Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình
F(x,y) = 0
Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, x (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn
từ phương trình F(x,y) = 0.
Ví dụ: xy – ex + ey = 0
Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến:
Ví dụ: Tính y’ nếu:
F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0
F(x,y) = xy – ex + ey = 0
Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai
biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f gọi là
hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z
Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến:
Ví dụ: tính zx, zy nếu xyz = cos(x+y+z)
y
x
F
F
y'
z
x
F
F
x
z
z
y
F
F
y
z
4. CỰC TRỊ
Cực trị tự do:
Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x0,y0) nếu tồn tại một lân
cận của M0 sao cho f(M) f(M0), M (f(M) f(M0), M ). F(M0) gọi chung
là cực trị.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2
Điều kiện cần để có cực trị:
Nếu f(x0,y0) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x0,y0) thì: f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0)
= 0
Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y). Tại những điểm thỏa zx = zy 0, ta gọi
định thức Hessian:
Đặt:
• Nếu |H1|>0, |H2|>0: z đạt cực tiểu
• Nếu |H1|<0, |H2|>0: z đạt cực đại
yyyx
xyxx
zz
zz
H
yyyx
xyxx
xx zz
zz
HzH 2 ,1
Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8,
z = x3 + y3
Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số y = f(x1,x2…xn). Tại những điểm thỏa fx1 = fx1 =
… fx1 = 0, giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2, đặt
Ta có định thức Hessian:
• Nếu |H1|>0, |H2|>0,… |Hn|>0 : z đạt cực tiểu
• Nếu |H1|<0, |H2|>0,… (-1)n|Hn|>0 : z đạt cực đại
Ví dụ: Tìm cực trị hàm số y = x3 + y2 + 2z2 -3x - 2y – 4z
Cực trị có điều kiện:
Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c gọi là cực trị có điều
kiện.
Định lý: Nếu M0(x0,y0) là cực trị có điều kiện trên.
Đặt hàm Lagrange: L(x,y,) = f(x,y) + (c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0
thì:
nnnn
n
n
n
fff
fff
fff
H
ff
ff
HfH
...
............
...
...
,...,
21
22221
11211
2221
1211
2111
0),(
0
0
yxgcL
gfL
gfL
yyy
xxx
là nhân tử Lagrange, điểm M0(x0,y0) của hệ trên gọi là điểm dừng.
Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1.
Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x1,x2,…xn) với điều kiện g(x1,x2,…xn) = c. Hàm
Lagrange L = f + (c-g)
Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện:
Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm dừng M0, xét định thức
Hessian đóng:
• Nếu |H|>0: f đạt cực đại có điều kiện
• Nếu |H|<0: f đạt cực đại có điều kiện
Ví dụ: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số:
f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x2 + y2 = 1
22
1yxz
0
0
........................
0
0
222
111
gcL
gfL
gfL
gfL
nnn
yyyxy
xyxxx
yx
LLg
LLg
gg
H
0
Mở rộng hàm n biến: Xét hàm số f(x1,x2,…xn) với điều kiện g(x1,x2,…xn) = c. Hàm
Lagrange: L = f + (c-g). Xét tại điểm dừng M0(x0,y0), ta xét định thức Hessian đóng:
• Nếu |H2|<0, |H3|<0,… |Hn|<0 : z đạt cực tiểu
• Nếu |H2|>0, |H3|<0,… (-1)n|Hn|>0 : z đạt cực đại
Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z
với điều kiện x2 + y2 + z2 = 1
nnnnn
n
n
n
LLLg
LLLg
LLLg
ggg
H
...
...............
...
...
...0
21
222212
112111
21