Luận án Tiến sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM

NGUYỄN THỊ DUNG

DẠY HỌC TOÁN CAO CẤP

THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHÂN TÍCH

CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ, KĨ THUẬT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HÀ NỘI, 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM

NGUYỄN THỊ DUNG

DẠY HỌC TOÁN CAO CẤP

THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHÂN TÍCH

CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ, KĨ THUẬT

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 9 14 01 11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. TS. TRẦN ĐÌNH CHÂU

2. PGS.TS. ĐỖ TIẾN ĐẠT

HÀ NỘI, 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được thực hiện

dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Đình Châu và PGS.TS. Đỗ Tiến Đạt. Các kết quả được

trình bày trong luận án là trung thực. Các thông tin trích dẫn trong luận án đều đã được

chỉ rõ nguồn gốc.

Tác giả luận án

Nguyễn Thị Dung

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành tại Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam dưới sự hướng

dẫn khoa học của TS. Trần Đình Châu và PGS.TS. Đỗ Tiến Đạt. Nghiên cứu sinh xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy - những người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ

nghiên cứu sinh trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận án.

Nghiên cứu sinh xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến lãnh đạo Viện Khoa học Giáo dục

Việt Nam, các thầy cô trong và ngoài Viện khoa học Giáo dục Việt Nam cùng Trường

Đại học Sư phạm Hà Nội – những người đã hết lòng dạy bảo, dành cho nghiên cứu sinh

những lời khuyên quý báu để giúp nghiên cứu sinh hoàn thành thành luận án.

Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, các thầy cô trong Khoa Cơ Bản 1, Bộ môn Toán đã luôn tạo điều kiện, khuyến khích và hỗ trợ nghiên cứu sinh trong suốt thời gian công tác và học tập, nghiên cứu.

Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè thân thiết đã luôn động viên,

giúp đỡ, tạo điều kiện tốt nhất để nghiên cứu sinh hoàn thành luận án của mình.

Trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 6 năm 2020

Tác giả

Nguyễn Thị Dung

iii

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ .......................................................................... VII

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ...................................................................................... VIII

MỞ ĐẦU ............................................................................................................................. 1

1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................................. 1

2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................................... 3

3. Tổng quan tình hình nghiên cứu...................................................................................... 3

4. Khách thể, đối tượng nghiên cứu .................................................................................... 8

5. Giả thuyết khoa học ......................................................................................................... 9

6. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu ................................................................................... 9 7. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................................. 9 8. Những vấn đề đưa ra bảo vệ .......................................................................................... 10 9. Những đóng góp của luận án ......................................................................................... 10 10. Cấu trúc luận án ........................................................................................................... 10

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................................... 11

1.1. Một số vấn đề chung về tư duy .................................................................................. 11

1.1.1. Khái niệm về tư duy ................................................................................................ 11

1.1.2. Đặc điểm của tư duy ................................................................................................ 11

1.1.3. Quá trình tư duy ....................................................................................................... 13

1.1.4. Các thao tác tư duy .................................................................................................. 14

1.1.5. Các loại tư duy ......................................................................................................... 15

1.2. Tư duy phân tích ......................................................................................................... 17

1.2.1. Khái niệm phân tích ................................................................................................. 17

1.2.2. Khái niệm tư duy phân tích ..................................................................................... 19

1.2.3. Đặc điểm của tư duy phân tích ................................................................................ 25

1.2.4. Mối quan hệ giữa tư duy phân tích với một số loại tư duy khác và với khả năng giải

quyết vấn đề ....................................................................................................................... 28

1.3. Đặc điểm Toán cao cấp .............................................................................................. 33

1.4. Một số đặc điểm của sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật ......................... 37

1.5. Biểu hiện tư duy phân tích của sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật trong

dạy học Toán cao cấp ........................................................................................................ 39

1.6. Dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học

khối ngành kinh tế, kĩ thuật ............................................................................................... 49

1.6.1. Quan niệm về dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho

sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật ................................................................... 49

1.6.2. Cơ hội phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật

trong dạy học Toán cao cấp ............................................................................................... 51

1.7. Khảo sát thực trạng dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho

sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật ................................................................... 53 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 .................................................................................................. 61

CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP DẠY HỌC TOÁN CAO CẤP THEO HƯỚNG PHÁT

TRIỂN TƯ DUY PHÂN TÍCH CHO SINH VIÊN ...................................................... 63

2.1. Định hướng xác định các biện pháp ........................................................................... 63

2.1.1. Các biện pháp được xây dựng đảm bảo nguyên tắc dạy học đại học ...................... 63

2.1.2. Các biện pháp tác động đến sự phát triển tư duy phân tích ..................................... 64

2.1.3. Các biện pháp có tính khả thi .................................................................................. 64

2.2. Một số biện pháp dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật ................................................................... 64

2.2.1. Biện pháp 1: Tăng cường cho sinh viên thực hiện các hoạt động chia nhỏ kiến thức,

tìm hiểu từng phần và tìm các mối liên hệ ........................................................................ 64

2.2.2. Biện pháp 2: Thiết kế, tổ chức cho SV thực hiện các hoạt động thể hiện cách suy

nghĩ rõ ràng và sâu sắc ...................................................................................................... 75

2.2.3. Biện pháp 3: Trang bị cho sinh viên một số phương pháp thường dùng đối với tư

duy phân tích ..................................................................................................................... 82

2.2.4. Biện pháp 4: Thiết kế, tổ chức cho SV thực hiện các hoạt động gắn phân tích với

tổng hợp, sáng tạo và giải quyết vấn đề .......................................................................... 101

2.2.5. Biện pháp 5: Tăng cường cho SV thực hiện các hoạt động sử dụng tư duy phân tích

trong quá trình tự học ...................................................................................................... 109

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ................................................................................................ 120

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................................ 122

3.1. MỤC ĐÍCH, NỘI DUNG VÀ TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM .................................. 122

3.1.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................................... 122

3.1.2. Nội dung thực nghiệm ........................................................................................... 122

3.1.2.1. Đối tượng tham gia thực nghiệm ........................................................................ 122

3.1.2.2. Chương trình dạy học thực nghiệm .................................................................... 123

3.1.2.3. Giáo án dạy học thực nghiệm ............................................................................. 123

3.2. ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM ............................................................... 124

3.2.1. Đánh giá về mặt định tính ..................................................................................... 124

3.2.2. Đánh giá định lượng .............................................................................................. 137

3.2.2.1. Đánh giá kết quả đợt thực nghiệm thứ nhất ....................................................... 137

3.2.2.2. Đánh giá kết quả đợt thực nghiệm thứ hai ......................................................... 144

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ................................................................................................ 150

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ....................................................................................... 151

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN

LUẬN ÁN ....................................................................................................................... 152

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 153

PHỤ LỤC ........................................................................................................................ - 1 -

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Viết tắt Viết đầy đủ

ĐC Đối chứng

GQVĐ Giải quyết vấn đề

GTLN Giá trị lớn nhất

GTNN Giá trị nhỏ nhất

GV Giảng viên

HTTT Hệ thống thông tin

PPDH Phương pháp dạy học

PT Phương trình

PTVP Phương trình vi phân

SV Sinh viên

TB Trung bình

TCC Toán cao cấp

TCN trước công nguyên

TD Tư duy

TDPT Tư duy phân tích

TN Thực nghiệm

TP Tích phân

TPSR Tích phân suy rộng

vii

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ

Bảng 1.1: Mối liên hệ giữa TDPT và việc giải bài toán theo 4 bước của Polya ................ 33

Bảng 2. 1: So sánh công thức đổi biến của tích phân xác định và tích phân hai lớp ....... 101

Bảng 3. 1: Bảng phân bố tần số điểm bài kiểm tra các lớp TN1, ĐC1 ............................ 140

Bảng 3. 2: Bảng phân bố tần suất ghép lớp điểm bài kiểm tra các lớp TN1, ĐC1 .......... 140

Bảng 3. 3: Bảng phân bố tần số điểm bài tập lớn các lớp TN1, ĐC1 .............................. 141

Bảng 3. 4: Bảng phân bố tần suất ghép lớp điểm bài tập lớn các lớp TN1, ĐC1 ............ 142

Bảng 3. 5: Bảng phân bố tần số điểm thi cuối kì các lớp TN1, ĐC1 ............................... 142

Bảng 3. 6: Bảng phân bố tần suất ghép lớp điểm thi cuối kì các lớp TN1, ĐC1 ............. 143

Bảng 3. 7: Bảng phân bố tần số điểm bài kiểm tra các lớp TN2, ĐC2 ............................ 146

Bảng 3. 8: Bảng phân bố tần suất điểm bài kiểm tra các lớp TN2, ĐC2 ......................... 146

Biểu đồ 3. 1: Biểu đồ tần suất ghép lớp điểm bài kiểm tra các lớp TN1, ĐC1 ................ 140

Biểu đồ 3. 2: Biểu đồ tần suất ghép lớp điểm bài tập lớn các lớp TN1, ĐC1 .................. 142

Biểu đồ 3. 3: Biểu đồ tần suất ghép lớp điểm thi cuối kì các lớp TN1, ĐC1 ................... 143

Biểu đồ 3. 4: Biểu đồ tần suất điểm bài kiểm tra các lớp TN2, ĐC2 ............................... 146

viii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1: Sơ đồ quá trình tư duy ........................................................................................ 13

a b : [ , ]

a b [ , ]

Hình 1.2: Sơ đồ cây thường dùng khi phân tích ................................................................. 26

Hình 1.3: Ví dụ về đồ thị hàm số liên tục ............................................... 28

Hình 2.1: Bản đồ khái niệm về hàm số khả vi ................................................................... 93

Hình 2. 2: Mối liên hệ giữa một số yếu tố trong khái niệm giới hạn hàm số ..................... 97

Hình 2. 3: Cách đánh dấu miền lấy TP trong một số bài toán về TP hai lớp ................... 100

Hình 2. 4: Bản đồ TD phân tích hướng giải bài toán xét sự hội tụ của TPSR ................. 106

Hình 2. 5: Biểu đồ phân tán biểu thị tuổi thọ của lốp xe tương ứng với áp suất .............. 115

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

 Sự cần thiết của việc phát triển tư duy phân tích Trong những năm gần đây, vấn đề tìm hiểu và phát triển tư duy ngày càng nhận

được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu, người học và những người đã đi làm,

những người muốn có lối suy nghĩ hiệu quả để áp dụng vào mọi mặt của đời sống.

Tham khảo các tài liệu về phương pháp nghiên cứu khoa học, lí luận và phương

pháp dạy học đại học, ta có thể tìm thấy những phần liên quan đến tư duy phân tích, chẳng hạn:

“Cần thiết phải có một cái nhìn mới và mô hình mới của GDĐH, đó là giáo dục lấy sinh viên làm trung tâm. Để đạt được mục tiêu đó, chương trình đào tạo cần phải được

xây dựng sao cho không chỉ nhằm nắm kiến thức chuyên môn một cách đơn giản mà cần bao gồm việc chiếm lĩnh các kĩ năng, năng lực giao tiếp, óc phân tích sáng tạo và phê phán, suy nghĩ độc lập và biết làm việc đồng đội giữa một bối cảnh đa văn hóa” ([54], tr. 39).

“Nghiên cứu các đối tượng phức tạp phải xem xét chúng một cách toàn diện, phải phân tích chúng ra thành các bộ phận để nghiên cứu chúng một cách sâu sắc, phải tìm ra được tính hệ thống của đối tượng” ([62], tr. 68).

“Nhiều người học gặp khó khăn trong việc làm bài kiểm tra hoặc trả lời các câu hỏi thi mặc dù họ có kiến thức tốt về môn học. Một trong những nguyên nhân là họ không phân tích đúng đắn câu hỏi hoặc không lập dàn ý trả lời một cách hệ thống. Nếu không phân tích đúng đắn câu hỏi, họ có thể bỏ qua phần quan trọng, hoặc tập trung quá nhiều

vào những chi tiết thứ yếu. Nếu không lập dàn ý trả lời cẩn thận, bài làm của họ thường sẽ

thiếu chặt chẽ và mạch lạc” ([54], tr. 418).

Trong thực tế, TDPT đòi hỏi phải tìm hiểu vấn đề một cách rõ ràng và sâu sắc.

Điều đó là cần thiết khi muốn phân loại và sử dụng thông tin, khi tự học, giúp cho việc ghi nhớ, phán đoán, lựa chọn để ra quyết định, giúp hạn chế việc mắc sai lầm. Cách chia

vấn đề phức tạp thành nhiều vấn đề nhỏ tạo ra một trong những phương pháp để giải

quyết vấn đề [63], [73], [78], [85].

Đối với những người làm trong ngành kĩ thuật, cần có sự cẩn thận, tỉ mỉ, chú ý

từng chi tiết, mối liên hệ tác động qua lại giữa các bộ phận trong hệ thống máy móc hay

công trình, hệ thống mạng,…Với ngành kinh tế, cần phải thu thập và lựa chọn thông tin

đúng, phân loại, so sánh, đánh giá và giải thích nguyên nhân, tìm hiểu kĩ và đưa ra những

phán đoán, dự báo,... Đã có những ví dụ về việc áp dụng TDPT trong xem xét nhu cầu thị

trường, trong phân tích báo cáo tài chính, phân tích nguyên nhân thất bại của một công ty

hay một đội bóng… Khả năng phân tích vấn đề một cách rõ ràng, logic có thể giúp mỗi

người thành công hơn trong nghề nghiệp.

Một số nghiên cứu gần đây trên thế giới đã chỉ ra rằng TDPT cần thiết cho SV

trong thế kỉ 21, kĩ năng tư duy này đưa đến sự phát triển của tư duy phê phán, tư duy sáng

tạo và năng lực giải quyết vấn đề. Đây là kĩ năng giúp cải thiện tư duy, tạo thói quen suy

ngẫm và đặt câu hỏi trong mọi mặt của đời sống. Khả năng TDPT và phê phán góp phần

làm giảm tỉ lệ SV thất nghiệp sau khi ra trường [65], [72].

Ngày nay, nhiều trường đại học trong và ngoài nước đã thực sự coi trọng việc rèn

luyện tư duy cho người học, trong đó có TDPT. Chẳng hạn, tại các trường đại học Valparaiso, Texas A&M, việc phát triển tư duy phân tích cho sinh viên được đặt ra trong

trong chương trình học Toán cao cấp [88], [89].

Năm 2009, Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông đã công bố chuẩn đầu ra cho SV. Một trong những yêu cầu đó là: SV có phương pháp làm việc khoa học và

chuyên nghiệp, tư duy hệ thống và TDPT, khả năng trình bày, khả năng giao tiếp và làm việc hiệu quả trong nhóm (đa ngành), hội nhập được trong môi trường quốc tế.

Theo chương trình khung giáo dục đại học được ban hành năm 2012 tại Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông [26], SV chuyên ngành Công nghệ phần mềm cần phải có kĩ năng thu thập, phân tích, tìm hiểu và tổng hợp các yêu cầu từ đối tượng sử dụng phần mềm; cần phân tích và giải quyết sáng tạo, hiệu quả những vấn đề kĩ thuật,... Đối với chuyên ngành Hệ thống thông tin, cần hiểu được vai trò các thành phần của hệ thống; thu thập, biến đổi, truyền và lưu trữ dữ liệu và thông tin; vận dụng các khái niệm để đánh giá, phân tích và mô hình hóa,… Với SV ngành Kĩ thuật điện tử, cần hiểu biết về linh

kiện, cụm linh kiện, nguyên tắc an toàn điện... SV ngành Điện tử, truyền thông cần phân

tích, tổng hợp sửa chữa mạch điện tử trang thiết bị viễn thông; nghiên cứu, tiếp cận với

các thiết bị điện tử và hệ thống viễn thông mới hướng tới mục tiêu cải tiến và thiết kế

mới,... Với SV ngành Quản trị kinh doanh, cần xây dựng và tổ chức thực hiện chiến lược,

kế hoạch kinh doanh, phát hiện, đánh giá và lựa chọn các cơ hội kinh doanh. Đối với SV ngành Kế toán, cần nắm vững luận cứ, hiểu biết về các nguyên lí kế toán,… Như vậy, đối

với SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật, cần được phát triển khả năng phân tích, tổng hợp, tìm hiểu các thành phần và các mối liên hệ, sử dụng đúng các khái niệm, nguyên lí,

thu thập và sử dụng thông tin, lập luận có căn cứ, định hướng, lập kế hoạch, nhận ra

những điểm yếu, phán đoán, mô hình hóa, giải quyết vấn đề, tự học…Do đó, việc phát

triển TDPT cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật là cần thiết, có thể góp phần đáp

ứng chuẩn đầu ra.

 Vai trò của tư duy phân tích của sinh viên trong dạy học Toán cao cấp

TCC gồm một số môn học trong năm đầu tiên của SV ở trường đại học. Đối với SV

năm đầu, đa số còn rất nhiều bỡ ngỡ trước cuộc sống mới và phương pháp học tập, nghiên

cứu ở bậc đại học. Họ sẽ thấy nội dung TCC trừu tượng hơn so với toán phổ thông. Để

đáp ứng với lượng kiến thức lớn, SV cần phải biết tự học, cần có tư duy độc lập ở mức độ cao và sáng tạo. TDPT sẽ giúp SV học TCC dễ dàng hơn. Chẳng hạn, với việc đặt câu hỏi

phân tích, SV có thể tự định hướng quá trình tư duy, giải quyết vấn đề một cách độc lập.

Việc xác định hướng giúp SV nhìn nhận, phát biểu mệnh đề theo một số cách khác nhau,

giúp họ dễ hiểu vấn đề và trình bày một cách rõ ràng hơn. Điều này cũng giúp SV phân tích và lựa chọn cách giải bài toán, tránh việc chỉ đi theo một hướng và có thể dẫn đến bế tắc. Việc chú ý xem xét các mối quan hệ giúp SV tạo thói quen liên hệ giữa kiến thức TCC với thực tế, với chuyên ngành,... Như vậy, TDPT có vai trò quan trọng đối với SV

khi học TCC. Việc dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV là cần thiết.

Ngoài ra, chúng tôi cho rằng trong dạy học TCC, có nhiều cơ hội để phát triển TDPT

cho SV, qua đó đồng thời góp phần rèn luyện cho SV một số kĩ năng theo chuẩn đầu ra.

Hiện nay, chúng tôi vẫn chưa tìm thấy những nghiên cứu một cách đầy đủ, hệ

thống về TDPT và vấn đề dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV.

Vì những lí do trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật”. Với khuôn khổ nội dung và thời gian của môn học, chúng tôi chỉ minh họa một số ví dụ trong nội dung TCC mà chưa đề cập đến những tình huống cụ thể, phong phú như trong đời

sống. Mặc dù vậy, SV có thể tìm được những gợi ý để từ đó phần nào tự liên hệ với

những trường hợp cụ thể mà họ sẽ gặp sau này.

2. Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu lí luận và thực tiễn về TDPT và dạy học TCC theo hướng

phát triển TDPT cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật, đề xuất một số biện pháp

dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.

3. Tổng quan tình hình nghiên cứu

TDPT có nền tảng từ rất lâu đời. Thời cổ đại, Socrates (470-399 TCN) đã cho rằng

để giải quyết một vấn đề, người ta cần suy nghĩ một cách rõ ràng dựa vào các câu hỏi, cần

chia nhỏ hệ thống câu hỏi. Các câu trả lời sẽ dần dần giúp đưa đến lời giải mà ta tìm kiếm.

Francis Bacon (1561-1626) cho rằng sau khi thu thập mọi dữ kiện về sự vật, ta

phải phân tích, loại bỏ những dữ kiện phụ, từ đó đi đến khẳng định bản chất của sự vật

([61], tr. 279).

Descartes (1596-1650) đã đưa ra các quy tắc phương pháp luận, trong đó có

nguyên tắc: “Chia mỗi sự vật phức tạp, trong chừng mực có thể làm được, thành các bộ

phận cấu thành của nó để tiện lợi nhất trong việc nghiên cứu chúng” ([61], tr. 305).

Trong nghiên cứu về “Tư duy của học sinh”, Sacđacốp (1970) đã nói đến TDPT

mặc dù không trình bày khái niệm TDPT. Tác giả cho rằng: Chỉ có nghiên cứu phân tích

toàn diện các sự vật hoặc hiện tượng theo một hướng nhất định, và xem xét các bộ phận

trong một hệ thống của các mối liên hệ mới giúp học sinh hiểu biết tương đối sâu sắc, đầy đủ và toàn diện về sự vật, và điều đó chỉ đạt được bằng sự phân tích có hệ thống ([44], tr.

93).Theo tác giả, phân tích và tổng hợp là hai mặt của một quá trình tư duy thống nhất. “Ở một số học sinh, sự phân tích chiếm ưu thế trong hoạt động tư duy phân tích- tổng hợp thống nhất, điều đó thể hiện ở chỗ các em mô tả và tường thuật tỉ mỉ, tách bạch các chi

tiết. Đó là kiểu tư duy phân tích. Ở học sinh thuộc loại này, óc phân tích mô tả được hình thành và phát triển mạnh”. Sacđacốp cho rằng, “việc nghiên cứu phân tích các sự vật và hiện tượng thường thực hiện được là nhờ có so sánh, điều đó cho phép vạch ra các dấu hiệu và thuộc tính bản chất và không bản chất, các mối liên hệ và quan hệ của một nhóm sự vật hoặc hiện tượng nhất định” ([44], tr.109). Tác giả cũng cho rằng trước khi phân tích, phải chú ý đến tính toàn thể của hệ thống.

Koliagin (1980) cùng một số tác giả khác đã cho rằng TDPT là thành tố của tư duy trừu tượng, được thể hiện trong học toán khi phân tích chứng minh các định lí hoặc giải bài toán, khi nghiên cứu sâu bài toán. Dạng tư duy này liên hệ mật thiết với thao tác phân

tích của tư duy [90].

Robert J. Sternberg (1996, 2003, 2005) cho rằng tư duy sáng tạo, TDPT và tư duy

thực hành giúp học sinh thành công trong lớp học. Dạy tư duy phân tích nghĩa là khuyến

khích sinh viên phân tích, phê phán, phán đoán, đánh giá, so sánh và đối chiếu, ước lượng

[82], [83], [84], ([47], tr.94).

Tài liệu “Analytical thinking”của Ayman Amer (2005) được viết theo quan điểm

giúp SV có thêm những kĩ năng để đáp ứng sự đòi hỏi của xã hội, giúp họ thành công khi học tiếp sau đại học cũng như để có được những nghề nghiệp tốt nhất. Tác giả đã nêu khái

niệm về TDPT, mối quan hệ giữa TDPT với tư duy tổng hợp, tư duy hệ thống, tư duy phê

phán, tư duy sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề [63].

Aurelio Villa Sáncher (2008) và các cộng sự cho rằng TDPT là một trong những

năng lực cần thiết đối với SV, đây là năng lực nền tảng cho việc học, cần thiết trong sự

thành công của mỗi cá nhân. TDPT chia tình hình phức tạp thành những bộ phận cấu

thành của chúng để nghiên cứu, làm nổi bật mối quan hệ qua lại giữa những yếu tố, phân

loại chúng để hiểu tình hình, trình bày một cách rõ ràng và có thứ tự, tạo điều kiện thuận

lợi cho sự phán đoán, ra quyết định hoặc giải quyết vấn đề. Trong những mối liên hệ khác

nhau có thể tồn tại giữa những yếu tố được xác định, mối quan hệ nguyên nhân là đặc biệt

quan trọng cho sự hiểu đúng về tình hình được phân tích. Các tác giả cho rằng TDPT giúp

tạo thói quen tư duy có phương pháp đối với nhiều loại nhiệm vụ, đặc biệt khi những

nhiệm vụ đó có liên hệ với sự thu thập và nghiên cứu thông tin. TDPT cũng giúp cho việc

độc lập hiểu vấn đề mà không cần một sự chỉ dẫn. TDPT dùng những công cụ cho phân tích, đánh giá lại tình hình trong khi đang làm, thay thế cho sự tin vào những ý tưởng bất

ngờ xuất hiện. Những công cụ có thể bao gồm đề cương, bảng biểu, bản đồ khái niệm, đồ thị…Các tác giả cũng đưa ra ba cấp độ thành thạo của TDPT, đó là: Miêu tả, liên hệ, giải thích những tình hình và những vấn đề đơn giản; Lựa chọn những yếu tố quan trọng và

những mối liên hệ của chúng trong những tình hình phức tạp; Nhận ra lỗ hổng thông tin và tìm thấy mối liên hệ với những yếu tố bên ngoài tình huống trong câu hỏi. Ngoài ra, các tác giả cũng cho rằng phương pháp nghiên cứu trường hợp rất phù hợp để giúp SV phát triển TDPT [79].

Trong tài liệu “Management Research Methodology” ([74], tr. 52), Krishnaswamy (2009) và các cộng sự cho rằng: TDPT là một loại tư duy được dùng trong giải quyết vấn đề. Trong dạng tư duy này, một vấn đề hoặc ý tưởng được chia thành những phần. Mỗi phần được xem xét, kiểm tra để hiểu nó thực hiện chức năng và hợp với những phần khác như thế nào. TDPT cũng có liên quan với tư duy hội tụ, dạng tư duy để đạt được một giải

pháp duy nhất cho vấn đề.

Trong quyển “Nghĩ thông minh làm sáng suốt” [6], Darren Bridger và David

Lewis (2012) đã định nghĩa về vấn đề hội tụ và vấn đề phân kì. Nếu chỉ có một giải pháp

cho một vấn đề, hoặc cách giải quyết có giới hạn, hoặc câu trả lời chỉ là đúng hoặc sai thì

vấn đề đó gọi là “hội tụ”. Nếu có nhiều cách trả lời hoặc không có câu trả lời nào tuyệt đối thì vấn đề đó gọi là “phân kì”. Với vấn đề hội tụ, nên áp dụng TDPT. Bí quyết tìm ra

giải pháp cho vấn đề hội tụ là nhanh chóng triệt tiêu các ngõ cụt. Việc thiết kế cây giải pháp sẽ nhằm tìm được lối đi khả thi dẫn đến mục tiêu. Hơn nữa, điều đó có thể giúp phát

hiện thêm các giải pháp.

Có thể tìm thấy một số nghiên cứu về TDPT hiện nay ở Thái Lan. Chẳng hạn:

Areesophonpichet (2013) cho rằng dùng bản đồ khái niệm có thể giúp phát triển TDPT

cho học viên sau đại học, việc vận dụng bản đồ khái niệm sẽ dễ dàng và hiệu quả hơn nếu

học viên đã biết sử dụng bản đồ tư duy [65].

Ben Jonhson (2013) cho rằng TDPT đòi hỏi phải suy nghĩ về các thành phần.

Những người suy nghĩ phân tích thường điều tra, tổ chức, phân loại, chỉ rõ (trong những

vấn đề mà họ có kinh nghiệm). Tác giả đã đưa ra một số chiến lược, kĩ thuật thường dùng

trong phân tích, chẳng hạn: Chiến lược “Socratic Questioning”, Chiến lược “Whole part

whole”, Chiến lược “Logic”, Chiến lược “Identifying Differences and Similarities”, Kĩ

thuật SWOT, Kĩ thuật KWL, Kĩ thuật SQR4,...[73].

Blessytha Anwar (2014) và cộng sự cho rằng mục tiêu của dạy kĩ năng phân tích là

khuyến khích SV đặt những câu hỏi, không phải chỉ là trả lời [64].

Trong tài liệu “Cẩm nang tư duy phân tích” [38], Richard Paul, Linda Elder (2015)

cho rằng phân tích và đánh giá là những kĩ năng giúp SV lập luận tốt, giúp học được những kiến thức cơ bản mà không tản mạn. Các tác giả cho rằng tám cấu trúc cơ bản của tư duy là: Đặt ra các mục đích, nêu các câu hỏi, sử dụng các thông tin, sử dụng các khái

niệm, tạo ra các suy luận, đưa ra các giả định, làm phát sinh các hàm ý, chứa đựng một góc nhìn. Để phân tích tư duy, cần phải nhận diện và đặt các câu hỏi về những cấu trúc cơ bản này. Để đánh giá tư duy, cần phải hiểu và áp dụng các chuẩn trí tuệ (Sự rõ ràng, sự đúng đắn, sự chính xác, tính liên quan, chiều sâu, chiều rộng, tính logic, ý nghĩa, công bằng). Cần trình bày câu hỏi theo nhiều cách để làm rõ nghĩa và phạm vi của nó, cần chia câu hỏi ra thành nhiều câu hỏi nhỏ.

Trong cuốn sách “Lập sơ đồ tư duy hiện đại để tư duy thông minh hơn” [8], Tony Buzan (2016) và các cộng sự cho rằng TDPT là hoạt động tư duy đưa ta đến một quyết định đúng và sáng suốt. Chúng ta có thể đưa ra được rất nhiều ý tưởng cho vấn đề, nhưng

cần phải có TDPT để phân loại, sàng lọc và chọn lựa, nhờ đó chuyển ý tưởng thành giải

pháp. Ba quy tắc giúp thực hiện TDPT là: Thu hẹp các ý tưởng bằng cách sử dụng đánh

giá tích cực (có thái độ tích cực đối với mỗi ý tưởng khi xử lí lần đầu); đánh giá ý tưởng

bằng các kĩ thuật (đánh giá bằng tim và đánh giá bằng đầu, chia các giải pháp thành các

mặt lợi và hại được mã hóa bằng màu); chọn giải pháp hoặc các giải pháp tốt nhất (Giải pháp có giúp bạn đạt được điều mong muốn không? Giải pháp có phù hợp với mục đích

và mục tiêu cuối cùng của bạn không? Giải pháp sẽ thất bại khi xảy ra những khả năng nào và thất bại theo cách nào?). Các tác giả cũng cho rằng quá trình lập sơ đồ tư duy sẽ

đưa thêm nhiều năng lượng cho TDPT.

Septi Budi Sartika (2017) đã đưa ra một số chiến lược trong dạy học nhằm phát

triển TDPT cho học sinh. Chẳng hạn: học dựa trên vấn đề, dạy những kĩ năng TDPT, sử

dụng thông tin và đồ họa, chiến lược MURDER (Mood, Understand, Recall, Digest,

Expand, Review) [80].

Ở nước ta, đã có một số nghiên cứu liên quan đến đề tài luận án. Tác giả Tôn Thân

(1995) cho rằng: Để rèn luyện khả năng sáng tạo, cũng cần rèn luyện khả năng phân tích

vấn đề một cách toàn diện ở nhiều khía cạnh khác nhau. Chúng tôi nhận thấy một số dạng

bài tập toán mà tác giả đưa ra (bài tập câm, bài tập tìm sai lầm, bài tập mở,…) cũng phù

hợp để phát triển TDPT [51]. Nguyễn Phú Lộc (2006) đã trình bày về dạy học Giải tích

với các mối liên hệ, trong đó có mối liên hệ giữa cái riêng và cái chung, dạy học Giải tích

với phương pháp phân tích [31]. Tác giả Phan Thị Luyến (2008) đã đưa ra một số dạng

câu hỏi mà học sinh trung học phổ thông nên thường đặt ra và trả lời để rèn luyện tư duy phê phán, để hiểu khái niệm, định lí một cách sâu sắc. Đó là những dạng câu hỏi để làm

rõ, câu hỏi yêu cầu đưa ra lí do hoặc bằng chứng, câu hỏi tìm sự liên quan, câu hỏi khi đứng trước một bài toán, khi giải xong bài toán,... ([32], tr. 84). Bạch Phương Vinh (2013) đã nói đến việc giải bài toán theo bốn bước của Polya, sử dụng phép phân tích và

phép tổng hợp (suy xuôi, suy ngược), sử dụng bản đồ tư duy trong dạy học giải bài tập hình học phẳng lớp 9 [60]. Nguyễn Thị Mỹ Hằng (2014) cho rằng việc tập luyện cho học sinh phân tích nội hàm và ngoại diên của khái niệm toán học, tập luyện cho học sinh biết cách làm rõ ý nghĩa của từng yếu tố được cho trong giả thiết của định lí có thể giúp rèn luyện thao tác phân tích [19]. Trong tài liệu “Phát triển tư duy qua dạy học môn toán ở trường phổ thông”, tác giả Chu Cẩm Thơ (2015) đã đưa ra khái niệm về tư duy phân tích ([52], tr. 28). Các tác giả Đào Tam, Võ Xuân Mai (2016) cho rằng TDPT và tư duy trực giác là hai yếu tố cần thiết trong quá trình tư duy, chúng cần được kết hợp, bổ sung cho nhau. Trong quá trình dạy học nói chung, dạy học toán nói riêng, cần chú trọng những

hoạt động nhằm đồng thời phát triển cả hai loại tư duy này cho học sinh [48]. Nguyễn Thị

Hà Lan (2016) cho rằng trong dạy học đại học, cần phát triển tư duy cho SV, trong đó có

TDPT. Tác giả cũng nhắc lại quan điểm của Robert J. Sternberg, dạy TDPT là khuyến

khích SV phân tích, so sánh, đánh giá, giải thích ([30], tr. 68).

Trong dạy học Toán cao cấp, Joan R. Hundhausen (1993) cho rằng sử dụng các bài toán có chứa tham số trong dạy học phép tính vi phân và tích phân có thể giúp SV

hiểu sâu hơn về các mối liên hệ hàm, phát triển khả năng khái quát hóa và những kĩ năng giải quyết vấn đề không quen thuộc, giúp SV nâng cao khả năng tư duy phân tích [86].

Biao Zhang (2003), với chiến lược dạy học lấy SV làm trung tâm, đã cho rằng

trong dạy học phép tính vi phân và tích phân, cần giúp sinh viên hiểu ý tưởng toán học và

phát triển khả năng tư duy logic, suy nghĩ sâu sắc và sáng tạo. Tác giả đưa ra những câu

hỏi tìm hiểu từng yếu tố trong khái niệm giới hạn dãy số (những câu hỏi phù hợp để phát

triển TDPT cho SV, giúp SV hiểu rõ hơn ngôn ngữ toán học), và sử dụng phương pháp

làm việc nhóm. Tác giả cũng cho rằng việc viết tóm tắt sẽ giúp SV ôn lại, hiểu sâu và tìm

ra mối liên hệ giữa các khái niệm [87].

Erhan Selcuk Haciomeroglu, Leslie Aspinwall, Norma C. Presmeg (2009) cho

rằng SV nên kết hợp cả tư duy thị giác và TDPT để giúp hiểu các khái niệm một cách sâu

sắc hơn và dễ dàng hơn khi giải quyết vấn đề [71].

Trong giáo trình Phép tính vi phân và tích phân, Brian E. Blank và Steven G.

Krantz (2011) cho rằng phác thảo đồ thị là một trong những kĩ thuật quan trọng nhất của

tư duy phân tích ([66], tr. 327).

Pavel Satianow, Miriam Dagan và Meiraw Amram (2015) cho rằng dùng hàm

“min” và hàm “max” trong dạy học phép tính vi phân và tích phân giúp phát triển TDPT cho SV vì với các dạng hàm này, GV có thể đưa ra những câu hỏi không quen thuộc, đòi hỏi SV phải hiểu rõ các khái niệm và suy nghĩ logic [81].

Trong tài liệu “Phương pháp mới học Toán đại học”, tác giả Dương Minh Đức (2001) đã chỉ ra một số lỗi cơ bản của SV khi giải toán, trong đó có việc “không để ý đến các yếu tố đơn lẻ trong sự việc cho sẵn và sự việc phải chứng minh”, không chú ý đến từng chi tiết nhỏ và mối liên hệ giữa chúng ([15], tr. 430).

Như vậy, những nghiên cứu như trên đã đề cập đến một số khía cạnh của TDPT: quan niệm về TDPT, mối liên hệ giữa TDPT với một số loại tư duy khác, một số dạng bài tập phát triển TDPT, một số kĩ thuật thường dùng đối với TDPT,...Tuy nhiên, những nội dung chưa được trình bày một cách tổng hợp, đầy đủ. Trong một số nghiên cứu, chưa có lập luận giải thích rõ vấn đề đưa ra khi gắn với TDPT...Còn ít nghiên cứu về dạy học TCC

theo hướng phát triển TDPT cho SV, mặc dù nhiều trường đại học đã nhấn mạnh tầm

quan trọng của TDPT và đưa yêu cầu phát triển loại tư duy này vào chương trình dạy học

Toán cao cấp. Đặc biệt, chưa có nghiên cứu đầy đủ về những biểu hiện của TDPT của SV

khối ngành kinh tế, kĩ thuật trong dạy học TCC và những biện pháp dạy học TCC theo

hướng phát triển TDPT cho SV.

4. Khách thể, đối tượng nghiên cứu

- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học Toán cao cấp cho SV đại học khối

ngành kinh tế, kĩ thuật.

- Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư

duy phân tích cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.

5. Giả thuyết khoa học

Nếu xác định được những biểu hiện của TDPT của SV đại học khối ngành kinh tế,

kĩ thuật trong dạy học TCC, xây dựng và thực hiện được một số biện pháp thích hợp trong

dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật thì

có thể góp phần phát triển TDPT cho SV đồng thời nâng cao hiệu quả dạy học TCC.

6. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn về TDPT và việc dạy học TCC theo hướng

phát triển TDPT cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.

- Tìm biện pháp dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV đại học khối

ngành kinh tế, kĩ thuật.

- Nghiên cứu việc tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm bước đầu kiểm nghiệm tính

khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất.

Phạm vi nghiên cứu: - Toán cao cấp ở đây chỉ giới hạn là phần Giải tích. - Phần thực nghiệm sẽ được tiến hành đối với SV năm thứ nhất ở Học viện Công

nghệ Bưu chính Viễn thông.

7. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp để tổng quan các công trình nghiên cứu trong và ngoài nước về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài. Xây dựng cơ sở lí luận của việc dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV đại học

khối ngành kinh tế, kĩ thuật.

- Phương pháp điều tra: Điều tra thực trạng hoạt động dạy của GV, hoạt động học

của SV trong dạy học TCC bằng cách sử dụng phiếu hỏi và phỏng vấn nhằm đánh giá

thực trạng việc phát triển TDPT cho SV trong dạy học. Xác định những thuận lợi và khó

khăn của việc dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV đại học khối ngành kinh

tế, kĩ thuật.

- Phương pháp quan sát: Quan sát những hoạt động của GV và SV trong một số giờ

dạy để rút ra nhận xét về việc phát triển TDPT cho SV.

- Phương pháp chuyên gia: Tham khảo, xin ý kiến chuyên gia về các vấn đề thuộc

phạm vi nghiên cứu của đề tài.

- Phương pháp nghiên cứu trường hợp: Nghiên cứu sự phát triển TDPT của bốn SV

trong quá trình thực nghiệm.

- Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua thực tiễn giảng dạy, qua các

đợt khảo sát thực tiễn và qua kinh nghiệm của một số GV dạy Toán cao cấp.

- Thực nghiệm sư phạm.

- Thống kê toán học: Xử lí các kết quả điều tra và thực nghiệm.

8. Những vấn đề đưa ra bảo vệ

- Những biểu hiện của TDPT của SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật trong dạy

học TCC.

- Tính khả thi và hiệu quả của một số biện pháp sư phạm trong dạy học TCC theo

hướng phát triển TDPT cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.

9. Những đóng góp của luận án

- Quan niệm về TDPT và dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV đại

học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.

- Những biểu hiện của TDPT của SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật trong dạy

học TCC.

- Một số biện pháp sư phạm trong dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho

SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.

10. Cấu trúc luận án

Luận án gồm ba chương. Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.

Chương 2: Biện pháp dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển TDPT cho SV

đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

Ngoài ra, luận án còn có phần Mở đầu, Kết luận và kiến nghị, Danh mục công trình

khoa học của tác giả có liên quan đến luận án, Tài liệu tham khảo và Phụ lục.

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Một số vấn đề chung về tư duy

1.1.1. Khái niệm về tư duy

Theo từ điển Giáo dục học: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, cho

phép phản ánh được bản chất và các mối quan hệ của sự vật khách quan mà con người

không nhận biết được bằng tri giác và cảm giác trực tiếp hoặc bằng biểu tượng” ([21], tr. 457). Khi suy nghĩ, con người sử dụng những kiến thức đã có và bằng những hành động

nhận thức cơ bản để phân tích, tổng hợp, so sánh, phân loại, hệ thống hóa, trừu tượng hóa,

khái quát hóa,…mà khám phá ra điều mới trong điều đã biết, từ đó thu được những hiểu

biết mới. Hành động nhận thức làm phát hiện những đặc điểm và các mối quan hệ ẩn chứa trong sự vật khách quan và cho ra đời những kết quả của tư duy dưới dạng các khái niệm, phán đoán và suy lí về những đặc tính và quan hệ của sự vật.

Theo Từ điển Triết học: “Tư duy là quá trình tích cực qua đó, thế giới khách quan được phản ánh trong các khái niệm, phán đoán, lí thuyết,…và nó gắn với việc giải quyết

các vấn đề; là sản phẩm cao nhất của dạng vật chất được tổ chức một cách đặc biệt, đó là bộ não” (theo [18], tr. 10).

Rubinstein cho rằng: Tư duy là sự “thâm nhập vào những tầng mới của bản thể, là

giành lấy và đưa ra ánh sáng những cái đến nay vẫn dấu kín trong cõi sâu bí ẩn: Đặt ra và

giải quyết những vấn đề của thực tại và cuộc sống, tìm tòi và giải đáp câu hỏi thực ra nó là

như thế nào, câu trả lời đó là cần thiết để biết nên sống như thế nào, cho đúng và cần làm

gì…” ([55], tr. 83).

Theo Nguyễn Quang Uẩn và các cộng sự (2014): “Tư duy là một quá trình tâm lí

phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy

luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết” ([58],

tr.79).

Như vậy, có thể thấy rằng quá trình tư duy của mỗi người bao gồm các ý nghĩ, dựa

trên những hiểu biết đã có kết hợp với sự so sánh, phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa,

khái quát hóa,…từ đó rút ra những kết luận của bản thân (về những khái niệm, tính chất,

suy lí,…) nhằm hiểu vấn đề một cách sâu sắc, nhằm tìm kiếm, khám phá,…để giải quyết vấn đề đặt ra.

1.1.2. Đặc điểm của tư duy

Tư duy có một số đặc điểm cơ bản là: Tính có vấn đề, tính gián tiếp, tính trừu

tượng và khái quát hóa, tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ, tư duy có quan hệ mật

thiết với nhận thức cảm tính [58].

Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những tình huống “có vấn đề”, tức là những tình

huống chứa đựng một mục đích, một vấn đề mới mà những hiểu biết cũ, những phương

pháp hành động cũ tuy vẫn cần thiết nhưng không đủ sức giải quyết. Hoàn cảnh có vấn đề

đó phải được cá nhân nhận thức đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ cá nhân, tức là cá

nhân đó phải xác định được cái gì đã biết, đã cho và cái gì còn chưa biết, phải tìm, đồng

thời phải có nhu cầu tìm kiếm nó. Với những dữ kiện quen thuộc hoặc nằm ngoài tầm

kiểm soát của cá nhân thì tư duy cũng không xuất hiện.

Ở mức độ tư duy, con người không chỉ tìm hiểu đối tượng dựa vào các các giác

quan mà còn nhận thức được nó một cách gián tiếp. Tính gián tiếp thể hiện ở những ví dụ: người ta sử dụng những công cụ, phương tiện để nhận thức đối tượng mà không trực tiếp

tri giác; người ta sử dụng các kết quả nhận thức (quy tắc, công thức, quy luật, khái niệm,…) vào quá trình tư duy để nhận thức được cái bên trong, cái bản chất của đối tượng; người ta có thể phản ánh được đối tượng trong hiện thực, trong quá khứ và ở tương

x arc sin 5



lai,…

Tư duy có khả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, những dấu hiệu cá biệt, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất chung cho nhiều sự vật, hiện tượng. Trên cơ sở đó mà khái quát những sự vật, hiện tượng riêng lẻ nhưng có những thuộc tính bản chất chung thành một nhóm, một loại, một phạm trù. Vì vậy, tư duy mang tính trừu tượng và khái quát. f x Ví dụ 1.1: Khi xét hàm số ( ) , người ta có thể không quan tâm đến đặc

)

arc sin nx (

n   , đó là: hàm số lẻ, là đại lượng vô cùng bé khi

x 

điểm cá biệt (số 5) mà quan tâm đến một số thuộc tính bản chất chung cho các hàm

Tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Nếu không có ngôn ngữ thì quá trình tư duy ở con người không thể diễn ra được, đồng thời các sản phẩm của tư duy

(những khái niệm, phán đoán…) cũng không thể được chủ thể và người khác tiếp nhận.

Ngôn ngữ cố định lại các kết quả của tư duy, là vỏ vật chất của tư duy, do đó có thể khách

quan hóa kết quả của tư duy cho người khác và bản thân chủ thể tư duy.

Tư duy không thể tồn tại nếu thiếu tri thức. “Người ta cần có vấn đề để tư duy về nó. Sẽ sai lầm nếu coi trọng tri thức hơn mọi kĩ năng tư duy, điều này chỉ làm cho người

học chú trọng học nhiều nhưng vẫn thiếu kiến thức. Cũng sẽ sai lầm tương tự nếu chỉ tập

trung vào kĩ năng mà không quan tâm đến tri thức; vì người học biết thế nào là tư duy,

nhưng chẳng có gì để cho họ tư duy” ([13], tr. 57).

Tư duy phải dựa trên những tài liệu cảm tính, trên kinh nghiệm, trên cơ sở trực

quan sinh động. Nhận thức cảm tính là một khâu của mối liên hệ trực tiếp giữa tư duy với

hiện thực, là cơ sở của những khái quát kinh nghiệm dưới dạng các khái niệm quy luật.

Ngược lại, tư duy và các sản phẩm của nó cũng ảnh hưởng đến các quá trình nhận thức

cảm tính, chẳng hạn ảnh hưởng đến tính lựa chọn, tính ý nghĩa, tính ổn định của tri giác.

1.1.3. Quá trình tư duy

Nhà tâm lí học K.K.Platonov đã tóm tắt các giai đoạn của một quá trình tư duy

Nhận thức vấn đề

CÂU HỎI

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết

GIẢ THUYẾT

Kiểm tra giả thuyết

XÁC MINH

Phủ định

Khẳng định

Tìm giả thuyết mới

Chính xác hóa

QUYẾT ĐỊNH

Hành động tư duy mới

Giải quyết vấn đề

bằng sơ đồ dưới đây: (theo [52], tr. 18).

Hình 1.1: Sơ đồ quá trình tư duy

Trước một tình huống có vấn đề, chủ thể cần phải xác định và biểu đạt vấn đề sau

đó huy động các tri thức, kinh nghiệm có liên quan, nghĩa là xuất hiện các liên tưởng.

Những liên tưởng ban đầu có thể còn rộng, chưa sát với vấn đề, do đó cần phải sàng lọc, từ đó hình thành giả thuyết, tức là dự kiến một phương án, một cách giải quyết vấn đề. Việc xem xét sự vật, hiện tượng theo nhiều cách khác nhau có thể đưa đến một số giả

thuyết khác nhau. Tiếp theo, cần kiểm tra xem giả thuyết đưa ra có đúng không, có tương

ứng với điều kiện và vấn đề đặt ra không.

Các tác giả Richard Paul và Linda Elder cho rằng mọi tư duy đều gồm các yếu tố:

Đặt ra các mục đích, nêu ra các câu hỏi, sử dụng các thông tin, sử dụng các khái niệm, tạo

ra các suy luận, đưa ra các giả định, làm phát sinh các hàm ý, chứa đựng một góc nhìn

[38], [76]. Có thể thấy rằng những yếu tố này cũng cần có trong quá trình tư duy ở trên.

Chẳng hạn: Khi nhận thức vấn đề, cần đặt ra mục đích. Để xuất hiện các liên tưởng, cần

sử dụng các thông tin, khái niệm, kinh nghiệm,…Để sàng lọc liên tưởng và hình thành giả

thuyết, cần suy luận, đưa ra các giả định, phán đoán, xác định hướng,…

1.1.4. Các thao tác tư duy

Quá trình tư duy của mỗi cá nhân diễn ra một cách phức tạp, được thực hiện nhờ

các thao tác tư duy (còn gọi là thao tác trí tuệ hay thao tác trí óc).

Xét về bản chất, “tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác trí tuệ nhất định để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra. Cá nhân có tư duy hay không chính là ở

chỗ họ có tiến hành các thao tác này ở trong đầu mình hay không. Do vậy, các nhà tâm lí học gọi các thao tác tư duy là những quy luật bên trong (quy luật nội tại) của tư duy” ([58], tr. 85).

Một số thao tác tư duy đặc biệt thường được dùng trong thực tế và trong học tập môn toán là: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa…

Phân tích là quá trình dùng trí óc để tách một hệ thống thành những vật, một vật

thành những bộ phận riêng lẻ.

Tổng hợp là dùng trí óc để liên kết những bộ phận thành một vật, liên kết những vật thành một hệ thống. Phân tích, tổng hợp là hai hoạt động trái ngược nhau nhưng là hai mặt của một quá trình thống nhất, là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp.

So sánh là dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay

không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức (sự

vật, hiện tượng).

Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ của

những đối tượng toán học khác nhau ([52], tr.22). Chẳng hạn: Đối tượng A có các tính chất a, b, c. Đối tượng B có các tính chất a, b. Như vậy, có thể nghĩ đến khả năng đối

tượng B cũng có tính chất c. (Điều này có thể không đúng nhưng nó đúng trong nhiều trường hợp).

Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản

chất. Sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây chỉ mang ý nghĩa tương đối, nó phụ

thuộc mục đích của hành động.

Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa

tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp

xuất phát.

Đặc biệt hóa là quá trình ngược lại của khái quát hóa, là việc chuyển từ nghiên cứu

một tập hợp đối tượng đã biết sang nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong nó. Đặc

biệt hóa cũng là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính chất tổng quát về khái niệm

hay tính chất xuất phát.

Trong quá trình tư duy, người ta sử dụng các thao tác tư duy tùy theo từng điều

kiện, nhiệm vụ cần giải quyết. Không nhất thiết hành động tư duy nào cũng phải thực hiện

tất cả các thao tác trên. Khi sinh viên thường xuyên so sánh, sử dụng cách suy nghĩ trong học toán vào các vấn đề của cuộc sống thì họ sẽ ghi nhớ tốt hơn, có nhiều kinh nghiệm

sống tốt hơn, có thể đưa ra những suy nghĩ tương tự, tạo kĩ thuật bàn đạp, dẫn đến những ý tưởng sáng tạo.

1.1.5. Các loại tư duy

Theo từ điển Giáo dục học, tùy theo tính chất và nội dung của nhiệm vụ cần giải quyết mà tư duy được phân thành các kiểu khác nhau: tư duy khoa học, tư duy kĩ thuật, tư duy nghệ thuật…Mỗi kiểu tư duy có những đặc trưng riêng. Tư duy diễn ra theo những quy luật chung đối với tất cả mọi người, đồng thời cũng có những biểu hiện riêng ở từng người do những đặc điểm sinh lí, thần kinh của người ấy chi phối, nên có người thiên về kiểu tư duy khoa học, có người thiên về kiểu kĩ thuật, có người thiên về nghệ thuật ([21], tr. 458).

Một số loại tư duy có ý nghĩa quan trọng trong nhận thức của con người, cần được

chú trọng trong nhà trường, chẳng hạn tư duy lôgic, tư duy sáng tạo.

Tư duy logic là “kiểu tư duy dựa trên những sự chứng minh và phản bác có căn cứ

thực tiễn những luận điểm, quan điểm hiện hữu bằng cách vận dụng những khái niệm,

phán đoán, suy lí vào quá trình thực hiện các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh đối

chiếu, loại suy, phân loại, hệ thống hóa, trừu tượng hóa,… để suy ra kết luận xác thực

hơn, tiếp cận chân lí hơn, phản ánh trung thực hơn bản chất của sự vật khách quan” ([21], tr. 458).

Tư duy sáng tạo là “kiểu tư duy dựa trên logic và tưởng tượng để tạo ra những hình ảnh, ý tưởng và sự vật mới, chưa có từ trước đến nay”. Tư duy sáng tạo bắt đầu từ sự

quan sát, phân tích, đánh giá sự vật khách quan, tìm ra vấn đề, rồi đặt thành giả thuyết và

nêu ra các phương án giải quyết ([21], tr. 459).

Trong một số tài liệu, mặc dù các tác giả không chỉ ra đầy đủ các loại tư duy

nhưng đã đưa ra nhóm những loại tư duy nhằm giải quyết nhiệm vụ nào đó. Chẳng hạn:

Với cuốn sách “Management Research Methodology” ([74], tr. 52), các tác giả K.N.

Krishnaswamy, Appa Iyer Sivakumar, M.Mathirajan đã nêu ra một số loại tư duy thường

được dùng trong giải quyết vấn đề: Tư duy logic, tư duy phê phán, tư duy phân tích, tư

duy chiến lược, tư duy sáng tạo, tư duy phân kì,…

Trong cuốn sách “Competence- based learning” ([79], tr. 61), các tác giả đã đưa ra

các loại tư duy thuộc về nhóm công cụ nhận thức, trong đó có: tư duy phân tích, tư duy hệ

thống (systemic thinking), tư duy phê phán, tư duy logic, tư duy thực hành (practical

thinking), tư duy sáng tạo.

Trong quyển “Phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông” (методика преподавания математики в средней школе) ([90], tr.116), Koliagin và các tác giả khác

đã trình bày về những thành phần cơ bản của tư duy toán học, đó là: Tư duy cụ thể, tư duy trừu tượng, tư duy trực giác, tư duy hàm.

Tư duy trừu tượng liên quan chặt chẽ tới cách suy luận. Đây là loại tư duy biết

thoát khỏi sự vật thông qua trí tưởng tượng.

Với tư duy trừu tượng, có thể chia ra thành ba loại: Tư duy phân tích, tư duy logic

và tư duy không gian.

Trong một số tài liệu, Sternberg đã nói đến ba loại trí thông minh giúp học sinh thành công trong lớp học, đó là tư duy phân tích, tư duy sáng tạo và tư duy thực hành. Trí thông minh phân tích bao gồm những kĩ năng phân tích, đánh giá, phán đoán, hoặc so sánh và đối chiếu để làm nổi bật những điểm khác nhau. Nó được dùng điển hình khi những thành phần của quá trình được áp dụng với những loại vấn đề tương đối quen thuộc, đòi hỏi sự phán đoán trừu tượng [82], [83], [84].

Theo tài liệu “Phát triển tư duy qua dạy học môn toán ở trường phổ thông” của tác

giả Chu Cẩm Thơ ([52], tr. 26): Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều loại tư duy. Thực ra,

về bản chất sinh học, tư duy chỉ có một. Sự phân chia ra các loại tư duy nhằm mục đích

hiểu sâu và vận dụng các loại tư duy đó tốt hơn. Người ta có thể phân loại tư duy như sau:

- Phân loại theo cách thể hiện: Tư duy bằng hình tượng và tư duy ngôn ngữ. - Phân loại theo cách vận hành: Tư duy kinh nghiệm, tư duy sáng tạo, tư duy phân

tích, tư duy tổng hợp.

- Phân loại theo tính chất: Tư duy rộng hay hẹp, tư duy sâu hay nông, tư duy logic,

tư duy phi logic, tư duy đơn giản hay phức tạp, tư duy lí luận.

- Phân loại theo nội dung: Tư duy khoa học, tư duy nghệ thuật, tư duy triết học, tư

duy tín ngưỡng.

Trong thực tế, khi sử dụng người ta thường phối hợp nhiều loại tư duy. Tuy nhiên,

tùy theo nghề nghiệp, theo từng tính chất công việc mà họ thiên về những loại tư duy nào

đó.

Như vậy, các tài liệu tham khảo ở trên cho thấy tư duy phân tích là loại tư duy cần

thiết trong giải quyết vấn đề, trong quá trình nhận thức, giúp SV thành công trong lớp

học.

1.2. Tư duy phân tích

1.2.1. Khái niệm phân tích

Theo Bloom (1956), phân tích là chia thông tin thành các bộ phận cấu thành của nó

để hiểu rõ về các bộ phận, mối quan hệ giữa các bộ phận, cách tổ chức các bộ phận. Sự phân tích giúp truyền tải nghĩa hoặc rút ra kết luận về thông tin. Bloom cho rằng một số

lỗi thường gặp trong phân tích là:

- Đánh giá sai bản chất của những yếu tố hoặc những mối liên hệ giữa những yếu tố; Nhầm lẫn những yếu tố cơ bản và những yếu tố phụ; Không nhìn thấy mối liên hệ giữa

những yếu tố với ý nghĩa tạo nên toàn thể.

- Phân tích không đầy đủ (bỏ lỡ một số yếu tố, những mối quan hệ mà lẽ ra phải

nhận thấy).

- Phân tích quá: Đi quá xa trong sự phân tích, bẻ vỡ nguyên liệu thành quá nhiều

chi tiết, bởi vậy thường bỏ lỡ những mối quan hệ quan trọng hơn. - Phân tích không có chất lượng, không sâu sắc [67]. Theo Sacđacốp (1970), “Phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ phận của những sự vật hoặc hiện tượng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng, cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định. Quá trình đó

nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ và sâu sắc hơn, và chính như vậy mới nhận thức

được một cách trọn vẹn các sự vật và hiện tượng” ([44], Tập 1, tr. 88).

Tác giả cho rằng nếu chỉ phân tích từng yếu tố hoặc phân tích cục bộ mà không tìm

được mối liên hệ của các yếu tố với nhau thì cũng giống như khi một số học sinh học

ngoại ngữ chỉ dịch được một từ trong một mệnh đề mà không biết nghĩa của từ khác, hoặc biết nghĩa của từng từ nhưng vẫn không hiểu được nghĩa của toàn câu. “Chỉ có nghiên

cứu phân tích toàn diện các sự vật hoặc hiện tượng theo một hướng nhất định, và xem xét các bộ phận trong một hệ thống của các mối liên hệ và các mối quan hệ nhất định vốn có

của chúng mới giúp cho học sinh hiểu biết tương đối sâu sắc, đầy đủ và toàn diện về sự

vật. Và điều đó chỉ đạt được bằng sự phân tích có hệ thống” ([44], Tập 1, tr. 93).

Việc nghiên cứu phân tích các sự vật và hiện tượng thường thực hiện được là nhờ

có so sánh, điều đó cho phép vạch ra các dấu hiệu và thuộc tính bản chất và không bản

chất, các mối liên hệ và quan hệ của một nhóm sự vật hoặc hiện tượng nhất định ([44],

Tập 1, tr. 109].

Phân tích luôn là một việc làm có mục đích, diễn biến theo một phương hướng nào

đó. Trong từng trường hợp riêng lẻ, người ta chỉ phân tích một số bộ phận với một số dấu

hiệu, thuộc tính và những mối quan hệ có ý nghĩa đối với việc nghiên cứu. Ý nghĩa tổng

hợp ban đầu của sự vật nguyên vẹn và mục đích hoạt động sẽ xác định phương hướng và

góc độ để phân tích.

Tác giả cũng lấy ví dụ thể hiện rằng trước khi phân tích, phải chú ý đến tính toàn

thể của hệ thống. Chẳng hạn, khi cho các học sinh nhỏ mô tả về một bức tranh, nếu không biết trước tên của bức tranh thì họ có thể chỉ mô tả các chi tiết một cách rời rạc, nhưng

nếu biết trước tên của bức tranh đó thì học sinh sẽ miêu tả được mối liên hệ giữa các chi tiết và làm nổi bật được nội dung thể hiện trong tranh.

Theo Marzano và cộng sự (2007), quá trình phân tích bao gồm sự nghiên cứu kiến

thức một cách chi tiết, đưa ra một kết quả, tạo ra những kết luận mới. Có năm quá trình phân tích: Kết nối (xác định các điểm tương đồng và khác biệt giữa các thành phần kiến thức); Phân loại (sắp xếp kiến thức thành những loại có ý nghĩa); Phân tích lỗi (đề cập đến tính logic, sự hợp lí hoặc tính chính xác của kiến thức), Khái quát hóa (xây dựng sự khái quát hóa từ những thông tin đã biết. Quá trình này liên quan đến sự suy luận, những suy luận này thường được xem như là việc quy nạp về bản chất); Cụ thể hóa (Là quá trình áp dụng sự khái quát hóa nguyên tắc đã biết. Quá trình cụ thể hóa có xu hướng suy diễn về bản chất) ([75], tr. 44).

Trong quyển “Tư duy logic”, tác giả Mcinerny D.Q. (2013) đã cho rằng phân tích

chỉ có hiệu quả nếu được hoàn thiện bằng sự tổng hợp. Sự phân loại đúng là điều quan

trọng trong phân tích ([35], tr. 168).

Theo tài liệu “Phát triển tư duy qua dạy học môn toán ở trường phổ thông” ([52],

tr. 28) của tác giả Chu Cẩm Thơ (2015): “Phân tích là sự chia nhỏ sự vật, sự việc, vấn đề,

sự kiện,…gọi chung là các đối tượng thành các thành phần để xem xét, đánh giá về các mặt cấu trúc, tổ chức, mối liên hệ giữa các thành phần, vai trò và ảnh hưởng của từng

thành phần trong các đối tượng và trên cơ sở các phân tích, đánh giá đó xác định mối quan hệ và ảnh hưởng của đối tượng được phân tích tới các đối tượng khác”.

Trong hoạt động giải toán, phân tích là nêu rõ giả thiết và kết luận để tìm mối liên

hệ giữa chúng; có thể tách ra từng yếu tố của bài toán, tìm hiểu các yếu tố và mối liên hệ

giữa chúng; có thể phân chia bài toán thành từng trường hợp riêng lẻ, chia bài toán thành

nhiều bài toán bộ phận mà cách giải quyết chúng đơn giản hơn, rồi đưa bài toán về dạng

quen thuộc đã biết cách giải ([52], tr. 20).

1.2.2. Khái niệm tư duy phân tích

Theo Sacđacốp (1970), phân tích và tổng hợp là hai mặt của một quá trình tư duy

thống nhất. “Ở một số học sinh, sự phân tích chiếm ưu thế trong hoạt động tư duy phân

tích- tổng hợp thống nhất, điều đó thể hiện ở chỗ các em mô tả và tường thuật tỉ mỉ, tách

bạch các chi tiết. Đó là kiểu tư duy phân tích. Ở học sinh thuộc loại này, óc phân tích mô

tả được hình thành và phát triển mạnh” ([44], tr. 106).

Theo tài liệu “Phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông” (методика

преподавания математики в средней школе) ([90], tr. 120), Koliagin (1980) và các tác giả khác cho rằng: Trong lĩnh vực tư duy toán học, tư duy phân tích là thành tố của tư duy

trừu tượng, được đặc trưng bởi tính rõ ràng của các bước riêng biệt trong nhận thức, nhận thức đầy đủ cả về nội dung lẫn các phép toán được sử dụng. Tư duy này được biểu hiện trong quá trình dạy học thông qua:

- Khả năng phân tích chứng minh các định lý và giải các bài toán (Để nhận biết,

cần biết).

- Giải bài toán bằng cách lập phương trình. - Nghiên cứu kết quả lời giải bài toán nào đó… Theo tài liệu “Analytical thinking” của tác giả Ayman Amer (2005) ([63], tr. 1): Tư duy phân tích là một công cụ tư duy mạnh để hiểu những phần của tình hình. Nó được định nghĩa như là:

- Khả năng để nghiên cứu kĩ lưỡng, bẻ vỡ những sự việc và những suy nghĩ thành

những mặt mạnh và mặt yếu của chúng.

- Sự phát triển khả năng để suy nghĩ một cách sâu sắc, rõ ràng, để giải quyết vấn

đề, phân tích dữ liệu, nhớ lại và sử dụng thông tin.

Tư duy phân tích không thể hiện độc lập với các dạng tư duy trừu tượng khác; ở

các bước riêng biệt của tư duy nó chỉ có thể nổi trội hơn dạng này hay dạng khác khi xảy

ra đồng thời với các dạng đó. Dạng tư duy này liên hệ mật thiết với thao tác phân tích của tư duy.

Trong cuốn sách “Competence - based learning” ([79], tr. 68), Aurelio Villa Sáncher (2008) và các cộng sự cho rằng: TDPT là hoạt động trí tuệ giúp phân biệt và tách

rời những phần của một tổng thể để đạt đến những vấn đề bản chất, cốt lõi của nó. TDPT

là tư duy một cách chi tiết, chính xác, biết sắp xếp và phân biệt. Sự thành thạo của năng

lực tư duy này có liên hệ chặt chẽ với sự suy ngẫm, nhận xét, lập luận logic, khả năng

quan sát, có tầm nhìn toàn diện, khả năng khái quát hóa, lập kế hoạch, khả năng giải quyết

vấn đề, những kĩ năng giao tiếp bằng lời nói và văn bản,…

TDPT dựa trên một cách tiếp cận có phương pháp, nhờ đó chúng ta chia tình hình

phức tạp thành những bộ phận cấu thành của chúng để nghiên cứu. Quá trình này làm nổi

bật mối quan hệ qua lại giữa những yếu tố, phân loại chúng để hiểu tình hình, trình bày

một cách rõ ràng và có thứ tự, tạo điều kiện thuận lợi cho sự phán đoán, ra quyết định

hoặc giải quyết vấn đề.

Theo tài liệu “Phát triển tư duy qua dạy học môn toán ở trường phổ thông” ([52],

tr. 28) của tác giả Chu Cẩm Thơ (2015): TDPT là tư duy về một đối tượng, các thành

phần tham gia vào đối tượng, các mối liên kết, quan hệ giữa các đối tượng, xác định các đặc điểm, tính chất, đặc trưng, vai trò của đối tượng trong mối quan hệ với các đối tượng

khác (gọi chung là các yếu tố). Với việc xác định các yếu tố của mỗi đối tượng, TDPT mang tính tư duy theo chiều sâu. Mức độ sâu sắc của tư duy được đánh giá qua số lượng các yếu tố mà TDPT tìm được.

Từ việc tham khảo một số tài liệu ở trên, chúng tôi thấy điểm chung trong các quan niệm về TDPT là: TDPT có liên quan mật thiết đến sự phân tích, sự tìm hiểu vấn đề một cách chi tiết, rõ ràng, kĩ lưỡng và sâu sắc. Ngoài ra, sự phán đoán, suy luận là cần thiết đối với quá trình tư duy. Đặc biệt, sự phân tích đòi hỏi cao hơn sự hiểu ở khả năng tự rút ra những ý tưởng, những kết luận. Hơn nữa, khi phân tích với mục đích tìm những lỗi, những ưu, nhược điểm và tự rút ra kết luận thì đó cũng là một sự đánh giá. Từ đó chúng tôi mạnh dạn đưa ra khái niệm về TDPT như sau:

Tư duy phân tích là kiểu tư duy tìm hiểu về đối tượng một cách rõ ràng và sâu

sắc. Quá trình tư duy diễn ra dựa trên việc xem xét các bộ phận của đối tượng và mối

liên hệ giữa chúng với nhau, với tổng thể và các yếu tố bên ngoài. Từ đó suy ngẫm,

phán đoán, rút ra những kết luận hợp lí dựa trên những căn cứ và lập luận logic.

Khái niệm trên thể hiện khác biệt giữa TDPT và thao tác phân tích của tư duy.

