BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------
LÊ KHÁNH TOÀN CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG THANH, DẦM ĐÀN HỒI
BẰNG HÀM ĐÁP ỨNG TẦN SỐ
LUẬN ÁN TIẾN SĨ
KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT
Hà Nội - 2019
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ……..….***………… LÊ KHÁNH TOÀN CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG THANH, DẦM ĐÀN HỒI
BẰNG HÀM ĐÁP ỨNG TẦN SỐ
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 9 52 01 01
LUẬN ÁN TIẾN SĨ
KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT
Người hướng dẫn khoa học:
1. GS.TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm
2. PGS.TS. Nguyễn Việt Khoa
Hà Nội – 2019
ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công
bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả luận án
Lê Khánh Toàn
iii
MỤC LỤC
LỜI CÁM ƠN i
LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................. ii
MỤC LỤC ...................................................................................................... iii
DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ....................................... vi
DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ .........................................................................vii
DANH MỤC BẢNG ........................................................................................... xiii
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN ................................................................................... 4
1.1. Bài toán chẩn đoán hư hỏng kết cấu ................................................................. 4
1.1.1. Những nghiên cứu trên thế giới ................................................................ 6
1.1.2. Những nghiên cứu trong nước .................................................................. 7
1.2. Hàm đáp ứng tần số trong chẩn đoán hư hỏng kết cấu ...................................... 9
1.3. Một số nhận xét và đặt vấn đề nghiên cứu ...................................................... 11
CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU THANH, DẦM CÓ VẾT NỨT ....... 13
2.1. Mô hình vết nứt trong kết cấu thanh - dầm đàn hồi ........................................ 13
2.1.1. Mô hình vết nứt ...................................................................................... 13
2.1.2. Mô hình lò xo của vết nứt trong kết cấu thanh, dầm đàn hồi .................. 14
2.2. Dao động dọc trục của thanh đàn hồi có vết nứt ............................................. 15
2.2.1. Phương pháp ma trận truyền .................................................................. 16
2.2.2. Nghiệm tổng quát tường minh ................................................................ 18
2.2.3. Hàm đáp ứng tần số dao động dọc trục của thanh có nhiều vết nứt ........ 21
2.3. Dao động uốn của dầm đàn hồi có vết nứt ...................................................... 31
2.3.1. Phương pháp ma trận truyền .................................................................. 33
iv
2.3.2. Nghiệm tổng quát tường minh ................................................................ 35
2.3.3. Công thức Rayleigh tính tần số dao động riêng đối với dầm đàn hồi có
nhiều nhiều vết nứt ................................................................................ 40
Kết luận Chương 2 ................................................................................................ 44
CHƯƠNG 3. ĐIỂM NÚT DAO ĐỘNG DỌC TRỤC CỦA THANH, DAO ĐỘNG
UỐN CỦA DẦM CÓ VẾT NỨT .................................................. 45
3.1. Khái niệm về điểm nút dao động của kết cấu thanh - dầm đàn hồi .................. 45
3.2. Điểm nút dao động dọc trục của thanh đàn hồi có vết nứt............................... 46
3.2.1. Các công thức cơ bản ............................................................................. 46
3.2.2. Kết quả khảo sát số ................................................................................ 47
3.3. Điểm nút dao động của đầm đàn hồi có vết nứt .............................................. 49
3.3.1. Trường hợp không có vết nứt ................................................................. 51
3.3.2. Trường hợp có một vết nứt ..................................................................... 53
3.3.3. Trường hợp có hai vết nứt ..................................................................... 57
Kết luận Chương 3 ................................................................................................ 61
CHƯƠNG 4. ĐO ĐẠC THỰC NGHIỆM TRÊN MÔ HÌNH TRONG PHÒNG
THÍ NGHIỆM ............................................................................... 62
4.1. Đo đạc thực nghiệm hàm đáp ứng tần số ........................................................ 62
4.1.1. Thiết bị đo đạc thực nghiệm hàm đáp ứng tần số ................................... 62
4.1.2. Phương pháp đo đạc hàm đáp ứng tần số .............................................. 62
4.1.3. Xác định các đặc trưng dao động từ số liệu đo hàm đáp ứng tần số ....... 64
4.2. Đo đạc hàm đáp ứng tần số trên mô hình thanh đàn hồi có vết nứt ................. 66
4.3. Đo đạc hàm đáp ứng tần số trên mô hình dầm đàn hồi có vết nứt ................... 69
4.3.1. Kết quả đo đạc hàm đáp ứng tần số của dầm chưa nứt .......................... 71
4.3.2. Kết quả đo đạc hàm đáp ứng tần số dầm bị nứt ...................................... 73
4.4. Kết quả xác định tần số từ hàm đáp ứng tần số đo đạc dầm đàn hồi................ 74
v
Kết luận chương 4 ................................................................................................. 81
CHƯƠNG 5. CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG THANH, DẦM ....................... 82
5.1. Phương pháp quét trong chẩn đoán vết nứt bằng dao động ............................. 82
5.2. Chẩn đoán vết nứt trong thanh bằng hàm đáp ứng tần số ................................ 83
5.3. Chẩn đoán vết nứt trong dầm bằng tần số đo đạc ............................................ 85
Kết luận Chương 5 ................................................................................................ 95
KẾT LUẬN CHUNG ............................................................................................ 96
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ .............................................. 98
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 99
PHỤ LỤC .................................................................................................... 106
vi
DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
A Diện tích mặt cắt ngang (m2).
a Độ sâu vết nứt (m).
b Chiều rộng của mặt cắt ngang hình chữ nhật (m).
C Véc tơ hằng số.
E Mô đun đàn hồi (GPa).
e Vị trí vết nứt (m).
G Mô đun trượt (GPa).
H Ma trận truyền cho phần tử thanh -dầm.
T Ma trận truyền cho toàn bộ dầm.
h Chiều của mặt cắt ngang hình chữ nhật (m).
Mô men quán tính hình học mặt cắt ngang (m4) của dầm có và không có nứt I
Độ cứng của lò xo xoắn tương đương. Kj
L Chiều dài phần tử dầm (m).
Độ lớn vết nứt.
λ Trị riêng.
Tham số hư hỏng.
υ Hệ số Poisson.
Mật độ khối (kg/m3).
ω Tần số dao động riêng của dầm (rad/s).
FRF Háp đáp ứng tần số
FRF1 Háp đáp ứng tần số của tấn số thứ nhất
FRF2 Háp đáp ứng tần số của tần số thứ hai
CSM (Crack Scanning Method) phương pháp quét vết nứt
vii
DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Sơ đồ cơ hệ cơ học ................................................................................... 4
Hình 2.1. Mô hình vết nứt và lò xo thay thế (uốn – kéo nén). ................................ 14
Hình 2.2. Mô hình dao động dọc trục nhiều vết nứt với lò xo thay thế. .................. 15
Hình 2.3. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt đến hàm đáp ứng tần số FRF1 của thanh hai
đầu tự do (độ sâu vết nứt 30%). ............................................................................. 23
Hình 2.4. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt đến hàm đáp ứng tần số FRF2 của thanh hai
đầu tự do (độ sâu vết nứt 30%). ............................................................................. 24
Hình 2.5. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt thứ hai đến hàm FRF1 của thanh hai đầu tự
do. Vị trí vết nứt thứ nhất cố định tại 0.35. ............................................................ 24
Hình 2.6. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt thứ hai đến hàm FRF2 của thanh hai đầu tự
do. Vị trí vết nứt thứ nhất cố định tại 0.35. ............................................................ 25
Hình 2.7. Ảnh hưởng của độ sâu vết nứt thứ hai (0 - 45%) đến hàm FRF1 của thanh
hai đầu tự do. Hai vết nứt thứ nhất và thứ hai cố định tại 0.35 và 0.65 và độ sâu vết
nứt thứ nhất bằng 30%. .......................................................................................... 25
Hình 2.8. Ảnh hưởng của độ sâu vết nứt thứ hai (0 - 45%) đến hàm FRF2 của thanh
hai đầu tự do. Hai vết nứt thứ nhất và thứ hai cố định tại 0.35 và 0.65 và độ sâu vết
nứt thứ nhất bằng 30%. .......................................................................................... 26
Hình 2.9. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt thứ ba đến hàm FRF1 của thanh hai đầu tự
do. Vết nứt thứ nhất và thứ hai cố định tại 0.35 và 0.65, độ sâu các vết nứt 30%. .. 26
Hình 2.10. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt thứ ba đến hàm FRF2 của thanh hai đầu tự
do. Vết nứt thứ nhất và thứ hai cố định tại 0.35 và 0.65, độ sâu các vết nứt là 30%.
.............................................................................................................................. 27
Hình 2.11. Ảnh hưởng của độ sâu 3 vết nứt tại các vị trí 0.3;0.5;0.8 đến hàm FRF1
của thanh hai đầu tự do. ......................................................................................... 27
Hình 2.12. Ảnh hưởng của độ sâu 3 vết nứt tại các vị trí 0.3;0.5;0.8 đến hàm FRF2
của thanh hai đầu tự do. ......................................................................................... 28
viii
Hình 2.13. Ảnh hưởng của vị trí một vết nứt đơn có độ sâu 30% đến hàm FRF1 của
thanh cố định một đầu. .......................................................................................... 29
Hình 2.14. Ảnh hưởng của vị trí một vết nứt đơn có độ sâu 30% đến hàm FRF2 của
thanh cố định một đầu. .......................................................................................... 29
Hình 2.15. Ảnh hưởng của độ sâu 3 vết nứt tại các vị trí 0.3;0.5;0.8 đến hàm FRF1
của thanh cố định một đầu. .................................................................................... 30
Hình 2.16. Ảnh hưởng của độ sâu 3 vết nứt tại các vị trí 0.3;0.5;0.8 đến hàm FRF2
của thanh cố định một đầu. .................................................................................... 30
Hình 2.17. Mô hình dầm đàn hồi chứa vết nứt. ..................................................... 31
Hình 3.1. Sự thay đổi điểm nút đơn (dạng dao động thứ nhất) phụ thuộc vào vị trí
hai vết nứt cùng độ sâu 30% và nằm ở hai phía điểm nút gốc. ............................... 48
Hình 3.2. Các đường đồng mức không dịch chuyển của điểm nút đơn phụ thuộc vào
vị trí và độ sâu của vết nứt bên trái với các số liệu khác nhau của vết nứt bên phải.
e2=0.55,0.75,0.9..................................................................................................... 48
Hình 3.3. Ảnh hưởng của vết nứt thứ ba đến sự dịch chuyển của điểm nút thứ hai
(dạng dao động thứ hai). Các đường đồng mức không dịch chuyển của điểm nút thứ
hai phụ thuộc vào vị trí vết nứt thứ nhất và thứ hai ứng với vị trí và độ sâu khác
nhau của vết nứt thứ ba. ......................................................................................... 49
Hình 3.4. Sự thay đổi vị trí điểm nút duy nhất (1/2) của dạng riêng thứ hai theo vị trí
vết nứt với các độ sâu khác nhau (từ 0% đến 50%) trong dầm gối tựa đơn hai đầu.54
Hình 3.5. Sự thay đổi vị trí điểm nút thứ nhất (1/3) của dạng riêng thứ ba theo vị trí
vết nứt với độ sâu thay đổi từ 0% đến 50% trong dầm gối tựa đơn hai đầu. ........... 54
Hình 3.6. Sự thay đổi điểm nút duy nhất của dạng riêng thứ hai theo vị trí vết nứt
với độ sâu thay đổi từ 0% đến 50% trong dầm công xôn. ....................................... 55
Hình 3.7. Sự thay đổi điểm nút thứ nhất của dạng riêng thứ ba theo vị trí vết nứt với
độ sâu thay đổi từ 0% đến 50% trong dầm công xôn. ............................................. 56
Hình 3.8. Sự thay đổi điểm nút thứ hai của dạng riêng thứ ba theo vị trí vết nứt .... 56
ix
Hình 3.9. Sự thay đổi vị trí điểm nút dạng riêng thứ hai theo vị trí hai vết nứt nằm
hai phía điểm nút, dầm gối tựa đơn hai đầu. ........................................................... 57
Hình 3.10. Các đường đồng mức sự thay đổi vị trí điểm nút dạng riêng thứ hai theo
vị trí hai vết nứt nằm hai phía điểm nút, dầm gối tựa đơn hai đầu. ......................... 58
Hình 3.11. Sự thay đổi vị trí điểm nút dạng riêng thứ hai theo vị trí hai vết nứt nằm
hai phía điểm nút, dầm công-xôn. .......................................................................... 59
Hình 3.12. Các đường đồng mức sự thay đổi vị trí điểm nút của dạng riêng thứ hai
theo vị trí hai vết nứt nằm hai phía điểm nút, dầm công-xôn. ................................. 59
Hình 3.13. Sự thay đổi vị trí điểm nút thứ hai, dạng riêng thứ ba theo vị trí hai vết
nứt nằm hai phía điểm nút, dầm công xôn. ............................................................ 60
Hình 3.14. Các đường đồng mức sự thay đổi vị trí điểm nút thứ hai của dạng riêng
thứ ba theo vị trí hai vết nứt nằm hai phía điểm nút, dầm công xôn. ...................... 60
Hình 4.1. Hệ Thống đo đạc dao động PULSE. ...................................................... 62
Hình 4.2. Mô hình đo đạc đơn kênh (1 đầu vào 1 đầu ra). ...................................... 63
Hình 4.3. Phương pháp công hưởng. ...................................................................... 65
Hình 4.4. Mô hình thí nghiệm và hệ thống thiết bị đo ............................................ 67
Hình 4.5. Tín hiệu đầu vào và FRF của thanh bê tông đàn hồi. .............................. 67
Hình 4.6. Kết quả đo hàm đáp ứng tần số FRF1của thanh bê tông ......................... 68
Hình 4.7. kết quả đo hàm đáp ứng tần số FRF2 của thanh bê tông. ........................ 68
Hình 4.8. Lắp đặt Mô hình thí nghiệm. .................................................................. 69
Hình 4.9. Mô hình thí nghiệm dầm đàn hồi ngàm hai đầu. ..................................... 70
Hình 4.10. Mô hình đo đạc thực nghiệm với dầm ngàm 2 đầu. .............................. 70
Hình 4.11. Mô hình vết nứt dầm cho đo đạc hàm đáp ứng phổ. ............................. 71
Hình 4.12. Tín hiệu đầu theo thời gian vào và phổ tín hiệu đầu vào với kích động tại
p=0.28m. ............................................................................................................... 71
x
Hình 4.13. Hàm đáp ứng tần số (FRF) ở thang đo loga và thang đo tuyến tính kích
động tại p=0.28m. .................................................................................................. 71
Hình 4.14. Tín hiệu và FRF với kích động tại p=0.4m. .......................................... 72
Hình 4.15. Tín hiệu và FRF với kích động tại p=0.5m. .......................................... 72
Hình 4.16. Tín hiệu và FRF với kích động tại p=0.6m. .......................................... 72
Hình 4.17. Tín hiệu và FRF với kích động tại p=0.72m. ........................................ 72
Hình 4.18. Tín hiệu và FRF với kích động tại p=0.5m vết nứt 10%. ...................... 73
Hình 4.19. Tín hiệu và FRF với kích động tại p=0.5m vết nứt 40%. ...................... 73
Hình 4.20. Biểu diễn hàm đáp ứng tần số (FRF) với độ sâu vết nứt thay đổi:
Series 1: x=0.45m, a1/h=10%; Series 2: x=0.45m, a1/h=20%; Series
3: x=0.45m, Series 4: x=0.45m, a1/h=30%; a1/h=40%;
Series 5: x=0.2, 0.45, 0.8m, a1/h=a2/h=a3/h=40%. .................................................. 74
Hình 4.21. Mô hình vết nứt đo đạc FRF để lấy tần số. ........................................... 75
Hình 4.22. Sự thay đổi của tần số thứ nhất theo lý thuyết – thực nghiệm và Rayleigh
.............................................................................................................................. 79
Hình 4.23. Sự thay đổi của tần số thứ hai theo lý thuyết – thực nghiệm và Rayleigh
.............................................................................................................................. 79
Hình 4.24. Sự thay đổi của tần số thứ ba theo lý thuyết – thực nghiệm và Rayleigh
.............................................................................................................................. 80
Hình 4.25. Sự thay đổi của tần số thứ tư theo lý thuyết – thực nghiệm và Rayleigh
.............................................................................................................................. 80
Hình 4.26. Sự thay đổi của tần số thứ năm theo lý thuyết – thực nghiệm và Rayleigh
.............................................................................................................................. 80
Hình 4.27. Sự thay đổi của tần số thứ sáu theo lý thuyết – thực nghiệm và Rayleigh
.............................................................................................................................. 81
xi
Hình 5.1. Kết quả chẩn đoán vị trí vết nứt trong thanh bê tông bằng hàm đáp ứng
tần số FRF1. .......................................................................................................... 84
Hình 5.2. kết quả chẩn đoán 01 vết nứt tại vị trí 0.45 có độ sâu 10% (a. chẩn đoán
bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian; d. bước
lặp cuối cùng). ....................................................................................................... 86
Hình 5.3. kết quả chẩn đoán 02 vết nứt tại các vị trí 0.2 và 0.45 có độ sâu 10% (a.
chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian;
d. bước lặp cuối cùng). .......................................................................................... 87
Hình 5.4. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 10% (a.
chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian;
d. bước lặp cuối cùng). .......................................................................................... 87
Hình 5.5. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 10% -
20%-10% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi
tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng). ............................................................... 88
Hình 5.6. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 20% -
20%-10% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi
tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng). ............................................................... 88
Hình 5.7. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 20% -
20%-20% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi
tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng). ............................................................... 89
Hình 5.8. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 20% -
30%-20% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi
tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng). ............................................................... 89
Hình 5.9. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 30% -
30%-20% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi
tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng). ............................................................... 90
Hình 5.10. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 30% -
30%-30% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi
tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng). ............................................................... 90
xii
Hình 5.11. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 30% -
30%-40% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi
tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng). ............................................................... 91
Hình 5.12. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 30% -
40%-40% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi
tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng). ............................................................... 91
Hình 5.13. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 40% -
40%-40% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi
tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng). ............................................................... 92
Hình 5.14. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 50% -
40%-40% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi
tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng). ............................................................... 92
Hình 5.15. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 50% -
50%-40% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi
tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng). ............................................................... 93
Hình 5.16. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 50% -
50%-50% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi
tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng). ............................................................... 93
xiii
DANH MỤC BẢNG
Bảng 2. 1: Các hàm biên và các chỉ số đạo hàm trong điều kiện biên ..................... 39
Bảng 4.1. Tần số dầm ngàm 2 đầu nguyên vẹn ...................................................... 75
Bảng 4.2. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e=0.45m; a/h=10% ..................... 75
Bảng 4.3. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=10%; e2=0.45m;
a2/h=10%; .............................................................................................................. 75
Bảng 4.4. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=10%; e2=0.45m;
a2/h=10%; e3=0.7m, a3/h=10% .............................................................................. 76
Bảng 4.5. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=10%; e2=0.45m;
a2/h=20%; e3=0.7m, a3/h=10% .............................................................................. 76
Bảng 4.6. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=20%; e2=0.45m;
a2/h=20%; e3=0.7m, a3/h=10% .............................................................................. 76
Bảng 4.7. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=20%; e2=0.45m;
a2/h=20%; e3=0.7m, a3/h=20% .............................................................................. 76
Bảng 4.8. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=20%; e2=0.45m;
a2/h=30%; e3=0.7m, a3/h=20% .............................................................................. 77
Bảng 4.9. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=30%; e2=0.45m;
a2/h=30%; e3=0.7m, a3/h=20% .............................................................................. 77
Bảng 4.10. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=30%; e2=0.45m;
a2/h=30%; e3=0.7m, a3/h=30% .............................................................................. 77
Bảng 4.11. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=30%; e2=0.45m;
a2/h=30%; e3=0.7m, a3/h=40% .............................................................................. 77
Bảng 4.12. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=30%; e2=0.45m;
a2/h=40%; e3=0.7m, a3/h=40% .............................................................................. 78
Bảng 4.13. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=40%; e2=0.4m;
a2/h=40%; e3=0.7m, a3/h=40% .............................................................................. 78
xiv
Bảng 4.14. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=50%; e2=0.4m;
a2/h=40%; e3=0.7m, a3/h=40% .............................................................................. 78
Bảng 4.15. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=50%; e2=0.45m;
a2/h=50%; e3=0.7m, a3/h=40% .............................................................................. 78
Bảng 4.16. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=50%; e2=0.45m;
a2/h=50%; e3=0.7m, a3/h=50% .............................................................................. 79
Bảng 5.1. Kết quả chẩn đoán vết nứt bằng số liệu đo đạc thực nghiệm .................. 94
1
MỞ ĐẦU
Tính thời sự của đề tài
Hư hỏng trong các kết cấu, nhất là các vết nứt có thể gây ra sự sụp đổ công
trình nếu không được phát hiện kịp thời. Điều này đã được minh chứng bằng kết
quả nghiên cứu các tai nạn đã xảy ra với các công trình quan trọng như giàn khoan
biển. Tuy nhiên việc xác định vị trí và mức độ của một vết nứt trong một cấu kiện
cũng rất khó, bởi vì vết nứt thường nằm bên trong các cấu kiện mà mắt thường
không thể phát hiện được. Chính vì vậy, để chẩn đoán vết nứt, người ta thường sử
dụng các phương pháp kiểm tra không phá hủy. Một trong các phương pháp đó,
mang tính tổng thể và có thể áp dụng cho các công trình phức tạp, là dựa trên việc
đo đạc các tham số dao động của công trình để xác định vị trí và mức độ hư hỏng
trong công trình.
Các tham số dao động thường được sử dụng trong chẩn đoán hư hỏng kết cấu
là các tần số và dạng dao động riêng hay hàm đáp ứng tần số. Những tham số này là
những đặc trưng khá đầy đủ cho tình trạng kỹ thuật của một công trình mà không
phụ thuộc vào các kích động bên ngoài. Tuy nhiên, việc xác định các đặc trưng này
từ số liệu đo đạc (thường hiểu là việc đo đạc) cũng là những vấn đề cần thiết và
quan trọng. Đây là bài toán của phương pháp thử nghiệm dao động (Modal Testing
Technique). Tần số dao động riêng là tham số dao động được sử dụng đầu tiên và
cho đến nay vẫn còn đang được sử dụng vào việc đánh giá trạng thái kỹ thuật công
trình (structural health monitoring). Bởi vì tần số dao động riêng gắn liền với tính
chất tổng thể của kết cấu (như khối lượng, độ cứng) nên rất dễ đo đạc được một
cách chính xác. Trở ngại lớn nhất của việc sử dụng các tần số riêng mà cho đến nay
vẫn còn đang được giải quyết là chúng ta chỉ đo được số lượng rất ít các tần số
riêng trong khi số lượng các hư hỏng thường là chưa biết. Nếu tần số riêng là một
đặc trưng số, thì dạng dao động riêng của kết cấu công trình lại là một đặc trưng
hàm trong không gian, có thể cung cấp cho chúng ta thông tin chi tiết hơn về vị trí
của hư hỏng. Đã có nhiều công bố sử dụng cả tần số và dạng riêng để chẩn đoán hư
hỏng trong kết cấu công trình, nhưng vấn đề còn tồn tại chính là khó khăn trong
việc đo đạc dạng dao động riêng. Để có thể đo được dạng dao động riêng cần rất
2
nhiều đầu đo và đòi hỏi một phương pháp xác định dạng dao động riêng từ số liệu
đo một cách chính xác (do tính không duy nhất của dạng dao động riêng).
Như đã nói ở trên, cả tần số và dạng dao động riêng đo đạc đều được xác
định từ số liệu đo đạc của hàm đáp ứng tần số. Việc xác định các tần số và dạng
riêng từ hàm đáp ứng tần số cũng gặp nhiều sai số mà cho đến nay vẫn còn đang
được nghiên cứu. Để tránh các sai số trong xử lý số liệu đo đạc nêu trên, nhiều
chuyên gia đã đề nghị sử dụng ngay hàm đáp ứng tần số cho việc chẩn đoán hư
hỏng kết cấu công trình. Ngoài ra, hàm đáp ứng tần số còn là một đặc trưng hàm số
trong miền tần số nó cho phép chúng ta không chỉ xác định tần số riêng, dạng dao
động riêng mà còn chỉ ra ứng xử của kết cấu trong lân cận của tần số cộng hưởng
(xấp xỉ tần số riêng). Chính tiềm năng này của hàm đáp ứng tần số chưa được khai
thác và ứng dụng nhiều trong chẩn đoán hư hỏng kết cấu công trình.
Mục tiêu của luận án
Mục tiêu của luận án này là phát triển và ứng dụng phương pháp sử dụng
hàm đáp ứng tần số để chẩn đoán vết nứt trong kết cấu thanh - dầm đàn hồi. Nội
dung nghiên cứu bao gồm: xây dụng các mô hình kết cấu thanh, dầm có nhiều vết
nứt; nghiên cứu sự thay đổi của các tham số dao động, chủ yếu là hàm đáp ứng tần
số, do vết nứt; tiến hành nghiên cứu thực nghiệm đo đạc các tham số dao động của
một số mô hình thanh, dầm có vết nứt trong phòng thí nghiệm và đề xuất một số
thuật toán để chẩn đoán vết nứt trong kết cấu dựa trên mô hình đã xây dựng và các
số liệu đo đạc thực nghiệm.
Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là kết cấu dạng thanh, dầm phẳng có vết
nứt được nghiên cứu trên mô hình liên tục theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli với
các điều kiện biên khác nhau.
Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu là phương pháp giải tích kết hợp với mô phỏng số
và kiểm chứng bằng thực nghiệm.
3
Bố cục luận án gồm: Mở đầu, 5 chương và kết luận.
Mở đầu: Trình bày sự cần thiết của đề tài, mục tiêu, đối tượng nghiên cứu,
phương pháp nghiên cứu và bố cục luận án.
Chương 1: Trình bày tổng quan về vấn đề nghiên cứu: Bài toán chẩn đoán
hư hỏng kết cấu, các nghiên cứu về bài toán chẩn đoán vết nứt trong kết cấu sử
dụng các đặc trưng dao động.
Chương 2: Trình bày cơ sở lý thuyết dao động của kết cấu thanh, dầm có
nhiều vết nứt. Những phương trình được thiết lập trong chương này làm cơ sở cho
việc nghiên cứu lý thuyết, đo đạc thực nghiệm và chẩn đoán vết nứt của các chương
sau.
Chương 3: Trình bày kết quả nghiên cứu sự thay đổi các điểm nút dao động
trong thanh, dầm do vết nứt làm tiền đề cho việc chẩn đoán vết nứt dựa trên sự thay
đổi các điểm nút dao động.
Chương 4: Nghiên cứu thực nghiệm hàm đáp ứng tần số của thanh, dầm
chứa vết nứt, phân tích và xử lý số liệu hàm đáp ứng tần số để làm đầu vào cho bài
toán chẩn đoán vết nứt trong thanh, dầm.
Chương 5: Trình bày thuật toán và kết quả chẩn đoán vết nứt trong thanh
dầm dựa trên hàm đáp ứng tần số và tần số riêng.
Phần Kết luận chung: trình bày tóm tắt kết quả chính của luận án. Đồng
thời cũng đưa ra một số vấn đề chưa giải quyết được cần tiếp tục nghiên cứu.
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo đăng trên
Vietnam Journal of Mechanics; 01 bài báo quốc tế SCI: Journal of Sound and
Vibration và 01 bài báo trên tạp chí quốc tế SCIE: Nondestructuve Testing and
Evaluation; 02 bài báo trong Kỷ yếu Hội nghị khoa học chuyên ngành.
4
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN
1.1. Bài toán chẩn đoán hư hỏng kết cấu
Với một đối tượng kỹ thuật luôn tồn tại hai bài toán: Bài toán thuận, nghiên
cứu ứng xử của kết cấu; Bài toán chẩn đoán [28], thực chất là một bài toán ngược
[29], nhằm mục đích phát hiện hư hỏng trong kết cấu từ các số liệu đo đạc dựa trên
kết quả phân tích của bài toán thuận. Cụ thể đối một hệ cơ học thường được mô tả
bằng sơ đồ:
Y
X
∑
Hình 1.1. Sơ đồ cơ hệ cơ học
với: X: là đầu vào, tác động ngoài,
∑: là mô hình hóa, mô tả cấu trúc, đặc tính của cơ hệ,
Y: là đầu ra, đáp ứng của cơ hệ.
X YL
Hệ cơ học có thể biểu diễn bằng một phương trình toán học:
trong đó L là toán tử tổng quát, có thể là toán tử vi phân, tích phân, đại số, ... cùng
với các điều kiện biên ban đầu tương ứng. Khi đó, bài toán thuận được hiểu là cần
phải xác định đầu ra Y nếu đã biết được L và X. Bài toán ngược là bài toán xác định
đầu vào X khi biết L và Y hoặc xác định L khi biết X và Y (đây là bài toán nhận
dạng hệ thống, thực chất là xây dựng lại mô hình của hệ khi biết được đầu vào và
đầu ra).
Việc đánh giá tính nguyên vẹn của một kết cấu, thực chất, là bài toán chẩn
đoán hư hỏng kết kết cấu. Hư hỏng, ở đây, được hiểu là sự thay đổi về kích thước,
hình dáng, vật liệu, liên kết, hay nói gọn lại là sự thay đổi về mô hình cấu tạo.
Vết nứt là một dạng hư hỏng điển hình trong kết cấu các công trình xây dựng
và máy móc thiết bị Vết nứt nói chung được mô tả bằng vị trí và kích thước của nó
trong kết cấu. Sự xuất hiện vết nứt trong kết cấu làm suy giảm độ cứng của kết cấu
trong vùng lân cận vết nứt. Với kết cấu có vết nứt thì việc nghiên cứu bài toán thuận
5
là phân tích ảnh hưởng của vết nứt tới ứng xử của kết cấu. Do đó việc xây dựng mô
hình kết cấu và mô hình vết nứt là rất quan trọng. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong
kết cấu chính là việc xác định độ lớn cũng như vị trí của vết nứt dựa trên số liệu đo
đạc. Bài toán này được tiếp cận bằng hai cách:
Cách thứ nhất là chẩn đoán theo triệu chứng, tức là dựa trên số liệu xử lý đo
đạc thực của kết cấu cùng với hiểu biết qua phân tích ảnh hưởng của vết nứt
trong bài toán thuận để phát hiện ra sự thay đổi bất thường.
Cách thứ hai là xây dựng mô hình với vết nứt sát với thực tế từ mô hình kết
cấu với vết nứt giả định cùng số liệu đo đạc. Đây là phương pháp điều
chỉnh mô hình đang được quan tâm nghiên cứu hiện nay.
Việc chẩn đoán các vết nứt trong kết cấu công trình đã thu hút nhiều nhà
nghiên cứu trong hơn hai thập kỷ qua như đã chỉ ra trong các báo cáo tổng quan của
Doebling và đồng nghiệp [1] năm 1996, Salawu [2] năm 1997 và Sohn và các đồng
nghiệp [3] năm 2004.
Trong chẩn đoán hư hỏng trong kết cấu nói chung cũng như vết nứt nói
riêng, người ta thường sử dụng các đặc trưng động lực học. Ở đó thì tần số dao
động riêng, dạng dao động riêng và hàm đáp ứng tần số (và một số đặc trưng liên
quan như độ cứng và độ mềm động) thường hay được sử dụng [1-5]. Lúc đầu người
ta sử dụng chủ yếu là tần số riêng để chẩn đoán hư hỏng kết cấu [6-17] vì đo đạc tần
số riêng là dễ dàng, chính xác nhất và rất nhiều kết quả đã đạt được theo hướng này.
Tuy nhiên, những kết quả sử dụng tần số riêng trước đây chỉ cho phép ta xác định
được những hư hỏng khuyết tật lớn ở những kết cấu đơn giản vì tần số riêng rất ít
nhạy cảm với các hư hỏng nhỏ, đặc biệt là các tần số thấp. Để xác định các hư hỏng
nhỏ phải đo được các tần số rất cao, trong khi đó số lượng tần số đo được chỉ là các
tần số thấp với số lượng không nhiều. Hơn nữa, việc đo đạc các tần số cao không
những khó mà còn không chính xác. Do đó người ta phải sử dụng các thông tin
khác ngoài tần số để chẩn đoán hư hỏng. Các tác giả như Morassi và các cộng sự
[18-20] đã kiến nghị sử dụng thêm tần số phản cộng hưởng (tức tần số kích động
làm tắt dao động), nhưng việc đo đạc các tần số phản cộng hưởng không dễ dàng và
số lượng có thể đo được cũng bị hạn chế. Một số tác giả khác đã sử dụng dạng dao
6
động riêng để chẩn đoán hư hỏng trong kết cấu [21-27]. Tuy nhiên, việc đo đạc
dạng riêng trong thực tế đòi hỏi rất nhiều đầu đo và không thể đo dạng riêng một
1.1.1. Những nghiên cứu trên thế giới
cách chính xác.
Việc chẩn đoán vết nứt của kết cấu dựa trên sự thay đổi tần số riêng được bắt
đầu vào năm 1975 do Vandiver thực hiện trên đối tượng là giàn khoan biển. Năm
1978-1979 Adams, Cawley và các cộng sự đã phát triển nhiều công trình sử dụng
tần số riêng để chẩn đoán [6,7], trong đó các tác giả đã nghiên cứu trường hợp một
thanh đàn hồi có vết nứt được mô tả bằng một lò xo dọc trục với độ cứng của lò xo
chưa biết và xây dựng được phương trình để xác định vị trí vết nứt từ số liệu đo tần
số riêng. Năm 1990 Stubbs và Osegueda [8] đã phát triển hơn nữa bằng việc chẩn
đoán vết nứt dựa trên độ nhạy cảm của tần số riêng. Sau đó năm 1992 Sanders và
các cộng sự đã kết hợp sử dụng phương pháp độ nhạy cảm tần số của Stubbs và
Osegueda cùng với lý thuyết thay đổi trạng thái ban đầu để nhận dạng hư hỏng.
Năm 1994 Narkis [10] đã tìm được nghiệm giải tích đối với vị trí vết nứt từ số liệu
đo hai tần số riêng trong trường hợp điều kiện biên gối tựa đơn… Gần đây việc sử
dụng sự thay đổi tần số riêng để chẩn đoán hư hỏng kết cấu có thể kể đến Lee [14]
năm 2009 trong việc phát triển phương pháp độ nhạy cảm trong việc chẩn đoán vết
nứt bằng tần số riêng. Zhang và các cộng sự [15] năm 2010 đã chẩn đoán đa vết nứt
bằng tần số. Kaushar và các cộng sự [16] năm 2013 đã sử dụng hai tần số đầu để
xác định vị trí và độ sâu vết nứt của dầm công xôn. Thalapil cùng Maiti [17] năm
2014 phát hiện vết nứt theo theo chiều dọc của dầm Euler–Bernoulli và dầm
Timoshenko.
Việc chẩn đoán hư hỏng nói chung và vết nứt nói riêng của kết cấu dựa trên
sự thay đổi tần số thường chỉ phát hiện sự xuất hiện của vết nứt mà không xác định
được vị trí vết nứt. Trong khi đó thì vết nứt lại ảnh hưởng một cách địa phương. Do
đó các thông tin vết nứt dựa vào dạng riêng được xem xét trong bài toán chẩn đoán.
Năm 1984 West đã giới thiệu việc nhận dạng vị trí hư hỏng của kết cấu sử
dụng dạng riêng cùng phương pháp phần tử hữu hạn. Năm 1990 Rizos và các đồng
nghiệp [21] đã dựa vào dạng riêng và tần số riêng để chẩn đoán vị trí cũng như độ
7
lớn của vết nứt mở đối với dầm đàn hồi công xôn. Sau đó Pandey và đồng nghiệp
[22] năm 1991 đã đề xuất phương pháp ứng dụng độ cong của dạng riêng để phát
hiện hư hỏng của kết cấu. Sự suy giảm mặt cắt ngang gây ra bởi hư hỏng có xu
hướng làm tăng độ cong của các dạng riêng trong lân cận vùng bị hư hỏng. Salawu
và Williams năm 1994 đã so sánh kết quả việc sử dụng dạng dao động riêng với
việc sử dụng độ cong của dạng riêng để chẩn đoán, đã thấy rằng dạng riêng không
nhạy cảm bằng độ cong dạng riêng đối với vết nứt kết cấu… Gần đây việc sử dụng
dạng riêng cũng như độ nhạy cảm của dạng riêng để chẩn đoán vết nứt trong dầm
đàn hồi có thể kể đến Maosen Cao và các đồng nghiệp [30,31] năm 2011 đến năm
2014. Ngoài việc sử dụng dạng riêng dao động để chẩn đoán vết nứt của kết cấu thì
các tác giả Gladwell và Morassi [32] năm 1999 đã chỉ ra rằng điểm nút của dao
động (điểm dao động bị triệt tiêu) cũng là một chỉ số có thể sử dụng để chẩn đoán
vết nứt trong thanh. Các tác giả này đã công bố một công trình nghiên cứu khá bài
bản, được kiểm chứng cả bằng thực nghiệm rằng sự thay đổi các điểm nút trong dao
động dọc trục cho phép chẩn đoán chính xác vị trí một vết nứt đơn trong thanh. Vấn
đề phát triển phương pháp sử dụng sự thay đổi các điểm nút dao động trong dầm để
chẩn đoán vết nứt đã được Morassi và Delina [35] bắt đầu nghiên cứu từ năm 2002.
Tuy vậy hơn 10 năm qua không thấy xuất hiện công bố mới nào theo hướng này.
Các phân tích trên cho thấy dạng riêng có thể sử dụng để xác định được vị trí
của vết nứt. Tuy nhiên nếu chỉ sử dụng dạng riêng cho mục đích này thì cần phải có
nhiều số liệu đo đạc chính xác, mà đây là những yêu cấu không phải lúc nào cũng
thực hiện được trong thực tế. Trong khi đó hàm đáp ứng chứa đựng cả thông tin về
tần số và dạng riêng có thể được sử dụng để phân tích ảnh hưởng của vết nứt lên
đáp ứng của kết cấu. Việc đo đạc hàm đáp ứng tần số lại đơn giản và cho kết quả
chính xác. Vì vậy việc phát triển các phương pháp ứng dụng hàm đáp ứng tần số
1.1.2. Những nghiên cứu trong nước
trong chẩn đoán vết nứt là rất cần thiết do tính ưu việt của nó.
Bài toán chẩn đoán hư hỏng kết cấu được giáo sư Nguyễn Cao Mệnh, giáo sư
Nguyễn Tiến Khiêm và các cộng sự [36] phát triển vào năm 1996, ở đây đã khoanh
vùng hư hỏng từ đó đưa ra một quy trình chẩn đoán kết cấu giàn khoan biển cố định
bằng các đặc trưng động học. Hai năm sau nhóm nghiên cứu này [37] đưa ra phân
8
tích modal của kết cấu hư hỏng dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn cải biên.
Dựa trên mô hình phần tử hữu hạn cải biên này Đào Như Mai [39] đã sử dụng độ
nhạy cảm của các đặc trưng động lực học để phân tích và chẩn đoán hư hỏng kết
cấu. Lê Xuân Hàng, Nguyễn Thị Hiền Lương [40] năm 2009 trình bày cách xác
định vị trí và chiều sâu các vết nứt trong dầm công xôn bằng thuật toán di truyền
cùng phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng tần số dao động riêng để chẩn đoán.
Năm 2014 Nguyễn Tiến Khiêm và Lê Khánh Toàn [41] đã dựa trên sự thay đổi tần
số để chẩn đoán đa vết nứt với mô hình dầm liên tục chứa vết nứt và điều kiện biên
ngàm hai đầu.
Sử dụng dạng riêng để chẩn đoán hư hỏng kết cấu có: Trần Thanh Hải [42]
đã sử dụng dạng riêng của mô hình dầm liên tục chứa vết nứt cùng phương pháp
điều chỉnh Tikhonov để chẩn đoán đa vết nứt. Năm 2014 Nguyễn Việt Khoa [43] đã
sử dụng dạng riêng của phần từ dầm ba chiều “trong đó kể đến ảnh hưởng qua lại
giữa biến dạng uốn theo 2 phương khác nhau” chứa vết nứt cùng phương pháp
phần tử hữu hạn để chẩn đoán hư hỏng.
Năm 2010 Nguyễn Việt Khoa và Trần Thanh Hải [44] đã sử dụng phân tích
Waveles để nhận dạng đa vết nứt của dầm chịu tải trọng di động. Nguyễn Tiến
Khiêm, Lê Khánh Toàn [33,34] năm 2013 đã mở rộng các kết quả của Gladwell và
Morassi [32] (sử dụng điểm nút dao động của thanh để chẩn đoán một vết nứt) cho
trường hợp thanh có nhiều vết nứt. Năm 2016 Nguyễn Thái Chung và các cộng sự
[61] đã phân tích động lực học đối với cột có vết nứt chị tải trọng động đất. Năm
2014-2016 Nguyễn tiến Khiêm, Phí Thị Hằng [53,54,55,56] đã phân tích và nhận
dạng dầm đa vết nứt dưới tác động của tải trọng di động. Đồng thời cũng từ năm
2014-2017 Nguyễn Tiến Khiêm và các cộng sự [58, 59, 60] đã nghiên cứu và chẩn
đoán dầm bậc đa vết nứt dựa trên phương pháp Rayleight và phương pháp quét. Từ
năm 2015-2017 Nguyễn Tiến Khiêm và Nguyễn Ngọc Huyên [62, 63, 64] đã phân
tích và chẩn đoán đối với mô hình dầm FGM chứa vết nứt.
Từ những nghiên cứu kể trên cho thấy việc ứng dụng tần số riêng và dạng
dao động riêng cũng đã được nhiều tác giả trong nước nghiên cứu và phát triển. Tuy
nhiên, việc sử dụng riêng biệt tần số riêng hay dạng riêng để chẩn đoán vết nứt đều
gặp phải những hạn chế như đã nêu ở mục 1.1.1. Đó là, tần số riêng thì không phát
9
hiện được vị trí vết nứt (do sử dụng mô hình phần tử hữu hạn để chẩn đoán), còn
dạng riêng thì cần phải sử dụng nhiều số liệu đo đạc chính xác. Vì vậy cần thiết
phải phát triển các phương pháp sử dụng các tham số động lực học mà đo được với
độ chính xác cao như tần số riêng và hàm đáp ứng tần số để chẩn đoán được cả sự
1.2. Hàm đáp ứng tần số trong chẩn đoán hư hỏng kết cấu
xuất hiện vết nứt, vị trí vết nứt và độ sâu vết nứt.
Một điều đáng quan tâm trong thực tế phân tích kết cấu là độ tin cậy của việc
xác định các đặc trưng động lực học như tần số và dạng dao động riêng (hay còn
gọi là các mode) của kết cấu. Những đặc trưng dao động này rất quan trọng trong
việc thiết kế và kiểm soát dao động của các thành phần kết cấu. Có hai phương
pháp xác định các đặc trưng động lực học của một kết cấu công trình đang tồn tại:
tính toán bằng phương pháp lý thuyết và thử nghiệm động lực học. Hiện nay do
những tiến bộ trong việc chế tạo các thiết bị và kỹ thuật đo, các đặc trưng dao động
được nhận dạng từ những số liệu đo đạc được coi là gần gũi hơn so với các đại diện
thực sự của kết cấu, trong khi những phân tích lý thuyết được xem là kém chính xác
hơn do những mô phỏng kết cấu không thực sự hoàn chỉnh. Bằng cách đo các số
liệu đáp ứng của kết cấu và phân tích động lực học các số liệu này, ta có thể thu
được các tham số chính xác của tần số riêng và các dạng dao động của kết cấu.
Trong các dữ liệu đo đạc được của các đặc trưng dao động thì người ta thấy
rằng: Sử dụng hàm đáp ứng tần số mà thường đo đạc được trực tiếp để làm số liệu
đầu vào cho việc chẩn đoán hư hỏng tốt hơn là dùng tần số và dạng riêng. Đó là do
những ưu điểm vượt trội của các dữ liệu hàm đáp ứng tần số đo được:
Hàm đáp ứng tần số ngoài cung cấp thông tin về tần số riêng (tần số cộng
hưởng) còn có khả năng cung cấp thêm thông tin về đáp ứng của kết cấu ở
những tần số xa cộng hưởng.
Sử dụng hàm đáp ứng tần số sẽ tránh được sai số của việc xử lý số liệu đo
để tách tần số và dạng riêng từ số liệu đo đạc (Hàm đáp ứng tần số là đầu
vào trong phân tích dạng riêng).
Ngoài ra, những thông tin rất quan trọng đó là vị trí điểm đo và vị trí điểm
đặt lực tác đều có trong hàm đáp ứng tần số.
10
Trong việc ứng dụng hàm đáp ứng tần số cho bài toán chẩn đoán hư hỏng kết
cấu được tiến hành theo hai cách:
Cách thứ nhất là sử dụng trực tiếp dữ liệu đo đạc hàm đáp ứng tần số để
phát hiện hư hỏng;
Cách thứ hai đó là xây dựng các mô hình toán học cho hàm đáp ứng tần số
của kết cấu có hư hỏng.
Đối với cách tiếp cận thứ nhất được Wang. Z và các cộng sự [45] nghiên cứu
vào năm 1997, họ đã sử dụng dữ liệu đo đạc hàm đáp ứng tần số trước và sau hư
hỏng cùng với phương trình nhiễu loạn phi tuyến để nhận dạng hư hỏng. Sau đó
được nghiên cứu nhiều bởi các tác giả Maia, Sampaio và các cộng sự [46,47] năm
1999-2003. Trong các công bố này, các tác giả đã sử dụng sự thay đổi tuyệt đối của
hàm đáp ứng tần số theo chuyển vị, góc xoay và độ cong biến dạng để phát hiện vị
trí vết nứt trong dầm đàn hồi và đã đưa ra kết luận đó là sử dụng hàm đáp ứng tần
số của độ cong là tốt hơn cả. Năm 2003 Owolabi và các cộng sự [48] đã xác định
vết nứt trong dầm đàn hồi (điều kiện biên là ngàm chặt 2 đầu và gối tự hai đầu) dựa
trên sự thay đổi ba tần số cơ bản đầu tiên và biên độ của hàm đáp ứng tần số.
H
( )
Cách tiếp cận thứ hai là sử dụng biểu thức của hàm đáp ứng tần số ở dạng:
jk
)( k i
)( j r r 2
r
2 r
r
, (1.37)
trong đó chỉ số j - chỉ vị trí điểm đo, k - vị trí điểm đặt lực, r - số hiệu của dạng dao
r . Biểu thức
r , r
động, - là tần số riêng và hệ số cản tương ứng với dạng riêng
(1.37) chính là biểu diễn của hàm đáp ứng tần số theo các đặc trưng dao động của
kết cấu như tần số, dạng riêng và hệ số cản. Nổi bật hơn cả là kết quả của các tác
giả Usik Lee và Jinho Shin [49]. Ở đây các tác giả đã thiết lập được hệ phương trình
đại số để xác định các tham số hư hỏng của dầm đàn hồi dựa trên mô hình và số liệu
đo của hàm đáp ứng tần số. Lee và Shin đã phát triển một phương pháp phát hiện sự
hư hỏng của dầm và kết cấu dạng tấm sử dụng các dữ liệu đo đạc hàm đáp ứng tần
số. Họ áp dụng một phương pháp là giảm dần các miền một cách lặp đi lặp lại để
11
tìm kiếm và đưa ra các vùng hư hỏng và đã mở rộng phương pháp này cho các tấm
phẳng trực hướng. Ne và các cộng sự đã nghiên cứu kỹ lưỡng hiệu quả của việc sử
dụng phương pháp phân tích thành phần chính để xác định thiệt hại do động đất gây
ra cho mô hình một tòa nhà bê tông cốt thép cao 38 tầng với tỷ lệ 1:20 được đặt trên
một bàn lắc, bằng cách sử dụng các tham số đo được của hàm đáp ứng tần số và
mạng nơron. Điều đó chứng tỏ rằng kết quả xác định các hư hỏng của dự án phân
tích hàm đáp ứng tần số trên một vài thành phần chính là tốt hơn nhiều so với
những gì thu được trực tiếp khi sử dụng các dữ liệu đo được của hàm đáp ứng tần
số.
Những năm gần đây việc sử dụng hàm đáp ứng tần số để chẩn đoán hư hỏng
trong kết cấu có thể kể đến như: Araujo dos Santos và các cộng sự [50] năm 2005
đề xuất một phương pháp xác định hư hỏng trên cơ sở độ nhạy của các hàm đáp ứng
tần số. Họ chỉ ra rằng kết quả nhận biết hư hỏng sẽ tốt hơn nếu như đo ở tần số thấp
và các điểm kích thích không phải là các điểm nút. Vì vậy, khả năng khai thác thêm
thông tin từ hàm đáp ứng tần số cho bài toán chẩn đoán là rộng mở. Năm 2010
Animesh Chatterjee [51] nghiên cứu đánh giá hư hỏng của kết cấu dầm công xôn
dựa trên hàm đáp ứng tần. Trong đó vết nứt của dầm được nghiên cứu trong trường
hợp vết nứt đóng mở (breathing crack). Năm 2012 Huang và các cộng sự [52] xác
định hư hỏng của kết cấu nhà năm tầng trong bài toán điều khiển kết cấu dựa vào sự
thay đổi của hàm đáp ứng tần số và các bộ giảm chấn. Ở đây họ đã chỉ ra rằng với
1.3. Một số nhận xét và đặt vấn đề nghiên cứu
nhiễu lớn hơn 10% thì không thể xác định được hư hỏng.
Như đã trình bày ở trên, phương pháp đo đạc các đặc trưng dao động của kết
cấu để chẩn đoán hư hỏng hiện đang là phương pháp hiệu quả nhất. Tuy nhiên, dù
là bằng cách nào, phân tích trực tiếp tín hiệu đo hay sử dụng mô hình để chẩn đoán
hư hỏng, thì cho đến nay vẫn tồn tại hai vấn đề sau. Một là các đặc trưng dễ đo thì ít
nhạy cảm với hư hỏng và hai là sai số đo đạc có thể còn lớn hơn ảnh hưởng của hư
hỏng. Chính vì thế, việc tìm các đặc trưng dao động khác vừa không nhạy cảm với
sai số đo đạc, nhưng lại nhạy cảm với hư hỏng để chẩn đoán hư hỏng trong công
trình vẫn là một bài toán chưa giải được. Trong các đặc trưng dao động: tần số và
dạng dao động riêng, hệ số cản và hàm đáp ứng tần số thì tần số và hàm đáp ứng tần
12
số là đo được dễ dàng nhất, chính xác nhất. Tuy nhiên, hàm đáp ứng tần số là một
đặc trưng tổng hợp, bao hàm cả ba các đặc trưng trước (tần số, dạng riêng và hệ số
cản) và mô tả cả cấu trúc phổ của hệ. Vì vậy, sự tương tác giữa các dạng dao động
và độ nhạy cảm của chúng làm cho độ nhạy cảm của hàm đáp ứng tần số đối với hư
hỏng trở nên rất phức tạp, khó nhận biết. Đây chính là một trở ngại của việc sử
dụng hàm đáp ứng tần số trong việc chẩn đoán hư hỏng kết cấu. Đa số các công
trình đã công bố trên thế giới về chẩn đoán vết nứt bằng hàm đáp ứng xung là dựa
trên phương pháp phần tử hữu hạn, không cho phép xác định chính xác vị trí vết
nứt. Chính vì vậy, cần thiết phải phát triển các phương pháp nhắm tận dụng sự đo
đạc chính xác của tần số và hàm đáp ứng tần số trong chẩn đoán hư hỏng là việc tìm
các biểu diễn hiển của nó qua các tham số hư hỏng. Điều đó cho phép chúng ta
nghiên cứu độ nhạy cảm của tần số và hàm đáp ứng tần số đối với hư hỏng và do đó
Vấn đề đặt ra trong luận án này như sau:
có thể áp dụng vào chẩn đoán hư hỏng kết cấu công trình.
Nghiên cứu sự thay đổi các điểm nút dao động dọc trục trong thanh, dao
động uốn của dầm do sự xuất hiện vết nứt phục vụ bài toán chẩn đoán vết nứt.
Nghiên cứu thực nghiệm kết cấu thanh, dầm đàn hồi chứa nhiều vết nứt bằng
việc đo đạc hàm đáp ứng tần số. Từ đó phân tích xử lý số liệu đo đạc hàm đáp ứng
tần số để tìm các tần số riêng thực nghiệm.
Xây dựng hàm đáp ứng tần số tường minh trong kết cấu thanh, từ đó kết hợp
với số liệu đo đạc thực nghiệm và sử dụng phương pháp CSM (Crack Scanning
Method) để giải bài toán chẩn đoán trong thanh chứa vết nứt;
Sử dụng công thức Rayleigh và phương pháp CSM thiết lập và giải bài toán
trình chẩn đoán vết nứt từ tần số riêng thực nghiệm.
13
CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU THANH, DẦM CÓ VẾT
NỨT
2.1. Mô hình vết nứt trong kết cấu thanh - dầm đàn hồi
2.1.1. Mô hình vết nứt
Vết nứt, nói chung được hiểu là một mặt phân cách trong một vật thể rắn làm
cho trạng thái ứng suất biến dạng tại mặt phân cách đó bị gián đoạn. Sự xuất hiện
của vết nứt trong kết cấu làm thay đổi các đặc trưng động lực học. Thường các vết
nứt được đặc trưng bởi các tham số: vị trí và kích thước và hình dạng. Theo dạng
hình học, vết nứt có thể có các dạng: Vết nứt ngang (vết nứt vuông góc với trục
dầm) – Vết nứt dọc (vết nứt song song với trục dầm) – Vết nứt xiên (vết nứt
nghiêng một góc với trục dầm) – Vết nứt mở (vết nứt giữ nguyên trạng thái mở,
dạng chữ “V”) – Vết nứt thở (hiệng tượng vết nứt mở ra đóng vào dưới tác động
của ngoại lực.
