ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VŨ TOÀN THẮNG
PHÉP GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO CÁC
QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƢỢNG CAO
CỦA CÁC HẠT TRONG LÝ THUYẾT
TRƢỜNG LƢỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 9440130.01
DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ
Hà Nội – 2019
Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại
học Quốc gia Hà Nội.
Người hướng dẫn khoa học 1. GS.TSKH. Nguyễn Xuân Hãn
2. PGS.TS. Nguyễn Nhƣ Xuân
Phản biện 1: .....................................................................................
Phản biện 2: .....................................................................................
Phản biện 3: .....................................................................................
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án
tiến sĩ họp tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà
Nội.
Vào hồi ……… giờ …… ngày ……… tháng …… năm ………
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam;
2
- Trung tâm Thông tin – Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội.
MỞ ĐẦU
vật lý với mức thông qua khối lượng Planck
1. Lý do chọn đề tài Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ ở vùng năng lượng cao, tìm được trong cơ học lượng tử phi tương đối tính vào năm 1959, sau đó trong cơ học lượng tử tương đối tính và đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các số liệu thực nghiệm. Tính từ những năm sáu mươi thế kỷ trước đến nay đã có nhiều thay đổi: i/ năng lượng tại các máy gia tốc đã đạt được mức 1 tương ứng với khoảng cách 10-16 cm, còn lý thuyết đang nghiên cứu , ứng với khoảng cách 10-33 cm (được gọi là kích thước Planck); ii/ Việc hợp nhất bốn loại tương tác: điện từ, yếu, mạnh và hấp dẫn thành lý thuyết thống nhất vĩ đại, đang hiện hữu, khi phát hiện ra sóng hấp dẫn vào 2014 và chụp được ảnh “lỗ đen” năm 2019; iii/ Năm 1987, t’Hooft sử dụng gần đúng eikonal tìm được biên độ tán xạ eikonal (leading term - số hạng “chủ chốt”) hai hạt vô hướng qua việc trao đổi các graviton giữa chúng ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền cố định, song chưa tính được các số hạng bổ chính (corrections-non-leading) cho biên độ tán xạ này. Vấn đề này, về thực chất vẫn còn bỏ ngỏ, nhưng các số bổ chính đó có vai trò trọng yếu trong các vấn đề như các lực hấp dẫn mạnh gần “hố đen”, sự cải biến sợi dây (string) của lý thuyết hấp dẫn hay một số hiệu ứng lượng tử của hấp dẫn lượng tử. Mặt khác, “hạt” ở vùng năng lượng cao có cấu trúc phức tạp, như spin, các loại moment…, cũng là rào cản rất lớn, song lại bức thiết để lý giải số liệu thực nghiệm thu được từ các máy gia tốc lớn như RHIC (Mỹ), LHC (Geneva). Việc hệ thống hóa và tổng quát hoá những kết quả đã thu được, sử dụng gần đúng eikonal tìm biên độ tán xạ và các bổ chính của nó hay hạt có cấu trúc nội tại ở vùng năng lượng cao trên cơ sở một lập luận chặt chẽ là một trong những xu hướng nghiên cứu chính thống cả lý thuyết lẫn thực nghiệm.
1 Đơn vị đo năng lượng- electron-Volt cho nên
thường dùng bội số của nó, đó
là kilo-, mega-, giga- và
quá nhỏ trong vật lý năng lượng cao, tera-electron-Volt
.
3
2. Mục đích, đối tƣợng nghiên cứu Mục đích của luận án là xem xét một số bài toán tán xạ nằm trong xu thế đã nêu, trên một thế hay hai thế, sự giao thoa giữa các tương tác, tán xạ hai hạt có xét đến cấu trúc nội tại, trên cơ sở xây dựng công cụ tính toán mới theo sát với thực nghiệm hơn. Ví dụ, xây dựng lý thuyết nhiễu loạn cải biến để tính các số hạng chính và các số hạng bổ chính của nó, hay biểu diễn Foldy – Wouthuysen (F – W) cho hạt có spin, moment ... trên cơ sở của các phương trình cơ học lượng tử tương đối tính ở trường ngoài – phương trình Klein – Gordon, phương trình Dirac, phương trình chuẩn thế ... nhằm lý giải các kết quả thu được trên thực nghiệm. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu Hiện nay, số hạng chủ chốt của biên độ tán xạ eikonal (leading term) năng lượng cao qua nhiều cách tiếp cận khác nhau, thu được về cơ bản là trùng nhau. Bài toán cho luận án là tiếp tục sử dụng gần đúng eikonal cho biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao hơn trong lý thuyết trường lượng tử kể cả hấp dẫn lượng tử và hạt tán xạ có cấu trúc nội tại, nên cách tiếp cận tổng hợp nhiều cách tiếp cận khác nhau và logic về cả toán học lẫn vật lý. Một số cách tiếp cận đơn lẻ liên quan đến luận án: Phương pháp thứ nhất là phương pháp lấy tổng các giản đồ Feynman. Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của từng giản đồ Feynman ở vùng động học nào đó và sau đó lấy tổng các đóng góp này cho biên độ tán xạ cần tìm. Phương pháp thứ hai là phương pháp tích phân quĩ đạo. Phương pháp này dựa trên khai triển eikonal hàm Green tổng quát các hạt tán xạ trên mặt khối lượng để tìm biên độ tán xạ. Về mặt nguyên tắc, tích phân quĩ đạo tương đương với biểu diễn thông thường của cơ học sóng. Căn cứ chủ yếu của phương pháp này dựa trên nguyên lý sau: “Biên độ xác suất của phép dời chuyển lượng tử của hệ từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối
được xác định bởi tổng (hay tích phân) theo tất cả các quĩ đạo khả dĩ
trong không gian pha của biểu thức , trong đó
4
là tác dụng”. Tuy phương pháp này không được thông dụng vì nó dựa trên nền tảng toán học khá trừu tượng, song nó lại được sử dụng rất hiệu quả để
xây dựng các công cụ tính toán trong cơ học lượng tử tương đối tính, cũng như lý thuyết trường lượng tử. Phương pháp thứ ba là phương pháp chuẩn thế. Phương pháp này dựa trên cơ sở phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze (gọi tắt là phương trình chuẩn thế) mà nó được coi là tổng quát hóa phương trình Lippmann – Schwinger cho trường hợp lý thuyết trường lượng tử. Ở đây khái niệm “thế năng” được đưa vào trong lý thuyết trường lượng tử để thuận lợi cho việc nghiên cứu bài toán tán xạ. Phương trình chuẩn thế có dạng tương tự như phương trình cho biên độ tán xạ của cơ học lượng tử phi tương đối tính được khởi nguồn từ phương trình Schrodinger. Cơ sở chặt chẽ nhất cho biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử được tìm thấy lần đầu tiên vào năm 1969, nhờ phương pháp chuẩn thế. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án Việc hoàn thiện và phát triển lý thuyết nhiễu loạn cải biến giúp tìm được số hạng chính (leading term) của biên độ tán xạ eikonal và hệ thống các số hạng bổ chính (corrections-non-leading), đặc biệt đối với trường hợp hằng số tương tác hiệu dụng tăng theo năng lượng, mở ra khả năng hợp nhất tất cả các dạng tương tác kể cả tương tác hấp dẫn, mà trước đây chưa làm được. Việc sử dụng biểu diễn F – W hay phương pháp tích phân phiếm hàm cho tán xạ năng lượng cao của hạt có cấu trúc nội tại, kết quả thu được ngoài biên độ tán xạ thông thường, còn chứa thêm thành phần mới của biên độ tán xạ diễn tả sự quay spin, mà ta sử dụng để lý giải một số lượng lớn số liệu thực nghiệm bức thiết hiện nay. Mở rộng phương pháp sóng riêng phần cho bài toán tán xạ một hay hai thế và sự giao thoa tương tác của chúng. Ví dụ như tính đến giao thoa Coulomb-hạt nhân cho hai trường hợp cụ thể Gauss-Coulomb và Yukawa-Coulomb, cần thiết cho xử lý kết quả thực nghiệm hiện nay. 5. Bố cục của luận án Luận án bao gồm phần mở đầu, nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục. Nội dung nghiên cứu được trình bày trong 3 chương:
5
Chương 1: Tán xạ năng lượng cao trong phương pháp chuẩn thế Phát triển và hoàn thiện lý thuyết nhiễu loạn cải biến trên cơ sở phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze trên mặt khối lượng trong lý thuyết
trường lượng tử. Trong mục 1.1, toán tử giả vi phân được đưa vào để viết lại phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze dưới dạng toán tử trong biểu diễn tọa độ. Dựa vào ý tưởng cốt lõi của phương pháp tích phân phiếm
hàm theo Fock-Schwinger và Feynman (thực chất thay cách
và xung lượng truyền
tính tổng các số hạng của lý thuyết nhiễu loạn bằng tích phân phiếm hàm). Nghiệm của phương trình thu được trong biểu diễn tọa độ đã được viết dưới dạng hàm mũ, thuận lợi cho việc xây dựng lý thuyết nhiễu loạn cải biến trong mục 1.2. Dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ hai “nucleon” ở vùng cố định thu được trong năng lượng cao mục 1.3. Trong mục 1.4, chúng tôi tính các số hạng chính, bổ chính bậc nhất và bổ chính bậc hai của biên độ tán xạ cho tương tác hai hạt trong lý thuyết hấp dẫn lượng tử tuyến tính.
Chương 2: Tán xạ năng lượng cao của các hạt Dirac trên thế nhẵn Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán tán xạ cho các hạt với spin 1/2 trên các thế ngoài nhẵn ở năng lượng cao của các hạt tới trong khuôn khổ của phương trình Dirac ở trường ngoài được viết trong biểu diễn F – W. Trong mục 2.1, chúng tôi trình bày cách tìm phương trình Dirac cho hạt ở trường điện từ ngoài trong biểu diễn F – W. Sử dụng tính nhẵn của các thế ngoài và Hamiltonian của phương trình Dirac trong biểu diễn F – W, chúng ta giới thiệu cách tìm biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ cho hạt có spin bằng ½ ở vùng năng lượng cao ở mục 2.2. Áp dụng cho 2 trường hợp cụ thể là thế Yukawa và thế Gauss, chúng tôi thảo luận đóng góp của các số hạng trong toán tử Hamiltonian của bài toán và tìm tiết diện tán xạ vi phân, xem xét sự phụ thuộc của chúng theo góc tán xạ và xung lượng của hạt tới ở mục 2.3.
Chương 3: Tán xạ năng lượng cao của các hạt với moment từ dị
thường và giao thoa Coulomb – Hạt nhân
6
Chúng tôi xét bài toán tán xạ của hạt với moment từ dị thường ở trường ngoài trong khuôn khổ phương pháp tích phân phiếm hàm ở mục 3.1 và 3.2. Lưu ý, khi xét với moment từ, khó khăn lớn nhất ở đây liên quan đến ma . Sử dụng gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ “pion- trận Dirac
nucleon” , khó khăn liên quan đến ma trận Dirac đã được khắc
phục, kết quả ta tìm được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ năng lượng cao ở vùng được biểu diễn dạng . Biên độ tán xạ
và
tổng hai số hạng, tương ứng với mô tả không quay spin và có quay spin trong quá trình tán xạ. Giao thoa Coulomb của hạt hadron tích điện cũng được xem xét trong mục 3.3. Bài toán tán xạ của hạt nhanh lên tổng hai thế ngoài ít được nghiên cứu, song bài toán này lại gặp nhiều trong thực tế. Ví dụ như hai hạt hadron tích điện, chúng tham gia vào hai loại tương tác: tương tác điện từ được mô tả bằng thế Coulomb và tương tác mạnh, được mô tả bằng thế Yukawa (hay thế Gauss). Bài toán tán xạ trên tổng hai thế Coulomb - Yukawa hay Coulomb - Gauss được nghiên cứu bằng phương pháp sóng riêng phần ở mục 3.4. Lưu ý, các kỳ dị liên quan đến đã được nghiên giao thoa Coulomb-hạt nhân tại các điểm cứu kỹ để loại bỏ.
Những kết quả của luận án đã được báo cáo trong các Hội nghị khoa học của trường ĐH Khoa học Tự nhiên, Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc và công bố trong 05 bài báo đăng trên các tạp chí quốc tế và trong nước.
CHƢƠNG 1. TÁN XẠ NĂNG LƢỢNG CAO TRONG PHƢƠNG PHÁP CHUẨN THẾ
Mục đích của chương này là phát triển một sơ đồ tính toán hệ thống, dựa trên lý thuyết nhiễu loạn cải biến, để tìm các bổ chính cho biên độ tán xạ eikonal bằng cách giải phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze. 1.1. Phƣơng trình chuẩn thế dƣới dạng toán tử
Trong biểu diễn xung lượng phương trình chuẩn thế Logunov-
Tavkhelidze cho tán xạ hai hạt vô hướng có dạng:
(1.1)
với là nhân của phương trình; là
bình phương năng lượng khối tâm; và là xung lượng tương đối của
7
hai hạt tương tác ở trạng thái đầu và trạng thái cuối.
Thực hiện các phép biến đổi Fourier và định nghĩa toán tử giả vi phân
, chúng ta thu được dạng toán tử của phương trình (1.1):
(1.2)
1.2. Lý thuyết nhiễu loạn cải biến Trong lý thuyết trường lượng tử, các vấn đề tán xạ thường được giải quyết bằng lý thuyết nhiễu loạn. Tuy nhiên trong một số trường hợp, chúng ta có thể hoàn thiện cách khai triển trên bằng lý thuyết nhiễu loạn cải biến do Fradkin khởi xướng trong khuôn khổ của tích phân phiếm hàm, mà nó cho kết quả vượt ra ngoài lý thuyết nhiễu loạn thông thường. Vận dụng nó vào phương trình (1.2), nghiệm sẽ được tìm dưới dạng hình thức:
(1.3)
Thay (1.3) vào (1.2) thu được
(1.4)
Khai triển số mũ theo hằng số tương tác và đồng nhất hệ số
của các số hạng theo lũy thừa của ở hai vế, chúng ta sẽ thu được hệ các
phương trình móc nối nhau theo cách xấp xỉ dần.
Chỉ giới hạn thay cho trong phương trình (1.4)
chúng ta tìm được biểu thức gần đúng cho biên độ tán xạ
(1.5)
Để thiết lập ý nghĩa vật lý của phép gần đúng này, chúng ta khai triển . Nghiên cứu chuỗi này, ta rút ra, thành chuỗi theo hằng số
phép gần đúng của chúng ta trong trường hợp phương trình Lippmann- khi nghiên cứu dáng điệu Schwinger trùng với phép gần đúng
hồng ngoại của hàm Green lượng tử hay biên độ tán xạ của hạt ở trường trong hàm truyền của ngoài trong QED, hay các số hạng
8
“nucleon”, hay gần đúng quỹ đạo thẳng trong phương pháp tích phân phiếm hàm. Bằng ngôn ngữ giản đồ Feynman cho tán xạ hai “nucleon” biên độ tán
Hình 1.1: Giản đồ Feynman cho tán xạ hai “nucleon”
xạ hai hạt có dạng eikonal ở vùng , khi ta lấy tổng các giản
đồ thang 1.3. Dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ ở vùng năng lƣợng cao Chọn trục dọc theo xung lượng trung bình , xung lượng truyền
có phương vuông góc với trục . Sử dụng các biến
số Mandelstam, chúng ta tìm được dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền cố định
(1.6)
trong đó:
(1.7)
(1.8)
9
(1.9)
(1.10)
(1.11)
Áp dụng kết quả thu được ở trên cho trường hợp thế năng tương tác là
Công thức (1.7) chính là biểu diễn Glauber của biên độ tán xạ, đã tìm được bằng nhiều phương pháp khác nhau. Các bổ chính (1.8–11) tương đương với các kết quả bổ chính theo phương pháp khai triển của Wallace. 1.4. Biên độ tán xạ hai “nucleon” trong trƣờng hấp dẫn tuyến tính lƣợng tử thế Yukawa.
, (1.12)
Chúng tôi thu được biểu thức của biên độ tán xạ và tiết diện tán xạ vi phân:
(1.13)
(1.14)
10
(1.15) trong đó:
(1.16)
Đồ thị sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân vào năng lượng toàn phần
Hình 1.2: Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân vào năng lượng toàn phần
của hạt tán xạ được vẽ trong hình 1.2.
1.5. Kết luận chƣơng 1
Phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze cho bài toán hai hạt vô hướng đã được giải bằng cách sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cải biến, trong khuôn khổ của cách tiếp cận chuẩn thế. Chúng tôi đã tìm được số hạng chủ chốt – biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ ở năng lượng cao và xung lượng truyền cố định. Đồng thời, xây dựng được sơ đồ tính toán các số hạng bổ chính một cách hệ thống và logic, tương đương với cách tính của Wallace. Kết quả thu được là trùng với các số hạng bổ chính từ cách tính của phương pháp tích phân phiếm hàm. Chúng tôi đã tìm được biểu thức giải tích cho số hạng bổ chính bậc nhất và bậc hai cho biên độ tán xạ. Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu tính toán các bổ chính bậc cao hơn.
11
Áp dụng cho trường hợp hấp dẫn tuyến tính với chuẩn thế Yukawa mô tả tương tác hai hạt vô hướng thông qua việc trao đổi các graviton, chúng tôi đã nhận được biểu thức của biên độ và tiết diện tán xạ vi phân tương ứng. Kết quả cho thấy, tiết diện tán xạ tăng theo năng lượng.
CHƢƠNG 2. TÁN XẠ NĂNG LƢỢNG CAO CỦA CÁC HẠT DIRAC TRÊN THẾ NHẴN Mục đích của chương này là thiết lập biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ các hạt với spin ½ trên các thế nhẵn ở vùng năng lượng cao trong khuôn khổ của phương trình Dirac ở trường điện từ ngoài được viết trong biểu diễn F – W. 2.1. Phép biến đổi Foldy – Wouthuysen cho phƣơng trình Dirac trong trƣờng ngoài Nói chung, có hai cách để chuyển tới biểu diễn F–W. Cách thứ nhất, chúng ta thực hiện liên tiếp 3 phép biến đổi unita đồng dạng (phép biến đổi F–W cho hạt tự do). Cách thứ hai, được gọi là cách chuyển “step by step”, chúng ta thực hiện 2 phép biến đổi unita khác nhau, đầu tiên là phép biến đổi tương tự như phép biến đổi F–W cho hạt tự do, sau đó là phép biến đổi F– W cho hạt phi tương đối tính. Chúng tôi thực hiện theo cách thứ hai. Phương trình Dirac cho hạt điện tích trong trường điện từ ngoài với thế
cho bởi: (2.1)
trong đó, Hamiltonian của phương trình Dirac và hàm sóng lưỡng
spinor có dạng: ; (2.2)
với: ; ; (2.3)
Lưu ý rằng, , , Hamiltonian (2.2) chứa cả toán tử
lẻ lẫn toán tử chẵn . Điều này dẫn tới Hamiltonian không có dạng
chéo hóa. Phương trình Dirac (2.1) dẫn đến kết quả là thành phần spinor bị trộn năng lượng dương và spinor năng lượng âm trong lưỡng spinor lẫn với nhau. Việc tính biên độ tán xạ ở đây cần đến thành phần spinor năng (2.2), lượng dương, tương ứng hạt. Do đó, để chéo hóa Hamiltonian
chúng ta sử dụng các phép biến đổi Foldy – Wouthuysen. Thực hiện phép biến đổi F – W lần thứ nhất: (2.4)
12
với: .
(2.5) Sau biến đổi:
Tiếp tục thực hiện phép biến đổi F – W lần thứ hai , với:
(2.6) , trong đó:
Với giả thiết trường ngoài yếu ta có thể bỏ qua số hạng bậc cao, chỉ giữa lại
các số hạng bậc , và xét trường ngoài là trường vô hướng xuyên tâm,
trong gần đúng phi tương đối tính, thu được biểu thức Hamiltonian:
(2.7)
Xét bài toán tán xạ hạt, Hamiltonian tương ứng với năng lượng dương
(2.8)
Hamiltonian (2.8) thu được bằng cách hệ thống trong biểu diễn F–W
có chứa số hạng Darwin, mà nó khác với Hamiltonian được sử dụng trong bài toán tán xạ hạt Dirac tương tự ở trường ngoài trong gần đúng phi tương đối tính mà các tác giả ở Dubna thực hiện vào năm 1971. 2.2. Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ
Phương trình cho hàm sóng hai thành phần với Hamiltonian (2.8)
trong trường ngoài có dạng:
(2.9)
Do Hamiltonian trong phương trình không phụ thuộc tường minh vào thời
gian, nên hàm sóng được viết dạng: (2.10)
Kết quả, chúng tôi thu được hàm sóng tới cho hạt tán xạ:
(2.11)
13
(2.12) trong đó:
(2.13)
Biên độ tán xạ là:
(2.14)
trong đó: là xung lượng của hạt sau tán xạ, là góc tán xạ;
; ; (2.15)
(2.16)
(2.17)
, tương ứng là các hàm Bessel loại 1 bậc 0 và bậc 1.
Như vậy, các đại lượng và được xác định bằng các công thức
(2.16) và (2.17) ở giới hạn năng lượng cao và xung lượng truyền cố định tương ứng với biên độ tán xạ không quay spin và quay spin trong quá trình tán xạ. 2.3. Tiết diện tán xạ vi phân Sử dụng các biểu thức Glauber thu được cho biên độ tán xạ ở trên, ta xem xét cho trường hợp thế Yukawa và thế Gauss để tìm tiết diện tán xạ vi phân trong cả hai trường hợp có và không có số hạng Darwin. 2.3.1. Thế Yukawa
Thế Yukawa được cho bởi biểu thức:
Đưa vào hằng số không thứ nguyên: , tiết diện tán xạ vi phân có và
14
không có số hạng Darwin là:
(2.18)
(a)
(b)
(2.19)
Hình 2.1: Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân vào xung lượng hạt tới
trong trường thế Yukawa (ứng với góc tán xạ nhỏ, =0,1 rad)
a. Xung lượng tới p – lớn; b. Xung lượng tới p – nhỏ
(a)
(b)
Hình 2.2: Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân vào góc tán xạ
trong trường thế Yukawa
a. Tiết diện tán xạ vi phân có và không có số hạng Darwin với q = 100
b. Tiết diện tán xạ vi phân có số hạng Darwin với q = 100 và q = 200
15
Đồ thị trên hình 2.1 chứng tỏ rằng tiết diện tán xạ vi phân ở vùng các giá trị lớn xung lượng của hạt tới hầu như không thay đổi, điều này có nghĩa ở vùng các giá trị xung lượng kể trên quỹ đạo chuyển động gần như là thẳng, phù hợp với việc sử dụng gần đúng eikonal. Đồ thị trên hình 2.2 có chứa giá trị cực đại của tiết diện tán xạ vi phân trong gần đúng eikonal ở vùng các giá trị nhỏ của góc tán xạ và vùng các giá trị lớn của xung lượng hạt tới. Kết quả trên người ta cũng tìm được cho bài toán tương tự trong phép gần đúng Born. 2.3.2. Thế Gauss
Thế Gauss có dạng:
Tiết diện tán xạ vi phân là:
(2.20)
Khi bỏ qua số hạng Darwin, tiết diện tán xạ vi phân trở thành:
(2.21)
Ở đồ thị của hình 2.3, chúng ta thấy khi góc tán xạ nhỏ thì tiết diện tán xạ vi phân sẽ giảm nhanh hơn khi tính đến đóng góp của số hạng Darwin khi xung lượng hạt tới tăng. Đồ thị trên hình 2.4 cho thấy, ở miền giá trị lớn, sự đóng góp của số
hạng Darwin vào tiết diện tán xạ là không đáng kể. 2.4. Kết luận chƣơng 2
Chúng tôi nhận được biểu thức tương đối tính cho Hamiltonian của phương trình Dirac trong biểu diễn F – W, mô tả tương tác của các hạt và phản hạt với spin ½ với trường điện từ yếu. Với giả thiết thế ngoài nhẵn, chúng tôi tìm được biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ của hạt Dirac năng 16
(a)
(b)
lượng cao và góc tán xạ nhỏ. Xét trường hợp các thế ngoài cụ thể như thế Yukawa và thế Gauss chúng tôi tìm được các biểu thức giải tích cho tiết diện tán xạ vi phân tương ứng khi tính và không tính đến số hạng Darwin và đồng thời vẽ các đồ thị tương ứng diễn tả sự phụ thuộc của chúng vào xung lượng hạt tới và góc tán xạ. So với các phương pháp khác, số hạng Darwin xuất hiện ở đây có vai trò quan trọng cho bài toán tán xạ hạt spin. Số hạng này đảm bảo cho hàm sóng của hạt trong biểu diễn F – W trùng với hàm sóng Pauli phi tương đối tính cho hạt có spin bằng 1/2.
Hình 2.3: Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân vào xung lượng hạt tới
trong trường thế Gauss (ứng với góc tán xạ nhỏ, =0,1 rad)
a. Xung lượng tới p – lớn; b. Xung lượng tới p – nhỏ
Hình 2.4: Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân vào góc tán xạ
trong trường thế Gauss
17
Kết quả của chương này đã được chúng tôi công bố trong bài báo: “High Energy Scattering of Dirac Particles on Smooth Potentials”, International Journal of Modern Physics A, Vol. 31 (2016), No. 23.
CHƢƠNG 3. TÁN XẠ NĂNG LƢỢNG CAO CỦA HẠT VỚI MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG VÀ GIAO THOA COULOMB - HẠT NHÂN
Trong chương này, chúng tôi xét bài toán tán xạ của hạt với moment từ dị thường bằng phương pháp tích phân phiếm hàm và bài toán tán xạ của hạt nhanh lên tổng hai thế, thế Coulomb tầm xa và thế hạt nhân tầm gần bằng phương pháp sóng riêng phần. 3.1. Xây dựng biên độ tán xạ hai hạt Sử dụng phương pháp đạo hàm biến phân, chúng ta sẽ xác định hàm
Green hai hạt bằng công thức sau:
(3.1)
với: là kỳ vọng chân không của ma trận trong trường ngoài đã
cho; là biểu diễn Fourier của hàm Green của hạt 1 và
là hàm Green của hạt 2 trong trường điện từ ngoài.
Biên độ tán xạ hai hạt được xác định bằng phương trình:
(3.2)
Các spinor và thỏa mãn phương trình Dirac và điều kiện
chuẩn hóa . Bằng cách chuyển qua mặt khối lượng của
18
hàm Green hai hạt ở trường ngoài, chúng tôi thu được biểu diễn chính xác cho biên độ tán xạ đàn hồi “pion-nucleon” , dưới dạng tích phân phiếm hàm kép. Thực hiện một loạt các phép biến đổi và tính toán, kết quả biên độ tán xạ hai hạt với nhau là:
(3.3)
trong đó: , tương ứng là dòng của hạt 1 và hạt 2.
Công thức (3.3) là biểu thức tổng quát và chính xác cho biên độ tán xạ hai hạt, nên nó có thể áp dụng cho nhiều vùng năng lượng khác nhau. 3.2. Dạng tiệm cận của biên độ tán xạ năng lƣợng cao Điểm quan trọng trong phương pháp của chúng tôi là tích phân phiếm hàm
được tính toán bằng gần đúng quỹ đạo thẳng, trong đó bỏ qua theo biến số của phiếm hàm trong hàm trong (3.3). Bằng ngôn ngữ giản đồ Feynman, điều này tương đương với việc tuyến tính hóa hàm truyền của hạt đối với xung lượng của photon ảo. Thực hiện tính toán dưới đây trong hệ theo phương khối tâm của các hạt va chạm, và chọn trục
của xung lượng vói các biến số Mandelstam, cuối cùng chúng ta thu
được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ :
(3.4)
trong đó: .
Xem xét dáng điệu tiệm cận của biên độ đàn hồi của 2 hạt trong vùng
. Sử dụng khai triển của theo thành phần của
xung lượng, chúng ta thu được:
(3.5)
trong đó: là pha tương ứng với tương tác Coulomb. Pha này được
xác định bởi:
(3.6)
19
với là hàm MacDonald bậc 0 và biểu thức là:
(3.7)
Xét trong tọa độ trụ , , là góc phương vị trong
mặt phẳng , thu được: (3.8)
trong đó, được xác định bởi: . (3.9)
Cuối cùng, chúng ta thu được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ:
(3.10)
Như vậy, do moment từ dị thường của nucleon dẫn đến sự xuất hiện trong pha eikonal, các số hạng tương ứng với việc quay spin trong quá trình tán xạ. Tích phân phương trình (3.10) theo biến số góc, chúng ta thu được:
(3.11)
trong đó: , tương ứng mô tả quá trình không quay spin và
có quay spin và được xác định bởi:
(3.12)
3.3. Giao thoa Coulomb – hạt nhân Chúng tôi áp dụng kết quả thu được ở trên để nghiên cứu giao thoa . Tương tác hạt nhân Coulomb trong tán xạ của các hạt hadron tích điện có thể được bao gồm trong phương pháp của chúng tôi bằng cách thay pha eikonal:
Khi đó: (3.13)
với: là phần biên độ tán xạ do tương tác điện từ và là
phần giao thoa điện từ - hadron của biên độ tán xạ.
20
(3.14)
ở đây là tổng pha của tương tác Coulomb và tương tác hạt nhân;
là biên độ tán xạ thuần hạt nhân, trong trường hợp không có tương tác điện từ. Trong vùng năng lượng cao, , chúng ta thu được:
(3.15)
(3.16)
Biểu thức độ lệch pha của biên độ là: và
(3.17)
Trong trường hợp tán xạ với góc nhỏ , độ lệch pha là:
. Kết quả này là giống như kết quả của Bethe.
lên một thế
3.4. Tán xạ trên tổng hai trƣờng thế ngoài 3.4.1. Phương pháp sóng riêng phần Chúng ta xét bài toán tán xạ của hạt nhanh với khối lượng ngoài mà nó được mô tả bằng phương trình Schrodinger:
(3.18)
Sử dụng phương pháp sóng riêng phần ta tìm được các biểu thức dưới đây cho biên độ tán xạ và cho pha tán xạ
(3.19)
(3.20)
trong đó, là hàm xuyên tâm khi có mặt thế ngoài và là hàm
xuyên tâm khi không có trường thế ngoài. Thế ngoài Coulomb và thế ngoài hạt nhân ở đây được xem là “bình đẳng”, biên độ tán xạ lên tổng hai thế có thể thu được từ biểu thúc biên độ tán xạ 21
(3.19) bằng cách thay pha tán xạ: , ở đây là pha tán xạ
Coulomb, còn là pha tán xạ hạt nhân.
Biên độ tán xạ hoàn toàn Coulomb có dạng:
(3.21)
Biên độ tán xạ hạt nhân-Coulomb là:
(3.22)
Khi tương tác Coulomb bị loại bỏ, biên độ tán xạ hoàn toàn hạt nhân
là:
(3.23)
ở đây gọi là pha tán xạ hoàn toàn lên thế hạt nhân. Dựa vào dạng tường
minh của các thế ngoài ta có thể tìm được biểu thức giải tích cho các pha tán xạ tương ứng. 3.4.2. Giao thoa Coulomb – hạt nhân
Áp dụng khai triển Taylor cho đại lượng và thay vào công thức
(3.22), ta thu được biểu thức cho biên độ tán xạ Coulomb-hạt nhân:
(3.24)
a) Thế hạt nhân dạng Gauss
Thế ngoài hạt nhân dạng Gauss: (3.25)
, có nghĩa ở vùng tán xạ phía trước,
Trong trường hợp góc tán xạ nhỏ chúng tôi tìm được biểu thức cho biên độ tán xạ hạt nhân – Coulomb:
(3.26)
22
Trong trường hợp góc tán xạ là lớn, chúng tôi cũng thu được biên độ tán xạ hạt nhân - Coulomb:
(3.27)
ở đây: .
và
b) Giao thoa Coulomb-hạt nhân không có kỳ dị tại điểm Để loại bỏ kì dị tại các điểm và , thế Coulomb được cho dưới
dạng: (3.28)
Chúng ta tính được pha tán xạ Coulomb có dạng:
(3.29)
Khi thì , ta thu được:
Cho , ta có: (3.30)
Ta nhận thấy rằng số hạng thứ hai trong biểu thức cho pha tán xạ Coulomb đưa đến sự xuất hiện trong biên độ tán xạ f() = fCoulomb() + fhạt nhân() một
thừa số không quan sát được là mà thường bỏ qua ảnh
hưởng của nó. Số hạng thứ nhất của (3.30) trùng với biểu thức chính xác cho pha Coulomb mà thường được lấy ở vùng lớn. c) Giao thoa Coulomb - Yukawa
Thế Yukawa có dạng: (3.31)
Thế Coulomb được chọn dưới dạng: (3.32)
cùng với việc bỏ cắt giá trị ở vô cùng.
23
và sau đó lấy giới hạn cho Biên độ tán xạ trên thế Yukawa thu được:
(3.33)
với pha Coulomb là: (3.34)
Biên độ tán xạ hạt nhân – Coulomb tìm được:
(3.35)
với pha tán xạ hạt nhân – Coulomb là: (3.36)
Biểu thức cho tiết diện tán xạ vi phân:
(3.37)
Từ công thức (3.34) và (3.36) ta có pha giao thoa của hai biên độ là:
(3.38)
Công thức (3.38) biểu diễn pha giao thoa trong trường thế Yukawa, kết quả này tương đương với công thức của Bethe.
3.5. Kết luận chƣơng 3
Trong khuôn khổ của phương pháp tích phân phiếm hàm, chúng tôi đã thu được biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ trong vùng tiệm cận . Do moment từ dị thường, trong biểu thức biên độ tán xạ
xuất hiện các ma trận Dirac, chúng ta không thực hiện được việc chuyển từ T-tích sang N-tích như trong lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến thông thường. Điểm mới trong tính toán của chúng tôi, đó là áp dụng gần đúng eikonal để giải quyết được khó khăn này. Kết quả, tương ứng với moment từ dị thường, xuất hiện số hạng trong biên độ tán xạ mà nó không triệt tiêu khi
24
và số hạng này mô tả sự quay spin của hạt trong quá trình tán xạ. Bằng phương pháp sóng riêng phần, chúng tôi đã nghiên cứu và áp dụng những kết quả cho bài toán tán xạ trên tổng hai thế khác nhau: thế Gauss-Coulomb và thế Yukawa-Coulomb, đã tính được biên độ tán xạ và pha tán xạ cho riêng từng thế và tìm ra được pha giao thoa hai biên độ trong
hai trường hợp Gauss-Coulomb và Yukawa-Coulomb. Kết quả thu được trùng với kết quả của Bethe thu được bằng phương pháp chuẩn cổ điển. Tuy nhiên, các kỳ dị tại các điểm đã được chúng tôi nghiên cứu và để loại bỏ. Những kết quả trên đã được chúng tôi công bố trong hai bài báo: - “High Energy Scattering of Particles with Anomalous Magnetic Moment in Quantum Field Theory”, VNU Journal of Science: Mathematics – Physics 30(3), pp 37-48. - “Coulomb-nuclear Interference and Partial Wave Method”, VNU Journal of Science: Mathematics – Physics 31(1S), pp 108-114.
KẾT LUẬN
Những kết quả chính thu được trong luận án bao gồm:
- Dựa vào phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze, lý thuyết nhiễu
loạn cải biến đã được hoàn thiện và phát triển, mà đặc điểm nổi bật nhất của nó tìm được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ chủ chốt và các số hạng bổ chính của nó ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền cố định, khi hằng số tương tác hiệu dụng tăng cùng năng lượng. Vận dụng cách tiếp
cận này cho bài toán tán xạ hai hạt vô hứớng trong lý thuyết hấp dẫn tuyến tính, chúng tôi đã tính được các bổ chính bậc một và bậc hai cho biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ, tương đương cách tính các số hạng bổ chính của
Wallace. Kết quả chúng tôi thu được trùng với các số hạng bổ chính từ cách tính của phương pháp tích phân phiếm hàm.
- Với giả thiết thế ngoài nhẵn, chúng tôi tìm được biểu diễn Glauber cho
biên độ tán xạ của hạt Dirac (hạt có spin bằng ½) trong biểu diễn F – W ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ. Kết quả thu được, biên độ tán xạ được biểu diễn dưới dạng tổng hai số hạng khác nhau, tương ứng với biểu
25
thức không quay spin và quay spin trong quá trình tán xạ. Sự khác nhau giữa cách tính của chúng tôi so với cách thông thường đó là số hạng Darwin để hàm sóng của hạt trùng với hàm sóng Pauli phi tương đối tính.
Dựa vào các biểu thức giải tích cho biên độ tán xạ thu được, chúng tôi đã
tìm được các tiết diện tán xạ vi phân cho các thế ngoài Yukawa và Gauss.
- Trong khuôn khổ của tích phân phiếm hàm, một phương pháp được đề xuất để nghiên cứu tán xạ của hạt pion vô hướng trên hạt nucleon với
moment từ dị thường trong lý thuyết trường lượng tử. Biểu diễn eikonal của
biên độ tán xạ trong vùng tiệm cận đã nhận được. Biên độ
tán xạ ở đây chứa cả hai số hạng tương ứng với sự quay spin và không quay spin trong quá trình tán xạ. Moment từ dị thường của hạt liên quan đến ma
trận Dirac, mà nó gây khó khăn lớn cho việc sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm, song sử dụng gần đúng eikonal, khó khăn trong lý thuyết trường lượng tử đã nêu đã hoàn toàn được giải quyết. Sự giao thoa
Coulomb – hadron đã được nghiên cứu, kết quả công thức về dịch pha đã tìm được, mà nó được coi là sự tổng quát hóa công thức Bethe trong lý thuyết trường lượng tử tương đối tính.
- Bài toán tán xạ trên tổng hai thế khác nhau: Gauss-Coulomb và Yukawa-Coulomb được nghiên cứu bằng phương pháp sóng riêng phần, đã thu được công thức cho pha giao thoa hai thế Gauss-Coulomb và Yukawa- Coulomb. Kết quả thu được trùng với kết quả của Bethe đã thu được bằng
và .
26
phương pháp chuẩn cổ điển. Sự khác nhau ở đây, các công thức giao thoa mà chúng tôi thu được không chứa kỳ dị tại các điểm Những kết quả thu được trên đây có thể mở rộng cho lý thuyết trường hấp dẫn hiệu dụng nhằm phục vụ cho việc thống nhất bốn loại tương tác: tương tác điện từ, tương tác yếu, tương tác mạnh và tương tác hấp dẫn, hay hạt có spin, moment phục vụ cho việc phân tích các số liệu thực nghiệm hiện nay.
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN
QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
[1] Nguyen Suan Han, Nguyen Nhu Xuan, Vu Toan Thang (2014), “High
Energy Scattering of Particles with Anomalous Magnetic Moment in
Quantum Field Theory”, VNU Journal of Science: Mathematics –
Physics 30(3), pp 37-48.
[2] Nguyen Suan Han, Nguyen Nhu Xuan, Vu Toan Thang (2015),
“Coulomb-nuclear Interference and Partial Wave Method”, VNU
Journal of Science: Mathematics – Physics 31(1S), pp 108-114.
[3] Nguyen Suan Han, Le Anh Dung, Nguyen Nhu Xuan, Vu Toan Thang
(2016), “High Energy Scattering of Dirac Particles on Smooth
Potentials”, International Journal of Modern Physics A 31(23), pp
1650126-1(18 pages).
[4] Nguyen Suan Han, Nguyen Nhu Xuan, Vu Toan Thang (2017),
“Applying the Modified Pertubation Theory to High Energy Scattering
in the Quasipotential Approach”, Journal of Physical Science and
Application 7(4), pp 47-58.
[5] Vu Toan Thang (2019), “The Corrections to the High Energy
Scattering in the Framework of Modified Pertubation Theory”,
27
Scientific Journal of Hanoi Metropolitan University 35, pp 72-82.
