Luận án Tiến sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học khái niệm đạo hàm và tích phân theo quan điểm liên môn: Trường hợp liên môn Toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

--------------------------

NGÔ MINH ĐỨC

DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

THEO QUAN ĐIỂM LIÊN MÔN:

TRƯỜNG HỢP LIÊN MÔN TOÁN – VẬT LÍ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

--------------------------

NGÔ MINH ĐỨC

DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

THEO QUAN ĐIỂM LIÊN MÔN:

TRƯỜNG HỢP LIÊN MÔN TOÁN – VẬT LÍ

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán

Mã số : 62.14.01.11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2021

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn

của PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu. Các số liệu và kết quả nêu trong luận án là trung

thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận án

Ngô Minh Đức

MỤC LỤC

DANH MỤC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN

DANH MỤC CÁC BẢNG

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, SƠ ĐỒ

MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1

1. Lí do chọn đề tài .................................................................................................. 1

1.1. Một số vấn đề đặt ra cho dạy học giải tích ...................................................... 1

1.2. Dạy học liên môn Toán và Vật lí, một xu hướng để khắc phục ...................... 3

1.3. Lựa chọn đối tượng tri thức ............................................................................. 5

2. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu ....................................................................... 6

2.1. Cách hiểu của người học về hai khái niệm đạo hàm và tích phân .................. 6

2.2. Nghiên cứu theo hướng dạy học đạo hàm và tích phân để hỗ trợ cho việc ứng

dụng trong Vật lí ..................................................................................................... 9

2.3. Nghiên cứu về việc sử dụng Vật lí để hỗ trợ việc dạy học các khái niệm của

Giải tích ................................................................................................................ 11

2.4. Các chương trình dạy học theo hướng liên môn Giải tích với Vật lí ............ 12

2.5. Nghiên cứu về dạy học giải tích theo quan điểm liên môn ở Việt Nam ....... 13

2.6. Kết luận và định hướng nghiên cứu .............................................................. 14

3. Cơ sở lí luận ....................................................................................................... 16

4. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu ....................................................................... 16

5. Giả thuyết khoa học .......................................................................................... 17

6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 17

7. Những luận điểm cần bảo vệ ............................................................................ 18

8. Các đóng góp mới của luận án ........................................................................ 18

9. Cấu trúc luận án ............................................................................................... 19

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN ........................................................................... 200

1.1. Liên môn. Các mô hình, chiến lược liên môn Toán và Khoa học ........... 20

1.1.1. Về khái niệm liên môn ........................................................................... 20

1.1.2. Liên môn Toán và môn khoa học: một số mô hình và cách tiếp cận ..... 24

1.1.3. Ba chiến lược dạy học liên môn Toán – Khoa học ................................ 27

1.2. Về việc hiểu và ứng dụng một khái niệm toán học .................................. 28

1.2.1. Hiểu khái niệm toán học ........................................................................ 29

1.2.2. Ứng dụng khái niệm toán học ................................................................ 31

1.2.3. Tiểu kết .................................................................................................. 32

1.3. Thuyết nhân học trong Didactic Toán ...................................................... 33

1.3.1. Về thuyết nhân học ................................................................................ 33

1.3.2. Lý thuyết chuyển hóa sư phạm .............................................................. 34

1.3.3. Phân tích tri thức luận ............................................................................ 36

1.3.4. Quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân ...................................................... 37

1.3.5. Tổ chức tri thức ...................................................................................... 39

1.4. Lý thuyết tình huống ................................................................................... 39

1.4.1. Những điểm đặc trưng của lý thuyết tình huống ................................... 39

1.4.2. Tình huống lí tưởng ............................................................................... 41

1.4.3. Biến dạy học .......................................................................................... 42

1.5. Đồ án dạy học .............................................................................................. 43

1.5.1. Khái niệm đồ án dạy học ....................................................................... 43

1.5.2. Các bước để xây dựng một đồ án dạy học ............................................. 44

1.6. Kết luận chương 1: những nghiên cứu cần triển khai ............................. 46

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN: MỐI QUAN HỆ GẮN KẾT GIỮA

GIẢI TÍCH VÀ VẬT LÍ NHÌN TỪ LỊCH SỬ .................................................... 50

2.1. Mục tiêu của chương và định hướng thực hiện ........................................ 50

2.2. Quan hệ gắn kết giữa Toán học với Vật lí học trong lịch sử hình thành và

tiến triển của đạo hàm, tích phân ..................................................................... 51

2.2.1. Thời kì cổ đại ......................................................................................... 51

2.2.2. Thời kì tiền Giải tích (sau Archimedes và trước Newton – Leibniz) .... 53

2.2.3. Cơ học cổ điển của Newton và vai trò công cụ của Giải tích ................ 58

2.2.4. Những đóng góp của Giải tích vào sự phát triển sau đó của Vật lí ....... 62

2.3. Đặc trưng tri thức luận của đạo hàm và tích phân .................................. 63

2.3.1. Các bài toán là động lực nảy sinh và tiến triển của đạo hàm, tích phân 63

2.3.2. Các nghĩa của hai khái niệm đạo hàm và tích phân ............................... 66

2.4. Kết luận chương 2 và những gợi ý sư phạm được rút ra ........................ 66

CHƯƠNG 3. ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ TỪ

QUAN ĐIỂM LIÊN MÔN GIỮA GIẢI TÍCH VÀ VẬT LÍ ............................... 70

3.1. Mục tiêu của chương và định hướng thực hiện ........................................ 70

3.2. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với khái niệm đạo hàm nhìn từ định

hướng liên môn ................................................................................................... 71

3.2.1. Đạo hàm trong thể chế IVL ...................................................................... 71

3.2.2. Đạo hàm trong thể chế IT........................................................................ 75

3.3. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với khái niệm tích phân nhìn từ định

hướng liên môn ................................................................................................... 80

3.3.1. Tích phân trong thể chế IVL .................................................................... 81

3.3.2. Tích phân trong thể chế IT ...................................................................... 88

3.4. Kết luận chương 3: mối quan hệ liên môn Toán – Vật lí trong việc dạy

học hai khái niệm đạo hàm và tích phân .......................................................... 95

CHƯƠNG 4. CÁC GIẢI PHÁP SƯ PHẠM ......................................................... 97

4.1. Cơ sở đề xuất giải pháp ............................................................................... 97

4.1.1. Cách hiểu đầy đủ về khái niệm đạo hàm, tích phân ............................... 98

4.1.2. Ứng dụng khái niệm đạo hàm, tích phân trong Vật lí .......................... 102

4.1.3. Vận dụng các chiến lược liên môn Toán – Khoa học trong dạy học khái

niệm đạo hàm, tích phân ................................................................................ 105

4.1.4. Sự liên môn thể hiện trong chuyển hóa sư phạm hai tri thức đạo hàm, tích

phân ................................................................................................................ 107

4.2. Các giải pháp sư phạm .............................................................................. 109

4.2.1. Nhóm 1: Nhóm giải pháp xây dựng cách hiểu đầy đủ hơn cho người học

về hai khái niệm đạo hàm và tích phân .......................................................... 110

4.2.2. Nhóm 2: Nhóm giải pháp nhằm tăng cường vai trò công cụ của đạo hàm

và tích phân và giúp người học ứng dụng hiệu quả chúng trong các vấn đề của

Vật lí ............................................................................................................... 114

CHƯƠNG 5. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ................................................ 126

5.1. Đồ án dạy học khái niệm đạo hàm ........................................................... 126

5.1.1. Mục tiêu xây dựng đồ án ...................................................................... 126

5.1.2. Các giải pháp được vận dụng ............................................................... 127

5.1.3. Các phân tích ban đầu .......................................................................... 128

5.1.4. Các bài toán cơ sở của đồ án ............................................................... 130

5.1.5. Phân tích tiên nghiệm .......................................................................... 133

5.1.6. Phân tích hậu nghiệm ........................................................................... 140

5.1.7. Kết luận cho thực nghiệm dạy học khái niệm đạo hàm ....................... 149

5.2. Đồ án dạy học khái niệm tích phân ......................................................... 149

5.2.1. Mục tiêu xây dựng đồ án ..................................................................... 149

5.2.2. Các giải pháp được vận dụng............................................................... 150

5.2.3. Các phân tích ban đầu .......................................................................... 151

5.2.4. Các bài toán cơ sở của đồ án ............................................................... 155

5.2.5. Phân tích tiên nghiệm .......................................................................... 158

5.2.6. Phân tích hậu nghiệm ........................................................................... 172

5.2.7. Kết luận cho thực nghiệm dạy học khái niệm tích phân...................... 189

5.4. Kết luận chương 5 ..................................................................................... 189

KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN ............................................................................... 191

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ......................................... 194

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 195

CÁC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN

VIẾT TẮT VIẾT ĐẦY ĐỦ

DH Dạy học

GT Giải tích

GV Giáo viên

HS Học sinh

LM Liên môn

SGK Sách giáo khoa

SV Sinh viên

TN Thực nghiệm

tr Trang

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1. Kiểu nhiệm vụ vật lí có sử dụng công cụ tích phân……………………....93

Bảng 5.1. Thống kê kết quả bài toán 2a……………………………………………144

Bảng 5.2. Kết quả cuộc thi ở pha 4………………………………………………..145

Bảng 5.3. Khung lý thuyết của tích phân trong ngữ cảnh vật lí……………….…..153

Bảng 5.4. Khung lý thuyết về đa biểu diễn của tích phân………………..………..162

Bảng 5.5. Kết quả TN bài toán 1 và 2…………………………………………......174

Bảng 5.6. Kết quả các chiến lược giải xuất hiện trong bài toán 6…………………182

DANH MỤC HÌNH ẢNH, SƠ ĐỒ

Sơ đồ 1.1. Ba mắt xích của quá trình chuyển hóa sư phạm…………………………35

Sơ đồ 1.2. Tình huống lí tưởng……………………………………………………..43

Hình 1.1. Những lựa chọn trong việc tích hợp Toán và Khoa học…………………26

Hình 2.1. Tính diện tích tam giác Parabol………………………………………….52

Hình 2.2. Stevin xác định trọng tâm tam giác……………………………………….54

Hình 2.3. Oresme mô tả sự biến thiên bằng đồ thị rời rạc………………………….55

Hình 2.4. Quãng đường trong chuyển động nhanh dần đều…………………………55

Hình 2.5. Đồ thị vận tốc theo thời gian của Oresme………………………………..56

Hình 2.6. Công của lực biến đổi…………………………………………………….63

Hình 2.7. Bài toán xác định tiếp tuyến………………………………………...……64

Hình 4.1. Khung của Zandieh cho khái niệm đạo hàm…………………………….98

Hình 4.2. Mô hình cách hiểu khái niệm đạo hàm ……………………………….…99

Hình 4.3. Khung lý thuyết về khái niệm tích phân của Habineza…………………100

Sơ đồ 5.1. Tóm tắt chuỗi tình huống DH tích phân trong ngữ cảnh vật lí…………..154

Hình 5.1. Lời giải bài toán 1 của nhóm 4………………………………………….141

Hình 5.2. Lời giải bài toán 1 của nhóm 1…………………………………………141

Hình 5.3. Lời giải bài toán 1’ của nhóm 4………………………………………….143

Hình 5.4. Lời giải bài toán 3 của nhóm 5………………………………………….147

Hình 5.5. Lời giải bài toán 2 của nhóm 1…………………………………………174

Hình 5.6. Lời giải bài toán 2 của nhóm 3…………………………………………175

Hình 5.7. Lời giải bài toán 3 của nhóm 2…………………………………………177

Hình 5.8. Lời giải bài toán 4 của nhóm 1…………………………………………178

Hình 5.9. Lời giải bài toán 5 của nhóm 5…………………………………………180

Hình 5.10. Lời giải bài toán 6 của nhóm 5…………………………………….….183

Hình 5.11. Lời giải bài toán 6 của nhóm 1…………………………….………….183

Hình 5.12. Lời giải bài toán 6 của nhóm 6……………….……………………….184

Hình 5.13. Lời giải bài toán 7 của nhóm 1…………………………………….….186

Hình 5.14. Lời giải bài toán 8 của nhóm 1………………………………….…….187

MỞ ĐẦU

1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1. Một số vấn đề đặt ra cho dạy học giải tích

Giải tích (GT) luôn được xem là một trong những thành tựu vĩ đại nhất của trí tuệ

loài người. Nó không chỉ chứa đựng những ý tưởng lớn làm thay đổi toán học mà còn

đem đến một sức mạnh thực tiễn to lớn thể hiện qua các ứng dụng hiệu quả trong nhiều

lĩnh vực. Điều này giải thích cho sự công nhận rộng rãi của các nhà nghiên cứu giáo dục

về vai trò quan trọng của dạy học (DH) GT trong nhà trường ở cả bậc phổ thông lẫn đại

học.

Mỗi khái niệm toán học nói chung và GT nói riêng đều có hai mặt là đối tượng và

công cụ, vì thế hai mục tiêu cơ bản thường được bàn đến trong DH là làm cho học sinh

(HS) hiểu khái niệm và sử dụng được nó như một công cụ. Tuy nhiên, do sự trừu tượng

của các khái niệm GT mà mục tiêu “hiểu” chúng có lúc bị việc DH bỏ qua. Có lẽ vì thế

mà Hội nghị cải cách giáo dục tổ chức ở đại học Tulane năm 1986 đã xác định “hiểu

khái niệm” là một mục tiêu trọng tâm của DH GT (Douglas, 1986). Kể từ đó, mục tiêu

này luôn nhận được sự quan tâm của cộng đồng giáo dục toán. Đối với mục tiêu còn lại,

trong vài thập kỉ gần đây nhiều nhà nghiên cứu giáo dục kêu gọi DH Toán dành sự quan

tâm lớn hơn cho ứng dụng của GT vào các ngữ cảnh ngoài toán học. Theo các nhà

nghiên cứu, điều đó trước hết mang lại động cơ thực tiễn cho việc học GT và giúp người

học sử dụng được GT trong các lĩnh vực khác. Rồi chính việc làm chủ được những ứng

dụng đó lại giúp người học hiểu một cách sâu sắc và đầy đủ hơn các khái niệm GT vốn

rất trừu tượng.

Tuy nhiên, trong thực tế, nếu nhìn từ hai mục tiêu nói trên thì việc DH GT ở trường

Trung học phổ thông (THPT) hiện nay phải đối mặt với nhiều vấn đề. Dưới đây là những

vấn đề cơ bản đã được cộng đồng các nhà nghiên cứu chỉ ra.

1.1.1. Người học thành thạo tính toán nhưng không hiểu được các khái niệm và kĩ

thuật của giải tích

Ở chương trình DH Toán phổ thông, hai trong số những bước chuyển quan trọng

mà HS phải trải qua, đó là từ Số học vào Đại số và từ Đại số vào GT. Ở mỗi bước chuyển

HS đều phải đối diện với những khó khăn. Nhưng khó khăn ở hai bước chuyển này

không giống nhau. Bước chuyển thứ nhất làm nảy sinh ở HS nhiều sai lầm liên quan đến

sự khái quát hóa (các tính chất, quy tắc tính toán trên các số cho các biểu thức đại số).

Tuy nhiên, bản chất hữu hạn và rời rạc của đối tượng vẫn không thay đổi và vì thế

phương pháp nghiên cứu không có quá nhiều sự khác biệt. Điều này không còn đúng ở

bước chuyển từ Đại số vào GT. GT nghiên cứu các đại lượng, các quá trình vô hạn, biến

thiên liên tục, và phải sử dụng những phương pháp và kĩ thuật khác hẳn với Đại số như

chia nhỏ, lập tổng vô hạn, xấp xỉ, đóng khung (chặn trên, chặn dưới). Nhiều nghiên cứu

cho thấy những khái niệm cơ bản như giới hạn, đạo hàm, tích phân và các kĩ thuật của

GT khó hiểu không chỉ với HS phổ thông mà thậm chí còn cả với sinh viên (SV) đại học

(Orton, 1983a; 1983b; Tall, 1993).

Mặc dù vậy các phép toán lấy giới hạn hay tính toán đạo hàm và tích phân lại có

thể được thực hiện theo những quy trình đại số mà không bắt buộc phải hiểu khái niệm

một cách đầy đủ. Ở điểm này, Doorman và Van Maanen (2008) nhận định rằng “GT là

một trong những chủ đề toán học mà những thao tác thuật toán trên các kí hiệu thì dễ

dàng hơn việc hiểu thấu bản chất khái niệm” (tr. 4).

Những ghi nhận nói trên đã dẫn đến một xu hướng khá phổ biến trong DH GT ở

bậc THPT – xu hướng đại số hoá GT. Theo xu hướng này, người ta không chú trọng

vào yêu cầu hiểu khái niệm mà chỉ tập trung vào các tính toán đại số (theo quy tắc, chẳng

hạn như đạo hàm của hàm hợp hay tích phân từng phần), nhằm mục đích tránh cho HS

phải đương đầu với những khó khăn của phương pháp GT. Dù có thể giúp người học

thành thạo trong tính toán hay giải quyết những dạng toán theo quy trình có sẵn, xu

hướng DH này vẫn vấp phải sự phê phán từ nhiều nhà giáo dục toán học. Họ cho rằng

đó không phải là DH GT, bởi lẽ người học có thể không thật sự hiểu được ý nghĩa và

cấu trúc của các khái niệm cũng như những kĩ thuật mà mình đang sử dụng. Zandieh

(2000) đưa ra thuật ngữ “giả khái niệm” để nói về điều này. Tall (1993) cũng cho rằng

việc hạ thấp cách hiểu khái niệm xuống thành các kĩ thuật tính toán đại số là một sự

đánh tráo vấn đề trong DH GT. Đó là còn chưa nói kiểu DH này có thể dẫn HS đến việc

thao tác trên các đối tượng vô hạn như với các đối tượng hữu hạn của Đại số, từ đó phạm

phải nhiều sai lầm. Nhiều công trình nghiên cứu ở các nền giáo dục khác nhau trên thế

giới đã xác nhận một sự hiểu biết không đầy đủ của cả HS phổ thông lẫn SV đại học về

các khái niệm của GT, dù các em thể hiện sự thành thạo đáng kể trong các nhiệm vụ

tính toán (Orton, 1983a; 1983b; Bezuidenhout, 1998; Bezuidenhout và Olivier, 2000;

Jones, 2015a; 2015b; Wagner, 2017).

1.1.2. Người học không vận dụng được kiến thức giải tích trong ngữ cảnh ngoài toán

học, nói riêng là ngữ cảnh vật lí

GT có một sức mạnh thực tiễn to lớn. Điều này thể hiện ở những ứng dụng đa dạng

và hiệu quả của nó trong thực tế và nhiều lĩnh vực khoa học, đặc biệt là Vật lí, vốn có

mối liên hệ mật thiết nhất với GT trong suốt lịch sử. Thậm chí theo Kleiner (2001) thì

GT là “công cụ định lượng chủ yếu cho việc nghiên cứu các vấn đề khoa học trong ba

thế kỉ gần đây (…) mà nếu không có nó thì Vật lí và kĩ thuật hiện đại sẽ không thể tồn

tại” (tr. 138). Vì thế, việc DH GT không thể chỉ tập trung vào nhiệm vụ giải các bài toán

toán học thuần tuý mà bỏ qua cơ hội giúp người học thấy được vai trò công cụ quan

trọng của GT trong Vật lí.

Từ điểm này, nhiều nghiên cứu lại cho thấy người học gặp khó khăn khi vận dụng

kiến thức GT mà mình được học ở lớp học toán để giải quyết các nhiệm vụ của Vật lí.

Chẳng hạn, theo điều tra của Redish et al. (1996) thì nhiều SV mặc dù có thể sử dụng

kiến thức GT để giải quyết thành công các vấn đề toán học nhưng lại không thể làm

được điều tương tự trong ngữ cảnh vật lí. Nghiên cứu của Jones (2010, 2015a) xác nhận

rằng dường như kiến thức toán của người học đã không được kích hoạt thành công trong

các lớp học khoa học. Vấn đề không hẳn là ở sự thiếu hụt kiến thức. Chẳng hạn, như

Bajracharya và Thompson (2014), hay Ngô Minh Đức (2019), đã chỉ ra, kể cả khi có

đầy đủ kiến thức toán và vật lí cần thiết, người học vẫn gặp khó khăn trong việc nối kết

những hiểu biết này để giải quyết các vấn đề của Vật lí bằng công cụ GT. Thậm chí,

nhiều HS không biết những kiến thức GT các em được học có ứng dụng gì trong Vật lí,

khi nào và tại sao nó lại được sử dụng trong những vấn đề đó (López-Gay & Torregrosa,

2015). Giải thích hiện tượng này, Jones (2010) nhận định nguyên nhân nằm ở chỗ “các

khóa học GT thành công trong việc cung cấp cho SV một dạng của kiến thức, dạng cần

thiết để giải quyết các nhiệm vụ trong lớp học toán, nhưng lại không chuẩn bị cho việc

sử dụng kiến thức này một cách thành công trong các lớp học khoa học” (tr. 2).

1.2. Dạy học liên môn Toán và Vật lí, một xu hướng để khắc phục

Hai vấn đề chính cần giữ lại từ các phân tích ở trên. Thứ nhất, cần tìm một cách

DH có thể giúp HS hiểu đầy đủ hơn về bản chất khái niệm và giúp các em làm quen với

các kĩ thuật của GT. Thứ hai, cần làm cho HS vận dụng được kiến thức GT vào Vật lí,

hay ít ra là hiểu được những ứng dụng đa dạng của GT xuất hiện trong chương trình vật

lí THPT. Giải pháp nào giúp đạt được hai mục tiêu này?

Nhiều nhà nghiên cứu giáo dục đã tiến hành xem xét sự hình thành và tiến triển của

GT trong lịch sử để tìm kiếm những cách tiếp cận phù hợp hơn trong DH (Kaput, 1994;

Lê Thị Hoài Châu, 2004; Doorman & Van Maanen, 2008; Bressoud, 2011). Việc phân

tích lịch sử cho thấy một mối liên hệ chặt chẽ giữa GT với những động lực đến từ thực

tiễn và các ngành khoa học. Nói riêng, đã có một gắn kết vô cùng mật thiết giữa GT và

Vật lí trong suốt lịch sử. Nhiều vấn đề mà Vật lí đặt ra đã là động cơ thúc đẩy sự nảy

sinh và tiến triển các khái niệm của GT. Ở chiều ngược lại, công cụ mà GT mang đến

giúp Vật lí giải quyết nhiều vấn đề của mình. Mối quan hệ hỗ trợ lẫn nhau giữa hai khoa

học này đã tạo ra những bước phát triển vượt bậc trong lịch sử văn minh loài người. Các

nhà nghiên cứu cho rằng nó nên được tận dụng trong việc DH các kiến thức GT ở nhà

trường hiện nay.

Ta tìm thấy ở đây một giải pháp để vượt qua hai khó khăn kể trên trong việc hiểu

và ứng dụng các khái niệm của GT: đó là tận dụng sự gắn kết giữa Toán học và Vật lí

học vào quá trình DH để hai môn học có thể hỗ trợ lẫn nhau. Hướng nghiên cứu này đưa

đến một xu hướng DH thường được gọi là “tích hợp (TH) – liên môn (LM) toán và các môn khoa học1”. Đây là hướng nghiên cứu mà theo Berlin và White (1999) đã được đề

cập từ đầu thế kỉ 20 và còn được quan tâm nhiều hơn trong vài thập kỉ trở lại đây.

Nằm trong xu hướng nói trên, nhiều mô hình bàn về sự gắn kết giữa toán và các

môn khoa học đã được các nhà nghiên cứu xây dựng. Trong đó, người ta thường nhấn

mạnh đến hai tương tác LM chủ yếu sau đây:

1/Toán học – ngữ cảnh khoa học (Math – Science context): khoa học cung cấp

những ngữ cảnh, nguyên lí, nội dung đem lại ý nghĩa và lí do ra đời cho khái niệm

toán học.

2/Khoa học – ứng dụng Toán học (Science – apply Math): nhấn mạnh Toán học như

là công cụ giúp giải quyết các vấn đề của các khoa học.

Bị thu hút bởi xu hướng nghiên cứu trên, chúng tôi đặt ra câu hỏi xuất phát sau đây:

Làm thế nào tận dụng những gắn kết giữa Toán và Vật lí vào DH GT ở trường THPT,

nhằm mang lại nhiều lợi ích hơn cho cả hai môn học? Cụ thể hơn là nhằm giúp HS

vừa vượt qua được những khó khăn trong việc hiểu các khái niệm trừu tượng của

GT, vừa ứng dụng được GT vào các vấn đề của Vật lí. Câu hỏi xuất phát này chính là

Hóa, Sinh, …

1 Các môn khoa học ở đây chỉ những môn học được dạy trong chương trình giáo dục phổ thông như: Vật lí,

động lực đưa chúng tôi đến với hướng nghiên cứu DH một số khái niệm của GT ở trường

THPT theo cách tiếp cận LM Toán và Vật lí.

1.3. Lựa chọn đối tượng tri thức

Những bài học mở đầu về GT phải đi từ một số khái niệm cơ bản là giới hạn, liên

tục, đạo hàm và tích phân. Trong những khái niệm này, chúng tôi lựa chọn hai khái

niệm đạo hàm và tích phân cho định hướng tiếp cận LM Toán và Vật lí. Lý do lựa

chọn đó được hình thành từ năm luận điểm dưới đây.

- Đạo hàm và tích phân, hai khái niệm nền tảng của GT: đạo hàm và tích phân

là hai trong số những khái niệm nền tảng nhất, thể hiện hai mặt đảo ngược vi phân và

tích phân trong bức tranh tổng thể của GT toán học. Những phản ánh từ lịch sử cho thấy

rằng việc hiểu được các ý tưởng ẩn dưới hai khái niệm này và phát hiện ra mối quan hệ

mật thiết giữa chúng là một chặng đường quan trọng đánh dấu sự phát minh ra GT. Liệu

có thể nói đến GT mà bỏ qua đạo hàm và tích phân hay không? Câu trả lời là gì có lẽ

mọi người biết về GT đều đã rõ. Đây cũng là lý do để hai khái niệm này chiếm được sự

quan tâm của DH GT ở mọi nền giáo dục toán. Ở Việt Nam, những nội dung liên quan

đến chúng chiếm một thời lượng học tập lớn trong suốt hai năm cuối cấp THPT.

- Vai trò đạo hàm và tích phân trong các lĩnh vực ngoài toán học: Sự quan

trọng của đạo hàm, tích phân không chỉ giới hạn trong phạm vi GT, thậm chí trong Toán

học. Tầm quan trọng của đạo hàm, tích phân còn nằm ở những ứng dụng rộng rãi của

chúng trong nhiều lĩnh vực như Vật lí, Kinh tế, … Chính vai trò đó khiến chúng tiếp tục

tác động vào các bậc giáo dục cao hơn ở đại học, trong đào tạo Toán học – hiển nhiên,

và trong cả các lĩnh vực đào tạo nghề khác. Việc giúp HS cuối cấp THPT hiểu và sử

dụng được hai khái niệm này là cần thiết cho các em về sau.

- Sự gắn kết giữa đạo hàm, tích phân với Vật lí nhìn từ lịch sử: Xét riêng tác

động của đạo hàm, tích phân vào Vật lí. Một phần động lực quan trọng cho sự ra đời và

tiến triển của hai khái niệm đạo hàm và tích phân đến từ những vấn đề đặt ra trong ngành

khoa học này. Sau khi ra đời, hai khái niệm đang nói tới còn mang lại những công cụ

toán học mạnh mẽ giúp Vật lí phát triển và giải quyết thêm nhiều vấn đề khác của mình.

Sự gắn kết này rõ ràng là nên được phản ánh trong việc DH hai khái niệm đạo hàm và

tích phân ở trường THPT nếu nhìn từ lợi ích của cả hai môn học.

- Đạo hàm và tích phân, công cụ toán học cho nhiều vấn đề của Vật lí THPT:

Tiếp tục luận điểm trên, chúng tôi đã xem xét chương trình vật lí THPT ở Việt Nam và

tìm thấy nhiều vấn đề mà việc giải quyết chúng cần đến công cụ đạo hàm, tích phân. Có

thể kể ra đây những bài toán cần sử dụng đạo hàm như: tìm vận tốc tức thời, gia tốc tức

thời, cường độ dòng điện, suất điện động cảm ứng, … Các bài toán sử dụng tích phân:

tìm độ dời khi vận tốc biến đổi, tìm độ thay đổi vận tốc khi biết gia tốc, tìm công của

lực biến đổi, … Và nếu như vậy thì việc DH hai khái niệm đạo hàm và tích phân ở môn

Toán cần phải tính đến nhiệm vụ giúp đỡ cho HS vận dụng hay ít ra là hiểu được những

ứng dụng đa dạng của hai khái niệm này trong các bài toán vật lí vừa kể trên.

- Đạo hàm, tích phân và mối quan hệ mật thiết: Lí do cuối cùng giải thích cho

việc chọn đồng thời cả hai khái niệm đạo hàm và tích phân nằm ở mối liên hệ đảo ngược

mật thiết giữa chúng, thể hiện qua định lý cơ bản của GT. Chính nhờ mối quan hệ đảo

ngược này mà ứng với một vấn đề của Vật lí có thể được giải quyết với công cụ đạo

hàm, người ta luôn tìm được một vấn đề “ngược lại” mà ở đó tích phân là phương tiện

tìm lời giải. Chúng tôi gọi đây là hai bài toán thuận – nghịch. Vì thế, việc nghiên cứu

song hành hai đối tượng đạo hàm và tích phân trong sự gắn kết, theo cách tiếp cận LM

giữa GT với Vật lí có thể sẽ giúp hai khái niệm này soi sáng lẫn nhau.

Sự lựa chọn này xác định đối tượng nghiên cứu của chúng tôi là: DH khái niệm đạo

hàm và tích phân theo quan điểm liên môn Toán – Vật lí cho HS THPT.

2. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Từ câu hỏi xuất phát đặt ra và hướng nghiên cứu đã chọn, nghiên cứu tổng quan

của chúng tôi sẽ tìm hiểu trước tiên về cách hiểu của người học về đạo hàm, tích phân

và những khó khăn trong việc ứng dụng chúng vào Vật lí. Tiếp đó, chúng tôi sẽ xem xét

các kết quả nghiên cứu đã có về sự hỗ trợ lẫn nhau giữa hai môn học Toán và Vật lí liên

quan đến hai khái niệm đạo hàm, tích phân. Và cuối cùng là tổng hợp các nghiên cứu về

DH liên môn trong và ngoài nước cũng như một số chương trình DH liên môn giữa GT

và Vật lí đã được xây dựng trên thế giới.

2.1. Cách hiểu của người học về hai khái niệm đạo hàm và tích phân

2.1.1. Cách hiểu của người học về khái niệm đạo hàm

Orton (1983a) là một trong những người đầu tiên tiến hành nghiên cứu về cách hiểu

của người học về khái niệm đạo hàm. Ông nhận thấy đa số HS và SV tham gia thực

nghiệm (TN) thành thạo với các nhiệm vụ yêu cầu tính toán hoặc áp dụng các quy trình

quen thuộc để giải quyết. Tuy nhiên người học lại cho thấy một sự thiếu hụt trong kiến

thức về khái niệm, đặc biệt là quan niệm đạo hàm theo tốc độ biến thiên tức thời và độ

dốc2 của tiếp tuyến. Orton cho rằng nguyên nhân là ở cách hiểu nghèo nàn của người

học về giới hạn cũng như về tỉ số và tỉ lệ của sự thay đổi.

Việc người học không nhận ra được sự liên hệ giữa đạo hàm với ý nghĩa tốc độ

biến thiên còn được xác nhận bởi nhiều tác giả khác (Bezuidenhout, 1998; Bingolbali et

al., 2007; Hankiöniemi, 2006; Sahin et al., 2015). Chẳng hạn, Sahin et al. (2015) chỉ ra

rằng mặc dù HS biết đến định nghĩa hình thức của đạo hàm là giới hạn của tỉ sai phân

nhưng không thể giải thích được sự liên quan giữa nó với ý nghĩa

tốc độ biến thiên tức thời. Hankiöniemi (2006) cũng nhận thấy khó khăn mà người học

gặp phải với khái niệm giới hạn để hiểu được cách mà tốc độ biến thiên trung bình tiến

đến tốc độ biến thiên tức thời hay cách mà độ dốc cát tuyến dần đến độ dốc tiếp tuyến.

Thompson (1995), sau đó là White và Mitchelmore (1996) đã tìm ra một trong

những nguyên nhân quan trọng giải thích cho khó khăn mà người học gặp phải với khái

niệm đạo hàm là ở cách hiểu về khái niệm hàm số của mình. Họ thường chỉ xem hàm

số như một đối tượng tĩnh và các biến là những kí hiệu để thao tác hay tính toán. Trong

khi đó, theo các tác giả này thì đặc trưng biến thiên đồng thời của hàm số (sự biến thiên

của biến số kéo theo sự biến thiên của hàm số) mới là điều then chốt để phát triển cách

hiểu về đạo hàm như là tốc độ thay đổi.

Một số nghiên cứu trong nước còn chỉ ra sự thiếu hụt trong quan niệm của HS

THPT với cách hiểu đạo hàm theo nghĩa tốc độ biến thiên và sự xấp xỉ hàm số bởi tiếp

tuyến (Ngô Minh Đức, 2013; 2016) hay khó khăn của HS trong việc kết nối những cách

hiểu khác nhau của đạo hàm vào cùng một khái niệm (Lê Thị Hoài Châu, 2014). Bên

cạnh đó, một nghiên cứu gần đây của Lê Thị Bạch Liên và Trần Kiêm Minh (2020) còn

cho thấy một hiểu biết chưa đầy đủ của nhiều SV ngành sư phạm toán về khái niệm đạo

hàm. Sự thiếu hụt kiến thức này khiến cho đa số SV trong thực nghiệm của các tác giả

không vận dụng được đạo hàm để giải quyết thành công một bài toán có ngữ cảnh vật lí

mà đòi hỏi phải phối hợp được ý nghĩa vật lí và ý nghĩa hình học của tri thức đang đề

cập.

với nội hàm giống như thuật ngữ “hệ số góc” trong SGK toán ở Việt Nam.

2 Trong nhiều tài liệu về DH GT trên thế giới, thuật ngữ “độ dốc” (slope) của đường thẳng được sử dụng

2.1.2. Cách hiểu của người học về khái niệm tích phân

Bezuidenhout và Olivier (2000), Jones (2015a, 2015b) kết luận rằng đa số người

học chỉ sở hữu một cách hiểu hạn chế về tích phân. Kiến thức điển hình người học biết

thường gói gọn trong những quy trình tính toán theo hiệu giá trị nguyên hàm hoặc ý

nghĩa hình học của tích phân như là diện tích hình dưới đường cong. Trong khi đó cách

hiểu tích phân theo giới hạn tổng Riemann mới được xem là có giá trị nhất cho việc hiểu

bản chất và các ứng dụng của tích phân. Tuy nhiên, nhiều nghiên cứu cho thấy người

học gặp một khó khăn lớn trong việc hiểu tích phân như giới hạn của một tổng. Chẳng

hạn, Rasslan và Tall (2002) tiến hành kiểm tra cách hiểu của một số HS THPT về khái

niệm tích phân. Mặc dù các HS này đã được tiếp cận tích phân từ phương pháp tính xấp

xỉ diện tích bằng các tổng trong lớp học toán, thế nhưng không có lời giải thích nào về

tích phân liên quan đến giới hạn hay tổng Riemann xuất hiện trong kết quả TN. Thay

vào đó, các HS chỉ giải thích tích phân như diện tích, hiệu hai nguyên hàm hoặc qua một

ví dụ tính toán cụ thể. Dường như quan niệm tích phân theo giới hạn tổng Riemann rất

khó được xây dựng hoặc gợi ra trong nhận thức của người học.

Sự thiếu hụt cách hiểu tích phân theo cấu trúc tổng Riemann thậm chí còn phổ biến

với đối tượng là SV các trường đại học như đã được kiểm chứng bởi những nghiên cứu

của: Orton, 1983b; Jones, 2015b; Sealey, 2014; Wagner, 2017. Các tác giả này cho rằng

nguyên nhân là do cấu trúc phức tạp của định nghĩa tích phân theo tổng Riemann cũng

như chướng ngại đến từ một khái niệm khác – khái niệm giới hạn. Một nguyên nhân

khác được Jones et al. (2017) chỉ ra nằm ở ngữ cảnh hình học mà các sách giáo khoa

(SGK) hay giáo trình GT truyền thống sử dụng để giới thiệu khái niệm tích phân. Ông

cho rằng trong ngữ cảnh của bài toán diện tích dưới đường cong, người học có xu hướng

xem việc lập tổng Riemann chỉ như một quy trình tính toán diện tích thay vì nhận ra

được bản chất của khái niệm ẩn đằng sau phương pháp tính toán đó. Hơn nữa, sau khi

mối quan hệ giữa tích phân và nguyên hàm được thiết lập, việc tính toán diện tích lại

được quy về một quy trình đơn giản là đảo ngược phép lấy đạo hàm. Từ đó, quan niệm

tích phân theo giới hạn tổng Riemann có thể dần trở nên mờ nhạt và khó được kích hoạt

hay củng cố trong nhận thức người học vì họ không còn bất cứ lí do gì để thiết lập những

tổng như vậy.

2.1.3. Khó khăn của người học với việc hiểu mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân

Mối quan hệ đảo ngược giữa đạo hàm và tích phân thể hiện trong định lí cơ bản của

GT (từ nay sẽ viết gọn là định lí cơ bản) là một trong những phát hiện quan trọng và hữu

ích nhất của GT. Định lí này hoạt động khi tích phân được định nghĩa theo giới hạn tổng

Riemann. Tuy nhiên ở trường THPT người ta thường định nghĩa tích phân bằng nguyên

hàm và theo Bressoud (2011) thì điều này làm cho định lí cơ bản không còn bất kì ý

nghĩa gì. Kouropatov và Dreyfus (2014) cũng kết luận rằng hầu hết HS phổ thông không

biết được vì sao nguyên hàm lại có thể tính được diện tích, mà lí do lại nằm ở định lí cơ

bản.

Với đối tượng SV được tiếp cận tích phân theo tổng Riemann, các nghiên cứu của

Orton (1983b), Artigue (1991), Thompson (1994b) và Mahir (2009) chỉ ra rằng SV

thường chỉ xem định lí cơ bản như một phương tiện để tính toán tích phân mà không có

một cách hiểu rõ ràng về bản chất của các khái niệm có liên quan. Các em không giải

thích được mối quan hệ đảo ngược giữa đạo hàm và tích phân cũng như việc tại sao một

đại lượng xác định bởi giới hạn tổng Riemann lại có thể tính theo nguyên hàm.

Khó khăn trong việc hiểu định lí cơ bản theo Thompson (1994b) bắt nguồn từ “quan

niệm nghèo nàn về khái niệm tốc độ biến thiên và từ sự thiếu hụt quan niệm về hàm số

như là sự biến thiên đồng thời của hai đại lượng” (tr. 2). Hay nói rộng ra là bắt nguồn từ

sự thiếu hụt trong cách hiểu các khái niệm có liên quan như: đạo hàm, tích phân, hàm

số, giới hạn.

Khó khăn với định lí cơ bản còn thể hiện trong việc trình bày một chứng minh chặt

chẽ cho nó đặc biệt là với đối tượng HS THPT. Để có một chứng minh chặt chẽ như vậy

trong lịch sử, các nhà toán học đã phải đối mặt với những “chướng ngại khoa học luận”

như đã được chỉ ra trong luận án tiến sĩ của Klisinska (2009). Kết quả luận án này cho

thấy, mặc dù đã có nhiều phiên bản chứng minh khác nhau xuất hiện trong các thể chế

DH phổ thông hay đại học, các chướng ngại nói trên vẫn luôn gây ra khó khăn lớn cho

người học trong việc hiểu được ý nghĩa của định lí cơ bản cũng như cách chứng minh

nó.

2.2. Nghiên cứu theo hướng dạy học đạo hàm và tích phân để hỗ trợ cho việc ứng

dụng chúng trong Vật lí

2.2.1. Dạy học khái niệm đạo hàm để ứng dụng trong Vật lí

Nhiều nghiên cứu chỉ ra rằng người học gặp trở ngại khi sử dụng đạo hàm trong

các bài toán vật lí (Beichner,1994; Bingolbali et al., 2007; Jones, 2017). Nguyên nhân

chủ yếu theo Jones (2017) là vì chương trình DH GT nhấn mạnh hơn vào ý nghĩa hình

học của đạo hàm (hệ số góc tiếp tuyến), trong khi đó ngữ cảnh ứng dụng của Vật lí lại

chủ yếu sử dụng cách hiểu tốc độ biến thiên. Sự ghép đôi không tương xứng này tạo ra

khoảng cách giữa việc học đạo hàm với việc hiểu được những ứng dụng hiệu quả của

nó trong Vật lí. Nhận định này còn được củng cố bởi nghiên cứu của nhóm tác giả Dray

et al. (2008) khi họ chỉ ra rằng để bắc cầu nối qua lỗ hổng giữa Toán và Vật lí thì ý

tưởng trung tâm của khái niệm đạo hàm nên là tốc độ biến thiên thay vì là hệ số góc tiếp

tuyến.

Có nhiều công trình về DH đạo hàm gắn với các ứng dụng trong Vật lí nhưng đa

số đều tập trung vào ngữ cảnh động học liên quan đến ba đại lượng quãng đường, vận

tốc và gia tốc. Tuy nhiên, theo kết luận của Thompson (1994a; 1994b) và Bezuidenhout

(1998) thì có vẻ như ngữ cảnh động học không giúp SV hiểu được đầy đủ ý nghĩa tốc

độ biến thiên. SV chỉ hiểu đơn giản là đạo hàm được ứng dụng để tính vận tốc hay gia

tốc mà không mở rộng được cách hiểu tốc độ biến thiên đối với những đại lượng ngoài

ngữ cảnh động học hay thậm chí là các đại lượng biến thiên không theo thời gian. Jones

(2017) kết luận rằng việc tập trung quá mức vào các ứng dụng của đạo hàm trong ngữ

cảnh động học có thể không đem đến một cách hiểu đầy đủ cho đạo hàm để có thể sử

dụng được nó trong nhiều ngữ cảnh khác của Vật lí.

Một nghiên cứu của chúng tôi (Ngô Minh Đức, 2016) chỉ ra rằng quan niệm của

HS về đạo hàm là không đủ để thấu hiểu những ứng dụng đa dạng của nó trong nhiều

vấn đề thuộc chương trình vật lí THPT. Để có thể hiểu được ứng dụng của đạo hàm

trong các vấn đề vật lí này HS cần nắm bắt được cách hiểu đạo hàm theo tốc độ biến

thiên tức thời và ý tưởng xấp xỉ một hàm số có đạo hàm bởi tiếp tuyến của đường cong

ứng với nó.

2.2.2. Dạy học khái niệm tích phân để ứng dụng trong Vật lí

Nghiên cứu của Thompson và Silverman (2008), Jones (2015a) cho thấy rằng cách

hiểu tích phân theo nguyên hàm hay theo diện tích dưới đường cong là không đủ để giải

thích được các ứng dụng của tích phân trong ngữ cảnh ngoài toán học nói chung và Vật

lí nói riêng. Chẳng hạn khi xem xét các giáo trình vật lí và kĩ thuật, Jones (2015b) nhận

thấy cách hiểu tích phân theo nguyên hàm thì ít hoạt động trong việc định nghĩa và tính

toán các đại lượng vật lí. Theo lời của tác giả thì việc giải thích tích phân theo nguyên

hàm “không cung cấp được ý nghĩa mong đợi trong Vật lí và kĩ thuật” (tr. 10). Bên cạnh

đó, cách hiểu tích phân theo diện tích cũng là không đủ để hỗ trợ hiệu quả cho các ứng

dụng của tích phân vào Vật lí vì người học gặp khó khăn để nhận ra diện tích dưới đường

cong sẽ biểu diễn cho đại lượng vật lí nào (Nguyễn Đông Hải & Rebello, 2011).

Thompson và Silverman (2008) đề nghị một cách giúp người học hiểu được diện

tích dưới đường cong khi nó đại diện cho một đại lượng khác ngoài diện tích như quãng

đường hay công của lực. Đó là phải hiểu được quá trình lấy tích phân như một sự tích

lũy (lấy tổng) các lượng nhỏ gia tăng tạo thành từ các tích – mà cách hiểu này lại dựa

trên cấu trúc của tổng Riemann. Tương tự như vậy, theo Jones (2015a) thì cách hiểu tích

phân theo nguyên hàm đã cắt bớt đi ý nghĩa của tích phân trong ngữ cảnh ứng dụng, và

ông cũng cho rằng cách hiểu tích phân theo giới hạn tổng Riemann nên được kích hoạt

trong người học nếu như muốn ứng dụng được tích phân trong nhiều vấn đề của Vật lí.

Liên quan đến việc dạy tích phân để kết nối được với những ứng dụng trong Vật lí, Dray

et al. (2008) cũng đề nghị rằng ý tưởng trung tâm của tích phân nên dựa trên cấu trúc

tổng Riemann (chia nhỏ, nhân, cộng, và chuyển qua giới hạn) thay vì là diện tích dưới

đường cong. Hầu hết các nghiên cứu theo hướng này đều xác nhận rằng cách hiểu tích

phân theo tổng Riemann mới là có giá trị nhất cho việc hiểu những ứng dụng của tích

phân trong các ngữ cảnh, đặc biệt là Vật lí (Jones, 2015a, 2015b; Sealey 2006; 2014;

Thompson & Silverman, 2008).

Một khó khăn khác mà người học gặp phải khi áp dụng tích phân vào Vật lí vốn

không đến từ sự thiếu hụt kiến thức toán hay vật lí mà từ dạng kiến thức “cô lập” mà họ

sở hữu. Nói cách khác thì việc DH Toán và Vật lí nếu diễn ra một cách tách biệt có thể

làm hạn chế khả năng vận dụng kiến thức toán vào các ngữ cảnh của môn học còn lại.

Nói riêng với khái niệm tích phân, cách tiếp cận từ bài toán tính diện tích giúp người

học nhận ra việc chia nhỏ, lập tích và lập tổng giúp tính gần đúng diện tích dưới đường

cong. Tuy nhiên họ có thể gặp khó khăn trong việc áp dụng phương pháp tính diện tích

theo tổng Riemann vào một ngữ cảnh không quen thuộc khác như bài toán xác định

quãng đường hay công của lực. Nhận định này được xác nhận bởi các nghiên cứu của

Rebello (2007) và Bajracharya (2014) hay trong một nghiên cứu của chúng tôi (Ngô

Minh Đức, 2019) khi những SV trong TN cho thấy dù có đủ kiến thức cần thiết về tích

phân nhưng vẫn gặp khó khăn trong việc áp dụng nó vào các bài toán vật lí.

2.3. Nghiên cứu về việc sử dụng Vật lí để hỗ trợ việc dạy học các khái niệm của

Giải tích

Các khái niệm cơ bản của GT như đạo hàm và tích phân có mối quan hệ chặt chẽ

về ý nghĩa với nhiều đại lượng vật lí như công, quãng đường, vận tốc, gia tốc, … Vì vậy

những kinh nghiệm và hiểu biết có trước về các đại lượng này ở ngoài đời sống hay

trong việc học tập môn Vật lí có thể hỗ trợ người học hiểu rõ hơn những khái niệm trừu

tượng của GT. Các nghiên cứu của Marrongelle (2001, 2004, 2010) đã kêu gọi việc sử

dụng hiểu biết và ngữ cảnh từ Vật lí để xây dựng những quan niệm có nghĩa cho các

khái niệm GT như đạo hàm hay tích phân.

Firouzian và Speer (2015) đưa ra một lược đồ phân loại những cách sử dụng Vật lí

để hỗ trợ cho việc học tập các khái niệm của GT bao gồm: ngữ cảnh hóa (sử dụng ngữ

cảnh vật lí như là một phương tiện để giải các bài toán), minh họa (gợi ra những ví dụ

từ Vật lí để giúp hiểu được các khái niệm và bài toán GT), ngôn ngữ - trộn lẫn (sử dụng

kết hợp cả ngôn ngữ của Toán và Vật lí), và cuối cùng là không sử dụng.

Một số tác giả khác khi nghiên cứu về việc DH gắn kết GT với Vật lí đã đưa ra một

số lý thuyết như “sự hòa trộn nhận thức” (Fauconnier & Turner, 2002) hay “các tài

nguyên nhận thức” (Hammer, 2000). Những lăng kính lý thuyết này cho phép tìm hiểu

cách mà người học sử dụng Toán để giải quyết các vấn đề vật lí hay sử dụng những hiểu

biết từ Vật lí để phát triển nhận thức về một khái niệm toán học.

2.4. Các chương trình dạy học Giải tích theo hướng liên môn Toán với Vật lí

2.4.1. Ở cấp độ đại học

Các khóa học LM Toán – Vật lí nhằm thúc đẩy việc dạy học GT đã được xây dựng

và triển khai ở nhiều trường đại học trên thế giới. Chẳng hạn như khóa học LM giữa GT

và Vật lí ở đại học Hampshire (Marrongelle, 2001), tích hợp GT với khoa học ở đại học

kĩ thuật Louisiana (Carpenter et al., 2007), chương trình tích hợp Toán – Vật lí của đại

học Tecnologico de Monterrey (Domínguez et al., 2015). Những chương trình LM này

được xây dựng để giảng dạy cho SV các ngành khoa học hay kinh tế, những người sẽ

cần kiến thức về GT cho lĩnh vực chuyên môn của mình.

Trong các khóa học nói trên, những khái niệm như đạo hàm và tích phân sẽ được

dạy xen kẽ và phối hợp với giờ học vật lí hay một số buổi thực hành ở phòng thí nghiệm.

Các ngữ cảnh, mô hình và kinh nghiệm có được từ lớp học vật lí sẽ hỗ trợ cho người

học hiểu các khái niệm của GT. Đồng thời, những khái niệm này sau đó sẽ trở thành các

công cụ hiệu quả để giải quyết trở lại các bài toán đặt ra trong Vật lí.

2.4.2. Ở cấp độ phổ thông

Việc nghiên cứu về DH GT nói chung và theo quan điểm LM nói riêng ở trường

phổ thông lại không nhận được nhiều sự quan tâm từ cộng đồng nghiên cứu giáo dục

toán trên thế giới. Trong một nghiên cứu tổng quan về vấn đề DH GT ở trường phổ

thông Châu Âu, Törner et al. (2014) nhận thấy các công trình nghiên cứu về chủ đề này

là rất ít ỏi và hạn chế so với những nghiên cứu tương tự ở cấp độ DH đại học. Các tác

giả giải thích cho điều này có lẽ là vì cách DH truyền thống ở trường phổ thông còn

cách quá xa mục tiêu giúp HS hiểu được các khái niệm phức tạp của GT cũng như ứng

dụng được chúng một cách hiệu quả trong các ngữ cảnh ngoài toán.

Ở các trường phổ thông, môn Toán thường được dạy một cách độc lập và ít xuất

hiện những chương trình DH LM nó với các môn học khác. Mặc dù vậy, khi tham khảo

một nghiên cứu tổng quan về DH GT của Bressoud et al. (2016), chúng tôi nhận ra rằng

xu hướng LM đã có ảnh hưởng nhất định trong việc thiết kế chương trình DH GT cho

HS THPT ở nhiều nước trên thế giới những năm gần đây. Điều này thể hiện ở sự nhấn

mạnh nhiều hơn vào các ứng dụng đa dạng của GT trong các môn học khác mà đặc biệt

là Vật lí. Thậm chí ở một số quốc gia (chẳng hạn như Hàn quốc hay Singapore), các nhà

xây dựng chương trình còn xác định rằng GT phải được bắt đầu sớm để chuẩn bị công

cụ nghiên cứu cho Vật lí và một số lĩnh vực khác. Một số tác giả (Thompson, 1994a;

Turner et al., 2000) còn đề xuất giới thiệu những ý tưởng quan trọng của GT như khái

niệm tốc độ biến thiên ngay từ cấp độ trung học cơ sở để chuẩn bị tiền đề cho việc hiểu

và ứng dụng khái niệm đạo hàm sau này. Họ lập luận rằng, nhiều ý tưởng quan trọng

của GT hoàn toàn có thể được giới thiệu sớm cho HS thông qua các kinh nghiệm từ cuộc

sống hoặc Vật lí để chuẩn bị cho một sự thấu hiểu các khái niệm toán học ở các cấp học

cao hơn.

2.5. Nghiên cứu về dạy học giải tích theo quan điểm liên môn ở Việt Nam

Mặc dù xu hướng DH theo quan điểm tích hợp – LM đã được quan tâm và nghiên

cứu ở Việt Nam trong vài thập niên gần đây, tuy nhiên chúng tôi nhận thấy những công

trình nghiên cứu về chủ đề LM Toán và Khoa học lại khá ít ỏi và chủ yếu tập trung vào

chiều ứng dụng toán. Nói riêng thì hướng nghiên cứu về DH ứng dụng toán vào các vấn

đề thực tiễn và khoa học đã được quan tâm từ lâu tuy nhiên xem xét nó dưới góc nhìn

của quan điểm tích hợp – LM thì chỉ mới được thực hiện gần đây trong một số công

trình. Một trong số đó là nghiên cứu của tác giả Nguyễn Thế Sơn (2017) về đề tài xây

dựng các chủ đề tích hợp toán. Trong luận án tiến sĩ của mình, tác giả đã đề xuất những

quy trình và biện pháp nhằm hỗ trợ giáo viên (GV) thiết kế và DH các chủ đề tích hợp

toán với nội dung các môn học khác ở trường THPT. Nhiều hoạt động học tập LM cũng

được xây dựng trong công trình này và thường chú trọng vào mặt ứng dụng các kiến

thức toán trong các vấn đề của các khoa học khác như Vật lí, Hóa học, Sinh học, ... Cách

tiếp cận LM theo chiều này giúp làm nổi bật vai trò của công cụ toán trong việc giải

quyết các vấn đề thực tiễn và khoa học. Ngoài ra còn một số nghiên cứu khác cũng đi

theo hướng tương tự khi kết nối kiến thức toán với những vấn đề LM, chẳng hạn như

DH hình học gắn với các bài toán thực tiễn và Vật lí (Đào Tam và Phạm Văn Hiệu,

2018) hay vận dụng kiến thức xác suất và thống kê trong bài toán di truyền (Nguyễn Thị

Hà, 2016). Tuy nhiên nhìn chung thì các công trình vừa đề cập vẫn chưa quan tâm đến

chiều tác động ngược lại cho thấy sự hỗ trợ của các môn khoa học trong việc giúp hiểu

rõ hơn tri thức toán học cũng như sự gắn kết tương hỗ giữa các môn học để DH một nội

dung kiến thức thích hợp theo định hướng LM.

Cũng nhìn từ quan điểm LM, nhưng là xem xét khả năng giải quyết những vấn đề

LM của người học. Nghiên cứu của tác giả Trần Văn Học (2018) với đối tượng HS

THPT và của Lê Thị Hoài Châu và Ngô Minh Đức (2018) với đối tượng SV trường Sư

phạm cũng chỉ ra rằng người học gặp khó khăn với việc giải quyết những vấn đề đòi hỏi

vận dụng kiến thức từ cả hai môn học toán và vật lí, nói riêng với khái niệm tích phân.

Một nghiên cứu khác tìm hiểu quan niệm của GV về sự liên môn giữa Toán và Vật lí

liên quan đến chủ đề vectơ được thực hiện bởi tác giả Nguyễn Thị Nga (2018). Kết quả

cho thấy các GV toán ít quan tâm đến những ứng dụng của vectơ trong Vật lí cũng như

không liên hệ những ứng dụng này để giúp HS hiểu rõ hơn khái niệm toán học.

Đối với các nghiên cứu về DH GT ở trong nước, chúng tôi tìm thấy một số công

trình của các tác giả: Trịnh Thị Bạch Tuyết (2016), Phạm Sĩ Nam (2013), Nguyễn Phú

Lộc (2006), Trần Anh Dũng (2013). Những công trình này nghiên cứu việc DH các khái

niệm của GT ở THPT theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập và phát triển năng lực

người học, nhưng chưa có công trình nào nhìn từ quan điểm LM toán với các môn khoa

học nói chung, Vật lí nói riêng.

2.6. Kết luận và định hướng nghiên cứu

Kết quả nghiên cứu tổng quan các tài liệu cho thấy một khó khăn kép của người

học cả trong việc hiểu được hai khái niệm đạo hàm và tích phân cũng như trong việc sử

dụng chúng để giải quyết các bài toán với ngữ cảnh vật lí. Trong nhiều trường hợp, chính

sự thiếu hụt trong cách hiểu về khái niệm lại là nguyên nhân quan trọng gây ra khó khăn

cho việc ứng dụng chúng. Nhiều nghiên cứu chỉ ra rằng người học gặp khó khăn với

cách hiểu đạo hàm theo tốc độ biến thiên và tích phân theo giới hạn tổng Riemann cũng

như mối quan hệ đảo ngược giữa hai khái niệm này. Ấy vậy mà những hiểu biết này lại

là hữu ích nhất cho việc ứng dụng đạo hàm và tích phân trong các vấn đề đa dạng của

Vật lí và thực tiễn. Vì lẽ đó, nhiều tác giả đề nghị một sự nhấn mạnh hơn vào hai cách

hiểu nói trên để tạo ra sự nối khớp giữa việc DH GT và việc ứng dụng nó trong Vật lí.

Những nghiên cứu khác xem xét các cách thức và lược đồ cho phép sử dụng Vật lí để

hỗ trợ cho việc hiểu các khái niệm GT. Một số tác giả cũng kêu gọi việc xem xét lịch sử

phát triển của GT để thấy rõ được những gắn kết LM giữa nó với Vật lí và tận dụng

chúng trong việc DH ở nhà trường.

Nghiên cứu tổng quan cũng cho thấy, các công trình nghiên cứu trên thế giới về

DH GT nói chung, DH GT theo hướng tiếp cận LM nói riêng chủ yếu tập trung cho đối

tượng là SV các trường đại học và cao đẳng. Các nghiên cứu về DH đạo hàm, tích phân

cho đối tượng HS phổ thông theo định hướng LM Toán – Vật lí vẫn chưa nhận được sự

quan tâm thích đáng. Hơn nữa, vẫn chưa có nhiều nghiên cứu theo hướng LM trong đó

có tính đến sự nối khớp về nội dung chương trình và những tác động tương hỗ giữa việc

DH hai môn Toán và Vật lí ở trường THPT.

Ở Việt Nam, xu hướng DH tích hợp – LM trong giáo dục hiện nay đang nhận được

rất nhiều sự quan tâm nghiên cứu. Tuy nhiên cách tiếp cận LM trong DH Toán lại có

những đặc thù riêng và vẫn cần nhiều hơn các nghiên cứu để bắt kịp với xu thế thế giới

và vận dụng hợp lí với tình hình trong nước. Một số công trình trong nước đã bàn về

DH GT cho đối tượng HS THPT nhưng chưa phải từ điểm nhìn của DH LM. Nhiều công

trình khác nghiên cứu những vấn đề lí luận chung về DH Toán theo quan điểm tích hợp

hoặc tiến hành xây dựng một số chủ đề DH tích hợp toán với các khoa học. Tuy nhiên,

nhìn tổng thể lại thì vẫn chưa có một nghiên cứu nào về việc DH hai khái niệm đạo hàm

và tích phân theo hướng tận dụng những gắn kết LM Toán và Vật lí đặt trong sự nối

khớp giữa các thể chế DH ở trường THPT nhằm đem lại nhiều lợi ích hơn cho cả hai

môn học. Đặt trong bối cảnh này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình

là: “Dạy học khái niệm đạo hàm và tích phân theo quan điểm liên môn: trường hợp

liên môn Toán – Vật lí”.

Dựa trên các kết quả có được từ nghiên cứu tổng quan và nhìn lại câu hỏi xuất phát

“làm thế nào để tận dụng những gắn kết LM giữa Toán và Vật lí trong việc DH GT ở

trường THPT nhằm giúp HS vừa vượt qua được những khó khăn trong việc hiểu các

khái niệm trừu tượng của GT, vừa ứng dụng được GT vào các vấn đề của Vật lí?”, chúng

tôi đề ra định hướng nghiên cứu như sau: Đầu tiên phải làm rõ mối quan hệ gắn kết giữa

GT và Vật lí đã thể hiện trong lịch sử hình thành và phát triển hai khái niệm đạo hàm và

tích phân. Sau đó sẽ kiểm tra xem mối quan hệ LM này đã thể hiện như thế nào trong

nội dung chương trình toán và vật lí ở bậc THPT? Những cách hiểu nào về khái niệm

cần phải hình thành nơi người học, sự nối khớp nào phải đảm bảo để việc DH LM diễn

ra hiệu quả và thích hợp hơn? Kết quả từ phân tích này là cơ sở để chúng tôi đề xuất các

biện pháp sư phạm nhằm tận dụng được những gắn kết LM Toán – Vật lí giúp người

học hiểu đầy đủ hơn hai khái niệm đạo hàm và tích phân đồng thời vận dụng được chúng

trong nhiều vấn đề của Vật lí.

3. CƠ SỞ LÍ LUẬN

Theo định hướng nghiên cứu nói trên, các cơ sở lý thuyết chúng tôi cần đến đó là:

- Các mô hình và chiến lược cho phép xây dựng hoạt động học tập theo cách tiếp cận

LM Toán – Vật lí.

- Khung lý thuyết về việc hiểu và ứng dụng khái niệm toán học, nói riêng với hai khái

niệm đạo hàm và tích phân.

- Lý thuyết nhân học của didactic: Tìm hiểu sự gắn kết giữa Toán và Vật lí trong quá

trình nảy sinh và tiến triển của hai khái niệm đạo hàm, tích phân thông qua một phân

tích tri thức luận. Xem xét sự thể hiện của mối quan hệ gắn kết này trong chương

trình THPT Việt Nam từ việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế.

- Lý thuyết tình huống để xây dựng các tình huống học tập thích hợp theo cách tiếp

cận LM Toán – Vật lí.

- Lý thuyết đồ án DH cung cấp cho chúng tôi phương pháp luận nghiên cứu để thiết

kế chuỗi hoạt động học tập, xây dựng TN và kiểm tra giả thuyết nghiên cứu.

4. MỤC TIÊU VÀ CÂU HỎI NGHIÊN CỨU

Mục tiêu của luận án là làm rõ mối quan hệ LM giữa Toán và Vật lí từ cả góc độ

tri thức luận (sự gắn kết và thúc đẩy lẫn nhau trong lịch sử) và sư phạm (gắn kết LM

trong thể chế DH Toán và Vật lí) đối với hai khái niệm đạo hàm và tích phân. Luận án

cũng hướng đến mục tiêu đề xuất và thử nghiệm các giải pháp sư phạm nhằm tận dụng

mối quan hệ LM nói trên để giúp người học hiểu đầy đủ hơn về đạo hàm, tích phân và

ứng dụng hiệu quả chúng trong các vấn đề của Vật lí.

Mục tiêu này được cụ thể hóa bởi ba câu hỏi nghiên cứu sau đây: Câu hỏi Q1: Mối quan hệ gắn kết, hỗ trợ lẫn nhau giữa Toán học và Vật lí học3 đã

diễn ra như thế nào trong lịch sử hình thành và tiến triển hai khái niệm đạo hàm, tích

phân?

môn học Toán và Vật lí được dạy trong nhà trường.

3 Chúng tôi dùng các từ Toán học và Vật lí học với tư cách là các ngành khoa học để phân biệt nó với các

Câu hỏi Q2: Liên quan đến đạo hàm, tích phân, mối quan hệ LM Toán – Vật lí đã

thể hiện như thế nào trong chương trình hiện hành và SGK các môn Toán, Vật lí dùng

ở bậc THPT?

Câu hỏi Q3: Giải pháp sư phạm nào cho phép tận dụng hiệu quả những gắn kết

LM giữa Toán và Vật lí để mang lại hiểu biết đầy đủ hơn về hai khái niệm đạo hàm và

tích phân cho HS, đồng thời giúp các em ứng dụng được kiến thức toán học này vào các

vấn đề của Vật lí?

5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Trong việc tổ chức các hoạt động DH hai khái niệm đạo hàm và tích phân ở trường

THPT, nếu tận dụng được những gắn kết LM và tác động tương hỗ đến từ kiến thức hai

môn học toán và vật lí một cách thích hợp thì có thể đem lại một quan niệm đầy đủ hơn

cho HS về các khái niệm đồng thời giúp các em vận dụng được hiệu quả những kiến

thức này vào các vấn đề của Vật lí.

6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để đạt được những mục tiêu đã đặt ra, chúng tôi lựa chọn phương pháp luận nghiên

cứu như sau:

a) Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu lí luận về quan điểm LM, các mô hình và chiến lược LM Toán và Khoa

học.

- Nghiên cứu các khung lý thuyết về việc hiểu và ứng dụng một khái niệm toán học nói

chung và đạo hàm, tích phân nói riêng.

b) Nghiên cứu tri thức luận và sư phạm

- Nghiên cứu tri thức luận nhằm tìm hiểu sự gắn kết hỗ trợ lẫn nhau giữa Toán và Vật

lí trong lịch sử hình thành tiến triển của hai khái niệm đạo hàm và tích phân. Nghiên

cứu này không chỉ đem đến một tham chiếu nhìn từ giai đoạn hình thành tri thức mà

còn cung cấp những gợi ý sư phạm cho việc xây dựng các hoạt động DH LM thích

hợp.

- Nghiên cứu mối quan hệ gắn kết LM giữa thể chế DH Toán và Vật lí liên quan đến

hai khái niệm đạo hàm và tích phân đồng thời chỉ ra đâu là những ràng buộc và sự

nối khớp cần thỏa mãn.

c) Phương pháp luận nghiên cứu của lý thuyết đồ án dạy học

Thiết kế tình huống DH và xây dựng đồ án DH đạo hàm, tích phân theo cách tiếp

cận LM Toán – Vật lí. Phân tích tiên nghiệm và hậu nghiệm, kiểm chứng tính khả thi

và hiệu quả của các giải pháp sư phạm đã đề xuất.

d) Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Kiểm tra khả năng của người học trong việc ứng dụng GT vào các vấn đề của Vật

lí, từ đó kiểm chứng một số giải pháp sư phạm.

7. NHỮNG LUẬN ĐIỂM CẦN BẢO VỆ

- Lợi ích kép về việc hiểu và ứng dụng mà cách tiếp cận LM Toán – Vật lí mang lại

trong DH hai khái niệm đạo hàm và tích phân.

- Những đặc trưng tri thức luận liên quan đến mối quan hệ gắn kết hỗ trợ lẫn nhau

giữa GT và Vật lí trong quá trình hình thành và tiến triển của khái niệm đạo hàm,

tích phân.

- Mối quan hệ LM giữa hai thể chế DH Toán và Vật lí, sự chuyển hóa sư phạm và

những điểm chưa nối khớp.

- Một số giải pháp sư phạm nhằm tận dụng hiệu quả những gắn kết LM giữa GT và

Vật lí. Các đồ án DH và TN kiểm chứng.

8. CÁC ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN

a) Về mặt lí luận

- Làm rõ thêm một số vấn đề liên quan đến DH LM: các quan niệm, mô hình, cách

tiếp cận và chiến lược cho phép tận dụng sự gắn kết hỗ trợ lẫn nhau giữa hai môn

học Toán và Vật lí.

- Phân tích và làm sáng tỏ các khung lý thuyết chung về việc hiểu và ứng dụng một

khái niệm toán học, vận dụng chúng để xây dựng các khung lý thuyết cho đạo hàm

và tích phân đặt trong ngữ cảnh vật lí.

- Tận dụng được mối liên hệ biện chứng giữa nghiên cứu tri thức luận và nghiên cứu

thể chế để làm cơ sở cho việc đề xuất các giải pháp sư phạm và xây dựng hoạt động

học tập đạo hàm, tích phân theo cách tiếp cận LM.

- Vận dụng một cách phù hợp thuyết nhân học, lý thuyết tình huống và đồ án DH trong

việc nghiên cứu DH tri thức toán học theo hướng LM.

b) Về mặt thực tiễn

- Đề xuất được các giải pháp sư phạm nhằm tận dụng hiệu quả hơn những gắn kết LM

Toán – Vật lí trong việc DH hiểu và ứng dụng hai khái niệm đạo hàm, tích phân.

- Xây dựng các đồ án DH hai khái niệm đạo hàm và tích phân theo cách tiếp cận LM

giúp mang lại cách hiểu đầy đủ hơn về khái niệm cho HS đồng thời giúp các em vận

dụng được tri thức toán vừa học vào các vấn đề của Vật lí.

- Góp phần đổi mới phương pháp DH môn Toán theo hướng tận dụng những lợi ích

mà cách tiếp cận LM Toán và Khoa học mang lại. Đặc biệt là trong việc DH các khái

niệm của GT, vốn là một lĩnh vực có sự gắn kết mật thiết với Vật lí.

9. CẤU TRÚC LUẬN ÁN

- Chương 1: Cơ sở lí luận

- Chương 2: Đạo hàm, tích phân: mối quan hệ gắn kết giữa Giải tích và Vật lí nhìn từ

lịch sử

- Chương 3: Đạo hàm, tích phân: một nghiên cứu thể chế từ quan điểm liên môn giữa

Giải tích và Vật lí

- Chương 4: Các giải pháp sư phạm

- Chương 5: Nghiên cứu thực nghiệm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1. Liên môn. Các mô hình, chiến lược liên môn Toán và Khoa học

1.1.1. Về khái niệm liên môn

1.1.1.1. Các khuynh hướng tiếp cận khái niệm liên môn

• Khuynh hướng xem liên môn như là một hình thức của tích hợp

Với khuynh hướng này, người ta lấy tích hợp làm khái niệm cơ sở và có tính phổ

quát nhằm nghiên cứu sự kết hợp các đối tượng khác nhau để hợp thành một tổng thể.

Sự kết hợp này khi vận dụng trong DH, theo các nhà nghiên cứu là có nhiều mức độ hay

hình thức khác nhau và LM được xem là một trong những hình thức đó.

Một cách cụ thể, tích hợp trong DH được định nghĩa là “hành động liên kết các đối

tượng nghiên cứu, giảng dạy, học tập của cùng một hoặc vài lĩnh vực khác nhau trong

cùng một kế hoạch dạy học” (Từ điển giáo dục, tr. 383). Như đã đề cập, sự liên kết này

có thể có các hình thức khác nhau và nhiều tài liệu nghiên cứu trên thế giới và ở Việt

Nam thường nhắc đến bốn hình thức tích hợp chủ yếu sau đây: tích hợp nội môn (hay

đơn môn), tích hợp đa môn, tích hợp liên môn và tích hợp xuyên môn (Drake và Burns,

2004; Đỗ Hương Trà, 2015; Nguyễn Thế Sơn, 2017; Xavier Roegiers, 2001). Đối với

hình thức tích hợp LM, mặc dù có những lời giải thích khác nhau của nhiều nhà nghiên

cứu, nhưng tựu trung lại đều ngụ ý chỉ đến hình thức DH có sự phối hợp giữa nhiều môn

học. Sự kết hợp này xoay quanh một bài học hay vấn đề chung mà việc giải quyết hay

nghiên cứu về chúng đòi hỏi kiến thức của nhiều môn học khác nhau.

Sự phân loại giữa đơn môn, đa môn, LM và xuyên môn đôi khi được các nhà nghiên

cứu thực hiện dựa trên mức độ của sự tích hợp diễn ra trong DH. Chẳng hạn theo Xavier

Roegiers (2001) và Drake (2007) thì sự phân biệt giữa đa môn và LM nằm ở mức độ

gắn kết giữa các môn học. Với đa môn, các môn học được dạy riêng biệt dù vẫn hướng

đến một chủ đề hay vấn đề chung nào đó. Trái lại ở mức độ LM, có sự phối hợp giữa

các môn học với nhau về phương pháp, khái niệm, ý tưởng trong việc tổ chức DH hoặc

giải quyết một vấn đề chung nào đó.

• Khuynh hướng đặt liên môn làm khái niệm cơ sở để nghiên cứu sự gắn kết giữa

các môn học trong giáo dục

Khuynh hướng này bắt nguồn từ việc ghi nhận sự gắn kết giữa các ngành khoa học

khác nhau. Sự gắn kết ấy là đương nhiên, bởi lẽ theo nguyên lí triết học duy vật biện

chứng về các mối quan hệ phổ biến thì mọi sự vật, hiện tượng đều tồn tại và phát triển

vừa với tư cách là một thực thể độc lập, vừa đặt trong mối liên hệ đa dạng giữa các bộ

phận cấu thành cũng như liên hệ giữa sự vật đó với các sự vật khác. Mỗi khoa học, với

phương pháp riêng của mình, sẽ nghiên cứu chúng từ những góc độ khác nhau. Để có

một sự hiểu biết đầy đủ về sự vật, hiện tượng, con người phải biết kết hợp kết quả nghiên

cứu của nhiều khoa học lại. Phân tích trên cho thấy LM có nguồn gốc từ lịch sử phát

triển của các khoa học, vì thế người ta muốn đặt nó làm cơ sở để nghiên cứu sự gắn kết

giữa các môn học trong DH tri thức ở nhà trường. Để làm điều này chúng ta cần một

định nghĩa khái quát nhất cho khái niệm LM vừa cho thấy phương diện tri thức luận vừa

cho thấy phương diện tổ chức DH một tri thức toán học trong nhà trường. Một định

nghĩa khái quát như vậy được đưa ra ở hội thảo quốc tế về LM trong DH phổ thông do

LM được xem như một dạng hợp tác giữa những môn học khác nhau. Các môn học này

đóng góp vào một nhiệm vụ chung và qua sự kết hợp giữa chúng mà tạo điều kiện cho tri

thức mới hình thành, tiến triển” (trích theo D’Hainaut, 1986, tr. 7).

Unesco tổ chức năm 1985:

Với định nghĩa này, D’Hainaut (1986) làm rõ hai cách hiểu thuật ngữ LM: cách

hiểu thứ nhất gắn với quan điểm tri thức luận, liên quan chủ yếu đến vấn đề khám phá

và tổ chức tri thức; cách hiểu còn lại thiên về cách thức, phương pháp để tổ chức DH.

Tuy nhiên, do việc DH vốn gắn bó mật thiết với quá trình khám phá và tổ chức tri thức,

nên D’Hainaut cho rằng cách hiểu thứ hai chỉ là một phương diện của quan điểm đầu.

Cùng theo xu hướng đặt LM làm khái niệm cơ sở và tách biệt với khái niệm tích

LM là một cách xem xét tri thức và tiếp cận DH, trong đó áp dụng một cách có chủ ý các

phương pháp và ngôn ngữ từ nhiều hơn một môn học để nghiên cứu các bài toán, chủ đề,

đề tài trung tâm nào đó. (tr. 8).

hợp, Jacobs (1989) đưa ra một định nghĩa khác cho khái niệm LM như sau:

Tương tự như định nghĩa của Unesco (1985), định nghĩa về LM của Jacobs cũng

nhấn mạnh việc xem xét sự gắn kết giữa các môn học ở cả hai mặt, tri thức luận và tiếp

cận DH. Hơn nữa, sự gắn kết này có thể thực hiện bằng cách sử dụng chung các phương

pháp, ngôn ngữ, khái niệm của nhiều môn học để giải quyết một nhiệm vụ chung nào

đó hoặc để làm nảy sinh và tiến triển tri thức trong quá trình DH.

• Khuynh hướng phân biệt liên môn với tích hợp ở sự bảo tồn ranh giới các môn

học trong sự gắn kết giữa chúng

Hai khuynh hướng nói trên cho thấy, LM thường được tiếp cận như là một hình

thức của tích hợp, ngoài ra cũng có thể đặt LM vào vị trí xuất phát điểm để xem xét sự

gắn kết của nhiều môn học ở cả phương diện tri thức luận và tổ chức DH. Tuy nhiên

ngay cả khi đặt khái niệm LM ở vị thế tách rời khỏi tích hợp, việc phân biệt rạch ròi hai

khái niệm này vẫn là một việc khó khăn vì chúng đều là những xu hướng DH nhắm đến

sự kết hợp các yếu tố từ nhiều môn học trong một mục đích DH nhất định. Có lẽ vì vậy

mà nhiều tài liệu trong nước thường dùng lẫn lộn hai khái niệm này và đôi khi sử dụng

song hành tổ hợp từ “tích hợp – liên môn” hay “tích hợp liên môn” để đặt hai quan điểm

DH này trong sự gắn kết với nhau.

Nằm trong nỗ lực phân biệt hai khái niệm tích hợp và LM, có một khuynh hướng

của nhiều nhà nghiên cứu giáo dục trên thế giới muốn làm rõ hai khái niệm này dựa trên

việc biên giới của mỗi môn học có bị làm mờ đi trong quá trình kết hợp hay không.

Loepp (1999) dùng hình ảnh ẩn dụ về một cái bánh thập cẩm và một cái bánh có nhiều

lớp để phân biệt mức độ kết nối, hợp nhất trong cách hiểu tương ứng về tích hợp và LM.

Trong đó, LM được minh họa bởi loại bánh thứ hai, mỗi lớp bánh đại diện cho một môn

học và hình ảnh tổng thể của cái bánh ám chỉ rằng biên giới giữa các môn học vẫn được

duy trì khi chúng kết hợp với nhau. Trong khi đó tích hợp gắn với hình ảnh của cái bánh

thập cẩm và nó cho thấy sự xoá nhoà biên giới của các môn học khi sự gắn kết được

Việc DH LM có thể thực hiện theo nhiều cách tiếp cận như: phối hợp nội dung giữa các

môn học, dạy hai môn học cùng với nhau, hoặc khám phá một chủ đề chung qua những

hoạt động dựa trên các môn học khác nhau. Tuy nhiên, các nội dung, phương pháp, quy

trình hoặc kĩ năng được dạy trong cách tiếp cận LM vẫn nằm trong biên giới của mỗi môn

học ban đầu mà chúng được phối hợp. (tr. 9)

thực hiện. Sự phân biệt này được giải thích rõ ràng bởi Mathison và Freeman (1998):

Các tác giả nhấn mạnh rằng mặc dù cách tiếp cận LM luôn kết nối có chủ ý hai

hoặc nhiều hơn các môn học tuy nhiên vẫn giữ cho chúng riêng biệt và rõ nét. Điều này

có nghĩa là khi phối hợp và liên kết các môn học trong học tập, người học vẫn nhận ra

kiến thức hay phương pháp được sử dụng thuộc về môn học nào mà không có sự hoà

trộn hay tạo ra môn học mới. Sự toàn vẹn của biên giới mỗi môn học cũng được

Frykholm và Glasson (2005) xem xét khi bàn về cách tiếp cận tích hợp và LM giữa toán

và các môn khoa học trong DH. Theo hai tác giả thì LM được xem là vẫn giữ gìn tính

toàn vẹn này trong quá trình khám phá những ngữ cảnh chung nhằm thúc đẩy việc học

ở cả hai môn học. Trái lại, nhiều định nghĩa về tích hợp lại ngụ ý rằng “sự trộn lẫn giữa

toán và khoa học đạt đến mức liền mảnh hơn, đến nỗi khó để nói nơi nào toán học ngừng

lại và nơi nào khoa học bắt đầu” (Frykholm & Glasson, 2005, tr. 130). Nguyễn Thị Nga

(2018) cho rằng, trong sự tương tác LM giữa các môn học “tác động tổng thể của các

yếu tố định tính và định lượng không đủ để tạo nên một môn học mới. Đây là sự kết hợp

giữa các môn học khác nhau đối với các vấn đề mà tính phức tạp của chúng chỉ có thể

được giải quyết bởi sự hội tụ và kết nối chặt chẽ của nhiều quan điểm khác nhau” (tr.

