Định lí Trung Quốc về phần dư trong các sách toán Hán - Nôm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Định lí Trung Quốc về phần dư trong các sách toán Hán - Nôm trình bày Định lí Trung Quốc về phần dư trong các sách toán Trung Quốc và sách toán Hán-Nôm (sách toán của Việt Nam viết bằng chữ Hán và chữ Nôm). Qua đó có thể phần nào hình dung về khả năng tiếp nhận và phát triển toán học của các nhà toán học Việt Nam thời trung đại, cũng như ý nghĩa thời sự của kiến thức toán học trong các sách toán Hán-Nôm trong giảng dạy toán hiện nay.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Định lí Trung Quốc về phần dư trong các sách toán Hán - Nôm

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Định lí Trung Quốc về phần dư trong các sách toán Hán - Nôm Trần Đại An1, Phạm Văn Hoằng2, Đoàn Thị Lệ3, Tạ Duy Phượng4,*, Cung Thị Kim Thành5, Phan Thị Ánh Tuyết6 1 Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Việt Nam 2 Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội, Việt Nam 3 Đại học Quốc lập Thanh Hoa, Đài Loan 4 Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ, Việt Nam 5 Viện Trần Nhân Tông, Đại học Quốc gia Hà Nội, Việt Nam 6 Đại học Sư phạm Quốc lập Đài Loan, Đài Loan Ngày nhận bài: 21/01/2022; Ngày nhận đăng: 28/04/2022; Ngày xuất bản: 28/08/2022 TÓM TẮT Định lí Trung Quốc về phần dư được coi là một trong những đóng góp quan trọng của người Trung Quốc vào kho tàng kiến thức toán học thế giới. Định lí Trung Quốc về phần dư được người Trung Quốc sử dụng trong thiên văn và tính toán lịch từ thế kỉ II trước Công nguyên và được phát biểu dưới ngôn ngữ toán học vào khoảng thế kỉ V. Nhưng chỉ đến thế kỉ XIII Định lí này mới được nhà toán học Trung Quốc Tần Cửu Thiều chứng minh bằng toán học một cách chặt chẽ. Bài viết trình bày Định lí Trung Quốc về phần dư trong các sách toán Trung Quốc và sách toán Hán-Nôm (sách toán của Việt Nam viết bằng chữ Hán và chữ Nôm). Qua đó có thể phần nào hình dung về khả năng tiếp nhận và phát triển toán học của các nhà toán học Việt Nam thời trung đại, cũng như ý nghĩa thời sự của kiến thức toán học trong các sách toán Hán-Nôm trong giảng dạy toán hiện nay. Từ khóa: Định lí Trung Quốc về phần dư, sách toán Hán-Nôm, lịch sử toán học, toán học Việt Nam thời Trung đại, giảng dạy toán học. 1. MỞ ĐẦU Trung Quốc Tần Cửu Thiều chứng minh chặt chẽ Định lí Trung Quốc về phần dư (The Chinese vào thế kỉ XIII.3 Trình Đại Vị cũng gọi bài toán Remainder Theorem) có nguồn gốc từ bài toán Vật bất tri kỳ số là bài toán Hàn Tín điểm binh.4 Vật bất tri kỳ số trong cuốn sách chữ Hán Tôn Định lí Trung Quốc về phần dư có bản chất Tử toán kinh (khoảng thế kỉ V).1 Mặc dù Định toán học sâu sắc và có nhiều ứng dụng thực tế, vì lí Trung Quốc về phần dư là cơ sở để xây dựng vậy nó luôn mang ý nghĩa thời sự. Nó nằm trong thuật toán giải hệ phương trình đồng dư bậc nhất, chương trình chính khóa cho học sinh chuyên đã được sử dụng trong tính toán thiên văn và tính Toán-Tin và cho sinh viên các ngành Toán-Khoa toán lịch tại Trung Quốc cổ đại vào thế kỉ II trước học máy tính và được giảng dạy trong các môn Công nguyên.2 Nhưng nó chỉ được nhà toán học Lý thuyết số, Lý thuyết thuật toán… Hiện nay *Tác giả liên hệ chính. Email: tdphuong@math.ac.vn https://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16401 6 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Quy Nhơn, 2022, 16(4), 5-16
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN toán đồng dư được phát triển theo nhiều hướng: Lưu ý: Để trình bày gọn, chúng tôi không Hệ phương trình đồng dư nhiều ẩn, phương trình chép lại nguyên văn bài toán bằng chữ Hán, mà đồng dư phi tuyến áp dụng trong các bài toán thi chỉ dịch Đầu bài và Lời giải trong các sách toán học sinh giỏi Quốc gia và Quốc tế;5 Đồng dư trên cổ. Sau đó giải thích Lời giải bằng ngôn ngữ các trường số tổng quát; ứng dụng của đồng dư hiện đại. trong mật mã, máy tính,...6 Bài toán này đã được nhiều nhà toán học Có thể khẳng định rằng người Việt Nam Trung Quốc tiếp tục nghiên cứu, chứng minh đã biết đến Định lí Trung Quốc về phần dư qua thuật giải và phát triển. Dương Huy (楊輝, bài toán Điểm binh pháp (phép điểm binh) trong 1238-1298) có 4 bài khó hơn một chút nhưng cuốn sách Toán pháp đại thành7 của Lương Thế cùng dạng. Vinh (1441-1496). Bài 2.1.2 (Dương Huy)10 Xếp mỗi nhóm Trong Chương 6 của cuốn sách Ý Trai 7 thì thừa 1, xếp 8 thừa 2, xếp 9 thừa 3. Hỏi số toán pháp nhất đắc lục (Một điều tâm đắc về lượng vật là bao nhiêu? toán của Ý Trai)8 gồm 8 Quyển do Nguyễn Hữu Bài 2.1.3 (Dương Huy)10 Xếp mỗi nhóm Thận (1757-1831, tên chữ: Ý Trai) bắt đầu viết 11 thì dư 3, xếp 12 dư 2, xếp 13 dư 1. Hỏi số từ năm 1812 và hoàn thành năm 1829, Định lí lượng vật là bao nhiêu? Trung Quốc về phần dư được biết đến dưới tên Bài 2.1.4 (Dương Huy)10 Xếp mỗi nhóm 2 bài toán Vật bất tri kì số và được Nguyễn Hữu thì dư 1, xếp 5 dư 2, xếp 7 dư 3, xếp 9 dư 4. Hỏi Thận gọi là dạng toán Dĩ dư số tri nguyên số (Từ số lượng vật là bao nhiêu? số dư tìm ra số ban đầu). Bài 2.1.5 (Dương Huy)10 Dùng một đội Hoàng Xuân Hãn đã viết một bài báo với công nhân không biết số lượng. Sai người khao tên gọi Hàn Tín điểm binh.9 Tuy nhiên, Hoàng họ. Cho mỗi nhóm 3 người 1 cân thịt thì thừa 5 Xuân Hãn chỉ bàn về cách giải bài toán mà chưa lạng 8 thù, tức là đếm 3 thừa 2. Cho mỗi nhóm khảo cứu các sách toán Hán-Nôm. Bài viết này 5 người 1 quan tiền thì thừa 400 tiền, tức là đếm có lẽ là bài báo đầu tiên tìm hiểu Định lí Trung 5 thừa 3. Mỗi nhóm 7 người hứng một lần, thu Quốc về phần dư trong các sách toán Hán-Nôm chén lại mà hứng (tức là đếm 7 không thừa). của các tác giả Việt Nam. Nhằm làm rõ vấn đề Hỏi tổng số công nhân và mỗi thứ chi ra là bao và so sánh với các sách toán Hán-Nôm, chúng nhiêu? tôi cũng điểm qua những tư liệu của các tác giả Trung Quốc trước thế kỉ XVI viết về bài toán này. Trong sách Chí Nhã Đường tạp sao11 của Chu Mật (1232-1298) có bài thơ sau đây, có lẽ là 2. NỘI DUNG phiên bản thơ đầu tiên của bài Vật bất tri kì số: 2.1. Định lí Trung Quốc về phần dư trong các 三歲孩兒七十稀 sách toán Trung Quốc 五留廿一事尤奇 2.1.1. Một số bài toán Định lí Trung Quốc về phần dư có nguồn gốc từ bài toán Vật bất tri kỳ 七度上元重相會 số trong cuốn sách chữ Hán Tôn Tử toán kinh 寒食清明便可知 (khoảng thế kỉ IV-thế kỉ V).1 Phiên âm: Bài 2.1.1 (Bài toán số 26, Quyển hạ) Nay 1 Tam tuế hài nhi thất thập hi có một đống đồ, không rõ số lượng, chỉ biết xếp mỗi nhóm 3 cái thì thừa ra 2, xếp theo nhóm 5 Ngũ lưu chấp nhất, sự vưu kì thì thừa 3, theo nhóm 7 thì thừa 2. Hỏi số lượng Thất độ Thượng Nguyên trùng tương hội đồ vật là bao nhiêu? Hàn Thực, Thanh Minh tiện khả tri. https://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16401 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Quy Nhơn, 2022, 16(4), 5-16 7
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Giải thích: Hàn Thực, Thanh Minh: ax ≡ 1(mod m). Phương pháp này tương đương Khoảng thời gian từ Đông chí tới ngày Thanh với việc giải phương trình nghiệm nguyên Minh là 105 ngày, gọi là tiết Hàn thực. “Hàn ax + my = 1 đã được các nhà toán học Ấn Độ đưa thực” ám chỉ số 105. ra thuật toán giải vào thế kỉ VII.2,12 Dịch: Kí hiệu (a, b) là ước số chung lớn nhất của Đứa trẻ 3 tuổi, [khi ông bố] 70, hiếm hai số nguyên a và b. 5 lưu 21, việc càng lạ Nếu (a, b) = 1 thì ta nói a và b là hai số 7 lần Thượng Nguyên lại gặp lại nguyên tố cùng nhau. Hàn Thực, Thanh Minh tiện biết được. Nhận xét 1.1.2.1 Nếu (a, m) = 1, thì Trình Đại Vị có bài thơ Vật bất tri tổng phương trình ax ≡ 1(mod m) có duy nhất nghiệm (Tôn Tử ca, hay còn gọi là Hàn Tín điểm binh):4 và có thể tìm nghiệm nhờ giải phương trình nghiệm nguyên ax + my = 1.13 三人同行七十稀 2.1.3. Định lí Trung Quốc về phần dư 五樹梅花廿一枝 Định lí Trung Quốc về phần dư phát biểu như sau: 七子團圓正半月 Cho k số nguyên dương đôi một nguyên 除百零五便得知 tố cùng nhau m1, m2,..., mk và a1, a2,..., ak là k số Phiên âm (Hoàng Xuân Hãn):9 nguyên tùy ý. Khi ấy hệ phương trình đồng dư Thất t đ ệt  x  a1 (mod m1 ) Thất t Tam đTrừnhân đồng hành ũ tiệnthấtđắc thập ệt tri.hi  x  a  x ma1 )(mod m ) (mod Trừ Ngũ thụ mai ũ tiện đắc tri.  1  2 2 D ch (Hoàng Xuân Hãn): hoa trấp nhất chi 9  x  a2 (mod  m2 ) (1) 9   ... (1) D ch (Hoàng Xuân Hãn):Thất tử đoàn viên chính bán nguyệt Ba ngườ cùng đ ít bảy chục ...  x  ak (mod mk ) Trừ bách  Ba ngườ Ncùng m cỗi đlinh oangũ ít bảy machụctiệnmđắc tri. mốt cành  x  ak (mod mk ) N m cỗi Dịch Bảyoa(Hoàng ma m gã xum v mốt cành Xuâny vừaHãn): nửa tháng 9 có duy nhất nghiệm (t eo ng ĩa c c ng ệm Bảy gã xum v Trừ tr ymvừa inhnửa n m thángbiết số thành. có duy có cùng duy nhất nhất nghiệm nghiệm thuộc (tlớp(theo eo đồngngnghĩa ĩa cdư)cácc nghiệm ngt eo ệm cùng modu o Trừ tr Ba m người inh n m cùngbiếtđi ít bảy chục số thành. cùng thuộc thuộc lớp m1m2 ...mk . đồng lớp dư) đồng theo dư) modulo m t eo m modu ...m o . 2.1.2 P ơ đồ ến tính 1 2 k 2.1.2 P ơ Năm cỗi đồ hoa mai hăm ến tính mốt cành m m ... m . Cho a, b, m là các số nguy n c o trước. Ta nói 1 2 k Chứng Chứng minh: minh: 3,5,133,5,13 Bảy gã xum vầy vừa nửa tháng 3,5,13 Cho a, b,am đồ là các sốvới nguy b theon c omodultrước. mTa (hay nói a v bChứng minh: Tính Tính duyduy nhất: nhất: GiảGiả sử sử hệ hệ có cóhai nghiệm x, y hainghiệm a đồ cùngvớiTrừ t buộc trăm theomột linh modul năm biết ớp mđồng (hay sốdư) thành. a v vb k ệuTính x, duy ysao nhất: sao chocho Giả sử hệ có hai nghiệm x, y cùng t 2.1.2. uộc a  bmột Phương mod m ớp đồngđồng  ,trình nếu a dư) b dưvbộ k tính của mệu. sao cho x ≡ y (mod m i), i = 1, tuyến x  y mod mi  , i  1,2,...., k. a  b  mod m  , nếu a  b bộ của m . 2,..., k. P ương tr n ax  b  mod m  được gọi là Cho a, b, m là các số nguyên cho trước. Ta nói x  y  mod m i  , i  1,2,...., k . P ương tr nơ ax  bđồ  mod m  ến được gọi là Vì m Vì 1, m m2 ,..., , m k đô m,..., mk một đôi một nguyên nguyên tố tố cùng cùngnhau a đồng dư với b theo modul m tính m at biến. và b cùng Vì m1 , mnên đô một nguyên tố cùng nhau 2 ,..., m 1 2 (hay ơ đồ ến tính m t biến. nhau nênx  k x ≡y ymod (modmm 1mm 2 ...mkmk,), tức ... tức làlà xxvàvà y cùng y cùng Nghiệm thuộc mộtcủa lớppđồng n ax  ba mod ươngdư)tr và kí hiệu m  là m) ≡ b (mod sốnên x  y  mod m1m2 ...mk  , 1tức 2 là x và y cùng b  mod thuộcthuộc mộtmột lớplớp đồng đồngdư theodư t moduloeo modu m1m o 2m 1mk2. ...mk . ...m Nghiệm nếu của ap - ương nguyên saotr cho bxlà bội ncủaax m chia ax cho mm còn là sốdư b. thuộc một lớp đồng dư t eo modu o m1m2 ...mk . nguyên x sao cho ax chia cho m còn dư b. Sự Sự tồntồn t i: tại: Tìm Tìm nghiệm nghiệm x xdưới dướidạng dạngtổtổhợp Xét p Phương ương tr trình n đặc axbiệt ≡ b dạng(modax  1 modgọi m) được m là . Sự tồn tuyến tính của x hợpt tuyến i: Tìm tính củaaia:i: dưới dạng tổ hợp nghiệm Xét p ươngphương tr n trìnhđặc biệtđồngdạng ax  1tính dư tuyến  mod mộtm biến. . tuyến tính của ai : T n Cửu Thi u (秦九韶, 1202–1261) trong S x A1a1  A2 a2  ...  Ak ak T n Cửu Thi uNghiệm (秦九韶, 1202–1261) ơcủa (数书九章, phương trình1247) ax ≡3bSđã trong đưam)ra (mod x A1a1  A2 a2  ...  Ak ak 3 các Ai A vớivới các thỏa mãn A ≡ 0 (mod mi)∀j i thỏa mãn j Aj  0  mod m ≠ i và i  j  i và là p sốươngơnguyên (数书九章, p xp sao g ảcho 1247) chiađã paxương trđưa cho nm cònrađồng dư b.dưvới các A thỏa mãn Aj ≡i 1 (mod mj). Aj  0  mod mi  j  i và p ương ax p p1 mod g ả mp . ương Ptrìnhương tr n đồng dư đương A  1 mod m j  . đặcpbiệtpdạng n yaxtương ệm nguyên j  Đặt Đặt j  Ni = m1m2...mi-1mi+1...mk, i = 1, 2,..., k. Xét phương ≡ 1(mod m). A  1 modj m . ax  1 mod với mviệc. P ương giả pp ương p n ytrtương n ngđương N Khi i  m1m2 ...mi 1mi 1...mk , i  1,2,..., k. với việcaxgiả  my Tầnp 1,Cửu ươngđã được trThiều n các ng(秦九韶, ệm toán nhà 1202-1261) nguyênhọc Ấn ĐộĐặt NKhi  m ấy m N ... mchia m hết ... cho m , mi  jm với mọi 1,2,..., k .∀j ≠ Khi i. Vì j với mọi j  i. Vì i ấy 1 N2 j chia i 1 i  hết 1 cho k j ax  my trong  1, ra đưa đãSố thư Cửu t được các chương nhà toán uật toán giải vào thế (数书九章, học Ấn 2,12 kỉ VII. Độ1247)3 đã ấy N (mchia , m ) =hết ... = (m cho , mm ) = (m với , m mọi ) = ... = (m , m ) = 1 i+1 j  i. iVì k nên (N mi , m1  ...  mi ,j mi 1   mi , mi 1  ...  mi , mk  1 j i 1 i i-1 i 2,12 đưa ra t đưa ra phương pháp kỉ uật toán giải vào thế giải VII.phương trình đồng dư ,i mi) = 1. Do đó (xem Nhận xét 1.1.2.1) Kí hiệu  a, b  là ớc s chung lớn nhất của hai mi , m1  nên ...  mi , mi 1   mi , mi 1  ...  mi , mk  1  Ni , mi   1. Do đó (xem Nhận xét 1.1.2.1) Kí hiệu số b  là ớc a,nguyên a s chung b . lớn nhất của hai nên  tồn N m  1. và https://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16401 i , i tại  duyDonhất đó (xem Nhận xétcủa xi là nghiệm 1.1.2.1) p ương tr n số nguyên a và b .  a, bchí  Khoa a và Đại b là hai số nguyên 8Nếu Tạp 1 thì ta nói học Trường học Quy Nhơn, tồn tại 2022, 16(4),duy nhất 5-16 x Ni x  1 mod mi  . Đặt i là nghiệm của p ương tr n Nếu  a, bt  cùng nhau. a và b là hai số nguyên 1 thì ta nói Ni x  1 mod mi  . Đặt t cùng nhau. x A1a1  A2 a2  ...  Ak ak Nhận xét 1.1.2.1 Nếu  a, m   1, t p ương
ương Aj  1 mod m j  . NN1 557735; 35; Trừ Trừ22 1 guyên Đặt Ni  m1m2 ...mi 1mi 1...mk , i  1,2,..., k. Khi NN2 337721; 21; Giải Giảib 2 n Độ ấy N j chia hết cho m j với mọi j  i. Vì NN3 335515. Thuậ 3 15. Thu  ...KHOA  mi , mi 1 HỌC Vì  5,7    7,3   3,5   11nên Vì dư dư33v TẠP mi , m1CHÍ  mi , mi 1  ...  mi , mk  1  5,7  7,3   3,5  nên trong ủa hai trong TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN nên  Ni , mi   1. Do đó (xem Nhận xét 1.1.2.1)  N1 ,3,3    N 1 N2 ,5,5    N 2 N3 ,7,7  1.1. N 3 xuống xuốn tồn tại duy nhất xxii làlà nghiệm tồn củaphương nghiệm của p ươngtrình tr n Suy ra tồn tại các x1x x12,=2, số x2,2 x21, =x31, x13 tương =1 pp pp guyên Suy Suyraratồn tồntại các sốsố tại các   x2 1, x3 1 tương 14, 1 modm NNixi x≡1(mod mii). .Đặt Đặt tương ứng ứng là các nghiệm 1 của các phương trình 14,hợ h ứng ccccng ng ệm ệmcủa củaccccpp ương ươngtrtrnn NNi xx11 mod Giải Giảit x A1a1  A2 a2  ...  Ak ak i modmmi i ,i, i 1,2,3. 1,2,3. ương Vậy Vậy  N1 x1a1  N 2 x2 a2  ...  N k xk ak . Vậy và có xx  35 Khi ấy 35222221 21113315 151122  233. 233. g ệm Ai Ni xi  1 mod mi  , Ai  0  mod m j  j  i. Trừ Trừ233 233cho Trừ chohai 233 chohailhai l nn3lần3535×775 105 ×105 được nghiệm 7 = được 105 được nghiệm nhỏ nhỏ nhất là 23. nhất là 23. Đặt Đặt Vậy x  Ni xi ai  ai  mod mi . nghiệm nhỏ nhất là 23. ậậ Dương Dương Huy gọi gọithuật thuậttrừ trừ105 105 “t“tễn Nhận xét Dương 10 Huy Huy gọi thuật trừ 105 là ễn un ư Theo chứng minh Theo chứng m n tr n, để giải hệ p ương tr n trên, để giải hệ phương quản” (cắt quản” (cắt đốt), 10 ng ĩa đốt), 10 ng ĩa nếunếu số vượt số vượt quá quá trình đồng đồng dư tuyến tính (1), tamphải dư tuyến tính (1), ta phả c c bước làm các sau. 335quản” “tiễn 577  105 (cắt 105đốt), t t “cắt “cắt đốt”: nghĩađốt”: làtrừ nếu trừ cho số bội cho bộicủa vượt quá của 105 105 bước sau. 3 × 5 × 7 = 105 thì “cắt đốt”: trừ cho bội của 105 ên tố Bước 1: Đặt  m m1m 2 ...mk N i mi , i 1,2,..., k. 55 k số Bước 1: Đặt m = m1m2...mk = Nimi, i = 1, 2,..., k. để được nghiệm nhỏ nhất thỏa mãn hệ phương trình đồng dư. dư Bước 2: Bước 2: Tìm 2: Tìm nghiệm nghiệm cxi ccủa cácương phương đểđể được nghiệm nhỏ nhất thỏa mãn hệhệ p pương ương Bước Tìm nghiệm xi xcủa i của pc pương tr ntr n được nghiệm nhỏ nhất thỏa mãn N x N1(mod x ≡m1(mod m ) dụ, tr ntr n Giải đồng đồng bài dư. dư. 2.1.2: 10 4 Ntrình i x i 1(mod i m ) (thí (thí theo i ) i (thí idụ, theo thuật toán giải dụ, theo thuật thuật toán toán giải Bước giải 2: Tìm phương trìnhnghiệmvô định). xi của 3,12 3,12 c c p ương tr n để được nghiệm 10 10 nhỏ nhất thỏa mãn hệ p ương p pương Bước ương 2: trTìm ntr nvô vô định). định). nghiệm 3,12 xi của c c p ương tr n Giải để Giải được bài Thuật bài 2.1.2: nghiệm 2.1.2: rằng: nhỏ 7 dư nhất 1 viết thỏa xuống mãn 288, hệ p trong ương Ni x  1(mod mi ) (thí dụ, theo thuật toán giải tr n đồng dư. tr n đề dư đồng 1;r8 dư dư. 17viết xuống 441, trong đề dư 2 đviết Ni Bước Bước p ương 3: Bước x  1(mod 3: m3:) Nghiệm Nghiệm Nghiệm tr n i vôcủa (thí của định).hệdụ, hệcủa được 3,12 được hệt được theo mtthuật mdưới tìmtoán dưới dưới dạng dạng dạng giải Thuật Thuật Giải bài 2.1.2: rng:ng: 710dư dư 1 v1 ết v ếtxuốngxuống 288, 288, trong trong đdưdư p ương tr n vô định). k k 3,12 xuống 1; 1;8 bài Giải 882; 8dưdư 2.1.2:9 1 1v ết dư10 1 viết xuống 280, trong đề dư 3 v ếtxuống xuống441, 441,trong trongđ đdưdư2 2v ết v ết Bước 3: Nghiệmx0của Bước 3: Nghiệm của hệi 1được x0  hệ  NđượcN xa. i xi iai i. t i m dưới dạng t m dưới dạng viếtThuật Thuật xuống xuống xuống 882; rxuống r882; ng: ng: 9 dư 840. 97Gộp 7v840. dư dư 1dưv1 1ết 1Gộp v vết lại v ết lạ ếtxuống xuống được xuống xuống 280, 2010,280, 288, 288, trong đủ trong trong trong đ đdư 504 đ dư thì đ504 dư 3dư3 ik1 1; viết trừ viết 8 xuống dư 1 840. ết Gộpxuống lạ 441, đượcđược trong 2010, 2010, đ đủ dư đủ504 2 v thì ết thì 8đi.dư 1; xuống Trừ1 3vlần ết 504 xuống còn441, 498, tronghợp với câudư hỏi. đ với câu hỏi.2đ v dưết 3 Bước Bước 4: Bước 4: Kết Kếtluận4:luận Kết x 0  iN k  luận nghiệm nghiệm xnghiệm0 N x x x x (mod i 1 i xi ai .0 0 i a i . x x(mod≡ xm0(mod ).m). m). trừ xuống trừđ .đ . 882; 882; rừ rừ 3 l 9 dư 39n ldư n 504 1Gọi 1 504 vGộp v còn ết còn ếtsốxuống xuống 498, 498, hợp 280, 280, hợp trong với câu hỏi. viết Giải xuống thích 840. đã lạ cho được x.trong là 2010, Ta có đhệ504 đủ dư 3thì 2.1.4. 2.1.4. Ápd dụng Mục i 1 này áp dụngĐịnh lí Trung Định lí Trung Giải viết Giải thích xuống thích Gọi 840. Gọi số Gộp số đã đãclạ c o o được x . x . Ta có 2010, Ta có hệ đủ hệ504 thì 2.1.4. Bước Áp 4:Áp Kết dngluận ng Mục này áp dụng Mục này áp dụng nghiệm x  x0 (mod Định lí Trung m). trừ trừ đ . rừ 3 l n 504 còn 498, hợp với câu hỏi. đ . rừ 3 l n 504 còn 498, hợp với câu hỏi. Bước Quốc Quốc Quốc 4:v Kết về vphphầnluận ph n ndưdư nghiệm dưđểđể đểgiả giảix ccác giả xc0 (mod bcbài mton). n b totoán đãđãđãpphát pt t  xx1(mod  1(mod 7) 7) Giải thích Gọi sốđã c o x. Ta có hệ 2.1.4. biểu biểu biểu trong Áp trong trong d Mục Mục Mục ng Mục này áp dụng 2.1.1. 2.1.1. 2.1.1. Định lí Trung Giải thích Gọi sốđã xcx 2(mod8) o 2(mod8) x. Ta có hệ 2.1.4. Quốc Ápvd ph ng nMục này áp dụng Định lí Trung x  1(mod 7) 1 1dư để giả c c b to n đã p t  xxx1(mod QuốcGiải Giải bài v bài ph Giải 2.1.1: 2.1.1: n bài dư để 2.1.1: giả 1 c c b to n đã p t     3(mod3(mod 7) 9). 9). biểu trong Mục 2.1.1.   x  2(mod8) biểuCáchtrongtính Mụcr rng: 2.1.1. ng: 3, lấylấy Đặt Đặt  x 2(mod8) Cách Giảitính Cách bài 2.1.1: tính 1 3,rằng: vật3,vật nónó lấy cvậtcanó ca cchia o 3, o 3,dư cho dư2,3,2, đặt 140; 5, lấy đặt 140; 5, lấy 1 nó c ca co 5, o 5, dư 3, đặt 63; 7, lấy Nx1Nx1 3(mod  3(mod 9). 88999).  72; 72; Giải dư bài 2, đặt 140;nó5,clấya nó 2.1.1: chiadư cho3,5,đặt 63; 7, lấy dư 3, đặt 63; Đặt  nóCách nóc ca ctính a co 7, or7, dưng: 2,3, dư đặtlấy 2, đặt 30.vật30. nó c a c o 3,được Cộng chúng lạ Cộng chúng lạ dư được 2, N2N2 779963;  63; Cách 7, lấy tínhnó chia r210 ng:cho 3, 7, Đặt đặt 140; 5, lấy 233. 233. Lấy Lấy 210 trừtrừ nó đ đnó,clấydư nó, c2,t tođặt atvật nót5,nc30. n được. aCộng dưđược. o 3, chúng dư 2,lại 3,c đặt 63; 7, lấy N1  8  9  72; đặt 140; 5, lấy nó210 c a đặt co đi o30. 5,dưdư 3, đặt 63; 7, lấy NN13N 87798872;  56. 56. Cứđược nó Cứ 3,c3, 233. lấy alấycnóoLấy nóc7,cdư a ca2,cotrừ 3, 3, dưnó, thì t ttính 1,Cộng chúng lạ 1, được. được đặt 70; 5, lấy đặt 70; 5, lấy N23  7  9  63; nó233. c a c o 7, dư 2, đặt 30. Cộng chúng lạ được nónó 233. c caLấy Lấy a co210 cCứ 210 o lấy 5, 3, 5, trừ dưtrừ đ dư1đt1chia nó nó, nó, tđặt 21; 7, lấy nó chia cho t 3, n dư t đặt 21; 7, lấy nó chia cho t chot n được. được. 1, thì đặt 70; 5, 8,9  8,9    7,9   7,9   N2N7,8  77,8   791nên 8 163; nên  56. Cứ 7, dưdư 7,lấy 3, 1 t1lấyt nó đặt đặt c 15. 15. a cTừ Từ 106o106 3,trở dưtrở lên,1,lên,tlấylấyđặt 70; 5, lấy 105 105 trừtrừ với với N 3 7  8  56. Cứnó 3, nólấychia ccho nóođược. 5, dư 1 thì 1, 5, adưc 1o t3, dư đặtt 21;đặt 70; 5, lấy 7, lấy nó chia  8,9    N1 N,7 7,9   3  1 ,7 N7,8  N2,81nên  2 ,8 N3  N,93 ,9 1. 1. nónó t ct t nat cnđược. đặt 21; 7, lấy nó chia cho nóchoc 7, a c dư o 1 5, thì dư đặt 1 t 15. Từ 106 trở đặt 21; 7, lấy nó chia cho 7, dư 1 t đặt 15. Từ 106 trở lên, lấy 105 trừ với lên, lấy 105 trừ  8,9    7,9    7,8   1 nên Tồn Tồn tạ tạc c số cN số x x 4, 1  1số x4, x2 7,  7, x x3 5,95tương tương ứng ứng Giải Giải 7, dư với nó 1nótthích tthích Gọi nđặt tthì Gọi tính15. được. số số Từ được. c106 c n tìm là n tìm là trở lên, x. xTa có . lấy Ta có 105hệhệtrừ với Tồn tại ,7 1các N  x221,8 = 4,3  Nx23 = 7,1.x3 = 5 nó t t n được.  xx 2(mod các nghiệm các nghiệm  N  ,7 1của  của  p pương N  ,8 2ương   N  tr ntrcủa ,9 n3Ni N  1. 1 mod xi i xi 1 mod mi m .i .  2(mod 3)tìm 3) tương ứng Tồn tạ c là c sốcác  x1 nghiệm 4, x2 7,  x3 phương 5 tươngtrình ứng Giải thích Giải Gọi thích số Gọi  c số n tìm là cần x . là x. Ta có Ta hệ có hệ Giải thích Gọi số cxn tìm là x 3(mod  3(mod x5). 5)Ta có hệ Tồn N xVậy Vậy ≡tạ1(modc c số m ).x1 p4, x2 7, x3 5 tương ứng  x  2(mod 3) i các nghiệm i x x  72  72của i   4p 1ương4   63 tr7n n2N256 1ương  63 tr 7 Ni 56xi 5153mod 3m m i .  x  x 2(mod   x 2(mod 7). 2(mod 3) 7). các nghiệm Vậy của i x i  1  mod i  .   x  3(mod 5) Vậy  288  882  840  2010. Vậy  288  882  840  2010. ĐặtĐặt  x  3(mod 5) x  72  4  1  63  7  2  56  5  3 NxN x  2(mod 7).  5  7  35; Trừ Trừ 2010 x  ba 2010 72ba l n4l cho n1cho 7 63787892 9504 56504 5 được được 3 498.498.  5  1 12(mod 7).  7  35;  288 882  840  2010. Đặt  2882.1.3:  882 10 10 840  2010. N2N2 3377 21;  21; GiảiGiải bài Đặt N1  5  7  35; Trừbài 2010 2.1.3: ba l n cho 7  8  9  504 được 498. NN13N 353375535;  15. 15. TrừThuật 2010 Trừ ba 2010 rng:ng:l nbacho 11 lầndư 7cho187×8×9 v 9ết  504 = 504 xuống đượcđược 936, 498. 498. trong N2  3  7  21; Thuật r 11 10dư 1 v ết xuống 936, trong đ đ Giải bài 2.1.3:  5,7 Vì Vì   5,7    7,3   7,3   2N3,5 N   3,5 3   1 nên  7  21; 1 nên dư Giải dư3 v3 bài Giải v ết ếtxuống 2.1.3: bài xuống10 2808; 2808; 12 12dư dư1 1 v v ết ết xuốngxuống 1573, 1573, dư22.1.3: 10 3  3  5  15. Thuật trong trong đ đrdưng: 11 2v ết vdư 1xuống ếtxuống v ết3146;xuống 3146;13936, 13dưdư trong 1 1v ết vđết  N   3  5  15.   Thuật rv ết ng: 11 dư2808; 1đ v dư ết xuống 936, trong1573, đ Vì  5,7  N N,3  7,3   ,3   3  N3,5 N ,5  ,5 1 nên  1 nênN  N,7  ,7 1. 1. dư xuống xuốngThuật3 924, 924, trong xuống trong rằng: 12 đ 11dưdư1. 1Gộp dư 1. 1 Gộp viết v ết lạ xuống lạ được 936, được 6878, 6878, v ết xuống 1 1 2 2 3 3 Vì  5,7    7,3  3,5   dưtrong p p 3 vpếtđđxuống p đ y y tổngdưtổng 2 2808; trừ v trừ đết đ 12 xuống 1716. dư 13146; 1716. Trừ Trừ 4 l4xuống 13 n l n dư 1716 1573, 1716 1cònvcònết SuySuyra ratồntồn Ntại tại các các số sốx1,5x1 2,  2, x  x 1, x1,3 x1.3 1 tương 1 tương trong đề dư 32 viết xuống 2808; 12 dư 11 viết 1 ,3   N N 2 2,7 trong đ dư v ết xuống 3146; 13 dư v ết 14,xuống 14,hợp hợp 924, trong đ dư 1. Gộp lạ được 6878, với câu hỏi. với câu hỏi. ứng c c ngệmệm của c c pc   tr1.ntr n 2 3 Nc1 ,3 Ncủa  2 ,5 N 3 ,7 pương ương xuống 924, trong đ đdư1716. 1. Gộp ứng ng Suy ra tồn tại các số x1 2, x2 1, x3 1 tương p p đ y tổng trừ Trừlạ4 được l n 1716 6878,còn Nix1 1 số  x pGiảiGiải p thích đ thích y tổng Gọi Gọi số trừ số c đ c n tìm là n tìm là 1716. x Trừ . x . Ta có 4 Ta có l n hệ hệ 1716 còn Suy ra tồn N tại i x các mod modxm m 2,, i , i1,2,3.  1, x 1 tương 1,2,3. ệm của1 ci c ip 2ương tr3 n Tạp chí Khoa học14, https://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16401 14, hợp với câu hỏi. ứng ứng c c ng VậyVậyc c ng ệm của c c p ương tr n hợp với câu hỏi. Trường Đại học Quy Nhơn,  x  x 3   2022, 16(4), 3 mod11mod11  5-16 9 Ni x  1 mod mi  , i  1,2,3. Giải thích Gọisốc n tìm là x. Ta có hệ x  x 35 35 N2ix2212 mod  21 21 1m 1i 3,i315 15 112 2 233. 1,2,3.  233. Giải thích Gọi sốcxn tìm là x 2(mod12)  2(mod12) x. Ta có hệ   x  3  mod11 Vậy  1(mod13). xxx31(mod13). mod11 
x  72  4  1  63  7  2  56  5  3 Đặt    ng (khô Đặt N1  5  7  9  315; (k nhận  288  882  840  2010. N  5  7  9  315; nh Trừ 2010 ba l n cho 7  8  9 504 được 498. N2 12  7  9  126; N  2  7  9  126; TẠP CHÍ Giải bài 2.1.3:10 KHOA HỌC N3 2 2  5  9  90; hay N  2  5  9  90; ha TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN N4 3 2  5  7  70. Gọi Thuật r ng: 11 dư 1 v ết xuống 936, trong đ N4  2  5  7  70. G dư 3 v 1573, xuống ết xuống trong2808; đề dư122dư 1 vxuống viết ết xuống 3146; 1573, 13  a, b, c(a, Kí hiệuKí hiệu  b,ước c) làsốước chung số chung lớn nhấtlớncủa nhất ba ngườ Kí hiệu  a, b, c dương ướca,số chung lớn nhất của ba ng khôn trong dư đ xuống 1 viết dư 2 924, v ết trong xuốngđề dư3146; 13 dư 1. Gộp lại 1được v ết của ba số nguyên b, c. số nguy n dương a, b, c. kh xuốngpháp 6878, 924,đầy trong tổngđ trừ dưđi1.1716. Gộp Trừ lạ được 6878, 4 lần 1716 số nguy n dương a, b, c. 1 tương p p đ y tổng trừ đ 1716. Trừ 4 l n 1716 còn  5,7,9    2,7,9    2,5,9  1 nên còn 14, hợp với câu hỏi. 14, hợp với câu hỏi.  5,7,9    2,7,9    2,5,9  1 nên  N1 ,2   N2 ,5   N3 ,7    N4 ,9  1. Giải Gọi Giải thích thích sốGọi số cần tìm c n tìm là là x. Ta x. Ta có hệcó hệ Tồn tại  N1 ,2    các  N2 ,5   x1số x1, N3 ,7    x=2 1,1,xx3= 1,6,x N ,9  1. x4=4 6,4 xlà =các  Tồn tạisốcác 4  x  3  mod11 Tồn tại các số  x1 1 1, x2 2 1, x3 36, x4 44 là các Đặt  nghiệm của p ương là các nghiệm của phương trìnhtr n N x  i i Nx 1  ≡ 1(mod mod m i  m ). . Đ  x  2(mod12) nghiệm của p ương tr n Ni xi ii 1 mod mi  .i 233. Do đó  x  1(mod13). Do đóDo đó nghiệm  x 315 11  126 1 2  90  6  3  70  4  4 x 315 11  126 1 2  90  6  3  70  4  4 Đặt  315  252  1620  1120  3307. N1  12 13  156;  315  252  1620  1120  3307. Vì  “t ễn N2 1113 143; Trừ 3307 năm lần cho 2 × 5 × 7 × 9 = 630 V ượt quá của 105 N3 1112 132. được nghiệm nhỏ nhất là 157. 6 6 5 12,13 12,13    11,13 11,13     11,12 11,12    1 1nên nên TrừTrừNhận 33073307xét n nmm Đâyn nlà cho chobài2  2giải 5 5 7hệ7 949  phương 630630được được 12,13   11,13  11,12  1 nên Trừ trình 3307nhỏ nghiệm nghiệm đồng nnhỏ dư,m mnhất là 157. n cho 2  5  7  9  nhất là 157. không thấy 2có trong 630 được 12,13   N11,13    N 11,12 N   1  1 nên N   1.1. Trừ nghiệm 3307 nhỏn nhất là 157. n cho 5  7 các 9 sách 630 toán được 12,13  N 1,11 1 ,11 11,13   2,12 ,12 211,12  N 3 ,13 ,13 3nên Trừ 3307 n mchí hiếm n cho thấy 2  5trong  7 các 9 630liệu được  N1 ,11  N  2 ,12   N3 ,13 1. Hán nghiệm - Nôm, Nhậnnhỏ Nhận nghiệm xét xétĐây nhỏ thậm Đây b b g gảiảihệhệ4 4p pương nhất là 157. nhất là 157. ươngtrtài trn n đồng đồng TồnTồn tạ Tồn N1 ,11 tạ c c c c số N  số  x,12  x  6,  6, x  N x ,13 11, 11,  x  x 1. 7 7 là là các các Nhận dư, xét k Đây ông t bViệt ấy gNam. có ải hệ 4các trong pcác ương sách trtoán ntoán đồng Hán- Tồn tạ c  x1N 2 x11, ,13x73 = Nctại các số x21,12 toán dư, hiện k nay ông của t ấy có trong sách Hán- 1 ,11  6,= x6, 2N= 11, 7 làcác 1.là các 2 1 23 3 số 1 2 3x 3 Nhận dư, k xét ông Đây tĐây ấy bcó g ải hệ các 4 p ương toán tr n đồng  Nhận Nôm, xétthậm chí b10trong hiếm hệ 4 psách gthấy trong các tài liệu ải thấy trong các tài liệu ương tr nHán- đồngtoán i.  . Tồn nghiệm nghiệm tạ của ccủa c ccác cc cpphương số  pxương ương6,  x tr trình tr n n11, NN  xN x 3 x x 7 1 1mod 1(mod mod là m m m các  Nôm, thậm chí hiếm toán ≡ ii). dư, Nôm, k ông thậm chí Giải bài t ấy hiếm 2.1.5: có trong các thấy trong các tài liệu sách toán Hán- toán Tồn tạ nghiệm của c c psốương Vậy của c c p ương tr n Ni xi 31 mod mi . 1 x1 tr6, nx2 N11, 2 xi  x i 3i i i 1  7 mod là m các . dư, hiện hiện Nôm, knay ông nay thậm chí của củat ấy ViệtViệt hiếm có Nam. Nam. trong các thấy trong các tài liệu toán sách toán Hán- nghiệm của c c p ương tr n iNii xi 1 modim i  . Vậy nghiệm hiện Nôm, nay của Việt thậm chí Nam. Vậy Thảo rằng: 10hiếmĐếm 10 thấy trong các tài liệu 3 thừa 2 viết xuống 140,toán x  x  156 156   6 6   3 3   143 143   11 11   2 2   132 132   7 7  1 1 hiện Giải Giải nay bài bài của 2.1.5: 2.1.5: Việt Nam. Vậy x 156  6  3  143  11 2  132  7  1 hiện Giải5bài nay của 2.1.5: Việt 10 Nam. Vậy đếm thừa 3 viết 10 xuống 63, 7 không thừa không   2808 2808  3146 3146 x 156  6  3  143  11 2  132  7 1  924 924   6878.6878. Giải Thảo Thảo bài r rng: 2.1.5: ng:Đếm Đếm 10 3 3 thừathừa2 2viết viếtxuốngxuống140, 140,đếm đếm  2808x 156  6  3924  3146 143 6878. 11 2  132  7 1 Thảo viết Giảixuống. bài r ng: 2.1.5: GộpĐếm lại3 thừa được 2203, viết trừ xuống 105140, còn đếm 98 5 5thừa thừa 3 3viết viết xuống 63, 7 không thừa không viết xuống 63, 7 không thừa không viết 2808  6878 Trừ  68783146 lbốn ln n924 lần  cho 6878. 5Thảo rLấy 3rng: Đếm 3 thừa 2 viết xuống 140, đếm  11 Trừ 1112 × 1213 × 1716 13 = 1716 thừa viết xuống 63, 7 không thừa không viết Trừ Trừ 6878  68782808 bốn bốnbốn 3146 l n cho cho cho 92411 11  6878. 12 12  13 13  1716 1716 được được được người. 5 Thảo xuống. xuống. thừa 3 Gộp viết 200 ng: Gộp lạnhân Đếm lạđược 3với được thừa 203,số 203, xuống 63, 7 không thừa không viết 2người trừ viết trừ105 được xuống 105 còn còn số 140, 98 98tiền, đếm người. người. nghiệm nghiệm được nghiệmnhỏ nhỏnhất là 14. nhất là 14. nhỏ nhất là 14. xuống.5 Lấy thừa Lấy Gộp 200 3 200 viết lạnhân nhân được 203, trừ xuống 63, 7 không thừa không viết với với số số ngườngườ 105được còn 98 được số người. ti tin, n,sốsố Trừ nghiệm 6878 nhỏbốn l n cho 1112 13  nhất là 14. 1716 được số xuống.người Gộpchia 7 được lạ được số rượu, 203, chia trừ 105 3 được số cònsố98tingười. thịt. Trừ 6878 bốn10l10 n cho 1112 13  1716 được Lấy xuống. ngườ ngườ 200 c nhân Gộp c a a 7 lạ 7 với đượcđược được số số số ngườ 203,rượu, rượu, trừ c cđược 105 a a 3 3 còn được được 98 số n,người. số số thịt. thịt. nghiệmGiảibài Giải bài2.1.4: nhỏ 2.1.4: nhất là 14. bàiGiải nhỏbài 10 2.1.4: Lấy 200 anhân với số ngườ ađược 1 số sốti thịt. =tin,24 số 10 Giảinghiệm 2.1.4: nhất là 14. ngườLấy Giải c200 7thíchđược nhân số 1với cân rượu, số= ngườ 16c lạng; 3được được lạng số n, số ngườ Giải Giải c thíchthích a 7 được1 cân=16 lạng; 1 lạng=24 thù, vậy số rượu, 1 cân=16 lạng; 1 lạng=24 thù, vậy c a 3 được số thịt. 1 thịt.1 1 10 Giải Thuật Thuật bàiThuật r 2.1.4: r 2.1.4: ng: ng: rằng:Đếm 10 Đếm 2Đếm2 dư dư 12 vdưết1xuống1 v ết xuống 315, 315, trong trong thù, ngườvậy 1c cân 7=được16 × số 24rượu, a1 cân=16 lạng; 1 lạng=24 thù, vậy = 384c thù; a 3mỗi được lầnsốchia Giải bài Thuật r ng: Đếm 2 dư 1 v ết xuống viết 315, xuống 315, trong Giải cân= thích 16  24  384 thù; mỗi l n chia 1 cân=384 đ đ dưdư1;1;đếm đếm5 5dưdư2 2v vếtếtxuống xuống126, 126,trong trongđ đ dưdư cân= 16  24  384 thù; mỗi l n chia 1 cân=384 Thuật trong 1;rđề dư ng: Đếm 22 v2dư dư1xuống 21v 7viết ết xuống 315, đtrong 1Giải cân cân= tù16 thích ùc=thích co38424 1 cân=16 lạng; 1 lạng=24 thù, vậy thù 384cho thù; 3 người, mỗi l n mỗi chia người được 1 1 1 cân=384 đ 2, dư Thuật 2,viết viết đếm xuốngng:51;Đếm r xuống dư đếm 252; 252; 5 ết đếm dư đếm 7 vdưdư ết126, 1 xuống 1v vếttrong xuống 126, 315, ếtxuống xuống trong dư trong 540, 540, tGiải cân= 16  o3 3người, 24  1 cân=16 lạng; 1 lạng=24 thù, vậy người, 384 mỗ thù; mỗ ngườ mỗi ngườ l n được 128 thù. Gọi được 128 thù. Gọi chia 1 cân=384 đ2, đề dư dư 1; đếm 5 dư 2 v ết xuống 126, trong đ dư t cân= ù thù. c o16 3người, mỗthù; ngườxlà số được 128 thù. Gọi đviết dưxuống trong trong 2,đ đếm đ1; dưdư3252; viết xuống 53vdư vếtđếm 2252; ếtxuống v ết xuống 7 dư đếm xuống 1 7v dư 1620; 1620; ếtđếm 126, đếm xuống 1 trong viết 9 9dưdư 540, xuống 1đ 1vdư vếtết 128 t số số Gọi người là cngười là ùngười là o 3 người, 24 sốx người x384 và và y1ylà1ngườ mỗ là số và mỗi lyđược 128 thù. Gọi làchia 1lnln số n chia lần chia chia 1 cân=384 thịt (không kể thịt (không kể thịt 2, viếtđ xuống trong dư 3 252; v ết đếm 71620; xuống dư 1 đếm v ết xuống 9 dư 1 540, v ết số (không c kể o lần x và cuối y chialà số 1mỗ bị l n thừa), chia mỗi thịt (không kể lần1 chia 1 2, 540, xuống trong viết xuống trong đ280, xuống 280, 280, đề dư 3 trong dư trong 252; trong v ếtđxuống 3đviết đđếmdưdư 474vdư xuống 4 1620; vếtết 1xuống 1620; v ết đếm xuống đếm 91120. xuống 1120. dư 9 dư 1120. 540, vGộp 1 Gộp ết Gộp1 số lt người là lnù ncuối cuối 3chia người, xchiavà bịbị ythừa),thừa), ngườ l mỗi mỗi lđược 128 thù. Gọi ln n chia chia 1 cân=384 cân=384 xuống trong đ dư 3 v ết dư xuống v tổng ết xuống 1620; đếm 9 dư 1 v ết l nsố cuối người là chia x bị và thừa),1 ylà số mỗi là số nl chia l nn chia thịt (không kể chia 1 cân=384 thịt (không kể lạ lạđượcđược viết xuống 3307, 3307, p 280, đtrong p p pđ đ y đề dư y tổng trừ 4xuốngtrừ đ đ viết xuống 630. 630. rừ rừđ 1120. đ 5 5 cân = 384 t tù ùc co o3 3ngườ thù cho ngườ, cứ 3 người, , cứ1 mỗ mỗ3 3ngườcứ mỗi 3 người ngườđược chia 1 cân được được chia 1 cân xuống lạ xuống được 280, 3307, trong p157p đđđdư 4 v ếttrừ ypdưtổng 1120. đvới câu hỏi. 630. rừ Gộp đ Gộp 5 lt nù ccuối ocân 3chia ngườ bị, cứ thừa), mỗi mỗ8 thù=128 3lạng ngườ l n chia 1 cân=384 được chia 1 cân n n630 630 280, còn còn trong 157 đ psố, 4 số, v hợp ết hợp xuống với câu hỏi. 1120. chia l n thịt thịt 1 cuốithì thừa thì thừa chia thịt thì 5 bị 5 thừa), lạng thừa lạng 5 mỗi 8 thù=128 8 l n thù chia thù=1/3 = thù=1/3 128 1 cân, cân=384 thù cân, =vậyvậy lạnGộp được lại được 3307, p3307, p đ pháp y tổng đầy trừ tổng đ trừ 630. đi 630. rừ đ Trừ 5 lạ630được còn3307, 157 p đ ppđsố, y tổnghợp với câu hỏi. trừ đ 630. rừ đ 5 tthịt ù cthì thừa t phả ù phả c o 3 ngườ t o t m3 mngườ 2 , cứ mỗ 52người lạng người , cứ 8 thù=128 mỗ 3 ngườthù=1/3 3 ngườ được chia 1 cân cuối cùng nhận 2/3 cân= 256 cuối cùng nhận 2/3 cân= 256 cân, vậy được chia 1 cân nđiGiải 630 Giải 5630 thích lần thích còn 630 157 Gọi Gọisố157 còn số đđãpđãlà csố, cđáp ohợp o số, .x.hợp xvới câu hỏi. Ta có Ta có với hệhệ câu hỏi. 1/3 thịt phả cân, thì thừa vậy phải t thì thừa m 2 người 5 lạng thêm 2 người thù=1/3 8 thù=128 cuối cùng nhận 2/3 cân= 256 cuối cùng cân, nhận vậy Giảin thích cònGọi157 số đã đc po số, xhợp . Ta có với câu hỏi. hệ 2/3 thịt thù. Theo bài ra ta có: thù. Theo bài ra ta có: cân = 256 5 thù. lạng Theo 8 thù=128 bài ra ta thù=1/3 có: cân, vậy Giải thích Gọi số đã  x  cx   1o 1mod mod x . 2 2 Ta có  hệ phả t m thù. Theo bài ra ta có: 2 người cuối cùng nhận 2/3 cân= 256 Giải Gọi thích là x. Ta phả t m 2 người cuối cùng nhận 2/3 cân= 256 Giải thích số xGọi đã1csố mod ođã2cho x. Ta có hệcó hệ 384 thù. Theo bài ra ta có: 384 y y1 256 256 128 128 x x3 y3 y1  2 2 xx  x  x 2  mod 1x mod 2  mod 2  5 5 thù. Theo bài ra ta có: 384 y1 1 256  128x  3 y1 1  2 x  xx  2 1mod  mod52  Ng Ngĩa384 ĩa384 2≡ xy1xy2256  mod3  mod3 256  . 128 128 .x.  3y  x  31 y1   2 x 2 x  x x x2 3mod  3mod  mod 5 7 7  Ng ĩaNghĩa x là x 21 mod3 2(mod 3). x  2  mod 5  1 quan=1000 ti n, c a c o 5 người thì mỗi mỗi x 2  a. c o 5 người thì thì x     3 mod 7 Ng 1 quan=1000 ĩa x  2 mod3ti n, c . a c o 5 người  xx x x 3 4mod  4mod  mod7 9 9. . 11 quan quan=1000 Ngngười người ĩa= 1000 nhậnnhận 200  mod3 titiền, 200 n, cchia ti tin. n. Gọi cho Gọi y y5 là người là số số l lthì n nchia mỗi chia mỗi ti tin n   x  4 3mod  mod9 7.  1người 1 quan=1000 nhận 200ti ti quan=1000 tin,n, n.c Gọi c a cy o 2là a 2 o số c 52 người 5 l n chia người thì mỗi thì ti mỗi n ĐặtĐặt  xx  4  mod 9  . người (không kể người nhận (không kểnhậnl 200 l200 tiền. ln ncuối ticuối n.thừaGọi thừa400, Gọi yy2400,làlà số tức sốlần tức t chia t mm3tiền 3người tingười Đặt N   5 4  mod 9  .  7  9  315; (không kể người nhận nhận mỗ nhận mỗ nngười 200). Theo bài ra ta có cuối 200 thừa ti n. người 200). Theo bài ra ta có 400, Gọi 2ytức là tl nlmnchia số 3chiangười n ti n Đặt N  5  7  9  315; (không (không kể kể lần cuối thừa l n cuối thừa 400, tức t m 3 người 400, tức 2 là thêm 3 người Đặt 1 N1  5  7  9  315; 1 nhận mỗ người 200). Theo bài ra ta có (không kể l ny200). cuối thừa 400, tức N1NN 2 5 2 27 2 79 7 9 126; 9 315; 126; nhận nhậnmỗi mỗ1000 1000 người y2  2  600 600 người 200). Theo bài ra ta có  200 Theo 200 x x bài xta ra xcó5ty52ym 2 333người N2N1 2 5  7 7 9 9  126; 315; nhận mỗ 1000 người 200). Theo bài ra ta có y 2  600  200 x  x  5 y 2  3 N2NN 32 3 27 2 59 5 9126; 9 90; 90; hayhayx1000 33ymod5 x1000  2y  600 mod5  .. 200 x  x 5 y2  3 NN N3NN 3 2  2 25 7 25 2  59 9 9 90; 5  7 790; 126;  70. 70. hay x  3 mod5 2  .600 200x  x 5 y2  3 4  2 4 hay GọiGọi x y y 3 là là mod5 số số l ln. n.đãrót đãrótrótrượu, rượu,mỗi mỗil ln n rót cho rót cho 7 7 N4N3 2 2557 9  70. 90; Gọi hayy3x 3là 3  3số  mod5 l n đã rượu, mỗi l n rót cho 7 Kí hiệu a,ab,,bN Kí hiệu c,c4N 2ước ước5  7sốchung 2  số 5  7chung  70. lớn  70. lớnnhất nhấtcủa củababa Gọi người người người Gọi yGọi 3(thu (thu là (thu ysố là y3 là 3chén l chén chén sốngườ nsốlạ lngườ n đã lạlạ đãlần rótđể để đã rót để rót rót rượu, rót rótcrượu, c omỗi rượu, co ongười người mỗi người lmỗin khác). khác). khác). lần rót cho l y.n .Ta có rót cho rót Và Và 7 Và 7 Kí hiệu  a, b, c  4ước số chung lớn nhất của ba không có số không có số dư, dư, tức là tức là x x  7 7 y Ta có hệhệ sốsốnguy Kí hiệu nguy  a, b,c  a, bước a n , bn dương dương , c ước a a , b, ,b số c, . c chung . lớn nhất của ba cho người 7 người không có số (thu (thu chén ngườ chénlạ dư, đểlại để rót tức là rót c xo cho  người 7 người y . 3 khác). 3 khác). Ta có Và hệ nguy n dương sốKí hiệu , c. số chung lớn nhất của ba người (thu chén lạ để rót c o người 3 khác). Và   n dương   2,7,9   a, b, c2,5,9    không có số ngườ dư,  x x  tức là 2 2  modmod x337 y3 . Ta có hệ ,.c.   1 nên 5,7,9  5,7,9  2,7,9  sốhttps://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16401 nguy 2,7,9  2,5,9  2,5,9  1 1nên nên không có số ngườ dư,  x 2  mod 3 tức là x  7 y . Ta có hệ số 5,7,9 nguy  n dương   a, b  3 10 5,7,9  chí  2,7,9 học  3 ,7  xx x2 3mod  mod 3mod 35 5   NTạp  5,7,9  N   N 1 ,2  1,2 Khoa    2,7,9  N  N 2 ,5 2,5 2,5,9  Trường N  2,5,9   N 3 ,7  Đại1 nên 1 học N  nên N  Quy  4 ,9 4 ,9 Nhơn, 1.1. 2022, 16(4), 5-16   xx 32mod mod 5 3 1 ,2   N2 ,5   N3 ,7    N4 ,9  1. 3 0mod  mod5 7 7.  .  xxx x 0mod TồnTồn Ntại   tại  ,2các các  Nsố số   ,5x 1 1 1, x  1, N x x2 1, 23 ,7 1,x3  x3N6,  ,9  6,x x 4 4là là các 4 4 1. các x 03mod mod 7 5.  Tồn tại Ncác 1 ,2 số  x N1 2 ,51, x2   N1,3 ,7x3  6, N x44 ,94 là 1.các   1 2 4 ĐặtĐặt x 0 mod 7 .
nhận mỗ người 200). Theo bài ra ta có 1000 y2  600 200 x  x 5 y2  3 hay x  3 mod5. TẠPyCHÍ Gọi KHOA HỌC 3 là số l n đã rót rượu, mỗi l n rót cho 7 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ủa ba người (thu chén lạ để rót c o người khác). Và không có số Và không có sốngườ dư,dư, người tức làx  tức là x =7 y7y 3 . . Ta có hệ Ta có hệ 3 Tần Cửu Thiều là người đầu tiên đã đưa  x  2  mod 3 ra thuật giải hệ phương trình đồng dư,3 sau này  được phương Tây gọi là Định lí Trung Quốc về .  x  3  mod 5   phần dư (The Chinese Remainder theorem). Ông à các  x  0  mod 7  . cũng đã xét cả các trường hợp khi các mi là các . Đặt số không nhất thiết nguyên tố cùng nhau bằng N1  5  7  35; cách đưa về trường hợp các mi là các số nguyên 4 N2  3  7  21; tố cùng nhau, hoặc các bài toán đồng dư với phân N  3  5N 15. số hoặchoặc số sốdư dưâm. âm.Ôngngnhận xét:xét: NếuNếu a, b,a,cblà , ccác  N1 ,3   N32 ,5   3 ,7  1. số n ận là Vì  5,7    1  3,7  N ,3 x  2,2 N  ,5 3,5    x1 3nên N ,7  1. số số các sốtựhoặc nhiên tự số nhiên thì dư âm. thì ng n ận xét: Nếu a , b , c là Tồn tại các số  N1 ,3  1   Nx2 2,51, 3 N3 1,7là các nghiệm 1. số hoặc các số tự nhiên số dư âm. ng n ận xét: Nếu a , b , c là  x 2,  x 1,  x 1 b dưthì c  ng n ận xét: Nếu a, b, c là Tồn của tại các số p 6 Tồn tại các số ương  N  tr ,3 1N1 ,3 i i n  1  x1 2, N  N  x  xN ,5 2 2 ,5 2 1  1, mod  3 x3 N  N1i3,7 m 3 ,7  là các nghiệm .  1. Vậy 1. là các nghiệm số các sốsố hoặc x hoặctự  sốnhiên số bsố  mod dư âm. thì âm. c ng  ng ax n b ận  mod xét: c  Nếu . a, b, c là  N1n121,3 x21Nix2,  1,15 x Vậy số số hoặc hoặc số a  dư dư âm. âm.a ng n n ận ận xét:xét: NếuNếu a ,ab,,bc, clà là  2tr 3x1=mod 11, c  ax  b  mod c  . , b, c là của xp ương N N ,3 ,3 N  N  N ,5 2,5 1,5 N NmN ,7 33i3,7 ,7 1. 1. 1. các số số hoặc tự x tựbnhiên nhiên số dư mod thì thì âm. ng n ận xét: Nếu a 2 0.1là các nghiệm 2 35 các 1i   xx2 1m các số Tồn của Tồn ptại các sốtại các số ương Tồn tạin tr 1 xN  1 i i 1 2 số x 2,  2, mod 1,  x x23 i  = . là các nghiệm xVậy = 1 là các các số các số các số tự nhiên x tự  tự a nhiên nhiên mod thì a thì   ax  b  mod c  . bbb  thì  2 3 Tồn TồnTồn x  140ptại các số 35 tại các số  tại các số 263 tr2phương n x 1x x21 2, 31i2,  2,x  x523x22171, 15 11, x 1, 3x x 13 m 1 101là các nghiệm3 là các nghiệm là các nghiệm Thật vậy, xx a mod ac cc   ax Tồn btại bmod c. .  của nghiệm của p ương ương của x  35  2  2  21 1i3  15 203 tr n 11 N N xtrìnhii x  N mod x 203 i i 1 0i  i mod3≡ 1(modm i 105 . Vậy .  m Vậy 98. ). Vậy x   ba b  mod bab accacc   mod ax  số mod cnguyên bbbtại mod c... 313715  1mi1ii0một của của pppương 140 ương ương63 trtrtr 203nnn NN 3N x x5 171mod mod203 mm  105 ...Vậy Vậy 98. 98 Thật vậy,xxxx mod a mod mod bmod a    ax axax Tồn mod modsốccnguyên của  x:140  x98 3535 ngườ 63 22 ;2203 7 2 người 21 21 i3i 1xii i1i5 hứng mod  15 rượu 203 105 Vậy 0 l n, 98. yThậtsao cho vậy, xaaaa mod aaaac  Tồn tại số nguyên người :xxx98  bằng 35 35 35 ngườ 214 22;2l27203 2nngười 21 hứng 21 21 3 11 1hứngrượu; 3337 15 1515 3203 rượu 1người 11 0một 00105 một cân l n,98. 98 x abb  acc   : 140 98 140 ngườ 63 63  ; 7 203người 3 5 5 hứng  7 rượu 203  một 105 l n, 98.98 yThậtsao Thật c vậy, cho vậy, b x bbbmod  modccc Tồn Tồntạitạisốsốnguyên nguyên thịt, người 98 bằng  32 14  3 l  n 2. Vậy hứng số rượu; thịt 3 chi người ra là 32 một cân cân yx Thậtsao  Thật cho y vậy,  vậy, x x   a ax a mod  cy mod  a b  a   ax Tồn Tồn  btại  mod tại số  sốcnguyên . nguyên  140 14063 140 63 203 63 203203333555777 203 203105 203 105105  98. 98. 98. Thậtc vậy,bx  mod  Tồn tại số nguyên người : 98 256 thù=32 cân 10 lạng thịt, 98  Đáp: :bằng 98 32 ngườ  14 ngườ 398 ;l 2. 7người; ;nVậy7người hứng người số 7rượu; 16 hứng người thứng thịt ù;chi 3rượu 5 rượungười hứng ngườira một là một 1 lquan một cân rượu 32 ln, cân n,9898 một yx ysao a cho sao y a chobaaax a cy aaab ax  b  mod c  . : :98 98 ngườ ngườ ; 7 ; 7người người hứnghứng rượurượu một một l l n, n, 98 98 c ti người thịt, n, 98 lần, người :98 mỗ 256 thù=32 cân 10 lạng bằng 98  bằng 32 người ngườ ngườ  314 14 bằng l 2. ; đượcn 7l Vậy hứng nngười 14 hứng 200 16 số lần rượu; hứng thịt ti trượu; ù;n,5chi hứng 3rượu 98 người 3người ra  19 rượu; người một một cân là 1332 lquan n, 5một cân ngườicân 3. 98 y y x sao y sao  a sao cho cho y  a  tôaxc ỉtôi cyn chỉ ubđ u ax một  mod bbài csố. người người thịt, 98 bằng  bằng 32 14  14 3 l  ln 2. n hứng Vậy hứng số rượu; rượu;thịt 3chi 3 ngườingười ra là một cân một cân 32 cân Dướ đây Dưới a ccho c c đây úng a b bchúng nêu bài đầu số bài một  b  mod c. . 256 thù=32 cân 10 lạng Vậy người thịt, 98 98ngườbằng  32 14 được 3 l  n 19 2. hứng quan Vậy 16 rượu; số t 600 ù; ti 5 3 n, 98số thịt thịt n.người chi 19 chi ra 1 5 ra là quan một cân 32 3. làcân x xđây y  úng ax  b mod c ti mộtn, mỗ cân ngườ thịt, 98được = 32 ×200 3 + ti 2. Vậy bbb tôax c xemcy u b đb  2,3 toán, lời Dướtoán, bài cgiải có thể c c cygiải lời có xem ax thể ỉtrong ncy trong. .u bài ax một 2,3 số bài thịt, thịt, 98 98   32 32  3 3 2. 2. Vậy Vậy số số thịt thịt chi chi ra ra là là 32 32 cân cân a a bmod ti Vậy 256 thù=32 cân 10 lạng thịt, 32 n, mỗ 98 256 thù=32 cân 10 lạng 98 cânngườ 256  ngườ 32 thù  được 3  = 32 được 2. 19Thi Vậy cân quan 200 10 16 số 16 600 lạng t tithịt ù;n, t ti9, ù; 5 16n. 98 chi người 5thù;  ra người 19 là  1 5 người 5 32  quan 1 2,3 3. cân quan1 Dướ toán, lời xxx  đây ayyycúng a  tô axaxax c cy cynbubb ỉtrong cy đ 2,3 ax .5,u axax bài bbmột modmod sốc2,3ccbài ... Bài n,2.1.6 256 thù=32 cân 10 lạng 256 thù=32 cân 10 lạng ti256 thù=32 cân 10 lạng Vậy ti 98 n, mỗ ngườ mỗ (T ngườ nđược ngườ Cửu được 19 quan được 200u, 1616 20016 B ttittù; 600 ti n, ù; ù; 5598 tin, C người 5n. ương người người 98 19  191151) 1quan  quan quan3. 52,3 3. Bài 2.1.7 Bài aagiải có thể (Tc a a2.1.7 naúng a(Tần CửutôCửu xem Thi u,trong Thiều, Bu Bài 2,3 5,Cbài ương Chương 1) 1) Tìm quan biết tiền, (Tmỗi người được 200 toán, lời Dướ Dướ đây giải có thể đây c úng tô c ỉ n u2,3đ u bài một số xem c ỉ n đ .u một số 2,3 bài bài Bàititi Vậy n,2.1.6 tiVậy n,x98 n, mỗmỗmỗ 98 ngườ ngườngườngườ n được ngườ Cửuđược được được Thi được19 19 quan u, 200 200 200 quan B600 tititiền, ti600n,9, n, ti98 n, C98 tin. 98 98n. =19 ương 19 1919×51) 55+3. 5  3.3. 3. Tìm BàiDướDướ toán, lời x biết 2.1.7 đây đây (Tc cnúng giải có thể úng Cửu tô tô Thi xemc c ỉ u,ỉ n trongn B u u đ đ 5, u . u Cbài bài ương một một số1)số 2,3 bài bài Bài Tìm 2.1.6 biết (T n Cửu Thi u, B 9, C ương 1) 2,3 Tìm Dướ x toán, lời Bài x2.1.7 biết đây c giải có thểúng (T n Cửu Thi u, B 2,3 tô c xem ỉ ntrongu đ u 2,3 . bài 5, C ương 1) một số bài 2,3 Vậy xx98 98 người ngườ được Cửu 19  mod17 quan 600 600  1tititiền. 9, 9,C Vậy VậyVậy 1ngườ 98 ngườđược mod19 được  14 19 19 quan quan600 n.n.n. . 2,32,3 timod12 Tìm 0  mod54 biếtgiải có thểgiải có thể  0  mod57xem xem u,trong .. . 18  mod72. 2,32,3 x98 (T(Tnđược 19 quan u,u,B600 2,3 Bài Tìm Bài 2.1.6 biết 2.1.6 n Cửu Thi Thi B C ương ương 1)1) x toán, lời toán, lời toán, lời giải có thể xem  51trong mod75 trong 2,3 Bài Tìm 2.1.7 x biết (T n Cửu Thi u, B 5,≡5,C B Cương ương1).1) Bài Tìm Bài Bài x 2.1.6 1Bài 2.1.6 x2.1.6 biếtmod19 (T (Tnnn(Tần 2.1.6 (T Cửu Cửu Cửu 14Cửu Thi mod17 Thi ThiThiều, u,u,u,BB BBài 19,9, 9, mod12 9,CCC Chương ươngương ương . 1)1) 1) 2,3 1) 2,3 2,3 2,3 Bài Bài xx≡0(mod54) 0  mod54 2.1.7≡(T 2.1.7  0(mod57) 0n mod57n Cửu≡Thi  51(mod75) 51u,u, mod75  18(mod72). 18C  mod72 1)2,32,32,3 Giải Tìm x  1 mod19   14  mod17   1 mod12 . Ta có x biết hệ Bài Tìm Bài  2.1.7 2.1.7 x biết (T (T  (T nCửu n mod57 Cửu Cửu ThiThi Thi Thi B Bu, mod75 B 5, B5, C5, ương5, C ương C18 ương ương 1)2,2,1) 31) (Tần Cửu Thiều, Bài 5, Chương 1) 2,3 3  Bàix Tìm 2.1.8 0 mod54 x (T biết nCửu 0 u,  51 mod72 . Tìm Tìm biết Giải Tìm Tìm xxx Ta có xxbiết x 11mod19 biết hệ mod19  x  14 114  mod17 mod19  mod17    11mod12  mod12 . . Tìm BàiTìm Tìm xTìm x2.1.8 Bàixxbiết x0x0biết mod54 2.1.8 biếtbiết (T n  Cửu 0  mod57 Thi  u,  51 B  mod75 5, C  ương 18  mod721)  . . Giải xTa có xx111mod19 hệ  mod54 (T n0Cửu  0  mod57   51 mod75  18  mod72 1)2,3... mod19 mod19 xx 114  14 14 mod19   mod17 mod17 mod17      111mod12  mod12 mod12  ...  Tìm Bài Tìm x0x2.1.8 biết   x  0.32  mod0.83 x x  0 biết mod54mod54  0.70 Thi 0  mod57 mod57 Thi u,    0.30 51 B 51  mod75 mod75 5, C   ương mod1.35  18  18    . 2, 32, 3 mod72 mod72 1mod19 mod17  biết(T(Tn nCửu 5,5,C Cương x  0 mod54 0 mod57 51 mod75  18 mod72 Giải GiảiTa có Ta cóhệhệ x 14  Bài Tìm Bài 2.1.8 x 2.1.8 Cửu mod1.10 Thiu,u,B B≡ 0.30 ương1) 1) GiảiGiảiTa có Giải Ta có Giải Ta cóhệ hệTa có  x hệxx11 mod12   hệ 14 x  1mod19 mod17  mod19  .  x ≡ x 0.32(mod0.83) Bài Bài Tìm Bài 0.322.1.8 biết 2.1.8 2.1.8 x mod0.83 (T(T (T n n nCửu ≡  Cửu 0.70 Cửu Thiu,u,u,BBB 5,5,5,CCCương 0.70(mod1.10) Thi Thi mod1.10 0.30(mod1.35).mod1.35 ương ương 1) 1).1) 2,2,2, 333  x   xxx111mod1914  mod17  Nhận xTìm  xét 0.32 x Hệ biết mod0.83 tr n  tương  0.70  đương mod1.10 với   0.30  mod1.35  . x x1x 14 mod12 mod19mod19  .  Tìm Tìm Tìm x xNhận xxxbiết biếtbiết Hệ xét tr nHệtương trên tương đương đương 30 với mod1.35 . .. .. Đặt  14 mod17  mod17 Nhận xét 0.32 32 0.32 mod0.83  mod0.83  0.70  0.70 mod1.10  mod1.10 với  0.30 0.30  mod1.35   x  1  mod12    .   100 Nhận x  xét  mod83 Hệ  tr  n  70 tương  mod110  đương    với   mod135   Đặt  N1xx17 x x x1 14 14 14 112mod12 mod17 mod17mod17  204;  . . 100x x x   0.32  mod0.83 0.320.32 x≡32(mod83) mod0.83  mod83 mod0.83 tương   0.70  mod1.10 0.70  ≡n 70(mod110) 0.70 mod1.10  mod110 mod1.10 300.30 với  ≡ 30(mod135). 0.300.30  mod1.35.. mod1.35  mod135 mod1.35 Đặt NN12x17  mod12 100 NhậnNhậnx  32 xét xét HệHệtr tr n 70 tương đươngđương với 1)2, 3 . Đặt    x 19  x111mod12 1212 mod12 mod12  228;204;  .. .  Bài100 Nhận Nhận Nhận 2.1.9x xét 32 xét (T xét Hệ Hệ n mod83 Hệ Cửu tr trtr n nntương Thi 70  mod110 tương tương u, B đương đương đương 8, với với C với 30  mod135 ương Đặt N  17 12  204; Tìm Bài 100 xxBài 2.1.9 biết x 32 2.1.9 (T  mod83 nmod83(TầnCửuCửu Thi 70 Thiều, u,mod110 B Bài8,8,C Chương 30  mod135 ương 1) 2, 3 1)2,2,3 .3  . Đặt Đặt NN23119 19 12 17 228; 323. 100  32    70  mod110   30  mod135 Đặt NN21N1 19 17  17 12 12 12 228; 204; 204; Bài Tìm Tìm x100100 100 xx2.1.9 biết x60 biết xx 32 32 32 mod130 (T mod83 mod83 n Cửu mod83  Thi 70 70 30 70 u, mod110 B 8, mod110 mod110 mod110 C30 3030ương mod135 mod135 mod135 1)  .. . 2,32, 3 Vì 17,12   19,12 N  N 3N N  19   17 17  17  17  19,17  12 12  12 323.    204; 204;204;1 nên Bài Tìm 2.1.9 x biết (T n Cửu Thi u, B 8, C ương 1)1) N 111 19  12  228; N32N2 19  19 17 12  323.  228; Bài x Bài 60 2.1.9  mod130 (T n Cửu Cửu 30 Thi  mod110 u, B 8,  Cmod C ương Vì 17,12    19,12  N N   19  19 19,17   12  12  228; 1 nên 228; Tìm  Bài Bài 10 2.1.9 x2.1.9 mod120 2.1.9 xbiết (T(T (TnnnCửu Cửu 10 ThiThi Thi mod u,u,u,60BBB  8,10 8,8,C Cương ương ương 251) 1) 1)2,2,2, 333 Vì 17,12  1 19,12 N ,19  N N   3 219 22 3N N 2 19 19,17   19,17 12  17  3 323. 17  N 228; 323. ,12  1. x Tìm   60  biết mod130    30  mod110   1 nên Tìm Tìm x Tìm xx60 10mod100 biết xmod120 biếtbiết  10  1030 mod 6010  10  mod  . 2525   x10  mod130  10 mod110 60   10  20   NNN  3 2 19 19 1919,17 17  1717  323. 323. 323.  10   mod130 mod   30 mod110 mod Vì TồnVì tại  17,12  17,12  N  ,19   19,12   33 19,12  N  ,17    19,17  N  ,12  1 1nên nên1.   60 mod120 (T  30 mod mod  10 Bmod110  C mod các số  x 15,  x 5,  x 11 là các x mod130 mod mod110 10  n Cửu mod110 10 mod 2). 25 1   1 ,17  2   3 Vì Vì Vì 17,12 17,12  17,12  N1,19   số19,12 19,12  19,12  N 215, 19,17 19,17 19,17  N 3,12  1311nên nênnên 1.  Bài x10 x2.1.10 10 60 60 mod100 60mod120  mod120 mod130 mod130 10 Thi 10 30 u,30 30 30 mod  60 3,60 10 ương  20 mod 2,3  Tồn nghiệm của tại  các  N  ,19 c 1c,19   p ương x N   2 2tr,17  x  n2   i 5, N  x,12 x3i3 ,12 11 1mod 1. là các mi .  10    10 mod100 2.1.10    10 mod 30 mod   10 20mod  . 25 mod120 10Cửu u,từ 3,CnChương mod n   1N 1  N ,17 3N 1.  Bài toán này  10  10 mod120 mod120 (Tcó nguồn    10  10 mod mod 60 60  10 10 mod mod 25 25 gốc BbBài to tương n20v2) 2,3 Tồn tại  các số  x 15,  x  5,  x,12 111.1.là các Bài2.1.10 10 Bài mod100 n(Tần Cửu  Thi 10 mod 60 3, 10 2) 2)25 nghiệm Vậy của   N  NN c11,19 c,19 1,19 pương   N 1 NN  22,17 tr,17 2,17 n2 N  N N  N 3x ,12,12 3   1 mod 1. mi  . v Bàit n Bài toán này 10 10 2.1.10 to  nmod100 (T ịch. có nguồn n Tìm Cửu  10 x Thi Thiều, mod biết gốc mod u, 30 từ 30 B b  103, to 10Cmod n  mod ương t n 20 v .2,3  .n2,3 Tồn tại các nghiệm của c c p ương1 tr n 2Ni xi 31 mod mi  . Tồn tại các số số  x 1 x 15,  15, x  2 x i5,  33 i 5,x  3 x 11 11 là là các các Bài  Bài 10  toán 1010    n (T mod100 nàymod100 mod100 có  nguồn   Cửu Thi   10 1010 gốc mod modmod từ303030  bài     10 10 toán 10    t nv2). 2,3 modmod thiên mod 202020  văn .  . Vậy x  Tồn TồnTồn 204 tại tại  tại Tồn 15 các  các các tại 1  cácsố228 sốsố số  x   x x5 x  14 15, = 15,15,   15, x x 323 x x 5, =  5, 11 5,  x 5, x x  x 1  11 = 11 1122573. 11 là là là là các các các các tBàin 2.1.10 vBài toán này to 2.1.10 ịch. có nguồn (TnTìm n4108 Cửu xgốc Thiu,từ biết u,BbB 3,to3,CnCương ương 2) n 2,3 nghiệm Vậy của c nghiệm của c c p ương tr n iNii xi  1 mod imi  . c p ương 1 1 1 1 tr n 2 2 2 2 N x 3 3 3 31  mod m  . vàvBàitính Bài Bài toán này xt n Bài 2.1.10 Bài toán này  toán 2.1.10 02.1.10 to mod365 lịch. n (T (T ịch. (T Tìm ncó nguồn có nguồn nnTìm Cửu x CửuThi Cửu biết xThi gốc Thi biết 11 7540 u,u,u, gốc từBtừ BB b b3, 3,to 3,C mod CC to nương ntương 60 t n 2) ương nv2) 2,3 2,3 2)vn2,3 n xnghiệm nghiệm 204 của 15 của c1ccác  228 m phương 5 14 nn323 trình 19  NN N 1711 x ≡1 12  1(mod 22573.   3876 m ). 4108 7540 Trừ x nghiệm nghiệm Vậy Vậy 22573 204  của 15 của  1 c o c  c cp p 228 np ương  ương ương 5  n tr 14 trtr  n 323 N  x 11x x iii iiii i  1 1  1 1  22573.i iii mod mod mod m m m . . . vBài toán này Bài toán này v xt   nt 0ntomod Bài toán này to n nịch. có nguồn 365 16900 có nguồn có nguồn ịch. Tìm Tìm 4108   xgốc  gốc xbiết gốc 11 16900 biết từtừ từ bbb to 7540  totonnnt60 mod tt nnnvvvnnn được Trừ Vậy Vậy Vậy nghiệmc nhỏ 22573 o nnhất là 3193. m n 19 17 12  3876 vvv txttnnn7264 0to mod nnnịch. 365 16900 Tìm 8967 xxxbiết  1116900  mod 60  Trừ Vậy x x  204 22573 204 15  15 c 1o1 228  n 228 m  5514 n 14  19 323  323  17 11  11  12 11 22573. 22573. 3876  10 to to  ịch. mod ịch. 29 Tìm Tìm 4108  biết biết . 16900 7540 được nghiệm nhỏ nhất là 3193. x  0   mod  365 16900 4108   11 7540 mod 60  T Trừ được xxnxCửu204204204Thi 22573 nghiệm 15 15 15cnhỏu11 1 228 cotro228 ngườ n228 55 nmđồng nhất là 3193. m 14 5đ14 nu14t323 n323 323 19 đã 17 đưa 11 11 11 1   12 ra 1 1y12 t22573. 22573. 22573.uật 3876  10 7264 x169000 mod 0mod  mod 3654108 8967 16900 4108 4108 16900 29   117540 11 7540  mod 60  7540 16900 Tgiải n Trừ hệ Cửu 22573p Thi ương u ngườ n đ u ndư, t n 319 đã sau 17 đưa n ra  được t 3876 uật 007264 xxx16900   mod mod 365 365 365 16900 8967 16900    .11 11 16900 mod modmod60 60 60  Trừ được TrừTrừ được 2257322573 nghiệm 22573 nghiệm ccnhỏconhỏ o n mmm nnn 19 o nnhất là 3193. nnhất là 3193. 19 19  17 1717 12 1212  38763876 3876  10   mod16900 29 16900 16900     .16900 16900 16900 pTđược giải nhệ ương Cửu Trừ pnghiệm Thi ây ương gọunhỏ 22573 tr chongườ ị năm nnhất là 3193. đồng đ lần lí udư, Trung t 19n ×sau 3 đã Qu 17đưa ×cn 12 yra=được về t3876 phần uật 2.2. nh lí 169007264 Trung 7264   mod Quốc  2916900 về 8967 8967 phầ   . d trong các được được nghiệm nghiệm nhỏ nhỏ nhất là 3193. nhất là 3193.  10 10Hán  Nôm mod 298967   . d trong các giải T p đượcương n (The T n Cửu hệ Cửu nghiệm p Chinese ây ThiThi ương gọ nhỏ u tr u nhất n ngườ Remainder ịngườ đồng đ lí 3193. là u Trung đ u t 3Qudư, t theorem). 3 n đãsau n đãcđưa đưa n ng yra về phần được cũng t uật ra t uật sách 2.2. toán nh 7264 lí 16900 7264 7264Trung –    Quốc 16900 8967 về 8967 phầ . .. 1010 10 lí 16900  mod mod mod 29 29 16900 29  d trong các p T giảiT n ương n Cửu hệ Cửu p Thi ây ương Thi gọ u u tr ngườnngườ ị đồng lí đ đ Trung u u t dư, t n n đã Qu 3sau đã đưa c đưa n vềra y phần ra t đượctuậtuật 2.2. sách toán nh 16900 Hán 16900 Trung –  Nôm Quốc 1690016900 về phầ đãT(The giải n Cửu xét cả hệ Chinese cpThi cương uRemainder trường ngườ tr nhợp đồng đkhi u tcác theorem). dư, n đã msau đưa là ngcác nra y tsố cũng uật được 2.2.1. Tìm b16900 i s chung   nhỏ 16900 nhất của ba s giải p giải giải (The ương hệ hệhệ p Chinese ây p ương gọ ương tr Remainder tr n n ị đồng đồnglí Trung dư, theorem). dư, 333 i Qu sau sau cn về ng n y y phần được cũng được sách 2.2.2.2. toán nh nh Hán lí Trung lí Trung – Nôm QuốcQuốc về về phầ phầ d d trong trongcác các đã pxétương không nhất cả pc thiết cương âytrường gọ nguyên tr nhợp ịđồng tố khi lí Trung dư, các msau cùng nhau bằng cách Qu nc yvềđược i là các số phần 2.2.1. Ta 2.2. sách 2.2. bắt Tìm toán đ nh nh u b Hánilí bằng s Trung chung https://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16401 lí Trung – mộtNôm QuốcQuốc b nhỏ về to nhất về nphầ phầcủa dưới d ba d dạng s trongtrong t ơ các các p p đãp xét ương ương (The cả Chineseây ây cChinese âyc gọ gọ gọ trường Remainder ị ị lí lí TrungTrung theorem). Qu Qu mnguyên c cvề ng về phần cũngphần 2.2. sách nh toán lí Hán Trung – NômQuốc về phầ d trong các không nhất đưa ương v(The trường thiết nguyên hợp các hợp Remainder ị tố líkhi là Trung mi cùng nhau bằng cách các các sốQu theorem). i là cTạp các về ngchíphần tốsốKhoa học2.2.1. cũng Trường Tasách trong sách sáchbắt Tìm toán Đại đtoán cuốn sách chữ toán bhọc u Hán i s Quy Hán Hán bằng chung –––một Nôm Nhơn, Nôm Hán Nôm nhỏ b nhỏ 2022, nhất16(4), itothành n dưới của ba toán5-16 s 11 h sc chỉ dạng t ơ đã không nhất (The xét (The (The đãv xét cả ChineseChinese c Chinese cảthiết c c hợp trường c nguyên Remainder Remainder Remainder trường hợp tố hợp khi theorem). theorem). theorem). cùng nhau bằng cách khi các m là ngng imi là các số ng các cũngcũng cũng số 2.2.1. Tìm b i s chung nhất của ba đưa cùng nhau, hoặc trường c ccác b mto i là n các các đồng sốdưnguyên với phân tố Ta2.2.1. minh bắt của Tìm đPhạm u bằng b Gia i s Kỷ chung một (tờ b 52a). nhỏ itothànhnhất 14 n dưới của dạng toán ba s t ơ đã đã đã không nhất đưa xét vxétcả xét cả trườngcảccthiết cccthiết ctrường trường trường hợp nguyên các hợp hợp hợp mtối tố khi khi khi các các các cùng nhau bằng cách mmm i i ilà là các là các các số sốsố trong 2.2.1. 2.2.1.Tìm 2.2.1. cuốn sách chữ Tìmbbbiisiss chung Tìm Hán chungnhỏ chung nhỏnhỏnhất nhất nhất của củaba của babasss chỉ h c không nhất cùng nhau, hoặc c cnguyên b to nlà đồng các cùng nhau bằng cách số dư nguyên với phân tố Ta trong minh Ta bắt đ u bằng một b to n dướidạng bắt của đ cuốn sách chữ Phạm u bằng Gia một Kỷ Hán (tờ b 52a). i to thành n 14 dưới toán hdạng c chỉ t tơ ơ
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN 2.2. Định lí Trung Quốc về phần dư trong các Bài 2.2.2 (Dĩ dư số tri nguyên số cổ ca - Bài sách toán Hán – Nôm ca cổ: Từ số dư biết được số ban đầu), trang 115).8 2.2.1. Tìm bội số chung nhỏ nhất của ba số 三人同行七十稀 Ta bắt đầu bằng một bài toán dưới dạng thơ trong 五樹梅花廿一枝 cuốn sách chữ Hán Đại thành toán học chỉ minh 七子團圓秋夜月 của Phạm Gia Kỷ (tờ 52a).14 百零五壽定爲期 Bài 2.2.1 Phiên âm: Phiên âm chữ Hán: Tam nhân đồng hành thất thập hi Trương gia tam nữ hiếu thuận Ngũ thụ mai hoa chấp nhất chi Quy ninh bất đạn cần lao Thất tử đoàn viên thu dạ nguyệt Đông thôn đại nữ cách tam triêu Bách linh ngũ thọ định vi kì. Ngũ nhật Tây thôn nữ đáo Giải thích của Nguyễn Hữu Thận8 Tiểu nữ Nam hương vọng viễn Y nhiên thất nhật nhất tao Tam nhân đồng hành thất thập hi: Ba Hà thời tề chí ẩm thuần lao người đồng hành hiếm được 70: Số 70 chia hết Thỉnh vấn toán ông hồi báo. cho 5 và 7, và chia cho 3 dư 1, nên gọi là phép tam số. Dịch: Ngũ thụ mai hoa chấp nhất chi: Năm cây Họ Trương ba gái hiếu thuận Về thăm không ngại cần lao hoa mai 21 cành: số 21 chia hết cho 3, cho 7, và Gái cả thôn Đông cách ba sáng chia cho 5 dư 1, cho nên gọi là phép ngũ số. Năm ngày gái thôn Tây đến Thất tử đoàn viên thu dạ nguyệt: Bảy Gái út quê Nam ngóng xa người con đoàn viên đêm trăng thu (ngày rằm Cũng vậy bảy ngày một gặp 15): Số 15 chia hết cho 3, cho 5, và chia cho 7 dư Lúc nào cùng tới uống rượu nồng 1, cho nên gọi là phép thất số. Xin hỏi ông toán trả lời. Bách linh ngũ thọ định vi kì: Trăm linh Giải Lấy “3 sáng”, “5 ngày” nhân với 14 năm (105) đã định, đem chia cho 3, cho 5, cho 7 nhau được 15 ngày. Lại nhân với 7 được 105 đều không dư, nên dùng làm phép trừ. ngày là ba con gái cùng tới. Giải thích: “Trừ trăm linh năm”: 105 là Lời bình Đây là bài toán tìm bội số chung bội số chung nhỏ nhất của 3,5,7. Trừ bớt 105 (cắt nhỏ nhất (BSCNN) của ba số 3, 5, 7. Bài toán tìm đốt theo Dương Huy) để được nghiệm nhỏ nhất. BSCNN hiện nay được giảng dạy trong chương Sau khi giải thích từng câu thơ và giải bài trình toán lớp 6. Hàn Tín điểm binh, Nguyễn Hữu Thận đã phát 2.2.2. Định lí Trung Quốc về phần dư trong “Ý biểu một số bài toán mới, tương tự như bài Vật Trai toán pháp nhất đắc lục” bất tri kì số, mà chúng tôi chưa tìm thấy trong Trong Chương 6 của cuốn sách Ý Trai toán pháp các sách toán Trung Hoa, có lẽ do chính Nguyễn nhất đắc lục, dạng toán Vật bất tri kì số được gọi Hữu Thận sáng tác khi nghiên cứu bài Vật bất là dạng toán Dĩ dư số tri nguyên số (Từ số dư tìm tri kì số. ra số ban đầu). Các bài toán 1.2.3 - 1.2.12 được lấy từ Ý Bài thơ dưới đây trong Ý Trai toán pháp Trai toán pháp nhất đắc lục.8 Để tiện trình bày, nhất đắc lục là một phiên bản của bài Hàn Tín chúng tôi sử dụng ngôn ngữ hiện đại trong phát điểm binh. biểu bài toán và lời giải. https://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16401 12 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Quy Nhơn, 2022, 16(4), 5-16
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Bài 2.2.3 Tìm số nhỏ nhất biết khi chia nó Bài 2.2.9 Tìm số nhỏ nhất biết khi chia cho 3, cho 5, cho 7 đều dư 1. nó cho 3 thì dư 1, chia cho 5 thì dư 2, chia cho 7 dư 3. Giải Gọi x là số cần tìm. Khi ấy x - 1 chia hết cho 3, 5, 7. Chứng tỏ x - 1 là BSCNN của 3, Cách giải 1 (BSCNN) Gọi x là số cần tìm. 5 và 7. Suy ra x - 1 = 3 × 5 × 7 = 105. Khi ấy x - 1 chia hết cho 3, x - 2 chia hết cho 5, x - 3 chia hết cho 7. Suy ra 2(x - 1) cũng chia hết Vậy x = 106 cho 3, 2(x - 2) cũng chia hết cho 5, 2(x - 3) cũng Bài 2.2.4 Tìm số nhỏ nhất biết khi chia nó chia hết cho 7. Chứng tỏ cho 3, cho 7, cho 11 đều dư 1. 2x + 1 = 2(x - 1) + 3 = 2(x - 2) + 5 = 2(x - 3) + 7 Giải Gọi x là số cần tìm. Khi ấy x - 1 chia chia hết cho 3, cho 5, cho 7 hay 2x + 1 = 105. hết cho 3, 7, 11. Chứng tỏ x - 1 là BSCNN của 3, 7 và 11. Suy ra x - 1 = 3 × 7 × 11 = 231. Suy ra x = 52. Vậy x = 232. Nhận xét Lời giải trên đòi hỏi đôi chút Giải Gọi x là số c n tìm. Khi ấy x  1 chia hết Nhận sáng tạo xét(thi Lờihọc giả sinh tr n giỏi ỏi đ đò THCS). ú nhiên,o Tuy Bài 2.2.5 Tìm số nhỏ nhất biết khi chia nó (thi học sinh giỏi THCS). Tuy nhiên, Giải cho 3,Gọi7, x11.là số Chứng tỏ x  1 là BSCNN của c n tìm. Khi ấy x  1 chia 3, hết7 Nhận nếu biếtxétthuật Lời giả giải trhệnphương đò ỏi trìnhđ ú nếu đồng dư biết thìo chocho3, 5, 7, cho 7,x cho 11. Chứng và 11. Suy ra  1 9tỏ 3đều x7dư 1. 231. 111là BSCNN của 3, 7 thuậthọc (thi giảisinh hệ pgiỏi ương tr n đồng THCS). Tuy dư t cnếu nhiên, ỉ c biết n áp chỉ cần áp dụng Định lí Trung Quốc về phần dư Vậy x  Giải232. xGọi và 11. Suy ra  1x là 3 số7 cần 11 tìm.  231.Khi ấy x - 1 chia dụnggiải thuật Địnhệ p Trung ương Quốc v phdưn tdưcmà không tr n đồng ỉ c n áp Vậy x  232. cầnkhông mà dụng ph cầnTrung Địni sáng phải t o. sáng Quốctạo. v ph n dư mà không hết2.2.5 Bài cho Tìm số 5, 7, 9. nhỏ Chứng x - 1 là BSCNN của 5, nhấttỏbiết khi chia nó cho 5, cần Cách phCách i sáng giải t o.2 hệ 2 giải (Giải (Giải hệ phương p ương tr n đồngtrìnhdư) đồng Gọi c o 7, c Bài7 2.2.5 o 9 và 9. Tìm sốđ u dư Suy ra xnhỏ 1. - 1 nhất = 5 ×biết khi chia nó cho 5, 7 × 9 = 315. c o 7, c o 9 đ u dư 1. x là số dư) Cách Gọi cx là giải n tìm. Theo bài ra ta có hệ 2 số cầnhệ (Giải tìm. Theo tr p ương bàin rađồng ta códư) hệ Gọi Giải GọiVậy x là số c n tìm. Khi ấy x  1 chia hết x = 316. x là số c n tìm. Theo bài ra ta có hệ Giải cho 5,Gọi 7, x9.là số Chứng tỏ x  1 là BSCNN c n tìm. Khi ấy x  1 chia của 5, hết7  x  1 mod 3 xx12 mod cho 5, 7,Bài và 9. Suy ra 2.2.6 x  1 Tìm 9. Chứng 5tỏ 7xsốnhỏ nhất 1 là 315. 9 biết khi BSCNN củachia 5, 7nó   mod35  chox7,  cho 316.x9, 1cho  511  7đều 9 dư 1. Vậy và 9. Suy ra  315. xx23mod mod57 . Vậy x  316. Bài 2.2.6Giải x là nhất Gọinhỏ số cần tìm. Khi ấy x - 1 chia  Tìm số biết khi chia nó cho 7, Đặt  x  3  mod 7  . c hết o2.2.6 Bài 9,cho c oTìm số 7,119,đ11. unhỏ dư 1. tỏ Chứng nhất x - 1 là BSCNN của 7, biết khi chia nó cho 7, Đặt N1  5  7  35; c o9 9, c11. o 11 đ ra u dư 1. xc -n tìm. Khi ấy GiảivàGọi xSuy là số 1 = 7 × 9 × 11 =x 693. 1 chia hết NN1 537735; 21; 2 Giải cho 7,Gọi x11.là số 9,Vậy xChứngc n tìm. Khi ấy = 694. x  1 chia 7, tỏ x  1 là BSCNN của hết9 NN2 337521; 15. và 11. Suy ra cho 7, 9, 11. Chứngx  1  tỏ 7 x9111là BSCNN của  693. 7, 9 3 Bài 2.2.7 Vậy x  694. và 11. Suy ra x  1 Tìm 7  số 9 nhỏ 11 nhất 693.biết khi chia nó Vì  5,7    3,7  N3 3,5   3  51nên15. Vậychox 7, cho 11, cho 15 đều dư 1.  694. Vì  5,7    3,7    3,5  1 nên Bài 2.2.7 Tìm số nhỏ nhất biết khi chia nó cho 7,  N1 ,3   N2 ,5   N3 ,7  1. Bài 11, cGiải c o2.2.7 o 15Gọi Tìm số ux dư đ nhỏ lànhất số 1. cần tìm. Khi ấy x - 1 chia biết khi chia nó cho 7, N1 ,3   Tồn tại các số  Tồn tại các N2 ,5   x1 số2,x x1 2= 2,1, N3 ,7  1. x23 = 11,là các nghiệm x3 = 1 là các c ohết 11,cho c o7,15 đ u 11, 15. dư 1. tỏ x - 1 làx BSCNN Giải Gọi x là số c Chứng n tìm. Khi ấy của 1 chia hết Tồn tại các số x 2,x 1, x 1 là các nghiệm 7, 11 và 15. Suy ra x - 1 = 7 × 11 × 15 = 1155. nghiệm của c c của các 1tr p ương phương n 2Nitrìnhxi 31N  mod i i mi  . Vậy i x ≡ 1(mod m ). Giải cho 7,Gọi 11,x 15. là số Chứng tỏ x  1 là BSCNN c n tìm. Khi ấy x  1 chiacủahết7, Vậyc c p ương tr n Ni xi  1 mod mi  . Vậy của cho 7, 11,Vậy x  1 tỏ7x11 15.x Chứng 11 và 15. Suy ra 1 là 15BSCNN  1155. của 7, x  35  2  1  21 1 2  15  1 3 70  42  45 = 1156. Vậy x  1156. x  1  7 1115  1155. 11 và 15. Suy ra x 157 35  2315 21 1 2  15  1 3 70  42  45 7 52. Bài 2.2.8 Tìm số nhỏ nhất biết khi chia nó Vậy x  1156.  157: Số  3nhỏ  5 nhất 7  52. Bài 2.2.8 Tìm số nhỏ nhất biết khi chia nó cho 9, thỏa mãn đ u bài là 52. cho 9, cho 11, cho 13 đều dư 1. : Số nhỏ nhất thỏa mãn đ mãn u bài là 52. c o2.2.8 Bài 11, c Tìm số o 13 đ nhỏ u dưnhất 1. biết khi chia nó cho 9, Nhận Đáp: Số nhỏ xét Các bài nhất thỏa toán trên thựcđầu bàichỉ chất là 52. c n c o 11, c Giải o 13Gọiđ uxdư số cần tìm. Khi ấy x - 1 chia là 1. dùng khái Nhận xét Các niệmbài Bội toán sốtrên chungthựcnhỏ chấtnhất. chỉ cTuy n Giải Gọi x là số c n tìm. Khi ấy x  1 chia hết Nhận xéttoCác bài số toán đây trên thực chất chỉ tỏ x tỏ1 xlà - BSCNN 8 hết9, Giải cho cho 11,x9,13. Gọi 11,Chứng là số13. Chứng c n tìm. Khi ấy 1 xlàBSCNN 1 chia của củahết 9, nhiên,khái dùng c cB niệm n dướ Bội chung trong nhỏ đònhất. ỏi Tuy phải 9,9,1111, và 13. 13. Suy cần biết dùng nhiên, vận khái c cdụngB niệm toịnh líBội n dướ số Trungđâychung Qu trongcnhỏ về 8 nhất. đòphầ ỏi Tuy . phải 11 và 13. Suy ra cho x ra x  1 tỏ-91x11 Chứng =19là 11 × BSCNN 13 × 13 =của  1287. 1287. 9, nhiên, các Bài toán dưới đây trong đòi hỏi phải biết Bài vận dụng Giả ịnh lí TrungsốQungười. Xếp hàng 7 c về phầ . 8 Vậy x  Vậy 1288.x = x1288. 11 và 13. Suy ra  1  9 1113  1287. 2.2.10 sử có một Vậy x  1288. biết t dư Bài vận dụng 1, xếp 2.2.10 Định Giả sử lí ng có một Trung 11 t dư Quốc về phần số3,người. Xếp hàng 7 dư. xếp ng 15 dư 4. B to n sau đây t ường được sử dụng trong c c Bài toán sau đâyhọcthườngsởđược sử dụng tHỏidư số1,người là bao nhiêu? Bàixếp 2.2.10 ng Giả 11 t sử có dư một 3, xếp số người. ng 15 dưXếp 4. Bk t to nọcsau sinh đâygiỏi Trung t ường được Cơ sử dụng cấptrong Tỉnh. c c Hỏi hàng số7 người là bao nhiêu? thì xdưlà số 1, xếp hàng 11 thì dư 3, xếp hàng ttrong kBài ọccác 2.2.9 sinhkì thi giỏinhỏ Tìm số học sinh Trung nhấthọc giỏi Cơ Trung sở cấp học Cơ sở Tỉnh. biết khi chia nó cho 3 Giải Gọi c n tìm. Theo bài ra ta có hệ cấp Tỉnh. 15 dưGọi Giải 4. Hỏi số người x là số là bao nhiêu? t dư Bài 1, cTìm số 2.2.9 a c onhỏ 5 t nhất dư 2, c a c o 7 dư 3. biết khi chia nó cho 3 c xn tìm. Theo bài ra ta có hệ  1 mod 7  tCách dư 1, c 1a (BSCNN) c o 5 t dư 2, c là số a c oc7 n tìm. Khi dư 3. xx13 mod 7 giải Gọi x  mod11  https://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16401  ấy xgiải Cách  1 chia 1 (BSCNN) hết cho Gọi3, xx là số 2 chiac n tìm. Khi hết Tạp chochí 5, Khoa học Trường Đại học Quy x  Nhơn, 3  mod11  2022, 16(4), 5-16 13  x  4  mod15  . ấyx  3x chia hết cho 7. Suy ra 2  x  1 cũng c a 1 chia hết cho 3, x  2 chia hết cho 5,   x  4  mod15  . Đặt x  3 chia hết cho 7. Suy ra 2  x  1 cũng c a
Nhận xét Các bài toán trên thực chất chỉ c n dùng khái niệm Bội số chung nhỏ nhất. Tuy  N1 ,7    N2 ,11   N3 ,15 1. chia hết N của 9, nhiên, c c B to n dướ đây trong8 đò ỏi phải x1 2, Tồn tại các số x2 2, x3 8 là các nghiệm . biết vận dụng ịnh lí Trung Qu c về phầ . của p ương tr n Ni xi  1 mod mi  . Vậy TẠP CHÍ KHOA HỌC Bài 2.2.10 Giả sử có một số người. Xếp hàng 7 Phi TRƯỜNG ĐẠI HỌC x 165  2  6  105  2  10  77  8  10 10240 t dư 1, xếp ng QUY 11 t NHƠN dư 3, xếp ng 15 dư 4. rong c c  7  11 15  8  1000. Hỏi số người là bao nhiêu? Tỉnh. Giải Gọi x là số cần tìm. Theo bài ra ta Bài 2.2.12 Giả sử có binh lính ăn cơm 3 : 1000 lính. Giải có hệ Gọi x là số c n tìm. Theo bài ra ta có hệ lần. Lần thứ nhất xếp 9 người một bàn thì thừa nó cho 3 dư 3.  x  1 mod 7  3Bài 2.2.12 người. Giảthứ Lần sử hai có bxếp n 11n người n cơm một3 bàn n. L thìn  thứ nhất xếp 9 người một bàn thì thừa 3 người. thừa 1 người. Lần thứ ba xếp 13 người một bàn tìm. Khi  x  3  mod11 L n thứ hai xếp 11 người một bàn thì thừa 1 Dc t cho 5,  thì thừaL4 nngười. người. thứ baHỏi xếpsố13 người là một bàn thì thừa người bao nhiêu.  x  4  mod15  . 4 người. Hỏi số xngười là bao nhiêu. ũng c a Giải Gọi là số cần tìm. Theo bài ra ta Đặt Giải có hệ Gọi x là số c n tìm. Theo bài ra ta có hệ cho 5, N1 1115 165; N2 7 15 105;  x  3  mod9   N3 7 11 77.  x  2  mod11 Nhậ  3  7 Vì  7,11  7,15  11,15  1 nên     x  4  mod13 . Lươ 1105. Đặt phá  N1 ,7     N2 ,11   N3 ,15 1. Đại N1 1113 143; 9 Tồn tại các Tồn tại các số x1 số2, xx1 2= 2,2, xx23 = 2, x3 = 8 là các 8 là các nghiệm N9 N2  9  13 11 99. 117; 3  một nghiệm Tồn Tồncủa của p ương tại các số tại các số phương xxtr n 2, 2, xxNtrình x 2, 11  2, N 1xxixmod ≡81(mod i 8 mi). Vậy m  . Vậy là các nghiệm là các nghiệm 22i i 33 i Vì  9,11  9,13 N33  N  9911,13  11 11 99.  1 nên 99. 10 Tồn tại các số  xN xx2,xx112 2mod 2, 2,2, 3xm ii 8 .8 8là các nghiệm Vì  Vì 9,11    9,13 9,13   N11,13 9,11 311,13   11 1 99. nên 1 ,9  N3   1 nênN3 ,13 1. của của Tồnpp xương ương 165trtrnn2 tại các số x11N 1ii105 ii mod x3m 3 77 Vậy .Vậy  4 3421 là các nghiệm 9,11 N  N  9 2  11  99. Vì       2 xxcủa p ương trn105 N xi33177 mod 88mi 4 . Vậy 9,11 9,13  11,13  1 nên 1. của p(7ương  165 165 11 221tr115) n105 2N 2x1114. i2  1 mod i i 77m  .4Vậy i  3421 3421 Vì Tồn   9,11NN11,9  ,99,13 tại các số   x N  N1 22 8, ,11 ,11  x2  11,13  N  N 8, 1,13 33x,13 3 nên 5 là các nghiệm 1. N1 số8,8,  x1x mod =N558, . 5Vậy  (7 (7x: 11165 11  1114 15) 2212 người. 15) 105 1114. 1114.  2  3  77  8  4 3421  N ,9 N2x,11 N3là các nghiệm ,13 1. x 165 Đáp: 21114  1 người.105  2  3  77  8  4 3421 Tồncủa Tồn p ương tại các số tại các số Tồn tại  1x các ,9tr x11n  xx xN N i= i 8,  1222 ,11 323   8,   3 ,13 x3i = m là các nghiệm 1.là các Bài (7 :: 1114 1114 11 người. 2.2.11 người. 15) sử  2có mộtsử 1114. (7 Bài  11 Giả 2.2.11 15) Giả 2  1114. có một số lính bắn số lính bắn cung, cung,chia của của Tồn nghiệm Tồn tại các số của 143phương ppxương ương trtr tại các số  8nn 3xxN1 trình N  xx8, ii936 8, ii xx1 28 1N xmod imod 8,≡ 8, i1 x1(mod x3m 3m99ii 5.là các nghiệm 5là các nghiệm 5. Vậy Vậym i).4Vậy 6348 thành từng: 1114 cặp người. tập bắn trong ba ngày. Ngày thứ 1 2 Bài Bài chia 2.2.11 2.2.11thành nhất: 1114 cặpcặp Giả Giả từng 7người. sử cặp sử ngườ có một có một tập bắn trong bacung, số lính bắn số lính bắn t dư 6 người. Ngày thứ hai ngày. chia cung, Ngày chia của xcủa p 143 ương p9 ương x 143 11 8813 tr n 3n936 3tr Nix88i111mod 4 N1200. 936 x  1 mod 995m 99 5i4.4Vậy m . Vậy 6348 6348 thành từng thành từng thứ Bài nhất 2.2.11 cặp Giả tập tập 7 tngười bắn trong ba ngày. Ngày thứ bắn trong ba ngày. Ngày thứ sửdư có một thì người. Ngày thứ dưsố6lính bắnngười. Ngày cung, thứ chia i i i nhất cặpcặp Bài 117ngườ 2.2.11 ngườGiả sửt có một dư 10 6 số người. lính bắn Ngày cung, thứ bachia hai cặp  99 x  : 143 11 11 1200  13 13 người. 8   44 3   936 1200. 1200.  8  1  99  5  4 6348 nhất cặp thành từng hai cặp 711ngườ cặp dư người ttậpthì dư 6 10 người. bắn trong ba ngày. Ngày thứ dư người. Ngày Ngày thứthứ haiba x 143  8  3  936  8  1  99  5  4 6348 cặp 15 thành từngngườ 11 ngườ ngườ cũng cặp dư tập10 10 người. Hỏi bắn trong ba ngày. Ngày thứ số người là bao 9  11 ::1200 1200  13 người. người. 4  1200. cặp 11 nhất cặp nhiêu? 15 cặpngười 7 ttngườ dư cũngttdư dư 10 người. Ngày thứ người. Ngày thứ dư người. 10 6 người. HỏiNgày Ngày bathứ ba số người cặphai cặp là 2.2  Đáp: người. 93 11ịnh 13 lí 1200  4Trung 1200.Qu c về phầ trong 15 nhất 15 cặp ngườ ngườ cặp cũng 7 ngườdưt 10 10dư người. Hỏi 6 người. số người là bao người là bao thứ hai “ đ i thành” và m t s sách khác 11cũng ngườdư người. Hỏi 10 người. Ngày thứ số ba cặp 2.2 33 :Định 2.2 : 1200 ịnh người. ịnh lílílíngười. Trung Quốc Trung Qu cc về Qu về phần về phầ dư trong phầ trong trong bao cặp nhiêu? nhiêu? Giải nhiêu? 11Gọi ngườ x là số t dư 10 người. Ngày thứ ba cặp 2.2.3. 1200 Trung 15 ngườ cũng dưc10 n tìm. Theo bài ra ta có hệ người. Hỏi số người là bao Có thể khẳng định rằng người Việt 15 ngườ cũng dư 10 người. Hỏi số người là bao ““ “Toán 2.2 3phápịnh đ đ đạilílí i i thành” thành” thành”TrungvàQu và và m m t mộtccsốvề t ss phầkhác biết sách sách vềsách Namkhác khác đến trong nhiêu? Giải x x  6  mod 7  2.2bài 3 toán ịnh ểm Trung binh Qu pháp (p ép phầ đ ểm binh) trong Giải Giải nhiêu? Gọi xx là số Gọi Gọi là số là số cc n tìm. Theo bài ra ta có hệcần n tìm. Theo bài ra ta có hệ tìm. Theo bài ra ta “ khẳng Có thể Có thể khẳng định địnhđ irằng thành” rằng người người và m Việt Việt t s7Nam Namsáchbiết đếnqua khác biết đến hệ Gọi x là số c n tìm. Theo bài ra ta có hệ Có “ cuốn sách thể khẳng đ i thành” đ vài m thành t s sách khác được coi là của có Giải mod10  mod1177  xx cx66n tìm. Theo bài ra ta có hệ mod  bài Có thể bài toán toán ểmđịnh ểm khẳng binh binh rằng pháp địnhpháprằng người (p (p người Việt ép đđViệt ép Nam ểmNam ểm biết đến binh) binh) quađến qua biết Giải Gọi x là số Lương Có thể khẳng ế Vinh. định Tuy rằng nhiên, người 77Việt cuốn Nam Toánbiết pháp đến  x  6  mod 7  bài toán cuốn sách cuốn sách bài Điểm toán ểmbinh binhphápđ đ ii pháp(phép thành thành (p điểm binh) được coi là của được coi là của ép đ ểm qua binh) qua xx  x 10 10  x  6  mod   10mod11 mod11  7  mod15  . Lương Lương cuốn đ bài i thành toán ế Vinh. sách ếToán cuốn sách hiện ểm Vinh. pháp nay binhTuy Tuy còn pháp nhiên, đạinhiên, đthành i ưu (p 7 7thành trữ ép cuốn cuốn được 7đchỉểm Toán Toán là bản binh) coi làpháp được coi là của chép củaqua pháp  xx10 lại và bài ểm binh pháp không có lời 7 giải. mod11  ..  10 mod11 đđ cuốn sách iiLương thành thành hiện nay còn đưu i thành trữ chỉ được coi là của là phápbản chép Đặt xx10  10 mod15 mod15 Lương Thếhiện ế Vinh. Vinh. nay Tuycòn Tuyưu nhiên, trữ nhiên, cuốn chỉ cuốn Toán 77nhiên, cuốn Toán pháp là bản Toán chép đạipháp Lương lại và bài B lại và bài 4.2b ế ểm ểm Vinh. binh binh ể Tuy pháp pháp b không có lời p áp không có lời ( giải. giải. đ Đặt Đặt  x1  10  mod15  . N  11  15  165; thành đ i thành hiện nay hiện cònnay nay lưucòn còn trữ chỉ ưu trữ làtrữ bản chỉchép là bản lại và chép x  10 15 105; mod15  . đ i thành, thành hiện BảnểB, ưu chỉ là 7bản chép lại và bài ểmtờbb 64a;pháp binh Bản 7 A,(tờ 115a): giải. 7 không có lời Đặt NN11 N 11 2  11 71515 165;  165; BB lại và bài bài Điểm 4.2bbinh 4.2b ểểmpháp binh 7 không pp áp pháp áp có ( giải. giải. lời không có lời đđ Đặt thành, thành, B 4.2b Bản Bản B, B, tờ tờ 64a; 64a; ể b 点兵法 Bản Bản A, A, tờ tờ p áp ( 115a): 115a): 77 đ NN22 N N177311 7 15 15 11 15  105; 105;165;  77. N 1 11 15 165; B Bài 4.2b thành, Bản 4.2bB, 三人同行七十推 ể bbinh pháp Điểm tờ 64a; Bản p áp (Toán A, tờ ( 115a): pháp7 đạiđ Vì  7,11  7,15  777711,15 105; 点兵法点兵法 7 NN33N  11 1115 77.  77. 1 nên thành, thành, Bản BảnB, B, tờ tờ 64a; 64a;Bản Bản A, A, tờ tờ 115a):115a): 7 N22  15 105; Vì  7,11  三人同行七十推点兵法 7,15  N11,15 11 7,15 7,11 1 77. nên 三人同行七十推五樹枚花卄一枝   311,15  1 ,7  N3   1 77. N3 ,15 1. Vì 7,11  N  N  27  11 nên  点兵法点兵法 Vì  7,11   7,15    11,15   1 nên 三人同行七十推五樹枚花卄一枝五樹枚花卄一枝七人同行收半月 Vì Tồn  7,11   N tại các số,77,15 N11,7   x N1 22 2, N ,11  x 2   11,15 ,11  N  N 2, 33x1,15 ,15 3 nên8 là các nghiệm 1. 1. 三人同行七十推三人同行七十推五樹枚花卄一枝除百除五定為期 N n 2,2,  1xx3mod  . Vậy  N ,7 N2x,11 N  ,15 1. 七人同行收半月七人同行收半月五樹枚花卄一枝 Tồncủa Tồn p ương tại các số tại các số  1x ,7tr x11  NN x x 2 2 i ,11i  2, 2,   3 N 88 m  là các nghiệm 3 là các nghiệm ,15 i 1. 五樹枚花卄一枝 1 2 3 Phiên除百除五定為期 âm: 七人同行收半月除百除五定為期 của của Tồnp x p  tại các số ương ương 165 Tồn tại các số Tồn  tr tr2 n tạin   6  cácxNN 1105 x1 ii 2, x số x 2, ii    x x1 21  = x12 2, 2 mod mod 10 2,2,  x32 =ii 8.2,  x xmm 377 8. Vậy  là các nghiệm 8Vậy x3 10 = 8 là là các nghiệm 10240 các 七人同行收半月七人同行收半月除百除五定為期 ểm binh pháp Phiên âm: Phiên âm:除百除五定為期 của nghiệm xxcủa 165 165 7 p ương 11 p ươngcủa  15 22 66tr tr phương  105 n 8 105  N 1000. n N22i i x trình i10  xi10  1 N   1 mod mod x i77 77 ≡ i 8m m 1(mod 8i10  . Vậy m 10 10240). 10240 Vậy 除百除五定為期 i . Vậy ểm đồng ểm binh hành binh phápthất thập suy pháp i Phiên âm:  77xx1111 : 1000 lính. 165  15 28861000. 105  2  10  77  8  10 10240 1000. Phiên âm:N ũ mai hoa trấp nhất  15 165  2  6  105  2  10  77  8  10 10240 Phiên âm: đồngểmhành đồng ểm binh hành binh pháp thất thất pháp thậpchi thập suy suy 7 2.2.12 11 15Giả : 1000 lính. : 1000 lính. Bài  8 sử  1000.có b n n n cơm 3 n. L n N Thấ ũ mai đồng hoa trấp hành nhất thu chibán nguyệt  7  11 15  8  1000. N ũ mai Điểmtrừ hoa đồng trấp binh ũhành pháp nhất thất chi thập suy thứ nhất xếp 9 người một bàn thì thừa 3 người. Thấ Trừ bách đồng đồng hànhhành định thu thất vi bánkỳ. thập nguyệt suy Bài 2.2.12 Bài 2.2.12 : 1000 lính. Giả sử Giả sử có có bb nn nn nn cơm cơm 33 n. n. LL nn Thấ N ũ đồng mai hành hoa trấp thu bán nhất nguyệt chi L n: 1000 lính. thứ Đáp: hai 1000 xếp 11 lính. người một bàn thì thừa 1 Tam N TrừThấ ũ nhân bách trừ đồng mai trừ đồng hoa hành ũũ định địnhtrấp thất nhất thập vi thu chi suy kỳ. bán nguyệt thứBài nhất xếp 99Giả người một bàn thì thừa D ch:Trừ bách hành vi kỳ. thứ nhất người. xếp 2.2.12L n người thứ sửba có một bàn thì thừa xếp b 13 n người cơm333người. n nmột bàn thì thừa người. n. L n Thấ đồng hành thu bán nguyệt Bài LL nnthứ thứ thứ 2.2.12 haixếp hai Giả xếp9 11 xếp sử 11 có b người người n n một bàn một n cơm bàn thì 3 thì thừa thừan. L11 n D ch: ch: p Trừ bách trừ ũ định vi kỳ. đ ểm binh nhất 4 người. Hỏi người một bàn thì thừa 3 người. D Trừ bách trừ ũ định vi kỳ. người.thứ người. nhất LL n n xếp thứ thứ 9sốngười ba ba người là bao nhiêu. xếp xếp 13 13 một bàn thì thừa người người một bàn thì thừa một bàn thì thừa 3 người. https://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16401 L n thứ hai xếp 11 người một bàn thì thừa 1 LGiải n thứ hai xếp 11 người một bàn thì thừa 1 D ch: Ba ngườ ppcùng đđ ểmểmđ binh binht bảy chục 44 người. Hỏi người. Hỏi người. 14 Gọi Tạp Lchí sốthứ nxsố người là bao nhiêu. người là bao nhiêu. là số Khoa bahọccxếp n tìm. Theo bài ra ta có hệ 13 người Trường Đại một bàn thì thừa học Quy Nhơn, 2022, 16(4), D 5-16 ch: N m cây oa ma 21 c n người. L n thứ ba xếp 13 người một bàn thì thừa Ba ngườ Ba ngườ cùng cùngppđđđđểm ttểmbảybinh bảy chục chục Giải Giải 4 người. Hỏi Gọi Gọi xx là số là số sốcc người là bao nhiêu.  n tìm. Theo bài ra ta có hệ n tìm. Theo bài ra ta có hệ  x  3 mod9  N Bảy m cây conoa đoma n v21ncbinh đ nm tr ng t u 4 người. Hỏi số người là bao nhiêu. N mBa cây ngườ oa ma 21 c n Trừ Ba ngườtr đom ncùng nv nnđđm tbbảy ết chục số ngthành. Giải Gọi x là sốc n tìm. Theo bài ra ta có hệ Bảy Bảy con Ncon m cây đo cùngn oav ma n đđ t21 mmbảy chục ctr nng tr tt uu
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Ngũ thụ mai hoa chấp nhất chi 七子爰排正半月 Thất nhân đồng hành thu bán nguyệt 除百除五定為期 Trừ bách trừ ngũ định vi kỳ. Phiên âm: Dịch: Vận trù toán pháp Phép điểm binh Tam nhân đồng hành thất thập sư Ba người cùng đi ít bảy chục Ngũ thụ cảo hoa chấp nhất chi Năm cây hoa mai 21 cành Thất tử viên bài chính bán nguyệt Bảy con đoàn viên đêm trăng thu Trừ bách trừ ngũ định vi kỳ. Trừ trăm linh năm biết số thành. Trong Toán điền trừ cửu pháp (tờ 53b)16 cũng có bài Vận trù toán pháp thi (thơ về toán Nhận xét: Toán pháp đại thành (được coi vận trù), thực chất cũng là bài Điểm binh pháp. là của Lương Thế Vinh) gọi bài toán này là Điểm binh pháp, không gọi là Hàn Tín điểm binh như 運筹算法詩 Trình Đại Vị (1592). Điều này là cơ sở để tin 三人同行七十推 rằng Toán pháp đại thành hiện tồn (hai bản chép 五人同行二十一支 tay, một bản trước năm 1934 và một bản năm 七人同行收半月 1944) có bóng dáng Toán pháp đại thành của Lương Thế Vinh (1441 - 1496). 除百除五定為期 Phiên âm: Hoàng Xuân Hãn9 đã chép lại bài Hàn Tín điểm binh từ sách Toán pháp thống tông của Vận trù toán pháp thi Trình Đại Vị và viết:9 Bài thơ này của Trình Đại Tam nhân đồng hành thất thập suy Vỵ đời nhà Minh, dùng chữ sách có dính líu đến Ngũ nhân đồng hành nhị thập nhất chi những chữ cần biết. Như ở câu đầu là dùng “tam nhân đồng hành tất hữu ngã sư” [ba người cùng Thất nhân đồng hành thu bán nguyệt đi tất có người là thầy ta] và câu “nhân sinh thất Trừ bách trừ ngũ định vi kì. thập cổ lai hi” [Người bảy mươi xưa nay hiếm]. Trong cả ba cuốn sách7,15,16 đều không có Và Ông xin dịch đổi lại như sau nầy cho dễ hiểu: lời giải. Ba người cùng hàng, nhân bảy mươi. 3. KẾT LUẬN Năm người cùng hàng, nhân hăm mốt. Định lí Trung Quốc về phần dư đã được người Bảy người cùng hàng, nhân mười lăm. Việt biết đến từ thời Lương Thế Vinh (1441- Trừ trăm linh năm thì tính suốt. 1496), cách đây 500 năm. Theo tư liệu sách toán Hán-Nôm hiện tồn, có thể khẳng định, Nguyễn Nhưng rồi Hoàng Xuân Hãn cũng bình Hữu Thận (1757-1831) là người đầu tiên trình luận: Nghĩa vẫn là tối tăm. Nhưng ta phải hiểu bày chi tiết lời giải và phát biểu một số bài toán rằng bài thơ trên là chỉ để nhớ mấy số quan hệ tương tự. Ông cũng đã viết rõ: “Nếu số người trong qui tắc mà thôi.9 nhiều hơn đáp số, thì từ cách giải cũng tìm được Trong Lập thành toán pháp (tờ 21a)15 có đúng số người”.8 Nghĩa là, phải “cắt đốt”: trừ bài Vận trù toán pháp (Phép toán vận trù = sắp BSCNN của các số mi, i = 1, 2,..., k, để được đáp xếp, tính toán trước): số nhỏ nhất hoặc đáp số trong một khoảng nào 運筹算法 đó. Qua khảo sát văn bản, có thể nói, các nhà toán học Việt Nam đã cảm nhận được cái hay về 三人同行七十師 mặt toán học và ứng dụng trong thực tế của toán 五樹梅花卄一枝 đồng dư. Tuy nhiên, người Trung Quốc còn đi xa https://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16401 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Quy Nhơn, 2022, 16(4), 5-16 15
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN hơn: họ biết vận dụng định lí về đồng dư vào các 7. 算法大成 Toán pháp đại thành (được coi là bài toán thiên văn và tính toán lịch từ thế kỉ II của 梁世榮 Lương Thế Vinh), Thư viện Viện trước Công nguyên. nghiên cứu Hán Nôm, kí hiệu: A.2931 (trước 1934), Bản thảo bản dịch A.2931 của Cung Thị Các sách toán Hán-Nôm thường đưa ra lời Kim Thành, 2017. giải cho những bài toán thực tế, vì vậy nó vẫn 8. 阮有慎 Nguyễn Hữu Thận. 意齋算法一得錄 còn có giá trị không chỉ trong nghiên cứu lịch Ý Trai toán pháp nhất đắc lục, Bản viết tay, sử toán học, mà còn trong giảng dạy toán kết 1829. Thư viện Viện nghiên cứu Hán Nôm, hợp với thực tiễn, một trong các định hướng của A.3665, Bản thảo bản dịch của Đoàn Thị Lệ và Chương trình toán 2018 và trong các sách giáo Cung Thị Kim Thành (2015 - 2017). khoa mới. Những ví dụ trong sách toán Hán- 9. Hoàng Xuân Hãn. Hàn Tín điểm binh, báo Khoa Nôm (và được giới thiệu trong bài này) vẫn có học, 1943, 2(13-14),1-7. thể sử dụng trong dạy và học chuyên đề Đồng dư trong chương trình toán Trung học và toán Đại 10. 楊輝 Dương Huy. 楊輝算法 Dương Huy toán học hiện hành. pháp, in lại trong Trung Quốc lịch đại toán học tập thành, Nxb Nhân dân Sơn Đông, Tế Nam, 1994, quyển Thượng (chữ Hán). TÀI LIỆU THAM KHẢO 11. 周密 Chu Mật. 志雅堂雜鈔 Chi nhã đường tạp 1. 孙子算经. Tôn Tử toán kinh, in lại trong Trung sao, 1290, quyển Hạ, in lại trong 粵雅堂叢書 quốc khoa học kỹ thuật điển tịch thông vựng, Việt Nhã Đường tùng thư (tập 1), 1853 (chữ Hán). Quách Thư Xuân chủ biên, (Toán học, Quyển 1), 12. Jean-Claude Marzloff. History of Chinese Nxb Giáo dục Hà Nam, Trung Quốc, 1993 (chữ Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 2006. Hán). 13. Hà Huy Khoái. Số học, Nhà xuất bản Giáo dục, 2 S. Kangsheng. Historical Development of the Hà Nội, 2004; Hà Huy Khoái. Nhập môn Số học Chinese remainder theorem, Archive for History thuật toán, Nxb Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, of Exact Sciences, 1988, 38(4), 285-305. 1998; Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển. Số học 3. 秦九韶 Tần Cửu Thiều. 数书九章 Số thư Cửu thuật toán: Cơ sở lý thuyết và tính toán thực chương, in lại trong 中国历代算学集成 Trung hành, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, Quốc lịch đại toán học tập thành (tập Thượng), 2003. Nxb Nhân dân Sơn Đông, Tế Nam (chữ Hán), 14. 范嘉紀 Phạm Gia Kỷ. 大成算學指明 Đại thành 1994. toán học chỉ minh, Bản viết tay, khoảng 1840, 4. 程大位 Trình Đại Vị. 算法統宗 Toán pháp Thư viện Viện nghiên cứu Hán Nôm, A.1555, thống tông, in lại trong Trung Quốc khoa học kỹ Bản thảo bản dịch của Phạm Vũ Lộc, 2018. thuật điển tịch thông vựng (Toán học, quyển 2), 15. 立成算法 Lập thành toán pháp, Bản viết tay. Quách Thư Xuân chủ biên, Nxb giáo dục Hà Không rõ tác giả và năm viết, Thư viện Viện Nam, Trung Quốc, 1993, 1217-1346 (chữ Hán). nghiên cứu Hán Nôm, kí hiệu VHv.497, Bản 5. Nguyễn Duy Liên. Định lý thặng dư Trung Hoa thảo bản dịch của Phan Thị Ánh Tuyết, 2017. và một số ứng dụng, Tạp chí Toán học và Tuổi 16. 算田除九法 Toán điền trừ cửu pháp, Bản viết trẻ, 2017, 485, 6-12. tay. Không rõ tác giả và năm viết, Thư viện Viện 6. C. Ding, D. Pei, and A. Salomaa. Chinese nghiên cứu Hán Nôm, kí hiệu VHb.50, Bản thảo remainder theorem, application in computing, bản dịch của Phan Thị Ánh Tuyết, 2017. coding, cryptography, World Scientific Publishing Co., Singapore, 1996. https://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16401 16 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Quy Nhơn, 2022, 16(4), 5-16