VỀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI PARABOLIC ON THE UNIQUENESS OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND ORDER PARABOLIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT Lý thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục đã được khảo sát bởi M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions [1], R. Jensen [3] trong khuôn khổ các nguyên lý so sánh, các định lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày một nguyên lý so sánh và đưa ra tính duy nhất của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại parabolic suy biến tổng quát.

ABSTRACT The theory of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations of second order has been considered by M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions [1], R. Jensen [3] which provides a framework in comparison principles, uniqueness theorems and existence theorems. This paper deals with a comparison principle and provides a uniqueness property of a viscosity solution to general degenerate parabolic partial differential equations of second order.

1. ĐẶT VẤN ĐỀ

Khái niệm nghiệm nhớt được áp dụng cho các phương trình đạo hàm riêng có dạng:

2D u) = 0,

nR  R 

nR  S(n)  R với S(n) là ký hiệu của tập hợp tất cả các ma trận vuông 2D u) = 0 với u là một nR , Du là ký hiệu gradient của u và ký hiệu cho ma trận Hessian các đạo hàm cấp hai của u. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của 2D u không còn theo nghĩa cổ điển, tức là u không đòi hỏi phải khả vi

F(x, u, Du,

trong đó, F: đối xứng cấp n. Trong thực tế ta thường xem xét hàm số F(x, u, Du, hàm số giá trị thực xác định trong một tập con  của uD 2 bài toán sau đây, Du và liên tục đến cấp hai.

Ta sẽ áp dụng lý thuyết nghiệm nhớt cho phương trình F = 0, trong đó F phải thỏa mãn điều kiện đơn điệu (monotonicity condition):

F(x,r,p,X)  F(x,s,p,Y) với r  s và Y  X (1.1)

nR , X, Y  S(n) và trên S(n) đã trang bị thứ tự thông thường của nó.

trong đó r, s  R, x, p 

Lưu ý rằng, điều kiện ở trên cho ta hai điều kiện:

F(x,r,p,X)  F(x,s,p,X) với r  s (1.2)

F(x,r,p,X)  F(x,r,p,Y) với Y  X. (1.3)

Khi đó ta nói F là suy biến (degenerate) nếu (1.3) là đúng.

2. KHÁI NIỆM NGHIỆM NHỚT

Bây giờ ta xét u là một hàm của (t, x), tức là u = u(t,x), và xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến loại parabolic:

2D u) = 0,

tu + F(t, x, u, Du,

(2.1)

),(2 xtuDx

có nghĩa là và và F thỏa mãn điều kiện (1.1) (với x ),( xtuDx

uD 2 trong đó Du và được thay bởi (t,x)).

nR , T > 0, và ký hiệu

T = (0,T) 

.

,2P và  

T  R như sau:

xp

,

z

,2P u(s,z) = {(a,p, X)  R nR  S(n) | (s,z)  

T và u(x,t)  u(s,z) + a(t-s) +

( xX

 ),

xz

z

Ta ký hiệu Cho  là một tập con compact địa phương của ,2P của hàm số u: 

2|

T }

1 2

,2P (-u).  

,2P u = - 

+ o(|t-s|+ | x  z + ) khi (t,x)  (s,z) trong

,2P u(t,x) ={(a,p, X)  R nR  S(n) |  ( nt , nx , u( nt , na , (

nx ) và ( nt ,

,2P u( nt ,

nX )

np ,

nx , nx ),

na , na ,

np , np ,

T  R nR  S(n), nX )  nX )  (t, x, u(t,x), a, p, X)}

,2P u(t,x) ={(a,p, X)  R nR  S(n) |  ( nt , nx , u( nt , na , (

nx ) và ( nt ,

,2P u( nt ,

nX )

np ,

nx , nx ),

na , na ,

np , np ,

T  R nR  S(n), nX )  nX )  (t, x, u(t,x), a, p, X)}.

và Ta định nghĩa:

T ) sao cho: ,2P u(t,x) ; 

ĐỊNH NGHĨA:

T ) sao cho: ,2P v(t,x) ; 

a. Một nghiệm nhớt dưới của phương trình (2.1) là một hàm uC( a + F(t, x, u(t,x), p, X)  0 với (t,x)  T và (a, p, X) 

b. Một nghiệm nhớt trên của phương trình (2.1) là một hàm vC( a + F(t, x, v(t,x), p, X)  0 với (t,x)  T và (a, p, X) 

T ) sao cho u vừa là

c. Một nghiệm nhớt của phương trình (2.1) là một hàm uC(

nghiệm nhớt dưới vừa là nghiệm nhớt trên của phương trình (2.1).

2

3. TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM

Xét bài toán Dirichlet cho phương trình (2.1) 0 trong (0, u)D Du, F(t, u, x,  T)  

(3.1)  ,0 0 t  xT, 

( C

)

x ),0(   ( x ), x  ut  xtu ),(   u   .

nR

Trong đó là một tập mở, T > 0 và là một hàm số cho trước.

,0([

C

T

]



RR

n 

nS (

))

nR

2

là một tập mở bị chặn. Cho F thỏa mãn

, Y) - F(t, x, r,   ( , X)    y x y x | | | |) với mọi x, y  , r R ,

y

)

Định lý: Cho (1.1) với mỗi t cố định và thỏa mãn các điều kiện sau đây cho mỗi t: F(t, y, r, và X, Y

x  ( x  ( y ) )(nS thỏa điều kiện sau:

I 0 X 0 I - I  -3  3 0 I 0  Y  I I                  

trong đó là một hàm liên tục thỏa mãn

,0[:



,0[

)

)

 )0(

.0

Khi đó, nếu u là nghiệm nhới dưới của (3.1) và v là nghiệm nhớt trên của (3.1) thì u v trên [0,T)  .

Để chứng minh định lý trên ta xét các bổ đề sau đây:

Bổ đề 1: Cho  là một tập con của và

vu ,

UC

nR ,

M

yv )(

x

2y

}|

|

xu )({sup 

(  )  2

.0

M

)

)

|

2  )]

|

0

Cho ( ) là một điểm sao cho với  lớn và M x  y , với

xu (( 

yv ( 

x 

y 

lim [  

 2

.

|

2 

|

0

x 

y 

lim  

xv )(

xu )((

xv (

))

Khi đó, ta có: (i) và

.

x

 xuM )( 

lim  

sup  x

(ii) miễn là là điểm giới hạn của x khi

i

i

)

,0(

...

T 1

k



Bổ đề 2: Cho ) ) u T  UC ,0((  với i=1,…,k, trong đó

i là một tập con compact địa khả vi cấp một theo t và khả vi cấp hai theo

1x ,…,

iNR . Cho  là một hàm số xác định trong một lân cận của 1x ,…,

_

phương của sao cho (t, (t, )kx )kx

_ t 

 ...

ix 

i

1

k

. Giả sử ,0( T ), với i=1,…,k và )kx  ( 1x ,…,

 (t,

,...,

)

_ _ xtw ,( 1

_ kx

k

k

1x ,…,

1x ,…,

ix  i . Ngoài ra giả sử tồn tại một r > 0 sao cho với mọi M > 0 tồn tại

w(t,  ) ...  xtu ,( )  )kx xtu ,( 1 1 )kx

với 0 < t < T và một hằng số C sao cho với i=1,…,k ta có:

iq ,

iX )

,2P 

iu ( t ,

ix )

|

t

_  | t

r

|

_ x

|

Cbi  khi ( ib ,

.M

x  i

i

i

i

iq + iX

+ và | xtu ,( |) + | |

sao cho: X  i

,...,

)

)

i

,2P 

i

i

0 _  xtDb ,( x i 1 i

X

0

Khi đó, với mỗi _ ,( NS ( ) i _ _ xtu ,( (i) với i=1,…,k, , tồn tại _ Xx ), k

1

0

X

1 

  

 IA  

k

  

  

 ...

b

,...,

),

_ x

(ii) -   A+ 2A ,

b 1

k

 t

_ _ xt ,( 1

k

_

,...,

)

(iii)

2xDA  ( )

_ _ xt ,( 1

kx

A

sup{|

|:

sup{|

A |:|

}.1|

,

trong đó và chuẩn của ma trận đối xứng A là:

là giá trị riêng của A}=

Chứng minh các bổ đề này hoàn toàn tương tự như trong chứng minh cho trường hợp

ellitic[1]. Chứng minh định lý:

_ u

0

Trước hết ta lưu ý rằng với ,  u  /(  tT ) cũng là một nghiệm nhớt dưới

_

2

của (3.1) và thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng với bất đẳng thức ngặt; thật vậy,

_ _ _ uDuDuxtFut , ,

2

,(  , )   tT  ( )

_ u 

v

0

u  kéo theo

trong giới hạn khi , nên ta sẽ chứng minh nguyên lý so sánh

2

2

Vì v với giả thiết phụ:

tu

(i)  uxtF ,( , , uDDu , )  / T ,

xtu ),(



lim Tt 

(ii) đều trên  .

Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại một

và (3.2)

zs ),(

,0(

T

)



zsv ),(

0

),( zsu

yxt ,( ,

)

,0[ T

)

Ta có thể giả thiết u, -v là bị chặn trên. Cho là điểm cực đại của

2|

0 . Điểm cực đại này tồn tại

xtu ),(  ytv ,( )   ( |)2/ x  y trên trong đó

M

xtu ),(

ytv ,(

)

|

x

2y |

.

 2

vì tính bị chặn trên của u, -v, tính compact của  và giả thiết phụ (ii). Đặt:

0t

M

 (

x )(

y )(

|

x

2y |

);

Theo (3.2), . Nếu , ta có:  M

sup 

 2

0<

yx,

theo Bổ đề 1. Vì vậy

 ,0[ T

với  lớn. Hơn 0t . Do đó ta có thể áp dụng Bổ đề 2 tại điểm

)

)

ta thấy rằng vế phải dần về không khi với  lớn vì u  trên nữa, v

và nhận được các số thực a, b và sao cho:

, YX

S(n)

,( yxt ,

__ xtu ),(

__ ytv ,(

, )

a  (,(

x

Xy ),

)

b  ( ,(

x

Yy ),

)

,2P 

,2P 

sao cho

,tF(

xtux ,(,

),

Xy ),

)



c ,

I 0 X 0 I - I  . (3.3) a - b = 0 và -3  3 0 I 0  Y  I I                   Các quan hệ:

x

,tF(

ytvy ,(,

Yy ),

)

,0

a +

 ( x  ), (

b +

2

,tF(

ytvy ,(,

),

 ( x

Yy ),

)

,tF(

 ( x

Xy ),

)

  (

|

x

y

|

|

x

y

|)

và (3.3) kéo theo

), xtux ,(,

c  - .



, ta được điều mâu thuẫn và định lý được chứng minh.

Cho 4. KẾT LUẬN

Từ nguyên lý so sánh ta thấy rằng mọi nghiệm nhớt của bài toán Dirichlet (3.1) phải trùng nhau và từ đó ta thu được tính duy nhất nghiệm của bài toán. Mặt dù khái niệm và các tính chất của nghiệm nhớt đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, bài báo này khảo sát cho loại phương trình parabolic và có thể áp dụng cho các phương trình xuất hiện trong hình học vi phân như phương trình chuyển động mặt, phương trình mặt cực tiểu,…

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions, User’s guide to viscosity solutions of second order partial differential equations, Bull. Amer. Math. Soc 1[27], 1992.

[2] M. G. Crandall, P. L. Lions, The maximum principle for semicontinuous functions, Diff. Int. Equ. [3], 1990.

[3] R. Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations, Arch. Rat. Mech. Anal. [101], 1988.