Giáo trình kỹ thuật điều khiển 15

Chia sẻ: Cindy Cindy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

108
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giả sử tín hiệu vào của hệ thống là tín hiệu nhảy bậc đơn vị, hay R(s) = 1/s. Đồng thời, giả sử hàm chuyển vòng hở của hệ thống đã bù có thể biểu diễn được như sau: K G ( s) H ( s) = sN ∏ (s − z ) i M ∏ (s − p ) j j =1 i =1 Q (10.58) Sai số của hệ thống ở trạng thái thường trực trở thành: s lim ea (t ) = lim t →0 s →0 Q N ∏ (s − p ) j j =1 j M Q sN ∏ (s − p ) + K ∏ (s − z ) i...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình kỹ thuật điều khiển 15

Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống khi đó sẽ là: lim ea (t ) = lim sE a ( s ) t →∞ s →0 = lim s[R ( s ) − C ( s ) H ( s )] s →0 ⎡ G (s) H ( s) ⎤ (10.57) = lim sR ( s ) ⎢1 − ⎥ ⎣ 1 + G (s) H ( s) ⎦ s →0 sR ( s ) = lim s →0 1 + G ( s ) H ( s ) Giả sử tín hiệu vào của hệ thống là tín hiệu nhảy bậc đơn vị, hay R(s) = 1/s. Đồng thời, giả sử hàm chuyển vòng hở của hệ thống đã bù có thể biểu diễn được như sau: M ∏ (s − z ) K i i =1 G ( s) H ( s) = (10.58) Q ∏ (s − p ) sN j j =1 Sai số của hệ thống ở trạng thái thường trực trở thành: Q ∏ (s − p ) N s j j =1 lim ea (t ) = lim (10.59) Q M t →0 s →0 ∏ (s − p ) + K ∏ (s − z ) sN j i j =1 i =1 Như đã phân tích ở Chương V, sai số của hệ thống phụ thuộc vào giá trị của N, nghĩa là số điểm cực tại gốc tọa độ trong mặt phẳng s của G(s)H(s): − Nếu N < 0: s−N → 0 khi s → 0. Vì vậy, sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống sẽ là: Q ∏ (s − p ) j j =1 lim ea (t ) = lim =1 (10.60) s →0 Q M t →0 ∏ (s − p ) + s ∏ (s − z ) −N K j i j =1 i =1 − Nếu N = 0: Q ∏ (s − p ) j 1 j =1 lim ea (t ) = lim = (10.61) 1+ K p s →0 Q M t →0 ∏ (s − p ) + K ∏ (s − z ) j i j =1 i =1 Giá trị của hằng số sai số Kp càng lớn thì sai số ở trạng thái thường trực 147
của hệ thống sẽ càng nhỏ khi N = 0. − Nếu N > 0: Q ∏ (s − p ) sN j j =1 lim ea (t ) = lim =0 (10.62) Q M t →0 s →0 ∏ (s − p ) + K ∏ (s − z ) sN j i j =1 i =1 Như vậy, sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống sẽ triệt tiêu nếu hàm chuyển vòng hở của hệ thống có ít nhất một điểm cực tại gốc tọa độ trong mặt phẳng s. Mỗi điểm cực tại gốc tọa độ của hàm chuyển vòng hở của hệ thống có thể coi như một phép tích phân. Vì vậy, khi độ chính xác của hệ thống ở trạng thái thường trực không đạt yêu cầu, chúng ta có thể dùng một mạch tích phân để bù. Sử dụng một bộ điều khiển PI làm mạch bù có thể làm giảm sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống xuống tới không vì hàm chuyển của mạch này có điểm cực nằm ở gốc tọa độ. Để làm ví dụ, xem xét một hệ thống điều khiển phản hồi âm có hàm chuyển của quá trình là: K G ( s) = (10.63) τ 1s + 1 và hàm chuyển của khối phản hồi là: 1 H (s) = (10.64) τ 2s +1 Sai số của hệ thống ở trạng thái thường trực với khi tín hiệu vào là hàm nhảy bậc đơn vị sẽ là: sR ( s ) s (1 s ) 1 lim ea (t ) = lim = lim = (10.65) K s →0 1 + G ( s ) H ( s ) 1+ K t →∞ s →0 1+ (τ 1s + 1)(τ 2 s + 1) Chúng ta có thể làm giảm sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống bằng cách tăng K. Tuy nhiên, tăng K sẽ làm cho tỷ số cản ζ của hệ thống giảm, vì vậy có thể dẫn đến việc hiệu suất nhất thời của hệ thống không đáp ứng được yêu cầu đặt ra. Vì vậy, chúng ta sẽ xem xét việc sử dụng mạch bù tích phân có hàm chuyển như phương trình (10.29) để làm triệt tiêu sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống. Thật vậy, sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống sau khi bù là: sR ( s ) s (1 s ) lim ea (t ) = lim = lim KK P ( s + K I K P ) s →0 1 + Gc ( s )G ( s ) H ( s ) t →∞ s →0 1+ s (τ 1s + 1)(τ 2 s + 1) (10.66) s (τ 1s + 1)(τ 2 s + 1) = lim =0 s →0 s (τ 1 s + 1)(τ 2 s + 1) + KK P ( s + K I K P ) 148
Hiệu suất nhất thời của hệ thống khi đó có thể điều chỉnh được bằng cách điều chỉnh các tham số K, KP và KI. 10.7. Bù trong mặt phẳng s sử dụng mạch chậm pha Như chúng ta đã đề cập ở mục trước, mạch chậm pha trong Hình 10.5 là một mạch tích phân, có thể sử dụng được để bù cho hệ thống nhằm làm giảm sai số ở trạng thái thường trực. Hàm chuyển của mạch chậm pha này được biểu diễn bằng phương trình (10.27): 1 + τs 1 s−z Gc ( s ) = =⋅ (10.67) 1 + ατs α s − p Giả sử hệ thống vòng kín được quan tâm có hàm chuyển vòng hở G(s)H(s) được biểu diễn bằng phương trình (10.58) và giả sử chúng ta có thể xác định được bằng phương pháp quỹ tích nghiệm vị trí cặp nghiệm trội với chúng hệ thống có hiệu suất nhất thời như mong muốn, tương ứng với giá trị K = β. Mục đích của việc sử dụng mạch bù chậm pha cho hệ thống là nhằm làm tăng hằng số sai số nhưng không gây ảnh hưởng đáng kể tới hiệu suất nhất thời của hệ thống. Gọi Ke là hằng số sai số của hệ thống: M ∏− z i i =1 N K e = lim s G ( s ) H ( s ) = K (10.68) Q s →0 ∏− p j j =1 Phương trình đặc trưng của hệ thống khi có bù là: M ∏ (s − z ) i K s−z i =1 1+ ⋅ ⋅ =0 (10.69) α s− p Q ∏ (s − p ) sN j j =1 Nếu chọn z và p sao cho |p| < |z|
′ bù. Gọi K e là hằng số sai số của hệ thống sau khi có bù, hằng số này sẽ được tính như sau: ⎛ ⎞ M M ∏ ∏ ⎜ − zi ⎟ − zi z⎜ ⎟ αβ z i =1 = ⎜β ⎟ = αK e i =1 ′ Ke = ⋅ ⋅Q (10.71) αp p⎜ ⎟ Q ∏ ∏ − pj − pj ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ j =1 j =1 Phương trình (10.71) cho thấy, hằng số sai số của hệ thống sau khi được bù sẽ tăng với tỷ lệ là α = z/p so với trước khi có bù. Như vậy, các bước cần thiết cho việc thiết kế một mạch bù chậm pha trong mặt phẳng s được thực hiện theo trình tự sau đây: 1. Xác định quỹ tích nghiệm của hệ thống khi chưa có bù. 2. Xác định các yêu cầu đối với hiệu suất nhất thời của hệ thống và xác định vị trí cặp nghiệm trội trên quỹ tích nghiệm sao cho hiệu suất nhất thời của hệ thống chưa có bù đáp ứng được các yêu cầu đặt ra. 3. Xác định giá trị tham số K của hàm chuyển vòng hở G(s)H(s) và hằng số sai số Ke ứng với cặp nghiệm đã xác định trong bước 2. 4. So sánh Ke với giá trị hằng số sai số được mong muốn để tính tỷ số α = z/p cần thiết cho mạch bù. 5. Xác định vị trí của điểm không và điểm cực của mạch bù theo tỷ lệ được xác định ở bước 4 sao cho quỹ tích nghiệm của hệ thống sau khi bù vẫn đi qua vị trí cặp nghiệm được xác định trong bước 2. Ví dụ 10.3 Chúng ta lại tiếp tục sử dụng hệ thống trong các ví dụ 10.1 và 10.2, với tỷ số cản của cặp nghiệm trội được chọn là 0,45 và hằng số sai số của hệ thống không nhỏ hơn 20. Quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống chưa có bù được biểu diễn trên Hình 10.9. Sử dụng đồ thị quỹ tích nghiệm này, chúng ta xác định được cặp nghiệm ứng với giá trị của tỷ số cản ζ = 0,45 là xấp xỉ −1 ± i2. Giá trị của K để phương trình đặc trưng của hệ thống có cặp nghiệm phức đó sẽ là: K = − (−1 + i2)2 − 2(−1 + i2) = 5 (10.72) Hằng số sai số của hệ thống kiểu-1 là hằng số sai số vận tốc Kv. Giá trị Kv của hệ thống chưa có bù với K = 5 là: 5 Kv = = 2,5 (10.73) 2 Đặt hằng số sai số vận tốc của hệ thống sau khi bù là K v = 20 , tỷ số α = z/p của ′ mạch bù chậm pha sẽ sử dụng được tính như sau: ′ K v 20 α= = =8 (10.74) K v 2,5 Việc còn lại là chọn z và p sao cho |p| < |z|
sau khi bù gần như không bị thay đổi so với trước khi có bù và thỏa mãn điều kiện z/p = α. Ngoài ra, để đảm bảo tính ổn định của hệ thống người ta thường chọn z và p nằm bên trái trục ảo trong mặt phẳng s. Trong ví dụ này chúng ta có thể chọn z = −0,1 và p = −0,1/8 = −0,0125. iω i2 ζ = 0,45 −2 −1 0 σ −i2 Hình 10.9. Quỹ tích nghiệm của hệ thống phản hồi có hàm chuyển vòng hở G(s)H(s) = K/[s(s + 2)] 10.8. Bù trên đồ thị Bode sử dụng mạch chậm pha Chúng ta đã thấy trong mục 10.4 sự thuận tiện của việc sử dụng đồ thị Bode để thiết kế mạch bù. Với phương pháp bù sử dụng mạch chậm pha, yếu tố được quan tâm không phải là sự chậm pha của mạch bù mà là độ suy giảm −20log10α. Mạch chậm pha được sử dụng để làm giảm tần số ωc tại đó giá trị logarit độ lớn của đáp ứng tần số vòng hở của hệ thống bằng 0dB. Bằng việc làm giảm tần số ωc, chúng ta có thể làm tăng dự trữ pha của hệ thống nếu như độ chậm pha của ′ mạch bù tại tần số ωc (tần số tại đó giá trị logarit độ lớn của đáp ứng tần số của hệ thống sau khi bù bằng 0dB) được khống chế ở mức tương đối nhỏ. Như vậy, ngoài mục đích để làm giảm sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống như đã được trình bày ở mục trên, mạch bù chậm pha còn được sử dụng để làm tăng dự trữ pha, nghĩa là nhằm điều chỉnh hiệu suất nhất thời của hệ thống. Phương pháp bù bằng mạch chậm pha trong Hình 10.5 trên đồ thị Bode được thực hiện bằng các bước như sau: 1. Xác định hệ số của G(iω) để sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống thỏa mãn được yêu cầu. 2. Ước lượng dự trữ pha của hệ thống chưa có bù. Nếu giá trị dự trữ pha này chưa thỏa mãn được yêu cầu đặt ra, thực hiện các bước tiếp theo. ′ 3. Xác định tần số ωc tại đó giá trị dự trữ pha sẽ thỏa mãn được yêu cầu nếu 151
′ giá trị logarit độ lớn của đáp ứng tần số vòng hở tại ωc bằng 0dB, có tính tới một góc chậm pha nhỏ gây ra bởi mạch bù. 4. Tính giá trị của α sao cho giá trị logarit độ lớn của G(iω)H(iω) tại tần số ωc bằng 20log10α. ′ 5. Tính giá trị của τ sao cho góc chậm pha của mạch bù tại tần số ωc có giá ′ trị như đã định trong bước 3, từ đó tính ra được điểm không và điểm cực của Gc(s). Ví dụ 10.4 Trong ví dụ này, chúng ta sẽ thực hiện bù chậm pha trên đồ thị Bode cho hệ thống với các yêu cầu về hiệu suất như trong ví dụ 10.1. Tương tự như trong ví dụ 10.1, chúng ta sẽ chọn được giá trị K = 40 để hệ thống đáp ứng được yêu cầu về sai số ở trạng thái thường trực. Giá trị dự trữ pha của hệ thống khi chưa có bù là 18o, trong khi yêu cầu được đưa ra là dự trữ pha không nhỏ hơn 45o. Để hệ thống có được dự trữ pha bằng 45o, góc pha của G(iω)H(iω) tại tần số ωc phải′ bằng −130o, nếu tính thêm một góc chậm pha bằng 5o. Vì vậy, chúng ta có thể ′ xác định được ωc bằng cách giải phương trình sau: ∠G (iω ) H (iω ) = −∠(iω ) − ∠(iω + 2) = −130o (10.75) hay: ω − 90 o − arctan = −130 o (10.76) 2 ′ Từ phương trình (10.76), chúng ta tính được giá trị của tần số ωc : ′ ωc = 2 tan 40 o ≅ 1,68 (rad/s) (10.77) Chúng ta thiết lập được phương trình sau đây để tính tỷ số α = z/p của mạch bù chậm pha: ′ ′ 20 log10 α = 20 log10 G (iω c ) H (iω c ) (10.78) hay: K K ′ ′ α = G (iωc ) H (iωc ) = = (10.79) ′ ′ iω c (iω c + 2) ω c ω c2 + 4 ′ ′ ′ Thay các giá trị K = 40 và ωc = 1,68 vào phương trình (10.79), chúng ta sẽ tính được giá trị của α: 40 α= ≅ 9,1 (10.80) 2 1,68 1,68 + 4 ′ Như đã đề cập ở trên, góc chậm pha của mạch bù tại tần số ωc được đặt bằng 5o, có nghĩa là: 152
1 + iωτ ∠ = −5o (10.81) 1 + iαωτ ′ ω =ωc hay: ′ ′ arctan(ω cτ ) − arctan(αω cτ ) = −5o (10.82) Lấy tang của cả hai vế phương trình (10.82): ′ ′ ω cτ − αωcτ = tan(−5 o ) (10.83) ′ 1 + αω c τ22 Thay các giá trị ωc = 1,68 và và α = 9,1 vào để giải phương trình (10.83), chúng ′ ta sẽ tìm được hai nghiệm τ ≅ 6 và τ ≅ 0. Trong hai nghiệm này, chỉ có nghiệm thứ nhất có thể chấp nhận được. Chúng ta đã tìm được hàm chuyển của mạch bù chậm pha như sau: 1 + 6s 1 + 6s s + 0,17 Gc ( s ) = = ≅ 0,11 (10.84) 1 + 9,1× 6 s 1 + 54,6s s + 0,018 Đồ thị Bode của hàm chuyển vòng hở Gc(iω)G(iω)H(iω) của hệ thống sau khi bù được biểu diễn trong Hình 10.10. 20log10|GcGH| (dB) ω (rad/s) φ(ω) (o) Hình 10.10. Đồ thị Bode của hàm chuyển Gc(iω)G(iω)H(iω) trong ví dụ 10.4 10.9. Mạch bù sớm-chậm pha và bộ điều khiển PID Trong nhiều trường hợp, chúng ta có thể cần một mạch bù có thể cung cấp cả góc sớm pha như của một mạch sớm pha và sự suy giảm về độ lớn như của một mạch 153
chậm pha. Một mạch có đặc tính như vậy được gọi là mạch sớm-chậm pha (lead- lag network). Một mạch sớm-chậm pha sẽ có cả hai thành phần sớm pha và chậm pha, vì vậy hàm chuyển của mạch sẽ có dạng như sau: 1 + ατ 1 s 1 + τ 2 s s − z1 s − z 2 Gc ( s ) = K ⋅ = K1 ⋅ (10.85) 1 + τ 1 s 1 + βτ 2 s s − p1 s − p2 ở đó, |z1| < |p1| và |z2| > |p2|, hay α > 1 và β > 1. Để thiết kế hàm chuyển của mạch bù sớm-chậm pha, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp đã được giới thiệu trong các mục trước, dùng để thiết kế hàm chuyển cho các mạch bù sớm pha và bù chậm pha. Ví dụ, hàm chuyển của mạch bù sớm-chậm pha có thể thiết kế được trong mặt phẳng s bằng cách xác định điểm không và điểm cực của thành phần sớm pha sao cho quỹ tích nghiệm của hệ thống sau khi bù sẽ đi qua vị trí được mong muốn cho cặp nghiệm trội của phương trình đặc trưng của hệ thống vòng kín, sau đó xác định điểm không và điểm cực của thành phần chậm pha nhằm làm tăng hằng số sai số ứng với cặp nghiệm trội đó lên với tỷ lệ là β. Một dạng của mạch sớm-chậm pha được sử dụng rất phổ biến, nhất là trong các hệ thống điều khiển công nghiệp, là bộ điều khiển tỷ lệ-tích phân-đạo hàm (proportional-integral-derivative controller hay PID controller), hay còn gọi là bộ điều khiển ba phương thức (three-mode controller), được biểu diễn bằng phương trình vi phân có dạng như sau: t du (t ) ∫ u ra (t ) = K P u vào (t ) + K D vào + K I u vào (τ ) dτ (10.86) dt 0 Hàm chuyển của bộ điều khiển PID nói trên sẽ là: U ra ( s ) K GPID ( s ) = = KP + KDs + I (10.87) U vào ( s ) s Thành phần tỷ lệ (KP) của bộ điều khiển PID có tác dụng làm tăng tốc độ của đáp ứng và làm giảm (nhưng không làm triệt tiêu được) sai số ở trạng thái thường trực. Thành phần tích phân (KI) có thể làm triệt tiêu sai số ở trạng thái thường trực, như chúng ta đã đề cập tới ở mục 10.6, nhưng sẽ làm ảnh hưởng đến hiệu suất nhất thời theo chiều hướng không được mong muốn vì phần trăm quá mức của đáp ứng nhất thời sẽ tăng khi KI tăng. Ngược lại với KI, thành phần đạo hàm (KD) có tác dụng nâng cao tính ổn định của hệ thống và làm giảm phần trăm quá mức của đáp ứng nhất thời, nhờ đó cải thiện hiệu suất nhất thời của hệ thống vòng kín. Đặc biệt, người ta thường sử dụng các bộ điều khiển PID để điều khiển những quá trình quá phức tạp để có thể thiết lập được các mô hình toán học chính xác, thường là các quá trình phi tuyến và đa biến. Trong những trường hợp đó, với ba tham số KP, KI và KD của bộ điều khiển PID để điều chỉnh, chúng ta vẫn có thể hy vọng đạt được hiệu suất mong muốn cho hệ thống mà không cần thực hiện nhiều bước phân tích và thiết kế phức tạp. 154
Bài tập Bài 10.1. Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá 400 trình là G ( s ) = . Chúng ta muốn sử dụng một bộ điều khiển PI để bù cho s ( s + 4) hệ thống. Hàm chuyển của bộ điều khiển PI là: K2 Gc ( s ) = K1 + s Nếu K2 = 1, xác định giá trị của K1 sao cho phần trăm quá mức của hệ thống vào khoảng 20% với tín hiệu vào là hàm nhảy bậc. Bài 10.2. Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là: K G ( s) = s ( s + 2)( s + 4) Chúng ta mong muốn thiết kế một hệ thống có tần số tự nhiên và tỷ số cản của cặp nghiệm phức trội là ωn = 3 và ζ = 0,5 cùng với hằng số sai số Kv = 2,7. Xác định hàm chuyển thích hợp cho một mạch bù để hệ thống thỏa mãn được những yêu cầu kể trên. Bài 10.3. Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là: 15.900 G ( s) = s s + 1)( + 1) s( 100 200 Một mạch bù có hàm chuyển Gc(s) = K1 + K2s được sử dụng để hàm chuyển Gc(iω)G(iω)H(iω) có logarit độ lớn bằng 0dB tại tần số ωc = 500rad/s và dự trữ pha của hệ thống bằng 45o. Tính K1 và K2. Bài 10.4. Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá e− s trình (bao gồm cả trễ) là G ( s ) = . Một mạch bù PI có hàm chuyển như sau: s +1 ⎛ 1⎞ Gc ( s ) = K ⎜1 + ⎟ ⎝ τs ⎠ được sử dụng để hệ thống có phần trăm quá mức là 5% với tín hiệu vào là hàm nhảy bậc. Xác định K và τ. Bài 10.5. Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm được dùng cho một robot lặn có quá trình được biểu diễn bằng một hàm chuyển bậc ba: K G ( s) = s ( s + 10)( s + 50) Hiệu suất nhất thời được mong muốn cho toàn bộ hệ thống là phần trăm quá mức 155
khoảng 7,5% cho tín hiệu vào nhảy bậc và thời gian quá độ khoảng 400ms. Xác định hàm chuyển của một mạch bù sớm pha thích hợp cho hệ thống nói trên và giá trị thích hợp cho K bằng phương pháp bù trong mặt phẳng s. Bài 10.6. Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm được dùng một máy in có hàm chuyển của động cơ và bộ khuyếch đại như sau: 0,15 G ( s) = s ( s + 1)(5s + 1) Xác định hàm chuyển của một mạch bù sớm pha có α = 10 để hệ thống có tần số dải thông ωB = 0,75rad/s và dự trữ pha bằng 30o. 156