tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 2A-2008
Sö DôNG MéT Sè KIÕN THøC C¥ Së CñA Lý THUYÕT NHãM KH¶O S¸T C¸C TÝNH CHÊT NGHIÖM CñA §A THøC xn - 1 Vµ VËN DôNG VµO VIÖC KHAI TH¸C C¸C BµI TO¸N ë TR¦êNG PHæ TH¤NG
PHAN ANH (a)
1−nx
Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i khai th¸c mét sè bµi to¸n phæ th«ng, qua dùa trªn quan ®iÓm nhãm. Qua ®ã ®Þnh nghiªn cøu tËp nghiÖm cña ®a thøc h−íng sù vËn dông To¸n häc cao cÊp vµo viÖc kh¸m ph¸ c¸c vÊn ®Ò thuéc lÜnh vùc to¸n häc phæ th«ng, nh»m n©ng cao chÊt l−îng ®µo t¹o sinh viªn ngµnh s− ph¹m to¸n.
1−nx
ViÖc nh×n nhËn To¸n häc phæ th«ng theo quan ®iÓm cña To¸n häc hiÖn ®¹i ®−îc nhiÒu nhµ khoa häc s− ph¹m chó ý ®Õn. Trong gi¸o tr×nh To¸n phæ th«ng, c¸c t¸c gi¶ nh− V¨n Nh− C−¬ng, §oµn Quúnh, Hoµng Xu©n SÝnh, NguyÔn Xu©n Liªm... ®· ®−a ý t−ëng ®ã xuyªn suèt c¸c cÊp häc. ThÓ hiÖn rÊt râ lµ: c¸c ®¬n vÞ kiÕn thøc ®−îc x©y dùng trªn nÒn t¶ng cña lý thuyÕt tËp hîp; viÖc më réng hÖ thèng sè theo quan ®iÓm cña cÊu tróc ®¹i sè; kh¸i niÖm hµm ngµy cµng hoµn chØnh vµ lµ "sîi chØ ®á xuyªn suèt c¸c cÊp häc"; viÖc ®¹i sè ho¸ h×nh häc... Bëi vËy, viÖc d¹y häc c¸c m«n to¸n c¬ b¶n, nhÊt lµ §¹i sè ®¹i c−¬ng (§S§C) ë c¸c tr−êng ®¹i häc s− ph¹m cÇn cã sù thay ®æi nhÊt ®Þnh nh»m ®¶m b¶o thÝch øng víi viÖc d¹y vµ häc ë tr−êng phæ th«ng. Trong [4], t¸c gi¶ ®· "phiªn dÞch" mét líp c¸c bµi to¸n trong §S§C sang ng«n ng÷ "s¬ cÊp". Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i sÏ tr×nh bµy viÖc vËn dông mét sè kiÕn thøc c¬ së cña lý thuyÕt nhãm nh»m kh¶o s¸t c¸c tÝnh chÊt nghiÖm cña ®a thøc vµ vËn dông vµo viÖc khai th¸c c¸c bµi to¸n ë tr−êng phæ th«ng.
I. TÝnh chÊt tËp nghiÖm cña ®a thøc
trªn tr−êng sè phøc (cid:1), n ∈ (cid:2),
Gi¶ sö U lµ tËp nghiÖm cña ®a thøc
1−nx 1−nx
n > 1. Khi ®ã
|
1. Ký hiÖu
, th× A lµ mét nhãm ®èi víi phÐp nh©n vµ U lµ
A
=
}1
{ xCx ∈= nhãm con cña nhãm A.
cos
sin
.
i
=
+
α
2. U lµ nhãm xiclÝc cÊp n sinh bëi α, trong ®ã
1
1
0
2 π n .....
=
+
+
2 π n ++
−nα
2 αα
3. NÕu α lµ phÇn tö kh¸c 1 cña nhãm xiclic U th× . 4. NÕu n lµ sè nguyªn tè th× U lµ nhãm xiclic cÊp n sinh bëi nghiÖm bÊt kú
kh¸c 1 cña ®a thøc
.
1−nx
Chóng ta b¾t ®Çu tõ mét bµi to¸n phæ th«ng ®¬n gi¶n sau ®©y:
thµnh nh©n tö trªn (cid:5)[x].
15 −x
II. C¸c bµi to¸n phæ th«ng ®−îc khai th¸c Bµi to¸n 1. Ph©n tÝch ®a thøc
DÔ dµng chóng ta thu nhËn ®−îc
NhËn bµi ngµy 19/12/2007. Söa ch÷a xong 05/6/2008.
5
PHAN ANH Sö DôNG MéT Sè KIÕN THøC ... ë TR¦êNG PHæ TH¤NG, Tr. 5-10
4
3
2
5
(1
)(1
)1
x
x
x
x
x ++
=−
+
+
−
x . (1) Tuy nhiªn, sù ph©n tÝch ë trªn lµ ch−a ®−îc mÜ m·n. §Ó ý r»ng tËp nghiÖm cña ®a
3
2
cos
sin
,
,
thøc
lµ nhãm
,trong ®ã
. Trong nhãm
α
=
i+
15 −x
}4 , αααα=U
{ ,1
2 π 5
2 π 5
4
3
U , ta cã
2 ; αααα
=
5
)(
= x
x
x
x
3 α
4 α
=−
−
−
−
−
−
(
2 x αα )(
)(
x
x
x
x
=
−
−
−
−
−
(
)(
)(
x
x
x
x
)( 2 α 2 α
) 3 α 2 α
−
=
−
−
−
−
)( x ][ 4 ( x αα ][ ()
]) ])
2
2
(
cos
2
)(1
2
cos
)1
.
. Bëi vËy: )(1 (1 [ ()1 [ ()1 )(1 x
x
x
x
x
−
=
+
−
−
+
x αα 2 π 5
4 π 5
2
2
3
4
(1
)1
.
bx
x
x
x
x
x
ax
Tõ sù ph©n tÝch trªn, ta t×m ra lêi gi¶i bµi to¸n trªn ë bËc phæ th«ng. §Æt 2 +
=++
+
+
+
+
+
hoÆc
.
5 1 5 1 1 5 5 1 ; ; b a a b = = = = + 2 − 2 + 2
2
2
5
Do ®ã
.
)(1 x B»ng c¸ch ®ång nhÊt hÖ sè bÊt ®Þnh dÉn ®Õn − 2 − 2
Suy luËn trªn ®©y vµ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 1 gióp chóng ta gi¶i c¸c bµi
to¸n sau.
1 5 1 5 (1 )(1 )(1 )1 x x x x x x =− + + − + + + 2
Bµi to¸n 2. TÝnh
2
2
cos , cos 2 π 5 4 π 5
Theo bµi to¸n 1 ta cã:
.
15 −x
( )(1 2 cos )(1 2 cos )1 x x x x x = − − + − + 2 π 5 4 π 5
5
2
2
MÆt kh¸c
.
1 5 5 1 (1 )(1 )(1 )1 x x x x x x =− − + + + + − 2 + 2
§Ó ý r»ng
nªn suy ra
.
Lêi gi¶i bµi to¸n 2 gîi ý cho chóng ta c¸ch t×m gi¸ trÞ c¸c hµm l−îng gi¸c cña
5 1 5 cos ;0 cos 0 cos ; cos > < −= = 4 π 5 2 π 5 4 π 5 + 4 2 π 5 1 +− 4
mét sè gãc d¹ng nh−
...
2
3
4
0
.
=
1979 3 x 3
x + 2)1
cos , cos 2 π 7 2 π 9
§Æt f(x) = )( xf Ta cã
Bµi to¸n 3 (V« ®Þch Bungari vßng 3, 1982). XÐt xem ph−¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm thùc hay kh«ng? 1981 x 4 1981 x + 1979 ( x =
1978 x + + 1978 1980 x + 4 2 3 x x +
+ 1979 4 x +
2
2
4
2
1 +
1982 x + 2 1982 x + 2 x x +++ 2 π 5
1980 . x +− 4 π 5
6
)(1 1979 ( 2 cos 2 cos 2)1 3 1 x x x x x x + = − − ++ + x +−
tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 2A-2008
2
2
1
DÔ dµng nhËn thÊy
,
nhËn
3 2 x
+− x
0
0
víi mäi
víi mäi x ∈ (cid:5). Bëi vËy
)( >xf
Ta còng cã thÓ sö dông cÊu tróc nhãm U dÓ gi¶i quyÕt bµi to¸n sau ®©y
1
c¸c gi¸ trÞ d−¬ng víi mäi x ∈ (cid:5) vµ x ∈ (cid:5). Do ®ã ph−¬ng tr×nh ®· cho kh«ng cã nghiÖm thùc. trong [3]. Bµi to¸n 4. Trong vµnh (cid:6)[x], ®a thøc
chia hÕt cho ®a thøc
)( xf
= nx
−
1
khi vµ chØ khi m lµ −íc cña n.
)( xg
= mx
−
m UU ,
n
(
)(
. NÕu
lµ c¸c nhãm nªn ta
U ⊂
xgxf Μ trong (cid:6)[x] th×
n
suy ra
Thùc vËy, ký hiÖu )( )( ), xgxf mU lµ nhãm con cña
thø tù lµ c¸c tËp nghiÖm cña c¸c ®a thøc m UU , m U . V× n U lµ n nªn theo ®Þnh mU lµ m, cÊp cña
nU . Do cÊp cña
n
)(
)(
th× hiÓn nhiªn
th×:
lý Lagrange m lµ −íc cña n. Nguîc l¹i, gi¶ sö m lµ −íc cña n, ta ®Æt n = tm, t ∈(cid:2)*. NÕu
1=t
m
m
n
mt
1 −
1>t xgxf Μ trong (cid:6)[x]. NÕu 2 tm − )
(1
)[(1
tm )
(
]1
.
x
x
x
x
x
+
−
=−
... ++
+
x = )(
1 =− )(
)( xf Bëi vËy
xgxf Μ trong (cid:6)[x]. Do ®ã, ®a thøc f(x) chia hÕt cho g(x) trong (cid:6)[x]
Sö dông c¸c tÝnh chÊt cña tËp nghiÖm ®a thøc
, chóng ta cã thÓ ph¸t
1−nx
khi vµ chØ khi m lµ −íc cña n. biÓu c¸c bµi to¸n sau. Bµi to¸n 5. Gi¶ sö n lµ sè nguyªn d−¬ng lín h¬n 1. Chøng minh c¸c hÖ thøc:
n
n
1 −
1 −
2
2
1
;0
sin
0
osc
+
=
=
∑
∑
k π n
k
1 =
1 =
Theo
lµ nhãm
1−nx
k π n k tËp nghiÖm cña ®a 2
2
3
2
−
,
,
,...,
cos
sin
1
,
U
i
k
=
=
+
=
,0 − n
n αααα
k α
. Do α lµ
2 ;1 2 cos 1 x x x x − + − + 4 π 5 2 π cos 5 2 4 ≥x
{ ,1
tÝnh chÊt 2 }1 , trong ®ã
0
nghiÖm kh¸c 1 cña ®a thøc
. Bëi vËy
+
=
n
1 −
sin
0
cos
1(
.
i
=
+
+
k π n 2 αα 1 n − ∑
1−nx ∑
thøc k π n 1 −nα ..... + 2 k π n
1 ++ nªn 2 k π ) n
k
k
1 =
1 =
Tõ ®ã suy ra
n
n
1 −
1 −
2
2
1
;0
sin
0
.
osc
+
=
=
∑
∑
k π n
k π n
k
k
1 =
1 =
Bµi to¸n 6. Cho p lµ mét sè nguyªn tè, m lµ sè nguyªn kh«ng chia hÕt cho p. Chøng minh c¸c hÖ thøc:
p
p
1 −
1 −
2
2
π
π
,
1
;0
,
0
sin
.
a
sco
b
+
=
∑
∑
k
1 =
1 =
3
2
−
km p ,...,
k ,
,
U
=
p αααα
1−px
{ ,1
cos
sin
= }1 . U lµ nhãm xiclic . V× p lµ sè nguyªn tè nªn theo tÝnh chÊt 4,
i
=
+
cÊp p sinh bëi α, víi
km p TËp nghiÖm cña ®a thøc 2 π p
lµ 2 π p
7
α
PHAN ANH Sö DôNG MéT Sè KIÕN THøC ... ë TR¦êNG PHæ TH¤NG, Tr. 5-10
. Bëi
1≠mα
( pm
m
m
−
, trong ®ã
U
=
mα vµ
, 2
U sinh bëi phÇn tö bÊt kú kh¸c ®¬n vÞ. Do m kh«ng chia hÕt cho p nªn m , vËy, U sinh bëi π
km
cos
sin
,0
1
.
i
})1 π , k
p
{ ,1 =
+
=
−
3 2 ααα km p
,..., α 2 km p
p
p
1 −
1 −
2
2
π
)1
m
m
( −pm
1(
cos
π )
sin
0
1
.....
0
V×
, nªn
.
i
+
+
=
+
+
+
=
2 αα +
α
∑
∑
km p
km p
k
k
1 =
1 =
p
p
1 −
1 −
2
2
π
π
1
0
;0
sin
Do ®ã
.
sco
+
=
=
∑
∑
km p
k
k
1 =
1 =
1 −
1 −
d 1
d 1
2
2
;0
0
1
,
,
.
sco
b
a
=
=
+
km p Trong [ ]2 , t¸c gi¶ ®· cho chóng ta bµi tËp sau ®©y: “Cho X lµ nhãm xiclic cÊp n, sinh bëi phÇn tö a; b = ak. Chøng minh r»ng cÊp cña phÇn tö b b»ng n /d; trong ®ã d = (k,n)”. Sö dông kÕt qu¶ nµy, chóng ta cã thÓ thu ®−îc bµi to¸n phæ th«ng sau ®©y. Bµi to¸n 7. Cho k vµ n lµ hai sè nguyªn d−¬ng, (k,n) = d, k kh«ng chia hÕt cho n. Chøng minh r»ng: ∑
d =1
n d
kt π n
t
1 =
kt π n 2
3
−
,...,
,
,
Ta cã tËp nghiÖm cña ®a thøc
lµ
U
1 t = =
n αααα
1−nx
∑ sin { ,1
, trong ®ã }1 lµ nhãm xiclic cÊp n,
cos
sin
sinh bëi
. Do (k,n) = d nªn theo kÕt qu¶ ®· chØ ra ë trªn, ta cã
i
=
+
α
2 π n
2 π n
cÊp cña
kα lµ
1
)1 −
k
d 1
,...,
,
cos
sin
;
,0
1
, trong ®ã
A
i
t
d
=<
>=
=
+
=
k α
( 2 k ααα
tk α
d . Bëi vËy { ,1
α
}k
1 −
2 tk π n
2 tk π n
1
. V× k kh«ng chia hÕt cho n nªn
. Do ®ã
1≠kα
)1 − k
k
k
d 1
.....
+
+
+
2 αα +
( α
2
2
sin
;0
1
0
.
sco
=
=
+
1 −dx lµ tËp nghiÖm cña ®a thøc 0 1 = . T−¬ng tù nh− trªn ta cã ®−îc 1 1 d d − − 1 1 ∑ ∑
kt π n
kt π n
t
t
1 =
1 = VËn dông tÝnh chÊt ®ång cÊu nhãm, chóng ta cã thÓ gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh häc
.....
lµ ®a gi¸c ®Òu t©m O. Chøng minh r»ng
sau ®©y. Bµi to¸n 8. Cho
AA 1 2
A n
O
+
... ++
=
OA 1
OA 2
OA n
.....
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ thiÕt ®a gi¸c
néi tiÕp
trong ®−êng trßn ®¬n vÞ, cã tia
thø tù
OA trïng víi tia Ox. C¸c ®iÓm
1
AA 2 1 , ,....., AA 1 2
A n A n
lµ ®¼ng cÊu nhãm. C¸c vÐc t¬
thµnh vÐc t¬
sè phøc
ib
n»m trªn ®−êng trßn ®¬n vÞ ng−îc chiÒu víi chiÒu quay kim ®ång hå. Ta biÕt r»ng ¸nh x¹ f tõ nhãm céng c¸c sè phøc ®Õn nhãm céng c¸c vÐc t¬ buéc t¹i gèc to¹ ®é, biÕn ),( bav
a +=α
8
tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 2A-2008
1
,1
2 ,.....,
,
,...,
lÇn l−ît lµ ¶nh cña c¸c sè phøc
trong nhãm U . Do
, αα
−nα
OA 2
OA n
OA 1 ®ã
1 −
1 −
1(
.....
)
)1(
)
)
f
f
f
f
f
++
+
+
=
+
+
... ++
2 αα
n α
) ( α
2 ( α
n ( α
.
+
... ++
OA 1
OA 2
OA n
1
1
MÆt kh¸c:
++
2 αα
..... 1(
0 vµ f lµ ®ång cÊu nhãm nªn .....
1 − )
.
+ f
O
n α
= −nα + = 2 ++ αα
+
=
+
Tõ ®ã suy ra
.
O
... ++
+
=
OA 1
OA n
OA 2 Bµi to¸n 9. Chøng minh tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu khi vµ chØ khi träng t©m vµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ®ã trïng nhau.
HiÓn nhiªn nÕu tam gi¸c ABC ®Òu th× t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp vµ träng t©m cña nã trïng nhau. Ta chØ cÇn chøng minh nÕu träng t©m vµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC trïng nhau th× tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ thiÕt r»ng tam gi¸c ABC néi tiÕp trong ®−êng trßn ®¬n vÞ trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é; tia OA trïng víi Ox. C¸c ®iÓm A, B, C thø tù n»m trªn ®−êng trßn ng−îc chiÒu víi chiÒu quay cña kim ®ång hå. Qua ®¼ng cÊu f (®· chØ ra trong bµi ,
to¸n 8), ta cã
. Gi¶ sö
, ta cã
OC
OB
f
f
OA
f
=
=
) ( β
) ( α
=)1(
)1(
.
f
f
f
OA
OB
OC
) ( β
+
+
=
+
+
1(
.
f
OA
OB
OC
( ) α V× f lµ ®ång cÊu nhãm nªn ) βα
++
=
+
+
MÆt kh¸c
(do O lµ träng t©m tam gi¸c ABC)
OA
OB
OC
O
+
+
=
nªn
1(
) βα
++
0
O f = 1 Tõ f lµ ®¬n cÊu nhãm suy ra:
, do ®ã
. VËy
β
1( α )
=
+−=
. ++ βα 1
.
α
= βα
1 +=
=
cos
sin
;
0
. Tõ
suy ra
. Bëi vËy
§Æt
i
α
ϕ
2 ϕπϕ
=
+
>>
ϕ=
α
α += 1
2π 3
cos
sin
.
α
=
i+
2 π 3
2 π 3
chÝnh lµ nhãm
§Ó chøng minh tam gi¸c ABC ®Òu, ta cÇn chøng minh { }βα, ,1
. Thùc vËy,
U cña ®a thøc
13 −x
cos
sin
;
i
i
β
) α
1( +−=
1( +−=
+
2 π 3
2 π ) 3
1 −−= 2
3 2
2
(cos
sin
.
i
i
2 α
=
+
2 π 3
2 π ) 3
1 −−= 2
3 2
9
PHAN ANH Sö DôNG MéT Sè KIÕN THøC ... ë TR¦êNG PHæ TH¤NG, Tr. 5-10
Do ®ã
,
cos
sin
α
=
i+
{ ,1
}2 , αα , víi
2 π 3
2 π 3
. Tõ ®ã suy ra ®iÒu cÇn chøng minh.
} { ,1 βα = 13 −x
lµ tËp nghiÖm cña ®a thøc Nh− vËy, chóng t«i ®· dïng mét sè kiÕn thøc c¬ së cña lý thuyÕt nhãm khai th¸c, "phiªn dÞch", "chÕ biÕn" c¸c bµi to¸n s¬ cÊp. Th«ng qua c¸c bµi to¸n ë trªn, b−íc ®Çu ®· b¾c ®−îc mét chiÕc cÇu nèi gi÷a to¸n häc cao cÊp vµ to¸n häc phæ th«ng. Chóng t«i thiÕt nghÜ r»ng: kÕt hîp ®−îc mét c¸ch nhuÇn nhuyÔn gi÷a to¸n häc cao cÊp vµ to¸n häc phæ th«ng lµ mét viÖc lµm rÊt cÇn thiÕt trong qu¸ tr×nh ®µo t¹o sinh viªn s− ph¹m To¸n. Thùc hiÖn tèt ®−îc vÊn ®Ò nµy lµ chóng ta ®· g¾n ®µo t¹o víi thùc tiÔn, gióp sinh viªn thÝch øng víi nghÒ nghiÖp trong t−¬ng lai.
Tµi liÖu tham kh¶o
[1] NguyÔn B¸ Kim,Vò D−¬ng Thuþ, Ph−¬ng ph¸p d¹y häc m«n to¸n, NXB Gi¸o dôc,
Hµ Néi, 2000.
[2] Hoµng Xu©n SÝnh, TrÇn Ph−¬ng Dung, §¹i sè ®¹i c−¬ng, NXB §¹i häc s− ph¹m,
Hµ Néi, 2004, tr. 28.
[3] §ç §øc Th¸i, Nh÷ng bµi to¸n chän läc cho tr−êng chuyªn líp chän, NXB Gi¸o
dôc, Hµ Néi, 1996.
[4] §Æng Quang ViÖt, Dïng kiÕn thøc, c¸ch nh×n cña §¹i sè ®¹i c−¬ng vÒ s¸ng t¹o ®Ò to¸n hoÆc chÕ biÕn lêi gi¶i phï hîp tr×nh ®é häc sinh phæ th«ng, T¹p chÝ Gi¸o dôc, Sè 155, kú1-2/2007, tr. 31.
SUMMARY USING SOME BASIC KNOWLEDGE OF THE GROUP THEORY IN THE INVESTIGATION OF SOLUTION PROPERTIES OF THE POLYNOMIAL xn -1 AND APPLYING TO THE EXPLORATION OF MATHS PROBLEMS IN SECONDARY SCHOOLS
In this article, we explore mathematics problems in secondary schools through studying a set of solutions of the polynomial xn -1 on the basis of the group theory perspective. Then, we initially applied advanced mathematics to the investigations of secondary mathematics in order to improve the training quality for students majoring in pedagogical mathematics. (a) Khoa S− ph¹m Tù nhiªn, Tr−êng §¹i häc Hµ TÜnh.
10
