zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

cách chứng minh khác nhau cho bất đẳng thức quen thuộc

Chia sẻ: Hoàng Minh Quân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

164
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

cách ch ng minh khác nhau cho b t đ ng th c quen thu c 3 2 Ch ng minh r ng ta luôn có : cosA + cosB + cosC ≤ trong đó A, B, C là ba góc c a m t tam giác b t kì . (Ch ng minh theo th t chương trình h c Ph thông) Cách 1: Dùng t s Di n Tích K các đư ng cao AD, BE, CF Đ t S∆AEF = S1 , S∆BF D = S2 , S∆CED = S3 , S∆ABC = S S1 S2 S3 ; cosB = ; cosC =...

Chủ đề:

cách chứng minh khác nhau cho bất đẳng thức quen thuộc

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: cách chứng minh khác nhau cho bất đẳng thức quen thuộc

cách ch ng minh khác nhau cho b t đ ng th c quen thu c 3 Ch ng minh r ng ta luôn có : cosA + cosB + cosC ≤ 2 trong đó A, B, C là ba góc c a m t tam giác b t kì . (Ch ng minh theo th t chương trình h c Ph thông) Cách 1: Dùng t s Di n Tích K các đư ng cao AD, BE, CF Đ t S ∆AEF = S1 , S ∆BF D = S2 , S ∆CED = S3 , S ∆ABC = S S1 S2 S3 ⇒ cosA = ; cosB = ; cosC = S S S S1 AF.AE 1 AF AE = ≤( + )(1) S AB.AC 2 AB AC Tương t S2 1 F B BD =≤ ( + )(2) S 2 AB BC S3 1 CD CE =≤ ( + )(3) S 2 BC AC C ng (1), (2), (3) ta có 1 AF AE 1 F B BD 1 CD CE 3 cosA + cosB + cosC ≤ ( + )+ ( + )+ ( + ) = (đpcm) 2 AB AC 2 AB BC 2 BC AC 2 Đ ng th c x y ra khi và ch khi tam giác ABC đ u. Cách 2: V n d ng b t đ ng th c :Erdos-Mordell Cho tam giác ABC. M là m t đi m b t kì n m trong tam giác . Đ t x1 = MA, x2 = MB, x3 = MC , và p1 , p2 , p3 l n lư t là kho ng cách t M đ n BC, CA, AB tương ng. Khi đó ta có b t đ ng th c x1 + x2 + x3 ≥ 2(p1 + p2 + p3 ) V n d ng gi i bài trên: G i O , R là tâm và bán kính đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC. G i M, N, P l n lư t là trung đi m c a c nh AB, BC, CA.. Ta d dàng nh n th y A = M OB . OM OM Do đó :cosA = cos(M OB ) = = OB R ON OP Tương t cosB = ; cosC = R R OM + ON + OP 1 OA + OB + OC 3 Do đó cosA+cosB +cosC = ≤( ) = ( đpcm).(Erdos- R 2 R 2 Mordell) Đ ng th c x y ra khi và ch khi tam giác ABC đ u. Cách 3: S d ng BĐT Trêbưsep. G i a, b, c là ba c nh tam giác, s d ng công th c hình chi u ta có: a = c.cosB + b.cosC , b = a.cosC + c.cosB , c = a.cosB + b.cosA, C ng ba bi u th c trên ta có: a + b + c = (c + b)cosA + (a + c)cosB + (a + b)cosC Không m t tính t ng quát gi s : a ≥ b ≥ c, ta có: cosA ≤ cosB ≤ cosC (c + b) ≤ (a + c) ≤ (a + b) Do đó :a + b + c = (c + b)cosA + (a + c)cosB + (a + b)cosC 1 ≥ (cosA + cosB + cosC )(c + b + a + c + a + b) ( Trêbưsep) 3 1 laisac 1
3 ⇒ cosA + cosB + cosC ≤ (đpcm) 2 Đ ng th c x y ra khi tam giác ABC đ u. Cách 4: Phuong pháp vectơ. G i I và r l n lư t là tâm và bán kính đư ng tròn n i ti p tam giác ABC, và M, N, P l n lư t là ti p đi m c a đư ng tròn đó v i các c nh AB, AC, BC ,ta có −− →− →− → −− −→−− → − → −− → →→ 0 ≤ (IM + IN + IP )2 ⇔0 ≤ 3r2 + 2(IM.IN + IM.IP + IP .IN ) (*) −− −→ → Ta nh n th y IM.IN = 2r2 cosM IN = −2r2 cosA ( Vì M IN và góc A bù nhau) −− −→ → −− →→ Tương t :IM.IP = −2r2 cosB , IP .IN = −2r2 cosC 3 V y t (*) suy ra cosA + cosB + cosC ≤ (dpcm) 2 Cách 5: Phuong pháp vectơ. L y A, B, C l n lư t là ba g c c a ba véctơ đơn v sau −→ −−→ − → − = AB , − = BC , − = CA . → → → e1 e2 e3 AB BC CA Ta có :0 ≤ (− + − + − )2 ⇔0 ≤ 3 + 2(− e2 + − e3 + − e1) 0 ≤ 3 − 2(cosA + cosB + cosC ) →→→ → → → e1 e2 e3 e1 e2 e3 3 ⇔ cosA + cosB + cosC ≤ 2 Cách 6: Quan h b t đ ng th c Schur. b2 + c2 − a2 a2 + c2 − b2 a2 + b2 − c2 3 3 cosA + cosB + cosC ≤ ⇔ + + ≤ 2 2bc 2ac 2ab 2 ⇔b2a + c2a + c2 b + a2 b + a2c + b2c ≤ 3abc ⇔ a(a − b)(a − c) + b(b − c)(b − a) + c(c − a)(c − b) ≥ 0( Schur) 2 Cách 7: S d ng tam th c b c hai. 3 A+B A−B C3 ) + 1 − 2sin2 − Xét cosA + cosB + cosC − = 2cos( )cos( 2 2 2 2 2 C A−B 2C 1 = 2sin( )cos( ) − 2sin ( ) − 2 2 2 2 C A−B 1 Đ t x = sin( ). Xét tam th c f (x) = −2x2 + 2cos( ).x − 2 2 2 2 A−B Có (∆) = cos ( ) − 1 ≤ 0, và h s a = −2 < 0,Nên f (x) ≤ 0 v i m i x 2 3 Hay cosA + cosB + cosC ≤ 2 Cách 8: S d ng hàm s . A+B A−B C ) + 1 − 2sin2 . Ta có cosA + cosB + cosC = 2cos( )cos( 2 2 2 C A−B 2 Đ t x = sin( ), đi u ki n 0 < x < 1.Xét hàm s f (x) = −2x + 2cos( ).x + 1 2 2 1 A−B 3 L p b ng xét d u ta có f (x) ≤ fM ax (x) = 1 + cos( )≤ 2 2 2 Cách 9: T ng bình phương. 3 A+B A−B C1 ) − 2sin2 − Xét cosA + cosB + cosC − = 2cos( )cos( 2 2 2 2 2 C 1 A−B 2 1 2 A−B = −2[sin( ) − cos( )] − sin ( ) ≤ 0 (Đúng) 2 2 2 2 2 Đ ng th c x y ra khi và ch khi A=B=C Cách 10: BĐT lư ng giác cơ b n A+B A−B Ta có : cosA + cosB + cosC = 2cos( )cos( ) + cosC 2 2 A+B ≤ 2cos( ) + cosC ( đ ng th c x y ra khi A=B) 2 C C C 1 3 3 ˆ = 2sin( ) − 2sin2 ( ) + 1 = −2[sin( ) − ]2 + ≤ ( đ ng th c x y ra khi C = 600 ) 2 2 2 2 2 2 2 laisac 2
3 V y :cosA + cosB + cosC ≤ 2 Đ ng th c x y ra khi và ch khi tam giác ABC đ u. Cách 11: Đánh Giá BĐT -Tam giác ABC không nh n, Gi s góc A ≥ 900 A+B A−B A+B Ta có :cosA + cosB = 2cos( ).cos( ) ≤ 2cos( ) (1) 2 2 2 C + 600 C − 600 C + 600 cosC + cos600 = 2cos( ).cos( ) ≤ 2cos( ) (2) 2 2 2 C ng (1) và (2) v theo v ta có: C + 600 A+B cosA + cosB + cosC + cos600 ≤ 2[cos( ) + cos( )] 2 2 A + B + C + 600 ) = 4cos600 (3) = 4cos( 4 3 Suy ra cosA + cosB + cosC ≤ 3cos600 = 2 N u A nh n, thì (1), (2), (3) đ u th a mãn. Cách 12: Hàm l i N u tam giác không nh n, luôn đúng ! : π π Xét hàm s f(x) = cosx trong (0; ) Ta có f’(x) = -sinx , f”(x)=-cosx

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.