cùng một đường thẳng thì

reg(A) = m1 + m2 − 1.

iv) Nếu s = 4 thì

reg(A) = max{Tj|j = 1, . . . , n}.

Chứng minh: i), ii) và iii) được suy ra dễ dàng từ Định lý 3.1 và kết quả của E.D. Davis và A.V. Geramita (xem [3]) khi các điểm nằm trên một đường thẳng. iv) chính là Mệnh đề 3.2.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] M.V. Catalisano, Fat points on a conic, Comm. Algebra 19 (1991), 2153- 2168.

[2] M.V. Catalisano, N.V. Trung and G. Valla, A sharp bound for the regularity index of fat points in general position, Proc. Amer. Math. Soc. 118 (1993), 717-724.

124

[3] E.D. Davis and A.V. Geramita, The Hilbert

function of a special class of 1-dimensional Cohen-Macaulay graded algebras, The Curves Seminar at Queen’s, Queen’s Papers in Pure and Appl. Math. 67 (1984), 1-29.

[4] G. Fatabbi, Regularity index of fat points in the projective plane, J. Algebra 170 (1994), 916-928.

[5] G. Fatabbi, A. Lorenzini On a sharp bound for the regularity index of any set of fat points, J. Pure and Appl. Algebra 161 (2001), 91-111.

[6] W. Fulton, Algebraic Curves, Math. Lect. Note Series, Benjamin 1969.

[7] B. Segre, Alcune questioni su insiemi finiti di punti in geometria algebrica, Atti. Convergno. Intern. di Torino 1961, 15-33.

[8] P.V. Thien, On Segre bound for the regularity index of fat points in P2, Acta Math. Vietnamica 24 (1999), 75-81.

[9] P.V. Thien, Segre bound for the regularity index of fat points in P3, J. Pure and Appl. Algebra 151 (2000), 197-214.

[10] P.V. Thien, Sharp upper bound for the regularity of zero-schemes of double points in P4, Comm. Algebra 30 (2002), 5825-5847.

REGULARITY INDEX OF s FAT POINTS IN GENERAL POSITION IN Pn, s ≤ n + 2

Phan Van Thien College of Pedagogy, Hue University

SUMMARY

We will give a formula to compute the regularity index of s fat points in general position in Pn, s ≤ n + 2, which generalizes Catalisano, Trung, and Valla’s result [2] for the regularity index of fat points in general position. Then we will show a formula to compute the regularity index s arbitrary fat points in Pn, s ≤ 4.

Keywords : Mathematics subject classification: 13C20; 13D40.

125