TDPT cần có thao tác phân tích. Ngoài ra, TDPT cũng cần sử dụng thao tác tổng hợp và

các thao tác tư duy khác (trong những tình huống phù hợp), cần phán đoán, suy luận, lập luận có căn cứ,…

Chúng tôi cho rằng khái niệm về tư TDPT như trên đã phần nào đạt được những điểm chung với quan niệm của các tác giả khác đồng thời cũng giúp SV dễ dàng hơn khi

giải toán, khi phân tích những vấn đề trong ngành kinh tế, kĩ thuật. Chẳng hạn: Theo tác

giả Bùi Xuân Phong, “Phân tích hoạt động kinh doanh là việc phân chia các hiện tượng,

các quá trình và các kết quả hoạt động kinh doanh thành nhiều bộ phận cấu thành, trên cơ

sở đó, dùng các phương pháp liên hệ, so sánh, đối chiếu và tổng hợp lại nhằm rút ra tính

quy luật và xu hướng phát triển của các hiện tượng nghiên cứu” ([41], tr. 4). Theo Lê Văn

Phùng, “Ý nghĩa của giai đoạn phân tích hệ thống: Là công việc trung tâm khi xây dựng



a b ( , ) \



a b ( , )

HTTT: đi sâu vào bản chất và chi tiết của hệ thống” ([42], tr. 67). Ví dụ 1.2: Khi đọc về định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ ,  :

f x xác định trên

f x có thể xác định hoặc

 0 x

“Cho hàm số ( ) ( ( )

x , kí hiệu:

0x ). Hàm số f được gọi là có giới hạn l khi

 , nếu với mỗi

  tồn tại

  sao cho:

lim ( ) f x  x x 0

 

x X

; 0



f x ( )

  l



" .





    x 0

không xác định tại



a b ( , ) \



a b ( , )

Sinh viên có thể suy nghĩ như sau:

f x xác định trên

 0 x

+ “hàm số ( ) ” nghĩa là f xác định với mọi

x ở bên trái 0x và bên phải 0x (đủ gần 0).x + “Với mỗi

  tồn tại

. (2)





(1)

   nghĩa là

    x

0 



  ”, như vậy số  có thể phụ thuộc số   x  0       x  

  x    x  



f x + ( )

  nghĩa là khoảng cách giữa ( )

f x và l nhỏ hơn

, như vậy nếu  rất bé thì

+ (3)

f x và l cũng rất bé, nghĩa là ( )

f x rất gần l. (4)



khoảng cách giữa ( )

  tồn tại

  ” sao cho với mọi x X mà

   thì 0

f x ( )



  , điều này chứng tỏ có thể số  không những phụ thuộc số  mà còn phụ

+ “Với mỗi

f x khi x rất gần 0x và phụ thuộc 0x (5)

thuộc hàm ( )

  dù bé như thế nào thì vẫn tồn tại khoảng

x (



x ,



)

x

f x ( )



 mà với mọi x trong khoảng này (

+ Có thể hiểu rằng với mỗi

  . Khi đó, nếu

x (



 ,





) \

f x ( )



thì

  với mọi x thuộc tập con

  x

x (

x

ta lấy một tập con của thì

x này, vậy ta chỉ cần xét x gần 0

(6)

f x khi

x kí hiệu là

 (7) .

lim ( ) f x  x x 0

+ Giới hạn của hàm số ( )

0,x ở cả hai

lim ( ) f x  x x 0

+ Kết luận: Khi xét , ta chỉ cần quan tâm đến những số x rất gần

f x rất gần l (có thể bằng l ) nếu x rất gần ( )

0,x không cần xét tại

0.x

x (

x

phía của

(8)

f x với x rất

lim ( ) f x  x x 0

x (

x

+ Việc tính giới hạn có thể giúp ta ước lượng giá trị của hàm số ( )

x gần 0

(9)

Trong quá trình phân tích định nghĩa như trên, có thể thấy:

+ Mệnh đề (1) diễn giải về một chi tiết.

+ Mệnh đề (2) thể hiện sự phán đoán về mối quan hệ.

+ Mệnh đề (3) tìm hiểu và diễn giải chi tiết về bộ phận.

+ Mệnh đề (4) diễn giải về bộ phận đồng thời có sự suy luận.

+ Mệnh đề (5) thể hiện sự phán đoán, chỉ ra mối quan hệ.

+ Mệnh đề (6) thể hiện sự suy luận, rút ra kết luận của bản thân.

+ Mệnh đề (7) chú ý đến chi tiết.

+ Mệnh đề (8) là một sự rút ra kết luận của bản thân đồng thời là tổng hợp của các mệnh đề ở trên.

+ Mệnh đề (9) có thể coi như một sự liên hệ với yếu tố bên ngoài, vì nêu lên ứng dụng của giới hạn thể hiện sự liên hệ giữa giới hạn với các vấn đề khác.

Khái niệm giới hạn hàm số là nội dung khá trừu tượng, khó hiểu đối với sinh viên, cho nên việc hiểu rõ về giới hạn là một vấn đề đối với họ, hiểu đúng được bản chất của

giới hạn nghĩa là người học đã tư duy. Trong cách suy nghĩ như trên, sinh viên cần sử

dụng các thao tác phân tích, tổng hợp, cần chia nhỏ, tìm hiểu về từng bộ phận và các mối liên hệ giữa chúng, mối liên hệ với yếu tố bên ngoài (trả lời câu hỏi giới hạn dùng để làm

gì), đã sử dụng sự phán đoán, suy luận, sự rút ra kết luận của bản thân. Như vậy có thể nói

rằng người học đã dùng tư duy phân tích để tìm hiểu định nghĩa giới hạn một cách rõ

x ,(

x

)

ràng, chi tiết và có phần sâu sắc. Tuy nhiên, đây mới chỉ là những suy nghĩ ban đầu khi f x rất gần l (có thể đọc về khái niệm giới hạn. Tiếp theo đó, từ sự hình dung các giá trị ( )

bằng l ) với x rất gần , người học sẽ phải dự đoán, chẳng hạn:

lim( x  x 2

  . Sau đó, họ phải kiểm tra lại dự đoán này bằng cách dùng định nghĩa giới

f x Từ đó, họ nghĩ

hạn, nhận ra trong ví dụ này số  phải phụ thuộc  và giá trị hàm ( ).

đến việc trả lời câu hỏi: Khi nào số  không phụ thuộc  , rồi đưa ra ví dụ minh họa,…và

phải tìm hiểu thêm các tính chất của giới hạn, khi đó sự hiểu biết của họ về giới hạn sẽ

sâu sắc hơn.

Trong dạy học khái niệm giới hạn, GV có thể đặt các câu hỏi phù hợp để SV suy

nghĩ theo hướng như trên. Chẳng hạn: Điều này có nghĩa là gì? Từ những điều này ta rút

,  có ý nghĩa gì?… GV cũng nên nhấn mạnh để SV thấy trong

ra nhận xét gì?, Các số

f x ( )

các khái niệm về giới hạn, người ta thường dùng kí hiệu  để chỉ một số dương rất bé,

l , nhằm thể hiện ( )

f x rất gần l (hoặc có thể bằng giới hạn

dùng để so sánh với

0.x Việc giải thích ý nghĩa và cách dùng các kí hiệu như vậy giúp SV

với x đủ gần

hiểu rõ hơn ngôn ngữ toán học và có thể tự đưa ra các khái niệm tương tự.

Ví dụ 1.3 (dựa theo [46], tr. 181): Nước đang chảy ra khỏi một cái thùng hình nón lật ngược với tốc độ 10000 cm3/phút, cùng lúc đó nước được bơm vào thùng với một tốc độ không đổi. Thùng nước cao 6m và đường kính tại đỉnh là 4m. Mực nước tăng lên với tốc

độ 20cm/phút khi độ cao của nước là 2m. Tìm tốc độ của nước được bơm vào thùng.

Có thể sử dụng tư duy phân tích để giải bài toán theo các bước sau:

Nhìn tổng thể (xác định hướng giải)

Khi phân tích để tìm lời giải bài toán, trước hết cần suy nghĩ đến việc phân tích

theo hướng nào. Nhận thấy bài toán nói đến tốc độ, do đó nên chú ý theo hướng gắn với

đạo hàm. Bài toán có liên quan đến thời gian, các hàm thể tích, chiều cao, bán kính, đạo

hàm và cần chỉ ra mối quan hệ giữa chúng. Vậy, quá trình TDPT có thể là như sau:

Chia bài toán thành các phần:

Thùng hình nón lật ngược.

(1) (2) Nước chảy ra: 10000 cm3/phút (3) Nước bơm vào: Tốc độ không đổi, chưa biết.

(4) Thùng cao 6m, đường kính đỉnh: 4m

(5) Mực nước tăng lên với tốc độ 20cm/phút khi độ cao của nước là 2m.

(6) Tìm tốc độ của nước bơm vào thùng.

Tìm hiểu từng phần và mối liên hệ giữa chúng, suy luận, rút ra kết luận:

+ Từ (1) và (4), ta có:

3 (cm /

Từ (3) và (6): Giả sử tốc độ nước bơm vào thùng là phút).

V V t

( ).

+ Tốc độ nước bơm vào thùng liên quan đến tốc độ thay đổi của thể tích nước trong

thùng. Gọi thể tích nước trong thùng tại thời điểm t là Kết hợp với (2), suy ra

   ( ) V t

10000

tốc độ thay đổi của tích nước trong thùng tại thời điểm t là:

thể (cm3/phút).

+ Tốc độ thay đổi của thể tích nước trong thùng liên quan đến tốc độ thay đổi của mực nước trong thùng.

h t

( ).

+ Từ (5): Mực nước cũng chính là độ cao của nước. Gọi mực nước trong thùng tại thời

h t 

200.

điểm t là

( )

“Mực nước tăng lên với tốc độ 20cm/phút khi độ cao của nước là 2m” có nghĩa là h t  tại t mà ( )

( )V t qua ( )h t

( )V t  Biểu thị

( )V t

h t  Biểu thị

( )

h t

 Biểu thị ( )r t qua ( ).

V t ( )

r t h t

( ). ( ).

Tìm x  Tìm qua

1  3



r t ( )



h t ( )



Ta có:

r t ( ) 2

h t ( ) 6

1 3

V t ( )



3  h t . ( )



 ( ) V t



 . h t h t

 ( ). ( ).

1 27

1 9



10000





.200.200.20

Áp dụng định lí Talet: .



200,

h t ( )



20,

1 9

.200.200.20



10000



289253.

1  9

ta có: . Suy ra Thay ( ) h t

Vậy tốc độ nước bơm vào thùng là khoảng 289253 cm3/phút. Nhận xét sau khi giải bài toán:

x

f x tại điểm ( )

f x tại

Kiến thức quan trọng đã áp dụng khi giải bài toán này là: Đạo hàm của hàm số

0x biểu thị tốc độ thay đổi của hàm số ( )

Đối với các bài

toán liên quan đến tốc độ biến thiên của hàm số, trước tiên nên nghĩ đến việc sử dụng đạo

hàm và lập hàm số phù hợp.

Ở bài toán trên, TDPT của SV được thể hiện qua các hoạt động: nhìn tổng thể, chia

nhỏ và tìm hiểu từng phần, tìm các mối quan hệ, rút ra kết luận để giải quyết vấn đề, suy

nghĩ sâu bài toán.

Phân tích để giải một bài toán là việc học sinh vẫn thường làm ở các cấp học phổ

thông, cũng thường được các giáo viên nhắc đến khi gợi ý về một lời giải. Tuy nhiên, cách suy nghĩ này đối với mỗi SV cần được thể hiện một cách độc lập, rõ ràng, mạch lạc hơn, có phương pháp hơn. Việc vận dụng tư duy phân tích sẽ giúp SV thực hiện các hoạt

động phân tích tốt hơn.

1.2.3. Đặc điểm của tư duy phân tích

Từ khái niệm về tư duy phân tích ở trên và dựa theo các tài liệu tham khảo, có thể

thấy rằng tư duy phân tích có một số đặc điểm cơ bản sau: - Nghiêng về phân tích khi tiếp cận đối tượng. - Thường xuyên đặt và trả lời các câu hỏi, đặc biệt là các câu hỏi chia nhỏ vấn đề,

giải thích, suy luận.

Việc đặt câu hỏi là một phần trong quá trình tư duy ([52], tr. 18). Theo Richard Paul, Linda Elder (2015): “Những câu hỏi sẽ xác định những nhiệm vụ, trình bày những vấn đề và vạch ra những vấn đề cần tranh cãi. Chúng thúc đẩy tư duy hướng về phía trước” ([38], tr. 13). “Đặt ra những câu hỏi bản chất mang tính phân tích là điều then chốt nhất trong tư tưởng” ([49], tr.17).

Edward B.Burger, Michael Starbird (2014) cho rằng: Câu hỏi sẽ giúp kích thích tư

duy. “Luôn luôn tư duy, và đặt ra câu hỏi là một thói quen rất tốt giúp bạn hiểu sâu, có

trải nghiệm tốt hơn về những vấn đề xung quanh mình” ([7], tr. 101).

- Xem xét đối tượng một cách rõ ràng và sâu sắc: SV xem xét kĩ vấn đề, nhận ra

những sai lầm; nhìn nhận vấn đề theo nhiều cách khác nhau; có thể nêu các nhận xét, chú

ý; tự đưa thêm các mệnh đề; có thể suy nghĩ sâu bài toán; hoàn chỉnh, bổ sung, mở rộng

hay liên hệ với vấn đề khác; suy luận bắc cầu theo nhiều bước; không thỏa mãn với những

câu trả lời đại khái mà đi tìm lời giải thích sâu sắc hơn. Có thể tìm được nhiều vấn đề, nhiều mối quan hệ có liên quan đến một yếu tố đang xem xét ([14], tr. 18), ([29], tr. 306),

([52], tr. 28).

- Sử dụng các thao tác tư duy, sử dụng sự phán đoán, suy luận. Trong quá trình tư

duy, người ta phải thực hiện các thao tác tư duy, phải phán đoán, suy luận. Đối với tư duy

phân tích, bắt buộc phải có thao tác phân tích, phân tích lại đi kèm tổng hợp. Sự so sánh

cũng đòi hỏi xem xét từng chi tiết. So sánh làm nổi bật sự giống nhau và khác nhau giữa

hai đối tượng do đó sẽ giúp hiểu đối tượng rõ hơn. Sự phân loại cũng là một hình thức

chia nhỏ dựa vào thuộc tính. Việc sắp xếp phải dựa vào sự giống và khác nhau, dựa vào

các mối liên hệ logic. Phân loại và sắp xếp cũng giúp nhìn nhận đối tượng một cách rõ

ràng hơn. Các thao tác tương tự hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa giúp cho quá trình phán

đoán, đưa ra những suy luận quy nạp, suy diễn.

- Phương pháp tiếp cận vấn đề dựa trên những thông tin, bằng chứng và logic [69].

- Thường sử dụng một số công cụ phân tích, chẳng hạn: đề cương, bảng biểu, đồ

thị, bản đồ tư duy, bản đồ khái niệm,…[79].

Nhiều tác giả như Tony Buzan, Ayman Amer, Polya, Stewart, Aurelio Villa Sánchez, Manuel Poblete Ruiz, Phan Dũng, Trần Đình Châu, Đặng Thị Thu Thủy, Chu Cẩm Thơ,...đã cho rằng những sơ đồ, đồ thị có ưu điểm: ngắn gọn, rõ ràng, giúp nhìn tổng

thể và chi tiết, làm nổi bật yếu tố cốt lõi, giúp phân loại, giúp tìm kiếm mối liên hệ, hỗ trợ suy luận, tìm giải pháp [8], [9], [43], [46], [79],…

Darren Bridger và David Lewis (2012) ([6], tr. 42) cũng cho rằng khi phân tích để

lựa chọn các giải pháp, có thể sử dụng sơ đồ cây dạng:

hoặc

Hình 1.2: Sơ đồ cây thường dùng khi phân tích

Tony Buzan (2016) cho rằng: “Trong khi phân tích, bạn chia nhỏ vấn đề và điều đó

thường có nghĩa là bạn không nhìn thấy được tương quan giữa các thành phần, vì vậy mức

độ hiểu của bạn giảm đi. Khi việc này xảy ra, bạn có nguy cơ phân tích quá mức và bị rối

trí. Với sơ đồ tư duy, bạn có thể thấy “toàn cảnh” theo cách trực quan cùng tất cả các sự kiện và chi tiết nhỏ hơn- tầm nhìn của bạn không còn bị bó hẹp và bạn kiểm soát hoàn

toàn tình huống”. “Ngoài ra, điều thường xuyên thu hút sự chú ý của bạn là cốt lõi của vấn

đề (tâm của sơ đồ), nhờ vậy bạn giữ được tâm thế khách quan và tập trung khi lựa chọn

giải pháp” ([8], tr. 91), ([70], tr. 82).

“Hình vẽ là đối tượng nghiên cứu trong các bài toán hình. Tuy nhiên, chúng cũng

giúp đắc lực trong việc giải những bài toán rất khác nhau mà thoạt xem chẳng có gì là

hình học cả” ([43], tr.83). “Chúng ta có thể tưởng tượng ra hình vẽ đó trong óc hoặc vẽ ra

giấy. Trong một số trường hợp chỉ nên tưởng tượng trong óc mà không nên vẽ ra giấy.

Tuy nhiên nếu chúng ta còn phải lần lượt xem những chi tiết khác nhau thì nên vẽ hình.

Nếu có nhiều chi tiết, mà ta không thể hình dung tất cả cùng một lúc, thì khi đó trên giấy

chúng sẽ hiện ra đồng thời. Cái chi tiết mà ta nhớ lại trong óc có thể bị quên mất nhưng

cũng chi tiết đó khi được vẽ trên giấy thì giữ được mãi và bất cứ khi nào ta cũng có thể trở lại nó” ([43], tr. 83).

“Trong tất cả các giai đoạn của quá trình suy nghĩ, ở đâu có thể mã hóa được ý nghĩ, các câu nói, lời phát biểu…thành hình vẽ thì người giải bài toán cần thực hiện điều đó và suy nghĩ tiếp tục bằng chính những hình vẽ được tạo ra”. Hình vẽ nói ở đây có thể là biểu đồ, đồ thị các loại, sơ đồ nguyên lí, sơ đồ khối, các hình vẽ mang tính chất tượng trưng,…([12], tr. 141).

,a b  

  ”, SV có thể nghĩ đến một số 

Ví dụ 1.4: Với thông tin “hàm số f liên tục trên đoạn

]a b .



f x (

)

a b ( , )

ý sau: + f xác định trên [ ,

  x 0

f x lim ( )  x x 0



f a ( )

+ với (hàm f liên tục trong khoảng ( , )a b ).



f b ( )

(hàm f liên tục bên phải tại a ).

)



f x (

a b [ ,

(hàm f liên tục bên trái tại b ). + lim ( ) f x  a + lim ( ) f x  b

 thì 0 x 0

a b   , 

  và 

lim ( f x  n

nếu

+Với mọi dãy   x lim n nx  n + Đồ thị của f là đường liền nét khi biến x chạy trong đoạn [ , ]a b .

a b f đạt GTLN, GTNN trên [ , ]a b .

+ f bị chặn trên [ , ],

f a và ( )

f b . Từ đó nếu ( ). ( )

f a f b  thì tồn tại 0

a b ( , )

+ f nhận mọi giá trị trung gian giữa ( )

f a f b  thì tồn tại 0

f c  .

f c  Nếu ( ). ( )

a b   , 

  sao cho ( ) 

sao cho ( )

(Tính chất này thường dùng để chứng minh một đẳng thức hay chứng minh một phương trình nào đó có nghiệm).



g x f x g x ( ), ( ). ( )

,a b  

 f x  thì ( )  a b [ , ]

a b : [ , ]

+ Nếu có hàm ( )g x liên tục trên cũng liên tục trên

  .  c .

,a b    f c  sao cho ( ) 

a b   , 

f x ( )

  x Điều này được chứng minh bằng cách xét ( )

 Hàm ( )x cũng liên tục trên



  .

 b  và thỏa mãn điều kiện ( ). ( ) 

 a f a và , ( )

,a b   Có thể nhận biết kết quả này dựa vào tính chất hình học như sau: Điểm    b f b ở hai bên đường chéo hình vuông, trong khi đó đồ thị hàm số liên tục f là đường , ( )

Nói riêng, nếu hàm số liên tục thì tồn tại

c .

a b   , 

 f c  sao cho ( ) 

x

a b : [ , ]

a b [ , ]

liền nét do đó cắt đường chéo, nghĩa là tồn tại

Hình 1.3: Ví dụ về đồ thị hàm số liên tục

Ví dụ trên thể hiện đặc điểm “nghiêng về phân tích khi tiếp cận đối tượng” của tư duy phân tích. Khi học xong nội dung bài mới hay ôn lại bài cũ, SV nên diễn giải và đưa

thêm những suy luận của bản thân. Điều đó sẽ giúp cho việc áp dụng giải quyết nhiều vấn

đề có thể gặp sau này, cũng giống như việc ngẫm nghĩ sau mỗi tình huống, để tạo thêm

nhiều bài học kinh nghiệm. Tuy nhiên, trong trường hợp giải bài toán cụ thể, không nên đi

sâu vào liệt kê quá nhiều yếu tố, phải có cái nhìn bao quát rồi chọn hướng suy nghĩ phù

hợp với yêu cầu bài ra để phân tích.

1.2.4. Mối quan hệ giữa tư duy phân tích với một số loại tư duy khác và với khả

năng giải quyết vấn đề

TDPT có mối liên hệ chặt chẽ với nhiều loại tư duy khác và với khả năng giải

quyết vấn đề.

- TDPT có liên quan đến tư duy phê phán, vì muốn đánh giá thì trước hết cần phân

tích để hiểu vấn đề một cách sâu sắc. Ngoài ra, hai loại tư duy này thường áp dụng một số

cách suy nghĩ gần giống nhau, chẳng hạn: cần đặt câu hỏi, tìm kiếm sự rõ ràng,…

- TDPT cần thiết trong quá trình sáng tạo. Tư duy sáng tạo với sự tưởng tượng có

thể tạo ra nhiều ý tưởng, khi đó cần phân tích để lựa chọn những ý tưởng hay nhất. Ngược

lại, sự phân tích vấn đề một cách sâu sắc cũng giúp nảy sinh những ý tưởng sáng tạo.

Chẳng hạn, tác giả Polya đã lấy một ví dụ về suy nghĩ phân tích như sau: Một người

muốn đi qua dòng suối, anh ta nghĩ: phải làm thế nào? Phải có một cái cây đổ để bắc qua,

nhưng không có cây đổ, phải làm gì? Phải chặt cây, cần dụng cụ nào để chặt cây và phải

tác dụng vào cây như thế nào để cây đổ đúng ngang qua suối? Những suy nghĩ phân tích

như vậy có thể giúp anh ta trong quá trình sáng chế ra một cái rìu hay một chiếc cầu ([43],

tr.107).

- TDPT cần đưa ra những kết luận hợp lí dựa trên những căn cứ và lập luận logic.

Vậy TDPT có liên quan với tư duy logic.

- TDPT gần như đối ngược với tư duy trực giác. Trong thực tế, nếu trước bất kì tình huống nào, người học cũng áp dụng ngay những suy nghĩ phân tích thì có thể sẽ không đạt hiệu quả cao (mất nhiều thời gian và có thể bế tắc). Trong bài viết “Đảm bảo sự

0,01

cân đối giữa tư duy trực giác và TDPT cho học sinh trong dạy học toán” ([48], tr. 46-49), các tác giả Đào Tam, Võ Xuân Mai (2016) cho rằng trong quá trình tư duy cần kết hợp giữa TDPT và tư duy trực giác, hai loại tư duy này là các thành phần của tư duy toán học, chúng có thể bổ sung cho nhau khi giải quyết vấn đề. Tư duy trực giác giúp học sinh đưa ra các phán đoán cho vấn đề, định hướng cách giải quyết vấn đề, tạo ra những cách giải quyết không rập khuôn, máy móc, còn TDPT sẽ giúp kiểm chứng phán đoán dựa vào các lập luận logic, giúp hạn chế được những sai lầm có thể xảy ra do trực giác.

e 0, 99

f x (

   x

)

f x (

)



 ( f x

Ví dụ 1.5: Dùng vi phân để tính gần đúng giá trị .

 ) x

)

x  (thường là số nguyên, chọn sao cho dễ tính

Phân tích: Áp dụng công thức tính gần đúng

f x 0(

x  (thỏa mãn điều kiện

x khá bé).

x 

0, 01

x  , 0

0,01

x  

)

- Đoán: 0

x 

f x 0(

e 0, 99

- Cho và biểu diễn qua 0x

 x



f x (

   x

)



f x ( )



e  1 ( x

 x

)

xe 

f x ( )



xe 

2 3



x e )

( 1)



 ( ) f x



e 

x   e 2 )



x e ) 2 )

 1     3 1  

       

 1     3 1  

f x (

   x

)

f x (

)



         f x (

Trình bày lời giải (Tổng hợp): Xét hàm số

x  và 0

(1 x   với 0 )

0,01



(0)



f 

(0).0, 01

  1

.0, 01



1, 0067.

x 

0, 01

Áp dụng công thức tính gần đúng

e 0, 99

2 3

0,01

ta có:

f x khác dựa trên việc nhìn

e 0, 99

    x

0, 01.

Nhận xét: Có thể xác định một số hàm ( ) theo các

x cách khác nhau. Chẳng hạn, lấy 0

)

0,01

  1 (1 0,01)

 1 x

  x x 1 ( 0

f x (

   x

)





f x ( )



e 0, 99

e 1



0, 01

  x

e x

Ta có:

f x ( )



Cách suy nghĩ ở trên có thể áp dụng cho nhiều bài tính gần đúng phức tạp hơn. Ở

xe 

đây cũng có thể không cần phân tích mà dùng trực giác, đoán ngay sau đó

thử lại. Tuy nhiên, khả năng trực giác liên quan đến việc thường xuyên thực hành, quen thuộc với nhiều tình huống trước đó. Ví dụ trên được đưa ra khi SV học về hàm một biến. GV cũng có thể dùng bài tập này khi dạy về vi phân toàn phần của hàm hai biến, sau đó đề nghị SV kiểm tra lại kết quả bằng các cách: áp dụng vi phân của hàm một biến, sử

dụng máy tính.

- TDPT có liên quan với tư duy tổng hợp: TDPT cần dùng thao tác phân tích. Thao

tác phân tích luôn đi cùng thao tác tổng hợp. Trước khi phân tích phải nhìn toàn thể để

xác định sẽ phân tích theo hướng nào. Sau khi tìm hiểu các bộ phận thì cần liên kết, tổng

hợp lại rồi đưa đến kết luận. Ngay trong quá trình phân tích cũng phải nhìn lại tổng thể để

tránh tình trạng phân tích quá xa, cần tổng hợp những kết quả phân tích được để tìm ra

yếu tố mới, rồi tiếp tục phân tích dựa trên các yếu tố đã tìm được. Những vấn đề này đã

được nhắc đến bởi nhiều tác giả như Sacđacốp ([44], tập 1, tr. 88), Polya ([43], tr. 115), Hoàng Chúng ([11], tr. 17), Nguyễn Duy Thuận ([53], tr. 9), Mcinerny ([35], tr. 168),

Richard Paul-Linda Elder ([40], tr. 30), Jonathan Herring ([20], tr. 82).

Tác giả Hoàng Chúng (2000) cũng viết: “Khi giải toán, trước tiên phải nhìn bao

quát một cách tổng hợp, xem bài toán thuộc loại gì, phải phân tích cái đã cho và cái phải

tìm, tìm ra mối liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm,…”, “rồi tổng hợp lại để được lời

giải bài toán” ([11], tr. 17).

Ayman Amer (2005) cho rằng tư duy tổng hợp là công cụ tư duy giúp nhìn thấy

những mối quan hệ ảnh hưởng lẫn nhau. Tổng hợp không phải chỉ là đặt các bộ phận quay

trở lại cùng nhau sau khi đã phân tách chúng. Tư duy tổng hợp tìm thấy các mô hình trên

các thành phần. Khi chia đối tượng thành các bộ phận, chúng ta thường có khuynh hướng

đánh mất cái nhìn về mối liên hệ giữa chúng. Nếu không có tư duy tổng hợp, việc phân

tích sẽ làm cho vấn đề càng trở nên khó hiểu ([63], trang 4).

Không hiểu

Phân tích

Polya (2009) cho rằng khi giải toán, “nếu đi vào chi tiết thì có thể bị ngập vào đấy. Những chi tiết quá nhiều hay quá nhỏ mọn làm cản trở suy nghĩ, không cho tập trung đầy đủ vào điểm căn bản”,“trước hết phải hiểu bài toán như một cái toàn bộ. Khi đã hiểu rõ, thì ta dễ có điều kiện hơn để xét xem những chi tiết nào là căn bản”. “khi bài toán được hiểu trên toàn bộ, khi ta đã tìm được mục đích, ý chủ đạo thì phải đi vào chi tiết”. “Trong hầu hết trường hợp, nên bắt đầu bằng các yếu tố chính: ẩn số, các dữ kiện, điều kiện,…và

sử dụng những câu hỏi” ([43], tr. 115,116).

Mcinerny (2013) cho rằng “Phân tích chỉ có hiệu quả nếu nó được hoàn thiện bằng

sự tổng hợp. Tháo rời các sự vật ra là không đủ, chúng ta phải lắp đặt nó trở lại” ([35], tr.

168).

Ben Johnson (2013) cho rằng nhiều giáo viên chia nhỏ một vấn đề để phân tích

nhưng lại quên đặt nó quay trở lại cùng nhau, như vậy việc phân tích trở nên không có tác

dụng đối với người học [73].

- Việc sử dụng TDPT là cần thiết trong quá trình giải quyết vấn đề. Điều đó được thể hiện một phần trong việc giải bài toán theo các bước của Polya ([29], tr. 305), qua bảng so sánh sau:

Tư duy phân tích

Phương pháp chung để giải toán Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài + Phát biểu đề bài dưới những dạng + Xem xét đối tượng một cách rõ ràng

thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài

toán. + Sử dụng thao tác phân tích (Chia bài + Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, toán thành hai phần…) phải chứng minh. + Sử dụng các sơ đồ, hình vẽ, viết tóm tắt. + Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình

vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.

Bước 2: Tìm cách giải -Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những + Đặt và trả lời các câu hỏi giải thích:

suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với (Điều này có nghĩa là gì? Điều này còn được hiểu như thế nào?...) +Tìm các mối liên hệ, so sánh: (Liên hệ với tri thức đã biết, liên hệ với bài toán tương tự, liên hệ với các phương pháp giải bài toán). + Phán đoán, suy luận: (Từ điều này suy ra những điều gì? Để chứng minh hay tìm kiếm cái này thì cần những điều gì?...) (có

những dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học,… thể phải chia thành nhiều ý nhỏ và có sự suy luận từ các ý nhỏ rồi tổng hợp lại).

- Kiểm tra lại lời giải bằng cách xem kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa - Xem xét vấn đề một cách sâu sắc, phát hiện sai lầm (nếu có) và sửa chữa. Sử dụng

kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả các thao tác đặc biệt hóa, so sánh.

với một số tri thức có liên quan.

- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh - Nhìn nhận vấn đề theo một số hướng,

chúng để chọn được cách giải hợp lí phân tích theo một số hướng, so sánh và

nhất. lựa chọn.

Bước 3: Trình bày lời giải -Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một -Tổng hợp, suy nghĩ và trình bày rõ ràng, logic.

chương trình gồm các bước theo một

trình tự thích hợp và thực hiện các bước

đó.

Suy nghĩ sâu sắc:

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải -Nghiên cứu khả năng áp dụng kết quả Tự rút ra những kết luận hay nhận xét dựa

của lời giải. trên sự tương tự, cụ thể hóa, mở rộng, lật

- Nghiên cứu giải những bài toán tương ngược vấn đề…

tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.

Bảng 1.1: Mối liên hệ giữa TDPT và việc giải bài toán theo 4 bước của Polya

Có thể chỉ ra mối liên hệ tương tự giữa TDPT với khả năng phát hiện và giải quyết

vấn đề. Theo tác giả Nguyễn Bá Kim (2015), quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề gồm

4 bước: Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề; Bước 2: Tìm giải pháp; Bước 3: Trình

bày giải pháp; Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp. Trong bước 1, cần giải thích chính xác về vấn đề, có thể chia nhỏ vấn đề. Ở bước 2, cần tìm mối liên hệ với kiến thức đã biết hoặc bài toán đã biết, suy xuôi, suy ngược, kiểm tra giải pháp, tìm tòi giải pháp khác và so sánh, lựa chọn. Bước 3 cần tổng hợp. Bước 4 cần suy nghĩ sâu ([29], tr. 137-139). Như vậy, trong mỗi bước giải quyết vấn đề như trên đều cần đến những yếu tố của tư duy phân

tích.

1.3. Đặc điểm Toán cao cấp

Toán cao cấp ở các trường đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật nói chung gồm Giải tích và Đại số tuyến tính. Tùy theo từng ngành học, từng thời kì mà mỗi trường sẽ điều chỉnh nội dung chi tiết cho phù hợp. Các học phần TCC thường được giảng dạy cho SV năm thứ nhất. Với môn Giải tích, tại Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, SV khối ngành kĩ thuật học Giải tích 1 và Giải tích 2, SV khối ngành kinh tế học Toán cao cấp 1, gồm một số nội dung chính sau:

- Giải tích 1 (45 tiết): Chương 1: Tập số và giới hạn của dãy số: Tập số thực và tập số phức; Dãy số và giới hạn của dãy số. Chương 2: Phép tính vi phân của hàm số một

biến số: Hàm số, giới hạn hàm số, hàm số liên tục, đạo hàm, vi phân, đạo hàm và vi phân

cấp cao, các định lý giá trị trung bình, ứng dụng của đạo hàm. Chương 3: Phép tính tích

phân: Tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng. Chương 4: Lí thuyết

chuỗi: Chuỗi số, chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, chuỗi Fourier.

- Giải tích 2 (45 tiết): Chương 1: Phép tính vi phân của hàm nhiều biến: Không

n, khoảng cách, lân cận, miền; Giới hạn và sự liên tục của hàm nhiều biến; Đạo

gian

hàm riêng và vi phân toàn phần; Cực trị và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số nhiều biến; Lí thuyết trường. Chương 2: Tích phân bội: Tích phân phụ thuộc tham số;

Tích phân bội hai, tích phân bội ba, ứng dụng của tích phân bội. Chương 3: Tích phân

đường và tích phân mặt: Tích phân đường loại một, tích phân đường loại hai, tích phân

mặt loại một, tích phân mặt loại hai. Chương 4: Phương trình và hệ phương trình vi phân:

Khái niệm chung về phương trình vi phân, Phương trình vi phân cấp một, Phương trình vi

phân cấp hai, Hệ phương trình vi phân.

- Toán cao cấp 1 (30 tiết): Chương 1: Hàm số và giới hạn: Dãy số thực, Các khái niệm cơ bản về hàm số, Giới hạn hàm số, Hàm số liên tục. Chương 2: Đạo hàm và vi

phân: Đạo hàm và vi phân của hàm số, Các định lí giá trị trung bình, Đạo hàm và vi phân

cấp cao, Công thức Taylor, công thức Maclaurin, Một số ứng dụng của đạo hàm. Chương

3: Phép tính tích phân: Nguyên hàm và tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân

n, khoảng

suy rộng. Chương 4: Hàm số nhiều biến số: Các khái niệm cơ bản (Tập hợp

cách, lân cận, tập đóng, tập mở, tập bị chặn, định nghĩa hàm nhiều biến, đồ thị hàm hai biến, giới hạn, sự liên tục của hàm nhiều biến), đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, cực trị. Chương 5: Phương trình vi phân: Khái niệm chung về phương trình vi phân, Phương

trình vi phân cấp một, Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai.

Quá trình dạy học TCC không quá đi sâu vào chứng minh các vấn đề toán học mà chú trọng việc tạo kiến thức nền tảng để SV học các môn chuyên ngành và có thể áp dụng một phần những kiến thức đó khi làm việc sau này. Mặc dù trong nội dung học, một số định lí không được chứng minh, tuy nhiên SV vẫn cần phải hiểu rõ về các khái niệm, định lí và ý nghĩa ứng dụng của chúng trong thực tế. Do đó, không thể dạy TCC theo kiểu “sách dạy nấu ăn” như Polya đã đề cập đến ([43], tr. 131). Cần cho SV thấy sự logic, mối liên hệ giữa các yếu tố, khi đó kiến thức không bị rời rạc, sẽ trở nên dễ nhớ hơn, đồng thời SV cũng được phát triển tư duy và nâng cao khả năng tự học.

TCC trừu tượng hơn so với toán ở phổ thông. Nội dung kiến thức trong chương trình mang tính hệ thống, phong phú và sâu sắc. SV phải tiếp thu nhiều nội dung kiến

thức trong một giờ học, phải hiểu bản chất, tư duy độc lập và tự học nhiều hơn so với khi

học toán ở phổ thông.

Giải tích là môn học nghiên cứu nhiều về các đại lượng vô cùng bé biến thiên liên

tục. Giải tích được coi là nền tảng của khoa học hiện đại vì cho chúng ta công cụ để

nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực về sinh học, vật lý, hóa học, kỹ thuật,…liên quan đến các

đại lượng đang phát triển hoặc thu hẹp hoặc chuyển động – nói cách khác, chúng đang

thay đổi.

Giải tích gồm hai chủ đề chính là phép tính vi phân và tích phân. Phép tính vi phân liên quan đến tốc độ thay đổi. Phép tính tích phân liên quan đến phép lấy tổng vô hạn các

đại lượng vô cùng bé. Một phương pháp được sử dụng thường xuyên trong việc giải quyết

một số bài toán và hình thành khái niệm là xem xét hàm số trên từng khoảng nhỏ và coi

như hàm số không đổi trên những khoảng đó, (chẳng hạn với bài toán tìm vận tốc tức

thời, tính diện tích, tính công, các khái niệm đạo hàm, tích phân xác định, tích phân bội,

tích phân đường…). Phương pháp suy nghĩ này cũng chính là một khía cạnh của tư duy

phân tích. Có một số khái niệm trừu tượng, khó hiểu đối với sinh viên (định nghĩa giới

hạn dãy số, giới hạn hàm số, tích phân, sự hội tụ của chuỗi số…), nếu được phân tích chi

tiết thì sinh viên sẽ dễ hiểu hơn.. Có những dạng toán mà cách giải sẽ rất rõ ràng nếu được

phân tích (chẳng hạn: bài toán tính gần đúng, bài toán tìm giới hạn bằng tích phân, bài

toán xét sự hội tụ của chuỗi số…). Nhiều bài toán thể hiện sự liên quan giữa các yếu tố,





f x dx ( )

mối quan hệ của các nội dung trong môn học (chẳng hạn, sự liên quan giữa tích phân suy

u n

 khi xét sự hội tụ).



 1

rộng với chuỗi số dương

Nhiều tình huống trong dạy học Toán cao cấp phù hợp để rèn luyện khả năng lập

luận logic, suy luận, thể hiện suy nghĩ rõ ràng, cẩn thận, sâu sắc.



Lập luận logic: Khi chú ý về điều kiện cần và đủ, chẳng hạn: Với các mệnh đề: “Phần tử lớn nhất của một tập hợp là cận trên đúng của tập đó”, “hàm khả vi thì liên tục”; “hàm số liên tục trên một đoạn thì có nguyên hàm trên đoạn đó”, “điểm cực trị

 ”, SV

u n

 hội tụ thì lim



 1

của hàm số (nếu có) phải là điểm tới hạn”, “chuỗi

xem xét về những mệnh đề ngược lại và tìm các ví dụ, phản ví dụ. Áp dụng cách viết về mệnh đề phủ định, SV có thể tự đưa ra những khái niệm, chẳng hạn: “hàm số không đạt

cực trị tại 0x nếu…”,...

Suy luận: Có nhiều bài tập cần suy luận theo nhiều bước, suy xuôi, suy ngược.

Sự rõ ràng: Một số nội dung khó hiểu sẽ thích hợp để SV tìm hiểu rõ hơn, chẳng

khi



f x ( )

hạn: chỉ rõ một phần tử là cận trên đúng vì sao; Tại sao điểm cực trị là điểm tới hạn? Tại

?x Tại sao khi tính đạo hàm

khi



sin x 1

khi



f x ( )

sao hàm số liên tục tại mọi

x  và 0

  ( ) f x

cos

khi



của hàm số có thể viết được khi

f 

  Với các dạng bài tính gần đúng, tính giới hạn dãy số bằng

      sin     (1)

không được viết

f x như thế nào? Với tích phân suy

cách dùng tích phân xác định, thường xác định hàm ( )

rộng loại hai, muốn tìm cực điểm, trước tiên phải xét những điểm nào? Chuỗi cấp số nhân

bất kì với công bội q có tổng bằng bao nhiêu? Khi tính tích phân bội hai, bội ba (hoặc khi

cần đổi biến), cận của biến được xác định như thế nào?,…

Một số bài tập liên quan đến thực tế hoặc chuyên ngành: Bài tập về hàm số, điểm

gián đoạn, đạo hàm (các bài toán liên quan đến tốc độ biến thiên của hàm số, tính gần

đúng), tích phân (tính diện tích, thể tích,…), xét sự tăng giảm của hàm số, tìm cực trị,

GTLN, GTNN của hàm số,… Những bài tập như vậy đòi hỏi SV phải hiểu rõ ý nghĩa của

các khái niệm, định lí; tìm các mối liên hệ, nhìn nhận theo một số hướng, đặt các câu

f x ( )

x 0 (

a b [ ,

b y ,

a x ,







])

hỏi… Chẳng hạn, xét bài toán sau đối với SV đại học khối ngành kĩ thuật: “Bơm nước vào một bể chứa hình cầu bán kính 5m, với tốc độ 1m3/1 phút. Tính tốc độ tăng lên tức thời của chiều cao mực nước khi chiều cao mực nước là 4m”. Để giải bài toán này, SV cần sử dụng kết hợp các kiến thức về tích phân và đạo hàm. Trước tiên, SV phải tìm được thể tích phần nước trong bình ứng với chiều cao mực nước là h . Như vậy, khi học về tích phân xác định, SV cần hiểu rõ công thức tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới  hạn bởi các đường quay quanh trục Ox

f x ( )

tạo nên, và có thể vận dụng công thức này trong bước mô hình hóa khi giải bài toán thực tế, cụ thể là với tình huống trên thì SV cần trả lời các câu hỏi: Có thể đặt hình cầu vào hệ

trục nào? Trục Ox sẽ có thể thay bằng trục nào? Đường có thể thay bằng

đường nào và phương trình khi đó được viết ra sao? ,a b bằng bao nhiêu?,...

Sự sâu sắc: Nhiều tình huống trong học tập TCC đòi hỏi SV phải suy nghĩ một cách sâu sắc, phải đặt và trả lời các câu hỏi nhằm rút ra kết luận của bản thân, lật ngược vấn đề, mở rộng kiến thức. Chẳng hạn, khi trả lời các câu hỏi: Hàm số hợp gợi đến phép

biến đổi nào? Người ta tìm cực trị của hàm số như thế nào? Tại sao người ta nghĩ đến

cách này?

Nhiều dạng bài tập TCC có thể phù hợp để đưa ra nhiều cách giải, chẳng hạn: Tìm

giới hạn, tính tích phân, xét sự hội tụ của tích phân, xét sự hội tụ của chuỗi số dương, tính

đạo hàm riêng của hàm số ẩn, tính tích phân hai lớp, ba lớp, tích phân đường, mặt,…

Một số dạng bài tập tìm sai lầm và sửa chữa cũng có thể giúp SV hiểu vấn đề một

cách rõ ràng và sâu sắc hơn. Trong khi giải các bài tập Giải tích, nhiều SV thường mắc lỗi giống nhau khi chuyển các kết quả hữu hạn sang vô hạn hoặc không chú ý đến điều kiện tồn tại, điều kiện xác định, hoặc đưa ra một số ý tưởng tương tự nhưng không dựa trên cơ sở,… Chẳng hạn, nhiều SV cho rằng: Tổng của vô hạn vô cùng bé là vô cùng bé, tích của





  , 1

 thì  1



0 (

)

 

   (tại

 SV cũng mắc nhiều lỗi khi:

 1

 1

0);x

u n

 thì lim 

 ( ) f x



x .2

vô hạn vô cùng bé là vô cùng bé; Giới hạn dạng 1 bằng 1;

 f x

2

Dùng công thức đạo hàm của hàm hợp (chẳng hạn cho rằng ); Tính sai

;

f x dx ( )

đạo hàm của các hàm số ở dạng xác định từng phần; Áp dụng công thức Newton Leibnitz

f x không xác định trên



a b ,  

  

để tính trong khi hàm số ( ) Xác định sai cận của

biến khi tính tích phân hai lớp, ba lớp,…

Ngoài ra, trong dạy học TCC, có nhiều tình huống để SV thực hiện các hoạt động so

sánh, sắp xếp, phân loại, nhận dạng,…Những hoạt động này cũng có thể góp phần giúp SV dễ dàng hơn khi thu thập và sử dụng thông tin, khi định hướng cách giải quyết vấn đề. Hiện nay, hầu hết các trường đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật đều cho SV tham gia kì thi Olympic toán SV toàn quốc mà nội dung là phần Giải tích và Đại số tuyến tính.

Điều đó cũng khuyến khích nhiều SV chú ý hơn đến môn Toán cao cấp.

1.4. Một số đặc điểm của sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật

Lứa tuổi SV nói chung là ở giai đoạn sau của tuổi thanh niên và ở thời kì đầu của tuổi trưởng thành, các nét nhân cách được hình thành phức tạp. “Đặc điểm quá trình nhận thức của sinh viên khác hẳn các lứa tuổi học sinh về sự phát triển, về tính chọn lọc cao và tính độc lập sáng tạo” ([49], tr. 119). Trong nhiều trường hợp, SV có thể tự lĩnh hội kiến thức, kĩ năng dựa trên việc tham khảo tài liệu hoặc cách trình bày của GV mà không cần

sự giảng giải chi tiết.

Nhìn chung, SV năm thứ nhất thường gặp một số khó khăn sau đây: Không xác định được động cơ chọn nghề; không có kế hoạch học tập và nghỉ ngơi hợp lí; không có kĩ

xảo làm việc với các tài liệu gốc, từ điển, tài liệu chỉ dẫn; chưa có phương pháp học tập ở

bậc đại học,...

Quá trình thích ứng của mỗi SV diễn ra một cách khác nhau. Có những SV lên lớp

đầy đủ nhưng vẫn học chủ yếu theo cách ghi nhớ và không phân tích, không suy ngẫm để

tìm hiểu vấn đề một cách sâu sắc. Một số SV ban đầu có ý muốn học nghiêm túc nhưng do

chưa quen với phong cách ở đại học, không đọc tài liệu trước khi đến lớp nên không theo

kịp bài giảng, vì vậy họ thường bỏ giờ, dẫn đến việc không hiểu bài. Họ chỉ thực sự cố

gắng vào thời điểm sát kì thi, do đó không có kiến thức nền tảng vững chắc và không có

điều kiện để phát triển tư duy qua môn học. Ngoài ra, cũng có những SV học tập chăm

chỉ, có tư duy tốt và đã quan tâm tìm hiểu phương pháp học đại học, khi ra trường mặc dù

không làm đúng nghề nhưng họ vẫn rất thành công nhờ chính năng lực của mình ([17], tr.

230).

Một nghiên cứu được tiến hành ở Thụy Điển đã cho thấy “Những câu trả lời của

SV được phân ra hai loại: Sâu sắc và hời hợt. Những câu trả lời sâu sắc thường có dạng

“Tôi cố gắng tìm ý tưởng có tính nguyên tắc”, “Tôi cố gắng tìm những điểm chính của

đoạn trích”, “Tôi nghĩ về việc tác giả xây dựng ý tưởng trên cơ sở nào”. Những câu trả lời

hời hợt thường có dạng “Tôi đọc một mạch từ đầu đến cuối”…Quá trình nhận thức theo

chiều sâu giúp sinh viên nắm được ý nghĩa của bài khóa, nhận thức hời hợt chỉ dừng lại ở

bài khóa ấy” ([49], tr. 158).

Đối với SV năm thứ nhất, khi mới bước chân vào trường đại học, chưa có nhiều sự

khác biệt giữa các ngành nghề khác nhau. Tuy nhiên, nhìn chung SV đại học khối ngành

kinh tế, kĩ thuật thường có khả năng tư duy tốt hơn ở các môn khoa học tự nhiên, trong đó có TCC.

Những người làm ngành kĩ thuật cần ứng dụng kiến thức về khoa học, kinh tế, xã hội để thiết kế, sản xuất, phát triển, vận hành, sửa chữa…các sản phẩm, thiết bị, máy móc, hệ thống, công trình,…Những công việc của họ có thể tác động trực tiếp đến sức khỏe và

sự an toàn của con người. Yêu cầu nghề nghiệp đòi hỏi họ cần phải hiểu rõ ràng và sâu sắc về kiến thức để vận dụng; cần tính toán cẩn thận, chính xác; tìm hiểu và nhận ra mối liên hệ giữa các chi tiết, mối liên hệ trong hệ thống. Họ cũng cần phải xem xét, nhìn nhận vấn đề theo nhiều hướng để có thể giải quyết vấn đề sáng tạo, xác định một số phương án thiết kế phù hợp với yêu cầu của người sử dụng; hạn chế được những nhược điểm của sản phẩm,...

Với ngành kinh tế, cần tạo ra giá trị cho các sản phẩm hàng hóa, dịch vụ,…Công việc thường đòi hỏi phải tính toán nhanh, chính xác; so sánh, phân tích, phán đoán, dự báo, lập kế hoạch; báo cáo, có khả năng giao tiếp với đối tác, với khách hàng; nhìn nhận

theo một số hướng và lựa chọn phương án tối ưu;... Chẳng hạn, nếu doanh nghiệp sản

xuất một sản phẩm chất lượng rất tốt nhưng giá thành quá đắt thì có thể chưa phù hợp với

điều kiện kinh tế của khách hàng, như vậy cần nghĩ thêm phương án giảm tiêu chuẩn chất

lượng của sản phẩm nhưng vẫn đảm bảo an toàn và giá thành phù hợp với đa số người

mua.

Trước sự thay đổi mạnh mẽ của nền kinh tế xã hội, của khoa học công nghệ, những

người làm ngành kinh tế, kĩ thuật phải không ngừng tự học, tìm hiểu và sử dụng thông tin để cập nhật những công nghệ, kĩ thuật, vật liệu mới; cập nhật xu thế, giá cả, nhu cầu của

người tiêu dùng,…

Để đáp ứng yêu cầu nghề nghiệp khi ra trường, trong quá trình học đại học, SV

khối ngành kinh tế, kĩ thuật cần được rèn luyện những phẩm chất, kiến thức, kĩ năng phù

hợp. Những yêu cầu này cũng được thể hiện cụ thể trong chuẩn đầu ra của SV ở mỗi

trường đại học (tương tự như phần đã được trình bày ở các trang 2, 3 của luận án). Từ

những yêu cầu đó, có thể thấy một số đặc điểm tư duy mà SV ngành kinh tế, kĩ thuật cần

có là: khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh, sắp xếp, phân loại, kiểm tra, đánh giá (giúp

thu thập, lựa chọn và sử dụng thông tin về nhu cầu sử dụng của một loại mặt hàng; giúp

nghiên cứu, bổ sung, cập nhật kiến thức, xu hướng mới…); xác định hướng nhìn (để lập

kế hoạch sản xuất và lựa chọn phương án tối ưu, có quan điểm khách quan khi hợp tác

trong nhóm,…); hiểu rõ ràng và sâu sắc về các khái niệm, nguyên lí (giúp hiểu rõ về các

bộ phận máy móc và mối liên hệ tác động lẫn nhau giữa chúng trong hệ thống; hiểu và sử

dụng đúng các quy định, văn bản, hợp đồng kinh tế,…); phán đoán, suy luận, lập luận logic (giúp đưa ra những dự đoán về nhu cầu thị trường, trình bày dự án một cách thuyết

phục; khả năng suy ngược có thể giúp đưa đến ý tưởng tạo ra những sản phẩm mới),…Ngoài ra, SV cũng cần thường suy ngẫm, liên hệ các hoạt động với chuyên ngành học, điều đó sẽ giúp họ dễ dàng hơn khi mô hình hóa để giải quyết vấn đề.

1.5. Biểu hiện tư duy phân tích của sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật trong dạy học Toán cao cấp

Để xác định các biểu hiện TDPT của SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật trong

dạy học TCC, chúng tôi dựa trên:

- Các yếu tố cơ bản của tư duy: Đặt ra các mục đích, nêu ra các câu hỏi, sử dụng các thông tin, sử dụng các khái niệm, tạo ra các suy luận, đưa ra các giả định, làm phát sinh các hàm ý, chứa đựng một góc nhìn (đã được trình bày ở mục 1.1.3, theo Richard Paul và Linda Elder) [38], [76].

- Khái niệm và đặc điểm cơ bản của TDPT: Suy nghĩ rõ ràng, sâu sắc; chia nhỏ

đối tượng, tìm mối liên hệ, phán đoán, suy luận, lập luận logic,…

- Đặc điểm TCC; đặc điểm của SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật; các hoạt động của SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật khi học TCC. Chẳng hạn: SV cần xác

định hướng và lựa chọn hướng giải phù hợp cho bài toán; hiểu rõ và sử dụng ý nghĩa của

khái niệm toán học để mô hình hóa toán học khi giải bài toán thực tế (hoặc bài toán liên quan đến chuyên ngành); lựa chọn, sắp xếp, phân loại thông tin khi nghiên cứu khoa học hoặc khi trình bày một vấn đề,…

Những biểu hiện cũng được xem xét qua các hoạt động thể hiện mối liên hệ giữa tư

duy phân tích với một số loại tư duy khác và với khả năng giải quyết vấn đề, các hoạt

động hướng tới góp phần rèn luyện kĩ năng nghề nghiệp cho SV.

Từ đó, chúng tôi cho rằng tư duy phân tích của SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ

thuật khi học Toán cao cấp cần có một số biểu hiện sau:

1.5.1. Xác định mục đích tư duy, chia nhỏ mục tiêu

Sinh viên xác định mục đích khi giải quyết vấn đề (khi giải bài toán, khi đọc hiểu

giáo trình,…), xác định được mục tiêu, chia nhỏ thành nhiều mục tiêu có ý nghĩa, đều đặn

điều chỉnh tư duy hướng tới mục đích.

1.5.2. Xác định hướng nhìn

Sinh viên xác định hướng khi GQVĐ. Khi giải bài toán, SV phân chia một số hướng giải và hình dung sơ lược một số bước ở mỗi hướng, ưu nhược điểm ở mỗi hướng.

Khi đọc tài liệu, SV nhận ra tác giả trình bày theo hướng nào, theo quan điểm nào. SV có thể giải thích về một vấn đề hoặc phát biểu lại mệnh đề theo một số cách khác khau, có

f x dx ( )



thể nhìn nhận một số vấn đề theo hướng gắn với thực tế hoặc chuyên ngành. Khi tìm hiểu thông tin, SV xem xét từ nhiều nguồn tài liệu. SV nhận ra cấu trúc của một tài liệu,…

 x ( ) i i





lim   max x 0 i

 1

a trên

Chẳng hạn, khi học về tích phân xác định:



, a b  , i

n 1, ).





1, 

x i

2, x x ( 1  x x 1, i i

,..., n x    x , i SV khối ngành kĩ thuật có thể liên hệ đến các bài toán tính diện tích, thể tích và

i (



n 1, )

là các điểm chia là điểm bất kì tùy ý trên

 ix

họ phải coi rất bé.

SV ngành kinh tế có thể liên hệ đến các hàm và biến, các khái niệm thường dùng

ix bé nhất là bằng 1.

trong kinh tế (chẳng hạn khái niệm chi phí khấu hao) và họ coi

1.5.3. Tìm hiểu thông tin một cách rõ ràng, sâu sắc

Sinh viên phân tích để tìm hiểu thông tin (giả thiết của bài toán, các dữ kiện, sự

kiện, kinh nghiệm…) một cách rõ ràng, sâu sắc; có thể diễn giải chi tiết về thông tin; tìm

mối liên hệ giữa các thông tin với nhau và với vấn đề cần giải quyết; sắp xếp và phân loại,

tổng hợp thông tin; nhận ra thông tin đúng, thông tin sai, thông tin quan trọng, thông tin

thiếu; có thể sửa chữa, bổ sung thông tin, sử dụng thông tin để giải quyết vấn đề. SV tìm

hiểu các thông tin, tài liệu liên quan đến TCC và ứng dụng vào thực tế, vào môn học

chuyên ngành. Chẳng hạn, SV có thể sưu tầm, hiểu và phân loại một số dạng bài tập giải tích liên quan đến hàm cung, hàm cầu, hàm chi phí, hàm lợi nhuận; tốc độ biến thiên; phương án tối ưu,...

1.5.4. Hiểu các khái niệm (định lí, mệnh đề, quy tắc, phương pháp) một cách rõ ràng, sâu sắc và có thể sử dụng để giải quyết vấn đề.

Sinh viên phân tích khi tìm hiểu và sử dụng các khái niệm (định lí,..), nắm được

cấu trúc của các khái niệm (định lí,…), có thể diễn giải, trình bày rõ ràng, chi tiết về các

khái niệm (định lí,…); nhận ra mối liên hệ giữa các khái niệm (định lí,…) với nhau và với

vấn đề cần giải quyết, vấn đề trong thực tế hoặc chuyên ngành; sử dụng các khái niệm

(định lí,…) để giải quyết vấn đề liên quan; đưa ra một số nhận xét có ý nghĩa khi nghiên

cứu sâu khái niệm (định lí,…). Chẳng hạn:

SV thường liên hệ khái niệm toán học với một số thuật ngữ hoặc bài toán cụ thể

trong ngành kinh tế, kĩ thuật: Liên hệ khái niệm tích phân đường loại hai và bài toán tính

công, khái niệm đạo hàm và chi phí biên,…

Từ các định lí, SV có thể đưa ra các bước giải một dạng toán nào đó (tạo thói quen

xây dựng các bước; quy trình trong các hoạt động về kinh tế, kĩ thuật).

SV có thể sử dụng những phương pháp cụ thể giúp mô hình hóa khi giải một số bài toán chuyên ngành. Chẳng hạn, trong thực tế, để áp dụng các công thức toán học khi tính diện tích, thể tích…, có thể phải dựa trên các số liệu về độ dài, khoảng cách. Từ đó xây

dựng hệ trục tọa độ, lập phương trình đường, mặt rồi chuyển bài toán thực tế về mô hình toán học. Để xây dựng một hàm thường dùng trong kinh tế, có thể dựa trên việc thu thập số liệu, sử dụng máy tính để vẽ biểu đồ phân tán, từ đó dự đoán dạng đồ thị…

1.5.5. Phán đoán có cơ sở, liên quan đến vấn đề đặt ra

f x y phán đoán. Chẳng hạn, khi học về cực trị của hàm số, với nhận xét: “Nếu hàm số ( , )

Sinh viên phân tích để đưa ra những phán đoán liên quan đến vấn đề đặt ra (dự đoán hướng giải bài toán, đặt ra một giả thuyết, đoán ý của tác giả,…) dựa trên căn cứ: xem xét các mối quan hệ, sử dụng các thông tin, các thao tác tư duy: đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa, lật lại vấn đề,…SV có thể đưa ra một số phán đoán cho việc giải quyết những vấn đề liên quan đến thực tế hoặc chuyên ngành; thường xem xét kĩ lại các

liên tục trên miền đóng bị chặn D và đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất tại điểm

0M phải là điểm tới hạn (điểm trong hoặc điểm biên) của D, SV có thể phán đoán: Muốn tìm GTLN, GTNN của hàm số thì chắc là người ta cần xét từ những điểm tới

thuộc D thì

hạn (Những phán đoán về ý tưởng như vậy tương tự việc dự đoán xu thế, nhu cầu về một

loại sản phẩm,…).

1.5.6. Suy luận rõ ràng và sâu sắc, theo từng bước, dựa trên căn cứ, liên quan đến vấn đề đặt ra

Sinh viên suy luận rõ ràng theo từng bước; suy luận dựa trên những căn cứ, bằng

chứng; suy luận sâu theo nhiều bước, theo một số hướng; thường đưa ra những kết luận

hợp lí, có ý nghĩa, liên quan đến nhau và với vấn đề đặt ra; thường lật đi lật lại, xem xét kĩ

toàn bộ quá trình suy luận và rút ra những nhận xét, bài học. SV có thể suy ngược bắt đầu

từ yêu cầu đặt ra của bài toán trong thực tế hoặc chuyên ngành, có thể suy luận sâu theo

hướng đưa ra những kết luận gắn với ngành kinh tế, kĩ thuật.

1.5.7. Đặt câu hỏi phân tích

Sinh viên thường đặt các câu hỏi yêu cầu diễn giải chi tiết, xác định các mối liên hệ

(mối liên hệ giữa các yếu tố với nhau và với vấn đề cần giải quyết, liên hệ với thực tế hoặc

chuyên ngành); đặt các câu hỏi về mục đích, về các câu hỏi, hướng nhìn, thông tin, căn

cứ, các khái niệm, định lí, mệnh đề, kinh nghiệm, bài toán đã giải có liên quan; câu hỏi cho sự phán đoán, suy luận; câu hỏi về sự rõ ràng, suy nghĩ sâu,…Các câu hỏi thường được chia nhỏ.

Khi thường xuyên đặt câu hỏi phân tích trong học toán, SV có thể tạo thói quen đặt

những câu hỏi phân tích tương tự khi giải quyết công việc nghề nghiệp. Chẳng hạn:

Bài toán này gồm những yếu tố nào? (Câu hỏi tương tự trong ngành kĩ thuật, áp dụng trong xây dựng hệ thống thông tin liên lạc có thể là: Hệ thống thông tin này gồm những hạng mục, thiết bị nào?); Giả thiết của bài toán là gì? (Thực tế mặt bằng đã có, nguyên vật liệu, nguồn nhân lực, dây chuyền công nghệ, biện pháp thi công, quản lí chất lượng theo tiêu chuẩn như thế nào?); Các bước giải bài toán như thế nào? (Các bước

trong thủ tục đầu tư, thực hiện đầu tư và kết thúc đầu tư đưa vào khai thác vận hành như thế nào?) Nếu thay đổi yếu tố này trong giả thiết bài toán thì sẽ dẫn đến điều gì? (Nếu thay đổi nguyên vật liệu, dây chuyền công nghệ hoặc nguồn nhân lực thì sẽ dẫn đến điều gì?); Trong khi giải bài toán, cần chú ý điều gì để không mắc sai lầm? (Cần có những chú ý nào khi xây dựng hệ thống để tránh sai sót?) Điều gì học được sau khi giải bài toán này? (Hiệu

quả đầu tư như thế nào? Điều gì rút ra được sau khi xây dựng hệ thống thông tin này?),…

 TDPT của SV được biểu hiện thông qua việc thực hiện các hoạt động. Để đưa ra mức độ của biểu hiện, chúng tôi dựa trên việc xem xét những phần hoạt động mà SV

thể hiện được trong các biểu hiện, đồng thời cũng dựa trên sự phân bậc các hoạt động của

tác giả Nguyễn Bá Kim ([29], tr. 108). Sự phân bậc dựa theo những căn cứ sau:

 Sự phức tạp của đối tượng hoạt động

Ví dụ 1.6: Tính các đạo hàm riêng của hàm số

x 3

y 4

x 3

y 4

f x y ( , )



cos

 2

 2

      

      

      

      



cos



y cos .

g x y là hoạt động phức tạp hơn tính các đạo hàm riêng của hàm số ( , )

f x ( )



sin

 Sự trừu tượng, khái quát của đối tượng

f x ( )



x sin .

Ví dụ 1.7: Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số dễ hơn tính đạo hàm cấp n của

hàm số

 Nội dung của hoạt động

Nội dung là những tri thức liên quan đến hoạt động và những điều kiện khác của

hoạt động. Nội dung hoạt động càng gia tăng thì hoạt động càng khó thực hiện. Ví dụ 1.8: a) Cho một ví dụ về hàm số liên tục trên [0,2].

0, 2 (khó

b) Cho một ví dụ về hàm số liên tục trên [0, 2] nhưng không khả vi trên 

hơn).

 Sự phức hợp của hoạt động

Hoạt động phức hợp bao gồm nhiều hoạt động thành phần.  Chất lượng của hoạt động

Chất lượng của hoạt động, thường là tính độc lập hoặc độ thành thạo cũng có thể

lấy làm căn cứ để phân bậc hoạt động.

 Phối hợp nhiều phương diện làm căn cứ phân bậc hoạt động

Chẳng hạn: Để phân loại các hoạt động ở bậc 1, 2, 3, người ta có thể làm như sau: Từ bậc 1 lên bậc 2: Căn cứ vào chất lượng của hoạt động. Từ bậc 2 lên bậc 3: Căn cứ vào sự phức hợp của hoạt động.

 Dựa trên cách xác định như trên, chúng tôi đưa ra mức độ của biểu hiện như

- Mức 1: SV thể hiện được một phần trong yêu cầu của mỗi biểu hiện ở trên

nhưng cần sự gợi ý của GV.

- Mức 2: SV thể hiện được một phần trong yêu cầu của mỗi biểu hiện như trên mà

không cần sự gợi ý của GV.

- Mức 3: SV có các biểu hiện như đã nêu trên mà không cần sự gợi ý của GV.

Ngoài ra, với mỗi mức đã nêu, trong các tình huống phù hợp, chúng tôi có thể

xem xét các mức nhỏ hơn dựa trên sự phức tạp của đối tượng hoạt động, tính trừu tượng

và khái quát của đối tượng hoạt động, nội dung của hoạt động hoặc sự phức hợp của hoạt



x (

  

y 3

dxdy

động.









2   y

x 2

Ví dụ 1.9: Khi giải bài toán: Tính

 x y ( , )



với

,x y :

           1 

- SV A vẽ miền D và xác định cận của

Khi GV gợi ý rằng cần chú ý về miền lấy tích phân (hình tròn) thì SV A đưa thêm

hướng giải trong tọa độ cực.

- SV B nghĩ đến hai hướng là: Có thể tính tích phân trong hệ tọa độ Đề-các hoặc

dùng tọa độ cực. Nếu dùng tọa độ cực thì sẽ dễ hơn vì D là miền hình tròn.

cos



- SV C nghĩ đến hai hướng là: Có thể tính tích phân trong hệ tọa độ Đề-các hoặc

sin



độ cực có thể đặt hoặc đặt

  x    y

dùng tọa độ cực. Nếu dùng tọa độ cực thì sẽ dễ hơn vì D là miền hình tròn. Khi dùng tọa    x     sin y



ydxdy



dxdy



Ngoài ra, có thể tính tích phân nhanh hơn nếu chú ý đến biểu thức dưới dấu tích



phân và nhận xét rằng (S: Diện tích miền D).

Trong trường hợp này, khả năng xác định hướng của ba SV tăng dần theo thứ tự từ

SV A đến SV C. SV A chỉ nghĩ đến một hướng và chưa xem xét ưu, nhược điểm của hướng

đó, cần sự gợi ý của GV. SV B đã tự đưa ra hai hướng đồng thời nhận ra hướng giải phù

hợp hơn. SV C cũng tự đưa ra được hai hướng chính nhưng đã hình dung xa hơn, cụ thể

và chi tiết hơn, có thêm nhiều hướng khác ở mỗi bước để từ đó lựa chọn cách giải ngắn

gọn nhất. Ngoài ra, SV C cũng chú ý ghi nhớ tính chất ứng dụng của tích phân hai lớp.

  

o x (

x 3!



Ví dụ 1.10: Khi vận dụng khai triển Maclaurin của hàm số để tìm giới hạn, GV trình bày:

lim  x 0

x (1

 

x sin x cos )

  

o x (

x 2!

  x      1   

  1   

  )         )       

(1)



o x (

)



lim  x 0



o x (

)



 (3)

1 3

x 6 3 x 2 3 x 6 lim 3 x x 0 2

(2)

và hỏi SV: “Các bạn có hỏi điều gì không? Bạn có thể giải thích rõ về lời giải trên hay

không?”

-SV A: Tại sao làm như vậy?

Khi GV nhận xét rằng câu hỏi đó quá chung chung, cần đặt câu hỏi cụ thể hơn ở

3( o x

)

sin x bằng

đúng phần chưa hiểu. Chẳng hạn, ở bước (1), cần so sánh hai vế, và hỏi: Có phải đã thay

3 x   3 !

o x (

)

hay không?”, SV A tiếp tục đặt câu hỏi: Ở bước (1), có phải

2 x   2 !



o x (

)

đã thay cos x bằng hay không?

x 6 3

lim  x 0



x o x . (

)

x 2

-SV B: Ở bước (2), tại sao không viết là

Từ (2) sang (3) có phải là đã dùng quy tắc ngắt bỏ vô cùng bé cấp cao không?

- SV C: “Em nghĩ rằng để hiểu rõ cách giải này và vận dụng được khi làm bài khác thì cần

x o x . (

)

o x (

)

3( o x

)

3( o x

)

phải trả lời các câu hỏi sau:

+ Có phải hay không? Có phải cũng là hay

không?

+ Từ (2) sang (3) là đã bỏ bớt đi một số số hạng, có phải là dùng quy tắc ngắt bỏ

  x

o x ( )

sin

  

o x (

)

các vô cùng bé cấp cao không?

x 3 !

cos

o x (

+ Tại sao lại viết mà không viết sin . Tương

2 x     2!

x 4 !

tự, tại sao không viết Nếu viết như vậy thì sao?

Ngoài ra, để tự giải được bài này, trước hết phải đặt và trả lời các câu hỏi: Bài tập

này liên quan đến những phần kiến thức nào? Liên quan đến khai triển Maclaurin và giới

hạn, nhưng khai triển Maclaurin liên quan đến vô cùng bé. Vậy có những tính chất, nhận

xét nào liên quan đến phần vô cùng bé và giới hạn? Chẳng hạn: Thay vô cùng bé tương

đương, sử dụng quy tắc ngắt bỏ các vô cùng bé cấp cao,…

Ta cũng có thể hỏi thêm rằng:

+ Tại sao người ta nghĩ đến việc sử dụng công thức Maclaurin để tìm giới hạn? (Có

phải là: Do công thức Maclaurin giúp khai triển các hàm số sơ cấp cơ bản theo các hàm đa

0 0

thức và các vô cùng bé, nên khi thay vào giới hạn dạng và ngắt bỏ các vô cùng bé cấp



o x (

)

cao sau đó chia cả tử và mẫu cho đa thức nào đó, ta có thể khử được dạng vô định này?).

x 6 3

lim  x 0



x o x . (

)

x 2

+ Nếu cần tìm thì máy tính có làm được không, có cần chú ý

điều gì khi gõ lệnh tìm giới hạn này không?

Trong trường hợp trên, khả năng đặt câu hỏi của SV B tốt hơn so với SV A và khả năng đặt câu hỏi của SV C tốt hơn so với SV B. SV A chỉ đặt câu hỏi chung chung, cần thêm sự gợi ý của GV. Sinh viên B đã tự đặt được các câu hỏi chi tiết hơn, phù hợp với

tình huống, không cần sự gợi ý của GV, nhưng câu hỏi chỉ tìm hiểu nguyên nhân, chưa chú ý về những khái niệm, định lí liên quan, về sự phán đoán, suy luận, nhìn nhận theo một hướng khác. SV C đã đặt được các hỏi phân tích, giúp GQVĐ, suy nghĩ sâu và cũng thể hiện ý thức liên hệ với chuyên ngành.

Ví dụ 1.11: Sau khi học xong một bài (chẳng hạn bài Đạo hàm), GV đưa ra một số bài tập

(chưa sắp xếp theo thứ tự, có sai sót, còn thiếu dạng) và có thể yêu cầu SV sắp xếp, phân

chia bài tập thành các nhóm, giải thích tại sao lại sắp xếp như vậy, nêu ý nghĩa của mỗi

bài tập, chỉnh sửa lỗi ở mỗi bài tập (nếu có) và bổ sung thêm dạng bài (Chẳng hạn: Tính

giới hạn dựa trên định nghĩa đạo hàm, tính đạo hàm của hàm hợp dạng tổng quát, bài tập

liên quan đến thực tế, bài tập tìm điều kiện để hàm khả vi,…). SV nào thực hiện những

hoạt động như vậy tốt hơn, bổ sung thêm được nhiều dạng bài phù hợp hơn (đặc biệt là những bài liên quan đến thực tế hoặc chuyên ngành) thì khả năng tìm hiểu và sử dụng

thông tin của SV đó sẽ tốt hơn.

y  trong hình vẽ sau có

f x ( )

Ví dụ 1.12: Với bài toán: “Đường cong có phương trình 2 x



f x ( )

phải là đồ thị một hàm số nào đó không? Bạn có nhận xét gì thêm không?”

  .

f x ( )

- SV A: Đường cong trên là đồ thị của hàm số

- SV B: Đường cong trên không là đồ thị của một hàm số nào vì đường

thẳng song song với trục tung có thể cắt đường cong tại hai điểm khác nhau, nghĩa là tồn

f x ( )

tại x tương ứng với hai giá trị của y .

- SV C: Đường cong trên không là đồ thị của một hàm số nào vì hình vẽ

cho thấy đường thẳng song song với trục tung có thể cắt đường cong tại hai điểm khác

nhau, như vậy tồn tại x tương ứng với hai giá trị của y . Cụ thể là: Ở nửa dưới đường

   và ở nửa trên đường tròn thì

  Tương tự, đường cong

x y ( )

tròn,

trên cũng không phải là đồ thị của một hàm số nào. Chính vì phải chia các

trường hợp khác nhau nếu biểu thị y qua x hoặc x qua y nên với đường tròn tương tự

như trên (hoặc đường cong kín bất kì), trong một số trường hợp, người ta thường viết phương trình dưới dạng tham số. Việc lựa chọn đúng dạng hàm số phù hợp với đồ thị là rất quan trọng, có thể giúp cho việc mô hình hóa toán học dễ dàng hơn.

Ở tình huống này, khả năng hiểu và sử dụng các khái niệm của SV A là kém nhất.

SV C hiểu và biết sử dụng các khái niệm tốt hơn SV B khi đưa thêm những nhận xét liên quan và có thể hữu ích trong một số bài toán khác.

( )nf

nC trên X nếu tồn tại

Ví dụ 1.13: Khi SV học về khái niệm lớp của một hàm: “Hàm f được gọi là thuộc lớp

và liên tục trên X”.

0C trên X ”

Với câu hỏi: Hãy đoán xem người ta định nghĩa “ f thuộc thuộc lớp

và “ f thuộc thuộc lớp C  trên X ” như thế nào?

0C khi GV gợi ý.

- SV A chỉ đưa ra được dự đoán liên quan đến lớp

0C trên X nếu f liên tục trên X.

- SV B trả lời: Hàm f được gọi là thuộc lớp

0C trên X nếu f liên tục trên

- SV C trả lời (đoán): Hàm f được gọi là thuộc lớp

X. Hàm f được gọi là thuộc lớp C  trên X nếu f có đạo hàm mọi cấp trên X (bởi vì

n  của f liên tục trên X).

khi f có đạo hàm cấp n trên X thì đạo hàm cấp

Trong trường hợp này, khả năng phán đoán của SV B tốt hơn SV A và khả năng

phán đoán của SV C tốt hơn SV B.



arctan

Ví dụ 1.14:

a) Hàm có là hàm số tuần hoàn không? Tại sao?

f x và ( )g x xác định trên  và thỏa mãn

f x ( )





b) (Đề thi Olympic Toán SV toàn quốc năm 2014): Cho hai hàm ( )

x y   .

 ( ) . f y  

 ( ) g y  

  

 g x ( )   Chứng minh ít nhất một trong hai hàm f hoặc g là hàm hằng.

với mọi

Ở ví dụ này, hai SV làm như sau:



arctan

- Sinh viên A:

a) Hàm không là hàm số tuần hoàn do đây là hàm số tăng ngặt.

f x không là hàm hằng, ta cần chứng minh ( )g x là hàm hằng.

f y

( ),

g y

( ).

b) Giả sử ( )

f x y mà ( )

g x suy ra ( )

g z

( ),

f z

( ).

g x Giả sử tồn tại z mà ( )

f x suy ra ( )

Tồn tại x

arctan

- Sinh viên B:  a) là hàm số tăng ngặt trên  nên không là hàm số tuần hoàn.

,f g đều không phải là hàm hằng, khi đó tồn tại

x y z thuộc  đôi một

f y ( )

g z

( ).

f x khác nhau mà ( )

g y và ( )

b) Giả sử

f x ( )



f y ( )



g x ( )



g y ( )



g x ( )



g z ( )



f x ( )



f z ( )



f y ( )



f z ( )



g y ( )



g z ( )

Ta có:

(mâu thuẫn).

,f g phải là hàm hằng.

Vậy ít nhất một trong hai hàm

Ngoài ra, sinh viên B còn có thêm nhận xét sau:

,f g là các hàm số xác định trên  và

f x ( )





Từ bài toán này, ta có thể suy ra rằng: Nếu

,x y   thì ít nhất một trong hai hàm

  

 ( ) . f y  

 g x ( )  

 ( ) g y  

,f g có tốc độ biến thiên bằng 0 tại mọi

x  

thỏa mãn: với mọi

Trong trường hợp này, SV A suy luận được ở tình huống đơn giản (ý a), và với tình

huống phức tạp hơn (ý b) thì chỉ suy luận được ít bước. SV B suy luận được nhiều bước

hơn, thể hiện đã có ý thức suy luận theo hướng gắn với vấn đề thực tế hoặc chuyên ngành.

1.6. Dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại

học khối ngành kinh tế, kĩ thuật

1.6.1. Quan niệm về dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích

cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật

Theo Lê Văn Hồng, Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thàng (2011), nói đến phát triển là

có sự tiến bộ, theo đà đi lên, theo quy luật. Sự phát triển trí tuệ giới hạn trong hoạt động

nhận thức được hiểu là sự thống nhất giữa sự tăng số lượng tri thức và cách dành lấy tri

thức đó ([27], tr. 140).

Các tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981) cũng cho rằng “Sự phát triển của các năng lực tư duy đòi hỏi sự phát triển cả mặt nội dung của tư duy (các kiến thức) lẫn mặt hành động của tư duy (các hành động trí tuệ) ([24], tr. 105).

Theo Sacđacốp (1970), một trong những mặt thể hiện sự phát triển tư duy của học sinh là: “sự lĩnh hội ngày càng phong phú, sâu sắc và thành thạo các tri thức” và “sự hoàn thiện các hình thức tư duy: phân tích, tổng hợp, quy nạp và diễn dịch, khái niệm, phân loại, hệ thống hóa và các hình thức khác”, “sự phát triển của ý thức về những quá trình tư duy của mình” ([44], tập 1, tr. 21).

Theo Crugliăc (1976) “Nhờ tư duy mà có thể chuyển được từ những tri thức sơ đẳng đầu tiên sang những tri thức sâu sắc hơn, chuyển từ hiện tượng sang bản chất và từ bản chất bậc một sang bản chất bậc hai v.v…Nguyên nhân là do tri thức về bản chất không nằm trên bề mặt của hiện tượng, chỉ trong quá trình phân tích mới có thể phát hiện

và tìm ra được chúng. Tư duy càng phát triển mạnh bao nhiêu thì càng có khả năng lĩnh

hội tri thức một cách có kết quả và sâu sắc và càng có khả năng vận dụng những tri thức

ấy trong thực tế bấy nhiêu. Tri thức và tư duy gắn bó với nhau như sản phẩm đi đôi với

quá trình. Lĩnh hội tri thức về một đối tượng nào đó thì đấy là sản phẩm, là kết quả của

quá trình triển khai logic của hiện tượng ấy trong tư duy. Vì vậy, không thể tách rời tri

thức khỏi tư duy, tri thức được bộc lộ ra và hình thành trong tư duy. Mặt khác những tri

thức đã lĩnh hội được lại tham gia vào quá trình tư duy như là một yếu tố của tư duy để tiếp thu những tri thức mới khác.” ([1], tr. 65).

Nguyễn Quang Uẩn và các cộng sự (2014) cho rằng việc phát triển tư duy phải tiến hành song song và thông qua truyền thụ tri thức, gắn với việc trau dồi ngôn ngữ, rèn luyện

cảm giác, tri giác, năng lực quan sát và trí nhớ cho học sinh ([58], tr. 82).

Theo tác giả Nguyễn Duy Thuận (2007), để phát triển tư duy trong học toán, học

sinh cần phải: Hiểu thấu và nắm vững kiến thức nền tảng, thực hành và vận dụng kiến

thức thường xuyên, tích lũy kinh nghiệm, tổ chức vận dụng kiến thức và kinh nghiệm vào

việc phát triển tư duy [53].

Theo tác giả Chu Cẩm Thơ (2015): “Ngoài việc quan tâm đến những biểu hiện và

biện pháp rèn luyện một số loại hình tư duy đặc thù của môn Toán thì những yếu tố mang

tính quyết định để thực hiện nhiệm vụ phát triển tư duy cho HS là quan tâm đến: chương

trình, nội dung, đặc biệt là phương pháp dạy học trong đó cụ thể là sử dụng các phương

pháp kích thích tư duy” ([52], tr.103). Theo tác giả, một số biện pháp phát triển tư duy cho

học sinh thông qua dạy học môn Toán là: Thường xuyên sử dụng những lời khuyên kích

thích học sinh tư duy và tạo cơ hội cho học sinh hợp tác, chia sẻ trong quá trình tư duy;

Tăng cường rèn luyện cho học sinh vận dụng, phối hợp nhiều hình thức biểu đạt tư duy:

ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ toán học chính xác và sử dụng sơ đồ, biểu đồ; Tăng cường

rèn luyện các hoạt động trí tuệ nhằm phát triển và bồi dưỡng năng lực tư duy cho học sinh,

đặc biệt là năng lực sáng tạo.

Ben Jonhson (2013) cho rằng để giúp SV trở thành những người có TDPT, giáo

viên cần chỉ cho họ những chiến lược và kĩ thuật TDPT, sau đó tạo những cơ hội cho họ

dùng chúng với mục đích để học các nội dung và đạt được những khả năng [73].

Khi nghiên cứu về việc xác định “trình độ trí tuệ”, Piaget (2003) đã đề cập đến

cách xác định của Binet và Simon: Sử dụng những bài kiểm tra đa dạng và tìm cách xác

định tần số của những thành công ([50], tr. 51, [77], tr. 169).

Từ sự tham khảo những nghiên cứu như trên, chúng tôi cho rằng dạy học TCC theo

hướng phát triển TDPT cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật được hiểu là kiểu dạy

học ở đó GV giúp cho TDPT của SV được nâng dần lên mức độ cao hơn, dựa trên việc

trang bị cho SV cách tư duy kết hợp với nền tảng kiến thức vững chắc và tạo các hoạt

động phù hợp để SV thực hiện.

Như vậy, trong dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV đại học khối

ngành kinh tế, kĩ thuật, GV cần dựa vào các biểu hiện TDPT của SV đồng thời vận dụng

các phương pháp, hình thức tổ chức, kĩ thuật dạy học, để thiết kế và tổ chức các tình

huống dạy học, tạo ra môi trường, điều kiện thích hợp, thiết kế bài học theo chuỗi các

hoạt động sao cho khi SV thực hiện các hoạt động đó thì sản phẩm của SV thể hiện được

mức độ TDPT của SV. Dạy học theo hướng TDPT cần kết hợp phát triển một số loại tư

duy khác, phát triển năng lực giải quyết vấn đề.

Để đánh giá sự phát triển tư duy của người học, cần phải dùng cả phương pháp định tính và phương pháp định lượng, có thể dựa vào việc theo dõi những biểu hiện của người học trong suốt quá trình (cách suy nghĩ, cách đặt câu hỏi, kết quả trả lời câu hỏi, bài tập, sự lĩnh hội kiến thức, sự ý thức về tư duy của bản thân, sự thành thạo khi thực hiện hoạt động), và dựa vào kết quả của các bài kiểm tra. Đề bài kiểm tra phải có những câu hỏi, bài tập ở các mức độ yêu cầu khác nhau, gắn với những biểu hiện của TDPT.

1.6.2. Cơ hội phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật trong dạy học Toán cao cấp

SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật cần phải được rèn luyện tư duy độc lập, khả năng làm việc nhóm, biết thu thập và xử lí thông tin, phân tích và tổng hợp vấn đề, vận dụng tốt các nguyên lí, khái niệm,…,lập luận logic, có khả năng mô hình hóa, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, phán đoán, dự báo, nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc độ, lập kế hoạch và tìm giải pháp, đánh giá và lựa chọn các cơ hội, phản biện, thuyết trình, giao tiếp (lập luận, sắp xếp ý tưởng, trình bày rõ ràng, sâu sắc,…), tự học,…Những yêu cầu này được xem xét khi tìm hiểu cơ hội phát triển TDPT cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật thông qua dạy học TCC. Phát triển TDPT cho SV có thể được thực hiện thông qua các tình huống dạy học điển hình như: Dạy học khái niệm toán học, dạy học định lí toán học, dạy học quy tắc, phương pháp, dạy học giải bài tập toán học.

 Cơ hội phát triển TDPT cho SV trong dạy học một số khái niệm thể hiện ở nhiều

tình huống, chẳng hạn:

 Khi tiếp cận khái niệm:

+ SV có thể dùng các thao tác phân tích (dùng thủ thuật phân nhỏ) khi giải bài toán thực tế dẫn đến khái niệm. Với con đường kiến thiết để tiếp cận khái niệm, SV cần rút ra nhận xét, khái quát hóa,…

+ SV phân chia nội hàm, ngoại diên, chia nhỏ thuộc tính của khái niệm và tìm hiểu kĩ từng phần: diễn giải từ, cụm từ (trả lời câu hỏi: nghĩa là thế nào), có thể cần giải thích theo một số cách để làm rõ nghĩa, hoặc cần có suy luận để liên hệ và hiểu dựa trên nền tảng kiến thức cũ.

+ SV tổng hợp, liên kết các chi tiết để hiểu toàn bộ khái niệm.

 Khi củng cố khái niệm:

+ SV dùng thao tác đặc biệt hóa, cụ thể hóa (khi lấy ví dụ), lật ngược vấn đề (lấy

phản ví dụ) so sánh, đối chiếu khi nhận dạng và thể hiện khái niệm.

+ SV phân tích, sắp xếp, phân loại khi phân chia và hệ thống hóa khái niệm (ví dụ phân chia các khái niệm giới hạn thành các nhóm: giới hạn trái, giới hạn phải, giới hạn tại vô cực. Trong mỗi nhóm lại phân chia thành các trường hợp: giới hạn là số thực, giới hạn  

+ SV sử dụng sơ đồ chỉ ra mối liên hệ với các khái niệm đã học. Ngoài ra, trong quá trình tự học, để hiểu rõ vấn đề, SV có thể phải thu thập thông tin, tìm đọc một số khái niệm từ các tài liệu tham khảo khác nhau. Khi đó, họ cần phải phân loại tài liệu thành các nhóm, phân tích các khái niệm đại diện ở mỗi nhóm, so sánh và đối chiếu để nhận ra sự giống nhau về ý nghĩa trong những cách diễn đạt khác nhau ở các khái niệm đó. Từ đó có thể đánh giá, lựa chọn khái niệm dễ hiểu, chỉ ra những thiếu sót (nếu có) trong những tài liệu tham khảo đó.  Trong dạy học định lí, SV có thể:

+ Dự đoán và phát biểu định lí dựa vào những phương pháp tìm đoán: quy nạp không hoàn toàn, tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa, lật ngược vấn đề, xét mối liên hệ phụ thuộc…hoặc suy luận từ các định lí đã biết để đưa ra mệnh đề mới.

+ Phát biểu định lí một cách rõ ràng. + Phân tích cấu trúc của định lí, rút ra được giả thiết và kết luận. + Phân tích mối liên quan giữa giả thiết và kết luận để tìm ra đường lối chứng minh, trong đó có phân tích ngược, xuôi từ kết luận về giả thiết hoặc ngược lại theo từng bước, từng chặng.

+ Sau khi chứng minh xong định lí, tìm mối liên hệ giữa định lí với những kiến

thức khác, liên hệ với các định lí đã học, phân chia, hệ thống hóa…

 Trong dạy học quy tắc, phương pháp

- Muốn hình thành quy tắc, phương pháp: Chẳng hạn, với một quy tắc suy ra từ định lí, SV cần nắm được ý nghĩa của định lí, tìm hiểu về các yếu tố và các mối liên hệ, đưa ra những nhận xét hợp lí, từ đó rút ra quy tắc và phát biểu một cách rõ ràng.

- Khi sử dụng quy tắc, phương pháp: Thường phải thực hiện lần lượt theo từng

n (



n ( )

 ( f x

)

  ...

x (

f x có đạo hàm cấp n liên tục trong một )

x (



)

 0.

bước một cách chính xác. Ví dụ 1.15: Khi học định lí: “Giả sử hàm số ( )

f x đạt cực trị tại 0x .

nf ( )

)

lân cận của điểm 0x và Khi đó: 1. Nếu n chẵn thì ( )

x  0( 0 nf ( )

)

Đó là cực tiểu nếu

x  . 0(

Đó là cực đại nếu nếu

f x không đạt cực trị tại 0x ”

2. Nếu n lẻ thì ( )

0x , n và vấn đề tìm cực trị.

các đạo hàm cấp cao của f tại Để rút ra một quy tắc tìm điểm cực trị, SV có thể suy nghĩ như sau:  Hỏi: Định lí này có ý nghĩa gì? (Giúp tìm cực trị) f x 0(  Nhìn bao quát định lí, chú ý các yếu tố: 0,x

(



n ( )

 Nhận xét về điểm 0x (Trả lời câu hỏi: 0x là gì? - mà có liên quan đến bài toán tìm cực trị): 0x là điểm dừng của hàm số f và định lí cho biết dấu hiệu để xét xem 0x có là điểm cực trị hay không.

 ( f x

)

  ...

x (

)



x (

)

 chỉ ra rằng n là số tự nhiên

nf ( )

)

 Điều kiện

x  0(

bé nhất mà

)

 0.

f x 0(

)

 thì f đạt cực trị tại

 là cực tiểu

0x (đó là cực đại nếu

x 0(

Từ đó, liên hệ với nhận xét: “Điểm cực trị phải là điểm tới hạn”, SV phải rút ra rằng: Muốn tìm cực trị, trước tiên phải tìm điểm tới hạn, định lí này chỉ áp dụng được với điểm dừng, tức là điểm làm cho đạo hàm bằng 0. Theo định lí này, có thể tìm cực trị bằng cách sau:

f Nếu f x 0( f Nếu

x 0(

)

nếu

+ Tìm đạo hàm. + Tìm điểm 0x làm cho f x 0( + Tính x 0( ) )  0). x 0( f Khi

0  thì tính ) x 0( x 0(

x 0(

Khi

 thì f không đạt cực trị tại 0.x (4) f  thì lại tính ) Quá trình cứ tiếp tục như vậy. Việc xem xét các định lí và rút ra các quy tắc, phương pháp thực hiện theo từng bước như trên phù hợp với SV ngành kĩ thuật khi lập trình, khi đưa ra các bước vận hành một loại máy móc,…

 Trong dạy giải bài tập toán:

Phần này được thể hiện rõ khi chỉ ra mối liên hệ giữa TDPT và việc giải bài toán

theo các bước của Polya- bảng 1.1).

1.7. Khảo sát thực trạng dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật 1.7.1. Mô tả quá trình điều tra, khảo sát

- Mục đích: Tìm hiểu về thực trạng TDPT của SV và việc dạy học TCC theo hướng

phát triển TDPT cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.

- Đối tượng: Giảng viên dạy TCC và SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.

- Nội dung: Biểu hiện TDPT của SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật khi học

TCC; Nhận thức của GV và SV về biểu hiện TDPT của SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ

thuật khi học TCC; Một số hoạt động, hình thức tổ chức và kĩ thuật dạy học của GV trong

dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.

- Hình thức: Dùng phiếu khảo sát; phỏng vấn trực tiếp; sử dụng các bài kiểm tra;

nhận xét trong quá trình giảng dạy.

- Thời điểm điều tra, khảo sát: Đối với GV: Thực hiện vào tháng 11 năm 2016 và

năm 2019; Đối với SV: Thực hiện trong các năm 2018, 2019.

1.7.2. Kết quả điều tra, khảo sát

a) Kết quả điều tra bằng phiếu Chúng tôi dùng phiếu để tham khảo ý kiến GV về TDPT của SV, về việc phát triển TDPT cho SV trong dạy học TCC (Phiếu hỏi ở phần Phụ lục). Các phiếu thu được từ 64 GV đang giảng dạy TCC ở các trường đại học sau: Đại học Lao động, Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, Đại học Công nghiệp Hà nội, Đại học Kiến trúc, Đại học Giao thông, Đại học Kinh tế Quốc dân, Đại học Hàng hải, Đại học Công nghiệp Quảng Ninh, Đại học Công nghiệp Việt Hung, Đại học Bách khoa Hà Nội.

Kết quả thu được từ phiếu tham khảo ý kiến GV như sau:

- 1 GV cho rằng TDPT ít cần đối với SV, 16 GV cho rằng TDPT là cần thiết đối

với SV, 47 GV cho rằng TDPT rất cần thiết đối với SV.

 Đa số GV được hỏi cho rằng TDPT rất cần thiết với SV.

- Nhận xét về TDPT của SV hiện nay: 10 GV chọn “Rất kém”, 18 GV chọn “Hơi

kém”, 28 GV chọn “Bình thường”, 4 GV chọn “Tốt”.

 Đa số GV được hỏi cho rằng TDPT (nhìn chung) của SV hiện nay là bình

thường hoặc hơi kém.

- 100% GV được hỏi đều cho rằng khi dạy học cần chú trọng phát triển TDPT cho

SV.

- Nhận xét về khả năng hiểu vấn đề một cách rõ ràng, chi tiết và sâu sắc của SV

hiện này: 4 GV chọn “rất kém”, 28 GV chọn “Hơi kém”, 31 GV chọn “Bình thường”.

 Đa số GV được hỏi cho rằng khả năng hiểu vấn đề một cách sâu sắc, rõ ràng,

chi tiết của SV hiện nay là bình thường hoặc hơi kém.

- Nhận xét về khả năng suy luận của SV hiện nay (khả năng hiểu và vận dụng các

quy tắc logic, suy luận diễn dịch, suy luận tương tự, suy luận quy nạp): 7 GV chọn “rất kém”, 19 GV chọn “Hơi kém”, 36 GV chọn “Bình thường”, 1GV chọn “Tốt”.

 Đa số GV được hỏi cho rằng khả năng suy luận của SV hiện nay là bình thường

hoặc hơi kém.

- Nhận xét về khả năng thực hiện các thao tác tư duy của SV (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự hóa, đặc biệt hóa): 3 GV chọn “Rất kém”, 28 GV chọn “Hơi kém”, 32 GV chọn “Bình thường”, 1 GV chọn “Tốt”.

 Đa số GV được hỏi cho rằng khả năng thực hiện các thao tác tư duy của SV

hiện nay là bình thường hoặc hơi kém.

- Với câu hỏi: “Sinh viên có thường suy nghĩ về mối liên hệ giữa khái niệm cũ và khái niệm mới, từ đó tự tìm ra các mệnh đề không?”, 15 GV chọn “Có” và 49 GV “Không”.

 Đa số GV được hỏi cho rằng nhìn chung SV không suy nghĩ về mối liên hệ giữa

khái niệm cũ với khái niệm mới.

- Với câu hỏi: “Thầy (Cô) thấy sinh viên có thường đặt các câu hỏi phù hợp với nội dung học khi ở trên lớp không?”, 23 GV chọn “Ít khi hỏi”, 30 GV chọn “Thỉnh thoảng hỏi”, 10 GV chọn “Thường xuyên hỏi”, 1GV chọn “Rất tích cực đặt câu hỏi”.

 Đa số GV được hỏi cho rằng thỉnh thoảng SV mới đặt câu hỏi phù hợp.

- Với câu hỏi “Theo thầy cô, sinh viên có muốn tìm tòi hay học giải bài toán bằng nhiều cách không, hay họ chỉ muốn học một cách để dễ nhớ?”, 4GV cho rằng “Đa số SV cố gắng tìm nhiều cách giải, học nhiều cách giải”, 60 GV cho rằng “Đa số sinh viên chỉ cố gắng tìm một cách giải, muốn học một cách để dễ nhớ”.

 Đa số GV được hỏi cho rằng SV thường chỉ tìm một cách giải, muốn học một

cách để dễ nhớ.

- Với câu hỏi “Theo thầy cô, khoảng bao nhiêu phần trăm SV có thể nắm được các ý chính, ý cơ bản, ý nghĩa các nội dung trong mỗi phần, mỗi bài học, mỗi chương?”, 2GV chọn “Khoảng 20%”, 22GV chọn “Khoảng 30%”, 27 GV chọn “Khoảng 50%”, 13 GV chọn “Khoảng 70%”.

 Đa số GV được hỏi cho rằng chỉ khoảng 50% SV nắm được ý chính, ý cơ bản, ý

nghĩa các nội dung...

- Với câu hỏi “Có ý kiến cho rằng: Trừ một số sinh viên khá giỏi, còn lại rất nhiều sinh viên hiện nay thường chỉ làm tốt khi gặp các bài tập theo mẫu quen thuộc, họ sẽ thấy khó khăn khi giải các bài tập khác kiểu (dù chỉ biến đổi rất ít), điều đó là do cách học luyện giải bài tập, chưa chú trọng khả năng phân tích, sáng tạo. Thầy (Cô) nhận xét gì về ý kiến này?”, 63 GV chọn “Ý kiến này đúng”, 1GV chọn “Ý kiến này không đúng”.

 Đa số GV được hỏi cho rằng SV hiện nay có cách học luyện giải bài tập,chưa

chú trọng khả năng phân tích, sáng tạo.

- Với câu hỏi “Khi dạy học, thầy cô có chủ ý tự thiết kế những ví dụ, bài tập, bài kiểm tra đòi hỏi các khả năng phân tích, tổng hợp, tương tự hóa, khái quát hóa (hoặc để điều chỉnh cho phù hợp với đối tượng sinh viên, giúp sinh viên phát triển năng lực nào đó) không?”, 1 GV chọn “Không, vì làm hết một số bài tập giao trong sách thì đã rèn luyện được những khả năng này rồi ”, 34 GV chọn “Không thường xuyên”, 29 GV chọn “Thường xuyên”.

 Nhiều GV được hỏi cho rằng các thầy cô không thường xuyên tự thiết kế những

ví dụ,…đòi hỏi các khả năng phân tích, tổng hợp,…

- Với câu hỏi “Thầy (Cô) có thường khuyến khích sinh viên đặt các câu hỏi không? Hay chủ yếu là sinh viên trả lời các câu hỏi của thầy cô?”, 10 GV chọn: “Ít khi khuyến khích sinh viên đặt câu hỏi, chủ yếu sinh viên trả lời câu hỏi”, 10 GV chọn: “Thường xuyên khuyến khích sinh viên đặt câu hỏi, và sinh viên tích cực hỏi”, 44 GV chọn “Thường xuyên khuyến khích sinh viên đặt câu hỏi, nhưng sinh viên vẫn ít hỏi”.

 Đa số GV được hỏi cho rằng các thầy cô đã thường xuyên khuyến khích SV đặt

câu hỏi, nhưng SV vẫn ít hỏi.

- Với câu hỏi “Thầy (Cô) có thường yêu cầu sinh viên nhìn nhận vấn đề theo nhiều hướng, suy nghĩ sâu bài toán hay một vấn đề nào đó (chẳng hạn: suy nghĩ về mối liên hệ giữa các khái niệm, từ đó tự tìm thêm một số mệnh đề,…) không?”, 14 GV chọn “Thường xuyên”; 23 GV chọn “Ít khi, chỉ cố gắng truyền đạt hết các kiến thức cơ bản, vì không có nhiều thời gian”; 27 GV chọn “Chỉ áp dụng phương pháp này với một số đối tượng sinh viên khá giỏi”.

 Đa số GV được hỏi cho rằng các thầy cô thường chỉ yêu cầu những SV khá,

giỏi nhìn nhận theo nhiều hướng, suy nghĩ sâu.

- Với câu hỏi “Thầy (Cô) có yêu cầu sinh viên làm các dạng bài tập phát hiện sai lầm và sửa chữa không?, 10 GV chọn “Không”; 38 GV chọn “Ít khi”, 16 GV chọn “Thường xuyên”.

 Đa số GV được hỏi cho rằng các thầy cô ít khi yêu cầu SV làm các dạng bài tập

phát hiện sai lầm và sửa chữa.

- Với câu hỏi “Khi giao cho sinh viên đọc tài liệu trước khi đến lớp, thầy cô có thường đưa ra các câu hỏi, bài tập liên quan đến nội dung tài liệu đó không?”, 42 GV chọn “Thường đưa ra các câu hỏi, bài tập có liên quan đến nội dung tài liệu đó”, 22 GV chọn “Không, thường chỉ đề nghị sinh viên đọc “từ trang…tới trang… trong quyển…”.

 Đa số GV được hỏi cho rằng khi giao tài liệu cho SV đọc trước khi đến lớp, các

thầy cô thường đưa ra các câu hỏi, bài tập…

- Với câu hỏi: “Theo thầy cô, đối với sinh viên đại học các trường kinh tế kĩ thuật, có cần phải học theo cách hiểu sâu sắc khái niệm, nắm vững các tính chất, suy ngẫm không? hay chỉ học theo cách áp dụng các công thức, quy tắc rồi tính toán?”, 4 GV chọn “Không cần”; 51 GV chọn “Cần”; 9 GV chọn “Rất cần”.

 Đa số GV được hỏi cho rằng SV đại học các trường kinh tế, kĩ thuật cần phải

học theo cách hiểu sâu sắc khái niệm,…

- Với câu hỏi “Có ý kiến cho rằng: Với thời gian học trên lớp rất ít hiện nay và khả năng tự học của sinh viên chưa tốt, nhiều thầy cô đang phải dạy theo cách không chú trọng lí thuyết, chỉ tập trung vào một số dạng bài tập cơ bản quen thuộc để sinh viên làm được bài khi đi thi. Thầy cô nhận xét gì về ý kiến này?”, 36 GV chọn “Đúng”; 10 GV chọn “Không đúng”; 18 GV chọn “Chỉ một số thầy cô dạy như vậy”.

 Nhiều GV được hỏi cho rằng vì thời gian trên lớp ít, nhiều GV đang dạy theo cách chỉ tập trung vào một số dạng bài tập cơ bản quen thuộc để SV làm được bài khi đi thi.

- Với câu hỏi “Theo thầy cô, những khó khăn chính đối với GV khi dạy học theo mục tiêu phát triển tư duy phân tích cho sinh viên là gì?”, 5 GV chọn “Thời gian học trên lớp ít”; 45 GV chọn “Khả năng tự học của sinh viên không tốt”, 14 GV chọn: “Khó khăn chính là: thời gian học trên lớp ít và đồng thời khả năng tự học của SV không tốt, chưa chú trọng phương pháp dạy học đại học”.

 Đa số GV được hỏi cho rằng khó khăn chính đối với GV khi dạy học theo hướng

phát triển tư duy phân tích cho SV là khả năng tự học của SV hiện nay không tốt.

Với câu hỏi: “Thầy cô có những ý kiến, nhận xét gì khác liên quan đến vấn đề phát triển tư duy phân tích cho sinh viên khi học Toán cao cấp?”, các GV được hỏi đã đưa ra một số ý kiến như sau: Trong dạy học theo hướng phát triển TDPT, nên: Yêu cầu SV tự học nhiều hơn; Tài liệu môn học cần phong phú, đa dạng hơn; Dạy học theo tình huống, dạy học giải quyết vấn đề, dạy học nhóm, dạy học theo hướng gợi mở, dạy học gắn với thực tiễn, nghề nghiệp; Phải có sự cân đối giữa việc phát triển TDPT và truyền đạt hết khối lượng kiến thức cho SV; Phải đổi mới nội dung bài tập, cách kiểm tra, đánh giá.

 Từ những kết quả thu được ở trên, có thể thấy:

- Những GV tham gia trả lời phiếu đã cho rằng: Cần thiết phải phát triển TDPT cho SV. Nhìn chung TDPT của SV hiện nay là bình thường hoặc còn yếu (thể hiện ở khả năng tìm hiểu vấn đề một cách rõ ràng, sâu sắc; khả năng suy luận; liên hệ giữa khái niệm cũ với khái niệm mới; khả năng nhìn nhận vấn đề theo một số hướng; khả năng thực hiện các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp,…). Nhiều SV vẫn học theo cách thụ động, không

tìm hiểu bản chất, chủ yếu luyện giải bài tập, khả năng tự học không tốt. Việc không nắm vững kiến thức dẫn đến sự thể hiện yếu kém trong TDPT.

- GV có nhận thức đúng về tầm quan trọng của TDPT, đã giảng dạy theo hướng có phát triển một số mặt của TDPT cho SV. Những ý kiến của GV về việc phát triển TDPT cho SV vẫn còn chung chung.

b) Kết quả phỏng vấn GV Chúng tôi đã phỏng vấn một số GV dạy Toán cao cấp tại Học viện Công nghệ Bưu

chính Viễn thông và Đại học Công nghiệp Hà Nội.

Với câu hỏi “Quan niệm về TDPT của thầy (cô) là như thế nào?”, các GV đã đưa

ra những ý kiến khác nhau, chẳng hạn như sau:

- TDPT là tư duy nhằm đi sâu, diễn giải và phân tích tính chất, đặc điểm của đối

tượng.

- TDPT là khi giải bài toán, chia giả thiết thành các phần, tìm hiểu từng phần và

mối liên hệ với kết luận, suy luận logic để giải bài toán, có thể suy xuôi, suy ngược.

- TDPT là phân chia các bước giải, phân loại toán theo từng dạng. - TDPT là suy nghĩ, nhận thức về vấn đề nào đó và xem xét các yếu tố liên quan.

- TDPT là suy luận, tìm tòi, phân tích. - TDPT là khả năng mổ xẻ, đưa vấn đề lớn thành vấn đề nhỏ để có thể giải quyết

dựa trên những điều cơ bản đã biết.

- TDPT là làm sáng tỏ thông tin, nội dung. - Ví dụ khi làm toán: đọc hiểu nội dung, nêu rõ yêu cầu bài toán là gì, cần kiến thức

nào để vận dụng.

 Mỗi GV đã đưa ra một số ý (chưa đủ) về biểu hiện TDPT của SV đại học khối

ngành kinh tế, kĩ thuật khi học TCC. Những ý kiến đó là như sau:

- SV có thể suy xuôi, suy ngược. - SV có tính chủ động tìm hiểu vấn đề, có kĩ năng tư duy (khi gặp vấn đề thì tìm

hiểu chi tiết).

- Xử lí thông tin để đánh giá vấn đề (biết tìm thông tin liên hệ với bài toán; sắp

xếp, xâu chuỗi liên hệ; phân tích mối liên hệ,…).

- Xác định hướng giải và lựa chọn hướng phù hợp; trả lời được các câu hỏi gợi ý

của GV.

- Suy luận, phân dạng, chia nhỏ, phân tích cái đã cho và cái cần tìm, nêu vấn đề cần giải quyết theo từng mức độ (biết đánh giá cái dễ, cái khó, cái nào làm trước, cái nào

làm sau).

- Xem xét, đánh giá; chia nhỏ kiến thức; nhìn nhận theo nhiều chiều; lập luận chặt

chẽ, logic.

- Có thể phân tích bài toán liên quan đến chuyên ngành. - Khi SV học lý thuyết, để hiểu được các tính chất, SV cần thao tác từng phần bằng cách tính toán ở các ví dụ riêng lẻ. Khi SV làm bài tập, họ cần phân tích một cách cụ thể

xem đề bài cho cần những điều gì, cái gì là đúng, trường hợp nào đúng,… Để giải quyết

bài tập họ phải phân tích các khâu của lời giải, chia lời giải thành từng phần để giải quyết

từng công đoạn của bài toán và đi đến được lời giải.

Các GV cho rằng khó để nói về mức độ của các biểu hiện một cách rõ ràng, nhưng có thể dựa trên những ví dụ, những tình huống cụ thể. Chẳng hạn: Nếu SV tự xác định được các hướng giải bài toán và phân tích, lựa chọn được hướng giải phù hợp nhất thì TDPT của họ sẽ tốt hơn so với trường hợp GV phải đưa ra gợi ý cho các hướng giải và SV chỉ phân tích, lựa chọn hướng.

 Khi nói về một số biện pháp GV đã thực hiện trong dạy học TCC theo hướng phát

triển TDPT cho SV, mỗi GV đã đưa ra một số ý.

GV1: Từ một bài toán đặt ra, GV phân tích rõ ràng, mạch lạc, logic (từ đơn giản

đến phức tạp)(làm mẫu cho SV), rồi đề nghị SV tìm phương pháp giải khác, có thể sử dụng sơ đồ để giúp phân tích rõ ràng; GV tự đặt ra các câu hỏi cho SV và ngược lại; GV đề nghị SV suy nghĩ sâu lời giải.

GV2: Luôn đặt ra các câu hỏi (khái niệm này liên quan đến khái niệm cũ như thế nào. Đối tượng này có những đặc điểm, đặc tính như thế nào – dựa vào mục đích bài học, để tăng tính phân tích, để SV phải trả lời câu hỏi); Sau khi SV giải xong một bài tập, cho SV suy nghĩ về một bài toán mà có sự biến đổi một phần so với bài toán ban đầu; Thỉnh

thoảng cho SV làm việc nhóm (để SV trao đổi, khi SV bày tỏ quan điểm thì họ sẽ hiểu kĩ hơn, sẽ có thêm nhiều cách nhìn khác nhau).

GV3: Sử dụng sơ đồ tư duy, sơ đồ phân tích đi lên; Cho SV xác định một số hướng

trước khi giải; Thỉnh thoảng cho SV tìm bài toán mở rộng, bài toán tương tự.

GV4: Yêu cầu SV tìm các mối liên hệ, các kiến thức liên quan đến bài toán cần

giải;Yêu cầu SV xác định hướng giải và phân tích rồi lựa chọn hướng; Sử dụng phương

pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề; Cho SV làm việc nhóm.

GV5: Giao bài tập từ dễ đến khó cho SV. Cho SV làm bài tập lớn, tiểu luận, bài tập

có liên hệ với chuyên ngành.

GV6: Khuyến khích, động viên SV suy nghĩ một vấn đề dưới nhiều khía cạnh, tìm

những kiến thức liên quan gần. Trong trường hợp có thể, cố gắng tìm các cách giải khác

nhau cho bài toán.

GV7: Nêu mục đích và phân tích ngược; Sử dụng sơ đồ tư duy khi phân tích; Nâng

cao tính tự học của SV (Yêu cầu SV học nhóm ở nhà và thỉnh thoảng nhóm sẽ trình bày

trên lớp).

 Các biện pháp của mỗi GV là chưa đủ và chưa cụ thể trong cách thực hiện.

 Khi trao đổi thêm với chúng tôi về những ý khác, một số GV cho rằng: - GV có thể hướng dẫn để SV biết cách tự đặt câu hỏi chi tiết và tự trả lời. Tuy nhiên, khi giảng dạy trên lớp, GV không nên dùng các câu hỏi đó để gợi ý cho SV giải bài

toán, cũng nên bỏ qua các câu hỏi quá dễ.

- Dạy học TCC có thể giúp phát triển tư duy phân tích cho SV. Chẳng hạn, khi học TCC, nhiều SV vẫn chưa chủ động trong tư duy, thường chỉ làm đúng theo những điều

GV yêu cầu. Khi GV đưa ra bài toán và đề nghị SV giải thì một số SV sẽ giải luôn mà

không suy nghĩ hướng (và có thể không tìm ra kết quả). Tuy nhiên, nếu GV đề nghị SV xác định hướng giải rồi đánh giá để lựa chọn hướng thì SV cũng sẽ làm như vậy. Nếu các hoạt động này được thực hiện thường xuyên thì SV sẽ hình thành thói quen, khi đó biểu hiện TDPT của họ sẽ tốt hơn.

Ngoài ra, các GV nhất trí với những quan niệm của chúng tôi về TDPT, một số biểu hiện của TDPT và các mức độ. Họ cũng cho rằng bước đầu các biện pháp chúng tôi nêu ra có vẻ hợp lí.

c) Kết quả các bài kiểm tra của SV Những đánh giá về TDPT của SV đã được chúng tôi thực hiện trước khi xây dựng các biện pháp thực nghiệm. Tuy nhiên, trong thời gian giảng dạy thực nghiệm, chúng tôi tiếp tục tìm hiểu về thực trạng TDPT của SV qua việc xem xét những biểu hiện TDPT của SV các lớp đối chứng. Chúng tôi đã có thêm nhận xét từ việc phân tích một số bài kiểm tra của SV Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông. Đó là những bài kiểm tra trước

thực nghiệm dành cho các lớp TN1, ĐC1 và bài kiểm tra trong thời gian thực nghiệm của

lớp ĐC2. Những phân tích về đề kiểm tra và bài làm của SV (ở chương 3 và phần phụ lục) đã chứng tỏ phần nào TDPT của SV còn nhiều hạn chế: Nhiều SV không tìm hiểu kĩ

các khái niệm, định lí; lập luận không dựa trên căn cứ,…

1.7.3. Kết luận về thực trạng dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư

duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành Kinh tế, kĩ thuật

Từ một số kết quả ở trên và những nhận xét trong quá trình trực tiếp giảng dạy,

chúng tôi cho rằng:

Nhìn chung, trong học TCC, SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật hiện nay chưa có nhiều biểu hiện của TDPT. Nhiều SV chưa chủ động trong tư duy; chưa chú ý tìm hiểu

bản chất; không tìm hiểu chi tiết về các khái niệm, định lí; không nêu được ý nghĩa của

khái niệm để áp dụng vào việc giải bài toán thực tế hoặc bài toán liên quan đến chuyên

ngành. Nhiều SV chưa chú ý đến việc tìm và sửa chữa các thông tin sai. Nhiều SV vẫn đặt

những câu hỏi không đúng, hoặc chung chung. Một số SV đưa ra những phán đoán hoặc

kết luận không dựa trên căn cứ. SV ít sử dụng các thao tác so sánh, tương tự, đặc biệt hóa

để đưa ra phán đoán. Nhiều SV chưa biết vận dụng các dạng sơ đồ để giúp cho quá trình

suy luận được rõ ràng, mạch lạc hơn. Họ chưa tạo được thói quen xem xét, lường trước

một vài hướng giải cho bài toán và và phân tích các ưu, nhược điểm của các cách giải đó.

Ít SV có thói quen rút ra nhận xét hay bài học kinh nghiệm cho bản thân,…

Mỗi GV đã có nhận thức đúng về tầm quan trọng của TDPT và đã giảng dạy TCC

theo hướng phát triển TDPT cho SV, nhưng các biện pháp là chưa đủ và trong cách thực

hiện vẫn chưa có phương pháp cụ thể. Do GV chưa hình dung được hết những biểu hiện cần có của TDPT nên ít chọn lựa được các ví dụ phù hợp, chưa thiết kế được những hoạt

động tương ứng với các biểu hiện và chưa trang bị cho SV những phương pháp thường dùng đối với TDPT.

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Từ những nghiên cứu về cơ sở lí luận và thực tiễn ở trên, chúng tôi xin được rút ra

một số kết luận sau:

TDPT có các đặc điểm chung của tư duy, cần có thao tác phân tích, cần chia nhỏ và tìm các mối liên hệ. Một trong những lỗi mắc phải khi phân tích là phân tích không sâu sắc. Từ những ý cơ bản trên, có thể quan niệm: Tư duy phân tích là kiểu tư duy tìm hiểu về đối tượng một cách rõ ràng và sâu sắc. Quá trình tư duy diễn ra dựa trên việc xem xét các bộ phận của đối tượng và mối liên hệ giữa chúng với nhau, với tổng thể và các yếu tố bên ngoài. Từ đó suy ngẫm, phán đoán, rút ra những kết luận hợp lí dựa trên những căn cứ và lập luận logic. Khái niệm về TDPT như trên có các điểm chung với một số quan

niệm của các tác giả khác đồng thời phù hợp với cách suy nghĩ của SV khi học TCC và

khi phân tích một số vấn đề trong cuộc sống, khi học các môn chuyên ngành.

TDPT có mối liên hệ chặt chẽ với tư duy tổng hợp, tư duy sáng tạo và năng lực

giải quyết vấn đề.

Dựa trên các yếu tố cơ bản của tư duy kết hợp với đặc điểm của TDPT (chia nhỏ, tìm mối liên hệ, rõ ràng, sâu sắc,…) và đặc điểm TCC; đặc điểm SV đại học khối ngành

kinh tế, kĩ thuật; những hoạt động của SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật khi học TCC, chúng tôi xác định một số biểu hiện TDPT của SV trong dạy học TCC là: Xác định

mục đích tư duy, chia nhỏ mục tiêu; Xác định hướng nhìn; Tìm hiểu thông tin một cách rõ

ràng, sâu sắc; Hiểu các khái niệm (định lí, mệnh đề, quy tắc, phương pháp) một cách rõ

ràng, sâu sắc và có thể sử dụng để giải quyết vấn đề; Phán đoán có cơ sở, liên quan đến

vấn đề đặt ra; Suy luận rõ ràng và sâu sắc, theo từng bước, dựa trên căn cứ, liên quan

đến vấn đề đặt ra; Đặt câu hỏi phân tích.

Các biểu hiện TDPT của SV được xem xét khi SV thực hiện các hoạt động. Căn

cứ vào sự phân bậc các hoạt động và những phần SV thể hiện được trong yêu cầu của các

biểu hiện đã nêu, chúng tôi đưa ra một số mức độ biểu hiện TDPT của SV, có những ví dụ

minh họa cụ thể trong dạy học TCC. Mức 1: SV thể hiện được một phần trong yêu cầu của

mỗi biểu hiện ở trên nhưng cần sự gợi ý của GV. Mức 2: SV thể hiện được một phần trong

yêu cầu của mỗi biểu hiện như trên mà không cần sự gợi ý của GV. Mức 3: SV có các biểu

hiện như đã nêu trên mà không cần sự gợi ý của GV. Ngoài ra, với mỗi mức đã nêu, trong

các tình huống phù hợp, chúng tôi có thể xem xét các mức nhỏ hơn dựa trên sự phức tạp của đối tượng hoạt động; tính trừu tượng và khái quát của đối tượng hoạt động, nội dung

của hoạt động hoặc sự phức hợp của hoạt động.

Qua việc tham khảo một số quan niệm về sự phát triển tư duy, phát triển tư duy cho học sinh trong dạy học, phát triển tư duy phân tích cho người học, chúng tôi cho rằng

dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV được hiểu là kiểu dạy học ở đó GV giúp cho TDPT của SV được nâng dần lên mức độ cao hơn, dựa trên việc trang bị cho SV cách tư duy kết hợp với nền tảng kiến thức vững chắc và tạo các hoạt động phù hợp để SV thực hiện. Trong dạy học theo hướng này, GV cần dựa vào các biểu hiện của TDPT của SV trong dạy học TCC để chọn lựa nội dung, phương pháp dạy học, thiết kế bài học theo chuỗi các hoạt động sao cho khi SV thực hiện các hoạt động đó thì sản phẩm của SV thể hiện được mức độ TDPT của SV.

Từ những kết quả thu được khi khảo sát thực trạng, đối chiếu với những biểu hiện cần có của TDPT của SV khi học TCC và quan niệm dạy học TCC theo hướng phát triển

TDPT cho SV, chúng tôi thấy rằng TDPT của SV còn hạn chế. Nhiều GV chưa xác định

được đầy đủ các biểu hiện TDPT của SV trong học TCC nên chưa chọn lựa được nội

dung, phương pháp phù hợp để dạy học nhằm phát triển TDPT cho SV.

Một số nội dung cơ bản trên là những vấn đề mới mà chúng tôi chưa tìm thấy trong

các nghiên cứu trước. Một phần của những nội dung này đã được đăng trong bài báo thứ 6 thuộc danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án.

Những kết quả nghiên cứu về cơ sở lí luận và thực tiễn ở trên sẽ là cơ sở để chúng

tôi đề xuất một số biện pháp dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV.

CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP DẠY HỌC TOÁN CAO CẤP THEO HƯỚNG PHÁT

TRIỂN TƯ DUY PHÂN TÍCH CHO SINH VIÊN

Trên cơ sở lý luận và thực tiễn đã nêu ở chương 1, chúng tôi định hướng và xây

dựng một số biện pháp dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV đại học khối

ngành kinh tế, kĩ thuật.

2.1. Định hướng xác định các biện pháp

2.1.1. Các biện pháp được xây dựng đảm bảo nguyên tắc dạy học đại học Hệ thống các nguyên tắc dạy học đại học là (theo [25], tr. 70): - Nguyên tắc đảm bảo sự thống nhất giữa tính khoa học, tính giáo dục và tính nghề

nghiệp.

Với nguyên tắc này, ngoài việc trang bị cho SV những kiến thức cơ bản, chuyên ngành, cần phải từng bước trang bị cho SV phương pháp nghiên cứu, phương pháp tự học, có thói quen suy nghĩ và làm việc một cách khoa học.

- Nguyên tắc đảm bảo sự thống nhất giữa lí luận và thực tiễn trong nghề nghiệp. - Nguyên tắc đảm bảo sự thống nhất giữa cái cụ thể và cái trừu tượng. Ở trường đại học, nhiều nội dung được bắt đầu không phải từ những cái cụ thể mà từ những tài liệu lí thuyết trừu tượng, bởi vì SV là những thanh niên mà sự nhận thức đã được phát triển ở mức độ cao, đủ để họ có thể hiểu được những vấn đề trừu tượng. Hơn nữa thời gian học chỉ có hạn và nội dung dạy học có tính chất phức tạp, khái quát cao.

Tuy nhiên, ở một số nội dung khi trình bày cũng cần phải có tính trực quan (sử dụng sơ đồ, hình vẽ, đồ thị, mô hình, quan sát hiện tượng bằng các phương tiện kĩ thuật…) một cách phù hợp.

- Nguyên tắc đảm bảo tính vững chắc của tri thức và tính mềm dẻo của tư duy. - Nguyên tắc đảm bảo giữa tính vừa sức chung và tính vừa sức riêng của SV trong

quá trình dạy học.

Với nguyên tắc này, GV phải xây dựng được những dạng bài tập phù hợp với từng

đối tượng SV.

- Nguyên tắc đảm bảo sự thống nhất giữa vai trò tự giác, tích cực, độc lập của SV

với vai trò chủ đạo của GV trong quá trình dạy học.

TDPT đòi hỏi phải tìm hiểu vấn đề một cách rõ ràng và sâu sắc. Như vậy, khi dạy học trên lớp, có một số tình huống mà GV phải dẫn dắt SV để tìm hiểu vấn đề một cách

chi tiết, kĩ lưỡng (giống như đó là một kiểu mẫu để SV suy nghĩ theo). Tuy nhiên, cần

phải đảm bảo tính độc lập cao trong tư duy của SV, nên trong mọi bài học, GV không

được diễn giải chi tiết nhiều, mà cần SV thực hiện điều đó. Thời gian trên lớp cũng không

đủ để trình bày như vậy, do đó cần tập trung nhiều trong những hoạt động tự học ở nhà.

Đặc biệt, với những nội dung dễ hiểu, SV có thể tự đọc.

-Nguyên tắc đảm bảo sự thống nhất giữa cá nhân và tập thể trong quá trình dạy học

ở đại học.

Với nguyên tắc này, nên cố gắng để SV có những hoạt động tập thể, chẳng hạn:

làm việc nhóm (trên lớp và ở nhà)… 2.1.2. Các biện pháp tác động đến sự phát triển tư duy phân tích

Với định hướng nêu trên, các biện pháp cần được xây dựng nhằm tác động đến sự phát triển của TDPT, làm cho các biểu hiện của TDPT của SV được tốt hơn. Như vậy, GV phải thiết kế các hoạt động, tổ chức các tình huống dạy học phù hợp với các biểu hiện và mức độ đã nêu.

2.1.3. Các biện pháp có tính khả thi

Chúng tôi cho rằng các biện pháp có thể thực hiện được nếu thỏa mãn một số yêu

cầu chính sau:

- GV hiểu rõ về yêu cầu đặt ra của bài dạy với mục đích phát triển TDPT cho SV. - GV nhận thấy việc tìm các ví dụ và bài tập cho bài giảng không phải là vấn đề

khó.

- GV nhận thấy dạy học theo cách này có ưu điểm, có thể làm cho bài giảng sinh động hơn, SV hiểu bài và học hào hứng hơn, đồng thời các ví dụ đưa ra có ý nghĩa, giúp SV vẫn làm được bài kiểm tra theo cách thông thường, làm được bài thi chung của trường khi kết thúc môn học.

- Việc giảng dạy theo các biện pháp này không ảnh hưởng đến tiến độ dạy học,

không làm GV thiếu thời gian khi dạy học trên lớp.

- SV có thể hiểu được các nội dung học và thực hiện được những yêu cầu mà GV

đề ra.

- SV không phải làm quá nhiều bài tập về nhà và quá nhiều bài kiểm tra, vì điều đó sẽ tạo áp lực cho họ và khi đó họ sẽ chỉ làm bài tập một cách hình thức, không thực sự cố gắng suy nghĩ khi làm bài.

- SV nhận thấy cách suy nghĩ khi học các nội dung toán là có ích cho họ trong thực

tế nói chung và trong các bài kiểm tra, trong kì thi kết thúc môn học.

- Các ví dụ và bài tập làm cho SV chú ý và cảm thấy hứng thú khi học.

2.2. Một số biện pháp dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật

2.2.1. Biện pháp 1: Tăng cường cho sinh viên thực hiện các hoạt động chia nhỏ kiến

thức, tìm hiểu từng phần và tìm các mối liên hệ

a) Mục đích của biện pháp

Giúp SV hình thành thói quen và có thể thực hiện thành thạo các hoạt động chia

nhỏ, tìm hiểu từng phần và tìm các mối liên hệ trong quá trình tư duy. SV có thể chia nhỏ

mục tiêu, chia các hướng giải; diễn giải chi tiết, sắp xếp, phân loại, tổng hợp thông tin;

phán đoán, suy luận sâu theo từng bước, chia nhỏ câu hỏi, hiểu rõ và vận dụng tốt hơn về

các khái niệm, định lí,…

b) Căn cứ xây dựng biện pháp

Vì các hoạt động chia nhỏ, tìm hiểu từng phần và tìm các mối liên hệ có trong yêu

cầu của của TDPT và SV hiện nay nhìn chung chưa thực hiện tốt.

Khi SV thường xuyên thực hiện các hoạt động để những kĩ năng trở nên thành

thạo, in vào trí nhớ, thì tư duy của họ sẽ tốt hơn.

Robert J. Sternberg cho rằng: Kĩ năng tư duy sẽ không được phát triển nếu chúng ta không sử dụng chúng. Người học cần được khuyến khích vận dụng các kĩ năng tư duy, được hướng dẫn để sử dụng chúng. Kĩ năng tư duy phải trở thành một bộ phận của chương trình học tập và một phần của đời sống hằng ngày” ([13], tr. 55).

“Theo quan điểm hoạt động, trong quá trình dạy học, nếu giáo viên thiết kế, tổ chức cho học sinh được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động thì học sinh sẽ hiểu sâu, nhớ lâu các kiến thức hơn” ([36], tr. 68).

c) Cách thực hiện

Trong dạy học, GV tổ chức cho SV thực hiện các hoạt động chia nhỏ; giải thích; tìm các mối liên hệ khi xem xét thông tin, tìm hiểu khái niệm, định lí, đặt câu hỏi, dự đoán, suy luận,…; liên hệ kiến thức TCC với một số vấn đề trong thực tế hoặc chuyên ngành.

Việc chia nhỏ đối tượng theo cách nào tùy thuộc vào đặc điểm đối tượng, mục

đích của hoạt động, phụ thuộc vào từng trường hợp cụ thể. SV cần phải nhìn sơ lược tổng

thể, có thể giải thích được về từng phần, hiểu rõ ý nghĩa của các câu, các từ, cụm từ,…, có

thể diễn đạt theo nhiều cách, có thể minh họa hoặc cho ví dụ, đưa ra nhận xét.

- GV có thể đưa ra các cụm từ để hỏi như sau: Tại sao? nghĩa là thế nào? có ý nghĩa

gì? Em có nhận xét gì? Hãy phân tích…

- GV thiết kế cho SV các tình huống yêu cầu tìm hiểu kĩ từng chi tiết. - Sử dụng các bài tập thay đổi một số thuộc tính của khái niệm, tính chất.

- Sử dụng các bài tập có chứa tham số, vì dạng bài tập này sẽ đòi hỏi SV phải phân

chia lời giải thành các trường hợp và có sự lập luận tương ứng đối với mỗi trường hợp đó.

Ví dụ 2.1: (Dựa theo [87], tr. 102)

  tồn tại



l (

  nếu với mỗi

)

* 0n   sao cho

Ở phần giới hạn dãy số, sau khi SV học xong định nghĩa giới hạn:

(

  n



)

    u



“ lim   n

và đã có ví dụ minh họa. GV có thể cho SV trả lời các câu hỏi sau:

 

10000

1. Giải thích ý nghĩa của  và 0n trong định nghĩa.

n  0

1 10

2. Có thể giới hạn được không? Có thể giới hạn được

không? Từ việc trả lời câu hỏi này, bạn rút ra nhận xét gì?

 

1 3k

 được không?

u luận rằng lim n



 thì l có phải là duy nhất không?

3. Nếu trong định nghĩa, thay trong đó k là số tự nhiên bất kì thì có thể kết



4. Số 0n có phải là duy nhất không? 5. Nếu lim n l u

6. Số 0n có phụ thuộc  không? 7. Việc tìm giới hạn dãy số có ý nghĩa gì?

Bài tập trên đòi hỏi SV phải tìm hiểu kĩ từng ý nhỏ trong định nghĩa, hiểu được ý

n l 0, , )

nghĩa của mỗi yếu tố, mối quan hệ giữa các yếu tố (giữa , có thể diễn đạt lại định

nghĩa theo một cách khác, tự rút ra nhận xét. GV có thể đưa bài tập vào phần việc về nhà của SV hoặc để củng cố trong bài giảng trên lớp (SV làm việc nhóm, mỗi nhóm trả lời một

ý). Ví dụ như trên nhằm giúp SV hiểu các khái niệm (định lí, thông tin,…) một cách chi

tiết, rõ ràng, sâu sắc.

Về việc chỉ ra các mối liên hệ, theo Giáo trình Những nguyên lí cơ bản của chủ

nghĩa Mác - Lê nin ([5], tr. 69), “Trong phép biện chứng, khái niệm mối liên hệ dùng để

chỉ sự quy định, sự tác động và chuyển hóa lẫn nhau giữa các sự vật, hiện tượng, hay giữa

các mặt, các yếu tố của mỗi sự vật, hiện tượng trong thế giới”.

Như vậy, việc chỉ ra mối liên hệ giữa các yếu tố là vấn đề rộng, đòi hỏi SV phải thường xuyên chú ý đến các tình huống, các nội dung đã học. Chẳng hạn, từ công thức:

arcsin



arccos

 ta thấy hàm arcsin x có mối liên hệ với hàm arc cosx (Dựa theo

 2

[28], tr. 141).

Khi giải quyết vấn đề, cần liên tưởng đến nhiều mối liên hệ, sau đó sẽ sàng lọc, lựa

B (2)

chọn mối liên hệ phù hợp với tình huống.

Mối liên hệ giữa A và B có thể biểu hiện theo nhiều dạng, chẳng hạn: + A B (1) + A + A là điều kiện để có B (3) + A kết hợp với C thì có B (4) ,A B kết hợp với D thì có Y (6) + A kết hợp với B thì có X (5) + + B là thuộc tính của A (7). + A và B có chung tính chất C (8)

+ Muốn tìm (chứng minh) A thì phải tìm (chứng minh) B (9)

,A B và C bị ràng buộc bởi một biểu thức hay quy tắc nào đó (11).

+ A và B bị ràng buộc bởi một biểu thức hay quy tắc nào đó (10) +

… ,A B có thể là các mệnh đề, công thức,…) (

Xác định mối liên hệ dạng A B giúp cho việc suy luận theo từng bước, chứng

A Với mối quan hệ này, A là điều kiện đủ của B và B

)

 Như vậy, muốn

f x 0(

( )

minh bằng phản chứng (

f x  , vì

( )

là điều kiện cần của A , vì vậy trong nhiều trường hợp ta có thể sử dụng phương pháp loại trừ. Chẳng hạn: Nếu f khả vi tại 0x và đạt cực trị tại 0x thì tìm cực trị của f , ta chỉ cần xét những điểm làm cho f không khả vi hoặc

f x  0.

đã loại bỏ các điểm mà tại đó

kf ( )(0)

Việc chỉ rõ các mối liên hệ cũng giúp SV xác định hướng nhìn tốt hơn. Chẳng hạn: f x dựa vào việc tính các đạo hàm cấp cao Có thể viết công thức Maclaurin của hàm số ( )

f x của hàm số ( ).

của f tại 0. Như vậy, có một cách tính khi đã biết công thức khai triển Maclaurin

Các mối liên hệ dạng (4),(5),(6) thường xuất hiện trong quá trình giải toán, việc xét những mối liên hệ này chính là đã dùng thao tác tổng hợp. Xác định các mối liên hệ dạng (3) giúp cho việc sắp xếp thứ tự khi trình bày, lập luận logic, hiểu rõ về cấu trúc hệ thống…

SV cần được thực hiện các hoạt động phân loại, hệ thống hóa, sắp xếp tài liệu, sắp

xếp các ý chính theo thứ tự phù hợp.

Theo Sacđacốp, “nhờ được tập luyện phân loại khi nghiên cứu một khoa học nào

đó học sinh sẽ lĩnh hội các khái niệm trong mối liên hệ lẫn nhau của chúng, trong sự tổng

quát và phụ thuộc lẫn nhau của chúng, tức là trong một hệ thống nhất định, chứ không

phải là tách rời khái niệm này với khái niệm khác” ([44], tr. 156).

Sacđacốp cho rằng “Hình thức thứ hai của việc hệ thống hóa, cụ thể là việc hệ

thống hóa các tài liệu học tập hoặc tài liệu khác nào đấy, là việc sắp xếp các phần của một

thể hoàn chỉnh (các đề mục của bài học, các đoạn trong sách giáo khoa, trong báo cáo)

theo một trình tự nào đó, theo một hệ thống nhất định. Trong đó các phần riêng lẻ được

sắp xếp trong những mối quan hệ lẫn nhau nhất định tạo thành một thể hoàn chỉnh thống

nhất” ([44], tr. 159).

Khi nói đến cấp độ phân tích, Bloom cũng cho rằng cần tìm hiểu về mối liên hệ

giữa các yếu tố, giữa các ý trong một đoạn, mối liên hệ về nguyên tắc tổ chức, cấu trúc hệ

thống,... ([67], tr. 146).

Ví dụ 2.2: Trong dạy học về đạo hàm, để giúp SV dần tạo thói quen tìm mối liên hệ giữa kiến thức TCC với vấn đề trong chuyên ngành, đồng thời tìm hiểu thông tin một cách rõ ràng, nhận ra thông tin sai, sắp xếp thông tin, lập luận logic, GV có thể lấy một đoạn viết có nội dung phù hợp, làm sai sót một vài chỗ đồng thời xáo trộn các ý, sau đó đề nghị SV sửa lại, chẳng hạn như sau (dựa theo ([46], tr.171)):

Sắp xếp lại phần trình bày sau đồng thời sửa lỗi (nếu có):

( )C x là tổng chi phí mà công ty bỏ ra khi sản xuất x đơn vị hàng hóa nào

Giả sử

  ) ta có: n x  tức là, tốc độ biến thiên tức thời của chi 0,

đó. Hàm C được gọi là hàm chi phí x  và n lớn (sao cho Lấy 1 Giới hạn của đại lượng này khi

lim   0 x

C dC    x dx

phí theo số sản phẩm được sản xuất, được các nhà kinh tế gọi là chi phí biên.

( )C x 

2x thì chi phí tăng thêm là

Chi phí biên là:

C C x (

C x (



)

Nếu số lượng được sản xuất tăng từ 1x lên   )

C x (

)



C x (

)

C x (

   x

)

C x (

)



 

C x





1 x

  ( ) C n

C n (

C n ( )

2   1)

và tốc độ biến thiên trung bình của chi phí là

Do đó chi phí biên để sản xuất n đơn vị sản phẩm xấp xỉ bằng chi phí sản xuất

n  ). 1

thêm một đơn vị sản phẩm (sản phẩm thứ

( )C x

  



Người ta thường biểu diễn xấp xỉ hàm tổng chi phí bằng đa thức

, trong đó a biểu thị cho chi phí chung (phí thuê nhà, sưởi ấm,

bảo trì) và các số hạng khác biểu thị cho chi phí nguyên vật liệu, nhân công và v.v…(chi phí nguyên vật liệu có thể tỉ lệ với x , nhưng chi phí nhân công có thể tùy thuộc một phần vào lũy thừa bậc cao hơn của x bởi vì chi phí làm ngoài giờ và sự không hiệu quả được chứa trong hoạt động quy mô lớn).

x 0, 02

Ví dụ, giả sử công ty ước tính chi phí (đô la) sản xuất x sản phẩm là    ( ) C x

C x ( )



10000

  x 5

x 0, 01

C 

(500)

  5

0, 02.500



thì hàm chi phí biên là

x 

500

($/đơn vị)

Đây là mức tăng của chi phí theo mức sản xuất khi và dự báo chi phí của

đơn vị sản phẩm thứ 501.

GV có thể sử dụng ví dụ trên làm bài tập cho SV khi học ở nhà. Trước tiên, SV phải tự tìm đọc tài liệu liên quan đến một số từ khóa chính trong đoạn: hàm chi phí, chi phí biên, mối liên hệ giữa chi phí biên với đạo hàm. Sau đó, SV chia đoạn trình bày thành các phần nhỏ (mỗi phần có thể là một hoặc vài câu), tìm ý chính của các phần nhỏ đó và mối quan hệ logic giữa các ý (thử ghép và kiểm tra sự hợp lí khi nối phần này với phần kia), đánh số thứ tự vào mỗi phần nhỏ sau đó sắp xếp dựa theo các số đó và sửa lỗi.

Khi phân tích và trong dạy học toán, người ta thường chú ý đến một số mối liên hệ dạng “Muốn tìm (chứng minh) A thì phải tìm (chứng minh) B ”, mối quan hệ nhân quả, mối quan hệ cái chung - cái riêng.



sin(min( , ))

x a dx



Để tìm ra mối liên hệ “Muốn tìm (chứng minh) A thì phải tìm (chứng minh) B ”, trước tiên SV phải đặt và trả lời câu hỏi: A có liên hệ với những đối tượng nào? Sau đó SV suy luận, lựa chọn để tìm B . Có thể thấy rõ hơn mối quan hệ này nếu sử dụng dạng sơ đồ suy xuôi, suy ngược (chúng tôi sẽ trình bày thêm ở phần sau).



,x a 

  x



]

[0,



]).

Ví dụ 2.3: Tìm a   để phương trình có nghiệm.

0 Phân tích hướng giải: Trước hết cần xác định hàm dưới dấu tích phân  so sánh chia các trường hợp  tìm khoảng chia (Biết tích phân xác định trên [0,



sin(min( , )),

x a

 [0,

f x Tổng hợp (Giải): Đặt ( )

a  thì min( , )x a

a ,

+ Nếu





sin(min( , ))

x a dx

sin

adx





.sin



 

  0

sin

  

k (

   

0, 1, 2, 3,...).

0 





sin(min( , ))

x a dx



sin(min( , ))

x a dx





  thì







sin

xdx



sin

adx

  1

a cos

  ( 

)sin









sin

xdx

  2

x

+ Nếu 0

x a  thì min( , )





sin(min( , ))

x a dx



 k

k (



 k

+ Nếu a



Vậy với các giá trị thì phương trình có

nghiệm.

Ví dụ trên đòi hỏi phải phân chia trường hợp. Việc phân tích hướng giải đã thể hiện tìm kiếm mối liên hệ dạng suy ngược “Muốn tìm A thì phải tìm B”. Điều này cũng giúp xác định và chia nhỏ mục tiêu, chia hướng giải quyết vấn đề theo từng bước.

Theo Giáo trình Những nguyên lí cơ bản của chủ nghĩa Mác- Lênin, “Phạm trù nguyên nhân dùng để chỉ sự tác động lẫn nhau giữa các mặt trong một sự vật, hiện tượng, hoặc giữa các sự vật, hiện tượng với nhau, từ đó tạo ra sự biến đổi nhất định. Phạm trù kết quả dùng để chỉ những biến đổi xuất hiện do sự tác động giữa các mặt, các yếu tố trong một sự vật, hiện tượng hoặc giữa các sự vật, hiện tượng” ([5], tr.79).

Một nguyên nhân có thể sinh ra một hoặc nhiều kết quả và một kết quả có thể do một hoặc nhiều nguyên nhân tạo nên. Chẳng hạn: Một kết quả có thể do nguyên nhân trực tiếp, nguyên nhân gián tiếp, nguyên nhân bên trong, nguyên nhân bên ngoài…Ngược lại,

một nguyên nhân có thể dẫn đến nhiều kết quả, trong đó có kết quả chính và phụ, cơ bản

và không cơ bản, trực tiếp và gián tiếp ([5], tr.80).

Việc xác định mối quan hệ nhân quả giúp suy luận suy diễn tốt hơn.

Theo Sacđacốp, câu trả lời về nguyên nhân: “Tại sao?” thường dễ hơn câu trả lời về

kết quả: “điều gì sẽ xảy ra nếu…?”, ở câu này học sinh phải suy nghĩ kĩ và đoán trước

những hậu quả nào có thể xảy ra. Ở mức độ càng cao, học sinh càng tìm ra được nhiều hậu

quả của một nguyên nhân nhất định và theo nhiều hướng khác nhau ([44], tr. 60).

Để dễ dàng nhận ra mối liên hệ nhân quả, SV cần phải thường xuyên trả lời những câu hỏi: “Tại sao?”, “Những điều nào dẫn đến điều này?”, “Điều này sẽ kéo theo những

A 1 



    ...

;

    ...

;



B A ;



,...

A B A B ; 1

B n

B A B 1

B n

A n

          

  A  1       A    n

gì?”, “Những điều này sẽ kéo theo những gì?”… Do đó, khi học TCC, SV cần chú ý những mối liên hệ dạng

Như vậy, SV cần hiểu rõ, ghi nhớ và sử dụng đúng các khái niệm, mệnh đề, định lí, luật logic; biết kết hợp các định lí để suy luận theo nhiều bước. Điều đó cũng giúp SV suy luận suy diễn tốt hơn.

B cần chú ý đến trường hợp đặc biệt: C thay đổi kéo theo D thay đổi. Việc xem xét mối liên hệ này cần thiết khi SV xây dựng nhiều phương án, khi suy nghĩ sâu trong giải quyết vấn đề.

Với mối liên hệ dạng

Nhiều tác giả đã nêu lên tầm quan trọng của việc ghi nhớ đối với quá trình tư duy [54], [58], [33], [57]. Thực tế cũng cho thấy rằng sự suy luận chính là chỉ ra mối quan hệ kết nối giữa các nội dung kiến thức. Nếu SV phải liên tục mở sách để xem lại kiến thức thì họ không thể suy luận được nhiều bước. Hơn nữa, để đọc hiểu tốt thì không phải SV chỉ

cần nhớ những kiến thức liên quan trong bài trước mà ngay khi đang đọc, họ cũng cần phải nhớ được những điều tác giả đã viết ở phần trên. Nếu không làm được như vậy thì SV không thể suy nghĩ một cách rõ ràng về nội dung đang đọc, bởi vì trong một bài đọc TCC có thể gồm nhiều nội dung mới, có liên quan chặt chẽ với nhau.

)

 0.

f x 0(

x bị chặn trong lân cận nào đó của 0.x



Những bài tập thay đổi vòng quanh các từ: “điều kiện cần, điều kiện đủ, và, hoặc, mọi, tồn tại, luôn luôn” có thể giúp SV sử dụng chính xác các khái niệm, định lí, lập luận logic hơn. Ví dụ 2.4: Các phát biểu sau đây là đúng hay sai?

 f x ( )  g x ( )

f x ( ) g x ( )

 

lim  x x 0

e) Nếu có dạng hoặc thì a) Nếu f đạt cực trị tại 0x thì b) Điều kiện đủ để f liên tục tại 0x là f khả vi tại 0.x c) Vì f khả vi tại 0x nên f x ( ) d) Điều kiện cần để f liên tục tại 0x là f khả vi tại 0.x 0 0

lim x  x 0 .f g không liên tục tại 0x nếu f không liên tục tại 0x và g không liên tục tại 0.x

.f g không liên tục tại 0x nếu f không liên tục tại 0x hoặc g không liên tục tại 0.x

g) Điều kiện cần và đủ để f liên tục tại 0x là f khả vi tại 0.x h)

Bài tập trên cũng đòi hỏi SV phải có thêm sự suy luận. Bài tập không được sắp xếp theo thứ tự. Nếu SV sử dụng phương pháp loại trừ dựa vào câu trả lời trước thì họ có thể sắp xếp lại các ý. Ví dụ 2.5: Điền vào chỗ chấm sau (viết ít nhất 15 ý):

f x khả tích trên [ ,

]a b thì…

Nếu hàm số ( )

Đây là dạng bài tập mở giúp SV rèn luyện khả năng ghi nhớ, suy luận bắc cầu theo

nhiều bước, nhìn các mối liên hệ theo nhiều hướng, nhận ra nhiều kết quả từ một nguyên

nhân.

Về mối liên hệ cái chung- cái riêng, theo Giáo trình Những nguyên lí cơ bản của

chủ nghĩa Mác-Lênin, “Phạm trù cái riêng dùng để chỉ một sự vật, một hiện tượng, một

quá trình nhất định; còn phạm trù cái chung dùng để chỉ những mặt, những thuộc tính,

những yếu tố, nhưng quan hệ,…lặp lại phổ biến ở nhiều sự vật, hiện tượng.

Trong mỗi sự vật, ngoài cái chung còn tồn tại cái đơn nhất, đó là những đặc tính, những tính chất,…chỉ tồn tại ở một sự vật, một hiện tượng nào đó mà không lặp lại ở các sự vật, hiện tượng khác” ([5], tr. 77).

Vì cái chung là thuộc tính (mặt, yếu tố,…) của cái riêng và có trong nhiều cái riêng

nên khi xem xét một cái riêng (hoặc một số cái riêng), ta có thể dự đoán cái chung, kiến tạo kiến thức; giúp cho việc phán đoán. Khi xem xét nhiều cái riêng, có thể nhận ra cái chung, từ đó giúp dễ ghi nhớ hơn, giúp khái quát hóa để được kết quả vận dụng trong nhiều trường hợp. Ngoài ra, việc chú ý đến cái đơn nhất cũng giúp xem xét những trường hợp riêng, trường hợp đặc biệt.

Trong dạy học TCC, khi vận dụng mối liên hệ cái chung-cái riêng, SV nên đặt và

trả lời các câu hỏi:

+ A và B có gì chung? + Thuộc tính (đặc điểm,…) nào của A có chung với nhiều cái khác?

+ Những thuộc tính (đặc điểm,…) nào có chung trong những đối tượng này?

+ Những đối tượng nào cùng chung thuộc tính (đặc điểm,…) này với đối tượng A?

+ Thuộc tính nào có trong cái này mà không có trong cái kia?

+ Trường hợp riêng (đặc biệt) của cái này là gì?

+ Cái này là trường hợp riêng (đặc biệt) của những cái nào? + Kết quả khái quát hơn sẽ là như thế nào? (Ý này xuất phát từ câu hỏi: Những đối

tượng nào cùng chung thuộc tính này với đối tượng A?).

… Muốn biết điều dự đoán về cái chung có đúng không, có thể thử đặc biệt hóa. Nếu

thao tác đặc biệt hóa cho kết quả sai thì loại giả thuyết (dự đoán). Nếu thao tác đặc biệt

hóa cho kết quả đúng thì ta tìm cách chứng minh. Khi chứng minh được thì sẽ phát biểu

với trường hợp tổng quát. Sau đó, có thể dự đoán cái chung khác dựa vào thao tác tương

tự hóa.

Việc tìm kiếm mối liên hệ cái chung - cái riêng giúp đưa đến những suy luận tương

x   (

tự, suy luận quy nạp.

  SV có thể suy nghĩ như sau:



 2,

lim  - Xem xét cái riêng: Xét một số trường hợp riêng khi

  ta có:

  ,

x 

 0.

lim 

Ví dụ 2.6: Khi cần tìm giới hạn

)

(Hàm 2x có một thuộc tính là: Có giới hạn  khi x   .

2x có một thuộc tính là: Có giới hạn 0 khi

x  

Hàm

khi







lim 

khi





    0 

(

- Dự đoán (Tìm cái chung - Khái quát hóa):

x    đều có thuộc tính “Có giới

(Dự đoán: Có thể tất cả các hàm số dạng

  công thức đúng. Tương tự, lấy

   công thức

hạn  khi x   ”,…)

- Đặc biệt hóa: Lấy



.ln



đúng.

lim 

x Khi x   thì ln

lim  x x   .

.ln

  

e

- Chứng minh: Thật vậy,

  thì 0

  .

lim 

lim . ln  

.ln

  

e

Nếu

  thì 0

 0.

lim 





khi



Nếu

khi





lim  0 x

lim . ln    0    

- Tương tự:

(Ví dụ như trên thể hiện việc xem xét một thuộc tính chung đối với nhiều cái riêng,

từ đó đưa ra kết quả khái quát hóa).





x   (

x dx a (







)

Việc sử dụng kết hợp các thao tác tác tư duy và suy luận logic như trên giúp SV tư duy có phương pháp hơn. Tình huống này có thể sử dụng khi SV xét sự hội tụ của tích

 và cần tìm

  GV có thể gợi ý để



lim 

phân suy rộng

dxdy



S S (

SV suy nghĩ theo các bước như trên: Xét cái riêng  Dự đoán  Đặc biệt hóa  Chứng minh  Tương tự Ghi nhớ. Ví dụ 2.7: Khi học về tích phân hai lớp, SV đã biết rằng:



f x y + Nếu miền D có tính đối xứng qua trục Ox và biểu thức của ( , )

+ là diện tích miền D ).

f x y dxdy  ( , )

lẻ đối với y



thì

f x y chẵn đối với

f x y dxdy ( , )



f x y dxdy ( , )



f x y dxdy ( , )

y thì



D 1

D 2

+ Nếu miền D có tính đối xứng qua trục Ox và biểu thức của ( , )

,D D lần lượt là nửa trên, nửa dưới của D ).

(

.Oy

Như vậy, họ có thể suy ra trường hợp miền D có tính đối xứng qua trục

Tương tự, khi học tích phân ba lớp, SV có thể nghĩ đến việc tìm những điểm chung

 dxdydz V V

(

với tích phân hai lớp. Từ đó, có thể đưa ra dự đoán rằng:



f x y z , )

là thể tích miền V ) +

z  và biểu thức của ( ,

f x y z dxdydz  ( ,

, )

+ Nếu miền V có tính đối xứng mặt phẳng lẻ đối



với z thì

z  và biểu thức của ( ,

f x y z chẵn , )

+ Nếu miền V có tính đối xứng mặt phẳng

f x y z dxdydz ( , , )



f x y z dxdydz ( , , )



f x y z dxdydz ( , , )



V 1

V 2

2,V V lần lượt là nửa trên, nửa dưới của V ). ( 1 Hơn nữa, để xét nhiều đối tượng có chung thuộc tính (khi hàm số bằng 1; khi miền lấy tích phân có tính đối xứng và hàm chẵn, lẻ), SV có thể tổng kết lại và xâu chuỗi kiến thức. Xuất phát từ tính chất của tích phân xác định với hai cận đối nhau

’

khi f le a

f x dx ( )



 , các tích phân hai lớp, ba lớp, tích phân đường, tích

f x dx khi f chan ( )

 a



  

đối với z thì

phân mặt được tính bằng cách đưa về tích phân xác định, do đó có thể áp dụng tính chất này để rút ra nhận xét tương tự. Các trường hợp trên cũng đúng khi miền lấy tích phân

đối xứng qua trục tọa độ hoặc các mặt phẳng tọa độ khác.

Cái chung có trong nhiều cái riêng, nhưng có thể không phải trong mọi cái riêng,

nên cần phải dự đoán những đối tượng nào có cùng cái chung. Điều này liên quan đến việc

sử dụng các thao tác so sánh và tương tự. (Nếu đối tượng X có các tính chất A, B, C, D và đối tượng Y có các tính chất A, B, C thì có thể đối tượng Y cũng có tính chất D).Ngoài ra,

cũng cần sử dụng thao tác trừu tượng hóa khi xét một vài thuộc tính chung nào đó trong

cái riêng mà không quan tâm đến các thuộc tính khác.

Trong một số trường hợp khi dự đoán về cái chung, có thể phân tích cái riêng thành

các yếu tố, nhìn nhận mỗi yếu tố theo nhiều hướng, hoặc phát biểu về yếu tố một cách

x bằng định nghĩa, thấy kết

x 2 .

tổng quát hơn. Chẳng hạn, khi tính đạo hàm của hàm số

 

nx  n 1.

quả là Vậy có thể đưa ra một phán đoán về cái chung khi thay số mũ 2 bằng số

n x thì

mũ n : Với hàm số

Tóm lại: * Việc chia nhỏ, tìm hiểu từng phần và các mối liên hệ giúp SV hiểu rõ về thông tin, khái niệm, định lí; nhìn nhận theo một số hướng; chia nhỏ mục tiêu; có thể suy luận rõ ràng, sâu sắc; phán đoán có cơ sở; lập luận logic; giúp ghi nhớ, GQVĐ.

* Để giúp SV nhận ra các mối liên hệ, GV nên gợi ý và tạo cơ hội để SV thường

xuyên luyện tập các hoạt động:

- Chỉ ra một số mối liên hệ thường gặp, lựa chọn các mối liên hệ phù hợp trong tình

huống cụ thể.

- Sắp xếp, phân loại (tìm mối liên hệ giữa cái ý, mối liên hệ cấu trúc). - Ghi nhớ và sử dụng chính xác các khái niệm, mệnh đề, định lí, luật logic; kết hợp

các định lí để tìm kiếm mối liên hệ có tính bắc cầu.

- Trả lời các câu hỏi: “Tại sao…?”, “Những điều nào dẫn đến điều này?”, “Điều này sẽ kéo theo những gì?”, “Những điều này sẽ kéo theo những gì?”, “Muốn tìm A ta phải tìm gì?”,…

- Chú ý tìm điểm chung, điều tương tự, sự khác biệt giữa các nội dung kiến thức. Kết hợp sử dụng các thao tác so sánh, tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa, trừu tượng hóa (để phát hiện và vận dụng mối liên hệ cái chung-cái riêng, đưa đến suy luận tương tự, suy luận quy nạp, kiến tạo kiến thức).

2.2.2. Biện pháp 2: Thiết kế, tổ chức cho SV thực hiện các hoạt động thể hiện cách suy nghĩ rõ ràng và sâu sắc a) Mục đích của biện pháp

Giúp SV suy nghĩ một cách rõ ràng và sâu sắc khi xác định mục đích, mục tiêu, xác định hướng nhìn, sử dụng thông tin, đặt câu hỏi, sử dụng các khái niệm (định lí, mệnh

đề, quy tắc, phương pháp), suy luận. b) Căn cứ xây dựng biện pháp

.Edward B. Burger, Michael Starbird cho rằng việc xây dựng hiểu biết sâu sắc về

Suy nghĩ rõ ràng và sâu sắc là đặc điểm của TDPT, là yêu cầu cần có trong các biểu hiện của TDPT của SV trong dạy học TCC. Hiện nay nhiều SV chưa đạt được yêu cầu này, vì vậy cần phải định hướng cho họ cách suy nghĩ đó đồng thời tạo các hoạt động phù hợp để họ thực hiện. Biện pháp này cũng tác động vào ý thức của SV, phù hợp với nội dung chúng tôi đã trình bày ở mục 1.6: một trong những mặt thể hiện sự phát triển tư duy của người học là: “sự phát triển của ý thức về những quá trình tư duy của mình” ([44], tập 1, tr. 21). Qua việc thường xuyên tự nhắc nhở bản thân, đánh giá và điều chỉnh suy nghĩ, quá trình tư duy của SV có thể trở nên rõ ràng, sâu sắc hơn. Nhờ đó, việc nắm vững và mở rộng kiến thức cũng tốt hơn. Ngoài ra, biện pháp này cũng có liên quan chặt chẽ với các biện pháp còn lại, vì muốn suy nghĩ rõ ràng thì thường cần phải phân tích chi tiết rồi tổng hợp lại, muốn sâu sắc thì cần phải có sự suy luận qua nhiều bước,…

các vấn đề là nền tảng quan trọng để có được tư duy hiệu quả ([7], tr. 31).

William Byers đã cho rằng suy nghĩ sâu cần dùng đến cả tư duy phân tích và tư duy

tổng hợp ([68], tr. xii).

c) Cách thực hiện biện pháp

Richard Paul, Linda Elder cho rằng để đánh giá tư duy người ta dựa vào các chuẩn trí tuệ: sự rõ ràng, sự đúng đắn, sự chính xác, tính liên quan, chiều sâu, chiều rộng, tính logic, ý nghĩa, công bằng ([38], tr. 17). Các câu hỏi cho sự rõ ràng: “Bạn có thể nói rõ hơn không?”, “Bạn có thể cho một ví dụ?”, “Bạn có thể minh họa điều bạn muốn nói?” ([38], tr. 18).

Marzano cho rằng ba hoạt động để làm sâu sắc hiểu biết của học sinh về kiến thức diễn giải là: Sửa lại, phân tích lỗi, xác định các điểm tương đồng và dị biệt (so sánh, phân loại, tạo ra các ẩn dụ và tạo ra các liên hệ tương đồng). “Người học khởi đầu với những kiến thức hỗn độn, mờ nhạt, phiến diện. Qua thời gian với sự phơi bày được mở rộng, người học làm sâu sắc và bổ sung thêm vào nền tảng kiến thức của họ” ([33], tr. 78).

Christine Chin và David E. Brown cho rằng việc học sâu liên quan đến khả năng giải thích chi tiết, chỉ ra mối liên hệ nhân quả, đặt câu hỏi, suy luận, tìm hiểu bản chất, hoạt động siêu nhận thức, dựa vào những kinh nghiệm cá nhân. Những câu hỏi tập trung vào giải thích nguyên nhân, dự đoán hoặc phân tích sự khác nhau ([69], tr. 109).

Edward B.Burger và Michael Starbird cho rằng để hiểu thấu đáo vấn đề thì nên

tìm cách phát hiện những khía cạnh vô hình của vấn đề. “Chúng ta có thể có nhận thức tốt

hơn về hạn chế, cơ hội và nguy cơ vô hình khi chúng ta mô tả vấn đề cụ thể và rõ ràng”. Chẳng hạn, năm 1937, Sylvan Goldman- chủ một cửa hiệu tạp hóa nhỏ, khi tìm hiểu kĩ về

nhu cầu của khách hàng, đã cho rằng: “Một người chỉ mua những gì anh ta có thể mang

được ra quầy tính tiền”. Dựa vào nguyên tắc này, ông đã cho lắp bánh xe vào những chiếc

ghế gỗ và buộc giỏ vào phía trước ghế. Đây chính là phiên bản đầu tiên của chiếc xe đẩy

mua hàng trong siêu thị ([7], tr. 64). Các tác giả cho rằng: Trong học tập, hãy chọn một

vấn đề hay nội dung bài học mà bạn đang quan tâm, sử dụng những tính từ hay cụm từ cụ

thể để mô tả thực trạng của vấn đề đó. Tốt nhất là mô tả những mặt còn hạn chế hay

những đặc điểm ít được chú ý đến của vấn đề. Hãy “xác định các điểm cốt lõi thực sự và

khám phá những ý tưởng mới ẩn sâu trong những vấn đề cơ bản nhất”.

Một số tác giả cho rằng tư duy có rõ ràng hay không thể hiện qua việc diễn đạt.

Theo Libknecht, “Sự rành mạch của ngôn ngữ là kết quả của tư duy rõ ràng” ([12], tr.

137). Theo Tsecnưsepxki: “Cái gì anh hình dung không rõ thì diễn đạt cũng không sáng,

diễn đạt thiếu chính xác và lộn xộn chẳng qua là nó chứng tỏ ý nghĩ mình rối rắm, phức tạp mà thôi” ([1], tr. 28). Việc tóm tắt và ghi ý chính cũng giúp người học nhìn nhận vấn

đề một cách rõ ràng, sâu sắc ([34], tr. 43).

Brown, Campione và Day đã đưa ra phương pháp tóm tắt dựa theo các bước như sau: Bỏ đi những thông tin phụ hoặc không cần thiết đối với việc hiểu văn bản, bỏ đi

những thông tin lặp, thay thế những thuật ngữ tổng quát cho một danh sách, chọn ra câu chủ đề hoặc nếu không có thì tự viết ra câu chủ đề đó ([34], tr. 44). Từ một số nghiên cứu trên, có thể thấy rằng trong dạy học TCC, để giúp SV suy nghĩ rõ ràng và sâu sắc hơn, GV có thể gợi ý và tạo cơ hội để SV thực hiện các hoạt động: + Viết tóm tắt, ghi chi tiết, phát hiện lỗi sai và sửa chữa, so sánh, phân loại. + Trình bày vấn đề một cách rõ ràng, giải thích đến tận cùng, sử dụng các ví dụ minh họa, các phản ví dụ; trả lời các câu hỏi “Tại sao?”, “Tác giả xây dựng ý tưởng dựa trên cơ sở nào?”,...

+ Tự nhìn nhận lại để thấy phần kiến thức còn chưa rõ, ghi lại và suy ngẫm thêm hoặc hỏi người khác, cách làm này cũng được gọi là “chiêm nghiệm”, một trong những

chiến lược giúp người học lĩnh hội tốt kiến thức ([34], tr. 52).

+ Thường xuyên bổ sung thêm những khía cạnh mới học, mới khám phá vào hệ

thống kiến thức đã có và điều chỉnh những suy nghĩ của bản thân.

+ Chú ý đến những khoảng trống kiến thức mà các tài liệu còn chưa nói rõ hoặc

chưa đề cập đến để suy ngẫm và đưa ra những kết luận của bản thân. SV nên thường sử

dụng những câu như: “Tôi rút ra một điều rằng…”,…

+ Tìm kiếm nhiều yếu tố có liên quan đến một vấn đề.

+ Xem xét kĩ vấn đề, nhìn nhận vấn đề theo nhiều cách khác nhau (có thể nhìn theo

cách gắn với thực tế hoặc chuyên ngành); suy luận bắc cầu theo nhiều bước; Hoàn chỉnh,

bổ sung, mở rộng hay liên hệ với vấn đề khác; Không thỏa mãn với những câu trả lời đại

khái mà đi tìm lời giải thích sâu sắc hơn. Có thể tìm được nhiều vấn đề, nhiều mối quan

hệ có liên quan đến một yếu tố đang xét; có thể nêu các nhận xét, chú ý, tự đưa thêm các

mệnh đề, suy nghĩ sâu bài toán.

f x

( ),

(GV gợi ý cho SV rằng những nhận xét này thường được suy ra từ các thao tác khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự, so sánh, xem mệnh đề phản, chú ý các sai lầm,…, GV xây dựng những tình huống yêu cầu SV rút ra nhận xét). Ví dụ 2.8: Cách viết sau là đúng hay sai? Hãy giải thích và cho ví dụ minh họa.

 ( ) y x



 ( ) f x



 (1



).(1



 )

 

 (1

 x ).

Xét hàm số ta có:

Ví dụ này có thể dùng sau khi dạy học về đạo hàm của hàm số hợp. SV cần phải



 nên )

 ( ) y x



 ( ) f x



 (1



).(1



 )

  g

 (1



hiểu đúng rằng: f x y ( )

Qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm, SV có thể hiểu vấn đề một cách rõ ràng,



)

     0. (

 x

   x

lim 

2.(



 

lim 

2 x  5

x 

 ) 

lim  lim 

sâu sắc hơn. Ví dụ 2.9: Bạn Phương Chi đã giải bài tập như sau:

a) Hãy chỉnh sửa lại phần trình bày của Phương Chi. b) Từ việc chỉnh sửa lời giải trên, bạn thấy mình nên chú ý nhìn lại những kiến thức cơ bản nào? Giải:

 x

   x

lim 

1 x

  1   

     .   



  .

lim 

x lim 2 

22 x  x 5

x 



5 x b) Cần nhìn lại các tính chất của giới hạn, các phép toán trên tập số thực mở rộng, các giới hạn dạng vô định. Bài toán này không liên quan đến dạng vô định mũ, tuy nhiên vẫn nên xem lại thêm về các dạng đó, vì có thể sẽ mắc phải sai lầm tương tự. Có 7 dạng vô định

 0 1 , 0 ,

, 0.

   

 (2)

0 0

  Các dạng vô định ở loại (1) dễ nhớ hơn vì đã được nhắc đến nhiều ở phần các phép

là: (1)



ln1



.ln1



 1



toán trên tập số thực mở rộng. Dạng (2) có liên quan đến dạng (1) dựa trên cách hiểu như

ln 0

0.ln 0

0.(

 )



0.ln





;

0  



Tương tự,

a ,

Lời giải ở ý b) không bắt buộc phải là như trên. Lời giải kiểu như vậy đòi hỏi mỗi SV rút ra bài học từ chính tình huống đang gặp đồng thời phải có những suy nghĩ mở rộng hơn, liên quan đến những phần họ còn chưa thực sự hiểu rõ hay chưa nhớ. Cách suy nghĩ đó sẽ giúp SV có tư duy sâu sắc hơn. Ví dụ 2.10: Khi SV học về tính chất của giới hạn hàm số, thấy có các tính chất giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các hàm, SV phải nghĩ đến tất cả các phép toán trên các hàm và có thể phát hiện ra một khoảng trống mà tài liệu chưa nói tới, đó là giới hạn của hàm số hợp. Vậy họ có thể đặt ra câu hỏi: đối với giới hạn của hàm hợp, có tính chất nào

 thì

 lim ( ) g x  a

lim ( ) f x  x x 0

 Sau đó, SV sẽ phải tìm cách chứng minh tính chất này. Khi không

g f x lim ( ( ))  x x

)

không? Từ đó, họ có thể dự đoán tính chất là: Nếu

a , có thể sẽ nghĩ đến mệnh đề sau:

f X Y g Y



f x 0( ,

chứng minh được trong trường hợp

  .



f x ( )

 và l

a với mọi x trong một lân cận của

Mệnh đề: Cho các hàm số

g y , lim ( )  a

lim ( ) f x  x x 0



f x ( )



x (

x

Giả sử

lim  x x 0



Khi đó

  0 :

g y   vì lim ( ) y

 a

(

 

y Y

); 0

    a



g y ( )

   .

x (

x

)

Chứng minh: Với mọi nên

f x  và ( )

a với mọi x đủ gần 0 x

lim ( ) f x  x x 0



  

0 : (

 

x X

); 0

    

f x ( )



Do nên

 

 1



g f x ( ( ))

  l

 .



f x ( )



với

(

 

x X

  

g f x ( ( ))

  Vậy  .

 1

lim  x x 0

); 0< Chứng tỏ

Ngoài ra, từ tính chất này SV còn có thể suy ra thêm rằng khi tính giới hạn, cũng có thể dùng phép đổi biến.

Trong quá trình dạy học, có nhiều tình huống để GV gợi ý cho SV thực hiện những hoạt động như trên, có thể chỉ là những hoạt động ở mức độ bình thường, phù hợp với mọi SV, chẳng hạn: Hãy nhận xét về các ví dụ trong giáo trình. Các ví dụ đó đã minh họa cho đầy đủ các khái niệm, định lí chưa? đã có liên hệ với thực tế hoặc chuyên ngành

f t

( ),

chưa? Nếu chưa đủ thì hãy tìm thêm các ví dụ tương ứng. Ví dụ 2.11: (Dựa theo [46], tr.320)

Một công ty sản xuất có một thiết bị được khấu hao với tỉ lệ (liên tục)

f s ds ( )

trong đó t là thời gian được tính bằng tháng kể từ lần đại tu sau cùng nhất của máy. Giải



thích tại sao xấp xỉ bằng giá trị giảm đi của máy qua khoảng thời gian t kể từ

  ...

f t ( )

(2)

(1)



 Đối với bài toán trên, ở bước mô hình hóa toán học, SV phải tìm đọc tài liệu để hiểu kĩ về khái niệm “khấu hao”, mối quan hệ giữa “khấu hao” với “giá trị giảm đi của là tổng giá trị khấu hao sau t máy”. Từ đó, SV nhận ra rằng

lần đại tu gần đây nhất.

(1)



(2)

  ...

f t ( )

f s ds ( )

tháng và đó chính là giá trị giảm đi của máy sau t tháng (kể từ lần đại tu gần nhất). Khi

 

đó, bài toán trở thành: Chứng tỏ rằng

Suy ngược: (Dựa vào điều cần chứng tỏ)

- Bài toán liên quan đến tích phân, nhưng không có hàm cụ thể, và lại tính xấp xỉ,

như vậy phải dùng định nghĩa tích phân xác định.

f s ds 

( )

-Vì f liên tục nên tích phân không phụ thuộc vào phép chia [0, ]t và phép chọn các

 f t ( ) i



max

lim   i

 1



  



n 1, ).

 là các điểm chia tùy ý trên [0, ]t ,

t ( 0

t 10,

t ,..., n

t i

1 , 

f s ds ( )



điểm chia trên [0, ].t

 f t ( ) i



 1

f ( (1)



(2)

  ...

f t ( )

f s ds ( )

Dựa vào ý nghĩa của giới hạn, suy ra khi max i rất bé.

 

Đối chiếu với điều cần chứng tỏ ta thấy có vẻ cần

   , như vậy sẽ chia đoạn [0, ]t thành t đoạn bằng nhau. Điều này cũng hợp

i  là rất bé (phù hợp với giả thiết

chọn

lí vì với nhiều bài toán trong kinh tế, người ta coi thời gian tính bằng tháng).

* Từ sự tìm hiểu các khái niệm và những suy nghĩ như trên, SV có thể giải bài toán

(trình bày sơ lược) như sau:

Giải: Khi t   , bằng cách tính gần đúng tích phân xác định, có thể coi

f s ds ( )



(1)



(2)...



f t ( ).



  

  thành t đoạn bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài bằng 1). 

f s ds ( )

(chia đoạn 0,t



Vậy xấp xỉ bằng tổng chi phí khấu hao nên có thể coi đó là sự giảm giá

trị của máy qua khoảng thời gian t kể từ lần đại tu gần đây nhất.

f t ( )

Ví dụ trên có thể phù hợp với SV trong phần làm bài tập về nhà, sau khi học xong nội dung “tích phân xác định”. Bài tập giúp SV hiểu rõ hơn khái niệm tích phân xác định, ý nghĩa của giới hạn, chỉ ra các mối quan hệ, rèn luyện phương pháp suy ngược. Trong trường hợp không có nhiều thời gian, GV có thể cho SV tham khảo tài liệu thể hiện cách suy nghĩ như trên, sau đó đề nghị SV rút ra những nhận xét, điều cần chú ý và ghi nhớ sau khi đọc.

f t , khoảng cách từ bệ phóng

( )h t

h t

Những bài tập như trên giúp SV làm quen với các khái niệm thường dùng trong kinh tế, nhìn nhận vấn đề theo hướng gắn với chuyên ngành, sử dụng mô hình hóa, do đó có thể góp phần phát triển kĩ năng nghề nghiệp cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật. Ví dụ 2.12: Đọc đề bài và lời giải bài toán sau: (Dựa theo [46], tr. 182) “Một máy quay truyền hình được đặt cách bệ phóng tên lửa 4000ft. Góc nâng của camera phải biến thiên với tốc độ chính xác để giữ tên lửa trong tầm quay. Ngoài ra, cơ chế điều chỉnh hội tụ máy quay phải tính đến tình huống khoảng cách ngày càng tăng lên từ máy quay đến tên lửa đang phóng lên. Giả sử tên lửa bay thẳng đứng và vận tốc của nó là 600ft/giây khi nó bay lên độ cao 3000ft. Hỏi khoảng cách từ máy quay truyền hình đến tên lửa biến thiên với tốc độ bao nhiêu vào thời điểm đó? Nếu máy quay truyền hình luôn được giữ nhắm đến tên lửa thì góc nâng biến thiên với tốc độ là bao nhiêu cùng thời điểm đó? Giải: Gọi khoảng cách từ máy quay truyền hình đến tên lửa là ( )

( )t

t ( )



4000



2 h t ( )

đến tên lửa là ( ).



Theo định lí Pitago: 2 f (*) Bệ phóng

f t



h t h t 2 ( ) ( )

Máy quay Lấy đạo hàm hai vế của (*) ta có: 2 ( ). ( ) t

f t

t 

3000.600

f t 

5000

t  ( )



360.

. Khi ở độ cao 3000ft thì vận tốc của tên lửa là 600ft/giây nên ( ). ( )

3000.600 5000

Mặt khác từ biểu thức (*) ta có ( ) , do đó

tan ( )

t 



  ( ) t

Gọi góc nâng của camera là ( )t . Có

h t ( ) 4000  h t ( ) 4000

1 2  t ( ) cos

3000

h t 





t ( )

 cos ( ) t

  0, 8

0, 096 (

m s / )

.0, 64



Lấy đạo hàm hai vế theo t ta có:

600 4000

thì Khi ( ) ”.

4000 5000 a) Viết tóm tắt ý tưởng lời giải trên đồng thời chỉnh sửa lỗi (nếu có). b) Đối với bạn, nhận xét nào cần được đưa ra và ghi nhớ sau khi đọc lời giải này? (Lời giải bài này sẽ được trình bày ở phần phụ lục) 2.2.3. Biện pháp 3: Trang bị cho sinh viên một số phương pháp thường dùng đối với tư duy phân tích Một số phương pháp thường dùng đối với TDPT ở đây là:

- Tìm hiểu đối tượng với sự xem xét: tổng thể - từng phần - tổng thể. - Sử dụng các câu hỏi. Trả lời một câu hỏi bằng một câu hỏi. - Sử dụng các dạng sơ đồ, đồ thị, dàn ý. - Sử dụng “chiến lược đọc SQR4”.

a) Mục đích của biện pháp

Giúp SV sử dụng TDPT một cách có phương pháp; hạn chế sai lầm thường gặp khi phân tích; giúp định hướng, kích thích tư duy; làm cho quá trình tư duy trở nên rõ ràng, sâu sắc, hiệu quả hơn. b) Căn cứ xây dựng biện pháp

Một số nhà nghiên cứu cho rằng dùng những phương pháp trên chính là sử dụng các chiến lược, kĩ thuật, công cụ thường dùng đối với TDPT. Khi nắm vững các phương pháp này, SV sẽ có kiểu mẫu để đối chiếu và vận dụng trong những trường hợp cụ thể [73], [79]. -Về việc tìm hiểu đối tượng với sự xem xét tổng thể- từng phần- tổng thể (giúp định hướng quá trình tư duy, hạn chế mắc sai lầm): Điều này được rút ra qua việc tìm hiểu TDPT, mối liên hệ giữa phân tích và tổng hợp (mục 1.2.4). Để tìm hiểu vấn đề một cách chi tiết, kĩ lưỡng thì cần phân tích. Trước khi phân tích cần phải có cái nhìn tổng thể để xét xem nên phân tích theo hướng nào. Trong quá trình phân tích, thỉnh thoảng cũng cần phải nhìn lại tổng thể để tránh bị lạc hướng. Sau khi phân tích cần có sự tổng hợp, liên kết lại để hiểu toàn bộ.

Ben Johnson cho rằng chiến lược “Whole Part Whole” là một trong những chiến

lược giúp phát triển TDPT cho SV ([73], tr. 11).

- Về việc sử dụng các câu hỏi, trả lời một câu hỏi bằng một câu hỏi Việc đặt câu hỏi là một trong những biểu hiện của TDPT và hiện nay SV chưa thực

hiện tốt điều này, vì vậy cần tạo các tình huống để họ tự đặt và trả lời các câu hỏi.

Anwar, Mumthas cho rằng mục tiêu của dạy những kĩ năng TDPT là khuyến khích

SV đặt và trả lời các câu hỏi, không phải chỉ là trả lời [64].

Ben Johnson cho rằng vai trò của GV là chỉ cho SV những chiến lược và kĩ thuật

TDPT, sau đó tạo những cơ hội để SV dùng những kĩ thuật đó với mục đích dành lấy kiến

thức và phát triển năng lực ([73], tr. 8). Một trong những kĩ thuật được dùng với TDPT là: trả lời một câu hỏi bằng một câu hỏi.

“Tự đặt câu hỏi và tự tìm cách trả lời là việc nên làm thường xuyên khi đọc để học

một chương, mục, điều này có ý nghĩa rất lớn trong việc rèn luyện tư duy và là phương

pháp rất tốt để đào sâu và tìm hiểu phân tích một bài học” ([10], tr. 45).

Việc đặt câu hỏi của SV vừa có tác dụng định hướng tư duy cho họ vừa giúp GV

biết được những vấn đề nào cần phải chú trọng hơn trong dạy học. Khổng Tử cũng yêu

cầu học trò phải đặt câu hỏi thắc mắc, nghi ngờ, đi sâu vào những vấn đề cụ thể. “Ông nói: Nếu không hỏi làm thế nào? Làm thế nào? Thì ta cũng chẳng biết làm thế nào!” ([22], tr. 46).

- Về việc sử dụng các dạng sơ đồ, đồ thị, dàn ý: Việc sử dụng các dạng sơ đồ, đồ thị, dàn ý có thể giúp sắp xếp, phân loại thông tin, suy luận rõ ràng, phân tích và lựa chọn hướng giải bài toán. Một số dạng sơ đồ thường được sử dụng là bản đồ khái niệm, bản đồ tư duy, sơ đồ suy xuôi, suy ngược.

Bản đồ khái niệm là công cụ đồ thị để sắp xếp và trình bày kiến thức. Mỗi bản đồ bao gồm các khái niệm (thường được đặt trong hình tròn hoặc một số loại hình khác) và những đường nối giữa hai khái niệm. Trên đường nối có các từ hay các cụm từ, chỉ rõ mối liên hệ giữa hai khái niệm. Từ hai hoặc nhiều khái niệm cùng với đường nối chúng sẽ tạo thành một mệnh đề. Một đặc điểm khác của bản đồ khái niệm là bao gồm những đường

liên kết chéo. Chúng thể hiện mối quan hệ giữa những khái niệm trong những phạm vi kiến thức khác nhau của bản đồ. Người ta cũng có thể thêm một số ví dụ vào bản đồ khái

niệm để làm rõ nghĩa của khái niệm được đưa ra.

Bản đồ khái niệm cũng có những điểm giống bản đồ tư duy, dùng các từ hay cụm

từ viết tắt. Cả hai loại bản đồ đều có thể giúp nhìn vấn đề một cách tổng thể mà chi tiết,

cũng thể hiện mối quan hệ giữa những nội dung, giúp ghi nhớ kiến thức, do đó có thể hỗ

trợ phát triển tư duy phân tích. Tuy nhiên, bản đồ tư duy chú trọng việc liên tưởng, mở

rộng ý tưởng, còn bản đồ khái niệm chú trọng hơn việc chia nhỏ, phân tích khái niệm, đặc

biệt là tìm mệnh đề liên kết giữa các khái niệm.

Aurelio Villa Sánchez, Manuel Poblete Ruiz cho rằng để có TDPT tốt, SV nên biết sử dụng một số công cụ phân tích, ví dụ như bản đồ khái niệm ([79], tr. 65), Sornnate

Areesophonpichet cũng cho rằng sử dụng bản đồ khái niệm có thể giúp phát triển TDPT

cho học viên sau đại học [65].

Ben Johnson cho rằng viết khung là một trong những kĩ thuật giúp phát triển

TDPT, giúp SV nhận ra cấu trúc và những nét đặc trưng của tài liệu một cách có hệ thống.

SV có thể viết các khung cho định nghĩa, lập luận, giải pháp,…([73], tr. 16).

Một dạng sơ đồ cũng được sử dụng nhiều trong học Toán (khi chứng minh), đó là

sơ đồ suy xuôi, suy ngược ([52], tr. 20), [56], tr. 63). Việc sử dụng dạng sơ đồ này giúp

tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố (mệnh đề…), giúp chia quá trình suy nghĩ thành nhiều

bước nhỏ, rõ ràng, hỗ trợ cho việc phán đoán, suy luận được sâu sắc hơn.

Đối với nhiều dạng bài toán khác, người ta cũng áp dụng cách suy nghĩ tương tự

như ở sơ đồ suy ngược lùi: Muốn tìm A thì phải tìm B, muốn tìm B thì phải tìm C,…Sau

khi đã phân tích như vậy, đảo ngược lại quá trình suy nghĩ, tính C rồi suy ra B, cuối cùng suy ra A. Cách suy nghĩ này cũng được gọi là “lí luận giật lùi”. Pappuýt đã nói: “Ta tìm

xem muốn đạt được kết quả mong muốn thì phải đi từ kết quả nào trước đó” ([43], tr. 105).

- Về việc sử dụng “chiến lược đọc SQR4”: Trong cuốn sách “Teaching students to dig deeper”, tác giả Ben Johnson đã nói đến kĩ thuật SQR4, cũng chính là “chiến lược đọc SQR4” (“the SQR4 reading strategy”) ([73], tr. 18). Theo tác giả, đây là một trong những chiến lược giúp phát triển TDPT cho người học. Một số tác giả khác cũng trình bày về “chiến lược đọc SQ3R” ([45], tr. 91). Về cơ bản thì “chiến lược đọc SQR4” và “chiến lược đọc SQ3R” gần giống nhau. Chiến lược SQR4 được áp dụng trong việc đọc như sau:

+ Bước 1 “Survey” (Khảo sát): Đọc lướt qua toàn bộ một cách nhanh chóng. Đọc lời giới thiệu, tiêu đề, các đề mục, đoạn in đậm, đoạn tóm tắt, rồi tự suy nghĩ, tưởng tượng về các chủ đề sẽ được đưa ra ở những mục đó.

+ Bước 2 “Question” (Đặt câu hỏi): Đặt ra các câu hỏi cho các tiêu đề, đề mục

trước khi đọc. Chẳng hạn: Mục đích đọc phần này là gì? Mình cần biết những gì sau khi

đọc? Mình đã biết gì về điều này?

+ Bước 3 “Read” (Đọc): Đọc và chú ý trả lời các câu hỏi đã đặt ra. Việc đọc cần

tập trung vào sự hiểu.

+ Bước 4 “Recite” (Tường thuật): Bước này được làm khi đọc kết thúc một phần

hoặc khi đang đọc một đoạn và cần thiết phải ôn lại phần trước. SV phải nói được những điều cơ bản họ đã học được từ việc đọc.

+ Bước 5 (Rephrase): Nói tóm tắt lại một cách khác.

+ Bước 6 (Review): Nhìn lại tất cả những điều cần lưu ý trong quá trình tự đọc.

Ở bước này, SV cần cố gắng để có thêm hiểu biết ngoài những điều họ được đọc. Họ phải

phân tích về cái đã đọc, ôn tập lại những điều cơ bản.

Khi áp dụng chiến lược đọc SQR4, ở bước 1, SV cần phải đọc lướt qua toàn bộ,

điều này tập cho họ có cái nhìn tổng thể trước khi chia nhỏ đối tượng. Hơn nữa, sự tưởng

tượng trước những gì sẽ đọc tạo tiền đề để SV sử dụng các thao tác so sánh, đối chiếu sau

đó.

Trong bước 2, SV phải đặt các câu hỏi. Việc đặt câu hỏi là một trong những biểu

hiện của tư duy phân tích. Những câu hỏi như “Mình cần nắm được điều gì trong mục

này?” vừa có tính kích thích tư duy, vừa đặt ra mục tiêu cho SV khi đọc.

Ở bước 3, khi đọc tài liệu và tập trung vào sự hiểu, SV sẽ luôn phải trả lời các câu

hỏi giải thích “Tại sao?”, họ cũng cần có sự suy luận logic.

Bước 4 đòi hỏi SV nhớ được những điểm mấu chốt cơ bản đã đọc trước đó. Điều

này sẽ tạo nên các điểm tựa cho quá trình tư duy, giúp cho việc suy luận theo nhiều bước. Trong bước 5, SV phải tóm tắt lại những điều cơ bản đã đọc bằng cách riêng của mình, điều này giúp họ hiểu vấn đề một cách rõ ràng, giúp nhìn nhận vấn đề theo nhiều

cách.

Ở bước cuối cùng, ngoài việc ghi nhớ, tóm tắt, SV cần có sự đánh giá, mở rộng kiến thức, đưa thêm những nhận xét của bản thân, điều đó đòi hỏi ở họ sự hiểu biết sâu sắc hơn. Những nhận xét của SV cũng có thể phải dựa trên việc sử dụng các thao tác tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa,…Ngoài ra, khi tóm tắt, họ cần các thao tác tổng hợp, sắp xếp, phân loại, hệ thống hóa, có thể dùng đến các sơ đồ.

Như vậy, trong quá trình tự đọc như trên, SV phải dùng các thao tác tư duy, đặt và trả lời các câu hỏi, tìm hiểu vấn đề một cách rõ ràng, chi tiết và sâu sắc, phải ghi nhớ, phải suy luận. Vì vậy, sử dụng kĩ thuật đọc này có thể góp phần phát triển TDPT cho SV.

Ngược lại, khi có TDPT tốt thì việc tự đọc theo chiến lược SQR4 cũng trở nên dễ dàng

hơn.

c) Cách thực hiện biện pháp

 Về việc tìm hiểu đối tượng với sự xem xét tổng thể- từng phần- tổng thể (giúp

định hướng quá trình tư duy):

+ GV gợi ý cho SV “chiến lược Whole Part Whole”, lấy ví dụ minh họa cụ thể.

Trong quá trình giải toán, ở bước đầu khi xem xét tổng thể, SV cần nắm được sơ lược toàn bộ các yếu tố và mối liên hệ, hình dung vùng kiến thức liên quan để xác định phân

tích theo hướng nào. (Tuy nhiên, hiệu quả ở bước này còn phụ thuộc nhiều vào việc SV

có thường xuyên giải toán hay không, vì điều đó sẽ giúp họ có nhiều kinh nghiệm và có

cảm giác tốt hơn khi xác định hướng phân tích). GV cũng nên sử dụng chiến lược này

trong việc trình bày bài giảng trên lớp.

+ GV xây dựng các dạng bài tập có nhiều ý, trong đó các ý có ít sự thay đổi nhưng

đòi hỏi SV phải giải bài toán theo hướng khác.

Ví dụ 2.13: (đề thi Olimpic toán sinh viên toàn quốc năm 2019):

2 1 3 3 Q K L



Một doanh nghiệp sản xuất ô tô có hàm sản xuất là hàm Cobb- Douglas

trong đó, K và L lần lượt kí hiệu số đơn vị vốn tư bản và số đơn vị lao động mà doanh

nghiệp thuê được, còn Q là kí hiệu số ô tô sản xuất ra được.

,kw giá thuê một đơn vị lao động là

lw và ngoài chi phí thuê lao động và vốn tư bản, doanh nghiệp còn phải chịu một chi phí cố định

Giả sử giá thuê một đơn vị vốn tư bản là

0.C Khi đó hàm số

 C w K w L C



 0

là

mô tả tổng chi phí mà doanh nghiệp phải bỏ ra, thường được gọi là hàm chi phí sản xuất.



100,

Năm 2019 doanh nghiệp dự định sản xuất 2000 chiếc ô tô. Nếu bạn là chủ doanh nghiệp, để chi phí sản xuất là thấp nhất, bạn sẽ thuê bao nhiêu đơn vị vốn tư bản và bao

 và 4

w l

kw  8 ?

nhiêu đơn vị lao động trong năm 2019 biết rằng

Ở bài tập này, GV có thể gợi ý cho SV thấy rằng: Trước khi giải, cần nhìn tổng thể đề bài để tóm lược một cách ngắn gọn và hình dung vùng kiến thức liên quan, toán học

hóa tình huống thực tế, xác định hướng giải. Khi phân tích có thể áp dụng sơ đồ suy ngược (xem xét mối quan hệ dạng: Muốn tìm A ta phải làm gì?), cần dựa vào các ý đã biết

để chọn hướng suy ngược phù hợp. Trong quá trình giải, cần nhìn lại tổng thể để liên kết

các ý và suy luận tiếp (A kết hợp với B suy ra điều gì?).Quá trình suy nghĩ có thể là như

2 3

1 3. Q K L



Nhìn tổng thể, xác định hướng: Bài toán cho biết số ô tô sản xuất được ( )Q phụ thuộc số đơn vị lao động ( )L và số

)K :



K 8



L 4



100.

đơn vị vốn ( Chi phí ( )C để sản xuất Q sản phẩm là

-Tìm K và L để sản xuất được 2000 ô tô với chi phí nhỏ nhất có thể.



K 8

  4 L

100

L 0,

2 1 3 3 K L 

2000

Như vậy, bài toán chính là tìm giá trị nhỏ nhất của hàm với

 0).

điều kiện (

Các hướng giải có thể là:

+ Dùng bất đẳng thức Côsi

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm một biến

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến.

100

K 8

L 4



Cách 1: Dùng bất đẳng thức Côsi.

 cùng đạt giá trị

và hàm

  4 L Phân tích: Hàm chi phí nhỏ nhất tại một điểm với giá trị sai khác 100. Vì vậy để đơn giản, ta xét hàm

2 1 3 3 K L



2000



K K L .



2000

  K K L

(ba số dương có tích không đổi)  nghĩ đến tổng    biến đổi

  (tìm mối liên hệ giữa Z với

nhỏ nhất (liên quan đến Z và bất đẳng thức Côsi)  nghĩ đến K K L Z để làm xuất hiện K K L



K 8



L 4



K 4



K 4



L 4



K K L

  

)

4.3.

K K L .



12.

12.2000

24000.



K L 

2000

2 1 3 3 K L . Như vậy Z nhận giá trị nhỏ nhất là 24000 khi

Giải: (Tổng hợp - cần nhìn lại tổng thể để kết hợp các yếu tố và suy luận)

C Z 

100



24100

, khi đó

. Vậy để chi phí là nhỏ nhất, cần 2000 đơn vị vốn tư bản và 2000



K 8

  4 L

100

đơn vị lao động. Cách 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm một biến.

L 0,

2000

2 1 3 3 K L 

Phân tích: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm với điều kiện

  đưa về tìm GTNN của hàm một biến  Rút



K 8



100

(

)  Tìm

2000 2

3 2000 2

C K (

)

C K (

)

và tìm GTNN của hàm trên (0,

 0.



K 8



100

 ( C K

)

  8

và giải phương trình

3 2000 2

3 2000 3

 ( C K

)

  

2000.

Giải: 

(2000)



24100

(

C K

)



C K

)

  nên hàm

)C K đạt

lim ( 



2000

lim (  K 0    L 2000.

Ta có và

giá trị nhỏ nhất tại



f x y ( , )



x 8

  4 y

100

Cách 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến.

2 1 3 3 x y



2000 (

K x

 

0).

 

2 1 3 3

L x y ( ,

 , )



x 8

  4 y

100



 ( x y



2000)

Phân tích: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm với điều kiện

0 0,

 Lập hàm Lagrange

L x L y L z

       

L x y ( ,

 , )

  

y 4

x 8

100





2000).

2 1 3 3  ( x y

Giải hệ tìm điểm dừng.



Giải: Xét hàm Lagrange

1 1 3 3 y

 .  0 x .



2 3

0  2000

2 3 x y .

0  .    0 2000 2 3 1 3 0   12     L  x       L  y     L    z   x    y          8      4     2 1   3 3 x y  2000



0(2000, 2000).



24100

Hàm số f có một điểm tới hạn duy nhất là điểm

  và

  nên

f x y lim ( , )    0

x y

f x y lim ( , )  0 

x y

f đạt giá trị nhỏ nhất là 24100 tại

0(2000, 2000).

Ta có (2000,2000) ,

Vậy để chi phí nhỏ nhất, cần 2000 đơn vị lao động và 2000 đơn vị vốn.

Nhận xét:

 Khi gặp các bài toán kinh tế với phương án tối ưu ta liên hệ ngay đến bài toán

cực trị hoặc bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

 Bài toán kinh tế thường có điều kiện ràng buộc, điều này liên quan đến quy mô,

hạn chế của tài nguyên và năng lực. Khi đó ta xét bài toán cực trị có điều kiện.

 Có thể giải bài toán tìm GTNN, GTLN bằng cách vận dụng các bất đẳng thức.

Điều đó giúp có thêm cách khác để kiểm tra lại kết quả lời giải.

 Về việc sử dụng các câu hỏi, trả lời một câu hỏi bằng một câu hỏi Để giúp SV đặt và trả lời câu hỏi tốt hơn, GV có thể làm như sau:

+ Đề nghị SV tự tìm hiểu về tầm quan trọng của việc đặt câu hỏi, trả lời một câu

hỏi bằng một câu hỏi.

+ Chỉ cho SV thấy tầm quan trọng của việc sử dụng các câu hỏi và trả lời một câu

hỏi bằng một câu hỏi: giúp định hướng cho quá trình tư duy, kích thích tư duy,...

+ GV gợi ý một số dạng câu hỏi: Câu hỏi cho sự tìm hiểu rõ ràng, sâu sắc, chia

nhỏ, tìm mối liên hệ; câu hỏi liên quan đến thông tin, mục đích, hướng nhìn, câu hỏi, khái

niệm, định lí, phán đoán, suy luận; câu hỏi liên quan đến thực tế hoặc chuyên ngành. Tuy

nhiên, không phải trong tình huống nào cũng cần đặt câu hỏi cho tất cả các phần trên.

Chẳng hạn:

Câu hỏi khi đọc lí thuyết: Tác giả sẽ trình bày những điều gì ở mục này? Mình cần

trả lời những câu hỏi nào? Điều này có nghĩa là gì? Ví dụ nào minh họa cho khái niệm này? Có thể đưa ra phản ví dụ nào không? Khái niệm này có liên quan đến khái niệm kia như thế nào? Ứng dụng khái niệm, định lí này vào thực tế hoặc chuyên ngành như thế

nào? Điều này suy ra từ đâu? Có thể giải thích điều này theo những cách nào? Dự đoán ban đầu của mình khác với phần trình bày của tác giả ở điểm nào? Những nội dung chính trong phần trên là gì? Mình đã ghi nhớ được những nội dung chính vừa đọc chưa? Mình cần xem lại những kiến thức cũ nào có liên quan? Mình đã thực sự hiểu kĩ phần tài liệu đọc và phát triển thêm được ý tưởng khác từ đó chưa?…

Câu hỏi khi giải bài tập: Đầu bài cho những yếu tố nào? Toàn bộ các yếu tố chính trong bài có vẻ gợi đến vùng kiến thức nào? Có thể dùng hình vẽ hay sơ đồ phù hợp không? Loại toán này thường có những hướng giải như thế nào? Nếu làm theo hướng này thì sao? Ưu, nhược điểm của việc làm theo hướng này là gì? Từ cái này suy ra những điều

gì? Những yếu tố này kết hợp lại sẽ dẫn đến điều gì? Để tìm cái này ta cần tính những gì?

Mình đã nắm kĩ các thông tin trong đề bài chưa? Mình đã sử dụng hết giả thiết chưa?

Mình đã sử dụng đúng định lí chưa? Cách nào để kiểm tra xem mình làm đúng hay sai?

Mình đã sắp xếp phần trình bày một cách hợp lí, logic chưa? Có cách nào khác để giải bài

này không? Có cách nào nhanh hơn không?,…

Câu hỏi sau khi giải bài tập (hoặc khi chưa giải được và xem một lời giải có sẵn):

Tại sao mình không làm được bài này? Tại sao mình không nghĩ ra cách giải này? Mình cần chú ý điều gì để làm được những dạng bài như thế này? Mình cần rút ra điều gì từ

cách giải này? Mình đã giải sai, vì sao? Làm thế nào để không lặp lại lỗi sai này nữa?

Những điều quan trọng cần nhớ đối với mình trong bài tập này là gì? Bài tập này được

đưa ra nhằm mục đích gì? Bài học lớn nhất mình học được từ nhiệm vụ này là gì? Mình

cần tìm hiểu thêm về những kiến thức nào, phương pháp nào? Những bài toán tương tự

nào có thể gặp? Các bài toán đặc biệt, tổng quát hơn sẽ là như thế nào?,…

Ngoài ra, trong thực tế và tùy theo từng trường hợp cụ thể, có thể đặt các câu hỏi

chi tiết, phù hợp hơn. Người ta cũng thường sử dụng kĩ thuật đặt câu hỏi 5W1H (Đặt các

câu hỏi với Ai? Cái gì? Ở đâu? Tại sao? Khi nào? Như thế nào?).

+ GV thường đặt câu hỏi, trả lời câu hỏi của SV bằng một câu hỏi và đề nghị SV

cũng thường làm như vậy. Việc trả lời một câu hỏi bằng một câu hỏi có mục đích giúp

sinh viên tạo thói quen thường xuyên đặt các câu hỏi và tự tìm ra câu trả lời.



3 2

Ví dụ 2.14: Khi dạy nội dung “Tích phân suy rộng”, với bài toán: “Xét sự hội tụ của tích



 0 1



3 2









3 2











3 2



phân suy rộng ”. GV trình bày lời giải như sau:





 1 1

1 1 2



3 2

khi x   mà phân kì nên phân kì.



 0 1

Vậy phân kì.

3 2



Sau đó GV đề nghị SV đặt các câu hỏi.

 ?





3 2

+ SV: Tại sao

"  nghĩa là thế nào?

x

 0 1 + SV: Đây là tích phân xác định. "

"  nghĩa là: là số thực.

+ GV: Hãy chú ý các chi tiết. là tích phân gì? "

3 2



 .





3 2

Kết quả của tích phân xác định phải là số thực, vậy

x

 0 1

3 2

+ GV: Tại sao bạn nói là tích phân xác định?

x

f x dx ( )

+ SV: Vì hàm số xác định trên [0,1].



+ GV: Có phải ý bạn là: Nếu hàm số ( )g x xác định trên [ , ]a b thì là tích phân

3 2

f x ( )



xác định không? + SV: Không ạ, định nghĩa tích phân xác định không đơn giản như vậy. + GV: Vậy bạn có thể giải thích bằng cách khác không?

0,1 .

x



 0 1

+ SV: là tích phân xác định vì hàm khả tích trên 

f x khả tích trên 

0,1 ?

+ GV: Tại sao lại nói hàm ( )

f x là hàm số sơ cấp xác định trên [0,1] nên liên tục trên [0,1], do đó khả tích

+ SV: Vì ( )

3 2



trên [0,1].

 là viết tắt, nếu đầy đủ hơn thì nên viết tích phân



 0 1

3 2

+ GV: Thực ra, viết

x

 0 1

tồn tại vì hàm dưới dấu TP khả tích. Bạn có điều gì cần hỏi nữa không?

+ SV: Tại sao lại phải tách tích phân đã cho thành hai tích phân?

+ GV: Nếu không tách thì cách làm của bạn sẽ là như thế nào?

3 2



Khi đó SV có thể nhận ra vấn đề vì họ đã nghĩ được rằng nếu cách giải bắt đầu từ chỗ



1 1 2

khi x   thì tiếp theo họ chưa biết diễn giải thế nào, vì không thể





dx 1 2

nói rằng hội tụ.

Việc trả lời một câu hỏi bằng một câu hỏi sẽ kích thích tư duy, để SV độc lập suy

nghĩ. Hơn nữa, các câu hỏi tiếp theo thường là nhằm chia nhỏ câu hỏi trước, hoặc đòi hỏi

giải thích câu hỏi trước, làm rõ từng phần và mối quan hệ trong câu hỏi trước, phát biểu

câu hỏi trước theo một cách khác, hoặc theo hướng suy xuôi, suy ngược, lật lại vấn

đề…Việc sử dụng các tình huống như vậy có thể giúp SV tự đặt câu hỏi và tìm cách trả

lời. Tuy nhiên, cách dạy này đòi hỏi nhiều thời gian nên không thể thực hiện nhiều trên

lớp. GV có thể đề nghị SV tự đặt các câu hỏi kiểu như vậy khi học ở nhà.

Ví dụ 2.15: Khi học về tính chất thứ tự và nguyên lí kẹp của giới hạn hàm số, để ghi nhớ

và vận dụng tốt, SV có thể đặt ra các câu hỏi như sau rồi trả lời: Tính chất trên có “tên” là gì? Vì sao gọi là “tính chất thứ tự”? Nguyên lí kẹp thể hiện ở chỗ nào? Ý nghĩa của các tính chất là gì? Tính chất thứ tự và nguyên lý kẹp có liên quan đến nhau như thế nào, có điểm gì khác nhau cần chú ý? Tính chất cuối cùng có điểm gì khác với các tính chất khác? Mệnh đề tương tự của nó là thế nào? Không cần xem chứng minh, có thể hình dung tại sao có các tính chất đó không?

Cách hỏi như trên thể hiện sự so sánh, tạo liên quan giữa các ý, sử dụng từ khóa,

đưa ra ý nghĩa, như vậy sẽ giúp cho việc hiểu sâu sắc và ghi nhớ tốt hơn.

 Về việc sử dụng các sơ đồ, dàn ý: + GV đề nghị SV tự tìm hiểu về một số dạng sơ đồ: sơ đồ tư duy; sơ đồ cây; sơ đồ khái niệm; sơ đồ suy xuôi, suy ngược. Sau đó, GV gợi ý thêm cho SV về các dạng sơ đồ trên (về cách dùng, ưu điểm,…) và đưa ra những ví dụ minh họa trong quá trình dạy (hoặc đưa thành tài liệu cho SV tham khảo khi học ở nhà).

+ GV xây dựng các bài tập, tình huống để SV thực hiện các hoạt động có sử dụng

sơ đồ, đồ thị: Đọc sơ đồ, nhận xét một sơ đồ; vẽ sơ đồ khái niệm để chỉ ra mối quan hệ

giữa cái khái niệm; vẽ bản đồ tư duy khi tổng kết bài học, chỉ ra các hướng giải bài toán,

sắp xếp, phân loại và sử dụng thông tin, lập kế hoạch; vẽ hình bất kì phù hợp với tình

huống; sử dụng máy tính khi vẽ hình,...

Ví dụ 2.16: Hãy giải bài toán sau bằng cách ngắn gọn (sử dụng bản đồ tư duy khi tìm các

hướng giải):





3 1)



y dxdy



 ( x  

  

Tính tích phân mặt loại hai sau: S là phía trên của

  

 0.

nửa mặt cầu

(Lời giải và bản đồ tư duy được trình bày ở phần phụ lục)

Ví dụ 2.17: GV đưa cho SV tài liệu tham khảo về bản đồ khái niệm để đọc trước ở nhà.

Khi học về đạo hàm, GV có thể đề nghị SV lập bản đồ khái niệm, sau đó nhận xét và

hoàn chỉnh để đưa ra một sơ đồ như ở hình 2.1.

Hình 2.1: Bản đồ khái niệm về hàm số khả vi

Ưu điểm của việc dùng bản đồ khái niệm là sự cố gắng tìm mối liên hệ giữa các khái niệm, điều này giúp liên kết kiến thức mới với kiến thức cũ, với thực tế, từ đó giúp SV kiến tạo kiến thức, hiểu vấn đề sâu sắc hơn. Chẳng hạn, ở sơ đồ trên (hình 2.1), SV có

)

thể dựa trên việc liên hệ giữa các khái niệm “hàm số f khả vi tại 0x ” và “hàm số f liên tục tại 0x ”, tự tìm ra mệnh đề: ( ) f x khả vi tại 0x thì bị chặn trong lân cận nào đó của 0.x Từ đó, có thể suy ra các mệnh đề khác bằng cách tương tự, chẳng hạn:

f x a thì ( )

a với mọi x trong lân cận nào

f x khả vi tại 0x và

f x 0(

- Nếu ( )

đó của 0.x

f x f x khả vi tại 0x và ( )

a với mọi x trong lân cận nào đó của 0x thì

)

a .

f x 0(

)

- Nếu ( )

f x a thì ( )

a với mọi x trong lân cận nào

f x khả vi tại 0x và

f x 0(

- Nếu ( )

: ( , )

a b ( , )

a b

( , ),

đó của 0.x

a b   khả vi tại

f x (



)

- Giả sử . Khi đó, với mọi dãy   nx

 thì 0

lim ( f x  n

x lim n  n Những ý tưởng như trên cũng có thể giúp GV tạo ra nhiều câu hỏi, bài tập mở, bài

nếu

)

tập trắc nghiệm, chẳng hạn: Đề nghị SV điền vào chỗ trống:

a thì…..

)

- Nếu ( )

a thì….

f x khả vi tại 0x và f x khả vi tại 0x và

- Nếu ( )

0( f x f x 0( Những bài tập như vậy có thể góp phần giúp SV phân tích sáng tạo hơn. Ví dụ 2.18: (Đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc năm 2014):

f t dt ( )

  .

) và



lim 

1 x

 

lim ( ) f x 

Cho hàm số f đơn điệu trên [0, Chứng minh rằng

Ở ví dụ này, GV đề nghị SV thể hiện việc phân tích hướng giải bằng cách sử dụng sơ đồ suy ngược tiến, kết hợp dùng “chiến lược Whole Part Whole”, nêu nhận xét, chú ý

sau khi giải. (Bài tập cho SV làm ở nhà sau khi học về tích phân xác định).

Nhìn tổng thể: Bài toán liên quan đến giới hạn vô cực, hàm đơn điệu, có hàm theo cận

trên nhưng không có giả thiết hàm liên tục, không liên quan đến tính khả vi. Như vậy, lời

giải có thể chỉ liên quan đến giới hạn của hàm đơn điệu và tính chất của tích phân.

   không giảm (vì f đơn điệu)

f tăng

f tăng và không

f x lim ( ) 

Phân tích đi lên (Suy ngược tiến) (Xuất phát từ điều phải chứng minh):

bị chặn trên.

(Trong quá trình suy ngược như trên, ta đã luôn nhìn lại tổng thể để kết hợp các

f đơn điệu và

   đơn điệu và không giảm

f tăng

f

lim ( ) f x 

yếu tố rồi suy ngược tiếp. Sơ đồ trên có thể được viết đầy đủ hơn như sau:

   không bị chặn trên).

lim ( ) f x 

tăng và kết hợp với

Sơ đồ suy ngược tiến trên gợi ý cho chúng ta là: nên thử xem chứng minh f tăng

 Ta sẽ thử để loại các trường hợp f giảm hoặc f tăng nhưng bị chặn trên.

và không bị chặn trên thì có được không.

f

(0)

Giải (Suy xuôi) (Tổng hợp - Nhìn tổng thể):



    x 0,

f t dt ( )

(0)



x f

. (0)



f t dt ( )



xf .

(0)



(0),

  x



 



1 x



f t dt ( )



(0)

Giả sử f là hàm số giảm, khi đó ( ) f x với Ta có:

f t dt ( )



lim 

1 x

     

     

     

       

(Mâu thuẫn với giả thiết

f là hàm số tăng và bị chặn trên, khi đó tồn tại M   để

f t dt ( )

 Mdt M x .



 f t dt M x ( )

 

f x M x ( )



Giả sử





 



    0,

1 x

Ta có: .

f t dt ( )



lim 

1 x

     

     .   

Điều này mâu thuẫn với giả thiết

 



Vậy f là hàm số tăng và bị không chặn trên, suy ra lim ( ) f x

Nhận xét: * Kiến thức liên quan cần chú ý trong lời giải trên là:

f x dx ( )



g x dx ( )

g x ( )

  x

a b [ ,

]

- Tính chất về giới hạn của hàm đơn điệu. - Tính chất thứ tự của giới hạn. - Tính chất thứ tự của tích phân xác định.



