Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học nội dung vectơ và tọa độ ở trường Trung học Phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THỊ VŨ HỒNG

DẠY HỌC NỘI DUNG VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA TRANG BỊ MỘT SỐ THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO HỌC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––– PHẠM THỊ VŨ HỒNG

DẠY HỌC NỘI DUNG VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA TRANG BỊ MỘT SỐ THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CHO HỌC SINH

Ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Luận

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

THÁI NGUYÊN - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là Phạm Thị Vũ Hồng, học viên cao học chuyên ngành: Lý luận và

phương pháp dạy học bộ môn Toán, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái

Nguyên, khóa học 2017 - 2019. Tôi xin cam đoan: Luận văn này là công trình

nghiên cứu thực sự của cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của

TS. Trần Luận.

Các số liệu có nguồn gốc rõ ràng, tuân thủ đúng nguyên tắc và kết quả

trình bày trong luận văn được thu thập trong quá trình nghiên cứu là trung thực,

chưa từng được ai công bố trước đây.

Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình.

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019

Tác giả luận văn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Phạm Thị Vũ Hồng

LỜI CẢM ƠN

Để có thể hoàn thành đề tài luận văn “Dạy học nội dung vectơ và tọa độ

ở trường Trung học Phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết

vấn đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho học

sinh”, bên cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình

của quý Thầy Cô, sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời

gian học tập và nghiên cứu luận văn.

Lời cảm ơn trân trọng đầu tiên tôi xin được gửi tới TS. Trần Luận,

người đã trực tiếp hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu để

hoàn thành luận văn này.

Xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Phòng sau đại học

Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên và các thầy cô đã trực tiếp giảng

dạy, giúp đỡ cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường.

Cuối cùng, tôi xin trân thành cảm ơn đến gia đình, bạn bè, các anh chị và

các bạn đồng nghiệp đã hỗ trợ cho tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập,

nghiên cứu và thực hiện đề tài luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh.

Dù đã cố gắng nhiều, song vì những lý do khách quan và chủ quan, luận

văn không thể tránh khỏi những thiếu xót. Rất mong nhận được sự góp ý, chỉ

dẫn và giúp đỡ của quý thầy cô giáo, và các bạn đồng nghiệp.

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019

Tác giả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Phạm Thị Vũ Hồng

MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i

LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii

MỤC LỤC .......................................................................................................... iii

DANH MỤC NHỮNG CHỮ VIẾT TẮT .......................................................... iv

SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN ...................................................................... iv

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ, HÌNH .................................................... v

MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1

1. Lí do chọn đề tài .............................................................................................. 1

2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 3

3. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 3

4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 4

5. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 4

6. Cấu trúc luận văn ............................................................................................. 5

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................ 6

1.1 Năng lực giải quyết vấn đề ............................................................................ 6

1.1.1 Dạy học giải quyết vấn đề .......................................................................... 6

1.1.2 Quá trình giải quyết vấn đề ...................................................................... 10

1.1.3 Năng lực giải quyết vấn đề ....................................................................... 13

1.2 Thủ pháp hoạt động nhận thức .................................................................... 18

1.2.1 Quan điểm về hoạt động ........................................................................... 18

1.2.2 Hoạt động nhận thức ................................................................................. 19

1.2.3 Tri thức phương pháp theo quan điểm hoạt động .................................... 20

1.2.4 Quan niệm thủ pháp hoạt động nhận thức ................................................ 20

1.2.5 Một số thủ pháp hoạt động nhận thức Toán học cụ thể ........................... 24

1.2.6 Một số đặc điểm của thủ pháp hoạt động nhận thức ............................... 33

1.2.7 Các cấp độ biểu hiện thủ pháp hoạt động nhận thức của học sinh ........... 35

1.3 Trang bị các thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh trong dạy học

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

nội dung vectơ, tọa độ ở trường trung học phổ thông ............................. 36

1.3.1 Trang bị một số ý tưởng về vận dụng thủ pháp hoạt động nhận thức

cho học sinh ............................................................................................. 36

1.3.2 Trang bị kiến thức về thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh .......... 37

1.3.3 Thiết kế hệ thống một số nội dung đặc biệt để trang bị thủ pháp hoạt

động nhận thức cho học sinh ................................................................... 38

1.4. Các phương pháp tiếp cận hình học ở trường trung học phổ thông ........... 38

1.4.1. Phương pháp tổng hợp ............................................................................. 38

1.4.2. Phương pháp tọa độ (đại số) .................................................................... 40

1.4.3. Phương pháp vectơ .................................................................................. 40

1.4.4. Những con đường trình bày hình học ở trường trung học phổ thông ..... 41

1.5. Tìm hiểu thực trạng dạy học nội dung vectơ, tọa độ cho học sinh ở trường

trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề

thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức ............................ 42

1.6 Kết luận chương 1........................................................................................ 45

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC NỘI DUNG VECTƠ VÀ

TỌA ĐỘ Ở TRƯỜNG THPT THEO HƯỚNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA TRANG BỊ MỘT SỐ THỦ PHÁP

HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC ............................................................................ 46

2.1. Định hướng xây dựng các biện pháp dạy học nội dung vectơ, tọa độ ở

trường trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết

vấn đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức ................. 46

2.2 Một số biện pháp dạy học nội dung vectơ, tọa độ ở Trung học Phổ

thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua

trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức ........................................ 46

2.2.1 Biện pháp 1. Trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho học

sinh trong dạy học khái niệm, định lí, quy tắc, phương pháp ................. 46

2.2.2 Biện pháp 2. Trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho HS

trong dạy học một số tình huống vận dụng kiến thức vectơ, tọa độ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

thông qua tìm hiểu và nhận biết vấn đề, tìm giải pháp ........................... 56

2.3 Kết luận chương 2........................................................................................ 71

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................... 73

3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ................................................................. 73

3.2. Đối tượng thực nghiệm ............................................................................... 73

3.3. Nội dung và hình thức thực nghiệm sư phạm ............................................ 74

3.3.1. Nội dung thực nghiệm sư phạm .............................................................. 74

3.3.2. Hình thức thực nghiệm ............................................................................ 74

3.3.3. Thời gian thực nghiệm ............................................................................. 74

3.4. Đánh giá thực nghiệm sư phạm .................................................................. 74

3.4.1. Đánh giá định lượng ................................................................................ 75

3.4.2. Đánh giá định tính ................................................................................... 78

3.5. Kết luận chương 3....................................................................................... 82

KẾT LUẬN CHUNG ......................................................................................... 83

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 84

PHẦN PHỤ LỤC ...................................................................................................

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

DANH MỤC NHỮNG CHỮ VIẾT TẮT

SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

Kí hiệu, viết tắt Viết đầy đủ

DT : Dẫn theo

GQVĐ : Giải quyết vấn đề

GV : Giáo viên

HĐNT : Hoạt động nhận thức

HH : Hình học

HS : Học sinh

PP : Phương pháp

THPT : Trung học phổ thông

TPHĐNT : Thủ pháp hoạt động nhận thức

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Tr : Trang

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ, HÌNH

Bảng

Bảng 3.1 Kết quả kiểm tra khảo sát chất lượng đầu vào môn Toán của

học sinh ............................................................................................ 73

Bảng 3.2 Bảng thống kê điểm kiểm tra 45 phút ............................................. 76

Sơ đồ, biểu đồ

Sơ đồ 1.1 ..................................................................................................... 42

Biểu đồ 3.1 Biểu đồ về điểm kiểm tra 45 phút của hai lớp TN và ĐC........... 76

Hình

Hình 1.1 ............................................................................................................. 21

Hình 1.2 ............................................................................................................. 27

Hình 1.3 ............................................................................................................. 30

Hình 1.4 ............................................................................................................. 31

Hình 1.5 ............................................................................................................. 33

Hình 1.6 ............................................................................................................. 39

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Hình 1.7 ............................................................................................................. 41

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

1.1 Hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh là một

mục tiêu quan trọng của môn toán

Mục tiêu giáo dục trong thời đại mới là không chỉ dừng lại ở việc

truyền thụ những kiến thức, kỹ năng có sẵn cho học sinh (HS) mà điều đặc

biệt quan trọng là phải trang bị cho HS cách học và bồi dưỡng cho HS năng

lực sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề (GQVĐ). Nghị quyết Trung ương 8

khoá XI về đổi mới căn bản toàn diện giáo dục và đào tạo khẳng định:

“Chuyển mạnh quá trình giáo dục chủ yếu từ trang bị kiến thức kĩ năng sang

phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất của người học. Tiếp tục đổi mới

mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích

cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học; khắc

phục lối truyền thụ một chiều ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách

nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri

thức, kĩ năng, phát triển năng lực” [7].

Ở nhiều nước trên thế giới, các nhà giáo dục toán học đã nhấn mạnh rằng

việc bồi dưỡng năng lực GQVĐ là một trong những năng lực trọng tâm của

giáo dục toán học phổ thông.

Trong “Kỷ yếu hội thảo quốc gia về giáo dục toán học ở nhà trường phổ

thông” (2011) PGS.TS Vương Dương Minh đã khẳng định PP phát hiện và

GQVĐ có giá trị to lớn và có khả năng vận dụng rộng rãi trong nhà trường để trở

thành một PP chủ đạo. Còn TS.Trần Luận đã đề xuất: Nội dung toán ở nhà

trường phổ thông phải là môi trường rèn luyện năng lực GQVĐ và ứng dụng

toán học trong cuộc sống hằng ngày. Nghiên cứu về mối quan hệ giữa nội dung

môn toán ở trường phổ thông Việt Nam và các năng lực chung cần hình thành

và phát triển cho HS, PGS.TS Trần Kiều xác định năng lực GQVĐ là một trong

1

6 năng lực đặc thù môn toán cần hình thành và phát triển cho HS.

Như vậy, GQVĐ có ý nghĩa quan trọng trong giảng dạy toán và được

đưa vào chương trình giảng dạy toán của nhiều nước trên thế giới. Năng lực

GQVĐ là một năng lực quan trọng cần hình thành và phát triển cho HS trong

dạy học toán. Do đó, bồi dưỡng năng lực GQVĐ là một nhiệm vụ quan trọng

trong dạy học toán ở nhà trường phổ thông nước ta hiện nay.

1.2 Nội dung vectơ, tọa độ có nhiều tiềm năng để bồi dưỡng năng lực giải

quyết vấn đề

Bằng thực tiễn Toán học, lý luận đã khẳng định kiến thức vectơ, tọa độ là

cần thiết và không thể thiếu được trong chương trình Toán THPT. Vectơ là một

trong những khái niệm nền tảng của toán học, khái niệm vectơ ra đời trong quá

trình tìm tòi, phát hiện, xây dựng các công cụ để giải quyết những tình huống

có vấn đề, những bài toán đặt ra trong vật lí, trong khoa học kĩ thuật và trong

nội bộ toán học. Nội dung vectơ và tọa độ thực sự là một thử thách đối với HS

THPT bởi những kiến thức hoàn toàn mới về vectơ hay tọa độ hóa các đối

tượng hình học phẳng.

Những cơ sở lý luận và thực tiễn nói trên đã đặt ra yêu cầu và tạo điều

kiện cho việc nghiên cứu năng lực GQVĐ trên bình diện đề xuất các biện pháp

sư phạm, để bồi dưỡng năng lực dạy học Toán ở trường THPT nói chung và

trong dạy học nội dung vectơ, tọa độ nói riêng. Qua đó góp phần nâng cao chất

lượng dạy học nội dung vectơ và tọa độ ở các trường THPT và phát triển năng

lực GQVĐ cho HS.

1.3 Thủ pháp hoạt động nhận thức có vai trò quan trọng đối với học sinh

trong lĩnh hội kiến thức toán học, cũng như giải quyết các vấn đề đặt ra

trong học toán

Trong bài nói chuyện của Polya, ông cho rằng: Việc học kết thúc bằng

việc hình thành các thói quen suy nghĩ tích cực và mục đích chung cho giáo

dục toán học là phát triển càng nhiều càng tốt những thói quen suy nghĩ có giá

2

trị trong việc đương đầu với bất kì loại thử thách, vấn đề nào. Ông nhận định,

cần phải có một luật cơ bản các chiến thuật giải quyết mọi loại vấn đề khác

nhau và điểm cốt yếu trong giáo dục toán học là phải phát triển được những

chiến thuật GQVĐ này. Như vậy, có thể nói rằng Polya đã khẳng định dạy

chiến thuật (gọi là TPHĐNT) thì phát triển được khả năng GQVĐ cho HS.

Thực tế dạy học toán, những cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng

mang tính độc đáo, khéo léo để tìm kiếm giải pháp đúng đắn, tìm kiếm giải

pháp tối ưu giúp HS cảm nhận được vẻ đẹp của toán học, hình thành cho HS

cảm xúc thẩm mỹ, khơi dạy niềm say mê và hứng thú học toán. Những cách

thức này có vai trò như là phương tiện, là công cụ giúp HS chiếm lĩnh trọn vẹn

tri thức toán học và giải quyết thành công các vấn đề trong học toán. Và những

cách thức này được xem là TPHĐNT. Nếu HS được trang bị TPHĐNT thì có

thể giải quyết các vấn đề tốt hơn, HS sẽ thành công trong GQVĐ. Tuy nhiên,

hiện nay GV chưa quan tâm đến trang bị TPHĐNT cho HS. Trong dạy học

toán, GV thường chú trọng cung cấp kiến thức cho HS mà chưa quan tâm nhiều

đến cung cấp cho HS cách thức hiệu quả để lĩnh hội và vận dụng các kiến thức.

Vì vậy, trang bị TPHĐNT cho HS là việc làm cần thiết và có thể xem là

một trong những con đường góp phần hình thành và phát triển năng lực GQVĐ.

Xuất phát từ những vấn đề trên chúng tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài:

“Dạy học nội dung vectơ và tọa độ ở trường Trung học Phổ thông theo

hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một số thủ

pháp hoạt động nhận thức cho học sinh”.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề xuất các biện pháp trang bị một số TPHĐNT cho HS

trong dạy học vectơ, tọa độ nhằm bồi dưỡng năng lực GQVĐ và góp phần nâng

cao hiệu quả dạy học môn Hình học trong nhà trường THPT.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có nhiệm vụ nghiên cứu các vấn đề sau:

- Làm rõ hoạt động giải quyết vấn đề trong toán học; Làm rõ khái niệm

năng lực GQVĐ; Các thành tố của năng lực GQVĐ; Mối quan hệ giữa hoạt

3

động giải quyết vấn đề và năng lực giải quyết vấn đề.

- Tổng hợp một số nghiên cứu liên quan đến thủ pháp; Đề xuất quan

niệm về TPHĐNT toán học; Đề xuất một số TPHĐNT toán học cụ thể cần

trang bị cho HS; Đặc điểm của TPHĐNT; Cách trang bị TPHĐNT.

- Nghiên cứu về nội dung và chương trình môn toán nói chung và nội

dung vectơ, tọa độ nói riêng ở THPT. Tìm kiếm cơ hội phát triển năng lực

GQVĐ và mối liên hệ giữa TPHĐNT với năng lực GQVĐ trong nội dung

vectơ, tọa độ. Nghiên cứu về thực trạng dạy học vectơ, tọa độ theo hướng trang

bị một số TPHĐNT cho HS ở THPT.

- Đề xuất các biện pháp sư phạm dạy học vectơ, tọa độ theo hướng bồi

dưỡng năng lực GQVĐ cho HS thông qua trang bị một số TPHĐNT.

- Thực nghiệm sư phạm để bước đầu kiểm tra tính khả thi và tính hiệu

quả của các biện pháp sư phạm luận văn đề xuất.

4. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Các tài liệu về tâm lí học, giáo dục

học và lí luận dạy học bộ môn toán có liên quan đến đề tài; Nghiên cứu chương

trình, sách giáo khoa môn toán ở trường THPT.

- Điều tra, quan sát: Dự giờ, khảo sát, quan sát hoạt động dạy học của

giáo viên và hoạt động học tập của học sinh để đánh giá thực trạng dạy học nội

dung vectơ, tọa độ cho học sinh ở trường trung học phổ thông theo hướng bồi

dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động

nhận thức.

- Phương pháp thống kê: Thu thập, tổng hợp, trình bày số liệu và tính

toán, so sánh để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm.

- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá

tính phù hợp và khả thi của đề tài.

5. Giả thuyết khoa học

Trong quá trình dạy học nội dung vectơ và tọa độ, nếu xác định và trang

bị được một số TPHĐNT phù hợp cho HS thì sẽ bồi dưỡng được năng lực

4

GQVĐ và góp phần nâng cao được hiệu quả dạy học Toán ở trường THPT.

6. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp dạy học nội dung vectơ và tọa độ ở trường

THPT theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một

số thủ pháp hoạt động nhận thức

5

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Năng lực giải quyết vấn đề

1.1.1 Dạy học giải quyết vấn đề

a) Vấn đề trong dạy học toán

Các nhà nghiên cứu Polya [24], Nguyễn Bá Kim [15], Nguyễn Văn

Cường [4], Phan Anh Tài [27],... đã đề cập đến các thuật ngữ “vấn đề”, “bài

toán” và có nhiều định nghĩa khác nhau.

Nguyễn Bá Kim [15] cho rằng: “Một bài toán được gọi là một vấn đề

nếu chủ thể chưa biết một thuật giải nào có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa

biết của bài toán”. Polya [23] cho rằng: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm

kiếm một cách ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy

rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay” và giải bài toán tức là tìm ra phương

tiện đó. Từ những quan niệm này cho thấy, bài toán là: Một yêu cầu đặt ra cho

chủ thể; Chủ thể chưa có trong tay cách giải; Chủ thể nhận thức được sự cần

thiết, ý nghĩa của nó và mong muốn tìm ra cách giải quyết; Chủ thể tích cực

suy nghĩ tìm kiếm phương tiện giải quyết nó.

Nguyễn Văn Cường [4] khẳng định: “Vấn đề là những câu hỏi hay nhiệm

vụ đặt ra mà việc giải quyết chúng chưa có quy luật sẵn cũng như những tri

thức, kỹ năng sẵn có chưa đủ giải quyết mà còn khó khăn, cản trở cần vượt

qua” và ông nêu ra ba thành phần đặc trưng một vấn đề là “Trạng thái xuất

phát: không mong muốn; Trạng thái đích: trạng thái mong muốn; Sự cản trở”.

Ông phân biệt vấn đề khác với nhiệm vụ thông thường ở chỗ khi giải quyết một

nhiệm vụ thì đã có sẵn trình tự và cách thức giải quyết, cũng như những kiến

thức kỹ năng đã có đủ để giải quyết nhiệm vụ đó.

Một số nhà nghiên cứu [5] cho rằng: Một vấn đề có liên quan đến một

6

tình huống, trong đó người ta muốn đạt một cái gì đó và ngay lúc đó không biết

cần phải làm gì để có được nó. Điều này có nghĩa, vấn đề được đặt vào một

“tình huống” mà người GQVĐ “không biết phải làm gì” nghĩa là với những

kiến thức hiện có chưa thể giải quyết được hay chưa có sẵn câu trả lời, nhưng

người GQVĐ lại “muốn” nghĩa là vấn đề thực sự thu hút, lôi cuốn và người

GQVĐ thực sự có nguyện vọng, có tham vọng “đạt được một cái gì” nghĩa là

tìm được một giải pháp. Như vậy, vấn đề được đề cập đến ở đây có đặc điểm:

Chưa có sẵn câu trả lời; Có mong muốn tìm giải pháp.

Phan Anh Tài [27] quan niệm: “Vấn đề trong dạy học toán THPT là bài

toán (theo nghĩa rộng) đặt ra cho người học, mà tại thời điểm đó người học

chưa biết lời giải và thỏa mãn các điều kiện: i) Bài toán chưa có một thuật

giải đã biết để giải nó. ii) Người học có sẵn những kiến thức, kĩ năng sử dụng

thích hợp và có nhu cầu giải quyết”. Quan niệm này chỉ ra vấn đề có 3 đặc

điểm: Bài toán chưa có thuật giải, HS có đủ kiến thức kĩ năng cần thiết để giải

và có mong muốn giải quyết. Như vậy, một bài toán đặt ra nếu đã có thuật giải,

đã biết cách giải thì không được gọi là vấn đề; một bài toán đặt ra nếu HS chưa

có sẵn một cách giải quyết và các kiến thức kĩ năng hiện có của HS không đủ

để giải quyết bài toán này thì cũng không gọi là vấn đề; một bài toán đặt ra mà

HS chưa có thuật giải và có đủ kiến thức kĩ năng để giải nhưng bản thân HS

không muốn giải quyết thì cũng không phải là vấn đề.

Như vậy, vấn đề mang tính chất tương đối, cùng một bài toán có thể đối

với HS này là vấn đề nhưng HS khác lại không là vấn đề và trong tình huống

này là vấn đề trong tình huống khác lại không là vấn đề. Vấn đề trong toán học,

gồm: Vấn đề thuần túy toán học; Vấn đề ứng dụng. Các vấn đề khác nhau được

giải quyết theo nhiều cách khác nhau. Ở nội dung toán THPT, vấn đề xuất hiện

trong tất cả các tình huống dạy học điển hình: dạy học khái niệm, dạy học định

lí, dạy học quy tắc PP, dạy học giải bài tập dưới dạng những câu hỏi xây dựng

khái niệm, câu hỏi chỉ ra thuộc tính đặc trưng của khái niệm, yêu cầu thực hiện

thao tác để phát hiện ra định lí và tính chất, bài toán có thuật toán, bài toán

7

chưa có thuật giải, bài toán tìm tòi, bài toán chứng minh...

Từ phân tích các quan niệm về “bài toán” và “vấn đề”, trong luận văn

quan niệm:

Bài toán trong dạy học toán THPT là một yêu cầu đặt ra, HS nhận thức

được sự cần thiết, mong muốn và tích cực suy nghĩ tìm cách thức để giải quyết.

Vấn đề trong dạy học toán THPT là một bài toán mà HS chưa biết cách

giải quyết nhưng có đủ kiến thức và kĩ năng cần thiết để giải quyết.

b) Tình huống gợi vấn đề

Trong dạy học GQVĐ ta quan tâm đến tình huống có vấn đề, theo Nguyễn

Bá Kim [15]: “Tình huống gợi vấn đề là một tình huống gợi ra cho HS những khó

khăn về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng

không phải ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua

một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc

điều chỉnh kiến thức sẵn có” .

Trần Kiều [13] cho rằng: Tình huống có vấn đề là những lúng túng về lý

thuyết và thực hành để GQVĐ, tức là vào thời điểm đó vào tình huống đó thì những

kiến thức và kĩ năng vốn có chưa đủ để tìm ra ngay lời giải; Tình huống có vấn đề

luôn luôn chứa đựng một nội dung cần xác định, một nhiệm vụ cần giải quyết, một

vướng mắc cần tháo gỡ, và kết quả của việc nghiên cứu và giải quyết sẽ là những tri

thức mới, nhận thức mới, hoặc phương thức hành động mới đối với chủ thể; Tình

huống có vấn đề được cấu thành bởi ba thành phần (Nhu cầu nhận thức hoặc hành

động của người học; Sự tìm kiếm những tri thức và phương thức hành động chưa

biết; Khả năng trí tuệ của chủ thể, thể hiện ở năng lực và kinh nghiệm).

Nguyễn Bá Kim [15] cho rằng tình huống gợi vấn đề phải thỏa mãn ba điều

kiện: Tồn tại một vấn đề, Gợi nhu cầu nhận thức, Gây niềm tin ở khả năng.

Từ những quan điểm trên, luận văn quan niệm:

Tình huống gợi vấn đề là tồn tại một vấn đề, HS mong muốn giải quyết và

HS có niềm tin là sẽ giải quyết được. Tình huống vấn đề trong dạy học toán THPT

8

có thể là tình huống xuất phát từ quá trình học tập của cá nhân HS, có thể xuất phát

đời sống thường ngày của HS, gia đình, cộng đồng, tình huống khoa học mà ta

dùng kiến thức toán THPT để giải quyết; việc hiểu và giải quyết các tình huống này

sẽ đạt được kiến thức, kĩ năng và PP.

c) Dạy học giải quyết vấn đề

Dạy học GQVĐ là một quan điểm dạy học tích cực được đặc biệt chú

ý trong giai đoạn hiện nay. Quan điểm dạy học này được hình thành dựa trên

cơ sở nghiên cứu lý thuyết nhận thức vận dụng vào quá trình dạy học nhằm

phát triển khả năng nhận thức của HS, đặc biệt là khả năng tư duy và năng

lực GQVĐ.

Quá trình dạy học GQVĐ được tổ chức theo cấu trúc của quá trình

GQVĐ và sự tham gia của HS ở những mức độ tự lực khác nhau, ở mức độ cao

nhất là tự lực nhận biết và GQVĐ. Dạy học GQVĐ có thể được vận dụng trong

dạy học các tình huống điển hình như: dạy học khái niệm, dạy học định lí, dạy

học giải bài tập.

