VỀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM NHỚT
CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
CẤP HAI LOẠI PARABOLIC
ON THE UNIQUENESS OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND ORDER
PARABOLIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
TÓM TẮT
Lý thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục đã được
khảo sát bởi M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions [1], R. Jensen [3] trong khuôn khổ các nguyên
lý so sánh, các định lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày
một nguyên lý so sánh và đưa ra tính duy nhất của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo
hàm riêng cấp hai loại parabolic suy biến tổng quát.
ABSTRACT
The theory of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations of second
order has been considered by M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions [1], R. Jensen [3] which
provides a framework in comparison principles, uniqueness theorems and existence
theorems. This paper deals with a comparison principle and provides a uniqueness property of
a viscosity solution to general degenerate parabolic partial differential equations of second
order.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Khái niệm nghiệm nhớt được áp dụng cho các phương trình đạo hàm riêng có dạng:
F(x, u, Du, 2
D
u) = 0,
trong đó, F:n
R
R n
R
S(n) R với S(n) là ký hiệu của tập hợp tất cả các ma trận vuông
đối xứng cấp n. Trong thực tế ta thường xem xét hàm số F(x, u, Du, 2
D
u) = 0 với u là một
hàm số giá trị thực xác định trong một tập con của n
R
, Du là ký hiệu gradient của u và
uD2 ký hiệu cho ma trận Hessian các đạo hàm cấp hai của u. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của
bài toán sau đây, Du và 2
D
u không còn theo nghĩa cổ điển, tức là u không đòi hỏi phải khả vi
liên tục đến cấp hai.
Ta sẽ áp dụng lý thuyết nghiệm nhớt cho phương trình F = 0, trong đó F phải thỏa
mãn điều kiện đơn điệu (monotonicity condition):
F(x,r,p,X)
F(x,s,p,Y) với r
s và Y
X (1.1)
trong đó r, s
R, x, p
n
R
, X, Y
S(n) và trên S(n) đã trang bị thứ tự thông thường của nó.
Lưu ý rằng, điều kiện ở trên cho ta hai điều kiện:
F(x,r,p,X)
F(x,s,p,X) với r
s (1.2)
F(x,r,p,X)
F(x,r,p,Y) với Y
X. (1.3)
Khi đó ta nói F là suy biến (degenerate) nếu (1.3) là đúng.
2. KHÁI NIỆM NGHIỆM NHỚT
Bây giờ ta xét u là một hàm của (t, x), tức là u = u(t,x), và xét phương trình đạo hàm
riêng cấp hai phi tuyến loại parabolic:
t
u + F(t, x, u, Du, 2
D
u) = 0, (2.1)
trong đó Du và uD2 có nghĩa là ),( xtuDx và ),(
2xtuDx và F thỏa mãn điều kiện (1.1) (với x
được thay bởi (t,x)).
Cho là một tập con compact địa phương của n
R
, T > 0, và ký hiệu T
= (0,T)
.
Ta ký hiệu
,2
P và
,2
P của hàm số u: T
R như sau:
,2
P u(s,z) = {(a,p, X)
R
n
R
S(n) | (s,z)
T
và u(x,t)
u(s,z) + a(t-s) + zxp ,
+
2
1zxzxX ),( + o(|t-s|+ 2
|| zx ) khi (t,x)
(s,z) trong T
}
và
,2
P u = -
,2
P (-u).
Ta định nghĩa:
,2
Pu(t,x) ={(a,p, X)
R
n
R
S(n) |
(n
t,n
x,n
a,n
p,n
X )
T
R
n
R
S(n),
(n
a,n
p,n
X )
,2
P u( n
t,n
x ) và (n
t,n
x, u( n
t,n
x ), n
a,n
p,n
X )
(t, x, u(t,x), a, p, X)}
,2
Pu(t,x) ={(a,p, X)
R
n
R
S(n) |
(n
t,n
x,n
a,n
p,n
X )
T
R
n
R
S(n),
(n
a,n
p,n
X )
,2
P u( n
t,n
x ) và (n
t,n
x, u( n
t,n
x ), n
a,n
p,n
X )
(t, x, u(t,x), a, p, X)}.
ĐỊNH NGHĨA:
a. Một nghiệm nhớt dưới của phương trình (2.1) là một hàm u
C( T
) sao cho:
a + F(t, x, u(t,x), p, X)
0 với (t,x)
T
và (a, p, X)
,2
P u(t,x) ;
b. Một nghiệm nhớt trên của phương trình (2.1) là một hàm v
C( T
) sao cho:
a + F(t, x, v(t,x), p, X)
0 với (t,x)
T
và (a, p, X)
,2
P v(t,x) ;
c. Một nghiệm nhớt của phương trình (2.1) là một hàm u
C( T
) sao cho u vừa là
nghiệm nhớt dưới vừa là nghiệm nhớt trên của phương trình (2.1).
3. TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM
Xét bài toán Dirichlet cho phương trình (2.1)
.x ),(),0(
xT,t0 ,0),(
T)(0, trong0u)D Du, u, x,F(t, 2
xxu
xtu
ut
(3.1)
Trong đó n
R
là một tập mở, T > 0 và )( C
là một hàm số cho trước.
Định lý: Cho n
R
là một tập mở bị chặn. Cho F ))(],0([ nSRRTC n thỏa mãn
(1.1) với mỗi t cố định và thỏa mãn các điều kiện sau đây cho mỗi t:
F(t, y, r, )( yx
, Y) - F(t, x, r, )( yx
, X) |)|||( 2yxyx
với mọi x, y
, r
R
,
và X, Y )(nS
thỏa điều kiện sau:
-3
I
I
0
0
Y
X
0
0
3
II
II
-
trong đó ),0[),0[:


là một hàm liên tục thỏa mãn .0)0(
Khi đó, nếu u là nghiệm nhới dưới của (3.1) và v là nghiệm nhớt trên của (3.1) thì u
v
trên
[0,T)
.
Để chứng minh định lý trên ta xét các bổ đề sau đây:
Bổ đề 1: Cho
là một tập con của n
R
, )(,
UCvu và
}||
2
)()({sup 2
yxyvxuM
với .0
Cho
M với
lớn và ),(
yx là một điểm sao cho
0)]||
2
)()(([lim 2
yxyvxuM .
Khi đó, ta có:
(i) 0||lim 2
yx và
(ii) ))()((sup)()(lim xvxuxvxuM x
miễn là x là điểm giới hạn của
x khi
.
Bổ đề 2: Cho )),0(( ii TUCu với i=1,…,k, trong đó i
là một tập con compact địa
phương của i
N
R
. Cho
là một hàm số xác định trong một lân cận của k1 ... ),0( T
sao cho (t, 1
x,…, )
k
x
(t, 1
x,…, )
k
x khả vi cấp một theo t và khả vi cấp hai theo
(1
x,…, )
k
x
k1 ... . Giả sử ),,0(
_Tt ii
x
_ với i=1,…,k và
w(t, 1
x,…, )
k
x ),(...),( 11 kk xtuxtu
(t, 1
x,…, )
k
x),...,,( __
1
_
k
xxtw
với 0 < t < T và i
x
i
. Ngoài ra giả sử tồn tại một r > 0 sao cho với mọi M > 0 tồn tại
một hằng số C sao cho với i=1,…,k ta có:
Cbi khi ( i
b,i
q,i
X )
,2
Pi
u (t,i
x )
|| _
ii xx +rtt || _và |),(| ii xtu + || i
q + i
X.M
Khi đó, với mỗi 0
, tồn tại )( ii NSX sao cho:
(i)
)),,...,,(,( __
1
_
ikxi XxxtDb i
,2
P),( __
ii xtu với i=1,…,k,
(ii) -IA
1
k
X
X 0
0
1
A+ 2
A
,
(iii) ),,...,,(... __
1
_
1ktk xxtbb
trong đó )( 2
x
DA ),...,,( __
1
_
k
xxt và chuẩn của ma trận đối xứng A là:
|:sup{|Alà giá trị riêng của A}=}.1||:|,sup{|
A
Chứng minh các bổ đề này hoàn toàn tương tự như trong chứng minh cho trường hợp
ellitic[1].
Chứng minh định lý:
Trước hết ta lưu ý rằng với 0
, )/(
_tTuu
cũng là một nghiệm nhớt dưới
của (3.1) và thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng với bất đẳng thức ngặt; thật vậy,
2
_
2
___
)(
),,,,( tT
uDuDuxtFut
Vì
v
u
kéo theo vu
_ trong giới hạn khi 0
, nên ta sẽ chứng minh nguyên lý so sánh
với giả thiết phụ:
(i) t
u,/),,,,( 22 TuDDuuxtF
(ii) 
),(lim xtu
Tt đều trên
.
Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại một
),0(),( Tzs và 0),(),(
zsvzsu (3.2)
Ta có thể giả thiết u, -v là bị chặn trên. Cho ),,( yxt là điểm cực đại của
2
||)2/(),(),( yxytvxtu
trên ),0[ T trong đó 0
. Điểm cực đại này tồn tại
vì tính bị chặn trên của u, -v, tính compact của
và giả thiết phụ (ii). Đặt:
.||
2
),(),( 2
yxytvxtuM
Theo (3.2),
M. Nếu 0t, ta có:
0< );||
2
)()((sup 2
yxyxM
ta thấy rằng vế phải dần về không khi
theo Bổ đề 1. Vì vậy 0t với
lớn. Hơn
nữa, yx, với
lớn vì
v
u
trên
),0[ T. Do đó ta có thể áp dụng Bổ đề 2 tại điểm
),,( yxt và nhận được các số thực a, b và S(n),
YX sao cho:
)),(,( Xyxa
,2
P),( __ xtu , )),(,( Yyxb
,2
P),( __ ytv
sao cho
a - b = 0 và -3
I
I
0
0
Y
X
0
0
3
II
II
- . (3.3)
Các quan hệ:
a + ,)),(),,(,,tF( cXyxxtux
b + ,0)),(),,(,,tF( Yyxytvy
và (3.3) kéo theo
c
)),(),,(,,tF( Yyxytvy
-)),(),,(,,tF( Xyxxtux
|)|||( 2yxyx
.
Cho
, ta được điều mâu thuẫn và định lý được chứng minh.
4. KẾT LUẬN
Từ nguyên lý so sánh ta thấy rằng mọi nghiệm nhớt của bài toán Dirichlet (3.1) phải
trùng nhau và từ đó ta thu được tính duy nhất nghiệm của bài toán. Mặt dù khái niệm và các
tính chất của nghiệm nhớt đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, bài báo này khảo sát cho loại
phương trình parabolic và có thể áp dụng cho các phương trình xuất hiện trong hình học vi
phân như phương trình chuyển động mặt, phương trình mặt cực tiểu,…
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions, User’s guide to viscosity solutions of second
order partial differential equations, Bull. Amer. Math. Soc 1[27], 1992.
[2] M. G. Crandall, P. L. Lions, The maximum principle for semicontinuous functions,
Diff. Int. Equ. [3], 1990.
[3] R. Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second
order partial differential equations, Arch. Rat. Mech. Anal. [101], 1988.