Trong nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm, người ta tập trung nghiên cứu
vết nứt ngang mở trên bề mặt của dầm, do bởi dễ dàng mô phỏng vết nứt trong thực
nghiệm. Các mô hình vết nứt hiện nay đều xuất phát từ mô hình trạng thái xuất hiện
vết nứt theo ngoại lực để xây dựng công thức tính độ cứng tại vị trí vết nứt. Độ
cứng của kết cấu chứa vết nứt được xây dựng theo mô hình cơ học phá hủy hoặc
quy đổi độ cứng tiết diện có vết nứt theo mô hình độ cứng lò xo đàn hồi.
Đối với thanh - dầm đàn hồi, vết nứt được xét như sự thay đổi tiết diện ngang
trong một đoạn có chiều dài rất nhỏ b với độ sâu a người ta đã chính xác mô hình
vết nứt mở ở dạng một vết cưa được gọi là vết nứt hình chữ V. Ở đây, khái niệm độ
sâu vết nứt và đầu vết nứt được mô tả một cách rõ ràng. Hơn nữa, người ta đã tính
được sự suy giảm độ cứng (hoặc tăng độ mềm) của thanh - dầm tại mặt cắt chứa vết
nứt, Chính điều này đã đưa đến ý tưởng có thể mô hình hóa vết nứt bằng một lò xo
tương đương với độ cứng K tại mặt cắt chứa vết nứt. Như vậy, người ta hoàn toàn
có thể mô tả vết nứt trong dầm đàn hồi bằng một lò xo liên kết hai phía của vết nứt
với độ cứng được xác định bằng thực nghiệm và lý thuyết cơ học phá hủy.
14
2.1.2. Mô hình lò xo của vết nứt trong kết cấu thanh, dầm đàn hồi
Xét dầm đàn hồi có chiều dài L, tiết diện hình chữ nhật có chiều rộng b và
chiều cao h, mô đul đàn hồi E, mô men quán tính I, tiết diện mặt cắt ngang A, hệ số
je với độ sâu
ja .
Poisson . Trên dầm có vết nứt tại vị trí
Vết nứt khi đó được mô hình hóa bằng các lò xo đàn hồi có độ cứng tương
ja . Tuy nhiên, cách tính độ cứng của lò xo
đương Kj là hàm của độ sâu vết nứt
tương đương đã nhiều tác giả nghiên cứu và đưa ra các công thức xấp xỉ khác nhau.
2.1.2.1. Độ cứng lò xo thay thế đối với kết cấu dạng thanh
Hình 2.1. Mô hình vết nứt và lò xo thay thế (uốn – kéo nén).
Đối với thanh đàn hồi độ cứng của lò xo đàn hồi tương đương Kj được tính
theo:
K
,
z
a
/
h
* Mô hình theo Theo B.S. Haisty và W.T. Springer [65]:
j
j
EA )( zhf
2
2
3
4
zf )(
z
.0(
7442
.0
8463
z
.1
376
z
.0
7540
z
.0
5470
z
)
,
,
K
,
z
a
/
h
* Mô hình theo T.G. Chondros, A.D. Dimarogonas và J. Yao [66] đưa ra:
j
j
)
)( zf
EA 2 1(2 h
2
2
3
4
zf )(
z
.0(
6272
.0
z 17248
.5
z 92134
.10
z 7054
.31
z 5685
5
6
7
8
47.67
z
z 123.139
z 682.146
.92
z 3552
),
,
K
,
z
a
/
h
* Mô hình theo R. Ruotolo và C. Surace [67] đã sử dụng công thức:
j
j
1(2 h
)
)( zf
EA 2
2
3
4
zf )(
.0
9852
z
.0
z 2381
.1
0368
z
,
6
5
8
7
.1
2055
z
.0
5803
z
.1
0368
z
.0
7314
z
.
15
2.1.2.2. Độ cứng lò xo thay thế đối với kết cấu dầm đàn hồi
Đối với dầm đàn hồi, độ cứng của lò xo đàn hồi tương đương Kj được tính
theo:
K
,
z
a
/
h
j
j
EI )( zhf
2
3
4
5
zf )(
.5
346
86.1(
z
95.3
z
.16
375
z
226.37
z
6
7
8
9
10
z 81.76
126
9.
z
172
z
143
97.
z
56.66
z
* Mô hình theo H. Liebowitz và Claus [68] là:
K
,
z
a
/
h
j
j
EI )( zhf
6
2
2
3
zf )(
z
.0(
6384
.1
035
z
.3
z 7201
.5
1773
z
4
5
6
553.7
z
.7
332
z
.2
4909
z
)
* Mô hình theo W.M. Ostachowicz và M. Krawczuk [69] đã đưa ra:
K
,
z
a
/
h
j
j
h
)
)( zf
EI 2 6 1(
4
3
2
5
zf )(
.0
6272
z
.1
04533
z
.4
5948
z
.9
9736
z
6
7
9
8
10
.20
2948
z
.33
z 0351
.47
1063
z
.40
7556
z
6.19
z
2.2. Dao động dọc trục của thanh đàn hồi có vết nứt
* Mô hình theo T.G. Chondros [70] đã đưa ra:
Như đã biết, dạng dao động riêng của thanh đàn hồi có các tham số (E, ρ, A,
x )(
x )(
,0
x
),1,0(
cL /
,
c
E
/
2
.
L) được xác định từ phương trình:
0
0
(2.1)
Hình 2.2. Mô hình dao động dọc trục nhiều vết nứt với lò xo thay thế.
16
Giả sử trong thanh có n vết nứt tại các vị trí e1 , …, en với độ sâu tương ứng là
a1,…,an được mô tả bằng các lò xo dọc trục độ cứng Kj là hàm của độ sâu vết nứt aj
LK
)0
)]0
EA
)
EA
)0
EA
),0
j
,...,1
n .
e (
( e
( e
( e
[ e ( j
j
j
j
j
j
được đưa ra trong mục 2.1. Khi đó điều kiện tương thích tại các vết nứt là:
e
)0
e
)0
e
);
(
(
(
j
hay:
)0
j e
)0
),
EA
/
LK
,
j
,...,1
n .
j ( e
(
( e j
j
j
j
j
j
x
,0
x
1
. (2.2)
Ngoài ra tại các biên nghiệm phương trình (2.1) cần thỏa mãn các
(
p
)
(
q
)
)0(
)1(
.0
;0
điều kiện biên, viết ở dạng tổng quát là:
(2.3)
p,q là các bậc đạo hàm tương ứng;
với: p = q =1 cho hai đầu tự do;
p = q = 0 cho hai đầu cố định;
2.2.1. Phương pháp ma trận truyền
p = 0, q = 1 cho một đầu cố định một đầu tự do.
(
),
j
,...,1,0
,0
1
Ký hiệu nghiệm phương trình (2.1) trong đoạn
ee , j
j
1
en ; 0
e n
)(xj
1
(
)0
(
)0
(
e
);
1
là , điều kiện (2.2) có thể viết lại thành:
(
)0
(
e m e
)0
,...,1
n .
m m
e m e m
m m
j
m 1 m m ( me ); m
1
,...,1
n
(2.4)
( ), mxm
Do các hàm đều là nghiệm liên tục của phương trình (2.1),
cos
B
sin
, mx
,1
...,
n
A)( x
x
chúng có thể biểu diễn ở dạng:
m
m
m
. (2.5)
m B,A
m
với các hằng số được xác định như sau: Thay (2.5) vào (2.2) ta được mối
m
m
m
B,A,B,A 1 m
1
cos
);
sin e m
m
e m
liên hệ truy hồi của các hằng số
cos
sin
).
cosA m sinA- m
e m e m
sinB m B m
e m e m
1(A m 1 A m
m e m
B m
1(B) 1 m e cos m
1
1
(2.6)
17
2
A
A
sin
cos
cos
m
m
1
e m
Hệ phương trình cuối có thể viết ở dạng ma trận:
e m 2
B
B
sin
m sin
e m cos
1
m
m
1
m m
e m
m
e m
e m
1
.
A
A
m
0
Từ biểu thức truy hồi trên ta có:
H
m
B
B
m
0
.
A
H
A
H
H
A
H
m
,...,1
n
hay:
m
m 11
0
m 12
B;B 0
m
m 21
0
m 22
;B 0
. (2.7)
...
[
H
e ,...,
,
i ,),
j
]2,1
,(
trong đó:
TTH mm
m
T 1
m ij
h ij
e 1
m
,..., m
1
1
sin
cos
2 cos
e
e
j
e
,
)
,
j
,...,1
n
; (2.8)
TT ,( j
j
j
e j 2
sin
j sin
j cos
1
e
e
e
j j
j
j
j
j
1
I
. (2.9)
TH 0 0
j
,...,1
n
IT ,
Dễ dàng nhận thấy và đối với thanh không bị nứt ta có
j
A
,...,1
n
m
hay:
m
B,A 0
m
,B 0
.
p
p
)
)
x
C
C
;
S
S
;
)(
)(
p 0
p 0
p 0
p 0
x
0
x
0
Đưa vào các ký hiệu:
q
q
)
)
x
;
S
S
.
)(
)(
q C 1
q C 1
q 1
q 1
x
x
1
1
(cos p x (cos q x
(sin x p x (sin x q x
(2.10)
A
C
S
A;0
0
B)(
)(
B)(
)(
Thì điều kiện biên (2.3) có thể viết ở dạng:
p 0
0
p 0
0
q C 1
n
q S 1
n
. (2.11)
Thay An và Bn xác định từ phương trình (2.7) với m = n vào phương trình
[
]A
[
]B
0
cuối trong hệ (2.11) ta được:
q n CH 1 11
q n SH 1 21
0
q n CH 1 12
q n SH 1 22
0
.
18
0
sau đó kết hợp với phương trình đầu của hệ (2.11) ta sẽ có:
[ [
] ]
A B
n q CH 12 1 n q CH 11 1
q n SH 1 22 q n SH 1 21
p S 0 p C 0
0
(2.12) .
0
và:
D )( n
q n CSH 1 11
p 0
q CCH 1
n 12
p 0
n q SSH 21 1
p 0
n q SCH 22 1
p 0
. (2.13)
Đây chính là phương trình đặc trưng (hay còn gọi là phương trình tần số)
trong dao động dọc trục của thanh có n vết nứt bằng phương pháp ma trận
H
H
;1
H
H
0
truyền.
n 11
n 22
n 12
n 21
Trong trường hợp thanh không bị nứt ta có , do đó
0
phương trình đặc trưng (2.12) trở thành:
D )( 0
q p CS 1 0
q p SC 1 0
. (2.14)
,....3,2,1
Giải các phương trình (2.13), (2.14) lần lượt ta được các trị riêng của dao
0 , k
kk ,
động dọc trục thanh bị nứt và không bị nứt là . Như vậy, thay vì
m B,A
m
xác định tất cả các hằng số , m = 1,2,3,…n ta chỉ cần xác định hai hằng số
A0, B0 phụ thuộc nhau thông qua phương trình (2.12). Các hằng số này có thể chọn
2.2.2. Nghiệm tổng quát tường minh
từ điều kiện biên cho trước.
)(xj
(
),
j
,...,1
n
;1
,0
e
1
Ký hiệu là nghiệm phương trình (2.1) trong đoạn
ee , j
j
e 0
n
1
1
.
(
e
)0
(
e
)0
(
e
);
j
j
j
khi đó điều kiện (2.2) có thể được viết lại thành:
1 (
e
)0
j (
e
)0
j e (
);
j
1
n . ......
j
j
j
j
j j
j
j
1
(
xx ),
(
)
(2.15)
ee , j
j
j
1
1
)( x
()( xSx
e
),
j
1
...... n
Dễ dàng nhận tìm được biểu diễn ở dạng:
)(1 x
j
j
j
j
j
. (2.16)
19
(
,
e
)
tiếp tục mở rộng trong đoạn tiếp theo
)(xj
j
e 1 j
(
)
j ee ,
1j
x
0
xS )(
ở đó là nghiệm trong đoạn
xx
0
0 cos
(2.17)
Từ mối quan hệ (2.16) cho phép mô tả lời giải phương trình (2.1) thỏa mãn
n
)( x
C
)( x
( xS
e
)
điều kiện tương thích (2.2) và điều kiện biên bên trái cho ta nhận được:
0
j
j
j
1
0
. (2.18)
)(0 x là nghiệm liên tục của phương trình (2.1) thỏa mãn
ở đó C là hằng số tùy ý;
n....
1
j
1
(
e
)
sin
e
j
....1 n
điều kiện biên tại x=0; các tham số vết nứt được xác định từ:
j
j
0
j
j
e k
( k
k
1
,)
. (2.19)
T
T
,......,
,......,
Phương trình cuối cùng được sử dụng để tính toán vector chỉ số vết nứt
( 1
n )
( 1
n )
theo các giá trị
B
e
),
j
,...,1
Đặt:
b
n
j
j
(0
j
1
0
0
0
s
1
0
0
;
s
e
e
)
sin (
;
A
jk
k
k
j
21 ...
...
...
s
s
1
n 1
n
2
...
; (2.20)
)0(
;0
)1(
.0
)0(
Kết hợp với điều kiện biên tại x=0; x=1
0
0
)1( 1
1
,
,
(2.21)
, 1 1
0
0
Với các hằng số . Dễ dàng thấy phương trình (2.18) thỏa mãn
)( x
cos
sin
x
x
điều kiện đầu tiên của (2.21) với:
0
0
0
.
Do đó phương trình (2.18) có thể được viết ở dạng:
20
n
)( x
C
cos
sin
x
( xS
e
)
0
0
0
j
j
j
1
x
. (2.22)
n
cos
1(
e
)
1(
e
)
0
sin
Thế phương trình (2.22) vào điều kiện thứ 2 của (2.21) dẫn đến:
. (2.23)
1
j
j
1
j
j
1
DC 0
2
)1(
)1(
sin)
(
)
cos
D 0 1
0
0 1
( 1
0
0
1
0 0
1
ở đó . Để tồn tại
n
D
cos
1(
e
)
1(
e
)
0
)(
sin
hằng số C không bằng 0 ta có:
. (2.24)
D 0
1
j
j
1
j
j
1
Đây chính là phương trình đặc trưng của thanh có nhiều vết nứt. Trong
2
(
sin)
(
)
cos
0
trường hợp thanh không nứt ta có phương trình đặc trưng tần số ở dạng:
D 1 0 1
0
0
0 0
1
,....
. (2.25)
, 1 2
Giải phương trình (2.24) ta được các trị riêng từ đó cho phép tính
(
/
/
được các tần số riêng và dạng riêng dao động tương ứng:
k
ELk )
n
x )(
C
cos
sin
x
x
xS (
e
)
k
....3,2,1
;
k
k
0
0
k
k
j
j
j
1
k
(2.26)
Xem xét các trường hợp điều kiện biên cổ điển sau đây:
,1
;0
,0
1
sin x
Trường hợp 1. Giả sử thanh bị cố định đầu trái (x=0) và tự do đầu phải
)(0 xL
0
0
1
1
(x=1), khi đó ta có và p = 1. Do đó phương
n
cos
sin
1(
)
0
e
trình (2.24) có dạng:
j
j
j
1
.
,1
;0
,1
0
Trường hợp 2. Thanh có hai đầu cố định, khi đó ta có:
0
0
1
1
n
sin
cos
1(
)
0
e
và do đó phương trình (2.24) có dạng:
j
j
j
1
.
21
ta có:
,0
;1
,0
1
Trường hợp 3. Thanh có hai đầu tự do, lúc này
0
1
0
1
n
sin
sin
1(
)
0
e
khi đó phương trình (2.24) đưa về dạng:
j
j
j
1
2.2.3. Hàm đáp ứng tần số dao động dọc trục của thanh có nhiều vết nứt
.
2.2.3.1. Cơ sở lý thuyết
Bây giờ ta xét bài toán dao động cưỡng bức của thanh bị nứt được mô tả
x )(
Qx )(
x
x
),
a
L
/
EF
0,
x
.1
2
) a ( ( 0
0
0
0
0
bằng phương trình:
x
x ,(
x ,(
Q
a
xh (
s
s
x
)
ds .
)
)
) (
()
Dễ dàng nhận thấy, nghiệm tổng quát của phương trình trên có dạng:
0
0
0
0
0
(2.27)
,(0 x )
xh )(
sin)
/1(
x .
trong đó là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2.1) và:
. (2.28)
x ,(
x ),(
)
sin]/
)
[),( x
Tính tích phân bên phải phương trình (2.27) ta được:
0
Q )( 0
xxha ( 0 0
0
Q 0
)( a ( 0
xx 0
). (2.29)
Sử dụng biểu thức (2.18) của nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất (2.1)
n
x ,(
[
xK (
e
)]
Q
x
).
)
) (
xLC )( 0
j
xha ( 0
0
j
0
j
1
ta có:
n
(
p
)
)
(
p
)
(
p
)
)1(
)1(
S
1(
e
])
Q
1(
x
)
.0
) (
p ( LC [ 0
j
ha 0
0
j
0
j
1
Và sau đó áp điều kiện biên bên phải cho nghiệm này ta được:
n
(
p
)
)
(
p
)
C
Q
1(
x
)[
)1(
K
1(
e
1 .])
) (
ha 0
0
p ( L 0
0
j
j
j
1
Từ phương trình cuối ta tìm được hằng số tích phân C bằng:
22
n
(
p
)
h
1(
x
)[
xK (
e
)]
xL )( 0
0
j
j
j
1
x ,(
Q
x
)
(
)
) (
Như vậy cuối cùng ta được:
0
0
0
n
)
(
p
)
)1(
K
1(
e
)
( p L 0
j
j
j
1
xha
.
(2.30)
FRF
xx ,(
x ,(
/)
Q
) ,
) (
Sử dụng công thức (2.30) ta được biểu thức tổng quát của hàm đáp ứng tần
0
0
n
p )(
h
1(
)[
exK (
x 0
xL )( 0
j
j
j
1
FRF
)
) ,
) ,
số như sau:
xx ,( 0
xxH ,( 0
xxha ( 0 0
n
p )(
)1(
K
1(
e
)
)( p L 0
j
j
j
1
)] .
(2.31)
Xét một số trường hợp đặc biệt sau đây:
Trường hợp 1: Xét một thanh có đầu trái cố định và đầu phải tự do, khi ấy hàm đáp
cos
)[sin
x
1(
x 0
exK ( j
n j 1 j
FRF
)
),
),
ứng tần số (2.31) có dạng:
xx ,( 0
xxH ,( 0
( xx 0
n
[cos
sin
)]
e j
j
1( j 1
a 0 sin
)] .
(2.32)
Nếu điểm đo và điểm đặt lực trùng nhau và tại đầu phải, hàm đáp ứng tần số
n
e
)
sin
cos 1(
j
j
j
1
FRF
H
,1,1(
H
/
) ,
)
)(
)
bằng:
xx ,( 0
a ( 0
11
n
e
)
cos
sin 1(
.
j
j
j
1
(2.33)
j
1
[cos
e
e
)],
j
,...,1
n .
e
sin (
với:
j
j
j
k
j
k
k
1
(2.34)
cos
)[cos
x
1(
x 0
exK ( j
n j 1 j
FRF
)
),
),
Trường hợp 2: thanh có hai đầu tự do ta có:
xx ,( 0
xxH ,( 0
( xx 0
n
a 0
[sin
sin
)]
e j
1( j
j
1
sin
)] .
(2.35)
23
n
1
cos e
j
j
j
1
và nếu điểm đặt lực ở đầu bên trái và điểm đo ở đầu bên phải của thanh ta được:
FRF
xx ,(
H
,0,1(
H
a (
/
.
) ,
)
)(
)
0
0
01
n
sin
sin
e
)
1(
j
j
j
1
(2.36)
j
1
[sin
e
e
)],
j
,...,1
n .
e
sin (
với:
j
j
j
k
j
k
k
1
(2.37)
2.2.3.2. Kết quả tính toán số
Trong mục này trình bày một số kết quả phân tích số về hàm đáp ứng tần số
trong dao động dọc trục của thanh có nhiều vết nứt. Xét hàm đáp ứng tần số trong
lân cận của tần số riêng thứ nhất và thứ hai, ký hiệu là FRF1 và FRF2. Ảnh hưởng
của vị trí vết nứt đến các hàm đáp ứng tần số nêu trên được trình bày các hình vẽ
2.3-2.12 cho thanh hai đầu tự do và hình vẽ 2.13-2.16 cho thanh cố định một đầu.
Đồ thị trên các hình vẽ biểu thị sự thay đổi của mô đun các hàm đáp ứng nêu theo vị
trí và độ sâu một hay nhiều vết nứt.
Hình 2.3. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt đến hàm đáp ứng tần số FRF1 của thanh hai đầu tự do (độ sâu vết nứt 30%).
24
Hình 2.4. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt đến hàm đáp ứng tần số FRF2 của thanh hai đầu tự do (độ sâu vết nứt 30%).
Hình 2.5. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt thứ hai đến hàm FRF1 của thanh hai đầu tự do. Vị trí vết nứt thứ nhất cố định tại 0.35.
25
Hình 2.6. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt thứ hai đến hàm FRF2 của thanh hai đầu tự do. Vị trí vết nứt thứ nhất cố định tại 0.35.
Hình 2.7. Ảnh hưởng của độ sâu vết nứt thứ hai (0 - 45%) đến hàm FRF1 của thanh hai đầu tự do. Hai vết nứt thứ nhất và thứ hai cố định tại 0.35 và 0.65 và độ sâu vết nứt thứ nhất bằng 30%.
26
Hình 2.8. Ảnh hưởng của độ sâu vết nứt thứ hai (0 - 45%) đến hàm FRF2 của thanh hai đầu tự do. Hai vết nứt thứ nhất và thứ hai cố định tại 0.35 và 0.65 và độ sâu vết nứt thứ nhất bằng 30%.
Hình 2.9. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt thứ ba đến hàm FRF1 của thanh hai đầu tự do. Vết nứt thứ nhất và thứ hai cố định tại 0.35 và 0.65, độ sâu các vết nứt 30%.
27
Hình 2.10. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt thứ ba đến hàm FRF2 của thanh hai đầu tự do. Vết nứt thứ nhất và thứ hai cố định tại 0.35 và 0.65, độ sâu các vết nứt là 30%.
Hình 2.11. Ảnh hưởng của độ sâu 3 vết nứt tại các vị trí 0.3;0.5;0.8 đến hàm FRF1 của thanh hai đầu tự do.
28
Hình 2.12. Ảnh hưởng của độ sâu 3 vết nứt tại các vị trí 0.3;0.5;0.8 đến hàm FRF2 của thanh hai đầu tự do.
Các Hình 2.3 đến Hình 2.12 ở trên đã chỉ ra rằng sự thay đổi hàm đáp ứng tần
số do vết nứt phụ thuộc rất nhiều vào sự thay đổi của tần số riêng do vết nứt. Cụ
thể, vết nứt tại giữa thanh có hai đầu tự do làm thay đổi lớn nhất hàm FRF1 và sự
thay đổi này giảm dần khi vết nứt di chuyển về hai phía biên tự do. Trong khi đó
hàm FRF2 không thay đổi khi vết nứt nằm ở giữa thanh (vì tần số thứ hai không
thay đổi khi vết nứt xuất hiện ở giữa thanh), nhưng lại thay đổi nhiều khi vết nứt tại
vị trí 1/4 và 3/4 chiều dài thanh. Ngoài ra, đối với các thanh có điều kiện biên đối
xứng thì các vết nứt đối xứng qua tâm cũng ảnh hưởng như nhau đến hàm đáp ứng
tần số. Điều này có thể dẫn đến tính không duy nhất nghiệm của bài toán chẩn đoán
vết nứt sử dụng hàm đáp ứng tần số áp dụng cho các thanh có điều kiện biên đối
xứng. Sự thay đổi hảm đáp ứng tần số do vết nứt là lớn nhất trong lân cận của tần số
cộng hưởng chính (cũng có tính cộng hưởng cùng với tần số). Nhưng hàm FRF2
còn có thể nhận sự thay đổi lớn ở một tần số khác với tần số cộng hưởng khi vết nứt
ở các vị trí 1/4 và 3/4. Giữa hai đỉnh của hàm đáp ứng tần số luôn tồn tại một cực
tiểu cục bộ.
Ảnh hưởng của hai vết nứt lên hàm đáp ứng tần số được đặc trưng bởi hàm
FRF1 cũng có hai đỉnh khác nhau (Hình 2.5 và 2.7) trong khi trường hợp một vết
29
nứt hàm FRF1 chỉ có một đỉnh (nhưng tương đối tù chứ không nhọn). Đối với hàm
FRF2 vẫn có hai đỉnh, nhưng khoảng cách giữa hai đỉnh tăng lên khi độ sâu vết nứt
tăng. Điều này cho thấy vết nứt làm xuất hiện các đỉnh phụ của hàm đáp ứng tần số,
tức là làm xuất hiện các đỉnh cộng hưởng mới.
Đối với thanh một đầu cố định (Hình 2.13-2.16), không xuất hiện hiệu ứng đối
xứng như thanh hai đầu tự do và ảnh hưởng của vết nứt càng lớn khi vị trí vết nứt
càng gần với đầu ngàm của thanh.
Hình 2.13. Ảnh hưởng của vị trí một vết nứt đơn có độ sâu 30% đến hàm FRF1 của thanh cố định một đầu.
Hình 2.14. Ảnh hưởng của vị trí một vết nứt đơn có độ sâu 30% đến hàm FRF2 của thanh cố định một đầu.
30
Hình 2.15. Ảnh hưởng của độ sâu 3 vết nứt tại các vị trí 0.3;0.5;0.8 đến hàm FRF1 của thanh cố định một đầu.
Hình 2.16. Ảnh hưởng của độ sâu 3 vết nứt tại các vị trí 0.3;0.5;0.8 đến hàm FRF2 của thanh cố định một đầu.
31
Tóm lại, kết thúc mục này ta có thể đưa ra mấy nhận xét sau đây:
Sự thay đổi hàm đáp ứng tần số tương tự như sự thay đổi của tần số cộng
hưởng do vết nứt. Tuy nhiên vì hàm đáp ứng tần số là một đặc trưng hàm phụ thuộc
tần số, nên bức tranh thay đổi hàm đáp ứng tần số do vết nứt cung cấp nhiều thông
tin hơn tần số cộng hưởng chỉ là một giá trị số cố định;
Một vết nứt nhỏ trong thanh khó có thể phát hiện bằng hàm đáp ứng tần số và
rất có thể bài toán chẩn đoán vết nứt sẽ không có nghiệm duy nhất, đặc biệt là với
Tuy nhiên, việc xuất hiện các đỉnh mới trong biểu đồ hàm đáp ứng tần số
thanh có điều kiện biên đối xứng;
cũng là một gợi ý để chẩn đoán hai, ba vết nứt hay nhiều hơn. Khoảng cách giữa
2.3. Dao động uốn của dầm đàn hồi có vết nứt
các đỉnh mới cũng là những dấu hiệu để chẩn đoán đa vết nứt trong thanh;
Hình 2.17. Mô hình dầm đàn hồi chứa vết nứt.
32
Xét một dầm đàn hồi đồng chất có môđun đàn hồi E, mật độ khối ρ, chiều
dài 1, diện tích mặt cắt ngang A và mô men quán tính mặt cắt ngang đối với trụng z
I.
0
...
1
,...,1
n
, j
Bài toán dao động riêng của dầm này có nhiều vết nứt tại các vị trí
e 1
e 1
e n
e n
1
e j
sao cho chính là việc giải phương trình
(
IV
)
x )(
x )(
,0
x
).1,0(
4
vi phân cấp 4:
(2.38)
4 L
.
4
trong đó:
2 A EI
x )( ,
(2.39)
x
,0
x
1
Đối với tần số và dạng riêng thỏa mãn điều biên tại hai đầu
và điều kiện tương thích tại các vết nứt:
)0
);0
e (
Chuyển vị bên trái vết nứt bằng chuyển vị bên phải vết nứt:
e ( j
j
(2.40)
(
e
)0
(
e
);0
Mô men bên trái vết nứt bằng mô men bên phải vết nứt:
j
j
(2.41)
e
)0
e
);0
(
(
Lực cắt bên trái vết nứt bằng lực cắt bên phải vết nứt:
j
j
(2.42)
e
)0
(
e
)0
(
e
).0
(
Độ lệch góc xoay xác định như sau:
j
j
j
j
(2.43)
.
trong đó:
j
EI LK
j
(2.44)
Kj được xác định từ công thức thực nghiệm, ta chọn theo ba mô hình đã được
đưa ra trong mục 2.1:
33
2.3.1. Phương pháp ma trận truyền
),
j
,...,0
n
( xj
,0
1
(
)
Ký hiệu là nghiệm của phương trình (2.38) trong đoạn
j ee ,
1j
e 0
ne 1
(
e
)
(
e
);
(
e
)
(
e
);
e
)
(
e
);
j
j
j
j
1
1 j
với , từ điều kiện (2.40)…(2.43) ta có:
(
e
j e
(
)
(
e
),
j
j ,...,1
n .
j
( j
j
j
1 j j ) j
j
j j
j
j
1
1
(
)
(2.45)
j ee ,
1j
Như ta đã biết, nghiệm tổng quát của phương trình (2.38) trong ,
)(xj
cos
C
cosh
D
sinh
; jx
,...,0
n
A)( x
x
x
x
có thể biểu diễn ở dạng:
j
j
sinB j
j
j
. (2.46)
A
cos
C
cosh
sinh
D
e
e
e
e
j
j A
j cos
B
j sin
C
D
;
j cosh
j sinh
e
sinB j
e
e
j e
j
j
j
j
j
j
j
j
1
1
1
1
A
cos
D
C
cosh
sinh
e
e
e
e
j
j A
j cos
B
j sin
j cosh
j sinh
C
D
;
e
sinB j
j e
e
e
j
j
j
j
j
j
j
j
1
1
1
1
B
cos
C
sinh
D
cosh
e
e
e
e
j
Thay (2.46) vào (2.45) ta được:
sinA j A
B
C
j cos
j sinh
D
j cosh
;
j sin e
j
e
j e
e
j
j
j
j
j
j
j
j
1
1
1
1
B
cos
C
sinh
cosh
D
e
e
e
e
j
sinA j A
j (sin
j cos
j (cos
j sin
)
j
e
e
B)
j e
e
j
1 (sinh
cosh
C
j (cosh
j sinh
);
j e
j e
1 j D)
j
e
e
j
j
j j
j
j
j
j
j
1
1
(2.47)
cos
sin
cosh
sinh
e
e
e
e
j
sin
cos
sinh
cosh
e
j e
j e
j e
j
j
j
j
L
Sử dụng các ký hiệu:
j
cos
sin
cosh
sinh
e
e
e
e
j
j
j
sin
cos
sinh
cosh
e
e
e
j e
j
j
j
j
cos
sin
cosh
sinh
e
e
e
e
j
j
j
j
R
R
R
R
R
;
j
cos
sin
23 cosh
24 sinh
21 e
22 e
e
e
j
j
j
sin
cos
sinh
cosh
e
j e
e
e
j
j
j
j
;
34
R
sin
cos
(cos
sin
);
e
e
e
21
R
j (sinh
Re ; j cosh
j (cosh
sinh
).
j
e
j e
e
23
j
22 Re ); j
j
24
j
j
j
[
;
qp ,
]4,3,2,1
1 RLH j
j
j
H j pq
,
Các phương trình (2.47) cho ta mối quan hệ giữa các hằng số A, B, C, D như
A
A
H
H
H
H
j
1-j
B
B
H
H
H
H
j
1-j
sau:
C
C
H
H
H
H
j
1-j
D
D
H
H
H
H
j
1-j
j 11 j 21 j 31 j 41
j 12 j 22 j 32 j 42
j 13 j 23 j 33 j 43
j 14 j 24 j 34 j 44
(2.48)
A
A
m
0
B
B
m
0
Cho chỉ số j trong (2.38) chạy từ 1 đến m ta được:
C
C
m
D
0 D
m
0
m T 12 m T 22 m T 32 m T 42
m T 13 m T 23 m T 33 m T 43
m T 14 m T 24 m T 34 m T 44
m T 11 m T 21 m T 31 m T 41
HHT
;
, qp
,...,1
];4
m
,...,1
n
, (2.49)
m
m
m
H 1
T m [ pq
1
IHT 0
0
Trong đó với .
T
T
[
E
;0
[
0
Điều kiện biên có thể biểu diễn tổng quát như sau:
D,C,B,A] 0
0
0
0
0
E 1
D,C,B,A] n
n
n
n
E
E
E
E
E
E
[
E
]
;
[
]
; (2.50)
0
E 1
E
E
E
E
E
E
E
E
0 11 0 21
0 12 0 22
0 13 0 23
0 14 0 24
1 E 11 1 21
1 12 1 22
1 E 13 1 23
1 14 1 24
.
Sử dụng phương trình (2.49) phương trình thứ hai trong (2.50) có thể viết
T
[
0
thành:
nTE 1
D,C,B,A] 0
0
0
0
.
E
E
E
E
A
0
E
E
E
E
0 11 0 21
0 12 0 22
0 13 0 23
0 14 0 24
4
4
4
4
0
0
Cùng với phương trình đầu trong (2.50) ta nhận được:
1 TE 1 j
n j 1
1 TE 1 j
n j 2
1 TE 1 j
n j 3
1 TE 1 j
n j 4
B C
1
j 1 4
j 1 4
j 4
j 1 4
0 D
0
1 TE 2 j
n j 1
1 TE 2 j
n j 2
1 TE 2 j
n j 3
1 TE 2 j
n j 4
j
j
1
j
j
1
1
1
. (2.51)
35
B
C
D
không đồng thời bằng 0, cần thỏa
T
0
0
0
0
Để tồn tại các hằng số A
E
E
E
E
E
E
E
E
0 11 0 21
0 12 0 22
0 13 0 23
0 14 0 24
4
4
4
4
f
det
0
γe ,( ),
mãn phương trình:
1 TE 1 j
n j 1
1 TE 1 j
n j 2
1 TE 1 j
n j 3
1 TE 1 j
n j 4
j 1 4
j 1 4
j 1 4
j 1 4
1 TE 2 j
n j 1
1 TE 2 j
n j 2
1 TE 2 j
n j 3
1 TE 2 j
n j 4
j
j
j
j
1
1
1
1
e
(
,...,
T ;)
γ
,...,
(
T )
; (2.52)
e 1
ne
n 1
.
Đây chính là phương trình tần số nhận được bằng phương pháp ma trận
,...3,2,1
truyền. Các nghiệm dương của phương trình (2.52) cho ta các trị riêng
, kk
của dầm có nhiều vết nứt. Với mỗi trị riêng tìm được ta sẽ có một
nghiệm của phương trình (2.51) chứa một hằng số tùy ý và do đó theo công thức
(
)
(2.49) ta có thể tính được các hằng số Am, Bm, Cm, Dm để biểu diễn dạng dao động
j ee ,
1j
2.3.2. Nghiệm tổng quát tường minh
1n
riêng trong đoạn bất kỳ theo công thức (2.46).
(
e
,
e
),
j
,...,1
n
,1
,0
e
1
Để giải bài toán này ta chia dầm thành đoạn
j
j
1
e 0
n
1
IV
)
x )(
x )(
,0
x
,
e
).
và xét phương trình (2.38) trong từng đoạn
( j
4 j
j
( e 1 j
(2.53)
)(xj
Đối với dạng riêng trên đoạn này được ký hiệu là . Dễ dàng nhận thấy
LCxLC )(
(
x
).
)( x
LCx )(
nghiệm tổng quát của phương trình (2.53) có dạng:
j
11
j
2
2
j
LCx )( 3
3
j
4
4
j
(2.54)
),
(
(
Lx ),
x )(
với các hằng số tích phân C1, C2, C3, C4 được xác định từ các điều kiện biên ở hai
LxL ( 1 2
j
j
Lx ), 3
j
4
j
đầu dầm và các hàm được gọi là các hàm dạng và là tổ
sin
,
cos
,
sinh
,
cosh
x
x
x
x
hợp tuyến tính của các hàm thỏa mãn phương trình
),
j
,...,1
n
1
(2.38) và (2.53). Để thỏa mãn điều kiện tại các vị trí vết nứt, các hàm
xj (
có mối liên hệ:
36
x )(
x )(
(
xSe ()
e
),
e
x
e
.
j
j
j
j
j
j
j
j
1
1
(2.55)
trong đó:
xS )(
(sinh
sin
x
x
2/)
. (2.56)
x )(
[
(
()
e
)]
x )(
(
()
e
)]
xLC )( 1
2
1 j
j x )(
j )]
j x )(
e
j (
e
j )].
1 LC [ 3 3
j
j
xSeL 1 j j j xSeL () ( 3 j
j
LC [ 2 LC [ 4
4
j
j
j
xSeL j j xSeL () j
2 4
j
j
Thay (2.54) vào (2.55) ta được:
L
()
(
e
),
k
4,3,2,1
và do đó:
jk ,
xL )( kj
xSxL j
kj
j
j
x )(1
. (2.57)
j
1
L
x )(
L
x )(
L
(
e
),
k
.4,3,2,1
Dễ dàng nhận được:
jk ,
k
1,
i
ik ,
xSx () i
i
i
(2.58)
L
x
);
k
;4,3,2,1
i
...1
j
.1
Đặt:
ki i
(, ik
i
(2.59)
j
1
xS (
e
),
k
;4,3,2,1
j
,...,1
n
.1
Ta được:
xL )( kj
xL )( k 1
ki
i
i
1
(2.60)
j
1
L
(
e
)
eS (
e
k
.4,3,2,1
Từ phương trình (2.59) và (2.60) ta nhận được:
jk ,
j
k 1,
j
ik ,
j
i
i
1
,)
(2.61)
và
)( xS
(sinh
sin
2/)
x
x
.
k
.4,3,2,1
,)
1, 1
k
Lk 1,
e ( 1
Với j=1 ta có:
(
e
)
eS (
k
;4,3,2,1
L
,)
2, 2
k
k 1,
2
k
1,
2
e 1
Với j=2 ta có:
37
eS (
)
(
e
k
.4,3,2,1
L
,)
1, k 2
2
e 1
2, 2
k
k 1,
2
(
e
)
eS (
)
eS (
e
k
;4,3,2,1
L
,)
3, 3
k
k 1,
3
k
1,
3
e 1
k
2,
3
2
eS (
)
eS (
e
)
(
e
k
.4,3,2,1
L
,)
31, k
3
e 1
3 2, k
3
3 3,
k
2
k 1,
3
Với j=3 ta có:
)
1
)
2
2
1 a
0 1
0 0
... ...
0 0
21
)
3
3
]{A[
}
b {
}.
Như vậy (2.61) có thể viết ở dạng ma trận:
k
k
a 31 .
a 32 .
1 .
... .
0 .
.
.
. a
a
a
. ...
. 1
n 1
n
2
n
3
)
eL ( 1 k 1 eL ( 1 k eL ( k 1 . . eL ( 1 k
n
k k k . . kn
1 2 3 n
(2.62)
]A[
[
a
:
a
,1
a
( eS
e
),
i
aj ,
,0
i
j
,
j
,...,1
n
]
trong đó:
jj
ji
ji
j
i
j
ji
),..,
T )}
,
{}{ b k
1
( eL 1 1 k
n
( eL 1 k
n
{}
T }
là véctơ vế phải và véctơ ẩn là
det[
1]
A
{ k
,..., 1 kn
k
. Do định thức nghiệm của phương trình (2.62) có thể
1 {]A[}
},
k
4,3,2,1
viết ở dạng:
{ k
bk
}
. (2.63)
{ k có thể viết ra là:
);
[
)
(
)];
k
Ba thành phần đầu tiên của véctơ nghiệm
{
)
)
(
(
)
1 k 1 2 2 3
eL ( 1 k 1 eL ( 1 k 2 eL ( 1 k 3
3
k
2 1 2 3
(
e 1 )}.
( eSeL e ) 1 k 1 1 2 ( eSeL ) e 1 3 2 1 k 3 2 ( eSeL ) 1 3 12
1 k
3
( eSeL ) 1 3 k 1 ( eSe ) e 2 2 1
(2.64)
,0(
)
x )(
Thông thường sau khi áp các điều kiện biên cổ điển tại x = 0 ta có thể nhận
1
xCL )( 1
xDL )( 2
1e ở dạng
(
dạng riêng trên đoạn đầu tiên với hai hàm đã
xLxL ), )( 1
2
biêt (sẽ được xác định sau) cùng thỏa mãn điều kiện biên tại x = 0. Do
x )(
x )(
DL
(
x
),
j
,...,1
n
.1
đó:
j
CL 1
j
2
j
(2.65)
38
j
1
xS (
e
),
xL )( 1 j
xL )( 1
1 i
i
i
1
với:
j
1
x )(
xS (
).
L 2
j
xL )( 2
2
i
e i
i
1
j
,
,
,...,1
n
(2.66)
2
1
j
j
j
1
[
)
eS (
)],
j j
1
eL ( 1
j
i 1
e i
j
i
1
và các tham số , được biểu diễn ở dạng:
j
1
[
)
eS (
)],
j
,...,1
n
j j
2
eL ( 2
j
2
i
j
e i
i
1
),..,
T )}
),..,
T )}
(2.67)
{}{ b 1
eL ( 11 1
n
eL ( 1
n
{}{ b 2
1
eL ( 2 1
n
eL ( 2
n
, .
xS (
),
khi
x
0
xK )(
;
xS )(
(sinh
sin
x
x
.2/)
Đưa vào hàm số:
khi
x
0
,0
(2.68)
{[
C
Dx )(
(
x
)],
)}.1,0[
x )(
x
ta có thể viết dạng dao động riêng một cách tổng quát như sau:
1
2
(2.69)
n
x )(
xK (
e
);
1
xL )( 1
1 i
j
j
1
trong đó:
n
x )(
xK (
e
).
2
xL )( 2
2
j
j
i
1
. (2.70)
Các hằng số tích phân C, D sẽ được xác định từ điều kiện biên tại đầu phải
)
p
p
)
C
)1(
)1(
;0
D
của dầm tại x=1.
C
)1(
)1(
.0
( 2 D
( 1 q )( 1
q )( 2
p
)
p
)
(
x
),
x )(
(
x
),
x )(
(2.71)
( 1
( 2
q )( 1
q )( 2
(
x )(
x ),
trong đó , là các đạo hàm cấp p và q của các hàm
1
2
với p và q có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3 phụ thuộc vào điều kiện
biên thực tế ở đầu phải.
39
Từ phương trình (2.71), để tồn tại các hằng số C, D không đồng thời bằng 0,
p
)
p
)
)1(
)1(
)1(
)1(
0
ta có phương trình :
( 1
q )( 2
q )( 1
( 2
n
n
n
D
D
e
)
e
)
D
.0
)(
,(
,(
)(
. (2.72)
0
1
j
2
j
2
j
D 1
j
12
k
j
j
kj ,
1
1
2 1 j 1
Hay (2.73)
p
)
)
)
)
D
,1(
,1(
,1(
,1(
)(
)
)
)
);
0
( L 1
( q L 2
( q L 1
( p L 2
p
)
(
q
)
)
(
q
)
e
)
,1(
S
1(
e
,
,1(
S
1(
e
,
,(
)
)
)
);
D 1
j
( L 1
q ( L 1
j
j
trong đó:
(
p
)
)
(
q
)
D
e
)
L
,1(
S
1(
e
,
,1(
S
1(
e
,
,(
)
)
)
);
2
j
q )( 2
( p L 2
j
j
(
p
)
q )(
q )(
(
p
)
D
)
S
1(
e
,
S
1(
e
,
S
1(
e
,
S
1(
e
,
,(
)
)
)
).
12
ee , j
k
j
k
k
j
(2.74)
Đây là dạng hiển của phương trình đặc trưng (hay còn gọi là phương trình
tần số) tổng quát của dầm có nhiều vết nứt khá đơn giản và thuận tiện so với các
phương trình đã nhận được trong Caddemi [71] (2009).
Phương trình này bao hàm tất cả các phương trình đã nhận được từ trước đến
,...)3,2,1
nay cho các dầm côngxôn, gối tựa đơn, ngàm hai đầu hay tự do hai đầu. Nghiệm
kk , (
(
,...,
)
của phương trình (2.73) sẽ cho ta các trị riêng
ae , 1
1
n ae ,
n
phụ thuộc vào các và do đó cho phép ta nghiên cứu tần số riêng của tham số vết nứt
dầm có nhiều vết nứt.
Bảng 2. 1: Các hàm biên và các chỉ số đạo hàm trong điều kiện biên
,(1 xL )
,(2 xL )
p q Điều kiện biên của
sinh(
sin(
)
cosh(
cos(
)
) x
x
) x
x
dầm
sinh(
sin(
)
cosh(
cos(
)
) x
x
) x
x
Ngàm cứng hai đầu 0 1
sin( x )
sinh( x )
Tự do hai đầu 2 3
sinh(
sin(
)
cosh(
cos(
)
) x
x
) x
x
Gối tựa đơn hai đầu 0 2
Công xôn 2 3
40
Sau khi giải phương trình tần số (2.73), ta có thể khử một trong hai hằng số
p
)
p
)
C
)1(
)1(
0
D
tích phân C, D bằng một trong hai phương trình (2.71), ví dụ
( 1
( 2
p
)
p
)
CD /
/)1(
).1(
, khi đó ta được:
( 1
( 2
x )(
C [
x )(
(
x
)]
(2.75)
1
2
1)(
x
và dạng riêng với một hằng số tích phân C, có thể xác
max x
C
x )(
(
x
)]
định bằng một điều kiện chuẩn hóa do ta tự đặt ra, ví dụ , tức là:
0
1
2
. (2.76)
1
[max x
)(ˆ[ x
(
x
)].
)(ˆ x
ˆ
Cuối cùng ta được nghiệm chính xác của dạng riêng là :
1
2
(
x
x )(
x )(
)(ˆ x
ˆ),
(2.77)
1
C 1 0
C 0
2
2
với , có thể sử dụng để phân tích ảnh hưởng
2.3.3. Công thức Rayleigh tính tần số dao động riêng đối với dầm đàn hồi
có nhiều nhiều vết nứt
của vết nứt đến dạng riêng và chẩn đoán vết nứt bằng dạng riêng.
Xét một dầm Euler-Bernoulli tiết diện đều, ngàm chặt hai đầu với điều kiện
)0(
)0(
)1(
)1(
0
biên:
k
k
k
k
. (2.78)
Và các điều kiện tương thích tại các vị trí vết nứt (2.40)… (2.43):
)(xk
(
e
)
Nhân hai vế phương trình (2.38) với , lấy tích phân trong đoạn
j
j
e , 1
e
e
j
j
4
n
n
1
1
d
x )(
dx
x )(
dx
rồi tính tổng theo j ta được:
k
4 k
2 k
x )( k 4 dx
j
j
1
1
e
j
j
1
1
e
.
(
x
),
x
),
x
),
x )(
(
(
(2.79)
),( ba
Chú ý rằng, nếu các hàm đều liên tục trong
b
4
d
x )(
dx
dxx )(
đoạn thì:
bB )(
.)( aB
k
k
x )( k 4 dx
a
b a
(2.80)
41
xB )(
x )(
x )(
x )(
x
).
(
e
,0
1
trong đó:
0
ne 1
e
1
4
n
n
1
dj
2
)( x
dx
)( x
dx
[
B
)1(
B
)]0(
[
)
)]
Áp dụng (2.80) vào (2.79) lưu ý rằng ta có thể tính được:
k
k
k
k
( eB k
j
( eB k
j
)( x 4
dx
j
j
1
1
e
0
j
1
.
e
1
4
n
n
1
dj
2
2
x )(
dx
dxx )(
(
e
.)
Tích phân từng phần các tích phân bên trái của phương trình trên ta được:
k
k
k
j
j
x )( 4
dx
j
j
1
1
e
0
j
1
(2.81)
1
1
n
2
2
x )(
dx
(
e
x )(
dx .
do đó, cuối cùng, công thức (2.79) có thể viết lại thành:
4 k
k
k
j
j
2 k
j
1
0
0
/)
(2.82)
Đây chính là công thức Rayleigh cho dầm Euler-Bernoulli có nhiều vết nứt
đã nhận được trong [42]. Công thức Rayleigh chỉ ra rằng nếu biết dạng riêng của
dầm thì tần số riêng có thể tính được dễ dàng. Tuy nhiên, dạng riêng của một dầm
thường tìm được cùng với tần số riêng. Vì vậy, công thứ Rayleigh thực sự có ý
nghĩa để tính tần số riêng một cách gần đúng nếu cho trước hàm dạng xấp xỉ của
dạng riêng. Đây chính là một lối thoát để tính tần số riêng của một dầm bị nứt bằng
cách chọn hàm dạng gần đúng của dầm bị nứt. Fernandez-Saez và cộng sự đã đề
xuất phương pháp tính tần số riêng của dầm có một vết nứt ở dạng đa thứ bậc ba.
3
2
x )(
x )(
,
e (
,
e
),
j
n ,......., 1
.1
Trong luận án này đề nghị dạng riêng của dầm có nhiều vết nứt được chọn ở dạng:
k
0
k
xA kj
xDxCxB kj
kj
kj
j
j
1
(2.83)
xk )(0
Trong đó là dạng riêng của dầm không nứt và các hằng số A, B, C, D
A
;
B
B
;
C
C
(
De );
D
(
.
tính từ các điều kiện tương thích. Kết quả cho ta:
A kj
jk ,
kj
jk ,
jk ,
kj
k
j
j
jk ,
kj
k
j
ee ) j
j
1
1
1
1
(2.84)
hay:
42
j
j
1
1
C
,)
j
,...,1
n
1
A kj
BA ; k kj 1
CB ; k 1
kj
k
1
k
De ( ,) i kj
D k
1
e i i
k
e ( i
i
i
i
1
1
,
,
. (2.85)
DCBA , 1
1
1
k
k
k
k
1
C
0
Bốn hằng số được tính từ điều kiện biên (2.78) bằng:
k D k 1
1
n
n
B
1(
e
)
(
e
)
;0
3
2
B
(
e
)
.0
;
A k
1
k
1
j
k
j
j
A k
1
k
1
k
j
j
j
j
1
1
(2.86)
n
n
)21(
e
(
e
;)
B
e 3(
)2
(
e
.)
hay:
A k
1
j
j
k
j
k
1
j
j
k
j
j
j
1
1
(2.87)
1
1
1
1
2
2
x )(
dx
[
2
B
]
dx
x )(
dx
4
(
x
3)[
BxA
dx ]
6)( x
k
0
k
xA k 1
k
1
2 0 k
0 k
k
1
k
1
0
0
0
0
1
2
BxA
]
dx
x )(
dx
12
12
B
;
k
1
k
1
k
2 0
2 A k 1
BA k 1
k
1
2 k 1
1 3[4 0
0
n
n
n
2
(
e
)
(
e
(
e
3[)
B
]
4)
Sử dụng hàm (2.83) cùng các hằng số (2.86) ta tính được:
k
j
j
j
0
2 k
j
0 k
j
A k
1
j
k
1
j
j
j
1
1
1
.
1
n
Num
x )(
dx
(
e
)
Như vậy, tử số và mẫu số trong vế phải (2.82) sẽ tính được bằng:
0
2 k
j
0
2 k
j
21
j
1
0
n
(
e
)
(
e
;)
(6
e
e
)
15
;4
, ij
,...,1
n
;
21
i
0
k
i
k
0
j
ji
i
ee i
j
j
, ji
ij j 1
e
e
j
j
j
1
n 1
n 1
3
2
dxx )(
dxx )(
(
)
2 k
2 k
2 k 0
xAx )( k 1
k 1
kj
j
j
1
1
0
e 2 k 0 e
j
j
j
1
1
1
e
dxx )(
e
dxDxCxB kj
; (2.88)
e
j
n 1
3
2
2
(
)
dxx )(
2
,
xA k 1
DxCxB kj
k 1
kj
22 1
j
1
1 2 k 0 0
j
1
e
dx
(2.89)
e
j
1
n
1
3
2
(
)
dx
(
)
dx
(
e
)
trong đó:
1
xAx )( k
1
0
k
xB 1 k
0
k
DxCx )( kj
kj
0
2 k
j
j
k
j
n 4 0 1 j
1
0
e
j
1
; (2.90)
43
3
3
2
2
(
22 )
dx
DxC
)
dx
(2
DxCxB
)(
)]
dx
22
xA 1 k
xB k 1
kj
kj
xA 1 k
k
1
kj
kj
1 0
n 1 1 j e
e j [( j 1
n
C
4(
5
B
)
1
k
1
A k
k
1
C
D
D
C
(
, nk
, nk
2 , nk
, nk
2 j
0
2 k
) ee j
3 j
1
1
1
1
2 A k 1 7
BA 1 k 3
2 B k 1 5
2 nk , 3
1 10
1 3
j
1
n
C
3(
4
B
)
A k
1
k
1
1
D
(
e
)
e
e
e
, nk
j
0 k
j
5 j
4 j
3 j
eD kj
2 j
1
6
A k 1 10
B k 6
kj 3
j
1
n
(
e
)
(
e
.)
q i j
ji
k
0
k
0
i
j
j
1
17 / 21 717
e
/ 35
e
/ 3
e
/ 6
/10,
j
i
;
e
/ 140 153 e
3 j
4 j
j ) / 40
e
(2
e
2 / 15 43(
5 j
2 j e i
e i
j
e e j i
e ) / 2 (1 2 )(1 2 ) / 7 j
e i
j
q ij
e (3
2) / 5 (3
2)(
e
) / 12
(
/ 5 1/ 3)(
e
) / 2
e 2)(3 i
j
e e j i
3 j
3 e i
e e j i
4 j
4 e i
(
e
) / 5,
i
j
;
5 j
5 e i
(2.91)
1
1
n
x )(
dx
(
e
)
x )(
dx
(
e
)
.
/
Cuối cùng ta được:
4 k
0
2 k
j
0
2 k
j
21
0
2 k
0
2 k
j
j
22
k
j
1
n 4 2 0 j 1
0
0
(2.92)
1
1
x )(
dx
dx
1
Chú ý đến công thức Rayleigh trong trường hợp dầm không nứt, ta có:
2 0 k
4 0
k
2 0
xk )(
0
0
4
)
e (
)
e (
)
]
1[
21/[]
với . Do đó:
/ ( k 0
k
2 k 0
4 k 0
j
21
2 k 0
j
22
k
k
n 4 0 j 1 j
n 4 0 j 1 j
. (2.93)
n
n
1
a
e )(
e )(
j
j
i
j
ji ,
j
f
γ )(
.
Vế phải công thức (2.93) có thể viết gọn thành:
b ij 1 n
1 n
a
e )(
e )(
21
j
j
i
j
ij
ji ,
j
d 1
1
.
n
n
n
n
n
n
3
f
γ 1)(
f
0 )(
)2/1(
f
o
(
γ
1)
f
e )(
f
e )(
j
0 )( ij
i
j
j
j
ij
i
j
j
j
ji ,
j
j
, ji
j
1
1
1
1
1
1
f
e )(
a
e (
);
f
e )(
e )(
d
e (
)]
Sau đó, khai triển vế phải theo chuỗi Taylor ta được:
j
j
b [ ij
ij
ij
trong đó a và thừa số ngắt đuôi. Như vậy, ta
44
nhận được công thức gần đúng tính tần số của dầm có nhiều vết nứt là biểu thức
n
n
(
e
)
(
(
e
)
(
e
).
hiển của các tham số vết nứt:
4 k
4 k
0
j
k
2 0
j
ee , i
j
) k
0
i
k
0
j
k
i
j
i
j
,
j
ij 1
1
(
)
q
(2.94)
0k ta nhận được xấp xỉ tiệm cận bậc
ij
, ee i
j
4 k
0
ij
ij
với . Từ (2.94) với
n
(
e
.)
nhất:
4 k
4 k
0
j
k
2 0
j
j
1
(2.95)
Công thức (2.95) đã nhận được trong nhiều tài liệu bằng các phương pháp
nhiễu và phương pháp năng lượng. Ở đây công thức (2.94) được sử dụng để xây
dựng các phương trình chẩn đoán vết nứt bằng phương pháp đã được GS. Nguyễn
Kết luận Chương 2
Tiến Khiêm đề xuất gọi là phương pháp quét (Crack Scanning Method - CSM).
Trong Chương này, tác giả đã nhận được các kết quả sau đây:
Đã xây dựng được các công thức cơ bản trong dao động dọc trục của thanh đàn
hồi có nhiều vết nứt, đặc biệt là biểu thức hiển của hàm đáp ứng tần số. Đã
phân tích chi tiết hàm đáp ứng tần số xung quanh hai tần số riêng đầu tiên
(FRF1 và FRF2) phụ thuộc vào vị trí, độ sâu và số lượng vết nứt. Kết quả phân tích số cho thấy: ảnh hưởng của vết nứt đến hàm đáp ứng tần số được biểu hiện
rõ nét ở lân cận của tần số riêng và sự thay đổi về mặt định tính giống như sự
thay đổi của tần số riêng do vết nứt. Tuy nhiên, các vết nứt có độ sâu lớn có thể
làm xuất hiện các đỉnh cộng hưởng mới gần với đỉnh cộng hưởng ban đầu (của
dầm không bị nứt) và khoảng cách giữa hai đỉnh cộng hưởng này phụ thuộc vào
cả vị trí và độ sâu vết nứt;
Đã thiết lập các phương trình cơ bản để tính toán tần số và dạng dao động riêng của dầm đàn hồi có nhiều vết nứt. Những phương trình này là công cụ chủ yếu
để nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến các đặc trưng dao động của dầm. Đặc
biệt, đã thiết lập được công thức Rayleigh, một biểu thức hiển của tần số riêng
đối với các tham số vết nứt. Đây là công cụ chủ yếu để chẩn đoán vết nứt bằng
tần số riêng sử dụng phương pháp quét do GS. Nguyễn Tiến Khiêm đề xuất.
Điểm mới của công thức này so với các kết quả đã công bố là ở đây đã tính
thêm được thành phần tiệm cận bậc hai của độ lớn vết nứt. Đây là yếu tố quan trọng để giải quyết một số khó khăn trong việc bài toán chẩn đoán vết nứt sử
dụng xấp xỉ bậc nhất đã công bố trong các tài liệu.
45
CHƯƠNG 3. ĐIỂM NÚT DAO ĐỘNG DỌC TRỤC CỦA THANH, DAO
ĐỘNG UỐN CỦA DẦM CÓ VẾT NỨT
3.1. Khái niệm về điểm nút dao động của kết cấu thanh - dầm đàn hồi
Một trong các đặc trưng dao động rất giống với tần số cả về tính chất lẫn
phương pháp đo đạc, đó là các điểm nút dao động. Theo định nghĩa, nút dao động là
vị trí trong kết cấu tại đó dạng dao động nào đó bị triệt tiêu (bằng 0). Các điểm nút
dao động cũng rất đặc trưng cho kết cấu lại độc lập với tần số riêng, nhưng sự thay
đổi của các điểm nút do vết nứt được mô tả không chỉ bằng độ xê dịch về mặt định
lượng mà nó còn bao hàm cả hướng xê dịch. Điều đó làm phong phú thêm các
thông tin để chẩn đoán vết nứt cùng với sự thay đổi tần số. Gần đây, các tác giả
Gladwell và Morassi [32] đã chỉ ra rằng điểm nút của dạng riêng cũng là một chỉ số
có thể sử dụng để chẩn đoán vết nứt trong thanh. Các tác giả này đã công bố một
công trình nghiên cứu khá bài bản, được kiểm chứng cả bằng thực nghiệm rằng sự
thay đổi các điểm nút dạng riêng trong dao động dọc trục cho phép chẩn đoán chính
xác vị trí một vết nứt đơn trong thanh. Vấn đề phát triển phương pháp sử dụng sự
thay đổi các điểm nút trong dầm để chẩn đoán vết nứt đã được Morassi và Delina
[35] bắt đầu nghiên cứu từ năm 2002. Trong công bố này các tác giả đã chỉ ra rằng,
sự thay đổi các điểm nút do vết nứt trong dao động uốn của dầm phức tạp hơn nhiều
so với dao động dọc trục. Cụ thể là sự xê dịch các điểm nút không đơn điệu như
trong dao động dọc trục và việc tính toán sự thay đổi này cũng rất phức tạp ngay cả
cho trường hợp có một vết nứt. Trong công trình này, các tác giả đã tiến hành thực
nghiệm để kiểm chứng các kết quả lý thuyết, nhưng cũng mới chỉ nghiên cứu một
trường hợp dầm hai đầu tự do. Rất tiếc là sau công bố này, hơn 10 năm qua không
thấy xuất hiện công bố mới nào theo hướng này. Vì vậy, một vấn đề được đặt ra
trong luận án này là nghiên cứu lý thuyết về sự thay đổi các điểm nút dao động dọc
trục của thanh và dao động uốn của dầm do các vết nứt. Ở đây đưa ra các công thức
giải tích để tìm các điểm nút bất kỳ của thanh - dầm với số lượng vết nứt tùy ý dựa
trên các mô hình lò xo dọc trục, và lò xo xoắn của vết nứt được đưa ra trong phần
tổng quan. Các công thức giải tích nhận được cho phép ta tính chính xác các vị trí
điểm nút và hướng di chuyển của nó. Kết quả phân tích này rất bổ ích cho việc chẩn
đoán vị trí vết nứt từ các số liệu đo về vị trí điểm nút dao động.
46
3.2. Điểm nút dao động dọc trục của thanh đàn hồi có vết nứt
3.2.1. Các công thức cơ bản
(
)
1mm ee ,
H
cos
sin
H
cos
sin
].
Hx
x
Hx
x
Sử dụng phương trình (2.7) dạng riêng (2.5) trong đoạn bằng:
[A)( x 0
m
m 11
m 21
[B] 0
m 12
m 22
(
)
(3.1)
1mm ee ,
ta có thể tìm điểm nút của một dạng riêng bất kỳ nằm trong khoảng , (ký
H
cos
H
sin
H
cos
H
sin
x
x
x
x
0]
hiệu là mx , nếu tồn tại) từ phương trình:
[A 0
m 11
m
m 21
[B] 0
m
m 12
m
m 22
m
. (3.2)
[
]
cos
[
sin]
0
Kết hợp với phương trình đầu trong hệ (2.11) ta sẽ được:
pm SH 11 0
p m CH 0 12
x m
pm SH 21 0
m p CH 22 0
x m
. (3.3)
tan
x
hay
m
)( )(
)( )(
pm SH 11 0 m p CH 22 0
m p CH 12 0 pm SH 21 0
. (3.4)
Như vậy, các điểm nút của một dạng dao động cụ thể của một thanh có nhiều
k .
vết nứt hoàn toàn có thể tìm được nếu biết trị riêng hay tần số của dạng riêng đó
Do đó so sánh với điểm nút gốc của dạng dao động đó ta có thể xác định được xu
hướng thay đổi và độ xê dịch của nó do vết nứt. Kết quả lý thuyết này được minh
họa bằng các tính toán số phần dưới.
C
;0
S
;
sin ;
cos
p
1 q
Đối với thanh có hai đầu tự do
p 0
p 0
q C 1
q S 1
Ta có: , , do đó trị riêng và
k
k
,...;3,2,1
x
2(
r
,2/)1
rk
,...,1
k
,
điểm nút gốc (tức của thanh không nứt) tính được bằng:
0 kr
0 k
.
Phương trình đặc trưng (2.13) và phương trình xác định điểm nút (3.4) có
D
,
,...,
e
,
sin)
,
,...,
e
,
)
cos
0
)(
dạng:
n
h 11
e ,( 1 1
n
n
h 21
e ,( 1 1
n
n
tan
x
,
,...,
,
/)
,
,...,
,
)
; (3.5)
m
h 11
,( e 1 1
e m
m
h 21
,( e 1 1
e m
m
. (3.6)
47
Các điểm nút nằm trước vết nứt đầu tiên và sau vết nứt cuối cùng sẽ là
cos
0
cos
)
0
0 xk
nghiệm của các phương trình:
nx 1(
; . (3.7)
0
C
;1
S
;0
cos
sin
k
k
,...;3,2,1
;
Đối với trường hợp thanh cố định hai đầu
p 0
p 0
q C 1
q S 1
, k
0
rkr / ,
,...,1
k
1
Ta có , suy ra
xkr
(
,
,...,
,
)
cos
,
,...,
)(
sin) ,
0)
và
D n
h 12
e ,( 1 1
e n
n
h 22
e ,( 1 1
e n
n
tan
x
,
,...,
,
/)
,
,...,
,
)
; (3.8)
m
h 12
,( e 1 1
e m
m
h 22
,( e 1 1
e m
m
sin
0
sin
)
0
; (3.9)
0 x
nx 1(
; . (3.10)
p
C
0
p
1
q ;0
sin ;
Đối với thanh có một đầu cố định một đầu tự do
p 0
S ;1 0
q C 1
q S 1
2(
k
)1
,2/
k
,...;3,2,1
r 2/(2
k
),1
r
,...,1
k
1
0 k
0 xkr
Ta có: , thì ; cos
(
,...,
)
cos
,...,
0
)(
sin) , )
và
D n
h 12
e ,( , 1 1
e n
, n
h 22
e , ,( 1 1
e n
n
tan
x
,...,
/)
,...,
)
; (3.11)
m
h 12
,( e , 1 1
e m
, m
h 22
,( e , 1 1
e m
, m
sin
0
cos
)
0
; (3.12)
0 x
nx 1(
3.2.2. Kết quả khảo sát số
; . (3.13)
Các đồ thị cho trong các hình vẽ dưới đây là các đường mức ứng với các độ
xê dịch khác nhau của điểm nút gốc do ảnh hưởng của vị trí và độ sâu các vết nứt
đối với thanh có 2 đầu tự do.
Nghiên cứu các Hình 3.1 – 3.3 ta thấy rằng điểm nút đơn sẽ di chuyển về
phía vết nứt tồn tại gần điểm nút nhất hoặc có độ sâu lớn hơn. Điều đó chứng tỏ nếu
hai vết nứt có cùng một độ sâu nằm đối xứng qua điểm nút không làm cho điểm nút
đó dịch chuyển. Trong trường hợp có hai điểm nút: ảnh hưởng của vết nứt nằm giữa
hai điểm nút đối xứng qua điểm giữa thanh (đồng thời là điểm bất biến của tần số
thứ nhất) và tác dụng kéo vết nứt về phía mình của vết nứt này sẽ thêm vào cho vết
48
nứt nằm cùng phía đối với điểm nút đang xét; Tác dụng của một vết nứt đến các
điểm nút nằm giữa hai vết nứt khác không làm thay đổi nhiều bức tranh di động của
điểm nút đó gây nên do hai vết nứt nằm hai bên mà chỉ làm tăng ảnh hưởng của vết
0
e1
0,05
0
1,0
1,2
0,8
0,6
1,4
0,4
1,6
0,2
0,1
0,1
-0,1
-0,2
0,15
-0,4
0,2
-0,6
0,25
-0,8
-1,0
0,3
-1,2
0,35
-1,4
0,4
-1,6
0,45
0
e2
0.6
0.55
0.5
0.65
0.75
0.85
0.95
0.7
0.8
0.9
1
nứt nằm gần với nó hơn.
0,4
40%
a1/h
0,35
40%
0,3
30%
0,25
30%
0,2
20%
40%
20%
0,15
30%
0,1
10%
10%
20%
0,05
5%
5%
+
10%
5%
e1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Hình 3.1. Sự thay đổi điểm nút đơn (dạng dao động thứ nhất) phụ thuộc vào vị trí hai vết nứt cùng độ sâu 30% và nằm ở hai phía điểm nút gốc.
Hình 3.2. Các đường đồng mức không dịch chuyển của điểm nút đơn phụ thuộc vào vị trí và độ sâu của vết nứt bên trái với các số liệu khác nhau của vết nứt bên phải. e2=0.55,0.75,0.9
49
0
0,05
e3=0.8,a=10%
0,1
e3=0.85,a=25%
e3=0.84,a=20%
1 e
e3=0.85,a=23,2905%
e3=0.8,a=25%
0,15
0,2
e3=0.8,a=20%
e3=0.85,a=30%
e3=0.9025222
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.55
0.6
0.65
0.7
0.5 e2
Hình 3.3. Ảnh hưởng của vết nứt thứ ba đến sự dịch chuyển của điểm nút thứ hai (dạng dao động thứ hai). Các đường đồng mức không dịch chuyển của điểm nút thứ hai phụ thuộc vào vị trí vết nứt thứ nhất và thứ hai ứng với vị trí và độ sâu khác nhau của vết nứt thứ ba.
Có thể rút ra một số kết luận sau đây:
Vết nứt luôn có xu hướng kéo điểm nút về phía mình và “sức kéo” này càng
lớn khi điểm nút gần vết nứt;
Nếu không có vết nứt nào khác nữa thì sự co kéo của hai vết nứt nằm hai
bên một điểm nút là đối xứng (cân bằng) nếu giữa hai vết nứt đó không có
các điểm bất biến dao động dọc trục của thanh;
Ảnh hưởng của vết nứt thứ ba đến bức tranh di chuyển của một điểm nút
3.3. Điểm nút dao động của đầm đàn hồi có vết nứt
nằm giữa hai vết nứt khác là đơn điệu không gây nên các đột biến nào khác.
A
cos
B
sin
C
cosh
D
sinh
0
Giả sử mx là nghiệm của phương trình:
m
x mk
x mk
m
x mk
x mk
m
m
(
,
)
(3.14)
k . Khi đó, cùng với các phương trình (2.49)
e 1mm e
trong đoạn , đối với trị riêng
,
x
A)
,
x
B)
,
x
C)
,
.0
và (2.51) ta được:
F m 1
( k
m
0
F m
2
( k
m
0
F m
3
( k
m
0
F m
4
( k
Dx ) m
0
(3.15)
50
)
cos
sin
cosh
sinh
4,3,2,1
trong đó:
F mj
, x ( mk
m T j 1
m Tx mk j 2
m Tx mk j 3
m Tx mk j 4
jx , mk
. (3.16)
E
E
E
E
A
0
E
E
E
E
0 11 0 21
0 12 0 22
0 13 0 23
0 14 0 24
B
0
4
4
4
4
0
Thay phương trình cuối trong (2.51) bằng phương trình (3.15) ta được:
C
1 TE 1 j
n j 1
1 TE 1 j
n j 2
1 TE 1 j
n j 3
1 TE 1 j
n j 4
0 D
0
)
)
)
)
1 j xF ( 1 m m
1 j xF ( 2 m
m
1 j xF ( 3 m
m
1 j xF ( 4 m m
.
g
,
,
)
det
G
.0
γe ,
Đẳng thức cuối cho ta phương trình để xác định tham số mx
m x (
m
k
m
(3.17)
0 E ( ) 11 k 0 ) E ( 21 k
0 E ( ) 12 k 0 ( E ) 22 k
0 E ( ) 13 k 0 ) E ( 23 k
0 E ( ) 14 k 0 ) E ( 24 k
4
4
4
4
với:
G m
γe ),,
γe ),,
γe ),,
1 n ( TE j 1 j 1 k
1 n TE j 1 j 2
( k
1 n TE j 1 j 3
( k
1 n TE j 1 j 4
( k
j
j
j
j
1
1
1
1
)
)
xF ( ) m 1 m
xF ( ) 2 m m
xF ( m 3 m
xF ( 4 m m
. γe ),,
* Trường hợp dầm gối tựa đơn hai đầu
(3.18)
E
,1
E
,0
,1
E
;0
E
0 11
E
,1
,0
,1
;0
0 12 E
0 13 E
0 14 E
0 21
0 22
0 23
0 24
E
E
cos
E
sin
cosh
sinh
E
,
,
,
;
1 11
E
cos
sin
E
cosh
E
sinh
1 12 E
1 13 ,
,
.
1 14 ,
1 21
1 23
1 14
1 22
* Trường hợp dầm công xôn
Ta có điều kiện biên hai đầu dầm là:
E
,1
E
,0
E
,1
E
;0
0 11
0 13
0 14
E
,0
0 12 E
,1
E
,0
E
;1
0 21
0 22
0 23
0 24
E
cos
E
sin
E
cosh
E
sinh
,
,
,
;
1 11
E
sin
E
cos
E
sinh
E
cosh
,
,
,
.
1 12
1 13
1 14
1 21
1 22
1 23
1 14
Trong trường hợp này ta có:
51
* Trường hợp dầm ngàm hai đầu
E
,1
E
,0
E
,1
E
;0
0 11
0 12
0 13
0 14
E
,0
E
,1
E
,0
E
;1
0 21
0 22
0 23
0 24
E
cos
E
sin
E
cosh
E
sinh
,
,
,
;
1 11
E
1 12 E
1 13 E
1 14 E
sin
cos
sinh
cosh
,
,
,
.
1 21
1 22
1 23
1 14
3.3.1. Trường hợp không có vết nứt
Trong trường hợp này ta có:
Để kiểm tra tính đúng đắn của các công thức trên, ta xét trường hợp riêng
E
E
E
E
E
E
E
E
det
.0
đơn giản nhất là dầm không bị nứt. Khi đó phương trình tần số có dạng:
f )( 0
E
E
E
E
E
E
E
E
0 11 0 21 1 11 1 21
0 12 0 22 1 12 1 22
0 13 0 23 1 13 1 23
0 14 0 24 1 14 1 24
(3.19)
Và các điểm nút của dầm không bị nứt, gọi là các điểm nút gốc (generic
node), ký hiệu là x0 thỏa mãn phương trình (3.18) được viết lại cho trường hợp
E
E
E
E
E
E
E
E
f
)
det
0
,(
không có vết nứt là:
0
x 0
E
E
E
E
cos
sin
0 11 0 21 1 11 x 0
0 12 0 22 1 12 x 0
0 13 0 23 1 13 x cosh 0
0 14 0 24 1 14 x sinh 0
* Trong trường hợp dầm gối tựa đơn hai đầu
. (3.20)
0
1
1
0
0
1
1
0
det
sinh
0
2
sin
Phương trình tần số có dạng:
cos
sin
cosh
sinh
cos
sin
cosh
sinh
, (3.21)
sin
0
k
k
,....3,2,1
,
tức:
k
k
(3.22)
52
1
0
1
0
1
0
1
0
sin
sinh
sinh
sin
0
det
Lúc này phương trình (3.20) trở thành:
k
x 0
k
k
x 0
k
cos
sin
cosh
sinh
sin
cosh
sinh
k x 0
k
k x 0
k
k x 0
k
k x 0
k
cos
sin
0
x
krkr ,
/
,
,....3,2,1
0
1
, (3.23)
k
x 0
k
0
kx
0
;5.0
),3/2;3/1(
4/3;2/1;4/1(
),....
hay Do , nên điểm nút của dầm gối
x 20
x 30
x 40
tựa đơn hai đầu sẽ bằng . Dạng riêng
* Đối với dầm công xôn
thứ nhất không có điểm nút.
1
0
1
0
0
1
0
1
det
1(2
cosh
.0
) cos
Ta có phương trình tần số:
cos
sin
cosh
sinh
sin
cos
sinh
cosh
(3.24)
cosh
,1
k
,....3,2,1
hay:
cos k k
(3.25)
.1
8751 ,
.4
6941 ,
.7
8548 ,
.10
9955 ,
.14
1372
,...
1 3
2 4
5
cho nghiệm:
1
0
1
0
0
1
0
1
det
.0
Và phương trình cho điểm nút là:
cos
sin
cosh
sinh
cos
x
sin
x
cosh
sinh
x
x
k
0
k
0
k
k
0
0
(3.26)
x
.0
78445 ;
20
x
.0(
50355
.0,
86768
);
30
x
91.0,64.0,36.0(
),....
40
cho nghiệm:
Dạng riêng thứ nhất cũng không có điểm nút.
53
* Trường hợp dầm ngàm hai đầu
1
0
1
0
0
1
0
1
det
1(2
cosh
.0
cos )
Ta có phương trình tần số:
cos
sin
cosh
sinh
sin
cos
sinh
cosh
(3.27)
cosh
,....3,2,1
k ,1
hay:
cos k k
(3.28)
.4
7300 ,
.7
8532 ,
.10
9956 ,
.14
1372 ,
.17
2788
,...
1 3
2 4
5
cho nghiệm:
1
0
1
0
0
1
0
1
det
.0
Tương tự ta có phương trình điểm nút:
cos
sin
cosh
sinh
cos
x
sin
x
cosh
sinh
x
x
k
0
k
0
k
k
0
0
;5.0
);64.0,36.0(
x
72.0,5.0,28.0(
),....
(3.29)
x 20
x 30
40
cho nghiệm Dạng riêng thứ nhất
3.3.2. Trường hợp có một vết nứt
* Dầm gối tựa đơn hai đầu:
cũng không có điểm nút.
Đối với dầm nguyên vẹn dạng này, dạng dao động thứ nhất không có điểm
nút, dạng riêng thứ hai có một điểm nút gốc là 0.5 và dạng riêng thứ ba có hai điểm
nút gốc là 1/3 và 2/3.
Sự thay đổi các điểm nút được tính toán dưới đây và được trình bày trong các
hình vẽ là hiệu số giữa điểm nút hiện tại và điểm nút gốc. Như vậy, nếu hiệu số này
nhận giá trị âm, thì điểm nút được coi là bị xê dịch về bân trái điểm nút gốc. Nếu
giá trị tính toán là dương thì điểm nút bị xê dịch về bên phải điểm nút gốc. Khi đó,
dựa trên giá trị âm và dương của sự xê dịch điểm nút chúng ta xác định được hướng
54
di chuyển của các điểm nút do vết nứt. Từ đây chúng ta đưa ra các khái niệm đẩy và
0.015
0.01
0.005
t
u n
m e
i
d
i
o d
0
y a h
t
u S
-0.005
-0.01
-0.015
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
0
0.5 Vi tri vet nut
kéo các điểm nút của các vết nứt.
0.01
0.005
0
t
a h n
u h
t t
u n
-0.005
m e
i
d
i
o d
y a h
t
u S
-0.01
-0.015
-0.02
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.5 Vi tri vet nut
Hình 3.5. Sự thay đổi vị trí điểm nút thứ nhất (1/3) của dạng riêng thứ ba theo vị trí vết nứt với độ sâu thay đổi từ 0% đến 50% trong dầm gối tựa đơn hai đầu.
Hình 3.4. Sự thay đổi vị trí điểm nút duy nhất (1/2) của dạng riêng thứ hai theo vị trí vết nứt với các độ sâu khác nhau (từ 0% đến 50%) trong dầm gối tựa đơn hai đầu.
Hình 3.4 cho ta thấy vết nứt xuất hiện tại điểm nút gốc không làm thay đổi
nó. Ngoài ra, điểm nút gốc cũng không thay đổi nếu vết nứt xuất hiện ở hai vị trí
55
cách đều điểm nút gốc: 0.408672 và 0.591328, tại đó sự xê dịch của điểm nút gốc
đổi hướng (từ hướng tới vết nứt sang hướng rời vết nứt). Nói cách khác, các vết nứt
nằm bên trái vị trí 0.408672 luôn kéo điểm nút gốc về phía mình, nhưng các vết nứt
nằm bên phải vị trí 0.408672 lại đẩy điểm nút gốc ra xa. Ngược lại các vết nứt nằm
bên trái vị trí 0.591328 đẩy điểm nút gốc ra xa mình, còn các vết nứt nằm bên phải
vị trí 0.591328 lại kéo điểm nút gốc về phía mình. Như vậy, nói chung tồn tại một
khoảng trong dầm từ 0.408672 đến 0.591328 mà vết nứt xuất hiện trong đó có xu
hướng đẩy điểm nút của dạng riêng thứ nhất ra xa. Vết nứt xuất hiện ở hai khoảng
còn lại (0, 0.408672) và (0.591328, 1) đều kéo điểm nút về phía mình. Hình 3.5 cho
thấy vết nứt xuất hiện tại các điểm nút của dạng riêng thứ ba cũng không làm xê
dịch chúng. Hơn nữa, tồn tại hai đoạn dầm (0.283361, 0.408672) và (0.591328,
0.716639) chứa các điểm nút 1/3 và 2/3, mà vết nứt xuất hiện trong đó đều đẩy
chính điểm nút đó ra xa và vết nứt xuất hiện ở các đoạn còn lại đều có xu hướng
kéo điểm nút về phía mình. Những kết luận này rất bổ ích cho việc chẩn đoán vị trí
vết nứt bằng các điểm nút. Hiển nhiên là độ sâu vết nứt càng lớn thì độ xê dịch của
* Dầm công xôn:
điểm nút càng lớn.
Hình 3.6. Sự thay đổi điểm nút duy nhất của dạng riêng thứ hai theo vị trí vết nứt với độ sâu thay đổi từ 0% đến 50% trong dầm công xôn.
56
0.015
0.01
0.005
3
X: 0.58 Y: -3.331e-016
0
e d o m
, t
a h n
u h
t t
-0.005
u n
m e
i
d
i
o d
-0.01
y a h
t
u S
-0.015
-0.02
-0.025
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.5 Vi tri vet nut
Hình 3.7. Sự thay đổi điểm nút thứ nhất của dạng riêng thứ ba theo vị trí vết nứt với độ sâu thay đổi từ 0% đến 50% trong dầm công xôn.
x 10
10
x 10-4
2
8
1
0
6
3
-1
4
e d o m
, i
a h
u h
-2
t t
0.495
0.5
0.505
0.51
0.515
0.525
0.53
0.535
0.54
0.545
2
u n
0.52 Vi tri vet nut
m e
i
d
i
o d
X: 0.67 Y: -2.764e-005
0
y a h
t
u S
-2
-4
-6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.5 Vi tri vet nut
Hình 3.8. Sự thay đổi điểm nút thứ hai của dạng riêng thứ ba theo vị trí vết nứt với độ sâu thay đổi từ 0% đến 50% trong dầm công xôn.
Trong trường hợp này dạng riêng thứ nhất cũng không có điểm nút và dạng
riêng thứ hai có một điểm nút 0.78445, dạng riêng thứ ba có hai điểm nút là
0.50355 và 0.86768. Quan sát Hình 3.7 ta thấy điểm nút duy nhất của dạng riêng
thứ hai trong dầm công-xôn bị vết nứt ở trong hai đoạn dầm là (0.21656,0.29138)
và (0.547845,0.78445) đẩy ra xa khi, còn lại nó đều bị kéo điểm nút gốc về phía vết
57
nứt. Khi các vết nứt xuất hiện tại các vị trí 0.21656; 0.29138 và 0.547845, điểm nút
không bị xê dịch. Đặc biệt, khi vết nứt trùng với điểm nút gốc, nó đẩy điểm nút
sang phía phải và độ dịch chuyển của điểm lúc này là lớn nhất (khác với trường hợp
dầm gối tựa đơn hai đầu). Đối với dạng riêng thứ ba của dầm công-xôn, điểm nút
thứ nhất không bị xê dịch nếu vết nứt xuất hiện tại các vị trí 0.136998; 0.426943;
0.496447 và 0.573026. Vết nứt nằm trong đoạn (0.426943 - 0.496447) và (0.50355
-0.573026) là đẩy điểm nút. Vết nứt xuất hiện ở các vị trí còn lại đều hút điểm nút
về phía mình. Điểm nút thứ hai của dạng riêng thứ ba không thay đổi vị trí khi vết
nứt xuất hiện ở các điểm 0.136998; 0.496447; 0.545112 và 0.664366. Như vậy
điểm nút thứ hai này bị đẩy khi vết nứt xuất hiện trong các khoảng (0.496447,
0.545112) và (0.664366, 0.86768). Tại các vị trí còn lại vết nứt sẽ hút điểm nút về
3.3.3. Trường hợp có hai vết nứt
phía mình.
Trong trường hợp có hai vêt nứt, chúng ta khảo sát sự xê dịch của các điểm
nút phụ thuộc vào vị trí một vết nứt chạy nằm ở hai phía điểm nút. Ở đây ta cũng
khảo sát sự thay đổi của các điểm nút trong dầm gối tựa đơn hai đầu và dầm công-
* Dầm gối tựa đơn hai đầu
0.015
0.01
0.005
2 e d o m
, t
0
i
u n m e d
i
-0.005
o d y a h
t
u S
-0.01
-0.015 0
0.1
1
0.95
0.2
0.9
0.85
0.8
0.3
0.75
Vi tri vet nut thu nhat
Vi tri vet nut thu hai
0.7
0.65
0.4
0.6
0.55
0.5
0.5
xôn và kết quả được trình bày trong các hình vẽ dưới đây.
Hình 3.9. Sự thay đổi vị trí điểm nút dạng riêng thứ hai theo vị trí hai vết nứt nằm hai phía điểm nút, dầm gối tựa đơn hai đầu.
58
0
0
-0.0
0
0
.
2
0
0
0.
0
2
0
0.0 1
0 . 0
0.05
0
0
-0.0
5
0
5
0
0
5
-0.0005
-0.002
-0.005
0.1
-0.005
0 . 0 0 5
0
0.002 -0.00 2
0.0 0 0 5
-0 .01
0.15
0.002
0.0 0
-0.0
- 0 0 .0 5
1
0
-
0
0
t
5
.
0
0
0.2
0
2
-0.0005
5 0 .0 -0
a h n
u h
t t
0.25
u n
t
- 0
-0.005
.0
0
1
- 0 . 0
e v i r t i
5
0
0 0
V
0.3
2
0
0 . 0
0.0
0.002
0
0
5
5
0
0
-0.0
0
0 . 0 0 5
2
0
0.35
0
5
- 0 . 0
-0.005
-0 .0 2 0 0 . 0
0.4
0 . 0
5
0
0 0
0
-0.002
0.01
5
0
0 . 0
0
.
0
0
0
.
2
0
0
0
0.45
0
5
1 0 . 0
5 0 0 . 0
0.0
0
2
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.8
0.85
0.9
0.95
1
0.75 Vi tri vet nut thu hai
Hình 3.10. Các đường đồng mức sự thay đổi vị trí điểm nút dạng riêng thứ hai theo vị trí hai vết nứt nằm hai phía điểm nút, dầm gối tựa đơn hai đầu.
Quan sát các đường đồng mức sự thay đổi điểm nút duy nhất của dạng riêng
thứ hai, dầm gối tựa đơn hai đầu, Hình 3.9, và Hình 3.10 ta có thể rút ra các kết luận
sau đây:
Các vết nứt nằm đối xứng nhau qua điểm nút (đồng thời là điểm giữa dầm),
bao gồm cả trường hợp hai vết nút trùng nhau và trùng với điểm nút không làm xê
dịch điểm nút;
Khi một vết nứt tiến gần đến vị trí điểm nút vào khu vực đẩy điểm nút ra xa
như đã thấy trong Hình 3.4, đoạn (0.408672 - 0.591328) và vết nút kia vẫn nằm
trong vùng kéo điểm nút thì tác dụng của hai điểm nút lại cộng lại. Nếu cả hai vết
nứt đền nằm trong vùng đẩy điểm nút thì tác dụng này cùng bị loại trừ nhau;
Vùng mà điểm nút bị kéo về bên trái vẫn tồn tại khi vết nứt thứ hai nằm gần
điểm nút hơn và ngược lại vết nứt vẫn có thể bị kéo về bên phải khi vết nứt bên trái
nằm gần điểm nút hơn. Đây là điều khác biệt cơ bản giữa thanh và dầm.
59
* Dầm công-xôn
0.015
2
0.01
e d o m
, t
0.005
1
0
i
u n m e d
i
-0.005
o d
0.95
y a h
-0.01
t
0.9
u S
-0.015
Vi tri vet nut thu hai
0
0.85
0.1
0.2
0.3
0.4
0.8
0.5
Vi tri vet nut thu nhat
0.6
0.7
0.75
0.8
0
-0.01
-0.01
0
-0.005
-0.005
0.1
-0 .0 0 5 - 0 . 0 0 2 - 0 . 0 0 0 5
-0 .00 2
0 . 0 0 2
-0.002
0 . 0 0 0 5
0
-0 .00 05
-0.0005
0.2
0.005
0
0
5
0.000
0
0.3
t
0 . 0
0
0
2
a h n
-0.0005
u h
-0.0005
t t
0
u n
.
0.4
0
t
0
0
0
5
e v i r t i
V
5 0 0 . 0
0.5
- 0 . 0 0 0 5
-0.0005
2
0
0
0
0 . 0
0 . 000 5
0.0005
0.6
0.002
0.002
0 . 0 0 5
1
0 . 0
0.005
0.005
0.7
0.8
0.82
0.84
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
1
Vi tri vet nut thu hai
Hình 3.11. Sự thay đổi vị trí điểm nút dạng riêng thứ hai theo vị trí hai vết nứt nằm hai phía điểm nút, dầm công-xôn.
Hình 3.12. Các đường đồng mức sự thay đổi vị trí điểm nút của dạng riêng thứ hai theo vị trí hai vết nứt nằm hai phía điểm nút, dầm công-xôn.
60
0.02
0.015
2
e d o n
3
0.01
e d o m
, t
0.005
u n
m e
i
d
i
0
o d
y a h
t
1
u S
-0.005
0.98
0.96
0.94
-0.01 0
0.1
0.92
0.2
0.3
0.9
0.4
Vi tri vet nut thu hai
0.5
0.6
Vi tri vet nut thu nhat
0.88
0.7
0.8
0
-0.005
-0.005
0 . 0 0 2
- 0 .0 0 2 0
5
0
-0.002
-0.002
0
0 .
0.1
0
0
0.002
0.2
0
-0.002
-0.002
0 . 0
0
5
0.3
t
a h n
- 0 . 0 0 2
2
0
u h
0
0.4
-0.002
0 . 0
t t
u n
t
0
0
0.5
e v i r t i
0
.
V
0
0
5
0
0
0.6
2 0 0 . 0
0
0.7
0.002
0.002
0 . 0 0 5
1
0 . 0
0.005
0.8
0.88
0.9
0.96
0.98
0.92
1
0.94 Vi tri vet nut thu hai
Hình 3.13. Sự thay đổi vị trí điểm nút thứ hai, dạng riêng thứ ba theo vị trí hai vết nứt nằm hai phía điểm nút, dầm công xôn.
Hình 3.14. Các đường đồng mức sự thay đổi vị trí điểm nút thứ hai của dạng riêng thứ ba theo vị trí hai vết nứt nằm hai phía điểm nút, dầm công xôn.
61
Bức tranh “kéo-đẩy” điểm nút của hai vết nứt nằm hai phía điểm nút của dầm
công-xôn đơn giản hơn so với dầm gối tựa đơn đối xứng. Ở đó ta thấy, điểm nút
duy nhất (0.78445) của dạng riêng thứ hai trong dầm công-xôn chỉ có thể bị kéo về
bên trái khi vết nứt bên trái nằm trong các đoạn: (0-0.21656) và (0.29138-
0.547845). Ngoài vùng trên vết nứt bên phải luôn luôn kéo điểm nút về phía mình.
Trong Hình 3.12, Hình 3.14 ta cũng thấy rằng khi vết nứt trùng với điểm nút, thì nó
Kết luận Chương 3
vẫn đẩy điểm nút khỏi vị trí ban đầu.
Như vậy, các kết quả số minh họa nhận được cho trường hợp thanh đã được
mô tả rõ ràng và chi tiết hơn kết quả của Delina và Morassi, ở đó chưa nêu rõ được
các vùng “kéo-đẩy” điểm nút.
Các bức tranh nêu trên cho phép ta xác định hướng xê dịch của các điểm nút
do tác dụng của vết nứt. Đây là các biểu đồ cho phép ta phân vùng, thậm chí là xác
định được vị trí chính xác của vết nứt khi đo được vị trí các điểm nút.
62
CHƯƠNG 4. ĐO ĐẠC THỰC NGHIỆM TRÊN MÔ HÌNH TRONG
PHÒNG THÍ NGHIỆM
Mục đích của việc nghiên cứu đo đạc thực nghiệm là xác định tần số riêng của mô hình thực nghiệm phục vụ việc chẩn đoán vết nứt thông qua việc đo đạc hàm đáp ứng tần. Việc xác định các tần số riêng từ hàm đáp ứng tần số đo đạc hay nói một cách khác là phương pháp xử lý số liệu đo đạc đạc được trình bày trong 4.1.3
4.1. Đo đạc thực nghiệm hàm đáp ứng tần số
4.1.1. Thiết bị đo đạc thực nghiệm hàm đáp ứng tần số
Thiết bị đo đạc hàm đáp ứng tần số là thiết bị đo và phân tích dao động
PULSE của Viện cơ học dưới sự quản lý của phòng Chẩn đoán Kỹ thuật.
4.1.2. Phương pháp đo đạc hàm đáp ứng tần số
Hình 4.1. Hệ Thống đo đạc dao động PULSE.
Để đo đạc hàm đáp ứng tần số của 1 cơ hệ luôn có 2 dạng đo:
Hệ đo đơn kênh: tức là một đầu vào và một đầu ra;
Hệ đo đa kênh: tức là nhiều đầu vào và nhiều đầu ra.
63
Do bởi cơ sở vật chất và thiết bị đo còn hạn chế nên tác giả lựa chọn phương
pháp đo đạc hệ đơn kênh để đo đạc thực nghiệm trong luận án.
Giả sử kích động đầu vào tại vị trí q và đo đạc đáp ứng đầu ra tại vị trí p của
đối tượng đo
Hình 4.2. Mô hình đo đạc đơn kênh (1 đầu vào 1 đầu ra).
ˆ X
).
Trong trường hợp này ta có mối quan hệ
p
p
ˆ( FH pq q
q
(4.1)
ˆ FF
Trong đó:
X
ˆ X
giá trị thực đầu vào
Xˆ phổ đáp ứng đo đạc được tại vị trí p
Fˆ phổ kích động đầu vào đo đạc được tại vị trí q
nhiễu đầu vào
nhiễu đầu ra
giá trị thực đầu ra
Khi không có nhiễu tức là ==0 thì ta nhận được hàm đáp ứng tần số của
.
H
X F
hệ:
64
Khi ≠0 và/hoặc ≠0 thì để có được hàm đáp ứng tần số tốt nhất của hệ ta
sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu.
Ngoài ra người ta có thể làm giảm thiểu ảnh hưởng của nhiễu bằng cách đo
đạc tự phổ và phổ chéo như sau:
N
N
avg
avg
GXF
Phổ chéo:
pq
* X F GXF ; p q
qp
F X q
* p
1
1
(4.2) .
N
N
avg
avg
GFF
Tự phổ
* F F GXX ; q
* q
pp
X X p
* p
1
1
(4.3) .
(F )
*F là liên hợp phức của
(X )
X là liên hợp phức của
trong đó:
pq
H
H
.
Ta có biểu thức hàm đáp ứng tần số cho giảm nhiễu đầu ra là :
1
GXF pq GFF
(4.4)
pp
H
H
.
Biểu thức hàm đáp ứng tần số giảm nhiễu đầu vào là :
2
GXX pq GFX
qp
(4.5)
Trong luận án thì việc đo đạc và lấy hàm đáp ứng tần số ở dạng H1, nhằm
4.1.3. Xác định các đặc trưng dao động từ số liệu đo hàm đáp ứng tần số
(H )
giảm thiểu nhiễu của lực tác động của búa lực.
]
Giả sử ta đã có hàm đáp ứng tần số
đo đạc được trong một dải tần số ,0[ , vấn đề đặt ra trong mục này là xác định các đặc trưng động lực học cho trước
,...;3,2,1
j
,...,1
m
của đối tượng đang thử nghiệm bao gồm: tần số riêng, hệ số cản và dạng dao động
,ˆ
, j
riêng , trong đó là chỉ số của mode dao động là j là
chỉ số của điểm đo. Hiển nhiên là nếu hệ có một bậc tự do thì dạng riêng luôn lấy
65
bằng 1, còn đối với hệ nhiều bậc tự do thì hàm đáp ứng tần số của hệ trong lân cận
các đỉnh trong đồ thị, như đã nói ở trên, được gần đúng bằng hàm đáo ứng tần số
của hệ một bậc tự do. Do đó, công việc của chúng ta là xác định các đặc trưng động
, , j
H
,
(
,
)
( )
lực học từ đồ thị của hàm số:
jk
R
L
]
j k 2 2 [ i
. (4.6)
Việc đơn giản hóa nêu trên chỉ được chấp nhận với các giả thiết sau đây:
- Các tần số riêng không trùng nhau và ở cách xa nhau;
- Hệ số cản nhỏ: 1;
Để xác định các đặc trưng động học từ hàm đáp ứng tần số đo đạc được, một
trong các phương pháp đơn giản nhất (nhưng khá thông dụng) đó là phương pháp
Phương pháp cộng hưởng
cộng hưởng.
Hình 4.3. Phương pháp công hưởng.
H
) (
Giả sử ta có hàm đáp ứng tần số đo được và mô đun (giá trị tuyệt đối) của nó
kjA 22 2 ( )
2
2
(4.7)
66
được trình bày trong Hình 4.3. Theo nguyên lý cộng hưởng, hàm đáp ứng tần số đạt
.2/
cực đại tại tần số công hưởng có cản, tức tần số đỉnh
2 ˆ
2
(4.8)
và giá trị hàm đáp ứng tần số tại đỉnh bằng:
H
ˆ H
/
)ˆ(
A
jk
jk
jk
. (4.9)
Hệ số cản mô tả sự hao tán năng lượng của quá trình dao động được mô tả
bằng độ nhọn của đỉnh. Độ nhọn của đỉnh lại được mô tả bằng độ rộng của bụng
H
ˆ H
.2/
( )
đỉnh được xác định bằng:
jk
jk
(4.10)
1, (Hình 4.3). Khi đó hệ số cản được xác định bằng:
2
.
nó cho ta hai nghiệm
2 1 ˆ2
(4.11)
.2/
với hệ số cản trên ta có thể tính được chính xác tần rố riêng không cản:
2 ˆ
2
(4.12)
.
Cuối cùng ta có thể tính được:
A
ˆ jk H
jk
(4.13)
Nếu chọn điều kiện chuẩn hóa các dạng riêng khác tại điểm đặt lực bằng 1,
1k
.
, thì giá trị dạng riêng của mode tại điểm đo bằng:
ˆ j H
jk
(4.14)
Như vậy cả ba tham số tần số riêng, dạng dao động riêng và hệ số cản đã
4.2. Đo đạc hàm đáp ứng tần số trên mô hình thanh đàn hồi có vết nứt
được xác định. Từ dạng riêng ta tìm được các điểm nút của dạng riêng.
Một mô hình thanh bê tông hai đầu tự do, có tiết diện hình tròn đường kính
0.2m, chiều dài 1.5m (Hình 4.4) đã được chế tạo phục vụ việc đo đạc thực nghiệm
67
hàm đáp ứng tần số và chẩn đoán vết nứt bằng hàm đáp ứng tần số. Hai vết nứt là
các vết cưa có độ sâu lần lượt là 12% và 5% đã được tạo ra tại các vị trí 0.49m và
1.02m. Các tham số vật liệu như mô đun đàn hồi E, mật độ khối được xác định
c
/E
dựa trên thí nghiệm xác định mác bê tông tương ứng với vận tốc truyền sóng
.
Sử dụng hệ thống đo đạc B&K PULSE đo đạc hàm đáp ứng tần số FRF1 và
FRF2 cho trong Hình 4.6, Hình 4. 7. Số liệu đo này đã được sử dụng để chẩn đoán
các vết nứt trong thanh bê tông bằng thuật toán đã được trình bày trong chương sau.
Các Hình 4.4 – Hình 4.7 mô tả việc đo đạc thực nghiệm và kết quả đo hàm
đáp ứng tần số của mô hình thực nghiệm nêu trên.
Hình 4.4. Mô hình thí nghiệm và hệ thống thiết bị đo
Hình 4.5. Tín hiệu đầu vào và FRF của thanh bê tông đàn hồi.
68
Hình 4.6. Kết quả đo hàm đáp ứng tần số FRF1của thanh bê tông
Hình 4.7. kết quả đo hàm đáp ứng tần số FRF2 của thanh bê tông.
69
4.3. Đo đạc hàm đáp ứng tần số trên mô hình dầm đàn hồi có vết nứt
Mô hình dầm được thiết kế, chế tạo bằng thép CT4, được mài nhẵn.
Vật liệu làm mô hình dầm là thép CT 40 với các tính chất như sau:
Mật độ khối lượng: 7855 kg/m3
Mô đun đàn hồi: 2.0x1011 N/m2
Hệ số Poisson : 0.3
Cơ cấu ngàm được chế tạo bằng hai hộp thép CT3 có năm mặt. Mỗi mặt có
kích thước 0.25m x 0.25m x 0.02m. Trên mỗi mặt được khoan 8 lỗ đường kính
0.016 m, cách mép hộp 0.05m và cách nhau 0.075m. Trên hai mặt đối diện được
phay hai rãnh rộng 0.016 m, dài 0.15m, hai đầu rãnh cách đều hai mép hộp 0.05m.
Hai rãnh này dùng để bắt các ốc vít xuống sàn thép cố định và để dễ dàng dịch
chuyển hộp nhằm thay đổi chiều dài dầm. Mỗi hộp thép này có trọng lượng 46 kg,
được bắt chặt xuống sàn thép cố định bằng hai ốc vít để đảm bảo chúng không bị
dao động trong quá trình thí nghiệm.
Hình 4.8. Lắp đặt Mô hình thí nghiệm.
70
Hình 4.9. Mô hình thí nghiệm dầm đàn hồi ngàm hai đầu.
Hình 4.10. Mô hình đo đạc thực nghiệm với dầm ngàm 2 đầu.
Dầm được ngàm chặt 2 đầu như Hình 4.9. với chiều dài dầm là 1m. Cách đo
các hàm phản ứng tần số như sau: cố định điểm đo tại vị trí cách đầu ngàm bên phải
là 0.15m (đây là vị trí cho tín hiệu tốt nhất và đỡ bị ảnh hưởng khối lượng đầu đo
đến kết quả đo đạc) theo phương x, gõ búa lực lần lượt vào tất cả các điểm chọn
p=0.28m; 0.4m; 0.5m; 0.6m; 0.72m (Hình 4.10). Mỗi một phép đo ta sẽ tính được
hàm phản ứng xung bằng phần mềm PULSE LABSHOP 5.1 được tích hợp trong hệ
thống PULSE.
71
Sơ đồ vết nứt được tạo ra ở các vị trí như Hình 4.11.
4.3.1. Kết quả đo đạc hàm đáp ứng tần số của dầm chưa nứt
Hình 4.11. Mô hình vết nứt dầm cho đo đạc hàm đáp ứng phổ.
Hình 4.12. Tín hiệu đầu theo thời gian vào và phổ tín hiệu đầu vào với kích động tại p=0.28m.
Hình 4.13. Hàm đáp ứng tần số (FRF) ở thang đo loga và thang đo tuyến tính kích động tại p=0.28m.
72
Hình 4.14. Tín hiệu và FRF với kích động tại p=0.4m.
Hình 4.15. Tín hiệu và FRF với kích động tại p=0.5m.
Hình 4.16. Tín hiệu và FRF với kích động tại p=0.6m.
Hình 4.17. Tín hiệu và FRF với kích động tại p=0.72m.
73
Qua phân tích số liệu hàm đáp ứng tần số từ Hình 4.12 đến Hình 4.17 cho
thấy dù tác động ở bất kỳ vị trí nào trên dầm thì không làm thay đổi tần số của cơ
hệ. điều này phù hợp với lý thuyết (đặc trưng tần số không phụ thuộc vào lực kích
động ngoài). Từ Hình 4.15 ta thấy rằng: khi ta kích động vào điểm nút của dao động
thì kết quả đo sẽ không kích động được tần số cộng hưởng của dạng dao động đó
(tần số thứ hai không được kích động do bởi điểm gõ tại p=0.5m vào đúng điểm nút
4.3.2. Kết quả đo đạc hàm đáp ứng tần số dầm bị nứt
của dao động), điều này là đúng với tý thuyết.
Vết nứt tại x=0.45m. Thí nghiệm đo đạc với các độ sâu 10%, 20%, 30% và
40%. Kết quả đo đạc hiển thị ở hình dưới đây.
Hình 4.18. Tín hiệu và FRF với kích động tại p=0.5m vết nứt 10%.
Hình 4.19. Tín hiệu và FRF với kích động tại p=0.5m vết nứt 40%.
Từ kết quả đo đạc thực nghiệm Hình 4.18, Hình 4.19 ta thấy rằng khi vết nứt
tăng thì biên độ của đáp ứng giảm, đồng thời hàm đáp ứng cũng dịch chuyển về bên
trái, tức là các tần số cộng hưởng (tần số riêng) sẽ giảm đi. Điều này phù hợp với
tính toán lý thuyết.
74
Tiếp tục làm thí nghiệm với vết nứt thứ 2 ở vị 0.2m từ bên trái của ngàm và
vết nứt thứ 3 ở vị trí 0.8m với độ sâu tăng dần từ 10%; 20%; 30% và 40%. Trên
Hình 4.20 biểu điễn kết của các phép đo hàm đáp ứng tần số với 1 vết nứt và 3 vết
nứt với các độ sâu khác nhau.
Hình 4.20. Biểu diễn hàm đáp ứng tần số (FRF) với độ sâu vết nứt thay đổi:
Series 1: x=0.45m, a1/h=10%; Series 2: x=0.45m, a1/h=20%; Series 3: x=0.45m, a1/h=30%; Series 4: x=0.45m, a1/h=40%;
4.4. Kết quả xác định tần số từ hàm đáp ứng tần số đo đạc dầm đàn hồi
Series 5: x=0.2, 0.45, 0.8m, a1/h=a2/h=a3/h=40%.
Ở phần này luận án đo đạc dầm với có cùng kích thước như ở phần trên. Tuy
nhiên cách đo đạc hàm đáp ứng tần số ở phần trên là mở rộng thang đo để hiển thị
lấy 5 tần số, do đó thì tần số thu được sẽ không chính xác. Chính vì vậy cách đo đạc
để lấy tần số ở phần này sẽ lấy thang đo sao cho chỉ hiển thị đỉnh cộng hưởng của
mỗi tần số đo. Ta sử dụng con trỏ của thiết bị để tìm ra đỉnh cộng hưởng chính là
tần số dao động riêng tương ứng. Kết quả đo đạc được thể hiện ở các bảng dưới đây
Bảng 4.1 …Bảng 4.16, đồng thời so sách kết quả với các tần số tính toán từ mô hình
giải tích và tần số tính toán theo công thức Rayleigh trong chương 2.
75
Hình 4.21. Mô hình vết nứt đo đạc FRF để lấy tần số.
Bảng 4.1. Tần số dầm ngàm 2 đầu nguyên vẹn
Tần số (Hz) f1 f2 f3 f4 f5 f6
43.1596 118.971 233.2307 385.5422 575.9336 804.4030 Giải tích
43.17 119.0 233.3 385.6 576.1 804.6 Thực nghiệm
43.1596 118.971 233.2307 385.5422 575.9336 804.4030 Rayleigh
Bảng 4.2. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e=0.45m; a/h=10%
Tần số (Hz) f1 f2 f3 f4 f5 f6
Giải tích 43.1377 118.9588 233.1035 385.4218 575.7544 803.9720
Thực nghiệm 43.14 118.99 233.16 385.52 575.91 804.17
Rayleigh 43.1376 118.9588 233.1031 385.4214 575.7539 803.9700
Bảng 4.3. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=10%; e2=0.45m; a2/h=10%;
43.1371
118.9311 232.9609 385.2174 575.6749 803.9555
Tần số (Hz) f1 f2 f3 f4 f5 f6
43.14
118.96
233.0
385.29
575.82
804.15
Giải tích
43.1370
118.9310 232.9603 385.2155 575.6744 803.9531
Thực nghiệm
Rayleigh
76
Bảng 4.4. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=10%; e2=0.45m; a2/h=10%; e3=0.7m, a3/h=10%
43.1323
118.8541 232.9065 385.1886 575.2884 803.5648
Tần số (Hz) f1 f2 f3 f4 f5 f6
43.14
118.87
232.93
385.2
575.38
803.7
Giải tích
43.1323
118.8522 232.9047 385.1858 575.2675 803.5540
Thực nghiệm
Rayleigh
Bảng 4.5. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=10%; e2=0.45m; a2/h=20%; e3=0.7m, a3/h=10%
43.0714
118.8202 232.5525 384.8570 574.7953 802.3735
Tần số (Hz) f1 f2 f3 f4 f5 f6
43.07
118.82
232.52
384.87
574.8
802.29
Giải tích
43.0709
118.8175 232.5444 384.8450 574.7522 802.3591
Thực nghiệm
Rayleigh
Bảng 4.6. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=20%; e2=0.45m; a2/h=20%; e3=0.7m, a3/h=10%
43.0696
118.7435 232.1551 384.2981 574.5729 802.3202
Tần số (Hz) f1 f2 f3 f4 f5 f6
43.07
118.74
232.14
384.26
574.55
802.29
Giải tích
43.0692
118.7387 232.1450 384.2690 574.5226 802.3081
Thực nghiệm
Rayleigh
Bảng 4.7. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=20%; e2=0.45m; a2/h=20%; e3=0.7m, a3/h=20%
43.0567
118.5293 232.0036 384.2200 573.5113 801.2460
Tần số (Hz) f1 f2 f3 f4 f5 f6
43.05
118.52
231.99
384.18
573.46
801.19
Giải tích
43.0557
118.5028 231.9776 384.1791 573.2092 801.0904
Thực nghiệm
Rayleigh
77
Bảng 4.8. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=20%; e2=0.45m; a2/h=30%; e3=0.7m, a3/h=20%
42.9502
118.4698 231.3852 383.65501 572.6729 799.1894
Tần số (Hz) f1 f2 f3 f4 f5 f6
42.94
118.46
231.35
383.58
572.56
799.04
Giải tích
42.9474
118.4383 231.3258 383.5639
572.2382 799.0690
Thực nghiệm
Rayleigh
Bảng 4.9. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=30%; e2=0.45m; a2/h=30%; e3=0.7m, a3/h=20%
42.9469
118.3376 230.6894 382.7121
572.2812 799.1226
Tần số (Hz) f1 f2 f3 f4 f5 f6
42.9
118.32
230.64
382.55
572.17
798.95
Giải tích
42.9442
118.2944 230.6249 382.5520
571.7976 798.9608
Thực nghiệm
Rayleigh
Bảng 4.10. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=30%; e2=0.45m; a2/h=30%; e3=0.7m, a3/h=30%
42.9247
117.9643 230.4249 382.5813
570.4717 797.2471
Tần số (Hz) f1 f2 f3 f4 f5 f6
42.92
117.93
230.36
382.41
570.22
796.99
Giải tích
42.9198
117.8232 230.2858 382.3678
568.8627 796.4205
Thực nghiệm
Rayleigh
Bảng 4.11. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=30%; e2=0.45m; a2/h=30%; e3=0.7m, a3/h=40%
42.8883
117.3613 230.0024 382.3702
567.5830 794.3503
Tần số (Hz) f1 f2 f3 f4 f5 f6
42.88
117.29
229.91
382.17
566.98
793.74
Giải tích
42.8752
116.9249 229.6113 381.9864
562.7077 790.7068
Thực nghiệm
Rayleigh
78
Bảng 4.12. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=30%; e2=0.45m; a2/h=40%; e3=0.7m, a3/h=40%
42.7170
117.2598 228.9992 381.4957
566.3634 790.9806
Tần số (Hz) f1 f2 f3 f4 f5 f6
42.69
117.19
228.84
381.16
565.48
790.12
Giải tích
42.6991
116.7935 228.4308 380.8805
560.6276 788.1119
Thực nghiệm
Rayleigh
Bảng 4.13. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=40%; e2=0.4m; a2/h=40%; e3=0.7m, a3/h=40%
42.7113
117.0542 227.8633 380.0624
565.7112 790.9013
Tần số (Hz) f1 f2 f3 f4 f5 f6
42.69
116.96
227.65
379.45
564.81
789.98
Giải tích
42.6932
116.5210 227.3346 379.2809
559.6245 787.7905
Thực nghiệm
Rayleigh
Bảng 4.14. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=50%; e2=0.4m; a2/h=40%; e3=0.7m, a3/h=40%
42.7019
116.7131 226.0229 377.8217
564.7007 790.7747
Tần số (Hz) f1 f2 f3 f4 f5 f6
42.68
116.56
225.58
376.5
563.68
789.74
Giải tích
42.6830
116.0545 225.4519 376.5362
557.9088 787.2419
Thực nghiệm
Rayleigh
Bảng 4.15. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=50%; e2=0.45m; a2/h=50%; e3=0.7m, a3/h=40%
42.4167
116.5592 224.3570 376.5532
562.6580 785.5926
Tần số (Hz) f1 f2 f3 f4 f5 f6
42.37
116.39
223.73
374.62
561.09
783.53
Giải tích
42.3807
115.8285 223.3967 374.6201
554,3245 782.7899
Thực nghiệm
Rayleigh
79
Bảng 4.16. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=50%; e2=0.45m; a2/h=50%; e3=0.7m, a3/h=50%
42.3618
115.5740 223.6569 376.2644
558.3072 780.8314
Tần số (Hz) f1 f2 f3 f4 f5 f6
42.3
115.27
222.9
374.34
555.47
777.87
Giải tích
42.3028
113.7744 221.8603 373.7671
537.6546 770.4146
Thực nghiệm
Rayleigh
Hình 4.22. Sự thay đổi của tần số thứ nhất theo lý thuyết – thực nghiệm và Rayleigh
Hình 4.23. Sự thay đổi của tần số thứ hai theo lý thuyết – thực nghiệm và Rayleigh
80
Hình 4.24. Sự thay đổi của tần số thứ ba theo lý thuyết – thực nghiệm và Rayleigh
Hình 4.25. Sự thay đổi của tần số thứ tư theo lý thuyết – thực nghiệm và Rayleigh
Hình 4.26. Sự thay đổi của tần số thứ năm theo lý thuyết – thực nghiệm và Rayleigh
81
Hình 4.27. Sự thay đổi của tần số thứ sáu theo lý thuyết – thực nghiệm và Rayleigh
Với các deltaf ký hiệu trên hình bằng hiệu của tần số khi nứt với tần số
không nứt.
Từ số liệu tần số các Bảng 4.1 đến Bảng 4.16 và biểu đồ so sánh kết quả trên
Hình 4.22 đến Hình 4.27 cho ta thấy rằng: Kết quả tần số thực nghiệm nhận được từ
việc đo đạc hàm đáp ứng tần số, kết quả tần số giải tích và kết quả tần số nhận được
từ công thức Rayleigh gần sát với nhau. Như vậy kết quả đo đạc này là đáng tin cậy
để làm đầu vào cho bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm bằng tần số ở phần dưới
Kết luận chương 4
đây.
Trong chương này, đã trình bày cơ sở lý thuyết rút gọn của việc đo đạc hàm
đáp ứng tần số và việc sử dụng hàm đáp ứng tần số trong việc xác định các tần số
riêng;
Đã đo đạc được hàm đáp ứng tần số của thanh trong lân cận của hai tần số
riêng thứ nhất và thứ hai. Chúng ta chỉ chọn kết quả đo đạc trong lân cận của các tần số riêng, bỏ qua các tần số xa công hưởng. Kết quả cho ta thấy biểu đồ của hàm
đáp ứng tần số không chỉ tại các đỉnh cộng hưởng (được sử dụng để xác định các
tần số và dạng dao động riêng tương ứng) mà còn chỉ ra ứng xử của hàm đáp ứng
tần số tại các tần số gần cộng hưởng. Đây là sự mở rộng các hiểu biết về hàm đáp
ứng tần số phục vụ việc chẩn đoán vết nứt bằng hàm đáp ứng tần số.
Ngoài ra, các số liệu đo đạc tần số riêng của dầm có vết nứt đã được so sánh
với các kết quả tính toán. Sự so sánh này cho phép ta đồng thời kiểm nghiệm lại
tính đúng đắn của cả hai: tính toán và đo đạc.
82
CHƯƠNG 5. CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG THANH, DẦM
5.1. Phương pháp quét trong chẩn đoán vết nứt bằng dao động
Nội dung đặt ra của Bài toán chẩn đoán vêt nứt là tìm vị trí và độ sâu của các
vết nứt có thể trong một kết cấu từ số liệu đo đạc các đặc trưng dao động. Gần đây
GS. Nguyễn Tiến Khiêm đã đề xuất một phương pháp gọi là phương pháp quét
(CSM) để giải bài toán này. Quy trình của phương pháp CSM bao gồm các bước
0(
e
....
)1
sau:
e 1
2
ne
,...,
(1) Chọn một lưới chia bao gồm các vị trí của các
a 1(
a ; )n
vết nứt có thể với các độ sâu chưa biết
(2) Xây dụng mô hình dầm có các vết nứt nêu trên và sử dụng mô hình này
để thiết lập các phương trình chẩn đoán vết nứt từ số liệu đo;
)
(3) Sử dụng các phương trình chẩn đoán nêu trên cùng với số liệu đo cho
,..., ( 1 n
trước, xác định véc tơ các tham số độ lớn vết nứt chưa biết ;
,...,
)
(4) Loại bỏ trong lưới chia các vị trí tương ứng với độ lớn vết nứt bằng 0
ˆ( 1 e
ˆ cne
)
hoặc âm, ta được một lưới chia mới với số lượng các điểm nút bé hơn
ˆ( 1 ˆ ,..., cn
,...,
)
tương ứng với các giá trị độ lớn vết nứt xác định dương ;
ˆ( 1 e
ˆ cne
(5) Sử dụng lưới chia mới của vị trí vết nứt để lặp lại các bước 2-3-
4 đến khi nào không nhận được lưới chia mới thì dừng lại;
,...,
,...,
e 1(
e , tương ứng với các độ lớn vết nứt xác định dương )r
; 1(
)r
,...,
(6) Lưới chia cuối cùng nhận được ở bước 5 chính là vị trí các vết nứt có thể
sử dụng công thức T.G. 1(
)r
,...,
(7) Từ độ lớn vết nứt đã tìm được
a 1(
a ; )r
,...,
,...,
Chondros [70] ở mục 2.1 chương 2 tính độ sâu vết nứt
e 1(
e và độ sâu )r
a 1(
a cùng với số )r
(8) Cuối cùng ta tìm được vị trí
lượng vết nứt r và bài toán đặt ra đã được giải quyết.
83
5.2. Chẩn đoán vết nứt trong thanh bằng hàm đáp ứng tần số
,...,1
m }
, rr {
r
,...,1
m }
),
Giả sử hàm đáp ứng tần số đo được tại các giá trị của tần số là
(ˆ{ H r
, vấn đề là xác định vị trí và độ sâu của các vết nứt có thể tồn tại
trong thanh. Phương pháp quét áp dụng cho bài toán chẩn đoán vết nứt trong thanh
và biểu thức tổng quát của hàm đáp ứng (2.31) đã nhận được ở Chương 2 ta có thể
n
μe ,
)
γ
b
). (
xây dựng được các phương trình chẩn đoán như sau:
( , j
j
j
1
μ
T ;)
e
(
,...,
T )
(5.1)
,..., ( n
1
e 1
e n
trong đó và
[
H
1(
e
)
cos
1(
e
)]
e
)]
sin) (
[cos e
Đối với thanh tự do hai đầu ta có:
j
11
j
j
k
j
j
e k
1 j sin ( 1 k
) cos
sin
L c
/ ) 1
(
;
b H 11(
/ i m
; . (5.2)
[cos
1(
e
)]
e
)]
He
sin) (
[sin e
Đối với thanh cố định một đầu ta có:
j
j
01
j
k
j
j
e k
1 j ( sin 1 k
b
) sin
(
L c
/ ) 1
1
(
;
01
i / m
; H . (5.3)
Sử dụng số liệu đo cho trước ta có thể viết phương trình chẩn đoán (5.1) ở
,...,
) bγμ
dạng ma trận:
μeA ,( 1
m
A
[
a
,
μe ,
),
i
,...,1
jm ;
,...,1
n
]
,...,
T ,)
)
b
, (5.4)
ij
( i j
i
b ( 1
b m
b i
( b i
μ
)
; ;
i
B ( , i
γμe , i
L c /
) 1
)T
B
γ
(5.5) ;
( i
i
/ i m i
diag 1{ ,...,
}n
1( ,..., n
j
1
e
thanh
fixed
free
sin e
j
k
j
k
k
1
, e
,( )
; ,
j
j
1
e
thanh
free
free
sin e
j
k
j
k
k
1
cos e sin e
(5.6)
84
s
s )(
)1
)1
μeA ,(
,...,
μ
)
γ
b ;
Giải phương trình (5.4) bằng phương pháp lặp sau đây
( 1
( s m
s
)1
s )(
μ
μ0 ,
B
μe ,
)
γ
,
i
,...,1
sm ;
2,1
,....
)0( i
)( s i
, ( i
( i
(5.7)
s )(
γ
s ( γ
)1 .
với điều kiện hội tụ là:
(5.8)
ta sẽ được độ lớn các vết nứt tương ứng với các vị trí giả định trong lưới chia.
Sử dụng số liệu đo hàm đáp ứng tần số cho mô hình thanh bê tông nhận được
ở Chương 2, kết quả chẩn đoán vị trí vết nứt cho trong hình vẽ 5.1.
Hình 5.1. Kết quả chẩn đoán vị trí vết nứt trong thanh bê tông bằng hàm đáp ứng tần số FRF1.
32.05.1/49.0
Kết quả chẩn đoán được trình bày trong Hình 5.1 cho thấy chúng ta chỉ xác
e 1
định được một vết nứt có độ sâu 12% tại vị trí . Lý do là vết nứt
còn lại có độ sâu 5% là quá nhỏ có thể đã bị liền lại sau khi bê tông đông cứng hoàn
85
toàn. Kết quả chẩn đoán này đồng thời cũng cho thấy một thực tế là do sai số cả về
5.3. Chẩn đoán vết nứt trong dầm bằng tần số đo đạc
mô hình và số liệu đo đạc các vết nứt có độ sâu dưới 10% là rất khó phát hiện.
Áp dụng phương pháp CSM nêu trên, công thức Rayleigh (2.94) cùng với
.4
7300408 ;
.7
8532046 ;
.10
9956078 ;
.14
1371655
các số liệu cho trước là tần số và dạng riêng của dầm nguyên vẹn
10
20
30
40
(sin
x
sinh
x
)
(cos
x
cosh
x
);
k
k
; (5.9)
(sin
sinh
)
k cosh
).
x )(0 A k
k k
k k
A k /(cos k
k
)
(5.10)
,..., ( 1 m
k có thể tính từ các tần số đo đạc
/2
kEI ,
,...3,2,1
Trước hết các tham số tần số
4 FL k
4 k
[
A ΓB γ γ b , ( )]
bằng . Khi đó phương trình (2.94) có thể viết lại ở dạng
n
[
(
e
)]
A
γB )(
(
e
)
(
];
Γ
diag
]
(5.11)
b [ kj
0 k
j
0 ij k
e i
) i
,..., [ m
1
2 a 0 k
kj
j
i
1
k
,...,1
; jm
1 ,....,
n
,...,
T ,}
)
b
; ;
b { 1
b m
b k
4 4 ( k k
0
k
,...,
)
; . (5.12)
nγ ( 1
i ( )
[
A γ ] 1 i
b ,
Giải phương trình (5.11) để tìm véc tơ bằng phương pháp lặp:
)0(
i )1(
A
A
γΓB (
);
γ
;0
i
,....3,2,1
i
1
(
N
)
(
N
)1
γ
γ
tolerance
(5.13)
với điều kiện hội tụ .
Ma trận hệ số trong (5.13) là không vuông vì số lượng tần số đo được bao
giờ cũng ít so với số lượng vết nứt giả thiết rất nhiều để có thể quét hết chiều dài
dầm. Hơn nữa ma trận hệ số này rất có thể là suy biến do sai số đo đạc và sai số mô
hình. Vì vậy, để tìm lời giải tối ưu cho bài toán (5.13) chúng ta sử dụng phương
pháp điều chỉnh Ti-khô-noov, theo đó phương trình (5.13) được thay bằng phương
[
T A A 1 i
i 1
I γ b ] ,
trình
(5.14)
86
2
R
n
2
,
( )
2
T u b k
với là tham số điều chỉnh được xác định từ phương trình:
k
k R
1
1
T u b k 2 k
,
(5.15)
, kR
vu , k
k
trong đó lần lượt là rank, giá trị kỳ dị và các véc tơ kỳ dị trái và phải
1iA , mức độ sai số của số liệu đo nằm trong véc tơ b . Cuối cùng,
của ma trận
R
)( i
phương pháp Ti-khô-noov cho ta nghiệm duy nhất
k
γ
k
1
T bu k k 2 k
i
v
(5.16) .
Trong các hình từ 5.2 đến 5.16 trình bày kết quả xác định vị trí của một, hai
và ba vết nứt bằng các tần số đo đạc cho trong mục 4.4 sử dụng phương pháp quét.
Trong mỗi hình cho 4 kết quả:
Thứ nhất là chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, đồng thời cũng là bước
lặp đầu tiên;
Thứ hai và ba là kết quả chẩn đoán bằng phương trình phi tuyến, là
các bước lặp trung gian tiếp theo;
Kết quả thứ tư là bước lặp cuối cùng.
Hình 5.2. kết quả chẩn đoán 01 vết nứt tại vị trí 0.45 có độ sâu 10% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng).
87
Hình 5.3. kết quả chẩn đoán 02 vết nứt tại các vị trí 0.2 và 0.45 có độ sâu 10% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng).
Hình 5.4. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 10% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng).
88
Hình 5.5. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 10% - 20%-10% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng).
Hình 5.6. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 20% - 20%-10% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng).
89
Hình 5.7. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 20% - 20%-20% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng).
Hình 5.8. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 20% - 30%-20% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng).
90
-3
-3
x 10
The First iteration - Linear model
x 10
The 6th iteration - Nonlinear mode
2.5
3.5
3
2
2.5
e d u
t i
2
1.5 e d u
t i
n g a m k c a r C
1.5
1
n g a m k c a r C
1
0.5
0.5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.7
0.8
0.9
1
0
0.4
0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.5 Crack position
0.5 Crack position
-3
-3
x 10
The 9th iteration - Linear model
x 10
The 8th iteration - Nonlinear model
8
2.5
7
2
6
5
1.5
e d u
t i
e d u
t i
4
1
n g a m k c a r C
3
n b g a m k c a r C
2
0.5
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.5 Crack position
Crack position
Hình 5.9. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 30% - 30%-20% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng).
Hình 5.10. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 30% - 30%-30% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng).
91
Hình 5.11. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 30% - 30%-40% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng).
Hình 5.12. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 30% - 40%-40% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng).
92
-3
-3
x 10
x 10
The first iteration - Linear model
The 4th iteration - Nonlinear model
5
4
4.5
3.5
4
3
3.5
2.5
3
2.5
2
2
1.5
e d u t i n g a m k c a r c d e t a m
e d u t i n g a m k c a r c d e t a m
i t s E
i t s E
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.1
0.2
0.3
0.7
0.8
0.9
1
0.4
0.6
0
0.5 Scanning crack position
0.5 0.4 Scanning crack position
-3
The 12th iteration - Linear model
x 10
The 10th iteration - Nonlinear model
0.015
6
5
0.01
4
3
e d u t i n g a m k c a r c d e t a m
e d u t i n g a m k c a r c d e t a m
0.005
2
i t s E
i t s E
1
0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.7
0.8
0.9
1
0.1
0.2
0.3
0
0.4
0.5
0.7
0.8
0.9
1
0.6 Scanning crack position
0.6 0.5 Scanning crack position
-3
x 10
The 7th iteration - Nonlinear model
The first iteration - Linear model
0.014
8
0.012
7
0.01
6
0.008
5
4
0.006
e d u t i n g a m k c a r c d e t a m
e d u t i n g a m k c a r c d e t a m
3
i t s E
i t s E
0.004
2
0.002
1
0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.1
0.2
0.3
0.8
0.9
1
0.4
0.6
0.7
0
-3
x 10
0.4 0.5 Scanning crack position The 9th iteration - Nonlinear model
0.5 Scanning crack position The 10th iteration - Linear model
0.03
7
6
0.025
5
0.02
4
0.015
3
e d u t i n g a m k c a r c d e t a m
e d u t i n g a m k c a r c d e t a m
0.01
i t s E
i t s E
2
0.005
1
0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.7
0.8
0.9
1
0.4 0.5 Scanning crack position
0.6 Scanning crack position
Hình 5.13. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 40% - 40%-40% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng).
Hình 5.14. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 50% - 40%-40% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng).
93
-3
-3
The 4th iteration - Nonlinear model
x 10
The first iteration - Linear model
x 10
4
8
3.5
7
3
6
2.5
5
2
4
1.5
e d u t i n g a m k c a r c d e t a m
e d u t i n g a m k c a r c d e t a m
3
i t s E
i t s E
1
2
0.5
1
0
0
0
0.1
0.2
0.7
0.8
0.9
1
0.3
0.6
0.1
0.2
0.3
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.4 0.5 Scanning crack position
The 10th iteration - Linear model
0.4 0.5 Scanning crack position The 8th iteration - Nonlinear model
0.03
0.03
0.025
0.025
e d u
0.02
0.02
t i
0.015
0.015
t
e d u t i n g a m k c a r c d e t a m
n g a m k c a r c d e a m
0.01
0.01
i t s E
i t s E
0.005
0.005
0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.5 Scanning crack position
0.5 Scanning crack position
-3
-3
The first iteration - Linear model
The 6th iteration - Nonlinear model
x 10
x 10
6
8
5
7
4
6
5
3
4
e d u t i n g a m k c a r c d e t a m
e d u t i n g a m k c a r c d e t a m
2
3
i t s E
i t s E
2
1
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.7
0.8
0.9
1
0.4
0
0
0.1
0.2
0.3
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.5 0.6 Scanning crack position
0.5 0.4 Scanning crack position The 9th iteration - Nonlinear model
The 10th iteration - Linear model
0.025
0.03
0.025
0.02
0.02
0.015
0.015
0.01
e d u t i n g a m k c a r c d e t a m
e d u t i n g a m k c a r c d e t a m
0.01
i t s E
i t s E
0.005
0.005
0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.7
0.8
0.9
1
0.5 0.6 Scanning crack position
0.6 Scanning crack position
Hình 5.15. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 50% - 50%-40% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng).
Hình 5.16. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 50% - 50%-50% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng).
94
Vết nứt thực
Kết quả chẩn đoán
(a) số lượng vết nứt; (b) vị trí vết nứt; (c) độ sâu vết nứt
1
0.45 – 10% (01 vết nứt)
0.45 (0.5) 0.1068 (2.24e-5)
2
0.45 0.1
0.2 0.1
0.2 0.1
0.7 0.1
0.2 0.1
0.7 0.1
0.2 0.2001
0.7 0.1
0.2 0.2001
0.7 0.2001
0.2 0.2001
0.7 0.2001
0.2 0.3
0.7 0.2001
0.2 0.3
0.7 0.3
0.2 0.3
0.7 0.4003
(a) (b) (c) (a) (b) (c) (a) (b) (c) (a) (b) (c) (a) (b) (c) (a) (b) (c) (a) (b) (c) (a) (b) (c) (a) (b) (c) (a) (b) (c) (a) (b)
0.2 0.3
0.7 0.4003
0.2 0.4003
0.7 0.4003
0.2 0.4997
0.7 0.4003
0.2 0.4997
0.7 0.4003
3 0.45 0.1 3 0.45 0.2001 3 0.45 0.2001 3 0.45 0.2001 3 0.45 0.3 3 0.45 0.3 3 0.45 0.3 3 0.45 0.3 3 0.45 0.4003 3 0.45 0.4003 3 0.45 0.4003 3 0.45 0.4997 3 0.45 0.4997
0.2 0.4997
0.7 0.4997
(c) (a) (b) (c) (a) (b) (c) (a) (b) (c) (a) (b) (c)
0.2 - 0.45 10% – 10 % (Hai vết nứt) 0.2 -0.45-0.7 (10 – 10 - 10) % (Ba vết nứt) 0.2 -0.45-0.7 (10 – 20 - 10) % (Ba vết nứt) 0.2 -0.45-0.7 (20 – 20 - 10) % (Ba vết nứt) 0.2 -0.45-0.7 (20 – 20 - 20) % (Ba vết nứt) 0.2 -0.45-0.7 (20 – 30 - 20) % (Ba vết nứt) 0.2 -0.45-0.7 (30 – 30 - 20) % (Ba vết nứt) 0.2 -0.45-0.7 (30 – 30 - 30) % (Ba vết nứt) 0.2 -0.45-0.7 (30 – 30 - 40) % (Ba vết nứt) 0.2 -0.45-0.7 (30 – 40 - 40) % (Ba vết nứt) 0.2 -0.45-0.7 (40 – 40 - 40) % (Ba vết nứt) 0.2 -0.45-0.7 (50 – 40 - 40) % (Ba vết nứt) 0.2 -0.45-0.7 (50 – 50 - 40) % (Ba vết nứt) 0.2 -0.45-0.7 (50 – 50 - 50) % (Ba vết nứt)
Bảng 5.1. Kết quả chẩn đoán vết nứt bằng số liệu đo đạc thực nghiệm
95
Kết quả chẩn đoán cuối cùng, được trình bày trong Bảng 5.1, cho thấy tất cả
vị trí và độ sâu của các vết nứt đều xác định được một cách chính xác. Trừ trường
hợp một vết nứt ta nhận được một vết nứt giả, nhưng có độ sâu rất bé có thể coi
bằng 0. Đây có thể coi là sai số của phương pháp (chỉ xác định được chính xác các
Kết luận Chương 5
vết nứt có độ sâu lớn hơn.
Trong Chương 5, tác giả đã trình bày các kết quả sau:
Đã trình bày phương quét vết nứt chung được đề xuất bởi GS. Nguyễn Tiến
Khiêm sẽ áp dụng cho hai bài toán chẩn đoán vết nứt trong thanh từ hàm đáp ứng
tần số và trong dầm từ các tần số riêng đo đạc;
Đã trình bày thuật toán chẩn đoán theo phương pháp quét áp dụng cho thanh
sử dụng số liệu đo đạc hàm đáp ứng tần số trong lân cận tần số riêng thứ nhất. Do
số liệu đo đạc hàm đáp ứng tần số đủ nhiều (tại các tần số trong vùng cộng hưởng)
nên số lượng vết nứt giả định theo phương pháp quét luôn chọn bằng số lượng các
điểm chia tần số trong lân cận tần số riêng. Vì vậy, phép điều chỉnh Tikhônôv
không cần phải áp dụng. Hơn nữa, phép lặp được thực hiện trong thuật toán là theo
biến chỉ số hư hỏng () chứ không lặp theo độ lớn vết nứt. Kết quả chẩn đoán cho
thấy, việc chẩn đoán vết nứt trong thanh bằng hàm đáp ứng tần số chỉ cho kết quả
chính xác khi độ sâu vết nứt lớn hơn 10%, mặc dù số liệu đo đạc đã tăng lên đáng
kể;
Đã trình bày thuật toán quét vết nứt áp dụng cho việc chẩn đoán vết nứt
trong dầm dựa trên số liệu đo đạc tần số riêng cùng và sử dụng công thức Rayleigh
mở rộng cho trường hợp dầm có nhiều vết nứt. Do số lượng tần số đo đạc là hạn
chế, nên trong thuật toán quét cần áp dụng phương pháp điều chỉnh Tikhônôv và
phép lặp được thực hiện trên véc tơ độ lớn vết nứt. Các vết nứt kể cả số lượng vết
nứt đều được chẩn đoán khá chính xác mặc dù số lượng tần số đo được vẫn không
nhiều. Bởi vì đã áp dụng phương pháp điều chỉnh Tikhônôv và phương trình chẩn
đoán đã được chính xác hóa (do tính đến các xấp xỉ bậc hai đối với độ lớn vết nứt).
96
KẾT LUẬN CHUNG
Những kết quả chính của luận án có thể tóm tắt như sau:
1. Đã xây dựng được các biểu thức hiển của tần số, dạng riêng và hàm đáp ứng
tần số trong dao động dọc trục của thanh, dầm có nhiều vết nứt. Mô hình này khá
thuận tiện trong việc phân tích ảnh hưởng của vết nứt đến các đặc trưng động lực
học của thanh và dầm và là công cụ hữu hiệu để chẩn đoán vết nứt bằng các đặc
trưng động lực học, đặc biệt là hàm đáp ứng tần số;
2. Đã nghiên cứu chi tiết ảnh hưởng của vết nứt đến hàm đáp ứng tần số trong
dao động dọc trục của thanh. Đặc biệt đã phát hiện ra rằng vết nứt có thể làm xuất
hiện các đỉnh cộng hưởng mới nằm trong lân cận của đỉnh cộng hưởng ban đầu.
Đây có thể là một biểu hiện về tác dụng phi tuyến của vết nứt đến thanh đàn hồi
tuyến tính;
3. Đã nghiên cứu chi tiết sự thay đổi điểm nút dao động (là các vị trí trên dầm ở
đó dạng dao động riêng triệt tiêu) do vết nứt. Đã phát hiện ra rằng sự xê dịch (cả độ
lớn và hướng) các điểm nút dao động phụ thuộc nhiều vào vị trí vết nứt và sự thay
đổi tần số riêng của kết cấu do vết nứt. Sự thay dổi này là những chỉ dấu quan trọng
để xác định vị trí và độ sâu vết nứt;
4. Đã tiến hành đo đạc thực nghiệm một cách bài bản và chi tiết hàm đáp ứng
tần số của thanh, dầm đàn hồi có nhiều vết nứt và thu dược các kết quả đo đạc phù
hợp với lý thuyết và thực tiễn. Đồng thời làm số liệu đầu vào đủ tin cậy để chẩn
đoán vết nứt bằng số liệu đo đạc thực nghiệm;
5. Đã áp dụng phương pháp quét trong việc chẩn đoán vết nứt trong thanh bằng
hàm đáp ứng tần số. Phương pháp chẩn đoán vết nứt này đã được kiểm nghiệm trên
mô hình thực nghiệm của một thanh bê tông có vết nứt. Kết quả chẩn đoán cho thấy
phương pháp quét có thể cho kết quả chẩn đoán chính xác các vết nứt có độ sâu lớn
hơn 10% bằng hàm đáp ứng tần số;
6. Đã áp dụng thành công phương pháp quét vết nứt để chẩn đoán đa vết nứt
trong dầm đàn hồi bằng số liệu đo đạc thực nghiệm trên mô hình vật lý trong phòng
thí nghiệm. Ở đây đã kết hợp thành công phương pháp lặp với phương pháp điều
97
chỉnh Ti-khô-nôv để chẩn đoán chính xác cả vị trí, độ sâu và số lượng vết nứt từ số
liệu đo đạc tần số riêng. Tuy nhiên do hạn chế của mô hình thí nghiệm, các vết nứt
có độ sâu nhỏ hơn 10% vẫn chưa được thử nghiệm trên mô hình thí nghiệm.
Những đóng góp mới của luận án có thể tóm lược như sau:
- Nghiên cứu một cách chi tiết ảnh hưởng vết nứt đến điểm nút của thanh,
dầm đa vết nứt [công bố số 3,4,5,6];
- Đo tiến hành nghiên cứu thực nghiệm một cách bài bản đo đạc hàm đáp
ứng tần số của thanh, dầm có vết nứt và thu được bộ dữ liệu số liệu thực
nghiệm tin cậy phục vụ cho chẩn đoán vết nứt trong thanh và dầm;
- Đã áp dụng thành công phương pháp quét kết hợp với phương pháp điều
chỉnh Ti-khô-nôv để chẩn đoán vết nứt trong dầm bằng tần số riêng [công
bố số 1];
- Đã xây dựng và áp dụng phương pháp quét để chẩn đoán vết nứt trong
thanh và dầm từ số liệu đo đạc hàm đáp ứng tần. Đặc biệt đã giải trọn vẹn
bài toán chẩn đoán vết nứt trong thanh bằng hàm đáp ứng tần số [công bố
số 2].
Những vấn đề liên quan chưa được giải quyết trong luận án, đồng thời cũng là
hướng nghiên cứu tiếp theo:
1. Việc chẩn đoán vết nứt bằng cách đo đạc các điểm nút dao động vẫn chưa
được giải quyết. Khó khăn lớn nhất vẫn là việc đo đạc sự thay đổi của các điểm nút
dao động trong thực tế, ngay cả trong phòng thí nghiệm;
2. Việc chẩn đoán vết nứt bằng hàm đáp ứng tần số trong dao dộng của dầm
đàn hồi cũng chưa thực hiện được. Ngay cả việc nghiên cứu sự thay đổi hàm đáp
ứng tần số trong dao động của dầm do vết nứt cũng chưa được nghiên cứu do tính
phức tạp của vấn đề và thời gian và khuôn khổ hạn chế của luận án.
98
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ
1. N.T. Khiem, L.K. Toan (2014) A novel method for crack detection in beam- like structures by measurements of natural frequencies. Journal of Sound and Vibration (SCI). 333: 4084-4103
2. N.T. Khiem, P.T. Hang, L.K.Toan, (2016) Crack detection in pile by
measurements of frequency response function. Nondestructive Testing and
Evaluation. (SCIE) V 31 (2) pp. 122-141
3. N.T. Khiem, L.K. Toan and N.T.L. Khue (2013) Change in mode shape nodes of multiple cracked bar: I. Theoretical study. Vietnam Journal of Mechanics, Vol 35 (3), 175-188.
4. N.T. Khiem, L.K. Toan and N.T.L. Khue (2013) Change in mode shape nodes of multiple cracked bar: I. Numerical Analysis. Vietnam Journal of Mechanics, Vol 35 (4), 299-231.
5. Nguyễn Tiến Khiêm, Lê Khánh Toàn: Sự thay đổi điểm nút dao động dọc trục trong dầm đàn hồi có nhiều vết nứt. Hội nghị cơ học toàn quốc, Hà nội, 2012.
6. Lê Khánh Toàn, Nguyễn Tiến Khiêm Sự thay đổi điểm nút của dầm đàn hồi do vết nứt và ứng dụng trong chẩn đoán vết nứt. Tuyển tập công trình hội nghị cơ học kỹ thuật toàn quốc 2014.
99
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Doebling SW, Farrar CR, Prime MB, Shevitz DW (1996) Damage
Identification and Health Monitoring of Structural and Mechanical Systems
from Changes in Their Vibration Characteristics: A Literature Review. Report
LA-13070-MS, Los Alamos National Laboratory, New Mexico.
2. Salawu O.S. Detection of structural damage through changes in frequency: a
review. Engineering Structures 1997, Vol. 19 (9), 718–723
3. Sohn H, Farrar CR, Hemez FM, Shunk DD, Stinemates DW, Nadler BR and
Czarnecki JJ (2004) A Review of Health Monitoring Literature 1996-2001.
Report No LA-13976-MS, Los Alamos National Laboratory, New Mexico.
4. Humar J, Bagchi A, Xu H (2006) Performance of Vibration-based Technique
for the Identification of Structural Damage. Structural Health Monitoring, 5(3):
215-227.
5. Fan W, Qiao PZ (2011) Vibration-based Damage Identification Methods: A
Review and Comparative Study. Structural Health Monitoring, 10(1): 83-111.
6. Adams RD, Cawley P, Pye CJ, Stone BJ (1978) A vibration technique for non-
destructive assessing the integrity of structures. Journal of Mechanical
Engineering Science, 20: 93-100.
7. Cawley P., Adams R.D. (1979), “The location of defects in structures from
measurements of natural frequencies”, J. of strain analysis, Vol 14 No 2.
8. Stubbs. N. and Osegueda. R. “Global Nondestructive Damage Evaluation in
Solids”. The International Journal of Analytical and Experimental Modal
Analysis, 5(2): 67-79
9. Liang RRY, Hu J, Choy F (1992) Quantitative NDE technique for assessing
damages in beam structures. Journal of Engineering Mechanics, 118 (7): 1468-
1487.
10. Narkis Y (1994) Identification of crack location in vibrating simply supported
beams. Journal of Sound and Vibration, 172: 549-558.
100
11. Morassi A (2001) Identification of a crack in a rod based on changes in a pair of
natural frequencies. Journal of Sound and Vibration, 242(4): 577-596.
12. Patil DP, Maiti SK (2003) Detection of multiple cracks using frequency
measurements. Engineering Fracture Mechanics, 70 (12): 1553 -1572.
13. Khiem NT, Lien TV (2004) Multi-crack detection of a beam by natural
frequencies. Journal of Sound and Vibrations, 273: 175-184.
14. Lee J (2009) Identification of multiple cracks in a beam using natural
frequencies. Journal of Sound and Vibration, 320: 482-490.
15. Zhang X.Q, Han Q, Li F (2010) Analytical Approach for Detection of Multiple
Cracks in a Beam. ASCE Journal of Engineering Mechanics, 136(3): 345-357.
16. Kaushar H. Barad, D. S. Sharma, Vishal Vyas (2013) Crack detection in
cantilever beam by frequency based method. Procedia Engineering, 51: 770-
775.
17. Jeslin Thalapil, S.K. Maiti (2014) Detection of longitudinal cracks in long and
short beams using changes in natural frequencies. International Journal of
Mechanical Sciences, 83: 38-47
18. Dilena M, Morassi A (2004) The use of antiresonance for crack detection in
beams. Journal of Sound and Vibration, 276: 195-214.
19. Dilena M, Morassi A (2009) Structural Health Monitoring of Rods based on
Natural Frequency and Antiresonant Frequency Measurements. Structural
Health Monitoring, 8 : 149-172.
20. Dilena M, Morassi A (2010) Reconstruction Method for Damage Detection in
Beam Based on Natural Frequency and Antiresonant Frequency Measurements.
Journal of Engineering Mechanics, 136 (3): 329-344.
21. Rizos PF, Aspragathos N, Dimaroganas AD (1990) Identification of crack
location and magnitude in a cantilever beam from the vibration modes. Journal
of Sound and Vibration, 138(3): 381-388.
101
22. Pandey AK, Biswas M, Samman MM (1991) Damage Detection from Changes
in Curvature Mode Shapes, Journal of Sound and Vibration, 145(5): 321-332.
23. Ratcliffe CP (1997) Damage Detection Using A Modified Laplacian Operator
on Mode Shape Data. Journal of Sound and Vibration, 204(3): 505-517.
24. Ho YK, Ewins DJ (2000) On the structural damage identification with mode
shapes. Proceedings of the European COST F3 Conference on System
Identification & Structural Health Monitoring, Universidad Politecnica de
Madrid, Spain, June, 2000: 677-684.
25. Guan H, Karbhari VM (2008) Improved damage detection method based on
Element Modal Strain Damage Index using sparse measurement. Journal of
Sound and Vibrations, 309: 465-494.
26. Radzienski M, Krawczuk M, Palacz M (2011) Improvement of damage
detection methods based on experimental modal parameters. Mechanical
27. Khiem NT and Tran TH (2013) A procedure for multiple crack
identification in beam-like structure from natural vibration mode. Journal
of Vibration and Control
28. Nguyễn Tiến Khiêm (2008) Nhập môn chẩn đoán kỹ thuật công trình.
Nhà xuất bản Khoa học tự nhiên và Công nghệ.
29. Trần Văn Liên (2003), Bài toán ngược trong cơ học và một số ứng dụng,
Luận án Tiến sỹ kỹ thuật, Trường Đại học Xây dựng
30. Maosen Cao, Lin Ye, Limin Zhou, Zhongqing Su, Runbo Bai (2011)
Sensitivity of fundamental mode shape and static deflection for damage
identification in cantilever beams. Mechanical Systems and Signal
Processing, 25: 630-643.
31. Maosen Cao, Maciej, WeiXu, Ostachowicz (2014) Identification of
multiple damage in beams based on robust curvature mode shapes.
Mechanical Systems and Signal Processing, 42: 468-480.
Systems and Signal Processing, 25: 2169-2190.
102
32. Gladwell GML, Morassi A (1999) Estimating damage in a rod from changes in
node positions. Inverse Problems in Engineering, 7: 215-233.
33. N.T. Khiem, L.K. Toan and N.T.L. Khue (2013) Change in mode shape nodes
of multiple cracked bar: I. Theoretical study. Vietnam Journal of Mechanics,
Vol 35 (3), 175-188.
34. N.T. Khiem, L.K. Toan and N.T.L. Khue (2013) Change in mode shape nodes
of multiple cracked bar: I. Numerical Analysis. Vietnam Journal of Mechanics,
Vol 35 (4), 299-231.
35. Dilena M, Morassi A (2002) Identification of crack location in vibrating beams
from changes in node positions. Journal of Sound and Vibration, 255(5): 915-
930.
36. Nguyễn Cao Mệnh, Nguyễn Tiến Khiêm, Đào Như Mai, Nguyễn Việt Khoa
(1996), “Quy trình chẩn đoán kết cấu giàn khoan biển cố định bằng các đặc
trưng động học”, Tuyển tập Hội nghị CHVRBD toàn quốc lần V, Hà nội.
37. Menh N.C., Khiem N.T., Mai D.N. and Khoa N.V. (1998), “Modal Analysis of
Damaged Structures by the Modified Finite Element Method”, Vietnam Journal
of Mechanics, T. XX No. 1, 29-46.
38. N.T. Khiem and T.V. Lien (2001), “A Simplified Method for Frequency
Analysis of Multiple Cracked Beam”, Journal of Sound and Vibration. 245 (4),
737-751.
39. Đào Như Mai (2004), Độ nhạy cảm của các đặc trưng động lực học kết cấu và
ứng dụng trong chẩn đoán kỹ thuật công trình. Luận án tiến sỹ cơ học, Viện Cơ
học.
40. Lê Xuân Hàng, Nguyễn Thị Hiền Lương (2009) Phân tích và chẩn đoán dầm
đàn hồi có vết nhiều vết nứt. Tạp chí phát triển khoa học và công nghệ, tập 12,
số 8, 37-45.
41. N.T. Khiem, L.K. Toan (2014) A novel method for crack detection in beam-like
structures by measurements of natural frequencies. Journal of Sound and
Vibration. 333: 4084-4103
103
42. Trần Thanh Hải (2011), Chẩn đoán vết nứt của dầm bằng phương pháp đo rung
động, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật, Viện Cơ học
43. Khoa Viet Nguyen (2014) Mode shapes analysis of a cracked beam and its
application for crack detection. Journal of Sound and Vibration. 333: 848-872
44. Nguyen VK, Tran TH. (2010), A multi-cracks detection technique of a beam-lik
structure based on the on-vehicle vibration measurement and wavelet analysis.
Journal of Sound and Vibration 329:4455–65.
45. Wang Z, Lin RM, Lim MK (1997). Structural damage detection using measured
FRF data. Comput Meth Appl Mech Eng, 147:187–97.
46. R.P.C. Sampaio, N.M.M. Maia and J.M.M. Silva (1999). Damage detection
using the frequency response function curvature method. Journal of Sound and
Vibration. 226: 1029-1042.
47. N.M.M. Maia and J.M.M. Silva, E.A.M. Almas and R.P.C. Sampaio (2003).
Damage detection in structures: from mode shape to frequency response
function method. Mechanical Systems and Signal Processing. 17: 489-498.
48. G.M. Owolabi, A.S.J. Swamidas, R. Seshadri. (2013) Crack detection in beams
using changes in frequencies and amplitudes of frequency response functions.
Journal of Sound and Vibration.265: 1-22.
49. Usik Lee, Jinho Shin (2002), A frequency respons function-based structural
damage identification method. Computers and Structures 80: 117–132.
50. J.V. Araujo dos Santos, C.M. Mota Soares. M.M. Maia (2005). Structural
damage identification in laminated structures using FRF data. Composite
Structures 67: 239-249.
51. Animesh Chatterjee (2010). Structural damage assessment in cantilever beam
with a breathing crack using higher order freequency response function.
Journal of Sound and Vibration.329: 3325-3334.
52. Q. Huang, Y.L.Xu, J.C.Li, Z.Q.Su, H.J. Liu (2012). Structural damage
detection of controlled building structures using FRF. Journal of Sound and
Vibration.331: 3476-3492.
104
53. Nguyen Tien Khiem, and Phi Thi Hang, Spectral analysis of multiple cracked
beam subjected to moving load, Vietnam Journal of Mechanics, 2014, 35(4),
245-254.
54. N.T. Khiem, and P. T. Hang, Frequency response of a beam-like structure to
harmonic forces, Vietnam Journal of Mechanics, 2016, 38(4), 223 – 238.
55. Nguyen Tien Khiem, and Phi Thi Hang, Analysis and identification of multiple
cracked beam subjected to moving harmonic load, Joural of vibration and
Control, 2017, FirstOnline Mar 2017. DOI: 10.1177/1077546317694496.
56. Nguyen Tien Khiem, and Phi Thi Hang, Spectral analysis of multiple cracked
beam subjected to moving load, Vietnam Journal of Mechanics, 2014, 35(4),
245-254.
57. N.T. Khiem, and P. T. Hang, Frequency response of a beam-like structure to
harmonic forces, Vietnam Journal of Mechanics, 2016, 38(4), 223 – 238.
58. Nguyen Tien Khiem, Duong The Hung, Vu Thi An Ninh, Multiple crack
identification in stepped beam by measurements of natural frequencies,
Vietnam Journal of Mechanics, 2014, 36(2), 119-132.
59. N.T. Khiem, T.V. Lien, V.T.A. Ninh (2017), Natural frequencies of stepped
functionally graded beam with multiple cracks, Iranian Journal of Science and
Technology – The Transactions in Mechanical Engineering (Accepted 3/2017).
60. N.T. Khiem, T. H. Tran, V.T.A. Ninh (2017), A closed-form solution to the
problem of crack identification for multistep cantilever beam based on
Rayleight quotient, International Journal of Solids and Structures (Submitted
July 2017).
61. Nguyen Thai Chung, Hoang Hai, and Shin Sang Hee, Dynamic Analysis of
High Building with Cracks in Colomn Subjected to Earthquake Loading,
American Journal of Civil Engineering, 2016, 4(5), 233-240.
62. N.T. Khiem, and N. N. Huyen, A method for crack indentification in
functionally graded Timeshenko beam, Journal of Nondestructive Testing and
Evaluation, 2016, 32(3), 319-341.
105
63. Nguyen Ngoc Huyen, and Nguyen Tien Khiem, Frequency analysis of cracked
functionally graded cantilever beam, Journal of Science and Technology,
VAST, 2017, 55(2), 229-243.
64. N. N. Huyen, and N. T. Khiem, Modal analysis of functionally graded
Timoshenko beam, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2017, 39(1), 31-50.
65. Haisty BS, Springer WT. A general beam element for use in damage
assessment of complex structures. J. Vib. Acoust Stress and Reliability in Des.
1998;110:389–394.
66. T. G. Chondros, A. D. Dimarogonas, and J. Yao, Longitudinal vibration of a
continous cracked bar, Engineering Fracture Mechanics, 1998, 61, 593-606.
67. Ruotolo R, Surace C. Natural frequencies of a bar with multiple cracks. J.
Sound Vib. 2004;272:301–316.
68. Liebowitz. H, Claus. W. D. S. Jr. “Failure of notched columns”. Engineering
Fracture Mechanics, Vol 1, 1968, pp 379–383
69. W. M. Ostachowicz and M. Krawczuk. “Analysis of effect of a cracks on the
natural frequencies of a cantilever beam”. Jounal of Sound and Vibration, Vol
150(1),1991, pp 191-201.
70. T.G. Chondros, A. D. Dimarogonas, and J.Yao, A continuous cracked beam
vibration theory, Journal of Sound and Vibration, 1998, 215(1), 17-34.
71. Caddemi. S and Caliò. I. “Exact closed-form solution for the vibration modes of
the Euler-Bernoulli beam with multiple open cracks”. Journal of Sound and
Vibration, Vol 327(3-5), 2009, pp 73-489
106
PHỤ LỤC
P1. Khái niệm hàm đáp ứng tần số
Để phân tích và thử nghiệm độ rung có rất nhiều các công cụ. Hàm đáp ứng
tần số là một công cụ đặc biệt.
Hàm đáp ứng tần số (FRF) là một hàm truyền được biểu diễn trong miền
tần số.
Các hàm đáp ứng tần số là các hàm liên hợp phức, có các thành phần thực và
ảo. Chúng có thể được biểu diễn bằng độ lớn về biên độ và pha.
Hàm đáp ứng tần số được tạo nên từ một trong hai cách: từ dữ liệu đo hoặc
từ các hàm giải tích.
Hàm đáp ứng tần số thể hiện sự đáp ứng của cấu trúc đối với lực tác động
như là một hàm của tần số. Đáp ứng được đưa ra dưới dạng chuyển vị
Xét một hệ tuyến tính được thể hiện trong Hình P1.
F () X () H()
Hình P1 Mô hình hàm đáp ứng tần số
là lực đầu vào được xem như một hàm của tần số góc. H
là hàm
F
là hàm đáp ứng chuyển vị. Các hàm này đều là hàm liên hợp phức có
truyền. X
thể biểu diễn dưới dạng biên độ và pha. Các hàm trên cũng được gọi là các hàm phổ
tương ứng với các hàm trong miền thời gian. Có rất nhiều loại hàm phổ, để đơn giản
ta hãy xét từng hàm trong dạng biến đổi Fourier.
X
H
Mối quan hệ trong Hình P1 có thể biểu diễn bởi phương trình sau:
. F
H
(P.1)
X F
(P.2)
Như vậy, hàm đáp ứng tần số hay còn gọi là hàm truyền được xác định bằng
công thức (P.2).
107
P1.1. Hàm đáp ứng tần số của hệ một bậc tự do
Xét hệ có một bậc tự do chịu một lực kích động như biểu diễn ở Hình P2.
Hình P2. Hệ một bậc tự do.
Trong đó:
m: khối lượng, c: hệ số nhớt, k: độ cứng,
x: chuyển vị tuyệt đối của khối lượng,
F: lực tác động.
Tổng hợp lực tác động theo chiều thẳng đứng
xmF ;
xm
xc
kx
F
(P.3)
xm
kx
F
xc
; (P.4)
x
/
/
/
; (P.5)
xmc
mFxmk
. (P.6)
Ta vào các ký hiệu:
n
2
(c/m) = 2 (P.7)
n
(k/m) = (P.8)
n là tần số riêng (radians/giây) và là hệ số cản.
Ở đây
x
x
kF /
.
Thay các ký hiệu trên vào (P.6) ta được:
2 n
2 x n
2 n
(P.9)
108
Biến đổi Fourier hai vế của phương trình (P.9) có thể nhận được hàm truyền
đối với đáp ứng chuyển vị.
X F
1 k
2 n j
2 n
2 n
2
.
(P.10)
;
Hàm truyền có thể biểu diễn dưới dạng biên độ và góc pha như sau:
2
22
X F
1 k
2 n
2 n
2 n
1
;
(P.11)
2
2
X F
1 m
n
2 n
2 n
arctan
(P.12)
2 n 2 2 n
.
(P.13)
Khi đầu vào là hàm vận tốc ta có hàm truyền đối với đáp ứng vận tốc là :
V F
1 k
2 n
2 j n 2 2 j n
.
(P.14)
;
khi đó biên độ là pha của hàm là:
2
22
V F
1 k
2 n
2 n
2 n
;
(P.15)
2
22
V F
1 m
2 n
2 n
arctan
(P.16)
2 2 n 2 n
.
(P.17)
Khi đầu vào là hàm gia tốc ta có hàm truyền đối với đáp ứng gia tốc là:
1 k
A F
2 n
2 2 n 2 j n
2
.
(P.18)
Biên độ và góc pha được biểu diễn:
109
;
2
22
1 k
A F
2 2 n 2 n
2 n
;
(P.19)
2
1 m
A F
2 22
2 n
2 n
arctan
(P.20)
2 n 2 2 n
.
(P.21)
P1.2. Hàm đáp ứng tần số của hệ nhiều bậc tự do
U
,...,
Xét hệ cơ học có hữu hạn bậc tự do xác định bởi véctơ toạ độ suy rộng
U
T
NU
1
T
T U MU
;
T U KU
. Khi đó, động năng và thế năng của hệ có dạng :
m U U V i
ij
j
k U U ij i
j
1 2
1 2
1 2
1 2
i j ,
. (P.22)
trong đó M, K là các ma trận đối xứng xác định dương, được gọi lần lượt là ma trận
khối lượng và ma trận độ cứng của hệ. Với động năng và thế năng này, hệ được xét
trong khuôn khổ các quy luật tuyến tính của cơ học.
Các lực tác dụng lên hệ gồm có hai loại:
UCQc
- Lực cản có dạng mà trong tính toán động lực học công trình nói
M
K
chung chỉ xét trường hợp cản Rơlây với :
Cr
(P.23)
với các hằng số , được xác định từ thực nghiệm. Khi đó ma trận hệ số cản Cr là
Q
)( tP
),...,
đối xứng và xác định dương.
T
n
( tP 1
)( tP N
- Lực ngoài tác dụng . Khi đó phương trình
)(
tKU )(
tP (
).
tUCtUM )(
Lagrăng của hệ có dạng:
(P.24)
ˆ
.
iePP t
Bây giờ ta xét hệ đã cho (P.22) với lực ngoài tác dụng có dạng:
(P.25)
110
tức một lực điều hoà với tần số và biên độ phức Pˆ . Khi đó đáp ứng của hệ cũng
ˆ
.
ieUU t
có thể tìm dưới dạng:
(P.26)
(
ˆ)
2
ˆ PUKCiM
và biên độ phức của đáp ứng sẽ được tìm từ phương trình:
. (P.27)
(ˆ K
)
).
2 (
KCiM
Ma trận phức:
(P.28)
được gọi là ma trận độ cứng động của hệ đã cho. Ma trận độ cứng động phụ thuộc
vào tần số lực kích động và cũng mô tả quan hệ giữa lực kích động và chuyển vị
(ˆ H
)
ˆ K
1 ). (
tương tự như trong trường hợp tĩnh. Khi đó ma trận:
(P.29)
được gọi là ma trận truyền hay ma trận hàm đáp ứng tần số của hệ nhiều bậc
tự do.
