ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN VĂN MINH
BẢO HỘ TRONG THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ
Hà Nội - Năm 2012
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN VĂN MINH
BẢO HỘ TRONG THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ
Chuyên ngành: TOÁN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Mã số : 60 46 15
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
Hà Nội - Năm 2012
TS. NGUYỄN THỊNH
Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Một số kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên . . . . . . 5
1.2 Một số kiến thức cơ sở toán tài chính . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Chứng khoán phái sinh . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Cơ hội có độ chênh thị giá . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Định giá và bảo hộ trong thị trường đầy đủ 13
2.1 Bảo hộ trong thị trường đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Chiến lược bảo hộ quyền phái sinh trong thị trường
đầy đủ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Công thức Black-Scholes về định giá quyền chọn
Châu Âu trong thị trường đầy đủ. . . . . . . . . . . 19
3 Định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ 23
3.1 Bài toán bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình
phương trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Quá trình cân bằng bình phương trung bình và không gian
các chiến lược đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 Định nghĩa 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Định nghĩa 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
. . . 28 3.3 Tính đóng của GT (Θ) và phân tích F¨ollmer-Schweizer
3.3.1 Mệnh đề 3.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1
3.3.2 Bổ đề 3.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.3 Mệnh đề 3.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.4 Hệ quả 3.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.5 Hệ quả 3.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.6 Bổ đề 3.3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Mô tả chiến lược tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.1 Định lí 3.3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.2 Hệ quả 3.4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Xấp xỉ một tài sản phi rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6 Bảo hộ trong trường hợp quá trình cân bằng mean-variance
tất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7 Mô hình khuyếch tán hầu đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . 44
3.8 Mô hình biến động ngẫu nhiên có tính Markovian . . . . . . 47
3.9 Mô hình Black - Scholes trong môi trường ngẫu nhiên . . . 50
2
Tài liệu tham khảo 54
Lời nói đầu
Định giá và bảo hộ tài sản phái sinh là một trong những vấn đề quan
trọng của tài chính nói chung và toán tài chính nói riêng. Trong thị trường
đầy đủ thì có thể bảo hộ một cách chính xác bởi một chiến lược giao dịch
duy nhất. Tuy nhiên trong thị trường không đầy đủ thì có nhiều chiến lược
để bảo hộ, vần đề là cần tìm ra chiến lược tối ưu nhất theo nghĩa nào đó.
Việc bảo hộ có nhiều cách tiếp cận khác nhau. Nhưng trong luận văn này
chỉ tập chung vào việc bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình
phương trung bình, luận văn đưa ra một số kết quả và ví dụ về bảo hộ
bình phương trung bình cho quá trình ngẫu nhiên liên tục. Mục tiêu chính
là đưa ra những chứng minh chính xác để xét đến việc có thể sử dụng hoặc
không đến độ đo martingale nhỏ nhất để nghiên cứu vấn đề này.
Cho X là nửa martingale có dạng X = X0 + M + (cid:82) d(cid:104)M (cid:105)ˆλ. Quá trình cân bằng bình phương trung bình của X kí hiệu là ˆK = (cid:82) ˆλtrd(cid:104)M (cid:105)ˆλ và Θ là không gian các quá trình khả đoán ϑ sao cho tích phân ngẫu nhiên G(ϑ) = (cid:82) ϑdX là nửa martingale bình phương khả tích. Cho hằng số c ∈ R và biến ngẫu nhiên bình phương khả tích H, chiến lược tối ưu bình phương trung bình ξ(c) làm cực tiểu khoảng cách trong L2 giữa H − c và không gian GT (Θ). Trong tài chính, sử dụng chiến lược ξ(c) để xấp xỉ cho tài sản phái sinh H theo nghĩa làm cho rủi ro của người bảo hộ được hạn
3
chế nhất với các chiến lược giao dịch ϑ ∈ Θ không gian các chiến lược đầu tư. Nếu ˆK là bị chặn, liên tục thì ta đưa ra một chứng minh đơn giản cho tính đóng của không gian GT (Θ) trong L2(P ) và sự tồn tại phân tích F¨ollmer-Schweizer của H. Hơn nữa nếu X thỏa mãn thêm một số điều kiện
thì ta có thể mô tả được chiến lược tối ưu bình phương trung bình dưới
dạng công thức liên hệ ngược và trong luận văn cũng đưa ra một số ví
dụ có thể dễ dàng so sánh các trường hợp với giả thiết khác nhau. Khi có
thêm điều kiện thì có khẳng định rằng độ đo martingale tối ưu phương sai
và độ đo martingale nhỏ nhất là trùng nhau. Trong số những ví dụ đưa ra điều giả sử này được thỏa mãn, qua đó ta cũng chỉ ra lỗi điển hình nếu ˆKT không tất định và bao gồm biến ngẫu nhiên ngoại sinh không được sinh
ra bởi X.
Luận văn có cấu trúc 3 chương :
Chương 1: Bao gồm sơ lược các kiến thức nền tảng của giải tích ngẫu
nhiên và toán tài chính.
Chương 2: Giới thiệu về định giá và bảo hộ trong thị trường đầy đủ áp
dụng cho mô hình Black-Scholes đơn giản.
Chương 3 : Phần chính của luận văn đưa ra việc định giá và bảo hộ
trong thị trường không đầy đủ theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình.
Trong quá trình viết luận văn, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn rất
tận tình của TS. Nguyễn Thịnh. Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc
thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giảng dạy các chuyên
đề cao học đã tạo dựng cho tác giả một kiến thức nền tảng và thầy cô
trong tổ Xác Suất Thống Kê của khoa Toán-Cơ-Tin đã giúp đỡ và tạo
điều kiện để tác giả bảo vệ luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ, động
viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn.
Do trình độ tác giả và thời gian còn hạn chế nên luận văn không thể
tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của quý
4
bạn đọc.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này sẽ điểm qua một số kiến thức cơ sở về giải tích ngẫu nhiên
và một số khái niệm của toán tài chính được sử dụng trong luận văn.
1.1 Một số kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu
nhiên
Định nghĩa 1.1. Martingale Giả sử (Ω, A, P ) là không gian xác suất. Quá trình X = {Xt, At, t ∈ R} được gọi là một martingale (trên ,dưới) đối với (At, t ∈ R) nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau: 1.X = {Xt, At, t ∈ R} là quá trình thích nghi với bộ lọc At (tức là Xt là At−đo được). 2.E|Xt| < ∞ với mọi t ∈ R. 3.Với mọi t ≥ s (t, s ∈ R) E(Xt/As) = Xs (E(Xt/As) ≤ Xs ; E(Xt/As) ≥ Xs) P − h.c.c.
Định nghĩa 1.2. Martingale địa phương
Quá trình ngẫu nhiên {Xt, At, t ≥ 0} được gọi là martingale địa phương nếu tồn tại dãy thời điểm Markov (τn) đối với (At) sao cho
(i) P{τn ≤ n} = 1, P{limn→∞ τn = ∞} = 1. (ii) Đối với mỗi n = 1, 2, ... dãy {Mt∧τn, At, t ≥ 0} là martingale khả
5
tích đều.
Định nghĩa 1.3. Nửa martingale liên tục
Một quá trình X được gọi là nửa martingale liên tục nếu nó có thể được
biểu diễn dưới dạng tổng Xt = Mt + At, t ≥ 0 trong đó M là martigale địa phương liên tục và A là quá trình biến phân bị chặn thích nghi liên tục
thỏa mãn A0 = 0.
p
p
N (cid:88)
N (cid:88)
2 .
2 ≤ E|MN |p ≤ C2E|
C1E|
d2 i |
d2 i |
i=1
i=1
Định lý 1.1. Burkholder-David-Gundy Giả sử {Mi, Ai, 0 ≤ i ≤ N } là một martingale, 1 < p < ∞ và d0 = M0, di = Mi+1 − Mi, 0 = i < · · · < n = N . Khi đó tồn tại các hằng số C1, C2 chỉ phụ thuộc p không phụ thuộc dãy di, i = 1, . . . , N. sao cho
N (cid:88)
[M ]N =
d2 i
i=1
Kí hiệu
được gọi là biến phân bình phương của MN . Khi đó ta có
[M ]N ||p ≤ ||MN ||p ≤ C2||
[M ]N ||p.
C1||
(cid:113) (cid:113)
Định lý 1.2. Girsanov
dYt = a(t, ω)dt + dWt, t ≤ T ≤ ∞, Y0 = 0
Cho Yt là một quá trình Ito có vi phân ngẫu nhiên như sau:
1 2
(cid:82) T 0 a2(s,ω)ds] < ∞.
E[e
trong đó hệ số dịch chuyển a(t, ω) thỏa mãn điều kiện Novikov
0 a(s,ω)dWs− 1
2
(cid:82) t 0 a2(s,ω)ds.
= LT , trong đó Lt = e− (cid:82) t
dQ dP
6
Xác định một độ đo xác suất mới Q như sau
(Ft), F W
t = σ(Ws, s ≥ t). (cid:82) t 0 ||gs||2ds < ∞h.c.c. Ta định nghĩa (cid:90) t (cid:90) t
αt = exp[
||gs||2ds]
(gs, dWs) −
1 2
0
0
Với xác suất mới Q này thì Yt trở thành một martingale đối với họ
|Xt|||p ≤ q||XT ||p,
||XT ||p ≤ || sup 0≤t≤T
Định lý 1.3. Bất đẳng thức Doob Nếu {Xt, At, 0 ≤ t ≤ T } là martingale dưới không âm với E|Xt|p < ∞, 0 ≤ t ≤ T, 0 < p < ∞ thì
1
p ,
+
= 1.
||X||p = (E|X|p)
1 p
1 q
trong đó
Định lý 1.4. Công thức Ito
dXt = a(t, w)dt + b(t, w)dWt.
+ a
+
dWt.
dYt = [
Nếu Xt là quá trình Ito vi phân ngẫu nhiên có dạng
b2 ∂2g ∂x2 ]dt + b
∂g ∂x
∂g ∂t
1 2
Cho Yt = g(t, Xt) với g(t, x) là hàm xác định trên [0, ∞) × R và có các đạo hàm riêng gt, gx, gxx liên tục. Khi đó Yt = g(t, Xt) là quá trình Ito với vi phân ngẫu nhiên là: ∂g ∂x
Công thức Ito nhiều chiều
Cho W (t, ω) = (W1(t, ω), ..., Wm(t, ω)) là chuyển động Brown m-chiều. X(t, ω) = (X1(t, ω), ..., Xn(t, ω)) và dX = hdt + f dW là một vi phân ngẫu nhiên Ito n-chiều (với f, h là các hàm ngẫu nhiên đo được dần, f khả
đoán, khả tích theo mọi đoạn hữu hạn với hầu hết ω). Giả sử g(t, x) = (g1(t, x), ..., gp(t, x)) là các ánh xạ hai lần khả vi liên tục R+ × Rn → R+. Khi đó quá trình Y (t, ω) = g(t, Xt) là một vi phân ngẫu nhiên p-chiều mà thành phần thứ k là Yk được cho bởi
(t, X)dt +
dYk =
(t, X)dXi +
(t, X)dXidXj,
∂gk ∂t
1 2
∂gk ∂xi
∂2gk ∂xi∂xj
i,j
i
7
(cid:88) (cid:88)
trong các biểu thức dXidXj thì dWidWj = σijdt, dtdWi = dtdWj = 0.
Định nghĩa 1.4. Nghiệm mạnh của phương trình vi phân ngẫu
nhiên
dXt = a(t, Xt)dt + b(t, Xt)dWt
Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1-chiều là phương trình có dạng
hoặc tương đương
Xt = X0 +
a(s, Xs)ds +
b(s, Xs)dWs.
0
0
(cid:90) t (cid:90) t
|a(t, Xt(ω))|dt < ∞(cid:1) = 1,
0 (cid:90) T
Nghiệm mạnh của phương trình trên là quá trình Xt liên tục thích nghi với At sao cho (cid:90) T P(cid:0)
|b(t, X(t, ω))|2dt(cid:1) < ∞
0
E(cid:0)
và biểu thức tích phân thỏa mãn với xác suất 1 với mỗi t ∈ [0, T ].
Định lý 1.5. Định lý tồn tại duy nhất nghiệm Giả sử T > 0 và a, b : [0, T ] × R → R, là các hàm đo được thỏa mãn các
|a(t, x)| + |b(t, x)| ≤ C(1 + |x|), x ∈ R, t ∈ [0, T ]
|a(t, x) − a(t, y)| + |b(t, x) − b(t, y)| ≤ D|x − y|, x ∈ R, t ∈ [0, T ]
điều kiện
dXt = a(t, Xt)dt + b(t, Xt)dWt, 0 ≤ t ≤ T, X0 = Z
trong đó C,D là các hằng số dương nào đó. Giả sử Z là biến ngẫu nhiên độc lập với A∞ sao cho E|Z|2 < ∞. Khi đó phương trình vi phân
0
8
E|f (t, ω)|2dt(cid:1) < ∞ ). có nghiệm duy nhất Xt thuộc NT ( lớp các hàm ngẫu nhiên f : [0, T ]×Ω → R đo được, thích nghi đối với At và (cid:0) (cid:82) T
Định nghĩa 1.5. Độ đo martingale nhỏ nhất
L ∈ M2 và (cid:104)L, M (cid:105) = 0 ⇒ L là martingale theo ˆP .
