Luận văn: Dưới vi phân của hàm lồi và một số ứng dụng trong tối ưu

§„i h(cid:228)c th‚i nguy“n Tr›Œng ﬁ„i h(cid:228)c s› ph„m - - - - - - - - - - - - - - - - -

N«ng Th(cid:222) Mai

D›(cid:237)i vi ph'n cæa h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) mØt sŁ łng d(cid:244)ng trong tŁi ›u

Chuy“n ng(cid:181)nh: Gi¶i t(cid:221)ch M• sŁ:60.46.01

Lu¸n v¤n th„c s(cid:220) to‚n h(cid:228)c

Ng›Œi h›(cid:237)ng d(cid:201)n khoa h(cid:228)c: GS -TSKH L“ D(cid:242)ng M›u

Th‚i nguy“n - N¤m 2008

M(cid:244)c l(cid:244)c

Trang

Trang ph(cid:244) b(cid:215)a 1

M(cid:244)c l(cid:244)c 2

Danh m(cid:244)c c‚c k(cid:253) hi(cid:214)u, c‚c ch(cid:247) vi(cid:213)t t(cid:190)t 3

LŒi nªi ﬁ˙u 4

Ch›‹ng1. C‚c ki(cid:213)n thłc c‹ b¶n v(cid:210) t¸p l(cid:229)i v(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 1.1. T¸p l(cid:229)i 5 1.2. H(cid:181)m l(cid:229)i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1. H(cid:181)m l(cid:229)i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2. T(cid:221)nh li“n t(cid:244)c cæa h(cid:181)m l(cid:229)i . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.3. C‚c ph—p to‚n b¶o to(cid:181)n t(cid:221)nh l(cid:229)i 1.2.4. B˚t ﬁ…ng thłc l(cid:229)i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.5. H(cid:181)m li“n h(cid:238)p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Ch›‹ng2. D›(cid:237)i vi ph'n cæa h(cid:181)m l(cid:229)i

18 2.1. §„o h(cid:181)m theo ph›‹ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. D›(cid:237)i vi ph'n v(cid:181) c‚c t(cid:221)nh ch˚t . . . . . . . . . . . 22 2.2.1. D›(cid:237)i vi ph'n . . . . . . . . . . . . 2.2.2. T(cid:221)nh kh¶ vi cæa h(cid:181)m l(cid:229)i . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3. T(cid:221)nh ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u cæa d›(cid:237)i vi ph'n . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.4. T(cid:221)nh li“n t(cid:244)c cæa d›(cid:237)i vi ph'n . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.5. Ph—p t(cid:221)nh v(cid:237)i d›(cid:237)i ﬁ„o h(cid:181)m . . . . . . . . . . . . . . . 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3. D›(cid:237)i vi ph'n x˚p x(cid:216)

Ch›‹ng3. MØt sŁ łng d(cid:244)ng cæa d›(cid:237)i vi ph'n trong tŁi ›u ho‚

52 3.1. C‚c kh‚i ni(cid:214)m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2. B(cid:181)i to‚n l(cid:229)i kh«ng cª r»ng buØc . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 . . . . . . . . . . . . . 53 3.3. B(cid:181)i to‚n l(cid:229)i v(cid:237)i r»ng buØc ﬁ…ng thłc . . . . . . . . . . . . . 54 3.4. B(cid:181)i to‚n l(cid:229)i v(cid:237)i r»ng buØc b˚t ﬁ…ng thłc

K(cid:213)t lu¸n 63

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o 64

Danh m(cid:244)c c‚c k(cid:253) hi(cid:214)u, c‚c ch(cid:247) vi(cid:213)t t(cid:190)t

+: gªc kh«ng 'm cæa Rn (t¸p c‚c v—c-t‹ cª m(cid:228)i to„ ﬁØ ﬁ(cid:210)u kh«ng 'm );

j=1 xjyj: t(cid:221)ch v« h›(cid:237)ng cæa hai v—c-t‹ x v(cid:181) y;

j: chu¨n Euclide cæa x;

j=1 x2

(cid:113)(cid:80)n V(cid:237)i n l(cid:181) sŁ nguy“n d›‹ng, k(cid:253) hi(cid:214)u: Rn: kh«ng gian Euclide n-chi(cid:210)u tr“n tr›Œng sŁ thøc; Rn R: tr(cid:244)c sŁ thøc (R = R1); R: tr(cid:244)c sŁ thøc mº rØng (R = R ∪ {−∞, +∞}); N : t¸p h(cid:238)p sŁ nguy“n d›‹ng; 2Rn: t¸p h(cid:238)p t˚t c¶ c‚c t¸p con cæa Rn; V(cid:237)i m(cid:228)i v—c-t‹ x, y ∈ Rn, k(cid:253) hi(cid:214)u: xi: to„ ﬁØ thł i cæa x; xT : v—c-t‹ h(cid:181)ng (chuy(cid:211)n v(cid:222) cæa x); (cid:104)x, y(cid:105) = xT y = xy := (cid:80)n ||x|| =

[x, y]: ﬁo„n th…ng ﬁªng nŁi x v(cid:181) y; (x, y): ﬁo„n th…ng mº nŁi x v(cid:181) y; V(cid:237)i t¸p A, k(cid:253) hi(cid:214)u: A: bao ﬁªng cæa A; coA: bao l(cid:229)i cæa A; aﬀ A: bao a-phin cæa A; intA: t¸p h(cid:238)p c‚c ﬁi(cid:211)m trong cæa A; ri A: t¸p h(cid:238)p c‚c ﬁi(cid:211)m trong t›‹ng ﬁŁi cæa A; V(cid:237)i h(cid:181)m f cæa n bi(cid:213)n, k(cid:253) hi(cid:214)u: f : h(cid:181)m bao ﬁªng cæa f ; dom f : t¸p h(cid:247)u d(cid:244)ng cæa f ; f ∗: h(cid:181)m li“n h(cid:238)p cæa f ; epi f : tr“n ﬁ(cid:229) th(cid:222) cæa f ; ∂f (x): d›(cid:237)i vi ph'n cæa f t„i x; ∂(cid:15)f (x): (cid:15)- d›(cid:237)i vi ph'n cæa f t„i x; (cid:79)f (x) ho˘c f (cid:48)(x): ﬁ„o h(cid:181)m cæa f t„i x; f (cid:48)(x, d): ﬁ„o h(cid:181)m theo ph›‹ng d cæa f t„i x;

LŒi nªi ﬁ˙u

Gi¶i t(cid:221)ch l(cid:229)i l(cid:181) mØt bØ m«n quan tr(cid:228)ng trong gi¶i t(cid:221)ch phi tuy(cid:213)n hi(cid:214)n ﬁ„i.

Gi¶i t(cid:221)ch l(cid:229)i nghi“n cłu nh(cid:247)ng kh(cid:221)a c„nh gi¶i t(cid:221)ch cæa t¸p l(cid:229)i v(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i.

D›(cid:237)i vi ph'n l(cid:181) mØt kh‚i ni(cid:214)m c‹ b¶n cæa gi¶i t(cid:221)ch l(cid:229)i. §'y l(cid:181) mº rØng cho

ﬁ„o h(cid:181)m khi h(cid:181)m kh«ng kh¶ vi. §i(cid:210)u n(cid:181)y cho th˚y vai tr(cid:223) cæa d›(cid:237)i vi ph'n

trong gi¶i t(cid:221)ch hi(cid:214)n ﬁ„i c(cid:242)ng cª t˙m quan tr(cid:228)ng nh› vai tr(cid:223) cæa ﬁ„o h(cid:181)m trong

gi¶i t(cid:221)ch c(cid:230) ﬁi(cid:211)n. D›(cid:237)i vi ph'n cæa h(cid:181)m l(cid:229)i cª r˚t nhi(cid:210)u łng d(cid:244)ng trong gi¶i

t(cid:221)ch phi tuy(cid:213)n v(cid:181) ﬁ˘c bi(cid:214)t trong c‚c bØ m«n to‚n łng d(cid:244)ng, nh› tŁi ›u ho‚,

b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n, c'n b»ng v...v.

M(cid:244)c ﬁ(cid:221)ch cæa lu¸n v¤n l(cid:181) tr(cid:215)nh b(cid:181)y mØt c‚ch cª h(cid:214) thŁng, c‚c ki(cid:213)n thłc

c‹ b¶n v(cid:181) quan tr(cid:228)ng nh˚t v(cid:210) d›(cid:237)i vi ph'n cæa h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) x—t mØt sŁ łng

d(cid:244)ng ﬁi(cid:211)n h(cid:215)nh cæa d›(cid:237)i vi ph'n trong tŁi ›u ho‚.

Lu¸n v¤n g(cid:229)m 3 ch›‹ng. Trong ch›‹ng 1 sˇ tr(cid:215)nh b(cid:181)y nh(cid:247)ng ki(cid:213)n thłc

c‹ b¶n v(cid:210) t¸p l(cid:229)i v(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i. §'y l(cid:181) c‚c ki(cid:213)n thłc b(cid:230) tr(cid:238) cho ch›‹ng 2 v(cid:181) do

ﬁª sˇ kh«ng ﬁ›(cid:238)c chłng minh trong lu¸n v¤n n(cid:181)y. Trong ch›‹ng 2 sˇ ﬁ(cid:210) c¸p

v(cid:210) ﬁ„o h(cid:181)m theo ph›‹ng, d›(cid:237)i vi ph'n, d›(cid:237)i vi ph'n x˚p x(cid:216) v(cid:181) mØt sŁ t(cid:221)nh

ch˚t c‹ b¶n cæa ch(cid:243)ng. Døa tr“n c‚c k(cid:213)t qu¶ ﬁ• nghi“n cłu trong c‚c ch›‹ng

tr›(cid:237)c, trong ch›‹ng 3 sˇ tr(cid:215)nh b(cid:181)y c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n cøc tr(cid:222) cho c‚c b(cid:181)i to‚n quy

ho„ch l(cid:229)i v(cid:237)i c‚c r»ng buØc kh‚c nhau (kh«ng r»ng buØc, r»ng buØc ﬁ…ng

thłc, r»ng buØc b˚t ﬁ…ng thłc).

B¶n lu¸n v¤n n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c ho(cid:181)n th(cid:181)nh d›(cid:237)i sø h›(cid:237)ng d(cid:201)n khoa h(cid:228)c cæa GS

-TSKH L“ D(cid:242)ng M›u. Nh'n ﬁ'y em xin ch'n th(cid:181)nh c¶m ‹n th˙y ﬁ• h›(cid:237)ng

d(cid:201)n, ﬁØng vi“n, khuy(cid:213)n kh(cid:221)ch em h(cid:228)c t¸p, nghi“n cłu ﬁ(cid:211) ho(cid:181)n th(cid:181)nh lu¸n

v¤n n(cid:181)y.

Ch›‹ng 1

C‚c ki(cid:213)n thłc c‹ b¶n v(cid:210) t¸p l(cid:229)i v(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i

Trong lu¸n v¤n n(cid:181)y, ch(cid:243)ng ta sˇ l(cid:181)m vi(cid:214)c v(cid:237)i kh«ng gian euclid-n chi(cid:210)u tr“n tr›Œng sŁ thøc R. Kh«ng gian n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c k(cid:221) hi(cid:214)u l(cid:181) Rn. Ch›‹ng n(cid:181)y nh»m

gi(cid:237)i thi(cid:214)u nh(cid:247)ng kh‚i ni(cid:214)m c‹ b¶n nh˚t cæa t¸p l(cid:229)i v(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i c(cid:239)ng v(cid:237)i nh(cid:247)ng

t(cid:221)nh ch˚t ﬁ˘c tr›ng cæa nª. C‚c ki(cid:213)n thłc º trong ch›‹ng n(cid:181)y ﬁu(cid:238)c l˚y º t(cid:181)i

li(cid:214)u :

+ Gi‚o tr(cid:215)nh "Nh¸p m«n gi¶i t(cid:221)ch l(cid:229)i łng d(cid:244)ng" cæa t‚c gi¶ L“ D(cid:242)ng M›u

v(cid:181) Nguy(cid:212)n V¤n Hi(cid:210)n.

+ CuŁn "Convex Analysis" cæa t‚c gi¶ T.Rockafellar.

Do ch›‹ng n(cid:181)y ch(cid:216) mang t(cid:221)nh ch˚t b(cid:230) tr(cid:238), n“n ta kh«ng chłng minh c‚c

k(cid:213)t qu¶ n“u º ﬁ'y.

1.1 T¸p l(cid:229)i

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.1. §o„n th…ng nŁi hai ﬁi(cid:211)m a v(cid:181) b trong Rn l(cid:181) t¸p h(cid:238)p c‚c

v—c-t‹ x cª d„ng

{x ∈ Rn | x = αa + βb , α (cid:62) 0 , β (cid:62) 0 , α + β = 1}.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2. MØt t¸p C ⊆ Rn ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i n(cid:213)u C chła m(cid:228)i

ﬁo„n th…ng ﬁi qua hai ﬁi(cid:211)m b˚t kœ cæa nª. Tłc l(cid:181)

C l(cid:229)i khi v(cid:181) ch(cid:216) khi ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.

+ l(cid:181) t¸p l(cid:229)i.

V(cid:221) d(cid:244) 1.1. (V(cid:210) t¸p l(cid:229)i). a) T¸p C = R2 b) T¸p C = [−2; 3) l(cid:181) t¸p l(cid:229)i. c) T¸p C ≡ oxy trong R3 l(cid:181) t¸p l(cid:229)i.

d) C‚c tam gi‚c, h(cid:215)nh tr(cid:223)n trong m˘t ph…ng l(cid:181) c‚c t¸p l(cid:229)i.

V(cid:221) d(cid:244) 1.2. (V(cid:210) t¸p kh«ng l(cid:229)i).

a) T¸p C = (−2; 0) ∪ (0; 3) kh«ng l(cid:181) t¸p l(cid:229)i. b) T¸p C = {(x, y) ∈ R2 | xy = 0} kh«ng l(cid:181) t¸p l(cid:229)i.

k (cid:88)

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.3. Ta nªi x l(cid:181) t(cid:230) h(cid:238)p l(cid:229)i cæa c‚c ﬁi(cid:211)m (v—c-t‹) x1, ..., xk n(cid:213)u

j=1

x = λjxj , λj (cid:62) 0 , ∀j = 1, ..., k , λj = 1.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.4. Si“u ph…ng trong kh«ng gian Rn l(cid:181) mØt t¸p h(cid:238)p c‚c ﬁi(cid:211)m

cª d„ng

{x ∈ Rn | aT x = α},

trong ﬁª a ∈ Rn l(cid:181) mØt v—c-t‹ kh‚c 0 v(cid:181) α ∈ R.

V—c-t‹ a th›Œng ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) v—c-t‹ ph‚p tuy(cid:213)n cæa si“u ph…ng. MØt si“u

ph…ng sˇ chia kh«ng gian ra hai n(cid:246)a kh«ng gian. N(cid:246)a kh«ng gian ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh

ngh(cid:220)a nh› sau:

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.5. N(cid:246)a kh«ng gian l(cid:181) mØt t¸p h(cid:238)p cª d„ng

{x | aT x (cid:62) α},

trong ﬁª a (cid:54)= 0 v(cid:181) α ∈ R. §'y l(cid:181) n(cid:246)a kh«ng gian ﬁªng.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.6. Cho C ⊆ Rn l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i v(cid:181) x ∈ C. T¸p

NC(x) := {ω | (cid:104)ω, y − x(cid:105) (cid:54) 0 , ∀y ∈ C},

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) nªn ph‚p tuy(cid:213)n ngo(cid:181)i cæa C t„i x.

Nh¸n x—t. NC(x) l(cid:181) mØt nªn l(cid:229)i ﬁªng.

V(cid:221) d(cid:244) 1.3. Trong R2, x—t t¸p C = R2 +.

2 (cid:88)

NC(0) = {ω | (cid:104)ω, y − 0(cid:105) (cid:54) 0 , ∀y ∈ C}

i=1

= {ω | ωiyi (cid:54) 0}

= {ω | ωi (cid:54) 0}.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.7. MØt ﬁi(cid:211)m a ∈ C ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁi(cid:211)m trong t›‹ng ﬁŁi cæa C

n(cid:213)u nª l(cid:181) ﬁi(cid:211)m trong cæa C theo t«-p« c¶m sinh bºi aﬀ C.

Ta sˇ k(cid:253) hi(cid:214)u t¸p h(cid:238)p c‚c ﬁi(cid:211)m trong t›‹ng ﬁŁi cæa C l(cid:181) ri C. Theo ﬁ(cid:222)nh

ngh(cid:220)a tr“n ta cª:

ri C := {a ∈ C | ∃B : (a + B) ∩ aﬀ C ⊂ C},

trong ﬁª B l(cid:181) mØt l'n c¸n mº cæa gŁc. Hi(cid:211)n nhi“n

ri C := {a ∈ aﬀ C | ∃B : (a + B) ∩ aﬀ C ⊂ C}.

Nh› th›Œng l(cid:214), ta k(cid:253) hi(cid:214)u C, l(cid:181) bao ﬁªng cæa C. T¸p h(cid:238)p C \ ri C ﬁ›(cid:238)c

g(cid:228)i l(cid:181) bi“n t›‹ng ﬁŁi cæa C.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.1. Cho C ⊆ Rn l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i. Gi¶ s(cid:246) x ∈ ri C. Khi ﬁª v(cid:237)i m(cid:228)i y ∈ C t˚t c¶ c‚c ﬁi(cid:211)m tr“n ﬁo„n th…ng nŁi x v(cid:181) y, cª th(cid:211) trı y, ﬁ(cid:210)u thuØc ri C. Nªi c‚ch kh‚c, v(cid:237)i m(cid:228)i 0 (cid:54) λ < 1, th(cid:215) (1 − λ) ri C + λC ⊂ ri C.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.8. MØt ﬁ›Œng th…ng nŁi hai ﬁi(cid:211)m (hai v—c-t‹) a,b trong Rn l(cid:181) t¸p h(cid:238)p t˚t c¶ c‚c v—c-t‹ x ∈ Rn cª d„ng

{x ∈ Rn | x = αa + βb , α , β ∈ R , α + β = 1}.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.9. MØt t¸p C ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) t¸p a-phin n(cid:213)u nª chła m(cid:228)i ﬁ›Œng

th…ng ﬁi qua hai ﬁi(cid:211)m b˚t kœ cæa nª, tłc l(cid:181)

∀x, y ∈ C , ∀λ ∈ R =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.

V(cid:221) d(cid:244) 1.4. (V(cid:210) t¸p a-phin).

T¸p C = R2 l(cid:181) t¸p a-phin, kh«ng gian con l(cid:181) mØt t¸p affine

Nh¸n x—t. T¸p a-phin l(cid:181) mØt tr›Œng h(cid:238)p ri“ng cæa t¸p l(cid:229)i.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.10. Bao l(cid:229)i cæa mØt t¸p E l(cid:181) giao cæa t˚t c¶ c‚c t¸p l(cid:229)i chła

E. Bao l(cid:229)i cæa mØt t¸p E sˇ ﬁ›(cid:238)c k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) coE.

Bao l(cid:229)i ﬁªng cæa mØt t¸p E l(cid:181) t¸p l(cid:229)i ﬁªng nhÆ nh˚t chła E. Ta sˇ k(cid:253)

hi(cid:214)u bao l(cid:229)i ﬁªng cæa mØt t¸p E l(cid:181) coE.

Bao a-phin cæa E l(cid:181) giao cæa t˚t c¶ c‚c t¸p a-phin chła E. Bao a-phin

cæa mØt t¸p E sˇ ﬁ›(cid:238)c k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) aﬀ E.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.11. Cho E ⊆ Rn.

§i(cid:211)m a ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁi(cid:211)m trong cæa E n(cid:213)u t(cid:229)n t„i mØt l'n c¸n mº U (a)

cæa a sao cho U (a) ⊂ E.

K(cid:253) hi(cid:214)u t¸p h(cid:238)p c‚c ﬁi(cid:211)m trong cæa t¸p E l(cid:181) intE v(cid:181) B l(cid:181) qu¶ c˙u ﬁ‹n

v(cid:222) t'm º gŁc. Khi ﬁª theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a ta cª

intE = {x | ∃r > 0 : x + rB ⊂ E}.

§i(cid:211)m a ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁi(cid:211)m bi“n cæa E n(cid:213)u m(cid:228)i l'n c¸n cæa a ﬁ(cid:210)u cª ﬁi(cid:211)m

thuØc E v(cid:181) ﬁi(cid:211)m kh«ng thuØc E.

T¸p E ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) t¸p mº n(cid:213)u m(cid:228)i ﬁi(cid:211)m cæa E ﬁ(cid:210)u l(cid:181) ﬁi(cid:211)m trong cæa E.

T¸p E ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) t¸p ﬁªng n(cid:213)u E chła m(cid:228)i ﬁi(cid:211)m bi“n cæa nª.

T¸p E ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) b(cid:222) ch˘n, n(cid:213)u t(cid:229)n t„i mØt h(cid:215)nh c˙u chła E. Trong Rn t¸p E ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) t¸p comp(cid:190)c n(cid:213)u E l(cid:181) mØt t¸p ﬁªng v(cid:181) b(cid:222) ch˘n.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.12. Cho C l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i.

MØt t¸p F ⊂ C ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt di(cid:214)n cæa mØt t¸p l(cid:229)i C n(cid:213)u

F l(cid:181) t¸p l(cid:229)i v(cid:181) ∀x, y ∈ C , tx + (1 − t)y ∈ F , 0 < t < 1 =⇒ [x, y] ⊂ F.

V(cid:221) d(cid:244) 1.5. Cho C := {(x, y, z) ∈ R3 | x, y, z ∈ [0, 1]}.

T¸p F1 := {(x, y, z) ∈ R3 | x, y ∈ [0, 1], z = 0} l(cid:181) mØt di(cid:214)n cæa t¸p C. T¸p F2 := {(x, y, z) ∈ R3 | y ∈ [0, 1], x = 1, z = 0} l(cid:181) mØt di(cid:214)n cæa t¸p

§i(cid:211)m cøc bi“n l(cid:181) di(cid:214)n cª thł nguy“n (chi(cid:210)u) b»ng 0.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.13. Cho x0 ∈ C. Ta nªi aT x = α l(cid:181) si“u ph…ng tøa cæa C t„i x0, n(cid:213)u

aT x0 = α , aT x (cid:62) α ∀x ∈ C.

Nh› v¸y si“u ph…ng tøa cæa C t„i x0 ∈ C l(cid:181) si“u ph…ng ﬁi qua x0 v(cid:181) ﬁ(cid:211) t¸p C v(cid:210) mØt ph(cid:221)a. N(cid:246)a kh«ng gian aT x (cid:62) α trong ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a tr“n, ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) n(cid:246)a kh«ng gian tøa cæa C t„i x0.

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.1. (Krein-Milman).

M(cid:228)i t¸p l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng, kh«ng chła ﬁ›Œng th…ng ﬁ(cid:210)u cª ﬁi(cid:211)m cøc

bi“n.

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.2. (X˚p x(cid:216) tuy(cid:213)n t(cid:221)nh t¸p l(cid:229)i).

M(cid:228)i t¸p l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng v(cid:181) kh«ng tr(cid:239)ng v(cid:237)i to(cid:181)n bØ kh«ng gian ﬁ(cid:210)u

l(cid:181) giao cæa t˚t c¶ c‚c n(cid:246)a kh«ng gian tøa cæa nª.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.14. Cho hai t¸p C v(cid:181) D kh‚c r(cid:231)ng. Ta nªi si“u ph…ng aT x = α t‚ch C v(cid:181) D n(cid:213)u

aT x (cid:54) α (cid:54) aT y , ∀x ∈ C , ∀y ∈ D.

Ta nªi si“u ph…ng aT x = α t‚ch ch˘t C v(cid:181) D n(cid:213)u

aT x < α < aT y , ∀x ∈ C , ∀y ∈ D.

Ta nªi si“u ph…ng aT x = α t‚ch m„nh C v(cid:181) D n(cid:213)u

Supx∈C aT x < α < inf y∈D aT y.

V(cid:221) d(cid:244) 1.6. (T‚ch nh›ng kh«ng t‚ch ch˘t).

Cho t¸p

C = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 (cid:54) 1},

v(cid:181)

D = {(x, y) ∈ R2 | − 1 (cid:54) x (cid:54) 1, 1 (cid:54) y (cid:54) 3}.

Ta cª:

+ C v(cid:181) D kh‚c r(cid:231)ng.

+ C, D t‚ch ﬁ›(cid:238)c v(cid:215) t(cid:229)n t„i si“u ph…ng (0, 1)(x, y) = 1 tho¶ m•n

(0, 1)(x, y) (cid:54) 1 (cid:54) (0, 1)(x(cid:48), y(cid:48)) ∀(x, y) ∈ C, ∀(x(cid:48), y(cid:48)) ∈ D.

Hay

y (cid:54) 1 (cid:54) y(cid:48) ∀(x, y) ∈ C, ∀(x(cid:48), y(cid:48)) ∈ D.

+ C, D kh«ng t‚ch ch˘t ﬁ›(cid:238)c v(cid:215) kh«ng t(cid:229)n t„i si“u ph…ng

(a1, a2)(x, y) = α n(cid:181)o tho¶ m•n

(a1, a2)(x, y) < α < (a1, a2)(x(cid:48), y(cid:48)) ∀(x, y) ∈ C, ∀(x(cid:48), y(cid:48)) ∈ D.

V(cid:221) d(cid:244) 1.7. (T‚ch nh›ng kh«ng t‚ch m„nh).

Cho t¸p

C = {(x, y) ∈ R2 | x (cid:62) 0, y = 0},

v(cid:181)

, y > 0, x > 0}. D = {(x, y) ∈ R2 | y (cid:62) 1 x

Ta cª:

+ C v(cid:181) D kh‚c r(cid:231)ng.

+ C, D t‚ch ﬁ›(cid:238)c v(cid:215) t(cid:229)n t„i si“u ph…ng (0, 1)(x, y) = 0 tho¶ m•n

(0, 1)(x, y) = 0 (cid:54) (0, 1)(x(cid:48), y(cid:48)) ∀(x, y) ∈ C, ∀(x(cid:48), y(cid:48)) ∈ D.

Hay

y = 0 (cid:54) y(cid:48) ∀(x, y) ∈ C, ∀(x(cid:48), y(cid:48)) ∈ D.

+ C, D kh«ng t‚ch m„nh ﬁ›(cid:238)c v(cid:215)

Sup(x,y)∈C(0, 1)(x, y) = 0,

inf (x(cid:48),y(cid:48))∈D(0, 1)(x(cid:48), y(cid:48)) = 0.

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.3. (§(cid:222)nh l(cid:253) t‚ch 1).

Cho C v(cid:181) D l(cid:181) hai t¸p l(cid:229)i kh‚c r(cid:231)ng trong Rn sao cho C ∩ D = ∅. Khi

ﬁª cª mØt si“u ph…ng t‚ch C v(cid:181) D.

H(cid:214) qu¶ 1.1. (B(cid:230) ﬁ(cid:210) li“n thuØc).

Cho C ⊂ Rn l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i kh‚c r(cid:231)ng. Gi¶ s(cid:246) x0 (cid:54)∈ C. Khi ﬁª t(cid:229)n t„i

t ∈ Rn , t (cid:54)= 0 tho¶ m•n

(cid:104)t, x(cid:105) (cid:62) (cid:104)t, x0(cid:105) ∀x ∈ C.

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.4. (§(cid:222)nh l(cid:253) t‚ch 2).

Cho C v(cid:181) D l(cid:181) hai t¸p l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng sao cho C ∩ D = ∅. Gi¶ s(cid:246)

cª (cid:221)t nh˚t mØt t¸p l(cid:181) comp(cid:190)c. Khi ﬁª hai t¸p n(cid:181)y cª th(cid:211) t‚ch m„nh ﬁ›(cid:238)c bºi

mØt si“u ph…ng.

H(cid:214) qu¶ 1.2. Cho C ⊂ Rn l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng sao cho 0 (cid:54)∈ C. Khi ﬁª t(cid:229)n t„i mØt v—c-t‹ t ∈ Rn , t (cid:54)= 0 v(cid:181) α > 0 sao cho

(cid:104)t, x(cid:105) (cid:62) α > 0 , ∀x ∈ C.

1.2 H(cid:181)m l(cid:229)i

1.2.1 H(cid:181)m l(cid:229)i

Cho C ⊆ Rn v(cid:181) f : C −→ R ∪ {−∞, +∞}. Ta sˇ k(cid:221) hi(cid:214)u:

dom f := {x ∈ C | f (x) < +∞} . T¸p dom f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mi(cid:210)n h(cid:247)u

d(cid:244)ng cæa f

epi f := {(x, µ) ∈ C × R | f (x) (cid:54) µ}. T¸p epi f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) tr“n ﬁ(cid:229) th(cid:222)

cæa h(cid:181)m f .

B»ng c‚ch cho f (x) = +∞ n(cid:213)u x (cid:54)∈ C, ta cª th(cid:211) coi f ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh

tr“n to(cid:181)n kh«ng gian v(cid:181) hi(cid:211)n nhi“n l(cid:181)

dom f := {x ∈ Rn | f (x) < +∞}.

epi f := {(x, µ) ∈ Rn × R | f (x) (cid:54) µ}.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.15. Cho ∅ (cid:54)= C ⊆ Rn l(cid:229)i v(cid:181) f : C −→ R ∪ {−∞, +∞}. Ta nªi f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n C n(cid:213)u epi f l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i trong Rn+1.

Sau ﬁ'y ta sˇ chæ y(cid:213)u l(cid:181)m vi(cid:214)c v(cid:237)i h(cid:181)m f : Rn −→ R ∪ {+∞}.Trong

tr›Œng h(cid:238)p n(cid:181)y, ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a tr“n t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i:

H(cid:181)m f : Rn −→ R ∪ {+∞} l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n C n(cid:213)u

f [λx + (1 − λ)y] (cid:54) λf (x) + (1 − λ)f (y) , ∀x, y ∈ C , ∀λ ∈ (0, 1)

H(cid:181)m f : Rn −→ R ∪ {+∞} l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t tr“n C n(cid:213)u

f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y) , ∀x, y ∈ C , ∀λ ∈ (0, 1)

H(cid:181)m f : Rn −→ R ∪ {+∞} l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i m„nh tr“n C v(cid:237)i h(cid:214) sŁ l(cid:229)i η > 0

n(cid:213)u

ηλ(1 − λ)||x − y||2 , f [λx + (1 − λ)y] (cid:54) λf (x) + (1 − λ)f (y) − 1 2

∀x, y ∈ C , ∀λ ∈ (0, 1).

H(cid:181)m f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:226)m tr“n C, n(cid:213)u −f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n C.

V(cid:221) d(cid:244) 1.8. H(cid:181)m a-phin. f (x) = aT x + α, a ∈ Rn, α ∈ R

∀x, y ∈ Rn, ∀λ ∈ (0, 1), ta cª

f [λx + (1 − λ)y] = aT [λx + (1 − λ)y] + α

= λaT x + (1 − λ)aT y + α

= λaT x + λα + (1 − λ)aT y + (1 − λ)α

= λ(aT x + α) + (1 − λ)(aT y + α)

= λf (x) + (1 − λ)f (y).

V¸y f l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n Rn.

∀x, y ∈ Rn, ∀λ ∈ (0, 1), l„i cª

−f [λx + (1 − λ)y] = −aT [λx + (1 − λ)y] − α

= −λaT x − (1 − λ)aT y − α

= −λaT x − λα − (1 − λ)aT y − (1 − λ)α

= −λ(aT x + α) − (1 − λ)(aT y + α)

= −λf (x) − (1 − λ)f (y).

V¸y −f l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n Rn. Suy ra f l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:226)m tr“n Rn.

V(cid:221) d(cid:244) 1.9. H(cid:181)m ch(cid:216). Cho C (cid:54)= ∅ l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i .

§˘t δC(x) := x ∈ C, x (cid:54)∈ C. (cid:40) 0 n(cid:213)u +∞ n(cid:213)u

Ta nªi δC l(cid:181) h(cid:181)m ch(cid:216) cæa C. + ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1), ta cª: δC(x) = 0 , δC(y) = 0. Do C l(cid:229)i n“n λx + (1 − λ)y ∈ C.

Suy ra δC[λx + (1 − λ)y] = 0 = λδC(x) + (1 − λ)δC(y). + ∀x ∈ C, ∀y (cid:54)∈ C, ∀λ ∈ (0, 1), ta cª : δC(x) = 0 , δC(y) = +∞ , δC[λx + (1 − λ)y] (cid:54) +∞. Suy ra δC[λx + (1 − λ)y] (cid:54) λδC(x) + (1 − λ)δC(y). + ∀x, y (cid:54)∈ C, ∀λ ∈ (0, 1), ta cª : δC(x) = +∞ , δC(y) = +∞ , δC[λx + (1 − λ)y] (cid:54) +∞. Suy ra δC[λx + (1 − λ)y] (cid:54) λδC(x) + (1 − λ)δC(y). V¸y δC l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n Rn.

V(cid:221) d(cid:244) 1.10. H(cid:181)m tøa.

§˘t SC(y) := Supx∈C(cid:104)y, x(cid:105).Ta nªi SC l(cid:181) h(cid:181)m tøa cæa C. ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1), ta cª

SC[λx + (1 − λ)y] = Supz∈C(cid:104)λx + (1 − λ)y, z(cid:105)

= Supz∈C{(cid:104)λx, z(cid:105) + (cid:104)(1 − λ)y, z(cid:105)} (cid:54) Supz∈C(cid:104)λx, z(cid:105) + Supz∈C(cid:104)(1 − λ)y, z(cid:105) = λ Supz∈C(cid:104)x, z(cid:105) + (1 − λ) Supz∈C(cid:104)y, z(cid:105)

= λSC(x) + (1 − λ)SC(y).

V¸y SC l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n C.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.16. Cho f : Rn −→ R ∪ {+∞} (kh«ng nh˚t thi(cid:213)t l(cid:229)i), C ⊆ Rn l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i kh‚c r(cid:231)ng v(cid:181) η l(cid:181) mØt sŁ thøc .

Ta nªi η l(cid:181) h(cid:214) sŁ l(cid:229)i cæa f tr“n C, n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:228)i λ ∈ (0, 1), v(cid:237)i m(cid:228)i

x, y ∈ C, ta cª:

ηλ(1 − λ)||x − y||2. f [(1 − λ)x + λy] (cid:54) (1 − λ)f (x) + λf (y) − 1 2

N(cid:213)u η = 0 th(cid:215) f l(cid:229)i tr“n C.

N(cid:213)u f cª h(cid:214) sŁ l(cid:229)i tr“n C l(cid:181) η > 0, th(cid:215) f l(cid:229)i m„nh tr“n C v(cid:237)i h(cid:214) sŁ η.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.17. MØt h(cid:181)m f : Rn −→ R ∪ {+∞} ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ch(cid:221)nh th›Œng n(cid:213)u dom f (cid:54)= ∅ v(cid:181) f (x) > −∞ v(cid:237)i m(cid:228)i x.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.18. H(cid:181)m f : Rn −→ R ∪ {+∞} ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁªng, n(cid:213)u epi f l(cid:181) mØt t¸p ﬁªng trong Rn+1

Ch(cid:243) (cid:253) 1.1. 1. N(cid:213)u f l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n mØt t¸p l(cid:229)i C, th(cid:215) cª th(cid:211) th‚c tri(cid:211)n

f l“n to(cid:181)n kh«ng gian b»ng c‚ch ﬁ˘t

(cid:40)

fe(x) = x ∈ C, x (cid:54)∈ C. f (x) n(cid:213)u +∞ n(cid:213)u

Hi(cid:211)n nhi“n fe(x) = f (x) v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ C v(cid:181) fe l(cid:229)i tr“n Rn. H‹n n(cid:247)a fe l(cid:181) ch(cid:221)nh th›Œng khi v(cid:181) ch(cid:216) khi f ch(cid:221)nh th›Œng. T›‹ng tø fe ﬁªng khi v(cid:181) ch(cid:216) khi f ﬁªng.

2. N(cid:213)u f l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n Rn th(cid:215) dom f l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i v(cid:215) dom f ch(cid:221)nh

l(cid:181) h(cid:215)nh chi(cid:213)u tr“n Rn cæa epi f , tłc l(cid:181):

dom f = {x|∃µ ∈ R : (x, µ) ∈ epi f }.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.19. Cho f : Rn −→ R ∪ {+∞}.

H(cid:181)m f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) thu˙n nh˚t d›‹ng (b¸c 1) tr“n Rn n(cid:213)u

f (λx) = λf (x) ∀x ∈ Rn, ∀λ > 0.

∀x, y.

H(cid:181)m f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) d›(cid:237)i cØng t(cid:221)nh n(cid:213)u f (x + y) (cid:54) f (x) + f (y) H(cid:181)m f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) d›(cid:237)i tuy(cid:213)n t(cid:221)nh n(cid:213)u f l(cid:181) thu˙n nh˚t d›‹ng v(cid:181) d›(cid:237)i

cØng t(cid:221)nh.

V(cid:221) d(cid:244) 1.11. H(cid:181)m chu¨n f (x) = (cid:107)x(cid:107) l(cid:181) h(cid:181)m d›(cid:237)i tuy(cid:213)n t(cid:221)nh. Th¸t v¸y, ∀x ∈ Rn, ∀λ > 0, ta cª: f (λx) = (cid:107)λx(cid:107) = |λ|.(cid:107)x(cid:107) = λ(cid:107)x(cid:107) = λf (x). ∀x, y ∈ Rn, ta cª: f (x + y) = (cid:107)x + y(cid:107) (cid:54) (cid:107)x(cid:107) + (cid:107)y(cid:107) = f (x) + f (y).

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.2. Cho f : Rn −→ R ∪ {+∞} l(cid:181) mØt h(cid:181)m thu˙n nh˚t d›‹ng tr“n Rn.

Khi ﬁª: f l(cid:229)i khi v(cid:181) ch(cid:216) khi f l(cid:181) d›(cid:237)i cØng t(cid:221)nh.

1.2.2 T(cid:221)nh li“n t(cid:244)c cæa h(cid:181)m l(cid:229)i

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.20. Cho h(cid:181)m f : E −→ R ∪ {−∞, +∞}.

H(cid:181)m f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i t„i mØt ﬁi(cid:211)m x ∈ E n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:228)i d•y

{xk} ⊂ E, xk → x ta cª

lim inf f (xk) (cid:62) f (x).

H(cid:181)m f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n t„i x ∈ E n(cid:213)u −f n(cid:246)a li“n t(cid:244)c

d›(cid:237)i t„i x ∈ E. Nh› v¸y f n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n t„i x ∈ E n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:228)i d•y {xk} ⊂ E, xk → x ta cª

lim sup f (xk) (cid:54) f (x).

H(cid:181)m f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) li“n t(cid:244)c t„i x ∈ E n(cid:213)u nh› nª vıa n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n v(cid:181)

n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i t„i x ∈ E.

H(cid:181)m f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i tr“n E n(cid:213)u nª n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i t„i

m(cid:228)i ﬁi(cid:211)m thuØc E.

H(cid:181)m f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n tr“n E n(cid:213)u nª n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n t„i

m(cid:228)i ﬁi(cid:211)m thuØc E.

H(cid:181)m f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) li“n t(cid:244)c tr“n E n(cid:213)u nª n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n v(cid:181) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c

d›(cid:237)i tr“n E.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.21. Cho hai h(cid:181)m f v(cid:181) g x‚c ﬁ(cid:222)nh tr“n Rn.

Ta nªi g l(cid:181) bao ﬁªng cæa f , n(cid:213)u epi g = epi f . Bao ﬁªng cæa f sˇ ﬁ›(cid:238)c

k(cid:221) hi(cid:214)u l(cid:181) f . V¸y epi f = epi f .

H(cid:181)m f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁªng n(cid:213)u epi f = epi f .

1.2.3 C‚c ph—p to‚n b¶o to(cid:181)n t(cid:221)nh l(cid:229)i

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.22. Gi¶ s(cid:246) {fα}α∈I l(cid:181) mØt h(cid:228) tuœ (cid:253) c‚c h(cid:181)m sŁ tr“n Rn v(cid:181) E ⊆ Rn. H(cid:181)m c¸n tr“n cæa h(cid:228) h(cid:181)m n(cid:181)y tr“n coE, k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) Vα∈Ifα l(cid:181) h(cid:181)m sŁ ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a nh› sau:

(Vα∈Ifα)(x) := Supα∈I fα(x)

v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ coE.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.3. Gi¶ s(cid:246) {fα}α∈I l(cid:181) mØt h(cid:228) h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n Rn v(cid:181) E ⊆ Rn. Khi ﬁª h(cid:181)m c¸n tr“n cæa h(cid:228) h(cid:181)m n(cid:181)y l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n coE.

1.2.4 B˚t ﬁ…ng thłc l(cid:229)i

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.23. Cho D ⊆ Rn l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i v(cid:181) f1, ..., fm l(cid:181) c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n Rn. H(cid:214) b˚t ﬁ…ng thłc

x ∈ D, fi(x) <= 0, i ∈ I

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) h(cid:214) b˚t ﬁ…ng thłc l(cid:229)i, trong ﬁª I l(cid:181) t¸p ch(cid:216) sŁ v(cid:181) k(cid:253) hi(cid:214)u <= cª th(cid:211) hi(cid:211)u l(cid:181) < ho˘c (cid:54).

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.4. Cho f1, ..., fm l(cid:181) c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i h(cid:247)u h„n tr“n mØt t¸p l(cid:229)i D (cid:54)= ∅ v(cid:181) A l(cid:181) mØt ma tr¸n thøc c˚p k × n. Gi¶ s(cid:246) b ∈ ri A(D). Khi ﬁª h(cid:214)

x ∈ D, Ax = b, fi(x) < 0 i = 1, .., m

i=1 λi = 1 v(cid:181)

m (cid:88)

kh«ng cª nghi(cid:214)m, khi v(cid:181) ch(cid:216) khi t(cid:229)n t„i t ∈ Rk v(cid:181) λi (cid:62) 0, i = 1, .., m sao cho (cid:80)m

i=1

(cid:104)t, Ax − b(cid:105) + ∀x ∈ D. λifi(x) (cid:62) 0

1.2.5 H(cid:181)m li“n h(cid:238)p

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.24. Cho f : Rn −→ [−∞, +∞] l(cid:181) mØt h(cid:181)m b˚t kœ. H(cid:181)m

f ∗(x∗) := Sup{(cid:104)x∗, x(cid:105) − f (x) | x ∈ Rn}

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) h(cid:181)m li“n h(cid:238)p cæa f .

Ch(cid:243) (cid:253) 1.2. Nh› th›Œng l(cid:214), trong ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a tr“n ta qui ›(cid:237)c c¸n tr“n ﬁ(cid:243)ng tr“n mØt t¸p r(cid:231)ng l(cid:181) −∞. Nh› v¸y n(cid:213)u f ≡ +∞, th(cid:215) f ∗ ≡ −∞, ngo(cid:181)i ra n(cid:213)u f cª nh¸n gi‚ tr(cid:222) −∞ th(cid:215) f ∗ ≡ +∞.

§(cid:211) khÆi ph¶i l(cid:181)m vi(cid:214)c v(cid:237)i h(cid:181)m li“n h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng nh˚t b»ng +∞ ho˘c ﬁ(cid:229)ng

nh˚t b»ng −∞, ta sˇ h„n ch(cid:213) vi(cid:214)c x—t h(cid:181)m li“n h(cid:238)p trong l(cid:237)p h(cid:181)m cª t(cid:221)nh

ch˚t sau:

f (cid:54)≡ +∞ v(cid:181) t(cid:229)n t„i mØt h(cid:181)m non a-phin cæa f.

V(cid:221) d(cid:244) 1.12. X—t h(cid:181)m ch(cid:216)

δC(x) = x ∈ C, x (cid:54)∈ C. (cid:40) 0 n(cid:213)u +∞ n(cid:213)u

C(x∗) := Supx∈Rn{(cid:104)x∗, x(cid:105) − δC(x)} δ∗ = Supx∈C{(cid:104)x∗, x(cid:105) − δC(x)} = Supx∈C{(cid:104)x∗, x(cid:105) − 0} = Supx∈C(cid:104)x∗, x(cid:105) = SC(x∗).

Ta cª:

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.5. V(cid:237)i m(cid:228)i h(cid:181)m sŁ f , h(cid:181)m li“n h(cid:238)p f ∗ l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i ﬁªng tho¶

m•n b˚t ﬁ…ng thłc Fenchel sau:

f ∗(x∗) (cid:62) (cid:104)x∗, x(cid:105) − f (x) ∀x, ∀x∗.

Ch(cid:243) (cid:253) 1.3. Trong nhi(cid:210)u tr›Œng h(cid:238)p, ta quan t'm ﬁ(cid:213)n h(cid:181)m li“n h(cid:238)p thł hai.

Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a h(cid:181)m li“n h(cid:238)p th(cid:215)

f ∗∗(x) := (f ∗)∗(x) = Sup{(cid:104)x, s(cid:105) − f ∗(s) | s ∈ Rn}.

H(cid:181)m li“n h(cid:238)p thł hai t˚t nhi“n lu«n l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i ﬁªng.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.6. Gi¶ s(cid:246) f (cid:54)≡ +∞ v(cid:181) t(cid:229)n t„i mØt h(cid:181)m non a-phin cæa f . Khi ﬁª

epi f ∗∗ = co(epi f ).

H(cid:214) qu¶ 1.3. f ≡ f ∗∗ khi v(cid:181) ch(cid:216) khi f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i, ﬁªng.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.25. H(cid:181)m l l(cid:181) h(cid:181)m non a-phin cæa mØt h(cid:181)m f tr“n Rn n(cid:213)u

∀x ∈ Rn. l l(cid:181) h(cid:181)m a-phin tr“n Rn v(cid:181) l(x) (cid:54) f (x)

Ch›‹ng 2

D›(cid:237)i vi ph'n cæa h(cid:181)m l(cid:229)i

Ph—p t(cid:221)nh vi ph'n l(cid:181) mØt trong nh(cid:247)ng ﬁ(cid:210) t(cid:181)i c‹ b¶n nh˚t cæa gi¶i t(cid:221)ch c(cid:230) ﬁi(cid:211)n.

Trong gi¶i t(cid:221)ch l(cid:229)i, l(cid:253) thuy(cid:213)t n(cid:181)y l„i c(cid:181)ng trº n“n phong ph(cid:243) nhŒ nh(cid:247)ng t(cid:221)nh

ch˚t ﬁ˘c bi(cid:214)t cæa t¸p l(cid:229)i v(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i. M(cid:244)c ﬁ˙u ti“n cæa ch›‹ng n(cid:181)y sˇ x—t ﬁ(cid:213)n

ﬁ„o h(cid:181)m theo ph›‹ng cæa mØt h(cid:181)m l(cid:229)i. Ti(cid:213)p ﬁ(cid:213)n º m(cid:244)c 2, sˇ ﬁ›a ra ﬁ(cid:222)nh

ngh(cid:220)a v(cid:210) d›(cid:237)i vi ph'n v(cid:181) c‚c t(cid:221)nh ch˚t cæa nª nh›: X—t t(cid:221)nh kh¶ vi cæa h(cid:181)m

l(cid:229)i, kh¶o s‚t t(cid:221)nh ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u cæa d›(cid:237)i vi ph'n, kh¶o s‚t t(cid:221)nh li“n t(cid:244)c cæa ‚nh

x„ d›(cid:237)i vi ph'n v(cid:181) mØt sŁ ph—p t(cid:221)nh v(cid:237)i d›(cid:237)i vi ph'n. M(cid:244)c cuŁi cæa ch›‹ng

sˇ gi(cid:237)i thi(cid:214)u v(cid:210) d›(cid:237)i vi ph'n x˚p x(cid:216) v(cid:181) mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t cæa nª.

2.1 §„o h(cid:181)m theo ph›‹ng

Cho mØt h(cid:181)m n-bi(cid:213)n f : Rn −→ R ∪ {+∞}. Khi cŁ ﬁ(cid:222)nh mØt ph›‹ng v(cid:181) x—t h(cid:181)m nhi(cid:210)u bi(cid:213)n tr“n ph›‹ng ﬁª , th(cid:215) ta cª mØt h(cid:181)m mØt bi(cid:213)n. Gi¶ s(cid:246) y (cid:54)= 0 l(cid:181) mØt ph›‹ng cho tr›(cid:237)c xu˚t ph‚t tı ﬁi(cid:211)m x0. Khi ﬁª m(cid:228)i ﬁi(cid:211)m x thuØc ﬁ›Œng th…ng ﬁi qua x0 v(cid:181) cª ph›‹ng y ﬁ(cid:210)u cª d„ng x = x0 + λy v(cid:237)i λ ∈ R. N(cid:213)u ﬁ˘t ξ(λ) = f (x0 + λy) th(cid:215) ξ l(cid:229)i tr“n R khi v(cid:181) ch(cid:216) khi f l(cid:229)i tr“n Rn.

f (x0+λy)−f (x0) λ

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.1. Cho f : Rn −→ R ∪ {+∞} v(cid:181) x0 ∈ Rn sao cho f (x0) < +∞.

N(cid:213)u v(cid:237)i mØt v—c-t‹ y ∈ Rn m(cid:181) gi(cid:237)i h„n lim λ→0

t(cid:229)n t„i (h(cid:247)u h„n hay v« h„n) th(cid:215) ta nªi f cª ﬁ„o h(cid:181)m theo ph›‹ng y t„i ﬁi(cid:211)m x0. Ta sˇ k(cid:253) hi(cid:214)u gi(cid:237)i h„n n(cid:181)y l(cid:181) f (cid:48)(x0, y).

V(cid:221) d(cid:244) 2.1. Gi¶ s(cid:246) f ﬁ›(cid:238)c cho nh› sau:

  f (x) =

 x < 0, x = 0, x > 0. 0 n(cid:213)u 1 n(cid:213)u +∞ n(cid:213)u

Ta cª

dom f = (−∞; 0] ⇒ dom f (cid:54)= ∅ ,

f (0+λ(−1))−f (0) λ

0−1 λ = −∞,

f (x) > −∞, ∀x . V¸y f l(cid:181) h(cid:181)m ch(cid:221)nh th›Œng .

Ta cª: f (cid:48)(0, −1) = lim λ→0

f (0+λ0)−f (0) f (cid:48)(0, 0) = lim λ λ→0 f (0+λ1)−f (0) f (cid:48)(0, 1) = lim λ λ→0 Suy ra f (cid:48)(0, .) kh«ng l(cid:181) h(cid:181)m ch(cid:221)nh th›Œng.

= lim λ→0 1−1 λ = 0, ∞−1 λ = +∞. = lim λ→0 = lim λ→0

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.1. Cho f : Rn −→ R ∪ {+∞} l(cid:229)i. Khi ﬁª v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ dom f v(cid:181) m(cid:228)i y ∈ Rn ta cª:

i) ϕ l(cid:181) h(cid:181)m ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u kh«ng gi¶m tr“n (0; +∞) , trong ﬁª

ϕ(λ) := , f (x + λy) − f (x) λ

v(cid:181) do ﬁª f (cid:48)(x, y) t(cid:229)n t„i v(cid:237)i m(cid:228)i y ∈ Rn v(cid:181)

. f (cid:48)(x, y) := inf λ>0 f (x + λy) − f (x) λ

ii) H(cid:181)m f (cid:48)(x, .) thu˙n nh˚t d›‹ng b¸c 1. Ngo(cid:181)i ra n(cid:213)u f (cid:48)(x, .) > −∞ th(cid:215) h(cid:181)m f (cid:48)(x, .) l(cid:181) d›(cid:237)i tuy(cid:213)n t(cid:221)nh tr“n Rn

(do ﬁª nª l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn).

∀y ∈ Rn.

iii) −f (cid:48)(x, −y) (cid:54) f (cid:48)(x, y) iv) H(cid:181)m f (cid:48)(x, .) nh¸n gi‚ tr(cid:222) h(cid:247)u h„n tr“n F khi v(cid:181) ch(cid:216) khi x ∈ ri(dom f ),

trong ﬁª F l(cid:181) kh«ng gian con cæa dom f .

Chłng minh. i) Ta chłng minh h(cid:181)m ϕ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u kh«ng gi¶m tr“n mi(cid:210)n

(0; +∞).

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a h(cid:181)m h : R −→ R ∪ {+∞} x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

h(λ) = f (x + λ.y) − f (x).

Khi ﬁª h(0) = 0. Gi¶ s(cid:246) 0 < λ(cid:48) (cid:54) λ, do f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i n“n h l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i , kh«ng nh¸n gi‚ tr(cid:222)

−∞.

Ta cª

λ + (1 − )0] λ(cid:48) λ

h(λ) + (1 − )h(0) λ(cid:48) λ λ(cid:48) λ

= h(λ). h(λ(cid:48)) = h[ (cid:54) λ(cid:48) λ λ(cid:48) λ

ϕ(λ) = f (x+λy)−f (x) Do n“n ϕ(λ(cid:48)) (cid:54) ϕ(λ). = h(λ) λ

V¸y ϕ l(cid:181) h(cid:181)m kh«ng gi¶m tr“n mi(cid:210)n (0; +∞).

ϕ(λ) Suy ra t(cid:229)n t„i v(cid:181) f (cid:48)(x, y) = lim λ→0

. ϕ(λ) = inf λ>0 ϕ(λ) = inf λ>0 lim λ→0 f (x + λ.y) − f (x) λ

ii) Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a, ta cª

= 0. f (cid:48)(x, 0) = lim λ→0 f (x + λ0) − f (x) λ

Chłng minh t(cid:221)nh thu˙n nh˚t d›‹ng .

V(cid:237)i t > 0, ta vi(cid:213)t

. f (cid:48)(x, ty) = lim λ→0 f (x + λty) − f (x) λ

§˘t λ(cid:48) = λt, ta cª ti(cid:213)p

= tf (cid:48)(x, y). f (cid:48)(x, ty) = t lim λ→0 f (x + λ(cid:48)y) − f (x) λ(cid:48)

V¸y f (cid:48)(x, .) thu˙n nh˚t d›‹ng.

Chłng minh t(cid:221)nh d›(cid:237)i tuy(cid:213)n t(cid:221)nh.

Gi¶ s(cid:246) f (cid:48)(x, .) > −∞, v(cid:237)i m(cid:228)i u v(cid:181) v ta cª:

2 (u + v)] − f (x)

λ 2

f [x + λ (theo i) f (cid:48)(x, u + v) = inf λ>0

2 + λ

2 u) + ( x

2 + λ

2 v)] − 1

2f (x) − 1

2f (x)

λ 2

f [( x . = infλ>0

Do f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i kh«ng nh¸n gi‚ tr(cid:222) −∞ ,n“n

+ u) + ( + v)] − f (x) − f (x) λ 2 x 2 λ 2 1 2

[f (x + λu) − f (x)] + [f (x + λv) − f (x)]. x f [( 2 (cid:54) 1 2 1 2 1 2

Do ﬁª

f (cid:48)(x, u + v) (cid:54) inf λ>0 + inf λ>0 f (x + λu) λ f (x + λv) λ

= f (cid:48)(x, u) + f (cid:48)(x, v).

(f (cid:48)(x, u) + f (cid:48)(x, v) cª ngh(cid:220)a v(cid:215) f (cid:48)(x, .) > −∞). V¸y f (cid:48)(x, .) l(cid:181) h(cid:181)m d›(cid:237)i cØng t(cid:221)nh. Suy ra f (cid:48)(x, .) l(cid:181) h(cid:181)m d›(cid:237)i tuy(cid:213)n t(cid:221)nh

tr“n Rn.

V(cid:215) f (cid:48)(x, .) > −∞, f (cid:48)(x, 0) = 0 v(cid:181) f (cid:48)(x, .) l(cid:181) d›(cid:237)i tuy(cid:213)n t(cid:221)nh tr“n Rn, n“n

nª l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i, ch(cid:221)nh th›Œng tr“n to(cid:181)n kh«ng gian.

iii) Do f (cid:48)(x, 0) = 0 v(cid:181) theo t(cid:221)nh ch˚t d›(cid:237)i cØng t(cid:221)nh, ta cª:

0 = f (cid:48)(x, 0) = f (cid:48)(x, y − y) (cid:54) f (cid:48)(x, y) + f (cid:48)(x, −y) ∀y ∈ Rn.

Suy ra −f (cid:48)(x, −y) (cid:54) f (cid:48)(x, y) v(cid:237)i m(cid:228)i y ∈ Rn. iv) Gi¶ s(cid:246) x ∈ ri(dom f ) . Ta c˙n chłng tÆ f (cid:48)(x, .) h(cid:247)u h„n tr“n F . Tı iii) suy ra f (cid:48)(x, .) > −∞. V¸y c˙n ch(cid:216) ra f (cid:48)(x, y) < +∞ v(cid:237)i m(cid:228)i

y ∈ F .

f (x+λ.y)−f (x) λ

< +∞.

Do x ∈ ri(dom f ), n“n ∀y ∈ F , x + λ.y ∈ dom f ∀λ > 0 ﬁæ nhÆ. Do ﬁª f (cid:48)(x, y) = inf λ>0 Ng›(cid:238)c l„i, gi¶ s(cid:246) f (cid:48)(x, y) h(cid:247)u h„n v(cid:237)i m(cid:228)i y ∈ F . Ta c˙n chłng tÆ

x ∈ ri(dom f ).

Th¸t v¸y, n(cid:213)u tr‚i l„i sˇ t(cid:229)n t„i y ∈ F v(cid:181) mØt d•y {λk} c‚c sŁ d›‹ng hØi

t(cid:244) ﬁ(cid:213)n 0 v(cid:181) x + λk.y (cid:54)∈ dom f v(cid:237)i m(cid:228)i k ﬁæ l(cid:237)n. Trong tr›Œng h(cid:238)p n(cid:181)y

f (x + λk.y) − f (x) = +∞ v(cid:237)i m(cid:228)i k ﬁæ l(cid:237)n.

Do ﬁª f (cid:48)(x, y) = +∞. M'u thu(cid:201)n v(cid:237)i gi¶ thi(cid:213)t. V¸y x ∈ ri(dom f ).

2.2 D›(cid:237)i vi ph'n v(cid:181) c‚c t(cid:221)nh ch˚t

2.2.1 D›(cid:237)i vi ph'n

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.2. Cho f : Rn −→ R ∪ {+∞}. Ta nªi x∗ ∈ Rn l(cid:181) d›(cid:237)i ﬁ„o h(cid:181)m cæa f t„i x n(cid:213)u

(cid:104)x∗, z − x(cid:105) + f (x) (cid:54) f (z) ∀z.

K(cid:221) hi(cid:214)u t¸p h(cid:238)p t˚t c¶ c‚c d›(cid:237)i ﬁ„o h(cid:181)m cæa f t„i x l(cid:181) ∂f (x). V¸y ∂f (x) l(cid:181) mØt t¸p (cª th(cid:211) b»ng ∅) trong Rn. Khi ∂f (x) (cid:54)= ∅, th(cid:215) ta nªi h(cid:181)m f kh¶ d›(cid:237)i vi ph'n t„i x.

Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a, mØt ﬁi(cid:211)m x∗ ∈ ∂f (x) khi v(cid:181) ch(cid:216) khi nª tho¶ m•n mØt h(cid:214) v« h„n c‚c b˚t ﬁ…ng thłc tuy(cid:213)n t(cid:221)nh . Nh› v¸y ∂f (x) l(cid:181) giao cæa c‚c n(cid:246)a

kh«ng gian ﬁªng. V¸y ∂f (x) lu«n l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i ﬁªng (cª th(cid:211) r(cid:231)ng).

K(cid:221) hi(cid:214)u dom(∂f ) := {x|∂f (x) (cid:54)= ∅}.

V(cid:221) d(cid:244) 2.2. 1) H(cid:181)m chu¨n f (x) = (cid:107)x(cid:107), x ∈ Rn.

T„i ﬁi(cid:211)m x = 0, ta cª

∂f (0) = {x∗|(cid:104)x∗, x(cid:105) (cid:54) (cid:107)x(cid:107), ∀x}.

V¸y h(cid:181)m f (x) kh¶ d›(cid:237)i vi ph'n.

L„i cª

= 1 (cid:54)= 0. = lim x→0 lim x→0 f (x) − f (0) − (cid:104)x∗, x − 0(cid:105) (cid:107)x − 0(cid:107) (cid:107)x(cid:107) − (cid:104)x∗, x(cid:105) (cid:107)x(cid:107)

V¸y h(cid:181)m f (x) kh«ng kh¶ vi t„i x = 0.

2) H(cid:181)m ch(cid:216)

f (x) = δC(x) := (cid:40) n(cid:213)u x ∈ C, 0 +∞ n(cid:213)u x (cid:54)∈ C.

Trong ﬁª C l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i kh‚c ∅.

Khi ﬁª v(cid:237)i x0 ∈ C, ta cª

∂f (x0) = ∂δC(x0) = {x∗|(cid:104)x∗, x − x0(cid:105) (cid:54) δC(x), ∀x}.

V(cid:237)i x (cid:54)∈ C th(cid:215) δC(x) = +∞, n“n b˚t ﬁ…ng thłc n(cid:181)y lu«n ﬁ(cid:243)ng. V¸y ∂f (x0) = ∂δC(x0) = {x∗|(cid:104)x∗, x − x0(cid:105) (cid:54) 0, ∀x ∈ C} = NC(x0). V¸y d›(cid:237)i vi ph'n cæa h(cid:181)m ch(cid:216) cæa mØt t¸p l(cid:229)i C kh‚c ∅ t„i mØt ﬁi(cid:211)m

x0 ∈ C ch(cid:221)nh l(cid:181) nªn ph‚p tuy(cid:213)n ngo(cid:181)i cæa C t„i x0.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.2. i) x∗ ∈ ∂f (x) khi v(cid:181) ch(cid:216) khi f (cid:48)(x, y) (cid:62) (cid:104)x∗, y(cid:105) , ∀y.

ii) N(cid:213)u f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn, th(cid:215) v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ dom(∂f ), ta

cª f (x) = f (x) v(cid:181) ∂f (x) = ∂f (x).

Chłng minh. i) Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a

x∗ ∈ ∂f (x) ⇔ (cid:104)x∗, z − x(cid:105) + f (x) (cid:54) f (z) ∀z.

V(cid:237)i b˚t k(cid:215) y, l˚y z = x + λ.y, λ > 0, ta cª

(cid:104)x∗, λ.y(cid:105) + f (x) (cid:54) f (x + λ.y).

Tı ﬁ'y suy ra

(cid:104)x∗, y(cid:105) (cid:54) f (x + λ.y) − f (x) ∀λ > 0. (2.1) λ

∀y.

Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa f (cid:48)(x, y), suy ra ngay (cid:104)x∗, y(cid:105) (cid:54) f (cid:48)(x, y) Ng›(cid:238)c l„i, gi¶ s(cid:246) (2.1) tho¶ m•n.

L˚y z b˚t k(cid:215) v(cid:181) ‚p d(cid:244)ng (2.1) v(cid:237)i y = z − x v(cid:181) λ = 1, ta cª

(cid:104)x∗, z − x(cid:105) (cid:54) f (z) − f (x) ∀z.

V¸y x∗ ∈ ∂f (x). ii) Cho x ∈ dom(∂f ), th(cid:215) ∂f (x) (cid:54)= ∅, tłc l(cid:181) t(cid:229)n t„i x∗ ∈ ∂f (x).

Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa f , ta cª epi f = epi f .

M˘t kh‚c, ta l„i cª epi f ⊂ epi f , suy ra epi f ⊂ epi f . V¸y

f (x) (cid:62) f (x). (2.2)

Theo gi¶ thi(cid:213)t f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn, n“n f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ﬁªng

tr“n Rn, theo h(cid:214) qu¶ 1.1, ta cª

f (x) = f ∗∗(x). (2.3)

Theo t(cid:221)nh ch˚t cæa h(cid:181)m li“n h(cid:238)p thł 2, ta cª

f ∗∗(x) (cid:62)< (cid:104)x∗, x(cid:105) − f ∗(x∗) = f (x). (2.4)

Tı (2.2),(2.3) v(cid:181) (2.4) ta cª f (x) = f (x). Ta l˚y y∗ ∈ ∂f (x) th(cid:215) ∀z tacª

(cid:104)y∗, z − x(cid:105) + f (x) (cid:54) f (z).

M˘t kh‚c

f (z) (cid:62) f (z) (cid:62) (cid:104)y∗, z − x(cid:105) + f (x) = (cid:104)y∗, z − x(cid:105) + f (x).

Suy ra y∗ ∈ ∂f (x). V¸y

∂f (x) ⊂ ∂f (x). (2.5)

Ng›(cid:238)c l„i, l˚y z0 ∈ ri(dom f ). V(cid:237)i m(cid:228)i z ta cª

f [(1 − t).z + t.z0]. f (z) = f (z) = lim t→0

V¸y theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa d›(cid:237)i vi ph'n ta cª :

x∗ ∈ ∂f (x) ⇔ (cid:104)x∗, (1 − t).z + t.z0 − x(cid:105) + f (x) (cid:54) f [(1 − t).z + t.z0].

Cho t → 0 ta ﬁ›(cid:238)c :

(cid:104)x∗, z − x(cid:105) + f (x) (cid:54) f (z).

Hay

(cid:104)x∗, z − x(cid:105) + f (x) (cid:54) f (z)

Chłng tÆ x∗ ∈ ∂f (x). V¸y

∂f (x) ⊂ ∂f (x). (2.6)

Tı (2.5) v(cid:181) (2.6) ta cª ∂f (x) = ∂f (x).

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.3. Cho f : Rn −→ R ∪ {+∞} l(cid:229)i, khi ﬁª :

i) N(cid:213)u x (cid:54)∈ dom f , th(cid:215) ∂f (x) = ∅.

ii) x ∈ ri(dom f ) khi v(cid:181) ch(cid:216) khi ∂f (x) (cid:54)= ∅ v(cid:181) comp(cid:190)c.

Chłng minh. i) Cho z ∈ dom f , th(cid:215) f (z) < +∞. V¸y n(cid:213)u x (cid:54)∈ dom f th(cid:215) f (x) = +∞ v(cid:181) do ﬁª kh«ng th(cid:211) t(cid:229)n t„i x∗ tho m•n

(cid:104)x∗, z − x(cid:105) + f (x) (cid:54) f (z) < +∞.

V¸y ∂f (x) = ∅.

ii) Gi¶ s(cid:246) x ∈ ri(dom f ). Ta cª ﬁi(cid:211)m (x, f (x)) n»m tr“n bi“n cæa epi f .

Do f l(cid:229)i, ch(cid:221)nh th›Œng, n“n t(cid:229)n t„i si“u ph…ng tøa cæa epi f ﬁi qua

(x, f (x)).

Tłc l(cid:181) t(cid:229)n t„i p ∈ Rn, t ∈ R kh«ng ﬁ(cid:229)ng thŒi b»ng 0 sao cho

(cid:104)p, x(cid:105) + t.f (x) (cid:54) (cid:104)p, y(cid:105) + t.µ , ∀(y, µ) ∈ epi f. (2.7)

Ta cª t (cid:54)= 0, v(cid:215) n(cid:213)u t = 0 th(cid:215) (cid:104)p, x(cid:105) (cid:54) (cid:104)p, y(cid:105) , ∀y ∈ dom f . Hay (cid:104)p, x − y(cid:105) (cid:54) 0 , ∀y ∈ dom f . Nh›ng do x ∈ ri(dom f ), n“n ﬁi(cid:210)u n(cid:181)y k—o theo p = 0. M'u thu(cid:201)n v(cid:237)i

p, t kh«ng ﬁ(cid:229)ng thŒi b»ng 0. V¸y t (cid:54)= 0.

H‹n n(cid:247)a t > 0, v(cid:215) n(cid:213)u t < 0 th(cid:215) trong b˚t ﬁ…ng thłc (2.7), khi cho µ → ∞

ta suy ra m'u thu(cid:201)n v(cid:215) v(cid:213) tr‚i cŁ ﬁ(cid:222)nh.

Chia hai v(cid:213) cæa (2.7) cho t > 0, ta ﬁ›(cid:238)c:

, x(cid:105) + f (x) (cid:54) (cid:104) , y(cid:105) + µ ∀y ∈ dom f. (cid:104) p t p t

Thay µ = f (y), ta ﬁ›(cid:238)c

, x(cid:105) + f (x) (cid:54) (cid:104) , y(cid:105) + f (y) ∀y ∈ dom f. (cid:104) p t

p t §˘t x∗ = − p t , ta ﬁ›(cid:238)c

−(cid:104)x∗, x(cid:105) + f (x) (cid:54) −(cid:104)x∗, y(cid:105) + f (y) ∀y ∈ dom f.

Hay

(cid:104)x∗, y − x(cid:105) + f (x) (cid:54) f (y) ∀y ∈ dom f.

N(cid:213)u y (cid:54)∈ dom f th(cid:215) f (y) = ∞, do ﬁª

(cid:104)x∗, y − x(cid:105) + f (x) (cid:54) f (y) ∀y.

Chłng tÆ x∗ ∈ ∂f (x). V¸y ∂f (x) (cid:54)= ∅ . B'y giŒ ta ch(cid:216) ra t¸p ∂f (x) comp(cid:190)c.

Do x ∈ ri(dom f ), theo m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) (2.2)

x∗ ∈ ∂f (x) ⇐⇒ f (cid:48)(x, d) (cid:62) (cid:104)x∗, d(cid:105) ∀d. (2.8)

(cid:54) f (cid:48)(x, ei). G(cid:228)i F l(cid:181) kh«ng gian tuy(cid:213)n t(cid:221)nh cæa dom f . L˚y ei l(cid:181) v—c-t‹ ﬁ‹n v(cid:222) thł i (i=1,...,n) cæa Rn (to„ ﬁØ thł i cæa ei b»ng 1 v(cid:181) m(cid:228)i to„ ﬁØ kh‚c l(cid:181) 0). Kh«ng gi¶m t(cid:230)ng qu‚t, ta gi¶ s(cid:246) r»ng c‚c v—c-t‹ ﬁ‹n v(cid:222) e1, ...ek ∈ F , ‚p d(cid:244)ng (2.8) l˙n l›(cid:238)t v(cid:237)i d = ei v(cid:237)i i=1,...k, ta cª x∗ i

(cid:54) f (cid:48)(x, −ei). Hay

x∗ i

(cid:54) f (cid:48)(x, ei) ,v(cid:237)i m(cid:228)i i=1,...k.

T›‹ng tø , ‚p d(cid:244)ng v(cid:237)i d = −ei v(cid:237)i i=1,...k, ta cª −x∗ i (cid:62) −f (cid:48)(x, −ei). Tªm l„i −f (cid:48)(x, −ei) (cid:54) x∗ i Theo (iv) m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) (2.1), do x ∈ ri(dom f ) v(cid:181) F l(cid:181) kh«ng gian con cæa dom f , n“n f (cid:48)(x, y) h(cid:247)u h„n v(cid:237)i m(cid:228)i y ∈ F . Nªi ri“ng f (cid:48)(x, −ei) v(cid:181) f (cid:48)(x, ei) h(cid:247)u h„n v(cid:237)i m(cid:228)i i=1,...k. V¸y ∂f (x) b(cid:222) ch˘n , v(cid:181) do t(cid:221)nh ﬁªng n“n

nª l(cid:181) comp(cid:190)c.

Ng›(cid:238)c l„i, gi¶ s(cid:246) r»ng ∂f (x) (cid:54)= ∅ v(cid:181) ∂f (x) comp(cid:190)c. Ta ch(cid:216) ra r»ng

x ∈ ri(dom f ).

Do ∂f (x) (cid:54)= ∅ n“n x ∈ dom f . N(cid:213)u tr‚i l„i x (cid:54)∈ ri(dom f ), th(cid:215) x º tr“n

bi“n t›‹ng ﬁŁi cæa dom f .

Do dom f l(cid:229)i, theo m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) v(cid:210) si“u ph…ng tøa, t(cid:229)n t„i mØt si“u ph…ng tøa

cæa dom f t„i x, tłc l(cid:181) t(cid:229)n t„i vect‹ p ∈ Rn, p (cid:54)= 0 sao cho

(cid:104)p, x(cid:105) (cid:62) (cid:104)p, z(cid:105) ∀z ∈ dom f.

L˚y x∗ ∈ ∂f (x). Tı ﬁ'y v(cid:181) theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a d›(cid:237)i vi ph'n ta cª:

f (z) − f (x) (cid:62) (cid:104)x∗, z − x(cid:105)

(cid:62) (cid:104)x∗, z − x(cid:105) + λ.(cid:104)p, z − x(cid:105)

= (cid:104)x∗ + λ.p, z − x(cid:105) ∀λ > 0, ∀z.

∀λ > 0.

Chłng tÆ x∗ + λ.p ∈ ∂f (x) §i(cid:210)u n(cid:181)y m'u thu(cid:201)n v(cid:237)i t(cid:221)nh b(cid:222) ch˘n cæa ∂f (x). V¸y x ∈ ri(dom f ).

V(cid:221) d(cid:244) 2.3. Cho h(cid:181)m mØt bi(cid:213)n

(cid:40)

f (x) = −2x 1 2 n(cid:213)u x (cid:62) 0, +∞ n(cid:213)u x < 0.

Ta cª

dom f = [0; +∞) , 0 (cid:54)∈ int(dom f ).

2 , ∀x > 0.

x∗ ∈ ∂f (0) ⇔ (cid:104)x∗, x(cid:105) + f (0) (cid:54) f (x) , ∀x ⇔ x∗.x (cid:54) −2x (2.9)

N(cid:213)u x∗ < 0 , ta ch(cid:228)n x = 0.01 th(cid:215) (2.9) kh«ng tho¶ m•n. N(cid:213)u x∗ (cid:54) 0 th(cid:215) (2.9) kh«ng tho¶ m•n. V¸y ∂f (0) = ∅.

V(cid:221) d(cid:244) tr“n cho th˚y n(cid:213)u x (cid:54)∈ int(dom f ) th(cid:215) t¸p ∂f (x) cª th(cid:211) b»ng r(cid:231)ng.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.4. Cho f : Rn −→ R ∪ {+∞} v(cid:181) x ∈ dom f . Khi ﬁª i) N(cid:213)u x ∈ ri(dom f ), th(cid:215) f (cid:48)(x, y) = maxx∗∈∂f (x) (cid:104)x∗, y(cid:105) , ∀y. ii) V(cid:237)i m(cid:228)i t¸p b(cid:222) ch˘n C ⊂ int(dom f ), t¸p ∪x∈C∂f (x) b(cid:222) ch˘n . iii) N(cid:213)u cª th“m f ﬁªng, th(cid:215)

f ∗(x∗) + f (x) = (cid:104)x∗, x(cid:105) ⇐⇒ x∗ ∈ ∂f (x), x ∈ ∂f (x∗).

Chłng minh. i) Do f (cid:48)(x, .) l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i, thu˙n nh˚t d›‹ng, n“n m(cid:228)i h(cid:181)m non a-phin cæa f (cid:48)(x, .) ﬁ(cid:210)u tuy(cid:213)n t(cid:221)nh, tłc l(cid:181) cª d„ng (cid:104)p, .(cid:105). V¸y n(cid:213)u (cid:104)p, .(cid:105) l(cid:181) h(cid:181)m non a-phin cæa f (cid:48)(x, .) tr“n Rn, th(cid:215)

(cid:104)p, y(cid:105) (cid:54) f (cid:48)(x, y) , ∀y.

Theo m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.2 ta cª p ∈ ∂f (x).

H‹n n(cid:247)a, do f (cid:48)(x, .) l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i ﬁªng, n“n theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) x˚p x(cid:216) t¸p l(cid:229)i

nª l(cid:181) bao tr“n cæa c‚c h(cid:181)m non a-phin cæa nª. V¸y

f (cid:48)(x, y) = Supp∈∂f (x) (cid:104)p, y(cid:105).

ii) Gi¶ s(cid:246) C ⊆ int(dom f ).

§˘t

(2.10) ξ = Supx∗∈∂f (C) (cid:107)x∗(cid:107) = Supx∈C Supx∗∈∂f (C) (cid:107)x∗(cid:107)

X—t ‚nh x„ tuy(cid:213)n t(cid:221)nh (cid:104)x∗, z(cid:105). Chu¨n cæa ‚nh x„ tuy(cid:213)n t(cid:221)nh n(cid:181)y l(cid:181)

(cid:107)x∗(cid:107) = Sup(cid:107)z(cid:107)=1 (cid:104)x∗, z(cid:105).

Thay v(cid:181)o (2.10) ta cª :

ξ = Supx∈C Supx∗∈∂f (C) Sup(cid:107)z(cid:107)=1 (cid:104)x∗, z(cid:105).

f (cid:48)(x, z) = Supx∗∈∂f (x) (cid:104)x∗, z(cid:105)

n“n ta cª ti(cid:213)p

ξ = Sup(cid:107)z(cid:107)=1 Supx∈C f (cid:48)(x, z).

§˘t g(z) = Supx∈C f (cid:48)(x, z). Do x ∈ C ⊆ int(dom f ), n“n h(cid:181)m f (cid:48)(x, .) l(cid:229)i tr“n Rn ( do ﬁª li“n t(cid:244)c ).

Suy ra h(cid:181)m g li“n t(cid:244)c v(cid:215) l(cid:181) bao tr“n cæa mØt h(cid:228) h(cid:181)m l(cid:229)i li“n t(cid:244)c tr“n Rn.

V¸y

ξ = Sup(cid:107)z(cid:107)=1 g(z) = max(cid:107)z(cid:107)=1 g(z) < +∞.

Chłng tÆ ∂f (C) b(cid:222) ch˘n.

iii) Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a h(cid:181)m li“n h(cid:238)p, ta cª

f ∗(x∗) = Supx {(cid:104)x∗, x(cid:105) − f (x)}.

§i(cid:210)u n(cid:181)y t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i

f ∗(x∗) (cid:62) (cid:104)x∗, y(cid:105) − f (y) , ∀y.

Do ﬁª

f ∗(x∗) + f (x) = (cid:104)x∗, x(cid:105)

⇔ (cid:104)x∗, y(cid:105) − f (y) + f (x) (cid:54) (cid:104)x∗, x(cid:105) , ∀y.

Hay

(cid:104)x∗, y − x(cid:105) + f (x) (cid:54) f (y) , ∀y.

V¸y x∗ ∈ ∂f (x). Do f ﬁªng, n“n theo h(cid:214) qu¶ 1.1, ta cª f = f ∗∗.

Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa h(cid:181)m li“n h(cid:238)p, ta cª:

f ∗∗ = Supx∗ {(cid:104)x, x∗(cid:105) − f ∗(x∗)}.

§i(cid:210)u n(cid:181)y t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i

f ∗∗(x) (cid:62) (cid:104)x, y(cid:105) − f ∗(y) , ∀y.

Hay

f (x) (cid:62) (cid:104)x, y(cid:105) − f ∗(y) , ∀y.

Do ﬁª

f ∗(x∗) + f (x) = (cid:104)x∗, x(cid:105)

⇔ (cid:104)x, y(cid:105) − f ∗(y) + f ∗(x∗) (cid:54) (cid:104)x∗, x(cid:105) , ∀y.

Hay

(cid:104)x, y − x∗(cid:105) + f ∗(x∗) (cid:54) f ∗(y) , ∀y.

V¸y x ∈ ∂f ∗(x∗).

2.2.2 T(cid:221)nh kh¶ vi cæa h(cid:181)m l(cid:229)i

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.3. Cho mØt h(cid:181)m f x‚c ﬁ(cid:222)nh tr“n mØt l'n c¸n cæa x ∈ Rn. H(cid:181)m f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) kh¶ vi t„i x, n(cid:213)u t(cid:229)n t„i x∗ sao cho

= 0. lim z→x f (z) − f (x) − (cid:104)x∗, z − x(cid:105) (cid:107)z − x(cid:107)

MØt ﬁi(cid:211)m x∗ nh› th(cid:213) n(cid:213)u t(cid:229)n t„i sˇ duy nh˚t v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁ„o h(cid:181)m cæa

f t„i x. Th«ng th›Œng ﬁ„o h(cid:181)m n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c k(cid:221) hi(cid:214)u l(cid:181) (cid:79)f (x) ho˘c f (cid:48)(x).

Gi¶ s(cid:246) f : Rn −→ R ∪ {+∞} l(cid:229)i, ch(cid:221)nh th›Œng v(cid:181) x ∈ dom f . N(cid:213)u f

kh¶ vi t„i x, th(cid:215) v(cid:237)i m(cid:228)i y (cid:54)= 0, ta cª:

= 0. lim λ→0 f (x + λ.y) − f (x) − (cid:104)(cid:79)f (x), λ.y(cid:105) λ.(cid:107)y(cid:107)

Hay l(cid:181)

= 0.

f (cid:48)(x, y) − (cid:104)(cid:79)f (x), y(cid:105) (cid:107)y(cid:107) Suy ra f (cid:48)(x, y) = (cid:104)(cid:79)f (x), y(cid:105) , ∀y. L˚y y = ei (i=1,...,n) l(cid:181) v—c-t‹ ﬁ‹n v(cid:222) thł i cæa Rn, ta cª :

(cid:104)(cid:79)f (x), ei(cid:105) = ( )(x)(i = 1, .., n). ∂f ∂xi

n (cid:88)

V¸y

i=1

f (cid:48)(x, y) = )(x). yi( ∂f ∂xi

Tı ﬁ'y ta cª m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) sau:

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.5. Gi¶ s(cid:246) f : Rn −→ R ∪ {+∞} l(cid:229)i, ch(cid:221)nh th›Œng v(cid:181) x ∈ dom f . Khi ﬁª f kh¶ vi t„i x khi v(cid:181) ch(cid:216) khi t(cid:229)n t„i x∗ ∈ Rn sao cho

f (cid:48)(x, y) = (cid:104)x∗, y(cid:105) , ∀y.

Ngo(cid:181)i ra x ∈ int(dom f ) v(cid:181) (cid:79)f (x) = x∗.

Chłng minh. N(cid:213)u f kh¶ vi t„i x th(cid:215) nh› º tr“n, ta ﬁ• ch(cid:216) ra r»ng

f (cid:48)(x, y) = (cid:104)(cid:79)f (x), y(cid:105) , ∀y.

V¸y f (cid:48)(x, y) h(cid:247)u h„n tr“n to(cid:181)n Rn, n“n x ∈ int(dom f ).

Ng›(cid:238)c l„i f (cid:48)(x, y) = (cid:104)(cid:79)f (x), y(cid:105) , ∀y. Tr›(cid:237)c h(cid:213)t ta cª x ∈ int(dom f ) v(cid:215) f (cid:48)(x, .) h(cid:247)u h„n tr“n to(cid:181)n Rn. §(cid:211) chłng minh t(cid:221)nh kh¶ vi cæa f t„i x, ta l˚y

g(y) := f (x + y) − f (x) − (cid:104)x∗, y(cid:105).

Do f l(cid:229)i, ch(cid:221)nh th›Œng v(cid:181) f h(cid:247)u h„n, n“n g c(cid:242)ng l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i, ch(cid:221)nh

th›Œng tr“n Rn. Ta c˙n chłng tÆ

= 0. lim y→0

g(y) (cid:107)y(cid:107) Tr›(cid:237)c h(cid:213)t tı f (cid:48)(x, y) = (cid:104)x∗, y(cid:105), theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa f (cid:48)(x, y), ta cª

g(y) (cid:62) 0 , ∀y v(cid:181) g(0) = 0.

(cid:107)y(cid:107) thuØc si“u hØp H := [−1, 1]n. V¸y theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) (cid:107)y(cid:107) bi(cid:211)u di(cid:212)n ﬁ›(cid:238)c bºi mØt t(cid:230) h(cid:238)p l(cid:229)i cæa c‚c ﬁ(cid:216)nh cæa

N(cid:213)u y (cid:54)= 0 th(cid:215) v—c-t‹ y

i∈I

Krein-Milman ﬁi(cid:211)m y H, tłc l(cid:181) t(cid:229)n t„i c‚c sŁ thøc βi (ph(cid:244) thuØc y) sao cho (cid:88) (cid:88) = βi (cid:62) 0, βi = 1 v(cid:181) βivi, y (cid:107)y(cid:107)

trong ﬁª vi(i ∈ I) l(cid:181) c‚c ﬁ(cid:216)nh cæa H.

Ta cª

i∈I

(cid:88) (cid:88) ) = g((cid:107)y(cid:107) g(y) := g((cid:107)y(cid:107) βivi) = g( βi(cid:107)y(cid:107)vi). y (cid:107)y(cid:107)

Theo t(cid:221)nh l(cid:229)i cæa g th(cid:215)

i∈I

(cid:88) g( βi(cid:107)y(cid:107)vi) (cid:54) (cid:88) βig((cid:107)y(cid:107)vi).

Tªm l„i

. βi 0 (cid:54) g(y) (cid:107)y(cid:107) g((cid:107)y(cid:107)vi) (cid:107)y(cid:107) (cid:54) (cid:88) i∈I

→ 0 khi y → 0. Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa g ta l„i cª g((cid:107)y(cid:107)vi) (cid:107)y(cid:107)

(cid:107)y(cid:107) → 0.

V¸y g(y)

Chłng tÆ f kh¶ vi t„i x v(cid:181) do ﬁª (cid:79)f (x) = x∗.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.6. Cho f : Rn −→ R ∪ {+∞} kh¶ vi v(cid:181) C ⊂ Rn. Ba ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n

sau t›‹ng ﬁ›‹ng.

2(cid:107)x − y(cid:107)2

∀x, y ∈ C

∀x, y ∈ C a) η l(cid:181) h(cid:214) sŁ l(cid:229)i cæa f tr“n C. b) f (y) (cid:62) f (x) + (cid:104)f (cid:48)(x), y − x(cid:105) + η c)(cid:104)f (cid:48)(y) − f (cid:48)(x), y − x(cid:105) (cid:62) η(cid:107)x − y(cid:107)2

Chłng minh. (a)→ (b):

Do η l(cid:181) h(cid:214) sŁ l(cid:229)i cæa tr“n C, n“n v(cid:237)i t ∈ (0; 1) v(cid:181) m(cid:228)i x,y thuØc C ta cª:

f [t.y + (1 − t)x] (cid:54) tf (y) + (1 − t)f (x) − t(1 − t)(cid:107)x − y(cid:107)2. η 2

Suy ra

2t(1 − t)(cid:107)x − y(cid:107)2

f [ty + (1 − t)x] − f (x) + η f (y) − f (x) (cid:62)

= + (1 − t)(cid:107)x − y(cid:107)2. t f [x + t(y − x)] − f (x) t η 2

Cho t → 0, do f kh¶ vi, ta ﬁ›(cid:238)c:

f (y) − f (x) (cid:62) f (cid:48)(x, y − x) + (cid:107)x − y(cid:107)2. η 2

(b)→(a):

Cho t ∈ (0; 1) v(cid:181) ω = (1 − t)x + ty. Khi ﬁª

y = ω + (1 − t)(y − x),

x = ω + (−t)(y − x).

Ap d(cid:244)ng (b), ta ﬁ›(cid:238)c:

(cid:107)ω − y(cid:107)2, f (y) (cid:62) f (ω) + (cid:104)f (cid:48)(ω), y − ω(cid:105) +

f (x) (cid:62) f (ω) + (cid:104)f (cid:48)(ω), x − ω(cid:105) + (cid:107)ω − x(cid:107)2. η 2 η 2

Hay

(1 − t)2(cid:107)y − x(cid:107)2,

f (x) (cid:62) f (ω) + (cid:104)f (cid:48)(ω), (−t)(y − x)(cid:105) + η 2 t2(cid:107)y − x(cid:107)2. f (y) (cid:62) f (ω) + (cid:104)f (cid:48)(ω), (1 − t)(y − x)(cid:105) + η 2

Nh'n b˚t ﬁ…ng thłc tr“n v(cid:237)i t > 0 v(cid:181) b˚t ﬁ…ng thłc d›(cid:237)i v(cid:237)i 1 − t > 0 ta

ﬁ›(cid:238)c :

tf (y) (cid:62) tf (ω) + (cid:104)f (cid:48)(ω), t(1 − t)(y − x)(cid:105)

t(1 − t)2(cid:107)y − x(cid:107)2, + η 2

(1 − t)f (x) (cid:62) (1 − t)f (ω) + (cid:104)f (cid:48)(ω), −t(1 − t)(y − x)(cid:105)

t2(1 − t)(cid:107)y − x(cid:107)2. + η 2

CØng hai b˚t ﬁ…ng thłc tr“n v(cid:181) chuy(cid:211)n v(cid:213), ta cª:

t(1 − t)(cid:107)y − x(cid:107)2. tf (y) + (1 − t)f (x) (cid:62) f (ω) + η 2

Hay

f [(1 − t)x + ty] (cid:54) (1 − t)f (x) + tf (y) − t(1 − t)(cid:107)y − x(cid:107)2. η 2

Chłng tÆ η l(cid:181) h(cid:214) sŁ l(cid:229)i cæa f tr“n C.

(b)→(c):

Do (b), n“n ∀x, y ∈ C, ta cª:

f (y) − f (x) (cid:62) (cid:104)f (cid:48)(x), y − x(cid:105) + (cid:107)x − y(cid:107)2,

(cid:107)x − y(cid:107)2. f (x) − f (y) (cid:62) (cid:104)f (cid:48)(y), x − y(cid:105) + η 2 η 2

CØng hai b˚t ﬁ…ng thłc l„i ta ﬁ›(cid:238)c:

0 (cid:62) (cid:104)f (cid:48)(x) − f (cid:48)(y), y − x(cid:105) + η(cid:107)x − y(cid:107)2.

Hay

(cid:104)f (cid:48)(y) − f (cid:48)(x), y − x(cid:105) (cid:62) η(cid:107)x − y(cid:107)2.

(c)→(b):

§˘t

γ(t) = f [(1 − t)x + ty] = f [x + t(y − x)].

Khi ﬁª

γ(cid:48)(t) = (cid:104)f (cid:48)[x + t(y − x)], y − x(cid:105),

v(cid:181) (cid:90) 1 f (y) − f (x) = γ(1) − γ(0) = γ(cid:48)(t)dt.

B'y giŒ gi¶ s(cid:246) cª (c). V(cid:237)i x, y ∈ C, ﬁ˘t h := y − x. Khi ﬁª

0 (cid:90) 1

(cid:90) 1 f (y) − f (x) = γ(cid:48)(t)dt

0 (cid:90) 1

= (cid:104)f (cid:48)[x + t(y − x)], y − x(cid:105)dt

0 (cid:90) 1

= f (cid:48)(x + th).hdt

0 (cid:90) 1

= [f (cid:48)(x) + f (cid:48)(x + th) − f (cid:48)(x)]hdt

= (f (cid:48)(x)h + [f (cid:48)(x + th) − f (cid:48)(x)]h)dt

0 + (cid:90) 1

(cid:90) 1 = f (cid:48)(x)ht|1 [f (cid:48)(x + th) − f (cid:48)(x)]hdt

= f (cid:48)(x)h + [f (cid:48)(x + th) − f (cid:48)(x)]hdt.

Theo (c) ta cª :

(cid:104)f (cid:48)(x + th) − f (cid:48)(x), th(cid:105) (cid:62) η(cid:107)th(cid:107)2,

hay

[f (cid:48)(x + th) − f (cid:48)(x)]h (cid:62) ηt(cid:107)h(cid:107)2.

Suy ra

(cid:90) 1 (cid:90) 1 [f (cid:48)(x + th) − f (cid:48)(x)]hdt (cid:62) ηt(cid:107)h(cid:107)2dt

(cid:107)h(cid:107)2|1 0

0 t2 2 (cid:107)h(cid:107)2.

= = η η 2

V¸y

f (y) − f (x) (cid:62) f (cid:48)(x)h + (cid:107)h(cid:107)2, η 2

hay

(cid:107)y − x(cid:107)2. f (y) − f (x) (cid:62) (cid:104)f (cid:48)(x), y − x(cid:105) + η 2

2.2.3 T(cid:221)nh ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u cæa d›(cid:237)i vi ph'n

Cho T l(cid:181) mØt to‚n t(cid:246) ﬁa tr(cid:222) tr“n Rn, tłc l(cid:181) v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ Rn, th(cid:215) T (x) l(cid:181) mØt

t¸p (cª th(cid:211) b»ng r(cid:231)ng). Nh› th›Œng l(cid:214) ta k(cid:253) hi(cid:214)u t¸p h(cid:238)p t˚t c¶ c‚c t¸p con cæa Rn l(cid:181) 2Rn.

K(cid:221) hi(cid:214)u mi(cid:210)n x‚c ﬁ(cid:222)nh cæa T l(cid:181)

dom T := {x ∈ Rn | T (x) (cid:54)= ∅},

v(cid:181) ﬁ(cid:229) th(cid:222) cæa T l(cid:181)

G(T ) := {(x, y) ∈ Rn × Rn | y ∈ T (x)}.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.4. Cho T : Rn −→ 2Rn v(cid:181) C ⊆ dom T .

Ta nªi T l(cid:181) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n ho(cid:181)n tr“n C, n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:228)i sŁ nguy“n d›‹ng m

v(cid:181) m(cid:228)i c˘p (xi, yi) ∈ G(T ), xi ∈ C (i=0,...,m) ta cª:

(cid:104)x1 − x0, y0(cid:105) + (cid:104)x2 − x1, y1(cid:105) + ... + (cid:104)x0 − xm, ym(cid:105) (cid:54) 0. (2.11)

N(cid:213)u (2.11) ch(cid:216) ﬁ(cid:243)ng v(cid:237)i m = 1, th(cid:215) ta nªi T ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tr“n C, tłc l(cid:181)

(cid:104)y − y(cid:48), x − x(cid:48)(cid:105) (cid:62) 0 , ∀x, x(cid:48) ∈ C , ∀y ∈ T (x) , ∀y(cid:48) ∈ T (x(cid:48)).

N(cid:213)u T ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u (ho˘c ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n ho(cid:181)n) tr“n to(cid:181)n dom T , th(cid:215) ta nªi

ng(cid:190)n g(cid:228)n l(cid:181) T ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u (ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n ho(cid:181)n).

N(cid:213)u T ≡ ∂f th(cid:215) T ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n ho(cid:181)n tr“n dom(∂f ). Th¸t v¸y: ∀m ∈ N , ∀(xi, yi) ∈ G(∂f ) , xi ∈ dom(∂f ) (i = 0, ...n) ta cª:

G(∂f ) = {(xi, yi) | yi ∈ ∂f (xi)}.

Suy ra

(cid:104)y0, x1 − x0(cid:105) + f (x0) (cid:54) f (x1) (cid:104)y1, x2 − x1(cid:105) + f (x1) (cid:54) f (x2)

...

(cid:104)ym, x0 − xm(cid:105) + f (xm) (cid:54) f (x0).

CØng v(cid:213) v(cid:237)i v(cid:213) cæa c‚c b˚t ﬁ…ng thłc tr“n, ta ﬁ›(cid:238)c:

(cid:104)y0, x1 − x0(cid:105) + (cid:104)y1, x2 − x1(cid:105) + ... + (cid:104)ym, x0 − xm(cid:105) (cid:54) 0.

Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a, T ≡ ∂f ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n ho(cid:181)n tr“n dom(∂f ).

MØt c'u hÆi ﬁ›(cid:238)c ﬁ˘t ra l(cid:181) ﬁi(cid:210)u ng›(cid:238)c l„i cª ﬁ(cid:243)ng kh«ng? Tr¶ lŒi c'u hÆi

n(cid:181)y ta cª m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) sau:

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.7. Gi¶ s(cid:246) S l(cid:181) mØt to‚n t(cid:246) ﬁa tr(cid:222) tı Rn −→ Rn.

§i(cid:210)u ki(cid:214)n c˙n v(cid:181) ﬁæ ﬁ(cid:211) t(cid:229)n t„i mØt h(cid:181)m l(cid:229)i, ﬁªng, ch(cid:221)nh th›Œng f tr“n

Rn sao cho S(x) ⊆ ∂f (x) , ∀x l(cid:181) to‚n t(cid:246) S ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n ho(cid:181)n.

Chłng minh. §i(cid:210)u ki(cid:214)n c˙n: N(cid:213)u t(cid:229)n t„i mØt h(cid:181)m f l(cid:229)i, ﬁªng, ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn sao cho S(x) ⊆ ∂f (x) , ∀x th(cid:215) S l(cid:181) to‚n t(cid:246) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n ho(cid:181)n.

∀m ∈ N , ∀(xi, yi) ∈ G(S), xi ∈ dom S(i = 0, ...m). Tı (xi, yi) ∈ G(S) ⇒ yi ∈ S(xi) ⊆ ∂f (xi), (∀i = 0, ..m), do ∂f l(cid:181) ﬁ‹n

ﬁi(cid:214)u tu˙n ho(cid:181)n tr“n dom(∂f ) n“n

(cid:104)y0, x1 − x0(cid:105) + (cid:104)y1, x2 − x1(cid:105) + ... + (cid:104)ym, x0 − xm(cid:105) (cid:54) 0.

Suy ra S l(cid:181) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n ho(cid:181)n tr“n dom S.

§i(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁæ: N(cid:213)u S l(cid:181) to‚n t(cid:246) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n ho(cid:181)n th(cid:215) t(cid:229)n t„i mØt h(cid:181)m f

l(cid:229)i, ﬁªng, ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn sao cho S(x) ⊆ ∂f (x) , ∀x Gi¶ s(cid:246) (x0, y0) ∈ G(S), ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a h(cid:181)m f b»ng c‚ch l˚y

f (x) := Sup{(cid:104)x − xm, ym(cid:105) + ... + (cid:104)x1 − x0, y0(cid:105)},

trong ﬁª c¸n tr“n ﬁ(cid:243)ng ﬁ›(cid:238)c l˚y tr“n t˚t c¶ c‚c c˘p (xi, yi) ∈ G(S) v(cid:181) c‚c

sŁ nguy“n d›‹ng m.

Ta chłng minh: f l(cid:229)i, ﬁªng, ch(cid:221)nh th›Œng v(cid:181) S(x) ⊆ ∂f (x) , ∀x.

Do f l(cid:181) bao tr“n cæa mØt h(cid:228) c‚c h(cid:181)m a-phin, n“n f l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i ﬁªng.

Do t(cid:221)nh ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n ho(cid:181)n cæa S, n“n

f (x0) := Sup{(cid:104)xo − xm, ym(cid:105) + (cid:104)xm − xm−1, ym−1(cid:105) + ... + (cid:104)x1 − x0, y0(cid:105)} := 0,

suy ra dom f (cid:54)= ∅. V¸y f l(cid:181) ch(cid:221)nh th›Œng.

V(cid:237)i b˚t k(cid:215) c˘p (x, x∗) ∈ G(S), ta cª x∗ ∈ S(x), ta sˇ chłng minh

x∗ ∈ ∂f (x). MuŁn th(cid:213) ta sˇ chłng minh r»ng

∀α < f (x) v(cid:181) y ∈ Rn , ta cª α + (cid:104)x∗, y − x(cid:105) < f (y).

Th¸t v¸y, do α < f (x), n“n theo t(cid:221)nh ch˚t cæa c¸n tr“n ﬁ(cid:243)ng, sˇ t(cid:229)n t„i

c‚c c˘p (xi, yi) ∈ G(S) v(cid:181) sŁ nguy“n d›‹ng m (i=1,...m) thÆa m•n

α < (cid:104)x − xm, ym(cid:105) + (cid:104)xm − xm−1, ym−1(cid:105) + ... + (cid:104)x1 − x0, y0(cid:105).

Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa f (y), ta ﬁ›(cid:238)c:

f (y) (cid:62) (cid:104)y − xm, ym(cid:105) + ... + (cid:104)x1 − x0, y0(cid:105)

= (cid:104)y − xm+1, ym(cid:105) + (cid:104)xm+1 − xm, ym(cid:105) + ... + (cid:104)x1 − x0, y0(cid:105).

Thay xm+1 = x , ym = x∗, ta cª

f (y) (cid:62) (cid:104)y − x, x∗(cid:105) + (cid:104)x − xm, ym(cid:105) + (cid:104)xm − xm−1, ym−1(cid:105)

+ ... + (cid:104)x1 − x0, y0(cid:105)

> (cid:104)y − x, x∗(cid:105) + α.

§i(cid:210)u n(cid:181)y ﬁ(cid:243)ng v(cid:237)i m(cid:228)i (x, x∗) ∈ G(S) n“n S(x) ⊂ ∂f (x) , ∀x.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.5. Ta nªi mØt to‚n t(cid:246) T : Rn −→ 2Rn l(cid:181) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u cøc ﬁ„i n(cid:213)u nª l(cid:181) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u v(cid:181) ﬁ(cid:229) th(cid:222) cæa nª kh«ng ph¶i l(cid:181) t¸p con thøc sø cæa ﬁ(cid:229) th(cid:222) cæa

mØt to‚n t(cid:246) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u n(cid:181)o kh‚c.

To‚n t(cid:246) T ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n ho(cid:181)n cøc ﬁ„i, n(cid:213)u nª l(cid:181) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n

ho(cid:181)n v(cid:181) ﬁ(cid:229) th(cid:222) cæa nª kh«ng ph¶i l(cid:181) t¸p con thøc sø cæa ﬁ(cid:229) th(cid:222) cæa mØt to‚n

t(cid:246) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n ho(cid:181)n n(cid:181)o kh‚c.

V(cid:221) d(cid:244) 2.4. (To‚n t(cid:246) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u)

X—t NC(x) := {ω | (cid:104)ω, y − x(cid:105) (cid:54) 0 , ∀y ∈ C}. Ta chłng tÆ r»ng nªn ph‚p tuy(cid:213)n cª t(cid:221)nh ch˚t ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u theo ngh(cid:220)a

(cid:104)ω − ω(cid:48), x − x(cid:48)(cid:105) (cid:62) 0 ∀x, x(cid:48) ∈ C , ∀ω ∈ NC(x) , ∀ω(cid:48) ∈ NC(x(cid:48)).

Th¸t v¸y: ∀x, x(cid:48) ∈ C ta cª: + ω ∈ NC(x) ⇔ (cid:104)ω, y − x(cid:105) (cid:54) 0 ∀y ∈ C. V(cid:237)i y = x(cid:48),

ta cª (cid:104)ω, x(cid:48) − x(cid:105) (cid:54) 0.

+ ω(cid:48) ∈ NC(x(cid:48)) ⇔ (cid:104)ω(cid:48), y − x(cid:48)(cid:105) (cid:54) 0 ∀y ∈ C. V(cid:237)i y = x,

ta cª (cid:104)ω(cid:48), x − x(cid:48)(cid:105) (cid:54) 0.

⇒ (cid:104)ω, x(cid:48) − x(cid:105) + (cid:104)ω(cid:48), x − x(cid:48)(cid:105) (cid:54) 0. ⇒ (cid:104)ω − ω(cid:48), x − x(cid:48)(cid:105) (cid:62) 0.

V(cid:221) d(cid:244) 2.5. (To‚n t(cid:246) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u)

X—t ‚nh x„

f : R2 −→ R2

x (cid:55)−→ f (x) = Qx = (x2, −x1). (cid:18) 0 (cid:19) . V(cid:237)i x = (x1, x2), Q = 1 −1 0

V(cid:237)i m(cid:228)i x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 ta cª: + x − y = (x1 − y1, x2 − y2). + f (x) − f (y) = (x2 − y2, −x1 + y1). Suy ra

(cid:104)f (x) − f (y), x − y(cid:105) = (x2 − y2)(x1 − y1) + (−x1 + y1)(x2 − y2)

= 0 ∀x, y ∈ R2.

V¸y f l(cid:181) ‚nh x„ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tr“n R2.

H(cid:214) qu¶ 2.1. M(cid:228)i to‚n t(cid:246) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n ho(cid:181)n cøc ﬁ„i trong Rn ﬁ(cid:210)u l(cid:181) d›(cid:237)i vi ph'n cæa mØt h(cid:181)m l(cid:229)i, ﬁªng, ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn.

Chłng minh. Gi¶ s(cid:246) S l(cid:181) to‚n t(cid:246) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n ho(cid:181)n cøc ﬁ„i trong Rn. Theo

ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a ta cª :

+ S l(cid:181) to‚n t(cid:246) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n ho(cid:181)n .

+ G(S) kh«ng l(cid:181) t¸p con thøc sø cæa ﬁ(cid:229) th(cid:222) cæa mØt to‚n t(cid:246) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n

ho(cid:181)n n(cid:181)o kh‚c.

Do S l(cid:181) to‚n t(cid:246) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n ho(cid:181)n n“n theo m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.7, t(cid:229)n t„i mØt h(cid:181)m

l(cid:229)i, ﬁªng, ch(cid:221)nh th›Œng f tr“n Rn sao cho S(x) ⊆ ∂f (x) , ∀x.

Ta cª :∀(x, y) ∈ G(S) ⇒ y ∈ S(x) do S(x) ⊆ ∂f (x), ∀x n“n y ∈ ∂f (x)

⇒ (x, y) ∈ G(∂f ). V¸y G(S) ⊂ G(∂f ).

Do G(S) kh«ng l(cid:181) t¸p con thøc sø cæa ﬁ(cid:229) th(cid:222) cæa mØt to‚n t(cid:246) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u

tu˙n ho(cid:181)n n(cid:181)o kh‚c v(cid:181) ∂f l(cid:181) to‚n t(cid:246) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u tu˙n ho(cid:181)n n“n G(S) = G(∂f ).

Suy ra S ≡ ∂f .

2.2.4 T(cid:221)nh li“n t(cid:244)c cæa d›(cid:237)i vi ph'n

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.6. MØt ‚nh x„ T : Rn −→ 2Rn ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁªng t„i x, n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:228)i d•y xk → x, m(cid:228)i yk ∈ T (xk) v(cid:181) yk → y th(cid:215) y ∈ T (x)

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.7. MØt ‚nh x„ T : Rn −→ 2Rn ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n t„i x, n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:228)i t¸p mº G chła T(x), t(cid:229)n t„i mØt l'n c¸n mº U cæa x sao

cho

T (z) ⊂ G, ∀z ∈ U.

Ta nªi ‚nh x„ T l(cid:181) ﬁªng (n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n) tr“n t¸p C, n(cid:213)u nª ﬁªng (n(cid:246)a

li“n t(cid:244)c tr“n) t„i m(cid:228)i ﬁi(cid:211)m thuØc C.

MØt ‚nh x„ T ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁªng n(cid:213)u ﬁ(cid:229) th(cid:222) cæa T l(cid:181) mØt t¸p ﬁªng.

Nªi mØt c‚ch kh‚i qu‚t, b(cid:230) ﬁ(cid:210) d›(cid:237)i ﬁ'y ch(cid:216) ra r»ng: MØt d•y h(cid:181)m l(cid:229)i n(cid:213)u

b(cid:222) ch˘n tr“n bºi mØt h(cid:181)m l(cid:229)i theo tıng ﬁi(cid:211)m º tr“n mØt t¸p l(cid:229)i, mº, th(cid:215) sˇ b(cid:222)

ch˘n tr“n ﬁ(cid:210)u bºi ch(cid:221)nh h(cid:181)m l(cid:229)i ﬁª tr“n m(cid:228)i t¸p comp(cid:190)c thuØc t¸p mº n(cid:181)y.

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.1. Cho mØt t¸p l(cid:229)i, mº G ⊆ Rn v(cid:181) f l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i nh¸n gi‚ tr(cid:222) h(cid:247)u h„n tr“n G. Gi¶ s(cid:246) {fi}i ∈ I l(cid:181) mØt d•y c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i h(cid:247)u h„n tr“n G v(cid:181) hØi t(cid:244) theo tıng ﬁi(cid:211)m tr“n G ﬁ(cid:213)n f . Gi¶ s(cid:246) lim sup fi(x) (cid:54) f (x) , ∀x ∈ G.

Khi ﬁª v(cid:237)i m(cid:228)i t¸p comp(cid:190)c K ⊆ G, v(cid:237)i m(cid:228)i (cid:15) > 0, t(cid:229)n t„i ch(cid:216) sŁ i(cid:15) sao

cho

fi(x) (cid:54) f (x) + (cid:15) , ∀i (cid:62) i(cid:15) , ∀x ∈ K.

Chłng minh. V(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ G, m(cid:228)i i ∈ N , ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a

gi(x) := max{fi(x), f (x)}.

H(cid:181)m gi l(cid:229)i, h(cid:247)u h„n tr“n G v(cid:215) nª l(cid:181) h(cid:181)m bao tr“n cæa hai h(cid:181)m l(cid:229)i, h(cid:247)u

h„n tr“n G.

Do G mº, n“n gi li“n t(cid:244)c tr“n G. Do K ⊆ G comp(cid:190)c, n“n d•y {gi(x)}i ∈ I b(cid:222) ch˘n. Kh«ng gi¶m t(cid:230)ng

qu‚t, b»ng c‚ch qua d•y con, ta cª th(cid:211) coi

gi(x) → l(x) khi i → +∞.

Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa gi(x) v(cid:181) do lim sup fi(x) (cid:54) f (x) ∀x ∈ K, ta suy ra

l(x) = f (x).

V¸y d•y gi(x) hØi t(cid:244) theo tıng ﬁi(cid:211)m ﬁ(cid:213)n f tr“n t¸p comp(cid:190)c K, n“n nª

hØi t(cid:244) ﬁ(cid:210)u ﬁ(cid:213)n f tr“n K.

Nh›ng do gi := max{fi(x), f (x)}, n“n v(cid:237)i m(cid:228)i t¸p comp(cid:190)c K ⊆ G, v(cid:237)i

m(cid:228)i (cid:15) > 0, ∃i(cid:15) : ∀i (cid:62) i(cid:15) ta cª

fi(x) (cid:54) f (x) + (cid:15) , ∀x ∈ K.

Tı m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) sau, suy ra t(cid:221)nh n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n cæa ‚nh x„ ∂f . C(cid:244) th(cid:211) l(cid:181):

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.8. Cho mØt t¸p l(cid:229)i, mº U ⊆ Rn v(cid:181) f l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i nh¸n gi‚ tr(cid:222) h(cid:247)u h„n tr“n U . Gi¶ s(cid:246) {fi}i ∈ I l(cid:181) mØt d•y c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i h(cid:247)u h„n tr“n U v(cid:181) hØi t(cid:244) theo tıng ﬁi(cid:211)m tr“n U ﬁ(cid:213)n f .

Khi ﬁª, n(cid:213)u d•y {xi} ⊂ U hØi t(cid:244) ﬁ(cid:213)n x ∈ U , th(cid:215) v(cid:237)i m(cid:228)i (cid:15) > 0, t(cid:229)n t„i

ch(cid:216) sŁ i(cid:15) sao cho

∂fi(xi) ⊂ ∂f (x) + (cid:15).B(0, 1) , ∀i (cid:62) i(cid:15),

trong ﬁª B(0, 1) l(cid:181) h(cid:215)nh c˙u ﬁ‹n v(cid:222) ﬁªng t'm º O

Chłng minh. Cho α > 0 , y ∈ Rn. V(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ U ﬁ˘t

µ := f (cid:48)(x, y) + α.

Do f l(cid:229)i, h(cid:247)u h„n tr“n t¸p U mº v(cid:181) x ∈ U , n“n x ∈ int(dom f ), do ﬁª µ

h(cid:247)u h„n.

Do x ∈ int(dom f ), n“n v(cid:237)i m(cid:228)i y, t(cid:229)n t„i δ > 0 sao cho

x + λ.y ∈ int(dom f ) v(cid:237)i m(cid:228)i 0 < λ < δ.

Do α > 0 v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa f (cid:48)(x, y), ta cª :

< µ , ∀λ ∈ (0, δ). (2.12) f (x + λ.y) − f (x) λ

Do fi(x + λ.y) → f (x + λ.y) v(cid:181) fi(xi) → f (x), n“n tı (2.12), t(cid:229)n t„i i1

sao cho

< µ , ∀i (cid:62) i1 , ∀λ ∈ (0, δ). fi(xi + λ.y) − fi(xi) λ

i(xi, y) (cid:54) fi(xi + λ.y) − fi(xi) f (cid:48)

i(xi, y) (cid:54) µ v(cid:237)i m(cid:228)i i (cid:62) i1.

n“n f (cid:48)

V¸y

i(xi, y) (cid:54) µ = f (cid:48)(x, y) + α.

lim sup f (cid:48)

Do ﬁi(cid:210)u n(cid:181)y ﬁ(cid:243)ng v(cid:237)i m(cid:228)i α > 0, ta suy ra

i(xi, y) < f (cid:48)(x, y).

lim sup f (cid:48)

i(xi, .) v(cid:181) f (cid:48)(x, .) l(cid:229)i, h(cid:247)u h„n tr“n U ( do x ∈ U ⊂ int(dom f )) n“n

i(xi, .) v(cid:181) f (cid:48)(x, .) v(cid:237)i G = Rn,

V(cid:215) f (cid:48)

‚p d(cid:244)ng b(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.1 cho c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i f (cid:48) K = B(0, 1) ta cª :

i(xi, y) (cid:54) f (cid:48)(x, y) + (cid:15) , ∀y ∈ B(0, 1). f (cid:48)

V(cid:237)i m(cid:228)i t¸p comp(cid:190)c B(0, 1) ⊆ Rn , ∀(cid:15) > 0 , ∃i(cid:15) sao cho ∀i (cid:62) i(cid:15) ta cª

Tı ﬁ'y, v(cid:237)i m(cid:228)i y (cid:54)= 0, theo t(cid:221)nh ch˚t thu˙n nh˚t d›‹ng cæa f (cid:48)(x, .), ta

cª:

i(xi, y) = f (cid:48) f (cid:48)

i(xi,

) (cid:54) f (cid:48)(x, ) + (cid:15). 1 (cid:107)y(cid:107) y (cid:107)y(cid:107) y (cid:107)y(cid:107)

i(xi, y) (cid:54) f (cid:48)(x, y) + (cid:15).(cid:107)y(cid:107) , ∀i (cid:62) i(cid:15) , ∀y. f (cid:48)

Hay

i(xi, y) l(cid:181) h(cid:181)m tøa cæa ∂fi(xi) v(cid:181) f (cid:48)(x, y) l(cid:181) h(cid:181)m tøa cæa ∂f (x) n“n

Do f (cid:48)

tı ﬁ'y suy ra

∂fi(xi) ⊆ ∂f (x) + (cid:15).B(0, 1).

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.9. Cho f l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn. Khi ﬁª ‚nh x„ d›(cid:237)i vi ph'n x −→ ∂f (x) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n t„i m(cid:228)i ﬁi(cid:211)m x ∈ int(dom f )

Chłng minh. Ta cª f l(cid:229)i n“n nª h(cid:247)u h„n tr“n t¸p int(dom f ). V¸y ‚p d(cid:244)ng

m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.8 v(cid:237)i U = int(dom f ) v(cid:181) fi = f, ∀i, ta cª:

N(cid:213)u x ∈ int(dom f ) v(cid:181) {xi} ⊂ int(dom f ) hØi t(cid:244) ﬁ(cid:213)n x th(cid:215) v(cid:237)i m(cid:228)i

(cid:15) > 0, t(cid:229)n t„i i(cid:15) sao cho ∀i (cid:62) i(cid:15) ta cª

∂f (xi) ⊂ ∂f (x) + (cid:15).B(0, 1).

Suy ra ∂f n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n t„i m(cid:228)i ﬁi(cid:211)m x ∈ int(dom f ).

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.10. Cho f l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn.

N(cid:213)u f kh¶ vi tr“n t¸p int(dom f ) th(cid:215) nª kh¶ vi li“n t(cid:244)c tr“n t¸p n(cid:181)y.

Chłng minh. Cho x ∈ int(dom f ) v(cid:181) d•y{xi} ⊂ int(dom f ). Ta ‚p d(cid:244)ng m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.8 v(cid:237)i U = int(dom f ) v(cid:181) (cid:79)fi = (cid:79)f , ∀i, ta cª:

∀(cid:15) > 0 t(cid:229)n t„i i(cid:15) sao cho

∀i (cid:62) i(cid:15), (cid:107)(cid:79)f (xi) − (cid:79)f (x)(cid:107) (cid:54) (cid:15).

Chłng tÆ (cid:79)f (.) li“n t(cid:244)c t„i x.

2.2.5 Ph—p t(cid:221)nh v(cid:237)i d›(cid:237)i ﬁ„o h(cid:181)m

T›‹ng tø gi¶i t(cid:221)ch c(cid:230) ﬁi(cid:211)n, n(cid:213)u f l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng trong Rn th(cid:215)

∂(λf )(x) = λ.∂f (x) , ∀λ > 0 , ∀x.

Th¸t v¸y

x∗ ∈ ∂(λf )(x) ⇔ (cid:104)x∗, z − x(cid:105) + (λf )(x) (cid:54) (λf )(z) , ∀z

⇔ (cid:104)x∗, z − x(cid:105) + λf (x) (cid:54) λf (z) , ∀z

, z − x(cid:105) + f (x) (cid:54) f (z) , ∀z ⇔ (cid:104)

⇔ ∈ ∂f (x) x∗ λ x∗ λ

⇔ x∗ ∈ λ∂f (x).

§Łi v(cid:237)i d›(cid:237)i vi ph'n cæa t(cid:230)ng c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i, ta cª ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) sau:

m (cid:88)

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.11. (§(cid:222)nh l(cid:253) Moreau-Rockafellar). Cho fi, i=1,...,m l(cid:181) c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn. Khi ﬁª

i=1

∂fi(x) ⊆ ∂( fi(x)) , ∀x.

m (cid:88)

N(cid:213)u ∩ ri(dom fi) (cid:54)= ∅ th(cid:215)

i=1

∂fi(x) = ∂( fi(x)) , ∀x

m (cid:88)

Chłng minh. Ta chłng minh

i=1

∂fi(x) ⊆ ∂( fi(x)), ∀x.

i ∈ ∂fi(x), i = 1, .., m. Ta cª

i , x∗

i=1 i=1 x∗

i=1 ∂fi(x) th(cid:215) x∗ = (cid:80)m

i , z − x(cid:105) + fi(x) (cid:54) fi(z) , ∀z , i = 1, ..., m i ∈ ∂fi(x), i = 1, ..., m ⇔ (cid:104)x∗ x∗ m (cid:88)

m (cid:88)

N(cid:213)u x∗ ∈ (cid:80)m

i=1

m (cid:88)

⇒ (cid:104) fi(x) (cid:54) fi(z), ∀z x∗ i , z − x(cid:105) +

i=1

m (cid:88)

⇔ (cid:104)x∗, z − x(cid:105) + fi(x) (cid:54) fi(z), ∀z

i=1

⇔ x∗ ∈ ∂( fi(x)) , ∀x.

i=1 ∂fi(x) ⊆ ∂((cid:80)m

i=1 fi(x)), ∀x.

V¸y (cid:80)m

m (cid:88)

Ta chłng minh

i=1

∂fi(x) ⊇ ∂( fi(x)) , ∀x.

2 (cid:88)

Ch(cid:216) c˙n chłng minh v(cid:237)i m = 2, v(cid:237)i m > 2 d(cid:239)ng quy n„p. L˚y x0 ∈ Rn v(cid:181)

i=1

x∗ ∈ ∂( fi(x0)) = ∂(f1(x0) + f2(x0)) = ∂(f1 + f2)(x0).

Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa d›(cid:237)i vi ph'n ta cª:

∀x

∀x (cid:104)x∗, x − x0(cid:105) + f1(x0) + f2(x0) (cid:54) f1(x) + f2(x) ⇔f1(x) + f2(x) − f1(x0) − f2(x0) − (cid:104)x∗, x − x0(cid:105) (cid:62) 0 (cid:40)

⇔ f1(x) + f2(y) − f1(x0) − f2(x0) − (cid:104)x∗, x − x0(cid:105) < 0 x = y

kh«ng cª nghi(cid:214)m.

L˚y D = dom f1 × dom f2 v(cid:181) A(x, y) = x − y. Theo gi¶ thi(cid:213)t f1 li“n t(cid:244)c t„i mØt ﬁi(cid:211)m a ∈ dom f1 ∩ dom f2, n“n t(cid:229)n t„i mØt l'n c¸n U cæa gŁc sao cho

U = (a + U ) − a ⊂ dom f1 − dom f2 = A(D).

V¸y 0 ∈ intA(D), ‚p d(cid:244)ng m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.4 v(cid:237)i

f (x, y) = f1(x) + f2(y) − f1(x0) − f2(x0) − (cid:104)x∗, x − x0(cid:105)

A(x, y) = x − y.

Ta cª

(cid:104)t, x − y(cid:105) + [f1(x) + f2(y) − f1(x0) − f2(x0) − (cid:104)x∗, x − x0(cid:105)] (cid:62) 0,

∀x ∈ dom f1 , y ∈ dom f2.

§Łi v(cid:237)i x (cid:54)∈ dom f1 v(cid:181) y (cid:54)∈ dom f2, th(cid:215) b˚t ﬁ…ng thłc tr“n l(cid:181) hi(cid:211)n nhi“n. V¸y

(cid:104)t, x − y(cid:105) + [f1(x) + f2(y) − f1(x0) − f2(x0) − (cid:104)x∗, x − x0(cid:105)] (cid:62) 0 , ∀x, y.

L˚y x = x0 ta cª

(cid:104)t, y − x0(cid:105) + f2(x0) (cid:54) f2(y) , ∀y.

Chłng tÆ t ∈ ∂f2(x0). L˚y y = x0 ta cª

(cid:104)x∗ − t, x − x0(cid:105) + f1(x0) (cid:54) f1(x) , ∀x.

Chłng tÆ x∗ − t ∈ ∂f1(x0). Do ﬁª x∗ = (x∗ − t) + t ∈ ∂f1(x0) + ∂f2(x0).

2.3 D›(cid:237)i vi ph'n x˚p x(cid:216)

D›(cid:237)i vi ph'n x˚p x(cid:216), hay c(cid:223)n ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) (cid:15)-d›(cid:237)i vi ph'n, th›Œng ﬁ›(cid:238)c s(cid:246)

d(cid:244)ng trong thøc t(cid:213) bºi hai l(cid:253) do ch(cid:221)nh sau ﬁ'y. MØt l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i cª th(cid:211) kh«ng

kh¶ d›(cid:237)i vi ph'n t„i nh(cid:247)ng ﬁi(cid:211)m thuØc bi“n cæa mi(cid:210)n h(cid:247)u d(cid:244)ng cæa nª, trong

khi ﬁª, nh› sˇ th˚y d›(cid:237)i ﬁ'y, trong mi(cid:210)n n(cid:181)y, d›(cid:237)i vi ph'n x˚p x(cid:216) lu«n t(cid:229)n

t„i. L(cid:253) do thł hai quan tr(cid:228)ng h‹n l(cid:181) trong łng d(cid:244)ng, th›Œng ng›Œi ta ch(cid:216) c˙n,

v(cid:181) nhi(cid:210)u khi ch(cid:216) t(cid:221)nh ﬁ›(cid:238)c d›(cid:237)i vi ph'n mØt c‚ch x˚p x(cid:216).

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.8. Cho (cid:15) (cid:62) 0. MØt v—ct‹ x∗ ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) (cid:15)-d›(cid:237)i ﬁ„o h(cid:181)m cæa f t„i x, n(cid:213)u

(cid:104)x∗, y − x(cid:105) + f (x) (cid:54) f (y) + (cid:15) , ∀y.

K(cid:221) hi(cid:214)u t¸p h(cid:238)p t˚t c¶ (cid:15)-d›(cid:237)i ﬁ„o h(cid:181)m cæa f t„i x l(cid:181) ∂(cid:15)f (x). T¸p h(cid:238)p n(cid:181)y

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) (cid:15)-d›(cid:237)i vi ph'n.

Hi(cid:211)n nhi“n ∂0f (x) = ∂f (x). V¸y d›(cid:237)i ﬁ„o h(cid:181)m x˚p x(cid:216) l(cid:181) mØt kh‚i ni(cid:214)m

t(cid:230)ng qu‚t ho‚ cæa d›(cid:237)i ﬁ„o h(cid:181)m ch(cid:221)nh x‚c.

Nh¸n x—t:

Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a

x∗ ∈ ∂(cid:15)f (x) ⇔ (cid:104)x∗, z − x(cid:105) + f (x) (cid:54) f (z) + (cid:15) , ∀z.

Thay z = y + x , ta ﬁ›(cid:238)c

(cid:104)x∗, y(cid:105) + f (x) (cid:54) f (x + y) + (cid:15) , ∀y.

Tı ﬁ'y, n(cid:213)u ﬁ˘t h(y) = f (x + y) − f (x) , ta cª

(cid:104)x∗, y(cid:105) − h(y) (cid:54) (cid:15) , ∀y.

Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a h(cid:181)m li“n h(cid:238)p, ta cª

∂(cid:15)f (x) = {x∗|h∗(x∗) (cid:54) (cid:15)}.

Do h∗ l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i, ﬁªng n“n tı ﬁ'y th˚y r»ng ∂(cid:15)f (x) lu«n l(cid:181) mØt t¸p

l(cid:229)i, ﬁªng .

Hi(cid:211)n nhi“n ∂(cid:15)f (x) ⊆ ∂(cid:15)(cid:48)f (x) n(cid:213)u (cid:15) (cid:54) (cid:15)(cid:48). H‹n n(cid:247)a ∩(cid:15)>0∂(cid:15)f (x) n(cid:213)u kh‚c

r(cid:231)ng th(cid:215) sˇ b»ng ∂f (x).

V(cid:221) d(cid:244) 2.6. Cho h(cid:181)m mØt bi(cid:213)n

(cid:40)

f (x) = −2x 1 2 n(cid:213)u x (cid:62) 0, +∞ n(cid:213)u x < 0.

Ta cª ∂(cid:15)f (0) (cid:54)= ∅ v(cid:237)i (cid:15) > 0. Th¸t v¸y, l˚y x∗ ∈ ∂(cid:15)f (0), ta cª:

√

x∗ ∈ ∂(cid:15)f (0) ⇔ (cid:104)x∗, y − 0(cid:105) + f (0) (cid:54) f (y) + (cid:15) , ∀y √ ⇔ x∗y (cid:54) −2 y + (cid:15) , ∀y (cid:62) 0.

N(cid:213)u y = 0 th(cid:215) 0 (cid:54) (cid:15). V¸y b˚t ﬁ…ng thłc tr“n ﬁ›(cid:238)c tho¶ m•n v(cid:237)i m(cid:228)i x∗. N(cid:213)u y > 0 th(cid:215) x∗ (cid:54) (cid:15)−2 y V¸y ∂(cid:15)f (0) (cid:54)= ∅ v(cid:237)i (cid:15) > 0. M˘t kh‚c ∂f (0) = ∅ ( ﬁ• chłng minh ph˙n tr›(cid:237)c ).

V(cid:221) d(cid:244) tr“n cho th˚y r»ng ∂(cid:15)f (x) (cid:54)= ∅ v(cid:237)i m(cid:228)i (cid:15) > 0, tuy nhi“n ∂f (x) = ∅.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) sau ﬁ'y nªi r»ng m(cid:228)i h(cid:181)m l(cid:229)i ﬁªng ﬁ(cid:210)u kh¶ (cid:15)-d›(cid:237)i vi ph'n v(cid:237)i

m(cid:228)i (cid:15) > 0 t„i m(cid:228)i ﬁi(cid:211)m thuØc mi(cid:210)n h(cid:247)u d(cid:244)ng cæa nª .

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.12. Cho f l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i ﬁªng ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn.

Khi ﬁª v(cid:237)i m(cid:228)i (cid:15) > 0 v(cid:181) m(cid:228)i x0 ∈ dom f , t¸p ∂(cid:15)f (x0) (cid:54)= ∅. H‹n n(cid:247)a v(cid:237)i

m(cid:228)i t¸p b(cid:222) ch˘n C ⊂ int(dom f ) t¸p ∂(cid:15)f (C) b(cid:222) ch˘n.

Chłng minh. Do f l(cid:229)i, ﬁªng, ch(cid:221)nh th›Œng n“n epi f l(cid:229)i, ﬁªng, kh‚c r(cid:231)ng. Do epi f ﬁªng n“n ﬁi(cid:211)m (x0, f (x0) − (cid:15)) (cid:54)∈ epi f v(cid:237)i m(cid:228)i (cid:15) > 0. Ta ‚p d(cid:244)ng ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) t‚ch ch˘t cho hai t¸p C := epi f v(cid:181) D := {(x0, f (x0) − (cid:15))}, sˇ t(cid:229)n t„i (p, t) (cid:54)= 0, p ∈ Rn, t ∈ R v(cid:181) sŁ thøc η ( ph(cid:244) thuØc (cid:15)) sao cho:

(cid:104)p, t(cid:105) − tν < η < (cid:104)p, x0(cid:105) − t[f (x0) − (cid:15)] , ∀(x, ν) ∈ epi f. (2.13)

Tı ﬁ'y ta cª t (cid:54)= 0, v(cid:215) n(cid:213)u t=0 th(cid:215)

(cid:104)p, x(cid:105) < η < (cid:104)p, x0(cid:105) , ∀x ∈ dom f

v(cid:181) do ﬁª ta cª m'u thu(cid:201)n n(cid:213)u l˚y x = x0.

H‹n n(cid:247)a t > 0, v(cid:215) n(cid:213)u t < 0 ta sˇ cª m'u thu(cid:201)n tı (2.13) khi cho ν ﬁæ

l(cid:237)n .

Thay ν = f (x) v(cid:181) chia hai v(cid:213) cæa (2.13) cho t > 0, ta cª

(cid:104) , x(cid:105) − f (x) < < (cid:104) , x0(cid:105) − f (x0) + (cid:15). η t p t p t

Suy ra

, x − x0(cid:105) + f (x0) < f (x) + (cid:15). (cid:104)

p t V¸y p t ∈ ∂(cid:15)f (x0) hay ∂(cid:15)f (x0) (cid:54)= ∅. Gi¶ s(cid:246) C ⊂ int(dom f ), C b(cid:222) ch˘n.

§˘t

(2.14) ξ = Supx∗∈∂(cid:15)f (C) (cid:107)x∗(cid:107) = Supx∈C Supx∗∈∂(cid:15)f (C) (cid:107)x∗(cid:107).

X—t ‚nh x„ tuy(cid:213)n t(cid:221)nh (cid:104)x∗, z(cid:105). Chu¨n cæa ‚nh x„ tuy(cid:213)n t(cid:221)nh n(cid:181)y l(cid:181)

(cid:107)x∗(cid:107) = Sup(cid:107)z(cid:107)=1(cid:104)x∗, z(cid:105).

Thay v(cid:181)o (2.14) ta cª

ξ = Supx∈C Supx∗∈∂(cid:15)f (x) Sup(cid:107)z(cid:107)=1(cid:104)x∗, z(cid:105).

M˘t kh‚c

x∗ ∈ ∂(cid:15)f (x) ⇔ f (cid:48)(x, y) + β (cid:62) (cid:104)x∗, y(cid:105) , ∀β > 0 , ∀y.

Do ﬁª

f (cid:48)(x, y) + β = Supx∗∈∂(cid:15)f (x)(cid:104)x∗, y(cid:105) , ∀β > 0 , ∀y.

Hay

f (cid:48)(x, z) + β = Supx∗∈∂(cid:15)f (x)(cid:104)x∗, z(cid:105) , ∀β > 0 , ∀z.

Ta cª ti(cid:213)p

ξ = Sup(cid:107)z(cid:107)=1 Supx∈C(f (cid:48)(x, z) + β) = Sup(cid:107)z(cid:107)=1 Supx∈C f (cid:48)(x, z) + β.

§˘t g(z) := Supx∈C f (cid:48)(x, z). Do x ∈ C ⊆ int(dom f ), n“n h(cid:181)m f (cid:48)(x, z) l(cid:229)i tr“n Rn (do ﬁª li“n t(cid:244)c).

Suy ra h(cid:181)m g li“n t(cid:244)c v(cid:215) l(cid:181) bao tr“n cæa mØt h(cid:228) h(cid:181)m l(cid:229)i li“n t(cid:244)c tr“n Rn.

V¸y

ξ = Sup(cid:107)z(cid:107)=1 g(z) + β = max(cid:107)z(cid:107)=1 g(z) + β < +∞.

Chłng tÆ ∂(cid:15)f (C) b(cid:222) ch˘n.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.13. Cho f : Rn −→ R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ﬁªng.

Khi ﬁª mØt v—c-t‹ x∗ l(cid:181) (cid:15)- d›(cid:237)i vi ph'n cæa f t„i x ∈ dom f khi v(cid:181) ch(cid:216)

khi

f ∗(x∗) + f (x) − (cid:104)x∗, x(cid:105) (cid:54) (cid:15).

Chłng minh. D(cid:239)ng ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a (cid:15)-d›(cid:237)i ﬁ„o h(cid:181)m ta cª:

x∗ ∈ ∂(cid:15)f (x) ⇔ (cid:104)x∗, y − x(cid:105) + f (x) (cid:54) f (y) + (cid:15) , ∀y ∈ dom f

⇔ [(cid:104)x∗, y(cid:105) − f (y)] + f (x) − (cid:104)x∗, x(cid:105) (cid:54) (cid:15) , ∀y ∈ dom f.

Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa f ∗(x∗) ta cª:

f ∗(x∗) = Supy{(cid:104)x∗, y(cid:105) − f (y)}.

V¸y f ∗(x∗) + f (x) − (cid:104)x∗, x(cid:105) (cid:54) (cid:15).

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.9. Cho C ⊆ Rn l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i, ﬁªng v(cid:181) x ∈ C. T¸p (cid:15)-nªn ph‚p tuy(cid:213)n ngo(cid:181)i cæa C t„i x l(cid:181) (cid:15)-d›(cid:237)i vi ph'n cæa h(cid:181)m ch(cid:216) cæa C t„i x.

Tłc l(cid:181):

NC,(cid:15)(x) := ∂(cid:15)δC(x) = {x∗ ∈ Rn | (cid:104)x∗, y − x(cid:105) (cid:54) (cid:15) , ∀y ∈ C}

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.1. Cho f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i, ﬁªng, ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn.

0 ∈ ∂(cid:15)f (x) ⇔ f (x) (cid:54) f (y) + (cid:15) , ∀y ∈ Rn.

Chłng minh. Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a d›(cid:237)i vi ph'n x˚p x(cid:216) ta cª:

0 ∈ ∂(cid:15)f (x) ⇔ (cid:104)0, y − x(cid:105) + f (x) (cid:54) f (y) + (cid:15) , ∀y ∈ Rn ⇔ f (x) (cid:54) f (y) + (cid:15) , ∀y ∈ Rn.

m (cid:88)

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.14. Cho fi, i=1,...,m l(cid:181) c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn. Gi¶ s(cid:246) ∩ri(dom fi) (cid:54)= ∅. Khi ﬁª

i=1

(cid:0) ∀x. ∂(cid:15) fi(x)(cid:1) ⊆ ∂(cid:15)fi(x)

m (cid:88)

§˘c bi(cid:214)t

i=1

(cid:0) fi(x)(cid:1) = ∂(cid:15)fi(x), ∀x ⇔ (cid:15) = 0. ∂(cid:15)

Chłng minh. Ta chłng minh cho m = 2. V(cid:237)i m > 2 d(cid:239)ng quy n„p.

2 (cid:88)

Ta l˚y x0 ∈ Rn v(cid:181)

i=1

x∗ ∈ ∂(cid:15)( fi(x0)) = ∂(cid:15)(f1(x0) + f2(x0)) = ∂(cid:15)(f1 + f2)(x0).

Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa d›(cid:237)i vi ph'n x˚p x(cid:216), ta cª:

x∗ ∈ ∂(cid:15)(f1 + f2)(x0)

(cid:40)

⇒h(cid:214) ⇔(cid:104)x∗, x − x0(cid:105) + (f1 + f2)(x0) (cid:54) (f1 + f2)(x) + (cid:15) ∀x ⇔(cid:104)x∗, x − x0(cid:105) + f1(x0) + f2(x0) (cid:54) f1(x) + f2(x) + (cid:15) ∀x ⇔f1(x) + f2(x) − f1(x0) − f2(x0) − (cid:104)x∗, x − x0(cid:105) + (cid:15) (cid:62) 0 ∀x f1(x) + f2(y) − f1(x0) − f2(x0) − (cid:104)x∗, x − x0(cid:105) + (cid:15) < 0 x = y

kh«ng cª nghi(cid:214)m. (2.15)

L˚y

D = dom f1 × dom f2,

A(x, y) = x − y, f (x, y) = f1(x) + f2(y) − f1(x0) − f2(x0) − (cid:104)x∗, x − x0(cid:105) + (cid:15).

Theo gi¶ thi(cid:213)t f1 li“n t(cid:244)c t„i mØt ﬁi(cid:211)m a ∈ dom f1 ∩ dom f2, n“n t(cid:229)n t„i

mØt l'n c¸n U cæa gŁc sao cho

U = (a + U ) − a ⊂ dom f1 − dom f2 = A(D).

V¸y 0 ∈ intA(D).

L(cid:243)c n(cid:181)y (2.15) cª d„ng:

f (x, y) < 0   h(cid:214) kh«ng cª mghi(cid:214)m

 A(x, y) = 0 (x, y) ∈ D

Ap d(cid:244)ng m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.4 ta cª:

(cid:104)t, A(x, y) − 0(cid:105) + f (x, y) (cid:62) 0 ∀(x, y) ∈ D.

⇔ (cid:104)t, x − y(cid:105) + f1(x) + f2(y) − f1(x0) − f2(x0) + (cid:104)x∗, x − x0(cid:105) + (cid:15) (cid:62) 0,

∀x ∈ dom f1 , ∀y ∈ dom f2.

§Łi v(cid:237)i x (cid:54)∈ dom f1 v(cid:181) y (cid:54)∈ dom f2 th(cid:215) b˚t ﬁ…ng thłc tr“n l(cid:181) hi(cid:211)n nhi“n.

V¸y

∀x, y. (cid:104)t, x − y(cid:105) + f1(x) + f2(y) − f1(x0) − f2(x0) + (cid:104)x∗, x − x0(cid:105) + (cid:15) (cid:62) 0

L˚y x = x0 ta cª :

∀y (cid:104)t, x0 − y(cid:105) + f2(y) − f2(x0) + (cid:15) (cid:62) 0

∀y

⇔ (cid:104)t, y − x0(cid:105) + f2(x0) (cid:54) f2(y) + (cid:15) ⇔ t ∈ ∂(cid:15)f2(x0).

L˚y y = x0 ta cª:

∀x (cid:104)t, x − x0(cid:105) + f1(x) − f1(x0) − (cid:104)x∗, x − x0(cid:105) + (cid:15) (cid:62) 0

∀x

⇔ (cid:104)x∗ − t, x − x0(cid:105) + f1(x0) (cid:54) f1(x) + (cid:15) ⇔ x∗ − t ∈ ∂(cid:15)f1(x0).

Do ﬁª

x∗ = (x∗ − t) + t ⊆ ∂(cid:15)f1(x0) + ∂(cid:15)f2(x0).

V¸y

∂(cid:15)(f1(x0) + f2(x0)) ⊆ ∂(cid:15)f1(x0) + ∂(cid:15)f2(x0).

Ch›‹ng 3

MØt sŁ łng d(cid:244)ng cæa d›(cid:237)i vi ph'n trong tŁi ›u ho‚

Ch›‹ng n(cid:181)y tr›(cid:237)c h(cid:213)t gi(cid:237)i thi(cid:214)u mØt sŁ kh‚i ni(cid:214)m chung v(cid:210) cøc ti(cid:211)u, (cid:15)- cøc

ti(cid:211)u cæa mØt h(cid:181)m l(cid:229)i. Ti(cid:213)p theo tr(cid:215)nh b(cid:181)y ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n c˙n v(cid:181) ﬁæ cæa nghi(cid:214)m

tŁi ›u cæa b(cid:181)i to‚n l(cid:229)i v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc kh‚c nhau (Kh«ng r(cid:181)ng buØc, r(cid:181)ng

buØc ﬁ…ng thłc, r(cid:181)ng buØc b˚t ﬁ…ng thłc). CuŁi ch›‹ng tr(cid:215)nh b(cid:181)y ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n

c˙n v(cid:181) ﬁæ cæa nghi(cid:214)m tŁi ›u x˚p x(cid:216) cæa b(cid:181)i to‚n l(cid:229)i v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc kh‚c

nhau.

3.1 C‚c kh‚i ni(cid:214)m

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 3.1. Cho C ⊆ Rn kh‚c r(cid:231)ng v(cid:181) f : Rn −→ R ∪ {+∞}.

a) §i(cid:211)m x∗ ∈ C ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) cøc ti(cid:211)u ﬁ(cid:222)a ph›‹ng cæa f tr“n C n(cid:213)u t(cid:229)n t„i

mØt l'n c¸n U cæa x∗ sao cho

f (x∗) (cid:54) f (x), ∀x ∈ U ∩ C.

b) §i(cid:211)m x∗ ∈ C ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) cøc ti(cid:211)u to(cid:181)n c(cid:244)c (hay cøc ti(cid:211)u tuy(cid:214)t ﬁŁi )

cæa f tr“n C n(cid:213)u

f (x∗) (cid:54) f (x), ∀x ∈ C.

c) §i(cid:211)m x ∈ C ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁi(cid:211)m ch˚p nh¸n ﬁ›(cid:238)c cæa b(cid:181)i to‚n.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 3.2. Cho (cid:15) > 0. MØt ﬁi(cid:211)m x(cid:15) ∈ C ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁi(cid:211)m (cid:15)-cøc ti(cid:211)u to(cid:181)n c(cid:244)c cæa f tr“n C n(cid:213)u

f (x(cid:15)) (cid:54) f (x) + (cid:15), ∀x ∈ C.

3.2 B(cid:181)i to‚n l(cid:229)i kh«ng cª r(cid:181)ng buØc

X—t b(cid:181)i to‚n

(P 1) {min h(x) | x ∈ Rn}.

Trong ﬁª h l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.1. x∗ l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (P1) ⇔ 0 ∈ ∂h(x∗).

Chłng minh. Ta cª:

x∗l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (P1) ⇔ x∗l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u cæa h tr“n Rn

⇔ h(x∗) (cid:54) h(x) , ∀x ∈ Rn ⇔ (cid:104)0, x − x∗(cid:105) + h(x∗) (cid:54) h(x) , ∀x ∈ Rn

⇔ 0 ∈ ∂h(x∗).

3.3 B(cid:181)i to‚n l(cid:229)i v(cid:237)i r(cid:181)ng buØc ﬁ…ng thłc

X—t b(cid:181)i to‚n

(P 2) {min f (x) | x ∈ C}.

Trong ﬁª C ⊆ Rn l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i kh‚c r(cid:231)ng v(cid:181) f l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n C.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.2. Gi¶ s(cid:246) ri(dom f ) ∩ ri C (cid:54)= ∅.

x∗ ∈ C l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (P2)⇔ 0 ∈ ∂f (x∗) + NC(x∗),

trong ﬁª NC(x∗) := {ω | (cid:104)ω, x − x∗(cid:105) (cid:54) 0 , ∀x ∈ C} l(cid:181) nªn ph‚p tuy(cid:213)n ngo(cid:181)i cæa C t„i x∗.

Chłng minh. G(cid:228)i δC(.) l(cid:181) h(cid:181)m ch(cid:216) cæa t¸p C , tłc l(cid:181)

δC(x) := (cid:40) n(cid:213)u x ∈ C, 0 +∞ n(cid:213)u x (cid:54)∈ C.

Khi ﬁª

x∗ l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (P2)

⇔x∗ l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u cæa f tr“n C ⇔x∗ l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u cæa h(x) := f (x) + δC(x) tr“n Rn ⇔0 ∈ ∂h(x∗) (theo m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.1).

Do ri(dom f ) ∩ ri C (cid:54)= ∅, theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) Moreau-Rockafellar ta cª:

∂h(x∗) = ∂[f (x∗) + δC(x∗)] = ∂f (x∗) + ∂δC(x∗).

V(cid:215) x∗ ∈ C n“n ∂δC(x∗) = NC(x∗). V¸y ∂h(x∗) = ∂f (x∗) + NC(x∗). Suy ra 0 ∈ ∂f (x∗) + NC(x∗).

3.4 B(cid:181)i to‚n l(cid:229)i v(cid:237)i r(cid:181)ng buØc b˚t ﬁ…ng thłc

X—t b(cid:181)i to‚n t(cid:215)m cøc ti(cid:211)u cæa mØt h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n mØt t¸p l(cid:229)i cª d„ng sau:

(OP ) {min f (x) | gi(x) (cid:54) 0 (i = 1, ....m), x ∈ X}.

Trong ﬁª X ⊆ Rn l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng v(cid:181) f, gi (i=1,..m) l(cid:181) c‚c

h(cid:181)m l(cid:229)i h(cid:247)u h„n tr“n X. Ta sˇ lu«n gi¶ sæ r»ng X cª ﬁi(cid:211)m trong.

B(cid:181)i to‚n (OP) n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt quy ho„ch l(cid:229)i. H(cid:181)m f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) h(cid:181)m

m(cid:244)c ti“u.

C‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n x ∈ X, gi(x) (cid:54) 0 (i = 1, ...m) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) c‚c r(cid:181)ng buØc. T¸p D := {x ∈ X | gi(x) (cid:54) 0 i = 1, ...m} ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mi(cid:210)n ch˚p nh¸n

ﬁ›(cid:238)c.

MØt ﬁi(cid:211)m x ∈ D ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁi(cid:211)m ch˚p nh¸n ﬁ›(cid:238)c cæa b(cid:181)i to‚n (OP).

Do X l(cid:181) t¸p l(cid:229)i, c‚c h(cid:181)m gi (i=1,..,m) l(cid:229)i tr“n X n“n D l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i. §i(cid:211)m cøc ti(cid:211)u cæa f tr“n D c(cid:242)ng ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) nghi(cid:214)m tŁi ›u cæa b(cid:181)i to‚n

(OP).

m (cid:88)

Ta x'y døng h(cid:181)m sau, ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) h(cid:181)m Lagrange, cho b(cid:181)i to‚n (OP):

i=1

L(x, λ) := λ0f (x) + λigi(x),

v(cid:237)i λ = (λ0, ..., λm)

Døa v(cid:181)o h(cid:181)m Lagrange ta cª k(cid:213)t qæa sau:

§(cid:222)nh l(cid:253) 3.1. (Karush- Kuhn- Tucker)

(cid:62) 0 Gi¶ s(cid:246) ri(dom f ) ∩ ri(dom gi) ∩ ri X (cid:54)= ∅ a) N(cid:213)u x∗ l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (OP) th(cid:215) t(cid:229)n t„i λ∗ i

(i=0,...,m) kh«ng ﬁ(cid:229)ng thŒi b»ng 0 sao cho:

m (cid:88)

(ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁ„o h(cid:181)m tri(cid:214)t ti“u ) L(x∗, λ∗) = minx∈X L(x, λ∗)

i ∂gi(x∗) + NX(x∗) ). λ∗

0∂f (x∗) +

i=1

(⇔ 0 ∈ λ∗

Trong ﬁª NX(x∗) l(cid:181) nªn ph‚p tuy(cid:213)n ngo(cid:181)i cæa X t„i x∗ . 2)

(ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁØ l(cid:214)ch b(cid:239)). λ∗ i gi(x∗) = 0 (i = 1, ..., m)

H‹n n(cid:247)a n(cid:213)u ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n Slater sau tho¶ m•n:

0 > 0.

∃x0 ∈ X : gi(x0) < 0 (i = 1, ...m) th(cid:215) λ∗

m•n v(cid:237)i λ∗ b) N(cid:213)u hai ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁ„o h(cid:181)m tri(cid:214)t ti“u v(cid:181) ﬁØ l(cid:214)ch b(cid:239) º tr“n ﬁ›(cid:238)c tho¶ 0 > 0 th(cid:215) ﬁi(cid:211)m ch˚p nh¸n ﬁ›(cid:238)c x∗ l(cid:181) nghi(cid:214)m tŁi ›u cæa b(cid:181)i to‚n

(OP)

Chłng minh. a) Gi¶ s(cid:246) x∗ l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (OP). §˘t

C :={(λ0, λ1, ..., λm) ∈ Rm+1|∃x ∈ X :

f (x) − f (x∗) < λ0, gi(x) (cid:54) λi, i = 1, ..., m}.

Do X (cid:54)= ∅ l(cid:229)i, f, gi l(cid:229)i tr“n X, n“n C l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i .

+ . Khi ﬁª λi > 0 (i = 1, ..., m).

Ta cª C (cid:54)= ∅. Th¸t v¸y: + L˚y (λ0, ..., λm) ∈ intRm+1 + V(cid:237)i x = x∗, ta cª

f (x∗) − f (x∗) = 0 < λ0

+ ⊂ C.

gi(x∗) (cid:54) 0 < λi (i = 1, ..., m).

⇒ (λ0, ..., λm) ∈ C. ⇒ intRm+1 ⇒ C (cid:54)= ∅ trong Rm+1. H‹n n(cid:247)a 0 (cid:54)∈ C. Th¸t v¸y, n(cid:213)u 0 ∈ C th(cid:215)

∃x ∈ X : f (x) − f (x∗) < 0

gi(x) (cid:54) 0 (i = 1, ..., m).

Do ﬁª x∗ kh«ng l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (OP)⇒ m'u thu(cid:201)n. V¸y 0 (cid:54)∈ C.

i (i=0,...m)

Theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) t‚ch thł 1, cª th(cid:211) t‚ch c‚c t¸p C v(cid:181) {0}, tłc l(cid:181) ∃λ∗

m (cid:88)

kh«ng ﬁ(cid:229)ng thŒi b»ng 0 sao cho

i λi (cid:62) 0 λ∗

i=0

(3.1) ∀(λ0, ..., λm) ∈ C.

+ ⊂ C, ta suy ra λ∗ i

(cid:62) 0.

Do intRm+1 V(cid:237)i (cid:15) > 0 v(cid:181) x ∈ X, l˚y

λ0 = f (x) − f (x∗) + (cid:15)

λi = gi(x) (i = 1, ..., m).

m (cid:88)

Thay v(cid:181)o (3.1) ta cª

0[f (x) − f (x∗) + (cid:15)] + λ∗

i gi(x) (cid:62) 0 λ∗

i=1

∀x ∈ X.

m (cid:88)

Cho (cid:15) → 0 ta ﬁ›(cid:238)c

i gi(x) (cid:62) λ∗ λ∗

0f (x∗)

i=1

∀x ∈ X. (3.2) λ∗ 0f (x) +

m (cid:88)

Do x∗ l(cid:181) ﬁi(cid:211)m ch˚p nh¸n ﬁ›(cid:238)c n“n ta cª gi(x∗) (cid:54) 0 (i = 1, ..., m). V¸y

0f (x∗) (cid:62) λ∗ λ∗

0f (x∗) +

i gi(x∗). λ∗

i=1

(3.3)

m (cid:88)

Tı (3.2) v(cid:181) (3.3) ta cª

i gi(x) (cid:62) λ∗ λ∗

0f (x∗) +

i gi(x∗) λ∗

i=1

∀x ∈ X λ∗ 0f (x) +

∀x ∈ X

(ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁ„o h(cid:181)m tri(cid:214)t ti“u). ⇔L(x, λ∗) (cid:62) L(x∗, λ∗) ⇔L(x∗, λ∗) = minx∈X L(x, λ∗)

Ta ch(cid:243) (cid:253) r»ng x∗ l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n {min L(x, λ∗), x ∈ X} khi v(cid:181)

ch(cid:216) khi x∗ l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u cæa h(cid:181)m L(x, λ∗) tr“n X

(theo m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.1). ⇔x∗ l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u cæa h(cid:181)m L1(x, λ∗) := L(x, λ∗) + δX(x) tr“n Rn. ⇔0 ∈ ∂L1(x∗, λ∗)

Do ri(dom f ) ∩ ri(dom gi) ∩ ri X (cid:54)= ∅ v(cid:181) f, gi (i:=1,...,m) l(cid:181) c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i,

h(cid:247)u h„n tr“n X n“n theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) Moreau-Rockafellar ta cª

m (cid:88)

∂L1(x∗, λ∗) = ∂[L(x∗, λ∗) + δX(x∗)]

0f (x∗) +

i=1 m (cid:88)

= ∂[λ∗ λ∗ i gi(x∗)] + ∂δX(x∗)

0∂f (x∗) +

i=1 (v(cid:215) ∂δX(x∗) = NX(x∗) ).

= λ∗ λ∗ i ∂gi(x∗) + NX(x∗)

m (cid:88)

V¸y

0∂f (x∗) +

i ∂gi(x∗) + NX(x∗). λ∗

i=1

0 ∈ λ∗

Do x∗ l(cid:181) ﬁi(cid:211)m ch˚p nh¸n ﬁ›(cid:238)c n“n gi(x∗) (cid:54) 0 (i = 1, ..., m). N(cid:213)u ∃i ∈

{1, ..., m} : gi(x∗) = ξ < 0 th(cid:215)

∀(cid:15) > 0 , f (x∗) − f (x∗) = 0 < (cid:15)

gj(x∗) (cid:54) 0 < (cid:15)(j = 1, ..., i − 1, i + 1, ..., m).

i ξ (cid:62) 0 ( thay v(cid:181)o (3.1) v(cid:181) cho (cid:15) → 0) (cid:54) 0.

i = 0.

(ξ º v(cid:222) tr(cid:221) thł i).

(cid:62) 0. V¸y λ∗ i = 0.

0 = 0 th(cid:215) do ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁ„o h(cid:181)m tri(cid:214)t ti“u v(cid:181) ﬁØ l(cid:214)ch b(cid:239) ta cª

m (cid:88)

⇒ ((cid:15), ..., (cid:15), ξ, (cid:15), ..., (cid:15)) ∈ C ⇒ λ∗ ⇒ λ∗ i Theo chłng minh tr“n ta cª λ∗ i Nh› v¸y l(cid:181), n(cid:213)u gi(x∗) < 0 th(cid:215) λ∗ i gi(x∗) = 0 (i = 1, .., m) Do ﬁª λ∗ (ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁØ l(cid:214)ch b(cid:239) ). Gi¶ s(cid:246) ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n Slater ﬁ›(cid:238)c tho¶ m•n: ∃x0 ∈ X : gi(x0) < 0. Khi ﬁª n(cid:213)u λ∗

0f (x∗) +

i gi(x∗) (cid:54) λ∗ λ∗

0f (x) +

i=1

i > 0.

0 = 0 n“n ph¶i cª (cid:221)t nh˚t mØt λ∗ Do λ∗ Thay x0 v(cid:181)o b˚t ﬁ…ng thłc tr“n, sˇ ﬁ›(cid:238)c

m (cid:88)

0 = λ∗ λ∗ i gi(x) , ∀x ∈ X.

i gi(x∗) (cid:54) λ∗ λ∗

0f (x0) +

i gi(x0) < 0. λ∗

0f (x∗) +

i=1

0 > 0.

0 (cid:54)= 0 tłc l(cid:181) λ∗

0 = λ∗

Suy ra m'u thu(cid:201)n. V¸y λ∗ b) Gi¶ s(cid:246) x∗ l(cid:181) ﬁi(cid:211)m ch˚p nh¸n ﬁ›(cid:238)c tho¶ m•n hai ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁ„o h(cid:181)m tri(cid:214)t

0 > 0, λ∗ i

ti“u v(cid:181) ﬁØ l(cid:214)ch b(cid:239) º tr“n v(cid:237)i λ∗

0 > 0, n“n b»ng c‚ch chia cho λ∗

m (cid:88)

Do λ∗ (cid:62) 0 (i = 1, ..., m). 0, ta cª th(cid:211) coi h(cid:181)m Lagrange l(cid:181)

i=1

L(x, λ) = f (x) + λigi(x).

m (cid:88)

Tı ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁ„o h(cid:181)m tri(cid:214)t ti“u v(cid:181) ﬁØ l(cid:214)ch b(cid:239), ta cª:

i gi(x∗) (cid:54) f (x) + λ∗

i=1

i gi(x∗) = 0 (i = 1, ..., m). λ∗

f (x∗) + ∀x ∈ X λ∗ i gi(x)

m (cid:88)

Suy ra

i=1

f (x∗) (cid:54) f (x) + (3.4) λ∗ i gi(x) , ∀x ∈ X.

V(cid:237)i m(cid:228)i x l(cid:181) ﬁi(cid:211)m ch˚p nh¸n ﬁ›(cid:238)c, tłc l(cid:181):

x ∈ X : gi(x) < 0 , i = 1, ..., m,

m (cid:88)

ta cª

i gi(x) (cid:54) f (x). λ∗

i=1

f (x) + (3.5)

Tı (3.4) v(cid:181) (3.5) suy ra f (x∗) (cid:54) f (x) , ∀x ∈ X .Chłng tÆ x∗ l(cid:181) nghi(cid:214)m

tŁi ›u cæa b(cid:181)i to‚n (OP).

V(cid:221) d(cid:244) 3.1. Ap d(cid:244)ng ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) cho b(cid:181)i to‚n sau:

(OP ) {min f (x) | gi(x) (cid:54) 0 (i = 1, 2) , x ∈ X},

2, 1 2].

trong ﬁª f (x) = x2, g1(x) = x2 − x, g2(x) = −x, X = [− 1

Gi¶i:

Ta cª mi(cid:210)n ch˚p nh¸n ﬁ›(cid:238)c

]. D = {x ∈ X | gi(x) (cid:54) 0 (i = 1, 2)} = [0, 1 2

i ∂gi(x∗) + NX(x∗) ).

i=1 λ∗

(cid:62) 0 (i = 0, ..., 2) kh«ng ﬁ(cid:229)ng thŒi b»ng 0 sao cho:

Gi¶ s(cid:246) t(cid:229)n t„i λ∗ i 1) L(x∗, λ∗) = minx∈X L(x, λ∗) 0∂f (x∗) + (cid:80)2 (⇔ 0 ∈ λ∗ i gi(x∗) = 0, i = 1, 2. 2) λ∗ 3) λ∗ 0 > 0. Tı ﬁ(cid:222)nh l(cid:221) 3.1, suy ra x∗ l(cid:181) nghi(cid:214)m tŁi ›u cæa b(cid:181)i to‚n (OP)

⇔f (x∗) (cid:54) f (x), ∀x ∈ D ⇔x∗2 (cid:54) x2, ∀x ∈ D ⇔x∗2 (cid:54) 0

⇔x∗ = 0.

(cid:62) 0 (i = 0, ..., 2) kh«ng ﬁ(cid:229)ng thŒi b»ng 0 sao cho : Ng›(cid:238)c l„i, n(cid:213)u x∗ = 0 l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (OP) th(cid:215) tı ﬁ(cid:222)nh l(cid:221) 3.1, suy ra t(cid:229)n t„i λ∗ i

i ∂gi(x∗) + NX(x∗) ).

i=1 λ∗

1) L(x∗, λ∗) = minx∈X L(x, λ∗) 0∂f (x∗) + (cid:80)2 (⇔ 0 ∈ λ∗ i gi(x∗) = 0, i = 1, 2. 2) λ∗

Ta cª

2 (cid:88)

L(x∗, λ∗) = minx∈X L(x, λ∗) ⇔L(x, λ∗) (cid:62) L(x∗, λ∗), ∀x ∈ X

0f (x) +

i gi(x) (cid:62) λ∗ λ∗

0f (x∗) +

i gi(x∗), ∀x ∈ X λ∗

⇔λ∗

0x2 + λ∗

i=1 1(x2 − x) − λ∗

i=1 2x (cid:62) 0, ∀x ∈ X.

⇔λ∗

i .0 = 0, i = 1, 2 ⇔ λ∗ i

(cid:62) 0, i = 1, 2.

2 = 0.

i gi(x∗) = 0, i = 1, 2 ⇔ λ∗ (cid:62) 0 (i = 0, ..., 2) kh«ng ﬁ(cid:229)ng thŒi b»ng 0 n“n: 1 = λ∗

Ta cª λ∗ Do λ∗ i + Ch(cid:228)n λ∗

1(x2 − x) − λ∗

2x (cid:62) 0, ∀x ∈ X

Ta cª

⇔λ∗

0x2 + λ∗ λ∗ 0x2 (cid:62) 0, ∀x ∈ X 0 > 0 ⇒Ch(cid:228)nλ∗

0 = 1.

⇔λ∗

1 = λ∗

2 = 1.

+ Ch(cid:228)n λ∗

2x (cid:62) 0, ∀x ∈ X

Ta cª

1(x2 − x) − λ∗ 0x2 + λ∗ λ∗ 0 + 1)x2 − 2x (cid:62) 0, ∀x ∈ X ⇒Kh«ng t(cid:229)n t„i λ∗ 0.

⇔(λ∗

1 = 0, λ∗

2 = 1.

+ Ch(cid:228)n λ∗

2x (cid:62) 0, ∀x ∈ X

Ta cª

1(x2 − x) − λ∗ 0x2 + λ∗ λ∗ 0x2 − x (cid:62) 0, ∀x ∈ X

⇔λ∗

⇒Kh«ng t(cid:229)n t„i λ∗ 0.

1 = 1, λ∗

2 = 0.

+ Ch(cid:228)n λ∗

2x (cid:62) 0, ∀x ∈ X

Ta cª

0x2 + λ∗ 1(x2 − x) − λ∗ λ∗ 0 + 1)x2 − x (cid:62) 0, ∀x ∈ X ⇒Kh«ng t(cid:229)n t„i λ∗ 0.

⇔(λ∗

0 = 1, λ∗

1 = λ∗

2 = 0 l(cid:181)

V¸y x∗ = 0 l(cid:181) nghi(cid:214)m tŁi ›u cæa b(cid:181)i to‚n (OP) v(cid:181) λ∗

c‚c nh'n t(cid:246) Lagrang t›‹ng łng.

Ch(cid:243) (cid:253) 3.1. Trong nhi(cid:210)u tr›Œng h(cid:238)p b(cid:181)i to‚n (P1), (P2) v(cid:181) (OP) cª th(cid:211) kh«ng

cª lŒi gi¶i tŁi ›u ch(cid:221)nh x‚c. H‹n n(cid:247)a trong thøc t(cid:213) th›Œng ng›Œi ta kh«ng

t(cid:221)nh ﬁ›(cid:238)c lŒi gi¶i tŁi ›u (ch(cid:221)nh x‚c), m(cid:181) ch(cid:216) t(cid:221)nh ﬁ›(cid:238)c lŒi gi¶i x˚p x(cid:216). Khi ﬁª

ta d(cid:239)ng kh‚i ni(cid:214)m lŒi gi¶i tŁi ›u x˚p x(cid:216) hay c(cid:223)n g(cid:228)i l(cid:181) (cid:15)- tŁi ›u.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.3. x(cid:15) l(cid:181) (cid:15) -nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (P1) ⇔ 0 ∈ ∂(cid:15)h(x(cid:15))

Chłng minh. Ta cª:

(theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a3.2) x(cid:15) l(cid:181) (cid:15) − nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (P1) ⇔x(cid:15) l(cid:181) ﬁi(cid:211)m (cid:15) − cøc ti(cid:211)u cæa h tr“n Rn ⇔h(x(cid:15)) (cid:54) h(x) + (cid:15) , ∀x ∈ Rn

(theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253)2.1). ⇔0 ∈ ∂(cid:15)h(x(cid:15))

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.4. Gi¶ s(cid:246) ri(dom f ) ∩ ri C (cid:54)= ∅. Khi ﬁª

x(cid:15) ∈ C l(cid:181) (cid:15) -nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (P2) =⇒ 0 ∈ ∂(cid:15)f (x(cid:15)) + NC,(cid:15)(x(cid:15)), trong ﬁª NC,(cid:15)(x(cid:15)) := {ω | (cid:104)ω, x − x(cid:15)(cid:105) (cid:54) (cid:15) , ∀x ∈ C} l(cid:181) (cid:15) -nªn ph‚p tuy(cid:213)n ngo(cid:181)i cæa C t„i x(cid:15).

Chłng minh. G(cid:228)i δC(.) l(cid:181) h(cid:181)m ch(cid:216) cæa t¸p C , tłc l(cid:181)

δC(x) := (cid:40) 0 n(cid:213)u x ∈ C, +∞ n(cid:213)u x (cid:54)∈ C.

Khi ﬁª

x(cid:15) l(cid:181) (cid:15) − nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (P2)

⇔x(cid:15) l(cid:181) ﬁi(cid:211)m (cid:15) − cøc ti(cid:211)u cæa f tr“n C ⇔x(cid:15) l(cid:181) ﬁi(cid:211)m (cid:15) − cøc ti(cid:211)u cæa h(x) := f (x) + δC(x) tr“n Rn

(theo m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.3). ⇔0 ∈ ∂(cid:15)h(x(cid:15))

Do ri(dom f ) ∩ ri C (cid:54)= ∅, ta cª:

∂(cid:15)h(x(cid:15)) = ∂(cid:15)[f (x(cid:15)) + δC(x(cid:15))]

(theo m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.14) ⊆ ∂(cid:15)f (x(cid:15)) + ∂(cid:15)δC(x(cid:15))

= ∂(cid:15)f (x(cid:15)) + NC,(cid:15)(x(cid:15))

(V(cid:215) x(cid:15) ∈ C n“n theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.9 ∂(cid:15)δC(x(cid:15)) = NC,(cid:15)(x(cid:15)) ).

V¸y 0 ∈ ∂(cid:15)f (x(cid:15)) + NC,(cid:15)(x(cid:15)).

K(cid:213)t lu¸n

Nh› v¸y, lu¸n v¤n n(cid:181)y ﬁ• tr(cid:215)nh b(cid:181)y mØt c‚ch h(cid:214) thŁng c‚c kh‚i ni(cid:214)m,

t(cid:221)nh ch˚t c‹ b¶n cæa t¸p l(cid:229)i v(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i. Sau ﬁª l„i ﬁ(cid:210) c¸p v(cid:210) ﬁ„o h(cid:181)m theo

ph›‹ng, d›(cid:237)i vi ph'n, d›(cid:237)i vi ph'n x˚p x(cid:216) v(cid:181) chłng minh mØt c‚ch c(cid:244) th(cid:211)

mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t cæa ch(cid:243)ng. CuŁi c(cid:239)ng lu¸n v¤n tr(cid:215)nh b(cid:181)y c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n cøc

tr(cid:222) cho c‚c b(cid:181)i to‚n quy ho„ch l(cid:229)i v(cid:237)i c‚c r»ng buØc kh‚c nhau.

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o

[1] L“ D(cid:242)ng M›u v(cid:181) Nguy(cid:212)n V¤n Hi(cid:210)n (2003), Nh¸p m«n gi¶i t(cid:221)ch l(cid:229)i łng

d(cid:244)ng, Gi‚o tr(cid:215)nh.

[2] . T„ Quang S‹n (2008), Some Qualitative Problems In Optimization,

Lu¸n ‚n ti(cid:213)n s(cid:220).

[3] T. Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press,

Princeton, New Jersey.

[4] J. Hiriart-Urruty and C. Lemarechal, Convex Analysis and Minimization

Algorithms.

Luận văn: Dưới vi phân của hàm lồi và một số ứng dụng trong tối ưu

M(cid:244)c l(cid:244)c

Danh m(cid:244)c c‚c k(cid:253) hi(cid:214)u, c‚c ch(cid:247) vi(cid:213)t t(cid:190)t

LŒi nªi ﬁ˙u

Ch›‹ng 1

C‚c ki(cid:213)n thłc c‹ b¶n v(cid:210) t¸p l(cid:229)i v(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i

1.1 T¸p l(cid:229)i

1.2 H(cid:181)m l(cid:229)i

Ch›‹ng 2

D›(cid:237)i vi ph'n cæa h(cid:181)m l(cid:229)i

2.1 §„o h(cid:181)m theo ph›‹ng

2.2 D›(cid:237)i vi ph'n v(cid:181) c‚c t(cid:221)nh ch˚t

2.3 D›(cid:237)i vi ph'n x˚p x(cid:216)

Ch›‹ng 3

MØt sŁ łng d(cid:244)ng cæa d›(cid:237)i vi ph'n trong tŁi ›u ho‚

3.1 C‚c kh‚i ni(cid:214)m

3.2 B(cid:181)i to‚n l(cid:229)i kh«ng cª r(cid:181)ng buØc

3.3 B(cid:181)i to‚n l(cid:229)i v(cid:237)i r(cid:181)ng buØc ﬁ…ng thłc

3.4 B(cid:181)i to‚n l(cid:229)i v(cid:237)i r(cid:181)ng buØc b˚t ﬁ…ng thłc

K(cid:213)t lu¸n

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok