tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 2A-2008
5
Sö DôNG MéT Sè KIÕN THøC C¥ Së CñA Lý THUYÕT NHãM KH¶O
S¸T C¸C TÝNH CHÊT NGHIÖM CñA §A THøC
x
n
-
1 Vµ VËN DôNG
VµO VIÖC KHAI TH¸C C¸C BµI TO¸N ë TR¦êNG PHæ TH¤NG
PHAN ANH
(a)
Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i khai th¸c mét sè bµi to¸n phæ th«ng, qua
nghiªn cøu tËp nghiÖm cña ®a thøc
1−
n
x
dùa trªn quan ®iÓm nhãm. Qua ®ã ®Þnh
h−íng sù vËn dông To¸n häc cao cÊp vµo viÖc kh¸m ph¸ c¸c vÊn ®Ò thuéc lÜnh vùc
to¸n häc phæ th«ng, nh»m n©ng cao chÊt l−îng ®µo t¹o sinh viªn ngµnh s− ph¹m
to¸n.
ViÖc nh×n nhËn To¸n häc phæ th«ng theo quan ®iÓm cña To¸n häc hiÖn ®¹i
®−îc nhiÒu nhµ khoa häc s− ph¹m chó ý ®Õn. Trong gi¸o tr×nh To¸n phæ th«ng, c¸c
t¸c gi¶ nh− V¨n Nh− C−¬ng, §oµn Quúnh, Hoµng Xu©n SÝnh, NguyÔn Xu©n Liªm...
®· ®−a ý t−ëng ®ã xuyªn suèt c¸c cÊp häc. ThÓ hiÖn rÊt râ lµ: c¸c ®¬n vÞ kiÕn thøc
®−îc x©y dùng trªn nÒn t¶ng cña lý thuyÕt tËp hîp; viÖc më réng hÖ thèng sè theo
quan ®iÓm cña cÊu tróc ®¹i sè; kh¸i niÖm hµm ngµy cµng hoµn chØnh vµ lµ "sîi chØ
®á xuyªn suèt c¸c cÊp häc"; viÖc ®¹i sè ho¸ h×nh häc... Bëi vËy, viÖc d¹y häc c¸c m«n
to¸n c¬ b¶n, nhÊt lµ §¹i sè ®¹i c−¬ng (§S§C) ë c¸c tr−êng ®¹i häc s− ph¹m cÇn cã sù
thay ®æi nhÊt ®Þnh nh»m ®¶m b¶o thÝch øng víi viÖc d¹y vµ häc ë tr−êng phæ th«ng.
Trong [4], t¸c gi¶ ®· "phiªn dÞch" mét líp c¸c bµi to¸n trong §S§C sang ng«n ng÷
"s¬ cÊp". Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i sÏ tr×nh bµy viÖc vËn dông mét sè kiÕn thøc c¬
së cña lý thuyÕt nhãm nh»m kh¶o s¸t c¸c tÝnh chÊt nghiÖm cña ®a thøc
1−
n
x
vµ
vËn dông vµo viÖc khai th¸c c¸c bµi to¸n ë tr−êng phæ th«ng.
I. TÝnh chÊt tËp nghiÖm cña ®a thøc
1−
n
x
Gi¶ sö
U
lµ tËp nghiÖm cña ®a thøc
1−
n
x
trªn tr−êng sè phøc , n ∈ ,
n > 1. Khi ®ã
1. Ký hiÖu
{
}
1| =∈= xCxA
, th× A lµ mét nhãm ®èi víi phÐp nh©n vµ
U
lµ
nhãm con cña nhãm A.
2.
U
lµ nhãm xiclÝc cÊp n sinh bëi
α
, trong ®ã
n
i
n
π
π
α
2
sin
2
cos +=
.
3. NÕu
α
lµ phÇn tö kh¸c 1 cña nhãm xiclic
U
th×
0.....1
12
=++++
−n
ααα
.
4. NÕu n lµ sè nguyªn tè th×
U
lµ nhãm xiclic cÊp n sinh bëi nghiÖm bÊt kú
kh¸c 1 cña ®a thøc
1−
n
x
.
II. C¸c bµi to¸n phæ th«ng ®−îc khai th¸c
Chóng ta b¾t ®Çu tõ mét bµi to¸n phæ th«ng ®¬n gi¶n sau ®©y:
Bµi to¸n 1. Ph©n tÝch ®a thøc
1
5
−x
thµnh nh©n tö trªn [x].
DÔ dµng chóng ta thu nhËn ®−îc
NhËn bµi ngµy 19/12/2007. Söa ch÷a xong 05/6/2008.
PHAN ANH Sö DôNG MéT Sè KIÕN THøC ... ë TR¦êNG PHæ TH¤NG, Tr. 5-10
6
)1)(1(1
2345
++++−=− xxxxxx . (1)
Tuy nhiªn, sù ph©n tÝch ë trªn lµ ch−a ®−îc mÜ m·n. §Ó ý r»ng tËp nghiÖm cña ®a
thøc
1
5
−x
lµ nhãm
{
}
432
,,,,1
αααα
=U
,trong ®ã
5
2
sin
5
2
cos
π
π
α
i+=
. Trong nhãm
U
, ta cã
234
;
αααα
==
. Bëi vËy:
))()()()(1(1
4325
αααα
−−−−−=− xxxxxx
[
]
[
]
))(()(()1(
324
αααα
−−−−−= xxxxx
[
]
[
]
))(())(()1(
22
αααα
−−−−−= xxxxx
)1
5
4
cos2)(1
5
2
cos2)(1(
22
+−+−−=
π
π
xxxxx
.
Tõ sù ph©n tÝch trªn, ta t×m ra lêi gi¶i bµi to¸n trªn ë bËc phæ th«ng. §Æt
)1)(1(1
22234
++++=++++ bxxaxxxxxx
.
B»ng c¸ch ®ång nhÊt hÖ sè bÊt ®Þnh dÉn ®Õn
2
51
;
2
51 −
=
+
=ba
hoÆc
2
51
;
2
51 +
=
−
=ba
.
Do ®ã
)1
2
51
)(1
2
51
)(1(1
225
+
−
++
+
+−=− xxxxxx
.
Suy luËn trªn ®©y vµ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 1 gióp chóng ta gi¶i c¸c bµi
to¸n sau.
Bµi to¸n 2. TÝnh
5
4
cos,
5
2
cos
π
π
Theo bµi to¸n 1 ta cã:
1
5
−x
)1
5
4
cos2)(1
5
2
cos2)(1(
22
+−+−−=
π
π
xxxxx
.
MÆt kh¸c
)1
2
51
)(1
2
51
)(1(1
225
+
−
++
+
+−=− xxxxxx
.
§Ó ý r»ng
0
5
4
cos;0
5
2
cos <>
π
π
nªn suy ra
4
51
5
2
cos;
4
51
5
4
cos +−
=
+
−=
ππ
.
Lêi gi¶i bµi to¸n 2 gîi ý cho chóng ta c¸ch t×m gi¸ trÞ c¸c hµm l−îng gi¸c cña
mét sè gãc d¹ng nh−
9
2
cos,
7
2
cos
π
π
...
Bµi to¸n 3 (V« ®Þch Bungari vßng 3, 1982). XÐt xem ph−¬ng tr×nh sau ®©y cã
nghiÖm thùc hay kh«ng?
019801978198219791981
234
=++++ xxxx
.
§Æt f(x) =
19801978198219791981
234
++++ xxxx
.
Ta cã
132)1(1979)(
24234
+−++++++= xxxxxxxxf
132)1
5
4
cos2)(1
5
2
cos2(1979
2422
+−+++−+−= xxxxxxx
π
π
tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 2A-2008
7
DÔ dµng nhËn thÊy
1
5
4
cos2;1
5
2
cos2
22
+−+−
π
π
xxxx
,
13
2
+− xx
nhËn
c¸c gi¸ trÞ d−¬ng víi mäi x ∈ vµ 02
4
≥x víi mäi x ∈ . Bëi vËy 0)(
xf víi mäi
x ∈ . Do ®ã ph−¬ng tr×nh ®· cho kh«ng cã nghiÖm thùc.
Ta còng cã thÓ sö dông cÊu tróc nhãm UdÓ gi¶i quyÕt bµi to¸n sau ®©y
trong [3].
Bµi to¸n 4. Trong vµnh [x], ®a thøc 1)( −=
n
xxf chia hÕt cho ®a thøc
1)( −=
m
xxg khi vµ chØ khi m lµ −íc cña n.
Thùc vËy, ký hiÖu
nm
UU ,thø tù lµ c¸c tËp nghiÖm cña c¸c ®a thøc
)(),( xgxf . NÕu
)()( xgxf Μ
trong [x] th×
nm
UU ⊂. V×
nm
UU , lµ c¸c nhãm nªn ta
suy ra
m
U lµ nhãm con cña
n
U. Do cÊp cña
m
Ulµ m, cÊp cña
n
Ulµ n nªn theo ®Þnh
lý Lagrange m lµ −íc cña n. Nguîc l¹i, gi¶ sö m lµ −íc cña n, ta ®Æt n = tm,
t ∈
*
. NÕu
1
=
t th× hiÓn nhiªn
)()( xgxf Μ
trong [x]. NÕu
1
>
tth×:
]1...)())[(1(11)(
21
++++−=−=−=
−−
mtmtmmmtn
xxxxxxxf .