Cho độ đo martingale ˆP ≈ P được gọi là độ đo martingale nhỏ nhất nếu ˆP (A) = P (A), ∀A ∈ F0 và mọi martingale bình phương khả tích bất kì trực giao mạnh với martingale tùy ý cố định M ∈ M theo P cũng là martingale theo ˆP tức là :
(với M; M2 tương ứng là các không gian martingale khả tích; bình phương
khả tích.)
Định nghĩa 1.6. Độ đo tối ưu phương sai
Độ đo có dấu Q trên (Ω, F) được gọi là độ đo Θ−martingale có dấu
dP ∈ L2(P ) và
GT (ϑ)(cid:3) = 0 với mọi ϑ ∈ Θ
E(cid:2)dQ dP
nếu Q[Ω] = 1, Q (cid:28) P với dQ
(Θ tập các quá trình khả đoán). Kí hiệu P là tập tất cả độ đo Θ−martingale có dấu và
dQ dP
D = (cid:8)D = (cid:12) (cid:12)Q ∈ P(Θ)(cid:9).
Độ đo Θ−martingale có dấu (cid:101)P được gọi là độ đo tối ưu phương sai
nếu (cid:101)P làm cực tiểu
V ar(cid:2)dQ dP
− 1(cid:1)2(cid:3) = E(cid:2)(cid:0)dQ dP
(cid:1)2(cid:3) − 1 (cid:3) = E(cid:2)(cid:0)dQ dP
dP = (cid:101)D.
với mọi Q ∈ P(Θ). Nếu (cid:101)P là tối ưu phương sai thì kí hiệu d (cid:101)P
Định nghĩa 1.7. Quá trình mũ martingale địa phương
Cho M là liên tục, martingale địa phương giá trị thực. Khi đó mũ martin-
(cid:104)M (cid:105)t).
Xt = Et(M ) = exp(Mt −
1 2
9
gale địa phương E(M ) là quá trình
Và Xt là nghiệm duy nhất của phương trình dXt = XtdMt, X0 = 1. Nếu γ ∈ L(M ) thì nghiệm Xt của phương trình dXt = γtXtdMt được cho bởi Xt = X0Et(γ • M ). Nếu W là chuyển động Brown nhận giá trị trong Rd và γ ∈ L(W ) thì nghiệm của phương trình dXt = γtXtdWt được cho bởi
Xt = X0Et(γ • W ) = X0exp(−
||γs||2ds +
γsdWs).
1 2
0
0
(cid:90) t (cid:90) t
1.2 Một số kiến thức cơ sở toán tài chính
1.2.1 Chứng khoán phái sinh
Định nghĩa 1.8. Quyền mua cổ phần
Là loại chứng khoán do công ty cổ phần phát hành kèm theo đợt phát
hành cổ phiếu thường bổ sung và được phát hành cho cổ đông hiện hành
sau đó chúng có thể được đem ra giao dịch.
Ví dụ 1.1. Công ty A muốn huy động thêm vốn nên đã phát hành thêm
cổ phiếu cho các cổ đông, các cổ đông này được nhận các quyền mua cổ
phần, các cổ đông này nếu không mua cổ phiếu có thể nhường lại cho người
khác bằng cách bán quyền mua cổ phần của mình.
Định nghĩa 1.9. Hợp đồng kì hạn
Là một thỏa thuận trong đó một người mua một người bán chấp thuận
một giao dịch hàng hóa với khối lượng xác định tại một thời điểm xác định
trong tương lai với một mức giá được ấn định vào ngày hôm nay.
Định nghĩa 1.10. Hợp đồng tương lai
Là cam kết mua hoặc bán các loại chứng khoán, nhóm chứng khoán hoặc
chỉ số chứng khoán nhất định với một số lượng nhất định và mức giá nhất
10
định vào ngày xác định trước trong tương lai.
Định nghĩa 1.11. Quyền lựa chọn
Là quyền được ghi trong hợp đồng cho phép người mua lựa chọn quyền
mua hoặc quyền bán một số lượng chứng khoán được xác định trước trong
khoảng thời gian nhất định với một mức giá được xác định trước. Quyền
lựa chọn là một bản hợp đồng mang tính thỏa thuận nhưng ràng buộc về
mặt pháp lý trong đó có tham gia của người mua, người viết và cơ quan
quản lý.
Định nghĩa 1.12. Quyền chọn mua
Là một hợp đồng giữa hai bên mà trong đó một bên cho bên kia được
quyền mua một khối lượng hàng hóa nhất định tại một mức giá xác định
trong một thời hạn nhất định. Bên được quyền mua phải trả cho bên còn
lại một khoản được gọi là giá quyền mua. Và khi kết thúc hợp đồng người
có quyền mua không bắt buộc phải thực hiện hợp đồng.
Ví dụ 1.2. Một người định mua cổ phiếu của công ty A nhưng vì một lí
do nào đó anh ta chưa muốn mua ngay nên đã đến ngân hàng mua một số
quyền chọn mua rằng anh ta có thể mua một số lượng cổ phiếu nhất định
của công ty A với mức giá là X vào ngày cố định T đã thỏa thuận. Đến
ngày T người mua có thể không cần thực hiện hợp đồng và chấp nhận mất
tiền mua quyền mua.
Định nghĩa 1.13. Quyền chọn bán
Là hợp đồng giữa hai bên mà trong đó một bên cho bên kia được quyền
bán một khối lượng nhất định hàng hóa tại một mức giá xác định trong
một thời hạn nhất định. Người mua quyền chọn bán phải trả cho người
bán quyền một khoản tiền được gọi là giá quyền hoặc phí quyền. Và khi
kết thúc hợp đồng người có quyền mua không bắt buộc phải thực hiện hợp
11
đồng.
1.2.2 Cơ hội có độ chênh thị giá
Định nghĩa 1.14. Một phương án đầu tư tự tài trợ φ ∈ Φ được gọi là
một cơ hội có độ chênh thị giá nếu quá trình giá Vt(φ) của phương án đầu tư đó thỏa mãn :
(i) P (V0(φ) = 0) = 1 (ii)P (VT (φ) ≥ 0) = 1 (iii)P (VT (φ) > 0) > 0
T là thời điểm đáo hạn của hợp đồng.
Định nghĩa 1.15. Ta nói thị trường M = (S, Φ) là một thị trường không
có cơ hội chênh thị giá nếu không tồn tại một phương án đầu tư tự tài trợ
nào trong Φ có độ chênh thị giá.
Định nghĩa 1.16. Chiến lược đầu tư đáp ứng
Chiến lược đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn XT tại thời điểm đáo hạn T là một phương án đầu tư tự tài trợ φ sao cho VT (φ) = XT . tức là giá trị lúc đáo hạn của phương án đầu tư ấy bằng đúng với giá trị
đáo hạn XT đã định trước và ghi trong hợp đồng. Quá trình giá VT (φ) của phương án ấy được gọi là quá trình đáp ứng.
Một bài toán đặt ra là định giá cho các sản phẩm phái sinh như thế
nào ? và sau khi các sản phẩm này được mua bán thì phải bảo hộ chúng
như thế nào?. Luận văn này nghiên cứu một số cách tiếp cận toán học
12
chặt chẽ để có thể định giá và bảo hộ các sản phẩm phái sinh này.
Chương 2
Định giá và bảo hộ trong thị trường đầy đủ
Trong chương này ta sẽ đi tìm hiểu việc định giá và đưa ra chiến lược
bảo hộ giá cho quyền phái sinh trong thị trường đầy đủ.
Định nghĩa 2.1. Thị trường đầy đủ Một thị trường M được gọi là thị trường đầy đủ nếu mọi tài sản phái sinh X đều đạt được trong M tức là đều có phương án đầu tư đáp ứng được
X đo được đối với FT thì tồn tại ít nhất một quá trình khả đoán φ ∈ Φ sao cho VT (φ) = XT . (XT là giá đáo hạn của chứng khoán được ghi trong hợp đồng và VT (φ) là quá trình giá đầu tư bởi chiến lược φ)
phái sinh đó, hay nói một cách tương đương nếu với mọi biến ngẫu nhiên
Nói chung tính đầy đủ là một đòi hỏi khá cao của thị trường. Vì với
tính đầy đủ thì mọi tài sản phái sinh kiểu châu Âu đều có thể định giá
bằng phương pháp độ chênh thị giá.
Định nghĩa 2.2. Ta nói rằng tài sản phái sinh X được đáp ứng một cách duy nhất trong thị trường M nếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhất
đối với X.
Ví dụ 2.1. Mô hình Black-Scholes trong thị trường đầy đủ
13
Giả sử một tài sản tài chính S tuân theo mô hình Black-Scholes tức là thỏa
dSt = µStdt + σStdBt,
mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính sau:
với µ , σ là những hằng số và B là chuyển động Brown hình học.
Giá tài sản S tuân theo mô hình Black- Scholes như trên thỏa mãn thị
trường đầy đủ tức là mọi tài sản phái sinh đều được đáp ứng bởi một
chiến lược tự tài trợ. Tính đầy đủ sẽ được chỉ ra ở phần sau.
2.1 Bảo hộ trong thị trường đầy đủ
t ; k = 1, ..., d.
t = βtX k
Cho (Ω, F, P ) là không gian xác suất, T là một thời điểm cố định. Cho F = {Ft; 0 ≤ t ≤ T } là một bộ lọc với F0 chứa Ω và những tập có độ đo 0 theo P với FT = F.
Cho X = {Xt; 0 ≤ t ≤ T } là quá trình ngẫu nhiên có giá trị véctơ với thành phần là X 0, X 1, ..., X d thích nghi liên tục phải, giới hạn trái và dương thực sự. Hơn nữa X 0 là nửa martingale thoả mãn X 0 0 = 1 và X k t biểu diễn giá trị của chứng khoán thứ k tại thời điểm t, đặt t . Ta xác định một quá trình giá chiết khấu Z = (Z 1, Z 2, ..., Z d) βt = 1/X 0 với Z k Kí hiệu P = {Q ∈ (Ω; F)|Q tương đương P và Z là martingale theo Q }. Giả sử P khác rỗng (dẫn tới không có sự chênh thị giá) ta có X và Z là các nửa martingale theo P. Một phần tử tuỳ ý P ∗ ∈ P được gọi là độ đo quy chiếu và E∗ là kì vọng toán học tương ứng.
L(Z) = {H = (H 1, H 2, ..., H d) = {Ht, 0 ≤ t ≤ T } khả tích đối với Z}
Kí hiệu
Φ = (Φ0, ..., Φd) = {Φt, 0 ≤ t ≤ T } sao cho:
k=0 ΦkX k,
Một chiến lược giao dịch đáp ứng là một quá trình ngẫu nhiên khả đoán
0 (Φ) + G∗(Φ) trong đó
14
i) (Φ1, ..., Φd) ∈ L(Z), ii) V ∗(Φ) ≥ 0 trong đó V ∗(Φ) = βΦX = β (cid:80)d iii)V ∗(Φ) = V ∗
d (cid:88)
ΦkdZ k
G∗(Φ) =
ΦdZ =
k=1
(cid:90) (cid:90)
và
t mô tả số tài sản hoặc số đơn vị chứng khoán thứ k được giữ bởi nhà đầu tư tại thời điểm t, V ∗(Φ) là quá trình giá chiết khấu mô tả giá chiết khấu của danh mục đầu tư và G∗(Φ) mô tả quá trình lãi chiết
iv) V ∗(Φ) là một martingale theo P ∗. Trong đó Φk
khấu hoặc lỗ thông qua chiến lược giao dịch bởi nhà đầu tư. Trong đó (ii)
nói lên rằng những chiến lược giao dịch đáp ứng không cho phép giá trị
của phương án đầu tư âm. (iii) nói rằng tất cả sự thay đổi trong giá trị
của phương án đầu tư đều phụ thuộc vào sự đầu tư mà không cần thêm
hoặc bớt vốn. Điều kiện (iv) khẳng định quá trình giá chỉ phụ thuộc vào
việc chọn độ đo quy chiếu.
Một quyền phái sinh S được coi như biến ngẫu nhiên dương. Một
quyền phái sinh S được đáp ứng nếu tồn tại chiến lược đáp ứng ψ sao cho V ∗ T (ψ) = βT S. Một quyền phái sinh S được gọi là khả tích nếu E∗βT S < ∞. Sau đây ta sẽ tìm hiểu một định lí nói về mối quan hệ giữa thị trường đầy đủ và sự duy nhất của chiến lược đầu tư đáp ứng.
Định lý 2.1. Các mệnh đề sau là tương đương: (a) Mô hình thị trường đầy đủ theo độ đo P ∗.
(b) Mỗi martingale Mt được biểu diễn dưới dạng.
HdZ với H ∈ L(Z).
Mt = M0 +
0
(cid:90) t
(c) P có duy nhất một phần tử.
Chứng minh. (a) ⇒ (b) Cho M là một martingale tuỳ ý. Từ martingale
15
bất kì có thể được biểu diễn dưới dạng hai martingale dương khác nhau do
0 (Φ) + (cid:82) T
vậy không giảm tổng quát có thể giả sử là M dương. Đặt S = X 0 T MT khi đó tồn tại chiến lược đáp ứng Φ sao cho V ∗ T (Φ) = MT . Hơn nữa theo định nghĩa chiến lược đáp ứng, martingale V ∗ T (Φ) = V ∗ 0 HdZ, trong đó H = (Φ1, ..., Φd). Do đó M có cùng biểu diễn hay Mt = E∗(βT S|Ft) = V ∗ t (Φ). (b) ⇒ (a) Cho S là một tài sản phái sinh khả tích tuỳ ý. Định nghĩa một độ đo martingale M bằng cách đặt Mt = E∗(βT S|Ft) và cho H ∈ L(Z) sao cho Mt = M0 + (cid:82) t 0 HdZ đặt Φ1 = H 1, ..., Φd = H d trong đó Φ0 = M0 + (cid:82) HdZ − HZ. Điều này dẫn tới chiến lược giao dịch đáp ứng với V ∗ t (Φ) = Mt do đó V ∗ T (Φ) = βT S. Hay S được đáp ứng, suy ra thị trường là đầy đủ. Trước khi chứng minh (b) ⇒ (c) ta có một số định nghĩa Kí hiệu M (Z) = {Q|Z là martingale địa phương theo Q} và ta có P là tập con của M (Z)
Một phần tử Q ∈ M (Z) được gọi là điểm vô cùng nếu nó không thể biểu
Me(Z) là tập hợp tất cả các điểm vô cùng trong M (Z). Ta có kết quả : Q ∈ Me(Z) nếu và chỉ nếu Z chỉ có thể là martingale địa phương theo Q. Hệ quả của nó là Q ∈ Me(Z) nếu và chỉ nếu tính chất biểu diễn trong b) được thỏa mãn. (b) ⇒ (c) Nếu P ∗ ∈ Me(Z) thì không thể tồn tại Q ∈ M (Z) với Q tương đương với P ∗. (c) ⇒ (b) Ta chỉ ra P ∗ ∈ Me(Z). Thật vậy giả sử ngược lại. Khi đó tồn tại α ∈ (0, 1) và Q(cid:48), Q(cid:48)(cid:48) ∈ M (Z) sao cho P ∗ = αQ(cid:48) + (1 − α)Q(cid:48)(cid:48). Ta có Q(cid:48) ≤ P ∗/α và chỉ ra Z là martingale theo Q(cid:48) tương tự cho Q(cid:48)(cid:48) do đó Z là martingale theo Qβ = βQ(cid:48) + (1 − β)Q(cid:48)(cid:48) với mỗi β ∈ (0, 1). Từ Qβ tương đương với P ∗ với mọi β ∈ (0, 1) tức là Qβ ∈ P với mọi β ∈ (0, 1). Nhưng điều này là mâu thuẫn do P có duy nhất một phần tử.
diễn dưới dạng tổ hợp lồi thực sự của hai martingale trong M (Z). Kí hiệu
16
Tiếp theo ta sẽ đi mô tả về chiến lược duy nhất trong thị trường đầy đủ.
2.1.1 Chiến lược bảo hộ quyền phái sinh trong thị trường đầy
đủ.
Chiến lược giao dịch Φ = (K, H) được gọi là chiến lược giao dịch tự tài
dVt(Φ) = KtdBt + HtdXt
trợ nếu nó thỏa mãn :
chiến lược Φ được hiểu như liên tục tự cân bằng các danh mục đầu tư mà
(Φ) là PX 0−
t
không rút vốn hoặc thêm vốn vào.
T |Ft], với t ∈ [0, T ],
V X 0 t
(Φ) = EPX0 [h/X 0
Ta có một chiến lược giao dịch tự tài trợ được gọi là đáp ứng quyền phái sinh h nếu VT (Φ) = h và quá trình giá chiết khấu V X 0 martingale tức là
Vt(Φ) = X 0
T |Ft] với t ∈ [0, T ].
t EPX0 [h/X 0
và đặt
T |Ft] cho Φ = (K, H) là một chiến lược
Định lý 2.2. Nếu quyền phái sinh h là PX 0− khả tích thì nó được đáp ứng.
Kt + HtX X 0
t = V X 0
t = Mt với t ∈ [0, T ].
Chứng minh. Đặt Mt = EPX0 [h/X 0 giao dịch và đặt Vt = Vt(Φ). Khi đó Φ đáp ứng h nếu và chỉ nếu
t = HtdX X 0
t
s = Mt với t ∈ [0, T ].
t = V0 + (cid:82) t
tức
t
. Theo
Ta cần xác định Ht với điều kiện tự tài trợ cho Φ là dV X 0 0 HsdX X 0 dạng tích phân V X 0 Gọi (Ft) là bộ lọc tăng sinh bởi chuyển động Brown hình học W X 0 định lí III.5.d.0 [11] ta có Ft−martingale Mt có thể biểu diễn
,
t ∈ [0, T ],
JsdW X 0
Mt = M0 +
s
0
17
(cid:90) t
s = σX X 0
s dW X 0
s
, ta cần
s )dX X 0 s
0 Js/(σX X 0
suy
, với mọi t ∈ [0, T ].
M0 +
Js/(σX X 0
s )dX X 0
s = Mt = V0 +
HsdX X 0 s
0
0
với quá trình khả đoán J ∈ L(W X 0). Ta lại có dX X 0 ra Mt = M0 + (cid:82) t (cid:90) t (cid:90) t
.
s ), Ks = Ms − HsX X 0
s
.
s
M0 = V0, Hs = Js/(σX X 0 0 HsdX X 0
Suy ra
H ∈ L(X).
Khi đó Mt = M0 + (cid:82) t Sau đây ta sẽ chỉ ra Φ là một chiến lược giao dịch tức là K ∈ L(X 0) và
0
sds <
J 2 s ds < ∞, PX 0 − as. sds < ∞ và (cid:82) T
s X 02
0 |σ−1µJs|X 0
0 |Hs||duX(s)| = (cid:82) T
0 J 2
0 d(cid:104)S(cid:105)s = (cid:82) T
s = Ms − Js/σ.
(Φ) = Mt, t ∈ [0, T ]. Hơn nữa với
t
T MT = h.
Từ dXt = Xt(µdt + σdWt) chúng ta thu được duX(s) = µXsds (uX(s) là compensator của X ) và d(cid:104)X(cid:105)s = σ2X 2 s ds. Quá trình khả đoán J ∈ L(W X 0) thoả mãn (cid:90) T
s
0 HsdX X 0
(Φ) = dMt = HtdX X 0
suy ra Do đó (cid:82) T ∞, P − as. Suy ra H ∈ L(X), Ks = Ms − HsX X 0 Suy ra J ∈ L(X 0) theo tính liên tục của M suy ra K ∈ L(X 0). Vậy ta có chiến lược giao dịch Φ thoả mãn V X 0 t = T suy ra VT (Φ) = X 0 Phần còn lại ta sẽ chỉ ra chiến lược Φ là tự tài trợ. Thực vậy, từ Mt = M0 + (cid:82) t
dV X 0 t
t
dV X 0 t dXt
Suy ra Ht =
)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
s
; dV X0 s dX X0 s
Như vậy chiến lược tối ưu đầu tư để đáp ứng quyền phái sinh h là: Φs = (Ms − HsX X 0
18
. Điều này sẽ được minh Xét trong trường hợp rời rạc ta có H = ∆V X0 t ∆X X0 t họa bởi ví dụ mục sau đây.
2.1.2 Công thức Black-Scholes về định giá quyền chọn Châu
Âu trong thị trường đầy đủ.
Xét mô hình Black-Scholes đơn giản được cho bởi phương trình vi phân
dXt = µXtdt + σXtdBt,
ngẫu nhiên tuyến tính sau:
với µ , σ là những hằng số và B là chuyển động Brown hình học.
Giá chứng khoán Xt tuân theo mô hình Black-Scholes như trên là một trường hợp của thị trường đầy đủ. Gọi V0 là giá của quyền chọn vào thời điểm t=0. Ta có công thức Black-Scholes để định giá của một hợp đồng
1 √
+ (r +
quyền chọn như sau :
)T (cid:3),
d1 =
V0 = X0N (d1) − Se−rT N (d2), X0 S
σ2 2
σ
T
√
T .
d2 = d1 − σ
(cid:2)ln
Sau đây ta sẽ đi xây dựng công thức trên.
V0 = e−rT E[(XT − S)+].
Thật vậy, ta có V0 được tính theo công thức
trong đó XT là giá chứng khoán tại thời điểm đáo hạn T và S là giá thực thi hợp đồng tại thời điểm T. Nếu XT ≥ S thì lợi nhuận là XT − S ≥ 0 nhà đầu tư sẽ mua quyền chọn với giá thực thi S. Nếu XT < S thì nhà đầu tư không cần thực thi hợp đồng vì không bắt buộc phải mua. Lợi nhuận
(XT − S)+ =
0
sẽ là :
(cid:26)XT − S nếu XT − S ≥ 0, nếu XT − S < 0 ,
19
Ta tính giá trị trung bình của nó bởi kì vọng toán E[(XT − S)+] giá cả trên thị trường thường thay đổi theo một hệ số là hàm mũ eγt của thời
gian, nhà đầu tư xem rằng giá Quyền Chọn Mua có thể bị chiết khấu với
tốc độ r nên giá trị thực sự của Quyền Chọn Mua thời điểm hiện tại t =
V0 = e−rT E[(XT − S)+].
0 là :
Giả sử giá chứng khoán Xt tuân theo mô hình Black-Scholes, do đó giá
)T
XT = X0exp
σBT + (r −
σ2 2
√
(cid:26) trị XT là giá trị của một chuyển động Brown hình học (cid:27) .
Vì BT là một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng 0 và phương sai T nên ta có T Z trong đó Z là biến ngẫu nhiên chuẩn N (0, 1) khi đó
thể đặt BT = XT sẽ viết thành
)T
XT = X0exp
σBT + (r −
σ2 2
(cid:26) (cid:27) .
√
T Z + (r −
)T ) − S(cid:3)+.
V0 = e−rT E(cid:2)X0exp(cid:0)σ
σ2 2
Suy ra
√
T x+((r− σ2
2 )T − S(cid:3)+
e− x2
2 dx.
V0 =
e−rT √ 2π
−∞
Do đó (cid:90) ∞ (cid:2)X0eσ
√
T x+(r− σ2
2 )T − S = 0.
X0expσ
Ta xác định x để
) − (r − σ2
2 )T
ln( S X0
√
x = a =
.
σ
T
Ta rút ra
√
T x+((r− σ2
2 )T − S)(cid:3)+
e− x2
2 dx.
V0 =
e−rT √ 2π
a
Do đó (cid:90) ∞ (cid:2)X0eσ
√
T )) − Se−rT Φ(−a).
V0 = X0Φ(−(a − σ
20
Từ đó ta có
√
T thì
√
1 √
Đặt d2 = −a và d1 = −a + σ
) + (r +
T .
d1 =
)T (cid:3) và d2 = d1 − σ
X0 S
σ2 2
σ
T
(cid:2)ln(
V0 = X0Φ(d1) − e−rT Φ(d2).
Ta có
Đây là công thức Black-Scholes để định giá V0 Quyền Chọn Mua kiểu châu Âu tại thời điểm 0 trên cơ sở giá cổ phiếu Xt tuân theo mô hình Black-Scholes.
Nếu thời điểm đáo hạn là T, còn thời điểm ban đầu là t thì giá chứng
khoán ban đầu sẽ là Xt còn khoảng thời gian từ lúc đầu đến lúc đáo hạn sẽ là T − t khi đó công thức Black-Scholes sẽ là
) + (r +
(T − t).
)(T − t)(cid:3)và d2 = d1 − σ
d1 =
Vt = XtΦ(d1) − Se−r(T −t)Φ(d2). σ2 2
Xt S
1 σ(cid:112)(T − t)
(cid:113) (cid:2)ln(
Giá của một Quyền Chọn Mua châu Âu có liên hệ với giá của một
Quyền Chọn Bán châu Âu. Giả sử ta mua một cổ phiếu với giá Xt và bán một Quyền Chọn Mua với giá Ct (thời hạn và giá thực thi là tùy ý) Quyền Chọn Mua. Lo rằng giá cổ phiếu có thể bị sụt giảm ta mua một Quyền
Chọn Bán với giá Pt với cùng một thời hạn và giá thực thi như Quyền Chọn Mua. Như vậy giá của vị thế ngày hôm nay là: Xt + Pt − Ct.
Gọi giá thực thi chung của Quyền Bán và Quyền Mua là S. Khi đó giá
của vị thế vào ngày đáo hạn sẽ như thế nào?
Nếu Xt ≥ S thì giá đó bằng S. Ta đem giao cổ phiếu cho người mua
còn Quyền Bán không có giá trị.
Nếu Xt < S thì giá đó cũng vẫn bằng S. Ta đem giao cố phiếu cho
người bán Quyền Bán còn quyền mua thì không có giá trị.
Vậy dù xảy ra tình huống nào thì giá của vị thế của ta là như nhau và
(Xt + Pt − Ct)erτ = S
21
bằng S. Vì ta ở vào một vị thế tất định, nên suy ra:
trong đó r là lãi xuất không rủi ro ; τ = T − t. Nếu chọn t = 0 thì τ = T
Ct − Pt = Xt − e−rτ S
do đó
gọi là hệ thức cặp đôi Mua-Bán. Ta có Pt = Ct − Xt + e−rτ S
Pt = XtΦ(d1) − e−rτ SΦ(d2) − Xt + e−rτ S.
Tính C bằng công thức Black-Scholes ta được
Pt = −XtΦ(−d1) + e−rτ SΦ(−d2).
Vì Φ(d1) + Φ(−d1) = 1 và Φ(d2) + Φ(−d2) = 1 nên ta có
Là công thức Black-Scholes với Quyền Chọn Bán.
Sau đây ta sẽ minh họa việc bảo hộ tài sản phái sinh bởi một chiến lược
đầu tư vào cổ phiếu:
Giá cổ phiếu của công ty cổ phần nhựa và môi trường xanh An Phát có mã
là AAA trong sàn giao dịch HOSE từ ngày 15/7/2010 đến ngày 24/9/2010
45.1 46.1 47
46 49
50
80
89
85
91
45 48.7 46.5 46.3 45.2 45.1 45.1 50.5 48.8 49.2 49 45.1 44.4 48 44.5 46.7 47.2 44.5 47.7 50.3 53.3 56.8 55.8 42 90.3 83.2 58.5 62.4 70.8 75.6 91.8 91.4 90.4 84.4 78.7 73.2 68.1 63.4 91.7
91
như sau:
Ta cần bảo hộ cho 1000 quyền mua cổ phiếu của công ty này với giá thực
thi là 48.7 vào ngày đáo hạn là 24/9/2010. Giả sử giá cổ phiếu của AAA
là thỏa mãn thị trường đầy đủ, tuân theo mô hình Black-Scholes đơn giản.
Ta ước lượng các tham số của phương trình Black-Scholes theo công thức
i=1(ln(xi+1) − lnxi), Ui = ln(xi+1) − lnxi. (cid:80)n
i=1(Ui − ˆU )2.
.
(cid:80)n
: Trung bình mẫu ˆU = 1 n Phương sai mẫu S2 = 1 n−1 Ta có σ = S√ ∆t
22
Ta giả sử σ không đổi là một hằng số. Số liệu được xử lí trong bảng sau:
Chương 3
Định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ
3.1 Bài toán bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực
tiểu bình phương trung bình
Trong chương 2 ta đã chỉ ra trong thị trường đầy đủ thì mọi tài sản
phái sinh đều được đáp ứng bởi một chiến lược đầu tư duy nhất. Tuy nhiên
trong thị trường không đầy đủ thì nói chung các quyền phái sinh không
được đáp ứng một cách chính xác mà chỉ được xấp xỉ bởi việc dùng chiến
lược đầu tư đáp ứng theo nghĩa bình phương trung bình nhỏ nhất. Trong
chương này sẽ đi nghiên cứu về chiến lược đầu tư đó.
Trước hết chúng ta làm rõ hơn về nghĩa của bảo hộ bình phương trung
bình. Cho X là quá trình ngẫu nhiên liên tục mô tả giá chiết khấu của một
23
cổ phiếu trong thị trường tài chính với điều kiện không có độ chênh thị giá. X phải là nửa martingale, giả sử nó có dạng X = X0 + M + (cid:82) d(cid:104)M (cid:105)ˆλ với quá trình khả đoán ˆλ và chúng ta gọi ˆK := (cid:82) ˆλtrd(cid:104)M (cid:105)ˆλ là quá trình cân bằng bình phương trung bình của X. Nếu martingale địa phương ˆZ := E(− (cid:82) ˆλdM ) là dương thực sự (điều này là hiển nhiên với X liên tục) và là một martingale chính qui thì đặt d ˆP dP := ˆZT xác định một độ đo xác suất ˆP tương đương với P được gọi là độ đo martingale nhỏ nhất của X. Độ đo này sẽ đóng một vai trò rất quan trọng trong phần chứng minh. Quyền phái sinh là một biến ngẫu nhiên H bình phương khả tích FT đo
được. Nó mô phỏng giá phải trả của một sản phẩm phái sinh mà ta quan
tâm. Một chiến lược ϑ là quá trình khả đoán sao cho tích phân ngẫu nhiên Gt(ϑ) := (cid:82) t 0 ϑdX xác định tốt và là một nửa martingale khả tích. Thực vậy, Gt(ϑ) mô tả tiền lãi giao dịch được tạo ra bởi chiến lược đầu tư tự tài trợ tương ứng ϑ và H − c − GT (ϑ) là tổng tài sản thâm hụt của người bảo hộ bắt đầu với vốn ban đầu là c. Sử dụng chiến lược ϑ và tài
khoản ngẫu nhiên phải trả là H vào ngày đáo hạn T . Việc bảo hộ bình
phương trung bình nghĩa là tìm lời giải của bài toán tối ưu sau:
(3.1) min E[(H − c − GT (ϑ))2] trên tất cả các chiến lược ϑ
nghiệm của bài toán sẽ được kí hiệu là ξ(c) nếu nó tồn tại.
Trong phần sau chúng ta sẽ chỉ rõ những điều kiện của X, định nghĩa
không gian Θ chiến lược giao dịch và tìm hiểu kĩ về bài toán bảo hộ giá
trị bình phương trung bình. Từ mục 3.3 ta giả sử quá trình cân bằng bình phương trung bình ˆK bị chặn và liên tục.Ta cũng chứng minh rằng không gian GT (Θ) là đóng trong L2(P ) và mỗi H ∈ L2(P ) nhận một phân tích F¨ollmer- Schweizer là
H = H0 +
s dXs + LH ξH T .
0
(cid:90) T
với H0 ∈ R; ξH ∈ Θ và martingale bình phương khả tích LH trực giao mạnh với M những kết quả này thực sự rất nổi tiếng, nhưng đòi hỏi thêm bởi tính liên tục của ˆK. Tính đóng của GT (Θ) dĩ nhiên bảo đảm rằng bài toán (3.1) quả thực có nghiệm với mọi H; c. Hơn thế nữa tính bị chặn của ˆK dẫn tới ˆZT ∈ L2(P ) và do đó có phân tích F¨ollmer- Schweizer là :
ˆZT = E[ ˆZ 2
ˆζsdXs + ˆLT .
T ] − E[ ˆZT ˆLT ] +
0
(cid:90) T
(3.1) được cho bởi dạng công thức liên hệ ngược
24
Trong mục 3.4 chúng ta chỉ ra rằng với H ∈ L2+ε(P ), nghiệm ξ(c) của
(H0 +
ξ(c) t = ξH
s dXs + LH ξH
t − c −
ξ(c) s dXs)
t −
0
0
ˆζt ˆE[ ˆZT /Ft]
(cid:90) t (cid:90) t
với X liên tục, ˆK bị chặn và
ˆLT = 0 trong phân tích F¨ollmer- Schweizer của ˆZT .
(3.2)
Sau đây ta sẽ tìm hiểu kĩ về hai định nghĩa quan trọng.
3.2 Quá trình cân bằng bình phương trung bình và
không gian các chiến lược đầu tư
Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất với bộ lọc F = (Ft)0≤t≤T thỏa mãn điều kiện đủ và liên tục phải, ở đó T ∈ [0, ∞) cố định. Tất cả quá
trình xem xét được biểu thị bởi t ∈ [0; T ].
Cho X là nửa martingale liên tục phải và có giới hạn trái (RCLL) nhận
giá trị trong Rd, X ∈ S 2 loc (không gian các nửa martingale địa phương bình phương khả tích) tức là X là một nửa martingale với phân tích chính tắc X = X0 + M + A; M ∈ M2 0;loc với A khả đoán và |A| bình phương khả tích địa phương. Chúng ta cũng giả sử rằng Ai (cid:28) (cid:104)M i(cid:105) với i = 1, ..., d. và
t
ta cố định quá trình Bt khả đoán tăng RCLL triệt tiêu tại 0 sao cho
σij s dBs , 0 ≤ t ≤ T,
t =
0
t
(cid:90) (cid:10)M i, M j(cid:11)
i =
, 0 ≤ t ≤ T i; j = 1, ..., d.
γs
idBs
At
0
(cid:90)
ˆλ khả đoán nhận giá trị trong Rd giá trị sao cho σt t ∈ [0; T ] và
Với giả sử rằng X thỏa mãn điều kiện cấu trúc tức là có một quá trình ˆλt = γt (P − h.c.c) với
ˆKt :=
ˆλsdBs =
ˆλtr s γsdBs =
ˆλtr s σs
s d(cid:104)M (cid:105)ˆλs < ∞ ˆλtr
0
0
0
25
(cid:90) t (cid:90) t (cid:90) t
P − h.c.c với t ∈ [0; T ], giữ nguyên tính liên tục của ˆK và gọi nó là quá trình cân bằng bình phương trung bình ( MVT) của X.
3.2.1 Định nghĩa 3.2.1
, 0 ≤ t ≤ T,
| Ys |
Y ∗ t
:= sup s∈[0;t]
Cho quá trình liên tục phải giới hạn trái Y , kí hiệu Y ∗ là quá trình
(cid:107)Y (cid:107)R2(P ) := (cid:107)Y ∗
T (cid:107)L2(P ) < ∞.
3.2.2 Định nghĩa 3.2.2
kí hiệu R2(P ) không gian quá trình Y thích nghi RCLL sao cho
Cho p (cid:62) 1, Lp(M ) không gian tất cả quá trình khả đoán nhận giá trị
1
1 2
trong Rd sao cho
T (cid:90)
< ∞.
ϑdM
)
=
ϑtr s σsϑsdBs
(cid:107)ϑ(cid:107)Lp(M ) :=
T
(cid:29) (cid:1)
0
2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)Lp(P ) Lp(A) không gian các quá trình khả đoán ϑ nhận giá trị trong Rd sao cho
(cid:13) (cid:28)(cid:90) (cid:13) (cid:13) ( (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)Lp(P ) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:0) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
=
ϑtrdA
< ∞.
(cid:107)ϑ(cid:107)Lp(A) :=
(cid:90)
0
T
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:13) (cid:12) (cid:13) (cid:12) (cid:13) (cid:12) (cid:13) (cid:13) (cid:90) T (cid:13) ( (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) ϑtr s γsdBs) (cid:13) (cid:13)Lp(P ) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)Lp(P )
Θ := L2(M ) ∩ L2(A)
Đặt
26
là không gian tất cả quá trình X-khả tích ϑ nhận giá trị trong Rd sao cho tích phân ngẫu nhiên Gt(ϑ) := (cid:82) t 0 ϑsdXs thuộc không gian S 2 các nửa martingale. Nếu K bị chặn thì theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
1 2
ˆKT
do đó Θ = L2(M ) cho hằng số c ∈ R và biến (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:107)ϑ(cid:107)L2(A) ≤ (cid:107)ϑ(cid:107)L2(M ) . (cid:12) ngẫu nhiên H ∈ L2(FT , P )). Xét bài toán tối ưu sau: Tìm giá trị nhỏ nhất của E[(H − c − GT (ϑ)]2 với mọi ϑ ∈ Θ. Kí hiệu nghiệm của bài toán là ξ(c) nếu nó tồn tại.
Bài toán này được nảy sinh một cách rất tự nhiên trong toán tài chính
khi nghiên cứu về chiến lược bảo hộ tối ưu giá trị bình phương trung bình.
Xem Xt như giá chiết khấu tại thời điểm t của một tài sản rủi ro và ϑt như diễn biến chiến lược đầu tư với ý nghĩa ϑi t mô tả số cổ phần của tái
sản i được giữ ở thời điểm t.
Giả sử về sự tồn tại của tài sản an toàn (tài khoản ngân hàng hoặc trái
phiếu lãi xuất 0) với giá chiết khấu là 1 tại mọi thời điểm. Với mỗi ϑ ∈ Θ
xác định duy nhất chiến lược giao dịch tự tài trợ với đòi hỏi rằng quá trình giá trị được cho bởi c + (cid:82) t 0 ϑdX với c ∈ R vốn được cho ban đầu tại thời điểm 0. Biến ngẫu nhiên H như một tài sản phái sinh tức là khi bản giao
ước được đưa ra tại thời điểm T tài khoản phải thanh toán ngẫu nhiên là
T (cid:90)
H − c −
ϑsdXs
0
H. Kết quả thua lỗ thực tế sử dụng cặp (c; ϑ) được xác định bởi
và chiến lược tối ưu bình phương trung bình đưa ra sự xấp xỉ tốt nhất của
H với nghĩa bình phương trung bình bởi tài sản cuối cùng có thể thu được
bởi chiến lược tự tài trợ. Điều kiện cấu trúc là một hệ quả của giả sử yếu
không có độ chênh thị giá và bởi vậy rất tự nhiên cho bài toán được xem xét dưới đây. Quá trình cân bằng bình phương trung bình ˆK như rủi ro của giá thị trường bình phương khả tích liên quan tới X. Chẳng hạn mô
ϑ )2t.
27
hình Black-Scholes về chuyển động Brown hình học với độ lệch b, độ dao động ϑ và tỉ lệ lãi xuất an toàn là r thì chẳng hạn cho ˆKt = ( b−r
3.3 Tính đóng của GT (Θ) và phân tích F¨ollmer-Schweizer
Bài toán tối ưu (3.1) lập tức nảy sinh câu hỏi liệu khi nào có nghiệm?
Tức là không gian GT (Θ) các tích phân ngẫu nhiên của X khi nào là đóng trong L2(P )? Câu trả lời chắc chắn rằng nếu quá trình MVT ˆK bị chặn là điều kiện cần và đủ. Trong phần này luận văn đưa ra một chứng minh khác về tính đóng của GT (Θ) với giả sử thêm rằng ˆK bị chặn và liên tục. Qua đó cũng thu được chứng minh đơn giản về sự tồn tại của phân tích
F¨ollmer-Schweizer và một số kết quả sáng sủa về tính khả tích của nó. Ta
xét một mệnh đề rất quan trọng cho việc áp dụng nó để chứng minh một
3.3.1 Mệnh đề 3.3.1
số định lí và hệ quả sau này:
Cho ϑ; ψ ∈ Θ; V0 ∈ L2(F0, P ) và L ∈ M2(P ) trực giao mạnh với M
t
t
và định nghĩa quá trình V bởi
ψtr
Vt := V0 +
ϑtr s dAs +
s dMs + Lt; 0 ≤ t ≤ T.
0
0
(cid:90) (cid:90)
Cho C là quá trình tăng không âm khả đoán RCLL. Nếu C là bị chặn khi
T (cid:90)
T (cid:90)
T (cid:90) (cid:3) ≥ E[
E (cid:2)CT V 2
Csψtr
T
s−dCs − µ2 V 2
s−Csd ˆKs + V 2
s σsψsdBs
0
0
0
T (cid:90)
−
Csϑtr
s σsϑsdBs]
1 µ2
0
đó
với µ khác 0.
28
Chứng minh. Từ C là tăng, khả đoán theo công thức Ito và định nghĩa
T (cid:90)
T (cid:90)
CT V 2
T − C0V 2
0 =
V 2 s−dCs +
Csd(V 2 s )
0
0
T (cid:90)
T (cid:90)
T (cid:90)
=
CsVs−dVs +
Csd[Vs]
V 2 s−dCs + 2
0
0
0
T (cid:90)
T (cid:90)
T (cid:90)
của V chúng ta thu được
=
CsVs−ϑtr
Csd[
V 2 s−dCs + 2
s dAs+
ϑtrdA]s
0
0
0
T (cid:90)
(cid:90)
T (cid:90)
T (cid:90)
+
+
Csd[
Csd[
Csd[L]s + 2
ψdM, L]s
ψdM ] s
0
0
0
(cid:90) (cid:90)
T (cid:90)
T (cid:90)
+2
ϑtrdA,
CsVs−ψsdMs + 2
CsVs−dLs + 2
Csd[
ψdM + L]s
0
0
0
9 (cid:88)
=:
term(i).
i=1
(cid:90) (cid:90) (cid:90) T
1 2
1 2
Xét đẳng thức trên với các hạng tử dưới kì vọng ta có L ∈ M2(P ) và V ∈ R2(P ), quá trình (cid:82) V−dL là martingale địa phương có supremum trong L1(P ) theo bất đẳng thức Burkholder-Davis-Gundy ta có
V−dL]
T ≤ V ∗
T ∈ L1(P ).
T .[L] Vì C là khả đoán bị chặn, (cid:82) CV−dL là martingale do đó hạng tử thứ (8) khả tích với kì vọng 0. Hạng tử thứ (7) lấy kì vọng cũng triệt tiêu từ (cid:82) ψdM ∈ M2 0(P ) với ψ ∈ Θ hạng tử (6) triệt tiêu vì tính trực giao mạnh của (cid:82) ψdM và L trong M2 0(P ) hạng tử (9) cũng triệt tiêu. Ta lại có [F, N ] là martingale khi N ∈ M2(P ) và F là khả đoán có biến
(cid:90) [
29
phân bậc 2 khả tích. Vì ψ ∈ Θ và C khả đoán bị chặn hạng tử (4) khả
tích và có cùng kì vọng là
T (cid:90)
T (cid:90)
ψdM
=
Csd
Csψtr
s σsψsdBs.
s
0
0
(cid:29) (cid:28)(cid:90)
T (cid:90)
T (cid:90)
2
CsVs−ϑtr
CsVs−ϑtr
ˆλsdBs
s dAs = 2
s σs
0
0
T (cid:90)
T (cid:90)
1
1
2 (
2 ,
≥ −2(
CsV 2
Csϑtr
s−d ˆKs)
s σsϑsdBs)
0
0
Hạng tử (3) và (5) thì không âm và hạng tử (2) có thể đánh giá như sau:
√
−2
ab ≥ −
1 µ2 a − µ2b.
(theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Sử dụng bất đẳng thức cơ bản
T (cid:90)
T (cid:90)
T (cid:90)
ta thu được
Csψtr
T
s−dCs − µ2 V 2
s−Csd ˆKs + V 2
s σsψsdBs
0
0
0
T (cid:90)
−
Csϑtr
s σsϑsdBs + NT ,
1 µ2
0
(cid:3) ≥ (cid:2)CT V 2
với N là martingale triệt tiêu tại 0. Nhưng V ∈ R2(P ); ϑ, ψ ∈ Θ và tính
bị chặn của C dẫn tới kì vọng vế phải xác định tốt trong [−∞, +∞) do
3.3.2 Bổ đề 3.3.2
đó lấy kì vọng 2 vế ta có điều phải chứng minh.
Cho F là quá trình tăng khả đoán RCLL triệt tiêu tại 0 với bước nhảy
b ) quá trình
:=
= eβFt (cid:89)
C β t
1 E(−βF )t
e−β∆Fs 1 − β∆Fs
0 30 bị chặn bởi hằng số b. Với mỗi β ∈ (0, 1 là nghiệm RCLL khả đoán tăng duy nhất của phương trình Ct = 1 + βCsdFs với 0 ≤ t ≤ T. 0 (cid:90) t Nếu F bị chặn thì C β cũng bị chặn. Chứng minh. Quá trình βF là nửa martingale đặc biệt và những bước t nhảy của quá trình khả đoán trong phân tích chính tắc của nó lớn hơn 1.
C β là nghiệm duy nhất của phương trình pCsβdFs; 0 ≤ t ≤ T, Ct = 1 + 0 (cid:90) là
s ∆Fs ≤ b ta có đánh = eβFt (cid:89) ≤ eβFt (cid:89) e−β∆Fs, C β t = 1
(1 − βb) e−β∆Fs
1 − β∆Fs 1
E(−βF )t 0 0 với pC là hình chiếu F -khả đoán của C. Từ C β là khả đoán ta có C β
t
nghiệm của phương trình trên. Hơn thế nữa với (cid:80)
giá sau. do đó C β bị chặn. Nhận xét : Nếu quá trình F là liên tục thì dễ dàng ta có C β = eβF với 3.3.3 Mệnh đề 3.3.3 mỗi β > 0 từ đó ta có kết quả sau. Cho ϑ, ψ ∈ Θ; V0 ∈ L2(F0, P ) và L ∈ M2(P ) trực giao mạnh với M t t và định nghĩa quá trình V như sau Vt := V0 + ψsdMs + Lt, 0 ≤ t ≤ T. ϑtr
s dAs + 0 0 31 (cid:90) (cid:90) T
(cid:90) E[eβ ˆKT V2 eβ ˆKsV 2 T ] ≥ (β−µ2)E[ s−d ˆKs] 0 T
(cid:90) + E[ eβ ˆKψtr eβ ˆKsϑtr s σsψsdBs]− s σsϑsdBs], T
(cid:90)
1
µ2 E[ 0 0 Nếu quá trình ˆK là liên tục bị chặn thì với mọi β > 0 và µ (cid:54)= 0. Chứng minh. Áp dụng mệnh đề 1 với C = eβ ˆK ta có điều phải chứng
minh. Từ định lí này ta rút ra một hệ quả rất quan trọng có liên quan tới sự 3.3.4 Hệ quả 3.3.4 tồn tại nghiệm của bài toán bảo hộ tối ưu Nếu quá trình ˆK là liên tục bị chặn thì không gian ϑ ∈ Θ GT (Θ) = ϑsdXs (cid:27) (cid:26) T
(cid:90) 0 (cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12) T
(cid:90) ϑsdXs (cid:107)ϑ(cid:107)L2(M ) và |ϑ|2 := là đóng trong L2(P ) và biểu diễn 0 (cid:13)
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13) (cid:13)
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13)L2(P ) 32 xác định hai chuẩn tương đương trên Θ. |ϑ|2 = 0 ϑsdMs||L2(P ) ≤ || (cid:82) T 0 ϑsdAs + (cid:82) T
|| (cid:82) T
ˆλsdBs||L2(P ) + ||((cid:104)(cid:82) ϑsdMs(cid:105)T ) 1 2 ||L2(P ) 0 ϑsσs 1
2 ≤ (1 + ) (cid:107)ϑ(cid:107)L2(M ) . Chứng minh. : Từ ˆK bị chặn ta có ngay Θ = L2(M ) và theo bất đẳng
thức Cauchy-Schwarz ta có ∞ (cid:13)
ˆKT
(cid:13)
(cid:13) (cid:13)
(cid:13)
(cid:13) Áp dụng mệnh đề 3.3.3 với ψ = ϑ, V0 = 0, L ≡ 0 và β > µ2 > 1 dẫn tới s σsϑsdBs µ2 1
µ2 (cid:105) (cid:104) (cid:82) T (cid:0)1 − (cid:1)||ϑ||2 (cid:1)E 0 eβ ˆKsϑtr
(cid:16) (cid:82) T L2(M ) ≤ (cid:0)1 − 1
(cid:104)
eβ ˆKT ≤ E 0 ϑsdXs ≤ eβ|| ˆKT ||∞|ϑ|2
2. s dXs cũng hội tụ tới (cid:82) T (cid:17)2(cid:105) Suy ra hai chuẩn tương đương. Mà cứ mỗi dãy ϑn hội tụ tới ϑ trong Θ
thì kéo theo dãy (cid:82) T
0 ϑn
0 ϑsdXs trong GT (Θ) dẫn tới
tính đóng của GT (Θ). 3.3.5 Hệ quả 3.3.5 Tiếp theo ta sẽ tìm hiểu thêm một hệ quả thú vị của mệnh đề 3.3.3: Nếu quá trình MVT ˆK là liên tục và bị chặn thì với H ∈ L2(FT , P ) có T
(cid:90) H = H0 + s dXs + LH
ξH T P − a.s 0 0 ] = phân tích F¨ollmer-Schweizer là với Ho ∈ R, ξH ∈ Θ và LH ∈ M2 (P ) trực giao mạnh với M và E[LH
0 . 33 Chứng minh. Từ ˆK bị chặn ta có Θ = L2 (M ). Xét ánh xạ J : Θ → Θ
trong đó ánh xạ biến ϑ thành hàm dưới dấu tích phân ψ của M trong phân T
(cid:82) ϑtr
s dAs tức là 0 T
(cid:90) tích Galtchouk-Kunita-Wantanabe của H − H − ψsdMs + LT (ϑ) ϑtr
s dAs = E[H − ϑtr
s dAs] + 0 0 0 (cid:90) T (cid:90) T := H0(ϑ) + ψsdMs + LT (ϑ). 0 (cid:90) T Việc tìm phân tích F¨ollmer-Schweizer tương đương với việc tìm điểm bất động của J . Cho β > 0 đặt 1 eβ ˆKsϑtr ||ϑ||β := ||( 2 ||L2(P ) s σsϑsdBs) 0 (cid:90) T xác định một chuẩn trên Θ tương đương với ||.||L2(M )(theo bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz). Bây giờ ta sẽ áp dụng mệnh đề 3 với β > µ2 > 1, ϑ =
ϑ1 − ϑ2, ψ = J (ϑ1 ) − J (ϑ2 ), V0 = H0 (ϑ1 ) − H0 (ϑ2 ), L = L(ϑ1 ) − L(ϑ2 )
dẫn tới VT = 0 do đó ta có : ||J (ϑ1 ) − J (ϑ2 )||2 eβ ˆKsψtr β = E(cid:2)( s σsψsdBs 0 (cid:90) T (cid:3) 1 ≤ eβ ˆKsψtr s σsψsdBs 0 = µ2 E(cid:2)(
1
µ2 ||ϑ1 − ϑ2||2
β. (cid:90) T (cid:3) Do đó J là ánh xạ co trên (Θ, ||.||β).
Suy ra J có điểm bất động hay H có phân tích F¨ollmer- Schweizer. 3.3.6 Bổ đề 3.3.6 Vận dụng cách chứng minh của hệ quả 3.3.5 ta có bổ đề sau: 34 Giả sử X là liên tục. Khi đó nếu ˆK bị chặn thì với H ∈ Lp(FT , P ) (với
p ≥ 2 ) có phân tích F¨ollmer-Schweizer với ξH ∈ Lp(M ) và LH ∈ Mp(P ). Chứng minh. Từ ˆK bị chặn và liên tục theo chứng minh của hệ quả 3.3.5
J n(ϑ) với ϑ ∈
ta có J là ánh xạ co trên (Θ, ||.||β) do đó ξH = lim
n→∞
Θ = L2 (M ). Để chứng minh ξH ∈ Lp(M ) ta chỉ ra J là ánh xạ Lp(M )
vào chính nó điều này được suy ra từ ˆK bị chặn và Lp(M ) ⊆ Lp(A) theo
bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Cố định ϑ ∈ Lp(M ) và xét phân tích Galtchouk-Kunita-Wantanabe sau H − ψsdMs + LT (ϑ). ϑtr
s dAs = H0 (ϑ) + 0 0 (cid:90) T (cid:90) T 0,loc suy ra Từ H ∈ Lp(M ) và ϑ ∈ Lp(A) ta lấy kì vọng có điều kiện 2 vế với M ∈
M2 H0 (ϑ) + L0 (ϑ) = E [H − s dAs|F0 ] ∈ Lp(F0 , P ).
ϑtr 0 (cid:90) T ψdM, L(ϑ)] = (cid:104) ψdM , L(ϑ)(cid:105) = 0 . Hơn thế nữa do X liên tục và tính trực giao mạnh của L và M nên suy ra
(cid:90) (cid:90)
[ Cũng từ bất đẳng thức Burkholder-Davis-Gundy và bất đẳng thức Doob 2 ta thu được 1
2 1
2 = ||[(cid:82) ψdM ] ψtr s σsψsdBs 1
+ [L(ϑ)]
2
T T + [L(ϑ)] T ||Lp(P ) (cid:19) 1 (cid:18) (cid:90) T 0 √ ≤ (cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)Lp(P ) (cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)
2
(cid:12)
(cid:12) H − (cid:82) T ≤ s dAs 0 ϑtr (cid:12)
(cid:12)
≤ const.
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)
(cid:12) < ∞. (cid:12)
(cid:12)
const.
(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)
1
(cid:12)
(cid:12)
[(cid:82) ψdM + L(ϑ)]
2
(cid:12)
(cid:12)
T
(cid:12)
(cid:12)Lp(P )
≤ const.||((cid:82) ψdM + L(ϑ))∗
T ||Lp(P )
(cid:12)
(cid:12)
(cid:82) T
(cid:12)
(cid:12)
0 ψsdMs + LT (ϑ)
(cid:12)Lp(P )
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)Lp(P )
(cid:12)
(cid:12) Do đó ψ ∈ Lp(M ) và L(ϑ) ∈ Mp(P ) ta có điều phải chứng minh. Sau đây ta sẽ đi mô tả chiến lược bảo hộ tối ưu trong thị trường không 35 đầy đủ. Trong thực tế sự tồn tại dạng hiển của một chiến lược tối ưu bình phương trung bình thường không được như ý. Bởi vậy trong mục này luận
văn đưa ra một mô tả của ξ(c) dưới dạng công thức liên hệ ngược nếu X liên tục và thỏa mãn điều kiện giả sử đặc biệt. Trong trường hợp mô hình khuyếch tán với bộ lọc Brown chúng tôi đã đưa ra cách chứng minh cho trường hợp tổng quát ở đó X là nửa martingale liên tục với quá trình cân bằng bình phương trung bình bị chặn. := ˆZT d ˆP
dP Cho X là nửa martingale liên tục thỏa mãn điều kiện cấu trúc (SC) và
kí hiệu bởi ˆZ := E(− (cid:82) ˆλdM ) là hàm mật độ martingale nhỏ nhất. Nếu
E [ˆZT ] = 1 thì khi đó theo định lí Girsanov ta có xác định một độ đo martingale địa phương tương đương ˆP của X tức là xác
suất ˆP ≈ P với X là martingale địa phương theo ˆP . ˆP là độ đo martingale
địa phương nhỏ nhất của X. Nếu ˆKT bị chặn thì ta có ∈ Lr(P ) d ˆP
dP (3.3) với mỗi r < ∞ và ∈ Lr( ˆP ) với mỗi r < ∞. dP
d ˆP (3.4) T
(cid:90) Theo bổ đề 3.3.6 và (3.3) ta có phân tích F¨ollmer-Schweizer như sau: = E[ ˆZ 2 ˆζsdXs + ˆLT T ] − E[ ˆZT ˆLT ] + d ˆP
dP 0 (3.5) với ˆL ∈ Mr(P ) với mỗi r < ∞ và ˆζ ∈ Lr(M ) với mỗi r < ∞.
Sau đây ta sẽ trình bày một định lý rất quan trọng có nhiều ứng dụng, trong đó chiến lược bảo hộ tối ưu được mô tả dưới dạng công thức liên hệ 36 ngược. 3.4.1 Định lí 3.3.7 Giả sử X là liên tục và ˆK là bị chặn. Giả sử rằng X thỏa mãn điều kiện
ˆLT = 0 trong phân tích (3.5). Khi đó với mỗi H ∈ L2+ε(FT , P ) đặc biệt :
với ε > 0, nghiệm ξ(c) của (3.1) được cho bởi , ξ(c)
t = ξH t − ξ(c)
s dXs 0 ˆζ
ˆZ 0
t (cid:90) t (cid:17) (3.6) (cid:16) ˆVt− − c − trong đó ˆζsdXs, 0 ≤ t ≤ T t := ˆE[ ˆZT |Ft] = E[ ˆZ 2
ˆZ 0 T ] + 0 (cid:90) t ˆVt := ˆE[H|Ft] = H0 + s dXs + LH
ξH t , 0 ≤ t ≤ T. 0 và (cid:90) t Trước khi chứng minh định lí ta xét bổ đề sau: Bổ đề 3.3.8 : Cho quá trình N được xác định bởi + Nt := dLH
s . 0 1
ˆZ 0
s H0 − c + LH
0
E[ ˆZ 2
T ] (cid:90) t Khi đó N ∈ M2+η(P ) với η < ε ˆξ ∈ L2(M ). (3.7) và N là ˆP -martingale ˆP -trực giao mạnh với X và N− Chứng minh. Theo định nghĩa quá trình ˆZ 0 là dương thực sự bởi vậy N
xác định tốt. Hơn thế nữa theo bất đẳng thức Jensen ta có . ≤ ˆE = |Ft 1
ˆE[ ˆZT |Ft] (cid:21) 1
ˆZ 0
t (cid:20) 1
ˆZT ∈ Lr(P ) với mỗi r < ∞, sup
0≤t≤T 1
ˆZ 0
t 37 Do đó theo (3.4) và bất đẳng thức Doob và (3.3). Từ LH ∈ M2+ε(P ) theo bổ đề 3.3.6 ta thu được ∈ L1+δ(P ) [N ]T = d[LH]s ≤ [LH]T sup
0≤t≤T 0 1
( ˆZ 0
t )2 1
( ˆZ 0
s )2 (cid:90) T 2 theo bất đẳng thức Burkholder-Davis-Gundy ta có E|N |2+2δ T ≤ const.E|[N ]T |1+δ. với mỗi δ < ε Suy ra (3.7 ).
Từ LH là P -trực giao mạnh với M, với N và (3.7) và tính nhỏ nhất của ˆP
dẫn tới N là ˆP trực giao mạnh ˆP -martingale với X, theo định lí (3.5) của
[10]. Sử dụng ˆζ ∈ Lr(M ) với mỗi r < ∞ cuối cùng ta thu được ∈ L1+δ(P ) Ns− ˆζsNs−dBs ≤ ˆζsdBs |Ns|2 ˆζ tr
s σs ˆζ tr
s σs sup
0≤s≤T 0 0 ˆζ thuộc L2(M ). (cid:18) (cid:19) (cid:90) T (cid:90) T 2 từ đó suy ra N− với mỗi δ < ε Sau đây ta sẽ đi chứng minh định lí 3.3.7: Chứng minh. Theo định lí hình chiếu, chiến lược tối ưu ξ(c) được đặc trưng bởi tính chất rằng = 0 E = ˆE GT (ϑ) H − c − GT (ξ(c))
ˆZT (cid:35) (cid:34) (cid:104)(cid:16) (cid:17)
H − c − GT (ξ(c)) (cid:105)
GT (ϑ) với mỗi ϑ ∈ Θ.
Từ ˆP là độ đo martingale của X và ˆE[NT GT (ϑ)] = 0 với mỗi ϑ ∈ Θ bị
ˆP trực giao mạnh với X. Điều này gợi cho ta việc
chặn. Với N ∈ M2( ˆP )
tìm N với tính chất đặc biệt H − c − GT (ξ(c)) = NT ˆZT = NT ˆZ 0
T . 38 (3.8) ˆLT = 0 suy ra Bây giờ ta áp dụng quy tắc tích và sử dụng phân tích F¨ollmer- Schweizer
của H và ˆZT cùng với giả sử đặc biệt
H − c − −GT (ξ(c)) − NT ˆZ 0
T (ξH = H0−c−N0E[ ˆZ 2 ˆζs)dXs+LH T ]+ s −ξ(c) s −Ns− T − s dNs−[N, ˆZ 0],
ˆZ 0 0 0 s dXs; ˆZ 0 s dXs + LH T = E ˆZ 2 T + T ; GT (ξ(c)) = (cid:82) T 0 ξH 0 ξ(c) ˆζsdXs. (cid:90) T (cid:90) T ˆLT = 0 và tính liên tục của X, với H = H0 + (cid:82) T
(cid:82) T
0
Nhưng theo giả sử [N, ˆZ 0] = ˆζ trd[N, X] = ˆζ trd(cid:104)N, X(cid:105) ˆP = 0 (cid:90) (cid:90) ˆξ ξ(c) := ξH − N− với N là ˆP trực giao mạnh với X. Do đó ta chọn được Nt theo công thức
như bổ đề 3.3.8 sẽ thỏa mãn và LH ∈ M2+η( ˆP ) với mỗi η < ε. ˆζ ∈ Θ (theo bổ đề Suy ra LH là P- trực giao mạnh với M. Vì tính nhỏ nhất của ˆP suy ra N
được yêu cầu như một ˆP - martingale ˆP - trực giao mạnh với X. Theo bổ
đề 3.3.6 ta có LH ∈ M2+ε(P ) và P trực giao mạnh với M. Từ ˆP s là độ
đo martingale nhỏ nhất và X liên tục nên theo định lí (3.5) trong [10] dẫn
tới LH là ˆP - martingale ˆP - trực giao mạnh với X. Điều này được khẳng
định cụ thể trong biểu diễn thứ hai của ˆV . Theo (3.4) chúng ta có ˆLT = 0 và tính liên tục của X dẫn tới
(cid:90) Từ K bị chặn ta có Θ = L2(M ) và ξ(c) = ξH − N−
3.3.8).
Tiếp theo ta sẽ chỉ ra ξ(c) là tối ưu và thỏa mãn (3.5).
Theo bổ đề 3.3.8 N là ˆP - martingale ˆP trực giao mạnh với X. Giả sử đặc
biệt [N, ˆZ 0] = ˆζ trd[N, X] = ˆζ trd(cid:104)N, X(cid:105) ˆP = 0 39 (cid:90) dẫn tới ˆζdX + ˆZ 0dN N ˆZ 0 = N0E[ ˆZ 2 N− T ] + (cid:90) (cid:90) (3.9) (ξH − ξ(c))dX + LH = H0 − c +
(cid:90) = ˆV − c − ξ(c)dX. (cid:90) ˆζ = ξH − ξ(c) = ξH − N− N− ˆZ 0
− ˆζ
ˆZ 0 Từ ˆZ 0 liên tục ta thu được thỏa mãn (3.6) trong định lí 3.3.7.
Từ (3.9) và định nghĩa của ˆZ 0; ˆV ta có . H − c − GT (ξ(c)) = NT ˆZ 0 T = NT d ˆP
dP (3.10) Với mỗi ϑ ∈ Θ tính ˆP trực giao mạnh của N và X dẫn tới N G(ϑ) là ˆP
-martingale triệt tiêu tại 0. Hơn nữa với mỗi δ < ε
2 theo (3.8) và bất đẳng |NtGt(ϑ)| ∈ L1+δ(P ). sup
0≤t≤T thức Holder ta có |NtGt(ϑ)| ∈ L1(P ). sup
0≤t≤T Theo (3.3) và N G(ϑ) là ˆP -martingale do đó Từ đó suy ra E[(H − c − GT (ξ(c)))GT (ϑ)] = ˆE[NT GT (ϑ)] = 0 (3.11) 40 với mỗi ϑ ∈ Θ. Do đó tính tối ưu của ξ(c) được chứng minh. 3.4.2 Hệ quả 3.4.9 Với giả thiết của định lí 3.4.7 thì rủi ro toàn phương nhỏ nhất được cho bởi 0 )2] = + ˆE . J0 = E ((H − c − GT (ξ(c)))2(cid:105) 0 1
ˆZ 0
s (H0 − c)2 + E[(LH
E[ ˆZ 2
T ] s (cid:34)(cid:90) T (cid:104) (cid:35)
d[LH] J0 = ˆE[NT (H − c − GT (ξ(c)))] T )] = ˆE[NT (H0 − c + GT (ξH − ξ(c)) + LH
= ˆE[NT (H0 − c)] + ˆE[NT LH T ]( vì ˆE[NT GT (ξH − ξ(c))] = 0). Chứng minh. Theo (3.10) và (3.11) ta có Theo như bổ đề 8 ta có N là ˆP -martingale suy ra ˆE[NT (H0 − c)] = (H0 − c) ˆE[N0] = = (H0 − c)2. 1
E[ ˆZ 2
T ]
1
E[ ˆZ 2
T ] 0 ] = E[LH 0 ] = 0 bởi vậy ˆP = P trên F0. Ta lại có (cid:32)LH và N (cid:16) (cid:17)
(H0 − c)2 + (H0 − c) ˆE[LH
0 ] Từ ˆE[LH
∈ M2( ˆP ). Do đó . + ˆE d[LH]s ˆE[NT LH T ] = ˆE[N0LH 0 ] + ˆE[[N, LH]T ] = 0 1
ˆZ 0
s ˆE[(LH
0 )2]
E[ ˆZ 2
T ] (cid:35) (cid:34)(cid:90) T Sau đây ta sẽ áp dụng các kết quả trên vào một số ví dụ cụ thể để thấy được ý nghĩa thú vị của chúng. 41 Trong ví dụ đầu tiên ta xét là trường hợp đơn giản cho H =1 và c=0.
Xét về khía cạnh toán học là tìm hình chiếu của 1 trong L2(P ) trên GT (Θ) tương ứng với X. Theo tài chính chúng ta muốn xấp xỉ bản thanh toán an toàn 1 bởi giá trị cuối cùng của một chiến lược tự tài trợ với vốn ban đầu
0 bởi việc đầu tư vào tài sản rủi ro là X 1, ..., X d; chất lượng xấp xỉ có thể đo được bởi hàm lỗ toàn phương. Dưới giả sử của định lí 3.3.7 nghiệm của bài toán tối ưu bình phương trung bình được cho bởi ; 0 ≤ t ≤ T. dX)t ˆζ
ˆZ 0 ˆζt
ˆZ 0
t (3.12) (cid:90)
ξ(0)
t = −E( Vì với ˆV ≡ 1 và ξH ≡ 0 và công thức (3.6) trong định lí 3.3.7 thêm 1 vào
2 vế suy ra 1 − (1 − ξ(0)dX = 1 + ξ(0)dX)dX, ˆζ
ˆZ (0) ˆZ 0 dX) thay vào công thức định lí 3.3.7 ta có (cid:90) (cid:90) (cid:90) J0 = (H0 = 1; LH = 0). 1
E[ ˆZ 2
T ] do đó 1 − (cid:82) ξ(0)dX = E((cid:82) ˆζ
(3.12) và với rủi ro toàn phương nhỏ nhất T = 0 trong phân tích F ¨ollmer-Schweizer của H Ví dụ 3.1. Giả sử H thỏa mãn điều kiện đặc biệt LH H = H0 + ξH
s dXs 0 (cid:90) T (3.13) với H0 ∈ R và ξH ∈ Θ.
Nếu chúng ta không những được tự do lựa chọn ϑ mà còn chọn được vốn , 0 ≤ t ≤ T. = ξH dX)t t ξ(c)
t = ξH ban đầu c trong bài toán tối ưu. Nghiệm tầm thường sẽ được cho bởi
c = H0 và ξ(H0) = ξH với rủi ro toàn phương bằng 0. Cho ngoại sinh c bất
kì theo định lí hình chiếu và chiến lược tối ưu ξ(c) của bài toán (3.1) là
hàm tuyến tính của H. Hơn nữa theo (3.2) phần GT (ξH) có thể được bảo
hộ hoàn hảo bởi ξH và phần dư H0 − c là một hằng số có thể được xấp xỉ
như phần trên ta có nghiệm là : t + (H0 − c)ξ(0) ˆζ
ˆZ 0 ˆζt
ˆZ 0
t 42 (cid:90)
t − (H0 − c)E( Sau đây ta sẽ xét đến những ví dụ mà định lí 3.3.7 được thỏa mãn. Giả sử X là nửa martingale liên tục thỏa mãn điều kiện cấu trúc. Tính liên tục
của ˆK dẫn tới ˆZ = E(− ˆλdM ) = E(− ˆλdX + ˆK) = E(− ˆλdX)e ˆK, (cid:90) (cid:90) (cid:90) cụ thể ta có E(− ˆλdX)s ˆλsdXs). ˆλdX)T = e ˆKT (1 − = ˆZT = e ˆKT E(− d ˆP
dP 0 (cid:90) (cid:90) (cid:90) T Nếu ta giả sử rằng giá trị của quá trình MVT ˆKT là tất định khi đó ˆK bị
chặn và ˆZT = e ˆKT + (cid:82) ˆζdX với ˆλdX)ˆλ. ˆζ := −e ˆKT E(− (cid:90) (3.14) Suy ra giả sử đặc biệt ˆLT = 0 được thỏa mãn theo công thức (3.5), từ
tính bị chặn của ˆK suy ra rằng ˆζ ∈ Θ. Hơn thế nữa, E(− (cid:82) ˆλdX) là
ˆP − martingale, do đó ta có ˆλdX)t, 0 ≤ t ≤ T t = ˆE[ ˆZT |Ft] = e ˆKT E(−
ˆZ 0 (cid:90) và điều này dẫn tới − = ˆλt, 0 ≤ t ≤ T. ˆζt
ˆZ 0
t (3.15) Cho biến ngẫu nhiên H nghiệm của bài toán tối ưu được cho bởi , 0 ≤ t ≤ T. ξ(c)
t = ξH ξ(c)
s dXs t + ˆλt 0 43 (cid:90) t (cid:17) (3.16) (cid:16) ˆVt− − c − với rủi ro toàn phương nhỏ nhất là J0 = e ˆKsd[LH]s e− ˆKT (cid:0)(H0 − c)2 + E[(LH 0 )2] + E(cid:2)
(cid:90) T = (cid:90) T (cid:1) e− ˆKT (cid:0)(H0 − c)2 + E[(LH 0 )2] + E(cid:2) 0
e ˆKsd(cid:104)LH(cid:105)P
s 0 (cid:3)(cid:1). n
(cid:88) n
(cid:88) = (bi t dW j
vij t = mi t dW j
vij t t − rt)dt + tdt + j=1 j=1 Cho X thỏa mãn
dX i
t
X i
t với chuyển động Brownian W trong Rn. Quá trình b và v mô tả tỉ lệ tăng
giá và độ dao động của d chứng khoán S1, ..., Sd trong đó r là lãi xuất an
toàn được trả bởi trái phiếu S0. Giá chiết khấu được cho bởi X i = Si
S0 . Bài
toán này đã được khái quát hóa từ mô hình Black-Scholes. Nếu chúng ta giả sử rằng d ≤ n và ma trận vt có hạng đầy đủ tại mọi thời điểm t với P − h.c.c so sánh các công thức ta có dM = (b − r1)tr(vvtr)−1vdW, ˆλdM = dA
d(cid:104)M (cid:105) (cid:90) (cid:90) (cid:90) (3.17) dA = Xtmtdt, d(cid:104)M (cid:105) = (vvtr)Xtdt, dM = XtvdW với và ˆλdM ] (cid:90)
ˆK = (cid:104) ∆(cid:0) = ˆλdM (cid:1)2
s s (cid:90)
ˆλdM (cid:105) = [
(cid:90) (cid:88) d
(cid:88) = ˆλtr
s ˆλs(∆M i)2
s i=1 s
(cid:90) = (bs − rs1)tr(vsvtr s )−1(bs − rs1)ds 44 (3.18) (cid:88) với 1 := (1...1)tr ∈ Rd. Do đó chúng ta sẽ nhận được quá trình MVT bị s (vsvtr
vtr s )−1(bs − rs1); 0 ≤ s ≤ T chặn được bảo toàn theo tiêu chuẩn rủi ro của giá thị trường là bị chặn. = ; 0 ≤ s ≤ T bs − rs
vs ms
vs Trong trường hợp một chiều d=1 suy ra điều kiện rằng bị chặn. Nếu ta chọn P - tăng FW là bộ lọc được sinh bởi W và d=n thì nó được biết đến mô hình kết quả là đầy đủ và mỗi biến ngẫu nhiên khả tích đầy đủ có thể được viết như tổng của hằng số và tích phân ngẫu nhiên tương ứng với X. Thực vậy, theo định lí biểu diễn Ito dẫn tới biểu diễn bởi hằng số cộng với tích phân ngẫu nhiên của W và có thể được viết lại trong các thành phần của X với việc sử dụng quy tắc Bayes và nghịch đảo của vt. Tuy nhiên, sự đầy đủ thì hạn chế như một giả sử và chúng ta không
yêu cầu sự đầy đủ của nó để thu được ˆLT = 0. Giả sử cho d=n nhưng bộ
lọc FW ⊆ F tùy ý. Nếu chúng ta giả sử rằng giá rủi ro của thị trường vtr(vvtr)−1(b − r1) = vtr(vvtr)−1m (3.19) là thích nghi với FW khi đó (3.7) dẫn tới ˆZT = E(− (cid:82) ˆλdM )T là FW
T - đo
được và do đó có thể biểu diễn như một hằng số cộng với một tích phân
ngẫu nhiên của X theo lập luận như trên. Do đó giả sử ˆLT = 0 được thỏa
mãn và chúng ta có thể áp dụng định lí 3.3.7 và hệ quả 3.4.9 để xác định chiến lược tối ưu và rủi ro toàn phương nhỏ nhất cho biến ngẫu nhiên bất kì H. Chú ý rằng tính không đầy đủ trong mô hình này suy ra từ thực
tế rằng bộ lọc F chứa đựng nhiều thông tin hơn là được cho bởi giá chiết 45 khấu X hoặc giá S. Ví dụ 3.2. Lấy d=1 và cho X là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên = m(t; Xt)dt + v(t, Xt)dWt dXt
Xt (3.20) với giả sử thích hợp đối với hàm m, v (3.20) có nghiệm mạnh duy nhất
thích nghi được với bộ lọc FW . Điều này dẫn tới điều kiện (3.19) được thỏa
mãn do đó ˆLT = 0 cũng thỏa mãn với bộ lọc bất kì F thu được từ FW và
chúng ta có thể áp dụng kết quả của định lí 3.3.7 và hệ quả 3.4.9. d
(cid:88) = mi vij(Xt)dW j
t tdt + dXi
X i
t j=1 T - đo được Ví dụ 3.3. Trong trường hợp tổng quát hơn, giả sử đặc biệt ˆLT = 0 thì
cũng thỏa mãn nếu ˆZT là FX
T - đo được và nếu X có tính chất biểu diễn
khả đoán cho chính bộ lọc của nó chẳng hạn X được cho bởi ˆλdX)T , ˆZT = e ˆKT E(−
biểu diễn rõ ràng cho (cid:82) ˆλdX và ˆK và giả sử đo được của m và v. với mi bị chặn và thích nghi với FX và vij chính tắc đủ. ˆZT là FX
từ biểu diễn (cid:90) Ví dụ 3.4. Chúng ta xét trường hợp d = 1 và bộ lọc F được sinh bởi W
và chuyển động Brownian W (cid:48) độc lập. Một P-martingale trực giao bất kì
với M là tích phân ngẫu nhiên của W (cid:48) do đó thành phần trực giao trong phân tích F¨ollmer-Schweizer của H có dạng LH = LH ηHdW (cid:48) 0 + 0 = E[LH 0 ] = 0. Khi đó (cid:90) + ˆE (ηH . J0 = s )2ds 0 1
ˆZ 0
s (H0 − c)2
E[ ˆZ 2
T ] 46 (cid:35) với η bất kì. Hơn thế nữa F0 là tầm thường và LH
rủi ro toàn phương nhỏ nhất được cho bởi
(cid:34)(cid:90) T Bây giờ chúng ta sẽ áp dụng định lí 3.3.7 cho mô hình biến động ngẫu nhiên. Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên sau: = m(t, Xt, Yt)dt + v(t, Xt, Yt)dWt. dXt
Xt (3.21) Trong đó Y là thừa số ngẫu nhiên được thêm vào nhận giá trị trong Y bị ảnh hưởng theo sự phát triển của X. Chúng ta giả sử rằng m, v, Y như
(3.21) có nghiệm mạnh duy nhất và coi F như P-tăng của bộ lọc sinh bởi X và Y. Từ đó Y sẽ đặc trưng cho một định lượng phi mậu dịch. Mô hình (3.21) không đầy đủ trong trường hợp tổng quát. Hơn thế nữa chúng ta giả sử rằng (X,Y) là quá trình markov theo P. H = h(Xt, Yt). Việc tìm phân tích F¨ollmer-Schweizer của H thì dễ dàng.
Từ = = , 0 ≤ t ≤ T. (3.22) ˆλt = dA
d(cid:104)M (cid:105) m(t, Xt, Yt)
Xtv2(t, Xt, Yt) Xtm(t, Xt, Yt)dt
X 2
t .v2(t, Xt, Yt)dt Nếu ta hạn chế sự quan tâm của chúng ta tới tài sản phái sinh dạng và = ˆZT = E(− dWs)T . d ˆP
dP (3.23) (cid:90) m(s, Xs, Ys)
v(s, Xs, Ys) ˆVt = ˆE[H|Ft] = ˆE[h(XT , YT )|Ft] = ˆv(t, Xt, Yt) Theo công thức Bayes và tính Markov của (X,Y) với P suy ra 47 với hàm ˆv : [0, T ].R+.Y → R điều này có thể sử dụng để đưa ra biểu diễn
rõ ràng cho ξH, LH như ví dụ sau được minh họa. Ví dụ 3.5. Cho Y là nghiệm mạnh của phương trình vi phân ngẫu nhiên dYt = a(t, Xt, Yt)dt + b(t, Xt, Yt)dW (cid:48)
t (3.24) + a + với chuyển động Brownian W (cid:48) độc lập theo P. Với giả sử chính tắc đối với
các hàm hệ số m, v, a, b, hàm ˆv là C 1,2,2 trên [0, T ) × (0, ∞) × R và nghiệm ∂y2 + x2v2 ∂2ˆv ∂x2 ∂ˆv
∂t ˆv
∂y 1
2 (cid:1) = 0, (0, T ) × (0, ∞) × R duy nhất của phương trình vi phân thông thường
(cid:0)b2 ∂2ˆv dˆv = dt + Xmdt + XvdW + adt ∂ˆv
∂t ∂ˆv
∂x + bdW (cid:48) + xvbdW dW (cid:48) + b2dt ∂ˆv
∂y 1
2 ∂2ˆv
∂x∂y 1
2 ∂ˆv
∂y
∂2ˆv
∂2y 1
2 + xvbdW dW (cid:48). ∂ˆv
∂x
x2v2 ∂2ˆv
∂x2 dt +
∂2ˆv
1
∂y∂x
2 với điều kiện bị chặn ˆv(T, x, y) = h(x, y) với mọi x, y ∈ R+ × R . Áp dụng
công thức Ito cho ˆv ta có : (T, Xt, Yt) với 0 ≤ t ≤ T ξH
t = ∂ˆv
∂x Khi đó dẫn tới LH (T, Xs, Ys)b(s, Xs, Ys)dW (cid:48) s, 0 ≤ t ≤ T. t = ∂ˆv
∂x 0 và (cid:90) t Từ đó áp dụng công thức định lí 3.4.7 ta có chiến lược ξ(c) để đáp ứng. ˆζ = ˆZt (t, Xt) − ˆλtg(t, Xt)(cid:1), 0 ≤ t ≤ T. (3.25) Mệnh đề 3.8.10. Giả sử m và v trong (3.21) không phụ thuộc vào y. Khi
đó giả sử đặc biệt thỏa mãn và biểu thức dưới dấu tích phân ˆζ trong (3.5)
thì rõ ràng được cho bởi
(cid:0) ∂g
∂x Trong đó g : [0, T ] × R+ → R là nghiệm duy nhất của phương trình vi
phân thường + x2v2 ∂2g + ∂g
∂t 1
2 ∂x2 − xm ∂g
∂x m2
v2 g = 0 trên (0, T ) × (0, ∞) 48 (3.26) g(T, x) = 1 với mọi x ∈ R+. với điều kiện biên Hơn thế nữa ta có − , 0 ≤ t ≤ T. = ˆλt − ∂g
∂x(t, Xt)
g(t, Xt) ˆζt
ˆZ 0
t (3.27) Chứng minh. Điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất của g chẳng hạn như cả m và v bị chặn và Lipschitz đều theo (t,x) kết hợp với bị chặn đều dưới theo v. Nếu m và v không phụ thuộc vào y. Phương trình vi phân g(cid:48)(cid:48)X 2 ngẫu nhiên (3.20) của X và giả sử đặc biệt cũng như ví dụ 3.2. Áp dụng
công thức Ito với tích Ut := ˆZtg(t, Xt) viết . , cho vi phân thường tương
ứng với t và x . Sử dụng (3.22) ,(3.23) và (3.26) thu được dUt = ˆZt t v2−ˆλg(cid:48)X 2 t v2(cid:1)dt+ ˆZtg(cid:48)dXt− ˆZtgˆλtdMt = ˆZt(g(cid:48)−ˆλtg)dXt. 1
2 T suy ra ˆZ 0 ≡ U. Vậy ta có (cid:0) ˙g+ Do đó U la ˆP − martingale với UT = ˆZT = ˆZ 0
(3.25) và (3.27). Ví dụ 3.6. Trong trường hợp đặc biệt hơn với m và v cũng không phụ thuộc vào x ta có thể dễ dàng viết nghiệm của (3.26) như sau g(t, x) = g(t) = exp ds m2(s)
v2(s) t (cid:16) (cid:90) T (cid:17) và do đó từ (3.27) thu được (3.15). Điều này hiển nhiên vì quá trình
ˆK = (cid:82) m2(s)
v2(s) ds là tất định trong trường hợp đó. Nếu m và v không phụ
thuộc vào những biến ngẫu nhiên sinh bởi Y. Ta thấy giả sử đặc biệt vẫn thỏa mãn. Trong trường hợp đối xứng thì giả sử đặc biệt không thỏa mãn. 49 Định lí 3.8.11. Giả sử rằng m, v, a, b trong (3.24) và (3.21) không phụ
thuộc vào x. Nếu ˆKT là bị chặn và không tất định khi đó giả sử đặc biệt là
không thỏa mãn. 0 m2(s,Ys)
v2(s,Ys) ds là FW (cid:48) e ˆKT = E[e ˆKT ] + νsdW (cid:48) s P − a.s. 0 Chứng minh. Từ m, v, a, b không phụ thuộc vào x và (3.10) (3.13) dẫn tới
ˆKT = (cid:82) T
T − đo được. Do đó theo định lí biểu diễn Itô ta
có (cid:90) T = E(cid:0) − ˆλdX(cid:1) T UT (cid:90) = E[e ˆKT ] − ˆλdX(cid:1) E(cid:0) − ˆλdX(cid:1) UsE(cid:0) − ˆλsdXs + s s 0 0 sνsdW (cid:48)
(3.28) Áp dụng quy tắc tích cho quá trình E(cid:0) − (cid:82) ˆλdX(cid:1) và UT := E[e ˆKT ] +
(cid:82) T
0 νdW (cid:48) dẫn tới
d ˆP
dP (cid:90) T (cid:90) (cid:90) T (cid:90) vì [W (cid:48), X] = 0. Từ ˆKT bị chặn, U cũng bị chặn kết hợp với (3.3) suy ra
(3.17) trong phân tích F¨ollmer- Schweizer của d ˆP
dP cả hai biểu thức dưới dấu
tích phân đều khả tích và biểu thức cuối cùng là một P-trực giao mạnh P-
martingale với M. Nhưng ˆKT không tất định và v khác 0 do đó nó cũng
trực giao mạnh với số hạng trong (3.28) suy ra giả sử đặc biệt không thỏa mãn. Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên sau = mtdt + vtdWt dXt
Xt (3.29) với quá trình m và v là độc lập với chuyển động Brownian W và giả sử rằng (3.29) có nghiệm mạnh duy nhất đối với hầu hết m và v. Mô hình này cũng như mô hình Black-Scholes trong môi trường ngẫu nhiên được mô tả bởi các quá trình ngẫu nhiên m và v. Bộ lọc sẽ được sinh bởi W và tăng 50 ở thời điểm 0 theo sự đầy đủ về m và v. Thực vậy, môi trường ngẫu nhiên được chọn ở thời điểm 0 và khi đó X được khai triển như một chuyển động Brownian hình học thông thường với hệ số ngẫu nhiên được xác định bởi sự tác động của môi trường. Đây là một mô tả rõ ràng về một mô hình mà toàn bộ các biến ngẫu nhiên trong các hệ số là ngoại sinh chứ không phải từ chính X trong (3.20). Xét định lí sau Định lí 3.9.12. Giả sử rằng quá trình m và v trong (3.29) là độc lập với
v là bị chặn. Nếu ˆKT không tất định thì giả
chuyển động Brownian W và m ds và ˆZ = E(− (cid:82) m v dW ) do đó sử đặc biệt là không thỏa mãn. Chứng minh. Theo trên ta có ˆK = (cid:82) m2
s
v2
s − . ˆZT = exp dWs − ˆKT 1
2 ms
vs 0 (cid:90) T (cid:16) (cid:17) Từ m và v là độc lập với W phân phối điều kiện của log ˆZT được cho bởi
ˆKT và phương sai ˆKT . Từ đó ta
m và v là phân phối chuẩn với kì vọng − 1
2 E[ ˆZ 2 T ] = E[e ˆKT ] có thể so sánh Zt := ˆZt e− ˆKT
E[e− ˆKT ] theo điều kiện của m và v. Từ m và v là F0−đo được, quá trình là P-martingale dương thực sự với kì vọng 1. Từ ˆP là độ đo martingale
theo X, tích ZX cũng là P-martingale và ta cũng có thể định nghĩa được
một độ đo martingale tương đương Q cho X như sau dQ
dP := ZT . Theo lập E[Z 2 = . T ] = E[e−2 ˆKT ˆZ 2
T ]
(E[e− ˆKT ])2 1
E[e− ˆKT ] luận như trên ta có x và ˆKT không tất định Do đó theo bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi dưới 1 < suy ra dQ
dP d ˆP
dP 51 (cid:12)
(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)
(cid:12)L2(P ) (cid:12)
(cid:12)
(cid:12)L2(P ) EZ 2 < E ˆZ 2 hay 52 Do đó ˆP không là độ đo phương sai tối ưu và theo bổ đề 1 của [6] suy ra
giả sử đặc biệt không được thỏa mãn. Luận văn tìm hiểu về phương pháp định giá và bảo hộ cho các sản phẩm tài chính. Nếu thị trường là đầy đủ thì giá và chiến lược bảo hộ là duy nhất. Xét với mô hình Black-Scholes ta có công thức giá và chiến lược bảo hộ tường minh và luận văn cũng chạy thử một bộ số liệu thật. Còn đối với thị trường không đầy đủ trước một số điều kiện đặc biệt, chiến lược bảo hộ tối ưu theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình được mô tả dưới dạng công thức liên hệ ngược. Và luận văn cũng áp dụng cho một số mô hình cụ thể có nhiều ứng dụng trong thực tế. Một hạn chế của luận văn là chưa thực hành được các kiến thức lý thuyết về định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ, chạy trên các bộ số liệu thật. Hướng nghiên cứu tiếp theo hướng này là tìm các điều kiện mạnh hơn có thể đưa ra một công 53 thức dễ dàng hơn để mô tả chiến lược tối ưu cho thị trường không đầy đủ. Tiếng Việt [1] Đặng Hùng Thắng (2005), Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội. [2] Trần Hùng Thao(2009), Nhập môn toán học tài chính, NXB Khoa Học và Kĩ Thuật, Hà Nội. [3] Trần Hùng Thao(2000), Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên , NXB Khoa Học Và Kĩ Thuật, Hà Nội. [4] Nguyễn Duy Tiến(1999), Các mô hình xác suất và ứng dụng(phần III), NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội. Tiếng Anh [5] Huyên Pham, Thorsten Rheinl¨ander, Martin Schweizer(1998), "Mean- Variance Hedging for Continuous Process: New Proofs and Examples", Finance and Stochastic 2, 173-198. [6] Martin Schweizer(1996), "Approximation Pricing and the Variance- Optimal Martingale Measure", Annals of Probability 24, 206-236. [7] Martin Schweizer(1995), "On the Minimal Martingale Measure and the F¨ollmer-Schweizer Decomposition",Stochastic Analysis and Applica- tions 13 , 573 -599. [8] J. Michael Harrison, Stanley R. Pliska(1983), "A stochastic calculus model of continuous trading :complete markets ", Stochastic Processes and their Applications 15 , 313-316. North-Holland. [9] Martin Schweizer(2001), "A Guided Tour through Quadratic Hedging 54 Approaches", Cambridge University Press , 538-574. [10] H. F¨ollmer and M. Schweizer (1991), "Hedging of Contingent Claims under Incomplete Information", Applied Stochastic Analysis,Gordon and Breach, London/New York, 389-414. [11] Michael Meyer (2001), " Continuous Stochastic Calculus with Appli- 55 cations to Finance", Chapman and Hall/CRC.Boca Raton.3.4 Mô tả chiến lược tối ưu
3.5 Xấp xỉ một tài sản phi rủi ro
3.6 Bảo hộ trong trường hợp quá trình cân bằng
mean-variance tất định
3.7 Mô hình khuyếch tán hầu đầy đủ
3.8 Mô hình biến động ngẫu nhiên có tính Marko-
vian
3.9 Mô hình Black - Scholes trong môi trường ngẫu
nhiên
Kết Luận
Tài liệu tham khảo
