BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÍ
HỒ HOÀNG HUY
ĐỘNG HỌC CỦA NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH
TRONG BẪY QUANG HỌC
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÍ
HỒ HOÀNG HUY
ĐỘNG HỌC CỦA NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH
TRONG BẪY QUANG HỌC
NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÍ
MÃ NGÀNH: 102
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. PHẠM NGUYỄN THÀNH VINH
Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2018
Lời cảm ơn
Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Vật lí - Đại học Sư phạm Tp.HCM,
tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và động viên từ bạn bè, Thầy Cô và Gia đình . Tôi xin
gởi lời cảm ơn chân thành của mình đến
• Các thành viên trong gia đình đã luôn quan tâm, ủng hộ về mặt tinh thần, tạo nên
nguồn động lực để tôi phấn đấu trong quá trình học tập tại trường đại học và bền chí
xuyên suốt quá trình thực hiện khóa luận.
• Các Thầy, Cô giảng viên của Khoa Vật lí - Đại học sư phạm Tp.HCM đã tận tâm trong
quá trình giảng dạy để tôi có thể lĩnh hội kiến thức học thuật và phong cách của một
người giáo viên.
• Thầy, TS. Phạm Nguyễn Thành Vinh, người hướng dẫn khoa học đã hỗ trợ và dẫn dắt
tôi ngay từ những ngày đầu thực hiện nghiên cứu khoa học; giúp tôi phát triển bản
thân về tư duy học thuật, thái độ làm việc; và đã tận tình đọc và góp ý để tôi có thể
hoàn thiện luận văn này.
• Thầy, TS. Tomotake Yamakoshi - Đại học Điện tử - Truyền thông (UEC), Tokyo, Nhật
Bản, người đồng hướng dẫn khoa học, đã tận tâm cố vấn về mặt nội dung cũng như
kĩ thuật tính toán và lập trình trong suốt quá trình thực hiện nghiên cứu khoa học và
đặc biệt là trong khóa luận tốt nghiệp này.
• Các thành viên của nhóm nghiên cứu AMO - Đại học Sư phạm Tp. HCM đã quan tâm
và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu khoa học từ năm thứ hai.
Tp. HCM, ngày 28 tháng 4 năm 2018
Tác giả
Hồ Hoàng Huy
Mục lục
Danh mục chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
6 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Bài toán hệ lượng tử trong thế tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Bài toán Wannier - Stark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Bậc thang Wannier - Stark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Dao động Bloch sử dụng bẫy quang học . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3.1 Bẫy quang học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3.2 Dao động Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3.3 Dao động Bloch cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
19 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Sơ đồ tính toán mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Phương pháp chia ô Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Bài toán TISE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Bài toán TDSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
24 CHƯƠNG 3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Kiểm chứng tính chính xác của thuật toán cho bài toán dao động tử điều hòa
một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1 Bài toán dao động tử điều hòa một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.2 Tính chính xác của chương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Quá trình động học của nguyên tử siêu lạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1 Biểu hiện của bó sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1.1 Sự phụ thuộc của dao động Bloch vào cường độ của trường
ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1.2 Sự phụ thuộc của dao động Bloch vào độ cao rào thế quang
học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 Vận tốc nhóm và vận tốc trung bình của nguyên tử . . . . . . . . . . 37
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Danh mục chữ viết tắt
Chữ viết tắt Tiếng Việt Tiếng Anh
BEC Ngưng tụ Bose - Einstein Bose - Einstein condensation
MOT Bẫy từ quang học Magneto - optical trap
Phép gần đúng xoay mặt phẳng RWA Rotating wave approximation sóng
SBA Gần đúng đơn mạng Single band approximation
TBA Gần đúng tight - binding Tight - binding approximation
Time - Independent Schr¨odinger TISE Phương trình Schr¨odinger dừng Equation
Phương trình Schr¨odinger phụ Time - dependent Schr¨odinger TDSE thuộc thời gian Equation
i
Danh sách hình vẽ
1.1 Tần suất xuyên ngầm Landau - Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Bố trí các nguồn laser để tạo ra bẫy quang học ba chiều. . . . . . . . . . . . 12
1.3 Cấu trúc vùng năng lượng của hệ trong bẫy quang học . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Dao động Bloch trong không gian động lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1 Sơ đồ tính toán mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1 Sự sai khác của mức năng lượng so với kết quả giải tích . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Hàm mật độ xác suất của dao động tử điều hòa. . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Hàm mật độ xác suất của trạng thái n = 100 và sai số tương đối tương ứng . 29
3.4 Sự sai khác của hàm mật độ xác suất theo thời gian . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Biểu hiện của bó sóng dao động tử điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6 Biểu hiện của bó sóng khi thay đổi cường độ trường tuyến tính . . . . . . . . 32
3.7 Xác suất xuyên ngầm Landau - Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.8 Sự phụ thuộc của biên độ dao động Bloch vào cường độ trường ngoài . . . . 34
3.9 Biểu hiện của bó sóng khi thay đổi chiều cao rào thế . . . . . . . . . . . . . 35
3.10 Cấu trúc vùng năng lượng của hệ trong bẫy quang học . . . . . . . . . . . . 36
3.11 Sự phụ thuộc của biên độ dao động Bloch vào chiều cao của rào thế quang học 37
3.12 Dao động Bloch cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.13 Vận tốc nhóm và vận tốc trung bình của nguyên tử . . . . . . . . . . . . . . 39
ii
MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
Ngày nay, các nghiên cứu về nguyên tử siêu lạnh, ở nhiệt độ thấp là một lĩnh vực hấp
dẫn, được đông đảo cộng đồng khoa học quan tâm. Để đưa nguyên tử về trạng thái có nhiệt
độ thấp này, các kĩ thuật làm lạnh như làm lạnh bay hơi (evaporative cooling) hay kĩ thuật
bẫy nguyên tử bằng bẫy từ quang học (magneto - optical trap - MOT) thường được sử dụng.
Nhắc đến các kĩ thuật bẫy nguyên tử, chúng tôi không thể không đề cập đến bẫy quang học
(optical lattice), được xem như một phương pháp hiệu quả nhất và được ứng dụng để tạo
ra sự ngưng tụ Bose - Einstein (Bose - Einstein condensation - BEC) ở miền nhiệt độ rất
thấp (xấp xỉ vài nK). Đặc trưng cho loại bẫy này đó chính là tính tuần hoàn hoàn hảo của
nó, mang đến nhiều ứng dụng với ưu điểm vượt trội trong nghiên cứu thực nghiệm. Trong
vật lí chất rắn, biểu hiện của hệ lượng tử trong hàm thế có tính chất tuần hoàn là một bài
toán phổ biến và mang đến nhiều thông tin hấp dẫn như cấu trúc vùng năng lượng Bloch
hay hàm sóng Bloch của hệ có tính tuần hoàn với chu kì của thế tuần hoàn. Khi đặt thêm
một trường ngoài tuyến tính vào hệ nguyên tử trong thế tuần hoàn, phổ năng lượng của hệ
sẽ trở thành phổ gián đoạn, còn được biết đến với tên gọi phổ bậc thang Wannier - Stark [1].
Bên cạnh đó, nhờ vào sự đóng góp của trường ngoài tuyến tính, các hạt ở mức năng lượng
thấp có thể chuyển lên các vùng năng lượng cao, vượt qua cả vùng cấm năng lượng trong
cấu trúc năng lượng Bloch. Đó cũng chính là hiện tượng xuyên ngầm Landau - Zener [2].
Ngoài bậc thang Wannier - Stark và hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener, dao động
Bloch là một hiệu ứng quan trọng trong các nghiên cứu về nguyên tử siêu lạnh, nhận được
sự quan tâm của nhiều nhóm nghiên cứu. Bài toán về hệ lượng tử đặt dưới tác dụng của thế
1
tuần hoàn và trường ngoài tuyến tính hay còn được gọi là bài toán Wannier - Stark. Lần
lượt vào các năm 1929 và 1934, Bloch và Zener đã công bố các nghiên cứu tính toán lí thuyết
cho electron tinh thể khi được đặt trong trường tĩnh điện [3]. Theo suy luận thông thường,
electron là các hạt mang điện, khi bị đặt vào trường tĩnh điện sẽ chịu tác dụng của lực điện
trường và bị gia tốc với giá trị a = . Tuy nhiên, hai nhà khoa học đã cho rằng, thay vì qE me bị gia tốc tuyến tính, các electron này sẽ tiến hành một dao động đặc biệt, gọi là dao động
Bloch với chu kì được xác định bởi
. (1) TB = 2π(cid:126) dF
Tuy nhiên, giả thuyết này đã vấp phải một làn sóng tranh cãi dữ dội suốt nhiều năm liền
giữa các nhà khoa học. Hàng loạt các công trình đã được công bố để phản bác và ủng hộ lí
thuyết do Bloch và Zener đưa ra [4],[5],[6]. Vào thời điểm này, các nghiên cứu thực nghiệm
đều chưa thể chỉ ra được liệu dao động Bloch có tồn tại hay không bởi vì chưa thể tạo ra
được các thông số phù hợp để quan sát biểu hiện của hệ trong khoảng thời gian đủ dài để
kết luận về sử dao động.
Với sự ra đời của bán dẫn siêu mạng (semiconductor superlattices), điều kiện tiên quyết
để tạo ra được thời gian quan sát phù hợp đã được đáp ứng. Vào năm 1992, Karl Leo và các
đồng nghiệp đã gián tiếp quan sát được dao động Bloch trong bán dẫn siêu mạng [7], qua
đó chính thức chấm dứt những nghi ngờ về hiện tượng trên. Mặc dù đã chứng minh được
sự tồn tại của dao động Bloch nhưng bán dẫn siêu mạng vẫn chưa phải là một công cụ tối
ưu để đưa ra những kết quả thực nghiệm rõ ràng, trực tiếp nhất. Những khuyết điểm của
bán dẫn siêu mạng được khắc phụ tuyệt đối bằng việc sử bẫy quang học để thay thế. Nhờ
vào đó, năm 1996, Dahan và cộng sự đã đưa ra bố trí thí nghiệm như sau: tại thời điểm ban
đầu, nguyên tử bị giam trong bẫy quang học và bẫy điều hòa; sau đó, bẫy điều hòa bị tắt đi
và trường tuyến tính được bật lên đột ngột. Với sự sắp xếp này dao động Bloch trong không
gian động lượng đã được quan sát, mở ra nhiều nghiên cứu tiềm năng khác liên quan đến
BEC [8]. Năm 2001, Morsch công bố công trình trên tạp chí Physical Review Letters sau
khi quan sát được dao động Bloch của nguyên tử 87Rb ở trạng thái BEC [9]. Vào năm 2013,
nhóm nghiên cứu thực nghiệm ở Bắc Kinh đã đề xuất một phương pháp rút ngắn khoảng
2
thời gian để đưa nguyên tử 87Rb ở trạng thái BEC vào mức kích thích của mạng quang học
[10], đồng thời đưa ra các tính toán lý thuyết tương ứng. Để phát triển những nghiên cứu
này, quá trình động học của nguyên tử siêu lạnh cần được làm rõ, được biểu hiện cụ thể qua
dao động Bloch. Gần đây, trong năm 2017, các nghiên cứu về dao động Bloch vẫn diễn ra sôi
nổi với các công bố trên các tạp chí khoa học nổi tiếng như nghiên cứu về dao động Bloch
khi không dùng đến tính tuần hoàn của mạng, công bố trên tạp chí Science [11] hay nâng
cao tính hiệu quả của dao động Bloch trong giới hạn của mô hình tight - binding [12], dao
động Bloch của nguyên tử BEC trong thế quang học tạo bởi các hố quang học có tính chuẩn
xác cao [13] trên tạp chí Physical Review A. Vì vậy, các nghiên cứu về dao động Bloch vẫn
có tính ứng dụng cao và mang tính thời sự. Hiện tại trong nước, theo ghi nhận của tác giả,
dao động Bloch là một chủ đề mới và chưa có công bố khoa học từ các nhóm nghiên cứu hay
cá nhân.
Từ kết quả của những nghiên cứu trên chúng tôi chọn đề tài "ĐỘNG HỌC CỦA NGUYÊN
TỬ SIÊU LẠNH TRONG BẪY QUANG HỌC" để thực hiện khóa luận tốt nghiệp, để có
thể nghiên cứu sâu hơn trong chủ đề này. Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi tiến
hành khảo sát dao động Bloch dưới tác dụng của bẫy quang học và trường ngoài tuyến tính
trong giới hạn của mô hình gần đúng đơn mạng (single band approximation), khi đó, xác
suất xuyên ngầm Landau - Zener là rất nhỏ, có thể bỏ qua.
Mục tiêu luận văn
Khảo sát quá trình động học của nguyên tử 87Rb siêu lạnh trong mạng quang học thông
qua nghiên cứu dao động Bloch bằng chương trình giải số phương trình Schr¨odinger phụ
thuộc thời gian (TDSE) trong giới hạn của mô hình gần đúng đơn mạng.
Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp giải số: sử dụng giải thuật Fourier để giải TDSE. Từ đó, các kết quả được
sử dụng để mô phỏng dao động Bloch trong không gian tọa độ và các đại lượng liên quan.
3
Trong phương pháp giải số này, tác giả sử dụng ngôn ngữ lập trình FORTRAN 77 để lập
trình tính toán, xử lý số liệu.
Nội dung nghiên cứu
• Tìm hiểu về bài toán Wannier - Stark và các mô hình gần đúng để giải bài toán.
• Kiểm chứng độ tin cậy của chương trình giải số cho trường hợp bài toán dao động tử
điều hòa một chiều.
• Sử dụng chương trình giải số tính toán các đại lượng liên quan như vận tốc trung bình
hay cấu trúc vùng năng lượng của hệ.
• Mô phỏng chuyển động của bó sóng trong không gian tọa độ và sự thay đổi của giả
động lượng theo thời gian với mô hình gần đúng đơn mạng. Từ đó, đưa ra kết luận về
phạm vi áp dụng của mô hình.
• So sánh kết quả mô phỏng dựa trên việc giải TDSE với kết quả theo thuyết cổ điển
thông qua việc giải phương trình Hamilton.
• So sánh kết quả giải số với kết quả thực nghiệm của Dahan đã công bố [8].
Đối tượng nghiên cứu
Trong luận văn này, các nguyên tử siêu lạnh bị giam trong bẫy quang học dưới tác dụng
của trường thế tuyến tính sẽ được khảo sát.
Nội dung của luận văn
• Chương 1: Cơ sở lí thuyết:
Trình bày về các tính chất của hệ lượng tử trong bài toán Wannier - Stark. Từ đó, đi
sâu vào tìm hiểu về quá trình dao động Bloch của hệ. Đặc biệt, chi tiết về kĩ thuật bẫy
4
quang học và quá trình dao động Bloch trong bẫy quang học cũng được nhấn mạnh.
Ngoài ra, dao động Bloch cổ điển cũng được giới thiệu trong phần này.
• Chương 2: Phương pháp tính:
Giới thiệu về chương trình giải số sử dụng để giải bài toán Wannier - Stark. Sau đó,
trình bày về thuật toán được sử dụng để mô phỏng biểu hiện của bó sóng.
• Chương 3: Kết quả nghiên cứu
Kiếm chứng tính chính xác của chương trình giải số thông qua bài toán dao động tử
điều hòa một chiều. Ngoài ra, quá trình động học của bó sóng, mà cụ thể là dao động
Bloch, dưới tác dụng của mạng quang học và trường tuyến tính cũng được khảo sát.
5
Chương 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1.1 Bài toán hệ lượng tử trong thế tuần hoàn
Bài toán hệ lượng tử trong thế tuần hoàn là một trong những vấn đề quen thuộc trong
bộ môn vật lí chất rắn, mang đến nhiều ứng dụng trong thực tế. Các bài toán này thu hút
sự quan tâm của các nhà khoa học bởi tính chất tuần hoàn của hàm sóng, còn được gọi là
hàm Bloch. Xét Hamiltonian của hệ
(cid:126)2 (1.1) ˆHB = − 2m ∂2 ∂x2 + V (x),
với V (x) là hàm thế có tính chất tuần hoàn với chu kì d sao cho
V (x) = V (x + d), (1.2)
bằng việc giải phương trình Schr¨odinger dừng (Time-Independent Schr¨odinger Equation -
TISE)
q (x),
(1.3) ˆHBψ(x) = En(q)φn
hàm sóng của hệ với Hamiltonian Bloch (1.1) tuân theo định lý Bloch: Hàm riêng của phương
trình sóng cho hệ trong thế tuần hoàn được xác định bằng tích của sóng phẳng và hàm tuần
hoàn uq với chu kì là chu kì của hàm thế, được biểu diễn qua biểu thức
(cid:19) (1.4) un q (x). φn q (x) = exp (cid:18) iqx (cid:126)
Trong đó hàm u(x) cũng mang tính chất tuần hoàn với chu kì tương tự với chu kì của hàm
thế V (x)
q (x) = un un
q (x + d).
(1.5)
6
Bên cạnh đó, En(q) là cấu trúc vùng năng lượng theo động lượng tinh thể (crystal momen-
tum), bao gồm các mức năng lượng khác nhau của hệ. Ở giữa mức năng lượng thứ nhất và
thứ hai, vùng cấm năng lượng xuất hiện tại vị trí biên của vùng Brillouin thứ nhất. Tương
tự, tại vị trí rìa của các vùng Brillouin tiếp theo, vùng cấm năng lượng cũng xuất hiện ứng
với các mức năng lượng cao hơn. Đây là những tính chất đặc trưng của một hệ lượng tử
trong thế tuần hoàn.
Do trạng thái Bloch được biểu diễn trong không gian động lượng, gọi là biểu diễn Bloch,
hàm Wannier, đóng vai trò là cơ sở trong không gian tọa độ, đã được đưa ra bằng việc lấy
tích phân của trạng thái Bloch theo động lượng tinh thể trong vùng Brillouin thứ nhất, qua
đó biểu diễn trạng thái của hệ trong không gian tọa độ (biểu diễn Wannier)
l (x) =
q (x)dq,
−π/d
(cid:90) π/d W n exp(idqj)φn (1.6)
với j là số lượng hố thế tuần hoàn trong vùng không gian khảo sát, có giá trị nguyên. Hơn
thế nữa, hàm Wannier có tính chất hữu hạn trong khoảng xác định, ngoài khoảng này, giá
trị của hàm Wannier giảm nhanh về 0. Điều này hoàn toàn ngược lại với tính chất của hàm
Bloch.
1.2 Bài toán Wannier - Stark
Hệ lượng tử được giam hãm trong thế tuần hoàn cùng với trường thế tuyến tính cũng là
một bài toán hấp dẫn, thu hút nhiều sự quan tâm từ các nhóm nghiên cứu. Nguồn gốc của
vấn đề này xuất phát từ quá trình tương tác của các electron tinh thể với trường tĩnh điện
qua lực tĩnh điện F = |q|E. Vấn đề trên được biết đến với tên gọi bài toán Wannier - Stark,
được mở rộng cho trường hợp các nguyên tử trung hòa về điện bằng cách gia tốc tuyến tính
thế tuần hoàn với gia tốc a
V (x) → V (x + ). (1.7) at2 2
Như vậy, trong hệ tọa độ gắn với thế tuần hoàn, các nguyên tử trung hòa về điện chịu tác
dụng của lực quán tính
F = −M a, (1.8)
7
tạo nên trường thế tuyến tính. Bên cạnh phương pháp trên, việc giam hãm các nguyên tử trong
một bẫy điều hòa theo phương thẳng đứng và tận dụng gia tốc trọng trường g = 9.8 m/s2
tạo nên thế tuyến tính cũng được đề xuất. Tuy nhiên, phương pháp này ít được sử dụng vì
gặp phải khó khăn trong thay đổi cường độ của thế tuyến tính [14]. Hamiltonian cho bài
(cid:126)2 (1.9) ˆHWS = − toán Wannier - Stark này được viết dưới dạng ∂2 ∂x2 + V (ˆx) + F ˆx, 2m
trong đó, hai số hạng đầu tiên là Hamiltonian Bloch và số hạng còn lại chính là trường thế tuyến tính ˆH (cid:48). Phương trình (1.9) được biết đến với tên gọi Hamiltonian Wannier - Stark.
Vấn đề trên đã mở ra các hướng nghiên cứu nhỏ hơn bao gồm hiệu ứng xuyên ngầm
Landau - Zener, bậc thang Wannier - Stark và dao động Bloch.
1.2.1 Bậc thang Wannier - Stark
Sự xuất hiện của trường ngoài tuyến tính là nguyên nhân dẫn đến tính chất đối xứng
của Hamiltonian Bloch bị phá vỡ. Bằng cách sử dụng kí hiệu của Dirac, các phương trình trị riêng và hàm riêng ứng với Hamiltonian Bloch ˆHB và trường thế tuyến tính ˆH (cid:48) sẽ là
(1.10) ˆHB |q(cid:105) = En |q(cid:105) ,
(1.11) ˆH (cid:48) |j(cid:105) = F dj |j(cid:105) ,
với |q(cid:105), |j(cid:105) lần lượt là trạng thái Bloch và trạng thái Wannier. Bên cạnh đó, hàm sóng của
∞ (cid:88)
hệ còn được viết dưới dạng [15]
n,q=1 ∞ (cid:88)
(1.12) |ψ(cid:105) = cB(n, q) |q(cid:105)
n,j=1
(1.13) = cW (n, j) |j(cid:105) ,
∞ (cid:88)
với cB(n, q) và cW (n, j) là các hệ số chuẩn hóa thỏa mãn
n,q=1 ∞ (cid:88)
(1.14) |cB(n, q)|2 = 1,
n,j=1
(1.15) |cW (n, j)|2 = 1.
8
Ngoài ra, |q(cid:105) và |j(cid:105) cũng thỏa mãn tính chất trực giao
(1.16) (cid:104)a|b(cid:105) = δab.
Sử dụng các phương trình vừa nêu trên, phổ năng lượng của hệ được xác định bởi
Eq,j = (cid:104)ψ| ˆHWS |ψ(cid:105)
∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
= (cid:104)ψ| ˆHB |ψ(cid:105) + (cid:104)ψ| ˆH (cid:48) |ψ(cid:105)
n,q=1
n,j=1
= (1.17) |cB(n, q)|2 En + |cW (n, j)|2 F dj
q + F dj.
= En (1.18)
q là cấu trúc vùng năng lượng của hệ khi cường độ trường ngoài F = 0. Như đã đề cập
với En
ở trên, j mang các giá trị nguyên dương, khác không. Biểu thức (1.18), khi đó, trở thành
phổ năng lượng gián đoạn, tạo thành các bậc thang, được gọi là bậc thang Wannier - Stark.
Trong khuôn khổ luận văn này, phổ năng lượng Wannier - Stark sẽ được trình bày trong giới
hạn của mô hình gần đúng đơn mạng. Ý tưởng của mô hình này đó là chỉ tập trung khảo
sát biểu hiện của các thành phần đang ở mức năng lượng cơ bản, bỏ qua các hiện tượng kết
cặp giữa các mức năng lượng. Hay nói cách khác, xác suất để xảy ra hiệu ứng xuyên ngầm
Landau - Zener là rất nhỏ và hoàn toàn có thể bỏ qua. Hiện tượng xuyên ngầm Landau -
Zener sẽ được trình bày chi tiết hơn trong phần tiếp theo.
Đối với các mức năng lượng càng cao, độ rộng của vùng cấm năng lượng giảm dần. Như
vậy, tần suất xuyên ngầm Landau - Zener càng thường xuyên, tức là khả năng các thành
phần ở các mức năng lượng thấp hơn chuyển lên các mức năng lượng cao hơn càng nhiều.
Điều này dẫn đến hệ quả rằng số lượng các mức năng lượng giảm theo tốc độ phân rã τ được
cho bởi
(cid:18) (cid:19) (cid:126) τ = , − , (1.19) Γn = an exp bn F Γn
trong đó, an và bn là hai thông số đặc trưng của cấu trúc vùng năng lượng đang khảo sát.
Phổ năng lượng (1.18) được hiệu chỉnh thành phổ năng lượng phức, với phần thực chính là
phổ bậc thang Wannier - Stark; còn phần ảo phụ thuộc vào tốc độ phân rã [1]
q + F dj − i
(1.20) . Eq,j = En Γn 2
9
Mục đích cuối cùng của vấn đề bậc thang Wannier - Stark đó chính là khảo sát và mô tả
được phổ năng lượng phức của hệ.
1.2.2 Hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener
Khi khảo sát hệ lượng tử có dưới tác dụng của thế tuần hoàn và trường ngoài tuyến tính,
luôn tồn tại một xác suất để các thành phần có mức năng lượng thấp có thể vượt qua vùng
cấm năng lượng chuyển lên các mức năng lượng cao hơn. Hiện tượng này được gọi là hiệu
ứng xuyên ngầm Landau - Zener.
Cơ chế của hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener được giải thích như sau: Khi nguyên
tử đặt trong trường thế tuần hoàn, các hạt ở trạng thái ứng với mức năng lượng thấp không
thể vượt qua được vùng cấm năng lượng để đạt được những trạng thái kích thích cao hơn.
Với sự xuất hiện của trường thế tuyến tính có cường độ đủ mạnh, các hạt được cung cấp
thêm năng lượng đủ để vượt qua vùng cấm và đạt được trạng thái kích thích cao hơn [16].
Năm 1932, Zener đã đưa ra công thức ước tính xác suất xuyên ngầm [3]
(cid:18) (cid:19) − r = exp (1.21) ac aexp
với tham số ac đặc trưng cho cấu trúc vùng năng lượng của hệ còn tham số aexp phụ thuộc
trực tiếp vào cường độ của trường ngoài đặt lên hệ. Như vậy, xác suất xuyên ngầm này là
một hàm mũ, phụ thuộc vào cường độ trường ngoài và thế tuần hoàn tạo nên cấu trúc Bloch.
Đối với trường hợp cường độ trường ngoài yếu, giá trị xác suất này rất nhỏ và có thể bỏ qua;
đó chính là giới hạn của mô hình gần đúng đơn mạng [17]. Khi giá trị cường độ trường ngoài
tăng lên đáng kể, xác suất này tăng rất nhanh, tần suất các thành phần ở vùng năng lượng
thấp chuyển lên các vùng năng lượng cao hơn ngày càng nhiều.
Theo cơ học lượng tử, hiệu ứng xuyên ngầm là một trong những hiện tượng đặc trưng
trong thế giới vi mô, chứa đựng nhiều thông tin về quá trình động học của hệ. Sự xuyên
ngầm Landau - Zener cung cấp dữ liệu cho các nghiên cứu về động học giữa các mức năng
lượng. Nhờ vào các nghiên cứu về chủ đề này, công thức (1.19) đã được kiểm chứng bằng
thực nghiệm bởi nhóm nghiên cứu của Bharucha thể hiện bởi hình 1.1 biểu thị thời gian sống
của trạng thái theo giá trị gia tốc của mạng tạo nên bởi sự chênh lệch tần số (chi tiết về
10
Hình 1.1: Tần suất xuyên ngầm Landau - Zener được đo bởi Bharucha và cộng sự vào năm
1996 cho kết quả phù hợp với lý thuyết Landau - Zener [2].
quá trình gia tốc này sẽ được trình bày trong phần giới thiệu về mạng quang học). Kết quả
cho thấy thời gian sống giảm nhanh theo gia tốc, điều này hoàn toàn phù hợp với công thức
(1.19), qua đó khẳng định lại nguyên nhân của sự suy giảm số nguyên tử bị giam hãm là do
hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener.
Đặc biệt, đối với các nghiên cứu về hiện tượng ngưng tụ Bose - Einstein, quá trình xuyên
ngầm Landau - Zener thường được khảo sát vì khả năng mô tả sự chuyển mức năng lượng
giữa các vùng năng lượng Bloch [9],[17],[18].
1.2.3 Dao động Bloch sử dụng bẫy quang học
1.2.3.1 Bẫy quang học
Để tạo ra bẫy quang học một chiều, hai nguồn laser được đặt trực diện, chiếu trực tiếp
vào nhau tạo nên sự giao thoa. Tương tự như vậy, để tạo nên bẫy quang học ba chiều, hệ
gồm ba cặp laser đặt trực diện nhau cần được sử dụng. Trong thực tế, bẫy quang học một
chiều có thể được tạo ra đơn giản bằng cách chiếu một nguồn laser phân cực thẳng vào một
11
Hình 1.2: Ba cặp nguồn laser được bố trí như hình vẽ để tạo ra bẫy quang học ba chiề u [19].
gương phẳng để thu được hai chùm sáng trực diện nhau. Tuy nhiên, cách thức này gặp phải
khó khăn trong việc điều chỉnh độ cao của rào thế. Điều này được khắc phục bằng việc sử
dụng tế bào Bragg để tạo ra sự sai lệch về tần số giữa các chùm sáng [16], [20].
Về cơ chế, bẫy quang học và cả các kĩ thuật bẫy nguyên tử khác sử dụng laser tác dụng
lên nguyên tử đều dựa trên sự dịch chuyển Stark. Khi đặt nguyên tử dưới tác dụng của
trường laser, thành phần điện trường dao động sẽ tác động và tạo ra moment lưỡng cực điện
cho nguyên tử. Quá trình tương tác giữa moment lượng cực điện này và thành phần điện
trường dao động của ánh sáng tạo nên sự dịch chuyển năng lượng. Thông qua việc sử dụng
phép gần đúng xoay mặt phẳng sóng (rotating wave approximation - RWA) [14], biểu thức
toán học mô tả thế quang học được cho bởi
(1.22) V (x) = V0 sin2(kRx),
12
trong đó kR là động lượng giựt lùi, phụ thuộc vào bước sóng λ của xung laser sử dụng
, (1.23) kR = 2π λ
và V0 được gọi là chiều cao của rào thế, thường được tính theo năng lượng giật lùi
. (1.24) ER = (cid:126)2k2 R 2m
Sự tuần hoàn của thế quang học theo không gian cũng phụ thuộc vào bước sóng của laser.
Ta có hằng số mạng d bằng một nửa bước sóng [19]
d = . (1.25) λ 2
Cũng như các dạng thế tuần hoàn khác, các nguyên tử bị giam trong thế quang học có
cấu trúc vùng năng lượng Bloch. Cấu trúc của vùng năng lượng phụ thuộc vào chiều cao
rào thế V0 được thể hiện qua hình (1.3) cho các trường hợp hạt tự do, chiều cao rào thế
bằng 3ER và 9ER trong vùng Brillouin thứ nhất với giá trị của động lượng tinh thể thuộc [−(cid:126)k, (cid:126)k]. Qua đó, sự phụ thuộc của độ rộng vùng cấm năng lượng vào chiều cao rào thế
được thể hiện. Như đã đề cập ở phần trên, bài toán Wannier - Stark được khảo sát đầu tiên
trên đối tượng điện tử tinh thể, một trường hợp mà điện trường tĩnh có thể đóng vai trò là
trường thế tuyến tính. Tuy nhiên, khi mở rộng vấn đề đối với nguyên tử trung hòa điện, kĩ
thuật trên không còn phù hợp, dẫn đến sự cần thiết để đưa ra một phương pháp khác có thể
tạo ra được trường tuyến tính lên nguyên tử trung hòa. Phương pháp này dựa trên ý tưởng
về lực quán tính mà các nguyên tử chịu khi thế quang học bị gia tốc. Khi tần số giữa hai
nguồn laser trực đối bị thay đổi, tạo sự chênh lệch ∆ν, thế quang học sẽ chuyển động theo
quy luật
v = d∆ν (1.26)
Như vậy, theo cơ học cổ điển, các nguyên tử trung hòa bị giam hãm trong thế tuần hoàn sẽ
chịu tác dụng của lực quán tính
F = −m (1.27) = −md d∆ν dt dv dt
13
Hình 1.3: Cấu trúc vùng năng lượng của hệ trong bẫy quang học lần lượt (từ trái sang phải)
cho các trường hợp hạt tự do, chiều cao rào thế bằng 3ER và 9ER [19]
.
khi độ chênh lệch tần số biến đổi theo thời gian [19]. Qua đó, trường thế tuyến tính được tạo
ra trên đối tượng các nguyên tử trung hòa về điện.
Nhờ vào sự hoàn hảo trong tính tuần hoàn và cường độ của trường có thể dễ dàng kiểm
soát được, bẫy quang học đã trở thành một kĩ thuật được sử dụng rộng rãi trong cộng đồng
khoa học và có những đóng góp lớn vào sự phát triển của các nghiên cứu trong lĩnh vực làm
lạnh nguyên tử và tạo ra trạng thái BEC. Vì lẽ đó, cho đến thời điểm hiện tại, các nghiên
cứu thực nghiệm lẫn lí thuyết về nguyên tử siêu lạnh đều ưu tiên chọn bẫy quang học để làm
lạnh nguyên tử xuống miền nhiệt độ rất thấp [9],[17],[21],[22].
1.2.3.2 Dao động Bloch
Nguồn gốc của dao động Bloch nằm ở phổ năng lượng Bloch của hệ. Trên lý thuyết, hệ
bị giam trong thế tuần hoàn bất kì, khi chịu tác dụng của trường tuyến tính bên ngoài đều
có thể xảy ra hiện tượng dao động Bloch. Tuy nhiên, vì những ưu điểm đã đề cập của thế
quang học, chúng tôi xem xét hệ lượng tử đang bị giam trong bẫy quang học. Khi đột ngột
tạo ra trường ngoài tuyến tính tác dụng lên hệ, hệ sẽ xảy ra quá trình dao động Bloch với
14
chu kì dao động Bloch TB. Lúc đó, Hamiltonian của hệ thể hiện như sau
(cid:126)2 ˆH = − (1.28) 2m ∂2 ∂x2 + V0 sin2(kR ˆx) + F ˆx.
Để thuận tiện cho việc biểu diễn giá trị trên đồ thị, hai vế của biểu thức (1.9) được chia cho
năng lượng giật lùi ER để đưa về hệ đơn vị không thứ nguyên
ˆHdl = − ∂2 ∂χ2 + ξ sin2(χ) + αχ,
(1.29) = ˆHB + ˆH (cid:48),
với ξ và α được tính theo năng lượng giật lùi ER và ERkR. Ngoài ra, phép đổi biến còn được
sử dụng để đổi biến tọa độ x thành biến tọa độ không thứ nguyên χ
(1.30) χ = kRx.
Khi đó, chu kì Bloch được viết theo hệ đơn vị không thứ nguyên như sau
(1.31) . τB = 2 α
Chịu ảnh hưởng của trường ngoài, khi biểu diễn trong không gian động lượng, động lượng
tinh thể của hệ được gia tốc tuyến tính theo lý thuyết cổ điển
q(t) = q(0) + αt (1.32)
Tại rìa của vùng Brillouin thứ nhất, sau mỗi chu kì Bloch, động lượng tinh thể sẽ bị phản
xạ Bragg, quay trở lại và tiếp tục được gia tốc tuyến tính. Trong không gian tọa độ, bó sóng
của hệ thực hiện một dao động tuần hoàn với chu kì Bloch. Bên cạnh đó, biên độ của dao
động Bloch trong không gian tọa độ được xác định thông qua
A = (1.33) , δ(cid:15) 2α
với δ(cid:15) là độ rộng của mức năng lượng, được xác định thông qua phép gần đúng TBA. Ngoài
ra, vận tốc lan truyền của bó sóng, gọi là vận tốc nhóm, được cho bởi đạo hàm riêng phần
của năng lượng theo động lượng tinh thể
(1.34) . vg = ∂(cid:15)(q) ∂q
15
Thông qua quá trình dao động Bloch, các thông tin động học của hệ được thể hiện chi tiết.
Do đó, chủ đề này rất được quan tâm, trong đó, phải kể đến nghiên cứu của Ben Dahan và
cộng sự vào năm 1996 khi đã lần đầu tiên quan sát trực tiếp được dao động Bloch trong
không gian động lượng (trục hoành) của hệ giam hãm trong bẫy quang học thông qua biểu
hiện qua hình vẽ số nguyên tử (trục tung) với thời gian một chu kì Bloch trong hình 1.4.
Một số kết quả trình bày trong nghiên cứu này cũng được chọn để so sánh với kết quả luận
văn để kiểm chứng tính chính xác.
Hình 1.4: Dao động Bloch của hệ dưới tác dụng của thể quang học được biểu diễn trong
không gian động lượng khi tiến hành đo đạc thực nghiệm trong một chu kì Bloch [8].
1.2.3.3 Dao động Bloch cổ điển
Dao động Bloch được đề cập ở các phần trên dựa trên quan điểm cơ học lượng tử. Tuy
nhiên, theo các quy luật của cơ học cổ điển, dao động Bloch vẫn tồn tại. Phổ bậc thang
16
Wannier - Stark trong hệ tọa độ không thứ nguyên được mô tả bởi
q + αχ.
(1.35) (cid:15)n,q = (cid:15)n
Trong giới hạn của luận văn này, chúng tôi chỉ xem xét trường hợp chiều cao rào thế lớn, khi
đó, công thức (??) không còn phù hợp. Để tính toán phổ năng lượng ở mức cơ bản khi chiều
cao rào thế lớn, phép gần đúng TBA được sử dụng để đưa ra công thức cụ thể [23]
q = (cid:112)ξ − 2J cos(πq), (cid:15)n
(1.36)
trong đó, J được gọi là hệ số xuyên ngầm được xác định bởi công thức [16]
(cid:16) (cid:17) J = ξ0.75 exp −2(cid:112)ξ . (1.37) 4 √ π
Cũng thông qua phép gần đúng này, độ rộng của phổ năng lượng được xác định δ(cid:15) = 4J.
Như vậy, biên độ của dao động Bloch lượng tử chính là
(1.38) . Aqt = 2J α
Trở lại với dao động Bloch cổ điển, sử dụng biểu thức Hamiltonian của hệ, thay thế các toán
tử ˆχ và ˆq bằng các giá trị thực tương ứng
(1.39) Hcl = (cid:112)ξ − 2J cos(πq) + αχ,
để giải phương trình Hamilton [8]
(1.40) ˙χ = ,
˙q = − (1.41) , ∂Hcl ∂q ∂Hcl ∂χ
tọa độ và động lượng tinh thể theo thời gian của hệ lần lượt được mô tả bởi
(cid:17) sin (cid:17) t sin t + πq(0) , (1.42) χ(t) = χ(0) − 2J α (cid:16)πα 2 (cid:16)πα 2
q(t) = q(0) − αt, (1.43)
với χ(0) và q(0) là điều kiện ban đầu của hệ. Thông thường, vào thời điểm ban đầu, hệ sẽ
được giam hãm tại gốc tọa độ; do đó, χ(0) = q(0) = 0. Qua biểu thức trên, hệ sẽ tiến hành
17
dao động về phía chiều âm của trục tọa độ với tần số góc ωB = πα trong khi động lượng
tinh thể được gia tốc đến vô cực
, Acl = 2J α (1.44)
. τcl = 2 α
Các kết quả này hoàn toàn trùng khớp với biên độ và chu kì của dao động Bloch lượng tử.
18
Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
Khi nguyên tử đang bị giam hãm trong mạng quang học, trường tuyến tính được bật lên
đột ngột, dao động Bloch sẽ được thể hiện qua quá trình lan truyền của bó sóng theo thời
gian trong biểu diễn Bloch và biểu diễn Wannier. Để có thể thu được các kết quả mô phỏng
biểu hiện của bó sóng dưới tác dụng của bẫy điều hòa và trường ngoài tuyến tính, hàm mật
độ xác suất trong không gian tọa độ và không gian động lượng phải được tính toán và biểu
diễn theo thời gian. Để thực hiện được yêu cầu này, TDSE
(2.1) = HWSΨ. i(cid:126) ∂Ψ ∂t
với Hamiltonian Wannier - Stark cần được giải để đưa ra hàm sóng biến đổi theo thời gian
và từ đó đưa ra phân bố xác suất theo thời gian của hệ.
Cách tiếp cận bài toán hiệu quả và phổ biến được sử dụng là phương pháp chia ô Fourier
(Fourier Grid method - FGM) với ý tưởng chính là sử dụng hàm sóng tại thời điểm ban
đầu thu được từ việc giải TISE để lan truyền theo thời gian, thu được hàm sóng phụ thuộc
thời gian. Vì thế, các kết quả đạt được trong luận văn này đều được đưa ra từ việc sử dụng
phương pháp trên để lan truyền bó sóng theo thời gian.
2.1 Sơ đồ tính toán mô phỏng
Hình 2.1 thể hiện chi tiết các bước để đưa ra kết quả khi sử dụng phương pháp chia ô
Fourier. Trước hết, chúng tôi tiến hành nhập các dữ liệu đầu vào như đối tượng nguyên tử sẽ
khảo sát, bước sóng xung laser, cường độ trường tuyến tính và chiều cao của rào thế quang
học để tạo nên Wannier - Stark Hamiltonian rút gọn. Dựa trên Hamiltonian này, TISE sẽ
19
Hình 2.1: Sơ đồ tính toán mô phỏng sử dụng giải thuật chia ô Fourier với Wannier - Stark
Hamiltonian được cung cấp từ các thông số đầu vào.
được giải dựa trên phương pháp chia ô Hamiltonian để từ đó thu được hàm riêng ψ và trị
riêng năng lượng E. Từ các kết quả này, chương trình sẽ tiến hành xử lí số liệu để đưa ra
cấu trúc vùng năng lượng và hàm sóng của hệ. Với việc thu được hàm sóng không phụ thuộc
thời gian, đối với bài toán trường dừng, đó cũng chính là hàm sóng tại thời điểm ban đầu
t = 0. Ở bước ba, hàm sóng ban đầu sẽ được lan truyền bằng phương pháp chia ô Fourier
cho không gian và thời gian để xác định giá trị của hàm sóng tại các điểm chia đó để thu
được hàm sóng trong toàn miền không gian và thời gian. Cuối cùng, các số liệu đó sẽ được
xử lí để mang đến thông tin về biểu hiện của bó sóng hay xác suất xuyên ngầm Landau -
Zener.
Như vậy, để giải được bài toán dao động Bloch, hai giai đoạn chính đó là giải TISE và
20
TDSE phải được tuần tự thực hiện. Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết hơn
về giải thuật cho TISE và TDSE.
2.2 Phương pháp chia ô Fourier
2.2.1 Bài toán TISE
Để giải quyết bài toán TISE, chúng tôi sử dụng phương pháp chia ô Hamiltonian. TISE
một chiều được giới thiệu thông qua biểu thức sau
(cid:33)
+ V (ˆx) |ψ(cid:105) = E |ψ(cid:105) . (2.2) (cid:32) ˆp2 2m
Trong không gian tọa độ và động lượng, toán tử thế năng dừng V (ˆx) và toán tử động năng
trong TISE sẽ tạo thành một ma trận chỉ có đường chéo chính
(cid:104)x |V (ˆx)| x(cid:48)(cid:105) = V (x)δ(x − x(cid:48)), (2.3)
(cid:68) (cid:12) (cid:12) k ˆp2 = δ(k − k(cid:48)). (2.4) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) k(cid:48)(cid:69) 1 2m p2 2m
Như vậy, toán tử Hamiltonian trong không gian tọa độ sẽ được xác định như sau
(2.5)
−∞
+ V (ˆx) |x(cid:48)(cid:105) (cid:90) ∞ (cid:104)x| ˆH |x(cid:48)(cid:105) = (cid:104)x| (cid:126)2 = exp(ik(x − x(cid:48)))k2dk + V (x)δ(x − x(cid:48)). (2.6) 2m ˆp2 2m 1 2π
Ở đây, mối liên hệ giữa không gian tọa độ và không gian động lượng với nhau qua thể hiện
phép biến đổi Fourier cũng được sử dụng để đưa ra Hamiltonian
exp (−ikx) . (2.7) (cid:104)k|x(cid:105) = 1 √ 2π
Để tiến hành giải số phương trình (2.2), miền không gian bị chia thành N ô vuông có kích
thước ∆x bằng nhau
xi = xmin + i∆x (2.8)
j = x(cid:48) x(cid:48)
min + j∆x
21
Như vậy, Hamiltonian của hệ sẽ trở thành rời rạc, dấu tích phân liên tục sẽ được thay bằng
N/2 (cid:88)
l=1
tổng rời rạc [24] (cid:19) (2.9) Tl cos + V (xi)δij Hij = . 2 N (cid:18) 2πl(i − j) N
Bằng cách lặp lại tính toán nhiều lần với TISE của Hamiltonian rời rạc
j
(cid:88) (2.10) (Hij − Enδi,j) ψn,j = 0,
trị riêng và hàm riêng của bài toán có thể được xác định.
2.2.2 Bài toán TDSE
Chương trình giải số TDSE cũng sử dụng phương pháp chia ô Fourier để lan truyền hàm
sóng ban đầu theo thời gian. Ý tưởng của phương pháp này dựa trên việc lần lượt chia toàn
miền không gian và thời gian thành N và K ô vuông có bề rộng ∆x và ∆t như nhau
x = xmin + i∆x, (2.11)
t = tmin + j∆t.
Xét TDSE ứng với vị trí i trong không gian, lúc này, TDSE chỉ phụ thuộc vào chỉ số chạy
thời gian j
= ˆH jΨj. (2.12) i(cid:126)∂Ψj ∂t
Đạo hàm theo thời gian trong phương trình trên sẽ được thay thế bằng sai phân
≈ . (2.13) ∂Ψj ∂t Ψj+1 − Ψj−1 2∆t
Như vậy, mối liên hệ giữa hàm sóng tại ba điểm chia thời gian liên tiếp j − 1, j và j + 1 được
thể hiện thông qua biểu thức [25].
Ψj+1 = Ψj−1 − 2i∆t ˆHΨj, (2.14)
Như vậy, tiến hành lặp lại tính toán sử dụng công thức (2.14) với giá trị của hàm sóng tại j
và j − 1, giá trị hàm sóng trong toàn miền thời gian sẽ được xác định. Tuy nhiên, đầu vào
22
của bài toán chỉ là hàm sóng tại thời điểm ban đầu, như vậy, phương trình (2.14) chỉ sử dụng
được khi hàm sóng tại điểm thời gian liền kề được xác định. Điều này hoàn toàn có thể thực
hiện được bằng việc giải phương trình vi phân thường (2.12) bằng các phương pháp giải số
như Euler, Euler cải tiến,... Trong chương trình giải số mà chúng tôi sử dụng, công việc này
được xử lý bởi thuật toán Runge - Kutta bậc bốn, mang đến độ chính xác cao.
23
Chương 3: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
3.1 Kiểm chứng tính chính xác của thuật toán cho bài
toán dao động tử điều hòa một chiều
Trước khi tiến hành mô phỏng biểu hiện của bó sóng dưới tác dụng của trường thế tuần
hoàn và trường ngoài tuyến tính dưới phạm vi áp dụng của mô hình gần đúng đơn mạng,
chương trình giải số sử dụng để giải TISE và giải TDSE sẽ được kiểm chứng qua bài toán
dao động tử điều hòa một chiều, từ đó so sánh kết quả giải số với lời giải chính xác để đánh
giá về độ tin cậy cũng như tính chính xác.
3.1.1 Bài toán dao động tử điều hòa một chiều
Bài toán dao động tử điều hòa là một bài toán cơ bản và có lời giải chính xác trong Cơ
học lượng tử. Dao động tử điều hòa là hệ bị giam trong bẫy dạng parabol, cao vô hạn được
mô tả bởi Hamiltonian sau (cid:126)2 ˆH = − mω2x2. (3.1) 2m 1 2
∂2 ∂x2 + Đây là một bài toán trường dừng, TISE sẽ được sử dụng để đưa ra lời giải cụ thể cho vấn đề
này (cid:126)2 mω2x2 = Eψ. (3.2) − 2m ∂2ψ ∂x2 + 1 2
Để thuận tiện trong việc tính toán, biến số tọa độ không thứ nguyên được đưa ra để thay
thế biến số tọa độ.
(3.3) ξ = (cid:114)mω (cid:126) x
24
TISE của dao động tử điều hòa được viết lại với tọa độ không thứ nguyên và năng lượng
không thứ nguyên K = như sau E (cid:126)ω
(3.4) ∂2ψ ∂ξ2 = (cid:0)ξ2 − 2K(cid:1) ψ
Đối với bài toán này, hướng tiếp cận giải tích sử dụng nghiệm tiệm cận và phương pháp
đại số sử dụng toán tử sinh hủy đều có thể đưa ra lời giải chính xác. Trong luận văn này,
phương pháp giải tích được chọn để đưa ra nghiệm giải tích cụ thể. Trong miền ξ có giá trị
lớn, phương trình (3.4) có thể được viết lại như sau
(3.5)
∂2ψ ∂ξ2 ≈ ξ2ψ Phương trình vi phân này có nghiệm tiệm cận, thỏa tính chất hữu hạn của hàm sóng như
sau (cid:19) (cid:18) ψ(ξ) = f (ξ) exp − ξ2 (3.6) 1 2
với f (ξ) cũng thỏa điều kiện hữu hạn của hàm sóng. Hàm sóng này lại được thế trở lại vào
phương trình (3.4) để xác định công thức của hàm f (ξ)
+ (2K − 1)f (ξ) = 0. (3.7) ∂2f (ξ) ∂ξ2 − 2ξ ∂f (ξ) ∂x
Khi giải phương trình này, nghiệm của nó được biểu diễn dưới dạng chuỗi lũy thừa, đó cũng
chính là đa thức Hermite Hn(ξ). Sau khi chuẩn hóa, hàm sóng của dao động tử điều hòa một
chiều thu được có dạng
(cid:18) (cid:19) (cid:17)1/4 √ ψ(ξ) = − . (3.8) Hn(ξ) exp (cid:16) mω π(cid:126) ξ2 2 1 2nn!
Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa thu được là phổ gián đoạn, được cho bởi
(cid:18) (cid:19) n + (cid:126)ω (3.9) En = 1 2
3.1.2 Tính chính xác của chương trình
Trong phần này, chúng tôi khảo sát tính chính xác của chương trình thông qua việc so
sánh với nghiệm giải tích chính xác của dao động tử điều hòa. Do những so sánh dưới đây
25
được trình bày với mục đích kiểm chứng độ tin cậy của chương trình mà không quan tâm
đến ý nghĩa vật lí, các hằng số được đặt sao cho (cid:126) = 1, m = và ω = 2 để thuận tiện trong 1 2 việc biểu diễn các đồ thị. Hamiltonian được viết lại dưới dạng thu gọn như sau
ˆH = − (3.10) ∂2 ∂x2 + x2.
Tương ứng với Hamiltonian thu gọn trên, phổ năng lượng của hệ được viết lại
E = 2n + 1, (3.11)
Đầu tiên, khả năng áp dụng của chương trình được đánh giá thông qua kết quả của phổ năng
lượng khi so sánh với kết quả giải tích trong hình 3.1.
Hình 3.1: Sự sai khác của đường biểu diễn mức năng lượng của dao động tử điều hòa theo
số lượng tử chính khi so sánh với kết quả giải tích chính xác.
Đường liền nét, màu đỏ thể hiện phổ năng lượng E = 2n + 1 và đường ô vuông màu đen
là kết quả giải số của TISE với cùng Hamiltonian (3.10). Qua đồ thị trên, chương trình giải
số cho kết quả phù hợp trong trường hợp mức năng lượng của hệ ứng với số lượng tử chính
n ≤ 1000. Đối với những trạng thái có số lượng tử n > 1000, đường biểu diễn kết quả giải
số phân kì so với đường giải tích chính xác. Như vậy, có thể kết luận rằng, chương trình chỉ
phù hợp để tính toán mức năng lượng của 1000 trạng thái đầu tiên.
26
Bên cạnh đó, mật độ xác suất của các trạng thái ứng với các số lượng tử n = 0; 1; 2 và
3 cũng được so sánh với kết quả giải tích chính xác để chứng tỏ tính thích hợp của chương
trình giải số. Hàm sóng của dao động tử điều hòa cho bốn trạng thái đầu tiên được cho bởi
(cid:19) (cid:19) (cid:18) (cid:18) = (3.12) − − ψ0(x) =
(cid:19) (cid:19) (cid:18) x2 2 (cid:18) = (3.13) − exp − ψ1(x) = H1(x) exp 1 π1/4 H0(x) exp 1 √ 2 (cid:18) (cid:19) (cid:19) x2 2 (cid:18) √ = − (3.14) exp − ψ2(x) = H2(x) exp
(cid:19) (cid:18) (cid:18) √ = (3.15) exp − − ψ3(x) = H3(x) exp 1 π1/4 1 π1/4 x2 2 x2 2 x2 2 (cid:19) x2 2 x2 2 x2 2 1 π1/4 exp 2x 1 √ π1/4 2 4x2 − 2 1 √ π1/4 8 8x3 − 12x 1 √ π1/4 48 1 π1/4 1 22.2! 1 23.3!
Trong hình (3.2), các giá trị thu được từ chương trình giải số (dấu thập đỏ) trùng khớp với
đường giải tích (đường liền nét màu xanh).
Tuy nhiên, để khẳng định chắc chắn hơn về tính tin cậy và độ chính xác của chương trình
giải số, trạng thái kích thích ứng với n = 100 được chọn để thể hiện hàm mật độ xác suất;
từ đó, đưa ra sai số giữa hai phương pháp tính. Trạng thái n = 100 được chọn để so sánh vì
trạng thái này có số lượng tử chính rất lớn, mang tính tổng quát cao. Chúng tôi định nghĩa
giá trị sai số tương đối giữa phép tính giải số và kết quả giải tích chính xác như sau
σ = (3.16) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) |ψgt|2 − |ψgs|2 |ψgt|2
trong đó |ψgt| và |ψgs| lần lượt là giá trị của hàm mật độ xác suất xác định bởi phương pháp
giải tích và giải số của trạng thái n = 100. Sai số tương đối với hệ số thu phóng 10−9 thu
được từ việc so sánh kết quả trên được biểu thị qua đồ thị (3.3) theo thang logarith. Có thể
nhận thấy được, các giá trị sai số này rất nhỏ, gần như bằng không. Qua đó, tính chính xác
và độ tin cậy của chương trình tính số này một lần nữa được khẳng định.
Bài toán dao động tử điều hòa là một vấn đề giải phương trình dừng, hàm mật độ xác
suất của hệ không đổi theo thời gian. Bằng việc sử dụng giải thuật TDSE, hàm sóng của
trạng thái cơ bản thu được từ việc giải TISE sẽ được lan truyền trong một khoảng thời gian (cid:126) để thu được hàm mật độ xác suất tại những thời điểm khác nhau. Khả 10tR với tR = ER
27
Hình 3.2: Hàm mật độ xác suất của dao động tử điều hòa ứng với bốn trạng thái đầu tiên.
năng áp dụng của chương trình giải số TDSE được đánh giá thông qua khảo sát độ sai khác
(n = 1, 2, 3..., 100) ∆ để so sánh hàm mật độ xác suất của hệ tại những thời điểm t = n
N (cid:88)
10tR 100 so với thời điểm ban đầu t = 0. Độ sai khác ∆ được định nghĩa như sau
i
(3.17) ∆t = |ψ0|2 − |ψt|2 N (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
với N là số điểm chia của giải thuật Fourier; |ψ0|2, |ψt|2 lần lượt là hàm mật độ xác suất tại
thời điểm ban đầu t = 0 và tại các thời điểm t = n . 10tR 100 Qua đồ thị (3.4), sự sai khác giữa hàm mật độ xác suất tại các thời điểm t (cid:54)= 0 so với
t = 0 tăng nhanh từ 0 đến 4tR và dần trở nên ổn định. Tuy vậy, giá trị sai khác này vẫn rất
28
Hình 3.3: Hàm mật độ xác suất cho trạng thái kích thích cao n = 100 (hình bên trái) và sai
số tương đối giữa phương pháp giải số và giải tích (hình bên phải).
Hình 3.4: Sự sai khác của hàm mật độ xác suất tại các thời điểm từ 0 − 10tR so với thời điểm
ban đầu được vẽ theo thang logarith với hệ số thu phóng 10−12.
nhỏ và có thể bỏ qua. Điều đó một lần nữa được thể hiện thông qua sự truyền thẳng của bó
sóng theo thời gian trong không gian tọa độ trong đồ thị (3.5).
29
Hình 3.5: Biểu hiện của bó sóng dao động tử điều hòa trong khoảng thời gian 10tR.
3.2 Quá trình động học của nguyên tử siêu lạnh
3.2.1 Biểu hiện của bó sóng
Trong phần này, chúng tôi trình bày kết quả khảo sát sự phụ thuộc vào cường độ trường
ngoài và độ cao rào thế của dao động Bloch theo mô hình gần đúng đơn mạng, trong đó quá
trình xuyên hầm Landau - Zener được bỏ qua. Như vậy, chỉ có dao động Bloch của các phần
tử ở trạng thái cơ bản được khảo sát, các ảnh hưởng của những trạng thái kích thích cao
hơn có thể bỏ qua. Như đã trình bày trong chương trước, biểu hiện của dao động, về mặt
lý thuyết, phụ thuộc vào cường độ của trường tuyến tính và chu kì dao động theo các công
thức (1.44).
Các kết quả dưới đây được đưa ra với việc sử dụng bố trí thí nghiệm [8] như sau: Ban
đầu, hệ chỉ chịu tác dụng của mạng quang học. Tuy nhiên, vào đầu quá trình, để có thể
giam hãm hệ nguyên tử một cách ổn định, thế điều hòa đã được sử dụng đồng thời với mạng
quang học [14]. Như vậy, tại thời điểm t = 0, Hamiltonian thu gọn của hệ như sau
(3.18) ˆH0 = − ∂2 ∂χ2 + νχ2 + ξ sin2(χ),
. Và sau đó, trường ngoài tuyến tính được bật lên đột ngột để bắt đầu quan với ν = 1 2 mω2 ERk2 R
30
sát dao động Bloch. Hamiltonian khi này cho bởi
ˆH = − (3.19) ∂2 ∂χ2 + ξ sin2(χ) + αχ.
Ngoài ra, các thông số liên quan để thực hiện mô phỏng này cũng được giới thiệu:
• Bước sóng xung laser dùng để tạo bẫy quang học: λ = 852nm [8].
• Tần số của bẫy điều hòa f = 100Hz.
• Đối tượng nguyên tử khảo sát: 87Rb
3.2.1.1 Sự phụ thuộc của dao động Bloch vào cường độ của trường ngoài
Để khảo sát sự phụ thuộc vào hệ số α, các thông số khác được giữ nguyên không đổi và
chiều cao rào thế ξ = 2.
Khi tiến hành tăng dần cường độ của trường ngoài, biên độ dao động Bloch sẽ giảm dần
và đồng thời chu kì Bloch sẽ tăng lên, được biểu diễn cụ thể qua hình vẽ (3.6) với cột màu
biểu thị xác suất tồn tại của hạt. Trong biểu diễn Bloch, động lượng tinh thể được gia tốc
tuyến tính đúng theo lý thuyết cổ điển. Tuy nhiên, tại biên của vùng Brillouin thứ nhất,
hiện tượng phản xạ Bragg xảy ra, tạo nên sự tuần hoàn của bó sóng trong không gian động
lượng theo từng chu kì Bloch. Cụ thể, trong các trường hợp α = 0.005; 0.01 và 0.05, dao
động Bloch xảy ra rất rõ ràng với các chu kì Bloch tương ứng. Tuy nhiên, khi tăng giá trị
của trường ngoài lên đến α = 0.1, ngoài phần dao động rõ nét của các hạt ở trạng thái cơ
bản như ba trường hợp kể trên, trong không gian tọa độ, còn có sự tách bó sóng và dao
động với biên độ lớn hơn. Điều này có thể được giải thích bởi hiệu ứng xuyên ngầm Landau
- Zener, khi tăng cường độ của trường ngoài lên đến một giá trị đủ lớn, các hạt bị giam hãm
trong bẫy quang học sẽ có đủ năng lượng để vượt qua vùng cấm giữa các mức năng lượng
và chuyển từ mức năng lượng thấp lên mức những mức năng lượng cao hơn [16], [26]. Ở đây,
chúng tôi cũng trình bày cụ thể xác suất xuyên ngầm Landau - Zener từ trạng thái cơ bản
lên bốn trạng thái kích thích đầu tiên được tính toán bằng chương trình giải số cho trạng
thái của hệ ứng với giá trị trường ngoài α = 0.1 qua hình (3.7). Với hai sự chuyển mức năng
31
Hình 3.6: Biểu hiện của bó sóng trong năm chu kì Bloch khi lần lượt thay đổi cường độ của
trường tuyến tính bằng các giá trị α là 0.005; 0.01; 0.05 và 0.1 trong biểu diễn Wannier (hình
bên trái) và biểu diễn Bloch (hình bên phải)
.
32
lượng đầu tiên, từ trạng thái cơ bản lên trạng thái kích thức thứ nhất (đường liền nét màu
đỏ) và thứ hai (đường đứt nét màu lam), xác suất xuyên ngầm Landau - Zener cùng đạt cực
đại vào chu kì cuối cùng của quá trình lan truyền bó sóng với giá trị xấp xỉ 0.07. Xác suất
này tương đối lớn đối với thế giới vi mô. Đối với sự chuyển mức năng lượng từ trạng thái cơ
bản lên trạng thái kích thích thứ ba (đường chấm gạch màu đen), xác suất có các cực trị tại
cuối mỗi chu kì Bloch, tuy nhiên xác suất này khá nhỏ, chỉ xấp xỉ 0.01 ở chu kì cuối. Đối với
các trạng thái kích thích cao hơn nữa, xác suất này giảm dần về giá trị 0. Như vậy, thành
phần dao động với xác suất nhỏ hơn xác suất của thành phần ở trạng thái cơ bản xảy ra
trong trường hợp α = 0.1 chủ yếu đóng góp từ các hạt ở trạng thái kích thích thứ nhất và
trạng thái kích thích thứ hai.
Hình 3.7: Xác suất xuyên ngầm Landau - Zener của hệ từ trạng thái cơ bản lên bốn mức
kích thích đầu tiên khi cường độ của trường ngoài α = 0.1.
Để kết lại phần trình bày về sự phụ thuộc của dao động Bloch vào cường độ của trường
ngoài tuyến tính, đồ thị sự phụ thuộc của biên độ dao động vào Bloch vào cường độ điện
trường được thể hiện qua đồ thị (3.8). Trong miền cường độ của trường ngoài thỏa phạm vi
áp dụng của mô hình gần đúng đơn mạng, biên độ của dao động giảm nhanh khi tăng cường
độ trường ngoài.
33
Hình 3.8: Sự phụ thuộc của biên độ dao động Bloch vào cường độ trường ngoài
3.2.1.2 Sự phụ thuộc của dao động Bloch vào độ cao rào thế quang học
Sự phụ thuộc vào chiều cao rào thế của bó sóng trong biểu diễn Bloch và Wannier sẽ được
khảo sát bằng việc giữ cố định giá trị của cường độ trường ngoài α = 0.01 trong hình (3.11).
Như đã trình bày, hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener xảy ra khi các hạt ở trạng thái có
mức năng lượng thấp hơn được trường ngoài cung cấp thêm năng lượng để vượt qua vùng
cấm và đạt được những trạng thái kích thích cao hơn. Như vậy, ngoài việc tăng cường độ
trường ngoài tuyến tính, vùng cấm năng lượng cũng được nới rộng để loại bỏ hoàn toàn hiệu
ứng xuyên ngầm này. Để thực hiện được điều này, chiều cao rào thế được nâng lên, làm cho
vùng cấm năng lượng trở nên rộng hơn, biểu thị thông qua hình (3.10). Từ trái sang phải,
chiều cao rào thế được nâng lên qua các giá trị ξ = 1.0, ξ = 2.0 và ξ = 4.0. Ứng với rào thế
có chiều cao càng lớn, dấu hiệu của các phần tử ở trạng thái kích thích sẽ không còn. Lúc
này, mô hình gần đúng đơn mạng mới có thể áp dụng được.
Có thể thấy, khi tăng dần độ cao của rào thế, biên độ của dao động giảm dần và chu
kì dao động được giữ nguyên; điều này phù hợp với các tính toán lí thuyết trình bày trong
chương hai. Cũng cần lưu ý, ở trường hợp ξ = 0.5, dao động Bloch trong không gian động
lượng và tọa độ đều xuất hiện dấu hiệu của các hạt ở các mức năng lượng cao hơn. Trong
34
Hình 3.9: Biểu hiện của bó sóng khi lần lượt thay đổi chiều cao rào thế với các giá trị ξ là
0.5; 2.0; 4.0 và 8.0 được thể hiện trong không gian tọa độ (hình bên trái) và không gian động
lượng (hình bên phải).
không gian động lượng, tại vị trí biên của vùng Brillouin thứ nhất, dấu hiệu của các trạng
thái kích thích liền kề rõ nét nhất. Điều này có thể lí giải thông qua hình (3.10), tại vị trí
biên, vùng cấm năng lượng có bề rộng hẹp, vào khoảng xấp xỉ 0.2ER, các hạt có xác suất
xuyên ngầm từ trạng thái cơ bản lên trạng thái kích thích cao hơn ở những trị trí này. Khi
rào thế được nâng lên giá trị ξ = 1.0, hiệu ứng xuyên ngầm được loại bỏ, dao động Bloch
35
Hình 3.10: Cấu trúc mạng năng lượng của hệ trong bẫy quang học khi tiến hành thay đổi
chiều cao rào thế. Hình (a): ξ = 1.0; hình (b): ξ = 2.0; hình (c): ξ = 4.0.
được quan sát rõ rệt trong cả hai cách biểu diễn. Như vậy, mô hình gần đúng đơn mạng và
mô hình TBA chỉ có thể áp dụng khi chiều cao của rào thế có giá trị ξ ≥ 1.0, nghiệm đúng
với kết quả đã được công bố [27]. Từ đó, sự phụ thuộc của biên độ dao động vào chiều cao
của rào thế được thể hiện qua hình (3.11). Trục hoành của đồ thị này được giới hạn trong
miền ξ ≥ 1.0 để phù hợp với phép gần đúng đơn mạng và mô hình TBA được sử dụng xuyên
suốt chương ba này. Bên cạnh đó, dao động Bloch lượng tử còn được so sánh với dao động
Bloch cổ điển để đưa ra kết luận về biên độ và chu kì của dao động. Ở đây, dao động Bloch
cổ điển được thể hiện trong trường hợp cường độ trường ngoài α = 0.01 và chiều cao rào thế
ξ = 2.0. Biên độ giữa dao động Bloch lượng tử và dao động Bloch cổ điển có giá trị tương
ứng A = . Tuy nhiên, dựa theo hình (3.12) và (3.9), biên độ của dao động Bloch lượng tử 2J α và biểu hiện cổ điển không trùng khớp với những dự đoán lý thuyết. Nguyên nhân của sự sai
khác này là do phép gần đúng TBA chỉ xem xét hai vector tịnh tiến (translational vector)
liền kế với gốc tọa độ, mà không quan tâm đến các vector tịnh tiến ở xa hơn [23]. Cũng cần
nói thêm, biểu hiện của bó sóng trong biểu diễn Bloch được gia tốc tuyến tính đến vô cực
36
Hình 3.11: Sự phụ thuộc của biên độ dao động Bloch vào chiều cao của rào thế quang học
mà không có sự phản xạ Bragg tại vùng Brillouin thứ nhất. Về mặt chu kì dao động, quan
điểm lượng tử và quan điểm cổ điển đều cho kết quả trùng khớp nhau.
Hình 3.12: Dao động Bloch cổ điển trong không gian tọa độ (hình bên trái) và không gian
động lượng (hình bên phải).
3.2.2 Vận tốc nhóm và vận tốc trung bình của nguyên tử
Khi tiến hành khảo sát biểu hiện của bó sóng, vận tốc lan truyền của bó sóng là một đại
lượng cần được quan tâm. Vận tốc này được định nghĩa thông qua vận tốc nhóm vg của các
37
phần tử ở mức năng lượng cơ bản, được xác định bằng đạo hàm của mức năng lượng cơ bản
theo động lượng tinh thể [28]
(3.20) . vg = ∂E0 ∂q
Sử dụng kết quả thu được từ mô hình TBA
(3.21) Eq,n = (cid:112)ξ − 2J cos(πq) + αχ,
vận tốc nhóm được xác định bởi công thức
(3.22) vg = 2Jπ sin(πq).
Từ kết quả của biểu thức trên, trường ngoài tuyến tính hoàn toàn không đóng góp vào vận
tốc nhóm của hệ, chỉ có cấu trúc vùng năng lượng tạo bởi thế quang học tạo nên vận tốc
nhóm. Trong khi vận tốc nhóm thể hiện tốc độ lan truyền của bó sóng, vận tốc trung bình
của nguyên tử bị giam hãm được xác định bằng
(cid:29) (3.23) , (cid:104)v(cid:105) = (cid:28) ∂E ∂q
trong đó các giá trị trung bình của đạo hàm năng lượng theo động lượng tinh thể được tính
toán dựa trên kết quả cấu trúc vùng năng lượng từ chương trình giải số.
Đồ thị (3.13) thể hiện vận tốc nhóm và vận tốc trung bình của hệ thông qua chương
trình giải số với các trường hợp giá trị ξ lần lượt là 1.4 (các đường màu đen), 2.3 (các đường
màu lam) và 4.4 (các đường màu đỏ). Đây là các trường hợp đã được nhóm nghiên cứu của
Dahan đo đạc vào năm 1996 trên đối tượng là nguyên tử 132Cs. Kết quả trên cho thấy vận
tốc nhóm và vận tốc trung bình của các hạt ở trạng thái cơ bản hoàn toàn khác nhau. Đây
là hai khái niệm khác nhau, tuy nhiên, công thức xác định lại gần giống nhau, dễ gây nên
hiểu lầm cho người đọc. Trong khi vận tốc nhóm biểu thị tốc độ lan truyền của bó sóng thì
vận tốc trung bình cung cấp thông tin về dao động của các hạt. Từ đồ thị, tại vị trí biên
của vùng Brillouin thứ nhất và tại gốc tọa độ, bó sóng đứng yên, không chuyển động. Đối
với vận tốc trung bình của nguyên tử, vận tốc trung bình của các hạt cũng bằng 0 tại q = 0
và q = ±1. Quá trình động học của nguyên tử tại ba vị trí này sẽ được giải thích thông qua
38
phương trình động học của hệ với khối lượng hiệu dụng m∗ (effective mass)
= F. (3.24) m∗ ∂ (cid:104)v(cid:105) ∂t
Khối lượng hiệu dụng là một khái niệm được đưa ra để chuyển bài toán từ hệ với khối lượng
thật m thành bài toán của hệ tự do với khối lượng m∗, có giá trị đại số [29]
(cid:19)−1 m∗ = (cid:126)2 (3.25) (cid:18) ∂2 ∂q2 E0(q)
Theo cấu trúc vùng năng lượng của hệ trong hình (3.10), đường độ thị biểu diễn năng lượng
Hình 3.13: Đồ thị biểu thị vận tốc trung bình nguyên tử Cesium (đường liền nét) và vận tốc
trung bình của nguyên tử Rubidium (đường ô vuông) và vận tốc nhóm của hệ (đường đứt
nét). Màu đen, màu lam và màu đỏ lần lượt thể hiện cho các trường hợp ứng với chiều cao
rào thế là 1.4ER, 2.3ER và 4.4ER.
mức cơ bản, nếu xét gần đúng, có dạng parabol y = ax2 + bx + c với hệ số a < 0 tại q = ±1
và a > 0 tại q = 0 [16]. Như vậy, tại vị trí biên của vùng Brillouin thứ nhất, khối lượng
hiệu dụng là một hằng số âm; trong khi tại gốc tọa độ khối lượng hiệu dụng là một hằng số
dương. Từ biểu thức (3.24), có thế kết luận vận tốc tại các vị trí này biến đổi tuyến tính với
gia tốc = ∂(cid:104)v(cid:105) ∂t F m∗ [8].
39
Đồng thời, kết quả giải số cho vận tốc trung bình của nguyên tử Rb trong luận văn này
phù hợp với kết quả đã công bố cho nguyên tử Cs của Dahan và cộng sự trong tọa độ không
thứ nguyên, không phụ thuộc vào đặc tính của nguyên tử khảo sát [8].
40
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
Trong đề tài khóa luận tốt nghiệp này, chúng tôi đã kiểm chứng tính chính xác của chương
trình giải số thông qua bài toán dao động tử điều hòa một chiều. Kết quả cho thấy chương
trình giải số cho kết quả phù hợp kết quả giải tích, với sai số rất nhỏ, có thể bỏ qua. Qua đó,
độ tin cậy và khả năng áp dụng của chương trình giải số được khẳng định, làm cơ sở để tiến
hành mô phỏng. Tiếp theo, biểu hiện của dao động Bloch trong không gian tọa độ và không
gian động lượng cũng được mô phỏng bằng chương trình giải số dưới giới hạn áp dụng của
mô hình gần đúng đơn mạng, khi bỏ qua sự quá trình động học của các mức năng lượng. Sự
phụ thuộc của dao động Bloch vào cường độ của trường ngoài và chiều cao của rào thế cũng
được biểu thị qua đồ thị (3.8) và (3.11). Từ đó, chúng tôi đưa ra kết luận như sau: phép gần
đúng đơn mạng có khả năng áp dụng cho hệ bị giam trong bẫy quang học với chiều cao rào
thế ξ ≥ 1.0 và cường độ trường ngoài α < 0.1. Điều này hoàn toàn phù hợp với các nghiên
cứu về hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener, khi cường độ trường ngoài không quá lớn và
chiều cao rào thế không quá thấp, xác suất xuyên ngầm từ trạng thái thấp lên các trạng
thái kích thích cao hơn là rất nhỏ [26]. Cuối cùng, vận tốc nhóm và vận tốc trung bình của
nguyên tử được trình bày để thấy sự khác biệt giữa hai khái niệm này. Biểu hiện của vận
tốc trung bình nguyên tử tại ba vị trí đặc biệt là hai biên của vùng Brillouin thứ nhất và
gốc tọa độ được khảo sát và đưa ra kết quả rằng vận tốc này biến đổi tuyến tính theo thời
gian. Ngoài ra, vận tốc trung bình của nguyên tử còn được so sánh với kết quả thực nghiệm
đã được công bố để chứng minh sự phù hợp của chương trình giải số [8].
Trong khuôn khổ của khóa luận này, chúng tôi đã tiến hành kiểm chứng khả năng áp
dụng và độ chính xác của chương trình giải số cũng như tìm hiểu về dao động Bloch của
nguyên tử siêu lạnh trong bẫy quang học. Đó cũng chính là nghiên cứu nền tảng để thực hiện
41
các đề tài tiếp theo trong lĩnh vực BEC như khảo sát dao động Bloch cho trường hợp trường
ngoài mạnh, hiện tượng xuyên ngầm Landau - Zener xảy ra mạnh; khảo sát dao động Bloch
của nguyên tử ở trạng thái BEC trong mạng quang học và đưa ra các nghiên cứu lí thuyết
để kiểm chứng kết quả thực nghiệm đã được công bố về phương pháp đưa các nguyên tử ở
trạng thái BEC lên các trạng thái kích thích cao hơn trong khoảng thời gian rất ngắn [10].
42
Tài liệu tham khảo
[1] M. Gl¨uck, A. R. Kolovsky, and H. J. Korsch, “Wannier–stark resonances in optical and
semiconductor superlattices,” Phys. Rep., vol. 366, no. 3, pp. 103–182, 2002.
[2] C. F. Bharucha, K. W. Madison, P. R. Morrow, S. R. Wilkinson, B. Sundaram, and
M. G. Raizen, “Observation of atomic tunneling from an accelerating optical potential,”
Phys. Rev. A, vol. 55, pp. R857–R860, 1997.
[3] C. Zener, “A theory of the electrical breakdown of solid dielectrics,” Proc. R. Soc. Lon-
don, Ser A, vol. 145, no. 855, pp. 523–529, 1934.
[4] D. Emin and C. F. Hart, “Existence of wannier-stark localization,” Phys. Rev. B, vol. 36,
pp. 7353–7359, Nov 1987.
[5] A. Rabinovitch and J. Zak, “Does a bloch electron in a constant electric field oscillate?”
Physics Letters A, vol. 40, no. 3, pp. 189 – 190, 1972.
[6] J. Zak, “Stark ladder in solids? a reply to a reply,” Phys. Rev., vol. 181, pp. 1366–1367,
May 1969.
[7] K. Leo, P. H. Bolivar, F. Br¨uggemann, R. Schwedler, and K. K¨ohler, “Observation of
Bloch oscillations in a semiconductor superlattice,” Solid State Commun., vol. 84, no. 10,
pp. 943–946, 1992.
[8] M. B. Dahan, E. Peik, J. Reichel, Y. Castin, and C. Salomon, “Bloch oscillations of
atoms in an optical potential,” Phys. Rev. Lett., vol. 76, no. 24, p. 4508, 1996.
43
[9] O. Morsch, J. M¨uller, M. Cristiani, D. Ciampini, and E. Arimondo, “Bloch oscillations
and mean-field effects of Bose-Einstein condensates in 1D optical lattices,” Phys. Rev.
Lett., vol. 87, no. 14, p. 140402, 2001.
[10] Y. Zhai, X. Yue, Y. Wu, X. Chen, P. Zhang, X. Zhou et al., “Effective preparation and
collisional decay of atomic condensates in excited bands of an optical lattice,” Phys. Rev.
A, vol. 87, no. 6, p. 063638, 2013.
[11] F. Meinert, M. Knap, E. Kirilov, K. Jag-Lauber, M. B. Zvonarev, E. Demler, and H.-C.
N¨agerl, “Bloch oscillations in the absence of a lattice,” Science, vol. 356, no. 6341, pp.
945–948, 2017.
[12] P. Cladé, M. Andia, and S. Guellati-Khélifa, “Improving efficiency of Bloch oscillations
in the tight-binding limit,” Phys. Rev. A, vol. 95, p. 063604, 2017.
[13] C. Georges, J. Vargas, H. Keßler, J. Klinder, and A. Hemmerich, “Bloch oscillations of
a Bose-Einstein condensate in a cavity-induced optical lattice,” Phys. Rev. A, vol. 96,
p. 063615, 2017.
[14] A. R. Kolovsky and H. J. Korsch, “Bloch oscillations of cold atoms in optical lattices,”
Int. J. Mod. Phys. B, vol. 18, no. 09, pp. 1235–1260, 2004.
[15] T. Hartmann, F. Keck, H. Korsch, and S. Mossmann, “Dynamics of Bloch oscillations,”
New J. Phys., vol. 6, no. 1, p. 2, 2004.
[16] O. Morsch and M. Oberthaler, “Dynamics of Bose-Einstein condensates in optical lat-
tices,” Rev. Mod. Phys., vol. 78, no. 1, p. 179, 2006.
[17] B. Wu and Q. Niu, “Landau and dynamical instabilities of the superflow of Bose-Einstein
condensates in optical lattices,” Phys. Rev. A, vol. 64, p. 061603, 2001.
[18] J. Liu, L. Fu, B.-Y. Ou, S.-G. Chen, D.-I. Choi, B. Wu, and Q. Niu, “Theory of nonlinear
Landau-Zener tunneling,” Phys. Rev. A, vol. 66, p. 023404, 2002.
44
[19] I. Bloch, “Ultracold quantum gases in optical lattices,” Nat. Phys., vol. 1, no. 1, p. 23,
2005.
[20] A. J. Fox, “Acousto-optic modulator,” 1988, US Patent 4,759,613.
[21] T. Yamakoshi and S. Watanabe, “Wave-packet dynamics of noninteracting ultracold
bosons in an amplitude-modulated parabolic optical lattice,” Phys. Rev. A, vol. 91, p.
063614, 2015.
[22] T. Yamakoshi, S. Watanabe, S. Ohgoda, and A. P. Itin, “Dynamics of fermions in an
amplitude-modulated lattice,” Phys. Rev. A, vol. 93, p. 063637, 2016.
[23] M. Roy, “The tight - binding method,” 2015. [Online]. Available: http://www.physics.
rutgers.edu/~eandrei/chengdu/reading/tight-binding.pdf
[24] K. T. A. Bande, J. C. Tremblay, “Exercise 1: Fourier Grid Hamiltonian
method.” [Online]. Available: http://userpage.fu-berlin.de/jctremblay/webpage/course/
QRD1617_e1.pdf
[25] D. Kosloff and R. Kosloff, “A Fourier method solution for the time dependent
Schr¨odinger equation as a tool in molecular dynamics,” J. Comput. Phys., vol. 52, no. 1,
pp. 35–53, 1983.
[26] M. Holthaus, “Bloch oscillations and Zener breakdown in an optical lattice,” J. Opt. B:
Quantum and Semiclassical Opt., vol. 2, no. 5, p. 589, 2000.
[27] W. Zwerger, “Mott–hubbard transition of cold atoms in optical lattices,” J. Opt. B:
Quantum and Semiclassical Opt., vol. 5, no. 2, p. S9, 2003.
[28] D. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, ser. Pearson international edition.
Pearson Prentice Hall, 2005.
[29] N. Ashcroft and N. Mermin, Solid State Physics, ser. HRW international editions. Holt,
Rinehart and Winston, 1976.
45