40-41).

1.1.1.2. Cách hiểu và cách tiếp cận của chúng tôi về khái niệm liên môn

Tổng kết lại, chúng tôi tìm thấy ba hướng tiếp cận khái niệm LM khi xem xét sự

gắn kết giữa các môn học trong DH. Một hướng lấy tích hợp làm cơ sở và LM như là

một dạng của tích hợp mà trong đó diễn ra sự tương tác chặt chẽ giữa các môn học. Cách

thứ hai lấy bản thân khái niệm LM làm cơ sở để nghiên cứu sự hợp tác giữa các môn

học cả về phương diện tri thức luận và tổ chức DH. Khuynh hướng thứ ba thừa nhận sự

tương đồng giữa nội hàm của hai thuật ngữ “tích hợp” và “liên môn”, tuy nhiên sự phân

biệt nằm ở chỗ quá trình DH LM vẫn bảo tồn biên giới của mỗi môn học trong quá trình

kết hợp.

Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy rằng dù cho LM được hiểu theo khuynh hướng nào

thì đặc trưng cốt lõi của nó vẫn là tận dụng sự gắn kết, phối hợp giữa các môn học trong

DH nhằm mục đích khám phá tri thức mới hoặc giải quyết một vấn đề chung nào đó.

Dựa trên đặc trưng cốt lõi này và tổng hợp những luận điểm từ ba khuynh hướng đã

trình bày, chúng tôi đưa ra cách hiểu của mình và làm rõ khái niệm LM khi tiếp cận nó

trong DH như sau:

- LM là sự hợp tác giữa nhiều môn học từ cả phương diện khám phá và tổ chức tri

thức cũng như phương pháp tổ chức DH.

- Mục đích của sự hợp tác nói trên là nhằm mang lại lợi ích cho mỗi môn học trong

việc nảy sinh và tiến triển tri thức, hoặc để giải quyết một bài toán, vấn đề, đề tài

chung nào đó.

- Phương thức để đạt mục đích này là phối hợp sử dụng các kiến thức, phương pháp,

quy trình hoặc kĩ năng của nhiều môn học tuy nhiên các yếu tố này vẫn nằm vẹn

nguyên trong biên giới của mỗi môn học mà chúng đến.

Với cách hiểu này, LM ngụ ý giữ gìn tính toàn vẹn của mỗi môn học đặt trong sự

hỗ trợ lẫn nhau và sẽ phù hợp để chúng tôi tiếp cận việc DH hai khái niệm đạo hàm, tích

phân bằng cách tận dụng những gắn kết giữa Toán và Vật lí.

1.1.2. Liên môn Toán và Khoa học: một số mô hình và cách tiếp cận

Ở trên chúng tôi đã bàn về LM, một xu hướng nhấn mạnh sự gắn kết và tác động

tương hỗ giữa các môn học. Phần này sẽ dành để bàn về LM giữa Toán và các môn

Khoa học trong DH. Để ngắn gọn, từ nay chúng tôi gọi nó là LM “Toán – Khoa học”.

Nói riêng thì sự gắn kết giữa Toán học và các ngành khoa học như Vật lí học, Hóa học,

Sinh học,… đã diễn ra xuyên suốt lịch sử phát triển lâu dài của chúng. Các khoa học

đem đến những tài nguyên (vấn đề, ngữ cảnh, nguyên lí, đối tượng nghiên cứu,…) là

động lực phát triển Toán học. Ở chiều ngược lại, Toán học cung cấp ngôn ngữ và công

cụ để các ngành khoa học thực hiện những nghiên cứu định lượng của mình.

Bên cạnh đó, cũng cần phải nhấn mạnh thêm ở đây về tư tưởng phương pháp luận

nhận thức thế giới khách quan bằng Toán học. Theo đó, phương pháp chủ yếu để nhận

thức hiện thực khách quan nhờ sử dụng toán học là sử dụng mô hình toán của các hiện

tượng trong thế giới thực. Nhận thức các hiện tượng trong nghiên cứu Khoa học tất

nhiên cũng sử dụng các mô hình toán học với tư cách là những công cụ nhận thức.

Mối quan hệ gắn kết vừa đề cập ở trên hoàn toàn thích hợp để vận dụng vào DH và

Sự phát triển của các ý tưởng toán học và việc áp dụng toán trong các môn học khác được

quyện vào nhau. Thỉnh thoảng, một ý tưởng mới phát triển trong ngữ cảnh toán và người

học áp dụng nó để giải quyết nhiều vấn đề khác nhau. Nhưng cũng có khi khái niệm mới

được nảy sinh ngoài ngữ cảnh toán học, trong các môn khoa học hoặc trong ngữ cảnh thực

tế… Những ứng dụng đa dạng của toán học trong nhiều ngữ cảnh giúp HS nhận thức được

sức mạnh thực tiễn và tính tổng quát của nó.

(NCTM, 2000, tr. 202)

nó làm nên đặc thù riêng cho sự LM giữa Toán và các môn khoa học trong nhà trường.

Sau đây chúng tôi sẽ bàn đến một số mô hình LM Toán – Khoa học để tìm ra một

cách tiếp cận LM phù hợp cho mục đích nghiên cứu của mình. Vì tích hợp và LM có sự

gắn bó, thậm chí được dùng theo một cách không thực sự rạch ròi bởi một số nhà nghiên

cứu, nên những mô hình mà họ gọi là “mô hình tích hợp” cũng được chúng tôi xem xét.

Nghiên cứu về DH Toán và khoa học trong sự gắn kết đã được quan tâm từ lâu trên

thế giới. Từ năm 1967, hội nghị ở Cambridge về tích hợp Toán và Khoa học trong giáo

dục (Education Development Center, 1970) đã đưa ra một mô hình dựa trên tiêu chí là

sự hỗ trợ của môn học này cho môn học khác, gồm năm loại sau (tr. 65): 1/Toán học

cho toán học (math for math); 2/Toán hỗ trợ cho khoa học (math for science); 3/Toán

và Khoa học (math and science); 4/Khoa học hỗ trợ cho toán (science for math); và

5/Khoa học cho khoa học (science for science). Đây chỉ là một phân loại chung nhất về

những hình thức DH có thể tổ chức để kết hợp các môn học với nhau. Nhiều mô hình

khác được xây dựng sau đó đã làm rõ hơn sự kết hợp LM này giữa Toán và các môn

khoa học.

Berlin và White (1994) đưa ra mô hình về tích hợp Toán và Khoa học gồm sáu mặt

sau: cách học, cách để hiểu, nội dung kiến thức, kĩ năng về quy trình và tư duy, thái độ

và nhận thức, các chiến lược DH. Bàn về những nội dung có thể tích hợp, các tác giả

này gợi ý rằng một số ý tưởng tổng quát như sự thay đổi, bảo toàn, các mô hình, quy

luật, tỉ lệ, đối xứng, và hệ thống có thể tìm thấy ở cả Toán học và nhiều ngành khoa học.

Việc xem xét các “ý tưởng lớn” này có thể giúp tìm ra những nội dung chung để tích

hợp Toán và Khoa học trong nhà trường. Trong số những nghiên cứu sau đó để phát

triển mô hình này, Berlin (2007) đưa ra một cách biểu diễn cho sự tương tác LM giữa

Toán và Khoa học. Ông dùng chữ hoa để biểu thị cho môn học chính được nhấn mạnh,

và chữ thường biểu thị cho môn học có vai trò hỗ trợ (tr. 87): 1/M: Toán học (Math);

2/Ms: Toán – ngữ cảnh khoa học (Math-science context); 3/MS: Toán và Khoa học

(Math and Science); 4/Sm: Khoa học – ứng dụng toán (Science-apply math); và 5/S:

Science.

Trong năm loại này, chúng tôi thấy rằng loại đầu và loại cuối muốn nói đến hình

thức tích hợp trong nội bộ từng môn học. Loại thứ ba (MS) nhắm đến cách tiếp cận “tích

hợp” theo nghĩa mà Berlin và White (1992) đã đề cập: “trộn lẫn Toán và Khoa học lại

với nhau từ sự liên kết các khái niệm, nguyên lí và sử dụng chung các phương pháp

nghiên cứu” (tr. 8). Hai loại còn lại, Ms và Sm, chỉ ra dạng gắn kết LM Toán – Khoa

học mà việc DH có thể tiếp cận. Berlin (2007) giải thích rõ hai tương tác LM này như

Ms tập trung vào Toán học, sử dụng các ngữ cảnh khoa học như là một cách để tăng cường

cách hiểu và ứng dụng toán học của học sinh. Tương tự, Sm tập trung vào khoa học, trong

đó áp dụng các công cụ toán học để nghiên cứu định lượng các quy luật và mối quan hệ.

sau (tr. 85):

Lonning và DeFranco (1997) cũng đưa ra một mô hình tương tự dựa trên sự nhấn

mạnh vào lợi ích của một môn học chính đặt trong sự hỗ trợ của các môn còn lại. Theo

đó, các tác giả này đưa năm hình thức sau:

1/Toán học độc lập: DH Toán thuần túy.

2/Tập trung vào toán học: Khoa học hỗ trợ cho việc học các khái niệm toán học.

3/Toán học và khoa học cân bằng: Các khái niệm và các hoạt động trong toán và

khoa học được tích hợp.

4/Tập trung vào khoa học: Các khái niệm toán học là công cụ hỗ trợ khoa học.

5/Khoa học độc lập: DH thuần túy khoa học.

Huntley (1998) tiếp tục phát triển một mô hình theo cách phân loại tương tự và đưa

ra lược đồ sau đây mô tả các hình thức có thể lựa chọn khi kết hợp Toán và Khoa học

trong DH:

Hình 1.1. Những lựa chọn trong việc tích hợp Toán và Khoa học

Trong mô hình này, cái ở chính giữa thể hiện sự hòa trộn giữa Toán và Khoa học

đến mức liền mảnh và không còn phân biệt được từng môn học trong việc giải thích tự

nhiên. Tương tác LM theo hướng hỗ trợ lẫn nhau nhưng vẫn giữ nguyên biên giới của

mỗi môn học theo chúng tôi thể hiện ở loại thứ hai và thứ tư trong lược đồ này: toán với

khoa học (Ms) và khoa học với toán học (Sm). Huntley làm rõ hai gắn kết LM này như

Toán với khoa học: việc DH Toán trong đó Khoa học (nội dung và/hoặc phương pháp)

được sử dụng để cung cấp các vấn đề, ngữ cảnh thích hợp.

Khoa học với Toán: việc DH Khoa học mà nhấn mạnh Toán học (nội dung và/hoặc phương

pháp) như một công cụ để giải quyết các vấn đề của khoa học.

sau (tr. 8):

Những mô hình nói trên có điểm chung là mô tả sự chuyển dịch liên tục dựa vào ý

đồ nhấn mạnh lợi ích một môn học chính với sự hỗ trợ của môn còn lại. Hơn nữa, các

tác giả còn cố gắng làm rõ những hỗ trợ mà toán có thể cung cấp cho khoa học và ngược

lại trong sự kết hợp giữa chúng. Tuy nhiên, phải tổ chức DH các môn học này như thế

nào để những hỗ trợ LM đã nói có thể diễn ra? Hurley (2001) cố gắng trả lời câu hỏi

này bằng cách đưa ra một mô hình gồm năm loại tổ chức và nó cho thấy sự phù hợp với

1/Tuần tự: Toán học và khoa học được dạy theo thứ tự, cái này đến cái kia.

cách hiểu thuật ngữ “LM” mà chúng tôi sử dụng.

2/Song song: Toán học và khoa học được sắp xếp và được dạy cùng lúc thông qua các

khái niệm tương đương.

3/Bộ phận: Toán học và khoa học được dạy một phần cùng với nhau và phần còn lại được

dạy tách biệt trong cùng một lớp học.

4/Tăng cường: Toán học hoặc khoa học là lĩnh vực chính, các lĩnh vực còn lại hỗ trợ xuyên

suốt việc DH.

5/Hoàn toàn: Toán và khoa học được dạy cùng nhau một cách cân bằng và bình đẳng.

(Hurley, 2001, tr. 263)

Chúng tôi kết thúc mục này bằng cách đưa ra một cách tiếp cận LM Toán – Khoa

học cho nghiên cứu của mình. Cách tiếp cận này dựa trên những cơ sở sau đây:

- Định nghĩa về LM mà chúng tôi sử dụng trong nghiên cứu này (theo đó LM là sự

hợp tác giữa các môn học khác nhau từ cả phương diện khám phá, tổ chức tri thức cũng

như phương pháp tổ chức DH);

- Các mô hình tích hợp Toán – Khoa học vừa đề cập;

- Mục đích DH nhằm đem đến nhiều lợi ích hơn cho cả môn Toán và Vật lí.

Trong cách tiếp cận LM của mình, chúng tôi sẽ sử dụng hai cặp tương tác Ms và

Sm để tạo ra sự hỗ trợ lẫn nhau một cách thích hợp cho mỗi môn học. Sự hỗ trợ này đã

được làm rõ bởi những mô hình mà các tác giả nói trên đã xây dựng. Theo đó, ngoài

những mục tiêu trong nội bộ môn học, việc DH Toán cũng cần phải cung cấp các khái

niệm, ý tưởng, phương pháp là công cụ giải quyết các vấn đề của khoa học nói chung,

Vật lí nói riêng. Theo chiều ngược lại, một số vấn đề vật lí có thể được sử dụng để đem

đến động cơ nảy sinh và ý nghĩa cho các khái niệm toán học. Hơn nữa những ngữ cảnh

và kiến thức từ Vật lí còn có thể giúp người học thấu hiểu hơn kiến thức toán học vốn

trừu tượng và thường đòi hỏi chứng minh chặt chẽ.

1.1.3. Ba chiến lược dạy học liên môn Toán – Khoa học

Nikitina và Mansilla (2003) đã chỉ ra ba chiến lược LM nhằm vượt qua sự cô lập

giữa các môn khoa học và toán học trong trường THPT truyền thống. Ba chiến lược lần

lượt là: thiết lập khái niệm cốt lõi (essentializing), bối cảnh hóa (contextualizing) và xây

dựng các bài toán – tâm (problem – centering).

Thiết lập khái niệm cốt lõi: Đây là chiến lược nâng tầm các khái niệm, nguyên lý,

lý thuyết trong toán học và các khoa học lên thành những khái niệm cốt lõi, nền tảng từ

đó có thể tạo ra những liên kết nội tại thống nhất trong toán học và các khoa học. Một

khái niệm toán học càng cốt lõi (tổng quát) thì phạm vi ứng dụng trong các khoa học

càng rộng và có thể tìm được nhiều điểm kết nối thích hợp. Chẳng hạn, các khái niệm

hàm, khái niệm biến hình, dãy số hay đa thức có khái niệm cốt lõi là ánh xạ. Khái niệm

cốt lõi cho phép nhìn nhận những kiến thức hay ứng dụng riêng lẻ của nó theo một quan

điểm thống nhất, từ đó cho phép mở rộng khả năng ứng dụng vào nhiều ngữ cảnh khác

nhau.

Bối cảnh hóa: Đặt bối cảnh cho một khái niệm, một ý tưởng, … là đưa nó vào một

môi trường, một hoàn cảnh rộng lớn hơn, ở đó nó có được ý nghĩa thật sự và đầy đủ.

Chiến lược này đặt kiến thức toán học và khoa học vào trong bối cảnh lịch sử hình thành

và phát triển của các ý tưởng. Việc tìm hiểu lịch sử tiến triển của một khái niệm toán

học có thể giúp tìm ra những ngữ cảnh thích hợp cho phép tích hợp Toán học với các

lĩnh vực có nhiều liên hệ mật thiết như Vật lí, Hóa học, …

Bài toán – tâm: Là chiến lược xây dựng các bài toán tâm điểm, theo nghĩa là cần

huy động kiến thức và kỹ năng của cả toán học lẫn các khoa học khác để giải quyết.

Kiến thức của nhiều môn học sẽ hội tụ về một bài toán này, từ đó tạo ra hoàn cảnh thuận

lợi cho việc tích hợp chúng lại với nhau. Các bài toán – tâm có thể tìm thấy từ thực tiễn

cuộc sống, từ ứng dụng của công cụ toán học vào các khoa học hoặc đến từ phân tích

nguồn gốc lịch sử để thấy được đâu là những vấn đề đem đến động lực cho sự hình thành

của khái niệm.

Để vận dụng chiến lược thiết lập khái niệm cốt lõi trong nghiên cứu của mình,

chúng tôi cần chỉ ra những cách hiểu tổng quát về đạo hàm và tích phân mà cho thấy

được sự tác động của chúng trong việc giải quyết nhiều vấn đề của các khoa học, nói

riêng là Vật lí. Điều này chỉ thực hiện được khi có các kết quả phân tích tri thức luận

được chúng tôi trình bày ở chương 2. Hơn nữa, phân tích tri thức luận cũng cho thấy sự

gắn kết mật thiết giữa GT với Vật lí trong lịch sử và giúp gợi ra những bối cảnh LM mà

việc DH có thể tận dụng để làm nảy sinh khái niệm đạo hàm, tích phân và đem đến ý

nghĩa đầy đủ hơn cho chúng. Bên cạnh đó, việc tìm hiểu một số ứng dụng hiệu quả của

đạo hàm và tích phân trong chương trình vật lí THPT có thể cung cấp các gợi ý để xây

dựng những bài toán – tâm mà ở đó HS phải kết hợp kiến thức và kĩ năng của cả Toán

và Vật lí để giải quyết chúng.

1.2. Về việc hiểu và ứng dụng một khái niệm toán học

Từ những mô hình và chiến lược DH LM Toán – Khoa học nói trên, chúng tôi nhận

thấy rằng việc DH hai khái niệm đạo hàm và tích phân theo cách tiếp cận LM Toán –

Vật lí ở trường THPT là hoàn toàn thích hợp để đạt được mục đích đặt ra ban đầu của

mình. Cụ thể hơn, chúng tôi muốn xây dựng tiến trình DH theo hướng LM Toán – Vật

lí để đem đến một cách hiểu đầy đủ hơn cho hai khái niệm đạo hàm và tích phân đồng

thời giúp HS vận dụng được những tri thức này trong ngữ cảnh vật lí.

Để đạt được điều này, trước hết cần làm rõ thế nào là “hiểu” và “ứng dụng” được

một khái niệm toán học.

1.2.1. Hiểu khái niệm toán học

1.2.1.1. Ảnh khái niệm

Những điều ta dạy cho HS về một khái niệm toán học thông qua định nghĩa so với

những gì mà các em hiểu và quan niệm về khái niệm đó có thể là không hoàn toàn đồng

nhất. Để đưa ra một mô hình cho sự khác biệt này, Tall và Vinner (1981) xây dựng

khung lý thuyết về “ảnh khái niệm và định nghĩa khái niệm”. Họ định nghĩa thuật ngữ

“ảnh khái niệm” (concept image) là tổng nhận thức của một cá nhân về khái niệm bao

gồm “tất cả các bức tranh tinh thần, các quá trình và thuộc tính gắn với khái niệm đó”

(tr. 152). Bức tranh tinh thần liên quan đến một khái niệm có thể là những hình ảnh, kí

hiệu hay một cái gì đó khác, nó cùng với các hoạt động và thuộc tính gắn với khái niệm

làm nên ảnh khái niệm mà một HS sở hữu. Chẳng hạn khi đề cập đến khái niệm hàm số,

một HS có thể gợi ra kí hiệu 𝑓(𝑥) hay nghĩ về nó chỉ như là một công thức để tính toán.

Một HS khác có thể gợi ra hình ảnh một đồ thị hoặc hiểu về nó như một mối liên hệ giữa

hai đại lượng. Các HS này có thể hoàn toàn không hề nhớ đến định nghĩa chính thức của

hàm số như là một quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị 𝑥 thuộc tập 𝑋 với một và chỉ một

giá trị 𝑦 thuộc tập 𝑌… HS có thể học thuộc lòng định nghĩa một khái niệm hoặc tự xây

dựng một định nghĩa riêng cho mình tuy nhiên những định nghĩa này chỉ là một phần

của ảnh khái niệm. Hơn nữa, trong mỗi tình huống có thể chỉ có một số mảnh nào đó

của ảnh khái niệm được gợi ra hoặc được kích hoạt trong tâm trí HS và những mảnh này

sẽ ảnh hưởng đến cách hiểu và sử dụng khái niệm của các em.

1.2.1.2. Khung quá trình – đối tượng

Phân tích sâu hơn về các thuộc tính đặc trưng của một khái niệm toán học, Sfard

(1991) phân chia chúng thành hai loại: khái niệm có thuộc tính cấu trúc và khái niệm có

thuộc tính hoạt động (structural and operational conceptions). Theo sự phân chia này thì

một cá nhân được xem là có quan niệm cấu trúc về một khái niệm toán học khi anh ta

hiểu về khái niệm đó như một đối tượng trừu tượng. Ở một mặt khác, cá nhân được xem

là có quan niệm hoạt động về khái niệm khi anh ta tập trung suy nghĩ vào các quá trình,

thuật toán và các hoạt động gắn liền với khái niệm. Chẳng hạn, với trường hợp khái

niệm đạo hàm, HS có quan niệm hoạt động có thể thực hiện được thành thạo việc tính

toán đạo hàm theo định nghĩa (giới hạn của tỉ số sai phân) hay áp dụng các quy tắc tính

toán có sẵn. Sfard sau đó đã xây dựng “khung quá trình – đối tượng” (process – object

framework) để chỉ ra bản chất kép này của các khái niệm toán học. Rõ ràng là hai loại

thuộc tính này phải gắn bó tương hỗ với nhau và tác giả cho rằng người học trước hết

phải thông qua hoạt động để nắm được quá trình mà khái niệm là kết quả. Quá trình này

sau đó mới có thể được trừu tượng hoá và kết tinh lại trong bản thân khái niệm và mang

lại ý nghĩa cho nó. Người học không thể hiểu được đầy đủ về khái niệm nếu chỉ được

cung cấp một định nghĩa hình thức. Họ cần biết đâu là lí do mà tri thức đó xuất hiện, nó

có thể dùng để giải quyết những vấn đề gì? Từ điểm nhìn này, việc hiểu một khái niệm

toán học có thể đến từ chính những bài toán hay tình huống mà khái niệm này đóng vai

trò là công cụ để giải quyết.

1.2.1.3. Các biểu diễn của một khái niệm

Một nhân tố quan trọng giúp người học hiểu và sử dụng được các khái niệm toán

học chính là những biểu diễn của nó. Pape và Tchoshanov (2001) phân chia các biểu

diễn thành hai loại: một loại là kết quả của “sự trừu tượng bên trong” các ý tưởng và

thiết lập những lược đồ nhận thức trong quá trình học tập. Loại thứ hai là những biểu lộ

bên ngoài của các khái niệm toán học như các biểu diễn số, phương trình đại số, đồ thị,

bảng, biểu đồ, lời, … Loại này đóng vai trò kích thích nhận thức, giúp người học hiểu

và sử dụng được khái niệm. Hội GV toán của Mỹ (NCTM, 2000) cũng nhấn mạnh tầm

quan trọng của các biểu diễn đa dạng đối với việc hiểu một khái niệm toán học. Họ cho

rằng các biểu diễn khác nhau sẽ làm sáng tỏ những mặt khác nhau của cùng một khái

niệm. Vì thế, để có một cách hiểu đầy đủ người học cần phải biết các biểu diễn này cũng

như có khả năng kết nối và chuyển đổi giữa chúng.

1.2.1.4. Kiến thức về khái niệm

Để mô tả những gì mà người học có thể hiểu về một khái niệm, Hiebert và Lefevre

(1986) chia kiến thức về đối tượng toán học này thành hai loại: kiến thức khái niệm

(conceptual knowledge) và kiến thức quy trình (procedural knowledge). Theo các tác

Kiến thức được làm giàu trong những mối liên hệ. Nó có thể được hiểu như là một mạng

lưới kết nối các kiến thức, một mạng lưới mà trong đó những mối quan hệ liên kết cũng

cần phải được quan tâm nhiều như những mẩu thông tin riêng lẻ.

(Hiebert & Lefevre, 1986, tr. 3-4).

giả thì kiến thức khái niệm là:

Cùng với đó, Hiebert và Lefevre định nghĩa kiến thức quy trình theo hai dạng. Dạng

đầu tiên là những hiểu biết về kí hiệu biểu diễn cho khái niệm toán học và cú pháp theo

quy ước để thao tác trên các kí hiệu đó. Dạng thứ hai bao gồm các “công thức, thuật

toán hay quy trình để giải quyết những vấn đề toán học. Nhiều quy trình mà HS sở hữu

có thể chỉ là một chuỗi mệnh lệnh thao tác trên các kí hiệu” (Hiebert & Lefevre, 1986,

tr. 7-8).

Trong nhiều trường hợp, những hoạt động trên các quá trình liên quan đến khái

niệm không đem đến một cách hiểu về bản thân khái niệm, mà có thể chỉ hình thành ở

người học một dạng kiến thức quy trình về khái niệm đó. Chẳng hạn một HS có thể biết

về sự tồn tại của một khái niệm có tên là tích phân, biết kí hiệu và vận dụng được các

công thức hay quy trình để tính toán và giải các dạng toán, tuy nhiên lại không thật sự

hiểu được khái niệm. Với mục đích nghiên cứu của mình, chúng tôi muốn xây dựng một

hiểu biết về khái niệm đầy đủ hơn cho HS về đạo hàm và tích phân. Một kiến thức khái

niệm đầy đủ như vậy theo định nghĩa của Hiebert và Lefevre cần phải được làm giàu

trong những kết nối. Hơn nữa, Hiebert và Carpenter (1992) còn cho rằng, mức độ của

việc hiểu khái niệm phụ thuộc vào số kết nối và độ mạnh của những kết nối giữa các sự

kiện, các biểu diễn, quá trình và các ý tưởng.

1.2.2. Ứng dụng khái niệm toán học

Anderson et al. (2001) định nghĩa việc ứng dụng một kiến thức là thực hiện những

quy trình để giải quyết một vấn đề trong một tình huống nào đó. Tuy nhiên việc ứng

dụng khái niệm toán học lại có thể đòi hỏi những mức độ hiểu kiến thức khác nhau như

Lauritzen (2012) đã chỉ ra: “Trong những bài toán áp dụng, có khi chỉ cần ghi nhớ làm

theo các quy trình, có khi đòi hỏi nhiều hơn nhận thức về bản chất khái niệm, đòi hỏi sự

quan tâm đến những mối liên hệ” (tr. 23). Anderson et al. (2001) làm rõ rằng, trong

những nhiệm vụ quen thuộc HS thường sẽ biết kiến thức quy trình nào sẽ sử dụng. Tuy

nhiên khi nhiệm vụ là một vấn đề không quen thuộc (chẳng hạn trong ngữ cảnh vật lí),

HS sẽ cần phải có một mức độ hiểu nhất định về bài toán cũng như về khái niệm toán

học sẽ sử dụng để tìm ra quy trình có thể giải quyết. Lúc này thì “hiểu về kiến thức khái

niệm sẽ là điều kiện tiên quyết để có thể áp dụng được kiến thức quy trình” (Anderson

et al., 2001, tr. 77). Vai trò của kiến thức khái niệm còn được nhấn mạnh bởi kết luận

của Mahir (2009):

Sự ghi nhớ những kiến thức theo quy trình nhưng không được hỗ trợ bởi việc hiểu khái

niệm chỉ tạo ra được những thành công hạn chế. Sự linh hoạt cần thiết để giải quyết nhiều

kiểu bài tập khác nhau chỉ có thể đạt được bởi một hiểu biết đầy đủ về khái niệm. (tr. 202)

Để giải quyết một bài toán vật lí Jones (2010) cho rằng cần phải xây dựng được

một mô hình toán học cho nó, từ đó chuyển đổi được vấn đề đặt ra thành các phương

trình toán học trước khi có thể xây dựng và thực hiện được các quy trình giải. Tuy nhiên,

những bài toán vật lí thường đặt trong ngữ cảnh thế giới thực, sử dụng các biểu diễn

khác nhau như các từ ngữ, bảng số, đồ thị, hình ảnh để diễn đạt vấn đề. Vì thế, để tìm

được các công cụ toán học phù hợp thì người học cần phải có hiểu biết cũng như sử

dụng được các biểu diễn khác nhau của khái niệm toán học tương ứng.

Bên cạnh việc nhấn mạnh vai trò của hiểu kiến thức toán học, nhiều nhà nghiên cứu

còn quan tâm đến sự biến chuyển của cách hiểu và kiến thức này khi người học ứng

dụng chúng vào vật lí. Chẳng hạn, HS đã biết về tích phân nhưng cách hiểu về tích phân

sẽ như thế nào khi hàm số lấy tích phân có một ý nghĩa vật lí cụ thể. Vận dụng lý thuyết

về “sự hòa trộn nhận thức” (cognitive blending) của Fauconnier and Turner (2002),

Jones (2010) chỉ ra rằng có một sự trộn lẫn trong nhận thức của người học giữa cách

hiểu về một khái niệm toán học với những đại lượng có liên quan trong Vật lí hay các

ngữ cảnh ứng dụng khác. Theo Jones thì sự hòa trộn này có thể giúp kết nối các kiến

thức toán học với các hiểu biết mà người học tiếp nhận từ lĩnh vực vật lí. Chúng tôi cũng

cho rằng “sự hòa trộn nhận thức” này sẽ đóng vai trò là chất keo kết dính giúp gắn kết

và thúc đẩy một tiến trình DH LM giữa Toán và Vật lí.

1.2.3. Tiểu kết

Từ những khung lý thuyết đã được giới thiệu ở trên, chúng tôi quan niệm cách hiểu

đầy đủ về khái niệm thể hiện ở một kiến thức được làm giàu bởi các kết nối sau đây:

- Kết nối giữa các hoạt động, thao tác trên khái niệm với bản thân khái niệm: nghĩa là

người học không những có thể thực hiện các thao tác theo quy trình để giải quyết bài

toán mà còn có thể hiểu được lí do tại sao thực hiện những quy trình đó.

- Kết nối giữa các quan niệm khác nhau về cùng một khái niệm.

- Kết nối giữa các biểu diễn khác nhau của khái niệm.

- Kết nối giữa một khái niệm với những khái niệm khác có liên quan: chẳng hạn HS

phải biết sự liên hệ giữa tích phân với đạo hàm và lí do tại sao có mối liên hệ đó.

- Kết nối giữa khái niệm với các ứng dụng của nó ở cả ngữ cảnh trong và ngoài toán

học.

Một số nhà nghiên cứu đã xây dựng các khung lý thuyết nhằm mô tả một cách hiểu

đầy đủ về hai khái niệm đạo hàm, tích phân. Những khung này sẽ được chúng tôi thảo

luận ở chương 4 với sự soi sáng của các kết quả nghiên cứu tri thức luận về hai khái

niệm đang nói tới.

1.3. Thuyết nhân học trong Didactic

Để sử dụng được ba chiến lược LM mà Nikitina và Mansilla đã đề xuất, chúng tôi

cần đến những khung lý thuyết là công cụ phù hợp cho các nhiệm vụ sau: Tìm hiểu các

nghĩa tổng quát của khái niệm (chiến lược thiết lập khái niệm cốt lõi), phân tích sự hình

thành và tiến triển của tri thức trong lịch sử (chiến lược đặt bối cảnh cho khái niệm) và

cuối cùng là xây dựng các tình huống DH thông qua những bài toán – tâm thích hợp để

tổ chức hoạt động học tập LM (chiến lược bài toán – tâm). Ngoài ra, chúng tôi cũng

muốn tìm hiểu những gắn kết giữa GT và Vật lí trong lịch sử, sự thể hiện của nó trong

DH Toán và Vật lí ở trường THPT nhìn từ quan điểm LM. Những đòi hỏi này là lí do

để chúng tôi sử dụng trong nghiên cứu của mình thuyết nhân học trong Didactic Toán,

gọi tắt là “thuyết nhân học”.

1.3.1. Về thuyết nhân học

Nhân học vốn là một lĩnh vực nghiên cứu các vấn đề về sự tồn tại của con người

trong môi trường tự nhiên, xã hội cũng như nghệ thuật. Tuy nhiên vào những năm 80 và

đầu những năm 90, Chevallard đã mở rộng nhận thức luận theo nghĩa truyền thống này

để xây dựng lên thuyết nhân học về didactic toán. Tri thức toán học lúc này có thể xem

như một sinh vật sống, vì thế “cũng sẽ trải qua những giai đoạn: nảy sinh, tồn tại, tiến

triển, mất đi và luôn có những mối liên hệ ràng buộc với các đối tượng khác” (Trần Anh

Dũng, 2013, tr. 29). Đối tượng nghiên cứu lúc này không chỉ dừng ở việc tạo dựng tri

thức khoa học của con người mà còn được mở rộng ra với những hiện tượng liên quan

đến việc áp dụng tri thức, việc DH hay những quá trình chuyển đổi tri thức đó. Thuyết

nhân học didactic (gọi tắt là thuyết nhân học) tập trung vào việc nghiên cứu quá trình

soạn thảo tri thức để truyền bá nó trong các cộng đồng xã hội cũng như những điều kiện

và ràng buộc ảnh hưởng đến quá trình đó. Lý thuyết này cũng cung cấp các công cụ cho

phép mô hình hóa những điều kiện và ràng buộc nói trên và mô tả được cuộc sống và

hoạt động của một tri thức trong thể chế mà nó tồn tại. Theo đó, ba nội dung cơ bản của

thuyết nhân học đó là: lý thuyết chuyển hóa sư phạm; quan hệ thể chế và quan hệ cá

nhân với một đối tượng tri thức; về tổ chức tri thức và tổ chức DH.

1.3.2. Lý thuyết chuyển hóa sư phạm

1.3.1.1. Chuyển hóa sư phạm

Chuyển hóa là sự biến đổi từ dạng này sang dạng khác. Ở đây đã có sự chuyển hóa

tri thức khoa học được phát minh trong lịch sử bởi cộng đồng các nhà nghiên cứu thành

tri thức cần dạy (do một nhóm các chuyên gia có vai trò chọn lựa, phản biện và điều

chỉnh), trước khi bị biến đổi thêm một lần nữa để trở thành tri thức được dạy xuất hiện

trong thực tế DH của GV và HS. Thuyết nhân học mô tả sự chuyển hóa này thông qua

cụm từ “chuyển hóa sư phạm” và giải thích một phần cho sự chuyển hóa đó bằng hai

Thể chế I là một bộ phận xã hội, cho phép – thậm chí áp đặt, các chủ thể của nó (nghĩa là

những người chiếm các vị trí khác nhau do I đưa ra) vận dụng một cách làm, cách nghĩ

riêng, ứng xử theo những quy tắc riêng.

(Lê Thị Hoài Châu, 2018, tr.12)

khái niệm cơ bản: “tri thức” và “thể chế”.

Tri thức vốn ra đời từ hoạt động khoa học của con người trong quá trình nhận thức

thế giới tự nhiên. Trong thuyết nhân học, Chevallard (1992) cho rằng tri thức không thể

tồn tại lơ lửng mà phải đặt trong một hoặc nhiều cộng đồng xã hội nào đó. Điều này có

nghĩa là mỗi tri thức đều phải là tri thức của một hoặc nhiều thể chế và vì thế phải tuân

theo những ràng buộc và thậm chí có thể bị biến đổi để phù hợp và đứng vững được

trong các thể chế đó. Chevallard (1985) đưa ra bốn kiểu thể chế có liên quan đến một tri

thức bao gồm: 1/Thể chế tạo ra tri thức; 2/Thể chế sử dụng tri thức; 3/Thể chế DH tri

thức; 4/Thể chế chuyển hóa tri thức (còn được gọi là Noosphère). Khi tri thức được

chuyển hóa qua các thể chế, nếu đích đến là một thể chế DH thì ta sẽ gọi quá trình này

Công việc làm cho một đối tượng tri thức thành một đối tượng DH được gọi là

chuyển hóa sư phạm. (Chevallard, 1985, tr. 46)

là chuyển hóa sư phạm.

1.3.1.2. Quá trình chuyển hóa sư phạm

Theo Chevallard (1989) quá trình chuyển hóa sư phạm một tri thức gồm ba mắt

xích. Tác giả Lê Thị Hoài Châu (2018, tr. 19) đã mô tả quá trình đó theo sơ đồ 1.1 trình

bày ở bên. Từ sơ đồ này, có ba bước chuyển Tri thức bác học hóa cần được làm rõ. Thể chế tạo ra và bảo quản tri thức Bước chuyển hóa thứ nhất xảy ra ở thể

chế tạo ra tri thức. Hoạt động nghiên cứu Tri thức cần dạy giải quyết một vấn đề nào đó dẫn nhà khoa Thể chế chuyển hóa tri thức học đến việc phát minh ra những tri thức

mới. Tuy nhiên ngay khi muốn công bố Tri thức được dạy

rộng rãi tri thức này trong cộng đồng khoa Thể chế DH

học, nhà nghiên cứu đã phải thực hiện Sơ đồ 1.1. Ba mắt xích của

những biến đổi nhất định với nó. Từ việc quá trình chuyển hóa sư phạm xóa bỏ đi những dấu vết cá nhân, ngữ cảnh

hay động cơ đã dẫn đến sự phát minh ra tri thức, đến việc sắp xếp và tổ chức lại nó theo

một hệ thống thích hợp với bối cảnh khoa học đương thời. Bước chuyển hóa đầu tiên

này của tri thức nhằm mục đích biến nó thành tri thức chung thuận tiện cho việc kiểm

chứng và sử dụng của cộng đồng các nhà khoa học nhưng lại có thể làm mất đi phần nào

ý nghĩa và ngữ cảnh ra đời của tri thức. Điều này có thể không ảnh hưởng đến những

nhà nghiên cứu cùng thời và cùng chuyên ngành nhưng có thể làm che dấu đi lí do ra

đời của tri thức, làm mất nghĩa và thậm chí bị hiểu sai bởi các thành viên trong những

thể chế DH về sau.

Tri thức ở bước thứ nhất còn được gọi là tri thức bác học và bước chuyển hóa thứ

hai xảy ra khi tri thức này trở thành một đối tượng DH. Một nhóm các chuyên gia, những

người lập chương trình sẽ chọn lựa và cấu trúc lại để tri thức trở nên có thể dạy được.

Lúc này tùy thuộc vào đối tượng công chúng cần học tập, tri thức sẽ được hạn chế, biến

đổi và trình bày lại theo một cấu trúc mới. Sự chuyển hóa này giúp tri thức trở nên phù

hợp hơn với các đối tượng đó theo quan điểm sư phạm hay theo các mục đích riêng

khác, tuy nhiên lại có thể gây ra những chênh lệch khá lớn giữa tri thức bác học với tri

thức xuất hiện trong chương trình và SGK. Việc chỉ ra một cách rõ ràng thể chế chuyển

hóa tri thức này là một đóng góp quan trọng của thuyết nhân học.

Bước chuyển hóa thứ ba diễn ra khi tri thức được đưa vào giảng dạy bởi GV trong

lớp học:

Ở giai đoạn này, mỗi GV sẽ biến đổi tri thức đã được chỉ ra là cần dạy thành những đối

tượng kiến thức thực sự được dạy. Hiển nhiên, việc chuyển hóa tri thức ở giai đoạn này

luôn gắn với kiến thức mà GV gán cho tri thức đang nói đến, quan niệm của GV về việc

DH có hiệu quả, hiểu biết của GV về lớp học,…

(Lê Thị Hoài Châu, 2018, tr.25)

Lý thuyết về chuyển hóa sư phạm chỉ ra những chênh lệch có thể xuất hiện giữa tri

thức được dạy với các tri thức bác học là tham chiếu của nó, và sự chênh lệch này đến

từ những ràng buộc tác động lên tri thức ở mỗi một thể chế mà nó hiện diện. Để tìm hiểu

những chênh lệch này trước tiên cần phải tiến hành một nghiên cứu tri thức ở thể chế đã

tạo ra nó trong lịch sử. Một phân tích tri thức luận lịch sử về tri thức cần dạy sẽ thực

hiện được công việc đó.

1.3.3. Phân tích tri thức luận

Phân tích tri thức luận hay còn được gọi là phân tích khoa học luận lịch sử của một

tri thức, theo Dorier (1997) nghĩa là “nghiên cứu những điều kiện và ràng buộc đối với

sự nảy sinh các tri thức khoa học, cũng như quá trình hình thành và phát triển các tri

thức đó” (trích theo Trần Anh Dũng, 2013, tr. 27). Tìm hiểu quá trình nảy sinh, hình

thành và phát triển từ lịch sử rõ ràng không chỉ đơn thuần là một tập hợp các sự kiện,

Phân tích tri thức luận lịch sử một tri thức là một phân tích quá khứ để khám phá những

mò mẫm, những lệch lạc, những chướng ngại khác nhau, những điều kiện cho phép xuất

hiện tri thức, lí do tồn tại của nó. Trong phân tích tri thức luận lịch sử, điều kiện cho sự

nảy sinh một phát minh cũng quan trọng không kém bản thân phát minh đó. Phân tích này

giúp ta hiểu đầy đủ hơn sự tiến triển của tri thức, từ đó hiểu rõ hơn các hiện tượng DH tri

thức đang bàn đến.

(Lê Thị Hoài Châu, 2018, tr. 44-45)

thời điểm hay tên tuổi các nhà toán học.

Một cách cụ thể, phân tích tri thức luận là nghiên cứu lịch sử hình thành và tiến

- Nghĩa của tri thức, những bài toán, những vấn đề mà tri thức đó cho phép giải quyết;

- Những trở ngại cho việc hình thành tri thức;

- Những điều kiện sản sinh ra tri thức, những bước nhảy cần thiết trong quan niệm để

thúc đẩy quá trình hình thành và phát triển tri thức.

(Lê Thị Hoài Châu, 2017, tr. 19)

triển một tri thức để làm rõ những điểm sau:

Những kết luận có được từ nghiên cứu tri thức luận có thể giúp hiểu rõ mối liên hệ

giữa quá trình xây dựng tri thức trong cộng đồng khoa học với việc dạy và học nó trong

các cộng đồng xã hội.

1.3.4. Quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân

Lý thuyết nhân học của didactic trên cương vị là một nhánh mở rộng của khoa học

loài người (nhân chủng học) có những quan điểm riêng về đối tượng này. Con người

(vào một thời điểm trong lịch sử của nó) có thể xem là một cá nhân cùng với một tập

hợp các mối quan hệ của cá nhân đó với những đối tượng mà nó biết. Quá trình học tập

một tri thức toán học buộc cá nhân phải tạo ra hoặc điều chỉnh mối quan hệ của họ với

tri thức đó.

Ở một góc nhìn khác một đối tượng tri thức đang đề cập lại luôn phải tồn tại trong

một thể chế nhất định và chịu những quy tắc, ràng buộc của thể chế này. Mối quan hệ

của thể chế đối với tri thức liệu sẽ ảnh hưởng thế nào đến mối quan hệ của cá nhân với

tri thức? Thuyết nhân học tìm cách trả lời cho vấn đề này đồng thời tìm cách mô hình

hóa sự hình thành những mối quan hệ đó. Theo đó, ba thuật ngữ cơ bản của thuyết này

lần lượt là: đối tượng (O), cá nhân (X) và thể chế (I).

Lúc này, đối tượng tri thức O được xem là tồn tại nếu như có một cá nhân X hay

một thể chế I nhận biết về nó. Hay nói khác đi là có tồn tại mối quan hệ cá nhân của X

với O hay mối quan hệ thể chế của I với O. Mối quan hệ giữa X và O được thể hiện qua

tập hợp tất cả các tác động qua lại mà X có với O (hiểu về O, sử dụng O, nói về O,…).

Và tương tự như thế, mối quan hệ thể chế giữa I với O sẽ cho biết O xuất hiện ở đâu

trong I, xuất hiện như thế nào, giữ vai trò và có mối liên hệ gì với các đối tượng tri thức

khác trong thể chế đó,… Có thể hình dung thể chế I hay là cá nhân X như những không

gian sống mà đối tượng tri thức O có thể nảy sinh, tồn tại, tiến triển, thay đổi, mất đi và

luôn có những liên hệ ràng buộc với các đối tượng khác.

Theo quan điểm trên, việc học tập có thể xem là sự điều chỉnh mối quan hệ của một

cá nhân X với O theo hướng thiết lập (nếu nó chưa tồn tại), hoặc biến đổi (nếu nó đã tồn

tại) cho phù hợp hơn với những mục tiêu nhất định nào đó. Tuy nhiên để hình thành

hoặc biến đổi mối quan hệ với tri thức O, cá nhân X phải hòa mình vào một thể chế DH

I nào đó, và như thế nó bị ảnh hưởng bởi những ràng buộc của mối quan hệ thể chế giữa

I với O. Một mặt thì mối quan hệ cá nhân không hoàn toàn phù hợp với quan hệ thể chế

bởi lẽ nó được hình thành từ sự tổng hợp của nhiều quan hệ thể chế khác nhau liên quan

đến đối tượng tri thức mà cá nhân đó đã biết. Mặt khác, mối quan hệ cá nhân cũng không

thể quá khác biệt vì dù sao nó cũng phản ánh các quan hệ thể chế đã đào tạo ra nó.

Những luận điểm nêu trên cho thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu mối quan hệ thể

chế với đối tượng tri thức nếu muốn nhìn nhận rõ những ràng buộc và ảnh hưởng của

nó lên quá trình học tập của HS.

• Phân tích thể chế

Phân tích thể chế là đi tìm hiểu mối quan hệ giữa đối tượng tri thức O với một hoặc

nhiều thể chế liên quan đến nó. Phân tích thể chế nói nôm na là đi tìm hiểu “cuộc sống”

của đối tượng tri thức trong thể chế ấy: tri thức đó xuất hiện ở đâu, xuất hiện như thế

nào, có vai trò gì, có quan hệ gì với những đối tượng khác trong thể chế, những điều

kiện hay ràng buộc nào của thể chế tác động lên nó.

• Lí do phải phân tích thể chế

Như đã nói, việc học tập được quan niệm như là sự thiết lập hay điều chỉnh mối

quan hệ của cá nhân X với tri thức O, mà mối quan hệ cá nhân này là sự phản ánh một

phần của quan hệ thể chế liên quan đến tri thức đó. Bởi vậy, để việc học tập một tri thức

đạt hiệu quả, hay đơn giản là để hiểu rõ những nhân tố, những ràng buộc ảnh hưởng lên

sự hình thành hay biến chuyển trong mối quan hệ của cá nhân với tri thức luôn cần phải

có một phân tích thể chế soi sáng.

Tùy theo mỗi thể chế với những cơ cấu, tổ chức riêng biệt, những quy tắc hay ràng

buộc của nó sẽ biến đổi dạng tồn tại của đối tượng tri thức sống trong nó. Tri thức bị

chuyển hóa khi đi qua những thể chế khác nhau, trong đó thể chế DH lại nhắm đến mục

tiêu thay đổi mối quan hệ cá nhân của tri thức để nó trở nên phù hợp hơn với thể chế.

Việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế rõ ràng là đóng vai trò quan trọng khi nó chỉ ra

những điều kiện, ràng buộc, hệ quả, và tác động lên quá trình hình thành mối quan hệ

của cá nhân X với tri thức.

• Cách thức tiến hành phân tích thể chế

Nghiên cứu quan hệ tri thức với thể chế có thể tiến hành theo các hướng sau:

- Nghiên cứu các quan điểm của thể chế với tri thức.

- Nghiên cứu sự chuyển biến qua thời gian của các quan hệ thể chế - tri thức.

- Nghiên cứu những điều kiện và ràng buộc của thể chế với tri thức (những điều kiện

và ràng buộc này thường thể hiện qua chương trình SGK, sách GV, …)

- Nghiên cứu các hoạt động đối với tri thức và mối liên hệ với các đối tượng khác

trong thể chế.

1.3.5. Tổ chức tri thức

Tuy nhiên làm thế nào để mô tả được một cách rõ ràng mối quan hệ giữa tri thức

với thể chế mà nó đang tồn tại? Bosch và Chevallard (1999) giới thiệu khái niệm tổ chức

tri thức để trả lời cho vấn đề này.

Khái niệm tổ chức tri thức cho phép lý thuyết hóa những gì xảy ra trong hoạt động

DH và cũng làm sáng tỏ cách thức hình thành mối quan hệ giữa một cá nhân (hoặc một

thể chế) với một đối tượng tri thức. Điều này dựa trên việc xem xét mỗi hoạt động liên

quan đến tri thức trong thể chế như là quá trình thực hiện một nhiệm vụ t thuộc kiểu

nhiệm vụ T nào đó. Việc thực hiện nhiệm vụ này nhờ vào một kĩ thuật τ, được giải thích

bởi một công nghệ . Công nghệ này cho phép xác định kĩ thuật, thậm chí tạo ra nó, và

đến lượt mình, công nghệ lại được giải thích nhờ vào lý thuyết . Bốn yếu tố này được

tổ hợp lại trong một tổ chức ký hiệu là: [T/τ/ ] và gọi là tổ chức tri thức. /

Quá trình phân tích tổ chức tri thức sẽ cho thấy những nhiệm vụ cần giải quyết có

liên quan đến tri thức, những kĩ thuật cho phép giải quyết và tất cả những yếu tố lý

thuyết, công nghệ ẩn phía sau chi phối tính hợp thức của các hoạt động đó. Chúng hình

thành nên bức tranh toàn cảnh giúp ta nhìn thấy được cuộc sống của tri thức trong thể

chế. Đối với thể chế DH, việc phân tích tổ chức tri thức sẽ giúp chúng ta nhận thấy được

cách mà thể chế hiểu về tri thức hay thậm chí là cách mà thể chế muốn người học hiểu

về tri thức đó.

1.4. Lý thuyết tình huống

1.4.1. Những điểm đặc trưng của lý thuyết tình huống

Lý thuyết tình huống được xây dựng bởi Brousseau từ những năm 1970 và quan

điểm của nó là khuyến khích HS tự xây dựng tri thức thông qua việc hoạt động trên các

tình huống được xây dựng một cách có chủ ý. Có một tình huống giả tạo thường thấy

trong lớp học đó là GV đặt ra những câu hỏi mà anh ta đã biết trước câu trả lời trong khi

ở ngoài lớp học thì người ta chỉ đặt câu hỏi về những điều mà họ không biết. Quá trình

DH điển hình theo truyền thống thường xảy ra theo một cách áp đặt như vậy: GV hỏi

những vấn đề mà họ đã biết cách giải quyết và HS phải tìm cách trả lời những câu hỏi

mà các em không tự mình đặt ra và nếu không trả lời được thì GV sẽ nhận trách nhiệm

đó. Brousseau (2006) cho rằng “nếu GV tự đặt ra những câu hỏi toán học và các câu trả

lời, họ đã tước đoạt đi của người học trách nhiệm của việc hoạt động” (tr. 46). Để vượt

qua nghịch lý nói trên, Brousseau muốn xây dựng một hệ thống gồm GV, HS và môi

trường mà ở đó việc học tập tri thức được diễn ra theo cách tự nhiên và mang lại ý nghĩa

đúng cho tri thức.

Lý thuyết tình huống cho rằng mỗi tri thức đều có một họ tình huống sư phạm cho

phép đem đến cho nó một nghĩa đúng và phù hợp so với lịch sử hình thành và tiến triển

của tri thức hoặc phù hợp với bối cảnh xã hội và cộng đồng khoa học hiện thời. Các

nghĩa này sẽ hiện diện trong hoạt động học tập như là kết quả hay là phương tiện để giải

quyết các tình huống đã đặt ra. Việc xem xét đến chiều văn hóa và xã hội trong hoạt

động học tập tri thức cũng là một điểm đặc trưng của lý thuyết tình huống mà thuyết

phát triển nhận thức của Piaget trước đó chưa xem xét một cách đầy đủ. Để xây dựng

một tình huống học tập mong ước, cần phải tạo những điều kiện thuận lợi để đảm bảo

cho một sự tự chủ tối đa của người học trong quá trình học tập. Những điều kiện đó

- Tri thức toán học đang hướng đến cần phải cung cấp được một phương pháp tối ưu cho

việc giải quyết vấn đề đặt ra.

- Văn bản và các tài liệu DH không nên đưa ra bất cứ sự tham khảo nào cho tri thức được

nhắm đến.

- Chấp nhận được rằng người học có thể bắt đầu công việc giải quyết bài toán với những

chiến lược không thích hợp.

- Người học có thể tự xác nhận với bản thân rằng những cố gắng của họ là thành công

hay thất bại.

- Không có sự xác định đúng sai cho lời giải, những kiểm tra chỉ là để gợi ý.

- Giữa những lời giải được chấp nhận dựa vào kinh nghiệm, chỉ có một cái là thỏa mãn

được tất cả những điều kiện của bài toán.

- Lời giải có thể được tìm thấy và kiểm tra bởi một số HS khác trong một lượng thời gian

hợp lí, và ngay lập tức được chia sẻ và kiểm tra bởi những người khác.

được đưa ra sau đây bởi Brousseau (2008, tr. 249):

Cơ sở cho việc xây dựng tình huống DH của lý thuyết tình huống vẫn dựa trên hai

cơ chế đồng hóa và điều ứng trong lý thuyết về quá trình học tập và phát triển trí tuệ của

Piaget và Cook (1952). Theo đó đồng hóa là quá trình chủ thể tái hiện lại một số đặc

điểm của đối tượng và đưa nó vào những sơ đồ, nhận thức đã có sẵn. Còn điều ứng là

quá trình thích nghi với những phản hồi của môi trường bằng cách điều chỉnh, biến đổi

cấu trúc đã có, tạo ra những cấu trúc mới nhằm đưa đến trạng thái cân bằng. Khi người

học tiếp cận với một khái niệm mới, lúc đầu họ sẽ cố gắng đồng hóa, liên hệ nó với

những tri thức, quan niệm, cấu trúc sẵn có. Chỉ khi có những phản hồi, tương tác lại của

môi trường khiến họ bắt buộc phải điều chỉnh, biến đổi lại các quan niệm và tri thức cũ

để hình thành những quan niệm mới (điều ứng) thì việc học tập mới thật sự được xem

là diễn ra. Về cơ chế học tập này, Brousseau (2006) cũng chỉ ra rằng: “HS học tập bằng

cách tự thích nghi với môi trường sinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn và những

sự mất cân bằng” (tr. 30). Môi trường trong đó việc học tập diễn ra được xem là một

trong những khái niệm cơ sở của lý thuyết tình huống. Vai trò của nó là cung cấp các

thông tin và tín hiệu phản hồi để đem đến những tác động xác nhận, ủng hộ hay ngược

lại là từ chối, bài xích những chiến lược giải mà người học đề ra và sử dụng. Các tác

động phản hồi này sẽ điều chỉnh hành động của HS theo hướng thích nghi với những

mâu thuẫn, khó khăn, mất cân bằng đã xuất hiện từ đó nảy sinh nhận thức mới về tri

thức.

1.4.2. Tình huống lí tưởng

Một tình huống trong đó GV chỉ cần ủy thác một vấn đề và HS tự mình khám phá

tri thức thông qua hoạt động trên tình huống đã cho mà không cần đến sự tác động của

GV được lý thuyết tình huống gọi là tình huống lí tưởng. Nhờ sự tồn tại của loại tình

huống này mà chúng ta có thể hướng đến một hệ thống DH tự nhiên và tích cực. Ở đó,

kiến thức của HS có cơ hội được hình thành, tiến hóa và phát triển từ việc thích nghi với

các tác động phản hồi của môi trường mà không cần nhiều can thiệp của GV. Những tác

động phản hồi này giúp HS tự đánh giá sản phẩm của mình để đi đến chấp nhận hay loại

bỏ nó mà không cần đến những đánh giá của người thầy. Chẳng hạn, HS có thể nhận

thấy chiến lược ban đầu của mình gặp trở ngại, đi đến kết quả không đúng hay trở nên

quá đắt giá (tốn thời gian và công sức). Những điều chỉnh, thay đổi và sáng tạo nhằm

thích nghi với các phản hồi của môi trường sẽ giúp HS khám phá được tri thức mới. Quá

trình này diễn ra có vẻ là tự nhiên nhưng lại được cài đặt trong những tình huống thích

hợp được xây dựng theo một logic nội tại của việc tiến triển tri thức. HS không ý thức

được là các em đang dần đi theo một kịch bản sư phạm đã được tính toán trước, và ý đồ

DH tri thức sẽ ẩn dấu đằng sau môi trường mà GV cố ý xây dựng trong tình huống. Tất

nhiên là sau khi tìm được lời giải cho vấn đề đặt ra HS có thể vẫn chưa biết là mình đã

tìm ra một tri thức có thể dùng được cho những trường hợp khác. GV sẽ là người xác

nhận và giúp HS chuyển hóa tri thức vừa kiến tạo thành tri thức của chương trình, của

Việc dạy là sự ủy thác cho HS một tình huống lí tưởng thích hợp; còn việc học là sự thích

nghi của HS với tính huống này.

(Brousseau, 2006, tr. 31)

xã hội.

Lý thuyết tình huống chỉ ra các điều kiện sau đây cho một tình huống lí tưởng:

1/Tồn tại một chiến lược cơ sở, nghĩa là với những hiểu biết đã có HS có thể sớm đưa

ra một phương án trả lời ban đầu cho vấn đề.

2/Chiến lược cơ sở phải nhanh chóng tỏ ra không hiệu quả, khiếm khuyết, không phù

hợp để khiến cho HS phải thay đổi cách giải quyết.

3/HS có thể bắt đầu một chiến lược giải khác khi chiến lược cơ sở thất bại.

4/Tri thức nhắm đến cho phép HS chuyển từ chiến lược cơ sở qua chiến lược tối ưu.

5/Tồn tại môi trường có khả năng phản hồi thông tin giúp HS đánh giá được kết quả

hoạt động của mình để từ đó điều chỉnh quan niệm, kiến thức của mình nhằm tìm đến

chiến lược tối ưu cho vấn đề đặt ra.

Tuy nhiên không phải lúc nào HS cũng có thể tìm được ngay một chiến lược giải

khác khi chiến lược cơ sở gặp thất bại, hơn nữa việc chuyển từ chiến lược cơ sở sang

chiến lược tối ưu có thể cần những bước nhảy nhận thức mà người học khó có thể tự

mình làm được. Đây là lúc cần sự giúp đỡ của GV với mức độ và liều lượng vừa phải

tùy vào tính chất khó khăn mà HS phải đối mặt. Một tình huống DH mà GV góp mặt

trong vai trò người tổ chức, điều khiển và hướng dẫn HS giải quyết vấn đề được gọi là

tình huống didactic.

1.4.3. Biến dạy học

Lý thuyết tình huống đưa ra khái niệm biến DH (didactical variable) chỉ những yếu

tố của tình huống mà việc thay đổi giá trị của nó sẽ làm thay đổi đặc trưng của các chiến

lược giải (mức độ khó khăn, sự phức tạp, tính hợp thức,…). Biến DH là một khái niệm

quan trọng của lý thuyết tình huống vì nó giúp thấy được cách thức vận hành đặc trưng

của một tình huống lí tưởng: GV gián tiếp điều khiển quá trình học tập bằng cách chọn

các giá trị của biến DH một cách có dụng ý. HS học tập thông qua sự thay đổi các chiến

lược giải quyết vấn đề cài trong tình huống và sự tiến triển kiến thức sẽ gắn liền với sự

thay đổi của các chiến lược đó. Dưới góc nhìn này, một tình huống lí tưởng được chúng

tôi mô tả lại bởi sơ đồ 1.2 dưới đây.

Theo sơ đồ này thì quá trình

học tập được diễn ra một cách lí

tưởng như sau: GV ủy thác cho HS

một tình huống (hoặc một họ các

tình huống) trong đó đã cài đặt sẵn

một dãy các giá trị của biến DH mà

sự thay đổi của nó đã được thiết kế

trước. Khi giá trị của biến DH bị

thay đổi, nó làm cho đặc trưng của

các chiến lược giải tương ứng cũng Sơ đồ 1.2. Tình huống lí tưởng

biến đổi theo hướng gặp nhiều trở

ngại hơn: tốn thời gian, công sức, không đem đến kết quả hợp lí, hay thậm chí là không

thực hiện được. Những tác động phản hồi từ môi trường làm cho người học thấy rằng

chiến lược họ sử dụng trở nên “đắt giá” và không “hoạt động”. Để thích nghi được với

tình huống khi mà biến DH nhận một giá trị mới, HS phải cố gắng thay đổi chiến lược

giải của họ. Điều quan trọng là quá trình thiết kế và lựa chọn biến DH phải tuân theo

một logic nhận thức nội tại phù hợp với sự tiến triển của tri thức sao cho có thể dẫn dắt

người học dần tìm thấy một chiến lược tối ưu. Kiến thức mới sẽ ẩn phía sau chiến lược

tối ưu này như là kết quả hoặc phương tiện để giải quyết vấn đề đặt ra trong tình huống.

Chu trình học tập này còn giúp mang lại nghĩa cho tri thức vì nó cho thấy được lí do tồn

Lý thuyết tình huống thực hiện việc phân tích các biến của thực hành DH và khám phá

mối quan hệ của nó với quá trình sản sinh ra tri thức toán học.

(González-Martín et al., 2014, tr. 118)

tại cũng như vai trò công cụ của tri thức đang nói tới.

1.5. Đồ án dạy học

1.5.1. Khái niệm đồ án dạy học

Theo Artigue (1992) thì ý tưởng về đồ án DH đã xuất hiện và phát triển trong cộng

đồng nghiên cứu didactic toán của Pháp từ đầu những năm 1980 và đóng vai trò như

một phương pháp luận nghiên cứu trong giáo dục toán học. Artigue (2014, tr. 159) định

Một phương pháp luận nghiên cứu dựa trên quá trình thiết kế và TN có điều chỉnh của

chuỗi các tình huống DH và tuân theo một kiểu hợp thức nội tại từ việc đối chứng giữa

phân tích tiên nghiệm và hậu nghiệm của quá trình đó.

nghĩa đồ án DH là:

Trong vai trò là một phương pháp luận nghiên cứu, định nghĩa này chỉ ra rằng việc

xây dựng một đồ án DH trải qua nhiều công đoạn. Bắt đầu từ việc thiết kế chuỗi các tình

huống DH và phân tích trước những gì sẽ diễn ra (phân tích tiên nghiệm), đến quá trình

thực hiện TN, quan sát và ghi nhận kết quả để xem xét những gì đã diễn ra (phân tích

hậu nghiệm). Cuối cùng, quá trình kiểm chứng TN sẽ dựa trên sự hợp thức nội tại của

đồ án, nghĩa là so sánh giữa phân tích tiên nghiệm và hậu nghiệm sau đó tất cả các công

đoạn này có thể được điều chỉnh để trở nên thích hợp hơn. Theo Brousseau (2008) thì

đồ án DH là một cách thuận lợi để xây dựng và kiểm tra những tình huống DH mới cũng

như sự hiệu quả mà nó đem lại theo cách có thể điều chỉnh được. Artigue (2000) cũng

cho rằng, đồ án DH đem đến một công cụ cho phép kiểm tra tính hợp thức của các giả

thuyết khoa học mà lý thuyết tình huống đặt ra.

1.5.2. Các bước để xây dựng một đồ án dạy học

Theo González-Martín et al. (2014) thì những bước sau đây cần thực hiện để xây

dựng một đồ án DH: 1/Phân tích tri thức luận (gắn với những đặc trưng của tri thức);

2/Tìm hiểu nhận thức cá nhân của người học về tri thức (gắn với những đặc trưng của

HS); 3/Phân tích thể chế (gắn với các đặc trưng của hệ thống giáo dục và DH); 4/Phân

tích các biến DH của tình huống được sử dụng trong đồ án; 5/Phân tích tiên nghiệm để

xác định cách mà sự lựa chọn biến DH ảnh hưởng đến chiến lược của HS (tập trung chủ

yếu vào các yếu tố lí tưởng của tình huống).

Artigue (2014) đưa ra bốn pha sau đây trong việc xây dựng một đồ án DH (tr. 160):

các phân tích chuẩn bị; thiết kế và phân tích tiên nghiệm; tiến hành TN và quan sát; thu

thập dữ liệu, phân tích hậu nghiệm và hợp thức hóa.

• Các phân tích chuẩn bị: thường bao gồm ba chiều chủ yếu là: Phân tích tri thức luận;

phân tích những điều kiện và chướng ngại mà đồ án phải đối mặt; và phân tích về những

cái mà nghiên cứu giáo dục phải cung cấp để hỗ trợ cho việc thiết kế.

• Phân tích tiên nghiệm: Pha này gồm bước thiết kế và phân tích trước khi tiến hành

TN, các giả thuyết nghiên cứu cũng được xây dựng trong quá trình này. Để thiết kế một

- Tìm kiếm những tình huống cơ sở, nghĩa là những tình huống toán học mà tóm lược

được bản chất khoa học luận của khái niệm.

- Phân tích những đặc trưng của môi trường mà HS sẽ tương tác để tối ưu các hỗ trợ cho

hoạt động học tập độc lập của người học và những tác động phản hồi thích hợp.

đồ án DH, nhà nghiên cứu cần phải thực hiện những công việc sau:

- Tổ chức lại quá trình ủy thác và thể chế hóa bởi GV, một mặt, phải làm cho HS nhận

lấy nhiệm vụ toán học mà họ phải giải quyết, mặt khác lại phải kết nối những kiến thức

mà họ tạo ra với kiến thức mà nhà trường đang nhắm đến.

(Artigue, 2014, tr. 160)

Vai trò của phân tích tiên nghiệm là làm rõ mối liên hệ giữa quá trình thiết kế, sự

lựa chọn biến DH với giả thuyết đã đặt ra. Phân tích này nhằm dự kiến được những hiện

tượng có thể xảy ra dựa trên những động lực tiềm năng của tình huống, tương tác của

HS với môi trường, các chiến lược giải có thể của HS và sự tiến triển của các chiến lược

đó. Cụ thể hơn, theo Trần Anh Dũng (2013, tr. 38) thì phân tích tiên nghiệm phải làm

- Các biến DH có thể tác động trong tình huống DH tri thức, những chiến lược hay câu

trả lời có thể xuất hiện (đặc biệt là chiến lược tối ưu) và ảnh hưởng của biến trên chiến

lược (câu trả lời).

- Những cái có thể quan sát được, minh chứng (dấu hiệu) của các chiến lược hay câu trả

lời.

- Những kiến thức ẩn đằng sau những chiến lược đó, nghĩa là những kiến thức mầm

mống cho sự nảy sinh các chiến lược.

- Những kiến thức khác có thể nảy sinh và các lựa chọn (giá trị của biến) tạo ra điều

kiện cho sự nảy sinh đó.

rõ được các yếu tố sau đây:

• Tiến hành thực nghiệm: Trong pha này, các dữ liệu từ TN sẽ được ghi nhận lại để

chuẩn bị cho pha phân tích hậu nghiệm tiếp theo. Tùy theo mục đích của đồ án DH, giả

thuyết nghiên cứu cần kiểm chứng và các dự kiến trước đó trong phân tích tiên nghiệm

mà những dự liệu này sẽ được lựa chọn và tổ chức một cách thích hợp.

• Phân tích hậu nghiệm: Là xem xét tình huống thực tế đã diễn ra và phân tích đối

chứng giữa những cái dự kiến trước trong phân tích tiên nghiệm với các dữ liệu thu được

từ quá trình TN. Những dữ liệu nào phù hợp với phân tích tiên nghiệm, ý nghĩa của

những điểm hội tụ và phân kì giữa hai phân tích và làm thế nào để giải thích chúng sẽ

là những câu hỏi phải trả lời trong pha này. Sự đối chứng giữa phân tích tiên nghiệm và

hậu nghiệm là cơ sở cho việc kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra và bản chất

của tính hợp thức là ở nội tại của tình huống, chứ không phải là sự so sánh bên ngoài

giữa một nhóm HS được TN và một nhóm đối chứng.

Những trình bày ở trên cho thấy một mối quan hệ mật thiết giữa lý thuyết đồ án DH

với các lý thuyết khác của Didactic Toán mà đặc biệt là lý thuyết tình huống. Đồ án DH

dựa vào lý thuyết tình huống để xây dựng và thực hiện những tình huống nhắm đến mục

đích hình thành tri thức toán học mới cho HS. Tri thức toán học mới này sẽ xuất hiện

như là một công cụ toán học tối ưu để giải quyết bài toán đặt ra và sự lựa chọn các biến

DH sẽ giúp dẫn dắt người học đến với chiến lược tối ưu đó. Theo chiều ngược lại,

phương pháp luận nghiên cứu của lý thuyết đồ án DH cung cấp những bước thích hợp

để xây dựng và phân tích trước các tình huống DH cũng như để kiểm chứng được tính

hợp thức của các giả thuyết nghiên cứu dựa vào sự so sánh giữa phân tích tiên nghiệm

và hậu nghiệm.

1.6. Kết luận chương 1: những nghiên cứu cần triển khai

Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là muốn đem lại một cách hiểu đầy đủ hơn cho

HS về hai khái niệm đạo hàm, tích phân và giúp các em ứng dụng được hiệu quả các

kiến thức này trong Vật lí. Theo đó, các cơ sở lí luận được trình bày ở chương này đã

giúp làm rõ thế nào là cách hiểu đầy đủ về một khái niệm toán học và những yếu tố cần

tính đến để ứng dụng nó trong Vật lí. Các mô hình và chiến lược LM được giới thiệu

giúp chỉ ra những cách thức đạt được mục đích nói trên từ hướng tiếp cận LM Toán –

Vật lí.

Đi sâu vào các mục tiêu nghiên cứu cụ thể. Hai mục tiêu nghiên cứu đầu tiên chúng

tôi đặt ra là: làm rõ mối quan hệ LM giữa Toán và Vật lí từ cả góc độ tri thức luận (mối

quan hệ gắn kết hỗ trợ lẫn nhau diễn ra trong lịch sử) và sư phạm (sự thể hiện của tính

LM này trong thể chế DH Toán và Vật lí) đối với hai khái niệm đạo hàm và tích phân.

Để đạt được các mục tiêu này, một nghiên cứu tri thức luận, một nghiên cứu thể chế và

cả một nghiên cứu sự chuyển hóa sư phạm liên quan đến hai khái niệm đạo hàm và tích

phân sẽ cần phải thực hiện. Bên cạnh đó, lý thuyết tình huống và đồ án DH sẽ được

chúng tôi vận dụng trong việc thiết kế và triển khai TN các công đoạn DH khái niệm

đạo hàm, tích phân theo hướng tiếp cận LM. Sự hợp thức hóa nội tại theo lý thuyết của

đồ án DH còn là cơ sở để chúng tôi kiểm chứng tính khả thi của các giải pháp sư phạm

và giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra.

Các kết luận nói trên chỉ ra những nghiên cứu sau đây cần được triển khai trong

luận án:

• Nghiên cứu tri thức luận theo định hướng liên môn

Nếu nhìn từ định hướng LM thì phân tích tri thức luận không thể chỉ tập trung vào

bản thân đối tượng tri thức đang bàn đến mà còn phải làm rõ hai chiều tác động hỗ trợ

lẫn nhau giữa GT và Vật lí đã diễn ra trong lịch sử. Theo đó, nghiên cứu tri thức luận

cần phải giúp trả lời các câu hỏi sau:

- Những bài toán nào của Vật lí là động lực cho sự ra đời và tiến triển của các khái

niệm GT, đạo hàm và tích phân nói riêng?

- Những tri thức, hay ngữ cảnh vật lí nào đem đến sự hỗ trợ cho việc hiểu sâu sắc

hơn các khái niệm cơ bản của GT và mối quan hệ giữa chúng?

- Việc vận dụng đạo hàm và tích phân trong các bài toán và ngữ cảnh vật lí nói trên

mang đến cho các tri thức này những nghĩa gì?

- Mối quan hệ gắn kết giữa Toán với Vật lí đã giúp các nhà toán học vượt qua những

chướng ngại trong việc hiểu rõ hai khái niệm đạo hàm và tích phân như thế nào?

- Vật lí đã sử dụng các công cụ đạo hàm và tích phân ra sao?

Một nghiên cứu tri thức luận theo định hướng làm rõ sự gắn kết giữa GT và Vật lí

sẽ được chúng tôi thực hiện trong chương 2 của luận án.

• Nghiên cứu thể chế theo định hướng liên môn

Để thấy được sự hỗ trợ lẫn nhau giữa hai môn học Toán và Vật lí trong việc DH

đạo hàm và tích phân ở nhà trường, chúng tôi cho rằng nghiên cứu thể chế phải chỉ rõ

được những điều sau đây:

- Đạo hàm và tích phân xuất hiện ở đâu trong SGK toán và vật lí. Ở đó nó mang ý

nghĩa gì và giúp giải quyết những vấn đề nào?

- Ngữ cảnh và các vấn đề của Vật lí hỗ trợ ra sao trong việc giúp hình thành khái

niệm đạo hàm và tích phân ở thể chế DH Toán?

- Công cụ toán học mà đạo hàm và tích phân mang lại giúp giải quyết được những

vấn đề gì trong chương trình vật lí THPT?

- Những điều kiện và ràng buộc nào cần phải thỏa mãn để đảm bảo cho một sự nối

khớp LM hợp lí giữa Toán và Vật lí liên quan đến hai khái niệm đạo hàm và tích

phân?

- Từ quan điểm DH LM, những kiểu nhiệm vụ nào gắn với việc sử dụng đạo hàm

và tích phân, kĩ thuật giải quyết là gì và đâu là cơ sở lý thuyết cho việc giải thích

những ứng dụng của hai khái niệm này trong các vấn đề của Vật lí?

Nghiên cứu này sẽ được chúng tôi thực hiện trong chương 3 của luận án.

• Nghiên cứu sự chuyển hóa sư phạm

Chúng tôi sử dụng linh hoạt lý thuyết chuyển hóa sư phạm khi xem xét đối tượng

chuyển hóa không chỉ là bản thân tri thức toán học mà còn là những gắn kết và hỗ trợ

lẫn nhau giữa các ngành khoa học trong quá trình hình thành và phát triển tri thức đó.

Một cách cụ thể, chúng tôi sẽ trả lời các câu hỏi sau đây:

- Trong thể chế tạo ra tri thức, sự gắn kết Toán – Vật lí đã diễn ra như thế nào?

- Trong thể chế DH Toán và Vật lí ở trường THPT, sự gắn kết nói trên thể hiện ra

sao? Những gắn kết LM giữa GT và Vật lí có được tận dụng hợp lí và hiệu quả trong

việc DH hai khái niệm đạo hàm và tích phân hay không?

- Sự nối khớp theo hướng tiếp cận LM giữa hai thể chế DH Toán và Vật lí có được

đảm bảo hay không?

- Cần phải điều chỉnh hay bổ sung những gì để đem đến nhiều lợi ích hơn cho người

học ở cả hai khía cạnh hiểu và ứng dụng khái niệm?

Nghiên cứu này được trình bày trong chương 3 dựa trên các kết quả thu được từ việc

phân tích thể chế.

• Nghiên cứu xây dựng các giải pháp sư phạm theo hướng liên môn

Nghiên cứu này được thực hiện ở chương 4. Cụ thể, bằng cách vận dụng các mô

hình, chiến lược LM cùng với các kết quả thu được từ nghiên cứu tri thức luận và thể

chế nói trên, chúng tôi đề ra các giải pháp sư phạm nhằm tận dụng mối quan hệ liên môn

Toán – Vật lí trong DH khái niệm đạo hàm, tích phân.

• Nghiên cứu xây dựng đồ án DH hai khái niệm đạo hàm và tích phân dựa trên các

tình huống có sự gắn kết liên môn Toán – Vật lí

Dưới sự soi sáng của lý thuyết tình huống, một nhiệm vụ quan trọng mà chúng tôi

phải thực hiện là tìm kiếm các tình huống lí tưởng từ nguồn gốc tri thức luận sao cho

vừa tận dụng được các gắn kết LM Toán – Vật lí và vừa tạo điều kiện tối ưu cho hoạt

động tự kiến tạo tri thức ở người học. Những tình huống LM như vậy có thể tìm thấy từ

sự ra đời và tiến triển của đạo hàm và tích phân trong lịch sử. Đó sẽ là hạt nhân để chúng

tôi thiết kế hoạt động học tập và lựa chọn các biến DH một cách hợp lí nhằm đem đến

cho người học cách hiểu đầy đủ hơn về khái niệm đồng thời tăng cường vai trò công cụ

của chúng trong các vấn đề vật lí.

Bên cạnh đó, phương pháp luận nghiên cứu có được từ lý thuyết đồ án DH cũng

giúp chúng tôi thấy rõ những bước cần phải thực hiện để thiết kế các tình huống DH phù

hợp với mục đích đặt ra. Theo lý thuyết này, chúng tôi tìm thấy cơ sở để kiểm chứng giả

thuyết khoa học của mình bằng cách đối chiếu giữa phân tích tiên nghiệm và hậu nghiệm

của đồ án đã thiết kế. Sự hợp thức hóa nội tại của đồ án mà chúng tôi xây dựng sẽ dựa

trên các cơ sở sau đây:

- Sự hội tụ (phù hợp) hay phân kỳ giữa phân tích tiên nghiệm và hậu nghiệm.

- Các kết quả nghiên cứu về tri thức luận và mối quan hệ thể chế đối với đạo hàm,

tích phân theo định hướng LM.

- Vận dụng các mô hình và chiến lược DH LM để tận dụng những tác động tương hỗ

giữa hai môn học Toán và Vật lí.

- Nghiên cứu xây dựng đồ án DH và tổ chức TN với đối tượng HS THPT để góp phần

chứng tỏ tính khả thi và hợp lí của các giải pháp đã đề xuất.

CHƯƠNG 2

ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN: MỐI QUAN HỆ GẮN KẾT GIỮA GIẢI TÍCH

VÀ VẬT LÍ NHÌN TỪ LỊCH SỬ

2.1. Mục tiêu của chương và định hướng thực hiện

Mục tiêu của chương 2 là tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu Q1: Mối quan hệ

gắn kết, hỗ trợ lẫn nhau giữa Toán học và Vật lí học đã diễn ra như thế nào trong lịch

sử hình thành và tiến triển hai khái niệm đạo hàm, tích phân? Kết quả này sẽ là cơ sở

để xem xét việc DH chúng trong nhà trường (chương 3), đề xuất các giải pháp DH theo

hướng LM (chương 4), cũng như chuẩn bị cho quá trình xây dựng và thiết kế đồ án DH

(chương 5). Lưu ý rằng tuy nói là nghiên cứu sự gắn kết giữa Toán học với Vật lý học,

chúng tôi sẽ chỉ tập trung chủ yếu vào GT – lĩnh vực mà trong đó đạo hàm và tích phân

được đề cập đến. Toán học tổng quát chỉ được nhắc đến khi GT chưa ra đời.

Nghiên cứu mối quan hệ gắn kết này có bản chất là một phân tích tri thức luận với

hai khái niệm đạo hàm và tích phân và nó giúp làm rõ hai chiều tác động tương hỗ lẫn

nhau trong lịch sử giữa Vật lí học với Toán học. Để vận dụng những gợi ý về ba chiến

lược LM của Nikitina và Mansilla (mục 1.1.3), nghiên cứu tri thức luận ở chương này

còn giúp làm rõ những bối cảnh lịch sử có thể được tận dụng để DH các khái niệm đạo

hàm, tích phân theo quan điểm LM. Chúng tôi sẽ xem xét các nghĩa của tri thức đã hình

thành trong lịch sử, tìm xem nghĩa tổng quát nào cho phép ứng dụng đạo hàm và tích

phân trong nhiều vấn đề của Vật lí. Nghiên cứu tri thức luận cũng cần cho thấy sự tiến

triển tự nhiên trong lịch sử hình thành khái niệm để tìm kiếm được họ các tình huống cơ

sở cho phép xây dựng được các nghĩa đúng cho nó.

Đã có nhiều nghiên cứu bàn về lịch sử phát triển của GT (Boyer, 1959; Edwards,

2012; Eves, 1976; Grabiner, 1983; Kleiner, 2001; Perkins, 2012; Stillwell, 2002) cũng

như việc khai thác lịch sử vào DH ở nhà trường (Bressoud, 2011; Doorman & Van

Maanen, 2008; Lê Thị Hoài Châu, 2014; Katz, 2000). Những công trình nói trên cùng

với một số tác phẩm khác về lịch sử vật lí (Oliveira, 2014) là nguồn tài liệu mà chúng

tôi sử dụng để tổng hợp và phân tích mối liên hệ gắn kết hỗ trợ lẫn nhau giữa hai ngành

khoa học đang bàn đến đối với sự ra đời và tiến triển của hai khái niệm đạo hàm, tích

phân. Cũng phải nói thêm rằng, một số kết quả từ những nghiên cứu tri thức luận trước

đó của chúng tôi về khái niệm đạo hàm và tích phân (Ngô Minh Đức, 2013, 2016, 2017b)

chỉ được giới thiệu tóm lược để bổ sung các luận điểm cần thiết.

2.2. Quan hệ gắn kết giữa Toán học với Vật lí học trong lịch sử hình thành và tiến

triển của đạo hàm, tích phân

2.2.1. Thời kì cổ đại

Hình học chắc chắn là một động lực quan trọng cho sự ra đời và phát triển của đạo

hàm, tích phân trong nỗ lực đi tìm lời giải cho hai bài toán “xác định tiếp tuyến” và “tính

diện tích các hình cong”. Tuy nhiên, ngay từ khi bắt đầu, Vật lí học nói chung và đặc

biệt là Cơ học nói riêng cũng đóng góp một vai trò không kém phần quan trọng cho sự

phát triển của GT - chứ không chỉ đạo hàm, tích phân. Lý giải cho điều này chính là đặc

trưng của các đối tượng mà GT nghiên cứu: GT xem xét các quá trình biến thiên liên

tục, mà chuyển động cơ học lại là một mô hình thực tế cho những quá trình như vậy.

Để hiểu được nguồn gốc của GT, chúng ta phải trở về thời kì Hy Lạp cổ đại và bắt

đầu với những nghịch lý của Zeno (khoảng 450 trước công nguyên) khi xem xét quá

trình chuyển động cơ học liên tục của một vật thể. Một chất điểm muốn vượt qua quãng

đường từ điểm A đến điểm B có chiều dài 1𝑚 rõ ràng là phải lần lượt vượt qua các đoạn

đường dài Và vì quá trình này được tiếp diễn đến vô hạn nên nghịch lý Zeno

nói rằng mọi chuyển động là không thể thực hiện được, nghĩa là chất điểm chuyển động

không bao giờ đến đích. Nghịch lý này chỉ ra một khó khăn trong việc mô tả các hiện

tượng biến thiên (ở đây là chuyển động) theo ngôn ngữ của toán học. Liệu rằng mỗi

đoạn đường dù nhỏ thế nào đều có thể chia làm hai? Nếu quả thật là luôn chia được như

vậy thì số các đoạn đường phải vượt qua sẽ là vô hạn và lúc này nghịch lý Zeno có thể

phát biểu theo cách khác: tổng vô hạn liệu có bằng 1 không?

Thực tại vật lí cho thấy mũi tên sẽ đến đích và vì vậy tổng vô hạn nói trên thật sự

phải bằng 1 – là một lượng hữu hạn. Điều này có thể đã đem đến cho các nhà bác học

cổ đại ý tưởng về việc tính toán một đại lượng từ một quá trình lấy tổng vô hạn các đại

lượng khác. Phương pháp “vét kiệt” mà Edoxus và Archimedes sử dụng để tính diện

tích các hình có yếu tố cong là một minh họa cho việc sử dụng ý tưởng nói trên. Như

vậy là ý tưởng về tổng vô hạn ra đời rõ ràng là có một phần đóng góp từ việc xem xét

các chuyển động cơ học liên tục và là tiền đề ra đời cho phép tính tích phân sau này.

Chúng tôi sẽ làm rõ sự xuất hiện ngầm ẩn của phép tính tích phân bằng cách trích dẫn ở

đây phương pháp lập tổng vô hạn mà Archimedes đã áp dụng để xác định diện tích tam giác Parabol4:

Xét “tam giác parabol” được

tạo từ một parabol bị chắn bởi dây

cung AB (hình 2.1). Archimedes xác

định điểm C mà tại đó tiếp tuyến của

parabol song song với AB (điều này

làm cho chiều cao của tam giác ABC

kí hiệu là ∆, và “chiều cao tam giác

Parabol” là bằng nhau). Gọi D và E

là hai điểm trên hai cung AC và BC Hình 2.1. Tính diện tích tam giác Parabol

sao cho tiếp tuyến tại đó song song

với các dây cung tương ứng, ông chứng minh được tổng diện tích hai tam giác ADC và

tam giác CEB bằng diện tích tam giác ABC. Tiếp tục quá trình trên và lập tổng tất

cả các tam giác tạo thành ông vét cạn tam giác parabol bằng một tổng vô hạn:

Archimedes tất nhiên là chưa dùng đến tổng vô hạn của cấp số nhân hay phép toán

giới hạn mà thay vào đó ông chứng minh tính đúng đắn của kết quả này bằng phương

pháp phản chứng (hai lần đưa đến vô lý).

Không chỉ là một nhà toán học vĩ đại, Archimedes còn là một nhà vật lí kiệt xuất.

Chính ông đã đóng góp một phát minh quan trọng cho Cơ học trong thời cổ đại với việc

giới thiệu cơ sở của tĩnh học: sự cân bằng của đòn bẩy đòi hỏi sự cân bằng của các

moment về hai phía. Điều rất đáng chú ý là ông đã sử dụng nguyên lý cân bằng này của đòn bẩy để khám phá ra công thức tính thể tính của các hình khối khác nhau5. Để minh

hoạ, có thể xem xét cách mà Archimedes dùng để xác định thể tích hình cầu mà chúng

tôi giới thiệu ở phần Phụ lục 1 (trang PL1). Trong phương pháp “cơ học” của mình, ông

đã sử dụng tư tưởng chia nhỏ, cân bằng moment ở hai đầu đòn bẩy rồi lập tổng “các lát

cắt nhỏ” để xác định thể tích một hình từ thể tích của các hình đã biết. Ở đây, Archimedes

Archimedes đã bị thất lạc từ lâu.

4 Tham khảo từ Perkins (2012), tr. 6-7. 5 Thật ra điều này chỉ được biết đến vào năm 1906 khi người ta tìm ra bản sao luận văn “Phương pháp” của

đưa ra tư tưởng về một độ lớn có thể được xem là hợp của rất nhiều những bộ phận rất

nhỏ, và bằng việc tính toán trên các bộ phận rất nhỏ này sau khi lấy tổng sẽ thu được kết

quả chính xác cho đại lượng ban đầu.

➢ Tiểu kết 1: Việc xem xét chuyển động cơ học liên tục của một vật thể dẫn đến chỗ

phải đối mặt với các quá trình vô hạn. Các nhà bác học cổ đại đứng trước hai quan điểm.

Quan điểm thứ nhất dẫn đến giả định rằng một đại lượng có thể chia nhỏ được vô hạn,

trong khi theo quan điểm thứ hai thì đại lượng đó được hợp thành từ một số rất lớn các

nguyên tử rất nhỏ không thể phân chia. Giả định đầu là cơ sở cho phương pháp vét kiệt,

còn giả định sau đem đến những lợi ích khác trong việc tìm kiếm các kết quả tính diện

tích và thể tích bằng cách thao tác trên các phần rất nhỏ xem như nguyên tử trước khi

hợp chúng lại. Các nhà toán học cổ đại mà nổi bật nhất là Archimedes đã sử dụng phương

pháp vét kiệt để thu được những kết quả đẹp đẽ cho phép đo các hình có yếu tố cong.

Archimedes thậm chí đã sử dụng tư tưởng chia nhỏ một hình thành các hình nguyên tố

cùng với những nguyên lí của cơ học để chứng minh được nhiều công thức tính toán

diện tích hay thể tích của chúng.

Hiện thực vật lí, cụ thể là các chuyển động cơ học liên tục đã góp phần quan trọng

vào việc xuất hiện những tư tưởng về tổng vô hạn và các đại lượng vô cùng bé mà sau

đó là tiền đề cho sự phát sinh GT. Nói riêng, tư tưởng của phép tính tích phân đã xuất

hiện ngay từ thời kì này, khi các đại lượng đã được tính bằng quy trình gồm các bước:

chia nhỏ chúng thành hữu hạn hoặc vô hạn các đại lượng rất nhỏ (nguyên tố, nguyên tử

hay vô cùng bé); lập tổng các đại lượng nguyên tố này rồi chuyển qua giới hạn (một cách ngầm ẩn) để có được đại lượng ban đầu6. Bên cạnh đó, trong giai đoạn này các đại

lượng hình học và vật lí thường được liên hệ và là mô hình thay thế cho nhau, chẳng

hạn như thể tích với khối lượng. Việc áp dụng các định luật vật lí cũng góp phần đem

đến giải pháp cho quá trình tìm kiếm công thức tính toán trên các đại lượng hình học

(như đã thể hiện trong phương pháp “cơ học” của Archimedes).

2.2.2. Thời kì tiền Giải tích (sau Archimedes và trước Newton – Leibniz)

• Vận dụng các tư tưởng ban đầu của tích phân trong Vật lí học

Những công trình của Archimedes đến được Tây Âu vào thời kì trung cổ, và tại đây

các phương pháp của ông đã vượt ra khỏi Hình học (tính diện tích, thể tích, chiều dài

chỉ dự đoán kết quả của tổng vô hạn và chứng minh tính đúng đắn bằng phương pháp phản chứng.

6 Tư tưởng chuyển qua giới hạn vẫn chưa xuất hiện tường minh ở thời kì này, thay vào đó các nhà toán học

đường cong) để áp dụng vào các bài toán khác của Vật lí học trong một số công trình

của Steven, Kepler, Galileo, … Lấy cảm hứng từ tư tưởng ẩn trong phương pháp vét

kiệt của Archimedes, các nhà khoa học nói trên đã phát triển phương pháp chia nhỏ và

lập tổng vô hạn để giải quyết nhiều vấn đề theo một cách thực dụng. Họ loại bỏ đi tính

chặt chẽ toán học trong các chứng minh của Archimedes (dựa trên phép phản chứng)

mà chỉ tập trung vào việc tìm kiếm được kết quả hợp lí cho đại lượng ban đầu khi xem

xét nó như một tổng của các thành phần nguyên tố.

Một trong những nhà khoa học đầu tiên ở Tây Âu sử dụng phương pháp của

Archimedes lại là một kĩ sư vật lí: Simon Stevin (1548 – 1620) đã sử dụng phương pháp

chia nhỏ thành các hình nguyên tố trong một số công trình của ông về thủy tĩnh học và

xác định trọng tâm vật rắn. Để minh họa cho

phương pháp của Stevin, có thể xem cách lập luận

của ông để tìm ra trọng tâm của một hình tam

giác. Stevin phủ tam giác 𝐴𝐵𝐺 bởi tập hợp các dải

hình bình hành được chia ngày càng mỏng. Bằng

cách tìm trọng tâm của hình ghép bởi các dải hình

bình hành này, Stevin xác định được trọng tâm

của tam giác đang xét (lập luận chi tiết được trình Hình 2.2. Stevin xác định

bày đầy đủ ở Phụ lục 1, trang PL2). Stevin cũng trọng tâm tam giác

dùng phương pháp tương tự trong các công trình

khác về thủy tĩnh học. Chẳng hạn ông xác định được áp lực của chất lỏng tác động lên

một đập hình chữ nhật thẳng đứng bằng cách chia đập đó ra thành những dải mỏng nằm

ngang.

• Đồ thị hóa sự thay đổi

Một vấn đề vật lí khác cũng góp phần quan trọng trong sự phát triển của GT đó là

bài toán liên quan đến vật rơi tự do, và rộng hơn là những chuyển động có vận tốc biến

đổi. Vấn đề khó khăn là làm thế nào để biểu diễn các đại lượng biến đổi liên tục, chẳng

hạn như trường hợp chuyển động nhanh dần đều và làm sao để tìm quãng đường đi được

trong một chuyển động như vậy. Liên quan đến vấn đề này, Nichole Oresme đã có một

đóng góp quan trọng. Cụ thể thì khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa các đại lượng biến

thiên, ông đã phát minh ra một yếu tố toán học mới để mô tả chúng: biểu diễn đồ thị (là

điềm báo trước của khái niệm hàm số và hình học GT sau này).

Chẳng hạn khi khảo sát sự phân bố nhiệt độ trên

một cái xà, Oresme mô tả sự biến thiên liên tục bằng

cách xem nhiệt độ mỗi thời điểm như một đoạn thẳng

hoặc các dải hình chữ nhật vuông góc với trục ngang

(xem thêm Phụ lục 1, trang PL2). Biểu diễn đồ thị

nói trên còn cho phép Oresme tìm ra một cách thức

mới để xác định tổng lượng thay đổi trong một biến

đổi liên tục: đó là diện tích của hình giới hạn bởi đồ

Hình 2.3. Oresme mô tả sự biến thiên bằng đồ thị rời rạc

thị.

• Tính quãng đường trong chuyển động có vận tốc biến đổi đều

Oresme còn áp dụng kĩ thuật đồ thị này để

biểu diễn cho một chuyển động có vận tốc biến

đổi theo thời gian. Trên hình 2.4, đoạn AB biểu

thị trục thời gian, các đoạn vuông góc với AB

biểu diễn cho vận tốc tức thời tại mỗi thời điểm

và diện tích của hình biểu diễn cho tổng quãng

đường đi được. Cách hiểu này cho phép Oresme Hình 2.4. Quãng đường trong chuyển động nhanh dần đều xác định quãng đường trong chuyển động biến

đổi đều bằng con đường hình học. Theo đó quãng đường bằng diện tích hình thang dưới

Oresme không giải thích rõ tại sao diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm vận tốc biểu thị cho

quãng đường đi được. Có thể ông cho rằng diện tích là tập hợp vô số đường thẳng mà mỗi

đường đại diện cho vận tốc trong thời gian rất ngắn.

(Carl B. Boyer, 1959, tr.84)

• Quãng đường rơi tự do7

đồ thị vận tốc và bằng tích của vận tốc trung bình với khoảng thời gian chuyển động:

Cho đến tận đến thế kỉ 16, người ta thường vẫn chấp nhận rằng thời gian để một

vật rơi xuống đất thì tỉ lệ nghịch với khối lượng của nó. Điều này là di sản truyền lại từ

lý thuyết của Aristotle và vì vậy mối quan hệ chính xác giữa quãng đường và thời gian

rơi của vật vẫn chưa được phát hiện ra trong suốt một khoảng thời gian dài.

7 Những phân tích ở mục này tham khảo từ Doorman & Van Maanen, 2008, tr. 7-8.

Năm 1618, Isaac Beeckman đã sử dụng tư tưởng chia nhỏ của Archimedes và

phương pháp đồ thị hóa chuyển động của Oresme để thiết lập mối quan hệ giữa quãng

đường rơi tự do và thời gian. Ông hình dung có một lực kéo vật xuống trong quá trình

rơi tự do và xấp xỉ lực này bằng các lực gián đoạn – ông gọi chúng là những cái “giật

ngắn”. Sau mỗi khoảng thời gian 𝑡, một cái giật như vậy làm tăng vận tốc lên bởi một

lượng không đổi 𝑔. Mỗi quãng đường nhỏ tăng thêm bằng với diện tích của các hình

chữ nhật tương ứng. Bằng cách tính tổng các quãng đường nhỏ này Beeckman thu được công thức tính quãng đường: 𝑠(𝑡) = 𝑐. 𝑡2 (lập luận đầy đủ của Beeckman được chúng

tôi giới thiệu trong Phụ lục 1, trang PL3).

Galileo cũng thông báo một kết quả tương tự như của Beeckman (độ dời của một vật rơi tự do từ trạng thái nghỉ 𝑡 = 0 thì tỉ lệ với 𝑡2) trong một bức thư gửi đi năm 1604.

Galileo không chỉ giải thích được mối quan hệ bậc hai này từ phương pháp đồ thị của

Oresme mà còn tìm ra cách kiểm tra sự đúng đắn của nó bằng TN (thực nghiệm của

Galileo dựa trên chuyển động của một vật lăn theo mặt phẳng nghiêng được nói rõ ở

Phụ lục 1, trang PL4) Nhận định về những thành tựu này của Oresme và Galileo, Boyer

(1959) cho rằng: “Oresme và Galileo đã sử dụng công cụ hình học để giải quyết vấn đề,

tuy chưa được chặt chẽ về mặt toán học nhưng đây là giải pháp hợp lí nhất khi mà tích

phân chưa được hình thành” (tr. 83).

• Định lý cơ bản của GT và những động lực từ Vật lí

Khi Oresme cho rằng quãng

đường chuyển động của một vật bằng

với diện tích dưới đồ thị vận tốc – thời

gian, có thể ông đã nghĩ về việc chia

diện tích dưới đồ thị thành một số các

dải hình chữ nhật mỏng thẳng đứng,

tương ứng với các khoảng thời gian Hình 2.5. Đồ thị vận tốc theo thời gian của Oresme nhỏ.

Trong mỗi khoảng thời gian như vậy vận tốc gần như không đổi, và như vậy tích

của nó với khoảng thời gian (cũng chính là diện tích của dải) sẽ xấp xỉ với quãng đường

đi được trong khoảng thời gian đó. Bằng cách cộng tất cả các dải mỏng này, có thể thấy

rằng tổng diện tích bằng với tổng quãng đường. Liệu đây có phải hay không là lập luận

của Oresme, và nếu như vậy thì ông thậm chí đã có cái nhìn lướt qua mối liên hệ quan

trọng này giữa quãng đường và vận tốc.

Mối quan hệ giữa quãng đường và vận tốc phản ánh mặt động học của định lí cơ

bản, mà để hiểu được nó cần phải giải quyết được hai bài toán. Bài toán thứ nhất là xác

định quãng đường khi biết vận tốc. Bài toán thứ hai theo chiều ngược lại là mô tả và xác

định vận tốc khi biết trước quãng đường hay quỹ đạo chuyển động. Như đã nói ở trên,

để giải bài toán thứ nhất Oresme xem quãng đường như là diện tích của hình giới hạn

bởi đồ thị của vận tốc trong chuyển động biến đổi đều. Để giải quyết bài toán thứ hai,

các nhà toán học tìm thấy sự hữu ích của quan niệm xem đường cong như quỹ đạo của

một điểm chuyển động và vectơ vận tốc tức thời cùng hướng với tiếp tuyến đường cong.

Chẳng hạn, ta có thể tìm thấy quan niệm này trong lời giải do Roberval đề xuất khi

xem xét chuyển động theo đường Cycloid (một đường cong có được từ quỹ đạo của một

điểm trên đường tròn khi đường tròn này lăn trên một đường thẳng). Cụ thể, ông phân

tích chuyển động của một điểm trên đường Cycloid thành hai phần: một là tịnh tiến theo

phương ngang và thành phần còn lại là chuyển động quay theo quỹ đạo tròn. Vì lẽ đó,

để tìm được tiếp tuyến của đường cong này, Roberval đã xem vận tốc của điểm chuyển

động như là tổng của hai vectơ vận tốc thành phần: một có độ lớn không đổi theo phương

ngang và vận tốc còn lại theo phương tiếp tuyến với đường tròn. Roberval sau đó chỉ ra

rằng trong chuyển động theo quỹ đạo đường Cycloid, vận tốc có giá trị bằng với độ dốc

tiếp tuyến của đồ thị quãng đường – thời gian.

Mối quan hệ đảo ngược giữa vận tốc và quãng đường có lẽ đã được biết đến khoảng

năm 1640 bởi Torricelli. Ông nhận ra tính đảo ngược này từ việc xem xét cách giải quyết

hai bài toán tìm quãng đường và vận tốc:

Quãng đường là diện tích của đồ thị vận tốc (đối với thời gian).

Vận tốc là độ dốc tiếp tuyến của đồ thị hàm số quãng đường (đối với thời gian).

Từ mối liên hệ giữa các bài toán xác định đại lượng vật lí và đại lượng hình học

tương ứng, Torricelli dường như đã có cái nhìn thoáng qua mối quan hệ đảo ngược giữa

vận tốc và quãng đường mà có thể xem là phản ánh vật lí của định lí cơ bản. Ông thậm

chí còn sử dụng các đại lượng vật lí để giải quyết ngược trở lại bài toán tìm tiếp tuyến

của đường cong parabol bằng cách phân tích một chuyển động theo hai thành phần – rơi

tự do theo phương thẳng đứng và chuyển động đều theo phương ngang (Phụ lục 1, trang

PL4).

Phương pháp của Torricelli sau đó còn được mở rộng bởi Barrow cho một đường

cong bất kì. Cụ thể hơn, Barrow phân tích chuyển động dọc theo một đường cong tùy ý

như là tổng hợp của hai chuyển động – một theo phương ngang (mà có thể luôn được

xem như đều) và một theo phương dọc. Phương tiếp tuyến của đường cong sẽ được xác

định theo tỉ số của “vận tốc rơi” (phương dọc) chia cho “vận tốc chuyển động bên”

(phương ngang).

Vào lúc này, định lí cơ bản có một phiên bản hình học trong biểu diễn đồ thị của

các hàm số mà có thể phát biểu rằng “độ dốc là phép toán ngược của diện tích”. Nghĩa

là, nếu ta bắt đầu với đồ thị của một đại lượng bất kì (không nhất thiết phải là vận tốc),

áp dụng phép toán “diện tích” và sau đó là phép toán “độ dốc”, chúng ta sẽ thu trở lại

được đại lượng ban đầu. Một định lý như vậy được phát biểu đầu tiên bởi Isaac Barrow

trong Lectiones Geometricae năm 1670. Nó đã rất gần với định lí cơ bản, nhưng không

hoàn toàn, bởi vì các khái niệm nền tảng của GT là đạo hàm và tích phân còn chưa xuất

hiện một cách tường minh và có hệ thống. Vào thời điểm đó vẫn chưa có một phương

pháp tổng quát về việc tính toán độ dốc và diện tích của các đường cong. Như vậy, chính

từ mối liên hệ giữa vận tốc và quãng đường trong Vật lí và giữa tiếp tuyến và độ dốc ở

trong Hình học mà các nhà toán học đã chuẩn bị sẵn sàng những điều kiện cần thiết cho

sự ra đời của định lí cơ bản.

➢ Tiểu kết 2:

Ngay cả khi chưa có tích phân, tư tưởng chia nhỏ, lập tổng, … đã cho phép giải

quyết nhiều vấn đề của Vật lý học, với một sự chấp nhận kết quả thiếu tính chặt chẽ (ở

bước cuối cùng – ngầm ẩn chuyển qua giới hạn). Những ứng dụng này giúp các nhà

khoa học nhận ra sức mạnh ngầm ẩn của một phương pháp toán học đã xuất hiện từ cổ

đại.

Nhu cầu biểu diễn các đại lượng biến thiên liên tục (như vận tốc rơi tự do) đưa đến

việc phát minh phương pháp đồ thị của Oresme. Dựa vào phương pháp này, người ta

tìm ra một biểu diễn mới cho quãng đường đi được là diện tích dưới đường cong vận

tốc. Mối liên hệ ẩn sau phương pháp xác định các đại lượng vật lí như quãng đường –

vận tốc hay đại lượng hình học như diện tích – tiếp tuyến là bước chuẩn bị quan trọng

cho sự ra đời của GT sau đó.

2.2.3. Cơ học cổ điển của Newton và vai trò công cụ của Giải tích

Newton và Leibniz được lịch sử công nhận là đã độc lập phát minh ra GT. Hai ông

đã nắm bắt được các phương pháp giải quyết bài toán tiếp tuyến và diện tích đã xuất

hiện trước đó và tổng hợp chúng thành hai khái niệm tổng quát: đạo hàm và tích phân.

Bên cạnh đó, Newton và Leibniz còn đưa ra những lập luận chứng minh cho định lí cơ

bản cho thấy mối quan hệ giữa hai khái niệm đạo hàm và tích phân. Newton cũng chính

là người có công lớn trong việc tạo ra sự kết nối chặt chẽ giữa GT và Vật lí trong lịch

sử. Dưới đây chúng tôi giới thiệu một số ứng dụng của GT trong các công trình về Cơ

học của Newton cũng như cách hiểu của ông về đạo hàm và tích phân theo ngôn ngữ

vật lí.

• Mối quan hệ giữa chuyển động và lực tác động

Một phát minh quan trọng trong Cơ học được Newton tìm ra khi xem xét mối quan

hệ giữa lực tác động và chuyển động của vật thể. Trong “Các nguyên lý toán học của

triết học tự nhiên”, tác phẩm nổi tiếng nhất của mình, Newton đã phát biểu ba định luật

quan trọng về chuyển động, trong đó định luật thứ hai chỉ ra rằng: sự biến thiên của động

lượng tỉ lệ với lực tác động lên vật và có hướng là hướng của lực đó”. Theo ngôn ngữ

của GT hiện nay thì định luật này có thể được phát biểu ở dạng:

(nếu khối lượng 𝑚 không đổi). Vậy là mọi thay đổi trong trạng thái chuyển động của

vật đều được gây ra bởi lực tác động và lực này tỉ lệ với đạo hàm cấp hai của hàm tọa

độ chất điểm. Vì thế, nếu biết được lực tác động chúng ta có thể tính toán được vectơ

gia tốc, từ đó xác định được quỹ đạo của chất điểm đang xét.

Như đã phân tích trên, thực ra thì vấn đề xác định chuyển động của vật thể khi biết

vectơ gia tốc đã được giải quyết trước đó trong một số trường hợp đặc biệt (chẳng hạn

như rơi tự do hay đạn bắn ra), bởi các nhà khoa học như Roberval hay Galileo. Tuy

nhiên, Newton là người đầu tiên phát triển và xây dựng một cách hệ thống các công cụ

của GT cho phép giải quyết vấn đề tổng quát. Từ điểm này, chúng ta nhận thấy rằng Cơ

học đã cung cấp một lớp bài toán rộng lớn là động lực để làm xuất hiện và tiến triển các

tư tưởng của GT nói chung, hai phép toán đạo hàm và tích phân nói riêng.

Ở một khía cạnh khác, Newton và nhiều nhà nghiên cứu GT thời đó tin rằng liên

tục là một thuộc tính thiết yếu của các hàm số. Tuy nhiên, lúc bấy giờ cách duy nhất để

họ có thể biểu thị được tính liên tục là dựa vào sự phụ thuộc của một vận tốc hoặc một

độ dời theo thời gian. Ở điểm này, Cơ học đã mang đến các mô hình thực tại về quá

trình biến thiên liên tục là đối tượng nghiên cứu thích hợp cho GT.

• Các định luật của Kepler và định luật đảo ngược bình phương của Newton

Kepler là một trong những nhà thiên văn học đầu tiên áp dụng các tư tưởng của

phép tính tích phân để tính những diện tích liên quan đến định luật thứ hai của ông về

quỹ đạo của thiên thể. Ông giải thích những quan sát có được về sao Hỏa bằng cách chỉ

ra rằng quỹ đạo của nó là Elip, với mặt trời ở tại một tiêu điểm. Những nghiên cứu sau

đó giúp Kepler đưa ra ba định luật sau đây về chuyển động của các hành tinh:

1/Quỹ đạo của mỗi hành tinh là một elip, với mặt trời tại một tiêu điểm.

2/Đường nối từ mặt trời đến hành tinh quét được các diện tích bằng nhau trong những

khoảng thời gian bằng nhau.

3/Chu kì chuyển động của một hành tinh quanh mặt trời tỉ lệ với , trong đó R là

một nửa trục chính của quỹ đạo hành tinh.

Đáng chú ý là Newton đã sử dụng kết quả định luật thứ ba của Kepler và phép tính

vi phân của GT để chỉ ra rằng lực hấp dẫn giữa hai vật tỉ lệ nghịch với bình phương

khoảng cách. Cụ thể Newton giả thiết một hành tinh chuyển động theo quỹ đạo tròn

quanh mặt trời với độ lớn vận tốc không đổi. Sử dụng phép tính vi phân và lấy đạo hàm,

ông tính được vận tốc dài và chu kì quay của hành tinh quanh mặt trời. Từ kết quả định

luật ba của Kepler, Newton chứng minh được gia tốc của chuyển động tỉ lệ nghịch với

bình phương bán kính. Mặt khác, Newton biết rằng lực bằng tích của khối lượng với gia

tốc nên cũng tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa hành tinh với mặt trời

(chứng minh đầy đủ của Newton có ở Phụ lục 1, trang PL5).

• Đạo hàm và tích phân theo ngôn ngữ của Newton

Dù ban đầu cũng tiếp cận với ý tưởng mới trong các phương pháp tìm tiếp tuyến

của Fermat và đặc biệt là Barrow, khái niệm đạo hàm mà Newton xây dựng nên lại dựa

trên cơ sở những quan niệm đến từ Vật lí học. Trong công trình “Phương pháp thay đổi

liên tục và các chuỗi vô hạn” (được viết vào khoảng 1671 nhưng đến 1736 mới xuất

bản), Newton xây dựng các yếu tố của GT trên cơ sở khái niệm chuyển động, và đạo

Newton xem một đường cong được sinh ra bởi chuyển động liên tục của một điểm. Các ) được xem là biến đổi theo “thời gian”8, và tốc

đại lượng (kí hiệu bởi các chữ cái

độ biến đổi của chúng (chính là đạo hàm) được Newton gọi là sự thay đổi liên tục và kí

là một khoảng

hiệu bởi những chữ cái đó nhưng với dấu chấm trên đầu (𝑥̇, 𝑦̇ , 𝑧̇). Gọi

hàm được xem như là tốc độ biến đổi của một đại lượng theo thời gian.

lượng x nào đó tăng đều đặn cùng với thời gian thực. Tức là có thể xem

8 “Thời gian” ở đây không nhất thiết phải hiểu theo nghĩa đen mà có thể được thay thế bởi một đại

thời gian vô cùng bé, thì

và chính là khái

(độ thay đổi của x trong quãng thời gian niệm “vi phân” ngày nay) được ông gọi là “moment” của đại lượng x.

(Boyer, 1959, tr. 194)

Newton hiểu về tích phân như một sự tích lũy (tổng của các lượng gia tăng liên tục)

của một đại lượng mà tốc độ biến đổi của nó đã được biết. Ngôn ngữ của Newton có

mối quan hệ mật thiết với chuyển động của một thực thể hình học trong một hệ tọa độ.

Tọa độ y biểu thị cho vận tốc thay đổi của đại lượng (diện tích hay chiều dài) và tọa độ

x biểu thị cho thời gian. Việc gắn chuyển động và thời gian với hình học là một nét đặc

trưng riêng biệt trong kĩ thuật động học của Newton. Bên cạnh đó, Newton cũng sử dụng

ngữ cảnh của chuyển động để cung cấp một cách nhìn trực quan cho quá trình tiến tới

giới hạn của tỉ lệ của hai đại lượng dần đến không.

➢ Tiểu kết 3: Newton đã phát minh GT với mục đích tạo ra công cụ thích hợp phục vụ

cho các tính toán trong những công trình về cơ học của ông. Các bài toán của GT trong

giai đoạn này gắn chặt với những đại lượng và quá trình cơ học liên tục và chính chúng

đem đến điểm tựa cho sự phát triển các ý tưởng và vận dụng GT trong nhiều hiện tượng

tự nhiên.

Công cụ đạo hàm và tích phân khi ứng dụng vào khoa học Vật lí cho phép giải

quyết hai bài toán phổ quát: tìm tốc độ biến thiên của một đại lượng khi biết hàm số mô

tả nó và tính toán sự tích lũy của một đại lượng khi biết tốc độ biến thiên của đại lượng

đó. Một trường hợp riêng của hai bài toán này là xác định vận tốc khi biết hàm số quãng

đường và ngược lại. Bên cạnh vấn đề tìm tiếp tuyến, bài toán tìm vận tốc cũng chính là

nguồn động lực chính cho sự ra đời của phép tính đạo hàm. Ngoài hai bài toán đã nói,

công cụ GT còn đem đến quyền lực to lớn cho việc giải mã các hiện tượng của tự nhiên,

ví dụ như nghiên cứu xem các vật hút nhau theo một lực như thế nào, hay với các tương

tác đã biết thì vật sẽ chuyển động ra sao?

Cuối cùng, trực quan vật lí tác động đến cách hiểu và ngôn ngữ của Newton khi

trình bày về GT. Ông quan niệm một đường cong hình học như chuyển động liên tục

của một chất điểm, tích phân như một đại lượng tích lũy nào đó và đạo hàm là tốc độ

biến thiên của chúng. Đạo hàm và tích phân trong giai đoạn này đã được xây dựng rõ

ràng thành những khái niệm cơ bản và là cơ sở cho GT. Những ảnh hưởng của cách nhìn

vật lí lên cách mà người ta trình bày và sử dụng GT đã nói lên rất nhiều điều về mối liên

hệ chặt chẽ giữa Vật lí học và GT trong suốt quá trình hình thành và phát triển.

2.2.4. Những đóng góp của Giải tích vào sự phát triển sau đó của Vật lí

Sau sự ra đời của GT, đặc biệt đạo hàm và tích phân, là cả một thời kì nở rộ những

ứng dụng phong phú và đa dạng của ngành toán học này trong Vật lí học, đặc biệt là Cơ

Các nhà toán học cố gắng sử dụng GT để giải quyết được ngày càng nhiều các bài toán

vật lí và đã nhanh chóng nhận ra mình phải biết ơn nó như thế nào khi đã giải quyết được

hàng loạt những vấn đề rất mới. Họ thậm chí còn làm được hơn nhiều những gì đã mong

muốn.

(Morris Kline, 1972, tr. 468).

học.

Vật lí học giúp đưa vào Toán học khái niệm về sự biến thiên liên tục và GT đem

lại công cụ để nghiên cứu sự biến thiên đó (chẳng hạn đạo hàm giúp xác định tốc độ

biến thiên). Các hiện tượng tự nhiên được mô tả bằng cách thiết lập các phương trình vi

phân hay phương trình đạo hàm riêng mà việc giải chúng sẽ cho phép nhà khoa học tìm

ra quy luật vật lí ẩn phía sau hiện tượng đó. Một minh họa cho điều này là cách mà Euler

đã thực hiện để tìm ra quy luật dao động của con lắc lò xo năm 1739. Ông thiết lập được

một phương trình vi phân mô tả dao động của con lắc lò xo từ công thức tính lực đàn

hồi và định luật hai Newton, sau đó giải nó để tìm ra được sự phụ thuộc của li độ theo

thời gian là một hàm số dạng 𝑠𝑖𝑛. Đến gần giữa thế kỉ 18, phương trình vi phân đã trở

thành một công cụ toán học hữu hiệu nhất để nghiên cứu Vật lí và nó cho thấy sự gắn

GT đem đến công cụ định lượng cho việc giải quyết những vấn đề của Vật lí. Nó cung cấp

các biểu thức toán học chính xác cho các khái niệm nền tảng như chuyển động, liên tục,

biến thiên, và vô hạn (…). Những phương trình quan trọng nhất của Cơ học, Thiên văn,

và Vật lí nói chung đều là phương trình vi phân và tích phân – vốn đã nảy mầm từ thế kỷ

17.

(Kleiner, 2015, tr. 138)

kết mật thiết giữa hai ngành khoa học này trong việc nghiên cứu tự nhiên.

Trong giai đoạn này, sự hỗ trợ của GT đã giúp khoa học Vật lí có những bước phát

triển nhảy vọt. Nhiều khái niệm vật lí mới ra đời, được xác định hay thậm chí là được

định nghĩa theo phép toán tích phân hay đạo hàm. Chẳng hạn khi xem xét chuyển động

quay của vật rắn, Christiaan Huygens (1673) đưa ra khái niệm về moment quán tính.

Sau đó, Euler (1760) nghiên cứu đầy đủ hơn và đưa ra các khái niệm mới như: tâm khối

lượng, tâm quán tính và moment quán tính. Đối với một vật có khối lượng phân bố liên

tục, Euler đưa ra công thức tính moment quán tính bằng một tích phân:

(r là khoảng cách đến trục quay và dV là vi phân thể tích).

Một đại lượng vật lí quan trọng khác là

công cơ học cũng được Coriolis giới thiệu

năm 1835. Ông định nghĩa công sinh ra bởi

một lực biến đổi 𝐹(𝑥) trên một đoạn đường

như là một tích phân: .

Định nghĩa này bắt nguồn từ phương

pháp tính công khi lực biến đổi: chia nhỏ Hình 2.6. Công của lực biến đổi

quãng đường dịch chuyển để tính các công

nguyên tố, lập tổng của chúng rồi chuyển qua giới hạn để tính chính xác công toàn phần.

Cách tính này tương đương với việc lấy giới hạn của một tổng Riemann mà tích phân

lại là kết quả.

➢ Tiểu kết 4: Vật lí học trong một thời kì dài cung cấp những động lực giúp các khái

niệm như đạo hàm và tích phân có thể nảy sinh và phát triển. Ngược lại, các công cụ

của GT đóng vai trò quan trọng giúp giải quyết rất nhiều vấn đề vật lí và đặc biệt là

trong Cơ học. Thế kỉ 18 ghi dấu thời kì hoàng kim của việc ứng dụng GT trong nghiên

cứu vật lí và lý thuyết về phương trình vi phân là một trong những công cụ hữu hiệu

nhất. Cùng với những liên hệ ngầm ẩn trước đó, đạo hàm và tích phân khi vận dụng vào

các ngữ cảnh của Vật lí đã được khoác thêm những chiếc áo mới. Chẳng hạn, tích phân

có thể có “nghĩa” là công của lực biến đổi, là quãng đường, là moment quán tính. Trong

khi đó đạo hàm có thể mang nghĩa vật lí là vận tốc hay gia tốc tức thời, cường độ dòng

điện, suất điện động, v.v…

2.3. Đặc trưng tri thức luận của đạo hàm và tích phân

Phần này dành riêng cho đạo hàm, tích phân - các tri thức được xác định là đối

tượng nghiên cứu của chúng tôi. Chúng tôi sẽ trình bày tóm lược ở đây một số đặc trưng

tri thức luận rút ra từ nghiên cứu lịch sử nêu trên và từ một số công trình khác do chúng

tôi thực hiện đối với hai khái niệm đạo hàm, tích phân (Ngô Minh Đức, 2013; 2016;

2017b). Nghiên cứu nhằm làm sáng tỏ những bài toán là động lực nảy sinh tri thức đang

nói đến và các nghĩa khác nhau của chúng.

2.3.1. Các bài toán là động lực nảy sinh và tiến triển của đạo hàm, tích phân

2.3.1.1. Đối với khái niệm đạo hàm

Trong lịch sử, có hai bài toán chủ yếu là nguồn gốc làm nảy sinh và tiến triển khái

niệm đạo hàm, một đến từ Hình học là bài toán xác định tiếp tuyến đường cong và cái

còn lại đến từ Vật lí là bài toán xác định vận tốc tức thời của chuyển động.

Bài toán thứ nhất đóng vai trò chủ

yếu trong việc làm nảy sinh khái niệm

đạo hàm. Cụ thể, trong phương pháp mà

các nhà toán học thế kỷ 17 (Fermat,

Descartes, John Wallis, Isaac Barrow) đề

xuất để giải quyết bài toán xác định tiếp

tuyến đường cong đã ngầm ẩn xuất hiện

khái niệm đạo hàm. Họ xem tiếp tuyến

như là vị trí “tới hạn” của cát tuyến và độ Hình 2.7. Bài toán xác định tiếp tuyến

dốc của cát tuyến sẽ trở

thành độ dốc của tiếp tuyến khi h dần đến không. Phương pháp này sau đó đã dẫn Leibniz

đi đến định nghĩa đạo hàm theo tỉ số các vi phân và cách hiểu đạo hàm như là độ dốc

tiếp tuyến.

Trong khi đó bài toán tìm vận tốc tức thời và những vấn đề của Vật lí học nói chung

đóng một vai trò quan trọng hơn trong giai đoạn tiến triển sau này của đạo hàm. Nói

riêng, nó đưa Newton đến với ý tưởng xây dựng GT trên cơ sở của chuyển động. Từ cái

nhìn vật lí, Newton đem đến cho đạo hàm một cách hiểu tổng quát hơn, đặc trưng cho

tốc độ biến thiên của một đại lượng theo một đại lượng khác.

Khái niệm đạo hàm sau khi được định nghĩa tường minh đã được dùng để giải quyết

nhiều vấn đề của Toán học và Vật lí học và một trong số chúng là vấn đề xấp xỉ hàm số.

Về chủ đề này, năm 1715 Taylor đã có một đóng góp quan trọng khi đưa ra công thức

khai triển sau:

Công thức này cho phép xấp xỉ hàm số 𝑓(𝑥) bởi một hàm đa thức. Trong trường

hợp đơn giản nhất, một hàm số có đạo hàm luôn xấp xỉ được bằng một hàm tuyến tính.

Cách hiểu hình học tương ứng là phần đường cong 𝑓(𝑥) sẽ xấp xỉ với tiếp tuyến của nó

quanh một lân cận “khá nhỏ” của tiếp điểm.

2.3.1.2. Đối với khái niệm tích phân

Bài toán tính diện tích các hình có yếu tố cong là nguồn động lực đầu tiên làm nảy

sinh các ý tưởng nền tảng của tích phân từ thời điểm cách đây khoảng 2500 năm. Để

tính diện tích các hình, người ta xấp xỉ nó bằng tập hợp các hình nguyên tố nào đó. Lập

tổng các diện tích nguyên tố này chúng ta sẽ có một giá trị gần đúng cho diện tích hình

ban đầu. Edoxus và Archimedes đã phát triển ý tưởng này thành phương pháp “vét kiệt”

cho phép chuyển qua giới hạn các tổng trên để xác định được chính xác diện tích cần

tìm. Tư tưởng về tích phân sau đó được phát triển bởi các nhà toán học thế kỉ 17 như

Pascal, Fermat,… cùng với sự ra đời của hình học GT giúp tính toán chính xác diện tích,

thể tích và độ dài các đường cong tạo bởi những hàm số bất kì.

Các bài toán vật lí (tính quãng đường chuyển động, trọng tâm vật rắn, hay các đại

lượng vật lí liên quan đến một đại lượng biến đổi khác) đóng vai trò quan trọng hơn

trong sự tiến triển sau này của khái niệm tích phân. Các nhà khoa học nhận ra sức mạnh

của tư tưởng tích phân có thể giúp họ giải quyết nhiều vấn đề khác nhau, đặc biệt trong

khoa học Vật lí. Sự phát triển sau đó của tích phân đưa nó trở thành một công cụ toán

học hiệu quả và mạnh mẽ trong việc nghiên cứu tự nhiên.

2.3.1.3. Đối với định lý cơ bản của Giải tích

Trong lịch sử, việc phát hiện ra mối quan hệ đảo ngược giữa hai khái niệm đạo hàm

và tích phân gắn bó mật thiết với quá trình tìm lời giải cho hai cặp bài toán đảo ngược

nhau – một từ Hình học và một từ Vật lí.

Cặp bài toán đảo ngược thứ nhất đến từ hình học: tìm độ dốc tiếp tuyến tại một

điểm của đường cong, và tìm diện tích của hình giới hạn bởi đường cong. Cặp bài toán

vật lí: mô tả, tính toán vận tốc khi biết quỹ đạo chuyển động (hàm số quãng đường), và

ngược lại. Hai cặp bài toán này đem đến hai phiên bản cho định lí cơ bản, một phiên bản

vật lí về mối quan hệ giữa vận tốc và quãng đường, và một phiên bản hình học giữa độ

dốc và diện tích. Kế thừa việc phát hiện ra mối quan hệ đảo ngược trong phương pháp

giải quyết hai cặp bài toán này của các nhà toán học đi trước (Torricelli, Barrow),

Newton và Leibniz tìm thấy điểm chung trong các phương pháp, từ đó xây dựng nên hai

khái niệm cơ bản của GT là đạo hàm và tích phân trong mối quan hệ đảo ngược giữa

chúng.

2.3.2. Các nghĩa của hai khái niệm đạo hàm và tích phân 2.3.2.1. Nghĩa của khái niệm đạo hàm9

Nghĩa hình học: Đạo hàm tại một điểm bằng hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm ấy.

Nghĩa này cho phép giải quyết được bài toán xác định tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

một điểm.

Nghĩa xấp xỉ: Một trong những đặc trưng quan trọng của đạo hàm được tìm ra bởi

Lagrange qua biểu diễn của ông: , trong đó và

H tiến đến 0 cùng với h. Điều này cũng nói lên rằng, một hàm số có đạo hàm thì xấp xỉ

được bởi hàm số tiếp tuyến (hàm tuyến tính) ở gần lân cận của tiếp điểm và đạo hàm là

hệ số bậc nhất của hàm tuyến tính này. Xấp xỉ vừa nói được biểu diễn bằng công thức

sau đây: hay .

Nghĩa tổng quát: Đạo hàm là thước đo cho tốc độ thay đổi (biến thiên) của một

hàm số theo biến số của nó. 2.3.2.2. Nghĩa của khái niệm tích phân10

sẽ bằng diện tích hình phẳng giới hạn Nghĩa hình học: Nếu 𝑓(𝑥) ≥ 0 thì

bởi đồ thị 𝑦 = 𝑓(𝑥) với trục hoành từ a đến b.

Nghĩa nguyên hàm: , trong đó là một nguyên hàm

của . Nghĩa này cho thấy mối liên hệ giữa tích phân với nguyên hàm – là phép

toán đảo ngược của đạo hàm.

Nghĩa tổng quát (giới hạn tổng Riemann):

Nghĩa này thể hiện trong định nghĩa tích phân theo giới hạn tổng Riemann:

. Nó cung cấp kĩ thuật tính toán một đại lượng bằng cách

lấy tổng các tích giữa hàm số với số gia của đối số rồi chuyển qua giới hạn.

2.4. Kết luận chương 2 và những gợi ý sư phạm được rút ra

Chúng tôi sẽ kết thúc chương này bằng cách tóm lược những nét chính về mối quan

hệ gắn kết giữa GT và Vật lí trong suốt quá trình nảy sinh và tiến triển khái niệm đạo

9 Xem thêm Ngô Minh Đức (2016). 10 Xem thêm Ngô Minh Đức (2017b).

hàm, tích phân. Bên cạnh đó, từ kết quả nghiên cứu tri thức luận vừa thực hiện, chúng

tôi cũng rút ra một số gợi ý sư phạm quan trọng trong việc xây dựng hoạt động DH cho

các tri thức đang bàn tới.

Quá trình hình thành và tiến triển của hai khái niệm đạo hàm, tích phân trong lịch

sử nhận được sự hỗ trợ to lớn từ những “tài nguyên” đến từ khoa học Vật lí. GT nghiên

cứu trên những đại lượng biến thiên liên tục và ngay từ thuở ban đầu, Vật lí học mà nói

riêng là Cơ học đã cung cấp những mô hình thực tế cho chúng. Việc xem xét chuyển

động liên tục buộc các nhà khoa học cổ đại phải đối mặt với các quá trình vô hạn và dẫn

họ đến ý tưởng chia một đại lượng thành vô số các đại lượng vô cùng bé. Điều này góp

phần đưa đến tư tưởng của phương pháp vét kiệt, và sau này phát triển thành phép tính

tích phân. Bên cạnh đó, Vật lí học còn cung cấp nhiều vấn đề là động lực để đạo hàm,

tích phân vượt ra khỏi những ngữ cảnh hình học ban đầu và trở thành hai công cụ tổng

quát trong việc giải thích thế giới tự nhiên. Hơn nữa, Vật lí học còn góp phần hỗ trợ cho

việc phát hiện ra mối quan hệ giữa hai phép tính đạo hàm và tích phân – cột mốc quan

trọng nhất trong lịch sử GT. Cụ thể thì nhờ nhận ra sự đảo ngược trong phương pháp

giải quyết các bài toán động học (tính vận tốc và quãng đường) và mối liên hệ với các

bài toán hình học tương ứng (độ dốc tiếp tuyến và diện tích) đã đưa các nhà toán học

đến gần hơn với việc tìm ra định lí cơ bản của GT.

Với những hỗ trợ và động lực từ Vật lí, các nhà toán học đã phát triển đạo hàm và

tích phân thành hai khái niệm tổng quát (nền tảng cho ngành GT toán học). Chúng được

áp dụng trở lại vào Vật lí để giải quyết nhiều vấn đề khác nhau. Những ứng dụng đó

mang đến các ý nghĩa vật lí đa dạng cho hai khái niệm đang nói đến. Tiếp theo đây

chúng tôi sẽ trình bày một số ý tưởng sư phạm được rút ra từ nghiên cứu đã thực hiện.

• Vai trò của mô hình đồ thị rời rạc trong việc nảy sinh tư tưởng của phép tính tích phân

Phát minh phương pháp biểu diễn đồ thị một hàm số (lúc này được hiểu là một đại

lượng biến thiên theo một đại lượng khác) là một bước quan trọng trong lịch sử để gắn

kết GT với Hình học. Oresme đã sử dụng phương pháp này để biểu diễn và chứng minh

một số kết quả liên quan đến các đại lượng biến đổi. Chẳng hạn, ông kiểm tra được mối

quan hệ giữa vận tốc với quãng đường đi được và rút ra kết luận rằng quãng đường bằng

với một diện tích. Tuy nhiên để có được kết quả này, Oresme đã bắt đầu với mô hình đồ

thị rời rạc. Ông dùng các đoạn thẳng vuông góc hoặc dải hình chữ nhật mỏng để biểu

thị cho vận tốc tại mỗi thời điểm. Các yếu tố cơ bản này được ghép thành các hình mà

diện tích của chúng biểu thị cho quãng đường đi được.

Beeckman cũng sử dụng mô tả rời rạc nói trên khi xem một lực biến thiên liên tục

như là một chuỗi những các “giật nhỏ” – mỗi lực được xem là không đổi trong một

khoảng thời gian ngắn. Rõ ràng là việc nghiên cứu trên các đại lượng biến thiên liên tục

cần đến một mô hình đồ thị rời rạc làm trung gian. Trong lịch sử đã diễn ra một quá

trình phát triển biện chứng, từ việc sử dụng đồ thị rời rạc để mô tả chuyển động đến

những suy luận về diện tích và độ dốc, gắn kết nó với các đại lượng động học, từ đó làm

nảy sinh khái niệm tích phân.

Xem xét ở phương diện sư phạm: phương pháp tính tích phân theo giới hạn tổng

Riemann phải trải qua các bước: phân hoạch (chia nhỏ), lập tích giá trị hàm số với số

gia đối số, lập tổng các tích này và cuối cùng là xác định giới hạn của tổng vừa thu được

khi số gia đối số tiến dần về 0. Quá trình này phải gắn liền với biểu diễn đồ thị của hàm

số và cần giúp HS thấy được rằng kết quả thu được phản ánh chính xác diện tích của

hình dưới đường cong. Những phân tích lịch sử ở trên đưa ra một gợi ý cho việc thiết

kế tình huống DH khái niệm tích phân theo cách hiểu giới hạn tổng Riemann: chúng ta

có thể bắt đầu với việc giới thiệu mô hình đồ thị rời rạc thay vì là một đường cong liên

tục. Gắn nó với ngữ cảnh động học, một vận tốc biến đổi có thể được xấp xỉ rời rạc bởi

một dãy các vận tốc khác nhau nhưng không đổi trong các khoảng thời gian liên tiếp

(mô hình hàm bước). Quãng đường đi được lúc này có thể tính xấp xỉ bằng tổng các

quãng đường liên tiếp trên từng khoảng thời gian nhỏ (vận tốc được xem là không đổi

trên các khoảng thời gian này).

• Thấu hiểu mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân từ sự kết nối hai mặt động học

và hình học của định lý cơ bản

Thấu hiểu được mối quan hệ đảo ngược giữa đạo hàm và tích phân là một trong

những thách thức lớn nhất mà các nhà toán học gặp phải trong việc phát minh ra GT.

Thách thức này rõ ràng sẽ lại là trở ngại mà người học phải đối mặt trong việc hiểu hai

khái niệm đạo hàm và tích phân và mối quan hệ giữa chúng. Trong lịch sử, có hai dòng

chảy phân biệt liên quan đến cách hiểu và diễn đạt đạo hàm, tích phân thể hiện rõ nét

nhất trong các công trình của Newton và Leibniz. Leibniz diễn đạt theo cách nhìn hình

học: tích phân được hiểu như diện tích dưới đường cong (tổng của các diện tích vô cùng

bé) và đạo hàm được định nghĩa bởi độ dốc của tiếp tuyến. Trong khi đó, Newton đưa

ra cách hiểu động học khi xem tích phân như là sự tích lũy một đại lượng và đạo hàm

chính là tốc độ biến thiên của nó.

Việc phát hiện ra mối quan hệ đảo ngược giữa đạo hàm và tích phân cũng bắt nguồn

từ hai mặt hình học và vật lí nói trên. Cụ thể là nó đến từ việc nhận ra sự đảo ngược

trong quá trình giải hai cặp bài toán: xác định diện tích – tiếp tuyến và xác định quãng

đường – vận tốc. Chứng minh chặt chẽ cho định lí cơ bản được cả Leibniz và Newton

thực hiện dựa trên việc khảo sát cặp bài toán thứ nhất – nghĩa là chứng minh rằng cách giải bài toán tìm diện tích và tìm tiếp tuyến là hai quá trình đảo ngược nhau11. Tuy nhiên

chứng minh này thì không dễ hiểu, nhất là với đối tượng HS phổ thông, vì thế chúng ta

có thể tiếp cận nó từ mặt động học. Cách tiếp cận này sẽ đơn giản và trực quan hơn vì

bài toán tính quãng đường hay vận tốc rõ ràng là thân thuộc hơn với người học. Tuy

nhiên cũng phải nói thêm rằng cách tiếp cận vật lí này chỉ để giúp người học phát hiện

ra và ở một chừng mực nào đó hiểu được mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân mà

không chú trọng đến một chứng minh chặt chẽ trong ngữ cảnh toán học.

Bresssound, 2011, tr. 101-102.

11 Tham khảo chứng minh của Newton trong Saul Stahl, 2011, tr. 261-262. Và chứng minh của Leibniz trong

CHƯƠNG 3

ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ TỪ QUAN

ĐIỂM LIÊN MÔN GIỮA GIẢI TÍCH VÀ VẬT LÍ

3.1. Mục tiêu của chương và định hướng thực hiện

Mục đích của chương này là trả lời câu hỏi nghiên cứu Q2: “Liên quan đến đạo

hàm, tích phân, mối quan hệ LM Toán – Vật lí đã thể hiện như thế nào trong chương

trình hiện hành và SGK các môn Toán, Vật lí dùng ở bậc THPT?”. Nghiên cứu của

chúng tôi nhắm đến việc làm rõ sự nối khớp giữa hai thể chế DH Toán và Vật lí (liên

quan đến hai đối tượng tri thức đạo hàm, tích phân) từ góc nhìn LM. Cụ thể hơn, chúng

tôi sẽ tìm hiểu mức độ, cách thức mà thể chế DH Toán và Vật lí hiện hành khai thác sự

hỗ trợ lẫn nhau giữa hai môn học cùng với những gắn kết tiềm năng cho phép mang lại

nhiều lợi ích đối với việc hiểu và ứng dụng các tri thức đang bàn đến.

Để đạt được mục đích nói trên, chúng tôi sẽ thực hiện một phân tích thể chế theo

định hướng LM như đã trình bày ở kết luận của chương 1. Chúng tôi nhắc lại những vấn

đề cần làm rõ trong chương này là:

- Đạo hàm và tích phân xuất hiện ở những đâu trong SGK Toán và Vật lí. Ở đó nó

mang những nghĩa và đặc trưng gì?

- Ngữ cảnh và các vấn đề của vật lí hỗ trợ như thế nào trong việc giúp hình thành

khái niệm đạo hàm và tích phân ở thể chế DH Toán?

- Đạo hàm và tích phân đem đến công cụ toán học giải quyết được những vấn đề gì

trong chương trình vật lí THPT?

- Những điều kiện và ràng buộc nào cần phải thỏa mãn để đảm bảo cho một sự nối

khớp LM hợp lí giữa Toán và Vật lí liên quan đến hai khái niệm đạo hàm và tích

phân?

- Từ quan điểm DH LM, những kiểu nhiệm vụ nào gắn với việc sử dụng đạo hàm

và tích phân, kĩ thuật giải quyết là gì và đâu là cơ sở lý thuyết cho việc giải thích

những ứng dụng của hai khái niệm này trong các vấn đề của Vật lí?

Nghiên cứu thể chế DH trong chương này dựa chủ yếu trên các SGK, sách bài tập

và sách giáo viên của hai môn học Toán, Vật lí. Ngoài ra, để cho gọn chúng tôi sử dụng

kí hiệu 𝐼𝑇 để thay thế cho thể chế DH Toán và kí hiệu 𝐼𝑉𝐿 thay cho thể chế DH Vật lí ở bậc THPT theo chương trình hiện hành.

3.2. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với khái niệm đạo hàm nhìn từ định hướng

liên môn

Trong luận văn Thạc sĩ bảo vệ năm 2013 với đề tài “Khái niệm đạo hàm trong dạy

học Toán và Vật lí ở trường phổ thông” (Ngô Minh Đức, 2013), chúng tôi đã tiến hành

một phân tích thể chế với khái niệm đạo hàm theo định hướng LM Toán – Vật lí. Để

tinh giản hơn trong việc trình bày luận án, ở đây chúng tôi chỉ tóm lược lại một số kết

quả đã có từ luận văn và bổ sung thêm các phân tích mới nhằm làm rõ mối quan hệ LM

giữa hai môn học Toán, Vật lí liên quan đến khái niệm đang bàn đến.

3.2.1. Đạo hàm trong thể chế 𝑰𝑽𝑳

Trong chương trình vật lí THPT, đạo hàm được sử dụng với hai mục đích chính: thước đo cho tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng12 và giải thích một số xấp xỉ

được sử dụng. Nói thêm là, đặc trưng tốc độ biến thiên là một dấu hiệu quan trọng để

nhận ra sự tác động của công cụ đạo hàm trong việc tính toán một đại lượng vật lí.

Để phù hợp với thời điểm đạo hàm được dạy ở môn Toán, quá trình sử dụng công

cụ này trong 𝐼𝑉𝐿 có thể được chia thành hai giai đoạn sau đây:

- Sử dụng một cách ngầm ẩn trong SGK vật lí lớp 10 và 11 (khi khái niệm đạo hàm

chưa xuất hiện trong môn Toán).

- Ứng dụng một cách tường minh trong SGK vật lí 12 (sau khi khái niệm đạo hàm

đã được dạy trong môn Toán).

3.2.1.1. Sử dụng ngầm ẩn trong sách giáo khoa Vật lí lớp 10 và 11

Trước thời điểm được giảng dạy chính thức ở chương trình môn Toán (cuối năm

lớp 11), đạo hàm đã xuất hiện ngầm ẩn ở nhiều tình huống khác nhau trong Vật lí. Ở các

tình huống này, đạo hàm đặc trưng cho tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng

khi rất bé (tiến dần đến 𝑢(𝑡) nào đó theo thời gian và được xác định bằng tỉ số

Xét vận tốc trung bình của chất điểm chuyện động thẳng trong khoảng thời gian từ t

đến t + ∆t. Chọn ∆𝐭 rất nhỏ, nhỏ đến mức gần bằng 0 … Khi đó vtb đặc trưng cho độ nhanh chậm và chiều của chuyển động. Ta có thể dùng vectơ vận tốc trung bình khi ∆t rất

nhỏ để đặc trưng cho phương, chiều, độ nhanh chậm của chuyển động và gọi đó là vectơ

0). Chúng tôi giới thiệu ở đây một số trích dẫn từ SGK Vật lí lớp 10 và lớp 11 ban nâng cao và SGK Vật lí lớp 11 cơ bản như là minh chứng cho kết luận vừa nêu13:

12 Chủ yếu là tốc độ biến thiên theo thời gian. 13 Những phân tích kĩ càng hơn có thể tham khảo ở Ngô Minh Đức, 2013, tr. 40-41.

vận tốc tức thời tại thời điểm t …

(SGK Vật lí 10 nâng cao, tr. 13-14)

Độ lớn của suất điện động cảm ứng trong mạch kín tỉ lệ với tốc độ biến thiên của

từ thông qua mạch … Nếu trong khoảng thời gian

đủ nhỏ, từ thông qua mạch biến

thiên một lượng

thì

là tốc độ biến thiên của từ thông qua mạch … Công thức

xác định suất điện động cảm ứng được viết dưới dạng sau:

(SGK Vật lí 11 nâng cao, tr. 186)

Suất điện động tự cảm có công thức:

. Suất điện động tự cảm có độ

(SGK Vật lí 10 cơ bản, tr. 186)

lớn tỉ lệ với tốc độ biến thiên của cường độ dòng điện trong mạch.

Như vậy, do nhu cầu của mình, SGK Vật lí đã sớm đưa vào khái niệm tốc độ biến

thiên tức thời và ngầm hiểu nó như là giới hạn của tốc độ biến thiên trung bình khi

“rất nhỏ”. Phép lấy giới hạn hoạt động ngầm ẩn ở đây, vì lúc này ngay cả khái niệm

“giới hạn” cũng chưa được nghiên cứu trong IT. Chẳng hạn theo trích dẫn trên thì suất

điện động cảm ứng được tính theo tốc độ biến thiên từ thông. Trong khi đó tốc độ biến

“đủ nhỏ”. Những cách tính toán này trong

thiên này lại được xác định bởi khi

Vật lí đem đến cho giới hạn tỉ số sai phân ý nghĩa là tốc độ biến thiên tức thời của

hàm số theo biến số của nó khi số gia ( rất nhỏ).

Chúng tôi nhận thấy có một chiều có thể khai thác theo quan điểm LM đã xuất hiện

trong thể chế 𝐼𝑉𝐿 khi nó cung cấp các bài toán là động lực giúp hình thành khái niệm đạo hàm. Đáng nói hơn là những ngữ cảnh này còn có thể đem đến cho đạo hàm cách

hiểu tốc độ biến thiên nhờ vào ý nghĩa vật lý của các đại lượng đang được tính toán. Sự

hỗ trợ này có được tận dụng khi dạy đạo hàm trong 𝐼𝑇 hay không sẽ được chúng tôi làm rõ ở các phân tích tiếp theo.

3.2.1.2. Sử dụng tường minh trong sách giáo khoa Vật lí lớp 12

Đạo hàm xuất hiện trong 𝐼𝑇 vào cuối năm lớp 11 thế nên nó đã được sử dụng tường minh trong nhiều nội dung của SGK Vật lí lớp 12, đặc biệt là ban nâng cao. Ở các tình

huống này, đạo hàm cũng được dùng với nghĩa tường minh là tốc độ biến thiên tức thời

của một đại lượng. Cụ thể, mỗi khi có một đại lượng đặc trưng cho tốc độ biến thiên của

một đại lượng khác, SGK Vật lí sẽ sử dụng đạo hàm để tính toán nó. Chúng tôi trích dẫn

Gia tốc góc tức thời (gọi tắt là gia tốc góc) của vật rắn quay quanh một trục ở thời

điểm t là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của tốc độ góc ở thời điểm đó và được

ở đây một số ví dụ từ SGK Vật lí 12 nâng cao để làm rõ cho nhận định này:

xác định bằng đạo hàm của tốc độ góc theo thời gian.

(SGK Vật lí 12 nâng cao, tr. 6)

𝐝𝐄

(21.2). Biểu thức (21.2) cho

Vậy, biểu thức của dòng điện i sẽ có dạng: 𝐢 = 𝐂𝐝

𝐝𝐭

thấy có sự liên quan mật thiết giữa cường độ dòng điện trong mạch với tốc độ biến thiên

của cường độ điện trường trong tụ điện.

(SGK Vật lí 12 nâng cao, tr. 109)

Một điểm đáng chú ý SGK Vật lí sử dụng kí hiệu đạo hàm là (SGK Toán lớp

11 không hề giới thiệu kí hiệu này) và hiểu nó một cách tường minh là “tốc độ biến

thiên”. Cách hiểu này tiếp tục được sử dụng nhiều lần sau đó, chẳng hạn trong bài toán

xác định tốc độ phân rã phóng xạ (SGK Vật lí 12 nâng cao, tr. 270-271). Đặc biệt, chúng

tôi quan sát thấy bước chuyển trong việc sử dụng công cụ đạo hàm từ ngầm ẩn đến tường

minh trong trường hợp của bài toán xác định “suất điện động cảm ứng”. Cụ thể, như đã

trích dẫn ở mục trước, suất điện động cảm ứng ở SGK Vật lí 11 nâng cao được tính toán

theo tốc độ biến thiên: , với rất bé (Đạo hàm tác động một cách ngầm ẩn).

Cũng khái niệm này trong SGK Vật lí 12 nâng cao (tr. 63) lại được tính bởi đạo hàm

Vì từ thông

qua cuộn dây biến thiên theo t nên trong cuộn dây xuất hiện suất điện động

cảm ứng được tính theo định luật Fa-ra-đây:

một cách tường minh như sau:

Cùng một đại lượng vật lí, SGK Vật lí 11 nâng cao hiểu nó là tốc độ biến thiên còn

SGK Vật lí 12 nâng cao lại tính nó theo đạo hàm. Bước chuyển tiếp này tưởng chừng là

diễn ra tự nhiên, nhưng thật ra nó chỉ hợp lí nếu như đặc trưng tốc độ biến thiên của đạo

hàm được hình thành trong 𝐼𝑇 mà thôi.

Ở giai đoạn này, thể chế 𝐼𝑉𝐿 lại tiếp tục hỗ trợ cho việc hiểu khái niệm đạo hàm khi cung cấp những tình huống mà việc giải quyết chúng có sự tác động của cách hiểu tốc

độ biến thiên. Nó là cơ sở cho phép ứng dụng đạo hàm trong nhiều vấn đề của Vật lí,

thế nên nếu quan niệm tốc độ biến thiên không được xây dựng trong lớp học toán thì sự

nối khớp và hỗ trợ lẫn nhau giữa hai môn học khó có thể xảy ra.

3.2.1.3. Vấn đề giải thích các xấp xỉ xuất hiện trong Vật lí

Xem xét SGK và sách bài tập Vật lí THPT, chúng tôi phát hiện ra một số xấp xỉ

hàm số được sử dụng mà không có bất kì một lời giải thích nào về chúng. Chẳng hạn

trong bài phương trình dao động của con lắc đơn SGK Vật lí 12 nâng cao (tr. 37) có nêu

nhận xét sau: “𝛼 ≪ 1 𝑟𝑎𝑑 nên có thể coi gần đúng 𝑠𝑖𝑛𝛼 ≈ 𝛼”. Sách bài tập Vật lí 12

nâng cao còn đưa ra thêm một số xấp xỉ khác: “Với 𝜀 ≪ 1, có thể dùng những công thức

gần đúng: ; ” (tr. 79).

Lời giải thích cho các xấp xỉ này có thể tìm thấy từ đặc trưng xấp xỉ của một hàm

số có đạo hàm khi ta xấp xỉ hàm số bởi phương trình đường tiếp tuyến của nó quanh lân

cận đủ bé của tiếp điểm. Trách nhiệm của việc này có lẽ thuộc về thể chế DH Toán, nếu

không muốn áp đặt HS chấp nhận như hai trích dẫn trên.

3.2.1.4. Tiểu kết: về nhu cầu của IVL và tiềm năng mà IT có thể khai thác trong dạy

học khái niệm đạo hàm

Trước khi có mặt chính thức trong 𝐼𝑇, đạo hàm đã được thể chế 𝐼𝑉𝐿 sử dụng một cách ngầm ẩn như là công cụ nghiên cứu tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng

theo thời gian. Sau khi khái niệm này được giới thiệu ở 𝐼𝑇, SGK Vật lí 12 nâng cao sử dụng nó một cách tường minh và vẫn gắn với cách hiểu đạo hàm theo tốc độ biến thiên.

Bên cạnh đó trong nhiều tình huống, 𝐼𝑉𝐿 còn sử dụng các xấp xỉ hàm mà việc giải thích chúng cần đến sự tác động của đạo hàm (xấp xỉ tuyến tính).

Hai điều cần nhấn mạnh từ kết luận rút ra ở trên: Một là Vật lí đã cung cấp các ngữ

cảnh và vấn đề có thể làm nảy sinh khái niệm đạo hàm và mang lại nghĩa tốc độ biến

thiên tức thời cho nó. Hai là, thể chế DH Vật lí cần đến công cụ đạo hàm một cách tường

minh để giải quyết các vấn đề đặt ra mà ở đó có sự tác động của cách hiểu tốc độ biến

thiên và đặc trưng về xấp xỉ tuyến tính. Nhìn nhận hai điều trên từ quan điểm LM, chúng

tôi thấy được sự hỗ trợ đầy tiềm năng mà 𝐼𝑉𝐿 đã cung cấp trong việc giúp hiểu đầy đủ hơn khái niệm đạo hàm. Đến lượt mình, 𝐼𝑇 có tận dụng thích đáng những gắn kết LM này và liệu có đáp ứng những đòi hỏi mà 𝐼𝑉𝐿 cần đến hay không? Câu trả lời sẽ được làm sáng tỏ sau khi chúng tôi phân tích mối quan hệ giữa đạo hàm với thể chế 𝐼𝑇.

3.2.2. Đạo hàm trong thể chế 𝑰𝑻

Cần nhấn mạnh lại rằng, một phân tích thể chế đặc trưng của 𝐼𝑇 liên quan đến khái niệm đạo hàm đã được chúng tôi thực hiện trong luận văn Thạc sĩ của mình (Ngô Minh

Đức, 2013). Trong phần này, chúng tôi chỉ tóm tắt lại các kết quả chính rút ra từ nghiên

cứu đó và sẽ phân tích sâu hơn ở những biểu hiện LM giữa hai thể chế.

3.2.2.1. Các bài toán tạo động cơ nảy sinh khái niệm đạo hàm

SGK toán sử dụng các bài toán vật lí để tạo động cơ nảy sinh khái niệm đạo hàm.

Cụ thể, SGK Toán 11 cơ bản dẫn vào khái niệm từ hai bài toán vật lí: tìm vận tốc tức

thời và tìm cường độ dòng điện tức thời. Trong lúc đó, SGK Toán 11 nâng cao chỉ xem

xét duy nhất bài toán xác định vận tốc tức thời của vật rơi tự do.

Cách tiếp cận nói trên cho thấy các SGK trên đã tính đến quan điểm LM khi trình

bày khái niệm đạo hàm gắn với ngữ cảnh vật lí. Tuy nhiên phân tích sau đó chỉ ra rằng

cách tiếp cận này lại chưa thu được những lợi ích LM cần phải có – một trong số đó là

mang lại nghĩa tốc độ biến thiên tức thời cho khái niệm đạo hàm. Để làm rõ cho nhận

định này, phải thấy được đâu là mục đích mà SGK Toán 11 cơ bản muốn đạt được khi

giới thiệu hai bài toán vật lí nói trên.

Trước hết, SGK nhắc lại cách tính vận tốc trung bình (𝑣𝑡𝑏) và cường độ dòng điện

và , với 𝑠(𝑡) và 𝑄(𝑡) là hàm trung bình (𝐼𝑡𝑏) như sau:

và

số quãng đường và điện lượng theo thời gian. Sau đó lập luận rằng để có được vận tốc

tức thời và cường độ dòng điện tức thời cần tính các giới hạn

. Về đặc trưng vật lí, vận tốc trung bình được tính bởi thương số của sự

thay đổi quãng đường với sự thay đổi thời gian và sẽ phản

ánh tốc độ biến thiên trung bình của quãng đường theo thời gian. Tương tự, cường độ

dòng điện cho biết tốc độ thay đổi của điện lượng gửi qua một thiết diện thẳng của vật

dẫn theo thời gian. Tuy nhiên cách dẫn dắt của SGK toán không làm rõ được đặc trưng

Nhiều bài toán trong Vật lí, Hóa học, … đưa đến việc tìm giới hạn dạng

, trong đó

là một hàm số đã cho. Giới hạn trên dẫn tới một khái niệm quan trọng

trong toán học, đó là khái niệm đạo hàm.

này, thay vào đó chỉ đưa ra nhận xét sau đây:

(SGK Toán 11 cơ bản, tr. 148)

Như vậy, ý định của SGK toán là để đưa đến lí do tồn tại của một khái niệm có tên

là “đạo hàm” và được tính theo giới hạn có dạng: . Cách tiếp

cận như trên tất nhiên sẽ đem đến nghĩa vật lí cho đạo hàm là vận tốc và cường độ dòng

điện tức thời, tuy nhiên chưa làm nổi bật được ý tưởng tổng quát của đạo hàm là thước

đo cho tốc độ biến thiên của một đại lượng theo một đại lượng khác. Không thể chắc

chắn rằng SGK toán có ý định làm xuất hiện nghĩa tổng quát này hay không, tuy nhiên

thuật ngữ “tốc độ biến thiên” thì chưa bao giờ thấy được nhắc đến trong các nội dung liên quan đến khái niệm đạo hàm 14.

3.2.2.2. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

SGK Toán 11 cơ bản đưa ra ba ứng dụng của đạo hàm trong Vật lí thông qua các

công thức tính vận tốc, gia tốc và cường độ dòng điện tức thời: ,

và . Với SGK Toán 11 nâng cao thì chỉ có hai ứng dụng đầu

tiên được đề cập mà không giới thiệu bài toán tính cường độ dòng điện tức thời. Cả hai

bộ SGK toán đều không nêu ra đặc trưng chung trong các ứng dụng này của đạo hàm là

để tính toán tốc độ biến thiên của một đại lượng vật lí (theo thời gian). SGK Toán 11

nâng cao hình như có ý định làm việc này nhưng cách trình bày là khá “mập mờ” và

theo chúng tôi cũng chưa hợp lý. Chúng tôi sẽ làm rõ điều này từ việc phân tích cách

Bây giờ nếu

nhận một số gia

thì

nhận một số gia là

Khi

càng nhỏ (khác 0) thì

càng phản ánh chính xác sự biến thiên vận tốc của chất điểm

tại thời điểm

mà SGK Toán 11 nâng cao (tr. 217) giải thích về ý nghĩa của gia tốc tức thời:

Gia tốc sau đó được định nghĩa: , vì thế là đạo hàm của hàm vận tốc.

Cuối cùng, SGK toán còn đưa ra nhận xét: “Gia tốc tại thời điểm đặc trưng cho sự

biến đổi vận tốc của chuyển động tại thời điểm đó”.

Điểm bất hợp lí trong cách trình bày trên là ở chỗ, SGK toán cho rằng cả gia tốc 𝑎(𝑡0) và ∆𝑣 (khi ∆𝑡 rất nhỏ) đều phản ánh “sự biến thiên vận tốc tại thời điểm 𝑡0”. Điều này theo chúng tôi chỉ đúng với ∆𝑣 mà thôi. Đi tìm lại cách hiểu về gia tốc trong SGK

14 Trừ một trường hợp đặc biệt duy nhất mà sẽ được chúng tôi phân tích kĩ ở phần sau.

Vật lí 10 nâng cao, chúng tôi thấy nó được giải thích là đại lượng “đặc trưng cho độ

biến đổi nhanh chậm của vận tốc” (tr. 21). Độ biến đổi nhanh chậm ở đây là muốn nói

đến việc vận tốc thay đổi nhanh như thế nào theo thời gian, cũng là muốn ám chỉ đến

tốc độ thay đổi của nó. Việc SGK toán chỉ giải thích gia tốc theo sự biến thiên của vận

tốc ( ) thay vì phải là tốc độ biến thiên của vận tốc rõ ràng là có thể gây hiểu sai đặc

trưng vật lí của nó và cũng không thể giúp HS hình thành được cách hiểu đạo hàm theo

tốc độ biến thiên ở tình huống này.

3.2.2.3. Đặc trưng xấp xỉ của đạo hàm

Đặc trưng xấp xỉ của đạo hàm biểu thị qua công thức mà

thể hiện hình học của nó là xấp xỉ đồ thị hàm số bởi đường thẳng tiếp tuyến của nó

quanh lân cận của tiếp điểm. Vai trò của đạo hàm trong xấp xỉ hình học này là hệ số góc

của đường thẳng tiếp tuyến.

Để đi đến ý nghĩa hình học của đạo hàm, SGK toán đưa ra quan niệm tiếp tuyến là

vị trí tới hạn của cát tuyến từ đó giải thích rằng đạo hàm cho phép tính được hệ số góc

của tiếp tuyến. Dạng của phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm được thiết lập

sau đó: . Sự xấp xỉ hàm số bởi phương trình tiếp tuyến không

được thực hiện ở đây mà lại được dẫn ra một cách tách biệt trong bài “Vi phân” (SGK

Cho hàm số

có đạo hàm tại điểm

. Khi đó ta có

. Đẳng thức trên

cho thấy: Nếu

khá nhỏ thì tỉ số

rất gần với

, do đó có thể coi rằng

hay

Toán 11 nâng cao, tr. 218):

Công thức xấp xỉ trên được viết lại , từ đó đi đến biểu

thức xấp xỉ: . Điều đáng tiếc là SGK chỉ dừng ở đây để thu

được một công thức giúp tính gần đúng thay vì biến đổi nó về một dạng tương đương

(bằng cách thay ). Ở dạng này vế trái là hàm số

còn vế phải chính là phương trình của đường thẳng tiếp tuyến tại , và do đó cho

phép xấp xỉ bởi một hàm số bậc nhất. SGK toán hoàn toàn có thể đi đến công thức

xấp xỉ này bằng con đường hình học: xấp xỉ đồ thị hàm số trong một lân cận “khá bé”

của với một đoạn thẳng (một phần của đường tiếp tuyến tại ). Cách tiếp cận này

theo chúng tôi là thuận lợi hơn bởi sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan đồ thị. HS sẽ dễ

dàng “nhìn thấy” được sự xấp xỉ này nếu chúng ta “phóng to” đồ thị hàm số và đường

tiếp tuyến của nó trong cùng một hệ trục (chẳng hạn với sự trợ giúp của một phần mềm

vẽ đồ thị).

3.2.2.4. Các tổ chức tri thức

Như đã trình bày ở phần cơ sở lí luận, phân tích một tổ chức tri thức là làm rõ những

kiểu nhiệm vụ có liên quan, các kĩ thuật giải quyết chúng cũng như yếu tố công nghệ và

lý thuyết cho phép giải thích kĩ thuật đó. Phân tích này giúp chúng ta thấy được “cuộc

sống” của tri thức trong thể chế và đối với thể chế DH thì nó còn hé lộ phần nào cách

mà các chủ thể của thể chế (GV, HS) có thể hiểu về tri thức đó.

Nghiên cứu về tổ chức tri thức liên quan đến khái niệm đạo hàm trong luận văn của

chúng tôi (Ngô Minh Đức, 2013) và bài báo của Nguyễn Phú Lộc và Nguyễn Văn Nu

(2015) đã chỉ ra: SGK toán ưu tiên cho các kiểu nhiệm vụ tính toán đạo hàm và viết

phương trình tiếp tuyến. Ở đây, chúng tôi chỉ tập trung phân tích các kiểu nhiệm vụ liên

quan đến hai đặc trưng đang bàn đến là tốc độ biến thiên và đặc trưng xấp xỉ hàm số.

• Kiểu nhiệm vụ liên quan đến tốc độ biến thiên

Các ứng dụng chủ yếu của đạo hàm trong Vật lí là tính toán các đại lượng có liên

quan đến tốc độ biến thiên tức thời. Tuy nhiên SGK toán chỉ đưa vào hai kiểu nhiệm vụ

vật lí là tính vận tốc và gia tốc. Kĩ thuật giải quyết là hai công thức ;

. Công nghệ giải thích cho kĩ thuật này liên quan đến bản chất vật lí mà đặc

biệt là đặc trưng tốc độ biến thiên lại không được làm rõ.

Những kiểu nhiệm vụ yêu cầu tính tốc độ biến thiên hoặc vận dụng đặc trưng tốc

độ biến thiên của đạo hàm không hề xuất hiện trong SGK toán lớp 11 ở cả hai phân ban.

SGK GT 12 nâng cao thì có đưa vào một bài toán duy nhất liên quan đến cách hiểu tốc

Số dân của một thị trấn sau 𝑡 năm kể từ năm 1970 được tính bởi công thức:

(đơn vị: nghìn người)

a. Tính số dân của thị trấn vào năm 1980 và năm 1995.

b. Xem 𝑓 là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0 ; +∞ ). Tìm 𝑓′ và xét chiều biến thiên

của hàm số 𝑓 trên nửa khoảng [0 ; +∞ ).

c. Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (nghìn người/năm)

- Tính tốc độ tăng dân số vào năm 1990 và năm 2008 của thị trấn?

độ biến thiên, nhưng nó lại không phải là bài toán vật lí.

- Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,125 nghìn người / năm?

(SGK GT 12 nâng cao, tr. 9)

Bài toán này xuất hiện ở nội dung xét tính đơn điệu trong chương khảo sát hàm số,

tuy nhiên người đọc không rõ SGK đưa ra kiểu nhiệm vụ tính “tốc độ tăng dân số” ở

đây có dụng ý gì? Và nếu vậy thì kĩ thuật giải quyết là gì và đâu là yếu tố công nghệ hay

lý thuyết cho phép giải thích nó nếu như đặc trưng tốc độ biến thiên của đạo hàm không

được xây dựng ở phần lý thuyết dạy ở lớp 11. Dường như các tác giả viết SGK cũng cho

rằng HS không thể biết được đặc trưng này cho nên đã đưa vào đề bài toán một thông

báo có tính áp đặt: “Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn”. HS

có thể vẫn giải quyết được nhiệm vụ này bằng cách tính đạo hàm nhưng không vì thế

mà hiểu được tại sao đạo hàm lại đặc trưng cho tốc độ thay đổi. Kiểu nhiệm vụ tính tốc

độ biến thiên sau đó cũng không xuất hiện thêm một lần nào nữa. Việc 𝐼𝑇 không quan tâm đến đặc trưng tốc độ biến thiên nhưng lại đưa vào bài toán tính tốc độ tăng dân số

theo chúng tôi là chưa phù hợp. Có lẽ các tác giả SGK muốn làm đa dạng hơn các kiểu

nhiệm vụ mà đạo hàm có thể giải quyết. Tuy nhiên cách làm này theo chúng tôi là khiên

cưỡng nhất là khi 𝐼𝑉𝐿 đã cung cấp nhiều bài toán cần đến sự tác động của cách hiểu tốc độ biến thiên và đạo hàm hoàn toàn có thể xuất hiện ở đó.

• Kiểu nhiệm vụ liên quan đến đặc trưng xấp xỉ

Chỉ có một kiểu nhiệm vụ duy nhất liên quan đến đặc trưng xấp xỉ đó là tính gần

đúng một phép tính số học. Chẳng hạn là tính gần đúng giá trị của . Để giải quyết

nhiệm vụ này, kĩ thuật được SGK đưa ra là: Chọn hàm số , và phù hợp. Sử

dụng công thức gần đúng: .

Công thức nói trên cho phép xấp xỉ hàm số bởi một hàm số bậc nhất. Tuy

nhiên lại không hề xuất hiện những kiểu nhiệm vụ chứng minh hay giải thích các xấp xỉ

hàm đã xuất hiện trong Vật lí mặc dù yếu tố kĩ thuật và công nghệ đã có sẵn. Phân tích

này cho thấy nghĩa xấp xỉ của đạo hàm khó mà xuất hiện và 𝐼𝑇 thêm một lần nữa bỏ qua cơ hội cung cấp cho 𝐼𝑉𝐿 những công cụ toán học cần thiết. 3.2.2.5. Tiểu kết: về sự nối khớp giữa 𝑰𝑻 và 𝑰𝑽𝑳 đối với khái niệm đạo hàm

𝐼𝑉𝐿 đặt ra những vấn đề cần đến đạo hàm để giải quyết mà ở đó có sự tác động của đặc trưng tốc độ biến thiên tức thời. Từ góc nhìn LM thì đây là những ngữ cảnh thuận

lợi mà 𝐼𝑇 có thể tận dụng để làm nảy sinh và mang lại cách hiểu đầy đủ hơn cho khái

niệm. Hơn nữa, cách hiểu tốc độ biến thiên nếu xuất hiện trong 𝐼𝑇 sẽ giúp soi sáng lại nhiều tình huống mà 𝐼𝑉𝐿 đã sử dụng đạo hàm ngầm ẩn trước đó.

Tuy nhiên, phân tích sự hiện diện của đạo hàm trong 𝐼𝑇 cho thấy cách hiểu tốc độ biến thiên đã không có cơ hội xuất hiện. Mặc dù SGK toán sử dụng các bài toán vật lí

làm động lực dẫn vào khái niệm đạo hàm nhưng lại không nâng tầm ý tưởng về nó như

công cụ tính toán tốc độ biến thiên, hay ít ra là tận dụng những ngữ cảnh LM đã có từ

Vật lí để giới thiệu cách hiểu quan trọng này. Xem xét tổ chức tri thức liên quan đến

khái niệm đạo hàm trong 𝐼𝑇 cho thấy một sự nhấn mạnh vào kĩ thuật tính toán và ý nghĩa hình học của đạo hàm như là hệ số góc tiếp tuyến. Các kiểu nhiệm vụ gắn với ngữ cảnh

vật lí chỉ hạn chế ở hai đại lượng động học là vận tốc hay gia tốc và kĩ thuật giải quyết

chúng là sử dụng các công thức được cung cấp sẵn mà không cần đến đặc trưng vật lí

liên quan đến tốc độ biến thiên. Bên cạnh đó, chúng tôi còn ghi nhận sự thiếu vắng trong

𝐼𝑇 kiểu nhiệm vụ giải thích các xấp xỉ hàm số xuất hiện ở 𝐼𝑉𝐿 dù cho kĩ thuật và công nghệ giải quyết nhiệm vụ này đã có sẵn.

Những điểm đã chỉ ra cho thấy một sự ngắt quãng trong việc hiểu và sử dụng đạo

hàm ở hai thể chế. Nguyên nhân chính đến từ sự thiếu hụt cách hiểu đạo hàm theo tốc

độ biến thiên trong quan niệm của HS ngay từ thể chế DH nó. Sự thiếu hụt này đã được

chúng tôi kiểm chứng bởi một TN đã tiến hành trước đó (Ngô Minh Đức, 2013, tr. 60-

68). TN này chỉ ra rằng, dù ý tưởng về tốc độ thay đổi tồn tại trong quan hệ cá nhân của

HS nhưng nó hoàn toàn không được nối kết với khái niệm đạo hàm.

Tóm lại, sự nối khớp LM giữa hai môn học chỉ mới thể hiện ở mức độ cung cấp

một số công thức tính vận tốc và gia tốc qua đạo hàm. Mức độ này rõ ràng là chưa thỏa

đáng khi mà 𝐼𝑇 đã không tận dụng thích đáng nguồn “tài nguyên” từ Vật lí, cũng như chưa cung cấp đầy đủ các công cụ toán học mà 𝐼𝑉𝐿 cần đến. Sự bất cập này đặt ra nhu cầu phải xây dựng một đồ án DH khái niệm đạo hàm có thể mang đến nghĩa tốc độ biến

thiên tức thời cho nó. Đó cũng là một trong những công việc được chúng tôi thực hiện

ở chương cuối của luận án.

3.3. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với khái niệm tích phân nhìn từ định

hướng liên môn

Theo phân tích tri thức luận ở chương 2, tích phân là một khái niệm có nhiều cách

hiểu khác nhau. Trong những cách hiểu đó, quan niệm tích phân theo giới hạn tổng

Riemann đem đến một kĩ thuật GT cho phép tính toán nhiều đại lượng thông qua quá

trình gồm các bước chia nhỏ, lập tổng vô hạn, chuyển qua giới hạn. Nó cũng là cơ sở để

hiểu vai trò của tích phân trong nhiều ngữ cảnh ứng dụng, đặc biệt là đối với các vấn đề

của Vật lí. Mặt khác, việc tính toán tích phân lại có thể thực hiện theo một quá trình đơn

giản hơn từ phép tính nguyên hàm. Tuy nhiên, nếu giới thiệu cả hai phương pháp tính

toán nói trên thì lại cần phải chỉ ra sự tương đương giữa chúng thông qua việc chứng

minh định lí cơ bản vốn phức tạp với đối tượng HS THPT. Vậy 𝐼𝑇 tiếp cận tích phân theo tổng Riemann hay theo nguyên hàm? Sự lựa chọn của 𝐼𝑇 sẽ giúp HS hiểu và ứng dụng tích phân như thế nào?

Tương tự như với khái niệm đạo hàm, chúng tôi sẽ đối chiếu 𝐼𝑇 và 𝐼𝑉𝐿, xác định những yếu tố mà việc DH tích phân có thể khai thác để tạo ra sự nối khớp giữa hai thể

chế và đem đến một cách hiểu đầy đủ hơn cho đối tượng tri thức đang bàn đến.

3.3.1. Tích phân trong thể chế 𝑰𝑽𝑳

Xem xét 𝐼𝑉𝐿, chúng tôi nhận thấy xuất hiện ba kiểu nhiệm vụ chính sau đây cần đến

sự can thiệp của khái niệm tích phân trong kĩ thuật giải quyết:

- Tính độ dời của chuyển động khi biết hàm số vận tốc (khi chuyển động thẳng và

theo cùng một hướng thì độ dời bằng với quãng đường đi được).

- Tính công của lực biến đổi, bao gồm các kiểu nhiệm vụ con là: công của trọng lực,

của lực điện, của lực đàn hồi.

- Tính công của khí lí tưởng.

Ở phần tiếp theo, chúng tôi sẽ phân tích kĩ thuật mà SGK Vật lí đã dùng để giải

quyết ba kiểu nhiệm vụ nói trên. Điều này không chỉ giúp làm rõ cách 𝐼𝑉𝐿 hiểu và sử dụng tích phân mà còn hé lộ những tiềm năng do có thể khai thác từ các ngữ cảnh vật lí

trong việc tạo tình huống DH khái niệm.

3.3.1.1. Bài toán xác định độ dời khi biết hàm số vận tốc

SGK Vật lí 10 nâng cao chỉ xét các chuyển động thẳng và khi vận tốc không âm

(luôn chuyển động theo chiều dương) thì độ dời và quãng đường là đồng nhất.

• Trường hợp chuyển động thẳng đều

Trong trường hợp này vận tốc là hằng số, vì thế độ dời được tính bởi công thức quen

thuộc là tích của vận tốc và thời gian: 𝑥 − 𝑥0 = 𝑣𝑡. Điểm đáng chú ý là việc SGK đưa ra nhận định về ý nghĩa hình học của độ dời này như sau:

Độ dời (𝑥 − 𝑥0) được tính bằng diện tích hình chữ nhật (Hình 2.9) có một cạnh bằng 𝑣0 và một cạnh bằng t. Ở đây vận tốc tức thời không đổi, bằng vận tốc đầu

𝑣0: 𝑣 = 𝑣0. (SGK Vật lí 10 nâng cao, tr.16) Dường như đây là sự chuẩn bị đầu tiên mà SGK

Vật

lí thực hiện để giới thiệu ý nghĩa hình học của quãng

đường như là diện tích dưới đồ thị hàm số vận tốc.

• Trường hợp chuyển động thẳng biến đổi đều

Để có kết quả tương tự trong trường hợp vận tốc biến đổi theo thời gian, SGK Vật

Trong chuyển động thẳng biến đổi đều, công thức của vận tốc là : 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 Đồ thị vận tốc theo thời gian là một đường thẳng xiên

góc. Ta sẽ chứng minh rằng độ dời 𝑥 − 𝑥0 được tính bằng diện tích hình thang vuông có các cạnh đáy là

𝑣, 𝑣0 và đường cao là t. Thực vậy, trước hết ta kẻ những đường song song với trục tung Ov cách đều

nhau một khoảng ∆𝑡 rất nhỏ. Ta có những hình thang

nhỏ với đường cao Δ𝑡. Lấy một hình thang bất kì như

trên hình 5.3 chuyển động của chất điểm trong

khoảng thời gian 𝑡𝑐 − 𝑡𝐴 = Δ𝑡 có thể coi như chuyển

động đều với vận tốc 𝑣𝐵 =

𝑣𝑐+𝑣𝐴 2

Độ dời Δ𝑥 trong khoảng thời gian đó là Δ𝑥 =

. Δ𝑡, bằng diện tích hình thang

𝑣𝑐+𝑣𝐴 2

nhỏ gạch chéo trên hình 5.3. Độ dời trong khoảng thời gian từ 𝑡0 đến t bằng tổng của tất cả các độ dời Δ𝑥 trong các khoảng thời gian Δ𝑡. Độ dời này đúng bằng diện tích hình thang

vuông có các cạnh đáy 𝑣 và 𝑣0, đường cao là 𝑡 − 𝑡0. Dễ dàng tính được diện tích này:

𝑡.

Diện tích hình thang bằng: 𝑥 − 𝑥0 =

𝑣+𝑣0 2

(SGK Vật lí 10 nâng cao, tr. 26)

lí lại phải cần đến kĩ thuật của phương pháp lập tổng Riemann.

Cách làm trên của SGK Vật lí đã đi qua các bước sau: Đầu tiên là chia thời gian

chuyển động thành các khoảng thời gian Δ𝑡 rất nhỏ để có thể xem vận tốc là không đổi.

Vì vận tốc được xem là hằng số nên độ dời nguyên tố Δ𝑥 trong khoảng thời gian nhỏ

này được tính bởi tích của vận tốc và thời gian. Mỗi độ dời này được thay thế bằng diện

tích của một hình thang nguyên tố tương ứng (biểu diễn hình học của tích). Lập tổng tất

cả các độ dời nhỏ nói trên – tương ứng là tổng tất cả các diện tích nguyên tố. Lớp giới

hạn hoạt động một cách ngầm ẩn khi xem Δ𝑡 rất nhỏ (dần đến 0). Cuối cùng, SGK Vật

lí kết luận rằng độ dời trong khoảng thời gian cần tính bằng với diện tích hình thang

vuông dưới đồ thị hàm số vận tốc.

Các bước của phương pháp giải nói trên cho thấy rằng SGK Vật lí đã sử dụng kĩ

thuật xấp xỉ theo tổng Riemann để tính độ dời từ hàm số vận tốc đã biết. Quy trình xây

dựng khái niệm tích phân tác động vào việc giải quyết vấn đề mà kết quả chính là diện

tích hình phẳng dưới đồ thị. Tình huống vật lí nói trên đưa đến một ngữ cảnh thuận lợi

có thể giúp nảy sinh khái niệm tích phân và giới thiệu cho người học một kĩ thuật tính

toán xấp xỉ hiệu quả của GT.

Thật ra, còn một cách thứ hai để giải thích lí do vì sao quãng đường được tính toán

theo tích phân hàm vận tốc: đó là xem xét từ bài toán đảo ngược của nó – bài toán tìm

vận tốc khi biết hàm số quãng đường, ở đó đạo hàm là công cụ cho phép giải quyết. Bài

toán này, như chúng tôi chỉ ra ở trên, được sử dụng để đưa vào khái niệm đạo hàm. Tuy

vậy, vào thời điểm 𝐼𝑉𝐿 xét bài toán “tìm quãng đường” thì đạo hàm và tích phân đều chưa xuất hiện ở 𝐼𝑇. Thế nhưng, ở chiều ngược lại, SGK toán hoàn toàn có thể sử dụng cặp bài toán thuận – nghịch này để né tránh việc giới thiệu kĩ thuật xấp xỉ theo tổng

Riemann khi xây dựng tích phân mà vẫn giải thích được ứng dụng của nó trong bài toán

tính quãng đường. Tuy nhiên, theo chúng tôi đây chỉ là giải pháp tạm thời vì có nhiều

vấn đề khác xuất hiện trong 𝐼𝑉𝐿 mà một mối quan hệ ngược như trên không có sẵn. Điều đó giải thích lý do vì sao DH Toán cần phải tiếp cận tích phân theo phương pháp lập

tổng Riemann. Một lớp các vấn đề như vậy xuất hiện trong SGK Vật lí sẽ được chúng

tôi phân tích tiếp sau đây.

3.3.1.2. Bài toán xác định công của lực biến đổi

• Trường hợp tổng quát

Khi lực là không đổi và chuyển động là thẳng thì công được tính theo mối quan hệ

nhân giữa lực và quãng đường như sau: 𝐴 = 𝐹. 𝑠. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, lực

thường là một đại lượng biến đổi theo quãng đường dịch chuyển. Để chuẩn bị phương

Vật lí 10 nâng cao đã trình bày cách tính “công của lực biến đổi” như sau:

pháp giải quyết cho các bài toán thuộc dạng này, trong bài “Công và công suất” SGK

…trường hợp lực biến đổi và quỹ đạo không thẳng thì

công được tính thế nào? Giả sử vật chuyển động trên một

đường cong bất kì từ A đến B…chia đường cong thành

những đoạn đủ nhỏ ∆𝑠 sao cho mỗi đoạn đó có thể xem

như một đoạn thẳng (Hình 33.3). Đồng thời vì đoạn

thẳng đã coi là đủ nhỏ nên có thể coi lực tác dụng trong

khoảng thời gian này là không đổi. Công thực hiện trên

quãng đường vô cùng nhỏ như thế gọi là công nguyên tố

Với lập luận như vậy, về nguyên tắc, công toàn phần mà lực thực hiện trên cả quãng

đường sẽ bằng tổng các công nguyên tố (được tính bằng phép tính tích phân).

(SGK Vật lí 10 nâng cao, tr. 156)

Phương pháp mà SGK Vật lí trình bày là chia một đại lượng thành các phần

“nguyên tố” được tạo bởi một tích giữa hàm số với một số gia biến số “đủ nhỏ”. Đại

lượng ban đầu sẽ được tính bằng tổng của các thành phần “nguyên tố” này (thật ra bước

chuyển qua giới hạn hoạt động ngầm ẩn và không rõ ràng trong bước lập luận này).

Phương pháp lập tổng các “công nguyên tố” nói trên được SGK Vật lí nói rõ là “được

tính bằng phép tính tích phân”. Điều này cho thấy rõ cách mà 𝐼𝑉𝐿 hiểu và sử dụng công cụ tích phân là theo cấu trúc tổng Riemann của nó.

Tất nhiên là làm việc trực tiếp với các công nguyên tố là khá khó khăn với HS nên

mỗi khi cần tính một đại lượng bằng tổng Riemann, SGK Vật lí sẽ tìm cách chuyển mỗi

công nguyên tố thành các diện tích nguyên tố tương ứng trên đồ thị. Công toàn phần sau

đó được tính qua diện tích toàn phần – tổng của các diện tích nguyên tố này.

• Trường hợp công của lực đàn hồi

Ở tình huống này lực đàn hồi biến đổi theo độ biến dạng 𝑥 nên để tính

công, SGK đã “chia nhỏ độ biến dạng toàn phần thành những đoạn rất nhỏ ∆𝑥 sao cho

tương ứng với độ biến dạng này lực đàn hồi được coi là không đổi” (SGK Vật lí 10 nâng

cao, tr. 169). Công nguyên tố tương ứng sẽ là ∆𝐴 = 𝐹∆𝑥 = −𝑘𝑥∆𝑥, và công toàn phần

sẽ là tổng của các công nguyên tố đó. Tương tự như tình huống trước, SGK Vật lí 10

nâng cao tiếp tục sử dụng phương pháp đồ thị để tính công này (tr. 170):

Trên Hình 36.2, công nguyên tố được biểu diễn

bằng diện tích dải chữ nhật màu xanh có hai

cạnh là

và

. Cộng tất cả các diện tích

nguyên tố trong phạm vi giới hạn trên trục x từ

giá trị

đến giá trị

ta được công toàn

phần…có giá trị bằng diện tích hình thang

BCDE, cũng bằng hiệu diện tích hai tam giác

OCD và OBE.

Dường như quy trình giải bài toán nêu trên

cũng giống như cách giải bài toán tìm độ dời. Tuy nhiên, trong bài toán về độ dời, mỗi

độ dời nguyên tố được thay thế bằng với một hình thang nhỏ. Vì vậy khi cộng các hình

thang này sẽ thu được trực tiếp diện tích hình thang lớn. Ở tình huống tính công, mỗi

công nguyên tố được thay thế bởi một dải hình chữ nhật, mà sau đó SGK Vật lí không

giải thích rõ vì sao lấy tổng diện tích các dải hình chữ nhật nhỏ này lại thu được diện

tích hình thang. Bước chuyển qua giới hạn của tổng Riemann hình như đã được “lờ đi”

hay có thể SGK Vật lí ngầm hiểu mỗi dải hình chữ nhật khi xét đủ nhỏ sẽ như mỗi đoạn

thẳng để ghép lại thành hình thang như phương pháp mà Oresme đã làm trong bài toán

tính quãng đường.

Một điểm thú vị khác là khi biểu diễn các công nguyên tố bằng diện tích hình chữ

nhật (là số dương), dấu trừ trong biểu thức ∆𝐴 = 𝐹∆𝑥 = −𝑘𝑥∆𝑥 cũng bị bỏ qua và chỉ

xuất hiện lại trong kết quả tính toán cuối cùng:

(đồng nhất với kết quả tính tích phân )

Cần phải nói thêm rằng trong phương pháp tính công vừa trình bày, SGK Vật lí đã

phải thực hiện việc lập tổng Riemann hai lần. Lần thứ nhất là chia nhỏ công toàn phần

thành tổng các công nguyên tố, lần thứ hai lấy tổng các hình chữ nhật nguyên tố và xem

tổng này khi ∆𝑥 rất nhỏ sẽ bằng với diện tích hình phẳng nằm dưới đồ thị giới hạn trên

trục x từ giá trị đến giá trị . Việc lập tổng hai lần này không những thể hiện rõ đặc

trưng của cấu trúc tổng Riemann trong cách giải quyết bài toán mà còn đưa đến những

gợi ý về cách kết nối những ý nghĩa khác nhau của tích phân: ý nghĩa vật lí, ý nghĩa diện

tích, và cách hiểu tích phân theo giới hạn tổng Riemann. Đây là những “tài nguyên” mà

𝐼𝑇 hoàn toàn có thể tận dụng để mang lại cách hiểu đầy đủ hơn cho khái niệm tích phân đồng thời hỗ trợ Vật lí trong việc giải quyết các vấn đề của nó.

Trường hợp công của trọng lực và công của lực điện

Phương pháp lập tổng Riemann còn xuất hiện trong nhiều vấn đề khác của Vật lí,

đặc biệt là với bài toán tính công của lực biến đổi. Dưới đây cách mà SGK Vật lí sử

dụng để xác định công của trọng lực và của lực điện (SGK Vật lí 10 nâng cao, tr. 165).

Xét trường hợp trọng lực , một lực biến thiên theo độ cao 𝑧 của vật so với

vị trí được chọn làm gốc. Để tính công do trọng lực sinh

ra trong một chuyển động giữa hai vị trí có độ cao khác

nhau (điểm B và điểm C), SGK vẫn sử dụng kĩ thuật xấp

xỉ như trên khi xem công toàn phần như tổng của các công

Công toàn phần thực hiện trên cả quãng đường từ B đến C là:

Kết quả:

(hình 35.1)

nguyên tố.

Với trường hợp công của lực điện, SGK Vật lí 11

Công trên toàn đoạn MN bằng:

nâng cao cũng có kĩ thuật giải quyết tương tự (tr. 19).

Đối với hai bài toán này, SGK Vật lí sử dụng phương pháp lập tổng Riemann để

giải quyết nhưng quá trình tính toán này đi trực tiếp đến kết quả mà không cần đến một

diện tích nào biểu diễn cho đại lượng cần tính. Nghĩa là biểu diễn đồ thị của tích phân

không tác động trong kĩ thuật giải bài toán.

3.3.1.3. Bài toán công của khí lý tưởng

Chúng tôi sẽ phân tích một ví dụ ở trong chương VIII mà quá trình tính công đưa

về việc tìm diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị là đường cong chứ không phải

là đường thẳng như những bài toán đã phân tích ở trên. Cụ thể là trong bài: “Áp dụng

nguyên lí I nhiệt động lực học cho khí lí tưởng” SGK Vật lí 10 nâng cao đã xây dựng

“công thức tính công” của khí lí tưởng theo các bước sau:

Đồ thị của áp suất p theo thể tích V được biểu diễn bởi đường cong MN trên hình

59.2. SGK xét một “quá trình rất nhỏ” để có thể tính

, và có thể xem đoạn chéo 12 gần

công nguyên tố

như trùng với đoạn cong 12 của đường cong MN.

Bằng các lập luận tương tự như các bài toán trước,

Công

được biểu thị bằng diện tích hình thang

nằm bên dưới đoạn đường biểu diễn 12 (Hình 59.2)

Diện tích hình thang này gần đúng bằng diện tích

hình thang cong giới hạn bởi đường cong MN, trục

hoành và hai đường song song với trục tung ứng với

các giá trị

và

. Nếu

càng bé thì hai diện tích của hai hình thang nói trên càng

gần bằng nhau hơn.

(SGK Vật lí 10 nâng cao, tr.294 – 295)

SGK đi đến kết luận:

Từ đây SGK Vật lí 10 nâng cao suy ra công toàn phần A sẽ được biểu thị bởi diện

tích hình thang cong vì nó là tổng của các diện tích hình thang nguyên tố trên.

Ở cách giải bài toán này, bước chuyển qua giới hạn trong phương pháp lập tổng Riemann

lần đầu tiên đã được nhắc đến thông qua nhận định “Nếu càng bé thì hai diện tích

của hai hình thang nói trên càng gần bằng nhau hơn”. Tuy nhiên điều đáng phải chú ý

nhất lại chính là một thông báo mà SGK Vật lí đưa ra sau quá trình giải quyết vấn đề

này: “Suy luận trên được chứng minh chính xác bằng toán học, song phải dùng đến

một số kiến thức thuộc chương trình lớp 12” (tr. 295). Câu hỏi chúng tôi đặt ra ở đây

là: môn toán sẽ chứng minh chính xác suy luận trên như thế nào, và liệu phải cần đến

“một số kiến thức” gì ở chương trình Toán lớp 12? Câu trả lời rõ ràng không thể nằm

ngoài nội dung kiến thức liên quan đến khái niệm tích phân. Nhận xét trên cho thấy sự

“cầu viện” của 𝐼𝑉𝐿 trong việc làm sáng tỏ cho các suy luận của mình liên quan đến việc ứng dụng tích phân vào các vấn đề của Vật lí. Thế nhưng điều này có được 𝐼𝑇 đáp ứng để đem đến sự nối khớp LM trong việc dạy và ứng dụng khái niệm tích phân hay không?

Chúng tôi sẽ làm rõ câu trả lời bằng cách phân tích 𝐼𝑇 ở phần tiếp theo. 3.3.1.4. Tiểu kết: về nhu cầu hiểu tích phân qua tổng Riemann của 𝑰𝑽𝑳

Chúng tôi tóm lược lại cách thức mà 𝐼𝑉𝐿 đã sử dụng tích phân trong các vấn đề của

mình bằng cách trả lời hai câu hỏi sau:

1/Đâu là cơ sở giải thích cho vai trò công cụ của tích phân trong Vật lí ?

2/Tích phân nói trên sau đó được tính theo cách nào?

Câu trả lời cho điều thứ nhất nằm ở kĩ thuật mà Vật lí đã sử dụng. Kĩ thuật này thể

hiện trong phương pháp tính tích phân theo giới hạn tổng Riemann bao gồm bốn bước:

chia nhỏ, lập tích, lập tổng và chuyển qua giới hạn. Vì thế nếu 𝐼𝑇 không xây dựng được cách hiểu tích phân theo tổng Riemann thì rất khó để người học nhận ra và giải thích

được những ứng dụng của tích phân trong chương trình vật lí THPT.

Với vấn đề thứ hai, Vật lí lẽ ra có thể tính tích phân vừa thiết lập thông qua ba con

đường: Tính xấp xỉ bằng phương pháp số, tính theo nguyên hàm (công thức Newton –

Leibniz), hoặc theo diện tích dưới đồ thị hàm số (trong trường hợp tính theo diện tích

đơn giản hơn, hoặc không có sẵn dạng biểu thức đại số). Tuy nhiên, vì tích phân xuất

hiện ở 𝐼𝑇 khá muộn (cuối năm lớp 12), nên nó được sử dụng ở 𝐼𝑉𝐿 một cách ngầm ẩn và được tính toán thông qua diện tích.

Vì không thể chờ đợi sự ra đời của tích phân trong 𝐼𝑇 để làm rõ cơ sở toán học cho các ứng dụng của mình, ở mỗi tình huống cần đến tích phân, 𝐼𝑉𝐿 đều phải tiến hành hai giai đoạn lập tổng Riemann. Đầu tiên là xem đại lượng cần tìm như là tổng của các thành

phần nguyên tố. Các thành phần nguyên tố này được thay bởi diện tích của các hình

nguyên tố tương ứng. Sau đó, người ta lập tổng diện tích các hình nguyên tố để có được

diện tích dưới đường cong. Hai bước lập tổng này nhằm chỉ ra sự bằng nhau giữa đại

lượng cần tính với diện tích của hình dưới đồ thị. Ta thấy là kĩ thuật GT thể hiện trong

phương pháp lập tổng Riemann đóng vai trò quan trọng, cho phép giải quyết một lớp

tổng quát nhiều vấn đề của Vật lí.

Trong phương pháp giải của mình, nhiều lập luận của SGK Vật lí là không chặt chẽ

và chính xác về mặt toán học đặc biệt là sự thiếu hụt của bước chuyển qua giới hạn (hoặc

có thể bước này chỉ hoạt động ngầm ẩn). Tính chính xác và cơ sở cho phương pháp đang

sử dụng đã được 𝐼𝑉𝐿 nhường lại cho 𝐼𝑇, như ít nhất là hai trích dẫn mà chúng tôi đã đưa ra ở trên. Vì lẽ đó, để có được một sự gắn kết LM hợp lí thì thể chế 𝐼𝑇 không thể không đáp ứng.

3.3.2. Tích phân trong thể chế 𝑰𝑻

Kĩ thuật tính toán các đại lượng dựa trên phương pháp lập tổng Riemann xuất hiện

tường minh trong SGK Vật lí ban nâng cao, và chỉ được giới thiệu ở phần đọc thêm

trong SGK Vật lí ban cơ bản. Vì vậy để có một sự đối chứng hợp lí, những phân tích

của chúng tôi ở mục này sẽ dựa trên SGK, sách giáo viên, sách bài tập GT của ban nâng

cao.

Nghiên cứu tri thức luận mà chúng tôi trình bày ở chương 2 đã chỉ ra là có ba cách

tiếp cận khái niệm tích phân:

- Cách thứ nhất: Tích phân được định nghĩa là diện tích của hình phẳng giới hạn dưới

đường cong với lưu ý về dấu (dấu âm nếu diện tích nằm dưới trục hoành).

- Cách thứ hai: Định nghĩa tích phân theo khái niệm nguyên hàm (Công thức Newton –

Leibniz).

- Cách thứ ba: Tích phân được định nghĩa theo giới hạn của tổng Riemann. Ở đây tổng

Riemann có thể xuất hiện trong ngữ cảnh toán học (chẳng hạn với bài toán tính diện

tích, và như thế là có sự kết hợp với cách tiếp cận thứ nhất), cũng có thể trong ngữ cảnh

vật lí (như ở những bài toán mà 𝐼𝑉𝐿 đã giải quyết).

Chúng tôi nhận thấy rằng SGK GT hiện nay lựa chọn cách định nghĩa thứ hai.

Nghĩa là đưa vào khái niệm nguyên hàm rồi dùng nó để định nghĩa tích phân.

3.3.2.1. Mục tiêu của việc dạy học khái niệm tích phân

Khái niệm tích phân được đưa vào giảng dạy ở học kì 2 môn Toán lớp 12 trong

chương III: “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng”. Tên của chương cho thấy nội dung

không chỉ tập trung vào việc dạy khái niệm mà còn hướng đến những ứng dụng quan

trọng của tích phân. Để biết quan điểm của các tác giả SGK có quan tâm đến mối quan

hệ LM với Vật lí hay không, chúng tôi tham khảo mục đích của chương từ sách giáo

viên GT lớp 12 ban nâng cao (tr. 179)

Kiến thức

Giúp học sinh:

- Nắm vững khái niệm nguyên hàm.

- Nhớ bảng các nguyên hàm của một số hàm thường gặp.

- Nhớ và hiểu được các tính chất cơ bản của nguyên hàm.

- Nhớ định nghĩa tích phân.

- Nắm vững phương pháp tính tích phân nhờ đổi biến số và tích phân từng phần.

- Bước đầu thấy được ý nghĩa thực tiễn và một số ứng dụng của tích phân trong hình học.

Kĩ năng

- Biết vận dụng các tính chất cơ bản của nguyên hàm, cách đổi biến số và cách tìm nguyên

hàm từng phần để tìm nguyên hàm của một số hàm số không quá phức tạp.

- Biết vận dụng các tính chất cơ bản của tích phân, phương pháp đổi biến số và phương

pháp tích phân từng phần để tính tích phân một số hàm số không quá phức tạp.

- Biết ứng dụng tích phân trong một số bài toán tính diện tích các hình phẳng và tính thể

tích các vật thể.

Ở đây chúng tôi quan tâm đến hai mục tiêu chính là hiểu khái niệm và ứng dụng

khái niệm trong thực tiễn, đặc biệt là Vật lí. Liên quan đến việc hiểu khái niệm, sách

giáo viên đặt ra mục tiêu “nắm vững khái niệm nguyên hàm”, nhưng tại sao chỉ là “nhớ

định nghĩa tích phân” mà không phải là nắm vững hay hiểu khái niệm tích phân. Phải

chăng các tác giả đã lường trước việc khái niệm tích phân là khó hiểu với HS, và chỉ

yêu cầu HS nhớ (hay học thuộc) định nghĩa khái niệm này mà không cần hiểu nó là gì.

Nhìn qua mục tiêu ở cả phần kiến thức và kĩ năng chúng tôi thấy một sự nhấn mạnh

hoàn toàn vào kiến thức quy trình (các công thức hay phương pháp tính) và kĩ năng tính

toán. Mục tiêu hiểu khái niệm hay làm quen với các kĩ thuật của GT không được nhắc

đến. Bên cạnh đó, chỉ các ứng dụng trong hình học (tính diện tích và thể tích) được đề

cập và dường như vai trò công cụ của tích phân trong Vật lí không được xác định là

trọng tâm.

3.3.2.2. Các bài toán nảy sinh và định nghĩa khái niệm tích phân

Tình huống gợi ra lí do xuất hiện khái niệm nguyên hàm được SGK Giải tích 12

Bài toán mở đầu: Vận tốc của một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng tại thời

điểm t là v(t) = 160 − 9,8t (m/s) (coi t = 0 là thời điểm đạn được bắn lên). Tính quãng

đường đi được của viên đạn kể từ khi bắn lên cho đến thời điểm t.

nâng cao lựa chọn là một bài toán đến từ Vật lí (tr. 136).

Gọi 𝑠(𝑡) là hàm số quãng đường, SGK nhắc lại 𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡), từ đó việc tìm

𝑠(𝑡) đưa đến nhu cầu phải xác định một hàm số khi biết trước đạo hàm của nó. Như vậy,

bài toán vật lí nói trên mang đến tình huống cho HS thấy được ý nghĩa công cụ cũng

như lí do xuất hiện của khái niệm nguyên hàm.

Nếu nhìn lại thì đây là bài toán tính quãng đường trong chuyển động biến đổi đều

(vận tốc là hàm số bậc nhất), đã được SGK Vật lí lớp 10 giải quyết. Thử so sánh phương

pháp giải của hai SGK Toán và Vật lí chúng tôi thấy rằng: SGK Vật lí tính quãng đường

qua hai bước, một là dựa vào tổng Riemann để tính gần đúng, và sau đó là tính toán

thông qua diện tích dưới đồ thị hàm số vận tốc. Trong lúc đó, SGK Giải tích 12 nâng

cao lại tính quãng đường này thông qua nguyên hàm của hàm số vận tốc. Đây là một

tình huống đáng giá để tạo ra gắn kết LM giữa hai môn học, vừa có thể giúp HS nắm

bắt các cách hiểu và biểu diễn khác nhau của khái niệm, vừa thấu hiểu hơn vai trò công

cụ của tích phân trong bài toán vật lí này. SGK GT có tận dụng sự gắn kết xuất hiện

trong ngữ cảnh LM này hay không? Câu trả lời dường như là không.

Thật vậy, hai bài toán SGK Giải tích 12 nâng cao sử dụng để làm nảy sinh khái

niệm tích phân là tính diện tích hình thang cong và tính quãng đường lại không nhằm

mục đích giới thiệu kĩ thuật xấp xỉ trong việc lập các tổng Riemann giống như SGK Vật

lí đã làm:

Bài toán 1. Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai

đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏). Giả sử f là hàm số liên tục, đồng biến và nhận giá trị

dương trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng diện tích S của hình thang cong đó là: 𝑆 =

𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎), trong đó F là một nguyên hàm bất kì của f trên đoạn [a; b].

(SGK Giải tích 12 nâng cao, tr.146)

Bài toán 2. Giả sử một vật chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian,

𝑣 = 𝑓(𝑡) (0 < 𝑡 < 𝑇). Chứng minh rằng quãng đường L vật đi được trong khoảng thời

gian từ thời điểm 𝑡 = 𝑎 đến thời điểm 𝑡 = 𝑏 (0 < 𝑎 < 𝑏 < 𝑇) là: 𝐿 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎), trong

đó F là một nguyên hàm bất kì của f trên khoảng (0; T).

(SGK Giải tích 12 nâng cao, tr.148)

SGK đưa vào và giải quyết hai bài toán nói trên nhằm mục đích dẫn ra kết luận (tr.

148): “Trong khoa học và kĩ thuật, có nhiều đại lượng quan trọng được biểu thị bằng

hiệu 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) trong đó F là một nguyên hàm của hàm số f nào đó”.

Kết luận này là lí do để đưa ra định nghĩa tích phân sau đây:

ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm

của f trên K thì hiệu số: 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là:

𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

(SGK Giải tích 12 nâng cao, tr.148)

Như vậy, cũng tương tự điều đã xảy ra với khái niệm đạo hàm, lí do SGK toán dẫn

vào bài toán vật lí lại không nhằm mục đích hình thành cách hiểu mà 𝐼𝑉𝐿 mong chờ. Thay vào đó, SGK toán chỉ muốn đưa ra một lí do hợp thức cho việc định nghĩa tích

phân là hiệu giá trị nguyên hàm tại hai cận. Cách định nghĩa này làm cho việc tính tích

phân được đưa về một quy trình dễ hiểu là đảo ngược phép lấy đạo hàm, thế hai cận rồi

trừ chúng cho nhau. Nó tránh được những khó khăn khi tiếp cận với kĩ thuật xấp xỉ của

GT và thuận lợi cho việc DH tích phân theo xu hướng đại số hóa. Hơn thế, nó còn cho

thấy ngay mối quan hệ đảo ngược giữa hai phép tính cơ bản là đạo hàm và tích phân.

Tuy nhiên, bên cạnh những lợi thế trên, cách tiếp cận này làm nảy sinh hai vấn đề.

Thứ nhất, nó đánh mất đặc trưng GT nói chung, bản chất của khái niệm tích phân nói

riêng, và hạn chế phần nào một hiểu biết đầy đủ về khái niệm ở người học. Thứ hai,

cách hiểu này không giúp HS nhận ra những ứng dụng hiệu quả trong các vấn đề của

Vật lí mà ở đó mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân không tác động.

Các tác giả SGK dường như cũng nhận ra mặt hạn chế của cách tiếp cận này khi

Học sinh không thấy được bản chất của kí hiệu tích phân, không thấy được lí do tại sao

tích phân lại có ứng dụng rộng rãi như vậy. Do đó học sinh chỉ biết tính tích phân theo

công thức một cách máy móc và sẽ không biết áp dụng tích phân vào các tình huống thực

tiễn.

đưa ra nhận định sau trong sách giáo viên GT lớp 12 ban nâng cao (tr. 191):

3.3.2.3. Nghĩa vật lí của tích phân và các kiểu nhiệm vụ liên quan đến Vật lí

Nghĩa của một khái niệm sẽ được bộc lộ trong bài toán mà khái niệm đó mang đến

công cụ để giải quyết. Trong 𝐼𝑉𝐿, tích phân được ứng dụng để tính quãng đường, công của lực biến đổi, công của khí lý tưởng, … Và từ đó tích phân có nhiều nghĩa vật lí khác

nhau như quãng đường hay công của lực. Chúng tôi xem xét trong SGK Giải tích 12

nâng cao và thấy rằng nghĩa vật lí duy nhất của tích phân được giới thiệu là để tính

Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian 𝑣 = 𝑓(𝑡). Chứng minh rằng

quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời điểm b là

𝑏 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑎 Hoạt động này đóng vai trò như là một định lý (yếu tố công nghệ) để giải thích cho

quãng đường thể hiện trong hoạt động 3 (tr. 150):

kĩ thuật được sử dụng trong việc tính quãng đường theo tích phân hàm vận tốc. Tuy

nhiên xem xét từ bản chất vật lí thì định lý vừa phát biểu ở trên lại không chính xác. Bởi

lẽ, trong quá trình chuyển động thẳng vận tốc có thể đổi dấu (chuyển động cùng chiều

𝑏 𝑎

là công thức cho phép xác hoặc ngược với chiều dương được quy ước) vì thế ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡

định độ dời chứ không phải là quãng đường của chuyển động. Công thức đúng để tính

𝑏 𝑎

. Hai đại lượng vật lí này chỉ đồng nhất với nhau khi quãng đường phải là∫ |𝑣(𝑡)|𝑑𝑡

𝑣(𝑡) ≥ 0, tuy nhiên SGK GT lại không gắn kèm điều kiện này vào định lý vừa phát biểu

ở trên. Điều này như chúng tôi sẽ chỉ ra, đã dẫn đến những sai lầm trong việc giải quyết

các kiểu nhiệm vụ liên quan đến Vật lí (cụ thể là bài toán tính quãng đường). Nhưng

trước đó chúng tôi sẽ xem xét các kiểu nhiệm vụ liên quan đến Vật lí xuất hiện trong 𝐼𝑇.

Trong tổng số 340 bài tập của chương III “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng”,

xuất hiện trong SGK và sách bài tập GT 12 ban nâng cao, chỉ có 10 bài liên quan đến

ngữ cảnh vật lí và được chúng tôi phân loại vào các kiểu nhiệm vụ sau:

Bảng 3.1. Kiểu nhiệm vụ vật lí có sử dụng công cụ tích phân

Số lượng bài tập

Kiểu nhiệm vụ Sách giáo Sách bài

khoa tập

4 2

0 1

1 1

1 0

𝑇1: Tính quãng đường đi được khi biết vận tốc 𝑇2: Tính vận tốc khi biết gia tốc 𝑇3: Tính quãng đường khi biết gia tốc 𝑇4: Tính vận tốc tại thời điểm 2 vật đuổi kịp nhau Tổng 6 4

Kĩ thuật để giải quyết các nhiệm vụ nói trên là tính nguyên hàm hoặc tích phân và

công nghệ giải thích cho kĩ thuật này đến từ mối quan hệ giữa bài toán đang đề cập với

bài toán đảo ngược được giải quyết bởi công cụ đạo hàm. Lý thuyết giải thích cho công

nghệ này nằm ở mối quan hệ đảo ngược giữa tích phân với đạo hàm. Vì lẽ đó, các kiểu

nhiệm vụ nói trên chỉ có thể xoay quanh các đại lượng của động học như là vận tốc và

gia tốc mà không có các bài toán vật lí đòi hỏi sự tác động của kĩ thuật lập tổng Riemann

như bài toán tính công. Chúng tôi hiểu được sự lựa chọn nói trên là để tránh cách hiểu

tích phân theo giới hạn tổng Riemann. Tuy nhiên, điều này dường như không thỏa đáng

với cách mà SGK Vật lí đã sử dụng tích phân trước đó. Một sự ghép đôi không tương

xứng ở đây khi Vật lí hiểu và sử dụng tích phân theo quan niệm về tổng Riemann, còn

môn Toán lại dạy nó chỉ như hiệu các nguyên hàm.

Chúng tôi dừng ở đây để bàn về một tình huống đáng chú ý xuất hiện trong sách

bài tập GT lớp 12 ban nâng cao (tr. 153):

Bài 14. a) Một vật chuyển động với vận tốc 𝑣(𝑡) = 1 − 2 sin 2𝑡 (m/s). Tính quãng đường

3𝜋

(s).

mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm 𝑡 = 0 (s) đến thời điểm 𝑡 =

3𝜋

− 1

Lời giải cho bài toán này được sách giáo viên GT 12 nâng cao trình bày như sau:

3𝜋 Quãng đường 𝑆 = ∫ (1 − 2𝑠𝑖𝑛2𝑡)𝑑𝑡 = 4 0

. (tr. 193)

Điều đáng nói là giá trị trên lại không phải kết quả đúng. Lí do là bởi vì vận tốc

𝑣(𝑡) trong bài toán này đổi dấu trong khoảng thời gian đang xét. Vì thế để xác định đúng

quãng đường chuyển động cần lấy tích phân hàm trị tuyệt đối |𝑣(𝑡)|. Cụ thể thì: 𝑆 =

3𝜋 ∫ |1 − 2𝑠𝑖𝑛2𝑡|𝑑𝑡 = ∫ (1 − 2𝑠𝑖𝑛2𝑡)𝑑𝑡 + ∫ (2𝑠𝑖𝑛2𝑡 − 1)𝑑𝑡 + 4 0

𝜋 12 0

5𝜋 12 𝜋 12

3𝜋 4 ∫ (1 − 2𝑠𝑖𝑛2𝑡)𝑑𝑡 . 5𝜋 12

Kết quả của phép tính này rõ ràng là khác với đáp số mà sách giáo viên đã đưa ra.

Điều kì lạ là, vì vận tốc có thể âm hoặc dương nên cách tính quãng đường ở đây cũng

tương tự như việc tính diện tích dưới đồ thị hàm số. Trong khi SGK Giải tích 12 nâng

cao nhấn mạnh rằng để tính diện tích giới hạn bởi đường cong 𝑦 = 𝑓(𝑥) cần phải lấy

𝑏 𝑎

, thì lại đã không làm điều tương tự với tích phân hàm giá trị tuyệt đối: 𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥

bài toán tính quãng đường. Như đã nói ở trên, công thức mà sách giáo viên sử dụng thực

chất là để tính đại lượng độ dời trong Vật lí. Việc sách giáo viên không phân biệt rõ ràng

giữa hai đại lượng “quãng đường” và “độ dời” cũng cho thấy phần nào sự không chú

trọng đúng mức đến nhiệm vụ hỗ trợ quá trình học tập vật lí của thể chế DH Toán.

3.3.2.4. Tiểu kết: về sự nối khớp giữa 𝑰𝑻 và 𝑰𝑽𝑳 đối với khái niệm tích phân

Dựa trên việc phân tích hai thể chế DH Toán và Vật lí liên quan đến khái niệm tích

phân chúng tôi nhận ra một số điểm không nối khớp được trình dưới đây.

• Về thời điểm xuất hiện: Ở 𝐼𝑉𝐿 tư tưởng tích phân xuất hiện sớm ngay từ lớp 10 thông qua việc giải quyết các bài toán tính quãng đường và công của lực biến đổi. Tuy nhiên

việc giới thiệu khái niệm tích phân trong 𝐼𝑇 chỉ được thực hiện ở cuối năm lớp 12 và người học không có nhiều cơ hội để được “nhìn lại” những ứng dụng hiệu quả của tích

phân trong những ngữ cảnh vật lí này.

• Về phương pháp tiếp cận: Chúng tôi xem xét bài toán xác định quãng đường khi hàm

vận tốc biến đổi theo thời gian. Cách tiếp cận để giải quyết bài toán này ở cả hai thể chế

lại rất khác nhau. Để chỉ ra rằng quãng đường bằng diện tích dưới đường cong hàm vận

tốc, SGK Vật lí 10 nâng cao sử dụng phương pháp chia nhỏ, lập tổng Riemann để tính

gần đúng. Trong khi đó 𝐼𝑇 lại xem việc tính quãng đường như là đảo ngược của bài toán xác định vận tốc. Từ đó quãng đường có thể được tính toán thông qua phép toán đảo

ngược với đạo hàm là nguyên hàm. Như vậy là bài toán quãng đường được giải quyết

theo hai phương pháp hoàn toàn khác nhau. Nhưng cách trình bày của 𝐼𝑇 không mang lại cho người học cơ hội thấu hiểu được sự gắn kết giữa hai thể chế để có thể thu được

một cách hiểu đầy đủ hơn cho khái niệm tích phân.

• Về cách hiểu và sử dụng tích phân ở hai thể chế: Những phân tích của chúng tôi cho

thấy một sự ghép đôi không phù hợp giữa những cách hiểu về tích phân được SGK toán

trình bày và nhấn mạnh với cái mà thật sự là có ích nhất cho những ứng dụng hiệu quả

của khái niệm này trong Vật lí. Thật vậy, trong SGK Giải tích 12 nâng cao, tích phân

chỉ được định nghĩa theo hiệu hai nguyên hàm và đi kèm với đó là ý nghĩa hình học như

là diện tích dưới đường cong. Tuy nhiên cái thật sự hữu ích nhất cho việc ứng dụng tích

phân vào ngữ cảnh vật lí lại là ở phương pháp “chia nhỏ, lập tổng, chuyển qua giới hạn”

thể hiện trong cách hiểu theo giới hạn tổng Riemann. Tóm lại, cách hiểu tích phân theo

cấu trúc tổng Riemann hoàn toàn vắng mặt trong 𝐼𝑇 nhưng lại là cái mà 𝐼𝑉𝐿 đã sử dụng để giải thích cho việc ứng dụng tích phân trong các vấn đề của mình.

3.4. Kết luận chương 3: mối quan hệ liên môn Toán – Vật lí trong việc dạy học hai

khái niệm đạo hàm và tích phân

Dựa trên các cơ sở lý thuyết về DH LM đã trình bày ở chương 1 (quan điểm, mô

hình và chiến lược LM), chúng tôi soi sáng lại các kết quả phân tích thể chế ở chương 2

để chỉ ra mối quan hệ LM giữa Toán và Vật lí đã diễn ra như thế nào đối với tri thức

đang bàn đến. Phân tích này để trả lời câu hỏi nghiên cứu Q2 mà chúng tôi đã đặt ra.

• Sự hỗ trợ của 𝑰𝑽𝑳 trong việc dạy học đạo hàm, tích phân ở 𝑰𝑻

Sự hỗ trợ của 𝐼𝑉𝐿 thể hiện ở các mặt sau: 𝐼𝑉𝐿 cung cấp các vấn đề mà 𝐼𝑇 có thể sử dụng để tạo ra ngữ cảnh và tình huống làm nảy sinh, tiến triển khái niệm đạo hàm, tích phân.

𝐼𝑉𝐿 sử dụng từ rất sớm những cách hiểu và phương pháp tính toán của hai khái niệm đạo hàm, tích phân trong nhiều vấn đề vật lí khác nhau. Điều này tạo ra động

cơ để 𝐼𝑇 phải cung cấp một hiểu biết đầy đủ hơn cho các tri thức đang nói tới. - Trong những bài toán vật lí mà đạo hàm tác động, ngữ cảnh và ý nghĩa của các đại

lượng mang đến cho khái niệm này cách hiểu tốc độ biến thiên.

𝐼𝑉𝐿 sử dụng phương pháp chia nhỏ, lập tích, lập tổng và chuyển qua giới hạn (ngầm ẩn) để tính toán các đại lượng vật lí như quãng đường, công,… Cách giải quyết

này mặc dù không dựa trên một cơ sở toán học chặt chẽ nhưng lại là cơ hội để giới

thiệu quan niệm về tích phân như là giới hạn tổng Riemann.

- Bằng cách soi sáng lại những ứng dụng đa dạng của đạo hàm và tích phân trong

𝐼𝑉𝐿 , 𝐼𝑇 có thể giúp HS thấu hiểu hơn các tư tưởng tổng quát ẩn trong hai khái niệm toán học mà các em được học.

• Sự hỗ trợ của môn Toán đối với việc dạy học vật lí

Như đã nói, thời điểm mà đạo hàm và tích phân được dạy ở 𝐼𝑇 là muộn để 𝐼𝑉𝐿 có thể vận dụng một cách tường minh trong việc giải quyết các vấn đề của mình. Ý thức

được điều này, 𝐼𝑉𝐿 sử dụng trước các công cụ toán học nói trên và mong đợi 𝐼𝑇 sẽ làm sáng tỏ cơ sở toán học cho các phương pháp đã sử dụng. Tuy nhiên phân tích thể chế 𝐼𝑇 chỉ ra rằng, sự hỗ trợ của 𝐼𝑉𝐿 đã không được tận dụng thích đáng và đòi hỏi của 𝐼𝑉𝐿 cũng không được đáp ứng. Điều này được giải thích bởi những tiểu kết mà chúng tôi đã rút

ra từ các phân tích thể chế đã thực hiện. Hai điểm nhấn sau đây cần được nhắc lại:

𝐼𝑇 sử dụng các bài toán vật lí để làm nảy sinh khái niệm đạo hàm, tích phân nhưng lại không hướng đến cách hiểu tốc độ biến thiên và giới hạn tổng Riemann. Trong

khi đây lại là những quan niệm hữu ích nhất để hiểu nhiều ứng dụng của đạo hàm

và tích phân trong Vật lí.

- Việc giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến Vật lí trong 𝐼𝑇 không phản ánh được phương pháp đặc trưng mà 𝐼𝑉𝐿 đã sử dụng – cách hiểu tốc độ biến thiên và kĩ thuật lập tổng Riemann không tác động ở những tình huống này. Thay vào đó, các ứng

dụng vào Vật lí được giới thiệu trong 𝐼𝑇 chỉ xoay quanh một số đại lượng động học như quãng đường, vận tốc và gia tốc. Các bài toán này được giải quyết dựa trên các

công thức cho sẵn và thậm chí còn nhầm lẫn trong việc tính toán hai đại lượng vật

lí là “quãng đường” và “độ dời”.

CHƯƠNG 4

CÁC GIẢI PHÁP SƯ PHẠM

Mục đích của chương này là trả lời câu hỏi nghiên cứu Q3 của chúng tôi: Giải pháp

sư phạm nào cho phép tận dụng hiệu quả những gắn kết LM giữa Toán và Vật lí để

mang lại hiểu biết đầy đủ hơn về hai khái niệm đạo hàm và tích phân cho HS đồng

thời giúp các em ứng dụng được kiến thức toán học này vào các vấn đề của Vật lí?

Do mục đích nghiên cứu đã xác định nên chúng tôi đặt ra hai nguyên tắc sau khi đề

xuất các giải pháp sư phạm. Thứ nhất, các giải pháp phải nhắm đến mục tiêu kép: vừa

mang lại cho HS một hiểu biết đầy đủ hơn về hai khái niệm đạo hàm và tích phân, vừa

giúp các em hiểu được những ứng dụng đa dạng của chúng trong Vật lí. Thứ hai, không

chỉ khai thác mối quan hệ LM Toán – Vật lí (liên quan đến các tri thức đang nói tới) trên

phương diện tri thức luận, mà còn phải tận dụng những yếu tố LM tiềm năng trong thể

chế DH hiện hành. Nguyên tắc thứ nhất cho thấy rõ mục tiêu mà các giải pháp phải

hướng đến và nguyên tắc thứ hai chỉ ra cách thức để đạt được chúng.

4.1. Cơ sở đề xuất giải pháp

Các giải pháp sư phạm được chúng tôi đề xuất dựa trên những nghiên cứu đã thực

hiện trước đó trong luận án gồm:

- Cơ sở lí luận trình bày trong chương 1.

- Kết quả nghiên cứu tri thức luận ở chương 2 về mối quan hệ gắn kết, hỗ trợ lẫn nhau

giữa Toán học và Vật lí học trong quá trình hình thành và tiến triển hai khái niệm đạo

hàm, tích phân.

- Kết quả nghiên cứu thể chế về sự nối khớp giữa 𝐼𝑉𝐿 và 𝐼𝑇 (liên quan đến hai đối tượng tri thức đạo hàm, tích phân) theo quan điểm LM ở chương 3.

Mặc dù vậy để có được cơ sở đầy đủ hơn cho việc đề xuất giải pháp, chúng tôi nhận

thấy cần phải thực hiện thêm một số nghiên cứu bổ sung.

Trước hết, trong chương cơ sở lí luận chúng tôi chỉ mới bàn về việc hiểu và ứng

dụng một khái niệm toán học nói chung. Muốn cụ thể hóa những mục tiêu mà các giải

pháp hướng đến, cần làm rõ thế nào là hiểu đầy đủ về đạo hàm, tích phân và đâu là

những yếu tố phải tính đến để giúp người học hiểu các ứng dụng của chúng trong Vật

lí. Một nghiên cứu thực hiện nhiệm vụ này sẽ được chúng tôi tiến hành trước tiên.

Bên cạnh đó, ở chương 1 chúng tôi đã đề cập đến ba chiến lược LM Toán – Khoa

học của Nikitina và Mansilla (2003). Nghiên cứu bổ sung tiếp theo sẽ bàn đến việc vận

dụng các chiến lược này theo định hướng LM Toán – Vật lí với trường hợp DH hai khái

niệm đạo hàm, tích phân.

Trong chương 2 và chương 3, chúng tôi đã chỉ ra sự gắn kết Toán – Vật lí (liên

quan đến đối tượng đạo hàm, tích phân) ở cả thể chế tạo ra tri thức và thể chế DH nó

trong nhà trường. Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy cần có thêm một nghiên cứu về sự

LM thể hiện trong chuyển hóa sư phạm hai tri thức đạo hàm, tích phân để chỉ ra những

điểm nối khớp và gắn kết tương hỗ mà các thể chế DH ở nhà trường có thể đã chưa tận

dụng hiệu quả. Đây sẽ là những gợi ý sư phạm cho tiến trình xây dựng một cách tiếp

cận LM hợp lí trong việc DH hai khái niệm đạo hàm và tích phân ở trường THPT.

4.1.1. Cách hiểu đầy đủ về khái niệm đạo hàm, tích phân

Phần này sẽ dành để làm rõ thế nào là hiểu đầy đủ hai khái niệm đạo hàm, tích

phân. Muốn vậy, chúng tôi dựa vào: cơ sở lí luận về hiểu khái niệm đã trình bày ở

chương 1, kết quả nghiên cứu tri thức luận đã thực hiện ở chương 2, và các khung lý

thuyết về hiểu khái niệm đạo hàm, tích phân của một số nhà nghiên cứu giáo dục toán

trên thế giới.

4.1.1.1. Cách hiểu đầy đủ về khái niệm đạo hàm

Dựa trên bản chất kép quá trình – đối tượng từ khung lý thuyết của Sfard (1991)

cũng như tính đa biểu diễn của một khái niệm toán học. Zandieh (2000) là người đầu

tiên đưa ra một khung lý thuyết mô tả cách hiểu khái niệm đạo hàm gồm các lớp quá

Đồ thị Lời Vật lí Kí hiệu Khác

Lớp

quá trình – đối tượng

Độ dốc Tốc độ Vận tốc Tỉ số vi phân

Tỉ số

Giới hạn

Hàm số

trình – đối tượng và thể hiện của nó trong những biểu diễn khác nhau.

Hình 4.1. Khung của Zandieh cho khái niệm đạo hàm

Zandieh chỉ ra ba lớp quá trình – đối tượng (ban đầu hoạt động trên quá trình và

sau đó sẽ được trừu tượng vào một đối tượng toán học tương ứng) trong cách hiểu về

đạo hàm bao gồm: lớp tỉ số, lớp giới hạn và lớp hàm số. Mỗi ô trống trong bảng hai

chiều thể hiện một diện mạo của đạo hàm tại mỗi lớp và theo các biểu diễn khác nhau.

Chẳng hạn như “lớp tỉ số” trong biểu diễn đồ thị mang ý nghĩa là độ dốc (hệ số góc) cát

tuyến, còn trong biểu diễn bằng lời lại được hiểu là tốc độ thay đổi trung bình.

Khung của Zandieh cung cấp cho chúng tôi một mô tả đầy đủ về cách hiểu khái

niệm đạo hàm. Theo đó, người học phải hiểu được cấu trúc của khái niệm gồm các lớp,

những quá trình gắn với các lớp đó cùng với sự liên kết giữa các ý nghĩa và cách hiểu

của khái niệm trong những ngữ cảnh hay biểu diễn khác nhau.

Dựa trên kết quả phân tích tri thức luận ở chương 2, khung lý thuyết của Zandieh

(2000) cùng với những nghiên cứu của Kendal và Stacey (2003), Firouzian (2013) và

Sahin et al. (2015), chúng tôi tổng hợp những cách hiểu sau đây có thể xây dựng trong

ảnh khái niệm của HS về đạo hàm:

- Đạo hàm là giới hạn của tỉ số sai phân (biểu diễn kí hiệu): .

- Đạo hàm như là hệ số góc (độ dốc) tiếp tuyến tại một điểm của đồ thị hàm số (biểu

diễn đồ thị).

- Đạo hàm như là tốc độ biến thiên tức thời (biểu diễn bằng lời).

- Người học sử dụng các tính toán số để mô tả đạo hàm là gì (biểu diễn số).

- Sử dụng những đại lượng vật lí như vận tốc, gia tốc, … để mô tả về đạo hàm (biểu

diễn vật lí).

- Giải thích về đạo hàm bằng các quy tắc tính toán hay các ví dụ cụ thể, chẳng hạn

(cách hiểu theo quy trình).

Để có một kiến thức khái

niệm đầy đủ về đạo hàm, Sahin

et al. (2015) cho rằng người học

phải “hiểu được ba ý tưởng lớn

bên dưới khái niệm đạo hàm đó

là tốc độ biến thiên, độ dốc của

tiếp tuyến và giới hạn, cùng với

những mối liên hệ giữa chúng”

(tr. 178). Hình 4.2. Mô hình cách hiểu khái niệm đạo hàm Trong ba ý tưởng này,

chúng tôi cho rằng cách hiểu theo tốc độ biến thiên tức thời đóng một vai trò thiết yếu

trong ảnh khái niệm của người học về đạo hàm bởi vì nó đem đến ý nghĩa nền tảng và

tổng quát nhất về bản chất của khái niệm. Điều này được xác nhận bởi định nghĩa của

Akkoç et al. (2008, tr. 18-19): “Khái niệm đạo hàm là một mô hình toán học cho tốc độ

100

biến thiên tức thời và được tính bởi giới hạn của hàm số mô tả tốc độ biến thiên trung

bình”. Hay như nhận định của Weber et al. (2012, tr. 1): “Về phương diện tri thức luận,

đạo hàm được xây dựng như là một cách để biểu diễn và đo đạc tốc độ mà tại đó một

đại lượng thay đổi so với một đại lượng khác”. Bezuidenhout (1998) cũng cho rằng quan

niệm tốc độ biến thiên là một trong những ý nghĩa quan trọng nhất của GT và vì thế,

một cách hiểu đầy đủ về khái niệm đạo hàm theo chúng tôi sẽ không thể thiếu hụt quan

niệm này.

4.1.1.2. Cách hiểu đầy đủ về khái niệm tích phân

Dựa trên khung lý thuyết của Zandieh (2000) về khái niệm đạo hàm, Habineza

(2013) mô tả một khung tương tự cho khái niệm tích phân xây dựng trong ngữ cảnh bài

toán tìm diện tích dưới đường cong nhằm hướng đến cách hiểu tích phân như giới hạn

tổng Riemann:

Ngữ cảnh: Diện tích dưới một đường cong

Các biểu diễn

Lớp

Lời

Đồ thị -

Kí hiệu tượng trưng

Số

Quá trình - Đối tượng

(Vật lí)

trực quan

(sự khái quát)

(tính toán số)

Phân hoạch

Lớp tích

Lớp tổng

Lớp giới hạn

Hình 4.3. Khung lý thuyết về khái niệm tích phân của Habineza

Ở khung lý thuyết này, tác giả đã chỉ ra bốn lớp quá trình – đối tượng trong cách

hiểu về tích phân theo giới hạn tổng Riemann: lớp phân hoạch, lớp tích, lớp tổng và lớp

giới hạn. Mỗi ô trống trong bảng hai chiều thể hiện một diện mạo của tích phân ứng với

mỗi lớp và dạng biểu diễn đặt trong ngữ cảnh đang nói đến. Chẳng hạn khi mô tả lớp

tích, Habineza cho rằng biểu diễn đại số là tích , còn biểu diễn hình học (đồ thị)

tương ứng là diện tích một dải hình chữ nhật với chiều dài và chiều rộng .

Từ kết quả nghiên cứu tri thức luận, khung lý thuyết của Habineza và các công trình

của Kouropatov và Dreyfus (2013), Jones (2015a), chúng tôi tổng hợp các cách hiểu sau

đây về tích phân có thể thiết lập trong quan niệm người học:

- Giới hạn của tổng Riemann (biểu diễn kí hiệu):

101

- Diện tích của hình phẳng dưới đồ thị hàm số (biểu diễn đồ thị).

- Hiệu các giá trị của nguyên hàm tại hai cận (cách hiểu theo quy trình tính toán).

- Tổng của những mẩu rất nhỏ được tạo thành từ tích của giá trị hàm số với một sự

thay đổi vô cùng bé của biến số; thước đo cho sự tích lũy hoặc tổng sự thay đổi của

một đại lượng khi biết trước tốc độ thay đổi của nó (biểu diễn bằng lời).

- Người học sử dụng phương pháp chia nhỏ, lập tổng để tính gần đúng giá trị số của

diện tích dưới đường cong (biểu diễn số).

- Sử dụng các đại lượng vật lí như độ dời, công để mô tả về tích phân (biểu diễn vật

lí).

Như đã đề cập ở phần cơ sở lí luận, để có một hiểu biết đầy đủ về tích phân, kiến

thức mà người học sở hữu phải được làm giàu bởi những kết nối giữa các cách hiểu và

biểu diễn nói trên. Hơn nữa trong những quan niệm này, nghiên cứu tri thức luận ở

chương 2 chỉ ra rằng cách hiểu chứa đựng trong cấu trúc tổng Riemann mới chỉ ra được

bản chất và nguồn gốc của tích phân. Nhiều nhà nghiên cứu giáo dục cũng cho rằng đây

là cách hiểu quan trọng nhất cho một hiểu biết vững chắc và đầy đủ về khái niệm đang

bàn đến (Artigue, 1991; Sealey, 2014; Jones, 2015a).

4.1.1.3. Hiểu về mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân

Một hiểu biết đầy đủ về hai khái niệm đạo hàm và tích phân không thể thiếu mối

liên hệ mật thiết giữa chúng được phát biểu trong định lí cơ bản. Lời giải thích chung

thường thấy về mối quan hệ này là: đạo hàm và tích phân là các quá trình đảo ngược nhau15. Tuy nhiên phát biểu chính xác của định lí cơ bản bao gồm hai phần sau (Stewart,

, thì 𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑥).

Phần 1: Giả sử 𝑓(𝑥) liên tục trên [𝑎; 𝑏]. Nếu 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑥 𝑎

, với 𝐹 là một nguyên hàm bất kì của 𝑓.

Phần 2:∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

𝑏 𝑎

2012, tr. 393):

Phần 1 thường được gọi là phần nguyên hàm vì nó chỉ ra cách sử dụng tích phân

để xây dựng một nguyên hàm cho một hàm số. Phần 2 được xem là phần tính toán vì nó

cung cấp một phương tiện để tính tích phân. Định lí cơ bản cho thấy sự tương đương

trong hai cách tính toán tích phân, theo giới hạn tổng Riemann, và theo một quá trình

hàm là một hàm số trong khi đó tích phân là một số thực.

15 Thực ra nguyên hàm và đạo hàm mới được xem là các quá trình, hay các hàm số ngược với nhau. Nguyên

102

đảo ngược với phép lấy đạo hàm (nguyên hàm). Cấu trúc tổng Riemann giúp người học

biết được tại sao phải dùng đến tích phân trong việc giải quyết một bài toán, còn nguyên

hàm đưa đến một quy trình tính toán thuận lợi. Một cái trả lời câu hỏi tại sao, còn cái

kia cho biết phải tính nó như thế nào. Các phân tích trên cho thấy, để thực sự hiểu được

ý nghĩa của định lí cơ bản, điều kiện tiên quyết là người học phải quan niệm tích phân

theo giới hạn tổng Riemann. Vì nếu như họ chỉ hiểu tích phân theo quy trình tính toán

bởi nguyên hàm, định lí cơ bản tự nó sẽ không còn ý nghĩa.

Một cách thức khác để hiểu định lí cơ bản là người học phải hiểu được đạo hàm

như là tốc độ biến thiên và tích phân như sự tích lũy (lấy tổng các lượng rất nhỏ). Sự kết

nối giữa những cách hiểu này sẽ soi sáng cho mối quan hệ đảo ngược nhau giữa đạo

Sự tích lũy và tốc độ thay đổi của nó là hai mặt của cùng một đồng xu. Việc hiểu biết sâu

sắc mối quan hệ qua lại giữa các mặt này sẽ giúp thấy được sự kết nối chặt chẽ giữa hai

khái niệm chủ yếu của GT là đạo hàm và tích phân.

hàm và tích phân như Kouropatov và Dreyfus (2013) đã chỉ ra (tr. 4):

4.1.2. Ứng dụng khái niệm đạo hàm, tích phân trong Vật lí

Trong mục này, chúng tôi tìm hiểu những ứng dụng của đạo hàm, tích phân trong

các vấn đề vật lí, giới hạn ở chương trình vật lí bậc THPT. Để làm việc này, chúng tôi

sử dụng những kết quả có được từ nghiên cứu thể chế ở chương 3 và một số nghiên cứu

của các tác giả trên thế giới. Soi sáng với cơ sở lí luận về ứng dụng khái niệm trình bày

ở chương 1, chúng tôi sẽ làm rõ đâu là đặc trưng về tri thức cần chú trọng để hiểu được

các ứng dụng của đạo hàm, tích phân trong Vật lí.

4.1.2.1. Ứng dụng đạo hàm trong Vật lí

Đạo hàm là một khái niệm có những ứng dụng hữu ích trong nhiều lĩnh vực khoa

học kĩ thuật, đặc biệt là trong Vật lí học. Điều này thì không ngạc nhiên bởi vì Vật lí học

vốn được xem là ngành khoa học nghiên cứu các quy luật vận động, biến đổi của thế

giới tự nhiên trong khi đó đạo hàm lại là một công cụ toán học cho phép biểu diễn và

định lượng được tốc độ thay đổi ấy.

Nghiên cứu của Bingolbali et al. (2007) và Jones (2017) xác nhận rằng cách hiểu

theo tốc độ biến thiên là quan trọng và cần thiết nhất cho việc thấu hiểu những ứng dụng

của đạo hàm trong ngữ cảnh vật lí. Tốc độ biến thiên dùng trong Vật lí không nhất thiết

phải xem xét theo sự thay đổi của biến thời gian mà còn có thể chỉ ra một đại lượng bất

kì thay đổi nhiều như thế nào khi một đại lượng khác thay đổi.

103

Xem xét các ứng dụng của đạo hàm trong thể chế 𝐼𝑉𝐿, chúng tôi nhận thấy sự tác động chủ yếu của khái niệm này đến từ cách hiểu tốc độ biến thiên của nó. Dưới đây là

các đại lượng vật lí xuất hiện trong chương trình vật lí THPT mà việc xác định chúng

cần đến đặc trưng tốc độ biến thiên của đạo hàm:

- Vận tốc: tốc độ biến thiên của độ dời theo thời gian

- Gia tốc: tốc độ biến thiên của vận tốc theo thời gian

- Công suất: tốc độ biến thiên của công theo thời gian

- Suất điện động cảm ứng: tốc độ biến thiên của từ thông theo thời gian

- Suất điện động tự cảm: tỉ lệ với tốc độ biến thiên của dòng điện trong mạch

4.1.2.2. Ứng dụng tích phân trong Vật lí

Để có thể hiểu được những ứng dụng đa dạng của tích phân trong Vật lí, các nhà

nghiên cứu giáo dục toán và vật lí trên thế giới đều cho rằng người học phải sở hữu cách

hiểu về tích phân dựa trên cấu trúc tổng Riemann (Thompson và Silverman, 2008;

Meredith và Marrongelle, 2008; Jones, 2015a). Nhận định này cũng được xác nhận từ

kết quả nghiên cứu thể chế của chúng tôi ở chương 3. Cụ thể hơn, khi xem xét các kiểu

nhiệm vụ trong thể chế 𝐼𝑉𝐿, chúng tôi nhận thấy hai đặc trưng quan trọng sau đây xuất hiện ở những đại lượng vật lí được tính bởi tích phân.

Trước hết, các đại lượng này đều liên quan đến một mối quan hệ nhân (ứng với lớp

tích trong khung lý thuyết về tích phân): chẳng hạn độ dời bằng tích vận tốc và thời gian

khi vận tốc không đổi (𝑆 = 𝑣. 𝑡), và công bằng tích của lực với độ dịch chuyển khi lực

không đổi và cùng hướng với phương chuyển động (𝐴 = 𝐹. 𝑠).

Thứ hai, các đại lượng này đều thỏa mãn đặc trưng cộng tính (ứng với lớp tổng):

theo đó khi chia thời gian chuyển động thành các khoảng thời gian nhỏ thì độ dời bằng

tổng các độ dời thành phần: 𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 + ⋯ + 𝑆𝑛. Điều tương tự cũng đúng cho việc tính công khi chia đoạn đường dịch chuyển thành các phần nhỏ: 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 + ⋯ + 𝐴𝑛.

Hai đặc trưng này cho thấy tầm quan trọng của cách hiểu theo tổng Riemann để

nhận ra được sự tác động của tích phân trong việc tính toán các đại lượng vật lí khi mà

hàm số lấy tích phân biến đổi theo biến số độc lập (vận tốc biến đổi theo thời gian/lực

biến đổi theo độ dịch chuyển). Về điểm này, Jones (2015a) đề nghị nhấn mạnh vào cấu

trúc cộng và cấu trúc nhân trong cách hiểu theo giới hạn tổng Riemann để có thể sử dụng

được tích phân giải quyết những vấn đề ngoài ngữ cảnh toán, đặc biệt là trong Vật lí.

104

Theo đó, Jones đề xuất một cách hiểu tích phân gọi là “tổng dựa trên tính nhân”

(multiplicatively based summation), gồm 2 yếu tố: mối quan hệ nhân giữa hàm lấy tích

phân và vi phân để tạo ra một tích trên những mẩu nhỏ của miền, và ý tưởng về tổng

những lượng nhỏ (có thể là nhỏ vô cùng) của các tích này để có được tổng giá trị của

đại lượng. Jones cho rằng quan niệm trên về tích phân sẽ giúp người học nắm bắt được

ý tưởng ẩn dưới và biết được lí do vì sao tích phân được sử dụng. Thompson và

Silverman (2008) thì đề nghị cách hiểu tích phân như một “sự tích lũy” để giúp người

học hiểu được ứng dụng của tích phân trong ngữ cảnh ngoài toán. “Tích lũy” ở đây được

các tác giả này hiểu là “sự cộng dồn lại những lượng gia tăng nhỏ mà được tạo thành

bởi các tích” (tr. 120).

Tựu trung lại, các phân tích và kết quả trên chỉ ra rằng quan niệm tích phân theo

giới hạn tổng Riemann (hoặc những cách hiểu dựa trên nó) là cái cần thiết nhất để hiểu

được các ứng dụng đa dạng của tích phân trong nhiều vấn đề của Vật lí. Cách hiểu này

giúp người học biết lí do vì sao tích phân được vận dụng trong mỗi tình huống và ý

nghĩa mà nó mang lại trong những ngữ cảnh đó. Ngoài ra, tầm quan trọng của phương

pháp lập tổng Riemann cũng được thể hiện trong các ứng dụng ngầm ẩn của tích phân

ở 𝐼𝑉𝐿 như chúng tôi đã phân tích ở chương 2. 4.1.2.3. Ứng dụng định lí cơ bản trong Vật lí

Định lí cơ bản cho thấy được mối quan hệ đảo ngược giữa tích phân với đạo hàm.

Từ mối quan hệ này, khi một bài toán vật lí giải được bằng cách áp dụng đạo hàm thì

luôn có thể đặt ra một bài toán ngược lại, ở đó tích phân là phương tiện để giải quyết.

Như chúng tôi đã đề cập đến trước đó, có thể xem đây là cặp bài toán thuận – nghịch.

Chẳng hạn, vì vận tốc được tính bằng cách đạo hàm hàm số quãng đường thế nên có thể

xác định quãng đường bằng cách lấy tích phân hàm vận tốc trong khoảng thời gian chuyển động16. Ở đây, để sử dụng mối quan hệ đảo ngược đã nói người học trước hết

phải xác định được bài toán nào sẽ giải được bằng đạo hàm (hay tích phân) và đâu là bài

toán ngược của nó. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việc nhận ra một bài toán ngược

không phải luôn thực hiện được chẳng hạn như với bài toán tính công. Lúc này một cách

hiểu đầy đủ về tích phân, đặc biệt là kĩ thuật tính toán theo tổng Riemann sẽ cần đến để

khái niệm đang nói có thể tác động vào cách giải bài toán.

được là độ dời chứ không phải quãng đường.

16 Với điều kiện hàm vận tốc 𝑣(𝑡) phải luôn dương trong khoảng thời gian này, nếu không đại lượng tính

105

Định lí cơ bản còn được ứng dụng trong Vật lí để tính tổng lượng thay đổi của một

đại lượng nào đó. Điều này thể hiện trong phần 2 của định lí cơ bản:

(công thức Newton – Leibniz)

Công thức này có thể viết lại dưới dạng , và diễn

bằng tích phân đạt bằng lời của nó là: sự thay đổi của một hàm số 𝐹(𝑥) trên đoạn

hàm số tốc độ biến thiên 𝐹′(𝑥) của nó trên khoảng ấy. Tuy nhiên nếu người học chỉ xem

công thức Newton – Leibniz như một phương tiện tính tích phân mà không gắn kết được

nó với các ngữ cảnh vật lí phù hợp thì sẽ khó mà vận dụng được trong những tình huống

cụ thể.

4.1.3. Vận dụng các chiến lược liên môn Toán – Khoa học trong dạy học khái niệm

đạo hàm, tích phân

Chúng tôi nhắc lại ba chiến lược LM Toán – Khoa học mà Nikitina và Mansilla

(2003) đã đề xuất: thiết lập khái niệm cốt lõi; bối cảnh hóa; và bài toán – tâm. Phần này

sẽ nói về cách vận dụng các chiến lược nói trên trong DH khái niệm đạo hàm, tích phân

theo hướng tiếp cận LM Toán – Vật lí.

4.1.3.1. Chiến lược thiết lập khái niệm cốt lõi: nghĩa tổng quát của đạo hàm, tích

phân

Như đã đề cập (ở mục 1.1.3), chiến lược thiết lập khái niệm cốt lõi hướng đến việc

nâng tầm các khái niệm, nguyên lý, lý thuyết trong toán học trở thành những khái niệm

cốt lõi, nền tảng từ đó có thể tạo ra những liên kết nội tại thống nhất giữa Toán học và

các khoa học khác. Để vận dụng chiến lược này, chúng tôi thấy rằng việc DH đạo hàm

và tích phân theo quan điểm LM cần phải hình thành được “nghĩa tổng quát” cho khái

niệm để người học có thể hiểu được các ứng dụng đa dạng của chúng trong Vật lí.

Một khái niệm thường mang trong nó nhiều nghĩa khác nhau, các nghĩa sẽ lộ diện

qua những tình huống mà khái niệm này xuất hiện (ngầm ẩn hay tường minh) như là

công cụ để giải quyết tình huống đó. Theo tiến trình lịch sử hình thành và phát triển của

khái niệm, các nghĩa này dần xuất hiện. Chúng tôi sử dụng thuật ngữ “nghĩa tổng quát”

của một khái niệm để chỉ nghĩa khởi thủy đầu tiên khi khái niệm bắt đầu xuất hiện hoặc

nghĩa mà cho phép khái niệm có thể được ứng dụng trong một lớp các bài toán của nhiều

lĩnh vực khác nhau.

106

Theo cách hiểu này, tốc độ biến thiên tức thời có thể xem là nghĩa tổng quát của

khái niệm đạo hàm. Thật vậy, ý tưởng về “sự thay đổi” hay “biến thiên” là một quan

niệm nền tảng có mặt ở mọi ngành khoa học, vì thế không ngạc nhiên khi đạo hàm có

ứng dụng rộng rãi. Nói riêng, khi vận dụng nghĩa này để giải quyết các bài toán vật lí,

đạo hàm có thể mang ý nghĩa là vận tốc tức thời (tốc độ biến thiên của quãng đường),

gia tốc (tốc độ biến thiên của vận tốc), suất điện động cảm ứng (tốc độ biến thiên của từ

thông theo thời gian),… Hay trong các ngữ cảnh khác của cuộc sống, đạo hàm giúp

chúng ta xác định tốc độ tăng dân số, tốc độ biến thiên của nhiệt độ,…

Bên cạnh đó, tư tưởng chia nhỏ, lập tổng sau đó chuyển qua giới hạn có thể xem là

nghĩa khởi thủy đầu tiên khi tích phân bắt đầu xuất hiện và sau đó trở thành một phương

pháp tổng quát giúp giải quyết nhiều vấn đề của thực tiễn và các ngành khoa học. Nói

riêng trong Vật lí, người ta vận dụng phương pháp này để tính toán các đại lượng có liên

quan đến quan hệ nhân và đặc trưng cộng tính như: xác định quãng đường đi

𝑡 𝑡0

được: 𝑠(𝑡) = ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 , moment quán tính: 𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚, hay tính công sinh ra bởi một

𝑠2 𝑠1

,… lực biến thiên: 𝐴 = ∫ 𝐹(𝑠)𝑑𝑠

4.1.3.2. Chiến lược bối cảnh hóa: xây dựng bối cảnh vật lí để mang lại nghĩa đúng

cho khái niệm

Chiến lược bối cảnh hóa đặt kiến thức toán học và khoa học vào trong bối cảnh lịch

sử hình thành và phát triển của các ý tưởng. Những bối cảnh như vậy hoàn toàn có thể

tìm thấy từ kết quả nghiên cứu tri thức luận mà chúng tôi đã thực hiện ở chương 2.

Chẳng hạn xem xét bối cảnh khi tích phân chưa được xây dựng một cách tường minh,

chúng tôi nhận thấy rằng: mặc dù ban đầu được nảy sinh trong các bài toán hình học,

các tư tưởng về tích phân (phương pháp chia nhỏ, lập tổng, …) sau đó đã cho phép giải

quyết nhiều vấn đề của Vật lí học với một sự chấp nhận kết quả thiếu tính chặt chẽ (ở

bước chuyển qua giới hạn). Ta có thể nhìn thấy ở bối cảnh vừa nói hai lợi ích: nếu khái

niệm tích phân đã có thì toàn bộ phương pháp giải phức tạp trong Vật lí có thể thay bằng

một ứng dụng của tích phân, làm nổi bật vai trò công cụ của nó trong Vật lý học; ngược

lại, về phương diện DH thì một số bài toán của Vật lí học có thể được sử dụng như ngữ

cảnh để đưa vào khái niệm này. Kết quả phân tích thể chế DH ở chương 3 cũng chỉ ra

một tình huống tương tự khi 𝐼𝑉𝐿 đã sử dụng tư tưởng về phương pháp của tích phân để giải quyết các vấn đề của mình ngay cả khi khái niệm này chưa xuất hiện ở 𝐼𝑇. Vì vậy,

107

nếu vận dụng chiến lược bối cảnh hóa, 𝐼𝑇 hoàn toàn có thể đặt việc DH khái niệm tích phân trong những ngữ cảnh ứng dụng đã đưa vào thể chế 𝐼𝑉𝐿 trước đó. 4.1.3.3. Chiến lược bài toán – tâm: tận dụng các bài toán mà việc giải quyết cần sự

tác động của cả kiến thức Giải tích và Vật lí

Như đã nói, quan điểm LM thể hiện rõ nhất ở sự hợp tác và hỗ trợ lẫn nhau giữa

các môn học trong việc DH một tri thức hoặc giải quyết một vấn đề thực tiễn. Chiến

lược bài toán tâm gợi ý xây dựng và đưa vào DH các bài toán cần huy động kiến thức

và kĩ năng của Toán và Vật lí để giải quyết. Điều này tạo điều kiện để hai mặt đối tượng

và công cụ của một tri thức có cơ hội soi rõ lẫn nhau và giúp người học hiểu và ứng

dụng khái niệm tốt hơn. Để vận dụng chiến lược này trong DH, theo chúng tôi thể chế

𝐼𝑇 cần xem xét và tận dụng các vấn đề vật lí xuất hiện trong 𝐼𝑉𝐿 mà đạo hàm và tích phân là phương tiện giải quyết. Tuy nhiên khi phân tích các thể chế DH, chúng tôi nhận thấy

mặc dù các bài toán LM có ứng dụng đạo hàm, tích phân xuất hiện rất nhiều trong 𝐼𝑉𝐿 nhưng lại không được 𝐼𝑇 quan tâm đến. Sự vắng mặt của các kiểu nhiệm vụ LM này làm giảm đi vai trò công cụ của đạo hàm, tích phân trong Vật lí đồng thời bỏ qua cơ hội giúp

người học thấu hiểu hơn khái niệm từ chính các ứng dụng đa dạng của chúng.

4.1.4. Sự liên môn thể hiện trong chuyển hóa sư phạm hai tri thức đạo hàm, tích

phân

Ở đây chúng tôi chỉ phân tích sự chuyển hóa sư phạm đã diễn ra đối với mối quan

hệ gắn kết giữa hai khoa học Toán và Vật lí ở cả thể chế tạo ra tri thức và thể chế DH chúng17. Phân tích này dựa trên kết quả nghiên cứu (ở chương 2 và chương 3) mà chúng

tôi đã thực hiện để trả lời cho hai câu hỏi nghiên cứu Q1 và Q2.

Câu hỏi Q1: Mối quan hệ gắn kết, hỗ trợ lẫn nhau giữa Toán học và Vật lí học đã

diễn ra như thế nào trong lịch sử hình thành và tiến triển hai khái niệm đạo hàm, tích

phân?

Câu hỏi Q2: Liên quan đến đạo hàm, tích phân, chương trình hiện hành và SGK

các môn Toán, Vật lí dùng ở bậc THPT đã thể hiện mối quan hệ LM như thế nào?

Dưới đây, chúng tôi tóm lược lại các kết quả nghiên cứu đã đạt được từ đó sẽ làm

rõ sự LM thể hiện như thế nào trong quá trình chuyển hóa sư phạm hai tri thức đạo hàm,

tích phân.

bài báo trước đây của chúng tôi (Ngô Minh Đức, 2017b)

17 Một phân tích về sự chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tích phân có thể tham khảo thêm trong một

108

Trong lịch sử hình thành và phát triển của GT nói chung và đạo hàm/tích phân nói

riêng, sự gắn kết và hỗ trợ lẫn nhau giữa Toán học và Vật lí học thể hiện ở các mặt sau:

- GT và Vật lí cùng nghiên cứu trên một số đối tượng giống nhau: các đại lượng và

quá trình biến thiên liên tục, vô hạn; các vấn đề của cơ học,…

- Cùng giải quyết các bài toán – tâm: các bài toán từ khoa học Vật lí cần sự hỗ trợ

của công cụ GT, các bài toán hình học với sự hỗ trợ của Vật lí.

- Cùng sử dụng các phương pháp và nguyên lí giống nhau: cả Hình học và Vật lí

học đều cùng sử dụng phương pháp “vét kiệt”, và sau này là phương pháp lập tổng

Riemann để giải quyết các vấn đề của mình. Một minh hoạ khác đó là Vật lí sử

dụng giới hạn tỉ sai phân để tính toán tốc độ thay đổi còn Toán học sử dụng nó để

xác định tiếp tuyến của đường cong,…

- Nhiều nhà toán học trong giai đoạn này cũng đồng thời là nhà vật lí: chẳng hạn

như Fermat, Newton, Euler, …

Tiềm năng LM này lại chưa thể hiện một cách thỏa đáng trong 𝐼𝑇 và 𝐼𝑉𝐿 liên quan

đến việc DH hai khái niệm đạo hàm, tích phân. Điều này thể hiện ở các điểm sau:

- Hai môn học Toán và Vật lí ở trường THPT được giảng dạy một cách tách biệt.

Khi 𝐼𝑉𝐿 cần đến đạo hàm hoặc tích phân thì nó chưa được dạy ở 𝐼𝑇. Khi các khái niệm này được dạy chính thức ở 𝐼𝑇 thì HS lại không có cơ hội được nhìn lại các ứng dụng đa dạng của đạo hàm và tích phân đã xuất hiện ngầm ẩn trước đó trong

𝐼𝑉𝐿. 𝐼𝑇 không chuẩn bị và cung cấp những phương pháp, cách hiểu và nguyên lý mà hữu ích cho việc ứng dụng đạo hàm và tích phân trong Vật lí. Cụ thể thì kĩ thuật

lập tổng Riemann được sử dụng ở 𝐼𝑉𝐿 lại không xuất hiện ở 𝐼𝑇; nghĩa tốc độ biến thiên của đạo hàm được sử dụng tường minh trong 𝐼𝑉𝐿 thì 𝐼𝑇 lại không giới thiệu. Điều này còn được làm rõ ở việc 𝐼𝑉𝐿 và 𝐼𝑇 sử dụng các phương pháp khác nhau để giải quyết cùng một bài toán tính quãng đường. 𝐼𝑉𝐿 dùng kĩ thuật lập tổng Riemann còn 𝐼𝑇 sử dụng nguyên hàm và mối quan hệ giữa hai phương pháp này thì không được làm rõ.

- Các bài toán – tâm vừa mang đặc trưng vật lí vừa sử dụng phương pháp và kĩ thuật

của GT chưa được khai thác đúng mức. Nhiều bài toán vật lí có sự tác động của

cách hiểu tốc độ biến thiên không được 𝐼𝑇 nhắc đến. Còn với tích phân, một kiểu nhiệm vụ quan trọng của 𝐼𝑉𝐿 (đã xuất hiện ở nhiều thời điểm khác nhau trong

109

chương trình THPT) là tính công của lực biến đổi, mặc dù luôn cần đến sự tác động

của kĩ thuật lập tổng Riemann nhưng lại không được 𝐼𝑇 quan tâm khai thác. Chúng tôi ghi nhận rằng 𝐼𝑇 đã có tính đến quan điểm LM Toán – Vật lí trong việc DH hai khái niệm đạo hàm và tích phân thể hiện ở hai điểm sau: một là 𝐼𝑇 có sử dụng ngữ cảnh và bài toán vật lí trong việc hình thành khái niệm đạo hàm, tích phân; và hai

là 𝐼𝑇 có vận dụng hai khái niệm này để giải quyết một số bài toán ngữ cảnh vật lí. Tuy nhiên những phân tích trên cho thấy rằng, việc khai thác sự hỗ trợ LM giữa Toán và Vật

lí liên quan đến hai khái niệm đang bàn đến là chưa thỏa đáng. Theo chúng tôi, mối quan

hệ LM này hoàn toàn có thể tận dụng hợp lý hơn để mang đến một cách hiểu đầy đủ

nhất trong chừng mực có thể cho hai khái niệm đạo hàm/tích phân cũng như giúp người

học hiểu được các ứng dụng đa dạng và hiệu quả của chúng trong Vật lí.

4.2. Các giải pháp sư phạm

Nhằm tận dụng những gắn kết LM Toán – Vật lí liên quan đến đạo hàm, tích phân,

chúng tôi đề xuất các giải pháp sư phạm sau đây và chia thành hai nhóm chính dựa trên

mục tiêu mà chúng nhắm đến. Nhóm giải pháp thứ nhất nhằm xây dựng cách hiểu đầy

đủ và vững chắc hơn cho người học về hai khái niệm đạo hàm và tích phân. Nhóm thứ

hai nhằm tăng cường vai trò công cụ của đạo hàm, tích phân trong các vấn đề vật lí và

qua đó cũng giúp người học vận dụng hiệu quả hơn kiến thức về GT trong những ngữ

cảnh ứng dụng.

Tuy nhiên, như đã đề cập thì việc hiểu và ứng dụng một khái niệm luôn có tính

tương hỗ cho nên sự phân chia thành hai nhóm giải pháp như trên chỉ có ý nghĩa tương

đối. Nghĩa là những giải pháp ở nhóm hai vẫn có thể hỗ trợ cho việc hiểu đầy đủ hơn về

khái niệm và ngược lại, những giải pháp ở nhóm một cũng giúp ứng dụng tốt hơn công

cụ đạo hàm và tích phân trong Vật lí. Điều này mặc dù dẫn đến sự gối đầu lên nhau ở

một số giải pháp, tuy nhiên cách phân loại nói trên phần nào giúp chúng tôi nhấn mạnh

hơn vào các mục tiêu chủ yếu mà mỗi nhóm hướng đến.

Cũng phải nói thêm rằng, lẽ ra trong một nghiên cứu DH theo quan điểm LM thì

những biện pháp liên quan đến việc xây dựng các chủ đề LM Toán và Vật lí nên được

bàn đến. Tuy nhiên để gắn kết được kiến thức toán và vật lí vào cùng một chủ đề DH lại

cần phải cấu trúc lại chương trình hai môn học sao cho các nội dung có liên quan được

đặt cạnh nhau và xuất hiện vào cùng một thời điểm. Điều này rõ ràng là không khả thi

với đối tượng tri thức là hai khái niệm đạo hàm và tích phân. Nguyên nhân ở chỗ GT

110

luôn được xem là đỉnh tháp trong các nội dung toán học được dạy ở cấp THPT và việc

học tập nó cần đến nhiều kiến thức chuẩn bị trước. Thế nên hai khái niệm đạo hàm và

tích phân chỉ có thể xuất hiện ở 𝐼𝑇 vào giai đoạn cuối của bậc học THPT. Trong khi đó, những ứng dụng của hai khái niệm này lại trải dài từ đầu lớp 10 đến cuối lớp 12 ở chương

trình DH Vật lí, vì thế gây khó khăn cho việc xây dựng các chủ đề DH LM những nội

dung có liên quan của hai môn học. Do những ràng buộc vừa chỉ ra, chúng tôi sẽ không

nhắm đến việc xây dựng các chủ đề LM tương tự như những chủ đề tích hợp mà một số

công trình nghiên cứu trong nước đã thực hiện. Thay vào đó, các giải pháp được đề xuất

sẽ tập trung khai thác sự hỗ trợ LM có thể thực hiện từ hai môn học Toán và Vật lí để

đem đến nhiều lợi ích hơn cho chúng. Các giải pháp này có thể thực hiện vào những thời

điểm thích hợp cả trong việc DH môn Toán hoặc môn Vật lí. Trong quá trình trình bày

các giải pháp chúng tôi đưa ra ví dụ cho một số giải pháp. Bên cạnh đó, để minh hoạ

cho việc sử dụng các giải pháp trong một tiến trình DH LM và tính khả thi của chúng,

hai đồ án DH khái niệm đạo hàm/tích phân cũng được chúng tôi xây dựng nhằm đạt

được những mục tiêu LM đã đặt ra trong câu hỏi nghiên cứu Q3.

4.2.1. Nhóm 1: Nhóm giải pháp xây dựng cách hiểu đầy đủ hơn cho người học về

hai khái niệm đạo hàm và tích phân

4.2.1.1. Giải pháp 1: Xây dựng các tình huống dạy học nhằm liên kết những cách

hiểu và biểu diễn khác nhau của đạo hàm/tích phân vào cùng một khái niệm

Đạo hàm và tích phân đều là những khái niệm “nhiều mặt”, theo nghĩa là chúng có

một số cách hiểu và biểu diễn khác nhau mà thoạt nhìn thì rất khó thấy được sự liên hệ

giữa chúng. Các khung lý thuyết về DH hiểu khái niệm đã chỉ ra rằng, để có một kiến

thức đầy đủ và “kích hoạt” được trong các tình huống giải quyết vấn đề, người học cần

phải kết nối được những cách hiểu này lại với nhau để thấy được sự thống nhất và mối

liên hệ giữa chúng.

Chẳng hạn, với khái niệm tích phân, những cách hiểu khác nhau có thể xây dựng

là: giới hạn tổng Riemann; hiệu giá trị hai nguyên hàm (phép toán đảo ngược của đạo

hàm); diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số với trục hoành; và một số ý nghĩa vật lí như

quãng đường, công… Giải pháp này hướng đến việc xây dựng các tình huống DH mà

có thể liên kết được những cách hiểu nói trên vào cùng một khái niệm – chẳng hạn ở

đây là tích phân. Điều này đem đến cho người học một dạng kiến thức gắn kết được làm

giàu trong những mối liên hệ, từ đó giúp họ hiểu đầy đủ hơn về khái niệm và có khả

111

năng ứng dụng hiệu quả nó để giải quyết các bài toán của Vật lí và của thực tiễn nói

chung.

Các minh hoạ cho giải pháp này được chúng tôi giới thiệu trong hai đồ án DH khái

niệm đạo hàm và tích phân sẽ trình bày trong chương 5. Ở hai đồ án đó, chúng tôi xây

dựng những tình huống sư phạm nhằm tạo ra sự liên kết giữa các cách hiểu và biểu diễn

khác nhau của hai khái niệm đạo hàm/tích phân, từ đó mang lại một hiểu biết đầy đủ

hơn cho người học về tri thức đang bàn đến.

4.2.1.2. Giải pháp 2: Khai thác tối đa mối quan hệ gắn kết giữa Toán học và Vật lí

học đã diễn ra trong lịch sử nảy sinh và tiến triển của khái niệm

Tận dụng hiệu quả hơn những gợi ý có được từ quá trình phát triển của tri thức

trong lịch sử là một quan điểm về DH Toán hiện nay được nhiều nhà nghiên cứu giáo

dục ủng hộ. Điều này không hàm ý là phải tổ chức DH mô phỏng lại hoàn toàn những

gì đã diễn ra trong lịch sử hình thành khái niệm. Thay vì thế, điều nên làm là sử dụng

những gợi ý có được từ phân tích tri thức luận để xây dựng các tình huống DH mang lại

những nghĩa đúng cho tri thức mà đặt trong sự phù hợp với nhận thức của HS và sự ràng

buộc của thể chế DH.

Xem xét gợi ý nói trên từ quan điểm LM, chúng ta hoàn toàn có thể khai thác sự hỗ

trợ lẫn nhau giữa GT và Vật lí học đã xảy ra trong lịch sử để tổ chức các hoạt động DH

hai khái niệm đang bàn đến. Một tiến trình DH phản ánh được mối quan hệ LM này có

thể mang lại cùng lúc lợi ích cho cả hai môn học Toán và Vật lí. Một mặt, người học sẽ

hiểu rõ hơn tri thức toán học nhờ sự hỗ trợ của Vật lí. Mặt khác, các khái niệm và kĩ

thuật GT sẽ là công cụ mạnh mẽ giúp giải quyết được nhiều vấn đề trong ngữ cảnh vật

lí. Hơn nữa, trong phân tích sự chuyển hóa sư phạm trình bày ở đầu chương này, chúng

tôi cũng chỉ ra rằng quá trình DH các khái niệm đạo hàm, tích phân dường như chưa tận

dụng thỏa đáng tiềm năng LM vốn có. Đặt trong thực trạng này, giải pháp mà chúng tôi

vừa đề xuất vẫn còn tính thời sự trong việc xây dựng chương trình DH Toán và Vật lí

để tạo sự gắn kết hỗ trợ nhau cho hai môn học.

Bên cạnh đó, từ kết quả phân tích tri thức luận đã thực hiện ở chương 2 chúng tôi

đã rút ra những gợi ý sư phạm nhằm tận dụng sự gắn kết tương hỗ giữa toán và vật lí

trong việc làm nảy sinh và tiến triển hai khái niệm đạo hàm và tích phân. Để minh hoạ

cho việc vận dụng giải pháp 2, chúng tôi sẽ sử dụng các gợi ý có được từ nghiên cứu tri

thức luận lịch sử ở chương 2 trong việc thiết kế tình huống DH khái niệm tích phân mà

sẽ trình bày ở chương 5 của luận án.

112

4.2.1.3. Giải pháp 3: Tận dụng một cách xác đáng những hỗ trợ mà thể chế 𝑰𝑽𝑳 đã cung cấp trong quá trình dạy học khái niệm đạo hàm, tích phân

Ở chương 3 chúng tôi chỉ ra rằng, khi giải quyết một số vấn đề của mình, 𝐼𝑉𝐿 đã cung cấp sớm nhiều tình huống thích hợp có thể giúp làm xuất hiện ý nghĩa tốc độ biến

thiên và kĩ thuật lập tổng Riemann. Như đã đề cập thì những cách hiểu này là nền tảng

và quan trọng nhất đối với hai khái niệm đạo hàm, tích phân cả về mặt đối tượng và

công cụ. Hơn nữa, khi sử dụng ý tưởng về tốc độ biến thiên và phương pháp chia nhỏ

lập tổng Riemann, 𝐼𝑉𝐿 thậm chí đã giới thiệu trước rằng những lập luận này sẽ được làm rõ sau khi thể chế 𝐼𝑇 giới thiệu tường minh hai khái niệm đạo hàm, tích phân.

Điều đáng tiếc là 𝐼𝑇 đã không tận dụng sự hỗ trợ từ 𝐼𝑉𝐿 để mang lại hai cách hiểu quan trọng nói trên cho các khái niệm đang bàn đến. Theo đề xuất của chúng tôi, việc

DH Toán hoàn toàn có thể khai thác tốt hơn những “tài nguyên” mà Vật lí đã cung cấp

(các ngữ cảnh, bài toán, phương pháp giải quyết) để đem đến kiến thức đầy đủ hơn cho

HS cũng như giới thiệu cho các em những kĩ thuật đặc trưng và hiệu quả của GT. Và

mặc dù đạo hàm và tích phân chỉ được dạy ở 𝐼𝑇 ở cuối chương trình THPT, có lẽ cũng cần tạo điều kiện cho người học nhìn lại những ứng dụng hiệu quả của chúng trong các

vấn đề vật lí trước đó. Điều này có thể sẽ giúp người học nhận ra rằng, những khái niệm

mà họ đang học có một sức mạnh thực tiễn to lớn như thế nào trong việc giải quyết nhiều

vấn đề của thực tiễn và khoa học, nói riêng là Vật lí.

Liên quan đến việc vận dụng giải pháp 5, trong hai đồ án DH được xây dựng ở

chương 5, chúng tôi đã thiết kế các tình huống tận dụng ngữ cảnh vật lí để làm nảy sinh

và mang lại nghĩa đầy đủ hơn cho hai khái niệm đạo hàm/tích phân. Ngoài ra, bằng cách

tạo điều kiện cho HS “thăm lại” những ứng dụng ngầm ẩn trước đó của đạo hàm/tích

phân trong Vật lí, đồ án cũng giúp các em hiểu sâu sắc hơn về tri thức đang đề cập và

cách ứng dụng chúng trong nhiều vấn đề thực tiễn.

4.2.1.4. Giải pháp 4: Đưa vào thể chế DH Toán nhiều hơn những kiểu nhiệm vụ mà

việc giải quyết chúng đòi hỏi người học phải hiểu khái niệm ở mức độ phù hợp thay

vì chỉ cần đến các kiến thức theo quy trình

Xu hướng đại số hóa GT ở trường THPT hiện nay dường như đang chú trọng vào

các kiến thức quy trình liên quan đến đạo hàm và tích phân. Các kiểu nhiệm vụ xuất

hiện trong thể chế 𝐼𝑇 nghiêng nhiều về yêu cầu tính toán hoặc có thể dùng những quy

113

trình có sẵn để giải quyết. Người học có thể thành thạo trong việc giải quyết các kiểu

nhiệm vụ này nhưng chưa hẳn là đã hiểu khái niệm ở một mức độ cần thiết.

Để phát triển một kiến thức đầy đủ hơn về các tri thức đang bàn đến, chúng tôi cho

rằng thể chế 𝐼𝑇 phải đưa vào nhiều hơn các kiểu nhiệm vụ mà việc giải quyết chúng đòi hỏi một mức độ hiểu khái niệm nhất định. Các bài toán này không nhất thiết phải đặt

trong ngữ cảnh toán mà có thể khai thác từ các ứng dụng của khái niệm trong thực tiễn

khoa học, đặc biệt là Vật lí. Những kiểu nhiệm vụ này sẽ dẫn dắt việc học tập của HS

theo hướng hiểu đầy đủ hơn khái niệm cũng như giúp các em rèn luyện khả năng vận

dụng và nối kết các cách hiểu và biểu diễn khác nhau để giải quyết thay vì chỉ sử dụng

những quy trình đại số có sẵn.

Để minh hoạ cho giải pháp này, chúng tôi giới thiệu sau đây hai bài toán mà việc

giải quyết nó cần đến công cụ đạo hàm và tích phân. Hơn nữa, người học cần phải hiểu

được nghĩa và các biểu diễn của khái niệm thì mới nhận ra được sự tác động của đạo

hàm/tích phân trong việc giải quyết bài toán đặt ra.

Ví dụ 4.1. Một thùng chứa dầu bị thủng vào thời điểm 𝑡 = 0 và sau đó dầu rò rỉ (chảy

ra) khỏi thùng. Biết rằng tốc độ giảm của lượng dầu trong thùng theo thời gian được ước tính theo hàm số 𝑟(𝑡) = 100. 𝑒−0,01𝑡 lít/phút.

a. Tính tổng lượng dầu chảy ra khỏi thùng trong 1 giờ đầu tiên. Giải thích cách tính đó?

b. Trong khoảng thời gian từ thời điểm 2 phút đến thời điểm 10 phút, lượng dầu chảy ra

khỏi thùng chứa là bao nhiêu?

Phân tích ví dụ 4.1

Nếu gọi hàm số mô tả lượng dầu trong thùng theo thời gian là 𝑓(𝑡) (đơn vị lít) thì

60 0

, và ở . Từ đó, kết quả ở câu a được tính bằng tích phân ∫ 𝑟(𝑡)𝑑𝑡 tốc độ biến thiên (trong bài là tốc độ giảm) của nó chính là 𝑓′(𝑡). Theo đề bài thì 𝑓′(𝑡) = 𝑟(𝑡). Tổng lượng dầu chảy ra khỏi thùng từ thời điểm 𝑡1 đến 𝑡2 được tính bởi: 𝑓(𝑡2) − 𝑡2 𝑓(𝑡1) = ∫ 𝑓′(𝑡)𝑑𝑡 𝑡1

10 2

. câu b là tích phân ∫ 𝑟(𝑡)𝑑𝑡

Để giải quyết được bài toán này HS cần phải hiểu được ý nghĩa của đạo hàm như

là tốc độ biến thiên và tích phân như là công cụ tính tổng lượng thay đổi của một đại

lượng khi biết được tốc độ biến thiên của nó. Cần nói thêm là HS không nhất thiết phải

tiếp cận tích phân theo giới hạn tổng Riemann thì mới nhận ra được cách hiểu này. Thật

114

𝑏 𝑎

= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) (công thức Newton – Leibniz), ý vậy, ngay trong công thức ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

nghĩa của tích phân như là tổng lượng thay đổi đã được thể hiện.

Cụ thể, vì 𝐹(𝑥) là nguyên hàm của 𝑓(𝑥) nên ta có 𝑓(𝑥) = 𝐹′(𝑥). Từ đó, công thức

𝑏 𝑎

. Trong Newton – Leibniz có thể viết lại như sau: ∆𝐹 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = ∫ 𝐹′(𝑥)𝑑𝑥

công thức này, 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) cho biết sự thay đổi tổng cộng của hàm số 𝐹(𝑥) trên đoạn

[𝑎; 𝑏] và nó được tính bởi tích phân hàm số tốc độ biến thiên 𝐹′(𝑥).

Ví dụ 4.2. Thể tích nước (theo lít) trong một bể chứa sau 𝑡 phút được mô tả bởi hàm số

sau đây: với 𝑡 ≥ 0.

a. Hãy chứng minh rằng thể tích nước trong bể đang tăng dần lên theo thời gian.

b. Tại hai thời điểm 𝑡 = 4 phút và 𝑡 = 5 phút, theo em vào thời điểm nào thể tích nước

trong bể chứa tăng nhanh hơn?

Phân tích ví dụ 4.2

Để giải quyết bài toán này HS cần biết nghĩa tốc độ biến thiên tức thời của đạo

hàm. Nếu thiếu nghĩa này thì dù cho HS có giải được câu a bằng xét dấu 𝑉′(𝑡) để chứng

minh thể tích luôn tăng nhưng sẽ gặp khó khăn với yêu cầu ở câu b. Thật vậy, yêu cầu so sánh tốc độ tăng ở hai thời điểm ở câu b buộc HS phải so sánh hai giá trị 𝑉′(4) và 𝑉′(5). Tuy nhiên nếu các em không biết rằng giá trị 𝑉′(𝑡0) đặc trưng cho tốc độ tăng thể tích nước ở thời điểm 𝑡0 thì chiến lược giải này khó mà xuất hiện.

Hai bài toán chúng tôi xây dựng ở trên đòi hỏi HS phải thấu hiểu nghĩa của các khái

niệm ở mức độ thích hợp để nhận ra được sự tác động của đạo hàm và tích phân trong

việc giải quyết các vấn đề của khoa học và thực tiễn. Theo chúng tôi, những kiểu nhiệm

vụ như vậy sẽ giúp hướng người dạy và người học vào mục tiêu hiểu được đầy đủ hơn

ý nghĩa và bản chất khái niệm để ứng dụng chúng trong nhiều ngữ cảnh thực tiễn đa

dạng, thay vì chỉ tập trung vào các nhiệm vụ tính toán và giải bài tập theo quy trình sẵn

có.

4.2.2. Nhóm 2: Nhóm giải pháp nhằm tăng cường vai trò công cụ của đạo hàm và

tích phân và giúp người học ứng dụng hiệu quả chúng trong các vấn đề của Vật lí

4.2.2.1. Giải pháp 5: Đưa vào thể chế dạy học Toán cách hiểu tường minh về đạo

hàm như là thước đo cho tốc độ biến thiên và giới thiệu công cụ xấp xỉ hàm số

Như các phân tích trước đó đã chỉ ra, vai trò công cụ của đạo hàm trong Vật lí thể

hiện rõ nét nhất ở cách hiểu tốc độ biến thiên. Vật lí cần đến cách hiểu này để giải thích

115

lý do áp dụng đạo hàm ở các ngữ cảnh ứng dụng. Vì lẽ đó, thể chế 𝐼𝑇 cần phải làm xuất hiện cách hiểu này trong quan niệm của HS để giúp các em nhận thấy được vai trò công

cụ và sức mạnh thực tiễn của tri thức đang nói đến.

Ngoài ra, 𝐼𝑉𝐿 còn sử dụng các xấp xỉ hàm số để nghiên cứu và giải quyết các vấn đề của Vật lí. Cơ sở toán học giải thích cho các xấp xỉ này đã có sẵn trong 𝐼𝑇, tuy nhiên các kiểu nhiệm vụ liên quan lại chỉ dừng ở việc tính toán gần đúng mà bỏ qua việc xấp

xỉ một hàm số khả vi bởi hàm tuyến tính bậc nhất. Vì vậy, để người học thấy được vai

trò công cụ của đạo hàm và các kĩ thuật GT, chúng tôi cho rằng việc nâng tầm kĩ thuật

tính xấp xỉ số lên thành xấp xỉ hàm là điều cần thiết và hoàn toàn có thể làm được bằng

con đường hình học: xấp xỉ phần đường cong (đồ thị của hàm số) trong một lân cận (khá

bé) của 𝑥0 bởi một đoạn thẳng (chính là tiếp tuyến của hàm số tại 𝑥0). Bằng cách này, chúng ta có xấp xỉ sau mà có thể sử dụng để giải thích nhiều công thức xấp xỉ được sử dụng trong 𝐼𝑉𝐿: 𝑓(𝑥) ≈ 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓(𝑥0)

Để minh hoạ cho giải pháp này, chúng tôi đưa ra hai phương thức sau đây có thể

hình thành nghĩa tốc độ biến thiên trong quan niệm của người học về đạo hàm tuỳ vào

từng đối tượng.

Với đối tượng HS đã học qua đạo hàm theo định nghĩa giới hạn tỉ sai phân nhưng

chưa biết về nghĩa “tốc độ biến thiên”, chúng ta có thể bổ sung thêm cách hiểu này từ

cách tiếp cận động học. Chẳng hạn, thông báo sau đây có thể dùng để giới thiệu cách

hiểu “tốc độ biến thiên tức thời” gắn với giá trị của đạo hàm tại một điểm:

Bổ sung kiến thức

• Tốc độ biến thiên trung bình

Xét hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), nếu 𝑥 thay đổi (biến thiên) từ giá trị 𝑥1 sang giá trị 𝑥2 thì độ

biến thiên của 𝑥 là: ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 (đại lượng này còn được gọi là số gia của 𝑥) Độ biến thiên tương ứng của 𝑦 là: ∆𝑦 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)

Tỉ số

chính là tốc độ biến thiên trung bình của 𝑦 theo 𝑥 trên đoạn

[𝑥1; 𝑥2]. • Tốc độ biến thiên tức thời

Khi 𝑥2 tiến dần đến giá trị của 𝑥1 (nghĩa là ∆𝑥 → 0) thì tốc độ biến thiên trung bình trên đoạn [𝑥1; 𝑥2] càng lúc càng phản ánh chính xác hơn tốc độ biến thiên của hàm số 𝑦

sẽ cho biết chính

theo đối số 𝑥 ngay tại 𝑥1. Giới hạn (nếu có)

xác tốc độ biến thiên tức thời của 𝑦 theo 𝑥 tại điểm 𝑥1 và nó cũng chính là 𝑓′(𝑥1) (đạo hàm của hàm số 𝑓(𝑥) tại giá trị 𝑥1).

Với ý nghĩa này, khi hàm số 𝑓(𝑥) biểu thị cho một đại lượng bất kì trong khoa học

hoặc trong thực tiễn, thì đạo hàm của nó sẽ giúp ta tính được tốc độ biến thiên của đại

lượng đó theo biến mà nó phụ thuộc.

116

Với đối tượng HS chưa học về đạo hàm, đồ án DH mà chúng tôi xây dựng ở chương

5 trình bày một cách làm nảy sinh khái niệm đạo hàm trong ngữ cảnh vật lí mà có thể

gắn nó với cách hiểu theo tốc độ biến thiên. Chuỗi tình huống DH được chúng tôi xây

dựng trong đồ án đó nhắm đến mục tiêu liên kết được nghĩa tốc độ biến thiên với cách

tính theo giới hạn tỉ sai phân khi đạo hàm đóng vai trò là công cụ giúp giải quyết một

vấn đề nảy sinh trong ngữ cảnh ứng dụng.

4.2.2.2. Giải pháp 6: Giới thiệu cho người học các kĩ thuật của Giải tích có nhiều ứng

dụng hiệu quả trong Vật lí, đặc biệt là phương pháp tính gần đúng theo tổng Riemann

Nhiều HS có thể đã từng tự hỏi: “tại sao lại phải học tích phân”? Câu trả lời có thể

tìm thấy trong SGK thường là “để tính diện tích và thể tích”, nhưng để tính toán những

đại lượng này các em chỉ phải áp dụng các công thức sẵn có. Hầu hết HS không hề biết

đến lí do tại sao tích phân có thể giúp tính diện tích và thậm chí còn được áp dụng để

giải quyết nhiều vấn đề trong khoa học và thực tiễn. Nguyên nhân chủ yếu như chúng

tôi đã chỉ ra trước đó đến từ sự thiếu hụt cách hiểu tích phân theo cấu trúc tổng Riemann.

Ấy vậy mà, khi chương trình vật lí THPT đưa vào nhiều tình huống giải quyết vấn đề

có sử dụng phương pháp lập tổng Riemann thì HS lại không hề biết sự liên hệ của kĩ

thuật tính toán này với khái niệm tích phân được học. Nghiên cứu ở chương 2 và chương

3 cũng chỉ ra rằng phương pháp tính toán thể hiện trong kĩ thuật lập tổng Riemann không

những là cốt lõi để nắm được bản chất khái niệm mà còn thiết yếu cho việc hiểu được

các ứng dụng đa dạng của tích phân trong Vật lí nói riêng và các vấn đề của thực tiễn

nói chung. Vì thế, nếu như muốn HS thấy rõ được vai trò công của khái niệm tích phân,

chúng ta nên giới thiệu kĩ thuật tính gần đúng theo tổng Riemann trong thể chế DH

Toán.

Cần phải nói rõ, chúng tôi không ngụ ý rằng tích phân phải được định nghĩa chặt

chẽ bằng giới hạn tổng Riemann giống như cách trình bày của các giáo trình đại học,

bởi lẽ tính phức tạp của nó có thể là quá sức với mức độ nhận thức của HS phổ thông.

Thay vì đó, chúng ta có thể đưa vào các tình huống làm xuất hiện phương pháp chia

nhỏ, lập tổng Riemann để làm nổi bật được vai trò công cụ của khái niệm này. Tích phân

117

vẫn có thể được định nghĩa và tính toán theo hiệu giá trị nguyên hàm tại hai cận, nhưng

điều cần thiết là phải chỉ ra được sự tương đương giữa hai cách tính toán, một theo

nguyên hàm và một theo tổng Riemann. Phương pháp tính toán theo tổng Riemann cho

biết lý do tại sao phải sử dụng tích phân trong một ngữ cảnh ứng dụng nào đó, còn

nguyên hàm sẽ cung cấp một phương tiện thuận lợi để tính toán nó.

Giải pháp này cũng sẽ được chúng tôi cụ thể hoá trong đồ án DH khái niệm tích

phân trình bày ở chương 5. Trong đồ án đó, một chuỗi tình huống được chúng tôi xây

dựng nhằm giới thiệu phương pháp tính toán gần đúng theo tổng Riemann và liên hệ

của nó với nghĩa nguyên hàm và diện tích của khái niệm tích phân.

4.2.2.3. Giải pháp 7: Soi sáng lại các ứng dụng đã xuất hiện trong Vật lí trên cơ sở

những kiến thức mà môn Toán cung cấp

Việc cấu trúc lại chương trình DH hai môn Toán và Vật lí sao cho có thể thỏa mãn

được tối đa những đặc trưng LM từ lịch sử không phải lúc nào cũng làm được (đây cũng

là sự ràng buộc về mặt thể chế DH). Như đã nói đến, sự xuất hiện của hai khái niệm đạo

hàm và tích phân ở thể chế 𝐼𝑇 thường đến muộn hơn những ứng dụng của chúng trong 𝐼𝑉𝐿. Trong trường hợp này, một giải pháp để người học nhận ra được vai trò công cụ của các tri thức đang nói đến là soi sáng lại các ứng dụng của chúng đã xuất hiện ngầm ẩn

trước đó trong Vật lí.

Cụ thể, khái niệm đạo hàm đã được 𝐼𝑉𝐿 sử dụng một cách ngầm ẩn để giải quyết nhiều vấn đề cần sự tác động của cách hiểu tốc độ biến thiên trước khi được dạy ở 𝐼𝑇. Vì thế để HS nhận ra được những ứng dụng đa dạng của đạo hàm, SGK toán có thể

“thăm lại” các vấn đề vật lí nói trên và làm rõ vai trò công cụ của khái niệm đang bàn

đến. Hơn nữa, việc xem xét lại những ứng dụng này còn có thể giúp người học hiểu rõ

hơn các đặc trưng và ý nghĩa của đạo hàm, cũng như thấu hiểu được lý do và cách thức

mà nó được ứng dụng trong nhiều vấn đề của Vật lí.

Luận điểm nói trên cũng phù hợp trong trường hợp khái niệm tích phân. Tuy nhiên,

như chúng tôi đã phân tích trước đó thì sự soi sáng và nhìn lại những ứng dụng của đạo

hàm, tích phân trong Vật lí chỉ phù hợp nếu như 𝐼𝑇 có thể làm xuất hiện được các cách hiểu tương thích: tốc độ biến thiên với đạo hàm và giới hạn của tổng Riemann với tích

phân.

Để minh hoạ cho giải pháp này, chúng tôi đặt giả thiết rằng cách hiểu tốc độ biến

thiên tức thời đã được hình thành trong quan niệm của HS về khái niệm đạo hàm. Khi

118

đó, GV có thể tạo điều kiện cho HS nhìn lại các ứng dụng ngầm ẩn của đạo hàm xuất

hiện trong SGK Vật lí lớp 10 và 11 bằng cách đưa ra một số bài toán sau đây:

Ví dụ 7.1. Gọi hàm số biểu diễn vận tốc và gia tốc theo thời gian lần lượt là: 𝑣(𝑡) và

𝑎(𝑡). Trong SGK Vật lí lớp 10 ta biết rằng tốc độ biến thiên tức thời của vận tốc theo

thời gian chính là gia tốc. Gia tốc đặc trưng cho mức độ biến thiên nhanh chậm của vận

tốc. Bên cạnh đó, để tính độ lớn của gia tốc tức thời SGK Vật lí lớp 10 đưa ra công thức

sau đây: , với ∆𝑡 rất nhỏ.

Theo em, để tính được chính xác gia tốc tức thời tại một thời điểm thì công thức

đúng phải là gì? Giải thích đề xuất của mình bằng ít nhất hai lí lẽ khác nhau.

Ví dụ 7.2. Phát biểu sau được trích dẫn trong bài “Định luật Fa-ra-đây về cảm ứng điện

từ” SGK Vật lí 11 NC (tr.186)

“…độ lớn của suất điện động cảm ứng trong mạch kín tỉ lệ với tốc độ biến thiên của

từ thông qua mạch… Nếu trong khoảng thời gian ∆𝑡 đủ nhỏ, từ thông qua mạch biến

thiên một lượng thì là tốc độ biến thiên của từ thông.

SGK Vật lí lớp 11 đưa ra công thức tính độ lớn suất điện động cảm ứng như sau:

, với ∆𝑡 đủ nhỏ. Nếu tính đến dấu của 𝑒𝑐 (theo định luật Len-xơ) thì công thức

xác định suất điện động cảm ứng tại một thời điểm được viết dưới dạng sau:

, với ∆𝑡 đủ nhỏ.

a. Theo em, công thức trên đã giúp xác định chính xác suất điện động cảm ứng tại mỗi

thời điểm hay chưa? Hãy đưa ra một công thức có thể xác định chính xác suất điện động

tức thời nói trên. Giải thích đề xuất của mình bằng ít nhất hai lí lẽ khác nhau.

b. Xét một khung dây dẫn diện tích 𝑆, quay đều quanh trục với tốc độ góc 𝜔 trong từ

trường đều 𝐵⃗ . Biết rằng từ thông qua khung dây biến thiên theo hàm số

. Hãy tìm hàm số biểu thị suất điện động cảm ứng trong khung dây

theo thời gian 𝑡.

Ví dụ 7.3. Trong bài hiện tượng “Tự cảm”, SGK Vật lí lớp 11 cơ bản phát biểu định

luật về suất điện động tự cảm xuất hiện trong mạch như sau:

119

“Suất điện động tự cảm có độ lớn tỉ lệ với tốc độ biến thiên của cường độ dòng điện

trong mạch” (tr. 156)

Theo đó, suất điện động tự cảm được xác định bởi công thức sau đây:

, với 𝐿 là độ tự cảm và ∆𝑡 rất nhỏ.

a. Theo em, để tính được chính xác suất điện động tự cảm tại một thời điểm thì công

thức đúng phải là gì? Giải thích đề xuất của mình bằng ít nhất hai lí lẽ khác nhau.

b. Biết rằng độ tự cảm 𝐿 = 0,2 (đơn vị H), cường độ dòng điện trong mạch biến đổi theo

thời gian 𝑡 theo hàm số 𝑖(𝑡) = 2sin (100𝜋𝑡) (đơn vị A). Hãy tính suất điện động tự cảm

𝑒𝑡𝑐 (đơn vị V) tại thời điểm 𝑡 = 1 giây. Phân tích:

Ba ví dụ trên liên quan đến việc xác định các đại lượng vật lí sau: gia tốc tức thời,

suất điện động cảm ứng tức thời và suất điện động tự cảm tức thời. Đặc trưng vật lí của

ba đại lượng này đều gắn với ý nghĩa tốc độ biến thiên của đạo hàm, tuy nhiên vì xuất

hiện ở 𝐼𝑉𝐿 vào thời điểm phép tính giới hạn và đạo hàm chưa được giới thiệu nên SGK

Vật lí chỉ đưa ra các công thức tính gần đúng ở dạng: , với ∆𝑡 rất nhỏ. Điều mong

đợi là HS nhận ra sự tác động của phép lấy đạo hàm trong những vấn đề này để có thể

đưa ra một công thức tính chính xác các đại lượng được nhắc đến. Chiến lược mong đợi

này theo chúng tôi có thể xuất hiện từ hai con đường. Một từ việc kết nối cách hiểu tốc

độ biến thiên của đạo hàm với đặc trưng vật lí của các đại lượng vật lí đang đề cập. Con

đường thứ hai xuất phát từ việc xem xét công thức tính gần đúng theo tỉ sai phân khi số

gia biến số rất nhỏ và liên hệ nó với phép lấy giới hạn . Bằng cách đưa thêm yêu

cầu HS phải “giải thích đề xuất của mình bằng hai lí lẽ khác nhau” chúng tôi muốn

hướng HS tiếp cận theo cả hai cách nói trên. Điều này không chỉ giúp HS nhận ra vai

trò công cụ mạnh mẽ của đạo hàm trong nhiều vấn đề của Vật lí mà hơn nữa còn giúp

nối kết cách hiểu tốc độ biến thiên của đạo hàm với công thức tính toán nó trong những

ngữ cảnh ứng dụng.

Để kiểm chứng sự phù hợp của giải pháp 7, các ví dụ nói trên (ví dụ 7.1; 7.2a và

7.3a) sẽ được chúng tôi đưa vào đồ án DH ở chương 5. Mục đích là để kiểm tra khả năng

của HS trong việc gắn kết cách hiểu về đạo hàm vừa được xây dựng từ đồ án với những

tình huống ứng dụng nó trong Vật lí.

120

4.2.2.4. Giải pháp 8: Tăng cường các kiểu nhiệm vụ liên môn có sử dụng kiến thức

của cả Giải tích và Vật lí

Phân tích thể chế DH của chúng tôi ở chương 3 đã chỉ ra rằng các tổ chức tri thức

liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm/tích phân trong ngữ cảnh vật lí chưa được xây

dựng thoả đáng với tiềm năng LM vốn có. Một phần nguyên nhân bắt nguồn từ cách

tiếp cận hiện nay của 𝐼𝑇 không hướng đến việc làm xuất hiện những cách hiểu cần thiết để ứng dụng đạo hàm/tích phân trong Vật lí. Một nguyên nhân khác có lẽ đến từ sự chú

trọng của 𝐼𝑇 vào các kiểu nhiệm vụ tính toán đạo hàm hay tích phân nhưng lại chưa gắn việc tính toán này vào các ngữ cảnh LM để mang lại ý nghĩa thực tiễn cho đại lượng vừa

tính.

Trong giải pháp này, chúng tôi đề xuất đưa vào thêm các kiểu nhiệm vụ LM mà để

giải quyết chúng người học cần sử dụng đến cả kiến thức toán và vật lí. Giải pháp này

sẽ tăng thêm tính phù hợp và hiệu quả nếu chúng ta thực hiện kèm với hai giải pháp 5

và 6 (giới thiệu cách hiểu tốc độ biến thiên và kĩ thuật tính xấp xỉ bằng tổng Riemann

trong 𝐼𝑇) vì chỉ khi đó thì các kiểu nhiệm vụ LM mới được khai thác đúng mức. Những giải pháp này sẽ giúp HS thấy rõ được vai trò công cụ mạnh mẽ của đạo hàm và tích

phân trong Vật lí nói riêng và thực tiễn nói chung đồng thời có lợi cho việc hiểu sâu sắc

hơn về các tri thức đang đề cập.

Lợi ích LM của giải pháp 8 là điều đã thấy rõ, tuy nhiên một trở ngại phải xem xét

là các kiến thức GT và Vật lí có gắn kết LM lại thường không được dạy song song hoặc

gần nhau trong hai thể chế 𝐼𝑇 và 𝐼𝑉𝐿. Điều này gây ra khó khăn cho người học trong việc huy động tổng hợp các kiến thức cần thiết từ hai môn học để giải quyết vấn đề. Trong

hoàn cảnh chưa thể thiết kế được những chủ đề LM để dạy các kiến thức toán và vật lí

cùng với nhau, một giải pháp chúng tôi đưa ra là cung cấp kiến thức bổ trợ cho mỗi kiểu

nhiệm vụ tuỳ theo phạm vi môn học. Chẳng hạn khi đặt một bài toán có ngữ cảnh LM

trong phạm vi DH môn Toán, GV có thể thêm vào đề bài một số thông tin nhằm cung

cấp các kiến thức vật lí cần thiết. Để minh hoạ, chúng tôi giới thiệu các bài toán có ngữ

cảnh vật lí sau đây có thể đặt ra cho HS trong phạm vi môn Toán, hai ví dụ đầu sử dụng

công cụ đạo hàm, hai ví dụ còn lại sử dụng tích phân.

Ví dụ 8.1. Định luật hấp dẫn của Newton phát biểu rằng lực hút của một vật khối lượng

𝑚 tác động lên một vật có khối lượng 𝑀 được cho bởi công thức:

, trong đó 𝐺 là hằng số hấp dẫn và 𝑟 là khoảng cách giữa hai vật.

121

a. Hãy tính 𝐹′(𝑟) (đạo hàm của hàm số lực 𝐹 theo khoảng cách 𝑟) và giải thích ý nghĩa

của nó.

b. Chứng minh rằng lực hấp dẫn luôn giảm khi khoảng cách 𝑟 tăng lên. Khi khoảng cách

𝑟 càng tăng thì lực hấp dẫn sẽ giảm nhanh hơn hay giảm chậm lại?

Ví dụ 8.2. Định luật Bôilơ – Mariốt (SGK Vật lí 11 NC, tr. 224) phát biểu rằng ở nhiệt

độ không đổi, tích của áp suất 𝑝 và thể tích 𝑉 của một lượng khí xác định là một hằng

số:

𝑝𝑉 = 𝐶, với 𝐶 là một hằng số.

a. Hãy tìm công thức biểu thị tốc độ biến thiên của thể tích 𝑉 theo áp suất 𝑝.

b. Một lượng khí trong xi lanh dãn từ áp suất cao đến áp suất thấp hơn ở nhiệt độ không

đổi trong suốt 5 phút. Thể tích của xi lanh giảm nhanh hơn vào lúc bắt đầu hay kết thúc

của 5 phút này? Giải thích tại sao.

Phân tích ví dụ 8.1 và 8.2

Với ví dụ 8.1, công thức tính lực hấp dẫn trong SGK Vật lí lớp 10 được nhắc lại.

Công thức này cho phép HS thiết lập được một hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của lực

hấp dẫn theo khoảng cách giữa hai vật: .

Từ đó ta có . 𝐹′(𝑟) cho chúng ta biết tốc độ biến thiên của lực

hấp dẫn theo sự thay đổi của khoảng cách 𝑟 giữa hai vật. Dấu trừ cho thấy 𝐹′(𝑟) luôn

âm, nghĩa là lực hấp dẫn sẽ giảm đi theo chiều tăng của khoảng cách hai vật. Hơn nữa,

công thức của 𝐹′(𝑟) còn cho biết rằng khi khoảng cách càng tăng thì tốc độ giảm của lực hấp dẫn càng nhỏ (độ lớn 𝐹′(𝑟) tỉ lệ nghịch với 𝑟3). Bằng cách đặt câu hỏi kiểu mở

như “giải thích ý nghĩa của 𝐹′(𝑟)”, chúng ta sẽ kiểm tra được cách hiểu của HS về khái

niệm đạo hàm, đặc biệt là khi đặt nó vào một ngữ cảnh vật lí cụ thể.

Với ví dụ 8.2, mối quan hệ giữa áp suất và thể tích chất khí trong quá trình đẳng

nhiệt ở SGK Vật lí lớp 10 được chúng tôi nhắc lại: 𝑝𝑉 = 𝐶. Từ đây HS có thể thiết lập

. Điều đáng nói là các được một hàm số biểu thị sự phụ thuộc của 𝑉 theo 𝑝:

yêu cầu a và b trong ví dụ này đều không hề nhắc đến việc phải tính đạo hàm. HS chỉ

có thể nhận ra được sự tác động của đạo hàm trong bài toán nếu như các em biết được

nghĩa tốc độ biến thiên của tri thức đang đề cập. Theo đó đạo hàm cho ta

122

công thức biểu thị tốc độ biến thiên của thể tích 𝑉 theo áp suất 𝑝. Với câu b, đề bài cho

biết quá trình là giảm áp và áp suất ở thời điểm ban đầu sẽ lớn hơn ở thời điểm cuối.

Điều này kéo theo độ lớn của 𝑉′(𝑝) ở thời điểm ban đầu sẽ nhỏ hơn (theo công thức thì độ lớn 𝑉′(𝑝) tỉ lệ nghịch với 𝑝2), nghĩa là thể tích của xi lanh sẽ giảm nhanh hơn vào

thời điểm kết thúc của quá trình.

Hai ví dụ trên minh hoạ các kiểu nhiệm vụ LM Toán – Vật lí mà cần sử dụng đến

nghĩa tốc độ biến thiên của đạo hàm trong việc giải quyết. Các ví dụ tiếp theo sau đây

được chúng tôi xây dựng để minh hoạ cho một số kiểu nhiệm vụ LM cần đến sự tác

động của công cụ tích phân.

Ví dụ 8.3: Đồ thị gia tốc – thời gian của hai vật được cho dưới đây:

Vật 1 Vật 2

a. Cho biết vật 1 có hàm số gia tốc trên đoạn [0; 2] là 𝑎(𝑡) = −𝑡 + 2. Vận tốc của vật

1 thay đổi một lượng bao nhiêu từ thời điểm 𝑡 = 0 đến thời điểm 𝑡 = 2 giây.

b. Trong hai vật, vật nào có sự thay đổi vận tốc lớn hơn trong khoảng thời gian chuyển

động từ thời điểm 𝑡 = 0 giây đến thời điểm 𝑡 = 2 giây? Giải thích tại sao.

Phân tích ví dụ 8.3

Ví dụ này và ví dụ 4.1 ở giải pháp 4 đều cùng thuộc một kiểu nhiệm vụ là tính sự

thay đổi tổng cộng của một đại lượng trên một khoảng thời gian khi cho biết tốc độ biến

thiên của đại lượng ấy. Kĩ thuật giải kiểu nhiệm vụ này là công thức tính tích phân theo

𝑏 𝑎

. Đặt trong ngữ cảnh vật lí này chúng ta nguyên hàm: ∆𝐹 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = ∫ 𝐹′(𝑥)𝑑𝑥

có lượng thay đổi của vận tốc trong đoạn thời gian [𝑎; 𝑏] được tính bởi

𝑏 𝑎

. ∆𝑣 = 𝑣(𝑏) − 𝑣(𝑎) = ∫ 𝑣′(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡

2 0

. Ở câu b, Theo đó kết quả của câu a được xác định bởi tích phân: ∫ (−𝑡 + 2)𝑑𝑡

việc so sánh lượng thay đổi vận tốc của hai vật trong đoạn thời gian [0; 2] quy về việc

so sánh hai tích phân. Tuy nhiên vì đề bài không hề cho biểu thức hàm số gia tốc của

vật 2 nên việc so sánh hai tích phân bắt buộc quy về so sánh hai diện tích dưới đồ thị.

123

Để giải quyết vấn đề này HS cần thấu hiểu và chuyển đổi được giữa các cách hiểu

𝑏 𝑎

: Nó vừa là tổng lượng thay đổi của vận tốc trong đoạn khác nhau về tích phân ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡

thời gian [𝑎; 𝑏], vừa là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị với trục hoành. Từ

phân tích này có thể thấy, những kiểu nhiệm vụ LM như vậy không chỉ giúp nâng cao

vai trò công cụ của đạo hàm/tích phân trong Vật lí mà thậm chí, còn có thể giúp đem lại

cách hiểu đầy đủ và sâu sắc hơn cho khái niệm đang đề cập.

Ở ví dụ trên, HS cần vận dụng cách hiểu tích phân theo hiệu nguyên hàm trong ngữ

cảnh vật lí. Để khai thác thêm cách hiểu tích phân theo diện tích và giới hạn tổng

Riemann trong việc giải quyết vấn đề vật lí, chúng tôi đưa ra hai ví dụ sau đây:

Ví dụ 8.4. Hai xe ô tô xuất phát

đồng thời từ cùng một vị trí và

bắt đầu chuyển động trên cùng

một đường thẳng theo cùng một

hướng với vận tốc cho bởi đồ

thị sau:

a. Theo em, vào thời điểm 𝑡 = 3

phút, xe nào đi được quãng

đường dài hơn? Giải thích câu trả lời của em.

b. Tại thời điểm 𝑡 = 8 phút, xe nào đi được quãng đường dài hơn? Giải thích.

Ví dụ 8.5. Công 𝐴 do lực F không đổi kéo vật dịch chuyển một độ dời 𝑠 (cùng phương

với lực) được tính bởi công thức: 𝐴 = 𝐹. 𝑠.

a. Một vật dịch chuyển trên đoạn đường thẳng dưới tác

dụng của một lực kéo không đổi có độ lớn F = 10N cùng

phương với chiều chuyển động. Tính công của lực khi kéo

vật từ vị trí ban đầu 𝑠 = 0 đến vị trí 𝑠 = 5 (m).

b. Trong thực tế, khi kéo vật di chuyển quãng đường càng

lớn thì người kéo càng mệt nên lực kéo giảm dần theo hàm

(đơn vị của lực là Newton và đồ thị cho số

ở bên).

- Hãy tìm cách tính gần đúng công của lực kéo này khi

vật dịch chuyển từ vị trí 𝑠 = 0 (m) đến vị trí 𝑠 = 5 (m). Giải thích cách tính của mình.

124

- Bạn hãy đề nghị một phương pháp toán học cho phép tính chính xác công cần tìm.

Hãy giải thích đề nghị của bạn.

Ở ví dụ 8.4, HS sẽ cần kết nối quãng đường cần so sánh với tích phân hàm số vận

tốc và tiếp tục kết nối tích phân này với diện tích dưới đồ thị để thực hiện việc so sánh.

Với ví dụ 8.5, công thức tính công trong Vật lí khi lực không đổi và cùng phương với

phương dịch chuyển được chúng tôi nhắc lại. Để có thể tính công này khi lực 𝐹(𝑠) biến

thiên, chúng ta phải cần đến sự tác động của cách hiểu tích phân theo cấu trúc tổng

Riemann. Cần phải thông báo rằng, việc hình thành cách hiểu tích phân theo kĩ thuật lập

tổng Riemann là một trong những mục tiêu mà đồ án DH của chúng tôi ở chương 5 đặt

ra. Theo đó, hai ví dụ 8.4 và 8.5 sẽ được chúng tôi đưa vào đồ án này để kiểm tra việc

hiểu và ứng dụng được tích phân trong ngữ cảnh vật lí. Các phân tích tiên nghiệm cho

hai ví dụ đang nói cũng sẽ được trình bày cụ thể trong đồ án đó.

4.2.2.5. Giải pháp 9: Trang bị cho người học “kiến thức ngữ cảnh”, đặc biệt là những

kiến thức gắn với ngữ cảnh vật lí

Một rào cản cho việc thấu hiểu các ứng dụng của đạo hàm và tích phân trong Vật

lí là ở sự tách biệt giữa kiến thức toán và vật lí trong quá trình học tập của HS. Hơn nữa,

kiến thức toán truyền thụ cho HS thường được giới thiệu một cách hình thức, gắn với

những thao tác trên các ký hiệu trừu tượng. Để kiến thức này trở nên có ý nghĩa hơn với

người học, nên gắn nó với các ngữ cảnh mà nói riêng là ngữ cảnh vật lí.

Chúng tôi sử dụng thuật ngữ “kiến thức ngữ cảnh” với ý nghĩa là: những hiểu biết

về khái niệm gắn với các ngữ cảnh cho phép nó xuất hiện và những tình huống mà khái

niệm này đóng vai trò công cụ giải quyết. Với cách hiểu này, kiến thức toán học gắn với

ngữ cảnh vật lí sẽ giúp làm giàu hơn ý nghĩa của các khái niệm toán học và đem lại kiến

thức ở dạng gắn kết hơn với Vật lí. Chẳng hạn khi DH khái niệm tích phân, có thể gắn

kèm nó với những ngữ cảnh vật lí mà tích phân là phương tiện giải quyết như: quãng

đường dịch chuyển, công của lực tác động. Điều này không những làm mạnh hơn hiểu

biết của HS về khái niệm mà còn giúp các em hiểu rõ hơn vai trò công cụ của tri thức

toán được học.

Bên cạnh đó, giải pháp 9 theo chúng tôi có thể đi kèm với hai giải pháp 7, 8 và và

thậm chí đôi khi không cần sự phân biệt rõ ràng giữa chúng. Lý do nằm ở chỗ, để mang

lại “kiến thức ngữ cảnh” về đạo hàm/tích phân cho người học, nhiều khi chúng ta chỉ

cần soi sáng lại các ứng dụng của chúng trong Vật lí (giải pháp 7) hoặc giúp HS thấy

được vai trò công cụ của tri thức toán trong những kiểu nhiệm vụ LM (giải pháp 8).

125

4.2.2.6. Giải pháp 10: Giới thiệu sớm một số ý tưởng quan trọng của Giải tích để hỗ

trợ cho việc dạy học vật lí

Trong thể chế DH Vật lí ở trường phổ thông hiện nay, các vấn đề mà việc giải quyết

chúng cần đến sự tác động của công cụ GT mà nói riêng là hai khái niệm đạo hàm và

tích phân xuất hiện từ rất sớm (ngay từ đầu lớp 10). Trong khi ấy các khái niệm này lại

không thể được dạy một cách chính thức ở 𝐼𝑇 trước khi 𝐼𝑉𝐿 cần đến nó và chính việc “lệch thời điểm” này đã làm giảm đi rất nhiều vai trò công cụ của đạo hàm và tích phân

trong việc giải quyết nhiều vấn đề của Vật lí. Việc DH sớm GT ở trường phổ thông như

chúng tôi đã bàn luận là điều bất khả thi. Tuy nhiên, theo chúng tôi một số ý tưởng quan

trọng của GT hoàn toàn có thể giới thiệu sớm hơn trong DH Toán để chuẩn bị cho những

ứng dụng của GT sau đó. Cụ thể, chúng tôi đang muốn đề cập đến quan niệm về tốc độ

biến thiên của khái niệm đạo hàm.

Tốc độ biến thiên hay còn được gọi là tốc độ thay đổi không phải là một ý tưởng

quá xa lạ với HS. Sự thay đổi bản thân nó đã là một thuộc tính thiết yếu của tồn tại vật

chất. Khi một đại lượng nào đó thay đổi theo một đại lượng khác, chúng ta sẽ muốn biết

nó thay đổi nhanh chậm như thế nào. Những kinh nghiệm có trước mà HS sở hữu trong

cuộc sống hay trong các môn khoa học khác (tốc độ tăng dân số trong môn Địa lý chẳng

hạn) hoàn toàn có thể hỗ trợ cho việc hiểu được đặc trưng quan trọng này. Chúng tôi

cho rằng có thể giới thiệu quan niệm nói trên sớm hơn trong các lớp học toán để chuẩn

bị cho việc ứng dụng nó ở lớp học vật lí.

Đề xuất của chúng tôi là giới thiệu khái niệm tốc độ biến thiên trung bình ngay sau

chủ đề hàm số được dạy ở lớp 9 hoặc đầu năm lớp 10. Bằng cách này chúng ta sẽ chuẩn

bị sớm cho HS “quan điểm động học” về hàm số mà theo một số nghiên cứu là rất quan

trọng cho việc học GT sau này, đặc biệt là với khái niệm đạo hàm. Theo đó, quan niệm

về hàm số được gắn với sự biến thiên đồng thời giữa hai đại lượng, và tốc độ biến thiên

sẽ là thước đo cho tốc độ mà đại lượng này thay đổi so với sự thay đổi của đại lượng

còn lại.

126

CHƯƠNG 5

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

Trong chương này, hai đồ án DH khái niệm đạo hàm và tích phân được chúng tôi

xây dựng dựa trên cơ sở những gắn kết LM Toán – Vật lí đã làm rõ ở các chương trước.

Bên cạnh đó, chúng tôi cũng vận dụng các giải pháp sư phạm đã đề xuất ở chương 4

nhằm đem lại cách hiểu đầy đủ hơn cho HS về hai khái niệm đạo hàm/tích phân đồng

thời tạo điều kiện để các em ứng dụng được những tri thức này trong các vấn đề của Vật

lí. Kết quả TN thu được từ hai đồ án sẽ là cơ sở để chúng tôi xác nhận được tính khả

dụng của các giải pháp và tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra.

5.1. Đồ án dạy học khái niệm đạo hàm

5.1.1. Mục tiêu xây dựng đồ án

Trước đây, trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ của mình, chúng tôi đã xây dựng một

TN kiểm tra mối quan hệ cá nhân của HS với khái niệm đạo hàm (Ngô Minh Đức, 2013,

tr. 60-68). Đối tượng tham gia TN là một số HS khá giỏi đã học qua khái niệm đạo hàm.

Mục đích TN là kiểm tra xem trong những tình huống cần đến nghĩa tốc độ biến thiên

tức thời hoặc xấp xỉ hàm số thì công cụ đạo hàm có xuất hiện hay không? Kết quả chỉ

ra rằng với yêu cầu “so sánh thời điểm dân số tăng nhanh hơn”, đa số HS đều biết phải

tính tốc độ tăng dân số trung bình để làm cơ sở cho việc so sánh, thậm chí một số em

còn nhận xét rằng tốc độ tăng trung bình không đảm bảo cho việc so sánh sự tăng nhanh

hơn ở mỗi thời điểm. Điều này cho thấy cách hiểu về tốc độ biến thiên trung bình vẫn

hiện diện trong quan niệm của nhiều HS. Tuy nhiên ở tình huống cần đến tốc độ biến

thiên tức thời thì chiến lược sử dụng đạo hàm đã không xuất hiện. Kết quả nói trên chứng

tỏ rằng quan niệm về đạo hàm như là thước đo cho “tốc độ biến thiên tức thời” của một

đại lượng chưa tồn tại trong hiểu biết của những HS tham gia TN. Sự thiếu hụt này còn

xảy ra với đặc trưng xấp xỉ affin khi HS không sử dụng được nó để giải thích một xấp

xỉ hàm quen thuộc dùng trong Vật lí ( với x rất nhỏ).

Cũng trong luận văn này, chúng tôi xây dựng một đồ án DH dành cho đối tượng

HS đã học qua khái niệm đạo hàm mà mục đích là bổ sung hai nghĩa còn thiếu nói trên

(tốc độ biến thiên và xấp xỉ) trong cách hiểu của người học. Đồ án này sau đó được tiến

hành TN và thu được các kết quả phù hợp với mục đích (Ngô Minh Đức, 2013, tr. 69-

98). Cụ thể thì sau TN, HS nhận ra rằng khái niệm đạo hàm mà các em học trước đây

có thể giúp tính toán được tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng bất kì vượt ra

127

khỏi ngữ cảnh động học (Đạo hàm không chỉ giúp tính toán vận tốc và gia tốc). Bên

cạnh đó, HS tham gia TN còn hiểu được ý tưởng xấp xỉ một đường cong bằng tiếp tuyến

của nó quanh lân cận tiếp điểm và từ đó giải thích được nhiều xấp xỉ hàm xuất hiện trong

Vật lí.

Kế thừa kết quả đạt được nói trên, trong luận án này chúng tôi phát triển thêm một

đồ án DH đạo hàm cho đối tượng HS lần đầu học về khái niệm. Mục tiêu của đồ án này

là mang lại cho HS một cách hiểu đầy đủ hơn về khái niệm đạo hàm đồng thời giúp các

em nhận ra được những ứng dụng quan trọng của đạo hàm trong nhiều vấn đề của Vật

lí. Mặt khác, như các phân tích trước đó chúng tôi đã chỉ ra, cách hiểu đạo hàm theo tốc

độ biến thiên là quan trọng nhất về cả hai mặt hiểu và ứng dụng khái niệm. Vì lẽ đó, đồ

án DH chúng tôi xây dựng lần này sẽ tập trung vào mục tiêu đem lại cách hiểu tốc độ

biến thiên cho HS vào thời điểm giới thiệu khái niệm đạo hàm cho các em. Đối với việc

bổ sung nghĩa xấp xỉ, chúng ta hoàn toàn có thể tiến hành sau khi HS đã học về ý nghĩa

hình học của đạo hàm như là hệ số góc tiếp tuyến của đường cong. Từ điểm này, chúng

tôi cho rằng đồ án bổ sung nghĩa xấp xỉ thực hiện trong luận văn thạc sĩ trước đây vẫn

còn nguyên giá trị và không cần thiết phải xây dựng lại trong luận án.

Tóm lại, mục tiêu của đồ án này là mang lại cho khái niệm đạo hàm cách hiểu tốc

độ biến thiên tức thời và gắn kết nó với định nghĩa đạo hàm theo giới hạn tỉ sai phân.

Thông qua đồ án, chúng tôi mong muốn HS thấy được vai trò của công cụ đạo hàm trong

việc giải quyết nhiều vấn đề của Vật lí và xa hơn nữa là hiểu được ý nghĩa tổng quát của

khái niệm ẩn đằng sau các ứng dụng và công thức tính toán nó.

5.1.2. Các giải pháp được vận dụng

Để đạt được các mục đích nói trên, trong đồ án này chúng tôi vận dụng một số giải

pháp đã đề xuất ở mục 4.2 và diễn đạt lại một cách cụ thể như sau:

Vận dụng giải pháp 1: Xây dựng các tình huống có thể liên kết cách hiểu đạo hàm theo

giới hạn tỉ sai phân với cách hiểu tốc độ biến thiên tức thời, cũng như kết nối giữa biểu

diễn đại số với biểu diễn bằng lời của nó (chiếu theo khung lý thuyết của Zadieh về khái

niệm đạo hàm). Giải pháp này giúp mang lại một kiến thức khái niệm đầy đủ và vững

chắc hơn cho người học về tri thức đang nói đến.

Vận dụng giải pháp 2: Phân tích khoa học luận lịch sử đã chỉ ra rằng, ở giai đoạn đạo

hàm được nảy sinh và ứng dụng hiệu quả trong Vật lí, nó được hiểu một cách động học

như là thước đo tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng. Áp dụng giải pháp 2, chúng

tôi khai thác mối quan hệ LM này bằng cách thiết lập trước tiên cách hiểu đạo hàm theo

128

tốc độ biến thiên. Cách hiểu này sau đó sẽ quay trở lại soi sáng cho các ứng dụng đã

xuất hiện trong thể chế DH Vật lí trước đó. Hoạt động này vừa để hỗ trợ cho việc học

tập Vật lí vừa giúp củng cố kiến thức về khái niệm đạo hàm vừa học.

Vận dụng giải pháp 4: Chúng tôi vận dụng giải pháp này bằng cách đưa vào đồ án một

số kiểu nhiệm vụ LM mà việc giải quyết cần đến cách hiểu tốc độ biến thiên và khả năng

kết nối cách hiểu này với các đặc trưng vật lí tương ứng. Điều này không những giúp

HS hình thành nghĩa vật lí cho khái niệm đạo hàm, hơn nữa còn tạo cơ hội cho các em

làm quen với việc vận dụng đạo hàm vào nhiều ngữ cảnh khác nhau trong thực tiễn.

Bên cạnh đó chúng tôi còn áp dụng giải pháp 5 (thiết lập cách hiểu về đạo hàm một

cách tường minh theo tốc độ biến thiên tức thời) và giải pháp 7 (soi sáng lại các ứng

dụng của đạo hàm trong nhiều vấn đề vật lí trước đó) để tăng cường vai trò công cụ của

đạo hàm trong Vật lí. Liên quan đến những việc làm này, chúng tôi cũng đang vận dụng

giải pháp 9 nhằm trang bị cho HS kiến thức đạo hàm đặt trong ngữ cảnh để hỗ trợ tốt

hơn cho việc hiểu và ứng dụng tri thức đang đề cập.

5.1.3. Các phân tích ban đầu

5.1.3.1. Tiếp cận khái niệm đạo hàm theo ngữ cảnh hình học

Nhìn từ lịch sử, một trong những bài toán làm nảy sinh khái niệm đạo hàm là xác

định tiếp tuyến của một đường cong. Ở bài toán này, đạo hàm cho phép xác định hệ số

góc của tiếp tuyến và mang lại ý nghĩa hình học cho tri thức đang nói tới. Tuy nhiên

theo định hướng LM thì có hai vấn đề sau đây cần phải xem xét nếu ta chọn ngữ cảnh

hình học để giới thiệu khái niệm đạo hàm.

Vấn đề đầu tiên nằm ở chỗ, mặc dù cách tiếp cận hình học nhấn mạnh được ý nghĩa

của đạo hàm như là hệ số góc tiếp tuyến, nhưng cách hiểu thường được sử dụng cho các

ứng dụng trong thực tiễn và Vật lí lại là tốc độ biến thiên. Vấn đề thứ hai là rất khó để

liên kết hai cách hiểu này với nhau. Làm thế nào để HS có thể liên hệ được việc tính

toán hệ số góc của tiếp tuyến với việc xác định tốc độ biến thiên tức thời của một đại

lượng bất kì trong thực tiễn hoặc Vật lí?

Như vậy, nếu nhìn từ lợi ích LM thì cách hiểu tốc độ biến thiên sẽ thuận lợi hơn

trong việc kết nối khái niệm đạo hàm với những ứng dụng đa dạng của nó trong thực

tiễn và khoa học. Vì lẽ đó chúng tôi cho rằng ngữ cảnh để giới thiệu khái niệm đạo hàm

nên từ thực tiễn hoặc Vật lí thay vì Hình học.

Đề nghị này của chúng tôi không phủ nhận tầm quan trọng của cách hiểu đạo hàm

như là hệ số góc của tiếp tuyến, vì cách hiểu này chẳng những cần cho toán học mà đôi

129

lúc cũng được sử dụng trong các bài toán vật lí. Vì vậy, nếu có tiếp cận đạo hàm trong

ngữ cảnh vật lý để làm nổi bật nghĩa tốc độ biến thiên thì sau đó vẫn phải nghiên cứu

khái niệm này trong ngữ cảnh “tìm tiếp tuyến”.

5.1.3.2. Tiếp cận khái niệm đạo hàm theo ngữ cảnh vật lí và ngữ cảnh thực tế

Theo truyền thống, các SGK và thậm chí nhiều giáo trình đại học vẫn hay sử dụng

ngữ cảnh động học để tiếp cận khái niệm đạo hàm. Thường thấy nhất là giới thiệu bài

toán tìm vận tốc tức thời để đưa đến định nghĩa đạo hàm như giới hạn của một tỉ số sai

phân. Lí do mà các SGK toán ưa thích lựa chọn ngữ cảnh này có lẽ là vì bài toán vận

tốc vốn rất quen thuộc với HS và hơn nữa nó đưa đến động cơ làm nảy sinh khái niệm

đang đề cập. Tuy nhiên theo chúng tôi thì chính sự quen thuộc với đại lượng vận tốc lại

trở thành rào cản ngăn HS thấu hiểu ý nghĩa về đạo hàm như là tốc độ biến thiên. Cụ thể

thì HS đã biết rõ về vận tốc ở Vật lí nhưng đại lượng này trước đây lại không gắn với

một tốc độ biến thiên nào cả. Vì thế, HS có thể áp dụng đạo hàm để tính vận tốc hay gia

tốc nhưng có lẽ khó mà tổng quát nó lên thành ý tưởng về tốc độ biến thiên của một đại

lượng bất kì được.

Một số đại lượng vật lí khác có sử dụng công cụ đạo hàm như suất điện động (liên

quan đến tốc độ biến thiên của từ thông) cũng không thích hợp vì nó yêu cầu HS phải

chuẩn bị trước những kiến thức vật lí đặc thù. Điều này có thể đưa đến các khó khăn

không cần thiết khi người học phải hiểu bản chất vật lí của hiện tượng trước khi thấu

hiểu tư tưởng toán học gắn kèm với nó.

Một ngữ cảnh thực tiễn có liên quan đến tốc độ biến thiên cũng có thể xem xét để

sử dụng đó là bài toán về tốc độ tăng dân số. Lợi thế của ngữ cảnh này là nó đã xuất

hiện ở môn Địa lí và hơn nữa còn gắn trực tiếp với cách hiểu tốc độ thay đổi. Tuy nhiên,

có một yêu cầu khác cũng cần phải xem xét là tính biến thiên liên tục của các biến trong

mô hình thực tế được chọn để tiếp cận khái niệm đạo hàm. Mà nếu nhìn từ tiêu chí này

thì bài toán liên quan đến tốc độ tăng dân số sẽ không thỏa mãn. Lý do là vì giá trị của

hàm dân số chỉ được nhận giá trị nguyên dương nhưng như thế thì việc mô tả nó bởi một

hàm sơ cấp liên tục nào đó là điều không hợp lí.

5.1.3.3. Ngữ cảnh được lựa chọn

Nhiệm vụ của chúng tôi là phải tìm được một ngữ cảnh vật lí phù hợp với ba tiêu

chí mà các phân tích ở trên đã chỉ ra. Một là, nó cho phép nảy sinh ý tưởng về tốc độ

biến thiên tức thời từ công thức tính toán theo giới hạn tỉ sai phân và hơn nữa có thể mở

rộng thành ý tưởng về tốc độ biến thiên của một đại lượng bất kì. Hai là phải quen thuộc,

130

không đòi hỏi người học phải có hiểu biết về các kiến thức vật lí quá đặc thù. Cuối cùng

là phải chứa đựng một mô hình biến thiên liên tục.

Ngữ cảnh vật lí chúng tôi lựa chọn đó là bài toán liên quan đến tốc độ biến thiên

nhiệt độ theo thời gian. Cụ thể là yêu cầu HS so sánh xem trong hai thời điểm thì ở đâu

nhiệt độ tăng nhanh hơn. Lí do lựa chọn ngữ cảnh này là bởi vì nó thỏa mãn được ba

tiêu chí vừa đề cập. Cụ thể thì:

- Bài toán đang nói cho phép làm nảy sinh nhu cầu xác định tốc độ tăng nhiệt độ để

tìm thời điểm tăng nhanh hơn.

- Vấn đề nhiệt độ tăng nhanh hay chậm là rất quen thuộc với kinh nghiệm trong cuộc

sống của HS. Hơn nữa, yêu cầu tính tốc độ tăng nhiệt độ cũng không gắn với một

đại lượng vật lí quá đặc thù và do đó chúng ta có thể mở rộng nó thành ý tưởng tổng

quát về tốc độ biến thiên của một đại lượng bất kì.

- Cuối cùng, nhiệt độ là một đại lượng biến thiên liên tục theo thời gian và vì thế việc

mô tả nó bởi một hàm số sơ cấp liên tục là điều hợp lí.

5.1.4. Các bài toán cơ sở của đồ án

Đồ án của chúng tôi được xây dựng dựa trên sáu bài toán sau. Trong đó mục đích

của bốn bài toán đầu tiên là xây dựng cách hiểu tốc độ biến thiên tức thời cho khái niệm

đạo hàm. Bài toán cuối cùng (tổng hợp từ các ví dụ 7.1, 7.2 và 7.3 ở giải pháp 7) nhằm

soi sáng lại các ứng dụng của đạo hàm trong nhiều vấn đề của chương trình vật lí THPT

đã xuất hiện trước đó. Bài toán 1. Một bình nuôi cấy vi sinh vật được giữ ở nhiệt độ 00𝐶. Tại thời điểm ban

đầu 𝑡 = 0 người ta cung cấp nhiệt cho nó. Nhiệt độ của bình bắt đầu tăng dần theo thời

gian và trong khoảng thời gian đầu được ước tính bởi hàm số: 𝑓(𝑡) = (𝑡 − 1)3 + 1, trong đó 𝑓(𝑡) (đơn vị độ C) là nhiệt độ của bình nuôi cấy ở thời

điểm 𝑡 giây.

a. Tính tốc độ tăng nhiệt độ trung bình của bình nuôi cấy trên trong khoảng thời gian

từ thời điểm 𝑡0 = 0,5 giây đến thời điểm 𝑡 sau đó 1 giây (∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡0 = 1).

b. Tính tốc độ tăng nhiệt độ trung bình của bình nuôi cấy trong khoảng thời gian từ

thời điểm 𝑡0′ = 1,25 đến thời điểm 𝑡′ sau đó 1 giây (∆𝑡′ = 𝑡′ − 𝑡0′ = 1).

c. Tại hai thời điểm 𝑡0 = 0,5 và 𝑡0′ = 1,25 , theo dự đoán của em thời điểm nào nhiệt

độ của bình nuôi cấy tăng nhanh hơn?

131

d. Em hãy đề xuất nhiều cách khác nhau để kiểm tra được thời điểm nào trong hai

thời điểm trên nhiệt độ của bình nuôi cấy tăng nhanh hơn.

Bài toán 1’. Hình vẽ bên trái dưới đây là đồ thị hàm số 𝑓(𝑡) và bên phải là hình ảnh

phóng to của phần đồ thị tại hai thời điểm 𝑡0 = 0,5 và 𝑡0′ = 1,25.

Quan sát và trả lời lại câu hỏi: theo em tại hai thời điểm 𝑡0 = 0,5 và 𝑡0′ = 1,25, thời điểm nào nhiệt độ của bình nuôi cấy tăng nhanh hơn? Hãy giải thích câu trả lời của

mình.

Bài toán 2.

a. Với hai thời điểm 𝑡0 = 0,5 và 𝑡0′ = 1,25, hãy tìm một khoảng thời gian ∆𝑡 thích hợp để sao cho tốc độ tăng nhiệt độ trung bình trên đoạn [𝑡0; 𝑡0 + ∆𝑡] sẽ trở nên lớn hơn trên đoạn [𝑡0′; 𝑡0′ + ∆𝑡] (thay vì nhỏ hơn như khi ta chọn ∆𝑡 = ∆𝑡′ = 1 ở bài toán 1). b. Các khoảng thời gian ∆𝑡 này cần phải được chọn như thế nào để tốc độ trung bình trong những khoảng đó mô tả càng chính xác tốc độ tức thời tại thời điểm đang xét ?

Bài toán 3.

a. Tính tốc độ tăng nhiệt độ trung bình của bình nuôi cấy trong khoảng thời gian từ thời

điểm 𝑡0 = 0,5 đến thời điểm 𝑡 = 0,5 + ∆𝑡 (kết quả tính toán phụ thuộc vào ∆𝑡). b. Tính tốc độ tăng nhiệt độ tức thời tại thời điểm 𝑡0 = 0,5 nói trên. Bài toán 4.

a. Gọi hàm số biểu diễn vận tốc và gia tốc theo thời gian lần lượt là: 𝑣(𝑡) và 𝑎(𝑡). Trong

SGK Vật lí lớp 10 ta biết rằng tốc độ biến thiên tức thời của vận tốc theo thời gian chính

132

là gia tốc. Gia tốc đặc trưng cho mức độ biến thiên nhanh chậm của vận tốc. Bên cạnh

đó, để tính độ lớn của gia tốc tức thời SGK Vật lí lớp 10 đưa ra công thức sau đây:

, với ∆𝑡 rất nhỏ.

Theo em, để tính được chính xác gia tốc tức thời tại một thời điểm thì công thức

đúng phải là gì? Giải thích đề xuất của mình bằng ít nhất hai lí lẽ khác nhau.

b. Phát biểu sau được trích dẫn trong bài “Định luật Fa-ra-đây về cảm ứng điện từ” SGK

Vật lí 11 NC (tr.186)

“…độ lớn của suất điện động cảm ứng trong mạch kín tỉ lệ với tốc độ biến thiên của

từ thông qua mạch… Nếu trong khoảng thời gian ∆𝑡 đủ nhỏ, từ thông qua mạch biến

thiên một lượng thì là tốc độ biến thiên của từ thông.

SGK Vật lí lớp 11 đưa ra công thức tính độ lớn suất điện động cảm ứng như sau:

, với ∆𝑡 đủ nhỏ. Nếu tính đến dấu của 𝑒𝑐 (theo định luật Len-xơ) thì công thức

xác định suất điện động cảm ứng tại một thời điểm được viết dưới dạng sau:

, với ∆𝑡 đủ nhỏ.

Theo em, công thức trên đã giúp xác định chính xác suất điện động cảm ứng tại

mỗi thời điểm hay chưa? Hãy đưa ra một công thức có thể xác định chính xác suất điện

động tức thời nói trên. Giải thích đề xuất của mình bằng ít nhất hai lí lẽ khác nhau.

c. Trong bài hiện tượng “Tự cảm”, SGK Vật lí lớp 11 cơ bản phát biểu định luật về suất

điện động tự cảm xuất hiện trong mạch như sau:

“Suất điện động tự cảm có độ lớn tỉ lệ với tốc độ biến thiên của cường độ dòng điện

trong mạch” (tr. 156)

Theo đó, suất điện động tự cảm được xác định bởi công thức sau đây:

, với 𝐿 là độ tự cảm và ∆𝑡 rất nhỏ.

Theo em, để tính được chính xác suất điện động tự cảm tại một thời điểm thì công

thức đúng phải là gì? Giải thích đề xuất của mình bằng ít nhất hai lí lẽ khác nhau.

133

5.1.5. Phân tích tiên nghiệm

5.1.5.1. Những chiến lược giải có thể xuất hiện

Trước khi yêu cầu giải quyết bài toán 1, chúng tôi giới thiệu cho HS công thức tính

tốc độ biến thiên trung bình của một hàm số 𝑓(𝑥) khi đối số 𝑥 thay đổi giá trị từ 𝑥1 đến

. Với công thức này, HS sẽ dễ dàng 𝑥2, đó là tỉ số:

tính được tốc độ tăng nhiệt độ trung bình ở câu a và câu b của bài toán 1. Ở đây chúng

tôi chỉ trình bày những chiến lược có thể xuất hiện trong việc giải quyết câu c và câu d

của bài toán này.

▪ Chiến lược sử dụng tốc độ trung bình để so sánh: 𝑺trung bình - Chọn hai khoảng thời gian ∆𝑡 và ∆𝑡′ đủ nhỏ. - Tính tốc độ tăng trung bình trong hai khoảng thời gian ∆𝑡 và ∆𝑡′.

- So sánh hai tốc độ trung bình này và rút ra kết luận.

▪ Chiến lược sử dụng tốc độ tăng tức thời để so sánh: 𝑺tức thời

- Tính tốc độ tăng tức thời tại 𝑡0 = 0,5:

- Tính tốc độ tăng tức thời tại 𝑡0′ = 1,25 :

- So sánh hai tốc độ tăng tức thời này để rút ra kết luận.

▪ Chiến lược đồ thị: 𝑺Đồ thị

- Quan sát đồ thị tại hai thời điểm nói trên xem thời điểm nào đồ thị “dốc” hơn (tiếp

tuyến tại điểm đang xét có độ dốc lớn hơn).

- Từ đó kết luận thời điểm nhiệt độ tăng nhanh hơn.

5.1.5.2. Phân tích việc lựa chọn giá trị của biến DH

Mục tiêu của chúng tôi là mang lại cho HS cách hiểu về đạo hàm theo tốc độ biến

thiên tức thời. Vì lẽ đó, cách lựa chọn các giá trị của biến DH phải hướng HS từ việc sử

dụng chiến lược 𝑺trung bình (ban đầu) sang chiến lược tính giới hạn 𝑺tức thời (mong đợi).

Để làm điều này cần dẫn dắt HS đến việc tính tốc độ tăng trung bình trên một khoảng

đủ nhỏ để sau đó 𝑺tức thời có thể xuất hiện tự nhiên như là chiến lược giải hợp lí cho bài toán đặt ra. Khái niệm đạo hàm sau đó được hình thành như là một công cụ toán học

cho phép tính toán tốc độ biến thiên tức thời bằng cách tìm giới hạn (nếu có) của tỉ số

134

của hai số gia. Ý đồ nói trên được chúng tôi cụ thể hoá bằng cách chọn biến DH và giá

trị của chúng như sau:

Biến 𝑽𝟏: Cách đặt câu hỏi về tốc độ biến thiên Đáng lẽ ra cách đặt câu hỏi chính xác trong ngữ cảnh của bài toán phải là “thời

điểm nào nhiệt độ biến thiên nhanh hơn?” trong trường hợp chưa biết rõ hàm nhiệt độ

có phải đồng biến (tăng) trên khoảng đang xét hay không. Tuy nhiên khi xem xét một

số môn học khác như Địa lí, chúng tôi nhận thấy thuật ngữ “tốc độ tăng” và kiểu nhiệm

vụ so sánh thời điểm tăng nhanh hơn (chẳng hạn như tốc độ tăng dân số) là phổ biến và

quen thuộc hơn với HS. Vì lẽ đó, trong bài toán này chúng tôi chọn cách đặt câu hỏi là

tính “tốc độ tăng nhiệt độ” và sau đó là tìm “thời điểm nào nhiệt độ tăng nhanh hơn”

để tạo tâm thế thuận lợi cho quá trình suy nghĩ và đưa ra phương án trả lời của HS. Tất

nhiên cách đặt câu hỏi như vậy được hợp thức bởi việc chọn hàm nhiệt độ 𝑓(𝑡) là hàm

số đồng biến trên khoảng thời gian đang xét.

Biến 𝑽𝟐: Có đưa vào yêu cầu tính tốc độ tăng trung bình hay không? Kiểu nhiệm vụ chính trong bài toán 1 là so sánh tốc độ tăng tức thời tại hai thời

điểm. Tuy nhiên ở đây chúng tôi đưa thêm vào yêu cầu tính tốc độ tăng trung bình ngay

từ đầu, mục đích là muốn tạo điều kiện thuận lợi để chiến lược 𝑺trung bình xuất hiện

trước chiến lược 𝑺Đồ thị. Bằng cách chọn giá trị các biến 𝑽𝟑, 𝑽𝟒, 𝑽𝟓 một cách thích hợp

(sẽ trình bày tiếp theo đây), việc sử dụng 𝑺trung bình sẽ dẫn HS đến với câu trả lời sai.

Tình huống phá vỡ hợp đồng này (sau khi HS đã biết đáp án đúng từ 𝑺Đồ thị) buộc các

em phải tìm kiếm một chiến lược thích hợp hơn để có thể luôn đưa ra được kết luận

chính xác cho câu hỏi c của bài toán 1.

để phù hợp Biến 𝑽𝟑: Hàm số nhiệt độ 𝒇(𝒕) Như đã đề cập trước đó, hàm số 𝑓(𝑡) được chọn phải đồng biến trên

với cách đặt câu hỏi ở biến 𝑽𝟏. Hơn nữa để các chiến lược 𝑺trung bình và 𝑺Đồ thị lần lượt

xuất hiện chúng tôi thao tác với giá trị biến 𝑽𝟑 như sau: - Hàm 𝑓(𝑡) được cho ở dạng một biểu thức GT ở các câu a, câu b và câu c của bài

toán 1 để các thuận tiện cho việc tính toán tốc độ tăng trung bình.

- Ở bài toán 1’, chúng tôi cung cấp đồ thị hàm số 𝑓(𝑡) và hình ảnh phóng to ở hai thời

điểm đang xét để tạo ra thông tin phản hồi cho chiến lược giải của HS trước đó.

Điều này có thể làm cho HS rời bỏ chiến lược giải ban đầu để chuyển sang chiến

lược giải mong đợi.

135

Biến 𝑽𝟒: Hai thời điểm 𝒕𝟎 và 𝒕𝟎′ Hai thời điểm cần phải chọn sao cho: 𝑓′(𝑡0) ≠ 𝑓′(𝑡0′), nghĩa là tốc độ tăng nhiệt độ ở hai thời điểm ấy phải khác nhau. Hơn nữa, cách chọn giá trị biến này cần phải được phối hợp với cách chọn khoảng thời gian ∆𝑡 và ∆𝑡′như sẽ nói đến dưới đây.

Biến 𝑽𝟓: Khoảng thời gian ∆𝒕 và ∆𝒕′ Bằng cách chọn hai khoảng thời gian này bằng nhau và bằng ∆𝑡 = ∆𝑡′ = 1, tốc độ

tăng trung bình sẽ không phản ánh đúng tốc độ tăng tức thời tại mỗi thời điểm. Điều

này tạo ra một tình huống phá vỡ hợp đồng khi HS thường dựa vào tốc độ trung bình để

đưa ra kết luận. Việc HS nhận ra sai lầm khi sử dụng chiến lược 𝑺Đồ thị sẽ là lý do hợp

lí để chúng tôi đưa vào yêu cầu chọn lại khoảng thời gian ∆𝑡 ở bài toán 2. Quá trình xác

định lại các khoảng thời gian này giúp HS nhận ra vai trò của giới hạn trong việc

tìm một đại lượng phản ánh đúng tốc độ biến thiên tức thời của nhiệt độ theo thời gian.

5.1.5.3. Dàn dựng và phân tích kịch bản

Đồ án được chia thành 6 pha, thời gian dự kiến là 90 phút. Lớp học được chia thành

các nhóm, mỗi nhóm 4-5 HS. Ở mỗi pha, HS các nhóm sẽ được phát một phiếu học tập

cụ thể. Các phiếu học tập này được chúng tôi trình bày trong Phụ lục 2.

. Các nhóm sau đó

❖ Pha 1 (15 phút): GV dành ít phút để giới thiệu khái niệm tốc độ biến thiên trung bình

của một hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) trên đoạn [𝑥1; 𝑥2] là tỉ số

được phát phiếu học tập trong đó có in nội dung ba câu a, b, c của bài toán 1 và tiến

hành thảo luận để giải quyết các yêu cầu này. Sau thời gian làm việc, mỗi nhóm cử một

thành viên trình bày chiến lược giải và kết quả về thời điểm có nhiệt độ tăng nhanh hơn.

Các nhóm khác được khuyến khích đưa ra các nhận xét và phản biện.

Phân tích: Ở pha này, chúng tôi chọn giá trị các biến 𝑽𝟏 và 𝑽𝟐 như đã trình bày ở mục 5.1.5.2 nhằm mục đích hướng HS đến việc sử dụng 𝑺trung bình để so sánh thời điểm

có nhiệt độ tăng nhanh hơn. Thêm vào đó, các biến 𝑽𝟑, 𝑽𝟒 và 𝑽𝟓 cũng được chọn thích hợp để chiến lược này đưa đến một kết luận sai. Ý đồ của pha này là tạo ra một tình

huống có vấn đề khi mà tốc độ trung bình trên các khoảng đang xét không phản ánh

đúng tốc độ tăng tức thời tại mỗi thời điểm tương ứng. Tuy nhiên, vào lúc này các HS

vẫn chưa nhận ra được sai lầm của mình và vì thế vẫn chưa có động cơ để tìm một cách

giải khác. Công việc này sẽ được GV thực hiện ở pha 2.

136

❖ Pha 2 (10 phút): Sau khi kết thúc pha 1, GV đặt ra yêu cầu ở câu hỏi d: “đề xuất

nhiều cách khác nhau để kiểm tra được thời điểm nhiệt độ tăng nhanh hơn” và đề nghị

các nhóm thảo luận và giơ tay phát biểu. GV có thể gợi ý bằng cách đặt câu hỏi “các em

đã bao giờ gặp yêu cầu phải so sánh tốc độ tăng của một đại lượng ở các môn học khác

hay chưa?” GV mong đợi sẽ có nhóm đưa ra phương pháp sử dụng chiến lược 𝑺Đồ thị,

nếu không sẽ gợi mở và giải thích về tính hợp lí của chiến lược này. Ngay sau đó, GV

phát cho mỗi nhóm một phiếu học tập có bài toán 1’. Trong đề bài đã cung cấp sẵn đồ thị của hàm số 𝑓(𝑡) và hình ảnh phóng to tại lân cận hai điểm 𝑡0 = 0,5 và 𝑡0′ = 1,25, HS được yêu cầu so sánh lại tốc độ tăng nhiệt độ ở hai thời điểm này. GV cùng với cả

lớp thống nhất kết luận sau: “ở những khoảng nhỏ quanh hai thời điểm 𝑡0 = 0,5 và 𝑡0′ = 1,25, đồ thị gần như đường thẳng và xung quanh thời điểm 𝑡0 = 0,5 đường này dốc hơn nên nhiệt độ tại thời điểm đó tăng nhanh hơn”. GV đề nghị các nhóm đối chiếu kết

quả này với kết quả các em thu được ở bài toán 1 theo chiến lược 𝑺trung bình.

Phân tích: Câu hỏi so sánh tốc độ tăng theo chúng tôi là khá quen thuộc với các HS,

cụ thể thì kiểu nhiệm vụ này đã xuất hiện ở một số bài học về tốc độ tăng dân số ở môn

Địa lí. Hơn nữa trong các biểu đồ biến đổi dân số, HS thường dựa vào độ dốc của đường

nối các điểm để đánh giá xem dân số thời kì nào tăng nhanh hơn. Ở pha này, bằng cách

đặt ra yêu cầu tìm thêm các cách khác để kiểm tra thời điểm nhiệt độ tăng nhanh hơn,

chúng tôi cho rằng 𝑺Đồ thị có thể được gợi ra hay ít ra là được sự đồng thuận của HS khi

GV đề xuất nó. Tuy nhiên, vì HS tham gia TN chưa học về khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

bậc 3 nên trong bài toán 1’ chúng tôi cung cấp đồ thị vẽ sẵn và hình ảnh phóng to ở hai

thời điểm đang xét. Điều này giúp các em dễ dàng thấy được thời điểm nhiệt độ tăng

nhanh hơn (đồ thị dốc hơn) và kiểm tra được sai lầm mà 𝑺trung bình đã đưa tới trước đó.

HS được chờ đợi sẽ nhận ra rằng, tùy theo khoảng thời gian được chọn, tốc độ tăng trung

bình có thể không phản ánh đúng tốc độ tăng tức thời tại mỗi thời điểm. Và đó cũng là

động cơ cho hoạt động tiếp theo ở pha 3.

❖ Pha 3 (15 phút): GV phát phiếu học tập có câu a của bài toán 2, trong đó đề nghị các

nhóm tìm lại một khoảng thời gian ∆𝑡 thích hợp để tốc độ tăng trung bình trên khoảng

thời gian này ở hai mốc thời điểm 𝑡0 và 𝑡0′ phù hợp với kết luận đã tìm ra ở bài toán 1’. Mỗi nhóm thực hiện các tính toán cần thiết vào phiếu học tập rồi nộp lại cho GV.

Kết quả của các nhóm về khoảng thời gian ∆𝑡 và tốc độ tăng trung bình tương ứng được

GV thống kê lại và trình bày lên bảng. GV để cho HS có thời gian quan sát và đặt ra câu

137

hỏi b của bài toán 2: “Khoảng thời gian ∆𝑡 cần phải được chọn như thế nào để tốc độ

tăng trung bình trên đó mô tả càng chính xác tốc độ tăng tức thời tại mỗi thời điểm đang

xét?”. GV mời các nhóm phát biểu rồi thảo luận với cả lớp để rút ra nhận xét: phải chọn

∆𝑡 càng nhỏ thì tốc độ trung bình càng phản ánh đúng tốc độ tăng tức thời.

Phân tích: Đây là pha để hình thành những gợi mở đầu tiên về lớp giới hạn trong

khung lý thuyết về đạo hàm. Mục đích của nó là để HS nhận ra khi khoảng thời gian ∆𝑡

càng ngày càng nhỏ (tiến về 0) thì tốc độ tăng trung bình sẽ càng phản ánh chính xác

tốc độ tăng tức thời tại thời điểm đang xét. Tuy nhiên lúc này, HS vẫn chưa đạt được

một giá trị xác định nào có thể đặc trưng cho tốc độ tăng tức thời, hay nói khác đi giới

hạn chúng ta đang đề cập vẫn chưa được tìm thấy. Ở pha tiếp theo, chúng tôi sẽ tìm cách

tổ chức hoạt động để nó xuất hiện.

❖ Pha 4 (10 phút): GV đặt ra một cuộc thi nhỏ mang tên: “Đi tìm tốc độ trung bình

phản ánh chính xác nhất tốc độ tức thời tại thời điểm 𝑡0 = 0,5”. Yêu cầu mỗi nhóm đề xuất một giá trị ∆𝑡 rồi tính tốc độ trung bình trong khoảng thời gian ấy. Nhóm nào thu

được kết quả phản ánh chính xác nhất tốc độ tăng nhiệt độ tức thời tại thời điểm đang

xét sẽ thắng cuộc. GV cho phép HS được tính toán bằng các loại máy tính bỏ túi đang

có, hay thậm chí được sử dụng các phần mềm tính toán cài đặt trên điện thoại di động.

Sau 5 phút làm việc, GV ghi nhận kết quả của các nhóm trên bảng và chỉ ra nhóm thắng

cuộc là nhóm đã chọn khoảng ∆𝑡 nhỏ nhất mà vẫn tính được tốc độ trung bình trên

khoảng đó.

GV để cho cả lớp quan sát kết quả tính toán của các nhóm và giúp các em nhận ra

rằng khi ∆𝑡 càng lúc càng nhỏ (tiến dần đến 0) thì tốc độ trung bình sẽ tiến đến một giá

trị xác định nào đó. Từ đây GV đưa ra câu hỏi thảo luận: “Làm thế nào để có được một

giá trị phản ánh chính xác tốc độ tăng nhiệt độ tức thời tại thời điểm 𝑡0 = 0,5?”. GV

, nếu không GV gợi mở để

mong đợi rằng HS sẽ nhận ra cần phải tính giới hạn

HS đồng thuận với đề xuất này rồi yêu cầu cả lớp dự đoán về giới hạn nói trên.

Phân tích: Bằng cách tổ chức trò chơi tìm kiếm một tốc độ trung bình phản ánh

chính xác nhất tốc độ tức thời, chúng tôi đã khuyến khích các nhóm lựa chọn những

khoảng ∆𝑡 rất nhỏ và tính tốc độ tăng trung bình trên khoảng vừa chọn. Theo đó, kết

quả mà mỗi nhóm tìm được sẽ rất gần nhau và tiến dần đến một giá trị xác định mà cả

lớp dễ dàng dự đoán được. Hoạt động này giúp HS nhận ra rằng, có thể có một giá trị

138

giới hạn nào đó trong chiến lược 𝑺trung bình của mình khi các em chọn ∆𝑡 ngày càng

nhỏ. Vì vậy, bằng cách đặt câu hỏi về cách để tìm một giá trị phản ánh chính xác tốc độ

tăng tức thời, chúng tôi cho rằng chiến lược tính giới hạn hoàn toàn có thể xuất

hiện. Sự dẫn dắt này nhằm xuất hiện động cơ tự nhiên và hợp lí cho việc nảy sinh khái

niệm đạo hàm và giúp mang đến cho nó cách hiểu tốc độ biến thiên tức thời.

❖ Pha 5 (15 phút): GV phát phiếu học tập có bài toán 3, yêu cầu các nhóm tìm công

thức tính tốc độ tăng trung bình trên đoạn [0,5; 0,5 + ∆𝑡] (câu 3a). Tiếp theo, yêu cầu

“tính tốc độ tăng nhiệt độ tức thời tại thời điểm 𝑡0 = 0,5” (câu 3b). Chiến lược mong

và thu được kết quả giống như

đợi là các nhóm sẽ tính giới hạn

giá trị đã dự đoán ở pha 4.

Phân tích: Mục đích ở pha này là cụ thể hóa chiến lược tính giới hạn để tìm được

tốc độ tăng nhiệt độ tức thời. Đối với câu a, chúng tôi yêu cầu HS lập công thức tính tốc

độ tăng trung bình trên một đoạn ∆𝑡 tùy ý và câu b là tính giới hạn khi khoảng thời gian

này tiến về 0. Sự đồng nhất giữa kết quả tính toán ở pha 5 và kết quả dự đoán ở pha 4

sẽ củng cố thêm cách hiểu và giúp HS làm quen trước với cách tính đạo hàm bằng định

nghĩa theo giới hạn.

❖ Pha 6 (10 phút): Đây là pha thể chế, GV trình bày định nghĩa khái niệm đạo hàm của hàm số 𝑓(𝑥) tại điểm 𝑥0 (kí hiệu 𝑓′(𝑥0)) là giới hạn (nếu có) sau:

. GV liên hệ giới hạn này với cách

hiểu về đạo hàm như là tốc độ biến thiên tức thời của hàm số theo sự thay đổi của đối

số. GV mở rộng thêm rằng: nếu một hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên một khoảng

bất kì, thì ứng với một giá trị 𝑥 thuộc khoảng đó sẽ có một giá trị đạo hàm tương ứng.

Quy tắc đặt tương ứng mỗi 𝑥 với giá trị 𝑓′(𝑥) giúp ta thiết lập một hàm số được gọi là

hàm số đạo hàm.

❖ Pha 7 (15 phút): GV cung cấp phiếu học tập có in các ứng dụng trong Vật lí của đạo

hàm (Bài toán 4). GV có thể dành thời gian để nhắc lại hoặc giải thích một số kiến thức

vật lí có liên quan trong bài toán. GV yêu cầu mỗi nhóm thảo luận để hoàn thành các

yêu cầu và nộp lại giấy làm bài cho GV. Với mỗi ngữ cảnh vật lí khác nhau, GV nhấn

mạnh yêu cầu “tìm ít nhất hai lí lẽ khác nhau” để giải thích cách xác định đại lượng vật

lí tương ứng. GV mong đợi các nhóm sẽ đi đến chiến lược sử dụng đạo hàm theo hai

139

cách giải thích khác nhau. Một từ cách tính đại lượng theo giới hạn tỉ sai phân (khi ∆𝑡

rất nhỏ), và cách còn lại từ đặc trưng tốc độ biến thiên của các đại lượng vật lí đang xét.

Sau thời gian thảo luận, GV yêu cầu đại diện của một nhóm nào đó đứng dậy trình bày

đáp án của mình và các nhóm khác đưa ra ý kiến đồng tình hoặc phản biện. GV khuyến

khích HS đề xuất thêm những tình huống trong thực tiễn cuộc sống có thể ứng dụng

công cụ đạo hàm. Cuối cùng, GV tổng kết và nhấn mạnh lại những điểm quan trọng của

bài học.

Phân tích: Mục đích của pha này là tạo điều kiện cho HS thăm lại các ứng dụng

quan trọng của đạo hàm trong nhiều vấn đề vật lí mà các em đã gặp trước đó. Ở câu 4a,

chúng tôi cung cấp cho HS ý nghĩa vật lí của gia tốc là đại lượng đặc trưng cho tốc độ

biến thiên của vận tốc. Hơn nữa, chúng tôi nhắc lại công thức mà SGK Vật lí lớp 10 đã

dùng để tính gia tốc tức thời: , với ∆𝑡 rất nhỏ. Công thức này thật ra phản ánh

cho chiến lược tốc độ biến thiên trung bình mà mà ở các pha trước đó HS đã được tiếp

cận. Bên cạnh đó, vì pha 4 và pha 5 đã làm xuất hiện chiến lược giới hạn nên HS có thể

tìm ra cách tính chính xác gia tốc tức thời qua công thức và cũng chính là phép

tính đạo hàm vừa học. Hơn nữa, bằng cách đặt ra yêu cầu giải thích công thức vừa đề

xuất bằng ít nhất hai lí lẽ khác nhau, chúng tôi mong đợi HS sẽ còn đưa ra thêm một

luận cứ khác để giải thích sự tác động của đạo hàm trong tình huống đang xét. Đó là vì

gia tốc đặc trưng cho tốc độ biến thiên của vận tốc, mà đạo hàm là công cụ toán học giúp tính tốc độ biến thiên nên có thể suy ra rằng 𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡). Ý đồ của bài toán này

là giúp HS nhận ra sự tác động của khái niệm đạo hàm trong việc xác định gia tốc tức

thời theo hai cách tiếp cận: một theo giới hạn tỉ sai phân và một theo nghĩa tốc độ biến

thiên. Điều này tạo cơ hội để người học kết nối hai cách hiểu khác nhau về đạo hàm

trong cùng một ngữ cảnh ứng dụng. Sự kết nối này không những giúp HS hiểu rõ hơn

cách thức mà đạo hàm được áp dụng trong Vật lí, mà còn giúp các em hiểu sâu sắc hơn

tri thức toán vừa học.

Với câu b và câu c, chúng tôi giới thiệu lại phương pháp SGK Vật lí đã dùng để

tính toán suất điện động cảm ứng và suất điện động tự cảm. Đại lượng thứ nhất tỉ lệ với

tốc độ biến thiên từ thông, còn cái thứ hai tỉ lệ với tốc độ biến thiên của cường độ dòng

điện. Bằng cách thăm lại những ứng dụng vật lí này, HS có thể nhận ra vai trò công cụ

140

quan trọng của đạo hàm trong nhiều vấn đề vật lí khác nhau có liên quan đến tốc độ biến

thiên.

5.1.6. Phân tích hậu nghiệm

5.1.6.1. Đối tượng và cách thức tổ chức

Đồ án DH trên được chúng tôi triển khai TN với 30 HS lớp 11.1 của trường Trung

học thực hành Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh. Đây là các HS lớp ban tự nhiên và có

học lực khá về môn Toán. Thời điểm TN diễn ra khi các em vừa mới học qua bài giới

hạn hàm số. Để tổ chức hoạt động học tập, chúng tôi chia lớp thành 6 nhóm, mỗi nhóm

có năm HS ngồi thành vòng tròn. Quá trình TN được sự giúp đỡ của năm trợ giảng là

các học viên cao học và sinh viên Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh trong việc quay

phim ghi hình diễn biến học tập xảy ra trong suốt quá trình TN. Cụ thể, mỗi trợ giảng

sẽ phụ trách quay phim hoạt động thảo luận của HS ở một nhóm. Một máy quay phim

được đặt ở cuối lớp để ghi lại toàn cảnh các hoạt động của HS và GV trong suốt buổi

TN.

5.1.6.2. Phân tích kết quả

Pha 1: Ở đầu pha này, GV đã dành ra ít phút để giới thiệu ý nghĩa và cách tính tốc độ

biến thiên trung bình của hàm số 𝑓(𝑥) trên đoạn [𝑥1; 𝑥2]. Để tạo ra tâm thế thuận lợi cho bài toán TN sau đó, trong lời giảng của mình GV xét một hàm số 𝑓(𝑥) tăng (đồng

GV: Trên đoạn đang xét ta đã thấy biến 𝑥 tăng một lượng là ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1, và hàm số 𝑓(𝑥) tăng một lượng tương ứng là ∆𝑦 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1). Vậy làm thế nào để tính được tốc độ tăng trung bình của hàm số trên đoạn đang xét.

biến) trên đoạn [𝑥1; 𝑥2] và đặt câu hỏi gợi mở như sau với cả lớp:

Đáng chú ý là có một HS trong lớp rất nhanh đã trả lời: “tốc độ tăng sẽ lấy độ tăng

của 𝑦 chia cho độ tăng của 𝑥, tức là lấy ∆𝑦 chia cho ∆𝑥”. Điều này cho thấy khái niệm

về tốc độ tăng hay rộng hơn là tốc độ thay đổi dường như đã tồn tại trước trong quan

niệm của một số HS tham gia TN. Sau bước gợi mở nói trên, GV thể chế hoá bằng cách

đưa ra định nghĩa và cách tính “tốc độ thay đổi” trung bình (mà từ nay sẽ gọi là “tốc độ

biến thiên”) của một hàm số theo biến số của nó trên một đoạn.

Với bước chuẩn bị này, không ngạc nhiên khi tất cả các nhóm đều dễ dàng tính được

tốc độ tăng trung bình theo yêu cầu ở câu 𝑎 và 𝑏 của bài toán 1. Đối với câu 1𝑐, đúng

như chúng tôi đã dự đoán cả 6 nhóm đều sử dụng chiến lược 𝑺trung bình và không có bất

cứ một chiến lược nào khác xuất hiện. Cụ thể thì các nhóm đều sử dụng kết quả tốc độ

141

tăng trung bình đã tính ở hai câu a và b để đi đến kết luận rằng “ở thời điểm 𝑡0′ = 1,25 nhiệt độ của bình nuôi cấy tăng nhanh hơn”.

Hình 5.1. Lời giải bài toán 1 của nhóm 4

Hình trên là lời giải bài toán 1 của nhóm 4. Nhóm này thực hiện chính xác tính toán

tốc độ tăng trung bình ở câu a và câu b và dùng chúng để đưa ra kết luận cho câu c. Các

em nhóm này còn ghi rõ lí do đưa ra kết luận là vì “tốc độ tăng nhiệt độ trung bình tại

thời điểm 𝑡0′ = 1,25 lớn hơn 𝑡0 = 0,5”. Trong kết quả của một số nhóm khác (nhóm 1 và nhóm 5), có lẽ do ảnh hưởng từ môn Vật lí mà các em thậm chí còn ghi rõ đơn vị của

tốc độ tăng trung bình đang tính là . Đối với lời giải của nhóm 1, mặc dù chúng

tôi chưa hề đưa ra một kí hiệu nào cho khái niệm “tốc độ tăng trung bình” tuy nhiên HS

nhóm này tự sử dụng kí hiệu 𝑣𝑡𝑏 để biểu thị cho nó.

Hình 5.2. Lời giải bài toán 1 của nhóm 1

142

Các em này lập luận rằng vì 𝑣𝑡𝑏(𝑡𝑜′) > 𝑣𝑡𝑏(𝑡0) nên tại thời điểm 𝑡0′ = 1,25 tăng nhanh hơn. GV có đặt câu hỏi với HS nhóm này về lí do tại sao lại sử dụng kí hiệu 𝑣𝑡𝑏 thì nhận được câu trả lời là các em liên hệ “tốc độ tăng nhiệt độ” với đại lượng “tốc độ”

hay “vận tốc” ở bên môn Vật lí. Sự liên hệ này của HS đưa chúng tôi đến nhận định là

nếu như các em hiểu được ý nghĩa tổng quát của đạo hàm là tốc độ biến thiên thì hoàn

toàn có thể vận dụng nó vào ngữ cảnh động học – nói riêng là tính vận tốc.

Bên cạnh đó, xem xét SGK Vật lí lớp 10 chúng tôi nhận thấy khái niệm vận tốc tức

thời được hiểu như là vận tốc trung bình trong khoảng thời gian ∆𝑡 rất nhỏ. Tuy nhiên,

nếu như các HS nhóm 1 đã liên hệ “tốc độ tăng nhiệt độ” với “vận tốc” trong chuyển

động cơ học thì có vẻ như quan niệm nói trên về vận tốc tức thời không tác động đến

chiến lược giải của các em. Bởi lẽ khi yêu cầu so sánh tốc độ tăng tại mỗi thời điểm (tức

thời), các nhóm đều không để ý đến việc ∆𝑡 có đủ nhỏ hay chưa mà chỉ đơn giản đưa ra

kết luận cho thời điểm nhiệt độ tăng nhanh hơn từ kết quả tốc độ trung bình đã có.

Tóm lại, kết quả pha này cho thấy khái niệm tốc độ thay đổi hay tốc độ tăng của

một đại lượng là khá quen thuộc với đa số HS. Hơn nữa, có HS thậm chí còn tự đưa ra

được công thức tính tốc độ tăng là tỉ số của độ tăng hàm số và độ tăng biến số khi GV

đặt câu hỏi. Một số HS còn liên hệ tốc độ tăng nhiệt độ với tốc độ hay vận tốc trong

chuyển động cơ học và sử dụng kí hiệu 𝑣𝑡𝑏 để biểu thị cho tốc độ tăng này. Tuy nhiên khi gặp phải tình huống so sánh tốc độ tăng nhiệt độ tức thời ở hai điểm thì chiến lược

ưu thế là 𝑺trung bình và vì thế dẫn tất cả các nhóm đến kết luận sai.

Pha 2: Khi GV đặt cho cả lớp yêu cầu ở câu c thì nhận thấy sự bối rối của HS. GV sau

GV: Các bạn đã gặp trường hợp nào có nhắc đến tốc độ tăng hay tốc độ thay đổi chưa?

HS (cả lớp): Tốc độ tăng dân số, tốc độ tăng GDP, tăng kinh tế,… Mấy cái này hay gặp

bên môn địa lí đó thầy.

GV: Ta xét thử một cái, chẳng hạn nói về tốc độ tăng dân số nhé. Vậy ở môn địa lí mình

thường làm gì để biểu thị sự thay đổi dân số qua từng năm?

HS: Dạ vẽ biểu đồ.

GV: Tụi em hay dùng loại biểu đồ nào?

HS: Nhiều loại thầy, đường, cột. Mà biểu thị tăng giảm thì hay dùng biểu đồ đường ạ.

GV: Nếu là biểu đồ đường thì làm sao biết dân số tăng hay giảm?

HS: Dạ nhìn xem đường nó hướng lên là tăng.

GV: Vậy làm sao biết ở chỗ nào tăng nhanh hơn?

đó đã đặt ra một số câu hỏi gợi mở trước lớp và sau đây là đoạn đối thoại được ghi lại:

HS: Nhìn thấy dốc hơn là tăng nhanh hơn.

GV: Ở bài toán này, mình cần biết thời điểm nào hàm số nhiệt độ 𝑓(𝑡) tăng nhanh hơn.

Vậy mình sẽ cần có gì?

HS: Đồ thị hàm số.

143

Sau đoạn thảo luận này, nhiều HS nhận ra một phương pháp giúp kiểm tra tốc độ

tăng của hàm số đó là dựa vào “độ dốc”. Chỗ nào đồ thị dốc hơn thì tăng nhanh hơn.

Theo cách trả lời của HS, chúng tôi cho rằng các em hiểu đồ thị dốc hơn nghĩa là hướng

lên nhiều hơn hay góc nghiêng lớn hơn. Tuy nhiên, vì đồ thị hàm 𝑓(𝑡) không phải đường

thẳng nên chiến lược đúng ở đây phải dựa vào góc nghiêng của đường thẳng tiếp tuyến18

tại điểm đang xét. Vào thời điểm này, vì HS chưa được tiếp cận với khái niệm tiếp tuyến

của đường cong cho nên trong đề bài toán 1’ chúng tôi cung cấp hình ảnh phóng to đồ

thị. Khi HS đã quan sát hình ảnh này, GV có gợi mở thêm trước lớp là ở một vùng khá

nhỏ xung quanh điểm đang xét thì đồ thị gần như đường thẳng nên ta có thể so sánh góc

nghiêng của chúng. GV đề nghị các nhóm trả lời lại câu hỏi đặt ra ở bài toán 1c. Kết quả

cho thấy cả sáu nhóm đều sử dụng chiến lược 𝑺Đồ thị và đưa ra kết quả trái ngược với

kết luận trước đó về thời điểm nhiệt độ tăng nhanh hơn.

Chẳng hạn trong phiếu học tập của nhóm 4 (Hình 5.3), các HS tiến hành đo góc tạo

bởi hướng của đồ thị với

phương ngang ở hai thời

điểm để làm cơ sở cho kết

luận. Cụ thể, ở hình ảnh

phóng to các em đo được

hai góc nghiêng ở hai thời điểm lần lượt xấp xỉ 350 và 150. Từ đó HS nhóm này

kết luận rằng nhiệt độ tại

thời điểm 𝑡0 = 0,5 tăng nhanh hơn vì tại đó đồ thị

“dốc hơn”.

Hình 5.3. Lời giải bài toán 1’ của nhóm 4

được tính bằng giá trị tan của góc nghiêng này.

18 Thay vì xét góc nghiêng chúng ta có thể xét hệ số góc của tiếp tuyến (còn gọi là độ dốc tiếp tuyến) mà sẽ

144

Tổng kết lại, ở pha này chúng tôi nhận thấy rằng các HS đã có những kinh nghiệm

trước đó về tốc độ biến thiên mà nói riêng là tốc độ tăng dân số. Nhờ vậy, chúng tôi dễ

dàng gợi mở để làm xuất hiện chiến lược 𝑺đồ thị trong việc tìm thời điểm nhiệt độ tăng

nhanh hơn. 𝑺đồ thị sẽ cung cấp thông tin phản hồi cho kết luận mà các nhóm đưa ra ở bài

toán 1 khi sử dụng 𝑺trung bình. Theo đó, tất cả các HS đều nhận ra sai lầm mà 𝑺trung bình

đưa đến khi so sánh tốc độ tăng nhiệt độ tức thời ở mỗi thời điểm. Tình huống này mang

lại một điểm nhận thức mới cho HS khi các em nhận ra tốc độ tăng trung bình chưa hẳn

đã phản ánh đúng tốc độ tăng tức thời. Từ đó, một vấn đề mới đặt ra là tìm được khoảng

thời gian phù hợp để sự phản ánh nói trên được thoả mãn. Đây chính là lí do hợp lí cho

hoạt động tiếp theo ở pha 3.

Pha 3: Ở pha này, chúng tôi yêu cầu các nhóm chọn lại khoảng thời gian ∆𝑡 để tốc độ

tăng nhiệt độ trung bình trên hai đoạn [𝑡0; 𝑡0 + ∆𝑡] và [𝑡0′; 𝑡0′ + ∆𝑡] phản ánh đúng sự tương quan tốc độ tăng tức thời ở hai thời điểm 𝑡0 và 𝑡0′. Kết quả làm việc của các nhóm được chúng tôi tổng hợp lại trong bảng dưới đây

Nhóm

Chọn lần 1

∆𝑡 = 1,5

< 0,25

0,01

Chọn lần 2

0,2

0,1

0,5

Chọn lần 3

0,25

0,001

Chọn lần 4

0,1

Bảng 5.1. Thống kê kết quả bài toán 2a

Trong 6 nhóm, chỉ có nhóm 5 là thành công với lần lựa chọn đầu tiên. Hầu hết các

nhóm đều phải thực hiện nhiều lần lựa chọn mới tìm được khoảng ∆𝑡 phù hợp. Chẳng

hạn như trường hợp của nhóm 6, ban đầu các em chọn ∆𝑡 = 5 thấy chưa thành công nên

tiếp tục chọn giá trị lớn hơn (∆𝑡 = 11) và tiếp tục thất bại. Các thành viên nhóm này sau

đó quyết định thử chọn một khoảng thời gian thật nhỏ ∆𝑡 = 0,001 và đã thu được kết

quả phù hợp. Với nhóm 3, mặc dù đã lựa chọn ∆𝑡 càng lúc càng nhỏ nhưng đến lần chọn

thứ ba vẫn chưa thành công (khi ∆𝑡 = 0,25 thì tốc độ tăng trung bình trên hai đoạn bằng

nhau). Mãi đến lần chọn thứ tư, các em này mới thành công khi chọn một giá trị ∆𝑡 đủ

nhỏ (∆𝑡 = 0,1). Đặc biệt nhất là trường hợp của nhóm 4, các em này không thử những

giá trị ∆𝑡 cụ thể mà tiến hành giải một bất phương trình để tìm ra điều kiện ∆𝑡 phải bé

hơn 0,25.

145

Ở cuối pha này, tất cả các nhóm đều nhận ra cần phải chọn ∆𝑡 đủ nhỏ thì yêu cầu

đặt ra mới được thoả mãn. Vì thế khi GV tổng kết lại kết quả của cả lớp trên bảng và đặt

câu hỏi 2𝑏 thì hầu hết HS cả lớp đều đồng thuận rằng: khi ∆𝑡 càng nhỏ thì tốc độ tăng

trung bình trên đoạn [𝑡0; 𝑡0 + ∆𝑡] sẽ càng phản ánh chính xác tốc độ tăng ngay tại thời điểm đang xét.

Pha 4: Ở pha này, GV tổ chức cho các nhóm thi tìm một tốc độ trung bình phản ánh

chính xác nhất tốc độ tăng tức thời tại thời điểm 𝑡0. GV nói rõ luật chơi là chỉ chấp nhận kết quả khi các nhóm đưa ra được giá trị bằng số thập phân (làm tròn phần thập phân

càng xa càng tốt) của tốc độ tăng trung bình ứng với khoảng ∆𝑡 đã chọn. Dưới đây là

kết quả ghi nhận của 6 nhóm (những giá trị rất nhỏ đã được chúng tôi đổi về dạng lũy

thừa nguyên âm của 10).

Nhóm

∆𝑡

10−6

0,0006 10−100 10−10

10−11

Tốc độ tăng

0,7499985 0,74999999998 0,749

0,75

trung bình

Bảng 5.2. Kết quả cuộc thi ở pha 4

Các nhóm đều ý thức được phải chọn ∆𝑡 rất nhỏ nếu muốn dành chiến thắng. Tuy

nhiên khi một số nhóm chọn ∆𝑡 rất nhỏ để tính thì có một vấn đề nảy sinh do hạn chế

của máy tính bỏ túi. Chẳng hạn với trường hợp của nhóm 1, các em chọn ∆𝑡 lần lượt là 10−9, 10−10, 10−11 thì thấy kết quả đều ra 0,75. Tỏ ra nghi ngờ giá trị này có vấn đề nên nhóm này chỉ chọn ∆𝑡 = 10−6 và thu được kết quả tốc độ tăng trung bình là 0,7499985. Nhóm 5 và nhóm 6 thì vẫn đưa ra kết quả 0,75 ứng với ∆𝑡 lần lượt là 10−10 và 10−11. Nhóm 2 có một em đã sử dụng phần mềm tính toán cài trên điện thoại để tính được tốc độ tăng trung bình khi ∆𝑡 = 10−11 là 0,74999999998. Nhóm 4 ban đầu định

chọn ∆𝑡 = 0 nhưng sau đó từ bỏ vì không tính được. Sau đó nhóm này đề xuất ∆𝑡 = 10−100, tuy nhiên khi GV yêu cầu tính toán tốc độ tăng trung bình thì nhóm này không

tính được nhưng vẫn quả quyết là kết quả sẽ “rất chính xác”.

Sau khi các nhóm báo cáo kết quả, GV thống kê chúng lên trên bảng và hỏi ý kiến

cả lớp về nhóm thắng cuộc. Lúc này có sự tranh luận xảy ra khi nhóm 2 và nhóm 6 chọn cùng một giá trị ∆𝑡 = 10−11 nhưng lại tính ra tốc độ trung bình khác nhau. GV hỏi cả

lớp thì có một bạn nhóm 1 đứng dậy trả lời rằng “kết quả rất gần với 0,75 đến mức máy

tính bình thường không phân biệt được và làm tròn luôn”. Theo tiêu chí là làm tròn chữ

146

số thập phân càng xa càng tốt nên GV tuyên bố chiến thắng thuộc về nhóm 2 với sự trợ

giúp của công cụ tính toán mạnh hơn.

GV: Theo tụi em, làm sao để có được một giá trị phản ánh chính xác tốc độ tăng nhiệt độ

tại ngay thời điểm 𝑡0 = 0,5? HS: Dạ, chọn ∆t thật nhỏ ạ.

GV: Nhưng như tụi em đã thấy, nếu máy tính đủ mạnh thì mỗi giá trị ∆𝑡 cho ra một tốc

Để rút ra kết luận cho pha này, GV thực hiện cuộc trao đổi sau đây với cả lớp:

độ tăng trung bình khác nhau? Vậy chọn ∆𝑡 bằng bao nhiêu thì đạt được tốc độ tăng

HS: Cho ∆𝑡 tiến về 0 thầy, tính giới hạn.

GV: Vậy tụi em dự đoán xem giới hạn này là bao nhiêu?

HS: Em nghĩ chắc là 0,75 rồi.

tức thời này?

Cần nói thêm là ở hoạt động này, chúng tôi dẫn dắt hình thành chiến lược tính giới

hạn theo cách tiếp cận “xấp xỉ 𝑥” chứ không không chọn cách tiếp cận “xấp xỉ 𝑓(𝑥)”

(theo ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿). Nghĩa là tạo ra hoạt động để HS nhận ra khi ∆𝑡 dần đến giá trị

0 thì tỉ sai phân đang xét sẽ tiến về một giá trị xác định.

Ở cuối pha 4, GV tổng kết và giới thiệu tường minh công thức tính tốc độ biến thiên

. tức thời của hàm số 𝑓(𝑥) tại điểm 𝑥0 qua giới hạn:

Qua pha hoạt động này, HS đã nhận ra rằng: khi chọn ∆𝑡 càng nhỏ thì tốc độ tăng

trung bình tiến dần về một giá trị xác định là 0,75 và nó phản ánh chính xác tốc độ tăng

tức thời tại thời điểm 𝑡0 = 0,5. Chiến lược sử dụng phép toán giới hạn đã xuất hiện ở pha này một cách hợp lí như là một phương án đúng đắn nhất để giải quyết vấn đề đặt

ra ban đầu.

Pha 5: Ở pha 4, các nhóm đã dự đoán được giới hạn cần tìm là 0,75 thông qua tính toán

số. Trong pha này chúng tôi yêu cầu các nhóm tính toán tốc độ tăng tức thời trên đoạn

[𝑡0; 𝑡0 + ∆𝑡] theo biểu thức đại số và tính tốc độ tăng tức thời bằng phép toán giới hạn. Quá trình làm việc các nhóm cho thấy kĩ năng tính toán đại số khá tốt. Kết quả có đến

năm nhóm thực hiện được phép lấy giới hạn và thu được kết

quả 0,75 phù hợp với dự đoán từ pha trước đó (có một nhóm tính toán sai). Chẳng hạn

dưới đây là bài làm của một bạn nhóm 5:

147

Hình 5.4. Lời giải bài toán 3 của nhóm 5

GV trình bày tóm tắt lời giải trên bảng. Đáp án thu được hoàn toàn trùng khớp với

giá trị giới hạn đã dự đoán ở pha 4. GV nhấn mạnh lại rằng kết quả giới hạn vừa tìm

được là giá trị phản ánh chính xác tốc độ tăng tức thời của nhiệt độ tại thời điểm 𝑡0 = 0,5.

Pha 6: Đây là pha thể chế để GV đưa ra định nghĩa tường minh cho khái niệm có tên là

đạo hàm. Đầu tiên, GV nhắc lại rằng ở bài toán trên khi 𝑓(𝑡) mô tả nhiệt độ của bình

nuôi cấy theo thời gian thì giới hạn (nếu tồn tại) giúp ta tính được

tốc độ biến thiên tức thời của nhiệt độ ngay tại thời điểm 𝑡0. Vì ∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡0, nên ta có:

GV gợi mở, trong trường hợp tổng quát, nếu một đại lượng 𝑦 nào đó phụ thuộc vào

(còn được viết ở biến 𝑥 theo hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) thì giới hạn (nếu có)

dạng với ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0) cũng giúp tính được tốc độ biến thiên

của hàm số 𝑓(𝑥) theo biến số 𝑥 tại điểm 𝑥0. Vì ý nghĩa tổng quát này, trong toán học người ta gọi giới hạn nói trên, nếu có và hữu hạn, là đạo hàm của hàm số 𝑓(𝑥) tại

148

điểm 𝑥0. GV sau đó đưa ra định nghĩa tường minh cho khái niệm đạo hàm theo giới hạn trên và nhấn mạnh thêm một lần nữa nghĩa tốc độ biến thiên của nó.

Trong trường hợp hàm số 𝑓(𝑥) có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng (𝑎; 𝑏), lúc

này với mỗi giá trị x trong khoảng (𝑎; 𝑏) ta xác định được duy nhất một giá trị đạo hàm

𝑓′(𝑥). Hàm số mô tả sự phụ thuộc của giá trị đạo hàm 𝑓′(𝑥) theo giá trị của x trên đoạn

(𝑎; 𝑏) được gọi là hàm số đạo hàm và kí hiệu là 𝑦′ hay 𝑓′(𝑥).

Sau pha thể chế này, HS được giới thiệu chính thức định nghĩa về đạo hàm tại một

điểm và hàm số đạo hàm. Hơn nữa, giới hạn của tỉ sai phân trong định nghĩa đạo hàm

còn gắn với phương pháp giúp xác định tốc độ biến thiên tức thời mà các HS đã tìm ra

trong các pha trước đó. Nhờ vậy cách hiểu đạo hàm theo tốc độ biến thiên được hình

thành một cách tự nhiên và hợp lí trong vai trò là công cụ giải quyết vấn đề đã đặt ra.

Ngoài ra ý nghĩa vừa nói còn có thể mở rộng tổng quát cho tốc độ biến thiên (tốc độ

thay đổi) của một đại lượng bất kì theo sự thay đổi của biến số mà nó phụ thuộc.

Pha 7: Mục đích của pha 7 là tạo điều kiện để HS có cơ hội nhìn lại các tình huống

trước đó trong 𝐼𝑉𝐿 mà đạo hàm đã được sử dụng một cách ngầm ẩn. Ở pha này, chúng tôi có thay đổi một chút trong cách thức tổ chức hoạt động (vì điều kiện thời gian) so

với dự kiến: cụ thể thay vì giao phiếu học tập để các nhóm thảo luận trả lời chúng tôi

giới thiệu bài toán 4 trên bảng và để cả lớp cùng thảo luận đưa ra câu trả lời. Dưới đây

GV: Theo cả lớp cách tính

, với ∆𝑡 rất nhỏ có giúp xác định chính xác gia tốc tức

thời chưa?

HS (nhiều bạn cùng nói): Nó tính gần đúng thôi thầy ơi.

GV: Vậy công thức đúng phải là gì?

HS: Phải tính lim khi ∆𝑡 → 0 mới ra được kết quả chính xác.

GV: Vậy khi có hàm số vận tốc, làm thế nào để tính được gia tốc?

HS1: Tính đạo hàm ạ.

GV: Em nhận ra đạo hàm là vì mình phải tính giới hạn đúng không? Vậy có cách nào khác

để giải thích được tại sao gia tốc lại bằng đạo hàm hàm số vận tốc hay không?

HS2: Thì vì gia tốc là tốc độ thay đổi của vận tốc nên nó tính bằng đạo hàm thôi.

là đoạn trích cuộc thảo luận:

Với hai ngữ cảnh vật lí còn lại là bài toán tính suất điện động cảm ứng và suất điện

động tự cảm, các HS rất nhanh chóng nhận ra sự tác động của công cụ đạo hàm và dễ

149

dàng đưa ra được công thức tính đúng bởi đạo hàm và giải thích nó bằng hai lí lẽ: một

theo giới hạn tỉ sai phân, và một theo đặc trưng tốc độ biến thiên.

Kết thúc pha này, tất cả HS tham gia TN đều nhận ra vai trò công cụ trong những

vấn đề vật lí trước đó mà các em đã học mà có liên quan đến đặc trưng tốc độ biến thiên.

Bên cạnh đó, các em còn chỉ ra được rằng những đại lượng vật lí đang nói cũng được

tính toán theo giới hạn tỉ sai phân. Hoạt động này không những giúp người học thấu

hiểu được các ứng dụng đa dạng của đạo hàm mà còn có thể tạo ra những liên kết mạnh

mẽ giữa những cách hiểu khác nhau về tri thức đang đề cập.

5.1.7. Kết luận cho thực nghiệm dạy học khái niệm đạo hàm

Trong đồ án DH này, chúng tôi đã sử dụng ngữ cảnh LM để thiết kế một chuỗi các

tình huống học tập giúp người học có một hiểu biết đầy đủ hơn cho khái niệm đạo hàm.

Kết quả TN cho thấy, việc cài đặt giá trị của các biến DH (làm cho tốc độ biến thiên

trung bình không phản ánh đúng tốc độ biến thiên tức thời) cùng với sự hỗ trợ từ đồ thị

trực quan đã tạo ra động cơ và môi trường phản hồi giúp chiến lược tính giới hạn của tỉ

sai phân xuất hiện một cách tự nhiên và hợp lí. Hơn nữa, trong ngữ cảnh đang xét, chiến

lược giới hạn này cho phép tìm ra một giá trị phản ánh chính xác tốc độ biến thiên nhiệt

độ tại từng thời điểm. Vì lẽ đó, sau khi đạo hàm được định nghĩa theo giới hạn của tỉ số

hai số gia, HS tham gia TN đã nhận ra ý nghĩa tổng quát của đạo hàm trong việc tính

toán tốc độ biến thiên tức thời của các đại lượng.

Cách tiếp cận LM này không chỉ mang lại lợi ích về mặt nhận thức khái niệm, nó

còn hỗ trợ cho việc ứng dụng đạo hàm trong nhiều ngữ cảnh đa dạng của khoa học và

thực tiễn. Cụ thể thì đa số HS trong TN đã vận dụng được cả hai cách hiểu đạo hàm –

theo giới hạn và theo tốc độ biến thiên – để rút ra công thức liên hệ giữa các đại lượng

vật lí cũng như chính xác hóa được các công thức gần đúng mà trước đó mà đạo hàm

được áp dụng một cách ngầm ẩn.

Kết quả này là cơ sở để chúng tôi xác nhận tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu

đặt ra ban đầu khi mà cách tiếp cận LM trong DH đã mang lại lợi ích kép trong việc

hiểu và ứng dụng khái niệm đạo hàm. Đây cũng là điểm tựa để chúng tôi kết luận về

tính khả thi và hiệu quả mang lại của các giải pháp sư phạm đã đề xuất.

5.2. Đồ án dạy học khái niệm tích phân

5.2.1. Mục tiêu xây dựng đồ án

Đồ án DH này nhắm đến hai mục tiêu chính sau: nhằm mang lại cách hiểu đầy đủ

hơn cho HS về khái niệm tích phân; và giới thiệu cho người học các phương pháp và kĩ

150

thuật của GT được sử dụng để giải quyết nhiều vấn đề của Vật lí. Như các phân tích

trước đó đã chỉ ra, hai mục tiêu này có một nhân tố chung đó là cách hiểu tích phân theo

giới hạn tổng Riemann. Quan niệm này là cơ sở để hiểu được bản chất của khái niệm

đồng thời giúp HS làm quen với một kĩ thuật tính toán đặc trưng của GT. Hơn nữa, sự

cần thiết của kĩ thuật tính toán này còn vượt ra khỏi phạm vi toán học bởi những ứng

dụng hiệu quả của nó trong nhiều vấn đề vật lí.

5.2.2. Các giải pháp được vận dụng

Để đạt được mục đích nói trên, chúng tôi sẽ diễn đạt cụ thể hơn việc vận dụng các

giải pháp sư phạm đã đề xuất trong quá trình xây dựng đồ án. Cần nói rõ, chúng tôi

không trình bày các giải pháp theo thứ tự số đếm mà theo logic của việc áp dụng chúng

trong đồ án.

Vận dụng giải pháp 3: Chúng tôi tận dụng những hỗ trợ mà thể chế DH Vật lí đã cung

cấp. Cụ thể, kết quả phân tích ở chương 3 cho thấy 𝐼𝑉𝐿 đã đưa vào nhiều vấn đề mà phương pháp giải quyết có áp dụng kĩ thuật tính toán theo tổng Riemann. Các tình huống

này sẽ được chúng tôi khai thác để xây dựng chuỗi tình huống DH nhằm mang lại cách

hiểu tích phân theo giới hạn tổng Riemann.

Vận dụng giải pháp 1: Để giúp người học có được hiểu biết đầy đủ hơn về tích phân,

giải pháp 1 gợi ý rằng cần phải liên kết được các cách hiểu và biểu diễn khác nhau vào

cùng một khái niệm – tích phân. Để thực hiện nhiệm vụ này, chúng tôi sẽ thiết kế một

chuỗi tình huống học tập giúp người học thấy được sự tương đương của ba cách tính

toán (tương ứng với ba cách hiểu về tích phân): theo giới hạn tổng Riemann, theo nguyên

hàm, và cuối cùng là theo diện tích.

Vận dụng giải pháp 2: Như đã nói, việc tiếp cận tích phân theo tổng Riemann hoàn toàn

có thể thực hiện bằng cách tận dụng những ngữ cảnh và vấn đề mà Vật lí hỗ trợ. Tuy

nhiên, khó khăn lớn nhất như chúng tôi đã phân tích ở các phần trước chính là: nếu tiếp

cận tích phân từ kĩ thuật tính toán theo tổng Riemann thì làm thế nào gắn kết nó với

phép toán ngược – phép toán đạo hàm? Vận dụng giải pháp 2 trong hoàn cảnh này,

chúng tôi nhìn lại kết quả nghiên cứu về mối quan hệ gắn kết GT – Vật lí trong lịch sử

và tìm hiểu xem các nhà khoa học vượt qua khó khăn kể trên như thế nào? Theo đó,

những kết luận rút ra ở chương 3 đưa đến gợi ý quan trọng sau đây và là cơ sở quan

trọng để chúng tôi thiết kế các tình huống DH trong đồ án: mối quan hệ đảo ngược giữa

các đại lượng vật lí (quãng đường và vận tốc) đem đến cái nhìn động học góp phần giúp

các nhà toán học phát hiện ra mối liên hệ giữa đạo hàm và tích phân.

151

Vận dụng các giải pháp khác: Bên cạnh việc vận dụng các giải pháp thuộc nhóm 1 đã

đề cập ở trên, một số khía cạnh liên quan đến các giải pháp ở nhóm 2 cũng được xem

xét để tăng cường vai trò công cụ của tích phân trong Vật lí. Cụ thể, vận dụng giải pháp

6, chúng tôi giới thiệu cho HS kĩ thuật lập tổng Riemann có nhiều ứng dụng trong Vật

lí. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng vận dụng giải pháp 8 khi đưa vào đồ án một số kiểu

nhiệm vụ LM mà việc giải quyết cần đến cả kiến thức toán và vật lí (ví dụ 8.4 và 8.5).

Trải nghiệm với các tình huống vật lí trong đồ án và các kiểu nhiệm vụ LM vừa nói đến

còn là cơ hội để soi sáng lại cơ sở toán học cho phương pháp toán học mà 𝐼𝑉𝐿 đã dùng để giải quyết nhiều vấn đề của mình: giải pháp 7. Cuối cùng, việc DH khái niệm tích

phân theo cách tiếp cận LM Toán – Vật lí như trên đem đến “kiến thức ngữ cảnh” có

thể giúp người học hiểu và ứng dụng tri thức một cách hiệu quả và linh hoạt hơn: giải

pháp 9.

5.2.3. Các phân tích ban đầu

5.2.3.1. Tiếp cận khái niệm tích phân theo ngữ cảnh hình học

Tán thành lựa chọn đưa vào khái niệm tích phân thông qua cách hiểu theo giới hạn tổng Riemann, chúng tôi sử dụng khung lý thuyết tham chiếu của Habineza19. Theo

khung này, người ta sử dụng ngữ cảnh hình học để giới thiệu khái niệm tích phân từ bài

toán xác định diện tích hình phẳng dưới đồ thị hàm số. Đây cũng là cách tiếp cận truyền

thống mà các giáo trình đại học, thậm chí nhiều SGK THPT nước ngoài lựa chọn. Ngữ

cảnh nói trên mang lại cho tích phân ý nghĩa hình học là “diện tích dưới đường cong”

và làm xuất hiện đầy đủ bốn lớp quá trình – đối tượng: phân hoạch, lập tích, lập tổng,

giới hạn. Tuy nhiên nó không giúp giải quyết được hai khó khăn mà chúng tôi đã đề cập

trước đó:

- Người học khó mà hiểu được mối liên hệ giữa tích phân với đạo hàm nếu như các

em tiếp cận tích phân theo giới hạn tổng Riemann nhưng lại tính toán nó theo nguyên

hàm. Hơn nữa, mặc dù cách tiếp cận hình học nói trên mang đến cho tích phân nghĩa

diện tích nhưng nếu muốn liên kết nghĩa này với phép lấy nguyên hàm thì vẫn phải

đưa vào định lí cơ bản về mối liên hệ giữa đạo hàm và tích phân. Ấy vậy mà việc

chứng minh chặt chẽ định lí này thì khó và cần nhiều nỗ lực vốn không phù hợp với

DH ở cấp độ THPT.

19 Xem lại mục 4.1.1.2

152

- Người học gặp khó khăn khi sử dụng phương pháp lập tổng Riemann trong những

ngữ cảnh ứng dụng khác ngoài Hình học. Nghiên cứu của một số tác giả đã chỉ ra,

ngay cả khi được tiếp cận tích phân theo tổng Riemann từ ngữ cảnh hình học, người

học chỉ xem nó như một quy trình tính toán diện tích phức tạp và thường không vận

dụng được vào các ngữ cảnh ứng dụng khác.

5.2.3.2. Tiếp cận khái niệm tích phân theo ngữ cảnh vật lí

Để tận dụng sự hỗ trợ LM giữa Toán và Vật lí, chúng tôi lựa chọn ngữ cảnh vật lí

để xây dựng tình huống làm xuất hiện khái niệm tích phân và phân tích chúng dựa trên

khung lý thuyết của Habineza. Kết quả phân tích thể chế 𝐼𝑉𝐿 chỉ ra khá nhiều ứng viên có thể chọn để vận dụng khung lý thuyết này. Chẳng hạn như: bài toán tìm quãng đường,

công của lực đàn hồi, công của khí lí tưởng, công của lực hấp dẫn và lực điện. Để giải

quyết các bài toán ấy, SGK Vật lí sử dụng phương pháp tính toán trải qua những bước

sau đây: 1/chia nhỏ, lập tích để tính gần đúng đại lượng trên mỗi khoảng nhỏ; 2/lập tổng

các tích nói trên; 3/ngầm ẩn dùng khái niệm giới hạn để suy ra rằng đại lượng vật lí cần

tính bằng diện tích của hình phẳng dưới đồ thị. Cách giải quyết này thuận lợi cho việc

hình thành các lớp quá trình – đối tượng trong khung của Habineza về tích phân, ngoài

ra còn mang đến cơ hội tận dụng đặc trưng vật lí của đại lượng cần tính để đem lại cách

hiểu sâu sắc hơn cho khái niệm đang nói tới.

Trong những ứng viên nói trên, chúng tôi lựa chọn ngữ cảnh của bài toán “tính

quãng đường khi biết hàm số vận tốc” để đưa vào khái niệm tích phân. Nói thêm là chỉ

xét trường hợp chuyển động thẳng và hàm số vận tốc là không âm để không đặt người

học vào tình huống bị nhầm lẫn giữa hai đại lượng vật lí: “quãng đường” và “độ dời”.

Như đã biết, khung lý thuyết của Habineza chỉ mới xem xét tích phân đặt trong ngữ

cảnh hình học (bài toán tính diện tích). Để có một khung lí thuyết giúp phân tích cách

hiểu về tích phân trong ngữ cảnh vật lí, chúng tôi tiến hành xây dựng một khung về tích

phân đặt trong bài toán tính quãng đường và lấy nó làm cơ sở cho việc thiết kế đồ án

DH.

153

Bảng 5.3. Khung lý thuyết của tích phân trong ngữ cảnh vật lí

Ngữ cảnh:

Lớp

Tính quãng đường với hàm vận tốc và khoảng thời gian cho trước

Quá trình -

Các biểu diễn

Đối tượng

Vật lí

Đồ thị

Kí hiệu

Tính toán số

Chia thành các

Lớp phân

khoảng thời gian

∆𝑡

∆𝑡 nhỏ

hoạch

nhỏ

Diện tích hình

Quãng đường xấp xỉ

chữ nhật với hai

𝑣(𝑡). ∆𝑡

Lớp tích

trong từng khoảng

cạnh là 𝑣(𝑡) và

thời gian nhỏ

∆𝑡

Quãng đường xấp xỉ

Tổng diện tích

Tổng gần

Lớp tổng

trong toàn bộ thời

các hình chữ

đúng

𝑛 ∑ 𝑣(𝑡). ∆𝑡 𝑖=1

gian chuyển động

nhật nhỏ

Diện tích hình

Tổng gần

Lớp giới

Quãng đường chính

dưới đồ thị hàm

đúng với sai

lim 𝑛→∞

hạn

xác

𝑛 ∑ 𝑣(𝑡). ∆𝑡 𝑖=1

số vận tốc

số cho phép

Có ba lý do khiến chúng tôi muốn tận dụng bài toán nói trên.

Thứ nhất, tính quãng đường khi vật chuyển động thẳng với vận tốc không đổi là

một kiểu nhiệm vụ quen thuộc với HS ngay từ tiểu học. Ở trường hợp này, nếu đặt trong

hệ trục toạ độ (vận tốc – thời gian) thì đồ thị hàm vận tốc là đường thẳng song song với

trục hoành. Hơn nữa, theo công thức tính quãng đường đã biết (𝑆 = 𝑣. 𝑡) ta có thể cho

HS liên hệ ngay đại lượng này với diện tích hình chữ nhật (đây cũng là điều mà SGK

Vật lí đã làm). Cách nhìn này sau đó được vận dụng để nghiên cứu trường hợp vận tốc

biến đổi theo một hàm số 𝑣(𝑡), tất nhiên là với phương pháp mới, phương pháp xấp xỉ.

Cụ thể, để tính gần đúng quãng đường, người ta chia thời gian chuyển động thành những

khoảng nhỏ ∆𝑡 mà ở đó có thể xem vận tốc là không đổi để áp dụng công thức 𝑆 = 𝑣. 𝑡,

trước khi lấy tổng tất cả những quãng đường nhỏ này với nhau. Một giá trị tốt nhất biểu

diễn chính xác quãng đường chuyển động có thể đạt được từ quá trình lấy giới hạn các

tổng vừa lập khi khoảng thời gian ∆𝑡 ngày càng nhỏ (tiến về không). Như vậy ở đây đã

xuất hiện đầy đủ bốn lớp quá trình – đối tượng (chia nhỏ, lập tích, lập tổng, giới hạn)

mà cuối cùng kết tinh lại trong cái gọi là tích phân. Ngữ cảnh vật lí này đem lại một lí

do cho sự xuất hiện quan niệm giới hạn tổng Riemann khi nó đóng vai trò là công cụ

154

giải quyết vấn đề và sẽ được kết thúc bởi việc đưa vào khái niệm tích phân sau đó.

Thứ hai, như khung của chúng tôi đã chỉ ra, quá trình giải bài toán “tính quãng

đường” cho phép thiết lập một sự chuyển đổi giữa nhiều biểu diễn khác nhau của khái

niệm tích phân. Cụ thể, ứng với biểu diễn hình học trên đồ thị thì việc nhân vận tốc với

khoảng thời gian ∆𝑡 trong lớp tích chính là diện tích hình chữ nhật có kích thước là hai

đại lượng này. Sự chuyển đổi từ biểu diễn vật lí sang biểu diễn hình học sẽ giúp nối kết

quãng đường với diện tích dưới đường cong hàm số vận tốc và mang lại nghĩa hình học

cho khái niệm tích phân mà GV sẽ chế hoá sau đó.

Cuối cùng, tình huống chúng tôi đề xuất giúp vượt qua khó khăn lớn nhất khi dạy

tích phân theo giới hạn tổng Riemann trong ngữ cảnh bài toán tính diện tích. Nó cho

phép tiếp cận định lí cơ bản theo cách hiểu động học (như gợi ý từ phân tích tri thức

luận) và có thể giúp gợi ra mối quan hệ đảo ngược giữa tích phân và đạo hàm từ cách hiểu vật lí. Nói rõ hơn thì trước đó HS đã biết công thức 𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡) dùng để xác định

vận tốc tức thời khi biết hàm số quãng đường bằng cách lấy đạo hàm. Từ đó ta có thể

giúp HS nhận ra rằng việc tính quãng đường có thể thực hiện theo cách đảo ngược phép

lấy đạo hàm (nguyên hàm). Sự liên kết giữa hai cách tính toán quãng đường nói trên

(một theo tổng Riemann và một theo nguyên hàm) sẽ tạo cơ hội đưa vào công thức

Newton – Leibniz phản ánh mối quan hệ đảo ngược giữa đạo hàm và tích phân.

5.2.3.3. Sơ đồ tóm tắt chuỗi tình huống dạy học tích phân trong ngữ cảnh vật lí

Chúng tôi dùng sơ đồ sau đây mô tả tóm tắt chuỗi tình huống DH tích phân có thể xây

dựng.

Sơ đồ 5.1. Tóm tắt chuỗi tình huống DH tích phân trong ngữ cảnh vật lí

155

Theo sơ đồ này, xuất phát từ cùng một bài toán vật lí – tìm quãng đường khi biết

vận tốc – ta có thể đưa vào ba chiến lược giải quyết khác nhau cho nó:

- Theo nguyên hàm: Tìm lại hàm số quãng đường 𝑠(𝑡) từ hàm số vận tốc 𝑣(𝑡) bằng

cách đảo ngược phép lấy đạo hàm.

- Theo giới hạn tổng Riemann: Chia nhỏ khoảng thời gian, lập tích 𝑣(𝑡). ∆𝑡, lập tổng

Riemann rồi tìm giới hạn của tổng này khi ∆𝑡 → 0.

- Theo diện tích: Quãng đường bằng diện tích hình phẳng dưới đồ thị hàm số 𝑣(𝑡).

Sơ đồ trên cho thấy ngữ cảnh mà chúng tôi lựa chọn là cơ hội để liên kết các cách

hiểu khác nhau của tích phân. Bên cạnh đó, phương pháp chia nhỏ, lập tích, tổng và

chuyển qua giới hạn dùng cho việc tính quãng đường hoàn toàn có thể vận dụng tương

tự cho trong nhiều ngữ cảnh vật lí khác. Nó giải thích cho HS hiểu được những ứng

dụng rộng rãi của tích phân, giúp các em nhận ra ngữ cảnh nào cần đến khái niệm đang

nói. Phân tích này cho thấy, ngữ cảnh vật lí nói trên có thể giúp người học hiểu bản chất

của tích phân, làm quen với kỹ thuật nghiên cứu GT, nhận ra ứng dụng đa dạng của khái

niệm trong Vật lí – nghĩa là cho phép vượt qua những vấn đề mà cách tiếp cận truyền

thống theo ngữ cảnh hình học chưa thể giải quyết.

5.2.4. Các bài toán cơ sở của đồ án

Để HS lĩnh hội được những cách hiểu khác nhau về tích phân từ ngữ cảnh vật lí đã

chọn thì cần phải xây dựng các tình huống thích hợp để làm xuất hiện ba chiến lược giải

tương ứng như chúng tôi đã chỉ ra ở trên: chiến lược lập tổng Riemann, chiến lược diện

tích dưới đường cong và chiến lược tìm nguyên hàm. Chuỗi tình huống DH như vậy

được chúng tôi xây dựng dựa trên các bài toán cơ sở sau đây:

Bài toán 1. Một vật chuyển động thẳng trong đó quãng đường 𝑠 (cm) đi được tại thời

(coi là thời điểm bắt đầu chuyển điểm 𝑡 (giây) được xác định bởi hàm số

động). Tính vận tốc của vật tại thời điểm giây, giây?

Bài toán 2. Một vật bắt đầu chuyển động theo đường thẳng từ thời điểm , vận tốc

(cm/s). của vật tại thời điểm 𝑡 được xác định bởi hàm số:

a. Tính quãng đường vật đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động cho đến thời điểm

giây.

b. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm giây

đến thời điểm giây.

156

Bài toán 3. Một vật chuyển động thẳng đều với

vận tốc không đổi (cm/s). Đồ thị vận tốc

theo thời gian được cho dưới đây:

a. Tính quãng đường vật đi được sau 3 giây từ

lúc bắt đầu (thời điểm 𝑡 = 0 đến 𝑡 = 3)

b. Theo em, đại lượng hình học nào (độ dài, chu

vi, diện tích, …) trên đồ thị biểu diễn cho quãng

đường vật đi được ở câu a?

Bài toán 4. Trong xứ sở thần tiên, các bạn nhỏ tí hon tổ chức cuộc thi chạy tiếp sức.

Mỗi đội gồm một số vận động viên chạy nối tiếp nhau trong tổng thời gian là 6 giây.

a. Đội 1 gồm 3 bạn X, Y và Z chạy tiếp sức theo thứ tự đó. Mỗi bạn đều chạy trong 2

giây rồi chuyền gậy cho bạn kế tiếp. Vì mỗi bạn chỉ chạy trong một thời gian ngắn nên

có thể xem như chạy với vận

tốc không đổi như sau: Bạn

X: 1𝑐𝑚/𝑠, bạn Y: 1,5𝑐𝑚/𝑠,

bạn Z: 2𝑐𝑚/𝑠. Hình bên là

đồ thị hàm số vận tốc của ba

bạn.

Hãy tính tổng quãng

đường của đội 1 đã chạy được và gạch sọc phần diện tích biểu diễn quãng đường đó.

b. Đội 2 gồm 6 bạn: A, B, C,

D, E, F chạy tiếp sức theo thứ

tự đó. Mỗi bạn chỉ chạy trong

1 giây rồi chuyền gậy cho bạn

tiếp theo. Vận tốc của 6 bạn là

một cấp số cộng với công sai

là 0,25 và bạn A chạy

đầu tiên với vận tốc 1 .

Hãy tính tổng quãng đường đội 2 chạy được và gạch sọc phần diện tích biểu diễn

quãng đường đó. Đội nào chạy được quãng đường dài hơn?

Bài toán 5. Các bạn nhỏ tí hon cũng tổ chức thi chạy cá nhân tính thành tích, mỗi bạn

tham gia thi đấu sẽ chạy một mình trong 5 giây và so sánh quãng đường chạy được với

157

nhau. Trong quá trình thi chạy của bạn Tom, người ta ghi nhận được vận tốc của bạn ấy

cứ mỗi 0,5 giây một lần. Dữ liệu được cho theo bảng sau:

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 0 Thời điểm 𝑡 (giây)

1,1 1,2 1,3 1,31 1,35 1,36 1,37 1,38 1,4 1 Vận tốc 𝑣 (cm/s)

Hãy tính xấp xỉ quãng đường mà Tom chạy được trong 5 giây kể từ lúc bắt đầu

chuyển động.

Bài toán 6. Bạn Jerry thi chạy sau đó và chúng ta biết được vận tốc của Jerry biến đổi

theo hàm số (cm/s). Đồ thị hàm số này được cho dưới đây:

Hãy tính gần đúng quãng đường mà Jerry chạy được trong 5 giây kể từ lúc bắt đầu

chuyển động.

Bên cạnh đó, để kiểm tra xem HS sau TN có vận dụng được những cách hiểu về

tích phân vào các ngữ cảnh vật lí khác nhau hay không chúng tôi đưa vào đồ án hai bài

toán sau (ví dụ 8.4 và 8.5):

Bài toán 7. Hai xe ô tô xuất phát

đồng thời từ cùng một vị trí và

bắt đầu chuyển động trên cùng

một đường thẳng theo cùng một

hướng với vận tốc cho bởi đồ

thị sau:

a. Theo em, vào thời điểm 𝑡 = 3

phút, xe nào đi được quãng

đường dài hơn? Giải thích câu trả lời của em.

b. Tại thời điểm 𝑡 = 8 phút, xe nào đi được quãng đường dài hơn? Giải thích.

158

Bài toán 8. Công 𝐴 do lực F không đổi kéo vật dịch chuyển một độ dời 𝑠 (cùng phương

với lực) được tính bởi công thức: 𝐴 = 𝐹. 𝑠.

a. Một vật dịch chuyển trên đoạn đường thẳng dưới tác

dụng của một lực kéo không đổi có độ lớn F = 10N cùng

phương với chiều chuyển động. Tính công của lực khi kéo

vật từ vị trí ban đầu 𝑠 = 0 đến vị trí 𝑠 = 5 (m).

b. Trong thực tế, khi kéo vật di chuyển quãng đường càng

lớn thì người kéo càng mệt nên lực kéo giảm dần theo hàm

(đơn vị của lực là Newton và đồ thị cho số

ở bên).

- Hãy tìm cách tính gần đúng công của lực kéo này khi

vật dịch chuyển từ vị trí 𝑠 = 0 (m) đến vị trí 𝑠 = 5 (m). Giải thích cách tính của mình.

- Bạn hãy đề nghị một phương pháp toán học cho phép tính chính xác công cần tìm.

Hãy giải thích đề nghị của bạn.

5.2.5. Phân tích tiên nghiệm

5.2.5.1. Những chiến lược giải có thể xuất hiện

Bài toán 1:

▪ Chiến lược tính vận tốc theo đạo hàm: 𝑺Đạo hàm

. Từ đó

Bài toán 2:

▪ Chiến lược thực hiện đảo ngược quá trình lấy đạo hàm: 𝑺Nguyên hàm

Suy ra hàm số quãng đường là . Vì .

Câu a: thế suy ra (cm).

Câu b: quãng đường đi được là: .

▪ Chiến lược diện tích hình phẳng dưới đồ thị hàm số vận tốc: 𝑺Diện tích

Câu a: Quãng đường bằng với diện tích hình tam giác giới hạn bởi đồ thị hàm số

và hai mốc thời gian: .

Câu b: Quãng đường bằng với diện tích hình thang có độ dài hai đáy lần lượt là 4 và

8, chiều cao là 2 thế nên: .

159

▪ Chiến lược tính quãng đường theo các công thức động học của Vật lí: 𝑺vật lí

suy ra chuyển động là thẳng biến đổi đều. Từ đó ta có công Vì

thức: .

Câu a: Áp dụng công thức trên với ta được:

Câu b: Áp dụng công thức trên với ta được:

Bài toán 3: Đây là một bài toán đơn giản khi chuyển động là thẳng đều với vận tốc

không đổi. HS chủ yếu sẽ sử dụng công thức quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian.

Cách tính này là cơ sở cho việc xác định quãng đường

theo thời gian và vận tốc nên chúng tôi sẽ gọi nó là

“chiến lược cơ sở”

▪ Chiến lược cơ sở: 𝑺Cơ sở

Câu a: Sử dụng công thức: .

Câu b: Quãng đường đi được là diện tích hình chữ

nhật.

Bài toán 4: Là bước chuyển để tạo điều kiện cho chiến lược lập tổng Riemann xuất hiện

ở bài toán 5. Vì chuyển động của mỗi vận động viên chạy tiếp sức có thể xem như thẳng

đều nên các chiến lược có thể xuất hiện là:

▪ Chiến lược tính tổng các quãng đường: 𝑺Tổng

Tính quãng đường của mỗi vận động viên chạy được rồi cộng tất cả lại.

Câu a.

160

Câu b.

▪ Chiến lược vận tốc trung bình: 𝑺vtb

Chẳng hạn với câu b:

Quãng đường:

Bài toán 5:

▪ Chiến lược tính gần đúng bằng tổng Riemann: 𝑺Riemann

Xem chuyển động trong mỗi 0,5 giây là đều với vận tốc bằng với thời điểm đầu tiên

của khoảng thời gian đó. Quãng đường sẽ được tính gần đúng như sau:

Bài toán 6: Các chiến lược có thể:

▪ Chiến lược: 𝑺Nguyên hàm hoặc 𝑺Tích phân

▪ Chiến lược tính gần đúng bằng tổng Riemann: 𝑺Riemann

- Chia thời gian thành

những đoạn thời gian

nhỏ.

- Lập bảng giá trị vận

tốc tại các mốc thời

gian tương ứng.

- Xem chuyển động

trong mỗi đoạn thời

gian đó là đều với vận tốc ở thời điểm đầu mỗi đoạn tương ứng.

161

- Tính quãng đường trong từng khoảng rồi cộng tất cả lại.

Chẳng hạn với :

Bài toán 7

▪ Chiến lược 𝑺Diện tích: So sánh 2 diện tích dưới đường cong vận tốc.

▪ Chiến lược tích phân – đại số: 𝑺Đại số:

- Tìm biểu diễn đại số (biểu thức GT) cho hàm số vận tốc.

- Tính quãng đường của mỗi xe bằng cách lấy tích phân các hàm số này.

- So sánh các kết quả có được để đưa ra kết luận cho quãng đường lớn hơn.

▪ Chiến lược 𝑺Vật lí: So sánh quãng đường bằng các lí lẽ trong ngữ cảnh vật lí (vận tốc

lớn hơn thì quãng đường sẽ lớn hơn…).

Bài toán 8

▪ Chiến lược 𝑺Nguyên hàm:

Công trong trường hợp lực biến đổi được tính theo tích phân: , HS có

thể tìm nguyên hàm của rồi tính hiệu nguyên hàm ở hai cận.

▪ Chiến lược 𝑺Diện tích:

Công cần tìm bằng với diện tích dưới đường cong đồ thị

▪ Chiến lược 𝑺Riemann:

Chia nhỏ đoạn đường s, trên mỗi đoạn nhỏ ∆𝑠 xem lực là không đổi để tính công

thành phần rồi cộng lại để thu được công toàn phần gần đúng.

5.2.5.2. Phân tích việc lựa chọn giá trị của biến dạy học

a/ Cơ sở của việc chọn biến

Học thuyết của lý thuyết tình huống cho rằng, việc học tập diễn ra cùng với sự thay

đổi các chiến lược giải và kiến thức đi cùng với các chiến lược đó. Nhiệm vụ của chúng

tôi là làm xuất hiện cả hai chiến lược giải khác nhau cho bài toán tính quãng đường: một

theo nguyên hàm và một theo tổng Riemann. Cùng với đó là tạo tình huống làm xuất

hiện và nối kết các biểu diễn khác nhau của tích phân. Để thực hiện nhiệm vụ này, chúng

tôi sử dụng biến DH chính là hàm số vận tốc 𝑣(𝑡) và sự lựa chọn giá trị của nó dựa trên

các cơ sở sau đây.

Cơ sở đầu tiên là khung lý thuyết của khái niệm tích phân được chúng tôi xây dựng

trong ngữ cảnh vật lí nhằm làm xuất hiện cách hiểu giới hạn tổng Riemann. Dựa trên

khung này, việc chọn giá trị của các biến DH phải làm xuất hiện các lớp quá trình – đối

162

tượng tương ứng với cách hiểu tích phân theo cấu trúc tổng Riemann: lớp phân hoạch,

lớp tích, lớp tổng, lớp giới hạn.

Cơ sở thứ hai đến từ cách tiếp cận khái niệm tích phân theo hướng LM đặt trong

ngữ cảnh vật lí mà chúng tôi phân tích rõ trong sơ đồ 5.1 đã trình bày trước đó. Cách

tiếp cận này cho phép tận dụng phiên bản động học của định lí cơ bản trong việc thiết

lập mối quan hệ đảo ngược giữa đạo hàm và tích phân.

Cơ sở thứ ba là ở tính đa biểu diễn của khái niệm tích phân. Theo đó, tích phân sẽ

có những biểu diễn khác nhau tùy theo biểu diễn tương ứng của hàm được lấy tích phân.

Chúng tôi làm rõ mối quan hệ này trong bảng sau:

Bảng 5.4. Khung lý thuyết về đa biểu diễn của tích phân

Khung ở trên cho thấy cách tính và cách hiểu tích phân sẽ khác nhau tùy thuộc vào

dạng biểu diễn của hàm số lấy tích phân. Với ngữ cảnh vật lí đang xét, chúng tôi dựa

vào mối liên hệ này để chọn dạng biểu diễn thích hợp cho hàm số 𝑣(𝑡) nhằm làm xuất

hiện các chiến lược giải mong đợi ở HS.

Cơ sở cuối cùng cho việc chọn biến DH đến từ kết quả phân tích tri thức luận liên

quan đến quá trình nảy sinh và tiến triển của khái niệm tích phân trong lịch sử. Theo đó,

một trong những kết luận sư phạm quan trọng mà chúng tôi rút ra là “sự tiến triển của

mô hình đồ thị rời rạc để mô tả các đại lượng vật lí là một hỗ trợ quan trọng cho việc hình thành phép tính tích phân”20. Tận dụng gợi ý này, chúng tôi sẽ để cho HS làm quen

trước với việc tính toán quãng đường trên mô hình đồ thị rời rạc trước khi tiếp cận với

20 Xem lại mục 2.4

163

mô hình liên tục thường gắn liền với một biểu thức GT của hàm số vận tốc đang xét. Từ

các phân tích này, biến DH mà chúng tôi sử dụng là hàm số vận tốc 𝑣(𝑡) với các dạng

biểu diễn và mô hình đồ thị khác nhau của nó.

b/ Biến dạy học cho các bài toán từ 1 đến 6

▪ Biến 𝑽𝟏: Hàm số vận tốc 𝒗(𝒕)

Các giá trị có thể của biến này rất đa dạng, ở đây chúng tôi thay đổi giá trị biến 𝑽𝟏

dựa trên các tiêu chí phân loại như sau:

- Theo dạng biểu diễn của hàm số 𝒗(𝒕), các giá trị có thể là: biểu diễn bằng lời,

biểu diễn theo bảng, theo biểu thức đại số và biểu diễn đồ thị.

- Theo mô hình đồ thị của hàm số 𝒗(𝒕), các giá trị có thể là: mô hình đồ thị rời rạc

(mô hình hàm bước21, đồ thị điểm rời rạc), mô hình đồ thị liên tục.

- Theo “độ phức tạp” của 𝒗(𝒕) (trong phép lấy nguyên hàm): Chúng tôi dùng thuật

ngữ “độ phức tạp” theo nghĩa là mức độ khó khăn trong việc xác định nguyên hàm

của một hàm sơ cấp. Theo nghĩa này, các hàm căn thức có thể xem là có độ phức

tạp cao hơn hàm đa thức.

Giá trị của biến 𝐕𝟏 Với bài toán 2: chúng tôi chọn giá trị của 𝑽𝟏 là dạng biểu diễn đại số và có độ

phức tạp thấp (hàm số bậc nhất v(t) = 2t), bởi các lí do sau:

- Giá trị vận tốc biến đổi theo thời gian nên 𝑺Cơ sở không sử dụng được. - Để tạo điều kiện cho chiến lược 𝑺Nguyên hàm có cơ hội xuất hiện, ngoài việc chọn

hàm số 𝑣(𝑡) có “độ phức tạp” thấp (hàm số bậc nhất, dễ tìm nguyên hàm), chúng

tôi còn đưa thêm vào trước đó bài toán đảo ngược của bài toán đang xét (bài toán

1: cho hàm số quãng đường, tìm vận tốc).

- Như đã nói, chiến lược 𝑺Nguyên hàm thực chất giúp tính độ dời của vật chứ không

phải quãng đường chuyển động. Tuy nhiên để giảm nhẹ tính chính xác của đặc

trưng vật lí trong tình huống DH, chúng tôi chọn hàm vận tốc là luôn dương với

và vì thế quãng đường và độ dời là đồng nhất. Sự phân biệt rõ ràng giữa hai

đại lượng này có thể được GV nhắc đến trong những nội dung sau đó của bài dạy

đặc biệt là trong các ngữ cảnh LM với Vật lí.

Với bài toán 3: hàm số 𝑣(𝑡) được chọn là hàm hằng: 𝑣(𝑡) = 2. Khi đó, chiến lược

𝑺Cơ sở (𝑠 = 𝑣. 𝑡) có thể được ưu tiên lựa chọn bởi vì chuyển động là thẳng đều. Hai lí do

21 Hàm bước hay còn gọi là hàm bậc thang hiểu đơn giản là hàm hằng trên hữu hạn khoảng.

164

cho sự lựa chọn này là để:

- Làm xuất hiện lớp tích trong khung lý thuyết của khái niệm tích phân: quãng

đường bằng vận tốc nhân thời gian.

- Làm xuất hiện biểu diễn hình học của lớp tích: diện tích hình chữ nhật.

Với bài toán 4: hàm số 𝑣(𝑡) được chọn là dạng hàm bước. Cụ thể thì 𝑣(𝑡) nhận giá

trị là hằng số trong mỗi khoảng thời gian, các giá trị hằng số này thay đổi qua từng

khoảng thời gian liên tiếp. Để hợp lí hóa một chuyển động có vận tốc gián đoạn như vậy

chúng tôi sử dụng tình huống chạy tiếp sức trong đó mỗi vận động viên có một vận tốc

riêng biệt. Lý do cho sự lựa chọn giá trị biến 𝐕𝟏 ở đây là để:

- Giới thiệu lớp phân hoạch bằng cách cho trước các khoảng chia mà trên đó vận

tốc không đổi.

- Chuẩn bị những điều kiện để 𝑺Tổng xuất hiện. Hình thành lớp tổng trong khung lí

thuyết của tích phân.

Với bài toán 5: 𝑣(𝑡) được cho ở dạng biểu diễn số (bảng số), trong đó giá trị của

hàm số được cho ứng với đầu mỗi khoảng chia. Yêu cầu bài toán là tính gần đúng quãng

đường đi được.

Để hiểu lí do cho sự lựa chọn này hãy đặt giả thiết về sự thiếu vắng bài toán 5 trong

chuỗi tình huống của đồ án. Khi đó, nếu chuyển từ bài toán 4 ngay sang bài toán 6, HS

sẽ phải đối mặt với hai điểm nối khó khăn sau. Một là đang từ yêu cầu tính đúng chuyển

sang tính gần đúng. Và hai là từ mô hình hàm bước đã có sẵn các khoảng chia (vận tốc

trên mỗi khoảng không đổi) sang mô hình hàm số liên tục mà không có trước một phân

hoạch như vậy.

Để tạo ra bước chuyển phù hợp hơn, chúng tôi đưa vào bài toán 5, ở đó hàm 𝑣(𝑡)

được cho bởi một bảng giá trị vận tốc theo những mốc thời gian tương ứng. Các mốc

thời gian này sẽ tạo ra một phân hoạch có sẵn để HS có thể liên hệ với phương pháp giải

của bài toán trước. Theo đó, để sử dụng được 𝑺Tổng , HS phải xem vận tốc là không đổi

trên mỗi khoảng thời gian, và điều này là thích đáng khi chỉ đặt ra yêu cầu tính gần đúng

quãng đường đi được. Cuối cùng, vì dạng bảng giá trị này vốn đã quen thuộc trong các

nhiệm vụ vẽ đồ thị, cho nên khi 𝑣(𝑡) cho bởi biểu thức GT (ở bài toán 6), HS sẽ dễ dàng

lập ra một bảng số tương tự để đưa về cách giải đã biết.

165

Tóm lại, sự kết nối giữa chiến lược tính theo kiểu xấp xỉ ở bài toán 5 và chiến lược

lập tổng ở bài toán 4 sẽ góp phần tạo nên “bước đệm” thích hợp để chiến lược 𝑺𝑹𝒊𝒆𝒎𝒂𝒏𝒏 có nhiều cơ hội xuất hiện ở bài toán tiếp theo.

Với bài toán 6: Hàm số vận tốc cho ở dạng căn thức (độ phức tạp cao):

. Việc chọn giá trị biến như vậy rõ ràng đã ngăn cản tất cả các chiến

lược có thể sử dụng trong những trường hợp trước đó:

không sử dụng được vì đồ thị hàm số 𝑣(𝑡) không phải đường - 𝑣(𝑡) không phải hằng số nên không thể sử dụng 𝑺Cơ sở . - 𝑺Diện tích và 𝑺vtb

thẳng và hàm số biến đổi không tuyến tính.

- Chiến lược 𝑺Nguyên hàm cũng trở nên cực kì đắt giá bởi lẽ HS khó mà tìm được

nguyên hàm của một hàm số căn thức phức tạp như vậy.

Lúc này, sự gợi ý đến từ hai bài toán 4 và 5 sẽ góp phần tạo ra điều kiện thuận lợi

để chiến lược 𝑺Riemann xuất hiện. HS có thể nghĩ đến việc xây dựng một bảng số như bài toán 5 giống như cách mà các em thường lập bảng giá trị khi vẽ đồ thị (thực hiện lớp

phân hoạch), sau đó xem gần đúng chuyển động là đều trong mỗi khoảng chia để tính

quãng đường theo 𝑺Cơ sở (lớp tích). Tiếp đến là thực hiện chiến lược 𝑺Tổng như bài toán

4 để có một kết quả gần đúng của quãng đường đi được (lớp tổng). Chúng tôi còn cố

tình chọn hàm 𝑣(𝑡) đồng biến và hơn nữa là tăng chậm (độ dốc không lớn) để HS thấy

được sự hợp lí của việc tính toán xấp xỉ như đã nói ở trên.

▪ Biến 𝑽𝟐: Có đưa vào đồ thị hàm số vận tốc trong các bài toán hay không? Hiển

nhiên là biến này nhận giá trị là có hoặc không.

Ở hai bài toán đầu tiên, vì mục đích là hình thành nghĩa “Đạo hàm đảo ngược” của

khái niệm tích phân nên chúng tôi không đưa vào đồ thị. Một là vì không cần thiết, hai

là không muốn chiến lược 𝑺Diện tích xuất hiện (dù điều này cũng ít xảy ra).

Các bài toán 3, 4 và 6 đều có đưa kèm vào đồ thị hàm vận tốc bởi vì đó là lúc chúng

tôi muốn xây dựng đặc trưng diện tích cho đại lượng quãng đường cần tính. Cụ thể thì

bài toán 3 nhằm xây dựng biểu diễn hình học (diện tích) cho lớp tích, bài toán 4 cho lớp

tổng và bài toán 6 là biểu diễn hình học cho lớp tổng và lớp giới hạn (quãng đường cần

tính bằng với diện tích dưới đường cong).

▪ Biến 𝑽𝟑: Số vận động viên tham gia chạy tiếp sức

166

Việc tăng số vận động viên trong bài toán 4 ở câu b thật ra là một cách minh họa

cho việc tăng số khoảng chia trong bước phân hoạch của 𝑺Riemann. Số khoảng chia này còn được tăng lên nhiều hơn ở bài toán 5 khi hàm số cho ở dạng bảng. Cách chọn giá trị

tăng dần của biến 𝑽𝟑 nhằm tạo cơ hội để HS nhận ra sự tác động của lớp giới hạn: Quãng đường tính được trong bài toán 6 theo chiến lược 𝑺Riemann sẽ trở nên càng chính xác nếu ta tăng số điểm chia lên (làm nhỏ các khoảng thời gian ).

c/ Biến dạy học cho bài toán 7 và 8

▪ Biến 𝑽𝟒: Ngữ cảnh vật lí gắn với bài toán

Ngữ cảnh vật lí cần được lựa chọn để khái niệm tích phân có thể tác động. Ta biết

rằng ba đại lượng gắn kèm với việc tính một tích phân lần lượt là: Biến số – hàm số lấy

tích phân – kết quả của tích phân. Theo đó, một số bộ ba sau đây xuất hiện trong chương

trình vật lí phổ thông mà chúng tôi có thể lựa chọn để thiết kế bài toán: 1/thời gian – vận

tốc – quãng đường; 2/thời gian – gia tốc – vận tốc; 3/độ dịch chuyển – lực tác động –

công.

Biến 𝑽𝟓: Hàm số lấy tích phân

Để kiểm tra được khả năng vận dụng các cách hiểu và biểu diễn của tích phân vào

những ngữ cảnh vật lí nói trên, chúng tôi chọn giá trị của biến 𝑽𝟓 dựa trên dạng biểu diễn của hàm số được cho. Một cách cụ thể, hai dạng biểu diễn sau đây của hàm lấy tích

phân được chúng tôi sử dụng:

- Biểu diễn đại số (biểu thức GT): Dạng biểu diễn này thuận lợi cho việc tính tích

phân theo hiệu nguyên hàm ở hai cận hoặc tính gần đúng giá trị tích phân theo tổng

Riemann.

- Biểu diễn đồ thị: Dạng biểu diễn này lại thuận lợi cho chiến lược tính toán hoặc so

sánh dựa trên diện tích dưới đường cong đồ thị.

Biến 𝑽𝟔: Yêu cầu của bài toán

Trong TN này chúng tôi đưa vào ba loại yêu cầu sau đây: 1/Tính gần đúng; 2/Tính

đúng; và 3/So sánh. Yêu cầu tính gần đúng có thể gợi ra chiến lược sử dụng tổng

Riemann, yêu cầu tính đúng hướng người học đến việc tính toán đại số theo hiệu nguyên

hàm. Và cuối cùng, trong những điều kiện cụ thể nào đó (chẳng hạn hàm số cho bởi biểu

diễn đồ thị), chiến lược sử dụng diện tích dưới đồ thị lại có thể là tối ưu đối với nhiệm

vụ so sánh các đại lượng. Sự tối ưu của mỗi chiến lược tùy thuộc vào việc chọn giá trị

cho các biến DH trong mỗi tình huống và nó thúc đẩy người học thay đổi chiến lược

167

giải của họ. Trong trường hợp những thay đổi này không xảy ra, chúng tôi sẽ có cơ sở

để đánh giá phần nào kiến thức về tích phân của người học cũng như khả năng vận dụng

nó vào các vấn đề với ngữ cảnh vật lí.

▪ Lựa chọn giá trị của biến và mục đích của mỗi bài toán

Với bài toán 7:

- Giá trị biến 𝑽𝟒: bộ ba thời gian – vận tốc – quãng đường. - Giá trị biến 𝑽𝟓: hàm số vận tốc 𝑣(𝑡) được cho ở dạng biểu diễn đồ thị trong đó vận

tốc xe A có thể nội suy ra biểu thức GT còn xe B thì không.

- Giá trị biến 𝑽𝟔: yêu cầu so sánh quãng đường của hai xe đi được.

Bằng cách cho hàm số vận tốc ở dạng biểu diễn đồ thị, chúng tôi muốn kiểm tra

xem HS có tìm ra chiến lược so sánh quãng đường thông qua việc so sánh diện tích giới

hạn bởi đồ thị hàm vận tốc hay không? Nói cách khác là để kiểm tra khả năng vận dụng

cách hiểu tích phân theo diện tích dưới đường cong vào các bài toán vật lí. Việc chọn

giá trị của biến DH như trên còn có ý nghĩa trong nhiều ngữ cảnh ứng dụng bởi vì đại

lượng cần tính hoặc so sánh có thể được cho ở dạng đồ thị và không phải lúc nào cũng

có sẵn biểu thức GT để mô tả.

Với bài toán 8:

- Giá trị biến 𝑽𝟒: bộ ba độ dịch chuyển – lực tác động – công. - Giá trị biến 𝑽𝟓: 𝐹(𝑠) được cho ở cả hai dạng biểu diễn đồ thị và biểu thức GT. - Giá trị biến 𝑽𝟔: có cả hai yêu cầu là tính gần đúng và tính chính xác

Trong ngữ cảnh của bộ ba được chọn, HS không tìm thấy mối quan hệ đảo ngược

đạo hàm – nguyên hàm giống như ngữ cảnh tính quãng đường ở bài toán 7. Lúc này, sự

tác động của công cụ tích phân không đến từ phép toán đảo ngược với đạo hàm mà lại

được dẫn ra từ phương pháp tính xấp xỉ theo tổng Riemann. Cũng tương tự như trong

bài toán tính quãng đường, bài toán tính công có một chiến lược cơ sở: khi lực F không

đổi thì công 𝐴 tính bởi lớp tích 𝐴 = 𝐹. 𝑠. Với việc chọn biến 𝑽𝟓 là hàm số lực biến đổi theo độ dịch chuyển và biến 𝑽𝟔 là yêu cầu tính gần đúng, chúng tôi muốn kiểm tra xem người học có đề xuất được chiến lược 𝑺Riemann để tính xấp xỉ công này hay không? Nếu chiến lược này xuất hiện, chúng tôi cho rằng người học cũng sẽ dễ dàng đề xuất được

chiến lược 𝑺TíchPhân để tính chính xác công cần tìm và vai trò công cụ của tích phân trong ngữ cảnh này được thể hiện rõ.

168

5.2.5.3. Dàn dựng và phân tích kịch bản

Đồ án được chia thành 7 pha, thời gian thực hiện dự kiến là 105 phút. Lớp học được

chia thành các nhóm, mỗi nhóm 4-5 HS. HS mỗi nhóm sẽ được phát phiếu học tập ứng

với từng pha hoạt động (các phiếu học tập này được tổng hợp ở Phụ lục 3).

❖ Pha 1 (20 phút): Các nhóm được giao các phiếu học tập trong đó có hai bài toán đầu

tiên. Bài toán 1 được giải trước, sau đó mới đến bài toán 2. HS từng nhóm thảo luận với

nhau để giải quyết hai bài toán trên. Sau thời gian làm việc, các thành viên nộp lại giấy

nháp và lời giải đã thống nhất trong nhóm cho GV.

Đối với những nhóm tìm ra được chiến lược 𝑺Nguyên hàm, GV sẽ phỏng vấn nhanh

một số thành viên và yêu cầu các em giải thích cách làm của mình. Chúng tôi cũng tiến

hành phỏng vấn với những nhóm có lời giải sai để hiểu hơn cách làm và những quan

niệm của họ. GV hoặc trợ giảng sẽ cung cấp một số gợi ý hoặc phản hồi về những chiến

lược sai này để hướng HS tìm ra chiến lược tối ưu nhờ vào mối liên hệ đảo ngược giữa

hai bài toán đang đề cập.

GV giới thiệu phép toán ngược của đạo hàm được gọi là nguyên hàm và tổng kết

lại kĩ thuật để giải quyết bài toán tính quãng đường khi biết hàm số vận tốc.

Phân tích: Mục đích của pha này là để hình thành cách hiểu tích phân theo “phép

toán ngược với đạo hàm”. Bài toán 1 là kiểu nhiệm vụ tìm vận tốc khi có hàm số quãng

đường mà HS đã biết kĩ thuật giải quyết là lấy đạo hàm. Vì vậy, việc đặt ra ngay sau đó

bài toán 2 (tìm quãng đường khi cho trước hàm số vận tốc) có thể đưa đến một tình

huống đảo ngược tạo điều kiện cho chiến lược 𝑺Nguyên hàm xuất hiện. Đặc biệt ở câu 2𝑏

chúng tôi yêu cầu tính quãng đường đi được giữa hai mốc thời gian ( giây đến thời

điểm giây) để đưa vào cách tính hiệu giá trị nguyên hàm nhằm chuẩn bị cho việc

định nghĩa tích phân sau này. Giá trị biến 𝑽𝟏 cũng đã được chọn một cách thích hợp để việc tìm nguyên hàm có thể thực hiện được dễ dàng.

❖ Pha 2 (10 phút):

Ở pha này mỗi nhóm được phát phiếu học tập có bài toán 3 và giải quyết trong

khoảng thời gian 5 phút. Vì yêu cầu ở câu 3𝑎 là khá đơn giản (tính quãng đường khi vận

tốc không đổi) nên các HS sẽ nhanh chóng tìm được câu trả lời. Trọng tâm của cuộc

thảo luận giữa các thành viên là tìm ra đại lượng hình học trên đồ thị biểu diễn cho quãng

đường tính được (câu 3𝑏). Sau thời gian làm việc nhóm, nếu có nhóm nào không tìm ra

được đại lượng hình học hợp lý GV sẽ đàm thoại và gợi mở riêng cho các em đó.

169

Ở thời điểm cuối của pha 2, GV dành một chút thời gian để phân tích và tổng kết

lại hai nhận xét quan trọng:

- Nếu chuyển động là đều hoặc (được xem gần đúng là đều) thì quãng đường được

tính đúng (hoặc gần đúng) bởi công thức vận tốc nhân thời gian.

- Quãng đường trong chuyển động đều được biểu thị trên đồ thị bởi diện tích của một

hình chữ nhật tương ứng với hai kích thước là giá trị hàm số vận tốc và khoảng thời

gian chuyển động

Phân tích: Bài toán tính quãng đường khi vận tốc không đổi là một nhiệm vụ đơn

giản. Pha này nhằm đến việc làm nổi bật lớp tích đồng thời xây dựng biểu diễn hình học

cho quãng đường trong trường hợp chuyển động thẳng đều. Đây cũng là bước chuẩn bị

để hình thành ý nghĩa diện tích cho khái niệm tích phân ở các pha tiếp theo.

❖ Pha 3 (15 phút): Các nhóm được phát phiếu học tập có bài toán 4 trong đó vẽ sẵn đồ

thị vận tốc của các vận động viên trong từng đội. Các nhóm tính toán tổng quãng đường

của hai đội và so sánh. Sau đó GV yêu cầu tô màu (hoặc kẻ sọc) vùng diện tích biểu

diễn cho hai tổng quãng đường đó.

GV tổng kết và rút ra kết luận chung cho phương pháp giải: trong trường hợp có

nhiều khoảng thời gian và mỗi khoảng có một vận tốc được xem là không đổi trên đó.

Quãng đường tổng cộng sẽ bằng tổng các quãng đường nhỏ là tích của vận tốc và thời

gian trên mỗi khoảng thời gian nói trên. Hơn nữa, quãng đường này còn bằng với tổng

diện tích các hình chữ nhật giới hạn bởi đồ thị hàm vận tốc và trục hoành.

Phân tích: Bài toán 4 ở pha này chính là “bước đệm” cho việc hình thành chiến

lược 𝑺Riemann ở các pha tiếp theo. Việc chia nhỏ rồi xấp xỉ gần đúng ở từng khoảng chia là một chiến lược không dễ xuất hiện ở HS nếu không có những gợi mở thích hợp. Việc

đưa vào hai bài toán 4 và 5 nhằm mục đích tạo ra sự “gợi mở” này. Với bài toán 4, HS

sẽ tiếp xúc với tình huống tính quãng đường bằng cách lấy tổng các quãng đường thành

phần trên mỗi khoảng thời gian mà vận tốc được xem là không đổi. Đề bài toán đã xây

dựng những “phân hoạch” cho sẵn từ cách chọn biến 𝑽𝟏 và việc HS phải tính toán trên cách “phân hoạch” này phần nào cho các em thấy trước được ý nghĩa của việc chia nhỏ

trong chiến lược lập tổng Riemann.

❖ Pha 4 (20 phút): Các nhóm thảo luận để giải quyết bài toán 5 trong phiếu học tập,

GV nhấn mạnh rằng yêu cầu bài toán chỉ cần “tính xấp xỉ” quãng đường đi được. Sau

thời gian làm việc, GV yêu cầu mỗi nhóm cử một bạn đứng dậy trình bày chiến lược

170

giải của nhóm mình (chỉ trình bày ý tưởng). Nếu chiến lược 𝑺Riemann (xem vận tốc là không đổi trên mỗi khoảng thời gian để tính quãng đường rồi lấy tổng) xuất hiện, GV

và cả lớp sẽ thảo luận kĩ hơn về cách tính gần đúng này trước khi các nhóm sử dụng nó

để tính toán ra kết quả cuối cùng. Trong trường hợp chiến lược nói trên không xuất hiện,

GV sẽ dẫn dắt đến việc xem vận tốc là không đổi ở mỗi khoảng thời gian để có thể áp

dụng chiến lược 𝑺Tổng đã dùng ở bài toán 4.

Phân tích: Với bài toán 5, việc phân hoạch thành các khoảng chia cũng được cho

trước trong đề bài. Tuy nhiên vận tốc là không đều trên mỗi khoảng chia này và chiến

lược tính đúng theo 𝑺Tổng như bài toán 4 là chưa thực hiện được. Để chiến lược này có

thể hoạt động được, HS phải xem vận tốc là không đổi trên mỗi khoảng thời gian nhỏ.

Ngoài ra, để hướng các nhóm cùng chọn vận tốc đầu mỗi khoảng là vận tốc không đổi

cho cả khoảng đó (ứng với việc lập tổng Riemann trái), trong đề bài chúng tôi đã cố tình

không cho biết thông tin vận tốc ở mốc thời gian 5 giây.

Bằng cách chọn hàm số vận tốc cho bởi mô hình rời rạc (hàm số cho bởi bảng số),

chúng tôi tạo ra tình huống giúp chuyển đổi từ việc tính đúng sang tính gần đúng. Đây

cũng là bước chuẩn bị cuối cùng trước khi chuyển sang mô hình liên tục của hàm số vận

tốc ở pha 5.

❖ Pha 5 (20 phút): Các nhóm nhận phiếu học tập và thảo luận để giải quyết bài toán 6,

GV cũng nhấn mạnh yêu cầu tính gần đúng ở bài toán này. Sau thời gian làm việc, GV

yêu cầu mỗi nhóm cử một bạn trình bày chiến lược giải của nhóm mình. Chiến lược giải

tối ưu (𝑺Riemann ) nếu xuất hiện sẽ được GV thảo luận kĩ lưỡng hơn. Trong trường hợp không có nhóm nào đề ra được chiến lược giải hợp lí cho bài toán, GV sẽ gợi mở từ

phương pháp giải đã thành công cho các bài toán trước đó.

Kết thúc pha này, GV đặt ra câu hỏi: “Phải chia thành các khoảng thời gian như

thế nào để khi lập tổng sẽ thu được kết quả gần đúng nhất cho quãng đường đi được?”.

Sau khi thảo luận với cả lớp, GV đưa ra kết luận: “Quãng đường tính được sẽ càng chính

xác nếu như ta chia khoảng thời gian thành các khoảng càng nhỏ. Khi tiến dần

về 0, tổng tính được sẽ dần tiến về quãng đường chính xác của chuyển động đang xét”.

Sau đó GV giới thiệu ký hiệu cho tổng Riemann ∑ 𝑣(𝑡). ∆𝑡, thảo luận với cả lớp để đi

đến nhận xét: “Muốn tìm chính xác quãng đường, chúng ta cần phải xác định được giới ∑ 𝑣(𝑡𝑖). ∆𝑡𝑖”. Tập trung vào biểu diễn hình học, GV thảo luận với cả hạn sau đây: lim ∆𝑡→0

lớp về đại lượng hình học biểu diễn cho quãng đường trong bài toán và rút ra kết luận:

171

“Quãng đường tính được cũng bằng với diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số vận tốc và trục hoành”.

Phân tích: Đây là pha quan trọng nhất của đồ án. Vì hàm vận tốc 𝑣(𝑡) được cho có

dạng căn thức phức tạp nên đã ngăn cản HS chọn lựa các chiến lược 𝑺Cơ sở, 𝑺Nguyên hàm

và 𝑺Diện tích. Mặt khác, yêu cầu của đề bài là tính gần đúng quãng đường nên HS có thể

sẽ nghĩ đến phương pháp giải tương tự như bài toán 5 trước đó. Chúng tôi đặt hai bài

toán này cạnh nhau với ý đồ dẫn dắt HS chuyển đổi hàm số 𝑣(𝑡) ở bài toán 6 về dạng

giống như bài toán 5 để có thể áp dụng phương pháp đã thành công trước đó. Muốn vậy

HS chỉ cần lập một bảng giá trị cho 𝑣(𝑡) tại các mốc thời điểm liên tiếp, và nhiệm vụ

này vốn đã quen thuộc với các em khi vẽ đồ thị một hàm số. Lúc này các em đã có một

phân hoạch và chỉ cần thực hiện tiếp lớp tích và lớp tổng là sẽ được tính được gần đúng

quãng đường đi được.

Chiến lược giải nói trên sẽ giúp thu được kết quả càng chính xác nếu như HS tăng

số khoảng chia (làm nhỏ ∆𝑡). Ý tưởng giới hạn theo đó sẽ có cơ hội xuất hiện và ta có

thể tận dụng thời điểm này để đưa vào cách tính quãng đường chính xác bởi 𝑺Riemann. Cách tính quãng đường theo diện tích sẽ được giải thích nhờ ý nghĩa hình học của lớp

tích, lớp tổng và bước chuyển qua giới hạn của tổng Riemann.

❖ Pha 6 (10 phút): Pha này tổng kết và thể chế lại những chiến lược giải bài toán tính

quãng đường đã xuất hiện trong buổi học. Sau đó GV giới thiệu định nghĩa tích phân

bởi hiệu giá trị nguyên hàm tại hai cận và đưa ra ba cách tính toán cho nó (theo nguyên

hàm, diện tích và giới hạn tổng Riemann). GV giới thiệu ý nghĩa hình học của tích phân

là diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số và hai cận đã cho. GV nhấn mạnh

rằng, ngoài việc áp dụng để tính diện tích và quãng đường, khái niệm này còn được dùng

để tính toán các đại lượng trong khoa học và cuộc sống thông qua quá trình lập tổng và

chuyển qua giới hạn.

Phân tích: Đây là pha thể chế hoá tri thức. Ở đây chúng tôi vẫn chọn cách định

nghĩa tích phân theo hiệu nguyên hàm vì sự đơn giản và thuận tiện trong tính toán vốn

phù hợp với nhận thức của HS THPT. Tuy nhiên, nhờ vào việc liên kết ba chiến lược

giải khác nhau đã xuất hiện ở các pha trước đó, chúng tôi có thể làm xuất hiện ba cách

hiểu tương ứng về tích phân và kết nối chúng lại với nhau trong cùng một khái niệm.

Cụ thể thì, sự tương đương giữa ba cách tính tích phân (theo hiệu nguyên hàm, giới

hạn tổng Riemann và theo diện tích) sẽ được chỉ ra từ sự tương đương của ba chiến lược

172

tương ứng trong việc tính quãng đường. HS sẽ biết vì sao nguyên hàm lại cho phép xác

định được diện tích cũng như các đại lượng khác trong Vật lí mà việc tính toán chúng

phải thực hiện kĩ thuật chia nhỏ, lập tổng và chuyển qua giới hạn. Tích phân mặc dù vẫn

𝑏 𝑎

= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) nhưng người học có được định nghĩa theo hiệu nguyên hàm ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

cơ hội hiểu đầy đủ hơn bản chất và các đặc trưng khác của nó. Không chỉ vậy, HS còn

được cung cấp kiến thức về tích phân ở dạng hoạt động và gắn kết hơn với những ứng

dụng trong Vật lí.

❖ Pha 7 (20 phút): GV phát cho mỗi nhóm phiếu học tập có in hai bài toán 7 và 8.

Các nhóm thảo luận để thống nhất một lời giải chung rồi nộp phiếu học tập lại cho GV.

GV xem qua lời giải của các nhóm, sau đó tiến hành thảo luận tập thể trước cả lớp về

những chiến lược giải đã xuất hiện và tổ chức cho HS nhận xét, đánh giá. Cuối pha này,

GV bàn luận thêm về vai trò công cụ mạnh mẽ của tích phân trong nhiều vấn đề thực

tiễn và khoa học, đặc biệt là đối với môn Vật lí.

Phân tích: Đây là pha ứng dụng tri thức vừa học trong một số ngữ cảnh vật lí. Cụ

thể thì bài toán 7 HS cần sử dụng nghĩa diện tích của tích phân và bài toán 8 cần đến kĩ

thuật lập tổng Riemann để giải quyết. Bài toán 7 là quen thuộc với HS tham gia TN bởi

vì trước đó các em đã được tiếp cận nhiều chiến lược giải khác nhau liên quan đến bài

toán tính quãng đường. Ở đây, như đã phân tích biến DH, chúng tôi muốn kiểm tra xem

HS có thể huy động nghĩa diện tích để giải quyết vấn đề vật lí gặp phải hay không? Đối

với bài toán 8, HS bắt gặp lại kiểu nhiệm vụ tính gần đúng theo tổng Riemann tuy nhiên

lần này là trong một ngữ cảnh vật lí khác: bài toán tính công của lực biến đổi. Điều

chúng tôi muốn kiểm tra là các em có gợi ra chiến lược lập tổng Riemann trong một tình

huống ứng dụng không quen thuộc hay không? Trong hoạt động tổng kết ở pha này, GV

và cả lớp cùng nhau nhận xét về những chiến lược giải và kết quả mà các nhóm đề xuất.

Điều này một lần nữa giúp HS khắc sâu lại những cách hiểu quan trọng của tích phân

và vai trò công cụ hiệu quả của chúng trong nhiều ngữ cảnh ứng dụng đa dạng của khoa

học và thực tiễn.

5.2.6. Phân tích hậu nghiệm

5.2.6.1. Đối tượng và cách thức tổ chức thực nghiệm

Đồ án DH khái niệm tích phân được chúng tôi triển khai TN với 26 HS lớp 12.2

của trường Trung học thực hành Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh. Đây là lớp cuối cấp

173

ban tự nhiên và có học lực khá về môn Toán. Thời điểm thực nghiệm vào đầu năm học

khi mà tất cả HS đều chưa học về nguyên hàm và tích phân.

Lớp học được chia thành 6 nhóm, mỗi nhóm từ bốn đến năm HS để các em có cơ

hội thảo luận và gợi ra nhiều chiến lược giải khác nhau. TN được sự hỗ trợ của GV bộ

môn cùng với các trợ giảng là những sinh viên sư phạm năm cuối. Những người này đã

nắm rõ mục đích và các phân tích tiên nghiệm của đồ án để có thể cung cấp những hỗ

trợ hoặc điều chỉnh khi cần thiết. Các nhóm ngồi thành một vòng tròn để tiện thảo luận

và trao đổi. Mỗi trợ giảng thực hiện việc quay phim ghi lại hoạt động thảo luận của từng

nhóm. Ngoài ra, một máy quay phim đặt ở cuối lớp sẽ ghi hình toàn cảnh mọi hoạt động

của GV và HS trong suốt buổi TN. Sau mỗi pha làm việc, GV thu lại giấy nháp của từng

HS và xem xét phiếu trả lời của mỗi nhóm trước khi tiến hành thảo luận tập thể với cả

lớp.

5.2.6.3. Phân tích kết quả

Các kết quả TN và những phân tích của chúng tôi sẽ tập trung vào:

- Kết quả làm việc của các nhóm với từng nhiệm vụ trong mỗi pha hoạt động thể hiện

trên phiếu học tập.

- Các trao đổi và thảo luận đáng chú ý giữa HS trong nhóm được ghi nhận từ máy ghi

âm.

- Những cuộc phỏng vấn giữa GV với HS cả lớp cũng như một số trao đổi hay gợi ý

mà GV và trợ giảng đã cung cấp trong quá trình học tập ở mỗi pha.

Phân tích dựa vào kết quả quan sát và ghi nhận ở trên sẽ giúp làm rõ sự tiến triển

nhận thức ở HS trong suốt các pha của TN. Sự đối chứng giữa kết quả này với phân tích

tiên nghiệm trước đó sẽ là cơ sở để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đồ án trong

việc tận dụng mối quan hệ LM Toán – Vật lí để đem lại một cách hiểu đầy đủ và vững

chắc hơn cho khái niệm tích phân. Cũng phải nói thêm rằng, bước thể chế và những nội

dung thảo luận chung với cả lớp đã được chúng tôi trình bày trong phần kịch bản và sẽ

không nhắc lại trong mục này.

Pha 1: Công thức tính vận tốc theo đạo hàm của hàm số quãng đường (𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡)) đã

được dạy ở cuối năm lớp 11 (trong phần ý nghĩa vật lí của đạo hàm). Ở đầu pha 1, GV

dẫn dắt và gợi mở cho HS nhớ lại công thức này. Đây có thể là một phần lí do giải thích

tại sao cả 6 nhóm HS đều có thể giải quyết dễ dàng bài toán 1, tức là sử dụng 𝑺Đạo hàm

để tính vận tốc khi biết hàm số quãng đường theo thời gian.

174

Điều chúng tôi quan tâm là khi phải đối mặt với bài toán đảo ngược – tìm quãng

đường khi biết hàm số vận tốc – liệu các em có gợi ra được phép toán ngược của đạo

hàm (nguyên hàm) để giải quyết hay không? Kết quả cho thấy có ba nhóm tìm ra chiến

lược 𝑺Nguyên hàm và giải quyết thành công bài toán. Một nhóm sử dụng chiến lược

𝑺Vật lí và cũng thu được kết quả đúng trong khi hai nhóm còn lại vận dụng

Bài toán

Bài toán 1

Bài toán 2

Chiến lược

𝑺Đạo hàm Chiến lược khác

𝑺Nguyên hàm

𝑺Vật lí

𝑺Cơ sở

Số nhóm

𝑺Cơ sở và đi đến kết quả không chính xác. Bảng 5.5. Kết quả TN bài toán 1 và 2

Minh hoạ dưới đây là lời giải bài toán 2 của nhóm 1 (sử dụng 𝑺Nguyên hàm).

Hình 5.5. Lời giải bài toán 2 của nhóm 1

Trong quá trình quan sát, khi thấy nhóm 1 giải xong bài toán 2, GV đã thực hiện

GV: Tụi em giải bài toán này như thế nào?

HS1: Dạ làm ngược lại với bài toán 1, có hàm vận tốc mình tìm lại được hàm số quãng đường là 𝑡2 rồi thay số vào. HS2: Vì 𝑡2 đạo hàm là 2𝑡 đó thầy.

GV: Vậy làm thế nào để tính quãng đường trong khoảng thời gian từ 2s đến 4s?

HS: Mình lấy s(4) trừ đi s(2) là được.

đoạn phỏng vấn ngắn sau đây để hiểu thêm về chiến lược giải của nhóm:

175

Một nhóm khác cũng thành công với chiến lược 𝑺Nguyên hàm là nhóm 5. Khi GV đặt câu hỏi “vì sao em tìm được hàm quãng đường 𝑠(𝑡) = 𝑡2?”, một HS nhóm này thậm chí

còn trả lời rằng em ấy đi tìm “đạo hàm ngược” của 2𝑡.

Qua phỏng vấn, chúng tôi nhận thấy việc đặt cạnh nhau hai bài toán đảo ngược 1

và 2 đã giúp khái niệm nguyên hàm nảy sinh một cách hợp lí như là công cụ để giải

quyết vấn đề xác định quãng đường khi vận tốc biến đổi. Một số HS còn tự đặt tên cho

phép toán này là “đạo hàm ngược” và hiểu về nó như một cách làm ngược lại với đạo

hàm. Một ghi nhận khác đó là cả 3 nhóm sử dụng 𝑺Nguyên hàm đều bỏ qua hằng số 𝐶 trong

phép lấy nguyên hàm và không có bước lập luận để chỉ ra 𝐶 = 0. Thật ra việc bỏ qua

mà hằng số 𝐶 khi tính quãng đường trong 2 giây đầu tiên phải cần điều kiện

điều này thường phù hợp với ngữ cảnh thực tế (vật bắt đầu chuyển động từ thời điểm 𝑡 =

0). Trong hoàn cảnh HS lần đầu tiên tiếp xúc với khái niệm nguyên hàm nên ban đầu

chúng tôi chấp nhận lời giải của các nhóm trên là đúng và chỉ bổ sung hằng số 𝐶 trong

pha thể chế khi giới thiệu cho các em khái niệm nguyên hàm.

Bên cạnh đó, chúng tôi cũng

ghi nhận được hai nhóm có lời giải

không đúng cho bài toán 2 (nhóm

3 và nhóm 5). Hai nhóm này đều

sử dụng cùng một chiến lược

không hợp lí là tính quãng đường

bằng cách nhân vận tốc với khoảng

Hình 5.6. Lời giải bài toán 2 của nhóm 3

thời gian (𝑺Cơ sở ). Hình 5.6 là cách giải mà chúng tôi quan sát được từ

HS nhóm 3. Nhóm này dường như đang cố gắng sử dụng chiến lược quen thuộc là nhân

vận tốc với thời gian ngay cả trong một tình huống không thích hợp (chuyển động không

đều).

Sau khi các nhóm đã nộp kết quả làm việc, GV trình bày hai lời giải của nhóm 1 và

nhóm 3 lên bảng để cả lớp thảo luận. Đáng chú ý là cả lớp lúc đầu vẫn chưa có được sự

đồng thuận về cách giải chính xác. Nói rõ hơn là hai nhóm sử dụng 𝑺Cơ sở vẫn cho rằng lời giải của mình là đúng. Lúc này, nhóm 4 đứng dậy và trình bày một phương pháp giải 2 = 2𝑎𝑆. GV thực hiện tính toán khác để tìm quãng đường là sử dụng công thức 𝑣2 − 𝑣0 theo cách giải này và đi đến kết quả phù hợp với phương pháp giải theo đạo hàm ngược.

176

GV xác nhận tính đúng đắn của chiến lược 𝑺Nguyên hàm và đặt câu hỏi tại sao ở tình

huống này ta không thể tính quãng đường bằng cách nhân vận tốc với thời gian. Rất

nhanh một HS đứng dậy trả lời là do “vận tốc thay đổi càng ngày càng tăng nên không

thể tính như vậy”. Nhận thấy cả lớp đều đồng thuận với lời giải thích này, GV chốt lại

một khái niệm mới giúp tính quãng đường khi ta biết vận tốc biến đổi theo hàm số 𝑣(𝑡):

đó làm phép lấy đạo hàm ngược mà trong toán học người ta gọi nó là nguyên hàm. Để

thể chế chiến lược tính theo hiệu nguyên hàm, GV gọi 𝑦 = 𝑓(𝑡) là hàm số vận tốc, và

𝐹(𝑡) là một nguyên hàm 𝑓(𝑡), tức là 𝐹′(𝑡) = 𝑓(𝑡). Sau đó, GV đặt câu hỏi “làm thế nào

để tính quãng đường đi được trong khoảng từ 2 giây đến 4 giây?”, HS ở dưới trả lời

được ngay là lấy 𝐹(4) − 𝐹(2). GV ghi lên bảng: quãng đường đi được trên đoạn thời gian [𝑡1; 𝑡2] được tính bởi 𝐹(𝑡2) − 𝐹(𝑡1), trong đó 𝐹(𝑡) là nguyên hàm của hàm số vận tốc.

Quan sát hoạt động học tập của HS trong pha 1, chúng tôi nhận thấy rõ sự tiến triển

nhận thức ở các em đặc biệt là ở hai nhóm giải sai lúc đầu. Sự tiến triển nhận thức này

diễn ra trong lớp học cùng với sự thay đổi chiến lược giải của các nhóm, từ 𝑺Cơ sở (vận tốc không đổi) đến 𝑺Nguyên hàm (vận tốc là hàm số biến đổi theo thời gian). Và thậm chí

một số HS còn nói với chúng tôi rằng các em không ngờ lại “có một cách tính quãng

đường hay như vậy!”. Kết quả này cho thấy hiệu quả của cách chọn giá trị biến 𝑽𝟐 và việc đặt hai bài toán đảo ngược cạnh nhau giúp tạo động cơ xuất hiện cho khái niệm

nguyên hàm như thế nào.

Pha 2: Câu 3𝑎 là một kiểu nhiệm vụ đơn giản (tính quãng đường khi vận tốc không đổi)

nên cả 6 nhóm đều nhanh chóng giải thành công bằng chiến lược 𝑺Cơ sở . Với câu 3𝑏, vì trong đề bài đã gợi ý một số đại lượng như độ dài, chu vi hay diện tích nên một số nhóm

sau khi thảo luận đã tìm ra biểu diễn hình học thích hợp cho quãng đường tính được.

Chẳng hạn với trường hợp của nhóm 2, ban đầu các em tỏ ra lúng túng vì yêu cầu của

đề bài có vẻ xa lạ. Sau khoảng năm phút trao đổi thì bất ngờ một bạn nữ trong nhóm chỉ

vào đồ thị và nói “Thấy rồi, vận tốc bằng hai là đoạn này, còn ba (í chỉ khoảng thời gian

177

bằng 3 giây) là đoạn này, vậy là

hình chữ nhật”. Nhiều bạn trong

nhóm này hiểu ra ngay và tỏ vẻ

đồng ý. Một em trong nhóm giải

thích cho bạn bên cạnh: “thì lấy

hai nhân ba là ra diện tích hình

chữ nhật này, mà quãng đường

cũng ra vậy”. Sau đó, tất cả thành

viên nhóm 2 dường như đều nhận

ra vận tốc và thời gian lần lượt là

Hình 5.7. Lời giải bài toán 3 của nhóm 2 chiều rộng và chiều dài của hình

chữ nhật và diện tích của nó biểu

thị cho quãng đường đi được.

Chúng tôi cũng có một cuộc trao đổi ngắn với nhóm 5, là nhóm duy nhất vẫn chưa

GV: Ở câu a em tính quãng đường như thế nào?

HS: Lấy vận tốc nhân thời gian ra 6 ạ.

GV: Em tìm trên đồ thị có đại lượng hình học nào như diện tích hay chu vi mà cũng bằng

6 không?

HS: …

GV: Trên đồ thị thì vận tốc được biểu diễn bởi độ dài của đoạn thẳng nào? Nhớ rằng trục

vận tốc là trục tung nhé.

HS: Dạ đoạn này (một HS chỉ vào đoạn trên trục tung và có độ dài là 2).

GV: Thế còn thời gian?

HS: Dạ đoạn này (chỉ vào đoạn có độ dài 3 trên trục hoành).

GV: Vậy nếu nhân chúng với nhau thì thu được đại lượng hình học nào trên đồ thị?

HS: À, là diện tích hình chữ nhật này (chỉ vào hình).

GV: Đúng rồi, em có thể gạch sọc miền hình chữ nhật đó hay không?

HS: Dạ được.

tìm được câu trả lời:

Sau đoạn trao đổi trên, một HS nhóm 5 giải thích lại cho bạn bên cạnh như sau:

“mày tính quãng đường là 𝑣. 𝑡 đúng không, mà 𝑣 là đoạn này là chiều rộng, còn 𝑡 là

chiều dài, nhân lại ra diện tích”. Quan sát hoạt động các nhóm, chúng tôi thấy HS chỉ

nhận ra biểu diễn hình học của quãng đường sau khi xác định rõ được biểu diễn hình

học tương ứng của vận tốc và khoảng thời gian trên đồ thị. Điều này cũng gợi mở cho

178

chúng tôi về tầm quan trọng của việc làm rõ yếu tố hình học biểu thị cho giá trị của hàm số22 trước khi xây dựng ý nghĩa hình học cho khái niệm tích phân sau đó.

Ở cuối pha này, GV tổng kết lại một biểu diễn mới cho giá trị quãng đường khi vận

tốc không đổi: đó là quãng đường trên đi được trên đoạn thời gian [𝑡1; 𝑡2] bằng với diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑣(𝑡), trục hoành và bị chặn hai bên bởi hai cận thời

gian 𝑡1; 𝑡2. Sau pha 2, HS nắm được lớp tích (tính một đại lượng bằng tích hai đại lượng khác) và biểu diễn hình học của nó trong ngữ cảnh bài toán tính quãng đường. Đây là

bước chuẩn bị để các em chuyển qua chiến lược 𝑺Tổng để hình thành lớp tổng trong pha

tiếp theo.

Pha 3: Ở pha này chúng tôi yêu cầu tính tổng quãng đường của hai nhóm bạn tí hon

chạy tiếp sức. Mỗi nhóm gồm nhiều thành viên mà vận tốc của mỗi bạn là không đổi

trong một khoảng thời gian nhất định. Mục đích của pha này là để hình thành lớp tổng

với một phân hoạch cho trước. Kết quả cho thấy mục đích này hoàn toàn đạt được khi

tất cả 6 nhóm đều lựa chọn 𝑺Tổng để tính đúng tổng quãng đường đi được của mỗi nhóm.

Chẳng hạn dưới đây là lời giải của nhóm 1.

Hình 5.8. Lời giải bài toán 4 nhóm 1

Trong cách giải của cả sáu nhóm, các em đều thực hiện việc tính quãng đường trên

mỗi khoảng thời gian nhỏ rồi cộng lại (đề bài thông báo rằng vận tốc của mỗi bạn được

xem là không đổi trên mỗi khoảng thời gian đó). Mặt khác, từ sự gợi ý của biểu diễn

22 Đoạn thẳng vuông góc với trục hoành và có độ dài bằng giá trị của hàm số tại điểm đang xét.

179

hình học đã được thiết lập ở bài toán 2, đa số các nhóm sau khi thảo luận đều nhận diện

đúng và gạch sọc được phần diện tích biểu diễn cho tổng quãng đường vừa tính.

Kết quả cho thấy hoạt động ở pha 3 đã thành công trong việc hình thành ở HS lớp

tổng và biểu diễn hình học của nó trong ngữ cảnh đang xét. Sự kết nối giữa lớp tích ở

pha 2 và lớp tổng ở pha 3 mặc dù đơn giản nhưng theo chúng tôi là một mắt xích quan

trọng cần phải thiết lập để dẫn dắt HS đến với cách tính một đại lượng bằng phương

pháp lập tổng Riemann ở pha tiếp theo.

Pha 4: Ở pha 4, hàm số vận tốc trong bài toán 5 được cho dưới dạng bảng giá trị và yêu

cầu HS tính gần đúng quãng đường đi được. Chiến lược mong đợi là 𝑺Riemann – nghĩa là HS nghĩ đến việc xem vận tốc là không đổi trên mỗi khoảng nhỏ để sử dụng 𝑺Tổng như

ở bài toán trước đó. Tuy nhiên vì kiểu nhiệm vụ tính gần đúng vẫn còn xa lạ với HS nên

hầu hết các nhóm đều loay hoay chưa tìm được ngay cách giải.

GV đi ngang bàn làm việc của nhóm 3 thì nhận ra nhóm này đang thử tính quãng

đường trên mỗi khoảng thời gian 0,5 giây. GV đã tiến hành một đoạn phỏng vấn nhỏ để

GV: Nói thầy nghe cách giải của nhóm mình xem nào.

HS: Em lấy trung bình, cộng vận tốc hai bên lại rồi chia đôi ra vận tốc chung rồi nhân

thời gian cho từng khoảng.

GV: Ý em là các khoảng 0,5 giây này đúng không? Rất hợp lí, nhưng ở khoảng thời gian

cuối, chúng ta chưa có vận tốc tại 5s thì làm sao tính trung bình.

HS: …Vậy lấy đỡ 1,4 đi thầy (ý chỉ vận tốc ở thời điểm t = 4,5), dù sao nó cũng thay đổi

chưa nhiều.

GV: Vậy nếu như ta lấy vận tốc đầu mỗi khoảng làm vận tốc chung cho từng khoảng để

tính quãng đường. Tính xong rồi cộng lại thì cách làm như vậy có hợp lí không?

HS: Dạ được thầy, vì khoảng nhỏ nên vận tốc thay đổi chưa nhiều. Mà đề chỉ yêu cầu tính

gần đúng.

hiểu thêm cách giải của nhóm này:

Rõ ràng là nhóm 3 đã tự đề xuất được ý tưởng lập tổng các tích 𝑣. 𝑡 cho mỗi khoảng

thời gian 0,5 giây. Các em thậm chí đã nghĩ đến việc xem trung bình cộng vận tốc ở hai

mốc để làm vận tốc chung cho cả khoảng. Tuy nhiên để thống nhất cả lớp dùng kĩ thuật

lập tổng Riemann trái, GV hướng sự chú ý vào khoảng thời gian cuối mà ở đó thiếu

thông tin 𝑣(5). Các HS nghĩ ngay đến việc lấy vận tốc đầu làm vận tốc chung cho cả

khoảng và lập luận rằng tính như vậy vẫn hợp lí vì “khoảng nhỏ nên vận tốc thay đổi

180

chưa nhiều”. Nhận thấy nhóm 3 đã tìm ra chiến lược giải hợp lí, GV kêu gọi sự chú ý

GV: Nhóm 3 vừa nghĩ ra một cách tính gần đúng rất hay. Tính quãng đường trên mỗi

khoảng thời gian nhỏ rồi cộng lại giống như bài toán trước đó? Trong bài toán 5 này mình

đã có những khoảng thời gian nhỏ nhỏ của tụi em?

HS: Dạ có rồi thầy, 0,5 giây.

GV: Mỗi khoảng thời gian là 0,5 giây, vậy mình còn thiếu thông tin gì để tính quãng đường

trên mỗi khoảng này?

HS: Thiếu vận tốc.

GV: Hãy xem quãng đường cuối trên đoạn [4,5; 5], chúng ta sẽ sử dụng vận tốc nào để

tính quãng đường nhỏ này?

HS: Lấy 1,4 đi thầy

GV: Tại sao lại lấy 1,4 được?

HS: Vì gần chính xác, tính gần đúng mà thầy.

và chia sẻ với cả lớp chiến lược giải mà nhóm 3 vừa tìm được.

GV tỏ ra tán đồng với đề xuất này và tổng kết lại cách giải mà cả lớp vừa thảo luận:

Trên các khoảng thời gian nhỏ đã chia thì vận tốc chưa thay đổi nhiều nên ta có thể xem

gần đúng là chuyển động đều. Với mỗi khoảng, ta có thể chọn vận tốc “đều” này bằng

giá trị bên trái hoặc bên phải, thậm chí có thể lấy giá trị trung bình của hai giá trị này

như cách của nhóm 3. Tuy nhiên vì dữ kiện của bài toán thiếu vận tốc cuối ở khoảng thứ

10 nên cả lớp thống nhất sẽ chọn vận tốc bên trái mỗi khoảng để tính. Sau gợi mở của

GV, các nhóm tiến hành các tính toán tiếp theo.

Quan sát lời giải thích

của nhóm 5 chúng tôi nhận

thấy rằng các em đã hiểu

khá mạch lạc kĩ thuật lập

tổng Riemann từ gợi mở

của GV. Chúng tôi tìm

thấy trong lời giải thích

trên ba lớp quá trình – đối

tượng của khái niệm tích

phân: Hình 5.9. Lời giải bài toán 5 của nhóm 5

1/Lớp phân hoạch: [𝑡1; 𝑡2] chia thành từng đoạn nhỏ ∆𝑡 = 0,5;

181

2/Lớp tích: vận tốc trên mỗi 0,5 giây thay đổi không đáng kể → chuyển động đều →

𝑠 = 𝑣. 𝑡

3/Lớp tổng: 𝒔𝑡ổ𝑛𝑔= tổng các 𝒔 trên từng khoảng.

HS trên tính tổng quãng đường và vì độ dài các khoảng thời gian này là như nhau

(đều bằng 0,5) nên em đó đã đặt thừa số chung để phép tính gọn hơn. Khi triển khai hoạt

động này trong DH, GV hoàn toàn có thể chọn độ dài các khoảng thời gian khác nhau

để tổng quát hóa quá trình phân hoạch trong phương pháp lập tổng Riemann. Tuy nhiên

trong TN này chúng tôi chọn ∆𝑡 không đổi để HS thống nhất một tiến trình chung và

thuận tiện hơn trong việc tính toán.

Kết quả thu được cho thấy rằng, việc lựa chọn biến DH và sắp đặt hợp lí các hoạt

động trước đó đã giúp hình thành các lớp quá trình – đối tượng trong cách hiểu về tích

phân theo tổng Riemann. Cụ thể thì, bằng cách chuẩn bị trước 𝑺Tổng ở pha 3 và chọn

biến 𝑽𝟐 là hàm số cho bởi bảng các giá trị rời rạc (đã có sẵn một phân hoạch), chiến lược tính gần đúng 𝑺Riemann đã xuất hiện ngay trong pha này. Mặt khác trong mỗi khoảng thời gian, khi tính lớp tích HS có thể chọn những giá trị vận tốc khác nhau. Vì

lẽ đó, để tạm thời có một cách tính chung trong kĩ thuật lập tổng Riemann là sử dụng

giá trị vận tốc bên trái mỗi khoảng trong lớp tích (tổng Riemann trái) cho nên chúng tôi

đã cố tình cho thiếu dữ kiện vận tốc ở mốc thời gian cuối cùng. Kết quả TN cho thấy sự

sắp đặt này đã thu được kết quả như mong đợi.

Ở pha thể chế, GV giới thiệu lại kĩ thuật tính gần đúng mà các nhóm đã đề xuất

trong bài toán 5: “Với mỗi khoảng thời gian, chúng ta xem vận tốc gần như không đổi

là vận tốc đầu mỗi khoảng, rồi tính quãng đường bằng cách nhân vận tốc này với khoảng

thời gian tương ứng. Tổng các tích vừa tính được sẽ cho một giá trị gần đúng quãng

đường cần tìm”. GV thảo luận với cả lớp để chỉ ra rằng cách tính này sẽ cho kết quả

càng chính xác khi các khoảng thời gian là nhỏ để vận tốc thay đổi không đáng kể trong

mỗi khoảng ấy. GV cũng xác nhận rằng việc chọn vận tốc đầu hay cuối mỗi khoảng để

tính các tích đều chấp nhận được, nhưng với dữ kiện đã cho chúng ta thống nhất lựa

chọn giá trị ở mốc đầu (bên trái mỗi khoảng).

Pha 5: Trong pha này, chúng tôi lựa chọn biến 𝑽𝟐 là hàm số ở dạng căn thức

(𝑣(𝑡) = √ 𝑡2 + 1) và yêu cầu tính gần đúng quãng đường đi được trong 5 giây. Quan

182

sát quá trình làm việc của các nhóm và xem xét phiếu trả lời thu được, chúng tôi thống

kê lại những chiến lược giải mà từng nhóm sử dụng.

Bảng 5.6. Kết quả các chiến lược giải xuất hiện trong bài toán 6

Nhóm 1 2 4 5 6 3

? Chiến lược 𝑺Riemann 𝑺Nguyên hàm 𝑺Vật lí 𝑺Riemann 𝑺Riemann

Kết quả ở pha này cho thấy có đến 3 nhóm tìm ra đáp số phù hợp bằng cách sử

dụng chiến lược tính gần đúng dựa trên tổng Riemann. Chúng tôi sẽ phân tích lời giải

và một số đoạn thảo luận ghi nhận được của những nhóm này để làm rõ sự tiến triển

nhận thức của HS sau khi trải qua các pha của đồ án.

Cách giải của nhóm 5: Nhóm 5 sau khi thảo luận với nhau và từ sự gợi mở của GV đã

quyết định lập một bảng giá trị giống như ở bài toán 5 để có thể sử dụng chiến lược tính

gần đúng bằng cách lập tổng. Dưới đây là đoạn trao đổi giữa các em trong nhóm với GV

HS1: Bạn tìm được nguyên hàm của cái này không?

HS2: Sao tìm được. Đề yêu cầu tính gần đúng thôi mà, làm giống bài hồi này đi.

GV: Tụi em giải bài này bằng cách nào?

HS: Dạ em định giải giống bài hồi nãy, chia nhỏ để tính đó thầy mà không biết làm.

GV: Bài hồi nãy cho dữ liệu gì?

HS1: Có nhiều vận tốc ở các thời gian.

HS2: Ah, bạn có thể thế t vào công thức để tính v. Giống như khi lập bảng giá trị để vẽ đồ

thị đó.

HS1: À à. Hiểu rồi. Thầy để tụi em làm thử xem ạ.

trước khi nhóm tìm ra chiến lược giải bài toán:

Qua đoạn trao đổi trên có thể thấy rằng, ban đầu HS nhóm này định sử dụng

𝑺Nguyên hàm để giải quyết giống như phương pháp mà các em đã thành công với bài toán

2 trước đó. Tuy nhiên đúng như phân tích tiên nghiệm đã chỉ ra, việc chọn hàm vận tốc

ở dạng căn thức đã ngăn cản chiến lược này thành công. Chiến lược 𝑺Cơ sở cũng không được xét đến vì hàm số vận tốc trong bài này không phải hằng số. Từ đó, khi GV đưa ra

gợi ý bằng cách nhấn mạnh yêu cầu tính gần đúng, các HS ở trên đã nhanh chóng liên

hệ đến chiến lược 𝑺Riemann đã dùng ở bài trước. Các em cũng nhận ra rằng để sử dụng chiến lược nói trên cần phải có “nhiều vận tốc ở các thời gian” mà thực chất là thực hiện

quá trình phân hoạch. Một HS trong nhóm đã đề xuất phương pháp thực hiện nhiệm vụ

này giống như việc “lập bảng giá trị để vẽ đồ thị”. GV hỏi nhóm 5 xem định chia thành

mấy khoảng thời gian. Nhóm này ban đầu dự định sẽ chọn ∆𝑡 = 0,25 để tính cho chính

183

xác (20 đoạn đường nhỏ), tuy nhiên sau đó vì thấy phải tính toán quá nhiều nên nhóm

đổi ý và chỉ chia thành 5 đoạn (∆𝑡 = 1).

Đáng chú ý là mặc

dù tính đầy đủ giá trị

của vận tốc ở tất cả 6

mốc thời điểm, lời giải

bên (Hình 5.10) vẫn chỉ

sử dụng 5 vận tốc đầu

mỗi khoảng để tính 5

quãng đường nhỏ trước

khi cộng lại để có kết

quả hợp lí cho bài toán Hình 5.10. Lời giải bài toán 6 của HS nhóm 5

(mốc cuối cùng bị gạch

bỏ). Điều này cho thấy tác dụng của những pha trước đó đã hướng HS đến việc áp dụng

phương pháp “tổng Riemann trái” để giải quyết thành công nhiệm vụ của pha này.

Cách giải của nhóm 1:

Hình 5.11. Lời giải bài toán 6 của HS nhóm 1

Đây là nhóm đã tự tìm ra chiến lược chia khoảng rồi lập tổng mà không cần đến

bất cứ lời gợi ý nào từ GV. Điều thú vị ở chỗ, nhóm 1 thậm chí còn quyết định chọn vận

tốc bên phải mỗi khoảng để tính gần đúng (lập tổng Riemann phải) thay vì bên trái như

cách giải bài toán 5 trước đó. GV đi ngang qua có đặt câu hỏi là tại sao nhóm tính như

vậy? Các em này trả lời là hồi nãy vận tốc bạn Tom thiếu mốc cuối cùng nên phải dùng

184

vận tốc trái. Còn ở bài này có thể tính mốc nào cũng được nên nhóm chọn vận tốc phải

mỗi đoạn để tính cho “lạ”. HS nhóm này sau đó quyết định tính quãng đường theo cả

hai cách: mốc 𝑣(sau) và 𝑣(trước) và thu được hai kết quả gần đúng khác nhau cho quãng

đường.

Lời giải trên cho thấy những thành viên nhóm 1 đã có một cách hiểu chắc chắn về

kĩ thuật lập tổng Riemann. Các em lập luận “vì độ biến thiên của vận tốc trong 1s rất

nhỏ (không đáng kể) nên có thể xem là không đổi”. Hơn nữa công thức tính cho mỗi

quãng đường nhỏ còn được viết theo dạng 𝑣(𝑡𝑖)∆𝑡 cho thấy ý tưởng của lớp tích và sau đó là lớp tổng thể hiện rõ ràng.

Cách giải của nhóm 6:

Chúng tôi khá ngạc

nhiên về lời giải của nhóm

6 (Hình 5.12). Nhóm này

chia thành 5 khoảng thời

gian và chọn vận tốc phải

mỗi khoảng để tính gần

đúng quãng đường giống

như cách làm của nhóm 1.

Tuy nhiên, điều thú vị ở

chỗ các em còn thể hiện

tổng quãng đường vừa tính

bằng các dải hình chữ nhật

trên đồ thị. Điều này cho Hình 5.12. Lời giải bài toán 6 của nhóm 6 thấy ý nghĩa hình học của

lớp tích mà chúng tôi xây dựng ở pha 2 và 3 đã có ảnh hưởng lên quan niệm của HS

nhóm này. Việc HS có thể tự liên hệ tổng Riemann vừa tính với tổng diện tích tương

ứng (dù rằng bài toán đang giải đặt trong ngữ cảnh vật lí) giúp chúng tôi xác nhận tính

khả thi và hiệu quả của đồ án trong việc xây dựng được một cách hiểu đầy đủ cho khái

khái niệm tích phân.

Có ba nhóm không giải quyết thành công bài toán 6 ở pha này. Nhóm 2 bị tác động

mạnh bởi chiến lược 𝑺Nguyên hàm nên dành toàn bộ thời gian để xác định nguyên hàm

𝑣(𝑡) nhưng không thành công. Nhóm 4 tính 𝑣′(𝑡) để tìm gia tốc rồi áp dụng công thức

2 = 2𝑎𝑆 để tìm quãng đường nhưng không hợp lí (vì công thức này chỉ sử dụng

185

𝑣2 − 𝑣0 được cho trường hợp gia tốc không đổi). Đáng chú ý là nhóm 4 cũng là nhóm đã dùng

chiến lược 𝑺Vật lí để tính quãng đường ở pha 1 trước đó.

Ở cuối pha 5, GV giới thiệu một số cách giải mà các nhóm đã sử dụng. GV dừng

lại ở cách giải của nhóm 1, nhóm đã dùng cả 𝑣(sau) và 𝑣(trước) (lập tổng Riemann trái

và phải) để đưa ra được hai quãng đường gần đúng khác nhau. GV đặt câu hỏi gợi mở

về quãng đường chính xác thì cả lớp đều nhận ra giá trị này sẽ nằm giữa hai kết quả mà

nhóm 1 đã tính ra. Bên cạnh đó, GV cũng kể cho cả lớp nghe về tình huống của nhóm

5. Ban đầu nhóm 5 định chia thành 20 khoảng thời gian nhỏ để tính (∆𝑡 = 0,25) nhưng

sau đó thấy vất vả quá nên chỉ chia thành năm khoảng (∆𝑡 = 1). GV đặt câu hỏi: “chọn

∆𝑡 nhỏ thì phải tính toán nhiều khoảng rất vất vả nhưng được lợi gì?”. Nhiều HS trả lời

rằng “tính như vậy sẽ chính xác hơn”. GV dẫn dắt gợi mở tiếp để HS thấy rằng kết quả

tính được sẽ càng chính xác nếu ta chọn các giá trị của ∆𝑡 càng lúc càng tiến dần đến 0.

Giới hạn (nếu có và nếu tìm được) của các tổng khi ∆𝑡 → 0 sẽ cho ta kết quả

chính xác của quãng đường cần tìm. Lúc này GV giới thiệu lời giải của nhóm 6 và bàn

về biểu diễn hình học của tổng quãng đường vừa tính. Khi ∆𝑡 → 0

Pha 6: Trong pha này, GV tiến hành bước thể chế và tổng kết lại tất cả những chiến

lược mà các HS đã tìm ra trong việc giải quyết bài toán tính quãng đường khi cho trước

hàm số vận tốc. Cụ thể, ba cách giải sau được nhắc lại: lập các tổng có dạng

, mà gọi là tổng Riemann. Giới hạn của tổng này khi ∆𝑡 → 0 sẽ cho một kết quả phản

ánh chính xác nhất giá trị thực của quãng đường cần tính. Cách giải thứ 2 là tìm một

nguyên hàm của hàm số vận tốc. Theo đó, quãng đường trong khoảng thời gian từ a đến

b sẽ bằng hiệu giá trị nguyên hàm tại hai thời điểm nói trên. Cách thứ ba là tính quãng

đường thông qua diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑣(𝑡) với trục hoành và

hai cận thời gian.

Ở cuối pha 6 chúng tôi giới thiệu định nghĩa khái niệm tích phân theo hiệu nguyên

hàm và đưa ra ba cách tính toán khác nhau cho nó: theo nguyên hàm, theo diện tích và

theo tổng Riemann. GV thảo luận với cả lớp về mỗi cách hiểu khác nhau và những ứng

dụng của tích phân mà các em vừa được tìm hiểu.

Pha 7: Đây là pha kiểm tra khả năng của HS trong việc vận dụng những kiến thức vừa

học vào một số vấn đề Vật lí. Chúng tôi phát phiếu học tập và yêu cầu các nhóm giải

quyết hai bài toán 7 và 8.

186

Đối với bài toán 7, tất cả 6 nhóm đều liên hệ quãng đường với diện tích để giải

quyết bài toán. Trong số đó, có 5 nhóm sử dụng được 𝑺Diện tích để đưa ra được kết luận

chính xác. Chẳng hạn như lời giải dưới đây của nhóm 1.

Hình 5.13. Lời giải bài toán 7 của nhóm 1

Trong lời giải này, quãng đường đã được HS liên hệ với diện tích hình tạo bởi đồ

thị vận tốc của hai xe với trục 𝑂𝑡. Bằng cách so sánh hai diện tích này, em HS trên có

thể suy ra quãng đường đi được của xe B lớn hơn xe A trong 3 phút và sẽ nhỏ hơn trong

8 phút.

Tuy nhiên vẫn có một nhóm không giải quyết thành công bài toán 7 đó là nhóm 4.

Các thành viên nhóm này biết cần phải so sánh hai diện tích tuy nhiên lại bỏ công đi

tính chính xác hai diện tích đó. Cụ thể thì các em tính được diện tích hình dưới đồ thị xe

A (diện tích tam giác) nhưng không làm được điều này với trường hợp xe B.

Đối với bài toán 8, đây là một ngữ cảnh vật lí khác với bài toán tính quãng đường

trước đó (tính công của lực biến đổi). Thông tin được nhắc lại trong đề bài chỉ là mối

quan hệ nhân: 𝐴 = 𝐹. 𝑠, trong trường hợp lực không đổi và cùng phương với quãng

đường dịch chuyển. Ngoài ra GV cũng không hề cung cấp bất kì một lời gợi mở hay

187

hướng dẫn nào tuy nhiên có đến ba nhóm đã vận dụng 𝑺Riemann để tính gần đúng được công cần tìm. Lời giải sau đây là của HS của nhóm 1 (Hình 5.14).

Hình 5.14. Lời giải bài toán 8 của nhóm 1

HS trên sử dụng một phương pháp tính tương tự như ở bài toán 6 đó là thực hiện

ba bước (theo lời giải thích trong phiếu học tập):

1/Chia nhỏ quãng đường ra.

2/Trong từng đoạn nhỏ độ biến thiên của lực rất nhỏ nên xem như không đổi và

tính công thành phân bằng công thức 𝐹. ∆𝑠

3/Cộng công trên các đoạn nhỏ này để ra tổng công thực hiện.

Cách giải thích của HS này cho thấy em hiểu rất rõ và mạch lạc kĩ thuật lập tổng

Riemann và có thể áp dụng nó vào một ngữ cảnh không quen thuộc. Sau khi tính gần

đúng công bằng tổng Riemann trái, HS trên đề xuất cách để tính chính xác công là là

tính tích phân hay nguyên hàm. Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy các thành viên khác của

nhóm 1 cũng đề xuất tính chính xác bằng nguyên hàm tuy nhiên không thấy em nào thực

hiện được.

Một nhóm khác cũng vận dụng 𝑺Riemann để tính gần đúng công và thậm chí còn thực hiện nhiều khoảng chia hơn đó là nhóm 5 (Hình 5.15). Nhóm này chính là nhóm

đã dự định chia 20 khoảng để tính quãng đường ở pha 6 nhưng không thực hiện. Trong

bài này các thành viên trong nhóm đã “chịu khó” chia thành 10 đoạn đường nhỏ để tính

công và nói rằng “thực hiện lời hứa hồi nãy với thầy”. Nhóm 4 cũng đề xuất tính chính

188

xác bằng nguyên hàm tuy nhiên các em thừa nhận là không tìm được nguyên hàm của

𝐹(𝑠).

Hình 5.15. Lời giải bài toán 8 của nhóm 5

Nhóm duy nhất tính được chính xác công bằng 𝑺Nguyên hàm là nhóm 2 (Hình 5.16).

Một em trong nhóm đã quyết tâm theo đuổi chiến lược tìm nguyên hàm từ những pha

trước và đã thành công đối với bài toán này. Dưới đây là lời giải của em đó.

Hình 5.16. Lời giải bài toán 8 của nhóm 2

Sau khi các nhóm đã nộp phiếu học tập, GV tổng kết lại những cách giải mà cả lớp

đã tìm ra đối với hai bài toán 7 và 8. GV khen ngợi nỗ lực của nhóm 5 khi tăng số khoảng

chia trong việc tính gần đúng và nhóm 2 khi tính được chính xác công bằng cách tìm

nguyên hàm.

189

Cuối buổi TN, GV nhắc lại định nghĩa tích phân và những cách hiểu khác nhau của

nó. GV nhấn mạnh vai trò công cụ mạnh mẽ của khái niệm này trong việc giải quyết

nhiều vấn đề khác nhau của thực tiễn và khoa học, đặc biệt là Vật lí. GV cũng gợi mở

rằng tuỳ theo yêu cầu và ngữ cảnh trong bài toán, những cách hiểu khác nhau về tích

phân có thể được vận dụng linh hoạt.

5.2.7. Kết luận cho thực nghiệm dạy học khái niệm tích phân

Kết quả TN cho thấy, bằng cách tận dụng ngữ cảnh LM và tác động hợp lí lên các

biến DH, chúng tôi đã thiết kế được dãy tình huống học tập có thể mang lại một cách

hiểu đầy đủ hơn về khái niệm tích phân cho HS. Cụ thể thì sau các pha của đồ án, chúng

tôi đã hình thành được trong nhận thức của người học một khung lý thuyết đầy đủ cho

tích phân bao gồm các lớp: phân hoạch, lớp tích, lớp tổng, và những ý tưởng ban đầu về

lớp giới hạn. Nhờ vậy, HS hiểu được bản chất và cấu trúc đầy đủ của khái niệm tích

phân. Hơn nữa, từ việc tìm ra những chiến lược giải khác nhau cho cùng bài toán tính

quãng đường, HS đã thấy được sự tương đương giữa ba cách hiểu tương ứng về tích

phân: theo nguyên hàm, theo diện tích và theo giới hạn tổng Riemann.

Ngoài ra, trong đồ án HS còn được tạo cơ hội vận dụng kiến thức vừa học vào một

số kiểu nhiệm vụ LM Toán – Vật lí. Kết quả cho thấy các em đã vận dụng được kĩ thuật

lập tổng Riemann cả cho một ngữ cảnh vật lí không quen thuộc (bài toán tính công).

Hơn nữa, những em này còn sở hữu một dạng kiến thức “hoạt động” khi sử dụng và kết

nối linh hoạt các cách hiểu về tích phân để giải quyết vấn đề (so sánh quãng đường thông

qua diện tích). Sự thành công của HS với các kiểu nhiệm vụ LM nói trên cho thấy những

lợi ích mà các giải pháp 1, 4, 6, 7, 8 và 9 mang lại trong việc giúp tăng cường vai trò

công cụ của GT và tích phân nói riêng trong Vật lí.

5.3. Kết luận chương 5

Lấy kết quả nghiên cứu ở tất cả các chương trước làm cơ sở, ở chương này chúng

tôi đã vận dụng cách tiếp cận DH theo hướng LM nhằm mang lại nhiều lợi ích hơn cho

hai môn học Toán và Vật lí. Hai đồ án DH đạo hàm và tích phân được xây dựng như

một sự vận dụng các giải pháp sư phạm đã đề xuất ở chương 4. Kết quả TN với hai đồ

án cho thấy HS đã có một kiến thức đầy đủ hơn về đạo hàm và tích phân đặt trong sự

gắn kết giữa các cách hiểu khác nhau về chúng. Đặc biệt, HS nắm bắt được quan niệm

về đạo hàm theo tốc độ biến thiên tức thời và phương pháp lập tổng Riemann ẩn sau

khái niệm tích phân – vốn là những quan niệm hữu ích nhất cho các ứng dụng trong Vật

lí. Nhờ đó, HS có cơ hội hiểu được những ứng dụng ngầm ẩn trước đây của đạo hàm/tích

190

phân trong Vật lí và nhận ra được vai trò công cụ mạnh mẽ của chúng. Ở hoạt động vận

dụng, nhiều HS đã cho thấy khả năng giải quyết thành công các kiểu nhiệm vụ LM với

Vật lí mà đòi hỏi một cách hiểu đầy đủ về khái niệm và sự kết nối linh hoạt giữa chúng.

Những kết quả này là cơ sở để chúng tôi khẳng định tính khả dụng và sự đúng đắn của

giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra: “Trong việc tổ chức các hoạt động DH hai khái niệm

đạo hàm và tích phân ở trường THPT, nếu tận dụng được những gắn kết LM và tác động

tương hỗ đến từ kiến thức hai môn học Toán và Vật lí một cách thích hợp thì có thể đem

lại một quan niệm đầy đủ hơn cho HS về các khái niệm đồng thời giúp các em vận dụng

được hiệu quả những kiến thức này vào các vấn đề của Vật lí”.

191

KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN

Luận án được hoàn thành với mong muốn vượt qua khoảng trống ngăn cách giữa

việc DH Toán và Vật lí ở trường THPT hiện nay từ cách tiếp cận LM liên quan đến hai

khái niệm cơ bản của GT là đạo hàm và tích phân. Với mục đích đem lại nhiều lợi ích

hơn cho cả hai môn học nhờ vào sự hợp tác gắn kết lẫn nhau giữa chúng, nghiên cứu

của chúng tôi về chủ đề DH đạo hàm và tích phân theo quan điểm LM đã thu được một

số kết quả chủ yếu sau đây:

a) Về mặt lí luận

Luận án đã làm rõ thêm một số vấn đề liên quan đến DH LM, các quan niệm, mô

hình, cách tiếp cận và chiến lược cho phép tận dụng sự gắn kết hỗ trợ lẫn nhau giữa hai

môn học Toán và Vật lí. Cụ thể chúng tôi hiểu LM là sự hợp tác giữa các môn học từ cả

phương diện khám phá, tổ chức tri thức cũng như phương pháp tổ chức DH. Chúng tôi

xem xét một số mô hình tích hợp đã có và phân tích những tác động LM có thể thực

hiện trong hoàn cảnh các môn học vẫn được dạy một cách độc lập ở nhà trường. Từ kết

quả phân tích này, luận án đưa ra một cách tiếp cận LM Toán – Vật lí giúp đem đến

nhiều lợi ích nhất trong chừng mực có thể cho từng môn học. Bên cạnh đó, chúng tôi

cũng giới thiệu ba chiến lược DH LM – thiết lập khái niệm cốt lõi, bối cảnh hóa và bài

toán tâm – đồng thời nghiên cứu vận dụng chúng vào trường hợp DH khái niệm đạo

hàm, tích phân trong mối quan hệ LM GT – Vật lí.

Ngoài ra, nghiên cứu của chúng tôi còn làm sáng tỏ các khung lý thuyết chung về

việc hiểu và ứng dụng một khái niệm toán học. Nghiên cứu cho thấy để xây dựng khung

lí thuyết cho một khái niệm cụ thể cần làm rõ các lớp quá trình – đối tượng và sự kết nối

của chúng với những cách hiểu và biểu diễn khác nhau về khái niệm đang xét. Ngoài ra,

mỗi khung lí thuyết còn có thể gắn với các ngữ cảnh khác nhau mà ở đó khái niệm được

nảy sinh. Với khái niệm tích phân, chúng tôi tham khảo một số khung lí thuyết đã có đặt

trong ngữ cảnh hình học và tự xây dựng một khung tương tự cho khái niệm đang nói

nhưng là trong ngữ cảnh vật lí. Khung lí thuyết vừa xây dựng là cơ sở để làm rõ một

cách hiểu đầy đủ về khái niệm toán học đồng thời gợi ra được các tình huống DH thích

hợp theo hướng LM Toán – Vật lí.

Từ quan điểm xem xét LM cả trên phương diện khám phá, tổ chức tri thức cũng

như phương pháp tổ chức DH, luận án nghiên cứu tận dụng mối liên hệ biện chứng giữa

192

nghiên cứu tri thức luận và nghiên cứu thể chế để làm cơ sở cho việc DH đạo hàm và

tích phân theo quan điểm LM. Theo hướng này, chúng tôi vận dụng thuyết nhân học

didactic nhằm làm rõ sự gắn kết LM đã diễn ra trong thể chế tạo ra tri thức và thể chế

DH nó ở trường THPT, xem xét sự chuyển hóa sư phạm, những ràng buộc và nối khớp

cần đảm bảo. Kết quả nghiên cứu đã chỉ ra những đặc trưng LM Toán – Vật lí liên quan

đến khái niệm cần dạy ở phương diện tri thức luận đồng thời gợi ý các cách tận dụng

chúng trong DH. Phương pháp luận nghiên cứu này theo chúng tôi cũng sẽ phù hợp để

tiếp cận DH LM với các đối tượng tri thức khác, đặc biệt là những khái niệm toán học

có nhiều ứng dụng đa dạng trong khoa học và thực tiễn.

Một đóng góp khác của chúng tôi là nghiên cứu cách vận dụng lý thuyết tình huống

để xây dựng các công đoạn DH các tri thức đang đề cập theo hướng tiếp cận LM Toán

– Vật lí. Lợi ích mà việc vận dụng này mang lại là giúp xây dựng các tình huống DH

phỏng theo một tiến trình nhận thức khái niệm phù hợp với những đặc trưng tri thức

luận đã phân tích. Các tình huống nói trên sau đó được chúng tôi phát triển thành hai đồ

án DH khái niệm đạo hàm, tích phân dựa trên cách tiếp cận LM. Phương pháp luận

nghiên cứu của lý thuyết đồ án DH còn là cơ sở để chúng tôi xây dựng TN và kiểm

chứng giả thuyết nghiên cứu dựa trên hợp thức hóa nội tại đã xảy ra.

b) Về mặt thực tiễn

Chúng tôi đề xuất các giải pháp sư phạm giúp tận dụng hiệu quả hơn sự gắn kết LM

Toán – Vật lí trong DH hiểu và ứng dụng hai khái niệm đạo hàm, tích phân. Giải pháp

được chia thành hai nhóm, nhóm một nhằm giúp người học hiểu đầy đủ hơn về đạo

hàm/tích phân, nhóm còn lại nhằm tăng cường vai trò công cụ của các khái niệm này

trong Vật lí. Như đã nói, định hướng nghiên cứu của chúng tôi sẽ còn phù hợp cho những

đối tượng tri thức mà có nhiều ứng dụng đa dạng trong Vật lí nói riêng, khoa học nói

chung. Vì thế, phạm vi của các giải pháp đã đề xuất có thể còn rộng hơn bối cảnh nghiên

cứu của luận án này. Một số giải pháp thậm chí có thể được xem xét để vận dụng vào

DH các tri thức khác theo hướng tiếp cận LM.

Hai đồ án DH khái niệm đạo hàm và tích phân đã được chúng tôi xây dựng nhằm cụ

thể hóa các giải pháp sư phạm đã đề xuất. Kết quả nghiên cứu TN cho thấy hai đồ án

này đã giúp mang lại cách hiểu đầy đủ hơn cho HS về hai tri thức đang nói tới..

Với những kết quả nói trên, chúng tôi mong muốn góp phần đổi mới phương pháp

DH môn Toán ở Việt Nam hiện nay theo hướng tận dụng hiệu quả hơn những lợi ích

mà DH LM có thể mang lại. Nói riêng với DH hai khái niệm đạo hàm và tích phân, kết

193

quả chung của luận án cho thấy những lợi ích thiết thực mà cả hai môn học Toán và Vật

lí nhận được từ chính sự hỗ trợ lẫn nhau giữa chúng.

c) Hướng nghiên cứu mở ra

Nghiên cứu của chúng tôi đã chỉ ra những lợi ích mà cách tiếp cận LM Toán – Vật

lí có thể đem đến cho HS ở hai mặt hiểu và ứng dụng khái niệm từ cả khía cạnh khám

phá tri thức và tổ chức DH. Giáo dục Việt Nam những năm gần đây đang có những bước

đi nhằm bắt kịp xu hướng tích hợp – LM này và điều đó thể hiện phần nào qua việc đổi

mới chương trình và phương pháp DH. Tuy nhiên, để thực hiện được DH Toán theo

quan điểm LM trong tương lai sắp tới thì công tác đào tạo GV có lẽ cần phải đi trước

một bước. Trong quá trình nghiên cứu luận án này, chúng tôi cũng đã tiến hành một TN

nhằm kiểm tra khả năng vận dụng tích phân vào các bài toán với ngữ cảnh vật lí với đối

tượng là các SV trường Đại học Sư phạm năm ba. Vì khuôn khổ của luận án, chúng tôi

trình bày TN này ở phụ lục 4 và kết quả chỉ ra những khó khăn mà các SV sư phạm nói

trên gặp phải khi đối mặt với các kiểu nhiệm vụ LM Toán – Vật lí. Một trong những

nguyên nhân nổi bật đến từ sự thiếu hụt “kiến thức ngữ cảnh” gắn với khái niệm đạo

hàm, tích phân mà họ sở hữu. Các GV tương lai này được học đầy đủ về khái niệm đạo

hàm và tích phân trong ngữ cảnh toán học nhưng lại không có nhiều hiểu biết về các

ứng dụng đa dạng của chúng trong ngữ cảnh ngoài Toán mà nói riêng là Vật lí. Sự thiếu

hụt này gây khó khăn cho GV trong việc tìm tòi thiết kế và sử dụng các ngữ cảnh LM

nhằm giúp cho HS có thể hiểu và ứng dụng tốt hơn tri thức đang nói đến trong nhiều

vấn đề của thực tiễn và khoa học.

Kết quả nói trên mở ra một hướng nghiên cứu mới bàn về công tác đào tạo ở trường

Sư phạm nhằm đáp ứng xu hướng DH đang nói tới. Theo hướng này, chúng ta có thể

nghiên cứu về những khó khăn mà các GV gặp phải trong hoạt động DH LM hay bàn

đến công tác đổi mới chương trình đào tạo tại các trường đại học Sư phạm hiện nay để

vượt qua những khó khăn đó.

194

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ

1. Ngô Minh Đức. (2016). Dạy học khái niệm đạo hàm trong mối quan hệ liên môn với

Vật lí. Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, (7 (85)), 41.

2. Ngô Minh Đức. (2017). Quan điểm tích hợp trong dạy học khái niệm tích phân. Tạp

chí Khoa học Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, 14(4), 20.

3. Ngô Minh Đức. (2017). Xem xét sự chuyển hóa sư phạm khái niệm tích phân trong

sự gắn kết với vật lí ở trường phổ thông Việt Nam. Kỷ yếu Hội thảo Quốc tế về

Didactic Toán lần thứ 6 (tr.103-112). TP Hồ Chí Minh: NXB ĐHSP TP HCM.

4. Ngô Minh Đức. (2017). Đào tạo giáo viên toán theo định hướng tiếp cận năng lực

người học. Kỷ yếu Hội thảo Quốc tế về đào tạo, bồi dưỡng giáo viên phổ thông,

cán bộ quản lí cơ sở giáo dục phổ thông và giảng viên sư phạm (tr.366-375). TP

Hồ Chí Minh: NXB ĐHSP TP HCM.

5. Le Thi Hoai Chau & Ngo Minh Duc (2018). La connaissance des futurs enseignants

de mathematiques: Une etude par l’approche interdisciplinaire. Le cas de la

notion d’integrale, Actes de l’EMF 2018, Paris, 22-26 Octobre

6. Le Thi Hoai Chau & Ngo Minh Duc (2019). Training mathematics teachers in

accordance with teaching to integrated math and science through teaching

integration concept. Vietnam Journal of Education, 6, 48-53.

7. Lê Thị Hoài Châu và Ngô Minh Đức. (2019). Dạy học khái niệm tích phân ở trường

phổ thông từ quan điểm liên môn toán – vật lí: một giải pháp giúp vượt qua những

bất cập đặt ra bởi các cách tiếp cận truyền thống. Tạp chí Khoa học Đại học Sư

phạm Hà Nội, 64(9), 106-115. DOI: 10.18173/2354-1075.2019-0116.

8. Le Thi Hoai Chau, Ngo Minh Duc & Duong Huu Tong. (2021). The Teaching of the

Concept of Derivative in High School and Its Relationship with Physics.

Universal Journal of Educational Research, 9, 186-201.

195

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Akkoç, H., Bingolbali, E., & Ozmantar, F. (2008). Investigating the technological

pedagogical content knowledge: A case of derivative at a point. In Proceedings of

the Joint Meeting of the 32nd Conference of the International Group for the

Psychology of Mathematics Education, and the XXX North American

Chapter(Vol. 2, pp. 17-24).

Anderson, L. W., Krathwohl, D. R., Airasian, P. W., Cruikshank, K. A., Mayer, R. E.,

Pintrich, P. R., ... & Wittrock, M. C. (2001). A taxonomy for learning, teaching,

and assessing: A revision of Bloom’s taxonomy of educational objectives,

abridged edition. White Plains, NY: Longman.

Artigue, M. (2000). Didactic engineering and the complexity of learning processes in

classroom situations. In C. Bergsten, G. Dahland, & B. Grevholm (Eds.),

Proceedings of the MADIF 2 Conference (pp. 5–20). Gothenburg: Swedish Society

for Research in Mathematics Education

Artigue, M. (2014). Didactic engineering in mathematics education. Encyclopedia of

mathematics education, 159-162.

Bajracharya, R. R. (2014). Student application of the fundamental theorem of calculus

with graphical representations in mathematics and physics.

Bajracharya, R., & Thompson, J. R. (2014). Student understanding of the fundamental

theorem of calculus at the mathematics-physics interface. Proceedings of the 17th

special interest group of the Mathematical Association of America on research in

undergraduate mathematics education. Denver (CO).

Beichner, R. J. (1994). Testing student interpretation of kinematics graphs. American

journal of Physics, 62(8), 750-762.

Berlin, D. F., & White, A. L. (1992). Report from the NSF/SSMA Wingspread

conference: A network for integrated science and mathematics teaching and

learning. School science and mathematics, 92(6), 340-342.

Berlin, D. F., & White, A. L. (1994). The Berlin‐White integrated science and

mathematics model. School Science and Mathematics, 94(1), 2-4.

196

Berlin, D. F. (2007). Using a Cultural Context to Integrate Mathematics and Science

Education. Proceedings of the Ninth International Conference Mathematics

Education in a Global Community, 84-88.

Bezuidenhout, J. (1998). First‐year university students’ understanding of rate of

change. International Journal of Mathematical Education in Science and

Technology, 29(3), 389-399.

Bezuidenhout, J., & Olivier, A. (2000, July). Students' conceptions of the integral.

In PME CONFERENCE (Vol. 2, pp. 2-73).

Bingolbali, E., Monaghan, J., & Roper, T. (2007). Engineering students’ conceptions of

the derivative and some implications for their mathematical

education. International Journal of Mathematical Education in Science and

Technology, 38(6), 763-777.

Boyer, C. B. (1959). The history of the calculus and its conceptual development:(The

concepts of the calculus). Courier Corporation.

Bosch, M., & Chevallard, Y. (1999). La sensibilité de l'activité mathématique aux

ostensifs: objet d'étude et problématique. Recherches en didactique des

mathématiques (Revue), 19(1), 77-123.

Bressoud, D. M. (2011). Historical reflections on teaching the fundamental theorem of

integral calculus. The American Mathematical Monthly, 118(2), 99-115.

Brousseau, G. (2006). Theory of didactical situations in mathematics: Didactique des

mathématiques, 1970–1990 (Vol. 19). Springer Science & Business Media.

Brousseau, G. (2008). Research in mathematics education. In M. Niss (Ed.),

Proceedings of the 10th international congress on mathematical education (pp.

244–254). IMFUFA: Denmark.

Chevallard, Y. (1985). La transposition didactique. Grenoble. La pensée sauvage.

Chevallard, Y. (1989, August). On didactic transposition theory: Some introductory

notes. In Proceedings of The International Symposium on Selected Domains of

Research and Development in Mathematics Education. Bratislava.

Chevallard, Y. (1992). Fundamental concepts in didactics: perspectives provided by an

anthropological approach. Research in didactique of mathematics: Selected

papers, 131-168.

D’Hainaut, L. (1986, May). Interdisciplinarity in general education. In International

Symposium on Interdisciplinarity in General Education, UNESCO.

197

Doorman, M., & Van Maanen, J. (2008). A historical perspective on teaching and

learning calculus. Australian Senior Mathematics Journal, 22(2), 4.

Douglas, R. G. (1986). Toward a lean and lively calculus: conference/workshop to

develop alternative curriculum and teaching methods for calculus at the college

level, Tulane University, January 2-6, 1986 (Vol. 6). Mathematical Assn of Amer

Drake, S. M., & Burns, R. C. (2004). Meeting standards through integrated curriculum.

ASCD.

Drake, S. M. (2007). Creating Standards-Based Integrated Curriculum: Aligning

Curriculum, Content, Assessment, and Instruction. Corwin Press, A SAGE

Publications Company. 2455 Teller Road, Thousand Oaks, CA 91320.

Dray, T., Edwards, B., & Manogue, C. A. (2008, July). Bridging the gap between

mathematics and physics. In Proceedings of the 11th International Congress on

Mathematics Education.

Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of

mathematics. Educational studies in mathematics, 61(1-2), 103-131.

Đỗ Hương Trà. (2015). Nghiên cứu dạy học tích hợp liên môn: những yêu cầu đặt ra

trong việc xây dựng, lựa chọn nội dung và tổ chức dạy học. VNU Journal of

Science: Education Research, 31(1).

Education Development Center. (1970). Final report of Cambridge Conference on

School Mathematics, January 1962 – August 1970. Cambridge, MA: Author.

Edwards, C. J. (2012). The historical development of the calculus. Springer Science &

Business Media.

Eves, H. W. (1976). An introduction to the history of mathematics.

Fauconnier, G. T., & Turner, M. (2002). M.(2002) The way we think: conceptual

blending and the mind’s hidden complexities.

Ferrini-Mundy, J., & Graham, K. (1994). Research in calculus learning: Understanding

of limits, derivatives, and integrals. MAA notes, 31-46.

Fikhtengol'ts, G. M. (1965). The fundamentals of mathematical analysis. Elsevier.

Pergamon Press.

Firouzian, S. S. (2013). Students’ way of thinking about derivative and its correlation to

their ways of solving applied problems. In Proceedings of the 16th Annual

conference on research in undergraduate mathematics Education (pp. 492-497).

198

Firouzian, S., & Speer, N. (2015). Integrated mathematics and science knowledge for

teaching framework. In Proceedings of the Proceedings of the 18th conference on

Research in Undergraduate Mathematics Education.

Frykholm, J., & Glasson, G. (2005). Connecting science and mathematics instruction:

Pedagogical context knowledge for teachers. School Science and

Mathematics, 105(3), 127-141.

González-Martín, A. S., Bloch, I., Durand-Guerrier, V., & Maschietto, M. (2014).

Didactic Situations and Didactical Engineering in university mathematics: cases

from the study of Calculus and proof. Research in Mathematics Education, 16(2),

117-134.

Grabiner, J. V. (1983). The changing concept of change: The derivative from Fermat to

Weierstrass. Mathematics Magazine, 56(4), 195-206.

Gravemeijer, K., & Doorman, M. (1999). Context problems in realistic mathematics

education: A calculus course as an example. Educational studies in

mathematics, 39(1-3), 111-129.

Habineza, F. (2013). A case study of analyzing student teachers’ concept images of the

definite integral. Rwandan Journal of Education, 1(2), 38-54.

Hammer, D. (2000). Student resources for learning introductory physics. American

Journal of Physics, 68(S1), S52-S59.

Hiebert, J., & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics:

An introductory analysis. Conceptual and procedural knowledge: The case of

mathematics, 2, 1-27.

Hiebert, J., & Carpenter, T. P. (1992). Learning and teaching with

understanding. Handbook of research on mathematics teaching and learning: A

project of the National Council of Teachers of Mathematics, 65-97.

Huntley, M. A. (1998). Theoretical and Empirical Investigations of Integrated

Mathematics and Science Education in the Middle Grades.

Hurley, M. M. (2001). Reviewing integrated science and mathematics: The search for

evidence and definitions from new perspectives. School science and

mathematics, 101(5), 259-268.

Jacobs, H. H. (1989). Interdisciplinary curriculum: Design and implementation.

Association for Supervision and Curriculum Development, 1250 N. Pitt Street,

Alexandria, VA 22314.

199

Jones, S. R. (2010). Applying Mathematics to Physics and Engineering: Symbolic

Forms of the Integral (Doctoral dissertation).

Jones, S. R. (2015a). Areas, anti-derivatives, and adding up pieces: Definite integrals in

pure mathematics and applied science contexts. The Journal of Mathematical

Behavior, 38, 9-28.

Jones, S. R. (2015b). The prevalence of area-under-a-curve and anti-derivative

conceptions over Riemann sum-based conceptions in students’ explanations of

definite integrals. International Journal of Mathematical Education in Science and

Technology, 46(5), 721-736.

Jones, S. R. (2017). An exploratory study on student understandings of derivatives in

real-world, non-kinematics contexts. The Journal of Mathematical Behavior, 45,

95-110.

Jones, S. R., Lim, Y., & Chandler, K. R. (2017). Teaching integration: How certain

instructional moves may undermine the potential conceptual value of the Riemann

sum and the Riemann integral. International Journal of Science and Mathematics

Education, 15(6), 1075-1095.

Kaput, J. (1994). Democratizing access to calculus: New routes to old

roots. Mathematical thinking and problem solving, 77-156.

Katz,V. J. (2000). Using history to teach mathematics: An international

perspective (Vol. 51). Cambridge University Press.

Kendal, M., & Stacey, K. (2003). Tracing learning of three representations with the

differentiation competency framework. Mathematics Education Research

Journal, 15(1), 22-41.

Kleiner, I. (2001). History of the infinitely small and the infinitely large in

calculus. Educational Studies in Mathematics, 48(2-3), 137-174.

Kouropatov, A., & Dreyfus, T. (2013). Constructing the integral concept on the basis of

the idea of accumulation: suggestion for a high school curriculum. International

Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 44(5), 641-651.

Lê Thị Bạch Liên., & Trần Kiêm Minh. (2020). Kiến thức nội dung sư phạm của giáo

viên toán tương lai ở việt nam khi dạy học chủ đề đạo hàm. Tạp chí Khoa học Đại

học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, 17(8), 1410.

Lê Thị Hoài Châu., & Trần Thị Mỹ Dung. (2004). Phép tính tích phân và vi phân trong

lịch sử. Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, (4), 14.

200

Lê Thị Hoài Châu. (2004). Khai thác lịch sử Toán trong dạy học khái niệm tích phân.

Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, (2), 37-45.

Lê Thị Hoài Châu. (2014). Mô hình hóa trong dạy học khái niệm đạo hàm. Tạp chí Khoa

học Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, (65), 5-18.

Lê Thị Hoài Châu. (2017). Kỉ yếu Hội thảo Quốc tế về Didactic Toán lần thứ 6. Sự cần

thiết của phân tích tri thức luận đối với các nghiên cứu về hoạt động dạy học và

đào tạo giáo viên (tr.17-38). TP Hồ Chí Minh: NXB ĐHSP TP HCM.

Lê Thị Hoài Châu. (2018). Thuyết nhân học trong Didactic Toán. TP Hồ Chí Minh:

NXB Đại học Sư phạm TP HCM.

Lê Thị Hoài Châu., & Ngô Minh Đức. (2019). Training mathematics teachers in

accordance with teaching to integrated math and science through teaching

integration concept. Vietnam Journal of Education, 6, 48-53.

Loepp, F. L. (1999). Models of curriculum integration. The journal of technology

studies, 25(2), 21-25.

Lonning, R. A., & DeFranco, T. C. (1997). Integration of science and mathematics: A

theoretical model. School science and mathematics, 97(4), 212-215.

Mathison, S., & Freeman, M. (1998). The Logic of Interdisciplinary Studies. Report

Series 2.33.

Marrongelle, K. A. (2001). Physics experiences and calculus: How students use physics

to construct meaningful conceptualizations of calculus concepts in an

interdisciplinary calculus/physics course.

Marrongelle, K. A. (2004). How students use physics to reason about calculus

tasks. School Science and Mathematics, 104(6), 258-272.

Marrongelle, K. (2010, March). The role of physics in students’ conceptualization of

calculus concepts: Implications of research on teaching practice. In 2nd

International Conference on the Teaching of Mathematics.

Meredith, D. C., & Marrongelle, K. A. (2008). How students use mathematical resources

in an electrostatics context. American Journal of Physics, 76(6), 570-578.

National Council of Teachers of Mathematics (Ed.). (2000). Principles and standards

for school mathematics (Vol. 1). National Council of Teachers of.

Ngô Minh Đức. (2013). Khái niệm đạo hàm trong dạy học Toán và Vật lí ở trường phổ

thông (Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh).

201

Ngô Minh Đức. (2016). Dạy học khái niệm đạo hàm trong mối quan hệ liên môn với

Vật lí. Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, (7 (85)), 41.

Ngô Minh Đức. (2017). Quan điểm tích hợp trong dạy học khái niệm tích phân. Tạp chí

Khoa học Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, 14(4), 20-28.

Ngô Minh Đức. (2017). Xem xét sự chuyển hóa sư phạm khái niệm tích phân trong sự

gắn kết với vật lí ở trường phổ thông Việt Nam. Kỷ yếu Hội thảo Quốc tế về

Didactic Toán lần thứ 6 (tr.103-112). TP Hồ Chí Minh: NXB ĐHSP TP HCM.

Nguyen, D. H., & Rebello, N. S. (2011). Students’ understanding and application of the

area under the curve concept in physics problems. Physical Review Special Topics-

Physics Education Research, 7(1), 010112

Nguyễn Phú Lộc. (2006). Nâng cao hiệu quả dạy học môn Giải tích trong nhà trường

trung học phổ thông theo hướng tiếp cận một số vấn đề của phương pháp luận

toán học. Luận án Tiến sĩ khoa học giáo dục. Trường đại học Vinh.

Nguyễn Thế Sơn. (2017). Xây dựng chủ đề tích hợp trong dạy học môn toán ở trường

trung học phổ thông. Luận án Tiến sĩ khoa học giáo dục. Viện khoa học giáo dục

Việt Nam.

Nguyễn Thị Hà. (2016). Tích hợp Toán học trong việc hướng dẫn học sinh giải bài tập

Di truyền (Sinh học 12). Tạp chí Khoa học Đại học Quốc gia Hà Nội, 32(1), 68-

72.

Nguyễn Thị Nga. (2018). Sự liên môn Toán – Vật lí trong dạy học chủ đề vectơ ở trường

phổ thông: Nghiên cứu quan hệ cá nhân của giáo viên Toán và Vật lí. Tạp chí Khoa

học Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, 15(1), 40-47.

Nikitina, S., & Mansilla, V. B. (2003). Three strategies for interdisciplinary math and

science teaching: A case of the Illinois Mathematics and Science

Academy. Project Zero, Havard Graduate School of Education-Interdiciplinary

Studies Project, 1-21.

López-Gay, R., Sáez, J. M., & Torregrosa, J. M. (2015). Obstacles to mathematization

in physics: The case of the differential. Science & Education, 24(5-6), 591-613.

Oliveira, A. R. E. (2014). A History of the Work Concept. Springer.

Orton, A. (1983a Students' understanding of differentiation. Educational studies in

mathematics, 14(3), 235-250.

Orton, A. (1983b). Students' understanding of integration. Educational studies in

mathematics, 14(1), 1-18.

202

Pape, S. J., & Tchoshanov, M. A. (2001). The role of representation (s) in developing

mathematical understanding. Theory into practice, 40(2), 118-127.

Perkins, D. (2012). Calculus and its origins. MAA.

Phạm Sĩ Nam. (2013). Nâng cao hiệu quả dạy học một số khái niệm giải tích cho học

sinh trung học phổ thông chuyên Toán trên cơ sở vận dụng lý thuyết kiến tạo. Luận

án Tiến sĩ khoa học giáo dục. Trường đại học Vinh.

Piaget, J., & Cook, M. (1952). The origins of intelligence in children (Vol. 8, No. 5, p.

18). New York: International Universities Press.

Roegiers, X. (2001). Une pédagogie de l'intégration: compétences et intégration des

acquis dans l'enseignement. De Boeck Supérieur.

Roundy, D., Dray, T., Manogue, C. A., Wagner, J. F., & Weber, E. (2014). An extended

theoretical framework for the concept of derivative. In Proceedings of the 18th

Annual Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education (pp.

838-843).

Sahin, Z., Yenmez, A. A., & Erbas, A. K. (2015). Relational Understanding of the

Derivative Concept through Mathematical Modeling: A Case Study. Eurasia

Journal of Mathematics, Science & Technology Education, 11(1).

Stillwell, J. (2002). Mathematics and its History. The Australian Mathem. Soc, 168.

Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics

with particular reference to limits and continuity. Educational studies in

mathematics, 12(2), 151-169.

Tall, D. (Ed.). (1991). Advanced mathematical thinking (Vol. 11). Springer Science &

Business Media.

Tall, D. (1993). Students’ difficulties in calculus. In proceedings of working group (Vol.

3, pp. 13-28).

Thompson, P. W. (1994a). The development of the concept of speed and its relationship

to concepts of rate. The development of multiplicative reasoning in the learning of

mathematics, 179-234.

Thompson, P. W. (1994b). Images of rate and operational understanding of the

fundamental theorem of calculus. Educational studies in mathematics, 26(2-3),

229-274.

203

Thompson, P. W., & Silverman, J. (2008). The concept of accumulation in

calculus. Making the connection: Research and teaching in undergraduate

mathematics, 73, 43-52.

Turner, E. E., Wilhelm, J., & Confrey, J. (2000). Exploring Rate of Change through

Technology with Elementary Students.

Rasslan, S., & Tall, D. (2002). Definitions and images for the definite integral concept.

In PME CONFERENCE (Vol. 4, pp. 4-089).

Rebello, N. S., Cui, L., Bennett, A. G., Zollman, D. A., & Ozimek, D. J. (2007). Transfer

of learning in problem solving in the context of mathematics and physics. Learning

to solve complex scientific problems, 223-246.

Redish, E. F. (2006). Problem solving and the use of math in physics courses. arXiv

preprint physics/0608268.

Redish, E. F., Steinberg, R. N., & Saul, J. M. (1996). Student difficulties with math in

physics: Giving meaning to symbols. AAPT Announcer, 26(2), 70.

Stahl, S. (2012). Real analysis: a historical approach. John Wiley & Sons.

Sealey, V. (2006). Definite integrals, Riemann sums, and area under a curve: What is

necessary and sufficient. In Proceedings of the 28th annual meeting of the North

American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics

Education (Vol. 2, No. 1991, pp. 46-53).

Sealey, V. (2014). A framework for characterizing student understanding of Riemann

sums and definite integrals. The Journal of Mathematical Behavior, 33, 230-245.

Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on

processes and objects as different sides of the same coin. Educational studies in

mathematics, 22(1), 1-36.

Stewart, J. (2012). Essential calculus: Early transcendentals. Cengage Learning.

Törner, G., Potari, D., & Zachariades, T. (2014). Calculus in European classrooms:

curriculum and teaching in different educational and cultural

contexts. ZDM, 46(4), 549-560.

Trần Anh Dũng. (2013). Dạy học hàm số liên tục ở trường trung học phổ thông.

Luận án Tiến sĩ khoa học giáo dục. Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí

Minh.

204

Trần Văn Học. (2018). Nghiên cứu một phần thực trạng dạy học toán theo quan điểm

liên môn: trường hợp khái niệm tích phân. Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm TP

Hồ Chí Minh, 15(10), 145-158.

Trịnh Thị Bách Tuyết. (2016). Dạy học giải tích ở trường trung học phổ thông theo

hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một số thủ pháp

hoạt động nhận thức cho học sinh. Luận án Tiến sĩ khoa học giáo dục. Viện khoa

học giáo dục Việt Nam.

Weber, E., Tallman, M., Byerley, C., & Thompson, P. W. (2012). Introducing derivative

via the calculus triangle. Mathematics Teacher, 104(4), 274-278.

White, P., & Mitchelmore, M. (1996). Conceptual knowledge in introductory

calculus. Journal for Research in Mathematics Education, 27, 79-95.

Zandieh, M. (2000). A theoretical framework for analyzing student understanding of the

concept of derivative. CBMS Issues in Mathematics Education, 8, 103-127.

PL1

PHỤ LỤC 1

MỘT SỐ MINH HỌA BỔ SUNG CHO NGHIÊN CỨU VỀ MỐI QUAN HỆ

GẮN KẾT GIẢI TÍCH – VẬT LÍ Ở CHƯƠNG 2

1. Archimedes xác định thể tích hình cầu bằng phương pháp “cơ học”

Dựa trên các công thức đã biết về thể tích hình trụ và hình nón, Archimedes xây

dựng được công thức tính thể tích hình cầu dựa trên ý tưởng lập tổng các “lát cắt nhỏ”

và nguyên lí cân bằng moment ở hai đầu đòn bẩy. Chúng tôi trình bày ở đây phương

pháp ông đã thực hiện trong đó có sự tác động ngầm ẩn của tư tưởng tích phân và sự hỗ trợ từ các nguyên lí của Cơ học23.

Trong hình bên, ta quay lần lượt hình chữ

nhật ABNS, tam giác NCS và một nửa đường

tròn đường kính NS quanh trục x (trùng với

đường thẳng NS và nhận N làm gốc) để nhận

được tương ứng một hình trụ, hình nón và hình

cầu. Cắt ba hình khối đó thành những lát mỏng

và xem chúng (gần đúng) như những hình trụ

dẹt cách N một đoạn bằng x và có độ dày (chiều

cao) là . Thể tích của các lát mỏng của hình

cầu, hình trụ và hình nón này lần lượt xấp xỉ bằng: .

Archimedes đặt hai lát cắt hình cầu và hình nón tại điểm T trên trục x cách N

một đoạn và vẫn để lát cắt của hình trụ ở chỗ cũ. Với cách sắp đặt này ông

thấy rằng tổng moment của hai lát cắt cầu và nón bằng bốn lần moment của lát cắt

hình trụ. Thật vậy:

Cộng tất cả các lát cắt này lại với nhau (đối với hình trụ thì tổng các sẽ bằng

) ta được: 2𝑟. (𝑉𝑐ầ𝑢 + 𝑉𝑛ó𝑛) = 4𝑟. 𝑉𝑡𝑟ụ.

Vì thể tích hình trụ và hình nón đã biết từ trước nên Archimedes suy ra được

𝜋𝑟3. công thức tính thể tích hình cầu là: 𝑉𝑐ầ𝑢 =

2. Stevin xác định trọng tâm tam giác bằng phương pháp “vét kiệt”

23 Tham khảo từ Eves (1976), tr. 383-385.

PL2

Simon Stevin (1548 – 1620) sử dụng phương pháp chia nhỏ thành các hình

nguyên tố của Archimedes trong các công trình về xác định trọng tâm vật rắn. Để

minh họa phương pháp của Stevin, chúng tôi trình bày ở đây cách mà ông đã thực hiện để xác định trọng tâm của một hình đơn giản, tam giác24.

Stevin vẽ các đường song song với đáy BG

và với trung tuyến AD của tam giác ABG để tạo

ra các dải hình bình hành như hình vẽ ở bên.

Theo kết quả đã biết từ trước thì trọng tâm của

mỗi hình bình hành đều nằm trên đường nối

trung điểm của hai cạnh đối, vì thế sẽ thuộc cạnh

AD. Như vậy hình tạo bởi hợp tất cả các dải

hình bình hành này ghép lại cũng có trọng tâm

nằm trên AD. Thực hiện liên tiếp việc tạo ra các dải hình bình hành mới mỏng hơn,

hình tổng hợp của chúng sẽ càng ngày càng phủ kín tam giác ABG và hơn nữa trọng

tâm của nó vẫn nằm trên AD. Vì quá trình này có thể thực hiện liên tục đến vô hạn,

Stevin kết luận rằng trọng tâm của tam giác ABG sẽ nằm trên đường trung tuyến AD.

Ông cố gắng tránh việc hai lần đưa đến vô lí (chứng minh phản chứng) của phương

pháp vét kiệt bằng cách trực tiếp cho qua giới hạn, và từ đó thu được những kết quả

hợp lí.

3. Phương pháp đồ thị để mô tả sự phân bố nhiệt độ của Oresme

Nichole Oresme (Thế kỉ 14) phát minh ra phương pháp đồ thị để mô tả một sự

biến thiên liên tục bằng cách biểu diễn giá trị của đại lượng tại mỗi điểm bằng một

đoạn thẳng (hoặc dải hình chữ nhật mỏng) vuông góc với trục ngang. Biểu diễn đồ

thị nói trên còn cho phép Oresme tìm ra một cách thức mới để xác định tổng lượng

thay đổi trong một biến đổi liên tục: đó là diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị. Dưới

đây là cách mà Oresme dùng để diễn đạt sự phân bố nhiệt trên một cái xà:

24 Tham khảo từ Boyer (1959), tr. 99-100.

Nghĩ về một đường thẳng dọc theo cái xà và tưởng tượng tại mỗi điểm trên đường thẳng

này, nhiệt độ tại mỗi vị trí trên xà biểu diễn bằng

một đoạn thẳng vuông góc với xà. Chiều dài của

các đoạn thẳng thể hiện nhiệt độ tại các điểm trên

xà. Những đoạn thẳng vuông góc này tạo thành

một hình dạng hình học phẳng. Hình dạng này

biểu thị sự phân bố của nhiệt và diện tích của

PL3

miền đó là độ đo cho tổng lượng nhiệt của xà.

Một nhiệt độ không đổi được biểu diễn bằng

một hình chữ nhật, trong lúc đó một sự biến đổi

đều từ thấp lên cao được biểu diễn bởi một hình

Oresme mô tả sự biến thiên bằng đồ thị rời rạc

tam giác (hoặc hình thang). (trích theo Doorman và VanMaanen, 2008, tr. 6) 4. Phương pháp xác định quãng đường rơi tự do của Beeckman và Galileo25

Năm 1618, Isaac Beeckman đã sử dụng tư tưởng chia nhỏ của Archimedes và

phương pháp đồ thị hóa chuyển động của

Oresme để thiết lập mối quan hệ giữa quãng

đường rơi tự do và thời gian. Ông xấp xỉ một

lực liên tục bằng những lực gián đoạn giống

như những cái “giật ngắn” kéo vật rơi xuống.

Sau mỗi khoảng thời gian 𝑡, một cái giật như

vậy làm tăng vận tốc lên bởi một lượng không

đổi 𝑔. Quá trình này được hình dung bằng

diện tích của các thanh tương ứng.

Khi chiều dài của khoảng thời gian 𝑡 tiến Lập luận của Beeckman về quãng đường rơi tự do

dần đến 0, các quãng đường đi được trong

tổng thời gian 𝑂𝐴1 và 𝑂𝐴2 được biểu diễn bởi diện tích tam giác 𝑂𝐴1𝐵1 và 𝑂𝐴2𝐵2. Tỉ lệ hai diện tích này bằng với tỉ lệ diện tích hai hình vuông có cạnh lần lượt là 𝑂𝐴1 và 𝑂𝐴2, từ đó suy ra quãng đường tỉ lệ với bình phương khoảng thời gian đi được. Chúng ta có thể gom mối quan hệ giữa thời gian và quãng đường đi trong một phương trình: 𝑠(𝑡) = 𝑐. 𝑡2. Như vậy, Beeckman đã sử dụng một sự xấp xỉ rời rạc về diện tích

tương tự như cách mà Stevin đã dùng để xác định trọng tâm.

25 Tham khảo từ Doorman & Van Maanen, 2008, tr. 7-8.

PL4

Galileo cũng thông báo một kết quả tương tự như của Beeckman (độ dời của một vật rơi tự do từ trạng thái nghỉ 𝑡 = 0 thì tỉ lệ với 𝑡2) trong một bức thư gửi đi năm

1604. Galileo không chỉ giải thích được mối quan hệ bậc hai này từ phương pháp đồ

thị mà còn tìm ra cách kiểm tra nó bằng TN. Galileo lập luận rằng chuyển động rơi

tự do thì tương tự với chuyển động của một vật lăn xuống theo một mặt phẳng nghiêng

(theo dạng của các tỉ lệ), nhờ đó chuyển động có thể bị làm chậm đi và sẽ dễ dàng

nghiên cứu bằng TN. Galileo thiết kế một đường trượt theo mặt phẳng nghiêng với

các đinh gắn trên đoạn đường chuyển động sao cho quãng đường giữa các đinh tỉ lệ

với các số lẻ liên tiếp (1,3,5,7,…). Bằng TN, Galileo phát hiện ra rằng một quả bóng

lăn sẽ cần một lượng thời gian giống như nhau để vượt qua mỗi cái đinh. Từ đó suy

ra các quãng đường đi được sau mỗi giây sẽ tỉ lệ lần lượt với các số lẻ liên tiếp: 1, 3,

5, 7,... Mặt khác, bởi vì tổng các số lẻ liên tiếp lại là một bình phương: 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑡 − 1) = 𝑡2, cho nên quãng đường sẽ tỉ lệ với bình phương của thời gian

chuyển động. Hơn nữa, bằng cách kết hợp một vận tốc theo chiều đứng tăng đều với

một vận tốc theo chiều ngang không đổi, Galileo (1638) lần đầu tiên thu được quỹ

đạo đúng cho viên đạn bắn ra đó là đường parabol.

5. Phương pháp động học để tìm tiếp tuyến Parabol

của Torricelli

Torricelli đã phát hiện ra mối quan hệ giữa hai cặp

bài toán: vận tốc – quãng đường trong Vật lí và tiếp tuyến

– diện tích trong Hình học. Dưới đây là minh họa phương

pháp động học mà Torricelli sử dụng để xác định tiếp tuyến của đường Parabol26. Giả sử rằng một điểm có vị

trí ban đầu tại O và cùng lúc tham gia hai chuyển động:

rơi tự do với gia tốc 𝑔 (vận tốc là 𝑔𝑡, với 𝑡 là thời gian)

và chuyển động theo phương ngang với vận tốc không

đổi 𝑢. Chúng ta có: . Loại trừ 𝑡 từ hai

phương trình ta được , cho nên quỹ đạo của điểm là một parabol. Tỉ số

26 Tham khảo từ Fikhtengol'ts (1965), tr. 459-460.

PL5

giữa vận tốc theo phương dọc và theo phương ngang là: . Gọi T là giao

điểm của tiếp tuyến tại M với trục Ox, vì tam giác TPM đồng dạng với tam giác tạo

bởi hai vận tỉ lệ đồng dạng ta có: tốc 𝑔𝑡 và 𝑢. Lập

Từ mối quan hệ này, chúng ta xác

định được điểm T, nghĩa là xác định được tiếp tuyến TM của parabol tại điểm M.

6. Chứng minh định luật đảo ngược bình phương của Newton bằng vi phân

Định luật đảo ngược bình phương nói rằng các vật hút nhau bởi một lực tỉ lệ

thuận với tích hai khối lượng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng.

Để rút ra định luật này, Newton xem xét lực hút giữa mặt trời với các hành tinh và

mối quan hệ của nó với quỹ đạo chuyển động. Để đơn giản, ổng xét trường hợp quỹ

đạo là một đường tròn. Trong trường hợp này, ta biết rằng hành tinh chuyển động với

tốc độ không đổi theo hướng tiếp tuyến. Giả sử bán kính của quỹ đạo là r và tốc độ

theo hướng tiếp tuyến là v(r). Định luật 2 Newton nói rằng lực tác động bởi mặt trời

thì tỉ lệ với gia tốc của hành tinh hướng về phía mặt trời, vì thế chúng ta cần đi tìm

gia tốc hướng về tâm của đường

tròn. Newton đã sử dụng vi phân để

giải quyết vấn đề này:

Xét 2 điểm rất gần nhau trên

quỹ đạo tròn có vận tốc là 𝑣1 và 𝑣2. Số gia hai vận tốc này dv, sẽ có độ

lớn là khi và có

hướng vuông góc với cả 𝑣1và 𝑣2, suy ra gia tốc này sẽ hướng về tâm Xác định gia tốc của một hành tinh trên

của đường tròn. quỹ đạo của nó

Gia tốc của các hành tinh sẽ là

. Mặt khác .

PL6

Từ đó suy ra gia tốc: . Bởi vì chu vi quỹ đạo là nên chu kì quay của

hành tinh sẽ là: . Tuy nhiên theo định luật thứ ba mà Kepler đã tìm ra thì chu kì

này bằng , với C là một hằng số nào đó. Suy ra: , C’

là một hằng số khác. Từ đây gia tốc sẽ là , mà theo định luật hai của

Newton thì lực sẽ bằng tích khối lượng với gia tốc và sẽ bằng: . Tức là tỉ lệ

nghịch với bình phương khoảng cách và hướng về phía mặt trời.

PL7

PHỤ LỤC 2

PHIẾU HỌC TẬP Ở CÁC PHA CỦA ĐỒ ÁN DẠY HỌC ĐẠO HÀM

PHIẾU HỌC TẬP PHA 1

Tên nhóm:………………….. Bài toán 1. Một bình nuôi cấy vi sinh vật được giữ ở nhiệt độ 00𝐶. Tại thời điểm 𝑡 =

0 người ta cung cấp nhiệt cho nó. Nhiệt độ của bình bắt đầu tăng lên và trong khoảng thời gian đầu được ước tính bởi hàm số sau: 𝑓(𝑡) = (𝑡 − 1)3 + 1. Trong đó 𝑓(𝑡) (đơn

vị độ C) là nhiệt độ của bình nuôi cấy ở thời điểm 𝑡 giây.

a. Tính tốc độ tăng nhiệt độ trung bình của bình nuôi cấy trên trong khoảng thời

gian từ thời điểm 𝑡0 = 0,5 giây đến thời điểm 𝑡 sau đó 1 giây (∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡0 = 1). b. Tính tốc độ tăng nhiệt độ trung bình của bình nuôi cấy trong khoảng thời gian

từ thời điểm 𝑡0′ = 1,25 đến thời điểm 𝑡′ sau đó 1 giây (∆𝑡′ = 𝑡′ − 𝑡0′ = 1). c. Tại hai thời điểm 𝑡0 = 0,5 và 𝑡0′ = 1,25 , theo dự đoán của em thời điểm nào nhiệt độ của bình nuôi cấy tăng nhanh hơn?

PL8

PHIẾU HỌC TẬP PHA 2

Tên nhóm:…………………..

Bài toán 1’. Cho biết hàm số nhiệt độ 𝑓(𝑡) có đồ thị như hình bên trái dưới đây:

Bên phải là hình ảnh phóng to đồ thị hàm số 𝑓(𝑡) tại hai thời điểm 𝑡0 = 0,5 và 𝑡0′ = 1,25. Quan sát và trả lời lại câu hỏi: Tại hai thời điểm 𝑡0 = 0,5 và 𝑡0′ = 1,25 , thời điểm nào nhiệt độ của bình nuôi cấy tăng nhanh hơn? Giải thích câu trả lời.

PHIẾU HỌC TẬP PHA 3

Tên nhóm:…………………..

Bài toán 2. Với thông tin đã cho từ bài toán 1: Hàm số nhiệt độ của bình nuôi cấy theo thời gian được cho bởi: 𝑓(𝑡) = (𝑡 − 1)3 + 1

Em hay tìm một khoảng thời gian ∆𝑡 sau thời điểm 𝑡0 = 0,5 và một khoảng thời gian ∆𝑡′ sau thời điểm 𝑡0′ = 1,25 để tốc độ tăng nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian thứ nhất sẽ trở nên lớn hơn trong khoảng thời gian thứ hai (thay vì nhỏ hơn như khi ta chọn ∆𝑡 = ∆𝑡′ = 1 ở bài toán 1)?

PL9

PHIẾU HỌC TẬP PHA 5

Tên nhóm:…………………..

Bài toán 3.

a. Tính tốc độ tăng nhiệt độ trung bình của bình nuôi cấy trong khoảng thời gian từ

thời điểm 𝑡0 = 0,5 đến thời điểm 𝑡 = 0,5 + ∆𝑡 (kết quả tính toán phụ thuộc vào ∆𝑡). b. Tính tốc độ tăng nhiệt độ tức thời tại thời điểm 𝑡0 = 0,5 nói trên.

PHIẾU HỌC TẬP PHA 7

Tên nhóm:…………………..

a. Gọi hàm số biểu diễn vận tốc và gia tốc theo thời gian lần lượt là: 𝑣(𝑡) và 𝑎(𝑡).

Trong SGK Vật lí lớp 10 ta biết rằng tốc độ biến thiên tức thời của vận tốc theo thời

gian chính là gia tốc. Gia tốc đặc trưng cho mức độ biến thiên nhanh chậm của vận

tốc. Bên cạnh đó, để tính độ lớn của gia tốc tức thời SGK Vật lí lớp 10 đưa ra công

thức sau đây: , với ∆𝑡 rất nhỏ.

Theo em, để tính được chính xác gia tốc tức thời tại một thời điểm thì công thức

đúng phải là gì? Giải thích đề xuất của mình bằng ít nhất hai lí lẽ khác nhau.

b. Phát biểu sau được trích dẫn trong bài “Định luật Fa-ra-đây về cảm ứng điện từ”

SGK Vật lí 11 NC (tr.186)

“…độ lớn của suất điện động cảm ứng trong mạch kín tỉ lệ với tốc độ biến thiên

của từ thông qua mạch… Nếu trong khoảng thời gian ∆𝑡 đủ nhỏ, từ thông qua mạch

biến thiên một lượng thì là tốc độ biến thiên của từ thông.

SGK Vật lí lớp 11 đưa ra công thức tính độ lớn suất điện động cảm ứng như sau:

, với ∆𝑡 đủ nhỏ. Nếu tính đến dấu của 𝑒𝑐 (theo định luật Len-xơ) thì công

thức xác định suất điện động cảm ứng tại một thời điểm được viết dưới dạng sau:

, với ∆𝑡 đủ nhỏ.

PL10

Theo em, công thức trên đã giúp xác định chính xác suất điện động cảm ứng tại

mỗi thời điểm hay chưa? Hãy đưa ra một công thức có thể xác định chính xác suất

điện động tức thời nói trên. Giải thích đề xuất của mình bằng ít nhất hai lí lẽ khác

nhau.

c. Trong bài hiện tượng “Tự cảm”, SGK Vật lí 11 cơ bản phát biểu định luật về suất

điện động tự cảm xuất hiện trong mạch như sau:

“Suất điện động tự cảm có độ lớn tỉ lệ với tốc độ biến thiên của cường độ dòng điện

trong mạch” (tr. 156)

Theo đó, suất điện động tự cảm được xác định bởi công thức sau đây:

, với 𝐿 là độ tự cảm và ∆𝑡 rất nhỏ.

Theo em, để tính được chính xác suất điện động tự cảm tại một thời điểm thì

công thức đúng phải là gì? Giải thích đề xuất của mình bằng ít nhất hai lí lẽ khác

nhau.

PL11

PHỤ LỤC 3

PHIẾU HỌC TẬP Ở CÁC PHA CỦA ĐỒ ÁN DẠY HỌC TÍCH PHÂN

PHIẾU HỌC TẬP PHA 1

Tên nhóm:…………………..

Bài toán 1. Một vật chuyển động thẳng trong đó quãng đường 𝑠 (cm) đi được tại thời

(coi là thời điểm bắt đầu điểm 𝑡 (giây) được xác định bởi hàm số

chuyển động). Tính vận tốc của vật tại thời điểm giây, giây?

PHIẾU HỌC TẬP PHA 1’

Tên nhóm:…………………..

Bài toán 2. Một vật bắt đầu chuyển động theo đường thẳng từ thời điểm , vận

(cm/s). tốc của vật tại thời điểm 𝑡 được xác định bởi hàm số:

a. Tính quãng đường vật đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động cho đến thời điểm

giây.

b. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm giây

đến thời điểm giây.

PL12

PHIẾU HỌC TẬP PHA 2

Tên nhóm:…………………..

Bài toán 3. Một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc không đổi (cm/s).

Đồ thị vận tốc theo thời gian được cho dưới đây:

a. Tính quãng đường vật đi được sau 3 giây từ lúc bắt đầu (thời điểm đến thời

điểm )

b. Theo em, đại lượng hình học nào (chu vi, diện tích, …) trên đồ thị biểu diễn cho

quãng đường vật đi được ở câu a?

PL13

PHIẾU HỌC TẬP PHA 3

Tên nhóm:…………………..

Bài toán 4. Trong xứ sở thần tiên, các bạn nhỏ tí hon có tổ chức một cuộc thi chạy

tiếp sức. Mỗi đội gồm một số vận động viên chạy nối tiếp nhau trong tổng thời gian

là 6 giây.

▪ Đội 1 gồm 3 bạn X, Y và Z chạy tiếp sức theo thứ tự đó. Mỗi bạn đều chạy trong

2 giây rồi chuyền gậy cho bạn kế tiếp. Vì mỗi bạn chỉ chạy trong một thời gian ngắn

nên có thể xem như chạy với vận tốc không đổi như sau: Bạn X: 1𝑐𝑚/𝑠, bạn Y:

1,5𝑐𝑚/𝑠, bạn Z: 2𝑐𝑚/𝑠. Đồ thị hàm số vận tốc của ba bạn có thể vẽ như hình dưới:

▪ Đội 2 gồm 6 bạn: A,

B, C, D, E, F chạy tiếp sức theo thứ tự đó. Mỗi bạn chỉ chạy trong 1 giây rồi chuyền

gậy cho bạn tiếp theo. Vận tốc của 6 bạn là một cấp số cộng với công sai là 0,25

và bạn A chạy đầu

tiên với vận tốc 1 .

a. Hãy tính tổng quãng đường mỗi đội chạy được. Đội nào chạy được quãng

đường dài hơn?

b. Tô màu phần diện tích của hình biểu diễn quãng đường chạy được của mỗi đội.

PL14

PHIẾU HỌC TẬP PHA 4

Tên nhóm:…………………..

Bài toán 5. Các bạn nhỏ tí hon cũng tổ chức thi chạy cá nhân tính thành tích, mỗi bạn

tham gia thi đấu sẽ chạy một mình trong 5 giây và so sánh quãng đường chạy được

với nhau. Trong quá trình thi chạy của bạn Tom, người ta ghi nhận được vận tốc của

bạn ấy cứ mỗi 0,5 giây một lần. Dữ liệu được cho theo bảng sau:

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 Thời điểm 𝑡 (giây)

1 1,1 1,2 1,3 1,31 1,35 1,36 1,37 1,38 1,4 Vận tốc 𝑣 (cm/s)

Hãy tính xấp xỉ quãng đường mà Tom chạy được trong 5 giây kể từ lúc bắt đầu

chuyển động.

PHIẾU HỌC TẬP PHA 5

Tên nhóm:…………………..

Bài toán 6. Bạn Jerry thi chạy sau đó và chúng ta biết được vận tốc của Jerry biến

đổi theo hàm số (cm/s). Đồ thị hàm số này được cho dưới đây:

Hãy tính gần đúng quãng đường mà Jerry chạy được trong 5 giây kể từ lúc bắt

đầu chuyển động.

PL15

PHỤ LỤC 4

THỰC NGHIỆM KIỂM TRA KHẢ NĂNG VẬN DỤNG CÔNG CỤ TÍCH

PHÂN VÀO CÁC BÀI TOÁN VẬT LÍ CỦA SINH VIÊN

NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN

1. Đối tượng thực nghiệm và mục tiêu thực nghiệm

Ba bài toán dưới đây chính là các ví dụ về kiểu nhiệm vụ LM Toán – Vật lí mà

chúng tôi dùng để minh hoạ cho giải pháp 8 (ví dụ 8.3; 8.4; 8.5). TN tiến hành trên

đối tượng là SV năm thứ ba khoa toán trường đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí

Minh. Có 32 SV được lựa chọn cho TN, các em này đã được học nhiều học phần về

GT trước đó và chuẩn bị tham gia kì kiến tập sư phạm ở các trường phổ thông. Với

những kiến thức toán được trang bị như vậy, TN của chúng tôi muốn kiểm tra xem

SV Sư phạm toán có khả năng vận dụng chúng để giải quyết được các bài toán với

ngữ cảnh vật lí hay không.

2. Các bài toán thực nghiệm và phân tích tiên nghiệm và kết quả

Bài toán 1. Hai xe ô tô xuất phát

đồng thời từ cùng một vị trí và

bắt đầu chuyển động trên cùng

một đường thẳng theo cùng một

hướng với vận tốc cho bởi đồ

thị sau:

a. Theo em, vào thời điểm 𝑡 = 3

phút, xe nào đi được quãng

đường dài hơn? Giải thích câu trả lời của em.

b. Tại thời điểm 𝑡 = 8 phút, xe nào đi được quãng đường dài hơn? Giải thích.

Phân tích:

Hàm số vận tốc được cho theo biểu diễn đồ thị trong đó vận tốc xe A có thể nội

suy ra biểu thức đại số còn xe B thì không. Một trong những ý nghĩa vật lí của tích

phân được đưa vào chương trình toán phổ thông đó là quãng đường bằng tích phân

hàm vận tốc. Bên cạnh đó tích phân có ý nghĩa hình học là diện tích dưới đường cong.

Chúng tôi muốn kiểm tra xem các SV có biết so sánh quãng đường thông qua so sánh

hai tích phân và nối kết với việc so sánh diện tích dưới đường cong vận tốc hay

không? Việc sử dụng diện tích để tính toán hoặc so sánh các đại lượng là một kĩ thuật

PL16

quan trọng trong Vật lí nhất là khi các đại lượng cần so sánh không phải lúc nào cũng

cho trước biểu thức đại số.

Các chiến lược giải có thể xuất hiện:

- Chiến lược tích phân – diện tích (𝑺𝑫𝒊ệ𝒏 𝒕í𝒄𝒉): So sánh hai quãng đường thông

qua so sánh hai diện tích dưới đường cong vận tốc.

- Chiến lược tích phân – đại số (𝑺Đạ𝒊 𝒔ố): Tìm biểu diễn đại số cho hàm vận tốc

rồi tính quãng đường bằng tích phân rồi so sánh.

- Chiến lược vật lí (𝑺𝑽ậ𝒕 𝒍í): So sánh quãng đường bằng các lí lẽ trong ngữ cảnh

vật lí (vận tốc lớn hơn thì quãng đường sẽ lớn hơn…).

Kết quả với bài toán 1:

Bài toán 1

Câu a

Câu b

Chiến lược

𝑺Diện tích và

𝑺Diện tích 𝑺Đại số Cách giải sai hoặc

𝑺Vật lí Không trả lời

không trả lời

𝑺Đại số

Số SV

Tỉ lệ

87,5%

12,5%

18.8%

12,5%

68,8%

Ở câu a, hầu hết SV (87,5%) đều sử dụng 𝑺Vật lí để giải thích rằng quãng đường

xe B dài hơn vì vận tốc lớn hơn và cách giải này cho thấy công cụ tích phân vẫn chưa

tác động. Tuy nhiên với câu b thì 𝑺Vật lí không sử dụng được, lúc này chỉ có 19%

(6/32) số SV biết sử dụng 𝑺Diện tích để giải thích được xe A đi được quãng đường dài

hơn vì diện tích hình phẳng dưới đồ thị lớn hơn. Đa số không gợi ra được công cụ

tích phân trong tình huống này và vẫn cố gắng sử dụng các lí lẽ vật lí để trả lời nhưng

không thành công. Ngoài ra, có 4 SV nghĩ đến việc sử dụng tích phân để so sánh hai

quãng đường đi được, tuy nhiên thay vì kết nối nó với diện tích thì họ lại cố gắng nội

suy ra hàm số vận tốc để có thể tính toán bằng đại số. Như vậy, trong tình huống hàm

số vận tốc được cho theo biểu diễn đồ thị thay vì biểu diễn đại số thì nhiều SV trong

TN của chúng tôi đã không thể gợi ra tích phân cũng như nối kết quãng đường cần so

sánh với diện tích để có được câu trả lời hợp lí.

PL17

Bài toán 2. Đồ thị gia tốc – thời gian của hai vật được cho dưới đây:

Vật 1 Vật 2

c. Cho biết vật 1 có hàm số gia tốc trên đoạn [0; 2] là 𝑎(𝑡) = −𝑡 + 2. Vận tốc của

vật 1 thay đổi một lượng bao nhiêu từ thời điểm 𝑡 = 0 đến thời điểm 𝑡 = 2 giây.

d. Trong hai vật, vật nào có sự thay đổi vận tốc lớn hơn trong khoảng thời gian chuyển

động từ thời điểm 𝑡 = 0 giây đến thời điểm 𝑡 = 2 giây? Giải thích tại sao.

Phân tích

Các SV đã rất quen thuộc với công thức Newton – Leibniz, vốn là một dạng phát

biểu của định lí cơ bản của giải tích. Trong đó, tích phân được tính bằng hiệu hai

nguyên hàm ở hai cận: . Ở chương trình phổ thông, các

SV cũng biết rằng gia tốc là đạo hàm của vận tốc: . Vì thế trong ngữ cảnh

của bài toán này công thức Newton – Leibniz sẽ trở thành: .

Nghĩa là lượng thay đổi vận tốc bằng tích phân hàm gia tốc. Ở bài toán này chúng tôi

đặt câu hỏi về lượng thay đổi vận tốc giữa hai thời điểm, và liệu SV có sử dụng được

kiến thức về tích phân và vật lí của họ để giải quyết hay không?

Các chiến lược giải có thể xuất hiện

- Chiến lược tích phân (𝐒𝐓í𝐜𝐡 𝐩𝐡â𝐧): Vận tốc thay đổi một lượng là:

- Chiến lược tính tích phân bằng diện tích (𝑺𝑫𝒊ệ𝒏 𝒕í𝒄𝒉): Vì hàm số gia tốc còn

được cho theo biểu diễn đồ thị nên chúng ta có thể tính tích phân bằng diện

tích hình phẳng dưới đồ thị.

Kết quả với bài toán 2:

PL18

Câu a

Bài toán 2

Câu b

Chiến lược

Cách giải sai/

𝑺Diện tích

giải

không trả lời

𝑺Diện tích 𝐒Tích Phân Cách giải sai/ không

trả lời

𝐒Tích Phân hoặc 𝐒Nguyên hàm

Số SV

Tỉ lệ

81,3%

9,4%

34,4%

56,3%

18.8%

Ở câu a, kết quả thu được cho thấy một tỉ lệ đáng kể (56,3%) SV không sử dụng

tích phân để tính lượng thay đổi vận tốc ∆𝑣. Trong số 14 SV vận dụng được công cụ

tích phân vào việc giải quyết bài toán thì có đến 11 em thực hiện việc tính tích phân

theo nguyên hàm và ba em còn lại sử dụng diện tích để đi đến kết quả. Với câu b, khi

hàm số gia tốc được cho ở biểu diễn đồ thị, chỉ có 18,8% (6/32) SV tìm ra được chiến

lược tối ưu là 𝑺Diện tích để giải thành công bài toán. Đáng chú ý là khi xem xét lời giải

câu b của 14 SV đã áp dụng tích phân ở câu a, chúng tôi nhận thấy có đến 8 em tìm

cách nội suy hàm số gia tốc của vật 2 để tìm được biểu thức GT cho chúng. Đa số các

em này mặc nhiên thừa nhận đường cong gia tốc của vật 2 có dạng parabol để nội suy

rồi tính ra giá trị số của tích phân trước khi so sánh.

Kết quả TN với bài toán 2 cho thấy, mặc dù SV sở hữu những kiến thức toán và

vật lí cần thiết tuy nhiên phần lớn không thể vận dụng chúng vào bài toán yêu cầu

xác định lượng thay đổi vận tốc. Nhưng nếu khó khăn mà các SV gặp phải không bắt

nguồn từ sự thiếu kiến thức toán và vật lí, vậy thì nó bắt nguồn từ đâu? Theo chúng

tôi nguyên nhân nằm ở dạng kiến thức cô lập mà SV sở hữu. Việc học kiến thức toán

của SV thường diễn ra một cách tách biệt với những ngữ cảnh vật lí và thực tiễn mà

ở đó nó được áp dụng. Bên cạnh đó, dường như các SV sư phạm vẫn còn xa lạ với

các kiểu nhiệm vụ đòi hỏi ứng dụng kiến thức về tích phân vào các ngữ cảnh ngoài

toán học, đặc biệt là vật lí. Điều này dẫn đến việc cách hiểu tích phân theo hiệu nguyên

hàm mặc dù được kích hoạt dễ dàng trong các kiểu nhiệm vụ tính toán nhưng lại “ít

hoạt động” với các bài toán có ngữ cảnh ứng dụng.

PL19

Bài toán 3. Công 𝐴 do lực F không đổi kéo vật dịch chuyển một độ dời 𝑠 (cùng

phương với lực) được tính bởi công thức: 𝐴 = 𝐹. 𝑠.

a. Một vật dịch chuyển trên đoạn đường thẳng

dưới tác dụng của một lực kéo không đổi có độ

lớn F = 10N cùng phương với chiều chuyển

động. Tính công của lực khi kéo vật từ vị trí ban

đầu 𝑠 = 0 đến vị trí 𝑠 = 5 (m).

b. Trong thực tế, khi kéo vật di chuyển quãng

đường càng lớn thì người kéo càng mệt nên lực

kéo giảm dần theo hàm số

(đơn vị của lực là Newton và đồ thị cho ở bên).

- Hãy tìm cách tính gần đúng công của lực

kéo này khi vật dịch chuyển từ vị trí 𝑠 = 0 (m)

đến vị trí 𝑠 = 5 (m). Giải thích cách tính của mình.

- Bạn hãy đề nghị một phương pháp toán học cho phép tính chính xác công cần

tìm. Hãy giải thích đề nghị của bạn.

Kết quả với bài toán 3:

Từ đầu bài toán chúng tôi đã cung cấp công thức tính công trong trường hợp lực

tác động không đổi. Vì thế không ngạc nhiên khi tất cả các HS và SV tham gia TN

đều dễ dàng áp dụng và đưa ra được kết quả đúng cho yêu cầu ở câu a.

Đối với yêu cầu ở câu b, kết quả chúng tôi ghi nhận với nhóm SV như sau:

Không có SV nào đưa ra được chiến lược 𝑺Riemann đối với yêu cầu tính gần đúng. Với yêu cầu tính chính xác, chỉ có 6 SV (18,8%) trên tổng số 32 SV biết sử dụng tích

phân để tính công cần tìm trong khi các em còn lại không đưa ra được câu trả lời.

Đáng nói hơn, chúng tôi đã tiến hành phỏng vấn 6 SV thành công này và phát hiện ra

rằng chỉ có duy nhất một em biết được lí do sử dụng tích phân dựa trên cấu trúc tổng

Riemann. Các em còn lại cho biết rằng, họ biết công thức tính công theo tích phân từ

các sách tham khảo vật lí nhưng vẫn chưa hiểu tại sao có cách tính này

3. Kết luận cho thực nghiệm

Để dạy học tích phân theo hướng LM Toán – Vật lí, điều quan trọng là GV phải

dạy được tích phân theo cách mà người học có thể sử dụng nó để giải quyết các vấn

PL20

đề của Vật lí. Mà nếu như thế thì các SV sư phạm sắp trở thành những GV trong

tương lai liệu có sử dụng được tích phân trong các bài toán của Vật lí hay không? Kết

quả TN của chúng tôi cho thấy các SV gặp khó khăn trong việc áp dụng kiến thức

toán học của mình vào ngữ cảnh vật lí. Hơn nữa, điều đáng chú ý là khó khăn họ gặp

phải lại không đến từ sự thiếu hụt kiến thức toán hay vật lí. Thật vậy, ở bài toán 1 đa

số các SV biết ý nghĩa vật lí của tích phân là quãng đường vì đã được giới thiệu trong

SGK toán lớp 12. Bên cạnh đó, những SV này cũng biết ý nghĩa hình học của tích

phân là diện tích hình phẳng dưới đường cong. Tuy nhiên, trong một tình huống mà

hàm số vận tốc được cho theo biểu diễn đồ thị thay vì biểu diễn đại số thì nhiều SV

trong TN của chúng tôi đã không thể gợi ra tích phân cũng như nối kết quãng đường

cần so sánh với diện tích để có được câu trả lời hợp lí. Đến bài toán 2, mặc dù SV sở

hữu những kiến thức toán và vật lí cần thiết như công thức Newton – Leibniz hay mối

quan hệ giữa gia tốc và vận tốc. Phần lớn các em không thể vận dụng chúng vào bài

toán vật lí mà yêu cầu là xác định lượng thay đổi vận tốc. Nhưng nếu khó khăn mà

các SV gặp phải không bắt nguồn từ sự thiếu kiến thức toán và vật lí, vậy thì nó bắt

nguồn từ đâu? Theo chúng tôi nguyên nhân có lẽ là ở dạng kiến thức cô lập mà SV

sở hữu. SV học một kiến thức toán, nhưng kiến thức toán này được họ học tập và

nhận thức một cách tách biệt với những ngữ cảnh trong thực tế và khoa học mà kiến

thức này có thể được áp dụng. Vì vậy mặc dù có đủ kiến thức về cả toán và khoa học

nhưng SV có thể gặp khó khăn trong việc nối kết các hiểu biết mà họ có được để giải

quyết vấn đề. Điều tương tự cũng xảy ra trong kết quả với bài toán 3. SV sư phạm

toán ở bậc đại học được dạy tích phân theo định nghĩa giới hạn tổng Riemann, tuy

nhiên việc tách biệt dạng kiến thức này khỏi những ứng dụng đa dạng của nó đang

làm cho quan niệm của SV về tích phân bị hạn chế. Hầu hết SV không thể sử dụng

cách hiểu tích phân theo tổng Riemann này vào một ngữ cảnh ứng dụng không quen

thuộc đó là bài toán tính công của lực biến đổi.

PL21

4. Hình ảnh minh hoạ một số bài làm của sinh viên trong thực nghiệm

Bài toán 1.

Bài làm 1.

Bài làm 2.

PL22

Bài làm 3.

Bài làm 4.

PL23

Bài làm 5.

PL24

Bài toán 2.

Bài làm 1.

PL25

Bài làm 2.

Bài làm 3.

PL26

Bài toán 3

Bài làm 1.

Bài làm 2.

PL27

Bài làm 3.

Luận án Tiến sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học khái niệm đạo hàm và tích phân theo quan điểm liên môn: Trường hợp liên môn Toán – Vật lí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

NGÔ MINH ĐỨC

DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

THEO QUAN ĐIỂM LIÊN MÔN:

TRƯỜNG HỢP LIÊN MÔN TOÁN – VẬT LÍ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

NGÔ MINH ĐỨC

DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

THEO QUAN ĐIỂM LIÊN MÔN:

TRƯỜNG HỢP LIÊN MÔN TOÁN – VẬT LÍ

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán

Mã số : 62.14.01.11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2021

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

- Lợi ích kép về việc hiểu và ứng dụng mà cách tiếp cận LM Toán – Vật lí mang lại

- Những đặc trưng tri thức luận liên quan đến mối quan hệ gắn kết hỗ trợ lẫn nhau

- Mối quan hệ LM giữa hai thể chế DH Toán và Vật lí, sự chuyển hóa sư phạm và

- Một số giải pháp sư phạm nhằm tận dụng hiệu quả những gắn kết LM giữa GT và

- Làm rõ thêm một số vấn đề liên quan đến DH LM: các quan niệm, mô hình, cách

- Phân tích và làm sáng tỏ các khung lý thuyết chung về việc hiểu và ứng dụng một

- Chương 1: Cơ sở lí luận

- Chương 2: Đạo hàm, tích phân: mối quan hệ gắn kết giữa Giải tích và Vật lí nhìn từ

- Chương 3: Đạo hàm, tích phân: một nghiên cứu thể chế từ quan điểm liên môn giữa

- Chương 4: Các giải pháp sư phạm

- Chương 5: Nghiên cứu thực nghiệm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN

CHƯƠNG 2

ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN: MỐI QUAN HỆ GẮN KẾT GIỮA GIẢI TÍCH

VÀ VẬT LÍ NHÌN TỪ LỊCH SỬ

Hình 2.3. Oresme mô tả sự biến thiên bằng đồ thị rời rạc

• Vai trò của mô hình đồ thị rời rạc trong việc nảy sinh tư tưởng của phép tính tích phân

CHƯƠNG 3

ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ TỪ QUAN

ĐIỂM LIÊN MÔN GIỮA GIẢI TÍCH VÀ VẬT LÍ

từ thông qua mạch … Nếu trong khoảng thời gian

xác định bằng đạo hàm của tốc độ góc theo thời gian.

của cường độ điện trường trong tụ điện.

Kiến thức

Kĩ năng

Bài toán 1. Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai

Bài toán 2. Giả sử một vật chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian,

ĐỊNH NGHĨA

Bài 14. a) Một vật chuyển động với vận tốc 𝑣(𝑡) = 1 − 2 sin 2𝑡 (m/s). Tính quãng đường

CHƯƠNG 4

CÁC GIẢI PHÁP SƯ PHẠM

Ngữ cảnh: Diện tích dưới một đường cong

Các biểu diễn

Lớp

Quá trình - Đối tượng

Bổ sung kiến thức

CHƯƠNG 5

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

Ngữ cảnh:

Lớp

Tính quãng đường với hàm vận tốc và khoảng thời gian cho trước

Quá trình -

Các biểu diễn

Đối tượng

Vật lí

Đồ thị

Kí hiệu

Tính toán số

Lớp phân

hoạch

Lớp tích

Lớp tổng

Lớp giới

hạn

KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