Nghiên cứu [15] chỉ ra ba đặc trưng của dạy học GQVĐ: HS được đặt vào

một tình huống gợi vấn đề; HS hoạt động tích cực, tận lực huy động tri thức và khả

năng của mình để GQVĐ; Mục đích dạy học không phải chỉ là làm cho HS lĩnh hội

kết quả của quá trình GQVĐ, mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả năng tiến

hành những quá trình như vậy, nghĩa là HS không chỉ học kết quả của việc học mà

trước hết là học bản thân việc học.

Theo Bernd Meier và Nguyễn Văn Cường [4] trong dạy học GQVĐ: HS

được đặt trong một tình huống có vấn đề, đó là tình huống chứa đựng mâu

thuẫn nhận thức, thông qua việc GQVĐ, giúp HS lĩnh hội tri thức, kỹ năng và

PP nhận thức.

Nguyễn Bá Kim [15] cho rằng: Trong dạy học GQVĐ, thầy giáo tạo ra

những tình huống gợi vấn đề, điều khiển HS phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác,

tích cực, chủ động, sáng tạo để GQVĐ, thông qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện

9

kĩ năng và đạt được những mục tiêu học tập khác.

Như vậy, trong dạy học GQVĐ điều quan trọng nhất không phải là việc

tìm kiếm câu trả lời đúng, mà là việc làm thế nào một người đi đến được câu trả

lời đúng. GQVĐ tập trung vào quá trình chứ không phải là sản phẩm. Dạy học

GQVĐ có một mục tiêu là hình thành năng lực GQVĐ, một năng lực có vị trí

quan trọng để con người có thể thích ứng với sự phát triển của xã hội tương lai.

1.1.2 Quá trình giải quyết vấn đề

Nghiên cứu về quá trình GQVĐ có các tác giả nước ngoài như Polya

[24], Marshall (DT [36]), Carla Amoirudder [34], Johnson (DT [34]),… Trong

nước có các tác giả Trần Kiều [14], Nguyễn Văn Cường [4], Nguyễn Bá Kim, Vũ

Dương Thụy [16], ….

Polya [25, tr. ix] khẳng định: “GQVĐ có nghĩa là tìm một cách thoát ra

khỏi một khó khăn, một con đường xung quanh trở ngại, đạt được mục tiêu mà

không phải là ngay lập tức có thể đạt được”. Quan niệm đầy đủ hơn có thể

chấp nhận được là của Carla Amoirudder [34] cho rằng: GQVĐ là thông qua

điều tra phát hiện ra cách để tìm một giải pháp khi không có giải pháp rõ ràng

có sẵn.

Trần Kiều [13] chia quá trình GQVĐ thành ba giai đoạn: Sự xuất hiện của

chính vấn đề và những kích thích đầu tiên thúc đẩy chủ thể GQVĐ; Chủ thể

nhận thức sâu sắc và chấp nhận vấn đề để giải quyết; Quá trình tìm kiếm lời

giải cho vấn đề đã được chấp nhận giải quyết, lý giải, chứng minh, kiểm tra.

Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy [16], chia quá trình GQVĐ thành

ba bước:

Bước 1. Tri giác vấn đề: Tạo tình huống gợi vấn đề; Giải thích và chính

xác hóa để hiểu đúng tình huống có vấn đề; Phát biểu vấn đề và đặt mục đích

GQVĐ đó.

Bước 2. GQVĐ: Phân tích vấn đề, làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết

và cái phải tìm; Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết, có thể điều chỉnh, thậm chí

10

bác bỏ và chuyển hướng khi cần thiết. Trình bày cách GQVĐ.

Bước 3. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: Kiểm tra sự đúng đắn và phù hợp

thực tế của lời giải; Kiểm tra tính hợp lí hoặc tối ưu của lời giải; Tìm hiểu những

khả năng ứng dụng kết quả; Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương

tự, khái quát hóa, lật ngược vấn đề, ... và giải quyết nếu có thể.

Nguyễn Văn Cường [4] mô tả cấu trúc của quá trình GQVĐ gồm ba bước sau:

Bước 1: Nhận biết vấn đề: Phân tích tình huống đặt ra, nhận biết được vấn đề.

Bước 2: Tìm các phương án giải quyết: Tìm các phương án khác nhau để

GQVĐ, so sánh, liên hệ với những cách GQVĐ tương tự đã biết cũng như tìm các

phương án giải quyết mới. Khi có khó khăn hoặc không tìm ra phương án giải quyết

thì cần trở lại việc nhận biết vấn đề để kiểm tra lại việc nhận biết và hiểu vấn đề.

Bước 3: Quyết định phương án giải quyết: Các phương án giải quyết đã được

tìm ra cần được phân tích, so sánh và đánh giá xem có thể thực hiện được việc

GQVĐ hay không. Nếu có nhiều phương án có thể giải quyết thì cần so sánh để xác

định phương án tối ưu nhất. Nếu việc kiểm tra các phương án đã đề xuất đưa đến

kết quả là không giải quyết được vấn đề thì cần trở lại giai đoạn tìm kiếm phương

án giải quyết. Khi đã quyết định được phương án thích hợp, giải quyết được vấn đề

tức là đã kết thúc việc GQVĐ.

Theo Bùi Văn Nghị [21], quá trình dạy học phát hiện và GQVĐ có bốn

bước sau:

- Phát hiện vấn đề: Tạo tình huống có vấn đề, phát hiện những dạng nảy sinh,

phát hiện vấn đề cần giải quyết.

- Tìm giải pháp: Đề xuất các giả thuyết, lập kế hoạch GQVĐ, thực hiện kế

hoạch GQVĐ.

- Trình bày giải pháp: Khẳng định hay bác bỏ giả thuyết đã nêu.

- Nghiên cứu sâu giải pháp: Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả, đề

xuất những vấn đề mới có liên quan.

Có nhiều cách phân chia song cách phân chia của Polya là chung nhất.

11

Polya [35, tr. 5] cho rằng quá trình GQVĐ bốn giai đoạn không thể tách rời là:

1. Hiểu vấn đề; 2. Xây dựng kế hoạch; 3. Thực hiện kế hoạch; 4. Rà soát và

kiểm tra. GQVĐ không đơn giản là thực hiện thứ tự bốn giai đoạn, ta có thể

chuyển qua các giai đoạn nếu thích hợp. Giai đoạn 1 và 2 được lặp đi lặp lại

trong quá trình GQVĐ. Khi thực hiện kế hoạch đưa ra, phải liên tục kiểm tra sự

tiến triển của nó, để xác định xem việc thực hiện kế hoạch có hướng tới giải

pháp đúng không. Nếu kế hoạch đặt ra không thành công thì phải quyết định

làm gì tiếp theo.

Từ các cách phân chia trên, chúng tôi quan niệm: Quá trình GQVĐ gồm

bốn bước sau:

Bước 1. Tìm hiểu và nhận biết vấn đề. Trong bước này HS tìm hiểu tổng

thể vấn đề, xác định rõ thông tin đã cho và thông tin cần tìm. Huy động các

kiến thức và thông tin mình có liên quan đến vấn đề, sử dụng các cách thăm dò

để biến đổi thông tin tìm ra các thông tin mới cần thiết.

Bước 2. Tìm giải pháp. Tổ chức và sử dụng các thông tin có được, đó

chính là sự tích hợp thông tin và các kiến thức đã có, đưa ra phán xét và quyết

định sử dụng thông tin nào, đưa ra giả thuyết về cách GQVĐ dựa trên các

thông tin này.

Bước 3. Thực hiện giải pháp. Quá trình này bao gồm xác định mục tiêu

của vấn đề, lập kế hoạch cho các mục tiêu và các bước cụ thể theo giả thuyết đã

đưa ra từ trước để đưa ra được một giải pháp.

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp. Kiểm tra lại giải pháp đã được thực

hiện và xem xét đánh giá cách tiếp cận này đã phù hợp chưa liệu còn cách tiếp

cận khác tốt hơn, hay liệu giải pháp như thế có đúng hay không, hay có nên

xem xét lại các giả thuyết ban đầu, hay có thể đưa ra các vấn đề mới.

Hai bước đầu là quá trình lĩnh hội kiến thức và hai bước sau là quá trình

12

ứng dụng kiến thức.

1.1.3 Năng lực giải quyết vấn đề

1.1.3.1 Năng lực

Năng lực được nhiều nhà tâm lý học, nhà triết học, nhà giáo dục học

trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Chương trình giáo dục phổ thông ở

Việt Nam sau năm 2015 theo định hướng hình thành và phát triển năng lực.

Khái niệm năng lực được hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau:

Theo quan điểm di truyền học, năng lực phụ thuộc vào yếu tố bẩm sinh

của di truyền và yếu tố môi trường sống của con người và xem nhẹ yếu tố giáo

dục. Các nhà tâm lí học Mác xit không tuyệt đối hoá vai trò của yếu tố bẩm

sinh di truyền đối với năng lực mà nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và học tập

trong việc hình thành năng lực. Có thể hiểu, năng lực là những đặc trưng tâm lí

của cá nhân thích hợp để hoàn thành có kết quả tốt hoạt động nào đó.

Nhấn mạnh đến tính mục đích của năng lực, Phạm Minh Hạc định nghĩa:

“Năng lực chính là một tổ hợp các đặc điểm tâm lý của một con người (còn gọi

là tổ hợp thuộc tính tâm lý của một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành

theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy” [8].

Bernd Meier và Nguyễn Văn Cường [4] cho rằng: “Năng lực là khả năng

thực hiện có trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ,

vấn đề trong những tình huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã

hội hay cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng như

sự sẵn sàng hành động”. Theo quan niệm này năng lực là khả năng kết hợp của

các yếu tố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo, kinh nghiệm, thái độ tích cực, tinh thần

trách nhiệm để thực hiện hoàn thành các nhiệm vụ, vấn đề trong các tình huống

thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội và cá nhân.

Theo OECD (DT [19]), “năng lực là khả năng cá nhân đáp ứng yêu cầu

phức hợp và thực hiện thành công nhiệm vụ trong bối cảnh cụ thể.” Khái niệm

này hiện nay đang được dùng để đánh giá năng lực HS của gần 70 nước trên

13

thế giới, trong đó có Việt Nam.

Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, ngày 26 tháng 12 năm

2018:“ Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất

sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp

các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý

chí,... thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong

muốn trong những điều kiện cụ thể”.[2]

Từ những nghiên cứu về năng lực, luận văn quan niệm năng lực của HS

trong học toán như sau: Năng lực của HS trong học toán là khả năng huy động

kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm và các phẩm chất cá nhân khác như ý chí, niềm

tin… của HS đáp ứng các yêu cầu phức hợp và thực hiện thành công các nhiệm

vụ trong hoạt động học tập toán.

Như vậy, năng lực có các đặc điểm sau:

- Năng lực là khả năng của mỗi HS, nên đặc thù tâm lí, sinh lí, yếu tố

bẩm sinh của mỗi HS và yếu tố xã hội sẽ ảnh hưởng đến năng lực của HS.

Năng lực của mỗi HS được hình thành và phát triển sẽ có sự khác biệt nhất

định và phụ thuộc vào chương trình, phương pháp, hình thức dạy học, ...

- Năng lực gắn liền với hoạt động cụ thể. Ví dụ trong lĩnh vực học tập

năng lực của HS được thể hiện thông qua việc vận dụng kiến thức, kĩ năng,

kinh nghiệm, thái độ để giải quyết các nhiệm vụ. Năng lực của mỗi HS được

bộc lộ thông qua các hoạt động nên để chứng minh năng lực của một HS trong

một lĩnh vực nào đó phải xem xét các hoạt động của HS trong lĩnh vực đó.

1.1.3.2 Năng lực toán học

Năng lực toán học là một vấn đề mà ở nhiều nước trên thế giới đều có sự

quan tâm đặc biệt cả trong lĩnh vực nghiên cứu và thực hiện, trong đó đặc biệt chú

ý đến việc phát hiện và bồi dưỡng HS có năng khiếu về Toán. Đến nay vẫn chưa

có được định nghĩa thống nhất về năng lực Toán. Theo nghiên cứu của Trần Luận

[18] về cấu trúc năng lực, khái niệm năng lực toán học được giải thích trên hai

14

phương diện:

+ Như là năng lực sáng tạo (khoa học) - năng lực hoạt động khoa học toán

học mà hoạt động này tạo ra được những kết quả, thành tựu mới có ý nghĩa khách

quan đối với loài người, sản phẩm quý giá trong quan hệ xã hội.

+ Như là năng lực học tập - năng lực nghiên cứu (học tập, lĩnh hội) toán học

(trong trường hợp này là giáo trình toán phổ thông), lĩnh hội nhanh chóng và có

kết quả cao các kiến thức, kỹ năng tương ứng.

Trần Luận [18] đề xuất sơ đồ cấu trúc năng lực toán học của HS gồm hai

nhóm: Năng lực trí tuệ chung và năng lực toán học đặc thù. Theo ông, sơ đồ

cấu trúc năng lực toán học vừa nêu chỉ mới dừng ở nghĩa hẹp của năng lực.

Trên thực tế, năng lực cần được hiểu theo nghĩa rộng là có thể bao gồm cả

nhóm thành phần trí tuệ, cảm xúc, ý chí và thể chất.

Từ những nghiên cứu về năng lực toán học, có thể thấy:

- Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của

HS, giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những

kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán.

- Năng lực Toán học được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và

gắn liền với) các hoạt động của HS nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập

trong môn Toán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng

định lí, giải bài toán,…

1.1.3.3 Năng lực giải quyết vấn đề

Tiếp cận GQVĐ từ góc độ năng lực GQVĐ ở nước ngoài có Polya,

Schoenfeld, Tổ chức Pisa, Marshall… Ở trong nước Nguyễn Thị Lan Phương

[22], Nguyễn Thị Hương Trang [29], Nguyễn Anh Tuấn [31], Từ Đức Thảo

[28], Phan Anh Tài [27], … nghiên cứu dạy học phát hiện và GQVĐ được

xem như là một cách tiếp cận, mà mục tiêu của nó là hình thành cho HS năng

lực GQVĐ.

Nguyễn Anh Tuấn [31], đưa ra quan niệm: “Năng lực phát hiện và GQVĐ

15

của HS trong học toán là một tổ hợp năng lực bao gồm các kĩ năng (thao tác tư duy

và hành động) trong hoạt động học tập nhằm phát hiện và giải quyết những nhiệm

vụ của môn toán”. Và chỉ ra hai nhóm năng lực thành tố là: Nhóm năng lực phát

hiện vấn đề trong toán học và Nhóm năng lực GQVĐ trong toán học.

Nguyễn Thị Hương Trang [29], nghiên cứu năng lực giải toán theo hướng

phát hiện và GQVĐ một cách sáng tạo, đưa ra quan niệm về năng lực phát hiện và

GQVĐ: “Đó là năng lực tập trung vào việc tìm kiếm và áp dụng chiến lược GQVĐ

bằng con đường có mục tiêu, đòi hỏi tư duy phê phán và cách tiếp cận sáng tạo để

đạt kết quả”.

Từ Đức Thảo [28], nghiên cứu về năng lực phát hiện và GQVĐ, vận

dụng vào thực tiễn dạy học Hình học (HH) ở trường THPT, cho rằng: “Năng

lực phát hiện và GQVĐ của HS trong HH là một tổ hợp các năng lực thể hiện ở

kĩ năng (thao tác tư duy và hành động) trong hoạt động học tập nhằm giải

quyết có hiệu quả những nhiệm vụ của HH”

Phan Anh Tài [27], cho rằng: “Năng lực GQVĐ của HS trong học toán là

tổ hợp các năng lực được bộc lộ qua các hoạt động trong quá trình GQVĐ”.

Theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, ngày 26 tháng 12 năm

2018: “Năng lực giải quyết vấn đề toán học thể hiện qua việc:

- Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học.

- Lựa chọn, đề xuất được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề.

- Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các

công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra.

- Đánh giá được giải pháp đề ra và khái quát hoá được cho vấn đề tương

tự” [1].

Trong luận văn này chúng tôi quan niệm năng lực GQVĐ trong học toán

của HS như sau: Năng lực GQVĐ của HS là khả năng huy động kiến thức, kĩ

năng, kinh nghiệm và các phẩm chất cá nhân khác của HS để thực hiện hoạt

động GQVĐ khi phải đối mặt với các vấn đề trong học toán mà ở đó con

16

đường tìm ra lời giải không rõ ràng ngay lập tức.

1.1.3.4 Các thành tố của năng lực giải quyết vấn đề

Tiếp cận quá trình GQVĐ trong dạy học toán, Phan Anh Tài [27] cho

rằng năng lự̣c GQVĐ của HS trong dạy học toán THPT được cấu thành bởi các

thành tố sau: Năng lực hiểu VĐ, năng lực phát hiện và triển khai giải pháp

GQVĐ, năng lực trình bày giải pháp GQVĐ, năng lực phát hiện giải pháp khác

để GQVĐ và năng lực phát hiện vấn đề mới.

Tiếp cận theo quá trình GQVĐ, luận văn quan niệm năng lực GQVĐ

gồm có 4 thành tố sau:

*) Năng lực hiểu vấn đề: Là khả năng của cá nhân xác định và hiểu được

vai trò của các thông tin đưa ra, đưa ra các phán xét có cơ sở, gắn kết các thông

tin và các kiến thức đã biết. Năng lực hiểu vấn đề gồm các thành phần: năng

lực nhận dạng và phát biểu vấn đề, Năng lực xác định và giải thích thông tin

(bao gồm hiểu ngôn ngữ diễn đạt của vấn đề và toán học hóa vấn đề).

*) Năng lực tìm ra giải pháp: Là khả năng của cá nhân sử dụng các

thông tin và kiến thức đã biết để rút ra những kết luận và đưa ra những quyết

định đi đến giải pháp. Năng lực tìm giải pháp gồm các thành phần: năng lực thu

thập và đánh giá thông tin (là khả năng phân tích mối liên hệ giữa các đối

tượng), năng lực xác định cách thức GQVĐ (là khả năng định hướng kết nối

các kiến thức, kĩ năng đã có với cái cần tìm).

*) Năng lực thực hiện giải pháp: Là khả năng của cá nhân sắp xếp các

thông tin và các kiến thức đã biết để triển khai giải pháp; năng lực này gồm hai

thành phần là năng lực xây dựng kế hoạch và năng lực trình bày giải pháp và

điều chỉnh.

*) Năng lực nghiên cứu sâu giải pháp: Là khả năng của cá nhân xem xét,

kiểm nghiệm để đưa ra giải pháp mới và vấn đề mới trên cơ sở các thông tin có

được từ GQVĐ. Năng lực nghiên cứu sâu giải pháp gồm các thành phần: năng

lực đề xuất giải pháp mới, năng lực xây dựng vấn đề mới, năng lực vận dụng

17

giải pháp vào tình huống mới, năng lực phát triển giải pháp.

1.1.3.5 Mối quan hệ giữa hoạt động giải quyết vấn đề và năng lực giải quyết

vấn đề

Năng lực không mang tính chung chung, khi nói về năng lực là gắn với một

hoạt động cụ thể nào đó, chẳng hạn năng lực Toán học của hoạt động học tập hay

nghiên cứu Toán học, năng lực giảng dạy của hoạt động giảng dạy, năng lực

GQVĐ trong dạy học Toán của hoạt động GQVĐ trong dạy học Toán,... Giữa

hoạt động GQVĐ và năng lực GQVĐ có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, năng lực

GQVĐ được thể hiện thông qua kết quả của hoạt động GQVĐ và hoạt động

GQVĐ làm bộc lộ năng lực GQVĐ. Như vậy, để hình thành và phát triển năng lực

GQVĐ cần phải cho HS được thực hiện các hoạt động GQVĐ.

1.2 Thủ pháp hoạt động nhận thức

1.2.1 Quan điểm về hoạt động

Theo tâm lý học hoạt động là một quá trình thực hiện sự chuyển hóa lẫn

nhau giữa hai cực chủ thể và khách thể. Phạm Minh Hạc [9] chỉ ra ba đặc điểm

của hoạt động: Hoạt động có đối tượng là hoạt động luôn nhằm tác động vào

cái gì đấy, để thay đổi nó hoặc để tiếp nhận nó chuyển vào đầu óc mình; Hoạt

động có chủ thể là con người có ý thức tác động vào khách thể - đối tượng của

hoạt động, chủ thể hoạt động có thể do một hay nhiều người thực hiện; Hoạt

động có tính mục đích là tạo ra sản phẩm có liên quan trực tiếp hay gián tiếp

với việc thỏa mãn nhu cầu của con người và xã hội. Tính mục đích là quy luật

điều khiển mọi hoạt động.

Cấu trúc của hoạt động là cấu trúc chức năng và sự chuyển hóa chức

năng của các thành tố của hoạt động. Đối tượng hoạt động là khách thể có đặc

tính chức năng kích thích, hướng dẫn hoạt động của chủ thể trong quá trình

chiếm lĩnh nó. Về phía đối tượng có thể là động cơ (có chức năng kích thích

hoạt động của chủ thể), là mục đích (chức năng hướng dẫn chủ thể tới đối

tượng thỏa mãn nhu cầu) hoặc phương tiện (chức năng là cơ cấu kĩ thuật của

18

hành động, là phương thức triển khai hành động). Về phía chủ thể, các động tác

cá nhân có thể trở thành hoạt động, hành động hoặc thao tác. Việc phát hiện ra

cấu trúc chung của hoạt động và mối liên hệ biện chứng giữa các thành tố của

nó có ý nghĩa rất lớn về lý luận và thực tiễn.

1.2.2 Hoạt động nhận thức

Theo Lênin thì nhận thức phát triển là do sự tác động của ba yếu tố: trực

quan sinh động, tư duy trừu tượng và thực tiễn; Mỗi yếu tố đều cần thiết và

mang lại cái mà yếu tố khác không thể đem lại được; Sự tác động lẫn nhau đó

quán xuyến toàn bộ quá trình nhận thức, trong đó yếu tố thực tiễn là cơ sở và là

yếu tố quyết định; nhận thức diễn ra theo con đường “Từ trực quan sinh động

đến tư duy trừu tượng, rồi từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đó là con đường

biện chứng của sự nhận thức hiện thực khách quan”.

Tư duy là một hình thức nhận thức điển hình của con người. Theo tâm lý

học [33], tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất,

những mối liên hệ và quan hệ bên trong, có tính quy luật của sự vật và hiện

tượng trong hiện thực khách quan, mà trước đó ta chưa biết. Trần Thúc Trình

[30] cho rằng có ba loại hình tư duy: tư duy trực quan, tư duy trừu tượng, tư

duy trực giác.

Nhận thức là hiểu được điều gì đó, tiếp thu được những kiến thức về điều

nào đó, hiểu biết những quy luật về những hiện tượng, quá trình nào đó. Con

người phải nhận thức, thông qua hoạt động nhận thức. Hoạt động học tập là

một hoạt động nhận thức đặc biệt của con người. Mà chủ thể là HS và đối

tượng là tri thức, kĩ năng, kĩ xảo. Trong học tập Toán, HS phải thực hiện các

hoạt động nhận thức Toán học.

Như vậy, hoạt động nhận thức toán học có đối tượng là tri thức toán học.

Mục đích là tư duy để lĩnh hội tri thức toán học, nắm được ý nghĩa của các tri

thức Toán học và vận dụng các tri thức toán học. Để nhận thức đầy đủ và sâu

sắc một tri thức Toán học nào đó, cần phải xem xét đặc điểm của tri thức đó,

19

phải có lối tư duy phù hợp và cách thức suy nghĩ khéo léo.

1.2.3 Tri thức phương pháp theo quan điểm hoạt động

Nguyễn Bá Kim [15] cho rằng tri thức PP liên hệ với hai loại PP khác

nhau về bản chất: những PP về thuật giải và những PP có tính chất tìm tòi. Ông

cũng khẳng định tri thức PP định hướng trực tiếp cho hoạt động và ảnh hưởng

quan trọng tới việc rèn luyện kĩ năng. Ông đã chỉ ra một số tri thức PP thường

gặp là:

- Những tri thức về PP thực hiện những hoạt động tương ứng với những

nội dung cụ thể như cộng, trừ, nhân, chia các số hữu tỉ, giải phương trình trùng

phương, dựng tam giác biết độ dài ba cạnh của nó,…

- Những tri thức về PP thực hiện những hoạt động toán học phức hợp

như định nghĩa, chứng minh,…

- Những tri thức về PP thực hiện những hoạt động trí tuệ phổ biến trong

môn Toán như hoạt động tư duy hàm, phân chia trường hợp,..

- Những tri thức về PP thực hiện những hoạt động trí tuệ chung như so

sánh, khái quát hóa, trừ tượng hóa, …

- Những tri thức về PP thực hiện những hoạt động ngôn ngữ logic như

thiết lập mệnh đề đảo của một mệnh đề cho trước, liên kết hai mệnh đề thành

tuyển hội của chúng,…

Như vậy, xét trên quan điểm hoạt động tri thức PP trong dạy học môn

toán là những tri thức về PP thực hiện các hoạt động nhận thức toán học. Cụ thể

đó là những tri thức về việc thực hiện hoạt động lĩnh hội tri thức toán học, hiểu

tri thức toán học và vận dụng các tri thức toán học.

1.2.4 Quan niệm thủ pháp hoạt động nhận thức

Trong quá trình giải bài tập toán, HS phải thực hiện các hoạt động tìm

hiểu đối tượng và biến đổi đối tượng một cách hợp lí để tìm được giải pháp.

Ví dụ 1.1. Gọi lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn

ngoại tiếp của . Chứng minh: thẳng hàng (Định lí Ơle).

- Tình huống cụ thể: Bài toán chứng minh HH là tương đối khó khăn đối

20

với HS. Nhiều khi HS ngộ nhận dẫn đến lời giải không chính xác.

- Tìm hiểu đối tượng: Với bài toán này nếu giải theo PP tổng hợp thông

thường sẽ phụ thuộc vào trực quan hình vẽ, đôi khi không có đường lối tổng quát.

Nảy sinh suy nghĩ không làm bài toán này theo lối thông thường nữa mà nghĩ

theo chiều hướng khác và sử dụng các PP khác để chứng minh sẽ đem lại kết

quả nhanh hơn. Nổi bật lên ở đây đó là PP vectơ có

tính khái quát cao mà không phụ thuộc vào hình vẽ.

- Biến đổi đối tượng:

Gọi là điểm đối xứng của qua O thì

là hình bình hành, là trung điểm

.

Mặt khác: . Hình 1.1

Do đó:

thẳng hàng.

Lời giải này ngắn gọn, thể hiện lối suy nghĩ độc đáo khác với cách làm

thông thường. Để có thể nảy sinh ra cách thức giải quyết linh hoạt, độc đáo, HS

cần phải tìm hiểu, xem xét đặc điểm của bài toán và kết hợp khéo léo với các

kiến thức đã biết. Trong từng thời điểm cụ thể của quá trình tìm lời giải, nếu HS

suy nghĩ linh hoạt hơn thì sẽ đưa đến những cách làm hiệu quả. Nếu HS cứ biến

đổi giản đơn theo cách thông thường có thể không tìm được lời giải hoặc có lời

giải tương đối dài, thiếu chính xác.

Ví dụ này đã thể hiện cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng dẫn đến

sản phẩm là một lời giải mang tính độc đáo, khác biệt. Cách thức tìm hiểu,

biến đổi đối tượng mang tính độc đáo để giải bài toán trên được xem như là

một TPHĐNT.

Thịnh Thị Bạch Tuyết [32] quan niệm về TPHĐNT như sau: “TPHĐNT

toán học là tri thức về cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng (mang tính độc

đáo hoặc khéo léo) để giải quyết những tình huống cụ thể trong hoạt động

21

nhận thức toán học.”

Điều này có nghĩa là TPHĐNT có đặc điểm là thuộc về cách thức thực

hiện của HS, nó là cái riêng, là sản phẩm của HS do trải nghiệm mà có được, sản

phẩm này mang tính độc đáo hoặc khéo léo. TPHĐNT vừa là tri thức về cách

thức thực hiện hoạt động tìm hiểu đối tượng để hiểu những thuộc tính của đối

tượng, những mối quan hệ mang tính “quy luật” của các đối tượng trong từng

tình huống cụ thể; Đồng thời vừa là tri thức về cách thức thực hiện hoạt động

biến đổi đối tượng về dạng hợp lí, có lợi cho giải quyết tình huống cụ thể.

Ví dụ 1.2. Sử dụng cách thức suy nghĩ khéo léo để giải bài toán viết

phương trình đường thẳng:

Cho biết trực tâm và phương trình cạnh

, phương trình cạnh . Viết phương

trình cạnh .

- Tình huống cụ thể: Bài toán cho biết tọa độ trực tâm và phương trình 2

cạnh của tam giác, vậy làm thế nào để tìm được phương trình cạnh còn lại? HS

gặp khó khăn trong việc phân tích bài toán để tìm được lời giải thỏa đáng.

- Tìm hiểu đối tượng: Để giải dạng toán này là cần phải biết được tọa độ

điểm mà nó đi qua và VTPT sẽ viết được phương trình, nhưng trong bài toán

này chưa cho biết tọa độ điểm và VTPT. Phân tích bài toán kĩ hơn ta thấy mục

tiêu của bài toán là phải tìm được tọa độ hai điểm , sẽ viết được phương

trình cạnh . Với dữ kiện đầu bài ta sẽ viết được phương trình lại mà

là giao điểm của và giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ta sẽ tìm

được tọa độ điểm . Làm tương tự như vậy ta sẽ tìm được tọa độ điểm cuối

cũng sẽ viết được phương trình .

- Biến đổi đối tượng:

Phương trình .

Phương trình .

22

Ta có .

Suy ra phương trình đường thẳng có .

.

Ta có điểm là giao điểm của hai đường thẳng và , suy ra tọa

độ điểm là nghiệm của hệ phương trình

.

. Ta lại có

Suy ra phương trình đường thẳng có .

.

Ta có điểm là giao điểm của hai đường thẳng và , suy ra tọa

độ điểm là nghiệm của hệ phương trình

.

. Ta có

Phương trình cạnh có .

.

23

Vậy .

Trong ví dụ trên, để viết được phương trình đường thẳng HS phải vận

dụng kiến thức đại số và HH. Quá trình tìm lời giải xuất hiện những khó khăn,

HS muốn vượt qua phải tìm hiểu và phân tích bài toán một cách khéo léo, kĩ

càng để thấy được mối liên hệ giữa các đối tượng. Như vậy, TPHĐNT vừa là tri

thức về quá trình tìm tòi đặc điểm của đối tượng, phát hiện ra mối liên hệ của

các đối tượng, lại vừa là tri thức về hoạt động biến đổi đối tượng để giải quyết

một tình huống cụ thể. Các cách thức tìm tòi, biến đổi mang tính chất hoặc độc

đáo, hoặc khéo léo, có vai trò quan trọng trong nhận thức toán học và được tổng

hợp lại thành tri thức để trang bị cho HS.

Kết quả của hoạt động nhận thức toán học là lĩnh hội được tri thức Toán

học, hiểu được ý nghĩa của các tri thức đó và vận dụng được tri thức Toán học vào

giải các bài toán. TPHĐNT là tri thức về cách thức tìm tòi, biến đổi đối tượng giúp

cho HS lĩnh hội tri thức, hiểu ý nghĩa của tri thức và vận dụng tri thức đạt hiệu quả

cao. TPHĐNT nảy sinh khi HS gặp những khó khăn, trở ngại và giúp HS giải

quyết những khó khăn trong thực hiện hoạt động nhận thức Toán học.

1.2.5 Một số thủ pháp hoạt động nhận thức Toán học cụ thể

Trên bình diện tri thức PP theo quan điểm hoạt động, luận văn đề xuất

một số TPHĐNT Toán học sau đây:

1.2.5.1 Thủ pháp chia nhỏ đối tượng

*) Nguyễn Bá Kim [15] cho rằng: quá trình tư duy được diễn ra bằng

cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ. Khi lĩnh hội và tìm hiểu ý nghĩa của

một tri thức toán học nào đó, ta tiến hành phân chia thành các phần nhỏ, để

hiểu và lĩnh hội từng phần nhỏ, từ đó hiểu cái tổng thể. Trong vận dụng kiến

thức Toán học vào giải quyết một vấn đề phức tạp, nên chia nhỏ vấn đề đó ra

thành các vấn đề đơn giản để giải quyết. Có nhiều cách “chia nhỏ” và những

cách chia nhỏ mang tính khéo léo đạt hiệu quả được gọi là thủ pháp.

Có thể hiểu rằng: Thủ pháp chia nhỏ đối tượng là cách thức tìm hiểu đặc

điểm, mối quan hệ của các đối tượng nhằm mục đích phân chia khéo léo một

24

đối tượng phức tạp thành các đối tượng đơn giản hơn giúp ta tiếp cận được lời

giải nhanh nhất. Thủ pháp này có cấu trúc gồm các bước: Tìm hiểu thu thập

các kiến thức liên quan đến vấn đề cần giải quyết; Phân chia vấn đề cần giải

quyết thành các vấn đề đơn giản hơn; Đưa ra giải pháp giải quyết từng vấn đề

đơn giản.

Thủ pháp chia nhỏ không chỉ ra cách chia như thế nào mà tùy thuộc vào

các đối tượng trong từng tình huống cụ thể, HS có thể lựa chọn cách chia phù

hợp. Thủ pháp chia nhỏ đem lại nhiều lợi ích cho HS, cụ thể như: Giúp HS thay

vì giải quyết một vấn đề rộng có tính khái quát bằng giải quyết một vấn đề hẹp

có tính cụ thể hơn; Giúp HS luyện tập khả năng liên tưởng, trí tưởng tượng và

linh động hơn trong nhìn nhận và giải quyết các vấn đề. Cho HS luyện tập với

thủ pháp phân tích giúp HS ghi nhớ, tái hiện, hiểu, nắm vững và vận dụng kiến

thức tốt hơn. Khi dạy khái niệm, việc chia nhỏ các thuộc tính bản chất của khái

niệm giúp HS nắm vững nội hàm của khái niệm hơn.

Trong chia nhỏ đối tượng đòi hỏi sự khéo léo của người phân chia nếu

chia quá nhiều và quá nhỏ sẽ làm cản trở suy nghĩ, không tập trung được vào

điểm mấu chốt và nhìn ra được điểm mấu chốt. Khi chia nhỏ vấn đề, điều quan

trọng là phải nhận ra chi tiết nào là hữu ích và cần thiết. Để làm được điều này

ta phải xem xét vấn đề một cách tổng thể, phải nghiên cứu thật sát, thật hiểu

vấn đề, phân chia từng bước và không đi quá xa khi chưa cần thiết.

Ví dụ 1.3. Sử dụng thủ pháp chia nhỏ đối tượng trong bài toán phân tích

một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:

Cho . Gọi là hai điểm định bởi: và .

Phân tích theo hai vectơ .

- Tìm hiểu đối tượng: Khi giải bài toán này, chướng ngại gặp phải là HS

mới làm quen với khái niệm vectơ, các phép toán vectơ nên còn nhiều bỡ ngỡ

với dạng toán này. Bài toán yêu cầu phân tích theo tức là phải biểu

25

thị mối quan hệ giữa với hai vectơ . Vectơ có thể được phân tích

thành hiệu của hai vectơ do đó ta sẽ chia nhỏ bài toán này bằng cách

biểu thị mối quan hệ giữa với hai vectơ .

- Biến đổi đối tượng:

Ta có:

Do đó:

Vậy ta có phân tích

Ví dụ 1.4. Sử dụng thủ pháp chia nhỏ đối tượng trong chứng minh đẳng

thức vectơ :

Cho tam giác . Các điểm và lần lượt là trung điểm của

các cạnh và . Chứng minh rằng với điểm bất kì ta có:

- Tìm hiểu đối tượng: Đối với dạng toán chứng minh một đẳng thức có

rất nhiều cách như biến đổi một vế bằng vế còn lại hoặc biến đổi tương đương

cả hai vế hoặc biến đổi đẳng thức tương đương với một đẳng thức được công

nhận là đúng. HS đã quen thuộc với việc biến đổi đẳng thức đại số, nhưng trong

trường hợp này là một đẳng thức vectơ vậy làm thế nào để biến đổi được

chúng? Ta phán đoán rằng chia nhỏ (phân tích) các vectơ này thành tổng (hiệu)

của hai vectơ để xuất hiện các thành phần chung kết hợp với kiến thức về các

phép toán vectơ giúp cho việc chứng minh được dễ dàng hơn.

- Biến đổi đối tượng:

Biến đổi vế trái: (Hình 1.2)

26

Hình 1.2

(Vì và )

Khi gặp một tình huống cần phải xem xét để tìm hiểu thuộc tính của tất

cả các đối tượng và mối quan hệ của chúng để biến đổi cho hiệu quả. Thủ pháp

chia nhỏ thể hiện tính độc đáo ở chỗ cùng là chia nhỏ nhưng có cách phân chia

sẽ không giải quyết được vấn đề, có cách phân chia giải quyết được vấn đề

nhưng không nhanh, còn cách phân chia dẫn đến việc GQVĐ hiệu quả tương

đối dễ dàng và thuận lợi là “thủ pháp”. Có nhiều cách chia khác nhau cùng có

thể giải quyết được vấn đề và mỗi cách có những thế mạnh và nét độc đáo

riêng. Thủ pháp chia nhỏ nó chính là một “nghệ thuật”, mà mục tiêu của nó là

thay vì GQVĐ phức tạp ta đi giải quyết những vấn đề đơn giản.

*) Tình huống sử dụng: Thủ pháp chia nhỏ được sử dụng trong trường

hợp khi gặp vấn đề phức tạp, mà các cách giải quyết đã biết không thực hiện

được. Khi đó, căn cứ vào các thông tin đã cho và kiến thức đã có suy nghĩ cách

phân chia thành những vấn đề đơn giản hơn có thể giải quyết được. Việc phân

chia một vấn đề thành các vấn đề đơn giản hơn, làm cho các vấn đề này có

thêm các tính chất mới thuận lợi hơn để giải quyết.

1.2.5.2 Thủ pháp dịch chuyển bài toán sang dạng khác

*) Theo Trần Thúc Trình [30] có thể định nghĩa một khái niệm theo

nhiều cách tương đương; Chẳng hạn, có bốn dạng định nghĩa tích vô hướng của

hai vectơ là dạng đại số, dạng lượng giác, dạng tọa độ, dạng hình chiếu; Và để

giải toán HH bằng PP vectơ, HS cần biết “dịch chuyển” từ ngôn ngữ HH sang

ngôn ngữ vectơ. Để GQVĐ thành công, cần phải có sự khéo léo, linh động

trong việc dịch chuyển giữa các ngôn ngữ như: đại số, giải tích, HH, lượng

giác,... Có thể hiểu rằng: Thủ pháp dịch chuyển bài toán là cách thức tìm hiểu

đặc điểm, mối quan hệ của các đối tượng nhằm mục đích chuyển đổi khéo léo

27

một đối tượng từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác để giải quyết một tình

huống cụ thể thuận lợi hơn. Thủ pháp này gồm các bước: Tìm hiểu vấn đề cần

giải quyết; Diễn đạt thông tin trong vấn đề theo ngôn ngữ khác, dẫn nó đến một

dạng thuận lợi hơn khi giải quyết.

Ví dụ 1.5. Sử dụng thủ pháp dịch chuyển bài toán, giải bài toán: “Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

”.

- Tình huống cụ thể: Chứng minh bất đẳng thức là một vấn đề khó khăn

với nhiều HS. Việc đánh giá các bất đẳng thức không phải là dễ dàng.

- Tìm hiểu đối tượng: Biểu thức chứa các căn bậc hai của tam thức bậc

hai. Các căn thức này gợi liên tưởng đến biểu thức tính độ dài của vectơ trong

mặt phẳng tọa độ Oxy. Trong tọa độ Oxy, các bài toán thường dễ giải hơn thông

qua biểu diễn tọa độ vectơ, điểm bằng các biểu thức giải tích.

- Biến đổi đối tượng:

Từ bài toán, gợi nhớ đến công thức độ dài vectơ: .

Xét , , ta có:

, khi , .

Ví dụ 1.6. Sử dụng thủ pháp dịch chuyển bài toán trong giải phương

trình:

- Tìm hiểu đối tượng: Biểu thức chứa các căn bậc hai của tam thức bậc

hai. Các căn thức này gợi liên tưởng đến biểu thức tính độ dài của vectơ trong

28

mặt phẳng tọa độ Oxy.

- Biến đổi đối tượng:

Đặt

Suy ra

Như vậy (1) cùng hướng

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

Để thực hiện được việc dịch chuyển bài toán được thuận lợi và dễ hơn,

cần phải xem xét đặc điểm của bài toán nhận ra mối liên hệ của bài toán thuộc

lĩnh vực khác nhau. Việc dịch chuyển bài toán là một nghệ thuật, mà chỉ có thể

lĩnh hội được trong kết quả của sự phân tích sâu sắc thường xuyên các hoạt

động giải quyết các tình huống toán học và thường xuyên luyện tập giải quyết

các tình huống toán học khác nhau.

*) Tình huống sử dụng: Thủ pháp dịch chuyển bài toán dựa trên cơ sở

mối quan hệ giữa giải tích với đại số, HH và lượng giác. Khi ta gặp một bài

toán với ngôn ngữ này khó có thể giải quyết thì ta có thể diễn đạt lại bài toán

dưới ngôn ngữ khác.

1.2.5.3 Thủ pháp sử dụng yếu tố trung gian

*) Theo Polya [23], bài toán phụ là một phương tiện để đạt được mục

đích, nó mở đường cho ta đi đến mục đích, tìm ra con đường đi đến giải một

bài toán tưởng chừng như không thể giải nổi bằng cách nghĩ ra bài toán phụ

29

riêng cho mục đích này. Lấy ý tưởng từ bài toán phụ, ở một giai đoạn bất kì

nào đó trong quá trình GQVĐ, có khi ta cần phải suy nghĩ tìm yếu tố phụ làm

cầu nối trung gian để giải quyết, để chọn được yếu tố trung gian thuận lợi cho

GQVĐ không phải lúc nào cũng đơn giản. Có thể hiểu rằng: Thủ pháp sử dụng

yếu tố trung gian là cách thức tìm hiểu đặc điểm, mối quan hệ của các đối

tượng nhằm mục đích lựa chọn khéo léo một đối tượng làm cầu nối trung gian

để giải quyết tình huống thuận lợi hơn. Thủ pháp gồm các bước: Tìm hiểu vấn

đề cần giải quyết; Chọn yếu tố trung gian để chuyển vấn đề phức tạp cần giải

quyết về vấn đề đơn giản.

Trong toán học thủ pháp này được sử dụng trong các bài toán dưới dạng

sử dụng bài toán phụ, sử dụng bất đẳng thức trung gian, đặt ẩn phụ, kẻ thêm

đường phụ, giải toán bằng PP gián tiếp. Để tìm được cách giải một bài toán hay

giải quyết một vấn đề trong toán học, ta phải tìm cách biến đổi bài toán hay

biến đổi vấn đề về dạng đơn giản hơn. Sự thành công trong giải toán hay

GQVĐ phụ thuộc vào việc chọn phần tử trung gian cũng như việc biến đổi đưa

về bài toán trung gian. Khi đưa các yếu tố trung gian vào bài toán, cần phải

xem xét cơ sở và mục đích của việc sử dụng yếu tố trung gian này. Trong

GQVĐ, nếu các yếu tố trung gian được đưa vào đột ngột sẽ không bồi dưỡng

được khả năng suy luận và quá trình suy nghĩ GQVĐ của HS.

Ví dụ 1.7. Vận dụng thủ pháp sử dụng yếu tố trung gian trong bài toán

tính góc giữa hai vectơ:

Cho vuông tại và có góc . Tính

- Tìm hiểu đối tượng: Để tính được góc giữa

hai vectơ ta phải đưa hai vectơ về chung một gốc rồi

mới xác định được góc giữa chúng bằng bao nhiêu.

- Biến đổi đối tượng:

Tính chọn làm gốc dựng

30

khi đó: Hình 1.3

Tính chọn làm gốc dựng khi đó:

Ví dụ 1.8. Vận dụng thủ pháp sử dụng yếu tố trung gian trong bài toán

tính tỉ số:

Cho có trung tuyến . Gọi là trung điểm của , cắt

tại . Tính .

- Tình huống cụ thể: Bài toán so sánh tỉ số là một vấn đề khó khăn đối

với nhiều HS. Việc thiết lập tỉ số giữa các vectơ là không hề dễ dàng.

- Tìm hiểu đối tượng: Với bài toán này việc so sánh các vectơ với nhau

dường như là không thể, từ đó nảy sinh suy nghĩ ta phải so sánh các vectơ này

thông qua một vectơ trung gian dẫn đến việc phải kẻ thêm đường phụ.

- Biến đổi đối tượng:

Dựng // . Xét ta có:

là trung điểm của mà //

là đường trung bình của tam giác

hay .(1) Hình 1.4

Chứng minh tương tự đối với ta có: .(2)

Từ (1) và (2) hay .

Trong quá trình làm bài, tùy từng bài toán mà HS lựa chọn yếu tố trung

gian phù hợp để đưa bài toán từ phức tạp về bài toán đơn giản hơn. Việc sử

dụng thủ pháp này đòi hỏi HS phải có sự linh động, sáng tạo và trong từng thời

điểm cụ thể chọn yếu tố nào làm yếu tố trung gian để đạt được hiệu quả. Sử

dụng yếu tố trung gian là một nghệ thuật, để tìm được yếu tố trung gian phù hợp

phải dựa trên cơ sở các đối tượng đã cho và các kiến thức đã biết, HS phân tích và

31

xem xét các đối tượng tìm ra yếu tố trung gian nào thuận lợi nhất cho bài toán.

*) Tình huống sử dụng: Thủ pháp được sử dụng trong tình huống xuất hiện

những đối tượng phức tạp cần làm đơn giản hóa.

1.2.5.4 Thủ pháp tạo tình huống cụ thể

*) Phạm Đức Quang [26] cho rằng đặc trưng của PP toán là sự kết hợp

giữa cái cụ thể và cái trừu tượng, giữa PP quy nạp và PP suy diễn. HS sẽ hiểu

rõ và nắm vững hơn bản chất của một khái niệm nếu có cơ hội xem xét những

đối tượng thỏa mãn định nghĩa (xuất hiện trong các ví dụ) và những đối tượng

không thỏa mãn định nghĩa (xuất hiện trong các phản ví dụ). Trong GQVĐ, nếu

khéo léo tạo ra những “cái cụ thể” thì từ xem xét đối tượng cụ thể có thể làm

cầu nối tìm ra cái tổng quát. Có thể hiểu rằng: Thủ pháp tạo tình huống cụ thể

là cách thức tìm hiểu đặc điểm, mối quan hệ của các đối tượng nhằm mục đích

tạo ra một tình huống cụ thể mang tính chất điển hình, thông qua cách thức

giải quyết tình huống cụ thể này để giải quyết vấn đề tổng quát hơn. Thủ pháp

này gồm các bước: Tìm hiểu vấn đề cần giải quyết; Xây dựng tình huống cụ thể

chứa đối tượng mang thông tin điển hình và giải quyết tình huống cụ thể; Giải

quyết tình huống tổng quát.

Thủ pháp này được sử dụng trong dạy học khái niệm, định lí và giải bài

tập. Sau khi học xong khái niệm thủ pháp tạo tình huống giúp HS có thể tự

mình đưa ra những ví dụ và phản ví dụ về khái niệm được học góp phần ôn tập,

củng cố khái niệm, hiểu và ghi nhớ khái niệm một cách lâu dài. Trong giải bài

tập thay vì tìm lời giải bài toán tổng quát, ta đi giải bài toán ở trường hợp cụ

thể, từ đó tìm ra lời giải tổng quát.

Ví dụ 1.9. Sử dụng thủ pháp tạo tình huống tính tích vô hướng của hai

vectơ

Cho hình chữ nhật và . Gọi là trung có

điểm của cạnh . Tính .

- Tình huống cụ thể: Tính tích vô hướng của hai vectơ nhưng không cho

32

biết góc giữa hai vectơ này bằng bao nhiêu.

- Tìm hiểu đối tượng: Giả thiết không cho góc giữa hai vectơ nhưng ta đã

biết cách phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Áp dụng vào

bài tập này ta đi phân tích các vectơ theo các vectơ có giá vuông góc

với nhau sau đó tính tích vô hướng của hai vectơ.

Biến đổi đối tượng:

Ta có:

Ta có:

Hình 1.5

*) Tình huống sử dụng: Thủ pháp này thường được sử dụng trong tình

huống có chứa đối tượng phức tạp nhưng có tính “quy luật”.

1.2.6 Một số đặc điểm của thủ pháp hoạt động nhận thức

1.2.6.1 Thủ pháp hoạt động nhận thức giúp rút ngắn quá trình GQVĐ

TPHĐNT có thể giúp thực hiện hoạt động GQVĐ diễn ra một cách

nhanh chóng. TPHĐNT là cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng mang tính

khéo léo, độc đáo, nên nó có lợi thế rút ngắn quá trình GQVĐ. TPHĐNT là

công cụ để giải quyết các vấn đề và giúp HS sử dụng kiến thức định hướng hơn

chứ không thay thế các kiến thức.

Ví dụ 1.10. Giải bài toán: “ Cho cân tại . Gọi là trung điểm

của cạnh , là trọng tâm . Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp

33

. Chứng minh rằng .” Nếu giải bài toán này theo PP toán học

thuần túy thì sau khi vẽ hình xong phải xét cả ba trường hợp góc là nhọn,

vuông và góc tù điều này dễ dẫn đến việc lời giải dài dòng, xét thiếu trường

hợp, nảy sinh suy nghĩ phải tìm ra một PP giải tối ưu hơn. Bài toán yêu cầu

chứng minh giúp ta liên tưởng đến việc chứng minh

bằng cách xây dựng hệ trục tọa độ . Do cân tại nên ta chọn hệ

tọa độ có trục qua và vuông góc với , qua . Các điểm

có tọa độ (ở đây giả sử ). Từ giả

thiết ta sẽ tìm được tọa độ các điểm , , theo tọa độ 3 điểm . Tính

sau đó xét . Cách giải này không phụ thuộc vào góc là

nhọn, vuông hay góc tù.

Với cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng khéo léo trong từng tình

huống có thể rút ngắn được giải pháp.

1.2.6.2 Thủ pháp hoạt động nhận thức mang tính có điều kiện

TPHĐNT chú ý đến một thời điểm nhất định trong quá trình GQVĐ.

TPHĐNT đó chính là cái mà GV mong muốn HS dùng nó để có được các khái

niệm, kiến thức và kĩ năng khi giải quyết một vấn đề. HS không chỉ cần phải

“học” về TPHĐNT mà cần phải có khả năng chọn xem trong điều kiện nào thì

TPHĐNT nào là thích hợp nhất đối với hoàn cảnh cụ thể đó. Trong quá trình

dạy học, việc giới thiệu TPHĐNT cho HS và việc HS được tập luyện với

TPHĐNT sẽ rất hữu ích cho HS trong GQVĐ.

Ví dụ 1.11. Tìm cách giải bài toán “Chứng minh rằng:

.”

Chướng ngại gặp phải là trong bất đẳng thức có chứa hai biểu thức căn:

và , nên được liên tưởng đến biểu thức tọa độ của

độ dài vectơ.

Nên nảy sinh cách làm dịch chuyển bài toán từ bài toán đại số về bài toán

34

vectơ trong mặt phẳng tọa độ.

Đặt

Ta có: (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: cùng hướng .

Khi xem xét một bài toán, ta chưa thể biết được sẽ sử dụng TPHĐNT

nào để giải quyết bài toán, mà phải tìm hiểu, xem xét đặc điểm của đối tượng

trong bài toán và biến đổi đối tượng để lựa chọn TPHĐNT phù hợp. Việc sử

dụng TPHĐNT mang tính chất có điều kiện, việc lựa chọn và sử dụng

TPHĐNT nào tùy thuộc vào từng giai đoạn nhất định của quá trình GQVĐ.

1.2.6.3 Thủ pháp hoạt động nhận thức có mối liên hệ với nhau

TPHĐNT có mối quan hệ bổ sung, hỗ trợ, tạo điều kiện cho nhau.

TPHĐNT không độc lập với nhau, khi đứng trước một vấn đề hay phải giải

quyết một nhiệm vụ đặt ra HS phải sử dụng phối hợp một số TPHĐNT. Có

TPHĐNT có thể áp dụng cho mọi chủ đề kiến thức, có TPHĐNT riêng đặc thù

hiệu quả với một chủ đề kiến thức nhất định, GV trong quá trình giảng dạy có

thể hướng dẫn HS tìm ra trong quá trình học toán. Chẳng hạn, trong chủ đề HH

không gian HS gặp khó khăn khi xem xét các đối tượng phẳng trong không

gian, nên nảy sinh ra thủ pháp tách đối tượng trong hình không gian đặt ra mặt

phẳng. TPHĐNT có tác dụng kích thích hứng thú học tập và là một công cụ

giúp HS có thêm niềm tin và hy vọng rằng có những hướng suy luận hợp lý có

thể chưa hoàn toàn chặt chẽ nhưng rất có hiệu quả.

1.2.7 Các cấp độ biểu hiện thủ pháp hoạt động nhận thức của học sinh

Cấp độ 1. HS nhận thức được TPHĐNT sử dụng trong tình huống cụ thể.

HS hiểu được nội dung, cách sử dụng một TPHĐNT cụ thể thông qua giảng

giải, thuyết trình, vấn đáp trong tình huống do GV đưa ra.

Cấp độ 2. HS sử dụng TPHĐNT để GQVĐ trong tình huống có hướng

35

dẫn. HS hiểu và sử dụng được TPHĐNT dưới sự gợi ý, dẫn dắt của GV khi cần

thiết. GV chỉ hướng dẫn một phần giúp HS nhận ra khó khăn, trở ngại và xác

định cách giải quyết thuận lợi hơn, từ đó HS có thể giải quyết được vấn đề.

Cấp độ 3. HS tự sử dụng TPHĐNT để giải quyết các vấn đề trong tình

huống cụ thể. HS tự xác định được khó khăn, trở ngại trong tình huống và xác

định, lựa chọn TPHĐNT để giải quyết. GV đóng vai trò đánh giá, điều chỉnh và

chính xác hóa các kết quả HS đưa ra.

Biểu hiện HS đã được trang bị TPHĐNT là khả năng HS có thể sử dụng

thành thạo các TPHĐNT đã được trang bị để giải quyết các nhiệm vụ khác

nhau đặt ra.

1.3 Trang bị các thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh trong dạy học

nội dung vectơ, tọa độ ở trường trung học phổ thông

1.3.1 Trang bị một số ý tưởng về vận dụng thủ pháp hoạt động nhận thức

cho học sinh

Từ đặc điểm của TPHĐNT và cách vận dụng TPHĐNT trong từng tình

huống cụ thể có thể nhận ra ý nghĩa, vai trò của TPHĐNT, ý tưởng vận dụng

thủ pháp. Trong trang bị TPHĐNT, GV cần trang bị cả những ý tưởng này cho

HS, cụ thể:

- Trang bị cho HS ý tưởng chuyển những bài toán không quen thuộc về

bài toán quen thuộc, chuyển bài toán phức tạp về bài toán đơn giản thông qua

thủ pháp chia nhỏ đối tượng, thủ pháp sử dụng yếu tố trung gian, thủ pháp tạo

tình huống cụ thể.

- Trang bị cho HS ý tưởng linh hoạt trong quá trình GQVĐ. Khi gặp một

vấn đề khó khăn thay vì trực tiếp giải quyết ta sẽ GQVĐ một cách gián tiếp,

hoặc thay đổi ngôn ngữ phát biểu thông qua thủ pháp dịch chuyển bài toán sang

dạng khác.

Việc trang bị ý tưởng về việc sử dụng TPHĐNT, giúp HS nhận thức sâu

sắc về vai trò và ý nghĩa của TPHĐNT trong lĩnh hội kiến thức, hiểu kiến thức

36

và vận dụng kiến thức.

1.3.2 Trang bị kiến thức về thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh

1.3.2.1 Trang bị cách thức vận dụng thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh

Mỗi TPHĐNT đều được nảy sinh khi gặp trở ngại, khó khăn trong một

tình huống cụ thể. Và được tổng hợp lại mô tả bằng lời về cách thức sử dụng,

mô tả về cấu trúc gồm các bước cụ thể. Để trang bị được TPHĐNT cho HS thì

phải xây dựng cấu trúc riêng biệt của mỗi TPHĐNT. GV trang bị cấu trúc và

cách thức vận dụng TPHĐNT trên cơ sở các tình huống cụ thể.

1.3.2.2 Trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh theo các giai đoạn

Việc trang bị TPHĐNT cho HS là một quá trình liên tục và trải qua nhiều

giai đoạn: xem xét, tạo động cơ, hiểu bản chất, áp dụng và chuyển giao.

Giai đoạn 1. Xem xét để đánh giá mức độ hiện có các TPHĐNT của HS.

GV yêu cầu HS thực hiện các bài tập đặc biệt, bài kiểm tra để làm sáng rõ mức

hiện có của mỗi TPHĐNT ở HS.

Giai đoạn 2. Tạo động cơ nhận thức cho HS. Động cơ nhận thức liên

quan đến nội dung học tập đáp ứng nhu cầu của HS đó là những trải nghiệm

mới, những kiến thức mới. Việc tạo động cơ tích cực, bầu không khí gợi sự

quan tâm, sự mong muốn lĩnh hội TPHĐNT giúp HS chiếm lĩnh các thủ pháp

một cách trọn vẹn. HS có nhu cầu sử dụng một số TPHĐNT để chiếm lĩnh một

tri thức nào đó hay để tìm cách giải một bài toán nào đó.

Giai đoạn 3. Hiểu biết về bản chất của TPHĐNT. GV giới thiệu

TPHĐNT cho HS và hướng dẫn HS sử dụng TPHĐNT. Trong giai đoạn này

GV phải làm rõ được đặc điểm cũng như ý nghĩa của mỗi TPHĐNT. HS hiểu

được bản chất của TPHĐNT là cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng khéo léo,

linh hoạt để đạt được mục đích đặt ra.

Giai đoạn 4. Áp dụng TPHĐNT vào các tình huống học tập khác nhau,

như trong học khái niệm, học định lí và học giải bài tập.

Giai đoạn 5. Tổng hợp TPHĐNT và chuyển giao TPHĐNT đó vào toàn

37

bộ quá trình học tập toán.

1.3.3 Thiết kế hệ thống một số nội dung đặc biệt để trang bị thủ pháp hoạt

động nhận thức cho học sinh

Để trang bị TPHĐNT cho HS, GV phải thiết kế các tình huống cụ thể

phù hợp. Khi dạy học những nội dung cụ thể, GV cần nghiên cứu kĩ nội dung

dạy học, để thiết kế các tình huống điển hình sử dụng TPHĐNT. Từ yêu cầu

giải quyết tình huống cụ thể mà làm nảy sinh TPHĐNT. Việc xây dựng, thiết

kế các bài tập theo một hệ thống có chủ định có mang lại nhiều thuận lợi cho

việc trang bị TPHĐNT cho HS. Các bài tập phải được thiết kế theo mức độ

tăng dần của độ khó. Ban đầu là những bài đơn giản để HS biết cách xem xét,

phân tích, hiểu các đối tượng trong bài tập và lựa chọn TPHĐNT phù hợp để sử

dụng. Qua đó, HS hiểu biết được TPHĐNT và nhận biết được tình huống vận

dụng TPHĐNT.

TPHĐNT có thể truyền thụ được, rèn luyện được cho HS và HS có thể

vận dụng để biến đổi và xử lí hiệu quả các vấn đề trong tình huống cụ thể. Việc

nắm vững một số TPHĐNT là một yếu tố quan trọng giúp HS lĩnh hội tri thức

cũng như tạo ra các tri thức. TPHĐNT được xem như là các quy luật của sự

sáng tạo. Trong chương trình giảng dạy, cần chú trọng đến việc dạy TPHĐNT

cùng với dạy nội dung kiến thức. Việc trang bị một số TPHĐNT cần phải được

lên kế hoạch cụ thể và đưa vào mục tiêu của từng bài học, cũng như việc dạy

các nội dung của môn học theo chương trình và sách giáo khoa.

1.4. Các phương pháp tiếp cận hình học ở trường trung học phổ thông

Chương trình HH ở trường THPT hiện nay của nước ta hiện nay dựa trên

ba PP tiếp cận và nghiên cứu: PP tổng hợp, PP vectơ và PP giải tích. Đến các

lớp ở bậc THPT, PP vectơ và tọa độ được kết hợp với nhau tạo nên một công cụ

mạnh để giải toán HH. Trong phần này, luận văn chỉ đề cập đến bản chất tổng

quát của từng PP.

1.4.1. Phương pháp tổng hợp

Trong nghiên cứu HH sơ cấp, PP tổng hợp được hiểu là PP xây dựng HH

38

nhờ vào một hệ tiên đề mà ở đó không thể hiện ý đồ đại số hóa HH.

Đối tượng nghiên cứu của HH sơ cấp là các hình HH, được mô tả qua định

nghĩa. Trong PP tổng hợp, các hình HH được biểu diễn bằng những hình vẽ. Trên

cơ sở của một hệ tiên đề, người ta nghiên cứu các hình HH bằng PP suy diễn.

Khi sử dụng PP tổng hợp thì hình vẽ đóng vai trò quan trọng vì nó là điểm

tựa trực giác cho việc tìm tòi lời giải bài toán. Thế nhưng, trong nhiều tình

huống, một hình vẽ không thể biểu diễn hết các tường hợp khác nhau của một

hình HH, thậm chí có những mệnh đề đúng trong trường hợp này nhưng lại

không đúng trong trường hợp khác. Điều đó dẫn đến chỗ là nhiều khi để chứng

minh một mệnh đề HH người ta phải xem xét những trường hợp khác nhau của

hình vẽ.

Ví dụ 1.12: Chứng minh định lí côsin bằng PP tổng hợp (Xem Hình 1.6).

Giải: Cần xét tam giác vuông, nhọn, tù vì phép chứng minh phụ thuộc

vào chân đường cao có thuộc cạnh đối diện không:

Hình 1.6

- Nếu

- Nếu nhọn:

39

- Nếu tù:

Cũng chính vì lời giải phụ thuộc hình vẽ như thế nên nhiều khi đứng

trước một bài toán, HS lúng túng không biết bắt đầu từ đâu, gây cho họ cảm

giác băn khoăn, học được không nhiều qua lời giải của người khác mang lại.

1.4.2. Phương pháp tọa độ (đại số)

Việc không có các đường lối tổng quát để giải các bài toán HH là một hạn

chế lớn của PP tổng hợp. Trong vật lí, cơ học, kĩ thuật hạn chế này càng rõ nét khi

gặp phải những đường phức tạp như elip, parabol, hypebol…Do đó các nhà toán

học tìm kiếm một PP tổng quát không lệ thuộc vào hình vẽ, để khi gặp các bài toán

như vậy không cần phải suy đoán, chia các trường hợp mà có thể thấy ngay đường

lối giải.

Để giải quyết vấn đề này, Descartes và Fermat xây dựng PP giải tích, thông

qua trung gian là một hệ tọa độ, thay thế các đối tượng và các quan hệ HH thành

những đối tượng và quan hệ đại số, dẫn đến giải các phương trình, hệ phương trình

đại số. Cách giải không phụ thuộc hình vẽ nên có tính khái quát cao.

Ví dụ 1.113: Trong mặt phẳng, cho hai điểm phân biệt và . Tìm tập

hợp các điểm thỏa mãn .

Giải:

- Nếu làm bằng PP tổng hợp, ta cần vận dụng kiến thức về điểm chia trong,

chia ngoài đoạn thẳng, tính chất phân giác trong, ngoài một góc của tam giác.

- Nếu làm bằng PP giải tích, ta chỉ cần xây dựng hệ trục tọa độ, chẳng

hạn: là gốc tọa độ, trùng , trục tung qua và vuông góc . Trong

hệ trục này ta có: , giả sử và . Khi đó:

1.4.3. Phương pháp vectơ

Nhờ các công cụ và kĩ thuật của đại số, PP giải tích cho phép khắc

40

phục những yếu điểm của PP tổng hợp. Tuy nhiên do đã chuyển bài toán HH

thành bài toán đại số, với PP giải tích người ta hoàn toàn thoát li khỏi phạm

vi HH, và do đó không tận dụng được yếu tố trực quan trong quá trình giải

toán, ý nghĩa HH của bài toán bị che lấp. Nhận xét này đã dẫn đến một số

nhà TH, mà Leibniz là người khởi xướng đến với ý tưởng xây dựng một PP

mới để nghiên cứu HH sao cho có thể sử dụng các phương tiện của đại số

nhưng vẫn ở phạm vi HH. Ý tưởng này dẫn đến việc xây dựng nên lí thuyết

về các không gian vectơ.

Với PP vectơ, người ta có thể thực hiện phép toán trực tiếp trên các đối

tượng HH, không thoát li khỏi HH, vì thế vừa tận dụng được công cụ đại số, vừa

khai thác được phương tiện trực giác của HH trong quá trình tìm tòi giải toán.

Ví dụ 1.14: Cho , các điểm I, J, K được xác định như sau:

. Chứng minh: I, J, K thẳng hàng.

Giải:

Ta phân tích và theo một bộ cơ sở là

.

Ta có:

Hình 1.7

Từ (1) và (2) ta được: . Vậy I, J, K thẳng hàng.

1.4.4. Những con đường trình bày hình học ở trường trung học phổ thông

Trong DH, việc phải bắt đầu nghiên cứu HH bằng PP tổng hợp là tất yếu.

Ở giai đoạn đầu HS được làm quen với những hình đơn giản xung quanh đời

41

sống hàng ngày, thông qua đó HS làm quen với các đối tượng HH cơ bản, hình

thành biểu tượng, nắm được tính chất của chúng, từng bước phát triển tư duy

lôgic và trí tưởng tượng không gian, điều này còn tạo nên kiến thức cơ sở để

HS có thể tiếp cận HH bằng PP giải tích và vectơ.

Xét theo quan điểm lịch sử cùng với quá trình phát triển tư duy và tiếp

cận kiến thức của HS ta cần đưa các PP còn lại theo thứ tự nào. HH giải tích ra

đời trước lí thuyết vectơ, lí thuyết vectơ mới đầu hoàn toàn độc lập với PP giải

tích, do đó việc tuân thủ theo thứ tự nào không phải bắt buộc.Về sau PP vectơ

và giải tích liên thông với nhau thành PP vectơ-tọa độ, nên cũng có thể giới

thiệu chúng đồng thời. Sau đây là trình tự con đường có thể tiến hành dạy và

học HH ở trường THPT (Xem Sơ đồ 1.1) [3, tr.61]:

PP giải tích

PP vectơ

PP giải tích

PP vectơ

PP tổng hợp

Đại số hóa hình học

PP vectơ

PP giải tích

Sơ đồ 1.1

1.5. Tìm hiểu thực trạng dạy học nội dung vectơ, tọa độ cho học sinh ở

trường trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn

đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức

Để tìm hiểu thực trạng dạy học HH ở trường THPT nói chung và thực

trạng dạy học nội dung vectơ, tọa độ theo hướng bồi dưỡng năng lực GQVĐ

thông qua trang bị một số thủ pháp HĐNT cho HS nói riêng, chúng tôi đã tiến

hành phát phiếu điều tra tới một số giáo viên và tiến hành dự giờ quan sát quá

trình học tập của HS của một số trường THPT huyện Võ Nhai, tỉnh Thái

42

Nguyên. Kết quả khảo sát cho thấy:

a) Về việc trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức của GV:

Chúng tôi đã tiến hành phát phiếu điều tra xin ý kiến của 15 giáo viên

dạy toán thuộc ba trường THPT của huyện Võ Nhai - tỉnh Thái Nguyên, đó là

Trường THPT Trần Phú, Trường THPT Võ Nhai và Trường THPT Hoàng

Quốc Việt.

*) Nhận thức của GV về thủ pháp HĐNT

Qua khảo sát thực trạng cho thấy mức độ hiểu biết của GV về TPHĐNT

còn nhiều hạn chế.

*) Mức độ quan tâm trang bị thủ pháp HĐNT của GV

Khảo sát cho thấy trong quá trình dạy học có 9 GV (chiếm 60%) đã quan

tâm đến trang bị cho HS một số thủ pháp HĐNT. Một số thủ pháp được nhiều

GV quan tâm trang bị cho HS như: thủ pháp chia nhỏ đối tượng, thủ pháp sử

dụng yếu tố trung gian.

GV chủ yếu khai thác TPHĐNT trong dạy học giải bài tập toán và dạy

khái niệm. Có 11 GV (chiếm 73,3%) đồng ý quan tâm trang bị TPHĐNT cho

HS trong tình huống dạy học điển hình là dạy giải bài tập toán học. Có 9 GV

(chiếm 60%) đồng ý quan tâm trang bị TPHĐNT cho HS trong tình huống dạy

học điển hình là dạy khái niệm.

*) Cách thức trang bị thủ pháp HĐNT cho HS

Có 12 GV (chiếm 80%) cho rằng yếu tố để trang bị tốt TPHĐNT cho HS

thì cần phải lập kế hoạch trang bị các thủ pháp hoạt động nhận thức cùng với

nội dung giảng dạy và có 10 GV (chiếm 66,7%) cho rằng phải thiết kế các nội

dung dạy học đặc biệt để trang bị các thủ pháp hoạt động nhận thức cho HS.

Trong thực tiễn dạy học GV còn gặp nhiều khó khăn khi trang bị

TPHĐNT cho HS do các nguyên nhân như sau:

+ HS chưa có sự linh động, mềm dẻo trong suy nghĩ giải quyết các vấn

đề gặp phải;

+ HS chưa nhận thức được tầm quan trọng của các thủ pháp hoạt động

43

nhận thức trong dạy học toán và trong thực hiện giải quyết các vấn đề;

+ Trình độ HS chưa đồng đều, còn nhiều hạn chế;

+ GV chưa quan tâm nhiều đến trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức

cho HS.

Qua trao đổi với GV chúng tôi nhận thấy rằng: GV nhận thức được tầm

quan trọng của TPHĐNT nhưng GV vẫn chưa có thói quen, chưa chủ động

trang bị TPHĐNT cho HS. Trong quá trình dạy học các nội dung, GV gặp khó

khăn khi xác định TPHĐNT nào cần trang bị cho HS và trang bị như thế nào

cho hiệu quả. Việc trang bị TPHĐNT cho HS còn mang tính bột phát.

Thực tiễn dạy học cho thấy GV còn gặp nhiều khó khăn trong xác định

một số TPHĐNT cần được trang bị cho HS. Trong giảng dạy, GV còn gặp khó

khăn trong việc trang bị TPHĐNT như thế nào, theo cách nào, xây dựng hệ

thống câu hỏi, bài tập như thế nào để trang bị TPHĐNT theo hướng phát triển

năng lực GQVĐ.

b) Khả năng sử dụng thủ pháp hoạt động nhận thức của học sinh

Qua trực tiếp giảng dạy, dự giờ một số tiết học chúng tôi nhận thấy khả

năng sử dụng một số TPHĐNT của các HS là không đồng đều. Số lượng HS có

khả năng sử dụng TPHĐNT trong lĩnh hội, hiểu, vận dụng kiến thức còn ít.

Trong giải bài tập, HS bị lệ thuộc nhiều vào bài tập mẫu áp dụng một cách máy

móc, nên dẫn đến vận dụng sai. Khi làm xong một bài toán, HS chưa có ý thức

phân tích xem xét lại quá trình giải của mình có chính xác hay không, các em

cũng không nghiên cứu bài giải để xem có thể tìm được cách làm ngắn gọn hơn

hay không…Phần đông HS chưa chú ý đến cách thức tìm hiểu, biến đổi đối

tượng nhằm hiểu khái niệm, định lí, tính chất và việc vận dụng kiến thức vectơ,

tọa độ một cách hiệu quả trong quá trình giải toán.

* Từ kết quả điều tra trên chúng tôi đưa ra một số kết luận sau:

- GV quan tâm nhiều đến nhiệm vụ trang bị cho HS hệ thống kiến thức

và kỹ năng, mà chưa quan tâm đến việc dạy cho HS cách thức tìm hiểu, biến

44

đổi đối tượng phù hợp để lĩnh hội các tri thức đó.

- GV chưa ý thức được việc dạy tri thức kết hợp với dạy TPHĐNT cho HS.

- Trong dạy học giải bài tập, nhiều GV đưa ra được lời giải hay độc đáo

cho HS, nhưng chưa quan tâm phân tích được cách thức tìm hiểu, biến đổi linh

hoạt để tìm lời giải và dành thời gian để phân tích lí do có được lời giải đó, nên

nhiều HS vận dụng máy móc mà không hiểu về bản chất dẫn đến sai lầm trong

giải toán.

- Khi học nội dung này, HS THPT còn gặp khó khăn trong việc tiếp thu, lĩnh

hội các kiến thức do vectơ, tọa độ là một nội dung hoàn toàn mới lạ đối với HS.

1.6 Kết luận chương 1

Chương 1 nghiên cứu cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của việc trang bị

TPHĐNT cho HS THPT, với các kết quả đạt được như sau:

- Làm rõ những vấn đề về quá trình GQVĐ, năng lực GQVĐ và các

thành tố của năng lực GQVĐ.

- Đưa ra ví dụ minh hoạ về cách tìm hiểu, biến đổi đối tượng mang tính

khéo léo, độc đáo (TPHĐNT). Xác định một số TPHĐNT cụ thể trong các tình

huống vận dụng kiến thức vectơ, tọa độ. Tìm hiểu đặc điểm của TPHĐNT, từ

đó thấy được vai trò quan trọng của TPHĐNT trong quá trình học tập và thấy

được sự cần thiết của việc trang bị cho HS cùng với việc lĩnh hội kiến thức.

- Nghiên cứu một số vấn đề về trang bị TPHĐNT cho HS trong dạy học toán.

- Điều tra thực tiễn của việc trang bị TPHĐNT cho HS thông qua sử

dụng phiếu hỏi, dự một số tiết học toán, phỏng vấn một số GV. Trong quá trình

dạy học, GV chưa chú trọng đúng mức đến trang bị TPHĐNT cho HS. HS phần

đông chưa quan tâm đến cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng mang linh hoạt

vì các em cho rằng khó. HS chưa nhận thức được tầm quan trọng của TPHĐNT

và chưa có ý thức chiếm lĩnh nó.

Những vấn đề lý luận và thực tiễn đã được nghiên cứu và phân tích trên

là cơ sở quan trọng giúp chúng tôi đưa ra những định hướng cũng như các biện

45

pháp trang bị TPHĐNT cho HS sẽ được trình bày trong chương 2.

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC NỘI DUNG VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ Ở TRƯỜNG THPT THEO HƯỚNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA TRANG BỊ MỘT SỐ THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC

2.1. Định hướng xây dựng các biện pháp dạy học nội dung vectơ, tọa độ ở

trường trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn

đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức

- Các biện pháp phải phù hợp với yêu cầu đổi mới căn bản toàn diện nền

giáo dục Việt Nam trong giai đoạn hiện nay. Nghĩa là: Các biện pháp thể hiện

rõ ý tưởng trang bị TPHĐNT để góp phần hình thành và phát triển năng lực

GQVĐ cho HS; Phù hợp với quan điểm chuyển từ trang bị kiến thức kĩ năng

sang phát triển toàn diện phẩm chất năng lực của người học.

- Các biện pháp bồi dưỡng năng lực GQVĐ thông qua trang bị

TPHĐNT phải được dựa trên cơ sở nội dung vectơ, tọa độ THPT trong

Chương trình, SGK, chuẩn kiến thức kỹ năng hiện hành.

- Các biện pháp phải tác động vào từng thành tố của năng lực GQVĐ

và phải trang bị được TPHĐNT cho HS. Việc xây dựng các biện pháp phải

dựa trên những khó khăn, trở ngại mà HS gặp phải trong quá trình học tập.

- Các biện pháp phải khả thi và phù hợp với điều kiện thực tiễn trong dạy

học môn toán ở trường THPT.

2.2 Một số biện pháp dạy học nội dung vectơ, tọa độ ở Trung học Phổ

thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị

một số thủ pháp hoạt động nhận thức

2.2.1 Biện pháp 1. Trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho học

sinh trong dạy học khái niệm, định lí, quy tắc, phương pháp

2.2.1.1 Mục đích của biện pháp

Biện pháp này nhằm mục đích giúp HS lĩnh hội một cách hiệu quả các

46

khái niệm, định lí, tính chất thông qua trang bị một số TPHĐNT. Trong hoạt

động nhận thức toán học, thông qua một số TPHĐNT được trang bị, HS sử

dụng để hiểu và ghi nhớ các khái niệm, các định lí, các tính chất, các quy tắc và

làm rõ tính hệ thống của các tri thức đó. Biện pháp này, không chỉ hình thành

cho HS một nền tảng kiến thức tốt chuẩn bị cho quá trình GQVĐ, mà còn trang

bị cho HS một số TPHĐNT để vận dụng trong học Toán. Những kiến thức mà

HS lĩnh hội được thông qua TPHĐNT là nền tảng cơ sở, hỗ trợ quá trình tìm

hiểu thông tin, thu thập thông tin để GQVĐ. Góp phần bồi dưỡng cho HS khả

năng tìm hiểu thông tin Toán học, thu thập thông tin Toán học và lưu trữ các

thông tin Toán học.

2.2.1.2 Cơ sở của biện pháp

Trần Kiều [14] cho rằng: Kiến thức, kĩ năng toán học là nền tảng của quá

trình hình thành và phát triển năng lực qua việc học toán; Đồng thời khẳng định

năng lực GQVĐ là một trong những năng lực mà môn Toán có nhiều thuận lợi

để phát triển cho người học qua việc tiếp nhận khái niệm, chứng minh các

mệnh đề toán học và đặc biệt là qua giải toán.

Người có năng lực GQVĐ là người có thể giải quyết thành công các vấn

đề. Polya [24] cho rằng để một người GQVĐ thành công điều quan trọng là

người đó phải có cơ sở tri thức toán học đầy đủ để GQVĐ. Như vậy, để một

người có thể GQVĐ thành công trong toán học thì yêu cầu là người đó phải

được xây dựng một cơ sở về kiến thức Toán học tốt.

Nguyễn Bá Kim [13], khẳng định rằng tri thức không phải là cái dễ dàng

cho không. Để truyền thụ được một tri thức nào đó cho HS là việc làm không

dễ nếu không có cách thức và con đường đúng đắn. Để HS có được một nền

tảng kiến thức toán học chắc chắn thì người thầy cần hướng dẫn HS cách lĩnh

hội thông qua TPHĐNT. Với bài học được thiết kế đặc biệt HS không những

chiếm lĩnh được các tri thức mà còn được hình thành cách thức, PP lĩnh hội các

tri thức đó.

Phạm Minh Hạc [9] đã chỉ ra cơ sở tâm lí của sự lĩnh hội tri thức, lĩnh

47

hội các phương thức hành động và phương thức tư duy. Lĩnh hội (thông hiểu và

nắm vững) là sự hòa nhập kinh nghiệm mới với những kinh nghiệm đã có trước

đây, hòa nhập thông tin mới với những thông tin đã biết. Nó là sự chuyển hóa

kinh nghiệm xã hội đã tích lũy được thành tài sản của cá nhân, nghĩa là thành

thuộc tính của cá nhân. Tâm lí học sư phạm chia nội dung lĩnh hội thành: sự

lĩnh hội khái niệm, sự lĩnh hội kĩ năng, kĩ xảo và sự lĩnh hội phương thức tư

duy. Không có ghi nhớ thì không có bất kì sự lĩnh hội nào. Hoạt động của HS

với nội dung càng ghi nhớ mạnh mẽ và đa dạng bao nhiêu, thì sự ghi nhớ càng

chính xác bấy nhiêu.

Như vậy, để HS lĩnh hội khái niệm, định lí, tính chất, PP cần phải có một

con đường đúng đắn là trang bị TPHĐNT cho HS. TPHĐNT được trang bị có

vai trò hỗ trợ hiểu, ghi nhớ các tri thức và áp dụng hiệu quả vào các tình huống

cụ thể.

2.2.1.3 Tổ chức thực hiện biện pháp

Với mỗi bài học:

Bước 1: GV phải lựa chọn khái niệm, định lí, quy tắc, PP cần và có thể

trang bị các TPHĐNT phù hợp cho HS;

Bước 2: GV xác định TPHĐNT cần trang bị cho HS;

Bước 3: GV tổ chức hướng dẫn và tập luyện cho HS sử dụng TPHĐNT

để lĩnh hội kiến thức;

Bước 4: GV hướng dẫn HS hiểu về TPHĐNT và tình huống sử dụng.

Tổng hợp TPHĐNT.

a) Hướng dẫn và tập luyện cho học sinh vận dụng các thủ pháp hoạt

động nhận thức trong dạy học khái niệm

Trong dạy học HH, HS phải hiểu sâu sắc và ghi nhớ bền vững các khái

niệm, hiểu mối liên hệ giữa các khái niệm với nhau, khái niệm trước làm cơ sở

để xây dựng khái niệm sau, thấy được tính hệ thống của các khái niệm. Để đạt

được yêu cầu này, GV tổ chức cho HS tiếp cận các khái niệm thông qua trang

48

bị một số TPHĐNT.

*) Hướng dẫn và tập luyện HS sử dụng thủ pháp tạo tình huống cụ thể

Thủ pháp tạo tình huống cụ thể giúp cho HS đi từ cái cụ thể đến cái trừu

tượng, từ cái riêng đến cái tổng quát. Ngoài việc giới thiệu trực tiếp thủ pháp

tạo tình huống, GV có thể trang bị ngầm ẩn cho HS thông qua các ví dụ cụ thể.

GV giới thiệu cách xây dựng tình huống điển hình chứa đựng khái niệm, qua

đó HS biết cách sử dụng thủ pháp và hiểu khái niệm hơn.

Ví dụ 2.1. GV thiết kế tình huống có vấn đề, thông qua thủ pháp tạo tình

huống cụ thể, tổ chức dạy học khái niệm tiếp tuyến của đường tròn.

Tình huống: Cho đường thẳng và đường tròn . Xác định vị trí

tương đối của chúng.

Câu hỏi 1: Cho đường thẳng thay đổi, so sánh khoảng cách từ đến

với , rút ra kết luận?

Trả lời:

- Nếu : và không có điểm chung.

- Nếu và có một điểm chung. :

- Nếu và có hai điểm chung phân biệt. :

Khi , gọi là tiếp tuyến của .

Câu hỏi 2: Hãy phát biểu kết luận này dưới các dạng khác trên cơ sở trực

quan hình vẽ?

Trả lời: Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn nếu:

vuông góc bán kính tại tiếp điểm. -

- .

- và có đúng một điểm chung.

Các câu hỏi, hướng dẫn cho HS cách nhìn nhận các yếu tố hình thành

khái niệm tiếp tuyến của đường tròn giúp cho HS hiểu rõ bản chất của khái

49

niệm hỗ trợ việc ghi nhớ và vận dụng nó trong quá trình học tập.

*) Hướng dẫn và tập luyện HS sử dụng thủ pháp chia nhỏ đối tượng

Sau khi hình thành khái niệm cho HS thông qua ví dụ cụ thể, để giúp HS

lĩnh hội khái niệm hiệu quả thì phải thực hiện chia nhỏ khái niệm. Chia nhỏ

khái niệm làm nổi bật các yếu tố bản chất của khái niệm giúp HS hiểu khái

niệm, ghi nhớ khái niệm bền vững hơn và vận dụng khái niệm một cách chính

xác, hợp lí.

Ví dụ 2.2. GV hướng dẫn cho HS sử dụng thủ pháp chia nhỏ trong cách

phân chia các thông tin trong học khái niệm HH:

- Khái niệm hai vectơ bằng nhau. Trên cơ sở khái niệm, GV hướng dẫn

HS, chia dấu hiệu bản chất thành hai điều kiện, giúp HS hiểu rõ bản chất của

khái niệm hơn. Hai vectơ và được gọi là bằng nhau nếu chúng thỏa mãn

hai điều kiện sau:

cùng hướng với nhau; 1)

hay . 2)

- Khái niệm tiếp tuyến của đường tròn. Dựa vào khái niệm, GV hướng

dẫn HS phân chia điều kiện để đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thành

3 điều kiện. Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn , nếu nó thỏa

mãn một trong các điều kiện sau:

vuông góc bán kính tại tiếp điểm; 1)

; 2)

và có đúng một điểm chung. 3)

Chia nhỏ khái niệm sẽ làm nổi bật dấu hiệu bản chất của khái niệm, giúp

HS lĩnh hội khái niệm một cách trọn vẹn. Được hướng dẫn và tập luyện cách sử

dụng thủ pháp tạo tình huống cụ thể và thủ pháp chia nhỏ đối tượng trong dạy

học khái niệm, giúp HS hiểu và biết cách sử dụng thủ pháp, nhận ra thủ pháp

có vai trò hỗ trợ việc lĩnh hội khái niệm. HS cũng nắm được ý tưởng làm đơn

50

giản vấn đề phức tạp của hai thủ pháp này.

b) Hướng dẫn và tập luyện cho HS vận dụng thủ pháp hoạt động nhận

thức trong dạy học định lí

Trong quá trình hình thành và phát triển của toán học, các định lí, tính

chất đưa ra là kết quả của quá trình tìm tòi, dự đoán, thực nghiệm và cả quy

nạp. Trong dạy học toán ở nhà trường phổ thông việc trang bị cho HS các định

lí các tính chất phải gắn liền với các cách thức đặc thù để lĩnh hội các kiến thức

đó. Tránh tình trạng hiểu các định lí tính chất một cách hời hợt hình thức để

dẫn đến những sai lầm trong quá trình vận dụng.

*) Hướng dẫn HS sử dụng thủ pháp tạo tình huống cụ thể

Trong dạy học định lí GV hướng dẫn cho HS sử dụng thủ pháp tạo tình

huống cụ thể để giúp HS thấy rõ cấu trúc logic của định lí, hiểu được vai trò

của từng yếu tố trong giả thiết, từ đó HS sẽ hiểu rõ hơn về định lí và vận dụng

được định lí vào các tình huống cụ thể.

Ví dụ 2.3. Sử dụng vấn đáp, gợi mở dạy học định lí sin thông qua trang

bị thủ pháp tạo tình huống cụ thể.

- Tình huống: Cho có , , nội tiếp trong

đường tròn (Hình 1.7).

Câu hỏi 1: Với chứng minh rằng:

Trả lời: thì , , , ,

, nên:

.

51

Hình 1.8

Câu hỏi 2: Với đều cạnh a thì kết quả

còn đúng không?

Trả lời: Với đều cạnh a, thì , . Ta cũng có:

, tương tự:

, .

Câu hỏi 3: Vậy đối với tùy ý thì kết quả trên còn đúng không?

Trả lời: Nếu góc nhọn, hay tù đưa về trường hợp trên bằng cách lấy

là điểm đối tâm của và ta được kết quả trên. Và có định lí sin: Với mọi

, ta có: .

Dựa trên nền tảng các kiến thức đã biết GV hướng dẫn HS tiếp cận định

lí thông qua việc sử dụng thủ pháp tạo tình huống cụ thể giúp HS có thể hình

thành biểu tượng của định lí, phát biểu được định lí, ghi nhớ các định lí và vận

dụng các định lí một cách dễ dàng, thuận lợi.

GV cần hướng dẫn cho HS sử dụng TPHĐNT trong học các định lí HH.

TPHĐNT rất hữu ích trong dạy học định lí. Học định lí thông qua TPHĐNT

giúp HS có thể dễ dàng vận dụng định lí trong giải bài tập và tìm kiếm những

vận dụng của định lí.

c) Hướng dẫn và tập luyện cho HS sử dụng thủ pháp hoạt động nhận

thức để hiểu và tìm kiếm các quy tắc, PP

Trong dạy học quy tắc, PP, GV cần giúp HS hiểu được, nắm vững quy

tắc, PP và khẳng định được tính đúng đắn của chúng. Có như vậy HS mới vận

dụng đúng vào giải quyết các bài toán. Nếu HS chỉ học thuộc lòng quy tắc và

cho rằng nó đúng rồi áp dụng vào thực hành thì có thể dẫn đến những sai lầm.

Vì vậy, trong dạy học quy tắc PP GV cần phải phân tích làm cho HS hiểu rõ

52

đầy đủ về các điều kiện khi sử dụng quy tắc. Để giúp HS hiểu các quy tắc GV

có thể hướng dẫn HS sử dụng TPHĐNT để xem xét, tìm hiểu, phân tích những

yếu tố được đưa ra trong quy tắc. Qua đó, HS có thể hiểu được cấu trúc logic,

điều kiện áp dụng và có cơ sở để tin tưởng vào tính đúng đắn của quy tắc, PP

khi áp dụng.

*) Hướng dẫn và tập luyện cho HS sử dụng thủ pháp tạo tình huống cụ thể

Ví dụ 2.4. Tổ chức dạy học hợp tác, hướng dẫn HS tìm kiếm quy tắc “tìm

tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ” thông qua tình huống cụ thể:

Cho đoạn thẳng có độ dài và một số

. Hỏi rằng nếu điểm thay đổi thỏa mãn

thì thuộc tập hợp nào ?

Tình huống 1. HS A làm như sau:

Bước 1.

- Gọi là trung điểm dựng hệ trục tọa

độ như hình vẽ (Hình 2.4).

- Các điểm: , giả sử . Hình 1.9

Bước 2. Ta có: .

Bước 3. Kết luận: Vậy , là trung điểm , bán kính

.

Tình huống 2. HS B làm như sau:

Bước 1. Gọi O là trung điểm AB.

Bước 2. Sử dụng tính chất trung điểm ta có:

.

Bước 3. Kết luận: Vậy , là trung điểm , bán kính

53

.

Nhiệm vụ 1. Theo nhóm em bạn A và B làm có đúng không? Giải thích

tại sao?

Nhiệm vụ 2. Nhóm em hãy thảo luận xây dựng quy tắc tìm tập hợp điểm

thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước?

Tình huống 1, xây dựng quy tắc tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức

vectơ bằng PP tọa độ. Tình huống 2, xây dựng quy tắc tìm tập hợp điểm thỏa

mãn đẳng thức vectơ bằng PP vectơ. Thông qua tình huống 1, khẳng định tính

đúng đắn của quy tắc sử dụng trong tình huống 2.

Với dạy học quy tắc, PP GV có thể sử dụng TPHĐNT hướng dẫn và tập

luyện cho HS cách thức kết nối các kiến thức đã có để tìm kiếm các quy tắc,

PP. Việc tìm kiếm các quy tắc, PP giúp HS lí giải được dựa trên cơ sở nào lại

có quy tắc, có PP này, HS không những hiểu được các bước thực hiện mà còn

hiểu được bản chất của các bước.

*) Hướng dẫn và tập luyện cho HS sử dụng thủ pháp sử dụng yếu tố

trung gian

Trong quá trình học tập, việc chứng minh các định lí hoặc bài tập một

cách trực tiếp gặp khó khăn dẫn đến việc phải sử dụng một yếu tố trung gian

giúp cho việc chứng minh được dễ dàng hơn.

Ví dụ 2.5: Tổ chức dạy học hợp tác, hướng dẫn HS tìm kiếm quy tắc

“Chứng minh đẳng thức vectơ: ”, thông qua bài toán sau:

Cho đều tâm , điểm trong tam giác. Kẻ , ,

lần lượt vuông góc với , , . Chứng minh:

.

Một bạn HS làm như sau:

Qua kẻ // , với

// , với kẻ

// , với kẻ Hình 1.10

54

các tam giác đều.

Do đó, ta có:

; ;

.

Ta có:

.

Các bước bạn HS này làm có chính xác không?Tại sao?

Vấn đáp gợi mở trong câu hỏi trên, giúp HS xây dựng quy tắc chứng

minh đẳng thức vectơ: :

- Nhận định cấu trúc biểu thức ở hai vế.

- Dùng luật “chèn điểm” (qui tắc tam giác) biến đổi vế này thành vế kia.

- Dùng tính chất (trung điểm, trọng tâm, tỉ số...), biến đổi tương đương...

- Dùng các tính chất nâng cao (hình phụ, kết quả các bài toán khác...).

Như vậy, trang bị TPHĐNT sẽ đem lại nhiều lợi ích trong lĩnh hội kiến

thức. Mối quan hệ giữa TPHĐNT và kiến thức là có thể hỗ trợ lẫn nhau, củng cố

và tăng cường lẫn nhau. Việc sử dụng các thủ pháp trong học lý thuyết sẽ giúp HS

tiếp thu kiến thức tốt hơn, vững chắc và hệ thống hơn. Để HS có thể lĩnh hội tốt

các kiến thức toán học điều cần thiết là phải trang bị các thủ pháp cho HS. Việc

trang bị các thủ pháp phải gắn liền với các nội dung toán học cụ thể.

Sử dụng TPHĐNT để phân tích định nghĩa, định lí, tính chất, hình thành

định nghĩa, xây dựng định lí. Biện pháp đã làm rõ vai trò quan trọng của

TPHĐNT trong việc giúp HS dễ nhớ, dễ hiểu, dễ vận dụng và có thể vận dụng

sáng tạo các khái niệm, định lí và tính chất. Với cách thức sử dụng TPHĐNT

để lĩnh hội tri thức, không những HS chiếm lĩnh được trọn vẹn kiến thức cả về

độ sâu và độ bền mà còn khám phá ra cách dùng của TPHĐNT và hình thành

được TPHĐNT. Vấn đề cần thiết trong dạy học toán là phải kết hợp việc lĩnh

55

hội tri thức và trang bị một số TPHĐNT thành một quá trình chặt chẽ duy nhất.

2.2.2 Biện pháp 2. Trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho HS

trong dạy học một số tình huống vận dụng kiến thức vectơ, tọa độ thông qua

tìm hiểu và nhận biết vấn đề, tìm giải pháp

2.2.2.1 Mục đích của biện pháp

Khi đứng trước một tình huống nảy sinh trong quá trình học Toán, HS

với vai trò là người GQVĐ cần phải biết cách thức suy nghĩ, tìm tòi, lựa chọn

cách thức biến đổi các thông tin như thế nào cho thuận lợi nhất, để có thể suy

luận và tìm hướng GQVĐ. Biện pháp này nhằm trang bị một số TPHĐNT cho

HS, đồng thời củng cố các kiến thức về vectơ, tọa độ và nâng cao khả năng ứng

dụng kiến thức cho HS. Hướng dẫn và tập luyện cho HS sử dụng TPHĐNT

trong các tình huống cụ thể vận dụng kiến thức khi thực hiện các hoạt động tìm

hiểu vấn đề, tìm giải pháp và thực hiện giải pháp GQVĐ.

2.2.2.2 Cơ sở của biện pháp

Để thực hiện được tốt biện pháp này GV phải thiết kế các tình huống sử

dụng TPHĐNT điển hình và tình huống dạy học GQVĐ điển hình để HS có thể

lĩnh hội được trọn vẹn TPHĐNT để GQVĐ. TPHĐTN nảy sinh khi gặp khó

khăn trở ngại. GV cần thiết kế tình huống vận dụng kiến thức vectơ, tọa độ

chứa dựng khó khăn, trở ngại hướng dẫn và tập luyện cho HS căn cứ vào đặc

điểm của tình huống lựa chọn TPHĐNT phù hợp.

Trong giảng dạy môn Toán, GQVĐ nhằm giới thiệu, xây dựng kiến thức

toán mới và vận dụng các kiến thức toán thông qua GQVĐ. Không phải tất cả các

nội dung toán học có thể diễn ra theo cách GQVĐ. Một số khía cạnh của toán học

phải được dạy một cách rõ ràng. GV cần phải lựa chọn những nội dung toán học

vận dụng kiến thức vectơ, tọa độ phù hợp, thiết kế các tình huống dạy học thông

qua đó trang bị TPHĐNT và phát triển khả năng GQVĐ của HS.

Một cơ sở kiến thức rộng với đầy đủ hệ thống các khái niệm, định lí, tính

chất, quy tắc, thuật toán, PP chưa đủ để HS có thể thực hiện hiệu quả các hoạt

56

động GQVĐ. Muốn thực hiện hoạt động GQVĐ hiệu quả, HS cần phải được

hướng dẫn và tập luyện lựa chọn TPHĐNT phù hợp thông qua các tình huống.

Từ đó, không những lĩnh hội được TPHĐNT mà còn có thể phát triển được

năng lực GQVĐ. Thông qua tổ chức các hoạt động tìm hiểu vấn đề, tìm giải

pháp, GV trang bị thủ pháp chia nhỏ, tạo tình huống cụ thể, dịch chuyển bài

toán, sử dụng các yếu tố trung gian,… và từ đó phát triển năng lực hiểu vấn đề

và năng lực tìm giải pháp cho HS.

2.2.2.3 Tổ chức thực hiện biện pháp

Với mỗi bài học:

Bước 1: GV xác định kiến thức vectơ, tọa độ cần và có thể trang bị các

TPHĐNT phù hợp cho HS;

Bước 2: GV xác định TPHĐNT cần trang bị cho HS;

Bước 3: GV thiết kế tình huống chứa đựng khó khăn, trở ngại;

Bước 4: GV tổ chức hướng dẫn và tập luyện cho HS tìm hiểu và nhận

biết vấn đề để xác định những khó khăn, trở ngại;

Bước 5: GV tổ chức hướng dẫn và tập luyện cho HS tìm giải pháp nhằm

xác định TPHĐNT cần sử dụng;

Bước 6: GV hướng dẫn HS hiểu về các bước GQVĐ, về TPHĐNT đã sử

dụng và tình huống sử dụng. Tổng hợp TPHĐNT.

Bước 4 và bước 5 có thể được lặp đi lặp lại trong quá trình giải quyết

một vấn đề.

Với những kiến thức nền mà HS lĩnh hội được thông qua sử dụng

TPHĐNT và với TPHĐNT bước đầu được hình thành thông qua các tình huống

dạy học điển hình là cơ sở giúp HS suy nghĩ tìm hiểu, biến đổi đối tượng để

hiểu vấn đề, tìm giải pháp trong quá trình GQVĐ.

a) Hướng dẫn HS sử dụng thủ pháp hoạt động nhận thức thực hiện hoạt

động tìm hiểu và nhận biết vấn đề, tìm giải pháp

Trong dạy học theo hướng bồi dưỡng năng lực GQVĐ cần phải chú trong

bồi dưỡng các thành tố của năng lực GQVĐ thông qua thực hiện hoạt động

57

GQVĐ. GV tập luyện cho HS sử dụng TPHĐNT thực hiện các hoạt động sau:

- Tìm hiểu và nhận biết vấn đề, nhằm phân tích làm rõ ý nghĩa quan

trọng của việc hiểu các thông tin với việc tìm ra cách giải.

- Tìm giải pháp GQVĐ, nhằm thu thập và kết nối các thông tin để xác

định cách thức và PP giải.

Để có thể tìm được giải pháp GQVĐ, yêu cầu đầu tiên với HS là phải

hiểu và nhận biết được vấn đề. Giải pháp không thể đưa ra được nếu người

GQVĐ không hiểu và nhận biết vấn đề. Các bộ phận của vấn đề được tách ra

thành hai loại: “vấn đề chứng minh” và “vấn đề tìm”. Các phần chính của bài

toán chứng minh là giả thiết và kết luận và các phần chính của bài toán tìm là

các dữ liệu và điều kiện của bài toán. Ở giai đoạn này phải đi sâu phân tích vấn

đề làm rõ, hiểu rõ các thông tin đã cho và thông tin cần tìm. Có TPHĐNT thì

việc phân tích các yếu tố, tách các yếu tố, kết hợp các yếu tố để hiểu được vấn

đề, nhận biết vấn đề, nắm bắt vấn đề sẽ hiệu quả hơn.

*) Hoạt động tìm hiểu và nhận biết vấn đề gồm hai giai đoạn:

- Giai đoạn nhận dạng và phát biểu vấn đề, HS phải xem xét, phân tích

vấn đề xem vấn đề thuộc dạng nào, loại nào. Để hiểu rõ được vấn đề HS phải

xác định được thông tin nào là cần thiết, thông tin nào là thứ yếu, muốn làm

được điều này HS phải sử dụng thủ pháp chia nhỏ để tìm kiếm cách thức xác

định thông tin. Thủ pháp chia nhỏ hỗ trợ HS cách thức suy nghĩ để tìm cách

thức phân chia và xác định các thông tin trong vấn đề đưa ra, nhằm hiểu các

thông tin quan trọng của vấn đề, đồng thời tìm mối liên hệ của chúng.

- Giai đoạn xác định và giải thích thông tin là một giai đoạn quan trọng

trong hiểu vấn đề, nó là cầu nối để có thể liên kết các thông tin và các kiến thức

đã biết để tìm phương hướng phù hợp GQVĐ. Để xác định và giải thích thông

tin cần phải lựa chọn nhiều thủ pháp khác nhau. Người GQVĐ phải xác định

các thông tin quan trọng đưa ra và xem xét các thông tin một cách cẩn trọng,

trên nhiều khía cạnh, phương diện khác nhau và làm rõ các thông tin. Xác định

58

và giải thích thông tin có thể tạo ra những tình huống cụ thể đơn giản hơn để

hiểu được những thông tin phức tạp, có thể chia nhỏ chi tiết các thông tin ra để

xem xét mối quan hệ bản chất.

Để có thể suy nghĩ tìm hướng GQVĐ trước hết HS phải hiểu được vấn

đề, năng lực hiểu vấn đề được hình thành tích tụ qua quá trình thực hiện nhiều

hoạt động tìm hiểu và nhận biết vấn đề. Thông qua thực hiện hoạt động tìm

hiểu và nhận biết vấn đề HS không chỉ hình thành được năng lực thu thập các

thông tin toán học để hiểu vấn đề mà còn được trang bị các cách thức suy nghĩ

hợp lí để hiểu vấn đề, hay lĩnh hội được một số TPHĐNT, biến chúng thành tài

sản của mình và sử dụng trong các trường hợp khác.

*) Tìm giải pháp GQVĐ, trên cơ sở những hiểu biết và những nhận biết

về vấn đề, có thể sử dụng TPHĐNT để lựa chọn cách tiếp cận phù hợp. Trong

quá trình tìm giải pháp, phải bắt đầu suy nghĩ về cách tìm kiếm một giải pháp

phải làm thế nào và bắt đầu xuất phát từ đâu. Đây cũng có thể được coi là giai

đoạn phác thảo. Trong các giai đoạn của GQVĐ, người ta sẽ nghĩ ra các quy

tắc, các thuật toán, các định lí, các vấn đề, các bài toán nào đó họ đã từng biết

sẽ rất hữu ích trong việc GQVĐ. Trong giai đoạn này, HS thực hiện các hoạt

động liên tưởng đến các kiến thức liên quan, huy động các kiến thức đã biết,

chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi đối tượng, phân tích mối liên hệ giữa các thông

tin, kết nối kiến thức để tìm giải pháp.

Quá trình tìm giải pháp bao gồm hai giai đoạn:

- Giai đoạn thu thập kiến thức và đánh giá thông tin là giai đoạn tìm các

kiến thức liên quan và mối liên hệ giữa các thông tin đã cho và thông tin cần

tìm. Để làm được điều này HS biết cách thức suy nghĩ để huy động các kiến

thức đã biết cần thiết để kết nối với các thông tin đưa ra và sử dụng TPHĐNT

để xem xét, so sánh, xử lí, đánh giá các kiến thức, các thông tin đã cho, các

thông tin cần tìm và đưa ra các cách thức biến đổi hợp lí làm cơ sở cho việc xác

định cách thức và chiến lược GQVĐ. Để đánh giá được thông tin một cách hiệu

59

quả, GV cần phải hướng dẫn cho HS, tách thông tin đó ra từ cái chỉnh thể phức

tạp, nghĩa là chúng ta cách li thông tin ra và xem xét chúng. Cùng với việc tách

thông tin ra một cách riêng rẽ cũng cần có cái nhìn thông tin trong cái tổng thể,

để từ việc đánh giá thông tin riêng rẽ sẽ có cái nhìn lại về cái tổng thể để có thể

thực hiện những biến đổi phù hợp. Từ đó, suy nghĩ và đưa ra cái tổng thể mới,

thuận lợi hơn, triển vọng hơn dễ tìm hướng giải quyết hơn.

- Giai đoạn xác định cách thức GQVĐ, HS sử dụng các thủ pháp để kết

nối các kiến thức và các thông tin với nhau để chọn lựa giải pháp phù hợp. Với

thủ pháp chia nhỏ, HS có thể phân chia vấn đề thành các vấn đề nhỏ mà dễ

dàng giải quyết hơn. Với thủ pháp tạo tình huống, HS có thể giải quyết được

vấn đề một cách tổng quát và triệt để, thông qua việc tạo ra một tình huống cụ

thể mang đầy đủ các đặc điểm của vấn đề ở trường hợp tổng quát mà dễ giải

quyết hơn. Việc tìm tòi cách thức suy nghĩ giải quyết tình huống cụ thể được

tạo ra sẽ làm tiền đề giúp HS dự đoán, định hướng và đưa đến cách thức

GQVĐ tổng quát đặt ra. Với thủ pháp sử dụng yếu tố trung gian có thể đưa một

vấn đề cồng kềnh về một vấn đề đơn giản hơn. Khi HS đi tìm giải pháp để

GQVĐ, các em phải căn cứ vào cấu trúc lôgic của vấn đề và các thông tin đưa

ra trong vấn đề, để có cách thức suy nghĩ phù hợp, biến đổi vấn đề theo chiều

hướng nào sẽ có lợi cho GQVĐ, biến đổi thông tin như thế nào cho thuận lợi,

kết nối với các kiến thức nào để có thể mang lại hiệu quả cao. TPHĐNT rất hữu

ích trong rèn luyện cho HS khả năng suy luận, định hướng, tìm tòi giải pháp.

Để HS có thể lĩnh hội được TPHĐNT và vận dụng vào tìm giải pháp thì việc

hướng dẫn HS sử dụng và tập luyện cho HS là việc làm cần thiết.

*) Sau khi hiểu vấn đề, tìm giải pháp là đến bước thực hiện giải pháp.

Thực hiện giải pháp là giai đoạn biến kế hoạch thành hành động. Đây là giai

đoạn quyết định xem kế hoạch mà ta đã đưa ra có tiến hành được hay không.

Nếu kế hoạch ta đã đưa ra không tiến hành được thì có thể xem lại giai đoạn

60

tìm hiểu vấn đề và tìm giải pháp.

Ở bước thực hiện giải pháp gồm hai giai đoạn:

- Giai đoạn xây dựng kế hoạch là một giai đoạn cần thiết không thể thiếu

để thực hiện giải pháp. Muốn trình bày một giải pháp mạch lạc, đầy đủ, ngắn

gọn và chính xác cần thiết phải xây dựng được một quy trình xác định rõ ràng

từng bước trong quy trình ấy. Nó có thể xây dựng theo chiều xuôi, bắt đầu từ

các thông tin đã cho và kết thúc là thông tin cần đạt được hoặc cũng có thể xây

dựng theo chiều ngược, đi từ thông tin cần đạt được đến thông tin đã biết hoặc

kiến thức đã biết.

- Giai đoạn trình bày giải pháp và điều chỉnh là giai đoạn thực hiện các

bước đã lập ở giai đoạn xây dựng kế hoạch, trong quá trình thực hiện phải rà

soát, sửa chữa và điều chỉnh giải pháp trong trường hợp cần thiết.

Ví dụ 2.6. Hướng dẫn HS thực hiện hoạt động tìm hiểu và nhận biết vấn

đề, tìm giải pháp và thực hiện giải pháp trong giải bài toán: “Cho có ba

góc đều nhọn, tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức:

.”

1) Tìm hiểu và nhận biết vấn đề:

- Nhận dạng vấn đề: Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức lượng giác.

- Xác định và giải thích thông tin: Các số hạng trong biểu thị mối

quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.

2) Tìm giải pháp:

- Thu thập và đánh giá thông tin: Biểu thức là tổng bậc các giá trị

lượng giác của ba góc trong tam giác nên việc tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

sẽ gặp phải khó khăn.

- Xác định cách thức GQVĐ: Cho một số giá trị cụ thể, dẫn

61

đến giá trị nhỏ nhất của biểu thức thay đổi:

Khái quát hóa kết quả và PP trên cho bài toán tổng quát ta tìm được giá

trị nhỏ nhất của biểu thức.

3) Thực hiện giải pháp:

Với . . Xét

Dấu bằng xảy ra khi

khi .

. Với . Xét

Dấu bằng xảy ra khi .

Áp dụng BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có:

. Tương tự cộng lại có:

.

Vậy khi .

Áp dụng kết quả và PP trên cho bài toán tổng quát.

.

Ta có: .

Tương tự cộng lại có:

62

.

Vậy . khi

Bài toán tưởng chừng như rất phức tạp nhưng khi phân tích kĩ ta thấy

thay vì xuất phát từ bài toán phức tạp, ta lựa chọn từ bài toán đơn giản hơn với

các giá trị , ,…đưa ra kết quả giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Dựa

trên các kết quả và PP trên biến đổi đi đến kết quả của bài toán tổng quát.

Để tìm được giải pháp, HS phải thực hiện lần lượt 2 hoạt động tìm hiểu

và nhận biết vấn đề và hoạt động tìm giải pháp. Hai hoạt động này lặp đi lặp lại

trong quá trình giải quyết vấn đề. Nếu chưa tìm được giải pháp lại quay trở lại

hoạt động tìm hiểu và nhận biết vấn đề.

b) Hướng dẫn và tập luyện cho HS vận dụng thủ pháp hoạt động nhận

thức trong các tình huống vận dụng kiến thức

*) Hướng dẫn HS sử dụng thủ pháp dịch chuyển bài toán trong tình

huống tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Trong một bài toán đôi khi cách thức biến đổi trực tiếp làm cho lời giải

dài dòng, dễ gặp phải sai lầm trong quá trình biến đổi dẫn đến kết quả không

mong muốn. Nảy sinh vấn đề tìm ra một PP biến đổi tìm ra lời giải nhanh,

chính xác.

Ví dụ 2.7. Giải bài toán “Với a, b là các số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất

của hàm số: ” thông qua sử dụng thủ pháp

dịch chuyển bài toán. GV hướng dẫn HS tìm lời giải theo các bước sau:

1) Tìm hiểu và nhận biết vấn đề:

- Nhận dạng vấn đề: Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

- Xác định và giải thích thông tin: Biểu thức xác định hàm số chứa hai

căn bậc hai và .

2) Tìm giải pháp GQVĐ:

- Thu thập kiến thức và đánh giá thông tin: Giải bài toán trên theo PP

63

đại số sẽ gặp khó khăn trong quá trình biến đổi. Nhận thấy biểu thức xác

định hàm số chứa hai căn bậc hai liên tưởng đến độ dài vectơ trong mặt

phẳng tọa độ .

- Xác định cách thức giải quyết:

+ Trước hết, hãy biến đổi thu gọn biểu thức xác định hàm số. (Mong

muốn phải đưa được về dạng: );

+ Lựa chọn các vectơ phù hợp sau đó vận đụng độ dài vectơ vào giải bài tập.

3) Thực hiện giải pháp

Ta có: .

Tập xác định của hàm số: D = .

Trong hệ trục tọa độ , đặt . Khi đó:

.

Mặt khác, ta có: ,

.

Hơn nữa: .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi với

 .

Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất là , đạt được tại .

Thông qua ví dụ trang bị cho HS ý tưởng gặp một vấn đề mà khi giải

quyết trực tiếp gặp khó khăn, thì cần chuyển hướng suy nghĩ, dịch chuyển ngôn

ngữ bài toán từ đại số sang ngôn ngữ vectơ, tọa độ. Với cách làm linh hoạt theo

chiều hướng này giúp HS giải quyết nhiều bài toán một cách dễ dàng và nhanh

gọn. Để dịch chuyển từ dạng toán này sang dạng toán khác, HS phải phân tích

các đối tượng đưa ra và liên hệ với các kiến thức đã biết. Suy nghĩ cách thức để

64

dịch chuyển sang bài toán phù hợp thuận lợi để giải quyết.

*) Tập luyện cho HS sử dụng thủ pháp chia nhỏ đối tượng trong bài toán

liên quan đến tâm sai của cônic

Descartes (DT [21]) đưa ra quy tắc cho sự phân nhỏ khi giải các bài toán:

“hãy chia bài toán mà bạn đang xét thành nhiều phần ở chừng mực bạn có thể

và bạn cần để giải bài toán được dễ hơn”. Việc chia nhỏ một bài toán để giải

quyết cũng không phải là việc dễ dàng mà đòi hỏi phải có sự phân chia khéo

léo. Trong giải bài tập toán căn cứ vào các thông tin đưa ra mà ta phải khéo léo

phân chia bài toán thành các phần nhỏ để việc giải bài toán được thuận lợi.

Ví dụ 2.8. GV hướng dẫn HS sử dụng thủ pháp chia nhỏ đối tượng trong

bài toán sau: “Cho cônic , điểm thuộc , tiêu điểm

, , đường chuẩn . Biện luận hình dạng của ?”

Vấn đáp hình thành thủ pháp:

- Giai đoạn tìm hiểu và nhận dạng vấn đề:

Câu hỏi 1. Để định dạng được Cônic tổng quát, ta cần dựa vào yếu tố nào?

Trả lời: Cần so sánh tâm sai với 1.

Giai đoạn này, GV trang bị cho HS tư tưởng khi gặp bài toán biện luận

có nhiều trường hợp xảy ra ta phải chia nhỏ để xem xét các khả năng của nó.

- Giai đoạn tìm giải pháp:

Câu hỏi 2. Cách tìm tâm sai của đường Cônic?

Trả lời: Tâm sai .

Câu hỏi 3. là Elip, Parabol, Hypebol khi nào?

Trả lời: - Nếu là Elip.

- Nếu là Parabol.

- Nếu là Hypebol.

Câu hỏi 2, 3 trang bị cho HS cách thức suy nghĩ phân chia trường hợp

65

trong tình huống cụ thể.

- Giai đoạn thực hiện giải pháp:

Ta có:

;

;

.

- Nếu

thì

là Elip.

- Nếu

thì

là Parabol.

- Nếu

thì

là Hypebol.

*) Tập luyện cho HS sử dụng thủ pháp chia nhỏ trong tình huống chứng

minh hai đường thẳng vuông góc

Ví dụ 2.9 Giải bài toán “Cho cân tại , là trung điểm của

, là hình chiếu của trên , là trung điểm của . Chứng minh

rằng: ”, thông qua thủ pháp chia nhỏ đối tượng. Vấn đáp tìm giải

pháp thông qua các câu hỏi:

- Hoạt động tìm hiểu và nhận biết vấn đề:

Câu hỏi 1. Bài toán này thuộc dạng nào?

Câu hỏi 2. Bài toán cho biết những gì? Yêu cầu chứng minh điều gì?

Câu hỏi 3. Tìm mối liên hệ giữa cái phải tìm với cái đã cho?

- Hoạt động tìm giải pháp GQVĐ:

Câu hỏi 4. Để chứng minh được ta phải chứng minh điều gì?

Vận dụng phần kiến thức nào để chứng minh?

Câu hỏi 5. Để sử dụng giả thiết (hay ) và

(hay ) ta phải phân tích vectơ theo những

66

vectơ nào?

Câu hỏi 6. Khi đó

- Thực hiện giải pháp:

Ta có: ( là trung điểm của );

Hình 1.11

Các câu hỏi nhằm mục đích của thông qua quá trình tìm hiểu vấn đề, tìm

giải pháp trang bị TPHĐNT cho HS.

*) Tập luyện cho HS sử dụng thủ pháp sử dụng yếu tố trung gian trong

tình huống tính tích vô hướng của hai vectơ

Ví dụ 2.10 Giải bài toán “Cho đều cạnh . Tính ”, thông

qua sử dụng thủ pháp sử dụng yếu tố trung gian. Vấn đáp tìm giải pháp:

- Hoạt động tìm hiểu và nhận biết vấn đề:

Câu hỏi 1. Bài toán này thuộc dạng nào?

Câu hỏi 2. Bài toán cho những biết gì? Yêu cầu bài toán là gì?

Câu hỏi 3. Vận dụng kiến thức nào để tính ?

- Hoạt động tìm giải pháp GQVĐ:

Câu hỏi 3.Làm thế nào để xác định được

?

Câu hỏi 4. Khi đó =?

67

Hình 1.12

- Thực hiện giải pháp:

Từ dựng . Khi đó:

=

Ta có:

Mục đích của các câu hỏi, giúp HS hiểu vấn đề và tìm giải pháp.

*) Tập luyện cho HS sử dụng thủ pháp dịch chuyển bài toán trong tình

huống giải hệ phương trình

Ví dụ 2.11 GV hướng dẫn HS vận dụng TPHĐNT thông qua vấn đáp tìm

giải pháp giải quyết bài toán.

Tình huống: Cho hệ phương trình . Tìm để hệ trên có

nghiệm duy nhất.

Câu hỏi 1. Nhận xét về hai phương trình trong hệ?

Câu hỏi 2. Phương trình thứ nhất có thể coi là phương trình của đường

tròn không? Hãy xác định tâm và bán kính?

Câu hỏi 3. Coi phương trình thứ hai là phương trình đường thẳng thì hệ

trên có nghiệm duy nhất khi nào?

Câu hỏi 4. Tìm điều kiện để đường thẳng vào đường tròn tiếp xúc với nhau?

Mục đích câu hỏi và dự kiến trả lời:

Câu hỏi 1. Tìm hiểu và nhận biết vấn đề

Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc hai có hai ẩn là và

, còn phương trình thứ hai là phương trình bậc nhất hai ẩn , .

Khó khăn, trở ngại xuất hiện khi giải hệ, vì khi rút ẩn hoặc từ một

trong hai phương trình rồi thế vào phương trình còn lại đưa về phương trình

bậc hai, hai ẩn chứa tham số a. Sau đó phải giải phương trình khiến cho

68

lời giải dài dòng dễ bị nhầm lẫn, sai sót. Như vậy, cách giải thông thường gặp

khó khăn, phải tìm hướng suy nghĩ khác. Cần phải xem xét đặc điểm của hai

phương trình.

Câu hỏi 2, 3, 4. Tìm giải pháp

- Coi phương trình là phương trình của đường tròn đơn vị

có tâm , bán kính .

- Phương trình là phương trình của đường thẳng . Hệ trên có

nghiệm duy nhất khi đường thẳng tiếp xúc với đường tròn .

- tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi .

Trong tình huống này thủ pháp dịch chuyển bài toán nảy sinh khi HS gặp

khó khăn với cách giải quyết thông thường. Dịch chuyển bài toán giúp cho việc

giải quyết bài toán dễ dàng hơn đem lại kết quả nhanh, chính xác.

Ví dụ 2.12 Tổ chức dạy học hợp tác, giúp HS hiểu rõ cách sử dụng thủ

pháp dịch chuyển bài toán. Tổ chức HS thảo luận nhóm trong tình huống sau:

Tình huống: Giải hệ phương trình sau:

Có một HS làm như sau:

Đặt

. Do đó thẳng hàng và nằm trên Từ

đoạn .

69

Thay vào

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Nhiệm vụ 1. Theo nhóm em bạn làm có đúng không? Giải thích tại sao?

Nhiệm vụ 2. Theo nhóm em, giải bài toán trên sử dụng ngôn ngữ chuyển đổi

nào? Tại sao lại chuyển đổi ngôn ngữ?

Nhiệm vụ 1, dự kiến các vấn đề thảo luận và đạt được:

- Các em thảo luận để khẳng định và giải thích về tính đúng đắn của lời giải.

- Phương trình thứ hai trong hệ có chứa các căn bậc hai của tổng hai bình

phương khiến ta liên tưởng đến độ dài vectơ.

- Việc đặt các điểm có tọa độ cụ thể giúp việc giải quyết bài toán

dễ dàng hơn.

- Sử dụng PP chứng minh ba điểm thẳng hàng tìm tọa độ điểm chính

là nghiệm của hệ phương trình.

Nhiệm vụ 2, dự kiến thảo luận:

1. Bài toán trên sử dụng ngôn ngữ chuyển đổi nào?

- Từ ngôn ngữ đại số sang ngôn ngữ vectơ, tọa độ.

2. Tại sao lại chuyển từ ngôn ngữ đại số sang ngôn ngữ vectơ, tọa độ?

- Hệ phương trình trên nếu giải theo cách thông thường thì rất khó để giải

được. Từ phương trình thứ hai của hệ gợi ý cho chúng ta chuyển việc xem xét đại

số sang hình dung về việc sử dụng PP HH tọa độ .

Để dịch chuyển từ dạng toán này sang dạng toán khác, HS phải phân tích các

đối tượng đưa ra và liên hệ với các kiến thức đã biết. Suy nghĩ cách thức để dịch

chuyển sang bài toán phù hợp thuận lợi để giải quyết. Qua tình huống, trang bị cho

HS tư tưởng chuyển từ bài toán đại số về bài toán HH.

Như vậy, với những tình huống vận dụng kiến thức vectơ, tọa độ được

70

thiết kế theo định hướng bồi dưỡng năng lực GQVĐ có thể trang bị TPHĐNT

cho HS. Hướng dẫn và tập luyện cho HS cách thức sử dụng thủ pháp để tìm

kiếm cách giải quyết những tình huống cụ thể, giúp HS lĩnh hội được một số

TPHĐNT, tự mình sử dụng để GQVĐ và góp phần bồi dưỡng cho HS năng lực

GQVĐ. Để phát huy được tính hiệu quả của biện pháp này đòi hỏi người GV

phải xây dựng, thiết kế được các tình huống dạy học phát hiện vấn đề điển hình

chứa đựng những khó khăn, trở ngại mà để vượt qua nó phải sử dụng

TPHĐNT. Nếu không có các tình huống học tập được thiết kế đặc biệt thì HS

sẽ không thể hiểu được khi nào sử dụng TPHĐNT và biết cách sử dụng chúng

như thế nào.

2.3 Kết luận chương 2

Nội dung cơ bản của chương 2 là xây dựng được 2 biện pháp sư phạm

nhằm mục đích trang bị một số TPHĐNT và hình thành cho HS khả năng vận

dụng chúng trong quá trình giải quyết các tình huống vận dụng kiến thức vectơ,

tọa độ và trong học tập toán, dẫn đến sự thay đổi tích cực trong quá trình

GQVĐ của HS.

Biện pháp 1 đề cập đến việc trang bị TPHĐNT thông qua thực hiện hoạt

động lĩnh hội tri thức toán học của HS trong dạy học khái niệm, định lí, quy

tắc, PP. Biện pháp 1 giúp HS lĩnh hội được tri thức thông qua vận dụng một số

TPHĐNT và tạo tiền đề cơ sở giúp HS tìm hiểu và nhận biết vấn đề.

Biện pháp 2 đề cập đến việc trang bị TPHĐNT thông qua quá trình thực

hiện hoạt động tìm hiểu và nhận biết vấn đề, tìm giải pháp, thực hiện giải pháp

trong tình huống vận dụng kiến thức vectơ, tọa độ và có tác động đến sự phát

triển của năng lực tìm hiểu vấn đề và tìm giải pháp.

HS được trang bị TPHĐNT các em có thể thực hiện tốt các kết nối để tạo

ra các nội dung kiến thức trong học tập, nhờ đó các kiến thức lĩnh hội được của

HS bền vững và hiệu quả cao. Tổ chức cho HS vấn đáp gợi mở giải quyết vấn

đề, thảo luận giải quyết vấn đề, giúp HS nhận ra các khó khăn và nảy sinh ra

cách giải quyết thông qua sử dụng TPHĐNT. Như vậy, vừa bồi dưỡng các năng

71

lực thành tố của NL GQVĐ, vừa trang bị được TPHĐNT cho HS.

Các biện pháp sư phạm đưa ra không những góp phần trang bị cho HS

cách thức tìm hiểu, cách thức biến đổi để GQVĐ đặt ra trong học vectơ, tọa độ

mà còn giải quyết các vấn đề đặt ra trong học tập toán. TPHĐNT vừa là con

đường, đồng thời cũng là phương tiện cần thiết để đạt được mục đích bồi

dưỡng năng lực GQVĐ cho HS, đồng thời nâng cao hiệu quả học tập. GV cần

lưu ý trong dạy học toán phải cân bằng giữa trang bị TPHĐNT với dạy học các

kiến thức toán học.

Những nội dung này là cơ sở để chúng tôi tiến hành thực nghiệm sư

72

phạm ở chương 3.

Chương 3

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm

Thực nghiệm sư phạm nhằm bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu

quả của của các biện pháp sư phạm được đề xuất trong luận văn qua thực tiễn

dạy học.

3.2. Đối tượng thực nghiệm

Để thực nghiệm sư phạm đạt được hiệu quả và mang tính chính xác, lớp

thực nghiệm và lớp đối chứng được chọn với yêu cầu tương đương về số lượng

học sinh, điều kiện tổ chức dạy học, trình độ nhận thức của học sinh.

Căn cứ vào kết quả bài kiểm tra khảo sát chất lượng học tập môn Toán

của học sinh và vào số lượng học sinh trong mỗi lớp của khối 10, Trường

THPT Trần Phú, huyện Võ Nhai, tỉnh Thái Nguyên, chúng tôi nhận thấy: Lớp

10A2 (36 học sinh) và lớp 10A4 (35 học sinh) có số lượng học sinh gần bằng

nhau, điều kiện tổ chức dạy học, trình độ nhận thức và kết quả học tập môn

Toán khi bắt đầu khảo sát là tương đương nhau (xem Bảng 3.1).

Bảng 3.1 Kết quả kiểm tra khảo sát chất lượng đầu vào

môn Toán của học sinh

Điểm ( xi ) Điểm Số bài Lớp TB HS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

TN 35 0 1 3 4 4 5 9 7 2 0 6,11

ĐC 36 0 1 2 3 5 6 8 7 3 1 6,25

Do đó, chúng tôi lựa chọn lớp 10A3 là lớp thực nghiệm (TN) và lớp

10A1 là lớp đối chứng (ĐC).

- Lớp thực nghiệm 10A4 do giáo viên Nguyễn Thị Phương Thanh đảm

nhiệm và được tổ chức dạy học theo hướng bồi dưỡng năng lực GQVĐ thông

73

qua trang bị một số TPHĐNT.

- Lớp đối chứng 10A2 do giáo viên Đỗ Thị Giang đảm nhiệm và được tổ

chức dạy học theo truyền thống.

Như vậy, lớp TN và lớp ĐC đã được lựa chọn là tương đương nhau cả về

kích thước và chất lượng học tập.

3.3. Nội dung và hình thức thực nghiệm sư phạm

3.3.1. Nội dung thực nghiệm sư phạm

Nội dung thực nghiệm trong Chương I, II và một phần chương III HH lớp 10.

Trong mỗi đơn vị kiến thức trong chương trình, lớp TN đã xây dựng giáo án

và kế hoạch dạy học như đã trình bày phần biện pháp.

3.3.2. Hình thức thực nghiệm

- Đối với lớp TN, giáo viên tổ chức dạy học theo hướng bồi dưỡng năng

lực GQVĐ thông qua trang bị một số TPHĐNT trong các tiết học trên lớp và

các chuyên đề tự chọn.

- Đối với lớp ĐC, giáo viên tổ chức dạy học theo kiểu truyền thống.

Công việc của học sinh lớp này chủ yếu là nghe giảng, nghiên cứu lý thuyết và

giải quyết các bài tập.

- Cuối đợt thực nghiệm, giáo viên tiến hành cho học sinh ở cả hai lớp TN

và ĐC làm một bài kiểm tra để đánh giá kết quả của việc học tập của từng học

sinh. Thông qua bài kiểm tra, tiến hành thống kê, lập các bảng phân phối và biểu

đồ phân phối để rút ra nhận xét kết quả thực nghiệm sư phạm. Căn cứ trên vào kết

quả thống kê đối chiếu hiệu quả học tập của học sinh ở lớp TN và ĐC để bước đầu

đánh giá tính khả thi của các biện pháp sư phạm đề xuất ở chương 2.

3.3.3. Thời gian thực nghiệm

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành từ tháng 09 năm 2018 đến tháng

04 năm 2019 tại Trường THPT Trần Phú, huyện Võ Nhai, tỉnh Thái Nguyên.

3.4. Đánh giá thực nghiệm sư phạm

Sau quá trình tổ chức thực nghiệm sư phạm, chúng tôi thu được một số

kết quả và tiến hành đánh giá trên hai phương diện: Đánh giá về mặt định tính

74

và đánh giá về mặt định lượng.

3.4.1. Đánh giá định lượng

Sau đợt thực nghiệm sư phạm, chúng tôi đã tiến hành cho học sinh làm

một bài kiểm tra (45 phút) với học sinh hai lớp TN và ĐC, nhằm kiểm tra phần

kiến thức đã dạy.

a, Đề kiểm tra (45 phút)

Câu 1: Cho , là điểm trên đoạn sao cho .

Chứng minh:

a) ;

b) Tìm tập hợp điểm sao cho: .

Câu 2: Cho hình thoi có , . Tính các tích vô

hướng sau: .

Câu 3: Cho góc vuông . Trên cạnh lấy ; trên cạnh lấy

. Gọi là trung điểm . Chứng minh: sao cho:

.

b, Những dụng ý sư phạm về đề kiểm tra

Câu 1. Nhằm mục đích kiểm tra:

- Khả năng sử dụng thủ pháp chia nhỏ đối tượng, thực hiện hoạt động

tìm hiểu và nhận biết vấn đề. Khả năng sử dụng thủ pháp tạo tình huống cụ thể.

Đánh giá khả năng lĩnh hội các TPHĐNT của HS trong học tập.

Câu 2. Nhằm mục đích kiểm tra:

- Khả năng sử dụng thủ pháp sử dụng yếu tố trung gian trong giải bài toán.

Đánh giá khả năng lựa chọn TPHĐNT để đưa đến cách giải quyết bài toán nhanh

hơn đem lại kết quả mong muốn một cách chính xác nhất.

Câu 3. Nhằm mục đích kiểm tra:

- Khả năng sử dụng thủ pháp dịch chuyển bài toán kết hợp với thủ pháp

chia nhỏ. Đánh giá khả năng chuyển đổi ngôn ngữ linh hoạt của HS, giúp HS

75

nắm chắc hơn mối liên hệ giữa ngôn ngữ vectơ, tọa độ, đại số, giải tích, hình học.

Sau khi tổ chức cho học sinh ở 2 lớp TN và ĐC làm bài kiểm tra 45 phút đồng loạt, chúng tôi tiến hành chấm bài và tổng hợp kết quả. Sau đó xử lý kết quả thu được theo PP thống kê Toán học. Áp dụng công thức tính điểm trung

bình ( ), phương sai (S2) và độ lệch chuẩn (S):

 Điểm trung bình: Trong đó:

: điểm trung bình

•) •) xi: điểm đạt được •) ni: số bài (hoặc số HS) đạt được điểm xi tương ứng ở mỗi lần kiểm tra. •) N: kích thước mẫu (tổng số HS được kiểm tra)

 Phương sai:

 Độ lệch chuẩn:

 Thống kê kết quả kiểm tra

Bảng 3.2 Bảng thống kê điểm kiểm tra 45 phút

Điểm ( xi ) Điểm TB Lớp Số bài HS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ( )

TN 35 0 0 1 2 3 7 10 6 5 1 6,9

ĐC 36 0 1 2 4 5 6 8 8 2 0 6,2

76

Biểu đồ 3.1 Biểu đồ về điểm kiểm tra 45 phút của hai lớp TN và ĐC

Bằng cách so sánh điểm trung bình của môn học qua bài kiểm tra 45 phút

của lớp TN 10A4 và ĐC 10A2; đồng thời cũng đối chiếu với điểm trung bình

của môn học qua kết quả kiểm tra khảo sát chất lượng môn Toán, chúng tôi rút

ra được một số nhận xét sau đây: Điểm trung bình (Bảng 3.1) của lớp TN

thấp hơn lớp ĐC. Sau quá trình tiến hành thực nghiệm, kết quả học tập của 2

lớp có sự thay đổi, điểm trung bình (Bảng 3.2) của lớp TN cao hơn so với

lớp ĐC. Số điểm trung bình của lớp TN ít hơn lớp ĐC nhưng số điểm khá và

giỏi của lớp TN thì cao hơn hẳn so với lớp ĐC.

Để có thể khẳng định kết quả học tập qua đợt thực nghiệm sư phạm,

chúng tôi tiến hành xử lý số liệu thống kê Toán học. Kết quả xử lý số liệu thống

kê thu được như sau:

xi -

xi ni

)2

)2

(xi -

(xi-

)2.ni

xi ni xi -

(xi -

(xi-

)2.ni

-4,9

2

0

24,01

0,00

2 1

-4,2

17,64

17,64

-3,9

3

1

15,21

15,21

3 2

-3,2

10,24

20,48

-2,9

4

2

8,41

16,82

4 4

-2,2

4,84

19,36

-1,9

5

3

3,61

10,83

5 5

-1,2

1,44

7,2

-0,9

6

7

0,81

5,67

6 6

-0,2

0,04

0,24

7 10

0,1

0,01

0,1

7 8

0,8

0,64

5,12

1,1

8

6

1,21

7,26

8 8

1,8

3,24

25,92

2,1

9

5

4,41

22,05

9 2

2,8

7,34

15,68

3,1

10 1

9,61

9,61

10 0

3,8

14,4

0,00

Phương sai: S2 = 2,6

Phương sai: S2 = 3,1

Độ lệch chuẩn: S = 1,6

Độ lệch chuẩn: S = 1,8

Thực nghiệm (N = 35) Đối chứng (N = 36)

Sử dụng phép thử t - student để xem xét, kiểm tra tính hiệu quả của việc

77

thực nghiệm sư phạm, ta có kết quả: = 2,07

Tra bảng phân phối t - student với bậc tự do F = 35 và với mức ý nghĩa

 = 0.05 ta được t =1.69. Ta có t > t. Như vậy, thực nghiệm sư phạm có kết

quả rõ rệt.

Tiến hành kiểm định phương sai của lớp TN và lớp ĐC với giả thuyết

H0: “Sự khác nhau giữa phương sai ở lớp TN và lớp ĐC là không có ý nghĩa”.

Ta có kết quả: = 0,84

Giá trị tới hạn F tra trong bảng phân phối F ứng với mức  = 0.05 và

với các bậc tự do NTN = 35; NĐC = 36 là 1,79 ta thấy F < F. Do đó chấp

nhận H0,. Vậy sự khác nhau giữa phương sai ở hai lớp TN và ĐC là không

có ý nghĩa.

Để so sánh kết quả thực nghiệm sư phạm, chúng tôi tiến hành kiểm định

giả thuyết E0: “Sự khác nhau giữa điểm trung bình ở hai lớp TN và ĐC là

không có ý nghĩa với phương sai như nhau”.

Với mức ý nghĩa  = 0.05, tra bảng phân phối t- student với bậc tự do là

NTN + NĐC - 2 = 35+36-2 = 69 ta được t =1.67. Ta có giá trị kiểm định:

với s = = 1,7

Ta có t > t. Do đó, khẳng định giả thuyết E0 bị bác bỏ. Như vậy, sự khác

nhau giữa điểm trung bình ở hai lớp TN và ĐC là có ý nghĩa.

Từ những kết quả kiểm định trên, cho thấy chất lượng học tập của lớp

TN cao hơn lớp ĐC; học sinh lớp TN nắm vững kiến thức hơn học sinh các lớp

ĐC. Điều này chứng tỏ PP dạy học ở lớp TN tốt hơn so với PP dạy học ở lớp

ĐC và các biện pháp đề xuất là khả thi và đem lại hiệu quả trong việc nâng cao

kiến thức và chất lượng học tập của học sinh.

3.4.2. Đánh giá định tính

Bên cạnh việc tiến hành kiểm tra kiến thức của học sinh thông qua bài

kiểm tra, chúng tôi đã theo dõi sự chuyển biến trong hoạt động học tập của học

78

sinh và tiến hành đánh giá định tính qua việc thu nhận thông tin từ phiếu điều

tra và trao đổi với giáo viên tổ bộ môn, nhằm đánh giá hiệu quả của các biện

pháp đề xuất.

*) Về phía HS

Khi quá trình thực nghiệm mới bắt đầu, xem xét cách thức suy nghĩ của

HS để trả lời các câu hỏi, làm các bài tập, có thể nhận thấy rằng: nhìn chung, cả

HS lớp đối chứng và HS lớp thực nghiệm đều ở trình trạng như sau:

- Rất ít HS có ý thức suy nghĩ tìm cách để hiểu rõ bản chất khái niệm, ghi

nhớ khái niệm chính xác và vận dụng khái niệm để giải quyết các bài toán đặt

ra. HS chưa có ý thức chia nhỏ dấu hiệu bản chất của khái niệm để hiểu rõ khái

niệm khi học các khái niệm.

- Trong học định lí, tính chất nhiều HS chưa có ý thức gắn nội dung của

định lí, tính chất với biểu tượng hình ảnh của chúng.

- Đa số HS thường quan tâm đến giải các bài toán và thường xem nhẹ

khai thác các khái niệm, định lí, tính chất để đánh giá giải pháp và hình thành

PP giải các dạng toán.

- Trong giải bài tập HS chưa chú ý đến tìm hiểu đề bài. HS còn gặp khó

khăn khi suy nghĩ tìm cách so sánh, phân chia, kết hợp các yếu tố để chuyển từ

ngôn ngữ bài toán HH sang ngôn ngữ bài toán Đại số, vectơ, tọa độ. Đứng

trước một bài toán HS vẫn còn chưa chú ý xem xét đầy đủ các yếu tố đã cho.

HS vẫn còn tính ỳ cao, chưa linh hoạt trong cách suy nghĩ để từng bước tháo gỡ

từng nút của bài toán và đưa ra cách giải quyết phù hợp.

- Sau khi tìm được lời giải bài toán, HS thường không có thói quen kiểm

tra lại cách giải, phân tích cách giải. HS ít suy nghĩ để đánh giá giải pháp đưa

ra, tìm cách phát triển PP giải, mở rộng vấn đề và hình thành PP mới.

- Khi gặp một vấn đề trong học tập, HS không có thói quen giải quyết

vấn đề theo 4 bước, cụ thể:

+ Tìm hiểu và nhận biết vấn đề: HS thường đọc lướt qua vấn đề; HS

không có thói quen phân tích các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm; có HS chỉ

79

chú ý đến một số yếu tố và có yếu tố bị bỏ sót.

+ Tìm giải pháp và thực hiện giải pháp: HS thường không đánh giá các

thông tin và xác định cách thức giải quyết; HS thường bắt tay vào thực hiện

giải pháp luôn;

+ Nghiên cứu sâu giải pháp: Sau khi tìm được một giải pháp HS không

có thói quen xem xét lại giải pháp, tìm giải pháp mới, hay phát triển PP giải.

Có thể nói khi bắt đầu thực nghiệm HS chưa có thói quen suy nghĩ tìm

cách thức hiệu quả để lĩnh hội các kiến thức Toán và giải quyết các vấn đề

trong học tập Toán, năng lực GQVĐ của HS đang ở mức độ thấp. Sau một thời

gian HS đã bước đầu quen với các bước GQVĐ đưa ra và cách thức tìm hiểu,

biến đổi đối mang tính linh hoạt để chiếm lĩnh tri thức.

- Trong học khái niệm các em đã chú trọng đến chia nhỏ các dấu hiệu

đặc trưng của khái niệm, tách yếu tố mang tính bản chất, tạo tình huống cụ thể

chứa đựng khái niệm và hình thành biểu tượng trực quan của khái niệm để có

thể hiểu đầy đủ khái niệm, ghi nhớ và áp dụng khái niệm.

- Trong học định lý, tính chất HS đã quan tâm nhiều hơn đến việc sử

dụng các thủ pháp để hiểu bản chất của định lí, tính chất. HS rất hứng thú với

cách tìm tòi cách thức sử dụng hình ảnh để hình thành biểu tượng của định lí,

sử dụng thủ pháp để khai thác và áp dụng định lí.

- Khi giải quyết các bài toán HS, có ý thức khai thác các thủ pháp để thực

hiện các hoạt động GQVĐ.

Với cách thức thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng linh hoạt trong quá trình

học tập và giải quyết vấn đế đã hỗ trợ HS ghi nhớ, tiếp thu kiến thức một cách

dễ dàng hơn và bền vững hơn. Một số HS có thể tự học và ít cần sự giúp đỡ

hơn. Phát triển khả năng GQVĐ của HS.

Khi được hướng dẫn sử dụng TPHĐNT trong lĩnh hội các khái niệm,

định lí tính chất và giải bài tập HS rất hào hứng và sôi nổi. Các nội dung học

tập trở nên dễ hiểu và dễ tiếp thu hơn. Như vậy, xét về phương diện định tính

các biện pháp trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức trong dạy học nội dung

80

vectơ, tọa độ được đề ra đã bước đầu mang lại kết quả.

*) Về phía GV

Qua quan sát các giờ dạy ở lớp đối chứng và trao đổi với GV, có thể rút

ra một số nhận xét như sau:

- GV đã nhận thấy được vai trò quan trọng của việc trang bị TPHĐNT

cho HS. GV đã quan tâm khai thác và sử dụng một số TPHĐNT trong quá trình

dạy học. Tuy nhiên, trong dạy mỗi nội dung cụ thể GV chưa có kế hoạch trang

bị các thủ pháp cụ thể và đưa vào mục tiêu bài học các thủ pháp cụ thể nào cần

trang bị.

- GV vẫn nặng về trang bị kiến thức cho HS mà ít chú trọng đến trang bị

kiến thức mang tính thủ pháp cho HS.

- GV chưa nghiên cứu thiết kế các tình huống dạy học theo hướng trang

bị TPHĐNT cho HS. GV chưa thiết kế hệ thống bài tập theo hướng hình thành

TPHĐNT cho HS.

Sau khi nghiên cứu kĩ và vận dụng các biện pháp sư phạm được xây

dựng ở chương 2 vào quá trình dạy học, các GV dạy thực nghiệm cho rằng:

- Các biện pháp đưa ra hợp lí, hoàn toàn phù hợp với thực tiễn dạy học

các nội dung toán học cụ thể. Không có khó khăn trở ngại nào khi thực hiện các

biện pháp.

- Trong các tiết dạy học thực nghiệm, HS chăm chú nghe giảng, ghi chép

bài cẩn thận đầy đủ. HS cảm thấy hứng thú với những cách thức suy nghĩ mang

tính thủ pháp để chiếm lĩnh các tri thức. HS học tập sôi nổi, tích cực, hăng hái

phát biểu ý kiến, chủ động trao đổi với nhau và trao đổi với thầy cô về cách

thức suy nghĩ tìm tòi lời giải.

- HS lĩnh hội một cách có ý thức các thủ pháp và sử dụng các thủ pháp

có mục đích trong quá trình lĩnh hội tri thức, quá trình phát hiện và GQVĐ.

Đánh giá chung của nhiều giáo viên cho rằng đây là một đề tài hay và rất

quan tâm. Hình thành cho HS cách thức suy nghĩ linh hoạt, độc đáo để tìm tòi

81

và GQVĐ.

3.5. Kết luận chương 3

Qua quá trình thực nghiệm sư phạm, từ các kết quả trên chúng tôi rút ra

một số kết luận sau:

- Việc tìm tòi và đưa ra các biện pháp trang bị TPHĐNT cho HS trong

dạy học khái niệm, định lí, quy tắc, PP và các tình huống vận dụng kiến thức

vectơ, tọa độ theo hướng bồi dưỡng năng lực GQVĐ là một việc làm ý nghĩa

và đã dành được sự quan tâm của GV và HS.

- Các biện pháp sư phạm hoàn toàn có thể chuyển giao để GV vận dụng

vào quá trình dạy học ở trường THPT thuận lợi và mang lại hiệu quả.

- Khả năng vận dụng TPHĐNT khi thực hiện hoạt động tìm hiểu và nhận

biết vấn đề, hoạt động tìm giải pháp trong tình huống vận dụng kiến thức vectơ,

tọa độ của HS sau thực nghiệm tốt hơn trước thực nghiệm. Chất lượng làm bài

kiểm tra của HS lớp TN cao hơn lớp ĐC. Điều này chứng tỏ năng lực GQVĐ

của HS bước đầu được nâng lên. Thực hiện các biện pháp đó sẽ trang bị được

các TPHĐNT cho HS, đồng thời góp phần vào việc bồi dưỡng năng lực GQVĐ

và góp phần nâng cao hiệu quả dạy học ở trường THPT.

- Mục đích thực nghiệm đã hoàn thành, tính hiệu quả và khả thi của các

biện pháp đã được khẳng định, đồng thời giả thuyết khoa học của luận văn có thể

82

được chấp nhận về mặt thực tiễn.

KẾT LUẬN CHUNG

Sau quá trình thực hiện đề tài “Dạy học nội dung vectơ và tọa độ ở

trường Trung học Phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn

đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh”,

chúng tôi đã đạt được những kết quả sau:

1. Hệ thống hóa các vấn đề về quá trình GQVĐ, dạy học GQVĐ, năng

lực GQVĐ. Đưa ra các quan niệm về quá trình GQVĐ, vấn đề, tình huống gợi

vấn đề, năng lực, năng lực GQVĐ và các thành tố của năng lực GQVĐ.

2. Hệ thống hóa các nghiên cứu về TPHĐNT. Đề xuất một số TPHĐNT

và đặc điểm của TPHĐNT. Hệ thống hóa các nghiên cứu về dạy học HH ở

trường THPT. Nghiên cứu thực trạng dạy học vectơ, tọa độ theo hướng trang bị

TPHĐNT cho HS ở trường THPT.

3. Xác định các định hướng dạy học nội dung vectơ, tọa độ theo hướng

bồi dưỡng năng lực GQVĐ thông qua trang bị một số TPHĐNT. Xây dựng 2

biện pháp dạy học nội dung vectơ, tọa độ theo bồi dưỡng năng lực GQVĐ

thông qua trang bị một số TPHĐNT cho HS.

4. Tổ chức thực nghiệm để minh họa cho tính khả thi và tính hiệu quả

của các biện pháp sư phạm đã đề xuất.

Với những kết quả trên, đề tài nghiên cứu đã đạt được những mục đích

83

và nhiệm vụ đặt ra, giả thuyết khoa học là chấp nhận được.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Bộ Giáo dục và Đào tạo, Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán,

ngày 26 tháng 12 năm 2018.

2. Bộ Giáo dục và Đào tạo, Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, ngày

26 tháng 12 năm 2018.

3. Lê Thị Hoài Châu (2008), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung

học phổ thông, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh.

4. Nguyễn Văn Cường (2010), Một số vấn đề chung về đổi mới phương pháp

dạy học ở trường trung học phổ thông, Bộ Giáo dục và Đào tạo, Dự án

phát triển giáo dục trung học phổ thông.

5. Dự án Việt - Bỉ (2000), Dạy học các kĩ năng tư duy, Hà Nội.

6. Dự án Việt - Bỉ (2000), Dạy học các kĩ năng tư duy, lý luận và thực tiễn

(lược dịch), Hà Nội.

7. Đảng Cộng sản Việt Nam (2013), Nghị quyết số 29 NQ/WT của Ban Chấp

hành Trung ương về đổi mới căn bản toàn diện giáo dục và đào tạo đáp

ứng yêu cầu công nghiệp hóa hiện đại hóa, trong điều kiện kinh tế thị

trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế.

8. Phạm Minh Hạc (1992), Một số vấn đề về tâm lí học, Nhà xuất bản Giáo dục.

9. Phạm Minh Hạc (1997), Tâm lí học, Nhà xuất bản Giáo dục.

10. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên

(2006) Hình học 10, Nhà xuất bản Giáo dục.

11. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên

(2006) Sách giáo viên Hình học 10, Nhà xuất bản Giáo dục.

12. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên

(2006) Bài tập Hình học 10, Nhà xuất bản Giáo dục.

13. Trần Kiều (1999), Đổi mới phương pháp dạy học ở trường Trung học cơ

sở, Viện Khoa học Giáo dục.

14. Trần Kiều (2012), Mục tiêu môn toán trong trường phổ thông Việt Nam,

84

Báo cáo tại hội thảo Việt Nam - Đan Mạch.

15. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất bản

Đại học Sư phạm.

16. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1997), Phương pháp dạy học môn

Toán, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

17. Trần Luận (2011), Một số suy nghĩ về chương trình và sách giáo khoa

môn Toán Phổ thông Trung học ở nhà trường phổ thông nước ta: Từ sau

cải cách đến đổi mới và những đề xuất cho chương trình sau 2015, Kỷ

yếu hội thảo quốc gia về giáo dục toán học ở nhà trường phổ thông, Nhà

xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

18. Trần Luận (2011), Về cấu trúc năng lực toán học, Kỷ yếu hội thảo quốc

gia về giáo dục toán học ở nhà trường phổ thông, Nhà xuất bản Giáo dục

Việt Nam.

19. Nguyễn Đức Minh (chủ biên), Hướng dẫn đánh giá năng lực của HS cuối

cấp tiểu học, Nxb Giáo dục Việt Nam

20. Vương Dương Minh (2011), Phát hiện GQVĐ - Phương pháp chủ đạo

trong nhà trường, Kỷ yếu hội thảo quốc gia về giáo dục toán học ở nhà

trường phổ thông (2011), Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

21. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học môn Toán ở

trường phổ thông, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.

22. Nguyễn Lan Phương (2000), Cải tiến phương pháp dạy học toán với yêu

cầu tích cực hóa hoạt động học tập theo hướng giúp HS phát hiện và

23. Polya G.(2010), Sáng tạo toán học, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

24. Polya G. (1997), Giải một bài toán như thế nào?, Nhà xuất bản Giáo dục

GQVĐ, Luận án tiến sĩ Giáo dục, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam.

Việt Nam.

25. Polya G. (1997), Toán học và những suy luận có lí, Nhà xuất bản Giáo

dục Việt Nam.

26. Phạm Đức Quang (2012), Giáo trình đào tạo tiến sĩ Tổng quan về lịch sử

85

toán học, Viện khoa học Giáo dục.

27. Phan Anh Tài (2014), Đánh giá năng lực GQVĐ của HS trong dạy học

toán lớp 11 trung học phổ thông, Luận án tiến sĩ Giáo dục học, Trường

Đại học Vinh, Vinh.

28. Từ Đức Thảo (2012), Bồi dưỡng năng lực phát hiện và GQVĐ cho HS

Trung học phổ thông thông qua dạy học hình học, Luận án Tiến sĩ Giáo

dục học, Trường Đại học Vinh, Nghệ An.

29. Nguyễn Thị Hương Trang (2002), Rèn luyện năng lực giải toán theo

hướng phát hiện và GQVĐ một cách sáng tạo cho HS khá giỏi trường

Trung học phổ thông, Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Viện Khoa học Giáo

dục, Hà Nội.

30. Trần Thúc Trình (2003), Rèn luyện tư duy trong dạy học toán, Đề cương

môn học, Viện khoa học Giáo dục Việt Nam.

31. Nguyễn Anh Tuấn (2002), Bồi dưỡng năng lực phát hiện và GQVĐ cho

HS THCS trong dạy học khái niệm toán học (thể hiện qua một số khái

niệm mở đầu đại số ở THCS), Luận án tiến sĩ Giáo dục học, Viện Khoa

học Giáo dục, Hà Nội.

32. Thịnh Thị Bạch Tuyết (2016) “Dạy học Giải tích ở trường Trung học Phổ

thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang

bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh”. Luận án Tiến sĩ

khoa học Giáo dục, Viện khoa học Giáo dục Việt Nam.

33. Nguyễn Quang Uẩn, Trần Hữu Luyến, Trần Quốc Thành (1997), Tâm lí

học đại cương, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội.

Tiếng Anh

34. Carla Amoirudder (2006), Problem solving: case studies investigating the

strategies by secondary American and Singaporean students, A

Dissertation submitted to the Department of Middle and Secondary

Education in partial fulfillment of the requirements for the degree of

86

Doctor of Philosophy, The Florida state university college of Education.

35. Robert McIntosh, Denise Jarrett (2000), Teaching mathematical problem

soving implementing the vision, Mathematics and Science Education Center.

36. Sean Yee (2006), Enhancing Mathematical Problem-Solving Skills by

Extended Responses, Presented in partial fulfillment of the requirements

for the Degree of Master of Education in the Graduate School of The Ohio

87

State University.

PHẦN PHỤ LỤC

Phụ lục 1: PHIẾU THĂM DÒ Ý KIẾN GIÁO VIÊN

TRONG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

Kính gửi Quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp!

Phiếu này nhằm mục đích nghiên cứu khoa học. Quý thầy, cô vui lòng

cho biết ý kiến của mình về một số vấn đề sau đây:

Câu trả lời nào thích hợp, Thầy/ Cô đánh dấu x vào ô trống  tương ứng

(Có thể chọn nhiều câu trả lời).

Họ tên: ................................................... Tuổi: ................... . Dạy lớp: ......................

Trường THPT: ....................................... ............................... Tỉnh: ..........................

Số năm dạy học: ..................................... ............................... ....................................

Câu 1: Trong quá trình dạy học toán Thầy/Cô có quan tâm đến việc trang bị

cho học sinh các thủ pháp hoạt động nhận thức nào trong các thủ pháp hoạt

động nhận thức sau đây:

Thủ pháp chia nhỏ đối tượng Thủ pháp sử dụng yếu tố 1 3 phức hợp trung gian

Thủ pháp dịch chuyển bài Thủ pháp tạo tình huống 2 4 toán cụ thể

Ý kiến khác (xin ghi rõ):

Câu 2: Việc trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức được Thầy/ Cô quan tâm

trong những tình huống dạy học nào?

1 Dạy học khái niệm.

2 Dạy học định lí.

3 Dạy học quy tắc và phương pháp.

4 Dạy học giải bài tập.

Câu 3: Trong quá trình dạy học, Thầy/ Cô có quan tâm đến việc trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức ở giai đoạn nào trong quá trình thực hiện hoạt động giải quyết vấn đề?

1 Tìm hiểu và nhận biết vấn đề

2 Tìm giải pháp

3 Thực hiện giải pháp

4 Nghiên cứu sâu giải pháp

Câu 4: Theo Thầy/ Cô yếu tố nào giúp việc trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức cho HS mang lại hiệu quả?

1 Lập kế hoạch trang bị các thủ pháp hoạt động nhận thức cùng với nội dung giảng dạy.

2 Trang bị thủ pháp trên cơ sở mô tả nội dung của thủ pháp hoạt động nhận thức kết hợp với tình huống cụ thể.

3

Hình thành thủ pháp theo các giai đoạn giai đoạn cụ thể (chẩn đoán, tạo động lực, hiểu biết về bản chất của thủ pháp hoạt động nhận thức, áp dụng và chuyển giao).

4 Thiết kế các nội dung dạy học đặc biệt để trang bị các thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh.

5 Các yếu tố khác (xin ghi rõ):

Câu 5: Theo Thầy/ Cô có những khó khăn nào trong việc trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức cho HS trong quá trình dạy học Toán?

1 HS chưa có sự linh động, mềm dẻo trong suy nghĩ giải quyết các vấn đề gặp phải.

2

HS chưa nhận thức được tầm quan trọng của các thủ pháp hoạt động nhận thức trong dạy học toán và trong thực hiện giải quyết các vấn đề.

3 Trình độ HS chưa đồng đều.

4 GV chưa quan tâm nhiều đến trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức cho HS.

5 Ý kiến khác (xin ghi rõ):

Câu 6: Trong quá trình dạy học toán, việc trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh đã được Thầy/ Cô quan tâm như thế nào?

1 Thường xuyên quan tâm 3 Ít quan tâm

2 Quan tâm 4 Không quan tâm

Học sinh được trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức có nhiều thuận lợi trong tìm hiểu và nhận biết vấn đề. HS có thể sử dụng thủ pháp để

1

nhận dạng vấn đề, phát biểu vấn đề, giải thích các thông tin đưa ra

nhanh chóng.

2

Học sinh được trang bị thủ pháp có nhiều thuận lợi trong tìm giải pháp. HS có thể sử dụng thủ pháp để thu thập thông tin, đánh giá

thông tin, xác định cách thức và chiến lược giải quyết vấn đề.

Học sinh được trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức có nhiều thuận

3

lợi trong thực hiện giải pháp. HS có thể sử dụng thủ pháp để lập kế

hoạch và trình bày giải pháp.

Học sinh sử dụng các thủ pháp thủ pháp hoạt động nhận thức được

4

trang bị để nghiên cứu sâu giải pháp, từ đó xây dựng vấn đề mới và đề

xuất các giải pháp mới.

5 Ý kiến khác (xin ghi rõ):

Câu 7: Theo Thầy/ Cô trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh có mang lại hiệu quả gì trong quá trình giải quyết vấn đề?

Học sinh chưa quan tâm nhiều đến giải quyết những vấn đề trong dạy

1

học khái niệm vì các em xem nhẹ học khái niệm.

2

Học sinh ít quan tâm đến tìm hiểu vấn đề, khi đứng trước một vấn đề các em thường chỉ xem xét vấn đề một cách lướt qua, chưa biết cách tìm hiểu các thông tin đã cho trong tình huống.

3

Học sinh tìm được hướng giải các em nghĩ là đã xong và thường không quan tâm đến việc thực hiện giải pháp tìm được.

4

Trình độ học sinh không đồng đều nên hiệu quả của sử dụng thủ pháp để giải quyết vấn đề với mỗi học sinh là khác nhau.

5 Ý kiến khác (xin ghi rõ):

Câu 8: Theo Thầy/ Cô có những khó khăn nào trong quá trình dạy học sinh sử dụng thủ pháp hoạt động nhận thức để thực hiện các hoạt động giải quyết vấn đề?

Câu 9: Theo Thầy/ Cô thủ pháp hoạt động nhận thức có các đặc điểm nào sau đây?

1 Thủ pháp hoạt động nhận thức hỗ trợ việc ghi nhớ và lĩnh hội kiến thức.

2 Thủ pháp hoạt động nhận thức giúp rút ngắn quá trình giải quyết vấn đề.

3 Thủ pháp hoạt động nhận thức mang tính có điều kiện.

4 Các thủ pháp hoạt động nhận thức có mối liên hệ với nhau lẫn nhau.

5 Các đặc điểm khác (xin ghi rõ):

Câu 10: Thầy/Cô cho biết trong cách viết nội dung vectơ, tọa độ trong sách giáo khoa hiện hành về nội dung lí thuyết, câu hỏi và bài tập có thể đáp ứng được với yêu cầu hình thành thủ pháp hoạt động nhận thức cho chưa?

1 Nội dung vectơ, tọa độ trong sách giáo khoa chưa thể hiện ý tưởng hình thành thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh.

2 Trong sách giáo khoa một số câu hỏi và bài tập có thể khai thác để trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh.

3 Sách giáo khoa còn thiếu nhiều dạng câu hỏi và bài tập để trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh.

Câu 11: Những đề xuất của Thầy/Cô về vấn đề trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức cho HS để góp phần bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, từ đó nâng cao hiệu quả của việc dạy học Toán nói riêng và đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học nói chung: ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

Trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và cộng tác của quý Thầy, Cô!

Phụ lục 2: KẾT QUẢ XỬ LÍ PHIẾU THĂM DÒ Ý KIẾN GIÁO VIÊN TRONG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

Câu 1: Trong quá trình dạy học toán Thầy/Cô có quan tâm đến việc trang bị

cho học sinh các thủ pháp hoạt động nhận thức nào trong các thủ pháp hoạt

động nhận thức sau đây:

Đánh dấu chọn Để trống STT Nội dung % SL % SL

1 Thủ pháp chia nhỏ đối tượng phức hợp 86,7 13,3 2 13

2 Thủ pháp dịch chuyển bài toán 9 60 40 6

3 Thủ pháp sử dụng yếu tố trung gian 3 20 80 12

4 4 Thủ pháp tạo tình huống cụ thể 26,7 11 73,3

Câu 2: Việc trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức được Thầy/ Cô quan tâm

trong những tình huống dạy học nào?

Đánh dấu chọn Để trống STT Nội dung % SL % SL

1 Dạy học khái niệm. 60 6 40 9

2 Dạy học định lí. 33,3 10 66,7 5

3 Dạy học quy tắc và phương pháp. 46,7 8 53,3 7

4 Dạy học giải bài tập. 73,3 4 26,7 11

Câu 3: Trong quá trình dạy học, Thầy/ Cô có quan tâm đến việc trang bị thủ

pháp hoạt động nhận thức ở giai đoạn nào trong quá trình thực hiện hoạt động

giải quyết vấn đề?

Đánh dấu chọn Để trống STT Nội dung % SL % SL

1 Tìm hiểu và nhận biết vấn đề 86,7 2 13,3 13

2 Tìm giải pháp 80 3 20 12

3 Thực hiện giải pháp 33,3 10 66,7 5

4 Nghiên cứu sâu giải pháp 13,3 13 86,7 2

Câu 4: Theo Thầy/ Cô yếu tố nào giúp việc trang bị thủ pháp hoạt động nhận

thức cho HS mang lại hiệu quả?

Đánh dấu chọn Để trống

Nội dung

STT

SL

%

SL %

Lập kế hoạch trang bị các thủ pháp hoạt động

1

12

80

3

20

nhận thức cùng với nội dung giảng dạy.

Trang bị thủ pháp trên cơ sở mô tả nội dung của

2

thủ pháp hoạt động nhận thức kết hợp với tình

6

40

9

60

huống cụ thể.

Hình thành thủ pháp theo các giai đoạn giai đoạn

cụ thể (chẩn đoán, tạo động lực, hiểu biết về bản

3

4

26,7

11 73,3

chất của thủ pháp hoạt động nhận thức, áp dụng

và chuyển giao).

Thiết kế các nội dung dạy học đặc biệt để trang bị

4

10

66,7

5

33,3

các thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh.

Câu 5: Theo Thầy/ Cô có những khó khăn nào trong việc trang bị thủ pháp

hoạt động nhận thức cho HS trong quá trình dạy học Toán?

Đánh dấu chọn Để trống

STT

Nội dung

SL

%

SL %

HS chưa có sự linh động, mềm dẻo trong suy

1

14

93,3

1

6,7

nghĩ giải quyết các vấn đề gặp phải.

HS chưa nhận thức được tầm quan trọng của các

2

thủ pháp hoạt động nhận thức trong dạy học

10

66,7

5

33,3

toán và trong thực hiện giải quyết các vấn đề.

3

Trình độ HS chưa đồng đều.

13

86,7

2

13,3

GV chưa quan tâm nhiều đến trang bị thủ

4

12

80

3

20

pháp hoạt động nhận thức cho HS.

Ý kiến khác: Câu hỏi và bài tập trong sách giáo khoa mang tính chất cơ bản,

5

chưa đa dạng, khó khăn cho GV trong việc trang bị thủ pháp hoạt động nhận

thức cho HS.

Câu 6: Trong quá trình dạy học toán, việc trang bị thủ pháp hoạt động nhận

thức cho học sinh đã được Thầy/ Cô quan tâm như thế nào?

Đánh dấu chọn

Để trống

STT

Nội dung

SL

%

SL

%

1

Thường xuyên quan tâm

2

13,3

13

86,7

2

Quan tâm

9

60

6

40

3

Ít quan tâm

4

26,6

11

73,3

4

Không quan tâm

1

6,7

14

93,3

Câu 7: Theo Thầy/ Cô trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh có

mang lại hiệu quả gì trong quá trình giải quyết vấn đề?

Đánh dấu chọn Để trống

STT

Nội dung

SL

%

SL %

Học sinh được trang bị thủ pháp hoạt động nhận

thức có nhiều thuận lợi trong tìm hiểu và nhận

1

biết vấn đề. HS có thể sử dụng thủ pháp để nhận

13

86,7

2

13,3

dạng vấn đề, phát biểu vấn đề, giải thích các

thông tin đưa ra nhanh chóng.

Học sinh được trang bị thủ pháp có nhiều thuận

lợi trong tìm giải pháp. HS có thể sử dụng thủ

2

pháp để thu thập thông tin, đánh giá thông tin, xác

định cách thức và chiến lược giải quyết vấn đề.

14

93,3

1

6,7

Học sinh được trang bị thủ pháp hoạt động

nhận thức có nhiều thuận lợi trong thực hiện

3

11

73,3

4

26,7

giải pháp. HS có thể sử dụng thủ pháp để lập

kế hoạch và trình bày giải pháp.

Học sinh sử dụng các thủ pháp thủ pháp hoạt

động nhận thức được trang bị để nghiên cứu

4

12

80

3

20

sâu giải pháp, từ đó xây dựng vấn đề mới và đề

xuất các giải pháp mới.

Câu 8: Theo Thầy/ Cô có những khó khăn nào trong quá trình dạy học sinh sử dụng

thủ pháp hoạt động nhận thức để thực hiện các hoạt động giải quyết vấn đề?

Đánh dấu chọn Để trống

STT

Nội dung

SL

%

SL %

Học sinh chưa quan tâm nhiều đến giải quyết

1

những vấn đề trong dạy học khái niệm vì các

11

73,3

5

26,7

em xem nhẹ học khái niệm.

Học sinh ít quan tâm đến tìm hiểu vấn đề, khi

đứng trước một vấn đề các em thường chỉ xem

13

86,7

2

13,3

2

xét vấn đề một cách lướt qua, chưa biết cách tìm

hiểu các thông tin đã cho trong tình huống.

Học sinh tìm được hướng giải các em nghĩ là đã

3

xong và thường không quan tâm đến việc thực

10

66,7

5

33,3

hiện giải pháp tìm được.

Trình độ học sinh không đồng đều nên hiệu quả

4

của sử dụng thủ pháp để giải quyết vấn đề với

14

93,3

1

6,7

mỗi học sinh là khác nhau.

Câu 9: Theo Thầy/ Cô thủ pháp hoạt động nhận thức có các đặc điểm nào sau đây?

Đánh dấu chọn Để trống STT Nội dung SL % SL %

Thủ pháp hoạt động nhận thức hỗ trợ việc 1 13 86,7 2 13,3 ghi nhớ và lĩnh hội kiến thức.

Thủ pháp hoạt động nhận thức giúp rút 2 12 80 3 20 ngắn quá trình giải quyết vấn đề.

Thủ pháp hoạt động nhận thức mang tính 3 7 46,7 8 53,3 có điều kiện.

Các thủ pháp hoạt động nhận thức có mối 4 6 40 9 60 liên hệ với nhau lẫn nhau.

Câu 10: Thầy/Cô cho biết trong cách viết nội dung vectơ, tọa độ trong sách

giáo khoa hiện hành về nội dung lí thuyết, câu hỏi và bài tập có thể đáp ứng

được với yêu cầu hình thành thủ pháp hoạt động nhận thức cho chưa?

Đánh dấu chọn Để trống STT Nội dung SL % SL %

Nội dung vectơ, tọa độ trong sách giáo khoa

1 chưa thể hiện ý tưởng hình thành thủ pháp 7 46,7 8 53,3

hoạt động nhận thức cho học sinh.

Trong sách giáo khoa một số câu hỏi và bài

2 tập có thể khai thác để trang bị thủ pháp 11 73,3 4 26,7

hoạt động nhận thức cho học sinh.

Sách giáo khoa còn thiếu nhiều dạng câu

3 hỏi và bài tập để trang bị thủ pháp hoạt 9 60 6 40

động nhận thức cho học sinh.

Câu 11: Những đề xuất của Thầy/Cô về vấn đề trang bị thủ pháp hoạt động

nhận thức cho HS để góp phần bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học

sinh, từ đó nâng cao hiệu quả của việc dạy học Toán nói riêng và đáp ứng yêu

cầu đổi mới phương pháp dạy học nói chung:

- Khi chuẩn bị dạy một nội dung toán học cụ thể, GV cần xây dựng hệ

thống câu hỏi chi tiết, logic, có tính chất gợi mở để trang bị TPHĐNT cho HS.

- Hệ thống câu hỏi và bài tập trong sách giáo khoa chưa phong phú, GV

có thể tổ chức cho HS học tập các chuyên đề toán học để trang bị TPHĐNT

cho HS trong các tiết học tự chọn.

- Sách giáo khoa cần được bổ sung hệ thống câu hỏi để hình thành được

TPHĐNT cho HS.

- Dựa vào mục đích và yêu cầu của bài học, cần phải xác định cụ thể các

TPHĐNT trang bị trong từng tiết học.

Phụ lục 3: GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM

Bài 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA (Tiết 02)

I. MỤC TIÊU:

1. Kiến thức:

 Nắm được định nghĩa vectơ và những khái niệm quan trọng liên quan

đến vectơ như: sự cùng phương của hai vectơ, độ dài của vectơ, hai

vectơ bằng nhau, …

 Hiểu được vectơ là một vectơ đặc biệt và những qui ước về vectơ .

2. Kĩ năng:

 Biết chứng minh hai vectơ bằng nhau, biết dựng một vectơ bằng vectơ

cho trước và có điểm đầu cho trước.

3. Thái độ:

 Rèn luyện óc quan sát, phân biệt được các đối tượng.

4. Hình thành và phát triển năng lực:

– Hứng thú trong học tập, tích cực phát huy tính độc lập trong học tập.

– Cẩn thận, chính xác, trí tưởng tượng hình học phong phú.

II. CHUẨN BỊ:

1. Giáo viên: Giáo án, phiếu học tập.

2. Học sinh: SGK, vở ghi. Đọc trước bài học.

III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:

1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.

2. Kiểm tra bài cũ:

H. Thế nào là hai vectơ cùng phương? Cho hình bình hành ABCD. Hãy

chỉ ra các cặp vectơ cùng phương, cùng hướng?

Đ. cùng hướng,…

3. Giảng bài mới:

Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm hai vectơ bằng nhau

- Mục tiêu: Hiểu được khái niệm hai vectơ bằng nhau, trang bị

TPHĐNT giúp học sinh nắm vững khái niệm hai vectơ bằng nhau. Định hướng

HS chia nhỏ khái niệm thành các điều kiện giúp ghi nhớ khái niệm lâu hơn.

- Phương pháp: Vấn đáp, gợi mở.

- Hình thức tổ chức: Hoạt động cá nhân.

- Phương tiện dạy học : Bảng phụ.

Nội dung Hoạt động của HS Hoạt động của GV

- Khoảng cách giữa - Thế nào là độ dài đoạn 3. Hai vectơ bằng nhau.

thẳng ? hai đầu mút của đoạn - Khoảng cách giữa điểm

thẳng. - Giới thiệu khái niệm đầu và điểm cuối của vectơ

là độ dài vectơ. - Nhận biết khái niệm độ dài vectơ và kí hiệu

độ dài vectơ. độ dài vectơ và kí Kí hiệu độ dài vectơ AB là

hiệu độ dài vectơ. = AB

- Nhận biết vectơ đơn - Giới thiệu khái niệm = 1 thì gọi là vectơ vị. vectơ đơn vị.

đơn vị.

- Chúng có cùng độ - Khi nào hai đoạn thẳng

dài. bằng nhau?

- Đưa ra dự đoán. - Định nghĩa: (SGK) - Cho HS dự đoán sự

bằng nhau của hai vectơ.

- Giới thiệu định nghĩa

về hai vectơ bằng nhau. - Phát biểu định nghĩa.

Nội dung Hoạt động của HS Hoạt động của GV

- Chỉ ra các vectơ - Treo bảng phụ vẽ các

bằng nhau và không vectơ và yêu cầu HS

bằng nhau. nhận biết các vectơ bằng

hướng

nhau.

= - Vậy để hai vectơ bằng và

nhau cần phải thỏa mãn - Hai vectơ được gọi là bằng nhau

những điều kiện nào? nếu chúng thỏa mãn

(GV hướng dẫn HS chia hai điều kiện sau:

dấu hiệu bản chất của Chú ý : ( SGK) 1) cùng hướng

khái niệm thành hai điều với nhau;

kiện giúp HS nắm Chắc 2) hay . khái niệm.)

- Vẽ hình.

- Vẽ . Cho một điểm

O và yêu cầu HS vẽ một

- Chỉ có duy nhất một vectơ nhận O làm điểm

vectơ. đầu và bằng .

- Vẽ lục giác đều và - Có bao nhiêu vectơ

chỉ ra các vectơ bằng như vậy ?

vectơ . - Cho HS thực hiện Δ4.

Hoạt động 2: Tìm hiểu khái niệm Vectơ – không

- Mục tiêu: Hiểu được khái niệm Vectơ – không.

- Phương pháp: Vấn đáp, gợi mở.

- Hình thức tổ chức: Hoạt động cá nhân.

Nội dung Hoạt động của HS Hoạt động của GV

- Nêu khái niệm. - Giới thiệu khái niệm 4. Vectơ – không

vectơ không. - Khái niệm : vectơ có điểm

đầu và điểm cuối trùng

nhau gọi là vectơ không. - Lấy ví dụ và cho HS - Xác định điểm đầu,

xác định điểm đầu, điểm Ví dụ : ; ; = 0 điểm cuối của vectơ

cuối. ; . Kí hiệu vectơ không là - Độ lớn của vectơ - Bằng 0. Vậy = = = …với không là bao nhiêu ?

mọi điểm A, B, … - Giới thiệu kí hiệu - Chú ý lắng nghe, ghi Vectơ không cùng phương, vectơ không. nhận kiến thức. chiều với mọi vectơ. - Vectơ không có - Suy nghĩ trả lời. phương, chiều như thế

nào ?

4. Củng cố, dặn dò

– Nhấn mạnh các khái niệm hai vectơ bằng nhau, Vectơ không.

– Bài tập áp dụng:

Bài 1. Cho tứ giác . Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình

hành khi và chỉ khi .

Bài 2. Cho từ giác . Gọi và lần lượt là trung điểm của

các cạnh và . Chứng minh và .

 Bài 2, 3, 4 SGK trang 7.