ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN VĂN MINH
BẢO HỘ TRONG THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN VĂN MINH
BẢO HỘ TRONG THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ
Chuyên ngành: TOÁN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Mã số :60 46 15
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊNH
Hà Nội - Năm 2012
Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Một số kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên . . . . . . 5
1.2 Một số kiến thức cơ sở toán tài chính . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Chứng khoán phái sinh . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Cơ hội có độ chênh thị giá . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Định giá và bảo hộ trong thị trường đầy đủ 13
2.1 Bảo hộ trong thị trường đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Chiến lược bảo hộ quyền phái sinh trong thị trường
đầy đủ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Công thức Black-Scholes về định giá quyền chọn
Châu Âu trong thị trường đầy đủ. . . . . . . . . . . 19
3 Định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ 23
3.1 Bài toán bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình
phương trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Quá trình cân bằng bình phương trung bình và không gian
các chiến lược đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 Định nghĩa 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Định nghĩa 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Tính đóng của GT(Θ) và phân tích F¨ollmer-Schweizer . . . 28
3.3.1 Mệnh đề 3.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.2 Bổ đề 3.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
3.3.3 Mệnh đề 3.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.4 Hệ quả 3.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.5 Hệ quả 3.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.6 Bổ đề 3.3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Mô tả chiến lược tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.1 Định lí 3.3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.2 Hệ quả 3.4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Xấp xỉ một tài sản phi rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6 Bảo hộ trong trường hợp quá trình cân bằng mean-variance
tất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7 Mô hình khuyếch tán hầu đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . 44
3.8 Mô hình biến động ngẫu nhiên có tính Markovian . . . . . . 47
3.9 Mô hình Black - Scholes trong môi trường ngẫu nhiên . . . 50
Tài liệu tham khảo 54
2
Lời nói đầu
Định giá và bảo hộ tài sản phái sinh là một trong những vấn đề quan
trọng của tài chính nói chung và toán tài chính nói riêng. Trong thị trường
đầy đủ thì có thể bảo hộ một cách chính xác bởi một chiến lược giao dịch
duy nhất. Tuy nhiên trong thị trường không đầy đủ thì có nhiều chiến lược
để bảo hộ, vần đề là cần tìm ra chiến lược tối ưu nhất theo nghĩa nào đó.
Việc bảo hộ có nhiều cách tiếp cận khác nhau. Nhưng trong luận văn này
chỉ tập chung vào việc bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình
phương trung bình, luận văn đưa ra một số kết quả và ví dụ về bảo hộ
bình phương trung bình cho quá trình ngẫu nhiên liên tục. Mục tiêu chính
là đưa ra những chứng minh chính xác để xét đến việc có thể sử dụng hoặc
không đến độ đo martingale nhỏ nhất để nghiên cứu vấn đề này.
Cho X là nửa martingale có dạng X=X0+M+RdhMiˆ
λ. Quá trình
cân bằng bình phương trung bình của X kí hiệu là ˆ
K=Rˆ
λtrdhMiˆ
λvà
Θlà không gian các quá trình khả đoán ϑsao cho tích phân ngẫu nhiên
G(ϑ) = RϑdX là nửa martingale bình phương khả tích. Cho hằng số
c∈Rvà biến ngẫu nhiên bình phương khả tích H, chiến lược tối ưu bình
phương trung bình ξ(c)làm cực tiểu khoảng cách trong L2giữa H−cvà
không gian GT(Θ). Trong tài chính, sử dụng chiến lược ξ(c)để xấp xỉ cho
tài sản phái sinh H theo nghĩa làm cho rủi ro của người bảo hộ được hạn
chế nhất với các chiến lược giao dịch ϑ∈Θkhông gian các chiến lược
đầu tư. Nếu ˆ
Klà bị chặn, liên tục thì ta đưa ra một chứng minh đơn giản
cho tính đóng của không gian GT(Θ) trong L2(P)và sự tồn tại phân tích
F¨ollmer-Schweizer của H. Hơn nữa nếu X thỏa mãn thêm một số điều kiện
3