Báo cáo tóm tắt đề tài nghiên cứu khoa học cấp Bộ: Vai trò của phân tích khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM KHOA TOÁN - TIN

BÁO CÁO TÓM TẮT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ

Mã số: B2001 - 23 - 02

Tên đề tài

VAI TRÒ CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU VÀ THỰC HÀNHDẠY - HỌC MÔN TOÁN

Chủ nhiệm đề tài : TS. Lê Thị Hoài Châu

Thời gian thực hiện : Từ tháng 5 - 2001 đến tháng 3 - 2003

Ngày viết báo cáo : 10 - 3 - 2003

TP.Hồ Chí Minh 2003

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM KHOA TOÁN – TIN

BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ Mã số: B2001 -23 -02 VAI TRÒ CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU VÀ THỰC HÀNH DẠY – HỌC MÔN TOÁN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH 280 An Dƣơng Vƣơng, Quận 5, TPHCM TS.LÊ THỊ HOẠI CHÂU Cán bộ giảng dạy khoa Toán-Tin, ĐHSP TP. HCM TS. LÊ VĂN TIẾN Cán bộ giảng dạy khoa Toán – Tin, ĐHSP TP.HCM

Cơ quan chủ trì: Chủ nhiệm đề tài: Cùng tham gia nghiên cứu: TP. Hồ Chí Minh 2003

PHẦN I: ................................................................................................................................. 1

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ..................................................................................... 1

CHƢƠNG 1: ................................................................................................................... 1

KHOA HỌC LUẬN VÀ PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ ................................... 1

I. Về thuật ngữ Khoa học luận ......................................................................................... 1

II. Khoa học luận, lịch sử và phân tích khoa học luận lịch sử của một khoa học. ............. 3

CHƢƠNG 2: LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN ........................ 5

A. Những giả thuyết về học tập ....................................................................................... 5

B. Lợi ích sƣ phạm của Phân tích khoa học luận ............................................................ 6

I. Khoa học luận – đối tƣợng tri thức – đối tƣợng dạy học ............................................... 6

II. Khoa học luận và lý thuyết tình huống ......................................................................... 8

III. Khoa học luận và chƣớng ngại ................................................................................. 10

IV. Khoa học luận và quan niệm .................................................................................... 13

V. Kết luận .................................................................................................................... 19

CHƢƠNG 3: VÍ DỤ VỀ LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN ...... 20

A. Trƣờng hợp khái niệm vectơ hình học ...................................................................... 20

I. Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành lý thuyết vectơ ........................................ 20

II. Những trở ngại cho sự xuất hiện khái niệm vectơ và sự phát triển của tính toán vectơ ...................................................................................................................................... 31

III. Lợi ích sƣ phạm của phân tích khoa học luận .......................................................... 33

B. TRƢỜNG HỢP PHÉP BIẾN HÌNH ........................................................................... 38

I. Những điểm chủ yếu rút ra từ phân tích khoa học luận lịch sử hình thành và phát triển lý thuyết các phép biến hình ............................................................................................. 38

II. Lợi ích sƣ phạm ........................................................................................................ 42

II.2. Điểm hóa các hình hình học - một chƣớng ngại khoa học luận. Vai trò của hình học giải tích ............................................................................................................................ 43

C. Trƣờng hợp số phức .............................................................................................. 48

I. Giai đoạn 1: Cách viết trung gian – mầm mống đầu tiên của số phức ........................ 48

II. Giai đoạn 2: ký hiệu hình thức các đại lƣợng ảo ....................................................... 53

III. Giai đoạn 3: Biểu diễn hình học các đại lƣợng ......................................................... 56

IV. Giai đoạn 4: Đại số các số phức .............................................................................. 61

KẾT LUẬN .......................................................................................................................... 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... 66

MỤC LỤC

PHẦN PHỤ LỤC ................................................................................................................... 2

4. Kinh phí đã chi ............................................................................................................ 2

PHẦN I:

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

CHƢƠNG 1: KHOA HỌC LUẬN VÀ PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ

I. Về thuật ngữ Khoa học luận I.1. Nguồn gốc Thuật ngữ Khoa học luận chỉ mới xuất hiện ở thế kỷ 19, đƣợc cấu tạo từ hai gốc Hy lạp épistèmè (khoa học) và logo (nghiên cứu về). Trong Vocabulaire technique et critique de la Phylosophie của Lalande (đầu thế kỷ 20), ta tìm thấy định nghĩa sau đây: "Từ này chỉ triết học của các khoa học nhƣng với nghĩa rõ hơn một chút. Nó không phải là một nghiên cứu về các phƣơng pháp khoa học - đó là đối tƣợng của Phƣơng pháp luận và là một phần của Logic học. Nó cũng không phải là một sự tổng hợp hay tiên đoán các luật khoa học. ... Về cơ bản, khoa học luận là một nghiên cứu mang tính phê phán những nguyên lý, những giả thuyết và những kết quả của các khoa học khác nhau, nhằm xác định nguồn gốc logic (chứ không phải là nguồn gốc tâm lý), giá trị và ảnh hƣởng khách quan của chúng."

Nhƣ thế, Khoa học luận xuất hiện nhƣ là một bộ phận của Triết học các khoa học. Vậy thì Khoa học luận và Triết học các khoa học đƣợc phân biệt với nhau ở chỗ nào? Nhƣ J - L. Dorrier (1996) đã chỉ ra, Triết học của các khoa học hƣớng đến việc vạch rõ đặc trƣng của những đối tƣợng gắn liền với tri thức khoa học và xác định tính hợp thức của tri thức. Nói cách khác, hai mục đích dƣờng nhƣ không thể tách biệt của Triết học các khoa học là: - nghiên cứu những đặc trƣng của tri thức (nhà bác học nói về cái gì, và nói nhƣ thế nào về cái đó?)

- nghiên cứu tính thực tiễn khoa học của một đối tƣợng tri thức (chân lý khoa học là gì? có chân lý khoa học với điều kiện nào có thể nói về chân lý khoa học trong những giới hạn nào?)

Theo nghĩa hẹp thì Khoa học luận đƣợc giới hạn ở mục đích đầu tiên, nghĩa là nó nghiên cứu những điều kiện cho phép sản sinh ra các kiến thức khoa học, quá trình hình thành và phát triển của các kiến thức đó. I.2. Các trào lưu khác nhau

Cùng với thời gian, nghĩa của thuật ngữ Khoa học luận đã tiến triển, đƣợc mở rộng và trở nên đa dạng hơn nhiều. Drouin (1991) đã phân biệt bốn trào lƣu khoa học luận khác nhau, trong đó, do mục đích nghiên cứu của đề tài này, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến hai trào lƣu:

• Khoa học luận lịch sử: nghiên cứu quá khứ để khám phá ra quá trình hình thành nên một tri thức (những vấn đề gắn liền với nó, những trở ngại, những bƣớc nhảy quan niệm cho phép tri thức nảy sinh, v.v....)

• Khoa học luận phát sinh: nghiên cứu các đặc trƣng của tri thức khoa học và thử tìm lại những đặc trƣng đó trong sự phát sinh tri thức ở trẻ em thông qua quan sát. Nhƣ thế, khoa học luận phát sinh quan tâm đến sự phát triển kiến thức ở cá thể, nghiên cứu quá trình xây dựng những kiến thức "chấp nhận đƣợc" và bƣớc chuyển từ tình trạng tháp đến tình trạng kiến thức tăng vọt. Cách tiếp cận này (của Piaget) đã tách khoa học luận ra khỏi triết học, tạo nên một khoa học nhân văn và thực nghiệm Giữa khoa học luận lịch sử và khoa học luận phát sinh có một quan điểm chung: sự

phát sinh tri thức là một quá trình gồm nhiều giai đoạn. I.3. Khoa học luận trong didactic toán

Những gì đã trình bày ở trên cho ta thấy thuật ngữ khoa học luận đã đƣợc sử dụng với nhiều nghĩa khác nhau. Vậy thuật ngữ này đƣợc hiểu nhƣ thế nào trong các nghiên cứu về hoạt động dạy và học toán?

Trả lời cho câu hỏi này, J-L. Dorrier nói: trong didactic1 ta quan tâm đến Khoa học luận theo nghĩa nó nghiên cứu những điều kiện sản sinh ra các tri thức khoa học, giúp ta hiểu rõ hơn mối liên hệ giữa việc xây dựng tri thức trong cộng đồng các nhà bác học với việc dạy và học tri thức này (J-L. Doƣier, 1996, tr 21).

Nhƣ vậy, khoa học luận nghiên cứu những điều kiện cho phép nảy sinh tri thức khoa học, quan tâm đến sự tiến triển của các tri thức hay kiến thức. Ở đây thuật ngữ tiến triển đƣợc hiểu theo nghĩa rộng: nó có thể liên quan đến sự biến đổi tình trạng kiến thức của một hệ thống, một thể chế hay một cá thể. Hơn thế, nó chú ý không chỉ đến những tƣ tƣởng tiến bộ mà còn đến cả những trì trệ, những bƣớc lùi. Các thuật ngữ tri thức và kiến thức thì đƣợc hiểu theo nghĩa chủng loại: một kiến thức gắn liền với một cá thể, thể hiện qua những hoạt động trong một lớp tình huống xác định, và chỉ có thể trở thành tri thức sau khi đã đƣợc phi cá nhân hóa, phi ngữ cảnh hóa. Cách hiểu này nhấn mạnh tính chất động cũng nhƣ chế độ nhiều thể chế của kiến thức và tri thức, hơn thế nữa, nó có thể thích hợp ở tất cả những nơi mà kiến thức hay tri thức đang trên đƣờng xây dựng, tiến triển hoặc biến đổi. Thừa nhận quan điểmcủa Dorrier J-L., chúng tôi định nghĩa: Phân tích khoa học luận một tri thức là nghiên cứu lịch sử hình thành tri đó nhằm vạch rõ:

1 "Didactic" là cách viết phiên âm của didactícs trong tiếng anh và didactique trong tiếng pháp. Tùy theo ngữ cảnh, thuật ngữ này có thể đƣợc hiểu theo những nghĩa khác nhau. Trong câu trên, nó có thể đƣợc dịch sang tiếng Việt là lý luận dạy-học. Didactic toán có nghĩa là lý luận dạy-học môn toán.

- nghĩa của tri thức, những bài toán, những vấn đề mà tri thức đó cho phép giải quyết; - những trở ngại cho sự hình thành tri thức ;

- những bƣớc nhảy trong quan niệm, những điều kiện sản sinh ra tri thức; - những quan niệm cóthể gắn liền với tri thức. - Phân tích khoa học luận sẽ giúp ta hiểu rõ mối liên hệ giữa quá trình xây dựng tri thức trong cộng đồng khoa học với việc dạy và học tri thức này.

II. Khoa học luận, lịch sử và phân tích khoa học luận lịch sử của một khoa

học.

Cách hiểu trên về thuật ngữ khoa học luận khá gần gũi với trào lƣu khoa học luận lịch sử. Nó dẫn đến chỗ thừa nhận mối liên hệ khăng khít giữa khoa học luận với lịch sử các khoa học.

Thoạt nhìn, có thể cho rằng Lịch sử các khoa học chỉ giới hạn ở việc liệt kê các sự kiện khoa học, cùng lắm là vạch ra những triển vọng thông qua tƣ tƣởng tổng quát ở từng thời đại. Nhƣng cách nhìn này quá hạn hẹp, nhƣ G. Canghuilhem đã nhấn mạnh: "Lịch sử của một khoa học không phải là bộ sƣu tập đơn giản các tiểu sử, lại càng không phải là bảng niên đại đƣợc tô điểm bởi những giai thoại. Nó phải là lịch sử của sự hình thành, sự biến dạng, sự chỉnh lý các khái niệm khoa học". Nghiên cứu lịch sử một khoa học không đơn giản chỉ là mô tả các sự kiện, mà còn phải xem xét tính gắn bó nội tại chặt chẽ thể hiện qua những khái niệm, những vấn đề đƣa lại nghĩa cho khoa học đó.

Theo quan niệm này thì Lịch sử một khoa học không thể tách rời khỏi những câu hỏi có tính khoa học luận. Nhƣ thế, nghiên cứu lịch sử của một khoa học có mối liên hệ chặt chẽ với phân tích khoa học luận về khoa học đó. Thậm chí, theo J-L. Dorier (1997), nghiên cứu lịch sử và nghiên cứu khoa học luận không thể tách rời nhau, chúng chỉ có thể thiên về phía lịch sử hay về phía khoa học luận nhiều hơn mà thôi. Tuy nhiên, Khoa học luận và Lịch sử các khoa học không đồng nhất với nhau. Bachelard phân biệt hai đối tƣợng này qua những ý kiến sau:

• "Nhà lịch sử xem các tƣ tƣởng nhƣ là những sự kiện. Nhà khoa học luận thì lại nắm lấy các sự kiện nhƣ là những tƣ tƣởng bằng cách lồng chúng vào trong một hệ thống tƣ duy." • "Lo lắng về tính khách quan, nhà lịch sử ghi vào danh mục mọi tƣ liệu, không đi đến chỗ đo đƣợc những biến đổi nhận thức trong sự giải thích cho cùng một bản văn. Thực ra thì ở cùng một thời đại, dƣới cùng một từ, có thể có những khái niệm khác nhau biết bao nhiêu. Cái làm cho ta có thể nhầm lẫn chính là ở chỗ một từ đƣợc dùng đồng thời vừa để chỉ định vừa để giải thích. Tên gọi là một, nhƣng cách giải thích thì lại khác nhau. [...] Nhà khoa học luận phải cố gắng nắm bắt khái niệm khoa học trong quá trình tiến triển, bằng cách thiết lập các bậc thang quan niệm về mỗi khái niệm, chỉ rõ nó đƣợc hình thành nhƣ thế nào và có liên hệ ra sao với những khái niệm khác."

Để minh họa ý kiến này, chúng tôi lấy thuật ngữ "phép biến hình" làm ví dụ. Nhƣ sẽ phân tích rõ ở chƣơng 3, trong một nghiên cứu khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm "phép biến hình", thuật ngữ này đƣợc lấy những nghĩa khác nhau ở những giai đoạn khác nhau. Chẳng hạn, vào cuối thế kỷ 16, phép biến hình chƣa đƣợc định nghĩa, chỉ đƣợc mô tả

qua kết quả tác động của nó lên một đối tƣợng hình học. Ở giai đoạn này ngƣời ta xem xét các hình hình học trong tổng thể về hình dạng, kích thƣớc, không nhìn nó nhƣ một tập hợp điểm, và phép biến hình đƣợc hiểu là một phép là biến đổi hình -, đƣợc sử dụng nhƣ một công cụ ngầm ẩn để chuyển các tính chất hình học từ hình này sang hình kia, mà ngƣời ta cũng chỉ dùng nó trong nghiên cứu về các đƣờng conic. Cách hiểu này cho phép chuyển một số tính chất hình học của đƣờng tròn vào các đƣờng cônic ảnh, có nghĩa là từ tính chất của đƣờng tròn mà suy ra tính chất của đƣờng cônic, không cần một phép chứng minh mới. Đến thế kỷ 18, mặc dầu đƣợc sử dụng ở một góc độ khác, khái niệm phép biến hình vẫn chƣa đƣợc định nghĩa. Ngƣời ta đƣa vào từ “phép biến đổi hình” như một thuật ngữ được mô tả chứ không phải nhƣ một đối tƣợng của toán học. Sang thế kỷ 19, phép biến hình mới đƣợc hiểu theo nghĩa ánh xạ trong không gian vào chính nó, và ở đây không gian được xem xét với tư cách là một tập hợp điểm.

• Để phân biệt phân tích khoa học luận với nghiên cứu lịch sử một khoa học, Bachelard còn nói đến những chƣớng ngại: "Một sự kiện đƣợc hiểu không đúng ở một thời đại chỉ là một sự kiện đối với nhà lịch sử, nhƣng lại có thể là một chƣớng ngại hay một ý tƣởng đối lập theo cách nhìn của nhà khoa học luận. Khi một tƣ tƣởng khoa học xuất hiện nhƣ là khó khăn đã đƣợc khắc phục thì cũng có nghĩa là một chƣớng ngại đã đƣợc vƣợt qua". (Bachelard, 1938, tr. 17-18).

Phân tích khoa học luận lịch sử là một phân tích quá khứ để khám phá những mò mẫm, những lệch lạc, những hƣớng đi sai lầm, những chƣớng ngại khác nhau, những điều kiện có thể làm xuất hiện các khái niệm khoa học mới. Trong phân tích khoa học luận lịch sử, điều kiện cho sự nảy sinh một phát minh cũng quan trọng không kém bản thân phát minh đó. Theo nghĩa này thì cần phải đặt nghiên cứu của nhà toán học vào bối cảnh thời đại ông ta sống (bối cảnh khoa học là hiển nhiên, có khi còn phải tính đến bối cảnh kinh tế, xã hội, chính trị, hay văn hóa, thậm chí hoàn cảnh cá nhân của tác giả). Phân tích khoa học luận lịch sử sẽ tạo ra một cơ sở dữ liệu cho phép ta hiểu đầy đủ hơn sự tiến triển của khái niệm, những điều kiện để khái niệm này hình thành, phát triển, và cũng cả những điều kiện đem đến khả năng hay, ngƣợc lại, cản trở sự tiến lên.

CHƢƠNG 2: LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN

Sự cần thiết hay không của phân tích khoa học luận một tri thức đối với việc dạy - học tri thức đó là do quan niệm về hoạt động học quy định. Vì thế, trƣớc khi bàn về lợi ích sƣ phạm của phân tích khoa học luận, chúng tôi cần nói rõ quan niệm đƣợc thừa nhận ở đây về hoạt động này.

A. Những giả thuyết về học tập

Ngành tâm lý học dựa trên năng lực nhận thức thừa nhận quan điểm cho rằng học là làm thay đổi kiến thức. Quan điểm này hƣớng đến việc nghiên cứu bản chất những kiến thức đƣợc thay đổi ở con ngƣời.

Bộ não con ngƣời, giống nhƣ một hệ thống xứ lí thông tin, có khả năng thực hiện một số thao tác nào đó: khả năng phân biệt, nhận dạng, tích lũy thông tin, có khả năng thu hồi thông tin, đặt chúng trong mối liên hệ với nhau, thực hiện những thao tác trí tuệ, ... Việc vận dụng các thao tác này sẽ khác nhau tùy theo nhiệm vụ cần thực hiện: học, lí giải, đánh giá, giải quyết một vấn đề, ... Mục tiêu của việc học càng đa dạng bao nhiêu thì hình thức học tập càng phong phú bấy nhiêu.

Theo trƣờng phái Piaget, chủ thể học qua hành động: sự tiếp thu kiến thức có đƣợc do chủ thể hành động và hành động đó là nguồn thông tin mới. Sự kiến tạo tri thức qua hoạt động xảy ra theo kiểu thích nghi với tình huống. Nếu vốn kiến thức của chủ thể đủ cho chủ thể giải quyết nhiệm vụ đặt ra trong tình huống, ta nói có một sự cân bằng giữa kiến thức của chủ thể và tình huống. Trong trƣờng hợp vốn kiến thức không cho phép chủ thể giải quyết nhiệm vụ, ta nói giữa chủ thể và tình huống có một sự mất cân bằng. Để giải quyết nhiệm vụ đƣợc đặt ra, chủ thể phải xây dựng những công cụ mới. Khi vấn đề đƣợc giải quyết, ta nói chủ thể đã lập lại đƣợc sự cân bằng mới. Học tập là một quá trình thiết lập những sự cân bằng mới nhƣ vậy. Kế thừa quan điểm của trƣờng phái Piaget, ngƣời ta thừa nhận những giả thuyết sau về học tập:

• Giả thuyết tâm lí: Chủ thể học bằng cách tự thích nghi với một môi trường - môi trường này gây ra những mâu thuẫn, khó khăn và sự mất cân bằng giữa vốn kiến thức của chủ thể với nhiệm vụ phải giả quyết. Theo giả thuyết này: - học là một quá trình năng động trong đó ngƣời học đóng vai trò chủ động. - kiến thức đƣợc xây dựng do tƣơng tác giữa chủ thể ngƣời học với môi trƣờng vật lý và xã hội của chủ thể đó.

Giả thiết nhận thức: Một môi trường không có chủ ý sư phạm (tức là không được cố ý tổ chức để dạy một tri thức) không đủ để tạo ra cho chủ thể mọi kiến thức mà xã hội muốn chủ thể đó lĩnh hội được. Thầy giáo phải làm phát sinh ở học sinh những sự thích nghi mong muốn bằng cách tổ chức xác đáng cái mà ta gọi là "môi trường".

"Môi trƣờng" có một vai trò trung tâm trong việc học, nó là nguyên nhân của những sự thích nghi. Một tình trạng kiến thức sẽ đƣợc đặc trƣng bởi một trạng thái cân bằng của hệ thống học sinh - môi trƣờng. Học tập là sự xây dựng những tình trạng cân bằng mới.

B. Lợi ích sư phạm của Phân tích khoa học luận Chúng ta sẽ chỉ ra vai trò của nghiên cứu khoa học luận lịch sử đối với hoạt động dạy-

học toán thông qua việc phân tích những lợi ích mà nó mang lại.

I. Khoa học luận – đối tượng tri thức – đối tượng dạy học

I.1. Đối tượng tri thức Sự ra đời của một "tri thức bác học" là kết quả của một hoạt động khoa học. Hoạt động này gắn liền với lịch sử cá nhân nhà nghiên cứu. Nhà nghiên cứu đặt ra một vấn đề. Để giải quyết nó, ông ta phải khám phá ra những phƣơng pháp, những kiến thức. Một số trong những kiến thức này đƣợc nhà nghiên cứu nhận thấy là đủ mới, đủ hay, có thể thông báo cho cộng đồng khoa học. Để thông báo, nhà nghiên cứu tạo cho những kiến thức này một dạng khái quát nhất có thể đƣợc, theo quy tắc suy lý logic đang lƣu hành trong cộng đồng khoa học. Trong quá trình soạn thảo tri thức:

«- ... nhà nghiên cứu xóa đi thời kỳ khai thủy của nghiên cứu: những suy nghĩ vô ích, những sai lầm, những đƣờng vòng lắt léo, rất dài, thậm chí dẫn đến ngõ cụt. Nhà nghiên cứu cũng bỏ đi tất cả những gì liên quan đến động cơ cá nhân hay nền tảng hệ tƣ tƣởng của khoa học theo nhận thức của mình. Chúng tôi dùng từ phi cá nhân hóa để chỉ tập hợp những sự gạt bỏ này.

- nhà nghiên cứu cũng xóa đi lịch sử trƣớc đó đã dẫn mình đến nghiên cứu này (những mò mẫm, những con đƣờng sai lầm), có khi còn tách nó ra khỏi bài toán đặc biệt mà lúc đầu mình muốn nghiên cứu và tìm một bối cảnh tổng quát nhất sao cho trong đó kết quả vẫn đúng. Chúng tôi gọi việc làm này là phi ngữ cảnh hóa.

- Nhà nghiên cứu cấu trúc và sắp xếp lại những kiến thức mình tìm thấy, lồng nó vào trong một hệ thống kiến thức gần gũi, đặt lại nó vào một cách tiếp cận mới. Chúng tôi dùng từ phi thời gian hóa để chỉ hoạt động này." (Arsac, 1989)

Hoạt động phi cá nhân hóa, phi ngữ cảnh hóa và phi thời gian hóa có hệ quả tích cực ở chỗ nó làm cho tri thức trở thành tri thức chung, có thể sử dụng và kiểm tra bởi bất cứ ai, ít nhất là cũng bởi các thành viên của cộng đồng khoa học. Nhƣng nó cũng có hệ quả tiêu cực là làm biến mất đi một phần hay toàn bộ bối cảnh của phát mình, che dấu đi những câu hỏi

ban đầu mà tri thức này là một câu trả lời, làm cho phát minh trở thành bí ẩn và bị tước mất nghĩa. I.2. Đối tượng dạy học

Trong những tri thức toán học đƣợc tích lũy qua lịch sử, các nhà lập chƣơng trình chọn ra một số vấn đề làm đối tƣợng dạy học. Nhiều yếu tố ảnh hƣởng đến sự lựa chọn này (kiểu xã hội, kiểu tổ chức hành chính, tình trạng của hệ thống giáo dục, trình độ phát triển công nghệ, việc đào tạo giáo viên, v.v. ...).. Để trở thành có thể dạy đƣợc cho một bộ phận công chúng nào đó, tri thức lại tiếp tục bị biến đổi.

Cụ thể là sau khi đối tƣợng dạy học đã đƣợc chỉ ra, các nhà lập chƣơng trình phải quay trở về với hệ thống giáo dục, tổ chức chúng lại theo một trình tự nối khớp hợp logic, đảm bảo tính gắn kết giữa các thành phần.

Theo chƣơng trình quy định, các nhà viết sách giáo khoa tìm cách trình bày lại những tri thức đƣợc chọn. Việc phải chia cắt tri thức thành từng « lát» để có thể tuần tự dạy đƣợc cho một bộ phận công chúng xác định, và việc chiếm lĩnh tri thức này phải đƣợc đánh giá qua một số khả năng nào đó - đã đƣợc thu hẹp cho phù hợp với đối tƣợng dạy-học, là những ràng buộc đè nặng lên hoạt động soạn thảo sách giáo khoa. Để cho các tri thức lập thành một tập hợp gắn kết và ngƣời học có thể lĩnh hội đƣợc, nhiều khi tác giả phải viết lại các định nghĩa, các tính chất, biến đổi các phép chứng minh, tạo ra một sự nối khớp khác. Tác giả cũng có thể bị dẫn đến chỗ sáng tạo ra một số đối tƣợng mới. Hệ quả kéo theo là nhiều khi có một sự chênh lệch khá lớn giữa tri thức bác học với tri thức xuất hiện trong chƣơng trình và sách giáo khoa. I.3.Hạn chế của một nghiên cứu chỉ đóng khung trong nội tại hệ thống dạy học

Phần lớn những tri thức toán học giảng dạy trong nhà trƣờng đều ra đời muộn nhất là đầu thế kỷ 20. Ngoài hệ thống dạy học, những tri thức này tồn tại nhƣ là công cụ cơ sở đối với ngƣời làm toán chuyên nghiệp, hay nhƣ là kỹ năng trong các thể chế sử dụng toán học, không còn đƣợc quan tâm với tƣ cách một đối tƣợng nữa. Trong bối cảnh này, tri thức tồn tại ở những dạng khác nhau và đã bị thuần hóa, bị biến đổi so với nguồn gốc ban đầu của nó. Những vấn đề mà nó cho phép giải quyết đã bị lãng quên. Nó có thể đƣợc trao một chức năng hoàn toàn mới, là cơ sở cho sự hình thành những tri thức khác phức tạp hơn sinh ra từ thể chế sử dụng nó.

Hơn thế, những biến đổi mà tri thức phải chịu để trở thành đối tƣợng giảng dạy "thƣờng rất ít khi xuất phát từ một lý do có bản chất khoa học luận gắn liền với sự sản sinh ra tri thức này. Những biến đổi đó thƣờng mang tính chất giải pháp tình huống, chủ yếu là tuân theo các ràng buộc nội tại của thể chế dạy học" (J-L. Dorrier, 1996, tr.21).

Tất nhiên, tri thức chƣơng trình và sách giáo khoa đã đƣợc hình thành trên cơ sở lấy tri thức bác học làm tham chiếu. Nhƣng vẫn còn một số điểm tối trong mối liên hệ giữa tri thức với tri thức đƣợc dạy. Vì thiếu những hiểu biết về lịch sử của tri thức, nhà nghiên cứu hay giáo viên không đƣợc tiếp xúc tận gốc quá trình biến đổi một tri thức thành đối tƣợng dạy học

(quá trình mà Chevallard gọi là chuyển đổi didactic), chỉ hình dung đƣợc những giai đoạn gần gũi nhất.

I.4. Vai trò của khoa học luận Nếu muốn phân tích độ chênh lệch giữa một tri thức bác học và tri thức đƣợc dạy, ngƣời ta phải căn cứ vào nội dung tri thức bác học trên quan điểm khoa học luận, nghĩa là trên những yếu tố do phân tích khoa học luận mang lại: nghĩa của tri thức, những vấn đề mà tri thức đó cho phép giải quyết, những trở ngại cho sự hình thành tri thức, những bƣớc nhảy trong quan niệm, những điều kiện cho phép tri thức nảy sinh,... Đây là những hiểu biết cần thiết cho việc thiết kế một môi trƣờng để trong đó hoạt động học xảy ra.

Nghiên cứu khoa học luận giúp ta "trả lại tính lịch sử cho khái niệm toán học mà việc dạy học thƣờng có khuynh hƣớng trình bày nó nhƣ những đối tƣợng phổ biến đồng thời trong thời gian và trong không gian". (M. Artigue, 1990, tr. 243). Nghiên cứu này cũng giúp ta thoát khỏi ảo tƣởng mà việc dạy học thƣờng vun trồng về một sự chính xác vĩnh cửu và hoàn hảo của toán học.

Trong khi trƣờng học sống trong ảo tƣởng rằng đối tƣợng dạy học là một bản copy, tuy đã đƣợc đơn giản hóa nhƣng vẫn trung thành, của đối tƣợng khoa học, thì phân tích khoa học luận sẽ giúp nhà nghiên cứu hiểu rõ cái gì chi phối sự tiến triển của kiến thức khoa học, đâu là sự chênh lệch giữa tri thức bác học với tri thức được dạy, đâu là khoảng cách giữa hai hệ thống - toán học và dạy học.

Phân tích trên giải thích sự cần thiết của một nghiên cứu khoa học luận. Nghiên cứu này giúp ta vạch rõ các tham chiếu hợp thức của tri thức cần dạy, trả lại cho tri thức những nghĩa rộng hơn, phong phú hơn, điều mà việc nghiên cứu đơn thuần chƣơng trình và sách giáo khoa không thể mang lại. Những hiểu biết khoa học luận về tri thức cần dạy giúp nhà nghiên cứu và giáo viên nhìn nó ở một khoảng cách cần thiết, không hoàn toàn bị bó hẹp trong nội tại hệ thống dạy học, không chỉ xem xét nó dƣới lăng kính của chƣơng trình và sách giáo khoa. Nói cách khác, phân tích khoa học luận giúp cho nhà nghiên cứu thoát ra khỏi ảo tƣởng về sự « trong trẻo » của đối tƣợng tri thức và gạt bỏ những biểu tƣợng sai lầm về mặt khoa học luận mà hoạt động dạy học có thể gây nên. Điều này là cần thiết nếu ta muốn tìm những tình huống cho phép học sinh nắm đƣợc nghĩa của tri thức.

II. Khoa học luận và lý thuyết tình huống II.1. Nghĩa của tri thức, tình huống mang lại nghĩa cho tri thức Các nghiên cứu hoạt động dạy-học toán nói chung đều liên quan đến sự xây dựng kiến thức ở chủ thể (học sinh). Nhà nghiên cứu phải đƣơng đầu với vấn đề thiết kế hay phân tích sự hình thành kiến thức khoa học trong một tình huống dạy-học - đƣợc gọi là sự hình thành giả tạo để phân biệt với sự hình thành lịch sử (sự hình thành đã xảy ra trong thực tế lịch sử).

Khi thiết kế hoặc phân tích một tình huống dạy-học, trƣớc hết nhà nghiên cứu phải trả tìm cách lời những câu hỏi sau:

- Liệu có đảm bảo rằng vấn đề đƣợc đặt ra trong tình huống là đích thực đối với tri thức hay không? Từ đích thực ở đây đƣợc hiểu theo nghĩa tri thức cần dạy là tri thức hoặc không thể thiếu, hoặc đem lại một chiến lƣợc tối ƣu cho việc giải quyết vấn đề đƣợc đặt ra. - Vấn đề đó có mối liên hệ nhƣ thế nào với lý do tồn tại của đối tƣợng tri thức đƣợc xem là mục đích của hoạt động dạy-học.

- Vấn đề ấy đƣa lại cho tri thức cái nghĩa nào? Đó là những câu hỏi mang tính chất khoa học luận. Nhằm mục đích mô hình hóa để nghiên cứu các tình huống dạy học, G. Brousseau đã xây dựng nên Lý thuyết tình huống (tham khảo G. Brousseau, 1999). Lý thuyết này thừa nhận giả thuyết khoa học luận sau:

"Với mỗi kiến thức đều tồn tại một họ tình huống có khả năng đem lại cho nó một nghĩa đúng" (Brousseau, 1988b). Đúng ở đây là đúng so với lịch sử của khái niệm, so với bối cảnh xã hội và so với cộng đồng khoa học.

Vấn đề là phải "tái tạo" lại trong lớp một sự hình thành nên những khái niệm toán học với cái nghĩa mà ta muốn học sinh chiếm lĩnh. Nói cách khác, xây dựng một tình huống cho phép xẩy ra sự "hình thành giả tạo" trong đó tri thức cần dạy phải xuất hiện nhƣ một giải pháp tối ƣu đƣợc xem là mục đích của việc dạy-học.

II.2. Vai trò của khoa học luận Dựa vào đâu để kiến tạo những tình huống nhƣ vậy, khi mà nghĩa của tri thức và tình huống mang lại nghĩa đó đã bị che giấu qua những biến đổi mà tri thức phải chịu?

Việc sử dụng từ "hình thành" có thể làm cho ta lầm tƣởng rằng tri thức đƣợc phát sinh theo kiểu đƣờng thẳng và đồng đều. Điều này không bao giờ xẩy ra trong toán học. Thực tế thì có cả một mạng các vấn đề thuộc nhiều nguồn gốc giữ những vai trò khác nhau trong qua trình hình thành tri thức. Thậm chí, trong một số trƣờng hợp, sự tiến triển lịch sử đã vô ích đi theo một đƣờng vòng quanh co, rồi sau đó mới xuất hiện những con đƣờng ngắn hơn làm cho tri thức dễ dàng xuất hiện. Nhƣ vậy, thực tế lịch sử không phải luôn luôn là một mô hình hoàn hảo để cho hoạt động dạy-học rập khuôn theo.

Hơn thế, việc dạy-học lại phải tuân thủ những ràng buộc không thể tránh khỏi. vấn đề thời gian chẳng hạn: làm thế nào để đi theo một qua trình hình thành đã trải qua nhiều thập kỷ (thậm chí hàng thế kỉ) trong vài giờ? Rồi vấn đề nhận thức: tri thức cần dạy đã đƣợc tổ chức lại theo một hệ thống không trùng với trình tự phát triển trong lịch sử, làm thế nào để lồng qua khứ học toán của học sinh vào tiến trình diễn ra trong lịch sử? Rồi thì sự khác nhau về tâm lý, về hoàn cảnh xã hội, về thể chế (thể chế tạo ra tri thức và thể chế dạy-học), v.v. ... Biết bao nhiêu yếu tố làm cho sự hình thành giả tạo trong lớp học không thể đồng nhất với sự hình thành trong lịch sử.

"Tuy nhiên, đối với nhà nghiên cứu, sự hình thành trong lịch sử là điểm tựa để phân tích một quá trình dạy học cụ thể, là cơ sở cho việc thiết kế một sự hình thành giả tạo" (M. Artigue, 1991, tr. 246).

Sở dĩ nói nhƣ vậy là vì trong phân tích hay thiết kế các tình huống dạy-học, nhà nghiên cứu nhất thiết phải đối chiếu với vấn đề nghĩa của khái niệm, mà chính những vấn đề đã từng là lí do của việc đƣa vào khái niệm này hay khái niệm kia, cũng nhƣ những vấn đề chi phối sự tiến triển của khái niệm, là cái cấu thành nên nghĩa của khái niệm này. Chính vì thế mà trong nghiên cứu vấn đề dạy-học khái niệm số thập phân G. Brousseau đã nói: "Để tổ chức một sự hình thành giả tạo đem lại một nghĩa phù hợp cho khái niệm số thập phân, cần phải tiến hành nghiên cứu khoa học luận để vạch rõ các dạng thức biểu thị số thập phân và cơ chế nhận thức chúng" (G. Brousseau 1981, tr. 48).

Hơn thế, thừa nhận những giả thuyết về học tập đã nêu ở phần đầu của chƣơng này dẫn ta đến chỗ thừa nhận rằng vấn đề là phải làm cho học sinh đi vào hoạt động toán học. Thế nhƣng những quá trình tƣ duy nào chi phối hoạt động đó? "Chính phân tích khoa học luận (...) là nghiên cứu trƣớc tiên liên quan đến những câu hỏi này" (M. Artigue, 1991, tr.246).

Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành tri thức cho phép vạch rõ quá trình xây dựng tri thức trong cộng đồng các nhà khoa học, sự phụ thuộc của nó vào các lĩnh vực toán học có liên quan, từ đó xác định đƣợc nghĩa của tri thức, tình huống mang lại nghĩa đó, điều kiện cho phép tri thức nảy sinh, hay ngƣợc lại, cản trở sự tiến triển của nó, những vấn đề gắn liền với tri thức, vị trí tƣơng đối của nó trong một tri thức tổng quát hơn, ... Nó sẽ dẫn nhà nghiên cứu đến với câu trả lời cho một số câu hỏi tổng thể và cơ bản sau, là cơ sở cho việc phân tích hay thiết kế các tình huống dạy-học:

- Tri thức đƣợc sinh ra nhằm giải quyết vấn đề gì? - Tri thức có thể tồn tại dƣới những dạng thức nào? Chuyển từ dạng thức này sang dạng thức kia tƣơng ứng với sự thay đổi nào trong quan niệm? - Phải chuyển đổi cái gì trong việc dạy-học các thành phần của tri thức này và sự tác động qua lại giữa chúng? - Có hay không một sự chuyển đổi tối tiểu hoặc một tổ hợp chuyển đổi tối tiểu cần phải tôn trọng để không làm biến dạng cái nghĩa của tri thức này? - Những chuyển đổi nào có thể hay cần phải phụ thuộc vào lớp công chúng đƣợc xem là chủ thể của hoạt động học?

III. Khoa học luận và chướng ngại Vấn đề không phải là phân tích khoa học luận để rồi bằng mọi giá rút ngắn khoảng cách giữa sự hình thành tri thức trong lịch sử và sự hình thành giả tạo (tƣơng hợp với những lựa chọn của hệ thống dạy-học), mà là để xác định những khó khăn học sinh gặp phải trong học tập một tri thức và hiểu đƣợc nguồn gốc sinh ra chúng. Đó là những khó khăn, những chƣớng ngại gắn liền với đặc trƣng của tri thức mà học sinh buộc phải vƣợt qua để nắm vững tri thức.

III.1. Chướng ngại Sai lầm và chướng ngại: Trong logic tiếp cận quá trình học tập đƣợc phát triển bởi Piaget, Bachellard và Brousseau, kiến thức thu đƣợc là kết quả của một sự thích nghi của học sinh với tình huống - tình huống này biện minh cho sự cần thiết của kiến thức đƣợc nói đến bằng cách chứng tỏ hiệu quả của nó.

Trong một quá trình học tập bằng thích nghi với tình huống, kiến thức đƣợc xây dựng ở học sinh thƣờng mang tính chất địa phƣơng, gắn liền một cách tùy tiện với những kiến thức khác. Nó cũng thƣờng mang tính chất tạm thời và có thể là không hoàn toàn chính xác.

Quan điểm này dẫn đến một cách nhìn mới trên những sai lầm của học sinh: "Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên, nhƣ cách nghĩ của những ngƣời theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trƣớc, những kiến thức đã từng có ích đối vớiviệc học trƣớc kia, nhƣng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội tri thức mới. Những sai lầm thuộc loại này không phải thất thƣờng hay không dự đoán đƣợc. Chúng tạo thành chƣớng ngại. Trong hoạt động của giáo viên cũng nhƣ trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên nghĩa của kiến thức đƣợc thu nhận bởi những chủ thể này" (Brousseau, 1983, tr. 171).

Nhƣ vậy, theo G. Brousseau, nếu ở học sinh có những sai lầm nào đó mang tính hời hợt, hết sức riêng biệt, thì cũng còn có những sai lầm khác không phải ngẫu nhiên đƣợc sinh ra. Những sai lầm đó không nằm ngoài kiến thức, chúng chính là biểu hiện của kiến thức. Ở cùng một chủ thể, những sai lầm khác nhau có thể có chung một nguồn gốc.

Theo cách nhìn nhận này thì một số kiến thức sai là cần thiết cho học tập: con đƣờng đi của học sinh phải trải qua việc xây dựng (tạm thời) từ một số kiến thức sai, và việc ý thức đƣợc đặc trƣng sai lầm này sẽ là yếu tố cấu thành nên nghĩa của tri thức mà việc dạy-học nhắm đến. Brousseau gọi những điểm buộc phải trải qua này là chƣớng ngại 2 khoa học luận và nhấn mạnh vai trò của chúng trong lịch sử phát triển các kiến thức.

2 Thuật ngữ này đƣợc G. Brouseau sử dụng từ sự kế thừa tƣ tƣởng của Bachelard: "Chính trong hành động nhận biết mà sự chậm chạp và rối loạn xuất hiện dưới một dạng tất yếu của chức năng. Chính ở đó mà ta sẽ chỉ ra nguyên nhân của sự trì trệ. Củng chính ở đó ta sẽ chỉ ra nguyên nhân của tính trơ ỳ mà ta gọi là chướng ngại khoa học luận". Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng Bachelard đã loại toán học ra khỏi sự quan tâm của ông khi bàn về chƣớng ngại: "lịch sử toán học hoàn toàn cân đối. Nó có những giai đoạn tạm dừng. Nó không có những giai đoạn sai lầm. Không có chủ đề nào được xem xét trong cuốn sách này nhằm vào toán học" (Bachelard, 1938, Sự hình thành óc khoa học, tr. 13 -22).

Đặc trưng của chướng ngại: Cần phải nói rõ rằng không phải mọi khó khăn đều đƣợc xem là chƣớng ngại. Duroux đã nêu lên những đặc trƣng sau của chƣớng ngại: • Một chƣớng ngại là một kiến thức, một quan niệm chứ không phải là một khó khăn hay một sự thiếu kiến thức.

• Kiến thức này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong một bối cảnh nào đó mà ta thƣờng hay gặp. • Nhƣng khi vƣợt khỏi bối cảnh này thì nó sản sinh ra những câu trả lời sai. Để có câu trả lời đúng cho mọi bối cảnh cần phải có một thay đổi đáng kể trong quan điểm.

• Hơn nữa, kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và chống lại sự thiết lập một kiến thức hoàn thiện hơn. Việc có một kiến thức khác hoàn thiện hơn chƣa đủ để kiến thức sai này biến mất, mà nhất thiết phải xác định đƣợc nó và đƣa việc loại bỏ nó vào tri thức mới. • Ngay cả khi chủ thể đã ý thức đƣợc sự không chính xác của kiến thức chƣớng ngại này, nó vẫn tiếp tục xuất hiện dai dẳng và không đúng lúc.

G. Brousseau phân biệt các chƣớng ngại tùy theo nguồn gốc của chúng: • Chƣớng ngại thuộc về sự phát triển cá thể: là chƣớng ngại gắn liền với những hạn chế về nhận thức của cá nhân học sinh ở một thời điểm nào đó trong quá trình phát triển của nó.

• Chƣớng ngại didactic: là chƣớng ngại sinh ra từ sự lựa chọn của hệ thống dạy-học. • Chƣớng ngại khoa học luận: là chƣớng ngại gắn liền với lịch sử phát triển của tri thức mà việc vƣợt qua nó đóng vai trò quyết định đối với quá trình xây dựng kiến thức của chủ thể. Trong học tập, việc vƣợt qua những chƣớng ngại khoa học luận là điều không thể tránh khỏi, bởi đó là yếu tố cấu thành nên kiến thức.

Vấn đề là trƣớc hết phải xác định đƣợc những chƣớng ngại khoa học luận gắn liền với một tri thức, để rồi sau đó tạo ra những tình huống cho phép vƣợt qua chúng, tức là loại bỏ những kiến thức sai tạo nên chƣớng ngại.

III.2. Vai trò của khoa học luận Quan niệm trên về chƣớng ngại khoa học luận dẫn đến chỗ thừa nhận là có thể tìm thấy dấu vết của chúng trong lịch sử hình thành tri thức. Để nghiên cứu các chƣớng ngại khoa học luận, Brousseau đã đề nghị tiến trình sau: - Xác định những sai lầm thƣờng xuyên tái diễn, chứng tỏ rằng chúng có thể nhóm lại quanh một quan niệm. - Nghiên cứu xem có tồn tại hay không những chƣớng ngại trong lịch sử xây dựng khái niệm toán học. - Đối chiếu các chƣớng ngại lịch sử với chƣớng ngại học tập để nếu có thể thì thiết lập đặc trƣng khoa học luận của chƣớng ngại.

Hiển nhiên, không phải mọi chƣớng ngại mà các nhà toán học gặp trƣớc đây đều là những khó khăn mà học sinh ngày nay phải đƣơng đầu, vì, nhƣ đã phân tích ở trên, sự hình thành giả tạo không thể giống với sự hình thành lịch sử. Tuy thế, ta thƣờng có thể tìm thấy trong lịch sử dấu vết của những khó khăn này.

Qua phân tích khoa học luận lịch sử, nhà nghiên cứu có thể khơi thông một logic tổng thể, những giai đoạn chủ yếu, vai trò và sự tác động qua lại lẫn nhau của chúng. Hơn thế, còn có thể xác định những điều kiện nội tại cho sự phát triển, những vấn đề đã từng là lý do cho sự ổn định hay sự bế tắc của một giai đoạn lịch sử, những ràng buộc chi phối các nhà khoa

học đƣơng thời. Lịch sử cung cấp những ví dụ về quá trình tiến triển của kiến thức mà phân tích khoa học luận sẽ giúp ta vạch rõ những khó khăn, những quan niệm đã từng là trở ngại cho sự hình thành và phát triển của kiến thức, những động lực, những bƣớc nhảy trong quan niệm, những điều kiện làm nảy sinh tri thức.

Nhƣ thế, vấn đề đầu tiên là chẩn đoán khó khăn, xác định những sai lầm tồn tại dai dẳng sinh ra từ cùng một quan niệm. Sau đó là nghiên cứu bản chất và nguồn gốc của khó khăn dƣới ánh sáng của phân tích khoa học luận. Việc đối chiếu sai lầm của học sinh với những trở ngại đã từng tồn tại trong lịch sử hình thành, phát triển tri thức cho phép giải thích sai lầm một cách thỏa đáng hơn. Đặc biệt, phân tích khoa học luận có thể giúp ta phân biệt những sai lầm có bản chất khoa học luận với những sai lầm ngẫu nhiên có nguồn gốc từ nhận thức hay từ sự lựa chọn của hệ thông dạy-học. Từ đó, nó cung cấp phƣơng tiện để triển khai một dự án dạy-học thích hợp.

IV. Khoa học luận và quan niệm IV.1. Quan niệm Khái niệm « quan niệm » đƣợc đƣa ra nhằm đáp ứng hai nhu cầu: - Vạch rõ một thực tế là có thể có nhiều cách nhìn nhận khác nhau về cùng một đối tƣợng toán học, phân biệt những thể hiện và cách thức sử dụng đƣợc kết hợp với nó, chỉ rõ sự thích ứng ít hay nhiều của những cách nhìn nhận đó đối với việc giải lớp bài toán này hay lớp bài toán kia.

- Giúp nhà nghiên cứu chống lại ảo tƣởng về sự đồng nhất giữa tri thức mà việc dạy- học muốn truyền thụ với những kiến thức đƣợc học sinh xây dựng trong thực tế.

Thuật ngữ « quan niệm » đƣợc dùng để chỉ một tri thức địa phƣơng, giữ vai trò nào đó trong tiến trình chiếm lĩnh một khái niệm. Cụ thể hơn, G. Bousseau định nghĩa quan niệm là « một tập hợp các quy tắc, các cách thực hành động, các tri thức cho phép giải quyết tƣơng đối tốt một lớp tình huống và vấn đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình huống khác mà đối với chúng thì quan niệm này dẫn đến thất bại, hoặc gợi lên những câu trả lời sai, hoặc có thể đem lại kết quả nhƣng rất khó khăn và trong điều kiện bất lợi ».

Chẳng hạn, M. Artigue và J. Robinet (1982) đã tự đặt ra cho mình câu hỏi về nghĩa cần đạt đƣợc qua việc dạy «những kiến thức liên quan đến các hình đơn giản trong mặt phẳng và trong không gian» có trong chƣơng trình tiểu học. Trong số những hình « đơn giản » này các nhà nghiên cứu chọn đƣờng tròn. Một phân tích trên hai phƣơng diện - khoa học luận và hoạt động của lớp học - đã cho thấy quan niệm chủ đạo của học sinh là xem đƣờng tròn nhƣ « một đƣờng cong phẳng, đóng, có độ cong không đổi, mà những dây cung lớn nhất lấy theo mọi hƣớng đều có độ dài bằng nhau ». Trái lại, những yếu tố đặc trƣng cho hình tròn, nhƣ tâm và bán kính, thì lại vắng mặt với tƣ cách là những yếu tố bất biến. Quan niệm này của học sinh rất có hiệu lực đối với tình huống nhận biết hình tròn trong số những hình đã cho. Thế nhƣng nó lại không cho phép giải bài toán dựng hình tròn. Trong một đối tƣợng toán học ta phân biệt:

- Khái niệm toán học nhƣ nó đƣợc định nghĩa trong bối cảnh của một thời kỳ cụ thể. - Tập hợp những cái dùng để biểu đạt đƣợc kết hợp với đối tƣợng. - Lớp các bài toán mà qua việc giải quyết chúng thì nghĩa của khái niệm đƣợc hình thành. - Các công cụ, định lý, kỹ thuật, thuật toán đặc trƣng cho phƣơng thức khai thác đối tƣợng đó. Sự phân biệt này dẫn M. Artigue đến chỗ tách ra trong quan niệm của học sinh - về một đối tƣợng toán học - những thành phần khác nhau, đặc biệt là:

- Lớp tình huống - vấn đề đem lại nghĩa cho khái niệm đối với học sinh. - Tập hợp những cái dùng để biểu đạt mà học sinh có thể gắn vào đối tƣợng, đặc biệt là các hình ảnh trí tuệ, các biểu thức ký hiệu.

- Các công cụ, định lý, kỹ thuật, thuật toán mà học sinh có để thao tác trên đối tƣợng. Bộ ba thành phần này đƣợc xem nhƣ những yếu tố đặc trƣng cho quan niệm về một đối tƣợng toán học.

Cách hiểu này về quan niệm dẫn ta đến chỗ thừa nhận rằng ngay từ khi chƣa học tri thức, học sinh đã có một số quan niệm về tri thức đó. Các quan niệm này có thể đƣợc đƣa vào qua dạy học, nhƣng cũng có thể có nguồn gốc văn hóa hay xã hội, tức là đƣợc xây dựng ở ngoài hệ thống học đƣờng.

IV.2. Quy tắc hành động. Định lý hành động. Quy tắc hành động là một mô hình đƣợc G. Vergnaud xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đƣa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm vụ xác định. Quy tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất toán học gắn bó rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả lời của học sinh. Hiển nhiên, quy tắc hành động đƣợc sử dụng thể hiển quan niệm mà học sinh có về một đối tƣợng toán học.

Chẳng hạn, đối với nhiệm vụ sắp thứ tự các số thập phân, một số nghiên cứu ở Pháp đã chỉ ra sự gắn kết giữa những câu trả lời sai của học sinh trung học cơ sở với quy tắc hành động đƣợc phát biểu nhƣ sau: trong hai số thập phân có phần nguyên bằng nhau, số lớn hơn là số có «số nguyên ở phần thập phân» lớn hơn. Quy tắc này sinh ra từ quan niệm xem số thập phân nhƣ là một cặp số nguyên đƣợc ngăn cách bởi dấu phẩy.

Trong trƣờng hợp hai số đã cho có số chữ số ở phần thập phân nhƣ nhau thì việc áp dụng quy tắc sẽ đem lại một câu trả lời đúng, nhƣng trong những trƣờng hợp khác thì nó dẫn đến câu trả lời sai. (Ví dụ: 12, 51 > 12,43 (vì 51 > 43) là câu trả lời đúng ; 7, 3 < 7, 11 (vì 3 < 11) là câu trả lời sai).

Nhƣ vậy, các quy tắc hành động - đƣợc chỉ rõ ra qua việc nghiên cứu những câu trả lời sai của học sinh, vẫn có thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình huống. Những tình huống đó xác định phạm vi hợp thức của quy tắc hành động. Thông thƣờng thì phạm vi hợp thức này không rỗng, thậm chí nó có thể dƣờng nhƣ rất rộng đối với học sinh, bởi vì những tình huống mà học sinh gặp lại gia cố thêm cho quy tắc. Những câu trả lời sai thƣờng đến từ việc áp dụng một quy tắc hành động ở ngoài lĩnh vực hợp thức của nó. Các quy tắc hành động là thể hiện của những bất biến trong việc thao tác trên các đối tƣợng. G. Vergnaud gọi các bất biến ấy là định lý hành động. "Khái niệm định lý hành động

chỉ các tính chất của những mối quan hệ mà học sinh nắm hoặc sử dụng trong tình huống giải quyết vấn đề. Mặc dù vậy, điều đó không có nghĩa là học sinh có khả năng nói rõ hay giải thích rõ những tính chất ấy" (G. Vergnaud, 1981). Nhiều quy tắc hành động đƣợc sử dụng trong những tình huống khác nhau nhƣng lại có thể cùng thuộc phạm vi một định lý hành động. Chẳng hạn, một số nghiên cứu ở Pháp đã vạch rõ những quy tắc hành động sau đây đƣợc sử dụng rất phổ biến ở học sinh các lớp trên cấp cơ sở:

Có thể cho rằng những quy tắc hành động trên đều xuất phát từ định lý hành động: f(ax + by) = a f(x) + b f(y). Nói cách khác, học sinh đã gán tính chất tuyến tính cho một lớp rất rộng các hàm số, nhƣ hàm «giá trị tuyệt đối của một số thực», «bình phƣơng của một số thực», cũng nhƣ là các hàm lƣợng giác, trong khi phạm vi hợp thức của tính chất chỉ là tập hợp những hàm tuyến tính.

Định lý hành động này đƣợc xem nhƣ là hệ quả của việc học tập cơ bản trƣớc đó về toán học. Trong thực tế, những phép toán trên các số nguyên (bảng cộng và nhân) học ở trƣờng tiểu học, phép tỷ lệ học trong 4 năm ở trƣờng trung học cơ sở để rồi từ đó nghiên cứu việc biểu diễn bằng đồ thị các hàm số f(x) = ax, f(x) = ax + b ở lớp 9, tất cả đều có tính chất tuyến tính. Việc học sinh thƣờng xuyên sử dụng tính tuyến tính ở ngoài phạm vi hợp thức của nó có thể sinh ra từ đó.

Giống nhƣ các quy tắc hành động, định lý hành động có phạm vi áp dụng và phạm vi hợp thức của nó. Phạm vi áp dụng của định lý hành động là tập hợp những tình huống mà định lý có thể mang lại một câu trả lời, còn phạm vi hợp thức là tập hợp những tình huống mà nó đƣa ra một câu trả lời chính xác.

IV.3. Sự cần thiết của nghiên cứu quan niệm. Vai trò của khoa học luận Tính đa nghĩa của tri thức. Ta hãy trở lại với công trình của M. Artigue và J. Robinet (1982) về những quan niệm có thể gán cho khái niệm đƣờng tròn. Để xác định tập hợp những quan niệm khác nhau có thể có về đối tƣợng toán học này, các tác giả đã xuất phát từ 11 định nghĩa có thể nêu ra cho khái niệm mà dƣới đây đƣợc trích một số làm ví dụ: • D1: Trong mặt phẳng, đƣờng tròn tâm O, bán kính R là tập hợp những điểm cách O một khoảng R. Hầu nhƣ các cuốn sách giáo khoa ngày nay đều đƣa ra định nghĩa này. Nhƣng khái niệm đƣờng tròn còn có thể đƣợc định nghĩa theo những cách khác. Chẳng hạn:

• D2: Đƣờng tròn là một đƣờng cong phẳng, đóng, có độ cong đại số không đổi. • D3 : Đƣờng tròn là một đƣờng cong phẳng "thuần nhất" đối với phép đẳng cự.

• D4: Đƣờng tròn là một đƣờng cong phẳng có vô số trục đối xứng. • D5: r là một đƣờng cong phẳng, đóng, lồi (nghĩa là nó là bờ của một miền lồi G của mặt phẳng) và tại mỗi điểm đều có một tiếp tuyến. Với mỗi phƣơng d, ký hiệu ad là cận trên của độ dài các đoạn thẳng có phƣơng d và đƣợc chứa trong G. r là một đƣờng tròn nếu và chỉ nếu: - với mỗi phƣơng d, ad là độ dài của một đoạn thẳng duy nhất Dd có phƣơng d và đƣợc chứa trong G.

- mọi đoạn thẳng Dd đều có cùng độ dài. - mọi đoạn thẳng Dd đều đồng quy. •D6: Đƣờng cong phẳng r là đƣờng tròn nếu và chỉ nếu tồn tại một điểm O của mặt phẳng và một số thực dƣơng d sao cho:

- r xác định trên mỗi đƣờng thẳng đi qua O một đoạn thẳng có độ dài d. - O là trung điểm của đoạn thẳng này. •D7: Đƣờng tròn là tập hợp những điểm M sao cho tỷ số AM/BM các khoảng cách từ M đến hai điểm cố định A, B là không đổi • D8: Đƣờng tròn là một đƣờng cong đóng mà với mỗi độ dài xác định thì phần mặt phẳng mà nó bao quanh có diện tích lớn nhất.

Về mặt logic thì các định nghĩa trên tƣơng đƣơng với nhau và xác định cùng một đối tƣợng toán học. Nhƣng chúng tƣơng ứng với những quan niệm khác nhau, những kiểu tri giác khác nhau về đối tƣợng, những cách sử dụng khác nhau các tính chất của nó, và chúng chú ý đến những yếu tố hình học khác nhau, những mối liên hệ khác nhau giữa các yếu tố. Nhƣ vậy, mỗi đối tƣợng toán học có thể đƣợc kết hợp với nhiều nghĩa, nhiều quan niệm khác nhau. Sự tương hợp giữa quan niệm và tình huống.

 Ở lớp 3, đó là tình huống chia một hình vuông, một hình tròn, ... thành n (2 n 12) lấy nghĩa nhƣ

Thế nhƣng, cái chúng ta quan tâm không phải là lập ra một danh mục thật tinh tế những quan niệm có thể có về một đối tƣợng toán học, mà là nghiên cứu sự nối khớp giữa các quan niệm ấy với tình huống trong một sự học tập xác định. Thừa nhận tính tƣơng hợp giữa quan niệm và tình huống làm xuất hiện tri thức là hiển nhiên, nếu ta hiểu khái niệm "quan niệm" nhƣ đã nêu trên, cho rằng ba thành phần cơ bản của quan niệm là lớp các tình huống vấn đề đem lại nghĩa cho tri thức đối với học sinh ; tập hợp những cái biểu đạt mà học sinh có khả năng kết hợp với tri thức ; những công cụ mà học sinh có để thao tác trên tri thức. Để minh họa, chúng ta có thể lấy nghiên cứu của PhạmNgọc Bảo (2002) về khái niệm phân số đƣợc trình bày trong các sách giáo khoa toán bậc tiểu học ở Việt nam. Tác giả đã chỉ ra rằng khái niệm phân số đƣợc hình thành qua ba thời điểm khác nhau, với ba tình huống khác nhau.

. Trong tình huống này, phân số phần bằng nhau, nhằm đƣa vào phân số "một phần của đơn vị đã đƣợc chia thành n phần bằng nhau".

 Ở lớp 4 có tình huống chia đơn vị (một cái bánh, một hình vuông, một hình tròn,...) . Với tình

 Tình huống sau đó (cũng ở lớp 4) là "chia đều 3 quả cam cho 4 em". Trong tình đƣợc hiểu theo nghĩa "thƣơng của phép chia p cho n" và "là kết quả của

lấy nghĩa "số phần bằng nhau rút ra từ đơn vị". thành n phần bằng nhau và lấy ra p (1< p < n) phần, nhằm đƣa vào phân số huống này, phân số

huống này phân số phép chia đều mà thƣơng không nguyên". Ta thấy rất rõ là nghĩa của phân số phụ thuộc nhƣ thế nào vào tình huống trong đó khái niệm đƣợc đƣa vào.

Trƣớc hết, nó có thể giúp thầy giáo thoát ra khỏi tính đơn giản bề ngoài của đối tƣợng. Chẳng hạn, đối với khái niệm đƣờng tròn, "sự giống nhau của các định nghĩa và bài tập đƣợc đƣa vào các sách giáo khoa trong thực tế đã che giấu đi tính phong phú và phức tạp của những quan niệm có thể đƣợc kết hợp với đối tƣợng toán học này. Hơn thế, trên phƣơng diện dạy học thì nó lại áp đặt một quan điểm duy nhất - liên quan đến trạng thái tĩnh của tập hợp điểm, ƣu tiên chú ý đến tâm và bán kính (nhƣ là độ đo), mà không tính đến những kiến thức trẻ em đã có trƣớc khi phải học định nghĩa này" (M. Artigue và J. Robinet, 1982, tr. 269).

Ở một góc độ khác, việc nghiên cứu các quan niệm khác nhau về một đối tƣợng tri thức sẽ mang lại cho ta một công cụ để phân tích, thiết kế các tình huống vấn đề đƣa ra cho học sinh. Tùy theo tình huống mà mỗi hoạt động sẽ ƣu tiên ở những cấp độ khác nhau cho quan điểm này hay quan điểm kia về tri thức. Chẳng hạn, nhƣ M. Artigue và J. Robinet (1982) đã chỉ ra, đối với hoạt động chọn trong các đối tƣợng đã cho những hình có hình dạng của cái đĩa thì trẻ em có thể tiến hành từ rất sớm, ngay cả khi nó chƣa nắm đƣợc khái niệm khoảng cách. Thế nhƣng quan niệm cho phép thực hiện hoạt động đó lại không gắn liền với định nghĩa đƣờng tròn mà ta muốn dạy cho học sinh. Để làm điều đó cần phải xây dựng những kiểu hoạt động khác, bởi vì mỗi quan niệm có một mối liên hệ rất chặt chẽ với tình huống trong đó kiến thức về hình tròn can thiệp.

Vả lại, trong thực tế, quá trình chiếm lĩnh một đối tƣợng toán học thƣờng đƣợc chia thành nhiều giai đoạn. Trong một sự học tập bằng thích nghi với tình huống, kiến thức thƣờng mang tính chất địa phƣơng. Hơn thế nữa, trong thực hành, chính kiến thức ở các cấp độ địa phƣơng gắn liền với những quan điểm khác nhau về tri thức là cái đƣợc sử dụng. vấn đề là phải biết chống lại những quan niệm sai và những quan niệm cũ đã lỗi thời.Việc nghiên cứu các quan niệm mang tính địa phƣơng đƣợc biểu hiện trong tình huống và phân tích những điều kiện cho phép chuyển từ quan niệm địa phƣơng này vào quan niệm địa phƣơng kia là cơ sở để triển khai các tình huống nhằm xây dựng một quan niệm tổng thể về đối tƣợng tri thức. Trong những tình huống này quan niệm mới phải xuất hiện nhƣ là một giải pháp tối ƣu.

Nghiên cứu những quan niệm khác nhau có thể đƣợc kết hợp với một tri thức còn là giúp cho ta hiểu đƣợc những khó khăn trong học tập của học sinh.

Chẳng hạn, trong một nghiên cứu về quá trình học tập khái niệm diện tích các hình phẳng, R. Douady và M. J. Perrin (1989) đã liệt kê một số khó khăn thể hiện qua những sai lầm tồn tại dai dẳng đƣợc nhiều giáo viên biết đến: " Mặt đơn vị là mặt có một hình dạng nào đó, số đo của một hình phẳng S phụ thuộc vào khả năng phủ kín S với mặt đơn vị này. [...] - Diện tích đƣợc gắn liền với mặt và không tách ra khỏi những đặc trƣng khác của mặt này. [...] - Mở rộng các công thức cho những tình huống trong đó công thức không còn có hiệu lực. [...]" Giải thích những khó khăn này, các tác giả nói đến quan niệm của học sinh về diện tích:

"Một số khó khăn gắn liền với cách học sinh xử lý những bài toán về diện tích, hoặc từ quan điểm hình, hoặc từ quan điểm số. Chẳng hạn, việc giảm diện tích đƣợc hiểu nhƣ việc giảm bản thân bề mặt của hình với hình dạng của nó, và điều đó đi kèm theo việc giảm chu vi: diện tích và chu vi đƣợc kết hợp với bề mặt và gắn liền với hình dạng. [...]

Ở một cực khác, diện tích là một số: ngƣời ta đứng trên phƣơng diện tính toán và chỉ chú ý đến những yếu tố thỏa đáng cho tính toán, chẳng hạn nhƣ các số đo chiều dài [...] Nhƣ vậy, về vấn đề diện tích, học sinh triển khai một « quan niệm hình dạng » gắn liền với phạm vi hình học hoặc một « quan niệm số » gắn liền với phạm vi số, hoặc cả hai, nhƣng độc lập với nhau và xử lý các bài toán mà không thiết lập mối liên hệ giữa hai quan điểm."

Một ví dụ khác: ta đã có nói rằng quan niệm xem số thập phân nhƣ là một cặp số nguyên đƣợc ngăn cách bởi dấu phẩy cho phép giải thích những sai lầm của học sinh khi giải quyết nhiệm vụ so sánh các số thập phân. Hơn thế, một số công trình nghiên cứu kiến thức về số thực của học sinh trung học ở Pháp đã chỉ ra rằng quan niệm này còn dẫn đến nhiều kiểu sai lầm khác trong các phép tính trên các số thập phân, chẳng hạn:

1,2 + 5,9 = 6,11 (0,3)2=0,9 5,32 =25,9 √ = 2,3

Quan niệm này giúp ta hiểu đƣợc một số khó khăn trong việc hiểu các số thực. Tóm lại, thuật ngữ « quan niệm » - mà nhà nghiên cứu đã dùng để mô hình hóa kiến thức của học sinh - thể hiện một kiến thức địa phƣơng, là kiến thức giữ vai trò nào đó trong tiến trình chiếm lĩnh một khái niệm. Kiến thức địa phƣơng hoạt động trên một số lớp con những bài toán đặc trƣng cho khái niệm. Một số tình huống tạo điều kiện thuận lợi cho việc xuất hiện những kiến thức địa phƣơng này.

Nhƣ vậy, lợi ích của việc nghiên cứu những quan niệm khác nhau có thể đƣợc kết hợp với tri thức không phải chỉ ở chỗ nó đem lại một công cụ để phân tích ứng xử, « giải thích »

một sai lầm ổn định, xác định những khó khăn của học sinh trong học tập, mà còn ở chỗ nó giúp ta hiểu tình trạng của kiến thức ở một thời điểm xác định.

Từ đó suy ra tầm quan trọng của vấn đề đặt việc nghiên cứu quan niệm trong mối liên hệ với những điều kiện dẫn đến sự hình thành quan niệm (đối tƣợng dạy học) và những tình huống mà nó có hiệu lực. Nghiên cứu đó sẽ cho ta một cơ sở để thiết kế các tình huống dạy học.

Vai trò của khoa học luận Vấn đề là làm thế nào để vạch ra những quan niệm có thể đƣợc kết hợp với một tri thức toán học. Theo M. Artigue, việc nghiên cứu quan niệm có thể đƣợc làm từ hai sự tiếp cận:

- phân tích những chiến lƣợc và sản phẩm của học sinh ; - nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liên hệ với các định nghĩa và tính chất khác nhau.

Hai phân tích này bổ sung cho nhau, chỉ thực hiện một là không đủ. Điều đó nói lên tầm quan trọng của nghiên cứu khoa học luận. Nếu nhƣ chỉ dựa vào những ứng xử đƣợc quan sát trực tiếp ở học sinh trong tình huống cụ thể mà suy ra quan niệm thì ta chỉ có một phân tích không đầy đủ, thiếu khách quan. Việc nhúng quan niệm vào trong một nghiên cứu những quan điểm có thể có về tri thức, những lớp vấn đề có thể dẫn tới quan điểm này hay quan điểm kia dƣờng nhƣ là một đảm bảo cần thiết. Phân tích khoa học luận, đặc biệt nếu nhƣ đó là một phân tích cắm chặt vào lịch sử phát triển của khái niệm, sẽ giúp ta phân biệt một số lƣợng có thể khá lớn các quan niệm khác nhau và nhóm chúng lại thành từng lớp.

Tuy nhiên, cần nói rằng không phải bao giờ mọi quan niệm đã từng tồn tại trong lịch sử cũng đều xuất hiện ở học sinh ngày nay, bởi vì luôn luôn có một khoảng cách giữa lịch sử toán học với thực tế lớp học.

V. Kết luận Thừa nhận học tập đƣợc xẩy ra qua hoạt động nhằm thích nghi với tình huống dẫn đến chỗ thừa nhận sự cần thiết của một môi trƣờng đƣợc xây dựng sao cho kết quả của sự tƣơng tác giữa chủ thể với môi trƣờng là chủ thể tự « phát minh » ra kiến thức mới. Để xây dựng một môi trƣờng nhƣ vậy, những hiểu biết khoa học luận về tri thức, về những khó khăn gắn liền với việc xây dựng kiến thức và về quan niệm học sinh đã có về tri thức là cần thiết. Điều này giải thích vai trò quan trọng, thậm chí không thể thiếu của phân tích khoa học luận tri thức cần dạy.

CHƢƠNG 3: VÍ DỤ VỀ LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN

A. Trường hợp khái niệm vectơ hình học Nhƣ đã nói, trong một nghiên cứu khoa học luận, vấn đề không phải là liệt kê các sự kiện, kể lại quá trình hình thành và phát triển tri thức toán học đang bàn đến, mà, tùy theo mục đích sƣ phạm đƣợc đặt ra, cần tìm trong lịch sử những yếu tố giúp hiểu tốt hơn, sâu hơn hoạt động dạy - học tri thức đó.

Giữa nhiều câu hỏi liên quan đến hoạt động dạy-học vectơ mà một số yếu tố cho phép trả lời có thể đƣợc tìm thấy qua nghiên cứu khoa học luận, chúng tôi chọn câu hỏi về những khó khăn học sinh phải đƣơng đầu để chiếm lĩnh đối tƣợng toán học này. Nhƣ thế, khi phân tích khoa học luận lịch sử của lý thuyết vectơ, chúng tôi sẽ cố gắng vạch ra những tƣ tƣởng, những lý do dẫn tới sự sáng lập, sự phát triển của lý thuyết này, những trở ngại mà các nhà toán học đƣơng thời đã gặp phải và những bƣớc nhảy trong quan niệm cho phép họ vƣợt qua trở ngại đó.

Ở đây thuật ngữ vectơ không đƣợc dùng theo nghĩa phần tử của không gian tuyến tính tổng quát đƣợc định nghĩa qua một hệ tiên đề. Chúng tôi quan tâm đến khái niệm vectơ hình học - lớp tƣơng đƣơng các cặp điểm hoặc các đoan thẳng định hƣớng. Những nội dung trình bày trong phần này chủ yếu đƣợc rút ra từ Lê Thị Hoài Châu, 1997.

I. Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành lý thuyết vectơ Tiền thân của lý thuyết vectơ đƣợc tìm thấy ở xu hƣớng xây dựng các hệ thống tính toán trong nội tại hình học và ở quá trình mở rộng tập hợp số trong đó những nghiên cứu tìm cách biểu diễn các đại lƣợng ảo (mà ngày nay đƣợc gọi là số phức) đóng vai trò quan trọng.

I.1. Những hệ thống tính toán hình học đầu tiên I.1.1. Hình học vị trí của Leibniz Ngƣời đầu tiên có ý định xây dựng một hệ thống tính toán trong nội tại hình học là Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Vào năm 1637, René Descartes (1596 -1650) cho ra đời tác phẩm Discours de la Méthode trong đó ông trình bày một phƣơng pháp mới để nghiên cứu hình học. Tác phẩm này đã đặt nền móng cho hình học giải tích và tạo ra một cuộc cách mạng trong hình học. Pierre de Fermat (1601 - 1655), hoàn toàn độc lập với Descartes, cũng phát triển một phƣơng pháp

tƣơng tự. Với phƣơng pháp giải tích của Descartes và Fermat ngƣời ta chuyển các đối tƣợng hình học thành đối tƣợng đại số, quan hệ hình học thành quan hệ đại số, và do đó mà chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số. Phƣơng pháp này nhanh chóng đƣợc các nhà toán học quan tâm, vì nó cho phép tận dụng các kỹ thuật của đại số để nghiên cứu hình học và đem lại cho lời giải khả năng khái quát cao.

Thế nhƣng điều đó không có nghĩa là phƣơng pháp giải tích không bị chỉ trích. Lý do chủ yếu nằm ở chỗ nó đã tạo ra một tấm màn che mất đi trực giác hình học là cái cần thiết cho quá trình tìm tòi lời giải bài toán. Leibniz là một trong những ngƣời chỉ trích phƣơng pháp giải tích mạnh nhất. Ông muốn tìm một phƣơng pháp khác vừa cho phép tận dụng các kỹ thuật của đại số mà lại vừa bảo toàn đƣợc bản chất hình học của bài toán. Ông lập luận rằng muốn thế thì phải tìm cách biểu diễn vị trí trong không gian của các đối tƣợng hình học. Với ý đồ đó ông đã sáng tạo ra Hình học vị trí (Géometrie des situations). Hình học vị trí đƣợc xây dựng dựa trên khái niệm tƣơng đẳng: hai cặp điểm đƣợc gọi là tƣơng đẳng nếu giữa hai điểm của mỗi cặp đều có cùng một khoảng cách, hai bộ ba điểm đƣợc gọi là tƣơng đẳng nếu chúng tạo thành hai tam giác thể chồng khít lên nhau, v.v. Với khái niệm tƣơng đẳng Leibniz nghiên cứu một số quỹ tích. Ông chỉ ra rằng quỹ tích những điểm tƣơng đẳng với một điểm cho trƣớc là một không gian « vô hạn theo mọi hƣớng », hình cầu là quỹ tích những điểm X sao cho AX tƣơng đẳng với AB cho trƣớc, rồi tập hợp các điểm X sao cho AX tƣơng đẳng với BX sẽ xác định một mặt phẳng, v.v. ...Ông cũng giải quyết thêm một số bài toán khá cơ bản khác, nhƣng chỉ dừng lại ở đó, không đƣa ra thêm kết qua nào về sau. Rõ ràng là Hình học vị trí không đáp ứng đƣợc những mong muốn của Leibniz. Lý do thất bại có thể tìm thấy ở hai điểm chủ yếu sau:

• Với khái niệm tƣơng đẳng, Leibniz chỉ giữ lại ở cặp điểm đặc trƣng độ dài. Ông không xem rằng AB và BA có thể khác nhau, và do đó cũng không đi đến chỗ phân biệt các phƣơng trong không gian. Ấy vậy mà, không ý thức đƣợc thiếu sót này, trong lời mở đầu của cuốn sách ông đã nói rằng chỉ tính đến độ đo thì không đủ trong hình học, vì đại số không cho phép xác định các vị trí.

• Hơn thế, trong lý thuyết của mình, Leibniz đã không định nghĩa một phép toán nào. Các đối tƣợng hình học do đó mà không thể đƣợc cộng, trừ, nhân, trong khi ông lại mong muốn sáng lập ra một đại số mới trong đó những đối tƣợng này không chỉ đƣợc biểu diễn bằng ký hiệu mà còn chịu tác động của các phép toán đại số.

Dù thất bại, Leibniz cũng đã có công gợi lên ý tƣởng dung hoa đại số và hình học bằng cách tính đến khía cạnh trực giác của phƣơng pháp tổng hợp trong một phƣơng pháp có bản chất giải tích.

I.1.2. Tính toán tâm tỷ cự của Mobius August Ferdinal Mobius (1790-1866) không thực sự xây dựng một hệ thống vectơ nào, nhƣng lại chiếm vị trí quan trọng trong lịch sử tính toán vectơ. Ông đã xây dựng một mô hình toán học khá giống với lý thuyết vectơ ngày nay trên nhiều phƣơng diện. Mô hình đó đƣợc ông công bố năm 1827 trong tác phẩm Tính toán tâm tỷ cự (Barycentriche Calcul) khá nổi tiếng.

Một trong những tƣ tƣởng cơ bản và mới mẻ của Mobius liên quan đến việc định hƣớng các hình trong không gian. Điểm xuất phát của ông là xem xét mối quan hệ giữa hai đƣờng có cùng một phƣơng. Theo quan điểm này, sự thay đổi về chiều đƣợc xem nhƣ tƣơng ứng với sự thay đổi về dấu, có nghĩa là AB = - BA. Sau đó ông đƣa vào phép toán cộng hai đoạn thẳng cộng tuyến. Rồi ông mở rộng quy tắc dấu và quy tắc cộng cho những hình đƣợc tạo thành bởi nhiều hơn hai đỉnh. Chẳng hạn, với ông, diện tích tƣơng đối của một tam giác đƣợc định hƣớng theo thứ tự của ba điểm tạo nên nó, hay nói cách khác, diện tích này là một đại lƣợng có dấu đƣợc ký hiệu bởi ba chữ cái biểu thị ba đỉnh, cụ thể: ABC = BCA = CAB = -ACB = - BAC = - CBA. Theo cùng cách đó, ông định nghĩa thể tích tƣơng đối của một hình chóp.

Năm l843, Mobius khái quát hóa phép cộng, trừ các đoạn thẳng (định hƣớng) cộng tuyến vào không gian. Sau đó, năml862, ông đƣa vào khái niệm tích hình học (multiplication géométrique) của hai đoạn thẳng (định hƣớng) cộng tuyến. Tích này trùng với tích vectơ của chúng ta ngày nay về mặt số nhƣng không đồng nhất (tích hình học là một hình bình hành định hƣớng chứ không phải là một đoạn thẳng định hƣớng). Cuối cùng ông đề cập đến tích chiếu (produit projectif) của hai đoạn thẳng định hƣớng. Tích chiếu trùng với tích vô hƣớng của chúng ta ngày nay.

Nghiên cứu của Mobius đánh dấu một mốc quan trọng trong lịch sử phát sinh lý thuyết vectơ. Trƣớc hết, lý thuyết Tâm tỉ cự đã chứa đựng các phép toán trên các đối tƣợng hình học, và những đối tƣợng này đƣợc xem xét không chỉ về phƣơng diện số mà còn cả về phƣơng diện định hƣớng trong không gian. Tƣ tƣởng này dƣờng nhƣ rất sơ đẳng với chúng ta ngày nay, thế nhƣng vào thời đó thì nó đã không dễ dàng xuất hiện. Ta đã thây điều ấy qua thất bại của Leibniz.

Thứ hai nữa, với Mobius, đây là lần đầu tiên phép nhân hai đoạn thẳng định hƣớng đƣợc đề cập đến. Rõ ràng là so với phép cộng thì phép nhân các đoạn thẳng khó hình dung hơn. Với phép cộng, mô hình tính toán trên các đối tƣợng hình học có cấu trúc cộng. Thêm vào phép toán nhân, bản chất của cấu trúc này thay đổi. Ta sẽ thấy vấn đề phép nhân quan trọng nhƣ thế nào trong qua trình xây dựng lý thuyết các vectơ sau này.

a.u . a'.v + . ̅̅̅̅̅=0

Thế nhƣng, có lẽ do tính phức tạp của việc xây dựng một hệ thống tính toán trên các đối tƣợng hình học, Mobius vẫn để lại lý thuyết của mình một số điểm mập mờ mà nguyên nhân của nó đáng để chúng ta quan tâm. Chẳng hạn, ta hãy xét một công thức liên quan đến ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ và tích chiếu AB.CD của hai đoạn thẳng định hƣớng đồng phẳng AB, tích hình học ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ bằng diện tích của hình bình hành CD. Theo định nghĩa của Mobius, về mặt số, tích đƣợc tạo bởi AB, CD, còn về mặt hình học thì nó là một hình bình hành có thể ở bất cứ vị trí nào trong không gian, miễn là song song với mặt phẳng (AB, CD), với các quy ƣớc về dấu nhƣ đã nêu trên. Tích chiếu AB.CD thì tƣơng đƣơng với tích vô hƣớng của chúng ta ngày nay. Để xét mối liên hệ giữa hai tích này, Mobius bắt đầu từ bốn đoạn thẳng (định hƣớng) đồng phẳng u, v, a, a' trong đó u vuông góc với v. Ông viết:

Ta thấy, số hạng thứ nhất của tổng ở vế trái là một số, thế nhƣng, vì Mobius không hề định nghĩa tích của hai hình bình hành định hƣớng nên việc giải thích số hạng thứ hai không đƣợc rõ ràng.

Về nguồn gốc của sự mập mờ này, Grassmann đã nói: "Không nghi ngờ gì, cái ngăn cản tác giả [...] chính là việc thiếu thói quen kết hợp trong một đối tƣợng cả độ dài và phƣơng" (Grassmann, 1844, tr.146)

Lý do này còn có thể cho phép giải thích vài khiếm khuyết khác nữa trong lý thuyết Tính toán tâm tỷ cự của Mobius, chẳng hạn nhƣ khái niệm « tổng cân bằng » của các điểm trong trong trƣờng hợp tổng các hệ số bằng 0 (tham khảo Lê Thị Hoài châu, 1997, tr. 83).

Nhƣ vậy, mặc dầu mang lại một ý tƣởng mới, có thể đƣợc xem nhƣ là thuộc trào lƣu xây dựng những hệ thống tính toán trong, nội tại hình học, lý thuyết Tính toán tâm tỷ cự vẫn có vài điểm mập mờ thể hiện một khó khăn tồn tại khá lâu trong lịch sử lý thuyết vectơ: khó khăn trong việc kết hợp đặc trƣng định hƣớng và đặc trƣng vô hƣớng trong cùng một đối tƣợng hình học.

I.1.3. Tính toán các tƣơng đẳng của Bellevitis Năm l833, nhà toán học ngƣời Ý Bellavitis công bố Tính toán các tƣơng đẳng (Calcul des équipolences). Theo định nghĩa của ông, hai đƣờng(3) đƣợc gọi là tƣơng đẳng nếu chúng có cùng độ dài, song song và cùng chiều. Mặc dầu không thực sự định nghĩa vectơ theo nghĩa lớp tƣơng đƣơng các tƣơng đẳng, nhƣng cách sử dụng ký hiệu "~" đã cho phép Bellavitis viết các đẳng thức và các phƣơng trình giống nhƣ cách viết trên vectơ ngày nay.

Bellavitis định nghĩa phép cộng của hai hay nhiều đƣờng bằng cách sử dụng quan hệ tƣơng đẳng: nối các đƣờng đã cho theo cách điểm gốc của mỗi đƣờng trùng với điểm ngọn của đƣờng trƣớc đó, tổng là đƣờng tƣơng đẳng với đƣờng nối điểm gốc của đƣờng đầu tiên và điểm ngọn của đƣờng cuối cùng. Ông cũng nói rằng tổng không thay đổi khi ta thay một đƣờng bởi một đƣờng khác tƣơng đẳng với nó. Sau đó ông định nghĩa tích của một đƣờng với một số và nói rõ là trong một phƣơng trình (tuyến tính) chứa các đƣờng ta có thể thực hiện các phép toán nhƣ với các phƣơng trình đại số. Định lý cơ bản của Tính toán các tƣơng đẳng là:

"Trong tính toán các tƣơng đẳng, các số hạng có thể đƣợc chuyển vị, biến đổi, cộng, trừ, nhân, chia, v.v. ... Tóm lại, ta có thể thực hiện tất cả những phép toán đã đƣợc sử dụng với các phƣơng trình đại số, và những tƣơng đẳng nhận đƣợc luôn luôn chính xác (theo nghĩa các phép toán luôn xác định và duy nhất)" (Bellavitis, 1833, tr. 247).

(3) Ở đây “đƣờng” đƣợc sử dụng theo nghĩa “đoạn thẳng” mà chúng ta dùng ngày nay.

Bellavitis còn đƣa vào khái niệm độ nghiêng (inclinaison) của một đƣờng, đó là góc do đƣờng này tạo nên với phƣơng nằm ngang lấy theo hƣớng từ trái sang phải. Lƣu ý là ở đây Bellavitis chỉ hạn chế xét trong mặt phẳng. Dựa vào khái niệm này, ông định nghĩa phép nhân hai đƣờng: tích của hai đƣờng là một đƣờng có độ nghiêng bằng tổng hai độ nghiêng và chiều dài bằng tích hai chiều dài.

Ngƣời ta thừa nhận là lý thuyết của Bellavitis chứa đựng nhiều yếu tố của cấu trúc vectơ hiện đại. Ngày nay, để định nghĩa các vectơ hình học ngƣời ta vẫn sử dụng quan hệ tƣơng đẳng này. Hơn thế, phép cộng, phép nhân với một số trong lý thuyết của ông hoàn toàn đồng nhất với các phép toán vectơ tƣơng ứng ngày nay.

Ngoài ra, Bellavitis đã thành công trong việc xây dựng một cấu trúc đại số trên các đối tƣợng hình học mà không cần bất cứ một sự giải thích nào mang bản chất đại số. Việc các đối tƣợng mà ông sử dụng có bản chất hình học thuần túy đem lại cho công trình của ông một nét mới mẻ rất căn bản. Thậm chí, so với Mobius, sự quan tâm xử lý các đối tƣợng hình học nhƣ với các đối tƣợng đại số đem lại cho công trình của ông một tầm cỡ mới.

Sau đó, Bellavitis tìm cách mở rộng hệ thống tính toán của ông vào không gian nhƣng không thành công. Khó khăn mà ông gặp phải là vấn đề định nghĩa phép nhân của hai đƣờng trong không gian. Rõ ràng là trong mặt phẳng thì phƣơng và hƣớng của một đƣờng hoàn toàn có thể đƣợc xác định bởi độ nghiêng của nó. Nhƣng điều đó không còn đúng nữa trong không gian, và tích hai đoạn hiểu theo định nghĩa của Bellavitis là không xác định trong trƣờng hợp này.

Lịch sử chỉ ra rằng việc khái quát hóa vào không gian ba chiều các hệ thống tính toán vectơ đƣợc xây dựng trong mặt phẳng luôn luôn đụng phải một vấn đề gai góc là phép nhân. Chúng ta sẽ thấy rất rõ khó khăn này trong việc mở rộng những mô hình tính toán gắn liền với vấn đề biểu diễn các số phức.

I.2. Vấn đề biểu diễn hình học các số phức Việc mở rộng các tính toán đại số, trong đó trƣớc hết là số âm, rồi đến số phức đóng một vai trò quan trọng trong lịch sử hình thành khái niệm vectơ.

Ngay từ thế kỷ 16, việc mở rộng các tính toán đại số đã đòi hỏi phải đƣa vào căn bậc hai của các số âm với tƣ cách là trung gian của các tính toán (đặc biệt là trong vấn đề giải các phƣơng trình bậc ba). Cho đến tận thế kỷ 19, vấn đề hợp thức của căn bậc hai các số âm luôn luôn là một trong những nỗi bận lòng về phƣơng diện triết học của toán học. Ngƣời ta gọi đây là những đại lƣợng ảo, xem nó là sản phẩm của trí tuệ thuần túy, là một ký hiệu hình thức, là đối tƣợng đƣợc lấy làm trung gian cho các tính toán đại số, và ngƣời ta quan tâm đến câu hỏi: nó biểu diễn cho đối tƣợng nào của thực tế toán học? Một số nhà toán học tìm cách giải quyết vấn đề này với sự giúp đỡ của hình học. Chính trong quá trình tìm cách biểu diễn hình học các số phức mà họ đã tạo ra các hệ thống tính toán vectơ. Điều đáng lƣu ý là việc biểu diễn hình học các số phức đã đƣợc soạn thảo hoàn toàn độc lập với nhau ít nhất là bởi năm ngƣời không thực sự nổi tiếng trong cộng đồng toán học: Caspar Wessel vào 1799, Adrien Quentin Buée vào 1805, Jean Robert Argand vào 1806, Mourey và John Warren vào 1828. Các mô hình của họ khá giống nhau nên ở đây ta chỉ xét công trình của Wessel và Argand. Điểm xuất phát của ngƣời thứ nhất là hình học còn của ngƣời thứ hai là đại số.

Tuy nhiên, trƣớc khi nghiên cứu chi tiết các công trình này, cần phải nói rằng ý tƣởng đầu tiên về việc dùng hình học để minh họa căn bậc hai các số âm (mà lúc đó đƣợc gọi là phi lỵ, không thể, ảo) thuộc về Wallis, vào khoảng năm 1673. Nhƣng mô hình của ông không đem lại một sự giải thích thỏa đáng cho phép nhân. Lý do thất bại của ông sẽ đƣợc đề cập đến ở phần cuối của phân tích khoa học luận lịch sử hình thành lý thuyết vectơ.

1.2.1. Mô hình của Wessel Mãi đến cuối thế kỷ 19 ngƣời ta mới biết đến công trình nghiên cứu công bố năm 1797 của Caspar Wessel (1745-1818), nhƣng nó đƣợc xem là khám phá đầu tiên về việc biểu diễn hình học các số phức.

Wessel không trực tiếp tìm cách giải thích sự tồn tại của các số phức, mà, theo cách nói của ông là tìm cách biểu diễn các phƣơng bằng giải tích. Ông nhận thấy rằng với kỹ thuật đại số cổ điển thì một hƣớng chỉ có thể đƣợc biến đổi thành hƣớng đối của nó, đến nỗi mà khi đã cố định một phƣơng thì ngƣời ta chỉ có thể xét cùng lúc các đƣờng(4) có hai hƣớng đối nhau. Để khắc phục thiếu sót này, Wessel tìm cách mở rộng các tính toán đại số trên mọi đƣờng của không gian (với lƣu ý về tính vô hạn của các phƣơng), sao cho không làm thay đổi các quy tắc tính toán quen thuộc. "Từ thời cổ Hy lạp ngƣời ta có thói quen chỉ lấy độ dài làm đặc trƣng cho các đƣờng. Tính đến chiều nhƣ Wessel đã là một sự kiện đáng lƣu ý, còn tính đến các phƣơng - nhất là trong những phép toán đại số, thì thực sự là một đổi mới" (J-L. Dorrier, 1990, tr. 47).

Để xây dựng một hệ thống tính toán nhƣ vậy, đầu tiên Wessel định nghĩa phép cộng hai đƣờng. Trong định nghĩa của ông về tổng hai đƣờng, ta tìm thấy quan niệm (ngầm ẩn) về đại diện của vectơ. Ông đã mở rộng định nghĩa này cho một số hữu hạn đƣờng tùy ý (không cần đồng phẳng). Ông cũng lƣu ý rằng thứ tự các đƣờng trong phép cộng không quan trọng. Sau đó ông đƣa vào phép nhân hai đƣờng đồng phẳng. Định nghĩa của ông tƣơng tự nhƣ định nghĩa của Bellavitis: tích hai đƣờng đồng phẳng làmột đƣờng đồng phẳng có chiều dài bằng tích các chiều dài và độ nghiêng (còn đƣợc gọi là phƣơng góc - direction anguilaire) bằng tổng các độ nghiêng của hai đƣờng ban đầu.

Theo quy ƣớc của Wessel, một đƣờng đơn vị đƣợc cố định và ký hiệu là +1. Một đƣờng đơn vị khác vuông góc với nó và có cùng điểm gốc đƣợc ký hiệu là +δ. Ông ký hiệu (- 1) là đơn vị đôi của đơn vị +1 và chỉ ra rằng với phép toán đã định nghĩa nhƣ trên thì √ δ vì(+δ).(+ δ) = -l.

Nhƣ vậy, Wessel đã đƣa ra đƣợc một cách giải thích hình học cho √ . Ông cũng chứng minh đƣợc rằng các bán kính của đƣờng tròn đơn vị đƣợc viết ở dạng (cos v + δ sin v) hoặc (a + δb) và ngƣời ta có thể nhân, chia, nâng lên lũy thừa hữu tỷ những biểu thức nhƣ vậy.

Sau đó Wessel tìm cách mở rộng hệ thống tính toán của mình ra không gian ba chiều. Nhƣ ta thấy, phép cộng các đƣờng và phép nhân với một số đã đƣợc định nghĩa cho mọi đƣờng trong không gian. vấn đề còn lại là khái quát hóa phép nhân các đƣờng. Wessell bắt đầu bằng việc xét ba đơn vị đƣợc lấy theo các phƣơng vuông góc từng đôi một mà ông ký hiệu là +1, + δ,+μ Ông chỉ ra rằng mọi đƣờng của không gian đều có thể biểu diễn thành một tổ hợp tuyến tính của ba đơn vị này. Tƣơng tự nhƣ trong mặt phẳng, ông đặt δ. δ = -1, μ. μ = - 1.

(4) Giống nhƣ ở Bellavitis, từ « đƣờng » cũng đƣợc Wessel sử dụng với nghĩa « đoạn thẳng » nhƣ ta nói ngày nay

Rồi ông định nghĩa phép nhân hai đƣờng nhờ vào phép quay xung quanh các trục. Theo hƣớng này ông xem xét (cos u + δ sin u) và (cos v + δ sin v) - tƣơng ứng với các phép quay quanh trục +μ với góc quay u và phép quay quanh trục + δ với góc quay v. Nhƣng ông không

nghiên cứu phép quay quanh trục +1. Trong thực tế toán học thì trƣớc đó đã tồn tại một khó khăn thực sự trong việc biểu diễn những phép quay nhƣ vậy, đặc biệt là phải định nghĩa các tích δμ và μδ. Hẳn là Wessel đã vấp phải khó khăn này và không thể vƣợt qua.

I.2.2. Mô hình của Argand Năm 1806 Jean Robert Argand (1768- 1822) công bố Tiểu luận về một cách biểu diễn đại lƣợng ảo trong các phép dựng hình học (Esaai sur une manière de représenter les quantités imaginaries dans les construction géométriques) trong đó ông còn đƣa ra cách biểu diễn hình học của phép cộng và phép nhân các số phức, chứng minh đƣợc nhiều định lý của lƣợng giác, hình học sơ cấp và đại số.

Trái với Wessel, điểm xuất phát của Argand là đại số. Ông bắt đầu từ số âm mà tính hợp thức của nó cho đến lúc bấy giờ còn chƣa đƣợc hoàn toàn thừa nhận. Ông nêu lên hai vấn đề:

Tùy theo loại đại lƣợng đƣợc đếm mà số âm sẽ là thực hay là ảo. - Hai đại lƣợng thuộc cùng một loại có thể cho hai giá trị âm so sánh đƣợc với nhau. Tƣ tƣởng về quan hệ giữa chúng rất phức tạp. Nó bao gồm: 1) Quan hệ số, phụ thuộc vào giá trị tƣơng ứng đƣợc xem xét một cách tuyệt đối của chúng(5).

2) Quan hệ về hƣớng hay chiều mà chúng thuộc vào, mối quan hệ đƣợc xem là nhƣ nhau hay đối nhau" (Argand, 1806, tr. 5) Chính từ nhận xét thứ hai này mà tƣ tƣởng về chiều xuất hiện ở Argand, và điều đó dẫn đến chỗ đƣa vào một mô hình biểu diễn các số thực trên một trục định hƣớng (axe orienté). Argand nói về tính hợp thức của số âm nhƣ sau:

"[...] đại lƣợng âm, là ảo khi cách đánh số đƣợc áp dụng cho một đại lƣợng nào đó, sẽ phải là thực khi ta phối hợp theo một cách nào đấy tƣ tƣởng về giá trị tuyệt đối với tƣ tƣởng về chiều" (Argand, 1806, tr. 6).

Sau đó Argand tìm cách biểu diễn trung bình nhân (moyen géométrique) của hai đơn vị có hƣớng đối nhau, đó là đại lƣợng x thỏa mãn tỉ lệ thức: +1: x:: x: -1 (nghĩa là ). Hiển nhiên ta có x.x = -1. Ông mở rộng lập luận đã sử dụng khi nói về tính hợp thức của số âm. Vì đại lƣợng x không thể dƣơng, cũng không thể âm nên cần có một hƣớng thứ ba chứa x. Với tƣ tƣởng này ông biểu diễn các số thực trên một trục, sau đó xét trục vuông góc với trục thứ nhất tại điểm gốc của nó. Trên trục thứ hai, hai đại lƣợng đơn vị theo thứ tƣ đƣơc biểu diên bởi + √ và - √ . Nhƣ thế là nguyên lý biêu diễn hình học đã đƣợc đặt ra. Rồi ông đƣa vào khái niệm đƣờng định hƣớng (ligne dirigée): "Đƣờng định hƣớng đƣợc phân biệt với đƣờng tuyệt đối (ligne absolue) - đƣờng mà ngƣời ta chỉ có thể xem xét chiều dài, không quan tâm gì về hƣớng" (Argand, 1806, tr. 11). Để liên kết các đƣờng định hƣớng với nhau, ông chỉ ra rằng những đƣờng song song

(5) Diễn đạt theo ngôn ngữ toán học ngày nay thì đó là quan hệ về giá trị tuyệt đối.

với trục thực đƣợc viết là ± a, những đƣờng vuông góc với nó đƣợc viết là ± b √ và cuối

cùng thì mọi đƣờng của mặt phẳng đƣợc biểu diễn bởi ± a ± √ . Sau đó ông thiết lập sự tƣơng ứng giữa các số ảo với các phép dựng hình học đƣợc thực hiện trên các đƣờng định hƣớng.

Điều đáng quan tâm là ngay từ những phép chứng minh đầu tiên có liên quan đến các đƣờng, tác giả đã lƣu ý rằng không nhất thiết là các đƣờng này phải đƣợc cố định ở một điểm duy nhất, mà nói chung thì KA chỉ một đại lƣợng bằng KA và đƣợc lấy theo cùng một hƣớng. Khái niệm vectơ nhƣ thế là đã đƣợc xác định mặc dầu còn ngầm ẩn.

Liên quan đến các phép toán Argand đã đƣa ra (một cáchh ngầm ẩn) một kết quả rất đáng quan tâm: trong mặt phẳng mọi đƣờng định hƣớng đều có thể đƣợc phân tích thành tổ hợp tuyến tính của hai đƣờng không cộng tuyến cho trƣớc và sự phân tích này là duy nhất. Nhƣ vậy là Argand đã vạch ra một tính chất rất quan trọng đặc trƣng cho mặt phẳng với tƣ cách là không gian vectơ hai chiều.

Tác phẩm của Argand chìm trong im lặng, không đƣợc chú ý cho đến tận năm l813, khi Frédéric Français (1755 - 1833) công bố một bài báo trong đó ông đƣa ra những nguyên lý hình học về vị trí và dùng hình học để giải thích cho các đại lƣợng ảo. Một cuộc tranh luận khoa học đã xẩy ra giữa Argand, Français và Servoir sau khi bài báo đƣợc công bố. Thông qua cuộc tranh luận khoa học đó, Arrgand hoàn thiện nghiên cứu của mình và tìm cách mở rộng nó ra không gian với những lập luận tƣơng tự nhƣ trong mặt phẳng.

Chúng tôi sẽ không phân tích chi tiết ở đây cách thức mở rộng này (tham khảo Lê Thị Hoài Châu, 1997, tr. 89-91), chỉ lƣu ý rằng phép lập luận tƣơng tự đƣợc khái quát hóa từ mặt phẳng đã đƣa ông đến một kết quả không chính xác (xem Artigue et Deledicq, 1992, tr. 43).

Trong cuộc tranh luận đó, cũng nhƣ Argand, Franẹais và Servoir tìm cách mở rộng tính toán hình học vào không gian. Chỉ có ý tƣởng của Servoir đƣợc lịch sử quan tâm đến. Servoir dự đoán là mỗi đƣờng thẳng bất kỳ của không gian có thể đƣợc biểu diễn bởi một tam thức dạng (p cos α + q cos β + r cos γ), α , β, γ là các góc do đƣờng này tạo nên với ba trục vuông góc. Nhƣng ông không thành công trong việc xác định bản chất các hệ số p, q, r (không phải là số thực). Nhƣ chúng ta biết, vấn đề này đƣợc Hamilton giải quyết sau đó trong lý thuyết các quaternion của ông.

Nhƣ vậy, qua các hệ thống tính toán trong nội tại hình học và cách giải thích tính hợp thức của số phức thì đoạn thẳng đã đƣợc xem xét không chỉ về độ dài mà còn cả về phƣơng và hƣớng. Những đặc trrƣng của vectơ trong toán học hiện đại đã đƣợc đƣa ra, mặc dầu còn ngầm ẩn. Các tác giả đã thao tác trên các đối tƣợng hình học nhƣ với các đối tƣợng đại số. Phép cộng các đƣờng cũng nhƣ phép nhân một số với một đƣờng đã đƣợc định nghĩa cho mọi đƣờng trong không gian. Chúng trùng với các phép toán vectơ tƣơng ứng mà chúng ta xét ngày nay. Hơn thế, chúng thoa mãn mọi tính chất của các phép toán vetơ này. Hầu hết các giả đều cố gắng mở rộng mô hình của mình cho không gian ba chiều, nhƣng thất bại. Họ đều gặp phải một vấn đề gai góc là khái quát hóa phép nhân các đƣờng. Để giải quyết vấn đề này, nhƣ chúng ta sẽ thấy, Hamilton đã sử dụng khái niệm quaternion và phải loại bỏ tính chất giao hoán của tích.

I.3. Lý thuyết về các quaternion của Hamilton Phát minh ra các quarternion (La théorie des quaternions) của Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) đƣợc đặt trong trào lƣu nghiên cứu tính hợp thức của số phức.

Theo quan điểm của Hamilton, đại số có thể đƣợc xem xét nhƣ là Khoa học của thời gian thuần túy (Science du Temps pur). Với nghĩa này, ông giải thích các số âm theo kiểu sự quay trở lại trong thời gian. Sau đó, để trả lời cho câu hỏi về tính hợp thức của những số có bình phƣơng là số âm, ông đã xây dựng một đại số trên các cặp mà ông gọi là instant và moment(6). Trên tập hợp các cặp này ông định nghĩa phép cộng và phép nhân với một số. Sau đó ông tìm cách định nghĩa phép nhân hai cặp. Trong quá trìnhh xây dựng một định nghĩa thỏa đáng cho phép nhân hai cặp ông cố gắng giữ lại những tính chất "quen thuộc" của các phép toán đại số. Theo hƣớng này và với tƣ tƣởng mở rộng những trƣờng hợp đặc biệt đã đƣợc định nghĩa, ông đi đến kết luận rằng tích của hai cặp chỉ có thể ở một dạng duy nhất là: (a1, a2)(b1, b2) = (a1b1 - a2b2, a1b2 + a2b1)

Với định nghĩa đó về tích thì (0, 1) (0, 1) = (-1, 0) và nhƣ thế là Hamilton đã đƣa lại một cách giải thích về tính hợp thức cho số phức. Trong một mô hình đƣợc xây dựng nhƣ vậy thì số phức đƣợc xem nhƣ là cặp hai số thực (ngƣời ta không thấy Hamilton nêu lên một cách giải thích hình học nào cho các số phức, "hẳn là ông nghĩ rằng cách này giúp đỡ về mặt trực giác nhƣng không mang lại một sự biện minh thỏa đáng cho số phức" (Crowe, 1967, tr. 26)). Tiếp tục theo đuổi mục đích của mình, Hamilton xây dựng một đại số trên các bộ ba. Lúc này ông đã giới hạn mục đích nghiên cứu. Các tính chất mà ông muốn giữ lại trong đại số này là:

- Tính chất kết kợp của phép cộng và phép nhân ; - Tính giao hoán của phép cộng và phép nhân ; - Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: - Tính duy nhất của phép chia: với mọi bộ ba N, N' luôn luôn tồn tại một và chỉ một bộ ba X saocho NX = N'.

- Các bộ ba phải thỏa mãn quy tắc modul, nghĩa là: nếu a2 + b2 + c2 là bình phƣơng của modul của bộ ba (a, b, c), thì bình phƣơng của modul của tích hai bộ ba phải bằng tích các bình phƣơng của hai modul. Hơn thế, ông còn hi vọng là có thể đem lại cho các bộ ba này một cách giải thích hình học, giống nhƣ trƣờng hợp các số phức của mặt phẳng. Tiến trình này hoàn toàn mới mẻ và Hamilton đƣợc xem nhƣ một trong những ngƣời đầu tiên khơi thông ý tƣởng về các cấu trúc đại số.

(6) Là những danh từ chỉ thời gian, nghĩa của chúng là lúc, chốc, lát.

Phép cộng và phép nhân với một vô hƣớng đƣợc xây dựng không khó khăn gì. vấn đề còn lại là định nghĩa tích hai bộ ba. Hamilton đã thử tìm nhiều con đƣờng. Ông đã phải thƣờng xuyên thay đổi cách thức tiếp cận, xem xét vấn đề khi thì dƣới góc độ đại số, khi thì dƣới góc độ hình học. Cuối cùng, chính là bằng cách xem xét những tính chất hình học của phép nhân các số phức mà ông đã có một bƣớc tiến quyết định. Ông chỉ rõ rằng phép nhân

hai số phức phải dựa trên tích các chiều dài của mỗi vectơ và góc do chúng tạo thành, cố gắng chuyển ý tƣởng này vào không gian ba chiều, ông hiểu là dựa vào góc của hai vectơ thì không đủ, mà phải xét mặt phẳng trong đó góc này đƣợc vẽ nên, nói cách khác là xét phép quay cho phép chuyển từ phƣơng này vào phƣơng kia. Thế nhƣng, để xác định một phép quay thì cần phải xác định một góc (đại lƣợng một chiều) cùng với một phƣơng (đại lƣợng hai chiều), và nhƣ vậy là cần có bốn yếu tố, "một để xác định chiều dài và ba để hoàn toàn xác định đƣợc hƣớng".

Phân tích này đã dẫn Hamilton đến với tƣ tƣởng là một hệ thống tính toán hình học trong không gian ba chiều phải dựa trên các bộ bốn chứ không phải là bộ ba. Sự tƣơng tự với phép quay đƣa ông đến chỗ loại bỏ tính chất giao hoán của phép nhân. Cuối cùng, ông đã đi đến phát minh ra các quarternion.

Để mang lại một cách giải thích hình học cho quarternion, Hamilton phân nó thành hai phần, một phần thực (partie réelle) và một phần ảo (partie imaginaire), mà ông còn gọi là phần vô hƣớng (partie scalaire) và phần vectơ ((partie vectorielle). Phần vectơ đƣợc biểu diễn nhờ vào đƣờng định hƣớng có x, y, z là các hình chiếu lên ba trục vuông góc. Ông còn giải thích rằng một vectơ là một quaternion có phần vô hƣớng bằng 0.

Theo Crowe, "chính Hamilton là ngƣời đƣa ra thuật ngữ vô hƣớng và vectơ với nghĩa toán học, mặc dầu ngƣời ta đã sử dụng từ những năm trƣớc các biểu thức bán kính vectơ" (Crowe, 1967, tr. 32). Tuy nhiên, vị trí quan trọng của Hamilton trong lịch sử hình thành lý thuyết vectơ không phải ở đó, mà ở chỗ khám phá ra các quaternion là điểm xuất phát cho nhiều nghiên cứu về các cấu trúc đại số trên Rn và Cn. Hơn thế, tiến trình mà ông đi theo đã mang lại một cách nhìn hoàn toàn mới mẻ về bản chất của đại số. Chính vì vậy mà ngƣời ta xem ông nhƣ một trong những ngƣời đầu tiên ý thức đƣợc phƣơng diện cấu trúc của đại số.

Do tri thức cần đƣợc xem xét từ một quan điểm khoa học luận ở đây là vectơ hình học, không phải là vectơ theo nghĩa tổng quát, trừu tƣợng của đại số tuyến tính, chúng tôi không đi sâu vào phân tích đóng góp của Hamilton đối với lịch sử hình thành và phát triển lý thuyết về các không gian vectơ. Với nghiên cứu khoa học luận ở trên, chúng tôi chỉ cố gắng vạch ra những tƣ tƣởng đã dẫn Hamilton đến với các quaternion, đặc biệt là cách tiếp cận vấn đề định nghĩa phép nhân từ cả hai góc độ, đại số và hình học.

I.4. Lý thuyết của Grassmann Cùng thời với Hamilton, ở Đức, Hermann Grassmann (1809 - 1877) cũng có một vai trò quan trọng trong lịch sử phát triển lý thuyết vectơ. Để đánh giá tầm cỡ của nghiên cứu do Grassmann công bố năm 1844 cần phải bắt đầu bằng việc phân tích phƣơng diện phƣơng pháp luận. Thế nhƣng, bình luận chi tiết phƣơng pháp luận cũng nhƣ nội dung toán học của công trình này vƣợt quá phạm vi nghiên cứu khoa học luận đối tƣợng vectơ hình học. Dƣới đây ta chỉ xem xét những chi tiết chủ yếu trực tiếp liên quan đến đối tƣợng toán học này.

Phép tƣơng tự với hình học là nguồn gốc của sự khái quát hóa và là phƣơng diện thực tế của lý thuyết(7) do Grassamnn xây dựng. Tƣ tƣởng đầu tiên dẫn ông đến lý thuyết này đƣợc giải thích nhƣ sau:

"Việc xem xét số âm trong hình học đã cho tôi ý tƣởng đầu tiên: tôi đã quen nhìn trong các đoạn thẳng AB và BA những đại lƣợng đối nhau. Từ đó suy ra rằng nếu A, B, C là các điểm thuộc cùng một đƣờng thẳng thì AB + BC = AC luôn luôn đúng, khi AB, BC đƣợc chỉ ra theo một cách giống nhau, và cả khi AB, BC đối nhau, nghĩa là C đƣợc đặt giữa A và B. Trong trƣờng hợp sau, AB và BC không chỉ đƣợc nhìn đơn giản là các độ dài mà còn là những đại lƣợng đối nhau theo một phƣơng cố định. Nhƣ thế, cần phải phân biệt tổng các độ dài với tổng các đoạn thẳng đƣợc đặt trong một phƣơng cố định. Từ đó suy ra yêu cầu phải giữ nguyên quan niệm này về tổng không chỉ cho trƣờng hợp các đoạn thẳng cùng chiều hay có chiều đối nhau mà cho mọi trƣờng hợp. Điều đó có thể đƣợc làm theo một cách đơn giản nhất là duy trì quy tắc AB+ BC = AC, cho dù A, B, C không cùng thuộc một đƣờng thẳng (Grassmann, 1844, tr.7-11).

Đánh giá tƣ tƣởng trên, J-L. Dorrier viết: «Quy tắc này là cách phiên dịch đại số của hình bình hành lực, kiến thức đã đƣợc biết đến từ thời cổ đại. Thế nhƣng, giữa phƣơng tiện biểu đồ để biểu diễn hợp của hai lực với cách giải thích đại số cho phép cộng hai vectơ là một bƣớc nhảy quan niệm rất dài » (J-L.Dorrier, 1996, tr. 36).

Với tƣ tƣởng này ông đi đến định nghĩa một khái niệm tƣơng ứng với khái niệm đoạn thẳng định hƣớng (hay vectơ buộc) trong hình học. Ngƣời ta tìm thấy trong định nghĩa của ông khái niệm vectơ toán học ngày nay.

Sau đó ông định nghĩa tổng hai đoạn thẳng cùng phƣơng, rồi tổng các đoạn thẳng bất kỳ. Cách xác định tổng (đặt nối đầu nhau sao cho điểm cuối của đoạn thứ nhất trùng với điểm đầu của đoạn thứ hai, tổng là đoạn thẳng có điểm đầu là điểm đầu của đoạn thứ nhất, điểm cuối là điểm cuối của đoạn thứ hai) đã đẫn ông đến cách biểu diễn bằng ký hiệu [αβ] + [βγ] = [αγ]. Chính cách viết này là cơ sở để ông đi vào phƣơng diện hình thức hóa khi xây dựng lý thuyết của mình. Ông chỉ ra rằng mối liên kết này xác định một phép cộng (của nhóm giao hoán), từ đó ông định nghĩa phép trừ, phần tử không và phần tử đối. Tiếp tục theo con đƣờng này, ông giải thích tính hợp thức của số âm, rồi định nghĩa tích hình học(8) (produit géomtrique) của hai đường, ba đường, ... Không đi vào chi tiết, ta chỉ cần nói rằng Grassmann đã đƣa ra hầu hết các khái niệm chủ yếu của tính toán vectơ hiện đại, và điều quan trọng nhất ở đây là hệ thống của ông đƣợc trình bày dƣới dạng có thể áp dụng cho không gian n chiều.

(7). Tác phẩm của Grassmann mang tên Ausdehnungsluhre, dịch sang tiếng Pháp là La théorie de l’Extension (Lýthuyết về sự mở rộng (8) Còn đƣợc ông gọi là produit extérieur

Tóm lại: Những hệ thống đầu tiên mang các đặc trƣng của tính toán vectơ đƣợc tìm thây trong hai hƣớng, một hƣớng gắn liền với việc nghiên cứu số phức và dẫn đến khám phá ra các quaternion của Hamilton, còn hƣớng kia nhằm mục đích thực hiện phép toán trực tiếp trên

các đối tƣợng hình học mà Grassmann là ngƣời đầu tiên thành công trong không gian ba chiều, thậm chí trong không gian với số chiều lớn hơn.

Nhƣng các lý thuyết của Hamilton và Grasmann đã không đƣợc tiếp nhận một cách dễ dàng trong cộng đồng các nhà khoa học thời đó. Đối với Hamilton, lý do nằm ở bản chất phức hợp, « không đồng chất » của các quaternion(9), còn đối với Grassmann thì đó là tính phức tạp của những tƣ tƣởng triết học chứa đựng trong lý thuyết của ông.

II. Những trở ngại cho sự xuất hiện khái niệm vectơ và sự phát triển của

tính toán vectơ

Phân tích khoa học luận đã chỉ cho ta thấy hai kiểu trở ngại chính mà các nhà toán học phải vƣợt qua. Kiểu thứ nhất gắn liền với vấn đề giải thích khái niệm phƣơng và chiều trong việc xây dựng các đại lƣợng hình học. Kiểu thứ hai liên quan đến tính phức tạp của bản chất kép đại số - hình học của tính toán vectơ.

II.1 Xung quanh vấn đề giải thích khái niệm phương và chiều Mô hình hình học kế thừa thời Hy lạp cổ đại của Eucllide chỉ cho phép các số can thiệp trên phƣơng diện độ đo, và do đó chỉ có các số dƣơng đƣợc sử dụng. Chẳng hạn, đoạn thẳng tƣơng ứng với độ dài, hình phẳng tƣơng ứng với diện tích, hình khối tƣơng ứng với thể tích. Chính theo cách thức tƣơng ứng này mà mối quan hệ giữa số học với hình học đƣợc tổ chức.

Phƣơng pháp giải tích của Descartes và Fermat đã lật đổ sự cân bằng này, thiết lập nên những mối liên hệ mới giữa đại số với hình học. Thế nhƣng ở đây các phép toán vẫn luôn luôn chỉ đƣợc thực hiện trên các số.

 Bƣớc chuyển vào một hệ thống tính toán trong nội tại hình học đòi hỏi phải gắn cho các đại lƣợng hình học một đặc trƣng khác với đặc trƣng số. Chính ở bƣớc chuyển này mà các nhà toán học gặp phải trở ngại đầu tiên. Lịch sử đã chỉ ra rằng ở buổi ban đầu tƣ tƣởng về chiều và phƣơng đã không dễ dàng xuất hiện trong những nghiên cứu nhằm xây dựng một mô hình tính toán trong nội tại hình học. Sự vắng mặt của tƣ tƣởng này là một trong những nguyên nhân chủ yếu làm cho Leibniz thất bại.

 Ở đây ta nhận thấy sự xuất hiện của số âm có vai trò quan trọng. Chính trong mối quan hệ biện chứng với số âm mà chiều (hƣớng), đặc trƣng định hƣớng đầu tiên của các đại lƣợng hình học xuất hiện. Ta đã thấy rõ điều đó không chỉ qua những nghiên cứu về tính hợp thức của số phức mà còn qua cả các hệ thống tính toán đƣợc xây dựng trong hình học .

(9) Về điều này, nhà vật lý học Maxwell, một trong số ít ngƣời cùng thời với Hamilton có lƣu ý sử dụng các quaternion trong vật lý, đã nói: « liệu ngƣời ta có thể cày ruộng với một con bò và một con lừa cùng mắc vào cày hay không? »

Mobius, trong Tính toán tâm tỉ cự công bố năm l827, đã nhìn thấy hai chiều đối nhau trên một phƣơng, nhƣng không quản lý về phƣơng diện đại số mối quan hệ giữa các phƣơng khác nhau trong mặt phẳng. Phải 16 năm sau ông mới vƣợt qua đƣợc giai đoạn này. Chuyển

từ phân biệt hai chiều đối nhau trên một phƣơng đến sự phân biệt các phƣơng khác nhau thực sự là một bƣớc ngoặt quan trọng.

Wallis (1616 -1703), một trong những ngƣời đầu tiên đƣa ra, trong tác phẩm mang tên Đại số (Algebra) xuất bản năm 1685, một cách giải thích cho các đại lƣợng ảo. Nhƣng ông đã không thể giải thích thỏa đáng phép nhân. Phƣơng pháp của ông là khái quát hóa vào mặt phẳng mô hình cộng của những cái đƣợc và mất đã đƣợc sử dụng để giải thích các đại lƣợng âm. Theo thuật ngữ hiện đại thì ta có thể nói rằng đối với Walis việc mở rộng từ R vào C cũng có cùng bản chất với việc mở rộng từ N vào Z. Thực ra, phép tƣơng tự mà ông sử dụng ở đây chỉ là sự tƣơng tự bề ngoài, nó không tính đến cấu trúc nhân. Trong thực tế, mô hình của những cái đƣợc và mất đã đƣợc dùng cho các đại lƣợng âm không chỉ vì nó mang lại nghĩa cho số âm mà trƣớc hết là vì nó cho phép tính đến cấu trúc cộng của Z. Thế nhƣng ở đây cái liên quan đến tập hợp các số ảo không phải là cấu trúc cộng mà là cấu trúc nhân của nó. Mô hình đƣợc và mất không còn thích hợp nữa ở cấp độ này.

Phải hơn một thế kỷ sau, chủ yếu là với Wessel, Argand và Bellavitis, vấn đề phép nhân mới kéo theo việc tính đến các phƣơng khác nhau trong mặt phẳng. Chẳng hạn, để định nghĩa phép nhân hai đƣờng, Bellavitis phải đƣa vào khái niệm độ nghiêng - yếu tố cho phép xác định phƣơng của một đƣờng trong mặt phẳng. Ở Wessel, cũng nhƣ Argand, thì trung bình nhân của 1 và -1 sinh ra phƣơng vuông góc với hai hƣớng đối nhau trên đƣờng thẳng thực, rồi cũng từ việc xem xét tích của các đƣờng mà họ đƣa vào những phƣơng khác của mặt phẳng.

 Điều quan trọng cần phải nói đến ở đây là, một mặt, vấn đề chiều đƣợc tính đến trƣớc so với vấn đề phƣơng, mặt khác thì hai vấn đề này lại không thể tách rời nhau. Ta có thể thấy rõ điều đó trong trích dẫn đã nêu trên của Grassmann, khi ông giải thích rằng chính việc xem xét số âm trong hình học là điểm xuất phát của ông. Nhƣ vậy, vectơ đƣợc xây dựng với mụch đích tính toán, mà các phép toán thì lại đòi hỏi các phƣơng đƣợc định hƣớng Nhƣng đề định hƣớng các vectơ, không thể hài lòng với một quan điểm mô tả nhƣ ngƣời ta đã làm bằng cách xác định độ nghiêng của một đƣờng. II.2. Tính phức tạp của bản chất kép đại số-hình học của tính toán vectơ

Mong muốn của Leibniz chỉ đƣợc thực hiện với sự ra đời của lý thuyết vectơ. Bằng cách xem xét trực tiếp các vị trí nhƣ đại số xem xét các đại lƣợng, lý thuyết này cho phép giải các bài toán hình học với công cụ của đại số, trong khi vẫn ở lại rất gần với trực giác hình học. Nói cách khác, lý thuyết vectơ là một sự hợp nhất sức mạnh tính toán của đại số với sức mạnh trực giác của hình học, vì nó chứa đựng những phép toán đại số mà ngƣời ta có thể áp dụng cho các đối tƣợng hình học. Thế nhƣng, nhƣ ta đã thấy, trong quá trình xây dựng và phát triển của lý thuyết vectơ, bản chất kép đại số - hình học này đã là nguồn gốc của những khó khăn trong quan niệm.

Các đại lƣợng ảo(số phức) đã tìm thấy sự hợp thức của mình trong lòng hình học . Nhƣng mô hình biểu diễn hình học của chúng chỉ mang lại một câu trả lời gián tiếp và không đầy đủ cho nghiên cứu những hệ thống tính toán trong nội tại hình học. Các tác giả đã cố gắng khái quát hóa phát minh của họ vào không gian ba chiều, song đều thất bại đối với phép nhân các đƣờng. Khó khăn này chỉ đƣợc Hamilton giải quyết nhờ một phân tích sâu sắc mối quan hệ qua lại giữa các quan điểm đại số và hình học. Chúng ta đã thấy Hamilton lập luận

nhƣ thế nào để đi đến chỗ kết luận rằng tính toán hình học trong không gian ba chiều phải dựa trên các bộ bốn chứ không phải là bộ ba yếu tố. Hay, để định nghĩa tích của hai cặp số ông cũng đã phải dựa trên những phân tích cả về phƣơng diện hình học lẫn những tính chất đại số của phép toán. Đây là kết quả của một quá trình suy nghĩ rất dài mà dấu vết còn lại cho chúng ta ngày nay là những quyển sổ ghi chép các phân tích theo nhiều hƣớng của ông, trong đó hoạt động thay đổi phạm vi giữa phƣơng diện đại số và hình học giữ vai trò chìa khóa.

Ở Grassmann ta cũng gặp một dạng tiếp cận khác trên tính hai mặt đại số - hình học này. Ông đã phải sử dụng mối quan hệ biện chứng giữa phƣơng diện trực giác hình học với phƣơng diện hình thức của cấu trúc đại số để định nghĩa các khái niệm chủ yếu trong lý thuyết của mình. Cách nhìn nhận cơ bản này đã cho giúp ông xây dựng đƣợc một lý thuyết «vƣợt lên trên phạm vi hình học. [...] Mặt khác, ngƣời ta có thể hiểu đƣợc là tƣ tƣởng này đã làm các nhà toán học đƣơng thời chán nản nhƣ thế nào (khi nghiên cứu lý thuyết của ông) -họ chƣa sẵn sàng xem xét hình học và mối quan hệ của nó với đại số dƣới góc độ này » (J-L. Dorrier, 1990, tr. 56).

Nhƣ vậy, rõ ràng là trong lịch sử phát triển của mình, tính toán vectơ đã theo đuổi một con đƣờng biện chứng nối liền hai cực, đại số và hình học. Tính phức tạp của bản chất kép đại số - hình học này đã là những khó khăn đối với các nhà toán học của nhiều thời kỳ, cho dù là trong việc xây dựng hay trong việc tiếp nhận các hệ thống tính toán vectơ.

Cần phải nói rõ rằng cực đại số mà chúng tôi nói đến ở đây không chỉ thu hẹp vào cấu trúc đại số của các không gian vectơ, hay nói cách khác là vào tính chất tuyến tính của tính toán vectơ. Trong lý thuyết về không gian vectơ, các vectơ đại số không đƣợc xây dựng, nó đƣợc định nghĩa bằng những tiên đề. về phần mình, tính toán trên các vectơ hình học đƣợc sáng tạo ra trong sự tác động qua lại giữa trực giác hình học với đại số. Ta đã thấy phép nhân có vai trò cơ bản nhƣ thế nào trong lịch sử phát sinh các vectơ hình học.

III. Lợi ích sư phạm của phân tích khoa học luận Từ phân tích khoa học luận lịch sử hình thành và phát triển các hệ thống tính toán vectơ, ta đã có thể đƣa ra một số giả thuyết liên quan đến những khó khăn mà học sinh gặp phải trong học tập và nguồn gốc của những khó khăn đó. cần phải nói rõ rằng nghiên cứu này chỉ giới hạn trong phạm vi những khó khăn liên quan đến việc hiểu vectơ với tƣ cách là một đối tƣợng toán học. Khó khăn trong việc sử dụng công cụ(10) vectơ để giải toán sẽ không đƣợc đề cập đến.

(10) Một khái niệm hoạt động dƣới dạng cơ chế đối tƣợng nếu nó đƣợc xem là một đối tƣợng nghiên cứu: nó đƣợc định nghĩa ra sao, có những tính chất gì, có vị trí nhƣ thế nào trong một cơ cấu tổ chức rộng hơn các tri thức văn hóa, khoa học đƣợc xã hội thừa nhận. Một khái niệm có cơ chế "công cụ" khi nó đƣợc sử dụng một cách ngầm ẩn hay tƣờng minh nhƣ là phƣơng tiện để giải quyết một vấn đề, một bài toán.

Liên quan đến vectơ ở cơ chế đối tƣợng, phân tích khoa học luận dẫn ta đến với giả thuyết về ba mức độ khó khăn trong học tập của học sinh. Những giả thuyết này đã đƣợc kiểm chứng qua nghiên cứu thực nghiệm. III.1. Mức độ thứ nhất: khó khăn trong việc thoát ra khỏi cách nhìn thống trị của mô hình métric trong hình học để tính đến đặc trƣng định hƣớng của vectơ.

Giả thuyết về sự tồn tại của khó khăn này cho phép giải thích một kiểu sai lầm rất phổ biến của học sinh: chỉ căn cứ vào độ dài để xem xét sự bằng nhau giữa các vectơ. Kiểu sai lầm này đã đƣợc chỉ ra qua một số nghiên cứu đƣợc thực hiện ở những thời điểm khác nhau, với những đối tƣợng khác nhau.

• Chẳng hạn, với bài toán: Cho lục giác đều ABCDEF. Hỏi đẳng thức sau đúng hay sai? Vi sao?

49/213 (23%) học sinh Việt nam và 27/106 (25,5%) học sinh Pháp lớp đầu cấp trung học phổ thông trả lời là « đẳng thức trên đúng », với lời giải thích rằng AB, BC, CD, DE, EF, FA là các cạnh của lục giác đều (Lê Thị Hoài Châu, 1997, tr.231).

• Kiểu sai lầm quy một vectơ về độ dài của nó cũng đƣợc Lounis tìm thấy ở học sinh trong một nghiên cứu nhằm tìm hiểu quan niệm của họ về đối tƣợng toán học này. Ví dụ, trả lời cho câu hỏi

95 trên tổng số 172 (55%) học sinh cuối lớp l0 ở Pháp, cho rằng vì lớn

gấp 4 lần hay dài hơn 4 lần, hay A=4B.

• Quan niệm chỉ lấy độ dài làm tiêu chuẩn có ảnh hƣởng lớn đến mức ngay cả khi đã có ý thức tính đến các đặc trƣng định hƣớng của vectơ, học sinh vẫn quay trở lại với quan niệm này nếu họ đƣợc đặt trong một tình huống không quen thuộc. Chẳng hạn, khi trả lời câu hỏi:

| > |

| lƣu ý là trong số 97 hoạc sinh này, có 61 đã tính đến đặc trƣng định hƣớng khi đƣợc yêu cầu xét sự đúng sai của một đẳng thức vectơ. Thế nhƣng trƣớc một bài toán không quen thuộc thì họ lại quay trở về với tƣ tƣởng "lấy quan hệ về độ dài làm căn cứ'", và, rất tự nhiên họ đƣa ra quy tắc so sánh: vectơ có độ dài lớn hơn là vectơ lớn hơn.

“Cách viết đúng hay sai? Vì sao” 97/213 học sinh việt nam cho rằng cách viết trên đúng “ vì |

III.2. Mức độ thứ hai: khó khăn trong việc nắm vững hai đặc trưng định hướng của vectơ

Khi đã thoát ra khỏi ảnh hƣởng của mô hình métric thì học sinh lại có khó khăn trong việc hiểu hai đặc trƣng định hƣớng của vectơ. Trong một chừng mực nào đó có thể cho rằng khó khăn này có liên quan đến việc sử dụng từ vựng. Quả thật, khi mà khái niệm cùng hƣớng không đƣợc định nghĩa, chỉ mô tả rằng "chiều từ A tới B trùng với chiều từ C tới D" và minh họa trên hình vẽ thì học sinh rất dễ đem cách hiểu của cuộc sống thƣờng ngày về các từ chiều, hƣớng vào áp dụng cho vectơ. Và vì trong cuộc sống nhiều khi ngƣời ta không phân biệt các thuật ngữ phƣơng, chiều, hƣớng nên học sinh có thể sử dụng không đúng những từ này khi nói về đặc trƣng định hƣớng của vectơ.

Tuy nhiên, không thể giải thích rằng khó khăn này chỉ đơn thuần ở mức độ từ vựng. Điều đó thể hiện rất rõ khi học sinh dùng một từ duy nhất là "chiều" để nói về hai đặc trƣng định hƣớng của vectơ. Chẳng hạn, những vectơ không cùng phƣơng vẫn có thể đƣợc học sinh xem là "bằng nhau vì có cùng độ dài và cùng chiều". Lại cũng có những học sinh để giải sự không bằng nhau của các vectơ thì nói "chúng cùng chiều nhƣng không cùng phƣơng", hoặc "chúng không cùng chiều, cũng không cùng phƣơng". Những câu trả lời này chứng tỏ từ chiều đã đƣợc xem xét một cách rất tùy tiện (chiều từ trên xuống dƣới, từ phải qua trái, chiều quay của kim đồng hồ, v.v....) và học sinh không hiểu rằng khái niệm cùng chiều là một khái niệm tƣơng đối, ngƣời ta chỉ nói đến sự cùng chiều hay không cùng chiều đối với các vectơ cùng phƣơng.

đúng vì độ dài của a lớn hơn 0 sai vì một vectơ có thể dương hay âm.

Việc phân tích sai lầm của học sinh đƣợc đặt dƣới ánh sáng của nghiên cứu khoa học luận thực hiện ở trên cho phép ta hiểu đƣợc nguồn gốc của những sai lầm này. Để thoát khỏi mô hình métric trƣớc hết cần phải nhìn thấy trên mỗi đƣờng thẳng hai chiều đối nhau, sau đó lại cần thoát khỏi mô hình một phƣơng định hƣớng để tính đến nhiều phƣơng khác nhau đƣợc định hƣớng. Học sinh có thể hiểu đƣợc khái niệm phƣơng của một đƣờng thẳng trong sự tách biệt với khái niệm chiều, cũng có thể hiểu đƣợc khái niệm chiều giới hạn ở một phƣơng duy nhất, nhƣng kết hợp cả chiều và phƣơng trong cùng một mô hình thực sự là một khó khăn. Trong những sai lầm liên quan đến hai mức độ khó khăn này, ta gặp ở học sinh những kiểu trả lời sau rất đáng quan tâm:

- Cách viết - Cách viết Câu trả lời thứ nhất chứng tỏ học sinh đang ở trong mô hình métric, chỉ lƣu ý đến độ dài của vectơ. Còn những học sinh có câu trả lời thứ hai thì đã ra khỏi mô hình métric nhƣng lại đang ở trong mô hình một phƣơng định hƣớng. Ta có thể nêu lên giả định rằng ở đây học sinh đã đồng nhất một vectơ với độ dài đại số của nó. III.3. Mức độ thứ ba: khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số - hình học của tính toán vectơ

• Khó khăn này thể hiện trước hết ở việc hiểu vectơ- không. Trong một nghiên cứu thực nghiệm, chúng tôi nhận thấy nhiều học sinh không tính đến vectơ 10 khi trả lời câu hỏi: "Qua ba điểm phân biệt A, B, C (trong đó không có điểm nào là trung điểm của hai điểm còn lại) có thể xác định được bao nhiêu vectơ, đó là những vectơ nào?"

Cụ thể, bảng dƣới đây trình bày kết quả thống kê theo những câu trả lời nhận đƣợc từ

6 vectơ 87 89 3 véctơ 50 5 9 vectơ 27 11 Không trả lời 0 1 7 vectơ 49 0

213 học sinh Việt nam và 106 học sinh Pháp tham gia thực nghiệm Học sinh Việt Nam Học sinh Pháp Bảng tổng hợp trên cho thấy 137/213 (64,3%) học sinh Việt nam và 94/106 (84,7%) học sinh Pháp không tính đến vectơ 0 . Hơn thế nữa, rất ít học sinh trả lời đúng: nếu không "quên" thì họ lại cho rằng có bao nhiêu điểm thì có bấy nhiêu vectơ 10 . Giải thích về sự không tồn tại của vectơ 10, học sinh nói: - Một vectơ phải nối liền ít nhất hai điểm. - Một vectơ không thể có hai đầu mút trùng nhau. - Một vectơ không thể có khoảng cách bằng 0, nếu không thì các đầu mút trùng nhau và sẽ không có vectơ nữa.

- Trong mọi trƣờng hợp đều phải có một sự dịch chuyển(11). Phân tích khoa học luận lịch sử phát triển lý thuyết vectơ cho phép ta hiểu đƣợc căn nguyên của những quan niệm sai lầm này.

Chúng ta biết là học sinh không làm việc trong không gian vectơ tổng quát mà trên một mô hình của nó. Mô hình này đƣợc xây dựng từ những đôi tƣợng hình học: vectơ đƣợc nghiên cứu là vectơ hình học (của mặt phẳng hay không gian) đƣợc định nghĩa qua các khái niệm hình học (độ dài, phƣơng, hƣớng). Trong khi đó vectơ 10 đƣợc đƣa vào do là nhu cầu xây dựng các phép toán đại số. Nó cần thiết cho sự tồn tại của tổng hai vectơ đối nhau và hiệu hai vectơ bằng nhau. Nhƣ thế, vectơ 10 chỉ có nghĩa khi phƣơng diện đại số can thiệp. Một cách nhìn từ quan điểm hình học không đòi hỏi học sinh phải nghĩ đến vectơ 10. Đối với học sinh, rõ ràng là đoạn thẳng có độ dài bằng không (nếu khái niệm vectơ đƣợc giới thiệu qua đoạn thẳng định hƣớng) và phép tịnh tiến đồng nhất (nếu phép tịnh tiến đƣợc sử dụng để đƣa vào khái niệm vectơ) không có ý nghĩa gì về mặt hình học, và do đó vectơ 10 không phải là một đối tƣợng quen thuộc.

(11) Cách giải thích này đều do một số học sinh Pháp cung cấp. Lƣu ý là trong sách giáo khoa của Pháp thì véc tơ đƣợc định nghĩa nhờ các phép tịnh tiến.

Chắc chắn là học sinh không đặt ra vấn đề về sự tồn tại của vectơ 10 khi thực hiện các tính toán vectơ, vì họ làm việc trên các biểu thức vectơ nhƣ với các biểu thức số. Thế nhƣng, khi quay trở về với các thực thể hình học thì họ lại gặp khó khăn trong việc hình dung vectơ 10, hoặc, ở một thái cực khác, với cách hiểu điềm là đoạn thẳng có hai đầu mút trùng nhau, họ lại cho rằng có bao nhiêu điểm thì có bấy nhiêu vectơ 10. Cả hai thái cực đều cùng biểu hiện một quan niệm thuần túy hình học, không tính đến bản chất đại số của vectơ. Khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số-hình học của vectơ còn thể hiện ở việc học sinh không phân biệt các phép toán vectơ với các phép toán số.

Chẳng hạn, ta có thể thấy điều này qua những kiểu sai lầm sau:

Rõ ràng là khi thực hiện các phép biến đổi trên học sinh lại tách bản chất hình học của vectơ ra khỏi các phép toán đại số. Việc kết hợp vào trong cùng một đối tƣợng cả hai phƣơng diện đại số và hình học không phải là đơn giản. Ta đã thấy rõ điều đó trong phân tích khoa học luận lịch sử phát triển của tính toán vectơ.

Ba mức độ khó khăn trên gắn liền với bản chất phức tạp của đối tƣợng vectơ. Việc những kiểu sai lầm biểu hiện các khó khăn đó tồn tại dai dẳng ở học sinh, không chỉ trong toán học mà cả trong vật lý, với học sinh trung học phổ thông cũng nhƣ sinh viên đại học, cho dù với cách định nghĩa khái niệm vectơ nhƣ thế nào đi chăng nữa (tham khảo Lê Thị Hoài Châu, 1997), và nghiên cứu lịch sử đã đƣợc tiến hành cho phép ta kết luận rằng những khó khăn này có nguồn gốc khoa học luận.

B. TRƢỜNG HỢP PHÉP BIẾN HÌNH Ở đây chúng tôi chỉ trình bày vắn tắt những điểm chủ yếu nhất đƣợc rút ra từ phân tích khoa học luận lịch sử hình thành và phát triển của lý thuyết các phép biến hình. Trên cơ sở đó chúng tôi sẽ làm rõ lợi ích sƣ phạm của phân tích khoa học luận. Với khái niệm phép biến hình chúng tôi chú trọng xem xét vai trò của phân tích khoa học luận trong việc thiết kế các tình huống dạy - học. Phân tích này chủ yếu dựa vào Ana Paula JAHN, 1998.

I. Những điểm chủ yếu rút ra từ phân tích khoa học luận lịch sử hình thành và phát triển lý thuyết các phép biến hình I.1. Phép biến hình trong hình học của Euclide I.1.1. Hình trong hình học của Euclide Vào thế kỷ thứ 3 trƣớc CN. Euclide công bố bộ "Cơ bản" gồm 13 tập, trong đó ông sắp xếp những kiến thức hình học mà loài ngƣời đã tích lũy đƣợc cho đến lúc ấy thành một hệ thống lôgic. Với tác phẩm của Euclide, lần đầu tiên hình học đƣợc trình bày nhƣ là một khoa học suy diễn. Để nói một cách ngắn gọn, ta gọi hình học do Euclide xây dựng lại nhƣ vậy là hình học của Euclide, nó không hoàn toàn đồng nhất với hình học euclide theo nghĩa chúng ta biết ngày nay.

Nói một cách chính xác thì hình học của Euclide là sự kết hợp giữa lập luận suy diễn với kinh nghiệm và trực giác. Nó xuất phát từ một số nguyên lý đầu tiên thu nhận đƣợc từ tri giác, nhƣng không thể chứng minh, để đi đến những chân lý mà ngƣời ta chỉ biết đƣợc bằng một phƣơng tiện duy nhất là lập luận suy diễn. Đối với Euclide, thực tế là một cái giá cụ thể để tham khảo về nghĩa. Các định nghĩa thƣờng dựa trên những đối tƣợng đã tồn tại. Đây là sự khác biệt cơ bản so với phƣơng pháp tiên đề của Hilbert, phƣơng pháp không nhờ vào bất cứ một nghĩa cụ thể nào, hoàn toàn dựa trên sự hình thức hóa, tức là trên sự chính xác của quy tắc suy luận. Ngƣợc lại, với Euclide, những gì đƣợc định nghĩa đều dựa trên những nghĩa rất quen thuộc. Với ông, "vấn đề là đặt tên cho những cái đã tồn tại chứ không phải làm cho nó tồn tại bằng cách đặt tên" (Dhombres, 1987, tr. 237). Chẳng hạn, ta có thể thấy rõ điều này qua định nghĩa khái niệm hình tròn:

« Định nghĩa 15: Hình tròn là một hình phẳng đƣợc chứa trong một đƣờng duy nhất (gọi là đƣờng tròn) sao cho có một điểm duy nhất nằm phía trong của hình và mọi đƣờng thẳng(12) xuất phát từ một điểm của đƣờng tròn, đi qua điểm duy nhất đó và tới tận một điểm khác của đƣờng tròn, đều bằng nhau. Định nghĩa 16: Điểm duy nhất đó đƣợc gọi là tâm của hình tròn » (Euclide, Les Eléments, quyển I).

(12) Lƣu ý rằng từ đƣờng thẳng đƣợc Euclide dùng với nghĩa đoạn thẳng theo cách nói trong toán học ngày nay

Nhƣ vậy, trong hình học của Euclide, một hình đƣợc xác định bởi ba yếu tố: vị trí, hình dạng và số đo. Sự thay đổi vị trí không ảnh hƣởng gì đến hai yếu tố kia. Các hình là những

đối tƣợng "cứng", đƣợc xem xét trong tổng thể về hình dạng và kích thƣớc. Ngƣời ta có thể nói về "điểm trên một đƣờng", hay "điểm trên một hình", nhƣng không quan niệm rằng hình đƣợc tạo thành từ một tập hợp điểm, mà chỉ xem nó nhƣ cái giá và có thể đặt các điểm lên trên đó. Chẳng hạn, trong định nghĩa 15 trích dẫn ở trên, Euclide giới thiệu hình tròn là một hình có biên là một đƣờng duy nhất và có hình dạng đƣợc xác định qua mô tả, nó không đƣợc hiểu là "tập hợp các điểm có cùng khoảng cách đến một điểm cho trƣớc gọi là tâm".

I.1.2. So sánh các hình: phép biến hình ngầm ẩn Liên quan đến phép biến hình, với con mắt của toán học ngày nay, ta có thể đọc mênh đề IV(13) của Euclide nhƣ là sự mô tả kết quả của việc dịch chuyển một tam giác, dẫn nó đến trùng với một tam giác khác. Điều này đƣa đến chỗ xem tam giác thứ hai là ảnh của tam giác thứ nhất qua một phép dời hình. Nhƣng sự dịch chuyển (ngầm ẩn) ở đây là sự dịch chuyển hình chứ không phải là phép biến hình thực hiện trong không gian đƣợc xem xét với tƣ cách là một tập hợp điểm. Sự dịch chuyển này cần thiết cho việc so sánh các độ đo giữa các hình: ngƣời ta có thể so sánh hai đối tƣợng hình học và để so sánh thì dịch chuyển chúng để đem chúng đến chồng khít lên nhau. Ở đây không có tƣ tƣởng xem xét tác động của phép biến hình lên chính không gian - tập hợp điểm.

Hơn nữa, với Euclide, phép dịch chuyển tƣơng ứng với việc thay đổi vị trí của hình, nó là sự vận động của một thể thống nhất. Theo nghĩa này, thao tác dịch chuyển không đƣợc xem nhƣ một phép biến hình theo nghĩa nó có thể làm biến đổi hình dạng, nó chỉ là sự chuyển dời hình sang vị trí khác.

Tómlại, trong hình học của Euclide, đối tƣợng nghiên cứu là các hình đƣợc xét trong tổng thể với tƣ cách là một hình dạng Phép biến hình không phải là đối tƣợng nghiên cứu, chỉ ngầm ẩn xuất hiện trong tình huống so sánh hai hình, và cũng chỉ đƣợc hiểu theo nghĩa là phép dịch chuyển hình sang vị trí khác, chƣa đƣợc xem xét nhƣ một tác động lên không gian các điểm.

I.2. Phép biến hình xuất hiện tƣờng minh với tƣ cách là công cụ Phép chiếu xuyên tâm và song song cho phép biểu diễn trên mặt phẳng các hình của không gian có vai trò quan trọng đối với sự phát sinh những phép biến hình.

(13). Nếu hai tam giác có hai cạnh bằng nhau từng đôi một và góc đƣợc chứa giữa hai cạnh đó bằng nhau thì các đáy của chúng bằng nhau, các tam giác bằng nhau và các góc còn lại cũng bằng nhau từng đôi một, có nghĩa là các cạnh trƣơng chúng bằng nhau (Trích theo Vitrac, 1990, tr. 200).

Vấn đề biểu diễn các đối tƣợng không gian và bóng của chúng chiếm sự quan tâm của nhiều họa sĩ thế kỷ 15. Các nghệ sĩ thời Phục hƣng nhƣ Durer, Léonard de Vinci, Brunelleschi tìm cách biểu diễn chính xác lên mặt phẳng các hình không gian sao cho có thể tạo nên những hình vẽ "trung thành" nhất của thực tế. Nghiên cứu của họ đã dẫn đến chỗ sáng tạo ra một số quy tắc hình học của phép phối cảnh. Họ giải thích tấm bảng vẽ nhƣ một lát cắt phẳng, trong suốt của "hình nón nhìn", tức là hình nón đƣợc xác định bởi các tia sáng nối liền mắt với các điểm khác nhau của đối tƣợng mà ngƣời ta muốn biểu diễn.

Đầu thế kỷ 16 nhiều cuốn sách bàn về phép phối cảnh xuất hiện. Thoạt tiên chúng chỉ đƣợc giới hạn ở phạm vi nghệ thuật, sau đó thì phép chiếu bắt đầu đƣợc đƣa vào hình học nhờ các công trình của Desargues (1591-1661). Theo Desargues, những nguyên lý làm cơ sở cho kỹ thuật vẽ phối cảnh không chỉ cho phép tạo nên một hình từ một hình khác mà còn mang những tính chất của hình ban đầu vào hình nhận đƣợc. Những công trình của Desargues liên quan chủ yếu đến các đƣờng cônic. Những đƣờng này đƣợc xem nhƣ giao của mặt phẳng với một hình nón tròn xoay. Sau đó, nhờ phép chiếu mà chúng đƣợc giải thích nhƣ hình chiếu phối cảnh của một đƣờng tròn lên những mặt phẳng không song song:

"Ellip, parapol, hyperbol với ông không chỉ là những hình phối cảnh của một đƣờng tròn. Chúng là giao của hình nón đƣợc tạo thành bởi các tia sáng đi từ mắt đến đƣờng tròn với mặt phẳng bức tranh. Ngƣời ta chuyển từ đƣờng này đến đƣờng kia bằng cách làm cho mặt phẳng bức tranh quay quanh một trục. Các đƣờng cônic chỉ là những đƣờng tròn biến dạng" (Thienard,1994, tr.16).

Desargues tƣởng tƣợng là phép chiếu này chuyển một số tính chất hình học của đƣờng tròn vào các đƣờng cônic ảnh, do đó mà các tính chất của đƣờng cônic có thể đƣợc suy ra (không cần một phép chứng minh mới) từ tính chất của đƣờng tròn. Điều quan trọng là trong một số phép chứng minh sau đó, Desargues đã sử dụng (ngầm ẩn) các phép biến hình nhƣ công cụ đặt tƣơng ứng các điểm của đƣờng tròn với các điểm của đƣờng cônic.

Tiếp theo, Pascal (1623-1662) đã sử dụng lại phép chiếu của Desargues để trình bày cuốn sách về các đƣờng cônic của ông. Với Pascal ta bắt gặp tƣ tƣởng về sự chuyển động của một điểm. Cũng xem các đƣờng cônic là ảnh của đƣờng tròn nhƣ Desargues, nhƣng Pascal đã thiết lập giữa hai hình một tƣơng ứng điểm: "mọi điểm của đƣờng tròn chiếu ảnh của nó lên mặt phẳng bức tranh". Nhƣ vậy, Pascal tƣởng tƣợng mỗi điểm của đƣờng cônic là ảnh của một điểm thuộc đƣờng tròn qua phép chiếu. Điều đó dẫn ông đến chỗ phân loại các đƣờng cônic theo số điểm (của đƣờng tròn) không có ảnh "ở một khoảng cách xác định" (tức là ở vô hạn).

Ta thấy, ngay từ gốc của nó, phép biến hình đã xuất hiện nhƣ là công cụ để chứng minh, theo nghĩa nó cho phép khẳng định các tính chất của những đối tƣợng hình học phức tạp hơn các hình tạo ảnh của nó (với cách sử dụng này thì vấn đề là vạch rõ các tính chất hình học bất biến qua phép biến hình). Tuy nhiên, phép biến hình chỉ đƣợc xét trong ngữ cảnh các đƣờng cônic, và cũng chỉ có duy nhất phép chiếu đƣợc sử dụng. Các phép chiếu này đƣợc tiếp cận ở dạng tổng thể, mặc dù quan niệm xem nó nhƣ "ánh xạ điểm" đã xuất hiện, nhƣng chỉ để lập luận trong một số phép chứng minh hay dựng hình.

Tóm lại, cuối thế kỷ 16, phép biến hình xuất hiện nhƣ một công cụ ngầm ẩn để chuyển các tính chất hình học từ hình này sang hình kia. Nó chƣa đƣợc xem là đối tƣợng nghiên cứu, chỉ cho thấy mối liên hệ giữa hai hình mà trong đó các bất biến là yếu tố nổi trội nhất.

Kế thừa tƣ tƣởng của Desargues và Pascal, Mydorge (1585-1647), Grégoire de St.- Vincent,... sử dụng phép biến hình với tƣ cách là những phép làm biến đổi hình để nghiên cứu các đƣờng cônic. Lần đầu tiên, với De la Hừ (1640-1718), và sau đó là Newton (1642- 1727), phép biến hình đƣợc mô tả tƣờng minh qua việc dựng từng điểm. Chẳng hạn, Newton nêu ra

cách biến đổi một hình thành một hình khác nhƣ sau: với mỗi điểm G của hình thứ nhất dựng một điểm g tƣơng ứng với nó. Từ cách dựng điểm ảnh nhƣ thế, ông giải thích làm thế nào để sinh ra hình thứ hai:

"... theo cùng một cách, mỗi điểm của hình thứ nhất sẽ cho một điểm của hình thứ hai; và nếu ta tƣởng tƣợng rằng điểm G chuyển động liên tục qua khắp tất cả các điểm của đƣờng thứ nhất thì điểm g cũng chuyển động liên tục qua khắp tất cả các điểm của đƣờng thứ hai" (Thienard, 1994, tr; 42).

Ở Newton ta còn tìm thấy một cách sử dụng khác của phép biến hình: thay vì trực tiếp chuyển các tính chất bất biến từ hình này sang hình kia (nhƣ trƣớc đó ngƣời ta đã chuyển các tính chất của đƣờng tròn sang đƣờng cônic), ông đƣa bài toán cần giải về xét trên một hình đơn giản hơn nhận đƣợc từ hình ban đầu qua một phép biến hình. Nhƣ vậy, phép biến hình đƣợc ông sử dụng nhƣ một phƣơng pháp để thay đổi các hình thành những hình đơn giản hơn thuộc cùng một loại. Ông cũng khẳng định rằng nếu điểm G vạch nên một đƣờng thẳng hay một đƣờng cônic thì g cũng tƣơng ứng vạch nên đƣờng thẳng hay đƣờng cônic. Sau đó ông khái quát hóa kết quả này cho một đƣờng bất kỳ: hai đƣờng do G và g vạch nên luôn luôn thuộc cùng một loại. Để chứng minh kết quả này ông sử dụng các trục tọa độ và các phƣơng trình có đƣợc từ hình học của Descartes.

Tóm lại, cho đến thế kỷ 17, 18, phép biến hình đã đƣợc sử dụng để giải một số bài toán, nhƣng vẫn chƣa phải là đối tƣợng nghiên cứu. Từ "phép biến hình" đƣợc đƣa vào nhƣ một thuật ngữ đƣợc mô tả chứ không phải nhƣ một đối tƣợng của toán học. I.3. Phép biến hình xuất hiện tƣờng minh với tƣ cách là đối tƣợng nghiên cứu của toán học

Phép biến hình bắt đầu trở thành đối tƣợng nghiên cứu với Le Poivre (1652-1710). Từ việc giải một số bài toán, Le Poivre đã đƣa ra các định nghĩa, định lý, hệ quả liên quan đến các phép biến hình. Ông cũng đƣa vào khái niệm ảnh của một đƣờng, chứng minh rằng ảnh của đƣờng thẳng là đƣờng thẳng, xem xét sự tƣơng ứng của các giao điểm, sự bảo toàn tính song song, ... Nghiên cứu một cách hệ thống về đối tƣợng "phép biến hình" đƣợc Bellavitis (1803-1880) trình bày trong Lý thuyết về các hình (Théorie des figures) của ông và sau đó đƣợc một số nhà toán học khác bổ sung thêm. Không phân tích chi tiết, ta chỉ cần nói vắn tắt rằng ở giai đoạn này phép biến hình đã trở thành đối tƣợng nghiên cứu của toán học. I.4. Vai trò của hình học giải tích đối với quan niệm xem hình là tập hợp điểm Hình học giải tích đƣợc Descartes và Fermat xây dựng, độc lập với nhau, nhằm đem lại một phƣơng pháp khái quát cho phép giải mọi bài toán hình học với các kỹ thuật của đại số. Hai nhà toán học này xem mặt phẳng là một tập hợp điểm, gắn mỗi điểm của mặt phẳng với một cặp số (gọi là toa độ) và mỗi đƣờng cong với một phƣơng trình, tức là một liên hệ đại số giữa các tọa độ đặc trƣng cho sự liên thuộc của điểm vào đƣờng cong. Từ đó, việc nghiên cứu tính chất của đƣờng cong đƣợc thay thế bằng việc nghiên cứu tính chất đại số của những phƣơng trình tƣơng ứng. Phƣơng pháp của Descartes và Fermat đã đem lại một sự thay đổi rất quan trọng trong quan niệm về hình, nó cho phép chuyển từ cách nhìn các hình trong tổng thể vào cách nhìn

theo từng điểm. Nói một cách cụ thể hơn, việc thiết lập mối liên hệ giải tích giữa điểm với tọa độ tất yếu dẫn đến chỗ phải hiểu hình là một tập hợp điểm.

Thực ra thì, nhƣ đã nói, trong hình học cổ các thuật ngữ "điểm thuộc đƣờng thẳng", "điểm nằm trên mặt phẳng", ... đã đƣợc sử dụng, và một số quỹ tích hình học đã đƣợc nghiên cứu. Nhƣng, trong nhiều thế kỷ, cho đến tận Euclide, thậm chí sau đó nữa, từ "quỹ tích" đƣợc hiểu là một đƣờng - thẳng hoặc cong, hay một mặt, mà mọi điểm trên đó đều có cùng một tính chất nào đó. Ta không tìm thấy ở đây quan niệm xem hình là một tập hợp điểm. Có thể thấy rõ điều này qua các định nghĩa về quỹ tích của Platon, Aristée, Pappus, Croclus (tham khảo Ana Paula Jahn, 1998, tr. 28-29).

I.5. Phép biến hình trong hình học hiện đại Cùng với việc trở thành đối tƣợng nghiên cứu của toán học, vào cuối thế kỷ 18, phép biến hình đã mang lại cho hình học một phƣơng pháp mới có hiệu quả trong việc giải nhiều bài toán. Ta có thể thấy điều đó qua các nghiên cứu của Ponclet (1788-1867), Chasles (1793- 1880), Mobius (1790-1866), ... Cho đến lúc này những tƣ tƣởng của Desargues, Pascal và các phép biến hình mới thực sự đƣợc nhiều nhà toán học quan tâm. Bên cạnh phép chiếu, phép vị tự đƣợc Poncelet sử dụng một cách có hệ thống. Những phép biến hình khác nhƣ phép afin, phép quay, phép đối xứng, phép tịnh tiến cũng đƣợc nghiên cứu.

Đến cuối thế 19 thì phép biến hình đã đƣợc sử dụng vào một mục đích khác, không chỉ đơn thuần là công cụ để dựng hình hay chứng minh các tính chất của hình nữa. vấn đề sắp xếp các tính chất bất biến của các phép biến hình đã dẫn đến khái niệm nhóm các phép biến hình. Với các công trình của Klein (1849-1925), mỗi kiểu hình học đƣợc đặc trƣng bởi các bất biến của một nhóm các phép biến hình xác định.

II. Lợi ích sư phạm

Trở về với thể chế dạy học, phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm phép biến hình sẽ giúp ta xác định các cấp độ hiểu khái niệm này, những khó khăn của học sinh và những phƣơng tiện có thể dùng để giúp học sinh vƣợt qua khó khăn đó. II.1. Những cấp độ khác nhau của việc hiểu các phép biến hình Phân tích khoa học luận cho ta thấy lịch sử hình thành khái niệm các phép biến hình gắn liền với những giai đoạn khác nhau của sự tiến triển trong quan niệm về các đối tƣợng hình học. Chính ở bƣớc chuyển từ việc tri giác một hình hình học trong tổng thể sang việc xem nó nhƣ một tập hợp điểm mà khái niệm các phép biến hình xuất hiện một cách tƣờng minh. Đối với các nhà hình học thì phép biến hình trƣớc hết là một công cụ để giải toán hình học. Còn những nhà toán học quan tâm tới giải tích và đại số thì lại thấy rằng các tính chất hình học có thể đƣợc sắp xếp theo những đặc trƣng bất biến của các phép biến hình. Tƣ tƣởng này đã đƣa lại cho các phép biến hình một vị trí trung tâm trong việc xây dựng các lý thuyết

hình học theo xu hƣớng đặt tƣơng ứng mỗi lý thuyết này với một kiểu biến hình có những đặc trƣng riêng của nó. Từ sự phân tích khoa học luận về lịch sử phát sinh và phát triển lý thuyết các phép biến hình, ngƣời ta thấy việc hiểu đối tƣợng toán học này có thể phân ra làm 4 cấp độ:  Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ về hình dáng giữa hai hình hoặc giữa hai phần của một hình (đặc trƣng hàm hoàn toàn vắng mặt).

 Cấp độ 2: Phép biến hình đƣợc xem nhƣ là ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát hơn, từ không gian, vào chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian đƣợc nghiên cứu với tƣ cách là các tập hợp điểm.

 Cấp độ 3: Phép biến hình đƣợc xem nhƣ là một công cụ giải toán hình học.  Cấp độ 4: Phép biến hình đƣợc xem nhƣ là phần tử của một nhóm. Trong việc dạy học chủ đề các phép biến hình ở trƣờng phổ thông, nếu nhƣ ngƣời ta không yêu cầu phải đạt đến cấp độ 4 (mà chỉ mong muốn ngầm tạo nên biểu tƣợng về một cấu trúc đại số, làm chỗ dựa để sau này học sinh tiếp cận với toán học hiện đại) thì cấp độ 2 lại là một trọng tâm, còn cấp độ 3 đƣợc đòi hỏi cao thấp thế nào là tuy từng thể chế dạy học. II.2. Điểm hóa các hình hình học - một chƣớng ngại khoa học luận. Vai trò của hình học giải tích. Cũng từ việc phân thành 4 cấp độ nhƣ trên mà ta thấy việc dạy học chủ đề các phép biến hình ở trƣờng phổ thông có thể đƣợc tiến hành theo 2 giai đoạn:

 Đầu tiên, các phép biến hình luôn gắn liền với những hình dạng hình học cụ thể. Chính từ những hình dạng này mà biểu tƣợng về phép biến hình và các tính chất của chúng đƣợc khơi thông. Ở bƣớc này, học sinh đã có thể sử dụng phép biến hình để giải một số dạng toán, chẳng hạn nhƣ dùng phép đối xứng trục để dựng tam giác cân, hình thoi, hình chữ nhật, v.v...  Trên cơ sở những biểu tƣợng đã có mà dẫn dắt học sinh chuyển qua việc xem xét phép biến hình với tƣ cách là ánh xạ từ mặt phẳng (không gian) vào chính nó.

Đi từ các tính chất bất biến của một hình, chẳng hạn nhƣ những tính chất suy ra từ sự có mặt của trục hay tâm đối xứng, đến chỗ hiểu rằng phép biến hình sẽ tạo nên một hình thứ hai mà hình thứ nhất có thể so sánh đƣợc với nó không phải là bƣớc chuyển hoàn toàn tự nhiên trong phạm vi hình học tổng hợp. Đây là một khó khăn có bản chất khoa học luận. Trong nhiều thế kỷ, hình luôn luôn đƣợc xem là một khối nguyên vẹn. Với Desargues, phép biến hình (mà cũng chỉ có phép chiếu) mới xuất hiện nhƣ công cụ để dựng hình. Và cũng từ chức năng dựng hình này mà tƣ tƣởng xem các đƣờng conic là ảnh của đƣờng tròn mới xuất hiện. Hình biểu diễn trên mặt phẳng của một hình đƣợc tƣởng tƣợng nhƣ giao của mặt phẳng bức tranh (trong suốt) với hình nón tạo thành từ các tia sáng đi từ mắt tới các điểm nằm trên hình - cái giá để đặt các điểm. Tƣ tƣởng xem hình là cái cấu thành từ một tập hợp điểm hoàn toàn vắng mặt.

Việc chuyển từ phép biến hình gắn với những hìnhh cụ thể sang phép biến hình - ánh xạ từ mặt phẳng vào chính nó đòi hỏi phải chuyển từ quan niệm hình là một hình dạng tổng thể sang quan niệm hình là tập hợp điểm. Phân tích khoa học luận đã chỉ ra rằng hình học giải tích tạo điều kiện thuận lợi cho việc thay đổi quan điểm về các hình, nhận thấy là một hình có thể biểu diễn bởi một điều kiện đặc trƣng cho các điểm thuộc nó.

III.3. Thiết kế tình huống dạy học Để thiết kế một tình huống dạy học thì, nhƣ chúng tôi đã nói ở chƣơng 2, phải tiếp cận tri thức cần dạy từ hai phía: khoa học luận và thể chế dạy học. Từ phía thể chế dạy học ta sẽ chỉ rõ tri thức này xuất hiện ở đâu, nhƣ thế nào, có vai trò gì,... trong thể chế. Chúng tôi sử dụng ở đây công trình nghiên cứu của Ana Paula Jahn về việc dạy học phép biến hình ở lớp đầu cấp trung học phổ thông của Pháp.

Phân tích thể chế đƣợc tiến hành qua nghiên cứu chƣơng trình và sách giáo khoa. Nghiên cứu này đã cho phép tác giả chỉ ra những đặc trƣng cơ bản của việc trình bày vấn đề phép biến hình ở trƣờng phổ thông của Pháp. Không đi vào chi tiết, chúng tôi chỉ tóm lƣợc ngắn gọn những kết luận rút ra từ phân tích thể chế dạy học.

 Trong trƣờng phổ thông Pháp, phép biến hình đƣợc trình bày theo hai giai đoạn: ở giai đoạn thứ nhất (tƣơng đƣơng với bậc trung học cơ sở của Việt nam), việc giới thiệu phép biến hình đƣợc gắn liền với các hình hình học, và những hình này đƣợc xem xét trong tổng thể về hình dạng, kích thƣớc. Nhƣ thế, giai đoạn này tƣơng ứng với cấp độ 1 của việc hiểu các phép biến hình. Ở giai đoạn thứ hai (tƣơng đƣơng với bậc trung học phổ thông), phép biến hình đƣợc định nghĩa nhƣ là những ánh xạ từ tập hợp điểm của mặt phẳng (và không gian) vào chính nó. Giai đoạn này tƣơng ứng với cấp độ 2.

 Tƣơng ứng với hai giai đoạn học phép biến hình là hai mức độ quan niệm về các hình hình học. Ở giai đoạn đầu, hình đƣợc xem xét trong tổng thể, còn ở giai đoạn sau thì hình đƣợc quan niệm nhƣ một tập hợp điểm. Trong thực tế, giữa hai mức độ đó học sinh có giải quyết vấn đề tìm quỹ tích. Với các bài toán quỹ tích, hình đƣợc xem nhƣ là cái giá của một điểm di động. Nhƣng điều đó không có nghĩa là quan niệm hình nhƣ một tập hợp điểm đã đƣợc hình thành ở học sinh. Chuyển từ xem xét hình trong tổng thể sang hình xem nhƣ tập hợp điểm là một sự gián đoạn trong cách trình bày khái niệm phép biến hình của chƣơng trình và sách giáo khoa. Có thể hình dung là điều này sẽ gây khó khăn cho học sinh trung học phổ thông trong việc hiểu khái niệm phép biến hình. Ở đây, việc hình học giải tích đã đƣợc dạy bắt đầu từ lớp cuối bậc trung học cơ sở sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho bƣớc "điểm hóa" các hình hình học cơ bản (đƣờng thẳng, đoạn thẳng).

 Nghiên cứu chƣơng trình và sách giáo khoa còn dẫn Ana Paula Jahn đến với giả thuyết về một khó khăn khác thuộc về quan niệm là học sinh cho rằng các phép biến hình không làm thay đổi hình dạng của hình (ảnh của đƣờng thẳng là đƣờng thẳng, ảnh của đƣờng tròn là đƣờng tròn, ảnh của tam giác là tam giác có cùng hình dạng, v.v. ...). Quan niệm này đƣợc hình thành do chỗ ở giai đoạn thứ nhất ngƣời ta chỉ cho học sinh làm quen với một số phép dời hình (tịnh tiến, đối xứng, quay), và nhƣ ta biết, trong những trƣờng hợp đó thì hình dạng của hình tạo ảnh đƣợc bảo toàn trong hình ảnh.

Hai nghiên cứu khoa học luận và thể chế là những yếu tố cơ sở cho phép tác giả thiết kế một tình huống dạy học nhằm giúp học sinh hiểu đúng khái niệm phép biến hình. Trong tình huống này, tác giả nêu ra cho học sinh một dãy bài toán để giải chúng với sự trợ giúp của phần mềm Cabri-géomètre. Chúng tôi chỉ giới thiệu dƣới đây 8 trong các bài toán đó. Bài toán 1a:

M là một điểm nằm trên trục hoành của hệ tọa độ Descartes xOy. Hãy dựng điểm N nằm trên trục hoành sao cho độ dài đoạn thẳng ON bằng x2, với x là hoành độ của M.

Bài toán 1b: Dựng điểm P (x, x2). Viết phƣơng trình của đƣờng cong chứa những điểm P xác định nhƣ trên.

Bài toán 1c: Biểu diễn và giải thích đƣờng cong này với sự trợ giúp của Cabri-géomètre. Bài toán 2a: Đƣờng tròn (C) có tâm O thuộc đƣờng thẳng d cho trƣớc. M là một điểm thuộc (C). Dựng M  d. Trên M' là trung điểm của đoạn thẳng MP. Xác định quỹ tích của điểm M' khi M di động trên (C). Bài toán 3a: Cho hai đƣờng thẳng cắt nhau d và t. P là một điểm tùy ý không thuộc hai đƣờng thẳng trên. Từ P kẻ một đƣờng thẳng song song với d. Trên đƣờng thẳng vừa kẻ lấy điểm P' sao cho Po là

trung điểm của PP', với P0 là giao của t và đƣờng thẳng này. Gọi f là phép biến hình biến biến P thành P', Tìm các điểm bất biến của f. Bài toán 3b: Dựng và nghiên cứu ảnh của một đƣờng thẳng qua phép biến hình f. Bài toán 3c: (C) là đƣờng tròn tùy ý. Hãy dự đoán ảnh của (C) qua phép biến hình f. Thử tìm cách kiểm tra sự đúng đắn của dự đoán đó.

Bài toán 4c: Gọi TrO5 là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' thuộc tia MO sao cho MM' = 5cm. Dựng và nghiên cứu ảnh của một đƣờng thẳng qua phép biến hình TrO5.

Chúng tôi sẽ phân tích qua lý do của sự lựa chọn các bài toán này. Lƣu ý rằng nhiệm vụ của học sinh không phải là tự tìm lời giải. Trong thực tế, những bƣớc cần thực hiện để giải từng bài toán đã đƣợc đƣa ra tƣờng minh dƣới dạng "mệnh lệnh". Học sinh chỉ cần thực hiện từng lệnh với sự hỗ trợ của phần mềm Cabri-géomètre.

Với các bài toán 1a, 1b, 1c, vấn đề là học sinh có thể đƣa ra một nghĩa hình học cho những yếu tố dựng đƣợc, cụ thể hơn là thấy đƣợc rằng đƣờng cong vừa dựng là một tập hợp các điểm và ta có thể dựng nó bằng cách dựng từng điểm. Thực ra thì học sinh đã biết rằng đồ thị hàm số y= x2 là đƣờng parabol. Nhƣng kiến thức này đƣợc giới thiệu trong phạm vi đại số, và để vẽ parabol ngƣời ta dựng chỉ một vài điểm đặc biệt rồi nối chúng lại. Hơn thế, các điểm đó đƣợc xác định quá tọa độ của chúng, nghĩa là ngƣời ta không thực sự thực hiện các phép dựng hình. Còn trong tình huống này thì các điểm đƣợc dựng bằng những phép dựng hình học. Tác giả gọi đây là tình huống "điểm hóa một hình", nhằm thay đổi quan niệm của học sinh về các hình hình học.

Với bài toán 2a, kiến thức có liên quan là điểm thuộc đường tròn, trung điểm của đoạn thẳng, phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng. Ở đây, hoạt động của phần mềm Cabri-géomètre khi M di động trên (C) chỉ ra một cách rõ ràng sự dịch chuyển của M và M' Điều đó cho phép học sinh nhận ra vạch kẻ do M' tạo nên và tin chắc rằng đó là một đƣờng cong, nhƣng không phải là đƣờng tròn.

Ảnh của một đƣờng thẳng, sự bảo toàn tính thẳng hàng là đối tƣợng nghiên cứu của tình huống gắn liền với các bài toán 3a, 3b, 3c. Trái lại, tính thẳng hàng không đƣợc bảo toàn qua phép biến hình TrO5 xét trong bài toán 4c.

Với tình huống thiết kế nhƣ trên, tác giả nhằm giúp cho học sinh chuyển sang quan niệm hình là tập hợp điểm, nhìn phép biến hình theo quan điểm hàm và hiểu rằng không phải bao giờ hình dạng của hình cũng đƣợc giữ nguyên qua các phép biến hình. Tình huống đƣợc thiết kế cho thấy nghiên cứu khoa học luận về tri thức cần dạy có vai trò quan trọng nhƣ thế nào.

Có thể bắt đầu tiến hành một nghiên cứu chỉ đóng khung trong nội tại hệ thống dạy học đƣợc không? Chẳng hạn, trong phạm vi của hệ thống dạy học, ngƣời ta cũng có thể phân tích nhiệm vụ dạy học một tri thức và đƣa ra chẩn đoán đầu tiên về những sai lầm thƣờng tái diễn đƣợc gắn liền với việc chiếm lĩnh tri thức này. Nhƣng dựa vào đâu mà chẩn đoán? Vào kinh nghiệm thực hành nghề nghiệp? Nếu vậy thì giải thích thế nào về nguồn gốc của những sai lầm đó? Phải chăng chỉ nói đơn giản là do học sinh thiếu những kiến thức hay kỹ năng cần thiết? Quan niệm này, nhƣ chúng tôi sẽ nói rõ trong phần dƣới, không đƣợc thừa nhận trong didactic toán. Thực ra, để chẩn đoán sai lầm, ta đã phải dựa vào những yếu tố khoa học luận về tri thức, dù nó chƣa tính đến tầm vóc lịch sử của tri thức đó.

Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành tri thức là pha cơ bản để cho nhà nghiên cứu có thể xem xét việc dạy học ở một khoảng cách cần thiết. Nghĩa của khái niệm, những bài toán gắn liền với nó, vị trí tƣơng đối của một yếu tố thuộc tri thức đối với những tri thức khác, sự biến đổi của các dữ kiện tùy theo giai đoạn và thể chế, v.v..., bao nhiêu câu hỏi giúp hiểu rõ hơn hoạt động của một hệ thống didactic.

Phép tính vi phân dƣờng nhƣ là một ví dụ đặc biệt có ý nghĩa cho sự phụ thuộc này. Trong thực tế, kể từ thế kỷ XIX, tính toán vi phân phát triển chủ yếu là quanh các phƣơng pháp: phƣơng pháp không thể phân nhỏ (Cavalier, Roberval, ...), phƣơng pháp vô cùng bé (Leibniz, Bernoilli,...), phƣơng pháp chuỗi,...

Tóm lại, phân tích khoa học luận lịch sử chỉ cho ta thấy rằng:  Trở ngại của mô hình métric trong hình học đã tạo thuấn lợi cho tƣ tƣởng chỉ duy nhất tính đến phƣơng diện độ dài trong việc mô tả các đối tƣợng hình học.

 Việc tính đến sự định hƣớng các đại lƣợng hình học trƣớc hết trải qua việc xem xét về chiều, có nghĩa là xem xét các đại lƣợng thuộc cùng một phƣơng đƣợc định hƣớng. Thế nhƣng các đặc trƣng chiều và hƣớng lại không thể tách rời nhau.

Ngƣời ta có thể tìm thấy những tƣ tƣởng đầu tiên về vectơ trong việc sử dụng hình bình hành nhƣ là phƣơng tiện để biểu diễn hợp của hai lực, một thực hành đã khá phổ biến ở thế kỷ 16, 17. Tuy nhiên, không thể từ đó mà suy ra rằng khái niệm vectơ và phép cộng vectơ đã đƣợc biết đến ở thời kỳ ấy. Thực ra, trong một thời gian rất dài của lịch sử, hình bình hành chỉ là phƣơng tiện thực hành để vẽ hợp của hai lực, nó chƣa đƣợc giải thích nhƣ một phép toán đại số. Thế nhƣng, cũng cần thừa nhận ảnh hƣởng quan trọng của nó, vì đó là trƣờng hợp đầu tiên mà phƣơng pháp vectơ tìm thấy ứng dụng của mình trong vật lý.

Trong bài báo này Francais thừa nhận rằng tƣ tƣởng cơ bản của bài báo thực ra không phải là của ông, mà ông đã tìm thấy nó trong một bức thƣ do Lagrendre gửi cho anh trai. Trong bức thƣ này Lagrandre nói về một tác giả khác nhƣng không nêu tên. Ngay lập tức Argand đƣa ra những ghi chép để chứng tỏ mình là tác giả đƣợc nói đến trong bức thƣ của Lagrandre và đồng thời ông cũng bổ sung thêm cho tác phẩm đã công bố năm 1806.

C. Trường hợp số phức Ví dụ minh họa dƣới đây liên quan trực tiếp đến lịch sử hình thành và phát triển của đối tƣợng "Số phức". Tuy nhiên, trong phạm vi đề tài này, chúng tôi không đi liệt kê lại lịch sử, hay phân tích tất cả các sự kiện lịch sử gắn liền với số phức (vả lại cũng không thể làm điều đó). Chúng tôi chỉ quan tâm đến một số sự kiện chủ yếu để chỉ ra những lợi ích sự phạm của phân tích khoa học luận, bằng cách nêu lên những câu hỏi cần nghiên cứu hay các quan điểm (giả thuyết) về dạy và học toán.

Quả thực, những giả thuyết về dạy học nói riêng và những quan điểm sƣ phạm nói chung không phải đƣợc đề ra một cách tùy hứng, mà phải dựa trên những căn cứ khoa học thích đáng. Một trong các căn cứ nền tảng này là kết quả của phân tích khoa học luận. Điều đó cũng minh chứng cho quan điểm dạy học hiện nay đang thịnh hành trong nhiều nƣớc: "Dạy học phải tôn trọng đồng thời khoa học luận và quy trình nhận thức của học sinh."

Hiển nhiên, những quan điểm sƣ phạm đƣợc rút ra từ phân tích khoa học luận gắn liền với đối tƣợng số phức có thể áp dụng trực tiếp vào việc dạy học đối tƣợng này. Tuy nhiên, phân tích của chúng tôi sẽ cho thấy chúng vẫn phù hợp với nhiều khái niệm toán học khác. Vì vậy, các lợi ích sƣ phạm sẽ đƣợc chúng tôi trình bày một cách khái quát, mà không hạn chế vào trƣờng hợp đang nghiên cứu. Phân tích trong phần này dựa chủ yếu vào Lesieur (1976), Artigue & Deledicq (1992) và Lê Thị Hoài Châu (1997). Về lịch sử hình thành và phát triển của số phức, có thể phân biệt bốn giai đoạn chủ yếu sau đây:

 Giai đoạn của các cách viết trung gian trong phép tính nghiệm thực của pt bậc ba  Giai đoạn kí hiệu hình thức các đại lƣợng ảo  Giai đoạn biểu diễn hình học các đại lƣợng ảo  Giai đoan xây dựng đại số các số phức

I. Giai đoạn 1: Cách viết trung gian – mầm mống đầu tiên của số phức I.1. Phân tích khoa học luận Nghiên cứu những tài liệu lịch sử chứng tỏ rằng, đối tƣợng số phức nảy sinh từ chính nhu cầu giải quyết các bài toán của khoa học toán học. Tuy nhiên, đó không phải là những bài toán bậc hai nhƣ chúng ta thƣờng thấy trong chƣơng trình toán ở trƣờng phổ thông hay thậm chí ở đại học, mà là những bài toán gắn liền với việc tìm nghiệm thực của các phƣơng trình bậc ba có trong các công trình của các nhà đại số nƣớc Ý:

"Quả thực, ở thế kỉ XVI, người ta không có gì để làm với những nghiệm ảo của phương trình ax2 + bx + c = 0, vì bắt đầu từ các công trình của AI Hawarismi thế kỷ IX), Aboul Wafa (940 -998), AI Kahri (khoảng vào 1020) và Léonard de Pise (1180-1250) người ta đã biết giải tất cả các trường hợp có thể và biết phân biệt các phương trình có hai nghiệm, có một nghiệm hay vô nghiệm. "Artigue et Deledicq (1992).

Nói cách khác, việc tìm nghiệm thực của các phƣơng trình bậc hai không phải là động cơ làm nảy sinh số phức. Ngƣợc lại, chính bài toán tìm nghiệm thực của phƣơng trình bậc ba mới đặt ra vấn đề: mọi phƣơng trình bậc ba có nghiệm thực không? nếu có thì làm sao xác định đƣợc nó?

Ngƣời Hy Lạp cổ đặt biệt Euclide (330 - 275 trƣớc công nguyên) đã tìm cách giải, nhƣng không thành công, các bài toán dẫn đến phƣơng trình bậc ba. Nhƣ bài toán "chia ba góc 60° "dẫn tới phƣơng trình x3 = 3x + 1. Việc giải đƣợc thực hiện nhờ vào phép dựng hình học.

Phép dựng hình học nghiệm thực của phƣơng trình bậc ba đã thành công ở nhiều nhà toán học. Chẳng hạn, Ibn Al - Haytham (965 - 1093) giải bài toán của Archimède. Bài toán này dẫn tới phƣơng trình bậc ba dạng ax3 + a2b = cx2 và nghiệm đƣợc xác định từ giao của parabole x2 = ay và hyperbole y(c - x) = ab. Nhƣng, biểu thức đại số của nghiệm này vẫn chƣa xuất hiện trong lời giải. Chỉ đến đầu thế kỉ XVI ngƣời ta mới thành công trong việc giải đại số phƣơng trình bậc ba và chính Cardan là ngƣời công bố phƣơng pháp giải tổng quát vào năm 1547.

Ta hãy phân tích đoan trích sau đây của tài liệu lịch sử (phụ lục số 1), mà một số thuật ngữ đƣợc chúng tôi tạm dịch qua tiếng việt. Một số kí hiệu gốc đƣợc dữ nguyên để thấy rõ hơn đặc trƣng của nó.

“Phương pháp giải một phương trình bậc 3” (Del Ferro / Tartaglia / Cardan / Bombelli – 1500  1572) u - 14 = p. 13 p đối với dƣơng (+)

p đối với dƣơng (+) m đối với âm (-)

(u-14)2 = 132 U – 14 = p.13 v - 14 = m.13 Ta có: 14p.l3 là lập phƣơng của 2p.1 và 14 m.13 là lập phƣơng của 2 m.1 x = 2p.1 +2m.1 =4

âm với âm

v - 52 = m.d.m.47 Ta có: 52 p.d.m.47 là lập phƣơng của 4 p.d.m.l và 52 m.d.m.47 là lập phƣơng của 4 m.d.m.l x = 4 p.d.m. 1+4 m.d.m. 1 = 8." Giải thích bổ sung lời giải trong trích đoạn trên. Trong tay chúng tôi không có một tài liệu lịch sử nào giải thích cho những "bí ẩn" trong các lời giải trên. Tuy nhiên, bằng cách phân tích các lời giải này, chúng tôi làm rõ hơn kĩ thuật đã đƣợc vận dụng:

với điều kiện √ . √

) ) = a+b √ + √ (1). (2), ta có: + √ (3). + √ )3 = a+b √ + √ = )3 u + v + 3√ √ + √ ) u + v = a + √ ) = a+b √

3 2 - (

Phƣơng trình cần giải là dạng x3 = a + bx Bằng cách đặt x = √ (1) √ + √ u + v + b √ Từ (2) và (3) suy ra: u2 – au + (b/3)3 = 0 (u - )2 = (  Nếu ( 3 không âm: 2 - (

)

Trong trƣờng hợp phƣơng trình x3 =28 + 9x ở trên,

- (

âm, thì khó khăn đụng phải là lấy căn bậc hai của một số âm ( chẳng hạn của -472 nhƣ ví dụ trên). Để tránh khó khăn này, ngƣời ta đã đƣa vào những „‟dấu‟‟ (hay ký hiệu ) mới: pdm và mdm, và đạt đƣợc:

● Nếu (

Về điều này Bombelli viết: "Kiểu căn bậc hai này có thuật toán tính toán rất khác với những căn bậc hai khác và nó cũng có một tên khác; vì, khi mà lũy thừa ba của một phần ba đại lƣợng lớn hơn bình phƣơng của một nửa số đã cho, số dôi (excès) không thể đƣợc gọi là "cộng" (plus), cũng không thể gọi là "trừ (moins), nhƣng có thể gọi là "cộng của trừ" (pìu di meno) nếu thêm vào, và khi bớt đi có thể gọi là "trừ của trừ" (meno di meno)."

Có thể chúng ta chƣa hài lòng với giải thích của Bombelli. Nhƣng với các pdm và mdm, ông đã đạt đƣợc kết quả mong muốn: tìm đƣợc nghiệm thực của phƣơng trình là bậc ba bằng cách thực hiện các phép tính tƣơng tự nhƣ trong phạm vi số quen thuộc. Hiện tƣợng này rất giống với hiện tƣợng xảy ra trƣớc khi xuất hiện khái niệm số âm. Chẳng hạn, với phép tính: (5 + 2) + (5 - 2) ta có ngay kết quả là 10.

Ngƣợc lại, phép tính (2 + 5) + (2 - 5) lại đặt ra vấn đề, vì không thể tính (2 - 6). Thế nhƣng, nếu áp dụng các quy tắc tính đã có nhƣ Bombeli đã làm, ta đƣợc kết quả là 4, vì chẳng hạn, ta hình dung (2 + 5) + (2 - 5) có thể đƣợc viết là (2 pdm 5) + (2 mdm 5) = 4. Rõ ràng rằng, để đạt kết quả là 4, ta không có nhu cầu đƣa vào khái niệm số âm (cụ thể là -3).

Trích đoạn trên của tài liệu lịch sử chứng tỏ rằng kết quả giải đã không sai đi nếu ta dùng căn bậc hai của một số âm. Vấn đề là phải chọn các quy tắc tính với các pdm và mdm một cách phù hợp.

Nhƣ vậy, cần nhấn mạnh rằng: mầm mống đầu tiên của việc nảy sinh số phức không phải là sự xuất hiện của một số « mới ». Nói cách khác, ở đây không có một số mới nào xuất hiện, mà chỉ có sự nảy sinh của các « dấu » hay "cách viết" trung gian và quy tắc thực hiện chúng để thực hiện các phép tính. Nhƣ Bombelli đã trình bày:

«  Più via più di meno fa più di meno  Più vía meno di meno fa meno di meno  Meno vía meno di meno fa più di meno  Più di meno via più di meno fa meno  Più di meno via meno di meno fa più  Meno di meno via più di meno fa più  Meno di meno via meno di meno fa meno." I.2. Lợi ích sƣ phạm Phân tích khoa học luận ở trên có thể là điểm tựa cho những quan điểm (giả thuyết) sau đây về dạy học toán. • Quan điểm thứ nhất: Vai trò tạo động cơ của "mất cân bằng nhận thức”

Rõ ràng rằng, việc giải các phƣơng trình bậc hai không tạo động cơ cho việc nảy sinh số phức, vì việc tìm nghiệm thực của các phƣơng trình này đã có thể thực hiện trong phạm vi số thực. Nói cách khác, nó không tạo ra sự mất cân bằng về nhận thức.

Ngƣợc lại, việc tìm nghiệm thực của một phƣơng trình bậc ba đòi hỏi phải thoát ra khỏi "khuôn khổ cũ" : mặc dù không đƣa vào số mới (số phức), mà chỉ là những "dấu" mới, và thích ứng các dấu này vào những quy tắc tính đã có trong phạm vi các số đã biết. Tuy nhiên, việc làm này không đơn giản một chút nào. Nhƣ, Artigue và Deledicq (1992) viết:

"Cần phải tôn kính lòng dũng cảm của các nhà tính toán thể kỉ XVI; vì quả thực, trong "trường hợp số ảo" các phép toán rất khác với những phép toán khác, và có thể nói, cần phải phát minh ra hai phép toán này và các quy tắc thao tác chúng." Nói cách khác, bài toán bậc ba thực sự đặt ra khó khăn và sự mất cân bằng về nhận thức. Và chính sự mất cân bằng nhận thức này là động của việc nảy sinh đối tƣợng mới. Nhận định này phù hợp với quan niệm về "Mất cân bằng/thiết lập lại sự cân bằng" - vấn đề trung tâm trong lí thuyết kiến tạo của Piaget.

Theo Piaget, việc xây dựng kiến thức phải là kết quả của quá trình tác động qua lại giữa chủ thể và môi trƣờng. Chủ thể tìm cách thích ứng vào môi trƣờng này bằng một hoạt động kép: Đồng hóa và điều tiết. Còn didactique toán thì tính đến hiện tƣợng trên bằng cách lấy làm cơ sở xuất phát giả thuyết sau đây (giả thuyết tâm lí - học bằng thích ứng): "Chủ thể học bằng cách tự thích ứng với môi trường, mà môi trường này là nhân tố của những mâu thuẫn, những khó khăn và những mất cân bằng." Nhƣ vậy, để cho học sinh có thể học đƣợc và cao hơn để phát triển ở họ óc sáng tạo. Vấn đề là tạo ra ở họ một môi trƣờng có tác dụng sinh ra những mất cân bằng về nhận thức • Quan điểm thứ hai: Cơ chế "công cụ " và cơ chế "đối tượng" của một khái niệm toán học

(14) Một khái niệm có cơ chế “công cụ” khi nó đƣợc sử dụng một cách ngầm ẩn hay tƣờng minh nhƣ là phƣơng tiện để giải quyết một vấn đề, một bài toán. (Xem tiếp trang sau).

Phân tích lịch sử phát triển của số phức trong giai đoạn đầu gợi ra sự cần thiết phân biệt hai cơ chế khác nhau của một khái niệm toán học: Cơ chế công cụ và cơ chế đối tƣợng(14). Trong trƣờng hợp số phức ở giai đoạn đầu tiên này, đó không phải là các đối tƣợng toán học mới xuất hiện, mà chỉ là những "dấu" (hay cách viết trung gian) và vấn đề là thích

ứng những quy tắc tính quen thuộc vào những dấu mới này. Ngay cả kí hiệu √ cũng chƣa xuất hiện ở đây. Nhƣ vậy, nếu xem sự xuất hiện các dấu này nhƣ là mầm mống, nhƣ là khởi thủy của sự nảy sinh số phức, thì rõ ràng các số phức xuất hiện trƣớc hết trong vai trò công cụ để giải quyết bài toán "tìm nghiệm thực của phƣơng trình bậc 3". Sau này, các đại lƣợng ảo sẽ đƣợc xây dựng từ kí hiệu √ và trƣớc tiên nó cũng hiện diện trong vai trò công cụ của họat động toán học.

) để giải quyết các bài toán khác nhau: Tính vận tốc tức thời, gia tốc,

Ta có thể thấy hiện tƣợng này đối với nhiều khái niệm khác. Chẳng hạn, khái niệm đạo hàm, theo lịch sử, nó xuất hiện trƣớc hết nhƣ là một công cụ ngầm ẩn ( hay tính hệ số góc của tiếp tuyến,... Phân tích trên dẫn đến một quan điểm sƣ phạm hoàn toàn mấu chốt về quy trình đƣa vào dạy học một khái niệm toán học nói riêng và một kiến thức mới, nói chung:

Kiến thức nhắm tới phải xuất hiện trước hết như là công cụ giải quyết các bài toán. Chẳng hạn, một trong các quan điểm sƣ phạm đƣợc áp dụng bởi trƣờng phái, tạm gọi là "noyaux - thèmes" ở cộng hòa Pháp trong những năm 1975 là:

" Xung quanh một số khái niệm ngầm ẩn, giáo viên tổ chức những hoạt động đa dạng, cho phép học sinh gặp trong đó các khái niệm, thao tác chúng, mô tả chúng, làm rõ chúng, nhận ra chúng dưới những vỏ bọc khác nhau và dùng chúng để xây dựng công cụ toán học." (Bulletin de L.APMEP, n°300)

Theo quan điểm này, trƣớc khi đi nghiên cứu một khái niệm (đƣa vào định nghĩa, nghiên cứu tính chất,..), cần tổ chức các họat động giải toán, trong đó khái niệm đƣợc sử dụng ngầm ẩn nhƣ là công cụ giải quyết các bài toán này.

II. Giai đoạn 2: ký hiệu hình thức các đại lượng ảo II.1- Phân tích khoa học luận Nhƣ đã thấy trong gia đoạn trƣớc, khởi đầu, các đại lƣợng ảo không có cơ chế của một số, mà chỉ là các "kí hiệu" làm trung gian cho phép tính nghiệm thực của phƣơng trình bậc ba. Tuy nhiên, không có một cách viết nào chứa các căn bậc hai của số âm (chẳng hạn 52 + √ ) hiện diện trong các kết quả đạt đƣợc. Ngay cả thuật ngữ "đại lƣợng ảo" cũng chƣa xuất hiện.

√ √ Dần dần, niềm tin vào các đối tƣợng mới này càng gia tăng do việc thao tác với chúng không đƣa đến các mâu thuẫn. Thậm chí, bên cạnh các phép toán đã biết, Leibniz còn đề nghị đƣa vào một phép toán mới mà ông gọi là "opération de réformation". Đó là phép toán chuyển các đại lƣợng dạng √ √ thành những đại lƣợng thực. Ngƣời ta cũng thấy ý tƣởng này ở Huyghens (1629 - 1695): "Người ta không bao giờ tin rằng

√ √ cho kết quả là √ , (15) và có một điêu gì đó bị che dấu đằng sau √ √ mà chúng ta không hiểu được."

Nhƣ vậy, các cách viết "kí hiệu" chứa căn bậc hai của số âm đã bắt đầu xuất hiện. Sau đó các nhà hình học đức đã thay cách viết √ bằng chữ i. Tuy nhiên, chúng vẫn chỉ đóng vai trò công cụ, phƣơng tiện tính, mà chƣa có một "nghĩa" xác định. Nói cách khác, câu hỏi “ √ hay i là cái gì? " vẫn chƣa đƣợc trả lời. Ngay đầu thế kỉ 19, trong bản báo cáo của mình trƣớc viện hàn lâm khoa học, công bố năm 1848, Cauchy (1789 -1857) vẫn còn giải thích:

"... không còn cần thiết để trí óc vào sự trăn trở khám phá xem kí hiệu V-ĩ (kí hiệu mà các nhà hình học Đức đã thay bới chữ i) có thể biểu thị cái gì. Dấu hay chữ này, theo tôi là một công cụ, một phương tiện tính mà việc đưa nó vào trong các công thức cho phép đạt được nhanh hơn lời giải thực của các vấn đề mà ta đặt ra.” (Chúng tôi nhấn mạnh) Ở đây, chúng tôi quan tâm phân tích một sự kiện quan trọng sau đây của lịch sử phát

triển số phức trong giai đoạn có sự hiện diện của kí hiệu √ hay chữ i này.

Các đại lượng ảo đi vào tác động với các logarit Dấu vết tác động của các đại lƣợng ảo với các logarit thể hiện qua bức thƣ của Bernoulli gửi cho Leibniz vào năm 1702, trong đó, Bernoulli tìm cách định nghĩa logarit của các số ảo:

Từ đẳng thức vi phân: dx, bằng cách đổi biến x = i.

và lấy

tính phân bình thường như đã làm với các số thực, ông đạt đƣợc logarit của √ bằng

√ và do đó logarit của bình phƣơng của √ (nghĩa là của -1) bằng √ .(16)

Leibniz khẳng định rằng logarit của các đại lƣợng âm và ảo nhất thiết phải là ảo. Còn Bernoulli thì cho rằng một số và số đối của nó có cùng logarit. Một trong các lí lẽ của ông là:

(15) Ta có thể chứng minh đƣợc điều này bằng kỹ thuật bình phƣơng hai vế. Tuy nhiên, với điều kiện chấp nhận căn bậc hai của số âm (16) Chúng tôi hình dung ông đã tính nhƣ sau: Tích phân vế trái cho arctgx, còn tích phân vế trái cho

Từ

đó ta có:

. Cho t = i thì x -= -1. Do đó, artg(-1) =

hay

√

√ .

Với mọi số dƣơng a, ta có (-a)2 = (a)2, và do đó ln(-a)2 = ln(a)2 21n(-a) = 21n(a) Từ đó: ln(-a) = ln(a). Đặt biệt, ln(-l) = ln(l) = 0.

√ Bernoulli đã tiến hành lấy tích phân Phân tích trên làm nổi lên hiện tƣợng sau đây: Mặt dù các đại lƣợng ảo không phải là "số" thuộc phạm vi các số đã biết, nhƣng bằng cách áp dụng các quy tắc tính quen thuộc trong phạm vi các số này vào các đại lƣợng ảo, ta đạt đƣợc các kết quả khác. Có thể nói: ngƣời ta đã "giả vờ" coi các đối tƣợng mới nhƣ là "số" đã biết, nghĩa là ghép chúng vào họ những số trong đó đã có các quy tắc tính đại số, để áp dụng các quy tắc này lên đối tƣợng mới. Hay nói nhƣ Leibniz: Áp dụng một cách đơn giản vào các đại lƣợng ảo, các quy tắc tính đã biết trên các đại lƣợng thông thƣờng. Artigue và Deledicq (1992) gọi nguyên tắc áp dụng này là nguyên tắc thƣờng trực (principe de permanance). Quả thực, để đạt đƣợc kết quả log √

các đại lƣợng ảo theo các quy tắc tính đã áp dụng quen thuộc trên các số đã biết. Còn để đạt đƣợc kết quả ln(-a) = ln(a) và ln(-l) = ln(l) = 0 ông đã áp dụng các quy tắc tính sau đây mà không nghi ngờ về phạm vi hợp thức của nó:

a = b ln(a) = ln(b) lnx2 = 2ln(x) 2a = 2b => a = b.

Mục đích của Bernoulli và Leibniz là tìm cách định nghĩa logarit của các số âm và số ảo. Họ đã áp dụng các quy tắc tính quen thuộc để tìm giá trị của logarit tƣơng hợp với các quy tắc này. Tuy nhiên, việc áp dụng nguyên tắc này lại dẫn Leibniz đế một kết luận khác với Bernoulli:

"Nếu ta có ln(-1) = ln(1) thì eln(-1) = eln(1) Do đó, -1 =1, elnx = x. Điều này là mâu thuẫn. » Ở đây ta không quan tâm đến các kết quả rút ra có mâu thuẫn hay không, mà chỉ nhấn mạnh rằng, việc vận dụng «nguyên tắc thƣờng trực» đóng vai trò tạo ra những đối tƣợng toán học mới. Ta có thể hình dung tiến trình nảy sinh các đối tƣợng này nhƣ Artigue và Deledicq(1992) mô tả:

II.2. Lợi ích sƣ phạm Mỗi một quy tắc tính đều có một phạm vi hợp thức (hay phạm vi áp dụng) ban đầu của nó. Trong phạm vi này, nếu áp dụng đúng quy tắc thì kết quả đạt đƣợc sẽ phù hợp (hay không mâu thuẫn) với những gì đã có trong phạm vi ban đầu. Việc áp dụng quy tắc ngoài phạm vi hợp thức này sẽ dẫn đến kết quả có thể phù hợp hoặc mâu thuẫn với các kết quả đã có (nhƣ ta đã thấy trong trƣờng hợp các số ảo ở trên), về mặt sƣ phạm hiện tƣợng này dƣờng nhƣ cần đƣợc quan tâm: Việc vƣợt ra ngoài phạm vi, nguyên tắc,... quen thuộc có thể lại là tiền đề

Thoạt tiên ta có những quy tắc đƣợc áp dụng trong phạm vi các đối tƣợng xác định. Sau đó, phạm vị áp dụng của các quy tắc này sẽ dần dần đƣợc mở rộng cho các đối tƣợng khác với các đối tƣợng ban đầu bị ràng buộc bởi các quy tắc trên. Từ đó, xuất hiện một số các đối tƣợng đƣợc định nghĩa, và do vậy, sự tồn tại của chúng đƣợc khẳng định. Ngƣời ta tìm cách làm rõ những quy tắc trong một cấu trúc mới đang trên đƣờng đƣợc xây dựng. Cuối cùng, ngƣời ta chợt nhận ra rằng quy trình trên đã làm nảy sinh một lớp mới các đối tƣợng mà phạm vi áp dụng các quy tắc bao hàm phạm vi áp dụng ban đầu.

cho sáng tạo và phát triển. Ta cũng thấy rõ điều này trong giai đoạn 1 của lịch sử phát triển số phức: Nếu nhƣ các nhà toán học không dám vƣợt ra khỏi khuôn khổ của các căn bậc hai và chỉ quanh quẩn với căn bậc hai của các số không âm, thì có thể các số phức vẫn chƣa ra đời !!

III. Giai đoạn 3: Biểu diễn hình học các đại lượng

III.1. Phân tích khoa học luận Phân tích trong chƣơng trƣớc chỉ rõ rằng: Dù các cách viết liên quan tới căn bậc hai của sô âm và đặc biệt, kí hiệu √ cũng nhƣ thuật ngữ « đại lƣợng ảo » đã hiện diện, nhƣng số phức vẫn chỉ có một cơ chế công cụ. Nói cách khác, đó mới chỉ là các « đối tƣợng kí hiệu hình thức», mà chƣa có một « nghĩa » xác định nào.

Thế kỉ 19 đánh dấu một bƣớc ngoặc lớn trong lịch sử phát triển của số phức, vì chính trong giai đoan này, lần đầu tiên, các đại lƣợng ảo có một nghĩa xác định và do đó nó thoát khỏi vai trò của một công cụ đơn giản của họat động toán học để lấy một cơ chế "đối tƣợng". Việc tìm thấy nghĩa của đại lƣợng ảo đƣợc thực hiện trong phạm vi hình học qua các công trình của nhiều nhà toán học.

Tuy nhiên, mầm mống biểu diễn hình học các đại lƣợng ảo đã xuất hiện trƣớc thế kỉ 19 trong công trình của nhà toán học anh J.Wallis (1616 -1703). Năm 1673 ông đề nghị một hình ảnh phác họa cho các đại lƣợng ảo. Trong cuốn "Algebra" xuất bản năm 1685, ông chính thức đƣa ra một cách giải thích sau đây các đại lƣợng ảo:

"Nếu ta giả sử rằng mặt rộng này là -1600 perches(17), nghĩa là 1600 perches mất, và rằng mặt rộng có dạng hình vuông, thì liệu có hay không cạnh của hình vuông này? Nếu có, thì nó bằng bao nhiêu? Chắc chắn, cạnh này không thể là +40 hay -40, vì hình vuông tƣơng ứng cho +1600 mà không phải là -1600. Đó phải là √ (căn giả định của một số âm), hay 10√ , 20 √ , hay 40 √ ." Nhƣ vậy, Wallis tƣởng tƣợng 40 √ nhƣ là cạnh của một hình vuông diện tích - 1600 perches. Nhƣng cũng cần nhấn mạnh rằng: hình ảnh hình học sơ khai này của các đại lƣợng ảo vẫn chỉ tồn tại trong tƣởng tƣợng mà thôi.

Điều đáng lưu ý ở đây là: Wallis đã áp dụng một cách giải thích tương tư mà ông đã áp dụng khi giải thích các đại lƣợng âm nhờ vào cái mà ông gọi là "đƣợc" và "mất". Chẳng hạn, +16 đƣợc xem nhƣ là 16 "đƣợc" (hay đƣợc 16), còn -16 là 16 mất (mất 16). Chính xác hơn, ông đã cho các đại lƣợng ảo một "nghĩa" sơ khai đầu tiên, bằng cách tổng quát hóa "mô hình cộng" của những "đƣợc" và "mất" đã đƣợc dùng trong trƣờng hợp số âm. Điều này cũng tƣơng tự nhƣ Hamilton (1805 - 1865) quan niệm đại số là khoa học của thời gian thuần túy và từ đó ông giải thích số âm nhƣ là sự quay ngƣợc lại thời gian.

(17) Đơn vị đo ruộng đất từ Paris. 1 perche  34m2 .

Jean-Robert ARGAND (1768 - 1822) - nhà toán học Thụy sĩ đã đề cập đến số phức từ năm 1806. Công trình đáng chú ý của ông về số phức là "Thử nghiên cứu cách biểu diễn các đại lƣợng ảo trong các phép dựng hình". Ta hãy nghiên cứu biểu diễn đầu tiên của ông:

"4. Thực ra, nếu ta lấy một điểm cố định K (hình 1) và chấp nhận một đơn vị dƣơng cho đƣờng KA, đƣợc xem nhƣ có hƣớng từ K tới A, cái mà ta kí hiệu bởi để phân biệt đại lƣợng này với đƣờng KA, trong đó ta chỉ xét đến đại lƣợng tuyệt đối,

... Quả thực, hƣớng của , đối với hƣớng của , là cái mà hƣớng của đối với hƣớng của . Hơn nữa, ta thấy rằng cũng nhƣ đều thỏa mãn điều kiện này. Quan hệ giữa chúng cũng tƣơng tự nhƣ quan hệ giữa +1 và -1. Do vậy, chúng là cái mà ta biểu thị

bởi +√ , - √ . 6. Từ những suy nghĩ này, ta có thể tổng quát hóa chiều của các biểu thức (expressions) dạng ,,..., và tất cả các biểu thức tƣơng tự đều chỉ, trong phần sau, một đƣờng của một đoạn dài nào đó song song với một hƣớng, lấy theo một chiều xác định giữa hai chiều ngƣợc nhau mà hƣớng này thể hiện, và gốc là một điểm nào đó. ..

Vì chúng là chủ đề của các nghiên cứu tiếp sau, nên cần thiết đƣa ra một tên gọi đặc biệt. Ta gọi chúng là những đƣờng có hƣớng (ligne en direction) hoặc đơn giản hơn là các đƣờng định hƣớng (lignes dirigées). Nhƣ vậy, chúng đƣợc phân biệt với các đƣờng tuyệt đối (lignes absolues) - những đƣờng mà ta chỉ xét về phƣơng diện độ dài, chứ không quan tâm đến hƣớng."

Trích đoạn trên cho thấy, từ cố gắng tìm kiếm cách biểu diễn các đại lƣợng ảo, Argand đã đƣa vào một công cụ biểu diễn mà ông gọi là "các đường định hướng". Đây chính là "tiền thân" của đối tƣợng "vectơ". Có thể nói, Argand là một trong những ngƣời đầu tiên(18) đã mở ra con đƣờng dẫn tới sự ra đời không gian vectơ nhờ vào cố gắng tìm kiếm cách biểu diễn hình học các đại lƣợng ảo. Trong trƣờng hợp này, đại lƣợng ảo vừa là đối tƣợng nghiên cứu, vừa là động lực thúc đẩy sự nảy sinh và phát triển, ít nhất là đối tƣợng vectơ.

Tuy nhiên, cái mà ta quan tâm ở đây là cách mà Argand tiến hành trong nghiên cứu của mình: Chính bắt đầu từ những kết quả mà ông đã có khi nghiên cứu số âm mà nảy sinh ở ông ý tƣởng về chiều (direction hay sens). Ông viết:

(18) Nhiều nghiên cứu lịch sử xem Leibniz (1646-1716) nhƣ là ngƣời đầu tiên có tham vọng tạo ra phép tính hình học – cái cho phép hƣớng về đối tƣợng vectơ, dù rằng các cố gắng đầu tiên của ông trong tham vọng này đã sớm thất bại.

"Nhƣng, vì chúng ta đã thấy ở trên rằng, đại lƣợng âm - đại lƣợng thoạt tiên có vẻ chỉ tồn tại trong tƣởng tƣợng, nay đã tồn tại thực sự, khi chúng ta kết hợp tƣ tƣởng đại lƣợng tuyệt đối với đại lƣợng có hƣớng, phép tương tư phải dẫn chúng ta tới việc tìm hiểu xem ta có thể đạt đƣợc một kết quả tƣơng tự về đại lƣợng đối. (đó là trung bình ảo +l:x:: x: -1)." (Chính chúng tôi nhấn mạnh)

Trong trích đoạn này, +1:x:: x: -1 hiểu là

, nghĩa là x.x = -1. Nhƣ vậy đại lƣợng x không thể âm, cũng không thể dƣơng. Do đó cần đưa vào một hướng thứ ba chứa x. Với ý tƣởng này ông đã biểu diễn các số thực trên một trục (trục thực) và xem trục vuông góc với trục này và đi qua gốc của nó là trục thứ hai, trên đó hai đại lƣợng đơn vị ảo là +√ và √

Để gắn khái niệm đƣờng định hƣớng với các đại lƣợng ảo, ông quan niệm các đƣờng song song với trục thực đƣợc viết là ± a, các đƣờng vuông góc với trục này đƣợc viết là ± b √ . Và nhƣ vậy tất cả các đƣờng định hƣớng của mặt phẳng có thể đƣợc viết dƣới dạng ± a ± b √ .Sau đó ông thiết lập một tƣơng ứng giữa các phép toán trên các đại lƣợng ảo và việc dựng hình học thực hiện trên các đƣờng định hƣớng.

Ta cũng thấy sự vận dụng "phép tương tự hóa" này trong bài viết khác của ông, trong đó ông thử tìm cách mở rộng vào không gian những kết quả đã có trong mặt phẳng. Cụ thể hơn là tìm một biểu thức đại số cho mỗi đƣờng định hƣớng trong không gian, theo cách mà ông đã làm trong mặt phẳng:

Xét trong mặt phẳng KAB, nếu KA = +1 và KB = √ , thì tất cả các bán kính kiểu KN có thể biểu diễn đƣợc dƣới dạng a +b √ . Vấn đề bây giờ là xác định một biểu thức đại số tƣơng tự biểu diễn cho mỗi bán kính KM nào đó, không nằm trong mặt phẳng trên, nhƣng không thu gọn vào chỉ một đại lƣợng ảo. về điều này, Argand viết:

Ta giả sử rằng nửa đƣờng tròn ABC quay quanh AC, thì điểm B vạch ra đƣờng tròn

BPDQ...."

"Từ hai phần khác nhau đối với điểm A, và trên đƣờng tròn ABCD, ta lấy hai hƣớng ngƣợc nhau, một gán cho những góc dƣơng, hƣớng còn lại gán cho những góc âm. Nhƣ thế, nếu ta áp dụng, vào trƣờng hợp các góc, những cái mà ta đã làm với các đƣờng, thì ta sẽ đi đến dùng những góc ảo trong một hƣớng vuông góc với hƣớng thuộc về các góc thực.

√

Nhƣng, có một điều không may mắn cho ông: Trong trƣờng hợp này phép tương tự đã dẫn ông tới một kết quả mà ông khẳng định là không đồng nhất với các đại lƣợng ảo. Hơn nữa, theo Artigue và Deledicq (1992), kết quả này mâu thuẫn với giá trị đƣợc tìm thấy bởi

nhƣ là √ đã đƣợc tìm thấy. Ta đạt đƣợc biểu thức Euler đối với biểu thức √ .

Một điểm khác cần phân tích: Wallis, khi ông tìm cách dựng hình học các nghiệm ảo của một phƣơng trình bậc hai đã dẫn tới tình huống xác định đáy AB của một tam giá APB biết độ dài AP, PB và đƣờng cao PC, với PC > PB. Trong lời giải, ông đã dùng đến những ghi nhận trực giác trên hình vẽ. Tƣơng tự, nhờ vào trực giác, Argand đã đƣa vào khái niệm « đƣờng thẳng định hƣớng «và giải quyết bài toán tìm biểu thức đại số cho các đƣờng định hƣớng. Đƣờng thẳng định hƣớng đến lƣợt nó lại cho hình ảnh hình học đầu tiên của đối tƣợng vectơ. Trong nhiều công trình khác, ông cũng sử dụng « trực giác » một cách có hiệu quả. Nhƣ trong chứng minh định lí cơ bản của đại số tuyến tính (1813), Argand đã cho thấy lợi ích thiết thực của « cách nhìn hình học »:

« Để theo dõi chứng minh này, tôi mời độc giả vẽ một hình. Bằng cách áp dụng các quy tắc cơ bản và đơn giản nhắc lại ở trên, ta sẽ thấy rằng: ngoại trừ khai triển (A), còn tất cả các suy luận khác sẽ thực hiện, có thể nói là bằng mắt, mà không cần đến một cố gắng chú ý nào. »

Thế nhƣng, ở thời kì của Wallis và Argand, hầu nhƣ ngƣời ta không chấp nhận mặt tích cực của « ghi nhận trực giác ». Chẳng hạn, Lagrand viết rằng: « Những hình vẽ không cần cho lí trí. Chúng thƣờng gây ra những rối loan. ». Chính vì thế, trong tác phẩm «Mécanique analytique » của ông không có một hình vẽ nào.

Chính nhờ vào biểu diễn hình học mà Wallis và Argand đi ngƣợc lại trào lƣu của các nhà đại số hình thức, và do đó họ đã rất khó khăn hội nhập vào cộng đồng các nhà đại số này. Đại số hình thức, nhấn mạnh trên một đại số chỉ của các kí hiệu thuần túy - một khoa học kí hiệu tuân thủ những quy tắc riêng. Còn vấn đề giải thích các kí hiệu này hoàn toàn không cơ bản.

Vì vậy, để tôn trọng quan niệm đại số hình thức này mà khi bàn đến các đại lƣợng ảo trong bài giảng của mình ở trƣờng Đại học kĩ thuật và năm 1821, Cauchy viết: « Nói chung ta gọi đại lƣợng ảo là tất cả những biểu thức kí hiệu dạng: a +b √ ... ». Chỉ đến mãi năm 1847, ông mới tuyên bố gia nhập vào đội ngũ nghiên cứu lí thuyết hình học, trong đó các đại lƣợng ảo đƣợc quan niệm nhƣ là trƣờng hợp đặc biệt của các đại lƣợng hình học. Nhƣng chính C.F. Gauss (1777-1855), bằng quyền lực của mình, mới là ngƣời có vai trò quyết định về sự chấp nhận « quan điểm hình học » trong toán học. Đến thế kỉ 20 thì lợi ích của « Ghi nhận hình học » nhƣ là phƣơng tiện để « hiểu », để ghi nhớ, để làm giá cho chứng minh,... thực sự đƣợc nhấn mạnh.

III.2. Lợi ích sƣ phạm Điều đáng lƣu ý đầu tiên về phƣơng diện Sƣ phạm, có thể rút ra từ phân tích khoa học luận ở trên là vai trò của phép tƣơng tự.

Trong trƣờng hợp của Wallis, phép tƣợng tự đƣợc vận dụng có tính chất bề ngoài, mà không phải ở cấu trúc bên trong của sự vật, hiện tƣợng. Do đó, nó chỉ đóng một lợi ích khiêm tốn. Quả thực, mô hình « đƣợc », « mất» mà ông áp dụng thành công trong việc giải thích số âm không chỉ có mục đích làm cho số âm không còn tồn tại trong tƣởng tƣợng, nghĩa là gán cho số âm một «nghĩa» thực, mà còn có mục đích tính đến cấu trúc cộng của tập Z. Tuy nhiên, trong trƣờng hợp các đại lƣợng ảo, cái mà ông thực hiện không phải là cấu trúc cộng mà là cấu trúc nhân. Tuy nhiên, khi đó, mô hình « đƣợc » và « mất » không còn thích ứng với cấu trúc nhân. Ngƣợc lại, với Argand việc áp dụng phép tƣơng tự nhờ vào việc mô hình hóa «dƣơng» « âm » lại thích ứng với cấu trúc nhân. Argand cũng đã từng áp dụng « phép tƣơng tự » khi bàn về quy tắc thực hiện các phép toán trên các đƣờng định hƣớng. Argand trình bày năm 1806:

"Thực ra ta không viết + l.a, - 1.a, mà viết đơn giản là + a, - a. Dấu đứng trƣớc a chỉ kiểu đơn vị biểu diễn số này. Do đó, ta có thể dùng tƣơng tự cho trƣờng hợp các đại lƣợng ảo, bằng cách viết, chẳng hạn: ~ a và ~ a thay vì + √ , √ . Những dấu ~, ~ là dƣơng| và âm ngƣợc nhau.

Để nhân hai dấu này, ta để ý rằng tích của chính chúng cho -, và do đó tích của dấu này với dấu khác cho +. Vả lại, ta có thể thiết lập một quy tắc duy nhất cho tất cả các dấu,... » Rõ ràng rằng, phép tƣơng tự đã đóng một vai trò cơ bản trong lịch sử hình thành và phát triển của số phức nói riêng và bản thân toán học nói chung, dù rằng chúng có thể tạo ra những hậu quả tích cực hay tiêu cực. Nói cách khác, phân tích lịch sử cho thấy, phép tƣơng tự có hai đặc tính khác nhau: - Đặc tính kiến tạo (caractère producteur) cho phép tạo ra những ý tƣởng, những kết quả, những đối tƣợng, những chứng minh mới,.... - Đặc tính thứ hai, mà chúng tôi tạm gọi là đặc tính « gây nguy cơ » dẫn tới những kết quả sai lầm, mâu thuẫn,... (nhƣ trƣờng hợp của Argand).

Về mặt sư phạm, cần thiết đặt ra một số vấn đề: Nếu phép tƣơng tự đã đóng một vai trò cơ bản trong họat động nghiên cứu và sáng tạo toán học, thì trong hoạt động nghiên cứu về dạy học toán, trong họat động soạn thảo chƣơng trình và sách giáo khoa, và cả trong thực tế dạy học toán có nên tính đến nó không? Nếu có thì tính đến nhƣ thế nào? Và làm thế nào để tổ chức nó? Có nên tổ chức quy trình họat động của phép tƣơng tự phù hợp với vai trò mà nó đóng trong lịch sử hay không? nếu có thì với những điều kiện và ràng buộc nào? Làm thế nào khai thác, vận dụng hai đặc tính trái ngƣợc của phép tƣơng tự? Đặc biệt, có nên xem đặc tính thứ hai của phép tƣơng tự nhƣ là nguy cơ cần tránh hay nhƣ một nhân tố để rèn luyện cho học sinh những phẩm chất tƣ duy? Chẳng hạn, có thể xem trƣờng hợp phép tƣơng tự dẫn đến kết quả mâu thuẫn nhƣ là cơ hội rèn luyện tính phê phán của tƣ duy?

Những công trình theo quan điểm « heuristique » toán thƣờng coi trọng vai trò của phép tƣơng tự . Chẳng hạn, trong các công trình của nhà toán học và sƣ phạm G.Polya (1887- 1985) việc nghiên cứu phép tƣơng tự đƣợc xem nhƣ là động cơ chủ yếu của heuristque.

Phép tƣơng tự cũng đƣợc nhấn mạnh trong nhiều lí thuyết về học tập, nhƣ trong lí thuyết của Diennes, ông xem việc tổ chức cho học sinh gặp và làm việc với một tập hợp các tình huống tƣơng tự (đồng hình) đóng một vai trò quan trọng. Ông giả thuyết rằng: Qua họat động trên, học sinh sẽ nhận ra những nét tƣơng tự thể hiện trong các tình huống, từ đó xác định đƣợc cấu trúc toán học chung mà dạy học đang nhắm tới cung cấp cho họ. Chính ở điểm này, chúng tôi thấy có những nét tƣơng đồng với tiến trình quy nạp mà ta thƣờng sự dụng hiện nay trong dạy học một khái niệm: Trong pha đầu tiên của tiến trình này, học sinh tiếp cận với nhiều tính huống cụ thể, trong đó khái niệm hiện diện mà không có định nghĩa. Từ đó, phát hiện dần dần những thuộc tính bản chất chung của các đối tƣợng thể hiện trong các tình huống cụ thể trên để đi đến phát thảo đầu tiên về khái niệm nhắm tới nhờ vào thao tác khái quát hóa.

Tuy nhiên, theo G.Brouseau, phép tƣơng tự chỉ trở thành một phƣơng tiện heuristique tuyệt vời khi mà nó thuộc về trách nhiệm của học sinh, nghĩa là do chính bản thân vận dụng và quản lí một cách có ý thức. Ngƣợc lại, nếu nó hoàn toàn thuộc về trách nhiệm của giáo viên thì rất dễ dàng gây ra những hiệu quả Topaze và Jourdain(19). ■ Một lợi ích sư phạm khác có thể rút ra từ phân tích khoa học luận ở trên liên quan với quan niệm về « trực giác hình học » trong dạy học toán.

Phân tích khoa học luận cho thấy, dù rằng « trực giác hình học » phải trải qua một quá trình lâu dài và khó khăn mới tìm thấy đƣợc sự chấp nhận trong họat động toán học, nhƣng, vai trò to lớn của nó là không chối cãi đƣợc trong lịch sử phát triển của khoa học này.

Ghi nhận này dẫn tới một số vấn đề sƣ phạm cần bàn luận và nghiên cứu: Trong dạy học toán, « trực giác hình học » cần phải đƣợc tính đến. Nhƣng tính đến ra sao? Ở mức độ và cấp độ nào? Trong những phân môn nào? Lợi ích của nó đối với dạy học ra sao? Những hậu quả tích cực cũng nhƣ tiêu cực của nó? Mối quan hệ giữa « ghi nhận trực giác » và « suy luận diễn dịch »?

Hơn nữa, để tính đến «trực giác hình học» dƣờng nhƣ cần thiết phải tính đến quan điểm « tích hợp » hay « liên môn » trong cấu tạo chƣơng trình và sách giáo khoa, cũng nhƣ trong dạy học. Đặc biệt, phải tính đến vai trò của phân môn hình học trong các phân môn khác, nhƣ đại số, số học,...

(19) Về hai khái niệm này, có thể tham khảo: G. Brouseau (1986). Fondements et mesthodes de la Didactique des Mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématique. Vol. 7.2.

IV. Giai đoạn 4: Đại số các số phức IV.1. Phân tích khoa học luận Việc lấy « nghĩa » của số phức trong phạm vi hình học mà chúng tôi đã trình bày trong phần trƣớc dƣờng nhƣ không làm thỏa mãn các nhà toán học. Trong mắt các nhà toán học thời kì này, khả năng biểu diễn bằng hình học các số phức không giải quyết thực sự vấn đề

« cơ chế » của đối tƣợng số phức. Nói cách khác, « số phức là cái gì? », câu trả lời phải có bản chất đại số, chúng phải đƣợc xây dựng từ chính các số thực đã biết, hay phải có một vị trí trong cơ cấu tổng quát của đại số, chứ không thể vay mƣợn từ một hình ảnh hình học thuần túy.

Thậm chí, cả những phƣơng trình chứa các đại lƣợng ảo cũng bị xem là không có nghĩa. Chẳng hạn Cauchy (1789 -1857), nhƣ chúng tôi đã làm rõ trong phần trƣớc, đã viết trong bản báo cáo của mình trƣớc viện hàn lâm khoa học, công bố năm 1848:

« Tôi xem những phƣơng trình ảo - những công thức kí hiệu, nghĩa là những công thức tạo thành từ các kí hiệu chữ và đƣợc giải thích theo những thỏa thuận tổng quát đã đƣợc thiết lập - là không chính xác hay không có nghĩa, nhƣng từ đó có thể suy ra những kết quả chính xác bằng cách điều chỉnh theo những quy tắc đã có những công thức hay những kí hiệu này.

Do đó, không còn cần thiết để trí óc vào sự trăn trở khám phá xem kí hiệu V-ĩ (kí hiệu mà các nhà hình học Đức đã thay bới chữ i) có thể biểu thị cái gì. Dấu hay chữ này, theo tôi là một công cụ, một phƣơng tiện tính mà việc đƣa nó vào trong các công thức cho phép đạt đƣợc nhanh hơn lời giải thực của các vấn đề mà ta đặt ra. » (chúng tôi nhấn mạnh) Nếu theo quan niệm này, thì chỉ mãi tới đầu thế kỉ 19, các số phức mới có đƣợc một « nghĩa » thực sự và đƣợc xem xét nhƣ những đối tƣợng ngay chính trong phạm vi đại số.

Hai nhà toán học có công đầu trong việc cho số phức một « nghĩa » xác định là Cauchy và Hamilton (1805-1865). Những khám phá của Cauchy và Hamilton rất có ý nghĩa trong tiến trình nghiên cứu tính hợp thức của các số phức. Quả thực, với các kết quả đạt đƣợc, số phức không còn là những "đại lƣợng ảo" không có nghĩa, mà là những đối tƣợng đại số -những đối tƣợng trên đó có thể thực hiện các phép tính đại số.

Chúng tôi chỉ quan tâm ở đây trƣờng hợp của Hamilton. ■ Đại số các quaternion của Hamilton Khám phá của Hamilton về các quaternions cũng đƣợc gợi động cơ từ nhu cầu nghiên cứu tính hợp thức của các số phức, nói cách khác là tìm câu trả lời cho câu hỏi: số phức là gì? Đại số các quaternion là đại số của các biểu thức có dạng a + bi + cj + dk (gọi là một quaternion) trong đó a, b, c, d là các số thực, còn i, j, k là các kí hiệu hình thức nào đó liên hệ với nhau và với số 1 theo bảng nhân sau đây:

Ta có thể hình dung quy tắc nhân các I, j, k sơ đồ theo hình tròn sau đây:

Nếu nhân theo chiều kim đồng hồ thì kết quả là số kế tiếp, ngƣợc lại thì kết quả là đối của số kế tiếp. Còn i.i = j.j = k.k = -1. Phép nhân các quaternions thực hiện theo quy tắc nhân các đa thức và tuân thủ bảng nhân ở trên.

Rõ ràng rằng, các số phức chỉ là trƣờng hợp đặc biệt của các quaternion. Frobenius (1849-1917) đƣa ra định lí: "Ba đại số (đại số các số thực, đại số các số phức và đại số các quaternion) vét cạn tất cả các đại số kết hợp với phép chia có hạng hữu hạn trên trƣờng số thực."

Để đi đến đại số các quaternion, Hamilton khởi đầu từ quan niệm cho rằng: hình học là khoa học về không gian, còn đại số là khoa học về thời gian thuần túy (thời gian họat động nhƣ tƣ tƣởng trực giác sơ đẳng của các số thực). Theo quan điểm này, ông giải thích số âm nhƣ sự quay về trong thời gian. Để tìm "nghĩa" của các đại lƣợng ảo, ông xây dựng một đại số của các cặp số thực mà ông gọi là "coupes d'instants et de moments". Phép nhân các cặp đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

(a1,a2)(b2,b2) = (a1b1 - a2b2, a1b2 + a2b1) Phép nhân này bảo toàn các tính chất của các phép toán đại số quen thuộc và hơn nữa ta có: (0,1)(0,1) = (-1,0). Từ đó, trong đại số này, các số phức đƣợc xem nhƣ là cặp hai số thực. Và nhƣ vậy, số phức chính thức lấy cơ chế của một đối tƣợng đại số - những đối tƣợng trên đó có thể thực hiện các phép tính đại số, chứ không còn là "đối tƣợng kí hiệu".

Mở rộng kết quả trên, Hamilton đi xây dựng đại số của các bộ ba số thực, mà khó khăn lớn nhất là tìm cách định nghĩa tích của hai bộ ba. Sau nhiều lần thay đổi cách tiếp cận vấn đề , đặt biệt nhìn vấn đề khi thì dƣới góc độ đại số khi thì dƣới góc độ hình học và "Cuối cùng, chính bằng cách xem xét các tính chất hình học của phép nhân các số phức mà ông đã có một bƣớc quyết định về khám phá các quaternions. " (Dorier 1994). Chính sự tác động qua lại giữa hai phạm vi đại số và hình học là nhân tố quyết định của việc khám phá ra đại số các quaternions ở Hamilton.

Thoạt tiên, nghiên cứu của Hamilton đƣợc ƣu tiên xem xét trong phạm vi đại số. Tuy nhiên, quan điểm hình học luôn đóng vai trò quan trọng trong các khám phá của ông. Phạm vi hình học có thể tác động nhất thời.

Chẳng hạn, với chức năng heuristique phạm vi hình học cho phép định hƣớng việc lựa chọn các hệ số xác định tích của các đơn vị: Tích j2 đƣợc định nghĩa là -1, vì j đƣợc giải thích nhƣ là phép quay trong mặt phang xOz, còn định nghĩa tích ij tƣơng ứng với tích hình học đã đƣợc ông khám phá, nhƣng sau đó loại bỏ.

Ở cấp độ giải thích, Hamilton cũng nhờ đến tích các đƣờng và tìm cách giải thích hình học tích của các quaternion đƣợc định nghĩa một cách đại số.

IV.2. Lợi ích sƣ phạm Phân tích trên cho thấy, sự tác động qua lại giữa hai phạm vi Đại số và Hình học là nhân tố mấu chốt của sự ra đời đối tƣợng mới - quaternion trong công trình của Hamilton. Tổng quát hơn, phân tích khoa học luận lịch sử phát triển của toán học cho thấy thay đổi phạm vi và sự tác động qua lại giữa các phạm vi là một đòn bẩy rất mạnh của sáng tạo khoa học, của sự nảy sinh các tri thức khoa học mới.

Phạm vi hình học cho phép "phiên dịch" bài tóan cần giải quyết sang ngôn ngữ hình học, chẳng hạn, tính vuông góc của hệ thống các đƣờng thẳng và mặt phẳng, vấn đề đặt ra bây giờ là mở rộng vào không gian tích các đƣờng trong mặt phẳng. Ngƣời ta chuyển từ nghiên cứu các bộ ba các số sang nghiên cứu những điểm, độ dài, các góc,.... Hamilton đã tìm thấy các căn, các phân số trong các biểu thức tọa độ của tích.

Về phƣơng diện sự phạm, điều này thực sự đáng quan tâm: Khi một vấn đề cần giải quyết trong một phạm vi nhất định đặt ra những khó khăn, thì việc chuyển tới xem xét nó trong một phạm vi khác có thể mở ra hƣớng giải quyết thú vị và có khi rất đơn giản. Quan điểm này đƣợc đặc biệt nhấn mạnh trong công trình của R.Douady (1986). Bằng việc phân tích họat động của các nhà toán học, Douady cũng đã làm rõ vai trò quan trọng của sự thay đổi phạm vi đối với sự phát triển của toán học. Từ đó, bà quan niệm sự thay đổi phạm vi nhƣ là động cơ của sự học tập của học sinh. Các tác giả A.Robert et R.Douady (1993), cũng đã làm rõ một số vai trò khác nhau của sự thay đổi phạm vi trong dạy học toán, chẳng hạn: Đƣa lại "nghĩa" cho một khái niệm toán học; Tìm lời giải cho một bài toán...

Để kết luận, chúng tôi muốn nói rằng một số sự kiện của lịch sử hình thành và phát triển số phức mà chúng tôi quan tâm ở đây dƣờng nhƣ còn rời rạc. Tuy nhiên, điều quan trọng là: phân tích cho thấy các lợi ích sƣ phạm có thể rút ra từ phân tích khoa học luận - mục đích mà chúng tôi đặt ra từ đầu của phần này.

KẾT LUẬN

Do đối tƣợng nghiên cứu của mình, các công trình thuộc lĩnh vực khoa học lý luận dạy-học thƣờng mang tính thực nghiệm. Tuy nhiên, những việc nhƣ quan sát, phân tích sản phẩm của học sinh, phân tích và xây dựng các tình huống dạy-học, v.v.... đều phải đƣợc đặt dƣới ánh sáng của một nghiên cứu quan trọng về tri thức đang bàn đến, bởi vì, khoa học này chỉ quan tâm đến mối liên hệ giữa thầy và trò khi nó đặc trƣng cho một tri thức toán học cụ thể đƣợc đặt trong tình huống dạy-học.

Phân tích khoa học luận là một pha cơ bản để nhà nghiên cứu có thể xem xét việc dạy-học ở một khoảng cách cần thiết. Nghĩa của khái niệm, những bài toán gắn liền với nó, vị trí tƣơng đối của một yếu tố thuộc tri thức đối với những tri thức khác, sự biến đổi của các dữ kiện tùy theo giai đoạn và thể chế, những quan niệm khác nhau có thể đƣợc kết hợp với cùng một đối tƣợng toán học, những chƣớng ngại cần phải vƣợt qua, v.v..., bao nhiêu câu hỏi giúp nhà nghiên cứu hiểu rõ hơn hoạt động của một hệ thống dạy-học. Phân tích khoa học luận giúp nhà nghiên cứu và giáo viên thoát khỏi ảo tƣởng về sự đồng nhất giữa tri thức nhƣ nó vốn tồn tại trong cộng đồng khoa học với tri thức chƣơng trình và sách giáo khoa, xác định khoảng cách giữa tri thức mà việc dạy-học nhắm tới với những kiến thức đƣợc học sinh xây xứng trong thực tế. Nó cũng giúp nhà nghiên cứu và giáo viên hiểu đƣợc tình trạng kiến thức của học sinh ở một thời điểm xác định, vạch rõ những điều kiện, những tình huống vấn đề cho phép chuyển từ quan niệm này sang quan niệm kia về tri thức, hay loại bỏ một quan niệm sai lầm, vƣợt qua một chƣớng ngại.

Phân tích khoa học luận cho phép nhà nghiên cứu nhìn hệ thống dạy-học ở khoảng cách cần thiết, hiểu rõ cái gì chi phối sự tiến triển của kiến thức khoa học, vạch rõ các tham chiếu hợp thức của tri thức cần dạy, trả lại cho tri thức những nghĩa rộng hơn, phong phú hơn, điều mà việc nghiên cứu đơn thuần chƣơng trình và sách giáo khoa, bó hẹp trong nội tại hệ thống dạy học không thể mang lại.

Thế nhƣng, giữa sự phát triển lịch sử và thực tế lớp học luôn luôn cổ một khoảng cách, vì học sinh là chủ thể của hệ thống dạy-học, nó không thể đƣợc rút gọn thành chủ thể khoa học luận. Đó là lý do để chúng ta nói rằng nghiên cứu việc dạy-học một tri thức phải đƣợc tiếp cận từ hai phía - khoa học luận và thể chế dạy-học. Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành, phát triển của tri thức và phân tích nhằm vạch rõ « cuộc sống » của tri thức trong thể chế dạy-học là hai nghiên cứu bổ sung cho nhau. Sự tiếp cận thứ hai này là trung tâm của lý thuyết Nhân chủng học đƣợc xây dựng bởi Chevallard mà ở đây ta chỉ mới đề cập vài yếu tố liên quan đến quá trình chuyển đổi didactic. Từ hai góc độ tiếp cận - khoa học luận và thể chế dạy-học, ta có thể hình thành nên những giả thuyết nghiên cứu và để kiểm chứng tính thỏa đáng của chúng thì cần phải quay về với thực tế dạy-học.

TÀI LIỆU THAM KHẢO Argand J.-R.: Essai sur une Maniere de Representer les Quantites Imaginaires dans les Constructions Geometriques, Annates de Mathématiques 5 (1806), 33-147; reed., J. Hoiiel ed., Paris: Gauthier-Villars, 1874; Paris: Blanchard 1971. (les numeros de pages sont

donnes d'apres la rendition de 1971). Artigue M. (1991): Epislmologique et Didactique, Recherche en Didactique des Mathematiques, vol. 10, n•.3. , tr. 241-286. Artigue M et Deledicq A. (1992). Quatre'tapes dans l'histoire des nombres complexes. Cahier de didirem, n°15.

Bachellard. G (1938): La formation de V esprit scientifique, l3- dition, Paris: Vrin 1986. Bellavitis. G. (1833): Sopra alcune Applicazioni di un Nuovo Metodo di Geometria Analitica, Il Poligrafo Giornale di Scienze, Lettre edArti. Verona 13, 53-61. Bellavitis G. (1835): Saggio di Applicazioni di un Nuovo Metodo di Geometria Analitica (Calcolo delle Equipollenze), Annali delle Scienze del Regno Lombaro-Veneto. Padova 5, 244-259. Brousseau G. (1983): Les obstacles pistmologiques et les problmes en mattlmatiques, Recherche en Didactique des MatHmatiques, vol. 4, n • 2, tr. 165-198.

Chevallard Y. (1992): Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives appoftes par une approche anthropologique, Recherche en Didactique des Mathématiques, vol. 12, n• 1, tr. 73-112.

System, Notre-Dame: University Press. Crowe M.-J. (1967): A History of Vector Analysis - The Evolution of the Idea of a Vectorial Dorier J.-L. (1990): Analyse Historique de l'Emergence des Concepts Elementaires d'Algebre Lineaire, Cahier Didirem n°7, Paris: IREM de Paris VII. Dorier J-L . (1996): Recherche en historique et en didactique des matHmatiques sur Valgbre linaire.

Dorier J.-L. (1997a): Hermann Grassmann et la Theorie de l'Extension, Reperes-IREM 26. Dorier J.-L. (1997b): Recherche en historique et en didactique des mathematique sur l’algebre lineaire. Note de synthese pour le diplome d'habilitation a diriger des recherches – Document interne. Douady R (1986). Jeux de cadres et dialectique outil - objet. Recherche en Didactique des Mathematiques, vol 7.2. Glaeser G. (1981): Epislmologique des nombres relatifs, Recherche en Didactique des Mathematiques, vol. 2, n•3, tr. 303 - 346. Grassmann H. (1844): Die

lineale Ausdehnungslehre, Leipzig: Otto Wigand, ou [Grassmann1894-1911, 1:1-139]. Les citations sont donnees d'apres la traduction de FLAMENT, Dominique, La science de la grandeur extensive, Paris: Blanchard, 1994. Les numeros de pages sont donnes d'apres l'edition originale.

Grassmann H.(1846): Grundzuge zu einer rein geometrischen Theorie der Kurven mit fur die reine und

Anwendung einer reine geometrischen Analyse, Journal angewandte Mathematik 31, 11-132, ou [Grassmann 1894/1911, 2(l):49-72] Grassmann H.: Gesammelte Mathematische und Physikalische Werke, 3 vols., ed. F. Engel, Johnson Reprint reed., New-York/London: Leipzig: Teubner, 1894-1911; Corporation, 1972.

Hamilton W.R.: On Quaternions or a New System of Imagineries in Algebra, Philosophical Magazine.

Hamilton W.R. (1969): Elements of Quaternions, 2 vols., Dublin, 1866; rééd., New-York: Chelsea Publishing Company.

Jahn A.P. (1998) Des transformations des figures aux transformations ponctuelles:tude d'une sequence d'enseignement avec Cabri-gomtre. Thse de doctorat, Universit Joseph Fourier de Grenoble, France.

Leibniz G.-W.: Lettre à Christian Huyghens - Hanover ce 8 de Sept. 1679, Christi. Hugenii aliorumque seculi XVII. virorum celebrium exercitationes mathematicae et philosophicae, ed. Uylenbroek, Hagen: Hagae comitum, 1833, 2:6-12 (Cette reference est celle que l'on trouve en introduction des notes sur la Geometrische Analyse de Grassmann dans [Grassmann 1894/1911, 1:415-420] où la plupart de cette lettre et l'integralité de l'essai qui l'accompagne sont reproduits. Pour une édition plus accessible voire: Leibnizens Mathematische, ed. C.I. Gerhardt,. 2 vol. Berlin: Julius Pressner, 1850; reseed., (Œuvres Mathesmatiques, Paris: Librairie de A. Frank Editeur, 1853. Lesieur L. (1976). Equations algbriques. Bulletin des rgionales APMEP de Poitiers Limoges et Ortans - Tours, n°5.

Lê Thị Hoài Châu (1997): Etude didactique et^pisimologique sur l'enseignement du vecteur dans deux institutions:la classe de dixime au Vieetnam et la classe de seconde en France. Thèse de doctorat, Universit Joseph Fourier de Grenoble, France.

Lounis A. (1989): L'introduction aux modèles vectoriels en physique et en mathématiques: conceptions et difficultés des élèvesy essai de remédiation. Thèse en Didactique des sciences physiques. Universite de Provence Aix-Marseille I. Maxwell, J.-C. (1873): Quaternion, Nature 9, 137-138. Möbius A.-F. (1827): Der Barycentrische Calcul, Leipzig: Johan Ambrosius Barth, ou [Mobiusl967, 1:1-388]. Möbius A.-F.(1967): Gesammelte Werke, 4 vols., ed. R. Baltzer, Leipzig: S. Hirtzel KG, 1915; rééd., Wiesbaden: Dr. Martin Sändig oHG.

Perrin-Glorian M.J. (1993): Utilisation de la notion d'obstacle en didactiques des mathématiques, Cahier du séminaire Recherche/ Reflexion/Interaction, année 1992- 1993, IUFM de Grenoble,pp. 194-214.

Phạm Ngọc Bảo (2002): Đào tạo giáo viên tiểu học về bƣớc chuyển từ phân số nhƣ là “những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị” đến phân số nhƣ là “ thƣơng “ ở lớp 3 và lớp 4. Luận văn thạc sĩ, ĐHSP tp Hồ Chí Minh.

Robert T. et Douady R. (1993). Atelier sur l'utilisation des changements de cadres et jeux adres dans la classe. Actes de la sept\me Ecole d'E't. Vergnaud G. (1990): La théorie des champs conceptuels, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol 10, n° 2-3, pp. 133-170. Wessel C. (1987): Essai sur la reprsentation de la direction, traduit par H.G. Zeuthem, ed. H. Valentiner et T.N. Thiele, Copenhage - Paris.

PHẦN PHỤ LỤC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM KHOA TOÁN - TIN

BÁO CÁO TÓM TẮT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ Mã số: B2001 - 23 - 02

Tên đề tài

VAI TRÒ CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ

TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU VÀ THỰC HÀNH

D Ạ Y - HỌC MÔN TOÁN

Chủ nhiệm đề tài : TS. Lê Thị Hoài Châu

Thời gian thực hiện : Từ tháng 5 - 2001 đến tháng 3 - 2003

Ngày viết báo cáo : 10 - 3 - 2003

TP.Hồ Chí Minh 2003

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM KHOA TOÁN – TIN

BÁO CÁO TÓM TẮT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ Mã số: B2001 -23 -02 VAI TRÒ CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU VÀ THỰC HÀNH DẠY – HỌC MÔN TOÁN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH 280 An Dƣơng Vƣơng, Quận 5, TPHCM TS.LÊ THỊ HOÀI CHÂU Cán bộ giảng dạy khoa Toán-Tin, ĐHSP TP.HCM

Cán bộ giảng dạy khoa Toán - Tin, ĐHSP TP.HCM

Cơ quan chủ trì: Chủ nhiệm đề tài Cùng tham gia nghiên cứu TS. LÊ VĂN TIẾN TP. Hồ Chí Minh 2003

A. BÁO CÁO TỔNG QUAN

1. Đối chiếu với nội dung đã thuyết minh đăng ký: Những kết quả nghiên cứu đã đạt đƣợc hoàn toàn đảm bảo đúng nội dung đã đăng ký. Cụ thể là với đề tài nghiên cứu này chúng tôi đã:

các - Làm rõ các khái niệm Khoa học luận, Phân tích khoa học luận lịch sử và phân biệt khái niệm này với khái niệm Nghiên cứu Lịch sử của một khoa học. - Nêu rõ những cơ sở lý luận cho phép khẳng định lợi ích sƣ phạm của nghiên cứu khoa học luận.

- Phân tích khoa học luận lịch sử phát sinh, phát triển một số khái niệm toán học đƣợc giảng dạy ở trƣờng phổ thông và đại học. Từ đó rút ra những kết luận sƣ phạm cần tính đến để tổ chức cho học sinh học tập, chiếm lĩnh các tri thức này và vƣợt qua phải chƣớng ngại khoa học luận gắn liền với chúng. Các kết quả nghiên cứu chính của đề tài đƣợc trình bày tóm tắt ở phần B. Báo cáo

tổng kết trình bày tƣơng đối đầy đủ hơn những nội dung này. 2.Kiến nghị sử dụng kết quả đã đạt được: Phân tích khoa học luận là một pha cơ bản, đầu tiên của các nghiên cứu thuộc chuyên ngành Lý luận dạy-học toán. Thế nhƣng ở Việt nam hầu nhƣ chƣa có một tài liệu nào trình bày có hệ thống về vấn đề này.

Bản tổng kết những kết quả nghiên cứu đạt đƣợc qua đề tài này trƣớc hết có thể sử dụng làm tài liệu đào tạo thạc sĩ, nghiên cứu sinh ngành Phƣơng pháp giảng dạy toán. Qua trao đổi, chúng tôi đƣợc biết nhiều nghiên cứu sinh cũng nhƣ nhà nghiên cứu rất quan tâm đến các khái niệm đƣợc đề cập đến trong đề tài và mong muốn vận dụng chúng vào nghiên cứu của mình. Họ có thể tìm thấy trong tài liệu này những cơ sở lý luận cũng nhƣ những ví dụ thú vị minh họa cho khái niệm Khoa học luận, một khái niệm mới và không phải là dễ hiểu. Những kết quả đạt đƣợc qua đề tài cũng có thể xem nhƣ một nội dung bồi dƣỡng chuyên môn cho giáo viên phổ thông, vì họ cần biết thế nào là phân tích khoa học luận và lợi ích sƣ phạm của nó trong việc nghiên cứu thực tế dạy-học, phân tích khó khăn mà học sinh phải vƣợt qua để chiếm lĩnh một tri thức xác định, xác định nguồn gốc của những khó khăn đó, rồi cơ sở khoa học luận cho việc thiết kế một tình huống dạy-học, v.v....

Một số kết quả đạt đƣợc có thể đƣa vào chƣơng trình giảng dạy cho sinh viên khoa toán các trƣờng cao đẳng, đại học sƣ phạm. Trong thực tế chúng tôi đã làm điều này và hiệu quả thấy khá rõ: sinh viên hiểu sâu hơn những nội dung sau này họ phải giảng dạy và cũng đã biết tiến hành phân tích khoa học luận một số tri thức có trong chƣơng trình bậc phổ thông trung học.

3.Thời gian thực hiện đề tài: Đảm bảo đúng kế hoạch đã đăng ký (từ tháng 5 năm 2001 đến tháng 5 năm 2003), hoàn thành trƣớc thời hạn 2 tháng.

: 20 000 000 : 16 000 000 : 800 000 : 500 000 : 1 200 000 : 1 500 000

4. Kinh phí đã chi: Tổng số kinh phí đƣợc cấp Chi cho các hoạt động nghiên cứu Chi cho các sémineire Chi cho khâu đánh máy, in ấn và đóng tài liệu Chi cho hội đồng bảo vệ cấp cơ sở Chi cho hội đồng bảo vệ cấp Bộ

Tp Hồ Chí Minh, ngày 10/3/2003 Chủ nhiệm đề tài

Lê Thị Hoài Châu

CHƢƠNG 1: KHOA HỌC LUẬN VÀ PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ

I. Về thuật ngữ “khoa học luận” I.1. Nguồn gốc Thuật ngữ Khoa học luận chỉ mới xuất hiện ở thế kỷ 19, đƣợc cấu tạo từ hai gốc Hy Lạp épistèmè (khoa học) và logo (nghiên cứu về). Trong Vocabulaire technique et critique de la Phylosophie của Lalande (đầu thế kỷ 20), ta tìm thấy định nghĩa sau đây: "Từ này chỉ triết học của các khoa học nhƣng với nghĩa rõ hơn một chút. Nó không phải là một nghiên cứu về các phƣơng pháp khoa học - đó là đối tƣợng của Phƣơng pháp luận và là một phần của Logic học. Nó cũng không phải là một sự tổng hợp hay tiên đoán các luật khoa học. ... Về cơ bản, khoa học luận là một nghiên cứu mang tính phê phán những nguyên lý, những giả thuyết và những kết quả của các khoa học khác nhau, nhằm xác định nguồn gốc logic (chứ không phải là nguồn gốc tâm lý), giá trị và ảnh hƣởng khách quan của chúng."

Nói một cách rõ ràng hơn thì Khoa học luận nghiên cứu những điều kiện cho phép sản sinh ra các kiến thức khoa học, quá trình hình thành và phát triển của các kiến thức đó.

I.2.Các trào lưu khác nhau Cùng với thời gian, nghĩa của thuật ngữ Khoa học luận đã tiến triển, đƣợc mở rộng và trở nên đa dạng hơn nhiều. Drouin (1991) đã phân biệt bốn trào lƣu khoa học luận khác nhau, trong đó, do mục đích nghiên cứu của đề tài này, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến hai trào lƣu:

• Khoa học luận phát sinh: nghiên cứu các đặc trƣng của tri thức khoa học và thử tìm lại những đặc trƣng đó trong sự phát sinh tri thức ở trẻ em thông qua quan sát. Nhƣ thế, khoa học luận phát sinh quan tâm đến sự phát triển kiến thức ở cá thể, nghiên cứu qua trình xây dựng những kiến thức "chấp nhận đƣợc" và bƣớc chuyển từ tình trạng thấp đến tình trạng kiến thức tăng vọt. Cách tiếp cận này (của Piaget) đã tách khoa học luận ra khỏi triết học, tạo nên một khoa học nhân văn và thực nghiệm Giữa khoa học luận lịch sử và khoa học luận phát sinh có một quan điểm chung: sự

phát sinh tri thức là một quá trình gồm nhiều giai đoạn. I.3. Khoa học luận trong didactic toán

Theo J-L. Dorrier (1996), trong didactic(1) ta quan tâm đến Khoa học luận theo nghĩa nó nghiên cứu những điều kiện sản sinh ra các tri thức khoa học giúp ta hiểu rõ hơn mối liên hệ giữa việc xây dựng tri thức trong cộng đồng các nhà bác học với việc dạy và học tri thức này. Nhƣ vậy, phân tích khoa học luận một tri thức là nghiên cứu lịch sử hình thành tri đó nhằm vạch rõ:

- nghĩa của tri thức, những bài toán, những vấn đề mà tri thức đó cho phép giải quyết; - những trở ngại cho sự hình thành tri thức ; - những bƣớc nhảy trong quan niệm, những điều kiện sản sinh ra tri thức ; - những quan niệm cóthể gắn liền với tri thức. Phân tích khoa học luận sẽ giúp ta hiểu rõ mối liên hệ giữa quá trình xây dựng tri thức trong cộng đồng khoa học với việc dạy và học tri thức này.

II. Khoa học luận, lịch sử và phân tích khoa học luận lịch sử của một khoa học Thoạt nhìn, có thể cho rằng lịch sử các khoa học chỉ giới hạn ở việc liệt kê các sự kiện khoa học, cùng lắm là vạch ra những triển vọng thông qua tƣ tƣởng tổng quát ở từng thời đại. Nhƣng cách nhìn này quá hạn hẹp, nhƣ G. Canghuilhem đã nhấn mạnh: "Lịch sử của một khoa học không phải là bộ sƣu tập đơn giản các tiểu sử, lại càng không phải là bảng niên đại đƣợc tô điểm bởi những giai thoại. Nó phải là lịch sử của sự hình thành, sự biến dạng, sự chỉnh lý các khái niệm khoa học". Nghiên cứu lịch sử một khoa học không đơn giản chỉ là mô tả các sự kiện, mà còn phải xem xét tính gắn bó nội tại chặt chẽ thể hiện qua những khái niệm, những vấn đề đƣa lại nghĩa cho khoa học đó.

Theo quan niệm này thì Lịch sử một khoa học không thể tách rời khỏi những câu hỏi có tính khoa học luận. Nhƣ thế là nghiên cứu lịch sử của một khoa học có mối liên hệ chặt chẽ với phân tích khoa học luận về khoa học đó. Tuy nhiên, Khoa học luận và Lịch sử các khoa học không đồng nhất với nhau. Bachelard phân biệt hai đối tƣợng này qua những ý kiến sau:

(1) Didactic" là cách viết phiên âm của didactícs trong tiếng Anh và didactique trong tiếng Pháp. Tùy theo ngữ cảnh, thuật ngữ này có thể đƣợc hiểu theo những nghĩa khác nhau. Trong câu trên, nó có thể đƣợc dịch sang tiếng Việt là lý luận dạy-học. Didactic toán có nghĩa là lý luận dạy-học môn toán.

các bậc thang quan niệm về mỗi khái niệm, chỉ rõ nó đƣợc hình thành nhƣ thế nào và có liên hệ ra sao với những khái niệm khác."

Phân tích khoa học luận lịch sử là một phân tích quá khứ để khám phá những mò mẫm, những lệch lạc, những hƣớng đi sai lầm, những chƣớng ngại khác nhau, những điều kiện có thể làm xuất hiện các khái niệm khoa học mới. Trong phân tích khoa học luận lịch sử, điều kiện cho sự nảy sinh một phát minh cũng quan trọng không kém bản thân phát minh đó. Phân tích khoa học luận lịchh sử sẽ tạo ra một cơ sở dữ liệu cho phép ta hiểu đầy đủ hơn sự tiến triển của khái niệm, những điều kiện để khái niệm này hình thành, phát triển, và cũng cả những điều kiện đem đến khả năng hay, ngƣợc lại, cản trở sự tiến lên.

CHƢƠNG 2: LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN

A. Những giả thuyết về học tập Ngành tâm lý học dựa trên năng lực nhận thức thừa nhận quan điểm cho rằng học là làm thay đổi kiến thức. Quan điểm này hƣớng đến việc nghiên cứu bản chất những kiến thức đƣợc thay đổi ở con ngƣời.

Theo trƣờng phái Piaget, chủ thể học qua hành động: sự tiếp thu kiến thức có đƣợc do chủ thể hành động và hành động đó là nguồn thông tin mới. Sự kiến tạo tri thức qua hoạt động xẩy ra theo kiểu thích nghi với tình huống. Nếu vốn kiến thức của chủ thể đủ cho chủ thể giải quyết nhiệm vụ đặt ra trong tình huống, ta nói có một sự cân bằng giữa kiến thức của chủ thể và tình huống. Trong trƣờng hợp vốn kiến thức không cho phép chủ thể giải quyết nhiệm vụ, ta nói giữa chủ thể và tình huống có một sự mất cân bằng. Để giải quyết nhiệm vụ đƣợc đặt ra, chủ thể phải xây dựng những công cụ mới. Khi vấn đề đƣợc giải quyết, ta nói chủ thể đã lập lại đƣợc sự cân bằng mới. Học tập là một quá trình thiết lập những sự cân bằng mới nhƣ vậy. Kế thừa quan điểm của trƣờng phái Piaget, ngƣời ta thừa nhận những giả thuyết sau về học tập:

Theo giả thuyết này: - học là một quá trình năng động trong đó ngƣời học đóng vai trò chủ động. - kiến thức đƣợc xây dựng do tƣơng tác giữa chủ thể ngƣời học với môi trƣờng vật lý và xã hội của chủ thể đó.

Giả thuyết nhận thức: Một môi trường không có chủ ý sư phạm (tức là không được cố ý tổ chức để dạy một tri thức) không đủ để tạo ra cho chủ thể mọi kiến thức mà xã hội muốn chủ thể đó lĩnh hội được. Thầy giáo phải làm phát sinh ở học sinh những sự thích nghi mong muốn bằng cách tổ chức xác đáng cái mà ta gọi là "môi trường".

B. Lợi ích sư phạm của phân tích khoa học luận Chúng ta sẽ chỉ ra vai trò của nghiên cứu khoa học luận lịch sử đối với hoạt động dạy-

học toán thông qua việc phân tích những lợi ích mà nó mang lại. I. Khoa học luận – đối tượng tri thức- đối tượng dạy học I.1. Đối tƣợng tri thức Sự ra đời của một "tri thức bác học" là kết quả của một hoạt động khoa học. Hoạt động này gắn liền với lịch sử cá nhân nhà nghiên cứu. Nhà nghiên cứu đặt ra một vấn đề. Để giải quyết nó, ông ta phải khám phá ra những phƣơng pháp, những kiến thức. Một số trong những kiến thức này đƣợc nhà nghiên cứu nhận thấy là đủ mới, đủ hay, có thể thông báo cho cộng đồng khoa học. Để thông báo, nhà nghiên cứu tạo cho những kiến thức này một dạng khái quát nhất có thể đƣợc, theo quy tắc suy lý logic đang lƣu hành trong cộng đồng khoa học.

Trong quá trình soạn thảo tri thức, nhà nghiên cứu phải tiến hành các hoạt động: - phi cá nhân - phi ngữ cảnh hóa - phi thời gian hóa Hoạt động phi cá nhân hóa, phi ngữ cảnh hóa và phi thời gian hóa làm biến mất đi một phần hay toàn bộ bối cảnh của phát minh, che dấu đi những câu hỏi ban đầu mà tri thức này là một câu trả lời, làm cho phát minh trở thành bí ẩn và bị tước mất nghĩa.

I.2. Đối tượng dạy học Trong những tri thức toán học đƣợc tích lũy qua lịch sử, các nhà lập chƣơng trình chọn ra một số vấn đề làm đối tƣợng dạy học. Nhiều yếu tố ảnh hƣởng đến sự lựa chọn này (kiểu xã hội, kiểu tổ chức hành chính, tình trạng của hệ thống giáo dục, trình độ phát triển công nghệ, việc đào tạo giáo viên, v.v. ...).. Để trở thành có thể dạy đƣợc cho một bộ phận công chúng nào đó, tri thức lại tiếp tục bị biến đổi.

Theo chƣơng trình quy định, các nhà viết sách giáo khoa tìm cách trình bày lại những tri thức đƣợc chọn. Việc phải chia cắt tri thức thành từng « lát» để có thể tuần tự dạy đƣợc cho một bộ phận công chúng xác định là những ràng buộc đè nặng lên hoạt động soạn thảo sách giáo khoa. Để cho các tri thức lập thành một tập hợp gắn kết và ngƣời học có thể lĩnh hội đƣợc, nhiều khi tác giả phải viết lại các định nghĩa, các tính chất, biến đổi các phép chứng minh, tạo ra một sự nối khớp khác. Tác giả cũng có thể bị dẫn đến chỗ sáng tạo ra một

số đối tƣợng mới. Hệ quả kéo theo là nhiều khi có một sự chênh lệch khá lớn giữa tri thức bác học với tri thức xuất hiện trong chƣơng trình và sách giáo khoa. I.3. Hạn chế của một nghiên cứu chỉ đóng khung trong nội tại hệ thống dạy học

Những biến đổi mà tri thức phải chịu để trở thành đối tƣợng giảng dạy "thƣờng rất ít khi xuất phát từ một lý do có bản chất khoa học luận gắn liền với sự sản sinh ra tri thức này. Những biến đổi đó thƣờng mang tính chất giải pháp tình huống, chủ yếu là tuân theo các ràng buộc nội tại của thể chế dạy học" (J-L. Dorrier, 1996, tr.21).

Tất nhiên, tri thức chƣơng trình và sách giáo khoa đã đƣợc hình thành trên cơ sở lây tri thức bác học làm tham chiếu. Nhƣng vẫn còn một số điểm tối trong mối liên hệ giữa tri thức với tri thức đƣợc dạy. Vì thiếu những hiểu biết về lịch sử của tri thức, nhà nghiên cứu hay giáo viên không đƣợc tiếp xúc tận gốc quá trình biến đổi một tri thức thành đối tƣợng dạy học (quá trình mà Chevallard gọi là chuyển đổi didactic), chỉ hình dung đƣợc những giai đoạn gần gũi nhất.

I.4. Vai trò của khoa học luận Nếu muốn phân tích độ chênh lệch giữa một tri thức bác học và tri thức đƣợc dạy, ngƣời ta phải căn cứ vào nội dung tri thức bác học trên quan điểm khoa học luận.

Trong khi trƣờng học sống trong ảo tƣởng rằng đối tƣợng dạy học là một bản copy, tuy đã đƣợc đơn giản hóa nhƣng vẫn trung thành, của đối tƣợng khoa học, thì phân tích khoa học luận sẽ giúp nhà nghiên cứu hiểu rõ cái gì chi phối sự tiến triển của kiến thức khoa học, đâu là sự chênh lệch giữa tri thức bác học với tri thức đƣợc dạy, đâu là khoảng cách giữa hai hệ thống - toán học và dạy học.

Phân tích trên giải thích sự cần thiết của một nghiên cứu khoa học luận. Nghiên cứu này giúp ta vạch rõ các tham chiếu hợp thức của tri thức cần dạy, trả lại cho tri thức những nghĩa rộng hơn, phong phú hơn, điều mà việc nghiên cứu đơn thuần chƣơng trình và sách giáo khoa không thể mang lại. Những hiểu biết khoa học luận về tri thức cần dạy giúp nhà nghiên cứu và giáo viên nhìn nó ở một khoảng cách cần thiết, không hoàn toàn bị bó hẹp trong nội tại hệ thống dạy học, không chỉ xem xét nó dƣới lăng kính của chƣơng trình và sách giáo khoa. Điều này là cần thiết nếu ta muốn tìm những tình huống cho phép học sinh nắm đƣợc nghĩa của tri thức.

Khi thiết kế hoặc phân tích một tình huống dạy-học, trƣớc hết nhà nghiên cứu phải trả tìm cách lời những câu hỏi sau:

Liệu có đảm bảo rằng vấn đề đƣợc đặt ra trong tình huống là đích thực đối với tri thức hay không? Từ đích thực ở đây đƣợc hiểu theo nghĩa tri thức cần dạy là tri thức hoặc không thể thiếu, hoặc đem lại một chiến lƣợc tối ƣu cho việc giải quyết vấn đề đƣợc đặt ra. - Vấn đề đó có mối liên hệ nhƣ thế nào với lý do tồn tại của đối tƣợng tri thức đƣợc xem là mục đích của hoạt động dạy-học.

- Vấn đề ấy đƣa lại cho tri thức cái nghĩa nào? Đó là những câu hỏi mang tính chất khoa học luận. Vấn đề là phải "tái tạo" lại trong lớp một sự hình thành nên những khái niệm toán học với cái nghĩa mà ta muốn học sinh chiếm lĩnh. Nói cách khác, xây dựng một tình huống cho phép xẩy ra sự "hình thành giả tạo" trong đó tri thức cần dạy phải xuất hiện nhƣ một giải pháp tối ƣu đƣợc xem là mục đích của việc dạy-học.

II.2. Vai trò của khoa học luận Dựa vào đâu để kiến tạo những tình huống nhƣ vậy, khi mà nghĩa của tri thức và tình huống mang lại nghĩa đó đã bị che dấu qua những biến đổi mà tri thức phải chịu?

Biết bao nhiêu yếu tố làm cho sự hình thành giả tạo trong lớp học không thể đồng nhất với sự hình thành trong lịch sử, "Tuy nhiên, đối với nhà nghiên cứu, sự hình thành trong lịch sử là điểm tựa để phân tích một quá trình dạy học cụ thể, là cơ sở cho việc thiết kế một sự hình thành giả tạo" (M. Artigue, 1991, tr. 246).

- Tri thức đƣợc sinh ra nhằm giải quyết vấn đề gì? - Tri thức có thể tồn tại dƣới những dạng thức nào? Chuyển từ dạng thức này sang dạng thức kia tƣơng ứng với sự thay đổi nào trong quan niệm? - Có hay không một sự chuyển đổi tối tiểu hoặc một tổ hợp chuyển đổi tối tiểu cần phải tôn trọng để không làm biến dạng cái nghĩa của tri thức này? - Những chuyển đổi nào có thể hay cần phải phụ thuộc vào lớp công chúng đƣợc xem là chủ thể của hoạt động học?

III. Khoa học luận và chướng ngại

Vấn đề không phải là phân tích khoa học luận để rồi bằng mọi giá rút ngắn khoảng cách giữa sự hình thành tri thức trong lịch sử và sự hình thành giả tạo (tƣơng hợp với những lựa chọn của hệ thống dạy-học), mà là để xác định những khó khăn học sinh gặp phải trong học tập một tri thức và hiểu đƣợc nguồn gốc sinh ra chúng. Đó là những khó khăn, những chƣớng ngại gắn liền với đặc trƣng của tri thức mà học sinh buộc phải vƣợt qua để nắm vững tri thức.

III.1. Chướng ngại Sai lầm và chƣớng ngại: Trong logic tiếp cận quá trình học tập đƣợc phát triển bởi Piaget, Bachellard và Brousseau, kiến thức thu đƣợc là kết quả của một sự thích nghi của học sinh với tình huống - tình huống này biện minh cho sự cần thiết của kiến thức đƣợc nói đến bằng cách chứng tỏ hiệu qua của nó.

Quan điểm này dẫn đến một cách nhìn mới trên những sai lầm của học sinh: "Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên, nhƣ cách nghĩ của những ngƣời theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trƣớc, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học trƣớc kia, nhƣng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội tri thức mới. Những sai lầm thuộc loại này không phải thất thƣờng hay không dự đoán đƣợc. Chúng tạo thành chƣớng ngại. Trong hoạt động của giáo viên cũng nhƣ trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên nghĩa của kiến thức đƣợc thu nhận bởi những chủ thể này" (Brousseau, 1983, tr. 171).

Theo cách nhìn nhận này thì một số kiến thức sai là cần thiết cho học tập: con đƣờng đi của học sinh phải trải qua việc xây dựng (tạm thời) từ một số kiến thức sai, và việc ý thức đƣợc đặc trƣng sai lầm này sẽ là yếu tố cấu thành nên nghĩa của tri thức mà việc dạy-học nhắm đến. Brousseau gọi những điểm buộc phải trải qua này là chƣớng ngại khoa học luận và nhấn mạnh vai trò của chúng trong lịch sử phát triển các kiến thức.

- Nghiên cứu xem có tồn tại hay không những chƣớng ngại trong lịch sử xây dựng khái niệm toán học. - Đối chiếu các chƣớng ngại lịch sử với chƣớng ngại học tập để nếu có thể thì thiết lập đặc trƣng khoa học luận của chƣớng ngại.

Qua phân tích khoa học luận lịch sử, nhà nghiên cứu có thể xác định những điều kiện nội tại cho sự phát triển, những vấn đề đã từng là lý do cho sự ổn định hay sự bế tắc của một giai đoạn lịch sử, những ràng buộc chi phối các nhà khoa học đƣơng thời, những khó khăn, những quan niệm đã từng là trở ngại cho sự hình thành và phát triển của kiến thức, những động lực, những bƣớc nhảy trong quan niệm, những điều kiện làm nảy sinh tri thức.

IV. Khoa học luận và quan niệm IV.1. Quan niệm Thuật ngữ “quan niệm” đƣợc dùng để chỉ một tri thức địa phƣơng, giữ vai trò nào đó trong tiến trình chiếm lĩnh một khái niệm. Cụ thể hơn, G. Bousseau định nghĩa quan niệm là “một tập hợp các quy tắc, các cách thực hành động, các tri thức cho phép giải quyết tƣơng đối tốt một lớp tình huống và vấn đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình huống khác mà đối" với chúng thì quan niệm này dẫn đến thất bại, hoặc gợi lên những câu trả lời sai, hoặc có thể đem lại kết quả nhƣng rất khó khăn và trong điều kiện bất lợi”. M. Artigue tách ra trong quan niệm của học sinh - về một đối tƣợng toán học - những thành phần khác nhau, đặc biệt là:

IV.3. Sự cần thiết của nghiên cứu quan niệm. Vai trò của khoa học luận Tính đa nghĩa của tri thức. Ta hãy trở lại với công trình của M. Artigue và J. Robinet (1982) về những quan niệm có thể gán cho khái niệm đƣờng tròn. Để xác định tập hợp những quan niệm khác nhau có thể có về đối tƣợng toán học này, các tác giả đã xuất phát từ 11 định nghĩa có thể nêu ra cho khái niệm mà dƣới đây đƣợc trích một số làm ví dụ: D1: Trong mặt phẳng, đƣờng tròn tâm O, bán kính R là tập hợp những điểm cách O một khoảng R. Hầu nhƣ các cuốn sách giáo khoa ngày nay đều đƣa ra định nghĩa này. Nhƣng khái niệm đƣờng tròn còn có thể đƣợc định nghĩa theo những cách khác. Chẳng hạn:

• D2: Đƣờng tròn là một đƣờng cong phẳng, đóng, có độ cong đại số không đổi. • D3: Đƣờng tròn là một đƣờng cong phẳng "thuần nhất" đối với phép đẳng cự. • D4: Đƣờng tròn là một đƣờng cong phẳng có vô số trục đối xứng. …. Về mặt logic thì các định nghĩa trên tƣơng đƣơng với nhau và xác định cùng một đối tƣợng toán học. Nhƣng chúng tƣơng ứng với những quan niệm khác nhau, những kiểu tri giác khác nhau về đối tƣợng, những cách sử dụng khác nhau các tính chất của nó, và chúng chú ý đến những yếu tố hình học khác nhau, những mối liên hệ khác nhau giữa các yếu tố. Nhƣ vậy, mỗi đối tƣợng toán học có thể đƣợc kết hợp với nhiều nghĩa, nhiều quan niệm khác nhau.

Sự tƣơng hợp giữa quan niệm và tình huống. Thế nhƣng, cái chúng ta quan tâm không phải là lập ra một danh mục thật tinh tế những quan niệm có thể có về một đối tƣợng toán học, mà là nghiên cứu sự nối khớp giữa các quan niệm ấy với tình huống trong một sự học tập xác định. Thừa nhận tính tƣơng hợp giữa quan niệm và tình huống làm xuất hiện tri thức là hiển nhiên, nếu ta hiểu khái niệm "quan niệm" nhƣ đã nêu trên (cho rằng ba thành phần cơ bản của quan niệm là lớp các tình huống vấn đề đem lại nghĩa cho tri thức đối với học sinh; tập hợp những cái biểu đạt mà học sinh có khả năng kết hợp với tri thức; những công cụ mà học sinh có để thao tác trên tri thức).

Vai trò của nghiên cứu về những quan niệm có thể kết hợp với một tri thức Sự phân biệt giữa một đối tƣợng toán học duy nhất với những quan niệm biến thiên có thể đƣợc kết hợp với nó rất quan trọng. Trƣớc hết, nó có thể giúp thầy giáo thoát ra khỏi tính đơn giản bề ngoài của đối tƣợng, không tính đến những kiến thức trẻ em đã có trƣớc khi phải học một tri thức.

Vả lại, trong thực tế, quá trình chiếm lĩnh một đối tƣợng toán học thƣờng đƣợc chia thành nhiều giai đoạn. Trong một sự học tập bằng thích nghi với tình huống, kiến thức thƣờng mang tính chất địa phƣơng, vấn đề là phải biết chống lại những quan niệm sai và những quan niệm cũ đã lỗi thời.Việc nghiên cứu các quan niệm mang tính địa phƣơng đƣợc biểu hiện trong tình huống và phân tích những điều kiện cho phép chuyển từ quan niệm địa phƣơng này vào quan niệm địa phƣơng kia là cơ sở để triển khai các tình huống nhằm xây dựng một quan niệm tổng thể về đối tƣợng tri thức. Trong những tình huống này quan niệm mới phải xuất hiện nhƣ là một giải pháp tối ƣu. Nghiên cứu những quan niệm khác nhau có thể đƣợc kết hợp với một tri thức còn là giúp cho ta hiểu đƣợc những khó khăn trong học tập của học sinh.

Nhƣ vậy, lợi ích của việc nghiên cứu những quan niệm khác nhau có thể đƣợc kết hợp với tri thức không phải chỉ ở chỗ nó đem lại một công cụ để phân tích ứng xử, « giải thích » một sai lầm ổn định, xác định những khó khăn của học sinh trong học tập, mà còn ở chỗ nó giúp ta hiểu tình trạng của kiến thức ở một thời điểm xác định.

CHƢƠNG 3: VÍ DỤ VỀ LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN

A. Trường hợp khái niệm vectơ hình học Trong trƣờng hợp này Phân tích khoa học luận nhằm vạch rõ những yếu tố trong lịch sử cho phép hiểu đƣợc khó khăn của học sinh trong việc học khái niệm Vectơ và nguồn gốc của những khó khăn đó.

Liên quan đến vectơ ở cơ chế đối tƣợng, phân tích khoa học luận dẫn ta đến với giả thuyết về ba mức độ khó khăn trong học tập của học sinh. Những giả thuyết này đã đƣợc kiểm chứng qua nghiên cứu thực nghiệm. • Mức độ thứ nhất: khó khăn trong việc thoát ra khỏi cách nhìn thống trị của mô hình métric trong hình học để tính đến đặc trƣng định hƣớng của vectơ.

• Mức độ thứ hai: khó khăn trong việc nắm vững hai đặc trƣng định hƣớng của vectơ Khi đã thoát ra khỏi ảnh hƣởng của mô hình métric thì học sinh lại có khó khăn trong việc hiểu hai đặc trƣng định hƣớng của vectơ. Trong một chừng mực nào đó có thể cho rằng khó khăn này có liên quan đến việc sử dụng từ vựng.

Tuy nhiên, không thể giải thích rằng khó khăn này chỉ đơn thuần ở mức độ từ vựng. Điều đó thể hiện rất rõ khi học sinh dùng một từ duy nhất là "chiều" để nói về hai đặc trƣng định hƣớng của vectơ, và từ chiều đã đƣợc xem xét một cách rất tùy tiện (chiều từ trên xuống dƣới, từ phải qua trái, chiều quay của kim đồng hồ, v.v. ...). Học sinh không hiểu rằng khái niệm cùng chiều là một khái niệm tƣơng đối, ngƣời ta chỉ nói đến sự cùng chiều hay không , cùng chiều đối với các vectơ cùng phƣơng. • Mức độ thứ ba: khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số - hình học của tính toán vectơ Khó khăn này thể hiện ở việc hiểu vectơ- không và ở việc học sinh không phân biệt các phép toán vectơ với các phép toán số.

Vì không phân biệt các phép toán vectơ với các phép toán số nên họ gán cho các phép toán vectơ tất cả những tính chất đúng với các phép toán số. Cũng chính vì thế, khi thực hiện các phép biến đổi các biểu thức vectơ thì học sinh không băn khoăn gì về vectơ -không, nhƣng khi đứng trên quan điểm hình học thì họ khó hình dung ra sự tồn tại của vectơ này. Việc kết hợp vào trong cùng một đối tƣợng cả hai phƣơng diện đại số và hình học không phải là đơn giản.

B. Trường hợp phép biến hình Phân tích khoa học luận về lịch sử phát sinh và phát triển lý thuyết các phép biến hình đã giúp ta hiểu đƣợc 4 cấp độ của việc hiểu đối tƣợng toán học này, trong đó 2 cấp độ đầu tiên là: • Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ về hình dáng giữa hai hình hoặc giữa hai phần của một hình (đặc trƣng hàm hoàn toàn vắng mặt).

• Cấp độ 2: Phép biến hình đƣợc xem nhƣ là ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát hơn, từ không gian, vào chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian đƣợc nghiên cứu với tƣ cách là các tập hợp điểm.

Phân tích khoa học luận còn cho ta thấy vai trò của Hình học giải tích đối với bƣớc chuyển từ cấp độ 1 sang cấp độ 2. Nghiên cứu khoa học luận, cùng với dữ liệu thu đƣợc từ nghiên cứu chƣơngg trình, sách giáo khoa và quan niệm của học sinh, đem lại cho ta những căn cứ khoa học để thiết kế một tình huống dạy-học khái niệm phép biến hình theo nghĩa ánh xạ điểm.

C. Trường hợp số phức Quả thực, những giả thuyết về dạy học nói riêng và những quan điểm sƣ phạm nói chung không phải đƣợc đề ra một cách tùy hứng, mà phải dựa trên những căn cứ khoa học thích đáng. Một trong các căn cứ nền tảng này là kết quả của phân tích khoa học luận. Điều đó cũng minh chứng cho quan điểm dạy học hiện nay đang thịnh hành trong nhiều nƣớc: "Dạy học phải tôn trọng đồng thời khoa học luận và quy trình nhận thức của học sinh." Phân tích khoa học luận 4 giai đoạn lịch sử hình thành khái niệm số phức là một ví dụ minh họa cho lợi ích sƣ phạm của nghiên cứu khoa học luận trên phƣơng diện này.

KẾT LUẬN

Thế nhƣng, giữa sự phát triển lịch sử và thực tế lớp học luôn luôn cổ một khoảng cách, vì học sinh là chủ thể của hệ thống dạy-học, nó không thể đƣợc rút gọn thành chủ thể khoa học luận. Đó là lý do để chúng ta nói rằng nghiên cứu việc dạy-học một tri thức phải đƣợc tiếp cận từ hai phía - khoa học luận và thể chế dạy-học. Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành, phát triển của tri thức và phân tích nhằm vạch rõ “cuộc sống” của tri thức trong thể chế dạy-học là hai nghiên cứu bổ sung cho nhau. Sự tiếp cận thứ hai này là trung tâm của lý thuyết Nhân chủng học đƣợc xây dựng bởi Chevallard mà ở đây ta chỉ mới đề cập vài yếu tố liên quan đến quá trình chuyển đổi didactic. Từ hai góc độ tiếp cận - khoa học luận và thể chế dạy-học, ta có thể hình thành nên những giả thuyết nghiên cứu và để kiểm chứng tính thỏa đáng của chúng thì cần phải quay về với thực tế dạy-học.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Argand J.-R.: Essai sur une Maniere de Representer les Quantites Imaginaires dans les Constructions Geometriques, Annates de Mathématiques 5 (1806), 33-147; reed., J. Hoiiel ed., Paris: Gauthier-Villars, 1874; Paris: Blanchard 1971. (les numeros de pages sont donnes d'apres la rendition de 1971). Artigue M. (1991): Epislmologique et Didactique, Recherche en Didactique des Mathematiques, vol. 10, n•.3. , tr. 241-286. Artigue M et Deledicq A. (1992). Quatre'tapes dans l'histoire des nombres complexes. Cahier de didirem, n°15.

Bellavitis G. (1835): Saggio di Applicazioni di un Nuovo Metodo di Geometria Analitica (Calcolo delle Equipollenze), Annali delle Scienze del Regno Lombaro-Veneto. Padova 5, 244-259. Brousseau G. (1983): Les obstacles pistmologiques et les problmes en mattlmatiques, Recherche en Didactique des MatHmatiques, vol. 4, n • 2, tr. 165-198.

Chevallard Y. (1992): Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives appoftes par une approche anthropologique, Recherche en Didactique des Mathématiques, vol. 12, n• 1, tr. 73-112.

Grassmann H.(1846): Grundzuge zu einer rein geometrischen Theorie der Kurven mit fur die reine und

Hamilton W.R.: On Quaternions or a New System of Imagineries in Algebra, Philosophical Magazine.

Hamilton W.R. (1969): Elements of Quaternions, 2 vols., Dublin, 1866; rééd., New-York: Chelsea Publishing Company.

Jahn A.P. (1998) Des transformations des figures aux transformations ponctuelles:tude d'une sequence d'enseignement avec Cabri-gomtre. Thse de doctorat, Universit Joseph Fourier de Grenoble, France.

Báo cáo tóm tắt đề tài nghiên cứu khoa học cấp Bộ: Vai trò của phân tích khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy - học môn Toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM KHOA TOÁN - TIN

BÁO CÁO TÓM TẮT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ

Mã số: B2001 - 23 - 02

Tên đề tài

VAI TRÒ CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU VÀ THỰC HÀNHDẠY - HỌC MÔN TOÁN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM KHOA TOÁN – TIN

BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ Mã số: B2001 -23 -02 VAI TRÒ CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU VÀ THỰC HÀNH DẠY – HỌC MÔN TOÁN

PHẦN PHỤ LỤC ................................................................................................................... 2

PHẦN I:

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

CHƢƠNG 1: KHOA HỌC LUẬN VÀ PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ

II. Khoa học luận, lịch sử và phân tích khoa học luận lịch sử của một khoa

học.

CHƢƠNG 2: LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN

A. Những giả thuyết về học tập

B. Lợi ích sư phạm của Phân tích khoa học luận Chúng ta sẽ chỉ ra vai trò của nghiên cứu khoa học luận lịch sử đối với hoạt động dạy-

I. Khoa học luận – đối tượng tri thức – đối tượng dạy học

CHƢƠNG 3: VÍ DỤ VỀ LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN

II. Những trở ngại cho sự xuất hiện khái niệm vectơ và sự phát triển của

tính toán vectơ

II. Lợi ích sư phạm

) để giải quyết các bài toán khác nhau: Tính vận tốc tức thời, gia tốc,

và lấy

√ và do đó logarit của bình phƣơng của √ (nghĩa là của -1) bằng √ .(16)

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO Argand J.-R.: Essai sur une Maniere de Representer les Quantites Imaginaires dans les Constructions Geometriques, Annates de Mathématiques 5 (1806), 33-147; reed., J. Hoiiel ed., Paris: Gauthier-Villars, 1874; Paris: Blanchard 1971. (les numeros de pages sont

PHẦN PHỤ LỤC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM KHOA TOÁN - TIN

BÁO CÁO TÓM TẮT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ Mã số: B2001 - 23 - 02

Tên đề tài

VAI TRÒ CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ

TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU VÀ THỰC HÀNH

D Ạ Y - HỌC MÔN TOÁN

BÁO CÁO TÓM TẮT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ Mã số: B2001 -23 -02 VAI TRÒ CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU VÀ THỰC HÀNH DẠY – HỌC MÔN TOÁN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH 280 An Dƣơng Vƣơng, Quận 5, TPHCM TS.LÊ THỊ HOÀI CHÂU Cán bộ giảng dạy khoa Toán-Tin, ĐHSP TP.HCM

A. BÁO CÁO TỔNG QUAN

4. Kinh phí đã chi: Tổng số kinh phí đƣợc cấp Chi cho các hoạt động nghiên cứu Chi cho các sémineire Chi cho khâu đánh máy, in ấn và đóng tài liệu Chi cho hội đồng bảo vệ cấp cơ sở Chi cho hội đồng bảo vệ cấp Bộ

CHƢƠNG 1: KHOA HỌC LUẬN VÀ PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ

CHƢƠNG 2: LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN

CHƢƠNG 3: VÍ DỤ VỀ LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN

KẾT LUẬN

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok