BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN - TIN HỌC ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ MÃ SỐ: B.2007-19-18 MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2008
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN - TIN HỌC ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ MÃ SỐ: B.2007-19-18 MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2008
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN - TIN HỌC ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ MÃ SỐ: B.2007-19-18 MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2008
2
Tham gia thực hiện đề tài: GS.TS. Bedrich Puza . Trƣờng Đại học tổng hợp Masaryk Cộng hòa Czech.
3
MỤC LỤC
MỤC LỤC ................................................................................................................................. 3
TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ..................................................................................... 4
SUMMARY ............................................................................................................................... 6
NỘI DUNG CỦA BÁO CÁO.................................................................................................... 8
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... 19
PHỤ LỤC................................................................................................................................. 21
4
TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ
Tên đề tài: Một lớp bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm.
Mã số:B2007-19-18.
Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS. Nguyễn Anh Tuấn.
Tel: 08.330124. E-Mail: nguenanhtuan2512@Gmail.com.
Cơ quan chủ trì đề tài: Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp Hồ Chí Minh.
Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện:
Giáo sƣ,Tiến sỹ Bedrich Puza, bộ môn toán giải tích, khoa khoa học, trƣờng Đại học
tổng hợp Masaryk Cộng hòa Czech.
Thời gian thực hiện: tƣ tháng 4/2007 đến tháng 4/2009.
1.Mục tiêu nghiên cứu:
- Nghiên cứu điều kiện đủ cho việc giải đƣợc của hệ phƣơng trình vi phân hàm hoặc
phƣơng trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng bằng
phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm.
2.Nội dung chính:
- Nghiên cứu điều kiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên cho
hệ phƣơng trình vi phân thƣờng với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng bằng
phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm.
- Xây dựng một tiêu chuẩn hiệu quả cho việc giải đƣợc của hệ phƣơng trình vi phân
với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng bằng phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm.
- Nghiên cứu điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình vi phân
hàm bậc cao với điều kiện biên đƣợc xây dựng bằng phƣơng pháp đánh giá tiên
nghiệm.
- Xây dựng một tiêu chuẩn hiệu quả cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm cho phƣơng
trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng bằng phƣơng
pháp đáng giá tiên nghiệm.
3. Kết quả chính:
Kết quả chính của đề tài thu nhận đƣợc gồm bốn bài báo sau:
1).B.Puza and Nguyen Anh Tuan, On a bounảary value problem for system of
ordinary differential equatons, East-west Journal of Matematics,Vol.6. No.2 (2004), 139-
151.
2).Nguyen Anh Tuan, An effective crỉterion of solvability of boundary value
problems for a system of ordinary differential
5
equations. East-west Journal of Matematics,Vol.7. No. 1 (2005), 69-77. 3) Nguyễn Anh Tuấn, Một lớp bài toán biên cho phƣơng trình vi phân bậc cao, Tạp
chí KHOA HỌC.ĐHSP.TP.HCM, số 4(38), 2004. 51-59.
4) Nguyễn Anh Tuấn, Một tiêu chuẩn hiệu quả về tính giải đƣợc của bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao, Tạp chí KHOA HỌC. ĐHSP.TP.HCM, số 8(42),2006 62- 69.
6
SUMMARY
Project Title: A class of boundary value problems for functional differential equations.
Code number: B.2007-19-18.
Coordinator: Nguyen Anh Tuan. Assoc.Prof,Ph.D., Department of Mathematics-Computer
science.
Implementing Institution: Ho Chi Minh City University of Pedagogy.
Cooperating Institution: Department of Mathematical Analysis, Faculty of Science,
Masaryk University. Individuals attend the subject:
Bedrich Puza, Prof.Ph.D., Department of Mathematical Analysis, Faculty of Science,
Masaryk University.
Duration: From April, 2007 to April, 2009.
1)Objectives:
Studying sufficient conditions of solvability of boundary value problem for system of
ordinary differential equations or for functional differential equations of n-th order with
functional boundary conditions constructed by method of priori estimates.
2) Main contents:
-Studying sufficient conditions of existence and uniqueness of the solutions of
boundary value problem for systems for ordinary differential equations with functional
boundary conditions constructed by method of priori estimates.
-Constructing an effective criterion of solvability of boundary value problem for
system of ordinary differential equations with functional boundary conditions constructed by
method of priori estimates.
-Studying sufficient conditions of existence and uniqueness of the solution of
boundary value problem for functional differential equations of n-th order with functional
boundary conditions constructed by method of priori estimates.
7
- Constructing an effective criterion of solvability of boundary value problem for
functional differential equations of n-th order with functional boundary conditions
constructed by method of priori estimates.
Results obtained:
The main results had got as follows:
1) B.Puza and Nguyen Anh Tuan, On a boundary valueproblem for system of
ordinary differentiaỉ equations, East-west Journal of Matematics,Vol.6. No.2 (2004), 139-
151.
2) Nguyen Anh Tuan, An effective criterion of solvability of boundary value
problems for a system of ordinary differential equations. East-west Journal of
Matematics,Vol.7. No. 1 (2005) 69 - 77.
3) Nguyen Anh Tuan, On a boundary value problem functional differential equations
of n-th order, Journal of science, Ho Chi Minh city university of Pedagogy, Vol 4. (38) (12-
2004).51-59.
4) Nguyen Anh Tuan, An effective criterion of solvability of boundary value
problems functional differential equations of n-th order. Journal of science, Ho Chi Minh
City university of Pedagogy, Vol.8.(42) (7-2006).62-69.
8
NỘI DUNG CỦA BÁO CÁO
I.Tính cấp thiết và tổng quan về đề tài:
Lý thuyết bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm ra đời từ thế kỷ 18 nhƣ một
công cụ để giải quyết các bài toán vật lý, cơ học. Tuy nhiên đến nay nó còn phát triển mạnh
nhờ các ứng dụng rộng rãi và to lớn trong các lĩnh vực khác nhau của cuộc sống nhƣ: vật lý,
cơ học, kỹ thuật công nghệ, nông nghiệp, sinh học và kinh tế…
Song nghiên cứu và phát triển theo hƣớng này thực sự phát triển mạnh và thu đƣợc
nhiều kết quả mới bắt đầu từ năm 1997 do nhóm các nhà toán học Grudia và Cộng hòa Czech
dƣới sự dẫn dắt của giáo sƣ viện sỹ I.Kiguradze, viện trƣởng viện toán học Tbilisi. Các công
trình khai phá cho hƣớng nghiên cứu này đƣợc trình bày trong các công trình nhƣ [1],[2],[3],
...[10]...
Bài toán biên cho phƣơng trình vi phân với điều kiện biên dạng hàm trong các năm
gần đây đã đạt đƣợc một số kết quả trong [10], [11 ],....
II. Nội dung chính của đề tài.
Nội dung chính của đề tài gồm hai phần: bài toán biên cho hệ phƣơng trình vi phân và
bài toán biên cho phƣơng trình hàm bậc cao với cùng điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây
dựng bằng phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm. Xét bài toán biên cho hệ phƣơng trình vi
phân:
với điều kiện biên:
Trong đó với mỗi i ∈{1,...,n} hàm fi :[a,b] x Rn→R thỏa điều kiện Caratheodory, Φi là phiếm hàm tuyến tính không giảm trên không gian C([a,b]) và tập trung trên đoạn [ai,bi] [a,b] (có nghĩa là giá trị của hàm Φi chỉ phụ thuộc vào hàm số thu hẹp với đoạn [ai,bi] và đoạn này có thể suy biên thành một điểm) và φi là hàm số liên tục trên không gian Cn([a,b]).
Trƣờng hợp đặc biệt của điều kiện (2) là:
Điều kiện biên nhiều điểm
hay đặc biệt hơn là điều kiện biên dạng Cauchy-Nicoletti
9
i=1 : C([a,b]) → Rn ,
Các bài toán (1), (5) đã đƣợc nghiên cứu trong [16], [17],... Bài toán (1), (3) đã đƣợc nghiên cứu trong [16], [17]. Tƣơng tự bài toán (1), (4) đã đƣợc nghiên cứu trong [17],.... Các kết quả chính cho bài toán biên (1), (2) đƣợc đăng tải trong các bài báo [14], [15]. Sau đây ta nhắc lại một số kết quả chính mà tác giả đạt đƣợc trong bài báo [14]. Định nghĩa 1. Giả sử G= (gi)n
là toán tử
thuần nhất dƣơng không giảm. Ta nói nếu hệ bất phƣơng trình vi phân
với điều kiện biên
chỉ có nghiệm tầm thƣờng.
và các bất đẳng thức sau
Định lý 1. Giả sử đƣợc thực hiện Và Với mọi
10
Trong đó ωi: [a, b] xR+→ R+ là hàm số đo đƣợc đối với biến thứ nhất và không giảm đối với biên thứ hai,ri : R+ → R+ là hàm số không giảm và thỏa:
Khi đó bài toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm. Định lý 2. Giả sử các bất đẳng thức sau đƣợc thực hiện :
thỏa điều kiện (6).
với với Trong đó Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm. Để chứng minh các định lý 1, 2 ta dựa vào bổ đề đánh giá tiệm cận sau: Bổ đề 1. Giả sử điều kiện (6) đƣợc thực hiện. Khi đó với mỗi hằng số dƣơng ro > 0, ωo ∈ L([a,b],R+) và với mỗi X ∈ ACn ([a,b]) thỏa các bất đẳng thức sau : với điều kiện biên
11
đều tồn tại hằng số dƣơng p > 0 sao cho đánh giá sau xẩy ra:
Trong bài báo [15] ta sẽ xây dựng các tiêu chuẩn hiệu quả đề bài toán (1), (2) là giải đƣợc.
Các kết quả chính của bài báo gồm các định lý sau: Định lý 3. Giả sử trên [a,b] x Rn ta có:
và trên Cn ([a,b]) ta có
i,j=1’
Trong đó
ωi: [a, b] x R+ → R+, ri :R+ → R+ (i=1,... ,n) thỏa các điều kiện trong định lý l. và bán kính phổ của ma trận S=(Sij)n
bé hơn 1. Khi đó bài toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm. Định lý 4. Giả sử trên [a,b] x Rn các bất đẳng thức sau đƣợc thực hiện:
12
và trên Cn([a,b]) có
thỏa các điều kiện của
thỏa các điều kiện trong
Trong đó định lý 3. Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm. Định lý 5. Giả sử trên [a,b] x Rn ta có: và trên Cn ([a,b]) ta có Trong đó định lý 1 và là các phiếm hàm không giảm, thuần nhất dƣơng. Hơn nữa bán kính phổ của các ma trận
13
và
có bán kính bé hơn 1. Trong đó.
(i=1,...,n).
Khi đó bài toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm. Định lý 6. Giả sử trên [a, b] x Rn các bất đẳng thức sau đƣợc thực hiện:
và trên Cn([a,b]) có Trong đó hij, Ψij,gi (i,j=1,...,n) thỏa các điều kiện của định lý 5. Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm. Trong phần hai của đề tài chúng ta nghiên cứu tính giải đƣợc của phƣơng trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên nhƣ trên.
Xét phƣơng trình vi phân hàm bậc cao sau :
14
với điều kiện biên dạng hàm:
Trong đó toán tử f: C(n-1)([a,b]) →L([a,b]) , (i = l,2,...,n) thỏa mãn điều kiện Carathéodory.
Với mỗi i ∈ {l,....,n} phiếm hàm Φi trong (2) là tuyến tính, liên tục, không giảm trong không
gian C([a, b]) và tập trung trong đoạn [ai,bi] [a,b] (có nghĩa là giá trị của phiếm hàm Φi chỉ
phụ thuộc vào hàm số thu hẹp đối với đoạn [ai, bi] và đoạn này có thể suy biến thành một
điểm).
Ta luôn có thể giả thiết Φi (1) = 1. Trong điều kiện (2) các phiếm hàm φi. (i= 1, 2,..., n) là liên tục trong không gian Cn-1 ([a, b]).
Các trƣờng hợp riêng của điều kiên biên (25) là:
Điều kiện biên dạng Cauchy-Nicoleti
hay điều kiện biên dạng tuần hoàn
Nghiệm của bài toán (24), (25) là hàm số có đạo hàm đến cấp (n-1) liên tục tuyệt đối trên
đoạn [a,b] và thỏa phƣơng trình (24) hầu khắp nơi trên đoạn [a,b] và thỏa điều kiện biên (25).
Định nghĩa 2 : Giả sử
là các toán tử không giảm, liên tục và thuần nhất dƣơng, g(t) ∈ L([a,b]) Nếu hệ bất phƣơng
trình vi phân
với điều kiện
chỉ có nghiệm tầm thƣờng, chúng ta nói rằng:
Sản phẩn chính của phần này là các kết quả sau đây:
15
Định lý 7: Giả sử
(g,fo, Ψ1, , Ψn) ∈ Nic ([a, b], a1,...,an, b1,..., bn)
và f,φ1,...,φn của bài toán (24), (25) thực hiện các điều kiện sau : với mọi an ≤ t ≤ b, u ∈ Cn-1 ([a,b]) với mọi a < t < bn, u ∈ Cn-1 ([a,b]) với mọi u ∈ Cn-1 ([a,b]) , (i = 1,2 ...n).
Trong đó hàm số ω : [a, b] x R+ →R+ là đo đƣợc đối với biến thứ nhất và không giảm đối với biến thứ hai, hàm số r: R+→R+ là không giảm và thỏa
Khi đó bài toán biên (24), (25) có ít nhất một nghiệm.
Định lý 8: Giả sử điều kiện (28) đƣợc thực hiện và f,φ1,...,φn của bài toán (24), (25) thỏa các điều kiện sau :
với an ≤ t ≤ b , u,v ∈ Cn-1 ([a,b]) (321)
với a ≤ t ≤ bn, u,v ∈ Cn-1 ([a,b]) (322)
16
(33) với mọi u,v ∈ Cn-1([a, b])
Khi đó bài toán (24), (25) có duy nhất một nghiệm.
Định lý 9 . Giả sử các điều kiện sau là đƣợc thực hiện:
và
Trên C(n-l)([a,b]) điều kiện sau đƣợc thực hiện
Trong đó r , rij (i,j=l,2,...,n) là các số thực không âm ω:[a,b] x R+ → R+ là hàm đo đƣợc đo đối
với biến thứ nhất và không giảm đối với biến thứ hai và thỏa điều kiện (31).
(i=l,2,...,..n) là đơn điệu và
17
Trong đó Và Khi đó bài toán (24), (25) có ít nhất một nghiệm. Định lý 10. Giả sử các bất đẳng thức sau đƣợc thực hiện: và trong C(n-1)([a,b])
18
Trong đó các hàm số hi, ki và các hằng số rịj ,Si Và δi (i,j=l,2,...,n) thỏa các điều kiện trong
định lý 9.
Khi đó bài toán (24), (25) có duy nhất một nghiệm.
Các kết quả trên đƣợc chứng minh đầy đủ trong hai bài báo sau [12], [13] đƣợc đăng
trên tạp chí khoa học của trƣờng.Tuy nhiên các kết quả còn đúng hay không cho bài toán biên
dạng vall-Pussil hay bài toán biên không chính qui đến nay vẫn còn chƣa đƣợc tiếp tục xem
xét. Các kết quả trên cho phƣơng trình vi phân cũng đƣợc tác giả xem xét trong [10], [11].
19
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. I.Kiguradze and B.Puza, On boundary value problems for systems of linear
functional differential equations. Czechslovak. Math, J, 47 (1997) , No.2, 341- 373.
2. I.Kiguradze and B.Puza, Conti -Opial type theorems for systems of functional
differential equations (Russian). Differentsialnye Uravneniya, 33 (1997), No.2, 185 - 194.
3. I.Kiguradze and B. Puza, On the sovability of nonlinear boundary value problems
for fuctional differential equations .Georgian Math, J, 5 (1998) No. 3251- 262.
4. E.Barvyi, A.Lomtatidze, B.Puza. A not on the theorem on dịfferential inequalities,
Georgian Math, J, 7(2000), No.4, 627 - 631.
5. R.Hakl, On bounded solutions of systems of linear functional differential equations,
Georgian Math, J, (1999), No.5, 429 - 440.
6. R.Hakl, On some boundary value problems for systems of linear functional
differential equations, E.LQualitative Theory of Diff. Equ. (1999) No.10, 1-16.
7. R.Hakl, I.Kiguradze, B.Puza, Upper and lower solutions of boundary value
problems for functional differenial equatons and theorems on functional differential
inequalities, Georgian Math, J, 7(2000), No.3. 489 - 512.
8. R.Hakl, A.Lomatatidze, B.Puza, On periodic solutions of first order linear
functional differential equations, Nolin.Anal: Theory, Meth & Appl. 49(2002), 929 - 945.
9. I.Kiguradze, B.Puza, On boundary value problems for functional differential
equations. Mem. Differential Equutions Math. Phy. 12 (1997), 106 -113.
10. Nguyễn Anh Tuấn, On one class of sovable boundary value problems for ordinary
differential equation of n-th order, Comment. Univ. Carolin. 35, 2. (1994), 299 - 309.
11. Nguyễn Anh Tuấn, On an effective criterion of solvability of boundry value
problems for ordinary differential equation of n-th order. Arch. Math 41 (2005). No. 451-
460.
20
12. Nguyễn Anh Tuấn, Một lớp bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao,
Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp.HCM số 4(38), 2004.
13. Nguyễn Anh Tuấn, Một tiêu chuẩn hiệu quả về tính giải đƣợc của bài toán biên
cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao, Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp.HCM số 8 (42),
2005.
14. B. Puza and Nguyen Anh Tuan, On a boundary value problem for system of
ordinary differential equations, East-west Journal of Matematics, Vol 6 No.2 (2004), 139-
151.
15. Nguyen Anh Tuan, An effective criterion of solvability of boundary value
problems for a system of ordinary differential equations. East-west Journal of
Matematics,Vol.7. No. 1 (2005), 69-77.
16. I.Kiguradze, Some singular boudary value problem for ordinary dif-ferential
equations, (in Russian), Tbilisi Univ. Press, 1975.
17. I.Kiguradze, Boundary value problems for systems of ordinary differential
equations. (in Russian), Sovremennye Problemy matem., T30 (Itogi nauki I tech.,VINITI,
ANSSR, Moskva, 1987, 3-203).
21
PHỤ LỤC
EAST - WEST JOURNAL 0F MATHEMATICS
Volume 6 • Number 2 • December 2004
Executive Editors:
SOMPONG DHOMPONGSA DINH VAN HUYNH
Chiang Mai University Ohio University
Chiang Mai 50200 Thailand Athens, OH 45701, USA
sompongd@ chiangmai.ac.th huynh@bing.math.ohiou.edu
SURENDER K. JAIN MARION SCHEEPERS
Ohio University Boise State Uniyersity
Athens, OH 45701, USA Boise, Idaho, USA
jain@oucsace.cs.ohiou.edu marion@diainond.idbsu.edu
Managing Editor:
NGUYEN VAN SANH
Mahidol Univerity
Bangkok 10400,Thailand
frnvs @ mahidol. ac. th
BANGKOK - KHON KAEN
THAI LAND
ISSN 1513-489X
East - West J.of Mathematics : Vol. 6, No 2 (2004)pp. 139-151
ON A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A SYSTEM OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
Department of Mathematics
Masaryk University.
JanáCkovo nám. Sa, 662950 Brno, Czech Republic.
Department of Mathematics
University of Education
280 An Duong Vuong, Ho Chi Minh City, Viet Nam.
̇ ̌
New sufficient conditions of the existence and uniqueness of the so-lution of a boundary problem for a
system of ordinaxy differential equa-tions with certain functional boundary conditions are constructed by the
Abstract
method of a priori estimates. Introduction In this paper we give new sufficient conditions for the existence and the unique-ness of the
solution of the problem
where for each i ∈{1,…,n} fi: xRn → R satisfies the Carathéodory conditions, Φoi - the linear nondecreasing continuous functional on C((a,b)) is concentrated on ai, bi (i.e. the value of Φoi depends only on functions
Key words: boundary value problem with functional condition, functional differential equation, method of
priori estimates, differential inequalities.
2000 AMS Mathematics Subject Classification: 34A15, 34B10.
139
On a boundary problem for a system of ODE’s
140
restricted to ai, bi and the segment can be degenerated to a point) and φi is a continuous functional on Cn( ). In general Φ0i(1) = Ci (i = 1,... ,n). Without loss of generality we can suppose Φ0i=1(i=1,...,n), which simplifies the notation.
Special cases of the conditions (2) are presented by the series of formerly investigated
problems e.g.
and more specialised - Cauchy-Nicoletti problem
or periodical problem
Problems (1), (5) and (1), (6) were studied in the papers [4], [5]. Problem (1), (3) was
studied in [5], [6], [8] and [9], problem (1), (4) in [2], [3], similar results are also published in
[1]. Main result We adopt the following notation:
normed by,
then-dimensional real
(a, b)-a segment, space with points
Cn( ) and ACn( ) are, respectively, the spaces of continuous and ab-solutcly continuous n-dimensional vector-valued functions on with the norm
Lp( ) is space of functions integrablc on in p-th power with the norm
141
̇ ̌
If x= (Xi(t))ni=1 ∈ Cn( ) and y = (yi(t))ni=1 ∈ Cn( ), then x ≤ y if and only if xi(t) ≤ yi(t) for all t ∈ and i = 1,...,n. K( ) is the set of functions g : Rn →R
satisfying local Carathédory conditions, i.e. if g ∈ K( ),g(.,x) is measurable on for each x ∈ n, g(t,.) is continuous in rn for almost all t ∈ , and
Let us consider the problem (1), (2). Under the solution we understand abso-lutely continuous
n-dimensional vector-valued function on (a, b), which satisfies the equation (1) for almost all
t. ∈ and fulfils the boundary conditions (2).
: C → n, H =
and Ψ =
is a positively homogeneous nondecreasing operator. We say that
: → Definition Let G =
: Cn( ) →
if the system of differential inequalities
with boundary conditions
has only trivial solution
Theorem 1. Let the inequalities
On a boundary problem for a system of ODE’s
i=1, H=(hij)n
i,j=1 and Ψ = (Ψi)n
i=1 satisfy the condition (7), the functions
142 hold, where G = (gi)n
ωi : (a, b) x R+→R+ (i = 1,2,...,n) are measurable with regard to the first and nondecreasing to
the second argument,ri: R+ → R+ are nondecreasing and
then the problem (1), (2) has at least one solution.
For the proof of the Theorem 1 we need two following assertions and the first is
similar to lemma 4.1 from [4] about differential inequality with boundary conditions of
i(t,y1,...,yn)∈K( ), g*
i(t,y1,...,yn) sign (t-ti) be nondecreasing to arguments
Cauchy type. Lemma 1. Let g*
y1, y2 ,...,yi-1 ,yi+1,...,yn and each solution of the problem
i=1 ∈ ACn( ) of the problem (15),(16)
Where ti ∈ ,ci ∈ R i 1 … can be extended in the whole segment . Then for each solution (xi(t))n
i=1 defined in the segment (a,b) of the problem (13), (14) such that.
there exists o .solution (yi)n
Lemma 2. Let the condition (7) be satisfied. Then there exists a constant > 0 such that the
estimate
143
̇ ̌
i=1 ∈ ACn( ) exist for
holds for each constant ro > 0, ω0 ∈ L( ,R+) and for each solution x ∈ ACn((a, b)) of the differential inequalities
with boundary conditions Proof. By contradiction let rk ∈R+,ωk ∈ L( ,R+) and xk= (xik)n any natural k, such that
and We denote
On a boundary problem for a system of ODE’s
144
We get
On the other hand according to (21), (22)
And
Now for any i ∈ {1,... , n} and a natural k we choose a point tik ∈ ai, bi such that
then from (24), (25) and (26), we have
be the solution of the Cauchy-Nicolotti problem
and
Let
145
̇ ̌
then according to Lemma 1 and to the condition (27)
Formulae (29), (30) and (31) yield
According to (23), (29) and (32), we obtain
and
where
and
Formulae (23), (28), (30) and (31) imply, that
On a boundary problem for a system of ODE’s
∞ (i = 1,...,n) are uniformly bounded
146
From (34) and (35), it follows that the sequences {yik}k=1
and unifonnly continuous. According to the Lemma of Arzela-Ascoli, we can suppose
∞ (i=1,...,n) can be taken convergent as well. Denoting
without the loss of generality that these se-quences uniformly converge. The sequences of
points {yik}k=1
and
Clearly
(39) ti0 ∈ (ai, bi) (i = l,...,n)
Passing to the limit in the inequalities (33) and (37), using (23) we obtain
Let us introduce the functions
Then
and
i=1 is a solution of the problem (8), (9).
147
̇ ̌ From (39) - (43) it follows that (yi(t))n
Therefore according to the condition (7)
yi(t) ≡ 0(i=1,…,n)
On the other hand, (36) and (40) imply
i=1 ||Cm( a,b ) ≥1
||(yi(t))n
which is a contradiction and the lemma is proved. □
Proof of Theorem 1. Let be a constant from Lemma 1. Firstly, we want to show that there
exists a constant o>0 such that
where for any η ∈ (0, +∞)
Suppose (44) is not valid, then for any η ∈ (0, +∞)
On the other hand,(12) implies that for any k≥0 there exists a constant
[ ∫
ηo >k such that
] <
for all η ≥ηo , which is a contradiction and (44) is valid. Now we put
On a boundary problem for a system of ODE’s
148
We consider the problem
: a,b Rn → R(i= 1,... , n) satisfy the
From (45) and (46), it follows immediately that ̅
local Carathéodory conditions, ̅ i: Cn( a,b ) → R (i=1,... , n) are continuous functionals,
and
We want to show that the homogeneous problem
i=1 be an arbitrary solution of this
has only trivial solution. Let ̅= ( ̅i )n
) where Ci =const (i =1,...,n). problem. Then ̅i(t) =Ci exp ( ∫
According to (48o)
However, if Φ0i (i =1,...,n) are nondecroasing functionals and Φ0i(l) = 1(i=1,...,n), we have
Consequently
̅i(t) ≡0 (i=1,…,n)
149
̇ ̌
Using Lemma 2.1 from [3], we obtain that the conditions (49) and (50) and the unicity of
i=1 be the solution of the problem (47), (48), then
trivial solution of the problem (47o), (48o) guarantee the existence of solutions of the problem (47), (48). Let (yi(t))n
and
From here taking into consideration (101,2) and (11), we obtain inequalities (191,2) and (20),
where
and
Therefore by Lemma 2 and the inequality (44) we get
Consequently
Putting these equalities into (45) - (48), we obtain that (yi)ni=1 is a solution of the problem
(1), (2). The Theorem 1 is proved. □
Theorem 2. Let the inequalities
On a boundary problem for a system of ODE’s
150
i=1, H=(hij)n
i,j=1 and Ψ = (Ψi)n
i=1 satisỊy the condition (7). Then the
hold, where G =(gi)n
problem (1), (2) has unique solution.
Proof From (511,2) and (52) the conditions (101,2) and (11) follow, where ωi{t, ) =
|fi(t,0,...,0)| and ri( ) = |φi(0,... ,0)| (i =1,...,n). There - fore, by Theorem 1 the problem (1), (2)
be arbitrary solutions of the problem (1), (2). Let us put
has a solution. We shall prove its uniqueness.
is a solution of the system of
Let
The assumptions (511,2) guarantee that vector function
the differential inequalities (8) satisfying the conditions
However
Consequently the inequalities (9) are satisfied and atcording to the condition (7) the equalities
Theorem is proved.
yi(t)≡ 0 (i=l,...,n)
References
□ hold, i.e
[1] Kakabadze M.A., On a boundary value problem wit.h integral conditions
for systems of ordinary differential equations, (in Russian) Mat. cas 24, 1974, No. 3, 225 -
237.
[2] Kakabadzc M.A., On a singular boundary value problem for a system of
ordinary differential equations, (in Russian), Soobsc. AN Gruz, SSR, 70, No. 3, 1973, 548-
552.
151
̇ ̌
[3] Kakabadze M.A., Kiguradze I.T., On a boundary value problem for a sys-tem of
ordinary differential equations, (in Russian), Diff. Uravnẻnija 7 (1971), No. 9, 1161-1616.
[4] Kiguradze I.T., Some singular boundary value problems for ordinary dif-ferential
equations, (in Russian), Tbilisi Univ. Press, 1975.
[5] Kiguradze I.T., Boundary value problems for systems of ordinary differen-tial
equations, (in Russian), Sovremennye problemy matem., T 30 (Itogi nauki i tech., VINITI,
AN SSSR, Moskva, 1987, 3-203.)
[6] Kiguradze I.T., Puia B., Some boundary value problems for a system of ordinary
differential equations, (in Russian), Diff. Uravnẽnija 12 (1976), No. 12, 2138-2148.
[7] Levin V.I., On inequalities II, (in Russian), Mat. sbornik, 1938, 4 (46), No. 2, 309-
324.
[8] puza B., A singular boundary value problem for a system of ordinary differential
equations, (in Russian), Arch. Math. (Brno), 13 (1977), No. 4, 207-226.
[9] puza B., On solvability of some boundary value problems for a system of ordinary
differential equation, Scripta fac. sci. mat. UP (Brno), 10 (1980), No. 8, 411-426.
EAST-WEST
JOURNAL OF MATHEMATICS
Volume 6 ★ Number 2 ★ December 2004
Implementable quadratic regularization methods for solving
pseudomonotone equilibrium problems 101
Tran Dinh Quoc and Le Dung Muu
Direct sums of relative (quasi-)continuous modules 125
Chaehoon Chang, Kiyoichi Oshiro
Semidirect Product of a Monoid and a r-Semigroup 131
M.K. Sen and S. Chattopadhyay
On a boundary problem for a system of 0DE's 139
B. Puza and Nguyen Anh Tuan
A result on the instability of solutions of certain
non-autonomuous vector differential equations of fourth order 153
Cemil Tunc and Ercan Tunc
Ideal co-transforms of linearly compact modules 173
Tran Tuan Nam
Choquet Theorem for the space of continuous real-valued functions 185
Le Xuan Son, Vu Hong Thanh and Nguyen Nhuy
Structure of certain periodic rings and near rings 195
Asma Ali
Commuting mappings on right ideals in prime rings 201
Vincenzo De Fiiippis
EAST - WEST JOURNAL OF MATHEMATICS
Volume 7 • Number 1 • June 2005
Executive Editors
SOMPONG DHOMPONGSA DINH VAN HUYNH
Chiang Mai University Ohio University
Chiang Mai 50200, Thailand Athens, OH45701, USA
sompongd@chiangmai. ac. th huynh@bing. math. ohiou. edu
SURENDER K.JAIN MARION SCHEEPERS
Ohio University Boise State University
Athens, Ohio 45701, USA Boise, Idaho. USA
jain@oucsacc. cs. ohiou. edu marion@diamond. idbsu. edu
Managing Editor
NGUYEN VAN SANH
Mahidol University
Bangkok 10200, Thailand
frnvs@mahidol. ac.th
BANGKOK - KHON KAEN
THAILAND
ISSN 1513-489X
East - West J.of Mathematics : Vol. 7, No 1 (2005)pp. 69-77
AN EFFECTIVE CRITERION OF SOLVABILITY OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR A SYSTEM OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
Nguyen Anh Tuan
Mathematics - Computer Science Department University of Education
of Ho Chi Minh city 280 An Duong Vuong, Ho Chi Minh City, Viet Nam
Abstract
New criterion of solvability of boundary value problem for system of ordinary
differential equations with functional boundary conditions are constructed by method of
Introduction
a priori estimates.
In this paper we will apply our result in [1] to get a new effective criterion for the existence
where, for each i ∈ {1,...,n} fi : [x, b] Rn → Rn satisfies the Carathéodory conditions, Φ0i - the linear nondecreasing continuous functional on C ([a,b]) -is concentrated on [ai, bi]
and the uniqueness of the solutions of the following problem A:
[a,b] (i.e., the value of Φ0i depends only on func-
tions restricted to [ai, bi] and the segment can be degenerated a point) and φ i is a
continuous functional on C n([a,b]). In general Φ0i( 1 ) = C i (i = 1,..., n). Without loss of
generality we can suppose that Φ0i(l) =1(i =1,...,n) to
Key words: boundary value problem, priory estimate, continuous functional. 2000 AMS
Mathematics Subject Classification: 34K10
An effective criterion of solvability...
70
simplify the notation.
We adopt the following notations: [a,b]- a segment, -∞ < a ≤ a i ≤ b i ≤ b < +∞, (i = 1,. . . , n ) , Rn -n-dimensional
real space with point
Cn([a,b]) is the spaces of continuous n-dimensional vector-valued functions on [a,b]
with the norm
Lp([a,b]) is the space of integrable functions on [a,b] in p-power with the norm
Let us consider the Problem A. By a solution we mean an absolutely contin-uous n- dimensional vector-valued function on [a, b], which satisfies the equation (1) for almost t ∈ [a,b] and fulfills the boundary conditions (2) of Problem A.
2. Results
Definition Let
is a positively homogeneous nondecreasing oper- ator. We say
and that
if the system of differential inequalities (we call the Problem B)
71
i=1satisịy the condition (3),
ij=1 and Ψ = (Ψi)n
i=1, H = (hij)n
N.ANH TUAN
with boundary conditions has only one trivial solution. The following Theorem 1 and Theorem 2 have been proved in [1] and we state here for the convenience of the readers. Theorem 1. Suppose that the following inequalities hold: where G = (gi)n the functions ωi : [a, b] x Rn → R+ are measurable with regard to the first and nondecreasing to the second argument, ri : R+ →R+ are nondecreasing an Then the problem (1), (2) has át least one solution. Theorem 2. Suppose thát the ỊollovAng inequalities hold:
An effective criterion of solvability...
72
and
satisỊy the condition (3).
where Then the Problem A has a unique solution.
The main results in our note are Theorems 3, 4, 5 and 6. For clarity, we state our
theorems first before sketching their proofs.
Theorem 3. Consider [a, b] X Rn and for each i = 1, . . . , n , let
and in cn ( [ a , b ] ) , where
1 , . . . , n ), ω i : [a,b] R+ → R+ and ri : R+ → R+, satisfy the conditions o f
Theorem 1, and the spectral radius of the matrix S= ( )
is less than 1. Then the Problem A has at least one solution. Theorem 4. Consider [a, b] Rn and for each i = 1,..., n, let
73
N.ANH TUAN
and in cn([a, b]),
∈ R i 1 … satisfy the conditions of
where [ ] Theorem 3. Then the Problem A has a unique solution. The following theorem shows the existence of our problem. Theorem 5. Let in [a, b] xRn and for each i = 1,..., n
and in Cn([a, b]), i = 1, . . . , n where
gi ∈ L([a,b]) (i =1, . . . , n ) , ωi: [a,b] R+→R+ and ri: R+→R+, (i= 1, . . . , n ) satisfy the conditions of Theorem 1, the continuous functionals Ψij : C+ ( [ a , b]) →R+ are sublinear non-decreasing and the spectral radius of the matrices
and
are less than 1 where
An effective criterion of solvability...
74
Then Problem A has a solution.
And now for the uniqueness, we get Theorem 6. Consider [a, b] Rn and for each i = 1,..., n, let
and in cn([a, b ] ) , ( i = 1,..., n)
where gi, hij and i 1 … satisỊy the conditions in Theorem 5. Then the Problem A has a unique solution.
The proofs of our Theorems are based on the followoing two lemmas.
Lemma 7 Let (i , j = 1 , . . . , n )
be the solution of the problem Proof Let the vector function x(t) = (4), (5). We shall prove that this solution is zero. Choose ti [ai,bi] such that
where each i 1 … and the spectral radius of the matrix S with elements defined in Theorem 3 is less than 1. Then (3) holds for ( G , H , Ψ ) .
75
N.ANH TUAN
Then by intergrating relations (4) and using relations (5), (20) and Holder inequality, we obtain
and
By a lemma of Levin (see [2] lemma 4.7)
i,j=1...n is defined in Theorem 3. Since the spectral
Consequently we obtain from (23) that
where the E-matrix unit s = (Sij)n radius of the matrix is less than 1, it follows from (25) that
Therefore x i = 0 (i = 1,..., n), proving our Lemma 7.
Lemma8 Let gi : [a,b] →R, gi ∈ L([a,b]) (i = 1,... ,n), h i j ∈ Lpij {[a,b],R+),
where each Ψij : C+ ( [ a , b ] ) → R+ ( i =1,...,n) are sublinear nondecreasing continuous functionals and the spectral radius of the matrices Ψ*and S defìned in (17) is less than 1. Then (3) holds for (G, H, Ψ).
be the solution of the Problem
76 An effective criterion of solvability...
Proof Let the vector function x(t) = B. We shall prove that this solution is zero. Choose such that The by integrating (4) and using (5), Hõlder inequality and Lemma of Levin (see [3], Lemma 1.7) we obtain and Substituting the inequality (28) into boundary condition (5) and using (26), (27) we have
77
N.ANH TUAN
Since the spectral radius of the matrix Ψ* is less than 1, we get Consequently, from (29), (30) we obtain Since spectral of radius of the matrix s is less than 1, we obtain and our Lemma has been proved
Proofs of our Theorems We now can sketch the proofs of our results. By the above two Lemmas and using Theorem 1 and Theorem 2, we can get Theorem 3 and Theorem 4 easily. Applying Theorem 3 and Theorem 4, we can get Theorem 5 and Theorem 6 immediately as corollaries of Theorem 3 and Theorem 4. References
[1] B.Puza and Nguyen Anh Tuan, On a boundary value problems for systems
of ordinary differential equations, East-West Journal of Mathematics, Vol 6, No 2 (2004), 139-151.
[2] Kiguradeze.I.T, Some singluar boundary value of problems for ordinary
differential equations (in Russian), Tbilisi Univ. Press, 1975. [3] Levin V.I, On inequalities II (in Russian) Mat. sbornik, 1938, 4 (46), No.2,309 - 324
EAST-WEST JOURNAL OF MATHEMATICS
Volume 7 * Number 1 * June 2005
Principally quasi-Baer rings and generalized principally
quasi-Baer rings
Tai Keun Kwak 1
On a subclass of 5-dimensional Lie algebras which have
3-dimensional commutative derived ideals
Le Anh Vu 13
Self-similar Measures and Harmonic Analysis
23
t to lq
Tian-you Hu Inclusions among Multipliers from Lp
S. K. Gupta 45
Annihilator of Tensor Product of S-acts 51
Lili Ni and Yuqun Chen 51
Bounded p-variation in the mean
Rene Erlin Castillo 61
An effective criterion of solvability of boundary value problem
for a system of ordinary differential equations
Nguyen Anh Tuan 69
Normality conditions and commutativity Theorems for rings
Takasi Nagahara and Adil Yaqub 79
On Lie ideals and generalized derivations of prime rings
Asma AH, Shakir Ali and Rekha Rani 93
The lifting condition and fully invariant submodules
99
M. Tamer Kosan
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn
MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO
NGUYỄN ANH TUẤN*
Trong bài báo [1] tôi đã đƣa ra một số kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
một lớp bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao. Song các kết quả đó chƣa đƣợc
chứng minh đầy đủ và chính xác, do thiếu các kết quả về bài toán biên cho hệ phƣơng trình
hàm. Gần đây nhờ các kết quả trong [2] tôi có điều kiện hoàn thiện các kết quả nêu trên. Do
đó mục đích chính của bài báo là chứng minh đầy đủ các kết quả trong [1]. Trƣớc hết ta nhắc
lại bài toán.
Xét phƣơng vi phân hàm bậc cao
(1)
Với điều kiện biên dạng hàm
(2)
Trong đó f : thỏa mãn điều kiện Carathéodory.
Với mỗi i ∈{l, 2,..., n} phiếm hàm trong (2) là tuyến tính, liên tục, không giảm
trong không gian C (
Ta luôn có thể giả thiết Φi(1) = 1. Trong điều kiện (2) các phiếm hàm (φi(i= 1, 2, ...,n)
là liên tục trong không gian Cn-1 ( a, b ). Đinh nghĩa 1:
là Giả sử f0:
(t) | | |, a t b, ( i=1,..., n - 1)
các toán tử không giảm, liên tục và thuần nhất dƣơng, g(t) L (< a, b >)Nếu hệ bất phƣơng trình vi phân
|
(t) - g(t) . | f0 (| |....,| |) (t), a t b
(3)
|
* Tiến sĩ Khoa Toán - Tin Trƣờng ĐHSP TP.HCM.
51
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 4 năm 2004
φ1,..., φn
n-1 (< a, b >), (i = 1,2 ...n).
với điều kiện
chỉ có nghiệm tầm thƣờng, chúng ta nói rằng:
Định lý 1: Giả sử
của bài toán (1), (2) thực hiện các điều kiện sau:
với an ≤ t ≤ b, u ∈ Cn-1 (
giảm đối với biến thứ hai. Hàm số r: R + -> R+ là không giảm và Khi đó bài toán biên (1), (2) có ít nhất một nghiệm
Để chứng minh định lý 1 ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 1: Giả sử điều kiện (5) đƣợc thực hiện. Khi đó tồn tại một số p >0 sao cho đánh giá sau
xảy ra:
với mỗi hằng số r0 > 0, hàm số h0 ∈ L (
52
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn
(11)
thỏa mãn điều kiện:
min {|u(i-l) (t) |: ai ≤ t ≤ b i } ≤ Ψi (|u|,...,|u(n-1)|) + r0 , (i=1,...,n)
Chứng minh: Ta chứng minh bằng phản chứng, khi đó với mỗi số tự nhiên m,
tồn tại rm ∈ R+, hom ∈ L (
53
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 4 năm 2004
với mỗi i∈{ 1,2 . ., n} và với mỗi số tự nhiên m ≥ 1 ta chọn một điểm tim ∈
và
Giả sử pn,m(t)là nghiệm của bài toán Cauchy Khi đó từ các bất đẳng thức (171), (172) và theo bổ đề 4.1 trong [3] ta có: Nếu ta đặt Khi đó Từ (20), (21) và (24) ta có: Với a ≤ t ≤ b và Cùng với (16), (20) và (25) ta có: với
54
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn
Từ (16), (18), (23), (24) kéo theo và (31) . |Pim(tim)|≤ 1 , (i = 1, . . . , m = l ,2,...)
là
(i=l,2,...,n) là bị chặn Các đẳng thức (19), (27), (28) và (31) chỉ ra rằng dãy hàm { } đều và đồng liên tục đều. Do đó theo bổ đề Arzela-Ascoli và không mất tổng quát ta có thể giả sử rằng dãy đó là hội tụ đều. Ngoài ra ta có thể giả sử rằng dãy hội tụ. Đặt: và Khi đó Chuyển qua giới hạn đẳng thức (23) và các bất đẳng thức (26), (30) ta nhận đƣợc)
55
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 4 năm 2004
(38)
Ta lại đặt Khi đó từ (33) và (34) ta có Pio (t) ≤ Pi ( t ) , a ≤ t ≤ b và i 1 … i 1 … Đạo hàm hai vế của (35) cho ta Các bất đẳng thức (32), (36), (37), (38) (39) chỉ ra rằng là nghiệm của bài toán (3), (4). Do đó theo giả thiết (5) ta có: Mặt khác từ (29) và (38) ta nhận đƣợc
mâu thuẫn này chỉ ra rằng bổ đề đƣợc chứng minh.
Bây giờ ta á p dụng bổ đề 1 để chứng minh định lý 1.
Chứng minh định lý 1: Giả sử p là hằng số trong bổ đề 1. Theo (8) khi đó tồn tại số Po > 0 sao cho đặt Chúng ta xét bài toán
56
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn
thỏa điều kiện
là liên tục và
Φ i (v ( i - 1 ) ) = 0, (i= l,...n) (44 o)
Từ (41), (42) suy ra Carathéodory và Bây giờ ta chỉ ra rằng bài toán biên thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thƣờng Thật vậy giả sử v là một nghiệm tuy ý của bài toán này. Khi đó Thay vào (44 0) ta có: C. Φn (w) = 0
Tuy nhiên do Φn là hàm không giảm và Φn (1) = 1 nên chúng ta có: Do đó v(n-l) 0. Tiếp tục lập lại quá trình này ta nhận đƣợc v(t) = 0. Vậy bài toán thuần nhất (430), (440) chỉ có nghiệm tầm thƣờng.
Theo định lý 1.1 Irong [2] thì khẳng định trên và các bất đẳng thức (45), (46) suy ra rằng bài toán (43), (44) có ít nhất một nghiệm. Giả sử u là một nghiệm tùy ý của (43), (44). Chúng ta sẽ chỉ ra rằng Từ (6) ta nhận đƣợc
57
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 4 năm 2004
Với a ≤ t ≤ bn Mặt khác từ (7) ta có: Theo bổ đề 1 và (40) ta nhận đƣợc (47) khi đó đƣợc u là nghiệm của bài toán (1), (2). Định lý đƣợc chứng minh.
cùng với (41), (42) ta nhận
Cuối cùng ta nhắc lại định lý về sự duy nhất nghiệm của bài toán (1), (2)
với mọi u, v ∈ Cn-1 (
Định lý 2: Giả sử điều kiện (5) đƣợc thực hiện và f, φ1, . . . , φ 2 của bài toán (1), (2) thỏa các điều kiện sau: toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Anh Tuấn, Một lớp bài toán biên cho phƣơng trình hàm bậc cao,
Thông tin khoa học số 16 ( 11-1996) Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp. Hồ Chí Minh.
[2] I. Kiguradze, B.Puza (19-97), On boudary value problems for functional
differential equations. Mem. Differential Equations Math. Phys.12, 106-113.
[3] p. Hartman (1964), Ordinary differential equations, John Wiley & Sons.
58
Tóm tắt:
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn
Một lớp bài toán biên cho phƣơng trình vi phân bậc cao
Tác giả chứng minh một điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nh ất nghiệm
cho phƣơng trình hàm b ậc n với điều kiện biên dạng hàm đƣợc thiết lập bằng
Abstract:
phƣơng pháp đánh giá ti ệm can.
A class of boundary value problems
for high order differential equations
New sufficient conditions of the existence and uniqueness of the
solutions of the boundary problem for a functional differential equations o f
n-th order with certain functional boundary conditions are constructed by a
method of a priori estimates.
59
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 8 năm 2006
MỘT TIÊU CHUẨN HIỆU QUẢ VỀ TÍNH GIẢI ĐƢỢC CỦA BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO
NGUYỄN ANH TUẤN 1
Trong bài báo này tác giả sử dụng các kết quả trong [1] để đƣa ra các tiêu chuẩn hiệu
quả cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình vi phần hàm bậc cao.
Xét phƣơng trình vi phân hàm bậc cao :
thỏa mãn điều kiện
với điều kiện biên dạng hàm : Trong đó toán tử Carathéodory.
Với mỗi i ∈ {1, 2,..., n} phiếm hàm Φ i trong (2) là tuyến tính, liên tục, không giảm
trong không gian C ( [ a , b]) và tập trung trong đoạn [ a i , bi] ∈ [ a , b] (có nghĩa là giá trị của phiếm hàm Φ i chỉ phụ thuộc vào hàm số thu hẹp đối với đoạn [ai, bi] và đoạn này có thể suy biến thành một điểm).
Ta luôn có thể giả thiết Φ i (1) = 1. Trong điều kiện (2) các phiếm hàm Φ i (i = 1 , 2 , . . .
, n ) là liên tục trong không gian C n - 1 ( [ a , b ] ) .
Các trƣờng hợp riêng của điều kiện biên (2) là : Điều kiện biên dạng Cauchy-Nicoleti
hay điều kiện biên dạng tuần hoàn Cho r: [a, b] → K ta định nghĩa toán tử ST nhƣ sau :
1 T S , Khoa Toán - Tin học, Trƣờng ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh.
62
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn
Nghiệm của bài toán (1), (2) là hàm số có đạo hàm đến cấp (n - 1) liên tục tuyệt đối trên đoạn [ a , b ] , thỏa phƣơng trình (1) hầu khắp nơi trên đoạn [ a b] và thỏa điều kiện biên (2). Trƣớc hết ta nhắc lại các kết quả đã đạt đƣợc trong [1].
là các
Định nghĩa 1. Giả sử toán tử không giảm, liên tục và thuần nhất dƣơng, g ( t ) ∈ L ( [ a b ] ) . Nếu hệ bất phƣơng trình vi phân :
với điều kiện : chỉ có nghiệm tầm thƣờng, chúng t a nói rằng : Định lí 1. Giả sử của bài toán ( 1 ) , (2) thục hiện các điều kiện sau : với với mọi với mọi
Trong dó hàm số ω : [ a , b] R+ → R+ là đo đƣợc đối với biến thứ nhất và không
giảm đối với biến thứ hai. Hàm số r : R+ → R+ là không giảm và Khi đ ó bài toán biên (1), (2) có ít nhất một nghiệm.
63
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 8 năm 2006
Định lí 2. Giả sử điều kiện (5) đƣợc thực hiện và f,φu...,φn của bài toán (1), (2) thỏa các điều kiện sau : Với an ≤ t ≤b ,u,v ∈Cn-1([a,b]) Với an≤ t≤b ,u,v ∈Cn-1([a,b]) với mọi u,v ∈Cn-1([a,b]). Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm. Từ các kết quả trên và bổ đề dƣới đây ta thu đƣợc các kết quả sau.
Định lí 3. Giả sử các điều kiện sau là đƣợc thực hiện :
với a≤ t≤b ,u ∈Cn-1([a,b]) Trên Cn-1([a,b]) điều kiện sau đƣợc thực hiện
64
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn
Trong dó r, rij (i, j = 1, 2,..., n) là các số thực không âm. ω [a, b} R+ → m+ là hàm
là đơn điệu và
đo đƣợc đối với biến thứ nhất, không giảm đối với biến thứ hai và thỏa điều kiện (8)
(i=1,2,. . . ,n).
Trong đó :
và
Khi đó bài toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm. Định lí 4. Giả sử các bất đẳng thức sau đựơc thực hiện :
65
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 8 năm 2006
với a ≤ t ≤ bn, u,v ∈ C(n-1) ([a, b]) và trong C(n-1)([a, b])
(i = l,2,...,n).
Trong đó các hàm số hi,ki và các hằng số rij, si và δi (i. j = 1,2,... ,n) thỏa các điều kiện
trong định lý 3.
và
Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm. Để chứng minh Định lí 3, 4 ta cần đến bổ đề
sau : Bổ đề 1. Giả sử hi, ki ∈ Lp ([a, b], R+) , Ti ∈ AC ([a, b]) (i = 1, 2,..., n), p ≥
với (x1,x2,. . . ,xn) ∈ Cn ([a,b]), (i = 1,2,...,n).
với (x1, x2,..., xn) ∈ cn ([a, b]), (z = 1,2,...,n). Trong đó hi , ki,rij , Ti,(i,j = 1,2, ...,n) thỏa các điều kiện trong Định lí 3. khi đó điều kiện (5) đƣợc thực hiện.
Chứng minh Bổ đề.
Giả sử các điều kiện của Bổ đề đƣợc thực hiện. Để chứng minh điều kiện (5) thỏa ta chỉ cần chỉ ra rằng nếu véctơ (pi (t) ,p2 (t) , ...,Pn (t)) là nghiệm của bài toán (3), (4), thì véctơ đó phải là véctơ không. Trƣớc hết ta chọn điểm ti thuộc đoạn [ai, bi] sao cho :
Tích phân bất đẳng thức (3) và áp dụng bất đẳng thức Honđer ta có :
66
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn
Lấy chuẩn hai vế của bất đẳng thức trên và áp dụng bất Wirtinger (bổ đề 4.7 trong [2]) ta
nhận đƣợc :
và
và
67
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 8 năm 2006
Theo (14) ta có :
Thay (21) vao (20) t a có :
(i = l , 2 , . . . , n ) .
Thay (5), (18) và (19) vào bất đẳng thức trên ta nhận đƣợc
Dặt o = max{||pi||Lp(|a,b|):i=1,2,...,n} ta nhận đƣợc:
o ≤ o max {Si: i = 1, 2,..., n}
Vì Si < 1 nên po = 0. Do đó Pi ≡ 0 (i = 1, 2,... ,n). Bổ đề đƣợc chứng minh. □
Chứng minh các Định lí 3, 4 dễ dàng nhận đƣợc từ Định lí 1. 2 và bổ đề trên.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn A n h . Tuấn, Một lớp bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao,
Tạp chí khoa học số 4 (12-2004). Trƣờng Dại học Sƣ phạm Tp.Hồ Chí Minh.
[2] Kiguradze.I.T, Some singỉuar boudary value of problem for ordinary equations (in
Russian), Tbilisi Univ. Press 1975.
[3] Levin.V.I, On inequlities II, (in Russian) Mat. Sbornik, 1938,(46), No.2, 309-324.
68
Tóm tắt:
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn
Một tiêu chuẩn hiệu quả về tính giải đƣợc của bài toán biên
cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao
Trong bài báo này chúng ta trình bày một tiểu chuẩn hiệu quả mới cho sự tồn tại và
duyh nhất nghiệm của bài toán biên cho pơhuowng trình hàm bậc cao với điều kiện biên
Abstract:
dạng hàm đƣợc xây dựng bằng phƣơng pháp đánh giá tiệm cận.
An effective criterion on solvability of a boundary value
problem for a differential equation of high degree
In this paper we present a new effective criterion for the existence and uniqueness of
solution of boundary value problem for a functional-differential equation of higher degree
with functional boundary conditions that are con-structed by the method of the asymptote
estimates.
69
Mẫu 1.02
BỘ GIÁO DỰC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐH SƢ PHẠM TP.HCM
THUYẾT MINH ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ
1.TÊN ĐỀ TÀI: MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN
CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM
3. LĨNH VỰC NGHIỆ CỨU 4. LOẠI HÌNH NGHIÊN CỨU
Tự Xã hội Giáo Kỹ Nông Y Môi Cơ bản ứng Triển khai
trƣờng
nhân văn dục thuật Lâm-Ngƣ
nhiên
dƣợc dụng Từ 24 tháng 4 năm 2007 đến 20 tháng 4 năm 2009 5. THỜI GIAN THỰC HIỆN
6. CƠ QUAN CHỦ TRÌ
Tên cơ quan : Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp.HCM
Địa chỉ: 280, An Dƣơng Vƣơng, Q.5, Tp.HCM
Điện thoại: 08 8 352 020 Fax : E-mail :
7. CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI
Họ và tên : NGYỄN ANH TUẤN
Học vị, chức danh KH :PGS.TS Chức vụ :Phó trƣởng khoa Địa chỉ
NR .-220/150/35 Lê văn Sỹ . Q.3.Tp. Hồ Chí Minh Địa chỉ CQ :280 An Dƣơng Vƣơng.
Q.5.Tp Hồ Chí Minh
Điện thoại CQ .08.8330124 Fax : Di động : 0908651144 Điện thoại NR
:08.8437519 E-mail :
8. NHỮNG NGƢỜI THAM GIA THỰC HIỆN ĐỂ TÀI
Họ và tên Đơn vị công tác và Nội dung nghiên cứu cụ Chữ ký
lĩnh vực chuyên môn thể đƣợc giao
GS. TS Bedrich Puza Masazyk university, Cùng hợp tác nghiên cứu
Czech Republic và viết bài chung.
9. ĐƠN VỊ PHÔI HỢP CHÍNH
Tên đơn vị trong và ngoài nƣớc Nội dung phối hợp Họ và tên ngƣời đại diện
Department of Mathematics Cùng phối hợp nghiên cứu GS.TS. Bedrich.Puza
Masaryk University các vấn đề nêu trên.
1
10. TÌNH HÌNH NGHIÊN cứu TRONG VÀ NGOÀI NƢỚC
10.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài Lý thuyết bài toán biên cho phƣơng trình vi phân thƣờng ra đời từ thế kỷ 18 nhƣ một công cụ để giải quyết các bài toán vật lý, cơ học. Tuy nhiên cho đến nay nó vẫn còn phát triển mạnh nhờ các ứng dụng rộng rãi và to lớn trong các lĩnh vực của cuộc sống nhƣ vật lý, cơ học. kỹ thuật nông nghiệp, kinh tế và sinh học,...
Song nghiên cứu và phát triển theo hƣớng này thực sự phát triển mạnh và thu đƣợc nhiều
kết quả mới bắt đầu từ năm 1997 do một nhóm các nhà toán học Grudia và Czech dƣới sự dẫn dắt của giáo sƣ viên sỹ Ivan Kiguradze, viện trƣởng viện toán học Tbilisi. Trong những năm gần đây vấn đề này càng đạt đƣợc nhiều kết quả trong các công trình của các tác giả nhƣ: I.Kigurade, B.Puza. R.Hakl, A.Lomatatidze,..., trong các bài báo ví dụ nhƣ [4], [5],[8],[9],....
10.2 Danh mục các công trình liên quan (Họ và tên tác giả ; Nhan đề bài báo, ấn phẩm ;
Các yếu tố về xuất bản)
a) Của chủ nhiệm đề tài và những ngƣời tham gia thực hiện đề tài
1.Nguyễn Anh Tuấn, On one class of sovable boundary value problems for ordinary
differential equation of n-th orcler, Comment. Univ. Carolin. 35, 2. (1994), 299-309.
2. Nguyễn Anh Tuấn, Một lớp bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao,
Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp.HCM số 4(38), 2004.
3. Nguyễn Anh Tuấn, On an effective criterion of solvability oịboundry value
problems for ordinary differential equation of n-th order. Arch. Math. 41 (2005). No. 451- 460.
4. Nguyễn Anh Tuấn. Điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm của hệ phƣơng trình
vi phân với điều kiện biên dạng hàm. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP.TP.HCM. số 20,1998.
5. I.Kisurade and B.Puza. On boandary value problems for systems ọf linear functional differential equations. Czechslovak . Math. J , 47 (1997). No.2, 341-373.
b) Của những ngƣời khác
6. I.Kigurade and B. Puza, On the sovability of nonlinear boundary value problems
for fuctional differential equations .Georgian Math. J. 5 (1998) No.3, 251 -262.
7. E.Barvyi, A.Lomtatidze, B.Puza. A not on the theorem on differential inequalities,
Georgian Math, J, 7(2000), No.4, 627-631.
8. R.Hakl, On bounded solutions of systems of linear functional differential equations,
Georgian Math J (1999). No.5. 429-440.
9. R.Hakl, On some boundary value problems for systems of linear functional
differential equations, E.IQualitative Theory of Diff.Equ. (1999) No. 10. 1-16.
10. R.Hakl I.Kigurade.B.Puza, Upper and lower solutions of boundary valueproblems
for functional differenial equatons and theorems on functional clifferential inequalities, Georgian Math , J, 7(2000),No.3.489-512.
11. R.Hakl, A.Lomatatidze, B.Puza, On periodic solutions of first order linear
functional dịfferential equations, Nolin.Anal: Theory, Meth&Appl. 49(2002) 929-945
12. I.Kigurade, B.Puza, On boundary value problems for functional differential
equations. Mem. Differential Equutions Math.Phy.12 (1997) 106-113.
2. TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI
Bài toán biên nhiều điểm cho phƣơng trình vi phân đƣợc nghiên cứu từ lâu đã đƣợc
nghiên cứu bởi
các tác giả nhƣ Kigurade, Puza, Bắt đầu từ năm 1989 các tác giả nhƣ Puza, Tuan, bắt
đầu có các kết
quả cho bài toán biên với điều kiện biên dạng hàm, ví dụ nhƣ trong các bài báo [1] [2] [3] [4]
....
Đặc biệt từ năm l998 các tác giả nhƣ I. Kigurade, B.Puza, có các kết quả mới cho lý
thuyết các bài toán biên cho hệ phƣơng trình hàm tuyến tính và phi tuyến, thì việc mở rộng
các kết quả trên cho bài tuyến biên nhiều điểm hay bài toán biên với điều kiện biên dạng hàm
là cần thiết và lý thú. Từ đó chúng ta sẽ có các kết quả mới cho phƣơng trình vi phân với đối
số chậm hay đối số lệch.
MỤC TIÊU ĐỀ TÀI:
Mục tiêu của đề tài : Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của một lớp phƣơng
trình vi phân hàm với điều kiện biên dạng hàm. Ngoài ra còn xem xét tính xấp xỉ nghiệm của
các bài toán này.
Nội dung gồm ba vấn đề chính sau đây:
a. Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình vi phân hàm bậc cao
phi tuyến mạnh với điều kiện biên dạng hàm đặc biệt (tiếp tục các bài toán đang nghiên cứu)
b. Nghiên cứu các điều kiện đủ cho Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho hệ phƣơng
trình hàm dạng tổng quát từ đó áp dụng các kết quả cho hệ phƣơng trình vi phân với đối số
chậm hay đối số lệch với các điều kiện biên khác nhau.
c. Xem xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho một lớp hệ phƣơng trình vi phân với
điều kiện biên dạng hàm đặc biệt.Từ đó xây dựng dƣợc các tiêu chuẩn hiệu quả cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Tiếp tục xem xét tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này.
3. CÁCH TIẾP CẬN, PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, PHẠM VI NGHIÊN CỨU .
Áp dụng các kết quả mới nhất của các tác giả nhƣ: I. Kigurade.B
Puza,A.Lomatizace,... cho phƣơng trình vi phân hàm tuyến tính hay phi tuyên tính để nghiên
cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phƣơng trình vi phân hàm hay phƣơng trình vi phân
hàm bậc cao với các điều kiện biên dạng hàm. Từ đó xây dụng các tiêu chuẩn hiệu quả cho phƣơng trình vi phân với đối số chậm hay đối số lệch. Áp dụng các phƣơng pháp đánh giá
tiệm cận. phƣơng pháp điểm bất động cho các vấn đề trên.
4. NỘI DUNG NGHIÊN cứu VÀ TIẾN ĐỘ THỰC HIỆN STT Các nội dung, công việc thực Ngƣời thực hiện
Thời gian (bắt đầu - kết thúc) 2007-2008 1
hiện chủ yếu Bài toán biên cho hệ phƣơng trình vi phân với điều kiện biên dạng hàm GS.TS. B.Puza PGS.TS.Nguyễn Anh Tuấn
2008-2009 2
PGS.TS.Nguyễn Anh Tuấn
Sản phẩm phải đạt Hai bài báo đăng tại tạp chí có uy tín trong hoặc ngoài nƣớc Hai bài báo đăng tại tạp chí có uy tín trong hoặc ngoài nƣớc Bài toán biên cho hệ phƣơng trình vi phân hàm hay phƣơng trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên danh hàm
5. SẢN PHẨM VÀ ĐỊA CHỈ ỨNG DỤNG Mẫu Vật liệu Thiết bị máy Dây chuyền
móc
Giống cây trồng Giống gia súc Qui trình công công nghệ Phƣơng pháp
Tiêu chuẩn Qui phạm nghệ Sơ đồ Báo cáo phân
tích
Tài liệu dự báo Đề án Luận chứng kinh
tế Chƣơng trình máy tính
Số lƣợng Yêu cầu khoa học
Bản kiến nghị Sản phẩm khác: Bài báo đăng trên các tạp trí • Tên sản phẩm, số lƣợng và yêu cầu khoa học đối với sản phẩm STT Tên sản phẩm 04
Bài báo đã đƣợc đăng hay có giấy nhận đăng Đăng trên tạp chí chuyên ngành có uy tín
• Số học viên cao học và nghiên cứu sinh đƣợc đào tạo : hai hoặc ba học viên cao học • Số bài báo công bố: 4 • Địa chỉ có thể ứng dụng (tên địa phƣơng, đơn vị ứng dụng):
Dùng làm đề tài nghiên cứu cho học viên cao học và nghiên cứu sinh của khoa Toán -
Tin trƣờng Đại học sƣ phạm Tp.Hồ Chí Minh. 6. KINH PHÍ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Tống kinh phí: 40.000.000 đ (Bốn mƣơi triệu đồng Việt Nam). Trong đó :
40.000.000 đ (Bốn mƣơi triệu đồng Việt Nam).
Kinh phí sự nghiệp khoa học : Các nguồn kinh phí khác (cơ sở hỗ trợ, tài trợ của cá nhân, tổ chức): Không có Nhu
- Năm 2008 : 15.000.000 đồng cầu kinh phí từng năm : - Năm 2007 :25.000.000 đồng
Dự trù kinh phí theo các mục chi Kinh phí văn phòng phẩm, photo : 1 .600.000 đ
Kinh phí viết bài: 20.000.000 đ Kinh phí gửi bài, bƣu điện : 1.000.000 đ
Kinh phí cho in ấn: 3.000.000 đ Phụ cấp chủ nhiệm đề tài : 2.400.000 đ
Kinh phí cho bảo vệ: 5.000.000 đ
Kinh phí cho :Seminare: 7.000.000 đ
Ngày 13 tháng 04 năm 2007 Chủ nhiệm đề tài
Ngày 16 tháng 5 năm 2007
Cơ quan chủ quản duyệt
TL. BỘ TRƢỞNG BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VỤ TRƢỞNG VỤ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ
