tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008
VÒ tÝnh ΨΨΨΨ-æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian banach
Ph¹m Ngäc Béi (a), Hoµng V¨n Thµnh (a)
Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i x©y dùng c¸c kh¸i niÖm Ψ-æn ®Þnh ®Òu, Ψ- æn ®Þnh mò cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt trong kh«ng gian Banach vµ chøng minh mét sè ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph−¬ng tr×nh nµy Ψ-æn ®Þnh ®Òu, Ψ-æn ®Þnh mò. Bµi b¸o còng chØ ra mèi quan hÖ gi÷a ®iÒu kiÖn Perron cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt víi tÝnh Ψ-æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt t−¬ng øng.
I. Giíi thiÖu
nxnA )()(
)1 =+
(1) Gi¶ sö B lµ kh«ng gian Banach víi chuÈn . , vµ {A(n), n ≥ 0} lµ mét d·y to¸n tö tuyÕn tÝnh cña kh«ng gian Banach B. Khi ®ã ta cã ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt trong B nx (
C¸c kÕt qu¶ cæ ®iÓn vÒ sù æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh (1) trong (cid:1)n ®−îc tr×nh bµy mét c¸ch hÖ thèng trong nhiÒu tµi liÖu (ch¼ng h¹n trong [10]). §Ó t×m c¸c kÕt qu¶ tæng qu¸t h¬n, cã hai quan ®iÓm nghiªn cøu: mét lµ xÐt ph−¬ng tr×nh (1) trong c¸c kh«ng gian tæng qu¸t h¬n (cid:1)n; hai lµ ®−a ra c¸c kh¸i niÖm æn ®Þnh tæng qu¸t h¬n kh¸i niÖm æn ®Þnh cæ ®iÓn, nh»m më réng c¸c kÕt qu¶ ®· cã vÒ tÝnh æn ®Þnh ®èi víi ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh.
§èi víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n, Akinnyele ([1]) ®· ®−a ra kh¸i niÖm Ψ-æn ®Þnh, Ψ-bÞ chÆn. Cã nhiÒu t¸c gi¶ quan t©m ®Õn h−íng nghiªn cøu nµy nh− Avamescu, Constantin... (xem [2], [4] - [8]). §èi víi ph−¬ng tr×nh sai ph©n, gÇn ®©y Y. Han vµ J. Hong ([9]) ®· chØ ra mét sè tiªu chuÈn vÒ sù tån t¹i nghiÖm Ψ-bÞ chÆn cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh trong (cid:1)n: x(n+1) = A(n) x(n)+f(n), (2)
trong ®ã {f(n), n ≥ 0} lµ d·y nhËn gi¸ trÞ trong (cid:1)n.
C¸c t¸c gi¶ cña [1], [2], [4] - [9] chØ xÐt bµi to¸n trong (cid:1)n vµ Ψ(t), t ∈(cid:1) (hoÆc Ψ(n), n ∈(cid:2) = {0,1,2...} ) lµ ma trËn ®−êng chÐo, mçi phÇn tö trªn ®−êng chÐo lÊy gi¸ trÞ trong (0, +∞).
NhËn bµi ngµy 14/7/2008. Söa ch÷a xong 22/8/2008.
Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i x©y dùng kh¸i niÖm Ψ-æn ®Þnh ®Òu, Ψ-æn ®Þnh mò cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt trong kh«ng gian Banach vµ chØ ra mét sè tiªu chuÈn ®Ó chóng Ψ-æn ®Þnh ®Òu, Ψ-æn ®Þnh mò víi {Ψ(n), n ≥ 0} lµ d·y to¸n tö tuyÕn tÝnh cña B kh¶ nghÞch víi mäi n ∈(cid:2). Chóng t«i sö dông to¸n tö dÞch chuyÓn lµm c«ng cô nghiªn cøu ®iÒu kiÖn Perron cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh.
5
P.N. Béi, H. V. Thµnh VÒ sù Ψ-æn ®Þnh cña ... kh«ng gian banach, Tr. 5-12
nxnΨ ()
nxnΨ )()(
)
0
0
< δ th×
mn−
Kq
1.1. §Þnh nghÜa ([10]). a) Ph−¬ng tr×nh (1) ®−îc gäi lµ Ψ-æn ®Þnh ®Òu trªn (cid:2) nÕu víi mçi ε > 0 tån t¹i δ = δ (ε) > 0 sao cho mçi mét nghiÖm bÊt kú {x(n)} cña ph−¬ng tr×nh (1) trªn [n0, ( ∞), víi n0 tuú ý thuéc (cid:2) nÕu tho¶ m·n < ε víi mäi n ≥ n0.
mxmΨ ()
)
(
≤
b) Ph−¬ng tr×nh (1) ®−îc gäi lµ Ψ-æn ®Þnh mò trªn (cid:2) nÕu tån t¹i c¸c sè d−¬ng K vµ q, q < 1 sao cho nÕu {x(n), n∈(cid:2)} lµ nghiÖm bÊt kú cña ph−¬ng tr×nh (1) th× nxnΨ )()( víi mäi n, m thuéc (cid:2), n ≥ m ≥ 0.
II. c¸c kÕt qu¶
1
−
1.2. Chó ý. DÔ thÊy ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh mò trªn (cid:2) th× còng Ψ-æn ®Þnh ®Òu trªn (cid:2). Trong tr−êng hîp, c¸c d·y {Ψ(n), n ≥ 0} vµ {Ψ -1(n), n ≥ 0} bÞ chÆn (nãi riªng khi {Ψ(n), n ≥ 0} lµ d·y to¸n tö ®ång nhÊt) th× kh¸i niÖm Ψ- æn ®Þnh ®Òu (t−¬ng øng Ψ-æn ®Þnh mò) cña ph−¬ng tr×nh (1) ®ång nhÊt víi kh¸i niÖm æn ®Þnh ®Òu (t−¬ng øng æn ®Þnh mò) cña ph−¬ng tr×nh (1).
nAnΨ ( )(
)1
nnΨ (
),
,2,1
...
−
=
1
−
Trong bµi b¸o nµy ta gi¶ thiÕt r»ng lµ d·y to¸n
C
n
nAnΨ ( )(
nΨ (
)1
,2,1
...
−
−
≤
, =∞<
2
A n (
1 )
A n (
)...
A m ) (
,
−
−
. (3) tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn ®Òu )1
( ,
=
I
,
n m > n m =
, Ký hiÖu X n m )
trong ®ã I lµ to¸n tö ®ång nhÊt. X(n, m) ®−îc gäi lµ to¸n tö gi¶i cña ph−¬ng tr×nh (1)
K
mΨmnXnΨ ,(
)(
)
)
∞<
≤
sup 0mn ≥≥
. (4) 2.1. §Þnh lý. Ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh ®Òu nÕu vµ chØ nÕu 1 − (
Chøng minh. DÔ thÊy nghiÖm x = {x(n), n ∈(cid:2)} cña ph−¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n: x(n) = X(n,m)x(m) víi mäi n ≥ m≥ 0 . Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh ®Òu, khi ®ã tån t¹i δ > 0 sao cho víi x(n) lµ
(
δ<)
(5) nghiÖm bÊt kú cña (1) nÕu mxmΨ ()
1
th×
− , n ≥ m ≥ 0. (6) ,( ( ) = 1 mΨmnXnΨmnΦ
)(
)
bÞ chÆn ®Òu. Víi chøng minh hä to¸n ,( )
,
0≥≥ mn ,(
}0 6 tö
ta
, gi¶ sö u ≠ 0, u ∈ B, ta xÐt d·y {x(n), n §Æt
{
≥≥ mnmnΦ
,) tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008 (1 um
) Ψ − δ
u
2 =m, m+1,...} sao cho x(m) = (Ψ(m) kh¶ nghÞch víi mäi m thuéc (cid:2)). Khi ) ( =mxmΨ
() δ
2 1
− mxmΨmΨmnXnΨ )( () ,( ( ) ( ) 1)
< ®ã nªn (5) tho¶ m·n. VËy ta cã (6), nghÜa lµ u 2 , n ≥ m ≥ 0. umnΦ
,(
) ≤ δ ,( ≥≥ mnmnΦ
,) Suy ra . (7) bÞ chÆn ®Òu. Khi u = 0 hiÓn nhiªn bÊt ®¼ng thøc thøc (7). VËy ®¼ng thøc thøc (7) ®óng víi
bÞ chÆn t¹i mçi mét u ∈B. Theo
≥≥ mnmnΦ
,) mäi u ∈B, suy ra hä to¸n tö {
nguyªn lý bÞ chÆn ®Òu, ta suy ra hä to¸n tö { VËy (4) ®−îc chøng minh. ε
K . Khi ®ã víi Ng−îc l¹i gi¶ sö cã (4). NÕu ε lµ sè d−¬ng bÊt kú, ta chän δ = x(m) mΨ )
( 1− nghiÖm x(n) tuú ý cña (1) nÕu < th× Ψ(n)X(n, m)x(m)) Ψ(n)X(n, m)Ψ (m) Ψ(m)x(m)) Ψ(n)x(n) = ε
K
≤ < ε, ngn
)()( Ψ víi mäi n ≥ m. sup
n VËy ph−¬ng tr×nh (1) æn ®Þnh ®Òu. (cid:1)
XÐt tËp hîp C gåm tÊt c¶ c¸c d·y g: (cid:2) → B sao cho
< ∞. DÔ ngnΨ
)()( . Ψ sup
n lµ mét chuÈn trªn C, víi chuÈn nµy C lµ mét kh«ng thÊy r»ng = = Sv n ( )( ) = nv nÕu
0
n
1 nÕu
n ()1 )1 ≥ −
0
nA
(
−
ta gäi S lµ to¸n tö dÞch chuyÓn cña CΨ . Chó ý r»ng ®iÒu kiÖn (3) ®¶m b¶o cho Sv ∈
CΨ vµ S ∈ L[CΨ] (kh«ng gian c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn cña CΨ). Ta ký hiÖu
chuÈn cña S lµ S .
Ψ gian Banach CΨ. LËp ¸nh x¹ S: CΨ → CΨ, S k M ∞< . 2.2. §Þnh lý. Ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh ®Òu nÕu vµ chØ nÕu
≤Ψ Ψ(n)X(n, m)Ψ 1
−
(m) ) sup
k 0
≥
mnΦ
,( = Chøng minh. §Æt , tr−íc hÕt ta chøng minh ®¼ng k thøc S knnΦ ,( ) = − . (9) kn Ψ
nvS k
)( ) sup
n
0
≥
knvknnX
,( () ( ); 0 = − − ≥≥ nªn DÔ thÊy 7 P.N. Béi, H. V. Thµnh VÒ sù Ψ-æn ®Þnh cña ... kh«ng gian banach, Tr. 5-12 knnΦ knvknΨ k
vS nΦ(n, k) (n k)v(n k) ,( ) () ( ) ≤ − − − = − − − Ψ Ψ sup
n sup
n sup
n v.k) nΦ(n, − Ψ k . knnΦ S ,( ) ≤ − Ψ nxn
,)( . (10) = k) (n k)v (n k) ,( ) ≤ sup
n
sup
VËy
n
0
≥
Víi x ∈B, ký hiÖu vx lµ d·y {
1
= −
nv x Ψ
)(
knnΦ
xknnΦ
,(
)
−
−
Khi ®ã = − − − Ψ x sup
x
1
= sup
x
1
= k k
vS k
vS nvSnΨ
)( )( )( ,( ( ) ) = knvknnXnΨ
− − ≤ ≤ kS x x x x Ψ Ψ Ψ sup
x
1
= sup
v
1
= sup
x
1
= sup
x =
1 x Ψ = = . 1
k KÕt hîp bÊt ®¼ng thøc trªn víi (10) ta cã (9).
Tõ (9) vµ §Þnh lý 2.1 suy ra ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh ®Òu. knnΦ s
)( ,( ) = − r
σ lim
sup
k
≥∞→
kn . 2.3. HÖ qu¶. B¸n kÝnh phæ cña S lµ k 1
k §iÒu nµy suy ra tõ c«ng thøc (9) vµ c«ng thøc b¸n kÝnh phæ S = Sr
)(
σ Ψ lim
k
∞→
2.4. §Þnh lý. Ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh mò khi vµ chØ khi b¸n kÝnh phæ cña . 1)( S tho¶ m·n . N xmnXn
)(
,( ) ( 0
∃> = ≤ Ψ qN
q q (11) Chøng minh. Tr−íc hÕt ta chøng minh ®¼ng thøc
mn
−
Sr
)(
,0
Ψ>
σ 0 inf
mn
≥≥
B
x
∈ R Sr
≤)(σ §Æt vÕ ph¶i cña (11) lµ R. Tr−íc hÕt ta chøng minh . (12) k k §Ó chøng minh (12) ta chøng minh q ≥ nÕu q ≥ R. Ψ(n)(S v)(n) Ψ(n k)v(n ≤ − )(Srσ
k)
− qN
q k k k 1
k Ta cã , n ≥ k ≥ 0, v ∈ CΨ. k
vS k
vqN S S q ≤ ≤ = ≤ q qN
q Sr
)(
σ Ψ Ψ Ψ Ψ lim
k
∞→ VËy cho nªn . Suy ra . R ≥ Sr
)(
σ VËy (12) ®−îc chøng minh. Ta cßn ph¶i chøng minh . (13) )(Srσ ≥ . ThËt vËy tõ q §Ó chøng minh (13) ta chøng minh p ≥ R nÕu p ≥ )(Srσ k 0 1
k 0 nªn víi k0 ®ñ lín ta cã S p ≤ Ψ . (14) 8 Gi¶ sö u lµ mét phÇn tö cña B. Ký hiÖu ux lµ d·y tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008 nÕu 1 n ≠ = nu x
)( nÕu 1 n =
0
x
0 . x nuknnXnΨ
)( )( ,( ) kΨ
( )1 kX
( )1 = − = + + x x 0 0 0 Ψ sup
n
0
≥ k k 0 0 0 . (15) DÔ thÊy
k
uS k
uS p u xΨp
)1( ≤ = x x Ψ Ψ k 0 x Theo (14) ta cã . KÕt hîp bÊt ®¼ng thøc nµy kΨ
( kX
( )1,1 xΨp
)1( + + ≤ 0 0 víi (15), suy ra
)1 . BÊt ®¼ng thøc nµy chøng tá p ≥ R. VËy (13) ®−îc chøng minh. Tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc (12), (13) ta cã (11). mn− Ψ(n)x(n) Kq Ψ(m)x(m) B©y giê ta chøng minh §Þnh lý 2.4.
Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh mò. Khi ®ã tån t¹i c¸c sè K vµ q : K > 0, 0 < q< 1 sao cho nÕu {x(n), n∈N} lµ nghiÖm bÊt kú cña ph−¬ng tr×nh (1) th× ≤ n víi mäi n ≥ m ≥ 0. (16) Ψ(n)X(n, Ψ( Kq )v )v 0 0 ≤ 1)( Víi phÇn tö v bÊt kú cña B, ký hiÖu x(n) lµ nghiÖm cña (1) sao cho x(0) = v. Tõ
. Tõ (11) ta suy ra . (16) ta cã 1)( mn
− Ng−îc l¹i, nÕu th× tõ (11) ta suy ra tån t¹i c¸c sè 0 < q< 1, Nq sao Ψ(n)X(n, m)v Ψ(m)v ≤ qN
q cho víi mäi m,n thuéc (cid:2), n ≥ m ≥ 0, mäi v ∈B. Gi¶ sö x(n) lµ nghiÖm tuú ý cña (1), thay v trong bÊt ®¼ng thøc trªn bëi x(m), ta thu ®−îc
(16). VËy ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh mò. nx
( )1 nxnA
)()( nf
)( = + x +
)0( 0 =
Sau ®©y ta chøng minh mèi quan hÖ gi÷a tÝnh Ψ-æn ®Þnh mò cña ph−¬ng
tr×nh (1) víi ®iÒu kiÖn Perron cña ph−¬ng tr×nh (2), trong ®ã {f(n), n ≥ 0} lµ d·y nhËn
gi¸ trÞ trong B. 2.5. §Þnh nghÜa. NÕu víi mçi mét f thuéc C bµi to¸n Cauchy cã nghiÖm x(n) thuéc C, ta nãi r»ng ph−¬ng tr×nh (2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Perron. Sau ®©y lµ kÕt qu¶ vÒ mèi liªn hÖ gi÷a tÝnh Ψ-æn ®Þnh mò vµ ®iÒu kiÖn Perron. 2.6. §Þnh lý. Ph−¬ng tr×nh (2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Perron khi vµ chØ khi Ψ lµ tËp hîp con cña C gåm tÊt c¶ c¸c d·y {x(n),
. nãi trªn lµ mét kh«ng gian ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh mò.
~
Chøng minh. Ký hiÖu C
~
n ≥ 0|x(0) = 0}. DÔ thÊy r»ng tËp hîp C ~
lµ h¹n chÕ cña S trªn C ~
Banach, ta ký hiÖu kh«ng gian nµy lµ ΨC . víi chuÈn
~
. Ký hiÖu S
Tr−íc hÕt ta chøng minh hai bæ ®Ò sau (t−¬ng tù c¸ch chøng minh §Þnh lý 1 vµ §Þnh lý 5 trong [3]). 9 P.N. Béi, H. V. Thµnh VÒ sù Ψ-æn ®Þnh cña ... kh«ng gian banach, Tr. 5-12 ~
(S th× ®−êng trßn z = λ n»m trong
2.7. Bæ ®Ò. NÕu λ thuéc gi¶i thøc ρ ) ~
(S .
ρ ) ~
ý nghÜa h×nh häc cña Bæ ®Ò nµy lµ: gi¶i thøc cña S lµ mét h×nh trßn xoay t©m lµ gèc to¹ ®é. Chøng minh. §Ó chøng minh Bæ ®Ò 2.7 ta chØ cÇn chøng minh r»ng phæ ) σ ~
(S bÊt biÕn víi mäi phÐp quay quanh gèc to¹ ®é:
~
(S = eiασ ) ) ~
(S , (17) σ víi mäi α ∈(cid:1). ~
→ C ~
, trong ®ã p∈(cid:2), q∈(cid:7). XÐt to¸n tö: αT : C α
π2 x¸c ®Þnh nh− sau: = Tr−íc hÕt ta chøng minh cho α ∈2π(cid:6), ((cid:6) lµ tËp hîp c¸c sè h÷u tû). Tøc lµ
p
q α−T v)(n) = eiαnA(n-1)( α−T v)(n-1) ( αT v)(n) = eiαnv(n).
~
α−T v)(n) = eiαn( S ~
Ta cã ( αT S
~
= eiαnA(n-1)e-iα(n-1)v(n-1) = eiαA(n-1)v(n-1) = eiα( S v)(n), víi mäi n thuéc (cid:7). Suy ra ). V× 1)
− ~
(S ) ~
αT S
~
(Sσ
) αT lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc vµ
~
Seiασ
(
) ei σα αT
( ~
α−T = eiα( S
~
TST
(
)
ασ
= α− = . = = α−T nªn ) ) ~
(Sσ ~
(Sσ i σα
e n = , víi mäi n ∈ (cid:7) . Do ~
(S ) ) ) n (cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8) nªn suy ra ⊂ NÕu α lµ sè thùc bÊt kú khi ®ã tån t¹i d·y {αn}⊂ 2π(cid:6) sao cho
~
(S
)
®ãng trong
~
(Sσ αn → α. Theo chøng minh trªn
ei σα . ThËt vËy gi¶ sö z0 lµ sè phøc tuú ý thuéc ) ) i σα
e n ~
(Sσ = . MÆt th× d·y
~
(Sσ {z(n) = ~
(Sσ
~
(S
)
~
(S ) ~
(S ) ) ) e i σα− ~
αie z0 trong ΨC
ei σα
hay ie α
kh¸c z = . VËy . ⊂ ⊂ nªn z ∈
~
(Sσ z0} ⊂
αie z0 ∈ ) ) ~
(Sσ
)
~
(Sσ . VËy (17) ®−îc chøng minh. Hoµn toµn t−¬ng tù ta cã ⊂ héi tô vÒ z =
~
(S
~
(S ) ~
(S th×
2.8. Bæ ®Ò. NÕu λ ∈ρ ) e i σα−
ei σα
~
(Srσ < |λ|. ~
ý nghÜa h×nh häc cña Bæ ®Ò nµy lµ: gi¶i thøc cña S ~
vµ phæ cña S n»m ë hai chiÕm phÇn “trong” vµ gi¶i thøc cña ~
phÇn ph©n biÖt cña mÆt ph¼ng (cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8). Phæ cña S
~
S chiÕm phÇn “ngoµi”. Chøng minh. Theo Bæ ®Ò 9, toµn bé ®−êng trßn z = λ kh«ng n»m trong phæ ~
S ~
(S . Ký hiÖu ) ~
SsR
,( ) ( 1)
− − sI P ds ~
SsR
,( ) −= = 1
∫
i
2
λπ z 10 = , víi I lµ to¸n tö ®ång nhÊt. TÝch ph©n σ tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008 ~
(P2=P). H¬n n÷a P giao ho¸n víi S ~
ΨC lµ mét phÐp chiÕu trong ~
(P S ~
= S P) vµ ) ∩ { z | |z| < |λ|} (18) ) ∩ { z | |z| > |λ|} ∞ ta Im( ) =1 n
− + n
V× σ(U) kh«ng chøa 0 nªn U kh¶ nghÞch. Tõ U U Un . = 1 ta thu ®−îc ImU ⊂
ImUn. MÆt kh¸c, hiÓn nhiªn ImUn ⊂ ImU v× vËy ImU = ImUn, víi mäi sè tù nhiªn n.
~
vµ (I-P)n = (I-P) víi mäi sè tù nhiªn n nªn
§Ó ý r»ng I-P giao ho¸n ®−îc víi S
Un = (I-P) (19) ~
~
P) = σ( S
σ(P S
~
~
(I-P)) = σ( S
σ((I-P) S
~
~
§Æt U = (I-P) S
(I-P), ta chøng minh U = 0. ThËt vËy tõ ®Þnh nghÜa cña S
~
nS = {0} suy ra Ι ~
nS ∞ (20) ta cã (I-P). ~
n
PISPI ) ( ) Im( − − n 1
= = {0} Tõ c«ng thøc (19) vµ (20) ta nhËn ®−îc ImU = Ι ~
Tøc lµ (I-P) S = U = 0 ®iÒu nµy kÐo theo (I-P) = 0, tøc lµ P = I. Do (18) nªn ~
σ( S ) ~
(Srσ ) ⊂ { z | |z| < |λ|}, nghÜa lµ < |λ| ~
lµ d·y thuéc C 0)0(
= nh− sau n nf
( ),1 1 = − ≥ . Bæ ®Ò ®−îc chøng minh.
Ta chøng minh §Þnh lý 2.6.
~
Víi mçi f ∈C, ký hiÖu f
~
f
~
nf
)( ~
f ~
tån t¹i x~ ∈ C ~~~
xS
x
− = . §iÒu ®ã t−¬ng ®−¬ng víi to¸n tö DÔ thÊy ph−¬ng tr×nh (2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Perron khi vµ chØ khi víi mçi
~
~
∈ C
f ) kh¶ nghÞch hay 1∈ρ sao cho
~
(S . Tõ Bæ ®Ò 10 ta suy ra ®iÒu kiÖn Perron tho¶ m·n cho mét
~
Id- S ) ~
(Srσ < 1. ph−¬ng tr×nh (2) khi vµ chØ khi ~
Víi lËp luËn cho S gièng hÖt nh− ®· lµ cho S trong §Þnh lý 2.4, ta cã ) ~
(Srσ < 1 khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh mò. ~
(S vµ
) VËy ph−¬ng tr×nh (2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Perron t−¬ng ®−¬ng víi 1∈ρ t−¬ng ®−¬ng víi ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh mò. Chó ý: §iÒu kiÖn Perron cæ ®iÓn ®−îc chøng minh bëi Ta Li (xem [10]) lµ tr−êng hîp riªng cña §Þnh lý 2.6 khi c¸c d·y {Ψ(n), n ≥ 0} vµ {Ψ -1(n), n ≥ 0} bÞ chÆn
(nãi riªng khi {Ψ(n), n ≥ 0} lµ d·y to¸n tö ®ång nhÊt). 11 P.N. Béi, H. V. Thµnh VÒ sù Ψ-æn ®Þnh cña ... kh«ng gian banach, Tr. 5-12 Tµi liÖu tham kh¶o [1] Akinyele O., On partial stability and boundedness of degree k, Atti. Acad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., Vol. 8, 65, 1978, pp. 259-264. [2] Avramescu C., Asupra comportarii asimptotice a solutiilor unor ecuatii
functionale, Analele Universitatii din Timisoara, Seria Stiinte Matematice, Vol.
VI, 1968, 41-55. [3] Aulbach B. and Nguyen Van Minh, The concept of spectral dichotomy for linear
difference equations II, Journal of Difference Equations and Applications, No. 2,
1996, pp. 251-162. [4] Constantin A., Asymptotic proporties of solution of differential equation, Analele
Universitatii din Timisoara, Seria Stiinte Matematice-Fizice, Vol. XXX, fasc.
Vol.2, No.3,1992, pp. 183-225. [5] Diamandescu A., On the ψ-stability of a nonlinear Volterra integro-differential
system, Electronic Journal of Differential Equation, Vol. 2005 (2005), No. 56, pp.
1-14. [6] Diamandescu A., Note on the ψ-boundedness of the solutions of a system of
differential equations, Acta Math. Univ. Comenianae, Vol. LXXIII, 2, 2004, pp.
223-233. [7] Pham Ngoc Boi, On the Ψ - dichotomy for homogeneous linear differential
equations, Electronic Journal of Differential Equation, Vol. 2006 (2006), No. 40,
pp. 1-12. [8] Pham Ngoc Boi, Existence of ψ-bounded solutions on (cid:1) for nonhomogeneous
linear differential equations, Electronic Journal of Differential Equation, Vol.
2007 (2007), No. 52, pp. 1-10. [9] Y. Han, J. Hong, Existence of ψ-bounded solutions for linear difference equations, Applied Mathematics Letters, No. 20, 2007, pp. 301 – 305. Summary on the Ψ-stability of LINEAR difference equations in Banach spaces [10] Xaлaнaй A., Beкслep.Д., Кaчecтвeнaя тeopия импунсныx cистeм, “Mир”, Москва, 1971. a) Khoa To¸n, tr−êng §¹i Häc Vinh
b) Cao häc 14 - Gi¶i tÝch, tr−êng §¹i Häc Vinh. 12 In this article we introduce concepts of ψ-uniformly stable, ψ-exponential
stable for homogeneouslinear difference equations in Banach spaces and prove some
necessary and sufficient conditions for ψ-uniformly stable, ψ-exponential stable of
these equations. The article show relation between the Perron condition of
nonhomogeneouslinear difference equations and the ψ-stable of the corresponding
homogeneouslinear difference equations.}0
,(
}0
}0
≥
.
nΦ(n,
{
q
}xm
)
.
