Luận án Phó tiến sĩ Khoa học Toán - Lý: Bài toán ngược trong lý thuyết thế vị

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:123

Thêm vào BST

Báo xấu

85
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Phó tiến sĩ Khoa học Toán - Lý: Bài toán ngược trong lý thuyết thế vị nêu lên các khái niệm căn bản của lý thuyết thế vị, bài toán thác triển số liệu đo trường điều hòa, bài toán tìm phân bố nguồn, sự duy nhất nghiệm và một số nội dung khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Phó tiến sĩ Khoa học Toán - Lý: Bài toán ngược trong lý thuyết thế vị

g s
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CHU ĐỨC KHÁNH BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYẾT THẾ VỊ Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 1. 01. 01 LUẬN ÁN PHÓ TIẾN SĨ KHOA HỌC TOÁN - LÝ Người hướng dẫn khoa học : GIÁO SƯ TIẾN SĨ ĐẶNG ĐÌNH ÁNG PHÓ TIẾN SĨ NGUYỄN BÍCH HUY Thành Phố Hồ Chí Minh - 1996 -
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................................... 1 T 5 1 T 5 1 CHƯƠNG 1 : TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYẾT T 5 1 THẾ VỊ ........................................................................................................................... 5 T 5 1 1.1. CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN CỦA LÝ THUYẾT THẾ VỊ. .............................. 5 T 5 1 T 5 1 1.2. BÀI TOÁN THÁC TRIỂN SỐ LIỆU ĐO TRƯỜNG ĐIỀU HÒA. ................... 13 T 5 1 T 5 1 1.3. BÀI TOÁN TÌM PHÂN BỐ NGUỒN................................................................. 17 T 5 1 T 5 1 1.4. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH LỖ HỔNG BÊN TRONG MỘT VẬT THỂ. .............. 18 T 5 1 T 5 1 1.5. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH MIỀN NGUỒN. ........................................................... 19 T 5 1 T 5 1 CHƯƠNG 2 : SỰ DUY NHẤT NGHIỆM ............................................................... 24 T 5 1 T 5 1 2.1. SỰ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN NGƯỢC TUYẾN T 5 1 TÍNH........................................................................................................................... 24 T 5 1
Mục lục ii 2.2. SỰ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN NGƯỢC PHI TUYẾN T 5 1 T 5 1 .................................................................................................................................... 34 CHƯƠNG 3 CHỈNH HÓA MỘT SỐ BÀI TOÁN NGƯỢC TUYẾN TÍNH ..... 54 T 5 1 T 5 1 3.1. BÀI TOÁN MOMENT TỔNG QUÁT TRÊN KHỔNG GIAN HILBERT ...... 54 T 5 1 T 5 1 3.2. BÀI TOÁN THÁC TRIỂN SỐ LIỆU ĐO TRƯỜNG ĐIỀU HÒA. ................... 68 T 5 1 T 5 1 3.3. BÀI TOÁN TÌM PHÂN BỐ NGUỒN................................................................. 75 T 5 1 T 5 1 CHƯƠNG 4 : CHỈNH HÓA MỘT SỐ BÀI TOÁN NGƯỢC PHI TUYẾN...... 80 T 5 1 T 5 1 4.1 BÀI TOÁN (P6). ................................................................................................... 81 T 5 1 T 5 1 4.2. BÀI TOÁN (P7). ............................................................................................... 106 T 5 1 T 5 1 KẾT LUẬN .................................................................................................................. 115 T 5 1 T 5 1 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 117 T 5 1 T 5 1
MỞ ĐẦU Lý thuyết thế vị phát sinh từ thế kỷ XIX là một bộ phận của Vật Lý Toán nghiên cứu thế vị của các trường lực là trường thế chẳng hạn như trường hấp dẫn, điện trường ... Lý thuyết này lừ lâu đã đóng một vai trò quan trọng trong cả Toán Lý thuyết lẫn ứng dụng. Nhiều bài toán cụ thể trong Vật lý Địa cầu, Điện, Điện từ, Cơ,…đã được thiết lập dưới dạng các bài toán ngược trong Lý thuyết thế vị. Tuy nhiên những hài toán này thường không chỉnh theo nghĩa của J. Hadamard nghĩa là chúng có thể không có nghiệm hoặc nếu có nghiệm thì có vô số nghiệm, hơn nữa khi bài toán có nghiệm duy nhất thì nghiệm này lại không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện. Trong vài thập niên trở lại đây, các bài toán ngược và đặc biệt là các bài toán không chỉnh đã được nhiều nhà Toán học trên thế giới quan tâm khảo sát một cách rộng rãi. Trong bài toán không chỉnh, nghiệm (nếu có) không phụ thuộc liên lục vào dữ kiện : một nhiễu nhỏ của dữ kiện có thể đưa đến sai số rất lớn cho nghiệm, thậm chí có thể làm bài toán trở thành vô nghiệm. Vì vậy, đối với những bài toán này, ta phải tìm cách chỉnh hóa. Nghiệm chỉnh hóa là nghiệm xấp xỉ ổn định. Nhiều phương pháp chỉnh hóa đã được đưa ra trong các công trình của A. N. Tikhonov, M. M. Lavrentiev, J. L. Lions, ... tuy nhiên việc đánh giá sai số thường gặp khó khăn và chỉ được giải quyết trong từng bài toán cụ thể. Một vấn đề đặc biệt quan trọng trong những bài toán ngược không chỉnh là khảo sát tính duy nhất nghiệm của bài toán. Vấn đề này đóng vai
Mở đầu 2 trò quan trọng hơn rất nhiều so với sự tồn tại nghiệm (thường bị vi phạm trong các bài toán T 5 không chỉnh). Việc khảo sát tính duy nhất nghiệm ngoài ý nghĩa thực tế là xét xem "Dữ kiện T5 2 T5 2 T5 2 cho có đủ để xác định nghiệm bài toán một cách duy nhất ?" mà còn nhằm xác định T5 2 nghiệm chính xác riêng (trong trường hợp bài toán có vô sô nghiệm) cần được xấp xỉ ổn định. T5 4 T5 4 T5 2 T5 2 T5 2 Trong lập luận án này, mang tên T 5 T 5 "BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYẾT THẾ VỊ" chúng tôi nghiên cứu một số bài toán ngược không chỉnh quan trọng trong Lý thuyết thế vị. T 5 T 5 Luận án, ngoài phần mở đầu và kết luận, được chia thành 4 chương : CHƯƠNG 1 : TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYẾT T 3 T5 3 THẾ VỊ T 5 Mục đích của chương này là từ lý thuyết hàm thế vị và các công cụ giải tích, chúng tôi thiết lập mô hình toán học cho một số bài toán ngược quan trọng trong Lý thuyết thế vị sẽ khảo sát trong các chương sau. T 4 Trong tiết 1.1, chúng tôi trình bày các khái niệm căn bản của Lý thuyết thế vị, bắt T5 4 T5 4 T5 4 nguồn từ các Định luật Vật lý (Định luật Ncwton, Định luật Coulomb ...) đồng thời nêu lại những tính chất quan trọng của hàm thế vị- T 5 Sau đó, chúng tôi trình bày sự thành lập mô hình toán học cho một số bài toán ngược T5 2 T5 2 trong Lý thuyết thế vị. T 5 Tiết 1 .2. xét bài toán thác triển số liệu đo đạc của một trường điều hòa và đưa đến 2 bài toán ứng với trường hợp 2 chiều và trường hợp 3 chiều.
Mở đầu 3 Tiết 1.3. xét bài toán tìm phân bố nguồn sinh ra 1 trường thế dựa vào các đo đạc trong một vùng bị chặn bên ngoài nguồn. Tiết 1.4. xét bài toán xác định lỗ hổng (hay vết nứt) bên trong một vật thể bằng phương pháp điện từ. Tiết 1.5. xót bài toán xác định miền nguồn sinh ra 1 trường thế từ những đo đạc bên ngoài nguồn. CHƯƠNG 2 : SỰ DUY NHẤT NGHIỆM Nội dung chương này là khảo sát tính duy nhất nghiệm của các bài toán đã thiết lập trong chương l. Đối với nường hợp bài toán không có nghiệm duy nhất (Bài toán tìm phân bố nguồn) chúng tôi chứng minh khi bài toán có nghiệm thì trong vô số nghiệm của bài toán chỉ có duy nhất 1 nghiệm có chuẩn nhỏ nhất và chọn nghiệm có chuẩn nhỏ nhất này làm đối lượng để chỉnh hóa. Các bài toán khảo sát trong luận án được chia thành 2 loại : bài toán luyến lính và bài toán phi tuyến. Vì vậy chúng tôi trình bày cách xây dựng nghiệm chính hóa các bài toán này trong 2 chương : CHƯƠNG 3 : CHỈNH HÓA MỘT SỐ BÀI TOÁN NGƯỢC TUYẾN TÍNH Đối với các bài toán ngược luyến tính (Bài toán thác triển số liệu đó đạc của 1 trường điều hòa và bài toán tìm phân bố nguồn), chúng tôi sử dụng công cụ Toán học là bài toán moment trong 1 không gian Hilbcrt vô hạn chiều để xây dựng nghiệm chỉnh hóa. Tiết 3.1 trình bày cách xây dựng nghiệm chỉnh hóa cho bài toán moment tổng quát trong không gian Hilbcrt vô hạn chiều. Lời giải được cho
Mở đầu 4 trong cả 2 trường hợp : trường hợp dữ kiện chính xác và trường hợp dữ kiện bị nhiễu. Các tiết 3.2, 3.3 trình bày cách chuyển các bài toán ngược luyến tính nói trên về bài toán moment và áp dụng kết quả trong 3.1 để xây dựng nghiệm chỉnh hóa. CHƯƠNG 4 : CHỈNH HÓA MỘT SỐ BÀI TOÁN PHI TUYẾN Trong chương này, chúng tôi chỉnh hóa bài toán xác định miền nguồn trong 2 trường hợp : trường hợp 2 chiều và trường hợp 3 chiều. Sử dụng Định lý của J.Cronin về môi liên quan giữa bậc tôpô với số nghiệm của một phương trình phi tuyến, và dùng phương pháp xấp xỉ không gian Banach bằng các không gian con hữu hạn chiều, chúng tôi xây dựng được nghiệm xấp xỉ ổn định cũng trong 2 trường hợp: dữ kiện chính xác và dữ kiện không chính xác.
CHƯƠNG 1 : TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYẾT THẾ VỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày trước hết các khái niệm căn bản của Lý thuyết thế vị dựa trên các định luật Vật lý, từ đó đưa đến định nghĩa và một số tính chất quan trọng của hàm thế. Chúng lôi cũng trình bày một kết quả được sử dụng thường xuyên là định lý về tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy. Dựa vào các khảo sát tổng quát trên, chúng lôi đi đến thiết lập một số bài toán ngược trong Lý thuyết thế vị xuất phát từ những bài toán cụ thể trong Khoa học ứng dụng. Các bài toán này được chúng tôi chuyên thành các phương trình hoặc hệ phương trình tích phân tuyến tính hoặc phi tuyến. Việc khảo sát tính duy nhất nghiệm và xây dựng nghiệm chỉnh hóa của các bài toán này sẽ được trình ở những chương tiếp theo. 1.1. Các khái niệm căn bản của Lý thuyết thế vị. 1.1.1. Trường và hàm thế. Lý thuyết trường Newton được xây dựng từ Định luật Newton phát biểu như sau : Lực lác động giữa 2 chất điểm có khối lượng m1 và m2 đặt lại các điểm P 1 và P 2 thì tỉ lệ R R R R R R R R thuận với tích các khối lượng của chúng, và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Phương của lực này là
Chương 1 : Tổng Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thế Vị 6 đường thẳng P 1 P 2, , chiều của lực tác động vào chất điểm m1 là chiều từ P 1 đến P 2 còn chiều R R R R R R R R R R của lực tác động vào chất điểm m2 là chiều từ P 2 đến P 1 . R R R R R R Nếu gọi F là cường độ lực, r là khoảng cách giữa P 1 và P 2 thì Định luật Newton được R R R R biểu diễn hỏi công thức : (1.1) trong đó, k là một hằng số phụ thuộc cách chọn đơn vị đo khôi lượng, chiều dài, lực. Lưu ý rằng không chỉ Vật lý Địa cầu mà cả trong nhiều ngành Vật lý khác người ta cũng gặp những lực tác động có dạng (1.1) như trong Điện, Điện từ,... Chẳng hạn, lực tác động giữa 2 điện tích m1 , m2 đặt lần lượt ở 2 điểm P 1 , P 2 theo Định luật Coulomb cũng được R R R R R R R R cho hỏi công thức (1.1) (tuy nhiên chiều của lực này còn phụ thuộc loại điện tích và dĩ nhiên hằng số k cũng khác) Từ đây về sau, để thuận tiện, ta có thể giả sử (bằng cách chọn đơn vị đo thích hợp) rằng k=1. Công thức (1.1) trở thành : (1.2) Xét 1 chất điểm m đặt tại P(ξ, η, ζ). Chất điểm này sẽ sinh ra 1 lực tác động vào 1 chất điểm đặt lại Q(x,y,z) bất kỳ trong không gian theo (1.2). Ta nói rằng chất điểm m sinh ra một trường lực (Newton) trong không gian và trường lực này sẽ được biểu diễn hỏi công thức : (1.3)
Chương 1 : Tổng Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thế Vị 7 với Nhận xét rằng (1.3) chính là cường độ của lực tác động vào chất điểm có khối lượng bằng đơn vị đặt lại Q. Nếu ký hiệu �⃗ F là trường lực Ncwton nói trên, và r⃗ = ��⃗ QP thì ta có : (1.4) �⃗ = (F1 ,F 2 ,F 3 ) thì Viết F R R R R R R Bây giờ, xét nguồn D có phân bố mật độ ρ (D là một miền bị chặn trong R3 và giả P P định ρ là một hàm khả tích bị chận trên D) thì trường lực sinh bởi nguồn D là : (1.5) với các thành phần là : (1.6)
Chương 1 : Tổng Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thế Vị 8 (1.7) (1.8) Lưu ý rằng F1 , F2 và F3 xác định bởi (1.6), (1.7) và (1.8) là các hàm xác định trên toàn R R R R R R không gian R3P Bây giờ, chúng ta đi đến khái niệm hàm thế vị. Với trường lực như trong (1 .4), la gọi hàm số (1.9) là hàm thế vị (Newton) sinh bởi chất điểm m. Và tương tự, hàm thế sinh hỏi nguồn D có phân bố khối lượng ρ được định nghĩa là (1.10) Dễ thấy rằng với F cho hỏi (1.5) và u cho bởi (1.10) thì (1.11) Ta có kết quả : Mệnh đề 1.1.1. Với ρ là một hàm bị chận và khả tích trên I) thì hàm thế vị U cho bởi P � (1.10) là mội hàm thuộc lớp C∞ trong 𝑅3 \ 𝐷 P
Chương 1 : Tổng Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thế Vị 9 Bây giờ chúng ta nói đến hàm thế vị logarit, đó là hàm thế trong mặt phẳng. Trước hết, 2 chất điểm có khối lượng m, m' đặt lại 2 điểm P và Q trong mặt phẳng thì sinh ra lực tác động giữa chúng có cường độ là (1.12) với r là khoảng cách giữa P và Q. Trường lực sinh ra bởi 1 chất điểm có khối lượng m đặt tại P(ξ, η) là với Trường lực sinh bởi nguồn D có phân bố khối lượng ρ (D là một miền mở bị chận trong R2 và ρ là một hàm bị chận và khả tích trên D) là P P (1.13) Với �F⃗ = F1 , F2 thì R R R R (1.14) (1.15) Hàm thế sinh bởi nguồn D trong trường hợp này là (1.16)
Chương 1 : Tổng Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thế Vị 10 Ta cũng có với U cho bởi (1.16) và �⃗ F cho bởi (1.13) thì (1.17) Ta có kết quả : Mệnh đề 1.1.2. Với ρ là một hàm bị chận và khả tích trên D) thì hăm thế vị U cho bởi P P � (1.16) lủ một hàm thuộc lớp C∞ trong R2 \ D P P 1.1.2. Các tính chất của hàm thế vị. Trước hết, ta lưu ý rằng các hàm giữ một vai trò đặc biệt quan trọng trong Lý thuyết thế vị. Chúng là các hàm giải tích trên R3 P P \ (ξ, η, ζ) (hoặc R2 \ {(ξ, η)}) và thoả phương trình Laplace trên miền này. P P Từ đây, dễ dàng suy ra rằng các hàm thế vị U(x,y,x) (hoặc U(x,y)) định nghĩa bởi P � (hoặc R2 \ D (1.10) (hoặc (1.16)) cũng hoa phương trình Lapace trên R3 \ D P P � ). Nói cách khác, P hàm thế vị là hàm điều hoà trong miền ở ngoài nguồn sinh ra nó. Dưới đây là một số tính chất quan trọng của các hàm thế vị. Trước hết là tình chất của hàm thế vị sinh bởi nguồn là một miền bị chặn trong R3 P
Chương 1 : Tổng Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thế Vị 11 Mệnh đề 1.13. gọi D là một mở bị chặn trong R3 có biên đủ trơn. ρ là một hàm bị chặn P P thuộc lớp C1 trên D. Thì hàm P P U : R3 → R P P thỏa các tính chất sau : (iv) Nếu G là một miền bị chận trong R3 thì U ∈ W2, p(G) với mọi p ∈ (1, ∞) Đặc P P P P biệt, U ∈ H2(G)P P trong đó D 1 U chỉ đạo hàm theo 1 phương bất kỳ của hàm u. R R Tương tự, đối với hàm thế logarit, ta có : Mệnh đề 1.1.4. Gọi D là một mở bị chận trong R2 có biên đủ trơn, ρ là một hàm bị P P chận thuộc lớp C1 trên D. Thì hàm P P U : R2→ R P P
Chương 1 : Tổng Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thế Vị 12 thỏa các tính chất sau : P � trong R2 \ D P trong D (iv) Nếu G là một miền bị chận trong R2 thì U ∈ W2, p(G) với mọi p ∈ (1, ∞) Đặc P P P P biệt, U ∈ H2(G) P P Mệnh dề 1.1.5. Xét hàm u(x, y, z) liên tục trên R2 x [0, ∞ ) Và điều hòa trên R3+ = P P R2 x (0, ∞) . Giả sử bị chận trong 1 vùng cận của ∞ . Thì
Chương 1 : Tổng Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thế Vị 13 trong đó Mệnh dề 1.1.6. Xét hàm u(x,y) liên tục trên R x |0, ∞) và điều hòa trên R2+ = R x (0, ∞) . Giả sử u(x, y) bị chận trong 1 vùng cận của ∞. Thì trong đó Mệnh đề sau đây cho ta tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy : Mệnh đề 1.1.7. Xét một � Và điều hòa trên D với D lù một miền. trong Rn (n = 2 hay 3). Giả sử có hàm u liên tục trên D P P γ ⊂ ∂D với y mà trong ∂D và γ đủ trơn, và thì �. u = 0 trên D Trong các tiết sau, chúng tôi thiết lập một số bài toán ngược quan trọng trong lý thuyết thế vị. 1.2. Bài toán thác triển số liệu đo trường điều hòa Việc xác định giá trị các trường điều hòa trong Vật lý như trườngtrọng lực, dị thường trọng lực, điện, điện từ có ý nghĩa quan trọng trong việc giải đáp nguồn sinh ra trường thế này.
Chương 1 : Tổng Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thế Vị 14 Các giá trị này thường được trực tiếp đo đạc bằng những công cụ Vật lý nhưng trong thực tế, miền đo đạc thường bị giới hạn bởi những yếu tố khách quan như địa hình, kinh tế, quốc phòng... Do đó, ở đây chúng tôi khảo sát bài toán thác triển sô liệu đo hàm điều hòa với dữ kiện chỉ được cho trên một miền bị chận. Trước hết chúng tôi xét bài toán trong mặt phẳng R2. Giả sử có nguồn nằm bên trong P P nửa mặt phang dưới R2− sinh ra môi trường thế u điều hòa trong nửa mặt phang trên R2+ ∂u Ta muốn xác định u(x,y) khi biết các giá trị của u và trên tập bị chận I x {k} trong ∂y đó I là 1 khoảng mở trong R và k > 0. Theo Mệnh đề 1.1.6, giá trị của u(x,y) được xác định khi biết giá trị của v(x) = u(x,0) trên R. Vậy ta có thể phát biểu bài toán như sau : 1.2.1. Bài toán 1 : Tìm v(x) sao cho phương trình (1.18) (1.19) (1.20) (1.21) có nghiệm u(x,y). Bây giờ chúng tôi chuyển bài toán này về dạng một hệ phương trình tích phân theo ẩn hàm V như sau : Theo Mệnh đề 1. 1 .6, ta có
Chương 1 : Tổng Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thế Vị 15 (1.22) Vậy ta có (1.23) (1.20), (1.21), (1.22) và (1.23) cho T 3 Bằng cách đặt T 3 Bây giờ, chúng tôi xét đến bài toán trong không gian R3. Tương tự như trên, ta muốn P P δu xác định 1 hàm u(x,y,z) điều hòa trong nửa không gian trên R 3+ khi biết các giá tri của u và δz trên tập bị chận B × {k}, trong đó B là 1 lập mở bị chận trong R2 và k > 0. P P Vì hàm u hoàn toàn xác định khi biết v(x,y) ≡ u(x,y,0) nên ta có :
Chương 1 : Tổng Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thế Vị 16 1.2.2. Bài toán 2 : Tim v(x,y) sao cho phương trình Δu = 0 trong R3+ (1.24) (1.25) (1.26) (1.27) có nghiệm u(x,y,z). Chúng tôi lại chuyên bài toán này về một hệ phương trình tích phân như sau : Theo Mệnh đề 1. 1 .5, ta có T 5 (1.28) Vậy ta có (1.29) B ằng cách đặt T 5 (1.26), (1.27), ( 1.28) và (1.29) cho T 5