Ọ

Ọ

Ộ

Ấ

Ỏ Ấ

Ệ

Ề N I DUNG C U TRÚC Đ  THI CH N H C SINH GI

I C P HUY N

́ Ớ

MÔN : Toan ­ L P 9

Ộ

Ứ

Ế

CÂU N I DUNG KI N TH C

ĐI M Ể

ế ổ ồ

ấ

Bi n đ i đ ng nh t:

2 đi mể

Câu 1

́

̀

́

́

ư

́ ́ ư

̉ ̉ ̉

̀ ́ ́ Cac bai toan biên đôi căn th c va cac câu hoi khai thac biêu  ́ th c rut gon

̀

ạ ố

ươ

̣

ng trình đ i s : ph

ng trinh bâc cao, pt vô ti :     1

2 đi mể

ươ Ph điêm̉

Câu 2

ố ồ ị

Hàm s  đ  th :                                                                1  điêm̉

̣ ̉

ố ọ S  h c:

2 đi mể

́

́

́

́

́

̀

ươ

ươ

ng, ph

ng trinh

Câu 3

ợ Sô nguyên tô, h p sô, sô chinh ph nghiêm nguyên

Hình h c: ọ

́

́

́

̀

̣

3 đi mể

̣ ư ́

̣ ̣

́ Hê th c trong tam giac vuông, tam giac đông dang, đinh ly  Ta let....:                                                                        1 điêm

Câu 4

̀

ớ ạ

ế

ệ

ậ

ế ế

ấ i h n đ n bài d u hi u nh n bi

t ti p

̀ ươ Đ ng tron: Gi tuy n.ế

2 điêm̉

̀

́

́

́

̉

́ Bai toan phat hiên hoc sinh xuât săc

Câu 5

1 điêm̉

́

̀

́

ị ạ ố

ự

̣ ̣

ọ C c tr  đ i s , hình h c, biên đôi đông nhât...

C ngộ

10,0 đi mể

̉

Ệ ƯƠ

Ề

Ọ

Ỏ Ấ

Ệ

UBND HUY N L

NG TÀI

Đ  THI CH N H C SINH GI

I C P HUY N

Ạ

ọ

ọ

Ụ PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T O ­­­­­­­­­­­­o0o­­­­­­­­­­­­­­

ờ

Ọ Năm h c: 2015 – 2016 ớ Môn thi: Toán h c – L p 9 ề ể ờ Th i gian làm bài: 150 phút (không k  th i gian giao đ )

Câu 1 (2 đi m)ể

ứ

ể Cho bi u th c

ứ

ể

ọ

a) Rút g n bi u th c A.

b) Tìm các giá tr  c a

ị ủ x sao cho

+ + - x x 2 = + - A - - - x x 3 x x x 1 3 2 10 + 5 6

2A < .

ấ ủ

ứ

ể

ỏ

ị

ế ằ

c) Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c B bi

t r ng

.

Câu 2 (2 đi m)ể

2

- + x x = B - 20 ) 4 ( A x 2

ả

ươ

a) Gi

i ph

ng trình:

2

+ + - - - x x x x 1 2 7 + = x 1 2 + 7 6

= + + - -

(

(

y m y m + + 2 m m

) 1

2 + x m 4 1 2 - = 1 x m 2

) 1

ườ

b) Cho   các   đ

ẳ ng   th ng

;

và

- -

(

(

+ x

) = m y

1 m 3

) 1

ứ

ằ

ườ

ể

ẳ

. Ch ng minh r ng các đ

ng th ng trên cùng đi qua 1 đi m c

ố

ị đ nh?

Câu 3 (2 đi m)ể

2

ố

ố

ứ

ằ

ố

ố 3 p

2 2

a) Cho p và

. Ch ng mình r ng s

t ?ố

2

p+ 2 p +  là các s  nguyên t +  cũng là s  nguyên 2 1

ả

ươ

b) Gi

i ph

ệ ng trình nghi m nguyên:

.

ườ

ể

ằ

ộ

ng tròn tâm

O đ

ng kính

ử   BC. G i ọ A là m t đi m n m trên n a

- - - x xy + 2 y x y 2 3 2 6 = 2 1

ử ườ )

ể

Câu 4 (3 đi m)ể  Cho n a đ O) (

ng tròn (

ườ đ

ế . G i ọ H là hình chi u vuông góc c a

ố   ủ A trên BC, D là đi m đ i

ể

ứ x ng v i

ớ B qua A, I là trung đi m ể AH, J là trung đi m c a

ủ DH.

(cid:0) (cid:0) A B A C ,

ứ

ằ

ồ

ớ HIC

a) Ch ng minh r ng

ạ  đ ng d ng v i

.

ứ

ể

b) G i ọ E là giao đi m c a

ủ HD và CI. Ch ng minh : 2

AE < AB?

D D AJH

(cid:0) (cid:0)

(

)

ử

ị

ườ

c) Khi  A  di đ ng  ộ

ị , xác đ nh v  trí đi m

ể A  trên n a đ

ng tròn sao cho tam

ấ

ớ

giác ABC có chu vi l n nh t.

Câu 5 (1 đi m)ể

A B A C ,

a b c

ố ươ

ằ

1

Cho các s  d

ng

ỏ a, b, c th a mãn :

+ + = . Ch ng minh r ng: ứ

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­H tế ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Ệ ƯƠ

UBND HUY N L

NG TÀI

+ + + + + (cid:0) 4 9 1 + a b 1 + b c 1 + c a 1 a 1 b 1 c � � � � � �

Ạ

Ề

Ệ

Ọ

Đ  THI CH N H C SINH GI

I C P HUY N

ọ

Ụ PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T O ­­­­­­­­­­­­o0o­­­­­­­­­­­­­­

ọ

ĐÁP ÁN – THANG ĐI MỂ Ọ Ỏ Ấ Năm h c: 2015 – 2016 ớ Môn thi: Toán h c – L p 9

ộ

Câu Ý

N i dung

Điể m

a

1

Rút g n ọ

ề

ệ +

+ + - x x 2 = + - A - - - 1 3 10 + 5 6 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 x 3 x x x 0; x 4;

0.5

x x ị + - - x x x 2 2 10 = + - - - A - - - - - - - x x x x 9 . Khi đó: + + x x x x

) (

(

)

2 10 + 5 1 3 = 6 3 2 x x 3 2

+ - - - - 3 x )

(

(

x ) (

) +

Đi u ki n xác đ nh:  1 3 ) ( 1

x x x 2 2 10 3 3 - - x x 3 = = - - - - + x ) ( x )

(

2 ) (

)

(

0.5

x x x x 3 2 3 2

+ - x x 3 + = = - - -

( (

x x 1 2 x x 2 3

) ( 1 ) ( ể

Đ  ể

0,25

+ - < < - � � � A 2 2 2 0 0 - - - x x x x x x 1 > 2 5 > 2

) ) b Tìm x đ  A < 2. + 1 2 - >

TH1: Khi

x 5 25 5 0 > � � � x 25 - > (cid:0) >(cid:0) x � > x 4 x > x > x 2 2 0

0,25

TH2: Khi

ầ

ị

ượ

ị ầ

ủ   c giá tr  c n tìm c a

ế x(cid:0)

x >

- < (cid:0) (cid:0) x < x 5 5 0 25 x 0 4 < - < (cid:0) x 0 � (cid:0) 0 4 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 4; 9

ị 20 )

Ta có: B xác đ nh khi  + x 2 1

0,25

- - - - x x x x � � � � � � � � � � < � � x � �(cid:0)<�� � � < x x 2 0 � � � � ề ớ ệ ố Đ i chi u v i đi u ki n xác đ nh ban đ u ta đ <  ho c ặ x là:  0 4 25 ị ỏ ấ ủ c Tìm giá tr  nh  nh t c a B x 0; + 4 20 + 4 20 = = = B . + - - x + x x x x 2 1 4 ( A x 2

0,25

ấ ẳ

ụ

ố ứ Áp d ng b t đ ng th c AM – GM cho 2 s

= - x - + 5 + + x 1 6 25 + x 25 + x = 1 1

cượ

1x +  và

(cid:0) � x x + + 1 �� 2.5 + + 1 10 - + +� � x 1 25 1x + , ta đ B 6 4 4 25 + x 25 + x 25 + x 1 1 1

ấ

ả D u “=” x y ra khi:

(t/m)

x =

16

+ = = = � � � x x x x + = 1 1 5 4 16

ị

.

2

25 + x 1 ể

2

x

- - - x x 2 - (cid:0) (cid:0) x ủ 1 2 7 ươ

0,5

- - - � x 0 1 2

+ + - = + - - -

)

ỏ ng trình  ị + + x 1 2 7 ) +

ứ + = x 1 ng trình:  1 ) ) ( ( = + x x 1 7 )

) ( + -

( + - x

� � x x x x x x 0 7 1. 1 2 1 2 = 1 0 1 7

MinB =  khi  ấ ủ ậ V y giá tr  nh  nh t c a bi u th c B là:  4 ươ + + + i ph x 7 6 ệ   7 + - ( + - =

0,5

x 1 2 = � � � x 3(t/ m) - x

a Gi ả ề Đi u ki n xác đ nh c a ph PT  x ( . 2 + = x + = x 1

ệ

ế

+ - 1 0 7 � � � � � � � �

ẳ

-

(

)

x = 3. ể = y

ố ị ) + m 1

ủ ườ

ng th ng cùng đi qua 1 đi m c  đ nh ố ị  là đi m c  đ nh c a đ

ẳ ng th ng

2 + x m 4 1

+ = + - " - - "

)

(

ﾡ �� ﾡ � + m m m 1 0, 1, 4 4 1 2 0 - = x x 7 ươ ậ K t lu n: Ph ng trình đã cho có nghi m là:  ứ ườ b Ch ng minh các đ ( G i ọ ể ;M x y 0 0 Khi đó ta có:  x m y 2 0

( m x 2 0

0

+ = y x 0 0

) 1 - =

0,5

2 x 0

(

)

� � � M 2;3 - 1 0 3

= + -

(

= x � 0 � = y � 0 y m

) 1

ố ị

ể

ẳ ng th ng

luôn đi qua đi m c  đ nh

2

2 + x m 4 1 4 0 + = y 0 ườ

+ -

(

ta

2

2

x y y m + + 2 m m 2; 3 2 - = 1 2 � � x � 0 Do đó, đ )2;3M (   = V i ớ

ượ

đ

c:

0,25

2

- = (cid:0) m = 2 m + m + 3 2 1 2. 2 2 2 ﾡ

(cid:0) - + + 2 m m m y =  thay vào đ ẳ ườ ng th ng  ( ) + + + - 2 � m m m 2 2 1 ) ( + 1 - = 1 2 x m 2

) x m 1 2  đúng v i ớ m" )2;3M (

ẳ

Đ ng th ng

luôn đi qua

(cid:0)

= - -

(

(

ườ ﾡ x

y + x

) = m y

ta đ

c:ượ

m" V i ớ

2; 3 m 3 1

-

)

0,25

(cid:0) 1 1

ﾡ

m"

ẳ

ườ

ố ị

.

(cid:0) - - m ( (cid:0) =  thay vào đ ườ ( ) ( - + 3 2 2 1 2 3 ) ( + x 1 2 2 m 3 1

V y 3 đ ứ

p+

) ẳ 2 2 1 ng th ng  =�  đúng v i ớ m" = m 1 ﾡ )2;3M ( ) = m y  luôn đi qua  )2;3M ( ể ng th ng đã cho cùng đi qua đi m c  đ nh  +  cũng là s  nguyên t 2 1 ố ố

3

2

2

ớ

ả

ế

ẫ  Mâu thu n v i gi

thi

t

0,5

3

= p p +  là s  ố 2

là s  ố

(tm)

2

2

(cid:0) p p+ 2 11 + = 2 1 37

= + + = +

(

* �� n N

p p p 3 1

Đ ng th ng  ẳ ườ ậ ố 3 a Ch ng mình r ng s   ằ p ố ố Do p là s  nguyên t  nên: ợ ố (cid:0) + = là h p s   Khi  � p 2 6 2 p =  không th a mãn đ .  ố (cid:0) ề ỏ 2 nguyên t   + = = ố ố 2  là s  nguyên t � Khi  p p 3 ố  (đpcm). nguyên t > 2 � n p 3 Khi

2

ớ

ả

ế

ẫ  Mâu thu n v i gi

thi

t

(cid:0) 2

) n 3 3 2 3 p +  là s  nguyên t ố

0,5

2

3

�M ố (cid:0) +  là h p sợ ố 2 p >  không th a ỏ 3

ố

p 2

- - -

ươ

thì  2 x 2

mãn đ .ề V y khi p và  i ph

x +  cũng là s  nguyên t p+ 2 1 ố ố + 2 y y xy 2 = 2 6 1 3

ậ b Gi ả

.

2

p +  là các s  nguyên t ố ệ ng trình nghi m nguyên:

- - - -

(

)

x xy + x 2 3 6 1 2 2

- - ﾡ � � � x + 2 y 2 + y = x y 2 + + y x x y + y

) ( = + + x y 2 2 + + y x

là

c c a

0,5 0,5

Ta có  x y ; Vì  5:

2 2; 2 2 2 2; 2 2 5 ướ ủ �� ... ﾡ  nên

TH1.

ỏ

TH2.

(Không th a mãn)

ỏ

TH3.

(Không th a mãn)

- - + = y 1 2 1 1 � = 2 + + = x y x = - y 2 + = y 1 2 5 3 x � � 2 � x � � 2 � = x � � � y � (cid:0) = (cid:0) - - (cid:0) + = y 2 5 1 5 � � 2 + + = x y x = y 2 3 + = - y 2 1 1 (cid:0) x � � 2 � x � � 2 � = - x � y (cid:0) (cid:0) 7 5 (cid:0) = - (cid:0) - - (cid:0) + = - y 2 3 1 � � 2 + + = - x y = - y 2 + = - y x 2 7 5 (cid:0) x � � 2 � x � � 2 � = - x � y (cid:0) (cid:0)

ỏ

TH4.

(Không th a mãn)

(cid:0) = - (cid:0) - - (cid:0) + = - y 2 7 5 � � 2 + + = - x y = - y 2 + = - x y 2 1 3 (cid:0) x � � 2 � x � � 2 � = x � y (cid:0) (cid:0)

(

(

) x y = ;

) 1;1

ế

ươ

ệ

ậ K t lu n: Ph

4

17 5 1 5 13 5 11 5 ng trình đã cho có nghi m:

ạ ế ườ

a

ng

ngo i ti p đ

Ta th y ấ ườ tròn đ

D

AB AC

^

ừ ả

ế

T  gi

thi

t

 IJ / / AD

(cùng

= ^ AC

ABC ng kính BC nên  ^� AC AD = IA IH (cid:0)�= JH JD ﾡ ﾡ � � AIJ ACH ﾡHAC )                 (1) ph  v i góc  +) Trong tam giác vuông ACH ta

IJ ụ ớ

có:

(2)

1

= ﾡ ACH tan AH HC

+) Trong tam giác vuông AIJ ta có  (

=

)

(3)

ừ

ﾡ AIJ = AI HI tan

(4)

T  (1), (2), (3) AH AJ = HC HI

� �

ế

ừ ả

t

T  gi

thi

vuông t

i ạ A

 ^ D � � AJ A HAJ / / BC J AH JH JD

ừ

(4) ta có:

ﾡ = D D : � � ﾡ HIC ﾡ = AJH HIC AJH HIC tan

Do đó t ứ b Ch ng minh

0

ﾡ D D AJ AJ = AI HI   AH HC = AJ HI = AB AD � �= ﾡ AJH tan 2AE AB< :

0,5

IJ

ng kính  ườ

IJ

ng kính

^ (cid:0) D � JH CI ng tròn đ (cid:0) D

Theo câu a ta có  ﾡ ﾡ ạ + i có:  Ta l HCI HIC T  đó ừ vuông t JEI ươ ự JAI ng t   T I A J , E , ,

ườ ng tròn đ IJ

ườ

ộ ườ ng kính  ng kính và dây trong đ

ng tròn

0,5

(cid:0) AJH = 90 i E ạ vuông t  cùng thu c đ ﾡ =� HIC AHJ HCI ﾡ ﾡ = + 0 � AHJ HIC 90 ộ ườ I J E , ,  thu c đ I A J , ,  thu c đ ườ ng tròn đ

i ạ A  ộ ườ ệ ữ ườ AE JI

ấ ng kính IJ ta có:

(cid:0)

Theo tính ch t liên h  gi a đ ườ   đ =� IJ

ạ

ố ứ

ớ

Mà ta l

i có

(D đ i x ng v i B qua A)

= AD IJ AB 1 2 1 2

ữ ậ   AIEJ là hình ch  nh t

giác

ử ườ

(cid:0) AE AB 2 (cid:0)   AE AB 1 2

ng tròn (O). ABCC

2

2

2

2

2

2

= + + D AB AC BC

+

0,5

+ +

(

)

ứ 2

2

2

2

� AC AB AC AC 2

ứ ả ấ D u “=” x y ra khi t (cid:0) �   AH HD JE AI / / 2AE AB< (mâu thu n) ẫ � ể ị ị c Xác đ nh v  trí đi m A ộ Khi A di đ ng trên n a đ Ta có chu vi tam giác ABC là:  Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có AB AB (

ụ + AC (

ấ ẳ �� AB AC 2 . ) ( + + 2 � � ۳ � � AB

AB ) . ) AB AC + 2 AC BC AB AC AB AC BC + 2 2 2

ABCC

(BC không đ i)ổ

Do đó,

= = + + (cid:0) D BC AB AC BC 2

( +

+ BC BC (

) + 2 1 ) 2 1 BC

ấ

ớ

khi AB = AC

0,5

ể

là giao đi m c a trung tr c

ự BC

BC)

(cid:0) (cid:0) A

5

A ớ ườ v i đ

+ + + + + (cid:0) 9 4

ứ

Ch ng minh

ữ 1 c

t

thi

1 b � � �

ế 1 + b c

ừ ả T  gi 1 � � + a b �

+ + + + + (cid:0) 4 9

0,5

+ + + + + � � 4 9 1 1 b c + + a b c + c a + + a b c b + + a b c c � � �

+ + + + + + � � 12 12 + a b c b 4 + c a

Nên chu vi tam giác ABC l n nh t là  ủ ự ủ ộ  thu c trung tr c c a BC  ể A là đi m chính gi a cung  ng tròn (sau này  1 1 1 1 � � + + + b c a a b c a � + + = nên ta có: a b c 1 1 1 � � + c a a � + + a b c + b c a 4 + b c b 4 + c a

+ + + + � � + + a b c + a b c 4 + a b a 4 + b c + + a b c a + c a b + a b c + b c a c 4 + a b

ố ươ

ớ Ta có v i các s  d

ng

nên:

+ + y x 4 � � � + b c a + c a b x, y thì ( 4 + x y 1 x 1 y

0,5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) c . a . b . c 4 + a b 1 a a 4 + b c 1 b 1 � � + ; � � b � �

ế ạ

ộ

ượ

C ng các v  l

i ta đ

c:

đpcm

ấ

ả D u “=” x y ra khi

a = b = c =

+ + + + (cid:0) 1 � � + ; � � c � � c 4 + a b � � ) 1 1 (cid:0)+�� � y x � � 1 1 � � +   � � a c � � + b c b 4 + a c a + c a b + a b c

ả

ể

ế

ẫ

ố

ầ

Chú ý: Các cách gi

i khác, n u đúng v n cho đi m t

ừ i đa theo t ng ph n.

b 4 + c a a 4 + b c 1 3