Luận văn Thạc sĩ: Hiệu chỉnh bài toán cân bằng theo phương pháp điểm gần kề

Bài toán cân bằng là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong toán học ứng dụng, có lịch sử phát triển từ các công trình của Ky Fan, Browder, Oettli và nhiều tác giả khác. Đây là một khái niệm tổng quát, có khả năng mô tả nhiều vấn đề quan trọng trong nhiều lĩnh vực như tối ưu, bất đẳng thức biến phân, hay điểm bất động. Luận văn này tập trung giới thiệu các kiến thức cơ bản về bài toán cân bằng trong không gian Hilbert và phương pháp hiệu chỉnh bài toán này theo phương pháp điểm gần kề.

Giáo sư, nhà nghiên cứu, sinh viên sau đại học trong lĩnh vực Toán học, đặc biệt là Toán giải tích, Tối ưu và Giải tích số.

Luận văn trình bày một cách chi tiết về bài toán cân bằng, một khái niệm toán học có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên và xã hội. Luận văn bắt đầu bằng việc giới thiệu những kiến thức cơ sở về không gian Hilbert và giải tích lồi, là nền tảng cho các chương tiếp theo. Sau đó, tác giả đi sâu vào định nghĩa, các điều kiện tồn tại nghiệm và các trường hợp riêng của bài toán cân bằng, bao gồm bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài toán bù phi tuyến, bài toán điểm bất động Kakutani và bài toán cân bằng Nash. Trọng tâm của luận văn là nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh bài toán cân bằng, đặc biệt là phương pháp điểm gần kề. Kỹ thuật hiệu chỉnh này được sử dụng để chuyển đổi các bài toán không ổn định thành các bài toán ổn định và dễ giải quyết hơn. Luận văn cũng trình bày nguyên lý bài toán phụ, một công cụ quan trọng được sử dụng để giải các bài toán cân bằng phụ phát sinh trong quá trình hiệu chỉnh. Các định lý quan trọng liên quan đến sự hội tụ của các chuỗi xấp xỉ được chứng minh chi tiết, đặc biệt là việc làm rõ các điều kiện về hệ số Lipschitz và tính đơn điệu mạnh. Mục tiêu cuối cùng là cung cấp một cái nhìn tổng quan sâu sắc về lý thuyết và ứng dụng của bài toán cân bằng trong không gian Hilbert, đồng thời mở ra hướng nghiên cứu tiếp theo cho các vấn đề còn tồn đọng.