Bëi vËy
)()( xgxf Μ
trong [x]. Do ®ã, ®a thøc f(x) chia hÕt cho g(x) trong [x]
khi vµ chØ khi m lµ −íc cña n.
Sö dông c¸c tÝnh chÊt cña tËp nghiÖm ®a thøc
1−
n
x
, chóng ta cã thÓ ph¸t
biÓu c¸c bµi to¸n sau.
Bµi to¸n 5. Gi¶ sö n lµ sè nguyªn d−¬ng lín h¬n 1. Chøng minh c¸c hÖ thøc:
0
2
sin;0
2
1
1
1
1
1
==+
∑∑
−
=
−
=
n
k
n
k
n
k
n
k
osc
ππ
Theo tÝnh chÊt 2 tËp nghiÖm cña ®a thøc
1−
n
x
lµ nhãm
{
}
132
,...,,,,1
−
=
n
U
αααα
, trong ®ã
n
k
i
n
k
k
π
π
α
2
sin
2
cos +=
,
1,0 −=
nk . Do
α
lµ
nghiÖm kh¸c 1 cña ®a thøc
1−
n
x
nªn
0.....1
12
=++++
−
n
ααα
. Bëi vËy
0
2
sin)
2
cos1(
1
1
1
1
=++
∑∑
−
=
−
=
n
k
n
k
n
k
i
n
k
ππ
.
Tõ ®ã suy ra
0
2
sin;0
2
1
1
1
1
1
==+
∑∑
−
=
−
=
n
k
n
k
n
k
n
k
osc
ππ
.
Bµi to¸n 6. Cho p lµ mét sè nguyªn tè, m lµ sè nguyªn kh«ng chia hÕt cho p. Chøng
minh c¸c hÖ thøc:
0
2
sin,;0
2
1,
1
1
1
1
==+
∑∑
−
=
−
=
p
k
p
k
p
km
b
p
km
scoa
ππ
.
TËp nghiÖm cña ®a thøc
1−
p
x
lµ
{
}
132
,...,,,,1
−
=
p
U
αααα
. Ulµ nhãm xiclic
cÊp p sinh bëi
α
, víi p
i
p
π
π
α
2
sin
2
cos +=
. V× p lµ sè nguyªn tè nªn theo tÝnh chÊt 4,
PHAN ANH Sö DôNG MéT Sè KIÕN THøC ... ë TR¦êNG PHæ TH¤NG, Tr. 5-10
8
U sinh bëi phÇn tö bÊt kú kh¸c ®¬n vÞ. Do m kh«ng chia hÕt cho p nªn
1≠
m
α
. Bëi
vËy, Usinh bëi
m
α
vµ
{
}
)1(32
,...,,,,1
−
=
pmmmm
U
αααα
, trong ®ã
1,0,
2
sin
2
cos −=+=
pk
p
km
i
p
km
km
π
π
α
.
V×
0.....1
)1(2
=++++
−pmmm
ααα
, nªn
0
2
sin)
2
cos1(
1
1
1
1
=++
∑∑
−
=
−
=
p
k
p
k
p
km
i
p
km
ππ
.
Do ®ã
0
2
sin;0
2
1
1
1
1
1
==+
∑∑
−
=
−
=
p
k
p
k
p
km
p
km
sco
ππ
.
Trong
[
]
2
, t¸c gi¶ ®· cho chóng ta bµi tËp sau ®©y: “Cho X lµ nhãm xiclic cÊp
n, sinh bëi phÇn tö a; b = a
k
. Chøng minh r»ng cÊp cña phÇn tö b b»ng n /d; trong ®ã
d = (k,n)”. Sö dông kÕt qu¶ nµy, chóng ta cã thÓ thu ®−îc bµi to¸n phæ th«ng
sau ®©y.
Bµi to¸n 7. Cho k vµ n lµ hai sè nguyªn d−¬ng, (k,n) = d, k kh«ng chia hÕt cho n.
Chøng minh r»ng:
0
2
sin,;0
2
1,
1
1
1
1
11
==+
∑∑
−
=
−
=
d
t
d
t
n
kt
b
n
kt
scoa
ππ
, trong ®ã
d
n
d
=
1
.
Ta cã tËp nghiÖm cña ®a thøc
1−
n
x
lµ
{
}
132
,...,,,,1
−
=
n
U
αααα
lµ nhãm xiclic cÊp n,
sinh bëi
n
i
n
π
π
α
2
sin
2
cos +=
. Do (k,n) = d nªn theo kÕt qu¶ ®· chØ ra ë trªn, ta cã
cÊp cña
k
α
lµ
1
d. Bëi vËy
{
}
kd
kkk
A
)1(
2
1
,...,,,1
−
>==<
αααα
, trong ®ã
1,0;
2
sin
2
cos
1
−=+=
dt
n
tk
i
n
tk
tk
π
π
α
lµ tËp nghiÖm cña ®a thøc
1
1
−
d
x. V× k kh«ng chia hÕt cho n nªn
1≠
k
α
. Do ®ã
0.....1
)1(
2
1
=++++
−kd
kk
ααα
. T−¬ng tù nh− trªn ta cã ®−îc
0
2
sin;0
2
1
1
1
1
1
11
==+
∑∑
−
=
−
=
d
t
d
t
n
kt
n
kt
sco
ππ
.
VËn dông tÝnh chÊt ®ång cÊu nhãm, chóng ta cã thÓ gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh häc
sau ®©y.
Bµi to¸n 8. Cho
n
AAA
.....
21
lµ ®a gi¸c ®Òu t©m O. Chøng minh r»ng
OOAOAOA
n
=+++ ...
21
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ thiÕt ®a gi¸c
n
AAA .....
21
néi tiÕp
trong ®−êng trßn ®¬n vÞ, cã tia
1
OA
trïng víi tia Ox. C¸c ®iÓm
n
AAA ,.....,,
21
thø tù
n»m trªn ®−êng trßn ®¬n vÞ ng−îc chiÒu víi chiÒu quay kim ®ång hå. Ta biÕt r»ng
¸nh x¹ f tõ nhãm céng c¸c sè phøc ®Õn nhãm céng c¸c vÐc t¬ buéc t¹i gèc to¹ ®é, biÕn
sè phøc
iba
+
=
α
thµnh vÐc t¬
),( bav
lµ ®¼ng cÊu nhãm. C¸c vÐc t¬
tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 2A-2008
9
n
OAOAOA ,...,,
21
lÇn l−ît lµ ¶nh cña c¸c sè phøc
12
,.....,,,1
−
n
ααα
trong nhãm
U
. Do
®ã
)(...)()()1().....1(
1212
−−
++++=++++
nn
fffff
αααααα
n
OAOAOA +++= ...
21
.
MÆt kh¸c:
0.....1
12
=++++
−
n
ααα
vµ f lµ ®ång cÊu nhãm nªn
Of
n
=++++
−
).....1(
12
ααα
.
Tõ ®ã suy ra
OOAOAOA
n
=+++ ...
21
.
Bµi to¸n 9. Chøng minh tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu khi vµ chØ khi träng t©m vµ
t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ®ã trïng nhau.
HiÓn nhiªn nÕu tam gi¸c ABC ®Òu th× t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp vµ träng
t©m cña nã trïng nhau. Ta chØ cÇn chøng minh nÕu träng t©m vµ t©m ®−êng trßn
ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC trïng nhau th× tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu. Kh«ng mÊt
tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ thiÕt r»ng tam gi¸c ABC néi tiÕp trong ®−êng trßn ®¬n vÞ trªn
mÆt ph¼ng to¹ ®é; tia OA trïng víi Ox. C¸c ®iÓm A, B, C thø tù n»m trªn ®−êng
trßn ng−îc chiÒu víi chiÒu quay cña kim ®ång hå. Qua ®¼ng cÊu f (®· chØ ra trong bµi
to¸n 8), ta cã
OAf =)1(
. Gi¶ sö
OCfOBf == )(,)(
βα
, ta cã
OCOBOAfff ++=++ )()()1(
βα
.
V× f lµ ®ång cÊu nhãm nªn
OCOBOAf ++=++ )1(
βα
.
MÆt kh¸c
OOCOBOA =++
(do O lµ träng t©m tam gi¸c ABC)
nªn
Of =++ )1(
βα
.
Tõ f lµ ®¬n cÊu nhãm suy ra:
01
β
α
, do ®ã
)1(
α
β
. VËy
11 =+==
αβα
.
§Æt
02;sincos
ϕ
π
ϕ
ϕ
α
i
. Tõ
αα
+= 1
suy ra
3
2
π
ϕ
=
. Bëi vËy
3
2
sin
3
2
cos
π
π
α
i+=
.
§Ó chøng minh tam gi¸c ABC ®Òu, ta cÇn chøng minh
{
}
βα
,,1
chÝnh lµ nhãm
U
cña ®a thøc
1
3
−x
. Thùc vËy,
2
3
2
1
)
3
2
sin
3
2
cos1()1( ii −−=++−=+−=
ππ
αβ
;
2
3
2
1
)
3
2
sin
3
2
(cos
22
ii −−=+=
ππ
α
.