(Nếu ( ) f x với thì

), không cần quan

lim ( ) f x 

ta chỉ xét với x đủ lớn (lân cận của - Khi xét

x  0).

tâm tại x nhỏ (vì vậy ở bài này không cần xét tại

* Cần chú ý về phương pháp suy ngược tiến, giúp dự đoán cách giải bài toán.

Ví dụ 2.19: Hãy giải bài toán sau và tóm tắt hướng giải của bạn bằng một sơ đồ suy

ngược:

Một bể chứa 30kg muối hòa tan trong 1000 lít (L) nước. Người ta đổ nước tinh

khiết vào bể với tốc độ 10 L/phút. Dung dịch được khuấy đều và tháo ra khỏi bể với cùng

tốc độ. Hỏi sau khoảng bao nhiêu phút thì nước trong bể có nồng độ muối khoảng 0,9%.

y 2

(Lời giải của ví dụ này được trình bày ở phần phụ lục).

  nằm trong hình

Ví dụ 2.20: Khi giải bài toán “Tính thể tích vật thể hình trụ 2 x

   ”, nhiều SV không hình dung được hình chiếu của vật thể lên mặt

cầu

phẳng Ox y , mặt dưới, mặt trên của vật thể và tính đối xứng của vật thể. Nếu vẽ đồ thị,

  

y 2

chẳng hạn, sử dụng phần mềm Maple: Gõ x^2+y^2+z^2=4,x^2+y^2=2y, nhấn phím

  , tại vị trí này bấm chuột

Enter, máy sẽ hiện lên kết quả:

phải, chọn Plots, chọn Plot Builder, điền các giá trị vào mục Parameter: x từ -2 đến 2, y

từ -2 đến 2, z từ -2 đến 2, chọn Plot. Khi đó máy cho ta đồ thị của các mặt, có thể bấm chuột phải, chọn màu cho các đồ thị để phân biệt hai mặt. SV sẽ thấy rõ vật thể có tính z  Sau đó, ta vẽ lại đồ thị bằng cách chọn tham số z từ 0 đối xứng qua mặt phẳng đến 2, khi đó chúng ta sẽ có một nửa vật thể. Xoay vật thể này sẽ giúp SV dễ dàng nhận

xOy

ra hình chiếu của vật thể lên mặt phẳng

Tuy nhiên, chỉ nên sử dụng đồ thị này sau khi SV đã tự xác định mặt dưới, mặt trên xOy đồ thị chỉ có mục đích như là của vật thể và hình chiếu của vật thể lên mặt phẳng

một cách nhìn khác, giúp SV kiểm chứng lại cách làm, giúp họ thấy vật thể một cách rõ

ràng hơn. Nếu đưa hình vẽ ra trước, sẽ làm giảm khả năng suy luận và sự tưởng tượng của SV, điều đó cũng không có lợi cho SV khi làm bài thi mà không có máy tính.

Ví dụ 2.21: Ở phần giới hạn hàm số:

      



0 : (

 

x X

) 0



f x ( )

   .

    x 0

lim ( ) f x  x 0

   



  

0 : (

 

x X

) 0





  

f x ( )

  

x 0

f x lim ( )  x

x 0

SV có thể hiểu định nghĩa một cách rõ ràng, sâu sắc hơn nếu dùng thêm các đường nối, màu sắc, chẳng hạn như sau:



f x + Giới hạn “l” với “ ( )

  ”.

  x

Cách trình bày này đã thể hiện sự suy ngẫm đến mối quan hệ giữa:

x ” với “

 ”. 

+ “

   



  

0 : (

 

)

  x

  

f x ( )

  

x X x 0

x 0

f x lim ( )  x x 0

    

  

0 : (

 

x X

) 0

  x

  

f x ( )



x 0

f x lim ( )  x

x 0

   



  A

0 : (

 

x X x A )

 

f x ( )

  

f x lim ( )  x

Tương tự, với định nghĩa giới hạn một phía, giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực:

Hình 2. 2: Mối liên hệ giữa một số yếu tố trong khái niệm giới hạn hàm số

Từ những cách trình bày trên, SV có thể tự phát biểu được các định nghĩa khác về

  ,



  ,

...





giới hạn, chẳng hạn:

lim ( ) f x 

lim ( ) f x  x

Phần trình bày trên đã sử dụng hình vẽ (tự tạo ra, không theo khuôn mẫu) để nhìn vấn đề rõ ràng hơn, dễ ghi nhớ hơn. Việc sử dụng những sơ đồ cũng giúp SV quen thuộc

hơn với nhiều môn khác sẽ học sau đó. Chẳng hạn, với môn Cơ sở dữ liệu phân tán (dành

cho SV các ngành Công nghệ thông tin, Kĩ thuật điện tử, Điện tử viễn thông), trong thiết

kế hệ cơ sở dữ liệu phân tán, với phương pháp phân mảnh hỗn hợp, SV sẽ phải dùng đến

các loại sơ đồ cấu trúc cây. Tương tự, khi xử lí truy vấn trong cơ sở dữ liệu quan hệ phân

tán, người ta cũng sử dụng sơ đồ để đưa ra các giải pháp.

 Về việc sử dụng chiến lược đọc SQR4: + GV đề nghị SV tự tìm hiểu về “chiến lược đọc SQR4”.

+ GV gợi ý thêm cho SV về chiến lược đọc SQR4 và đề nghị SV dùng chiến lược

SQR4 khi tự đọc tài liệu ở nhà, có thể đưa dưới dạng bài tập, chẳng hạn: “Hãy thể hiện sự

vận dụng chiến lược đọc SQR4 khi bạn đọc bài tích phân mặt loại hai”.

+ Trong quá trình dạy học trên lớp, GV có thể kiểm tra một số bước trong chiến

lược đọc này, chẳng hạn: “Khi bạn đọc bài tích phân mặt loại hai và sử dụng chiến lược SQR4, ở bước 1 (survey), bạn cần nhìn bao quát những ý chính nào?”.

Ví dụ 2.22: Có thể vận dụng chiến lược đọc SQR4 khi đọc bài tích phân hai lớp như sau: Bước 1: Nhìn bao quát toàn bài, chú ý các đề mục: Bài toán tính thể tích vật thể hình trụ, định nghĩa tích phân hai lớp, tính chất, cách tính, đổi biến trong tích phân hai

lớp, ứng dụng của tích phân hai lớp. Tưởng tượng trước một số nội dung dựa trên suy nghĩ tương tự từ một số loại tích phân đã biết. Chẳng hạn: Trong định nghĩa tích phân hai lớp chắc là sẽ cần phải có thao tác phân tích (chia nhỏ miền lấy tích phân). Về tính chất: có thể giống với tích phân xác định. Phần đổi biến có thể cần đổi cận của biến, đổi vi phân,…

Bước 2: Đặt các câu hỏi cho mỗi mục sẽ đọc. Chẳng hạn: Trong mục định nghĩa tích phân hai lớp, cần phải nắm được những điều gì? (Tích phân hai lớp là tích phân của hàm mấy biến, xác định trên miền nào? Tích phân được kí hiệu như thế nào? Tại sao dùng kí hiệu này?,...)

Bước 3: Đọc bài, chú ý trả lời các câu hỏi đặt ra, cố gắng hiểu bài đọc dựa trên

việc liên hệ với kiến thức cũ hay kiến thức mới vừa đọc ở phần trên. Nếu chi tiết nào quá

khó hiểu thì có thể ghi nhớ và tạm thời bỏ qua, khi đọc lại sẽ tìm cách hiểu thêm. Ngay

trong bước này, vẫn phải tiếp tục đặt ra các câu hỏi, đặc biệt là câu hỏi “Tại sao?”, và

f x y dxdy ( , )

đoán xem tác giả sẽ viết tiếp điều gì. Chẳng hạn, khi đã biết cách tính

 

y x ( ) 2

   a x      y y x ( )  1

với D xác định bởi , cần phải có suy nghĩ tương

  x

x y ( ) 2

   c y    x y ( )  1 được trong sách với sự tưởng tượng ban đầu và điều chỉnh cách suy nghĩ.

tự về cách tính I khi D xác định bởi Cần so sánh, đối chiếu điều đọc

Bước 4: Khi kết thúc mỗi đoạn hoặc đang đọc ở phần khó hiểu, có thể tạm ngừng,

nhắc lại những điều cơ bản đã đọc. Sẽ dễ nhớ hơn nếu nhìn nhận vấn đề một cách logic,

có ý nghĩa, có sự so sánh, phân loại. Chẳng hạn, để nhớ về định nghĩa tích phân hai lớp,

f x y dxdy ( , )



f x y dS ( , )





f x y ( i





lim   S i



x y là gì? )

có thể dựa trên suy luận ngược bắt đầu từ kí hiệu:

iS là gì?...

rồi tiếp tục giải thích: ( , i

dxdy

Bước 5: Nhắc lại những kiến thức cơ bản đã đọc bằng ngôn ngữ của mình. Chẳng hạn, khi nhớ đến tính chất của tích phân hai lớp, có thể nói: Tích phân hai lớp có các tính chất tương tự tích phân xác định. Đó là một số tính chất về: + Tích phân của tổng, hiệu các hàm. Tích phân của một hàm nhân hằng số. + Tách miền lấy tích phân thành hai miền không dẫm lên nhau. + So sánh hai hàm dẫn đến so sánh hai tích phân.

f x y  ):



+ Tính chất đặc biệt (Nhờ thao tác đặc biệt hóa, khi lấy ( , ) bằng diện

tích miền D.

Những cách nói tóm tắt tương tự như trên giúp dễ nhớ hơn, đồng thời cũng là sự

phân loại và chỉ rõ ý nghĩa của các tính chất.

 x y x X y Y ( , )



Y



Bước 6: Ghi nhớ lại những kiến thức cơ bản của toàn bài đọc, đồng thời có thêm những suy ngẫm riêng của bản thân. Ở phần ghi nhớ, có thể viết tóm tắt các nội dung cơ bản dưới dạng dàn ý hoặc sơ đồ. Với sự cố gắng để làm rõ hơn, mở rộng hơn những điều

 Vậy tìm miền

D   chính là tập 



với

,x y ) chính là xác định tập tích Descartes

X Y Ta có thể chọn

x X

đã được viết trong sách, SV có thể có một vài suy nghĩ như sau: 01 ) Miền D (hay tìm cận của

y Y

những phần tử sau đó với mỗi x đã chọn ta xác định y tương ứng. Hoặc trước

02 ) Cách đánh dấu miền D như ở một số hình vẽ sau có thể thể hiện được một phần cách

tiên chọn những phần tử sau đó với mỗi y đã chọn ta xác định x tương ứng.

suy nghĩ khi xác định miền D:

Ví dụ 1:



x 2 ( )

 

b y



x ( )

 x a ( ) y x 1

  



y x 1 ( )

Ví dụ 2:



x y 1( )

x y 2 ( )

  y

  x

x y ( ) 1

x y ( ) 2

  

Ví dụ 3:

cos



Đổi biến sang tọa độ cực:

sin



x    y

0 0

   

  2 r R

  

Ví dụ 4:

Đổi biến sang tọa độ cực:

r r

cos sin

 

 x   y

  



 2 R 2 cos



   2     0 r 

100

Hình 2. 3: Cách đánh dấu miền lấy TP trong một số bài toán về TP hai lớp

101

dxdy

S D ( )

30) Từ bài toán tính thể tích vật thể hình trụ và định nghĩa tích phân hai lớp, có thể giải

S D là diện tích miền D) bằng hai cách như sau:



,...,

thích tính chất ( ( )

D tùy ý và gọi

n x y ( , )



D D , 2 1 f x y  ( , ) 1 tại

 D

Cách 1: Suy ra từ định nghĩa, khi chia miền D thành n miền

n 1,

)

iD i (

iS n

S D ( )

thì là diện tích miền , với

dxdy

S D (

f x y ( , i i

  S i





 1

dxdy

. Vậy





 

1 ( ( , )

 x y D

)

D f x y ( , )

Cách 2: Ta nhận thấy bằng giá trị thể tích hình trụ với đáy là miền D, mặt trên

dxdy

có phương trình , các đường sinh tựa trên biên của D và

.Oz Như vậy,



dxdy



S D

( ).1



S D

( ).

song song với bằng thể tích của hình trụ đứng mà đáy là miền D,



04 ) Khi đổi biến trong tích phân hai lớp, có thể so sánh với công thức đổi biến trong tích phân xác định như sau:

f x y dxdy ( , )

chiều cao là 1, do đó



f x dx ( )



x t ( )

 Tính  Tính



x u v y ( , ),



y u v ( , )

x y xác định cận của ,



  ,



 ( ),



 ( )

;

  D

x y ( , )

 ) D

,u v (( , ) u v

  

+ Đổi biến: Đặt + Đổi biến: Đặt + Đổi cận: Từ cận của x , xác định cận + Đổi cận: Từ cận của của t ( )



x t dt ( )

   dx



J dudv



+ Đổi vi phân: + Đổi vi phân: dxdy

 u  u

 v  y v

J là định thức Jacobi:



f x y dxdy ( , )



f x u v y u v J dudv ( ( , ), ( , ))

+ Công thức:





f x dx ( )



f x t x t dt ( ( )) ( )







+ Công thức: 

Bảng 2. 1: So sánh công thức đổi biến của tích phân xác định và tích phân hai lớp

2.2.4. Biện pháp 4: Thiết kế, tổ chức cho SV thực hiện các hoạt động gắn phân tích với tổng hợp, sáng tạo và giải quyết vấn đề a) Mục đích của biện pháp

102

 Nhằm giúp SV thường xuyên sử dụng kết hợp tư duy phân tích với các loại tư duy

khác.

 Giúp SV sử dụng các loại tư duy linh hoạt và có hiệu quả hơn.

b) Căn cứ xây dựng biện pháp

Mặc dù TDPT có vai trò quan trọng nhưng trong dạy học đại học, không phải chỉ

phát triển TDPT mà còn cần chú trọng các loại tư duy khác (đặc biệt là tư duy sáng tạo)

và năng lực giải quyết vấn đề. Do vậy, cần kết hợp phát triển đồng thời TDPT với các loại

tư duy khác có liên hệ chặt chẽ với TDPT (dựa theo 1.2.4).

Swartz R.J. cho rằng: “sự kết hợp các loại kĩ năng tư duy tạo nên sức mạnh tích

hợp và liên hệ giữa các thành tố là yêu cầu quan trọng để phát triển tư duy. Kết hợp như

thế nào, trong điều kiện nào, ở mức độ nào là hoàn toàn tùy thuộc vào sáng kiến của

người dạy. Các bài dạy được biên soạn theo hướng phát triển tư duy đều đề cập đến tất cả các vấn đề mà con người quan tâm. Do vậy, ngoài việc hiểu các kĩ năng, người học cần được rèn luyện khả năng vận dụng chúng để đưa ra quyết định và giải quyết vấn đề. Cách làm như vậy sẽ trang bị cho người học nền tảng (cơ sở) cho mọi tư duy” ([13], tr. 32).

Để việc phân tích đạt hiệu quả, trước khi phân tích cần tưởng tượng, phán đoán. Trong quyển “Phương pháp học tập tối ưu” ([59], tr. 62) tác giả đưa ra các cách dạy về vở kịch Hamlet của hai giáo viên, Jake dành nhiều thời gian để phân tích kĩ vở kịch và giúp học sinh tìm cách ghi nhớ, sau đó tổng kết nội dung chính của bài. Steven cho học sinh tưởng tượng về một câu chuyện có nội dung bắt đầu tương tự như với vở kịch. Sau khi học sinh đã suy ngẫm và tưởng tượng những tình huống tiếp theo, Steven mới bắt thiệu giới thiệu bài học. Cuối cùng, cách dạy của Jake đã không được học sinh tán thưởng, cách dạy của Steven trở nên có hiệu quả hơn.

c) Cách thực hiện biện pháp

- Kết hợp TDPT và tư duy tổng hợp: Nên yêu cầu SV tóm tắt, lập đề cương, chỉ ra các bước cơ bản trong một lời giải, trình bày sơ lược các bước giải sau khi phân tích.

GV nên xây dựng các bài tập kết hợp nhiều loại kiến thức, điều đó đòi hỏi SV phải nhận

ra một đối tượng vừa có đặc điểm này vừa mang đặc điểm kia thì khi kết hợp lại sẽ như

thế nào, đồng thời họ phải phân tích nhiều chi tiết hơn thì khi tổng hợp lại mức độ khó sẽ

được nâng cao hơn. Ngoài ra, dạng bài tập này cũng giúp SV nhận ra mối liên hệ giữa các

nội dung, đồng thời nhờ có sự khắc sâu kiến thức cũ thì SV sẽ dễ dàng hiểu kiến thức

mới, suy luận tốt hơn.

f x là hàm số sơ cấp xác định trên

 lim ( ) f x    1 x

a) Em có nhận xét gì về Ví dụ 2.23: (Bài toán kết hợp nhiều nội dung kiến thức)   biết rằng ( ) 3 

x 

(0, 3).

103

f x  với mọi 2

(0, 3) và ( ) Hãy giải thích.

tdt



x lim x 3 x

2 3

 

b) Tìm giới hạn:

f x y dxdy ( , )

Ví dụ 2.24: (Bài toán đòi hỏi chú ý nhìn tổng thể)

D là miền giới hạn bởi các đường

 

D 1.



x y , 3

  Cách viết nào sau đây là đúng?  1 x

x 3

f x y dy ( , )

f x y dy ( , ) ;

Xét tích phân

 



 



0 3

1  x 1

0 3

1 3

f x y dy ( , )

f x y dy ( , ) .

Cách 1: ; Cách 2:



 

Cách 3: ; Cách 4:

Thực tế, SV thường mắc sai lầm khi tìm cận của tích phân. Chẳng hạn, họ chọn ,x y . Chọn cách 2 vì chỉ chú cách 1 vì chỉ quan tâm đến các giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của

 ý đến quy luật khi nhìn x trên 0,1 .  

  

Tương tự, chọn cách 3, 4 vì chỉ chú ý đến x trên

   1,2  hoặc 2, 3 .       

Bài toán này có thể giúp SV chỉ ra lỗi sai, hạn chế sai lầm đồng thời giúp

   

  

 

 0, 3     chứ không phải chỉ với riêng 0,1    hoặc 1,2 , 2, 3  ). SV cần rèn luyện kỹ năng vận dụng       lý thuyết và nhận dạng bài toán. Muốn xác định cận đúng, cần đưa miền D về dạng ở Ví dụ 1 hoặc Ví dụ 2 ở trong Hình 2.3. Tuy nhiên, nên đưa về dạng Ví dụ 2 vì khi đó cách giải sẽ đơn giản hơn.

họ phải nhìn một cách bao quát, chú ý đến toàn thể (quy luật phải đúng với mọi

- Kết hợp TDPT với tư duy sáng tạo: Trong dạy học, GV nên khuyến khích SV tưởng tượng trước về nội dung họ chuẩn bị đọc hoặc nghe, sau đó SV sẽ phân tích (có so

sánh, đối chiếu). Điều đó giúp kết hợp sự sáng tạo và phân tích sâu sắc hơn, hiểu rõ hơn

về ưu nhược điểm trong cách giải cho trước hoặc suy nghĩ của bản thân, không bị thụ

động, rập khuôn. Chẳng hạn: Khi đang giải một bài toán, GV có thể dừng lại và hỏi:

“Theo các em, tôi sẽ làm tiếp theo như thế nào?”.

Ronald Gross ([16], tr. 229) cho rằng để phát triển óc phân tích và tư duy sáng tạo,

nên biết cách dùng đúng những cụm từ như: “Tôi có một linh cảm về chủ đề này…”, “Tôi

có thể tưởng tượng nó hoạt động theo cách này nếu…”, “Điều này nhắc tôi nhớ lại lúc tôi…”, “Tôi vẫn còn trăn trở vì câu hỏi về …”, “Khi xem xét toàn bộ, tôi nghĩ đến điểm

cốt yếu ở đây là…”.

104

Theo tác giả Tôn Thân, sử dụng một số dạng bài tập sau có thể giúp phát triển tư

duy sáng tạo: Bài tập có nhiều cách giải, bài tập câm, bài tập mở, bài tập khác kiểu [51].

Chúng tôi nhận thấy rằng những dạng bài tập này cũng phù hợp để phát triển TDPT cho

SV, bởi vì: Những bài tập có nhiều cách giải đòi hỏi SV nhìn nhận vấn đề theo nhiều

hướng, điều đó sẽ giúp họ phán đoán, lựa chọn cách phù hợp nhất để đi sâu vào phân tích,

tránh tình trạng chỉ phân tích theo một chiều và có thể dẫn dến bế tắc. Hơn nữa, việc tạo

ra nhiều cách giải cũng giúp SV có thêm phương pháp để kiểm tra một cách giải nào đó

có đúng không. Những bài tập câm đòi hỏi SV phải quan sát kĩ lưỡng, phân tích từng chi

tiết, phán đoán, suy luận. Những bài tập mở sẽ giúp SV có thói quen đưa ra những nhận

xét, kết luận, suy nghĩ sâu, sử dụng các thao tác tư duy. Các bài tập khác kiểu giúp SV tư

duy linh hoạt, suy ngẫm, tránh tình trạng bắt chước. Như vậy, việc sử dụng các bài tập

trên sẽ giúp phát triển đồng thời TDPT và tư duy sáng tạo. Ví dụ 2.25: Khi học về hàm số liên tục, SV làm bài tập sau:

f x ( )

Nhận xét: Ở bài tập này, SV có thể đưa ra câu trả lời và giải thích theo cách của họ. Chẳng hạn:

AB là đồ thị của một hàm số

f x tăng ngặt trên

 nào đó trên 1, 2 .  

  

y x ( )

   1, 2 , liên tục trên 1, 2 .       Cung AC không phải là đồ thị của hàm số

 nào trên 1, 2 .  

  



  nào đó với

a 

sgn

 2 x  

Cung Hàm ( )

lim  x



Ví dụ 2.26: Tìm giới hạn Cung AC có thể là đồ thị của hàm số     2

Ví dụ 2.27: Một bể bơi có mặt trên hình tròn với đường kính 20m, đáy bể là một mặt phẳng. Độ sâu của bể không đổi từ bờ đông sang bờ tây, và tăng từ 1m ở bờ nam đến 2m

ở bờ bắc, vách xung quanh hồ thẳng đứng.

105

a) Tính thể tích nước trong hồ bơi (Tính bằng hai cách). b) Điền vào các chỗ trống sau:

Với các khoảng cách trong thực tế thì có thể lập phương trình…

xOy đáy dưới có phương

f x y ( , ), ( ( , ) f x y

Nếu vật thể hình trụ có đáy trên là miền D trong mặt phẳng



liên tục trên D), các đường sinh tựa trên biên của D và trình 

song song với Oz thì…

Với bài toán này, khi hướng dẫn cho SV suy nghĩ theo hướng nhìn tổng thể- từng

phần - tổng thể, GV cũng nhắc lại cho SV các bước giải một bài toán thực tế (phần trình

bày ở Phụ lục).

- Về việc kết hợp phân tích và giải quyết vấn đề, GV giới thiệu cho SV bốn bước giải toán của Polya (theo mục 1.2.4) và nhấn mạnh những yêu cầu có liên quan đến biểu hiện TDPT trong từng bước giải, chẳng hạn: Với bước 1, cần tìm hiểu thông tin (các yếu tố trong đề bài) một cách rõ ràng, chi tiết; tìm mối liên hệ giữa các thông tin,…Trong bước 2, cần đặt các câu hỏi phân tích; suy xuôi, suy ngược; đưa ra một số hướng giải và

phân tích, lựa chọn hướng phù hợp,…Ở bước 3, cần sử dụng chính xác các thông tin, khái niệm, định lí và mối liên hệ giữa chúng để có thể sắp xếp, trình bày lời giải một cách logic,…Trong bước 4, cần phán đoán, suy luận sâu dựa trên những căn cứ (xem xét các mối liên hệ nhân quả, mối liên hệ cái chung cái riêng, sử dụng các thao tác tư duy tương tự, khái quát hóa,…) để đưa thêm những nhận xét mở rộng.



GV có thể làm mẫu một vài ví dụ trong quá trình giảng dạy trên lớp hoặc đưa tài liệu để SV tham khảo, sau đó đề nghị SV thường xuyên phân tích lời giải toán theo các bước trên khi tự học ở nhà. Ngoài ra, cũng nên có những ví dụ về các bài toán liên quan đến thực tế hoặc chuyên ngành, để giúp SV tạo thói quen thường tư duy theo hướng gắn với thực tế hoặc chuyên ngành.



x x

Ví dụ 2.28: Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau:



ln x

Bước 1: Tìm hiểu đề bài



x x

Ta cần xét xem hội tụ hay phân kì (Nói đề bài một cách rõ hơn).

Bước 2: Tìm cách giải (Dự đoán một số hướng giải, với mỗi hướng liên hệ với một số định lí, hay kết quả đã biết có liên quan)

106

Hình 2. 4: Bản đồ TD phân tích hướng giải bài toán xét sự hội tụ của TPSR



Khi xét sự hội tụ bằng cách dùng các định lí, ta nghĩ:



1 

lim 

    

     

dx x

x x

  và 1

 chọn

3   2



g x dx ( )

+ Có thể chọn một số  nào đó để và hội tụ hay không?



g x

( )



g x ( )



với x đủ lớn và hội tụ hay + Có thể chọn hàm ( )g x nào mà ln x x

x x

1 5 4

không? (chẳng hạn

Từ bản đồ tư duy và cách suy nghĩ như trên, có thể tìm được 4 cách giải. Kiểm tra lại các bước, ta thấy 4 cách đều đúng. Bước 3: Trình bày lời giải



  x



t e dt

Cách 1: Đặt





t 2



t  2 te dt



 ( 2 e

)

 

te 2



t  2 e dt



x x

ln 2





t 2



e 4



2(ln 2

  2)

 .

     te 2   

     

ln2

107



ln ,

x dv



  du

dx v ,

  2

Vậy tích phân đã cho hội tụ.

1 x

x x

x 





 2



  2



2(ln 2

  2)

 .



x x

Cách 2: Đặt

1 x



ln x

4 x

Vậy tích phân đã cho hội tụ.

 nên

ln 4

4 4

lim 



3 4

1 4

Cách 3: Vì với x đủ lớn







x x

1 5 4



với x đủ lớn.



dx 5 4

1 x



Do hội tụ nên tích phân đã cho hội tụ.

4 4

lim 



x x

1 5 4

x ln 1 4

3 4

       

        

1 4



Cách 4: Có



dx 5 4

và hội tụ. Vậy tích phân đã cho hội tụ.



Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

 



ln x dx x 





 1;( ,



 ,



0).

+ Dựa vào suy luận từ các cách giải trên, ta thấy hội tụ nếu

 



lnm x 

phân kì nếu Tổng quát hơn: hội tụ nếu



 1;( ,



 ,





108

*  ).

+ Cần ghi nhớ về mối liên hệ: hàm lnm x là vô cùng bé so với hàm

   (

)

  khi x   , nghĩa là:

 0.

lim 

ln x 

phân kì nếu

Bài toán trên không khó nhưng cách suy nghĩ và trình bày như trên đã thể hiện

việc tìm tòi nhiều hướng giải, suy nghĩ sâu, phần nào đáp ứng yêu cầu của tư duy phân

tích, tư duy sáng tạo và năng lực giải quyết vấn đề. Các bước 1, 2 tương ứng với việc

nhìn tổng thể, phân tích. Bước 3 cần tổng hợp. Bước 4 cần nhận xét, mở rộng.

Ví dụ 2.29: (theo [23], tr. 30)

Theo định luật Newton thì độ nguội dần của vật trong không khí tỉ lệ với hiệu số giữa nhiệt độ của vật và nhiệt độ của không khí. Hãy tìm quy luật nguội dần của vật nếu nhiệt độ của không khí là 200C và trong khoảng thời gian 20 phút vật nguội dần từ 1000C xuống 600C. Sau bao nhiêu lâu thì nhiệt độ của vật là 300C? Hãy nêu một số nhận xét, chú ý của bạn sau khi giải bài toán.

Ví dụ 2.30: (Dựa theo [46], tr. 625)

Không khí trong một căn phòng có thể tích 180m3 ban đầu chứa 0,15% lượng cacbon điôxit. Người ta đưa luồng không khí sạch chỉ chứa 0,05% cacbon điôxit vào phòng với tốc độ 2m3/phút và lượng không khí hòa tan được hút ra ngoài với cùng tốc độ đưa vào.



t 90

p t ( )

 

a. Tìm phần trăm lượng cacbon điôxit trong phòng dưới dạng hàm số theo thời gian. Điều gì xảy ra sau một thời gian dài? b. Khi giải bài toán này, bạn An ra kết quả phần trăm lượng cacbon điôxit trong phòng

 Bạn nghĩ kết quả của An có

17973 180

dưới dạng hàm số theo thời gian là

đúng không? Tại sao? Bạn rút ra được nhận xét gì từ điều này?

Những điểm cơ bản cần nhớ khi giải bài toán trên là gì?

 i



Ví dụ 2.31: (Dựa theo [46], tr. 645)

E t ( )



H 1

109

(0)

A 1 .

Cho mạch điện như ở hình vẽ trên, nguồn điện cung cấp một hiệu điện thế R   và 20 40 sin 60 một cuộn dây có hệ số tự cảm , điện trở là

I t bằng hai cách. Tìm cường độ dòng điện sau 0,1s và sau 1s.

Tính ( )

I t và nhìn lại xem kết quả ở phần b) của bạn có vẻ

Sử dụng máy tính, vẽ đồ thị hàm số ( )

hợp lí không.

(Cách suy nghĩ và lời giải của ba ví dụ trên ở phần Phụ lục)

Khi giải các bài toán thực tế, SV thường gặp khó khăn nhiều nhất ở bước mô hình

hóa toán học. Trong bước này, ngoài kiến thức liên quan đến thực tế, SV còn cần hiểu ý

nghĩa ứng dụng của các nội dung toán học. Như vậy, trong quá trình dạy học, GV và SV

cần tìm hiểu rồi phân tích để làm rõ khía cạnh ứng dụng đó. Chẳng hạn:

f x với x rất gần 0.x

lim ( ) f x  x x 0

)

- Giới hạn giúp ước lượng các giá trị của ( )

f x 0(

f x tại 0.x

f x (

   x

)

f x (

)



 ( f x

- biểu thị tốc độ biến thiên của hàm số ( )

 (với )

x bé) không phải chỉ dùng để tính

- Công thức

x  được coi

gần đúng mà còn giúp suy ra rằng khi là bé

  f

f x (

   x

)

f x ( )



f x ( )

. Khi đó nếu biết thì f trên một khoảng thì biết xấp xỉ

f x trên khoảng đó.

f x ( )

, như vậy có thể suy ra quy tắc về hàm ( )

f x ( )

- Người ta thường tính bằng phương pháp tính gần đúng (dựa theo định nghĩa).

2.2.5. Biện pháp 5: Tăng cường cho SV thực hiện các hoạt động sử dụng tư duy phân tích trong quá trình tự học a) Mục đích của biện pháp

Giúp SV rèn luyện khả năng tự học kết hợp với phát triển TDPT trong quá trình

thường xuyên tự thực hiện các hoạt động tư duy.

b) Căn cứ thực hiện biện pháp

Tự học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập của SV. Việc tự học, đặc biệt

là khi tự đọc và khi giải bài tập, đòi hỏi phải thường dùng TDPT. Tuy nhiên, thực tế cho

thấy khả năng tự học của SV còn hạn chế. Ngoài ra, việc phân tích chi tiết cần nhiều thời

gian, nên không thể chỉ thực hiện trên lớp học, cần phải chú trọng trong quá trình tự học

của SV. Hơn nữa, đối với SV, cần có tư duy độc lập ở mức độ cao, nên GV không phân

tích kĩ như như ở cấp học phổ thông. Do vậy, để hiểu rõ kiến thức, SV phải tự phân tích

110

trong quá trình tự học.

Theo Luật giáo dục Việt Nam: Phương pháp giáo dục đại học phải coi trọng việc

bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu,… ([2], tr. 5).

Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “Tự học là tự mình dùng các giác quan để thu nhận

thông tin rồi tự mình động não, suy nghĩ, sử dụng các năng lực trí tuệ (so sánh, quan sát,

phân tích, tổng hợp v.v…) và có khi cả cơ bắp (khi phải sử dụng công cụ) cùng các phẩm

chất của mình, cả động cơ, tình cảm, nhân sinh quan, thế giới quan (như trung thực, khách

quan, có chí tiến thủ, không ngại khó…) để chiếm lĩnh một lĩnh vực hiểu biết nào đó của

nhân loại, biến lĩnh vực đó thành sở hữu của mình” ([2], tr. 91).

Việc tự học sẽ giúp SV có kiến thức nền tảng tốt hơn để tư duy. Ayman cũng cho

rằng những người có tư TDPT sẽ giải quyết vấn đề rất tốt trong lĩnh vực kiến thức mà họ

am hiểu ([63], tr. 21).

Tóm lại: Từ những điều đã nêu trên, có thể thấy rằng: SV cần phải tự học. Trong

những hoạt động tự học, họ phải sử dụng các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa,…Họ phải tìm ra các mối liên hệ kết nối, tìm cách hiểu vấn đề một cách rõ ràng và sâu sắc dựa trên việc đặt và trả lời các câu hỏi, dựa trên việc ngẫm nghĩ

sau khi đọc và rút ra những kết luận của bản thân, chuyển hóa kiến thức thành của mình và vận dụng. Như vậy, có thể thấy rằng việc tự học giúp phát triển TDPT và ngược lại, sử dụng TDPT sẽ giúp việc tự học được tốt hơn.

b) Cách thực hiện biện pháp

Trong dạy học Toán cao cấp theo hướng này, GV có thể: - Giới thiệu để SV tìm hiểu thêm về các phương pháp tự học ở đại học (chẳng hạn

phương pháp đọc, rèn luyện trí nhớ, cách ghi chép, cách tra cứu tài liệu,…).

- Xây dựng hệ thống câu hỏi, bài tập cần sử dụng nhiều đến TDPT và giao cho SV làm khi tự học, chú ý đến các dạng bài không đủ thời gian làm trên lớp. Các bài tập

phải phù hợp với trình độ SV, với giáo dục đại học và tương ứng với các biện pháp ở trên.

Chẳng hạn, hệ thống bài tập về nhà có thể là các dạng như sau:

+ Chia nhỏ, diễn giải và tìm các mối liên hệ.

+ Sắp xếp các ý lộn xộn để được một sự trình bày hợp lí.

+ Trả lời các câu hỏi “tại sao?”, “có ý nghĩa gì”,… + Bài tập dự đoán.

+ Rút ra những chú ý, nhận xét riêng (sau khi đọc, sau khi làm một bài tập,…) + Chỉ ra mục đích của tác giả khi đưa ra ví dụ hay bài tập nào đó.

+ Vẽ sơ đồ (về định nghĩa, về công thức tính, về hướng suy nghĩ giải bài toán, lập

111

dàn ý,…,suy xuôi, suy ngược).

+ So sánh, đặc biệt hóa, tương tự, phân loại, tóm tắt,…

+ Trình bày cách giải bài toán theo bốn bước của Polya.

+ Bài tập câm, bài tập mở, bài tập có nhiều cách giải, bài tập chọn cách giải ngắn

gọn nhất, bài tập tìm sai lầm, bài tập ứng dụng thực tế, bài tập khác kiểu, bài tập dạng

nghiên cứu trường hợp.

+ Bài tập nhìn tổng thể để suy đoán hướng phân tích, chẳng hạn: “Trong bài toán,

với các yếu tố của giả thiết về hàm liên tục trên một đoạn, khả vi trên một khoảng,… bạn

liên tưởng đến vùng kiến thức nào có thể áp dụng?”.

+ Bài tập có nhiều ý, mỗi ý chỉ có sự thay đổi nhỏ (mục đích làm SV chú ý đến

việc chọn hướng phân tích trước khi giải).

+ Đề nghị SV sử dụng kĩ thuật đọc SQR4, phân tích lời giải theo “chiến lược tổng

thể-từng phần- tổng thể”.

+ Bài tập đòi hỏi ghi nhớ. Chẳng hạn: “Hãy viết tóm tắt kiến thức bài học trong

một trang giấy và ghi nhớ”.

+ Bài tập lớn, bài tập cần sử dụng máy tính, bài tập liên quan đến thuật ngữ chuyên

ngành,…

- Đề nghị SV học nhóm ở nhà (và trình bày trên lớp) để họ có thể trao đổi, thảo

luận, nhằm hiểu vấn đề một cách rõ ràng và sâu sắc hơn.

- Yêu cầu SV khi tự học phải tự đặt ra các câu hỏi, bài tập để giải đáp. Thời gian đầu, GV có thể đưa phiếu hỏi để SV chuẩn bị trước. Những câu hỏi, bài tập đó có tác dụng hướng đích, kích thích tư duy. Thời gian sau, GV đề nghị SV đặt câu hỏi theo cách tương tự như trên những phiếu hỏi mà họ đã làm. GV có thể chỉ rõ cho SV thấy rằng: Phiếu hỏi phải gồm những câu hỏi, bài tập tương ứng với từng nội dung chi tiết trong bài đọc, được sắp xếp theo thứ tự, hỏi cho các thao tác tư duy, cho những phán đoán, suy

luận, hỏi cho sự rõ ràng, sâu sắc, câu hỏi tìm kiếm và sửa chữa những sai lầm, câu hỏi yêu

cầu ví dụ, phản ví dụ, sử dụng sơ đồ, câu hỏi nhìn nhận vấn đề theo nhiều cách khác nhau,

tìm nhiều cách giải cho bài toán,…

- Kiểm tra thường xuyên hơn (gồm kiểm tra bài mới trước khi học và bài cũ sau khi học) để SV thấy nhiệm vụ tự học là bắt buộc, họ cố gắng tự học và dần dần hình thành thói quen. Bài kiểm tra không được giống hoàn toàn bài tập đã có trong tài liệu học, mà

phải có ít nhiều sự thay đổi, đòi hỏi SV phải có sự suy luận.

- Có thể sử dụng kĩ thuật dạy học “KWL” ([4], tr.55). Đây là một trong những cách mà Ben Jonhson (2018) cho rằng có thể giúp phát triển TDPT cho người học ([73], tr.16).

112

Chẳng hạn, ở trên lớp, khi dạy về phương trình vi phân với biến số phân li, GV đề nghị

mỗi SV viết một phiếu dạng bảng như sau:

Chủ đề: Phương trình vi phân với biến số phân li

Điều đã biết (K) Điều muốn biết (W) Điều đã học được (L)

- - -

Trước khi học chủ đề này, SV điền vào các cột 1, 2. Sau khi học xong, SV viết vào

- -

cột 3 (viết kiểu tóm tắt).

Việc sử dụng kĩ thuật dạy học như vậy có thể giúp SV so sánh, phân tích, đánh giá,

suy ngẫm, rút ra nhận xét đồng thời SV phải tự đọc bài nhiều hơn, do đó có thể phát triển

TDPT. Mặt khác, qua việc xem xét những điều SV viết vào các cột 1, 2, GV cũng sẽ đánh giá được khả năng tự học của mỗi SV.

2 theo cách nào đó không?

Ví dụ 2.32 (Bài tập khác kiểu):

Bạn có thể giải thích rằng 1.9999... Ví dụ 2.33: Nhìn vào các bảng số liệu sau:

0,999 0,9999 0,99999 1 0

f x ( )



x    1 x

10,955 10,9955 10,9996 KXĐ 2

1,00001 1,0001 1,001 2 1

f x ( )



  x  1 x

11,0004 11,0045 11,045 1024 KXĐ

f x ( )



0,999 0,9999 0,99999 1 1,00001 1,0001 1,001

x    x 1

Theo bạn, việc đưa ra các số liệu trong mỗi bảng trên nhằm gợi ý đến những dự

10,955 10,9955 10,9996 KXĐ 11,0004 11,0045 11,045

đoán nào? Ví dụ 2.34: Bà Út năm nay đã 72 tuổi, bà sống ở nội thành Hà Nội với một người con trai duy nhất tên là Hai. Anh Hai đã có vợ và ba con. Từ một năm nay, anh còn có thêm cháu nội. Bà Út mới lên Mộc Châu chơi với người em gái trong 3 ngày. Hôm nay, bà vừa về nhà một lúc đã thấy người con trai bảo: “Hôm qua chúng con tách riêng công tơ điện ra

113

cho bà rồi đấy, nhà chúng con một cái, bà một cái, vì hồi này chúng con có cháu nhỏ nên dùng điện hết nhiều hơn so với trước”. Rồi người con dâu cầm tay em bé và hỏi: “Công tơ của cụ đâu? Công tơ của cụ đâu?”. Bà Út nghe thấy thế thì nét mặt rất buồn, bà không nói gì nữa. Lát sau, người con dâu đến nói gì đó với bà Út và nét mặt bà vui vẻ hẳn lên. 1. Theo bạn, người con dâu đã nói gì với bà Út mà giúp bà vui trở lại? 2. Lập hàm tính tiền điện sinh hoạt cho mỗi hộ theo số liệu thực tế hiện nay trong nội thành Hà Nội (giả sử ngày ghi chỉ số điện hàng tháng không thay đổi). Hàm số này có phải là hàm số sơ cấp không?

3. Mấy tháng gần đây, nhà bà Út và con trai dùng khoảng 750 số điện. Với số điện tiêu thụ như vậy, bây giờ họ nên dùng theo cách nào để tổng số tiền hai mẹ con phải nộp là ít nhất? 4. Vấn đề trong câu chuyện này có liên quan đến dạng hàm số nào? Bạn có thể chỉ ra một số hàm tương tự thường dùng trong trong thực tế hoặc trong môn học chuyên ngành không?

* Ở trường hợp này, SV sẽ phải tìm hiểu giá điện thực tế hiện nay trong nội thành Hà Nội, sau đó lập hàm tính tiền điện, nhận ra đây là dạng hàm số xác định từng phần và được dùng nhiều trong thực tế. Gợi ý trả lời: 1. Vào trang cskh.evnhanoi.com.vn/CSKHEVN (hoặc một số trang khác), có thể thấy bảng giá điện sinh hoạt cho gia đình (áp dụng từ ngày 20/3/2019) như sau:

Giá bán lẻ điện sinh hoạt Bậc 1: Cho kWh từ 0 - 50 Bậc 2: Cho kWh từ 51 - 100 Bậc 3: Cho kWh từ 101 - 200 Bậc 4: Cho kWh từ 201 - 300 Bậc 5: Cho kWh từ 301 - 400 Đồng/kWh 1.678 1.734 2.014 2.536 2.834

Bậc 6: Cho kWh từ 401 trở lên 2.927

x 1678.

khi x



50.1678

  ( x

50) .1734

khi

  x

100

50.1678



50 .1734

  ( x

100).2014

khi

101

  x

200

h x ( )



50.1678



50 .1734



100.2014

  ( x

200).2536

khi

201

  x

300

50.1678



50 .1734



100.2014



100.2536

  ( x

300).2834

khi

301

  x

400

2014

x (



400).2927

khi x



400

50.16

78 + 50 .1734 + 100.

+ 100.2536 + 100.2834 +

 

Như vậy, hàm tính tiền điện khi chưa tính thuế giá trị gia tăng là:

khi x



khi

 

2800 30800

51 101

x     x

100 200

khi

h x ( )

114

 

135200 224600

khi khi

201 301

x     x

300 400



261800

khi x



401

 x 1678.  1734. x  x 2014.    2536. x  x 2834.  2927. x 

hay

Vậy hàm tính tiền điện phải nộp sau khi đã thêm thuế giá trị gia tăng (10%) của mỗi

khi x



11 10



2800).

khi

  x

100

x (1734.

11 10



30800).

khi

101

  x

200

f x ( )



h x ( )



135200).

khi

201

  x

300

 1678. . x   (2014. x     (2536. x

x (2834.



224600).

khi

301

  x

400



261800).

khi x



401

11 10 11 10 11 10 11 10



(2927. x 

hộ sẽ là:

x   ).

(Trong thực tế, khi tính số điện hàng tháng, người ta chỉ lấy

(750.2834



2.224600).



1843930

Hàm số này không phải là dạng hàm số sơ cấp. 2. Bằng cách phân chia các trường hợp ứng với mỗi công tơ dùng ở từng bậc cụ thể, sẽ tìm được tổng số tiền hai mẹ con phải nộp là ít nhất khi cả hai công tơ đều dùng ở mức trong khoảng từ 301 đến 400 số điện. Tổng số tiền phải nộp khi đó là khoảng:

11 10

(đồng).

4. Vấn đề ở đây liên quan đến dạng hàm số xác định từng phần, nhiều hàm số trong thực tế có dạng như vậy. Chẳng hạn, hàm tính tiền nước sinh hoạt, hàm tính thuế thu nhập cá nhân, hàm tính tiền gửi xe theo giờ trong một ngày,…Ngoài ra, dạng hàm số này cũng được dùng nhiều khi học các môn chuyên ngành, chẳng hạn: hàm tín hiệu, hàm cường độ dòng điện,…

Bài tập trên được xây dựng dựa theo ví dụ của phương pháp nghiên cứu trường

hợp, bao gồm tình huống liên quan đến thực tế, có câu chuyện và các câu hỏi kèm theo,

giúp SV biết liên hệ, nhận xét, mở rộng, do đó sẽ hiểu vấn đề rõ ràng và sâu sắc hơn. Bài tập cũng phù hợp cho SV để làm việc nhóm. SV có thể áp dụng công thức hàm số ở phần

115

1 để tính tiền điện sinh hoạt trong gia đình (nếu ở Hà Nội).

Ví dụ 2.35: (Bài tập sử dụng máy tính để vẽ đồ thị, đòi hỏi sự hiểu rõ về ý nghĩa của khái

niệm): (dựa theo [46], tr. 138)

Lốp xe hơi cần được bơm hơi vừa phải vì bơm quá căng hoặc quá non hơi đều có

thể khiến cho gân lốp bị mòn sớm (trước thời gian dự kiến). Dữ liệu trong bảng cho thấy

tuổi thọ lốp xe L (đơn vị tính: nghìn mile) đối với một loại lốp cụ thể nào đó tại các áp suất P khác nhau (tính bằng lb/in2).

P 26 28 31 35 38 42 45

L 50 66 78 81 74 70 59

L P

P 

40.

a) Sử dụng máy tính để dự đoán và vẽ một mô hình tuổi thọ lốp xe với hàm ( ).

/dL dP khi

P  và 30

b) Sử dụng mô hình để ước tính Ý nghĩa của

đạo hàm là gì? Đơn vị tính của nó là gì? Ý nghĩa của các kí hiệu của đạo hàm là gì? Giải: a) Sử dụng phần mềm Maple, gõ lệnh

plot([[26,50],[28,66],[31,78],[35,81],[38,74],[42,70],[45,59]],style=point)

Ta có biểu đồ phân tán như sau:

( )L P



Hình 2. 5: Biểu đồ phân tán biểu thị tuổi thọ của lốp xe tương ứng với áp suất

  . bP c

Dựa vào biểu đồ này, có thể dự đoán một mô hình hàm số

Để tìm hàm số, ta gõ lệnh:

with (CurveFitting):

LeastSquares([[26,50],[28,66],[31,78],[35,81],[38,74],[42,70],[45,59]],P, curve=a*P^2+b*P+c)







116

403486139 1474987

87386464 4424961

1218757 4424961

L P ( )

 





. Máy tính sẽ cho kết quả là

1218757 4424961

87386464 4424961

403486139 1474987

Như vậy,



3,2

(30)

(40)

2, 3

Trong Maple, tại vị trí kết quả hàm vừa tìm được, bấm chuột phải, chọn Plots, chọn Plot Builder, điền giá trị của P từ 26 đến 45, chọn Plot. Ta có hình vẽ sau:

  .

dL dP

b) Từ hàm số ( )L P ở trên ta tính được và

dL dP là tốc độ biến thiên của ( )L P tương ứng với P ,

L P ( )

Ý nghĩa của đạo hàm: Đạo hàm

L P ( )

 ( ) L P



nghĩa là là tốc độ biến thiên của tuổi thọ lốp xe tương ứng với áp suất lốp.

L P ( )

lim   P

 

L P

 

L P

lb / in nên đơn vị tính của đạo hàm ở đây là: nghìn

(30)

3,2



nên có cùng đơn vị tính với Do L được tính bằng Vì

  L

3, 2.

cho biết tại áp suất bằng 30, nếu áp suất tăng thêm P (lb/in2 ) thì tuổi

 (nghìn mile).

(40)

2, 3

  cho biết tại áp suất bằng 40, nếu áp suất tăng thêm P (lb/in2 ) thì

dL dP

2, 3.

nghìn mile, P được tính bằng mile trên lb/in2. dL dP thọ của lốp xe tăng thêm

    (nghìn mile). ( P bé)

tuổi thọ của lốp xe tăng thêm

Như vậy, nếu áp suất lớn hơn 30 một ít thì tuổi thọ của lốp xe sẽ tăng lên. Nếu áp suất nhỏ hơn 40 một ít thì tuổi thọ lốp xe sẽ tăng lên. Với mức áp suất 30 lb/in2 thì lốp non hơi, với mức áp suất 40 lb/in2 thì lốp căng hơi. Nên bơm ở mức áp suất nào đó trong khoảng 30

1mile



2 1609,344 m, 1 lb/in



2 6894, 76N/m )

117

lb/in2 đến 40lb/in2. ( .

Qua bài toán này, SV cần nhận ra rằng dựa trên việc hiểu ý nghĩa của đạo hàm của hàm số, người ta có thể rút ra một số nhận xét giúp ích cho việc đưa ra những quyết định phù hợp. Chẳng hạn, kết quả thu được từ bài toán trên cho thấy lốp xe hơi chỉ nên bơm trong khoảng từ 30 lb/in2 đến 40lb/in2.

Những bài tập như trên cần kết hợp sử dụng công nghệ thông tin, ước lượng, dự đoán mô hình từ số liệu thu thập, từ đó nhận ra xu hướng tăng, giảm; đưa ra phương án tối ưu về cách sử dụng của một sản phẩm…, do đó có thể góp phần phát triển kĩ năng nghề nghiệp cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật”. Ví dụ 2.36: (chuyên đề, bài tập lớn)

- Trình bày ứng dụng của đạo hàm trong việc giải một số bài toán thực tế, bài toán

liên quan đến chuyên ngành bạn học.

- Trình bày một số sai lầm thường mắc phải khi học môn Giải tích 2 và đưa ra cách

khắc phục.

- Hãy tìm hiểu về chiến lược đọc SQR4 và vận dụng trong việc tự đọc một bài học

nào đó của chương trình Giải tích.

- Hãy tìm hiểu về cách giải bài toán theo các bước của Polya và vận dụng trong việc

giải một số bài tập Toán cao cấp.

- Hãy vận dụng phần mềm Maple để giải một số bài tập trong môn Giải tích. Kiểm

tra lại các kết quả bằng cách làm không dùng máy tính. Bạn rút ra nhận xét gì?



ydx

xdy

Với các chuyên đề, có thể yêu cầu SV làm việc nhóm. SV cần phải lập dàn ý trước khi làm, nêu rõ kế hoạch cụ thể là trong nhóm ai sẽ làm công việc gì, trong thời gian bao lâu, phần nào cả nhóm sẽ cùng thảo luận, sau đó họ phải trình bày là đã lựa chọn và phân loại các tài liệu tham khảo thu được như thế nào,… Ví dụ 2.37: (Phiếu hỏi dành cho SV khi tự học, trước khi học bài PTVP cấp một). 1. Thế nào là PTVP? Nghiệm của PTVP là số thực hay là hàm số? 2. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình vi phân? Tại sao?

 0.

x  b. 4,

   c.

f x dx

  d. g y dy ( )



xdx

sin

3. Theo bạn, tại sao người ta gọi phương trình ( ) là phương trình với biến

dy 

số phân li hay phương trình tách biến? 4. Cho phương trình



cos



cos

 y Ce



a. Tìm tích phân tổng quát của phương trình.

,C K là các hằng số (

K  0)

b. Các hàm số với

có là nghiệm tổng quát của phương trình trên hay không?

118

dy , bạn An làm như sau:

2 y dx



y C

5. Khi giải phương trình 2y dx

  là tích phân tổng quát của phương trình.



 Lời giải của An đúng hay sai? Tại sao?

Vậy 2y x

 

p x y ( )



q x ( )

6. Xét phương trình vi phân tuyến tính

a. Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình. Khi dùng công thức này, cần



chú ý điều gì?

1 x 

7. Tìm nghiệm của bài toán Cauchy:

b. Phương trình trên là phương trình với biến số phân li khi nào?    y    y (1) 

2.   

2 x y 3







8. Nêu các bước giải phương trình Bernoulli. Giải phương trình vi phân





 xy dy 4

 2 y dx 2



x (



2 )

x (



2 )

ydx

xdy

a. 9. Nêu cách giải phương trình vi phân toàn phần. 10. Giải các phương trình sau:  x

 0.

11. Giải phương trình sau bằng hai cách:

12. Vẽ sơ đồ tóm tắt các nội dung chính của phần “Cách giải một số phương trình vi phân cấp một”. Khi giải thích về hệ thống bài tập trong phiếu, GV nêu rõ phiếu hỏi gồm các câu hỏi cho từng nội dung trong bài theo thứ tự, các câu hỏi cần hiểu nội dung, giải thích, suy luận, tránh sai lầm, nhìn nhận theo nhiều bước, sử dụng sơ đồ, so sánh, tóm tắt,…Sau đó GV yêu cầu SV đặt ra các câu hỏi tương tự cho bài đọc tiếp theo. Xen kẽ vào mấy buổi học, GV lại có thể phát một phiếu hỏi tiếp theo cho SV để làm mẫu. Ví dụ 2.38: Sắp xếp lại phần trình bày sau và sửa lỗi (nếu có):

 P x y dx Q x y dy

( , )

“Để giải được phương trình vi phân, cần phải biết tính đạo hàm và tích phân.

 có liên quan

Cách giải phương trình vi phân toàn phần

u x y mà... nghĩa là

là cách tìm hàm ( , ) đến định lí…. như vậy cũng có liên quan đến công thức Green, do đó cần phải…, đặc biệt   và… Đối với phương trình vi phân cấp xu

một, có thể không nhìn thấy đạo hàm trong phương trình mà sẽ thấy có … Khi đó cần nhớ lại công thức… Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một có chứa ….

  là một phương trình vi phân. Muốn giải phương trình này, chỉ cần ...

Phương trình y

Hình như do nhiều phương trình vi phân có thể giải như vậy nên người ta còn gọi “giải phương trình vi phân” là …

119

Trong một số trường hợp, khi giải phương trình (đặc biệt với phương trình tuyến

tính và phương trình Bernouli), người ta còn coi …là hàm của... Sau khi tìm xong nghiệm tổng quát của phương trình, cần nhìn lại toàn bộ cách giải và xét xem phương trình có nghiệm … hay không.

 

q x y ( )



p x ( )



p x dx ( )







q x e ( )



  C  

    

xdx

ydy

Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính là

Điều cần chú ý khi áp dụng công thức nghiệm này là … Khi giải một phương trình vi phân, trước tiên cần xét xem …, chẳng hạn phương  có thể giải theo … cách dựa trên việc đưa về các dạng phương trình: trình

f x y dx



g x y dy ( , )

…

f x y g x y là các hàm hai biến, để tìm nghiệm thì ta lấy tích phân hai vế. Phương trình ( , ), ( , )

Với phương trình biến số phân li, tức là có dạng ( , ) trong đó

Bernulli … có thể đưa về phương trình tuyến tính bằng cách trước hết chia hai vế của phương trình cho x  , tức là làm mất x ở vế phải, sau đó đặt … Bởi vì trong quá trình biến đổi đã chia cho hàm x  nên thường phải chú ý điều kiện…do đó sau khi tìm nghiệm tổng quát thường phải xét thêm trường hợp…Điều này cũng gần tương tự ở mục phương trình vi phân toàn phần khi ta giải phương trình bằng phương pháp thừa số tích phân.

 k

Ở bài tập trên, trước tiên SV cần nhận rõ mỗi câu trong đề bài có ý gì, phải chú ý kĩ để sữa chữa lỗi, rồi chọn cách sắp xếp với lí do hợp lí. Họ có thể đưa ra các ý khác nhau vào chỗ trống nếu ý đó là đúng. Ví dụ 2.39: Trước khi học bài Tích phân mặt loại hai (và GV đã đề nghị SV đọc trước bài này ở nhà), GV kiểm tra các câu hỏi ngắn như sau: 1. Hãy điền vào chỗ trống:

 n

+ Vectơ đơn vị của vectơ (1, 2, 3) là …

1 1 , 2 2

    

 n

+ Vectơ là …

1 1 , 2 2

    

 1     2  1     2

+ Vectơ tạo với tia Ox góc …

2. Viết công thức Stoke. Bạn thấy công thức này có đặc điểm gì giúp dễ nhớ không? Khi xét trường hợp đặc biệt của công thức Stoke, bạn có nhận xét gì?

Ví dụ trên là dạng bài tập mở, bài tập yêu cầu rút ra nhận xét, sử dụng thao tác

 n

120

 3

1 1 , 2 2

    

 1     2

tương tự. Rất nhiều SV đã trả lời rằng vectơ tạo với tia Ox góc ”. Câu

 n

trả lời như vậy không sai nhưng phần nào đã thể hiện rằng những SV đó chưa tự học nhiều trong bài Tích phân mặt loại hai, nên chưa chọn câu trả lời ý nghĩa nhất và phù hợp nhất với bài học, còn mất thêm thời gian để tìm góc cụ thể. Bởi vì các ví dụ trong bài đó đều yêu cầu phải tìm xem vectơ pháp tuyến xác định hướng của mặt S tạo với các tia Ox, Oy, Oz góc nhọn hay góc tù. Do đó, câu trả lời hay nhất của SV trong trường hợp này

1 1 , 2 2

    

 1     2

cos , cos , cos







 n

nên là “vectơ tạo với tia Ox góc nhọn, vì tọa độ thứ nhất của vectơ đơn

,   là góc giữa





 vị n  n

là số dương”.(Vectơ đơn vị , trong đó

với các trục tọa độ).

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2

Trong chương này, dựa trên nguyên tắc của dạy học đại học và việc xem xét những biểu hiện của TDPT của SV khi học TCC, kết hợp với những tìm hiểu ở phần cơ sở lí luận và thực tiễn, chúng tôi đã xây dựng năm biện pháp, bao gồm: Tăng cường cho SV thực hiện các hoạt động chia nhỏ kiến thức, tìm hiểu từng phần và tìm các mối liên hệ; Thiết kế, tổ chức cho SV thực hiện các hoạt động thể hiện cách suy nghĩ rõ ràng và sâu sắc; Trang bị cho SV một số phương pháp thường dùng đối với TDPT; Thiết kế, tổ chức cho SV thực hiện các hoạt động gắn phân tích với tổng hợp, sáng tạo và giải quyết vấn đề; Tăng cường cho SV thực hiện những hoạt động sử dụng TDPT trong quá trình tự học.

Đối với biện pháp 1, SV thực hiện các hoạt động chia nhỏ, diễn giải, tìm hiểu từng chi tiết, tìm mối liên hệ, như vậy sẽ giúp chia nhỏ mục tiêu, hiểu rõ về thông tin, sử dụng

các khái niệm, định lí,…tốt hơn; có thể phán đoán dựa trên việc xem xét mối quan hệ cái

chung, cái riêng và thực hiện các thao tác tư duy tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa; suy

luận rõ ràng và sâu sắc, lập luận logic dựa trên việc trả lời các câu hỏi về mối liên hệ

nhân quả. SV được rèn luyện các hoạt động sắp xếp, phân loại dựa trên việc chia nhỏ và

tìm mối liên hệ logic, mối liên hệ cấu trúc,…Việc xem xét mối liên hệ ở nhiều khía cạnh

cũng giúp nhìn nhận vấn đề theo nhiều hướng.

Biện pháp 2 hướng vào yêu cầu “rõ ràng, sâu sắc” trong các biểu hiện TDPT của SV. Biện pháp này cũng nhằm tác động vào ý thức về quá trình tư duy của SV, nhấn mạnh

việc đưa ra những nhận xét, chú ý, những kinh nghiệm của bản thân. Điều đó sẽ giúp phát

triển tư duy nói chung và TDPT nói riêng.

121

Biện pháp 3 giúp SV tư duy một cách có phương pháp hơn khi phân tích. “Chiến

lược Whole Part Whole” giúp SV khoanh vùng kiến thức để dự đoán hướng phân tích phù

hợp, chú ý nhìn lại tổng thể trong quá trình phân tích. Việc trả lời câu hỏi bằng một câu

hỏi giúp SV định hướng quá trình tư duy đồng thời tự tìm ra câu trả lời. Sử dụng các loại

sơ đồ giúp chỉ rõ các mối liên hệ, giúp suy luận rõ ràng, mạch lạc. Sử dụng chiến lược đọc

SQR4 giúp SV nhận ra các ý chính, đặt câu hỏi, suy ngẫm, ghi nhớ,…

Biện pháp 4 nhằm chú ý kết hợp phát triển TDPT đồng thời với một số loại tư duy

khác, với năng lực giải quyết vấn đề. Biện pháp này giúp SV làm quen với các vấn đề cần

tổng hợp nhiều loại kiến thức. Việc tưởng tượng trước khi phân tích cũng giúp hạn chế lỗi

“tư duy phân tích cản trở tư duy sáng tạo”.

Biện pháp 5 nhấn mạnh các hoạt động phát triển TDPT cho SV trong quá trình tự

học ở nhà, vì không đủ thời gian để thực hiện thường xuyên các hoạt động này trên lớp, hơn nữa SV cần phải được rèn luyện tư duy độc lập. Ngoài ra, với biện pháp này, GV

cũng chú ý hơn các dạng bài tập chỉ phù hợp khi SV tự học ở nhà, các bài tập gắn với thực tế hoặc chuyên ngành, bài tập nghiên cứu khoa học.

Sự phân chia các biện pháp trên chỉ là tương đối, nhằm giúp hiểu rõ và thực hiện

các biện pháp dễ hơn, vì khi thực hiện biện pháp này có thể đồng thời giúp thực hiện một phần biện pháp kia. Chẳng hạn, khi SV thực hiện các hoạt động nhằm tìm hiểu vấn đề một cách rõ ràng, sâu sắc thì đồng thời cũng cần chia nhỏ, diễn giải và tìm các mối liên hệ,… Khi SV thực hiện các bước giải quyết vấn đề thì đồng thời họ cũng đã phân tích lời giải bài toán và suy nghĩ sâu.

Các biện pháp trên cũng giúp SV có phương pháp đọc, nhận ra các ý chính, chú ý ghi nhớ, do đó có thể nắm kiến thức tốt hơn. Như vậy chúng tôi nghĩ rằng việc thực hiện các biện pháp có thể góp phần phát triển TDPT cho SV đồng thời nâng cao hiệu quả dạy học TCC. Ngoài ra, cách trình bày các ví dụ minh họa đã thể hiện việc dùng một số

phương pháp, kĩ thuật dạy học tích cực, chẳng hạn: Phương pháp nghiên cứu trường hợp,

kĩ thuật sử dụng sơ đồ, kĩ thuật “KWL”,…Đây là những kết quả mà chúng tôi chưa tìm

thấy trong những nghiên cứu trước về dạy học TCC. Một phần của những nội dung này đã

được đăng trong các bài báo 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 thuộc danh mục công trình khoa học của tác

giả liên quan đến luận án. Dựa theo các biện pháp nêu trên, chúng tôi sẽ thiết kế các bài giảng, tổ chức dạy học và đánh giá sự phát triển TDPT của SV để kiểm nghiệm các biện

pháp có khó khăn gì khi thực hiện và sử dụng các biện pháp đó có thực sự phát triển

TDPT cho SV hay không.

122

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

Chương 3 trình bày các nội dung và kết quả thực nghiệm để chứng tỏ, minh họa về các lý thuyết, các biện pháp đã đề xuất trong chương 1 và chương 2. Các biện pháp được cụ thể hóa qua giáo án của GV và thực hành trên các lớp học cụ thể. Lớp thực nghiệm và lớp đối chứng có điều kiện ban đầu tương tự nhau. Kết quả thực nghiệm được phân tích định tính và định lượng trên cơ sở sử dụng phương pháp thống kê toán học.

3.1. MỤC ĐÍCH, NỘI DUNG VÀ TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM

3.1.1. Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích: Kiểm nghiệm giả thuyết khoa học của luận án, bước đầu đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất theo tiêu chí:

- Các biện pháp đề xuất có thực hiện được trong quá trình dạy học TCC cho SV đại

học khối ngành kinh tế, kĩ thuật không?

- Thực hiện các biện pháp đó có thực sự góp phần phát triển TDPT và nâng cao

hiệu quả học TCC cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật không?

Với mục đích trên, trong quá trình dạy thực nghiệm, chúng tôi đã sử dụng các biện

pháp đề ra, từ đó nhận xét về những kết quả sau khi thực hiện các biện pháp.

3.1.2. Nội dung thực nghiệm 3.1.2.1. Đối tượng tham gia thực nghiệm

Thực nghiệm được tiến hành tại Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông trong

hai đợt.

Đợt 1: Thực nghiệm đối với SV đại học khối ngành kĩ thuật

Thời gian thực nghiệm: Từ tháng 2 năm 2018 đến tháng 5 năm 2018. Chúng tôi so

sánh kết quả giữa lớp thực nghiệm 1 và lớp đối chứng 1.

Môn học: Giải tích 2

- Lớp thực nghiệm 1: Nhóm 14 (65 SV). GV dạy: Nguyễn Thị Dung.

- Lớp đối chứng 1: Nhóm 13 (62 SV). GV dạy: Nguyễn Thị Dung.

SV các nhóm 13, 14 có nhận thức và trình độ tương đương nhau, số điểm thi vào

đại học cũng tương đương.

Đợt 2: Thực nghiệm đối với SV đại học khối ngành kinh tế

Thời gian thực nghiệm: Từ đầu tháng 9 năm 2018 đến giữa tháng 10 năm 2018.

123

Chúng tôi so sánh kết quả giữa lớp thực nghiệm 2 và lớp đối chứng 2.

Môn học: Toán cao cấp 1

- Lớp thực nghiệm 2: Lớp D18 QT 3, 4 (90 SV). GV dạy: Nguyễn Kiều Linh.

- Lớp đối chứng 2: Lớp D18QT1, 2 (92 SV). GV dạy: Nguyễn Kiều Linh.

Ngoài ra, chúng tôi cũng chọn ngẫu nhiên 4 SV để theo dõi sự phát triển TDPT

trong quá trình thực nghiệm, đó là các SV học môn Giải tích 2 ở nhóm 14.

Với lớp thực nghiệm, GV thực hiện theo những biện pháp đã được đề xuất trong luận án. Ở lớp đối chứng, GV dạy học bình thường như trước đây, không có sự tác động của thực nghiệm.

Trong quá trình dạy học thực nghiệm, chúng tôi đã trao đổi với GV dạy về TDPT, các biểu hiện cần có của TDPT của SV khi học TCC; Các biện pháp và cách vận dụng trong từng tình huống cụ thể; Mục đích thực nghiệm; Phương pháp và hình thức tổ chức dạy học; Các tiêu chí đánh giá và hình thức quan sát, đánh giá; Sự khác nhau giữa dạy học ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng.

Trước mỗi buổi học, GV dạy thực nghiệm nghiên cứu kĩ về bài soạn mà chúng tôi

thiết kế. Sau mỗi buổi dạy, chúng tôi đã thảo luận, đánh giá và rút kinh nghiệm.

3.1.2.2. Chương trình dạy học thực nghiệm

A. Dành cho SV đại học khối ngành kinh tế

- Học phần Toán cao cấp 1: Các khái niệm cơ bản về hàm số, Giới hạn hàm số, Hàm số liên tục, Đạo hàm của hàm số, Vi phân của hàm số, Đạo hàm và vi phân cấp cao, Các định lí giá trị trung bình, Một số ứng dụng của đạo hàm.

- Kiểm tra đánh giá: Phần nội dung tương ứng với các bài dạy ở trên: (60 phút).

B. Dành cho SV đại học khối ngành kĩ thuật:

- Học phần Giải tích 2: Các bài dạy trong chương trình Giải tích 2 dành cho SV

đại học khối ngành kĩ thuật trong Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông.

- Kiểm tra đánh giá:

Nội dung: Hàm nhiều biến, tích phân bội, tích phân đường loại hai: (60 phút).

3.1.2.3. Giáo án dạy học thực nghiệm

Trong phần này, chúng tôi trình bày giáo án số 1 dành cho lớp đại học khối ngành kĩ thuật và giáo án số 2 dành cho lớp đại học khối ngành kinh tế. Các giáo án được thiết kế theo định hướng sử dụng các biện pháp sư phạm đã đề ra nhằm phát triển TDPT cho SV và nâng cao hiệu quả dạy học TCC. Hai giáo án được trình bày ở phần phụ lục.

124

3.2. ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM

3.2.1. Đánh giá về mặt định tính

1. Về phía GV:

Qua trao đổi với GV đồng thời quan sát, đánh giá từ các giờ dạy ở lớp thực nghiệm

và lớp đối chứng, chúng tôi nhận thấy:

- GV dạy thực nghiệm đã hiểu và sử dụng được các biện pháp sư phạm, thực hiện

đúng ý tưởng đặt ra trong bài soạn.

- GV dạy thực nghiệm cho rằng dạy học theo các biện pháp nêu trên giúp bài giảng sinh động hơn, SV hiểu bài và dễ ghi nhớ hơn, GV cũng biết cách và có thể xây dựng được hệ thống ví dụ tương tự.

2. Về phía SV và môi trường lớp học

Nhìn chung, không khí của lớp học thực nghiệm khá sôi nổi, các em có vẻ hào hứng với các ví dụ và bài tập. SV lớp thực nghiệm cũng có những biểu hiện tốt hơn so với lớp đối chứng ở khả năng phân tích lỗi và sửa chữa, giải thích chi tiết, chỉ ra mối liên hệ, xác định hướng, nhìn nhận vấn đề theo một số cách, suy xuôi suy ngược, hiểu bản chất và đưa ra những kết luận của bản thân. Chẳng hạn:

 Với môn Toán cao cấp 1, ở bài Giới hạn hàm số:

- Tình huống dạy định nghĩa giới hạn hàm số (sử dụng suy ngược):

  3.

x lim(  1 x

+ Lớp ĐC 2: GV đưa ra ví dụ: Bằng định nghĩa, chứng tỏ rằng

Ở tình huống này, không SV nào xung phong làm bài.

 bằng bao nhiêu? Hãy

x lim(3  1 x

+ Lớp TN 2: GV đưa ra ví dụ: Bạn nghĩ giới hạn

chứng tỏ kết quả của bạn là đúng.

  cần chỉ

  

0 :



, 0



        . x (3



x Có thể suy ngược như sau: Xuất phát từ (3

   , tìm   tìm xem

x  phải nhỏ hơn số nào  Tìm mối liên hệ giữa (3

x   với

x  1 .



x Như vậy: (3

          Lấy

 3

   3

Với ví dụ này, nhiều SV xung phong làm bài. Một SV đã trả lời: Giới hạn bằng 7. rằng: Em chứng minh bằng định nghĩa, Với mỗi ra

125

 3

(Hoặc có thể lấy  là số dương bất kì nhỏ hơn ).

2).

(SV ở lớp TN2 biết suy ngược như vậy vì GV đã đề nghị SV đọc trước slide ở nhà,

 

x lim(  1 x

với ví dụ tương tự là: Dùng định nghĩa, chứng tỏ

Trong trường hợp này, GV lớp thực nghiệm đã đặt câu hỏi có tính kích thích tư duy, đòi hỏi SV dự đoán và lập luận có căn cứ. SV trả lời thể hiện đã hiểu rõ về khái niệm giới hạn hàm số và biết suy ngược, chú ý mối liên hệ (GV đã thực hiện một phần các biện pháp 1,3,5).

- Tình huống yêu cầu SV tự đưa ra một số khái niệm về giới hạn



  và sau đó đề nghị



 l ,

f x lim ( ) 

f x , lim ( )  x x 0

f x lim ( )  x 0

, lim   x x 0

, lim   x x 0

+ Lớp ĐC 2: GV nêu định nghĩa và giải thích về giới hạn trong các trường hợp

SV tự đưa ra các khái niệm khác về giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực.

Ở tình huống này, không SV nào phát biểu được về các khái niệm trên.



  đồng thời sử dụng



 l ,

f x lim ( ) 

f x , lim ( )  x x 0

f x lim ( )  x 0

, lim   x x 0

, lim   x x 0

+ Lớp TN2: GV nêu định nghĩa và giải thích về giới hạn trong các trường hợp

sơ đồ chỉ rõ mối liên hệ giữa các yếu tố (như ở hình 2.2, ví dụ 2.21).

Ở tình huống này, nhiều SV tự đưa ra được các khái niệm về giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và cũng vẽ được hình chỉ ra các mối liên hệ, giải thích cách suy nghĩ dẫn đến việc đưa ra những khái niệm như vậy.

f x xác định tại 0x thì



f x (

)

- Tình huống khi dạy học tính chất : “Nếu hàm số sơ cấp ( )

lim ( ) f x  x x 0

”,

 . 3)

x lim(  2 x

+ Lớp ĐC 2: GV đưa ra ví dụ: Tìm giới hạn:

khi



f x ( )

Ở ví dụ này, tất cả mọi SV đều đưa ra kết quả đúng.

f x lim ( ).  x



 x    1 khi 

Sau đó, GV đưa ra ví dụ: Cho tìm

 1.

f x lim ( )  x 0

Trong trường hợp này, rất nhiều SV cho rằng

x  của các hàm số sau:

f x ( )

+ Lớp TN 2: GV đưa ví dụ: Tìm giới hạn tại

x 

2 khi



f x ( )

126

1 khi



  x     x 

Ở ví dụ này, GV muốn SV chú ý đến chi tiết “hàm số sơ cấp”, đồng thời có sự so sánh để hiểu bản chất (GV sử dụng biện pháp 1). Tất cả các SV đều làm đúng ở câu a), nhiều SV làm đúng câu b) đồng thời so sánh, giải thích rõ sự khác nhau ở phần a) và phần b).

 Với môn Giải tích 2, ở bài Tích phân ba lớp

- Tình huống dạy học về ứng dụng của tích phân ba lớp:

2   y



2 ,

z x





Tính thể tích vật thể chứa điểm (0, 0, 2) và giới hạn bởi các mặt

+ Lớp ĐC 1: GV đề nghị SV vẽ hình sau đó tính.

Nhiều SV không biết vẽ hình. Một số SV vẽ được hình và làm đúng khi đổi biến

x y

r r

 cos  sin ,

 2 1 .

sang tọa độ trụ. Nhiều SV đã làm sai khi cho rằng:

    

   0     0 r     0 z 

Đặt ta có:

 2

GV đã nhận xét bài làm của các SV và giải thích kĩ về cách vẽ hình, tại sao lại đổi biến sang tọa độ trụ, cách xác định cận khi đổi sang tọa độ trụ, chỉ ra rằng các cận đúng

   0     0 r       r 

phải là

 cos  sin ,

 2 1 .

x y

r r

+ Lớp TN 1: GV đề nghị SV vẽ hình rồi tính.

ta có: Đặt

    

Nhiều SV giải đúng. Tuy nhiên, cũng có nhiều SV cho rằng:    0     0 r     0 z 



  Nếu đổi biến sang tọa độ trụ thì miền tương ứng với E được

GV hỏi: Các bạn hãy so sánh miền V với miền E xác định bởi các mặt

xác định như thế nào? Khi đó một số SV đã nhận ra sai lầm và sửa lại cận của .z

127

Sau khi SV giải xong bài, GV hỏi: Các bạn có thể kiểm tra mình làm đúng hay sai

dựa theo những cách nào nữa không?

Một số SV đã đưa thêm được 2 cách:

   0 



x y

r r

 sin cos  sin sin

 

Cách 1: Cộng thể tích nửa hình cầu với thể tích hình nón.





cos



2  4 2cos



    

      

Cách 2: Đổi biến sang tọa độ cầu: Đặt , khi đó

Trong trường hợp này, GV thực nghiệm đã sử dụng các biện pháp 2, 4.

Ngoài việc so sánh biểu hiện của SV ở các lớp thực nghiệm và đối chứng tương ứng, chúng tôi cũng quan sát sự thay đổi của mỗi lớp thực nghiệm trong quá trình học. Sinh viên đã dần tiến bộ hơn qua các biểu hiện của TDPT. Chẳng hạn: Xét một tình huống khi học về công thức Green, GV vẽ hình minh họa chiều lấy tích phân trên biên của D khi D là miền đa liên, sau đó xem vở ghi chép của nhiều SV. GV đều nhận xét rằng: “Hình vẽ của bạn không được”. SV không hiểu tại sao hình vẽ của họ lại không được. GV nói: “Vì hình vẽ của em giống hệt hình trên bảng”.Tình huống đó cho thấy cách suy nghĩ của nhiều SV chưa linh hoạt, SV chép bài một cách máy móc, trong khi đáng lẽ cần hiểu bản chất của định lí và tự vẽ một hình khác mà không phải nhìn theo từng chi tiết trên bảng. Những lỗi như vậy của SV ở cuối kì đã giảm đi nhiều, SV đã hiểu bản chất vấn đề, có thể tự trình bày vào vở và giảm tình trạng nhìn từng chữ trên bảng để chép. Một số SV đã có thói quen giải thích bằng sự lập luận rõ ràng theo nhiều bước, xuất phát từ những kiến thức cơ bản đầu tiên. SV cũng dần thể hiện cách suy nghĩ có phương pháp trong việc dự đoán, chẳng hạn: Dự đoán hàm số ở những bài tính gần đúng, dự đoán một số tính chất của tích phân dựa trên việc so sánh, liên hệ với tích phân đã biết. Ở cuối kì, nhiều SV sử dụng sơ đồ phân tích ngược, rút ra những nhận xét hay điều cần chú ý sau khi giải bài toán, lựa chọn lời giải ngắn nhất khi xác định một số hướng giải. Điều này cũng thể hiện sự tiến bộ hơn so với SV nhiều khóa trước. Ngoài ra, SV cũng biết cách ghi tóm tắt, chú ý việc tự đọc bài ở nhà và ghi nhớ, đặt câu hỏi. Tuy nhiên, vẫn có một số SV ngồi cuối lớp rất ít hoạt động và tư duy chậm, thường không ghi bài và lơ đãng, hoặc làm việc riêng, họ thể hiện không hiểu bài và không có sự tiến bộ. Một số SV chưa chịu khó học ở nhà cho nên có những vấn đề họ đã tỏ ra hiểu trên lớp nhưng buổi học sau lại quên và không biết liên hệ khi học kiến thức mới.

Về việc nghiên cứu trường hợp, chúng tôi đã chọn ngẫu nhiên bốn SV ở lớp TN 1

và theo dõi sự tiến bộ của họ.

128

1. Sinh viên Nguyễn Xuân A

Sinh viên A sinh năm 1999, học lớp D17CQCN12. Trong quá trình dạy học, chúng tôi theo dõi những biểu hiện của SV A ở một số mặt: Tìm hiểu và sử dụng thông tin, phán đoán, xác định mục đích tư duy. Chẳng hạn: a) Tìm hiểu và sử dụng thông tin



x (



y 2



dxdy

 Thời kì đầu (Học chương 1, chương 2):



y  Bạn hãy giải thích chi tiết về đề bài.

GV: Cho bài toán: Tính với D là miền xác định bởi

,Ox Oy và biểu thức dưới dấu tích

SV A: Đề bài yêu cầu tính tích phân hai lớp trên một miền hình tròn tâm O bán kính 1. GV: Em có thể nói về đề bài một cách chi tiết hơn, trong đó có đưa thêm nhận xét của em không? Chẳng hạn nhận xét về miền lấy tích phân, về biểu thức dưới dấu tích phân, liên hệ giữa miền lấy tích phân và biểu thức dưới dấu tích phân. SV: Miền lấy tích phân có tính đối xứng qua các trục

phân chẵn đối với y và x.

 Thời kì sau (Học chương 3, chương 4 và ôn tập):



2     z

x 2

 dxdydz

 x



   Bạn hãy giải thích chi tiết về đề bài.

GV: Cho bài toán: Tính với V là miền xác định

.Oxyz V là

bởi: 2 x SV A: Đề bài yêu cầu tính tích phân ba lớp trên một miền V trong không gian

g x y z , )

f x y z ( , , )

miền hình cầu tâm O bán kính 2, như vậy V có tính đối xứng qua các mặt phẳng tọa độ.

2    , ( ,

x  2

, )

Hàm dưới dấu tích phân là tổng của ba hàm:

h x y z  (hàm hằng). Đề bài cho thấy cần chú ý về mối liên hệ

(hàm lẻ đối với x ) và ( ,

dxdydz

giữa tính đối xứng của miền lấy tích phân và tính chẵn, lẻ của hàm dưới dấu tích phân.



Ngoài ra, nên quan tâm đến kiến thức liên quan là bằng thể tích miền V.

b) Phán đoán, xác định mục đích tư duy

 Thời kì đầu:

GV hỏi (Trước khi dạy về cực trị của hàm nhiều biến): Theo bạn, phần này sẽ gồm những nội dung chính nào? SV A: Không trả lời được.

129

GV: Em có liên hệ với cực trị của hàm một biến không? SV: Nếu tương tự như với cực trị của hàm một biến, thì phần này có thể gồm một số nội dung: Định nghĩa điểm cực trị và cách tìm cực trị, có liên quan đến đạo hàm.

f x y dy ( , )

 Thời kì sau:

 



 3

GV đưa ra đề bài (Khi ôn tập cuối kì): Cho tích phân và hỏi: Các

bạn đoán câu hỏi tiếp theo sẽ là như thế nào? SV A: Câu hỏi có thể là: Hãy đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân trên. Tính tích phân f x y là hàm số cụ thể nào đó (tính bằng hai cách). Vì em thấy trong nhiều tài trên khi ( , )

liệu, đã có một số dạng bài tương tự như vậy. GV: Theo bạn, người ta đưa ra dạng bài này nhằm mục đích gì? SV A: Để minh họa rằng khi tính tích phân hai lớp, có thể xác xác định cận của x trước

f x y cụ thể để thực hành tính toán.

và y sau hoặc y trước và x sau. Ngoài ra, cho hàm ( , )

 



2 x y ,

 thì có được không?

  

GV: Nếu nói rằng miền lấy tích phân được giới hạn bởi các đường

3 2

  y

  



2, x y

SV A: Từ đầu bài cần hiểu chính xác là miền lấy tích phân xác định bởi , từ

 9.

đó vẽ hình ta thấy miền lấy tích phân giới hạn bởi các đường

Những câu trả lời ở cuối kì của SV A đã phần nào thể hiện việc tìm hiểu thông tin một cách rõ ràng, chi tiết, phán đoán dựa trên việc liên hệ với kiến thức đã biết. Em thực hiện những hoạt động này mà không cần sự gợi ý của GV, đây là điều mà thời kì đầu em chưa làm được. Ngoài ra, trong quá trình học, SV A tiến bộ dần lên ở việc trả lời được nhiều câu hỏi của GV và giải thích chi tiết cho bạn, phát hiện được nhiều sai lầm và sửa chữa, sử dụng sơ đồ để ghi tóm tắt nội dung bài học, sắp xếp và phân loại các dạng bài tập. Tuy nhiên, trong một số tình huống, SV A còn chậm khi giải các bài tập khó. Ở bài thi cuối kì môn Giải tích 2, SV A được 6,5 điểm. 2. Sinh viên Nguyễn Đức B

SV B sinh năm 1999, học lớp D17CQCN7. B là SV hơi trầm, không hay phát biểu, chăm chú nghe giảng và ít nói chuyện trong lớp. Trong quá trình dạy học, chúng tôi theo dõi những biểu hiện của SV B ở một số mặt: Hiểu rõ về các khái niệm, định lí; Xác định hướng nhìn. a) Hiểu rõ các khái niệm, định lí,…

 Thời kì đầu:

,y y

130

 

  y

arctan

SV B chưa tìm hiểu các khái niệm, định lí một cách rõ ràng, sâu sắc. Từ đó dẫn đến việc giải sai một số bài tập. Em làm sai khi tính đạo hàm của hàm số ẩn; khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên biên của miền đóng, bị chặn; khi xác định cận trong tính  biết ( )y x là hàm số ẩn xác định từ tích phân hai lớp. Chẳng hạn: Với bài tập “Tính

 ”, mặc dù đã tính đúng

 y 2

   y x ( )

hệ thức bằng cách dựa vào

 ,x  F y

công thức nhưng khi tính y thì em lại cho rằng kết quả bằng 0.

y .2

y ).2

 

Ở tình huống này, GV đã đề nghị SV trong lớp so sánh và giải thích lí do dẫn đến

y  hoặc 0

  (1 4

các kết quả sai , từ đó SV đưa ra đáp án đúng. GV

cũng đề nghị SV rút ra điều quan trọng cần chú ý để không dẫn đến sai lầm. Một SV đã trả lời: “Cần chú ý rằng y là hàm số ẩn: Mặc dù ta không nhìn thấy x nhưng biến x được ẩn

trong hàm y”.

u x y z ( , , )



 Thời kì sau:

( , , , )

Em đã giải thích và viết đúng công thức tính là hàm số ẩn xác SV B dần tìm hiểu các khái niệm, định lí một cách rõ ràng, sâu sắc hơn. Chẳng hạn:  với u u ,x x

F x y z u  Ngoài ra, khi nói về mối liên hệ giữa các nội dung kiến

định từ hệ thức

xdy

thức, em cho rằng việc tính đạo hàm hàm ẩn giúp kiểm tra lại tích phân tổng quát của phương trình vi phân. Em thường liên hệ nội dung TCC với một số dạng bài toán ứng dụng vào thực tế. Em cũng thường chỉ ra được những sai lầm và cách sửa chữa trong những ví dụ mà GV đưa ra. Chẳng hạn, ở tình huống dạy học về phương trình với biến số phân li:

2y dx



xdy

y x C

 

GV: Bạn An giải PTVP như sau: 2y dx



2 y dx



 y x C

An đã giải đúng hay sai, vì sao?



y x ( )

SV: An đã giải sai, vì An coi y là hằng số, nên cho rằng , trong khi cần

.x Ở bài này, cần phải chuyển x về một bên

phải hiểu đúng rằng là hàm số của



và y ở một bên, ta nhận được PTVP tách biến, khi đó mới lấy tích phân hai vế. Cụ thể

dy 2

dx x

phương trình đó là Ta hiểu là hai bên bằng nhau và đều có thể biểu thị bằng

y x ( )

131



y x dx ( )

y x

( ).

,x nhưng ở bên phải đã dùng phép đổi biến là đặt

cùng một biểu thức theo x , do và Lấy tích phân hai vế theo biến

Câu trả lời của SV B thể hiện sự tìm hiểu kĩ về bản chất cách giải phương trình với biến số phân li, trong khi rất nhiều SV ở các lớp khác chỉ trả lời: An sai vì không chuyển x ở một bên, y ở một bên. Ở cuối kì, SV B tự sưu tầm để làm thêm nhiều dạng bài tập

trong vở ở nhà và hầu như không mắc lỗi sai.

b) Xác định hướng nhìn

 Thời kì đầu:

SV B thường chưa chọn cách giải ngắn gọn, chỉ nhìn theo một hướng. Chẳng hạn: Khi tính đạo hàm riêng của hàm số hợp, em thường thay biến độc lập vào rồi tính mà không áp dụng công thức đạo hàm riêng của hàm số hợp, điều này dẫn đến khó khăn khi tìm đạo hàm riêng của các hàm tổng quát. Do đó, SV B đã không giải được bài toán “Cho

f là hàm số có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục, tính

với



z (

2 ) "

z .

 A z

 xy

   x      xf y   2 2 y x

. Ngoài ra, em cũng không làm được ở một số tình huống yêu cầu

kiểm tra lại kết quả bằng lời giải khác hoặc phát biểu mệnh đề bằng cách khác.

 Thời kì sau:

Trong vở bài tập và khi trả lời những câu hỏi trên lớp, SV B đưa ra được nhiều hướng giải đối với các dạng bài về tích phân đường loại hai, tích phân mặt loại hai, PTVP cấp một, những bài tập phức tạp hơn so với thời kì đầu. Khi nói chuyện với chúng tôi, em cho rằng em thấy thích nhất và có tiến bộ nhiều nhất ở việc suy nghĩ một số hướng trước khi giải bài toán và sau đó lựa chọn cách giải ngắn gọn nhất. Nếu ở thời kì đầu, có một số hoạt động SV B chỉ làm được khi GV gợi ý cho cả lớp thì ở thời kì sau, SV B tự làm mà không cần sự gợi ý, chẳng hạn: Tự đưa ra nhận xét và ghi vào vở sau khi giải bài tập hay nghe giảng trên lớp, hoặc khi tự đọc trước bài mới ở nhà.

Ngoài ra, SV B cũng thể hiện sự ý thức về quá trình tư duy của mình. Trong bài tập lớn số 1, em đã viết: “Trong TDPT, đặt câu hỏi là một yếu tố quan trọng bởi có đặt câu hỏi chứng tỏ ta có hướng giải quyết cho một bài toán. Ở các phần trên tôi có đặt các câu hỏi và trả lời chứng tỏ tôi cũng có TDPT”. Với bài thi cuối kì môn Giải tích 2 (đề chung theo ngân hàng câu hỏi của toàn Học viện), em đã đạt điểm 10.

3. Sinh viên Đồng Thị Thu C

SV C sinh năm 1999, học lớp D17CQCN8. C thường ngồi ở khu vực giữa lớp, chú ý ghi chép, ít nói chuyện và ít khi phát biểu. Trong quá trình dạy học, chúng tôi theo dõi

132

những biểu hiện của SV C ở một số mặt: Hiểu rõ về các khái niệm, định lí,…; Đặt câu hỏi phân tích. a) Hiểu rõ các khái niệm, định lí,…

 Thời kì đầu

SV C không tìm hiểu kĩ về các khái niệm, định lí, quy tắc nên không giải thích được ý nghĩa, thường phải nhìn để ghi chép từng chữ trên bảng và còn mắc lỗi khi giải bài tập. Chẳng hạn:

f x y trên biên của miền tam giác

,ABC em

- Khi tìm GTLN, GTNN của hàm số ( , )

,A B C rồi so sánh.

chỉ tính giá trị của f tại các điểm

(Trong trường hợp này, GV đã đề nghị SV C nêu tóm tắt hướng giải và so sánh hướng giải của mình với quy tắc tìm GTLN, GTNN; chỉ ra trên biên của tam giác, f

không đạt giá trị lớn nhất tại A, B, C….; nhận xét bài làm của mình và rút ra điều cần chú ý, ghi nhớ).

Tập không liên thông

- Khi minh họa về tập không liên thông, SV C đã vẽ hình như sau:

Trong trường hợp này, GV đã yêu cầu SV C nhắc lại định nghĩa về tập liên thông. SV C: Tập D được gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kì thuộc D bằng một đường liên tục nào đó nằm hoàn toàn trong D. GV: Vậy em hãy gạch chân vào từ quan trọng mà em đã không chú ý nên dẫn đến sai lầm trong hình vẽ trên. SV C đã suy nghĩ rồi gạch chân vào từ “nào đó” và vẽ lại đường nối M, N để chỉ ra hình vẽ trên minh họa một tập liên thông.

 Thời kì sau:

SV C thể hiện sự tìm hiểu sâu sắc về các khái niệm, định lí. Em có thể giải thích một cách chi tiết, chỉ ra mối liên hệ giữa các nội dung. Hầu như em không bị sai khi giải các bài tập. Hơn nữa, em có thể đọc và hiểu kĩ về các nội dung khi tự học bài mới ở nhà, có thể tự tìm hiểu thêm và đưa ra những giải thích khác nhau về khái niệm, sử dụng ý nghĩa khái niệm trong bước mô hình hóa toán học. Trong nhiều trường hợp, em đoán được GV sẽ nói điều gì liên quan đến khái niệm. Chẳng hạn, ở tình huống dạy học về phương trình vi phân cấp 1, sau khi GV nêu đề mục “Phương trình vi phân toàn phần”:

133

GV: Bây giờ tôi sẽ kiểm tra một nội dung chúng ta đã học ở chương tích phân đường, tích phân mặt. Theo các bạn, đó là phần nào? SV C: Em nghĩ đó là định lí 4 mệnh đề tương đương, vì định lí đó liên quan đến cách giải của phương trình này.

b) Đặt câu hỏi

 Thời kì đầu:

SV C không tự đặt câu hỏi. Khi GV đề nghị SV C đặt câu hỏi, em thường hỏi

chung chung: “Tại sao lại như vậy?”, “Cách giải sẽ là như thế nào?”.

 Thời kì sau:

SV C có thể đưa ra những câu hỏi phù hợp mà không cần sự gợi ý của GV , đó là

những câu hỏi phân tích ngược, xác định hướng, câu hỏi quan trọng giúp giải quyết vấn đề

hoặc trả lời thắc mắc, suy nghĩ sâu bài toán. Các câu hỏi cụ thể, chi tiết hơn so với thời kì đầu. Chẳng hạn, khi học về tích phân mặt, em đã hỏi: “Với công thức Stokes

  . . F n dS

rot

Pdx Qdy Rdz





 



y x ( )

   y

, mặt S có là duy nhất không?”. Với bài toán:

x 

1",

“Cho hàm số thỏa mãn phương trình vi phân Hãy tìm tốc độ biến

thiên của hàm số tại SV C đã tự đặt và trả lời các câu hỏi sau: Tốc độ biến thiên

x  là gì? (là

y 

(1)

y 

(1)

y x ( )

của hàm số tại ). Muốn tìm cần làm gì? (tìm ). Dùng

y x nghĩa là giải PTVP). Phương trình này có dạng gì?

y x ( )

cách nào để tìm ? (tìm ( ),



p x dx ( )



(Tuyến tính bậc nhất). Cách giải như thế nào? (Áp dụng công thức





q x e ( )



 C   

   

Có lưu ý nào khi áp dụng công thức này? (Hằng số

trong tích phân bất định ở trên bằng 0, công thức này nhận được bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange do đó các tích phân trong công thức không cần cộng thêm hằng số



y 1, (1),

y 

(1)

tùy ý). Có thể kiểm tra lại kết quả không? (thay đã tìm được vào phương

trình). Có cách nào khác để giải phương trình vi phân trên không? (Giải phương trình

bằng phương pháp thừa số tích phân).

Trong bài tập lớn số 1, SV C thể hiện đã phần nào hiểu được một số yêu cầu đối

với TDPT: Chia nhỏ, giải thích rõ ràng, chi tiết, nhìn nhận theo một cách khác,… Chẳng

hạn, em đã viết như sau: “Khi giải bài tập về dạng tìm GTLN, GTNN của hàm số trên

miền đóng và bị chặn D, ta phải chia thành 3 bước. Đó là kĩ năng chia nhỏ vấn đề thành các bước, các ý nhỏ.

Bước 1: Tìm giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn trong D.

134

Bước 2: Tìm GTLN, GTNN trên biên D.

Bước 3: So sánh các giá trị trên và kết luận.

Ở bước thứ hai, ta cần phải liên hệ đến khái niệm điểm tới hạn. Vậy điểm tới hạn là

gì? Theo định nghĩa, điểm tới hạn là các điểm dừng hoặc các điểm tại đó các đạo hàm

riêng không tồn tại, còn điểm dừng là điểm mà tại đó các đạo hàm riêng bằng 0. Vậy tóm

lại, tìm điểm tới hạn tức là ta phải tìm các điểm mà tại đó các đạo hàm riêng bằng 0 hoặc

không xác định. Ở đây, ta đã sử dụng kĩ năng liên hệ, đọc hiểu định nghĩa và tóm gọn định

nghĩa theo một cách ngắn gọn dễ hiểu, dễ nhớ. Ở bước thứ 4, ta cần có kĩ năng tổng hợp

lại các giá trị ở bước 2 và bước 3, so sánh chúng rồi đưa ra GTLN, GTNN.” Ngoài ra, khi

nhận xét bài làm của mình, em cho rằng cần phải viết chính xác hơn: Phải bổ sung thêm

là: Khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên miền đóng và bị chặn D, ở bước đầu tiên ta phải khẳng định rằng tồn tại GTLN, GTNN (vì hàm số liên tục).

Trong bài thi cuối kì môn Giải tích 2 (đề chung theo ngân hàng thi của toàn Học viện),

em đã đạt điểm 9.

4. Sinh viên Chu Quốc D

SV D sinh năm 1999, học lớp D17CQCN5. Em thường tư duy nhanh nhưng đôi lúc chưa tập trung trong giờ học. Em viết rất nhanh nhưng hơi nguệch ngoạc. Khi nghĩ ra ý tưởng thì em nói ngay, chưa sắp xếp câu để trình bày một cách rõ ràng và lưu loát. Trong quá trình dạy học, chúng tôi theo dõi những biểu hiện của SV D ở một số mặt: Phán đoán, suy luận, xác định hướng nhìn.

a) Phán đoán, suy luận

 Thời kì đầu



 r



- SV D thường không đưa ra được những dự đoán về các nội dung chuẩn bị học dựa trên việc so sánh, liên hệ với kiến thức cũ; không trả lời được khi GV đang giảng và dừng lại hỏi: “Theo các em, tôi sẽ làm tiếp theo như thế nào?”. - SV D không thường phân tích ngược. Chẳng hạn, khi tích phân: tính

 



SV D chỉ tính lần lượt từ bên phải.

 Thời kì sau:

Trong nhiều trường hợp, SV D dự đoán được ý tưởng mà GV hoặc bạn trong lớp định trình bày. Em cũng đưa ra những phán đoán về nội dung bài học và giải thích dựa trên sự so sánh với những bài cũ. Chẳng hạn: Ở cuối kì, khi ôn tập về tích phân hai lớp, GV hỏi: Theo bạn, sự khác nhau trong hai hình vẽ sau thể hiện điều gì?

135

y y

1 1

O O 1 x 1 x

   0 y       0 x 

SV D trả lời: Hình bên trái thể hiện cách xác định cận của y trước, x sau:

   0 x       0 y 

Hình bên phải thể hiện cách xác định x trước, y sau:

- SV D thường suy luận được nhiều bước, dựa trên việc liên hệ giữa các nội dung kiến thức; liên hệ với thực tế; sử dụng sơ đồ suy xuôi, suy ngược khi tóm tắt hướng giải bài



 r



toán, khi suy nghĩ cách giải quyết vấn đề. Chẳng hạn, khi tính tích phân

 



SV D đã làm theo hai cách, trong đó có một cách suy ngược: Từ

 y



tích phân 3 lớp trong tọa độ cực, đưa về tích phân trong hệ trục xOy:

2 y  1.





  2       

   dz dxdy     



  2



2 y x ,

I bằng thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt

 



2 .1





2 .1





 .

, D là hình tròn 2 x

1 3

4 3  y j

 zk

 F x y z , ) ( ,

 xi

  

Chia vật thể thành hai phần (hình trụ và hình nón), ta có

  1



z (

0),

Với bài tập: “Tìm thông lượng của trường véc tơ qua

 hướng lên trên”, SV D đã trình bày tóm tắt hướng giải

mặt

bằng các sơ đồ suy ngược sau: Cách 1: Tính thông lượng  Tính tích phân mặt loại

dxdy

S D

( ).

hai Đưa về tích phân mặt loại một  Đưa về tích phân hai lớp  Áp dụng công thức

z  để có mặt



Cách 2: Tính tích phân mặt loại hai Thêm mặt

kín  Áp dụng công thức Ostrogradski để đưa về tích phân 3 lớp  Áp dụng công thức

dxdydz

v V

( ).



136

b) Xác định hướng nhìn

 Thời kì đầu

SV D thường chưa chú ý việc phát biểu mệnh đề theo một cách khác, em thường

chỉ giải theo một cách, chưa nhìn theo một số hướng để tìm cách giải ngắn gọn, đôi khi

điều đó cũng là nguyên nhân làm em không giải được bài toán hoặc không hiểu được

x cos

 4

f x y dxdy ( , )

phần trình bày của GV. Chẳng hạn: Với bài toán “Đổi thứ tự lấy tích phân đối với tích

f x y dy ( , )

 

 





 2

phân ”, em đã chuyển trong đó D là miền

     x   2 4    0 y cos  

y 

,D D . Trên miền

xác định bởi và vẽ hình, xác định đúng miền D, chia D thành 2 miền

y  Tuy nhiên, em lại không

1,D

2,D

2 2



arccos

Trên miền

x cos(- )



xác định được cận của x vì cho rằng ở cả hai phía của trục Oy. Tình huống

y arccos .

 

này thể hiện SV D chưa tìm hiểu kĩ về miền giá trị của hàm arccos , đồng thời em cũng chưa chú ý suy luận, nhìn nhận vấn đề theo một hướng khác: Ở phía bên trái của trục O ,y có thể coi do đó

 Thời kì sau

SV D thường dùng sơ đồ tư duy để phân tích, tìm được nhiều cách giải và chọn cách ngắn gọn nhất cho bài toán. Khi tính tích phân, em thường chú ý những nhận xét về

tính đối xứng của miền lấy tích phân, tính chẵn lẻ của hàm dưới dấu tích phân, tính chất đặc biệt của từng loại tích phân. Em cũng sử dụng thường xuyên những công thức ứng

dụng của tích phân. Trong vở bài tập, SV D thường tự đưa ra được nhiều hướng giải cho

các bài toán khá phức tạp, em cũng ghi chú ý tại sao nghĩ đến những cách giải đó và nên

lựa chọn cách nào. Chúng tôi nhận thấy em là người có suy nghĩ sáng tạo. Tuy nhiên,

trong một số trường hợp, em vẫn chưa tính toán cẩn thận, chưa thể hiện rõ sự tiến bộ ở cách sắp xếp ý tưởng trình bày khi nói. Mặc dù các bài tập, bài kiểm tra trên lớp em luôn

được điểm cao nhưng trong bài thi cuối kì môn Giải tích 2 (đề chung theo ngân hàng thi

của toàn Học viện), em lại chỉ đạt điểm 8.

137

Tóm lại: Với sự đánh giá định tính (và có cả sự so sánh với các SV khóa trước),

chúng tôi nhận thấy SV ở lớp thực nghiệm nhìn chung đã có sự tiến bộ rõ hơn ở một số

mặt sau:

- Hiểu bản chất, hiểu ý nghĩa của khái niệm, định lí; chú ý và hạn chế sai lầm.

- Trình bày vấn đề một cách rõ ràng, chi tiết.

- Sử dụng các thao tác so sánh, tương tự, đặc biệt hóa, phân loại, chỉ ra mối liên hệ

giữa các nội dung. Chú ý việc ghi nhớ, phán đoán có cơ sở.

- Thể hiện suy xuôi, suy ngược rõ ràng. Biết cách đặt câu hỏi hơn.

- Thường nhìn nhận theo một số hướng và lựa chọn cách giải ngắn gọn nhất.

- Thường rút ra nhận xét, chú ý và sử dụng nhiều hơn khi giải bài toán.

- Ý thức hơn về quá trình tư duy của bản thân.

Qua việc trao đổi với GV dạy lớp thực nghiệm, chúng tôi đã nhận được những ý

kiến đóng góp từ phía họ. GV cho rằng các biện pháp sư phạm đã đề xuất có tính khả thi,

có thể góp phần phát triển TDPT cho SV và nâng cao hiệu quả học TCC. Đặc biệt, đối với

những lớp ít SV và SV có ý thức học thì các biện pháp này sẽ phát huy hiệu quả rõ rệt,

SV sẽ hào hứng học và có tiến bộ nhiều hơn về TDPT.

3.2.2. Đánh giá định lượng

Việc đánh giá định lượng chủ yếu dựa trên kết quả của các bài kiểm tra. Những bài

kiểm tra này được dùng chung cho cả lớp thực nghiệm và lớp đối chứng.

3.2.2.1. Đánh giá kết quả đợt thực nghiệm thứ nhất

 Trước khi thực nghiệm, chúng tôi cho hai nhóm 13,14 làm bài kiểm tra sau:

ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC THỰC NGHIỆM (MÔN GIẢI TÍCH 2)

(NHÓM 13,14) (Thời gian: 25 phút)

Câu 1: a)



z x y ( , )

138

Mặt S ở trên có phải là đồ thị của một hàm số nào đó hay không?





  2

x (



b) Vẽ hình và xác định miền V giới hạn bởi các mặt

x 2

f x y ( , )



cos(tan( arcsin

)).

Bạn có nhận xét gì?

Câu 2: Cho hàm số

f x y

a) Tính các đạo hàm riêng của hàm số ( , ).

b) Hàm số trên liên tục tại những điểm nào?

Kết quả thu được ở hai nhóm như sau:

Nhóm 13 (62 SV) Nhóm 14 (TN) (65 SV)

Ý 1a 2 SV đưa ra kết quả đúng nhưng không giải thích 3 SV đưa ra kết quả đúng nhưng không giải thích

1 SV vẽ hình đúng (nhưng thiếu 5 SV vẽ hình đúng (nhưng thiếu một Ý 1b một trường hợp) trường hợp)

12 SV làm đúng 8 SV làm đúng Ý 2a

Không có SV nào làm đúng Ý 2b 1 SV đưa ra đúng kết quả nhưng không giải thích đúng

Nhiều SV ở hai nhóm đã đưa ra những câu giải thích không dựa trên căn cứ đúng,



z x y ( , )

thể hiện không tìm hiểu rõ về khái niệm hàm số và đồ thị. Chẳng hạn:

- Vì mặt S trong không gian Oxyz nên là đồ thị của một hàm số nào đó.

xOy yOz xOz nên là đồ thị…



z x y ( , )

S

- Vì S có hình chiếu lên các mặt phẳng

,x y xác định.



z x y ( , )

- Mặt S có là đồ thị của một hàm số nào đó vì với mỗi z ta đều có

- Mặt S như trên là đồ thị của hàm số nào đó. Vì theo hình vẽ ta thấy

 

z x

 

z y



z x y ( , ).

dường như có

- Với đồ thị như trên thì ta khẳng định S là đồ thị của 1 hàm số theo

- Tập hợp các điểm trên đồ thị là tập liên thông nên là đồ thị của một hàm số nào đó.

Những kết quả thu được cho thấy trình độ và TDPT của hai nhóm tương đương

nhau. TDPT của SV ở đây còn nhiều hạn chế.

139

 Sau khi thực nghiệm, chúng tôi có kết quả kiểm tra và đánh giá như sau:

a) Đề kiểm tra đánh giá

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ MÔN GIẢI TÍCH 2

Dành cho sinh viên các nhóm 13,14 (lớp ĐC1, Lớp TN1)

(Thời gian làm bài: 50 phút)

F x y ( , )

2   x

xy 2

Nêu tóm tắt hướng giải mỗi bài sau rồi giải:

 2 . y

( , )

Câu1 (3 điểm): Cho hàm số

F x y trên miền

1 . 1

   0 x      0 y 

( , )

a. Tìm cực trị của hàm số

F x y trên miền D.

b. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm



F x y ( , )

c. Tính thể tích vật thể hình trụ có đáy là miền D, mặt trên có phương trình

, các đường sinh tựa trên biên của D và song song với Oz.



  2



2   y

Câu 2 (3 điểm): Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt:



2 y dx



2 x dy

(Tính bằng hai cách).



Câu 3 (4 điểm): Tính

A 

(2, 0).

biết:

y  từ điểm ( 2, 0)

a. C là nửa trên đường tròn 2 x đến điểm

y 

b. C là biên của nửa trên hình tròn 2 x

(Đề bài ở ý b chưa rõ, bạn hãy chỉnh sửa rồi giải).

b) Nhận xét về đề kiểm tra

Bài kiểm tra trên đòi hỏi một số yêu cầu của TDPT. Phần đáp án và thang điểm

chấm được chúng tôi trình bày ở phụ lục. Thang điểm chấm sẽ cho thấy rằng nhìn chung

những SV đạt điểm từ 7 trở lên sẽ có TDPT tốt hơn so với những SV đạt mức điểm thấp

hơn. Do đó, việc so sánh TDPT của SV hai lớp có thể dựa trên việc so sánh tỉ lệ số SV đạt

mức điểm lớn hơn hoặc bằng 7.

c) Kết quả bài kiểm tra

140

Bảng 3. 1: Bảng phân bố tần số điểm bài kiểm tra các lớp TN1, ĐC1

Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tổng số bài X Lớp

TN1 0 0 0 2 4 35 10 6 6 2 0 65 5,6

ĐC1 0 0 3 10 8 24 12 3 2 0 0 62 4,8

  n X i

1 n n  i 1

Điểm trung bình được tính theo công thức

iX là điểm đạt được,

in là số bài đạt được điểm

trong đó: X là điểm trung bình,

tương ứng ở mỗi lần kiểm tra.

Bảng 3. 2: Bảng phân bố tần suất ghép lớp điểm bài kiểm tra các lớp TN1, ĐC1

3 (Kém)

6 (TB yếu, TB)



75%



22%

Điểm 4 7 (Khá, Giỏi) Lớp

2 65

49 65

14 65



21%



71%



TN 1

13 62

44 62

5 62

ĐC 1

Bảng phân bố tần suất trên được thể hiện qua các biểu đồ như sau:

Biểu đồ 3. 1: Biểu đồ tần suất ghép lớp điểm bài kiểm tra các lớp TN1, ĐC1

141

d) Đánh giá từ kết quả bài kiểm tra

Kết quả bài kiểm tra cho thấy:

- Điểm trung bình ở lớp thực nghiệm 1 cao hơn lớp đối chứng 1.

- Tỉ lệ SV đạt điểm kém (điểm từ 3 trở xuống) ở lớp thực nghiệm 1 thấp hơn hơn

so với lớp đối chứng 1.

- Tỉ lệ SV đạt điểm trung bình yếu và trung bình ở lớp thực nghiệm 1 cao hơn so

với lớp đối chứng 1.

- Tỉ lệ SV đạt điểm khá giỏi (điểm từ 7 trở lên) ở lớp thực nghiệm 1 cao hơn so với

lớp đối chứng 1.

  2



Những SV đạt điểm thấp hơn là do:

+ Không có sự suy luận nên không hình dung ra mặt do đó

không vẽ được hình.

+ Không chú ý đến từng chi tiết, chẳng hạn: điểm cực trị phải là điểm trong, nếu

đổi chiều lấy tích phân thì tích phân đổi dấu.

+ Không so sánh và phân biệt rõ hai bài toán tìm cực trị và tìm GTLN, GTNN của

hàm số.

+ Không phân biệt rõ các chi tiết “nửa trên đường tròn” và “biên của nửa trên hình

tròn”.

+ Không nêu bật được hướng giải của mỗi bài toán một cách rõ ràng.

+ Chưa tìm được hai cách giải khác nhau cho bài toán.

Chúng tôi cũng thu được các kết quả so sánh tương tự đối với điểm bài tập lớn,

(đề bài ở phần phụ lục) như sau:

Bảng 3. 3: Bảng phân bố tần số điểm bài tập lớn các lớp TN1, ĐC1

Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tổng số bài X Lớp

TN1 0 0 0 3 4 18 19 10 3 8 0 65 6,0

ĐC1 0 0 0 12 3 25 10 2 2 8 0 62 5,2

142

Bảng 3. 4: Bảng phân bố tần suất ghép lớp điểm bài tập lớn các lớp TN1, ĐC1

3 (Kém)

6 (TB yếu, TB)

7 (Khá, Giỏi)

Điểm



63%



32%



Lớp

3 65

41 65

21 65



19,4%



61,3%



19,4%

TN 1

12 62

38 62

12 62

ĐC 1

Bảng phân bố tần suất trên được thể hiện qua các biểu đồ như sau:

Biểu đồ 3. 2: Biểu đồ tần suất ghép lớp điểm bài tập lớn các lớp TN1, ĐC1

Ngoài ra, khi tham khảo kết quả bài thi kết thúc học phần (đề chung theo

ngân hàng câu hỏi thi cho các lớp trong toàn Học viện), chúng tôi thu được kết quả

(từ Phòng Giáo vụ) như sau: Điểm trung bình ở lớp TN1 là 5,86 và điểm trung bình ở lớp

ĐC1 là 5,07.

Bảng 3. 5: Bảng phân bố tần số điểm thi cuối kì các lớp TN1, ĐC1

Điểm Tổng 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 số bài Lớp

0 1 1 11 5 12 6 11 7 6 3 63 5,86 TN1

2 4 6 4 9 8 5 4 10 3 2 57 5,07 ĐC1

143

Bảng 3. 6: Bảng phân bố tần suất ghép lớp điểm thi cuối kì các lớp TN1, ĐC1

3 (Kém)

6 (TB yếu, TB)

7 (Khá, Giỏi)

Điểm

Lớp



20,6%



36,5



42,9%

13 63

23 63

27 63

TN 1



28,1%



38,6%



33,3%

16 57

22 57

19 57

ĐC 1

Bảng phân bố tần suất trên được thể hiện qua các biểu đồ như sau:

Biểu đồ 3. 3: Biểu đồ tần suất ghép lớp điểm thi cuối kì các lớp TN1, ĐC1

e) Kiểm định giả thuyết thống kê

Với kết quả thu được từ các bài kiểm tra, chúng tôi dự đoán rằng tỉ lệ SV đạt điểm khá giỏi (từ 7 trở lên) của lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng. Để kiểm tra

điều này, chúng tôi đã sử dụng phương pháp kiểm định giả thuyết thống kê như sau:

p ,TN DC p

H p

p

- Gọi lần lượt là tỉ lệ SV đạt điểm khá giỏi (từ 7 trở lên) của lớp thực

0 : TN

H p

p

nghiệm và lớp đối chứng. Ta kiểm định giả thiết , đối thiết

1 : TN

1, 65.

 

0, 05

u 

- Với mức ý nghĩa ; tra bảng phân phối chuẩn tắc ta có

- Tiêu chuẩn kiểm định:

(



)

f TN

f DC







m n

 

m n

 

m n

     

          

    1       

      

144

- Tính các chỉ số:

n ,TN DC n

+ (Tổng số sinh viên của các lớp thực nghiệm và đối chứng)

m m (Tổng số sinh viên được từ điểm 7 trở lên của các lớp thực nghiệm

,TN và đối chứng)



f TN

f DC

,TN n TN

+ (Tần suất điểm từ 7 trở lên của các lớp thực nghiệm

và đối chứng).

Áp dụng những công thức trên đối với kết quả bài kiểm tra giữa kì ở các lớp TN1



65,



62,



14,



f TN

f DC

14 65

5 62





2,128.

và ĐC1, ta có:

  14 5       62 65  127 19 108 . 4030 127 127



2,128





1, 65

Từ đó tính được giá trị quan sát

0H , chấp

u

- Kết luận: Giá trị quan sát do đó có thể bác bỏ

1H . Nói cách khác: Tỉ lệ sinh viên đạt điểm khá giỏi ở lớp thực nghiệm cao hơn ở

nhận

lớp đối chứng.

 Kết luận trên cũng thể hiện TDPT của SV lớp TN1 phần nào tốt hơn so với lớp ĐC1 (vì việc phân tích đề kiểm tra cho thấy nhìn chung những SV đạt điểm 7 trở lên có

TDPT tốt hơn so với những SV đạt mức điểm thấp hơn).

3.2.2.2. Đánh giá kết quả đợt thực nghiệm thứ hai

a) Đề kiểm tra đánh giá

ĐỀ KIỂM TRA MÔN TOÁN CAO CẤP 1

Dành cho SV các lớp D18QT1,2,3,4

(Thời gian làm bài: 60 phút)

x sin

145

, tuần hoàn với chu kì  và ( ) f x

Câu 1 (2 điểm): Cho hàm số f xác định trên

].

trên [0,

f x trên

  . ,     

        4 

a. Tính và vẽ đồ thị của hàm số ( )

f x trên

  . ,     

b. Hãy nêu những nhận xét của bạn về hàm số ( )

Câu 2 (2 điểm): Một công ty sản xuất tinh bột nghệ nhận thấy rằng số lượng tinh bột

( ).

nghệ (tính bằng kg) bán được ở mức giá p (1kg có giá p nghìn đồng) trong ba tháng là Q f p

f p ( )

a. Ý nghĩa của đạo hàm là gì? Đơn vị tính của nó là gì?

 (500)



5000,

 (500)

 

50,

 (500)

 

50000.

f x ( )



b. Bạn nghĩ kết quả nào có thể là hợp lí nhất trong các khả năng sau?

x  và 3



f   (0)

1 3

Câu 3 (3 điểm): Tìm ,a b để hàm số đạt cực đại tại

Câu 4 (3 điểm): Hãy đặt 12 câu hỏi về phần “Khái niệm đạo hàm” trong bài “Đạo hàm của hàm số”. (Chú ý: Không đặt câu hỏi ở phần các quy tắc tính đạo hàm và bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản).

b) Nhận xét về đề kiểm tra

Bài kiểm tra trên đòi hỏi một số yêu cầu của TDPT, bởi vì:

sin x thông thường). Ngoài ra, SV phải nhìn nhận vấn đề theo nhiều hướng để đưa ra

- Trong câu 1, SV cần phải tìm hiểu vấn đề một cách rõ ràng, sâu sắc, cần phân f x với hàm số tích, tổng hợp nhiều loại kiến thức, họ phải cẩn thận (phân biệt hàm ( )

được nhiều ý phù hợp ở phần nhận xét.

- Ở câu 2, trong phần a, SV cần hiểu bản chất, hiểu ý nghĩa của khái niệm.

Trong phần b, SV cần phải giải thích, suy luận, liên hệ với thực tế, phán đoán.

- Câu 3 là bài toán dạng có tham số, đòi hỏi SV phải suy ngược, chú ý điều kiện

cần và đủ, phân chia các trường hợp.

- Ở câu 4, SV cần phải đặt câu hỏi dựa trên việc phân tích. Phần này cũng cần SV

146

phải suy nghĩ sâu để có những câu hỏi suy luận, lật ngược vấn đề, liên hệ với kiến thức cũ, hay đặt ra giả thuyết. Những câu hỏi suy nghĩ sâu như vậy sẽ được đánh giá cao hơn những câu hỏi mà phần trả lời đã có sẵn trong giáo trình.

* Đáp án và thang điểm chấm của bài kiểm tra này được chúng tôi trình bày ở phần phụ lục. Thang điểm chấm sẽ cho thấy rằng nhìn chung những SV đạt điểm từ 6 trở lên sẽ có TDPT tốt hơn so với những SV đạt mức điểm thấp hơn. Do đó, việc so sánh TDPT của SV hai lớp có thể dựa trên việc so sánh tỉ lệ số SV đạt mức điểm lớn hơn hoặc bằng 6.

c) Kết quả bài kiểm tra

Bảng 3. 7: Bảng phân bố tần số điểm bài kiểm tra các lớp TN2, ĐC2

Điểm 2 4 3 5 6 7 8 Tổng số bài Điểm trung bình Lớp

TN2 0 7 2 26 38 12 88 5,68 3

ĐC2 2 4 20 34 26 6 92 5,04 0

Bảng 3. 8: Bảng phân bố tần suất điểm bài kiểm tra các lớp TN2, ĐC2

Điểm 2 3 4 5 6 7 8 Lớp

TN2 0% 2,3% 8% 29,5% 43,2% 13,6% 3,4%

ĐC2 2,2% 4,3% 21,7% 37% 28,3% 6,5% 0%

Bảng phân bố tần suất trên được thể hiện qua biểu đồ sau:

Biểu đồ 3. 4: Biểu đồ tần suất điểm bài kiểm tra các lớp TN2, ĐC2

Ngoài ra, khi tổng kết về các câu hỏi SV đã đặt ra trong bài 4 của đề kiểm tra, chúng tôi nhận thấy nhiều SV đã đặt những câu hỏi không đúng, không liên quan, không sát với nội dung cần hỏi hoặc cách diễn đạt không rõ ràng. Những câu hỏi đó đã thể hiện

147

SV không hiểu rõ về khái niệm, định lí; không cẩn thận; lập luận không dựa trên căn cứ. Dạng câu hỏi không đạt của SV lớp ĐC2 nhiều hơn so với lớp TN2.

f x

( ) ?

 Một số dạng câu hỏi không đạt của lớp TN2:

1. Số đo góc của đường cong

2. Tiếp tuyến của hệ số góc là gì?

3. Hệ quả của đạo hàm một phía là gì?

4. Đạo hàm bậc cao làm như thế nào?

5. Định nghĩa đạo hàm cao cấp.

6. Miền xác định x của hàm số là gì?

7. Ý nghĩa hàm số của đạo hàm?

8. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó có được gọi là đạo hàm phải của f tại 0x hay không?

9. Chứng minh thế nào là đạo hàm của hàm số trên một khoảng?

10. Thế nào là hàm số trên một khoảng?

11. Thế nào gọi là giới hạn của hàm số?

12. Kí hiệu của hàm số biểu thị những gì?

13. Khi nào nói hàm số liên tục trên( , )a b

14. Đạo hàm ý nghĩa trong hàm số là gì?

15. Miền xác định của hàm số là gì?

16. Đạo hàm và quản trị thì có quan hệ gì với nhau?

17. Đạo hàm của hàm số trên miền D thể hiện như thế nào?

 Một số dạng câu hỏi không đạt của lớp ĐC2:

f x khả vi gồm những gì?

1. ( )

2. Ý nghĩa hàm số của đạo hàm?

3. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó có được gọi là đạo hàm phải của f tại 0x hay không?



a b ( , )

4. Đạo hàm có đối xứng trên đồ thị không?

5. Giả sử f là hàm số xác định trên ( , )a b và thì tồn tại giới hạn hữu hạn nào?

6. Chứng minh tính liên tục của hàm số.

7. Nếu liên tục thì có hệ quả gì cho hàm?

148

8. Tiếp tuyến tại hệ số góc có song song với Oy không?

9. Thế nào là hàm số bị gián đoạn

10. Thế nào là đạo hàm một phần

11. Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế có thực dụng không?

12. Đạo hàm và nguyên phân có gì khác nhau

13. Hàm số có nghiệm trên một khoảng hay không?

14. Điểm muốn của hàm số.

)

15. Khả vi của hàm số là gì?

y x 0(

y x 0(

16. Đạo hàm biểu thị điều gì của đạo hàm tại 0x ?

17. Đạo hàm còn có tên gọi khác là gì?

18. Điều kiện để hàm số là đạo hàm phải?

19. Cách hiệu quả mà đạo hàm mang lại trong khi sử dụng bài toán?

20. Hàm số đạo hàm thì có khả vi? Vậy hàm số không khả vi thì đạo hàm có tồn tại không?

21. Hàm số liên tục và khả vi? Vậy hàm số liên tục và không khả vi có tồn tại không?

22. Đạo hàm trái có tồn tại giới hạn hữu hạn không?

23. Giới hạn hữu hạn có tồn tại trong cả đạo hàm trái và đạo hàm phải.

24. Nếu hàm số khả vi có tồn tại tiếp tuyến không?

25. Tính xấp xỉ của đạo hàm có ý nghĩa gì?

26. Đạo hàm cao cấp là gì?

27. Đạo hàm cao cấp liên quan tới vi phân là gì?

28. Khi làm đạo hàm của hàm số đó thì nó có cần liên tục không?

29. Điều kiện để nó là đạo hàm trái?

30. Điều kiện để hàm số là đạo hàm phải?

31. Hãy chứng minh công thức đạo hàm theo định nghĩa?

32. Đạo hàm có thể vẽ được đồ thị hàm số không?

33. Hàm hợp là gì?

a b ( , )

f x ( )

34. Quy tắc Cauchy?

35. Hàm số có liên tục trên ( , )a b không, hay bị gián đoạn tại

36. Đạo hàm tại 1 phía có khi nào sai không?

149

37. Có những hàm nào mà đạo hàm không ứng dụng được?

38. Đạo hàm tại một điểm có những lỗi gì cần chú ý?

39. Các cách giải những dạng đạo hàm?

40. Điểm khó nhất trong đạo hàm?

41. Cách nhận biết đồ thị đạo hàm?

42. Quy tắc hospital là gì?

43. Tiếp tuyến của hệ số góc là gì?

44. Đạo hàm arc để làm gì?

45. Giới hạn của đạo hàm là gì?

46. Đạo hàm sơ cấp là gì?

d) Đánh giá từ kết quả bài kiểm tra

Kết quả bài kiểm tra cho thấy:

- Điểm trung bình ở lớp TN2 cao hơn ở lớp ĐC 2.

- Tỉ lệ SV đạt điểm từ 6 trở lên ở lớp TN 2 cao hơn so với lớp ĐC 2.

- Tỉ lệ SV đạt điểm từ 5 trở xuống ở lớp TN2 thấp hơn so với lớp ĐC 2.

Những SV đạt điểm thấp (từ 5 trở xuống) là do:

f x đã cho với hàm sin x thông thường.

+ Không làm được bài 1: Nhầm lẫn hàm ( )

+ Không làm được bài 2 do không hiểu rõ ý nghĩa đạo hàm và đơn vị của đạo hàm.

x  , nhiều SV chỉ tìm điều kiện x  là điểm dừng mà không làm bước tiếp theo là lập bảng biến thiên hoặc xét dấu

+ Ở bài 3, khi tìm a, b để hàm số đạt cực đại tại

x 

để của đạo hàm cấp hai tại

+ Ở câu 4, nhiều SV đặt những câu hỏi không đúng, không có nghĩa, không liên

quan, không rõ hoặc các câu hỏi trùng lặp.

 Kết quả trên cho thấy TDPT của SV lớp TN2 có phần tốt hơn so với SV lớp ĐC2 (vì việc phân tích đề kiểm tra cho thấy những SV đạt điểm 6 trở lên có TDPT tốt hơn so với những SV đạt mức điểm thấp hơn).

 Kết quả thu được từ bài kiểm tra của lớp ĐC2 cũng đã phần nào cho thấy rõ hơn thực trạng TDPT của SV hiện nay (thể hiện khi học TCC) nhìn chung còn hạn chế: Nhiều SV không tìm hiểu khái niệm, định lí một cách rõ ràng, sâu sắc; không hiểu rõ ý nghĩa của kiến thức học; lập luận không chặt chẽ; ngôn ngữ diễn đạt không rõ ràng, chưa chính xác; không đưa ra các phán đoán dựa trên cơ sở; không biết cách đặt câu hỏi; chưa chú ý xác định hướng nhìn.

150

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3

Qua quá trình tiến hành thực nghiệm ở trên, chúng tôi xin được rút ra một số kết

luận như sau:

Các biện pháp đã nêu trong chương 2 có thể thực hiện được. Các GV tham gia vào

quá trình thực nghiệm đã cho rằng sự tìm hiểu về TDPT, các biện pháp sư phạm và những

ví dụ minh họa giúp họ hiểu rõ hơn về những yêu cầu cần có của TDPT. Từ đó, họ thấy

dễ dàng hơn khi xây dựng các ví dụ và bài tập, khi tổ chức các tình huống trong dạy học

TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV. Biện pháp nhấn mạnh vào việc tự học của SV

và việc làm các bài tập về TDPT ở nhà nên các GV có thể đảm bảo đủ thời gian giảng dạy

trên lớp. Mặc dù việc dạy học theo hướng này đòi hỏi GV phải nghiên cứu và dành nhiều

thời gian hơn cho việc soạn bài nhưng nhờ đó bài giảng phần nào trở nên sinh động hơn,

SV học tập hào hứng hơn. Những ý kiến này cũng tương tự như nhận xét của chúng tôi

khi trực tiếp giảng dạy và quan sát hoạt động của GV ở lớp thực nghiệm.

Các biện pháp đã góp phần giúp nâng cao hiệu quả học tập TCC và phát triển

TDPT của SV, điều đó được thể hiện qua một số biểu hiện: SV chú ý hơn đến việc tìm

hiểu chi tiết, tìm mối liên hệ; rút ra ý nghĩa của khái niệm, định lí; đưa ra những dự đoán

dựa trên việc xem xét các mối liên hệ và sử dụng các thao tác tư duy. SV thể hiện suy

xuôi, suy ngược tốt hơn. Bước đầu họ đã biết rút ra một số nhận xét, chú ý; hạn chế được

một số sai lầm; đưa ra một số hướng giải và lựa chọn hướng ngắn gọn; phát biểu mệnh đề

theo cách khác; đặt các câu hỏi phân tích tốt hơn (các câu hỏi bao quát, câu hỏi cụ thể,

câu hỏi phân tích ngược, câu hỏi suy nghĩ sâu),…Họ có thể sử dụng một số phương pháp

thường dùng đối với TDPT mà không cần sự gợi ý của GV.

Khó khăn nhiều nhất trong dạy học theo cách này là do việc tự học của SV nhìn

chung vẫn còn chưa tốt, chưa có nhiều sự tiến bộ, một số SV không tập trung nghe giảng

và chưa tự giác làm bài tập về nhà dù đã được nhắc nhở. Vì vậy, biểu hiện phát triển

TDPT ở họ rất mờ nhạt hoặc thậm chí không có.

Với một số nhận xét như trên, chúng tôi bước đầu cho rằng giả thuyết khoa học

của luận án đã được kiểm nghiệm. Dạy học theo các biện pháp nêu trên có thể thực hiện

được, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học TCC và phát triển TDPT cho SV. Sự phát triển

được thể hiện rõ hơn đối với những SV có ý thức học tập chăm chỉ.

151

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kêt luận

Qua quá trình nghiên cứu đề tài luận án, chúng tôi đã thu được một số kết quả

chính sau đây:

- Hệ thống hóa được những lí luận cơ bản về tư duy, TDPT. - Đưa ra được quan niệm về TDPT, dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho

SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.

- Tìm ra các biểu hiện của TDPT của SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật trong

dạy học TCC.

- Điều tra, phân tích và rút ra được kết luận về thực trạng TDPT của SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật; việc dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV đại

học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.

- Đề xuất được các biện pháp dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV đại

học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.

- Tiến hành thực nghiệm tại Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông. Kết quả định tính và định lượng chứng tỏ tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất,

khẳng định tính đúng đắn của giả thuyết khoa học đề ra.

Như vậy, mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu của luận án đã được hoàn thành. Nội dung của luận án có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo hữu ích cho GV và SV trong dạy học TCC nhằm thực hiện mục tiêu phát triển TDPT cho SV.

2. Kiến nghị

Qua quá trình nghiên cứu và thực nghiệm đề tài luận án, chúng tôi có một số kiến

nghị sau:

- Vì TDPT là cần thiết đối với mỗi SV nên các trường đại học cần khuyến khích và tạo điều kiện thuận lợi (thời gian, sự chú trọng đến phương pháp dạy học,…) để giúp GV

và SV hiểu rõ hơn về TDPT, biết cách lựa chọn nội dung, phương pháp dạy học để có thể

thực hiện tốt các biện pháp phát triển TDPT cho SV.

- Vấn đề phát triển TDPT cho SV có thể tiếp tục nghiên cứu sâu hơn trong những phạm vi cụ thể hơn, chẳng hạn trong việc vận dụng giải các bài toán thực tế, hoặc khi dạy

học môn Xác suất Thống kê- môn học có nhiều ứng dụng trong việc phân tích, dự đoán và ra quyết định.

152

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ

CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1. Nguyễn Thị Dung (2014), Phân tích cách giải một số bài tập Giải tích nhằm góp phần

bồi dưỡng năng lực giải toán cho sinh viên, Tạp chí Khoa học Giáo dục, số 105, tháng 6-

2014, tr. 26-29,36.

2. Nguyễn Thị Dung, Đỗ Phi Nga (2015), Phát triển khả năng suy luận cho sinh viên

trong dạy học Toán cao cấp, Tạp chí Thiết bị Giáo dục, số 122, tháng 10-2015, tr. 12-15.

3. Nguyễn Thị Dung (2016), Sử dụng bản đồ khái niệm trong dạy học Toán cao cấp

nhằm phát triển tư duy phân tích cho sinh viên, Tạp chí Giáo dục, số 395, kì 1-12/2016,

tr. 36-39.

4. Nguyễn Thị Dung (2017), Một số ví dụ trong dạy học môn Giải tích theo phương pháp

nghiên cứu trường hợp, Tạp chí Thiết bị Giáo dục, số 158, kì 1-tháng 12-2017, tr. 17-

19,47.

5. Nguyễn Thị Dung (2018), Phân tích khái niệm trong dạy học môn Giải tích ở trường

đại học thông qua việc giải một số bài toán thực tiễn, Tạp chí Giáo dục, số 443, kì 1- 12/

2018, tr. 42-46.

6. Nguyễn Thị Dung (2018), Vận dụng “Chiến lược đọc SQR4”- Một biện pháp hiệu quả

góp phần phát triển tư duy phân tích cho sinh viên trong dạy học Toán cao cấp ở các

trường kinh tế, kĩ thuật, Tạp chí Khoa học Giáo dục Việt Nam, số 9, tháng 09/2018, tr.39-

43.

7. Nguyễn Thị Dung (2019), Nâng cao khả năng suy nghĩ rõ ràng, kĩ lưỡng và sâu sắc

cho sinh viên trong dạy học Toán cao cấp, Tạp chí Thiết bị Giáo dục, số 185, kì 2-tháng

1-2019, tr. 14-16.

153

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TÀI LIỆU TIẾNG VIỆT [1]. Alêcxeep M., Onhisuc V., Crugliăc M., Zabôtin V., Vecxcle X. (Người dịch: Hoàng

Yến, người hiệu đính và giới thiệu: Nguyễn Ngọc Quang) (1976), Phát triển tư duy học

sinh, NXBGD.

[2]. Hoàng Anh, Đỗ Thị Châu (2008), Tự học của sinh viên, NXBGD.

[3]. Tô Văn Ban (2012), Giáo trình Giải tích 2, NXBGDVN.

[4]. Nguyễn Lăng Bình (chủ biên), Đỗ Hương Trà (2018), Dạy và học tích cực-Một số

phương pháp và kĩ thuật dạy học, NXBĐHSP.

[5]. Bộ Giáo dục và đào tạo (2010), Giáo trình Những nguyên lí cơ bản của chủ nghĩa

Mác - Lênin, NXB Chính trị Quốc gia.

[6]. Bridger D., Lewis D. (Phạm Anh Tuấn dịch) (2012), Nghĩ thông minh làm sáng suốt,

NXB Trẻ.

[7]. Burger E.B., Starbird M. (Minh Hiền dịch) (2014), 5 nhân tố phát triển tư duy hiệu

quả, NXB Lao động.

[8]. Buzan T. (2016), Lập sơ đồ tư duy hiện đại để tư duy thông minh hơn, NXB Tổng

hợp Thành phố Hồ Chí Minh.

[9]. Trần Đình Châu, Đặng Thị Thu Thủy (2011), Thiết kế bản đồ tư duy dạy-học môn

Toán, NXBGDVN.

[10]. Vũ Quốc Chung, Lê Hải Yến (2003), Để tự học đạt được hiệu quả, NXBĐHSP.

[11]. Hoàng Chúng (2000), Phương pháp dạy học toán học ở trường Phổ thông Trung

học cơ sở, NXBGD.

[12]. Phan Dũng (2010), Thế giới bên trong con người sáng tạo, NXB Trẻ.

[13]. Dự án Việt – Bỉ (2000), Dạy kĩ năng tư duy, Hà Nội.

[14]. Nguyễn Văn Đệ, Nguyễn Thanh Hưng, Hoàng Thị Minh Phương (2016), Giáo trình

lí luận dạy học đại học trong Khoa học Giáo dục, NXBGDVN.

[15]. Dương Minh Đức (2001), Phương pháp mới học toán đại học, tập 1, NXBGD.

[16]. Gross R. (Vũ Thạch, Mai Linh dịch) (2012), Người thông minh học tập như thế

154

nào, NXB Lao động-Xã hội.

[17]. Trương Thị Khánh Hà (2015), Tâm lí học phát triển, NXB Đại học Quốc gia Hà

Nội.

[18]. Nguyễn Ngọc Hà (Chủ biên) (2011), Đặc điểm tư duy và lối sống của con người

Việt Nam hiện nay, NXB Khoa học Xã hội.

[19]. Nguyễn Thị Mỹ Hằng (2014), Rèn luyện kĩ năng thực hiện các thao tác tư duy cho

học sinh Trung học phổ thông trong dạy học Đại số và Giải tích, Luận án tiến sĩ Khoa

học Giáo dục, Đại học Vinh.

[20]. Herring J. (Người dịch: Lê Minh Quân) (2014), Biết cách ra quyết định, NXB

Thanh Hóa.

[21]. Bùi Hiền (Chủ biên), Vũ Văn Tảo, Nguyễn Văn Giao, Nguyễn Hữu Quỳnh (2013),

Từ điển Giáo dục học, NXB Từ điển Bách khoa.

[22]. Bùi Minh Hiền (Chủ biên), Nguyễn Quốc Trị (2013), Lịch sử giáo dục thế giới,

NXBĐHSP.

[23]. Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (2006), Bài tập Phương trình vi phân,

NXBGD.

[24]. Phạm Văn Hoàn (Chủ biên), Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981), Giáo dục

học môn Toán, NXBGD.

[25]. Đặng Vũ Hoạt (Chủ biên), Hà Thị Đức (2015), Lí luận dạy học đại học,

NXBĐHSP.

[26]. Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông (2012), Chương trình khung giáo dục

đại học theo tín chỉ.

[27]. Lê Văn Hồng, Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thàng (2011), Tâm lí học lứa tuổi và tâm

lí học sư phạm, NXBĐHQGHN.

[28]. Nguyễn Thanh Hưng (2010), Rèn luyện và phát triển tư duy biện chứng khi dạy học

môn hình học ở trường trung học phổ thông, NXBGDVN.

[29]. Nguyễn Bá Kim (2015), Phương pháp dạy học môn Toán, NXBĐHSP.

[30]. Nguyễn Thị Hà Lan (2016), Dạy học Giáo dục học ở trường đại học theo tiếp cận

giải quyết vấn đề, NXB Đại học Vinh.

[31]. Nguyễn Phú Lộc (2006), Nâng cao hiệu quả dạy học môn Giải tích trong nhà

155

trường trung học phổ thông theo hướng tiếp cận một số vấn đề của phương pháp luận

toán học (Luận án tiến sĩ Giáo dục học), Trường Đại học Vinh.

[32]. Phan Thị Luyến (2008), Rèn luyện tư duy phê phán của học sinh trung học phổ

thông qua dạy học chủ đề phương trình và bất phương trình (Luận án tiến sĩ Giáo dục

học), Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam.

[33]. Marzano R.J. (Người dịch: Nguyễn Hữu Châu) (2013), Nghệ thuật và khoa học dạy

học, NXBGDVN.

[34]. Marzano R.J., Pickering D. J., Pollock J. E. (Nguyễn Hồng Vân dịch) (2013), Các

phương pháp dạy học hiệu quả, NXBGDVN.

[35]. Mcinerny D.Q. (Nguyễn Thụy Khánh Chương dịch) (2013), Tư duy logic, NXB

Thanh niên.

[36]. Bùi Văn Nghị (2014), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán,

NXBĐHSP.

[37]. Phạm Thành Nghị (2013), Tâm lí học sáng tạo, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

[38]. Paul R., Elder L. (Bùi Văn Nam Sơn hiệu đính) (2015), Cẩm nang tư duy phân tích,

NXB Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh.

[39]. Paul R., Elder L. (Bùi Văn Nam Sơn hiệu đính) (2015), Cẩm nang tư duy đặt câu

hỏi bản chất, NXB Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh.

[40]. Paul R., Elder L. (Bùi Văn Nam Sơn hiệu đính) (2015), Cẩm nang tư duy đọc, NXB

Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh.

[41]. Bùi Xuân Phong (2014), Bài giảng phân tích hoạt động kinh doanh. HVCNBCVT.

[42]. Lê Văn Phùng (2014), Kỹ thuật phân tích và thiết kế hệ thống thông tin hướng cấu

trúc, NXB Thông tin và Truyền thông.

[43]. Polya G. (Người dịch: Hồ Thuần, Bùi Tường) (2009), Giải một bài toán như thế

nào? NXB Giáo dục.

[44]. Sacđacốp M.N. (Người dịch: Phan Ngọc Liên, Phạm Hồng Việt, Dương Đức Niệm)

(1970), Tư duy của học sinh (tập 1,2), NXBGD.

[45]. Scheuve O. (Biên tập: Nguyễn Thị Phương Thảo) (2017), Học khôn ngoan để dẫn

đầu, NXB Thế giới.

[46]. Stewart J. (Người dịch: Nguyễn Thị Hồng Phúc, Trần Thị Nguyệt Linh) (2016),

156

Giải tích (tập 1), NXB Hồng Đức.

[47]. Stronge J.H. (Người dịch: Lê Văn Canh) (2013), Những phẩm chất của người giáo

viên hiệu quả, NXBGDVN.

[48]. Đào Tam, Võ Xuân Mai (2016), Đảm bảo sự cân đối giữa tư duy trực giác và tư

duy phân tích cho học sinh trong dạy học toán, Tạp chí Khoa học giáo dục, số 134, trang

46-49.

[49]. Nguyễn Thạc, Phạm Thành Nghị (2014), Tâm lí học sư phạm đại học, NXBĐHSP.

[50]. Nguyễn Đức Thành (2017), Phát triển tư duy thuật giải và tư duy kĩ thuật cho sinh

viên cao đẳng kĩ thuật trong dạy học môn Toán cao cấp (Luận án Tiến sĩ Khoa học Giáo

dục), Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam.

[51]. Tôn Thất Thân (1995), Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một

số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi toán ở trường Trung học Cơ sở

Việt Nam (Luận án Phó tiến sĩ Khoa học Sư phạm - Tâm lí), Hà Nội.

[52]. Chu Cẩm Thơ (2015), Phát triển tư duy thông qua dạy học môn toán ở trường phổ

thông, NXBĐHSP.

[53]. Nguyễn Duy Thuận (2007), Giáo trình phát triển tư duy toán học cho học sinh,

NXBĐHSP.

[54]. Nguyễn Cảnh Toàn, Lê Khánh Bằng (Đồng chủ biên) (2009), Phương pháp dạy và

học đại học, NXBĐHSP.

[55]. Trung Tâm khoa học Tư duy (2016), Khoa học Tư duy từ nhiều cách tiếp cận khác

nhau, NXB Tri thức.

[56]. Nguyễn Anh Tuấn (2012), Lôgic toán và lịch sử toán học, NXBĐHSP.

[57]. Tipper M. (Phạm Anh Tuấn dịch) (2012), Rèn luyện trí nhớ, NXB Trẻ.

[58]. Nguyễn Quang Uẩn (Chủ biên) Nguyễn Văn Lũy, Đinh Văn Vang (2014), Giáo

trình Tâm lí học đại cương, NXBĐHSP.

[59]. Ủy ban khoa học về hành vi-xã hội và giáo dục (Người dịch: Nguyễn Vĩnh Trung,

Lê Thu Giang) (2007), Phương pháp học tập tối ưu, NXBTHTPHCM.

[60]. Bạch Phương Vinh (2013), Rèn luyện hoạt động phân tích và tổng hợp cho học sinh

trong dạy học giải bài tập hình học phẳng lớp 9 trung học cơ sở (Luận án tiến sĩ Giáo dục

học), ĐHSPHN.

157

[61]. Nguyễn Hữu Vui (1998), Lịch sử Triết học, NXB Chính trị Quốc gia.

[62]. Phạm Viết Vượng (1997), Phương pháp luận nghiên cứu khoa học, NXB Đại học

Quốc gia Hà Nội.

TÀI LIỆU TIẾNG ANH

[63]. Amer A. (2005), Analytical thinking, Published by Cairo University, ISBN: 977-

403-011-7.

[64]. Anwar B., Mumthas N.S. (2014), Taking triarchic teaching to classrooms: giving

everybody a fair chance, International journal of advanced research, Volume 2, Issue 5,

pp. 455-458, ISSN 2320-5407.

[65]. Areesophonpichet S. (2013), A Development of Analytical Thinking Skills of

Graduate Students by using Concept Mapping, The Asian Conference on Education 2013.

[66]. Blank B.E., Krantz S.G. (2011), Calculus, John Wiley & Sons,Inc.

[67]. Bloom B.S, Engelhart M.D, Furst E.J, Hill W.H, Krathwohl D.R (1956), Taxonomy

of educational objectives, Longmans.

[68]. Byers W. (1943), Deep Thinking: What Mathematics Can Teach Us About the

[69]. Chin Ch., Brown D.E. (2000), Learning in Science: A Comparison of Deep and

Surface Approaches, Journal of research in science teaching, Vol. 37, No. 2, pp. 109–1

[70]. Griffiths Ch., Costi M. (2011), GRASP The solution, Proactive Press.

[71]. Haciomeroglu E.S., Aspinwall L., Presmeg N. C. (2009), Visual and Analytic

Thinking in Calculus, Mathematics Teacher, Vol.103, No.2, pp. 140-145.

[72]. Husain H., Mokri S.S., Hussain A., Samad S.A., Majd R.A. (2012), The level of

critical and analytical thinking skills among Electrical and Electronics Engineering

Students, UKM, Asian Social Science, Vol.8, No.16, pp.80-87, ISSN 1911-2017.

[73]. Johnson B. (2013), Teaching Students to Dig Deeper, Taylor & Francis Group.

[74]. Krishnaswamy K.N., Sivakumar A.I., Mathirajan M. (2009), Management

Research Methodology, Pearson Education India. ISBN: 978-81-7758-563-6.

[75]. Marzano R.J., Kendall J.S. (2007), The New Taxonomy of Educational Objectives,

Corwin Press.

[76]. Paul R., Elder L. (2007), The Thinker’s Guide to Analytic Thinking, Foundation for

158

Critical Thinking.

[77]. Piaget J. (2003), The Psychology of Intelligence, Taylor & Francis e-Library.

key competence

for overcoming

the data science divide, Proceedings of

[78]. Rasheva-Yordanova K., Iliev E., Nikolova B. (2018) , Analytical thinking as a

EDULEARN18 Conference, ISBN: 978-84-09-02709-5, pp. 7892-7898.

[79]. Sánchez A.V, Ruiz M.P. (2008), Competence–based learning, University of

Deusto. ISBN: 978-84-9830-967-6.

[80]. Sartika S.B. (2017) Teaching Models to Increase Students' Analytical Thinking

Skills, 1st International Conference on Intellectuals' Global Responsibility (ICIGR 2017).

[81]. Satianow P., Dagan M., Amram M.(2015), Using ‘min’ and ‘max’ functions in

calculus teaching, International Journal of Mathematical Education in Science and

Technology, Vol. 46, Issue 6, pp.944-951.

[82]. Sternberg R.J. (1996), Teaching for thinking, Washington.

[83]. Sternberg R.J. (2003), What Is an “Expert Student?”, Educational Researcher, Vol.

32, No. 8, pp. 5–9.

[84]. Sternberg R.J. (2005), The Theory of Successful Intelligence, Interamerican Journal

of Psychology, Vol. 39, Num. 2, pp. 189-202.

[85]. Sudjit Montaku (2011), Results of analytical thinking skills training through

students in system analysis and design course, Proceedings of the IETEC’11 Conference,

Kuala Lumpur, Malaysia.

[86]. Hundhausen J.R. (1993), The case for parameters: A means for promoting

analytical thinking,

https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10511979308965721

[87]. Zhang B. (2003), Using student-centred teaching strategies in calculus,

https://pdfs.semanticscholar.org/7cad/c3061fdc49681676d86af75b2c85fe049224.pdf

[88]. https://www.valpo.edu/mathematics-statistics/files/2017/10/MATH-253-Master-

Syllabus.pdf

[89]. http://www.tamuc.edu/academics/cvSyllabi/syllabi/201580/81133.pdf

TÀI LIỆU TIẾNG NGA

[90]. Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Саннинский В. Я. (1980),

Методика преподавания математики в средней школе, Москва "Просвещение".

- 1 -

PHỤ LỤC

Phụ lục 01: PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN GIẢNG VIÊN DẠY TOÁN CAO CẤP

Ở CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ, KĨ THUẬT

Kính gửi các thầy cô!

Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô để

tìm hiểu thực trạng về tư duy phân tích của sinh viên và việc phát triển tư duy này cho

sinh viên trong dạy học Toán cao cấp (kết quả thu được chỉ nhằm mục đích nghiên cứu để

nâng cao chất lượng dạy học ở các trường đại học nói chung, ngoài ra không có mục đích

gì khác). Chúng tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô!

Xin thầy cô cho biết một số thông tin cá nhân:

Đơn vị công tác…………………………………………….

Số năm công tác…….

Trình độ chuyên môn:……………………

Chuyên ngành đào tạo………………...

Cơ sở đào tạo:…………………………………………

Câu 1: Theo thầy (cô), tư duy phân tích cần thiết như thế nào đối với sinh viên (khi

học Toán cao cấp, trong cuộc sống, khi tự học sau này, khi làm việc sau này)?

□ Không cần □ Ít cần □ Cần □ Rất cần.

Câu 2: Thầy (Cô) nhận xét gì về tư duy phân tích của sinh viên (nhìn chung) hiện

nay?

□ Rất kém □ Hơi kém □ Bình thường □ Tốt □ Rất tốt.

Câu 3: Theo thầy cô, khi dạy học có cần phải chú trọng việc phát triển tư duy phân

tích cho sinh viên không?

□ Có □ Không.

Câu 4: Thầy (Cô) nhận xét gì về khả năng hiểu vấn đề một cách sâu sắc, rõ ràng, chi

tiết của sinh viên hiện nay?

□ Rất kém □ Hơi kém □ Bình thường □ Tốt □ Rất tốt.

Câu 5: Thầy (Cô) nhận xét gì về khả năng suy luận của sinh viên hiện nay (khả năng

hiểu và vận dụng các quy tắc logic, suy luận diễn dịch, suy luận tương tự, suy luận quy

nạp)?

□ Rất kém □ Hơi kém □ Bình thường □ Tốt □ Rất tốt.

- 2 -

Câu 6: Thầy (Cô) nhận xét gì về khả năng thực hiện các thao tác tư duy của sinh

viên (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự hóa, đặc biệt hóa)?

□ Rất kém □ Hơi kém □ Bình thường □ Tốt □ Rất tốt.

Câu 7: Theo thầy cô, nhìn chung sinh viên có thường suy nghĩ về mối liên hệ giữa

khái niệm cũ với khái niệm mới, từ đó tự tìm ra các mệnh đề không?

□Có □ Không.

Câu 8: Thầy (Cô) thấy sinh viên có thường đặt các câu hỏi phù hợp với nội dung

học khi ở trên lớp không?

□ Ít khi hỏi □Thỉnh thoảng hỏi □ Thường xuyên hỏi □ Rất tích cực đặt câu hỏi.

Câu 9: Theo thầy (cô), sinh viên có muốn tìm tòi hay học giải bài toán bằng nhiều

cách không, hay họ chỉ muốn học một cách để dễ nhớ?

□ Đa số sinh viên cố gắng tìm nhiều cách giải, học nhiều cách giải.

□ Đa số sinh viên chỉ cố gắng tìm một cách giải, muốn học một cách để dễ nhớ.

Câu 10: Theo thầy (cô), khoảng bao nhiêu phần trăm sinh viên có thể nắm được các

ý chính, ý cơ bản, ý nghĩa các nội dung trong mỗi phần, mỗi bài học, mỗi chương ?

□Khoảng 20% □Khoảng 30% □Khoảng 50% □Khoảng 70% □Khoảng 99%.

Câu 11: Có ý kiến cho rằng: Trừ một số sinh viên khá giỏi, còn lại rất nhiều sinh viên hiện nay thường chỉ làm tốt khi gặp các bài tập theo mẫu quen thuộc, họ sẽ thấy khó khăn khi giải các bài tập khác kiểu (dù chỉ biến đổi rất ít), điều đó là do cách học luyện giải bài tập, chưa chú trọng khả năng phân tích, sáng tạo. Thầy (Cô) nhận xét gì về ý kiến này?

□ Ý kiến này đúng □ Ý kiến này không đúng.

Câu 12: Khi dạy học, thầy cô có chủ ý tự thiết kế những ví dụ, bài tập, bài kiểm tra

đòi hỏi các khả năng phân tích, tổng hợp, tương tự hóa, khái quát hóa (hoặc để điều chỉnh

cho phù hợp với đối tượng sinh viên, giúp sinh viên phát triển năng lực nào đó) không?

□ Không, vì làm hết một số bài tập giao trong sách thì đã rèn luyện được những khả

năng này rồi.

□ Không thường xuyên □ Thường xuyên.

Câu 13: Thầy (Cô) có thường khuyến khích sinh viên đặt các câu hỏi không? Hay

chủ yếu là sinh viên trả lời các câu hỏi của thầy cô?

□ Ít khi khuyến khích sinh viên đặt câu hỏi, chủ yếu sinh viên trả lời câu hỏi.

- 3 -

□ Thường xuyên khuyến khích sinh viên đặt câu hỏi, và sinh viên tích cực hỏi.

□ Thường xuyên khuyến khích sinh viên đặt câu hỏi, nhưng sinh viên vẫn ít hỏi.

Câu 14: Thầy (Cô) có thường yêu cầu sinh viên nhìn nhận vấn đề theo nhiều hướng,

suy nghĩ sâu bài toán hay một vấn đề nào đó (chẳng hạn: suy nghĩ về mối liên hệ giữa các

khái niệm, từ đó tự tìm thêm một số mệnh đề,…) không?

□ Thường xuyên

□Ít khi, chỉ cố gắng truyền đạt hết các kiến thức cơ bản, vì không có nhiều thời gian

□ Chỉ áp dụng phương pháp này với một số đối tượng sinh viên khá giỏi.

Câu 15: Thầy (Cô) có yêu cầu sinh viên làm các dạng bài tập phát hiện sai lầm và

sửa chữa không?

□ Không □ Ít khi □ Thường xuyên.

Câu 16: Khi giao cho sinh viên đọc tài liệu trước khi đến lớp, thầy cô có thường

đưa ra các câu hỏi, bài tập liên quan đến nội dung tài liệu đó không?

□ Thường đưa ra các câu hỏi, bài tập có liên quan đến nội dung tài liệu đó

□ Không, thường chỉ đề nghị sinh viên đọc “từ trang…tới trang… trong quyển…”

Câu 17: Theo thầy cô, đối với sinh viên đại học các trường kinh tế, kĩ thuật, có cần phải học theo cách hiểu sâu sắc khái niệm, nắm vững các tính chất, suy ngẫm không? hay chỉ học theo cách áp dụng các công thức, quy tắc rồi tính toán?

□ Không cần □ Cần □ Rất cần.

Câu 18: Có ý kiến cho rằng: Với thời gian học trên lớp rất ít hiện nay và khả năng tự học của sinh viên chưa tốt, nhiều thầy cô đang phải dạy theo cách không chú trọng lí thuyết, chỉ tập trung vào một số dạng bài tập cơ bản quen thuộc để sinh viên làm được bài khi đi thi. Thầy cô nhận xét gì về ý kiến này?

□ Đúng □ Không đúng □ Chỉ một số thầy cô dạy như vậy.

Câu 19: Theo thầy cô, những khó khăn chính đối với GV khi dạy học theo mục tiêu

phát triển tư duy phân tích cho sinh viên là gì?

□ Thời gian học trên lớp ít □ Khả năng tự học của sinh viên không tốt

□ Ý kiến khác…………………………………………………………

Câu 20: Thầy (Cô) có những ý kiến, nhận xét gì khác liên quan đến vấn đề phát triển

tư duy phân tích cho sinh viên khi học Toán cao cấp?

Xin trân trọng cảm ơn các thầy cô!

- 4 -

Phụ lục 02

BÀI TẬP LỚN DÀNH CHO SINH VIÊN LỚP TN1 (MÔN GIẢI TÍCH 2)

BÀI TẬP SỐ 1

Ngày nay, những kĩ năng mềm được coi là không thể thiếu đối với sự thành công của

mỗi cá nhân trong học tập và trong cuộc sống. Tư duy phân tích là một trong những kĩ

năng mềm được yêu cầu trong chuẩn đầu ra của sinh viên Học viện Công nghệ Bưu chính

Viễn thông. Trong học Toán cao cấp, tư duy phân tích cần được thể hiện qua việc:

1. Chia nhỏ vấn đề cần xem xét thành các ý nhỏ hay các bước cơ bản, giải thích, tìm

mối liên hệ, phán đoán, suy luận, tổng hợp, rút ra kết luận hợp lí. (vận dụng khi giải bài

tập, khi đọc tài liệu,…)

2. Thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, đặc

biệt hóa, hệ thống hóa, tương tự.

3. Hiểu và trình bày vấn đề một cách rõ ràng, cẩn thận, kĩ lưỡng.

Có thể giải thích đến tận cùng, có thể đưa ra ví dụ minh họa; Tìm hiểu tường tận mọi

chi tiết; ít có sai sót; sử dụng đúng các định nghĩa, mệnh đề, định lí; nói dựa trên căn cứ đúng; có thể phát hiện ra các ưu, nhược điểm của tài liệu; có thể phát hiện các sai lầm và sửa chữa;lật đi lật lại vấn đề, kiểm tra các suy luận và thông tin.

4. Tìm hiểu vấn đề một cách sâu sắc: Có thể nêu các nhận xét, chú ý; tự đưa thêm các mệnh đề; có thể suy nghĩ sâu bài toán; xem xét những khía cạnh khác nhau của vấn đề; nhìn nhận vấn đề theo nhiều cách khác nhau; hoàn chỉnh, bổ sung, mở rộng hay liên hệ với vấn đề khác; suy luận bắc cầu theo nhiều bước, không thỏa mãn với những câu trả lời đại khái mà đi tìm lời giải thích sâu sắc hơn. Có thể tìm được nhiều vấn đề, nhiều mối quan hệ có liên quan đến một yếu tố đang xem xét.

5. Thường xuyên đặt và trả lời các câu hỏi, đặc biệt là các câu hỏi với: “Tại sao?”,

“Nghĩa là thế nào?”, “Gồm những gì?”, “Thì sao?”, “có ý nghĩa gì?”,…

6. Sử dụng các dạng đề cương, dàn ý tóm tắt, sơ đồ, hình vẽ (sơ đồ tư duy, sơ đồ

khái niệm, sơ đồ suy xuôi suy ngược, hình vẽ bất kì), (để tóm tắt hay tổng hợp kiến thức,

để đưa ra các hướng giải cho một bài toán,…).

 Hãy đưa ra một số ví dụ thể hiện sự vận dụng tư duy phân tích của bạn khi

học môn Giải tích 2.

- 5 -

BÀI TẬP SỐ 2



z x y ( , )



2 ( z z



Câu 1:

( , ).

a. Cho hàm số ẩn xác định bởi phương trình

dz x y (Tính bằng ba cách).



u x y z ( , , )

( , , , )

Tính vi phân toàn phần

F x y z u  0.

u x y z u x y z u x y z ( , , ) ( ,

, ),

( ,

b. Cho là hàm số ẩn xác định từ hệ thức

 y

 z

 x

F x y ( , )

2   x

xy 2

Viết công thức tính và giải thích rõ.

 y 2 .

( , )

Câu 2: Cho hàm số

F x y trên miền

   0 x      0 y 

( , )

a. Tìm cực trị của hàm số

F x y trên miền D.

b. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm



F x y

( , ),

c. Tính thể tích vật thể hình trụ có đáy là miền D, mặt trên có phương trình

.Oz

các đường sinh tựa trên biên của D và song song với

Câu 3: Điều lệ bưu điện quy định rằng tổng của chiều cao và chu vi đáy của bưu kiện

không được quá L cm. Tìm thể tích cực đại của bưu kiện hình hộp chữ nhật thỏa mãn đòi

hỏi này.

  x

 



 

 2.

1 2

Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:



x (



z dxdydz )

;

  

z 2 .

Câu 5:



a. Cho V là miền giới hạn bởi mặt

Hãy đưa ra một số hướng để tính I. Theo bạn, cách làm nào có thể là ngắn gọn nhất trong



 2 r



rdz

những hướng mà bạn đưa ra.

 



b. Hãy vẽ hình để chỉ rõ miền lấy tích phân của tích phân và

tính tích phân này.



2 y dx



2 x dy

- 6 -



A 

(2, 0).

Câu 6: Tính biết:

y  từ điểm ( 2, 0)

a. C là nửa trên đường tròn 2 x đến điểm

y  4.

b. C là biên của nửa trên hình tròn 2 x





(Đề bài câu b trên chưa chặt chẽ, hãy chỉnh sửa rồi giải).

ydx 2

xdy 2





Câu 7: Tính trong các trường hợp sau:

a.L là đường cong kín bất kì không bao quanh gốc tọa độ.

 

x 9

y 5

b. L là đường cong kín có phương trình



x 3

ydx







 3  x    y   

   dy    

(0,1).

Câu 8: Tính tích phân sau (Sử dụng ít nhất hai cách giải):

e từ điểm (1, )A e đến điểm

L là cung

xyy 4

2    x

y 2

 0.

Câu 9: Giải phương trình sau bằng ba cách:



  

x cos .

Câu 10: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

- 7 -

NHẬN XÉT ĐỀ BÀI TẬP LỚN

1. Bài tập lớn số 1: Nhằm nói về TDPT một cách gián tiếp, giúp SV hiểu rõ hơn về tư

duy này, đồng thời kiểm tra mức độ hiểu và vận dụng TDPT của SV khi học Giải tích 2.

2. Bài tập lớn số 2:

( ,

Câu 1: Ý a. đòi hỏi hiểu bản chất, nhìn nhận theo nhiều hướng. Ý b. cần giải thích,

F x y z  , ) 0.

dùng thao tác tương tự để liên hệ với trường hợp xét hệ thức

Câu 2 và câu 6 đòi hỏi hiểu rõ về khái niệm cực trị và chú ý cận của TP khi tính TP

đường loại hai. Các câu này đã có trong đề kiểm tra giữa kì, nhưng chúng tôi nhận thấy

SV vẫn mắc nhiều sai lầm khi giải. Vì vậy, chúng tôi lại đưa ra các bài tập này để xem SV

có suy ngẫm, sửa chữa và bổ sung thêm so với bài kiểm tra đã gặp không. Điều đó cũng

sẽ đánh giá một phần về sự hiểu ngày càng sâu sắc hơn của SV. Ngoài ra, những câu hỏi này cũng đòi hỏi SV chú ý, phân biệt từng chi tiết.

Câu 3: Bài toán vận dụng vào thực tế. SV phải trừu tượng hóa, tạm bỏ qua các chi tiết “điều lệ bưu điện quy định rằng”, “bưu kiện”, chỉ chú ý đến nội dung chính: Tính thể tích cực đại của hình hộp chữ nhật thỏa mãn điều kiện tổng chiều cao và chu vi đáy không

vượt quá L.

Câu 5: Ý a đòi hỏi nhìn nhận theo một số hướng và lựa chọn lời giải ngắn gọn nhất

dựa trên những nhận xét. Ý b đòi hỏi phân tích ngược, suy luận rõ từng bước.

Câu 7, 8: Kiểm tra khả năng vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt, chú ý đến điều

kiện đặc biệt, từ đó có cách giải sáng tạo.

Câu 4, 9: Cần phán đoán có cơ sở, tư duy linh hoạt, nhìn nhận theo nhiều hướng.

Câu 10: Kiểm tra kiến thức cơ bản.

- 8 -

Phụ lục 03: ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM BÀI KIỂM TRA GIỮA KÌ (LỚP TN1, ĐC1) Câu 1: (3 điểm) y



 

a) *Hướng giải: 1 - Tìm các điểm tới hạn (là điểm trong của D) (nếu có). D

tại điểm tới hạn (nếu có).

 

0 0

 

1 1

1 x O

  x    y  

- Xét dấu     y x F 2 2  x      F x 2 2  y   F  x   F   y (0,5đ) (ý 1)

0(1,1)

Điểm là điểm biên của D. Vậy hàm số không có điểm cực trị. (0,5đ) (ý 2)

b) * Hướng giải:

– Tìm giá trị của f tại các điểm tới hạn (là điểm trong của D).

F x y ( , )

    1)

y 2 (0



F x y ( , )

- Tìm GTLN, GTNN của f trên biên của D. - So sánh các giá trị trên.

x  , ta có 0

 (0,25đ) (ý 3)

( , )



1 (0

  y

1) :

- Hàm số không có điểm tới hạn (mà là điểm trong của D) - Xét trên biên của D: + Trên đường

F x y  1.

F x y ( , )

  

F x y ( , )



0 (0

  x

1),

+ Trên đường

 (0,25đ) (ý 4)

F x y ( , )

    x 2

g x ( )



1 (0

  x

1),

+ Trên đường ta có



(1)



g x ( )



(0)

  x

[0,1]

  ( ) g x

x 2

  , hàm số nghịch biến

  1

g x ( )



F x y ( , )

 hay 1

 (0,25đ) (ý 5)

( , )

+ Trên đường ta có

F x y đạt GTNN là 0 tại điểm (0,0),

( , )

F x y đạt GTLN là 2 tại điểm (0,1).

- So sánh các giá trị trên biên của D, ta thấy

F x y dxdy

( , )

(0,25đ) (ý 6)

 

c) Thể tích: (ý 7)

(0,25đ)

- 9 -





xy 2





 y dy 2

 x



(ý 8)







  x



(0,25đ)

 x

 dx 1



 2 x y  

  

1 dx 0

(0,25đ) (ý 9)

1     2

1 3

5 6

 x x       3 2 

     

(ý 10)

(đvtt). (0,25đ)

Câu 2: (4 điểm) * Hướng giải: -Vẽ hình. -Tính thể tích bằng công thức tích phân bội ba. -Tính bằng cách tính thể tích hình trụ, hình nón (học ở phổ thông).

  2



2 x

y

2 1. 

-1

-2

dxdydz

Vẽ hình như trên. (0,5đ) (ý 11)

 

Thể tích vật thể



2   y

  2

(0,25đ) (ý 12)

2  y

)

V là miền giới hạn bởi các mặt

  V V V ( 1 2

Trường hợp 1: V chứa phần nằm bên trong hình trụ

 cos  sin ,

 2 1

x y

r r

- 10 -

ta có Đặt (0,5đ) (ý 13)

    

 2 r



 2 r





rdz



 2



Cách 1: Tính tích phân theo tọa độ trụ     0    r 0      0 z 

 rz







 2





 2



(0,5đ) (ý14)

 r 2

 2 r dr



r 3

 4 3

   r   

      0

(đvtt). (0,25đ) (ý 15)

  v 2.

v 1



2 .1 .1



 . 

v 1

1v là thể tích phần hình trụ 1V ,

2 .1 .1

v 2

2v là phần thể tích hình nón 2V ,

1  3

  . 3



Cách 2:

 4 3

Vậy (đvtt). (0,5đ) (ý 16)

 cos  sin ,

x y

r r

Trường hợp 2: V là phần bên ngoài hình trụ.

    

    2  0    1 r 2      0 z 

 2 r



 2 r





rdz



 2



Cách 1: Đặt ta có (0,5đ) (ý 17)

 rz







 2





 2



(0,5đ) (ý 18)

 r 2

 2 r dr



r 3

 4 3

   r   

      1

(đvtt). (0,25đ) (ý 19)

   v 2. v 1

v 0



  2



0v là thể tích hình nón giới hạn bởi các mặt

Cách 2:

2 .2 .2



1  3

 8 3



  



- 11 -

 8 3

 3

 4 3

Vậy (đvtt). (0,25đ) (ý 20)

Câu 3: (3 điểm) y 2

P x y ( , )



y Q x y , ( , )

a) * Hướng giải: - Thêm đoạn thẳng BA rồi áp dụng công thức Green. A -2 O B 2 x - Kết quả bằng tích phân trên đường kín trừ tích phân trên BA.

  x .

Đặt



2 y dx



2 x dy



x (



y dxdy

)





Áp dụng công thức Green, ta có:

2 y dx

2 x dy



D là nửa trên của hình tròn tâm O, bán kính 2. (0,5 đ) (ý 21)

y  nên 0



f x y Do miền D có tính đối xứng qua trục Oy và biểu thức ( , )

x lẻ đối với x nên

xdxdy 



Vì đoạn thẳng BA có phương trình (0,5 đ) (ý 22)

r r

cos sin

 

  x    y

   0        0 2 r 

Đặt





x (



y dxdy

)



ydxdy





 sin .

rdr



(0,5đ) (ý 23)





2 r dr





  2 sin

 .   d



  2.cos  

r 3

32 3

Ta có:

      .       

       

(0,5đ) (ý 24)

b) * Hướng giải:

- Thêm chiều lấy tích phân (đưa ra hai trường hợp).

- Sử dụng kết quả câu a.

Đề bài còn thiếu chiều lấy tích phân trên C. (0,25đ) (ý 25)

- 12 -

y 2 y 2

O A -2 B 2 A -2 O B 2 x x

32 3

I 

-2 -2 + Nếu chiều lấy tích phân trên C cùng chiều kim đồng hồ thì

I  

(0,5đ) (ý 26)

32 3

+ Nếu chiều lấy tích phân trên C ngược chiều kim đồng hồ thì

(0,25đ) (ý 27)

Nhận xét: Với thang điểm trên, ta thấy các ý trong lời giải đòi hỏi TDPT là:

+ Ý 2 (0,5 đ): Đòi hỏi SV phải hiểu rõ khái niệm về điểm cực trị. Điểm cực trị phải

là điểm trong của miền D.



  2



+ Ý 11 (0,5 đ): Đòi hỏi SV phải có sự phân tích, suy luận. Vì trong quá trình học

 , do đó để vẽ mặt

 



trên lớp, SV chỉ gặp dạng hàm họ

 được lấy đối xứng với mặt

 qua mặt

cần phải nhận ra mặt

  2

phẳng xOy, sau đó cần dùng phép tịnh tiến lên trên 2 đơn vị, hoặc các em phải nghĩ đến

 với các mặt phẳng tọa độ.

việc xác định giao của mặt

+Ý 13 (0,5 đ): Đòi hỏi phải hiểu rõ bản chất về cách tìm cận trong tọa độ trụ, phải có

sự suy luận.

+ Ý 16 (0,5 đ): Đòi hỏi SV phải biết nhìn nhận theo một hướng khác (mặc dù hướng

này rất quen thuộc nhưng lại rất ít SV nghĩ ra).

+ Ý 17 (0,5 đ): Đòi hỏi SV phải nhìn nhận miền D theo một cách khác, đồng thời

phải hiểu rõ bản chất, có sự suy luận khi xác định cận của tích phân.

+ Ý 21: (0,5 đ): Đòi hỏi SV phải tư duy linh hoạt, cẩn thận khi áp dụng công thức

Green. Ở ý này, rất nhiều SV vẫn nhầm cận, ngay cả khi họ làm theo cách khác là tính trực tiếp bằng cách viết phương trình tham số của cung .AB

Ngoài ra, nếu không làm được các ý trên thì SV sẽ không làm được nhiều ý khác có

liên quan, chẳng hạn: Ý 14, ý 15, ý 18, ý 19.

Như vậy, để đạt được điểm 7, SV cần có TDPT khá tốt.

- 13 -

Phụ lục 04

GIÁO ÁN SỐ 1: (DÀNH CHO KHỐI NGÀNH KĨ THUẬT)

Môn: Giải tích 2

Bài dạy: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI

I. MỤC TIÊU BÀI HỌC

Về kiến thức: SV nắm được các khái niệm về tích phân đường loại hai trong mặt

phẳng và trong không gian, công thức Green, định lí về điều kiện để tích phân đường

không phụ thuộc đường lấy tích phân.

Về kĩ năng: SV biết tính tích phân đường loại hai bằng cách tính trực tiếp, hoặc

vận dụng công thức Green hay định lí bốn mệnh đề tương đương. Có thể vận dụng tích phân đường loại hai trong việc giải một số bài toán thực tế có liên quan.

Về tư duy, thái độ: Rèn luyện cho SV khả năng tự học, tự nghiên cứu, sử dụng các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, đặc biệt hóa, phán đoán, suy luận, khả năng nhìn nhận vấn đề theo nhiều hướng khác nhau, nhìn nhận vấn đề một cách rõ ràng. Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác.

II. CÔNG VIỆC CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ SV

- GV chuẩn bị máy chiếu, dự kiến sẽ sử dụng những PPDH chủ yếu là: Thuyết

trình, đàm thoại, tự học.

- SV đọc trước bài Tích phân đường loại hai và làm các bài tập đã được giao từ

buổi học trước.

Ở buổi trước, GV đã giao cho SV về nhà đọc tài liệu và trả lời các câu hỏi, bài tập

 không đổi tác động lên một vật. Viết công thức tính công do lực F

BÀI TẬP KHI TỰ ĐỌC BÀI TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI

 1. Cho lực F khi di chuyển vật trên đoạn thẳng từ A đến B.

 F x y ( , )



 ( , ). .  P x y i Q x y j

 ( , ).

sinh ra

 Tính công do lực F

2. Cho sinh ra khi di chuyển chất

AB trong mặt phẳng.

điểm từ A đến B theo cung

3. Theo bạn, tại sao trong bài học này người ta phải đưa ra khái niệm chiều dương trên một đường cong kín?

ydx



xdy 2

- 14 -



 AB

(1, 0).

4. Tính khi:

AB là đoạn thẳng, với (2,1),

(0, 2)

a) Cung

AB là đoạn thẳng, với (1, 0),

(0,1),

(1, 3).

b) Cung (Tính bằng ba cách).

AB là đường gấp khúc ACB với (0, 0),

c) Cung

AB là đường tròn 2 x

y  và tích phân lấy theo chiều dương.

d) Cung

AB là đường

  và tích phân lấy theo chiều cùng chiều kim đồng

x 4

y 9

e) Cung

hồ.

5. Bạn hãy đặt thêm các câu hỏi (hoặc bài tập) khác tương ứng với các nội dung của bài tích phân đường loại hai và trả lời (hoặc giải) các câu hỏi, bài tập ấy.

6. Vẽ một sơ đồ tóm tắt các nội dung chính của bài Tích phân đường loại hai.

III. TIẾN TRÌNH LÊN LỚP

A. Ổn định tổ chức lớp

B. Kiểm tra bài cũ

GV kiểm tra bài tập về nhà đã giao cho SV khi tự đọc bài Tích phân đường loại hai.

C. Bài mới (3 tiết)

GV: Hôm nay, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về tích phân đường loại hai. Đây là sự mở rộng

,a b  

  lên một cung có định hướng trong mặt phẳng  hoặc không gian. Tích phân đường loại 2 xuất phát từ bài toán tính công của một lực thay

của tích phân xác định trên một đoạn

đổi di chuyển trên một cung, vì vậy có nhiều ứng dụng trong vật lí và các môn học

chuyên ngành. Có thể tính tích phân đường loại 2 thông qua tích phân xác định. Tích phân

đường loại 2 trên đường cong kín được đưa về tích phân kép. Ngoài ra, một số nội dung

trong phần này cũng liên quan đến cách giải phương trình vi phân toàn phần mà chúng ta

sẽ học ở chương sau.

1. Bài toán tính công của lực biến đổi

AB từ điểm A đến điểm

  ). ( F M P M i Q M j

 ).





(

)



P Q ( ,

Bài toán: Một chất điểm M di chuyển dọc theo một cung phẳng

B dưới tác dụng của lực Hãy tính công W của lực

- 15 -

.AB GV: Đề nghị SV nêu ý tưởng giải bài toán.

sinh ra trên cung

AB thành nhiều cung nhỏ, khi đó coi

SV: Có thể tính xấp xỉ công bằng cách chia cung

 mỗi cung như một đoạn thẳng và lực F nhỏ, sau đó cộng các kết quả tính được trên các cung. Khi tất cả các cung chia ra đều rất nhỏ thì kết quả sẽ chính xác hơn, nên cách làm liên quan đến giới hạn.

không đổi trên cung đó. Tính công trên mỗi cung

Giải:

AB thành n cung nhỏ tùy ý bởi các điểm chia

A .

A A 1, 0

,...., n

Chia cung

is là độ dài cung

 A A     y ( 1 i i

 A A 1i i

Gọi và



 A A i 1i

 M   tùy ý. i

 F M (

)

Trên mỗi cung lấy một điểm

 A A i 1i

)

A A 1i i  F M (

 F M (

Nếu cung rất nhỏ thì có thể coi xấp xỉ dây cung và lực

 A A i 1i 1iA  đến

iA xấp xỉ bằng:

(

 P M



không đổi trên cung và bằng . Do đó có công do lực sinh ra khi di

  . x Q M i

 y i

x Q

 . y

chuyển chất điểm từ     F M A A ). ( 1 i

AB là:









  , i i

  . i

  , i i



 1

)

 F M (

Khi đó công xấp xỉ trên cung .

is  ta có thể coi công do lực

Khi cho n   sao cho max sinh ra khi di

AB là



x Q

 . y









  , i i

  . i

  , i i



 1

lim ax   s m i  ) n (

 GV: Ở bài toán trên, để tính công do lực F

chuyến chất điểm trên cung

AB , AB thành nhiều cung nhỏ, rồi xem trước tiên người ta dùng thao tác phân tích: Chia cung xét để tính công trên những cung nhỏ đó. Cách suy nghĩ phân tích như vậy thường được áp dụng trong giải quyết nhiều vấn đề, và trong các khái niệm tích phân mà chúng ta đã

sinh ra khi di chuyển chất điểm trên

và sẽ còn học tiếp, chẳng hạn như tích phân xác định, tích phân bội, tích phân mặt. Tương

- 16 -

tự, khi cần học hiểu hay ghi nhớ một vấn đề, chúng ta có thể chia thành những phần nhỏ,

những ý cơ bản, những bước riêng biệt, rồi tìm hiểu kĩ, ghi nhớ kĩ từng phần đó. Michael

Tipper- tác giả của cuốn sách “Rèn luyện trí nhớ” đã cho rằng phân tích là một trong

những phương pháp giúp ghi nhớ. Ông đã lấy ví dụ: Hỏi trẻ em: “Làm thế nào để ăn hết

một con voi?’’ Trẻ em sẽ trả lời: “Chia thành nhiều miếng nhỏ”.

2. Định nghĩa tích phân đường loại hai

( , ), ( , )

a) Định nghĩa

P x y Q x y là các hàm số xác định trên cung phẳng

.AB



,...,

Cho

AB thành n cung nhỏ tùy ý bởi các điểm chia

 . B

A A A 1,

A n

Chia

 A A i 1i

Trên mỗi cung chọn một điểm 

is là độ dài cung

 ,i   tùy ý.      A A y ( 1 i i

 A A i 1i

x Q

 . y

Gọi và









  , i i

  . i

  , i i



lim   s ax i

 1

Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn, không phụ

 A A i i 1

( , ),

iM , thì giới hạn đó được gọi là tích ,AB kí hiệu là

thuộc phép chia cung phép chọn các điểm

 P x y Q x y dọc theo cung ( , )

 P x y dx Q x y dy

( , )



 AB

( , , ), ( , , ), ( , , )

phân đường loại hai của cặp hàm số 

3 và

P x y z Q x y z R x y z là các hàm số xác định

( , , ), ( , , ), ( , , )

* Nếu

P x y z Q x y z R x y z dọc

AB là một cung trong AB thì tích phân đường loại hai của các hàm số AB được định nghĩa tương tự và kí hiệu là:

trên

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

, )

( ,





 AB

theo cung

 P x y dx Q x y dy

( , )

 

 P x y dx Q x y dy

( , )

b) Tính chất:



 AB

 BA

10)

20) Tích phân đường loại hai có các tính chất tương tự tích phân xác định.

- 17 -

(SV phải tự phát biểu và giải thích về hai tính chất trên nhờ sự gợi ý của GV: Suy ra tính

chất 1 dựa vào định nghĩa, đoán tính chất 2 do có tính chất 1 và sự so sánh, liên hệ với

những loại tích phân đã biết).

A a

B b

P x y dx ( , )



P x

( , 0)

c) Nhận xét:



Q x y dy ( , )



Q y dy (0, )

 Nếu ( , 0); ( , 0) thì .

A c B d thì



 Nếu (0, ); (0, ) .

( , ), ( , )

d) Điều kiện tồn tại:

AB trơn hoặc trơn từng khúc và

P x y Q x y liên tục trên cung

AB thì tồn

 P x y dx Q x y dy

( , )

Nếu cung



 AB

tại

e) Chú ý:

( , ), ( , )

Nếu đường cong L kín thì ta quy ước chiều dương trên L là chiều sao cho khi ta đi trên L theo chiều ấy thì thấy miền giới hạn bởi L ở bên trái. Khi đó tích phân đường loại hai của

P x y Q x y dọc trên L theo chiều dương kí hiệu là:

 P x y dx Q x y dy

( , )



các hàm số

GV: Tại sao ở đây cần có khái niệm về chiều trên L?

SV: Vì nếu chỉ nói lấy tích phân trên L thì không biết lấy

theo chiều nào, khi lấy theo hai chiều ngược nhau thì kết quả sẽ đối nhau.

( , ), ( , )

 P x y dx Q x y dy

( , )

3. Cách tính

P x y Q x y liên tục trên cung trơn

.AB



 AB

x t ( )

Tính (

AB có phương trình tham số

y t ( )

x t (

y t ), (

a) Nếu cung trơn

 )

  x    y ,   )

x t ( B

y t ), ( B

thì Tọa độ điểm A và điểm B lần lượt là 



 P x y dx Q x y dy

( , )





y t dt



 ( ), ( ) . ( )

 x t Q x t y t



 P x t y t  

  ( ), ( ) . ( )  

 AB

- 18 -

y x ( )

. Lưu ý rằng có thể Bt không lớn hơn At

AB có phương trình

Ax là hoành độ điểm A, Bx là hoành độ điểm B



b) Nếu cung trơn

 P x y dx Q x y dy

( , )





y x dx

 Q x y x



   P x y x , ( )  

  , ( ) . ( )  

 AB

thì

Tính TP đường loại

Một dấu

tích phân

Đưa về tích phân xác định

Dựa vào PT AB

một biến

Rút y theo x

Rút x theo y

Rút x,y theo t



y x dx ( )



x y dy ( )

Cận: y

y

Cận: x

x

 

x t dt ( ) y t dt ( )

Cận: t

t B

dx dy

Hình 1: Đưa TP đường loại hai về TP xác định

AB   trơn (hoặc trơn từng khúc) và P,Q,R liên tục trên

.AB

x y

x t ( ) y t ( )

c) Trường hợp  3

AB có phương trình tham số:

z t ( )

    

Nếu

x t (

y t ), (

z t ), (

- 19 -

 )

x t ( B

y t ), ( B

z t ), ( B

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

, )

( ,







 AB



( ( ), ( ), ( )). ( )

x t Q x t y t

 y t ( ( ), ( ), ( )). ( )

z t



R x t y t

z t dt

z t



 P x t y t  

 ( ( ), ( ), ( )). ( )  

ydx



xdy 2

thì Tọa độ điểm A và điểm B lần lượt là  , 



 AB

(1,1).

Ví dụ 1: Tính khi:

AB là đoạn thẳng, với (2, 3),

(2, 3)

a) Cung

AB là đoạn thẳng, với (1,1),

b) Cung (Tính bằng hai cách).

Giải:

AB có phương trình

x  1.



x (2

  1

x dx 2 .2)



x (3



)

 



a) Cung

I  8.

b) Cách 1: Kết quả câu ở câu a trái dấu với kết quả ở câu b. Vậy

AB có phương trình

y x   . 2

1 2



y ( .

  y









1 2

27 4

3     4

3 4

    

    



xdy



ydx

Cách 2: Cung



Ví dụ 2: Tính

2   1.

L là đường elip

cos

  t

 2 )

sin

O x Giải:

Phương trình tham số của elip là:   x    y

- 20 -





t b cos . cos



t sin .(

 a





ab .



 a  

 sin ) t dt  



( , ), ( , )

4. Công thức Green

Định lí: Cho D là miền liên thông, bị chặn, có biên L là một hoặc nhiều đường cong kín, P x y Q x y là các hàm số liên tục, có các đạo trơn từng khúc, rời nhau từng đôi một.

 P x y dx Q x y dy

( , )







 

  Q      x 

   P  dxdy    y 





hàm riêng cấp một liên tục trên D. Khi đó:

GV: Hãy vẽ hình tương tự trong trường hợp miền D giới hạn bởi ba đường.

GV: Dựa vào công thức Green, chúng ta có thể suy ra ứng dụng nào của tích phân đường loại hai không?

SV: Công thức Green cho biết mối liên hệ giữa tích phân đường loại hai trên đường kín L với tích phân hai lớp trên miền D giới hạn bởi L. Tích phân hai lớp có một ứng dụng đặc f x y nào), vậy cũng có thể biệt là tính diện tích hình phẳng (không cần dựa vào hàm số ( , )

dùng công thức tích phân đường loại hai để tính diện tích hình phẳng.

dxdy

GV: Bạn có thể đưa ra một công thức cụ thể không?

 

( , ), ( , )

SV: Diện tích miền D tính bằng công thức: Như vậy, nếu áp dụng công

P x y Q x y sao cho





thức Green và dùng tích phân đường loại hai, ta chỉ cần chọn

 Q  x

 P  y

 Q  x

 P  y

P x y ( , )

y ,

Q x y ( , )

x . Do đó diện tích miền D có thể tính bằng công thức:



ydx



xdy 2

chẳng hạn: khi đó có thể chọn



- 21 -

GV: Đúng vậy, với cách suy ngược như trên, chúng ta có thể đưa ra rất nhiều công thức

để tính diện tích. Trong giáo trình, có một hệ quả của công thức Green như sau:





ydx



xdy

ydx



xdy

 

   

 

1 2



x (



y dx )

  ( y

x dy )

2   y

Hệ quả: Nếu đường kín L là biên của miền D thì diện tích miền D là:







 

P x y ( , )

  x

y Q x y , ( , )

  y

Ví dụ 3: Tính , C là đường tròn 2 x

 P  y

 Q  x

( , ), ( , )

P x y Q x y và các đạo hàm riêng của chúng liên tục trên

2.

2   y

2).





Giải: Đặt



Q x

       

   P  dxdy    y 

 

dxdy

 

S D 2 ( )

 

R 2



 y



arctan



  x

xy 2



2 y e

Theo công thức Green, (D xác định bởi 2 x

 2 y dx

 x



Ví dụ 4: Tính



3

2   y

y x 2 (

 từ điểm (0, 0)

C là nửa đường tròn 2 x đến điểm (0,2).

GV: Hãy nêu hướng giải của bạn.

SV: Có thể giải bằng cách tích trực tiếp (biểu thị một biến theo biến kia hoặc viết phương trình tham số) hoặc dùng công thức Green. Nhưng nếu tính trực tiếp thì tích phân xác định

rất phức tạp. Nếu dùng công thức Green thì cũng không được vì C không phải là đường

kín.

GV: Rõ ràng việc đưa về tích phân xác định là rất khó khăn. Vậy bạn có thể chỉ nghĩ đến

công thức Green, như vậy cần phải làm thế nào để xuất hiện đường kín.

SV: Có thể thêm đường để tính TP trên đường kín, rồi ta trừ đi tích phân trên đường đã

thêm.

P x y ( , )



arctan



y Q x y ( , )

  x

xy 2



y e 2 y

Giải: Gọi D là miền giới hạn bởi C và đoạn thẳng AO.

Đặt





y 2 ,

  1

y 2 .

 P  y

 Q  x

- 22 -

 y



arctan



  x

xy 2



2 y e

 x

 2 y dx



Áp dụng công thức Green, ta có:



3





dxdy



s D ( )





Q x

 2

       

 P    dxdy    y 

AO là đoạn thẳng nằm trên trục tung có phương trình

y x  ;(

 0).

y 2, O

 y

  x

xy 2



2 y e



2 y e

arctan



 2 y dx

 x



3



 AO



 ye



1 3

  1 .   

 1 1     8 3 e

   2

  1 .   

 1 1     8 3 e

Vậy

GV: Đối với bạn, có nhận xét hay điều gì cần ghi nhớ sau khi giải bài toán này không?

SV: Em thấy mình cần chú ý một số điều sau:

+ Cần phân biệt rõ “nửa đường tròn” với “biên của nửa hình tròn”, vì ở đây C không kín nhưng lúc đầu em lại cho rằng C kín (do đã nghĩ rằng C là biên của nửa hình tròn).

+ Khi tính tích phân đường loại hai, cần chú ý xem đường lấy tích phân có kín hay

không. Trong trường hợp biểu thức dưới dấu tích phân trông có vẻ phức tạp, khó để tính

nếu rút một biến theo biến kia, nhưng đường lấy tích phân không kín, ta có thể nghĩ đến

việc thêm đường và áp dụng công thức Green.

+ Khi thêm đường, tích phân cần tìm bằng tích phân trên đường kín trừ tích phân

trên đường thêm vào. Vậy, nên chọn đường thêm vào sao cho dễ tính. Chẳng hạn trong lời

giải trên, ta thêm đoạn AO nằm trên trục tung do đó x  và có thể tính tích phân dễ dàng, nhưng nếu ta thêm vào nửa đường tròn để được đường tròn kín thì việc tính tích

phân trên nửa đường tròn thêm vào cũng khó như bài toán lúc đầu.

5. Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân

( , ), ( , )

P x y Q x y là các hàm số liên tục, có các đạo hàm riêng cấp một liên

- 23 -

Định lí: Giả sử

tục trên một miền đơn liên D.

01 )





x y D ( , )



Q   x

P   y

02 )

 P x y dx Q x y dy

( , )



Các mệnh đề sau là tương đương:



03 )

 P x y dx Q x y dy

( , )

với mọi đường kín L nằm trong D.

,A B mà không phụ thuộc



 AB

AB D

chỉ phụ thuộc vào hai điểm

 P x y dx Q x y dy

( , )

04 ) Biểu thức

đường nối chúng (

u x y nào đó

là vi phân toàn phần của một hàm số ( , )

trên D.

0 1 )



0 2 )

 P x y dx Q x y dy

( , )







dxdy 0



 



Q x

       

 P    dxdy    y 



0 2 )

3 )

Chứng minh:

AmB AnB là hai cung bất kì trong D.

02 )



 Pdx Qdy



 Pdx Qdy



Giả sử  ,



 AnB

 BmA



 Pdx Qdy

 

 Pdx Qdy



 Pdx Qdy



 AnB

 BmA

 AmB

( , )

0 3 )

M x y (

)

0 4 ) Lấy

Từ

M x y D tích phân trên

cố định thuộc D, khi đó với mọi

 0M M chỉ phụ thuộc vào ( , )x y , do đó ta có thể xác định hàm hai biến

cung

( , )M x y D

u x y ( , )



 P x y dx Q x y dy

( , )



 M M 0

;



Q .

- 24 -

 u  x

 u  y

 P x y dx Q x y dy

( , )

0 4 )

1 ) Giả sử

Từ tính chất của tích phân đường loại hai và 03 ) , ta chứng minh được

u x y nào



là vi phân toàn phần của một hàm số ( , )

 nên

 u .yx

 u x

 P u , y

 u xy

Q   x

 P  y



đó trên D. Ta có và Vì các đạo hàm riêng

 ,P Q liên tục nên theo định lí Schwarz: xy

 u yx

P   y

Q   x

của . Vậy

GV: Chúng ta có nhận xét gì về 4 mệnh đề tương đương này?

( , ),

( , )

GV: Dấu hiệu nào trong 4 điều tương đương này dễ kiểm tra nhất?

P x y Q x y là các hàm số liên tục, có các đạo riêng cấp một liên tục

 P x y Q x y dy

( , )

Hệ quả 1: Giả sử

f x y nào đó trên D thì ( , )

 P x y dx Q x y dy

( , )



f B ( )



f A ( ),

trên một miền đơn liên D. Nếu là vi phân toàn phần của một hàm số



 AB

 P x y dx Q x y dy

( , )

với mọi cung AB D .



f x y ( , )



u x y K

( , )

 (K: hằng số)

Thật vậy: Giả sử là vi phân toàn phần của f

M x y ( , ).

u x y ( , )



 Pdx Qdy



 M M 0

 Pdx Qdy



 Pdx Qdy



 Pdx Qdy



u B ( )



u A ( )



f B ( )



f A ( ).



 AB

 M B 0

 AM 0

trong đó

GV: Chúng ta có nhận xét gì về hệ quả này?

GV: Hệ quả này có vẻ tương tự như công thức nào đã học hay không?

f x dx là vi phân của hàm số

f x dx ( )



F b ( )



F a

( ).

SV: Có vẻ tương tự công thức Newton-Leibnitz ở phần tích phân xác định. Vì công thức ( )F x Newton-Leibnitz có thể hiểu một cách khác là: Nếu ( )



,a b  

  thì 

trên

( , ), ( , )

- 25 -

P x y Q x y là các hàm số liên tục, có các đạo hàm riêng cấp một

 P x y dx Q x y dy

( , )

Hệ quả 2: Giả sử

2. Nếu

u x y thì

( , )

u x y có thể xác định bởi công thức:

u x y ( , )



P x y dx

( ,

)



Q x y dy C

( , )





u x y ( , )



P x y dx ( , )



Q x y dy C , )



(

liên tục trên là vi phân toàn phần của hàm số ( , )



)

hoặc

x y bất kì thuộc (

2; (C: Hằng số).

trong đó

y xe dx 6



x (3

  y

y e dy

GV: Vẽ hình và đề nghị SV dựa trên hình vẽ để chứng minh công thức (dạng bài tập câm).

Ví dụ 5: Chứng minh rằng biểu thức là vi phân toàn phần

u x y nào đó. Tìm hàm số ấy.

P x y ( , )



xe Q x y 6 ( , )



x 3

  y

của một hàm số ( , )



 1



6 y xe



 P  y

 Q  x

Giải: Đặt

2



 P x y dx Q x y dy

( , )

P,Q và các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trên

u x y nào đó trên

2.

u x y ( , )



P x y dx ( , )



Q x y dy C , )



(

là vi phân toàn phần của một hàm số ( , )

 ta có:

x ,với 0

y 00,



u x y ( , )



y xe dx 6



y (



e dy C

 

2 x e 3



  C

2 x e 3





Áp dụng công thức:

u x y bằng cách nào?

GV: Có thể kiểm tra lại kết quả về hàm ( , )

.P Q ,

 và đối chiếu với u u ,x y





P x y ( , )



Q x y ( , )



SV: Tính

x 2



Ví dụ 6: Cho hai hàm



 P x y dx Q x y dy

( , )

- 26 -



Tính nếu:

(1, 0),

AB nằm trong góc phần tư thứ nhất và không đi qua gốc tọa độ, với

a) L là cung B A (2,2).

b) L là đường cong kín bất kì không bao quanh gốc tọa độ và tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.

c) L là đường tròn tâm O, bán kính R và tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.

d) L là đường cong kín bao quanh gốc tọa độ và tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.

Giải:

AB là cung nào mà chỉ cho hai điểm A, B. Như vậy tích phân SV: Đề bài không nói cung có thể không phụ thuộc đường nối A, B, do đó trước hết phải kiểm tra xem điều kiện



GV: Gọi một SV (khá, giỏi) làm bài.

P   y

Q   x

D  

có thỏa mãn không. Vậy, có thể làm như sau:

  2 \ (0, 0) .

x (



y y )2



xy 2



P, Q và các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trên miền

P   y

 Q  x



)( 1)  x

   x ( 2 

 x 2 

 x

 P x y dx Q x y dy

( , )



Có

AB không đi qua điểm



 AB (0, 0).

không phụ thuộc đường nối A,B nếu

AB là đường bất kì không đi qua O, chẳng hạn lấy

AB là đoạn thẳng, khi đó

SV: Chọn

AB là

x  Ta đưa về tích phân xác định theo biến x, với cận từ 1

phương trình

đến 2.

x  thì việc tính tích phân khá

GV: Đó cũng là một cách làm, tuy nhiên khi thay

dài. Chúng ta nên suy nghĩ để lựa chọn cách nào đơn giản nhất. Trong các trường hợp

(2, 0).

- 27 -

AB là đường gấp khúc ACB trong đó



 P x y dx Q x y dy

( , )



 P x y dx Q x y dy

( , )





x 0 (



AC có phương trình

 2)

x C







ln 2.

1 A C 2

x 2



1 dx x





CB có phương trình

 2)

y 2 ( C









x 2

y 2

d y ( 2

dy 2



1 2



dy 4



 CB





arctan



ln 2

 y



1 2

y 2

1 2

  . 4



ln 2



như ở ví dụ này, người ta thường chọn

3 2

 4

Vậy

AB thành hai đường gấp khúc như trên có ưu điểm gì?

GV: Cách chia

,AC y không đổi nên

dy  . Tương tự, trên CB ta có x không đổi nên

dx  do đó tích phân trở nên đơn giản hơn.

SV: Trên

GV: Gọi một SV làm bài.

( , ),

( , )

SV:

P x y Q x y và các đạo hàm

x y 

(0, 0),



b) Vì riêng của chúng liên tục tại

 P  y

 Q  x

 P x y dx Q x y dy

( , )



mọi( , ) nên với L là đường cong kín bất kì không bao quanh gốc



tọa độ thì

( , ),

GV: Ở câu c, kết quả có giống câu b được không? Tại sao?

P x y Q x y không xác ( , )

SV: Không, vì miền giới hạn bởi L chứa điểm (0, 0) mà tại đó

định.

- 28 -

SV: Không áp dụng được công thức Green và định lí 4 mệnh đề tương đương, như vậy

chỉ còn lại cách tính trực tiếp. Viết phương trình của L. Vì L là đường tròn nên cách tốt

cos

  t

 2 )

sin

nhất là viết dưới dạng tham số.



cos

sin

cos

sin



 (

t sin )



R . cos



 2 .

 t R 2

 t R 2



   

  t dt  

Phương trình tham số của L là:   x R    y R

GV: Các bạn có nhận xét gì về kết quả trên?

SV: Kết quả tích phân không phụ thuộc vào bán kính

GV: Từ câu hỏi phần d, các bạn có thể dự đoán điều gì không? Vì sao lại đoán như vậy?

SV: Có thể TP trên đường cong kín bất kì trên miền chứa O (theo cùng chiều) đều bằng

 2 .

nhau, vì đề bài không chỉ rõ đường nào. Như vậy kết quả ở câu d có thể bằng 2 , vì theo

câu c, khi L là đường tròn tâm O bán kính R thì

GV: Đúng vậy, chúng ta có thể dự đoán kết quả bằng cách đặc biệt hóa, xét L là một đường tròn, nhưng cần phải chứng minh. Bạn có thể nêu hướng chứng minh bằng cách phân tích đi lên (hay sử dụng sơ đồ suy ngược) không?

SV: Cần chứng minh kết quả đúng với đường kín L bất kì bao quanh O  phải tìm mối liên hệ giữa TP trên L với TP trên đường tròn tâm O (đường tròn C nào đó), và cách giải có thể liên quan đến định lí bốn mệnh đề tương đương (do ta dự đoán “TP không phụ thuộc đường”)  có thể liên quan đến công thức Green và L và C  có thể liên quan đến

công thức Green trên miền đa liên có biên là L và C.

SV: Áp dụng công thức Green cho miền đa liên, ta

làm như sau:

C E

Gọi C là đường tròn tâm O bán kính r nằm trong

miền giới hạn bởi L. E là miền giới hạn bởi L và C.



  Q      x 

  0

 P    dxdy    y  



  Pdx Qdy   Pdx Qdy

- 29 -

Chiều lấy tích phân trên L ngược chiều kim đồng hồ.



 Pdx Qdy

  

 ( 2 )



 2 .



  

Chiều lấy tích phân trên C cùng chiều kim đồng hồ.

D. Củng cố

u x y ( , )

  

2 x y

GV đề nghị SV tóm tắt các nội dung cơ bản về tích phân đường loại hai.



u x y Tính tích phân đường loại hai của hàm vectơ grad ( , )

Ví dụ 7: Cho

A 

y  từ điểm ( 1, 0)

dọc theo nửa trên đường tròn

đến điểm (1, 0) (tính bằng bốn cách).

(Ở bài này, GV cho SV suy nghĩ hướng giải, tìm bốn cách, sau đó phân thành 4 nhóm, mỗi nhóm làm một cách rồi cho biết kết quả. Lời giải chi tiết và đầy đủ thì yêu cầu mỗi SV về nhà trình bày lại, sau đó nhận xét và chọn ra cách giải nhanh nhất).



x 3



y 2 , 3 xy







-1



x (3



xy dx 2 )



y ( 3



2 x dy )



 AB

Giải:  u x y grad ( , )

AB có phương trình

  1

 x



x 3



x 2

  

x 3





2 x dx 3



x 2





 1

    

   2  x 

cos

Cách 1: Cung

AB có phương trình tham số

sin

  x    y



3cos

2 t





t sin )



3 sin



cos

2 t

 t 2 cos . sin (







   

 t dt  





 ( 3 cos

. sin



2 t 2 sin . cos



2 t 3 sin . cos



cos

t dt )



cos

3 t







P x y ( , )



x 3



xy Q x y 2 , ( , )



y 3

Cách 2: Cung

2  x

Cách 3: Đặt



x 2 .

2,

- 30 -

 Q  x

 P  y

P,Q và các đạo hàm riêng của chúng liên tục trên

AB không phụ thuộc vào đường nối A,B.



2 x dx 3



2 x dx



Vậy tích phân trên

AB là đường

y  , ta có:









P Q ( ,

)

 

du Pdx Qdy



u x y Cách 4: Ta có grad ( , )

  u     x 

   u     y 

Chọn



(1, 0)

  u

( 1, 0)

    ( 1) 2.

Theo Hệ quả 1 của Định lý 4 mệnh đề tương tương ta được:

 P x y dx Q x y dy

 grad ( , )? u x y

( , ),

( , )



tính tích phân

 P x y Q x y ( , )



 AB

 P x y dx Q x y dy

( , )



u B ( )



u A ( )



 Pdx Qdy

đường GV: Em có nhận xét hay chú ý gì khi giải xong bài , trong đó



 AB

SV: Với giả thiết này thì du nên .

E. Dặn dò:

GV: Đề nghị SV đọc trước bài Tích phân mặt loại một. SV cần phải tự đặt ra một số câu hỏi, bài tập để hỏi cho từng nội dung chi tiết theo thứ tự bài học. Trong quá trình tự đọc, trước tiên SV cần đọc bao quát nhanh toàn bài, sau đó cần phải chú ý từng nội dung chính và tự đặt ra các câu hỏi, bài tập cho mỗi nội dung ấy, phải xem lại kĩ các kiến thức cũ có liên quan trong bài đọc. Ngoài các câu hỏi cho từng nội dung chi tiết, nên cố gắng đặt thêm các câu hỏi tóm tắt, phân loại, tìm mối liên hệ, sử dụng các thao tác tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh,…), sử dụng sơ đồ, nhìn nhận vấn đề theo nhiều cách (tìm nhiều cách giải cho một bài tập), phát hiện sai lầm, phán đoán, suy luận, tự rút ra kết luận, nhận xét, chú ý, tìm ví dụ, phản ví dụ, lật ngược vấn đề, …

GV: Đề nghị SV về nhà làm các bài tập sau:

Bài 1: Viết tóm tắt các kiến thức cơ bản của bài tích phân đường loại hai (trên không quá một trang giấy) rồi ghi nhớ.

 F x y ( , )



xy (

 )   y i

xy (



 ) x j

Bài 2: Bạn rút ra những nhận xét, chú ý nào khi học bài tích phân đường loại hai?

Bài 3: Tính tích phân đường loại hai của hàm véc tơ

y  theo chiều dương.

dọc theo đường tròn 2 x





- 31 -

xdy 2

ydx 2





Bài 4: Tính trong các trường hợp:

a) L không bao quanh gốc tọa độ.

2   1.

x 9

y 25



ydx 2

  ( x

3 y dy )

b) L có phương trình





2 y x ,



 và tích phân lấy theo chiều cùng chiều kim đồng hồ.

y 2

3 x

1 x

Bài 5: Tính ; L là biên của miền giới hạn bởi các đường



sin

3   y





y 3

cos

 2 x dx

 x

 x dy

 y



Bài 6: Tính với:

y  4.

x 2

a) L là đường tròn 2 x

  .



sin

3   y





y 3

cos

b) L là đường tròn 2 x

 2 x dx

 x

 x dy

 y



 AB

B 

( 2, 0).

Bài 7: Tính với:

y  từ điểm (2, 0)

B 

( 2, 0).

a) AB là nửa trên đường tròn 2 x đến điểm

y  từ điểm (2, 0)

A 

(2, 0).

AB là nửa trên đường tròn 2 x

b) AB là nửa dưới đường tròn 2 x đến điểm

y  từ điểm ( 2, 0)



xy 2





c) đến điểm

y 2



x 2 2 )

x (



x (



2 2 )

( , )

Bài 8: Cho

a) Chứng minh rằng biểu thức dưới dấu tích phân là vi phân toàn phần của hàm số u x y nào đó trong miền không chứa gốc tọa độ. Tìm hàm số ấy. Hãy dùng một cách để

u x y tìm được có đúng hay không.

(1,2).

kiểm tra lại xem hàm ( , )

x  từ điểm (0,1)A



x 2 ln

ydx



b) Tính I với L là cung đến điểm



x y



      

     

Bài 9: Cho

a) Chứng minh I không phụ thuộc dạng đường cong nằm phía trên trục hoành.

B e

( ,2).

x ln

- 32 -

 từ điểm (1,1)A

b) Tính I với L là cung đến điểm

Bài 10: Tìm công của trọng lực tác động vào chất điểm có khối lượng m (kg) khi chất điểm di chuyển từ A đến điểm B có độ cao thấp hơn h (mét) ([3], tr. 206). Bài 11: Nêu tóm tắt (có phân loại) các dạng bài tập bạn gặp ở bài tích phân mặt loại hai. * Nhận xét: Bài giảng trên đã dựa theo nguyên tắc dạy học đại học: định hướng cho SV cách học (tự đọc trước khi lên lớp), phát huy tính chủ động, tư duy độc lập của SV. Bài giảng cũng đã thực hiện được một số biện pháp mà chúng tôi cho rằng có thể phát triển tư duy phân tích cho SV. Cụ thể:

- Thao tác phân tích: Bài toán tính công.

- Dự đoán, đặc biệt hóa, tìm mối liên hệ: Ví dụ 6.

u x y ).

- Cẩn thận, kĩ lưỡng, chú ý đến các sai lầm: Ví dụ 1a, Ví dụ 7 cách 2 (SV thường sai lầm khi lấy cận của tích phân từ giá trị bé đến giá trị lớn mà không chú ý đến chiều lấy tích phân), Ví dụ 5 (kiểm tra lại hàm ( , )

- Suy ngược: Khi đưa ra công thức tính diện tích hình phẳng dựa vào TP đường; ví dụ 4 (công thức Green áp dụng với đường kín, làm sao để có đường kín? Sự suy ngược đã dẫn đến ý tưởng sáng tạo là thêm đường khi tính tích phân); ví dụ 6 (ý d).

dxdy

- Sử dụng những nhận xét để có cách giải nhanh nhất: Ví dụ 7 cách 1 (sử dụng tính



chẵn, lẻ của hàm dưới dấu tích phân), Ví dụ 3 ( bằng diện tích miền D).

- Rút ra nhận xét hoặc điều cần ghi nhớ sau khi giải bài toán: Sau ví dụ 4.

- Nhìn nhận theo nhiều hướng, tổng hợp: Ví dụ 1 (tính bằng hai cách), Ví dụ 7

(tính bằng bốn cách), Ví dụ 4 (chọn hướng phù hợp).

- Đặt và trả lời câu hỏi: Trong yêu cầu bài tập về nhà trước khi học, trong ví dụ 6. - Sử dụng sơ đồ.

- Chú ý các điểm tựa: Bài tập 1 ở phần “Bài tập khi tự học tích phân đường loại

hai”.

- Phần bài tập về nhà gồm nhiều dạng bài có dụng ý rèn luyện TDPT: Tìm hiểu rõ ràng, sâu sắc, thu thập thông tin, tóm tắt, so sánh, phân loại, ghi nhớ, tổng hợp nhiều kiến thức, sáng tạo, sử dụng sơ đồ, đặt câu hỏi, xác định hướng giải, rút ra nhận xét, mô hình hóa.

- 33 -

- Phụ lục 05

GIÁO ÁN SỐ 2: (DÀNH CHO KHỐI NGÀNH KINH TẾ)

Môn Toán cao cấp 1: Bài ĐẠO HÀM

I. MỤC TIÊU BÀI HỌC

- Về kiến thức: SV nắm được các khái niệm về đạo hàm của hàm số tại một điểm, đạo hàm một phía, đạo hàm trên một khoảng, ý nghĩa của đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm.

- Về kĩ năng: SV biết tính đạo hàm thành thạo, có thể vận dụng đạo hàm trong việc

giải một số bài toán thực tế có liên quan.

- Về tư duy, thái độ:

Rèn luyện cho SV khả năng tự học, sử dụng các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, đặc biệt hóa, phán đoán, suy luận, xác định hướng, nhìn nhận vấn đề theo nhiều hướng khác nhau, tìm hiểu vấn đề một cách rõ ràng, sâu sắc.

Rèn luyện tính cẩn thận.

II. CÔNG VIỆC CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ SV

- GV chuẩn bị máy chiếu, dự kiến sẽ sử dụng những PPDH chủ yếu là: Thuyết trình,

đàm thoại, tự học.

- GV soạn bài và dự tính:

+ Phần dành ít thời gian: SV trình bày và GV chiếu slide lướt qua (vì SV đã học ở phổ thông): Định nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, bảng đạo hàm của của các hàm số sơ cấp cơ bản, một số ví dụ đơn giản (Ví dụ 1, 2, 7).

+ Phần dành nhiều thời gian hơn: Ý nghĩa của đạo hàm (liên quan đến tốc độ biến

thiên của hàm số), điểm góc, điểm trơn, một số nhận xét SV tự rút ra sau khi giải bài tập,

bản đồ khái niệm, phương pháp suy ngược, nhìn nhận theo một số hướng, phát hiện sai

lầm và sửa chữa, sắp xếp, phân loại, chỉ ra mối liên hệ, ví dụ 3, 4, 6, 8, 9.

+ Sử dụng các biện pháp phát triển TDPT: Cho SV thực hiện các hoạt động sử

dụng sơ đồ tư duy, bản đồ khái niệm, sơ đồ phân tích đi lên, “Chiến lược Whole Part

Whole” (Biện pháp 3); Dùng bài tập mở (Biện pháp 4); Tìm mối liên hệ, liên hệ kiến thức

TCC với chuyên ngành (Biện pháp 1); Phân loại, ghi nhớ, rút ra nhận xét (Biện pháp 2); SV đặt câu hỏi khi tự học ở nhà. GV dùng kĩ thuật dạy học KWL (Biện pháp 5).

- GV gửi slide bài giảng cho SV, đề nghị SV đọc trước slide và giáo trình, tham khảo thêm các tài liệu khác. (Vì thời gian dành cho bài học không nhiều nên trong quá

- 34 -

trình học trên lớp, SV không cần ghi đầy đủ, do đã có slide in sẵn mang tới lớp. SV chỉ

cần ghi tóm tắt các ý chính và thêm những chú ý, nhận xét của bản thân. Trong slide mà

SV nhận được, toàn bộ lời giải của các ví dụ và một số nhận xét, chú ý được in ở phần sau

cùng của bài, với cỡ chữ nhỏ hơn, để hạn chế việc SV đọc trước slide mà không tự suy

nghĩ để tìm lời giải.

- SV đọc trước bài Đạo hàm và làm các bài tập đã được giao từ buổi học trước.

BÀI TẬP KHI TỰ ĐỌC BÀI ĐẠO HÀM

f x khả vi tại 0 ?x

f x ( )

1. Khi nào hàm số ( )

2 x tại

x  .

2. Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số

3. Nêu ý nghĩa hình học của đạo hàm.

4. Nêu các quy tắc tính đạo hàm.

5. Viết bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản. Với mỗi công thức, bạn hãy

cho một ví dụ.

6. Sử dụng kết hợp các quy tắc tính đạo hàm và bảng đạo hàm, bạn hãy đưa ra một

số hàm cụ thể và tính đạo hàm của các hàm số đó.

7. Khi tính đạo hàm, người ta thường dùng phương pháp logarit hai vế khi nào? Lấy

ví dụ.

8. Vẽ một sơ đồ tóm tắt các nội dung chính của bài Đạo hàm.

9. Tìm hiểu về các sơ đồ suy xuôi, suy ngược, sơ đồ khái niệm. Tìm hiểu về khái

niệm giá trị cận biên.

10. Hãy đặt ra một số câu hỏi về những vấn đề bạn cảm thấy chưa hiểu rõ khi đọc

bài Đạo hàm.

III. TIẾN TRÌNH LÊN LỚP

A. Ổn định tổ chức lớp

B. Kiểm tra việc tự học của SV

f x ( )

GV gọi hai SV lên bảng làm bài tập sau:

- Nêu bốn kí hiệu của đạo hàm của hàm số tại điểm 0.x

f x tại 0x dưới dạng giới hạn.

- Viết đạo hàm của hàm số ( )

f x khả vi tại 0x khi nào?

- Hàm số ( )

- 35 -

f x tại 0x biểu thị….tại 0.x

- Điền vào chỗ trống: Đạo hàm của ( )

C. Bài mới (2 tiết)

GV (sử dụng kĩ thuật dạy học KWL): Hôm nay, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu thêm về đạo

hàm. Đây là một phần nội dung quan trọng của phép tính vi phân, là kiến thức cốt lõi của

Toán cao cấp. Các bạn cũng đã được học về đạo hàm ở phổ thông. Bây giờ, chúng ta hãy

cùng suy nghĩ thêm về những điều mình đã biết và muốn biết.

GV: Đề nghị mỗi SV viết một phiếu dạng:

Chủ đề: Đạo hàm

Điều đã biết (K) Điều muốn biết (W) Điều đã học được (L)

- - -

- -

GV: đề nghị SV ghi vào các cột 1, 2 (những ý cơ bản) trước khi học và sẽ ghi vào cột 3 sau khi học xong bài.

GV: (Gọi một SV) Em hãy nói một số điều mình đã biết và muốn biết về đạo hàm.

SV: Dạ, định nghĩa đạo hàm là như sau: Cho hàm số...

GV: Không, em hãy nói một cách tổng thể trước khi đi vào chi tiết, hãy nhớ về “chiến lược Whole Part Whole”.

SV: Em đã biết về định nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản. Nhưng khi đọc trước slide bài giảng, em thấy còn một số chỗ chưa hiểu rõ lắm, chẳng hạn: về điểm góc, chi phí biên,…

GV: Vậy chúng ta sẽ dành nhiều thời gian hơn ở những phần đó. Các bạn sẽ trình bày

nhanh ở những phần mình đã biết.

1. Khái niệm đạo hàm

a. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

f x ( )

a b ( , ),

a b

( , ).

Định nghĩa: (SV trình bày, GV chỉnh sửa)

f x ( )



f x (

)

Giả sử là một hàm số xác định trên

lim  x x



 Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của

)

- 36 -

 x

f x 0(

y x 0(

0

x 0(

df dx

dy dx

hay hoặc hay hàm số f tại 0,x kí hiệu là

  f

f x (

   x

)

f x (

)

 Hàm số f có đạo hàm tại 0x còn được gọi là khả vi tại 0.x

   và gọi là số gia của biến,

f x (

   x

)

f x (

)

f x ( )



f x (

)



 Nếu đặt là số



 x

f x ( )



f x (

)

f x (

   x

)

f x (

)

 ( f x

)



gia của hàm thì .

lim   x 0

lim  x x



 x

Như vậy,

Nói cách khác, đạo hàm là giới hạn của tỷ số gồm số gia của hàm chia số gia của

biến khi số gia của biến tiến đến 0 .

b. Đạo hàm một phía (SV trình bày, GV chỉnh sửa)

x  thì giới hạn của

f x ( )



f x (

)

 Tương tự khi xét giới hạn và sự liên tục, khi cho

pf x 0(



f x ( )



f x (

)

f x (

   x

)

f x (

)



được gọi là đạo hàm bên phải của f tại 0,x ký hiệu

 ( f x p



lim  x

lim    x 0



 x

Vậy .

f x ( )



f x (

)

f x (

   x

)

f x (

)



 ( f x t

lim  x

lim    x 0



 x

 0

)

Đạo hàm bên trái cũng được định nghĩa tương tự:

f x 0(

 ( f x t

 f x ( p



 ( f x

)

  

)



)



GV: Có mối liên hệ nào giữa và Bạn rút ra nhận xét gì?

 Như vậy:

 ( f x t

 ( f x p

f khả vi tại 0x khi và chỉ khi f có đạo hàm bên phải (khả vi phải), có đạo hàm bên trái

)

  .

SV: Từ định nghĩa giới hạn, ta thấy

 ( f x t

 f x ( p



f x ( )



sin

(khả vi trái) tại 0x và

x   ta có: ,

2 cos

. sin

f x ( )



f x (

)

sin



sin

 2

  x





 2 x



Ví dụ 1(SV giải): Xét hàm số . Tại mọi 0

sin

f x ( )



f x (

)



- 37 -





cos



 ( f x

)



cos

 2 x



lim  x x 0

lim cos  x x 0

 2

x

f x Ví dụ 2(SV giải): Xét tính khả vi của hàm số ( )

x  0.

tại

  (0)



 

f t

lim   x 0

( ) f x x

 

f (0) 0

x   0  0 x

  

  (0) p

lim   x 0

( ) f x x

 

f (0) 0

x x

 

0 0

f x Vậy hàm số ( )

x khả vi trái tại

x  khả vi phải tại

x  nhưng không khả vi tại

(0).

x  vì 0

 (0) p

 f t

Giải:



a b

( , ).



f x ( )

c. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng



a b ( , )

Định nghĩa: Giả sử hàm số f khả vi tại mọi điểm Khi đó hàm số

a b Giá trị

)



f x ( )

phụ thuộc biến được gọi là đạo hàm của hàm số f trên khoảng ( , ).

f x tại 0.x Nói cách khác

 0( f x

 x x

của hàm số này tại 0x là đạo hàm của ( )

Chẳng hạn, hàm số sin x có đạo hàm là hàm số cosx trên  vì…

2. Ý nghĩa của đạo hàm

f x (

 

)



f x (

)



x

f x (

   x

)

f x (

)

a) Ý nghĩa hình học- Độ dốc tiếp tuyến

là độ dốc của cát tuyến đi qua hai điểm

 

f x , (

x  thì cát tuyến dần tới tiếp tuyến của đồ

x f x , (

x  ,  x )

   . Khi )

x f x , (

)



 tan .

 ) ,

 x thị tại 

 0( f x

do đó

)

- 38 -

f x ( )

x f x ( , (

)).

Vậy biểu thị độ dốc của tiếp tuyến (là hệ số góc của tiếp tuyến) của đồ thị hàm số f x 0(

f x GV: Nhìn lại hàm số ( )

x , ta thấy hàm số không khả vi tại

x  vì tiếp tuyến bên

tại điểm

x f x , (

trái và bên phải của đồ thị tại gốc tọa độ là khác nhau.

f x có tiếp tuyến tại điểm 



x f x ( , (

))

x f x , (

Người GV: Nếu f khả vi tại 0x thì đồ thị hàm số ( )



ta nói điểm là “điểm nhọn” hay điểm “bẻ góc” là “điểm trơn”. Nếu 

f x thì f không khả vi tại 0.x

x x x dễ thấy f không khả vi tại những điểm

, Chẳng hạn, trên đồ thị sau, xét các điểm 1 y nào?



f x ( )

trên đồ thị hàm số ( )

;

x O

x x 2,

f không khả vi tại 3.x

SV: f khả vi tại 1

GV: Mỗi khi học kiến thức mới, chúng ta cần liên hệ với những kiến thức đã biết. Hãy liên

hệ giữa hàm số khả vi và hàm số liên tục, các bạn có nhận xét gì?

SV: Nếu f khả vi tại 0x thì f liên tục tại 0.x

f vẫn có thể không khả vi tại 0.x

Khi f liên tục tại 0,x

GV: Đúng vậy, bạn có thể giải thích ngắn gọn không?

- 39 -

f x ( )



f x (

)



 ( f x

)





)



 ( f x

x ).(





f x (

)

 )  

lim  x x

lim ( ) f x  x

 lim ( f x    x x



f liên tục tại 0.x

SV: + Nếu f khả vi tại 0x thì

0x nhưng không khả vi tại

0.x Chẳng

f x hạn, ( )

x liên tục tại

x  nhưng không khả vi tại

x  Hình vẽ về các điểm trơn

+ Có thể chỉ ra một số hàm liên tục tại

và điểm bẻ góc ở trên cũng cho thấy hàm số liên tục tại 3x nhưng không khả vi tại 3.x

b) Tốc độ biến thiên của hàm số

f x (

   x

)

f x (

)

f x ( )

GV: Gọi SV điền vào hai chỗ trống sau:

f x trong



 

y x



  x

Cho hàm số . Khi đó là … của hàm số ( )

 0,x x   0

  . Vì vậy giới hạn 

f x (

   x

)

f x (

)

 ( f x

)



lim   x



khoảng

f x tại 0.x

là …của hàm số ( )

(SV điền lần lượt là: tốc độ biến thiên trung bình, tốc độ biến thiên (tức thời) và giải thích).

f x tại 0x biểu thị tốc độ biến thiên của hàm số tại 0.x

Đạo hàm của hàm số ( )

 Trường hợp ( )s t là đại lượng đo khoảng cách của chuyển động thẳng từ điểm gốc đến

s t (

   t

)

s t ( ) 0

Chú ý:



 s  t



s t (

   t

)

s t ( ) 0

vị trí tại thời điểm t thì là vận tốc trung bình của chuyển động



 ( ) s t 0

 0,t t   0

  t  . Khi đó 

lim   t 0



trong khoảng thời gian là …(SV trả

)

 Các nhà kinh tế còn gọi

. lời: là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm 0)t

y x 0(

0.x Chẳng hạn, nếu

C C q ( )

)

là giá trị y-cận biên của x tại

C q 0(

là hàm chi phí ứng với biến sản lượng q thì được gọi là chi phí cận biên

)

- 40 -

C q 0(

cho biết xấp xỉ lượng chi phí tăng lên khi sản xuất (của sản lượng) tại điểm 0.q

thêm 1 đơn vị sản phẩm (tại mức sản lượng 0)q .

f x ( )

Ví dụ 3: Một nhà máy sản xuất các tấm vải với chiều rộng cố định. Chi phí sản xuất x

mét vải là nghìn đồng.

f x ( )

a) Ý nghĩa của đạo hàm là gì? Đơn vị tính của nó là gì?

f 

(1000)



150

b) Thực tế, có nghĩa là gì?

Giải

a) (SV làm bài, GV có thể gợi ý, chỉnh sửa)

f x ( )

biểu thị tốc độ biến thiên của chi phí tại x (khi sản xuất được x mét vải).

f x

( ),

f x ( )

  f

f x (

   x

)

f x ( )

  f x ( )

Muốn xác định đơn vị của cần biết được tính như thế nào.

lim   x 0

 f  x

f x ( )

x được đo bằng mét, nên đơn vị tính của

Vì và được đo bằng “nghìn đồng”,

là…: (SV trả lời: nghìn đồng/mét).

GV: Bạn có nhận xét gì về đơn vị tính trên?

SV: Đơn vị tính trên có vẻ hơi khác so với nhiều đơn vị đo khác. Nhưng em thấy có vẻ tương tự như kiểu của đơn vị đo vận tốc (km/h).

x 

1000

b) GV đề nghị SV điền vào chỗ trống:

f 

(1000)



150

có nghĩa là…, như vậy tại thì…khi…, nghĩa là tại mức

sản xuất 1000 mét vải, số gia của chi phí (tính theo nghìn đồng) xấp xỉ bằng… lần số gia của vải (tính theo mét) khi số gia của vải có giá trị tuyệt đối rất bé. Nếu sản xuất thêm 1 mét vải nữa (coi việc tăng 1 mét vải là ít) thì chi phí sẽ…

(1000

(1000)



150;



150

(SV điền vào bốn chỗ trống ở trên, lần lượt là:

x rất bé; tăng thêm khoảng 150

lim   x 0

   x )  x

 f  x

;

nghìn đồng).

GV: Giới thiệu cho SV bản đồ khái niệm ở phần khái niệm đạo hàm, giải thích rằng bản

đồ khái niệm thể hiện mối liên hệ giữa các khái niệm, có thể giúp phân tích khái niệm. Khi

lập bản đồ khái niệm, SV nên cố gắng tìm mối liên hệ giữa các khái niệm, viết vắn tắt và chia nhỏ ý (Dùng hình vẽ 2.1).

3. Các quy tắc tính đạo hàm

- 41 -

GV: Khi học về hàm số liên tục, chúng ta đã biết tổng hai hàm liên tục là hàm liên tục.

Vậy đối với hàm khả vi, có tính chất tương tự không? Tổng hai hàm khả vi có là hàm khả

vi không? Nếu có thì công thức nào chỉ ra mối liên hệ giữa chúng? Và còn những tính chất

tương tự nào nữa không?

SV: Điều đó được trình bày trong quy tắc tính đạo hàm.

GV: Quy tắc tính đạo hàm gồm các ý chính nào?

SV: Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, đạo hàm của hàm hợp, đạo hàm của hàm

ngược.

 . ...

Định lí: Giả sử các hàm số sau có đạo hàm, khi đó:

U V  





 

U V   . Đặc biệt  ...

.

 



...

, trong đó k là một hằng số.  

kV 2

 U     V

      

 k     V

        



  ( ). ( ) y u u x

 . Đặc biệt , trong đó k là một hằng số.

  y u x ( ( ))

  ( ) y x

.  Đạo hàm hàm hợp: 

1  ( ) x y



arcsin

 Đạo hàm hàm ngược:

 trên ( 1,1).

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số



arcsin



y sin .

GV: Đề nghị SV giải, trước tiên nêu hướng suy nghĩ giải.

,y ta cần dựa trên công thức đạo hàm của hàm sin và quy tắc tính đạo hàm của hàm số

  ( ) y x

SV: Hàm là hàm ngược của hàm Như vậy, để tính đạo hàm của

1  ( ) x y

ngược: .



arcsin



sin

Giải:

x  

( 1,1)

Hàm số có hàm số ngược là hàm số

  , 2 2

     

    

  ( ) x y

cos



cos



2 cos

 

y 1 sin .

Với thì

 ( ) y x



 (arcsin ) x



;

 

( 1,1).

- 42 -



2 sin



Vậy

4. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

GV: Gọi một SV đọc các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản.

(Dự đoán: Hầu hết SV được gọi sẽ đọc theo thứ tự lộn xộn, nghĩ ra công thức nào thì đọc

và do đó còn bỏ sót).

GV: Để dễ nhớ các công thức và không bị bỏ sót trường hợp, chúng ta hãy phân loại hàm

  0 .

số thành các nhóm, có xét thêm một số trường hợp đặc biệt hay dùng.





  

  1. x

+ Nhóm 1: Hàm hằng:



  

+ Nhóm 2: Hàm lũy thừa:

1 2

1 x

    ; y



  

a ln .

Đặc biệt:



x e

  

ax e

+ Nhóm 3: Hàm mũ:

   ; y



   y

Đặc biệt:

log a

1 ln



+ Nhóm 4: Hàm logarit:

   .

1 x

Đặc biệt:





sin

   y

x cos

+ Nhóm 5: Các hàm lượng giác



sin(

  

)

cos(

 . ) b





cos

   

sin

;



cos(

    a y

)

sin(

 . ) b



tan

   y

  1

tan

1 2

cos



cot

   

   (1

2 cot

1 2

sin

;



arcsin

   y



arc cos

   

+ Nhóm 6: Các hàm lượng giác ngược (chưa quen thuộc)



;



arctan

   y



x arccot

   

- 43 -



;

GV: Chúng ta có thể kết hợp sử dụng sơ đồ (chẳng hạn sơ đồ cây) khi phân loại như trên.

u a

y    ...



arctan

y

  ...

u x ( )

GV: Dựa vào bảng đạo hàm trên và công thức đạo hàm của hàm số hợp, ta có nhận xét:

( là hàm số khả vi).

SV: Điền đúng vào những chỗ chấm ở trên.

Chú ý:

 Quy tắc đạo hàm hàm hợp có thể mở rộng cho hợp nhiều hàm. Áp dụng liên tiếp

ln tan

x 3

công thức đạo hàm hàm hợp bằng cách lấy đạo hàm từ ngoài vào trong.





  

 5 .  

x 6

 





Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số

x 2 3



tan

x 3

2 cos

x 3



 

  

  

  

  

x 6  5 sin 2 3 x  

  

 Tính đạo hàm bằng cách lấy loga.

)

u x

( )v x ( )

GV: Trong một số trường hợp, trước khi tính đạo hàm, ta lấy logarit hai vế. Chẳng hạn:

u x ( ( )

  , bạn tìm đạo hàm thế nào?







   y

v (



y ).

Xét hàm số

 y   y

u u



x 2 ln . x

x

SV: Ta có ln





2 ln



x 2 .

   y

2(ln



1)2 .x 2

Chẳng hạn, xét : Lấy logarit cơ số e ở hai vế, ta có ln

y y

1 x

Đạo hàm hai vế:

GV: Người ta còn dùng cách lấy logarit hai vế trong trường hợp nào nữa không?



u x v ( ),



v x w ( ),



w x ( )



u v w  

SV: Trong một số trường hợp khi hàm số là tích của nhiều hàm số khác. Chẳng hạn, khi

,     và













( là các hàm số dương). Ta có:















   y









- 44 -

u u

v v

w w

u u

v v

     

  w    w 

. y y

GV: Khi học ở nhà, các bạn có suy nghĩ xem ý tưởng nào dẫn đến cách tính đạo hàm bằng

phương pháp lấy logarit hai vế như trên không? D. Củng cố





GV: Đề nghị SV nói tóm tắt về các nội dung cơ bản đã học.

lim  x 0

10 ) x x

f x 0, .

Ví dụ 6: Tìm giới hạn

Giới hạn trên là đạo hàm của hàm số f tại một điểm 0.x Hãy tìm





(0)

f x ( )

  (1

10 ) .



lim  x 0

10 ) x x

( ) f x x

 

f 0

Giải: (SV làm)

f x ( )

  (1

10 )

trong đó ,

x 

Vậy giới hạn trên là đạo hàm của hàm số tại 0

GV: Bạn có thể đưa ra kết quả nào khác nữa không?

 

SV: Có thể đưa ra kết quả tổng quát hơn?  Xét đạo hàm tại điểm a ?





 Phải làm xuất hiện giới hạn hàm số tại a  Đổi biến: Đặt x



lim  a h

lim  a x

lim  x 0

10 ) x x

10 a   h )  h a

10 a   x )  x a



Ta có:



lim  a x

10 a   x )  x a

( ) f x x

 

f a ( ) a

f x ( )

  

10 ) .

 Cho

 Chọn

f x ( )

  

10 )

 tại một

Vậy giới hạn trên cũng là đạo hàm của hàm số

a nào đó (c là hằng số).

điểm x





f x ( )

  (1

10 ) .

GV: Các bạn có rút ra nhận xét gì từ kết quả bài toán này không?

 f

(0)

lim  x 0

10 ) x x





  ( ) f x

10(1

SV: trong đó

9  nên )

f   (0)

10.



10.

lim  x 0

10 x ) x

Vì Vậy

Như vậy, trong nhiều trường hợp, chúng ta có thêm một cách tính giới hạn bằng

- 45 -

cách dựa vào đạo hàm của hàm số.

GV: Đúng vậy, vì đạo hàm được định nghĩa thông qua giới hạn, nên nhìn ngược lại, chúng

ta thấy có thể tính một số giới hạn dựa vào đạo hàm. Cách suy nghĩ này cần được vận

dụng trong nhiều tình huống khác. Chẳng hạn, khi học tiếp, các bạn sẽ thấy ta có thể tìm

được giới hạn của một số dãy số dựa trên việc tính tích phân xác định.

f x Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số ( )

x bằng hai cách.

f x ( )

  x



 ( ) f x



x .2

x  x



SV: Cách 1:

f 

(0)

1 khi



 1 khi     ( ) f x  

f x ( )

Vậy . Không tồn tại .

khi khi

x x

 

0 0

x x

 

0 0

 x    x 

 1 khi     ( ) f x  1 khi 

SV: Cách 2: . Vậy

x  , hàm số không khả vi (vì đạo hàm trái của hàm số tại 0 khác đạo hàm

Tại

phải của hàm số tại 0).

f x ( )





 ( ) f x



GV: Rất nhiều bạn đã làm như sau:

khi khi

x x

 

0 0

x x

 

0 0

  x     x  

  1 khi     1 khi  

f x  trên khoảng mở

Điều này sai ở chỗ nào?

 trên khoảng mở ấy, và khi đó mới có thể cho rằng

f x ( )

f 

(0)

 (1)

 0.

sin

khi



f x ( )

;



SV: Vì hàm số ở bên trái 0x và bên phải 0x được cho bằng các biểu thức khác nhau nên muốn xét đạo hàm của f tại 0,x ta phải dùng định nghĩa. Nếu ( ) nào đó chứa điểm 0 thì 0

*  .

1 x

khi



 nx    0 

 1



Ví dụ 8: Tính đạo hàm của hàm số

x 

 ( ) f x



. sin



.cos



. sin



.cos

 1 2

1 x

Giải: Với

sin

(0)

 1

1 x

- 46 -

x  , xét 0



. sin .

lim  x 0

( ) f x x

 

f 0

1 x

 1

. sin

  0

 (0)

Tại

n  thì 1

 0.

lim  x 0

1 x

 1

. sin



Nếu

n  thì 1

f 

(0).

lim  x 0

lim sin  x 0

1 x

Nếu không tồn tại, do đó không tồn tại

f 

(0)

 (0)

 Như vậy sai ở chỗ nào?

GV: Trong bài này, nhiều bạn cho rằng

f x  trên cả một khoảng

SV: Sai gần tương tự ở ví dụ trên. Chỉ viết được như vậy nếu ( )

mở chứa 0.

GV: Đúng vậy, từ hai ví dụ trên, các bạn rút ra chú ý gì?

GV: Chúng ta áp dụng bảng đạo hàm đối với các hàm số sơ cấp khả vi trong một khoảng mở, vì vậy phải dùng định nghĩa để tính đạo hàm của f tại 0x trong các trường hợp sau:

+ Ở bên trái 0x và bên phải 0,x hàm số cho bằng các biểu thức khác nhau.

+ Tại 0,x hàm số cho bởi một giá trị không dựa theo quy tắc hàm số ở bên trái 0x

và bên phải 0.x

3 3 x

 Hãy kiểm tra lại xem bạn tính có đúng không?



3 3 x

Ví dụ 9: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số ngược, tính đạo hàm của hàm số

 có hàm số ngược là

  ( ) x y

 3

  ( ) y x



Giải: Ta có

1 2

1  x y ( )

x (3



2 5)

1 3

2 3



Vậy



x (3

  

x (3



 5)



1 3

x (3



2 5)

Kiểm tra lại bằng cách khác:

GV: Đề nghị SV viết sơ lược một số ý về “điều đã học được” vào phiếu (khi học ở nhà,

SV cần suy nghĩ thêm và ghi đầy đủ hơn).

GV hỏi một SV về điều đã học được.

- 47 -

SV: Em đã học được một số điều: Cách xét tính khả vi của hàm số dựa trên việc xem xét

điểm nhọn trên đồ thị; Ý nghĩa đạo hàm (thể hiện tốc độ biến thiên của hàm số); Cách tìm

đơn vị đo đạo hàm; Có thể tìm giới hạn dựa vào đạo hàm; Khi học bài mới có thể phán

x 

f x thì cũng không suy ra f khả vi tại 0.x Chẳng hạn, xét hàm số ( )

x và 0

phát hiện ra rằng: Nếu f liên tục tại 0x thì f đoán một số tính chất dựa trên so sánh tương tự ở bài học cũ. Từ việc so sánh như vậy, em liên tục tại 0,x nhưng nếu f khả vi tại 0x

E.Dặn dò:

- GV: Đề nghị SV đọc trước bài Vi phân. GV gợi ý SV cần phải tự đặt ra một số câu để

hỏi và trả lời cho từng nội dung chi tiết theo thứ tự bài học. Trong quá trình tự đọc, trước

tiên SV cần đọc bao quát nhanh toàn bài, sau đó phải chú ý từng nội dung chính và tự đặt

ra các câu hỏi, bài tập cho mỗi nội dung ấy, phải xem lại kĩ các kiến thức cũ có liên quan trong bài đọc. Ngoài các câu hỏi cho từng nội dung chi tiết, nên cố gắng đặt thêm các câu hỏi tóm tắt, phân loại, tìm mối liên hệ, liên hệ với thực tế hoặc chuyên ngành, nhìn nhận vấn đề theo nhiều hướng (tìm nhiều cách giải cho một bài tập), phát hiện sai lầm, tự rút ra nhận xét, chú ý, tìm ví dụ, phản ví dụ, lật ngược vấn đề,…Khi đọc xong, có thể sử dụng sơ đồ tóm tắt các nội dung chính, sau đó ghi nhớ.

- GV đề nghị SV về nhà làm các bài tập sau:

  ( x

x 1)(



2)...(

x n

Bài 1: Viết tóm tắt các kiến thức cơ bản của bài Đạo hàm (trên không quá một trang giấy) rồi ghi nhớ.

f x Bài 2: Cho ( )

 Tính ).

f 

(3).

f x ( )

x 2

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

 3

f x ( )

x

1 .x 6

F x ( )



f x f x f x ( (

( ))).

(1)F 

(1)



f 2, (2)



f 5, (5)



30,

f 

(1)



 (2)



 (5)



11.

Bài 4: Cho Tính biết

 f x (

)

(Sử dụng sơ đồ suy xuôi, suy ngược khi giải).

f x biết

1  . x

Bài 5: Khi giải bài toán: Tìm ( )

Bạn Hải Bình đã làm như sau:

- 48 -

 ( ) f x



 ( f x

x ).(

 )



x .2

  2

f x ( )

  ”. x C 2

1 x

“Theo định lí về đạo hàm của hàm hợp, ta có:

Hải Bình đã làm sai vì sao? Hãy giải thích.

Bài 6: Những phát biểu sau là đúng hay sai? Tại sao?

Hàm số không liên tục tại 0x thì không khả vi tại 0.x



x 4

 ln 1

2

khi



f x ( )

Hàm số khả vi tại 0x thì bị chặn trong lân cận nào đó của 0.x

khi



     A 

Bài 7: Cho

x  Khi đó, hãy tính

f 

(0).

f x

( ),

Tìm A để f khả vi tại

Bài 8: Cho hàm số hãy sắp xếp các con số sau theo thứ tự tăng dần và giải

  ( 2)

  ( 1)

 (2)

 (4)



f x ( )

-2

-1

thích lập luận của bạn.

Q f p

( ).

Bài 9: Số lượng (tính bằng pound) của cà phê xay đặc biệt được bán bởi một công ty cà

phê với giá p đô la/pound là

f 

(8)

a) Ý nghĩa của là gì? Đơn vị tính của nó là gì?

f 

(8)

b) là dương hay âm? Hãy giải thích.

Bài 10: Nêu tóm tắt (có phân loại) các dạng bài tập ở bài “Đạo hàm” (trong quyển bài

giảng Toán cao cấp 1) sau đó giải một số bài tập mà bạn cho là cần thiết ở mỗi dạng đó.

- 49 -

Bổ sung: THAM KHẢO VỀ SƠ ĐỒ SUY XUÔI, SUY NGƯỢC

Khi tìm cách chứng minh (hoặc bác bỏ) một mệnh đề B, người ta có thể dùng các

dạng sơ đồ suy xuôi, suy ngược như sau:

    

...

 

A A 0

A 2

A 1

A n

 1

A n

* Suy xuôi:

Bắt đầu từ A (A là một định nghĩa, tiên đề hay mệnh đề đúng nào đó đã biết), sau

một số bước suy luận, ta chứng minh được mệnh đề B.

Dạng sơ đồ này thường được dùng khi trình bày lời giải bài toán.

B C

    

...

A .

 

 1

* Suy ngược lùi:

Bắt đầu từ điều cần phải chứng minh: Muốn chứng minh B ta cần chứng minh

A )

1C cần chứng minh

2,C …, khi mệnh đề cần chứng minh ( nC

, muốn chứng minh

là mệnh đề đúng đã biết thì dừng lại.

Sơ đồ này thường được dùng trong cách suy nghĩ để tìm lời giải bài toán. Sau khi đã

 A C



...

     C

 1

phân tích như trên, người ta trình bày ngược lại theo sơ đồ suy xuôi:

    

...

B P 0

P 2

P 1

P n

 1

P n

 

*Suy ngược tiến:

Sơ đồ này thường được dùng khi suy nghĩ để tìm đoán cách chứng minh mệnh đề

B hoặc bác bỏ mệnh đề B.

Bắt đầu từ mệnh đề cần chứng minh B, sau một số bước suy luận, ta có mệnh đề

...

  P n

P n

 1

     P 1

P 0

P 2

Nếu C là mệnh đề đúng thì ta sẽ kiểm tra lại sơ đồ

Khi dãy suy luận này đúng thì đó chính là một trong những cách để chứng minh

mệnh đề B.

Nếu C là mệnh đề sai thì chứng tỏ B sai (bác bỏ mệnh đề B).

Như vậy, việc sử dụng các sơ đồ suy xuôi, suy ngược giúp tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố (mệnh đề,…), giúp chia một quá trình suy nghĩ thành nhiều bước nhỏ, rõ ràng,

- 50 -

hỗ trợ cho việc phán đoán, suy luận được sâu sắc hơn.

Ví dụ: Cho f là hàm số chẵn và khả vi trên X. Chứng minh rằng f  là hàm số lẻ trên X

(bằng hai cách).

Cách 1: Dùng định nghĩa:

Phân tích: (Suy ngược lùi)



    ( )

 ( f x

)

f  lẻ

f x ( )

  x f (

)

f x ( )



f x (

)



 

lim  x

  x (

)



lim  x x 0

   ( x

(

)

f x ( )



f x (

)



 

   x

(

)



lim  x t 0

lim  x x 0

f t ( )



f x (

)

f x ( )



f x (

)



 

  ( t

0 )



lim  x t 0

lim  x x 0

f x ( )



f x (

)

f x ( )



f x (

)



 

Ta cần chứng minh f  là hàm số lẻ.

  ( x

0 )



lim  x x 0

(đúng, dừng lại).

f x ( )

  ( x f

)

Từ cách suy nghĩ trên, có thể trình bày cách giải 1 (suy xuôi) như sau:

   ( x 0

lim  x

  ( x

)

   ( x

)

(

)

f t ( )



f x (

)



Ta có

x có: ,

   ( x 0

   x

(

)

  ( t

0 )

lim  x t 0

f x ( )



f x (

)

    (

)

 

 ( f x

) (

Đặt

  x 0

  ( x

0 )

lim  x x 0

Vậy f  là hàm số lẻ.

f u ( )



f x u ( ),

Cách 2: Dùng công thức đạo hàm của hàm hợp:

  Vì f chẵn nên



 ( ) f x



 ( ) y x



  ( ). ( ) f u u x

   x f

 (

) (

 

x X

Đặt

Vậy f  là hàm số lẻ.

* Đối với nhiều dạng bài toán khác (không phải là chứng minh), người ta cũng áp

dụng cách suy nghĩ tương tự như ở sơ đồ suy ngược lùi: Muốn tìm A thì phải tìm B, muốn

- 51 -

tìm B thì phải tìm C,…Sau khi đã phân tích như vậy, đảo ngược lại quá trình suy nghĩ,

tính C rồi suy ra B, cuối cùng suy ra A.

* Nhận xét: Bài giảng trên đã dựa theo nguyên tắc dạy học đại học: định hướng

cho SV cách học (tự đọc trước khi lên lớp), phát huy tính chủ động, tư duy độc lập của

SV. Bài giảng cũng đã thực hiện được một số biện pháp mà chúng tôi cho rằng có thể phát

triển tư duy phân tích cho SV. Cụ thể:

-Chú ý đến các sai lầm: Ví dụ 7, Ví dụ 8

- Suy ngược: Ví dụ 6

- Nhận xét: Ví dụ 6, 7, 8

- Nhìn nhận theo một số hướng: Ví dụ 6,7,9.

- Đặt và trả lời câu hỏi: Trong yêu cầu bài tập về nhà.

- Hiểu rõ ý nghĩa của đạo hàm và vận dụng trong bài toán thuộc lĩnh vực chuyên

ngành: Ví dụ 3.

- Sử dụng sơ đồ: Sơ đồ khái niệm ở phần khái niệm đạo hàm.

Ngoài ra, phần trình bày của GV cũng thể hiện việc nhắc nhở SV tìm mối liên hệ giữa các nội dung kiến thức, rút ra những nhận xét, nói tóm tắt ngắn gọn, phân loại, so sánh.

Phần bài tập về nhà gồm các dạng bài có dụng ý rèn luyện tư duy phân tích: Hiểu bản chất, hạn chế sai lầm, phân tích đi lên, nhìn nhận theo một số hướng, so sánh, ước lượng, tóm tắt, ghi nhớ,…

- 52 -

Phụ lục 06

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM BÀI KIỂM TRA (LỚP TN2, ĐC2)

(D18QT1,2,3,4)





sin



Câu 1 (2 điểm):

 4

 3 4

2 2

                

     

     

     



 x

(0,5đ) (ý 1)

 2

],  bị chặn trên [- ,

0  (0,5đ) (ý 2)

 



, 0,



f không khả vi tại các điểm

b) Nhận xét: f chẵn trên [- , ]  (0,2 đ) (ý 3) f liên tục trên [- , ].  (0,15 đ) (ý 4)

  (- , )\ 0 .

f tăng trên các khoảng

 2

     ,  

   

  , 0,  

   



f giảm trên các khoảng

và khả vi trên (0,2 đ) (ý 5)

 2

    

  , 0 ,  

   

   



(0,15 đ) (ý 6)

x  0.

  , 2 2

f đạt giá trị cực đại là 1 tại các điểm đạt giá trị cực tiểu là 0 tại





, 0,

 .

(0,15 đ) (ý 7)

  , 2 2

f đạt giá trị GTLN là 1 tại các điểm đạt GTNN là 0 tại các điểm

(0,15 đ) (ý 8)

Câu 2 (2 điểm):

- 53 -

f p tương ứng với biến p, tức là tốc

f p ( )

cho biết tốc độ biến thiên của hàm số ( ) a)

độ biến thiên của lượng tinh bột nghệ bán được trong ba tháng tương ứng với mức giá p.

p (nghìn đồng) (

p bé) thì lượng tinh bột nghệ

Tại mức giá p, nếu tăng giá thêm

p  là rất bé

  f

 ( ). f p

 (kg). Đặc biệt, khi coi

bán được trong ba tháng sẽ tăng

f p ( )

thì có thể kết luận rằng: Nếu tăng giá tinh bột nghệ lên 1 nghìn đồng thì lượng tinh bột   có thể dương hoặc nghệ bán được trong 3 tháng sẽ tăng thêm khoảng (kg). (

âm).

(0,5 đ) (ý 9)

  ( ) f p

lim   p

 

Q p

Có

p là nghìn đồng nên đơn vị đo của

Vì đơn vị đo của Q là kg và đơn vị đo của

f p ( )

là: kg/ nghìn đồng. (0,5 đ) (ý 10)

f 

(500)



5000

b) Với thì có thể cho rằng nếu tăng giá tinh bột nghệ từ 500 nghìn

đồng/1kg lên 501 nghìn đồng/1kg thì lượng tinh bột nghệ bán được trong 3 tháng sẽ tăng thêm khoảng 5 tấn.

f 

(500)

  thì có thể cho rằng nếu tăng giá tinh bột nghệ từ 500 nghìn

Với

đồng/1kg lên 501 nghìn đồng/1kg thì lượng tinh bột nghệ bán được trong 3 tháng sẽ giảm

đi khoảng 50 kg.

f 

(500)

 

5000

Với thì có thể cho rằng nếu tăng giá tinh bột nghệ từ 500 nghìn

đồng/1kg lên 501 nghìn đồng/1kg thì lượng tinh bột nghệ bán được trong 3 tháng sẽ giảm đi khoảng 5 tấn. (0,5 đ) (ý 11)

f 

(500)



5000

Kết quả có vẻ không hợp lí vì thông thường khi giá tăng lên (và

không bị ảnh hưởng bởi các yếu tố tác động khác) thì lượng sản phẩm bán được sẽ giảm

đi.

f 

(500)

 

5000

Kết quả cũng có vẻ không hợp lí vì tăng mức giá thêm 1 nghìn

đồng/1kg chỉ là tăng nhẹ, nhưng số lượng sản phẩm bán được đã giảm đi quá nhiều.

f 

(500)

  có vẻ hợp lí nhất, vì khi tăng giá lên thì lượng sản phẩm

Kết quả

bán được có thể giảm đi, nhưng với mức giá tăng nhẹ thì lượng sản phẩm bán được không giảm quá nhiều. (0,5 đ) (ý 12)

Câu 3 (3 điểm):



x (



a ).



ax x .2

a x





ax 2



  ( ) f x



x (



2 2 )

x (



2 2 )

 a b x (



2 2 )

- 54 -

(0,5 đ) (ý 13)

x 

f x ( )

  

b (*) (

(0)

Dễ thấy xác định tại

 (0,5 đ) (ý 14)

ab 4

1 f   ta có: 3

1 3

b 3

Với điều kiện

x  thì trước hết

x  phải là điểm dừng của hàm số,

   (3)

Để f đạt cực đại tại

     (Vì b

b  nên theo (*) thì

a  .

 a b

 9

nghĩa là



(0,5 đ) (ý 15)

b   thì 3

  3

f x ( )



 f x ( )



x 3 2



 3 9 x (



2 2 9)

 ( ) f x

    x

Với



3



x ( )





f x ( )

1 2

1  2

(0,5đ) (ý 16)

(0)

b 3,

(0,5đ) (ý 17)

  thì hàm số đạt cực đại tại

x  và 3

f   Giá trị cực .

1 3

Vậy với

f  (0,5 đ) (ý 18) (3)

1 2

đại của hàm số khi đó là

Câu 4 (3 điểm): Một số câu hỏi có thể là:

f x tại 0x được viết như thế nào?

1. Bốn kí hiệu của đạo hàm của hàm số ( )

(0,25 đ) (ý 19)

)

- 55 -

f x 0(

2. Đạo hàm được viết dưới dạng giới hạn như thế nào? (0,25 đ) (ý 20)

(0,25 đ) (ý 21) 3. Khi nào hàm số được gọi là khả vi tại 0 ?x

0x được viết dưới dạng giới hạn như thế

)

4. Đạo hàm trái, đạo hàm phải của f tại

f x 0(

như thế nào? nào? Đạo hàm trái, đạo hàm phải của f tại 0x có liên quan đến

(0,25 đ) (ý 22)

5. Nếu f khả vi tại 0x thì f có liên tục tại 0x hay không? Tại sao?

(0,25 đ) (ý 23)

6. Nếu f liên tục tại 0x thì f có khả vi tại 0x hay không? Tại sao?

(0,25 đ) (ý 24)

7. Ý nghĩa hình học của đạo hàm là gì? (0,25 đ)(ý 25)

f x thì có biết được hàm số f khả vi tại 0x hay không? (0,25 đ) (ý 26)

)

8. Nếu chỉ nhìn đồ thị của hàm số ( )

f x tại 0 ?x

f x 0(

9. Tại sao nói biểu thị tốc độ biến thiên của hàm số ( )

)

(0,25 đ) (ý 27)

f x 0(

10. có liên quan đến khái niệm nào thường dùng trong kinh tế hay không?

(0,25đ) (ý 28)

11. Nếu f khả vi tại 0x thì f có bị chặn trong lân cận nào đó của 0x hay không?

  f

f x (

   x

)

f x (

)



 ( f x

(0,25đ) (ý 29)

 khi

x

( )

12. Từ khái niệm đạo hàm, ta thấy

f x  với mọi x thuộc khoảng X thì

f cùng dấu

.x

( )

rất bé. Như vậy, nếu

f x  với mọi x thuộc khoảng X thì f tăng trên

Từ đây, có thể cho rằng nếu

,X do đó f tăng trên X hay không?

bất kì khoảng nhỏ nào trong

(0,25đ) (ý 30)

 Ở bài 4, các câu hỏi từ 9 đến 12 thể hiện sự suy luận, lí giải, liên hệ với thực tế, đưa ra phán đoán về một vấn đề có thể sẽ được nghiên cứu tiếp (câu 12). Vì vậy, những

câu hỏi này được đánh giá cao hơn. Các câu hỏi còn lại chỉ là các câu hỏi chia nhỏ vấn

- 56 -

đề hoặc có thể trả lời bằng những thông tin đã có trong sách do đó sẽ được đánh giá thấp

hơn.

 SV có thể đặt ra các câu hỏi khác, khi đó GV có thể chấm điểm dựa theo tiêu chí

tương tự như ở thang điểm trên.

Nhận xét: Với thang điểm trên, ta thấy các ý trong lời giải thể hiện những yếu tố của tư

duy phân tích là:

x sin

f x Cần cẩn thận để tránh mắc sai lầm khi coi ( )

+ Ý 1 (0,5 đ), ý 2 (0,5 đ): SV phải hiểu rõ về hàm số, hàm số tuần hoàn, hàm sin.

là hàm lượng giác như vẫn

.

thường xét trên

+ Ý 3: (0,2 đ) Cần suy luận rõ ràng, cẩn thận. Nếu không suy nghĩ kĩ, SV sẽ cho f x là hàm lẻ. rằng ( )

+ Ý 5 (0,2 đ): Biết sử dụng đồ thị để xét tính khả vi của hàm số.

+ Ý 9 (0,5 đ), ý 10 (0,5 đ): Hiểu rõ ý nghĩa của khái niệm đạo hàm.

+ Ý 11 (0,5 đ), ý 12 (0,5 đ): Giải thích, liên hệ thực tế, phán đoán, lựa chọn.

+ Ý 27 (0,25 đ): Đặt câu hỏi, Giải thích, tìm mối liên hệ.

+ Ý 28 (0,25 đ): Đặt câu hỏi, tìm mối liên hệ.

+ Ý 29 (0,25 đ): Đặt câu hỏi, suy luận, tìm mối liên hệ.

+ Ý 30 (0,25 đ): Đặt câu hỏi, phán đoán, suy luận.

Ngoài ra, nhiều ý khác cũng đòi hỏi SV phải suy luận, phân chia trường hợp

(chẳng hạn ở câu 3). Như vậy, để đạt được điểm 6, SV cần có TDPT khá tốt.

- 57 -

Phụ lục 07

HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ VÍ DỤ TRONG LUẬN ÁN

Ví dụ 2.12:

a) * Tóm tắt ý tưởng lời giải

f t , khoảng cách từ bệ

h t

- Đặt khoảng cách từ máy quay truyền hình đến tên lửa là ( )

h t 

3000

phóng đến tên lửa là ( ).

t ( )

h t  ( )

600

h t

t ( )



2 4000



2 h t ( )

- Cần tìm khi ( ) ft và ft.

f t và ( ) :

- Tìm hệ thức liên hệ giữa ( ) 2 f

h t h t ( )

f t

t ( ).

- Lấy đạo hàm hai vế và thay các giá trị ( ), ta tìm được ( ),

* Làm tương tự với góc nâng camera ( ).t

 ( ) t



360(ft/s),

 ( ) t



0, 096(rad/s).

* Cần chỉnh sửa lại đơn vị đo đạo hàm:

Tại thời điểm đó,

b) Nhận xét:

- Bài toán cần tìm tốc độ biến thiên nên liên quan đến đạo hàm. Tốc độ biến thiên

của khoảng cách từ máy quay đến tên lửa là đạo hàm của hàm khoảng cách. Vì vậy, trước

f t là hàm khoảng cách từ máy quay đến tên lửa. (Tương tự với vận tốc góc nâng

hết đặt ( )

camera).

- Việc lấy đạo hàm hai vế từ hệ thức (*) rồi áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp để

f t f t ra rồi lại tính đạo hàm ( )

t ( )

tìm là cách làm hay. Nếu từ hệ thức (*) ta rút hàm ( )

y x ( )

thì cũng được nhưng cách giải sẽ phức tạp hơn.

- Cần chú ý để không nhầm đơn vị đo đạo hàm: Đơn vị đo của đạo hàm phụ

thuộc vào đơn vị đo của y và

Ví dụ 2.16:

- 58 -

Bản đồ TD tìm cách giải ngắn gọn nhất của bài toán tính TP mặt loại hai

Bản đồ trên đã đưa ra nhiều hướng giải cho bài toán và sự lựa chọn lời giải ngắn gọn

nhất, dựa theo kí hiệu “ ”.Từ cách phân tích ở bản đồ trên, ta chọn cách giải như sau:

Giải:

D x :

- 59 -

y 

Hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy là miền





3 1)



y dxdy



 ( x  

  

Véc tơ pháp tuyến xác định hướng của mặt S tạo với tia Oz góc nhọn do đó

5y lẻ đối với y nên

y dxdy 





x (



3 1)

dxdy



x (



x 3

  3 x

dxdy



Vì D có tính đối xứng qua trục Ox và biểu thức

x dxdy



x dxdy



dxdy



S D ( )



x dxdy



 .

Ta có:



nên



x dxdy



y dxdy





(S(D) là diện tích miền D).

 x

 y dxdy



1 2







r rdr .



 .2 .



Nhận thấy



1 2

1 4

 4

1 2



Đổi biến sang tọa độ cực,

 7 4

f t ( )

Vậy

t ( )

Ví dụ 2.19: Giải: Gọi lượng muối trong bể tại thời điểm t phút là .

là tốc độ thay đổi của lượng muối trong bể tại thời điểm .t

Tốc độ thay đổi của lượng muối là hiệu của tốc độ thêm vào và tốc độ giảm đi của

t   ( )

10.

 

f t ( ) 1000

dy dt

y 100



 



lượng muối.

 

y Ce

t 100 .

 

t 100

dy y

1 100



t 100

C 

30.



e 30

y  khi 30

t  nên 0

Vì Vậy

- 60 -



t 100

t  

100.(ln

)

e 30

Nước có nồng độ muối khoảng 0,9% nếu trong bể có khoảng 9kg muối.

 ta tìm được

3 10

Giải phương trình .

evalf

3 10

     

1.203972804.

Sử dụng máy tính (chẳng hạn: gõ trong Maple, hoặc gõ

3 10

    

               

t 

120

N[Log[3/10],10] trong Mathematica), ta tìm được Suy ra

(phút).

Vậy sau khoảng hai giờ thì nồng độ muối trong bể sẽ là khoảng 0,9%.

f t ( )

Quá trình suy nghĩ để giải bài toán trên có thể kết hợp cùng sơ đồ như sau:



30.

Gọi lượng muối trong bể tại thời điểm t phút là .

f t  và (0) 9



30.

 Tìm hàm ( )

f t mà (0)

 Lập phương trình vi phân chứa , ( ),

t f t

t ( ).

f t

( ) :

 Tìm

Tìm t để ( )



10.

 Tìm tốc độ thêm vào ( 0) , tìm tốc độ giảm đi (

là hiệu của tốc độ thêm vào và tốc độ giảm đi của muối

f t ( ) 1000

)

t   ( )

y   

Từ cách phân tích trên, đảo ngược lại, ta lập được phương trình vi phân:

f t ( ) 100

y 100

hay .

Đối với những SV chưa tìm ra cách giải, khi xem xét một lời giải có sẵn, họ nên suy nghĩ lại các bước và tóm tắt bởi một sơ đồ tương tự như trên. Điều đó sẽ giúp hình dung một cách rõ ràng logic của quá trình chứng minh, giúp dễ nhớ hơn và có thể vận dụng vào việc giải các bài toán tương tự một cách dễ dàng hơn.

Ví dụ 2.27:

a) Nhìn tổng thể, định hướng phân tích

Bài toán tính thể tích nước cũng chính là tính thể tích bể bơi. Bể hình trụ (do vách thẳng đứng), biết đường kính mặt trên hình tròn thì sẽ xác định được miền chứa x, y. Độ sâu của bể liên quan đến z, do đó sẽ xác định được mặt dưới của bể. Như vậy có thể tính thể tích bể bằng cách dùng ứng dụng của tích phân hai lớp hoặc dùng kiến thức hình học ở

- 61 -

phổ thông.

Phân tích:

Cách 1: (Ứng dụng tích phân hai lớp)

, )

Bước 1: Toán học hóa tình huống thực tế:

,Oxyz mỗi điểm của bể bơi có tọa độ ( ,

x y z trong đó biến z đặc

Đưa vào hệ trục

2 y 

100.

trưng cho độ sâu của bể.

“bể bơi có mặt trên hình tròn với đường kính 20m” tương ứng với: 2 x

-10

O x

   

“đáy bể là một mặt phẳng” nên có phương trình là

x y , )

  a

     ax 0        d by 

 Mặt phẳng đáy bể có phương trình:

   d

k .

Từ đề bài: “Độ sâu của bể không đổi từ bờ đông sang bờ tây”, suy ra rằng các điểm x y ( , ),( trên đường tròn sẽ tương ứng với cùng độ sâu z

c  nên có thể coi phương trình mặt phẳng đáy là

 

 Các điểm (0, 10,1), (0,10, 2)

“Độ sâu của đáy bể tăng từ 1m ở bờ nam đến 2 m ở bờ bắc” suy ra độ sâu z thay đổi ,y vậy theo

h 10



    1    2  10 h  

1 20 3 2

  h        k

thuộc đáy bể nên ta có:

1 y 20

2  . 3

Vậy phương trình mặt phẳng đáy là

Vì độ sâu của bể tính bằng số dương nên có thể coi “thể tích nước trong bể” là thể

- 62 -

2 y 

100

tích hình trụ có:

xOy )

+ đáy dưới là miền D: 2 x (nằm trong mặt phẳng

1 y 20

2  3

+ Mặt trên có phương trình

.O z

+ Các đường sinh tựa trên biên của D và song song với

Tổng hợp Bước 2: Giải bài toán trong mô hình toán học







1 20

3 2

    

  dxdy   

f x y Do miền D có tính đối xứng qua trục Ox và biểu thức ( , )

y lẻ đối với y nên



dxdy



s D . ( )





.100



150





471

 m

3



3 2

Thể tích nước trong bể là:

150

 

471

3  .m

Bước 3: Trả lời kết quả bài toán thực tế: Thể tích nước trong hồ là

  

m 3( ).

2 y 

100

Cách 2: Vì đáy bể là mặt phẳng nên có thể coi thể tích nước cần tìm bằng một nửa



 . .10 .3



 150 (

thể tích hình trụ đứng có đáy là hình tròn 2 x , chiều cao

1 2

Vậy thể tích nước là:

Hình trụ có thể tích bằng hai lần thể tích bể bơi

b) * Với các khoảng cách trong thực tế thì có thể viết phương trình đường, mặt bằng

- 63 -

cách lập hệ trục tọa độ, suy ra tọa độ các điểm, từ đó thay vào phương trình dạng tổng

quát.

xOy đáy dưới có



f x y ( , ), ( ( , ) f x y

* Nếu vật thể hình trụ có đáy trên là miền D trong mặt phẳng

 liên tục trên D), các đường sinh tựa trên biên của

f x y dxdy ( , )

phương trình

,Oz thì thể tích vật thể là

 

D và song song với

Đối với các bài toán thực tế, ngoài việc giải quyết theo hướng nhìn tổng thể, phân

tích, tổng hợp, nhận xét, SV cần kết hợp sử dụng các bước: toán học hóa tình huống thực

tế, giải bài toán trong mô hình toán học, trả lời kết quả bài toán thực tế.

Ví dụ 2.29:

Nhìn tổng thể

Bài toán liên quan đến độ nguội dần của vật, nhiệt độ của vật, nhiệt độ không khí (đã biết), mối liên hệ giữa độ nguội dần với nhiệt độ của vật và không khí, nhiệt độ vật tại thời điểm ban đầu và sau 20 phút. Tìm quy luật nguội dần của vật.

Phân tích

- Độ nguội dần của vật chính là tốc độ thay đổi nhiệt độ của vật theo thời gian.

(Tốc độ thay đổi liên quan đến đạo hàm).

y T t

( ).

- Quy luật nguội dần của vật phải được biểu thị bằng một hàm số (hàm nhiệt độ

theo biến thời gian). Vậy giả sử nhiệt độ của vật tại thời điểm t là

y 

100



60.

-“Trong khoảng thời gian 20 phút vật nguội dần từ 1000C xuống 600C” có thể hiểu

y và (20)

theo nghĩa là (0)

Tổng hợp

Bài toán liên quan đến hàm số, đạo hàm, mối liên hệ giữa hàm số và đạo hàm, do

y T t ( )

y 

100



60.

đó có thể dùng phương trình vi phân. Vậy bài toán chính là:

y và (20)

 

k y (



20)

T t 

30.

+ Tìm hàm mà , (0)

+ Tìm t để ( )

 

k y (



20)

 Giải phương trình vi phân



kdt





kdt



dy 

dy  y

Ta có

  



  kt

- 64 -

(0)



100,

(20)

là nghiệm tổng quát của phương trình.

 ta có:

  20



.20

  20

 

ln 2

 100     60  

80 1 20

  C     k  



ln 2 20

t 20

 y T t ( )

  20

e 80

T t ( )

  20

80.2

Với điều kiện



t 20

T t ( )

  

80.2

  

60.

Vậy hay



t 20

Vậy trong khoảng thời gian t phút (tính từ lúc nhiệt độ của vật là 1000C), nhiệt độ

100



80.2

   20   

     

của vật sẽ giảm đi là: (độ).

1 giờ sau (tính từ lúc nhiệt độ của vật là 1000C), nhiệt độ của vật sẽ là 300C.

Nhận xét sau khi giải:

- Trong bài này cần ghi nhớ định luật Newton về sự trao đổi nhiệt của vật, vì có thể

trong một số bài tập khác tương tự, đề bài sẽ không nhắc lại về định luật này.

- Chú ý rằng khi nói đến quy luật biến thiên thì cần nghĩ đến hàm số, khi nói đến tốc độ biến thiên của hàm thì cần nhớ đến đạo hàm, nếu có mối liên hệ giữa quy luật biến thiên và tốc độ biến thiên thì cần nghĩ đến PTVP.

    ky

k 20

- Ở phương trình vi phân trên, có thể giải cách khác (theo PT tuyến tính) như sau:

 

k y (

  20)

y 

20.

Dễ thấy phương trình có một nghiệm riêng là

   0.

kdt



Xét phương trình





dt 0





 C  

  

y Ce

Phương trình có nghiệm

 20.

Vậy nghiệm tổng quát của PT là

Trong quá trình suy nghĩ như trên, ngay ở bước mô hình hóa toán học, SV đã cần

phải nhìn tổng thể, phân tích từng ý và tổng hợp. Việc thường xuyên suy nghĩ sâu sẽ giúp

họ biết đưa ra các nhận xét, chú ý quan trọng sau khi giải bài toán.

- 65 -

Ví dụ 2.30:

3 180m

K2 vào (0,05% cacbon…)

0,15%cacbon điôxit

K2 ra Tốc độ 2m3/phút

Tốc độ 2m3/phút

(lúc đầu)

Nhìn tổng thể:

Tìm % lượng cacbon điôxit trong phòng theo thời gian.

f t ( )

Phân tích, tổng hợp:

Gọi là lượng cacbon điôxit trong phòng tại thời điểm t

f t tại thời điểm .t

t ( )

t  ( )



là tốc độ biến thiên của ( )

t ( )

0, 05 100

f t ( ) 180





  



là hiệu của tốc độ vào và tốc độ ra.

1 1000

y 90

1 90

1 1000



1 90

 y Ce



Ta có:

9 100

y  (0)

.180



0, 27

Giải phương trình tuyến tính này, ta được

0,15 100

0,27

  C

  C

0,18.

9 100



1 90

f t ( )



e 0,18.



Ban đầu, lượng cacbon điôxit trong phòng là:

9 100

Vậy lượng cacbon điôxit trong phòng tại thời điểm t là:



1 90

t 90

p t ( )



e 0,18.





e 0,1.



0, 05.

 100   .   100 180 

     

Phần trăm lượng cacbon điôxit trong phòng tại thời điểm t là:



t 90

- 66 -





0, 05



0, 05.

lim ( ) p t 

   lim 0,1. e    

     

Ta thấy

Vậy sau một thời gian dài, trong phòng sẽ chỉ có không khí sạch chứa 0,05% cacbon

điôxit.

Kết quả của An không đúng vì: Không khí đưa vào chứa tỉ lệ phần trăm cacbon

điôxit ít hơn so với không khí lúc đầu, như vậy sau một thời gian dài thì tỉ lệ phần trăm



t 90

cacbon điôxit trong không khí càng phải giảm đi. Nhưng theo kết quả của An, vì



  2

0,15

lim ( ) p t 

17973 180

       

   2.   

nên đây là điều vô lí.

Nhận xét và ghi nhớ: Đối với lớp bài toán hỗn hợp dạng này, ta có một phương

pháp để loại trừ một số kết quả vô lí (một số cách giải sai), đó là dựa vào giới hạn.

- Cần tìm hàm số, có thể dựa trên việc tìm đạo hàm của nó, nghĩa là đưa về giải

phương trình vi phân.

f t tại thời điểm .t

t ( )

- Chú ý rằng là tốc độ biến thiên của hàm số ( )

Ví dụ 2.31:

( ),E t độ tự cảm,

Nhìn tổng thể: Bài toán liên quan đến mạch điện, có hiệu điện thế

E t ( )



 I R L .

điện trở, cường độ dòng điện, phải tìm cường độ dòng điện, như vậy cần dựa vào mối quan hệ giữa các yếu tố, do đó có thể nghĩ đến định luật Kirchhoff.

dI dt





t 40 sin 60 .

I Như vậy 20

dI dt

y 20



40 sin 60 (1)

I t

( ),

Phân tích, tổng hợp: Theo định luật Kirchhoff,



   y    y (0) 

Đặt ta giải bài toán Cauchy



p t dt ( )



Để giải phương trình, ta có thể dùng hai cách sau:





q t e ( )



 C   

   



q t 20, ( )



t 40 sin 60 .

p t với ( )

Cách 1: Áp dụng công thức



p t dt ( )



p t dt ( )





 e



t 20 ,

q t e ( )



40 sin 60 .

20 t t e dt

- 67 -



t 20



sin 60 ,

t dv



20 t e dt

  du

60 cos 60

tdt v ,



Có

1 20

t 20



sin 60 .

t 20 t e dt



t sin 60



cos 60

tdt



1 20

t 20



cos 60

tdt



t e cos60 .



sin 60

20 t te dt



t e cos60 .



X 3



1 20

t 20

  X

t sin 60



t e cos60 .



X 3

1 20

   

   

t 20





t sin 60



t e cos60 .

1 20

3 20

p t dt ( )

t 20



q t e ( )



t sin 60



t e cos60 .



3 5

1 5



t 20



t 20

I t ( )





t sin 60



t e cos60 .





t sin 60



t cos60 .

Đặt

1 5

3 5

1 5

3 5

  C  

   

Vậy

 

y 20

Cách 2: Coi phương trình (1) là một dạng đặc biệt của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số không đổi, ta thấy:

 có phương trình đặc trưng

k   nên có nghiệm

Phương trình

y Ce   y

20 .t y 20



t 40 sin 60

 Y A

cos 60

 t B

t sin 60 .

tổng quát

có nghiệm riêng dạng

t 60 sin 60



t 60 cos 60 .



t 60 sin 60



t 60 cos 60



t 20 cos 60



t 20 sin 60





 

B 3



3 5 .





B 3





      20  

     A B 3    A  

  A    10  

40 sin 60 . t     A      1   B 5

 

t cos 60



t sin 60 .

3 5

1 5

t 20

 y Ce



t cos 60



t sin 60 .

Phương trình    Thay vào phương trình (1), ta có:

3 5

1 5

Nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

A

1( ),

- 68 -

3     5

8 5

t 20

I t ( )



t sin 60



t cos60 .

Với điều kiện (0) ta có:

8  e 5

1 5

3 5

(0,1)



sin 6



cos6



0, 42( ).

Vậy

8  2 e 5

1 5

3 5



(1)

sin 60



cos60



0, 51( ).

Cường độ dòng điện sau 0,1s là

8  e 5

1 5

3 5

Cường độ dòng điện sau 1s là

t sin(60 )



t cos(60 )

  20 t

Nhận xét:

8 5

3 5

1 5

Sử dụng phần mềm Maple, gõ , enter, bấm chuột

phải, chọn Plots, chọn Plot Builder, chọn giá trị của t từ 0 tới 1, chọn Plot. Ta nhận được đồ thị như sau:

 

0, 42( ),

A I

(1)



A 0, 51 ( )

Đồ thị hàm cường độ dòng điện

Nhìn vào đồ thị ta thấy các kết quả (0,1) có vẻ hợp lí.

- 69 -

Phụ lục 08

ẢNH BÀI KIỂM TRA CỦA SV LỚP TN1, ĐC1 TRƯỚC THỰC NGHIỆM

- 70 -

Phụ lục 09

ẢNH BÀI KIỂM TRA CỦA SV PHẦN CÂU HỎI VỀ ĐẠO HÀM

- 71 -

Phụ lục 10

MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỦA LỚP HỌC THỰC NGHIỆM (D18QT3,4)

- 72 -

- 73 -

Phụ lục 11

BÀI VIẾT TÌM HIỂU VỀ CHIẾN LƯỢC ĐỌC SQR4 CỦA SINH VIÊN

- 74 -

Phụ lục 12

ẢNH MỘT SỐ BÀI VIẾT CỦA SINH VIÊN LỚP THỰC NGHIỆM

Luận án Tiến sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM

NGUYỄN THỊ DUNG

DẠY HỌC TOÁN CAO CẤP

THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHÂN TÍCH

CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ, KĨ THUẬT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HÀ NỘI, 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM

NGUYỄN THỊ DUNG

DẠY HỌC TOÁN CAO CẤP

THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHÂN TÍCH

CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ, KĨ THUẬT

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 9 14 01 11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. TS. TRẦN ĐÌNH CHÂU

2. PGS.TS. ĐỖ TIẾN ĐẠT

HÀ NỘI, 2020

LỜI CAM ĐOAN

2. Mục đích nghiên cứu

0 Phân tích hướng giải: Trước hết cần xác định hàm dưới dấu tích phân  so sánh chia các trường hợp  tìm khoảng chia (Biết tích phân xác định trên [0,

f x Tổng hợp (Giải): Đặt ( )

  4 L Phân tích: Hàm chi phí nhỏ nhất tại một điểm với giá trị sai khác 100. Vì vậy để đơn giản, ta xét hàm

0( f x f x 0( Những bài tập như vậy có thể góp phần giúp SV phân tích sáng tạo hơn. Ví dụ 2.18: (Đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc năm 2014):

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

Tính TP đường loại

Đưa về tích phân xác định

Dựa vào PT AB

một biến

Rút y theo x

Cận: x



3



3

3



f x Ví dụ 2(SV giải): Xét tính khả vi của hàm số ( )

x  ,  x )

f x Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số ( )

f x Bài 2: Cho ( )

Phụ lục 09

Phụ lục 10

Phụ lục 12

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok