Làm sao dịch chuyển núi Phú Sĩ

Chia sẻ: Dao Huy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

121
lượt xem 36
download

Làm sao dịch chuyển núi Phú Sĩ

Mô tả tài liệu

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần lớn các câu đố dưới đây là các câu hỏi tuyển dụng của Microsoft xuất hiện trong cuốn sách "How Would you move mount Fuji?" (Làm sao dịch chuyển núi Phú Sĩ) của William Poundstone. Hy vọng nó sẽ hữu ích cho mọi người. Tài liệu định dạng PDF gồm 30 câu hỏi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Làm sao dịch chuyển núi Phú Sĩ

Làm sao d ch chuy n núi Phú Sĩ? Microsoft’s Cult of Puzzle DongPhD DongPhD TranslateSeries υo .1 Available at http://dongphd.blogspot.com Tóm t t n i dung Ph n l n các câu đ dư i đây là các câu h i tuy n d ng c a Mi- crosoft xu t hi n trong cu n sách “How Would You Move Mount Fuji?1 ” (Làm sao d ch chuy n núi Phú Sĩ) c a William Poundstone. Hy v ng nó s h u ích cho m i ngư i. CÁC CÂU Đ VÀ L I GI I "The man with a hammer sees every problem as a nail." - An old saying Câu h i 1. Trên m t tam giác đ u ba đ nh có ba con ki n. M i con b t đ u di chuy n th ng theo m t hư ng b t kỳ theo c nh c a tam giác đ n m t góc khác. Xác su t c a bi n c không có con ki n nào đ ng nhau là bao nhiêu? 1 Copyright c 2003 by William Poundstone 1
DongPhD 2 Tr l i. Ch có hai cách di chuy n đ các con ki n không g p nhau là t t c chúng di chuy n ngư c chi u ho c cùng chi u kim đòng h . N u không vi c chúng ch m vào nhau là không th tránh kh i. B n hãy ch n m t con ki n b t kỳ và đ t tên nó là DongPhD2 . Khi DongPhD di chuy n theo hư ng nào thì nh ng con ki n khác ph i chuy n đ ng theo hư ng đó đ không đ ng nhau. Vì các con ki n l a ch n hư ng đi ng u nhiên và ch có hai kh năng x y ra nên xác su t 1 đ con ki n th hai s di chuy n cùng chi u v i DongPhD là 2 và xác su t đ con ki n th ba di chuy n cùng chi u v i DongPhD là 1 . Như 2 1 v y xác su t c n tìm là 4 Câu h i 2. B n có 26 h ng s l n lư t đư c kí hi u t A đ n Z. Cho A = 1. H ng s ti p theo đư c tính b ng công th c l y s th t c a nó trong b ng ch cái mũ h ng s đ ng trư c nó. Ch ng h n B = 2A = 21 = 2, C = 3B = 32 = 9. . . . Tính giá tr c a bi u th c (X − A)(X − B) . . . (X − Y )(X − Z). Tr l i. Trong ti ng Anh, b n đ c t trái sang ph i nên b n đã rơi vào cái b y mà bài toán c ý s p đ t khi b n b t đ u hành trình đi tìm l i gi t các s bên trái. H ng s X b ng bao nhiêu? X là ch cái th 24 trong b ng ch cái ti ng Anh nên nó b ng 24W . Vì W là ch cái th 23 nên nó b ng 23V , V = 22U , U = 21T . . . T t c đi u này có nghĩa là3 1 . . .2 100 22 googol = 10100 googolplex = 1010 X = 2423 t c là, X là s vô cùng l n. Trang web tìm ki m Google đư c đ t tên theo t googol, con s v i 1 10 00. Còn s l n hơn n a g i là googolplex là s có 1 ch s 1 đ ng đ u và phía sau nó là googol ch s 0. C googol và googolplex đ u không có ng d ng th c t nào chúng ch đ ch ng t r ng có nh ng 2 B n ti ng Anh là Bill 3 Thanks to Mr. Tr n M u Quý http://dongphd.blogspot.com
DongPhD 3 s l n kinh kh ng. Trong vũ tr không có m t đ i tư ng nào có th t o thành googol còn googolplex thì l n đ n m c không th vi t đư c toàn b s s 0 c a nó. Googolplex so v i X v n là m t con s nh hơn. T p đoàn Intel chưa s n xu t đ lư ng vi m ch đ tính đư c giá tr c a X. Th m chí n u đ nh lu t Moore4 luôn đúng v i th i gian và b n l p đ u vũ tr b ng các con chip đi n t Super-Hyper-Pentium thì b n chưa tính đư c X. Đi u này g i cho b n m t đi u b t thư ng trong bi u th c này. Câu tr l i đúng là 0. Trong 26 th a s có m t th a s b ng (X − X) = 0. Do đó giá tr c a các th a s khác không còn là v n đ quan tr ng. Câu h i này giúp ngư i ph ng v n bi t đư c ng viên có xem xét v n đ toàn c c trư c khi đ u tư th i gian công s c đ làm m t vi c đ làm m t vi c có th là vô nghĩa không. Nhưng đ i v i nhi u ngư i, v n đ toàn c c đó chính là vi c h trong m t cu c ph ng v n đ y áp l c trong đó m i s lúng túng đ u đư c tính đi m. Th m chí trong trư ng h p h quen xem xét v n đ toàn c c và k c h nghi ng có đi u gì n d u thì r t nhi u ngư i v n b t tay vào vi c th c hi n các phép tính đ i s m t cách vô th c. H u như h s làm t bên trái sang. H có th đi theo con đư ng sai đó m t th i gian trư c khi nh n th y cách đơn gi n. Câu h i 3. Xây d ng h đ m cơ s −2 Tr l i. Yêu c u ng c ngh ch này đư c s d ng t lâu trong các cu c ph ng v n c a Microsoft. Th c s là không t n t i h đ m cơ s -2. Nó cũng gi ng như yêu c u vi t vài câu trong ngôn ng Klingon.5 Tuy nhiên ta có th phát minh ra h đ m cơ s -2 m t cách có lý. Đây là đi u b n đư c yêu c u. Thông thư ng chúng ta s d ng cơ s 10 đ vi t các s . T c là ta tách các s đó thành chu i lũy th a cơ s 10. Ch ng h n, s 176 b ng 1 × 102 + 7 × 101 + 6 × 100. (Quy ư c, s nào lũy th a 0 đ u b ng 1). M t tính ch t quan tr ng là h đ m cơ s 10 s d ng 10 ch s (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9). 4 Gordon Moore, cofounder of Intel 5 Ngôn ng c a ngư i ngoài hành tinh trong phim Star Trek http://dongphd.blogspot.com
