Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Phương pháp “Tâm vận tốc tức thời” trong cơ học"

§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 4A-2007

Ph−¬ng ph¸p “T©m vËn tèc tøc thêi” trong c¬ häc

§ç V¨n To¸n (a)

Tãm t¾t. Ph−¬ng ph¸p “T©m vËn tèc tøc thêi” lµ ph−¬ng ph¸p rÊt thuËn lîi khi gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ c¬ häc. Ph−¬ng ph¸p nµy gióp ng−êi häc cã c¸i nh×n tæng qu¸t h¬n vÒ chuyÓn ®éng cña vËt r¾n. Chóng ta ®· gÆp nhiÒu bµi to¸n thi Olympic VËt lý quèc gia víi lêi gi¶i kh«ng mÊy gän gµng, s¸ng sña, nh−ng ¸p dông ph−¬ng ph¸p “T©m vËn tèc tøc thêi" cho c¸c bµi to¸n ®ã ng−êi ®äc sÏ t×m ®−îc lêi gi¶i −u viÖt h¬n, s¸ng sña h¬n.

I. Më ®Çu

Nh− ta ®· biÕt chuyÓn ®éng bÊt k× cña vËt r¾n ®Òu cã thÓ coi lµ tæng hîp cña

hai chuyÓn ®éng: chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn vµ chuyÓn ®éng quay. Còng vËy, chuyÓn

®éng song ph¼ng lµ chuyÓn ®éng trong ®ã tÊt c¶ c¸c ®iÓm ®Òu dÞch chuyÓn song song

víi mét mÆt ph¼ng cè ®Þnh P nµo ®ã, lµ tr−êng hîp riªng cña chuyÓn ®éng vËt r¾n,

®−îc coi lµ tæng hîp chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn cïng víi cùc P vµ quay quanh cùc P.

NhËn xÐt nµy gióp chóng ta ph©n tÝch mét chuyÓn ®éng phøc t¹p thµnh hai chuyÓn

®éng c¬ b¶n: tÞnh tiªn vµ quay. Trong tr−êng hîp ng−îc l¹i - nÕu t¹i thêi ®iÓm xÐt ta

uuuur

.

t×m ®−îc ®iÓm K cña vËt cã vËn tèc b»ng 0 - gäi lµ t©m vËn tèc tøc thêi, th× chuyÓn

®éng cña vËt chØ lµ chuyÓn ®éng quay quanh t©m vËn tèc tøc thêi K víi vËn tèc gãc r ω

r r rω= ×= ×= ×= ×

r . §iÓm M bÊt k× thuéc vËt cã KM r====

r sÏ cã vËn tèc v Tr−íc hÕt ta cÇn chØ ra ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh t©m vËn tèc tøc thêi K trong

c¸c tr−êng hîp kh¸c nhau.

- Tr−êng hîp 1: NÕu chuyÓn ®éng cña vËt l¨n kh«ng tr−ît th× ®iÓm tiÕp xóc

cña vËt víi ®−êng l¨n chÝnh lµ t©m vËn tèc tøc thêi K (h×nh a).

- Tr−êng hîp 2: NÕu biÕt ph−¬ng vËn tèc cña hai ®iÓm A vµ B thuéc vËt th×

r r v , v

B

chÝnh lµ K (h×nh b). giao cña hai ®−êng vu«ng gãc víi A

r r v , v

- Tr−êng hîp 3: NÕu hai ®−êng vu«ng gãc trïng nhau th× ta ph¶i kÎ thªm

B

(h×nh c1 vµ c2). ®−êng nèi hai mót cña hai vÐc t¬ A

- Tr−êng hîp 4: NÕu hai ®−êng vu«ng gãc lµ hai ®−êng song song th× K ë v«

65

cùc, khi nµy chuyÓn ®éng lµ tÞnh tiÕn tøc thêi (h×nh d). NhËn bµi ngµy 22/08/2007. Söa ch÷a xong ngµy 14/11/2007.

§ç V¨n To¸n Ph−¬ng ph¸p “T©m vËn tèc tøc thêi” trong c¬ häc, tr. 65-70

r Av

A

B

r Av

A

r Bv

B

r Bv

K

K

r Av

r Av

A

A

r Bv

B

K

r Bv

H×nh a H×nh b H×nh c1

B H×nh d H×nh c2

§Ó cã thÓ hiÓu râ h¬n vÒ viÖc ¸p dông ph−¬ng ph¸p "T©m vËn tèc tøc thêi"

II. C¸c ThÝ dô vÒ gi¶i c¸c bµi to¸n b»ng ph−¬ng ph¸p t©m

vËn tèc tøc thêi

A

C

K

B

còng nh− nh÷ng −u ®iÓm cña nã, chóng ta xÐt mét sè bµi to¸n thÝ dô sau.

ϕ0

Bµi to¸n 1. Thanh AB ®ång chÊt dµi 2l, khèi l−îng m, ®Çu B cã thÓ tr−ît kh«ng ma s¸t trªn mÆt ph¼ng ngang. Ban ®Çu thanh nghiªng víi mÆt ph¼ng ngang mét gãc ϕ0. Th¶ cho thanh chuyÓn ®éng. T×m vËn tèc vC cña khèi t©m C khi gãc nghiªng cña thanh hîp víi mÆt ph¼ng ngang lµ ϕ (h×nh 1).

A

H×nh 1 Gi¶i. V× mÆt ph¼ng ngang kh«ng ma s¸t nªn

K

C

ph¶n lùc t¹i B cã ph−¬ng th¼ng ®øng, h−íng lªn. Träng lùc ®Æt t¹i khèi t©m C h−íng th¼ng ®øng xuèng d−íi do

r Cv

vËy khèi t©m C kh«ng dÞch chuyÓn theo ph−¬ng ngang,

B

r r v , v C

B

ϕ (h×nh 2). KÎ c¸c ®−êng vu«ng gãc víi

B

r Bv

66

t¹i C vµ B ta t×m ®−îc t©m vËn tèc tøc thêi K. c¸c vÐc t¬ r r v , v C H×nh 2

§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 4A-2007

¸p dông ®Þnh luËt b¶o toµn c¬ n¨ng cho hai vÞ trÝ: t¹i ϕ0 vµ ϕ bÊt k× ta cã

E0 = E. Suy ra mgh0 = mgh + E®, do ®ã ta cã

2 KJ ω 2

====

(1) mglsinϕ0 = mglsinϕ +

v c lcos

ϕ

v c KC

víi , (2) ϕ =

2ml 3

(3) + ml2cos2ϕ. JK = JC + m(l.cosϕ)2 =

)

ϕ

Thay (2) vµ (3) vµo (1) ta ®−îc

v

c o s

ϕ

====

C

−−−− ϕ 0 3 c o s

s i n 2 ϕ

6 g l ( s i n 1 ++++

. (4)

Ta cã thÓ suy cho tr−êng hîp riªng: Ban ®Çu thanh th¼ng ®øng (ϕ0 = 900), khi

v

====

thanh ch¹m mÆt ®Êt (ϕ = 0). Lóc nµy (4) sÏ cho ta:

C

3g l 2 Bµi to¸n 2. Mét èng d©y khèi l−îng m. M« men qu¸n tÝnh cña nã ®èi víi trôc ®èi xøng lµ I = βmR2, trong ®ã β lµ h»ng sè, R lµ b¸n kÝnh ngoµi cña èng. B¸n kÝnh cuèn d©y lµ r. Ng−êi ta b¾t ®Çu kÐo èng theo sîi d©y víi lùc

kh«ng ®æi F t¹o víi mÆt ph¼ng ngang mét gãc α

lµm èng chuyÓn ®éng l¨n kh«ng tr−ît trªn mét mÆt

r N

ph¼ng ngang (h×nh 3).

r F

C

r

α

R

a, T×m gia tèc chuyÓn ®éng cña trôc èng d©y. b, TÝnh c«ng cña lùc F sau t gi©y ®Çu tiªn. Gi¶i.

r msF

K

a, C¸c lùc t¸c dông lªn èng d©y gåm: Lùc kÐo

.

r , ph¶n lùc vu«ng gãc N

. V×

r F

ρ vµ lùc ma s¸t nghØ msF

chuyÓn ®éng lµ l¨n kh«ng tr−ît nªn ®iÓm tiÕp xóc K chÝnh lµ t©m vËn tèc tøc

r thêi. C¸c lùc N

lµ lùc g©y ra m« men quay (®èi

r ®Òu ®i qua K nªn chØ cã F

ρ , msF

víi trôc ®i qua K). ¸p dông ®Þnh lý biÕn thiªn m« men ®éng l−îng cña hÖ

J

F(Rcos

r)

J

α

ε

− − − −

= = = =

r e m (F ) z k

==== ⇒⇒⇒⇒ ε z

z

H×nh 3

∑∑∑∑

(5)

67

§ç V¨n To¸n Ph−¬ng ph¸p “T©m vËn tèc tøc thêi” trong c¬ häc, tr. 65-70

ε =

víi (6) JZ = JC + mR2 = βmR2 + m R2 = mR2(1 +β),

a R

(7)

(a lµ gia tèc trôc èng d©y). Thay (6) vµ (7) vµo (5) ta ®−îc:

a

=

)r - β)

F(Rcosα mR(1 +

. (8)

r

α −−−−

+ NÕu R c o s

®i qua K, chuyÓn ®éng kh«ng cßn lµ l¨n

r = 0 th× F

kh«ng tr−ît n÷a.

r

+ NÕu R c o s

α −−−− > 0 th× a > 0 cuén chØ chuyÓn ®éng vÒ phÝa lùc t¸c

dông (sang ph¶i).

r

+ NÕu R c o s

α −−−− < 0 th× a < 0 cuén chØ chuyÓn ®éng ng−îc l¹i, ng−îc

chiÒu lùc t¸c dông (sang tr¸i).

b, ¸p dông c«ng thøc tÝnh c«ng cña m« men lùc trong chuyÓn ®éng

quay

Tõ (8) cã thÓ suy ra c¸c kÕt qu¶ rÊt thó vÞ nh− sau:

(9) A = MZ ϕ = F( R cosα - r ).ϕ.

2

2

t

ϕ

= = = =

= = = =

= = = =

2

s R

a t 2 R

F ( R c o s α 2 m R (1

r ) ) β

−−−− ++++

Trong chuyÓn ®éng quay

(10)

2

2

2

t

A

====

F ( R c o s 2

α 2 m R (1

r ) ) β

−−−− ++++

thay (10) vµo (9) ta ®−îc

(11) Bµi to¸n 3. Trªn mÆt ph¼ng n»m ngang tr¬n, ®Æt l¨ng trô tam gi¸c ABC träng l−îng P, cã thÓ tr−ît kh«ng ma s¸t trªn mÆt ph¼ng ®ã. H×nh trô trßn ®ång

chÊt träng l−îng Q l¨n kh«ng tr−ît theo c¹nh AB cña l¨ng trô. H·y x¸c ®Þnh gia tèc

2

C

Q −−−− && X g

A

chuyÓn ®éng cña l¨ng trô (h×nh 4).

K

Gi¶i. Chän trôc Ox theo ph−¬ng n»m ngang. V× bá qua ma s¸t gi÷a P vµ mÆt ph¼ng

(P)

ngang nªn ngo¹i lùc theo ph−¬ng Ox b»ng 0,

r Q

C

B

α

vËy khèi t©m hÖ theo ph−¬ng Ox ®−îc b¶o

x

O

toµn:

68

H×nh 4

§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 4A-2007

PX

2

.

const

X

=

=

c

QX + 1 PQ + §¹o hµm hai vÕ theo t ta thu ®−îc

(12) QX1" + PX2" = 0

=

+

ρ ta

1 - gia tèc cña Q theo ph−¬ng Ox. ρ a 2

ρ a 1

Tr−íc hÕt ta cÇn t×m X" ¸p dông ®Þnh lý céng gia tèc ta cã , suy ra

a

=

+

x" 1

x" 2

tx

(13)

at lµ gia tèc cña C ®èi víi l¨ng trô. V× l¨ng trô lµ hÖ chuyÓn ®éng cã gia tèc, do vËy khi ¸p dông ®Þnh luËt II NiuT¬n cho chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi cña Q cÇn ph¶i thªm lùc

X

= −= −= −= − && . ViÕt ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng quay cña h×nh trô

2

F K

Q g

qu¸n tÝnh kÐo theo

quanh t©m vËn tèc tøc thêi K (lùc ma s¸t vµ ph¶n lùc lªn Q ®Òu ®i qua K nªn cã m«

men lùc b»ng 0). Tõ ®ã ta thu ®−îc

Q R s in

X R c o s

I

α

α

β

− − − −

= = = =

′′′′′′′′ 2

K

Q g

2

2

, (14)

; I

I

m R

R

= β = = =

= = = =

+ + + +

= = = =

K

C

3Q 2 g

a t R

a

sin

xcos

α

α

= = = =

víi .

t

2g 3

2 − && − − − 3

2

xcos

a

sin 2

α

α

= = = =

. (15) Thay β vµ IK vµo (14) ta ®−îc

tx

g 3

2 − && − − − 3

. (16) ChiÕu (15) lªn ph−¬ng Ox:

Thay (16) vµo (13) vµ kÕt hîp víi (12) cuèi cïng ta t×m ®−îc:

= −= −= −= −

&& x 2

2

α 2Qcos

α

Qg sin 2 3(Q P) − − + + − + − +

. (17)

(17) lµ biÓu thøc gia tèc cña l¨ng trô, dÊu trõ chøng tá l¨ng trô chuyÓn ®éng vÒ phÝa

tr¸i (ng−îc chiÒu trôc Ox).

Trong c¬ lý thuyÕt, bµi to¸n nµy ®· ®−îc gi¶i theo ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch (¸p

III. KÕt luËn

dông hÖ ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng), v−ît ra ngoµi ch−¬ng tr×nh phæ th«ng.

3.1. Bµi to¸n 3 ®· ®−îc chuyÓn sang gi¶i theo néi dung kiÕn thøc cña vËt lý ®¹i c−¬ng do vËy khi dïng ®Ó båi d−ìng cho häc sinh phæ th«ng tham gia thi häc sinh

69

giái, Olympic vËt lý, c¸c em cã thÓ tiÕp thu mét c¸ch b×nh th−êng.

§ç V¨n To¸n Ph−¬ng ph¸p “T©m vËn tèc tøc thêi” trong c¬ häc, tr. 65-70

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] D−¬ng Träng B¸i, C¸c bµi thi quèc gia chän häc sinh giái THPT VËt lý, NXB

3.2. Qua c¸c thÝ dô vÒ gi¶i bµi to¸n b»ng ph−¬ng ph¸p t©m vËn tèc tøc thêi, chóng ta ®· thÊy tÝnh −u viÖt cña ph−¬ng ph¸p nµy, hy väng bµi b¸o sÏ cã Ých cho nh÷ng ai quan t©m ®i s©u t×m hiÓu c¸c bµi to¸n khã trong vËt lý phæ th«ng.

§HQG Hµ Néi, 2002.

[2] D−¬ng Träng B¸i, Chuyªn ®Ò båi d−ìng häc sinh giái VËt lý THPT, tËp 1: C¬ häc, NXB Gi¸o dôc, 2005.

[3] Vò Thanh KhiÕt, 121 bµi tËp VËt lý n©ng cao, NXB §ång Nai, 1996.

[4] I. E. Ir«®«p, TuyÓn tËp c¸c bµi tËp vËt lý ®¹i c−¬ng, NXB §¹i häc vµ Trung häc chuyªn nghiÖp, Hµ Néi 1980.

[5] K. M. Targ, Gi¸o tr×nh gi¶n yÕu c¬ häc lý thuyÕt, NXB §¹i häc vµ Trung häc chuyªn nghiÖp, Hµ Néi, 1979.

[6] §ç Sanh, Bµi tËp c¬ häc, NXB Gi¸o dôc, 1999.

[7] I. V. Meserxki, TuyÓn tËp c¸c bµi tËp c¬ häc lý thuyÕt, NXB §¹i häc vµ Trung häc chuyªn nghiÖp, Hµ Néi, 1976.

[8] NguyÔn ViÕt Lan, Bµi gi¶ng båi d−ìng ®éi tuyÓn Olympic vËt lý, Tr−êng §¹i häc Vinh, 2005.

Summary

Current velocity center method in Mechanics

[9] §ç V¨n To¸n, HÖ thèng bµi tËp båi d−ìng ®éi tuyÓn Olympic vËt lý - PhÇn ®éng lùc häc, ®Ò tµi nghiªn cøu khoa häc cÊp tr−êng 2006.

Current velocity center method is a very useful method in solving of

mechanical problems. This method broadens learners' view about the motion of solid

bodies. In national Olympiads on Physics we have met some problems with unclear

solutions, but better solutions can be obtained by using current velocity center method.

70

(a) Khoa VËt lý, tr−êng ®¹i häc Vinh.