Luận án Tiến sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học khái niệm hàm số liên tục ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRẦN ANH DŨNG DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

TP HỒ CHÍ MINH - NĂM 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRẦN ANH DŨNG DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN

Mã số chuyên ngành: 62.14.01.11

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. PGS. TS. LÊ VĂN TIẾN

2. PGS. TS. ANNIE BESSOT

TP Hồ Chí Minh – Năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong

bất kỳ công trình nào khác.

TRẦN ANH DŨNG

Tác giả luận án

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ 1

MỤC LỤC .................................................................................................................... 2

DANH MỤC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN ................................ 8

DANH MỤC CÁC BẢNG .......................................................................................... 9

DANH MỤC HÌNH VẼ ............................................................................................ 10

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ ........................................................................................ 12

MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 13

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ...................................................................................... 13

1.1. Về bản thân đối tượng nghiên cứu ....................................................................... 13

1.2. Về quan điểm khoa học luận và sư phạm ............................................................ 14

1.3. Chủ trương của Bộ GD&ĐT về tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin .... 14

1.4. Tổng quan về các nghiên cứu trên chủ đề “hàm số liên tục” ............................. 15

1.4.1. Nghiên cứu về khái niệm hàm số liên tục ở nước ngoài ................................... 15

1.4.2. Nghiên cứu về khái niệm hàm số liên tục ở Việt Nam ...................................... 17

1.4.3. Định hướng nghiên cứu của chúng tôi ............................................................... 19

2. CƠ SỞ LÝ LUẬN ............................................................................................... 19

3. MỤC TIÊU, PHƯƠNG PHÁP VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU .................. 19

4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC ............................................................................. 21

5. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN ............................................................................ 21

6. NHỮNG LUẬN ĐIỂM CẦN BẢO VỆ ............................................................. 22

7. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN .................................................................. 22

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN .............................................................................. 23

1.1. THUYẾT KIẾN TẠO ..................................................................................... 23

1.2. DIDACTIC TOÁN .......................................................................................... 24

1.2.1. Cơ sở tâm lí và giáo dục của Didactic toán ....................................................... 25

1.2.2. Công cụ lí thuyết đặc thù của Didactic Toán .................................................... 26

1.2.2.1. Phân tích khoa học luận một tri thức .............................................................. 26

1.2.2.2. Lý thuyết nhân chủng học (théorie anthropologique) ................................... 29

1.2.2.3. Lí thuyết tình huống ........................................................................................ 31

1.2.2.4. Hợp thức hóa ngoại vi và hợp thức hóa nội tại ............................................... 36

1.3. CHƯỚNG NGẠI VÀ SAI LẦM .................................................................... 39

1.3.1. Chướng ngại ......................................................................................................... 39

1.3.2. Sai lầm .................................................................................................................. 42

1.3.2.1. Sai lầm từ quan điểm của thuyết hành vi ........................................................ 42

1.3.2.2. Sai lầm từ quan điểm của thuyết kiến tạo ....................................................... 43

1.3.2.3. Sai lầm từ quan điểm của Didactic toán ......................................................... 44

1.4. CÁC CƠ SỞ LÍ LUẬN KHÁC ..................................................................... 46

1.4.1. Tiến trình dạy học khái niệm toán học .............................................................. 46

1.4.2. Vài thuật ngữ khác về cách tiếp cận một khái niệm ........................................ 48

1.4.3. Định hướng về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT ... 48

CHƯƠNG 2: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC .................................................................................................................. 52

2.1. MỤC ĐÍCH CỦA CHƯƠNG ......................................................................... 52

2.2. ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC ......................................................................................................................... 52

2.2.1. Giai đoạn 1: Từ Hy lạp cổ đại đến đầu thế kỷ 17 ............................................. 52

2.2.1.1. Quan niệm Hy lạp cổ đại ................................................................................ 52

2.2.1.2. Thời trung cổ ................................................................................................... 54

2.2.1.3. Thời phục hưng ............................................................................................... 55

2.2.1.4. Kết luận về quan niệm nguyên thủy (QNT) ................................................... 55

2.2.2. Giai đoạn 2. (Thế kỷ 17 và 18): Quan niệm hình học về sự liên tục - khái niệm hàm số liên tục là một khái niệm cận toán học (notion paramathématique) . 56

2.2.2.1. René Descartes (1595 – 1650) và quan niệm hình học của Descartes (QHD)56

2.2.2.2. Isaac Newton (1642 – 1727) .......................................................................... 57

2.2.2.3. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) ..................................................... 58

2.2.2.4. Leonard Euler (1707 – 1783) và quan niệm hình học của Euler (QHE) ........ 59

2.2.2.5. Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813) ............................................................ 61

2.2.2.6. Louis Arbogast (1759 – 1803) ........................................................................ 62

2.2.2.7. Kết luận về quan niệm hình học ..................................................................... 64

2.2.3. Giai đoạn 3. Từ thế kỷ 19 – Quan niệm số hóa, quan niệm tôpô .................... 66

2.2.3.1. Joseph Fourier (1768 – 1830) ......................................................................... 66

2.2.3.2. Bernard Bolzano (1781 – 1848) ..................................................................... 67

2.2.3.3. Augustine Louis Cauchy (1785 – 1857) và quan niệm số hóa (QSC) ........... 68

2.2.3.4. Peter Gustave Lejeune Dirichlet (1805 – 1859) ............................................ 69

2.2.3.5. Karl Weierstrass (1815 – 1897) – quan niệm số hóa của Weierstrass (QSW)70

2.2.3.6. Bernard Riemann (1826 – 1866) .................................................................... 72

2.2.3.7. Richard Dedekind (1831 – 1916) .................................................................. 72

2.2.3.8. Quan niệm Baire (QSB) .................................................................................. 73

2.2.3.9. Félix Haussdorff và quan niệm tôpô (QT) ...................................................... 74

2.2.3.10. Kết luận về quan niệm số hóa và quan niệm tôpô ........................................ 75

2.3. KẾT LUẬN ...................................................................................................... 78

2.3.1. Các đặc trưng khoa học luận của khái niệm liên tục ....................................... 79

2.3.2. Những chướng ngại khoa học luận đã được nhận dạng .................................. 80

2.3.3. Cơ chế hoạt động của khái niệm hàm số liên tục ............................................. 80

2.3.4. Ý nghĩa triết học và toán học của khái niệm hàm số liên tục .......................... 82

CHƯƠNG 3: KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SÁCH GIÁO KHOA Ở VIỆT NAM VÀ MỘT SỐ NƯỚC ........................................................................ 86

3.1. MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH .............................................................................. 86

3.2. PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA VIỆT NAM .......................................... 86

3.2.1. Giai đoạn ngầm ẩn .............................................................................................. 86

3.2.2. Giai đoạn tường minh ......................................................................................... 89

3.2.2.1. Tình huống định nghĩa khái niệm hàm số liên tục tại một điểm .................... 90

3.2.2.2. Tình huống định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn ....... 93

3.2.2.3. Tình huống đưa vào các nhận xét, định lí làm cơ sở cho sự đại số hóa tính liên tục của hàm số ....................................................................................................... 95

3.2.2.4. Tình huống đưa vào định lí giá trị trung gian - cơ sở cho khái niệm hàm số liên tục tác động với cơ chế công cụ ............................................................................ 96

3.2.2.5. Các tổ chức toán học và các hợp đồng dạy học .............................................. 97

3.2.2.6. Dự đoán những sai lầm và nguyên nhân ....................................................... 101

3.2.3. Hàm số liên tục ở giai đoạn sau khi được giảng dạy tường minh ................. 102

3.2.3.1. Các tổ chức toán học và các hợp đồng dạy học ............................................ 103

3.2.3.2. Dự đoán các sai lầm và nguyên nhân ........................................................... 104

3.2.4. Tính liên tục trong hình học ............................................................................. 104

3.2.5. Kết luận về khái niệm liên tục và hàm số liên tục ở sách giáo khoa Việt Nam105

3.3. KHÁI NIỆM LIÊN TỤC VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SGK MAROC ................................................................................................................ 107

3.3.1. Thời kì 1945 - 1960 ............................................................................................ 107

3.3.2. Thời kì 1960 – 1970 ........................................................................................... 109

3.3.3. Thời kì 1970 – 1976 ........................................................................................... 110

3.3.4. Kết luận về khái niệm liên tục và hàm số liên tục trong SGK Maroc .......... 111

3.4. KHÁI NIỆM LIÊN TỤC VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SGK MỸ. 114

3.4.1. Giai đoạn ngầm ẩn ............................................................................................ 114

3.4.2. Giai đoạn tường minh ....................................................................................... 116

3.4.3. Kết luận về khái niệm liên tục và hàm số liên tục trong Precalculus ........... 118

3.5. KHÁI NIỆM LIÊN TỤC VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SGK PHÁP119

3.5.1. Thời kỳ 1970 – 1980 .......................................................................................... 119

3.5.2. Thời kỳ 1980 - 1990 ........................................................................................... 120

3.5.3. Thời kỳ 1990 – 2000 .......................................................................................... 121

3.5.4. Thời kỳ sau năm 2000 ....................................................................................... 122

3.5.5. Vài kết luận về SGK Pháp ............................................................................... 123

3.6. KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 .............................................................................. 126

CHƯƠNG 4: THỰC NGHIỆM VỀ SAI LẦM CỦA HỌC SINH ...................... 128

4.1. MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .................................. 128

4.2. BIẾN DẠY HỌC ........................................................................................... 128

4.3. PHẠM VI KIỂM CHỨNG SAI LẦM CỦA CÁC BÀI TOÁN ............... 129

4.4. CÁC BÀI TOÁN THỰC NGHIỆM ............................................................ 129

4.4.1. Thực nghiệm A (dành cho HS lớp 10 và lớp 11) ............................................ 129

4.4.2. Thực nghiệm B................................................................................................... 131

4.5. PHÂN TÍCH TIÊN NGHIỆM ..................................................................... 132

4.5.1. Các bài toán 1A, 2A và 5A (kiểm chứng SL1) .............................................. 132

4.5.2. Các bài toán 6A và 2B (kiểm chứng SL1, SL2 và SL7) ................................. 136

4.5.3. Các bài toán 3A, 4A và 1B (kiểm chứng SL4, SL5) ....................................... 140

4.5.4. Bài toán 3B (kiểm chứng SL8) ......................................................................... 143

4.6. PHÂN TÍCH HẬU NGHIỆM ...................................................................... 144

4.6.1. Ghi nhận tổng quát ........................................................................................... 145

4.6.2. Sai lầm 1 ............................................................................................................. 147

4.6.3. Sai lầm 2 ............................................................................................................. 151

4.6.4. Sai lầm 4 và sai lầm 5 ........................................................................................ 151

4.6.5. Sai lầm 7 ............................................................................................................. 153

4.6.6. Sai lầm 8 ............................................................................................................. 154

4.7. KẾT LUẬN CHƯƠNG 4 .............................................................................. 155

CHƯƠNG 5: CÁC GIẢI PHÁP SƯ PHẠM VỀ DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ THỰC NGHIỆM KIỂM CHỨNG ....................................... 156

A – GIẢI PHÁP SƯ PHẠM ................................................................................ 156

5.1. CƠ SỞ ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP ................................................................... 156

5.2. CÁC GIẢI PHÁP SƯ PHẠM ...................................................................... 156

5.2.1. Giải pháp 1: Khai thác tối đa đặc trưng khoa học luận của khái niệm HSLT trong việc tổ chức các kiến thức trong chương trình và sách giáo khoa. ............... 156

5.2.2. Giải pháp 2: Tăng cường quan điểm thực nghiệm ........................................ 160

5.2.3. Giải pháp 3: Tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin .............................. 162

5.2.4. Giải pháp 4: Khắc phục sai lầm ....................................................................... 164

B- THỰC NGHIỆM ............................................................................................. 168

5.3. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ THỰC NGHIỆM ........................................ 168

5.4. TÌNH HUỐNG 1 ........................................................................................... 169

5.4.1. Mục đích của tình huống 1 ............................................................................... 169

5.4.2. Hình thức thực nghiệm ..................................................................................... 170

5.4.3. Phân tích tiên nghiệm ....................................................................................... 171

5.4.3.1. Các biến dạy học được sử dụng trong xây dựng tình huống 1 ..................... 171

5.4.3.2. Chiến lược có thể dự kiến ............................................................................. 172

5.4.3.3. Quan hệ giữa biến - chiến lược và cái có thể quan sát được ........................ 173

5.4.3.4. Phân tích kịch bản và việc vận dụng các giải pháp sư phạm ........................ 174

5.4.4. Phân tích hậu nghiệm ....................................................................................... 176

5.4.5. Kết luận về tình huống 1 ................................................................................... 179

5.5. TÌNH HUỐNG 2 ........................................................................................... 180

5.5.1. Mục đích của tình huống 2 ............................................................................... 180

5.5.2. Hình thức thực nghiệm ..................................................................................... 180

5.5.3. Phân tích tiên nghiệm ....................................................................................... 180

5.5.3.1. Các biến được sử dụng trong xây dựng tình huống 2 ................................... 180

5.5.3.2. Chiến lược và lời giải có thể dự kiến ............................................................ 181

5.5.3.3. Quan hệ giữa biến-chiến lược và cái có thể quan sát được .......................... 184

5.5.3.4. Phân tích kịch bản và việc vận dụng các giải pháp sư phạm ........................ 185

5.5.4. Phân tích hậu nghiệm ....................................................................................... 188

5.5.5. Kết luận về tình huống 2 ................................................................................... 190

5.6. KẾT LUẬN CHƯƠNG 5 .............................................................................. 191

KẾT LUẬN .............................................................................................................. 193

A. Những đóng góp của luận án .......................................................................... 193

1. Về lí luận ........................................................................................................... 193

2. Về thực tiễn ...................................................................................................... 193

B. Kết luận ............................................................................................................ 194

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ............................................ 195

TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 196

Tiếng Việt .............................................................................................................. 196

Tiếng Pháp ............................................................................................................ 201

Tiếng Anh .............................................................................................................. 203

PHỤ LỤC ................................................................................................................. 205

DANH MỤC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN

VIẾT TẮT

BT CN CNTT CT ĐLGTTG GD&ĐT GTLN GTNN GV HĐDH HK HS HSLT KHL MTBT PPDH SBT SGK SGV SL TH THPT THCS TN tr. VD VIẾT ĐẦY ĐỦ Bài tập Chướng ngại Công nghệ thông tin Chương trình Định lí giá trị trung gian Giáo dục và Đào tạo Giá trị lớn nhất Giá trị nhỏ nhất Giáo viên Hợp đồng dạy học Học kì Học sinh Hàm số liên tục Khoa học luận Máy tính bỏ túi Phương pháp dạy học Sách bài tập Sách giáo khoa Sách giáo viên Sai lầm Tình huống Trung học phổ thông Trung học cơ sở Thực nghiệm Trang Ví dụ

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng

Nội dung

Trang

1.1

Quan hệ giữa phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm

2.1

Bảng tóm tắt tiến triển của các đặc trưng khoa học luận của khái niệm

hàm số liên tục

2.2

Bảng tóm tắt về cơ chế của khái niệm liên tục và khái niệm hàm số liên

tục

3.1

Các tổ chức toán học

100

3.2

Bảng thống kê số bài tập, ví dụ liên quan tới các kiểu nhiệm vụ

103

3.3

Dự đoán sai lầm và nguyên nhân

104

3.4

Các tổ chức toán học ở giai đoạn sau khi khái niệm HSLT được giảng dạy

106

tường minh

3.5

Dự đoán sai lầm và nguyên nhân

107

3.6

Tóm tắt các đặc trưng của khái niệm Liên tục và HSLT ở SGK Việt Nam

108

3.7

Tóm tắt các đặc trưng của khái niệm Liên tục và HSLT ở SGK Maroc

114

3.8

Các đặc trưng của khái niệm Liên tục và HSLT trong Precalculus

122

3.9

Các đặc trưng của khái niệm Liên tục và HSLT trong SGK Pháp

128

4.1

Phạm vi kiểm chứng sai lầm của các bài toán thục nghiệm

132

4.2

Thống kê số học sinh tham gia thực nghiệm, thời điểm thực nghiệm

148

4.3

Thống kê kết quả thực nghiệm A

149

4.4

Thống kê kết quả thực nghiệm B

150

5.1

Nội dung, thời lượng đề xuất gia tăng vào SGK Đại Số và Giải Tích 11

161

5.2

Phân bố số học sinh của các nhóm thực nghiệm tình huống 1

174

5.3

Giá trị của các biến trong các hoạt động

175

5.4

Thống kê kết quả thực nghiệm tình huống 1

179

5.5

Thống kê quan niệm của học sinh

182

5.6

Lời giải dự đoán cho kiểu nhiệm vụ T1 và T2

185

5.7

Lời giải dự đoán cho kiểu nhiệm vụ T3

186

5.8

Thống kê kết quả thực nghiệm của kiểu nhiệm vụ T1 và T2

192

5.9

Thống kê kết quả thực nghiệm của kiểu nhiệm vụ T3

193

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình

Nội dung

Trang

1.1

Sơ đồ hóa hệ thống dạy học tối tiểu

1.2 Quan hệ giữa thể chế tạo ra tri thức, thể chế chuyển đổi tri thức và thể chế

dạy học

1.3 Chu vi tam giác cụt, tình huống 1

1.4 Chu vi tam giác cụt, tình huống 2

2.1 Biểu thị đồ thị thời gian – vận tốc của Oresme

2.2 Quan niệm trực giác của Descartes về hàm số liên tục

2.3 Quan niệm chuyển động của Newton

2.4 Quan niệm hàm số liên tục của Euler theo Grattan - Guinness

2.5 Vị trí ban đầu của dây rung

3.1 Hướng dẫn vẽ đồ thị hàm số y =

trong SGK Toán 9

3.2 Biểu thị đồ thị vận tốc theo thời gian và cách tính độ dời

3.3 Liên hệ bảng biến thiên – đồ thị trong SGK Đại số và Giải tích 11 – Nâng

cao

3.4

Đồ thị hàm số y =

trong SGK Đại số và Giải tích 11 – Nâng cao

3.5 Minh họa hình học HSLT trong SGK Đại số và Giải tích 11 – Nâng cao

3.6

Đồ thị hàm số y =

trong SGK Đại số và Giải tích 11 – Nâng cao

3.7 Minh họa hình học định lí giá trị trung gian

3.8 Minh họa hình học hệ quả của định lí giá trị trung gian

100

3.9 Bố cục các chương trong SGK Precalculus

118

3.10 Tiếp cận trực quan khái niệm HSLT tại một điểm trong SGK Precalculus

120

3.11 Minh họa hình học hàm số có giới hạn và không có giới hạn

126

4.1

142

Đồ thị hàm số f(x) =

4.2

142

Đồ thị hàm số f(x) =

4.3 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS A76

151

4.4 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS A73

151

4.5 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS A08

151

4.6 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS A10

151

4.7 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS B91

152

4.8 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS B61

152

4.9 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS B156

153

4.10 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS B148

153

4.11 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS B122

154

4.12 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS B119

154

4.13 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS C50

154

4.14 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS C28

154

4.15 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS C55

157

4.16 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS C68

157

5.1 Minh họa đồ thị hàm đa thức

165

5.2 Minh họa xác định nghiệm gần đúng bằng đồ thị

165

5.3 Minh họa đồ thị hàm hữu tỉ suy biến thành hàm số bậc ba

178

5.4 Minh họa đồ thị hàm số bậc ba vẽ bằng phần mềm Geogebra

181

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

Sơ đồ

Nội dung

Trang

1.1

Sơ đồ hóa tình huống ngoài dạy học

1.2

Sơ đồ hóa tình huống lí tưởng

1.3

Tiến trình tìm kiếm và kiểm chứng giả thuyết về hợp đồng dạy học

1.4

Các giai đoạn chủ yếu của cách tiếp cận qui nạp

1.5

Các giai đoạn chủ yếu của cách tiếp cận suy diễn

1.6

Các giai đoạn chủ yếu của cách tiếp cận Công cụ  Đối tượng  Công

cụ

3.1

Tiến trình đưa vào khái niệm hàm số liên tục

3.2 Quan hệ giữa các tổ chức toán học

102

3.3

Tiến trình đưa vào khái niệm HSLT ở SGK hiện hành

109

3.4

Tiến trình đưa vào khái niệm HSLT ở SGK thời kì 1945-1960

111

3.5

Tiến trình đưa vào khái niệm HSLT ở SGK thời kì 1960-1970

112

3.6

Tiến trình đưa vào khái niệm HSLT trong Precalculus

119

3.7

Tiến trình đưa vào các khái niệm trong SGK Pháp thời kì 1980-1990

124

5.1

163

bậc THPT liên quan đến khái niệm HSLT

Đề xuất cấu trúc nội dung chính của chương trình Đại Số và Giải Tích

MỞ ĐẦU

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1. Về bản thân đối tượng nghiên cứu

Khái niệm hàm liên tục luôn chiếm một vị trí quan trọng trong giảng dạy ở bậc đại học.

Nó tác động đến nhiều vấn đề trong giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân, phương trình vi

phân,…), là cơ sở cho việc xây dựng Hình học bằng phương pháp tiên đề và là một chủ đề

nghiên cứu của Tôpô.

Tuy nhiên ở bậc phổ thông, đặc trưng trên rất khác biệt trong các nước. Ngay cả trong

một nước, nó cũng thay đổi theo những giai đoạn khác nhau của hệ thống dạy học.

Chẳng hạn ở Cộng hòa Pháp, thể chế dạy học toán THPT đã thể hiện nhiều lưỡng lự

trong việc lựa chọn khái niệm hàm số liên tục như là đối tượng giảng dạy tường minh. Từ

chỗ chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình của thời kì toán học hiện đại những năm

1970, bị loại bỏ hoàn toàn khỏi chương trình những năm 1990, và giờ đây nó lại xuất hiện

trong chương trình hiện hành.

Ở Mỹ và một số nước nói tiếng Anh, khái niệm này vẫn được giảng dạy ở THPT, song

vai trò của nó là không quan trọng và cách tiếp cận khái niệm này cũng theo những xu

hướng khác nhau. Liệu có phải việc sử dụng phổ biến máy tính với các phần mềm hỗ trợ vẽ

đồ thị rất hiệu quả đã là một nguyên nhân làm lu mờ vai trò của khái niệm này với tư cách

một công cụ không?

Ở Việt Nam, khái niệm HSLT luôn chiếm một vị trí truyền thống trong sách giáo khoa.

Với vai trò công cụ ngầm ẩn hoặc tường minh, nó tác động đến nhiều đối tượng khác trong

phạm vi THCS và THPT. Trong đại số và giải tích, nó là yếu tố không thể thiếu trong việc

nghiên cứu đồ thị hàm số, tính khả vi, tính khả tích, các bài toán về giá trị nhỏ nhất và lớn

nhất, các bài toán về nghiệm của phương trình….. Trong số học, nó là một yếu tố quyết định

trong việc xây dựng tập số thực. Trong hình học, nó cũng là một yếu tố có vai trò quan

trọng khi các phép biến hình được giảng dạy đều là những ánh xạ có đặc trưng song liên tục trong không gian tôpô R2. Mặc dù có phạm vi tác động rộng như thế nhưng vai trò của nó

dường như mờ nhạt so với các đối tượng tri thức khác. Thực tiễn dạy học ở Việt Nam cho

thấy ngoài giai đoạn hiện diện tường minh ở lớp 11, nó chỉ còn đóng vai trò một công cụ

ngầm ẩn và thường không được chú ý đến.

Mặt khác, cách tiếp cận khái niệm HSLT đã có những thay đổi đáng kể giữa chương

trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và chương trình hiện hành.

Những ghi nhận trên làm nảy sinh ở chúng tôi những câu hỏi khởi đầu sau đây về khái

niệm HSLT:

Vì sao lại có sự khác biệt như vậy giữa dạy học ở bậc đại học và bậc phổ thông? Ở bậc

phổ thông, vì sao có những tiếp cận khác nhau về khái niệm HSLT giữa các nước và ngay

cả những thời kì khác nhau ở trong cùng một nước? Những lựa chọn khác nhau đó dựa trên

những cơ sở nào? Cách tiếp cận khác nhau như vậy ảnh hưởng thế nào trên quan niệm của

giáo viên và học sinh về khái niệm này?

1.2. Về quan điểm khoa học luận và sư phạm

Quan điểm khoa học luận và sư phạm đang phổ biến hiện nay trong nhiều nước là: “thực

hiện một sự dạy học thỏa mãn hơn khoa học luận và tôn trọng hơn qui trình nhận thức của

học sinh.” [42; tr. 1]

Chắc chắn không thể tổ chức dạy học một tri thức giống như tiến trình nảy sinh và tiến

triển của nó trong lịch sử toán học. Nhưng theo quan điểm trên, trong những hoàn cảnh cụ

thể, với những tri thức cụ thể, cần hướng đến tri thức được giảng dạy có được nhiều nhất có

thể những đặc trưng như nó đã từng có trong lịch sử phát triển toán học, đồng thời đảm bảo

những ràng buộc của thể chế như: hạn chế về thời gian, hạn chế về mặt phát triển tâm lí và

trí tuệ của chủ thể - người học,…

Từ đó, việc soạn thảo chương trình và sách giáo khoa, cũng như việc dạy học toán ở

trường phổ thông phải tính đến những đặc trưng khoa học luận của đối tượng tri thức cần

giảng dạy và khả năng nhận thức của HS về đối tượng này. Như vậy, cần thiết phải có

những nghiên cứu về khoa học luận lịch sử toán học và những nghiên cứu sư phạm gắn liền

với đối tượng tri thức. Ở đây, chúng tôi chọn nghiên cứu khái niệm HSLT như là một minh

họa cho tiếp cận theo quan điểm trên.

1.3. Chủ trương của Bộ GD&ĐT về tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin

Chủ trương của Bộ GD&ĐT đã khẳng định: “Đẩy mạnh việc ứng dụng công nghệ thông

tin trong trường phổ thông nhằm đổi mới phương pháp dạy và học theo hướng giáo viên tự

tích hợp CNTT vào từng môn học thay vì học trong môn tin học. Giáo viên các bộ môn chủ

động tự soạn và tự chọn tài liệu và phần mềm (mã nguồn mở) để giảng dạy ứng dụng

CNTT” (Theo Quyết định số 698/QĐ-TTg ngày 01/6/2009 của Thủ tướng Chính phủ).

Đổi mới phương pháp dạy học theo quan niệm CNTT và truyền thông là xu hướng tất

yếu. CNTT là một trong các tác nhân hiệu quả góp phần đổi mới phương pháp dạy học,

chuyển từ truyền thụ một chiều, học tập thụ động sang học tập tích cực, chủ động, sáng tạo.

CNTT còn tạo một môi trường tương tác để người học học tập thông qua hoạt động và thích

nghi với môi trường. Việc học tập diễn ra trong quá trình hoạt động và thích nghi đó. Nó còn

tạo điều kiện để người học hoạt động độc lập nhưng vẫn đảm bảo mối liên hệ ngược trong

quá trình dạy học. Như vậy, ứng dụng CNTT là một công cụ hỗ trợ quan trọng cho việc vận

dụng các mô hình học tập theo quan điểm kiến tạo hoặc mô hình “tình huống học tập lý

tưởng” theo quan điểm của Didactic Toán. Ở Việt Nam, mặc dù đã có chủ trương, song ứng

dụng CNTT chưa được cụ thể hóa thành những nội dung cụ thể trong CT và SGK toán như

trong một số nước khác (Pháp và Mĩ,…), nó chỉ mới dừng lại ở yêu cầu GV “tự thân” tăng

cường vận dụng CNTT vào hoạt động dạy học của mình. Nói cách khác, không có sự đan

xen nội dung tin học vào nội dung môn toán. Tin học và toán học vẫn hình thành nên các

môn học độc lập nhau.

Ngoài ra, nhiều nghiên cứu cho thấy, các đối tượng kiến thức của giải tích (giới hạn, liên

tục, đạo hàm, tích phân,…) hình thành nên vùng đất phong phú cho phép tiếp cận CNTT.

Những khái niệm Giải tích này, mặc dầu có tính trừu tượng cao, nhưng ở trường phổ thông

chúng đều nảy sinh như là kết quả của mô hình hóa thực tế rất trực quan và sống động. Đặc

trưng này là một thuận lợi cho ứng dụng CNTT trong thiết kế các tình huống dạy học khái

niệm Giải tích theo hướng tiếp cận trực giác, có thể mang lại “nghĩa đúng” hơn cho khái

niệm.

1.4. Tổng quan về các nghiên cứu trên chủ đề “hàm số liên tục”

1.4.1. Nghiên cứu về khái niệm hàm số liên tục ở nước ngoài

Ở cấp độ đại học tại nhiều nước, khái niệm hàm số liên tục được đề cập qua nhiều

nghiên cứu khác nhau. Nó hình thành nên một chủ đề nghiên cứu quan trọng trong Giải tích

và Tôpô vì phạm vi tác động rộng của nó.

Ở bậc trung học ở các nước nói tiếng Anh, khái niệm HSLT cũng là một vấn đề thu hút

được nhiều quan tâm. Đa số các nghiên cứu đều được tiếp cận từ góc độ nhận thức, chủ

xướng là David Orme Tall - nhà giáo dục học người Anh. Trong bài báo khoa học “Bức

tranh khái niệm và định nghĩa khái niệm trong toán học, tham chiếu trường hợp khái niệm

giới hạn và liên tục” [113] của David Tall và Shlomo Vinner (1981), các tác giả đề cập đến

những chướng ngại nhận thức của HS khi tiếp thu các kiến thức về giải tích ở cấp độ hình 15

thức hóa do ảnh hưởng của hình ảnh về khái niệm đã có trước. Trong bài báo này, khái niệm

hàm số liên tục được sử dụng như một trường hợp minh họa.

Bài báo “Máy vi tính và mối liên hệ giữa trực giác và hình thức hóa” [111] của David

Tall và Adrian Simpson (1998) đề cập đến việc sử dụng công nghệ thông tin trong biểu thị

các hình ảnh trực giác về các khái niệm giải tích và hàm số liên tục cũng là một đối tượng

được quan tâm. Ý tưởng này được lặp lại trong bài báo “Sử dụng công nghệ để hỗ trợ tiếp

cận trong học tập khái niệm toán học” [110] của David Tall (2003).

Bài báo “Phân tích về nhận thức các quan niệm của Cauchy về hàm số, sự liên tục, giới

hạn và vô cùng bé trong dạy học giải tích” [112] của David Tall và Mikhail Katz (2012) đề

cập đến những quan niệm ngầm ẩn của Cauchy kể cả trong trường hợp định nghĩa hàm số

liên tục.

Tác giả Leah Christy Bridgers (2007), đã trình bày luận án tiến sĩ giáo dục tại trường Đại

học Syracuse (New York) với đề tài « Khái niệm liên tục: một nghiên cứu đối với giáo viên

trung học và học sinh của họ » [104]. Luận án có các mục tiêu chính: a) Nghiên cứu quan

niệm học sinh về khái niệm hàm số liên tục, b) Nghiên cứu quan niệm của giáo viên về khái

niệm hàm số liên tục trên phương diện sư phạm và phương diện toán học, c) Bản chất của

quan hệ giữa quan niệm của giáo viên và quan niệm của học sinh. Nghiên cứu của tác giả

cũng đặt trong khung các lí thuyết tham chiếu về nhận thức. Bridgers L. C. đã cho thấy

những lẫn lộn của học sinh giữa tính liên tục của hàm số với tính khả vi, sự tồn tại giới hạn

và một số quan niệm đa dạng khác. Tác giả cũng tìm thấy những hạn chế trong quan niệm

của giáo viên. Theo tác giả, khiếm khuyết của nghiên cứu là chỉ cung cấp một cái nhìn sơ

khởi về quan niệm của HS và GV, nó không cho biết sự tiến triển của các quan niệm. Hạn

chế khác của luận án là việc nghiên cứu quan niệm của giáo viên chỉ dựa hoàn toàn trên các

báo cáo của giáo viên dạy khái niệm hàm số liên tục chứ không từ các quan sát giờ dạy trên

lớp.

Chúng tôi cũng không tìm thấy ở nghiên cứu của Bridgers L. C. danh mục những sách

giáo khoa mà tác giả đã dựa trên đó để tiến hành các điều tra về quan niệm học sinh. Thông

tin từ [104] chỉ cho biết đối tượng điều tra quan niệm là HS các lớp thuộc chương trình toán

nâng cao (Advanced Placement) ở các trường THPT ở New York.

Ở cộng đồng Pháp ngữ, chủ đề hàm số liên tục cũng có một vị trí đáng kể.

Tại Pháp, bài báo “Khái niệm liên tục ở trường trung học: ghi nhận từ một thực

nghiệm” [97] của Andre Revuz (1972) trình bày kết quả nghiên cứu thực nghiệm về những

khó khăn của học sinh khi học tập khái niệm hàm số liên tục trong giai đoạn mà đại số cấu

trúc giữ vị trí chủ đạo ở Pháp.

Năm 1988, Habiba El Bouazzaoui hoàn thành luận án Tiến sĩ ở Đại học Laval (Québec,

Canada) với đề tài « Quan niệm của học sinh và giáo viên về khái niệm liên tục của hàm

số » [80]. Luận án của Bouazzaoui H. E. nhằm hai mục tiêu chính: nghiên cứu quan niệm

của học sinh hai năm cuối cấp THPT ở Maroc về khái niệm hàm số liên tục; nghiên cứu

những quan niệm của giáo viên THPT ở Maroc về khái niệm hàm số liên tục và so sánh

quan niệm của học sinh và giáo viên. Để thực hiện nghiên cứu đó, trước tiên, Bouazzaoui H.

E. đã nghiên cứu lịch sử tiến triển của khái niệm hàm số liên tục. Kế đó, ông nghiên cứu

tiến triển của khái niệm này trong chương trình, sách giáo khoa Maroc từ năm 1945 đến

năm 1976 và thực nghiệm điều tra quan niệm của giáo viên và học sinh. Như vậy, nghiên

cứu này được thực hiện ở một giai đoạn khá xa xưa và hơn nữa, ở thời kì những năm 1970

này, chương trình và sách giáo khoa toán của Maroc được soạn thảo dựa trên quan điểm của

toán học hiện đại theo trường phái Bourbaki ở Pháp, rất khác với các quan điểm hiện nay.

Nadia Mawfik (2006), trong một nghiên cứu thực hiện tại trường Cao Đẳng sư phạm

Takadoum Rabat, Maroc, đã lặp lại đề tài «Nhận thức của học sinh trung học ở Maroc về

khái niệm tính liên tục của hàm số » [95], vì nhiều lí do. Theo tác giả, khái niệm liên tục là

khái niệm trung tâm của giải tích và cũng là khái niệm then chốt của tôpô nhưng ít được

nghiên cứu trong dạy học toán. Mặt khác, nhiều khái niệm giải tích ở bậc trung học có tính

chất công cụ và tính toán, nghĩa là chúng thường dẫn đến kết quả định lượng như tính giới

hạn, tính đạo hàm, ngược lại, tính liên tục mang tính chất chủ yếu về định tính. Tác giả cho

rằng học sinh gặp nhiều khó khăn trong nhận thức khái niệm liên tục và những thay đổi

chương trình Toán ở Maroc (năm 1987 và năm 1993) cũng không làm giảm bớt khó khăn

của học sinh trong nhận thức về khái niệm này.

1.4.2. Nghiên cứu về khái niệm hàm số liên tục ở Việt Nam

Ở nước ta, không có nhiều nghiên cứu chuyên biệt về khái niệm hàm số liên tục. Đa số

các nghiên cứu đều thực hiện trên một phạm vi rộng các khái niệm Giải tích, trong đó khái

niệm HSLT được dùng như một trong các minh họa các giải pháp nào đó về dạy học các

khái niệm giải tích và thường không có vị trí quan trọng trong nghiên cứu.

Chẳng hạn, trong luận án tiến sĩ của Nguyễn Mạnh Chung (2001) với đề tài “Nâng cao

hiệu quả dạy học khái niệm toán học bằng các biện pháp sư phạm theo hướng tích cực hóa

hoạt động nhận thức của học sinh (thông qua dạy học các khái niệm “hàm số” và “giới

hạn” cho học sinh trường trung học phổ thông)” [16], khái niệm hàm số liên tục được sử

dụng để minh họa giải pháp dạy học khái niệm giải tích theo một “qui trình khép kín” và sơ

đồ khối.

Tác giả Nguyễn Phú Lộc (2006) đề cập nội dung dạy học khái niệm này trong luận án

tiến sĩ “Nâng cao hiệu quả dạy học môn Giải tích trong nhà trường trung học phổ thông

theo hướng tiếp cận một số vấn đề của phương pháp luận toán học” [39], trong đó, khái

niệm hàm số liên tục được sử dụng để minh họa giải pháp dạy học khái niệm giải tích theo

“mô hình cộng biến”.

Một xu hướng khác là nghiên cứu ứng dụng khái niệm HSLT vào dạy học các đối tượng

tri thức khác, chứ không phải trên bản thân khái niệm này.

Chẳng hạn, bài báo “Áp dụng một tính chất của hàm số liên tục” [40] của Nguyễn Phú

Lộc (2003) đã nói về một ứng dụng của định lí giá trị trung gian trong việc chứng minh sự

tồn tại nghiệm của phương trình lượng giác và phương trình đại số bậc cao.

Nguyễn Hữu Nhân và Trần Kim Thỏa (2006) đã trình bày một số ứng dụng các tính chất

của hàm số liên tục trong một tài liệu tham khảo “Ứng dụng của hàm liên tục trong giải toán

phổ thông” [45].

Tính liên tục cũng xuất hiện dưới dạng những khảo cứu liên quan đến phạm trù toán học

- triết học, chẳng hạn bài báo “Tính liên tục và rời rạc, chuyển động và đứng yên trong lịch

sử phát triển của phép tính vi phân và tích phân” [41] của tác giả Nguyễn Phú Lộc trên tạp

chí Triết học số 5(168).

Năm 2005, trong luận văn Thạc sĩ với đề tài “Khái niệm liên tục, một nghiên cứu khoa

học luận và didactic” [20], chúng tôi đã trình bày một số nghiên cứu mở đầu về khái niệm

liên tục và hàm số liên tục chủ yếu dựa trên CT và SGK thuộc chương trình chỉnh lý hợp

nhất (chương trình năm 2000). Trong luận văn này, một nghiên cứu về quan niệm của học

sinh về khái niệm liên tục và hàm số liên tục đã được thực hiện. Tuy nhiên, nghiên cứu đó

còn phiến diện, chưa phù hợp với các định hướng sắp đến của việc xây dựng CT và SGK

theo hướng tiếp cận năng lực và tư duy. Ngoài những vấn đề được đặt ra trong các câu hỏi

trên, nghiên cứu đó còn bỏ ngỏ nhiều vấn đề như: sự phân tích theo quan điểm so sánh khái

niệm HSLT trong chương trình hiện hành ở nước ta cũng như một vài nước mà tại đó cũng

tồn tại đồng thời chương trình chuẩn và chương trình nâng cao; những chướng ngại học tập

hay sai lầm mà HS gặp phải; những giải pháp sư phạm cần có.

1.4.3. Định hướng nghiên cứu của chúng tôi

Từ tóm lược ngắn gọn các công trình nêu trên, chúng tôi mong muốn phát triển các câu

hỏi khởi đầu bằng cách tiến hành một nghiên cứu chuyên biệt về khái niệm HSLT trên nền

tảng nối kết nghiên cứu khoa học luận, nghiên cứu điều kiện và ràng buộc của thể chế dạy

học toán ở trường phổ thông Việt Nam hiện nay, nghiên cứu thực tiễn dạy học trên quan

điểm sư phạm tích cực và vai trò của CNTT trong dạy học toán.

2. CƠ SỞ LÝ LUẬN

Để thực hiện nghiên cứu này, chúng tôi đã chọn những công cụ lí thuyết thích hợp cho

phép cụ thể hóa và phát triển các câu hỏi khởi đầu nêu trên và đặc biệt là tìm được câu trả

lời thích đáng cho các vấn đề đã đặt ra.

Với định hướng này, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của tâm lí học

nhận thức, thuyết kiến tạo và Didactic Toán theo trường phái của Cộng hòa Pháp.

3. MỤC TIÊU, PHƯƠNG PHÁP VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Mục tiêu của luận án là làm rõ đặc trưng của khái niệm hàm số liên tục cả từ góc độ

khoa học luận và sư phạm (trong thể chế dạy học toán ở trường Phổ thông Việt Nam),

khiếm khuyết trong lựa chọn của thể chế dạy học và ảnh hưởng của những lựa chọn của thể

chế dạy học trên quan niệm của GV và HS về các khái niệm này, từ đó đề xuất một số giải

pháp sư phạm liên quan đến dạy học khái niệm HSLT.

Song song đó, luận án cũng nhắm tới mục tiêu giới thiệu và minh chứng về tính hiệu quả

của một số công cụ lí thuyết của Didactic toán nhằm làm phong phú hơn kho tàng Lí luận và

Phương pháp dạy học môn toán ở nước ta.

Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi chọn phương pháp luận nghiên cứu như sau:

a) Trình bày cơ sở lí luận cho nghiên cứu.

b) Phát triển một nghiên cứu KHL về khái niệm HSLT nhằm xây dựng một tham chiếu

cho nghiên cứu thể chế dạy học. Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ đào sâu nghiên cứu khoa

học luận về khái niệm HSLT của Habiba El Bouazzaoui (1998) bằng cách sử dụng

lại các kết quả chủ yếu từ nghiên cứu này, bổ sung hoặc làm rõ hơn các đặc trưng

khoa học luận của khái niệm HSLT.

c) Nghiên cứu trên quan điểm so sánh các thể chế dạy học khác nhau (Việt Nam,

Maroc, Mĩ và Pháp) nhằm làm rõ đặc trưng của khái niệm HSLT ở cấp độ dạy học

toán ở trường phổ thông.

d) Nghiên cứu thực nghiệm những sai lầm của HS liên quan đến khái niệm HSLT

nhằm làm rõ những ảnh hưởng của thể chế trên quan niệm của HS về HSLT.

e) Từ các kết quả nghiên cứu trên đề xuất một số giải pháp sư phạm liên quan đến việc

dạy học khái niệm HSLT ở Việt Nam.

f) Triển khai thực nghiệm kiểm chứng một số trong các giải pháp đề xuất.

Phương pháp luận nghiên cứu nêu trên có thể được sơ đồ hóa như sau:

Dựa vào mục tiêu và phương pháp luận nghiên cứu đã nêu, có thể xác định nội dung

nghiên cứu của luận án như sau:

 Phân tích và tổng hợp những yếu tố lí thuyết chủ yếu có được từ Tâm lí học nhận thức,

Thuyết kiến tạo và Didactic để hình thành cơ sở lí luận của đề tài.

 Phân tích, tổng hợp một số nghiên cứu KHL về lịch sử hình thành và tiến triển của

khái niệm Hàm số liên tục để làm rõ những đặc trưng KHL của các khái niệm này.

 Phân tích so sánh SGK toán THPT ở Việt Nam, Maroc, Mỹ và Pháp để làm rõ đặc

trưng của mối quan hệ thể chế với khái niệm liên tục và hàm số liên tục trong thể chế dạy

học toán ở Trường THCS và THPT Việt Nam..

 Xây dựng và triển khai thực nghiệm về những khó khăn và sai lầm mà HS có thể gặp

phải trong học tập những đối tượng có liên quan đến tính liên tục của hàm số.

 Đề xuất giải pháp sư phạm và triển khai thực nghiệm kiểm chứng.

4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Từ quan điểm phương pháp luận của Didactic toán, chúng tôi không trình bày giả thuyết

khoa học về các giải pháp sư phạm cần vận dụng, mà đó là các giả thuyết gắn liền trực tiếp

với đối tượng tri thức toán học cần nghiên cứu (HSLT). Tuy nhiên, tính khả thi của các giải

pháp sư phạm sẽ được minh chứng gián tiếp qua kết quả thực nghiệm kiểm chứng giả thuyết

gắn với đối tượng tri thức.

Hơn nữa, các giả thuyết này không nảy sinh ngay từ khởi đầu nghiên cứu, mà là kết quả

của quá trình thực hiện những nội dung nghiên cứu nêu ở trên.

Hai giả thuyết khoa học của luận án là:

Giả thuyết 1: Tồn tại những sai lầm của học sinh trong việc học tập các kiến thức gắn

liền với các khái niệm liên tục và hàm số liên tục, mà nguồn gốc của chúng có thể tiếp cận

được từ quan điểm của thuyết kiến tạo và lí thuyết Didactic toán, chứ không bó hẹp trong

những giải thích phiến diện của thuyết hành vi. Cụ thể hơn, đó là những sai lầm có nguồn

gốc từ Hợp đồng dạy học gắn với các khái niệm này.

Giả thuyết 2: HS có thể nhận ra khiếm khuyết của quan niệm hình học về khái niệm hàm

số liên tục và từ đó kiến tạo một định nghĩa hình thức của khái niệm này thông qua hoạt

động giải quyết các tình huống được thiết kế theo quan điểm của phương pháp dạy học tích

cực, có ứng dụng CNTT. Nói cách khác, các tình huống này có thể cho phép học sinh thực

hiện sự nối khớp giữa quan điểm hình học và quan điểm số hóa về khái niệm hàm số liên

tục.

Giả thuyết 1 là kết quả của các nghiên cứu trình bày trong chương 1, 2 và 3.

Giả thuyết 2 rút ra từ nghiên cứu trong các chương từ 1 đến 5.

5. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Luận án được tổ chức trong 5 chương như sau:

- Chương I: Cơ sở lý luận

- Chương II: Đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số liên tục.

- Chương III: Khái niệm hàm số liên tục trong sách giáo khoa ở Việt Nam và một số

nước

- Chương IV: Thực nghiệm về sai lầm của học sinh

- Chương V: Các giải pháp sư phạm về dạy học khái niệm hàm số liên tục và thực

nghiệm kiểm chứng.

6. NHỮNG LUẬN ĐIỂM CẦN BẢO VỆ

- Đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số liên tục.

- Đặc trưng thể chế của khái niệm hàm số liên tục.

- Những khó khăn và sai lầm của HS gắn với khái niệm hàm số liên tục.

- Các giải pháp sư phạm và kết quả thực nghiệm kiểm chứng.

7. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN

 Luận án giới thiệu một số công cụ lí thuyết của Didactic Toán, trong sự kết nối với quan

điểm của thuyết kiến tạo, nhằm làm phong phú thêm kho tàng Lý luận và Phương pháp dạy

học bộ môn Toán ở nước ta.

 Về mặt phương pháp luận, luận án đề cập một cách khá đầy đủ và sâu sắc cách tiếp cận

đối tượng nghiên cứu được vận dụng trong nhiều nghiên cứu ở nước ngoài, nhưng chưa

được đào sâu đúng mức ở Việt Nam, nhất là trong các luận án tiến sĩ. Đó là việc vận dụng

phép biện chứng giữa nghiên cứu KHL và nghiên cứu sư phạm, phương pháp thực nghiệm

dựa trên hợp thức hóa nội tại (thay vì cách hợp thức hóa ngoại vi).

 Luận án đã góp phần làm rõ các đặc trưng KHL và sư phạm của một đối tượng tri thức

quan trọng - khái niệm HSLT, cũng như một số ảnh hưởng của lựa chọn KHL và sư phạm

về khái niệm HSLT lên HS. Đặc biệt, luận án đã kiểm chứng một phương án đưa vào khái

niệm HSLT từ quan điểm của phương pháp dạy học tích cực, có ứng dụng CNTT và cho

phép nối khớp quan điểm hình học và quan điểm số hóa khái niệm này.

 Với những đóng góp trên, chúng tôi nghĩ rằng luận án sẽ là một tài liệu tham khảo hữu

ích cho các nhà soạn thảo CT và SGK, các nhà nghiên cứu, cũng như giáo viên phổ thông;

góp phần vào chủ trương cải cách CT và SGK và đổi mới phương pháp dạy học nói chung

và dạy học khái niệm HSLT nói riêng.

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

Chương này trình bày những yếu tố lí luận cơ bản nhất làm nền tảng công cụ lí thuyết

cho những nghiên cứu trong luận án.

1.1. THUYẾT KIẾN TẠO

Những đặc trưng của thuyết kiến tạo trong dạy học đã được trình bày khá đầy đủ trong

tác phẩm của GS. TS. Nguyễn Hữu Châu [11, tr. 207 – 215]. Sau đây là một số luận điểm

cơ bản của thuyết kiến tạo rút ra từ tác phẩm này:

- Tri thức được tạo nên một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không phải tiếp thu

thụ động từ bên ngoài.

- Nhận thức là một quá trình thích nghi và tổ chức lại thế giới quan của chính mỗi người.

Nhận thức không phải là khám phá một thế giới độc lập đang tồn tại bên ngoài ý thức của

chủ thể.

- Kiến thức mà cá nhân thu được phải “tương xứng” với yêu cầu mà tự nhiên và xã hội

đặt ra.

- Học sinh đạt được tri thức mới theo chu trình: Dự báo Kiểm nghiệm  Thất bại 

Thích nghi  Kiến thức mới.

Tuy nhiên, quá trình nhận thức của HS không giống với quá trình nhận thức về tự nhiên,

xã hội của các nhà khoa học. Nó chỉ nhằm mục đích chủ động tái tạo lại tri thức của nhân

loại trong nhận thức của mình và lại được diễn ra trong một môi trường dạy học, có sự tổ

chức theo ý đồ sư phạm.

Xuất phát từ bản chất của kiến tạo trong dạy học, nhiều nhà nghiên cứu đã phân chia

kiến tạo trong dạy học thành hai loại:

a) Kiến tạo cơ bản (Radical Constructivism)

Kiến tạo cơ bản là một quan điểm nhận thức, nhấn mạnh đến cách thức các cá nhân xây

dựng tri thức cho bản thân trong quá trình học tập. Kiến tạo cơ bản quan tâm đến quá trình

chuyển hóa bên trong của cá nhân trong quá trình nhận thức, điều này dựa trên giả thuyết về

học tập có cơ sở tâm lý học: “Nhận thức là quá trình người học thích nghi với môi trường,

thông qua các hoạt động đồng hóa và điều ứng các tri thức và kinh nghiệm sẵn có của mình

sao cho thích ứng”. Kiến tạo cơ bản chỉ quan tâm đến vai trò của chủ thể trong quá trình

nhận thức mà không thấy được vai trò và tác động của những yếu tố xã hội khác đối với quá

trình nhận thức.

b) Kiến tạo xã hội (Social Constructivism)

Kiến tạo xã hội là quan điểm nhấn mạnh đến vai trò của các yếu tố văn hóa và các điều

kiện xã hội và sự tác động của các yếu tố đó đến sự hình thành kiến thức. Kiến tạo xã hội

xem xét cá nhân trong mối quan hệ chặt chẽ với các lĩnh vực xã hội. Nhân cách của chủ thể

được hình thành thông qua sự tương tác với những người khác. Tư duy được xem như một

sản phẩm của hoạt động mang tính xã hội của các cá nhân.

Kết hợp hai quan điểm của thuyết kiến tạo, ta thấy rõ vai trò trung tâm của người học

qua các đặc trưng sau:

a) Người học phải chủ động và tích cực trong việc đón nhận tình huống học tập mới; chủ

động trong việc huy động những kiến thức, kỹ năng đã có vào khám phá tình huống học tập

mới.

b) Người học phải chủ động bộc lộ những khó khăn, những quan điểm của mình trước

tình huống học tập mới.

c) Người học phải chủ động, tích cực trao đổi, thảo luận với bạn bè và GV.

d) Người học phải tự điều chỉnh lại kiến thức của mình sau khi đã lĩnh hội được các tri

thức mới, thông qua việc giải quyết các tình huống trong học tập.

Tuy đề cao vai trò trung tâm của người học trong quá trình dạy học nhưng vai trò của

người dạy cũng có tính chất quyết định. Trong dạy học kiến tạo, thay vì nỗ lực giảng giải,

thuyết trình nhằm truyền thụ tri thức cho HS, giáo viên phải là người chuyển hóa các tri

thức khoa học thành tri thức dạy học bằng cách xây dựng các tình huống dạy học chứa đựng

các tri thức cần lĩnh hội, xây dựng nên một môi trường có tính xã hội để HS tạo nên kiến

thức cho chính họ.

1.2. DIDACTIC TOÁN

Cũng như PPDH môn toán (với tư cách là một ngành khoa học), Didactic Toán (theo

trường phái của Pháp) nghiên cứu quá trình dạy học môn toán. Tuy nhiên, nét đặc trưng của

Didactic toán thể hiện ở bốn điểm cơ bản sau:

a) Didactic toán chú trọng nghiên cứu những điều kiện và ràng buộc đặc trưng cho hoạt

động dạy học toán và những điều kiện để kiến thức toán có thể được kiến tạo trong quá

trình dạy học.

b) Để tiếp cận quá trình dạy học gồm ba cực Giáo viên, Học sinh và Tri thức (nội dung

dạy học), Didactic toán chọn ưu tiên tiếp cận từ cực Tri thức.

c) Hệ thống dạy học tối tiểu được nghiên cứu trong didactic toán bao gồm bốn cực, được

sơ đồ hóa trong hình 1.1 (xem hình 1.1).

Đặc trưng thứ ba này là hệ quả của hai đặc trưng đầu tiên và giả thuyết tâm lí mà

Didactic toán lấy làm cơ sở lí luận mà ta sẽ đề cập trong phần sau.

Như vậy, cũng như quan điểm của thuyết kiến tạo xã hội, Didactic toán coi trọng vai trò

của môi trường trong dạy học toán, nhưng ở đây, nội hàm của khái niệm môi trường

(milieu) hoàn toàn khác với khái niệm môi trường (environnement) được hiểu theo quan

điểm của thuyết kiến tạo hay quan điểm của sư phạm tương tác. Sự khác biệt này đã được

làm rõ trong nghiên cứu của Lê Văn Tiến (2006) [59].

d) Cũng như PPDH, Didactic toán là một khoa học thực nghiệm. Nhưng nó vận hành

đồng thời với quan điểm lí thuyết hóa, theo nghĩa: Didactic toán không chỉ đặt cơ sở trên

một số khoa học khác như Tâm lí học, Giáo dục học, Triết học,… mà nó còn hướng đến xây

dựng những công cụ lí thuyết hình thành nên cơ sở lí luận riêng của mình, mà ta sẽ trình bày

trong phần tiếp sau. Những yếu tố lí thuyết công cụ này có thể được sáng tạo bắt đầu từ

những nghiên cứu thực nghiệm trong Didactic toán hoặc có nguồn gốc từ các khoa học khác

nhưng bây giờ được vận dụng vào nghiên cứu hay dạy học môn toán.

1.2.1. Cơ sở tâm lí và giáo dục của Didactic toán

Có thể nói, Didactic toán thừa nhận những quan điểm cơ bản của thuyết kiến tạo, nhưng

vận dụng với những nét đặc thù riêng của mình.

Những giả thuyết về học tập được thừa nhận trong Didactic:

a) Giả thuyết tâm lí

Chủ thể học bằng cách tự thích nghi với một môi trường – nhân tố gây ra những mâu

thuẫn, khó khăn và mất cân bằng.

Hoạt động thích nghi thể hiện qua hai hoạt động đồng hóa và điều ứng: khi chủ thể áp

khách thể vào cấu trúc nhận thức, dạng thức hành động mà mình đã có để nhận thức khách

thể ấy, thì đó là sự đồng hóa. Hoạt động điều ứng diễn ra ngược lại: chủ thể điều chỉnh cấu

trúc nhận thức hay dạng thức hành động mà mình đang có cho phù hợp khách thể để nhận

thức được khách thể. Đồng hóa và điều ứng là hai hoạt động trái ngược nhau, nhưng lại đan

xen nhau không thể tách rời. Trong hoạt động đồng hóa luôn có hoạt động điều ứng và

ngược lại.

Như vậy, Didactic xem những điều sau đã được thẩm định:

- Học là một quá trình năng động trong đó người học đóng vai trò chủ động.

- Kiến thức được kiến tạo từ tương tác giữa chủ thể (người học) với môi trường.

Didactic toán thừa nhận quan điểm của trường phái Piaget và của thuyết kiến tạo về tính

chất kiến tạo trong việc lĩnh hội kiến thức, nhưng cũng đưa ra hai điều phê phán sau đây về

trường phái Piaget:

- Coi nhẹ sự khác biệt về nội dung cũng như về tình huống. Điều này giải thích một phần

lí do ưu tiên của Didactic vào tiếp cận cực Tri thức (nêu trong 1.1.b ở trên).

- Có xu hướng rút gọn quá trình cân bằng thành một quan hệ riêng giữa chủ thể với đối

tượng và với các thao tác.

b) Giả thuyết dạy học (giáo dục)

Một môi trường (environnement) không có chủ ý dạy học (môi trường không được cố ý

tổ chức để dạy một tri thức) không đủ để tạo ra cho chủ thể mọi kiến thức mà xã hội mong

muốn chủ thể đó lĩnh hội. GV phải xây dựng và tổ chức một môi trường (milieu) cho phép

nảy sinh ở HS sự thích nghi mong muốn dẫn tới sự kiến tạo tri thức.

Quan điểm này đồng nhất với quan điểm đã nêu trong 1.1 của thuyết kiến tạo: nhận thức

của HS không giống với quá trình nhận thức về tự nhiên, xã hội của các nhà khoa học. Nó

chỉ nhằm mục đích chủ động tái tạo lại tri thức của nhân loại trong nhận thức của mình và

lại được diễn ra trong một môi trường dạy học, có sự tổ chức theo ý đồ sư phạm.

1.2.2. Công cụ lí thuyết đặc thù của Didactic Toán

Như đã nói ở trên, ngoài việc dựa vào các khoa học khác, Didactic toán cũng xây dựng

nên những công cụ lí thuyết làm cơ sở lí luận riêng của mình. Chúng tôi sẽ trình bày một số

yếu tố lí thuyết cơ bản nhất được vận dụng trong luận án này.

1.2.2.1. Phân tích khoa học luận một tri thức

a) Khái niệm phân tích khoa học luận

Thuật ngữ “Khoa học luận” (épistémologie) là từ ghép từ hai từ gốc từ Hy lạp: épistème

(khoa học) và logo (nghiên cứu về). Tuy nhiên, tùy thuộc vào lĩnh vực nghiên cứu mà thuật

ngữ này lại lấy các nghĩa khác nhau. Didactic toán dùng khái niệm này theo nghĩa: Nó

nghiên cứu những điều kiện và ràng buộc đối với sự nảy sinh các tri thức khoa học, cũng

như quá trình hình thành và phát triển các tri thức đó. Đặc biệt “Nó giúp ta hiểu rõ hơn mối

liên hệ giữa việc xây dựng tri thức trong cộng đồng các nhà khoa học với việc dạy và học tri

thức này” (Dorier J-L, 1997)[6, tr. 2].

b) Lợi ích của phân tích khoa học luận

Một cách khái quát, phân tích khoa học luận là một trong các công cụ cho phép tiếp cận

cực Tri thức trong hệ thống dạy học tối tiểu mà Didactic toán đã xác định. Cụ thể:

 Về phương diện chuyển hóa sư phạm:

Vấn đề trung tâm của lý thuyết chuyển hóa sư phạm là vấn đề tri thức và thể chế

(institution). Theo Chevallard (1989) [72, tr. 299], một tri thức không thể tồn tại trong một

“xã hội rỗng”, mọi tri thức đều là tri thức của một thể chế, và để có thể tồn tại được trong

thể chế, nó phải tuân theo một số ràng buộc nào đó. Điều này khiến cho tri thức bị biến đổi

so với nguồn gốc ban đầu của nó. Đặc trưng đó của tri thức

trong các thể chế dẫn đến việc phân biệt 3 kiểu thể

chế cơ bản: Thể chế tạo ra tri thức, Thể chế chuyển

đổi tri thức và Thể chế dạy học. Quan hệ giữa chúng

được mô hình hóa như hình 1.2 (xem hình 1.2).

Trong đó, I1 là thể chế tham chiếu của đối tượng

tri thức O’, I3 là thể chế đích của O’ và I2 là thể chế

chuyển đổi tri thức (gọi là “noosphère” – trí quyển).

Một kiểu chuyển đổi thể chế trong đó thể chế mà đích I3 là một thể chế dạy học thì được

gọi là một chuyển hóa sư phạm (tranposition didactique). Với chuyển hóa sư phạm,

noosphère là thể chế bao gồm các nhà biên soạn chương trình và sách giáo khoa, nhà khoa

học, giáo dục hay giáo viên có những phản biện lên hệ thống dạy học,…

Một trong những yếu tố lí thuyết cơ bản của didactic toán là lí thuyết chuyển hóa sư

phạm. Lí thuyết này đề cập đến vấn đề chuyển hóa các đối tượng tri thức bác học (savoir

savant) thành đối tượng tri thức được giảng dạy. Cụ thể, mục tiêu chủ yếu của nó là nghiên

cứu:

- Vấn đề hợp pháp của các đối tượng tri thức được dạy: tri thức giảng dạy được hợp

pháp hóa như thế nào? dựa vào tri thức tham chiếu nào? cái gì quyết định sự hiện diện của

tri thức này (mà không phải của tri thức khác) trong hệ thống dạy học?

- Việc xuất hiện một cách có hệ thống sự chênh lệch giữa tri thức được dạy với các tri

thức tham chiếu hợp pháp hóa nó (sự chênh lệch sinh ra do những ràng buộc trên hoạt động

của hệ thống dạy học, và do đó trên tri thức): đó là sự chênh lệch nào? những ràng buộc

nào có thể giải thích cho sự chênh lệch này?

Các giai đoạn chủ yếu của qui trình chuyển hóa sư phạm là:

Quá trình chuyển hóa này tạo ra sự khác biệt (đôi khi khá lớn) giữa tri thức cần dạy và tri

thức được dạy so với tri thức bác học.

Nghiên cứu khoa học luận về tri thức cần dạy sẽ cho phép làm rõ sự khác biệt này và do

đó, đặc trưng của tri thức cần dạy so với tri thức bác học. Nó giúp ta có cái nhìn không hoàn

toàn bị bó hẹp trong hệ thống dạy học hay bó hẹp trong phạm vi của chương trình và sách

giáo khoa.

 Về phương diện thiết kế hay phân tích tình huống dạy học:

Theo quan điểm của Didactic toán, khi thiết kế hoặc phân tích một tình huống dạy học,

trước hết nhà nghiên cứu phải tìm cách trả lời những câu hỏi sau:

- Vấn đề được đặt ra có mối liên hệ như thế nào với lý do tồn tại của đối tượng tri thức

được xem là mục đích của hoạt động dạy học?

- Vấn đề ấy đưa lại nghĩa nào cho tri thức?

- Liệu có đảm bảo rằng vấn đề được đặt ra trong tình huống là đích thực đối với tri thức

đang xem xét hay không? Đích thực theo nghĩa, nó mang lại cho tri thức một nghĩa đúng so

với lịch sử nẩy sinh và tiến triển của tri thức đó, so với bối cảnh xã hội và quan niệm của

cộng đồng khoa học.

Đó là những câu hỏi mang tính chất khoa học luận.

Từ góc độ này, phân tích khoa học luận cho phép vạch rõ quá trình xây dựng tri thức

trong cộng đồng các nhà khoa học, sự phụ thuộc của nó vào các lĩnh vực toán học có liên

quan, từ đó xác định được nghĩa của tri thức, tình huống mang lại nghĩa đó, điều kiện cho

phép tri thức nảy sinh, hay ngược lại, cản trở sự tiến triển của nó, những vấn đề gắn liền với

tri thức, vị trí tương đối của nó trong một tri thức tổng quát hơn, … Nó sẽ dẫn nhà nghiên

cứu đến với câu trả lời cho một số câu hỏi tổng thể và cơ bản sau, là cơ sở cho việc phân

tích hay thiết kế các tình huống dạy học:

- Tri thức được sinh ra nhằm giải quyết vấn đề gì?

- Tri thức có thể tồn tại dưới những dạng thức nào? Chuyển từ dạng thức này sang dạng

thức kia tương ứng với sự thay đổi nào trong quan niệm?

- Phải chuyển đổi cái gì trong việc dạy học các thành phần của văn hóa này và sự tác

động qua lại giữa chúng?

- Có hay không một sự chuyển đổi tối tiểu hoặc một tổ hợp chuyển đổi tối tiểu cần phải

tôn trọng để không làm biến dạng cái nghĩa của văn hoá này?

- Những chuyển đổi nào có thể hay cần phải phụ thuộc vào lớp công chúng được xem là

chủ thể của hoạt động học?

 Lợi ích khác của phân tích khoa học luận:

- Phân tích khoa học luận đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các chướng ngại

khoa học luận, qua đó phân biệt những sai lầm có bản chất khoa học luận với sai lầm có

nguồn gốc từ nhận thức hay từ quan điểm sư phạm của thể chế dạy học.

- Nghiên cứu khoa học luận cũng góp phần quan trọng trong nghiên cứu quan niệm gắn

với tri thức cần giảng dạy của những chủ thể trong hệ thống dạy học (giáo viên, học sinh).

Theo Artigue (1991) [6, tr. 19], để nghiên cứu quan niệm của chủ thể về một đối tượng tri

thức nào đó cần thiết tiến hành đồng thời hai nghiên cứu sau:

- nghiên cứu những chiến lược và sản phẩm của chủ thể;

- nghiên cứu tri thức về mặt khoa học luận, trong mối liên hệ với các định nghĩa và tính

chất khác nhau.

1.2.2.2. Lý thuyết nhân chủng học (théorie anthropologique)

Lí thuyết này được Y. Chevallard đề xuất năm 1989 và nhanh chóng trở thành một công

cụ hiệu quả trong các nghiên cứu didactic toán. Tư tưởng tổng quát của lý thuyết này là xem

một đối tượng tri thức toán học như một sinh vật sống, và do đó nó cũng sẽ trải qua những

giai đoạn: nảy sinh, tồn tại, tiến triển, mất đi và luôn có những mối liên hệ ràng buộc với các

đối tượng khác. Lý thuyết nhân chủng học cung cấp những công cụ lý thuyết để tiếp cận hệ

thống dạy học.

Ba trong các nội dung cơ bản trong lí thuyết nhân chủng học là lí thuyết chuyển hóa sư

phạm (đã trình bày ở trên); lí thuyết về quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân; về tổ chức toán

học và tổ chức didactic, mà chúng tôi sẽ trình bày sau đây.

a) Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân

Ba khái niệm cơ bản của lí thuyết về quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân là Đối tượng,

Cá nhân và Thể chế.

Một đối tượng tri thức O tồn tại ngay khi có một cá nhân X thuộc một thể chế I nhận ra

O. Ta nói, X hoặc I biết O. Nói cách khác, O tồn tại đối với X (hay biết O) nếu tồn tại một

mối quan hệ cá nhân của X với O. Có thể xem mối quan hệ cá nhân này như tập hợp tất cả

những tác động qua lại mà X có với O (cảm nhận về O, sử dụng O, nói về O, nghĩ về O,...).

Tương tự như vậy, đối tượng tri thức O tồn tại với thể chế I nếu tồn tại một mối quan hệ thể

chế của I với O. Mối quan hệ thể chế này cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, với vai

trò gì trong I, giữ quan hệ nào với các đối tượng tri thức khác của I,...

Một thể chế được gọi là thể chế sư phạm (institution didactique) nếu nếu tồn tại ít nhất

hai vị trí chủ thể (vị trí của người dạy- GV và vị trí của người học - HS) và một ý định dạy

học. Ý định này thể hiện hành động của GV nhắm tới làm thay đổi mối quan hệ cá nhân của

HS với đối tượng tri thức O.

Khi hội nhập vào một thể chế sư phạm I, mối quan hệ cá nhân của X với đối tượng tri

thức O sẽ được thiết lập nếu nó chưa tồn tại) hoặc được điều chỉnh và bổ sung (nếu nó đã

tồn tại) dưới những điều kiện và ràng buộc của mối quan hệ thể chế của I với O.

Từ góc độ này, có thể quan niệm việc học tập của HS về tri thức O trong một thể chế I

nào đó (chẳng hạn, thể chế trường Trung học phổ thông) là sự hình thành hay điều chỉnh

mối quan hệ cá nhân của HS với O dưới những điều kiện và ràng buộc của mối quan hệ thể

chế của I với O (điều kiện và ràng buộc thường thể hiện qua chương trình, SGK, sách giáo

viên,...).

Phân tích mối quan hệ thể chế của I đối với một đối tượng tri thức O nào đó trong thể

chế là tìm câu trả lời cho câu hỏi: O xuất hiện trong I như thế nào, với những đặc trưng gì,

với vai trò ra sao, giữ quan hệ nào với các đối tượng tri thức khác của I.

Phân tích quan hệ cá nhân của X (với tư cách là một chủ thể của thể chế I) với O là làm

rõ những đặc trưng của nó và đánh giá những điểm phù hợp và không phù hợp của mối

quan hệ cá nhân này so với quan hệ thể chế với cùng đối tượng tri thức O.

b) Tổ chức toán học

Làm thế nào để mô tả mối quan hệ thể chế với một tri thức? Đây là một câu hỏi mà việc

giải đáp nó sẽ cho chúng ta phương pháp luận về phân tích mối quan hệ thể chế với đối

tượng tri thức được nghiên cứu.

Bosch và Chevallard (1999) giới thiệu khái niệm praxéologie như câu trả lời cho câu hỏi

“Điều còn thiếu là thiết lập một phương pháp phân tích thực tế thể chế, cho phép mô tả và

nghiên cứu các điểu kiện để thực thi. Những phát triển mới đây theo hướng lý thuyết hóa cho

phép giải quyết khiếm khuyết này. Khái niệm chìa khóa là khái niệm tổ chức praxéologie hay

ngắn gọn là praxéologie”.

này [72, tr. 319]:

Một tổ chức praxéologie bao gồm bốn thành phần [T, , , ], được mô hình hóa từ

quan niệm rằng: mỗi hoạt động của con người đều là việc thực hiện nhiệm vụ t thuộc kiểu T

nào đó, nhờ vào một kỹ thuật , được giải thích bởi một công nghệ và đến lượt mình công

nghệ lại được hợp pháp hóa nhờ lí thuyết .

Một tổ chức praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học thì được gọi là

tổ chức toán học (organisation mathématique), còn nếu nó mang bản chất sư phạm thì gọi là tổ chức sư phạm. Chẳng hạn, kiểu nhiệm vụ T1 “Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0”

có bản chất toán học, còn T2 “Thiết kế công đoạn dạy học khái niệm đạo hàm” có đặc trưng

sư phạm.

“một tri thức không tồn tại trong xã hội rỗng, mọi tri thức đều xuất hiện ở một thời điểm xác

định, trong một thể chế và được cắm sâu vào một trong nhiều quan hệ thể chế”

Cũng theo Chevallard (1992) [69; tr. 191]:

Do đó, phân tích làm rõ các tổ chức toán học và didactique gắn liền với một đối tượng tri

thức O trong thể chế I sẽ cho phép mô tả được đặc trưng mối quan hệ thể chế của I với O.

Những khái niệm nêu trên cũng cho phép định nghĩa lại một số khái niệm thông thường:

ta có thể xem khối [T/ ] diễn tả cái mà ta thường gọi là kỹ năng và khối [ / ] diễn tả cái

mà ta thường gọi là kiến thức.

1.2.2.3. Lí thuyết tình huống

Lí thuyết tình huống là một trong các mô hình nghiên cứu về các điều kiện cho phép

kiến thức toán học có thể được kiến tạo trong quá trình dạy học. Nói cách khác, nó tìm câu

trả lời cho câu hỏi: GV làm thế nào để xây dựng và tổ chức một môi trường (milieu) cho

phép làm nảy sinh ở HS sự thích nghi mong muốn dẫn tới sự kiến tạo tri thức (giả thuyết

dạy học đã nêu trong 1.2.1).

“Giáo viên không có nhiệm vụ làm cho học sinh học, mà phải làm thế nào để họ có thể học.

Giáo viên không có trách nhiệm trong việc học (điều đó nắm ngoài quyền lực của GV), nhưng

lại có trách nhiệm tạo ra những điều kiện cho phép việc học tập”.

Theo Chevallard (1985) [72, tr. 159]:

a) Các loại tình huống

Giả thuyết dạy học nêu trên dẫn tới việc đưa ra các mô hình: Tình huống ngoài dạy học

(situation non-didactique), Tình huống dạy học (situation didactique) và Tình huống lí tưởng

(situation a-didactique) trong lí thuyết tình huống.

- Tình huống ngoài dạy học là

tình huống mà chủ thể tự học bằng

cách thich nghi với môi trường gây

ra khó khăn, mâu thuẫn và mất cân

bằng, nhưng môi trường đó không

được tổ chức nhằm một dụng ý dạy

học. Chẳng hạn, tình huống một đứa

trẻ tự tập đi xe đạp.

Tình huống ngoài dạy học có thể được mô tả qua sơ đồ 1.1.

- Tình huống lí tưởng là một tình huống có mục tiêu dạy học (do GV tổ chức ra),

nhưng đối với chủ thể HS, nó lại như một tình huống ngoài dạy học. Cụ thể, GV chọn các

vấn đề cần giải quyết và đặt HS vào một tình huống sao cho họ thực sự có nhu cầu, hứng

thú giải quyết vấn đề và tự nguyện

nhận lấy trách nhiệm giải bài toán được

đặt ra như là đòi hỏi của môi trường chứ

không phải chiều theo ý muốn hay ép

buộc của GV, họ cũng phải cảm nhận

được rằng họ có khả năng giải được bài

toán nhờ vào "logic nội tại” của tình

huống, chứ không cần cầu viện vào sự

giúp đỡ và hướng dẫn của GV. Mặt khác, trong suốt quá trình giải quyết vấn đề, GV hoàn

toàn không can thiệp, ngoại trừ việc nhắc lại đề bài, cách thức làm việc hay động viên HS.

Tình huống lí tưởng được mô hình hóa trong sơ đồ 1.2 (xem sơ đồ 1.2)

Những điều kiện cần của một tình huống lí tưởng:

+ HS có thể dự kiến một câu trả lời hay một chiến lược giải quyết ban đầu (quy trình hay

chiến lược cơ sở). Nhưng đó không phải là cái mà ta muốn giảng dạy. Nếu câu trả lời đã

được biết thì đây không còn là tình huống học tập nữa. Quy trình cơ sở này cho phép HS

hiểu được bài toán đặt ra, cũng như cách thức hoạt động. Như Brousseau (1988) [72, tr.163]

đã viết:

rõ ràng".

"Không có chiến lược cơ sở, học sinh không hiểu được hoạt động, ngay cả khi lời chỉ dẫn rất

+ Quy trình cơ sở này phải nhanh chóng tỏ ra khiếm khuyết hoặc không hiệu quả. Điều

này buộc HS phải tiến hành những điều tiết, những sửa đổi trong hệ thống kiến thức của

mình để tìm kiếm chiến lược tối ưu.

+ Kiến thức nhắm đến (kiến thức cần lĩnh hội) cho phép chuyển từ quy trình cơ sở đến

chiến lược tối ưu.

+ Tồn tại một môi trường cho phép hợp thức hoá, nghĩa là một môi trường có thể tạo ra

những tác động phản hồi và qua những phản hồi này HS sẽ có những đánh giá trên sản

phẩm của mình (một chiến lược giải, một câu trả lời, một cách lựa chọn, một quyết định,…)

để đi đến loại bỏ hay chấp nhận nó, mà không cần sự xác nhận của GV.

Như vậy, có thể xem tình huống lí tưởng là một cấp độ cao của tình huống dạy học nêu

vấn đề.

- Tình huống dạy học là tình huống được tổ chức với ý đồ dạy học, và như vậy nó có

thể (hoặc không) là tình huống lí tưởng.

b) Biến dạy học (variable didactique)

Trong dạy học, GV thường yêu cầu HS giải quyết các tình huống cụ thể nào đó. Những

tình huống này thường nảy sinh từ một tình huống tổng quát hơn nhờ vào việc thực hiện

một số lựa chọn (gọi là các biến). Chẳng hạn, xét hai tình huống sau:

Tình huống 1: HS được yêu cầu làm việc cá nhân để giải phương trình x2 – 4x = 0.

Tình huống 2: HS được yêu cầu làm việc theo nhóm để giải phương trình

Cả hai tình huống đều là trường hợp riêng của tình huống giải phương trình bậc hai ax2 +

bx + c = 0, nhưng với 2 lựa chọn (hay 2 biến) khác nhau:

- Biến V1: HS làm việc cá nhân (trong tình huống 1), làm việc tập thể (trong tình huống

2).

- Biến V2: Phương trình khuyết hệ số c (trong tình huống 1), không khuyết c (trong tình

huống 2).

Tuy nhiên, có một khác biệt cơ bản giữa V1 và V2. Chỉ có giá trị của biến V2 (khuyết

hay không khuyết c) mới có khả năng làm thay đổi đặc trưng của các chiến lược giải

phương trình của HS, theo nghĩa: chúng có thể làm thuận lợi hay cản trở việc nảy sinh một

chiến lược giải nào đó ở HS, làm cho một chiến lược trở nên phức tạp và tốn kém công sức

hơn hoặc ngược lại đơn giản và dễ được HS sử dụng hơn,… Cụ thể, chiến lược « đưa về

phương trình tích x(ax + b) = 0 » có nhiều khả năng xuất hiện nếu giá trị được chọn của V2

là « khuyết c » như trong tình huống 1. Nhưng chiến lược này ít có khả năng được HS sử

dụng với phương trình trong tình huống 2.

Trong các biến như vậy, G.Brouseau gọi biến dạy học là những biến có thể làm thay đổi

đặc trưng của những chiến lược giải hay câu trả lời của học sinh và giáo viên có thể thực

hiện việc lựa chọn các giá trị của biến.

Như vậy, trong các biến trên, chỉ có V2 là biến dạy học, còn V1 được gọi là biến tình

huống.

Tình huống « chu vi tam giác cụt » dành cho học sinh THCS sau đây sẽ minh họa rõ hơn

cho khái niệm biến dạy học:

Tình huống 1: Tính chu vi của tam giác được vẽ trên một tờ giấy A4 (xem hình 1.3):

Hình 1.3

Tình huống 2: Tính chu vi của tam giác được vẽ trên một tờ giấy A4 (xem hình 1.4):

Hình 1.4

Trong cả hai tình huống, HS được cung cấp thước thẳng (chia cm), thước đo góc, êke,

compa và chỉ một tờ giấy A4 trên đó đã vẽ tam giác cần tính chu vi.

Có nhiều khác biệt giữa hai tình huống do tác động của các biến dạy học. Sau đây là một

trong các biến ấy:

V1 - kích thước của tam giác so với tờ giấy: có thể (hay không thể) dựng lại một tam

giác bằng tam giác đã cho và nằm trọn trong tờ giấy A4.

Trong tình huống 2: hai cạnh bị cụt của tam giác gần song song với nhau. Nói cách khác

đỉnh bị mất của tam giác ở « xa vô tận ». Điều này ngăn cản HS sử dụng các chiến lược mà

mục tiêu là tạo ra một tam giác vào nằm trọn trong tờ giấy để thực hiện các phép đo, chẳng

hạn: vẽ một tam giác khác đối xứng với tam giác đã cho qua cạnh không bị cụt hoặc dựng

một tam giác biết một cạnh (là cạnh không bị cụt) và hai góc. Ngược lại, các chiến lược này

lại dễ được HS sử dụng trong tình huống 1.

Vận dụng khái niệm biến dạy học có nhiều ý nghĩa trong nghiên cứu cũng như dạy học,

cụ thể như:

- Nó giúp GV làm chủ, điều khiển tình huống để đạt mục tiêu dạy học. Như GS. TSKH

“Học tập là một sự chỉnh lí kiến thức do bản thân người học thực hiện, còn người dạy chỉ phải

gợi ra sự chỉnh lí đó bằng cách lựa chọn những giá trị của những biến dạy học. Đặc biệt, việc

thay đổi những giá trị như vậy một cách thích hợp là một biện pháp để làm phai mờ những quan

niệm sai lầm của học trò.”

Nguyễn Bá Kim (2009) [36, tr. 222] đã làm rõ:

- Nó cho phép nghiên cứu đặc trưng của mối quan hệ cá nhân của HS với đối tượng tri

thức.

c) Hợp đồng dạy học

Theo quan điểm của Didactic, cái đích của GV và HS trong lớp học là tri thức, nhưng kế

hoạch của mỗi bên đối với tri thức là khác nhau. Điều đó là do vị trí khác nhau của mỗi bên

dối với tri thức. Những gì mỗi bên có quyền làm hay không được làm đối với một tri thức

được chi phối bởi một tập hợp các qui tắc có khi tường minh nhưng thường là ngầm ẩn.

G. Brousseau (1980) [72, tr. 337] định nghĩa hợp đồng dạy học như là:

những điều khoản mà mỗi bên (thầy giáo và học sinh) có trách nhiệm thực hiện những nghĩa vụ

bên này đối với bên kia”.

“tập hợp các quan hệ xác định, thường là ngầm ẩn, có thể phân nhỏ một cách rõ ràng thành

Từ [72, tr. 339], hợp đồng dạy học là tập hợp những qui tắc phân chia và hạn chế trách

nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán được dạy.

Theo các tác giả, việc tôn trọng HĐDH bởi HS không bao giờ tự nó biến mất. Nó thể

hiện qua sự đánh giá trung thực sản phẩm của HS và chỉ có thể được nhận dạng qua thực

nghiệm, chứ không thể nhận ra được trong các mối liên hệ sư phạm.

Ý nghĩa: HĐDH được xem như một công cụ để nghiên cứu những sai lầm của HS và dự

đoán nguyên nhân của sai lầm.

Để xác định các qui tắc của HĐDH, nhà nghiên cứu phải thực hiện việc phân tích các

thành phần của hệ thống dạy học. Có nhiều khả năng trong việc xác định này và chúng ta có

thể phối hợp chúng với nhau.

Tiến trình này bắt đầu bởi một nghiên cứu trên thành phần “tri thức”, được thực hiện

thông qua việc phân tích SGK. Nghiên cứu ấy cho phép đưa ra giả thuyết về sự tồn tại các

qui tắc của các HĐDH nào đó. Các qui tắc HĐDH ấy, nếu tồn tại, sẽ chi phối ứng xử của

GV cũng như HS. Vì thế, muốn kiểm chứng dự đoán của mình nhà nghiên cứu phải phân

tích hai thành phần GV, HS. Tiến trình tìm kiếm và kiểm chứng giả thuyết về HĐDH có thể

được sơ đồ hóa:

Sơ đồ 1.3: Tiến trình tìm kiếm và kiểm chứng giả thuyết về HĐDH

Nguyên tắc phương pháp luận chủ yếu của Didactic toán về việc kiểm chứng sự tồn tại

các qui tắc của HĐDH là tạo ra một sự rối loạn trong hệ thống. Nghĩa là đặt ‘‘đối tượng’’

(GV hay HS trong những tình huống không quen thuộc (tình huống ngắt quãng hợp

đồng. Khi đó hệ thống những ràng buộc, những mong đợi qua lại sẽ ngưng hoạt động. Đối

tượng không còn có những dấu hiệu ngầm ẩn quen thuộc. Điều này buộc họ, hoặc thể hiện

lên những dấu hiệu ngầm ẩn này (như vậy người ta làm rõ được những qui tắc ngầm ẩn của

hợp đồng qua ứng xử của đối tượng, hoặc hành động của họ đánh dấu tính xa lạ của tình

huống. Điều này cho phép phân tích được sự khác biệt giữa những hành động quen thuộc

của đối tượng và những hành động của họ trong những tình huống không quen thuộc.

Trong [19, tr. 78-86], chúng tôi đã trình bày chi tiết những kết quả về việc dự đoán sai

lầm của HS và nguyên nhân của SL qua việc sử dụng công cụ HĐDH.

1.2.2.4. Hợp thức hóa ngoại vi và hợp thức hóa nội tại

Didactic toán (theo trường phái Pháp) là một khoa học thực nghiệm. Vì thế, những giả

thuyết nghiên cứu mà nhà nghiên cứu đặt ra sẽ được kiểm chứng nhờ vào thực nghiệm.

Nhưng Didactic toán vận dụng cách hợp thức hóa (hay kiểm chứng) giả thuyết nghiên cứu

mà cho đến thời điểm hiện nay, vẫn chưa được vận dụng trong luận án tiến sĩ nào ở Việt

Nam. Đó là Hợp thức hóa nội tại (validation interne) thay vì Hợp thức hóa ngoại vi

(validation externe).

a) Hợp thức hóa ngoại vi

Giả thuyết nghiên cứu trong các công trình thuộc chuyên ngành Lí luận và PPDH bộ

môn toán ở nước ta hiện nay thường là giả thuyết về tính khả thi của một hệ thống các giải

pháp về dạy học toán mà nhà nghiên cứu đề xuất. Để kiểm chứng tính khả thi đó, người ta

thường xây dựng kế hoạch, nội dung triển khai các giải pháp và tiến hành thực nghiệm trên

một nhóm đối tượng mẫu (nhóm HS, nhóm sinh viên,…), sau đó đánh giá kết quả thực

nghiệm so với một nhóm đối tượng 2 (gọi là nhóm đối chứng). Về cơ bản, 2 nhóm đối

tượng này có bản chất như nhau, cái khác duy nhất là: trong nhóm đối chứng người ta

không vận dụng các giải pháp mà nhà nghiên cứu đề xuất như trong nhóm thực nghiệm.

Công cụ đánh giá so sánh hiệu quả của hệ thống giải pháp thường là:

- Kết quả (bằng điểm số) của bài thi, kiểm tra,… triển khai cả trong hai nhóm.

- Ý kiến đánh giá của chuyên gia: đánh giá thuần túy trên kế hoạch và nội dung các giải

pháp đã triển khai, hoặc đánh giá trên kết quả triển khai thực hiện trên nhóm đối tượng thực

nghiệm nếu chuyên gia có quan sát việc triển khai thực hiện giải pháp (như dự giờ lên lớp,

phỏng vấn HS,…).

Hợp thức hóa ngoại vi là một phương cách được sử dụng khá phổ biến trong nhiều nước

và mang lại những hiệu quả nhất định. Tuy nhiên, nó cũng thể hiện một số khiếm khuyết.

Khiếm khuyết lớn nhất nằm ở việc so sánh kết quả bằng điểm số. Vì bản thân độ tin cậy của

kết quả so sánh điểm số giữa hai nhóm (nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng) và cả độ tin

cậy của điểm số (ngay cả trong nội bộ một nhóm) phụ thuộc rất nhiều yếu tố, trong đó có

nhiều yếu tố vượt ra khỏi phạm vi các giải pháp mà nhà nghiên cứu đề xuất. Và như vậy,

khó có thể đặt niềm tin hoàn toàn vào tính khả thi của giải pháp hay tính hợp thức của giả

thuyết nghiên cứu.

Mặt khác, để gia tăng độ tin cậy của kết quả so sánh, cần phải tiến hành thực nghiệm

trên các tập hợp mẫu khá lớn: tập đối tượng của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng.

b) Hợp thức hóa nội tại

Để khắc phục khiếm khuyết của hợp thức hóa ngoại vi, Didactic toán áp dụng phương

thức hợp thức mới: Hợp thức hóa nội tại.

Trong hợp thức hóa nội tại, người ta chỉ triển khai thực nghiệm trên nhóm đối tượng

mẫu, và do đó không có sự so sánh kết quả với nhóm đối chứng như trong hợp thức hóa

ngoại vi. Mấu chốt của hợp thức nội tại là thực hiện sự đối chứng giữa Phân tích tiên

nghiệm (analyse a-priori) và Phân tích hậu nghiệm (analyse postériori).

Phân tích tiên nghiệm là thiết lập một mô hình dự kiến về thực tế (tình huống Sa gắn

với đối tượng tri thức đang nghiên cứu) mà mục tiêu là dự kiến được những hiện tượng có

thể xẩy ra, làm rõ « nghĩa » hay lí do của cái có thể xẩy ra khi triển khai tình huống Sa vào

thực tế của hệ thống dạy học. Cụ thể, nó dẫn tới việc xác định các yếu tố cơ bản sau:

- Các biến dạy học có thể tác động trong Sa, những chiến lược hay câu trả lời có thể xuất

hiện (đặc biệt là chiến lược tối ưu) và ảnh hưởng của biến trên chiến lược (câu trả lời).

- Những cái có thể quan sát được, minh chứng (dấu hiệu) của các chiến lược hay câu trả

lời.

- Những kiến thức ẩn đằng sau những chiến lược đó, nghĩa là những kiến thức mầm

mống cho sự nảy sinh các chiến lược.

- Những kiến thức khác có thể nảy sinh và các lựa chọn (giá trị của biến) tạo ra điều kiện

cho sự nảy sinh đó.

Chắc chắn không thể xác định được những yếu tố nêu trên nhờ vào sự « võ đoán » của

nhà nghiên cứu. Phân tích tiên nghiệm phải đặt cơ sở trên nhiều kết quả nghiên cứu trước đó

về đối tượng tri thức đang nghiên cứu, chẳng hạn như:

- Phân tích khoa học luận;

- Phân tích các yếu tố của các hệ thống dạy học như: các sản phẩm của noosphère (CT,

SGK, SGV,…); thực tế dạy học của giáo viên, … để làm rõ những điều kiện và ràng

buộc trên các hệ thống này, đặc biệt trong đó có hệ thống dạy học mà ta có ý định

triển khai tình huống thực nghiệm.

Trong trường hợp tiến hành một đồ án dạy học (ingénierie didactique), có thể còn phải

tính đến một nghiên cứu trước đó về quan niệm, khó khăn và chướng ngại của HS hay GV.

Trong phân tích tiên nghiệm, các chủ thể của hệ thống dạy học (HS và GV) được xem

như những đối tượng thuần lí (sujet rationel), nghĩa là giả định.

Phân tích hậu nghiệm là dựng lại tình huống thực tế Sp xẩy ra thực sự khi triển khai

thực nghiệm tình huống Sa (đã dự kiến trong phân tích tiên nghiệm), mà mấu chốt là thực

hiện sự phân tích đối chứng giữa những cái đã dự kiến trong phân tích tiên nghiệm với

những dữ liệu và mối quan hệ giữa các dữ liệu thu thập được khi triển khai tình huống thực

nghiệm, nghĩa là sự đối chứng giữa tình huống Sa với tình huống thực Sp xẩy ra trong thực

tế thực nghiệm.

Bảng sau đây minh họa quan hệ giữa phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm:

Bảng 1.1: Quan hệ giữa phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm

Phân tích tiên nghiệm (Soạn thảo một tình huống Sa: Mô hình dự kiến của thực tế)

Quan sát (Một tiến trình đặc biệt của thực tế trong lớp học)

Tình huống được quan sát Thực tế được tổ chức hay không Học sinh Thầy giáo

Tình huống Sa Biến dạy học Học sinh (Thầy giáo) được xem như chủ thể thuần lý Môi trường Chiến lược – Kiến thức Những cái có thể quan sát

Phân tích hậu nghiệm (Dựng lại một tình huồng Sp: Mô hình của thực tế, mô hình có tính đến cái ngẫu nhiên) Tình huống Sp Tương ứng với những giá trị xác định của các biến dạy học. Học sinh và thầy giáo được xem như những chủ thể dạy học. Cái quan sát được/cái có thể quan sát. Quy trình/chiến lược. Giải thích cho cái ngẫu nhiên/cái tất yếu.

Thu thập dữ liệu

Lưu ý: Những phân tích trên dẫn tới một số điểm cần nhấn mạnh là:

- Hợp thức hóa nội tại không dựa trên đánh giá điểm số của bài thi, kiểm tra, hay một

bài test,....

- Trong hợp thức hóa ngoại vi, yêu cầu đối chứng giữa lớp thực nghiệm và lớp đối

chứng đòi hỏi thực nghiệm phải được triển khai trên một tập hợp đối tượng “mẫu” càng lớn

càng tốt. Ngược lại, đó không phải là yếu tố quyết định trong hợp thức hóa nội tại.

1.3. CHƯỚNG NGẠI VÀ SAI LẦM

1.3.1. Chướng ngại

Chúng tôi đã làm một nghiên cứu khá chi tiết về khái niệm chướng ngại1. Ở đây, chúng

tôi chỉ trình bày những nội dung chính rút ra từ nghiên cứu này.

Hiện nay, có hai quan niệm khác nhau sau đây về khái niệm chướng ngại.

a) Chướng ngại thích nghi

Quan niệm chướng ngại thích nghi gắn liền với khái niệm thích nghi (đồng hóa và điều

ứng) trong tâm lí học phát sinh của J. Piaget.

Theo quan niệm này, CN chính là khó khăn trong việc thích nghi vào một môi trường

trong đó khách thể không còn là đối tượng quen thuộc.

Các giải pháp khắc phục chướng ngại thích nghi thường được khuyên dùng là bổ sung

kiến thức cho HS. Chẳng hạn, rèn luyện cho HS cách vận dụng kiến thức vào các tình

huống khác nhau, cách nhìn một đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau,…

b) Chướng ngại theo quan điểm của Didactic toán

Didactic toán không dùng khái niệm CN theo nghĩa chướng ngại thích nghi như trên. Cụ

thể, một CN phải có những đặc trưng (điều kiện cần) sau đây:

- CN là một kiến thức, một quan niệm, chứ không phải là một khó khăn hay sự thiếu

kiến thức.

- Kiến thức này cho phép tạo ra câu trả lời phù hợp trong một số tình huống thường gặp

(gọi là trong phạm vi hợp thức). Nhưng khi vượt ra khỏi những tình huống quen thuộc này

nó sẽ sinh ra các câu trả lời sai. Để có câu trả lời đúng trong mọi tình huống cần có một

quan điểm hoàn toàn khác.

- Kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và gây khó khăn cho việc thiết lập

một kiến thức mới hoàn thiện hơn. Việc có một kiến thức khác tốt hơn không đủ cho kiến

thức cũ này biến mất. Do đó, cần phải xác định kiến thức “sai” này và thực hiện loại bỏ nó

trong quá trình xây dựng kiến thức mới.

- Ngay cả khi chủ thể đã ý thức được về sự không chính xác của kiến thức này, thì nó

vẫn tiếp tục xuất hiện một cách dai dẳng, bất chợt.

Bouazzaoui (1988) [80, tr. 32] chỉ rõ sự khác nhau giữa khó khăn và CN bằng một tiếp

1 Trần Anh Dũng (2012), “Các quan niệm về chướng ngại trong dạy học toán ở phổ thông”, Tạp chí Giáo dục số 285

cận đồng thời từ quan điểm lịch sử và quan điểm nhận thức:

“Nếu vấn đề được đặt ra ở một thời đại nào đó, trong một lý thuyết toán học nào đó đã được giải

quyết mà không cần phải xem xét lại những quan điểm của lý thuyết đang nói đến, thì người ta nói

rằng một khó khăn đã được vượt qua. Dấu hiệu của sự tồn tại một khó khăn là toán học ở thời kỳ

đó đã bị bế tắc, cho dù những phương tiện để giải quyết vấn đề có thể đã có sẵn […]. Người ta

cũng có thể nói như vậy về những khó khăn trong sự tiến triển về mặt quan niệm ở một chủ thể đối

với một khái niệm toán học […].

Nếu ngược lại, vấn đề chỉ được giải quyết sau khi đã có một sự xây dựng lại kiến thức và một sự

thay đổi quan trọng về quan điểm, thì người ta nói rằng một chướng ngại đã vượt qua. Dấu hiệu

của sự tồn tại một chướng ngại là lý thuyết của thời đại đó đã kìm hãm và ngăn cản việc giải quyết

vấn đề được đặt ra.

Theo cùng một cách thức như vậy, người ta cũng có thể nói về những chướng ngại trong sự tiến

triển về mặt quan niệm ở một chủ thể đối với một khái niệm toán học”.

Ta cần nhấn mạnh thêm một số đặc trưng sau đây của CN theo quan điểm của

Didactic toán:

 Đặc trưng 1: CN luôn biểu hiện qua các sai lầm, nhưng các SL này không phải do bất

cẩn hay ngẫu nhiên và không xuất hiện rời rạc. Ở một chủ thể HS, các SL này thường gắn

kết nhau từ một nguồn gốc chung (một kiến thức cũ, một quan niệm, một cách nhận

biết,…).

Ngoài ra CN cũng có thể biểu hiện qua cả những khó khăn. Khó khăn thể hiện qua sự

bất khả năng xem xét một số bài toán hay giải quyết chúng một cách hiệu quả.

Chẳng hạn, quan niệm về số thập phân như một cặp số tự nhiên nối liền nhau bởi dấu

phẩy (có thể là hệ quả của cách tiếp cận số thập phân từ phép đo các đại lượng) là CN cho

việc học về số thập phân, mà theo Brousseau (1983) [81], CN này không chỉ biểu hiện qua

các SL của HS, mà còn qua một số khó khăn sau đây khi học về số thập phân:

- Khó khăn chấp nhận rằng có thể có được số lớn hơn số cho trước bằng phép chia, và số

bé hơn số cho trước bằng phép nhân.

- Khó khăn tìm một số thập phân nằm giữa hai số thập phân khác. Ví dụ, giữa 2,5 và 2,6.

Điều này khác với quan niệm chướng ngại thích nghi nêu trên, vì một chướng ngại thích

nghi biểu hiện chủ yếu qua các khó khăn, chứ không qua SL.

Mặt khác, khó khăn mà HS gặp phải trong hai quan niệm về CN cũng khác nhau.

Theo quan điểm CN trong Didactic toán, các khó khăn trên xuất phát từ việc HS không

thể thoát ra khỏi hay không thể loại bỏ kiến thức cũ mà họ đã có trước khi tiếp cận khách

thể mới. Nói cách khác, khó khăn này xuất phát từ mâu thuẫn giữa kiến thức cũ và kiến thức

mới cần xây dựng. Chẳng hạn, HS vẫn khăng khăng giữ quan niệm “không có số tự nhiên

nào giữa hai số tự nhiên liên tiếp” và áp dụng nó với số thập phân, vì theo các em số thập

phân chỉ là hai số tự nhiên nối với nhau bằng dấu phẩy. Đó chính là rào cản cho việc tìm

được số thập phân giữa 2,5 và 2,6.

Ta cũng gặp hiện tượng này trong lịch sử Toán học. Trong nhiều thế kỉ, các nhà bác học

gặp nhiều khó khăn khi tiếp cận các bài toán có yếu tố “vô hạn” và họ tìm cách “lẩn tránh”,

không sử dụng đến khái niệm này, vì có quá nhiều nghịch lí nẩy sinh từ khái niệm vô hạn:

như nghịch lí Achilis không đuổi kịp rùa, nghịch lí cầu phương hình tròn của Antifont. Lí

do là khi tiếp cận với các tình huống gắn với vô hạn, người ta không thể thoát khỏi được

quan niệm đã có với cái “hữu hạn”, chẳng hạn:

- Cái toàn thể luôn lớn hơn bộ phận.

- Khi cộng một số dương vào một số luôn có được số lớn hơn.

Các quan niệm này “đúng” với các đối tượng, qui trình hữu hạn, nhưng không còn đúng

với đối tượng vô hạn (VD: tổng của cấp số nhân lùi vô hạn lại là một số hữu hạn).

Ngược lại, chướng ngại thích nghi thể hiện qua khó khăn, mà khó khăn đó có thể là do

HS thiếu kiến thức, thiếu cơ hội khai thác các ứng dụng khác nhau của kiến thức,…chứ

không phải xuất phát từ sự mâu thuẫn giữa kiến thức cũ với kiến thức mới cần xây dựng.

“Chướng ngại là một kiến thức bền vững. Trong những tình huống vượt ra khỏi phạm vi hợp thức

của kiến thức này, thì đối với HS, việc loại bỏ kiến thức này còn đắt giá hơn là tìm mọi cách để

thích ứng vào tình huống, ngay cả khi điều đó làm cho quy trình giải nặng nề thêm”.

Vì thế, Duroux (1982) [89, tr. 20] nhấn mạnh rằng:

Nói cách khác, khi gặp một tình huống không quen thuộc với khách thể mới, HS rất khó

khăn loại bỏ kiến thức đang có và luôn tìm mọi cách đồng hóa cho được khách thể vào kiến

thức cũ này và do đó dẫn tới SL (trường hợp ví dụ 2 và 3).

 Đặc trưng 2: Để xác định một CN theo quan điểm của Didactic toán, cần thiết phải

xác định các SL và chỉ ra rằng, ở cùng một chủ thể các SL này gắn kết với nhau từ một

nguồn chung (một kiến thức cũ).

Ngoài ra cũng cần thiết xác định những khó khăn mà kiến thức cũ này gây ra và cả

những thành công mà nó mang lại.

Chẳng hạn, với bài toán “So sánh hai số 2,36 và 2,37”, nhiều HS đã cho đáp số đúng là

2,36 < 2,37. Nhưng thành công đó có thể không xuất phát từ việc áp dụng đúng đắn phương

pháp so sánh hai số thập phân mà giáo viên mong muốn, nó có thể là kết quả của áp dụng

cách so sánh từng cặp số tự nhiên trước và sau dấu phẩy: 2 với 2 và 36 với 37. Cách so sánh

này có nguồn gốc từ quan niệm sai lầm “số thập phân là một cặp số tự nhiên nối liền bởi

dấu phẩy”.

Như vậy, việc nghiên cứu xem HS đã áp dụng chiến lược nào để có được kết quả chính

xác ấy và nguồn gốc của chiến lược đó, cũng là một yếu tố quan trọng góp phần xác định

CN.

 Đặc trưng 3: Một số CN có thể tránh được (CN sư phạm), một số lại không thể tránh

(CN khoa học luận, CN có nguồn gốc từ phát triển của cá thể). Chẳng hạn, người ta giả định

rằng: nếu xây dựng số thập phân ở trường phổ thông không phải từ phép đo đại lượng, thì

có thể tránh được CN như trong ví dụ 3.

Để vượt qua một CN, cần thiết phải tổ chức những tình huống chuyên biệt cho phép làm

tiến triển kiến thức của HS, theo nghĩa cho phép HS vừa loại bỏ kiến thức cũ hình thành nên

CN, vừa kiến tạo kiến thức mới. Chứ không đơn thuần như trường hợp của chướng ngại

thích nghi, đó là cung cấp cho HS kiến thức mới, những cách vận dụng mới kiến thức đã

học hay luyện tập cho HS “nắm vững” kiến thức,…

1.3.2. Sai lầm

1.3.2.1. Sai lầm từ quan điểm của thuyết hành vi

Theo Lê Văn Tiến (2006) [67], thuyết hành vi quan niệm rằng SL là một hiện tượng tiêu

cực, có hại cho việc lĩnh hội kiến thức và do đó cần tránh và nếu gặp thì cần khắc phục. Còn

nguyên nhân của SL thường được cho là:

- Do HS bất cẩn, vô ý hoặc do hiểu sai vấn đề cần giải quyết.

- Do HS không nắm vững kiến thức đã học, yếu kĩ năng và khả năng suy luận.

- Do HS thiếu hụt kiến thức.

- Do giáo viên trình bày không chính xác, dạy quá nhanh hay giải thích không đủ rõ

ràng,…

Xu hướng dạy học tương thích với quan niệm trên về SL thường được gọi là “sư phạm

từng bước nhỏ” (pédagogie des petits pas). Theo đó, mục tiêu dạy học một kiến thức được

phân nhỏ thành các mục tiêu bộ phận, các mục tiêu bộ phận đến lượt nó lại được phân thành

các mục tiêu con, để HS có thể lĩnh hội kiến thức cần giảng dạy bằng cách đi dần dần, lần

lượt từ đơn giản đến phức tạp mà không phạm SL nào. Người ta tìm mọi cách có thể để

tránh SL. Còn nếu như SL xuất hiện, thì cách giải quyết thông thường là dạy lại, ôn luyện

lại hay cung cấp các kiến thức bổ trợ cho đến khi HS có được lời giải hay câu trả lời đúng

(phản xạ đáp lại như mong đợi).

1.3.2.2. Sai lầm từ quan điểm của thuyết kiến tạo

Cũng theo Lê Văn Tiến (2006) [67], thuyết kiến tạo về học tập quan niệm rằng trí tuệ

của HS không bao giờ trống rỗng. Ngay cả khi một đối tượng kiến thức nào đó chưa được

giảng dạy, thì họ cũng đã có những biểu tượng, những dạng thức hành động ngầm ẩn liên

quan tới đối tượng kiến thức này. Một số biểu tượng có trong cấu trúc trí tuệ của HS tạo nên

những điều kiện thuận lợi cho việc học tập kiến thức mới. Nhưng cũng có những biểu

tượng, dạng thức hành động khá bền vững tạo nên những khó khăn, chướng ngại và thường

là nguyên nhân dẫn HS tới những SL.

Khác với thuyết hành vi, thuyết kiến tạo có một cái nhìn tích cực về SL: sai lầm thực sự

đóng một vai trò quan trọng và cần thiết cho học tập, nhất là khi nó là hậu quả của những

chướng ngại hình thành từ kiến thức cũ. Do đó, vấn đề không phải là phòng tránh SL, mà là

chủ động tổ chức cho HS gặp SL và sửa chữa nó như thế nào.

Bachelard (1938) [77] cũng nhấn mạnh: trong lịch sử các môn khoa học, SL không phải

là một “tai nạn”, SL không nằm ngoài kiến thức mà chính là biểu hiện của kiến thức, nó

góp phần tạo nên nghĩa của kiến thức. Và do đó, cần phải tổ chức dạy học thông qua việc

phá hủy một cách có hệ thống các SL.

Mặt khác, trước một SL của HS, nếu như thuyết hành vi đi tìm nguyên nhân từ những

kiến thức mà người ta cho rằng HS không nắm vững hay thiếu hụt, hoặc từ sự bất cẩn, vụng

về,… của chủ thể, thì thuyết kiến tạo lại nhấn mạnh vào việc tìm câu trả lời cho những câu

hỏi sau đây:

- Những qui trình (hay dạng thức) hành động nào, những quan niệm nào được HS vận

dụng đã góp phần tạo ra SL này?

- Những giả thuyết nào có thể đặt ra về nguồn gốc của những quy trình hay quan niệm

đó?

Một điểm khác biệt căn bản khác giữa thuyết hành vi và thuyết kiến tạo nằm ở cách thức

sửa chữa SL.

Trong khi thuyết hành vi nhấn mạnh vào việc dạy lại và gia tăng luyện tập củng cố, và

do đó nhấn mạnh trên vai trò chủ đạo của giáo viên, thì thuyết kiến tạo chủ trương sửa chữa

SL bằng cách đặt HS vào những tình huống học tập mới gắn liền với SL đó. Tình huống

nhắm tới tạo ra ở HS những xung đột nhận thức, cho phép họ tự nhận ra không chỉ SL mà

chủ yếu là nhận ra rằng các qui trình hay quan niệm mà họ đã vận dụng sẽ dẫn tới những kết

quả mâu thuẫn hay nghịch lí. Các tình huống cũng phải tạo thuận lợi cho họ tự phá hủy hay

điều chỉnh qui trình, quan niệm cũ của mình để xây dựng kiến thức mới thích ứng hơn.

Như vậy, thuyết kiến tạo đặc biệt nhấn mạnh trên vai trò chủ động của chủ thể (người

học) trong việc sửa chữa SL.

1.3.2.3. Sai lầm từ quan điểm của Didactic toán

Cùng quan điểm với thuyết kiến tạo, nhưng Didactic toán đã có những nghiên cứu sâu

sắc hơn về khái niệm SL, nhất là về nguồn gốc của nó.

“Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên của những

người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những

kiến thức đã có từ trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia, nhưng lại

là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới. Những sai

lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được, và chúng tạo nên chướng ngại. Trong

hoạt động của thầy giáo cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm có thể sinh ra từ nghĩa

của kiến thức được thu nhận bởi những chủ thể này.”

Quan điểm này được Brousseau (1983) [81, tr. 171] khẳng định:

Didactic toán không phủ định các nguyên nhân của SL từ quan điểm của thuyết hành vi,

nhưng nó quan tâm đến SL do hạn chế về mặt phát triển cá thể và đặc biệt chú trọng nghiên

cứu SL có nguồn gốc từ chướng ngại và từ hợp đồng dạy học. Sau đây, chúng tôi sẽ làm rõ các nguồn gốc sai lầm này2:

a) Sai lầm do hạn chế về phát triển cá thể

Con người từ lúc còn nhỏ đến khi trưởng thành trải qua nhiều giai đoạn phát triển cá thể

khác nhau cả về tâm lí cũng như tư duy. Giới hạn phát triển cá thể ở mỗi giai đoạn cũng là

nguồn gốc của sai lầm. Ta minh họa điều này từ xem xét câu hỏi sau:

Làm thế nào HS khẳng định một mệnh đề là đúng? Nói cách khác, HS kiểm chứng tính

đúng đắn của một mệnh đề ra sao?

Balacheff (1982) [78] đã phân biệt hai kiểu kiểm chứng sau:

- Kiểm chứng thực dụng: xác nhận chân lí của một mệnh đề nhờ vào hành động và kinh

nghiệm.

- Kiểm chứng trí tuệ: kiểm chứng không dựa vào kinh nghiệm. Đó là những cách xây

dựng của trí tuệ dựa trên những khái niệm, định nghĩa, tính chất tường minh. Phép chứng

minh là một kiểm chứng trí tuệ đặc biệt.

2 Trần Anh Dũng (2012), “Phân loại sai lầm của học sinh trong dạy học toán”, Tạp chí Khoa học Giáo dục số 81

Cũng theo Balacheff, có ba kiểu kiểm chứng thực dụng:

- Kiểm chứng kiểu “Chủ nghĩa kinh nghiệm ngây thơ”: Khẳng định chân lí của một

mệnh đề bằng cách kiểm tra một vài trường hợp cụ thể và không đặt ra vấn đề khái quát

hóa.

- Kiểm chứng kiểu “Thí nghiệm quyết đoán”: khẳng định chân lí của một mệnh đề bằng

cách kiểm tra một vài trường hợp mà HS cho là ít riêng biệt nhất. Cách làm này về cơ bản

vẫn thuộc kinh nghiệm nhưng khác với chủ nghĩa kinh nghiệm ngây thơ ở chỗ vấn đề khái

quát hoá được đặt ra.

- Kiểm chứng kiểu “Thí dụ đại diện và thực nghiệm thầm trong óc”: kiểm chứng này cố

trình bày rõ ràng những lý lẽ về chân lí của mệnh đề, bằng cách thực hiện những thao tác

trên một đối tượng đặc biệt, nhưng lại được chủ thể xem như (tưởng tượng như) không có

tính đặc biệt và riêng rẽ mà đại diện cho cả một lớp cá thể.

Trong dạy học toán học, do hạn chế về phát triển cá thể, người ta không thể đòi hỏi HS

tiểu học biết sử dụng các kiểm chứng trí tuệ nói chung và chứng minh nói riêng. Như vậy,

nếu yêu cầu HS tiểu học xác nhận một mệnh đề đúng hay sai, thì các em thường kiểm tra

qua một vài trường hợp đặc biệt hoặc quan sát, đo trên hình vẽ và kết luận. Nhưng từ quan

điểm khoa học toán học, đó là những cách hợp thức hóa sai!

b) Sai lầm có nguồn gốc từ chướng ngại

Từ nghiên cứu về chướng ngại trong phần trước, có thể nói chướng ngại là một trong

những nguồn gốc quan trọng của SL.

Để tìm dấu vết của chướng ngại khoa học luận, Didactic toán đề nghị một tiến trình như

- Xác định những sai lầm thường xuyên tái diễn, chứng tỏ rằng chúng có thể nhóm lại

quanh một quan niệm.

- Nghiên cứu xem chúng có tồn tại hay không trong lịch sử xây dựng khái niệm toán

học.

- Đối chiếu những chướng ngại lịch sử với những chướng ngại học tập để nếu có thể thì

xác định các đặc trưng khoa học luận của chướng ngại.

c) Sai lầm có nguồn gốc từ hợp đồng dạy học

Nghiên cứu trong 1.2.2.3 phần c) cũng đã chỉ ra rằng hợp đồng dạy học với những qui

tắc được hình thành một cách ngầm ẩn của nó cũng là một trong các nguyên nhân của sai

lầm.

1.4. CÁC CƠ SỞ LÍ LUẬN KHÁC

1.4.1. Tiến trình dạy học khái niệm toán học

Phần này được trình bày theo Lê Văn Tiến (2003 và 2005) ở [63] và [64]:

a) Cơ chế hoạt động của một khái niệm

- Một khái niệm hoạt động dưới dạng Công cụ (hay có cơ chế «Công cụ») nếu nó được

sử dụng một cách ngầm ẩn hay tường minh như là phương tiện để giải quyết một vấn đề nào

đó.

Khái niệm có cơ chế Công cụ ngầm ẩn, khi nó được sử dụng một cách ngầm ẩn bởi chủ

thể, nhưng chủ thể không thể trình bày hay giải thích được về việc dùng khái niệm. Ngược

lại, nếu khái niệm được vận dụng bởi chủ thể và chủ thể có thể trình bày hay giải thích nó,

thì ta nói đến cơ chế Công cụ tường minh.

- Khái niệm có cơ chế Đối tượng, khi nó là đối tượng nghiên cứu (được định nghĩa,

được khai thác các tính chất).

b) Hình thức thể hiện của khái niệm

Y. Chevallard (1991) [64, tr. 57] phân biệt ba kiểu khái niệm khác nhau:

- Khái niệm tiền toán học (notion protomathématique): Đó là các khái niệm không có

tên, không có định nghĩa. Chúng chỉ hiện diện một cách ngầm ẩn.

- Khái niệm cận toán học (notion paramathématique): Có tên nhưng không có định

nghĩa. Chúng là công cụ của toán học, nhưng không phải là đối tượng nghiên cứu.

- Khái niệm toán học (notion mathématique): Có tên và có định nghĩa. Chúng vừa là đối

tượng vừa là công cụ của hoạt động toán học.

c) Các tiến trình khác nhau về dạy học khái niệm

Theo Lê Văn Tiến (2005) [64, tr. 58], đa số các khái niệm toán ở trường phổ thông

thường được dạy học theo một trong hai tiến trình cơ bản sau:

- Tiến trình: Đối tượng  Công cụ

- Tiến trình: Công cụ  Đối tượng  Công cụ

 Tiến trình: Đối tượng  Công cụ

Trong tiến trình này, khái niệm xuất hiện trước hết với cơ chế đối tượng (nó là đối tượng

nghiên cứu), sau đó mới được sử dụng như là công cụ để giải quyết các vấn đề trong toán học

hay lĩnh vực khác. Trong tiến trình “Đối tượng  Công cụ”, hai cách tiếp cận khái niệm

thường được vận dụng là: cách tiếp cận qui nạp và cách tiếp cận suy diễn.

- Các giai đoạn chủ yếu của cách tiếp cận qui nạp có thể được sơ đồ hóa như sau (xem

sơ đồ 1.4)

Sơ đồ 1.4: Các giai đoạn chủ yếu của cách tiếp cận qui nạp

- Các giai đoạn chủ yếu của cách tiếp cận suy diễn (xem sơ đồ 1.5):

Sơ đồ 1.5: Các giai đoạn chủ yếu của cách tiếp cận suy diễn

 Tiến trình: Công cụ  Đối tượng  Công cụ

Tiến trình này xuất phát từ hai quan niệm có nguồn gốc khoa học luận:

- Trong lịch sử nảy sinh và phát triển của các đối tượng toán học, hầu hết các khái niệm

đều xuất hiện trước hết dưới dạng cơ chế công cụ ngầm ẩn sau đó chúng mới có cơ chế đối

tượng (được định nghĩa, nghiên cứu các tính chất….). Khi đã có cơ chế của một khái niệm

toán học, nó lại được sử dụng như một công cụ tường minh để giải quyết các vấn đề khác.

- Trong toán học, “Bài toán”, “Ý tưởng” và “Công cụ” hình thành nên ba thành phần chủ

yếu của hoạt động toán học, trong đó Bài toán là động cơ của hoạt động toán học, Công cụ

là phương tiện giải quyết vấn đề, Ý tưởng là trung gian giữa Bài toán và Công cụ. Trong mối

quan hệ này, Bài toán cần giải quyết đóng vai trò mấu chốt và Công cụ chính là mầm mống

của đối tượng tri thức mới.

Các giai đoạn chủ yếu của cách tiếp cận “Công cụ  Đối tượng  Công cụ” (xem sơ

đồ 1.6):

Sơ đồ 1.6: Các giai đoạn của cách tiếp cận Công cụ  Đối tượng  Công cụ

1.4.2. Vài thuật ngữ khác về cách tiếp cận một khái niệm

 Tiếp cận tổng thể, tiếp cận địa phương một khái niệm:

Tiếp cận tổng thể một khái niệm (hay khái niệm có đặc trưng tổng thể) khi đối tượng

gắn liền với khái niệm được xét trên phương diện toàn thể chứ không trên phương diện địa

phương, rời rạc. Chẳng hạn: một đường cong, một quỹ đạo, một hàm số được xét trên toàn

thể một khoảng, một tập liên thông nào đó. Nếu nó được xét trong một lân cận đủ bé hay ở

một thời điểm của quá trình,…ta nói khái niệm đó được tiếp cận địa phương (hay có đặc

trưng địa phương). Chẳng hạn: khái niệm đạo hàm, liên tục của hàm số tại một điểm.

 Tiếp cận trực giác hình học, tiếp cận số một khái niệm:

Một khái niệm được tiếp cận trực giác hình học (hay có đặc tính hình học) khi nó được

xem xét, mô tả trên phương diện trực giác hình học.

Một khái niệm được tiếp cận số (được số hóa, hay có đặc tính số) khi nó được xem xét,

mô tả bằng ngôn ngữ toán học.

1.4.3. Định hướng về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT

Theo [2], có thể nói cốt lõi của đổi mới dạy và học là hướng tới hoạt động học tập chủ

động, chống lại thói quen học tập thụ động.

Cũng theo [2], định hướng chung về đổi mới PPDH là phát huy tính tích cực, tự giác,

chủ động, sáng tạo, tự học, kĩ năng vận dụng vào thực tiễn, phù hợp với đặc điểm của từng

lớp học, môn học; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, tạo hứng thú học tập cho HS,

tận dụng được công nghệ mới nhất; khắc phục lối dạy truyền thống truyền thụ một chiều các

kiến thức có sẵn. Định hướng vào người học được coi là quan điểm định hướng chung trong

đổi mới PPDH. Quan điểm định hướng chung cần được cụ thể hóa qua những quan điểm

dạy học khác, như dạy học giải quyết vấn đề, dạy học theo tình huống, dạy học định hướng

hành động.

Đổi mới PPDH được thực hiện theo các định hướng:

- Bám sát mục tiêu giáo dục phổ thông;

- Phù hợp với nội dung dạy học cụ thể;

- Phù hợp với đặc điểm lứa tuổi HS;

- Phù hợp với cơ sở vật chất, các điều kiện dạy học của nhà trường;

- Phù hợp với việc đổi mới kiểm tra, đánh giá kết quả dạy – học;

- Kết hợp giữa việc tiếp thu và sử dụng có chọn lọc, có hiệu quả các PPDH tiên tiến,

hiện đại với việc khai thác những yếu tố tích cực của PPDH truyền thống;

- Tăng cường sử dụng các phương tiện dạy học, thiết bị dạy học và đặc biệt lưu ý đến

các ứng dụng của công nghệ thông tin;

Phần dưới đây được trích từ Lê Văn Tiến, Trần Anh Dũng và Trần Lương Công Khanh

(2012) [68]:

Dạy học theo định hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh đang là chủ trương lớn

của ngành giáo dục về đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông và thuật ngữ

“phương pháp dạy học tích cực” (hay gọi tắt là “phương pháp tích cực”) được dùng theo các

quan niệm khác nhau.

 Quan niệm thứ nhất: dùng thuật ngữ “Phương pháp tích cực” để chỉ tất cả những

phương pháp dạy học cho phép phát huy được tính tích cực học tập của học sinh.

Quan niệm này dựa trên khái niệm “tính tích cực học tập của học sinh” mà theo Sukina

(1977) [47] những dấu hiệu cơ bản của nó là: Học sinh khao khát học tập, hay nêu thắc mắc,

chủ động vận dụng linh hoạt kiến thức đã học, tập trung chú ý và kiên trì giải quyết vấn đề.

Sukina3 cũng đã phân chia tính tích cực ra làm ba cấp độ:

- Tính tích cực bắt chước, tái hiện: Xuất hiện do tác động kích thích bên ngoài (yêu cầu

của GV), trong trường hợp này, người học thao tác trên các đối tượng, bắt chước theo mẫu

hoặc mô hình của GV, nhằm chuyển đối tượng từ ngoài vào trong theo cơ chế “Hoạt động

bên ngoài và bên trong có cùng cấu trúc”. Nhờ đó, kinh nghiệm hoạt động được tích lũy

thông qua kinh nghiệm của người khác.

3 Trích dẫn theo Nguyễn Lan Phương (2000) [47].

- Tính tích cực tìm tòi: độc lập giải quyết vấn đề đặt ra, tìm kiếm các phương thức hành

động trên cơ sở có tính tự giác, có sự tham gia của động cơ, nhu cầu, hứng thú và ý chí của

HS.

- Tính tích cực sáng tạo: thể hiện khi chủ thể nhận thức tự tìm tòi kiến thức mới, tự tìm

ra phương thức hành động riêng và trở thành phẩm chất bền vững của cá nhân. Đây là mức

độ biểu hiện cao nhất của tính tích cực.

Như vậy, theo quan niệm này, ngay cả trong tình huống học tập bằng “bắt chước” vẫn

cần thiết và có thể phát huy được tính tích cực học tập của học sinh.

 Quan niệm thứ hai: tư tưởng tương tự như quan niệm thứ nhất, nhưng tránh dùng

thuật ngữ “Phương pháp tích cực” hay “Phương pháp dạy học tích cực”, mà sử dụng một

cách nói khá khái quát như “Phương pháp dạy học theo định hướng tích cực hóa hoạt động

của học sinh” hay theo định hướng “hoạt động hóa người học”.

 Quan niệm thứ ba: dùng thuật ngữ “Phương pháp tích cực” theo nghĩa chặt, để chỉ

những phương pháp dạy học có những đặc trưng chủ yếu sau đây:

- Giáo viên tự nguyện rời bỏ vị trí trung tâm. Họ chỉ còn là người đạo diễn, trọng tài, cố

vấn, tổ chức cho học sinh tự mình kiến tạo kiến thức mới.

Khái niệm kiến thức mới được hiểu theo nghĩa: đó có thể là kiến thức mà học sinh chưa

từng có (một định nghĩa khái niệm, một định lí, một phương pháp giải toán,…), cũng có thể

là những kiến thức cũ nhưng được điều chỉnh, tổ chức lại hoặc lấy một nghĩa mới.

- Học sinh trở thành chủ thể, thành trung tâm được định hướng để tự mình xây dựng

kiến thức, chứ không phải được đặt trước những kiến thức có sẵn của sách giáo khoa, hay

bài giảng áp đặt của giáo viên.

Nói chung, kiến thức được khám phá bởi người học có thể còn phiến diện, khiếm

khuyết, chưa đầy đủ, chưa hoàn chỉnh như tri thức ta muốn truyền thụ. Chính lớp học và

giáo viên sẽ giúp họ hoàn chỉnh kiến thức này.

- Kiến thức không còn được truyền thụ trực tiếp bởi giáo viên mà do học sinh khám phá

ra qua quá trình hoạt động giải quyết các vấn đề (có thể có sự giúp đỡ của giáo viên). Trong

trường hợp này, kiến thức mới nảy sinh như là phương tiện hay kết quả của hoạt động giải

quyết vấn đề của học sinh.

- Kết hợp đánh giá của thầy và tự đánh giá của trò.

Học sinh được tạo điều kiện tham gia vào việc đánh giá không chỉ sản phẩn cuối cùng

(như lời giải bài toán, ý kiến đề xuất…), mà cả quá trình mò mẫm, tìm kiếm cách giải quyết

vấn đề, đánh giá cách tổ chức và giải quyết vấn đề, tinh thần và thái độ làm việc, khả năng

sáng tạo của chính mình hay của bạn. Từ đó, phát triển kĩ năng tự đánh giá để tự điều chỉnh

cách học của mình.

Như vậy, một trong các điều kiện cần của phương pháp tích cực theo quan niệm thứ 3

này xuất phát từ đặc trưng của việc xây dựng kiến thức: kiến thức phải được kiến tạo bởi

học sinh qua quá trình hoạt động giải quyết các vấn đề của chính họ (có thể có sự giúp đỡ ít

nhiều của giáo viên).

CHƯƠNG 2: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN

CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC

2.1. MỤC ĐÍCH CỦA CHƯƠNG

Mục đích của chương này là tiến hành phân tích KHL về khái niệm HSLT để làm rõ các

đặc trưng cơ bản của đối tượng này trong quá trình phát sinh và phát triển của nó. Cụ thể, nó

nhắm tới trả lời các câu hỏi sau đây:

Khái niệm HSLT đã hình thành và phát triển qua những giai đoạn nào? Trong những phạm vi nào? Nó gắn liền với việc giải quyết những bài toán nào? Những quan niệm4 nào về

khái niệm hàm số liên tục đã xuất hiện? Những quan niệm này có đặc trưng cơ bản nào?

Chương này trình bày một nghiên cứu sự tiến hóa của các quan niệm về HSLT. Nó là cơ

sở để chúng ta thực hiện một nghiên cứu và giải thích những dữ kiện về nguồn gốc của

chuyển hóa sư phạm khái niệm này trong các thể chế dạy học khác nhau.

Những kết quả trình bày trong chương này được trích chủ yếu từ nghiên cứu của Habiba

El Bouazzaoui (1988) [80] và được bổ sung thêm từ các tài liệu [17], [48], [101], [102],

[103], [106], [107], [109] và [114]. Tuy nhiên, chúng tôi cũng phát triển các kết quả đó bằng

cách giải thích rõ hơn các đặc trưng đã được phát hiện từ các nghiên cứu trên và bổ sung

thêm các đặc trưng khác thông qua việc làm rõ các bài toán, các tình huống có sự tác động

của khái niệm HSLT, cũng như làm rõ cơ chế hoạt động (công cụ hay đối tượng), ý nghĩa

triết học và toán học của khái niệm HSLT.

2.2. ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC

2.2.1. Giai đoạn 1: Từ Hy lạp cổ đại đến đầu thế kỷ 17

2.2.1.1. Quan niệm Hy lạp cổ đại

Trong triết học Hy lạp cổ đại, quan niệm về sự liên tục đã xuất hiện từ rất sớm, song

trong toán học thì nó lại xuất hiện chậm hơn. Theo Boyer, người Hy lạp loại ra khỏi toán

học những ý tưởng không có tính lôgic hoặc những quan niệm không rõ ràng mà chính

những quan niệm đó đã khai sinh ra ngành giải tích như sự biến thiên, vô hạn, vô cùng bé

4 Ở đây, thuật ngữ “Quan niệm” được dùng bởi Bouazzaoui (1988) [80] và không trùng với khái niệm “Quan niệm” mà theo nghĩa hẹp hơn như là “biểu tượng”.

[103, tr. 301].

Điều này không có nghĩa là người Hy lạp không biết đến khái niệm vô hạn và khái niệm

liên tục. Họ đã sử dụng khái niệm vô hạn. Chẳng hạn, Euclide đã phát biểu tập hợp các số tự

nhiên là không chấm dứt hay phương pháp vét kiệt của Eudoxe cũng không loại trừ ý niệm

về liên tục. Dường như tồn tại một khái niệm về sự liên tục ngầm ẩn và trực giác, nhưng

không liên quan gì đến khái niệm liên tục của hàm số. Như L. Carnot đã nhận xét [80, tr.

66] thì những người cổ đại xem các đường cong là những phần tử cố định mà các đa giác

nội tiếp và ngoại tiếp nó tiến gần đến nhau một cách liên tục và qui luật liên tục như là một

“Khi quan sát kỹ thuật được sử dụng trong phương pháp vét kiệt, người ta thấy lúc nào cũng

phải nhờ đến các lượng phụ trong việc xét các tính chất hay những liên hệ với những cái cho

trước, những lượng phụ này ngày nay ta hiểu là cận trên hay cận dưới đúng, là những số hạng

mà những số hạng đầu tiên cứ liên tục tiến tới…”[80, tr. 67]

nguyên tắc để đến gần đường cong của các đa giác. Ông còn cho rằng:

Khái niệm liên tục chỉ ngầm ẩn trong những giải đáp về các nghịch lý của thời kỳ này

như các nghịch lí của Zenon, nghịch lý lưỡng phân hay Archille và con rùa. Sự liên tục

ngầm ẩn về trạng thái, về không gian, thời gian. Thật vậy, các chứng minh về diện tích, độ

dài cung bằng phương pháp vét kiệt đều dựa trên sự thừa nhận rằng việc chia đôi các đoạn

thẳng có thể thực hiện liên tục theo ý muốn. Aristotle không giải thích được các vấn đề về

sự liên tục có lẽ do cả quan điểm của ông ta về vô hạn lẫn sự hiểu biết thiếu hoàn chỉnh của

người Hy lạp về số học. Nghiên cứu các công trình của Aristotle, chúng ta càng thấy rõ tính

ngầm ẩn của qui luật liên tục và sự không cần thiết phải có một khái niệm liên tục trong

toán học Hy lạp cổ đại. Tuy nhiên, khái niệm liên tục ngầm ẩn trong các tính toán của

các nhà toán học Hy lạp vì thực chất là nếu không có tính liên tục của các đường

thẳng, đường cong hay các hình hình học, thì họ không thể có thuật toán vét kiệt. Quan

niệm về liên tục của Aristotle bắt nguồn từ những khái niệm trực giác về bản chất của trạng

“Về sự liên tục, tôi muốn nói đến việc có thể chia nhỏ thành những phần mà những phần đó lại

có thể chia nhỏ không chấm dứt” [103, tr. 44].

thái, Aristotle cho rằng:

Aristotle cho rằng những mâu thuẫn trong các nghịch lý chỉ đơn thuần là do tưởng tượng

và không cần thiết phải có những định nghĩa chính xác, thích hợp cho các khái niệm liên

tục, vô hạn, vận tốc tức thời ngoại trừ các khái niệm mà Aristotle đã trình bày trong các

công trình của ông ta. Như vậy, nền tảng của giải tích không tồn tại trong thời Hy lạp cổ đại.

Trong hầu hết các trường hợp, người Hy lạp đều diễn đạt sự liên hệ của các đại lượng bằng

những tỷ số nào đó và họ thật sự không cần đến khái niệm liên tục.

Monna [80, tr. 67] đã nhấn mạnh, khái niệm hàm số không tồn tại một cách rõ ràng trong

toán học Hy lạp, các khái niệm đều được xét theo quan điểm hình học. Một parabol được

xem là giao tuyến của mặt nón với một mặt phẳng và phương trình của nó không liên quan

gì đến định nghĩa nó, các đường cong đều được nghiên cứu bằng các đặc trưng hình học.

Như vậy, trong thời kỳ này tồn tại một quan niệm “ngây thơ” và trực giác về khái liên

tục được thể hiện chủ yếu qua trạng thái của sự vật, hiện tượng, nó có tính ngầm ẩn. Ta

gọi quan niệm này là quan niệm nguyên thủy (QNT).

2.2.1.2. Thời trung cổ

Trong thời trung cổ, người ta đã bắt đầu tìm cách định lượng một số hiện tượng như

nhiệt độ, vận tốc…Các luật của tự nhiên bắt đầu được nghiên cứu như sự phụ thuộc của đại

lượng này vào đại lượng kia. Công trình Tractatus de configuratione qualitatum et motuum

(Khảo luận về hình dạng của các đại lượng và chuyển động) được xem là đóng góp quan

trọng nhất cho toán học của Nicole Oresme (1323 – 1382), một học giả người Pháp. Oresme

giới thiệu khái niệm biểu diễn đồ thị hay còn gọi là hình dạng hình học về trạng thái của đại

lượng.

Trong các giáo trình phổ biến ở các trường đại học thời kỳ trước Oresme, các khái niệm

đều được trình bày mà không có các biểu đồ hay các yếu tố liên quan đến trực giác hình

học. Hầu hết các biểu đạt đều bằng lời hoặc dựa trên số học, như trong giáo trình Liber

calculationum phổ biến ở trường đại học Oxford. Tuy nhiên, Oresme nhận thấy rằng tính đa

dạng của các kiểu biến đổi rất khó phân biệt nếu không biểu thị chúng bằng hình ảnh hình

học. Các trình bày của Oresme dựa trên việc sử dụng hiệu quả các biểu đồ và trực giác hình

học làm cho các lập luận của ông dễ thuyết phục hơn.

Về vận tốc, Oresme dùng đoạn AB để biểu thị đại lượng thời gian t, ông gọi đường AB

là đường kinh tuyến. Độ lớn của vận tốc tại mỗi thời điểm trên kinh tuyến được biểu diễn

bằng một đoạn vuông góc với kinh tuyến tại điểm đó, ông gọi đoạn này là vĩ tuyến. Chẳng

hạn, với chuyển động nhanh dần đều trong khoảng thời gian [0; t], tương ứng với kinh tuyến

AB (xem hình 2.1), thì vĩ tuyến tại mỗi điểm P của AB là PQ mà độ lớn của nó biểu thị vận

tốc tức thời tại đó. Cạnh CD của hình vẽ là sự biểu thị đồ thị thời gian – vận tốc. Oresme

nhận xét nếu chuyển động nhanh dần đều thì CD sẽ là đoạn thẳng. Cạnh hình thang AD = v0

là vận tốc ban đầu, BC = vf là vận tốc sau cùng. Ông thừa nhận mà không chứng minh rõ

ràng rằng diện tích hình thang ABCD chính là tổng số quãng đường đã đi được trong

khoảng thời gian [0;t]. Ông chỉ đưa ra nhận xét là hình thang này tạo thành bởi vô số vĩ

tuyến không thể phân chia được, mỗi vĩ tuyến biểu thị cho vận tốc liên tục trong một

khoảng thời gian rất bé.

Như vậy, một quan niệm trực giác biểu thị tương quan thời gian – vận tốc bằng hình

ảnh một đường liền nét đã xuất hiện và vẫn như thời cổ đại những quan hệ phụ thuộc

giữa hai đại lượng nào đó được mô tả bằng lời hoặc hình ảnh mà chưa có sự xuất hiện

của công thức. Trong giai đoạn này, ý tưởng liên tục đã gắn liền với chuyển động, sự

biến đổi không gián đoạn, nhưng nó vẫn có đặc trưng ngầm ẩn và trực giác. Bước

chuyển từ ngầm ẩn bằng lời sang ngầm ẩn bằng hình học là một tiến triển của khái niệm

liên tục.

2.2.1.3. Thời phục hưng

Thời phục hưng được xem là một giai đoạn mà sự phát triển của toán học rất chậm chạp

do những ảnh hưởng của xã hội lúc đó. Tuy nhiên, nó được xem là giai đoạn chuẩn bị cho

sự phát triển của toán học trong thời kỳ tiếp theo. Trong thời kỳ này, các nhà toán học

nghiên cứu những kết quả mà Archimedes đã đạt được để tiếp tục phát triển kỹ thuật “vô

cùng bé”. Khái niệm vô tận và kỹ thuật vô cùng bé đã được giới thiệu bởi Nicolas de Cusa

(1401 – 1464), một học giả người Đức và Johann Kepler (1571 – 1630), nhà toán học và

thiên văn học người Đức. Sự sử dụng có hệ thống kỹ thuật vô cùng bé trong tính toán diện

tích, thể tích cũng được trình bày trong các công trình Geometria indivisibilibus (Hình học

của những cái không thể phân chia được), Exercitationes geometricae sex (Sáu bài toán

hình học) của Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647), một nhà toán học người Ý. Về cơ bản,

kỹ thuật vô cùng bé của Cavalieri và Kepler là khác nhau. Có thể xem đó là những nền

móng ban đầu cho sự hình thành giải tích vô cùng bé.

Cho đến đầu thế kỷ 17, khái niệm hàm số vẫn còn ngầm ẩn, khái niệm liên tục chỉ xuất

hiện ngầm ẩn, trực giác, liên quan đến những đại lượng biến thiên như đường đi, thời gian,

vận tốc. Tuy nhiên, khái niệm liên tục đã là công cụ ngầm ẩn trong những kỹ thuật vô cùng

bé, vốn được xem là yếu tố khởi thủy cho ngành giải tích.

2.2.1.4. Kết luận về quan niệm nguyên thủy (QNT)

Quan niệm nguyên thủy đã tồn tại cho đến giữa thế kỷ 17, quan niệm này xuất hiện một

cách trực giác, ngầm ẩn như là một điều kiện cần trong hoạt động của các nhà toán học khi

khảo sát những đối tượng "hiển nhiên" liên tục như thời gian, quĩ đạo… Quan niệm này

chưa gắn với khái niệm hàm số vì theo đa số những nghiên cứu lịch sử, ý tưởng tổng quát về

liên hệ hàm chưa xuất hiện trong thời cổ đại. Cho tới cuối thế kỷ 16, những hàm số được

nghiên cứu chỉ mới được giới thiệu bằng các bảng giá trị như bảng lôgarit, bảng lượng giác,

do đó, khái niệm liên tục của hàm số hiển nhiên vẫn chưa cần thiết. Tính trực giác của nó

thể hiện qua biểu diễn bằng hình vẽ và nhiều lúc qua phát biểu bằng lời.

Tóm lại, từ thời cổ đại cho đến giai đoạn đầu của thời phục hưng quan niệm nguyên

thủy về sự liên tục có hình thức của một khái niệm tiền toán học (notion

protomathématique), nó có tính tổng thể và ngầm ẩn. Nó chưa có tên, chưa được định

nghĩa vì chỉ xuất hiện như một công cụ ngầm ẩn cho phép giải quyết vấn đề tính diện

tích, thể tích trong phạm vi hình học. Trong phạm vi vật lí, nó tác động ngầm ẩn qua việc

biểu diễn tương quan giữa vận tốc, thời gian và quãng đường. Nó luôn gắn liền với các

đối tượng vật lí như đường đi, quĩ đạo.

2.2.2. Giai đoạn 2. (Thế kỷ 17 và 18): Quan niệm hình học về sự liên tục - khái

niệm hàm số liên tục là một khái niệm cận toán học (notion paramathématique)

2.2.2.1. René Descartes (1595 – 1650) và quan niệm hình học của Descartes

(QHD)

Thế kỷ 17 được xem như khởi điểm của toán học hiện đại với sự phát triển mạnh mẽ của

nhiều ngành toán học, trong đó, sự ra đời của phương pháp tọa độ và ngành hình học giải

tích được xem là một cuộc cách mạng trong hình học. Phương pháp nghiên cứu hình học

theo kiểu cổ điển dựa nhiều vào trực giác được thay thế bằng phương pháp đại số với những

lập luận chặt chẽ nhờ vào những thành tựu của Đại số và Giải tích về hàm số, phép tính vi

phân.

Với cùng mục đích đại số hoá hình học nhưng cách tiếp cận của Descartes và Fermat có

khác nhau. Descartes bắt đầu từ một bài toán hình học liên quan tới một đường cong đã cho

như là một đường cố định hay quĩ tích của một chuyển động liên tục đều (kiểu như đường

xoắn ốc của Archimedes). Công việc của ông là chuyển bài toán hình học sang ngôn ngữ

của phương trình đại số rồi giải bài toán đại số này.

Ngược lại, Fermat bắt đầu từ một phương trình đại số để tìm các tính chất hình học

tương ứng với phương trình đó. Chẳng hạn, Fermat bắt đầu bằng phương trình bậc hai 2 ẩn

, bằng một phép chuyển trục hay phép quay ông chứng minh

rằng đó là một đường cônic, trừ một số trường hợp suy biến.

Descartes xác định rằng các phương trình hai biến được biểu diễn hình học bởi một

đường cong, đường cong đó mô tả sự phụ thuộc vào nhau của các biến này.

Descartes chỉ xét những đường cong được biểu diễn bởi một phương trình mà ông gọi là

đường cong hình học để phân biệt với những đường cong cơ học. Ông chỉ xét những đường

cong hình học mà ông phân loại như sau:

- Đường cong loại 1: biểu diễn bằng 1 phương trình bậc hai.

- Đường cong loại 2: biểu diễn bằng 1 phương trình bậc ba, bậc bốn.

- Đường cong loại 3: biểu diễn bằng 1 phương trình bậc năm, bậc sáu.

Đại số hóa hình học là thành tựu chủ yếu trong giai đoạn này, nó cũng là cơ sở cho sự

phát sinh khái niệm hàm số. Mặc dù khái niệm hàm số chưa được sử dụng như một công cụ

tường minh, nhưng nó đã ngầm ẩn trong hoạt động của các nhà toán học thông qua việc

khảo sát sự phụ thuộc lẫn nhau giũa các đại lượng hay các kỹ thuật tính toán vô cùng bé.

Khoảng năm 1637, Descartes đã giới thiệu khái niệm hàm số [109, tr. 55], theo ông, hàm số chỉ đơn giản là lũy thừa dương của biến số x (y = x2, y = x3,..).

Các đường cong hình học mà Descartes và Fermat khảo sát hiển nhiên là những đường

cong liên tục hoặc ít nhất cũng liên tục từng mảnh (như hyperbol). Tính liên tục của đường

cong được Descartes chuyển sang tính liên tục của hàm số một cách trực giác. Về khái niệm

HSLT, Descartes không ghi thành định nghĩa, mà chỉ phát biểu bằng lời: "một hàm số là

liên tục nếu đồ thị của nó có thể được vẽ mà không phải nhấc viết chì khỏi tờ giấy" [Bert

G. Wachsmuth, 2000, ver 1.9.3] (xem hình 2.2). Đây cũng có thể xem là quan niệm đầu

tiên về hàm số liên tục.

Như vậy, quan niệm về hàm số liên tục của Descartes dựa trên trực giác hình học và có

tính tổng thể.

2.2.2.2. Isaac Newton (1642 – 1727)

Công trình kinh điển và nổi tiếng nhất của Isaac Newton (1642-1727) là Philosophiae

Naturalis Principia Mathematica được xuất bản năm 1687. Công trình này là hệ thống

những nguyên lý, nguyên tắc cơ bản của Newton về cơ học và lý thuyết vạn vật hấp dẫn.

Principia đã trình bày quan điểm vô cùng bé và lý luận về giới hạn, vì vậy nó được xem là

công trình đầu tiên về giải tích.

Tuy nhiên, Principia được diễn đạt trong ngôn ngữ và cách thức tổng hợp của hình học

cổ điển mà ít hoặc không sử dụng thuật toán giải tích về fluxion của Newton. Có thể vì

Newton đề ra những tiên đề cơ bản trong Principia qua việc sử dụng công cụ mới là giải tích

và các phép toán trên fluxion, và sau đó nhằm tránh những tranh cãi gay gắt, ông khoác lại

cho nó bộ áo của hình học tổng hợp đã được thừa nhận.

Ông coi một đường không phải gồm những điểm kề nhau mà do một điểm chuyển động

liên tục tạo thành, nó là một đường cong liên tục vì nó được tạo nên bởi một nét liên tục.

Ông xét đường cong f(x,y) = 0 như là quĩ tích của những giao điểm của hai đường thẳng

thay đổi, một thẳng đứng và một nằm ngang (xem hình 2.3). Các tọa độ x và y của điểm

thay đổi đó là hàm số theo thời gian t. Khi đó, chuyển động là hợp của hai chuyển động:

chuyển động theo phương ngang với vectơ vận tốc có độ dài x và chuyển động theo phương

đứng với vectơ vận tốc có độ dài y. Vectơ tổng biểu thị chuyển động của điểm và là tiếp

tuyến của đường cong nên độ dốc của đường cong là y/x. Sau này, ta biết rằng x = dx/dt và

y = dy/dt.

2.2.2.3. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)

Cùng với Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz được xem như là người khai sinh ra phép

tính vi phân và giải tích vô cùng bé. Nếu Newton tiếp cận ngành toán học này từ những khái

niệm cơ bản fluxion hay sự thay đổi thời gian dựa trên những ý tưởng trực giác của các

chuyển động liên tục thì những hiệu vô cùng bé rời rạc của các biến hình học lại đóng vai

trò trung tâm trong giải tích của Leibniz [106, tr. 266]. Mặc dù giải tích của ông đã được

đánh giá có một vị trí quan trọng trong toán học và không cần phải bàn cãi như continum

chẳng hạn nhưng để giải đáp sự chuyển từ hữu hạn sang trạng thái vô cùng bé thì ông lại

phải nhờ tới nguyên lý phỏng triết học (quasi-philosophical principle) được gọi là luật liên

tục.

"... trong thiên nhiên không có gì hình thành bằng bước nhảy. Một vật không thể từ trạng thái

này qua trạng thái khác mà không phải qua những trạng thái khác nhau.". [80, tr.73]

Theo Leibniz:

Điều đó dẫn đến việc ông xem tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến.

Dường như ngầm ẩn trong quan niệm này của Leibniz là tư tưởng của định lí giá trị

trung gian gắn liền với khái niệm liên tục của hàm số, mà mãi tới thế kỉ 19 mới được chính

thức nghiên cứu bởi Bolzano và Cauchy.

Có thể nói, từ Newton đến Leibniz, quan niệm về liên tục và HSLT vẫn là quan niệm

hình học như của Descartes, nhưng lại gắn liền với chuyển động liên tục (không bước nhảy)

trong vật lí và có đặc tính không gian rất rõ ràng. Trong đó, đặc trưng hình học vẫn trội hơn.

Vì thế ta gọi quan niệm này là quan niệm hình học Descartes (QHD). Với quan niệm này,

khái niệm hàm số liên tục có đặc trưng tổng thể và thể hiện qua hình thức của một khái

niệm tiền toán học.

2.2.2.4. Leonard Euler (1707 – 1783) và quan niệm hình học của Euler (QHE)

Thế kỷ 18 là giai đoạn của sự củng cố và mở rộng những khám phá to lớn của thế kỷ 17

trong toán học cũng như những ứng dụng của nó vào việc giải quyết những vấn đề của khoa

học. Nổi bật nhất trong thế kỷ này Leonard Euler (1707 – 1783), người được xem là một

trong những nhà toán học của mọi thời đại.

Công trình Introductio của Euler là công trình đầu tiên mà trong đó khái niệm hàm số

chứ không phải đường cong, đóng vai trò trung tâm và là một đối tượng nghiên cứu chính,

nó cho phép số hóa hình học và dẫn tới việc tách giải tích vô cùng bé khỏi hình học. Mặc dù

khái niệm hàm số đã được dùng trước đó bởi Leibniz, Descartes, nhưng chính Euler là nhà

toán học đầu tiên đã làm cho khái niệm hàm số nổi bật lên qua những nghiên cứu có tính hệ

thống. Ông cũng phân loại tất cả các hàm sơ cấp đồng thời với đạo hàm và nguyên hàm của

chúng.

“Một hàm số của một đại lượng biến thiên là một biểu thức giải tích hợp thành theo một cách

nào đó từ chính đại lượng biến thiên này và từ những số hay các đại lượng không đổi” [106, tr.

271]

Trong Introductio, Euler cho định nghĩa hàm số:

Những phép toán mà Euler thừa nhận cho “biểu thức giải tích” gồm những phép toán

đại số cơ bản (kể cả nghiệm của phương trình đại số), phương trình siêu việt, phép toán lấy

giới hạn của dãy, của chuỗi….

Sau đó, trong tác phẩm Institutiones calculi differentiallis, định nghĩa về hàm số đã mở

“Nếu các đại lượng nào đó phụ các đại lượng khác sao cho các đại lượng sau thay đổi thì các

đại lượng trước thay đổi, thì các đại lượng trước được gọi là các hàm số của các đại lượng

sau. Định nghĩa áp dụng rộng rãi hơn và bao gồm tất cả các cách để xác định một đại lượng

theo đại lượng khác. Do đó, nếu x biểu thị một đại lượng thay đổi, thì tất cả các đại lượng phụ

thuộc vào x dù bằng bất cứ cách nào, hoặc xác định được bởi nó, gọi là các hàm số của x.”

[106, tr. 271]

rộng đến gần như định nghĩa hiện nay:

Euler phân biệt những hàm số liên tục, những hàm số không liên tục (hay hàm hỗn

hợp). Định nghĩa hàm số liên tục và không liên tục của Euler trong công trình của ông vào

“Hàm số liên tục là hàm số mà tất cả các giá trị của nó liên kết với nhau theo cùng một quy tắc

hay phụ thuộc vào cùng một phương trình..” [102, tr. 108]

khoảng 1748 như sau:

Mặc dù quan niệm về hàm số của Euler có thay đổi, nhưng ông vẫn quan niệm HSLT là

hàm số được biểu thị bởi một biểu thức giải tích duy nhất theo biến.

Ông phân biệt HSLT với các hàm số không liên tục (hay hỗn hợp) – những hàm số xác

định bởi các biểu thức khác nhau trong những khoảng khác nhau của miền xác định. Không

liên tục thể hiện sự thay đổi “quy tắc” (hay luật) xác định hàm số. Khi định nghĩa như vậy,

Euler không quan tâm đến đặc điểm đồ thị của nó. Chẳng hạn, hàm số là hàm số liên

tục, mặc dù đồ thị của nó “đứt quãng” tại x = 0 [114, tr. 200].

Ông cũng định nghĩa đường cong liên tục là đường cong được xác định bởi một phương

trình nhất định, còn những đường cong không liên tục là những đường cong không được

xác định bởi phương trình nào, như những đường cong được vẽ tự do.

Trong một báo cáo khoa học nói về hàm số không liên tục, Euler định nghĩa hàm số liên

“tất cả những phần của đường cong (liên tục) đều gắn với những ràng buộc hẹp hơn đến độ

không thể thay đổi mà không làm xáo trộn tính liên tục” [80, tr. 77].

tục bằng các quay lại với thuật ngữ hình học:

Việc công bố báo cáo về hàm số không liên tục của Euler nhằm giải quyết những tranh

luận về hàm số được thừa nhận trong các bài toán về phương trình đạo hàm riêng.

HSLT theo nghĩa của Euler tương ứng với hàm số khả vi hay sự bất biến của biểu thức

của hàm số và khác với kiểu liên tục từng mảnh mà ngày nay ta thường dùng.

Minh họa điều này, Grattan-Guinness (1970) [80, tr. 77] cho VD (xem hình 2.4):

Sự tranh cãi xung quanh bài toán nổi tiếng phương trình dây rung thời bấy giờ cũng liên

quan đến quan niệm về HSLT của Euler.

Năm 1747, D'Alembert nghiên cứu sự dao động của một sợi dây rung bị căng ra ở 2 đầu

x = 0 và x = L trên trục hoành. Ông đề xuất một điều kiện tương đương với phương trình

đạo hàm riêng: (1)

Cả hai ông, trước tiên là D'Alembert (1747) rồi sau đó là Euler (1748) đã biểu diễn

nghiệm tổng quát của (1) dưới dạng: y(x,t) = (x + at) + (x – at) trong đó là những

hàm số "tuỳ ý" theo 1 biến số. Thừa nhận rằng ở thời điểm ban đầu, hàm số f đặc trưng cho

dạng của sợi dây cho bởi công thức y = f(x) thì dao động sau đó sẽ cho bởi: y(x,t) = f(x +

at) + f(x – at)

Cách giải của D'Alembert và Euler giống nhau về hình thức nhưng bất đồng xảy ra ở vấn

đề hàm số f ban đầu phải là hàm thế nào?

Euler không đòi hỏi hàm số đó phải xác định trên toàn đoạn [0;L] bằng một biểu thức

giải tích duy nhất, nghĩa là không cần phải liên tục theo "kiểu Euler", hàm số đó có thể là

hàm hỗn hợp. Chẳng hạn, nếu kéo căng điểm chính giữa sợi dây từ vị trí cân bằng ban đầu

đến khi cách vị trí ban đầu 1 đơn vị (xem hình 2.5) rồi cho dao động thì rõ ràng hàm số f

ban đầu là một hàm số "hỗn hợp" (theo nghĩa Euler) cho bởi:

y =

Euler cho rằng có thể xác định vị trí ban đầu của sợi dây một cách đơn giản bằng "đường

cong vạch nên bởi chuyển động tự do của tay", ngay cả trong trường hợp đó, khi vẽ được đồ

thị của hàm số thì theo đồ thị đó dễ dàng thiết lập bằng hình học dạng của sợi dây tại một

thời điểm tuỳ ý. Ngược lại, D'Alembert thì cho rằng không chỉ hàm số f ban đầu mà cả hàm

số phải tuân theo một qui luật giải tích duy nhất.

2.2.2.5. Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813)

Một nhà toán học cùng thời cũng đã có những quan niệm bước đầu tiếp cận sang số hóa

đó là Joseph Louis Lagrange (1736-1813).

Trong công trình Théorie des Fonctions Analyticques xuất bản năm 1797, ông đã trình

bày một sự phát triển tổng hợp của giải tích với ý đồ thoát khỏi những ràng buộc của vi

phân, vô cùng bé, và khái niệm giới hạn. Cách tiếp cận của Lagrange đặt trên cơ sở sự khai

triển một hàm số f(x) đã cho thành chuỗi. Nếu thay x bằng x + i thì "áp dụng lý thuyết

chuỗi" theo như Lagrange nói, ta nhận được:

f(x+i) = f(x) + p.i + q.i +r.i +........ (2)

trong đó p, q, r .... là các hàm số mới theo biến số x được suy ra từ hàm số f ban đầu. Mục

tiêu của Lagrange nhằm chứng minh mọi HSLT đều có thể khai triển theo dạng (2) tại mọi

điểm x trừ một số điểm x đặc biệt. Ngày nay, ta nói rằng nếu f(x+i) biểu diễn được thành

một chuỗi hội tụ dạng (2) trong một lân cận của i = 0 thì f(x) là giải tích tại x. Chính vì vậy,

công trình của Lagrange có tên gọi là Lý thuyết về các hàm giải tích. Ngay sau đó, Cauchy

đã chỉ ra rằng có những hàm số đơn giản nhưng lại không là hàm giải tích, chẳng hạn hàm:

y = .

Bằng một số hữu hạn phép thế và đạo hàm, từ (2) Lagrange đi đến:

f(x+i) = (3)

(3) chính là chuỗi Taylor.

Trong quá trình chứng minh (2), một định lý cơ bản trong công trình của ông, Lagrange

đã định nghĩa hàm số liên tục một cách ngầm ẩn nhưng theo kiểu Euler. Những hàm số

được xét là những hàm số có dạng P; Q; P/Q; [P] trong đó P; Q là các đa thức còn là số

hữu tỷ do Lagrange đưa mọi hàm số về dạng (3). Trong quan niệm của Lagrange, người ta

" người ta có thể tìm thấy một hoành độ i tương ứng với tung độ nhỏ hơn một định lượng đã

cho ........." [80, tr. 79]

còn thấy ngầm ẩn quan niệm hình học và bước đầu sự tiếp cận số hóa:

2.2.2.6. Louis Arbogast (1759 – 1803)

Quan niệm về hàm số cuối thế kỷ 18 chìm trong sự tranh cãi gay gắt và lâu dài về bài

toán dây rung. "Sự liên tục" của hàm số ám chỉ đến việc biểu diễn bằng một biểu thức

giải tích duy nhất của hàm số đó hơn là để ý đến sự dính liền của đồ thị. "Sự không liên

tục "của hàm số để ám chỉ đến sự gãy của hàm số tại các điểm tới hạn (những điểm mà

hàm số đổi công thức) hoặc ám chỉ đến sự không tồn tại biểu thức giải tích nào để biểu diễn

hàm số (như trường hợp đường cong vẽ tự do).

Ngược lại, ngày nay sự không liên tục đồng nghĩa với sự không dính liền của đồ thị.

Sự phân biệt này lần đầu tiên được diễn đạt rõ ràng và đầy đủ bởi Louis Arbogast (1759 –

1803). Vào năm 1807, Viện Hàn lâm St. Peterburg đã trao cho ông giải thưởng về việc giải

Liệu có hay không những hàm số tùy ý biểu diễn những mặt, đường mà những hàm số này

người ta nhận được khi tích phân các phương trình ba hay nhiều biến kể cả những phương

trình đại số, siêu việt, cơ học, không liên tục hay phát sinh do chuyển động tự do vẽ bằng tay

hay phải chăng những hàm này chỉ gồm những đường cong liên tục biểu thị một phương trình

đại số hay siêu việt. [106, tr. 303]

đáp vấn đề tranh cãi lâu nay:

“Luật liên tục có nghĩa là một đại lượng không thể từ trạng thái này sang trạng thái khác

Trong công trình của ông đã được nhận giải thưởng vào năm 1791, Arbogast viết:

mà không qua tất cả các trạng thái trung gian theo cùng một luật. Các hàm số đại số là liên

tục vì những giá trị khác nhau của các hàm số này phụ thuộc theo cùng một kiểu đối với biến

số và giả sử biến số tăng một cách liên tục thì hàm số sẽ nhận những giá trị tương ứng nhưng

hàm số không thể nhảy từ giá trị này sang giá trị khác mà không đi qua tất cả những giá trị

trung gian ...” [106, tr.303]

Argobast đã chỉ ra "định lý giá trị trung gian" mà sau đó đã đóng vai trò quan trọng trong

“Sự liên tục bị phá vỡ trong hai trường hợp: 1. Hàm số thay đổi công thức, nghĩa là qui luật

theo biến số của hàm số thay đổi tại một điểm nào đó. Một đường cong tạo thành bởi hợp

giải tích toán học. Ông còn chỉ ra những trường hợp mà sự liên tục bị phá vỡ:

nhiều mảnh cong [...]. Cũng không nhất thiết hàm số phải được xác định bởi những công

thức khác nhau trên từng khoảng khác nhau, cách thức tạo hàm số có thể liên tiếp thay đổi,

thay vì đồ thị của hàm số là hợp của nhiều mảnh các đường cong thì nó có thể là hợp của

nhiều điểm, như vậy có thể nói hàm số có thể không xác định bởi bất kỳ một qui luật nào trên

một khoảng dù nhỏ thế nào.

2. Luật liên tục cũng bị phá vỡ khi những phần khác nhau của đường cong không dính liền với

nhau ...... Ta gọi những đường cong như thế là không liên tục và một cách tương tự cho

hàm số không liên tục.” [106, tr. 303 – 304]

Đề minh họa sự khác nhau giữa HSLT theo nghĩa Euler và HSLT theo nghĩa đồ thị dính

liền, Arbogast cho thí dụ [107, tr. 92]:

Việc chọn các hằng số thích hợp sẽ làm cho đồ thị “dính liền” trên [0; c], hiển nhiên hàm

số liên tục trên từng khoảng con.

Arbogast còn nhận ra rằng những hàm số tùy ý xuất hiện trong các nghiệm của phương

trình đạo hàm riêng có thể không liên tục theo "kiểu Euler" cũng có thể không liên tục theo

trường hợp thứ hai nêu trên.

Chúng ta thấy quan niệm hàm số liên tục mặc dù còn trong phạm vi ảnh hưởng lớn

của quan niệm Euler song đã có một bước tiến triển dần sang số hóa. Sự phụ thuộc tuyệt

đối vào công thức cũng đã bước đầu chuyển sang sự phụ thuộc vào tung độ hay sự thay đổi

của tung độ khi hoành độ thay đổi.

2.2.2.7. Kết luận về quan niệm hình học

Từ giữa thế kỷ 17, với sự phát triển của hình học giải tích của Descartes và Fermat, sự

phát triển về lý thuyết hàm số của Euler thì khái niệm hàm số liên tục đã chuyển từ hình

thức tiền toán học với quan niệm hình học (QHD) của Descartes, Fermat, Newton, và

Leibniz sang cận toán học với sự xem xét số hóa của Euler (QHE). Quan niệm QHD vẫn

mang tính trực giác và ngầm ẩn, nó có tính trực giác và ngầm ẩn về không gian (Leibniz) và

về thời gian (Newton). Quan niệm hình học QHE của Euler có tiến triển hơn khi hàm số

được sử dụng như một công cụ xem xét. Euler đã gắn liền tính liên tục của đường cong với

biểu thức của hàm số.

Quan niệm hình học Euler (QHE) về hàm số liên tục ở thế kỷ 18 có đặc trưng hình

học và số hóa cũng như tính tổng thể. Tuy nhiên, với các quan niệm hình học trong giai

đoạn này, khái niệm liên tục và hàm số liên tục chỉ hiện diện qua hình thức của một khái

niệm cận toán học.

Quan niệm QHD là một chướng ngại khoa học luận.

Quan niệm hình học QHD của thế kỷ 17 gắn chặt với khái niệm về "sự thay đổi liên

tục", đó là sự thay đổi liên tục theo thời gian của Newton và sự thay đổi liên tục theo không

gian của Leibniz. Quan niệm QHD mặc nhiên công nhận sự liên tục mà không cần định

nghĩa cũng như tìm hiểu đặc tính của nó. Quan niệm này hoạt động trên các hàm số thời đó,

những hàm số được biểu thị bằng một biểu thức đại số mà chủ yếu là đa thức hoặc được

biểu thị bằng một đường cong. Quan niệm QHD là một chướng ngại KHL vì nó dựa vào

trực giác hình học khi các nhà toán học đương thời hoạt động trong bối cảnh mà họ cho rằng

những đường cong biểu thị các hàm số chấp nhận tiếp tuyến ở tất cả các điểm. Nó làm cho

Euler và các nhà toán học thời đó tổng quát hóa rằng một hàm số liên tục là hàm số được

định nghĩa chỉ bởi một biểu thức đại số mà thôi.

Quan niệm QHE là một chướng ngại khoa học luận.

Quan niệm QHE của Euler cho thấy phạm vi mà ông quan tâm trong thời điểm đó, đó là

lý thuyết hàm số. Euler thay đổi cách xem xét hình học bằng cách xem xét biểu thức của

hàm số. Quan niệm QHE được dùng bởi nhiều nhà toán học trong phạm vi của lý thuyết

hàm số và lý thuyết phương trình vi phân. Những hàm số “liên tục” theo nghĩa của Euler

được nghiên cứu trong giải tích, hình học, phép tính tích phân hay phương trình vi phân. Đa

số những hàm số được sử dụng là “giải tích”, trong giáo trình của Euler về phép tính vi

phân, chỉ những hàm số này mới được xét đến mà thôi. Trong đa số các trường hợp thì nó

liên tục, nên Lagrange cho đến cuối đời vẫn gọi các hàm số “liên tục” là các “hàm số giải

tích”.

Những hàm số hỗn hợp hay gián đoạn được đưa vào áp dụng trong hình học. Monge

(1746 – 1818) thường dùng các hàm số không liên tục và chính Euler cũng nhấn mạnh đến

việc sử dụng chúng để giải các phương trình đạo hàm riêng từ khi xuất hiện bài toán dây

rung, nhưng chúng chỉ được sử dụng trong các trường hợp cá biệt.

Quan niệm QHE dựa trên khái niệm trực giác và hình học của sự liên tục tồn tại rất lâu

trong sự phát triển của giải tích và đã trở thành một sự cản trở cho sự phát triển của lý

thuyết hàm, nhất là từ sau các công trình của Fourier; Dirichlet và nhiều nhà toán học khác.

Chẳng hạn, khi đề xuất một nghiệm tổng quát cho phương trình đạo hàm riêng trong bài

toán dây rung, theo D’Alembert thì nó là một hàm số liên tục theo nghĩa Euler. Còn Euler

chấp nhận kết quả ở mức độ hàm số không liên tục ở các biên theo nghĩa Euler. Nhưng lời

giải đề nghị bởi Daniel Bernoulli:

không được chấp nhận bởi các nhà toán học thời đó, đặc biệt là Euler. Vì rằng các hàm

lượng giác sin hay cos đều liên tục, tổng của chúng dù vô hạn vẫn giữ tính chất này. Đối với

Euler thì lời giải của Bernoulli là một mâu thuẫn vì nghiệm của phương trình có thể là một

hàm số không liên tục (theo nghĩa Euler) thế mà chúng lại được biểu diễn bằng các hàm số

liên tục.

Đến đầu thế kỷ 19, công trình của Fourier và nhiều nhà toán học khác dẫn đến chỗ họ

phải từ bỏ quan niệm liên tục của Euler. Rõ ràng rằng sự phát triển của giải tích đã làm

nhiều quan niệm trở nên lỗi thời. Với Fourier, các chuỗi lượng giác là công cụ chính trong

việc nghiên cứu các phương trình vi phân trong vật lý. Trong lý thuyết chuỗi, tính liên tục

theo quan niệm Euler làm nảy sinh những mâu thuẫn đó là một chuỗi các hàm số liên tục có

thể là những hàm số không liên tục. Vì vậy cần phải có một quan niệm rõ ràng và chặt chẽ

hơn về tính liên tục của hàm số.

Vào cuối thế kỷ 18, những khuynh hướng như đã nêu trên bắt đầu có chiều hướng thay

đổi. Những lý lẽ mạnh mẽ và then chốt về sự cần thiết phải xét những hàm số không liên tục

trong giải tích toán học đã được đưa ra bởi Joseph Fourier (1768 – 1830) vào thập niên đầu

tiên của thế kỷ 19.

2.2.3. Giai đoạn 3. Từ thế kỷ 19 – Quan niệm số hóa, quan niệm tôpô

2.2.3.1. Joseph Fourier (1768 – 1830)

Công trình Theorie analytique de la chaleur của Fourier xuất bản năm 1822, trong đó

chứa hầu hết những luận án mà ông đã trình bày tại Viện hàn lâm khoa học Paris vào năm

1807. Trong công trình này, Fourier phát triển tổng quát lý thuyết chuỗi lượng giác, phương

pháp mà Euler và Bernoulli đã áp dụng vào bài toán phương trình dây rung trong các trường

hợp đặc biệt ở gần nửa thế kỷ trước.

Từ sự phát triển một bài toán điển hình trong lý thuyết nhiệt Fourier đi đến việc phải xét

một hàm số u(x,y) biểu thị trạng thái cân bằng nhiệt trong miền và thỏa các

điều kiện: (4)

u(0,y) = u( ,y) = 0 (5)

u(x,0) = (x) (6)

Do nhận xét hàm số u = (n = 1,2,3,......) và hàm tổng quát:

u(x,y) =

thỏa các điều kiện (4), (5) trong đó b là các hằng số tuỳ ý. Điều kiện (6) cũng được thỏa nếu

các hằng số này được chọn sao cho: với .

Sau một quá trình tính toán, Fourier đi đến kết luận: trong đó hàm

số không cần có điều kiện liên tục trên [0; ]. Sự giới thiệu kỹ thuật chuỗi của

Fourier đã kéo theo sự phát triển của lý thuyết tích phân các hàm số không liên tục mà sau

này được nghiên cứu kỹ bởi Cauchy và Riemann.

Công trình của Fourier đã cho thấy rằng một đường cong không liên tục tuỳ ý có thể

biểu diễn giải tích bằng cách dùng chuỗi lượng giác. Quan niệm này đã mở đầu cho việc mở

rộng hơn khái niệm hàm số. Trong công trình của mình liên quan đến bài toán nhiệt nói

“Tổng quát thì hàm số f(x) biểu diễn những giá trị tương ứng khi cho các giá trị liên tiếp của

biến số x ..... chúng ta không cần giả thiết f(x) phải thỏa một luật chung nào, chúng nhận

những giá trị theo một kiểu tùy ý.” [106, tr.307]

trên, Fourier viết:

Mặc dù Fourier đã đi đến định nghĩa hàm số như định nghĩa trong toán học hiện đại

nhưng định nghĩa không liên tục của ông thực ra là sự vận dụng kiểu định nghĩa không

liên tục ở thế kỷ 18 tức là sự “không liên tục của biểu thức giải tích”.

Những hàm số mà ông sử dụng ít nhất thì cũng liên tục từng mảnh với hữu hạn điểm

"gián đoạn" trên mỗi khoảng hữu hạn [106, tr. 307].

2.2.3.2. Bernard Bolzano (1781 – 1848)

Có thể xem ngành giải tích đã chuẩn bị cho sự khai sinh khi Pythagore nhận ra những

chướng ngại trong dự tính số hóa hình học của ông. Newton đã tránh những lúng túng như

vậy bằng cách đưa vào sự trực giác của chuyển động liên tục còn Leibniz thì lại tránh vấn

đề bằng cách mặc nhiên công nhận sự liên tục.

Quan niệm hình học đã kéo dài sự ảnh hưởng của nó trong lịch sử phát triển của giải

tích, cho đến đầu thế kỷ 19 nhiều định lí quan trọng cũng được chứng minh dựa vào

hình học.

Chẳng hạn, Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857) đã cho một chứng minh định lí giá trị

trung gian nhờ vào trực giác hình học.

Một số nhà toán học, trong đó có Bernard Bolzano (1781 – 1848), đã không xem chứng

“Tuyệt nhiên không có gì có thể phản bác về tính đúng đắn và tính hiển nhiên của định lí hình

học này. Nhưng rõ ràng cũng có một lỗi không thể chấp nhận được […] vì người ta đã dựa trên

những ghi nhận hình học để suy ra những chân lí toán học thuần túy. […]. Trong khoa học, các

chứng minh không thể là các phương pháp giản đơn nhằm đạt được sự rõ ràng (evidence) mà

trước hết phải là những cơ sở. Cần phải làm rõ nền tảng khách quan của chân lí cần chứng

minh.” (Trích theo Russ S. B [108])

minh ĐLGTTG của Cauchy như là một chứng minh thực sự. Theo Bolzano:

Bolzano muốn tìm một chứng minh chỉ dựa vào số hóa, đại số hay giải tích một cách

thuần túy. Điều này kéo theo sự cần thiết phải có một định nghĩa chính xác về khái niệm

hàm số liên tục mà không dựa vào trực giác hình học. [103, tr. 268 ].

Sự công thức hóa chính xác, rõ ràng về khái niệm HSLT như ngày nay lần đầu tiên được

cho bởi Bolzano trong một quyển sách nhỏ kiểu lưu hành nội bộ. Tựa đề của quyển sách đã

cho biết mục đích của nó: "Cách chứng minh hoàn toàn giải tích của định lý về sự tồn tại

nghiệm của phương trình giữa hai giá trị làm cho biểu thức trái dấu". Ông là người đầu

“Một hàm số f(x) thay đổi theo luật liên tục với mọi giá trị x thuộc trong hay ngoài một khoảng

nào đó không gì khác hơn là: Nếu x là một giá trị bất kỳ như thế, hiệu số f(x +w) – f(x) có thể

làm cho nhỏ hơn bất kỳ đại lượng cho trước nào nếu chọn w đủ bé.”

tiên đã cho định nghĩa hàm số liên tục. Ông định nghĩa HSLT như sau [106, tr. 308]:

Như vậy, Bolzano đã chỉ ra rằng ý tưởng về HSLT phải tìm trong khái niệm giới hạn vì

định nghĩa trên của ông tương đương với tính chất: f(x) liên tục trên một khoảng nếu với mọi

x thuộc khoảng đó ta có: Như một bổ đề quan trọng, Bolzano khẳng

định rằng nếu M là một tính chất của số thực mà không đúng với mọi số thực x nhưng tồn

tại một số thực u sao cho mọi x < u đều có tính chất M thì tồn tại số thực U lớn nhất sao cho

mọi số thực x < U đều có tính chất M. Trong chứng minh của ông bằng cách sử dụng

phương pháp phân đôi, phương pháp mà ngày nay chúng ta rất quen thuộc, Bolzano sử dụng

"dãy Cauchy" (n = 1,2,....) với ý định cho dãy này hội tụ về U. Mặc dù ông và sau này

là Cauchy đã xác định được tính chất mà sau này ta biết là "tiêu chuẩn hội tụ Cauchy"

nhưng ông cũng như Cauchy sau này không thể chứng minh đầy đủ vì sự thiếu của hệ thống

các tính chất của số thực thời đó.

Bolzano đề nghị bổ đề nói trên để chứng minh sự tổng quát hoá của định lý mà ông đã

nêu trong tiêu đề của tác phẩm của ông: Nếu f(x) và g(x) là các hàm số liên tục trên [a;b]

mà f(a) < g(a) và f(b) > g(b) thì f( ) =g( ) với là giá trị nào đó thuộc [a;b].

2.2.3.3. Augustine Louis Cauchy (1785 – 1857) và quan niệm số hóa (QSC)

Cauchy được xem là nhà toán học lớn nhất thế kỷ 19, người đã đặt nền móng cho sự chặt

chẽ của toán học hiện đại. Ông đã công thức hoá một cách chặt chẽ những khái niệm cơ

bản của giải tích như: liên tục; đạo hàm; sự hội tụ ....Những khái niệm cơ bản đó được dựa

trên sự tiếp cận bằng phép toán giới hạn. Những nhà toán học đương thời chấp nhận những

đề xuất này vì nó đáp ứng đươc sự quan tâm của họ. Những giáo trình của Cauchy giảng

dạy ở trường Bách khoa Paris mà ngày nay nhiều người vẫn biết đến là: Cours d'analyse

(1821); Resume des leçons sur le calcul infinitestimal (1822); Leçons sur le calcul

differentiel (1829). Trong chương II của Cours d'analyse, Cauchy đã định nghĩa sự liên tục

“Khi cho biến số x một số gia cực bé

hàm số sẽ nhận một số gia:

phụ

thuộc đồng thời vào biến số mới

và giá trị của x. Một hàm số được gọi là liên tục theo x

trên một khoảng đã cho nếu với mọi x thuộc khoảng đó thì số gia

giảm vô

hạn cùng với

. Nói cách khác một hàm số f(x) liên tục trên một khoảng nếu trên khoảng này

một số gia cực bé của biến số sinh ra một số gia cực bé của hàm số.”

của hàm số trên một khoảng [106, tr. 310]:

Ông chỉ ra sự liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản thường dùng trên các khoảng không

chứa điểm không xác định của chúng. Chẳng hạn, hàm y = sinx liên tục trên mọi khoảng bởi

vì: "giá trị thực của sin và do đó của hiệu:

giảm vô hạn khi giảm vô hạn".

Tiếp đó, Cauchy xem xét sự liên tục của các hàm số hỗn hợp. Sai lầm của ông xảy ra khi

ông phán đoán và dự định chứng minh tính liên tục của hàm số nhiều biến. Cauchy khẳng

định rằng hàm số nhiều biến, nếu liên tục theo mỗi biến riêng lẻ thì sẽ liên tục theo tập các

biến. Ngày nay, chúng ta đều biết đến một phản ví dụ đơn giản đủ để bác bỏ phán đoán đó

của Cauchy, đó là hàm số:

Định nghĩa của Bolzano cũng như của Cauchy cho thấy một quan niệm về hàm số

liên tục vừa có tính địa phương vừa có tính tổng thể, được số hóa và quan trọng nhất là

đã có hình thức của một khái niệm toán học (notion mathématique). Nhưng vì sự nổi

tiếng của Cauchy so với Bolzano nên chúng tôi gọi quan niệm này là quan niệm Cauchy và

viết tắt là QSC (Quan niệm số hóa của Cauchy).

2.2.3.4. Peter Gustave Lejeune Dirichlet (1805 – 1859)

Trong giai đoạn này, người ta cũng thấy nhiều nhà toán học mà quan niệm về HSLT của

họ dù diễn đạt cách khác thì cũng tương tự như định nghĩa của Bolzano; Cauchy về ý nghĩa

toán học. Đó là N. I. Lobachevski (1973 – 1856) và P. L. Dirichlet. Ở Lobachevski và

Dirichlet, người ta ghi nhận thêm sự định nghĩa hàm số một cách tổng quát, giải phóng nó

khỏi các biểu thức giải tích trong khi các nhà toán học trước Dirichlet đã biểu diễn rõ ràng

hay ngầm ẩn sự tồn tại của biểu thức giải tích của hàm số.

Yousckhevitch [80, tr. 87] đã dẫn chứng định nghĩa của Dirichlet:

Khi x thay đổi một cách liên tục giữa a và b, ứng với mỗi x là một y duy nhất sao cho y = f(x)

cũng thay đổi một cách liên tục thì y được gọi là một hàm số liên tục của x trên khoảng này. Ở

đây không cần phải có một biểu thức đại số ràng buộc x và y. Về phương diện hình học, nếu

xem x và y lần lượt là hoành độ và tung độ của một điểm, một hàm số liên tục ứng với tính chất

đường cong nối các điểm với mỗi x giữa a và b là một đường liền nét. Định nghĩa này không

hề nói đến tính chất chung nào đó của các phần khác nhau của đường cong và người ta có thể

hình dung đường cong này gồm nhiều mảnh nối với nhau hoặc các đường vẽ ngẫu nhiên. Như

vậy một hàm số được xác định hoàn toàn trên một khoảng khi mỗi phần của nó được cho bởi

“Xét a, b là hai giá trị cố định và x là một đại lượng thay đổi lấy tất cả các giá trị giữa a và b.

các công thức hoặc là xác định bằng công thức trên một phần của khoảng, phần còn lại lấy

giá trị bất kỳ.”

Ví dụ đầu tiên về hàm số "hoàn toàn không liên tục" được cho bởi Dirichlet. Năm 1829,

trong một bài viết về điều kiện đủ cho sự hội tụ của một chuỗi Fourier, ông cho một chứng

minh đầu tiên có tính đầy đủ và chặt chẽ về điều kiện hội tụ như vậy. Ở cuối bài viết ông đã

cho ví dụ về một hàm số thoả "điều kiện Dirichlet":

trong đó các hằng số c, d khác nhau.

Hàm số nổi tiếng này hiển nhiên không đâu liên tục.

2.2.3.5. Karl Weierstrass (1815 – 1897) – quan niệm số hóa của Weierstrass (QSW)

Giải tích của Newton và Leibniz là giải tích của những biến thiên hình học và của những

đại lượng liên hệ rõ ràng với các đường cong hình học. Rất nhiều sự phân tích chúng dựa

trên khái niệm hình học trực giác. Euler, Lagrange và Cauchy đã cố gắng thay thế những

trực giác hình học bằng những nguyên tắc của số thực trong cơ sở của giải tích. Tuy nhiên,

những cố gắng của các nhà toán học lớn đó chỉ thành công một phần vì mãi đến cuối thế kỷ

19 số thực cũng vẫn chỉ được biết theo kiểu trực giác.

Từ cuối thế kỷ 17, các nhà toán học đã sử dụng số thực một cách thực dụng, theo cách

thừa nhận mà không cần đặt ra vấn đề về ý nghĩa và bản chất của chúng. Sự sử dụng số vô

tỷ nhằm mục đích tính toán dựa trên sự thừa nhận rằng mỗi số vô tỷ xem như có giá trị xấp

xỉ những số hữu tỷ với sai số bé tuỳ ý. Người ta chấp nhận sự tồn tại của số vô tỷ như một

sự cần thiết cho yêu cầu tự nhiên của giải tích.

Richard Dedekind (1831 – 1916), trong một luận văn của ông trình bày năm 1877 chỉ ra

rằng cho đến lúc đó, những tính chất đơn giản như chưa từng được chứng minh

một cách chặt chẽ. Với sự thiếu hụt của những hiểu biết đầy đủ về tập số thực, thật khó để

hoàn thiện cơ sở cho giải tích. Chẳng hạn, chứng minh của Bolzano – Cauchy về ĐLGTTG

đòi hỏi phải có "tính chất của dãy đơn điệu bị chặn" trong tập số thực, đó là tính chất "mỗi

dãy đơn điệu và bị chặn đều hội tụ". Tính chất đó rất cần cho việc thiết lập tiêu chuẩn hội tụ

Cauchy và nó cũng được thừa nhận một cách ngầm ẩn bởi Cauchy và Riemann trong chứng

minh của họ về sự tồn tại tích phân với những giả thiết thích hợp. Mặc dù được sử dụng như

thế nhưng nó vẫn chưa được chứng minh ngoại trừ sự thừa nhận dựa trên các kiểm nghiệm

hình học.

Sự không rõ ràng trong nền tảng của giải tích chẳng những sinh ra những lỗ hổng về mặt

lôgic mà trong thực tế đôi khi còn dẫn đến những sai lầm. Thí dụ, cho đến giữa thế kỷ 19

người ta thường nghĩ rằng một HSLT thì chỉ không có đạo hàm tại các điểm tới hạn của nó

(ví dụ, điểm x = 0 đối với hàm số f(x) = ). Nhiều bài viết vào thời đó có ý định chứng

minh mệnh đề không đúng này. Năm 1861, Karl Weierstrass (1815 – 1897) đã thực sự gây

một cú sốc lớn khi trong một báo cáo trình bày tại Berlin, ông giới thiệu một hàm số liên tục

trên tập số thực nhưng không đâu khả vi, đó là hàm số: , trong đó a là

số nguyên lẻ và b sao cho . Thực ra thì Bolzano đề cập đến nó vào năm

1834 nhưng đã bị lãng quên.

Từ sau báo cáo của Weierstrass, rất nhiều hàm số tương tự được đưa ra và trực giác hình

học về "một hàm số liên tục nhận tiếp tuyến tại những điểm không là điểm tới hạn" bây giờ

lại trở thành trường hợp riêng. Trực giác hình học đã không còn vị trí quan trọng trong sự

phát triển của giải tích nữa, nguợc lại, nhiều trường hợp dẫn đến sai lầm. Vì những lý do rõ

ràng đó, Weierstrass không thể tin tưởng vào trực giác và muốn xây dựng cho giải tích một

cơ sở chặt chẽ và chính xác nhất.

Để đảm bảo tính chính xác của lập luận, Weierstrass nhận ra sự cần thiết của việc xây

dựng giải tích và lý thuyết hàm số dựa trên chỉ khái niệm số thực mà thôi, như thế sẽ thật sự

giải phóng giải tích khỏi các ràng buộc hình học. Để làm được điều này, người ta cần có

định nghĩa số vô tỷ mà không dựa vào ý tưởng giới hạn vì giới hạn là sự phỏng đoán số vô

tỷ. Weierstrass thấy cần phải xây dựng những nguyên lý của lý thuyết số, đặc biệt những

nguyên lý liên quan đến lý thuyết số vô tỷ.

Trong khi xây dựng một nền tảng chặt chẽ hơn cho giải tích, Weierstrass cũng phản đối

sự chấp nhận tính trực giác của chuyển động liên tục được ngầm ẩn trong cách phát biểu

của Cauchy – một biến số tiến tới một giới hạn. Weierstrass diễn tả một biến x đơn giản

trong quan điểm tĩnh, x là ký hiệu chỉ bất kỳ giá trị nào của một tập hợp các giá trị số. Một

biến thiên liên tục được xác định như sau: Nếu với mọi giá trị của tập hợp và với mọi

dãy số dương bé tùy ý: trong các khoảng luôn luôn có những

phần tử của tập hợp, điều này được gọi là liên tục.

Một cách tương tự, với HSLT, Weierstrass cho một định nghĩa tương đương với định

“Hàm số f(x) là liên tục trên một khoảng nếu với mọi

thuộc khoảng này và với mỗi số

nghĩa của Bolzano và Cauchy, nhưng sáng tỏ và chính xác hơn:

dương bé tuỳ ý

, có thể tìm được một khoảng chứa

sao cho với mọi giá trị x thuộc khoảng

này thì hiệu

” [80, tr. 90]

“Hàm số f(x) là liên tục tại điểm x = X nếu với mỗi đại lượng

bé tuỳ ý, tồn tại một số dương

sao cho với

thì

. Một hàm số f(x) liên tục trên khoảng [a;b]

nếu nó liên tục tại mọi điểm x = X thuộc [a;b], kể cả a và b.” [80, tr. 91]

Học trò của Weierstrass là Edward Heine (1821 – 1881) lập lại (1872):

2.2.3.6. Bernard Riemann (1826 – 1866)

Giai đoạn sau Weierstrass là giai đoạn của sự số hóa giải tích và tách giải tích khỏi hình

học của những trực giác của chuyển động. Năm 1872 có thể xem là thời điểm quan trọng

trong lịch sử của sự đặt nền móng số hóa cho giải tích hiện đại với hàng loạt công trình hay

bài viết lên quan đến vấn đề này. Nhiều định nghĩa về HSLT không còn chịu ảnh hưởng gì

của Bolzano và Cauchy mà thay vào đó là những định nghĩa theo kiểu thuần túy số hóa.

“Hàm số w liên tục trong [a;b] chứa z nếu với một đại lượng

tuỳ ý luôn luôn có thể xác

định đại lượng

sao cho trong một khoảng chứa z bé hơn

, hiệu số của hai giá trị của w

không vượt quá

.” [80, tr. 92]

Chẳng hạn, Bernard Riemann (1826 – 1866) định nghĩa:

“Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x = x khi người ta có thể lấy h đủ bé để

;

có thể lấy tất cả các giá trị dương bé hơn 1 và

bé tuỳ ý.” [80,

tr. 94]

hay định nghĩa của Gaston Darboux (1842 – 1917) về tính liên tục tại một điểm

Darboux còn định nghĩa HSLT trên [x0; x1] trong đó x0< x1, nếu nó liên tục tại mọi điểm

giữa x0, x1 và nếu: limf(x0 + h) = f(x0); limf(x1-h) = f(x1) khi h dần tới 0 từ những giá trị

dương. Đây cũng là định nghĩa đầu tiên cho HSLT trên khoảng đóng.

2.2.3.7. Richard Dedekind (1831 – 1916)

Dedekind bắt đầu quan tâm đến vấn đề số vô tỉ khi ông trình bày một báo cáo vào năm

1858. Theo ông, khái niệm giới hạn, khái niệm cơ bản trong định nghĩa HSLT của Cauchy,

có thể được hoàn toàn đại số hóa, thoát khỏi các ảnh hưởng của trực giác hình học. Thay vì

tìm cách thoát khỏi cái vòng lẩn quẩn của Cauchy, Dedekind chuyển sang hướng tìm ra câu

trả lời cho việc phân biệt sự khác nhau giữa sự liên tục hình học và sự liên tục của các số

hữu tỷ. Galileo và Leibniz đã cho rằng tinh liên tục của các điểm trên một đường thẳng là do

tính trù mật, nghĩa là giữa hai điểm luôn luôn tồn tại điểm thứ ba. Tập các số hữu tỉ cũng có

tính chất như thế, giữa hai số hữu tỷ luôn luôn có số hữu tỉ khác, thế nhưng tập các số hữu tỉ 72

không có lực lượng continum. Dedekind đã đi đến kết luận rằng bản chất liên tục của một

đoạn thẳng không thể dựa trên sự dính liền mập mờ như vậy mà dựa trên tính chất đối lập

“Nếu tất cả các điểm trên đường thẳng được chia thành hai loại sao cho tất cả các điểm của

loại 1 đều nằm bên trái các điểm của loại 2 thì tồn tại duy nhất một điểm chia các điểm của

đường thẳng thành hai loại.” [103, tr. 291]

chính xác: tính chất chia đoạn thẳng thành hai phần bởi một điểm trên đoạn thẳng.

Nguyên lý này chuyển quan niệm hình học, trực giác của tính liên tục của số thực sang

việc thành lập công thức mà không dựa vào ngôn ngữ hình học. Với nguyên lý Dedekind,

ông đã đưa vào khái niệm lát cắt.

Tóm lại, trong nửa cuối thế kỷ 19, quan niệm về sự liên tục đã thoát khỏi trực giác về sự

chuyển động liên tục. Định nghĩa sự liên tục đã chuyển sang kiểu hình thức. Theo

Weierstrass, sự biến thiên có thể không qua một cách liên tiếp từ giá trị này đến giá trị khác

của khoảng mà có thể lấy những giá trị rời rạc của khoảng.

Như quan niệm QSC, quan niệm số hóa của Weierstrass (QSW) về hàm số liên tục có

tính địa phương, tổng thể, số hóa và hình thức của khái niệm toán học.

2.2.3.8. Quan niệm Baire (QSB)

Nhà toán học người Pháp René Louis Baire (1874 – 1932) đã trình bày một luận án tiến

sĩ năm 1899 tại Italy về những hàm số không liên tục. Trước đó, trong công trình của mình

về lý thuyết hàm số và khái niệm giới hạn, Baire đã tìm được điều kiện để một hàm số là

giới hạn của một dãy hàm số liên tục. Sau đó, Baire đưa ra một sự phân loại hàm số như

º Lớp H0: Lớp các hàm số liên tục .

º Lớp H1: Lớp các hàm số không liên tục nhưng tại từng điểm là giới hạn của dãy các hàm

số liên tục.

º Lớp H: Lớp các hàm số không thuộc lớp H với  < nhưng tại từng điểm là giới hạn

của một dãy hàm số fk nào đó mà fk H .

Ví dụ cụ thể minh họa cho sự phân loại của Baire là hàm Dirichlet:

vì D(x) = . (k, j  ). D(x) thuộc H2 theo quan niệm Baire.

Baire còn chỉ ra rằng những hàm số theo hai biến thực x và y liên tục theo biến x và liên

tục theo biến y có thể không liên tục. Như vậy, khẳng định này đã bác bỏ khẳng định của

Cauchy. Điều này dẫn đến việc phân biệt HSLT, nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên, những

hàm số không liên tục tại từng điểm và những hàm số không liên tục toàn phần trên một tập

hoàn chỉnh E. Ông còn đưa ra trong cùng một định nghĩa, HSLT và không liên tục (từng

điểm hay toàn phần) bắt đầu từ sự dao động của một hàm số tại một điểm đối với tập hoàn

chỉnh.

Quan niệm hàm số liên tục của Baire (QSB) có tính địa phương, tổng thể, số hóa và

có hình thức của khái niệm toán học.

Quan niệm phân loại hàm số của Baire đã là sự nghiên cứu của nhiều nhà giải tích đầu

thế kỷ 20 và cũng đã gây ra nhiều sự tranh cãi quan trọng về cơ sở cho mỗi lớp hàm số

trong phân loại kiểu Baire [80, tr. 98].

2.2.3.9. Félix Haussdorff và quan niệm tôpô (QT)

Đến thế kỷ 20, những công trình lớn về lý thuyết tập hợp của Dedekin và Cantor đã đặt

nền móng cho sự phát triển nhanh chóng của tôpô. Đầu thế kỷ 20 cũng là lúc mà trường các

hàm số đã được mở rộng đến những hàm bất kỳ nên quan niệm số hóa của tính liên tục

không còn thích hợp trong không gian tôpô. Công trình của Felix Hausdorff (1868 – 1942)

Grundzge der Mengenlehre (Những đặc trưng cơ bản của lý thuyết tập hợp), xuất bản vào

năm 1914, đã trình bày có hệ thống những nét đặc trưng của lý thuyết tập hợp trong đó bản

chất của phần tử là không quan trọng, chỉ có mối quan hệ giữa các phần tử mới là quan

trọng. Trong phần tiếp theo, Hausdorff phát triển một cách rõ ràng không gian tôpô

Hausdorff bằng một hệ tiên đề với những khái niệm cơ bản như tập đóng, tập mở, lân cận,

điểm dính, liên thông .....

1. Với mỗi điểm x của không gian tôpô tồn tại ít nhất một lân cận U(x) chứa x.

Hệ 4 tiên đề Hausdorff về lân cận trong không gian tôpô Hausdorff là:

2. Nếu U(x) và V(x) là hai lân cận của điểm x thì tồn tại lân cận W(x) của điểm x mà

W(x) U(x) và W(x) V(x) .

3. Nếu điểm y thuộc U(x) thì tồn tại lân cận U(y) của y mà U(y) U(x).

4. Nếu x và y là 2 điểm khác nhau thì tồn tại lân cận U(x) và U(y) mà

U(x) U(y) = .

Lân cận được xác định trong không gian tôpô Hausdorff cho phép Hausdorff định nghĩa

sự liên tục trong nhiều không gian tôpô mà các trường hợp trong tập số thực hay không gian

thực nhiều chiều chỉ là trường hợp đặc biệt:

Một phép biến đổi f là liên tục tại điểm x nếu với mỗi lân cận bất kỳ đều tồn tại

lân cận U(x) sao cho: .

Quan niệm QT của Hausdorff về tính liên tục có tính địa phương lẫn tổng thể và

tôpô, có hình thức của khái niệm toán học và được áp dụng cho những hàm tổng quát

trong các không gian tôpô.

2.2.3.10. Kết luận về quan niệm số hóa và quan niệm tôpô

Trong nửa đầu thế kỷ 19, Bolzano và Cauchy đã số hóa định nghĩa tính liên tục. Tính

liên tục của hàm số được xem như một tính chất địa phương, quan niệm này khác quan niệm

của Euler khi Euler gắn liền tính liên tục với đặc trưng tổng thể. Quan niệm số hóa Cauchy

(QSC) đã có hình thức của khái niệm toán học trong khi quan niệm hình học của Euler

(QHE) chỉ có hình thức của khái niệm cận toán học. Đó là những bước tiến quan trọng của

khái niệm HSLT trong lịch sử tiến hóa của nó.

Trong nửa cuối thế kỷ 19, với Weierstrass và Darboux, định nghĩa HSLT đã thoát khỏi

những trực giác của sự chuyển động cò ngầm ẩn trong định nghĩa của Cauchy. Weierstrass

và Darboux đã loại bỏ việc sử dụng khái niệm vô cùng bé trong định nghĩa tính liên tục.

Bước tiến hóa này đã chuyển định nghĩa HSLT thành một định nghĩa hình thức. Quan niệm

QSW có đặc trưng địa phương, số hóa, hình thức của khái niệm toán học và áp dụng đối

với những hàm bất kỳ.

Quan niệm của Baire có hình thức của khái niệm toán học, có đặc trưng số hóa và địa

phương lẫn tổng thể. Ngoài ra khái niệm hàm số không liên tục mà trước đây không được

định nghĩa thì nay đã được định nghĩa với tư cách một khái niệm toán học. Định nghĩa của

Baire được áp dụng cho tất cả các hàm số với biến số thực.

Từ đầu thế kỷ 20, tôpô học đã xuất hiện với tính cách là một lĩnh vực toán học chuyên

tìm hiểu và nghiên cứu các quan hệ liên tục trong phạm vi toán học. Khái niệm liên tục thể

hiện tính chất cơ bản của không gian và thời gian, do đó có ý nghĩa nòng cốt cho việc nhận

thức. Như vậy, tôpô học có mặt trong mọi lĩnh vực toán học.

Trong thập niên thứ hai của thế kỷ 20, các công trình của Fréchet và Haussdorff đã làm

cho tôpô chuyển sang giai đoạn tiên đề. Việc nghiên cứu tất cả các lớp không gian như

không gian Euclide, không gian hàm, đa tạp...được hợp nhất bởi ý tưởng chung của phép

đồng phôi và khái niệm sinh bởi nó là khái niệm bất biến tôpô. Là kết quả của một quá trình

tiến hóa lâu dài, tôpô đã tạo ra một sự tách rời với những xu hướng đã từng chiếm ưu thế ở

thế kỷ 19. Đây gần như là sự trở lại hình học nhưng là một thứ hình học trừu tượng cao độ.

Quan niệm tôpô có tính địa phương, tổng thể, có hình thức của khái niệm toán học và áp

dụng cho những hàm tổng quát trong các không gian tôpô.

Quan niệm QSC là một chướng ngại khoa học luận.

Chúng ta tự hỏi rằng quan niệm QSC đã có thể giải quyết được những mâu thuẫn của

QHE hay không hay là không tồn tại những chướng ngại KHL từ quan niệm này? Những

nghiên cứu lịch sử đã cho thấy là hoàn toàn không. Nhiều nhà toán học đã cho rằng định

nghĩa của Cauchy thực ra chỉ là lập công thức lại theo nghĩa Euler nhờ thuật ngữ đại

số chứ không phải là sự tổng quát hóa để bao gồm những hàm số với những điểm gián

đoạn. Ngay trong thực hành, để minh họa cho định nghĩa của mình, Cauchy cũng chỉ lấy

những ví dụ đối với các HSLT theo nghĩa Euler. Quan niệm hình học của Euler vẫn ảnh

hưởng cho tới giai đoạn sau Cauchy và Bolzano. Đối với nhiều nhà toán học thời đó, một

hàm số liên tục có thể lấy đạo hàm được. Họ loại bỏ khỏi giải tích những hàm số mà họ cho

là “vô lý” như hàm Dirichlet vì cho rằng nó làm hỏng vẻ đẹp của giải tích cổ điển và làm

hỏng trực giác hình học vốn là nền tảng của giải tích. Ví dụ của Bolzano đề xuất năm 1834

về một hàm số liên tục trên [a; b] nhưng không lấy vi phân được trên một tập trù mật trong

[a; b] cũng không làm lung lay được niềm tin về tính khả vi của một hàm liên tục.

Quan niệm QSC cũng là nguồn của các sai lầm. Cụ thể như hai định lý sai mà Cauchy

đưa ra lúc đó. Ở định lý thứ nhất, Cauchy đã kết luận rằng: “tổng một chuỗi các hàm số liên

tục hội tụ trong một khoảng là một hàm số liên tục trong khoảng đó”, ở đây, sự sai lầm là

nhầm lẫn giữa tính liên tục đều và liên tục đơn giản. Ở định lý thứ hai, Cauchy muốn mở

rộng tính liên tục đến một hàm số hai biến thực, ông cho rằng: “Nếu một hàm số hai biến

thực liên tục theo x và liên tục theo y thì liên tục theo (x; y)”.

Các định nghĩa của Bolzano và Cauchy còn một trở ngại nữa là chúng không thể sử

dụng để giải tất cả các bài toán. Vẫn tồn tại những vấn đề chưa rõ ràng, chẳng hạn: một

HSLT được định nghĩa như một hàm số không thể đi từ giá trị này sang giá trị khác mà

không qua tất cả các giá trị trung gian. Lebesgue, qua một dẫn chứng của Monna [80, tr.

111] trong Những bài học về tích phân và nghiên cứu về nguyên hàm đã viết: “Ở Pháp,

người ta có thói quen định nghĩa hàm số liên tục là hàm số không thể đi từ giá trị này sang

giá trị khác mà không qua những giá trị trung gian và người ta coi định nghĩa này tương

đương với định nghĩa của Cauchy”. Như vậy đặc trưng địa phương trong định nghĩa của

Cauchy đã bị bỏ qua.

Nếu như Cauchy đã công thức hóa định nghĩa tích phân thì vì sao QSC cũng sinh ra

những sai lầm và các nhà toán học sau này lại phải định nghĩa chặt chẽ hơn nữa? Để biết

được những nguyên nhân chính chúng ta có thể nói đến những quan niệm ngầm ẩn trong

định nghĩa của Cauchy.

Quan niệm hình học ngầm ẩn trong QSC

Như đã nói trên, quan niệm hình học là một trở ngại KHL cho sự tiến hóa của khái niệm

liên tục. Quan niệm đó được thừa nhận là không thể bác bỏ được và kéo dài sự ảnh hưởng

của nó đến mãi thế kỷ 19. Cauchy đã muốn định nghĩa HSLT một cách chặt chẽ, không phụ

thuộc vào quan niệm hình học nhưng quan niệm này đã trở lại trong chính lý luận của ông

cũng như những người cùng thời với ông. Ví dụ, ở trường hợp đặc biệt của định lý giá trị

trung gian về sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x) = b, trong đó f là một hàm số

“Một tính chất đáng chú ý của hàm liên tục một biến số, đó là có thể dùng để trình bày bằng

hình học tung độ những đường thẳng hay đường cong liên tục. Từ nhận xét này ta dễ dàng suy

ra mệnh đề sau:......”

liên tục, Cauchy viết [80, tr. 113]:

Youschkevitch dẫn chứng rằng ở Dirichlet lại xuất hiện định nghĩa hàm số liên tục là sự

“Từ một quan điểm hình học, nghĩa là khi xem xét x và y như hoành độ và tung độ của một

điểm đối và với mỗi giá trị của x thuộc khoảng được xét tương ứng một giá trị y duy nhất. Sự

liên tục của hàm số được cho đi đôi với tính chất đường cong đó liền một mảnh.”

lầm lẫn giữa liên thông và liên tục của một đường trong [80, tr. 114]:

Như vậy chúng ta thấy quan niệm hình học có những đóng góp tích cực và đã được sử

dụng trong một số tình huống để giải quyết vài vấn đề nhưng nó cũng chính là một trở ngại

cho sự phát triển của giải tích. Sự liên kết giữa hàm số liên tục và một đường cong liên tục

chưa từng được kiểm chứng.

Quan niệm ngầm ẩn về vô cùng bé

Quan niệm này là một kiến thức hoạt động trong một số tình huống nào đó. Chúng ta tìm

thấy quan niệm này trong ngôn ngữ toán học của Cauchy. Trong giáo trình giải tích, ông

nêu lên sự liên hệ giữa cái bé vô hạn và tính liên tục của hàm số [80, tr. 116]:

những lượng cực nhỏ, những tính chất dùng làm cơ bản cho phép tính vô cùng bé”.

“Khi nói đến tính liên tục của hàm số, tôi không thể không nói đến những tính chất chính của

“Hàm số f(x) liên tục đối với x giữa những giới hạn đã cho nếu giữa những giới hạn đó, một sự

tăng trưởng cực nhỏ của biến số sẽ cho ra một sự tăng trưởng cực nhỏ của chính hàm số đó”.

[80, tr. 116]

Định nghĩa của Cauchy về một HSLT cũng gắn với khái niệm vô cùng bé:

Một HSLT chuyển đổi một sự tăng trưởng cực nhỏ thành một sự tăng trưởng cực nhỏ.

Chúng ta còn thấy ý tưởng “cực bé” trong những cách nói của Cauchy, chẳng hạn như: “đến

gần mà không thể xác định được”, “quan hệ tăng trưởng cực nhỏ”. Định nghĩa cho bởi

Cauchy trình bày vô cùng bé như một lượng biến thiên về 0:

nó nhỏ hơn bất kỳ một số nào đã cho thì biến thiên này trở thành cái mà ta gọi là vô cùng bé hay một lượng vô cùng bé, một biến thiên kiểu này có giới hạn là 0.”. [80, tr.116]

“Khi những giá trị bằng số liên tiếp nhau của một biến số giảm dần một cách vô hạn theo cách

Tuy nhiên, trong một số trường hợp nó lại được dùng như hằng số.

Mặc dù định nghĩa đó có ích về một mặt nhưng cũng là sai lầm trong toán học với một

số kết quả nào đó. Ý tưởng biến thiên gần đến một giới hạn vẫn chưa thoát khỏi trực giác

của sự chuyển động đã tồn tại trong thế kỷ trước.

Quan niệm về đại lượng biến thiên

Quan niệm về “đại lượng biến thiên” xuất hiện từ định nghĩa HSLT được đưa ra bởi

Dirichlet khi ông cho rằng các đối tượng thay đổi theo cách liên tục từ a đến b. Theo

Dirichlet: “x là một đại lượng biến thiên giữa a và b. Nếu ứng với mỗi giá trị x là một giá

trị hữu hạn y = f(x) thay đổi theo cách liên tục khi x thay đổi theo cách liên tục giữa a và b

thì ta nói y là một hàm số liên tục trên khoảng này”. Với định nghĩa của Dirichlet, chúng ta

thấy có một sự thụt lùi về định nghĩa một HSLT: tính liên tục của hàm số f(x) lại nhờ qua

tính liên tục của x.

2.3. KẾT LUẬN

Quá trình lịch sử của sự hình thành khái niệm HSLT đã được trình bày một cách chi tiết

vì nó liên quan mật thiết với chương trình bậc THPT. Các trường hợp hàm liên tục trong

không gian mêtric hay không gian tôpô không được đề cập đến. Nghiên cứu lịch sử cho

thấy khái niệm HSLT ngày càng được định nghĩa một cách chặt chẽ hơn và định lượng hơn.

Từ trực giác của chuyển động sang hình học, số hóa và cuối cùng là sang không gian tôpô.

Sự tiến triển của khái niệm liên tục gắn liền với sự tiến triển của khái niệm hàm số. Khi

việc nghiên cứu về hàm số bắt đầu ở thế kỷ 18, hàm số đã được đồng nhất với biểu thức

giải tích, thông thường là các chuỗi vô hạn, các đa thức, hàm số hữu tỷ, hàm số mũ, hàm

lượng giác và lôgarit, những hàm số mà các nhà toán học thời đó đều xử lý tốt như chúng

có giá trị trung gian, có đạo hàm vô hạn lần...Khi nảy sinh những hàm số không thể biểu

diễn bằng một biểu thức giải tích tường minh, chẳng hạn nghiệm của phương trình đạo hàm

riêng, thì khái niệm hàm số đã bắt đầu thay đổi, mở rộng hơn. Sự phân loại hàm số cũng

thay đổi dẫn đến hệ quả là sự thay đổi tất yếu của khái niệm HSLT.

Để phân loại cấp bậc của các quan niệm về HSLT trong lịch sử, chúng ta dựa vào những

đặc trưng KHL của khái niệm liên tục.

2.3.1. Các đặc trưng khoa học luận của khái niệm liên tục

Khái niệm liên tục của hàm số trong lịch sử được phân loại dựa trên những đặc trưng

khoa học luận sau đây:

 Đặc trưng tổng thể hay địa phương.

 Đặc trưng về phạm vi tác động của khái niệm liên tục: Hình học, số học, giải tích

hay tôpô.

 Đặc trưng về bài toán, tình huống có sự tác động của khái niệm HSLT.

 Đặc trưng về đối tượng được xét tính liên tục: Một đại lượng, quĩ đạo hay đường

cong, những hàm số với biến thực được biểu diễn bằng biểu thức giải tích, những hàm

số tùy ý không biểu diễn được bằng công thức, tập số thực, hàm trong không gian tôpô.

 Đặc trưng về cơ chế của khái niệm liên tục: Đối tượng, Công cụ (ngầm ẩn hay tường

minh).

 Đặc trưng về hình thức thể hiện của khái niệm: Tiền toán học, Cận toán học, Toán

học.

Sự tiến triển của khái niệm HSLT với các đặc trưng KHL của nó có thể được tóm tắt

trong bảng 2.1:

Bảng 2.1: Bảng tóm tắt tiến triển của các đặc trưng khoa học luận

của khái niệm hàm số liên tục

(Trích theo Bouazzaoui H. E [80, tr. 126])

Giai đoạn

Hy lạp cổ

đại đầu

Thế kỷ 17 và 18

Từ thế kỷ 19

thế kỷ 17

Quan niệm

QNT

QHD

QHE

QSC

QSW

QSB

QT

Toán học

Descartes

Hy lạp cổ

Newton

Euler

Cauchy

Weierstrass

Baire

Hausdorff

Đại diện

đại

Leibniz

Tổng thể,

địa phương

Tổng thể

Địa phương và Tổng thể

Phạm vi

Hình học

tác động

Số học

Hình học

Giải tích

Tôpô

Đối tượng

Đại lượng

Quĩ đạo

Hàm số tùy ý

gắn liền

Hàm số biến số thực

Hàm trong không gian tôpô

khái niệm

Đường cong, hàm số với biến số thực

Hình thức

thể hiện của

Tiền toán học

Toán học

Cận toán học

khái niệm

2.3.2. Những chướng ngại khoa học luận đã được nhận dạng

Trong việc phân cấp các quan niệm như trên chúng ta đã chỉ ra ở 4 quan niệm đầu tiên

QNT, QHD, QHE, QSC đã sinh ra những chướng ngại khoa học luận trong sự tiến triển của

các quan niệm. Đặc biệt là quan niệm hình học, ảnh hưởng của quan niệm này tồn tại mãi

cho đến quan niệm QSC của Cauchy.

2.3.3. Cơ chế hoạt động của khái niệm hàm số liên tục

Phân tích khoa học luận đã làm rõ rằng tiến trình phát triển của khái niệm HSLT đã trải

qua 3 giai đoạn với cơ chế hoạt động: Công cụ  Đối tượng  Công cụ.

Cho đến giai đoạn của Descartes, khái niệm HSLT hoạt động với cơ chế công cụ ngầm

ẩn. Các nhà toán học sử dụng nó nhưng không định nghĩa, nó ngầm ẩn trong các biểu đạt

về các trạng thái, chuyển động, quĩ đạo.….có đặc trưng liên tục. Descartes sử dụng một

cách trực giác đặc trưng liên tục của các đường cong hoặc đồ thị các hàm đa thức như một

công cụ ngầm ẩn trong phương pháp tọa độ của ông. Khái niệm HSLT chuyển sang cơ chế

công cụ tường minh khi Euler định nghĩa HSLT là hàm số được xác định bởi một biểu

thức duy nhất. Khái niệm HSLT theo nghĩa Euler đã đóng một vai trò quan trọng trong sự

phát triển của lý thuyết hàm số trong giai đoạn này nhưng không còn phù hợp và lại là một

cản trở cho sự phát triển của lí thuyết hàm số.

Khái niệm HSLT trở thành đối tượng nghiên cứu khi các nhà toán học nhận ra những

trở ngại, sự không chặt chẽ trong việc sử dụng nó như một công cụ ngầm ẩn để giải các bài

toán. Bài toán vể chứng minh định lí giá trị trung gian được xem là mầm mống cho sự ra

đời của định nghĩa “số hóa” HSLT. Nói cách khác, HSLT thể hiện dưới hình thức toán học.

Định nghĩa của Bolzano và Cauchy là những định nghĩa HSLT đầu tiên với hình thức toán

học và cũng là sự mở đầu cho giai đoạn mà khái niệm HSLT hoạt động với cơ chế đối

tượng. Các nhà toán học ngày càng hoàn thiện định nghĩa HSLT để nó tương thích với sự

mở rộng khái niệm hàm số với biến số thực đến khái niệm hàm trong không gian bất kỳ.

Đối tượng hàm số liên tục hay phép biến đổi liên tục đến lượt nó lại trở thành công cụ

tường minh để giải quyết các bài toán trong phạm vi nghiên cứu của các nhà toán học.

Nhằm đáp ứng mục đích sư phạm, tiến trình dạy học khái niệm này trong các thể chế khác

nhau lựa chọn những cách tiếp cận không giống nhau mặc dù đều dựa trên các đặc trưng

KHL của khái niệm. Điều này sẽ được chúng tôi nghiên cứu và trình bày trong chương III.

 Các bài toán hay tình huống trong đó khái niệm hàm số liên tục hiện diện như là

công cụ hay đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu khoa học luận đã làm rõ những tình huống, bài toán mà trước tiên, khái

niệm liên tục và sau đó khái niệm hàm số liên tục hiện diện với vai trò công cụ hay đối

tượng nghiên cứu. Vai trò đó của các khái niệm thể hiện qua các quan niệm tương ứng được

cho trong bảng sau (xem bảng 2.2):

Bảng 2.2: Bảng tóm tắt về cơ chế của khái niệm liên tục và

khái niệm hàm số liên tục.

Khái niệm

Liên tục

Hàm số liên tục

Công cụ ngầm

Công cụ tường minh

Công cụ tường

Đối tượng 

Cơ chế của

ẩn

minh

công cụ tường

khái niệm

minh

- Quan niệm

- Quan niệm Euler

- Quan niệm

Quan niệm

nguyên thủy.

Bolzano, Cauchy

Bolzano,

tương ứng

Cauchy,

- Quan niệm

Weierstrass,

hình học

quan niệm tôpô.

Descartes

-Thuật toán vét

- Nghiên cứu về hàm

- Định lí giá trị

- Sự

thay đổi

Các bài toán

kiệt; mô tả các

số, phân loại hàm số

trung gian.

quan niệm về

hay tình

hàm số.

trạng thái của

theo biểu thức.

huống có sự

- Nghiên cứu về

sự vật, hiện

- Bài toán phương trình

tác động của

hàm trong không

tượng.

dây rung

khái niệm

gian bất kì.

- Tính liên tục

- Khai triển một hàm số

của các đường

thành chuỗi (Lagrange)

cong đại số,

- Phương trình vi phân,

các quĩ đạo, đồ

phương trình đạo hàm

thị các hàm lũy

riêng.

thừa

Như vậy, trước thế kỷ 18, khái niệm hàm số liên tục chưa hiện diện. Chúng ta chỉ thấy

khái niệm liên tục được sử dụng như một công cụ ngầm ẩn trong các kỹ thuật tính toán của

các nhà toán học. Chủ yếu nó xuất hiện trong phạm vi hình học và vật lí. Vì gắn với các đối

tượng hình học như đường cong, quĩ đạo nên đặc trưng liên tục là hiển nhiên. Đặc trưng

liên tục của đường cong hình học đã tiến triển sang tính liên tục của phương trình đại số

biểu thị các đường cong khi phương pháp đại số hóa hình học của Descartes ra đời. Ở đây,

người ta bắt đầu thấy manh nha khái niệm hàm số liên tục khi Descartes phát biểu bằng lời

dựa trên trực giác khái niệm này.

Khái niệm hàm số trở thành khái niệm trung tâm khi Euler thực hiện các nghiên cứu có

hệ thống khái niệm này. Trong những thập kỷ của Euler, khái niệm HSLT chỉ gắn với cách

xác định hàm số và dường như không phụ thuộc gì vào đặc trưng hình học. Quan niệm của

Euler đã bộc lộ những trở ngại và Arbogast đã gắn kết khái niệm HSLT về phương diện số

hóa và hình học.

Có thể nói trong gần một thế kỷ, từ thế kỷ 17 đến đầu thế kỷ 18, các nhà toán học hoạt

động trong ảnh hưởng lớn của quan niệm Euler và quan niệm trực giác, hình học về HSLT.

Một trong những nguyên nhân quan trọng của tiến triển chậm này là sự thiếu vắng của các

hiểu biết về số thực. Khái niệm HSLT đã được chính xác hóa từ thế kỷ 19 sau nhiều nghiên

cứu về tập số thực của Cauchy, Weierstrass, Dedekin….Người ta có thể sử dụng định nghĩa

khái niệm HSLT và rộng hơn là khái niệm hàm liên tục đối với hàm tùy ý trong một không

gian tôpô bất kì như một công cụ tường minh.

2.3.4. Ý nghĩa triết học và toán học của khái niệm hàm số liên tục

 Về ý nghĩa triết học

Triết học dù tồn tại dưới nhiều dạng các hệ thống, trường phái khác nhau, nhưng nội

dung cơ bản của nó luôn bao gồm những lý luận, quan điểm chung về những giải đáp của

con người về thế giới xung quanh.

Liên tục và Gián đoạn là hai phạm trù triết học tồn tại từ thời Hy lạp cổ đại, phản ánh hai

đặc tính đối lập nhưng gắn liền nhau của khách thể cũng như quá trình biến đổi của nó. Sự

gián đoạn dùng để chỉ tính rời rạc hay bản chất “hạt” trong cấu tạo của các yếu tố không

gian hay thời gian cấu thành khách thể. Nó dựa trên tính chất có thể phân chia được và sự

tồn tại độc lập tương đối của các yếu tố đó, những yếu tố định tính cấu trúc của khách thể.

Chẳng hạn, các hạt cơ bản, nhân, nguyên tử, tinh thể, vi sinh vật, hành tinh…..

Ngược lại, Liên tục biểu thị tính đồng nhất, sự kế tiếp nhau trong cấu tạo cũng như trong

sự chuyển hóa của khách thể. Nó dựa trên tính không thể phân chia được và sự bền vững

tương đối của khách thể. Tính đồng nhất của các yếu tố tạo nên khách thể quyết định sự tồn

tại và biến đổi của khách thể.

Chủ nghĩa duy vật siêu hình xem xét gián đoạn và liên tục tách rời nhau, coi tính gián

đoạn chỉ có ở một số sự vật, hiện tượng, còn tính liên tục thì phổ biến ở nhiều sự vật, hiện

tượng. Ngược lại, chủ nghĩa duy vật biện chứng thì cho rằng Gián đoạn và Liên tục gắn liền

với nhau, mỗi sự chuyển hóa của sự vật, hiện tượng đều là sự thống nhất giữa gián đoạn và

liên tục. Sự liên tục trong quá trình phát triển biểu thị sự ổn định của các mối liên hệ và tính

nhất quán trong một phạm vi nào đó. Sự gián đoạn hay tính rời rạc biểu thị sự chuyển hóa

của khách thể về chất lượng, một bước nhảy. Như vậy, theo quan điểm biện chứng, nếu chỉ

nhấn mạnh đến đặc trưng gián đoạn trong quá trình chuyển hóa sẽ dẫn đến mất đi các mối

liên hệ hữu cơ. Trái lại, nếu chỉ chú trọng đến tính liên tục thì không thấy được sự thay đổi

về chất lượng và ý nghĩa của sự chuyển hóa.

Nhiều nghiên cứu đã cho thấy mối liên hệ tất yếu, hữu cơ giữa triết học và khoa học tự

nhiên trong đó toán học là một nền tảng cơ bản.

Nhận định về bản chất của các hiện tượng, Leibniz đã tổng quát hóa tính chất liên tục

của các quá trình chuyển hóa bằng Luật liên tục của ông, theo đó mọi chuyển hóa của khách

“Tôi chắc chắn nguyên lí này là tổng quát và quan trọng không chỉ trong hình học mà cả trong

vật lí.” [102, tr. 92]

thể đều là một quá trình liên tục, không thể có bước nhảy. Ông nhấn mạnh:

Vì quan điểm của Leibniz đặt cơ sở trên nguyên lý liên tục của ông nên Leibniz phản đối

quan niệm về nguyên tử:

Nó phủ định khái niệm nguyên tử, những hạt vật chất thứ cấp và những điều hão huyền tương tự

” [102, tr. 92]

“Chân lí của tôi về sự không có bước nhảy trong tự nhiên được áp dụng phổ biến trong vật lí.

Sai lầm này của Leibniz cho thấy rõ ảnh hưởng của chủ nghĩa duy vật siêu hình. Theo

chúng tôi, ngay cả quan niệm của Euler về HSLT cũng chịu sự tác động của quan niệm triết

học về khái niệm liên tục. Như đã phân tích, triết học cho rằng Liên tục biểu thị tính đồng

nhất, sự kế tiếp nhau trong cấu tạo cũng như trong sự chuyển hóa của khách thể. Tương tự,

phân tích khoa học luận khái niệm HSLT cho thấy Euler định nghĩa HSLT là hàm số xác

định bởi một biểu thức giải tích duy nhất, nói cách khác, sự biến đổi của hàm số đồng nhất

bởi một qui luật.

Khái niệm HSLT được hoàn chỉnh trong giai đoạn của toán học của những đại lượng

biến đổi. Đó là giai đoạn chấm dứt của chủ nghĩa duy vật siêu hình, máy móc, bắt đầu thời

kỳ của chủ nghĩa duy vật biện chứng. Đại lượng biến đổi mà khởi đầu do Descartes, đã đánh

dấu một bước ngoặt trong toán học, nhờ đó, tư tưởng vận động và biện chứng đã là nền tảng

cho sự ra đời của phép tính vi phân và tích phân.

Phân tích khoa học luận đã trình bày những mâu thuẫn nội tại trong quá trình phát triển

của khái niệm HSLT. Chính việc giải quyết những mâu thuẫn đó mà các nhà toán học đã

hoàn thiện dần khái niệm HSLT. Như vậy, khái niệm hàm số liên tục được định nghĩa chính

xác thông qua quan niệm số hóa đã là kết quả của sự tác động của qui luật mâu thuẫn, hạt

nhân của phép biện chứng.

” còn thể hiện hai Định nghĩa HSLT: “f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi

cặp phạm trù quan trọng trong triết học: bản chất – hiện tượng và nội dung – hình thức.

Triết học cũng như khoa học tự nhiên luôn nhằm mục đích tìm kiếm mối liên hệ của cặp

phạm trù này. Bản chất là phần cơ bản, sâu sắc và bền vững nhất trong nội dung, nó có ý

nghĩa quyết định. Từ hiện tượng những đồ thị hàm số không đứt đoạn, không có lỗ hổng,

các nhà toán học phải mô hình hóa nó bằng một bản chất chung, một tiêu chuẩn chính xác

thoát khỏi trực giác. Và bản chất đó chính là sự đồng nhất giữa giá trị của hàm số tại một

điểm và giới hạn của nó tại đó.

 Về ý nghĩa toán học

Tình liên tục của hàm số là một trong những khái niệm trung tâm của tôpô, nó giải quyết

nhiều vấn đề tổng quát trong giải tích hàm, không gian metric, lí thuyết thứ tự, lí thuyết

miền…Tuy nhiên, do mục đích nghiên cứu của luận án chỉ hạn hẹp trong phạm vi dạy học

khái niệm HSLT ở bậc THPT nên chúng tôi cũng chỉ giới hạn việc trình bày ý nghĩa toán

học của khái niệm này ở mức độ tương ứng.

Theo John L. Belt [102, tr. 139], sự phát triển mạnh mẽ của giải tích toán học ở thế kỷ

18 cũng không che đậy được một thực tế là nhiều khái niệm nền tảng vẫn chưa được định

nghĩa chính xác và còn nhiều tranh cãi về mặt lôgic. Một trong các khái niệm nền tảng đó là

khái niệm hàm số liên tục. Chẳng hạn, khi Lagrange đề ra phương pháp của ông nhằm “đại

số hóa” giải tích, ông đã thừa nhận một cách ngầm ẩn rằng các hàm số liên tục đều có thể

biểu diễn dưới dạng chuỗi Taylor. Hay việc lựa chọn định nghĩa hàm số liên tục dựa trên

tính chất giá trị trung gian. Có một giai đoạn, ở Pháp, người ta đã định nghĩa rằng hàm số

liên tục trên một khoảng là hàm số mà nó không thể đi từ giá trị này sang giá trị khác mà

không qua tất cả các giá trị trung gian.

Phân tích khoa học luận đã minh chứng rằng khái niệm HSLT tác động đến rất nhiều vấn

đề có tính then chốt trong giải tích như phép tính vi phân, tích phân. Vì vậy, một định nghĩa

chặt chẽ của khái niệm hàm số liên tục sẽ giải quyết được nhiều vấn đề cơ bản của toán học

về mặt lôgic và mở ra sự phát triển tiếp theo. Bolzano là người đầu tiên đã định nghĩa: hàm

số f liên tục tại một điểm x nếu hiệu số f(x+) – f(x) có thể nhỏ hơn bất kỳ một đại lượng

cho trước nào đó khi  đủ bé [102, tr.139]. Với ý tưởng tương tự, Cauchy lại sử dụng khái

niệm vô cùng bé, ông định nghĩa một hàm số liên tục khi mỗi số gia cực bé của biến số đều

sinh ra một số gia cực bé của hàm số. Các định nghĩa hàm số liên tục sau đó được hoàn

thiện thêm và có ý nghĩa toán học quan trọng là đã làm chặt chẽ và lôgic ngành giải tích

toán học. Các ý tưởng đó đều có thể xem là tiền đề cho sự phát triển của tôpô mà các khái

niệm cơ sở của nó là lân cận, tập mở, liên thông….

CHƯƠNG 3: KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SÁCH

GIÁO KHOA Ở VIỆT NAM VÀ MỘT SỐ NƯỚC

3.1. MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH

Chương này có mục đích nghiên cứu trên quan điểm so sánh mối quan hệ thể chế với

khái niệm liên tục và HSLT ở Việt Nam, Maroc, Mỹ và Pháp. Theo quan điểm của Didactic

Toán, việc phân tích so sánh một đối tượng tri thức trong các thể chế dạy học khác nhau cho

phép làm rõ hơn dặc trưng khoa học luận và sư phạm của đối tượng đó. Phân tích này dựa

trên cơ sở lí luận (chương I) và nghiên cứu KHL về khái niệm HSLT (chương II).

Nghiên cứu được thực hiện nhằm tìm câu trả lời cho các vấn đề đặt ra sau đây:

- Khái niệm HSLT đã được đưa vào chương trình và SGK toán phổ thông ở Việt Nam và

các nước nói trên như thế nào? Những giai đoạn xuất hiện của khái niệm này trong SGK?

- Những đặc trưng khoa học luận và đặc trưng về cơ chế nào của khái niệm HSLT hiện

diện trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông?

- Phạm vi tác động, các kiểu nhiệm vụ, những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế

trên việc dạy học khái niệm này? Những sai lầm nào mà HS có thể gặp phải và nguồn gốc

của chúng?

3.2. PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA VIỆT NAM

Nghiên cứu của chúng tôi dựa trên SGK Toán và SGV Nâng cao hiện hành ([2], [3],

[21], [22], [49], [51], [52], [53])

Ngoài ra, để làm rõ hơn một vài nội dung được phân tích, chúng tôi cũng tham khảo các

SGK THCS và SGK THPT chương trình chuẩn, chương trình phân ban, SGK Vật Lí THPT

([12], [13], [14], [15], [25], [26], [27], [28], [29], [30], [35], [50]).

Phân tích SGK cho thấy đối tượng liên tục và HSLT xuất hiện trong hệ thống dạy học

toán ở trường phổ thông qua hai giai đoạn khác nhau: ngầm ẩn và tường minh.

3.2.1. Giai đoạn ngầm ẩn

Trước khi được đưa vào giảng dạy một cách chính thức trong chương trình toán lớp 11,

khái niệm liên tục đã xuất hiện một cách ngầm ẩn không chỉ trong phạm vi môn Toán mà cả

trong phạm vi Vật lí.

Trong chương trình Toán lớp 7, đặc trưng liên tục của đồ thị hàm số trên các khoảng

xác định của nó được hợp thức hóa thông qua việc vẽ đồ thị các hàm số y = ax và y =

bằng cách “nối liền các điểm” (phụ lục 3.1).

Trong sách Toán 9, HS được hướng dẫn xác định vài điểm rồi “nối chúng để được một

đường cong” khi vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (xem hình 3.1) [13, tập 2, tr. 34]:

Tính liên tục của đồ thị các hàm số y = ax; và đã được thể chế hợp thức

một cách ngầm ẩn, trực giác: một đường liền nét bằng cách nối các điểm. Tuy nhiên, với

hàm số y = , ta không tìm thấy một giải thích nào về sự gián đoạn của đồ thị tại x = 0 (phụ

lục 3.1). Mặt khác, tính liên thông của tập hợp số cũng không được nói đến cho dù tính chất

này gắn liền với sự liên tục của đồ thị hàm số.

Giai đoạn ngầm ẩn của khái niệm liên tục còn kéo dài đến chương trình lớp 10 và HK 1

của lớp 11.

Trong phạm vi môn toán lớp 10, tính liên tục được tiếp tục công nhận như một đặc

trưng hiển nhiên của đồ thị hàm số trên một khoảng mà nó xác định. Đặc trưng liên tục của

đồ thị hàm số còn hiện diện ngầm ẩn qua các biểu tượng mũi tên trong các bảng biến thiên.

Cũng tương tự như giai đoạn trước đó, những hàm số được đề cập đến là những hàm số có

đồ thị liên tục trên miền xác định của chúng: y = ax + b; ; .

Trong phần BT của SGK và SBT, người ta thấy có sự hiện diện của các hàm số được xác

định bằng nhiều công thức và tất cả các hàm số đó đều có đồ thị liên tục trên R:

BT trong SGK (Đại số lớp 10 – nâng cao)

BT trong SBT (Bài tập Đại Số 10 – nâng cao)

[22, tr. 49] [49, tr. 60]

Trong SGK Vật Lý 10 chương trình nâng cao, ở mục 5 về Phương trình chuyển động

thẳng biến đổi đều, sự thay đổi của vận tốc theo thời gian được biểu diễn bằng đồ thị hàm

bậc nhất, còn quãng đường đi được giải thích qua hình ảnh diện tích hình thang theo cách

mà Oreme đã sử dụng trong lịch sử [35, tr.26] (xem hình 3.2). Có thể nói ‎ý tưởng liên tục đã

được gắn liền với chuyển động cơ học trong phạm vi Vật Lí.

Trong SGK Toán 10 trước năm 2000, khái niệm « gián đoạn » hay « không liên tục »

xuất hiện ngầm ẩn qua bảng biến thiên nhờ vào một dấu hiệu đặc biệt là hai đường sổ thẳng.

Chẳng hạn, bảng biến thiên của hàm số y = , trong SGK Đại số 10, CT trước năm

2000:

Khác với CT trước năm 2000, trong CT chỉnh lí hợp nhất (năm 2000), hàm số y =

đã bị loại khỏi chương trình Đại số lớp 10. Trong chương trình hiện hành, các hàm số

lại được đưa vào. Mặc dù chúng chỉ hiện diện ở phần bài tập, nhưng sự xuất hiện của

các hàm số này cùng với đồ thị của chúng cũng cho thấy một cách ngầm ẩn về sự liên quan

giữa tính gián đoạn của đồ thị và tính không xác định của một hàm số tại một điểm.

Giai đoạn ngầm ẩn của khái niệm liên tục kéo dài đến hết giữa HK 2 của lớp 11. Trong

giai đoạn này, chúng ta không thấy xuất hiện các thuật ngữ ám chỉ sự liên tục của đồ thị

hàm số, ngay cả thuật ngữ “đường liền nét” cũng không hiện diện. Tính liên tục của đồ thị

dường như gắn liền với biểu tượng trong bảng biến thiên. Thí dụ, các tiến trình sau trong

Sách Giải tích 11, chương trình nâng cao (xem hình 3.3):

Tóm lại, trong giai đoạn trước HK2 của lớp 11, đối tượng liên tục đã hiện diện ngầm

ẩn qua hình ảnh liên tục của đồ thị hàm số (là một đường cong liền nét), các biểu tượng

về sự biến thiên, mô tả hình ảnh về quãng đường đi của một chuyển động liên tục. Nó có

hình thức thể hiện của một khái niệm tiền toán học và hoạt động như là công cụ ngầm

ẩn trong các tình huống nghiên cứu đồ thị hàm số hay trong tình huống nghiên cứu về

chuyển động trong vật lí. Nó luôn có đặc trưng tổng thể, hình học và không có đặc trưng

“địa phương”.

Trong giai đoạn này, kiểu nhiệm vụ duy nhất gắn liền với khái niệm liên tục là kiểu

nhiệm vụ T0: Vẽ đồ thị hàm số. Kiểu nhiệm vụ này dựa trên một tổ chức toán học mà yếu

tố kỹ thuật: «xác định một số điểm rồi nối lại bằng một đường cong liền nét», và kỹ thuật

này không dựa trên một lý thuyết tường minh nào. Điều này cho phép chúng tôi dự đoán

một HĐDH liên quan đến kiểu nhiệm vụ T0: « Để vẽ đồ thị hàm số, học sinh chỉ cần xác

định một số điểm rời rạc rồi nối chúng lại bằng một đường liền nét ».

3.2.2. Giai đoạn tường minh

Để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế với khái niệm liên tục và HSLT trong giai

đoạn này, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các tình huống trong đó có sự xuất hiện của đối

tượng liên tục và HSLT, những tổ chức toán học được xây dựng xung quanh các đối tượng

này. Trong phần này, chúng tôi phân tích SGK Đại số và Giải Tích 11 Nâng cao hiện hành.

Tuy nhiên, chúng tôi có đề cập đến những thay đổi hay giữ nguyên so với SGK chương

trình chỉnh lí hợp nhất (năm 2000) để làm rõ hơn sự tiến triển của SGK qua hai giai đoạn.

Tên gọi « SGK 2000 » được dùng để chỉ sách giáo khoa chương trình chỉnh lí hợp nhất.

3.2.2.1. Tình huống định nghĩa khái niệm hàm số liên tục tại một điểm

Khái niệm liên tục xuất hiện tường minh lần đầu tiên qua khái niệm HSLT, chứ không

phải đường cong liên tục như đã thấy trong lịch sử phát triển của nó.

Thuật ngữ “Hàm số liên tục” và định nghĩa của khái niệm này được đề cập trong mục

“Hàm số liên tục”, chương “Giới hạn” của SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.

SGK chương trình hiện hành và chương trình chỉnh lí hợp nhất đều sử dụng tiến trình

đưa vào đối tượng này theo truyền thống, có thể sơ đồ hóa như sau:

Sơ đồ 3.1: Tiến trình đưa vào khái niệm hàm số liên tục

Trong đó, khái niệm giới hạn của hàm số được định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn

của dãy số, và HSLT thì được định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn của hàm số.

Khác với tiến trình tiến hóa của khái niệm trong lịch sử, hệ thống dạy học toán ở phổ

thông không tính đến giai đoạn mà ở đó khái niệm hàm số liên tục có hình thức thể hiện của

khái niệm cận toán học. Thời điểm đầu tiên xuất hiện thuật ngữ liên tục, cũng chính là thời

điểm nó hiện diện dưới hình thức một khái niệm toán học, với đặc trưng địa phương thông

qua một định nghĩa hình thức. Ý đồ số hóa khái niệm HSLT bằng một tiếp cận địa phương

“Trong định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm, ta không giả thiết hàm số xác định tại

điểm đó. Hơn nữa nếu hàm số xác định tại điểm được xét thì giới hạn (nếu có) và giá trị của

hàm số tại điểm đó không nhất thiết phải bằng nhau. Tuy nhiên với những hàm số thường gặp

như các hàm đa thức, các hàm phân thức hữu tỉ, các hàm số lượng giác…giới hạn và giá trị của

hàm số tại mỗi điểm mà nó xác định là bằng nhau. Các hàm số có tính chất vừa nêu đóng vai

trò quan trọng trong Giải tích và trong các ngành toán học khác, Người ta gọi chúng là các

hàm số liên tục.” [51, tr. 168 ]

trên phương diện số được noosphère thể hiện rất rõ ngay ở phần mở đầu §8 về HSLT:

Ngay sau mở đầu này, định nghĩa hình thức được trình bày với nội dung hoàn toàn

"a/ Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên khoảng (a;b) và x0(a ;b). Hàm số f được gọi là

tương tự như ở SGK 2000 [51, tr. 168]:

liên tục tại điểm

nếu :

Hàm số không liên tục tại điểm x0 được gọi là gián đoạn tại điểm x0.”

Vì sao tiếp cận địa phương được đưa vào ngay chứ không phải là một tiếp cận tổng thể?

Và tiếp cận số hóa thay vì tiếp cận hình học? Ta hãy thử tìm câu trả lời qua quan điểm của

“ Về mặt sư phạm, tiếp cận tổng thể về phương diện hình học của khái niệm hàm số liên tục

thường dễ dàng hơn đối với học sinh. Tiếp cận địa phương về phương diện số cho phép trình

bày khái niệm này một cách chính xác về mặt toán học nhưng thiếu trực quan và mang ‎nghĩa

hình thức”

các tác giả SGK thể hiện trong [2, tr. 69]:

Theo chúng tôi, cũng như SGK 2000, quan điểm của noosphère có thể được giải thích là:

Người ta thừa nhận nguồn gốc trực giác hình học và đặc trưng tổng thể của khái niệm liên

tục. Nhưng “sự liên tục của các đường cong” chưa có một cơ sở “lí thuyết” vững chắc, nên

việc đưa vào khái niệm liên tục của hàm số, thông qua một định nghĩa hình thức như trong

SGK, nhằm mục đích cung cấp cho khái niệm liên tục “cơ sở lí thuyết” này. Nói cách khác,

người ta thiên về lí thuyết hóa, hình thức hóa tính chính xác toán học của các khái niệm

được đưa vào.

Quay về với định nghĩa hình thức khái niệm HSLT đã nêu ở trên, chúng tôi tự hỏi liệu

HS hiểu thế nào về khái niệm « điểm gián đoạn » với một định nghĩa không rõ ràng như

thế? Liệu họ có hiểu rằng tính gián đoạn chỉ có thể xảy ra với những điểm thuộc miền xác

định của hàm số hay không? Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi đã tìm hiểu quan điểm của

“Về điểm gián đoạn của hàm số: trong nhiều giáo trình ở bậc đại học người ta chỉ nói đến

điểm gián đoạn khi điểm đó là điểm giới hạn của tập xác định của hàm số. Chẳng hạn, trong

cuốn «Giải tích toán học – tập I» của Vũ Tuấn, Phan Đức Thành và Ngô Xuân Sơn, NXBGD,

1977, các tác giả đưa vào định nghĩa sau đây:

«Cho hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a ; b). Hàm số này được gọi là một hàm số gián

đoạn tại điểm x0[a ;b] nếu nó không liên tục (hay không liên tục một phía) tại điểm đó».

Ngược lại, trong SGK, để đơn giản ta nói: Một hàm số không liên tục tại điểm x0 thì gọi là

gián đoạn tại điểm đó. Như vậy, hàm số f(x) gián đoạn tại x0 nếu xảy ra một trong các trường

hợp sau đây:

a/ Không tồn tại f(x0) (Hàm số không xác định tại x0).

b/ Không tồn tại giới hạn hữu hạn

hoặc

c/ Tồn tại f(x0) và

nhưng L ≠ f(x0)

Điều này kéo theo một sự khiên cưỡng trong việc xét điểm gián đoạn của nhiều hàm số. Chẳng

hạn, về mặt trực quan khó có thể quan niệm điểm x = 5 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) =

, vì hàm số này chỉ xác định trên [0 ;+) và do đó, đồ thị của nó chỉ nằm trọn trong nửa

noosphère trong [2, tr. 70]:

khoảng này.

Để tránh bất tiện này và phù hợp với tinh thần giảm tải, SGK không đưa vào các bài tập về

xét điểm gián đoạn của hàm số.”

Liệu đa số GV có tuân thủ tinh thần giảm tải này?

Hay họ vẫn đưa vào kiểu bài tập « tìm điểm gián đoạn »

của các hàm số như trong SGK 2000?

Sau định nghĩa HSLT tại một điểm, một số VD và

hoạt động được đưa vào nhằm minh họa việc xét tính liên

tục bằng định nghĩa. Một ghi nhận quan trọng là các tiếp

cận hình học đầu tiên đã được trình bày, với mục đich cho

« Ví dụ 1:

a) Hàm sô f(x) =

liên tục tại mọi điểm

vì

b) Hàm số

gián đoạn tại điểm x = 0 vì không tồn tại

[51, tr. 168]

hình ảnh (xem hình 3.4) minh họa cho khái niệm “không liên tục” hay “gián đoạn”:

Một sự thay đổi cách tiếp cận khái niệm HSLT so với SGK 2000 được ghi nhận. Đó là

sự xuất hiện nhiều hơn những hình ảnh hình học sau định nghĩa hình thức của khái niệm

HSLT. Nhiều đồ thị (xem hình 3.5) đã được sử dụng trong các VD và hoạt động.

Với những hình ảnh hình học này, khái niệm liên tục sẽ hiện diện trong “màu áo” của

những “đường ” liên tục, còn khái niệm gián đoạn thì xuất hiện dưới hình ảnh của đường

cong đứt đoạn (hay không liền nét).

Mặt khác, định nghĩa HSLT tại một điểm như trên thể hiện sự số hóa khái niệm liên tục.

Nó được định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn, chứ không qua ngôn ngữ xấp xỉ hay

ngôn ngữ - như ta đã thấy ở định nghĩa được cho bởi các nhà toán học trong nửa đầu thế

kỉ 19. Quan điểm này hoàn toàn giống nhau ở SGK 2000 và SGK hiện hành.

Với tiến trình đưa vào khái niệm HSLT thông qua khái niệm giới hạn, quan điểm của

noosphère trong hai thời kỳ là đồng nhất với nhau. Lí do của sự lựa chọn chuyển hóa sư

“Hiện nay ở bậc phổ thông, nhiều nước trên thế giới đã từ bỏ việc dạy học khái niệm giới hạn

thông qua định nghĩa theo ngôn ngữ (, N) hay (, ) chủ yếu vì học sinh khó có thể lĩnh hội

được các định nghĩa quá hình thức đó. Nhưng ngay cả khi không còn sử dụng định nghĩa như

vậy và ưu tiên cho các định nghĩa có tính chất mô tả hơn thì người ta cũng thừa nhận rằng

phạm đó được giải thích ở [3, tr.33]:

không thể đòi hỏi học sinh hiểu một cách sâu sắc bản chất của khái niệm giới hạn.

Chính vì thế với SGK mới, ta chỉ yêu cầu học sinh hiểu một cách trực quan khái niệm giới hạn,

bước đầu hình dung được thế nào là giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số. Biết vận dụng

các định nghĩa và các định lí trong SGK để giải các bài toán cơ bản về giới hạn và liên tục”.

Như vậy, hai lí do chính của lựa chọn định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số qua giới hạn

dãy số là:

- Tránh ngôn ngữ xấp xỉ  - , mà theo noosphère là khó hiểu đối với học sinh.

- Nhắm tới mục đích giảm tải nội dung toán như yêu cầu của chương trình.

Liên hệ với khái niệm liên tục, không có một giải thích nào tương tự như trên. Tuy nhiên

nếu xét trong ngữ cảnh chung của chương “giới hạn”, ta có thể dự đoán hai lí do trên cũng

là các lí do của sự lựa chọn định nghĩa HSLT thông qua khái niệm giới hạn của hàm số.

Một sự thay đổi nữa của SGK hiện hành so với SGK 2000 là sự loại bỏ “Đặc trưng

khác của tính liên tục tại một điểm”. Trong SGK 2000, để đưa vào tính chất này, các khái

niệm và định lí sau đây đã được trình bày:

- Khái niệm số gia của đối số tại

- Khái niệm số gia của hàm số tại

- Định lí: Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K, là liên tục tại điểm K,

nếu và chỉ nếu .

Nội dung này của SGK 2000 có mục đích cho một cái nhìn trực giác số (chứ không phải

trực giác hình học) về tính liên tục của hàm số, như giải thích của noosphère trong SGV

“Nói cách khác, tính liên tục của hàm số được đặc trưng bởi tính chất sau: ứng với số gia vô

cùng nhỏ của đối số là số gia vô cùng nhỏ của hàm số. Đó là nội dung của khái niệm trực giác

2000, tr. 73:

về tính liên tục: khi x biến thiên đủ nhỏ thì y biến thiên nhỏ bao nhiêu tuỳ ý.”

Ngầm ẩn đằng sau các khái niệm và định lí trên là ngôn ngữ , mà đó là ngôn ngữ

mà thể chế muốn tránh.

Như vậy, có một mâu thuẫn ngay trong chính lựa chọn của noosphère trong SGK 2000.

Mặt khác, ‎ý đồ cung cấp một hình ảnh trực quan số về khái niệm liên tục là không thể đạt

được. Có lẽ với những lí do đó và với yêu cầu giảm tải, kiến thức này đã được loại khỏi

chương trình hiện hành.

3.2.2.2. Tình huống định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

Trong phần này, tiếp cận địa phương trên phương diện số về khái niệm hàm số liên

tục đã được sử dụng để chuyển vào một tiếp cận tổng thể trên phương diện số.

“2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

a) Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc hợp của nhiều

khoảng. Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.

b) Hàm số f xác định trên đoạn [a;b] được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên

khoảng (a;b) và

CHÚ Ý

Tính liên tục của hàm số trên các nửa khoảng [a;b), (a; b], [a;+), (-;b] được định nghĩa

tương tự như tính liên tục của hàm số trên một đoạn.” [51, tr. 169-170].

ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa HSLT một phía tại điểm x0 không được trình bày. Có thể noosphère để lại

cho GV trách nhiệm giới thiệu tường minh cho HS các định nghĩa này hay ngầm cho phép

GV và cả HS sử dụng chúng nhờ vào các định nghĩa “tương tự” không được phát biểu

tường minh.

Sau các định nghĩa HSLT trên một khoảng, trên một đoạn, một ví dụ về HSLT trên một

đoạn được trình bày cùng minh họa về đồ thị (xem hình 3.6) [51, tr. 170]:

Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số y =

trên đoạn [-1;1]

Giải

Hàm số đã cho xác định trên [-1; 1].

Vì với mọi x0(-1;1) ta có:

nên hàm số liên tục trên (-1; 1). Ngoài ra ta

có:

và

. Do đó hàm số liên tục trên [-1; 1]

Noosphère hợp thức đặc trưng hình học, tổng thể của khái niệm liên tục, gián đoạn bằng

“Qua các ví dụ đã xét, chẳng hạn ví dụ 3, ta thấy hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một

đoạn có đồ thị là một đường “liền nét”. Trong ví dụ 2, hàm số f gián đoạn tại điểm x = -1; đồ

thị của nó không phải là một đường liền nét.”

một ghi nhận [51, tr. 170]:

Một sự thay đổi so với SGK 2000 mà chúng tôi ghi nhận được là sự xuất hiện khái niệm

“liên tục trên tập J là hợp của nhiều khoảng”. Định nghĩa này có thể dẫn đến một thừa

nhận khiên cưỡng ở HS. Khả năng học sinh kết luận rằng nếu hàm số liên tục trên các tập

hợp A và B thì liên tục trên A B sẽ là rất cao. Chẳng hạn, liên tục trên (a; b) và trên [b; c)

thì liên tục trên (a; c).

3.2.2.3. Tình huống đưa vào các nhận xét, định lí làm cơ sở cho sự đại số hóa tính

liên tục của hàm số

Sau định nghĩa HSLT trên một khoảng và một đoạn, một số tính chất của HSLT được

đưa vào hoặc dưới dạng một nhận xét, hoặc dưới dạng một định lí, nhưng tất cả đều được

“Nhận xét: Từ định lí 1 và nhận xét sau định lí 1 trong §4 dễ dàng suy ra

1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại

điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0)

2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập

xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng)

Ta thừa nhận định lí sau:

ĐỊNH LÍ 1: Các hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx liên tục trên tập xác định

của chúng.”

thừa nhận, không chứng minh [51, tr. 170 – 171]:

Phần 1) trình bày tính chất địa phương sự liên tục của các hàm tổng, hiệu, tích, thương.

Nó có thể xem là yếu tố lý thuyết giải thích cho phần 2). Ngược lại, phần 2) lại là một tiếp

cận tổng thể tính liên tục của những hàm số mà học sinh đã biết.

Các nhận xét và định lí trên cho phép thực hiện một sự đại số hóa “triệt để” giải tích về

HSLT, theo nghĩa việc xét tính liên tục được qui về xem xét các phép toán đại số +, -, ×, :

trên các hàm số đã biết, mà không phải dùng tới định nghĩa. Định nghĩa theo ngôn ngữ giới

hạn chỉ được dùng đến khi xét tính liên tục tại các điểm của hàm số cho bởi nhiều công

thức, những điểm mà tại đó hàm số có sự thay đổi về biểu thức.

Chúng tôi dùng từ “đại số hóa triệt để” với hai lí do sau:

- Ngay cả khi phải dùng đến định nghĩa liên tục qua khái niệm giới hạn để nghiên cứu

tính liên tục của hàm số tại một điểm, thì việc tính giới hạn này cũng chỉ dựa trên các

phép toán đại số về giới hạn.

- Phần 2) của nhận xét cho phép qui việc xét tính liên tục của hàm số về việc tìm miền

xác định của nó.

Quan điểm “đại số hóa” giải tích về HSLT ở cả SGK hiện hành và SGK 2000 là như

nhau. Ở cả hai chương trình, các hàm số được nói đến chủ yếu là các hàm số sơ cấp (cơ bản

hay phức tạp). Vì thế, noosphère đã cung cấp một cách chính thức công cụ để học sinh đồng

nhất miền xác định và miền liên tục.

3.2.2.4. Tình huống đưa vào định lí giá trị trung gian - cơ sở cho khái niệm hàm số

liên tục tác động với cơ chế công cụ

Trong mục 3. nói về tính chất của HSLT, chúng tôi ghi nhận một sự thay đổi về nội dung

định lí được coi là cơ bản trong SGK 2000 và SGK hiện hành:

SGK 2000 [25, tr. 135] SGK hiện hành [51, tr. 171]

Định lý 3: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên

Định lí 2 (Định lí về giá trị trung gian của hàm số

[a;b] thì nó đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn

liên tục)

nhất và mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu f(a) ≠

nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó.

f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn

tại ít nhất một số thực c(a; b) sao cho f(c) = M.

Hiển nhiên trong cả hai CT, định lí giá trị trung gian được thừa nhận và luôn luôn được

giải thích bằng một cách tiếp cận trực quan, hình học qua hình ảnh đồ thị một HSLT trên

đoạn [a; b]. Các tác giả SGK hiện hành đã loại đi những yếu tố được cho là thừa trong SGK

thời kỳ trước như “giá trị nhỏ nhất”, “giá trị lớn nhất” để thay vào đó giá trị tại hai đầu mút

nhằm nhanh chóng đưa vào một kỹ thuật chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình

“Về các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn

Khi đề cập đến các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn, hầu hết các SGK Toán ở

cấp Trung học phổ thông đều giới thiệu định lí Bolzano – Cauchy, tức là định lí về giá trị trung

gian của hàm số liên tục. Một số SGK còn giới thiệu thêm một định lí nữa đó là định lí

Weierstrass:

Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thì:

a) Hàm số bị chặn trên [a; b]

b) Hàm số đạt được giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn này.

Sách chỉnh lí hợp nhất đã giới thiệu cả hai định lí và gộp chúng trong định lí 3 (trang 135).

Đây là lần đầu HS làm quen với hai định lí quan trọng này. Nên phát biểu chúng riêng rẽ, như

vậy HS dễ tiếp thu hơn. Hệ quả của định lí 3 ở sách chỉnh lí hợp nhất thật ra chỉ là hệ quả của

định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục.

SGK này đã không đề cập đến định lí Weierstrass. Lí do đơn giản: Các hàm số liên tục hay

gặp thường có đạo hàm trên một khoảng, có thể trừ ra một số hữu hạn điểm. Lập bảng biến

thiên của hàm số trên khoảng hoặc đoạn được xét, có thể tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên khoảng hay đoạn đó.”

trên một đoạn. Vấn đề này được tìm thấy ở [2, tr. 131]:

Qua giải thích của noosphère, chúng ta có thể đoán nhận được rằng các hàm số được cho

trong SGK hầu hết là các hàm số khả vi trên các khoảng mà nó xác định. Có thể đây cũng là

lí do của sự mờ nhạt của thuật ngữ “liên tục” sau chương “Đạo hàm”.

Định lí 2 được giải thích nhờ một minh họa hình học [51, tr. 171] (xem hình 3.7):

“Ý nghĩa hình học của định lí

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và M là một số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng

y = M cắt đồ thị hàm số y = f(x) ít nhất tại một điểm có hoành độ c (a; b)”.

Giải thích hình học này không được noosphère xem như một chứng minh.

Sau định lí 2, một hệ quả và ‎ý nghĩa hình học của nó được đưa vào [51, tr. 171]:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a;b) sao

cho f(c) = 0.

“HỆ QUẢ

Ý nghĩa hình học của hệ quả

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục Ox ít nhất

tại một điểm có hoành độ c  (a; b).”

Hệ quả này đóng vai trò lí thuyết cho kĩ thuật chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương

trình.

Thoạt tiên, thuật ngữ “Hệ quả” làm ta nghĩ rằng định lí 2 đóng vai trò là một lí thuyết,

nghĩa là công nghệ của hệ quả này. Tuy nhiên, hệ quả này cũng không được chứng minh.

Tương tự như định lí 2, nó được giải thích bằng một tiếp cận trực giác, hình học (xem hình

3.8). Như vậy, không khác SGK 2000, một đối tượng được đưa vào nhưng không có mối

quan hệ nhân – quả như mong muốn.

3.2.2.5. Các tổ chức toán học và các hợp đồng dạy học

Phụ lục 3.2 trình bày chi tiết phân tích các kiểu nhiệm vụ và tổ chức toán học liên quan.

Trong phần này, chỉ những kết quả chủ yếu được đề cập đến. Chúng tôi cũng giới hạn việc

trình bày các tổ chức toán học dựa vào các thành phần: kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật và công

nghệ (xem bảng 3.1).

Kiểu nhiệm vụ

Kỹ thuật i

Công nghệ i

1: Định nghĩa HSLT tại một điểm

1: Chứng minh đẳng thức:

= f(x0), x0

1: Định nghĩa HSLT tại một điểm

2: Tính f(x0);

và so sánh các giá trị này.  Nếu không tồn tại giới hạn hữu hạn

Bảng 3.1: Các tổ chức toán học

T1: Chứng minh hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x Đặc trưng: Hàm số luôn được cho bằng một biểu thức giải tích xác định với mọi số thực x. T2: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm x0 Đặc trưng: - Hàm số luôn được cho bởi hai biểu thức giải tích. Hàm số xác định với mọi số thực x.

hay

- Điểm được yêu cầu xét tính liên tục là điểm biên của hai tập hợp hợp thành (hay “điểm nhảy”).

thì hàm số gián đoạn tại x0. Nếu

thì hàm số

liên tục tại x0. 3:  Nếu K = (a; b), chứng minh rằng = f(x0), x0 (a; b)

 Nếu K = [a; b], chứng minh rằng:

1: Định nghĩa HSLT tại một điểm 4: Định nghĩa HSLT trên khoảng, đoạn hay nửa khoảng.

T3: Chứng minh một hàm số liên tục trên khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng K. Đặc trưng: Hàm số luôn được cho bằng một biểu thức vô tỉ có miền xác định là khoảng, đoạn . hay nửa khoảng không trùng

 Nếu K = [a; b), chứng minh rằng:

4: - Tìm miền xác định Df của hàm số - Kết luận hàm số liên tục trên các khoảng, đoạn mà nó xác định

T4: Tìm các khoảng, nửa khoảng trên dó hàm số f liên tục Đặc trưng: Hàm số luôn được cho bằng một biểu thức giải tích

3 và 4

2:Nhận xét về tính liên tục của các hàm số tổng, hiệu, tích, thương, hàm đa thức, phân thức hữu tỉ trên tập xác định 3: Định lí về tính liên tục của các hàm số lượng giác trên tập xác định 1; 2 và 4

1 và 2

5:  Chứng minh HSLT trên

và

T5: Chứng minh hàm số f(x) liên tục trên tập xác định của nó. Đặc trưng: Hàm số luôn được cho bằng một hay hai biểu thức giải tích T6: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số:

 Tìm

 Giải hệ phương trình

để tìm m

trình

- 2, 3 -5: Hệ quả của định lí giá trị trung gian

liên tục trên Đặc trưng: Hàm số luôn được cho bằng hai biểu thức giải tích như trên mà g(x) và h(x) đều là hàm đa thức hay hữu tỉ. T7: Chứng minh phương f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b) Đặc trưng: Hàm số f(x) luôn được cho bằng một biểu thức giải tích mà f(a).f(b) < 0.

6: - Chứng minh f(x) liên tục trên [a ;b]. - Tính f(a).f(b), nếu f(a).f(b) < 0 thì kết luận phương trình có nghiệm trên (a; b). - Nếu f(a).f(b) > 0 thì tìm cặp số ,  (a; b) mà f().f() < 0.

- 2 - 6: Tính chất của giới hạn vô tận.

7:  Chứng minh f(x) liên tục trên Tùy theo câu hỏi sẽ kiểm chứng:  Nếu f(0) và

trái dấu thì

phương trình có nghiệm âm.  Nếu f(0) và

trái dấu thì

phương trình có nghiệm dương.  Nếu

và

trái dấu

T8: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm âm (dương) hay có ít nhất một nghiệm. Đặc trưng: Hàm số luôn được cho là một đa thức f(x) mà hệ số không nguyên hoặc hệ số là tham số.

T9: Chứng minh tồn tại số

thì phương trình có nghiệm 8:

- 3

c(a; b) mà f(c) = m với m nằm

 Chứng minh f(x) liên tục trên [a; b]

- 7: ĐLGTTG

trong khoảng giữa f(a) và f(b).

 Tính f(a), f(b) và chứng minh m

Đặc trưng: Hàm số luôn được

thuộc khoảng giữa f(a) và f(b)

cho bằng một biểu thức giải tích

 Kết luận

Sơ đồ 3.2: Quan hệ giữa các tổ chức toán học

Kiểu nhiệm vụ

Vị trí của nhiệm vụ

Tỉ lệ

Ví dụ và hoạt động

Bài tập

Ví dụ và hoạt động

Bài tập

Bảng 3.2: Bảng thống kê số bài tập, ví dụ liên quan với các kiểu nhiệm vụ

2,38%

7,14%

9,52%

16,66%

4,76%

9,52%

11,90%

7,14%

2,38%

7,14%

2,38%

Tổng cộng

9 21,43%

78,57%

33

Nhận xét:

 Phân tích các tổ chức toán học cho thấy các yếu tố công nghệ 1; 2 và 3 chi phối một

cách tuyệt đối các kiểu nhiệm vụ. Những yếu tố này khẳng định quan điểm không đổi của

SGK hiện hành so với SGK 2000:

- Quan điểm số hóa khái niệm HSLT thông qua định nghĩa giới hạn.

- Quan điểm đại số hóa triệt để giải tích về các HSLT và giới hạn lớp các HSLT.

 Một thay đổi đáng kể so với SGK 2000 đó là sự gia tăng cách tiếp cận khái niệm

HSLT trên phương diện hình học và tổng thể trong phần lí thuyết. Tương tự SGK 2000,

tiếp cận hình học được sử dụng để giải thích ĐLGTTG và hệ quả của nó. Tuy nhiên, sự

hiện diện của kiểu nhiệm vụ T7, T8, T9 với 21,42% bài tập và ví dụ không chứng minh được

rằng thể chế muốn nhấn mạnh đặc trưng tổng thể về mặt hình học của khái niệm HSLT vì

thực tế các kiểu nhiệm vụ này chỉ dựa trên các kỹ thuật đại số. Mặt khác, kiểu nhiệm vụ “vẽ

đồ thị hàm số” có mặt trong bài tập ở SGK 2000 thì lại vắng mặt trong SGK hiện hành.

Như vậy, tiếp cận hình học chỉ là phương tiện mà thể chế sử dụng để giải thích kỹ thuật đại

số chứ không thể là một mục tiêu của thể chế. Ngoài ra, để giải quyết các bài tập thuộc kiểu

100

nhiệm vụ T8, noosphère còn sử dụng một kiến thức không được trình bày tường minh, đó là

“tính chất của giới hạn vô tận”.

 Phạm vi tác động của khái niệm HSLT chủ yếu là các hàm số đa thức và hữu tỷ.

 Khái niệm “điểm gián đoạn” của hàm số không được đề cập đến, định nghĩa chỉ đề cập

đến khái niệm “hàm số gián đoạn tại điểm ”. Chẳng hạn, theo SGK, tại điểm x = 0

hàm số gián đoạn. Chúng tôi tự hỏi, hàm số g(x) = có gián đoạn tại x

= 0 hay không? ảnh hưởng quan điểm này như thế nào đến quan niệm của GV và HS?.

 SGK 2000 không sử dụng khái niệm liên tục trên một tập hợp là hợp của nhiều khoảng.

SGK hiện hành lại hợp thức khái niệm này bằng một định nghĩa. Nó sẽ ảnh hưởng như thế

nào trên quan niệm của HS và cả GV? Đặc biệt là khi họ gặp phải các tập hợp không liên

thông. Tuy nhiên, tập không liên thông không hiện diện trong các kiểu bài tập hay lí thuyết.

Chúng tôi dự đoán rằng noosphère qui ước chỉ xét các tập liên thông. Cụ thể là chỉ xét

khoảng, đoạn hay nửa khoảng mà thôi.

 Tương tự SGK 2000, trong SGK hiện hành không xuất hiện yếu tố công nghệ thông tin

trong dạy – học khái niệm HSLT.

Như đã phân tích, SGK thể hiện một quan điểm đại số hóa tuyệt đối, quan điểm tiếp cận

hình học không được chú ý đến. Một hệ quả được dự đoán là sai lầm khá phổ biến về việc

vẽ đồ thị các hàm gián đoạn trên tập xác định của nó.

3.2.2.6. Dự đoán những sai lầm và nguyên nhân

Phân tích trên và phụ lục 3.2 cho phép dự đoán những sai lầm của HS và nguồn gốc của

chúng. Chúng tôi giới hạn chỉ đề cập những sai lầm có thể dự đoán nguồn gốc theo tiêu chí

của Didactic toán.

Bảng 3.3: Dự đoán sai lầm và nguyên nhân

Dự đoán SL

Dự đoán các nguyên nhân của SL

SL1:

a. HĐDH 1:

HS lấy một số điểm của đồ thị rồi nối chúng lại

Để vẽ đồ thị hàm số, HS chỉ cần xác định một số

bằng một đường liền mà không tính đến đặc

điểm rời rạc rồi nối lại bằng một đường liền nét

điểm của miền xác định

b. Chướng ngại KHL: Quan niệm Euler: “hàm số

liên tục nếu nó xác định bằng một biểu thức”

SL 2:

HĐDH 2:

Kết luận sai về tính liên tục của hàm số tại

Để xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0, HS

chỉ cần kiểm tra đẳng thức:

điểm x0 do chỉ dựa vào các phép tính mà không

101

tính đến đặc trưng của điểm x0.

bằng các phép toán

đại số mà không cần xét đến tính chất của miền

xác định của hàm số.

HĐDH 3:

SL3:

HS đồng nhất miền xác định với miền trên đó

Để tìm miền trên đó hàm số liên tục, HS chỉ cần tìm

hàm số liên tục

miền xác định của hàm số và kết luận hàm số liên

tục trên miền xác định.

a. HĐDH 4:

SL4:

Nếu f(a).f(b)>0 và không tìm được cặp số

Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một

nguyên hay hữu tỉ đặc biệt m, n thuộc (a; b) mà

nghiệm trên khoảng (a; b), trong đó f(x) là đa thức,

f(m).f(n)<0 (f(x) là đa thức) thì HS kết luận

HS chỉ cần kiểm tra f(a). f(b) < 0 hoặc tìm cặp số 

phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.

và  là các số nguyên hay hữu tỉ đặc biệt (

, 1,5…) thuộc (a; b) mà f().f() <0

b. Lỗi lôgic (sử dụng mệnh đề phản đảo)

SL5:

a. HĐDH 5:

Nếu không tìm được cặp số nguyên hoặc hữu

Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm

tỷ đặc biệt a, b dương mà f(a).f(b)<0, đồng thời

âm (dương, hay tùy ý), trong đó f(x) là một đa thức,

HS chỉ cần thực hiện một trong các hoạt động:

f(0) và

cùng dấu thi HS kết luận

+ Tìm cặp a, b nguyên hoặc hữu tỉ đặc biệt thuộc

phương trình f(x) = 0 vô nghiệm trên (0; +).

(-; 0) (hay (0;+ ) hay (-;)) mà f(a). f(b) < 0

SL tương tự trong trường hợp xét sự tồn tại

+ Chứng minh

f(0) và

(hay

f(0) và

nghiệm của phương trình f(x)= 0 trên (-; 0)

hoặc

và

) trái dấu.

hay trên R.

b. Lỗi lôgic (sử dụng mệnh đề phản đảo)

SL6: SL khi vẽ đồ thị các hàm số gián đoạn

Thiếu kiến thức

3.2.3. Hàm số liên tục ở giai đoạn sau khi được giảng dạy tường minh

Phân tích chi tiết giai đoạn này của khái niệm HSLT được trình bày trong phụ lục 3.3.

Phần dưới đây chỉ trình bày kết quả tổng hợp từ phân tích đó.

Ở giai đoạn này, khái niệm HSLT lấy cơ chế của một công cụ tường minh và tác động

đến các yếu tố lí thuyết: đạo hàm (lớp 11), nguyên hàm, tích phân (lớp 12) và bài tập (bài

toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trên một miền, bài toán về nghiệm của

102

phương trình....)

3.2.3.1. Các tổ chức toán học và các hợp đồng dạy học

Bảng 3.4: Các tổ chức toán học ở giai đoạn sau khi khái niệm HSLT được giảng dạy

Kiểu nhiệm vụ

Kỹ thuật i

Công nghệ i

tường minh

T10: Xét tính liên tục, sự tồn

9:

1: Định nghĩa HSLT

tại đạo hàm và tính đạo hàm

tại một điểm

 Xét tính liên tục của f(x) tại điểm x0.

nếu có của một hàm số f(x)

8: liên hệ giữa tính

Nếu f(x) không liên tục tại x0 thì hàm số

trên R, trong đó:

liên tục và đạo hàm

không có đạo hàm tại x0.

 Nếu f(x)

liên

tục

thì

tìm

tại x0

9: định nghĩa đạo

hàm của hàm số tại

, nếu

(hay dạng tương tự)

một điểm.

Đặc trưng: Hàm số luôn

tồn tại và hữu hạn thì f(x) có đạo hàm tại x0

được cho dưới dạng hai

, ngược lại

và f’(x0) =

công thức như trên, trong đó

các hàm số P(x), Q(x) đều là

hàm số đa thức hay hữu tỷ

hàm số không có đạo hàm tại x0.  Với x < x0 thì f’(x) = P’(x). Với x > x0

thì f’(x) = Q’(x).

T11: Tìm GTNN và GTLN

10:

10: Qui tắc tìm

của hàm số f(x) trên [a; b].

GTNN và GTLN của

 Tính f’(x)

Đặc trưng: Hàm số được

hàm số f(x) liên tục

 Tìm các điểm x1, x2,…., xn thuộc (a;b)

cho luôn có tính liên tục trên

trên [a; b]

mà tại đó f’(x) = 0 hay không có đạo hàm.

[a; b].

Tính giá trị của f tại các điểm trên và tại

a, b.

 Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN

của f trên [a; b], số nhỏ nhất trong các giá

trị đó là GTNN của f trên [a; b].

T12: Tìm điều kiện để

11:

10 : Qui tắc tìm

phương trình f(x) = m có

GTNN và GTLN của

 Tìm GTNN và GTLN của f(x) trên D.

nghiệm trên miền D.

hàm số f(x) liên tục

 Nếu

thì

Đặc trưng: f(x) là hàm số

trên đoạn.

phương trình f(x) = m có nghiệm trên D

liên tục trên D.

7 : ĐLGTTG

khi và chỉ khi

103

Từ kết quả phân tích (phụ lục 3.3), các HĐDH sau đây cũng được dự đoán:

 HĐDH 6: “Giáo viên chỉ yêu cầu học sinh tìm GTNN và GTLN của hàm số liên tục

trên [a; b]” và “HS chỉ cần thực hiện các thao tác kỹ thuật 10 mà không cần thiết phải kiểm

tra tính liên tục của hàm số”.

 HĐDH 7: “ HS chỉ được đề nghị tìm điều kiện của m để phương trình f(x) = m có

nghiệm trên miền D, trong đó f(x) liên tục D” và “HS chỉ có nhiệm vụ tìm

và kết luận , họ không cần xét tính liên tục của

f(x) trên D”.

3.2.3.2. Dự đoán các sai lầm và nguyên nhân

Bảng 3.5: Dự đoán sai lầm và nguyên nhân

Dự đoán SL Dự đoán nguyên nhân của SL

SL7:

Để tìm điều kiện cho hàm số

Lỗi lôgic

SL do không nắm vững kiến thức, yếu khả

có đạo hàm tại x0, HS

năng suy luận (sử dụng mệnh đề phản đảo

của mệnh đề “có đạo hàm  liên tục)

có thể thực hiện một trong hai kỹ thuật:

a) Chỉ cần cho P’(x0) = Q’(x0) mà không cần để ý

đến tính liên tục của hàm số tại x0.

b)HS sử dụng định lí về liên hệ đạo hàm – liên tục

nhưng không kiểm tra phần đảo

SL 8: Để tìm GTNN và GTLN của hàm số f(x) xác

HĐDH 6:

định trên [a; b], HS chỉ cần so sánh các giá trị f(a),

“HS chỉ được yêu cầu tìm GTNN và GTLN

của hàm số liên tục trên [a; b] và họ chỉ cần

f(b), f(xi)

, trong đó xi hoặc là các nghiệm

thực hiện các thao tác của kỹ thuật 10 mà

của f’(x) = 0 hoặc là các điểm mà tại đó f’(x) không

không cần thiết phải kiểm tra tính liên tục của

xác định. Tính liên tục không được xét đến.

hàm số”.

SL9: Điều kiện để phương trình f(x) = m có nghiệm

HĐDH 7:

“ HS chỉ được đề nghị tìm điều kiện của m để

trên D là:

phương trình f(x) = m có nghiệm trên miền D,

tính liên thông của D bị bỏ qua.

trong đó f(x) liên tục D”

SL 10: Những sai lầm do những khó khăn trong việc

SL do thiếu kiến thức

“đọc” được tính chất của hàm số qua đồ thị của nó.

3.2.4. Tính liên tục trong hình học

104

Hình học bậc phổ thông được xây dựng trên phương pháp tiên đề, chủ yếu là trên nền

tảng các định đề và tiên đề Euclide. Tuy nhiên, hệ tiên đề Euclide là không đầy đủ vì còn

thiếu các tiên đề về thứ tự, về liên tục. Nó chưa cung cấp đủ cơ sở cho việc suy luận chặt

chẽ trong chứng minh các định lí của hình học. Để làm đầy đủ hệ tiên đề của hình học, các

“Nếu tất cả các điểm của một đường thẳng được chia thành hai lớp không rỗng sao cho:

- mỗi điểm của đường thẳng đều chỉ thuộc một lớp và chỉ một mà thôi.

- mỗi điểm của lớp thứ nhất đều đi trước mỗi điểm của lớp thứ hai.

Khi đó có một điểm luôn ở giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai lớp. Có thể coi điểm này là điểm cuối

cùng của lớp thứ nhất hoặc là điểm đầu tiên của lớp thứ hai.” [33, tr. 69]

nhà toán học phải bổ sung bằng tiên đề liên tục, đó là tiên đề Dedekin:

Các tiên đề liên tục Cantor và Archimedes cũng được xem là tương đương với tiên đề

Dedekin. Tuy nhiên, về mặt sư phạm ở cấp độ phổ thông, các tiên đề này không được đề

cập đến ngay cả ở Sách Giáo viên, mặc dù chúng là cơ sở cho các chứng minh chặt chẽ

trong hình học.

Trong SGK Hình học 11, các phép biến hình được đưa vào là: phép tịnh tiến, phép đối

xứng trục, phép đối xứng tâm, phép vị tự. Dạng BT thường gặp là ứng dụng phép biến hình

để tìm quĩ tích (chẳng hạn các BT 34, 35 [18, tr.10], 57 [18, tr. 14]…). Các lời giải được

tìm thấy không theo một qui tắc truyền thống, có hai phần thuận – đảo của bài toán tìm quĩ

tích. Lí do này có thể được giải thích dựa trên cơ sở lý luận về ánh xạ song liên tục giữa các

không gian mêtric. Các phép biến hình f được xét đều có tính chất: f là song ánh, f và

đều liên tục, đây chính là lí do không cần thiết phải chứng minh thuận – đảo. Tuy nhiên,

Nói chung các bài tập trong SGK thường không đòi hỏi “tìm quĩ tích điểm M”mà thường chỉ

yêu cầu chứng minh rằng “các điểm M nằm trên một tập H cố định”. Bằng cách đó ta giảm nhẹ

cho HS, họ không phải chứng minh phần đảo trong bài toán quĩ tích.

tính chất này không được giải thích và trong Sách Giáo viên, người ta chỉ ghi [2, tr. 163]:

3.2.5. Kết luận về khái niệm liên tục và hàm số liên tục ở sách giáo khoa Việt Nam

1. Các đặc trưng của khái niệm Liên tục và Hàm số liên tục trong SGK Việt Nam được

tóm tắt:

Bảng 3.6: Tóm tắt các đặc trưng của khái niệm Liên tục và Hàm số liên tục ở SGK

Thời điểm

Việt Nam

THCS đến trước giữa HK2 lớp 11

Từ giữa HK 2 lớp 11

Khái niệm

Liên tục

Hàm số liên tục

Cơ chế hoạt động

Công cụ ngầm ẩn

Đối tượng  Công cụ

Hình thức tiếp cận Trực giác, tổng thể và hình học thông

- Định nghĩa HSLT tại một điểm

105

qua:

thông qua giới hạn Định nghĩa

- đường cong liền nét

HSLT trên khoảng, đoạn Các

- biểu tượng đồng biến, nghịch biến

định lí, nhận xét

trong bảng biến thiên.

- Tiếp cận địa phương và tổng thể

- Biểu diễn hình học sự thay đổi vận

trên phương diện số.

tốc, độ dời theo thời gian

- Tiếp cận tổng thể trên phương

diện hình học

Hình thức thể hiện Tiền toán học

Toán học

Đặc trưng

Hình học và tổng thể

Hình học, tổng thể, địa phương,

số hóa

Phạm vi tác động

Đại số và Vật lí

Giải tích, các bài toán về nghiệm

của phương trình, GTNN và

GTLN của hàm số, sự tồn tại đạo

hàm….

2. Với mục đích sư phạm và sự chính xác hóa, noosphère đã bỏ qua giai đoạn mà khái

niệm HSLT hiện diện dưới hình thức khái niệm cận toán học. Thời điểm đầu tiên thuật

ngữ “liên tục” xuất hiện cũng chính là thời điểm mà khái niệm HSLT có hình thức của khái

niệm toán học. Mặt khác, không tồn tại sự nối khớp giữa quan niệm hình học và số hóa

theo nghĩa “số hóa là yêu cầu tất yếu nhằm khắc phục các khiếm khuyết của quan niệm

hình học”.

Tiến trình đưa vào khái niệm HSLT trong SGK hiện hành có thể tóm tắt:

Sơ đồ 3.3: Tiến trình đưa vào khái niệm HSLT ở SGK hiện hành

3. Quan điểm “Đại số hóa Giải tích” đóng vai trò chủ đạo, các tiếp cận hình học chỉ là

phương tiện để hợp thức hóa những kiến thức cần thừa nhận. Hầu hết bài tập được yêu cầu

đều dựa trên các kỹ thuật đại số. Các bài tập về vẽ đồ thị, nhận dạng đồ thị hàm số liên tục,

106

phân loại điểm gián đoạn, những yếu tố rất cần cho việc vẽ đồ thị của hàm số hoàn toàn

vắng mặt.

4. Ứng dụng CNTT không có mặt trong SGK hiện hành. Điều này kéo theo hệ quả là

sự hạn chế của việc vận dụng phương pháp mô hình hóa toán học, thiết kế các tình huống

đưa vào khái niệm toán học theo quan điểm kiến tạo cũng như tận dụng một công cụ hiệu

quả trong dạy học các khái niệm của giải tích.

5. Một số khái niệm cần có tính nhất quán như: điểm gián đoạn, hàm số liên tục trên hợp

của nhiều khoảng hay nửa khoảng.

6. Phân tích hệ thống dạy học cho phép dự đoán một số HĐDH và các SL. Những SL này

chủ yếu có nguồn gốc như: SL là hệ quả của HĐDH, SL do thiếu kiến thức và SL không

nắm vững kiến thức hoặc yếu kỹ năng suy luận. Một số trong 10 SL trên sẽ được chúng tôi

thử nghiệm trong thực nghiệm ở chương IV.

3.3. KHÁI NIỆM LIÊN TỤC VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SGK MAROC

Các dữ kiện về những tiến triển của khái niệm HSLT trong CT và SGK Maroc từ năm

1945 đến 1976 được tổng hợp từ [80], một công trình nghiên cứu của Habiba El

Bouazzaoui. Các phân tích chi tiết được trình bày trong phụ lục 3.4.

Ở Maroc, các bậc học của bậc trung học là trung học đệ nhất cấp và trung học đệ nhị

cấp. Các bậc học đó trương ứng với THCS và THPT ở Việt Nam hiện nay. Vì vậy, để thống

nhất, chúng tôi sử dụng các tên gọi THCS và THPT.

3.3.1. Thời kì 1945 - 1960

Từ THCS đến lớp 10, không một quan niệm nào về HSLT hiện diện. Tuy nhiên, khái

niệm liên tục xuất hiện ngầm ẩn qua:

1. Cách vẽ đồ thị hàm số: người ta sử dụng kiểu diễn đạt trực giác “một nét liên tục vẽ

không nhấc bút chì lên” [80, tr. 135].

2. Các biểu tượng, biểu đồ hoặc thuật ngữ ám chỉ sự liên tục: các mũi tên trong bảng

biến thiên của hàm số bậc hai ngầm ẩn rằng hàm số đồng biến hay nghịch biến một cách

liên tục; biểu đồ của chuyển động; thuật ngữ “một nhánh” ngầm ẩn yù tưởng liên tục; vẽ

đường cong biểu diễn hàm số bằng những nét liên tục; thuật ngữ “đường cong liên tục”;

thuật ngữ “sự gián đoạn của hàm số” ở các VD về các hàm số .

Trong chương trình Toán 11, các khái niệm giới hạn, liên tục và đạo hàm được trình

107

bày một cách tường minh, trong cùng một chương. Cách tiếp cận khái niệm HSLT được

IV. Liên tục

226. Liên tục tại một giá trị x – Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b), xét một giá trị

thuộc khoảng: a < < b. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại

nếu khi x tiến đến

, f(x)

có một giới hạn và giới hạn ấy bằng

. Như vậy tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm

đòi hỏi những điều kiện sau:

có nghĩa;

có nghĩa với những giá trị x gần

3. f(x) có một giới hạn p khi x dần tới

và p =

Một cách chính xác ta nói:

Định nghĩa – Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x =

nếu với mỗi số c dương nhỏ tùy ý

cho trước, người ta đều tìm được một số  dương sao cho bất đẳng thức:

kéo theo

bất đẳng thức

Như thế cũng có nghĩa là

dần tới 0 khi

dần tới 0.

CHÚ Ý – I. Có thể x chỉ dần tới x0 từ những giá trị lớn hơn x0. Khi đó người ta nói liên tục bên

phải. Tương tự ta có sự liên tục bên trái.

II. VÍ DỤ VỀ HÀM SỐ KHÔNG LIÊN TỤC – để chỉ ra tất cả các hàm số không liên tục chúng

ta xét một ví dụ.

Hàm số: y =

không liên tục tại x = 0 vì f(0) không xác định.

227. Liên tục trên một khoảng – Ta định nghĩa hàm số f(x) xác định trên một khoảng (a; b) là

liên tục trên khoảng đó nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng. Khi muốn nói liên tục bên phải

tại x = a (a < b) hay liên tục bên trái tại x = b, phải xác định rõ ràng.

228. Các tính chất của hàm số liên tục – Từ kết quả của các định lí về giới hạn nếu f(x) và g(x)

0) là các

là các hàm số liên tục tại x = x0 thì các hàm f(x)+g(x); f(x).g(x);

(với g(x0)

hàm số liên tục tại x0.[80, tr. 138]

trình bày theo ngôn ngữ  - , một định nghĩa hình thức, hoặc thông qua giới hạn:

Tiến trình đưa vào khái niệm HSLT có thể được tóm tắt:

108

Sơ đồ 3.4: Tiến trình đưa vào khái niệm HSLT ở SGK thời kì 1945 - 1960

3.3.2. Thời kì 1960 – 1970

Tương tự giai đoạn trước, trước lớp 11, khái niệm liên tục chỉ hiện diện ngầm ẩn như

một công cụ để vẽ đồ thị hàm số bằng tay. Nó cũng hiện diện ngầm ẩn qua các biểu tượng

và thuật ngũ ám chỉ sự liên tục.

Trong CT và SGK năm học thứ hai của bậc THPT (lớp 11), khái niệm giới hạn và liên

tục là những đối tượng nghiên cứu. Trái với SGK giai đoạn trước, các định nghĩa không

đưa ra một cách đột ngột mà được giới thiệu trước một cách trực giác, sau đó bằng các đồ

thị hàm số. Ý tưởng đường cong liên tục được đưa vào với‎ nghĩa không đứt đoạn hay không

có lỗ hổng. Từ những ví dụ hình học đó, người ta đi đến các định nghĩa được trình bày bằng

ba cách: định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn của hàm số tại ; định nghĩa theo ngôn

ngữ ε - ; định nghĩa dựa vào khái niệm lân cận (xu hướng không chính thức trong CT do

Bộ Giáo dục Maroc qui định). Trên thực tế, quan niệm tôpô chỉ là quan niệm ngầm ẩn được

biểu đạt thông qua khái niệm lân cận.

Như vậy, cách tiếp cận khái niệm HSLT trong giai đoạn này đã có sự thay đổi:

Sơ đồ 3.5: Tiến trình đưa vào khái niệm HSLT ở SGK thời kì 1960 - 1970

Trong chương trình năm cuối cấp THPT, tất cả các định nghĩa về HSLT được nhắc lại.

Chúng được bổ sung bằng các định l‎í mà trong đó sự liên tục có vai trò hợp thức sự tồn

tại và tính chất của hàm số ngược [80, tr.144].

Việc đưa vào định lí về sự tồn tại của một hàm số ngược của một hàm số được thực hiện

bằng nhiều bước. Trước hết, người ta nêu ví dụ về phép biến hình trong không gian vào

chính nó, phép tịnh tiến, nó là một song ánh. Kế đó, những VD về ánh xạ từ E vào F, trong

đó E, F là các tập con của . Những VD này đều là các toàn ánh, điều kiện được bổ sung

vào là tính đơn điệu. Ở bước thứ ba, đồ thị của hàm số ngược được xây dựng. Cuối cùng,

các kết quả trước được tóm tắt thành một định l‎í, tính chất liên tục xuất hiện như một điều

109

kiện đủ trong khi trước đó nó không là vấn đề được đặt ra.

3.3.3. Thời kì 1970 – 1976

Năm học 1970 – 1971 đánh dấu một sự thay đổi quan trọng trong giảng dạy toán học ở

Maroc, đó là vai trò chủ đạo của cấu trúc đại số.

Ở lớp 10, như những năm học trước đó, giải tích không có trong chương trình. Việc

khảo sát các hàm số cơ bản thuộc phạm vi đại số và cũng như trước, chúng ta chỉ thấy xuất

hiện quan niệm trực giác, ngầm ẩn về tính liên tục.

Khái niệm HSLT được đưa vào ở lớp 11, ngay sau khái niệm giới hạn, cả hai khái niệm

này đều thuộc cùng một chương. Định nghĩa tính liên tục của hàm số tại một điểm được

trình bày thông qua một định nghĩa hình thức bởi khái niệm lân cận. Khái niệm lân cận

được minh họa bằng hình vẽ bởi các trục số thực và bởi biểu đồ Venn. Sau đó là ba cách

ĐỊNH NGHĨA:

Một hàm số f xác định trong một lân cận của

được gọi là liên tục tại

nếu:

1.Tồn tại f(

2.Với mọi lân cận

của

, tồn tại ít nhất một lân cận

của

sao cho

, nghĩa là ảnh của

qua f là tập con của

NHỮNG CÁCH GIẢI THÍCH KHÁC VỀ ĐỊNH NGHĨA

+ Cách phát biểu thứ nhất:

Nếu f là một hàm số từ R vào R, sự liên tục của f tại

tương đương với:

- Tồn tại

Chú ‎ý: Trong các bất đẳng thức Cauchy trên đây không cần có điều kiện

vì khi

nghiên cứu tính liên tục của hàm số, hàm số đã xác định tại

+ Cách phát biểu thứ hai:

Theo các kết quả ở §1, f liên tục tại điểm

nếu: Tồn tại

và

+ Cách phát biểu thứ ba:

f là liên tục tại điểm

nếu và chỉ nếu tồn tại

và ngoài ra ảnh ngược của mọi lân cận

của

là lân cận của

. [80, tr. 155]

giải thích khác về định nghĩa, được xem tương đương với định nghĩa ban đầu:

Cách phát biểu thứ ba thực ra cũng là ngôn ngữ trong không gian tôpô R.

Các quan niệm về HSLT trong cùng một SGK không theo thứ tự tiến triển trong lịch sử

của khái niệm này, trái lại, quan niệm tôpô, quan niệm tổng quát nhất, trừu tượng nhất lại

110

được đưa vào trước tiên.

Một số ghi nhận quan trọng khác trong giai đoạn này:

 Các khái niệm giới hạn và liên tục có thể được giảng dạy không theo một tiến trình

truyền thống “giới hạn  liên tục”. Ngược lại, có thể giảng dạy theo trình tự “liên tục 

giới hạn”. Tất nhiên, để thực hiện tiến trình này các nhà sư phạm đã lựa chọn cách tiếp cận

khái niệm HSLT qua ngôn ngữ tôpô với khái niệm lân cận hoặc ngôn ngữ  - . Những

cách tiếp cận này mang tính hình thức, khó tiếp thu bởi HS và hiện nay đã được loại bỏ

trong nhiều SGK bậc THPT ở các nước.

 Hàm số gián đoạn trở thành một đối tượng được nghiên cứu. Trong số các bài tập

trong SGK người ta thấy sự xuất hiện lần đầu của một hàm số xác định trên R và không đâu

liên tục (hàm số Dirichlet).

 Khái niệm điểm gián đoạn không nhất quán trong các SGK. Một số SGK cho rằng tại

điểm x0 mà hàm số không xác định, không thể nói nó liên tục hay gián đoạn tại đó. Với một

số SGK khác, một hàm số gián đoạn tại x0 là hàm số không liên tục tại x0.

 Các định lí cơ bản về HSLT kể cả định lí giá trị trung gian đều được thừa nhận và

minh họa bằng hình học.

3.3.4. Kết luận về khái niệm liên tục và hàm số liên tục trong SGK Maroc

Bảng 3.7: Tóm tắt các đặc trưng của khái niệm Liên tục và HSLT trong SGK Maroc

Thời điểm

THCS đến trước lớp 11

Từ lớp 11

Khái niệm

Sự liên tục

Hàm số liên tục

Cơ chế hoạt động

Công cụ ngầm ẩn

Đối tượng  Công cụ

Hình thức tiếp cận

- Cách vẽ đồ thị hàm số

- Định nghĩa HSLT tại một điểm theo

bằng đường liền nét.

ngôn ngữ -.

- Các biểu tượng đồng

- Định nghĩa HSLT tại một điểm qua

Thời

biến, nghịch biến trong

khái niệm giới hạn.

kì

bảng biến thiên

1945-

- Thuật ngữ: “một nhánh”,

1960

“đường cong liên tục”

- Biểu đồ của các chuyển

động biến đổi đều.

Đặc trưng

Hình học, tổng thể

Địa phương, tổng thể, hình học và số

hóa

Hình thức thể hiện

Tiền toán học

Toán học

Phạm vi tác động

Đại số, Vật lí

Giải tích

111

Thời điểm

THCS đến trước lớp 11

Từ lớp 11

Khái niệm

Hàm số liên tục

Sự liên tục

Thời

Cơ chế hoạt động

Công cụ ngầm ẩn

Đối tượng  Công cụ

kì

Hình thức tiếp cận Không thay đổi so với giai

- Định nghĩa HSLT tại một điểm theo

1960-

đoạn trước

ngôn ngữ -.

1970

 Định nghĩa HSLT tại một điểm qua

khái niệm giới hạn.

Định nghĩa HSLT tại một điểm qua

khái niệm lân cận.

Đặc trưng

Hình học, tổng thể

Địa phương, tổng thể, hình học, số hóa

và tôpô (ngầm ẩn)

Hình thức thể hiện

Tiền toán học

Toán học

Phạm vi tác động

Đại số, Vật lí

Giải tích

Thời điểm

THCS đến trước lớp 11

Từ lớp 11

Khái niệm

Hàm số liên tục

Sự liên tục

Cơ chế hoạt động

Công cụ ngầm ẩn

Đối tượng  Công cụ

Hình thức tiếp cận

Không thay đổi so với giai

- Định nghĩa HSLT tại một điểm theo

đoạn trước

quan niệm tôpô:

Thời

Với mọi lân cận

của

, tồn

kì

tại ít nhất một lân cận

của

sao

1970-

cho

, nghĩa là ảnh của

1976

qua f là tập con của

 Định nghĩa HSLT tại một điểm theo

ngôn ngữ -.

 Định nghĩa HSLT tại một điểm qua

khái niệm giới hạn.

 Định nghĩa HSLT tại một điểm theo

quan niệm tôpô thông qua ảnh nguợc

của lân cận

Đặc trưng

Hình học, tổng thể

Địa phương, tổng thể, hình học, số hóa.

Hình thức thể hiện

Tiền toán học

Toán học

Phạm vi tác động

Đại số, Vật lí

Giải tích

Từ những phân tích trên và nghiên cứu quan niệm của HS Maroc ở [80], chúng ta có thể

112

kết luận một số điểm như sau:

1. Khái niệm liên tục hiện diện ở giai đoạn trước lớp 11 với cơ chế một công cụ ngầm

ẩn thể hiện qua cách vẽ đồ thị các hàm số y = ax2+bx+c, y = , qua các biểu tượng hoặc

thuật ngữ hàm ý sự liên tục và qua cách biểu thị tương quan chuyển động trong Vật lí. Nó

có hình thức thể hiện của khái niệm tiền toán học, đặc trưng hình học và tổng thể.

2. Từ lớp 11, khái niệm HSLT trở thành đối tượng nghiên cứu. Trong SGK Maroc, các

cách tiếp cận khái niệm này bao gồm: tiếp cận hình học, tổng thể lẫn tiếp cận số hóa với đặc

trưng địa phương và tổng thể; tiếp cận theo quan điểm tôpô, có hình thức của khái niệm

toán học. Định nghĩa HSLT tại một điểm được sử dụng gồm: Định nghĩa theo ngôn ngữ  -

; định nghĩa qua khái niệm giới hạn; định nghĩa theo ngôn ngữ tôpô.

Trong đó định nghĩa theo ngôn ngữ  -  hiện diện ở tất cả các giai đoạn và là cơ sở để

có thể tổ chức dạy học theo tiến trình “liên tục  giới hạn”.

Cách tổ chức các kiến thức trong SGK Maroc thể hiện một số quan điểm:

- Chú trọng về chinh xác hóa khái niệm HSLT qua các định nghĩa hình thức. Sử dụng

các cách định nghĩa mang tính trừu tượng cao như ngôn ngữ  -  và nhất là ngôn ngữ tôpô.

- Tiếp cận trên phương diện hình học không được chú trọng. Quan điểm đại số hóa giải

tich giữ vai trò chủ đạo.

- Các noosphère đã sử dụng các quan niệm tương đồng trong lịch sử: QHD (quan niệm

Descartes), QSC (quan niệm Cauchy), QSW (quan niệm Weierstrass) và QT (quan niệm

tôpô) trong việc tổ chức các kiến thức trong SGK. Mặc dù có sự hiện diện của nhiều quan

niệm nhưng tiến trình lịch sử của các quan niệm này không được tôn trọng: quan niệm tôpô

được chú trọng và đưa vào trước hết (trong thời kỳ cải cách hay còn gọi là những năm của

đại số cấu trúc); không tồn tại giai đoạn mà khái niệm HSLT có hình thức thể hiện của khái

niệm cận toán học.

3. Khái niệm điểm gián đoạn cũng là khái niệm chưa nhất quán đối với các SGK khác

nhau.

4. Habiba El Bouazzaoui đã ghi nhận được những quan niệm và SL của HS Maroc:

- Trong thực tế, quan niệm Weierstrass qua ngôn ngữ - và quan niệm tôpô nhanh

chóng bị loại bỏ bởi GV và HS khi định nghĩa HSLT thông qua khái niệm giới hạn được

đưa vào.

- Một số SL thường gặp ở HS Maroc được phân loại bằng cách kết hợp quan điểm của

113

thuyết hành vi và didactic toán:

 Những sai lầm về lôgic: SL trong tính toán; SL do không tính đến tính liên tục; SL do

nhầm lẫn công thức; SL do nhầm lẫn giữa sự tồn tại giới hạn và tính liên tục

 SL do những hợp đồng dạy học ngầm ẩn và không kiểm soát được bởi GV:

- SL khi cho rằng HSLT vì nó được xác định bởi một biểu thức duy nhất.

- SL khi đồng nhất miền xác định và miền liên tục.

- SL khi cho rằng hàm số không liên tục vì có một điểm không thuộc đồ thị hàm số.

5. Một vài so sánh với SGK Việt Nam:

- Thể chế dạy học ở Việt Nam và Maroc đều bỏ qua giai đoạn mà khái niệm HSLT có

hình thức thể hiện của khái niệm cận toán học. Quan niệm Cauchy (thông qua khái niệm

giới hạn) là một trong các lựa chọn cách tiếp cận khái niệm HSLT ở Maroc và là cách lựa

chọn duy nhất ở Việt Nam.

- Các quan niệm Weierstrass (qua ngôn ngữ -) và quan niệm tôpô không tồn tại ở bậc

THPT ở Việt Nam do đại số cấu trúc chưa từng được xem là quan điểm chủ đạo trong toán

học phổ thông ở Việt Nam. Và vì vậy, tiến trình “liên tục  giới hạn” chỉ có thể tồn tại ở

Maroc. Ở Việt Nam, qua hai thời kì gần đây của sách giáo khoa phổ thông, tiến trình đưa

vào khái niệm HSLT đều có tính truyền thống: “giới hạn  liên tục”.

3.4. KHÁI NIỆM LIÊN TỤC VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SGK MỸ

Trong điều kiện giới hạn của luận án này chúng tôi chỉ trình bày những ghi nhận về cách

tổ chức khái niệm HSLT trong một SGK của chương trình tự chọn nâng cao ở Texas dành

cho HS lớp 12, đó là SGK môn Precalculus [109] (gọi tắt là Precalculus), tạm dịch là “Nhập

môn Giải tích”. Phân tích [109] được trình bày trong phụ lục 3.5.

Precalculus được bố cục thành 13 chương và chương ôn tập. Trước hết, bố cục các

chương này được trình bày dưới đây để làm rõ vị trí của các khái niệm (xem hình 3.9):

3.4.1. Giai đoạn ngầm ẩn

Khái niệm liên tục xuất hiện ngay ở chương 1 với cơ chế một công cụ ngầm ẩn – cơ sở

cho việc vẽ đồ thị của hàm số bằng cách nối các điểm rời rạc thành một đường liền nét. Tình

huống đầu tiên mà khái niệm liên tục được sử dụng là tình huống về biểu diễn phương trình

hai ẩn bằng đồ thị. SGK hướng dẫn: “...chúng ta đánh dấu những điểm này và nối chúng lại

114

bằng một đường cong trơn để được đồ thị..” [109, tr. 12].

Cho đến trước thời điểm hiện diện của hàm số được xác định bằng nhiều công thức ở

chương 2, các hàm số được xét đến đều có đồ thị liên tục trên các khoảng xác định của

chúng.

Thời điểm đầu tiên một khái niệm có hình thức cận toán học xuất hiện là ở chương II,

thuật ngữ “sự gián đoạn” gắn liền với đồ thị hàm phần nguyên với những giải thích của

noosphère: “hàm số này xuất hiện một đặc điểm được gọi là sự gián đoạn; nghĩa là tại các

giá trị nguyên của biến số, đồ thị đột ngột “nhảy” từ giá trị này sang giá trị khác mà không

nhận bất kỳ giá trị trung gian nào” [109, tr. 112]. Chúng ta thấy quan niệm này tương đồng

với những quan niệm trong lịch sử mà đại diện là Arbogast.

Ở chương 3, khái niệm liên tục có hình thức cận toán học, nó được tiếp cận một cách

tổng thể, trực giác: “liên tục nghĩa là đồ thị không có khoảng trống, lỗ hổng và có thể vẽ

được mà không phải nhấc bút lên” [109, tr. 170]. Đặc trưng liên tục tác động lên một lớp

khá lớn các hàm số: hàm đa thức, hữu tỷ, hàm số mũ, hàm số lôgarit và tuyệt nhiên thuật

ngữ “hàm số liên tục” chưa hề xuất hiện. Người ta chỉ thấy xuất hiện các từ như “khoảng

trống”, “lỗ hổng”, “trơn”, “điểm góc” khi nói về đồ thị hàm số.

Tại thời điểm đầu tiên mà khái niệm HSLT hiện diện, cách tiếp cận trực giác, hình học,

tổng thể vẫn được sử dụng. Trong chương 3, Precalculus đưa vào nội dung “Sử dụng định l‎ý

giá trị trung gian” như một công cụ tìm nghiệm gần đúng của đa thức [109, tr. 229]. Khái

niệm HSLT đóng vai trò yếu tố lý thuyết của ĐLGTTG và có cơ chế công cụ tường minh.

Mặc dù khái niệm HSLT đã được đưa vào nhưng theo chúng tôi, noosphère vẫn chưa có ‎ý

định sử dụng nó khi nó chưa được định nghĩa một cách tường minh. Thật vậy, những trích

dẫn trong kết luận về đồ thị hàm số mũ và hàm số lôgarit [109, tr. 276; 291] cho thấy các

thuật ngữ có tính trực giác vẫn được sử dụng thay vì thuật ngữ “hàm số liên tục” [phụ lục 3.5,

tr. 7].

Như vậy, trong giai đoạn ngầm ẩn, khái niệm liên tục, gián đoạn và HSLT được tiếp cận

trên phương diện hình học, tổng thể và dựa vào trực giác. Các khái niệm đó đóng vai trò công

cụ ngầm ẩn để vẽ các đường cong liên tục hoặc gián đoạn biểu diễn các hàm số. Chúng lại là

công cụ tường minh để giải thích ĐLGTTG. Trong giai đoạn này khái niệm HSLT đã có hình

115

thức của một khái niệm cận toán học.

3.4.2. Giai đoạn tường minh

Chương cuối cùng của Precalculus là thời điểm khái niệm HSLT có hình thức thể hiện

của khái niệm toán học. Tiến trình, cách đưa vào khái niệm này và những khái niệm có liên

quan được sơ đồ hóa như sau (xem sơ đồ 3.6):

Khái niệm giới hạn của hàm số được trình bày dưới dạng ngôn ngữ “xấp xỉ” nhưng hoàn

toàn được diễn đạt bằng lời. Cách tiếp cận khái niệm giới hạn của hàm số không qua giới hạn

của dãy số như SGK Việt Nam hoặc qua các định nghĩa hình thức như SGK Maroc. Tuy

“Chúng ta có thể diễn đạt ý nghĩa của

như sau: Với mọi x xấp xỉ c, với x  c, giá

trị tương ứng của f(x) xấp xỉ N. Một cách diễn đạt khác của

là: Khi x càng gần c

nhưng khác c thì giá trị tương ứng f(x) càng gần N.”

nhiên, ngầm ẩn trong định nghĩa bằng lời đó là ngôn ngữ - [109, tr. 910]:

Cách tiếp cận trên có tính trực giác và hoàn toàn không cung cấp một công cụ để tìm

giới hạn của hàm số. Dù vậy, HS được cung cấp 3 cách khác nhau để minh họa cho định

nghĩa này và phương pháp tìm giới hạn của hàm số tại một điểm x0:

 Phương pháp lập bảng giá trị xấp xỉ (với ứng dụng của CNTT) (1)

 Phương pháp đồ thị (2)

 Các kỹ thuật đại số (Algebra Techniques) để tìm giới hạn của hàm số (3)

Phân tích trong phụ lục 3.5 cho thấy (1) là một phương pháp theo quan điểm thực nghiệm

dựa vào sự hỗ trợ của CNTT, (2) là phương pháp thực nghiệm dựa trên trực giác hình học

còn (3) là sự vận dụng các phép tính đại số về giới hạn của hàm số.

Khái niệm giới hạn một bên và HSLT được sắp xếp trong cùng một mục. Cách tiếp cận

khái niệm giới hạn một bên vẫn theo ngôn ngữ xấp xỉ và diễn đạt bằng lời. Tuy nhiên, cách

tiếp cận tổng thể, hình học được sử dụng để hợp thức hóa định lí về sự tồn tại giới hạn của

116

hàm số.

Sau khái niệm giới hạn một bên, khái niệm HSLT trở thành đối tượng được nghiên cứu. Ý

định của noosphère là xây dựng định nghĩa tường minh theo con đường qui nạp qua tiếp cận

trực

quan, hình học.

Minh họa sau

(xem hình 3.10) cho

thấy cách tiếp cận

này[109, tr. 925].

“Trong phần trước đây, chúng ta nói rằng một hàm số là liên tục nếu đồ thị của nó có thể vẽ bằng bút chì mà không phải nhấc bút khỏi tờ giấy. Từ hình 105, đồ thị duy nhất có tính chất này

là đồ thị 10(a), ở đó giới hạn các bên tại c tồn tại và bằng với giá trị của f tại c. Điều này dẫn

đến định nghĩa sau đây:

Một hàm số f là liên tục tại c nếu:

f xác định tại c, nghĩa là c thuộc miền xác định của f và f(c) là một số thực.

Nói cách khác hàm số f liên tục tại c nếu

Nếu f không liên tục tại c ta nói rằng f gián đoạn tại c.”

Từ đó, định nghĩa HSLT tại một điểm được đưa vào [109, tr. 925]:

Ngoài tiếp cận địa phương (liên tục tại một điểm), thể chế không đề cập đến các khái

niệm liên tục trên khoảng, trên đoạn, trên nửa khoảng. Đồng thời những đặc trưng địa

phương khác như liên tục bên phải, bên trái cũng không được đề cập đến. HS chỉ được yêu

cầu kiểm tra tính liên tục hay gián đoạn tại một điểm của một hàm số mà thôi. Có lẽ lý do

mà noosphère không đưa vào các khái niệm liên tục một bên là do miền xác định của

những hàm số được nghiên cứu chính thức trong SGK hoặc là hoặc là hợp của các

. Thật vậy, không hàm số nào có miền xác định là nửa khoảng hay đoạn và

117

khoảng trong 5 Từ “hình 10” trong trích dẫn tương ứng với hình 3.10 trong luận án

trong các BT, người ta chỉ yêu cầu xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, không tồn tại

câu hỏi dạng “tìm miền trên đó hàm số liên tục”.

3.4.3. Kết luận về khái niệm liên tục và hàm số liên tục trong Precalculus

Kết quả phân tích cho phép kết luận những điểm quan trọng như sau:

1. Quan điểm giảng dạy gần với các đặc trưng khoa học luận

Các quan niệm về sự liên tục, gián đoạn, hàm số liên tục đã được đưa vào theo các thứ tự

về hình thức thể hiện như trong tiến trình lịch sử của các khái niệm này: Tiền toán học 

Cận toán học  Toán học. Cụ thể hơn, những quan niệm sau đây được tìm thấy trong

Precalculus:

- quan niệm trực giác của Descartes:“có thể vẽ được mà không phải nhấc bút lên” .

- quan niệm Arbogast: “đồ thị đột ngột “nhảy” từ giá trị này sang giá trị khác mà không

nhận bất kỳ giá trị trung gian nào”

2. Tiến trình Công cụ  Đối tượng  Công cụ được lựa chọn để tiếp cận các khái niệm.

Điều này phù hợp với tiến trình phát triển của khái niệm HSLT trong lịch sử toán học và

tránh được cách đưa vào khái niệm một cách áp đặt.

3. Phương pháp mô hình hóa và quan điểm tiếp cận năng lực được vận dụng nhờ vào ứng

dụng của CNTT và sự lựa chọn hệ thống lý thuyết – bài tập gắn với thực tiễn.

4. Đại số hóa giải tích nhằm mục đích sư phạm như nhiều thể chế khác. Noosphère còn cho

thấy quan điểm thực nghiệm trong toán học qua các nội dung của bài tập và lí thuyết gắn

liền với phương pháp thực nghiệm.

5. Sự tiến triển của khái niệm HSLT trong Precalculus có thể được tóm tắt như sau:

Bảng 3.8: Các đặc trưng của khái niệm Liên tục và HSLT trong Precalculus

Thời điểm

Chương 1

Chương 2, 3

Chương 13

Đặc trưng

Khái niệm

Liên tục

Gián đoạn

HSLT

Cơ chế hoạt động

Công cụ ngầm ẩn

Công cụ

Đồi tượng

ngầm ẩn

Công cụ

Trực giác,

Tiếp cận hình

Hính thức tiếp cận Trực giác, phát

biểu bằng lời cách

phát biểu

học  tiếp cận

vẽ đồ thị hàm số

bằng lời.

số hóa bởi định

bằng tay bằng

nghĩa HSLT qua

đường liền nét.

khái niệm giới

hạn.

118

Hình học, tổng thể Hình học,

Hình học,

Hình học, số hóa,

Đặc trưng

tổng thể

địa phương.

Cận toán học Cận toán học

Toán học

Hình thức thể hiện Tiền toán học

Đồ thị hàm

- Đồ thị hàm

Giải tích: các

Phạm vi tác động Đồ thị hàm số

số cho bởi

đa thức, hàm

hàm số sơ cấp

nhiều công

sơ cấp cơ

thức, hàm

bản.

hữu tỷ.

- ĐLGTTG

6. Vài so sánh Precalculus với SGK Việt Nam và Maroc:

- Khái niệm HSLT có hình thức thể hiện như trình tự trong lịch sử tiến hóa của nó: tiền toán

học  cận toán học  toán học. Tiến trình này không hiện diện ở SGK Việt Nam và

Maroc.

- Khái niệm HSLT được tiếp cận thông qua khái niệm giới hạn của hàm số. Tương đồng với

cách lựa chọn của thể chế dạy học ở Việt Nam và một phương án trong thể chế dạy học ở

Maroc. Tuy nhiên, khái niệm giới hạn lại được tiếp cận qua ngôn ngữ xấp xỉ “bằng lời” và

phương pháp tính toán thì dựa trên kỹ thuật đại số thuần túy lẫn thực nghiệm với sự hỗ trợ

của máy tính. Cách tiếp cận này không giống ở SGK Việt Nam và Maroc, khi đại số hóa là

quan điểm chủ đạo trong hai thể chế này.

- Ứng dụng CNTT và quan điểm tiếp cận năng lực là các đặc trưng nổi bật của SGK Mỹ.

Các đặc trưng này chưa được tìm thấy ở SGK Việt Nam lẫn Maroc.

3.5. KHÁI NIỆM LIÊN TỤC VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SGK PHÁP

Các SGK Pháp được sử dụng trong nghiên cứu này là [87] (giai đoạn 1970 – 1980); [91]

(giai đoạn 1980 – 1990); [98] và [99] (giai đoạn 1990 – 2000) và [79] (từ năm 2000 về sau).

Mỗi SGK Pháp được lựa chọn tương ứng với các thời kỳ mà Bộ Giáo dục Pháp thay SGK.

Phân tich chi tiết được trình bày trong phụ lục 3.6.

3.5.1. Thời kỳ 1970 – 1980

 Giai đoạn ngầm ẩn: Trước lớp 12, khái niệm liên tục xuất hiện với hình thức của khái

niệm tiền toán học và có cơ chế công cụ ngầm ẩn. Khái niệm liên tục hiện diện qua các biểu

tượng mũi tên trong bảng biến thiên hoặc các đồ thị được vẽ liền nét mà không có các giải

thích hay các thuật ngữ ám chỉ sự liên tục.

 Giai đoạn tường minh: Ở lớp 12, khái niệm HSLT được đưa vào thông qua ngôn ngữ

119

- và qua khái niệm giới hạn. Trong giai đoạn này, đại số cấu trúc vẫn đóng vai trò quan

trọng. Người ta thiên về các định nghĩa hình thức hơn các cách tiếp cận khác của khái niệm.

Phân tích [87] cũng cho thấy không tồn tại thời điểm mà khái niệm HSLT hiện diện với

hình thức cận toán học.

3.5.2. Thời kỳ 1980 - 1990

 Giai đoạn ngầm ẩn: Tương tự thời kỳ trước, trước khi khái niệm HSLT hiện diện

tường minh thì khái niệm liên tục luôn là công cụ ngầm ẩn tác động đến kiểu nhiệm vụ vẽ

đồ thị hàm số. Tính liên tục được thể hiện qua các biểu tượng chỉ sự biến thiên hoặc các đồ

thị liền nét. Giai đoạn ngầm ẩn thể hiện qua SGK trước lớp 12.

 Giai đoạn tường minh: Ở lớp 12, khái niệm HSLT được đưa vào thông qua khái

niệm giới hạn. Kỹ thuật xấp xỉ đóng vai trò chủ yếu trong Giải tích bậc THPT trong thời kỳ

này. Để sử dụng được kỹ thuật xấp xỉ, người ta phải bổ sung rất nhiều định lí, tính chất về

giới hạn các hàm số sơ cấp cơ bản. Với việc hạn chế kỹ thuật đại số, cách chứng minh một

hàm số liên tục tại một điểm cũng trở thành rất phức tạp. Chẳng hạn bài toán chứng minh

hàm số f(x) = liên tục tại x0 > 0 [91, tr. 47]

Cách tiếp cận số hóa chiếm vị trí độc quyền cho đến thời điểm khái niệm hàm số gián

đoạn và định lí về ảnh của một khoảng, đoạn qua HSLT được đưa vào. Khái niệm hàm số

« Hàm số f không liên tục tại 2. Sự không liên tục tại 2 được giải thích bằng đồ thị bởi khi vẽ từ

B đến C ta phải nhấc bút chì lên » [91, tr. 137]

không liên tục được tiếp cận một cách trực quan, hình học và qua phát biểu bằng lời:

120

Tiến trình đưa vào các khái niệm được tóm tắt như sau (xem sơ đồ 3.7):

ĐLGTTG được đưa vào sau phần « ành của một khoảng, đoạn qua hàm số liên tục ». Tất

cả các khái niệm này đều được thừa nhận và tiếp cận trực quan, hình học chỉ được sử dụng

để minh họa ảnh của khoảng hay đoạn qua HSLT.

Như vậy, ở giai đoạn tường minh, khái niệm HSLT hiện diện với hình thức toán học

thông qua khái niệm giới hạn của hàm số. Đặc trưng cơ bản của nó là số hóa, địa phương,

hình học và tổng thể. Cách tiếp cận theo quan điểm xấp xỉ giữ vai trò chủ đạo.

3.5.3. Thời kỳ 1990 – 2000

Đây là giai đoạn mà CT và SGK Pháp có những thay đổi quan điểm về tổ chức giảng

dạy các khái niệm của Giải tích. Ở CT lớp 11, khái niệm HSLT không được đưa vào. Ở giai

đoạn này, khái niệm liên tục chỉ hiện diện một cách ngầm ẩn. Đồ thị của hàm số được giảng

dạy nhưng tính liên tục của đồ thị được hợp thức hóa mà không có một giải thích nào.

Chúng ta chỉ tìm thấy các đối tượng có đặc trưng liên tục như đường cong, đồ thị, biểu

tượng trong bảng biến thiên. Như vậy, có thể nói trong giai đoạn ngầm ẩn khái niệm liên

tục có hình thức của khái niệm tiền toán học.

Trong SGK lớp cuối cấp (terminale), khái niệm giới hạn và liên tục được đưa vào trong

bài “giới hạn và liên tục” [99; tr. 65]. Khái niệm HSLT tại một điểm được định nghĩa thông

qua khái niệm giới hạn. Các tiếp cận tổng thể, hình học được đưa vào sau đó nhằm minh

họa khái niệm HSLT trên khoảng và hàm số gián đoạn tại một điểm. Quan niệm trực giác,

hình học cũng được sử dụng để mô tả tính liên tục: “Về mặt hình học, với hàm số liên tục

trên một khoảng thì ta có thể vẽ đồ thị hàm số bởi một nét vẽ liên tục bằng bút chì”. Tuy

nhiên, điều này không đồng nghĩa với sự tồn tại của giai đoạn của khái niệm HSLT với hình

thức cận toán học.

SGK thời kỳ này cho thấy quan điểm lấy khái niệm đạo hàm là trọng tâm, khái niệm

HSLT là một chủ đề phụ, không được quan tâm.

Các tính chất nhằm đại số hóa khái niệm HSLT cũng được thừa nhận để nhanh chóng

hợp thức tính liên tục của các hàm đa thức, lượng giác, vô tỷ cũng như tổng, hiệu, tich,

thương của các hàm số này trên tập xác định của chúng.

Tương tự thời kỳ trước đó, khái niệm ảnh của một khoảng qua một HSLT luôn được đề

cập đến và SGK chỉ giới hạn trong phạm vi hàm đơn điệu nghiêm ngặt đồng thời đưa vào

trường hợp đặc biệt của ĐLGTTG để làm cơ sở lí thuyết cho kỹ thuật giải gần đúng một

phương trình mà SGK gọi là “nguyên lí địa phương hóa” (Le principe de localisation) (phụ

121

lục 3.6, tr. 8).

Như vậy, trong giai đoạn này, khái niệm HSLT có hình thức toán học thông qua khái

niệm giới hạn, còn khái niệm liên tục vẫn luôn xuất hiện như một công cụ ngầm ẩn để vẽ đồ

thị hàm số. Tuy nhiên, khái niệm trung tâm là đạo hàm chứ không là khái niệm HSLT.

Cách tiếp cận hình học có vai trò mờ nhạt thể hiện qua nội dung lý thuyết và bài tập.

Một đặc điểm là trong các giai đoạn trước năm 2000, CNTT không được sử dụng trong

dạy học các khái niệm giải tích do xu hướng chính là tiếp cận nội dung.

3.5.4. Thời kỳ sau năm 2000

Như các thời kỳ trước, khái niệm liên tục hiện diện trong CT lớp 10,11 với vai trò công

cụ ngầm ẩn trong việc vẽ đồ thị hàm số bằng đường liền nét. Một điểm khác biệt là sự tăng

cường vai trò của CNTT qua máy tính bỏ túi có hiển thị đồ thị hoặc qua phần mềm toán học

(với máy vi tính).

Phương pháp vẽ đồ thị được hướng dẫn: lập bảng giá trị  xác định các điểm trong hệ

trục tọa độ  nối các điểm lại bằng một đường cong trơn (“on joint les points par une

courbe “lissée” ”) [79, tập 1, tr. 68].

Ở SGK 11, khái niệm giới hạn và hàm số liên tục và không liên tục đã xuất hiện với

“Khái niệm trực giác về giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a

Cho f là một hàm số xác định trên khoảng I chứa số thực a, có thể trừ a. Nói rằng f dần đến l

khi x dần đến a có nghĩa là giá trị của f(x) gần giá trị l một cách tùy ý, khi x thuộc một lân cận

thích hợp của a.

Hoặc là khoảng cách giữa f(x) và l có thể làm cho nhỏ hơn số dương  bất kỳ nếu x thuộc một

lân cận thích hợp của a.

Ta viết

Ta thừa nhận rằng tất cả các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm căn bậc hai, hàm số vô tỉ,

hàm số giá trị tuyệt đối, hàm số lượng giác đều có tính chất: nếu f xác định tại a thì giới hạn

của nó là f(a).” [79, tập 2, tr. 76]

cách tiếp cận trực giác:

Sau đó, một VD và một phản ví dụ được đưa vào bằng đồ thị để minh họa hình học khái

niệm hàm số có giới hạn và không có giới hạn (xem hình 3.11). Đồng thời, các thuật ngữ

“hàm số liên tục tại a” và “hàm số không liên tục tại a” lần đầu tiên xuất hiện [79, tập 2,

tr.76].

Như vậy, khái niệm HSLT được sử dụng như một công cụ giải thích cho tính chất tồn tại

122

hay không giới hạn của một hàm số f(x) khi x tiến đến a. Nó chưa là đối tượng nghiên cứu

vì chưa được định nghĩa tường minh và trong phần bài tập, người ta sử dụng đồ thị gián

đoạn hay liên tục để nói về sự tồn tại hay không giới hạn của hàm số.

Giai đoạn tường minh xuất hiện ở SGK 12, ở đó khái niệm HSLT được đưa vào qua

khái niệm giới hạn của hàm số. Các khái niệm cơ bản của giải tích được tổ chức theo tiến

trình: “giới hạn của hàm số  đạo hàm  hàm số liên tục …..”. Tương tự thời kỳ trước,

tiến trình “liên tục  đạo hàm” không phải là tiến trình bắt buộc.

Ngay sau các định nghĩa HSLT, người ta cho hai ví dụ về hàm số bằng đồ thị để minh

họa khái niệm bởi cách tiếp cận trực giác, hình học: “vẽ đồ thị mà không phải nhấc bút chì

lên” hay “đồ thị không có bước nhảy”.

Khái niệm HSLT bên phải hay bên trái không được đề cập đến. Noosphère đưa vào

nhận xét được thừa nhận để làm cơ sở cho sự đại số hóa tính liên tục của các hàm số:

lượng giác và các hàm số cộng, nhân, hợp của các hàm số đó là liên tục trên tất cả các khoảng

xác định của chúng” [79, tập 3, tr. 13].

“Người ta có thể chứng minh được rằng tất cả các hàm số đa thức, hàm số căn bậc hai, hàm số

Hàm số phần nguyên được đưa vào để minh họa về hàm số gián đoạn tại vô số điểm.

Tuy nhiên, tính chất gián đoạn đó được mô tả bằng đồ thị có vô số “bước nhảy” chứ không

bằng chứng minh qua khái niệm giới hạn.

Định lí giá trị trung gian và hệ quả được giải thích bằng đồ thị và là cơ sở cho việc

chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x) = 0. Việc kết hợp ĐLGTTG và tính

đơn điệu là yếu tố lí thuyết cho kỹ thuật tính gần đúng nghiệm của phương trình. Cách tiếp

cận các bài toán trong phần này được trình bày đan xen giữa các cách tiếp cận số hóa qua

các công cụ lý thuyết, đồ thị (hình học), phương pháp thực nghiệm qua ứng dụng của CNTT

(máy tính bỏ túi hoặc máy vi tính)

3.5.5. Vài kết luận về SGK Pháp

1. Cách tiếp cận khái niệm HSLT trong từng thời kỳ có những thay đổi quan trọng.

Trước năm 1980, cách tiếp cận số hóa qua định nghĩa hình thức bởi ngôn ngữ - đóng vai

trò chủ yếu. Sau 1980, ngôn ngữ - không còn được sử dụng mà được thay bằng định

nghĩa thông qua khái niệm giới hạn của hàm số.

2. Trong thời kỳ 1990 – 2000, khái niệm đạo hàm là trung tâm. Vì vậy, vai trò của khái

niệm HSLT rất mờ nhạt do các hàm số được xét đến hầu hết là khả vi.

3. Khái niệm liên tục luôn hiện diện với vai trò công cụ ngầm ẩn trong việc vẽ đồ thị

123

hàm số bằng đường liền nét.

4. Càng về sau, vai trò của CNTT càng gia tăng thông qua việc ứng dụng máy tính bỏ túi

và các phần mềm ứng dụng chạy trên máy vi tính. Đồng thời với sự gia tăng này là cách

thay đổi từ tiếp cận nội dung sang tăng cường xu hướng tiếp cận năng lực. Quan điểm thực

nghiệm trong dạy học toán cũng đã hiện diện với sự hỗ trợ của máy tính.

Các khái niệm liên tục và hàm số liên tục trong SGK Pháp có thể tóm tắt như sau:

Bảng 3.9: Các đặc trưng của khái niệm Liên tục và HSLT trong SGK Pháp

Thời điểm

Trước lớp 12

Lớp 12

Khái niệm

Liên tục

Hàm số liên tục, hàm số gián đoạn

Cơ chế hoạt động

Công cụ ngầm ẩn

Đối tượng  Công cụ

Hình thức tiếp cận

- Đồ thị hàm số là đường liền

- Định nghĩa HSLT tại một điểm

Thời

nét.

theo ngôn ngữ -.

kì

- Các biểu tượng đồng biến,

- Định nghĩa HSLT tại một điểm

1970-

nghịch biến trong bảng biến

qua khái niệm giới hạn (phát biểu

1980

thiên

bằng lời).

- Minh họa đồ thị hàm số gián đoạn

tại một điểm

Đặc trưng

Hình học, tổng thể

Địa phương, số hóa, hình học

Toán học

Hình thức thể hiện

Tiền toán học

Giải tích

Phạm vi tác động

Đại số

Thời điểm

Trước lớp 12

Lớp 12

Khái niệm

Liên tục

Hàm số liên tục, hàm số gián đoạn

Cơ chế hoạt động

Công cụ ngầm ẩn

Đối tượng  Công cụ

Thời

Hình thức tiếp cận

Không thay đổi so với giai

- Định nghĩa HSLT tại một điểm

kì

đoạn trước

qua khái niệm giới hạn.

1980-

- Kỹ thuật xấp xỉ đóng vai trò chủ

1990

yếu trong các phép tính giới hạn.

- Trực giác, hình học: minh họa

hàm số gián đoạn và khái niệm ảnh

của một khoảng qua HSLT.

Đặc trưng

Hình học, tổng thể

Địa phương, số hóa, hình học, tổng

thể

Hình thức thể hiện

Tiền toán học

Toán học

Phạm vi tác động

Đại số

Giải tích

Thời điểm

Trước lớp 12

Lớp 12

124

Khái niệm

Liên tục

Hàm số liên tục

Cơ chế hoạt động

Công cụ ngầm ẩn

Đối tượng  Công cụ

Hình thức tiếp cận

Không thay đổi so với giai

- Định nghĩa HSLT tại một điểm

đoạn trước

qua khái niệm giới hạn

1990-

- Minh họa khái niệm HSLT và gián

2000

đoạn bằng hình học.

Đặc trưng

Hình học, tổng thể

Địa phương, tổng thể, số hóa, hình

học

Hình thức thể hiện

Tiền toán học

Toán học

Phạm vi tác động

Đại số

Giải tích

Thời điểm

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Khái niệm

Liên tục

Hàm số liên tục

Cơ chế hoạt động

Công cụ ngầm ẩn

Công cụ

Đồi tượng Công cụ

Hình thức tiếp cận

Cách vẽ đồ thị

Đồ thị hàm số: giải

- Định nghĩa HSLT qua

Thời

bằng đường liền

thích cho sự tồn tại

khái niệm giới hạn.

kì sau

nét

hay không giới hạn

- Minh họa hình học với

2000

của hàm số

cách tiếp cận trực giác

Đặc trưng

Hình học, tổng thể Hình học

- Số hóa, địa phương

- Hình học

Hình thức thể hiện

Tiền toán học

Cận toán học

Toán học

Phạm vi tác động

Đại số

Giải tích: nghiên cứu

Giải tích

khái niệm giới hạn

6. Vài so sánh với SGK Việt Nam, Maroc và Mỹ

- Như SGK Việt Nam và Mỹ, sau năm 2000, khái niệm HSLT luôn được định nghĩa

thông qua khái niệm giới hạn. SGK Pháp sau năm 2000 chú trọng đến tiến trình lịch sử của

khái niệm khi các hình thức thể hiện: tiền toán học, cận toán học và toán học đều hiện diện,

trong khi ở các thời kì trước hình thức thể hiện cận toán học không được đưa vào. Sau năm

2000, quan điểm thực nghiệm và tiếp cận năng lực được vận dụng phổ biến cùng với ứng

dụng của CNTT.

- Những quan điểm không hiện diện ở SGK Việt Nam và Mỹ: quan điểm “Giải tích xấp

xỉ” với các kỹ thuật xấp xỉ: chặn trên, chặn dưới…; quan điểm thiên về hình thức hóa bởi

125

ngôn ngữ -.

3.6. KẾT LUẬN CHƯƠNG 3

Kết quả nghiên cứu SGK Việt Nam, Maroc, Mỹ và Pháp đã làm rõ các đặc trưng của

khái niệm liên tục và hàm số liên tục trong mỗi thể chế. Trong phần này, chúng tôi chỉ nêu

lên những kết luận chủ yếu sau đây:

1. Về phương diện chuyển hóa sư phạm, các định nghĩa khác nhau về HSLT tại một

điểm trong lịch sử đã được các SGK chuyển tải rất đa dạng: qua ngôn ngữ -, qua khái

niệm giới hạn, theo ngôn ngữ tôpô và cả định nghĩa theo quan niệm trực giác của Descartes.

Tuy nhiên, nhằm mục đích sư phạm, định nghĩa HSLT qua khái niệm giới hạn được nhiều

thể chế dạy học lựa chọn.

2. Tiến trình đưa vào khái niệm HSLT thường được các nhà sư phạm lựa chọn hoặc

“Đối tượng  Công cụ” (1) hoặc “Công cụ  Đối tượng  Công cụ” (2). Tiến trình (1)

hiện diện ở SGK Pháp (trước năm 2000), Việt Nam và Maroc. Tiến trình (2) được sử dụng ở

SGK Mỹ và Pháp (sau năm 2000), nó dựa trên cơ sở khoa học luận về sự nảy sinh và tiến

triển của khái niệm.

3. Tiến trình đưa vào khái niệm thường gắn với đặc trưng về hình thức thể hiện của khái

niệm. Trong các SGK sử dụng tiến trình (2), chúng ta thấy khái niệm HSLT hiện diện với

các hình thức thể hiện theo tuần tự: tiền toán học, cận toán học, toán học. Cơ sở của nó là

tiến triển lịch sử của khái niệm và qui trình nhận thức của HS.

4. Các xu hướng không hiện diện ở SGK Việt Nam và Maroc nhưng hiện diện ở SGK

Mỹ và Pháp (thời kỳ sau năm 2000): mô hình hóa toán học, tiếp cận năng lực (thay vì tiếp

cận nội dung), ứng dụng CNTT trong dạy học các khái niệm của Giải tích, quan điểm thực

nghiệm. Những yếu tố này phù hợp với yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học theo hướng

tích cực hóa người học và quan điểm thực tiễn.

5. Phân tích khoa học luận cũng đã làm rõ rằng các nhà toán học phải chính xác hóa khái

niệm HSLT bằng con đường số hóa để khắc phục những khiếm khuyết, chướng ngại của

quan niệm hình học. Ngược lại, nghiên cứu các SGK không cho thấy một thiết kế bước

chuyển từ quan niệm hình học sang quan niệm số hóa theo nghĩa đó là yêu cầu cần thiết để

tránh những hạn chế gây ra bởi quan niệm trực giác, hình học. Người ta hoặc đưa ngay vào

một định nghĩa hình thức như ở Maroc, Việt Nam và Pháp (trước năm 2000) hoặc từ trực

126

quan để thiết lập định nghĩa theo con đường qui nạp (Mỹ).

6. Phân tích SGK Việt Nam cũng cho phép dự đoán một số SL và nguyên nhân của các

SL đó. Nguyên nhân chủ yếu được dự đoán là các hợp đồng dạy học ngầm ẩn, như vậy, đó

cũng có thể xem là một phần ảnh hưởng của thể chế dạy học khái niệm HSLT.

7. Phân tích các SGK cũng cho thấy còn những quan điểm chưa nhất quán như: điểm

127

gián đoạn, khái niệm HSLT trên hợp các khoảng.

CHƯƠNG 4: THỰC NGHIỆM VỀ SAI LẦM CỦA HỌC SINH

4.1. MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Các nghiên cứu gần đây về sai lầm của HS như [4], [46] và một số luận văn, luận án

khác chủ yếu dựa trên quan điểm của thuyết hành vi. Trong chương này, chúng tôi trình bày

một cách tiếp cận sai lầm của HS theo quan điểm của thuyết kiến tạo và Didactic Toán. Đa

số các thực nghiệm trong chương là phần hoàn chỉnh của tiến trình kiểm chứng giả thuyết

về HĐDH (sơ đồ 1.3) mà hai công đoạn đầu đã được trình bày ở chương III.

Hơn nữa, kết quả nghiên cứu này còn là một trong các yếu tố làm cơ sở cho việc đề xuất

các giải pháp sư phạm dạy học khái niệm HSLT trình bày ở chương sau.

Các yếu tố công cụ như biến tình huống, biến dạy học và phương pháp nghiên cứu thực

nghiệm của didactic toán (phân tích tiên nghiệm, phân tích hậu nghiệm…) sẽ được vận

dụng trong thực nghiệm này.

Chúng tôi không thực hiện một thực nghiệm để kiểm chứng tất cả những giả thuyết về

các SL mà chỉ kiểm chứng 6/10 SL đã được dự đoán trong chương III, đó là: SL1; SL2; SL4; SL5; SL7 và SL86.

Hai thực nghiệm được tiến hành gồm thực nghiệm A và thực nghiệm B. Thực nghiệm A

(TNA) tổ chức trên đối tượng HS lớp 10 và 11, thực nghiệm B (TNB) đối với HS lớp 12.

Mỗi thực nghiệm gồm một hệ thống các bài toán được xây dựng dựa trên giả thuyết về SL

và nguồn gốc SL đã được dự đoán.

4.2. BIẾN DẠY HỌC

Hệ thống bài toán thực nghiệm được xây dựng dựa trên các biến dạy học sau:

 V1 - “Tính liên thông của tập xác định”: được nêu rõ hay không trong đề bài.

 V2 - “Cách biểu diễn hàm số”: hàm số cho bằng bảng biến thiên, bảng giá trị, một công

thức, nhiều công thức,….

 V3 - “Đặc trưng của tính liên tục”: gián đoạn tại 1 điểm, trên một đoạn, trên khoảng,...

 V4 - “Tính quen thuộc của hàm số”: Dạng của hàm số quen thuộc hay không.

 V5 - “Tính chất của cặp số thực ,  gắn với vấn đề tồn tại nghiệm của phương trình”:

6 Nội dung các SL, kiểu nhiệm vụ liên quan, nguyên nhân SL được trình bày trong chương III

128

gần 0 hay xa 0?, có phải là số nguyên (hoặc hữu tỉ “đặc biệt”) hay không?

 V6 - “Dạng câu hỏi”: câu hỏi đóng hay mở.

 V7 - “Đặc trưng của điểm x0”: là điểm dính hoặc không là điểm dính của miền xác định

của hàm số.

4.3. PHẠM VI KIỂM CHỨNG SAI LẦM CỦA CÁC BÀI TOÁN

Một trong các tiêu chí thiết kế bài tập thực nghiệm của chúng tôi là:

- Một SL có thể được kiểm chứng thông qua một hoặc một số bài toán thực nghiệm.

- Một bài toán có thể được sử dụng kiểm chứng cho một số SL khác nhau.

- Các bài toán thực nghiệm kiểm chứng cho một SL không nhất thiết được triển khai

trong một cấp lớp, mà có thể ở các cấp lớp khác nhau.

Cụ thể, bảng sau đây trình bày một thông tin tổng hợp về tiêu chí trên:

Bảng 4.1: Phạm vi kiểm chứng sai lầm của các bài toán thực nghiệm

Bài toán THỰC NGHIỆM A THỰC NGHIỆM B

Sai lầm 1A 2A 3A 4A 5A 6A 1B 3B 2B

     SL1

 SL2

   SL4

  SL5

 SL7

 SL8

Cấp độ lớp triển khai thực nghiệm:

Lớp 10 (khái niệm HSLT chưa được giảng dạy): các bài toán 1A, 2A.

Lớp 11 (khái niệm HSLT đã được giảng dạy): tất cả các bài toán từ 1A đến 6A.

Lớp 12: các bài toán 1B, 2B và 3B.

4.4. CÁC BÀI TOÁN THỰC NGHIỆM

4.4.1. Thực nghiệm A (dành cho HS lớp 10 và lớp 11)

Thực nghiệm A gồm 6 bài toán, được thiết kế dưới dạng trả lời câu hỏi và giải các bài

toán như hình thức kiểm tra viết.

1. Bài toán 1A (phụ lục 4.1)

Cho hàm số y = f(x) có miền xác định là . Để vẽ đồ thị hàm số này, bạn Lâm-

129

một học sinh lớp 10, đã lập bảng biến thiên sau đây của hàm số:

x -2 0 2

3 2

y 1

-1

Dựa vào bảng biến thiên này, em hãy giúp bạn Lâm vẽ phác đồ thị của hàm số đã cho

vào hệ trục tọa độ dưới đây: ……

2. Bài toán 2A (phụ lục 4.2)

Xét hàm số y = f(x) có miền xác định là . Bảng sau đây cho biết giá trị

của hàm số ứng với một số giá trị của biến số x:

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = f(x)

4 2 0 -2 -3 -1 1 3 5

Từ bảng giá trị này, em có thể vẽ phác đồ thị hàm số đã cho không?

a/ Nếu không, hãy giải thích vì sao?

b/ Nếu có, hãy vẽ phác đồ thị hàm số vào hệ trục tọa độ cho sẵn dưới đây.

3. Bài toán 3A

Trên khoảng (-5;5) phương trình: có nghiệm hay không?

(Để giải bài toán này các em hãy dùng mặt sau của tờ giấy để làm nháp và ghi lời giải vào

phần dưới đây. Được phép sử dụng máy tính bỏ túi)

4. Bài toán 4A (phụ lục 4.3)

Cho hàm số:

1) Tính giá trị của hàm số tại các điểm có hoành độ không âm tùy ‎ý và viết kết quả trong

bảng dưới đây (chỉ yêu cầu viết đến 2 chữ số thập phân):

x 0

f(x) 17,22

2) Phương trình có nghiệm trên (0; +) hay

không? Tại sao? (nếu cần tính toán các giá trị nào đó, em có thể ghi vào phần dưới đây)

3) Đồ thị hàm số có cắt trục hoành trên (0; +) không? Tại sao?

130

5. Bài toán 5A (phụ lục 4.4)

Gọi A là tập hợp các số hữu tỉ bé hơn hay bằng 2 và B là tập hợp các số hữu tỉ lớn hơn

hay bằng 3. Cho hàm số: f(x) = ,

1) Miền xác định của hàm số là Các số sau đây không thuộc vì là số vô tỉ:

. Em hãy cho 3 giá trị khác của biến số không thuộc .

2) Các điểm sau đây thuộc đồ thị hàm số y = f(x), em hãy bổ sung đầy đủ tọa độ các điểm

đó rồi xác định các điểm đó trong hệ trục tọa độ cho sẵn: A(-2; …); B(-1;…);

C(0; …); D(1; …); E(2; …); F(3; ….), G( ;…)

3) Em có thể vẽ được đồ thị hàm số y = f(x) không?

- Nếu có, hãy vẽ vào hệ trục trên và giải thích cách vẽ.

- Nếu không vẽ được, hãy giải thích vì sao?

6. Bài toán 6A (phụ lục 4.5)

Cho hàm số: f(x) =

1) Tìm ; . Hàm số f(x) có liên tục tại x = 1 hay không?

2) Lập bảng giá trị của hàm số

x 1

f(x) 1

3) Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) vào hệ trục cho sẵn

4.4.2. Thực nghiệm B

3 bài toán của TNB được thiết kế dưới dạng trả lời câu hỏi và giải các bài toán như

hình thức kiểm tra viết. Nội dung các bài toán như sau:

Bài toán 1B (Phụ lục 4.6)

Cho hàm số: f(x) =

131

a) f có liên tục trên (0; +) không? Tại sao?

b) f(0) = ……….. ; = ………….

c) Tính giá trị của hàm số tại 5 điểm có hoành độ x dương tùy ‎ý em và viết kết quả trong

bảng dưới đây (chỉ yêu cầu viết phần nguyên của f(x), ví dụ f(x0) = 1005,334 thì E[f(x0)] =

1005; f(x0) = - 10,334 thì E[f(x0)] = -11. v.v……)

E[f(x)]

d) Phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên (0; +) hay không? Tại sao?

(nếu cần tính thêm giá trị nào của f(x), em ghi vào phần để trống dưới đây, học sinh được

sử dụng các loại MTBT)

Bài toán 2B (Phụ lục 4.7)

Cho hàm số f(x) = , m là tham số.

1) Định m để hàm số có đạo hàm tại điểm x = 1.

2) Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm vào hệ trục cho sẵn dưới đây

Bài toán 3B (Phụ lục 4.8)

Cho hàm số f(x) =

1) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [-2; 2].

2) Với điều kiện nào của m thì phương trình f(x) = m có nghiệm trên [-2; 2]

4.5. PHÂN TÍCH TIÊN NGHIỆM

Phân tích tiên nghiệm được thực hiện theo nhóm các bài toán sử dụng để kiểm tra chung

một SL nào đó.

4.5.1. Các bài toán 1A, 2A và 5A (kiểm chứng SL1)

Các bài toán này được xây dựng để kiểm chứng giả thuyết về SL17. Bài toán 1A và 2A

đã được thực nghiệm trong [20]. Nghiên cứu này sẽ sử dụng kết quả đó và bổ sung thêm

một số phân tích theo hệ thống các biến dạy học mới.

Trong các bài toán 1A và 2A, những biến được sử dụng là V1, V2 và V6.

Với bài toán 1A:

7 HS vẽ đồ thị bằng cách nối các điểm rời rạc thành một đường liên nét mà không tính đến đặc điểm của miền xác định 132

. Biến V1 lấy giá trị là một miền không liên thông

Giá trị của biến V2: “hàm số cho bằng bảng biến thiên”. Bảng này có đặc trưng rất đặc

biệt: ứng với giá trị x = 2 ở dòng trên, có hai giá trị ở dòng dưới (2 và 1). Về mặt toán học,

nếu miền xác định của hàm số là , thì đó không thể là các giá trị của hàm số tại x = 2.

Tuy nhiên, bảng này lại được giả sử là do HS lập nên. Do đó, có thể HS quan niệm 2 và 1

chính là giá trị của hàm số tại x = 2 (điều này mâu thuẫn với giả thiết y là hàm số của x).

Nói cách khác, cách cho bảng biến thiên như vậy tạo ra một sự ngắt quãng hợp đồng so với

bảng biến thiên thường gặp trong lớp (do thiếu hai vạch sổ thẳng – dấu hiệu của hàm số gián

đoạn tại x = 2).

Giá trị của biến V6 – câu hỏi đóng, có ý nghĩa ngầm ẩn là “đồ thị có thể vẽ được”. Do

đó, hai trường hợp có thể xẩy ra:

- Nếu HS xác định được mối liên hệ giữa miền xác định và đồ thị của hàm số, thì đồ thị

mà họ đạt được chỉ có thể là một đường cong có bước nhảy tại x = 2, nhưng điểm có hoành

độ x = 2 không thuộc đồ thị.

- Nếu HS không chú ý đến điều kiện của miền xác định, thì sản phẩm đạt được là một

đường liền nét hoặc đường có bước nhảy tại x = 2, nhưng điểm có hoành độ x = 2 lại thuộc

đồ thị.

Từ phân tích ở [20], có thể dự đoán những chíến lược sau đây sẽ được HS sử dụng:

 S1A1: Nối các điểm có tọa độ cho trong bảng biến thiên để được một đường cong

“trơn” liền nét trên R.

 S1A2: Nối các điểm có tọa độ cho trong bảng biến thiên để được đồ thị là đường liền

nét có dáng điệu tương tự các đồ thị hàm số đã biết (bậc nhất, bậc hai)

 S1A3: Nối các điểm để được một đường liền nét trừ điểm x = 2.

 S1A4: Các chiến lược khác.

Bình luận: Các chiến lược S1A1 và S1A2 là dấu hiệu cho SL có nguồn gốc từ qui tắc

HĐDH 1. Chúng tôi dự đoán rằng những chiến lược này có thể được sử dụng bởi cả HS lớp

10 và lớp 11. Ở lớp 11, có thể tỉ lệ của chiến lược này giảm nhiều vì khái niệm HSLT đã

được giảng dạy tường minh, tuy nhiên, SL vẫn tồn tại và đó là ảnh hưởng dai dẳng của

HĐDH 1. Chiến lược S1A2 còn cho thấy một ảnh hưởng khác, đồ thị cần vẽ phải có “dáng

điệu” giống với đồ thị của các hàm số quen thuộc (hàm bậc nhất, bậc hai) mà HS lớp 10 và

11 đã học.

Như đã phân tích, biến V2 tạo một tình huống ngắt quãng hợp đồng bởi dạng của bảng

133

biến thiên. Với bảng biến thiên “không quen thuộc này”, HS sẽ lưỡng lự trong lựa chọn giữa

chiến lược S1A3 hoặc S1A1 và S1A2. Việc lựa chọn S1A3 cho thấy họ đã thoát khỏi ảnh

hưởng của HĐDH 1. Ngược lại, S1A1 hay S1A2 cho thấy ảnh hưởng của HĐDH 1 với vai

trò là nguồn gốc của SL và được biểu thị qua các chiến lược này.

Bài toán 2A:

được nêu rõ trong đề bài. Biến V1 cũng là một miền không liên thông

Giá trị của biến V2 là: hàm số cho bằng bảng giá trị, nhưng khác với bài toán 1A. Ở đây,

“đặc trưng song ánh” được tính đến nhằm đảm bảo đặc trưng xác định “hàm số”.

Biến V6 – câu hỏi mở. Do đó, chính HS tự quyết định có vẽ được hay không đồ thị của

một hàm số không xác định trong (1; 2) mà không bị tác động bởi một qui ước ngầm ẩn “vẽ

được, vì đề bài yêu cầu vẽ” như trong bài 1A. Điều này làm tăng độ tin cậy cho thông tin có

được từ câu trả lời của HS.

Sự lựa chọn các giá trị của biến như trên nhằm tạo ra một tình huống ngắt quãng hợp

đồng, và do đó gây ra sự “biến loạn” đối với HS - một trong hai thành viên chủ chốt của hệ

thống dạy học.

Những chiến lược được dự đoán sẽ sử dụng đối với bài toán 2A:

 S2A1: Nối các điểm có tọa độ cho trong bảng giá trị để được một đường liền nét trên

 S2A2: Nối các điểm có tọa độ cho trong bảng giá trị để được một đường liền nét trên

(-;1] và một đường liền nét trên [2;).

 S2A3: Tìm biểu thức giải tích xác định hàm số để từ đó vẽ đồ thị hàm số.

 S2A4: Các chiến lược khác.

Bình luận: Các chiến lược S2A1 và S2A2 là một hệ quả rõ nét của HĐDH 1. Chiến

lược S2A1 còn thể hiện “ưu tiên” của đặc trưng “liền nét” trong qui tắc hành động của họ so

thì với “tính không liên thông của miền xác định”. Với giá trị của biến V1:

các SL này chỉ có thể gắn với nguồn gốc HĐDH 1.

S2A3 liên quan đến một giả thuyết mà Nguyễn thị Nga đã kiểm chứng trong [42] và

[61]: “Đối với đa số học sinh, hàm số luôn gắn liền với một biểu thức giải tích”. Do đó, HS

có thể đi tìm biểu thức tương ứng, mà ưu tiên là các biểu thức dạng y = ax + b hay y = ax2 + bx + c thỏa bảng giá trị đã cho.

Bài toán 5A:

Ở bài toán này, một tình huống ngắt quãng hợp đồng cũng được xây dựng nhờ vào cách

134

chọn các giá trị sau đây của biến V1, V2, V3,V4 và V6.

Biến V1 – đặc trưng không liên thông của tập xác định thể hiện rõ trong đề bài, nhất là

qua câu 1. Tính không liên thông này không được cho theo kiểu hay (-;

a][b;+), mà được cảnh báo một cách tường minh qua các câu: “Các số sau đây không

thuộc vì là số vô tỉ: ” và “Em hãy cho 3 giá trị khác của biến số không

thuộc ”.

Nói cách khác, dấu hiệu không liên thông của miền xác định ngày càng trở nên rõ ràng

hơn với HS qua các bài toán 1A, 2A và 5A. Điều này cho phép chúng ta quan sát rõ hơn bản

chất SL mà học sinh phạm phải. Đó là kết quả sự vận hành của qui tắc ngầm ẩn của hợp

đồng về vẽ đồ thị đã được nêu trong chương III.

Biến V2 – hàm số cho bằng hai công thức và V4 – dạng của hàm số. Một trong hai biểu

thức là hàm số bậc ba, một hàm số không quen thuộc đối với HS lớp 11. Giá trị này của V4

được sử dụng nhằm tránh những ảnh hưởng của cách vẽ đồ thị các hàm số mà học sinh đã

quen thuộc và vì vậy, những sai lầm nếu có, không do các HĐDH về cách vẽ đồ thị hàm số

bậc nhất, bậc hai.

Biến V3 – hàm số không liên tục tại vô số điểm, giá trị này của V3 đã đặt HS vào một

tình huống ngắt quãng hợp đồng. Biến V6 – câu hỏi mở, làm tăng độ tin cậy cho thông tin có

được từ câu trả lời của HS.

Dự đoán các câu trả lời:

Câu 1:  S5A-1a: Cho các giá trị trong đó có các số vô tỉ thuộc (-; 2][3;+)

 S5A-1b: Cho tất cả các giá trị là thuộc (2; 3)

 S5A-1c: Không cho giá trị nào hoặc cho giá trị sai

Câu 2: Câu này có mục tiêu cung cấp dữ liệu cho câu 3, HS chỉ cần thực hiện các phép

tính đơn giản. Vì thế chúng tôi không phân tích chi tiết câu này.

Câu 3: Dự đoán các chiến lược

 S5A-3a: Nối tất cả các điểm có tọa độ ở câu 2 thành một đường liền nét trên R.

 S5A-3b: Nối các điểm có tọa độ trong câu 2 thành một đường liền nét trên (-; 2] và

một đường liền nét trên [3; +).

 S5A-3c: Không vẽ đồ thị với các giải thích như sau: đồ thị không liên tục tại vô số

điểm, hàm số có dạng không quen thuộc hoặc các giải thích khác,….

Bình luận: Với câu 1, trả lời S5A-1a cho biết HS nhận ra được miền xác định hàm số bị

135

khuyết vô số điểm hoặc ít nhất cũng có những “lỗ hổng”. Hiển nhiên, ở cấp độ này HS

không diễn đạt ý tưởng “không liên thông”. S5A-1b có thể được hiểu là: HS cho rằng hàm

số chỉ không xác định trong (2; 3), tính chất hữu tỉ hay vô tỉ không được quan tâm đến.

Với câu 3, các chiến lược S5A-3a và S5A-3b biểu hiện những SL do ảnh hưởng của

HĐDH 1 về cách vẽ đồ thị. HS chỉ cần nối các điểm để được đường liền nét, họ không quan

tâm đến tính chất của miền xác định. Như đã phân tích, biến V4 được chọn nhằm tránh các

SL do ảnh hưởng của các hàm số quen thuộc, tuy nhiên, với giá trị là hàm đa thức, nó tạo

thuận lợi cho thao tác tìm các điểm, điều kiện cần cho sự xuất hiện SL1.

Về phương diện khoa học luận, có thể xem SL từ S5A-3b có nguồn gốc là chướng ngại

KHL bởi quan niệm HSLT của Euler: “hàm số liên tục nếu nó xác định bằng một công

thức”. Như vậy, đối với HS, phải chăng những hàm số được xác định bằng một công thức

luôn liên tục trên miền xác định, kể cả một miền không liên thông?

Trong các trả lời thuộc chiến lược S5A-3c, chúng tôi dự đoán có thể một vài HS nhận

diện được đặc trưng không liên tục tại vô số điểm của hàm số đã cho và từ chối vẽ đồ thị,

mặc dù họ không thể giải thích mối liên hệ đó.

Phân tích trên cho thấy: dấu hiệu của SL1 thể hiện qua các câu trả lời S1A1, S1A2,

S2A1, S2A2, S5A-3a, S5A-3b.

Ngoài ra, SL1 cũng có cơ hội được kiểm chứng qua bài toán 6A và 2B mà chúng tôi

phân tích sau đây.

4.5.2. Các bài toán 6A và 2B (kiểm chứng SL1, SL2 và SL7)

Mục đích chính của bài toán 6A là kiểm chứng SL28 và bài toán 2B là SL79. Nhưng các

bài toán này cũng có những yếu tố cho phép kiểm chứng giả thuyết về SL1.

Các biến được sử dụng là V1, V2, V3, V4, V7.

Bài toán 6A:

V1 - tính không liên thông của tập xác định thể hiện khá rõ trong đề bài. Giá trị các biến

V2, V3, V4 được chọn phù hợp với những tình huống mà HS thường gặp. Tuy nhiên, giá trị

của biến V3 (gián đoạn trên nửa khoảng ( ;1]), cùng với giá trị của biến V7 (x0= 1 là điểm

dính của tập xác định) dẫn đến một tình huống ngắt quãng hợp đồng.

Dự kiến các chiến lược và lời giải tương ứng của HS cho như sau:

8 Kết luận sai về tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 do chỉ dựa vào các phép tính mà không tính đến đặc trưng của điểm x0. 9 SL trong sử dụng liên hệ “đạo hàm  liên tục”

136

Câu 1:

 Chiến lược tìm giới hạn: Có thể dự kiến các câu trả lời tương ứng với chiến lược này

như sau:

- S6A-1a: . Vậy f liên tục tại x = 1.

- S6A-1b: . Không tồn tại do hàm số không xác định trên nên

hàm số không liên tục tại x = 1 (hay chỉ liên tục bên phải điểm x = 1).

 Chiến lược miền xác định: Câu trả lời dự kiến là:

S6A-1c: Do miền xác định là hoặc do hàm số không xác định trên

nên hàm số không liên tục tại x = 1.

 Các chiến lược khác S6A-1d.

Câu 2: tương tự phân tích trong mục 4.5.1, chúng tôi không phân tích câu này.

Câu 3: Các chiến lược dự đoán là:

 S6A-3a: Nối tất cả các điểm có tọa độ cho trong bảng giá trị thành một đường liền nét

trên R.

 S6A-3b: Nối tất cả các điểm có tọa độ cho trong bảng giá trị thành một đường liền nét

trừ nửa khoảng .

 S6A-3c: Các chiến lược còn lại

Bình luận: Lời giải S6A-1a thuộc chiến lược tìm giới hạn và nó biểu hiện cho SL2.

Như đã phân tích ở chương III, SL2 là hệ quả của HĐDH 2 gắn với kiểu nhiệm vụ xét

tính liên tục tại một điểm của hàm số cho bằng hai công thức. HS chỉ cần kiểm tra đẳng thức

= bằng các phép toán đại số, tính liên thông của miền xác định f(x0) =

không được tính đến. Chúng tôi dự đoán khả năng xảy ra SL này rất cao, bởi các hàm số

được cho là các hàm đa thức và x0 là điểm dính của tập xác định. Như vậy, các biến V2, V3

và V7 là những tác nhân quan trọng cho sự xuất hiện SL có nguồn gốc là HĐDH 2.

Chúng tôi cũng dự đoán rằng S6A-1b thường được HS dùng khi họ đối diện với kiểu bài

tập xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm. Với S6A-1b, HS không tính giới hạn bằng phép

137

toán đại số một cách máy móc, nghĩa là họ đã thoát khỏi qui tắc của HĐDH 2.

Ở câu 3), S6A-3a đại diện cho kiểu SL1, HS nối tất cả các điểm có tọa độ cho trong

bảng giá trị thành một đường liền nét trên R, tính không liên thông của miền xác định không

được xét đến.

Như vậy, SL2 được thể hiện qua S6A-1a và SL1 qua S6A-3a.

Bài toán 2B:

Bài toán 2B dùng để kiểm chứng giả thuyết SL7, về việc sử dụng liên hệ “liên tục-đạo

hàm” của HS lớp 12. Nó còn được dùng để kiểm chứng SL1.

Các giá trị của biến được sử dụng: V2 – hàm số cho bởi hai công thức; V4 – các hàm số

thành phần là hàm quen thuộc; V6 – dạng câu hỏi đóng.

Ở câu 1), biến V2 và V4 tạo điều kiện thuận lợi cho việc tính đạo hàm bằng công thức.

Tuy nhiên, nó gây trở ngại cho việc tính bằng định nghĩa, cách chính xác để giải quyết bài

toán. Các biến này cũng tạo thuận lợi cho việc tìm m để hàm số liên tục tại x = 1. Biến V6-

câu hỏi đóng, giá trị này của biến ngầm ẩn rằng có thể tìm được đáp số, nó tạo tình huống

thường gặp đối với HS.

Câu 1

Dự đoán các chiến lược và lời giải tương ứng:

 Chiến lược tính đạo hàm: Dự đoán các lời giải tương ứng với chiến lược này là:

+ S2B-1a: Tính đạo hàm một phía tại điểm x = 1 bằng công thức: .

Hàm số có đạo hàm tại 1 khi và chỉ khi: .

+ S2B-1b: Tính đạo hàm bằng định nghĩa. Có thể dự đoán chi tiết của lời giải này như

sau: Dùng định nghĩa tính đạo hàm bên trái điểm x = 1: . Tính đạo hàm bên

phải điểm x = 1:

Vậy không tồn tại m để hàm số có đạo hàm tại x = 1.

 Chiến lược sử dụng liên hệ “đạo hàm  liên tục”. Dự đoán các lời giải tương ứng với

chiến lược này là:

+ S2B-1c: Hàm số có đạo hàm tại x = 1 thì hàm số liên tục tại x = 1 nên:

138

= f(1) = 1. Suy ra 1 = 2m+1 hay m = 0.

+ S2B-1d: Lời giải như trên, kiểm tra phần đảo và loại giá trị m = 0.

 Các chiến lược khác: lời giải tương ứng được kí hiệu S2B-1e

Câu 2

Các đáp số được dự đoán là:

- S2B-2a: Với m = 2, hàm số .

Đồ thị cho bởi hình 4.1.

- S2B-2b: Với m = 2, hàm số tìm được như trên nhưng đồ

thị là đường liền nét trên R bằng cách nối điểm (1;1) và (1;5).

. - S2B-2c: Hàm số tìm được là

Đồ thị cho bởi hình 4.2.

- S2B-2d: Trả lời không vẽ được đồ thị do không tìm được m

- S2B-2e: Các trả lời khác

Bình luận

Lời giải S2B-1c thể hiện SL7, HS sử dụng liên hệ “đạo hàm  liên tục” để nhanh

chóng đi đến kết quả. Biến V2 tạo điều kiện thuận lợi cho các chiến lược S2B-1a và S2B-1c,

nhưng nó cũng đã được lựa chọn để những kết quả cho bởi các chiến lược này cần phải

được hợp thức bởi hoạt động kiểm chứng. Thao tác kiểm chứng không được HS thực hiện,

đây là tác dụng của biến V6- câu hỏi đóng, nó dẫn đến một tình huống như bài toán “đoán

tuổi thuyền trưởng” của Gilbert Arsac. Nghĩa là, đối với HS , những câu hỏi đóng thông

thường dẫn đến một kết quả mà họ không phải thử lại.

Sai lầm này thể hiện vị trí mờ nhạt của định lí về mối liên hệ đạo hàm – liên tục trong

SGK. Mặt khác, SL từ các lời giải câu 2) làm nổi lên một vấn đề, đó là việc chưa chú trọng

sự nối khớp hình học – giải tích. Sự tồn tại đạo hàm tại một điểm bảo đảm cho sự tồn tại

tiếp tuyến tại đó, thế nhưng HS lại chấp nhận tất cả các loại đồ thị không liên tục hay gãy tại

đó. Những lời giải kiểu S2B-2a và S2B-2c minh họa điều này.

Lời giải S2B-2b tiêu biểu cho SL1 và thể hiện ảnh hưởng dai dẳng của HĐDH 1 qua

việc nối tất cả các điểm để được một đường liền nét trên R.

139

Từ phân tích trên, S2B-1c là biểu hiện của SL7 và S2B-2b đại diện cho kiểu SL1.

4.5.3. Các bài toán 3A, 4A và 1B (kiểm chứng SL4, SL5)

Các bài toán này được thiết kế nhằm kiểm chứng giả thuyết về SL410 và SL511.

Các biến được sử dụng trong các bài toán này là V4, V5 và V6. Các bài toán 3A, 4A

được thực nghiệm trên đối tượng là HS lớp 11 nên giá trị của V4 được chọn là các hàm số

bậc bốn có các hệ số là các số nguyên và hữu tỉ, cụ thể là:

 f(x) = -3x4 +10x3 +6x2 – 24x - (bài toán 3A)

 (bài toán 4A).

Giá trị dược lựa chọn của biến V4, V5 có những đặc trưng như sau:

- Phương trình f(x) = 0 không thể giải được bằng máy tính bỏ túi thông thường hay bằng

phép biến đổi đại số.

- Nếu sử dụng phần mềm vẽ đồ thị, nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 (bài toán

3A) là x1  -0,9330275 và x2  -0,9154408, đều là các số vô tỷ thuộc (-1;0) nhưng

rất gần nhau ( = 0,0175867..). Đặc trưng này tạo khó khăn trong việc tìm các số

nguyên hay hữu tỉ đặc biệt ,  thuộc khoảng (-5;5) mà f().f() < 0. Ở đây, chúng tôi sử

dụng từ « đặc biệt » để chỉ các số hữu tỉ như: Tính chất tương tự cũng được áp

dụng cho bài toán 4A và 1B.

Giá trị của biến V6 được lựa chọn là câu hỏi mở. Kết hợp những giá trị của các biến dạy

học này ta có một tình huống ngắt quãng hợp đồng thể hiện ở các điểm:

- Yêu cầu của kiểu nhiệm vụ không còn là “chứng minh rằng phương trình có nghiệm

trên….”

- Không tồn tại cặp số nguyên hay hữu tỉ đặc biệt c, d thỏa mãn f(c).f(d) < 0

, Ở bài toán 1B, giá trị của V4 là f(x) =

một đa thức bậc năm. Lí do của thay đổi này là bài toán 1B được thực nghiệm trên HS lớp

12. Nếu f(x) là đa thức bậc bốn thì f’(x) là đa thức bậc ba, HS có thể sử dụng MTBT dự

đoán được điểm cực trị của f’(x) để suy ra các giá trị cần tính.

Một đặc điểm khác biệt giữa bài toán 3A và hai bài toán còn lại là: trong bài toán 4A và

1B, có một câu hỏi yêu cầu tính giá trị của hàm số tại một số điểm có hoành độ dương tùy ý.

140

Tuy nhiên, không có câu hỏi dẫn nhập nào yêu cầu HS sử dụng các giá trị họ tính được vào 10 SL về kiểu nhiệm vụ chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên (a; b) 11 SL về kiểu nhiệm vụ chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên (0;+) (R hay (-; 0))

câu hỏi về nghiệm của phương trình. Điều này tránh được những sai lầm có tính ép buộc từ

các thông tin cho trước. Mặt khác, bảng giá trị đó có thể mang lại những thông tin ngoài

mong đợi.

Bài toán 3A đã được thực nghiệm trong [20]. Phân tích ở [20] cũng đã cho phép dự đoán

các chiến lược và lời giải tương ứng dưới đây.

Bài Toán 3A:

 Chiến lược thử các số nguyên hay hữu tỉ đặc biệt: Lời giải dự đoán:

S3A1: Chỉ thử giá trị của hàm số tại các số nguyên và hữu tỉ đặc biệt trên [-5;5], kết

luận phương trình vô nghiệm.

 Chiến lược tính giá trị tại đầu mút: lời giải dự đoán là:

S3A2: Chỉ tính f(-5) và f(5) hoặc chỉ tính giá trị tại hai điểm nguyên m, n trên khoảng (-

5 ;5), kết luận phương trình vô nghiệm.

 Chiến lược tính giá trị tại các điểm không đặc biệt.

S3A3: Tìm được cặp số hữu tỉ ,  thuộc khoảng (-5;5) mà f().f() < 0. Kết luận

phương trình có nghiệm.

 Các chiến lược khác: Các chiến lược còn lại như giải phương trình bằng biến đổi đại

số, giải bằng MTBT….và kí hiệu lời giải tương ứng là S3A4.

Bài Toán 4A:

Câu 1: Câu này có tính chất cung cấp các thông tin nên chúng tôi không phân tích.

Câu 2:

 Chiến lược tìm số hữu tỉ không đặc biệt . Lời giải tương ứng là:

S4A1: Tính được giá trị f() < 0 với  (x1; x2), kết luận phương trình f(x) = 0 có ít

nhất một nghiệm trong khoảng (0; ) (hay khoảng khác)

 Chiến lược số nguyên và hữu tỉ đặc biệt: Các lời giải tương ứng:

- S4A2: Tính giá trị của hàm số tại các số nguyên hay hữu tỉ đặc biệt. Kết luận không tồn

tại m, n mà f(m).f(n)<0 nên phương trình vô nghiệm.

- S4A3: Tính giá trị của hàm số tại các số nguyên hay hữu tỉ đặc biệt và kiểm chứng

f(0)>0; . Kết luận phuơng trình vô nghiệm.

 Các chiến lược khác: giải phương trình bằng biến đổi đại số, giải bằng MTBT,…..

S4A4: lời giải tương ứng với chiến lược này.

Câu 3:

141

Tương tự câu 1, chúng tôi không phân tích kết quả câu này.

Bài toán 1B:

Chúng tôi cho rằng chỉ cần dự đoán kết quả của câu d), các phần khác chỉ mang tính thủ

tục và HS khó có thể có các câu trả lời bất thường. Những chiến lược dự đoán là:

 Chiến lược tính giá trị của hàm số tại điểm hữu tỉ không đặc biệt. Lời giải dự đoán:

S1B1: HS tìm được số hữu tỉ a dương và sử dụng f(0).f(a) < 0 (hay một bất đẳng thức

tương tự) để đi đến kết luận phương trình có nghiệm.

 Chiến lược số nguyên và hữu tỉ đặc biệt. Dự đoán lời giải tương ứng:

- S1B2: Tính giá trị của hàm số tại các điểm nguyên dương hay hữu tỉ đặc biệt.

Phương trình vô nghiệm vì không tồn tại cặp a, b dương mà f(a).f(b) <0.

- S1B3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm nguyên dương hay hữu tỉ đặc biệt và kiểm

chứng f(0) cùng dấu với Kết luận phương trình vô nghiệm.

 Các chiến lược khác: giải bằng MTBT, giải phương trình bằng biến đổi đại số…..

S1B4 là lời giải tương ứng với các chiến lược này.

Bình luận

Từ phân tích tiên nghiệm trên đây, những lời giải tiêu biểu cho các SL là:

 SL4: Các lời giải S3A1; S3A2; S4A2 và S1B2

 SL5: S4A3; S1B3

Các lời giải đại diện cho SL4 cho thấy rõ nét ảnh hưởng của HĐDH 4. Ở bài toán 3A,

HS chỉ thử các giá trị nguyên hay hữu tỉ đặc biệt trên khoảng đã cho (-5;5) và đi đến kết

luận phương trình vô nghiệm trên khoảng đó. Kết quả này do tác nhân của các giá trị của

biến dạy học đã được lựa chọn. HĐDH 4 là một đảm bảo cho họ về sự tồn tại nghiệm của

phương trình qua các phép thử đơn giản, vì vậy, khi phép thử thất bại, họ không ngần ngại

trong việc sử dụng mệnh đề phản đảo. S3A3 còn thể hiện ảnh hưởng rõ hơn của hợp đồng

khi họ chỉ thử giá trị tại các đầu mút.

Khi khoảng được yêu cầu là (0;+) như ở bài toán 4A và 1B, ngoài ảnh hưởng của

HĐDH 4, chúng ta còn thấy ảnh hưởng của HĐDH 5 bằng việc bổ sung so sánh dấu của f(0)

và . Giá trị của các biến dạy học đã làm tăng hiệu ứng của hai hợp đồng này và nó

142

là nguyên nhân cho kết luận về sự vô nghiệm của phương trình trên khoảng.

4.5.4. Bài toán 3B (kiểm chứng SL8)

Bài toán này được xây dựng để kiểm chứng giả thuyết SL8 về kiểu nhiệm vụ tìm GTNN

và GTLN của hàm số trên một đoạn và một hệ quả của nó là SL9 về kiểu nhiệm vụ tìm điều

kiện để phương trình f(x) = m có nghiệm trên một miền.

Các biến được sử dụng trong bài toán này là: V2 – cách ghi hàm số, V3 – đặc trưng của

tính liên tục, V4 – dạng hàm số quen thuộc và V6 – câu hỏi đóng. Biến V2 và V4 tạo điều

kiện thuận lợi cho kỹ thuật tính toán đại số. Biến V3, hàm số không liên tục tại một điểm

trên đoạn, giá trị được chọn này của V3 gây nên một tình huống ngắt quãng hợp đồng và là

cơ sở cho việc tìm thấy các lời giải mong đợi.

Câu 2) của bài toán được đưa vào nhằm mục đích tìm hiểu một phần về SL9. Tuy nhiên,

nó không là trọng tâm của thực nghiệm này.

Dự đoán các chiến lược và lời giải tương ứng:

Câu 1

 Chiến lược tính toán đại số: Các lời giải được dự đoán là:

+ S3B-1a: Tính đạo hàm của hàm số .

Nghiệm của đạo hàm là x = -1. Tính giá trị của hàm số: f(-2) = 1; f(-1) = 2; f(0) = 1; f(2)

= . Từ đó suy ra:

+ S3B-1b: Các tính toán như trên nhưng bổ sung thêm và kết luận:

 Chiến lược bảng biến thiên: Các lời giải tương ứng:

+ S3B-1c: Tính đạo hàm như trên, lập bảng biến thiên nhưng bỏ qua tính chất gián đoạn

tại điểm x = 0. Kết quả: .

+ S3B-1d: Lập bảng biến thiên với tính chất gián đoạn của hàm số tại điểm x = 0 và

. Kết luận: .

 Các chiến lược khác: các lời giải khác như sử dụng bất đẳng thức, giải bất phương

trình hoặc không có câu trả lời. Kí hiệu lời giải tương ứng là S3B-1e.

143

Câu 2

Các chiến lược và lời giải dự đoán là:

 Chiến lược sử dụng GTNN và GTLN

+ S3B-2a: phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: .

+ S3B-2b: Sử dụng GTNN, GTLN vừa tìm, kết luận

 Chiến lược giải phương trình: S3B-2c là lời giải tương ứng với chiến lược này.

 Các chiến lược khác: Lời giải tương ứng là S3B-2d.

Bình luận

Phân tích trên cho thấy lời giải đại diện cho SL8 là S3B-1a. SL8 là hệ quả của HĐDH 6

về cách tìm và , trong đó f(x) liên tục [a;b]. HS vẫn áp dụng qui tắc đó

khi họ được đặt trong tình huống ngắt quãng hợp đồng. Các lời giải S3B-1b, S3B-1c, S3B-

1d cho thấy sự thoát khỏi ảnh hưởng của hợp đồng. Các lời giải câu 2) không là trọng tâm

của thực nghiệm nên chúng tôi không bình luận.

4.6. PHÂN TÍCH HẬU NGHIỆM

HS của các trường THPT: Nguyễn Chí Thanh, Hàn Thuyên - TPHCM; Trấn Biên; Ngô

Quyền và Lương Thế Vinh - Đồng Nai đã tham gia thực nghiệm.

Bảng 4.2: Thống kê số học sinh tham gia thực nghiệm, thời điểm thực nghiệm

Bài toán

Số HS, năm học, trường tham gia thực nghiệm Thời điểm thực nghiệm

1A, 2A

110 HS thuộc ba lớp 10: 10A2 – THPT Trấn Biên;

Tháng 1 năm 2005

10A1 - THPT Ngô Quyền; 10 Lí – THPT chuyên

Lương Thế Vinh (2004 – 2005)

1A, 2A, 3A

110 HS thuộc ba lớp 11: 11B2 – THPT Nguyễn

Tháng 2 năm 2005

Chí Thanh; 11A1, 11 Lí – THPT chuyên Lương

Thế Vinh (2004 – 2005)

4A, 5A, 6A

65 HS thuộc ba lớp 11: 11 Hóa, 11 Anh 1, 11 Anh

Tháng 3 năm 2011

2 – THPT chuyên Lương Thế Vinh (2010 – 2011)

37 HS hai lớp: 12 Hóa 1, 12 Hóa 2

Tháng 12 năm 2011

- THPT chuyên Lương Thế Vinh (2011-2012)

68 HS thuộc ba lớp 12: 12 Lí, 12 Tin, 12A1 –

Tháng 12 năm 2011

THPT chuyên Lương Thế Vinh (2011 – 2012)

128 HS thuộc bốn lớp 12: 12 Lí, Tin, Sinh – THPT

Tháng 12 năm 2011

chuyên Lương Thế Vinh; 12A5 – THPT Hàn

144

Thuyên (2011 – 2012)

Chúng tôi chỉ trình bày những câu trong các bài toán mà kết quả của chúng liên quan

đến mục đích thực nghiệm. Phân tích hậu nghiệm dưới đây được trình bày theo SL cần kiểm

chứng chứ không theo từng bài toán riêng lẻ. Các HS tham gia thực nghiệm được mã hóa

theo khối: Axx – HS lớp 10; Byy – HS lớp 11 và Czz – HS lớp 12.

Thông tin từ bảng 4.3 và 4.4 trong mục 4.5.1 dưới đây cung cấp một phác họa khá rõ về

kết quả thực nghiệm và mục tiêu mà thực nghiệm nhắm đến là việc xác nhận các dự đoán về

SL và nguồn gốc của chúng.

4.6.1. Ghi nhận tổng quát

Bảng 4.3: Thống kê kết quả thực nghiệm A (lớp 10 và 11)

Bài toán Trả lời

Thống kê (Số HS – Tỉ lệ)

Xác nhận

sai lầm

Lớp 10

Lớp 11

S1A1

33 30%

11 10%

SL1

S1A2

27 24,5% 19 17,3% SL1

1A

S1A3

28 25,4%

73 66,4%

S1A4

22 20%

7 6,3%

S2A1

26 23,6% 32 29,1%

SL1

S2A2

7 6,4% 28 25,5%

SL1

2A

S2A3

55 50%

45 40,9%

S2A4

22 20%

5 4,5%

6 9,67% SL1

S5A-3a

5A

27 43,54% SL1

S5A-3b

29 46,79%

S5A-3c

29 44,6%

SL2

S6A-1a

26 40%

S6A-1b

3 4,6%

S6A-1c

6A

7 10,8%

S6A-1d

1 14 21,5% SL1

S6A-3a

3

33 50,7%

S6A-3b

28 27,8%

S6A-3c

145

S3A1

31 28,18% SL4

S3A2

56 50,9% SL4

3A

S3A3

4 3,63%

S3A4

19 17,29%

S4A1

10 15,4%

S4A2

19 29,2% SL4

4A

S4A3

27 41,5% SL5

S4A4

9 13,9%

Bảng 4.4: Thống kê kết quả thực nghiệm B (lớp 12)

Bài toán Trả lời

Thống kê (Số HS – Tỉ lệ)

Xác nhận

sai lầm

S1B1

0 0%

S1B2

23 62,16% SL4

1B

S1B3

6 16,21% SL5

S1B4

8 21,63%

S2B-1a

14 20,6%

S2B-1b

11 16,17%

S2B-1c

42 61,76% SL7

S2B-1d

0 0%

1

S2B-1e

1 1,47%

2B

S2B-2a

12 17,64%

S2B-2b

4 5,88% SL1

2

S2B-2c

41 60,3%

S2B-2d

0 0%

S2B-2e

11 16,18%

S3B-1a

88 68,75% SL8

S3B-1b

0 0%

3B

S3B-1c

23 17,96%

S3B-1d

17 13,29%

S3B-1e

0 0%

146

4.6.2. Sai lầm 1

SL1 được xác nhận qua các kết quả của 5 bài toán thực nghiệm, kết quả đó kiểm chứng

được giả thuyết về SL và nguồn gốc của nó là HĐDH 1 về cách vẽ đồ thị.

Ở bài toán 1A và 2A, trong phân tích tiên nghiệm, chúng tôi đă làm rõ rằng qui tắc này

của HĐDH được đặc trưng bởi lời giải S1A1, S1A2, S2A1 và S2A2. Ở cấp độ lớp 10, tỉ lệ

54,4% học sinh tham gia thực nghiệm có câu trả lời thuộc kiểu S1A1 hay S1A2 và 33%

có câu trả lời thuộc kiểu S2A1 hay S2A2 cho thấy sự tồn tại các qui tắc của hợp đồng.

Những dẫn chứng sau đây minh họa rõ hơn nhận định này:

- Trích trả lời của A76 (xem hình 4.3), A73 (xem hình 4.4):

A76 cho câu trả lời (S1A1) là một đường liền nét nối các điểm đă cho trong bảng biến

thiên. “Đồ thị” của hàm số tương thích với dáng điệu ngầm ẩn trong bảng bíến thiên và vì

phải “liền nét” nên A76 nối các điểm (2;1) và (2;2) để đạt được mục đích của mình. A73 chỉ

quan tâm đến 3 điểm (-2;3), (0;-1) và (2;1) và nối chúng lại để được đường liền nét tạo một

dáng điệu tương ứng giữa đồ thị và bảng biến thiên.

27/60 HS lớp 10 có lời giải kiểu SL1 có đồ thị là các đường liền nét gần với những đồ

thị quen thuộc là parabol, đường thẳng. Điều này khẳng định một ảnh hưởng khá quan trọng

của các hàm số đã học là hàm số bậc nhất, bậc hai.

Ở bài toán 2A, HĐDH 1 vẫn hiện diện, các ví dụ sau minh họa ảnh hưởng này:

147

- A08 (xem hình 4.5) và A10 (xem hình 4.6) với lời giải kiểu S2A1.

Một số trong 33 HS lớp 10 đã có lời giải S2A2, nghĩa là họ có đồ thị là đường liền nét

trừ khoảng (1; 2), họ đã nhận ra tính không liên thông của miền xác định nhưng vẫn nối các

điểm có tọa độ cho trong bảng giá trị thành một đường liền nét mặc dù họ không nhận được

một thông tin nào từ đề bài cho phép thực hiện điều này!

Ở HS lớp 11, một sự tiến triển rõ nét khi ở bài toán 1A, 66,4% có chiến lược S1A3,

nghĩa là họ cho đồ thị là đường liền nét trừ điểm x = 2. Điều này có thể được giải thích là

HS lớp 11 đã khá quen thuộc với loại hàm số mà đồ thị có « điểm nhảy ». Mặc dù vậy, vẫn

có đến 27,3% có SL1, chẳng hạn:

- B91 (xem hình 4.7), B61 (xem hình 4.8)

Ở bài toán 2A, một số khá lớn HS lớp 10 đã chuyển sang chiến lược S2A3 (50%), nghĩa

là họ tìm hàm số. Những lời giải điển hình sau đây minh họa chiến lược này:

A67: “Không thể vẽ vì ta không biết các hệ số như a, b, c và cũng vì không cho biết

đây là hàm bậc mấy”.

A51: “Các giá trị x, y không nghiệm đúng hàm số y = f(x)” .

A48: “Không vẽ được vì đây không phải duy nhất một hàm số y = f(x)”.

A46: “Vì không biết các hằng số a hoặc b hoặc c hay phương trình của đồ thị”.

148

A42: “Không vẽ được vì không biết dạng hàm số cơ bản”.

A35: “ Giả sử hàm số là y = ax +bx+c. Ta có:

. Suy ra nếu x = 0 thì y = -4

Vậy không có hàm số này.”

Như vậy, nguyên nhân của sự chuyển chiến lược này đã được làm rõ trong phân tích

tiên nghiệm: HS luôn gắn hàm số với một biểu thức giải tích. Tuy nhiên, tỉ lệ HS lớp 11 có

SL1 lại tăng, 29,1% có lời giải S2A1 và 25,5% có lời giải S2A2, chúng tôi cho rằng ngoài

ảnh hưởng dai dẳng của HĐDH 1, có thể HS lớp 11 lại chịu tác động của HĐDH 3 mà hệ

quả của nó là sự đồng nhất miền xác định và miền liên tục.

Ở bài toán 5A, có đến 33/62 HS chọn các chiến lược S5A-3a hay S5A-3b, những chiến

lược đặc trưng cho SL1. Trong số đó, có 27 HS (43,54%) có chiến lược S5A-3b. Một số lời

giải điển hình cho chiến lược này:

 B202: “Nối các điểm A, B, C, D, E ta được đồ thị hàm số f(x) = x3 – 3x + 1, nối các

điểm F, G ta được đồ thị hàm số f(x) = x – 1 (x 3)” (Phụ lục 4.9)

 B239: “Có thể vẽ được đồ thị hàm số y = f(x). Ta viết tất cả các điểm thuộc đồ thị vào

hệ trục tọa độ sau đó nối các điểm lại với nhau, y = f(x) không xác định khi 2

điểm có hoành độ  2 tạo thành đường cong, còn các điểm có hoành độ  3 tạo thành

đường thẳng.” (Phụ lục 4.10)

Đáng chú ý là 9,42% lời giải thuộc chiến lược S5A-3a, họ nối tất cả các điểm lại để được

một đường liên tục trên R (xem hình 4.9-4.10). Một kết quả cho thấy ảnh hưởng kéo dài của

HĐDH 1 ngay cả khi khái niệm HSLT đã được giảng dạy tường minh. (Phụ lục 4.11, 4.12)

Trong các lời giải thuộc chiến lược S5A-3c, một số lời giải đề cập đến tính gián đoạn tại

149

vô số điểm tuy HS không thể chứng minh. Có thể họ đã sử dụng ngầm ẩn tính chất “hàm số

không xác định tại x0 thì gián đoạn tại x0”, mặc dù tính chất này không được đề cập bởi

SGK. Các lời giải điển hình là :

 B157: “Ta không vẽ được đồ thị hàm số y = f(x) trên vì nó không liên tục tại mọi điểm”

 B210: “Không vẽ được vì biến số x là số hữu tỉ  khi vẽ đồ thị bị gián đoạn vô số

điểm”

Một số lời giải thuộc kiểu S5A-3c cho thấy ảnh hưởng của các hàm số quen thuộc. HS

vẽ đồ thị trên [3; +) với cách vẽ đường thẳng nhưng cho rằng trên (-; 2] không vẽ đồ thị

được vì “hàm số bậc ba chưa học”. Như vậy, phải chăng với các hàm số cho bằng 1 biểu

thức quen thuộc thì đồ thị luôn là một đường liền nét cho dù tập xác định không liên thông?

Một dấu hiệu của chướng ngại KHL bởi quan niệm HSLT của Euler (hàm số liên tục

khi nó xác định bằng một biểu thức duy nhất).

SL1 cũng được xác nhận bởi tỉ lệ 21,5% lời giải S6A-3a với bài toán 6A. Ở thời điểm

khái niệm HSLT đã được giảng dạy tường minh, HS vẫn vẽ đồ thị thành một đường liền nét

trên R bằng cách nối tất cả các điểm có tọa độ trong bảng giá trị mặc dù miền xác định của

hàm số là một miền không liên thông: (Phụ lục 4.13). Các dẫn chứng sau

làm rõ thêm về chiến lược S6A-3A (xem hình 4.11 và4.12)

Ở cấp độ HS lớp 12, SL1

hiện diện qua lời giải S2B-2b. Mặc dù tỉ lệ chỉ với 5,88%, nhưng chúng tôi không cho rằng

thực chất HĐDH 1 không còn ảnh hưởng đối với HS lớp 12. Thật vậy, nếu HS lớp 12 đối

diện với bài toán 5A, thì tần suất xuất hiện SL1 có thể

không ít hơn ở lớp 11. Điều này nói lên vai trò quan

trọng của các biến dạy học trong thiết kế tình huống.

Mặc dù hiện diện với tỉ lệ thấp, nhưng các lời giải thuộc

chiến lược S2B-2b cho thấy hiệu ứng của HĐDH 1. Quả

vậy, ngay cả việc vi phạm qui tắc xác định hàm số cũng

được HS cho qua (xem hình 4.13, 4.14).

Như vậy, kết quả 5 bài toán thực nghiệm đã

xác nhận tính thỏa đáng của dự đoán về SL1 và

nguyên nhân của nó là HĐDH 1. HĐHD này hình

thành từ kiểu nhiệm vụ vẽ đồ thị và là nguồn gốc

150

của SL liên quan đến kiểu nhiệm vụ này.

4.6.3. Sai lầm 2

Như đã phân tích, SL2 được biểu hiện duy nhất qua chiến lược S6A-1a. Với tỉ lệ 46,15%

HS có chiến lược này thì SL2 tồn tại trong một bộ phận không nhỏ HS. Theo quan điểm của

Didactic toán, SL này là hệ quả của HĐDH liên quan đến kiểu nhiệm vụ T2 (xét tính liên tục

của hàm số tại một điểm x0). HS chỉ cần thực hiện các phép toán đại số để kiểm chứng rằng

, họ không quan tâm đến tập xác định của hàm số và tính chất của

điểm x0.

Một ghi nhận quan trọng khác là sự tồn tại các cặp lời giải (S6A-1a; S6A-3b). Học sinh

có sai lầm như đã dự đoán trong câu 1 nhưng họ lại có đồ thị đúng trong câu 3. Như vậy,

quan niệm liên tục về phương diện số hóa và phương diện hình học không có sự nối khớp.

(Phụ lục 4.14)

Sai lầm 2 và nguyên nhân của nó là HĐDH 2 là dự đoán được xác nhận qua kết quả

thực nghiệm bài toán 6A.

4.6.4. Sai lầm 4 và sai lầm 5

Các SL này được kiểm chứng bởi các bài toán 3A, 4A và 1B.

SL4 được xác nhận qua tỉ lệ 79% HS sử dụng các chiến lược S3A1 và S3A2 để giải bài

toán 3A. Một số lời giải dưới đây được trích dẫn minh họa các chiến luợc này:

 B01 (S3A2): “f(5).f(-5) > 0 nên phương trình không có nghiệm trên (-5;5)”

 B03 (S3A1): Học sinh B03 tính giá trị của f(x) tại tất cả các điểm nguyên thuộc

[-5;5] và đi đến kết luận phương trình f(x) = 0 không có nghiệm.

; f(5)= ; f(-4) = ; f(4) =  B12 (S3A1): “f(-5) =

hàm số không có nghiệm trên (-5;5).”

 B20 (S3A2): “f(0).f(-4) > 0 nên phương trình không có nghiệm trên (-5;5)”

SL4 còn được xác nhận qua 29,2% HS sử dụng chiến lược S4A2 giải bài toán 4A (Phụ

lục 4.15). Như đã phân tích, SL4 là một hệ quả của HĐDH 4 về kiểu nhiệm vụ chứng minh

phương trình có nghiệm trên khoảng. Dẫn chứng sau làm rõ nhận xét này khi khoảng là

(0;+) chứ không còn là một khoảng hữu hạn (Phụ lục 4. 16):

 HS B111: f(0).f(1) > 0  phương trình không có nghiệm trên (0; 1)

f(1).f(2) > 0  phương trình không có nghiệm trên (1; 2)

151

f(2).f(3) > 0  phương trình không có nghiệm trên (2; 3)

 phương trình không có nghiệm trên (0; +)

Ở cấp độ lớp 11, khi khoảng được cho là (0; +) thì hiệu ứng của HĐDH 5 có tác dụng

mà hệ quả của nó là SL5. Sau khi thử một số số nguyên nhưng không thành công, việc xét

sự cùng dấu của f(0) và đủ đảm bảo cho họ về sự vô nghiệm của phương trình trên

khoảng (0;+). 41,5% HS có chiến lược S4A3 cho thấy ảnh hưởng của HĐDH 5. Trong các

lời giải, chúng tôi còn tìm thấy những thử nghiệm “quyết đoán” kiểu Balacheff đã đề cập.

HS tính giá trị của f(x) tại những điểm mà họ cho là đại diện nhất, đủ cho việc kiểm chứng

nhất. Chẳng hạn, lời giải bài toán 4A của HS B150:

f(0,9) = 0,021; f(0,99) = 0,167; f(0,901) = 0,029; f(0,9001) = 0,021; f(0,91) =

0,007

f(0,92) = 0,005; f(0,94) = 0,009; f(0,93) = 0,001.

Phương trình 3x4 + 10x3 -6x2 – 24x + 17,2229 = 0 không có nghiệm trên (0,+) vì

f(0) = 17,22 > 0 và

Theo chúng tôi, B150 đã chọn phép thử các số mà HS ấy cho là quyết đoán nhất, phép thử

đó đã “bảo đảm” rằng giá trị của f(x) không thể âm hay bằng 0, nó chỉ có thể rất bé mà thôi.

để đi đến kết luận. Vì vậy, B150 chỉ cần bổ sung việc so sánh dấu của f(0) và

Kiểu thực nghiệm quyết đoán đó cũng xuất hiện ở lớp 12 với lời giải bài toán 1B, một

HS thử các trường hợp mà họ cho là riêng biệt tại x = 400, x = 50 (phụ lục 4.17). HS khác

lại thử giá trị của hàm số tại x = 150 và x = 200. Những giá trị đạt được rất lớn củng cố tính

quyết đoán của họ.

Ở lớp 12, chiến lược S1B2 chiếm ưu thế hơn (62,16%) so với S1B3 (16,21%). Như vậy,

biểu hiện của SL4 rõ hơn SL5. HS kết luận phương trình vô nghiệm trên (0; +) vì không

tìm được m, n thuộc (0; +) mà f(m).f(n) < 0 và ít sử dụng hơn điều kiện

. Nguyên nhân mà chúng tôi tìm thấy là ảnh hưởng của tính đơn điệu

và GTNN, GTLN của hàm số. Nhiều HS khẳng định hàm số đồng biến trên (0; +) mà

chỉ dựa vào bảng giá trị của hàm số.

Họ suy ra . Ý kiến này gần trùng lặp với ý kiến cho rằng

152

hàm số đạt GTNN trên (0; +) là .

Kết quả thực nghiệm đã xác nhận tính thỏa đáng của các dự đoán về SL4 và SL5. Ở

lớp 11, ảnh hưởng của HĐDH 5 rõ nét hơn với tỉ lệ 41,5% HS có SL này (Phụ lục 4.18;

4.19). HĐDH 4 và HĐDH 5 có thể xem là nguyên nhân của các SL đó mà hệ quả của nó là

SL về mặt lôgic khi HS sử dụng mệnh đề phản đảo: “Nếu không tìm được a, b dương mà

f(a).f(b) < 0 (và f(0) cùng dấu với ) thì phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trên

(a; b) (hay(0; +)) ”.

4.6.5. Sai lầm 7

Kết quả thực nghiệm cho thấy dự đoán về SL7 là có cơ sở. Đến 61,76% HS sử dụng liên

hệ “đạo hàm  liên tục” (S2B-1c) nhằm nhanh chóng tìm được giá trị m, các nghĩa của tri

thức dường như biến mất. Các đồ thị “gãy” hay có “điểm góc” tại điểm cần xét tính khả vi

không được HS nhận biết như dấu hiệu của tính không khả vi một khi họ đã đạt được đáp

số. Các phụ lục 4.20, 4.20b là các dẫn chứng minh họa cho SL này.

Mặc dù không thuộc SL7 nhưng SL thuộc chiến lược S2B-1a (phụ lục 4.21) chiếm một

tỉ lệ đáng kể với 20,6%. Chúng tôi không đề cập đến nguồn gốc của SL này nhưng SL này

và SL7, một lần nữa cho thấy sự nối khớp hình học-giải tích không được chú trọng. HS chấp

nhận tất cả các hàm số khả vi tại x = 1 dù đồ thị của nó là gián đoạn hay gãy tại đó (xem

153

hình 4.15, 4.16):

+ Theo quan điểm của thuyết hành vi, SL7 còn có thể do nguyên nhân sau: HS không

nắm vững định lí về mối liên hệ đạo hàm - liên tục và việc vận dụng nó dẫn đến lỗi lôgíc

trong chứng minh toán học khi sử dụng mệnh đề phản đảo của “có đạo hàm  liên tục”.

+ Quan điểm của didactic toán: Thể chế đã đưa vào một kiến thức (liên hệ đạo hàm –

liên tục) song thiếu một môi trường cho kiến thức đó hoạt động. Nói cách khác, các ràng

buộc sinh thái học cho sự tồn tại của nó là không có. Chuyển hóa sư phạm làm cho kiến

thức bị mất nghĩa, HS chỉ chú ý thực hiện các phép toán đại số để đạt được một kết quả hình

thức, tính liên tục là điều kiện cần của tính khả vi bị bỏ qua và nhiều HS lại xem tính liên

tục là điều kiện đủ để có đạo hàm.

Như vậy, SL7 đã được kiểm chứng qua bài toán 2B.

4.6.6. Sai lầm 8

SL này được kiểm chứng bằng câu 1) của bài toán 3B. Kết quả thực nghiệm với 68,75%

HS dùng chiến lược S3B-1a cho chúng ta biết qui tắc mà HS vẫn thường làm đối với bài

toán tìm GTNN, GTLN của hàm số liên tục trên đoạn. Hầu hết HS không kiểm tra tính liên

tục của hàm số trên đoạn, tuy nhiên, một số lại cho rằng hàm số hiển nhiên liên tục mà

không cần kiểm tra (phụ lục 4.22). Tính liên tục của hàm số còn xuất hiện ở những bài làm

theo chiến lược lập bảng biến thiên của hàm số (Phụ lục 4.23; 4.24), phải chăng đặc trưng

liên tục là một ràng buộc ngầm ẩn?

Đa số các lời giải đều không xuất hiện thuật ngữ “hàm số liên tục”. Như vậy, có thể học

sinh chỉ quen thao tác trên các hàm số liên tục trên đoạn.

Theo quan điểm của didactic toán: SL8 là hệ quả của HĐDH 6 về kiểu nhiệm vụ “Tìm

GTNN, GTLN của hàm số f(x) trên đoạn” mà hàm số f(x) luôn có đặc trưng liên tục trên

đoạn đã cho. SL xảy ra khi HS đối diện với tình huống ngắt quãng hợp đồng.

Như vậy, kết quả thực nghiệm đã xác nhận tính thỏa đáng của dự đoán về SL8 và

154

nguồn gốc của nó là HĐDH 6.

4.7. KẾT LUẬN CHƯƠNG 4

Kết quả thực nghiệm đã kiểm chứng được tính thỏa đáng của các giả thuyết về 6 SL của

HS. Theo quan điểm của Didactic toán và kết quả phân tích thực nghiệm thì 5 trong 6 SL đó

có nguồn gốc chủ yếu là các HĐDH ngầm ẩn được hình thành bởi hoạt động dạy – học các

tri thức cụ thể liên quan đến khái niệm HSLT.

SL1 của HS các lớp 10, 11 và 12 được thể hiện qua 5 bài toán thực nghiệm. Điều này

minh chứng rằng quan niệm “đồ thị một hàm số luôn là một đường liền nét” tồn tại dai dẳng

ở HS. Đặc điểm này có thể được sử dụng để thiết kế tình huống dạy học nhằm đặt HS đối

diện với SL, từ đó họ nhận ra khiếm khuyết của quan niệm hình học về khái niệm HSLT và

hình thành nhu cầu xây dựng một định nghĩa tốt hơn cho khái niệm này.

SL2, SL4, SL5 và SL7 cho thấy hệ quả của quan điểm đề cao đại số hóa giải tích, xem

nhẹ vai trò của hình học, bỏ qua một công cụ hỗ trợ quan trọng để dạy học giải tích, đó là

yếu tố công nghệ thông tin cùng với quan điểm thực nghiệm. SL8 minh chứng sự tồn tại các

HĐDH như là hệ quả của tính đơn điệu của hệ thống BT ở SGK và sự cần thiết của việc đặt

HS vào các tình huống phạm SL để họ tự điều chỉnh kiến thức.

155

Đó là cơ sở cho việc đề xuất các giải pháp sư phạm dạy học khái niệm HSLT.

CHƯƠNG 5: CÁC GIẢI PHÁP SƯ PHẠM VỀ DẠY HỌC KHÁI

NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ THỰC NGHIỆM KIỂM CHỨNG

A – GIẢI PHÁP SƯ PHẠM

5.1. CƠ SỞ ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP

Các giải pháp sư phạm được đề xuất dựa trên những nghiên cứu được trình bày trong các

chương trước. Cụ thể, đó là những nội dung sau đây:

a) Cơ sở lí luận

Việc đề xuất các giải pháp sư phạm dựa trước hết trên cơ sở lý luận trong chương I, đó

là:

 Quan điểm của thuyết kiến tạo và của Didactic Toán về dạy học nói chung và về sai

lầm và chướng ngại nói riêng.

 Vai trò và ý nghĩa của phân tích khoa học luận.

 Chủ trương của Đảng, Chính phủ và Bộ Giáo dục và Đào tạo về đổi mới căn bản và

toàn diện giáo dục nói chung và phương pháp dạy học nói riêng.

b) Kết quả của phân tích khoa học luận về một số khái niệm cơ bản của giải tích trong

nghiên cứu của Lê Văn Tiến, Trần Anh Dũng, Trần Lương Công Khanh [68] và kết quả

nghiên cứu trong chương II của luận án này.

c) Kết quả phân tích thể chế về khái niệm hàm số liên tục và kết quả thực nghiệm về sai

lầm của học sinh trình bày trong chương III và IV.

5.2. CÁC GIẢI PHÁP SƯ PHẠM

5.2.1. Giải pháp 1: Khai thác tối đa đặc trưng khoa học luận của khái niệm HSLT

trong việc tổ chức các kiến thức trong chương trình và sách giáo khoa.

Quan điểm khoa học luận và sư phạm về dạy học toán ở trường phổ thông hiện nay đang

phổ biến trong nhiều nước là: “ Thực hiện một sự dạy học thỏa mãn hơn khoa học luận và

tôn trọng hơn quy trình nhận thức của học sinh” 42, tr. 1.

Rõ ràng là không thể tổ chức dạy học một khái niệm toán học như quá trình nảy sinh và

tiến triển của nó trong lịch sử. Nhưng theo quan điểm trên, chúng ta cần tạo ra một tiến trình

156

và các tình huống mô phỏng lịch sử mà nó cho phép hình thành ở HS khái niệm toán học

với càng nhiều càng tốt các đặc trưng khoa học luận của nó, đồng thời phải phù hợp với

ràng buộc của thể chế và nhận thức của HS.

Trong trường hợp khái niệm HSLT, những đặc trưng khoa học luận sau đây cần thiết và

có thể hình thành ở HS:

- HSLT xuất hiện trước hết với vai trò công cụ để giải quyết các bài toán, chẳng hạn bài

toán về phương trình. Nó hình thành và tiến triển theo tiến trình:

Công cụ ngầm ẩn  Công cụ tường minh  Đối tượng  Công cụ tường minh.

và với hình thức thể hiện khái niệm: Tiền toán học  Cận toán học  Toán học.

- HSLT xuất hiện trước tiên với đặc trưng hình học và tổng thể (đường cong liên tục,

quĩ đạo liên tục,…), sau đó mới có sự số hóa với đặc trưng địa phương.

Từ đó, chúng tôi đề xuất cấu trúc và tiến trình đưa vào các kiến thức gắn liền với khái

niệm HSLT theo hai phương án sau đây.

a) Phương án sử dụng CT và SGK hiện hành:

Mặc dù SGK hiện hành đã tăng cường các mục “hoạt động” mà những nội dung này

không hề có trong SGK thời kì trước. Tuy nhiên, đó không phải là các tình huống mà việc

giải quyết những vấn đề của nó cho phép hình thành “nghĩa đúng” của khái niệm HSLT. Mặt

khác, phân tích ở chương III đã cho thấy SGK hiện hành nhấn mạnh khía cạnh “đối tượng”

hơn là khía cạnh “công cụ” của khái niệm HSLT.

Phân tích thể chế ở chương III cũng đã làm rõ, khái niệm HSLT được hình thành theo con

đường: Đối tượng  Công cụ và hiện diện ngay từ đầu dưới hình thức toán học thông qua

một định nghĩa hình thức, không có sự nối khớp tường minh nào giữa quan niệm hình học và

số hóa.

Từ những kết quả nghiên cứu, chúng tôi có những đề xuất sau về khái niệm HSLT, dựa

trên CT và SGK lớp 11 nâng cao hiện hành:

1. Gia tăng thời lượng cho chương IV của SGK thông qua các bài ngoại khóa có mục tiêu

giải quyết các tình huống cho phép:

 Đưa vào khái niệm hàm số liên tục dưới hình thức của một khái niệm cận toán học thông

qua các tiếp cận tổng thể và trực giác – hình học;

 HS nhận ra được khiếm khuyết của quan niệm trực giác, hình học về khái niệm HSLT từ

157

đó hình thành nhu cầu thay thế nó bằng một quan niệm chính xác hơn;

 HS tự kiến tạo được định nghĩa hình thức của khái niệm này. Nói cách khác, nó có thể

cho phép thực hiện sự nối khớp giữa quan điểm hình học và quan điểm số hóa về khái niệm

HSLT.

2. Nội dung, thời lượng đề xuất gia tăng vào chương IV, SGK Đại số và Giải Tích 11

Nâng cao [51] như sau:

Bảng 5.1: Nội dung, thời lượng đề xuất gia tăng vào SGK Đại Số và Giải Tích 11

TT

Nội dung của SGK

Nội dung đề xuất gia tăng

Thời lượng

B. Giới hạn của hàm số.

§4. Định nghĩa và một số định lí về giới hạn

hữu hạn của hàm số.

3 tiết

§5. Giới hạn một bên. Luyện tập

1 tiết

Bài số 1 (ngoại khóa): “Vẽ đồ thị

2 tiết

hàm số bằng phần mềm toán học”

§6. Một số qui tắc tìm giới hạn vô cực.

1 tiết

Luyện tập

1 tiết

Tình huống 1 (ngoại khóa):

HS nhận ra khiếm khuyết từ ghi

1 tiết

nhận trực giác, hình học

Tình huống 2 (chính khóa):

Nối khớp giữa quan niệm hình học

2 tiết

và quan niệm số hóa của khái niệm

HSLT.

2 tiết

§8. Hàm số liên tục

1 tiết

Luyện tập

Bài số 1 (phụ lục 5.1) nhằm mục đích kép là:

a) HS thành thạo việc sử dụng CNTT (giải pháp 3) trong phạm vi ứng dụng vào giải tích

(vẽ đồ thị hàm số).

b) Với sự hỗ trợ của CNTT, thay đổi cách tiếp cận khái niệm HSLT trong giai đoạn khái

niệm này có hình thức tiền toán học và là công cụ ngầm ẩn, tác động đến kiểu nhiệm

vụ duy nhất ở thời điểm này là vẽ đồ thị hàm số.

Mục đích của tình huống 1 và 2 sẽ được làm rõ trong phần thực nghiệm.

158

b) Phương án cấu trúc lại CT và SGK:

Với phương án này, chúng tôi đề xuất SGK chu kỳ mới gia tăng các nội dung liên quan

đến khái niệm HSLT (hàm số và đồ thị, các hàm số sơ cấp, giới hạn, phương trình) dựa trên

cơ sở mà giải pháp này đã trình bày.

Các nội dung gia tăng được qui ước là , ,  và .

: Bài số 1 (2 tiết) - “Vẽ đồ thị hàm số bằng phần mềm toán học” (GV có thể sử dụng

các phần mềm thông dụng như Geogebra, Sketchpad, ...)(phụ lục 5.1).

: Bài số 2 (1 tiết) - “Định lí giá trị trung gian” (phụ lục 5.2), nhằm trình bày một tiếp

cận khái niệm HSLT trên phương diện hình học, tổng thể với hình thức khái niệm cận toán

học và công cụ tường minh.

: Tình huống 1 (1 tiết) (như ở phương án sử dụng CT và SGK hiện hành)

: Tình huống 2 (2 tiết) (như ở phương án sử dụng CT và SGK hiện hành)

Cấu trúc lại chương trình đại số và giải tích cùng với các nội dung gia tăng liên quan đến

khái niệm HSLT, có thể mô tả bởi một sơ đồ “mềm” 5.1. Từ “mềm” ở đây được hiểu theo

nghĩa trình tự giảng dạy không bắt buộc theo một phân phối chương trình cứng nhắc. Hai ví

dụ sau giải thích rõ hơn ý nghĩa này trong sơ đồ 5.1.

- Sau chương “Hàm số”, GV dạy bài số 1, sau đó có thể dạy một cách độc lập không bắt

buộc theo trình tự: “Thống kê” hoặc “Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất

phương trình” hay “Lượng giác”.

- Khi chuyển từ khái niệm “Giới hạn” sang khái niệm “Liên tục”, GV có thể chọn một

trong hai lộ trình: “Giới hạn[  ]Liên tục” hay “Giới hạnLiên tục”

Với ý tưởng đó, chúng tôi đề xuất cấu trúc lại các nội dung chính của chương trình Đại số

159

và Giải Tích bậc THPT liên quan đến khái niệm HSLT như sau:

Sơ đồ 5.1: Đề xuất cấu trúc nội dung chính của chương trình Đại Số và

Giải Tích bậc THPT liên quan đến khái niệm HSLT

5.2.2. Giải pháp 2: Tăng cường quan điểm thực nghiệm

Sự cần thiết phải gắn giảng dạy toán học ở trường phổ thông với thực tiễn cuộc sống và

thực tiễn các khoa học khác đang là xu thế nổi trội trong nhiều nước trên thế giới. Điều này

kéo theo tầm quan trọng ngày càng tăng của việc hình thành và phát triển khả năng thực

160

nghiệm ở HS.

Tuy nhiên, theo Lê Văn Tiến (2002) [60], ở Việt Nam, quan điểm thực nghiệm chưa được

vận dụng một cách tường minh bởi các nhà soạn thảo CT và SGK, nhưng một số yếu tố của

quan điểm này đã được vận dụng một cách ngầm ẩn.

Cụ thể, CT và SGK toán THCS hiện hành thể hiện rõ quan điểm giảm lí thuyết kinh viện,

tăng yêu cầu thực hành và nhấn mạnh:

« Không quá coi trọng tính cấu trúc, tính chính xác của hệ thống kiến thức toán học trong

chương trình; hạn chế đưa vào chương trình những kết quả có ý nghĩa lí thuyết thuần túy và

phép chứng minh dài dòng, phức tạp không phù hợp với đại đa số HS. Tăng tính thực tiễn và

tính sư phạm, tạo điều kiện để HS được tăng cường luyện tập... »

« Rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, khả năng quan sát, dự đoán. Phát

triển trí tưởng tượng không gian. Rèn luyện khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi

dưỡng các phẩm chất của tư duy như linh hoạt độc lập và sáng tạo. » (Chương trình THCS

môn toán).

« Đặc biệt, các kiến thức hình học được trình bày theo con đường kết hợp trực quan và

suy diễn. Bằng đo đạc, thực hành, gấp hình... học sinh dự đoán các sự kiện hình học và

tiếp cận với các định lí. » (Sách giáo viên Toán 7, trang 12).

« Người ta đã chứng minh được định lí sau về tính chất ba trung tuyến của một tam giác.

Định lí này phù hợp với kết quả của thực nghiệm trên. » (SGK Toán 7).

Đặc biệt, trong SGK Toán 7 và 8, một vài hoạt động đã được xây dựng theo quan điểm

nối khớp Thực nghiệm / Lí thuyết. Chẳng hạn, trong các bài « Hai góc đối đỉnh » và « Tổng

ba góc của một tam giác » (Toán 7) hay « Đường trung bình của tam giác » (Toán 8), các

bước của hoạt động là như sau:

a) Thực hiện đo đạc, quan sát và so sánh kết quả đạt được.

b) Dự đoán kết quả rút ra từ hoạt động trên.

c) Suy luận để hợp thức hóa kết quả dự đoán, sau đó phát biểu tính chất (Hoặc nêu định

lí, sau đó chứng minh định lí).

Bước kiểm tra phỏng đoán bằng thực nghiệm không có mặt trong tiến trình trên.

Các thuật ngữ « Dự đoán » hay « Đoán » xuất hiện nhiều lần trong các SGK này.

Tóm lại, mặc dù không được nêu lên một cách chính thức, nhưng quan điểm thực nghiệm

đã có mặt trong chương trình và SGK Toán THCS. Hoạt động thực nghiệm đã hiện diện một

cách rõ ràng hơn.

161

Như vậy, so với CT và SGK cũ, CT và SGK Toán THCS thể hiện một sự đổi mới khá cơ

bản trong lựa chọn quan điểm khoa học luận và sư phạm: hoạt động thực nghiệm đóng vai

trò quan trọng trong dạy học toán học.

Ở SGK Toán của Mỹ và Pháp, quan điểm thực nghiệm được thể hiện rất rõ ràng. Ngược

lại, quan điểm này lại rất mờ nhạt trong chương trình toán THPT ở nước ta.

Từ đó, chúng tôi thiết nghĩ rằng cần tận dụng lợi thế của Giải tích nói chung và của khái

niệm HSLT nói riêng để tiếp tục phát triển ở học sinh khả năng thực nghiệm.

Tình huống sau đây là một ví dụ cụ thể việc vận dụng giải pháp 2.

Ví dụ 5.1: a) Phương trình: có nghiệm trên khoảng (-

5;5) hay không?

b) Sử dụng phần mềm Geogebra vẽ đồ thị hàm số:

. Từ đó, có kết luận gì về nghiệm của phương trình

c) So sánh kết quả trả ở câu a và câu b. Giải tích kết quả so sánh.

Tình huống trên là ngắt quãng hợp đồng do những giá trị sau của biến dạy học:

- Yêu cầu của kiểu nhiệm vụ không còn là “chứng minh phương trình có nghiệm trên

khoảng (a, b)”.

- Không tồn tại cặp số nguyên hay hữu tỉ đặc biệt a, b thuộc (-5; 5) mà f(a).f(b)< 0. Đặc

trưng này có thể thấy rõ hơn qua quan sát đồ thị hàm số cho bởi hình 5.1.

Để thực hiện giải pháp 5, GV có thể tiến hành các bước:

- Bước 1: Tổ chức cho lớp hoạt động nhóm, tranh luận về câu a).

- Bước 2: Tổ chức hoạt động nhóm để trả lời câu 2) với sự hỗ trợ của phần mềm Geogebra

(xem hình 5.2). Tình huống này cũng tạo cơ sở để HS tự phát hiện sai lầm. Qua đó, HS có thể

bổ sung thêm phương pháp đồ thị (thực nghiệm) trong dự đoán nghiệm của phương trình.

Việc sử dụng phương pháp đồ thị để dự đoán nghiệm như trên thể hiện tư tưởng thực

nghiệm trong giải tích nói chung, dạy học khái niệm HSLT và những khái niệm liên quan nói

riêng. GV có thể lựa chọn nhiều ví dụ tương tự mà ở đó phương pháp thực nghiệm đóng vai

trò chủ yếu.

5.2.3. Giải pháp 3: Tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin

Định hướng tăng cường ứng dụng CNTT vào dạy học và đổi mới PPDH đã được chỉ đạo

bằng nhiều văn bản của Chính phủ và Bộ Giáo dục và Đào tạo. Điều này cũng phù hợp với 162

xu thế chung của thế giới trước những phát triển nhanh chóng của công nghệ truyền thông và

thông tin.

Trong phần B của chương này, chúng tôi sẽ đưa vào kiểm chứng các tình huống thực

nghiệm có sử dụng các phần mềm toán học (Geogebra và Graphing Calculator) và MTBT

trong dạy học các kiến thức gắn liền với khái niệm HSLT vì hai lí do chính sau:

 Với thế mạnh của kỹ thuật đồ họa được thiết kế trong các phần mềm toán học, CNTT là

công cụ rất mạnh và mang tính thuyết phục cao để tổ chức các tình huống học tập gắn liền

với cách tiếp cận trực giác, hình học khái niệm liên tục và HSLT. GV có thể minh họa các đồ

thị “có khoảng trống”, “đứt đoạn”, bằng nhiều VD trên một phạm vi rất rộng các hàm số sơ

cấp (một số ví dụ cụ thể hóa cho thế mạnh này của CNTT được minh họa trong các phụ lục

5.1, 5.2, 5.22 và 5.23). Một lợi thế nữa là việc tiết kiệm thời gian nhưng lại tạo được hứng

thú học tập cho HS. Ngoài ra, với ưu thế đó, CNTT chắc chắn sẽ là công cụ hiệu quả trong

việc xây dựng các tình huống học tập để HS có thể sửa chữa các SL liên quan đến HĐDH

hay các tình huống HS tự phát hiện mối liên hệ hình học – giải tích trong quá trình xây dựng

định nghĩa HSLT.

 CNTT còn tạo một môi trường tương tác để người học học tập thông qua hoạt động và

thích nghi với môi trường. Việc học tập diễn ra trong quá trình hoạt động và thích nghi đó.

Nó còn tạo điều kiện để người học hoạt động độc lập nhưng vẫn đảm bảo mối liên hệ ngược

trong quá trình dạy học. Như vậy, ứng dụng CNTT là một công cụ hỗ trợ quan trọng cho việc

vận dụng các mô hình học tập theo quan điểm kiến tạo hoặc mô hình “tình huống học tập lý

tưởng” theo quan điểm của Didactic Toán.

Ở Việt Nam, ứng dụng CNTT không được cụ thể hóa thành những nội dung cụ thể trong

CT và SGK toán như trong một số nước khác (Pháp và Mĩ,…). Nó chỉ mới dừng lại ở yêu

cầu GV “tự thân” tăng cường vận dụng CNTT vào hoạt động dạy học của mình. Nói cách

khác, Tin học và Toán học vẫn hình thành nên các môn học độc lập nhau mà không có sự

đan xen nội dung tin học vào nội dung môn toán. Chính vì lí do trên, trong luận án này chúng

tôi buộc phải cho HS tiếp cận một số phần mềm toán học vào các giờ học ngoại khóa.

Tuy nhiên, về lâu dài, cần thiết cấu trúc lại CT và SGK theo hướng lồng nội dung kiến

thức về CNTT vào trong nội dung kiến thức toán học như một số nước đã và đang áp dụng.

Điều này cũng đáp ứng quan điểm tích hợp và yêu cầu liên môn. Ngoài ra, CNTT còn là điều

kiện cần cho tính khả thi của các giải pháp sư phạm đề xuất trong chương này. Đặc điểm đó

163

được minh chứng qua các nội dung cụ thể của các giải pháp.

5.2.4. Giải pháp 4: Khắc phục sai lầm

Quan điểm của Didactic Toán và thuyết kiến tạo về cách khắc phục SL là: sửa chữa SL

bằng cách đặt HS vào tình huống học tập gắn liền với SL đó, tình huống phải tạo ra ở HS sự

xung đột nhận thức do đối diện với SL. Chính họ phát hiện và tiến hành loại bỏ nó. Đặc biệt,

nếu SL là yếu tố cấu thành kiến thức mới, thì cần phải thực hiện việc loại bỏ nó ngay trong

quá trình xây dựng kiến thức mới.

Nghiên cứu thực nghiệm ở chương IV cho thấy nhiều SL gắn với khái niệm HSLT có

nguồn gốc từ các qui tắc ngầm ẩn của HĐDH, đặc biệt là SL1, về một quan niệm tồn tại dai

dẳng “đồ thị hàm số luôn là một đường liền nét”. Một trong các giải pháp khắc phục SL là

cho HS đối diện với các tình huống ngắt quãng hợp đồng. Ví dụ 5.2 trình bày một tình huống

dạy học (tình huống 1), nó minh họa cụ thể việc vận dụng giải pháp này và cũng là tình

huống 1 trong giải pháp 1.

Ví dụ 5.2: Tình huống 1 (TH1) được tổ chức thành 3 pha dưới dạng 3 hoạt động giải bài

toán.

 Hoạt động 1 (Thời gian: 10 phút)

Các nhóm nhận được phiếu bài tập với nội dung:

1. Vẽ đồ thị (C) của hàm số:

2. Đồ thị hàm số có liên tục không? (Phụ lục 5.3)

Hoạt động của HS:

- HS làm việc theo nhóm, thảo luận về lời giải.

- HS trình bày lời giải trong phiếu bài làm của cá nhân.

 Hoạt động 2 (Phương pháp tiến hành như hoạt động 1, thực hiện trong 10 phút)

Các nhóm nhận được phiếu bài tập với nội dung:

1. Điểm A( ; 2) có thuộc (C) không?

2. Đồ thị hàm số có khoảng trống hay lỗ hổng không? Vì sao? (Phụ lục 5.4)

 Hoạt động 3 (Thời gian: 20 phút)

1. GV thu bài làm của HS. HS các nhóm có sử dụng phần mềm toán học vẫn giữ nguyên

164

bài làm trên màn hình máy tính.

2. GV trình chiếu kết quả của các nhóm có sử dụng phần mềm toán học và dùng đèn chiếu

phản xạ để hiển thị một số kết quả tiêu biểu của nhóm không sử dụng phần mềm toán học.

Hoạt động này nhằm phô bày các sản phẩm của HS liên quan đến SL.

3. GV yêu cầu HS tính giá trị của hàm số tại x = và xác định lại tính chính xác của câu

trả lời cho câu 2 trong mỗi hoạt động 1 và 2.

4. Quay về hoạt động cá nhân: GV yêu cầu HS trình bày ý kiến cá nhân về nguyên nhân

SL của họ trong phiếu lấy ý kiến. Một số HS được đề nghị phát biểu ý kiến cá nhân. GV tổng

kết các ý kiến về nguyên nhân SL.

Tính khả thi và hiệu quả của TH1 sẽ được thực nghiệm kiểm chứng trong phần B.

Các giải pháp nói trên nếu được vận dụng một cách kết hợp sẽ thể hiện được quan điểm

của thuyết kiến tạo nói chung và phương pháp dạy học tích cực nói riêng trong dạy học khái

niệm HSLT.

Tình huống 2 (TH2) được giới thiệu sau đây minh họa ý tưởng này. Tình huống được

xây dựng nhằm khắc phục các khiếm khuyết của SGK hiện hành (đã phân tích ở chương 3)

do chỉ chú trọng đại số hóa giải tích mà bỏ qua bước nối khớp hình học – số hóa với tính

cách là một bước cần thiết cho sự hình thành kiến thức và phù hợp với qui luật nhận thức.

Như vậy, ý tưởng tổng quát của TH2 thể hiện rõ nét giải pháp 1. Các bước chi tiết trong

TH2 minh họa sự vận dụng các giải pháp sư phạm được đề xuất. Chẳng hạn, bước 1 cụ thể

hóa các giải pháp 2 và 3, bước 2 cho giải pháp 3 và 4, bước 3 thể hiện vận dụng giải pháp 4

và tư tưởng kiến tạo qua việc tự xây dựng kiến thức.

Các nội dung trên sẽ được giải thích rõ hơn trong phần thực nghiệm (phần B).

Ví dụ 5.3: Tình huống 2 bao gồm 3 bước với kịch bản như sau:

1. Bước 1: Định nghĩa HSLT từ quan điểm trực giác hình học

Tình huống đưa vào một cách chính thức định nghĩa khái niệm HSLT tại một điểm và

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

1. Giáo viên trình bày các định nghĩa HSLT tại một điểm và trên khoảng:

 Định nghĩa 1: Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là

trên khoảng theo quan niệm trực giác, hình học. (Thời lượng: 10 phút)

- HS quan sát

liên tục trên (a; b) nếu đồ thị của nó là một đường liền nét trên khoảng

(a; b).

 Định nghĩa 2: Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa

được

gọi là liên tục tại

nếu đồ thị của nó là một đường liền nét tại điểm có

165

hoành độ x =

2. Giáo viên dùng trình chiếu để mô tả các định nghĩa này, đề nghị HS trả

lời các câu hỏi.

GV trình chiếu đồ thị hàm số:

(không trình chiếu biểu thức

- HS quan sát

của hàm số). Các câu hỏi GV đề nghị với HS:

a/ Hàm số có liên tục trên (6; 10) không? Tại sao?

- HS trả lời dựa trên

b/ Hàm số có liên tục tại x = 8 không? Tại sao?

quan sát

c/ Hàm số có liên tục trên (2; 4) không? Tại sao?

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

 Pha 1 (20 phút)

 Pha 1

GV phát phiếu hoạt động 1, hướng dẫn HS

HS làm việc cá nhân trả lời các câu hỏi ở cột 3, 4

thực hiện các yêu cầu.

trong phiếu “Hoạt động 1”.

 Pha 2 (20 phút)

 Pha 2

GV trình chiếu phiếu Hoạt động 1 có bổ sung

HS ghi biểu thức hàm số vào phiếu hoạt động 1.

biểu thức hàm số và yêu cầu HS trả lời câu hỏi

Tính f(1) và

bằng các phép toán đại số để

ở cột 5.

trả lời câu 5.

 Pha 3 (10 phút)

 Pha 3

GV trình chiếu theo thứ tự kết quả các cột 3, 4,

HS điều chỉnh kết quả trong phiếu hoạt động 1

5 để HS kiểm tra và điều chỉnh kết quả sai.

chính xác theo kết quả mà GV thông báo

GV thống nhất kết quả của hoạt động 1

2. Bước 2: Hoạt động 1 gồm 3 pha như sau:

Hàm số y = f(x)

Đồ thị của hàm số

Đồ thị hàm số

Dựa vào đồ thị hãy và dự đoán

y = f(x)

y = f(x) có liên tục

tại x0 = 1 hay

Bằng tính toán hãy kiểm tra lại kết quả ở cột thứ tư.

so sánh với f(1) nếu chúng tồn tại

không?

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Phiếu hoạt động 1 (phụ lục 5.12) có 5 cột được mô tả tóm tắt như sau:

- trong pha 1 của hoạt động 1, chỉ có cột (2) là có thông tin về đồ thị hàm số, các cột khác

không có thông tin. Có 6 trường hợp khác nhau về đồ thị của hàm số được nêu ra trong hoạt

động này.

- trong pha 2, HS bổ sung biểu thức của hàm số vào cột (1) theo thông báo của GV.

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

 Pha 1 (5 phút)

 Pha 1

166

3. Bước 3: Hoạt động 2 gồm 3 pha như sau:

- GV đặt câu hỏi:

Các HS được chỉ định trả lời câu hỏi dựa vào kết

“ Nhận xét gì về sự liên quan giữa tính liên tục

quả trong phiếu hoạt động 1.

của đồ thị hàm số y = f(x) tại

với mối

quan hệ giữa

và f(1)?”.

- GV chỉ định một số HS trả lời câu hỏi này và

yêu cầu HS giải thích.

 Pha 2 (5 phút)

 Pha 2

GV đề nghị HS bài toán được cho trong phiếu

HS trả lời câu hỏi trong phiếu hoạt động 2a.

Hoạt động 2a.

 Pha 3 (20 phút)

 Pha 3

- GV thu thập thông tin từ cá nhân HS trong

- Các HS được đề nghị, giải thích câu hỏi của GV.

các phiếu Hoạt động 2a. Nhận xét các lời giải

và yêu cầu HS giải thích.

- GV nhắc lại định nghĩa 1, nhấn mạnh tầm

quan trọng của việc quan sát trong định nghĩa

này.

- GV sử dụng phần mềm Geogebra trình chiếu

một số đồ thị để HS phát hiện hạn chế, khiếm

khuyết của quan niệm dựa trên trực giác, hình

học. Các bước:

a) Trình chiếu đồ thị (không có biểu thức hàm

- HS được đề nghị, trả lời các câu hỏi của GV,

số).

liên quan đến đồ thị được cho.

b) Đặt câu hỏi để HS bộc lộ sai lầm hoặc khó

- Các HS khác có thể tham gia ý kiến.

khăn trong trả lời.

c) Chỉ ra sai lầm của HS và nguyên nhân.

GV kết luận về hạn chế, khó khăn của quan

niệm trực giác, hình học và nhu cầu phải thay

thế định nghĩa 1 bằng một định nghĩa khác tốt

hơn.

- GV phát phiếu hoạt động 2b.

- HS trả lời câu hỏi trong phiếu hoạt động 2b.

- GV tổng kết, nhận xét và đưa ra định nghĩa số

- HS điều chỉnh nếu kết quả sai.

hóa khái niệm HSLT tại một điểm trên khoảng.

« Người ta tìm thấy một bảng thông báo sau đây đã bị mất một số thông tin ở các ô thuộc dòng thứ hai của

ba cột đầu tiên:

Hàm số y = f(x) xác

Đồ thị của hàm số

Quan hệ giữa

Tính chất liên tục của

định trên khoảng

y = f(x)

hàm số y = f(x) tại x0.

167

 Phiếu hoạt động 2a (phụ lục 5.13) gồm 4 cột với nội dung:

(a ;b) chứa x0 bởi:

và f(x0)

Hàm số y = f(x) liên tục

f(x) =

tại x0.

Theo em, có thể khôi phục được thông tin bị mất ở ô nào? Viết thông tin mà em khôi phục được vào ô

tương ứng. Ô nào không thể khôi phục thông tin bị mất, em ghi chữ « không » ».

« Từ kết quả của hoạt động 2a, em có thể đề xuất một cách định nghĩa khác về Hàm số liên tục tại x0

(a;b), mà không phải dùng đến đồ thị của hàm số hay không?

Nếu được, hãy phát biểu định nghĩa đó bằng cách điền vào dòng ………….. dưới đây:

 Định nghĩa khác: Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa

được gọi là liên tục tại x0 nếu

………………………………………………………………………

 Phiếu hoạt động 2b (phụ lục 5.14) có nội dung như sau:

B- THỰC NGHIỆM

5.3. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ THỰC NGHIỆM

Mục đích tổng quát của thực nghiệm là kiểm chứng tính khả thi và ý nghĩa của các giải

pháp sư phạm đã đề xuất trong phần A.

Mục đích trọng tâm của thực nghiệm là kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu sau:

“HS có thể nhận ra khiếm khuyết của quan niệm hình học về khái niệm HSLT và từ đó

kiến tạo một định nghĩa hình thức của khái niệm này thông qua hoạt động giải quyết các

tình huống được thể thiết kế theo quan điểm của phương pháp dạy học tích cực, có ứng

dụng CNTT. Nói cách khác, các tình huống này có thể cho phép học sinh thực hiện sự nối

khớp giữa quan điểm hình học và quan điểm số hóa về khái niệm HSLT”.

Đặc biệt, thực nghiệm phải cho phép tiếp cận khái niệm hàm số liên tục đảm bảo các yêu

cầu:

- Có bước chuyển của khái niệm hàm số liên tục từ hình thức cận toán học sang hình

thức toán học.

- HS nhận ra khiếm khuyết của quan điểm trực giác hình học của khái niệm HSLT, từ đó

168

ý thức được tính cần thiết đưa vào định nghĩa HSLT từ quan điểm số hóa.

- Có bước chuyển trong quan niệm về khái niệm HSLT: từ quan niệm tổng thể và trực

giác hình học đến quan niệm địa phương và số hóa, nghĩa là có sự nối khớp giữa hai quan

niệm này.

- Đảm bảo đặc trưng của tình huống dạy học theo phương pháp dạy học tích cực.

Các thực nghiệm được xây dựng dựa trên sự tổng hợp các giải pháp sư phạm đã đề xuất

chứ không chỉ một giải pháp đơn thuần nào. Để đạt các mục tiêu trên, chúng tôi đã đề xuất

hai tình huống: TH1 (VD 5.2, tr. 167) và TH2 (VD 5.3, tr. 168), mà kịch bản của chúng đã được trình bày trong phần A.

Ngoài ra, trước khi tiến hành thực nghiệm TH1 và TH2, chúng tôi tiến hành bài ngoại

khóa cho các lớp HS có tham gia thực nghiệm.

Mục tiêu của bài ngoại khóa này là:

- Cho phép HS tiếp cận với phần mềm toán học Geogebra, phần mềm có mã nguồn mở

[115].

- Giới thiệu các thuật ngữ “đường cong liên tục”, “Đồ thị liên tục” và “hàm số liên tục”

(nếu có đồ thị liên tục). Nói cách khác, qua bài ngoại khóa này, HS sẽ được tiếp cận với

khái niệm HSLT qua đặc trưng tổng thể và trực giác - hình học.

Tuy nhiên, do hạn chế về khuôn khổ của luận án, chúng tôi chỉ giới thiệu nội dung bài

ngoại khóa trong phần phụ lục.

5.4. TÌNH HUỐNG 1

5.4.1. Mục đích của tình huống 1

Mục đích trọng tâm của thực nghiệm trong tình huống này là đặt HS vào một tình huống

có thể dẫn tới việc sử dụng ghi nhận trực giác hình học để kết luận (sai) về tính liên tục của

đồ thị hàm số.

Khiếm khuyết của thông tin có được từ ghi nhận trực giác hình học này có thể xuất phát

từ các nguyên nhân sau:

- Trực giác hình học có được từ quan sát các đối tượng vật lí (biểu diễn vật chất của các

đối tượng hình học), chứ không phải chính đối tượng hình học đó và vì vậy, thông tin có

được có thể không chính xác.

- Hiện nay, nhiều phần mềm toán học cho phép thực hiện các biểu diễn hình học của đối

tượng toán học. Nhưng do quan điểm của những người thiết kế phần mềm hoặc hạn chế của

169

công nghệ mà các biểu diễn hình học đó đôi khi không chính xác. Chẳng hạn, với một hàm

số liên tục trên các khoảng (-,x0), (x0 ,+) và gián đoạn tại x0, nhưng một số phần mềm

cho biểu diễn đồ thị là một đường cong liền nét trên toàn bộ R, một số phần mềm khác cho

thấy có lỗ hổng tại x0 chỉ khi chọn chế độ Zoom màn hình khá lớn trong lân cận của x0.

- HS phạm sai lầm khi vẽ đồ thị của hàm số - SL có nguồn gốc từ hợp đồng dạy học như

đã kiểm chứng trong chương IV.

Nói cách khác, dù bất cứ lí do gì thì chúng tôi cũng hy vọng rằng tình huống thực

nghiệm sẽ là cơ hội cho phép HS nhận ra rằng thông tin có được từ trực giác hình học (ngay

cả khi sử dụng các phần mềm toán học) chỉ có tính “dự đoán” và do đó, cần thiết thực hiện

nghiên cứu mang tính lí thuyết mới có thể khẳng định chân lí của dự đoán đó.

Từ đó, ngoài mục tiêu làm cho HS nhận ra khiếm khuyết của ghi nhận từ trực giác hình

học, TH1 trong luận án này cũng nhằm cảnh giác HS về khiếm khuyết của một số phần

mềm toán học trong việc thể hiện hình ảnh trực quan của các đối tượng toán học.

5.4.2. Hình thức thực nghiệm

Thực nghiệm được tiến hành trong tháng 2/2011 với hai lớp 11 (năm học 2010-2011)

của trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai: lớp 11 chuyên văn (11V) với 21 HS

có trình độ trung bình về toán và lớp 11 chuyên sinh (11S) với 23 HS có trình độ khá về

toán. Tất cả đều đã học khái niệm giới hạn, nhưng chưa học về khái niệm HSLT.

Mỗi lớp được chia thành 6 nhóm, mỗi nhóm từ 3 đến 4 HS, được mã hóa như sau:

 V1, V2,….,V6 là các nhóm của lớp 11V

 S1, S2,…..S6 là các nhóm của lớp 11S.

Mặt khác, các nhóm của mỗi lớp lại được phân thành hai khối A và B. Học sinh mỗi

khối làm việc trong điều kiện khác nhau về môi trường CNTT:

+ Các nhóm thuộc khối A: sử dụng phần mềm Geogebra nhưng không dùng MTBT.

+ Các nhóm khối B: sử dụng MTBT và không dùng Geogebra.

Phân bố số HS của mỗi nhóm trong các lớp và khối này như sau:

Bảng 5.2: Phân bố số học sinh của các nhóm thực nghiệm tình huống 1

Khối A (22 HS) B (22 HS) TC

Chỉ sử dụng Geogebra

Chỉ sử dụng MTBT

Lớp

11V 3(V1) 4(V2) 4(V3) 4(V4) 3(V5) 3(V6) 21

170

11S 3(S1) 4(S2) 4(S3) 4(S4) 4(S5) 4(S6) 23

Việc tổ chức hoạt động theo nhóm nhằm mục đích: Phù hợp với điều kiện giảng dạy và

xu hướng đổi mới PPDH. Cụ thể hơn, hoạt động nhóm làm tăng tính hỗ trợ, bổ sung cho

nhau giữa các thành viên của nhóm trong việc sử dụng máy tính để vẽ đồ thị. Hoạt động

nhóm còn làm giảm số máy tính cần thiết cho một lớp, điều này phù hợp với điều kiện còn

thiếu về trang thiết bị phục vụ dạy học của chúng ta hiện nay.

Việc tổ chức các nhóm thực nghiệm trong hai khối A và B với thiết bị CNTT khác nhau

nhằm mục đích tạo ra một sự đối chứng giữa chiến lược hình học và chiến lược số mà học

sinh có thể vận dụng trong giải quyết các bài toán đặt ra trong tình huống. Đặc biệt, đó là sự

đối chứng giữa SL mà HS có thể phạm phải, có nguyên nhân từ quan sát đồ thị: đồ thị là

một đường liền nét được vẽ bởi phần mềm Geogebra (do hạn chế về công nghệ), hoặc được

vẽ tay bởi các nhóm chỉ sử dụng MTBT (do ảnh hưởng của hợp đồng dạy học nêu ở chương

IV).

Trước khi tiến hành thực nghiệm, chúng tôi đã dạy bài số 1 (phụ lục 5.1) dưới hình thức

bài ngoại khóa cho HS các lớp này. Đây cũng là điều kiện cần của TH1 và cũng là lí do

không thể tổ chức TH1 trên một lượng HS lớn hơn.

5.4.3. Phân tích tiên nghiệm

5.4.3.1. Các biến dạy học được sử dụng trong xây dựng tình huống 1

 B1 - Cách cho hàm số. Các giá trị của biến B1 là:

- B11: hàm số cho bằng biểu thức giải tích.

- B12: hàm số cho bằng đồ thị.

 B2 - Thiết bị công nghệ thông tin

- B21: sử dụng phần mềm Geogebra và không dùng MTBT.

- B22: sử dụng MTBT nhưng không dùng phần mềm Geogebra.

 B3 - Dạng của hàm số: quen thuộc (B31), không quen thuộc (B32).

Bảng sau đây cho biết sự lựa chọn giá trị các biến trong các hoạt động:

Bảng 5.3: Giá trị của các biến trong các hoạt động

Biến Khối A Khối B

B1 B11

B2 B21 B22

171

B3 B32

5.4.3.2. Chiến lược có thể dự kiến

Các chiến lược trình bày dưới đây tương thích lần lượt với các kiểu nhiệm vụ chủ yếu

được yêu cầu trong hai hoạt động 1 và 2 là:

- T1: Vẽ đồ thị hàm số.

- T2: Kết luận về tính liên tục của đồ thị hàm số.

- T3: Tìm khoảng trống hay lỗ hổng trên đồ thị hàm số.

- T4: Xác định một điểm có thuộc đồ thị hàm số không.

a) Đối với kiểu nhiệm vụ T1 “Vẽ đồ thị hàm số”:

- Chiến lược phần mềm S1pm: dùng phần mềm Geogebra (phần mềm có mã nguồn mở

[115]) để hiển thị đồ thị trên màn hình máy tính.

- Chiến lược đại số S1đs: tính tọa độ một số điểm thuộc đồ thị (có thể lập bảng giá trị

hoặc không), sau đó vẽ bằng tay đồ thị hàm số từ các điểm có tọa độ tìm được.

Với cùng chiến lược này, nhưng sản phẩm thu được từ HS có thể khác nhau:

+ Đồ thị là một đường cong đứt đoạn tại điểm có hoành độ x = .

+ Đồ thị là một đường cong liền nét. Sản phẩm này có được khi HS không xét đến miền

xác định của hàm số, hoặc phạm phải sai lầm do HĐDH như trong thực nghiệm ở chương

IV.

Để làm rõ quan hệ cá nhân của HS, chúng tôi kí hiệu chiến lược đại số có sản phẩm dạng

thứ nhất là S1đs, có sản phẩm dạng thứ 2 là S1đs*.

- Chiến lược rút gọn S1rg: bản chất chiến lược này tương tự như S1đs, tuy nhiên,

trước khi vẽ đồ thị, HS rút gọn biểu thức của hàm số về dạng: f(x) = 9x3– x + 2

Tương tự với S1đs, chúng tôi kí hiệu S1rg là chiến lược rút gọn, có sản phẩm là đường

cong đứt đoạn tại x = , còn S1rg* ứng với sản phẩm là đường cong liền nét.

b) Đối với kiểu nhiệm vụ T2 và T3:

- Chiến lược hình học S2hh: dựa hoàn toàn trên quan sát trực giác về đồ thị được vẽ

trong câu a (là đường liền nét hay có lỗ hổng) để kết luận.

Như vậy, kết luận sẽ phụ thuộc vào đường cong mà chính HS tạo ra (bằng phần mềm

hay bằng tay).

- Chiến lược đại số S2đs: ghi nhận rằng hàm số không xác định tại x = . Từ đó đưa ra

172

kết luận.

c) Đối với T4, dự kiến có hai chiến lược liên quan đến kiểu nhiệm vụ này:

- Chiến lược hình học S3hh: Sử dụng phần mềm, HS hiển thị điểm A( ;2) trên màn

hình rồi kết luận dựa trên trực quan hình học.

- Chiến lược đại số S3đs: HS tính giá trị hàm số tại x = và cho kết luận.

5.4.3.3. Quan hệ giữa biến - chiến lược và cái có thể quan sát được

a) Đối với kiểu nhiệm vụ T1 “Vẽ đồ thị hàm số”:

Với các giá trị được chọn của biến nêu trong bảng trên, có thể dự đoán rằng:

- HS thuộc khối A (sử dụng phần mềm Geogebra) sẽ dùng chiến lược S1pm để có được

đồ thị là đường cong liền nét, dù hàm số không xác định tại x = .

- HS khối B (sử dụng MTBT) sẽ dùng một trong các chiến lược S1đs, S1đs*, S1rg hoặc

S1rg*. Tuy nhiên, khả năng xuất hiện S1rg và S1rg* là khá thấp do tác động của biến B32 -

dạng của hàm số. Hàm số được sử dụng là hàm số hữu tỉ , một hàm số không

quen thuộc với HS, mặc dù P(x) chia hết cho Q(x). Tính “không quen thuộc” này thể hiện ở

các điểm:

+ bậc của P(x) là bậc bốn, giá trị này làm hạn chế sự xuất hiện của các chiến lược thiên

về giải phương trình bằng MTBT, do đó, hạn chế xu hướng chia đa thức;

+ nghiệm của nhị thức bậc nhất Q(x) là . Giá trị được chọn này cũng làm cho HS

thường “bỏ qua” yếu tố miền xác định của hàm số. Với ý đồ này Q(x) = 3x+1 đã được lựa

chọn thay vì Q(x) = 3x – 1.

- Khả năng từ chối vẽ đồ thị cũng khó xảy ra do hai nguyên nhân:

+ câu hỏi đóng “vẽ đồ thị (C) của hàm số” ngầm ẩn rằng đồ thị này có thể vẽ được;

+ đối với HS lớp 11 họ chưa hề gặp loại hàm số xác định bởi công thức mà không vẽ đồ

thị được (như hàm Dirichlet chẳng hạn) và HĐDH 1 cũng cho phép họ vẽ được đồ thị nếu

xác định được các điểm của nó.

b) Đối với kiểu nhiệm vụ T2- “về tính liên tục của đồ thị hàm số” và T3- “tìm

khoảng trống hay lỗ hổng trên đồ thị”

Chúng tôi dự đoán với HS thuộc khối A, lời giải thuộc chiến lược S2hh chiếm ưu thế,

173

nghĩa là chủ yếu họ dựa vào quan sát hình học. S2hh cho thấy sự tác động của các biến B21

và B32 đến chiến lược của HS. Trong một môi trường với sự hỗ trợ của phần mềm vẽ đồ thị

và với một hàm số “không quen thuộc” thì phương án tối ưu với HS là dựa vào kết quả được

cho là “rất đáng tin cậy”. Vì vậy, dự đoán lời giải thường gặp sẽ là: “đồ thị liên tục”, “đồ thị

không có khoảng trống hay lỗ hổng”….

Với HS thuộc khối B, chiến lược đại số sẽ chiếm ưu thế. Chủ yếu phán đoán của HS sẽ

liên quan đến miền xác định. Tuy nhiên, do tác động của B32 nên có thể một số HS thuộc

khối B vẫn chịu tác động của HĐDH 1 về “….đồ thị là đường liền nét bằng cách nối các

điểm” và bỏ qua miền xác định.

c) Với kiểu nhiệm vụ T4, “xác định điểm có thuộc đồ thị hay không?”

; 2) trong hệ trục tọa Với HS ở khối A, biến B21 tạo thuận tiện cho việc biểu diễn A(

. Chúng tôi cho rằng độ trong khi biến B32 lại hạn chế việc tính giá trị của hàm số tại

chiến lược S3hh được HS ưu tiên chọn do sự cộng hưởng của hai biến này. Vì vậy, lời giải

tương ứng thường sẽ là “A thuộc (C)”.

Với HS ở khối B, dự kiến rằng biến B22 sẽ làm xuất hiện chủ yếu chiến lược tính toán

đại số S3đs.

5.4.3.4. Phân tích kịch bản và việc vận dụng các giải pháp sư phạm

Như đã phân tích ở chương II, quan niệm trực giác, hình học là một chướng ngại khoa

học luận. Chẳng hạn, trực giác hình học đã từng đưa đến quan niệm "một hàm số liên tục

nhận tiếp tuyến tại những điểm không là điểm tới hạn" và nhiều nhà toán học cũng đã có ý

định chứng minh tính chất này. Cho đến khi Weierstrass đưa ra một ví dụ về HSLT trên R

nhưng không đâu khả vi thì vấn đề trên mới ngừng gây tranh cãi. Nhu cầu số hóa khái niệm

HSLT để khắc phục những trực giác của quan niệm hình học đã được Bolzano và Cauchy

hoàn thành khi chính xác hóa công cụ để giải quyết bài toán về định lí giá trị trung gian.

Trong phạm vi toán học phổ thông, chúng ta không thể sử dụng những bước đi hay

những trở ngại các nhà toán học từng gặp để xây dựng một tình huống mà qua đó HS nhận

ra khiếm khuyết của quan niệm trực giác hình học.

Kịch bản của TH1 được lựa chọn nhằm mục đích thử nghiệm một tình huống mà theo

chúng tôi phù hợp với nhận thức của HS phổ thông và có thể cho phép HS nhận ra khiếm

khuyết của quan niệm hình học về khái niệm HSLT một cách tương đối. Như vậy, TH1 cụ

174

thể hóa giải pháp 1 là khai thác tối đa những đặc trưng khoa học luận của khái niệm HSLT.

Trong tình huống này, các đặc trưng được tính đến là đặc trưng về cơ chế của khái niệm, về

hình thức thể hiện, về phạm vi tác động.

Với ý đồ xây dựng tình huống học tập tích cực, các hoạt động 1 và 2 được thiết kế để

hoạt động của HS diễn ra (hoạt động nhóm, hỗ trợ của CNTT) mà không cần sự can thiệp

của GV.

Ở hoạt động 1, cả hai khối HS thực hiện nhiệm vụ vẽ đồ thị của một hàm số hữu tỉ. HS ở

khối A nhờ vào sự hỗ trợ của phần mềm vẽ đồ thị trong khi HS khối B chỉ hoạt động trong

môi trường có MTBT và hiển nhiên với những kiến thức họ đã biết về đồ thị hàm số. HS

được đặt vào một tình huống có thể làm xuất hiện sai lầm qua câu hỏi dựa trên sản phẩm

chính họ tạo ra: “đồ thị hàm số có liên tục không ?”. Ở khối A, SL này chỉ có thể do nguyên

nhân trực giác hình học do quan sát đồ thị (xem hình 5.3) và ở khối B, SL nếu có chỉ do

nguồn gốc là HĐDH.

Ở hoạt động 2, sản phẩm của hoạt động trước được sử dụng để khẳng định lại sự tiếp tục

tồn tại của các SL hoặc sự điều chỉnh của HS khi họ phát hiện SL. Hoạt động 2 nhằm vào

mục tiêu nhấn mạnh SL do quan niệm trực giác hình học bằng cách sử dụng tác động của

các biến dạy học. Chúng tôi dự đoán rằng ở tình huống này, HS khối A tiếp tục có các kết

luận sai do dựa vào quan sát.

Hoạt động 3 có mục đích xác nhận SL. Trong hoạt động này, GV đề nghị các kiểm

nghiệm (chẳng hạn, tính giá trị hàm số tại x = ) để HS tự phát hiện SL. Họ cũng được

khuyến khích đưa ra ý kiến cá nhân về nguyên nhân SL. GV có trách nhiệm tổng hợp các ý

kiến đó theo định hướng của mục đích thực nghiệm. Dự kiến những quan niệm sau đây của

HS có thể được thể hiện:

+ Quan niệm 1: SL do trực giác. Những quan niệm thuộc nhóm này có thể được trình

bày dưới dạng điển hình như:

- một điểm có diện tích bằng 0 (hoặc không có kích thước, kích thước quá nhỏ….) nên

không thể quan sát được sự khuyết 1 điểm trên đồ thị.

+ Quan niệm 2: SL do không xem xét miền xác định. Các lời giải điển hình:

- do không tìm tập xác định nên đồ thị không chính xác.

- hàm số suy biến thành hàm đa thức nên miền xác định là R và đây là nguyên nhân của

khiếm khuyết.

+ Quan niệm 3: Phần mềm Geogebra chưa hoàn chỉnh.

175

+ Quan niệm 4: Các quan niệm khác hoặc không có ý kiến.

Như vậy TH1 có những yếu tố của tiến trình xây dựng kiến thức theo quan điểm kiến tạo

như: dự đoán, kiểm nghiệm, thất bại. Nói cách khác, hoạt động được thiết kế trong TH1 còn

minh chứng sự vận dụng các giải pháp 2, giải pháp 3, giải pháp 4 về quan điểm thực

nghiệm, ứng dụng CNTT để đặt HS vào tình huống đối diện với SL và tự hình thành nhu

cầu xây dựng kiến thức mới.

5.4.4. Phân tích hậu nghiệm

Mặc dù hoạt động trong các tình huống đều được tổ chức theo nhóm nhưng để thu thập

được nhiều thông tin chúng tôi đã tập hợp và phân tích phiếu trả lời của cá nhân. Việc thu

thập thông tin từ cá nhân giúp chúng tôi biết thêm quan niệm riêng của họ trong trường hợp

ý kiến của họ không thống nhất với ý kiến của nhóm.

Kết quả thực nghiệm dưới đây được thống kê theo cá nhân:

Bảng 5.4: Thống kê kết quả thực nghiệm tình huống 1

Kiểu nhiệm vụ

T1

T2 và T3

S1pm

S1đs

S1đs*

S2hh

S2đs

S3hh

Lời giải

S3đs

11V

Khối A

11S

11V

10

Khối B

11S

12

9 Tổng cộng

22

13 22 (A); 100%

10(B)

22 Tỉ lệ

100%

40,9%

59,1%

12(B); 54,5%

45,5%

100%

a) Kiểu nhiệm vụ T1

Như đã dự đoán, không một bài làm nào sử dụng chiến lược rút gọn. 100% các lời giải

đều thuộc chiến lược phần mềm hoặc đại số. Đối với HS khối A, chỉ xuất hiện duy nhất

chiến lược phần mềm S1pm. Sản phẩm thu được đều là một đường liền nét tương thích với

đồ thị hàm số bậc ba đã được thể hiện trên màn hình (như hình 5.3).

Đối với HS khối B, 13/22 HS (59,1%) xác định các điểm rời rạc rồi nối chúng lại thành

một đường liền (phụ lục 5.5a; 5.5b). Đây là một minh chứng nữa về SL do ảnh hưởng của

HĐDH 1. Nói cách khác, SL này vẫn còn xuất hiện dai dẳng ở không ít HS.

b) Kiểu nhiệm vụ T2 và T3

Ở khối A, công cụ chủ yếu được sử dụng là công cụ hình học. 100% HS khối A có

kết luận về sự liên tục của đồ thị hay « không có lỗ hổng, khoảng trống » đều dựa vào quan

176

sát. Các lời giải được trích dẫn dưới đây minh họa cho nhận định trên:

 HS SS5 (nhóm S3): “Hàm số là liên tục. Vì đồ thị hàm số là một đường liên tục, không có lỗ

hổng hay khoảng trống nào (có thể vẽ đồ thị là một đường mà không cần nhấc bút lên)”.(Phụ lục

5.6)

 HS SV1 (nhóm V1): “Đồ thị liên tục vì không có khoảng trống hay lỗ hổng”. (Phụ lục 5.7)

 HS SV10 (nhóm V3): “Đồ thị hàm số có liên tục. Ta có thể thấy điều đó khi quan sát đồ thị”.

(Phụ lục 5.8)

 HS SV2 (nhóm S2): “Dựa vào đồ thị : đồ thị hàm số có liên tục”. (Phụ lục 5.9)

Một số HS khối A chỉ cho kết quả “đồ thị là liên tục” mà không kèm theo giải thích, kết

luận đó chắc chắn có được từ quan sát đồ thị được hiển thị trên màn hình.

Thông tin thu thập được từ 54,5% HS khối B có chiến lược S2đs cho thấy ảnh hưởng

kéo dài của HĐDH 1: “Để vẽ đồ thị của một hàm số, học sinh chỉ cần nối các điểm rời rạc

thuộc đồ thị để đạt được một đường liền nét”. Ngay cả các HS chỉ mới lấy các điểm và chưa

vẽ hoàn chỉnh đồ thị cũng có kết luận rằng đồ thị là một đường liên tục. Các lời giải điển

hình cho chiến lược này: SV19 - nhóm V6 (phụ lục 5.10); SS20 – nhóm S5 (phụ lục 5.11).

Với 45,5% HS còn lại của khối B có chiến lược S2đs, họ tập trung vào tính chất không

SS7 – nhóm S4: “Đồ thị hàm số không liên tục vì với x =

, y không xác định”.

 SS14 – nhóm S5: “MXĐ D =

, đồ thị hàm số không liên tục”

xác định của hàm số tại điểm x = . Một số lời giải điển hình:

c) Kiểu nhiệm vụ T4

Ở nhóm A, 100% các lời giải đều thuộc chiến lược S3hh nghĩa là dựa vào trực giác hình

học. Quan sát sản phẩm và theo dõi hoạt động của HS khối A, chúng tôi không ghi nhận

những tranh luận nào về sự không xác định của hàm số tại điểm x = .

Các câu lệnh và kết quả quan sát được ở các nhóm đều như nhau (xem hình 5.4), nghĩa

là họ chỉ sử dụng công cụ hình học để trả lời câu hỏi “A thuộc (C) ?” mà không có một sự

177

nối kết nào với « tính toán đại số »:

Hình 5.4

Ở khối B, lời giải đều thuộc chiến lược S3đs. Tuy nhiên, sản phẩm quan sát được không

hẳn chỉ dựa vào tính chất không xác định của hàm số tại điểm x = , một số mâu thuẫn

 SS11 – nhóm S5:

- Điểm A(-1/3, 2) không thuộc (C) vì D =

- Đồ thị (C) có khoảng trống tại điểm B(

; 0)

 SV12 – nhóm V6

- Thế A(-1/3, 2) vào hàm số (C) ta được:

A không thuộc (C).

- Đồ thị (C) có khoảng trống và lỗ hổng.

do tính toán sai và do đó chúng tôi ghi nhận được những lời giải không mong đợi:

Như vậy, kết quả thực nghiệm cho thấy ưu thế của công cụ hình học so với công cụ đại

số trong quan niệm của HS, biểu hiện qua những điểm sau:

+ Các HS khối A luôn dựa vào quan sát để kết luận ngay cả trong trường hợp họ có thể

thực hiện một thử nghiệm đơn giản bằng phép toán đại số. Điều này dẫn đến việc họ lặp lại

SL có cùng nguồn gốc trực giác hình học.

+ Với HS khối B, hoạt động trong môi trường chỉ có MTBT, nghĩa là chịu sự ràng buộc

trong phạm vi công cụ đại số, họ vẫn có xu hướng sử dụng công cụ hỉnh học qua chiến lược

S2hh.

178

Hoạt động 3

Kịch bản của hoạt động 3 đã được trình bày trong mục 5.2.4. (tr. 168), chúng tôi chỉ

trình bày kết quả thu thập được.

Quan niệm

Số HS

Bảng 5.5: Thống kê quan niệm của học sinh

3

Tỉ lệ

63,6%

22,7%

6,95%

Như vậy, đa số HS (63,6%) cho rằng nguồn gốc của SL do quan sát và dựa vào trực giác

- SS14 (nhóm S5): Do kích thước điểm quá nhỏ nên ta không nhìn được.

- SV10 (nhóm V3): Khiếm khuyết trong lời giải trên do chỉ quan sát trên đồ thị với tỉ lệ quá nhỏ,

không thể thấy vị trí nơi đồ thị bị đứt đoạn.

- SV16 (nhóm V4): Có thể do hạn chế về thị lực, điểm gián đoạn (khoảng trống) quá nhỏ trên một đồ

thị trải dài nên khó nhận biết được, vả lại chỉ có một điểm gián đoạn duy nhất tại điểm có hoành độ

hình học. Các ý kiến sau đây của HS minh họa rõ hơn quan điểm này:

Số HS cho rằng do hạn chế của phần mềm là không đáng kể (6,95%), quan niệm điển

- SV7 (nhóm V6): Khiếm khuyết do kỹ thuật máy tính, đường thẳng trên máy tính là tập hợp điểm rất

nhỏ. Vậy nên, khi hàm số không liên tục, không tồn tại khi x =

, ứng với một điểm rất nhỏ, quan

sát bằng mắt thường ta không thể nhận ra.

- SS8 (nhóm S2): Do hình vẽ trên máy tính không thể hiện được lỗ trống rất nhỏ trên đồ thị.

hình là:

Ngay cả trong các quan niệm này, chúng ta cũng tìm thấy những yếu tố có thể xem là

khiếm khuyết của quan niệm hình học (SV7).

Kết quả của hoạt động 3 còn minh chứng cho sự vận dụng cụ thể giải pháp 4 về khắc

phục sai lầm trong thiết kế tình huống dạy học khái niệm HSLT.

5.4.5. Kết luận về tình huống 1

Kết quả thực ngiệm cho thấy ưu điểm của việc sử dụng biến V2 (môi trường) với giá trị

V22 (sử dụng phần mềm Geogebra) và biến V3 (dạng của hàm số). Mục đích đặt HS vào tình

huống làm họ xuất hiện SL do nguồn gốc trực quan, hình học đạt được một cách tuyệt đối

so với môi trường không có sự hiện diện của phần mềm toán học. Tỉ lệ 63,6% HS của cả hai

khối A và B thừa nhận nguồn gốc của SL là do trực giác có thể xem là một kết quả chấp

nhận được cho việc đảm bảo tính sư phạm của tình huống. Thực ra, nếu 100% HS được

179

thực nghiệm trong cùng môi trường có phần mềm toán học thì tỉ lệ trên còn có thể lớn hơn.

Như vậy, tính khả thi của tình huống 1 được thể hiện qua các yếu tố sau:

+ Kiểm chứng được giả thuyết: “Có thể thiết kế một tình huống dạy học để HS nhận ra

được sự khiếm khuyết của quan niệm hình học”.

+ Vận dụng một cách cụ thể các giải pháp sư phạm 1, 2, 3 và 4. Hơn nữa, tình huống đã

có những đặc trưng của dạy học kiến tạo như dự đoán, kiểm nghiệm, thất bại và thích nghi

cùng với các yếu tố của PPDH tích cực qua hoạt động của chính học sinh trong hầu hết các

pha.

+ Phù hợp với đặc thù bộ môn, thời lượng, đảm bảo tính vừa sức và điều kiện tổ chức

dạy – học.

5.5. TÌNH HUỐNG 2

5.5.1. Mục đích của tình huống 2

Thực nghiệm này nhằm mục đích thử nghiệm cách tiếp cận khái niệm hàm số liên tục

đảm bảo các yêu cầu sau:

- Có bước chuyển từ hình thức cận toán học đến toán học của khái niệm HSLT.

- Có bước chuyển trong quan niệm về khái niệm HSLT: từ quan niệm tổng thể và trực

giác - hình học đến quan niệm địa phương và số hóa, nghĩa là có sự nối khớp giữa hai quan

niệm này (sau khi HS đã nhận ra khiếm khuyết của quan điểm trực giác hình học về HSLT).

- Đảm bảo đặc trưng của tình huống dạy học theo quan điểm dạy học kiến tạo và phương

pháp dạy học tích cực.

5.5.2. Hình thức thực nghiệm

Thực nghiệm được tổ chức thành các giờ học theo phương pháp dạy học tích cực. Để đạt

mục đích thực nghiệm, chúng tôi triển khai thực nghiệm trên các lớp đã thực hiện bài ngoại

khóa và tình huống 1 đó là các lớp 11S và 11V, trường THPT Lương Thế Vinh, Đồng Nai.

Thời điểm thực nghiệm là tháng 2/2011.

Ngoài việc áp dụng phương pháp luận về thực nghiệm của Didactic toán, chúng tôi cũng

sử dụng thêm phương pháp chuyên gia để đánh giá thực nghiệm này bằng cách mời 3 GV

bậc THPT dự giờ và cho ý kiến.

5.5.3. Phân tích tiên nghiệm

5.5.3.1. Các biến được sử dụng trong xây dựng tình huống 2

180

Các biến tình huống sau đây được sử dụng:

 V1 - Cách cho hàm số. Các giá trị của biến V1 là:

- V11: hàm số cho bằng biểu thức giải tích.

- V12: hàm số cho bằng đồ thị.

 V3 - Dạng của hàm số: quen thuộc (V31), không quen thuộc (V32).

 V4 - Dạng câu hỏi: câu hỏi mở (V41), câu hỏi đóng (V42), câu hỏi dạng điền khuyết

(V43)

 V5- Đặc trưng của hàm số tại điểm x0: hàm số liên tục tại x0 (V51); hàm số không liên

tục tại x0 (V52).

5.5.3.2. Chiến lược và lời giải có thể dự kiến

Các hoạt động 1 và 2 bao gồm các kiểu nhiệm vụ như sau:

- T1: Xét tính liên tục của đồ thị tại x0 = 1

- T2: Dự đoán và f(1)

- T3: Tính và f(1) bằng phép toán đại số

- T4: Khôi phục thông tin bị mất.

- T5: Thiết lập định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm x0 trên khoảng (a; b).

a) Với kiểu nhiệm vụ T1 và T2:

Trong trường hợp này chiến lược duy nhất chỉ có thể được áp dụng là chiến lược dựa

trên quan sát hình. Tuy nhiên, kết quả có thể khác nhau tùy thuộc vào thông tin mà HS đọc

được từ các đồ thị đã cho. Cụ thể, lời giải dự đoán có thể được mã hóa như sau:

Mã hóa lời giải dự đoán cho T1

Mã hóa lời giải dự đoán cho T2

Đồ thị

Bảng 5.6: Lời giải dự đoán cho kiểu nhiệm vụ T1 và T2

-S1a1: Đồ thị liên tục tại x0 = 1

-S2a1:

và f(1) = 2 và kết

-S1b1: Đồ thị không liên tục tại

luận

f(1)

x0 = 1.

-S2b1: Kết quả khác

181

(3) (4) (2)

-S1a2: Đồ thị liên tục tại x0 = 1

-S2a2: f(1) = 1 và

-S1b2: Đồ thị không liên tục tại

-S2b2: Kết quả khác

x0 = 1.

-S1a3: Đồ thị liên tục tại x0 = 1

-S1a3: f(1) = 1 và

= 1; kết luận

-S1b3: Đồ thị không liên tục tại

f(1) =

x0 = 1.

-S1b3: Kết quả khác

-S1a4: Đồ thị liên tục tại x0 = 1

-S1a4:

và f(1)

-S1b4: Đồ thị không liên tục tại

-S1b4: kết quả khác

x0 = 1.

-S1a5: Đồ thị liên tục tại x0 = 1

-S1a5: f(1) = 1 và

= 1; kết luận

-S1b5: Đồ thị không liên tục tại

f(1) =

x0 = 1.

-S1b5: kết quả khác

-S1a6: Đồ thị liên tục tại x0 = 1

-S1a6:

f(1) và

-S1b6: Đồ thị không liên tục tại

-S1b6: kết quả khác

x0 = 1.

b) Với kiểu nhiệm vụ T3 “Tính và f(1) bằng phép toán đại số”

Đối với T3, yêu cầu “bằng phép toán đại số” đòi hỏi kỹ thuật thuần túy đại số. Chúng tôi

182

cho rằng chiến lược hình học ít có cơ hội xuất hiện vì những lí do sau:

- Tác động của biến V31, giá trị này của V31 tạo điều kiện “rất thuận lợi” cho chiến lược

đại số. Hầu hết các trường hợp, HS chỉ cần thay giá trị x = 1 vào biểu thức của hàm số.

- Cách thức giáo viên giao nhiệm vụ qua sử dụng kết hợp CNTT và hướng dẫn

Mặc dù vậy, chúng tôi cho rằng có thể có HS hiểu đề bài theo cách khác nên vẫn sử

dụng chiến lược hình học đối với kiểu nhiệm vụ T3, chúng tôi gọi các lời giải có “dấu hiệu”

của chiến lược hình học là Sihh . Mã hóa lời giải dự đoán ứng với các chiến lược

như sau (xem bảng 5.7):

Hàm số y = f(x) (1)

Mã hóa lời giải dự đoán cho cột (5)

Mã hóa lời giải dự đoán

bằng chiến lược đại số

cho cột (5)

bằng chiến lược hình học

-S3a1:

và f(1) = 2

S1hh

-S3b1: Kết quả khác

-S3a2: f(1) = 1 và

S2hh

-S3b2: Kết quả khác

-S3a3: f(1) = 1 và

Bảng 5.7: Lời giải dự đoán cho kiểu nhiệm vụ T3

= 1

S3hh

-S3b3: Kết quả khác

-S3a4:

và f(1)

S4hh

-S3b4: kết quả khác

-S3a5: f(1) = 1 và

= 1

S5hh

-S3b5: kết quả khác

-S3a6:

f(1) và

S6hh

-S3b6: kết quả khác

c) Kiểu nhiệm vụ T4 “khôi phục thông tin”

Dự kiến trong trường hợp này HS dùng chiến lược “gán” hay “phỏng đoán”. Điều này

do họ vận dụng kết quả của hoạt động trước về liên quan giữa “tính liên tục của hàm số tại

1” và “liên hệ và f(1)”.

Dự đoán các lời giải tương ứng:

Hàm số y = f(x) xác định Đồ thị của hàm số

Quan hệ giữa

Tính chất liên tục của

183

-S4a:

trên khoảng (a ;b) chứa

y = f(x)

hàm số y = f(x) tại x0.

và f(x0)

x0 bởi:

f(x) = « không »

« không »

= f(x0)» Hàm số y = f(x) liên tục tại x0.

-S4b: Các lời giải khác

d) Kiểu nhiệm vụ T5 “thiết lập định nghĩa HSLT tại điểm x0 trên (a; b)”

Trong trường hợp này, HS dùng chiến lược « đồng hóa », dự kiến các lời giải là:

-S5a: điền khuyết nội dung “ ” hay “ ”

hoặc nội dung tương tự nhưng phát biểu bằng lời.

-S5b: Điền khuyết nội dung khác hay không điền khuyết

5.5.3.3. Quan hệ giữa biến-chiến lược và cái có thể quan sát được

a) Đối với kiểu nhiệm vụ T1 và T2

Với các biến V12 (hàm số cho bằng đồ thị), V42 (câu hỏi đóng) được chọn, dự đoán rằng

chiến lược hình học (dựa vào đồ thị) là sự lựa chọn duy nhất của HS. Với T1, chúng tôi cho

rằng khó có thể có lời giải bất thường, câu trả lời thường tương thích với dạng của đồ thị.

Với T2, việc xác định f(1) cũng là kiểu nhiệm vụ thông thường, HS chỉ cần xác định tung độ

của điểm trên đồ thị mà hoành độ tại đó bằng 1. Dự đoán rằng SL nếu có, thường ở nhiệm

vụ tìm bằng đồ thị, những SL đó có thể do tác động của các giá trị của biến V5 và

cũng có thể do HS yếu kỹ năng đọc tính chất của hàm số từ đồ thị như Nguyễn Phú Lộc đã

kết luận [39, tr.178].

b) Đối với kiểu nhiệm vụ T3

Bảng 5.7 cho thấy các giá trị được sử dụng của biến tình huống là V11 (hàm số cho bằng

biểu thức) và V31 (hàm số quen thuộc). Những giá trị này tạo thuận lợi cho kỹ thuật đại số,

vì vậy dự đoán chủ yếu các lời giải dạng S3ai (i = ) sẽ xuất hiện.

c) Đối với kiểu nhiệm vụ T4

Đối với HS phổ thông, theo thông lệ, việc xem xét tính chất của hàm số thường bắt đầu

từ cách ghi hàm số (hàm số cho bằng biểu thức, đồ thị, bảng giá trị…). Ngược với trình tự

này, trong kiểu nhiệm vụ T4, đặc trưng liên tục của hàm số tại x0 được cho trước (V51).

Biến V43 tạo một sự lưỡng lự ở HS khi họ phải bổ sung nhiều thông tin « bị mất », biến V51

184

tác động ngược lại, nó hạn chế sự xuất hiện của các kết quả không chính xác nếu HS sử

dụng triệt để các thông tin từ các hoạt động trước. Dự đoán rằng đa số HS từ chối việc bổ

sung thông tin về biểu thức và đồ thị hàm số và lời giải quan sát được hầu hết là S4a.

e) Đối với kiểu nhiệm vụ T5

Biến V51 (HSLT tại điểm x0 trên (a; b)) tạo thuận lợi cho việc dự đoán thông tin và biến

V43 (câu hỏi điền khuyết) lại có tác dụng giới hạn rằng thông tin cần thiết là duy nhất nhưng

không thuộc phạm vi hình học: «một cách định nghĩa khác về Hàm số liên tục tại x0 (a;b),

mà không phải dùng đến đồ thị của hàm số ». Với tác động của giá trị các biến này, chúng

tôi dự đoán khả năng HS có lời giải S5a là khá cao. Tuy nhiên cũng có thể họ không thể

trình bày một định nghĩa khác thoát khỏi ảnh hưởng của trực giác hình học.

5.5.3.4. Phân tích kịch bản và việc vận dụng các giải pháp sư phạm

 Bước 1: Định nghĩa HSLT từ quan điểm trực giác hình học

Như đã đề cập ở chương III (tr. 93), từ góc độ sư phạm, tiếp cận tổng thể trên phương

diện hình học khái niệm HSLT luôn dễ dàng và « tự nhiên » hơn đối với HS.

Trong giờ ngoại khóa, GV đã giới thiệu cho HS các thuật ngữ “Đường cong liên tục”,

“Đồ thị liên tục” dựa trên trực giác hình học.

Ở bước thứ nhất của TH2, tiếp cận hình học – tổng thể khái niệm HSLT trên khoảng

được đưa vào thông qua «định nghĩa 1» và tiếp theo là một tiếp cận hình học - địa phương

học khái niệm HSLT tại một điểm trên khoảng thông qua «định nghĩa 2». Phương tiện

CNTT được GV sử dụng để minh họa các định nghĩa dựa trên hình học này. Hoạt động này

cũng có ý nghĩa kiểm chứng, vận dụng định nghĩa bằng phương pháp thực nghiệm.

 Bước 2: Hoạt động 1

Về phương diện khoa học luận, đặc trưng địa phương và số hóa của tính liên tục của hàm

số là phương tiện để các nhà toán học chính xác hóa khái niệm HSLT. Nghiên cứu các thể chế

dạy học cũng đã cho thấy rằng hầu hết các thể chế đã lựa chọn chuyển hóa sư phạm khái niệm

HSLT theo con đường đó. Tuy nhiên, kết quả phân tích ở chương II và III cho thấy các thể

chế đều chọn đường tắt so với tiến trình hình thành khái niệm, nghĩa là bỏ qua bước nối khớp

“hình học – số hóa”, mà thay vào đó, một định nghĩa hình thức qua khái niệm giới hạn nhanh

chóng được đưa vào. Bước 2 của TH2 là một kịch bản thử nghiệm cho tình huống nối khớp

hình học – giải tích qua các pha trong hoạt động 1.

- Trong pha 1, HS được đề nghị xác định các đặc trưng địa phương tại điểm x =1 như:

185

tính liên tục, giá trị f(1), , từ quan sát đồ thị cho sẵn (không có biểu thức) của 6 hàm

số. Các hàm số đã được lựa chọn có đồ thị với các đặc trưng khác nhau tại điểm x = 1

(cho bởi bảng 5.6 và 5.7) như: đồ thị liên tục, có khoảng trống, có lỗ hổng. Nhiều trường hợp

của hàm số được sử dụng cũng là điều kiện cần cho sự hình thành khái niệm theo con đường

qui nạp. Pha 1 kết thúc bởi một điểm gút là việc so sánh f(1) và . Tuy nhiên, kết quả

pha 1 dựa hoàn toàn trên quan sát nên vẫn có thể dẫn đến sai lầm. Các SL này sẽ được GV tận

dụng trong pha 3 nhằm nhấn mạnh đến khiếm khuyết của quan niệm trực giác – hình học.

- Trong pha 2, HS được cung cấp biểu thức của các hàm số. Với việc sử dụng các giá trị

thích hợp của biến dạy học, HS hoàn toàn thuận lợi trong thực hiện nhiệm vụ tính toán các giá

trị f(1), và so sánh các giá trị này. Pha 2 có ý nghĩa giúp HS tự phát hiện và điều

chỉnh các SL do nguồn gốc trực quan.

Trong các pha 1, 2 của hoạt động 1, học sinh làm việc độc lập mà không có sự can thiệp

của giáo viên.

- Ở pha 3, giáo viên điều chỉnh các sai lầm của HS, nhấn mạnh đến sai lầm do dựa trên

trực quan cũng như việc giảm sai lầm khi căn cứ trên tính toán đại số. Giáo viên thống nhất

kết quả của hoạt động 1.

 Bước 3: Hoạt động 2

Bao gồm ba pha nhằm dụng ý kép: “thực hiện sự nối khớp hình học – giải tích khái niệm

HSLT tại một điểm” và “HS tự hình thành định nghĩa HSLT tại một điểm như một nhu cầu

chính xác hóa khái niệm để thoát khỏi các khiếm khuyết của quan niệm hình học”.

- Ở pha 1, HS được đề nghị thiết lập liên quan hình học – giải tích của khái niệm HSLT

tại điểm x = 1, dựa trên các thông tin trong phiếu hoạt động 1 đã được chính xác hóa ở pha

3 – bước 2:

Pha này có ý nghĩa là một khâu cụ thể trong việc hình thành khái niệm HSLT tại điểm

theo con đường qui nạp (quan sát, tìm kiếm). Như vậy, mô hình tương đồng – tìm kiếm [39,

tr. 124], một dạng của dạy học kiến tạo, đã được vận dụng trong pha này.

- Pha 2 được xem là pha khái quát hóa theo quan điểm mô hình tương đồng – tìm kiếm.

Ở góc độ của lí thuyết tình huống, pha này được xem là pha ủy thác, HS thực hiện nhiệm vụ

một cách tự giác. HS hoạt động trong môi trường được thiết kế bởi GV mà kết quả đạt được

sẽ là một tri thức mới (sự nối khớp quan niệm hình học và giải tích). Hoạt động trong pha 2 186

cũng bao gồm những đặc trưng của dạy học kiến tạo đó là: HS thông qua hoạt động đồng

hóa và điều ứng các tri thức và kinh nghiệm sẵn có (ở bước 1 và 2) để thích nghi và nhận

thức được kiến thức.

Biến dạy học thích hợp – “câu hỏi điền khuyết” kết hợp với các kết quả của các hoạt

động trước có tác dụng:

+ khêu gợi hoạt động điều ứng kinh nghiệm vừa có của HS: “đồ thị hàm số f(x) liên tục

tại x = 1  f(1) = ” và “định nghĩa 2” vào vấn đề cần giải quyết.

+ giúp HS định hướng tổng quát hóa bằng hoạt động đồng hóa x = 1 và x = x0.

- Pha 3 là pha “hợp thức hóa”. Trong pha này GV có vai trò vừa là người tạo lập môi

trường học tập vừa là người điều khiển quá trình nhận thức của HS. Trước tiên, GV tổng kết

các kết quả đạt được ở pha 2, nhấn mạnh kết quả đạt được và tầm quan trọng của quan sát

trong các kết quả đó.

Một điểm quan trọng trong pha này là việc tổ chức các hoạt động để HS nhận ra được

khiếm khuyết của quan niệm dựa trên trực giác, đồ thị. Để đạt được mục đích này, GV sử

dụng phần mềm Geogebra và lựa chọn các tình huống ngắt quãng hợp đồng thích hợp. Việc

hình thành định nghĩa HSLT tại một điểm được GV giao nhiệm vụ cho HS bởi hoạt động

qua “phiếu hoạt động 2b”. GV điều khiển hoạt động “hợp thức hóa” và nêu những thuận lợi

của định nghĩa HSLT tại một điểm qua khái niệm giới hạn.

Mặc dù hầu hết các pha trong tình huống 2 đều được tổ chức theo hoạt động cá nhân

nhưng việc học được xây dựng trên các yếu tố: đặt vấn đề, giải quyết vấn đề, khám phá kiến

thức. Hoạt động tương tác cũng diễn ra trong những pha có sự can thiệp của GV, đặc biệt là

các pha hợp thức hóa. Những yếu tố này cho thấy sự vận dụng tư tưởng về tổ chức dạy học

theo quan điểm kiến tạo.

Các đặc trưng khoa học luận được tính đến của khái niệm HSLT trong các hoạt động

của TH2 minh chứng một cách cụ thể tính khả thi của giải pháp 1 đã đề xuất trong thiết kế

bước nối khớp hình học – số hóa để hình thành khái niệm HSLT.

Xuyên suốt trong các bước và hoạt động được thiết kế trong TH2, yếu tố CNTT là tác

nhân quan trọng để đạt được mục đích thực nghiệm. Như vậy, giải pháp 3 đã cụ thể hóa

qua vai trò của yếu tố CNTT trong TH2. Mặt khác, quan điểm thực nghiệm (giải pháp 2)

cũng được thể hiện rõ qua hoạt động thực hiện các kiểu nhiệm vụ T1, T2, những kiểu nhiệm

187

vụ chủ yếu dựa trên hoạt động “quan sát” và “dự đoán”.

Giải pháp 4 về khắc phục sai lầm được minh chứng thông qua pha 3 của bước 2 và các

hoạt động tương tác cụ thể trong giờ dạy thể hiện trong các phụ lục 5.22 và 5.23.

5.5.4. Phân tích hậu nghiệm

Từ phân tích tiên nghiệm, những lời giải kiểu a: S1a1, S2a1,...S4a,.... là những lời giải

mong đợi. Những lời giải kiểu b biểu hiện SL của HS và có thể được GV sử dụng như các

ví dụ minh họa cho SL có nguồn gốc hình học, trực quan.

a) Kiểu nhiệm vụ T1 và T2

Các trường hợp của hàm số

Kiểu nhiệm vụ T2 LỚP 11S LỚP 11V TC

Kiểu nhiệm vụ T1 LỚP LỚP 11S 11V 18

Lời giải S1a1

Lời giải S2a1

Trường hợp 1

S1b1

S2b1

S1a2

S2a2

Trường hợp 2

S1b2

S2b2

S1a3

S2a3

Trường hợp 3

S1b3

S2b3

S1a4

S2a4

S1b4

S2b4

Trường hợp 4

S1a5

S2a5

Trường hợp 5

S1b5

S2b5

S1a6

S2a6

Trường hợp 6

S1b6

S2b6

Bảng 5.8: Thống kê kết quả thực nghiệm của kiểu nhiệm vụ T1 và T2

- Tổng số lời giải của HS lớp 11S thuộc kiểu a: T1: 131/138 và T2: 98/138

- Tổng số lời giải của HS lớp 11S thuộc kiểu b: T1: 7/138 và T2: 40/138

- Tổng số lời giải của HS lớp 11V thuộc kiểu a: T1: 118 /126 và T2: 84/126

- Tổng số lời giải của HS lớp 11V thuộc kiểu b: T1: 8/126 và T2: 42/126

188

 Bình luận

- Với kiểu nhiệm vụ T1, tỉ lệ lời giải kiểu a lần lượt là 94,9%(lớp 11S) và 93,65% (lớp

11V) cho thấy rằng học sinh ở trình độ khá hay trung bình đều có thể vận dụng được các

định nghĩa HSLT tại một điểm theo cách tiếp cận trực quan – hình học. Nói cách khác, tiếp

cận trực quan – hình học là dễ cảm nhận đối với họ.

Tuy nhiên, ở mức độ phức tạp hơn, liên quan đến việc đọc đồ thị để xác định các đặc

trưng địa phương (kiểu nhiệm vụ T2), tỉ lệ lời giải mong đợi (kiểu a) đã giảm. Các tỉ lệ

tương ứng ở lớp 11V và 11S lần lượt là 71% và 66,66%. Như vậy, xuất hiện các SL từ việc

quan sát đồ thị. Theo chúng tôi, các SL này không có nguồn gốc là HĐDH. Từ phân tích

của chúng tôi ở chương III, SL này biểu hiện khó khăn của HS trong việc đọc đồ thị và xa

hơn, có thể do ảnh hưởng của xu hướng đại số hóa triệt để Giải tích, ít chú trọng tiếp cận

trực giác, hình học.

c) Kiểu nhiệm vụ T3

Các trường hợp của hàm số

Kiểu nhiệm vụ T3 LỚP 11V 19

LỚP 11S 23

Lời giải S3a1

S3b1

Trường hợp 1

S1hh

S3a2

S3b2

Trường hợp 2

S2hh

S3a3

S3b3

Trường hợp 3

S3hh

S3a4

S3b4

Trường hợp 4

S4hh

Trường hợp 5

41 3 0 37

19 2 0 16

22 1 0 21

S3a5 S3b5 S5hh S3a6

S3b6

Trường hợp 6

S6hh

Bảng 5.9: Thống kê kết quả thực nghiệm của kiểu nhiệm vụ T3

189

 Bình luận

Với T3, lời giải kiểu a của các lớp thực nghiệm là: 127/138 (lớp 11S); 94/126 (lớp 11V).

Như vậy, so với phương pháp hình học, tỉ lệ lời giải kiểu a của phương pháp đại số đã tăng

đáng kể, lớp 11S: 71%  92%, lớp 11V: 66,66%  74,6%. Một mặt, các tỉ lệ này phản ảnh

rõ trình độ của các lớp thực nghiệm, mặt khác, sự gia tăng tỉ lệ này là cơ sở cho việc đánh

giá đạt được một mục đích thực nghiệm: khắc phục hạn chế của quan niệm hình học bằng

cách dùng quan niệm số hóa. Kết quả trên cũng cho thấy ưu thế của chiến lược đại số,

không HS nào sử dụng chiến lược hình học để thực hiện nhiệm vụ T3, mặc dù kết quả đã có

sẵn. Chiến lược đại số luôn tỏ ra “quen thuộc” và “an toàn” đối với đa số HS, nhất là dưới

tác động của biến V31.

c) Kiểu nhiệm vụ T4 và T5

Lời giải ghi nhận được như sau:

- Lớp 11S: S4a: 21/23 và S5a: 20/23

- Lớp 11V: S4a: 18/21 và S5a: 17/21

 Bình luận: Tỉ lệ gộp của S4a là 39/44 (88,63%) và S5a là 37/44 (84%) cho thấy tính

khả thi của mục đích nối khớp hình học – số hóa. Đa số các lời giải ghi nhận được (đối với

, nhưng một số lời giải hoàn toàn T5) dưới dạng đẳng thức hình thức “f(x0) =

được phát biểu bằng lời. Một số HS không cho lời giải đối với T5 (3 của lớp 11S và 4 của

11V). Kết quả này cho thấy HS có khả năng đồng hóa các đối tượng tri thức nếu tình huống

dạy học được thiết kế hợp lôgic.

Minh họa cho các lời giải của HS được trình bày trong các phụ lục 5.15 đến 5.20.

5.5.5. Kết luận về tình huống 2

Kết quả thực nghiệm TH2 đã kiểm chứng được tính khả thi của giải pháp nối khớp quan

niệm hình học và quan niệm số hóa qua những yếu tố sau:

a) Hoạt động được tổ chức theo chu trình “tiếp cận hình học  nối khớp hình học – số

hóa  tiếp cận số hóa” phù hợp với nhận thức của HS theo quan điểm kiến tạo. Nó cũng

phù hợp với quan điểm của lí thuyết tình huống vì sự can thiệp của GV vào quá trình nhận

thức là tối thiểu.

b) Kết quả thực nghiệm có thể chấp nhận được về phương diện sư phạm.

c) Kết luận của các chuyên gia khi dự giờ triển khai tình huống thực nghiệm này:

- Có thể triển khai được với cả ba đối tượng HS: trung bình, giỏi, khá.

190

- Phù hợp với xu hướng đổi mới PPDH và điều kiện giảng dạy hiện nay.

- HS tự xây dựng được kiến thức.

- Vận dụng tiết dạy này vào các giờ dạy của các chuyên gia được mời dự giờ. (Chúng tôi

đã mời 3 GV dự giờ triển khai tiết dạy thực nghiệm: Trần Thị Nhung; Nguyễn thị Thu Hiền

và Nguyễn thị Kim Thoa – GV trường THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai). Các ý

kiến của GV dự giờ được trình bày trong phụ lục 5.21.

5.6. KẾT LUẬN CHƯƠNG 5

Chương V đã trình bày những giải pháp sư phạm về dạy học khái niệm hàm số liên tục

trong chương trình THPT và các thực nghiệm sư phạm. Tính khả thi của các giải pháp sư

phạm được kiểm chứng bởi thực nghiệm qua những yếu tố sau:

a) Kết quả thực nghiệm TH1 minh chứng được rằng học sinh có thể nhận ra khiếm

khuyết của quan niệm hình học về khái niệm hàm số liên tục và từ đó kiến tạo một định

nghĩa hình thức của khái niệm này thông qua hoạt động giải quyết các tình huống được thể

thiết kế theo quan điểm của phương pháp dạy học tích cực, có ứng dụng công nghệ thông

tin (nghĩa là thực hiện sự nối khớp giữa quan điểm hình học và quan điểm số hóa về khái

niệm hàm số liên tục).

Thực nghiệm TH1 còn kiểm chứng cho việc vận dụng một cách kết hợp các giải pháp:

giải pháp 1 (khai thác các đặc trưng khoa học luận của khái niệm HSLT trong tổ chức các

kiến thức trong CT và SGK); giải pháp 2 (tăng cường quan điểm thực nghiệm); giải pháp 3

b) Thực nghiệm TH2 xác nhận được tính khả thi của việc thiết kế tình huống học tập

(tăng cường ứng dụng CNTT) và giải pháp 4 (khắc phục sai lầm).

theo quan điểm kiến tạo và quan điểm của Didactic toán mà qua đó, khái niệm HSLT được

tiếp cận theo một chu trình phù hợp với nhận thức của HS: “tiếp cận hình học  nối khớp

hình học – số hóa  tiếp cận số hóa”. Thực nghiệm TH2 cũng kiểm chứng được vai trò của

các giải pháp sư phạm đã đề xuất trong thiết kế tình huống đưa vào khái niệm hàm số liên

191

tục.

192

KẾT LUẬN

A. Những đóng góp của luận án

1. Về lí luận

 Luận án đã hệ thống một số công cụ lí thuyết của Didactic Toán trong nghiên cứu sư

phạm. Đặc biệt, kết quả nghiên cứu trong luận án minh chứng được rằng có thể vận dụng

phương pháp luận nghiên cứu của Didactic Toán trong các nghiên cứu sư phạm. Điều này

làm phong phú thêm kho tàng Lí luận và Phương pháp dạy học môn toán ở nước ta.

 Luận án đã giới thiệu một cách tiếp cận đối tượng nghiên cứu (khái niệm hàm số liên

tục) theo quan điểm Didactic Toán, đó là nghiên cứu khoa học luận và những lợi ích của

nghiên cứu này. Cách thức tiếp cận này có thể được vận dụng để nghiên cứu các đối tượng

khác trong chương trình Toán học không những ở bậc Phổ thông mà cả ở bậc Đại học.

Nghiên cứu khoa học luận một đối tượng tri thức và nghiên cứu sư phạm đã được trình bày

trên quan điểm biện chứng cùng với phương pháp hợp thức hóa nội tại.

 Luận án đã giới thiệu quan điểm của Didactic Toán về sai lầm của học sinh, về phương

pháp hợp thức hóa nội tại và cụ thể hóa những yếu tố này trong nghiên cứu trường hợp dạy

học hàm số liên tục ở trường phổ thông.

2. Về thực tiễn

 Luận án đã góp phần làm rõ hơn các đặc trưng khoa học luận và sư phạm của một đối

tượng tri thức quan trọng – khái niệm hàm số liên tục, cũng như ảnh hưởng của các lựa chọn

chuyển hóa sư phạm khái niệm này trên HS. Luận án đã giới thiệu một cách tổng quát tiến

trình dạy học khái niệm hàm số liên tục ở một số nước. Những kết quả này có thể xem là

một nguồn tham khảo hữu ích cho giáo viên hoặc các nhà biên soạn sách giáo khoa, chương

trình.

 Luận án cũng kiểm chứng được giả thuyết về những sai lầm của học sinh phổ thông

liên quan đến khái niệm hàm số liên tục, kết quả này cũng cần được tính đến trong việc lựa

chọn chuyển hóa sư phạm các đối tượng liên quan đến khái niệm hàm số liên tục trong chu

kỳ biên soạn SGK mới.

 Luận án đã kiểm chứng một phương án đưa vào khái niệm HSLT từ quan điểm của

193

phương pháp dạy học tích cực, có ứng dụng CNTT, cho phép nối khớp quan niệm hình học

và quan niệm số hóa của khái niệm này. Tiến trình này phù hợp với khoa học luận và là xu

thế dạy học tiên tiến hiện nay.

 Luận án cũng cho thấy Giải tích nói chung, khái niệm HSLT nói riêng là những lĩnh

vực mà việc ứng dụng CNTT chưa được thể chế Việt Nam chú tâm khai thác. Ứng dụng

CNTT đã và đang chứng minh hiệu quả cao của nó trong dạy học các khái niệm của Giải

tích, điều này được kiểm chứng qua kết quả thực nghiệm và nghiên cứu thể chế dạy học ở

các nước tiên tiến như Pháp, Mỹ.

 Luận án cũng đã đề xuất bốn giải pháp dạy học khái niệm HSLT mà tính khả thi của

nó được kiểm nhận qua các thực nghiệm tình huống 1 và 2. Các giải pháp sư phạm được

thiết kế một cách lồng ghép trong các tình huống thực nghiệm chứ không riêng lẻ.

 Kết quả nghiên cứu trong luận án đã chứng tỏ các giả thuyết khoa học của luận án là

hợp lí.

B. Kết luận

- Với những đóng góp trên, chúng tôi nghĩ rằng luận án sẽ là một tài liệu tham khảo hữu

ích cho các nhà biên soạn chương trình và sách giáo khoa, sinh viên sư phạm, các nhà

nghiên cứu và giáo viên toán phổ thông, góp phần vào chủ trương đổi mới phương pháp dạy

học môn Giải tích nói chung và dạy học khái niệm HSLT nói riêng.

- Luận án cung cấp một phương pháp nghiên cứu sư phạm mà các giáo viên, các nhà

giáo dục có thể vận dụng vào nghiên cứu hoạt động dạy học.

- Trong quá trình nghiên cứu, do phạm vi giới hạn của luận án, một số vấn đề có liên

quan còn để ngỏ cần được nghiên cứu thêm như: ảnh hưởng của thể chế trên quan niệm của

giáo viên, phương án cấu trúc lại chương trình và sách giáo khoa về những đối tượng có liên

quan đến khái niệm hàm số liên tục, đưa CNTT thành một nội dung cụ thể trong SGK Toán

phổ thông, quan điểm tiếp cận năng lực trong thiết kế chương trình và sách giáo khoa. Đây

194

cũng chính là những hướng nghiên cứu tiếp theo mở ra từ luận án.

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ

1. Trần Anh Dũng (2008), Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm hàm số

liên tục, Tạp chí Giáo Dục, số 182/2008.

2. Trần Anh Dũng (2009), Thực nghiệm trong Toán học và quan điểm “thực

nghiệm” trong giảng dạy toán, Tạp chí khoa học, ĐHSP TPHCM, số 18/2009.

3. Trần Anh Dũng (2010), Chuyển hóa sư phạm khái niệm hàm số liên tục trong

chương trình toán bậc THPT ở Hoa Kỳ và ở Việt Nam, Tạp chí khoa học, ĐHSP

TPHCM, số 21/2010.

4. Trần Anh Dũng (2011), “Hợp đồng dạy học”- một công cụ để nghiên cứu sai lầm

của học sinh, Tạp chí khoa học, ĐHSP TPHCM, số 25/2011.

5. Trần Anh Dũng (2011), Vai trò của sai lầm và chướng ngại với việc tổ chức hoạt

động nhận thức trong dạy học môn toán, Tạp chí khoa học, ĐH Vinh, tập 40, số

4A , 2011.

6. Trần Anh Dũng (2011), Giảng dạy toán nâng cao ở trung học phổ thông ở Hoa

Kỳ và kinh nghiệm đối với Việt Nam, Tạp chí khoa học giáo dục, số 73/2011.

7. Lê Văn Tiến, Trần Anh Dũng (2012), Các quan niệm về chướng ngại trong dạy

học toán ở phổ thông, Tạp chí Giáo dục, số 285/2012.

8. Trần Anh Dũng (2012), Phân loại sai lầm của học sinh trong dạy học toán, Tạp

chí khoa học giáo dục, số 81/2012.

9. Lê Văn Tiến, Trần Lương Công Khanh, Trần Anh Dũng (2012), Dạy học Giải

tích ở trường trung học phổ thông – Nghiên cứu khoa học luận và sư phạm, Đề

195

tài khoa học và công nghệ cấp Bộ, Mã số: B2009.19, Trường ĐHSP TPHCM.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Đặng Đình Áng (1997), Nhập môn Giải tích, NXB Giáo dục, Hà Nội.

[2] Bộ Giáo Dục và Đào Tạo (2007), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình,

sách giáo khoa môn Toán lớp 11, NXB Giáo dục, Hà Nội.

[3] Bộ Giáo Dục và Đào Tạo (2004), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên dạy chương trình và

sách giáo khoa lớp 11 thí điểm, Viện Nghiên cứu sư phạm, Hà Nội

[4] Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (1996), Sai lầm phổ biến khi

giải toán, NXB Giáo Dục.

[5] Lê Thị Hoài Châu (2002), “Lịch sử hình thành khái niệm hàm số”, Báo Toán học và

Tuổi trẻ, (số 8/2002).

[6] Lê Thị Hoài Châu, Lê văn Tiến (2003), Vai trò của phân tích khoa học luận lịch sử toán

học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học môn toán, Đề tài NCKH cấp Bộ, ĐHSP

TPHCM.

[7] Lê Thị Hoài Châu, Đổi mới chương trình – nội dung và phương pháp dạy học toán, Tài

liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THPT chu kỳ III 2004 – 2007, NXB ĐHSP TP Hồ

Chí Minh.

[8] Lê Thị Hoài Châu (1997), Nghiên cứu lý luận dạy học và khoa học luận về việc dạy học

vectơ trong hai thể chế: lớp mười ở Việt Nam và lớp tương ứng ở Pháp, Tóm tắt Luận án

Tiến sĩ, Viện Nghiên cứu Leibnizt – IMAG, Cộng Hòa Pháp.

[9] Lê Thị Hoài Châu (2011), “Đào tạo giáo viên: Những bổ sung cần thiết”, Kỷ yếu hội

thảo quốc gia về giáo dục toán học ở trường phổ thông, NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội.

[10] Nguyễn Hữu Châu, Cao Thị Hà (2003), “Dạy học toán ở trường phổ thông theo quan

điểm kiến tạo”, Tạp chí giáo dục, số 60.

[11] Nguyễn Hữu Châu (2005), Những vấn đề cơ bản về chương trình và quá trình dạy

học, NXB Giáo Dục.

[12] Phan Đức Chính, Ngô Hữu Dũng (1991), Đại số và Giải tích 11 ( Sách giáo viên),

196

NXB Giáo dục, Hà nội.

[13] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân, Nguyễn Huy Đoan, Phạm Gia Đức,

Trương Công Thành, Nguyễn Duy Thuận (2007), Toán 9 tập một và tập hai, NXB Giáo

Dục.

[14] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Trần Đình Châu, Ngô

Hữu Dũng, Phạm Gia Đức, Nguyễn Duy Thuận (2007), Toán 8 tập một và tập hai, NXB

Giáo Dục.

[15] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận

(2007), Toán 7 tập một, NXB Giáo Dục.

[16] Nguyễn Mạnh Chung (2001), Nâng cao hiệu quả dạy học khái niệm toán học bằng các

biện pháp sư phạm theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh (thông qua

dạy học các khái niệm “hàm số” và “giới hạn” cho học sinh trường trung học phổ thông),

Luận án Tiến sĩ Giáo dục, Viện Khoa học Giáo dục, Hà Nội.

[17] Văn Như Cương (1977), Lịch sử hình học, NXB Khoa học và kĩ thuật, Hà nội.

[18] Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Bài Tập Hình học 11

Nâng cao, NXB Giáo Dục.

[19] Trần Anh Dũng (2010), “Hợp đồng dạy học – Một công cụ để nghiên cứu những sai

lầm của học sinh”, Kỷ yếu hội thảo khoa học, ĐHSP TP Hồ Chí Minh.

[20] Trần Anh Dũng (2005), Khái niệm liên tục – một nghiên cứu khoa học luận và

didactic, Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học, ĐHSP TP Hồ Chí Minh.

[21] Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đoàn Quỳnh,

Ngô Xuân Sơn, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình (2007), Bài Tập Đại Số và Giải Tích 11

Nâng cao, NXB Giáo Dục.

[22] Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Phạm Thị Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng

Thắng, Lưu Xuân Tình (2007), Bài Tập Đại Số 10 Nâng cao, NXB Giáo Dục.

[23] Phạm Gia Đức (Chủ biên), Bùi Huy Ngọc, Phạm Đức Quang (2008), Giáo trình

phương pháp dạy học các nội dung môn Toán, NXB ĐHSP Hà Nội.

[24] Phạm Gia Đức, Nguyễn Mạnh Cảng, Bùi Huy Ngọc, Vũ Dương Thụy (1998), Phương

pháp dạy học môn Toán, tập I, NXB Giáo dục, Hà Nội

197

[25] Trần Văn Hạo (chủ biên, 2004), Đại số và Giải tích 11, Nxb Giáo dục, TpHCM.

[26] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên, 2004), Đại số và Giải tích 11 – Sách giáo khoa thí điểm,

Ban Khoa học tự nhiên – Bộ 2, NXB Giáo dục, Hà nội.

[27] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên

(2007), Đại số và Giải tích 11,, Nxb Giáo dục, Hà nội.

[28] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh,

Phan Văn Viện (2007), Hình Học 11 (Sách Giáo Viên),, NXB Giáo dục.

[29] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Thu Nga, Phạm Phu,

Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất (2008), Bài Tập Giải Tích 12, NXB Giáo dục.

[30] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn

Văn Tuất (2008), Giải Tích 12, NXB Giáo dục.

[31] Trần Bá Hoành (2004), “Dạy và học bằng các hoạt động khám phá có hướng dẫn”,

Tạp chí Thông tin khoa học giáo dục, số 4.

[32] Trần Bá Hoành, Nguyễn Đình Khu, Đào Như Trang (2004), Áp dụng dạy và học tích

cực trong môn toán, NXB ĐHSP Hà Nội.

[33] Nguyễn Mộng Hy (1993), Xây dựng hình học bằng phương pháp tiên đề, NXB Giáo

Dục.

[34] Phan Huy Khải (1995), Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất, NXB

Nghệ An.

[35] Nguyễn Thế Khôi (Tổng chủ biên), Phạm Quí Tư, Lương Tất Đạt, Lê Chân Hùng,

Nguyễn Ngọc Hưng, Phạm Đình Thiết, Bùi Trọng Tuân, Lê Trọng Tường (2007), Vật Lí 10

Nâng Cao, NXB Giáo Dục.

[36] Nguyễn Bá Kim (2009), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB ĐHSP Hà Nội.

[37] Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (2003), Phương pháp dạy học môn Toán (Phần Đại

Cương), NXB Giáo Dục.

[38] Nguyễn Kỳ (1995), Phương pháp giáo dục tích cực, lấy người học làm trung tâm,

NXB Giáo dục.

[39] Nguyễn Phú Lộc (2006), “Nâng cao hiệu quả dạy học môn Giải Tích trong nhà trường

THPT theo hướng tiếp cận một số vấn đề của phương pháp luận toán học”, Luận án Tiến sĩ

198

Giáo dục học, ĐH Vinh.

[40] Nguyễn Phú Lộc (2003), “Áp dụng một tính chất của hàm số liên tục”, Tuyển tập 5

năm Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ (1991-1995), tr. 163 – 164, NXB Giáo Dục.

[41] Nguyễn Phú Lộc (2005), “Tính liên tục và rời rạc, chuyển động và đứng yên trong lịch

sử phát triển của phép tính vi phân và tích phân”, Tạp chí Triết học – Philosophy, số 5

(168), tháng 5-2005, tr. 56 – 59, Viện Triết học, Viện Khoa học xã hội Việt Nam, Hà Nội.

[42] Nguyễn Thị Nga (2003), Dạy học hàm số ở trường phổ thông, Luận văn tốt nghiệp,

ĐHSP TP Hồ Chí Minh.

[43] Bùi Văn Nghị (2008), Giáo trình Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn

Toán, NXB ĐHSP Hà Nội.

[44] Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học môn Toán ở trường phổ

thông, NXB ĐHSP Hà Nội.

[45] Nguyễn Hữu Nhân, Trần Kim Thỏa (2006), Ứng dụng của hàm liên tục trong giải toán

phổ thông, NXB Giáo Dục.

[46] Lê Thống Nhất (1996), “Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh phổ thông trung

học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải toán”, Luận án

Phó Tiến sĩ khoa học sư phạm – tâm lý, ĐH Vinh.

[47] Nguyễn Lan Phương (2000), “Cải tiến phương pháp dạy học toán với yêu cầu tích cực

hóa hoạt động học tập theo hướng giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề”, Luận án

Tiến sĩ Giáo dục, Viện Khoa học Giáo dục, Hà Nội.

[48] Hoàng Quý, Nguyễn Văn Ban, Hoàng Chúng, Trần Văn Hạo, Lê Thiên Hương (1999),

Từ điển Bách khoa phổ thông toán học, NXB Giáo dục, Hà nội.

[49] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng

Thắng, Trần Văn Vuông (2008), Đại số 10 Nâng cao, NXB Giáo dục, Hà nội.

[50] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Đại số và Giải tích 11 – Sách giáo khoa thí điểm, Ban

Khoa học tự nhiên – Bộ 1, NXB Giáo dục, Hà nội.

[51] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc

Minh, Đặng Hùng Thắng (2008), Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXB Giáo dục, Hà nội.

[52] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Hình

199

học 11 Nâng cao (Sách Giáo Viên), NXB Giáo dục.

[53] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân

Liêm, Đặng Hùng Thắng (2007), Giải Tích 12 Nâng Cao , NXB Giáo dục.

[54] Đào Tam (1998), “Một số cơ sở phương pháp luận của toán học và việc vận dụng

chúng vào dạy học toán ở nhà trường phổ thông” , Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục, số 9/1998,

Hà Nội.

[55] Đào Tam (2007), “Rèn luyện cho học sinh phổ thông một số thành tố của năng lực

kiến tạo kiến thức trong dạy học toán” , Tạp chí Giáo dục, số 165.

[56] Đào Tam (Chủ biên), Lê Hiến Dương (2008), Tiếp cận các phương pháp dạy học

không truyền thống trong dạy học Toán, NXB ĐHSP Hà Nội.

[57] Đào Tam (Chủ biên), Trần Trung (2010), Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy học

môn Toán ở trường trung học phổ thông, NXB ĐHSP Hà Nội.

[58] Chu Trọng Thanh, Trần Trung (2011), Cơ sở Toán học hiện đại của kiến thức môn

Toán phổ thông, NXB Giáo Dục Việt Nam.

[59] Lê Văn Tiến (2006), “Mối liên hệ giữa tình huống gợi vấn đề và tình huống lí tưởng”,

Tạp chí khoa học giáo dục, số 4 (1-2006)

[60] Lê Văn Tiến (2002), “ Quan điểm « thực nghiệm » trong dạy học toán ở trường phổ

thông”, Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, tập 30.

[61] Lê Văn Tiến, Nguyễn Thị Nga (2003), “Một phần thực trạng về quan niệm hàm của

học sinh trung học phổ thông”, Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, số 3/2003.

[62] Lê Văn Tiến, Trần Vũ Đức (2004), “Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm

tiếp tuyến”, Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, số 4/2004.

[63] Lê Văn Tiến (2003), “Cách nhìn mới về tiến trình dạy học khái niệm toán học”, Tạp

chí giáo dục (số 64), Hà nội.

[64] Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông, NXB

ĐHQG TP Hồ Chí Minh.

[65] Lê Văn Tiến, Lê Thị Hoài Châu, Nguyễn văn Vĩnh (1999), Học tập trong hoạt động

và bằng hoạt động. Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên trung học phổ thông. Trường

200

ĐHSP TPHCM.

[66] Lê Văn Tiến (2000), “Các quan điểm khác nhau về giảng dạy giải tích ở trường phổ

thông”. Tạp chí Nghiên cứu giáo dục, số chuyên đề quí I/2000 và số 3/2000.

[67] Lê Văn Tiến (2006), “Sai lầm của học sinh nhìn từ các góc độ các lí thuyết về học

tập”, Tạp chí giáo dục, số 137 kì 1-5/2006.

[68] Lê Văn Tiến, Trần Lương Công Khanh, Trần Anh Dũng (2012), Dạy học Giải tích ở

trường trung học phổ thông – Nghiên cứu khoa học luận và sư phạm, Đề tài khoa học và

công nghệ cấp Bộ, Trường ĐHSP TPHCM.

[69] Trần Thúc Trình (2011), “Khoa học luận về giáo dục Toán học”, Kỷ yếu hội thảo quốc

gia về giáo dục toán học ở trường phổ thông, NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội.

[70] Vũ Tuấn (Chủ biên), Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên

(2007), Bài Tập Đại Số và Giải Tích 11, NXB Giáo Dục, TP Hồ Chí Minh.

[71] Phạm Viết Vượng (1995), “Bàn về phương pháp giáo dục tích cực”, Tạp chí Nghiên

cứu giáo dục, số 10.

Dịch sang tiếng Việt

[72] ANNIE BESSOT, CLAUDE COMITI, LÊ THỊ HOÀI CHÂU, LÊ VĂN TIẾN (2009),

Những yếu tố cơ bản của Didactic Toán, NXB ĐHQG TP. Hồ Chí Minh.

[73] G. M. FICHTENGÔN (1968), Cơ sở giải tích toán học (quyển 1 và 2), NXB Đại học

và Trung học chuyên nghiệp, Hà nội..

[74] JEAN PIAGET (2001), Tâm lí học và Giáo dục học, NXB Giáo Dục

Tiếng Pháp

[75] ARTIGUE M. (1993), Enseignement de l’analyse et fonctions de référence. Repères- Irem, n011.

[76] BACHELARD G. (1968), Essai sur la connaissance approchée (third edition). Paris:

Vrin.

[77] BACHELARD G. (1938), La formation de l’esprit scientifique. Paris: Vrin.

201

[78] BALACHEFF N. (1982). Preuve et démonstration en mathématiques au collège. RDM, Vol 3, n03.

[79] BELTRAMONE J-P, Claude FELLONEAU, Jean-Pierre GALADRIN, Sylvie LE

FOULGOCQ, Lydia MISSET, Claude TALAMONI (2002), Déclic Maths, Hachette

Education, Paris.

[80] BOUAZZAOUI H. E. (1988). Conceptions des élèves et des professeurs à propos de

la notion de continuité d’une fonction. Thèse à l’école des gradués de l’université Laval

pour l’obtention du grade de philosophise doctor.

[81] BROUSSEAU G. (1983) – Les obstacles épistémologiques et les problèmes en

mathématiques. Vol 4-2, Edition La Pensée Sauvage, Grenoble.

[82] BROUSSEAU G. (1988) - Didactique fondamentale, in Didactique des mathématiques

et formation des maîtres à l’école élémentaire, Actes de l’université d’été, Publication de

l'I.R.E.M. de Bordeaux.

[83] CHEVALLARD Y. (1992), Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives

apportées par un approche anthropologique, Recherches en Didactique des Mathématiques,

12/1, 83 – 121, La Pensée Sauvage, Grenoble.

[84] CHEVALLARD Y. (1994), Les processus de transposition didactique et leur

théorisation, in Arsac et al. (éds.), La transposition didactique à l’épreuve, La Pensée

Sauvage, Grenoble.

[85] Collection Terracher (1998), Math Terminale S, Hachette, Paris.

[86] COMITI C. et col. (1995), Didactique des disciplines scientifiques et formation des

enseignants, Maison d’édition de l’Education, Hanoi.

[87] COSSART E., F. Théron (1971), Collection de Mathématiques class Terminale C, E,

Bordas, Paris.

[88] DORIER J-L (1997), Recherches en histoire et en didactique des mathématiques sur

l’algèbre linéaire – Perspective théorique sur leurs interactions, thèse pour obtenir le

Diplôme d’Hablitation à Diriger des Recherches, Université Joseph Fourier Grenoble 1, (Cahier du laboratoire Leibniz, no 12, Oct. 2000)

[89] DUROUX A. (1982), Le valeur difficultés majeures pour une notion mineure.

Publication de l’IREM de Bordeaux.

[90] GIRARD G., A. LENTIN, A. WARUSFEL (1967), Cours Maillard – Algèbre,

202

Hachette, Paris, France.

[91] HAUTCŒUR S., Maurice MONGE (1989), Mathématiques Classe de Terminale C/E,

Éditions Belin, Paris

[92] LE Thai Bao Thien Trung (2007) – Étude didactique des relations entre notion de

limite et decimalisation des nombres réels dans un environnement « calculatrice », Thèse en

co-tutelle pour obtenir les titres de Docteur de l’Université Joseph Fourrier, Grenoble et

Docteur du Viet Nam.

[93] LE Van Tien (2001) – Étude didactique de lien entre fonctions et equations dans

l’enseignement des mathematiques au lycee en France et au Vietnam, Thèse en co-tutelle

pour obtenir les titres de Docteur de l’Université Joseph Fourrier, Grenoble et Docteur du

Viet Nam.

[94] LITERS Jean-Louis, Claudine RENARD, Geneviève ROCHE, Anne THOMAS,

Claire TCHIGIQUE (1992), Exercises résolus Mathématiques – Analyse, Hachette, Paris.

[95] MAWFIK N. (2006), ″Compréhension de la notion de continuité d’une fonction

numérique à variable réelle chez les élèves du secondaire marocaine″, RADISMA, Numéro

1, École Normale Supérieure, Takadoum Rabat, Maroc.

[96] QUEYSANE M., André REVUZ (1970), Mathematique (Tome 1), Fernand Nathan,

Paris.

[97] REVUZ A. (1972), La notion de continuité dans l’enseignement du second degré : compte rendu d’une expérience. Education Studies of Mathematics, Vol. 4. no 3, pp. 281-

398 [98] TERRACHER (1991), Math analyse 1res S et E , Hachette Lycées, Paris.

[99] TERRACHER (1994), Math enseignment obligatoire terminale S, Hachette Éducation,

Paris.

Tiếng Anh

[100] BALACHEFF N. (1999), “Contract and Custom: Two Registers of Didactical

Interactions”, The Mathematics Educators, Vol. 9 No. 2.

[101] BELL E.T. (1992), The Development of Mathematics, Dover Publications, Inc.,

NewYork.

[102] BELL J. L. (2006), The Continuous and the infinitestimal in mathematics and

203

philosophy, Polimetrica International Scientific Publisher, Italy.

[103] BOYER C. B. (1959), The history of the calculus and its conceptual development,

Dover Publications, New York..

[104] BRIDGERS L. C. (2007), Conceptions of Continuity: An Investigation of High

School Calculus Teachers and Their Students, Dissertation for the Degree of Doctor of

Philosophy in Mathematics Education, Syracuse University, New York.

[105] BROUSSEAU G. (1997), Theory of Didactical Situations in Mathematics, Kluwer

Academic Publishers, Netherlands.

[106] EDWARDS C. H., Jr (1991), The Historical Development of the Calculus, Springer –

Verlag, New York.

[107] GARDINER J. V. (1981), The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus - Dover

Publications, Inc., NewYork.

[108] RUSS. S. B. (1980), A Translation of Bolzano’s Paper on the Intermediate Value

Theorem. Historia Mathematica 7(2), p. 156 - 185.

[109] SULLIVAN M., SULLIVAN III M. (2008), Precalculus, Pearson Prentice Hall, New

Jersey, USA.

[110] TALL D. (2003), Using Technology to Support an Embodied Approach to Learning

Concepts in Mathematics. In L.M. Carvalho and L.C.Guimarães História e Tecnologia no

Ensino da Matemática, vol. 1, pp. 1-28, Rio de Janeiro, Brasil.

[111] TALL D., ADRIAN SIMPSON (1998), Computers and the Link between Intuition

and Formalism. In Proceedings of the Tenth Annual International Congress on

Mathematical Education, Seville: SAEM Thales, pp. 65-82.

[112] TALL D., MIKHAIL KATZ (2012), A Cognitive Analysis of Cauchy’s Conceptions

of Function, Continuity, Limit and Infinitestimal, with Implications for teaching the calculus

(As submitted May 17 2012)

[113] TALL D., VINNER S. (1981), Concept Image and Concept Definition in

Mathematics with particular reference to Limits and Continuity, Educational Studies in

Mathematics, 12, p. 151 – 169.

[114] WILLIAM DUNHAM (2007), The Genius of Euler: Reflections on His Life and

[115] http://www.geogebra.org/download/?os=win&portable=true

204

Work, The Mathematical Association of America.

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC 3.1

Trong chương trình Toán lớp 7, khái niệm liên tục được hợp thức hóa một cách nhanh

chóng và ngầm ẩn thông qua đồ thị hàm số mà không có một bước chuyển từ tính rời rạc

sang tính liên tục. Ở mục 1, §7, chương 2, sách Toán 7 về đồ thị của hàm số, SGK trình bày

một ví dụ về một hàm số cho bằng bảng giá trị :

Hàm số y = f(x) được cho bằng bảng sau :

x -2 -1 0 0,5 1,5

y 3 2 -1 1 -2

…………..

Ví dụ 1 : Vẽ đồ thị hàm số đã cho [15, tr. 69]

Đồ thị hàm số được cho trong VD 1 ở trên gồm 5 điểm rời rạc trong mặt phẳng tọa độ.

Ngay sau đó trong mục 2, về đồ thị của hàm số y = ax, người ta nhanh chóng hợp thức tính

liên tục của nó bằng ghi nhận :

Kể từ thời điểm này, tính liên tục của đồ thị một hàm số trên các khoảng xác định của nó

được mặc nhiên công nhận. Chẳng hạn, trong Bài đọc thêm [15, tr. 74] được minh họa dưới

đây :

205

Và hướng dẫn về vẽ đồ thị hàm số y = [15, tr. 75] :

Dẫn chứng trên cho thấy tính không liên thông của tập xác định của hàm số không được

đề cập đến. Phải chăng thể chế tránh một giải thích về khái niệm gián đoạn của đồ thị một

hàm số có miền xác định là một tập không liên thông? Hay một sự công nhận ngầm ẩn về

206

tính liên tục của các đường cong biểu diễn những hàm số trên các khoảng xác định của nó ?

PHỤ LỤC 3.2

PHÂN TÍCH CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC

1. Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T1 :

“Chứng minh một hàm số f liên tục tại mọi điểm x ”

Kiểu nhiệm vụ này xuất hiện lần đầu tiên trong ví dụ được cho ngay sau định nghĩa hàm

số liên tục tại một điểm [51, tr. 168]:

Ví dụ 1.

a) Hàm số f(x) = liên tục tại mọi điểm vì

Lời giải các bài toán cho trong ví dụ và bài tập này cho phép nêu lên các kĩ thuật và công

nghệ sau đây tương ứng với kiểu nhiệm vụ T1 :

Đặc trưng của T1 : Hàm số f(x) luôn cho bằng một biểu thức giải tích, biểu thức đó là

đa thức, phân thức hữu tỷ, hay tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số sơ cấp cơ bản và f(x)

luôn xác định trên tập số thực.

2. Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T2 :

“Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm x0”

Kiểu nhiệm vụ T2 xuất hiện ngay sau định nghĩa HSLT tại một điểm trong một vi dụ đầu

tiên. Nó còn có mặt trong 2 hoạt động dành cho HS, một ví dụ thứ hai và 6 bài tập.

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này :

207

- Các hàm số được xét đến đều là hàm số cho bởi 2 công thức, có miền xác định ,

trong đó các hàm số thành phần đều là hàm đa thức hoặc hữu tỷ.

- Điểm được yêu cầu xét tính liên tục luôn là điểm biên của hai tập hợp hợp thành hay

“điểm nhảy” của hàm số, những điểm mà tại đó hàm số thay đổi công thức. Chúng tôi cho

rằng thể chế tránh việc sử dụng các hàm số cho bởi 1 công thức vì công nghệ 1 sẽ không đủ

cạnh tranh với nhận xét về tính liên tục của các hàm số tổng, hiệu, tích, thương của hàm đa

thức hay định lí về tính liên tục của các hàm số lượng giác.

- Hàm số luôn xác định tại điểm đã cho. Sự kết hợp giữa hiện tượng này và một phần

của định nghĩa : “Giả sử hàm số xác định trên (a,b) và x0(a;b)…… Hàm số không liên tục

tại x0 được gọi là gián đoạn tại x0” ảnh hưởng như thế nào đến quan niệm của HS và giải

thích của GV? Liệu những điều này có dẫn đến sự hiểu rằng điều kiện cần để x0 trở thành

điểm gián đoạn của hàm số là nó phải thuộc miền xác định của hàm số hay không? Để làm

rõ hơn ghi nhận này, chúng tôi liệt kê những bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T2 và các đặc

trưng của chúng :

Hàm số Điểm được yêu cầu Tập xác định Vị trí của bài toán

xét tính liên tục của hàm số

x = 0 Ví dụ

x = 0 Hoạt động f(x) =

x = -1 Ví dụ

x = 1 Hoạt động

x = 2 Bài tập

x = 1 Bài tập

x = 0 Bài tập

208

x = 2 Bài tập

x = -2 Bài tập

x = 0 Bài tập

x = -2 Bài tập

Bảng 1

Thông tin ở bảng 1 làm nảy sinh câu hỏi về ảnh hưởng của ràng buộc của thể chế lên

kiểu nhiệm vụ T2 :

a) GV chỉ yêu cầu HS những hàm số được xác định bởi 2 công thức trên 2 tập hợp rời

nhau hợp thành .

b) Các hàm số được cho liên tục trên khoảng hay nửa khoảng mà nó xác định và chỉ

là các hàm sơ cấp.

c) Điểm duy nhất mà học sinh được yêu cầu xét tính liên tục là “điểm nhảy” và luôn

là điểm thuộc miền xác định của hàm số

Những ghi nhận đó cho chúng tôi một dự đoán về sự tồn tại ngầm ẩn một qui tắc hợp

đồng dạy học (HĐDH) gắn liền với kiểu nhiệm vụ T2 :

Để xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0, HS chỉ cần kiểm tra đẳng thức

bằng các phép toán đại số. Họ không quan tâm đến tính chất

của miền xác định (liên thông, khoảng, nửa khoảng…) của hàm số.

3. Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T3 :

209

“Chứng minh một hàm số liên tục trên khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng K”

Đặc trưng của T3 :

;

- T3 với kỹ thuật, công nghệ tương ứng tác động đến 1 ví dụ và 3 bài tập mà ở đó các

hàm số được xét đến đều là hàm vô tỷ : . Đây

là những hàm số mà HS không thể sử dụng kỹ thuật – lý thuyết áp dụng đối với hàm đa thức

hoặc hữu tỳ khi xét tính liên tục.

- Các hàm số được xét đến đều có miền xác định không trùng với .

4. Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T4 :

“ Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó một hàm số f là liên tục”

Kiểu nhiệm vụ T4 tác động đến các hàm số được cho bởi một công thức duy nhất. Đó là

các hàm đa thức, hữu tỷ, lượng giác hay tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số này hoặc

hàm vô tỷ.

Chúng tôi cho rằng nhận xét « liên tục trên tập xác định » vẫn được HS và ngay cả GV

áp dụng đối với các hàm vô tỷ cho dù tính chất này không được trình bày trong SGK và

SBT. Chẳng hạn, xét BT 4.61 và lời giải của SBT [21, tr. 144 và tr. 170] :

Tìm các khoảng, đoạn và nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây là liên tục :

a) f(x) = b) f(x) =

c) f(x) = d) f(x) = (x+1)sinx

Lời giải

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi : x2+7x+10  0  x -2 và x  -5

210

Hàm số f liên tục trên các khoảng (-; -5), (-5; -2) và (-2:+)

b) c)

d) Hai hàm số u(x) = x+1 và v(x) = sinx đều liên tục trên . Do đó hàm số

f(x) = (x+1)sinx là tích của hai hàm số trên đều liên tục trên .

Lời giải trên của SBT cho thấy qui tắc “hàm số liên tục trên miền xác định” dường như

được sử dụng “chính thức” với mọi hàm số.

Phân tích trên dẫn đến dự đoán một hợp đồng dạy học :

“Để chứng minh hàm số y = liên tục trên K (khoảng, đoạn hay nửa khoảng),

trong đó f(x) là một đa thức, học sinh chỉ sử dụng tính chất liên tục của f(x) trên mà

không cần sử dụng định nghĩa HSLT tại một điểm, HSLT trên khoảng, trên đoạn..”

5. Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T5 :

“Chứng minh một hàm số f(x) liên tục trên tập xác định của nó”

Kiểu nhiệm vụ này xuất hiện trong 5 bài tập nhưng chúng tôi không tìm thấy lời giải

mong đợi trong SGK hay SBT. Để dự đoán các yếu tố kỹ thuật và công nghệ, trước hết

chúng ta xem xét các hàm số đã cho :

+ BT 48 [51, tr. 173] : f(x) = ; f(x) =

+ BT 52 [51, tr.176] : f(x) =

+ BT 50 [51, tr. 175] : g(x) = ; h(x) =

 Với các hàm số hữu tỉ, chúng tôi dự đoán tổ chức toán học liên quan là :

Kĩ thuật 3 và 4 – Công nghệ : 1, 2 và 4

Đây cũng là tổ chức toán học liên quan đến T4.

 Với hàm số vô tỉ, yếu tố kỹ thuật – công nghệ là {3 ; 4}.

 Với hàm số cho bởi hai công thức, yếu tố kỹ thuật – công nghệ được dự đoán là sự kết

hợp của {3 ; 1} và {4 ; 2}.

Như vậy, kiểu nhiệm vụ T5 là sự kết hợp của các kiểu nhiệm vụ T2, T3 và T4. Tuy nhiên

với gần 100% các hàm số được cho là liên tục trên miền xác định của nó, chúng tôi dự đoán

tồn tại ngầm ẩn một qui tắc HĐDH :

211

« Để tìm miền trên đó hàm số liên tục, HS chỉ cần tìm miền xác định của hàm số »

6. Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T6 :

« Tìm điều kiện của tham số m để hàm số liên tục trên »

Có thể mô tả T6 như sau : Một hàm số f(x) được cho bởi hai công thức trên miền xác

định là hai tập rời nhau (- ;a) ; [a ;+ ) (hay (- ;a] ; (a ;+ )). Hãy xác định giá trị của

tham số m để hàm số f liên tục trên .

Kiểu nhiệm vụ T6 chỉ xuất hiện trong 3 bài tập và hoàn toàn không hiện diện ở phần lí

thuyết. Những hàm số trong các bài tập này đều là các hàm số được xác định bằng hai công

thức mà mỗi hàm số thành phần đều là các đa thức hay hữu tỉ.

7. Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T7 :

Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (a; b)

Các đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này :

- Hàm số được cho luôn có dạng biểu thức giải tích, hoặc đa thức, hoặc là hàm số lượng

giác, liên tục trên [a; b] và f(a). f(b) < 0.

- Các đầu mút a, b là các số nguyên hay là bội số nguyên của .

Để minh họa cho các đặc trưng này ta xét các VD, BT trong SGK và SBT :

Bài toán

Lời giải mong đợi

Vị trí

Cho hàm số P(x)=x3+x–1.

Hàm số P liên tục trên đoạn [0;1]; P(0) = -1; P(1) =1.

Ví dụ

Chứng minh rằng phương trình

Vì P(0).P(1) < 0 nên theo hệ quả tồn tại ít nhất một

212

P(x) = 0 có ít nhất một nghiệm

điểm c (0;1) sao cho P(c) = 0.

dương nhỏ hơn 1.

Bài tập

 Hàm số f(x) = x2cosx + xsinx + 1 liên tục trên (0;

Chứng minh rằng phương trình x2cosx + xsinx + 1 = 0 có ít nhất

).

một nghiệm thuộc khoảng (0; )

 f(0) = 1; f() = 1 – 2  f(0). f() < 0

Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiệm trên (0; )

Bài tập

 Hàm số f(x) = x3+x+1 liên tục trên (-1; 0).

Chứng minh rằng phương trình x3+x+1=0 có ít nhất một nghiệm

 f(0) = 1; f(-1) = –1  f(0). f(-1) < 0

âm lớn hơn -1.

 phương trình có ít nhất 1 nghiệm trên (-1;0)

Bài tập

 Hàm số f(x) = x4-3x2+5x-6 liên tục trên (1; 2).

Chứng minh rằng phương trình x4-3x2+5x-6 = 0 có ít nhất một

 f(1) = -3; f(2) = 8  f(1). f(2) < 0

nghiệm thuộc khoảng (1; 2)

 phương trình có ít nhất 1 nghiệm trên (1;2)

Bảng 2

Những dữ kiện trên cho phép dự đoán sự tồn tại của một qui tắc HĐDH liên quan đến

kiểu nhiệm vụ T7:

“Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b),

trong đó f(x) là đa thức, HS chỉ cần kiểm tra f(a). f(b) < 0 hoặc tìm cặp số  và  là các

số nguyên hay hữu tỉ thuộc (a; b) mà f().f() <0.”

8. Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T8:

“Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm âm (dương) hay

213

có ít nhất một nghiệm”

Kiểu nhiệm vụ này xuất hiện trong các BT cụ thể dưới đây :

Bài toán

Vị trí

Lời giải mong đợi Do tính liên tục của hàm số f(x) = x3+ax2+bx+c và

Bài tập

Chứng minh rằng phương trình x3+ax2+bx+c = 0 luôn có ít nhất 1

nghiệm

Bài tập

 Hàm số f(x) = x3+ 1000x2 + 0,1 liên tục trên R.

Chứng minh rằng phương trình x3+ 1000x2 + 0,1 = 0 có ít nhất

 Ta có f(0) = 0,1 > 0. Vì

nên tồn tại

một nghiệm âm

số âm a sao cho f(a) < 0. Vì f(a).f(0) < 0 nên theo hệ

quả của ĐLGTTG của HSLT, tồn tại số thực c(a; 0)

sao cho f(c) = 0. Số x = c là một nghiệm âm của

phương trình đã cho.

Chứng minh rằng phương trình x3-

Bài tập

 Hàm số f(x) = x3-1000x2-

liên tục trên R.

1000x2-

=0 có ít nhất một

 Ta có f(0) =

<0. Vì

nên tồn

nghiệm dương.

tại số dương b đủ lớn sao cho f(b) > 0. Vì f(0).f(b) < 0

nên theo hệ quả của ĐLGTTG của HSLT, tồn tại số

thực c(0; b) sao cho f(c) = 0. Số x = c là một

nghiệm dương của phương trình đã cho.

Bảng 3

Đặc trưng của các BT thuộc kiểu nhiệm vụ T8 :

- f(x) là đa thức (bậc ba) với các hệ số hoặc là tham số hoặc là số nguyên có giá trị tuyệt

đối lớn hoặc hữu tỷ.

- Yêu cầu là chứng minh sự tồn tại nghiệm âm, dương hay chỉ tồn tại nghiệm mà không

cho khoảng.

- HS được đặt trong tình huống khó khăn trong việc tìm các cặp số nguyên hay hữu tỷ m,

n sao cho f(m).f(n) < 0, nhưng tùy theo bài toán, thể chế luôn đảm bảo hai trong ba đại

lượng sau đây trái dấu : f(0); .

Với những phương trình bậc ba mà hệ số bằng số, chúng tôi cho rằng chiến lược mà HS

ưu tiên chọn lựa là việc sử dụng MTCT để đoán nhận nghiệm. Ngược lại, thể chế lại mong

đợi ở HS việc sử dụng tính chất mà chúng tôi tạm gọi là “tính chất của giới hạn vô tận” :

- Nếu thì tồn tại số b < 0 mà f(b) < 0

- Nếu thì tồn tại số b > 0 mà f(b) > 0

214

Tính chất lí thuyết này không được trình bày tường minh trong SGK hiện hành. Ngay cả

trong SGK 2000 tính chất này cũng không hiện diện. Mặc dù về mặt toán học ta có thể

chứng minh chúng dựa vào định nghĩa của dãy số và hàm số dần tới vô cực, nhưng trong lời

giải mong đợi, tính chất này được sử dụng như một tính chất hiển nhiên

Như vậy trách nhiệm trình bày yếu tố lí thuyết này được thể chế để lại cho GV hay tự

HS phải biết được điều đó.? Mặt khác, ngầm ẩn trong lời giải trong SBT [21] là yếu tố công

nghệ : f liên tục trên thì cũng liên tục trên tập con A của . Liệu HS có sử dụng tính chất

này mà không cần một kiểm tra nào về tính liên thông của tập A ?

Những ghi nhận trên dẫn đến những câu hỏi về ảnh hưởng của ràng buộc thể chế đến

ứng xử của HS :

- Học sinh sẽ ứng xử như thế nào trước tình huống giải quyết kiểu nhiệm vụ T8, trong đó

họ được yêu cầu xét sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên khoảng (-;0) (hay (0;

+)), mà f(x) thỏa :

* f(x) là một đa thức có bậc lớn hơn 3.

* f(0) và cùng dấu (hay f(0) và cùng dấu)

* f(x) có nghiệm dương, không nguyên, không tính được bằng MTCT.

Phải chăng họ sẽ kết luận phương trình vô nghiệm sau khi cố gắng thử nhưng không

thành công các số nguyên, hữu tỷ và thất bại trong việc chứng minh f(0) và trái dấu

Từ phân tích trên chúng tôi cũng cho rằng tồn tại ngầm ẩn một qui tắc của HĐDH gắn

liền với kiểu nhiệm vụ T8:

Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm âm (dương, hay tùy ý), trong đó

f(x) là một đa thức, HS chỉ cần thực hiện một trong các hoạt động :

+ Tìm cặp a, b thuộc (-; 0) (hay (0;+ ) hay (-;)) mà f(a). f(b) < 0

+ Chứng minh f(0) và (hay f(0) và hoặc và ) trái

dấu.

9. Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T9 :

“Chứng minh tồn tại số c(a; b) mà f(c) = m với m nằm trong khoảng giữa f(a) và

215

f(b)”

Kiểu nhiệm vụ T9 chỉ xuất hiện trong 1 hoạt động và 1 bài tập.

Ở [49, tr. 172], hoạt động sau đây được đưa vào nhằm giúp HS biết vận dụng ĐLGTTG

H4 Cho hàm số . Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm

c(0; 2) sao cho f(c) = -0,8.

BT duy nhất về kiểu nhiệm vụ T8 hiện diện ở SBT [21, tr. 145] :

4.63 Cho hàm số f :[0; 1] [0; 1] liên tục. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực

c [0; 1] mà f(c) = c.

Ở tình huống hoạt động H4 [2, tr.204], GV được hướng dẫn như sau :

Hoạt động này nhằm giúp HS biết vận dụng định lí giá trị trung gian của hàm

số để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình.

Hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2], f(0) = -1; f(2) = 2.

Vì -0,8 (-1; 2) nên theo định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít

nhất một điểm c (0; 2) sao cho f(c) = - 0,8.

Chúng tôi cho rằng bên cạnh lời giải mong đợi thì chiến lược giải phương trình bằng

MTCT được nhiều HS ưu tiên chọn lựa. Như vậy việc lựa chọn giá trị biến “hàm số” của

noosphère trong tình huống này không là sự lựa chọn tốt cho chiến lược được mong đợi.

Với tình huống ở bài tập 4.63, chúng tôi không giới thiệu lời giải của SBT mà chỉ trình

bày những ghi nhận về tình huống này : khái niệm HSLT được trình bày dưới ngôn ngữ

ánh xạ liên tục f :[0; 1] [0; 1] là khái niệm chưa từng xuất hiện trong SGK. Trong Giải

tích đây là bài toán về điểm bất động. Noosphère đã đưa vào một đối tượng và hình như

việc giải thích nó được ủy thác cho giáo viên và noosphère không quan tâm đến việc giáo

216

viên giải thích nó theo quan điểm nào.

PHỤ LỤC 3.3

KHÁI NIỆM HSLT Ở GIAI ĐOẠN SAU KHI ĐƯỢC GIẢNG DẠY TƯỜNG MINH

Trong phần này, chúng tôi phân tich một cách đan xen SGK chương trình nâng cao và

cơ bản để thấy được những điểm tương đồng của hai chương trình.

1. Liên tục và đạo hàm

Đạo hàm là khái niệm quan trọng, nó tác động đến một phạm vi khá rộng các kiểu nhiệm

vụ trong CT trung học phổ thông như : viết phương trình tiếp tuyến; xét tính đơn điệu, cực

trị, tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất, tìm nguyên hàm…

Là điều kiện cần để có đạo hàm nhưng vai trò của khái niệm HSLT rất mờ nhạt.

• SGK Đại số và Giải Tích 11 Nâng cao chỉ ghi bằng một nhận xét :

“Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm thi nó liên tục tại ” [51, tr. 186]

Tính chất này không được nêu trong ví dụ. Trong SBT [21], có 4 bài tập liên quan đến

việc vận dụng nhận xét này. Các bài tập này hình thành nên một kiểu nhiệm vụ :

T10 : Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm nếu có của một hàm số f(x)

trên R, trong đó : (hay dạng tương tự)

Tổ chức toán học liên quan đến T10 bao gồm

• Trong SGK Đại số và Giải tích 11 [27], liên hệ đạo hàm – liên tục được đưa vào qua

định lí ở mục 4 và các chú ý liên quan đến định lí [27, tr. 150] :

217

4. Quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Ta thừa nhận định lí sau đây :

ĐỊNH LÍ 1

CHÚ Ý :

a) Định lí trên tương đương với khẳng định:

Nếu hàm số f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

b) Mệnh đề đảo của định lí 1 không đúng.

Một HSLT tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

SGK [27] cho một ví dụ để minh họa chú ý b). Ở đó hàm số được cho là :

có đồ thị là đường liền nhưng “gãy” tại điểm O(0; 0). Chúng tôi không

tìm thấy lời giải cho ví dụ này ngoại trừ một đồ thị của hàm số kèm theo. Khái niệm đạo

hàm một phía không được chính thức đưa vào nhưng hiện diện dưới dạng bài đọc thêm.

Trong phần bài tập của [27], có duy nhất một BT vận dụng mục a) của chú ý nói trên :

4. Chứng minh rằng hàm số : f(x) = không có đạo hàm tại x = 0 nhưng

có đạo hàm tại điểm x = 2. [27, tr. 156].

Tuy nhiên, bài tập về tính toán đạo hàm dựa trên các qui tắc và công thức chiếm

một tỉ lệ rất lớn. Điều này khẳng định quan điểm đại số hóa khái niệm đạo hàm và liên hệ

đạo hàm – liên tục bây giờ lại thành ngầm ẩn. Quan điểm đó có thể là một nguyên nhân của

SL của HS liên quan đến kiểu nhiệm vụ T10.

2 Tính liên tục và bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

Quan hệ giữa tính liên tục của hàm số f(x) với sự tồn tại của giá trị nhỏ nhất (GTNN) và

giá trị lớn nhất (GTLN) của f(x) trên một đoạn được đưa vào bằng một nhận xét ở SGK Giải

tích 12 Nâng cao [53]:

Nhận xét

Người ta chứng minh được rằng hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt được

218

giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó. [53, tr.21]

Nhận xét trên không được minh họa qua một tiếp cận hình học mà lẽ ra phải có.

Phương pháp tìm GTNN và GTLN của HSLT trên một đoạn được thừa nhận bằng qui

tắc [53, tr.21]:

QUI TẮC

1. Tìm các điểm thuộc (a; b) mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0

hoặc không có đạo hàm.

2. Tính và f(b).

3. So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f

trên [a; b], số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên [a; b].

Và tính liên tục của hàm số trở thành một tính chất ngầm ẩn, hiển nhiên, vì trong ví dụ

ngay sau đó, việc tìm GTNN và GTLN của hàm số được trình bày ngay từ bước tính f’(x)

và một dãy các thao tác tính toán mà không cần đề cập đến tính liên tục do các hàm được

lựa chọn đều khả vi trên tập xác định của chúng.

Ở SGK Giải tích 12 [30], chương trình cơ bản, một định lí được thừa nhận trước khi qui

tắc tính GTNN và GTLN của HSLT trên một đoạn được đưa vào :

Tiếp cận hình học được dùng để minh họa cho định lí và sau đó người ta trình bày qui

tắc tìm GTNN và GTLN tương tự như ở [53]. Trong các lời giải BT ở SBT [29], điều kiện

liên tục cũng luôn ngầm ẩn và dường như “hiển nhiên”. Chẳng hạn :

1.15 a) f(x) = -3x2 + 4x – 8 trên đoạn [0;1]

f’(x) = - 6x + 4, f’(x) = 0  x =

Vậy [29, tr. 42]

Như vậy, một kiểu nhiệm vụ được xác định là :

219

T11 : Tìm GTNN và GTLN của hàm số f(x) liên tục trên [a; b]

Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T11 :

Đặc trưng của T10 : các hàm số đều liên tục trên miền được yêu cầu tìm GTNN, GTLN.

SGK

Hàm số

Miền được yêu cầu tìm

Đặc trưng của hàm số

SBT

GTNN hay GTLN

trên miền

[29]

[-4;4] và [0;5]

liên tục

[30]

[0;3] và [2;5]

liên tục

[2;4] và [-3;-2]

liên tục

[-1;1]

liên tục

[0;1]

liên tục

[-4;3]

liên tục

[-4;4]

liên tục

[-10;10]

liên tục

[-2; 3]

220

Đặc trưng này được làm rõ hơn qua bảng thống kê các BT trong [29], [30] và [53] :

[53]

[-4;0]

liên tục

[2; 4]

liên tục

[0;1]

liên tục

[-3;1]

liên tục

Như vậy, có thể tồn tại ngầm ẩn một HĐDH : “Giáo viên chỉ yêu cầu học sinh tìm

GTNN và GTLN của hàm số liên tục trên [a; b]” và “HS chỉ cần thực hiện các thao tác kỹ

thuật 10 mà không cần thiết phải kiểm tra tính liên tục của hàm số”

Vì vậy chúng tôi dự đoán một dạng sai lầm liên quan đến T11 :

3 Tính liên tục và sự tồn tại nghiệm của phương trình

Trong [34], chúng tôi bắt gặp vấn đề khá thú vị liên quan đến ĐLGTTG :

Định lí 1. Xét phương trình f(x) = (1), với x D. Giả thiết tồn tại M =

và . Khi đó phương trình (1) có nghiệm khi và

chỉ khi . [34, tr. 107]

[34] là một tài liệu dành cho HS bậc THCS. Ở cấp độ này các hàm số được xét đều là

HSLT nên ĐLGTTG được sử dụng mà không cần một giải thích.

Dạng BT trên cũng là dạng thường gặp đối với HS lớp 12, chẳng hạn :

• Bài toán 1 : Định m để phương trình sau đây có nghiệm :

(Đề thi khối B – 2004)

• Bài toán 2 : Tìm điều kiện của m để phương trình sau đây có nghiệm thực :

(Đề thi khối A – 2007)

Tuy nhiên, những kiểu BT này không hiện diện trong SGK. Trong các BT trên đây,

221

tính liên tục của hàm số đóng một vai trò như thế nào khi HS giải chúng ?

Như vậy một kiểu nhiệm vụ khác trong thời điểm này là:

T12: Tìm điều kiện để phương trình f(x) = m có nghiệm trên miền D, trong đó f(x) là

hàm số liên tục trên D.

Tổ chức toán học đi liền với T12 :

Theo chúng tôi, ngầm ẩn trong kiểu T12 là một qui tắc HĐDH: “ HS chỉ được đề nghị tìm

điều kiện của m để phương trình f(x) = m có nghiệm trên miền D, trong đó f(x) liên tục D”.

HS chỉ có nhiệm vụ tìm GTNN và GTLN của hàm số f(x), họ không quan tâm hoặc bỏ qua

tính chất liên tục của f(x) trên miền đã cho, kể cả các miền không liên thông (tạo ảnh sẽ

không liên thông).

Vì vậy, một sai lầm được dự đoán liên quan đến kiểu nhiệm vụ này là :

Vai trò lu mờ của quan điểm tiếp cận hình học (qua đồ thị hàm số) còn là nguyên nhân

của một dự đoán nữa của chúng tôi về một sai lầm nữa của HS, sai lầm này cũng đã được

tác giả Nguyễn Phú Lộc đề cập đến trong [39] :

4 Tính liên tục của hàm số mũ và lôgarit

Tính liên tục của các hàm số trên miền xác định của chúng được mặc

nhiên công nhận. Chúng tôi không tìm thấy trong SGK CT cơ bản và CT nâng cao một giải

222

thích nào về tính liên tục của các hàm số này.

5 Tính liên tục với nguyên hàm và tích phân

Khái niệm tính liên tục của hàm số còn tác động đến hai khái niệm quan trọng khác của

chương trình toán THPT nữa đó là khái niệm nguyên hàm và tích phân.

SGK [30] trình bày một định lí về sự tồn tại nguyên hàm :

Ta thừa nhận định lí dưới đây

ĐỊNH LÍ 3

[30, tr. 95]

Trong đó K được qui ước là một khoảng, một đoạn hay nửa khoảng của R. Trong [53]

thì định lí trên chỉ được xem như một nhận xét.

Tính liên tục còn tác động đến các định lí và tính chất sau với tính cách là điều kiện đủ

[53; tr. 140-170]:

- Các định lí về tính chất của nguyên hàm

và , trong đó f và g

liên tục trên K.

- Định lí cơ sở của phương pháp đổi biến số : , trong

đó u(x) cần có điều kiện khả vi liên tục.

- Định lí cơ sở của phương pháp lấy nguyên hàm từng phần :

- Định nghĩa tich phân : , f liên tục trên [a; b].

- Các công thức đổi biến số, tích phân từng phần để tính tích phân và ứng dụng của

tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Trong tất cả các đối tượng mà tính liên tục tác động đến, nó đều hiện diện một cách

ngầm ẩn trong tính toán thực hành. Một nguyên nhân theo chúng tôi dự đoán là các hàm số

223

được xét đều là hàm khả vi (nên hiển nhiên liên tục).

PHỤ LỤC 3.4

KHÁI NIỆM LIÊN TỤC VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SGK MAROC

1. Tổng quan về nghiên cứu của Habiba El Bouazzaoui

Habiba El Bouazzaoui nghiên cứu những tiến triển của khái niệm HSLT trong CT và

SGK Maroc từ năm 1945 đến 1976. Nghiên cứu của H. E. Bouazzaoui [80] thực hiện trên

các SGK được sử dụng phổ biến trong từng thời kỳ tại Maroc. Dựa vào nghiên cứu này,

 Giai đoạn 1945 đến 1960

 Giai đoạn 1960 đến 1970

 Giai đoạn 1970 đến 1976

những ghi nhận tóm tắt về khái niệm HSLT được trình bày theo 3 giai đoạn :

Ở Maroc, trong các giai đoạn này người ta sử dụng SGK Pháp, vì vậy nghiên cứu CT và

SGK Maroc cũng cho thấy được một phần thể chế DH khái niệm HSLT ở Pháp.

2. Giai đoạn 1945 đến 1960

Trong giai đoạn này, SGK được sử dụng phổ biến ở Maroc là SGK của R. Maillard và

A. Millet. Các SGK này được sử dụng rộng rãi ở bậc trung học đệ nhất cấp (THCS) và trung

học đệ nhị cấp (THPT).

 Trong chương trình THCS, không một quan niệm nào về HSLT hiện diện một cách

tường minh. Tuy nhiên người ta thấy sự xuất hiện ngầm ẩn của nó qua hai nội dung ghi

nhận được từ SGK :

1. Về cách vẽ đồ thị hàm số : người ta sử dụng kiểu diễn đạt trực giác “một nét liên tục

vẽ không nhấc bút chì lên”.

Đồ thị của một hàm số. – Nếu với mỗi giá trị tương ứng với một giá trị của y trong mặt

phẳng tọa độ thỉ mỗi giá trị x tương ứng với một điểm M có tọa độ x và y. Tập hợp tất cả

những điểm có được khi người ta cho x biến thiên tạo thành đồ thị hàm số.

Trong những trường hợp chúng ta nghiên cứu đường biểu diễn ấy là một đường cong

mà hình ảnh thể hiện bởi một nét liên tục vẽ không nhấc bút chì lên. [80, tr.135]

Tương tự như thế, để vẽ đồ thị của một hàm số, HS được hướng dẫn rằng trước hết họ

phải lập bảng giá trị, đặt các điểm tương ứng trên hệ trục tọa độ và nối các điểm ấy bằng

một đường cong liên tục. Tính liên tục còn ngầm ẩn trong các biểu đồ của chuyển động.

2. Về biểu tượng của sự liên tục :

224

Tính liên tục còn hiện diện ngầm ẩn qua biểu tượng các mũi tên trong bảng biến thiên

của hàm số bậc hai. Mặc dù các tác giả không nói rõ ràng về nét vẽ liên tục khi vẽ đồ thị

hàm số bậc hai nhưng các mũi tên trong bảng biến thiên ngầm ẩn yù tưởng rằng hàm số đồng

biến hay nghịch biến một cách liên tục. Tương tự, từ “một nhánh” ngầm ẩn yù tưởng liên tục

và khi vẽ đường cong biểu diễn hàm số người ta vẽ những nét liên tục.

Trong SGK ở cấp học này các tác giả sử dụng từ “đường cong liên tục” và trong các VD

về các hàm số họ lại nói về sự gián đoạn của hàm số .

Như vậy, với hai giá trị trái dấu và rất gần 0, chẳng hạn 0,0001 và –0,0001, y có giá trị

tương ứng là 1000 và –1000. Khoảng cách giữa các giá trị ấy còn lớn hơn nữa khi ta chọn

những giá trị x gần nhau hơn. Điều đó được giải thích là hàm số gián đoạn tại x = 0.

Không những hàm số không xác định tại x = 0 mà những giá trị của nó ứng với các giá trị

của x gần 0 có thể khác nhau tùy yù [80, tr. 135].

Tính gián đoạn của hàm số tại một điểm ngầm ẩn trong các thí dụ và dường như tình cờ

kết hợp với tính chất hàm số không xác định tại điểm đó.

Trong chương trình THCS, quan niệm về liên tục được chuyển tải là quan niệm

trực giác, nó có đặc trưng hình học, tổng thể và có hình thức thể hiện của một khái

niệm tiền toán học. Nó có cơ chế hoạt động của một công cụ ngầm ẩn.

 Trong chương trình bậc THPT, ngoài việc nghiên cứu quan niệm HSLT trong SGK

của R. Maillard và A. Millet viết cho năm cuối bậc THPT ban cơ bản, H. E. Bouazzaoui còn

trình bày quan niệm HSLT trong SGK của Lespinard viết cho năm cuối bậc THPT ban

Khoa học thực nghiệm.

- Trong SGK của R. Maillard và A. Millet, các khái niệm giới hạn, liên tục và đạo hàm

được trình bày một cách tường minh, trong cùng một chương. Như nhiều khái niệm khác,

không một ví dụ nào được đưa ra để giới thiệu khái niệm, tất cả các định nghĩa về tính liên

tục đều không kèm theo ví dụ áp dụng. Ngược lại, người ta cho một ví dụ về hàm số không

liên tục với cách tiếp cận địa phương về phương diện số và tổng thể về phương diện hình

IV. Liên tục

226. Liên tục tại một giá trị x – Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b), xét

một giá trị

thuộc khoảng : a < < b. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại

nếu khi x tiến đến

, f(x) có một giới hạn và giới hạn ấy bằng

. Như vậy tính

225

học.

liên tục của hàm số f(x) tại điểm

đòi hỏi những điều kiện sau :

có nghĩa;

có nghĩa với những giá trị x gần

3. f(x) có một giới hạn p khi x dần tới

và p =

Một cách chính xác ta nói :

Định nghĩa – Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x =

nếu với mỗi số c dương

nhỏ tùy ‎ cho trước, người ta đều tìm được một số  dương sao cho bất đẳng thức :

kéo theo bất đẳng thức

Như thế cũng có nghĩa là f(x) – f(x0) dần tới 0 khi x – x0 dần tới 0.

CHÚ Ý – I. Có thể x chỉ dần tới x0 từ những giá trị lớn hơn x0. Khi đó người ta nói

liên tục bên phải. Tương tự ta có sự liên tục bên trái.

II. VÍ DỤ VỀ HÀM SỐ KHÔNG LIÊN TỤC – để chỉ ra tất cả các hàm số không liên

tục chúng ta xét một ví dụ.

Hàm số : y =

không liên tục tại x = 0 vì f(0) không xác định.

227. Liên tục trên một khoảng – Ta định nghĩa hàm số f(x) xác định trên một khoảng

(a; b) là liên tục trên khoảng đó nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng. Khi muốn

nói liên tục bên phải tại x = a (a < b) hay liên tục bên trái tại x = b, phải xác định

rõ ràng.

228. Các tính chất của hàm số liên tục – Từ kết quả của các định lí về giới hạn nếu

f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x = x0 thì các hàm f(x)+g(x); f(x).g(x);

(với g(x0) 0) là các hàm số liên tục tại x0. [80, tr. 138]

226

Có thể mô tả tóm tắt cách tiếp cận khái niệm HSLT như sau :

Ví dụ về hàm số không liên tục tại một điểm được cho là hàm số không xác định tại

điểm đó. Trong các bài tập cuối chương, liên quan đến các phép tính về giới hạn, không có

bài tập nào về tính liên tục. Trong phần lí thuyết, có 3 bài tập áp dụng định nghĩa của

Weierstrass:

BÀI TẬP

Xét tính liên tục của các hàm số sau :

Chứng minh trực tiếp tính liên tục mà không sử dụng các định

li [80, tr. 139]

Như vậy trong SGK này, quan niệm HSLT được chuyển tải là quan niệm số hóa

của Weierstrass (QSW). Nó có đặc trưng số hóa, địa phương, tổng thể và có hình thức

của một khái niệm toán học.

- Trong SGK của Lespinard, khái niệm HSLT hiện diện trong chương đại cương về hàm

số. Nó được đưa vào sau khái niệm giới hạn, trước khái niệm đạo hàm. Cách tiếp cận khái

niệm HSLT là sự tiếp cận địa phương với định nghĩa tính liên tục tại một điểm dựa vào giới

hạn, rồi thể hiện qua ngôn ngữ ε, η. Như vậy trong SGK của Lespinard quan niệm số hóa

của Weierstrass (QSW) cũng được chuyển tải.

3. Giai đoạn 1960 – 1970

Trong chương trình và SGK năm thứ nhất bậc THPT (lớp 10) khái niệm HSLT không

xuất hiện. Tuy nhiên, như các chương trình và SGK trước đó, người ta thấy ngầm ẩn quan

niệm trực giác về tính liên tục trong các biểu tượng về tính đơn điệu trong các hướng dẫn vẽ

227

đồ thị các hàm số : .

Trong chương trình và SGK hai năm học thứ hai của bậc THPT (lớp 11), khái niệm giới

hạn và liên tục là những khái niệm được nghiên cứu. Trái với SGK cũ của Maillard và

Millet, các định nghĩa không đưa ra một cách đột ngột mà được giới thiệu trước một cách

trực giác, sau đó bằng các đồ thị hàm số. Ý tưởng đường cong liên tục được đưa vào với ‎

nghĩa không đứt đoạn hay không có lỗ. Từ những ví dụ hình học đó, người ta đi đến một

định nghĩa được trình bày bằng ba cách :

- Định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn của hàm số tại .

- Trình bày lại định nghĩa trên theo ngôn ngữ ε, η.

- Trình bày lại định nghĩa trên dựa vào khái niệm lân cận.

Ở cách định nghĩa thứ ba, SGK có đề cập đến xu hướng nghiên cứu tôpô học trong R,

tuy nhiên, xu hướng này chưa là một xu hướng chính thức được qui định trong chương trình

của Bộ Giáo dục Maroc.

Ở các chương về giới hạn và đạo hàm đều kèm theo các bài tập áp dụng, người ta không

tìm thấy bài tập áp dụng đối với khái niệm HSLT mà chỉ có những ví dụ trong giáo trình ở

mục “các tính chất về phép toán đối với hàm số liên tục”.

Trong những VD mở đầu, tính liên tục được trình bày qua cách tiếp cận tổng thể. Nhưng

trong định nghĩa thì cách tiếp cận địa phương được trình bày trước cách tiếp cận tổng thể.

Và sau định nghĩa HSLT trên một khoảng đóng [a; b], một nhận xét với sự trở lại quan

niệm hình học QHD và tổng thể : “Đồ thị một hàm số liên tục trên [a; b] là một nét liên tục

và ngược lại”. Như vậy, cách tiếp cận khái niệm HSLT trong giai đoạn này đã có sự thay

228

đổi :

Trong chương trình năm cuối cấp THPT, tất cả các định nghĩa trên về HSLT được nhắc

lại. Chúng được bổ sung bằng các định l‎í mà trong đó sự liên tục có vai trò hợp thức sự

tồn tại và tính chất của hàm số ngược [80, tr. 144].

Việc đưa vào định lí về sự tồn tại của một hàm số ngược của một hàm số được thực hiện

bằng nhiều bước. Trước hết người ta nêu ví dụ về một phép biến hình trong không gian vào

chính nó, phép tịnh tiến, nó là một song ánh. Kế đó, những ví dụ về ánh xạ từ E vào F,

trong đó E, F là các tập con của . Những ví dụ này đều là các toàn ánh, điều kiện được bổ

sung vào là tính đơn điệu. Ở bước thứ ba, đồ thị của hàm số ngược được xây dựng. Cuối

cùng, các kết quả trước được tóm tắt thành một định l‎í, tính chất liên tục xuất hiện như một

điều kiện đủ trong khi trước đó nó không là vấn đề được đặt ra.

Như vậy, trong giai đoạn này, người ta tìm thấy những quan niệm được đồng nhất

với những quan niệm đã xuất hiện trong lịch sử như quan niệm nguyên thủy (QNT),

quan niệm Descartes (QHD), quan niệm số hóa của Cauchy qua ngôn ngữ của giới

hạn (QSC), quan niệm Weierstrass qua ngôn ngữ - và cả quan niệm tôpô (QT) mặc

dù chỉ mới được áp dụng với hàm số với một biến số thực.

4. Giai đoạn 1970 – 1976

Trong những năm này tại Maroc, ở hai năm cuối cấp THPT, HS học ở hai ban : ban

khoa học thực nghiệm (SE) và ban khoa học toán học (SM). Việc phân ban như thế chỉ ở

hai cấp học là 11 và 12.

Năm học 1970 – 1971 đánh dấu một sự thay đổi trong giảng dạy toán học ở Maroc trong

đó cấu trúc đại số đóng vai trò nổi trội nhất.

229

Ở lớp 10, như những năm học trước đó, giải tích không có trong CT, việc khảo sát các

hàm số cơ bản thuộc phạm vi đại số và cũng như trước chỉ xuất hiện quan niệm trực giác,

ngầm ẩn về tính liên tục.

Ở lớp 11 và 12, bộ SGK phổ biến nhất tại Maroc trong giai đoạn này đó là bộ sách của

P. Vissio.

Khái niệm HSLT được đưa vào ở lớp 11, ngay sau khái niệm giới hạn, cả hai khái

niệm này đều thuộc cùng một chương. Định nghĩa tính liên tục của hàm số tại một điểm

được trình bày thông qua khái niệm lân cận và sau đó là ba cách giải thích khác về định

 ĐỊNH NGHĨA :

nghĩa. Có thể xem đó là ba định nghĩa tương đương với định nghĩa ban đầu :

Một hàm số f xác định trong một lân cận của được gọi là liên tục tại nếu

1. Tồn tại f( ).

2. Với mọi lân cận của , tồn tại ít nhất một lân cận của sao

 NHỮNG CÁCH GIẢI THÍCH KHÁC VỀ ĐỊNH NGHĨA

cho , nghĩa là ảnh của qua f là tập con của .

Cách phát biểu thứ nhất :

Nếu f là một hàm số từ R vào R, sự liên tục của f tại tương đương với :

- Tồn tại

Chú ‎ý : Trong các bất đẳng thức Cauchy trên đây không cần có điều kiện

vì khi nghiên cứu tính liên tục của hàm số, hàm số đã xác định tại

Cách phát biểu thứ hai :

Theo các kết quả ở §1, f liên tục tại điểm nếu :

Tồn tại và

Cách phát biểu thứ ba :

Nói rằng ảnh của một lân cận của nằm trong một lân cận của (trong

230

việc xét hàm ngược) tương đương với : ảnh ngược của một lân cận của

là một lân cận của .

Như vậy, f là liên tục tại điểm nếu và chỉ nếu tồn tại và ngoài ra ảnh

ngược của mọi lân cận của là lân cận của .

Chú ý : Quan hệ ngược nói chung không là ánh xạ từ F vào E nhưng từ F

vào .[80, tr. 155]

Khác các SGK trước, trong SGK của P. Vissio, người ta thấy có hẳn một phần dành cho

hàm số gián đoạn. Hàm số gián đoạn trở thành một đối tượng được nghiên cứu. Trong số

các bài tậpT trong SGK người ta thấy có một bài tập thuộc loại bài làm thêm với sự xuất

hiện lần đầu của một hàm số xác định trên R và không đâu liên tục :

Cho hàm số .

a/ Xét tính liên tục của hàm số trên R.

b/ Chứng minh rằng hàm số nhận mọi giá trị giữa 0 và 1. [80, tr. 156]

Về cách vẽ đồ thị hàm số, người ta không hướng dẫn theo cách “nối các điểm bằng một

nét liên tục” như các SGK trước nữa. Để vẽ một đồ thị phải chính xác hóa một vài điểm cần

lưu ý cùng với tiếp tuyến tại các điểm ấy (thông thường là giao điểm với các trục), Không

trường hợp nào cho phép sử dụng sự liên tục ngầm ẩn để nối các điểm mà không có các tính

toán cần thiết. Quan niệm QHD với đặc trưng tổng thể, hình học lại trở thành ngầm

ẩn.

Trong việc khảo sát các hàm đa thức và hàm hữu tỷ, tính chất liên tục của các hàm số ấy

không được nghiên cứu. Tính liên tục không được đề cập trong VD nào cả, trái lại, người ta

lưu ‎ý đến tính chất toàn ánh của f từ E vào f(E). Tính liên tục lại xuất hiện trong khảo sát

các hàm lượng giác mà ở đó nó có vai trò là điều kiện cần cho việc xét tính khả vi của các

hàm số này.

Trong SGK lớp 12 của P. Vissio (năm 1971), khái niệm giới hạn cũng được trình bày

trước khái niệm liên tục nhưng không được xếp cùng một chương và thứ tự của việc giảng

dạy chúng cũng được lưu ‎ý :

Chú ‎ý rằng nghiên cứu sự liên tục độc lập với nghiên cứu giới hạn. Thứ tự

việc nghiên cứu chúng là tùy ý…. [80, tr. 157]

Ở phần đầu của chương và trong giải thích các mục tiêu về khái niệm liên tục trong giáo

trình, từ “liên tục” được giải thích song song bằng ngôn ngữ thông thường và bằng ngôn

231

ngữ toán học :

Sự liên tục, tính liên tục, hai từ thường dùng trong ngôn ngữ thông thường và

ngôn ngữ toán học.

Những cụm từ trong đời sống thường ngày như là “một sự tiến hóa liên tục”,

“sự liên tục của một chính sách”, “sự thiếu vắng bước nhảy”, “sự điều chỉnh

tức thì”. Tong những cụm từ ấy, phân biệt rõ ràng “biến số” của tập xuất

phát (thời gian) và hàm số (sự tiến hóa, chính sách)… [80, tr. 158]

Trong giai đoạn này điểm đáng lưu ‎ý là khái niệm HSLT tại một điểm và khái niệm giới

hạn của hàm số có thể được giảng dạy không theo trình tự truyền thống vẫn thường được

tìm thấy trong SGK Việt Nam : “giới hạn của hàm số  hàm số liên tục”. Các dẫn chứng

dưới đây từ hai SGK, một quyển được giảng dạy ở Maroc và quyển còn lại được giảng dạy

ở Pháp cho thấy rõ xu hướng về giảng dạy khái niệm HSLT và giới hạn trong giai đoạn này

 SGK được giảng dạy ở Maroc (SGK Vissio, 1971) :

4 Hàm số với một biến số thực : Liên tục và giới hạn

I. Liên tục

4.1 Sự liên tục tại một điểm

Ta gọi một khoảng có tâm là số thực a là môt khoảng mở có dạng :

(a – h; a + h) (h>0)

Định nghĩa :

Một hàm số f xác định trên một khoảng có tâm x0 là liên tục tại x0 khi và chỉ

khi với mỗi khoảng J tâm f(x0) đều tồn tại một khoảng I tâm x0 sao cho f(I)

J. [80, tr. 171]

 SGK được giảng dạy ở Pháp (SGK Maillard, 1967) :

I. Sự liên tục của hàm số tại một điểm

71. Tính liên tục của hàm số tại một điểm

ĐỊNH NGHĨA : Cho f là một hàm số có miền xác định E (giả sử là một tập

đơn giản); cho x0 là một số thuộc E. Hàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu

với mọi số thực dương  đều tồn tại một số thực dương tương ứng  sao cho

với điều kiện xE & thì luôn luôn có : [80, tr, 171]

II Khái niệm giới hạn […]

Các dẫn chứng trên cho thấy tiến trình “liên tục  giới hạn” đã hiện diện trong các CT

232

ở Pháp và Maroc không chỉ trong giai đoạn sau 1970 mà còn trước đó. Tất nhiên để thực

hiện tiến trình này các nhà sư phạm đã lựa chọn cách tiếp cận khái niệm HSLT qua ngôn

ngữ tôpô với khái niệm lân cận hoặc qua ngôn ngữ  - . Những cách tiếp cận này mang

tính hình thức, khó tiếp thu bởi HS và hiện nay đã được loại bỏ trong nhiều SGK bậc THPT

ở các nước trên thế giới.

Chúng ta có thể kết luận rằng ở SGK của P. Vissio [1970, 1971] đã chuyển tải tất

cả các quan niệm như quan niệm tôpô (QT), quan niệm số hóa của Weierstrass

(QSW), quan niệm số hóa của Cauchy (QSC) mặc dù một số chỉ ở chừng mực nêu

định nghĩa. Quan niệm nguyên thủy (QNT), trực giác, bằng ngôn ngữ thông thường

được thể hiện trong phần mở đầu của SGK năm lớp 12. Quan niệm hình học

Descartes (QHD) với đặc trưng tổng thể và hình học lại biến mất mặc dù nó luôn được

sử dụng như công cụ ngầm ẩn để vẽ đồ thị hàm số. Sự tiến triển của các quan niệm

không giống như thứ tự của các quan niệm xuất hiện trong lịch sử của khái niệm

HSLT. Quan niệm tôpô, quan niệm tổng quát nhất trong toán học lại được đưa vào

trước tiên.

Sự tiến triển của các quan niệm HSLT trong chương trình và SGK ở Maroc có thể được

tóm tắt như sau :

Thời điểm

THCS đến lớp 10

Từ lớp 11

Thời kỳ 1945 – 1960

Khái niệm

Sự liên tục

Hàm số liên tục

Cơ chế hoạt động

Công cụ ngầm ẩn

Đối tượng  Công cụ

Hình thức tiếp cận

- Cách vẽ dồ thị hàm

- Định nghĩa HSLT của Weierstrass :

số bằng một đường



liền nét.

- Các biểu tượng đồng

- Định nghĩa HSLT theo ngôn ngữ , .

biến,

nghịch

biến

trong bảng biến thiên.

Tính tổng thể, địa

Tổng thể, hình học

Số hóa, hình học, địa phương, tổng thể

phương, hình học, số

hóa

Hình thức thể hiện

Tiền toán học

Toán học

(protomathématique)

Phạm vi nghiên cứu

Hàm số y = ax+b; y =

Đại số : Hàm đa thức, hữu tỷ, vô tỷ, hàm

1/x; y = a/x ;

số mũ và lôgarit

233

y = (ax+b)/(cx+d)

Thời kỳ 1960 – 1970

Cơ chế hoạt động

Công cụ ngầm ẩn

Đối tượng  Công cụ

Hình thức tiếp cận

- Cách vẽ dồ thị hàm

- Định nghĩa HSLT qua giới hạn.

số bằng một đường

- Định nghĩa HSLT qua , .

liền nét.

- Định nghĩa qua khái niệm lân cận.

- Các biểu tượng đồng

biến,

nghịch

biến

trong bảng biến thiên.

Tính tổng thể, địa

Tổng thể, hình học

Số hóa, hình học, địa phương, tổng thể

phương, hình học, số

hóa

Hình thức thể hiện

Tiền toán học

Toán học

(protomathématique)

Phạm vi nghiên cứu

Đại số : Hàm số với một biến số thực

Các hàm số

; y

; y =

Thời kỳ 1970 – 1976

Cơ chế hoạt động

Công cụ ngầm ẩn

Đối tượng  Công cụ

Hình thức tiếp cận

Cách vẽ đồ thị hàm

Định nghĩa HSLT qua giới hạn hoặc thông

số; các biểu tượng của

qua :

tính đơn điệu.

- Định nghĩa HSLT qua , .

- Định nghĩa qua khái niệm lân cận :

f liên tục tại x0 khi f xác định trong một lân

cận của x0 và

Tính tổng thể, địa

Tổng thể, hình học

Số hóa, hình học, tôpô, địa phương, tổng

phương, hình học, số

thể

hóa

Hình thức thể hiện

Tiền toán học

Toán học

Phạm vi nghiên cứu

Các hàm sơ cấp cơ

Đại số : Hàm số với một biến số thực

bản

Bảng 3.5

Dưới góc độ cơ chế công cụ, khái niệm HSLT trong cả ba thời kỳ đều hiện diện ở hai

234

giai đoạn : giai đoạn công cụ ngầm ẩn (từ THCS đến lớp 10) và giai đoạn công cụ tường

minh (từ lớp 11).

Kết luận

Ở giai đoạn thứ nhất, khái niệm HSLT luôn có hình thức của khái niệm tiền toán học thể

hiện chung qua cách vẽ đồ thị các hàm sơ cấp cơ bản được nghiên cứu bằng đường liền nét

hoặc biểu tượng đơn điệu trong bảng biến thiên. Quan niệm tương đồng trong lịch sử được

tìm thấy là quan niệm Descartes khi ở SGK người ta sử dụng thuật ngữ “đường cong liên

tục” . Mặt khác, thuật ngữ “hàm số gián đoạn” lại được sử dụng để giải thích cho đặc trưng

của đồ thị các hàm số y = 1/x; y = a/x.

Ở giai đoạn thứ hai, trong cả ba thời kỳ, khái niệm HSLT được chính thức giảng dạy và

luôn được trình bày thông qua giới hạn và qua ngôn ngữ , . Trong thời kỳ 70-76, việc

giảng dạy toán học ở Maroc được cải cách trong đó cấu trúc đại số đóng vai trò nổi trội.

Đồng thời với sự cải cách này, quan niệm tôpô về tính liên tục của hàm số được giảng dạy ở

bậc THPT. Mặt khác, người ta cũng thấy quan điểm giảng dạy khái niệm HSLT không theo

trình tự truyển thống “giới hạn – liên tục”. Quan điểm này không chỉ hiện diện trong giai

đoạn sau năm 1970 mà cả ở giai đoạn trước. Như vậy, trong cả ba thời kỳ, khi khái niệm

HSLT được chính thức giảng dạy, chúng ta thấy những đặc trưng của khái niệm HSLT gần

235

với những đặc trưng đó trong lịch sử gắn với các quan niệm Weierstrass, Cauchy và tôpô.

PHỤ LỤC 3.5

KHÁI NIỆM LIÊN TỤC VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SGK MỸ

1 Tổng quan về chương trình và sách giáo khoa Mỹ. Sự lựa chọn một sách giáo khoa

cho phân tích.

 Chương trình và SGK Mỹ

Chương trình bậc THPT ở Hoa Kỳ do các cơ quan quản lí giáo dục của từng bang qui

định phần khung. Ở mỗi trường trong bang, giáo viên có thể tùy chọn những bộ SGK thích

hợp để giảng dạy. Chúng tôi chỉ trình bày các khảo sát được thực hiện trên một SGK hiện

hành của chương trình tự chọn nâng cao ở Texas, đó là SGK môn Precalculus, tạm dịch là

Nhập môn Giải tích (gọi tắt là Precalculus) của tác giả Michael Sullivan và Michael

Sullivan, III (NXB Pearson Prentice Hall, 2008) [109].

Ở tất cả các cấp và bậc học, Hoa Kỳ không có CT chung cho toàn liên bang (national

curriculum) mà chỉ có CT của từng bang. Có một hệ thống các môn bắt buộc chung cho

toàn liên bang, nhưng mỗi bang có thể lựa chọn và xây dựng một hệ thống các môn học bắt

buộc riêng, tuỳ theo kế hoạch tương lai của bang đó. Chẳng hạn, Ngoại ngữ là môn học bắt

buộc ở một số bang, nhưng lại là môn tự chọn ở các bang khác. Mỗi bang quy định số học

phần tối thiểu cho các môn học bắt buộc cho cả cấp THPT. Mỗi bang và mỗi trường có

trách nhiệm xây dựng CT các môn học tự chọn, xác định nội dung các tài liệu tự chọn. Ở

nhiều môn học bắt buộc cũng như tự chọn, có nhiều tài liệu được soạn cho các trình độ khác

nhau. Tuỳ theo điều kiện và hoàn cảnh cá nhân, học sinh có thể chọn những tài liệu thích

hợp với tŕnh độ của ḿình.

Vì những lí do nêu trên, chúng tôi không thể chọn một SGK đại diện chung cho việc

giảng dạy môn Toán bậc THPT ở Hoa Kỳ. Trong điều kiện giới hạn của luận án này chúng

tôi chỉ trình bày những ghi nhận về cách tổ chức khái niệm HSLT trong một SGK của

chương trình tự chọn nâng cao ở Texas dành cho HS lớp 12, đó là Precalculus [109]. Những

phân tích dưới đây của chúng tôi thực hiện trên [109]. Precalculus được bố cục thành 13

chương và chương ôn tập.

2. Giai đoạn ngầm ẩn

Khái niệm liên tục xuất hiện ngay ở chương 1 dưới cơ chế một công cụ ngầm ẩn – cơ sở

cho việc vẽ đồ thị của hàm số bằng cách nối các điểm rời rạc thành một đường liền nét. Nó

chưa có tên gọi và do đó chưa là đối tượng nghiên cứu của toán học. Nó có đặc trưng tổng

236

thể vì nó gắn liền với đồ thị của một hàm số trên miền xác định của hàm số đó.

Tình huống đầu tiên mà khái niệm liên tục được đưa vào là tình huống về biểu diễn

phương trình hai ẩn bằng đồ thị [109, tr. 12] (xem hình 1).

Như vậy ở thời điểm đầu tiên mà khái niệm liên tục xuất hiện, người ta không tìm thấy

các thuật ngữ “liên tục”, “đường cong liên tục” hay “hàm số liên tục”. Đặc trưng “liên tục”

chưa có tên gọi, nó hiện diện ngầm ẩn, trực giác qua cách vẽ một đường liền nét. Khái niệm

liên tục có hình thức thể hiện của một khái niệm tiền toán học, có đặc trưng hình học và

tổng thể. Với cơ chế này, nó tác động đến một phạm vi khá rộng các đường cong, các đồ thị

237

hàm số (xem hình 2) [109, tr. 22]:

Cho đến trước thời điểm hiện diện của hàm số được xác định bằng nhiều công thức ở

chương 2, các đường cong và hàm số được cho đều có đồ thị liên tục trên các khoảng xác

định của nó.

Thời điểm đầu tiên một khái niệm có hình thức cận toán học xuất hiện là ở chương 2,

mục 2.5 nói về hàm số được xác định bằng nhiều công thức. Thuật ngữ “sự gián đoạn” xuất

hiện khi đồ thị hàm phần nguyên được trình bày với những giải thích của noosphère [109, tr.

112] :

Chúng ta có được đồ thị hàm f(x) = int(x) bằng cách đánh dấu một số điểm.

Xem bảng giá trị. Với giá trị x, -1x<0 thì f(x) = -1; với mọi x, 0x<1 thì f(x) =

Từ đồ thị hàm phần nguyên, chúng ta thấy tại sao nó còn được gọi là hàm bậc

thang. Tại các điểm x = 0; x =  1; x = 2 và nhiều nữa, hàm số này xuất hiện

một đặc điểm được gọi là sự gián đoạn; nghĩa là tại các giá trị nguyên của

biến số, đồ thị đột ngột “nhảy” từ giá trị này sang giá trị khác mà không nhận

bất kỳ giá trị trung gian nào. Chẳng hạn, ngay gần sát bên trái điểm x = 3, các

tung độ có giá trị bằng 2 và ngay gần sát bên phải điểm x = 3, giá trị các tung

độ là 3.

Trong phần lí thuyết và bài tập, nhiều loại gián đoạn, liên tục một bên được cho, tuy

nhiên, không có một giải thích nào kèm theo. Dường như công cụ vẽ đồ thị đã được giới

thiệu được HS sử dụng một cách thành thạo. Chẳng hạn, ở ví dụ 3 [109, tr. 113] :

Ví dụ 3 Phân tích một hàm số được xác định bằng nhiều công thức

Cho hàm số f được xác định bởi :

(a) Tìm f(0), f(1) và f(2)

(b) Tìm miền xác định của f

238

(d) Dùng đồ thị để tìm miền giá trị của f.

Trong phần lời giải người ta tìm thấy đồ thị của hàm số f (xem hình 3) nhưng các tính

chất gián đoạn hay liên tục của hàm số không được nói đến.

Một ghi nhận của chúng tôi là cụm từ “vẽ đồ thị bằng tay” hiện diện thường xuyên. Tuy

nhiên, các hoạt động sử dụng các phần mềm vẽ đồ thị được hướng dẫn ngay sau các phần lí

thuyết. Việc cho phép sử dụng các phần mềm vẽ đồ thị là một đặc điểm của Precalculus. Để

thấy rõ hơn các loại điểm gián đoạn, chúng tôi thử liệt kê vài bài tập đặc trưng trong phần

Bài tập số, tr.

Hàm số

Gián đoạn

BT 29, tr. 115

Gián đoạn bên trái và bên phải điểm x = 0

BT 33, tr. 115

Gián đoạn bên trái và bên phải điểm x = 1

BT 35, tr. 115

Gián đoạn bên trái x = 0 và liên tục bên phải điểm x = 0

BT 36, tr.115

Gián đoạn bên trái x = 0 và liên tục bên phải điểm x = 0

này mà HS được yêu cầu “vẽ bằng tay” những hàm số gián đoạn (xem bảng 1):

Bảng 1

Như vậy, đặc trưng “gián đoạn” có hình thức cận toán học và hiện diện trước chứ không

phải đặc trưng “liên tục”.

Thời điểm khái niệm liên tục bắt đầu có hình thức cận toán học là ở chương 3, về hàm đa

thức và hàm hữu tỷ. Sau định nghĩa hàm đa thức [109, tr. 170] :

Hàm đa thức là hàm số có dạng : f(x) =

noosphère đi đến một ghi nhận đầu tiên và cũng là thời điểm mà khái niệm “liên tục”

239

chính thức có tên gọi :

Đặc trưng “liên tục” được hợp thức hóa qua cách tiếp cận trực giác mà Precalculus “cung

cấp” cho HS nhằm trang bị một công cụ nhận dạng đồ thị hàm đa thức. Do tính phức tạp của

hàm đa thức và chủ đích chưa sử dụng khái niệm đạo hàm, hầu hết các bài tập về vẽ đồ thị

hàm đa thức được yêu cầu HS sử dụng các phần mềm hỗ trợ vẽ đồ thị mà chương trình đã qui

định.

Khái niệm “liên tục” mà noosphère hợp thức như trên là đặc trưng “liên tục” của một

đường cong biểu diễn hàm số chứ chưa phải là khái niệm “hàm số liên tục”. Quả vậy, trong

[109], chúng tôi chỉ tìm thấy các thuật ngữ thiên về trực giác như “khoảng trống”, “lổ hổng”,

“trơn”, “điểm góc” khi nói về đồ thị hàm số, đặc biệt khi chuyển sang khảo sát đồ thị các

hàm hữu tỷ, hàm số mũ, hàm số lôgarit và tuyệt nhiên thuật ngữ “hàm số liên tục” chưa hề

xuất hiện. Chẳng hạn trong trích dẫn sau về kháo sát một đồ thị hàm số hữu tỷ có lổ hổng

(nguyên văn: Analyzing the Graph of a Rational Function with a Hole) [109, tr. 202] :

VÍ DỤ 4 : Khảo sát đồ thị của một hàm hữu tỷ có lổ hổng

Khảo sát đồ thị của hàm hữu tỷ : [............]

Bước 8 : Các phân tích trên không giải thích tính chất của đồ thị hàm số tại

điểm x = 2. Chúng ta sử dụng bảng giá trị cho bởi máy tính để xác định chất

của đồ thị hàm số R khi x dần đến 2. Xem bảng giá trị 16. Từ bảng giá trị ta

có giá trị của R dần đến 0,75 khi x dần đến 2. Giá trị này có thể được kiểm

tra bằng cách tính R qua biểu thức đã giản ước tại x = 2. Chúng ta kết luận

rằng trên đồ thị có lổ hổng tại điểm (2; 075). Kết hợp các phân tích từ bước 1

đến bước 7 chúng ta được đồ thị của R cho bởi hình 54.

Từ ví dụ 4 chúng ta thấy tại những giá trị không xác định của hàm số hữu tỷ

sẽ có hoặc các tiệm cận đứng hoặc các lổ hổng.

Cách tiếp cận trực giác, hình học, tổng thể vẫn được sử dụng ở thời điểm đầu tiên mà khái

niệm “hàm số liên tục” hiện diện. Trong chương 3, mục 6, Precalculus đưa vào nội dung “Sử

dụng định l‎ý giá trị trung gian” như một công cụ tìm nghiệm gần đúng của đa thức [109, tr.

229] :

240

6. Sử dụng Định lý giá trị trung gian

Định lý giá trị trung gian cần có điều kiện liên tục của hàm số. Mặc dù giải

tích sẽ giải thích ý nghĩa một cách chính xác nhưng khái niệm hàm số liên tục

rất dễ hiểu. Một cách rất cơ bản, một hàm số f là liên tục khi đồ thị của nó có

thể vẽ mà không cần nhấc bút chì ra khỏi tờ giấy, nghĩa là đồ thị không có lổ

hổng hay bước nhảy. Chẳng hạn, mọi hàm đa thức đều liên tục.

Định lý giá trị trung gian

f là một hàm số liên tục. Nếu a < b , f(a) và f(b) trái dấu thì f có ít nhất một

nghiệm trong khoảng giữa a và b.

Dù việc chứng minh kết quả này đòi hỏi những phương pháp phức tạp trong

giải tích, nhưng rất dễ thấy kết quả này là đúng. Xem hình 79.

Sử dụng định lí giá trị trung gian kết hợp với bảng giá trị cho bởi phần mềm hỗ

trợ sẽ cho ta cơ sở để tìm nghiệm.

Mặc dù thuật ngữ “hàm số liên tục” đã được đưa vào nhưng theo chúng tôi noosphère vẫn

chưa có ‎ý định sử dụng ngầm ẩn khái niệm HSLT khi nó chưa được định nghĩa một cách

tường minh. Thật vậy, những trích dẫn trong kết luận về đồ thị hàm số mũ và hàm số lôgarit

[109, tr. 276; 291] cho thấy các thuật ngữ có tính trực giác vẫn được sử dụng thay vì thuật

ngữ “hàm số liên tục” :

Tính chất của đồ thị hàm số mũ f(x) = ax, a > 1

.............

6. Đồ thị hàm số f trơn và liên tục, không có điểm góc hoặc khoảng trống

.............

Tính chất của đồ thị hàm số mũ f(x) = logax

............

6. Đồ thị hàm số trơn và liên tục, không có điểm góc hoặc khoảng trống

Một điểm quan trọng là việc mô hình hóa các số liệu thống kê rời rạc xấp xỉ một đồ thị

của một HSLT được thể hiện rất phong phú trong Precalculus, ngay cả khi khái niệm HSLT

chưa được giảng dạy tường minh. Hiển nhiên, việc mô hình hóa này đòi hỏi việc áp dụng

thành thạo phần mềm toán học. Dưới đây là một dẫn chứng minh họa [109, tr. 338] :

VÍ DỤ 1 : Họp thức các số liệu bằng một hàm số mũ

Beth muốn tìm một hàm số để giải thích giá của cổ phiếu Harley Davidson ở

241

thời điểm cuối năm. Cô ta thu thập dữ liệu được cho bởi table 10.

(a) Dùng phần mềm vẽ đồ thị để biểu diễn phân bố trong đó đơn vị năm là

biến số độc lập.

(b) Dùng phần mềm vẽ đồ thị để xấp xỉ các dữ liệu đó bằng một hàm số mũ

(d) Vẽ đồ thị hàm số mũ tìm trong phần (b) và (c) vào đồ thị phân bố

(e) Dùng lời giải trong câu (b) hay (c) dự đoán giá của cổ phiếu Harley

Davidson vào cuối năm 2004.

(f) Giải thích giá trị của k tìm trong phần (c)

Chúng tôi không trình bày chi tiết những nội dung của lời giải VD 1 nói trên trong SGK-

P, chúng tôi chỉ quan tâm đến bước chuyển từ tính rời rạc sang liên tục. Bảng 10 (table 10)

trong VD 1 cho biết các số liệu [109, tr, 339].

Trong Precalculus, HS được hướng dẫn sử dụng phần mềm vẽ đồ thị để vẽ phân bố cho

bởi hình 5 và bảng giá trị cho bởi hình 6.

Hàm số tìm được là A = A0ekt = 0,47547.e0,3062t với đồ thị xấp xỉ tốt nhất với phân bố được

242

trình bày bởi hình 7 [109, tr. 339] :

Qui trình nói trên rất gần với công việc “nối các điểm lại bằng một đường cong trơn” mà

noosphère đã cung cấp cho HS ngay từ đầu như một công cụ vẽ đồ thị.

Như vậy trong giai đoạn ngầm ẩn, khái niệm liên tục, gián đoạn và HSLT được tiếp cận

trên phương diện hình học, tổng thể và dựa vào trực giác. Các khái niệm đó đóng vai trò công

cụ để vẽ các đường cong liên tục hoặc gián đoạn biểu diễn các hàm số. Chúng còn là công cụ

để giải thích định lí giá trị trung gian. Phạm vi tác động rất rộng : các hàm đa thức, hàm hữu

tỷ, hàm số cho bởi nhiều biểu thức, hàm lượng giác, hàm số mũ và hàm số lôgarit. Chúng ta

có thể tìm thấy ở đó những quan niệm tương đồng trong lịch sử tiến hóa của khái niệm HSLT

đó là quan niệm nguyên thủy, quan niệm Descartes hay Arbogast.

3. Giai đoạn tường minh

Chương cuối cùng của Precalculus là thời điểm khái niệm HSLT lấy cơ chế là khái niệm

toán học. Nó được đưa vào thông qua khái niệm giới hạn của hàm số.

Tiến trình và cách đưa vào khái niệm này và những khái niệm có liên quan được sơ đồ

hóa như sau :

3.1 Về khái niệm giới hạn của hàm số trong Precalculus

Khái niệm giới hạn của hàm số trong Precalculus được trình bày dưới dạng ngôn ngữ

“xấp xỉ” nhưng hoàn toàn được diễn đạt bằng lời. Cách tiếp cận khái niệm giới hạn của hàm

243

số không qua giới hạn của dãy số như SGK Việt Nam hoặc qua các định nghĩa hình thức như

SGK Maroc. Tuy nhiên, chúng tôi cho rằng ngầm ẩn trong định nghĩa bằng lời đó là ngôn

ngữ -. Định nghĩa giới hạn của hàm số [109, tr. 910] :

Chúng ta có thể diễn đạt ý nghĩa của như sau:

Với mọi x xấp xỉ c, với x  c, giá trị tương ứng của f(x) xấp xỉ N.

Một cách diễn đạt khác của là:

Khi x càng gần c nhưng khác c thì giá trị tương ứng f(x) càng gần N.

Cách tiếp cận trên có tính trực giác và hoàn toàn không cung cấp một công cụ để tìm

giới hạn của hàm số. Tuy nhiên, HS được cung cấp 3 cách khác nhau để minh họa cho định

nghĩa này và phương pháp tìm giới hạn của hàm số tại một điểm x0 :

 Phương pháp lập bảng giá trị xấp xỉ (với ứng dụng của CNTT) (1)

 Phương pháp đồ thị (2)

 Các kỹ thuật đại số (Algebra Techniques) để tìm giới hạn của hàm số (3)

Chẳng hạn, để dùng (1) tìm , HS được hướng dẫn lập bảng giá trị xấp xỉ (hình

8) và nhận xét rằng khi x đến gần 2 thì y đến gần 4, nghĩa là : [109, tr.911]

Ví dụ trên cho thấy một cách tiếp cận theo ngôn ngữ xấp xỉ:

nhưng trình bày dưới dạng “thực nghiệm” .

Noosphère đã thể hiện quan điểm thực nghiệm trong toán học với sự hỗ trợ của máy tính.

Phương pháp (2) cho thấy quan điểm tiếp cận hình học, trực quan của noosphère. Cuối

cùng các phép toán đại số về giới hạn được hợp thức qua các định lí được thứa nhận về giới

hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản, các hàm số tổng, hiệu, tich, thương và căn số của các

hàm số sơ cấp cơ bản. (3) cho thấy quan điểm đại số hóa Giải tích về giới hạn.

3.2 Khái niệm hàm số liên tục

Khái niệm giói hạn một bên và HSLT được sắp xếp trong cùng một mục. Cách tiếp cận

khái niệm giới hạn một bên vẫn theo ngôn ngữ xấp xỉ và diễn đạt bằng lời. Tuy nhiên cách

tiếp cận tổng thể, hình học được sử dụng như phương tiện để diễn đạt các khái niệm này và

đưa vào định lí về sự tồn tại giới hạn của hàm số. Ghi nhận này được minh họa bởi [109, tr.

924]:

Giới hạn bên trái và giới hạn bên phải được dùng để xác định sự tồn tại của

244

. Xem hình 9.

Trong hình 8a, tồn tại và bằng giá trị chung của giới hạn bên phải,

bên trái (L = R). Trong hình 8b chúng ta thấy không tồn tại

vì L  R. điều này dẫn đến kết quả sau :

Định lí : Nếu và thì tồn tại khi và chỉ khi

L = R. Nói cách khác nếu L = R thì = L (=R).

Sau các tiếp cận khái niệm giới hạn một bên, khái niệm HSLT hiện diện với tư cách là

một đối tượng được nghiên cứu. HS được tiếp xúc với khái niệm HSLT qua các hình ảnh trực

quan. Ý định của noosphère là xây dựng định nghĩa tường minh theo con đường qui nạp. Các

minh họa sau (xem hình 10) từ Precalculus cho thấy cách tiếp cận trực quan, hình học, tổng

245

thể này [109, tr. 925]:

Hình 10

Sau các tiếp cận trực quan đó, SGK chính thức đưa vào định nghĩa HSLT tại một điểm

[109, tr. 925]:

Trong phần trước đây, chúng ta nói rằng một hàm số là liên tục nếu đồ thị

của nó có thể vẽ bằng bút chì mà không phải nhấc bút khỏi tờ giấy. Từ hình

10, đồ thị duy nhất có tính chất này là đồ thị 10(a), ở đó giới hạn các bên

tại c tồn tại và bằng với giá trị của f tại c. Điều này dẫn đến định nghĩa sau

đây:

Một hàm số f là liên tục tại c nếu :

4. f xác định tại c, nghĩa là c thuộc miền xác định của f và f(c) là một số

thực.

Nói cách khác hàm số f liên tục tại c nếu

Nếu f không liên tục tại c ta nói rằng f gián đoạn tại c.

Một ghi nhận khác của chúng tôi: ngoài tiếp cận địa phương (liên tục tại một điểm),

thể chế không đề cập đến các khái niệm liên tục trên khoảng, trên đoạn, trên nửa khoảng.

Đồng thời những đặc trưng địa phương khác như liên tục bên phải, bên trái cũng không

được đề cập đến. Người ta chỉ yêu cầu kiểm tra tính liên tục hay gián đoạn tại một điểm của

một hàm số mà thôi. Đặc trưng tổng thể dường như được mặc nhiên công nhận mà không

cần một định nghĩa. Ghi nhận này được minh họa bằng một bảng tóm tắt sau đây ở

Precalculus [109, tr.928]:

Các loại hàm số : Tính liên tục

Hàm số

Miền xác định

Tính chất

Hàm đa thức

Mọi số thực

Liên tục tại mọi giá trị thuộc miền xác định

Hàm hữu tỷ R(x)=

Liên tục tại mọi giá trị thuộc miền xác định. Có lổ trống

hoặc tiệm cận đứng tại những điểm mà R không xác định.

246

Hàm số mũ

Mọi số thực

Liên tục tại mọi giá trị thuộc miền xác định

Hàm lôgarit

Mọi số thực dương

Liên tục tại mọi giá trị thuộc miền xác định

Hàm số sin và cos

Mọi số thực

Liên tục tại mọi giá trị thuộc miền xác định

Hàm tan và sec

Mọi số thực trừ các

Liên tục tại mọi giá trị thuộc miền xác định.

bội số lẻ của

Có tiệm cận đứng tại các điểm là bội số lẻ của

Hàm cot và cosec

Mọi số thực trừ các bội số

Liên tục tại mọi giá trị thuộc miền xác định.



Có tiệm cận đứng tại các điểm là bội số .

Có lẽ lý do mà Precalculus không đưa vào các khái niệm liên tục một bên là miền xác

định của những hàm số được nghiên cứu chính thức trong CT hoặc là hoặc là hợp của

các khoảng trong . Không một hàm số nào có miền xác định là nửa khoảng hay đoạn và

trong các bài tập, người ta chỉ yêu cầu xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, không bài

tập nào yêu cầu “tìm miền trên đó hàm số liên tục”.

3.4 Kết luận về khái niệm hàm số liên tục trong Precalculus

Để thấy rõ sự tiến triển của khái niệm HSLT trong Precalculus, trước hết chúng tôi giới

thiệu sơ đồ biểu diễn trình tự giảng dạy các chương theo đề xuất của các tác giả:

Sơ đồ trên cho thấy cơ chế toán học của khái niệm HSLT không tác động trực tiếp đến

các hàm số được khảo sát trong chương trình vì nó có thể được đưa vào sau cùng và hoàn

toàn độc lập.

247

Sự tiến triển của khái niệm HSLT trong Precalculus có thể được tóm tắt như sau

Thời điểm

Chương 1

Chương 2, 3

Chương 13

Đặc trưng

Liên tục

Gián đoạn

HSLT

Khái niệm

Công cụ

Đồi tượng Công cụ

Cơ chế hoạt động

Trực giác, phát biểu

Trực giác,

Tiếp cận hình học  tiếp

Hính thức tiếp cận

bằng lời cách vẽ đồ

phát biểu bằng

phát biểu

cận số hóa bởi định nghĩa

thị hàm số bằng tay

lời (quan niệm

bằng lời

HSLT qua khái niệm giới

bằng đường liền nét.

Arbogast)

(quan niệm

hạn .

Descartes)

Hình học, tổng thể

Hình học,

Hình học, số hóa, địa

Đặc trưng

tổng thể

phương.

Tiền toán học

Cận toán học

Cận toán học Toán học

Hình thức thể hiện

Đồ thị hàm số

- Đồ thị hàm

Giải tích : các hàm số sơ

Phạm vi tác động

cho bởi nhiều

đa thức

cấp

công thức,

- ĐLGTTG

hàm hữu tỷ.

Ở Precalculus những đặc trưng nổi bật mà chúng tôi ghi nhận được có thể tóm tắt như

 Quan điểm giảng dạy gần với các đặc trưng khoa học luận

Các quan niệm về HSLT xuất hiện theo trình tự và hình thức thể hiện :

Tiền toán học  Cận toán học (Arbogast)  Toán học

Ở thời điểm khái niệm liên tục xuất hiện với hình thức cận toán học, chúng ta tìm thấy

những cách tiếp cận trực giác như đã từng hiện diện trong lịch sử tiến hóa của khái niệm

này. Chẳng hạn :

- quan niệm trực giác của Descartes :“có thể vẽ được mà không phải nhấc bút lên” .

- quan niệm Arbogast : “đồ thị đột ngột “nhảy” từ giá trị này sang giá trị khác mà

không nhận bất kỳ giá trị trung gian nào”

Ở thời điểm khái niệm HSLT xuất hiện, như hầu hết các thể chế khác khái niệm này

được tiếp cận thông qua khái niệm giới hạn và chúng ta cũng thấy nó được chuyển hóa

nhằm mục đích sư phạm chứ không được trình bày như các định nghĩa gốc của Cauchy hay

Bolzano.

 Khái niệm gián đoạn được tiếp cận trước khái niệm liên tục

Khái niệm gián đoạn được tiếp cận dưới hình thức cận toán học nhằm phục vụ việc

nghiên cứu những hàm số có điểm gián đoạn như hàm lượng giác, hàm hũu tỷ. Điều này

248

phù hợp với tiến trình lịch sử của khái niệm “hàm số”. Thật vậy, các nhà toán học từ Euler

trở đi đã nghiên cứu hoàn chỉnh các hàm số lượng giác, hàm hữu tỷ, hàm số mũ, hàm số

lôgarit … trước khi khái niệm HSLT được chính xác hóa bởi Bolzano, Cauchy.

 Mô hình hóa các hoạt động thực tiễn, chuyển từ số liệu rời rạc sang đường cong

toán học liên tục bằng sự hỗ trợ của phần mềm toán học và quan điểm thực nghiệm

trong toán học.

Mô hình hóa toán học là một đặc trưng xuyên suốt của Precalculus. Chúng tôi cho rằng

SGK toán của Hoa Kỳ nói chung và Precalculus mà chúng tôi đang đề cập đã thể hiện rõ nét

quan điểm thực tiễn qua việc thiết kế, tổ chức nhiều tình huống, hoạt động để HS tập dượt

vận dụng toán học vào đời sống và các môn học khác. Phương pháp mô hình hóa toán học

trong SGK còn cho thấy sự chú trọng quan điểm tiếp cận năng lực. Chẳng hạn, chỉ trong

phần bài tập thuộc chương 4 (Hàm số mũ và lôgarit) chúng tôi tìm thấy những bài tập vận

dụng liên quan đến các lĩnh vực hoặc vấn đề rất đa dạng như :

- Độ pH của một dung dịch hóa học

- Tính đa sắc tộc của một cộng đồng

- Áp suất không khí

- Sự phục hồi vết thương

- Xác suất

- Sự dung nạp thuốc trong máu

- Sự lan tỏa tin đồn

- Mạch điện

- Kiểm soát độ cồn trong máu của người lái xe

Những dẫn chứng trên cho thấy các nhà sư phạm chú trọng đặc biệt đến việc hình thành

kỹ năng vận dụng kiến thức toán học để giải quyết các tình huống thực tiễn, nói cách khác

đó là sự thể hiện rõ nét quan điểm tiếp cận năng lực. Phương pháp được xem là trọng

tâm cho việc hình thành kỹ năng này là phương pháp mô hình hóa toán học. HS được

cung cấp các công cụ để mô hình hóa các hiện tượng biến thiên liên tục hay rời rạc trong

thực tiễn. Những công cụ đó là sự vận dụng những kiến thức của hàm số đã được học vào

249

các bài toán thường gặp trong đời sống. Việc mô hình hóa các số liệu rời rạc thành một hàm

số liên tục luôn gắn liền với việc áp dụng các phần mềm toán học thông dụng. Hoạt động

này cũng cho thấy vai trò quan trọng của công nghệ thông tin trong việc kết nối giữa thực

250

tiễn và lí thuyết.

PHỤ LỤC 3.6

KHÁI NIỆM LIÊN TỤC VÀ HSLT TRONG SGK PHÁP

1. Các sách giáo khoa Pháp dùng cho nghiên cứu

Do điều kiện hạn chế về tiếp cận SGK, chúng tôi chỉ trình bày các nghiên cứu trên một

số SGK bậc THPT ở Pháp. Chương trình bậc THPT của Pháp thay đổi theo các chu kỳ thay

SGK của nước này. Ở mỗi giai đoạn chúng tôi chọn một SGK được sử dụng khá phổ biến.

Cụ thể là :

- SGK Collection de Mathématiques – Class Terminale C, E của E. Cossart và F. Théron

(giai đoạn 1970 – 1980) [87]

- SGK Mathématiques – Class Terminale C, E của Suzanne Hautcœur và Maurice

Monge (giai đoạn 1980 – 1990) [91]

- SGK Math của Terracher (giai đoạn 1990 – 2000) [98] (lớp 11), [99] (lớp 12)

- SGK Déclic Maths của Jean-Paul Beltramone và các tác giả khác (giai đoạn sau 2000)

[79]. Trong đó tập 1 tương ứng lớp 10, tập 2 – lớp 11 và tập 3 – lớp 12.

Các giai đoạn trước năm 1970, chúng ta có thể tìm thấy một phần những đặc trưng của

khái niệm HSLT được giảng dạy ở Pháp thông qua nghiên cứu SGK Maroc.

2. Thời kỳ 1970 - 1980

Ở giai đoạn ngầm ẩn, người ta sử dụng các biểu tượng mũi tên trong bảng biến thiên để

mô tả sự liên tục. Các đồ thị được vẽ liền nét nhưng không có các giải thích hoặc thuật ngữ

ám chỉ sự liên tục. Khái niệm liên tục hiện diện dưới hình thức thể hiện tiền toán học và có

cơ chế công cụ ngầm ẩn.

Một đặc điểm là trong thời kỳ này, đại số cấu trúc vẫn đóng vai trò quan trọng. Vì vậy,

ở giai đoạn tường minh, người ta thiên về các định nghĩa hình thức hơn các cách tiếp cận

khác của khái niệm. Các kiến thức được tổ chức theo một trình tự như trong SGK Việt

Nam : Giới hạn của dãy số  Giới hạn của hàm số  Hàm số liên tục. Khái niệm HSLT

được định nghĩa theo ngôn ngữ - và qua khái niệm giới hạn.

Định nghĩa.

Hàm số liên tục tại một điểm

Cho một số thực a và một hàm số f xác định trên khoảng (a-h ; a+h). Ta

nói rằng hàm số f liên tục tại a nếu f(x) dần đến f(a) khi x dần đến a.

251

Theo định nghĩa giới hạn, f liên tục tại a có nghĩa là :

hay : [87, tr. 219]

Ở [85], tiến trình đưa vào khái niệm HSLT và các khái niệm liên quan được tóm tắt như

Mặc dù khái niệm giới hạn của dãy số đã được xây dựng trước, song, người ta định

nghĩa giới hạn của hàm số bằng ngôn ngữ -. Chúng tôi không tìm thấy thời điểm mà khái

niệm HSLT hiện diện dưới hình thức cận toán học. Thời điểm đầu tiên mà nó xuất hiện

cũng là thời điểm nó có hình thức toán học thông qua một định nghĩa hình thức bởi ngôn

ngữ - với đặc trưng địa phương, số hóa. Các tiếp cận hình học không được đưa vào như

một mở đầu trực quan, tổng thể. Tiếp cận hình học chỉ được sử dụng để minh họa khái niệm

hàm số gián đoạn tại một điểm và khi người ta không thể trình bày việc chứng minh tính

chất “Ảnh của một khoảng qua một hàm số liên tục là một khoảng”.

Trong mục “hàm số với một biến số thực”, hàm số phần nguyên được đưa vào cùng với

đồ thị mà SGK gọi là hàm bậc thang (fonction en escalier) nhưng tuyệt nhiên không thấy

thuật ngữ “gián đoạn” hay “không liên tục”. Có lẽ noosphère chú trọng cao đến tính lôgic

hình thức của các khái niệm và vì vậy không đưa vào các khái niệm có hình thức cận toán

học.

Tóm lại, ở SGK [87] đại diện cho giai đoạn này, cách tiếp cận số hóa khái niệm HSLT

252

chiếm vị trí chủ đạo. Khái niệm HSLT được biểu đạt thông qua ngôn ngữ - (tương

đồng với quan niệm Weierstrass). Khái niệm HSLT có hình thức toán học, có các đặc

trưng số hóa, địa phương, tổng thể và hình học.

3. Thời kỳ 1980 - 1990

Về khái niệm HSLT trong [91], cách tiếp cận được lựa chọn là qua khái niệm giới hạn

của hàm số. Trước hết, người ta nhắc lại rằng ở lớp trước đó, các giới hạn sau đã được học :

và . Sau đó, các tiếp cận gần với ngôn ngữ dùng trong Giải tích hàm,

được đưa vào theo trình tự :

1. Hàm số f được gọi là có giới hạn bằng 0 nếu tồn tại số thực dương M và hàm

(x) mà sao cho với mọi x thuộc lân cận K của 0 ta có :

((x) là hàm số hay ). Khi đó ta viết .

[91, tr.43]

2. Định lí : nếu hàm số f(x) xác định tại 0 và thì f(0) = 0.

3. Định nghĩa l.

4. Định nghĩa hàm số liên tục tại x = 0 : Nếu ta có f(0) thì hàm số

được gọi là liên tục tại x = 0.

5. Định nghĩa

6. Định nghĩa l.

7. Định nghĩa hàm số liên tục tại điểm x0 : Nếu ta có

8. Các định lí về lớp HSLT: Các hàm tuyến tính đều liên tục trên R;

hàm số y = liên tục trên ; hàm số y = sinx liên tục trên R.

9. Giới hạn bên phải, giới hạn bên trái, liên tục bên phải, liên tục bên

trái.

10. Các định lí về điều kiện cần và đủ để hàm số có giới hạn khi x  x0,

253

hàm số liên tục tại x0.

Ở phần mở đầu chương 5, về hàm số mũ, một định lí tương tự như SGK thời kì trước

được đưa vào:

Định lí :

1. Ảnh của một khoảng qua một hàm số liên tục là một khoảng.

2. Ảnh của một đoạn qua một hàm số liên tục là một đoạn [91, tr. 137]

Trở lại tiếp cận đầu tiên, cách tiếp cận số hóa khái niệm giới hạn của hàm số (và vì vậy

khái niệm hàm số liên tục) là khá phức tạp. Đây là kỹ thuật “xấp xỉ một hàm số”, xu hướng

trung tâm của thời kỳ này. Để thấy rõ hơn, xét một ví dụ từ [91] :

Ví dụ

1. Cho hàm số f: .

Tập xác định của hàm số f là . Hàm số xác định tại x = 0 và f(0) =

0. Chúng ta chứng minh rằng f có giới hạn bằng 0 khi x 0. Để xét tính

chất của f trên một lân cận của 0, ta chỉ cần xét f trên (-1; 1).

Với x là một số tùy ý thuộc (-1; 1), ta có :

nên

Ta có : và

Vì có giới hạn 0 khi x  0 nên [91; tr. 43]

Kỹ thuật xấp xỉ đóng vai trò chủ yếu trong Giải tích bậc THPT trong thời kỳ này.

Cách tiếp cận số hóa chiếm vị trí độc quyền cho đến thời điểm khái niệm hàm số gián

đoạn và định lí về ảnh của một khoảng, đoạn qua HSLT được đưa vào. Khái niệm hàm số

gián đoạn được tiếp cận qua hình ảnh trực quan, hình học và qua phát biểu bằng lời : « Hàm

số f không liên tục tại 2. Sự không liên tục tại 2 được giải thích bằng đồ thị bởi khi vẽ từ B

đến C ta phải nhấc bút chì lên » [91, tr. 137]

Định lí giá trị trung gian (ĐLGTTG) được đưa vào sau phần « ành của một khoảng, đoạn

qua hàm số liên tục », tất cả các khái niệm này đều được thừa nhận và tiếp cận trực quan,

254

hình học chỉ được sử dụng để minh họa ảnh của khoảng hay đoạn qua HSLT.

Tiến trình đưa vào các khái niệm được tóm tắt như sau :

Như vậy, ở SGK [91], trong giai đoạn tường minh, khái niệm HSLT hiện diện với

hình thức thể hiện là khái niệm toán học thông qua giới hạn của hàm số, đặc trưng cơ

bản của khái niệm là số hóa, địa phương, hình học và tổng thể. Trong đó cách tiếp cận

số hóa theo quan điểm xấp xỉ giữ vai trò chủ đạo.

4. Thời kỳ 1990 - 2000

Đây là thời kỳ mà SGK Pháp có những thay đổi về quan điểm vế việc tổ chức giảng dạy

các khái niệm của Giải tích toán học. Ở lớp 11, khái niệm HSLT không được đưa vào. Khái

niệm đồ thị của hàm số được giảng dạy nhưng tính liên tục của đồ thị được mặc nhiên công

nhận mà không có một giải thích nào. Chúng ta chỉ tìm thấy các đối tượng có đặc trưng liên

tục như đường cong, đồ thị, biểu tượng trong bảng biến thiên. Như vậy có thể nói trong giai

đoạn ngầm ẩn khái niệm liên tục hình thức một khái niệm tiền toán học.

Khái niệm đạo hàm là khái niệm trung tâm, ở SGK 11 [98], nó hiện diện ngay sau giới

255

hạn của hàm số. Tiến trình đưa vào các khái niệm cơ bản của giải tích có thể được tóm tắt :

Tiếp cận số hóa, địa phương, tổng thể

Như vậy, tiến trình giới hạn  hàm số liên tục  đạo hàm như truyền thống không nhất

thiết phải duy trì khi mà mục đích nghiên cứu của noosphère là các hàm số khả vi. Khái

niệm HSLT gần như không cần xét đến với các hàm khả vi trên tập xác định của chúng.

Vai trò mờ nhạt của khái niệm HSLT có thể thấy được trong mục lục của SGK

Trong SGK lớp cuối cấp (terminale), khái niệm giới hạn và liên tục được đưa vào trong

1 bài “giới hạn và liên tục” [99; tr. 65]. Nội dung “giới hạn” chủ yếu là ôn tập lại những

điểm quan trọng của lớp 11. Phạm vi các hàm số được xét rất hạn hẹp, sự giới hạn này được

đề cập đến ngay ở phần mở đầu :

I. Ôn tập

Những hàm số thường dùng

Những kết quả dưới đây liên quan đến những trường hợp thường dùng :

 f(x) = x; x2; x3; …………………………………………

 f(x)= …………………………………………

 f(x) = x; x2; x3; ; sinx……………………………………

[99; tr. 65]

Với việc hạn chế phạm vi những hàm số được nghiên cứu thì các định nghĩa liên quan

đến khái niệm giới hạn, liên tục cũng được sử dụng trong mức độ đủ để hợp thức các khái

niệm đó :

256

Chú ý :

1. Câu hỏi :”f có giới hạn tại a hay không?” chỉ được đặt ra trong hai trường

hợp sau :  f xác định tại a  a là đầu mút của khoảng mà trên đó f xác định.

2. Nếu f xác định tại a (a là số thực) và nếu f có giới hạn l tại a thì l = f(a).

3. Kí hiệu (a hữu hạn hay vô hạn, l là số thực) có thể được diễn tả là :

hay với [99; tr. 65]

Khái niệm HSLT được đưa vào sau phần ôn tập về giới hạn và hiển nhiên, ngôn ngữ sử

dụng cũng tương thích với phạm vi các hàm số được giới hạn ở trên [99; tr.67]:

Định nghĩa 1.

Các tiếp cận tổng thể, hình học được đưa vào sau đó nhằm minh họa khái niệm HSLT

trên khoảng và hàm số gián đoạn tại một điểm. Quan niệm trực giác, hình học cũng được sử

dụng để mô tả sự liên tục : “Về mặt hình học, với hàm số liên tục trên một khoảng thì ta có

thể vẽ đồ thị hàm số bởi một nét vẽ liên tục bằng bút chì”. Tuy nhiên, điều này không đồng

nghĩa với sự tồn tại của giai đoạn mà khái niệm HSLT có hình thức thể hiện cận toán học.

Như đã nhận định, khái niệm đạo hàm được xem là khái niệm trung tâm. Sau định nghĩa

HSLT, sách giáo khoa đưa ngay vào một định lí được thừa nhận :

Định lí 1

Nếu một hàm số khả vi trên khoảng I thì nó liên tục trên khoảng I.

Sau các định nghĩa về giới hạn một phía, khái niệm liên tục một phía không được định

nghĩa tường minh, thay vào đó, SGK đưa vào một định lí được thừa nhận :

Định lí 4 : Hàm số f xác định trên khoảng I chứa a. Nếu f liên tục

với x  a và với x  a thì f liên tục tại a. [99, tr. 69]

Các tính chất nhằm đại số hóa khái niệm HSLT cũng được thừa nhận để nhanh chóng

hợp thức tính liên tục của các hàm đa thức, lượng giác, vô tỷ, và tổng, hiệu, tich, thương của

các hàm số này trên tập xác định của chúng.

Cũng như thời kỳ trước đó, khái niệm ảnh của một khoảng qua một HSLT luôn được đề

cập đến và SGK chỉ giới hạn trong phạm vi hàm đơn điệu nghiêm ngặt đồng thời đưa vào

trường hợp đặc biệt của ĐLGTTG để làm cơ sở lí thuyết cho kỹ thuật giải gần đúng một

257

phương trình mà SGK gọi là “nguyên lí địa phương hóa” (Le principe de localisation).

Định lí 5 : Cho f là một hàm số liên tục và đơn điệu nghiêm ngặt

 f(I )là một khoảng

 Với mọi số thực m thuộc f(I), phương trình f(x) = m có nghiệm

trên khoảng I. Ta có :

duy nhất trên I.

Nguyên lí địa phương hóa

Bổ đề : Cho f là một hàm số liên tục và đơn điệu nghiêm ngặt trên

[a; b]. Nếu f(a) và f(b) trái dấu thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm

duy nhất trên (a; b) [99, tr. 70]

Các ví dụ và thuật toán tìm nghiệm gần đúng của một phương trình được trình bày chi

tiết, hai thuật toán được đề cập đến là : thuật toán phân đôi và vét.

Như vậy, trong giai đoạn này, cách tiếp cận số hóa khái niệm HSLT vẫn giữ vai trò

chủ đạo. Khái niệm HSLT hiện diện với hình thức một khái niệm toán học thông qua

khái niệm giới hạn, còn khái niệm liên tục vẫn luôn xuất hiện như một công cụ ngầm

ẩn để vẽ đồ thị hàm số. Tuy nhiên khái niệm trung tâm là đạo hàm chứ không là khái

niệm HSLT. Cách tiếp cận hình học có vai trò mờ nhạt thể hiện qua nội dung lý

thuyết và bài tập.

Một đặc điểm chung là trong các giai đoạn trước năm 2000, CNTT không được sử

dụng như một phương tiện hỗ trợ dạy học các khái niệm giải tích đồng thời tiếp cận

nội dung đóng vai trò chủ đạo.

5. Thời kỳ sau năm 2000

Vẫn tương tự các thời kỳ trước, khái niệm liên tục hiện diện trong SGK lớp 10 với vai

trò công cụ ngầm ẩn trong việc vẽ đồ thị hàm số bằng đường liền nét. Một điểm khác biệt

là sự tăng cường vai trò của CNTT qua máy tính bỏ túi có hiển thị đồ thị hoặc qua phần

mềm toán học (với máy vi tính).

Phương pháp vẽ đồ thị được hướng dẫn : lâp bảng giá trị  xác định các điểm trong hệ

trục tọa độ  nối các điểm lại bằng một đường cong trơn (“on joint les points par une

courbe “lissée” ” [79, tập 1, tr. 68].

Ở SGK 11, khái niệm giới hạn và hàm số liên tục và không liên tục đã xuất hiện với

258

cách tiếp cận trực giác :

Khái niệm trực giác về giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a

Cho f là một hàm số xác định trên khoảng I chứa số thực a, có thể trừ

a. Nói rằng f dần đến l khi x dần đến a có nghĩa là giá trị của f(x) gần

giá trị l một cách tùy ý, khi x thuộc một lân cận thích hợp của a.

Hoặc là khoảng cách giữa f(x) và l có thể làm cho nhỏ hơn số dương

a bất kỳ nếu x thuộc một lân cận thích hợp của a.

Ta viết

Ta thừa nhận rằng tất cả các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm căn

bậc hai, hàm số vô tỉ, hàm số giá trị tuyệt đối, hàm số lượng giác đều

có tính chất : nếu f xác định tại a thì giới hạn của nó là f(a).

[79, tập 2, tr. 76]

Sau cách tiếp cận trực giác này, một ví dụ và một phản ví dụ được đưa vào bằng đồ thị

để minh họa hình học khái niệm hàm số có giới hạn và không có giới hạn. Đồng thời các

thuật ngữ “hàm số liên tục tại a” và “hàm số không liên tục tại a” lần đầu tiên xuất hiện [79,

tập 2, tr.76]:

Như vậy, khái niệm HSLT được sử dụng như một công cụ giải thích cho tính chất tồn tại

hay không giới hạn của một hàm số f(x) khi x tiến đến a. Nó chưa là đối tượng nghiên cứu

vì chưa được định nghĩa tường minh và trong phần bài tập, người ta chỉ sử dụng đồ thị gián

đoạn hay liên tục để hỏi về sự tồn tại hay không giới hạn của hàm số.

Tuy nhiên, khái niệm đạo hàm là trọng tâm. Điều này được thấy rất rõ qua cách tổ chức

các kiến thức và tiến trình đưa vào những khái niệm cơ bản của giải tích. Sau định nghĩa

trực giác trên người ta nhanh chóng đưa vào một định lí được thừa nhận nhằm cung cấp kỹ

259

thuật tìm giới hạn (đại số hóa) của hàm số phục vụ mục đích đưa vào khái niệm đạo hàm :

Định lí thừa nhận

Cho a là một số thực thuộc khoảng I và hai hàm số : f xác định trên I

trừ điểm a và g xác định trên I.

Nếu g có một giới hạn khi x  a và nếu với mọi số thực x thuộc I

nhưng khác a ta có f(x) = g(x) thì [79, tập 2, tr. 76]

Giai đoạn tường minh xuất hiện ở SGK 12, ở đó khái niệm HSLT được đưa vào qua

khái niệm giới hạn của hàm số. Các khái niệm cơ bản của giải tích được tổ chức theo tiến

trình : giới hạn của hàm số  đạo hàm  hàm số liên tục ….. Như vậy tiến trình liên tục

 đạo hàm không nhất thiết phải là tiến trình bắt buộc.

Cách tiếp cận số hóa, địa phương được sử dụng để đưa vào các khái niệm HSLT tại một

điểm và trên khoảng.

Định nghĩa

 Cho a là một số thực thuộc I

Cho f là một hàm số xác định trên khoảng I

 Hàm số f là liên tục trên khoảng I nếu nó liên tục tại mọi số thực a

Hàm số f là liên tục tại a nếu

thuộc I. [79, tập 3, tr. 13]

Ngay sau các định nghĩa HSLT, người ta cho hai ví dụ về hàm số bằng đồ thị để minh

họa khái niệm bởi cách tiếp cận trực giác, hình học. Các chú thích kèm theo các đồ thị này

như sau :

VD : - (hai đồ thị)

- (chú thích cho đồ thị thứ nhất) Trên [-2; 3], ta có thể vẽ đồ thị

hàm số f mà không phải nhấc bút chì lên. Nó không có “bước

nhảy”. f liên tục trên [-2;3].

- (chú thích cho đồ thị thứ hat) Ta không thể vẽ đồ thị của f mà

không phải nhấc bút chì lên. f không liên tục trên [-2;3]. Đồ thị

có “bước nhày” tại điểm có hoành độ 2. f không liên tục tại 2,

260

nó gián đoạn tại 2.

Chú ý : Trong đồ thị thứ hai, f liên tục trên [-2; 2], vì đồ thị của f trên

khoảng này có thể vẽ mà không phải nhấc bút chì lên. Nhưng f không

liên tục tại 2. [79, tập 3, tr. 13]

Với cách tiếp cận trực giác và hình học này, khái niệm HSLT có hình thức thể hiện cận

toán học.

Khái niệm HSLT bên phải hay bên trái không được đề cập đến. Noosphère đưa vào nhận

xét được thừa nhận làm cơ sở cho sự đại số hóa khái niệm HSLT : “Người ta có thể chứng

minh được rằng tất cả các hàm số đa thức, hàm số căn bậc hai, hàm số lượng giác và các

hàm số cộng, nhân, hợp của các hàm số đó là liên tục trên tất cả các khoảng xác định của

chúng” [79, tập 3, tr. 13].

Hàm số phần nguyên được đưa vào để minh họa về hàm số gián đoạn tại vô số điểm.

Tuy nhiên tính chất gián đoạn đó được diễn tả bằng đồ thị có vô số “bước nhảy” chứ không

bằng chứng minh qua khái niệm giới hạn.

Định lí giá trị trung gian và hệ quả được giải thích bằng đồ thị và là cơ sở cho việc

chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x) = 0. Việc kết hợp ĐLGTTG và tính

đơn điệu lại là yếu tố lí thuyết cho kỹ thuật tính gần đúng nghiệm của phương trình. Cách

tiếp cận các bài toán trong phần này được trình bày đan xen giữa các cách tiếp cận : số hóa

qua các công cụ lý thuyết, đồ thị (hình học), thực nghiệm qua ứng dụng của CNTT (hoặc

máy tính bỏ túi hoặc máy vi tính)

6. Vài kết luận về SGK Pháp

1. Cách tiếp cận khái niệm HSLT trong từng thời kỳ có những thay đổi quan trọng.

Trước năm 1980, cách tiếp cận số hóa qua định nghĩa hình thức bởi ngôn ngữ - đóng vai

trò chủ yếu. Tuy nhiên ở giai đoạn sau 1980, ngôn ngữ - không còn được sử dụng mà thay

vào đó khái niệm HSLT đã được định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn của hàm số.

2. Trong thời kỳ 1990 – 2000, khái niệm đạo hàm là trung tâm. Vì vậy vai trò của khái

niệm HSLT rất mờ nhạt vì các hàm số được xét đến hầu hết là khả vi.

3. Khái niệm liên tục luôn hiện diện với vai trò công cụ ngầm ẩn trong việc vẽ đồ thị

hàm số bằng đường liền nét.

4. Càng về sau, vai trò của CNTT càng gia tăng thông qua việc ứng dụng máy tính bỏ túi

và các phần mềm ứng dụng chạy trên máy vi tính. Người ta cũng thấy đồng thời với sự gia

tăng này là cách thay đổi từ tiếp cận nội dung sang tăng cường xu hướng tiếp cận năng lực.

261

Quan điểm thực nghiệm trong dạy học toán cũng đã hiện diện với sự hỗ trợ của máy tinh.

PHỤ LỤC 4.1 BÀI TOÁN 1A

Cho haøm soá y = f(x) coù mieàn xaùc ñònh laø

. Ñeå veõ ñoà thò haøm soá naøy, Baïn Laâm - moät hoïc

sinh lôùp 10, ñaõ laäp baûng bieán thieân sau ñaây cuûa haøm soá : x

-2 0 2

3 2 y 1

-1

Döïa vaøo baûng bieán thieân naøy, em haõy giuùp Laâm veõ phaùc ñoà thò cuûa haøm soá ñaõ cho vaøo heä truïc toïa ñoä döôùi ñaây :

262

PHỤ LỤC 4.2 BÀI TOÁN 2A

Caùc em hoïc sinh thaân meán, phieáu naøy khoâng coù muïc ñích ñaùnh giaù kieán thöùc cuûa caùc em maø chæ ñöôïc bieân soaïn nhaèm tìm hieåu suy nghó cuûa caùc em veà moät vaán ñeà trong chöông trình hoïc. Caùc em haõy vui loøng traû lôøi caùc caâu hoûi sau. Raát caùm ôn veà söï tham gia cuûa caùc em . Xeùt haøm soá y = f(x) coù mieàn xaùc ñònh laø

. Baûng sau ñaây cho bieát giaù trò cuûa

haøm soá öùng vôùi moät soá giaù trò cuûa bieán soá x :

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

4 2 0 - 2 -3 -1 1 3 5

y = f(x)

Töø baûng giaù trò naøy, em coù theå veõ phaùc ñoà thò haøm soá ñaõ cho khoâng ? a/ Neáu khoâng, haõy giaûi thích vì sao ? ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ b/ Neáu coù, haõy veõ phaùc ñoà thò haøm soá vaøo heä truïc toïa ñoä cho saün döôùi ñaây :

263

PHỤ LỤC 4.3 BÀI TOÁN 4A

Phiếu thực nghiệm TN2 (lớp 11)

Họ và tên HS : …………………………………………. Lớp : …………………………………… Trường : ……………………………………………………………………………………………... Học sinh được phép sử dụng các loại máy tính bỏ túi Casio fx-500MS, fx-570MS để giải bài toán sau : Bài toán Cho hàm số : 1) Tính giá trị của hàm số tại các điểm có hoành độ không âm tùy ‎ý em và viết kết quả trong bảng dưới đây (chỉ yêu cầu viết đến 2 chữ số thập phân) :

x

0 f(x)

17,22

2) Phương trình

có nghiệm trên (0; +) hay không? Tại sao ?

(nếu cần tính toán các giá trị nào đó, em có thể ghi vào phần dưới đây) …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………….

264

PHỤ LỤC 4.4 BÀI TOÁN 5A

Phiếu thực nghiệm TN1 (lớp 11)

Họ và tên HS : …………………………………………. Lớp : …………………………………… Trường : ……………………………………………………………………………………………... Bài toán Gọi A là tập hợp các số hữu tỉ bé hơn hay bằng 2, B là tập hợp các số hữu tì lớn hơn hay bằng 3.

Cho hàm số : f(x) =

4) Miền xác định của hàm số là

. Các số sau đây không thuộc

vì là số vô tỉ :

. Em hãy cho 3 giá trị khác của biến số không thuộc

:…..;……..;……...

5) Các điểm sau đây thuộc đồ thị hàm số y = f(x), em hãy bổ sung đầy đủ tọa độ các điểm đó rồi

xác định các điểm đó trong hệ trục tọa độ cho sẵn : A(-2; ……); B(-1; ……); C(0; ……..);

D(1; ……..); E(2; ……..); F(3; ………..), G(

;………..)

6)  Em có thể vẽ được đồ thị hàm số y = f(x) không? Nếu có, hãy vẽ vào hệ trục trên và giải thích

cách vẽ. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..  Nếu không vẽ được hãy giải thích vì sao ? ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

265

PHỤ LỤC 4.4 Phiếu thực nghiệm TN4 Họ và tên HS : …………………………………………. Lớp : …………………………………… Trường : ……………………………………………………………………………………………...

Cho hàm số f(x) =

, m là tham số.

3) Định m để hàm số có đạo hàm tại điểm x = 1. 4) Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm vào hệ trục cho sẵn dưới đây.

TRẢ LỜI

1) 2)

266

PHỤ LỤC 4.5 BÀI TOÁN 6A

Phiếu thực nghiệm TN3 (lớp 11)

Họ và tên HS : …………………………………………. Lớp : …………………………………… Trường : ……………………………………………………………………………………………...

Cho hàm số : f(x) =

1) Tìm

;

. Hàm số f(x) có liên tục tại x = 1 hay không?

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

3) Lập bảng giá trị của hàm số

f(x)

3)Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) vào hệ trục cho sẵn dưới đây :

267

PHỤ LỤC 4.6 BÀI TOÁN 1B

Phiếu thực nghiệm

Cho hàm số : f(x) =

a) f có liên tục trên (0; +) không ? Tại sao ? …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. b) f(0) = ;

c) Tính giá trị của hàm số tại 5 điểm có hoành độ x dương tùy ‎ý em và viết kết quả trong bảng dưới đây (chỉ yêu cầu viết phần nguyên của f(x), ví dụ f(x0) = 1005,334 thì E[f(x0)] = 1005; f(x0) = - 10,334 thì E[f(x0)] = -11. v.v……)

E[f(x)]

d) Phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên (0; +) hay không? Tại sao ? (nếu cần tính thêm giá trị nào của f(x), em ghi vào phần để trống dưới đây) (Học sinh được sử dụng các loại MTCT)

…………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………….

268

PHỤ LỤC 4.7 BÀI TOÁN 2B Phiếu thực nghiệm Họ và tên HS : …………………………………………. Lớp : …………………………………… Trường : ……………………………………………………………………………………………...

Cho hàm số f(x) =

, m là tham số.

5) Định m để hàm số có đạo hàm tại điểm x = 1. 6) Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm vào hệ trục cho sẵn dưới đây.

TRẢ LỜI

1) 2)

269

PHỤ LỤC 4.8 BÀI TOÁN 3B

Phiếu thực nghiệm

Họ và tên HS : …………………………………………. Lớp : …………………………………… Trường :………………………………………………………………………………………………

Cho hàm số f(x) =

3) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [-2; 2]. 4) Với điều kiện nào của m thì phương trình f(x) = m có nghiệm trên [-2; 2]

LỜI GIẢI

270

271

272

273

274

275

276

277

278

279

280

281

282

283

284

285

286

287

PHỤ LỤC 5.1

BÀI SỐ 1 : VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẰNG GEOGEBRA

A. Mục tiêu

1. Về kiến thức : Biết được các thao tác, câu lệnh thực hiện để vẽ đồ thị hàm số bằng cách

sử dụng phần mềm Geogebra. Thay thế cách vẽ từng điểm rồi nối thành đường liền nét bằng

ứng dụng phần mềm toán học. Tiếp cận trực giác khái niệm liên tục.

2. Về kỹ năng : Sử dụng thành thạo phần mềm Geogebra để vẽ đồ thị

3. Về thái độ học tập : Học tập tích cực, hứng thú và tự giác

4. Thời lượng : 2 tiết

B. Chuẩn bị của thầy và trò

1. GV : Các phiếu học tập, máy tính, projector, phòng máy tính (3 HS một máy) trong đó

các máy tính đều có cài đặt phần mềm Geogebra.

2. HS : Ôn lại cách nhập lệnh hoặc viết các biểu thức bằng ngôn ngữ Pascal.

C. Phương pháp dạy học : Dạy học thông qua hoạt động

D. Tiến trình bài học :

Hoạt động 1 Giáo viên hướng dẫn cách ghi các hàm số

Hoạt động của HS

Hoạt động của GV

Ghi bảng – Trình chiếu

Quan sát và ghi chép

GV hướng dẫn cách ghi một số hàm

số thường gặp

1) f(x) = x2 – 4x + 3

1) f(x) = x^2-4*x+3

2) f(x) = sin(x) + sqrt(x)

2) f(x) = sinx +

3) f(x) =

3) f(x) = (x^2-4*x)/(x-1)

4) f(x)=if[x>2,x^2,cos(x)]

HS thực hiện

GV yêu cầu HS viết các hàm số sau

đây để nhập lệnh :

1) f(x) =

2) f(x) =

GV kiểm tra kết quả

HS quan sát và ghi chép

GV hương dẫn cách ghi các hàm số

288

1) f(x)=if[x>1,x^2+x,sin(x)]

A=(1,sin(1))

2) f_1(x)=function[x^3,0,4]

f_2(x)=function[x^2,-,-1]

3) f_1(x)=function[sin(x),2,+]

f_2(x)=function[tan(x),-,0]

HS thực hiện

GV phát các phiếu học tập trong đó

có yêu cầu HS ghi các hàm số sau để

nhập lệnh :

1) f(x) =

2) f(x) =

HS nêu thắc mắc (nếu có)

GV kiểm tra kết quả

GV hỏi đáp các thắc mắc của HS

Bảng 1

Hoạt động 2 : Vẽ đồ thị hàm số bằng phần mềm Geogebra

Hoạt động của HS

Hoạt động của GV

Ghi bảng – Trình chiếu

HS làm vệc nhóm 3 HS theo

GV hướng dẫn cách :

Trình chiếu các đồ thị trên bảng

hướng dẫn của GV.

- khởi động phần mềm Geogebra

HS đối chiếu kết quả của

- Sử dụng các hộp lệnh và thanh công

nhóm và của GV

cụ. Nhập lệnh. Lưu đồ thị.

- Hiển thị đồ thị các hàm số sau 5) f(x) = x2 – 4x + 3

6) f(x) = sinx +

7) f(x) =

Bảng 2

Hoạt động 3 : Thực hành

289

+ Bài tập 1: HS nhập lệnh và hiển thị trên màn hình đồ thị hàm số sau :

+ GV kiểm tra kết quả và yêu cầu HS hiển thị đồ thị hàm số.

+ Đồ thị hàm số y = f(x) (hình 1)

+ Bài tập 2: HS nhập lệnh và hiển thị trên màn hình đồ thị hàm số sau :

+ GV kiểm tra kết quả và yêu cầu HS hiển thị đồ thị hàm số.

290

+ Đồ thị hàm số y = g(x) (hình 2)

Hoạt động 4 : Hợp thức hóa đặc trưng liên tục của đồ thị hàm số và HSLT

Hoạt động của HS

Hoạt động của GV

Ghi bảng – Trình chiếu

- HS kiểm tra tính liên tục

- GV hợp thức hóa đặc trưng liên tục theo

Trình chiếu một số đồ

của các đồ thị vừa vẽ trong

nghĩa trực giác, hình học (như quan niệm

thị đã lưu để minh họa

các bài toán thực hành.

Descartes) : Về mặt hình học đồ thị một hàm

cho định nghĩa

trực

- HS phát biểu các định

số là đường liền nét, không có khoảng trống.

giác này.

nghĩa khác.

- GV đề nghị HS nêu vài phát biểu khác

- GV nêu một định nghĩa trực giác :

“Một hàm số được gọi là liên tục trên khoảng

(a; b) nếu đồ thị của nó là một đường liền nét

trên (a; b)”

- GV yêu cầu HS vận dụng định nghĩa trên

trong 2 bài toán đã thực hành trên một số

khoảng nào đó.

- GV điều chỉnh. Kết thúc bài học.

- HS phát biểu các vận dụng

291

PHỤ LỤC 5.2

BÀI SỐ 2 : ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN

A. Mục tiêu

1. Về kiến thức : HS nắm được các khái niệm và tính chất :

- Khái niệm đồ thị liên tục, không liên tục theo nghĩa trực giác, hình học.

- Tính chất liên tục của các hàm số đa thức, hàm số lượng giác, các hàm số sơ cấp trên các

khoảng xác định của nó.

- Định lí giá trị trung gian và vận dụng vào bài toán chứng minh sự tồn tại nghiệm của một

phương trình f(x) = 0 trên một khoảng (a; b)

2. Về kỹ năng : Vận dụng thành thạo định lí giá trị trung gian

3. Về thái độ học tập : Học tập tích cực, hứng thú và tự giác

4. Thời lượng : 1 tiết

B. Chuẩn bị của thầy và trò

1. GV : Các phiếu học tập, máy tính, projector, phòng máy tính (3 HS một máy) trong đó

các máy tính đều có cài đặt phần mềm Geogebra.

2. HS : Học cụ, trong đó có máy tính bỏ túi.

C. Phương pháp dạy học : Dạy học thông qua hoạt động

D. Tiến trình bài học :

Hoạt động 1 : Tiếp cận khái niệm liên tục của đồ thị theo nghĩa trực giác, hình học.

Hoạt động của HS

Hoạt động của GV

Ghi bảng – Trình chiếu

- HS quan sát trình chiếu và

- Trình chiếu đồ thị hàm số y =

trả lời các câu hỏi của GV.

GV trình chiếu đồ thị hàm số f(x) = x3-3x2 + 2 và đặt các câu hỏi :

f(x) bằng phần mềm Geogebra.

a) Đồ thị hàm số có khoảng trống, lỗ

hổng hay không ?

b) Trên một khoảng bất kì (a ; b) tính

chất trên vẫn đúng hay không ?

- HS quan sát trình chiếu và

GV trình chiếu đồ thị hàm số :

- Trình chiếu đồ thị hàm số y =

trả lời các câu hỏi của GV.

g(x) bằng phần mềm Geogebra.

g(x) =

và đặt các câu hỏi như trên.

(Không đặt vấn đề đồ thị liên tục hay

gián đoạn tại một điểm)

292

Hoạt động 2 : Biểu diễn nghiệm của một phương trình f(x) = 0 bằng đồ thị.

Hoạt động của HS

Hoạt động của GV

Ghi bảng – Trình chiếu

- HS tính nghiệm của phương

- GV yêu cầu học sinh dùng

trình:

MTBT để

tính nghiệm của

phương trình :

(1)

- HS so sánh kết quả giải bằng

MTBT và đồ thị.

- GV trình chiếu đồ thị (C) của

- HS trình bày dự đoán về

hàm

số

phương pháp đồ thị.

Yêu cầu HS so sánh kết quả giải

phương trình bằng MTBT và đồ

thị và dự đoán cách tìm nghiệm

(gần đúng) của phương trình mà

không dùng MTBT.

- GV kết luận : Nghiệm của

phương trình f(x) = 0 là hoành độ

các giao điểm của đồ thị hàm số

- HS

sử dụng phần mềm

y = f(x) và trục Ox.

Geogebra hiển thị đồ thị hàm

- Luyện tập : Dùng đồ thị để dự

số

và

đoán nghiệm gần đúng của

dự đoán nghiệm của (2)

phương trình :

(2)

Hoạt động 3 : Định lí giá trị trung gian

Hoạt động của HS

Hoạt động của GV

Ghi bảng – Trình chiếu

- Quan sát và ghi chép các

1. GV nêu nhận xét :

lưu ý quan trọng

- Đồ thị các hàm số sơ cấp (đa thức,

hữu tỉ, lượng giác đều liên tục trên

GV trình chiếu hai đồ thị để

các khoảng mà nó xác định. “Liên

minh họa nhận xét này.

tục” được hiểu theo nghĩa đồ thị là

đường liền nét, không có khoảng

trống, lỗ hổng và người ta có thể vẽ

đồ thị bằng một nét liên tục mà

không phải nhấc bút ra khỏi mặt

293

giấy.

- HS nêu thắc mắc xung

- Nếu trên một khoảng (a; b), đồ thị

quanh các khái niệm mới,

hàm số y=f(x) có tính chất như trên

GV giải đáp.

thì ta nói f(x) liên tục trên (a; b)

2. GV nêu Định lí (thừa nhận)

Nếu f(x) liên tục trên (a; b) và ,  là

hai số thuộc khoảng (a; b) mà

f().f() < 0 thì phương trình f(x) =

0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b)

GV minh họa định lí bằng đồ thị.

HS theo dõi các bước giải

VD1 : Chứng minh rằng phương

trình

có ít nhất

một nghiệm trên khoảng (1; 2).

GV hướng dẫn HS thực hiện các

buớc của lời giải.

VD2 : (luyện tập)

HS hoạt động theo nhóm để

GV trình chiếu kết quả và

Chứng minh phương trình :

giải quyết bài toán cho trong

giải thích các nguyên nhân

có ít nhất 3

ví dụ 2.

SL của HS.

nghiệm.

GV tổ chức HS hoạt động theo nhóm

để giải bài toán cho trong ví dụ 2.

Có thể chia thành 2 loại nhóm :

+ Nhóm hoạt động chỉ với MTBT

+ Nhóm hoạt động với sự hỗ trợ của

phần mềm vẽ đồ thị

294

PHỤ LỤC 5.3 Hoạt động 1

Nhóm : …….. Lớp : ……………..Ngày …./…./…….. Học sinh :....................................................................................................................

Bài toán : 1.Vẽ đồ thị (C) của hàm số : .

2. Đồ thị hàm số có liên tục không ?

Trả lới

1. Phần dành cho tính toán, giải thích (nếu có)

Đồ thị

2 ………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

295

PHỤ LỤC 5.4 Hoạt động 2

Nhóm : ……. Lớp : ……………..Ngày …./…./…….. Học sinh : ..............................................................................................................................

Câu hỏi : 1. Điểm A(-1/3, 2) có thuộc (C) hay không? 2. Đồ thị (C) có khoảng trống hay lỗ hổng hay không? Vì sao ?

Trả lời

296

…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

297

298

299

300

301

302

303

304

PHỤ LỤC 5.12 Phiếu Hoạt động 1

Dựa vào đồ thị hãy dự đoán

Bằng tính toán hãy kiểm tra lại kết quả dự đoán ở cột thứ 4

và so sánh với f(1) nếu

Đồ thị của hàm số y = f(x)

Hàm số y = f(x)

Đồ thị hàm số y = f(x) có liên tục tại xo = 1 hay không?

chúng tồn tại

f(x) = ……

Dựa vào đồ thị hãy dự đoán

Bằng tính toán hãy kiểm tra lại kết quả dự đoán ở cột thứ 4

và so sánh với f(1) nếu

Hàm số y = f(x)

Đồ thị của hàm số y = f(x)

Đồ thị hàm số y = f(x) có liên tục tại xo = 1 hay không?

chúng tồn tại

f(x) = ……

Dựa vào đồ thị hãy dự đoán

Bằng tính toán hãy kiểm tra lại kết quả dự đoán ở cột thứ 4

và so sánh với f(1) nếu

Hàm số y = f(x)

Đồ thị của hàm số y = f(x)

Đồ thị hàm số y = f(x) có liên tục tại xo = 1 hay không?

chúng tồn tại

f(x) = ……

PHỤ LỤC 5.13

Phiếu Hoạt động 2a :

Tính chất liên tục của hàm số

và

Đồ thị của hàm số y = f(x) Quan hệ giữa

Hàm số y = f(x) xác định trên bởi : khoảng (a; b) chứa

y = f(x) tại

f(x) =

Hàm số y = f(x) liên tục tại

Người ta tìm thấy một bảng thông báo sau đây đã bị mất một số thông tin ở các ô thuộc dòng thứ hai của ba cột đầu tiên.

Theo em, có thể khôi phục thông tin bị mất ở ô nào ? Viết thông tin mà em khôi phục được vào ô tương ứng.

Ô nào không thể khôi phục được thông tin bị mất, em ghi chữ “không”. ”

PHỤ LỤC 5.14 Phiếu Hoạt động 2b : Từ kết quả của hoạt động 2a, em có thể đề xuất một cách định nghĩa khác về Hàm số liên tục tại x0 (a;b), mà không phải dùng

đến đồ thị của hàm số hay không ?

Nếu được, hãy phát biểu định nghĩa đó bằng cách điền vào dòng ………….. dưới đây:

 Định nghĩa khác: Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa

được gọi là liên tục tại x0

nếu……………………………………………………………………………………………………………

PHỤ LỤC 5.15 Thống kê lời giải của các kiểu nhiệm vụ T1 và T2 của tình huống 2

Kiểu nhiệm vụ T1 LỚP B (18HS) 16 LỚP A (19HS) 17 Lời giải S1a1 TC Lời giải 33 S2a1 Kiểu nhiệm vụ T2 LỚP B (18HS) 10 LỚP A (19HS) 9 19

18 8 S1b1 2 2 4 S2b1 10

22 11 S1a2 18 17 35 S2a2 11

15 7 S1b2 1 1 2 S2b2 8

31 14 S1a3 18 18 36 S2a3 17

6 4 S1b3 1 2 0 1 S2b3

25 12 S1a4 18 13 16 34 S2a4

12 6 S1b4 1 6 2 3 S2b4

33 15 S1a5 19 18 18 37 S2a5

4 3 S1b5 0 1 0 0 S2b5

24 13 S1a6 19 11 18 37 S2a6

13 5 S1b6 0 8 0 0 S2b6

Các trường hợp của hàm số Trường hợp 1 Trường hợp 2 Trường hợp 3 Trường hợp 4 Trường hợp 5 Trường hợp 6

a) Tổng số lời giải của HS lớp A thuộc kiểu a :

b) Tổng số lời giải của HS lớp A thuộc kiểu b :

c) Tổng số lời giải của HS lớp B thuộc kiểu a :

d) Tổng số lời giải của HS lớp B thuộc kiểu b :

Thống kê lời giải của các kiểu nhiệm vụ T3

310

Kiểu nhiệm vụ T3

Các trường hợp của hàm số TC

LỚP A (19HS) LỚP B (18HS) Lời giải S3a1

S3b1 Trường hợp 1

S3a2

S3b2 Trường hợp 2

S3a3

Trường hợp 3 S3b3

S3a4

S3b4 Trường hợp 4

S3a5

S3b5 Trường hợp 5

S3a6

S3b6 Trường hợp 6

311

PHỤ LỤC 5.22

Biên bản : Bài học về khái niệm Hàm số liên tục ở lớp 11 Sinh

Do Trần Anh Dũng và Nguyễn thị Thu Hiền lập (2011). Người dạy : Trần Anh Dũng

Hoạt động 1

Pha 1

GV: Chúng ta bắt đầu bài học mới (GV trình chiếu định nghĩa 1)

Trên màn hình xuất hiện định nghĩa 1 : Trên màn hình xuất hiện định nghĩa 1 : “Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu đồ thị của nó là một đường liền nét trên khoảng (a;b).”.

(GV trình chiếu định nghĩa 2)

Trên màn hình xuất hiện định nghĩa 2 : “Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa

được gọi là liên tục tại

nếu đồ thị của nó là một đường liền nét tại điểm có hoành độ

x = x0 .”

GV : Để dễ hiểu hai khái niệm này, chúng ta xét ví dụ (GV trình chiếu đồ thị hàm số

)

Trên màn hình xuất hiện đồ thị hàm số :

GV : Đồ thị hàm số đã cho có 3 nhánh, dựa vào đồ thị hãy cho biết trên khoảng (6; 10) hàm

số có liên tục không? Tại sao ?

HS : Có, vì đồ thị liền nét

GV : Tại x = 8, hàm số có liên tục không ?

10.

HS : Có

11.

GV : Tại sao ?

12.

HS : Thấy nó liền nét

13.

GV : Trên khoảng (2; 4) hàm số có liên tục không ?

312

14.

HS : Không (một vài HS trả lời “Có”)

15.

GV : Em T.T.Q trả lời xem

16.

HS T.T.Q : Em thấy trong khoảng (2; 4) có một tiệm cận nên nó không liên tục.

17.

GV : Trong định nghĩa chúng ta thấy không nói gì đến tiệm cận mà ?

18.

HS T.T.Q : Thưa thầy, em thấy nó không liên tục tại x = 3.

19.

GV : Đúng rồi. Như vậy dựa vào định nghĩa các em có thể thấy được trên khoảng nào hàm

số liên tục và trên khoảng nào hàm số không liên tục.

20.

GV : Dựa vào định nghĩa, các em hãy thực hiện hoạt động thứ nhất sau đây. Thầy sẽ phát

cho các em phiếu hoạt động 1 và sẽ hướng dẫn các em thực hiện. Phía sau phiếu này là một

tờ nháp, các em làm trực tiếp nháp vào phần này.

21.

GV : Trước hết các em xem hướng dẫn làm việc với phiếu hoạt động này. Các em quan sát

kỹ phiếu hoạt động 1. Phiếu hoạt động 1 có 5 cột. Cột 1 , biểu thức của số không biết, cột 2

cho biết đồ thị của hàm số. Nhiệm vụ của chúng ta là trả lời hai câu hỏi ở cột 3 và 4. (GV

nhắc lại các câu hỏi có sẵn trong phiếu). Các em hiểu chưa?

HS : Rồi ạ

22.

23.

GV : Hai phần để trống trong các cột 3, 4 không được ghi gì, phần này để các em sửa chữa

nếu có sai sót, nhầm lẫn. Nào, các em bắt đầu làm bài đi.

24.

HS : (làm bài trong thời gian 13 phút)

Pha 2

25.

GV : Các em xong hết chưa? Hình như còn 2, 3 bạn chưa xong.

26.

GV : Có bạn thắc mắc là ở vị trí này là điểm hay lỗ trống phải không? (GV hướng dẫn quan

sát lại đồ thị trên bảng). Bây giờ thầy hỏi thử đáp số của một vài bạn. Em T.Q.D trả lời cho

thầy trường hợp thứ nhất.

27.

HS T.Q.D : Dạ, đồ thị hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 = 1. Dựa vào đồ thị thì em dự

đoán là giới hạn của hàm f(x) này khi x tiến tới 1 là ½, nếu mà điểm đó f(1) tồn tại thì f(1) =

½.

28.

GV : Thầy giải thích với các em là điểm được tô màu đen là điểm, còn điểm màu trắng là

không có.

29.

HS T. Q. D : Vậy f(1) = 2 ạ.

30.

GV : Như vậy kết quả của em có thay đổi không ?

31.

HS T. Q. D : f(1) khác với giới hạn của f(x) khi x tiến tới 1.

32.

GV : Vậy trả lời thứ nhất của em là hàm số có liên tục tại 1 không?

33.

HS T. Q. D : Dạ, không liên tục.

34.

GV : Giới hạn tại 1 có tồn tại không?

35.

HS T. Q. D : Dạ, giới hạn vẫn tồn tại.

313

36.

GV : Giới hạn có bằng giá trị hàm số tại đó không ?

37.

HS T. Q. D : Dạ không ạ.

38.

GV : Em ngồi xuống, cám ơn em.

39.

GV : Em T.T.P.T hãy trả lời kết quả đối với hàm số thứ hai

40.

HS T. T. P. T : Đồ thị hàm số y = f(x) không liên tục tại x = 1 và dựa vào đồ thị thì lim của

f(x) khi x tiến đến 1- là 1, lim của f(x) khi x tiến đến 1+ bằng 2 còn f(x) tại 1 bằng 1. Em

nhận xét là f(1) =

và không bằng giới hạn bên phải.

41.

GV : Vậy có tồn tại lim không ?

42.

HS T. T. P. T : Dạ không

43.

GV : Các em nhìn trên màn hình, em M.T cho biết kết quả của em về hàm số thứ tư.

44.

HS M. T : Thưa thầy hàm số y = f(x) liên tục tại x0 = 1. ……. (HS đính chính lại), hàm số

không liên tục tại x0 = 1 ….

45.

GV : Tại sao vậy ?

46.

HS M. T : Tại vì nó có một khoảng trống ạ.

47.

GV : Thường tại đây người ta chỉ nói nó có lỗ hổng thôi.

48.

HS M. T : Dự đoán là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới 1 là bằng 2.

49.

GV : Còn f(1) ?

50.

HS M. T : f(1) không tồn tại ạ.

51.

GV : f(1) không xác định đúng không ?

52.

HS M. T : Vâng ạ.

53.

GV : Các em quan sát trên lời giải trên bảng và đã hoàn chỉnh kết quả chưa ? Bây giờ vẫn

dùng phiếu này ta chuyển sang hoạt động kế tiếp. (GV trình chiếu phiếu hoạt động 1 có bổ

sung biểu thức của hàm số). Các em hãy ghi biểu thức của hàm số vào. Trong phiếu lúc nãy

chưa có hàm số, bây giờ ta bổ sung chính xác hàm số vào. Các em phải ghi chính xác, nếu

không tí nữa em sẽ tính sai….. Xong hết chưa ? Nhiệm vụ kế tiếp của chúng ta là dựa vào

biểu thức hàm số đã cho, bằng phép tính hãy tính lại f(1) và

nếu chúng tồn tại.

Dùng các kết quả này để kiểm tra lại dự đoán mà ta đã thực hiện ở phần trước. Chúng ta ghi

kết quả vào phần trên của cột 5, phần dưới để tí nữa điều chỉnh nếu có sai.

HS : (học sinh làm bài)

54.

GV : Nếu các tính toán dài dòng thì các em dùng giấy nháp có sẵn phía sau.

55.

HS : (tiếp tục tính toán trong 17 phút)

56.

Pha 3

57.

GV : Xong hết chưa các em? Nào hãy trả lời kết quả, mời em L.S.B cho biết kết quả của

trường hợp thứ 5. Giới hạn bên phải là bao nhiêu ?

314

HS L. S. B : Dạ, giới hạn bên phải là 1.

58.

GV : Giới hạn bên trái là bao nhiêu ?

59.

HS L. S. B : Dạ, giới hạn bên trái cũng là 1.

60.

GV : f(1) ?

61.

HS L. S. B : Cũng là 1 ạ.

62.

GV : Cám ơn em

63.

64.

GV : HS N. T. T. H trả lời kết quả cho trường hợp thứ 6 nào.

65.

HS N. T. T. H : Dạ, giới hạn bên phải bằng 2, giới hạn bên trái bằng 1, f(1) không tồn tại.

66.

GV : Vì sao f(1) không tồn tại ?

67.

HS N. T. T. H : Vì hàm số được xác định bằng hai công thức. Nếu x < 1 thì f(x) bằng

, nếu x > 1 thì f(x) bằng

. Không tính được f tại 1.

68.

GV : Đúng rồi, cám ơn em. Bây giờ các em dùng viết đỏ để điều chỉnh nếu các em tính sai

hoặc nhầm lẫn. (GV trình chiếu kết quả). Ở cột thứ ba các em thấy rất dễ nhận dạng. Nếu kết

quả cột thứ ba của các em là sai, các em dùng viết đỏ ghi chữ « SAI » trong phần dành cho

điều chỉnh. Cột thứ tư và thứ năm, kết quả giống nhau, nếu các em sai thì các em cũng điều

chỉnh bằng mực đỏ ở phần để trống. Nào, ta kiểm tra từng hàm số (GV trình chiếu kết quả

và HS kiểm tra, điều chỉnh kết quả, yêu cầu HS ghi chữ « ĐÚNG » nếu kết quả đúng)

69.

GV : Sau khi kiểm tra kết quả trên bảng, có bao nhiêu em có kết quả đúng 100% ?

70.

(Một số HS giơ tay)

71.

GV : Vậy chỉ có 4 em có kết quả đúng 100% sao ?

Hoạt động 2

Pha 1

72.

GV : Các em thống nhất kết quả hết rồi chứ?... Rồi, như vậy kết quả của các em sau khi điều

chỉnh là đúng hết rồi nhé. Dựa vào kết quả hoạt động 1 vừa thực hiện, em hãy trả lời câu hỏi

sau : “Em nhận xét gì về sự liên quan giữa tính liên tục của đồ thị hàm số y = f(x) tại x0 = 1

với mối quan hệ giữa

và f(1)?”. Em K. V hãy cho biết ý kiến.

73.

HS K. V : Dạ, các giá trị

và f(1) bằng nhau thì kết luận được hàm số liên tục tại x =

74.

GV : Như vậy, qua kết quả của hoạt động vừa rồi ta thấy liên hệ giữa kết quả ở cột thứ 3 và

hai cột còn lại là “hàm số liên tục tại 1 nếu

và f(1) bằng nhau”. Bây giờ các em sẽ

làm bài toán sau đây (GV phát cho học sinh phiếu hoạt động 2a)

315

75.

GV : Các em làm việc khôi phục thông tin như một nhà tin học, các em nhận được một

phiếu bị mất một số thông tin, các em hãy khôi phục thông tin nếu được. Các em được giữ

lại phiếu hoạt động 1.

76.

GV : Nếu thông tin nào không khôi phục được, các em ghi chữ “KHÔNG” vào ô đó. Có bạn

nào vẽ được đồ thị không ?

77.

HS : (cười)

78.

GV : Em V. H. T cho biết thông tin em khôi phục được xem ?

79.

HS V. H. T : Cột 1 là “Không”

80.

GV : Vì sao vậy ? Lúc nãy ta có nhiều hàm số lắm mà !

81.

HS V. H. T : Dạ đâu biết hàm số nào ạ.

82.

GV : À, không thể biết, đúng rồi. Cột thứ hai thế nào ?

83.

HS V. H. T : Dạ cũng không.

84.

GV : Đúng rồi, cột hai liên quan đến cột 1. Vậy chắc cột thứ ba cũng không khôi phục được.

85.

HS V. H. T : Dạ không, cột thứ ba khôi phục được ạ. Vì hàm số cho liên tục tại x0 nên quan

hệ giữa

và f(x0) là chúng bằng nhau.

86.

GV : À như vậy em dự đoán chỉ khôi phục được cột thứ ba, còn hai cột thứ nhất và thứ hai

không khôi phục được, đúng không ?

87.

HS V. H. T : Dạ đúng.

88.

GV : Có bạn nào khôi phục được cột thứ nhất hay thứ hai, giơ tay lên. Em Q.N.T được à ?

89.

HS Q. N. T : Theo em cột 1 là đường liền nét…

90.

GV : Cột 1 hỏi biểu thức của hàm số mà. Vậy có khôi phục được không ?

91.

HS Q. N. T : Dạ không ?

92.

GV : Như vậy chúng ta thấy hai thông tin không thể khôi phục được là thông tin về biểu

thức của hàm số và đồ thị của nó. Tuy nhiên, chúng ta có thể khôi phục thông tin ở cột thứ

mấy ?

93.

HS : Cột 3 ạ.

94.

GV : Nội dung của nó là : «

và f(x0) bằng nhau », đúng không ?

95.

HS : (nhiều HS nói « Đúng,….đúng »)

Pha 3

96.

GV : Như vậy qua các hoạt động vừa qua các em thấy định nghĩa 1 cho phép chúng ta quan

sát một cách trực quan. (GV nhắc lại định nghĩa 1). “Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng

(a; b) chứa

được gọi là liên tục tại

nếu ……thế nào .. N. T. T. H ?

97.

HS N. T. T. H : Dạ đồ thị là một đường liền nét tại x0 ạ.

316

98.

GV : Đúng rồi, tương tự chúng ta cũng có định nghĩa 2. Các định nghĩa đó rất dễ hiểu vì dựa

trên trực giác, quan sát. Nhưng chúng có hạn chế gì không ? Các em hãy chú ý những hạn

chế từ quan sát, trực giác thế này nhé.

99.

GV : Trong một tiết học trước chúng ta đã vẽ đồ thị hàm số này :

và nếu tôi nhớ không nhầm thì nửa lớp chúng ta kết luận rằng

đồ thị này liên tục.

100. GV : (trình chiếu hình ảnh đồ thị hàm số trên vẽ bằng phần mềm Geogebra)

101. GV : Tôi vẫn còn lưu giữ các bài làm mà các em đã kết luận hàm số này có đồ thị liên tục.

Như vậy việc quan sát có khiếm khuyết là trong một số trường hợp, quan sát cho kết quả

sai. Các em hãy xem ví dụ khác (GV trình chiếu đồ thị hàm số :

)

102. GV : Trên khoảng (0 ; 10) hàm số có liên tục không ?

317

103. HS : Có, có

104. GV : (Hỏi lại) Trên khoảng (0 ; 10) có liên tục không ?

105. HS : Có, có

106. GV : Vậy trên khoảng này thế nào đây (GV chỉ khoảng giữa (0 ; 10)), chắc liên tục phía trên

phải không ?

107. HS : (cười)

108. GV : Dựa vào đồ thị các em cho rằng trên (0 ; 10) hàm số liên tục. Các em có thể kiểm tra

lại một cách đơn giản bằng cách tính giá trị hàm số tại x = 3/2 chẳng hạn. Thầy chắc chắn

trên (0 ; 10) hàm số không liên tục. Các em tiếp xem đồ thị hàm số y = sin(10/x)

109. GV : Giới hạn của hàm số khi x  0 bằng bao nhiêu nếu quan sát trên đồ thị?

110. HS : (nhiều tiếng xì xào)

111. HS T. Q. D : không thấy được ạ.

112. GV : Vậy ta phóng to ra nhé. Đấy các em có thấy gì không?

113. HS : Không, không

114. GV : Như vậy trong rất nhiều trường hợp, quan sát hình học hoặc không cho ta kết quả hoặc

kết quả không chính xác. Việc quan sát, đọc đồ thị có nhiều hạn chế, vì vậy, người ta rất

tránh định nghĩa dựa trên đồ thị. Ngoài lí do đó, nếu định nghĩa bằng đồ thị thì sau đó các

em không thực hiện được các phép toán dựa trên định nghĩa đó. Trong phần kế tiếp các em

hãy cho một dự đoán của các em về một định nghĩa khác thay thế định nghĩa 1.

115.

GV phát cho HS phiếu hoạt động 2b

116. HS : (làm bài)

117. GV : Các em bổ sung đầy đủ nghĩa trong phiếu hoạt động 2b, các em được định nghĩa tùy ý

nhưng không được dùng đặc trưng liền nét như trong định nghĩa 1. Em N. H. T. N hãy đọc

dự đoán của em về định nghĩa khác định nghĩa 1 xem ?

318

118. HS N. H. T. N : Thưa thầy, hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa x0 được gọi là

liên tục tại x0 nếu ..ah..ah… lim.. nếu giới hạn của hàm số khi x tiến đến x0 bằng f(x0).

119. GV : Có em nào có định nghĩa khác ?

120. HS T. K. H : Em cũng định nghĩa như vậy nhưng còn tính thêm tồn tại giới hạn của hàm số

khi x  x0.

121. GV : Vậy em đọc định nghĩa của em xem

122. HS T. K. H : Thưa thầy đó là, hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa x0 được gọi

là liên tục tại x0 nếu tồn tại giới hạn của hàm số khi x tiến đến x0 và giới hạn đó bằng f(x0).

123. GV : Được rồi. (GV lặp lại định nghĩa). Vấn đề còn lại là làm sao dùng định nghĩa này để

chứng minh đồ thị liền nét tại x = x0 ?

124. HS : Được, được

125. GV : Chứng minh thế nào ?

126. HS : ……….(im lặng)

127. GV : Các em lưu ý này, người ta, tức là các nhà toán học, chứng minh được rằng định nghĩa

này là tương đương với định nghĩa 1. Chúng ta không có khả năng chứng minh điều này đâu

nhé.

128. GV : Như vậy qua tiết học này thầy gút lại một số điều. Về lịch sử khái niệm HSLT xuất

hiện vào khoảng thế kỷ 17 sau khi phương pháp tọa độ của Đề - các ra đời. Quan niệm đầu

tiên về HSLT dựa trên trực giác hình học và kéo dài đến thế kỷ 19, nghĩa là trong gần 200

năm vẫn quan niệm như Đề - các : “Một hàm số là liên tục nếu đồ thị của nó vẽ được bằng

một đường liền nét mà không phải nhấc bút lên”. Đề -các không biết cách chứng minh gì và

chỉ định nghĩa như thế thôi. Ở thế kỷ 19 khi ngành Giải tích đã phát triển, Cô – si đã chuyển

định nghĩa HSLT sang ngôn ngữ giới hạn mà ngày nay ta sử dụng. (GV nhắc lại định nghĩa

này). Với định nghĩa hình học các em không thể thực hiện các phép toán, hay kiểm tra tính

liên tục. Vì vậy SGK chỉ nêu định nghĩa mà ta vừa hình thành thôi. Định nghĩa này có ưu

điểm giúp ta thực hiện được các phép toán một cách dễ dàng. Tiết học hôm nay đến đây là

chấm dứt, cám ơn tất cả các em đã tham dự giờ học một cách tích cực và nghiêm túc.

319

PHỤ LỤC 5.23

Biên bản : Bài học về khái niệm Hàm số liên tục ở lớp 11 Văn

Do Trần Anh Dũng và Nguyễn thị Kim Thoa lập (2011). Người dạy : Trần Anh Dũng

Hoạt động 1

Pha 1

GV: Hôm nay chúng ta học một khái niệm quan trọng trong chương trình Giải tích. (GV

trình chiếu định nghĩa 1). Trên đây là một định nghĩa dựa vào thực tế, rất dễ thấy.

Trên màn hình xuất hiện định nghĩa 1 : “Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu đồ thị của nó là một đường liền nét trên khoảng (a;b).”. GV : HS L.V. H. A, em đọc và có hiểu định nghĩa không ?

HS L. V. H. A : Dạ có ạ.

GV : Và sau định nghĩa hàm số liên tục trên (a; b) người ta định nghĩa sư liên tục tại một

điểm. (GV trình chiếu định nghĩa 2)

Trên màn hình xuất hiện định nghĩa 2 : “Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa

được gọi là liên tục tại

nếu đồ thị của nó là một đường liền nét tại điểm có hoành độ

x = x0 .”

GV : Các em có thể sử dụng hai định nghĩa này để xác định tính chất liên tục của hàm số

dựa vào đồ thị hàm số rất dễ dàng. Các em xem hình vẽ trên bảng. Trên bảng có đồ thị một

hàm số gồm ba nhánh (GV trình chiếu đồ thị của hàm số

nhưng không hiển

thị biểu thức của hàm số)

Trên màn hình xuất hiện đồ thị hàm số :

GV : Dựa vào các định nghĩa vừa rồi, HS L. M. D. hãy trả lời câu hỏi của thầy nhé. Tại

điểm x0 = 6, hàm số có liên tục không ?

10.

HS L. M. D: Dạ thưa thầy có ạ.

11.

GV : Vì sao ?

12.

HS L.M. D : Vì tại đó ta thấy đồ thị không bị đứt quãng.

13.

GV : Nếu giải thích theo định nghĩa trên thì thế nào ?

14.

HS L. M. D : Dạ nó liền nét.

15.

GV : Tại x = 8, hàm số có liên tục không ?

16.

HS L.M. D: Dạ có ạ

17.

GV : Trên khoảng (6; 10) hàm số có liên tục không ? Tại sao ?

18.

HS L. M. D: Có ạ vì nó liền nét

320

19.

GV : Trên khoảng (2; 6) hàm số có liên tục không ?

20.

HS L. M. D: Dạ không thầy

21.

GV : Vì sao vậy ?

22.

HS L.M.D : Vì trên (2; 6) đồ thị nó không là một đường liền lạc, em thấy đồ thị không qua

điểm có hoành độ x0 = 2.

23.

GV : Tại x0 = 2 đồ thị liền nét mà. Trên khoảng (2; 6) tại sao không liên tục ? HS N. T trả lời

xem

24.

HS N. T : Em thấy trên khoảng (2 ; 6) đồ thị không liền nét.

25.

GV : Vậy vì đồ thị không liền nét nên hàm số là không liên tục, đúng không ?

26.

HS N. T : Dạ đúng

27.

GV : Trở lại các định nghĩa này, chúng ta sẽ sử dụng hai định nghĩa này để làm hoạt động

sau đây. Thầy sẽ phát cho các em phiếu hoạt động. Các em ghi tên vào và đợi thầy hướng

dẫn cách làm. (GV phát phiếu hoạt động 1)

28.

GV : Trong mỗi phiếu hoạt động đều có nháp ở phía sau, nếu cần làm nháp, các em làm

trực tiếp nháp vào phần này. Trang cuối cùng là trang nháp. Ta làm bằng viết xanh nhé.

29.

GV : Các em xem hướng dẫn này. Các em nhận được một phiếu có 5 cột (GV trình chiếu

phiếu hoạt động 1). Cột 1 , biểu thức của hàm số không biết, cột 2 cho biết đồ thị của hàm

số. Cột 3 hỏi đồ thị hàm số có liên tục tại x0 =1 hay không ? Cột thứ tư yêu cầu các em dựa

vào đồ thị dự đoán 2 giá trị : giới hạn hàm số khi x  1 và f(1) nếu chúng tồn tại. Nhiệm vụ

của chúng ta là bổ sung cột 3 và 4, nghĩa là các em dựa vào đồ thị để trả lời các câu hỏi cho

sẵn. Việc giải thích dựa vào hai định nghĩa vừa rồi. Trong hai cột 3, 4 có phần dành để sửa

chữa nếu ta tính sai (GV hướng dẫn trên màn hình). Các em hiểu rõ nhiệm vụ chưa ?

HS : Rồi ạ

30.

GV : Nào, các em bắt đầu làm bài đi.

31.

(HS làm bài trong thời gian 13 phút)

32.

Pha 2

33.

GV : Khi ta chuyển sang hoạt động kế tiếp, các em giữ nguyên kết quả vừa làm, không điều

chỉnh, ta sẽ điều chỉnh sau cùng. Nào bây giờ ta bổ sung hàm số vào cột thứ nhất (GV trình

chiếu trên màn hình và đọc biểu thức của từng hàm số). Các em cần ghi chính xác, nếu

không kết quả của các em sẽ sai .…..Nhiệm vụ của các em là dựa vào biểu thức hàm số đã

cho để tinh toán lại hai giá trị này : giới hạn của hàm số f(x) khi x  1 và f(1) nếu chúng tồn

tại. Khi tính được các kết quả các em hãy so sánh với dự đoán ở cột 3.

(HS làm bài trong thời gian 12 phút)

34.

35.

GV : Nào bây giờ chúng ta đối chiếu kết quả và điều chỉnh bằng mực đỏ nếu kết quả sai. Em

A. T. P hãy đọc kết quả ở cột 5 của hàm số thứ nhất

321

36.

HS A. T. P : Thưa thầy

; f(1) = 2.

37.

GV : Ở cột 4 dự đoán của em có đúng không ?

38.

HS A. T. P : Dạ đúng ạ.

39.

GV : Tốt lắm, cám ơn em. Em N. T. M. P, hãy đọc kết quả cột 5 của hàm số thứ hai.

40.

HS L. T. M. P : Dạ f(1) = 1;

41.

GV : Vậy em kết luận thế nào ? Trước hết người ta hỏi f(1) và

có tồn tại không? Ta

đã học là nếu giới hạn bên phải và bên trái tại một điểm mà khác nhau thì có giới hạn không

42.

Nhiều HS trả lời “không”.

43.

HS L.T.M.P : Dạ không ạ

44.

GV : Cám ơn em. Em N. H. T. T hãy cho biết kết quả cột 5 của hàm số thứ tư.

45.

HS N. H. T. T : Giới hạn của hàm số khi x  1 bằng 0.

46.

GV : Giới hạn bằng 0. Còn f(1) bằng bao nhiêu ?

47.

HS N. H. T. T : Dạ f(1) không tồn tại

48.

GV : Cám ơn em. Em N. T. N. T hãy trả lời kết quả cột 5 của hàm số cuối cùng.

49.

HS N. T. N. T : Lim của hàm số khi x tiến đến 1 bằng 2, còn f(1) không tồn tại

50.

GV : Thế còn giới hạn ?

51.

HS N. T. N. T : Dạ….ah…giới hạn bằng 2.

52.

GV : Vậy em không tính giới hạn bên phải, bên trái riêng à ?

53.

HS N. T. N. T : Em làm nhầm ạ.

54.

GV : Bây giờ chúng ta kiểm tra kết quả, nếu kết quả nào đúng ta ghi chữ « đúng » vào ô

điều chỉnh, kết quả nào sai ta chỉnh bằng cách ghi bằng mực đỏ vào ô để dành điều chỉnh.

Cột thứ 4 và thứ năm kết quả phải giống nhau. Chẳng hạn trường hợp thứ nhất, dựa vào đồ

thị hàm số không liên tục tại 1 vì tại đó đồ thị bị khuyết một điểm. Kết quả về hình và về

tính toán và dự đoán phải thể hiện điều đó. (GV tiếp tục hướng dẫn HS thống nhất các kết

quả đúng)….

55.

GV : Hàm số thứ tư, lúc nãy có bạn kết luận là

, có phải vậy không? Các em

nhớ lại cách tìm giới hạn xem, ta phân tích biểu thức này thế nào ?

56. Một HS : Ta phân tích

rồi đơn giản phân số có giới hạn bằng 2.

57.

GV : Bạn nào sai điều chỉnh lại nhé. (GV tiếp tục hướng dẫn HS thống nhất kết quả đúng)

58.

GV : Em D. T, kết quả của hàm số cuối cùng của em có đúng không ?

59.

HS D. T : Dạ đúng

322

60.

GV : Thế tại sao f(1) không xác định

61.

HS D. T : Dạ vì..ah…..ah….không có giới hạn phải, giới hạn trái

62.

GV : Giới hạn mỗi phía tồn tại mà ? Thầy hỏi tại sao f(1) không xác định ?

63.

HS D. T : Dạ….vì tại x = 1 thì không có hàm số

64.

GV : Ý em là không có công thức tính, đúng không ?

65.

HS D. T : Dạ

66.

GV : Được rồi, cám ơn em. Vậy các em kiểm tra lại toàn bộ kết quả và xem trong 6 trường

hợp này có mấy trường hợp liên tục tại 1 ?

67.

HS : Hai……hai

68.

GV : Nếu đối chiếu với cột 5 ta thấy xảy ra tính chất gì ? Dựa trên bài làm vừa rồi các em

hãy trả lời câu hỏi : « Nhận xét gì về sự liên quan giữa tính liên tục của hàm số y = f(x) tại x

= 1 với mối quan hệ giữa hai đại lượng f(1) và

? ». Em T. H trả lời xem.

69.

HS T. H : Dạ thưa khi mà giới hạn của hàm số tại 1 bằng giá trị f(1) thì nó liên tục tại 1.

70.

GV : Đúng rồi, cám ơn em.

71.

GV : Bây giờ các em làm tiếp hoạt động sau, các em được giữ lại phiếu hoạt động 1. Ta xem

hướng dẫn cách làm (GV hướng dẫn cách làm). Các em có một phiếu bị mất thông tin, phiếu

này có 4 cột trong đó chỉ có cột cuối cùng còn thông tin mà thôi. Chúng ta có nhiệm vụ khôi

phục thông tin, nếu khôi phục thông tin đươc cột nào thì ta ghi vào đó. Cột nào em không

khôi phục thông tin được thì em ghi chữ “KHÔNG”. (HS làm bài trong 4 phút)

72.

GV : Em N. Q. T, theo em thì em khôi phục được cột nào ? Cột thứ nhất khôi phục được

không ?

73.

HS N. Q. T : Dạ, không.

74.

GV : Tại sao không được ?

75.

HS N. Q. T : ……..tại vì không biết ạ.

76.

GV : Em khôi phục cột 2 được không ?

77.

HS N. Q. T : Không được. chỉ khôi phục được cột 3.

78.

GV : Nếu không có biểu thức của hàm số, chúng ta không tính được giới hạn và giá trị hàm

số tại đó thì làm sao em khôi phục cột 3 được?

79.

HS N. Q. T : Vì hàm số f(x) liên tục tại x0, theo tính chất hồi nãy thì giới hạn của f(x) khi x

 x0 sẽ bằng f(x0).

80.

GV : Đúng rồi, cám ơn em? HS H. N em khôi phục được mấy cột ?

81.

HS H. N : Dạ, khôi phục được cột thứ ba ạ.

82.

GV : Tại sao không khôi phục được cột 1 và 2 ?

323

83.

HS H. N : Dạ dựa vào kết quả các bài toán trên ta thấy rằng các hàm số liên tục thì có hai

dạng f(x) nên không xác định được nó thuộc dạng nào, mà không có công thức thì không vẽ

được đồ thị hàm số.

84.

GV : Cám ơn em. Bạn H. N có một kết luận rất thú vị là « có 2 dạng f(x) thôi ».

85.

HS H. N : Dạ không, ý em là theo ví dụ bài toán trên. Còn trên thực tế thì có rất là nhiều

dạng ạ.

86.

GV : Đúng rồi, cám ơn em. Các em xem kết quả nhé (GV trình chiếu bảng Hoạt động 2a).

Rõ ràng rằng ta không thể nào khôi phục ở cột 1, 2, lí do là không đủ dữ kiện để khôi phục,

đúng không ? Tuy nhiên ở cột thứ ba, dựa vào hoạt động trên ta khôi phục được kết quả :

. Đây là thông tin duy nhất ta khôi phục được.

87.

GV : Như vậy qua các định nghĩa đã nêu các em thấy vai trò quan trọng của quan sát. (GV

nhắc lại định nghĩa 1). Tuy nhiên chúng ta thấy quan sát sẽ làm nảy sinh một số vấn đề như

sau. Các em nhìn trên màn hình nhé.

88.

GV : Các em nhìn trên bảng có một đồ thị hàm số (GV trình chiếu đồ thị hàm số

nhưng không có biểu thức ). Câu hỏi là trên (-1 ; 1) hàm số có

liên tục không ? Em H. P trả lời xem.

HS H. P : Dạ có ạ.

89.

90.

GV : Trình chiếu biểu thức của hàm số và nhấn mạnh điểm không xác định của hàm số và

nhận định sai của HS.

91.

GV : Được rồi, em ngồi xuống. Các em tiếp tục quan sát một đồ thị khác nhé (GV trình

chiếu một đồ thị hàm số khác vẫn không có biểu thức hàm số). Các em xem trên khoảng (0 ;

10) hàm số có đồ thị sau đây có liên tục không ?

324

92.

GV : Em L. H. H. P trả lời câu hỏi trên xem nào ?

93.

HS L. H. H. P : Thưa thầy theo hình vẽ thì trên khoảng từ 0 đến 10 hàm số liên tục.

94.

GV : Vậy theo em hàm số liên tục trên khoảng (0 ; 10) đúng không ?

95.

HS L. H. H. P : Dạ đúng

96.

GV : Liên tục thế nào ? Thầy thấy nó đứt ra mà ?

97.

HS L. H. H. P : Ở phía trên ạ

98.

GV : Ở phía trên, vâng, cám ơn em.

99.

GV trình chiếu đồ thị một hàm số khác, không hiển thị biểu thức của hàm số

100. GV : Mời em C. T, em hãy cho biết trên (-3; 3) hàm số có liên tục không

101. HS C. T : Dạ thưa thầy có ạ.

102. GV : Có, đúng không ? Thế bây giờ các bạn xem kỹ nhé (GV hiển thị biểu thức của hàm số:

y =

). Đây là biểu thức của hàm số, vừa rồi ta kết luận trên khoảng (-3;3) hàm số liên

tục do đồ thị là một đường liền nét từ - 3 đến 3. Thế em có thay đổi ý kiến không sau khi

biết biểu thức của hàm số C. T ?

325

103. HS C. T : ……

104. GV : Em tính cho thầy giá trị của hàm số tại 0 xem ?

105. HS C. T : Thưa thầy nó không liên tục vì tại 0 nó không xác định

106. GV : À, như vậy sự quan sát là có vấn đề, nhiều trường hợp dẫn đến nhận định sai. Cám ơn,

em ngồi xuống. Lúc nãy bạn nào kết luận đồ thị này liên tục? (GV chiếu lại đồ thị ở ví dụ 2)

107. HS L. H. H. P đứng dậy

108. GV : Em xem biểu thức của hàm số nhé. Hãy đọc biểu thức của hàm số.

109. HS L. H. H. P : Thưa thầy đó là y =

110. GV : Em dùng máy tình tính thử

bằng mấy ?

111. HS L. H. H. P : …(dùng máy tính)….Dạ xấp xỉ 4,71

112. GV : Vậy

có thuộc khoảng (0 ; 10) không ?

113. HS L. H. H. P : Dạ có ạ

114. GV : sin

bằng bao nhiêu ?

115. HS L. H. H. P : (Dùng máy tính)..dạ thưa thầy không xác định

116. GV : Thầy hỏi giá trị của sin

mà ?

117. Nhiều HS khác nói “-1”.

118. GV : Đúng rồi, vậy căn bậc hai của – 1 bằng bao nhiêu ?

119. HS L. H. H. P : dạ không xác định ạ.

120. GV : Thế mà

thuộc khoảng (0 ; 10) thì sao trên khoảng này hàm số liên tục được ? Đúng

không em?

121. HS L. H. H. P : dạ đúng ạ

122. GV : Bây giờ ta xem đồ thị của hàm số y =

(GV trình chiếu đồ thị hàm số)

326

123. GV : Dựa vào đồ thị các em hãy cho biết

bằng bao nhiêu ?

124. HS bàn tán….

125. GV : Nào, em M. D cho biết dự đoán của em.

126. HS M. D : Dạ khi x  0 thì y …….

127. GV : Em có cần xử lý gì đồ thị này không ? Có cần phóng to ra không ?

128. HS M. D : Dạ phóng to ra ạ.

129. GV : Được chưa ? Em kết luận được không?

130. HS M. D : …….ah…..dạ không kết luận được.

131. GV : Như vậy qua các ví dụ trên, các em thấy dựa trên quan sát ngoài việc có thể xảy ra

nhiều sai sót thì trong nhiều trường hợp không thể kết luận được. Vì vậy định nghĩa hàm số

liên tục dựa vào sự liền nét của đồ thị không sử dụng được trong nhiều trường hợp. Bây giờ

các em hãy cho một đề xuất thay thế định nghĩa 1 mà không dùng đồ thị (GV phát cho HS

phiếu hoạt động 2b)

132. HS làm bài (3p)

133. GV : Em C. T hãy đọc định nghĩa em đề xuất xem

134. HS C. T : Dạ thưa thầy là : “Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa x0 được gọi là

”

liên tục tại x0 nếu

135. GV : Có em nào có định nghĩa khác không ?... Em Q. T có định nghĩa thế nào ?

136. HS Q. T : Dạ giống thế ạ.

137. GV : Như vậy chúng ta đã thay thế một định nghĩa dựa trên “sự liền nét” bằng định nghĩa

dựa trên giới hạn. Thế các em có chứng minh được định nghĩa này tương đương với sự liền

nét không ? …..Chắc chúng ta không chứng minh được, nhưng các nhà toán học đã chứng

minh được điều này.

138. GV : Tóm lại, Về lịch sử khái niệm HSLT xuất hiện vào khoảng thế kỷ 17 sau khi phương

pháp tọa độ của Đề - các ra đời. Quan niệm đầu tiên về HSLT dựa trên trực giác hình học và

327

kéo dài đến thế kỷ 19, nghĩa là trong gần 200 năm vẫn quan niệm như Đề - các : “Một hàm

số là liên tục nếu đồ thị của nó vẽ được bằng một đường liền nét mà không phải nhấc bút

lên”. Đề -các không biết cách chứng minh gì và chỉ định nghĩa như thế thôi. Ở thế kỷ 19 khi

ngành Giải tích đã phát triển, Cô – si đã chuyển định nghĩa HSLT sang ngôn ngữ giới hạn

mà ngày nay ta sử dụng. (GV nhắc lại định nghĩa này). Với định nghĩa hình học các em

không thể thực hiện các phép toán, hay kiểm tra tính liên tục. Vì vậy SGK chỉ nêu định

nghĩa mà ta vừa hình thành thôi. Định nghĩa này có ưu điểm giúp ta thực hiện được các phép

toán một cách dễ dàng. Tiết học hôm nay đến đây là chấm dứt, cám ơn tất cả các em đã

tham dự giờ học một cách tích cực và nghiêm túc.

328