DongPhD 4 Máy tính s d ng h đ m cơ s 2, hay là h nh phân. Nó ch dùng hai ch s (0 và 1). Trong s có nhi u ch s (ch ng h n 10010), m i v trí đ i di n cho m t lũy th a liên ti p c a 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32 ... S nh phân 10010 có nghĩa là 1 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20. Trong h th p phân nó ng v i s 18. Nói chung, b t kì cơ s nào đư c xây d ng gi ng như các tòa nhà hình kh i v i các kích c khác nhau. Trong cac Trong cơ s 10, các kh i có kích c là 1, 10, 100, 1000, vv. Trong cơ s 2, các kh i có kích c l n lư t là 1, 2, 4, 8, 16, v.v. Vi c k t n i các hình kh i theo các kích c tiêu chu n này t o nên b t kì s nào ta mu n. Đ i v i cơ s −2 thì sao? Trư c h t, các s trong h đ m cơ s -2 s đư c bi u di n thành t ng các lũy th a c a -2. Các lũy th a liên ti p c a -2 là 1, -2, 4, -8, 16, -32. . . Đ ý lũy th a b c l là s âm6 (−2 × −2 = +4, nhưng −2 × −2 × −2 = −8). Do đó b n ph i bi u di n các s theo t p các s âm và dương c đ nh này. B n có th nghi ng là có th bi u di n t t c các s đư c không? Có th . B n có th bi u di n t t c các s âm và dương theo cách này (không c n s d ng đ n d u âm lên các giá tr như vi c bi u di n các s âm trong các cơ s thông thư ng). Cơ s -2 nói chung yêu c nhi u ch s hơn h nh phân thông thư ng. Trư c khi b t đ u tính, ta c n gi i quy t v n đ sau. Các ch s dùng trong cơ s -2 là gì? là 0 và 1 hay 0 và -1? Hay là toàn b chúng? V i các cơ s thông thư ng, s ch s b ng đúng giá tr cơ s . Trong cơ s 10 có 10 ch s . Trong cơ s 2 là 2 ch s . Theo quy t c này h cơ s -2 c n -2 ch s và nó ít hơn 0 ch s . Quy t c này ph i đư c thay đ i. Tuy nhiên có s thay đ i h p lý và s thay đ i không h p lý. B n c n ph i gi đư c tinh th n c a h đ m trong khi chuy n nó sang lĩnh v c m i c a các s âm. Quy t c s ch s b ng cơ s không th chuy n sang cho cơ s âm. Cách ti p c n hi n nhiên nh t là s d ng s 0 và s 1. Chúng đã đư c dùng trong h nh phân thông thư ng. M t cách khác có v h p lý hơn là s d ng 0 và -1, và hi u chúng như là các kí hi u dơn thu n. M c dù, có v ph c t p hơn. Ta nên ch n cách càng đơn gi n càng t t. Hãy dùng 0 và 1. S 1 đư c vi t m t cách đơn gi n là 1 [t c là 1 × (−20 )]. 6 Đ ti n tính toán v sau http://dongphd.blogspot.com
DongPhD 5 S 2 thì khó hơn. V trí ti p theo tính t ph i sang trái là -2. T c là 10 (trong cơ s -2) s là 1 × (−2)1 + 0 × (−2)0 = −2 + 0 = −2. Xét 111. Đó là 1 × (−2)2 + 1 × (−2)1 + 1 × (−2)0 = 4 + (−2) + 1 = 3. OK, thay 1 b i 0 v trí t n cùng bên ph i : 110 là 4 + (-2) + 0 = 2. V y 110 là 2 trong h đ m cơ s -2. Trên đây ta đã ch ra s 3 trong h th p phân là 111 trong h -2. S 4 cũng d . V trí th ba là 4, như h nh phân thông thư ng. B n là 100. Thêm 1 vào v trí t n cùng bên ph i ta đư c s 5 trong h -2, t c là 101. Đ bi u di n 6, ta không nên đ t s 1 vào v trí th hai ho c th tư t bên ph i vì s có hai s âm tương ng là -2 và -87 . Ta ph i nh y cóc t i v trí th năm, ng v i 16. V y 10000 là 16. Nó quá l n. Nhưng 11000 b ng 16+(-8)=8. Tr đi 2, t c là thêm s 1 vào v trí th hai t ph i sang 11010 chúng ta có phiên b n c a s 6 trong h cơ s -2. C ng thêm 1 cho ta s 7(11011) S 8 ta đã bi t trên là 11000. Thêm 1 ta đư c 9 (11001). Đ i v i s 10, cũng hơi r c r i. B t đ u v i 8 (11000). C ng 4 vào nó b ng cách đ t s 1 vào v trí th 3(11100). Sau đó tr đi b ng cách đ t 1 vào v trí s 2 (11110). Đó là 10. Mư i ch s đ u tiên trong h đ m cơ s -2 là: 1, 110, 111, 100, 101, 11010, 11011, 11000, 11001 và 11110. Câu h i 4. Năm tên cư p bi n trên m t hòn đ o có 100 đ ng ti n vàng đ chia nhau. Chúng chia c a c i cư p đư c như sau: Tên tư ng cư p đưa ra quy t c chia sau đó các tên còn l i b phi u. N u ít nh t m t n a s tên cư p đ ng ý thì chúng s chia vàng theo cách đó. N u không tên tư ng cư p s b gi t và b t đ u l i. Tên có đ a v cao nh t (trong s còn s ng sót) đưa ra quy t c c a mình và b u l i theo quy t c cũ và ho c là chia c a c i ho c gi t tên c m đ u. Quá trình này ti p t c cho đ n khi quy t c đư c ch p nh n. Gi s b n là tư ng cư p b n s đua ra cách chia th nào? (Gi s các tên cư p đ u c c kì logic, tham lam và đ u mu n s ng) 7 Đi u này làm cho s nh đi http://dongphd.blogspot.com
DongPhD 6 Tr l i. Như ta bi t, c năm tên cư p bi n đ u bình đ ng trong vi c yêu c u nh n các đ ng ti n vàng. Cách đơn gi n nh t là chia thành năm ph n. M i ph n 20 đ ng. “Có gì sai không?” Câu tr l i là không sai nhưng có th là b n b gi t. Sau khi b n đưa ra cách chia này, b n tên cư p còn l i nghĩ 20 đ ng là công b ng nhưng 25 đ ng v n ngon hơn. Đó là s ti n chúng nh n đư c khi b phi u ch ng và gi t b n. Khi đó chúng s b t đ u chia l i 100 đ ng và ch có 4 tên. B n có th tranh cãi đ n tím m t cho r ng cách chia c a b n là công b ng nh t. Ch có m t đi u là câu đ không đ c p đ n tính công b ng c a các tên cư p bi n. Công b ng không ph i là b n ch t c a chúng. Không nh ng cách chia c a b n b bác b mà nh ng cách chia ti p theo s b ph n đ i n u c theo cách này. Chia cho 3 v n t t hơn chia cho 4? Hai v n l i hơn 3? Câu chuy n s k t thúc đâu? Câu đ t a như trò chơi Survivor trên truy n hình. 8 Câu đó này là m t ví d khác trong l p lu n h i quy. L i gi ph thu c vào vi c nh n ra tình hu ng v i n tên cư p có th phân tích d a theo tình hu ng n − 1 tên cư p và vân vân, cho đ n khi b n vươn t i “tình hu ng cơ s ” , đó là tính hu ng hi n nhiên đúng. Tình hu ng cơ s đây là ch còn m t tên s ng sót. Hi n nhiên m t mình h n s ôm tr n đ ng vàng. N u có hai tên cư p thì sao? Tên c m đ u đưa ra cách chia c a mình. Theo gi thi t cách chia s đư c ch p nh n n u có ít nh t m t n a tán thành. T c là tên th lĩnh b phi u cho chính mình thì là đ . Do đó, tên c m đ u s ch ng có gì ph i s và không c n đ ý tên kia nghĩ gì. H n là m t con qu tham lam, h n đưa ra đ ngh mình đư c hư ng t t c s vàng. M t phi u ch ng và m t phi u thu n và cách chia đư c ti n hành. Tên c m đ u có v luôn l y m i th . Nhưng không. Gi s tên này cũng đ ngh như v y trong trư ng h p có 3 tên cư p. Ta đánh s chúng t th p lên cao (theo đ a v ): #1, #2, và #3. #3 đưa ra cách chia. N u cách chia là “m i th cho tôi và không có gì cho các anh” tên cư p ti p theo #2 s b phi u ch ng. Tên cư p #2 bi t r ng h n s có m i th sau khi #3 b chém. Tên cư p #1 là ngư i quy t đ nh t t c . H n không có gì trong trư ng h p còn l i 2 tên. H n không có lý do gì đ ch n cách này hay cách khác. 8 B qua m t đo n http://dongphd.blogspot.com
DongPhD 7 Vì v y n u thông minh #3 s mua s ng h c a #1. Tên cư p #3 cũng r t tham lam. H n ch mu n chi ra v a đ mà thôi. Đ ngh logic c a tên cư p#3là cho #1 m t đ ng, #2 không có gì và h n - ahem! - có 99 đ ng ti n vàng. Theo logic #1 nh n ra thà có còn hơn không và ng h tên cư p #3. #1 s b phi u cho #3 (t t nhiên #3 b cho mình) và quy t c đư c thông qua m c cho #2 nguy n r a. Bây gi xét trư ng h p có 4 tên cư p. B n là s ch n. T c là tên c m đ u ch c n 1 phi u thu n n a là cách chia c a h n đư c thông qua. Câu h i c a h n là “mua phi u c a ai là r nh t?”. Trong trư ng h p có 3 tên. Tên cư p #2 là thi t thòi nh t. Vì v y k ho ch c a #4 là cho #2 m t ít thì #2 s ng h hanwns theo logic. N u #2 ng h thì tên cư p #4 không c n đ ý #1 và #3 nghĩ gì. K ho ch c a tên cư p #4 là không có gì cho #1, m t đ ng cho #2, không có gì cho #3, và 99 đ ng cho h n. Bây giwof thì ta đã th y đư c mô hình c a bài toán. Trong m i trư ng h p, tên th lĩnh s mua s phi u thu n mình c n v i giá r nhât có th . Sau đó gi m i th còn l i cho mình. Áp d ng cho trư ng h p 5 tên cư p đã cho trong câu đ . B n tên là #5. B n c n 3 phi u: phi u c a mình và 2 phi u khác n a. Do đó b n ph i cho hai tên cư p không có gì khi #4 c m đ u m t ít xương.Đó là #1 và #3. C hai s tr ng tay n u b n b gi t và #4 làm th lĩnh. T t nhiên chúng s ng h b n n u có đư c chút đ nh. B n nên đưa ra đ ngh là Pirate #4: 0 đ ng, #3: 1 đ ng, #2: 0 đ ng, và 1 đ ng cho #1. 98 đ ng còn l i là c a b n9 L i gi i này trái v i cách nghĩ thông thư ng và thuy t ph c ngư i ta không c n các câu đ logic. N u như các tên cư p t o ra m t liên minh (gi ng như game show ki u “Survivor”) trên cơ s tình b n thì các l p lu n trên không còn đúng n a. Th m chí không có các liên minh, l i gi này cũng c n xem xét. B n cư p bi n (hay b n buôn ma túy hay mafia hay nh ng k b n nghĩ là ích k th c d ng) s ng i yên khi b n có 98 đ ng trong khi chúng ch có m t th m chí không có đ ng nào? B n tên đó s b n b n ngay và sau đó m i suy lu n. 9 N u là tôi s chia 1 đ ng cho c #1 và #3, tôi còn 99 đ ng. http://dongphd.blogspot.com
DongPhD 8 Câu h i 5. B n có hai s i dây cháy. M i s i s cháy h t sau đúng m t gi , nhưng thành ph n c a c hai không đ ng nh t nên không cháy v i t c đ không đ i. Có đo n cháy nhanh và có đo n cháy ch m. Làm th nào đ đo 45 phút ch dùng các s i dây và b t l a? Tr l i. M t phiên b n đơn gi n hơn c a câu h i này là làm th nào đ đo đư c 30 phút nh vào s i đo n dây trên. Và ta s b t đ u v i câu h i d . Không có nhi u ch n l a. Đ t cháy c hai ta s không bi t th i gian đã trôi qua bao lâu cho đ n khi chúng cháy h t: 60 phút. Không t t. Đ ý r ng b n có th tìm đư c đi m gi a c a s i dây mà không dùng t i thư c. Ch vi c g p đôi l i. Nhưng n u b n đ t m t n a cũng không đư c gì. B i vì dây cháy không đ u. Ch ng h n, n a ph i cháy c c nhanh và m t 1 phút. Trong khi n a trái cháy c c ch m và m t 59 phút. Đi u này không giúp b n xác đ nh khi nào 30 hay 45 phút trôi qua. Ta đã vét h t kh năng chưa? Chưa. M t cách thông minh là x p hai dây theo hình ch X. Đ t sao cho chúng c t nhau t i đi m gi a. Khi đó n u b n đ t m t chân c a ch X l a cháy đ n giao đi m và l p t c ti p t c cháy theo 3 hư ng. T t c đi u này d n t i vi c đ t các s i dây t i đi m gi a (vi c ta đã làm nhưng vô ích) t i m t th i đi m trong tương lai (m t bao lâu m i t i đi m giao). Đã h t kh năng chưa nh ? Chưa, ta cũng có th đ t c hai đ u. T c đ cháy c a hai ng n l a không có ý nghĩa nào c , và không có gì b o đ m hai ng n l a s g p nhau t i đi m giao. Hi n nhiên, chúng không g p nhau. Khi đi u đó x y ra, hai ng n l a đã đi h t th i gian đúng b ng n a th i gian 60 phút, t c là 30 phút. Th t tuy t! Bài toán đơn gi n hơn đã đư c gi i. Nó đưa ta t i bài toán 45 phút. B ng cách đ t t hai đ u ta đo đư c th i gian 30 phút. N u ta có th đo đư c15 phút v i đo n dây th hai n a là xong. N u ta có s i dây 30 phút thì ta ch c n đ t hai đ u nó vào lúc ng n l a cháy t hai đ u s i dây 60 phút là xong. Đi u này s cho ta 15 phút n a và t ng c ng là 45 phút. Ta không có s i dây 30 phút. Nhưng ta có th t o ra nó b ng cách đ t s i dây th hai t m t đ u trong khi ta đo th i gian 30 phút c a s i dây th nh t. http://dongphd.blogspot.com
DongPhD 9 Sau đây là toàn b quy trình c a chúng ta: T i th i đi m b t đ u, đ t hai đ u c a s i dây A và m t đ u c a s i dây B. Các s i dây không đư c ch m vào nhau. M t 30 phút cho A đ 2 ng n l a g p nhau. Khi đó, ta đo đư c 30 phút c a B. L p t c đ t đ u kia c a B. Hai ng n l a c a B s g p nhau sau 15 phút, và ta có th i gian 45 phút c n tìm. Câu h i 6. B n có hai xô 3 quart10 và 5 quart và m t ngu n cung c p nư c vô h n. B n l y ra đúng 4 quart b ng cách nào? Tr l i. Ta hãy xem nh ng lư ng nư c nào. Th cái xô 3 quartxu ng cái gi ng vô h n và kéo nó lên: ta có 3 quart. Th cái xô khác ta đư c 5quart. Đ đo m t lư ng b t kỳ, ta c n khai thác các gi thi t phát bi u bài toán. Các phép toán nào cho phép ta đo m t cách chính xác m t lư ng nư c? N u b n có cái nhìn siêu phàm thì b n có th ư c lư ng b ng m t, rót chính xác 1 quart t cái xô 5 quart. Th là gi i đư c bài toán. Hi n nhiên, như th còn gì là đ .? T t nhiên b n đư c phép c ng hai lư ng l i. N u b n có th có 2 quart trong xô 3 quart và 2 quart trong xô 5 quart, b n đ lư ng nư c trong xô 3 quart vào xô 5 quart, nó s cho b n 4 quart. Nhưng không th . B n th m chí không th có 3 + 3 = 6 quart, vì xô 5 quart không đ đ ch a 6 quart. B n có th nghĩ v vi c đ nư c đo đư c vào b n t m, m t b bơi tr ng, m t cía h c n hay b t kì đâu. Ngư i ph ng v n không cho phép đi u này. B n ph i tư ng tư ng b n đang m t hành tinh bao quanh là đ i dương, và hai xô nư c này là tài s n duy nh t trong th gi i đó. Vì vi c c ng l i không đem l i k t qu nên b n th c hi n phép tr . L y đ y xô 5 quart và đ m t cách c n th n sang xô 3 quart còn tr ng cho đ n khi nó đ y. R i d ng l i! N u như nư c không văng ra ngoài thì b n đã có 2 quart trong xô 5 quart. B qua 2 quart này và b n s ch ng th ti n xa hơn. Cách duy nh t đ ti n lên là đ xô 3 quart tr ng và cho 2 quart đó vào trong xô 3 quart. Bây giwof t t c nh ng 10 U.S. quart is legally defined as 57.75 cubic inches and is equal to 0.946 litres. Imperial quart is legally defined as 1.1365 litres. http://dongphd.blogspot.com
DongPhD 10 gì b n c n là múc đ y xô 5 quart r i đ c n th n sang xô 3 quart đã có 2 quart. Th là b n có 4 quart nư c. M t cách khác (đòi h i nhi u bư c hơn) là múc đ y xô 3 quart và đ qua xô 5 quart. Múc đ y xô 3 quart m t l n n a, r i đ sang xô 5 quart. Khi đó trong xô 3 quart còn l i 1 quart. Đ h t nư c trong xô 5 quart đi. Đ 1 quart t xô 3 quart sang xô 5 quart. Múc đ y xô 3 quart l n n a và cho h t sang xô 5 quart có s n 1 quart, ta đư c 4 quart. W. W. Rouse Ball đ c p đ n câu đ này trong cu n Mathematical Recreations and Essays (1892) c a mình, m t tác ph m ph bi n th i Victoria. Ball tin r ng nó có t th i trung c . Dù cho Lewis Terman đã dùng phiên b n đơn gi n hơn trong bài tr c nghi m IQ đ u tiên nhưng ông cho bi t 2 ngư i trư ng thành đã không gi i đư c bài này 3 trong 5 phút. M t phiên b n khó hơn c a Microsoft xu t hi n trong b phim Die Hard with a Vengeance (1995). Câu h i 7. B n có hai cái l và 100 viên bi. 50 bi đ và 50 bi xanh. Ch n ng u nhiên m t l ; sau đó l y ra m t viên bi b t kỳ trong đó. Làm th nào đ kh năng viên bi đ đư c ch n là l n nhât? (B n ph i b c 100 viên bi vào các l .) Kh năng l n nh t đó là bao nhiêu? Tr l i. Nhìn qua, có v như kh năng ch n đư c đ hay xanh là như nhau. S lư ng bi đ và bi xanh b ng nhau. B n ph i dùng t t c chúng không đư c b sót viên bi nào. Viên bi đư c ch n hoàn toàn ng u nhiên. Có ph i cơ h i là 50-50? S ra sao khi b n cho 25 viên bi cùng màu vào m i l . Th c t là cơ h i là 50-50 khi trong m i l có 50 viên không đ ý các màu tr n l n như th nào? Ta cho t t c bi đ vào l A và t t c bi xanh vào l B. Khi đó kh năng l y ra viên bi đ là 50%, vì đó là xác su t l A đư c ch n ( ch c ch n r ng l y viên bi nào cũng màu đ ). Ta có g i ý sau. Th t ra b n không c n cho t t c bi đ vào trong l A. Ch c n 1 là đ . Trong trư ng h p này, xác su t thùng A đư c ch n v n là 50%, ch a ch 1 viên màu đ . Khi đó viên bi đ s đư c ch n - không còn l a ch n nào khác. http://dongphd.blogspot.com
DongPhD 11 Suy ra xác xu t ch n đư c bóng đ l A là 50%. B n v n còn 49 viên đ đ t l B. Xét bi n c l B đư c ch n, b n có cơ h i l y viên bi đ g n 50%. ( Th c ra là 49 .) V y cơ h i ch n viên bi đ trong tình 99 hu ng này là ít hơn 75% m t chút (50%+ 1 c a 49 g n b ng 74,74%). 2 99 Câu h i 8. M t trong các nhân viên c a b n đòi tr lương h ng này b ng vàng. B n có m t th i vàng giá tr c a nó b ng 7 ngày lương cho ngư i này. Th i vàng đư c chia làm 7 ph n b ng nhau. N u ch đư c c t hai l n và ph i tr lương cho nhân viên vào cu i m i ngày, b n tính sao? Tr l i. B n c n 1 th i vàng (sau đây ta g i là 1 đơn v ) đ tr cho 7 nhân viên vào cu i m i ngày. Nh là ta ch có hai l n c t. Hãy th v i phương án hi n nhiên nh t (v n có quy n thay đ i). B n c t ra m t đơn v và đưa cho nhân viên. Và b n còn th i vàng v i 6 đơn v . Vào ngày th hai, b n có th c t thêm m t dơn v n a. Nhưng đi u này s cho b n th i vàng 5 đơn v và không l n c t nào n a. B n không có gì đ tr vào ngày th ba. Thay cho cách trên là b n c t ra hai đơn v . Cu i ngày th hai, b n đưa 2 đơn v cho nhân viên và l y l i 1( B n hy v ng nhân viên đó s không tiêu nó.) B n còn th i 4 đơn v và th i 1 đơn v và không có l n c t nào n a. Vào ngày th ba, b n l i đưa cho nhân viên y m t đơn v . Đ n ngày th tư, B n đưa cho 4 đơn v và l y l i hai ph n nh . Dùng chúng đ tr lương cho ngày th năm, sáu và b y.11 Câu h i 9. B n có b cái h p và n đ ng 1 đôla. B ti n vào các h p sao cho không ph i m b t kì h p nào, b n chó th đưa cho nguwoif nòa đó s ti n b t kì t 1 đ n n đôla. Các ràng bu c cho n và b là gì? 11 Chia th i vàng l n 7 đơn v thành các th i 20 , 21 , 22 http://dongphd.blogspot.com
DongPhD 12 Tr l i. Ý tư ng cơ b n là gi ng như câu đ v th i vàng. B n dùng h nh phân. Cho vào h p th nh t 1, h p th hai 2, h p th 3 laf4, và vv. M t s ti n b t kì có th bi u đi n thành t ng các lũy th a c a 2. khác v i câu đ v th i vàng, phiên b n này ki m tra kĩ năng lo i tr c a b n. S ph c t p đây là n không ch c là t ng các lũy th a liên ti p c a 2. B n s còn th a m t s ti n sau khi bi u di n n thành t ng các lũy th a c a 2. M t v n đ khác là b n chưa ch c có đ s h p. Gi s b n có $100. các h p c a b n s ch a $1, $2, $4, $8, $16, $32 . . . và khi đó không đ $64 cho vào h p th 7. Sáu h p đ u ch a 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +32 = 63 đôla. T c là b n còn $37, th m chí không ph i là lũy th a c a 2. làm th nào b n có th cung c p s ti n yêu c u t $0 đ n $100? Dùng sáu h p đ u b n có th l y b t kì lư ng ti n nào t $0 đ n $63. (V i $0 b n không l y h p nào c !) N u b n mu n $64? Đ u tiên l y ra h p th 7 có $37. Sau đó l y $64 tr đi $37 ta đư c $27. $27 có th l y t 6 h p ban đ u. Trong trư ng h p này, b n dùng các h p $37, $16, $2, and $1. Theo cách tương t b n có th l y ra s ti n b t kì cho t i $100. Khi h i v các ràng bu c cho b và n, ngư i ph ng v n có ý là “V i các giá tr b và n c th nào thì cách chia luôn đúng?” Ch ng h n, n u b n có $1000000 và ch có 1 cái h p thì không th ti n hành đư c. B n không có đ h p cho s ti n l n đó. N u b n có quá nhi u h p nhưng ít ti n thì sao. B n c n tìm bi u th c liên h gi a b và n. Ta hãy l p m t b ng và th v i vài giá tr đ u tiên c a b b n 1 không quá 1 2 không quá 2+1=3 3 không quá 4+2+1=7 4 không quá8+4+2+1=15 Li c qua câu tr l i, ta th y m i h p thêm vào gân s ti n tăng g n g p đôi. Hai h p thì s ti n l n nh t là $3 trong khi v i 3 h p là $7. M t cách chính xác, b h p ng v i s ti n l n nh t là 2b − 1 đôla. Đ http://dongphd.blogspot.com
DongPhD 13 phương án th c hi n đư c thì n ≤ 2b − 1. Bài toán này là m t d ng khác c a bài toán “Bachet’s weights” 12 có t th i Ph c Hưng đư c đ c p đ n trong Problémes plaisan et delectables13 c a Claude Gaspar Bachet năm 1612. Bachet h i v s qu cân đ cân b t kì kh i lư ng nào t 1 đ n 40 pound. M t phiên b n s m hơn xu t hi n trong bài vi t v đo lư ng c a Nicol6 Tartaglia (Venice, 1556). T t nhiên câu tr l i là 1, 2, 4, 8, 16 và 32 pound. Câu h i 10. B n có m t thùng đ u g m ba màu - đ , l c, xanh da tr i. hãy nh m m t và l y ra hai h t đ u cùng màu? B n ph i l y ra bao nhiêu đ ch c ch n chúng cùng màu. Tr l i. B n. N u ch l y 3 h t thì có th m i h t có m t màu và do đó không h p lý. V i 4 h t thì có ít nh t hai h t cùng màu. Anh em sinh đôi v i câu h i này c a Microsoft là câu đ cũ hơn h i v ph i l y bao nhiêu chi c t t đ t trong ngăn kéo t i đ đư c m t đôi t t Ch ng h n Bankers Trust đã dùng câu h i v chi c t t đ ph ng v n. Khi các chi c t t ch có hai màu thì câu tr l i là ba. Câu h i 11. N u b n có th b m t bang b t kì trong 50 bang c a nư c M , b n s b bang nào?14 Tr l i. Câu tr l i ph bi n: Alaska, Hawaii, North Dakota. Câu tr l i d : Washington. T hơn: B t t c . Đây là ví d n i ti ng nh t v các bài toán m p m c a Microsoft. Nó không gi ng v i các câu h i v màu s c yêu thích c a b n. H 12 Các qu cân c a Bachet 13 nghĩa ti ng Anh là Pleasant and Delectable Problems 14 This is a silly question http://dongphd.blogspot.com
DongPhD 14 mu n b n hình dung l i câu h i đ có th đưa ra “câu tr l i đúng” b ng logic. B n không ph i nêu tên bang trư c. b n có th đi quanh ngư i ph ng v n b ng các l p lu n c a mình và quy t đ nh sau. Sau đây là các cách ti p c n đư c ngư i ph ng v n ch p nh n: V n đ trung tâm là, chuy n gì s x y ra v i ngư i dân s ng bang b bãi b ? Trư ng h p (a) là khi b n lo i b m t bang , b n tiêu di t toàn b k c dân chúng trên đó. Khi đó v n đ đ o đ c khi n b n ph i t i ti u hóa s n n nhân. Trư ng h p (b) là dân cư c a bang đó ch vi c bi n m t. H th t s không b tàn sát mà ch bi n m t. Có th là h tr v quá kh và đ p lên m t con bư m. . . sau đó tr l i hi n t i và th y r ng bang đó và m i ngư i dân đó không t n t i như chưa bao gi có chuy n đó. T t c các lá c ch có 49 ngôi sao, và nó không đư c đ c p trong b t kì cu n bách khoa toàn thư nào c . Trư ng h p (c) là ch có b t đ ng s n bi n m t. Con ngư i v n còn - các ngư i t n n ng i c nh m t cái h trên m t đ t và t h i mình ng đâu t i nay. H c n đư c tái đ nh cư nhưng v chi phí ai s tr ( Microsoft? hay chính quy n liên bang?) Trư ng h p (d) dân chúng đư c tái đ nh cư m t cách kì l không ai có thi t h i v v t ch t và tinh th n. B m nút, và các cư dân cũ c a ban cũ có nhà và công vi c (gi s trư c đó h cũng có đi u này) đâu đó 49 bang còn l i và không thay th ai đó. Trư ng h p (e) không có gì bi n m t. S bãi b này thu n túy chính tr . Bang này tr thành m t ph n c a Canada hay Mexico. ho c là tr thành m t qu c gia đ c l p. Trư ng h p (a) là rõ ràng. N u m i ngư i đ u b gi t thì b n ch n bang có dân s ít nh t. Theo đi u tra dân s năm 2000, đó là bang Wyoming. Trư ng h p (b) thì khó. M i ngư i ch vi c bi n m t trong m t tình hu ng gi s hoàn toàn không có ti n l đ o d c nào trư c đó. H v n s ng, th cho đ n khi b n b m vào nút xóa b l ch s . Đi u này gi ng như gi t h . M t l n n a bang Wyoming đư c ch n. Trư ng h p (c) thì ti n thoái lư ng nan là nên ch n bang có dân s l n hơn bang Wyoming hay quan tâm d n các đ c đi m t nhiên. Wyoming là bang l n v i th ng c nh đ p và có Vư n Qu c gia Yel- lowstone. Đ c u t t c , b n s n sàng chi tr đ ch n bang đong dân hơn nhưng ít tháng c nh ho c di n tích nh . http://dongphd.blogspot.com
DongPhD 15 Theo đi u tra năm 2000, năm bang có dân s ít nh t là Wyoming, Vermont, Alaska, North Dakota, và South Dakota. Vermont và Alaska cũng có nhi u c nh đ p, và Alaska r t l n. South Dakota có núi Rush- more. North Dakota - t t, North Dakota không có Mount Rushmore. Th t khó tư ng tư ng m t ai đó bang khác tình nguy n đ n ngh đây. ( Bi u tư ng cho North Dakota là c t đi n tho i - chuy n vui thôi) North Dakota có khí h u kh c nghi t vào mùa đông - kh c nghi t hơn c nh ng trung tâm dân cư c a Alaska. Bây gi trư ng h p (c), không ai b gi t nhưng ph i t n chi phí tái đ nh cư. Là đáng giá dù chi phí có cao hơn đ b o t n đư c Yellowstone, hay các khu resort Vermont, hay or t t c c a Alaska, hay Mount Rushmore. North Dakota là h p lý. Trong trư ng h p (d), vi c tái đ nh cư là l lùng và không t n kém. L a ch n có lý v n là North Dakota. Cu i cùng là trư ng h p (e), ngư i và c a đ u không b m t. Chúng ta ch v l i b n đò chính tr . Có th đ c p đ n Alaska hay Hawaii. Chúng bên ngoài nư c l c đ a M . M t vài ngư i nói r ng chúng là hương v c a ch nghĩa th c dân. N u b n ch y u quan tâm t i hình d ng c a đ t nư c trên b n đ thì nên l a ch n Alaska và Hawaii. Chú ý: N u Qu c h i ph i xem xét phương án nào thì v trí trên b n đ không đáng. Alaska có nhi u d u và khoáng s n. Hawaii là nơi ngh mát c a ngư i M l c đ a. C hai đ u có t m quan tr ng chi n lư c. Không th nói chuy n b chúng. Vi c th o lu n s t p trung vào, như trong (c) và (d), các bang có dân s và tài nguyên thiên nhiên ít nh t. Thêm m t l n n a l i là North Dakota, nó n m g n biên gi i Canada. Tra cho Canada. N u h không mu n thì hãy đ nó tr thành m t qu c gia. Câu h i 12. B n có 8 viên bi-a, m t trong chúng b h ng và n ng hơn nh ng viên còn l i. B n hãy cho bi t, ch hai l n cân thì xác đ nh viên b h ng, dùng cân thăng b ng? Tr l i. Cái cân dùng đây có hai đĩa cân đơn gi n, gi ng như cái mà th n Công Lý (Justice) c m. Nó cho b n bi t bên nào n ng hơn nhưng không bi t là bao nhiêu. Nó cũng cho b n bi t khí hai bên có kh i lư ng b ng nhau. http://dongphd.blogspot.com
DongPhD 16 Cách ti p c n hi n nhiên nhưng không h p lý. Đó là đ t m i bên 4 viên. Bên nào n ng hơn s xác đ nh đư c viên b h ng. Chia nhóm đó thành hai, m i bên hai viên. M t l n n a bên nào n ng hơn thì có viên b h ng. B n l y ra hai viên đó nhưng b n không bi t viên nào và b n không đư c cân ti p. L i gi i ph a c n dùng t i tính ch t là s thăng b ng cho b n bi t hai bàn cân b ng nhau. Khi chúng cân b ng b n có th k t lu n r ng không có viên bi h ng c hai bên. Trong l n cân th nh t, b n l y b t kỳ 6 viên bi chia 2, m i bên ba viên đem ra cân. Có hai kh năng x y ra • N u chúng b ng nhau thì hai viên còn l i s có m t đ ng nh hơn khi cân l n th 2. • N u trong 6 viên chia 2 ra đ cân có m t bên nh hơn thì "lôi c " nó ra. Trong 3 viên n ng hơn đó khi cân s có m t n ng hơn. L y 2 viên b t kỳ trong 3 viên n ng hơn ra cân l n th 2. N u m t bên nh m t bên n ng thì ta có ngay k t qu . N u hai bên b ng nhau thì viên bi h ng là viên còn l i Câu đ này đư c bi t trên toàn th gi i. Nó đã xu t hi n, ch ng h n, trong Mathematical Know-How (1956) c a Boris Kordemsky Liên Xô. Câu h i 13. T i sao gương ph n chi u trái ph i thay vì trên dư i? Tr l i. Có hai cách tr l i thông d ng là (a) ph đ nh gương ph n chi u trái và ph i (b) Kh ng đ nh gương có ph n chi u trên dư i (ch ng h n khi gương trên tr n ho c dư i sàn nhà) B t đ u v i (a). Khi b n c m trang báo trư c gương s ph n chi u làm đ o ngư c các ch và tr nên r t khó đ c. Tư ng tư ng các ch đư c in trên m t t m plastic trong su t. B n đ t nó đ i di n v i gương và th y r ng các ch trùng v i nh c a nó trong gương. Đi u này càng http://dongphd.blogspot.com
DongPhD 17 rõ hơn khí b n n m m t mũi trư c theo gương. Cho mũi tên n m ngang và hư ng v bên trái. nh c a nó cũng v y. Câu h i 14. M t tr i có ph i bao gi cũng m c hư ng Đông? Tr l i. Câu tr l i là không đúng. M t s ng viên đưa ra các ví d trong vũ tr . Sao Kim và sao Thiên Vương quay quanh tr c và có chi u quay ngư c v i chi u quay c a trái đ t. N u chúng ta đ t trong không gian m t hành tinh tư ng tư ng và không quay quanh quĩ đ o thì hoàn toàn không có hi n tư ng m t tr i m c và l n. Ngư i ph ng v n không ch p nh n nh ng câu tr l i tương t như v y và h i l i: “Có ph i trên Trái đ t bao gi m t tr i cũng m c hư ng đông?” Câu tr l i cũng không có gì thay đ i, v n là không. T i B c c c hoàn toàn không có hư ng đông: t t c các hư ng đ u ch v phía nam. Trong sáu tháng15 , m t tr i luôn m c và l n t hư ng nam. Còn Nam c c thì ngư c l i, ch có hư ng b c. Câu h i 15. Có bao nhiêu tr m xăng nư c M ? Tr l i. Câu h i này qu là khó nhưng không ph i là không th tr l i. Đáp s c a bài toán này giúp đ tính s lư ng tr m xăng M và nh ng nơi khác. Trung bình m i ngư i dân M có m t ôtô? Không đúng. Hai ngư i m t cái? Con s này ch c g n đúng hơn. V y n u dân s M là 300 tri u, t c nư c M có kho ng 150 tri u ôtô, trung bình m t ôtô c n ph i đ xăng m t l n trong tu n. Vì v y, trong m t tu n t t c các tr m xăng ph i ph c v s ôtô đúng b ng t ng s xe trong nư c. S gi trong m t tu n là 24 × 7, nhưng không ph i t t c các tr m xăng đ u làm vi c 24 gi trong tu n. Gi s trung bình m t tr m xăng làm vi c 100 gi /tu n, n u đ xăng cho m t xe m t 6 phút t c m i máy bơm tr m xăng trong m t gi có th ph c v 10 ôtô. Nh ng tr m xăng l n nh ng ch đông 15 the six-month polar day http://dongphd.blogspot.com
DongPhD 18 dân có th đ t nhi u máy bơm và ngư c l i có nh ng tr m xăng r t ít khách, gi s trung bình m i tr m xăng m t gi ph c v 10 ôtô. V y trung bình m t tu n, m t tr m ph c v 100 × 10 l n, hay 1.000 ôtô. Có nghĩa s tr m xăng nư c M b ng 150 tri u/1.000 = 150.000. S xe hơi và s tr m xăng ư c lư ng r t g n v i th c t . B Giao thông Hoa Kỳ 16 cho bi t năm 1997 t i M có 129.748.704 phương ti n v n t i đã đăng kí. S June 1998 c a Journal of Petroleum Marketing kh ng đ nh có 187.097 đ a đi m bán l xăng d u cho motor M . Câu h i 16. Mike và Todd có $21. Mike có nhi u hơn Todd $20. M i ngươì có bao nhiêu? B n không đư c dùng phân s trong câu tr l i. Tr l i. Câu h i d này n ch a m t thách th c nào đó. B n ch t c a nó là đơn gi n. B n có th b thu hút khi nói Mike có $21 và Todd có $1. Nhưng không, t ng c a chúng b ng $22. Câu tr l i đúng là Mike có $20.50 và Todd có $0.50. N u b n không th y nó là hi n nhiên thì hãy vi t ra phương trình và gi i nó. B n cũng có th ch ng minh r ng đây là đáp s duy nh t. Nhưng ngư i ph ng v n khăng khăng r ng không đư c dùng phân s trong câu tr l i. Ngư i ph ng v n sai (ho c là l đi s cent không ph i là phân s ). B n c đ ng trên l p trư ng c a mình và kh ng đ nh $20.5/$0.5. Đi u này c n thi t cho b n trong m t t ch c l n.17 Câu h i 17. B n có 6 que diêm. S p x p chúng đ có 4 tam giác đ u. Tr l i. (a) S p x p chúng thành t di n đ u . (b) S p thành hai tam giác ch ng lên nhau. Sáu đ nh c a ngôi sao t o thành sau tam giác đ u nh (c ng thêm 2 tam giác đ u l n t ng c ng là 8). Ta có th làm l ch m t que đ có đúng 4 tam giác đ u (nh ). 16 U.S. Department of Transportation 17 Đó là chính ki n c a b n. http://dongphd.blogspot.com
DongPhD 19 Câu h i 18. K o M & M đư c s n xu t như th nào? Tr l i. V n đ chính: Làm th nào đ có th s n xu t đư c l ai k o nh n, nhi u l p có hình c u d t v i s lư ng l n và hòan toàn b ng máy móc t đ ng như v y? Đơn gi n ch nhúng chocolate vào đư ng nóng ch y là m t quy t đ nh không có gì đ c s c, vì b n c n có ch đ t k o đ ch đư ng áo đông c ng l i. N u làm như v y s ch có m t m t k o là nh n, gi ng như thanh chololate thông thư ng. Có m t “phát minh” (nhưng là câu tr l i sai) như sau: “Ngư i ta t o ra m t d i chocolate nóng, r i làm l nh các nhân làm t h t h nh nhân hay h t l nu đó “phun” chúng xuyên qua l p chocolate nóng khi n chocolate l p t c đông c ng l i quanh nhân thành k o trư c khi rơi xu ng đ n băng chuy n”. Trong th c t , phương pháp mà hãng M&M s d ng r t đơn gi n và thông minh. Nhưng đáng ti c, r t khó có th nghĩ ra đư c n u b n không ph i là m t chuyên gia v công ngh s n xu t k o. Nhân chocolate c a k o M & M đ u tiên đư c đư c đ ra nh ng cái khuôn nh . Sau đó nh ng viên chocolate hình elip đư c ch a trong m t cái tr ng xoay , gi ng như cái máy tr n bê tong. Khi k o l c trong cái tr ng, đư ng nóng ch y đư c đ vào và đông l i bám xung quanh http://dongphd.blogspot.com
DongPhD 20 viên chocolate m t l p m ng c ng màu tr ng. Vì nh ng viên k o luôn chuy n đ ng nên đư ng không b dính l i thành nh ng c c nh . Ngòai ra, vì luôn chuy n đ ng va đ p vào nhau nên b m t k o tr nên r t nh n và đ u. Nguyên t c tr ng xoay này cũng thư ng đư c s d ng đ làm nh n đá quý. Sau đó đư ng nóng ch y nhu m màu l i đư c đ vào trong tr ng, ngoài l p v tr ng l i thêm m t l p v màu. Thêm m t bí quy t n a đ có th in hình ch M trên m t k o, hi n nhiên không th làm th công. Ch M bao gi cũng n m chính gi a m t phía c a viên k o. Có nghĩa d u hình ch M đư c đóng lên b m t t ng viên k o. Bí quy t như sau, khi k o đư c chuy n đ n dây chuy n, trên đó có hàng ngàn l có kích thư c gi ng như viên k o, viên k o s l t v a khít trong l , sau đó đư c đóng d u m t cách nh nhàng b i các con d u cao su có ch M v i m c in th c ph m màu tr ng. Câu h i này đư c s d ng có vài l n trong ph ng v n & bây gi , ngư i ta có th s d ng nh ng câu h i t t hơn. Ngư i đ t câu h i cũng không nh t thi t ph i bi t câu tr l i “đúng”. B n thân ngư i đ t ra c u h i này cũng không bi t k o M& M đã đư c làm th nào. Không nh t thi t ph i bi t đi u này m i đánh già đư c câu tr l i c a ng viên. M c đích c a câu h i này cũng như ph n l n các câu h i khác đ ki m tra li u ng viên có th nói đi u gì v v n đ này m t cách thuy t ph c hay không, ngư c l i, h đ ng nên đưa ra nh ng câu tr l i ngu ng c. Câu h i 19. Tìm tr ng lư ng c a 1 máy bay ph n l c mà không c n dung bàn cân? Tr l i. Ta đưa máy bay xu ng 1 tàu sân bay (ho c h cánh xu ng), ho c có th là 1 cái phà ho c tàu th y đ l n đ có th ch a đư c chi c máy bay. Ti p đó, trên thành tàu b n đánh d u m c nư c. Sau đó b n v n chuy n máy bay ra kh i con tàu, con tàu s n i lên 1 kho ng nào đó. Bây gi b n l i chuy n xu ng tàu 1 lư ng hàng hóa có kh i lư ng đ l n, đ n khi con tàu chìm xu ng đúng v i m c đã đánh d u lúc trư c thì b n có th xác đ nh đư c tr ng lư ng c a máy bay, vì tr ng http://dongphd.blogspot.com

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD