Giáo trình kỹ thuật điều khiển 3

Chia sẻ: Cindy Cindy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

255
lượt xem 99
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Kỹ thuật điều khiển sử dụng mô hình toán học của các hệ thống động trong việc phân tích hành vi của hệ thống, trên cơ sở đó áp dụng các lý thuyết điều khiển để xây dựng các bộ điều khiển nhằm làm cho hệ thống hoạt động như được mong muốn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình kỹ thuật điều khiển 3

s − p1 s − p1 ( s − p1 )Y ( s ) = k1 + k 2 + ... + k n (2.22) s − p2 s − pn Cho s = p1, vế phải của phương trình (2.22) sẽ chỉ còn lại k1, nghĩa là: ( s − z1 )( s − z 2 )...( s − z m ) k1 = ( s − p1 )Y ( s ) = (2.23) ( s − p2 )( s − p3 )...( s − pn ) s = p s = p1 1 Các phần dư còn lại, k2, k3,..., kn, cũng được tính bằng cách tương tự. Xét một trường hợp cụ thể, với K/M = 2, f/M = 3 và y0 = 1. Khi đó phương trình (2.19) trở thành: s+3 s+3 Y (s) = = (2.24) 2 ( s + 1)( s + 2) s + 3s + 2 Áp dụng phương pháp khai triển phân thức đơn giản với (2.24): k1 k +2 Y (s) = (2.25) s +1 s + 2 k1 và k2 được tính như sau: s+3 k1 = ( s + 1)Y ( s ) = =2 (2.26) s + 2 s = −1 s = −1 s+3 k 2 = ( s + 2)Y ( s ) = = −1 s + 1 s = −2 s = −2 Đáp ứng theo thời gian y(t) được xác định bởi biến đổi Laplace nghịch của Y(s): −1 ⎡ − 1 ⎤ ⎡2⎤ y (t ) = L−1[Y ( s )] = L−1 ⎢ −t − 2t ⎥ + L ⎢ s + 2 ⎥ = 2e − e (2.27) ⎣ s + 1⎦ ⎣ ⎦ Việc cuối cùng là xác định trạng thái thường trực (steady state) hay còn gọi là giá trị cuối cùng (final value) của f(t): s ( s + 3) lim y (t ) = lim sY ( s ) = lim =0 (2.28) s → 0 ( s + 1)( s + 2) t →∞ s →0 Điều đó có nghĩa là, vị trí cuối cùng của vật khi hệ thống ở vị trí cân bằng bình thường là y = 0. Trở lại trường hợp tổng quát được biểu diễn bằng phương trình (2.19). Định nghĩa tỷ số cản (damping ratio) ζ = f ( 2 KM ) và tần số tự nhiên (natural frequency) ω n = K M của hệ thống. Phương trình (2.19) trở thành: ( s + 2ζω n ) y0 Y ( s) = (2.29) s 2 + 2ζω n + ω n 2 Phương trình đặc trưng của Y(s) có các nghiệm như sau: 23
s1,2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1 (2.30) Khi ζ > 1, s1 và s2 là các nghiệm thực và đáp ứng theo thời gian của hệ thống giảm liên tục, hệ thống được coi là bị cản quá mức (overdamped). Khi ζ < 1, phương trình đặc trưng có các nghiệm phức: s1,2 = −ζω n ± iω n 1 − ζ 2 (2.31) Trong trường hợp thứ hai, đáp ứng theo thời gian của hệ thống là một dao động tắt dần, khi đó hệ thống được coi là bị cản dưới mức (underdamped). Trường hợp ζ = 1 được gọi là điều kiện tắt dần tới hạn (critical damping). y(t) y0 ζ>1 ζ=1 t 0 ζ
đối với chúng ta. iω - điểm không × iω n 1 − ζ 2 × - điểm cực ωn θ σ −2ζωn −ζωn 0 − iω n 1 − ζ 2 × Hình 2.6. Đồ thị các điểm cực và điểm không của Y(s) trong mặt phẳng s iω iωn ζ1 ζ=1 ζ>1 0 ζ
Thêm nữa, hàm chuyển mô tả hành vi của một hệ thống dưới dạng quan hệ vào- ra, vì vậy mô tả bằng hàm chuyển không chứa những thông tin về cấu trúc bên trong của hệ thống. Xem xét hệ thống lò xo-vật-cản, được mô tả bởi phương trình (2.1), có biến đổi Laplace là phương trình (2.17). Với các điều kiện ban đầu bằng không, phương trình (2.17) trở thành: Ms2Y(s) + fsY(s) + KY(s) = F(s) (2.32) Hàm chuyển của hệ thống khi đó được xác định như sau: Y ( s) 1 G( s) = = (2.33) 2 F ( s ) Ms + fs + K Ví dụ 2.2 Xem xét một hệ thống lò xo-vật-cản sử dụng hai vật và hai cản, và mạch điện đồng dạng với nó (Hình 2.8), dựa trên cặp đồng dạng lực-dòng điện. Vận tốc v1(t) và v2(t) của các vật trong hệ thống cơ học đồng dạng với hiệu điện thế v1(t) và v2(t) tại các điểm của mạch điện. Giả thiết các điều kiện ban đầu bằng không, chúng ta có được các phương trình của hệ thống cơ học: M1sV1(s) + (f1 + f2)V1(s) – f1V2(s) = F(s) (2.34) V ( s) M 2 sV2 ( s ) + f1[V2 ( s ) − V1 ( s )] + K 2 =0 (2.35) s K f2 R1 v1(t) v2(t) M2 v2(t) f1 i(t) C1 R2 C2 L M1 v1(t) F(t) Hình 2.8. Hệ thống hai vật và mạch điện hai nút đồng dạng Để có được các phương trình của mạch điện đồng dạng, chỉ cần thay F(s) = I(s), M1 = C1, M2 = C2, R1 = 1/f1, R2 = 1/f2, và L = 1/K vào hai phương trình trên. Biến đổi để hai phương trình (2.34) và (2.35) trở thành: (M1s + f1 + f2)V1(s) – f1V2(s) = F(s) (2.36) ⎛ K⎞ − f1V1 ( s ) + ⎜ M 2 s + f1 + ⎟V2 ( s ) = 0 (2.37) ⎝ s⎠ 26
hay có thể viết dưới dạng ma trận như sau: ⎡ M 1 s + f1 + f 2 − f1 ⎤ ⎡V ( s ) ⎤ ⎡ F ( s )⎤ 1 ⎢ K ⎥⎢ = (2.38) M 2 s + f1 + ⎥ ⎣V2 ( s )⎥ ⎢ 0 ⎥ −f1 ⎢ ⎦⎣ ⎦ ⎣ s⎦ Giải phương trình (2.38) cho biến ra V1(s): ( M 2 s + f1 + K s ) F ( s ) V1 ( s ) = (2.39) ( M 1s + f1 + f 2 )( M 2 s + f1 + K s ) − f12 Hàm chuyển của hệ thống: ( M 2 s + f1 + K s ) V1 ( s ) G( s) = = (2.40) F ( s ) ( M 1s + f1 + f 2 )( M 2 s + f1 + K s ) − f12 Ví dụ 2.3 Động cơ một chiều là một thiết bị dẫn động có chức năng làm chuyển động một tải trọng. Sơ đồ của một động cơ một chiều được biểu diễn trên Hình 2.9. Ký hiệu góc quay của trục động cơ theo thời gian là θ(t), vận tốc góc là ω(t), mômen quán tính của tải trọng là J và hệ số ma sát của tải trọng là f. ia(t) Ra La Rf Lf Phần ứng va(t) vf(t) Phần trường if(t) ω,θ Tải trọng Hình 2.9. Sơ đồ của một động cơ một chiều Hàm chuyển của động cơ một chiều sẽ được thiết lập cho một xấp xỉ tuyến tính của động cơ trong thực tế, bỏ qua các hiệu ứng bậc hai như trễ và sụt thế. Hiệu điện thế vào của động cơ có thể đặt vào phần trường hoặc phần ứng. Từ thông φ của phần trường trong động cơ là một đại lượng tỷ lệ với dòng điện if: φ(t) = Kfif(t) (2.41) ở đó Kf là một hằng số. Mômen quay của trục động cơ được coi là có quan hệ tuyến tính với φ và dòng điện trong phần ứng theo công thức sau: Tm(t) = K1φ(t)ia(t) = K1Kfif(t)ia(t) (2.42) Để hệ thống được mô tả bằng phương trình (2.42) tuyến tính, một trong hai dòng điện phải có cường độ được giữ không đổi, dòng điện còn lại có cường độ thay đổi sẽ là tín hiệu vào của hệ thống. Trước hết chúng ta sẽ xem xét động cơ điều khiển bởi dòng điện của phần trường. Trong trường hợp này, dòng điện của phần ứng có cường độ ia(t) = I không đổi. Áp dụng biến đổi Laplace cho phương trình 27
(2.42), chúng ta có: Tm (s) = (K1KfI)If(s) = KmIf(s) (2.43) ở đó Km = K1KfI được gọi là hệ số của động cơ. Theo định luật Kirchhoff, mối quan hệ giữa cường độ dòng điện và hiệu điện thế của phần trường được thể hiện bằng phương trình: di f (t ) v f (t ) = R f i f (t ) + L f (2.44) dt hay dưới dạng của biến đổi Laplace: Vf(s) = RfIf(s) + Lf[sIf(s) − if(0)] = (Rf + Lfs)If(s) (2.45) Mômen quay trên trục động cơ bao gồm mômen của tải trọng và mômen tạo bởi tác động của nhiễu: Tm(t) = TL(t) + Td(t) (2.46) trong đó mômen của tải trọng TL(t) được tính bởi công thức: d 2θ (t ) dθ ( t ) TL (t ) = J +f (2.47) dt 2 dt Biến đổi Laplace của (2.47): TL(s) = J[s2Θ(s) − sθ(0) − θ’(0)] + f[sΘ(s) − θ(0)] = s(Js + f)Θ(s) (2.48) Bỏ qua tác động của nhiễu, từ các phương trình (2.43), (2.46) và (2.48) chúng ta sẽ thu được: KmIf(s) = s(Js + f)Θ(s) (2.49) Từ (2.45), chúng ta có: V f ( s) I f ( s) = (2.50) Rf + Lf s Thay (2.50) vào (2.49): K mV f ( s ) = s( Js + f )( R f + L f s )Θ ( s ) (2.51) Hàm chuyển của hệ thống bao gồm cả động cơ và tải trọng là: Km Θ( s) G f (s) = = (2.52) V f ( s ) s ( Js + f )( R f + L f s ) hay: K m ( fR f ) G f (s) = (2.53) s (τ f s + 1)(τ L s + 1) ở đó τf = Lf/Rf là hệ số thời gian của phần trường của động cơ và τL = J/f là hệ số thời gian của tải trọng. Thường thì τL > τf và τf có thể bỏ qua được. Mô hình sơ đồ khối của động cơ điều khiển bởi phần trường được thể hiện trong Hình 2.10, 28
với Ω(s) và Θ(s) là các biến đổi Laplace của ω(t) và θ(t). Với động cơ một chiều điều khiển bởi phần ứng, cường độ dòng điện của phần trường if(t) = I không đổi. Khi đó, mômen quay của động cơ, biểu diễn dưới dạng biến đổi Laplace sẽ là: Tm(s) = (K1KfI)Ia(s) = KmIa(s) (2.54) Quan hệ giữa Ia(s) và Va(s) được biểu diễn bằng phương trình: Va(s) = (Ra + Las)Ia(s) + Vb(s) (2.55) Td(s) − Ω(s) 1 Θ(s) Vf(s) If(s) Tm(s) TL(s) 1 1 Km Js + f Rf + Lf s s + Hình 2.10. Mô hình sơ đồ khối của động cơ điều khiển bởi phần trường Chúng ta có thể thấy, khác với trường hợp của động cơ điều khiển bởi phần trường được thể hiện trong phương trình (2.45), ở đây xuất hiện thành phần Vb(s) là biến đổi Laplace của hiệu điện thế của suất phản điện động vb(t). Đại lượng này tỷ lệ với vận tốc quay của động cơ: Vb(s) = KbΩ(s) (2.56) Kb là hệ số của suất phản điện động. Từ (2.54) và (2.56), chúng ta có công thức biểu diễn Ia(s) theo Va(s): V ( s) − K b Ω( s) I a (s) = a (2.57) Ra + La s Tương tự như phương trình (2.49) của động cơ điều khiển bởi phần trường, chúng ta có: KmIa(s) = s(Js + f)Θ(s) (2.58) Thay (2.57) vào (2.58): Km[Va(s) − KbΩ(s)] = s(Js + f)(Ra + Las)Θ(s) (2.59) hay: KmVa(s) = s(Js + f) (Ra + Las)Θ(s) + KbKmsΘ(s) (2.60) Hàm chuyển của hệ thống bao gồm cả động cơ và tải trọng là: Km Θ( s) Ga ( s ) = = (2.61) Va ( s ) s[( Js + f )( Ra + La s ) + K b K m ] Trong nhiều động cơ một chiều, hệ số thời gian của phần ứng τa = La/Ra có thể bỏ qua được. Khi đó: 29
K ( fRa + K b K m ) Km =m Ga ( s ) = (2.62) s (τ 1s + 1) s[( Js + f ) Ra + K b K m ] với τ1là hệ số thời gian của hệ thống bao gồm động cơ và tải trọng: JRa τ1 = (2.63) fRa + K b K m Mô hình sơ đồ khối của động cơ điều khiển bởi phần ứng được thể hiện trong Hình 2.11. Trong mô hình này, khối phản hồi Kb sinh ra do suất phản điện động của bản thân động cơ chứ không phải để sử dụng cho mục đích điều khiển, vì vậy đây vẫn là một hệ thống kiểu vòng hở. Td(s) − Ω(s) 1 Θ(s) Va(s) + Tm(s) TL(s) 1 Km Js + f Ra + La s s + − Kb Hình 2.11. Mô hình sơ đồ khối của động cơ điều khiển bởi phần ứng Hàm chuyển là một khái niệm vô cùng quan trọng vì nó cung cấp cho các nhà phân tích và thiết kế mô hình toán học của các phần tử của hệ thống. Chúng ta sẽ còn được thấy giá trị của hàm chuyển trong nỗ lực nhằm mô hình hóa các hệ thống động. Phương pháp sử dụng hàm chuyển vô cùng hữu ích bởi vì đáp ứng nhất thời của hệ thống được mô tả bởi vị trí các điểm cực và điểm không của hàm chuyển trong mặt phẳng s. 2.6. Mô hình sơ đồ khối Các hệ thống động, bao gồm cả các hệ thống điều khiển tự động, được biểu diễn một cách toán học bằng các hệ phương trình vi phân. Như chúng ta đã được biết tới trong các mục trước, việc sử dụng biến đổi Laplace cho phép quy vấn đề phân tích hệ thống về việc giải các phương trình đại số tuyến tính. Bởi vì nhiệm vụ của các hệ thống điều khiển là điều khiển một số biến nhất định, các mối quan hệ tương hỗ giữa các biến được điều khiển và các biến điều khiển cần phải được xác định. Những mối quan hệ này thường được biểu diễn dưới dạng hàm chuyển của các hệ thống con, thể hiện sự liên hệ giữa các biến vào và ra. Vì vậy chúng ta có thể nhận định rằng hàm chuyển là một quan hệ quan trọng trong kỹ thuật điều khiển. Tầm quan trọng của mối quan hệ nhân-quả biểu thị bởi hàm chuyển còn được thể hiện khi chúng ta cần biểu diễn các mối quan hệ giữa các biến của hệ thống dưới dạng sơ đồ. Biểu diễn sơ đồ khối của các mối quan hệ trong hệ thống được sử dụng rất phổ biến trong kỹ thuật điều khiển. Sơ đồ khối bao gồm các khối vận hành một chiều, biểu diễn hàm chuyển của các biến được quan tâm. Chúng ta đã 30
biết đến ví dụ về sơ đồ khối ở mục trước (Hình 2.10 và 2.11), biểu diễn hàm chuyển của các phần tử của động cơ một chiều. Hàm chuyển chỉ thể hiện mối quan hệ giữa một biến vào và một biến ra. Để biểu diễn một hệ thống có nhiều biến cần được điều khiển, sơ đồ liên kết khối được sử dụng. Sơ đồ liên kết khối của một hệ thống có hai biến vào và hai biến ra được thể hiện trong Hình 2.12. Chúng ta có thể viết hệ phương trình cho các biến ra của hệ thống đó như sau: C1(s) = G11(s)R1(s) + G12(s)R2(s) (2.64) C2(s) = G21(s)R1(s) + G22(s)R2(s) (2.65) ở đó Gij(s) là hàm chuyển biểu diễn mối quan hệ giữa biến vào thứ j và biến ra thứ i. Một cách tổng quát, cho một hệ thống có J biến vào và I biến ra, chúng ta có thể viết hệ phương trình dưới dạng ma trận: ⎡C1 ( s ) ⎤ ⎡G11 ( s ) ... G1J ( s ) ⎤ ⎡ R1 ( s ) ⎤ ⎢C ( s ) ⎥ ⎢G ( s ) ⎥ ... G2 J ( s )⎥ ⎢ R2 ( s ) ⎥ ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 21 ⎢ ⎥ (2.66) ⎥ ⎢... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢... ... ... ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ... G IJ ( s ) ⎦ ⎣ R J ( s )⎦ ⎣C I ( s ) ⎦ ⎣G I 1 ( s ) hay: C = GR (2.67) ở đó C và R là các ma trận cột chứa I biến ra và J biến vào, còn ma trận G có kích thước I×J được gọi là ma trận hàm chuyển. Biểu diễn ma trận của mối quan hệ tương hỗ giữa nhiều biến đặc biệt có giá trị đối với các hệ thống điều khiển đa biến phức tạp. + G11(s) R1(s) C1(s) + G21(s) G12(s) + G22(s) R2(s) C2(s) + Hình 2.12. Sơ đồ liên kết khối của một hệ thống nhiều biến Sơ đồ khối của một hệ thống có thể rút gọn được bằng các kỹ thuật rút gọn sơ đồ khối để trở thành một sơ đồ khối đơn giản hơn với ít khối hơn sơ đồ ban đầu. Các kỹ thuật biến đối và rút gọn sơ đồ khối xuất phát từ các phép biến đổi đại số với các biến của sơ đồ. Ví dụ, với một sơ đồ khối bao gồm hai khối nối tiếp nhau như trong Hình 2.13, chúng ta có: X3(s) = G2(s)X2(s) = G2(s)G1(s)X1(s) (2.68) 31
Vì vậy, sơ đồ khối trong Hình 2.13 có thể rút gọn được thành một sơ đồ chỉ có một khối với biến vào là X1(s), biến ra là X3(s) và hàm chuyển là G1(s)G2(s). X1(s) X2(s) X3(s) G1(s) G2(s) Hình 2.13. Sơ đồ khối của hệ thống gồm hai khối nối tiếp Ví dụ thứ hai là một hệ thống điều khiển phản hồi âm (Hình 2.14). Tín hiệu sai lệch được đưa vào khối G(s) là: Ea(s) = R(s) − B(s) = R(s) − H(s)C(s) (2.69) Tín hiệu ra của hệ thống: C(s) = G(s)Ea(s) = G(s)[R(s) − H(s)C(s)] (2.70) hay: C(s)[1 + G(s)H(s)] = G(s)R(s) (2.71) + R(s) Ea(s) C(s) G(s) − B(s) H(s) Hình 2.14. Hệ thống điều khiển phản hồi âm Vì vậy, sơ đồ khối trong Hình 2.14 có thể rút gọn được thành một sơ đồ chỉ có một khối với biến vào là R(s), biến ra là C(s) và hàm chuyển là: C (s) G( s) = (2.72) R( s) 1 + G ( s) H ( s) Hàm chuyển vòng kín (2.72) rất quan trọng vì nó sẽ được sử dụng rất nhiều trong các hệ thống điều khiển trong thực tế. Một số phép biến đổi sơ đồ khối thường dùng được giới thiệu trong bảng dưới đây. Phân tích hệ thống bằng phương pháp rút gọn sơ đồ khối giúp ta hiểu rõ hơn vai trò của mỗi phần tử trong hệ thống, so với việc rút gọn bằng cách biến đổi các phương trình. Bảng 2.2. Một số phép biến đổi sơ đồ khối Tên phép Sơ đồ ban đầu Sơ đồ tương đương biến đổi Kết hợp X1(s) G (s) X2(s) G (s) X3(s) X1(s) G (s)G (s) X3(s) các khối 1 2 1 2 nối tiếp 32
X1(s) G(s) X3(s) X1(s) G(s) X3(s) Chuyển + + điểm cộng ± ± tín hiệu ra X2(s) G(s) X2(s) sau khối X1(s) G(s) X2(s) Chuyển X1(s) G(s) X2(s) điểm chia tín hiệu ra G(s) X2(s) X2(s) trước khối X1(s) G(s) X2(s) Chuyển X1(s) G(s) X2(s) điểm chia tín hiệu ra X1(s) X1(s) 1/G(s) sau khối X1(s) G(s) X3(s) X1(s) G(s) X3(s) Chuyển + ± + điểm cộng ± tín hiệu ra 1/G(s) X2(s) X2(s) trước khối X1(s) X2(s) G(s) Loại bỏ + G(s) X1(s) X2(s) ± vòng phản 1 m G (s) H (s) hồi H(s) Ví dụ 2.4 Hình 2.15 là sơ đồ khối của một hệ thống điều khiển phản hồi nhiều vòng. Các bước được thực hiện để rút gọn sơ đồ này được thể hiện trong Hình 2.16a−d. H2 − + + + G4 G1 G2 G3 R(s) C(s) − + H1 H3 Hình 2.15. Sơ đồ khối của một hệ thống điều khiển phản hồi nhiều vòng Biểu diễn các hệ thống điều khiển phản hồi bằng sơ đồ khối là một phương pháp rất có giá trị và được sử dụng rộng rãi. Sơ đồ khối cung cấp cho chúng ta hình ảnh trực quan của các mối quan hệ tương hỗ giữa các biến được điều khiển 33