§ç V¨n Hïng ... RÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy to¸n häc ..., TR. 28-36
GãP PHÇN RÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy to¸n häc cho sinh viªn ngµnh s− pH¹M to¸n th«ng qua ho¹t ®éng Huy ®éng - Tæ chøc vËn dông c¸c kiÕn thøc vµ kinh nghiÖm
§ç V¨n Hïng (a)
Tãm t¾t. Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i ®Ò cËp ®Õn vÊn ®Ò rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy to¸n häc cho sinh viªn ®¹i häc ngµnh s− ph¹m to¸n trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n ë tr−êng s− ph¹m dùa trªn viÖc h−íng dÉn sinh viªn tham gia ho¹t ®éng Huy ®éng - Tæ chøc vËn dông c¸c kiÕn thøc vµ kinh nghiÖm. §©y lµ mét trong nh÷ng ho¹t ®éng h÷u hiÖu ®Ó rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy cho sinh viªn trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n. 1. §Æt vÊn ®Ò RÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy nãi chung, t− duy to¸n häc nãi riªng cho sinh viªn s− ph¹m trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n lµ mét yªu cÇu, mét nhiÖm vô quan träng, ®−îc ®Æt ra tõ l©u trong c¸c tr−êng s− ph¹m. §©y kh«ng ph¶i lµ vÊn ®Ò míi, nã ®· ®−îc nhiÒu t¸c gi¶ quan t©m ë nh÷ng møc ®é kh¸c nhau vµ còng ®−îc nhiÒu nhµ khoa häc chän lµm c¸c ®Ò tµi nghiªn cøu. Ngµy nay, tr−íc sù ®æi míi vµ ph¸t triÓn, tr−íc yªu cÇu cña x· héi, cña khoa häc c«ng nghÖ, ®ßi hái ngµnh gi¸o dôc ®µo t¹o ph¶i ®¸p øng nguån nh©n lùc cã chÊt l−îng cao, ®µo t¹o ra nh÷ng con ng−êi n¨ng ®éng, s¸ng t¹o h¬n trong lao ®éng vµ cuéc sèng th× vÊn ®Ò nµy cµng ®ßi hái c¸c tr−êng s− ph¹m ph¶i quan t©m nhiÒu h¬n.
C¸c thao t¸c c¬ b¶n vµ cÇn thiÕt ®Ó rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy to¸n häc cho ng−êi häc trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n, còng nh− c¸c ph−¬ng ph¸p t− duy ®· ®−îc nhiÒu nhµ nghiªn cøu khoa häc gi¸o dôc ®Ò cËp trong c¸c gi¸o tr×nh T©m lý häc, Gi¸o dôc häc, Lý luËn vµ ph−¬ng ph¸p d¹y häc bé m«n to¸n,… Tuy nhiªn, mét trong nh÷ng khã kh¨n ®Æt ra cho gi¸o viªn ®ang gi¶ng d¹y ë c¸c tr−êng phæ th«ng hiÖn nay lµ víi mét kho¶ng thêi gian ng¾n gi¶ng d¹y trªn líp, ng−êi gi¸o viªn ph¶i lµm thÕ nµo, d¹y nh− thÕ nµo ®Ó võa gióp häc sinh lÜnh héi ®−îc nh÷ng néi dung kiÕn thøc theo ch−¬ng tr×nh quy ®Þnh, võa rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy to¸n häc cho häc sinh trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n.
§Ó n©ng cao hiÖu qu¶ viÖc rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy to¸n häc cho häc sinh trong qu¸ tr×nh d¹y to¸n ë phæ th«ng sau nµy th× ngoµi viÖc ph¶i hiÓu thÊu, n¾m v÷ng kiÕn thøc chuyªn m«n, ph−¬ng ph¸p d¹y häc bé m«n, tr−íc hÕt mçi sinh viªn ngµnh s− ph¹m to¸n ph¶i cã kü n¨ng, cã ph−¬ng ph¸p ®Ó rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy to¸n häc cña m×nh ngay trong qu¸ tr×nh häc to¸n ë tr−êng s− ph¹m.
2. RÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy trong d¹y häc to¸n 2.1. C¬ së khoa häc cña viÖc rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy to¸n häc Theo T©m lý häc, T− duy lµ qu¸ tr×nh nhËn thøc, ph¶n ¸nh nh÷ng thuéc tÝnh b¶n chÊt, nh÷ng mèi quan hÖ cã tÝnh quy luËt cña c¸c sù vËt vµ hiÖn t−îng. S¶n phÈm cña t− duy lµ nh÷ng kh¸i niÖm, ph¸n ®o¸n, suy luËn ®−îc biÓu ®¹t b»ng ng«n
NhËn bµi ngµy 06/5/2008. Söa ch÷a xong 21/7/2008.
28
tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 2A-2008 ng÷ nãi, viÕt, ký hiÖu. Theo K. K. Plant«n«v, t− duy lµ mét ho¹t ®éng trÝ tuÖ víi qu¸ tr×nh gåm 4 b−íc c¬ b¶n: x¸c ®Þnh ®−îc vÊn ®Ò (t×m ®−îc c©u hái cÇn gi¶i ®¸p); huy ®éng tri thøc, kinh nghiÖm, liªn t−ëng h×nh thµnh gi¶ thuyÕt vµ c¸ch gi¶i quyÕt vÊn ®Ò, tr¶ lêi c©u hái; kiÓm nghiÖm x¸c minh gi¶ thuyÕt (chøng minh); nhËn xÐt, ®¸nh gi¸ kÕt qu¶, vËn dông.
Theo Tõ ®iÓn TiÕng ViÖt (Hoµng Phª - chñ biªn), t− duy lµ “giai ®o¹n cao cña qu¸ tr×nh nhËn thøc, ®i s©u vµo c¸i b¶n chÊt vµ ph¸t hiÖn ra quy luËt cña sù vËt b»ng nh÷ng h×nh thøc nh− biÓu t−îng, ph¸n ®o¸n vµ suy lý”.
Nh− vËy, t− duy gióp con ng−êi n¾m ®−îc b¶n chÊt vµ quy luËt vËn ®éng cña tù nhiªn, x· héi vµ con ng−êi; t− duy cã t¸c dông c¶i t¹o l¹i th«ng tin nhËn thøc c¶m tÝnh lµm cho chóng cã ý nghÜa h¬n trong cuéc sèng; t− duy vËn dông nh÷ng c¸i ®· biÕt ®Ó ®Ò ra gi¶i ph¸p gi¶i quyÕt nh÷ng c¸i t−¬ng tù, do ®ã tiÕt kiÖm ®−îc c«ng søc.
T− duy to¸n häc ®−îc hiÓu lµ qu¸ tr×nh nhËn thøc, ph¶n ¸nh nh÷ng thuéc tÝnh b¶n chÊt, ph¸t hiÖn ra nh÷ng mèi quan hÖ bªn trong cã tÝnh quy luËt cña c¸c ®èi t−îng to¸n häc mµ tr−íc ®ã ta ch−a biÕt. S¶n phÈm cña t− duy to¸n häc lµ nh÷ng kh¸i niÖm, nh÷ng ®Þnh lý, quy t¾c, ph−¬ng ph¸p, suy luËn,… mang tÝnh kh¸i qu¸t, tÝnh trõu t−îng cao, cã tÝnh khoa häc, tÝnh l«gic chÆt chÏ, c¸c tri thøc cã mèi quan hÖ mËt thiÕt vµ hç trî lÉn nhau, ®−îc biÓu ®¹t chñ yÕu b»ng ng«n ng÷ viÕt (ký hiÖu, biÓu thøc, c«ng thøc,…).
Theo Ph−¬ng ph¸p d¹y häc ®¹i c−¬ng m«n to¸n cña t¸c gi¶ NguyÔn B¸ Kim [3] th×: viÖc d¹y häc to¸n kh«ng chØ dõng l¹i ë chç chØ ®Ó ng−êi häc lÜnh héi ®−îc tri thøc to¸n häc, rÌn luyÖn ®−îc c¸c kü n¨ng, kü x¶o, mµ ®ßi hái kh«ng ngõng n©ng cao yªu cÇu ®Ó thóc ®Èy sù ph¸t triÓn cña ng−êi häc, buéc hä ph¶i tÝch cùc suy nghÜ, phÊn ®Êu nh»m ®¹t ®−îc môc tiªu, ®ång thêi qua ®ã h×nh thµnh vµ rÌn luyÖn cho ng−êi häc nh÷ng ph−¬ng ph¸p suy nghÜ, ph−¬ng ph¸p t− duy vµ ph−¬ng ph¸p lµm viÖc khoa häc. Ph¸t triÓn t− duy to¸n häc cho ng−êi häc lµ mét lÜnh vùc võa réng lín, võa khã kh¨n, ng−êi gi¸o viªn d¹y to¸n cÇn ph¶i biÕt tÝch luü kiÕn thøc, rót kinh nghiÖm mét c¸ch th−êng xuyªn vµ l©u dµi, ®Ó tõ ®ã v÷ng vµng h¬n vÒ chuyªn m«n nghiÖp vô, cã nh÷ng biÖn ph¸p rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy to¸n häc mét c¸ch thÝch hîp cho tõng lo¹i häc sinh trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y.
Theo t¸c gi¶ NguyÔn Duy ThuËn [6] th× viÖc rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy cho häc sinh lµ mét nhiÖm vô quan träng trong sù nghiÖp gi¸o dôc, ®Æc biÖt lµ trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n. Nã ph¶i tr¶i qua mét qu¸ tr×nh th−êng xuyªn vËn dông c¸c nguyªn t¾c t− duy c¬ b¶n mét c¸ch thÝch hîp, ph¶i xuÊt ph¸t tõ c¸c vÊn ®Ò dÔ ®Õn khã, ®i tõ c¸c tr−êng hîp ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p, ph¶i vËn dông c¸c ph−¬ng ph¸p suy luËn mét c¸ch linh ho¹t. KiÕn thøc to¸n häc ®−îc s¾p xÕp theo hÖ thèng l«gic chÆt chÏ vµ liªn tôc, tri thøc tr−íc lµm c¬ së cho tri thøc sau cho nªn ph¶i hiÓu vµ n¾m v÷ng kiÕn thøc, cã kiÕn thøc míi cã c¬ së ®Ó dùa trªn ®ã mµ t− duy ®óng ®¾n, hiÓu biÕt cµng s©u s¾c, kiÕn thøc cµng v÷ng vµng th× t− duy cµng chÝnh x¸c, cµng m¹ch l¹c.
29
§ç V¨n Hïng ... RÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy to¸n häc ..., TR. 28-36
ViÖc hiÓu, n¾m v÷ng hÖ thèng kiÕn thøc ®· häc vµ thùc hµnh vËn dông chóng th−êng xuyªn trong häc tËp lµ c¬ héi ®Ó rÌn luyÖn t− duy, t¹o dùng ®−îc kü n¨ng t− duy vµ v× thÕ t− duy cµng ®−îc ph¸t triÓn. Tuy nhiªn, nÕu chØ dõng l¹i ë viÖc thùc hµnh vËn dông kiÕn thøc ®· häc theo khu«n mÉu ®· ®−îc s¾p ®Æt, ®Þnh s½n mµ kh«ng cã sù ph©n tÝch, ®¸nh gi¸, phª ph¸n ®Ó lo¹i bá nh÷ng bÊt hîp lý vµ ®óc rót kinh nghiÖm th× t− duy còng sÏ thiÕu linh ho¹t. ViÖc ®óc rót tÝch luü kinh nghiÖm sau khi gi¶i quyÕt mét vÊn ®Ò, mét bµi to¸n kh«ng chØ lµ c¬ héi rÌn luyÖn hoµn thiÖn c¸c thao t¸c t− duy mµ cßn gióp ng−êi häc t− duy s©u s¾c h¬n, ph¸t triÓn h¬n. Mét trong nh÷ng ho¹t ®éng h÷u hiÖu ®Ó rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy to¸n häc cho häc sinh trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n lµ h−íng dÉn cho häc sinh tham gia ho¹t ®éng Huy ®éng - Tæ chøc vËn dông c¸c kiÕn thøc vµ kinh nghiÖm ®· cã.
2.2. Nh÷ng khÝa c¹nh cÇn rÌn luyÖn cho sinh viªn trong qu¸ tr×nh d¹y häc
to¸n
§Ó ph¸t triÓn t− duy to¸n häc trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n, chóng ta cÇn chó ý rÌn luyÖn cho ng−êi häc mét sè ý thøc vµ kü n¨ng nh−: ý thøc tù häc, tù ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò; kü n¨ng sö dông c¸c ph−¬ng ph¸p suy luËn ph©n tÝch, tæng hîp; kü n¨ng vËn dông c¸c thao t¸c t− duy kh¸i qu¸t ho¸, ®Æc biÖt ho¸, t−¬ng tù vµ quy n¹p,… trong qu¸ tr×nh gi¶i quyÕt vÊn ®Ò. Cô thÓ lµ:
- Ph©n tÝch bµi to¸n mét c¸ch toµn diÖn d−íi nhiÒu khÝa c¹nh, nhiÒu gãc ®é kh¸c nhau, chia bµi to¸n thµnh nhiÒu bµi to¸n nhá, xÐt c¸c kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra, ®−a bµi to¸n vÒ d¹ng cã thÓ sö dông ®−îc c¸c ®Þnh lý, c«ng thøc, kh¸i niÖm ®· biÕt, trªn c¬ së ®ã t×m ra mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®èi t−îng, c¸c kh¸i niÖm vµ tõ ®ã huy ®éng c¸c kiÕn thøc, kinh nghiÖm ®· cã ®Ó dù ®o¸n c¸ch gi¶i quyÕt cho tõng vÊn ®Ò, tõng tr−êng hîp.
- ChuyÓn tõ viÖc nghiªn cøu c¸ch gi¶i quyÕt nh÷ng tr−êng hîp ®¬n lÎ, tr−êng hîp cô thÓ cña bµi to¸n sang gi¶i quyÕt tr−êng hîp tæng qu¸t hoÆc ng−îc l¹i, tõ ®ã cã thÓ cho ta nh÷ng gîi ý tèt ®Ó t×m ph−¬ng ¸n, c¸ch thøc gi¶i quyÕt vµ vËn dông nh÷ng kiÕn thøc, kinh nghiÖm ®· cã vµo thùc hiÖn gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò.
- Khai th¸c ®¸nh gi¸ c¸ch gi¶i quyÕt bµi to¸n ®Ó ph¸t hiÖn ra c¸c sai lÇm, nguyªn nh©n sai lÇm, t×m ra nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau, tõ ®ã t×m ®−îc c¸ch gi¶i quyÕt tèt h¬n, rót ra ph−¬ng ph¸p gi¶i chung cho líp c¸c bµi to¸n t−¬ng tù hoÆc ®Ò xuÊt ra c¸c vÊn ®Ò míi, bµi to¸n míi.
- Tæng kÕt, ®óc rót kinh nghiÖm vµ t×m c¸ch øng dông vµo gi¶i quyÕt c¸c vÊn
®Ò trong thùc tiÔn.
Th«ng th−êng, tr−íc mét vÊn ®Ò, mét bµi to¸n míi cÇn gi¶i quyÕt, sinh viªn
ph¶i thùc hiÖn mét lo¹t c¸c ho¹t ®éng trÝ tuÖ:
1) X¸c ®Þnh yªu cÇu, nhiÖm vô cÇn gi¶i quyÕt, x¸c ®Þnh c¸c d÷ kiÖn ®· biÕt, tõ ®ã dïng c¸c thao t¸c t− duy ph¸t hiÖn ra mèi quan hÖ gi÷a chóng vµ mèi quan hÖ víi kiÕn thøc, kinh nghiÖm ®· cã;
30
tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 2A-2008
2) Khoanh vïng, huy ®éng nh÷ng kiÕn thøc liªn quan (kh¸i niÖm, tÝnh chÊt, ®Þnh lý, quy t¾c,…) vµ nh÷ng kinh nghiÖm ®· cã, ®· sö dông (vÊn ®Ò t−¬ng tù, bµi to¸n t−¬ng tù, c¸ch thøc gi¶i quyÕt,…) cã thÓ vËn dông trong tr−êng hîp nµy, tù ®Æt ra nh÷ng c©u hái vµ t×m c¸ch tù tr¶ lêi, tõ ®ã ®−a ra nh÷ng ph¸n ®o¸n, ®Þnh h−íng c¸ch gi¶i quyÕt;
3) LËp kÕ ho¹ch gi¶i quyÕt tõng b−íc c¸c vÊn ®Ò ®Æt ra, x¸c ®Þnh vÊn ®Ò nµo cÇn gi¶i quyÕt tr−íc vÊn ®Ò nµo gi¶i quyÕt sau, kiÕn thøc nµo vËn dông tr−íc kiÕn thøc nµo vËn dông sau,… vµ thùc hiÖn tõng b−íc theo kÕ ho¹ch gi¶i;
4) Ph©n tÝch −u, nh−îc ®iÓm cña c¸ch gi¶i quyÕt ®· thùc hiÖn ®Ó t×m c¸ch gi¶i
quyÕt kh¸c hîp lý h¬n, tõ ®ã ®óc rót, tÝch luü kinh nghiÖm;
5) Thay ®æi c¸c d÷ kiÖn cña bµi to¸n ë møc ®é kh¸c nhau, t×m c¸ch ph¸t triÓn
c¸c vÊn ®Ò, bµi to¸n ®· gi¶i quyÕt thµnh nh÷ng vÊn ®Ò míi, bµi to¸n míi.
Ho¹t ®éng huy ®éng - vËn dông c¸c kiÕn thøc liªn quan vµ kinh nghiÖm ®· cã cña sinh viªn ®Ó ph¸t triÓn t− duy to¸n häc cho sinh viªn diÔn ra trong suèt qu¸ tr×nh häc to¸n, tuy nhiªn ho¹t ®éng nµy mang l¹i hiÖu qu¶ nhiÒu h¬n trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn c¸c b−íc gi¶i c¸c bµi to¸n.
Theo G. P«lya, muèn huy ®éng nh÷ng kiÕn thøc liªn quan, nh÷ng kinh nghiÖm ®· cã vµ vËn dông chóng mét c¸ch thÝch hîp vµo gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n cô thÓ th× ng−êi häc cÇn ph¶i biÕt: khoanh vïng c¸c kiÕn thøc ®· biÕt t−¬ng øng víi bµi to¸n; x¸c ®Þnh c¸c mèi quan hÖ gi÷a bµi to¸n ®ang gi¶i quyÕt víi c¸c kh¸i niÖm, ®Þnh lý, c«ng thøc, tÝnh chÊt, víi c¸c d¹ng bµi to¸n ®· biÕt; håi t−ëng l¹i nh÷ng kh¸i niÖm, ®Þnh lý, c«ng thøc, tÝnh chÊt, c¸c d¹ng bµi to¸n ®· biÕt c¸ch gi¶i;…
2.3. Mét sè vÝ dô
Sau ®©y, chóng t«i ®−a ra mét vµi vÝ dô minh ho¹ vÒ viÖc tõng b−íc rÌn cho sinh viªn mét sè ho¹t ®éng trÝ tuÖ trong qu¸ tr×nh tù häc, tù nghiªn cøu khi thùc hµnh gi¶i c¸c bµi to¸n s¬ cÊp.
= (0) 5
f
(100)
?
= biÕt
víi n N∈ . §Ó gi¶i quyÕt bµi
f
VÝ dô 1: T×m
+ =
1) 3.
( ) f n
( f n
to¸n nµy, sinh viªn cã thÓ thùc hiÖn mét lo¹t c¸c ho¹t ®éng trÝ tuÖ sau ®©y:
(100)
?
= víi d÷ kiÖn
f
1). X¸c ®Þnh yªu cÇu cña bµi to¸n lµ t×m = (0) 5
f
/ n N∈ , ®ång thêi ®Þnh h−íng c¸ch gi¶i quyÕt b»ng c¸ch tõ biÓu
+ =
1) 3.
( ) f n
( f n
(1);
(2); ...
(100)
thøc ®· cho biÕt, tÝnh lÇn l−ît tõng gi¸ trÞ
®Ó t×m ®−îc
. Tuy
f
f
f
nhiªn, nhËn thÊy ngay r»ng viÖc lµm nh− vËy kh«ng hiÖu qu¶ v× tèn nhiÒu thêi gian vµ c«ng søc trong qu¸ tr×nh tÝnh to¸n.
,...,
,
2). Huy ®éng c¸c kiÕn thøc liªn quan vµ kinh nghiÖm ®· cã, sinh viªn nhËn thÊy ®©y lµ bµi to¸n d¹ng t×m gi¸ trÞ cña mét hµm sè víi ®èi sè lµ sè tù nhiªn n hoÆc u cã nhËn thÊy ®©y lµ bµi to¸n t×m sè h¹ng
100u cña mét cÊp sè nh©n:
, u u u 1
2
0
n
31
=
5,
3
= . Nh− vËy, c¸c kiÕn thøc vµ kinh nghiÖm cÇn huy ®éng, vËn dông ë ®©y
§ç V¨n Hïng ... RÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy to¸n häc ..., TR. 28-36 u
q
0
liªn quan ®Õn hµm sè, tÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè hoÆc t×m sè h¹ng cña mét cÊp sè nh©n,… VÊn ®Ò ®Æt ra lµ ph¶i biÓu diÔn ( ) f n b»ng mét biÓu thøc ®¬n gi¶n h¬n hoÆc dïng c«ng thøc tÝnh sè h¹ng tæng qu¸t cña mét cÊp sè nh©n.
( )
3). LËp kÕ ho¹ch gi¶i quyÕt bµi to¸n nµy lµ t×m c¸ch biÓu diÔn
f n vÒ d¹ng
hµm sè
(b»ng ph−¬ng ph¸p quy n¹p) hoÆc dïng c«ng thøc t×m sè h¹ng
( ) 5.3n f n =
5.3n
(100)
tæng qu¸t cña mét cÊp sè nh©n lµ
vµ tõ ®ã cã thÓ tÝnh
nhanh h¬n.
f
nu =
4). NhËn xÐt −u, nh−îc ®iÓm cña c¸ch gi¶i nµy, sinh viªn sÏ nhËn thÊy r»ng: tuy ph¶i lµm mét bµi to¸n trung gian, nh−ng thêi gian vµ c«ng søc tÝnh to¸n gi¶m ®i rÊt nhiÒu. Tõ ®ã, rót ra kinh nghiÖm lµ tr−íc mét bµi to¸n ta nªn suy nghÜ t×m c¸ch ®−a vÒ c¸c d¹ng bµi to¸n quen thuéc ®· biÕt c¸ch gi¶i.
5). Ph©n tÝch bµi to¸n, thay ®æi thªm, bít c¸c d÷ kiÖn cña bµi to¸n, dïng c¸c ph−¬ng ph¸p suy luËn kh¸i qu¸t ho¸, t−¬ng tù,… ®Ó ph¸t triÓn thµnh bµi to¸n míi, bµi to¸n tæng qu¸t. Ch¼ng h¹n, tõ c¸ch gi¶i vµ kÕt qu¶ gi¶i bµi to¸n ®· cho, ta cã thÓ
=
(0)
f
víi
rót ra c«ng thøc cho bµi to¸n d¹ng tæng qu¸t T×m
f k = biÕt ( ) ?
a + = 1)
( f n
. ( ) b f n
; hoÆc ph¸t triÓn thµnh bµi to¸n: T×m
( ) f k
. k a b=
= (0) 5
(100)
?
= biÕt
f
víi n N∈ . §Ó t×m kÕt qu¶ bµi to¸n nµy, sinh
+ =
1) 3.
+ ( ) 4
( f n
f n
n N∈ , khi ®ã kÕt qu¶ cÇn t×m lµ: f
viªn cã thÓ vËn dông kinh nghiÖm ®óc rót ®−îc tõ c¸ch gi¶i bµi to¸n trªn b»ng c¸ch
biÕn ®æi d÷ kiÖn bµi to¸n ®· cho vÒ d¹ng
vµ ®Æt
= (0) 5 f
+ + = 1) 2 3. + ( ) 2 ( f n f n
[
]
ViÖc huy ®éng - vËn dông c¸c kiÕn thøc vµ kinh nghiÖm cßn ®ßi hái sinh viªn ph¶i cã kü n¨ng t− duy linh ho¹t, ph¶i biÕt vËn dông nh÷ng tÝnh chÊt ®Þnh lý thÝch hîp, vËn dông ph−¬ng ph¸p gi¶i nh÷ng bµi to¸n t−¬ng tù ®· biÕt, ®ång thêi ph¶i th−êng xuyªn rÌn luyÖn.
4
3
2
+ = 1) + + . 1) 2 ( F n ( f n
vµ
1). X¸c ®Þnh ®−îc yªu cÇu cña bµi to¸n lµ t×m sè n Z∈ , với dư(cid:3) kiÖn bµi to¸n
4
3
2
+ + + 4 6 4 5 + lµ c¸c sè n n n n 14 +n VÝ dô 2: T×m c¸c sè n Z∈ sao cho: nguyªn tè. Gi¶i bµi to¸n nµy sinh viªn cÇn ph¶i:
vµ
®· cho biÕt
2). Huy ®éng c¸c kiÕn thøc liªn quan, c¸c kinh nghiÖm ®· cã vÒ sè nguyªn, sè nguyªn tè, ph−¬ng ph¸p chøng minh mét biÓu thøc lµ sè nguyªn tè, biÕn ®æi biÓu thøc thµnh nh©n tö,… tõ ®ã ®Þnh h−íng t×m c¸ch gi¶i.
3). LËp kÕ ho¹ch gi¶i vµ thùc hiÖn c¸c b−íc gi¶i: biÕn ®æi c¸c biÓu thøc thµnh nh©n tö víi hÖ sè nguyªn, cho c¸c thõa sè b»ng 1 t×m n vµ xÐt c¸c ®iÒu kiÖn cßn l¹i
+ + + 4 6 4 5 + lµ c¸c sè nguyªn tè. 14 +n n n n n
32
thÝch hîp. Ta
cã:
trÞ
2
2
t×m −+ 1
to¸n, 2 + − )1
c¸c ++ 1
, nhËn thÊy c¸c nh©n tö kh«ng
tõ ®ã 2 2 = .2 ( n
ra ).( nn
gi¸ ).2 n
bµi n
=+ (1 .2 n
1; 2; 6;...
tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 2A-2008 cña 4 n cã hÖ sè nguyªn, do ®ã ph¶i t×m trùc tiÕp vµ sinh viªn cã thÓ t×m ®−îc nhiÒu gi¸ trÞ, ch¼ng h¹n:
4
3
2
2
2
2
2
n = ± ± ±
Mă(cid:5)t kh¸c
2
2
2
2
+ + + + + + + 4 6 4 + = 5 .( 1) 4 .( 1) 5.( + = 1) n n n n n n n n n
4
3
2
2
2
= + + + = + + ( 1).( 4 5) ( 1).[( 2) + . 1] n n n n n
Theo gi¶ thiÕt
lµ sè nguyªn tè.
2
+ + + + + 4 6 4 5 ( 1).[( 2) + lµ sè nguyªn tè nªn + 1] n n n n n n
Khi đã
.
2
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
KiÓm chøng c¶ hai tr−êng hîp ta thÊy chØ cã
2−=n
4
3
2
+ = 1 1 n ⇔ 0 = − 2 n + + = ( 2) 1 1 = n n
4
6
4
5
vµ
14 +n
4). Từ c¸ch gi¶i bµi to¸n, thÊy r»ng vÊn ®Ò cèt lâi ë ®©y lµ sinh viªn biÕt c¸ch biÕn ®æi c¸c biÓu thøc thµnh nh©n tö, biÕt chän biÓu thøc thÝch hîp vµ vËn dông kh¸i niÖm sè nguyªn tè.
5). Thay ®æi c¸c biÓu thøc d÷ kiÖn cña bµi to¸n hoÆc thay ®æi c¸ch diÔn ®¹t ta vµ
14 +n
3
4
2
+ + + + lµ c¸c sè nguyªn tè. n n n n
4
6
4
5
2
cã c¸c bµi to¸n míi, ch¼ng h¹n: Cho n
C
F
VÝ dô 3: Cho ®−êng trßn (O) vµ hai d©y cung AB, CD c¾t nhau t¹i E. Gi¶ sö M lµ mét ®iÓm thuéc ®o¹n BE. TiÕp tuyÕn t¹i E víi ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c DEM c¾t d©y BC t¹i F vµ c¾t d©y AC kÐo dµi
E
M
t¹i G. Chøng minh:
(xem hi(cid:9)nh 1).
B
A
EF MB = EG MA
D
1). Yªu cÇu gi¶i quyÕt cña bµi to¸n lµ cô thÓ râ rµng, tuy nhiªn viÖc ®Þnh h−íng ®Ó t×m ngay ra c¸ch gi¶i th× kh«ng ®¬n gi¶n, cho nªn sinh viªn cÇn ph¶i ph©n tÝch kü d÷ kiÖn cña bµi to¸n ®Ó hiÓu râ bµi to¸n.
H×nh 1
G
2). Huy ®éng - VËn dông c¸c kiÕn thøc, kinh nghiÖm ®· cã vµo gi¶i quyÕt bµi to¸n nµy sinh viªn ph¶i t− duy mét c¸ch linh ho¹t, tư(cid:5) đă(cid:5)t ra c¸c c©u hái vµ tù t×m c¸ch tr¶ lêi ®Ó nhận dạng, ph©n lo¹i, khoanh vïng bµi to¸n; phải biết pháng ®o¸n (®«i khi ph¶i mß mÉm) để định hướng c¸c kiÕn thøc liªn quan, c¸c kinh nghiÖm ®· biÕt cÇn huy ®éng, vËn dông chøng minh bµi to¸n. Ch¼ng h¹n
- XÐt xem biÓu thøc cÇn ph¶i chøng minh trong bµi to¸n t−¬ng ®−¬ng víi
nh÷ng biÓu thøc nµo?
33
+ + + + lµ c¸c sè nguyªn tè khi vµ chØ khi Zn ∈ , chư(cid:8)ng minh ră(cid:9)ng n = − . n n n
§ç V¨n Hïng ... RÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy to¸n häc ..., TR. 28-36
⇔
⇔
.
.
(
= ); 1
= EF MA EG MB
EF MB = EG MA
. EF MA . EG MB
=
+
=
−
- C¸c ®o¹n EF, EG, MB, MA quan hÖ víi nh÷ng ®èi t−îng h×nh häc nµo? (®o¹n EF lµ c¹nh cña c¸c tam gi¸c EFB vµ EFC, ®o¹n EG lµ c¹nh cña c¸c tam gi¸c EAG vµ EAC, c¸c ®o¹n MA, MB cã thÓ biÓu diÔn
);
, MA ME EA MB EB ME
- C¸c ®o¹n ME, EA, EB quan hÖ víi nh÷ng ®èi t−îng h×nh häc nµo? (®o¹n ME lµ c¹nh cña tam gi¸c EMD, ®o¹n EA lµ c¹nh cña tam gi¸c ECA, ®o¹n EB lµ c¹nh cña tam gi¸c ECB);
- C¸c ®−êng trßn, tiÕp tuyÕn ®−êng trßn, c¸c gãc néi tiÕp, c¸c tam gi¸c ABC, EMD néi tiÕp c¸c ®−êng trßn cho biÕt nh÷ng quan hÖ g× víi c¸c ®o¹n th¼ng trong c¸c tû lÖ thøc?
- Nhớ lại hoặc liªn hÖ víi nh÷ng c«ng thøc, ®Þnh lý, tÝnh chÊt, c¸c bµi to¸n
t−¬ng tù ®· gi¶i,…
Tư(cid:9) c¸c ph¸n ®o¸n vÒ quan hÖ gi÷a c¸c ®èi t−îng h×nh häc theo ph©n tÝch ë trªn, sinh viªn cã thÓ tù huy ®éng c¸c kiÕn thøc, kinh nghiÖm ®−a ra hµng lo¹t mèi quan hÖ vµ kÕt qu¶ ®Ó ph¸n ®o¸n, ®Þnh h−íng t×m c¸ch chøng minh bµi to¸n.
3). Chư(cid:8)ng minh:
Do c¸c tam gi¸c ECB, ECA cã cïng chiÒu cao h¹ tõ C vµ ¸p dông tÝnh chÊt
diÖn tÝch tam gi¸c, ta cã:
.
( )
¸p dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c qua 2 c¹nh vµ sin cña gãc xen gi÷a,
ta cã:
= = = ( ) ( ( ( ( ( ( ) EB dt ECB ) EA dt ECA + ) ) dt EFB dt ECF − ) ) dt ECG dt EAG + ( ) dt EFB dt ECF ) ( dt EMD − ) ( dt ECG dt EAG ) ( dt EMD
vµ
.
⇒ ∠ = ∠ = ∠ = FEC DEG EMD ( ( ( ( ) ) . ) dt ECF EF EC = . ) dt EMD ME MD dt ECG dt EDM . EC EG . ME MD
vµ
.
Khi đã
.
⇒ ∠ = ∠ = ∠ = = MDE BEF AEG ( ( ( ( ) ) ) dt EFB ) dt EMD . EF EB . DM DE dt AEG dt EDM . EA EG . DM DE
,
= = = + − ( ( . . . . ) ) EB EA EF EC DE EB ME EG EC DE EA ME ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) dt ECF dt EFB + ) ) dt EMD dt EMD ) ) dt ECG dt EAG − ) ) dt EMD dt EMD . . EF EC EF EB + . . ME MD DM DE . . EC EG EA EG − . . ME MD DM DE
Mă(cid:5)t kh¸c
. . = EC ED EA EB
34
tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 2A-2008
.
nªn
.
= = + − . . ) ) . . . . .( EF EB EA EM EB .( EA EG EA EB EM EF EB MA EG EA MB
Suy ra
Qua c¸ch gi¶i, c¸ch chøng minh c¸c bµi to¸n trªn cho thÊy, trong qu¸ tr×nh tù häc, tù nghiªn cøu ®Ó gi¶i quyÕt mét bµi to¸n, ®ßi hái sinh viªn ph¶i n¾m v÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n, ph¶i biÕt huy ®éng - vËn dông linh ho¹t c¸c kiÕn thøc vµ kinh nghiÖm ®· cã mét c¸ch thÝch hîp, ®ång thêi còng ®ßi hái sinh viªn ph¶i cã n¨ng lùc ph¸n ®o¸n, n¨ng lùc ph©n tÝch, tæng hîp, n¨ng lùc vËn dông c¸c c«ng thøc, quy t¾c, tÝnh chÊt,… vµ qua ®ã cã thÓ rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy to¸n häc tèt h¬n.
§Ó sinh viªn cã thÓ lùa chän huy ®éng - vËn dông kiÕn thøc cÇn thiÕt vµ kinh nghiÖm hîp lý trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n, qua ®ã rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy to¸n häc th× tr−íc hÕt cÇn ph¶i quan t©m ®Õn viÖc lµm cho sinh viªn hiÓu vµ n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc, ph¶i th−êng xuyªn ®−îc thùc hµnh vµ vËn dông kiÕn thøc ®· häc, ph¶i biÕt tù ®óc rót tÝch luü kinh nghiÖm th−êng xuyªn sau khi gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò, c¸c bµi to¸n.
• HiÓu vµ n¾m vòng kiÕn thøc ®Ó lµm c¬ së, nÒn t¶ng cho viÖc t− duy vµ tiÕp nhËn tri thøc míi, ph¸t hiÖn ra nh÷ng thuéc tÝnh b¶n chÊt, nh÷ng quy luËt, nh÷ng mèi quan hÖ cña c¸c ®èi t−îng to¸n häc, ®ång thêi tr¸nh m¾c sai lÇm trong t− duy.
• Thư(cid:5)c hµnh vµ vËn dông kiÕn thøc th−êng xuyªn sÏ t¹o ®iÒu kiÖn huy ®éng kiÕn thøc ®Ó hiÓu thÊu vµ n¾m v÷ng kiÕn thøc, ®ång thêi h×nh thµnh phong c¸ch suy nghÜ vµ rÌn luyÖn c¸c thao t¸c t− duy lµm cho t− duy cµng ph¸t triÓn.
• TÝch luü kinh nghiÖm ®Ó cã thÓ lùa chän, vËn dông c¸c thao t¸c t− duy mét c¸ch linh ho¹t, hîp lý vµ khoa häc; tr¸nh sai lÇm trong vËn dông c¸c thao t¸c t− duy vµo c¸c tr−êng hîp cô thÓ; ®©y lµ c«ng cô, c¬ héi ®Ó ph¸t triÓn t− duy lµm cho t− duy ngµy cµng ph¸t triÓn.
3. KÕt luËn
ViÖc rÌn cho sinh viªn cã thãi quen th−êng xuyªn biÕt lùa chän nh÷ng kiÕn thøc cÇn thiÕt, nh÷ng kinh nghiÖm phï hîp trong rÊt nhiÒu kiÕn thøc vµ kinh nghiÖm ®· tÝch luü ®−îc, ®ång thêi biÕt vËn dông chóng vµo gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò, c¸c bµi to¸n cô thÓ, lµ th−íc ®o vÒ hiÖu qu¶ cña viÖc hiÓu thÊu vµ n¾m v÷ng kiÕn thøc, cña viÖc th−êng xuyªn ®−¬c thùc hµnh vµ vËn dông kiÕn thøc, còng nh− cña viÖc ®óc rót tÝch luü kinh nghiÖm trong qu¸ tr×nh häc to¸n. ChÝnh v× vËy, nã cã ¶nh h−ëng rÊt lín vµ trùc tiÕp trong viÖc rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy to¸n häc cho sinh viªn.
35
= ⇔ 1 . EF MA . EG MB EF MB = EG MA
§ç V¨n Hïng ... RÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t− duy to¸n häc ..., TR. 28-36
Tµi liÖu tham kh¶o
[1] Jean - Marie Monier, §¹i sè 1 (Gi¸o tr×nh to¸n - TËp 5), NXB GD, Hµ Néi, 2000. [2] Jean - Marie Monier, H×nh häc (Gi¸o tr×nh to¸n - TËp 7), NXB GD, Hµ Néi, 2000. [3] NguyỖn B¸̃ Kim, Ph−¬ng ph¸p d¹y häc ®¹i c−¬ng m«n to¸n, NXB §HSP, Hµ
Néi, 2006.
[4] Hoµng Kú (chñ biªn), §¹i sè s¬ cÊp vµ Thùc hµnh gi¶i to¸n, NXB §HSP, Hµ Néi,
2005.
[5] Ph¹m ThÕ Long (chñ biªn), To¸n rêi r¹c, NXB §HSP, Hµ Néi, 2004. [6] NguyÔn Duy ThuËn, Gi¸o tr×nh Ph¸t triÓn t− duy to¸n häc cho häc sinh, NXB
§HSP, Hµ Néi, 2007.
[7] NguyÔn Quang UÈn (chñ biªn), T©m ly(cid:2) häc ®¹i c−¬ng, NXB §HSP, Hµ Néi,
2003.
Summary
Fostering and developing Mathematical thinking for university students of Maths through activities: mobilizing and applying knowledge and experience
In this paper, we discussed the ways to foster and develop mathematical thinking for university students of maths in pedagogical universities by showing them how to mobilize and apply their knowledge and experience. This is one of teacher’s effective ways in fostering and developing mathematical thinking for students while teaching maths. (a) Tr−êng §¹i häc s− ph¹m ®ång th¸p.
