Luận án Tiến sĩ Khoa học Giáo dục: Thiết kế và sử dụng các tình huống dạy học nhằm hỗ trợ phát triển trí tưởng tượng không gian cho học sinh trong dạy học hình học ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẬU ANH TUẤN THIẾT KẾ VÀ SỬ DỤNG

CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC NHẰM HỖ TRỢ

PHÁT TRIỂN TRÍ TƯỞNG TƯỢNG KHÔNG GIAN

CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGHỆ AN, 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẬU ANH TUẤN

THIẾT KẾ VÀ SỬ DỤNG

CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC NHẰM HỖ TRỢ

PHÁT TRIỂN TRÍ TƯỞNG TƯỢNG KHÔNG GIAN

CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 9140111

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:

1. GS.TS. ĐÀO TAM

2. PGS.TS. NGUYỄN CHIẾN THẮNG

NGHỆ AN, 2021

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tác giả dưới

sự hướng dẫn khoa học của GS.TS. Đào Tam, PGS.TS. Nguyễn Chiến Thắng.

Các kết quả nghiên cứu và các số liệu nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực.

Nghệ An, tháng 8 năm 2021

Tác giả

i

Đậu Anh Tuấn

LỜI CÁM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TS. Đào Tam và PGS.TS.

Nguyễn Chiến Thắng đã trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tôi trong suốt thời gian

học tập, nghiên cứu, hoàn thành luận án của mình.

Tôi xin được chân thành cảm ơn quý Thầy Cô giáo, các nhà khoa học đã

quan tâm, động viên và có những ý kiến đóng góp quý báu cho bản thân tôi

trong quá trình làm luận án.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Vinh, Phòng

Đào tạo Sau đại học, Viện Sư phạm Tự nhiên, Bộ môn Phương pháp giảng dạy

Toán đã tạo điều kiện cho tôi thực hiện và hoàn thành chương trình nghiên cứu

của mình.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Cao đẳng Sư phạm

Nghệ An, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nghệ An, bạn bè, đồng nghiệp và gia

đình luôn tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình

công tác nói chung và quá trình nghiên cứu, hoàn thiện luận án của mình.

Nghệ An, tháng 8 năm 2021

Tác giả

ii

Đậu Anh Tuấn

MỤC LỤC

Trang

LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................. i

LỜI CÁM ƠN ...................................................................................................... ii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .............................................................. viii

Chương 1. ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU ....................................................... 1

1.1. Vấn đề nghiên cứu ................................................................................. 1

1.2. Nhu cầu của việc nghiên cứu phát triển trí tưởng tượng không gian

của học sinh trong dạy học hình học ..................................................... 2

1.3. Mục đích nghiên cứu của luận án .......................................................... 6

1.4. Giả thuyết khoa học ............................................................................... 6

1.5. Câu hỏi nghiên cứu ................................................................................ 6

1.6. Các phương pháp nghiên cứu ................................................................ 6

1.6.1. Nghiên cứu lí luận ......................................................................... 7

1.6.2. Nghiên cứu thực tiễn ..................................................................... 7

1.6.3. Thực nghiệm sư phạm ................................................................... 7

1.7. Đóng góp mới của luận án ..................................................................... 7

1.8. Những luận điểm đưa ra bảo vệ ............................................................. 8

1.9. Cấu trúc của luận án............................................................................... 8

Chương 2. CƠ SỞ LÍ LUẬN ............................................................................... 9

2.1. Tổng quan nghiên cứu của các nhà giáo dục toán về các nội dung

liên quan đến đề tài nghiên cứu ............................................................. 9

2.1.1. Những nghiên cứu về vấn đề thiết kế các tình huống dạy học ......... 9

2.1.2. Các nghiên cứu liên quan đến trí tưởng tượng không gian ......... 11

2.1.3. Tiểu kết về tổng quan nghiên cứu liên quan đến thiết kế các

tình huống dạy học toán và trí tưởng tượng không gian............. 17

2.2. Tiếp cận quan điểm sư phạm về trí tưởng tượng không gian .............. 19

2.2.1. Biểu tượng ................................................................................... 19

2.2.2. Khái niệm không gian ................................................................. 19

iii

2.2.3. Khái niệm trí tưởng tượng ........................................................... 20

2.2.4. Quan niệm về trí tưởng tượng không gian .................................. 21

2.3. Đặc trưng của trí tưởng tượng không gian .......................................... 22

2.4. Mối liên hệ giữa trực quan, trí tưởng tượng không gian và tư duy

toán học trong dạy học hình học ở trường trung học phổ thông ......... 25

2.4.1. Khái niệm về trực quan ............................................................... 26

2.4.2. Khái niệm về tư duy lôgic ........................................................... 27

2.4.3. Quan niệm về mối liên hệ giữa trí tưởng tượng không gian

và tư duy trực giác ...................................................................... 28

2.4.4. Mối liên hệ giữa trực quan và trí tưởng tượng không gian ......... 29

2.4.5. Mối liên hệ giữa tư duy lôgic và trí tưởng tượng không gian ..... 31

2.5. Các hoạt động hướng tới hình thành và phát triển trí tưởng tượng

không gian trong dạy học hình học ở trường trung học phổ thông ..... 34

2.6. Vai trò của việc bồi dưỡng trí tưởng tượng không gian cho học

sinh trong dạy học hình học ở trường trung học phổ thông ................ 36

2.6.1. Giáo dục học sinh nắm ý nghĩa của vấn đề trước khi thực

hiện giải quyết vấn đề hình học ...................................................... 36

2.6.2. Góp phần giáo dục tư duy sáng tạo ................................................ 38

2.6.3. Giúp học sinh định hướng đưa ra phán đoán và giả thuyết về

một đối tượng, quan hệ, quy luật hình học mới ............................ 39

2.6.4. Giúp tiếp cận quan điểm dạy học kiến tạo và quan điểm

phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học hình học ............... 40

2.6.5. Giúp phát hiện sai lầm do học sinh không chú ý đến nội

dung (ngữ nghĩa) mà chỉ quan tâm đến mặt cú pháp (hình

thức) của các phép toán ................................................................... 42

2.6.6. Giúp tiếp cận giải quyết các vấn đề thực tiễn ............................... 43

2.6.7. Tiềm năng phát triển trí tưởng tượng không gian cho học

sinh trung học phổ thông của mạch kiến thức Hình học và

Đo lường............................................................................................ 45

2.7. Tình huống dạy học theo định hướng hỗ trợ phát triển trí tưởng

tượng không gian ................................................................................. 52

iv

2.7.1. Tình huống dạy học ..................................................................... 52

2.7.2. Tình huống dạy học theo định hướng hỗ trợ phát triển trí

tưởng tượng không gian trong dạy học hình học ở trường

trung học phổ thông .................................................................... 53

2.8. Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực nhằm triển khai

hoạt động dạy học theo định hướng hỗ trợ phát triển trí tưởng

tượng không gian cho học sinh ............................................................ 54

Kết luận chương 2 ....................................................................................... 55

Chương 3. KHẢO SÁT THỰC TIỄN .............................................................. 56

3.1. Mục đích của khảo sát ......................................................................... 56

3.2. Nội dung khảo sát ................................................................................ 56

3.3. Công cụ khảo sát .................................................................................. 56

3.3.1. Các câu hỏi hướng đến tìm hiểu giáo viên về khái niệm

không gian, hiểu biết về biểu tượng không gian và khái

niệm về trí tưởng tượng không gian, con đường hình thành

và phát triển trí tưởng tượng không gian .................................... 57

3.3.2. Nhóm câu hỏi tìm hiểu giáo viên những biểu hiện của học

sinh về trí tưởng tượng không gian trong dạy học hình học ....... 58

3.3.3. Nhóm câu hỏi xác minh hiểu biết của giáo viên về các hoạt động

nhằm phát triển trí tưởng tượng không gian của học sinh .......... 58

3.3.4. Nhóm câu hỏi tìm hiểu nhận thức của giáo viên về vai trò

của việc phát triển trí tưởng tượng không gian cho học sinh

trong dạy học hình học .................................................................... 59

3.4. Tổ chức khảo sát .................................................................................. 60

3.5. Khảo sát đối tượng học sinh ................................................................ 60

3.6. Đánh giá kết quả về việc khảo sát giáo viên và học sinh .................... 62

3.6.1. Kết quả khảo sát tìm hiểu giáo viên về khái niệm không

gian, hiểu biết về biểu tượng không gian và khái niệm về trí

tưởng tượng không gian, con đường hình thành và phát

triển trí tưởng tượng không gian ................................................. 63

3.6.2. Kết quả khảo sát tìm hiểu GV làm sáng tỏ những biểu hiện

của học sinh về trí tưởng tượng không gian trong dạy học

v

hình học ở trường trung học phổ thông ......................................... 64

3.6.3. Kết quả khảo sát xác minh hiểu biết của giáo viên về các

hoạt động nhằm phát triển trí tưởng tượng không gian của

học sinh.............................................................................................. 65

3.6.4. Kết quả khảo sát tìm hiểu nhận thức của giáo viên về vai trò

của việc phát triển trí tưởng tượng không gian cho học sinh

trong dạy học hình học ở trường trung học phổ thông ................ 66

3.6.5. Tiểu kết về khảo sát đối tượng GV ................................................ 68

3.6.6. Kết quả khảo sát tìm hiểu khả năng về trí tưởng tượng

không gian của học sinh theo chương trình sách giáo khoa

hiện hành ........................................................................................... 68

3.6.7. Tiểu kết về khảo sát đối tượng học sinh ........................................ 71

Kết luận chương 3 ....................................................................................... 72

Chương 4. THIẾT KẾ VÀ SỬ DỤNG CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN

TRÍ TƯỞNG TƯỢNG KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC

PHỔ THÔNG ..................................................................................................... 74

4.1. Chuẩn bị tri thức và kĩ năng cho giáo viên về việc thiết kế một

tình huống dạy học theo định hướng hỗ trợ phát triển trí tưởng

tượng không gian ................................................................................. 74

4.1.1. Về phương diện tri thức .............................................................. 74

4.1.2. Về mặt kĩ năng ............................................................................ 75

4.2. Quy trình thiết kế và sử dụng các tình huống dạy học nhằm hỗ trợ

phát triển trí tưởng tượng không gian trong dạy học hình học ở

trường trung học phổ thông ................................................................. 76

4.2.1. Cơ sở khoa học và thực tiễn để đưa ra tuần tự các bước thiết kế ..... 76

4.2.2. Quy trình thiết kế các tình huống dạy học hỗ trợ phát triển

trí tưởng tượng không gian trong dạy học hình học ở trường

trung học phổ thông ......................................................................... 80

4.2.3. Quy trình sử dụng các tình huống đã thiết kế vào dạy học hình

học ở trường trung học phổ thông theo hướng hỗ trợ phát triển trí

vi

tưởng tượng không gian ................................................................. 89

4.3. Vận dụng các quy trình thiết kế và sử dụng các tình huống vào

dạy học các tình huống điển hình trong dạy học hình học ở

trường trung học phổ thông theo định hướng phát triển trí tưởng

tượng không gian ................................................................................. 96

4.3.1. Vận dụng vào dạy học khái niệm ................................................ 98

4.3.2. Vận dụng vào dạy học định lý ................................................... 106

4.3.3. Vận dụng vào dạy học giải bài tập hình học ............................. 112

Kết luận chương 4 ..................................................................................... 124

Chương 5. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ....................................................... 126

5.1. Mục tiêu của thực nghiệm ................................................................. 126

5.2. Nội dung thực nghiệm ....................................................................... 126

5.3. Hình thức thực nghiệm ...................................................................... 130

5.4. Tổ chức thực nghiệm ......................................................................... 130

5.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm ........................................................... 131

5.5.1. Phân tích tiên nghiệm ................................................................ 131

5.5.2. Phân tích hậu nghiệm kết quả giải quyết các nhiệm vụ đối

với giáo viên và học sinh .......................................................... 135

Kết luận chương 5 ..................................................................................... 140

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ......................................................................... 142

I. Kết luận.................................................................................................. 142

II. Kiến nghị .............................................................................................. 143

CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN

ĐẾN NỘI DUNG LUẬN ÁN ........................................................................... 144

vii

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 145

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt Viết đầy đủ

TTTKG Trí tưởng tượng không gian

THPT Trung học phổ thông

THDH Tình huống dạy học

GV Giáo viên

HS Học sinh

viii

SGK Sách giáo khoa

Chương 1

ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

1.1. Vấn đề nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi đặt ra các vấn đề nghiên cứu bao gồm:

a, Đưa ra khái niệm về TTTKG trong dạy học hình học ở trường THPT.

b, Làm sáng tỏ vai trò của TTTKG đối với hoạt động nhận thức hình học

của học sinh trong dạy học hình học không gian ở trường THPT và tác động của

TTTKG đối với việc phát triển khả năng giải quyết các vấn đề trong dạy học

hình học.

c, Vai trò của TTTKG đối với việc nghiên cứu, giải thích các hiện tượng

trong thực tế.

d, Tìm tòi, khai thác các hoạt động cần luyện tập để phát triển TTTKG

cho học sinh trong quá trình dạy học hình học theo hướng thiết kế và sử dụng

các tình huống dạy học.

Việc đưa ra vấn đề nghiên cứu của luận án ở trên xuất phát từ những cơ sở

khoa học sau:

- Trước hết vấn đề đặt ra nghiên cứu của luận án xuất phát từ xem xét các

quan niệm về TTTKG của nhiều tác giả trong nước và trên thế giới.

Có nhiều quan điểm khác nhau về khái niệm TTTKG thông qua việc đưa

ra một số thuộc tính bản chất. Tuy nhiên, chúng tôi chưa tìm thấy một định

nghĩa tường minh về khái niệm TTTKG. Vì vậy, vấn đề nghiên cứu đặt ra đầu

tiên là làm sáng tỏ hơn về TTTKG theo hướng có thể bước đầu hình dung các

cấp độ của TTTKG.

- Thực tiễn dạy học hình học ở trường THPT theo chương trình hiện hành

cũng như chương trình đổi mới giáo dục toán học hiện nay mức độ đại số hóa

hình học khá cao, do việc đưa vào chương trình phương pháp vectơ, phương

pháp tọa độ, biến hình. Khi chương trình hình học tăng cường coi trọng đại số

hóa sẽ làm giảm nhẹ việc phát triển TTTKG. Nguyên nhân chủ yếu của sự giảm

nhẹ này là do việc dạy học hình học thiếu coi trọng mối liên hệ cân đối giữa nội

1

dung hình học tổng hợp với các thuật giải sử dụng công cụ vectơ và phương

pháp tọa độ một cách hình thức. Từ đó, nảy sinh hiện tượng nhiều học sinh làm

toán trên các biểu thức vectơ, tọa độ nhưng không hiểu được bản chất hình học

của vấn đề được giải quyết bằng công cụ vectơ, tọa độ. Chi tiết về vấn đề này sẽ

được trình bày trong cơ sở thực tiễn nêu ở Chương 3.

- Các nghiên cứu về phát triển TTTKG cho học sinh ở trường THPT cũng

như ở các cấp học khác làm chưa sáng tỏ được những hoạt động then chốt nào

để phát triển được TTTKG cho học sinh. Chưa có những nghiên cứu lí luận và

thực tiễn để sáng tỏ các hoạt động thành tố nhằm phát triển TTTKG cho học

sinh trong quá trình dạy học hình học ở trường THPT.

- Chưa có các nghiên cứu ở trong nước cũng như nước ngoài về việc thiết

kế và sử dụng các tình huống để tổ chức dạy học hình học nhằm phát triển

TTTKG cho học sinh. Việc thiết kế các tình huống nói trên chứa đựng nhiều khó

khăn, mà khó khăn nổi bật là phải làm sáng tỏ được một tình huống được thiết

kế để sử dụng trong dạy học hình học cần phải thỏa mãn các yêu cầu tối thiểu

nào. Quy trình, các bước thiết kế một tình huống dạy học để sử dụng nhằm phát

triển TTTKG cho học sinh được cụ thể như thế nào trong dạy học khái niệm,

định lý, các quy luật hình học, giải bài tập hình học.

1.2. Nhu cầu của việc nghiên cứu phát triển trí tưởng tượng không gian

của học sinh trong dạy học hình học

Vấn đề nghiên cứu trong luận án xuất phát từ những nhu cầu sau đây:

a. Xuất phát từ đòi hỏi của chương trình môn Toán hiện hành và chương

trình Giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018 về mục tiêu cấp THPT phần Hình

học và Đo lường nhấn mạnh phát triển TTTKG cho học sinh [10, tr. 9].

b. Nhu cầu định hướng giải quyết vấn đề, giải quyết và phát triển vấn đề

một cách sáng tạo.

Việc định hướng giải quyết vấn đề có thể thực hiện nhờ khả năng tưởng

tượng không gian của học sinh trong dạy học hình học. Những học sinh khá

giỏi, họ có khả năng hình dung được các mối liên hệ giữa các đối tượng không

gian, hình dạng, các quan hệ về lượng. Từ đó, họ hình dung được sơ bộ các

2

bước giải quyết vấn đề trước khi thực hiện giải quyết vấn đề. Nhờ có TTTKG

mà học sinh hình dung được mối liên hệ nhân quả, từ đó cho phép huy động

đúng đắn tiền đề để giải quyết vấn đề bằng lập luận lôgic. Thông qua thao tác

trên các biểu tượng đã biết, HS có thể thiết lập các biểu tượng mới nhờ dự đoán.

Như vậy, nhờ có TTTKG cho phép học sinh phát triển một vấn đề mới trong quá

trình giải quyết vấn đề. Đây cũng là một đòi hỏi đối với việc tiếp cận phát triển

năng lực của người học.

Ví dụ 1.1. Cho tứ diện OABC có OA = BC = a; OB = CA = b; OC = AB =

c. Tính thể tích của tứ diện OABC theo a, b, c.

Khi tính thể tích của tứ diện này, HS gặp khó khăn trong việc tính đường

cao do không xác định được chân đường cao. Khi đó, nếu HS có TTTKG, biết

xét hình đã cho trong mối liên hệ với hình quen thuộc đã biết thì có thể giải bài

toán theo hướng khác không cần xác định đường cao.

Có thể thực hiện tư tưởng trên như sau:

Trong mặt phẳng (ABC), kẻ đường thẳng a’ qua A song song với BC, kẻ

đường thẳng b’ qua B song song với AC, kẻ đường thẳng c’ qua C song song với

O

C

P

N

A

B

M

AB. Gọi (Hình 1.1).

Hình 1.1

3

Khi đó bốn tam giác đôi một bằng nhau. Mặt khác,

theo giả thiết OA = BC. Từ đó, OA = AM = AP và tam giác MOP vuông tại O.

Tương tự các tam giác MON; NOP vuông tại O. Vậy tứ diện OMNP là tứ diện

vuông và thể tích: , với x = OM, y = ON, z = OP.

Từ đó suy ra thể tích của tứ diện OABC là: . Khi đó

x, y, z là nghiệm của hệ phương trình:

c. Yêu cầu của việc giáo dục toán học theo hướng kết nối với thực tiễn.

Việc phát triển TTTKG trở thành một đòi hỏi đối với việc giáo dục toán

học hiện nay. Trong thực tiễn, việc kiến tạo các hình, kiến trúc nhà cửa, cầu

cống, các kiến trúc xây dựng khác, ... đòi hỏi các nhà kiến trúc phải biết tưởng

tượng thiết kế các mô hình trước khi thực thi, ...

Ví dụ 1.2. Người ta có thể biết con tàu ở vị trí nào nếu biết được kinh độ,

vĩ độ và khoảng cách từ đó đến đất liền để trung tâm cứu nạn xác định được vị

trí con tàu khi cứu nạn. Hoặc từ bản vẽ vẽ ngôi nhà, hình dung được hình dáng

của ngôi nhà đó về chiều dài, độ cao, chiều rộng các gian phòng, ...

d. Nhu cầu về dạy học tích cực. Các kiến thức hình học có được đó là các

sản phẩm hoạt động tích cực của học sinh thông qua tương tác với các tình

huống, thông qua giao tiếp, hợp tác giữa HS với HS, giữa HS với GV. Điều này

đặt ra đòi hỏi đối với việc nghiên cứu thiết kế và sử dụng các tình huống chứa

đựng các hoạt động hướng tới phát triển TTTKG cho học sinh, đặt ra việc xem

xét đưa ra các quy trình thiết kế và sử dụng các tình huống trong dạy học hình

học theo hướng phát triển TTTKG cho HS.

Ví dụ 1.3. Bức bình phong chắn giữa các phòng làm việc công sở hoặc

giữa các phòng nhà hàng ngăn cách giữa các phòng ăn, được tạo nên nhờ kết nối

các tấm làm bằng nhựa có dạng hình chữ nhật giống nhau. Chúng có thể gập lại

hoặc mở ra như hình vẽ (Hình 1.2).

4

Hình 1.2

Ở vị trí như hình vẽ 1.2, bức bình phong có thể đứng vững trên nền nhà.

GV có thể yêu cầu HS tưởng tượng, giải thích vì sao bức bình phong có thể

đứng vững trên nền nhà như vậy?.

Nếu HS gặp khó khăn, GV có thể dùng bảng hỏi và chỉ dẫn sau:

- Tấm bình phong đứng vững trên nền nhà vì các tấm chắn hình chữ nhật

nằm trên mặt phẳng vuông góc với nền nhà.

- Giải thích vì sao các tấm chắn thuộc mặt phẳng vuông góc với nền nhà?.

Mong đợi HS giải thích: Do hai tấm chắn kề nhau, kết nối với nhau theo

một đường thẳng. Đường thẳng này chứa chiều dài của hình chữ nhật, vuông

góc với đường thẳng chứa chiều rộng; có thể tưởng tượng theo mô hình sau

A

F

D

B

E

C

(Hình 1.3):

Hình 1.3

5

Đường thẳng AB biểu diễn đường kết nối của hai tấm chắn hình chữ nhật

ABCD và ABEF. Khi đó, HS hình dung được AB vuông góc với mặt phẳng

(CBE) - Biểu thị mặt phẳng nền nhà. Từ đó, hai mặt phẳng (ABCD) và (ABEF)

vuông góc với nền nhà do cùng chứa đường thẳng AB. Các tấm chắn khác của

bức bình phong vuông góc với nền nhà được giải thích tương tự.

1.3. Mục đích nghiên cứu của luận án

Việc nghiên cứu luận án nhằm vào mục đích sau:

Đưa ra cách tiếp cận lí luận và thực tiễn để sáng tỏ khái niệm TTTKG và các

khái niệm liên quan liên hệ với TTTKG, các hoạt động thành tố nhằm phát triển

TTTKG, quy trình thiết kế các THDH và quy trình sử dụng các THDH đã được

thiết kế nhằm tổ chức dạy học hình học để phát triển TTTKG của học sinh THPT.

1.4. Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở xác định nhu cầu và mục đích nghiên cứu của luận án, chúng tôi

đưa ra giả thuyết nghiên cứu sau đây:

Nếu xác định được các thành tố của TTTKG và các hoạt động tương thích

với các thành tố đó thì có thể tìm tòi được các cơ hội tổ chức cho HS luyện tập các

hoạt động nói trên nhằm góp phần phát triển TTTKG trong dạy học hình học ở

trường THPT.

1.5. Câu hỏi nghiên cứu

Việc nghiên cứu luận án nhằm trả lời các câu hỏi sau:

a, Dựa trên cơ sở lí luận và thực tiễn nào để đưa ra khái niệm về TTTKG?

b, TTTKG được biểu hiện như thế nào trong dạy học hình học ở trường

THPT? Bằng cách nào để phát hiện những biểu hiện đó?

c, Có những hoạt động chủ yếu nào cần luyện tập để phát triển TTTKG

cho học sinh?

d, Dựa vào cơ sở nào để xây dựng quy trình thiết kế và quy trình sử dụng

các tình huống dạy học nhằm hướng tới phát triển TTTKG cho học sinh?

e, Có những cấp độ nào về phát triển TTTKG của học sinh THPT trong

dạy học hình học?

1.6. Các phương pháp nghiên cứu

Việc trả lời các câu hỏi trên được thực hiện thông qua các phương pháp

nghiên cứu sau đây:

6

1.6.1. Nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu quan điểm tâm lí về trí tưởng tượng của các tác giả trong

nước và nước ngoài.

- Nghiên cứu các quan điểm về trí tưởng tượng không gian của các nhà

giáo dục toán học ở trong nước và trên thế giới.

1.6.2. Nghiên cứu thực tiễn

- Nghiên cứu và thiết kế các bảng hỏi nhằm khảo sát trên đối tượng học sinh

và các câu hỏi trắc nghiệm để khảo sát đội ngũ giáo viên, dự giờ các tiết dạy nội

dung hình học ở trường trung học phổ thông. Hoạt động nghiên cứu này nhằm làm

bộc lộ các biểu hiện về các hoạt động tương thích với các đặc trưng của TTTKG

đối với học sinh.

- Nghiên cứu các hoạt động trải nghiệm của giáo viên để thiết kế các tình

huống dạy học và sử dụng chúng để tổ chức dạy học các tình huống điển hình

trong dạy học hình học ở trường trung học phổ thông.

- Nghiên cứu hoạt động của giáo viên trong tiến trình thiết kế quy trình và

vận dụng các quy trình bao gồm: Hoạt động xây dựng quy trình, tổ chức thảo

luận thông qua các hoạt động xêmina trong giáo viên, hoạt động thử nghiệm trên

đối tượng học sinh để tìm kiếm các thông tin phản hồi cho việc chỉnh sửa để lựa

chọn quy trình phù hợp với việc triển khai các tình huống dạy học theo hướng

phát triển TTTKG.

1.6.3. Thực nghiệm sư phạm

- Tiến hành hoạt động thử nghiệm dạy học theo quy trình của các tình

huống được thiết kế để đánh giá mức độ phát triển TTTKG của học sinh.

Như vậy, việc trả lời câu hỏi nghiên cứu đặt ra được tiến hành xuyên suốt

từ Chương 2 đến Chương 4 của luận án.

1.7. Đóng góp mới của luận án

Luận án đã đạt được những kết quả mới như sau:

- Hệ thống hóa và làm sáng tỏ thêm cơ sở lý luận về TTTKG, mối liên hệ

giữa TTTKG với trực quan, tư duy, tri thức; các thành tố đặc trưng của TTTKG;

các hoạt động nhằm phát triển TTTKG;

- Đưa ra được một quan niệm về TTTKG đặc trưng bởi 11 khả năng. Đề

xuất hai cấp độ về phát triển TTTKG của học sinh THPT trong dạy học Hình học;

7

- Đề xuất được 13 hoạt động chủ yếu để luyện tập cho học sinh nhằm hỗ

trợ phát triển TTTKG;

- Xây dựng được một quy trình thiết kế gồm 6 bước cho tình huống dạy

học và một quy trình 5 bước vận dụng các tình huống đã thiết kế vào dạy học

với định hướng phát triển TTTKG.

1.8. Những luận điểm đưa ra bảo vệ

+ Trong dạy học hình học ở trường phổ thông, cần thiết phải phát triển

TTTKG cho học sinh;

+ Quan niệm về TTTKG của học sinh THPT và các đặc trưng của nó là

hợp lí và có thể phát triển được thông qua sự hỗ trợ của các hoạt động chủ yếu

đã đề xuất;

+ Quy trình thiết kế, quy trình vận dụng và các THDH hình học không gian

theo định hướng phát triển TTTKG cho học sinh THPT được thiết kế trong luận án

là phù hợp và có tính khả thi.

1.9. Cấu trúc của luận án

Luận án được cấu trúc theo 05 chương:

Chương 1. Định hướng nghiên cứu

Chương 2. Cơ sở lí luận

Chương 3. Khảo sát thực tiễn

Chương 4. Thiết kế và sử dụng các tình huống dạy học hình học không

gian theo định hướng phát triển trí tưởng tượng không gian cho học sinh trung

học phổ thông

Chương 5. Thực nghiệm sư phạm

Kết luận của luận án và kiến nghị.

Tài liệu tham khảo.

8

Chương 2

CƠ SỞ LÍ LUẬN

2.1. Tổng quan nghiên cứu của các nhà giáo dục toán về các nội dung

liên quan đến đề tài nghiên cứu

Trong phần tổng quan chúng tôi quan tâm các nội dung chủ yếu sau:

- Các dạng tình huống trong dạy học Toán liên quan tới đề tài, tình huống

góp phần bồi dưỡng TTTKG trong dạy học hình học ở trường THPT.

- Các nghiên cứu về quan niệm TTTKG trong dạy học hình học - trực giác

hình học.

- Các nghiên cứu làm sáng tỏ về biểu hiện TTTKG, nhu cầu về phát triển

TTTKG trong dạy học hình học.

- Phân tích, tổng hợp các nghiên cứu các thành tố của hoạt động phát triển

TTTKG của học sinh.

2.1.1. Những nghiên cứu về vấn đề thiết kế các tình huống dạy học

Cho đến nay đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm đến các

vấn đề liên quan đến đề tài:

- Ở nước ngoài, tiêu biểu có các tác giả:

+ Anne Bessot, Francoie Richard [6] nghiên cứu mở đầu lý thuyết tình

huống và giới thiệu các tình huống Didactic.

+ Vào những năm 1970, Guy Brousseau, R.Douady, Y.Chevarllard,... nêu

ra một phương pháp dạy - học khác dựa trên lý thuyết về tình huống dạy học do

Guy Brousseau xây dựng, phương pháp này gọi là phương pháp các tình huống

dạy - học (dẫn theo [90, tr. 89]). Phương pháp này dựa trên lý luận về sự kiến

tạo từng bước các tri thức do Piaget nêu ra.

+ I.Ia. Lecne [61], cũng đã đề cập đến tình huống có vấn đề: Ông đã phân

tích, nghiên cứu và đưa ra quan niệm về tình huống có vấn đề, so sánh tình

huống có vấn đề với vấn đề, đặc biệt ông đã xem tình huống có vấn đề là khái

niệm chủ yếu và khởi đầu của quan niệm dạy học nêu vấn đề.

+ A.M. Machiuskin [65], nghiên cứu tình huống có vấn đề từ đó vận dụng

chúng trong quá trình tư duy và trong dạy học.

+ J. Piaget [82], bàn về vai trò của các hành động trong tư duy.

9

- Ở Việt Nam cũng đã có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu đến tình huống dạy học, thiết kế các tình huống dạy học. Có thể phân chia các nghiên cứu này theo các xu hướng như sau:

+ Xu hướng 1: Nghiên cứu những vấn đề chung liên quan đến thiết kế các

bài dạy.

Theo xu hướng này, tác giả Phạm Sỹ Nam [70] đã đưa ra thiết kế bài giảng trong dạy học kiến tạo các khái niệm giải tích và kế hoạch thiết kế dạy học kiến tạo các khái niệm giải tích cho học sinh THPT chuyên toán; Đặng Thành Hưng [50], Hoàng Lê Minh [66] và nhiều tác giả khác đã đưa ra các hướng dẫn chung để giúp giáo viên thiết kế bài soạn các môn học - là tổ hợp các tình huống dạy học và chưa đi sâu vào các khâu kĩ thuật cụ thể cho việc thiết kế và tổ chức các tình huống dạy học toán.

+ Xu hướng 2: Các công trình liên quan đến việc xem xét, nghiên cứu tình

huống dạy học như một công cụ để dạy học, rèn luyện kỹ năng.

Theo xu hướng này, có các tác giả như: Trần Ngọc Lan đã đưa ra các hướng giúp học sinh tạo lập ra từ các bài toán từ các tình huống mở [59]; Nguyễn Ngọc Quang [88], trong nhiều nghiên cứu của mình đã đề cập đến các tình huống dạy học, dạy học bằng bài toán tình huống mô phỏng; Phạm Thị Thanh Tú trong luận án Tiến sĩ khoa học giáo dục đã hình thành cho sinh viên đại học sư phạm ngành giáo dục tiểu học kĩ năng thiết kế và tổ chức các tình huống dạy học toán theo hướng tăng cường hoạt động tìm tòi, phát hiện kiến thức của học sinh lớp 3, 4, 5 [107]; ...

+ Xu hướng 3: Nghiên cứu để đưa ra các sản phẩm là các tình huống dạy học. Theo xu hướng này: Trần Ngọc Lan [60] đã đưa ra 100 tình huống sư phạm dành cho sinh viên, giáo viên ngành giáo dục tiểu học; các tình huống liên quan đến chương trình và SGK môn Toán trung học phổ thông; các tình huống liên quan đến việc vận dụng các phương pháp dạy học Toán ở trung học phổ thông; các tình huống liên quan đến kĩ năng ứng xử sư phạm trong dạy học môn Toán ở trung học phổ thông; Bùi Thị Mùi đã đưa ra được 281 tình huống sư phạm để giáo dục được học sinh phổ thông [69]; Đỗ Thế Hưng sử dụng tình huống dạy học để dạy học môn Giáo dục học [52]; ...

+ Xu hướng 4: Xem xét các tình huống dạy học liên quan đến định hướng

phát triển trí tưởng tượng không gian.

10

Các tư tưởng về các tình huống gắn với việc hình thành và phát triển

TTTKG chủ yếu phản ánh trong các tài liệu lí luận và phương pháp dạy học bộ

môn toán. Các tình huống như vậy hướng vào chủ yếu các nội dung sau:

- Sử dụng mô hình hình học để hình thành các biểu tượng không gian.

- Các tình huống lấy từ thực tiễn gắn với hoạt động định hướng để di

chuyển trong thành phố, trên biển, tình huống về vị trí tương đối của vật này với

vật khác. Tình huống liên quan đến tính đối xứng của các hình.

- Các tình huống gắn với việc hình dung các hình, các yếu tố trong một

hình nhờ sử dụng các hình biểu diễn.

- Các tình huống liên quan đến hình dung các kết quả thông qua trí tưởng

tưởng, trực giác.

Các tình huống phản ánh các nội dung trên thể hiện trong các tài liệu [15],

[40], [54], [93], ...

2.1.2. Các nghiên cứu liên quan đến trí tưởng tượng không gian

2.1.2.1. Các nghiên cứu ở nước ngoài

Qua nghiên cứu các tài liệu của các tác giả nước ngoài có thể thấy các kết

quả đã tập trung vào các khía cạnh sau đây của trí tưởng tượng không gian: Vai

trò của TTTKG, quan niệm về TTTKG và các biểu hiện của nó, vấn đề phát triển

TTTKG nói chung và trong hình học nói riêng.

Thứ nhất, về vai trò của TTTKG, tác giả Howard Gardner [31] nghiên cứu

về cơ cấu trí khôn của con người, trong đó trí khôn không gian chiếm một vị trí

quan trọng. Theo đó, năng lực tri giác không gian, TTTKG và tư duy hình học

tích cực độc lập được coi là các bộ phận của trí khôn không gian.

V.A. Kơrutexxki cho rằng: “Sự tồn tại của các loại hình toán học trong nhà

trường có liên quan đến vai trò tương đối của các thành phần từ lôgic và trực quan -

hình tượng trong hoạt động trí tuệ của học sinh. Trong các thực nghiệm, tác giả

nhận thấy có một sự tương quan rõ rệt giữa năng lực biểu diễn trực quan các mối

quan hệ của toán học trừu tượng với năng lực tưởng tượng không gian hình học”

[56, tr. 135-136].

Một trong những vai trò tổng quát của hình học trong toán học là nó gắn

với tư duy tổng hợp chính xác, xuất phát từ những biểu tượng không gian. Tư

duy tổng hợp này thường giúp bao quát được toàn cục. Như vậy, hình học được

11

đặc trưng không chỉ bởi đối tượng của nó mà còn bởi cả phương pháp, xuất phát

từ những biểu tượng trực quan [18].

Trong chương trình giáo dục của Úc, quá trình học tập nhằm phát triển

năng lực tính toán (numeracy) được tổ chức theo 6 thành tố có liên quan lẫn

nhau là: Ước tính và tính toán với số nguyên; Nhận diện và sử dụng các mô hình

và mối quan hệ; Sử dụng phân số, số thập phân, tỉ lệ phần trăm, tỉ số và tỉ lệ;

phát huy TTTKG; diễn giải thông tin thống kê; đo lường. Trong đó, học sinh cần

hình dung các hình hai chiều và ba chiều; Giải thích bản đồ và sơ đồ (dẫn theo

[10, tr. 78-78]).

Theo A.N. Kônmôgôrôp, trong thành phần của những năng lực toán học

có TTTKG hay là “Trực giác hình học” (dẫn theo [40, tr. 128]).

Tác giả M.Iu. Koliagin đã nêu trong cuốn phương pháp dạy học toán ở

trường phổ thông: Ngày nay việc phát triển tư duy trực giác - Trí tưởng tượng

hình học được nhiều nhà giáo dục toán học tiến bộ quan tâm. Để nhấn mạnh tư

tưởng trên tác giả đã trích lời của Viện sỹ A.N. Kônmôgôrôv: “Trí tưởng tượng

hình học hay là như người ta đã nói “Trực giác hình học” đóng vai trò hết sức

quan trọng khi nghiên cứu tất cả các lĩnh vực của toán học, thậm chí cả những

lĩnh vực trừu tượng nhất. Ở trường phổ thông, việc đưa ra các biểu tượng trực

quan của các hình không gian thường là khó khăn đặc biệt đối với học sinh. Một

người học toán tốt (ở mức độ so sánh với một học sinh bình thường) cần phải

hình dung được thiết diện của một hình lập phương tạo bởi mặt phẳng đi qua

tâm và vuông góc với một đường chéo khi người đó nhắm mắt lại không sử

dụng hình vẽ (dẫn theo [55, tr. 144]).

Thứ hai, về khái niệm TTTKG và các biểu hiện của TTTKG. Một trong

những yếu tố liên quan đến trí tưởng tượng không gian là hình và hình vẽ. Đối

tượng nghiên cứu của hình học là các hình hình học (gọi tắt là hình). Chúng được

mô tả qua những tiên đề, định nghĩa, tính chất. Còn hình vẽ là hình biểu diễn phẳng

của các hình hình học. Quan điểm này được nhiều nhà nghiên cứu trên thế giới

thừa nhận. Chẳng hạn, Arsac nói rõ: Hình vẽ được tạo trên giấy (hay trên cát như

trước đây Ác-si-mét đã làm) gồm những nét cụ thể, còn hình là đối tượng toán học

mà hình vẽ chỉ là một hình biểu diễn của nó. Theo ông, hình là yếu tố của “thế giới

toán học”, còn hình vẽ thuộc về thế giới cảm tính (dẫn theo [15]).

12

Tán thành quan niệm của Arsac nhưng Laborde và Caponi còn tính đến yếu tố có trước hình, đó là đối tượng của không gian mà họ gọi là đối tượng tham chiếu. Hình là một sự mô hình hóa của đối tượng tham chiếu này. Hình vẽ là một thực thể vật chất, được xem như cái biểu đạt, còn hình là cái được biểu đạt (dẫn theo [15, tr. 164]).

Theo tư tưởng của Laborde và Caponi, Chachoua đặt hình vẽ vào tam giác “Đối tượng vật lí - đối tượng hình học - hình vẽ”, trong đó cực thứ ba là một biểu diễn cho một đối tượng vật lí hoặc đối tượng hình học (dẫn theo [15, tr. 164]).

Ba chức năng cơ bản của hình vẽ trong dạy học hình học đã được Parzysz, một nhà nghiên cứu lí luận dạy học người Pháp, đề cập đến. Đó là tóm tắt, chứng tỏ và phỏng đoán (dẫn theo [15, tr. 169-172]). Theo Parzysz, chức năng tóm tắt đặc trưng bởi: Hình vẽ là sự thể hiện bằng ngôn ngữ hình ảnh những gì được nói đến trong đề bài toán cần giải; chức năng chứng tỏ: Hình vẽ có thể cung cấp những phản ví dụ cho phép bác bỏ một mệnh đề nào đó; chức năng phỏng đoán: Hình vẽ đúng, trực quan còn có tác dụng giúp phát hiện tính chất của hình, hình thành những phỏng đoán hoặc tìm phương hướng giải quyết bài toán.

Trong dạy học hình học, theo Van Hiele, việc tiếp thu của học sinh trải qua 5 cấp độ là Hình dung - Phân tích - Suy diễn không hình thức - Suy diễn - Chặt chẽ. Có thể nói 4 cấp độ đầu phù hợp với học sinh trung học phổ thông (dẫn theo [28, tr. 27-28]). Chúng ta có thể xem hình dung và suy diễn không hình thức là các biểu hiện của trí tưởng tượng không gian.

Trong PISA 2018 [129], không gian và hình dạng là một trong bốn nội dung toán học được được sử dụng làm đối tượng đánh giá. Hình học có vai trò là môn học cốt lõi trang bị cho học sinh về không gian và hình dạng. Tuy nhiên, phạm trù không gian và hình dạng đã vượt ra khỏi khuôn khổ của hình học truyền thống về mặt nội dung, ý nghĩa và phương pháp, trong đó hình dung về không gian là một trong các thành phần nằm ngoài khuôn khổ đó. Các tác giả W. Susilawati, D. Suriady, J. A. Dahlan (2017) [130], đã chỉ ra các biểu hiện của khả năng hình dung về không gian và đề xuất đưa khả năng hình dung về không gian vào dạy học hình học ở trên lớp.

L.L. Thurstone coi năng lực không gian như là một trong bảy nhân tố hàng đầu của trí tuệ. Ông đã chia khả năng liên quan đến không gian gồm ba thành phần: Năng lực nhận biết đặc điểm đồ vật khi nó được nhìn dưới các góc

13

độ khác nhau; năng lực hình dung sự vận động hoặc sự rời chỗ của các bộ phận bên trong của một hình dạng và năng lực tưởng tượng về các mối quan hệ không gian trong đó bộ phận căn bản của bài toán là hướng xoay của cơ thể người quan sát (dẫn theo [31, tr. 265]).

Thứ ba, về những yếu tố ảnh hưởng tới TTTKG và vấn đề phát triển

TTTKG trong dạy học toán nói chung, dạy học hình học nói riêng.

Trong cuốn [117], các tác giả đã chỉ rõ: “Sự tìm hiểu những vật thể và

hiện tượng, việc phát hiện ra những mối liên hệ giữa chúng với nhau và sự hình

thành những biểu tượng và khái niệm khoa học cũng là quá trình phát triển khả

năng quan sát, trí tưởng tượng và tư duy lôgic của học sinh”.

Viện sĩ A.D. Alecxandrov trong bài báo bàn về hình học đã đưa ra sơ đồ tam

giác, đặc trưng cho việc dạy hình học ở trường phổ thông, có ba đỉnh: Lôgic; trí

tưởng tượng; thực tế. Từ sơ đồ này sáng tỏ được hình học là sự thống nhất giữa trí

tưởng tượng sinh động với lôgic chặt chẽ. Trí tưởng tượng cho ta cái nhìn trực tiếp

các sự kiện hình học và gợi ý cho lôgic diễn đạt, lôgic chứng minh các sự kiện hình

học đó. Lôgic, đến lượt mình lại đảm bảo cho trí tưởng tượng chính xác và định

hướng tới việc thiết lập nên bức tranh phản ánh đến mối liên hệ lôgic. Mặt khác

thực tế là nguồn gốc của toán học nói chung, hình học nói riêng. Các khái niệm và

các tính chất hình học dù trừu tượng ở mức độ cao vẫn tìm thấy các ứng dụng của

nó trong thực tế (dẫn theo [15, tr. 196]).

Lôgic

Trí tưởng tượng Thực tế

2.1.2.2. Các nghiên cứu trong nước

Thứ nhất, về khái niệm, vai trò và các biểu hiện của TTTKG.

Trong chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018 [11], phát

triển TTTKG là một trong các mục tiêu của dạy học mạch kiến thức Hình học

và Đo lường.

Tác giả Nguyễn Mạnh Tuấn đã đưa ra khái niệm về TTTKG và việc phát

14

triển TTTKG cho học sinh những năm đầu tiểu học (lớp 1, 2) bằng phần mềm

giáo dục [108]. Việc sử dụng phần mềm giáo dục là cần thiết để hỗ trợ học sinh

phát triển TTTKG.

Tác giả Lê Thị Hoài Châu, trong [15], đã làm sáng tỏ các một số hoạt

động thành phần của TTTKG như: Hoạt động định hướng để di chuyển từ vị trí

này đến vị trí khác trong một thành phố không quen biết hay là di chuyển trên

biển phải sử dụng bản đồ. Người thực hiện hoạt động này cần phải tạo ra hoặc

sử dụng một sơ đồ để xác định vị trí cần đến và dự kiến hành trình; hoạt động

biểu diễn sự dịch chuyển của một vật đối với những đối tượng xung quanh nó;

xác định hướng của không gian, biểu diễn những cái mình nhìn thấy, mô tả các

khối quen thuộc trong cuộc sống hàng ngày, … Nhưng những kiến thức cần thiết

về không gian không phải bao giờ cũng được xây dựng hoàn chỉnh chỉ thông qua

hoạt động thực tiễn của mỗi người. Đằng sau các kiến thức quen thuộc được tích

lũy từ cuộc sống còn có những kiến thức hình học thuần túy. Cụ thể là việc

nghiên cứu tính đối xứng của các yếu tố, quan hệ giữa các thành phần của hình,

những phép quay bảo toàn nó, rồi việc dựng các thiết diện, việc xem xét các hình

chiếu của một hình sẽ cho phép biểu diễn nó dưới nhiều dạng khác nhau và từ đó

hiểu nó đầy đủ hơn.

Tác giả Vũ Thị Thái [97], đề xuất một định nghĩa về TTTKG, đó là:

TTTKG là hoạt động trí óc thể hiện quá trình biến đổi những biểu tượng không

gian đã có nhằm kiến tạo những biểu tượng không gian mới. Chúng ta có thể

hiểu TTTKG gồm hai yếu tố là trí tưởng tượng với tư cách là một quá trình

nhận thức và đối tượng của trí tưởng tượng là không gian.

Thứ hai, về những yếu tố ảnh hưởng tới TTTKG và vấn đề phát triển

TTTKG trong dạy học toán nói chung, dạy học hình học nói riêng.

Tác giả Nguyễn Văn Thiêm đã đưa ra: Các đặc điểm, cấu trúc, sự hình

thành và phát triển của tưởng tượng không gian đồng thời đề xuất ba mức độ về

sự hình thành biểu tượng không gian và TTTKG ở học sinh tiểu học: Phân biệt,

nhận biết; tái hiện trong óc; có những yếu tố của sự tổng hợp những biểu tượng

không gian [100].

Tác giả Đào Tam đã nhấn mạnh: Trong dạy học hình học ở trường THPT

để phát triển cho học sinh các biểu tượng không gian đúng đắn, từ đó làm cơ sở

15

cho việc phát triển TTTKG cần “Tạo cơ hội cho học sinh hình dung các hình

không gian, các quan hệ giữa các yếu tố của hình không gian từ hình biểu diễn

và ngược lại; ở mức độ cao đối với học sinh khá giỏi biết hình dung các hình

không gian qua các yếu tố đã cho trong bài toán” [93, tr. 12].

Cũng theo tác giả Đào Tam: Nếu TTTKG của học sinh còn yếu thì việc

giải quyết các vấn đề hình học không gian thường dẫn đến sai lầm do ngộ nhận

trực quan. Chẳng hạn xét bài toán: Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau và một

điểm M. Dựng đường thẳng d qua M cắt hai đường thẳng a, b. Khi giải bài toán

này, học sinh chỉ xét một vị trí nào đó của điểm M đối với hai đường thẳng chéo

nhau a, b và tìm đường thẳng d cần dựng là giao của hai mặt phẳng (P) qua a, M

và (Q) đi qua b, M. Nhiều học sinh cho rằng bài toán luôn có nghiệm, do không

biết phân hoạch các trường hợp có thể xảy ra của điểm M. Chúng ta có thể kiểm

tra trong trường hợp điểm M thuộc mặt phẳng chứa a song song với b hoặc

thuộc mặt phẳng chứa b song song với a sẽ vô nghiệm - Không có đường thẳng

M

a

b

(P)

(Q)

d thỏa mãn yêu cầu bài toán [93, tr. 15].

Hình 2.1

Về vai trò của Hình học, tác giả Bùi Văn Nghị trong cuốn Giáo trình

phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán đã nhấn mạnh: Phân

môn Hình học rất có điều kiện phát triển TTTKG, rèn luyện lập luận chứng

minh phản chứng cho học sinh. Tác giả cho rằng không có trí tưởng tượng thì

không có sự sáng tạo nào hết. Nghiên cứu hình học không gian là nghiên cứu

trên hình biểu diễn của các hình không gian trên mặt phẳng nên trí tưởng tượng

phát triển [77].

Tác giả Vũ Thị Thái [97], đã so sánh mối quan hệ giữa TTTKG và tư

duy không gian, đề xuất các tình huống dẫn đến những biến đổi biểu tượng

không gian cho học sinh tiểu học.

16

Trong cuốn Giáo dục học môn Toán đã làm sáng tỏ: Các mô hình toán đặc biệt là các mô hình hình học không gian rất có tác dụng trong việc hình thành những biểu tượng đúng đắn về các hình khối giúp học sinh phát triển TTTKG một cách vững chắc [40, tr. 224].

2.1.3. Tiểu kết về tổng quan nghiên cứu liên quan đến thiết kế các tình

huống dạy học toán và trí tưởng tượng không gian

Thông qua việc phân tích và tổng hợp các nhà giáo dục toán học liên quan

đến đề tài nghiên cứu, bước đầu chúng tôi thu được các kết quả sau:

1. Làm sáng tỏ được mối liên hệ giữa trí tưởng tượng hình học, TTTKG và trực giác hình học. Nhiều nhà giáo dục toán học đưa ra khái niệm về tư duy trực giác nên chúng tôi nhận thức rằng TTTKG liên hệ trực tiếp với tư duy trực giác.

2. Nhận thức được mối liên hệ giữa TTTKG, tư duy trực giác với tư duy lôgic và các chứng minh hình thức trong toán học: TTTKG gợi ý cho tư duy lôgic, cách diễn đạt và các chứng minh; ngược lại, nếu có tư duy lôgic tốt thì các giả thuyết đề ra nhờ TTTKG có cơ sở khoa học.

3. Các nghiên cứu trước đây chưa đưa ra định nghĩa tường minh về khái niệm TTTKG của học sinh trung học phổ thông. Các thành tố cấu thành TTTKG được thể hiện qua các nghiên cứu theo các bình diện khác nhau. Tuy nhiên, có thể kể ra những thành tố tiêu biểu nhất, chúng là những thành tố trong tổ hợp thành tố cấu thành TTTKG:

+ Khả năng hình dung các kết quả về hình dạng, quan hệ, số lượng trong

hình học được học ở trường phổ thông.

+ Khả năng hình dung các hình không gian, các mối liên hệ các hình

không gian qua hình biểu diễn.

+ Khả năng định hướng không gian, giúp nghiên cứu hình học và vận dụng vào thực tiễn: Những vấn đề liên quan đến vectơ, tọa độ, chiều quay, vị trí cần đến trong thực tế, ...

Chúng tôi thấy còn một số nội dung liên quan đến TTTKG cần phát triển cho HS nhưng chưa được nghiên cứu một cách đầy đủ, sâu sắc. Chẳng hạn các vấn đề sau đây:

- Ước lượng về độ dài, độ lớn, kích thước của các hình hình học và ước

lượng trong thực tế.

17

- Vấn đề về mối liên hệ giữa các hình, phân hoạch một hình thành các

hình quen thuộc, trải hình không gian lên mặt phẳng...

Những vấn đề vừa nêu ở trên sẽ được dự tính xem xét khi xây dựng khái

niệm về TTTKG trong luận án.

4. Làm sáng tỏ được một số vai trò của TTTKG trong dạy học hình học và

trong thực tiễn.

Những vấn đề được sáng tỏ ở đây là: - Giúp học sinh thấy được ý nghĩa của các kiến thức toán học, ý nghĩa của các vấn đề toán học trước khi thực hiện vào lập luận chứng minh, lí giải các vấn đề, lập luận để giải quyết vấn đề.

- Thông qua phát triển TTTKG giúp học sinh có những hiểu biết trong thực tế giúp hình dung được cấu tạo của các đồ vật thông qua bản vẽ, thông qua các thiết kế.

- Giúp học sinh tiếp cận phán đoán vấn đề toán học, đề ra các giả thuyết

thông qua tưởng tượng không gian.

- Giúp giải quyết vấn đề một cách sáng tạo thông qua tưởng tượng hình

dung các sự kiện mới, bài toán mới.

5. Hình dung một số hoạt động thành phần của hoạt động hình thành và

phát triển TTTKG, bao gồm:

- Hoạt động tri giác các mô hình thực tiễn, mô hình hình học để hình thành biểu tượng đúng đắn về các hình, các quan hệ liên thuộc và các quan hệ về lượng trong hình đó để hình thành các biểu tượng không gian đúng đắn. Từ đó có được TTTKG sâu sắc.

- Hoạt động xác định chiều, hướng, xác định vị trí từ điểm này sang điểm

khác, từ hình này sang hình khác.

- Hoạt động hình dung các hình, các mối quan hệ, liên hệ trong các hình qua hình biểu diễn; hoạt động xác định hình biểu diễn của một hình. Chẳng hạn, yêu cầu học sinh xác định mặt phẳng chiếu và phương chiếu để hình biểu diễn của một tứ diện gần đều là một hình chữ nhật thêm hai đường chéo.

- Hoạt động hình dung thiết diện của một hình không gian tạo bởi một

mặt phẳng nào đó.

- Hoạt động hình dung kết quả giải quyết vấn đề không cần sử dụng hình

vẽ chỉ thông qua tưởng tượng.

18

Qua nghiên cứu tổng quan thấy rằng các tác giả chưa đề cập tới các hoạt

động có ý nghĩa hình thành và phát triển TTTKG sau đây:

- Hoạt động trải một hình không gian lên hình phẳng. - Hoạt động kiến tạo một hình không gian theo các bộ phận phẳng cho trước. - Hoạt động dựng hình không gian. - Hoạt động ước lượng độ dài, diện tích, thể tích gắn với các hình trong

thực tiễn.

2.2. Tiếp cận quan điểm sư phạm về trí tưởng tượng không gian 2.2.1. Biểu tượng Theo [81], biểu tượng là hình thức của nhận thức, cao hơn cảm giác, cho ta hình ảnh của sự vật còn giữ lại trong đầu óc sau khi tác động của sự vật vào giác quan ta đã chấm dứt.

Trong tâm lí học người ta hiểu: “Biểu tượng của kí ức là những hình ảnh của các đối tượng, quá trình và hiện tượng không phải hiện đang được tri giác mà đã được tri giác trước đây” [1, tr. 43]. Biểu tượng khi hiện lên trong óc ta thì hoặc là phản ánh một cách nguyên vẹn sự vật, hiện tượng mà ta đã tri giác được, hoặc là phản ánh một cách khái quát và có khi thêm những yếu tố sáng tạo [47, tr. 85]. Như vậy, biểu tượng vừa có tính chất trực quan, vừa có tính chất khái quát. Trong biểu tượng nếu phản ánh nguyên vẹn và khái quát đối tượng thì đó là biểu tượng của trí nhớ. Nếu nó phản ánh khái quát và có thêm yếu tố sáng tạo thì đó là biểu tượng của tưởng tượng [47, tr. 86].

Các biểu tượng là cơ sở để hình thành các khái niệm. Tuy nhiên, muốn cho các biểu tượng trở thành điểm tựa cho việc lĩnh hội tri thức thì các biểu tượng phải phản ánh được các dấu hiệu đặc trưng đối với các khái niệm tương ứng. Để biểu tượng đạt được các yêu cầu nói trên đòi hỏi học sinh tri giác các đối tượng, các hình ảnh trực quan một cách đúng đắn.

2.2.2. Khái niệm không gian Khái niệm “Không gian” được đề cập đến trong luận án là không gian Euclide 2-chiều, 3-chiều trong chương trình trung học phổ thông (Dựa trên những biểu tượng không gian thực mà con người có thể cảm thụ được - Không gian vật lí). Trong các biểu tượng mà TTTKG vận hành phản ánh những tính chất (hoặc dấu hiệu) các đặc tính không gian.

Trên cơ sở đó, chúng tôi cho rằng không gian được hiểu là một cấu trúc

bao gồm các tập hợp sau đây:

19

- Các hình hình học, các vật thể; - Các tính chất định tính: hình dạng của các hình, vị trí tương đối giữa các

hình, các vật thể; phương, hướng;

- Các quan hệ trước - sau; phải - trái; - Các yếu tố về lượng: Khoảng cách, chu vi, diện tích; thể tích các hình, khối, … Việc xác định những quan hệ không gian của các đối tượng cũng như việc vận hành các biểu tượng không gian phụ thuộc vào hệ thống định hướng trong không gian hay hệ quy chiếu (Sơ đồ vật thể, căn cứ vào vị trí của người quan sát), khả năng di chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác, lựa chọn tùy ý (Các yếu tố trừu tượng như điểm, đường thẳng, …), không chú ý đến vị trí của người quan sát.

Trên cơ sở hiểu biết về biểu tượng của kí ức, chúng tôi quan niệm biểu tượng không gian là biểu tượng của kí ức về tính chất và quan hệ của các đối tượng không gian.

Trong quá trình hoạt động (Vui chơi, học tập, lao động), con người tách khỏi những tương quan không gian, phản ánh chúng thành khái niệm hay biểu tượng, bảo đảm sự tri giác những tương quan không gian đã có, biến đổi chúng trong óc, trên cơ sở đó, xây dựng biểu tượng không gian mới.

2.2.3. Khái niệm trí tưởng tượng Theo [81], trí là khả năng nhận thức, ghi nhớ, suy nghĩ, phán đoán, … của con người. Cũng theo [81], tưởng tượng là tạo ra trong trí óc hình ảnh của cái không có trước mắt hoặc chưa hề có.

Theo tâm lí học, con người không chỉ hình dung trong trí óc những cái đã từng tri giác, đã từng có trong kinh nghiệm của bản thân mà còn tạo ra những những biểu tượng về những cái mà mình chưa hề gặp, chưa hề tri giác trước đó. Những biểu tượng này không không phải là biểu tượng của trí nhớ mà là biểu tượng của tưởng tượng. Do đó, có thể định nghĩa tưởng tượng là một quá trình tâm lí phản ánh những cái chưa từng có trong kinh nghiệm của cá nhân bằng cách xây dựng những hình ảnh mới trên cơ sở những biểu tượng đã có ([46, tr. 145]).

Tưởng tượng có vai trò rất quan trọng trong mọi hoạt động của con người. Thông thường, trước khi chế tạo hay xây dựng một vật nào đó trong thực tiễn, con người đã sáng tạo ra vật đó trong trí óc của mình. Nhờ tưởng tượng mà nội dung của các biểu tượng của kí ức thường được bổ sung và thay đổi.

20

Như vậy, chúng ta có thể hiểu rằng trí tưởng tượng là khả năng nhận thức của con người nhằm tạo ra hình ảnh của những cái đã từng tri giác nhưng không có trước mắt hoặc phản ánh những cái chưa từng có trong kinh nghiệm của cá nhân bằng cách xây dựng những biểu tượng mới trên cơ sở những hình ảnh, biểu tượng đã có.

Chẳng hạn, một học sinh chưa từng đi tham quan các kim tự tháp ở Ai Cập nhưng có thể hình dưng được hình dạng không gian (biểu tượng) của chúng thông qua hình ảnh xem được trên ti vi, qua mô tả trên sách báo hoặc lời kể của người đã từng đến đó.

Ở trường phổ thông, trí tưởng tượng được phát triển sẽ giúp học sinh lĩnh hội hiệu quả tài liệu học tập. Sự tìm hiểu những vật thể và hiện tượng, việc phát hiện ra những mối liên hệ giữa chúng với nhau và sự hình thành những biểu tượng và khái niệm khoa học cũng là quá trình phát triển khả năng quan sát, trí tưởng tượng và tư duy lôgic của học sinh [118, tr. 24].

2.2.4. Quan niệm về trí tưởng tượng không gian

Theo quan điểm về không gian và trí tượng tượng ở trên, chúng ta có thể hiểu đối tượng của TTTKG ở đây là không gian, nghĩa là những biểu tượng trong quá trình tưởng tượng là những biểu tượng không gian.

Như vậy, chúng ta có thể hiểu rằng trí tưởng tượng không gian là khả năng nhận thức của con người nhằm tạo ra hình ảnh của những đối tượng không gian đã từng tri giác nhưng không có trước mắt hoặc phản ánh những đối tượng không gian chưa từng có trong kinh nghiệm của cá nhân bằng cách xây dựng những hình ảnh, biểu tượng không gian mới trên cơ sở những biểu tượng không gian đã có.

Trong [100] có nêu: “TTTKG là quá trình biến đổi trong óc những biểu tượng không gian đã có, tức là những biểu tượng về tính chất và quan hệ không gian, biến đổi một cách tự do, có chủ đích nhiều lần, theo nhiều chiều hướng khác nhau, không dựa trực tiếp vào tài liệu trực quan xuất phát, nhằm xây dựng biểu tượng không gian mới, có tính chất sáng tạo riêng, đáp ứng nhiệm vụ giải quyết vấn đề được đặt ra”.

Cấu trúc của hoạt động trí óc với những biểu tượng được diễn ra ở cả trình độ tri giác và trình độ biểu tượng. Khi hình thành hình tượng cảm tính, hoạt động được thực hiện trong quá trình biến đổi tích cực của chủ thể. Những hành động này tiến triển một cách năng động, phụ thuộc vào nội dung bài toán

21

tri giác, tính chất đối tượng và trình độ nhận thức của chủ thể. Kết quả của hành động là biểu tượng được thiết lập. Hoạt động trí óc với những biểu tượng ở đây nổi lên như hoạt động trí óc độc lập, hoạt động tưởng tượng thực hiện chủ yếu không dựa vào tri giác và có một cấu trúc phức tạp (bao gồm những hành động nhằm ghi nhớ trong óc hình ảnh ban đầu đã hình thành, ấn định trong biểu tượng những biến đổi khác nhau hình ảnh đó, có căn cứ yêu cầu bài toán) nhằm vận hành tự do và nhiều lần hình tượng đó. Hoạt động này theo [108] được đặc trưng:

- Điều kiện đặc biệt xây dựng hình ảnh bên trong (Tách khỏi cơ sở trực quan); - Nội dung của hoạt động (Biến đổi những biểu tượng đã có); - Trình độ thực hiện hoạt động (Biến đổi trong óc theo biểu tượng nhiều

lần, có hệ thống hoàn chỉnh).

2.3. Đặc trưng của trí tưởng tượng không gian Để đưa ra đặc trưng của TTTKG, các căn cứ quan trọng là: - Xuất phát từ các quan niệm về TTTKG của các tác giả đã trình bày trong tổng quan nghiên cứu ở trong nước và nước ngoài cũng như quan niệm về TTTKG ở trên;

- Dựa vào các kết quả nghiên cứu về đặc điểm bản chất của việc dạy hình học ở trường phổ thông, đặc biệt là nghiên cứu của Viện sĩ A.D. Alecxandrov về ba thành tố đặc trưng của việc dạy hình học là: Thực tế, lôgic, trí tưởng tượng;

- Nhận thức về những sai lầm của HS do không hiểu các quan hệ, các mối liên hệ giữa các đối tượng hình học trong không gian. Sai lầm phổ biến nảy sinh trong quá trình học tập hình học không gian là các em chỉ quan tâm thao tác trên các phép toán hình thức mà không hình dung được các mối quan hệ giữa các đối tượng hình học, đặc biệt là khi nghiên cứu hình học bằng công cụ vectơ và phương pháp tọa độ.

Từ kết quả nghiên cứu nêu trên, trong luận án này chúng tôi quan niệm rằng

TTTKG thuộc phạm trù trực giác hình học đặc trưng bởi các khả năng sau đây:

- Khả năng hình dung các hình không gian qua các hình biểu diễn; - Khả năng xác định vị trí tương đối giữa các hình hình học; - Khả năng xác lập mối quan hệ phụ thuộc giữa các hình hình học; - Khả năng hình dung các mặt cắt, giao các hình không gian; - Khả năng ước lượng kích thước các hình không gian; - Khả năng chuyển hóa các quan hệ, các mối liên hệ vào các mô hình hình

học đã biết thuận tiện cho việc giải quyết vấn đề;

22

- Khả năng chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học này sang hình học khác để

trực quan hóa mô hình nghiên cứu;

- Khả năng khai triển các hình thuận tiện cho việc tính toán; - Khả năng sơ đồ hóa, tọa độ hóa để xác định vị trí, kích thước, khoảng

cách giữa các hình;

- Khả năng mô hình hóa các hiện tượng thực tiễn bằng ngôn ngữ và kí

hiệu hình học;

- Khả năng xác lập các đối tượng không gian mới trên cơ sở các đối tượng

không gian đã có.

Với cách hiểu về đặc trưng như trên thì đối với học sinh trung học phổ

thông TTTKG có 2 mức độ:

Mức độ 1: Giúp hiểu sâu sắc các đối tượng hình học, các mối liên hệ, quan hệ giữa các đối tượng hình học, ý nghĩa hình học của các biểu thức hình thức được diễn đạt theo ngôn ngữ đại số (Ngôn ngữ vectơ, tọa độ). Thực chất là hiểu được nội dung hình học thông qua các biểu hiện hình thức của nó.

a

b a b

Ví dụ 2.1. Khi dạy học chủ đề hai đường thẳng chéo nhau, có thể cho học sinh trải nghiệm xem xét các hình sau có phải là hình biểu diễn của hai hình chéo nhau.

a

a

. B

b

Hình 2.2 Hình 2.3

Hình 2.4 Hình 2.5

23

Học sinh dễ dàng thấy được hình 2.2, hình 2.3 và có thể gặp khó khăn ở

hình 2.4, hình 2.5. Giáo viên sẽ định hướng để cho học sinh tưởng tượng được:

- Đối với hình 2.4, ta chiếu hai đường thẳng chéo nhau theo phương song

song với hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng chéo nhau và có

phương không song song với hai đường thẳng đó lên mặt phẳng chiếu giao với

hai mặt phẳng đó;

- Đối với hình 2.5, ta chiếu hai đường thẳng chéo nhau theo phương song

song với một trong hai đường thẳng đó lên mặt phẳng chiếu.

Hiểu được các hình biểu diễn trên là hình biểu diễn hai đường thẳng chéo

nhau đòi hỏi học sinh phải có được các biểu tượng sâu sắc về phép chiếu song

song và các kiến thức liên quan tới hai đường thẳng chéo nhau.

Mức độ 2: Giúp kiến tạo các đối tượng hình học mới trên cơ sở biến đổi

các đối tượng và quan hệ đã có.

Ví dụ 2.2. Trên cơ sở học sinh đã có biểu tượng hình hộp chữ nhật là hình

lăng trụ có các mặt là hình chữ nhật, các mặt đối diện là các hình chữ nhật bằng

nhau và cũng đã biết về tứ diện gần đều, đó là hình tứ diện có các cặp cạnh đối diện

bằng nhau. Học sinh có thể hình dung được trong hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ có các cặp đường chéo bằng nhau: BD = A’C’; A’B = DC’; BC’

= A’D. Từ đó, học sinh phát hiện được tứ diện BDA’C’ là tứ diện gần đều. Khi đó

học sinh có thể tưởng tượng không gian để phát hiện mệnh đề sau đây: “Tồn tại

một hình hộp chữ nhật ngoại tiếp tứ diện gần đều”.

Có thể chỉ ra sự tồn tại này bằng cách qua các cặp cạnh đối ta dựng các

cặp mặt phẳng song song. Các cặp mặt phẳng này cắt nhau tạo thành một hình

hộp chữ nhật (Hình 2.6).

Hình 2.6

24

Qua ví dụ này ta thấy rằng: Trí tưởng tượng không gian không chỉ là hoạt động xây dựng biểu tượng mới trên cơ sở các biểu tượng đã có, mà còn trên cơ sở các tri thức đã có. Trong ví dụ trên, tri thức đã có là: Tồn tại duy nhất một cặp mặt phẳng song song đi qua hai đường thẳng chéo nhau.

2.4. Mối liên hệ giữa trực quan, trí tưởng tượng không gian và tư duy

toán học trong dạy học hình học ở trường trung học phổ thông

Tưởng tượng là một hoạt động tinh thần quan trọng của con người. Nó có mối quan hệ mật thiết với các biểu tượng và tư duy và đã được các nhà tâm lí học quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn các công trình [37], [46], [81], [101], [112], [113], …

Theo [37], “Khi con người đứng trước một hoàn cảnh có vấn đề - nguồn khởi đầu của hoạt động - thì sẽ có hai hệ thống phản ánh đi trước của ý thức đối với kết quả của hoạt động đó: hệ thống được tổ chức chặt chẽ của các hình ảnh và hệ thống được tổ chức chặt chẽ của các khái niệm. Khả năng lựa chọn và kết hợp các hình ảnh là cơ sở của tưởng tượng, khả năng kết hợp những khái niệm theo một cách mới là cơ sở của tư duy. Thường thì hoạt động này diễn ra cùng một lúc ở cả hai “tầng”, bởi vì hai hệ thống hình ảnh và khái niệm có liên quan mật thiết với nhau, ví dụ sự lựa chọn một phương thức hoạt động được thực hiện bằng những phán đoán lôgic gắn liền với những biểu tượng sáng rõ về hoạt động sẽ được thực hiện như thế nào”.

Giữa tưởng tượng và tư duy có những điểm giống và khác nhau mà một căn cứ để phân biệt quan trọng là ở tính bất định của hoàn cảnh có vấn đề. “Giống với tư duy, tưởng tượng phản ánh cái mới, chưa từng có trong kinh nghiệm của cá nhân, nó cũng do các tình huống có vấn đề gây nên. Cho nên tưởng tượng cũng thuộc trình độ nhận thức lí tính và thực chất nó là một quá trình sáng tạo cái mới (Mới đối với bản thân và đối với cả loài người). Nhưng khác với tư duy, tình huống có vấn đề trong tưởng tượng mang tính chất không xác định và phương thức phản ánh hiện thực khách quan của tưởng tượng là thông qua các biểu tượng và dưới hình thức biểu tượng” [101]. Điều này cũng gián tiếp thể hiện giá trị của tưởng tượng, đó là nó có thể giúp tìm ra được lối thoát trong hoàn cảnh có vấn đề ngay cả khi không có đủ những tri thức cần thiết để tư duy, ngoài ra nó cũng cho phép nhảy cóc qua một vài giai đoạn nào đó của tư duy mà vẫn cứ hình dung được kết quả cuối cùng. Tuy nhiên, đó cũng

25

chính là điểm yếu của tưởng tượng thể hiện ở chỗ giải quyết vấn đề bằng tưởng tượng thường không có sự chính xác, chặt chẽ.

Về TTTKG, từ lâu các nhà khoa học đã nghiên cứu về khái niệm này cũng như mối quan hệ của nó với trực quan và tư duy toán học. Trong [31], H. Gardner đã xem TTTKG là một trong các thành phần của đa trí tuệ. Trong [97], Vũ Thị Thái đã xây dựng được khái niệm TTTKG của học sinh tiểu học, đề xuất được các biện pháp để bồi dưỡng khái niệm đó. Trong [100], tác giả Nguyễn Văn Thiêm đã đưa ra các phương pháp phát huy TTTKG của học sinh khi dạy hình học phẳng, … Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán 2018 có mạch kiến thức Hình học và Đo lường, một trong những mục tiêu của mạch kiến thức này ở cả ba cấp học là phát triển TTTKG [11].

Các nghiên cứu đã chỉ ra ở trên đem đến những kết quả quan trọng trong phân tích, phát triển TTTKG. Tuy nhiên, các tác giả chưa quan tâm nghiên cứu một cách sâu sắc mối quan hệ giữa trực quan, biểu tượng, tư duy, đặc biệt là tư duy trực giác, tư duy lôgic, các tri thức về quan hệ không gian với TTTKG trong dạy học hình học ở trường trung học phổ thông. Trong luận án này chúng tôi phân tích làm sáng tỏ mối quan hệ đó nhằm làm cơ sở khoa học cho việc đề ra các phương thức rèn luyện TTTKG cho học sinh.

2.4.1. Khái niệm về trực quan Trong lí luận dạy học Xô viết, trực quan được giải thích: “Như là một yêu cầu của việc dạy học sao cho học sinh hình thành các biểu tượng, khái niệm trên cơ sở tri giác sinh động, các đối tượng, hiện tượng được nghiên cứu của thế giới khách quan hay là các biểu diễn của chúng” [118, tr. 65].

Ngày nay trong giáo dục toán học ở trường trung học phổ thông, trực quan của đối tượng, hiện tượng cần nghiên cứu của học sinh không chỉ là các đồ vật, đối tượng, quá trình của hiện thực xung quanh mà trực quan được sử dụng có thể là hình vẽ, hình biểu diễn của các hình không gian, các biểu diễn trực quan, kể cả biểu diễn trực quan động.

Biểu diễn trực quan động được hiểu là các biểu diễn trực quan được xây dựng trên màn hình máy tính với sự hỗ trợ của các phần mềm toán học động cho phép học sinh thực hiện các thao tác “Kéo rê, ẩn/hiện, tạo vết, tịnh tiến, quay, đo đạc, tính toán, sắp xếp dữ liệu, thay đổi giá trị các tham số…” lên các đối tượng được biểu diễn.

26

2.4.2. Khái niệm về tư duy lôgic Do các đối tượng của TTTKG là các mối liên hệ, quan hệ, các quy luật toán học cần phải được kiểm chứng về tính đúng sai. Vì vậy, TTTKG cần phải gắn với tư duy lôgic. Theo tác giả M.Iu. Koliagin: “Tư duy lôgic được đặc trưng bởi khả năng rút ra các hệ quả từ các tiền đề đã cho, khả năng phân chia triệt để các trường hợp riêng, khả năng dự đoán kết quả cụ thể bằng con đường lí thuyết, tổng quát hóa các kết quả thu được” [55]. Cũng giống như các loại hình tư duy khác, tư duy lôgic cũng có điểm tựa

từ các trực quan sinh động.

Ví dụ 2.3. Từ vị trí tương đối giữa một đường thẳng và đường tròn được xét nhờ sự phân chia các trường hợp khoảng cách d từ tâm đến đường tròn đó: Nếu d > R thì đường thẳng nằm ngoài đường tròn; nếu d < R thì đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm; trường hợp riêng d = 0 thì đường thẳng đó chứa đường kính của đường tròn; nếu d = R thì đường thẳng đó là tiếp tuyến. Nhờ việc xét sự tương tự giữa đường thẳng và đường tròn, tương tự giữa mặt phẳng và mặt cầu và biểu tượng trực quan, học sinh có thể phát hiện mệnh đề: “Nếu khoảng cách d từ tâm O của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bé hơn bán kính R của mặt cầu thì giao giữa mặt phẳng và mặt cầu là đường tròn thuộc mặt phẳng đó có tâm là H - hình

chiếu của O lên (P) và bán kính r = ”.

A

N

M

B

Biểu tượng trực quan nói ở đây có thể được tạo như sau: Hình tròn được hàn bằng thép, gắn kết với dây cung được đục lỗ ở trung điểm. Hệ thống trên có thể quay xung quanh trục xuyên qua hai điểm là hai đầu mút đường kính của đường tròn, sao cho đường kính AB được định vị như hình vẽ dưới. Khi quay nhanh quanh trục cố định được cắm vào giá đỡ, các vị trí của đường tròn trong không gian tạo biểu tượng mặt cầu, còn dây cung MN quét một dường tròn. Các điểm M, N quay tạo biểu tượng đường tròn (Hình 2.7).

Hình 2.7

27

Giáo viên cũng có thể tạo biểu tượng trực quan nhờ sử dụng phần mềm

toán học động.

2.4.3. Quan niệm về mối liên hệ giữa trí tưởng tượng không gian và tư

duy trực giác

Theo tác giả M.Iu. Koliagin: “Tư duy trực giác đặc trưng bởi sự thiếu vắng

các bước xác định rõ ràng. Nó có khuynh hướng tri giác thu gọn toàn bộ vấn đề

ngay lập tức. Người ta có thể đạt được câu trả lời “đúng” hoặc “sai”” [55, tr. 143].

Ngày nay sự phát triển của tư duy trực giác đã cuốn hút nhiều nhà sư

phạm toán tiến bộ. Khi nói về vai trò của tư duy trực giác trong dạy học toán,

Viện sỹ A.N. Kônmôgôrôv ở Liên bang Nga đã viết: Khắp mọi nơi có thể các

nhà toán học đã cố gắng làm cho các vấn đề được nghiên cứu của họ được trực

quan bằng hình học, ... Trí tưởng tượng hình học hay như người ta đã nói “Trực

giác hình học đóng vai trò to lớn trong hoạt động nghiên cứu hầu khắp tất cả các

lĩnh vực toán học, thậm chí cả những vấn đề trừu tượng” [55, tr. 44].

Từ nhận định trên, chúng tôi cho rằng TTTKG là một lĩnh vực của trí

tưởng tượng hình học và từ đó TTTKG thuộc phạm trù của tư duy trực giác.

Thông thường tư duy trực giác dựa trên sự quen biết những kiến thức cơ

bản ở lĩnh vực đã cho với cấu trúc của chúng. Điều đó cho phép con người thực

hiện được dưới dạng các bước nhảy, sự chuyển tiếp nhanh chóng, sự bỏ qua các

mắt xích riêng biệt trong quá trình lập luận. Những đặc tính này đòi hỏi sự kiểm

tra các kết luận bằng các phương tiện phân tích, quy nạp hoặc suy diễn.

Từ sự phân tích trên, chúng tôi cho rằng trong quá trình dạy học toán, tư

duy trực giác cũng như TTTKG chưa đảm bảo kiến thức đúng đắn về các đối

tượng. Để đảm bảo tính chính xác về các kiến thức cần phải tiến hành quá trình

lập luận lôgic, dựa vào tư duy lôgic.

Nhiều nhà sư phạm cho rằng có thể đầu tiên cần sự hiểu biết trực giác về

kiến thức và chỉ khi đó mới làm quen học sinh với phương pháp hình thức của

suy diễn và chứng minh. Từ đó chúng tôi cho rằng việc phát triển TTTKG giúp

học sinh tiếp cận cách phát hiện vấn đề.

Ví dụ 2.4. Nhờ tri thức về hình hộp và tri thức về các bất biến của phép

chiếu song song, học sinh có thể tưởng tượng không gian đưa ra mệnh đề: Hai

đường thẳng song song là hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau.

28

Có thể mô tả TTTKG của các em như sau (Hình 2.8):

Hình 2.8

Có thể nhờ tư duy lôgic, lập luận mệnh đề nói trên là đúng. Thật vậy, qua hai đường thẳng chéo nhau có thể dựng cặp mặt phẳng song song lần lượt chứa chúng. Khi đó, thực hiện phép chiếu song song theo phương song song với hai mặt phẳng và không song song với một trong hai đường thẳng chéo nhau, lên mặt phẳng (P) cắt hai mặt phẳng song song nói trên, ta sáng tỏ được mệnh đề trên là đúng.

Như vậy, qua ví dụ trên ta thấy nhiều khi TTTKG có được nhờ độ thuần thục của các tri thức đã có và khả năng hình dung các hình không gian, các quan hệ không gian chứ không phải nhờ sử dụng hình ảnh trực quan trực tiếp. 2.4.4. Mối liên hệ giữa trực quan và trí tưởng tượng không gian 2.4.4.1. Mối liên hệ theo phương thức thứ nhất Từ sự phân tích trên ta thấy việc chuyển từ trực quan sang TTTKG được

thực hiện thông qua các biểu tượng của kí ức về không gian.

Biểu tượng của kí ức về không gian là sản phẩm của tri giác trực tiếp các đối tượng, hiện tượng, quá trình hoặc tri giác hình ảnh thật của chúng. Trong trường hợp này, một trong những nhiệm vụ chủ yếu của việc sử dụng các tài liệu trực quan là hình thành những biểu tượng cụ thể trong kí ức của học sinh.

Thông qua tri giác nhiều lần có chủ định để tìm hiểu các thuộc tính của các đối tượng, các quy luật học sinh có được các biểu tượng của kí ức. Từ các biểu tượng của kí ức này, thông qua các hoạt động suy đoán, suy luận có lí để xây dựng các biểu tượng không gian mới, đó chính là TTTKG.

2.4.4.2. Mối liên hệ theo phương thức thứ hai Trực quan cũng được dùng làm điểm tựa cho các thao tác tư duy khác nhau để vạch ra các thuộc tính bản chất của các đối tượng, các mối liên hệ có tính quy luật giữa các đối tượng, quá trình và hiện tượng, từ đó hình thành các tri thức nói chung và tri thức về mối liên hệ không gian nói riêng.

Khi tri thức về các mối liên hệ không gian nhuần nhuyễn, học sinh có thể xây dựng các biểu tượng không gian mới thông qua việc tri giác gián tiếp tài liệu.

29

Theo [1], ta hiểu tri giác gián tiếp là tri giác ngôn ngữ, lời nói, sự mô tả các đối tượng, hiện tượng, quá trình, sự kiện và các mối liên hệ có tính quy luật. Tri giác này đòi hỏi học sinh phải thông hiểu từng từ ngữ, từng tư tưởng được nghiên cứu trong quá trình học tập.

Chúng tôi mô tả TTTKG thông qua tri giác gián tiếp, sử dụng các kiến

thức đã được hình thành nhuần nhuyễn trong quá trình tư duy.

Ví dụ 2.5. Học sinh khá, giỏi có thể tưởng tượng không gian hình dung được một mặt phẳng vuông góc với đường chéo AC1 của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 tại trung điểm O của đường chéo đó là một hình lục giác tạo bởi giao của mặt phẳng đi qua trung điểm các cạnh không cắt đường chéo AC1 với các mặt của hình lập phương.

Họ hình dung được như vậy là do họ tri giác gián tiếp hiểu được trung điểm của các cạnh không cắt đường chéo AC1 cách đều hai đầu mút của đường chéo đó. Khi đó, tam giác có đỉnh là trung điểm của các cạnh nói trên và đáy là AC1 là tam giác cân. Khi đó, đoạn nối trung điểm của cạnh nói trên với trung điểm O của đường chéo là đường cao của các tam giác cân đó.

Để thuận tiện theo dõi chúng tôi mô tả các yếu tố vừa phân tích qua hình

biểu diễn của hình lập phương và thiết diện nhận được như sau:

Trên hình vẽ, nếu ta gọi R là trung điểm của CD thì độ dài đoạn thẳng AR = C1R, do đó tam giác RAC1 là tam giác cân tại R nên RO là đường cao tam giác RAC1 suy ra RO thuộc mặt phẳng thiết diện. Tương tự, ta gọi M, N, P, Q, S lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1, A1B1, A1D1, DD1, BC thì các đoạn thẳng OM, ON, OP, OQ, OS thuộc mặt phẳng thiết diện. Như vậy, mặt phẳng đi qua và vuông góc với trung điểm đường chéo AC1 của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cắt các mặt phẳng của hình lập phương theo lục giác MNPQRS (Hình 2.9).

Hình 2.9

30

2.4.5. Mối liên hệ giữa tư duy lôgic và trí tưởng tượng không gian Do kết quả của TTTKG trong dạy học toán là các mệnh đề giả định về các mối liên hệ, quan hệ của các đối tượng không gian cần được kiểm chứng. Để khẳng định TTTKG đúng ta cần phải chứng minh bằng lập luận lôgic, sử dụng tư duy lôgic. Ngược lại, từ tư duy lôgic giúp chủ thể chiếm lĩnh tri thức toán học,

những tri thức này là cơ sở cho TTTKG tốt.

Ví dụ 2.6. S. Papert đã đưa ra một vấn đề như sau: “Hãy tưởng tượng có một sợi dây thép bao quanh đường xích đạo của quả đất, với mục đích này ta giả sử quả đất là quả cầu trơn với bán kính 6400 km. Có người đề xuất một dự án đặt một sợi dây trên các cọc cao 1,8 m dọc theo đường xích đạo. Rõ ràng điều này suy ra rằng sợi dây mới phải dài hơn sợi dây cũ. Nhưng dài hơn là bao nhiêu?” (dẫn theo [114, tr. 85]).

Rõ ràng ở tình huống này, học sinh đã có biểu tượng không gian là hình cầu và đường tròn lớn của nó, biểu tượng này có được không phải do học sinh nhìn thấy quả đất thực mà nhờ mô tả quả đất và đường xích đạo nhận được từ môn Địa lí chẳng hạn. Tình huống này vừa có yếu tố thực là quả đất, bán kính quả đất, đường xích đạo vừa đòi hỏi học sinh trí tưởng tượng không gian rất cao bởi không thể có sợi dây nào dài đến mức bao quanh quả đất và không có dự án thực tế nào có thể cắm được các cọc dọc theo đường xích đạo và đặt được sợi dây trên các cọc này. Bằng trực giác, học sinh có thể hình dung ra kết quả là sợi dây mới sẽ dài hơn sợi dây cũ rất nhiều. Tuy nhiên, nếu kí hiệu R là bán kính của quả đất và h là chiều cao của cọc, theo công thức tính chu vi của đường tròn đã biết ta tính được phần dài hơn d của sợi dây mới so với sợi dây cũ là:

d = 2(R + h) - 2R = 2h

Kết quả thu được là nhỏ hơn 12 m, giá trị này thực sự là: + Nhỏ một cách đáng ngạc nhiên không như trực giác mang lại; + Không phụ thuộc vào bán kính của quả đất. Như vậy, ví dụ này đã minh chứng rằng các hình dung theo trực giác ban đầu có thể bị sai, điều này làm cho nhiều người không tin tưởng vào chúng và chỉ có lập luận lôgic trên các kí hiệu mới đáng tin cậy để xem xét. Lo lắng này đã dẫn Papert đến một lời giải trực quan, bắt đầu từ một trường hợp khá đơn giản, đó là tưởng tượng có một sợi dây bao quanh một “quả đất hình vuông” (Hình 2.10a). Sợi dây trên các cọc được xem là cách hình vuông một đoạn là h.

31

Dọc theo một cạnh thì dây là đoạn thẳng. Khi chạy quanh góc, nó theo một cung của đường tròn bán kính h. Độ dài tăng thêm tất cả chỉ ở các góc, bốn phần tư

đường tròn làm thành một đường tròn nên có tổng chiều dài là 2h. Nếu ta tăng

độ dài các cạnh của hình vuông thì độ dài dây tăng thêm vẫn là bốn phần tư

Hình 2.10a Hình 2.10b

đường tròn, tức phần dài thêm vẫn là 2h. Tiếp theo, ông tiến đến biến dạng

“liên tục” hình vuông thành hình tròn (đường xích đạo của quả đất): Đầu tiên, ta xem xét bát giác đều (Hình 2.10b). Các đoạn tăng thêm của sợi dây đều ở các góc của bát giác đều mà nếu ghép chúng lại với nhau sẽ lập thành một đường

tròn bán kính h, tức là phần dài thêm của sợi dây mới vẫn là 2h. Như trường hợp

của hình vuông, đường tròn này vẫn như nhau khi bát giác đều có cạnh to hay nhỏ. Những gì nghiệm đúng đối với hình vuông (4-cạnh đều) và bát giác đều (8- cạnh đều) cũng đúng đối với hình 100-cạnh đều và rồi với 1000-cạnh đều.

Đến lúc này, kết quả kí hiệu hình thức cũng trở nên thuyết phục một cách

trực quan và do đó cũng trực giác. Trực quan hoá ở đây có đóng góp ở chỗ hỗ

trợ cho học sinh điều chỉnh các trực giác “sai” của mình và điều hoà chúng với

tính đúng đắn khô khan và đôi khi thiếu rõ ràng của lập luận lôgic theo kí hiệu

hình thức (dẫn theo [114, tr. 86]). Ở đây, học sinh được đòi hỏi và qua đó phát

triển trí tưởng tượng không gian thông qua hai tình huống: Thứ nhất, phải tưởng

tượng được khi chạy quanh góc của n-giác đều thì sợi dây theo một cung tròn

bán kính h; thứ hai, phải tưởng tượng được bước chuyển từ đa giác đều n cạnh

hữu hạn sang đa giác đều vô số cạnh (tiệm cận đường tròn ngoại tiếp đa giác).

Từ sự phân tích các nghiên cứu trên, chúng tôi đưa ra sơ đồ mối liên hệ

giữa trực quan, tư duy lôgic, TTTKG và tri thức như sau (Hình 2.11):

32

Hình 2.11

Sơ đồ trên được đưa ra từ sự phân tích các mối quan hệ giữa các thành tố:

Trực quan, TTTKG, tư duy, đặc biệt là tư duy lôgic.

Trong đó sơ đồ nhấn mạnh các mối liên hệ sau:

- Trực quan là điểm tựa cho tư duy nói chung, nói riêng là tư duy lôgic.

Ngược lại, từ tư duy trừu tượng, nói riêng là tư duy lôgic đạt trình độ bậc cao lại

được soi sáng bởi trực quan phong phú hơn.

- Thông qua trực quan xây dựng các biểu tượng không gian, từ đó xây

dựng các biểu tượng mới - TTTKG. Ngược lại, nếu người có TTTKG tốt thì sẽ

nhìn nhận trực quan phong phú và sâu sắc hơn.

- Do sản phẩm của TTTKG có thể đúng hoặc sai nên chúng cần được

kiểm chứng nhờ tư duy lôgic. Ngược lại, nếu có tư duy lôgic tốt thì các giả

thuyết đề ra nhờ TTTKG có cơ sở khoa học.

- Nhờ có tri thức về mối liên hệ không gian phong phú cho phép học sinh

đưa ra các biểu tượng không gian mới một cách gián tiếp - đó là TTTKG. Ngược

lại, nhờ có các mệnh đề là sản phẩm của TTTKG, chúng sẽ trở thành tri thức

mới thông qua kiểm chứng lôgic.

- Nhà sư phạm Xcatkin đã khẳng định rằng: “Sẽ không có gì trong đầu óc

về những điều mà trước đó không được cảm thụ trực giác” [118, tr. 65]. Nhận

định này có nghĩa là tri thức có được bắt đầu với các đối tượng trực quan, bắt

đầu bằng tri giác. Ngược lại, nếu có tri thức trừu tượng về mối liên hệ không

gian thì cho phép nhìn nhận trực quan phong phú hơn.

Từ sự phân tích trên cho ta thấy, trọng tâm của việc dạy học hình học ở

trường trung học phổ thông là giải quyết tốt các mối liên hệ biện chứng giữa các

thành tố nêu trong sơ đồ trên.

33

Như vậy, mối liên hệ giữa trực quan, TTTKG, tư duy lôgic và tri thức toán học có vai trò rất quan trọng trong việc phát triển TTTKG cho học sinh ở trường THPT. Các tác giả đã phân tích làm sáng tỏ mối quan hệ đó và khai thác mối liên hệ này là cơ sở cho việc đưa ra các giải pháp nhằm phát triển TTTKG cho học sinh THPT góp phần đổi mới giáo dục toán học trong giai đoạn hiện nay.

2.5. Các hoạt động hướng tới hình thành và phát triển trí tưởng tượng

không gian trong dạy học hình học ở trường trung học phổ thông

Dựa vào các kết quả nghiên cứu tổng quan, đặc biệt là các kết luận từ việc nghiên cứu tổng quan liên quan tới hoạt động có định hướng hình thành và phát triển TTTKG; trên cơ sở các đặc trưng cấu thành TTTKG rút ra từ định nghĩa về TTTKG nêu trong mục 2.4 và dựa vào phân tích các mối liên hệ biện chứng giữa trực quan, biểu tượng, TTTKG, tư duy lôgic và tri thức, chúng tôi đưa ra các hoạt động thành tố nhằm hình thành và phát triển TTTKG sau đây:

Hoạt động 1: Hoạt động quan sát, tri giác các mô hình hình học lấy trong thực tiễn, các hình biểu diễn của các hình không gian với mục tiêu để học sinh phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa, từ đó thu được các biểu tượng đúng đắn về các hình hình học - các yếu tố cấu thành và mối liên hệ giữa các yếu tố đó. Từ đó hình thành TTTKG cho học sinh.

Hoạt động 2: Hoạt động biểu diễn một hình không gian lên mặt phẳng từ

đơn giản đến phức tạp.

Thực hiện hoạt động này giúp học sinh nắm được các bất biến của phép chiếu song song. Từ đó giúp học sinh có được khả năng đọc các bản vẽ, hình dung được các kết cấu của các hình không gian trong thực tế qua bản vẽ.

Hoạt động 3: Hoạt động hình dung các hình không gian qua hình biểu diễn. Thực hiện hoạt động này giúp học sinh hiểu đúng các mối quan hệ không

gian và giúp tránh được các sai lầm trong việc giải quyết các vấn đề hình học.

Hoạt động 4: Hoạt động hình dung các bước giải quyết các vấn đề không

gian thông qua tưởng tượng, không quan sát hình vẽ.

Hoạt động này giúp định hướng cho việc trình bày giải quyết vấn đề bằng con đường lôgic, giúp phát triển tư duy trực giác: Thấy được chiến lược giải quyết vấn đề, ý nghĩa của việc giải quyết vấn đề trước khi thực hiện vào giải quyết vấn đề.

Hoạt động 5: Sử dụng phương pháp tọa độ để mô tả vị trí các địa điểm

trong thành phố hoặc trên biển.

34

Hoạt động này một mặt giúp phát triển TTTKG (Xét trong không gian hai

chiều) về các phương diện xác định hướng và chiều trên mặt phẳng. Hoạt động 6: Xác định kích thước, độ lớn của các hình. Hoạt động 7: Ước lượng các đại lượng hình học. Thực hiện hoạt động này cho phép kết nối việc dạy học phát triển TTTKG

với việc giải quyết các vấn đề thực tiễn.

Hoạt động 8: Hoạt động tìm tòi, phát hiện các mối liên hệ giữa các hình

không gian.

Thực hiện hoạt động này nhằm luyện tập cho HS phát triển các khả năng: - Khả năng phân loại các hình từ trường hợp đặc biệt đến trường hợp tổng

quát thông qua sử dụng sơ đồ Ven.

- Xác định mối quan hệ phụ thuộc. - Xem xét quan hệ nội tiếp, ngoại tiếp giữa các hình. Hoạt động 9: Hoạt động cắt các hình phẳng, ghép thành hình không gian. Thực hiện hoạt động này giúp phát hiện lời giải của bài toán không gian thể hiện trong mặt phẳng. Từ đó phát hiện mối liên hệ giữa mặt phẳng với không gian giúp phát triển TTTKG cho HS.

Hoạt động 10: Hoạt động tách các bộ phận phẳng của hình không gian. Thực hiện hoạt động này cho phép chuyển bài toán không gian về bài toán phẳng. Từ đó thiết lập được mối liên hệ giữa hình học phẳng với hình học không gian, qua đó góp phần phát triển TTTKG. Hoạt động 11: Hoạt động trải hình. Thực hiện hoạt động này cho phép chuyển bài toán không gian phức tạp

thành bài toán phẳng quen thuộc.

Hoạt động 12: Hoạt động chuyển việc giải quyết vấn đề từ mô hình hình

học này sang mô hình hình học khác đơn giản hơn.

Giải quyết vấn đề này chẳng những rèn luyện được TTTKG mà còn giúp rèn luyện khả năng liên tưởng, chuyển hóa các liên tưởng. Từ đó khắc phục được những khó khăn trong việc chiểm lĩnh kiến thức hình học.

Hoạt động 13: Hoạt động mô hình hóa. Yêu cầu của hoạt động này là chuyển thể các tình huống thực tế sang mô

hình toán nhờ sử dụng ngôn ngữ hình học và các hình hình học.

Trên đây chúng tôi trình bày các hoạt động điển hình, nổi bật cần luyện tập để hình thành và phát triển TTTKG. Các hoạt động này được lồng ghép vào

35

trong các tình huống dạy học theo định hướng phát triển TTTKG. Ở đây chúng tôi không phân định hoạt động nào là hoạt động hình thành, hoạt động nào là phát triển. Lí do không phân định này còn phụ thuộc vào chức năng của các tình huống trong dạy học các tình huống điển hình của môn toán ở trường phổ thông. 2.6. Vai trò của việc bồi dưỡng trí tưởng tượng không gian cho học

sinh trong dạy học hình học ở trường trung học phổ thông

Từ việc nghiên cứu tổng quan các nghiên cứu ở nước ngoài và trong nước; làm sáng tỏ khái niệm về TTTKG trong dạy học hình học, xem xét mối liên hệ giữa trực quan, biểu tượng, TTTKG, tư duy trực giác và tư duy lôgic, các kiến thức hình học, làm sáng tỏ các hoạt động thành phần then chốt cần luyện tập để phát triển TTTKG, chúng tôi đưa ra vai trò của TTTKG đối với việc giáo dục toán học cũng như trong thực tiễn.

2.6.1. Giáo dục học sinh nắm ý nghĩa của vấn đề trước khi thực hiện

giải quyết vấn đề hình học

Việc phát triển TTTKG cho học sinh trong dạy học hình học giúp học sinh định hướng được cách giải quyết vấn đề đúng đắn. Vai trò nhận dạng vấn đề là ở chỗ giúp học sinh liên tưởng các vấn đề cần giải quyết với các kiến thức và kinh nghiệm đã có. Nhận dạng vấn đề sẽ giúp học sinh biết huy động các kiến thức liên quan để giải quyết vấn đề, đặc biệt là giúp họ tưởng tượng được quy trình các bước đề giải quyết vấn đề đó.

Ví dụ 2.7. Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC). Hãy

O

A

C

H

M

B

chứng minh

Hình 2.12

36

Cách nhận dạng 1: Tứ diện vuông và tam giác vuông là các đơn hình ba chiều và hai chiều nên cách giải quyết tương tự như tính chất của đường cao trong tam giác vuông.

Từ đó cho hướng giải quyết bài toán là tách các bộ phận phẳng để đưa về

O

A

B

H

bài toán phẳng (Hình 2.13).

Hình 2.13

Sử dụng công thức tính diện tích trong tam giác OAB ta có:

OH.AB = OA.OB

Cách nhận dạng 2: Sử dụng công thức tính thể tích tứ diện.

Ta có:

Suy ra điều cần chứng minh. Ví dụ 2.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB vuông cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD).

Bài toán yêu cầu tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là bài toán quen thuộc của học sinh trung học phổ thông nhưng khó khăn là làm thế nào xác định được hình chiếu của điểm đó lên mặt phẳng cần tìm. Ta có thể có phương án nữa là tính được diện tích tam giác SCD nhưng khó khăn nữa là làm thế nào để tính được thể tích của tứ diện MSCD nếu chưa biết được đường cao của hình chóp.

37

Để phát triển TTTKG cho học sinh nhằm giải quyết vấn đề này, ta sử

dụng tư duy trực giác thông qua quan sát và tri giác các giả thiết bài toán đó là

liên tưởng tới đường cao của hình chóp S.MCD là SH với H là trung điểm của

cạnh AB (Hình 2.14). Từ đó tính được thể tích hình chóp S.MCD, do đó tính

S

A

D

H

M

B

C

được đường cao từ điểm M đến mặt phẳng (SCD).

Hình 2.14

Ta sẽ kiểm nghiệm định hướng này bằng các thao tác tư duy phân tích.

Gọi H là trung điểm của AB. Do tam giác SAB vuông cân tại S nên SH

vuông góc với AB. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH

vuông góc với (ABCD). Ta có:

2.6.2. Góp phần giáo dục tư duy sáng tạo

TTTKG có vai trò rất to lớn trong mọi lĩnh vực của cuộc sống con người,

đặc biệt là trong khoa học. Nó là năng lực đặc biệt quý báu mà con người không

thể thiếu (Nó giúp chúng ta giải quyết các vấn đề đặt ra khi mà chúng ta chỉ có

những thông tin gần đúng về hoàn cảnh, khó có thể dùng tư duy để giải đáp).

Những tư tưởng và lí thuyết khoa học, những sáng tạo trong mĩ thuật, kĩ thuật...

đều là những sản phẩm của TTTKG. Thật vậy, thông thường để tạo ra cái mới

trước hết phải xây dựng mô hình lí tưởng dựa trên hình ảnh, sản phẩm của

TTTKG.

Ví dụ 2.9. Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc

với nhau và OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy tính khoảng

cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AI, OC?

Nếu tìm đường vuông góc chung để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

38

chéo nhau AI và OC thì quá khó khăn đối với học sinh. Do đó có thể vận dụng

TTTKG tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và OC là khoảng cách giữa hai

A

H

J

B

O

I

mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng chéo nhau AI và OC.

C Hình 2.15

Từ I kẻ IJ // OC, Gọi (P) là mặt phẳng qua AI và IJ, (Q) là mặt

phẳng qua OC và song song với (P) (Hình 2.15).

Khi đó d(OC, AI) = d((P), (Q)) = d(O, (P)) = OH =

2.6.3. Giúp học sinh định hướng đưa ra phán đoán và giả thuyết về một

đối tượng, quan hệ, quy luật hình học mới

Chúng tôi cho rằng nếu học sinh có được khả năng tưởng tượng không gian

và kết hợp với độ nhuẫn nhuyễn các tri thức đã có thì họ có thể đưa ra các phán

đoán, các giả thuyết về các đối tượng, các quy luật trong hình học. Từ đó, các phán

đoán và các giả thuyết đưa ra có cơ sở khoa học, đảm bảo độ tin cậy để tìm ra các

đối tượng và các quy luật toán học mới. Tuy nhiên, để khẳng định các phán đoán

và giả thuyết đúng thì cần phải kiểm chứng bằng con đường suy luận lôgic.

Ví dụ 2.10. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1; 2; 3), B(3;

0; -1), C(1; 4; 7) và mặt phẳng (P) có phương trình x - 2y + 2z + 6 = 0. Tìm tọa

độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức đạt giá

trị nhỏ nhất.

Bài toán yêu cầu xác định tọa độ điểm trên một mặt phẳng thỏa mãn điều

kiện cho trước, đây là bài toán quen thuộc đối với học sinh trung học phổ thông

nhưng khó khăn ở chỗ biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khá phức tạp.

39

Để giúp học sinh định hướng đưa ra phán đoán thì ta vận dụng TTTKG: Với ba điểm A, B, C cho trước nên xác định được tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Quan sát biểu thức T, học sinh có thể liên tưởng đến biểu thức quen

thuộc , với mọi M. Do đó, học sinh biến đổi biểu thức qua trọng tâm G quy về biểu thức đơn giản hơn để tìm M. Từ đó, học sinh liên hệ với giải bài toán quen thuộc “Cho A không thuộc mặt phẳng (P). Tìm M trên (P) sao cho nhỏ nhất” dẫn đến trực giác hướng giải quyết bài toán là điểm M có thể là hình chiếu của điểm G trên mặt phẳng (P).

Tuy nhiên, học sinh có thể có hướng giải quyết khác: Nếu gọi M(x; y; z) (P) thỏa mãn phương trình của (P), thay tọa độ của các điểm vào biểu thức T, khi đó biến đổi đưa về biểu thức đại số, tìm điều kiện để x, y, z để T nhỏ nhất. Hướng giải quyết này khi thực hiện sẽ gặp nhiều khó khăn.

Ta sẽ sử dụng các thao tác của tư duy lôgic để kiểm nghiệm lại định hướng.

Ta có

với G(1; 2; 3) là trọng tâm

nên T đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt giá trị

tam giác ABC và nhỏ nhất. Khi đó M là hình chiếu của G lên mặt phẳng (P).

Xác định hình chiếu của G lên mặt phẳng (P) như sau:

Ta có

Với M(0; 4; 1) thì có MG = d(G, (P)) = 3. Do đó

2.6.4. Giúp tiếp cận quan điểm dạy học kiến tạo và quan điểm phát hiện

và giải quyết vấn đề trong dạy học hình học

Lí thuyết kiến tạo về cơ bản là một lí thuyết dựa trên quan sát và nghiên cứu khoa học nhằm trả lời cho câu hỏi: Con người học như thế nào? Lí thuyết này cho rằng con người kiến tạo những sự hiểu biết và tri thức về thế giới thông qua trải nghiệm và phản ánh. Tư tưởng nền tảng của lí thuyết kiến tạo là đặt vai trò của chủ thể nhận thức lên vị trí hàng đầu của quá trình nhận thức. Lý thuyết kiến tạo là lí thuyết dạy học định hướng chủ thể nhận thức.

40

Trí thức mới

Thích nghi

Dự đoán giả thuyết

Kiểm nghiệm giả thuyết

Tri thức đã có

Tư tưởng nổi bật của lí thuyết kiến tạo được thể hiện qua sơ đồ (Hình 2.16):

Thất bại

Hình 2.16

Trong dạy học kiến tạo, người học đạt được kiến thức mới phải thông qua quá trình huy động tất cả vốn kiến thức, kinh nghiệm đã có. Ở đây các kiến thức hình học bao gồm các đối tượng hình học cho dưới dạng các khái niệm hình học, khái niệm về các mối liên hệ, quan hệ không gian, chúng được hình thành từ các biểu tượng đúng đắn về hình học, về các mối liên hệ, quan hệ không gian. Từ các biểu tượng đúng đắn này, người học đưa ra các biểu tượng mới dưới sự phán đoán, giả thuyết khoa học, chúng là những yếu tố quan trọng của dạy học kiến tạo.

Ví dụ 2.11. Trên cơ sở khảo sát hai đường thẳng chéo nhau thì tồn tại hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng chéo nhau và khảo sát hình hộp ABCD.A1B1C1D1 gồm các đường thẳng AB, CC1, A1D1 đôi một chéo nhau không cùng nằm trên ba mặt phẳng song song. Các cặp mặt phẳng song song lần lượt qua (AB; CC1); (AB; A1D1); (CC1; A1D1) đôi một cắt nhau tạo thành hình hộp (Hình 2.17). Từ việc khảo sát hai nội dung trên ta có mệnh đề:

A

D

B

C

A1

D1

B1

C1

Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau, không cùng nằm trên ba mặt phẳng song song. Khi đó tồn tại ba cặp mặt phẳng song song với nhau lần lượt chứa hai đường thẳng chéo nhau. Chứng minh rằng ba cặp mặt phẳng như vậy đôi một cắt nhau và tại thành hình hộp.

Hình 2.17

41

2.6.5. Giúp phát hiện sai lầm do học sinh không chú ý đến nội dung (ngữ nghĩa) mà chỉ quan tâm đến mặt cú pháp (hình thức) của các phép toán Ví dụ 2.12. Trong hệ tọa độ trực chuẩn (Oxyz) cho hai đường thẳng d:

và d’: và điểm . Lập phương trình

đường thẳng đi qua và cắt hai đường thẳng d; d’.

Có thể kiểm tra hai đường thẳng trên chéo nhau. Khi giải bài toán này học

sinh thực hiện theo cách giải hình thức (cú pháp) với quy trình sau:

- Lập phương trình mặt phẳng đi qua và d; đó là phương trình

- Lập phương trình mặt phẳng đi qua và d’, đó là phương trình

- Kết luận đường thẳng cần tìm là .

Do HS không nắm được ngữ nghĩa nên không xác định được đường thẳng

này không cắt đường thẳng d’.

HS gặp mâu thuẫn về nhận thức ngữ nghĩa của bài toán. Khi đó, GV có thuộc mặt phẳng (P) đi qua thể định hướng để HS làm sáng tỏ điểm

và đường thẳng d, (P) // d’. Từ đó đường thẳng không thể cắt đường thẳng

d’. Đến đây HS có cơ sở để kết luận bài toán trên vô nghiệm.

Có thể mô tả ngữ nghĩa bài toán trên như sau: Do d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau nên tồn tại hai mặt phẳng (P) và

(P’) song song với nhau, lần lượt chứa hai đường thẳng d, d’ và điểm .

Khi đó nếu đường thẳng đi qua mà cắt d thì sẽ không cắt đường

thẳng d’ (Hình 2.18).

.

d

(P)

d’

(P’)

Hình 2.18

42

2.6.6. Giúp tiếp cận giải quyết các vấn đề thực tiễn

2.6.6.1. Định hướng và xác định được vị trí địa lý của một địa điểm cần tới, …

Nhu cầu xác định vị trí cần tới là nhu cầu hiểu biết nhiều lĩnh vực khác

nhau của con người: Cần tới địa điểm tham quan, cần chỉ dẫn cho một người nào

đó đến nơi họ cần, ...

Ví dụ 2.13. Chỉ dẫn cho một người nào đó chưa từng tới Thành phố Vinh

đi từ vị trí A đến B thì người ta đặt B gắn với vị trí khác liên quan, hình dung

được khoảng cách từ A đến B và tốt nhất là mô hình hóa được nhờ sử dụng ngôn

ngữ tọa độ chỉ dẫn cho người đó, sơ đồ các đường thẳng cần đi.

Hình 2.19

Ví dụ định hướng từ Quảng trường Hồ Chí Minh đến trường Trung học

Phổ thông chuyên Phan Bội Châu bằng cách sau đây: Có thể xem góc giữa hai

con đường Lê Hồng Phong và đường Nguyễn Văn Cừ là góc phần tư thứ nhất

của hệ trục tọa độ tọa độ, có gốc tọa độ là giao của hai đường thẳng vuông góc

mô tả đường Lê Hồng Phong và đường Nguyễn Văn Cừ có chiều dương trục

hoành từ gốc tọa độ tới Hải quan và chiều dương trục tung từ gốc tọa độ tới

Quán bàu (Hình 2.19). Khi đó trường Trung học Phổ thông chuyên Phan Bội

Châu nằm ở góc phần tư thứ nhất sát với trục hoành cách tâm 0 gần 50 m.

43

Ví dụ 2.14. Người ta có thể biết con tàu ra khơi ở vị trí nào nếu biết được

kinh độ, vĩ độ và khoảng cách từ đó đến đất liền để trung tâm cứu nạn xác định

được vị trí con tàu khi cứu nạn.

Ví dụ 2.15. Từ bản vẽ vẽ ngôi nhà, hình dung được hình dáng của ngôi

nhà đó về chiều dài, độ cao, chiều rộng các gian phòng.

2.6.6.2. Bồi dưỡng khả năng ước lượng các đại lượng trong các mô hình

hiện thực

Nhu cầu này được phổ biến khắp mọi nơi: Ước tính khối lượng cát, sỏi cho việc xây dựng một tầng nhà trong thực tế lượng cát sỏi đã mua có đủ hay không. Ước lượng trọng lượng của lượng thép để làm trụ xây nhà, trước hết cần ước lượng thể tích, từ đó nếu biết khối lượng riêng thì sẽ tính được trọng lượng để thuê xe chuyên chở, ...

2.6.6.3. Đọc các bản vẽ, bản thiết kế, xác định kích thước trong xây dựng,

sản xuất, trong thủy lợi, tính toán khối lượng

Vai trò còn thể hiện trong nhiều lĩnh vực khác để dự tính số tiền cần chi

tiêu khi biết được quy mô, số lượng vật liệu.

2.6.6.4. Giải các bài toán cực trị trong thực tiễn liên quan đến tính chất

lượng của các hình

Ví dụ 2.16. Trong một đợt tổ chức cho học sinh tham gia dã ngoại ngoài trời, để có thể có chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, các bạn học sinh đã dựng trên mặt đất bằng phẳng một chiếc lều bằng bạt từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là 12 m và chiều rộng là 6 m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiếu dài còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau x (m) (Hình 2.20). Tìm x để khoảng không gian phía trong lều là lớn nhất?

Hình 2.20

44

A. x = 2 B. x = 4 C. x = D. x =

Giải: Qua bài toán thực tiễn, chúng ta cần tính thể tích lều theo x, từ đó

tìm x để hàm số đạt giá trị lớn nhất. Dễ dàng tính được chiều cao h hạ từ đỉnh

lều xuống đáy lều là .

Không gian phía trong lều là thể tích hình lăng trụ , với S là diện

tích đáy và d là chiều cao của hình lăng trụ. Từ đó:

.

. Từ đó chọn Dễ dàng dùng công cụ đạo hàm, ta tính được Vmax = V(3

đáp án C.

2.6.7. Tiềm năng phát triển trí tưởng tượng không gian cho học sinh

trung học phổ thông của mạch kiến thức Hình học và Đo lường Hình học là một bộ phận của toán học chuyên nghiên cứu về những quan hệ và hình dạng không gian, đây là khoa học về các hình, về vị trí tương đối và kích thước các bộ phận của chúng, và cả về các phép biến hình nữa. Những khái niệm hình học ban đầu được hình thành nhờ sự trừu tượng hoá, đó là sự gạt bỏ các tính chất và quan hệ của các vật trong thực tiễn, chỉ giữ lại vị trí tương đối và các đại lượng. Hình học hoàn toàn thoát khỏi tính bất định và sự biến động của những hình dạng và kích thước thật, coi tất cả những quan hệ và hình dạng được nghiên cứu là tuyệt đối chính xác và xác định. Sự trừu tượng hoá kích thước của vật thể như vậy dẫn đến các khái niệm điểm, đường thẳng và mặt phẳng mà cách diễn đạt chúng đòi hỏi một sự tưởng tượng cao độ vì chúng không có trong thực tế, chẳng hạn: “Điểm là cái không có bộ phận”, “Đường có chiều dài mà không có chiều rộng”, “mặt là cái chỉ có chiều dài và chiều rộng”, “Một đường thẳng có thể kéo dài ra vô hạn”. Điểm không có bất kì kích thước nào, là sự trừu tượng phản ánh khả năng làm nhỏ vô hạn tất cả các kích thước của vật thể, là giới hạn tưởng tượng của sự phân chia nó vô hạn lần. Sau đó nảy sinh khái niệm tổng quát về hình hình học: Hình hình học không chỉ là vật thể, mặt đường, điểm mà còn là một tập hợp bất kì của chúng [79, tr. 86]. Sự trừu tượng hoá trong hình học không dừng lại ở một mức độ nhất định mà tiến từ mức này sang mức khác, chẳng hạn, tam giác hay tứ giác có thể xuất phát từ những hình ảnh trong thực tế nhưng đa giác n - cạnh là khái niệm khái quát ở mức độ cao, được hình thành từ các đa giác với số cạnh cụ thể đã được trừu

45

tượng trước đó. Điều đó làm cho các khái niệm hình học có tính chất phổ biến hơn, tức là ít gắn bó với các sự vật cụ thể hơn, tạo cho hình học có khả năng tưởng tượng cao [40, tr. 22]. Chính vì vậy, trong chương trình môn Toán cấp THPT, mạch kiến thức Hình học và Đo lường có nhiều tiềm năng trong việc phát triển TTTKG cho học sinh.

Trước hết, thông qua mạch kiến thức này học sinh được hình thành các biểu tượng không gian đủ để nhìn nhận và phân tích các thể hiện của chúng trong cuộc sống cũng như dùng làm điểm tựa để xây dựng các biểu tượng không gian mới một cách lôgic, có cơ sở khoa học. Một hình nào đó, chẳng hạn hình tứ diện, là một hình dạng không gian. Vị trí và kích thước trong Hình học và Đo lường được định nghĩa bằng những quan hệ không gian; các phép biến hình, phép chiếu cũng là một quan hệ nào đó giữa hai hình trong không gian, đó là ảnh và tạo ảnh qua các phép biến đổi hình học. Các biểu tượng không gian được hình thành và phát triển với mức độ trừu tượng cao dần, chẳng hạn từ các biểu tượng “tam giác”, “tứ giác”, “đa giác n - chiều” dẫn đến các biểu tượng trừu tượng tăng dần như “hình chóp tam giác”, “hình chóp tứ giác”, “hình chóp n - giác”. Chính sự trừu tượng cao đòi hỏi TTTKG cao dẫn đến những khó khăn của HS trong học và hiểu hình học. Hỗ trợ cho TTTKG của học sinh trong học tập hình học ở cấp THPT có thể kể đến hệ thống kiến thức thuộc chủ đề hình học trực quan ở cấp trung học cơ sở, chúng giúp học sinh có điểm tựa trực quan trong việc hiểu và nắm các khái niệm trừu tượng, từ đó phát triển TTTKG. Chẳng hạn, học sinh tạo lập được hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều là các hình khối trong thực tiễn, từ đó hình thành được biểu tượng không gian về Hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều. Hơn nữa, một trong năm thành phần của năng lực toán học cần hình thành và phát triển cho HS trong Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán 2018 là năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Điều này giúp HS có công cụ và cơ hội để vận dụng, trải nghiệm phần mềm hình học động vào giải quyết hình học, qua đó có điểm tựa tốt cho phát triển TTTKG, đồng thời góp phần rèn luyện mối quan hệ giữa TTTKG và trực quan.

Thứ hai, HS được học về phép chiếu song song và phép chiếu vuông góc, qua đó giúp họ biểu diễn hình học không gian chính xác, đồng thời cung cấp một công cụ để giải toán hình học không gian hiệu quả, tạo cơ hội rèn luyện mối quan hệ giữa TTTKG và tư duy lôgic.

Trong Sách giáo khoa Hình học 11 [38], phép chiếu song song được định

nghĩa: Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng  cắt (α). Với mỗi điểm M trong

46

không gian, đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với  sẽ cắt (α) tại điểm M’ xác định. Điểm M’ được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên

mặt phẳng (α) theo phương của đường thẳng  hoặc nói gọn là theo phương .

Mặt phẳng (α) được gọi là mặt phẳng chiếu. Phương  gọi là phương chiếu. Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của nó trên

mặt phẳng (α) được gọi là phép chiếu song song lên (α) theo phương .

Các bất biến của phép chiếu song song giúp cho TTTKG phong phú hơn

và đảm bảo suy luận lôgic:

+ Tính chất thẳng hàng của các điểm và thứ tự của chúng.

+ Khái niệm đường thẳng, tia, đoạn thẳng (Không song song với phương chiếu).

+ Hai đường thẳng song song không nằm trên mặt phẳng song song với

phương chiếu.

+ Tỉ số đơn của hệ ba điểm thẳng hàng không nằm trên đường thẳng song song với phương chiếu. Đặc biệt, phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng hoặc song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng; biến hình bình hành không nằm trong mặt phẳng song song với phương chiếu thành hình bình hành; bảo toàn tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng; bảo toàn trung điểm của đoạn thẳng không song song với phương chiếu, trọng tâm của tam giác không nằm trong mặt phẳng chiếu.

Từ đó, học sinh có thể sử dụng phép chiếu song song để giải các bài toán trong hình học ở trường trung học phổ thông chứa đựng các yếu tố: Thẳng hàng, đồng quy, trung điểm, trọng tâm, tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng liên tiếp trên một đường thẳng.

Ví dụ 2.17. Trong không gian, cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau a, b, c.

Dựng đường thẳng  cắt a, b, c lần lượt tại A, B, C sao cho = k (k > 0 cho trước).

b

A

B

C

P

c’

a’

C’

J

A’

I

K

Giải:

c

a

Giả sử I, J, K là ba điểm thuộc ba đường thẳng đã cho xác định mặt phẳng (P). Bài toán trên chỉ chứa các bất biến afin cũng là bất biến của phép chiếu song song: đường thẳng, thẳng hàng, tỉ số các đoạn cùng phương.

Hình 2.21

47

Sử dụng phép chiếu song song theo phương b lên mặt phẳng (P) dẫn tới

bài toán phẳng sau:

“Cho góc xOy và điểm J nằm trong góc đó. Dựng qua J cát tuyến A’B’

sao cho = k.”

Bài toán phẳng được giải nhờ sử dụng phép vị tự V(J,-k). Từ đó chuyển sang bài toán không gian với chú ý: Ox  a’; Oy  c’ ảnh của a, c lên mặt phẳng (P) qua phép chiếu trên (Hình 2.21).

Đối với phép chiếu vuông góc, Sách giáo khoa Hình học 11 [38] đưa ra định nghĩa: Cho đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng (α). Phép chiếu song

song theo phương của  lên mặt phẳng (α) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (α).

Như vậy, phép chiếu vuông góc có đầy đủ các tính chất của một phép chiếu song song. Ngoài ra, phép chiếu vuông góc còn có tính chất riêng quan trọng sau đây:

“Qua phép chiếu vuông góc, góc vuông xOy biến thành góc vuông x’O’y’ khi và chỉ khi nó có ít nhất một cạnh song song với (hoặc thuộc) mặt phẳng chiếu còn cạnh kia không vuông góc với mặt phẳng chiếu”.

Ví dụ 2.18. Cho tứ diện ABCD có diện tích của các mặt bằng nhau. Chứng

minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện đó bằng nhau từng đôi một.

D

A

N

K M H

C

B

D’

Chứng minh:

N’

O

Trước hết ta chứng minh mệnh đề: “Nếu tứ diện có các mặt diện tích bằng nhau thì đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối đi qua trung điểm của mỗi cạnh đó”. Thật vậy, giả sử MN là đường vuông góc chung của AB, CD. Vẽ các đường cao CH, DK. Từ giả thiết suy ra DK = CH và DK, CH, MN cùng song song với mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng AB.

C’

Thực hiện phép chiếu vuông

(P)

góc lên mặt phẳng (P): các điểm

A, K, M, H, B có ảnh là O; DK song

Hình 2.22

48

song với (P) có ảnh là OD’ và OD’ = KD; CH song song với (P) có ảnh là OC’

và OC’ = CH. Từ đó OD’ = OC’.

Do = 900 có MN // (P), DC không vuông góc với (P) nên

= 900. Từ tam giác cân OD’C’ suy ra N’ là trung điểm C’D’. Từ đó N là trung

điểm CD. Lập luận tương tự cho phép chiếu vuông góc phương CD lên mặt

phẳng (Q) ⊥ CD ta có M là trung điểm cạnh AB, và từ đó các đường vuông góc

chung của các cặp cạnh khác cũng đi qua trung điểm của chúng (Hình 2.22).

Thực hiện phép đối xứng trục ĐMN, ta có:

ĐMN: A → B, D → C suy ra AD = BC

ĐMN: B → A, D → C suy ra BD = AC.

Tương tự đối xứng qua trục khác suy ra: AB = CD.

Trong Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán 2018, chủ đề Phép

chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian đưa ra các yêu cầu cần

đạt là:

- Nhận biết được khái niệm và các tính chất cơ bản về phép chiếu song song.

- Xác định được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một

đường tròn qua một phép chiếu song song.

- Vẽ được hình biểu diễn của một số hình khối đơn giản.

- Sử dụng được kiến thức về phép chiếu song song để mô tả một số hình

ảnh trong thực tiễn.

Trong khi đó, chủ đề Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Định lí ba

đường vuông góc. Phép chiếu vuông góc đưa ra các yêu cầu cần đạt là:

- Nhận biết được đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

- Xác định được điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

- Giải thích được được định lí ba đường vuông góc.

- Giải thích được được mối liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc

của đường thẳng và mặt phẳng.

- Nhận biết được khái niệm phép chiếu vuông góc.

- Xác định được hình chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng,

một tam giác.

- Nhận biết được công thức tính thể tích của hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp.

49

- Tính được thể tích của hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp trong những trường hợp đơn giản (ví dụ: nhận biết được đường cao và diện tích mặt đáy của hình chóp).

- Vận dụng được kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để

mô tả một số hình ảnh trong thực tiễn.

Thứ ba, học sinh được trang bị các phương pháp khác nhau để nghiên cứu hình học ở trường THPT, đó là phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ và phương pháp giải tích. Ba phương pháp cơ bản này giúp học sinh xây dựng biểu tượng không gian theo các hình thái khác nhau, giúp giải quyết các vấn đề của hình học một cách chính xác, đồng thời cung cấp cho họ các công cụ để đưa ra các phán đoán, trực giác không gian.

Phương pháp tổng hợp được hiểu là phương pháp xây dựng hình học nhờ vào một hệ tiên đề (Chẳng hạn hệ tiên đề Hin-be) mà ở đó không thể hiện ý đồ đại số hoá hình học. Ở đây các hình hình học được biểu diễn bằng những hình vẽ, do đó khi sử dụng phương pháp tổng hợp thì hình vẽ đóng vai trò quan trọng vì nó là điểm tựa trực giác cho việc tìm tòi lời giải bài toán [15]. Chẳng hạn, đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng cách một điểm cho trước một khoảng không đổi.

Phương pháp vectơ giúp HS có thể cộng, trừ, nhân trực tiếp trên các đối tượng hình học, không thoát li khỏi phạm vi hình học, và vì thế vừa tận dụng được công cụ đại số, vừa khai thác được phương diện trực giác trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán [15]. Chẳng hạn, đường tròn đường kính AB là tập hợp

tất cả các điểm M trong mặt phẳng sao cho = 0.

Trong phương pháp giải tích, thông qua trung gian là một hệ toạ độ, ta thay thế các đối tượng và các quan hệ hình học thành những đối tượng và quan hệ đại số. Sau đó, ta dịch các tính chất hình học thành tính chất đại số, quy bài toán hình học thành bài toán đại số [15]. Chẳng hạn, trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường tròn tâm I(a; b) bán kính R có phương trình là:

Thứ tư, một trong những mục tiêu quan trọng của chương trình là giải quyết một số vấn đề thực tiễn đơn giản gắn với Hình học và Đo lường. Thực tiễn là nguồn gốc của toán học nói chung, hình học nói riêng. Mỗi khái niệm, mỗi tính chất hình học dù trừu tượng đến đâu đều tìm thấy hình ảnh và ứng dụng của

50

nó trong thực tiễn. Đây là cơ sở để học sinh vận dụng kiến thức Hình học và Đo lường vào cuộc sống, qua đó giúp phát triển trí tưởng tượng không gian và tư duy lôgic.

Trong Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán 2018, việc vận dụng kiến thức hình học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn được đặt ra một số yêu cầu cần đạt như sau:

- Vận dụng được kiến thức về hai đường thẳng song song để mô tả một số

hình ảnh trong thực tiễn.

- Vận dụng được kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng để

mô tả một số hình ảnh trong thực tiễn.

- Vận dụng được kiến thức về quan hệ song song để mô tả một số hình

ảnh trong thực tiễn.

- Sử dụng được kiến thức về phép chiếu song song để mô tả một số hình

ảnh trong thực tiễn.

- Sử dụng được kiến thức về hai đường thẳng vuông góc để mô tả một số

hình ảnh trong thực tiễn.

- Vận dụng được kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để

mô tả một số hình ảnh trong thực tiễn.

- Vận dụng được kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc để mô tả một số

hình ảnh trong thực tiễn.

- Sử dụng được kiến thức về khoảng cách trong không gian để mô tả một

số hình ảnh trong thực tiễn.

- Sử dụng được kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị

diện để mô tả một số hình ảnh trong thực tiễn.

- Vận dụng được kiến thức về hình chóp cụt đều để mô tả một số hình ảnh

trong thực tiễn.

- Vận dụng được toạ độ của vectơ để giải một số bài toán có liên quan đến

thực tiễn.

- Vận dụng được kiến thức về phương trình mặt phẳng để giải một số bài

toán liên quan đến thực tiễn.

- Vận dụng được kiến thức về phương trình đường thẳng trong không gian

để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn.

- Vận dụng được kiến thức về phương trình mặt cầu để giải một số bài

toán liên quan đến thực tiễn.

51

Ví dụ 2.19. Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147 m, cạnh đáy dài 230 m. Hãy tính thể tích của nó [39, tr. 24].

Như vậy, “Hình học và Đo lường là một trong những thành phần quan trọng của giáo dục toán học, rất cần thiết cho HS trong việc tiếp thu các kiến thức về không gian và phát triển các kĩ năng thực tế thiết yếu. Hình học và Đo lường hình thành những công cụ nhằm mô tả các đối tượng, thực thể của thế giới xung quanh; cung cấp cho HS kiến thức, kĩ năng toán học cơ bản về Hình học, Đo lường (với các đại lượng đo thông dụng) và tạo cho HS khả năng suy luận, kĩ năng thực hiện các chứng minh toán học, góp phần vào phát triển tư duy lôgic, khả năng sáng tạo toán học, TTTKG và tính trực giác. Đồng thời, Hình học còn góp phần giáo dục thẩm mĩ và nâng cao văn hoá toán học cho học sinh. Việc gắn kết Đo lường và Hình học sẽ tăng cường tính trực quan, thực tiễn của việc dạy học môn Toán” [11].

2.7. Tình huống dạy học theo định hướng hỗ trợ phát triển trí tưởng

tượng không gian

2.7.1. Tình huống dạy học Chúng tôi đã phân tích, so sánh, tổng hợp các quan niệm về THDH của các tác giả sau: Nguyễn Bá Kim [54, tr. 230], M.A. Đanilop, M.N. Skatkin [117, tr. 19], Hà Sĩ Hồ [42, tr. 68], Phan Trọng Ngọ [73, tr. 271], Thái Duy Tuyên [110, tr. 12]. Để làm điểm tựa cho luận án này, chúng tôi chọn định nghĩa THDH của Phan Trọng Ngọ sau đây:

“THDH là tình huống trong đó có sự ủy thác của người GV. Sự ủy thác này chính là quá trình người GV đưa những nội dung cần truyền thụ vào trong các sự kiện của TH và cấu trúc các sự kiện sao cho phù hợp lôgic sư phạm, để khi người học giải quyết nó sẽ đạt được mục tiêu dạy học” [73, tr. 271].

Các đặc điểm nổi bật của một THDH nêu trên bao gồm: - Tình huống chủ yếu do giáo viên thiết kế thông qua hoạt động tìm tòi

trải nghiệm trong dạy học.

- Tình huống phải chứa một nhiệm vụ nhận thức bao gồm: Những khó khăn, chướng ngại, sai lầm, mâu thuẫn cần khắc phục do GV chuyển giao cho người học (ủy thác). Nói cách khác tình huống phải chứa đựng một vấn đề toán học cần giải quyết.

- Trong tình huống phải ẩn chứa một kiến thức cần dạy, một kiến thức mà học sinh cần và có thể chiếm lĩnh thông qua tương tác với tình huống, hoạt động

52

trải nghiệm của học sinh để vượt qua những khó khăn chướng ngại, khắc phục các sai lầm, giải quyết các mâu thuẫn.

Việc giải quyết tình huống của học sinh nhằm đạt mục tiêu dạy học theo

yêu cầu của nội dung chương trình.

2.7.2. Tình huống dạy học theo định hướng hỗ trợ phát triển trí tưởng

tượng không gian trong dạy học hình học ở trường trung học phổ thông

Để xây dựng định nghĩa khái niệm THDH hỗ trợ phát triển TTTKG,

chúng tôi chủ yếu dựa vào các vấn đề được khai thác trong luận án sau đây:

a, Các hoạt động then chốt để hình thành và phát triển TTTKG trong dạy

học hình học ở trường THPT đã được xét ở mục 2.5.

b, Vai trò của TTTKG trong giáo dục toán học trong mục 2.6. c, Định nghĩa THDH đã nêu trong mục 2.7.1. Dưới đây chúng tôi đưa ra định nghĩa THDH hỗ trợ phát triển TTTKG

trong dạy học hình học ở trường THPT như sau:

2.7.2.1. Định nghĩa: Tình huống dạy học hình học hỗ trợ phát triển TTTKG là tình huống dạy học ẩn chứa các hoạt động thúc đẩy phát triển TTTKG, học sinh cần tương tác, phát hiện và luyện tập nhằm hình dung giả thuyết về tri thức mới và lôgic các bước giải quyết vấn đề, định hướng cho lập luận lôgic hình thức nhằm chiếm lĩnh tri thức theo mục tiêu giáo dục toán học.

2.7.2.2. Phân tích vai trò của định nghĩa Việc dạy học theo tình huống nêu ở trên giúp bồi dưỡng học sinh: - Phát triển TTTKG của học sinh thông qua việc phát hiện, giải quyết một

vấn đề toán học.

- Tăng cường khả năng tưởng tượng đề hình dung các phán đoán, các giả thuyết và các lập luận giải quyết vấn đề, gợi ý cho lôgic trình bày giải quyết vấn đề. - Bồi dưỡng cách thức tìm ra kiến thức, coi trọng quá trình trải nghiệm

phát hiện kiến thức.

- Giúp học sinh nắm được ý nghĩa của tri thức. Để thực thi định nghĩa này trong dạy học hình học ở trường THPT, chúng tôi sẽ nghiên cứu quy trình để thiết kế các THDH theo định hướng hỗ trợ phát triển TTTKG và nghiên cứu đưa ra quy trình tổ chức dạy học theo các tình huống được thiết kế. Vấn đề nghiên cứu này sẽ được trình bày ở Chương 4 sau khi nghiên cứu thực trạng hiểu biết về nhận thức của giáo viên và học sinh các nội dung liên quan đến phát triển TTTKG.

53

2.8. Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực nhằm triển khai hoạt động dạy học theo định hướng hỗ trợ phát triển trí tưởng tượng không gian cho học sinh

Từ việc nghiên cứu nội dung quan điểm về dạy học tích cực trong dạy học Toán và từ việc nghiên cứu nội dung của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, nghiên cứu lí thuyết dạy học kiến tạo, phương pháp dạy tự học, chúng tôi cho rằng: Các phương pháp và lí thuyết dạy học nêu trên có nhiều cơ hội để triển khai việc dạy học theo hướng phát triển TTTKG cho HS trong dạy học hình học ở trường THPT.

Thật vậy, cơ sở khoa học đặc trưng nhất của dạy học kiến tạo là: Tri thức là sản phẩm hoạt động của học sinh thông qua tương tác với môi trường để thích nghi, phát hiện kiến thức mới. Tri thức mới được tạo nên thông qua khai thác sâu sắc các kiến thức đã có, từ đó người học đề ra các giả thuyết, các phán đoán, thông qua hoạt động trải nghiệm để kiểm chứng nhằm khẳng định tri thức mới. Những cơ sở khoa học này có thể soi sáng cho tiến trình hoạt động đề xuất các biểu tượng không gian mới, bao gồm: Các đối tượng hình học mới, các quan hệ, các mối liên hệ, các quy luật hình học mới.

Cũng có thể xem các biểu tượng không gian mới được tưởng tượng bởi HS, gợi ra những vấn đề, từ đó đề xuất những vấn đề để HS giải quyết nó và tìm ra kiến thức mới, các đối tượng hình học mới. Tiến trình này được thực hiện thông qua các tình huống do GV đề xuất để từ đó HS trải nghiệm đưa ra vấn đề và giải quyết vấn đề nhằm phát hiện kiến thức mới, đối tượng hình học mới.

Do thời lượng dạy học trên lớp đối với môn hình học, chúng ta không thể triển khai các tình huống để HS hoạt động tương tác nhằm hình thành và phát triển TTTKG, vì vậy việc luyện tập cho HS các hoạt động nhằm định hướng phát triển TTTKG cần được triển khai qua các TH để HS tự học, tự trải nghiệm (Trải nghiệm chủ quan) hoặc trải nghiệm xã hội (Hoạt động trải nghiệm theo nhóm học tập).

Từ những lập luận trên, chúng tôi cho rằng sử dụng các phương pháp dạy học giải quyết vấn đề, lí thuyết dạy học kiến tạo cũng như phương pháp dạy học tự học có thể triển khai việc luyện tập các hoạt động nhằm hình thành và phát triển TTTKG thông qua tương tác với các tình huống do GV thiết kế.

54

Kết luận chương 2

Qua phần trình bày Chương 2, chúng tôi quan tâm các tư tưởng chủ yếu

thể hiện cách tiếp cận nền tảng lí luận của luận án như sau:

- Tìm tòi các thành tố đặc trưng cấu thành TTTKG được sáng tỏ qua nghiên cứu tổng quan về các công trình của các tác giả trong nước và ngoài nước liên quan tới luận án. Chi tiết của các thành tố này đã được nêu trong tiểu kết về tổng quan nghiên cứu mục 2.1.

- Nghiên cứu các định nghĩa về TTTKG có thể sử dụng trong giáo dục toán học và khai thác tính kế thừa về định nghĩa TTTKG. Do các định nghĩa này nặng về đặc trưng tâm lí nên chúng tôi đã quan tâm tìm tòi các thành tố then chốt, mang tính đặc trưng của khái niệm TTTKG. Tiêu biểu của các thành tố này thể hiện trong các công trình của các tác giả đã được trích dẫn, tiêu biểu như: A.N. Kônmôgôrôp, M.Iu. Koliagin, Trần Thúc Trình, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Đào Tam, Lê Thị Hoài Châu, Vũ Thị Thái, ...

- Để làm sáng tỏ vai trò của TTTKG trong giáo dục toán học, chúng tôi đã tiếp cận nghiên cứu: Bản chất của việc dạy hình học của A.D. Alecxandrov. Ngoài ra để thấy thêm vai trò của TTTKG, chúng tôi nghiên cứu làm sáng tỏ mối quan hệ biện chứng giữa trực quan, TTTKG, tư duy lôgic và và tri thức hình học. Xác định mối quan hệ này ngoài mục đích nói trên còn sáng tỏ thêm con đường bồi dưỡng TTTKG thông qua bồi dưỡng các thành tố liên quan.

- Từ việc đưa ra định nghĩa TTTKG đặc trưng bởi 11 khả năng thành phần, xem xét vai trò của TTTKG trong giáo dục toán học. Những vấn đề nghiên cứu trên là cơ sở để đưa ra các hoạt động thành tố điển hình nhằm hình thành và phát triển TTTKG.

- Trong phần tiếp cận lí luận, chúng tôi đã trình bày THDH. Vấn đề này và các nội dung liên quan, đặc biệt là các hoạt động thành tố điển hình là cơ sở để đưa ra THDH theo hướng hỗ trợ phát triển TTTKG trong dạy học hình học ở trường THPT. Việc triển khai các THDH hỗ trợ phát triển TTTKG được tiến hành thông qua sử dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo, phương pháp dạy học tự học.

55

Chương 3 KHẢO SÁT THỰC TIỄN

3.1. Mục đích của khảo sát Việc khảo sát thực trạng nhằm vào các mục tiêu chủ yếu sau: a, Tìm hiểu nhận thức của giáo viên về các vấn đề: Khái niệm về không gian, TTTKG, các thành tố của TTTKG; Hiểu biết của họ về cách tiếp cận TTTKG; các hoạt động hướng tới phát triển TTTKG; vai trò của việc phát triển TTTKG trong dạy học hình học và trong thực tiễn đối với học sinh THPT; các biểu hiện của TTTKG, ...

b, Khả năng TTTKG của học sinh: Khả năng nắm ý nghĩa của các vấn đề hình học trước khi khai tâm vào giải quyết vấn đề; khả năng trực giác nhận ra các kết quả của các bài toán không gian; khả năng hiểu biết về các mối liên hệ, quan hệ giữa các hình không gian; khả năng nhận thức các tư tưởng hình học chứa đựng trong các tình huống thực tiễn.

3.2. Nội dung khảo sát Khai thác các tư tưởng về giáo dục TTTKG trong nội dung chương trình sách giáo khoa hiện hành và chương trình đổi mới dạy học hình học ở trường THPT trong tương lai. Sử dụng các bài tập, bài toán trong sách giáo khoa đòi hỏi giải quyết nhờ sử dụng TTTKG; khai thác các tình huống trong nội bộ hình học cũng như trong thực tiễn có vai trò phát triển TTTKG của HS.

3.3. Công cụ khảo sát - Sử dụng câu hỏi trắc nghiệm đối với GV. Cơ sở để lựa chọn các câu hỏi này là lí luận và thực tiễn dạy học ở trường THPT theo hướng tiếp cận phát triển TTTKG cho học sinh. Các cơ sở này đã được trình bày trong Chương 2.

- Dự các tiết dạy về hình học của các giáo viên có kinh ngiệm để tìm hiểu vai trò của giáo viên đối với việc hình thành và phát triển TTTKG cho học sinh. - Phỏng vấn các giáo viên có kinh nghiệm về cách thức dạy học theo

hướng phát triển TTTKG.

- Các câu hỏi được đề ra nhằm thực hiện mục tiêu khảo sát. - Đưa ra các bảng hỏi; các bài toán nhằm quan sát hoạt động của học sinh theo định hướng phát triển TTTKG cho học sinh. Các bài toán này được lấy trong chương trình sách giáo khoa hoặc thiết kế được dự tính phù hợp với nhận thức của học sinh.

56

Dưới đây là hệ thống câu hỏi và bài toán đối với giáo viên và học sinh:

3.3.1. Các câu hỏi hướng đến tìm hiểu giáo viên về khái niệm không gian, hiểu biết về biểu tượng không gian và khái niệm về trí tưởng tượng không gian, con đường hình thành và phát triển trí tưởng tượng không gian

Câu hỏi 1: Xin Thầy (Cô) cho biết quan niệm nào trong các quan niệm

sau đây là đúng, nếu đúng xin điền dấu (x) vào ô sau:

Không gian hình học được nghiên cứu ở trường phổ thông được hiểu:

a, Là không gian hình học Ơclit 3 chiều được thể hiện qua mô hình tổng

hợp, vectơ và tọa độ?.

b, Không gian hình học được xét ở trường phổ thông đó là tập hợp gồm các khái niệm không định nghĩa, các tính chất, các phép toán được thừa nhận. Từ đó các khái niệm và tính chất khác được lập luận chứng minh bằng con đường lôgic.

c, Không gian hình học được nghiên cứu ở trường phổ thông là không

gian 3 chiều được xây dựng dựa vào hệ tiên đề Hilbert.

Câu hỏi 2: Quan niệm nào sau đây về biểu tượng không gian là đúng.

a, Biểu tượng không gian được hiểu là các đối tượng không gian, các quan hệ về hình dạng và số lượng về các hình không gian có được nhờ quan sát, tri giác trực tiếp thông qua hình biểu diễn, hình ảnh lấy trong thực tiễn, hình vẽ...

b, Đó là những hình ảnh về đối tượng, các mối liên hệ, quan hệ của các

hình không gian được giữ lại trong óc, thoát li khỏi các hình ảnh trực quan.

c, Đó là những hình ảnh về đối tượng, các mối liên hệ, quan hệ không

gian giữa chúng được thể hiện trực quan qua hình biểu diễn, hình vẽ, sơ đồ.

Câu hỏi 3. Thầy (Cô) hiểu thế nào về TTTKG là đúng.

Xin Thầy cô cho biết các quan niệm nào về TTTKG sau đây là đúng?

a, TTTKG của học sinh là khả năng hình dung các đối tượng không gian,

các mối liên hệ, quan hệ giữa chúng.

b, TTTKG là hoạt động trí óc thể hiện quá trình biến đổi những biểu

tượng không gian đã có nhằm kiến tạo những biểu tượng không gian mới.

c, TTTKG là hoạt động tưởng tượng tạo ra các biểu tượng không gian mới

trên các biểu tượng không gian đã có và các kiến thức về không gian đã học.

Câu hỏi 4. Việc hình thành và phát triển TTTKG theo tiến trình nào trong

các tiến trình sau là đúng.

57

a, Tiến hành tri giác thông qua quan sát các hình ảnh trực quan lấy từ thực tế, hình biểu diễn, trực quan động để có các biểu tượng đúng đắn về các đối tượng hình học, các mối liên hệ, quan hệ giữa chúng để từ đó tạo ra có được khái niệm trí tưởng tượng không gian.

b, Giới thiệu các khái niệm trừu tượng sau đó mô tả chúng thông qua các

hình ảnh trực quan lấy từ nội bộ kiến thức hình học hoặc từ thực tiễn?.

c, Cung cấp cho học sinh các kiến thức đầy đủ về các đối tượng không gian, các quan hệ và các mối liên hệ giữa chúng để tạo cơ sở cho việc trực giác hình học, qua đó hình thành và phát triển TTTKG.

3.3.2. Nhóm câu hỏi tìm hiểu giáo viên những biểu hiện của học sinh

về trí tưởng tượng không gian trong dạy học hình học

Câu hỏi 5. Xin Thầy cô cho biết các biểu hiện nào sau đây của học sinh

về TTTKG là đúng?

a, Hình dung đúng đắn các hình không gian qua hình biểu diễn?. b, Đưa ra một hình không gian và biểu diễn được chúng?. c, Đọc và mô tả được một số bản vẽ đơn giản trong kiến trúc xây dựng?. d, Thiết kế được các mô hình đơn giản từ các bản thiết kế? Câu hỏi 6. Thầy cô cho biết biểu hiện nào trong các biểu hiện sau thuộc

lĩnh vực TTTKG?

a, Ước lượng được các yếu tố về lượng: Độ dài, diện tích, thể tích của các hình?. b, Ước lượng được góc giữa các yếu tố: Góc giữa hai đường thẳng, góc

giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng?.

c, Hình dung được vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu, từ đó suy

ra giao giữa hai hình nói trên?.

3.3.3. Nhóm câu hỏi xác minh hiểu biết của giáo viên về các hoạt động

nhằm phát triển trí tưởng tượng không gian của học sinh

Câu hỏi 7. Thầy (Cô) cho biết các hoạt động nào trong các hoạt động sau

thể hiện khả năng TTTKG của học sinh.

a, Phân hoạch một hình thành các hình quen thuộc để tính thể tích hoặc

diện tích toàn phần?

b, Trải một hình không gian thành một hình phẳng thuận tiện cho việc

chuyển một bài toán không gian về bài toán phẳng?

c, Ước lượng thể tích của một căn nhà?

58

Câu hỏi 8. Thầy (Cô) cho biết các khả năng nào sau của học sinh biểu

hiện TTTKG.

a, Khả năng chuyển hóa các quan hệ, các mối liên hệ vào các mô hình

hình học để thuận lợi cho việc giải quyết vấn đề?.

b, Khả năng chuyển đổi từ ngôn ngữ bài toán hình học này sang bài toán

hình học khác để trực quan hóa mô hình nghiên cứu?.

c, Khả năng mô hình hóa hiện tượng thực tiễn bằng ngôn ngữ và kí hiệu

hình học?.

Câu hỏi 9. Thầy (Cô) cho biết các hoạt động nào sau của học sinh biểu

hiện TTTKG.

a, Sơ đồ hóa, tọa độ hóa để xác định vị trí, kích thước, khoảng cách giữa

các hình?.

b, Hình dung được hình ảnh mặt cắt của lưỡi dao với quả dưa theo các

phương khác nhau?.

c, Hình dung được thiết diện của mặt phẳng giao với hình lập phương?.

Câu hỏi 10. Xin thầy cô đánh dấu (x) vào nhận định đúng sau đây.

a, Các bài toán cắt ghép một hình phẳng thành hình không gian có vai trò

rèn luyện TTTKG cho học sinh.

b, Hoạt động khai thác các hình biểu diễn của hình không gian sẽ góp phần

không những tìm tòi các quy luật toán học mà còn góp phần phát triển TTTKG?.

c, Việc tăng cường khai thác ý nghĩa hình học của các biểu thức tọa độ không chỉ góp phần bồi dưỡng cho học sinh phát triển cân đối về mặt cú pháp, ngữ nghĩa mà còn phát triển TTTKG cho học sinh.

3.3.4. Nhóm câu hỏi tìm hiểu nhận thức của giáo viên về vai trò của việc

phát triển trí tưởng tượng không gian cho học sinh trong dạy học hình học

Câu hỏi 11. Xin thầy cô đánh dấu (x) vào quan niệm đúng vai trò phát

triển TTTKG cho học sinh trong dạy học hình học ở trường THPT.

a, Việc phát triển TTTKG cho học sinh trong dạy học hình học giúp học

sinh định hướng được cách giải quyết vấn đề đúng đắn?.

b, Khi có khả năng tưởng tượng không gian sẽ giúp học sinh thấy được ý

nghĩa của vấn đề trước khi bắt tay vào trình bày vấn đề?.

c, Giúp học sinh giải quyết vấn đề một cách sáng tạo?.

59

Câu hỏi 12. Xin thầy cô đánh dấu (x) vào vai trò của việc phát triển

TTTKG cho học sinh trong dạy học hình học ở trường THPT.

a, Tạo cơ hội cho giúp học sinh hình dung các hình không gian qua hình

biểu diễn?.

b, Giúp chuyển bài toán không gian về bài toán phẳng thông qua việc phân tích, tách các bộ phận phẳng của hình không gian liên quan đến điều kiện bài toán để giải các bài toán phẳng quen thuộc?. c, Giúp học sinh yêu thích môn hình học?. Câu hỏi 13. Xin thầy cô đánh dấu (x) vào vai trò của việc phát triển

TTTKG cho học sinh trong dạy học hình học ở trường THPT.

a, Cho phép học sinh tưởng tượng phân tích chuyển hóa hình không gian này sang bộ phận của một hình không gian khác nhằm đưa vấn đề cần giải quyết về dạng quen thuộc?.

b, Giúp hình dung được hình khai triển của hình không gian lên mặt phẳng. Từ đó chuyển việc giải bài toán không gian sang bài toán phẳng quen thuộc?.

c, Định hướng và xác định được vị trí địa lí của một hình, địa điểm, một

vật?.

d, Giải các bài toán cực trị trong thực tiễn liên quan đến tính chất lượng

của các hình?.

3.4. Tổ chức khảo sát - Khảo sát 30 giáo viên trên địa bàn tỉnh Nghệ An của 06 trường THPT bao gồm: 02 trường ở miền núi, 02 trường ở đồng bằng, 02 trường ở thành phố. - Tiến hành dự giờ 03 trường ở Thành phố Vinh để tìm hiểu hoạt động của học sinh và khả năng bồi dưỡng của giáo viên của 05 trường phổ thông trong địa bàn tỉnh Nghệ An.

- Xin phỏng vấn 5 giáo viên THPT có kinh nghiệm về các khái niệm, các

biểu hiện của học sinh và về vai trò của việc phát triển TTTKG.

3.5. Khảo sát đối tượng học sinh - Công cụ khảo sát: Đưa ra 05 bài toán và bảng hỏi, chỉ dẫn nhằm tìm hiểu

khả năng về TTTKG của học sinh theo chương trình SGK hiện hành.

Bài toán 1 và bảng hỏi. Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau. Hãy xét vị

trí tương đối của ba giao tuyến.

Chỉ dẫn: Cho học sinh tưởng tượng ba mô hình ở trong hình học hoặc

60

trong thực tế theo ba dạng như các hình vẽ. Từ đó cho học sinh lập luận xét các trường hợp có thể có theo vị trí của ba giao tuyến (Hình 3.1; hình 3.2; hình 3.3).

a, Ba giao tuyến trùng nhau. b, Có hai giao tuyến cắt nhau tại 0, để chứng minh giao tuyến thứ ba cũng

O

đi qua 0.

c, Ba giao tuyến song song với nhau.

Hình 3.1

Hình 3.2 Hình 3.3

Bài toán 2 và bảng hỏi. Tồn tại hay không bốn đường thẳng đôi một

chéo nhau và vuông góc với nhau?

Chỉ dẫn:

- Tồn tại ba đường đôi một vuông góc với nhau. Hướng dẫn học sinh tìm

trên mô hình của hình hộp chữ nhật ba đường như vậy.

- Nếu tồn tại bốn đường sẽ dẫn đến mâu thuẫn gì?

Bài toán 3 và bảng hỏi. Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau, không

cùng nằm trên ba mặt phẳng song song. Khi đó tồn tại ba cặp mặt phẳng song

song với nhau lần lượt chứa hai đường thẳng chéo nhau. Chứng minh rằng ba

cặp mặt phẳng như vậy đôi một cắt nhau và tạo thành một hình. Em hãy cho biết

hình tạo thành bằng cách trên là hình gì?.

Chỉ dẫn:

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt mặt phẳng thứ ba

theo hai giao tuyến thì hai giao tuyến đó song song với nhau.

Bài toán 4 và bảng hỏi. Ước lượng khối lượng của một ống thép có hình

trụ chiều dài 6 m, đường kính thiết diện đo theo mặt ngoài 6 cm, đường kính

thiết diện đo theo mặt trong 5,4 cm.

61

Chỉ dẫn: Khối lượng riêng của thép là 7.850 kg/ Bài toán 5 và bảng hỏi. Để thiết kế làm một giàn trồng cây leo, làm thế

nào để dựng các cọc trụ thẳng đứng.

Chỉ dẫn: - Quan sát mô hình thực tiễn (Hình 3.4). - Dùng các kiến thức về các quan hệ vuông góc đã biết.

Hình 3.4

- Tổ chức thực hiện Chúng tôi tiến hành triển khai hoạt động của học sinh giải các bài toán theo bảng hỏi 5 nhóm học sinh của khối 11 và khối 12 của các trường THPT trên địa bàn tỉnh Nghệ An bao gồm: Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng; trường THPT Hà Huy Tập; trường THPT Đô Lương 1; trường THPT Anh Sơn 1; trường THPT Quỳ Hợp 3; trường THPT Kì Sơn.

Việc khảo sát được tiến hành thông qua quan sát cách trình bày, thảo luận của học sinh, nghe câu trả lời của các nhóm trưởng, ghi âm, chụp hình các kết quả của một số em trong nhóm.

3.6. Đánh giá kết quả về việc khảo sát giáo viên và học sinh Việc đánh giá này nhằm đưa ra được các kết luận về nhận thức của giáo viên, hoạt động của họ về việc bồi dưỡng TTTKG cho học sinh, đồng thời những ưu, nhược điểm của giáo viên về khả năng tưởng tượng không gian trong dạy học hình học ở trường THPT. Thông qua hoạt động giải các bài toán liên quan đến TTTKG nhằm đánh giá khả năng về TTTKG của học sinh, là cơ sở để thiết kế và sử dụng các tình huống dạy học hỗ trợ phát triển TTTKG cho học sinh trong dạy học hình học ở trường THPT.

62

3.6.1. Kết quả khảo sát tìm hiểu giáo viên về khái niệm không gian, hiểu biết về biểu tượng không gian và khái niệm về trí tưởng tượng không gian, con đường hình thành và phát triển trí tưởng tượng không gian

Câu hỏi 1: Tìm hiểu kiến thức về không gian hình học được nghiên cứu ở

trường phổ thông.

Trong câu hỏi này ý a và c là đúng, còn ý b là sai: Có thể lí giải như sau: Ở ý a, tính ba chiều thể hiện qua mô hình của hình học tổng hợp là ở một bộ phận của tiên đề liên thuộc của Hilbert: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Đó là bốn điểm độc lập A, B, C, D. Từ

đó dẫn tới các vectơ độc lập tuyến tính. Hiểu theo nghĩa vectơ và

tọa độ là tồn tại ba vectơ không đồng phẳng (SGK hình học 11, tr.47) và mọi vectơ có thể khai triển một cách duy nhất qua ba vectơ đó.

Qua kết quả các câu trả lời có 15/30 GV trả lời ý a; có 10/30 GV trả lời ý

b; có 5/30 GV trả lời ý c cho thấy:

- Đại bộ phận không hiểu được tính ba chiều của không gian được nghiên cứu ở trường phổ thông. Thiếu sót này do người GV chưa để ý một cách chi tiết tư tưởng này. Đặc biệt thiếu sót trên chứng tỏ rằng người GV thiếu quan tâm liên hệ các kết quả về không gian tuyến tính, không gian hình học được nghiên cứu ở trường Đại học với không gian hình học được nghiên cứu ở trường phổ thông.

- Việc hiểu sai ý c và ý a chứng tỏ một số giáo viên còn yếu về phân tích

chương trình phổ thông.

- Số trả lời ý b là 5/30 GV chứng tỏ họ hiểu nhầm về không gian hình học

và hình học, họ không thấy được sự khác biệt giữa chúng.

Như vậy để phát triển TTTKG cho học sinh trước hết GV cần chuẩn bị hiểu

biết của mình về không gian; tránh hiểu nhầm không gian hình học với hình học.

Câu hỏi 2: Quan niệm về biểu tượng không gian. Thông qua kết quả khảo sát cho thấy đại bộ phận hiểu được biểu tượng không gian một cách trực quan và biểu tượng kí ức về không gian. Số lượng hiểu về biểu tượng không gian trực quan chiếm tỉ lệ cao 18/30 GV; số lượng GV hiểu biểu tượng kí ức về không gian chiếm 6/30 GV. Số lượng trả lời đúng ý c câu 2 chứng tỏ GV đã biết hoạt động thể hiện mô tả về các biểu tượng không gian.

Câu hỏi 3: Câu này có ý tưởng xem xét hiểu biết của GV về cách hiểu

TTTKG trong dạy học hình học ở trường THPT.

63

Cả ba ý của câu 3 đều là những biểu hiện đặc trưng của TTTKG. Với kết

quả số trả lời ý a là 9/30 GV, trả lời ý b là 12/30 GV, trả lời ý c là 9/30. Kết quả thăm dò với số lượng GV trả lời nêu trên cho thấy:

Đại đa số GV chưa hiểu thế nào là TTTKG. Số hiểu biết cũng chỉ dừng

lại hiểu một số nét đặc trưng của khái niệm. Số lượng trả lời còn ít như vậy

chứng tỏ người GV chưa được ý thức đầy đủ về nghiên cứu xem xét để hiểu

khái niệm về TTTKG. Chúng tôi cho rằng kết quả nêu trên phản ánh ở trường

Đại học chưa trang bị đầy đủ cho sinh viên hiểu biết về khái niệm TTTKG, chưa

khai thác vai trò của TTTKG.

Những nhược điểm nêu trên còn có các lí do khác:

Các tài liệu viết về TTTKG của học sinh THPT còn ít. Tuy ở trong nước

và nước ngoài đã đánh giá cao vai trò của TTTKG trong dạy học toán, đặc biệt

là trong dạy học hình học, tuy nhiên các tài liệu viết chi tiết về vấn đề này còn

quá khiêm tốn.

Câu hỏi 4: Xem xét khả năng hiểu biết của GV về tiến trình hình thành và

phát triển TTTKG trong dạy học hình học ở trường THPT.

Câu hỏi này nhằm tìm hiểu nhận thức của GV về các con đường quy nạp

và suy diễn trong việc hình thành và phát triển TTTKG. Con đường quy nạp

được tiến hành thông qua quan sát thực tiễn, quan sát các hình biểu diễn, quan

sát trực quan động để xây dựng các biểu tượng không gian một cách đúng đắn

về các biểu tượng hình học.

Con đường suy diễn đi từ trừu tượng đến cụ thể, thông qua giới thiệu các

khái niệm trừu tượng sau đó mô tả bằng các hình ảnh trực quan. Với số lượng có

tới 18/30 GV trả lời ý a, có 3/30 GV trả lời ý b, có 9/30 trả lời ý c cho thấy: Đại

bộ phận GV toán quan tâm tới con đường quy nạp để hình thành các biểu tượng

không gian và TTTKG. Đa số nhận thức như vậy là đúng đắn phù hợp với quy

luật nhận thức.

3.6.2. Kết quả khảo sát tìm hiểu GV làm sáng tỏ những biểu hiện của học

sinh về trí tưởng tượng không gian trong dạy học hình học ở trường trung học

phổ thông

Khảo sát phần này được tiến hành thông qua 2 câu hỏi. Sau đây chúng tôi

phân tích kết quả các câu trả lời.

64

Câu hỏi 5: Tìm hiểu các biểu hiện của học sinh về TTTKG.

Qua khảo sát có tới 13/30 GV trả lời đúng bốn ý; 12/30 GV trả lời 3 ý; 5/30

GV trả lời 2 ý. Như vậy có 43% GV được khảo sát trả lời đúng câu hỏi, còn lại 57%

GV chưa nhận thức được một số biểu hiện của học sinh liên quan tới TTTKG.

Chúng tôi cho rằng số lượng GV trả lời đúng các ý chiếm 43% phản ánh

các vấn đề sau đây:

- Ở trường Đại học chưa có một định nghĩa tường minh về TTTKG.

- TTTKG mà người GV hiểu chỉ qua một số góc cạnh nói về khả năng

tưởng tượng không gian của học sinh, hiểu biết về TTTKG chỉ thông qua các tri

thức thường nghiệm và thông qua trình độ của học sinh khá, giỏi.

Những điều phân tích nói trên cần được dự tính trong luận án về việc đưa

ra định nghĩa khái niệm TTTKG thông qua những thuộc tính đặc trưng cơ bản

của nó, thông qua liệt kê các khả năng tiêu biểu của TTTKG.

Câu hỏi 6: Tìm hiểu GV về các dạng biểu hiện của TTTKG trong thực

hành giải toán và trong thực tiễn.

Các ý nêu trong câu hỏi 6 đều đúng. Sau đây là những kết luận đánh giá: Với câu

hỏi này có 19/30 GV trả lời đúng ba ý; có 8/30 GV trả lời hai ý; 3/30 GV trả lời một ý.

Số lượng trả lời đúng cả ba ý chiếm đại đa số, chứng tỏ rằng các biểu hiện

nêu trong ý a, b, c là đúng đắn. Các biểu hiện này cần được nhấn mạnh trong

luận án để làm cơ sở thực tiễn cho việc đưa ra các hoạt động hình thành và phát

triển TTTKG cho học sinh.

3.6.3. Kết quả khảo sát xác minh hiểu biết của giáo viên về các hoạt

động nhằm phát triển trí tưởng tượng không gian của học sinh

Câu hỏi 7: Tìm hiểu biểu hiện khả năng TTTKG của học sinh.

Ý tưởng của câu hỏi này được trình bày trong các ý a, b, c được đưa ra từ

định nghĩa khái niệm TTTKG và từ quan niệm về các biểu hiện của TTTKG

được trình bày trong Chương 2.

Qua khảo sát có tới 17/30 GV trả lời đúng ba ý; có 10/30 GV trả lời hai ý;

có 3/30 trả lời một ý.

Kết quả đại đa số GV trả lời đúng cả ba ý chứng tỏ rằng việc đưa ra các hoạt

động này là có cơ sở thực tiễn đối với việc đề xuất các hoạt động hình thành và

phát triển TTTKG cho học sinh trong dạy học hình học ở trường THPT.

65

Câu hỏi 8: Tìm hiểu GV về các khả năng biểu hiện TTTKG của HS.

Các ý a, b, c của câu hỏi này được tìm hiểu nhằm làm cơ sở cho việc đề

xuất các hoạt động hình thành và phát triển TTTKG. Các hoạt động như vậy

chẳng hạn diễn tả các quan hệ, các mối liên hệ hình học qua sử dụng một mô

hình hình học không gian, hoạt động mô hình hóa, hoạt động chuyển đổi ngôn

ngữ để đưa vấn đề nghiên cứu vào một mô hình cụ thể.

Khi khảo sát các GV về câu hỏi này có tới 11/30 GV trả lời đúng ba ý; có

12/30 GV trả lời hai ý; có 7/30 GV trả lời một ý.

Kết quả khảo sát cho thấy còn ít GV hiểu được một cách sâu sắc vai trò

của các hoạt động nêu trên đối với việc phát triển TTTKG.

Câu hỏi 9: Tìm hiểu về các hoạt động hướng tới hình thành và phát triển

TTTKG.

Qua khảo sát có tới 9/30 GV trả lời đúng ba ý; có 12/30 GV trả lời hai ý;

có 9/30 GV trả lời một ý. Như vậy số GV nhận thức về các hoạt động hình thành

và phát triển TTTKG còn thấp do họ không hiểu được các yếu tố về lượng trong

hình học cũng là các biểu tượng không gian đòi hỏi người học sinh cần phải

hình dung, ước lượng, độ lớn của các hình. Ngoài ra họ cũng cần phải nắm được

vị trí tương đối của các hình.

Câu hỏi 10: Nhằm tìm hiểu GV các hoạt động cụ thể để hình thành và

phát triển TTTKG.

Các hoạt động như vậy thể hiện trong các ý a, b, c của câu hỏi 10 bao gồm:

Hoạt động cắt ghép hình, hoạt động sử dụng biểu diễn hình để tìm tòi các quy luật

hình học; hoạt động khai thác ý nghĩa hình học của các biểu thức hình thức.

Với câu hỏi này có 20/30 GV trả lời đúng ba ý; có 8/30 GV trả lời hai ý;

có 2/30 GV trả lời một ý.

Như vậy về mặt thực hành phần lớn GV hiểu được các hoạt động nêu

trong các ý a, b, c là các hoạt động thành phần của các hoạt động hình thành và phát

triển TTTKG.

3.6.4. Kết quả khảo sát tìm hiểu nhận thức của giáo viên về vai trò của

việc phát triển trí tưởng tượng không gian cho học sinh trong dạy học hình

học ở trường trung học phổ thông

Câu hỏi 11: Tìm hiểu GV về quan niệm đúng vai trò phát triển TTTKG

cho học sinh trong dạy học hình học ở trường THPT.

66

Các ý trong câu 11 nhằm tìm hiểu nhận thức của GV về vai trò của

TTTKG - Trực giác hình học trong hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề.

Qua khảo sát có tới 18/30 GV trả lời đúng ba ý; có tới 9/30 GV trả lời hai

ý; có 3/30 GV trả lời một ý.

Kết quả khảo sát cho thấy có 60 % hiểu đúng vai trò phát hiện ý tưởng,

phát hiện các bước giải quyết vấn đề, thấy được ý nghĩa của vấn đề trước khi bắt

tay vào giải quyết vấn đề. Thực hiện các vai trò này sẽ làm sâu sắc thêm quan

điểm dạy học tiếp cận phát hiện và dạy học sáng tạo.

Câu hỏi 12: Tìm hiểu GV về vai trò của việc phát triển TTTKG cho học

sinh trong dạy học hình học ở trường THPT.

Nội dung của câu hỏi này hướng vào khai thác vai trò của việc phát triển

TTTKG trong dạy học hiệu quả hình học ở trường THPT.

Các ý a, b trong câu hỏi này nói về vai trò các hoạt động liên hệ giữa các

yếu tố không gian với hình học phẳng bao gồm: Chuyển hình không gian sang

hình biểu diễn, khai thác các bộ phận phẳng của hình không gian. Các hoạt động

này giúp hiểu sâu bộ môn hình học không gian.

Các hoạt động nói trên kết hợp với ý c của câu hỏi sẽ góp phần nâng cao

hiệu quả dạy và học hình học ở trường THPT.

Với câu hỏi này có 22/30 GV trả lời đúng ba ý; có 8/30 GV trả lời hai ý.

Qua kết quả khảo sát có thể kết luận đa số GV hiểu được các vai trò quan

trọng của việc phát triển TTTKG trong dạy học hình học ở trường THPT.

Câu hỏi 13: Tìm hiểu GV về vai trò của việc phát triển TTTKG cho học

sinh trong dạy học hình học ở trường THPT.

Ý tưởng của câu hỏi này là tìm hiểu GV về vai trò của việc phát triển

TTTKG trong việc thực hiện dạy học tích hợp trong nội bộ toán và tích hợp dạy

hoc toán kết nối thực tiễn.

Qua khảo sát có tới 19/30 GV trả lời đúng bốn ý; có 8/30 GV trả lời ba ý;

có 3/30 GV trả lời hai ý.

Kết quả trên cho thấy cần phải tăng cường hơn nữa việc khai thác vai trò

của TTTKG trong dạy học hình học theo hướng tích hợp bên trong và tích hợp

liên môn.

67

3.6.5. Tiểu kết về khảo sát đối tượng giáo viên

Chúng tôi tiến hành khảo sát, tìm hiểu nhận thức của GV về TTTKG

nhằm mục tiêu bổ sung cho việc nghiên cứu lí luận đề xuất các dạng hoạt động

hướng tới hình thành và phát triển TTTKG đã trình bày ở Chương 2.

Lôgic của việc tìm hiểu này theo thứ tự đã tiến hành như sau:

Tìm hiểu nhận thức của GV về các biểu tượng không gian, TTTKG, con

đường hình thành và phát triển TTTKG; biểu hiện của TTTKG trong dạy học

hình học ở trường THPT; tìm hiểu nhận thức của GV về các hoạt động có thể

khai thác để luyện tập cho học sinh nhằm hình thành và phát triển TTTKG cho

học sinh; vai trò của TTTKG đối với việc dạy học hiệu quả môn hình học ở

trường THPT.

Thông qua kết quả khảo sát, phân tích định tính và định lượng cho thấy

việc luyện tập cho học sinh các hoạt động để hình thành và phát triển TTTKG là

cần thiết. Điều này không chỉ đòi hỏi về mặt lí luận mà cả về phương diện thực

hành dạy học hình học hiện nay. Sự cần thiết này đặt ra không chỉ đối với vai trò

của TTTKG trong dạy học hình học mà còn vai trò của nó đối với hoạt động dạy

học tích hợp, tư tưởng mà chương trình mới hiện nay đặt vị trí hàng đầu trong

việc giáo dục toán học ở trường THPT.

Các hoạt động thúc đẩy phát triển TTTKG sẽ được dự tính trong nghiên

cứu thiết kế và sử dụng các tình huống dạy học hình học ở trường THPT theo

hướng hỗ trợ phát triển TTTKG cho học sinh.

3.6.6. Kết quả khảo sát tìm hiểu khả năng về trí tưởng tượng không

gian của học sinh theo chương trình sách giáo khoa hiện hành

Bài toán 1. Mục đích của bài toán này nhằm giúp học sinh tưởng tượng vị

trí tương đối của các giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau. Hình dung

đúng các vị trí tương đối của ba giao tuyến này là cơ sở để chứng minh lôgic

nhận định trên.

Kết quả khảo sát có tới 120/389 HS giải được bài toán với ba trường hợp

của các giao tuyến là song song, đồng quy, trùng nhau; hầu hết các học sinh chỉ

hiểu qua các chỉ dẫn trực quan.

Kết quả khảo sát cho thấy để giải quyết được các trường hợp học sinh cần

phải có biểu tượng sâu sắc, đúng đắn về các trường hợp sau: Gọi 3 mặt phẳng đó

68

là (P), (Q), (R) và gọi a, b, c lần lượt là các giao tuyến của ba mặt phẳng

(P) (Q), (Q) (R), (R) (P).

Khi đó cần lập luận chứng minh cho ba trường hợp sau:

- Nếu a b = O thì c đi qua O.

- Nếu a // b thì a, b, c song song với nhau.

- Nếu a trùng b thì a, b, c trùng nhau.

Đa số học sinh không phân tích được điều này, chứng tỏ rằng TTTKG của

các em chưa đủ sâu sắc để định hướng cho các bước lập luận lôgic. Qua đó cần

thiết để bồi dưỡng cho các em các biểu tượng kí ức về vị trí tương đối của các

đường thẳng thông qua các tình huống, bài toán đòi hỏi phải có TTTKG, phải

hình dung được các hình không gian không dựa vào hình vẽ.

Bài toán 2. Bài toán này đặt ra trong không gian hình học ba chiều.

Mục đích của bài toán này nhằm giúp học sinh nắm vững các tính chất:

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; hai đường thẳng phân biệt vuông góc

với hai đường thẳng chéo nhau thì song song với nhau. Điều này được suy ra từ

kết quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau thì nó

vuông góc với một mặt phẳng song song với hai đường thẳng chéo nhau đó.

Mệnh đề nêu trên có thể hình dung nhờ sử dụng hình hộp chữ nhật

ABCD.A1B1C1D1. Trong hình hộp này bộ ba các đường thẳng AB, CC1, A1D1 đôi một chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó, đường thẳng AB vuông góc với

mặt phẳng (BCC1B1), chứa CC1 và song song với A1D1.

Kết quả bài làm của học sinh giải đúng bài toán 22 %. Kết quả này phản

ánh đa số học sinh không hiểu được các mệnh đề đã chỉ dẫn. Không lí giải

được nếu tồn tại bốn đường thẳng chéo nhau và đôi một vuông góc với nhau

thì dẫn tới mâu thuẫn: Mâu thuẫn là trong bốn đường thẳng đó có hai đường

thẳng song song. Thực ra nếu học sinh có TTTKG tốt thì họ có thể hình dung

được mà không cần dùng lời để tưởng tượng được nếu tồn tại bốn đường thì

dẫn tới mâu thuẫn.

Bài toán 3. Dụng ý của bài toán này là để học sinh tưởng tượng ba cặp

mặt phẳng đôi một song song, chúng cắt nhau tạo thành hình hộp. Trong đó mỗi

cặp mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng chéo nhau.

69

B

C

a

A

D

b

a

B’

C’

b

c

D’

A’

Hình 3.6 Hình 3.5

Trên hình 3.5 mô tả cặp mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng chéo

nhau a, b.

Trên hình 3.6 các cặp mặt phẳng song song lần lượt chứa (a, b); (b, c); (c,

a) đôi một cắt nhau tạo thành một hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Kết quả khảo sát

có 156/389 HS đạt tỉ lệ 40 % giải được bài toán trên.

Đa số học sinh không giải được bài toán này là do các nguyên nhân sau:

GV chưa chú trọng khai thác ứng dụng của mệnh đề: Tồn tại và duy nhất

hai mặt phẳng song song lần lượt đi qua hai đường thẳng chéo nhau. Chưa chú

trọng khai thác các định nghĩa khác nhau của hình hộp. Chưa luyện tập sâu sắc

các hoạt động để học sinh biết tưởng tượng không gian.

Bài toán 4. Mục đích của bài toán này là để học sinh dùng các kiến thức

của toán học giải quyết các vấn đề thực tiễn nảy sinh. Kết quả khảo sát có

136/389 HS đạt tỉ lệ 35 % HS giải được bài toán trên.

HS đã được biết điều kiện để tính thể tích theo mặt ngoài và mặt trong của

hình trụ, như vậy tính được hiệu của thể tích tính theo kích thước mặt ngoài và

thể tích tính theo kích thước mặt trong (Phần rỗng). Học sinh không biết được

công thức tính khối lượng theo thể tích và khối lượng riêng. Từ đó có thể kết

luận GV thiếu quan tâm khai thác vai trò của TTTKG trong việc giải quyết các

vấn đề thực tiễn.

Bài toán 5. Bài toán này nhằm vận dụng các kiến thức hình học về tính

chất vuông góc để ước lượng các đại lượng hình học

Bài toán đã được chỉ dẫn, gợi ý tưởng về phương pháp nhưng chỉ có

172/389 HS giải quyết được bài toán, chiếm tỉ lệ 44%. Các em chủ yếu sử dụng

70

dây dọi để kiểm tra tính vuông góc. Chưa có học sinh nào biết ngắm để cho cọc

với hai mép tường vuông góc cùng nằm trong hai mặt phẳng chứa cọc của giàn

trồng cây leo. Có thể quan sát mô hình toán với hai mép tường AD và BC được

xây cùng vuông góc với mặt đất. Khi đó AD và cọc a cùng nằm trong một mặt

phẳng; BC và cọc a cùng thuộc mặt phẳng khác. Hai mặt phẳng nói trên có giao

tuyến là a, khi đó a vuông góc với mặt đất (Mặt của khu vườn được xem là

B

a

A

C

D

phẳng) (Hình 3.8).

Hình 3.7 .

Hình 3.8

3.6.7. Tiểu kết về khảo sát đối tượng học sinh

Thông qua hệ thống các bài toán khảo sát HS với các chỉ dẫn, chúng tôi

đã tiến hành đánh giá mức độ giải quyết các bài toán khảo sát ở trên. Từ đó

chúng tôi đưa ra các nhận định phần khảo sát HS như sau:

71

- Học sinh chưa được trang bị tri thức để khai thác tìm tòi các định nghĩa

khác nhau tương đương về các hình hình học.

- Học sinh chưa được thường xuyên vận dụng đa dạng các khái niệm, tính

chất của các hình không gian và trong các chương mục khác nhau của bộ môn

hình học.

- Học sinh chưa được chú trọng kiến thức về mô hình hóa toán học để mô

tả các tính chất về vị trí tương đối của các hình cũng như về các đại lượng hình

học có mặt trong thực tiễn. Chẳng hạn, các bài toán về ước lượng các đại lượng

hình học trong không gian cũng như giải thích các hiện tượng trong thực tiễn

liên quan đến TTTKG của các em.

Kết luận chương 3

Việc đưa ra kết luận về khảo sát thực tiễn đối với GV và đối với HS,

chúng tôi đã nêu trong các phần tiểu kết.

Trong phần kết luận này chúng tôi chỉ đưa ra những nội dung làm cơ sở thực

tiễn cho việc trình bày Chương 4, liên quan đến thiết kế và sử dụng các tình huống

dạy học nhằm hỗ trợ phát triển TTTKG cho học sinh trong dạy học hình học ở

trường THPT.

Dưới đây là những kết luận nổi bật:

a, Kết quả khảo sát cho thấy rằng cần thiết trang bị kiến thức và kĩ năng

cho việc dạy học của GV và lĩnh hội kiến thức của HS về không gian hình học

hai chiều, ba chiều. Các khái niệm này được hiểu theo hình học tổng hợp hay

hình học trình bày theo phương pháp vectơ: Không gian hai chiều được hiểu

theo quan điểm của hình học tổng hợp là: Tồn tại ba điểm không thẳng hàng A,

B, C. Thực chất đây là ba điểm độc lập. Khi đó, hiểu theo quan điểm vectơ là:

Tồn tại hai vectơ khác phương .

b, Cần thiết phải khắc sâu cho GV hiểu biết về các đặc trưng của TTTKG.

Các đặc trưng này đã nêu trong Chương 2. TTTKG có hai cấp độ: Cấp độ 1: Trên

cơ sở kiến thức đã có, được luyện tập sâu sắc, người học hình dung được các quan

hệ, vị trí giữa các hình, các đại lượng và mối quan hệ giữa các đại lượng. Ở cấp độ

2: Trên cơ sở được trang bị các biểu tượng không gian, người học có thể tạo nên

các biểu tượng không gian mới thông qua trí tưởng tượng của mình. Ở cấp độ này

đòi hỏi trí TTKG đi từ trực quan nhờ quan sát các đối tượng hình học thông qua sử

72

dụng các mô hình trực quan: Hình biểu diễn, biểu diễn thực, trực quan động, ... Từ

đó người học tiếp nhận được các biểu tượng kí ức thông qua sử dụng các thao tác

tư duy vận dụng trong hình học.

c, Khi có được các đặc trưng cụ thể của TTTKG, GV cần nắm được các

biểu hiện cụ thể về TTTKG, các dạng hoạt động để hình thành và phát triển

TTTKG. Đặc biệt là người GV cần nắm được tri thức phương pháp để luyện tập

cho HS các hoạt động nhằm hình thành và phát triển TTTKG.

d, Thông qua hoạt động trải nghiệm, người GV cần đưa ra được các tình

huống hàm chứa các hoạt động nhằm giúp HS tương tác phát hiện các kiến thức

mới và từ đó phát triển TTTKG. Đặc biệt chú trọng ở đây là các tình huống lấy

từ thực tiễn có ý nghĩa cho việc phát triển TTTKG.

73

Chương 4

THIẾT KẾ VÀ SỬ DỤNG CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC HÌNH HỌC

KHÔNG GIAN THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN TRÍ TƯỞNG

TƯỢNG KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Trong Chương 2, Chương 3, chúng tôi đã trình bày những cơ sở lí luận và

thực tiễn để đề ra sự cần thiết, bồi dưỡng TTTKG cho học sinh trong dạy học

hình học ở trường THPT. Trong Chương 2, chúng tôi đã đưa ra khái niệm

THDH hỗ trợ phát triển TTTKG trong dạy học hình học ở trường THPT. Quá

trình tiến hành thiết kế và sử dụng các THDH để phát triển TTTKG cho học sinh

được tiến hành nghiên cứu theo trình tự lôgic sau:

4.1. Chuẩn bị tri thức và kĩ năng cho giáo viên về việc thiết kế một

tình huống dạy học theo định hướng hỗ trợ phát triển trí tưởng tượng

không gian

4.1.1. Về phương diện tri thức

Người GV cần nắm được vai trò của việc phát triển TTTKG trong việc

phát hiện vấn đề và giải quyết các vấn đề hình học. Nói như vậy có nghĩa là các

tình huống được thiết kế phải được cài đặt sao cho nó hàm chứa các tri thức để

việc làm sáng tỏ các tri thức đó nhờ sử dụng phương pháp dạy học phát hiện và

giải quyết vấn đề. TTTKG cũng giúp định hướng đề ra các giả thuyết, sau đó

tiến hành kiểm định giả thuyết đó mà các bước được hình dung nhờ TTTKG của

người học. Điều này cho thấy các tình huống có thể cài đặt trong quá trình thực

hiện lí thuyết kiến tạo khi dạy học hình học. Ngoài ra, GV cũng cần nhận thức

các hoạt động cần luyện tập cho HS hướng đến phát triển ở họ TTTKG có thể

được cài đặt trong các tình huống tự học cho HS. Từ đó, GV cần nắm được các

kiến thức liên quan tới phương pháp dạy cách tự học.

Cũng thuộc lĩnh vực tri thức, người GV cần nắm được khái niệm về

TTTKG. Các đặc trưng cơ bản của TTTKG; các hoạt động cần luyện tập cho

học sinh để phát triển TTTKG. Việc nắm các hoạt động này là cơ sở để cài đặt

chúng vào trong các THDH hình học: THDH khái niệm, THDH các quy tắc, các

định lí và dạy học giải các bài tập hình học.

Các vấn đề nói trên về mặt lí luận đã được trình bày ở Chương 2. Ngoài ra

về phương diện tri thức, người GV cũng cần có hiểu biết sâu sắc về mối quan hệ

74

giữa trực quan, trí tưởng tượng và lôgic trong dạy học hình học. Điều này chứng

tỏ tiềm năng phát triển TTTKG trong dạy học hình học đòi hỏi người GV cần

khai thác.

Một vấn đề không kém phần quan trọng sau đây cần được nhấn mạnh khi

thiết kế các tình huống để HS tương tác nhằm hình thành và phát triển TTTKG:

Đó là các biểu tượng về không gian không chỉ thuộc phạm trù về các đối tượng

hình học, các quan hệ giữa các đối tượng hình học, vị trí tương đối giữa các hình

hình học, độ lớn, kích thước giữa các hình, ... mà biểu tượng về không gian còn

có mặt trong cuộc sống: Các ống thép có dạng hình trụ tròn xoay, các tháp trong

kiến trúc của các đền, chùa có dạng hình chóp, các quả bóng hình cầu, các loại

bảng biểu, màn hình tivi có dạng hình chữ nhật, chiều dài, chiều rộng của các

quãng đường nối từ A đến B, ...

Các đối tượng có trong thực tiễn nêu trên ta gọi chung là các mẫu vật. Việc

quan tâm đến các mẫu vật nói trên bổ ích cho việc tìm tòi các tình huống thực tiễn

để HS tưởng tượng, khái quát, trừu tượng hóa trong tiến trình sử dụng mô hình hóa

để phát hiện kiến thức. Quá trình hoạt động nói trên góp phần phát triển TTTKG

cho HS. Tư tưởng nêu trên phù hợp với quan điểm về đối tượng toán học: “Toán

học thuần túy có đối tượng của mình là hình dạng không gian và quan hệ số lượng

của thế giới hiện thực, trở thành một tư liệu rất thực tế”. Định nghĩa này được Ph.

Ăngghen nêu vào nửa cuối thế kỉ 19 nhấn mạnh cho hình dạng không gian và quan

hệ số lượng được trừu xuất khỏi các hình dạng và quan hệ thực tiễn nhờ sử dụng

nhiều thang bậc khác nhau của hoạt động trừu tượng hóa nên chúng trở thành các

hình dạng và quan hệ trừu tượng.

4.1.2. Về mặt kĩ năng

Người GV cần chuẩn bị các kĩ năng sau:

- Kĩ năng xác định mục tiêu của một bài học.

- Kĩ năng tìm tòi, phát hiện các tình huống lấy trong nội bộ toán hoặc

trong thực tiễn hàm chứa các hoạt động cần luyện tập cho HS theo định hướng

hỗ trợ phát triển TTTKG.

- Kĩ năng nghiên cứu bài học theo hướng tìm tòi các tình huống, thử

nghiệm, tương tác với các GV khác để lựa chọn tình huống tối ưu.

- Chuẩn bị kĩ năng dạy học theo các tình huống được chọn.

75

Tuy nhiên người GV cũng cần nhận thức rằng: Trong một THDH không

thể đòi hỏi hàm chứa tất cả các hoạt động cần luyện tập cho HS để phát triển

TTTKG. Một tình huống cần chứa tối thiểu một số hoạt động để có thể qua đó

luyện tập đặc trưng này hay đặc trưng khác của TTTKG. Thông qua nhiều bài

học, thực hiện nhiều các tình huống để học sinh tương tác sẽ dần dần luyện tập

nhiều hoạt động thành phần nhằm phát triển TTTKG cho HS theo một quá trình.

4.2. Quy trình thiết kế và sử dụng các tình huống dạy học nhằm hỗ

trợ phát triển trí tưởng tượng không gian trong dạy học hình học ở trường

trung học phổ thông

4.2.1. Cơ sở khoa học và thực tiễn để đưa ra tuần tự các bước thiết kế

Việc thiết kế các bước của quy trình phải quán triệt các vấn đề sau:

- Làm sáng tỏ mục tiêu dạy học của nội dung bài học bao gồm kiến thức,

kĩ năng, các thành tố của năng lực theo yêu cầu của chương trình sách giáo khoa

hình học ở trường phổ thông.

- Sáng tỏ các hoạt động cần luyện tập để phát triển TTTKG qua từng nội

dung bài học. Các hoạt động tiêu biểu trong dạy học hình học như: Hoạt động

quan sát các biểu diễn các đối tượng và quan hệ không gian; hoạt động phân

tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa để hình thành các biểu tượng đúng

đắn về các đối tượng và quan hệ hình học; hoạt động hình thành các phán đoán,

các giả thuyết nhờ TTTKG; hoạt động hình dung các mối liên hệ, quan hệ, lôgic

nhằm gợi mở các bước suy diễn trong giải quyết vấn đề; hoạt động liên tưởng

nhằm biến đổi các hình, chuyển hóa các liên tưởng, biến đổi thông tin để tiếp

nhận kiến thức mới.

- Trên cơ sở làm sáng tỏ mục tiêu các hoạt động nêu trên, GV cần trải

nghiệm tìm tòi các tình huống nhằm lồng ghép các hoạt động vào các tình huống

để học sinh tương tác phát hiện vấn đề và cách giải quyết vấn đề.

- Khi đã có các tình huống, GV cần thực hiện các hoạt động nghiên cứu

bài học để lựa chọn các phương án tối ưu. Các hoạt động như vậy chẳng hạn: Tổ

chức thảo luận trong các nhóm GV, trao đổi với các GV có kinh nghiệm.

- Hoạt động thử nghiệm các tình huống được lựa chọn thông qua triển

khai các hoạt động tiếp cận phát hiện vấn đề, cách giải quyết vấn đề cho các

nhóm học sinh kèm theo bảng hỏi và chỉ dẫn của GV. Để tiến hành hoạt động

76

này GV cần thực hiện hoạt động quan sát, hướng dẫn thảo luận, ghi âm, chụp

hình để nắm được hành vi của HS trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề.

- Hoạt động xử lý các thông tin phản hồi từ phía HS của GV để chỉnh sửa,

khắc phục những nhược điểm của tình huống đối với hoạt động lĩnh hội tri thức,

hoạt động hướng đến phát triển TTTKG. Từ đó khẳng định quy trình thiết kế để

đưa ra vận dụng trong dạy học hình học.

Cần chú ý rằng, tình huống được thiết kế theo quy trình có thể lấy từ nội

bộ toán, trên cơ sở các kiến thức được hình thành và luyện tập đối với học sinh.

Các dạng tình huống khá phong phú: Tình huống để học sinh tương tác nhằm

khắc sâu các kiến thức đã học, gắn kết với bài mới cần dạy, tình huống có thể

đưa ra để thực hiện một khâu nào đó trong dạy học theo quan điểm kiến tạo,

quan điểm phát hiện và giải quyết vấn đề: Tình huống gợi động cơ nhằm tạo nhu

cầu để học sinh hoạt động hướng đến phát triển TTTKG, tình huống ôn tập, tình

huống vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tình huống để HS tương tác nhằm phát

hiện các quy luật toán học. Tình huống có khi là một câu hỏi, một số các câu

hỏi, có khi là một bài toán, một yêu cầu giải thích một hiện tượng thực tiễn. Tuy

nhiên điều bắt buộc trong việc thiết kế một tình huống là: Tình huống phải chứa

đựng một vấn đề và để giải quyết vấn đề đó cần thực hiện các hoạt động nhằm

phát triển TTTKG.

Để sử dụng quy trình được GV thiết kế người GV cần nắm một cách chi

tiết vai trò của người thầy thể hiện qua các hoạt động ủy thác, điều khiển và thể

chế hóa kiến thức [54, tr. 118 - 120]. Trong đó cần hiểu ủy thác là chuyển giao ý

đồ dạy của thầy thành nhiệm vụ nhận thức của HS - đó là những tình huống

chứa đựng những khó khăn, chướng ngại HS cần phải hoạt động tưởng tượng

không gian, hoạt động tư duy tích cực để vượt qua những khó khăn, chướng

ngại, mâu thuẫn nhằm chiếm lĩnh các tri thức mới.

Hoạt động điều khiển của GV bao gồm hoạt động hướng dẫn, trợ giúp

thông qua các bảng hỏi, chỉ dẫn để học sinh hoạt động và đánh giá.

Hoạt động thể chế hóa xác nhận những kiến thức mới phát hiện trong quá

trình dạy học và đồng nhất hóa các kiến thức riêng lẻ mang sắc thái cá nhân

riêng lẻ thành tri thức khoa học của xã hội phù hợp với chương trình. Người GV

cần hướng dẫn, vận dụng và ghi nhớ.

77

Ví dụ 4.1. Để phát hiện quy luật: “Nếu tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối

bằng nhau: AB = CD; AC = BD; AD = BC thì tổng các góc phẳng của các góc

A

D

B

C

tam diện tại mỗi đỉnh của tứ diện đó bằng ”.

Hình 4.1

Để phát hiện quy luật này ta có thể đưa ra tình huống sau: Nếu tứ diện

ABCD đều thì tổng các góc phẳng của các góc tam diện tại mỗi đỉnh của tứ diện

đó bằng . Yêu cầu học sinh chứng minh. Việc chứng minh mệnh đề này khá

đơn giản. Do tứ diện đều có các mặt là tam giác đều nên góc tam diện đỉnh A

của tứ diện này có tổng ba góc phẳng là:

(Hình 4.1)

Để phát hiện quy luật nêu trên, GV có thể đưa ra tình huống sau đây:

Em hãy tìm mệnh đề tổng quát của mệnh đề trên để có được một quy

luật tổng quát?.

Để HS khái quát hóa, GV có thể định hướng: Tứ diện đều là trường hợp

đặc biệt của loại tứ diện nào?. Tứ diện đều là tứ diện có bốn mặt là các tam giác

bằng nhau. Tứ diện nào tổng quát hơn cũng có tính chất đó?. Tứ diện có các cặp

cạnh đối bằng nhau AB = CD, AC = BD, AD = BC.

Hoạt động nghiên cứu các câu hỏi trên nhằm để HS đưa ra dự đoán mệnh

đề tổng quát: “Nếu tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau thì tổng các

góc phẳng của các góc tam diện tại mỗi đỉnh của tứ diện đó bằng ”. Rõ

ràng tứ diện đều là trường hợp đặc biệt của tứ diện gần đều ABCD nêu trên khi

tất cả các cặp cạnh đối bằng nhau và bằng a.

Để kiểm định mệnh đề tổng quát này, GV có thể đưa ra nhiệm vụ nhận

thức gắn với các hoạt động luyện tập TTTKG như sau: Em hãy nêu hai hướng

78

chứng minh mệnh đề tổng quát nói trên nhờ chuyển bài toán không gian này về

bài toán phẳng.

GV có thể định hướng cho HS chứng minh mệnh đề theo hai hướng sau:

Hướng thứ 1: Do các mặt của tứ diện ABCD là các tam giác bằng nhau

theo dấu hiệu cạnh - cạnh - cạnh. Em hãy so sánh các góc phẳng của góc tam

diện đỉnh A với các góc của tam giác BCD?

Hướng thứ 2: Chuyển bài toán không gian về bài toán phẳng nhờ hoạt

động trải hình.

Tình huống dẫn tới hình khai triển có hợp ba góc phẳng của các góc tam

C

B

D

diện tại mỗi đỉnh là một góc bẹt hay là ba góc của một tam giác

Hình 4.2

Các em hãy hình dung hình tứ diện được làm bằng bìa cứng. Ta cắt tứ

diện theo các cạnh AB; AC; AD và trải lên mặt phẳng (BCD) ta được hình dạng

của hình khai triển như hình 4.2.

Do các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau nên trên hình khai triển ta

có B = B = CD. Tương tự C = C = BD; D = D = BC.

Khi đó ta có các tứ giác BDC, BCD, BD C là các hình bình hành.

Từ các hình bình hành trên suy ra B và B cùng song song với CD nên

theo tiên đề Euclide suy ra các điểm , B, thẳng hàng. Tương tự các bộ ba

điểm , C, và , C, thẳng hàng.

Từ trên suy ra hợp các góc phẳng của các góc tam diện tại các đỉnh B, C,

D của tứ diện là những góc bẹt. Còn tổng các góc phẳng của góc tam diện tại

đỉnh A bằng tổng các góc của tam giác , , .

Người GV cần nắm các hoạt động của học sinh thể hiện trong dạy học

79

hình học [53, tr 96 - 100]: Hoạt động nhận dạng và thể hiện một khái niệm, một định lí, một phương pháp, các hoạt động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ chung, những hoạt động ngôn ngữ. Đặc biệt, trong luận án này chúng tôi quan tâm các hoạt động hướng đến hỗ trợ phát triển TTTKG trong dạy học hình học ở trường THPT đã được trình bày ở mục 2.6 của Chương 2.

4.2.2. Quy trình thiết kế các tình huống dạy học hỗ trợ phát triển trí tưởng

tượng không gian trong dạy học hình học ở trường trung học phổ thông

Trên cơ sở khoa học và thực tiễn cho việc đưa ra tuần tự các bước thiết kế đã nêu ở mục 4.2.1, chúng tôi đưa ra quy trình thiết kế các THDH hình học hỗ trợ phát triển TTTKG cho học sinh THPT theo các bước sau: 4.2.2.1. Quy trình thiết kế theo trình tự các bước Bước 1: Nghiên cứu mục tiêu, nội dung bài học và khai thác các hoạt động hướng đến hình thành và phát triển TTTKG thúc đẩy hoạt động nhận thức nhằm chiếm lĩnh các tri thức và kĩ năng theo mục tiêu và nội dung bài học.

Bước 2: GV trải nghiệm tìm tòi các tình huống dạy học hình học hỗ trợ

phát triển TTTKG và thúc đẩy hoạt động nhận thức qua bài học cụ thể.

Bước 3: Lựa chọn tình huống dạy học phù hợp với mục tiêu và phương

pháp được chọn.

Bước 4: Thảo luận, điều chỉnh tình huống dạy học theo hướng nghiên cứu bài học. Bước 5: Thử nghiệm tình huống dạy học. Bước 6: Xác nhận tình huống dạy học. 4.2.2.2. Phân tích các bước của quy trình Bước 1: Làm sáng tỏ mục tiêu về kiến thức và kĩ năng. Mục tiêu cụ thể của bài học về hình học ở trường THPT được trình bày chi tiết trong các tài liệu hướng dẫn dạy học. Trong luận án này chúng tôi nhấn mạnh thêm các hoạt động gắn với mục tiêu dạy học, hướng đến hình thành và phát triển TTTKG như các hoạt động quan sát để hình thành các biểu tượng đúng đắn về các đối tượng, các thuộc tính không gian bao gồm: Quan sát các biểu diễn không gian, biểu diễn thực, sử dụng trực quan động. GV cũng cần khai thác thêm các hoạt động hình dung các hình không gian, nghiên cứu các thuộc tính không gian nhờ sử dụng các mô hình hình học, hoạt động chuyển hóa từ hình này sang hình khác thuận lợi cho việc phát hiện kiến thức, để khai thác các thuộc tính mới.

80

Đặc biệt đối với HS khá giỏi, GV cần chú trọng để học sinh hình dung,

tưởng tượng phát hiện các ý tưởng, các giả thuyết, các phán đoán để phát hiện

các vấn đề hình học, hình dung các bước giải quyết vấn đề trước khi trình bày

hình thức các bước giải quyết vấn đề. Cũng trong bước này người GV cần quan

tâm nghiên cứu các vấn đề thực tiễn để kết nối việc dạy học hình học. Đặc biệt

coi trọng sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu hình học, các hình hình học để mô tả, giải

thích các hiện tượng không gian, các quan hệ không gian.

Ví dụ 4.2. Khi dạy học các tính chất cơ bản của hình học không gian (Mô

tả các tiên đề) trong SGK hình học 11, người GV cần khai thác ý nghĩa của tính

chất 2 trang 46: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng,

thông qua giải thích tình huống sau: Tại sao máy bay lại sử dụng ba cụm lốp mà

không phải bốn cụm lốp?.

Về mục tiêu kiến thức của tính chất này là biết thừa nhận: Có một và chỉ

một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước. Từ đó GV có thể đặt

câu hỏi cho HS hình dung như sau: Giả sử mỗi cụm lốp của máy bay là một

điểm thì ba cụm lốp của máy bay tạo thành hình gì?. Câu hỏi trên học sinh dễ

dàng trả lời được ba điểm trên tạo thành mặt phẳng.

Về kĩ năng của tính chất này là hình dung được mặt phẳng đi qua ba điểm

không thẳng hàng. Để hình dung được thì GV có thể cho HS tưởng tượng và mô

tả quá trình cất cánh và hạ cánh của máy bay ở tốc độ cao rất an toàn vì ba cụm

lốp tạo thành mặt phẳng.

GV có thể đặt câu hỏi nếu máy bay sử dụng bốn cụm lốp thì như thế nào?

Với mỗi cụm lốp là một điểm, khi đó bốn điểm cho ta điều gì?

HS sẽ tưởng tưởng và hình dung được trường hợp tồn tại bốn điểm không

thuộc một mặt phẳng hoặc bốn điểm thuộc mặt phẳng nhưng mặt đường băng

thực tế không phải là mặt phẳng nên không an toàn khi máy bay cất cánh và hạ

cánh ở tốc độ cao.

Bước 2: GV trải nghiệm tìm tòi các tình huống dạy học hình học hỗ trợ

phát triển TTTKG và thúc đẩy hoạt động nhận thức qua bài học cụ thể

Sau khi xác định được mục tiêu bài học, GV tiến hành nghiên cứu, xem xét

các tình huống dạy học hình học hỗ trợ phát triển TTTKG phù hợp với mục tiêu về

kiến thức và kĩ năng. Các THDH ở đây có thể lấy trong nội bộ toán học hoặc trong

81

thực tiễn hướng đến hỗ trợ phát triển TTTKG. Ngoài ra tình huống được người GV

trải nghiệm và lựa chọn cần thể hiện các vai trò của TTTKG ở mục 2.7.

Đặc biệt chú ý các tình huống tập trung vào khai thác hình dạng không gian,

quan hệ số lượng từ các đại lượng hình học được dạy ở trường phổ thông, chúng

đặc trưng cho các đối tượng của toán học, trường hợp riêng là hình học. Các tình

huống được chọn cần được GV trải nghiệm, xem xét các đồ vật được loài người tạo

nên từ tri thức kinh nghiệm, từ các công trình kiến trúc xây dựng. Thực chất đây là

các mô hình thực tiễn hàm chứa các tri thức toán học, đó là các sản phẩm vật chất

của văn hóa toán học.

Ví dụ 4.3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P lần

lượt là trung điểm của các cạnh A’D’, BB’, CD. Chứng minh mặt phẳng (MNP)

song song với mặt phẳng (CB’D’).

Việc chọn tình huống này được GV cân nhắc dùng nó để ôn tập quan hệ

song song giữa hai mặt phẳng dùng cho HS lớp 11, 12, đặc biệt là lớp 12 khi đã

học nhiều kiến thức liên quan đến quan hệ song song. Việc hướng dẫn GV khai

thác tình huống này nhằm vào việc phát triển TTTKG theo các hướng sau:

- Tích hợp nhiều hoạt động hướng đến phát triển TTTKG, nhờ huy động

nhiều dạng kiến thức khác nhau (Khai thác mối liên hệ bên trong giữa các kiến

thức toán học).

- Hoạt động khai thác nội dung hình học qua các biểu thức hình thức -

biểu thức vectơ, tọa độ, biến hình.

- Hoạt động khai thác mối liên hệ, quan hệ giữa quan hệ song song, quan

hệ vuông góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng.

- Hoạt động đảm bảo phát triển cân đối giữa cú pháp và ngữ nghĩa trong

dạy học hình học.

- Hoạt động hình dung lựa chọn đơn giản hệ trục tọa độ để khai thác mối

liên hệ giữa các đối tượng toán học.

Dưới đây trình bày chi tiết hơn các hoạt động trên.

Có thể khai thác nội dung hình học tổng hợp của tình huống nêu trong ví

dụ trên nhờ sử dụng tính chất: Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt

nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng kia thì

hai mặt phẳng đó song song với nhau.

82

Thực hiện cách giải quyết này đòi hỏi học sinh phải hình dung, tưởng

M

A’

D’

I

B’

C’

J

A

N

D

P

C

B

tượng, vẽ thêm các đường phụ nhằm sử dụng tính chất.

Hình 4.3

GV hướng dẫn HS hình dung hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng

(MNP) là MP và NP lần lượt song song với hai đường trung tuyến CI; B’J, đó

chính là hai đường cắt nhau của mặt phẳng (B’CD’) lần lượt song song với MP

và NP. Có thể hình dung chúng song song vì các tứ giác MICP, NB’JP là các

hình bình hành.

Với cách khai thác tình huống trên thì hoạt động vẽ đường phụ CI, B’J đòi

hỏi HS phải tưởng tượng, phải hình dung trước khi trình bày lập luận (Hình 4.3).

GV có thể hướng dẫn HS cách giải quyết thứ 2 nhờ sử dụng phương pháp

tọa độ. HS cần hình dung lựa chọn hệ trục tọa độ đơn giản trong không gian.

Có thể thấy để chọn hệ tọa độ đơn giản cho việc tính toán như sau:

Giả sử cạnh hình lập phương bằng 1 (Đơn vị độ dài), khi đó ta chọn hệ tọa

z

M

A’

D’

B’

C’

A

N

y

D

P

B

C

x

độ sao cho A(0; 0; 0); B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1) (Hình 4.4).

Hình 4.4

83

Với hệ tọa độ trực chuẩn nói trên, yêu cầu HS hình dung cho kết quả M(0;

½; 1); N(1; 0; ½); P(½; 1; 0). Khi đó = (1; -½; -½); = (½; ½; -1).

Khi đó vectơ pháp tuyến = Để đơn giản ta chọn

= (1; 1; 1). (Yêu cầu HS giải thích ý nghĩa hình học)

Từ đó phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) là: x + y + z +d = 0.

Do đi qua M nên ta có phương trình: x + y + z - = 0. (1)

Lập luận tương tự phương trình mặt phẳng (CB’D’) là: x + y + z - 2 = 0. (2) Từ (1) và (2) suy ra hai vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương. GV yêu cầu HS giải thích ý nghĩa hình học chứng tỏ hai mặt phẳng trên

song song.

Mong đợi câu trả lời: Do hai vecto pháp tuyến cùng phương nên hai mặt phẳng trên song song hoặc trùng nhau. Tuy nhiên chúng không trùng

nhau vì mọi điểm thuộc mặt phẳng (1) thì . Khi đó

nếu thay vào (2) sẽ không thỏa mãn. Nói cách khác không thuộc

mặt phẳng (2).

Cách thứ 3. Định hướng cho HS giải quyết vấn đề theo công cụ vectơ chứng minh đường thẳng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (MNP) và (B’CD’).

Đặt Khi đó cho HS quan sát hình lập phương

M

A’

D’

B’

C’

A

N

D

P

B

C

hình dung kết quả (Hình 4.5). và

Hình 4.5

GV yêu cầu HS nêu phương pháp chứng minh đường thẳng AC’ vuông

góc với mặt phẳng (MNP) theo công cụ vecto?.

84

Câu trả lời mong đợi: Chứng minh ; .

GV cho HS quan sát hình vẽ hình dung được biểu diễn các vectơ ;

theo các vectơ

Ta có

Do đó

Chứng minh tương tự . Từ đó suy ra đường thẳng AC’ vuông

góc với mặt phẳng (MNP).

Chứng minh tương tự ta có đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng (B’CD’). Mặt khác, do đường thẳng MN và B’C’ chéo nhau nên hai mặt phẳng trên không trùng nhau. Vậy mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (B’CD’).

Cách thứ 4. GV có thể hướng dẫn HS hình dung đường thẳng MN cắt và

vuông góc với IP với I là trung điểm của A’B’. (Hình 4.6)

Với định hướng này yêu cầu HS hình dung đường thẳng IP là trục đối

M

A’

D’

I

B’

C’

A

N

D

P

B

xứng của hai điểm M, N.

Hình 4.6

GV yêu cầu HS quan sát hình vẽ để dễ dàng chứng minh được IP là trục đối xứng của (B’BCC’) và (A’D’DA). Từ đó suy ra, qua trục đối xứng IP điểm B’ biến thành điểm A’, điểm B biến thành điểm D’. Do vậy điểm N biến thành điểm M (Yêu cầu HS giải thích nghĩa hình hình học vì sao điểm N biến thành điểm M?).

Để chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau, GV cho HS hình dung cách giải quyết vấn đề dựa vào cách chứng minh mặt phẳng (PNIM) song song với mặt phẳng (CD’B’).

85

Dễ dàng chứng minh được (PNIM) // (CD’B’) vì có IM // B’D’; IN // CD’

và điểm I không thuộc mặt phẳng (CD’B’).

Cách thứ 5: Tìm giao tuyến NS của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng

M

A’

D’

B’

C’

K

D

J

A

N

P

B

S

C

I

(BCC’B’). Từ đó chứng minh được (MNSP) // (B’CD’).

Hình 4.7

GV định hướng cho HS hình dung giao điểm I của đường thẳng MN và

đường thẳng KB với K là trung điểm của đoạn thẳng AD do MK // NB (Hình 4.7).

Khi đó đường thẳng IP cắt các đường thẳng BC, AD lần lượt tại S và J

(Yêu cầu học sinh giải thích ý nghĩa hình học vì sao đường thẳng IP cắt các

đường thẳng BC và AD?).

GV yêu cầu HS tưởng tượng điểm S có đặc điểm gì trên đoạn thẳng BC?.

Câu trả lời mong đợi: Điểm S là trung điểm của BC. Do NB là đường

trung bình của tam giác IMK nên BS là đường trung bình của tam giác IKJ.

Gọi BS có độ dài x khi đó ta có:

BS = ½ KJ = ½ (KD + DJ) = ½ (KD + SC) = ½ (

Từ đó suy ra S là trung điểm BC.

Từ đó GV yêu cầu HS hình dung chứng minh mặt phẳng (MNP) song

song với mặt phẳng (B’CD’) theo tính chất trên.

Bước 3: Lựa chọn tình huống dạy học phù hợp với mục tiêu và phương

pháp được chọn

Việc thực hiện bước này được tiến hành dựa trên nhận thức của người dạy

qua các bình diện sau:

- Mục tiêu của bài dạy liên quan đến việc phát triển TTTKG cho HS.

86

- Các kiến thức trong chương trình đã có để vận dụng cho giải quyết tình

huống đã được thiết kế.

- Hình dung được các phương pháp dạy học nào sẽ vận dụng cho việc tổ

chức dạy học tình huống nói trên.

- Xem xét đặc điểm nhận thức của HS về năng lực, trình độ có thể giải

quyết được TH nêu ra nhằm chiếm lĩnh tri thức thúc đẩy phát triển TTTKG.

Có thể cụ thể hóa bước này qua việc chọn tình huống xét trong ví dụ 4.3 với dự tính có thể định hướng để HS hoạt động giải quyết tình huống theo các cách:

Cách 1: Chứng minh trực tiếp, sử dụng tính chất: Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.

Cách 2: Sử dụng công cụ tọa độ trong không gian ba chiều. Cách 3: Sử dụng công cụ vectơ. Ba cách nói trên thuộc kiến thức, chương trình các HS đã được học,

nghiên cứu.

Cách 4: Sử dụng trục đối xứng trong không gian dùng cho đối tượng HS

khá, giỏi.

Cách 5: Dựa vào phương pháp tìm giao tuyến cơ bản (Giao của mặt phẳng thiết diện với một mặt nào đó của hình lập phương). Chúng tôi dự tính phương pháp này sẽ được hướng dẫn HS tự học ở nhà.

Bước 4: Thảo luận, điều chỉnh tình huống dạy học theo hướng nghiên cứu

bài học

Việc thực hiện bước này nhằm thu thập thêm những kinh nghiệm tốt của đồng nghiệp, phát hiện những nhược điểm khi lựa chọn tình huống một cách chủ quan của người dạy, chưa dự tính hết mức độ nhận thức của HS hoặc chưa quán triệt đầy đủ mục tiêu dạy học. Ngoài ra việc thảo luận có thể phát hiện thêm cách giải quyết vấn đề khác đối với tình huống đặt ra, xem xét cách giải quyết nào tối ưu.

Dưới đây chúng tôi mô tả kết quả trao đổi ý kiến của các GV ở các trường THPT trên địa bàn tỉnh Nghệ An gồm: Huỳnh Thúc Kháng; Hà Huy Tập; Đô Lương 1; Anh Sơn 1; Tân Kì 3; Kì Sơn về thăm dò các cách giải ở ví dụ 4.3 nêu trên như sau:

87

- Có 35/79 GV đồng ý giải cách 1. - Có 18/79 GV đồng ý giải cách 2. - Có 12/79 GV đồng ý giải cách 3.

- Có 06/79 GV đồng ý giải cách 4.

- Có 08/79 GV đồng ý giải cách 5.

Như vậy, phần đông GV khi giải quyết tình huống được nêu trong ví dụ

4.3, họ chọn cách giải quyết 1, 2, 3. Điều này cũng phù hợp với dự kiến của GV

đã đưa ra ở bước 3 của quy trình lựa chọn tình huống đã nêu. Cách 4, cách 5 ít

được GV lựa chọn vì các cách này khó giải quyết đối với HS đại trà.

Bước 5: Thử nghiệm tình huống dạy học

Việc tiến hành thử nghiệm này, chúng tôi vận dụng nghiên cứu trường

hợp nhằm đánh giá định tính nhờ hoạt động quan sát, ghi âm, ghi hình của GV

thông qua các hoạt động thảo luận, quan sát hành vi của HS, quan sát thái độ

làm bài và kết quả giải quyết.

Chúng tôi đã tiến hành chuyển giao tình huống được chọn ở ví dụ 4.3 cho

một nhóm 5 HS của lớp 12 trường THPT Huỳnh Thúc Kháng thuộc diện học

sinh khá, theo các bảng hỏi và chỉ dẫn sau:

Xét bài toán: “Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P

lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’, BB’, CD. Chứng minh mặt phẳng

(MNP) song song với mặt phẳng (CB’D’)”.

Hãy giải bài toán trên theo các cách sau:

Cách 1: Sử dụng tính chất: Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt

nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng kia thì

hai mặt phẳng đó song song với nhau.

Cách 2: Sử dụng phương pháp tọa độ, nhờ xác lập phương trình của hai

mặt phẳng nêu trên theo một cách chọn hệ trục tọa độ nào đó.

Cách 3: Sử dụng công cụ vectơ nhằm chứng tỏ hai mặt phẳng trên cùng

vuông góc với một đường thẳng và chúng không trùng nhau.

Cách 4: Sử dụng tính đối xứng trong hình lập phương.

Cách 5: Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với một mặt nào đó

của hình lập phương để tìm thiết diện của hình lập phương tạo bởi mặt phẳng

trên. Từ đó suy ra hai mặt phẳng (MNP) và (B’CD’) song song.

88

Kết quả chuyển giao tình huống theo bảng hỏi và chỉ dẫn của nhóm 05 HS

như sau:

- Có 04 HS giải được cách 1.

- Có 05 HS giải được cách 2, cách 3.

- Có 01 HS giải được cách 4.

- Có 03 HS xác định được giao tuyến theo cách 5 nhưng không chứng

minh được hai mặt phẳng song song.

Dưới đây chúng tôi đánh giá theo kết quả làm bài của HS, còn việc xem

xét hành vi của HS sẽ được trình bày trong phần vận dụng cụ thể và trong phần

thực nghiệm sư phạm của luận án.

Từ kết quả HS làm bài, chúng tôi sẽ chọn tình huống đã nêu trong ví dụ 4.3

để HS giải quyết vấn đề theo 3 hướng giải đã được chỉ ra tương ứng cách 1, cách

2, cách 3.

Bước 6: Xác nhận tình huống dạy học

Sau khi đã hoàn thiện các bước từ 1 đến 5, đặc biệt là bước 4, bước 5, GV

chỉnh sửa, xử lí các thông tin cho phù hợp với các ý kiến đã thống nhất, thảo

luận trong GV và xử lí thông tin phản hồi từ phía HS để lựa chọn tình huống cho

việc sử dụng dạy học theo định hướng hỗ trợ phát triển TTTKG của HS.

4.2.3. Quy trình sử dụng các tình huống đã thiết kế vào dạy học hình học ở

trường trung học phổ thông theo hướng hỗ trợ phát triển trí tưởng tượng không gian

4.2.3.1. Tư tưởng tổng quát

Tư tưởng của quy trình vận dụng này là định rõ các bước tổ chức dạy học

theo các tình huống đã được thiết kế đã nêu trong mục 4.2.2. Tư tưởng nói trên

được cụ thể hóa theo trình tự các bước của việc tổ chức dạy học bao gồm hoạt

động chuyển giao nhiệm vụ nhận thức cho HS, hoạt động điều khiển của GV,

hoạt động của HS theo hướng luyện tập các hoạt động thành phần hướng tới

hình thành và phát triển TTTKG.

Ngoài các vấn đề nêu trên, quy trình vận dụng các tình huống đã được

thiết kế cần quán triệt các phương pháp dạy học đã đề cập ở mục 2.9, các

phương pháp dạy học này giúp định hướng hoạt động điều khiển của GV nhằm

thúc đẩy quá trình tích cực hóa học tập của HS. Trong quy trình vận dụng các

tình huống dạy học cần làm sáng tỏ hoạt động đánh giá, thể chế hóa kiến thức

89

của HS tìm ra, đặc biệt coi trọng đánh giá mức độ các hoạt động thành phần

hướng tới phát triển TTTKG của HS.

4.2.3.2. Các bước của quy trình Có thể mô tả quy trình sử dụng các tình huống đã thiết kế trong tổ chức

dạy học hình học nhằm hỗ trợ phát triển TTTKG như sau:

Bước 1: Xác định phương pháp dạy học tích cực tương thích với mục

tiêu, nội dung bài học cụ thể trong dạy học hình học ở trường THPT.

Bước 2: Chuyển giao nhiệm vụ nhận thức - Tình huống đã được thiết kế

nhằm tạo nhu cầu nhận thức cho HS.

Bước 3: Hoạt động điều khiển của GV nhằm hướng HS vào hoạt động nhận thức, luyện tập các hoạt động thành phần theo định hướng hỗ trợ phát triển TTTKG.

Bước 4: Hoạt động của HS nhằm tương tác với các tình huống, trải nghiệm đưa ra các phán đoán, phát hiện vấn đề, kiểm nghiệm giả thuyết, giải quyết vấn đề để khẳng định kiến thức.

Bước 5: Hoạt động đánh giá, thể chế hóa kiến thức của GV, giao nhiệm

vụ tự học cho HS.

4.2.3.3. Phân tích các bước của quy trình Bước 1: Xác định phương pháp dạy học tích cực tương thích với mục

tiêu, nội dung bài học cụ thể trong dạy học hình học ở trường THPT.

Tùy theo mục tiêu, nội dung bài học cụ thể trong phần hình học ở trường THPT và điều kiện cụ thể mà GV xác định phương pháp dạy học tích cực như đã đề cập ở mục 2.9 nhằm hỗ trợ phát triển TTTKG. Phương pháp được chọn là một trong các phương pháp sau:

- Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. - Phương pháp dạy học kiến tạo. - Phương pháp dạy tự học. Nếu tình huống đã thiết kế đòi hỏi HS tương tác để phát hiện vấn đề nào đó trong dạy học hình học và đòi hỏi HS tự giải quyết vấn đề thì ta sử dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.

Nếu tình huống mà GV đã thiết kế đòi hỏi phải đưa ra phán đoán, giả thuyết và cần phải kiểm nghiệm, phán đoán giả thuyết đó có đúng hay không thì ta sử dụng phương pháp dạy học kiến tạo.

90

Trong những vấn đề cần phải mở rộng, phát triển, nâng cao mức độ khó

khăn thì ta sử dụng phương pháp tự học ở nhà.

Bước 2: Chuyển giao nhiệm vụ nhận thức - Tình huống đã được thiết kế

nhằm tạo nhu cầu nhận thức cho HS

Mục đích ở bước này là biến ý đồ dạy của GV thành nhiệm vụ học tập tự

nguyện, tự giác của HS, là chuyển giao cho HS không phải những tri thức dưới

dạng có sẵn mà là những tình huống đã được thiết kế nhằm tạo nhu cầu nhận

thức cho HS để HS hoạt động và thích nghi.

Bước 3: Hoạt động điều khiển của GV nhằm hướng HS vào hoạt động

nhận thức, luyện tập các hoạt động thành phần theo định hướng hỗ trợ phát triển

TTTKG

Quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động và giao lưu của

HS nhằm đạt được các mục tiêu dạy học. Hoạt động này không phải là bắt HS

học tập một cách khiên cưỡng mà phải làm sao cho HS tự giác biến ý đồ dạy của

GV thành nhiệm vụ học của mình và đảm nhiệm quá trình hoạt động để kiến tạo

tri thức. GV gợi ra những vấn đề trong các tình huống đã được thiết kế để HS

giải quyết, sao cho hoạt động của HS nhất thời gần giống với hoạt động của nhà

nghiên cứu. Đây là quá trình điều khiển HS của GV, vì vậy GV cần quan tâm tới

cả những yếu tố tố tâm lí, bao gồm sự động viên, hướng dẫn trợ giúp và đánh

giá nhằm hướng HS vào hoạt động nhận thức, luyện tập các hoạt động thành

phần theo định hướng hỗ trợ phát triển TTTKG.

Bước 4: Hoạt động của HS nhằm tương tác với các tình huống, trải

nghiệm đưa ra các phán đoán, phát hiện vấn đề, kiểm nghiệm giả thuyết, giải

quyết vấn đề để khẳng định kiến thức

Hoạt động điều khiển của GV nhằm truyền thụ tri thức cho HS thông qua

các tình huống đã được thiết kế để HS chiếm lĩnh nó thông qua hoạt động tự

giác, tích cực và sáng tạo của HS. Quá trình hoạt động điều khiển của GV được

đan xen với các hoạt động của HS nhằm tương tác với các tình huống, trải

nghiệm đưa ra các phán đoán, phát hiện vấn đề, kiểm nghiệm giả thuyết, giải

quyết vấn đề để khẳng định tri thức nhằm phát triển TTTKG.

Bước 5: Hoạt động đánh giá, thể chế hóa kiến thức của GV, giao nhiệm

vụ tự học cho HS

91

Việc chuyển hóa kiến thức mà HS kiến tạo được thành tri thức của xã hội

được gọi là thể chế hóa. Trong việc này cần phải có vai trò của GV, qua đó HS

chính thức chấp nhận kiến thức tìm ra là một tri thức chung của xã hội và GV chính

thức chấp nhận kết quả đạt được của HS. Sự chấp nhận kép này chính là đối tượng

của thể chế hóa. Để thể chế hóa kiến thức cần truyền thụ, GV phải giúp HS:

- Xác nhận kiến thức đó.

- Đồng nhất hóa bằng cách phi hoàn cảnh hóa, phi thời gian hóa và phi cá

nhân hóa lại kiến thức mà HS đã đạt được.

- Cho HS thấy kiến thức đã được đồng nhất hóa là một kiến thức có ích, cần

được ghi nhớ để vận dụng trong những trường hợp khác sẽ gặp sau này, tức là đồng

nhất hóa kiến thức thành một kiến thức xã hội; trái lại, nếu kiến thức tìm được là

không quan trọng thì nói rõ để HS giải phóng trí nhớ khỏi những kiến thức không

cần thiết.

- Chỉ ra vị trí của tri thức trong chương trình, làm cho HS nắm được tri

thức đó theo đúng mục tiêu, yêu cầu, cách thức diễn đạt và mức độ được quy

định trong chương trình, hướng dẫn ghi nhớ và luyện tập vận dụng tri thức đó.

Thông qua các bước của quy trình trên, GV đánh giá kết quả đạt được về

trình độ kiến thức, kĩ năng hoặc thái độ của HS. Từ đó, GV đưa ra những định

hướng để khắc phục sai sót hoặc phát huy kết quả của HS thông qua giao nhiệm vụ

tự học cho HS.

Dưới đây chúng tôi đưa ra ví dụ nhằm làm sáng tỏ các bước của quy trình

sử dụng các tình huống đã thiết kế vào dạy học hình học ở trường THPT theo

hướng hỗ trợ phát triển TTTKG.

Ví dụ 4.4. Dạy học khái niệm: “Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng”.

Định nghĩa này được nêu trong SGK Hình học 11, trang 103.

Định nghĩa như sau: “Cho đường thẳng d và mặt phẳng

Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng thì ta nói rằng

góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng bằng .

Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng thì góc

giữa d và hình chiếu d’ của nó trên gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt

phẳng ”.

92

Ta có thể đưa ra tình huống để HS khám phá trong trường hợp d không

vuông góc với mặt phẳng và d cắt tại 0 thì góc giữa đường thẳng d với

hình chiếu d’ là góc bé nhất tạo bởi d và các đường thẳng bất kì qua 0, đồng

thời .

d

A

d’

H

0

Để chứng tỏ điều nói trên, GV đưa ra tình huống sau:

Hình 4.8

“Gọi là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu d’ của d lên và gọi

là góc giữa đường thẳng d với đường thẳng , đi qua 0 và .

Chứng minh rằng với .” (1)

Tiến trình vận dụng quy trình trên trong dạy học khai thác định nghĩa này

như sau:

Bước 1: Chúng tôi lựa chọn phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết

vấn đề để khai thác tình huống trên.

Lí do lựa chọn phương pháp này là vì bản thân tình huống là một vấn đề

toán học. Việc giải quyết vấn đề đặt ra trong tình huống đòi hỏi phải phân tích

để lựa chọn các tiền đề cho các bước lập luận giải quyết vấn đề.

Thực hiện vấn đề này đòi hỏi HS phải có TTTKG liên quan đến so sánh

độ lớn các góc.

Bước 2: Chuyển giao nhiệm vụ nhận thức: Nêu tình huống (1) để HS

nghiên cứu.

Bước 3: Hoạt động điều khiển của GV.

GV đặt câu hỏi: Để chứng minh thì có cách nào?

Hi vọng câu trả lời: HS biết lập luận cos cos .

GV có thể đặt câu hỏi gợi ý thêm: Liên quan tới so sánh cos , cos thì ta

sử dụng định lí nào đã biết?

Hi vọng HS biết câu trả lời liên quan đến định lí cosin.

93

GV gợi ý thêm: Để sử dụng định lí cosin thì em sử dụng kĩ thuật gì?

Câu trả lời mong đợi: Trên đường thẳng lấy điểm M sao cho OM = OH.

d

A

d’

0

H

GV yêu cầu HS vẽ hình và thực hiện khâu so sánh (Hình 4.9).

M

Hình 4.9

Câu trả lời mong đợi: Áp dụng định lí cosin cho hai tam giác AHO và AMO

ta có

;

Đường thẳng AH vuông góc với mặt phẳng nên tam giác AHM vuông

góc tại H, từ đó AM AH. Vậy .

Do là hai góc trong tam giác nên

Như vậy là góc giữa đường thẳng d với d’, d’ là hình chiếu của d lên

mặt phẳng . Góc được gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng .

Thông qua tưởng tượng không gian, GV cho HS giải thích làm sáng tỏ

các nội dung sau:

- Khi đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng tại 0 thì góc giữa

đường thẳng d và mặt phẳng được hiểu như thế nào? Giải thích theo cách

xác định góc bé nhất đã nêu ở trên?

Câu trả lời mong đợi: Góc tạo với đường thẳng d bằng . Đó chính góc

giữa đường d và mặt phẳng .

- Khi đường thẳng d song song với mặt phẳng thì góc giữa đường

thẳng d và mặt phẳng nhận giá trị nào? Em hãy dùng trí tưởng tượng của

mình, dựa trên các biểu tượng không gian đã có để giải thích hiện tượng này?.

Đồng thời hãy vẽ hình biểu diễn để mô tả kết luận trên?.

Câu trả lời mong đợi: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng bằng .

94

Như vậy, trong trường hợp đường thẳng a cắt tại O, khi đó góc giữa

đường thẳng a và mặt phẳng là góc bé nhất tạo bới giữa đường thẳng với

đường thẳng a; đó cũng chính là góc giữa đường thẳng a với hình chiếu của a lên .

Ý nghĩa thực tiễn của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là nói về độ

nghiêng của hình có dạng trụ so với mặt đất.

Bước 4: Hoạt động của HS nhằm tương tác với tình huống, trải nghiệm

đưa ra các phán đoán, phát hiện vấn đề, kiểm nghiệm giả thuyết, giải quyết vấn

đề để khẳng định kiến thức.

Qua tình huống được thiết kế, HS được tương tác với tình huống, trải

nghiệm, luyện tập các hoạt động hướng đến phát triển TTTKG như sau:

- Hoạt động biểu diễn một hình không gian lên mặt phẳng (Hoạt động 2 -

Mục 2.6).

- Hoạt động hình dung các hình không gian qua hình biểu diễn (Hoạt động

3 - Mục 2.6).

- Hoạt động hình dung các bước giải quyết vấn đề không gian thông qua

tưởng tượng (Hoạt động 4 - Mục 2.6).

- Hoạt động hình dung và phán đoán ước lượng các đại lượng hình học, cụ

thể ở tình huống này là ước lượng so sánh độ lớn của hai góc (Hoạt động 7 -

Mục 2.6).

- Để kiểm nghiệm giả thuyết thì HS phải gắn các hình cụ thể và các biểu

tượng không gian đã biết để xác định được độ lớn của hai góc để so sánh (Hoạt động

6 - Mục 2.6).

Bước 5: Hoạt động đánh giá, thể chế hóa kiến thức của GV, giao nhiệm

vụ tự học cho HS.

Sau khi HS xác định và so sánh độ lớn của hai góc và thì GV chấp

nhận kết quả của HS và khắc sâu kiến thức vừa đạt được: Góc giữa đường thẳng

d và mặt phẳng thuộc [ ].

Đến đây GV có thể đưa ra các kết luận và yêu cầu HS thông qua tưởng

tượng không gian để giải thích làm sáng tỏ các kết luận sau:

Kết luận 1: Khi đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng tại 0 thì mọi

đường thẳng nằm trong đi qua 0 luôn vuông góc với d nên góc nhỏ nhất là

góc . Đó chính là góc giữa đường d và mặt phẳng .

95

Kết luận 2: Khi đường thẳng d song song với mặt phẳng thì góc giữa

đường thẳng d và mặt phẳng bằng Em hãy dùng trí tưởng tượng của

mình, dựa trên các biểu tượng không gian đã có để giải thích hiện tượng này?.

Đồng thời hãy vẽ hình biểu diễn để mô tả kết luận trên?.

Tiếp theo, GV đánh giá kết quả đạt được về trình độ kiến thức, kĩ năng

hoặc thái độ của các HS. Từ đó, GV đưa ra những định hướng để khắc phục sai

sót hoặc phát huy kết quả của HS thông qua giao nhiệm vụ tự học cho HS.

4.3. Vận dụng các quy trình thiết kế và sử dụng các tình huống vào

dạy học các tình huống điển hình trong dạy học hình học ở trường trung

học phổ thông theo định hướng phát triển trí tưởng tượng không gian

Dựa trên quy trình 6 bước của thiết kế và quy trình 5 bước sử dụng các tình

huống dạy học ở trên, chúng tôi đã tiến hành thiết kế và sử dụng một số tình huống

dạy học nhằm hỗ trợ phát triển TTTKG trong dạy học hình học ở trường THPT

thông qua hoạt động dạy học khái niệm, định lí, quy tắc, giải bài tập toán học.

Đặc biệt, trong khi tiến hành vận dụng các bước của quy trình thiết kế và

quy trình vận dụng trên, chúng tôi không nhắc tới các bước của quy trình mà

nhấn mạnh những vấn đề chủ yếu sau:

- Qua mỗi bài học về dạy học khái niệm, định lí, quy tắc, chúng tôi quan

tâm khai thác mục tiêu phát triển TTTKG, cụ thể hóa qua các hoạt động thành

phần của các hoạt động hướng đến phát triển TTTKG đã được giới thiệu ở mục

2.6, Chương 2. Các hoạt động này được cài đặt trong các tình huống được thiết

kế để chuyển giao nhiệm vụ nhận thức cho HS, tạo nhu cầu để các HS hoạt

động, trải nghiệm tìm tòi phát hiện kiến thức. Đây là bước quan trọng của quy

trình thiết kế không thể thiếu vắng đối với hoạt động dạy học của GV.

- Cân nhắc các hoạt động để hình thành phát triển TTTKG đặc thù trong

dạy học khái niệm; dạy học định lí; quy tắc và dạy học giải bài tập toán.

- Chẳng hạn để dạy học khái niệm, chúng tôi quan tâm tới một số các hoạt

động thành phần trong các hoạt động hướng đến phát triển TTTKG như sau:

Hoạt động 1; 2; 3; 4; 8; 11; 13. Trong dạy học định lí, chúng tôi quan tâm, nhấn

mạnh tới một số hoạt động sau: Hoạt động quan sát, thông qua khảo sát các

trường hợp riêng lấy trong nội bộ toán có nhiều khả năng phát triển TTTKG để

HS trải nghiệm, phân tích, so sánh để khái quát hóa, phát hiện các quy luật, phát

96

hiện định lý, quy tắc. Từ đó, chúng tôi chú trọng các khâu giải quyết vấn đề nhờ

sử dụng trí tưởng tượng để gợi ý cho cách trình bày hình thức nhằm giải quyết

vấn đề. Trong khâu giải quyết vấn đề, chúng tôi coi trọng hoạt động tách các bộ

phận phẳng liên quan đến vấn đề cần giải quyết ra khỏi hình không gian để

chuyển về bài toán phẳng. Hoạt động này có ý nghĩa bồi dưỡng TTTKG; vì HS

cần hình dung các bộ phận phẳng cấu thành hình không gian. Khi chuyển các bộ

phận phẳng ra ngoài để nghiên cứu thì các hình biểu diễn nó cần phải thay đổi

cho phù hợp với hình học phẳng. Ví dụ: Trong không gian tam giác đều được

biểu diễn là tam giác bất kì còn trong mặt phẳng thì được biểu diễn là tam giác

có ba cạnh bằng nhau.

- Khi tiếp cận tình huống giải bài tập toán, chúng tôi nhấn mạnh các hoạt động thành phần của các hoạt động hướng đến hỗ trợ phát triển TTTKG sau đây: + Hoạt động khai thác các hình có tính chất tương tự để chuyển bài toán

không gian về bài toán phẳng.

Chẳng hạn: Tam giác và tứ diện có các tính chất tương tự như: Tam giác có đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp - Tứ diện có mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp. Điều đó suy ra có tính chất tương tự: Các đường phân giác trong của tam giác đồng quy - Các mặt phẳng phân giác của các góc nhị diện của một hình tứ diện đồng quy. Ba đường trung trực của ba cạnh của tam giác đồng quy - Sáu mặt phẳng trung trực của sáu cạnh tứ diện đồng quy.

Sau đây là các cặp hình có tính chất tương tự, khi giải các bài tập toán để HS khai thác sẽ bổ ích cho việc phát triển TTTKG: Đường thẳng và mặt phẳng; hình bình hành và hình hộp; nói riêng hình chữ nhật và hình hộp chữ nhật; hình tròn và mặt cầu; ...

+ Hoạt động tách các bộ phận phẳng ra khỏi hình không gian để chuyển bài toán không gian về tổ hợp bài toán phẳng. Chẳng hạn, bài toán tìm tâm và bán kính mặt cầu có thể chuyển về bài toán tìm tâm và bán kính của đường tròn lớn nhờ xét một một mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu.

+ Hoạt động chuyển hóa, liên tưởng hình này sang hình khác. Chẳng hạn, để giải bài toán: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông OABC, có OA; OB; OC đôi một vuông góc với nhau. Khi đó ta có hình hộp chữ nhật OAMB.CNPK ngoại tiếp tứ diện OABC, khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật trùng với tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

97

Do tính duy nhất của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC nên nó trùng với mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật.

+ Hoạt động chuyển hóa bài toán không gian về bài toán phẳng quen biết

đối với HS, HS đã làm quen ở trung học cơ sở và phần đầu của lớp 10.

- Trong hoạt động điều khiển của GV, chúng tôi quan tâm các câu hỏi, các

định hướng nhằm hỗ trợ phát triển TTTKG như các hoạt động:

+ Hình dung các hình không gian.

+ Hoat động liên tưởng, để chuyển hóa các tính chất từ hình này sang

hình kia nhằm giải quyết vấn đề đơn giản hơn. Hoạt động này góp phần vào việc

hỗ trợ phát triển TTTKG cho HS.

+ Hoạt động tương tự hóa giữa hình phẳng và hình không gian.

Dưới đây chúng tôi sẽ cụ thể hóa các hoạt động nói trên thông qua triển

khai quy trình thiết kế và vận dụng vào dạy học các tình huống điển hình đó là:

Dạy học khái niệm, định lí, giải bài tập hình học.

4.3.1. Vận dụng vào dạy học khái niệm

Trong mục này chúng tôi sẽ cụ thể hóa quy trình thiết kế và sử dụng các

tình huống dạy học đã nêu ở trên để thiết kế các tình huống dạy học nhằm hỗ trợ

phát triển TTTKG vào dạy học khái niệm hình học ở trường THPT. Mỗi tình

huống được thiết kế và sử dụng hướng đến các hoạt động thành tố nhằm hình

thành và phát triển TTTKG cho học sinh THPT đã nêu ở mục 2.6.

Ví dụ 4.5. Thiết kế THDH khái niệm “Tâm đối xứng của một hình” trong

bài “Phép đối xứng tâm” SGK Hình học 11, trang 12.

a, Quy trình thiết kế các THDH khái niệm “Tâm đối xứng của một hình”

nhằm hỗ trợ phát triển TTTKG

Bước 1: Nghiên cứu mục tiêu, nội dung bài học và khai thác các hoạt

động hướng đến hình thành và phát triển TTTKG thúc đẩy hoạt động nhận thức

nhằm chiếm lĩnh các tri thức và kĩ năng theo mục tiêu và nội dung bài học

Chúng tôi tiến hành nghiên cứu SGK, sách GV, tài liệu chuẩn kiến thức kĩ

năng toán THPT, tài liệu bồi dưỡng GV thực hiện chương trình, SGK lớp 11

môn Toán xác định nội dung kiến thức, kĩ năng mà HS đã có cũng như những

kiến thức, kĩ năng HS cần phải đạt được trong bài học này như sau:

Định nghĩa như sau: “Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu

phép đối xứng tâm I biến H thành chính nó”.

98

Qua nghiên cứu bài học, thảo luận với các GV khác có kinh nghiệm,

chúng tôi thấy rằng định nghĩa này tương đương với định nghĩa sau: “Hình H

được gọi là hình có tâm đối xứng I nếu điểm M bất kì thuộc H, qua phép đối

xứng tâm I, ảnh M’ của M cũng thuộc H”.

Do phép đối xứng tâm I là ánh xạ 1-1 và nhờ tính chất đối hợp nên định

nghĩa này tương tương với định nghĩa SGK.

Tâm đối xứng của một hình H có thể thuộc H hoặc không thuộc H. Chẳng

A

B

I

D

C

hạn hình tạo bởi cặp đoạn thẳng song song và bằng nhau AB, CD (Hình 4.10).

Hình 4.10

Từ việc xem xét các định nghĩa trên và xem xét tâm đối xứng của một

hình, chúng tôi xác định mục tiêu bài học như sau:

- Về kiến thức: Biết được tâm đối xứng của một hình, hình có tâm đối xứng.

- Về kĩ năng: Xác định được tâm đối xứng của một hình.

Chúng tôi khai thác mục tiêu thực hiện các hoạt động để phát triển TTTKG

như sau:

- Xác định được tâm đối xứng của một hình và chỉ ra được tâm đó thuộc

hay không thuộc hình H.

- Dựng được ảnh đối xứng của một điểm hoặc một hình thuộc hình H qua

các hình của tâm đối xứng cụ thể.

- Chỉ ra được hình có một tâm đối xứng hoặc vô số tâm đối xứng.

- Qua tương tác với các tình huống trên, HS hình dung được ảnh của một

điểm trên đường tròn, nằm trong đường tròn, đặc biệt hình dung được mỗi điểm

M thuộc hình tròn có ảnh cũng thuộc hình tròn. Tương tự hình dung được điểm

M thuộc hình chữ nhật thì ảnh của nó cũng thuộc hình chữ nhật. Từ đó HS có

thể giải quyết vấn đề bất kì điểm N nào thuộc hình tròn hay hình chữ nhật đều

tìm được điểm M tương ứng với các hình đó sao cho M là ảnh của N qua phép

đối xứng tâm O hoặc tâm I của hình chữ nhật. Từ đó HS sẽ có được kiến thức để

hiểu, qua phép đối xứng tâm I hình chữ nhật biến thành chính nó, qua phép đối

xứng tâm O thì hình tròn biến thành hình tròn.

99

Bước 2: GV trải nghiệm tìm tòi các tình huống dạy học hình học hỗ trợ

phát triển TTTKG và thúc đẩy hoạt động nhận thức qua bài học cụ thể

I

a

Chúng tôi quan sát thực tiễn và trong nội bộ toán học thì thấy rằng có khá nhiều tình huống dạy học hình học hướng đến hình thành và phát triển TTTKG liên quan tới tâm đối xứng của một hình như một số hình họa, hình tròn (Hình 4.12), đường thẳng (Hình 4.11), quyển sách hình chữ nhật, sân bóng đá (Hình 4.13), ...

Hình 4.11

Hình 4.12

Hình 4.13

Bước 3: Lựa chọn THDH phù hợp với mục tiêu và phương pháp được chọn Sau khi nghiên cứu bài học về khái niệm tâm đối xứng của một hình, GV có thể lựa chọn 03 tình huống lấy trong nội bộ toán và thực tiễn để tạo nhu cầu nhận thức cho HS để HS tương tác, phát hiện, định nghĩa khái niệm hình có tâm đối xứng. Sau đây là các tình huống có thể GV lựa chọn:

TH1: Được chọn từ thực tiễn: Xét mô hình toán của một sân bóng đá để

làm sáng tỏ điểm phát bóng đầu tiên là tâm đối xứng của mô hình sân bóng đá.

100

TH2: Hình tròn tâm O. Yêu cầu HS chứng tỏ mỗi điểm của hình tròn có

ảnh qua phép đối xứng tâm O cũng thuộc hình tròn.

TH3: Đường thẳng a. Yêu cầu HS chứng tỏ mỗi điểm I thuộc a có tính chất:

Nếu M thuộc a thì ảnh đối xứng của M qua phép đối xứng tâm I cũng thuộc a. Bước 4: Thảo luận, điều chỉnh THDH theo hướng nghiên cứu bài học Qua thảo luận với 08 GV có kinh nghiệm trường THPT Huỳnh Thúc Kháng, tỉnh Nghệ An về 03 tình huống nêu trên, kết quả thăm dò ý kiến như sau:

- Có 08/08 GV đồng ý TH1. - Có 08/08 GV đồng ý TH2. - Có 02/08 GV đồng ý TH3. Như vậy, phần đông GV khi giải quyết tình huống được nêu trên, họ chọn TH1, TH2. TH3 ít được GV lựa chọn vì cách này khó giải quyết đối với HS đại trà, họ cho rằng HS gặp khó khăn để chỉ ra tâm đối xứng của đường thẳng và khó lí giải đường thẳng có vô số tâm đối xứng.

Như vậy, kết quả của thảo luận, thống nhất lựa chọn TH1, TH2 để HS

tương tác, phát hiện định nghĩa.

E

D

A

I

C

B

Bước 5: Thử nghiệm tình huống dạy học Chúng tôi đã tiến hành chuyển giao các tình huống được chọn cho một nhóm 5 HS của lớp 11 trường THPT Huỳnh Thúc Kháng tỉnh Nghệ An thuộc diện học sinh đại trà, tiến hành các tình huống theo các bảng hỏi và chỉ dẫn sau: - Em hãy dùng kí hiệu và ngôn ngữ toán để mô tả hình dạng của sân bóng?. Mong đợi câu trả lời: Hình dạng là hình chữ nhật, các đường biên ngang, biên dọc là chiều rộng, chiều dài của hình chữ nhật. Đường giữa sân là đường trung bình của hình chữ nhật. Điểm phát bóng giữa sân là điểm chính giữa của đường trung bình.

F Hình 4.14

- Em hãy lập luận chứng tỏ điểm chính giữa I của đường trung bình là tâm

của hình chữ nhật ABCD?. I là điểm phát bóng.

101

Mong đợi câu trả lời: I là trung điểm của đường chéo hình chữ nhật AC.

- Em hãy làm sáng tỏ mỗi điểm M thuộc mô hình của sân bóng (Điểm

thuộc cạnh hay trong hình chữ nhật) có ảnh M’ qua phép đối xứng tâm I cũng

thuộc hình chữ nhật (Xem hình 4.14)?.

Thăm dò TH2 với các câu hỏi và chỉ dẫn sau:

- Các em hãy chứng tỏ mỗi điểm M thuộc hình tròn tâm O, qua phép đối

xứng tâm O thành điểm M’ cũng thuộc hình tròn?.

Nếu HS gặp khó khăn thì có thể chỉ dẫn: Các em xét hai trường hợp:

+ Trường hợp 1. HS giải được điểm M thuộc đường tròn.

+ Trường hợp 2: Điểm M nằm trong đường tròn.

Trong trường hợp M nằm trên đường tròn, khi đó OM = R (R là bán kính

của đường tròn). Do M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O nên OM’ = R.

Suy ra M’ thuộc đường tròn.

Trong trường hợp M nằm trong đường tròn, gọi d là khoảng cách từ M tới

O thì OM = d, . Do M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O nên OM’

= d. Từ đó suy ra điểm M’ cũng nằm trong đường tròn.

Kết quả chuyển giao tình huống theo bảng hỏi và chỉ dẫn của nhóm 05 HS

như sau:

- Có 05 HS giải được TH1.

- Có 04 HS giải được TH2.

Từ kết quả HS làm bài, chúng tôi sẽ chọn tình huống đã nêu để HS giải

quyết vấn đề theo TH1 và TH2.

Bước 6: Xác nhận tình huống dạy học

Sau khi thực hiện bước 4, bước 5 của quy trình thiết kế và thảo luận với

các GV có kinh nghiệm, GV xác nhận TH1, TH2 để áp dụng quy trình sử dụng

các tình huống nhằm hỗ trợ phát triển TTTKG cho HS.

Dưới đây chúng tôi tiến hành vận dụng quy trình trong dạy học khái niệm

tâm đối xứng của một hình, quy trình này được trình bày ở mục 4.2.3.

b, Triển khai quy trình sử dụng các THDH khái niệm “Tâm đối xứng của

một hình” nhằm hỗ trợ phát triển TTTKG

Bước 1: Chúng tôi lựa chọn phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết

vấn đề để khai thác các tình huống trên

102

Vấn đề nổi bật có ý nghĩa rèn luyện TTTKG được GV xác định ở đây đòi

hỏi HS cần phải tiến hành hoạt động để làm sáng tỏ là: Chuyển các mô hình thực

tế sang mô hình toán nhờ sử dụng ngôn ngữ hình học và các hình hình học; xác

định kích thước, độ dài các đoạn thẳng của ảnh và tạo ảnh qua phép đối xứng

tâm để biết ảnh thuộc hình chữ nhật hay hình tròn, và ngược lại mỗi điểm N

thuộc các hình nêu trên có thể tìm được duy nhất một điểm M cũng thuộc các

hình đó có ảnh là N qua phép đối xứng tâm O hoặc tâm I. Trên cơ sở đó HS có

thể tư duy để phát hiện: Qua các phép đối xứng tâm nói trên ảnh của hình chữ

nhật là chính nó và tương tự như vậy đối với hình tròn.

Bước 2: Chuyển giao nhiệm vụ nhận thức: Nêu TH1, TH2 để HS trải

nghiệm, tương tác với các tình huống theo từng bước phát hiện khái niệm với

định hướng phát triển TTTKG. Để tiến hành điều này yêu cầu HS phải thực hiện

các hoạt động theo các câu hỏi của GV hoặc định hướng sau:

Đối với TH1: Em hãy mô tả sân bóng nhờ sử dụng hình biểu diễn qua ngôn

ngữ hình học, làm sáng tỏ hình dạng của sân bóng là hình gì?. Các kích thước của

nó, đặc điểm của điểm phát bóng, khu vực cấm địa, cầu môn, điểm sút quả phạt

đền?. Xét ảnh của điểm M thuộc cạnh của sân bóng và điểm M nằm trong sân bóng?.

Đối với TH2: Xét ảnh của điểm M thuộc đường tròn và trong đường tròn

qua phép đối xứng tâm O và cho kết luận.

Bước 3, Bước 4: Hoạt động điều khiển của GV và hoạt động học tập của HS.

Đối với TH1:

- GV đặt câu hỏi: Em hãy dùng kí hiệu và ngôn ngữ toán để mô tả hình

dạng của sân bóng?.

Hi vọng câu trả lời: Hình dạng là hình chữ nhật, các đường biên ngang,

biên dọc là chiều rộng, chiều dài của hình chữ nhật. Đường giữa sân là đường

trung bình của hình chữ nhật. Điểm phát bóng giữa sân là điểm chính giữa của

đường trung bình.

103

A

E

D

I

C

B

F Hình 4.15

- GV đặt câu hỏi: Điểm chính giữa I của đường trung bình là tâm của hình

chữ nhật ABCD không?. I là điểm phát bóng đầu tiên.

Hi vọng câu trả lời: I là trung điểm của AC là đường chéo hình chữ nhật

(Hình 4.15).

- GV đặt câu hỏi: Em hãy làm sáng tỏ mỗi điểm M thuộc mô hình của sân

bóng (Điểm thuộc cạnh hay trong hình chữ nhật) có ảnh M’ qua phép đối xứng

tâm I cũng thuộc hình chữ nhật?.

A

E

D

M

I

B

C

F

M’

Hi vọng câu trả lời:

- Trường hợp 1: Điểm M thuộc cạnh AD, gọi M’ là giao của đường thẳng

IM và BC. Khi đó có thể suy ra được IM = IM’. Điều đó suy ra từ hai tam giác

bằng nhau MEI và M’FI. Từ đó M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. Như

vậy mỗi điểm M thuộc cạnh của hình chữ nhật cũng có ảnh M’ thuộc cạnh đối

diện của hình chữ nhật.

- Trường hợp 2: Khi điểm N nằm trong hình chữ nhật, gọi K, K’ lần lượt

là giao điểm của đường thẳng IN với AD và BC. Gọi N’ là ảnh của điểm N qua

phép đối xứng tâm I (Hình 4.16).

104

A

E

D

K

M

N

I

N’

B

C

F

M’

K’

Hình 4.16

Do K’ là ảnh của K qua phép đối xứng tâm I, N là điểm thuộc đoạn IK nên N’ thuộc đoạn IK’. Điều này có thể giải thích do IN < IK nên IN’ < IK’, suy ra N’ nằm trong hình chữ nhật.

GV đặt câu hỏi: Với mỗi điểm Q bất kì thuộc hình chữ nhật, hãy chứng tỏ

tồn tại điểm P thuộc hình chữ nhật đó sao cho ảnh của P là Q?

Trả lời câu hỏi này tương tự như phần thuận. Đến đây GV kết luận: Từ các mệnh đề chứng minh ở trên, có thể phát biểu: Qua phép đối xứng tâm I, hình chữ nhật biến thành chính nó. Người ta nói rằng hình chữ nhật có tâm đối xứng I.

Việc khảo sát TH2 cũng tương tự và có thể kết luận qua phép đối xứng

tâm O, ảnh của đường tròn là chính nó.

Tiếp theo GV yêu cầu HS khái quát, phát biểu định nghĩa tâm đối xứng của một hình: “Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến H thành chính nó”.

Bước 5: Hoạt động đánh giá, thể chế hóa kiến thức của GV, giao nhiệm

vụ tự học cho HS

Sau khi HS nêu được định nghĩa, GV có thể khắc sâu định nghĩa bằng các

nhiệm vụ sau:

- Các em hãy nêu ví dụ trong thực tế hình có tâm đối xứng? - Hãy chỉ ra hình có vô số tâm đối xứng? Trả lời các câu hỏi nêu trên đòi hỏi HS phải tưởng tượng không gian. Tiếp theo GV đánh giá kết quả đạt được về trình độ kiến thức, kĩ năng hoặc thái độ của các HS. Từ đó, GV đưa ra những định hướng để khắc phục sai sót hoặc phát huy kết quả của HS thông qua giao nhiệm vụ tự học cho HS.

105

4.3.2. Vận dụng vào dạy học định lý Trong mục này chúng tôi sẽ cụ thể hóa quy trình thiết kế và sử dụng các THDH đã nêu ở trên để thiết kế các THDH nhằm hỗ trợ phát triển TTTKG vào dạy học định lý hình học ở trường THPT. Mỗi tình huống được thiết kế và sử dụng hướng đến các hoạt động thành tố nhằm hình thành và phát triển TTTKG cho học sinh THPT đã nêu ở mục 2.6.

Ví dụ 4.6. Thiết kế tình huống dạy học định lý “Về giao tuyến của ba mặt

phẳng”, SGK Hình học 11, trang 57.

a, Quy trình thiết kế các THDH định lý “Về giao tuyến của ba mặt

phẳng” nhằm hỗ trợ phát triển TTTKG

Bước 1: Nghiên cứu mục tiêu, nội dung bài học và khai thác các hoạt động hướng đến hình thành và phát triển TTTKG thúc đẩy hoạt động nhận thức nhằm chiếm lĩnh các tri thức và kĩ năng theo mục tiêu và nội dung bài học

Chúng tôi tiến hành nghiên cứu SGK, sách GV, tài liệu chuẩn kiến thức kĩ năng toán THPT, tài liệu bồi dưỡng GV thực hiện chương trình, SGK lớp 11 môn Toán xác định nội dung kiến thức, kĩ năng mà HS đã có cũng như những kiến thức, kĩ năng HS cần phải đạt được trong bài học này.

Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng được nêu trong SGK lớp 11 như sau: “Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau”.

Xác định mục tiêu bài học như sau: - Về kiến thức: Biết được vị trí tương đối ba giao tuyến phân biệt của ba

mặt phẳng đôi một cắt nhau.

- Về kĩ năng: Xác định được vị trí tương đối của ba giao tuyến; xác định

giao tuyến hai mặt phẳng trong một số trường hợp đơn giản.

Chúng tôi khai thác mục tiêu thực hiện các hoạt động để phát triển

TTTKG như sau:

- Xác định được giao tuyến của các mặt phẳng giao nhau

- Chứng minh được các giao tuyến đồng quy hoặc đôi một song song. - Qua tương tác với các tình huống trên, HS hình dung được giao tuyến của hai mặt phẳng đôi một giao nhau, từ đó hình dung các bước chứng minh chúng đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

106

Bước 2: GV trải nghiệm tìm tòi các THDH hình học hỗ trợ phát triển

TTTKG và thúc đẩy hoạt động nhận thức qua bài học cụ thể

Chúng tôi quan sát thực tiễn và trong nội bộ toán học thì thấy rằng có khá

nhiều tình huống dạy học hình học hướng đến hình thành và phát triển TTTKG

liên quan tới giao tuyến của ba mặt phẳng như: Ba đường giao của hai bức

tường với trần nhà của một căn phòng (Hình 4.17 a); ba đường giao của ba mặt

đôi một giao nhau của mẫu ống thép có dạng lăng trụ vát tam giác (Hình 4.17 b);

tứ diện, ...

Hình 4.17 a

Hình 4.17 b

Bước 3: Lựa chọn THDH phù hợp với mục tiêu và phương pháp được chọn.

Sau khi nghiên cứu bài học về giao tuyến của ba mặt phẳng, GV có thể

107

lựa chọn 02 tình huống lấy trong thực tiễn để tạo nhu cầu nhận thức cho HS, để HS tương tác, phát hiện vị trí tương đối về giao tuyến của ba mặt phẳng. Sau đây là các tình huống có thể GV lựa chọn:

TH1: Tình huống cho bởi hình 4.17 a, mô tả ba đường giao của hai bức

tường với trần nhà của một căn phòng.

TH2: Tình huống cho bởi hình 4.17 b, mô tả ba đường giao của ba mặt

đôi một giao nhau của mẫu ống thép có dạng lăng trụ vát tam giác.

Việc lựa chọn hai tình huống nêu trên được xuất phát từ nhận thức có thể sử dụng chúng để HS tương tác nhằm thực hiện mục tiêu về nội dung, kĩ năng, thái độ đã nêu ở trên. Đặc biệt, các tình huống này sẽ được sử dụng để dạy học định lí nhằm cài đặt các hoạt động thành phần để bồi dưỡng TTTKG cho HS. Các hoạt động như vậy bao gồm:

- Quan sát các mô hình sự vật hiện tượng cấu thành bởi ba “Hình ảnh mặt

phẳng” đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt.

- Mô hình hóa hiện tượng nêu trên để được mô hình toán về góc tam diện

với ba mặt, ba cạnh, đỉnh; mô hình lăng trụ vát tam giác.

- Hoạt động hình dung vị trí tương đối của hai giao tuyến kề nhau thuộc

một mặt phẳng nào đó để suy ra vị trí của ba giao tuyến.

- Hoạt động khái quát, mở rộng định lý (Xây dựng biểu tượng mới). Bước 4: Thảo luận, điều chỉnh THDH theo hướng nghiên cứu bài học Qua thảo luận với 08 GV có kinh nghiệm trường THPT Huỳnh Trúc Kháng

- tỉnh Nghệ An về 02 tình huống nêu trên, kết quả thăm dò ý kiến như sau:

- Có 08/08 GV đồng ý TH1. - Có 08/08 GV đồng ý TH2. GV được thăm dò ý kiến cho rằng hai tình huống nêu trên là hợp lý để học sinh có thể phát biểu được định lý, đồng thời có thể chứng minh định lý trên nhằm phát triển TTTKG cho HS.

Như vậy, kết quả của thảo luận, thống nhất lựa chọn TH1, TH2 để HS

tương tác, phát hiện định lý.

Bước 5: Thử nghiệm tình huống dạy học Chúng tôi đã tiến hành chuyển giao các tình huống được chọn cho một nhóm 5 HS của lớp 11 trường THPT Huỳnh Thúc Kháng tỉnh Nghệ An thuộc diện học sinh đại trà, tiến hành các tình huống theo các bảng hỏi và chỉ dẫn sau:

108

Đối với TH1:

- Em hãy dùng kí hiệu và ngôn ngữ toán để mô tả ba đường giao của hai

bức tường với trần nhà của một căn phòng như hình 4.17 a?.

Mong đợi câu trả lời: Hai bức tường và trần nhà là ba mặt phẳng phân biệt

; ; , chúng đôi một giao nhau tạo thành ba giao tuyến phân biệt

đi qua một điểm I là đỉnh của góc tam

diện, có ba cạnh lần lượt là a, b, c.

- Em hãy làm sáng tỏ các giao tuyến a, b, c đồng quy tại I?

Đối với TH2:

- Em hãy dùng kí hiệu và ngôn ngữ toán để mô tả ba đường giao của ba mặt

đôi một giao nhau của ống thép có dạng lăng trụ vát tam giác như hình 4.17 b?.

Mong đợi câu trả lời: Ba mặt bên của ống thép có dạng lăng trụ vát là ba mặt

phẳng phân biệt ; ; , chúng đôi một giao nhau tạo thành ba giao tuyến

phân biệt , đôi một song song với nhau.

- Vì sao ba giao tuyến lại đôi một song song với nhau?

Kết quả chuyển giao tình huống theo bảng hỏi và chỉ dẫn của nhóm 05 HS

như sau:

- Có 05 HS giải được TH1.

- Có 05 HS giải được TH2.

Từ kết quả HS làm bài, chúng tôi sẽ chọn tình huống đã nêu để HS giải

quyết vấn đề theo TH1 và TH2.

Bước 6: Xác nhận tình huống dạy học

Sau khi thực hiện bước 4, bước 5 của quy trình thiết kế và thảo luận với

các GV có kinh nghiệm, GV xác nhận TH1, TH2 để áp dụng quy trình sử dụng

các tình huống nhằm hỗ trợ phát triển TTTKG cho HS.

Dưới đây chúng tôi tiến hành vận dụng quy trình trong dạy học định lý về

giao tuyến của ba mặt phẳng, quy trình này được trình bày ở mục 4.2.3.

b, Triển khai quy trình sử dụng các THDH định lý “Về giao tuyến của ba

mặt phẳng” nhằm hỗ trợ phát triển TTTKG

Bước 1: Chúng tôi lựa chọn phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết

vấn đề để khai thác các tình huống trên

Vấn đề nổi bật có ý nghĩa rèn luyện TTTKG được GV xác định ở đây đòi

109

hỏi HS cần phải tiến hành hoạt động để làm sáng tỏ là: Hoạt động quan sát, tri giác các mô hình hình học lấy trong thực tiễn; chuyển các mô hình thực tế sang mô hình toán nhờ sử dụng ngôn ngữ hình học và các hình hình học; luyện tập cho học sinh hoạt động hình dung các hình không gian qua hình biểu diễn; hoạt động tìm tòi, phát hiện các mối liên hệ giữa các hình không gian. Trên cơ sở đó HS có thể tư duy để phát hiện định lý và chứng minh định lý: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Bước 2: Chuyển giao nhiệm vụ nhận thức: Nêu TH1, TH2 để HS trải nghiệm, tương tác với các tình huống theo từng bước phát hiện định lý với định hướng phát triển TTTKG. Để tiến hành điều này yêu cầu HS phải thực hiện các hoạt động theo các câu hỏi của GV hoặc định hướng sau:

Đối với TH1: Em hãy mô tả ba đường giao của hai bức tường với trần nhà của một căn phòng như hình 4.17 a nhờ sử dụng hình biểu diễn qua ngôn ngữ hình học, làm sáng tỏ vị trí tương đối của ba giao tuyến trên?.

Đối với TH2: Làm sáng tỏ vị trí tương đối của ba đường giao của ba mặt mẫu ống thép có dạng lăng trụ vát tam giác như hình 4.17 b nhờ sử dụng hình biểu diễn qua ngôn ngữ hình học, làm sáng tỏ vị trí tương đối của ba giao tuyến trên?.

Bước 3, Bước 4: Hoạt động điều khiển của GV và hoạt động học tập của HS. Đối với TH1: - GV đặt câu hỏi: Em hãy dùng kí hiệu và ngôn ngữ toán để mô tả ba đường giao của hai bức tường với trần nhà của một căn phòng như hình 4.17 a?. Hi vọng câu trả lời: Hai bức tường và trần nhà là ba mặt phẳng phân biệt , chúng đôi một giao nhau tạo thành ba giao tuyến phân biệt ; ;

đi qua một điểm I là đỉnh của góc tam diện

với các cạnh là a, b, c (Hình 4.18).

- GV đặt câu hỏi: Em hãy làm sáng tỏ vì sao ba giao tuyến lại đồng quy

tại điểm I?.

Hi vọng câu trả lời: Ta có .

Gọi hay đường thẳng c đi

qua I.

110

I

b

c

a

Hình 4.18

Đối với TH2: - GV đặt câu hỏi: Em hãy dùng kí hiệu và ngôn ngữ toán để mô tả ba đường

giao của ba mặt mẫu ống thép có dạng lăng trụ vát tam giác như hình 4.17 b?.

Hi vọng câu trả lời: Ba mặt bên của ống thép có dạng lăng trụ vát là ba , chúng đôi một giao nhau tạo thành ba giao mặt phẳng phân biệt ; ;

đôi một song song với tuyến phân biệt

nhau (Hình 4.19).

- GV đặt câu hỏi: Em hãy làm sáng tỏ vì sao ba giao tuyến đôi một song

song với nhau?.

Hi vọng câu trả lời: Ta có , giả sử a // b.

Giả sử đường thẳng c không song song với đường thẳng a thì c cũng không song song với b. Khi đó, gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng . Điều này dẫn đến c trùng c với a và b thì đường thẳng MN thuộc mặt phẳng

c

a

b

với a hoặc b, mâu thuẫn với giả thuyết ba giao tuyến a, b, c phân biệt. Như vậy đường thẳng c // a, c // b.

Hình 4.19

111

Tiếp theo GV yêu cầu HS khái quát, phát biểu định lí về giao tuyến của ba

mặt phẳng: “Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt

thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau”.

Bước 5: Hoạt động đánh giá, thể chế hóa kiến thức của GV, giao nhiệm

vụ tự học cho HS

Sau khi HS nêu được định lý, GV có thể khai thác định lý bằng các nhiệm

vụ sau:

- Các em hãy xét nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường

thẳng song song và chúng cắt nhau thì giao tuyến có tính chất gì?

- Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định giao tuyến

của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)?

Trả lời các câu hỏi nêu trên đòi hỏi HS phải tưởng tượng không gian.

Tiếp theo GV đánh giá kết quả đạt được về trình độ kiến thức, kĩ năng

hoặc thái độ của các HS. Từ đó, GV đưa ra những định hướng để khắc phục sai

sót và khẳng định các kết quả của HS.

Cuối cùng, GV giao nhiệm vụ để HS nghiên cứu ở nhà như sau: Nếu

trong giả thiết của định lý không đòi hỏi cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt

thì vị trí tương đối của ba giao tuyến như thế nào?

Giải quyết nhiệm vụ này hướng tới thêm một vị trí tương đối của ba giao



tuyến; đó là ba giao tuyến trùng nhau (Hình 4.20).

Hình 4.20

4.3.3. Vận dụng vào dạy học giải bài tập hình học

Việc thiết kế các tình huống dạy học nhằm hỗ trợ phát triển TTTKG cho học sinh trong dạy học giải bài tập hình học ở trường THPT có đặc điểm khác so

112

với các tình huống dạy học khái niệm, định lý bởi vì việc dạy học khái niệm, định lý thường được tổ chức cho HS theo con đường quy nạp, còn dạy học giải bài tập toán có mục tiêu chủ yếu là củng cố, vận dụng, khắc sâu các kiến thức.

Đặc trưng của việc thiết kế các tình huống trong việc dạy hoc giải bài tập

toán được thể hiện chủ yếu như sau:

- Lựa chọn các bài toán sao cho việc giải chúng có cơ hội rèn luyện các hoạt động thành phần của hoạt động bồi dưỡng TTTKG cho HS. Những bài toán như vậy nhằm khắc sâu các yếu tố về hình dạng không gian, quan hệ vị trí giữa các hình và quan hệ về lượng trong không gian (Độ dài, góc, vuông góc, diện tích, thể tích, ...). Các bài toán đòi hỏi nhìn nhận không gian theo mô hình tổng hợp, mô hình vectơ, hay mô hình không gian được mô tả bằng tọa độ.

- Lựa chọn các tình huống thực tiễn nhằm yêu cầu HS giải thích, mô tả nhờ sử dụng mô hình toán, sử dụng ngôn ngữ và các biểu diễn hình học để phát triển TTTKG cho HS.

Dưới đây chúng tôi mô tả một số ví dụ về thiết kế và sử dụng các tình

huống trong dạy học giải bài tập hình học.

Ví dụ 4.7. Xét bài toán: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, với cạnh có độ dài bằng 1. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh BB’, AD sao cho và AM = BN. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh

, AB, C’D’.

1. Chứng minh rằng MN cắt và vuông góc với IJ tại trung điểm H của

đoạn MN.

2. Tìm vị trí của M; N để chu vi thiết diện của hình lập phương tạo bởi

mặt phẳng đi qua MN và IJ nhận giá trị bé nhất.

a, Quy trình thiết kế các tình huống dạy học giải bài toán như sau: Bước 1, bước 2: Nghiên cứu mục tiêu, nội dung bài học và khai thác các hoạt động hướng đến hình thành và phát triển TTTKG thúc đẩy hoạt động nhận thức nhằm chiếm lĩnh các tri thức và kĩ năng theo mục tiêu và nội dung bài học. GV trải nghiệm tìm tòi các THDH hình học hỗ trợ phát triển TTTKG và thúc đẩy hoạt động nhận thức qua bài học cụ thể

Ngoài mục tiêu củng cố, khắc sâu kiến thức, phát triển tư duy, chúng tôi quan tâm nhấn mạnh vai trò của tình huống bài toán trên đối với việc bồi dưỡng TTTKG cho HS sau đây:

113

- Hình dung được lược đồ chứng minh đường thẳng MN cắt và vuông góc

với IJ tại trung điểm H của MN theo ngôn ngữ đối xứng trục (Xét trong một mặt

phẳng nào đó). Qua đó để gợi ý cho chứng minh bằng con đường suy diễn.

- Tưởng tượng được các bước lập luận chứng tỏ MN cắt và vuông góc với

IJ tại trung điểm H của MN (Nhờ sử dụng công cụ vectơ).

- Tưởng tượng được các bước lập luận MN cắt và vuông góc với IJ tại

trung điểm H của MN nhờ sử dụng phương pháp tọa độ.

- Hình dung được thiết diện của hình lập phương tạo bởi mặt phẳng (MINJ).

- Hình dung được các phương thức tìm giá trị bé nhất của chu vi thiết diện:

+ Nhờ sử dụng đạo hàm đối với hàm chu vi có ẩn là độ dài AM = t.

+ Nhờ sử dụng trải hình nhờ chuyển về bài toán phẳng (Sử dụng bất đẳng

thức tam giác).

Bước 3: Lựa chọn THDH phù hợp với mục tiêu và phương pháp được chọn

Việc lựa chọn tình huống này được khẳng định nhờ xem xét vai trò của

tình huống đối với việc khai thác luyện tập các hoạt động thành phần của hoạt

động hướng tới hỗ trợ phát triển TTTKG cho HS cũng như xem xét mục tiêu

vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng đã nêu ở bước 1, 2.

Bước 4: Thảo luận, điều chỉnh tình huống dạy học theo hướng nghiên cứu bài học

Ở đây chúng tôi tập trung vào thảo luận vai trò luyện tập các hoạt động

thành phần của hoạt động bồi dưỡng TTTKG; xem xét trình độ nhận thức của

HS có tương thích hay không?

Bước 5: Thử nghiệm tình huống dạy học.

Chúng tôi đã tiến hành chuyển giao các tình huống được chọn cho một

nhóm 5 HS của lớp 12 trường THPT Huỳnh Thúc Kháng tỉnh Nghệ An thuộc

diện học sinh đại trà, tiến hành các tình huống theo các bảng hỏi và chỉ dẫn sau:

Bảng hỏi và chỉ dẫn cho cách giải thứ nhất của câu 1:

Từ các tam giác bằng nhau IBB’; JC’B’; JD’D; IAD, suy ra IB’ = B’J =

JD = DI. Có thể lập luận chứng tỏ IB’ // DJ. Từ đó suy ra tứ giác IB’JD là hình

thoi. Khi đó IJ cắt và vuông góc với B’D tại trung điểm mỗi đường.

- Mệnh đề MN vuông góc với IJ tại trung điểm H của MN được diễn đạt

bằng ngôn ngữ biến hình như thế nào?

Mong đợi câu trả lời: Phép đối xứng trục IJ biến M thành N (Hình 4.21).

114

N

D

A

I

H

C

B

A’

M

D’

J

B’

C’

Hình 4.21

Bảng hỏi và chỉ dẫn cho cách giải thứ hai của câu 1:

- Mệnh đề đường thẳng MN cắt IJ được diễn đạt theo ngôn ngữ vectơ

như thế nào?.

Mong đợi ở học sinh phải tưởng tượng, hình dung trước khi trả lời: Các vectơ

đồng phẳng, hay , với k, n là số thực và chứng tỏ vec tơ

khác phương, hay là phương trình vô nghiệm đối với ẩn k.

- Em hãy diễn đạt mệnh đề MN vuông góc với IJ theo ngôn ngữ vectơ

(Hình 4.22)?

D

I

H

B

C

A’

M

D’

J

B’

C’

N Mong đợi câu trả lời: A

Hình 4.22

Bảng hỏi và chỉ dẫn cho cách giải thứ ba của câu 1:

- Để giải quyết vấn đề bằng phương pháp tọa độ, theo em nên chọn hệ

trục tọa độ như thế nào?

Câu trả lời mong đợi: Chọn A’(0; 0; 0); B’(0; 1; 0); D’(1; 0; 0); A(0; 0; 1

(Hình 4.23).

- Mệnh đề hai đường thẳng cắt nhau được diễn đạt theo ngôn ngữ tọa độ

như thế nào?

Câu trả lời mong đợi: Lập phương trình hai đường thẳng và chứng tỏ hệ

hai phương trình đó có nghiệm duy nhất.

115

- Mệnh đề MN vuông góc với IJ tại trung điểm H của MN được diễn đạt

theo ngôn ngữ tọa độ như thế nào?

Mong đợi câu trả lời: Chứng tỏ tọa độ trung điểm H của MN

z

N

A

D

I

H

B

C

x

A’

M

D’

J

C’

B’ y

thỏa mãn phương trình đường thẳng IJ.

Hình 4.23

Bảng hỏi và chỉ dẫn cho câu 2:

- Em hãy mô tả cách dựng thiết diện của hình lập phương tạo bởi mặt

phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau MN, IJ?.

Câu trả lời mong đợi: Chỉ ra cách tìm giao của mặt phẳng (IMJN) với các

mặt của hình lập phương. Dựng thiết diện nhờ sử dụng mệnh đề: Nếu một mặt

N

D

phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo hai giao tuyến thì hai giao tuyến đó

I

K

B

C

A’

M

D’

J

B’

C’

L

song song với nhau (Hình 4.24). A '

Hình 4.24

- Em có nhận xét gì về đặc điểm của thiết diện?.

Câu trả lời mong đợi: Thiết diện là lục giác đối xứng qua trục IJ. Do đó

độ dài đường gấp khúc IMKJ bằng nửa chu vi của thiết diện. Từ đó tìm cực tiểu của

nửa chu vi.

116

- Có những cách nào để xác định giá trị bé nhất của nửa chu vi?.

Mong đợi câu trả lời: Có hai cách:

+ Xác định hàm số của độ dài nửa chu vi theo biến t, với t = AM.

+ Trải hình, đưa về bài toán phẳng, sau đó dựa vào bất đẳng thức tam giác

để tìm nửa chu vi bé nhất.

Hình 4.25

Kết quả chuyển giao tình huống theo bảng hỏi và chỉ dẫn của nhóm 05 HS

như sau:

- Có 05 HS giải được câu 1 của bài toán.

- Có 04 HS giải được câu 2 của bài toán.

Từ kết quả HS làm bài, chúng tôi chọn các tình huống đã nêu để HS giải

quyết vấn đề.

Bước 6: Xác nhận tình huống dạy học

Sau khi thực hiện bước 4, bước 5 của quy trình thiết kế và thảo luận với

các GV có kinh nghiệm, GV xác nhận các tình huống để áp dụng quy trình sử

dụng các tình huống nhằm hỗ trợ phát triển TTTKG cho HS.

Dưới đây chúng tôi tiến hành vận dụng quy trình thiết kế trong dạy học

giải bài tập hình học, quy trình này được trình bày ở mục 4.2.3.

b, Triển khai quy trình sử dụng các tình huống dạy học giải bài tập

117

nhằm hỗ trợ phát triển trí tưởng tượng không gian

Bước 1: Chúng tôi lựa chọn phương pháp dạy học phát hiện và giải

quyết vấn đề để khai thác các tình huống trên

Vấn đề nổi bật có ý nghĩa rèn luyện TTTKG được GV xác định ở đây đòi

hỏi HS cần phải tiến hành hoạt động để làm sáng tỏ:

- Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ dùng để diễn đạt trong bài toán sang

ngôn ngữ biến hình, ngôn ngữ vectơ và ngôn ngữ tọa độ. Thực hiện các hoạt

động này để luyện tập cho HS hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ, hoạt động nắm

cân đối giữa cú pháp với ngữ nghĩa - Nắm nội dung và hình thức nhằm linh hoạt

chuyển hóa các biểu tượng không gian theo các ngôn ngữ khác nhau.

- Hoạt động hình dung các bước giải quyết vấn đề trước khi thực hiện vào

giải quyết vấn đề theo ngôn ngữ hình thức.

Bước 2: Nhiệm vụ nhận thức được chuyển giao cho HS cụ thể như sau:

Yêu cầu HS phải tìm các tri thức khác nhau liên quan đến mệnh đề: Chứng

minh MN cắt và vuông góc với IJ tại trung điểm H của MN và liên quan tới tìm

cực trị chu vi của thiết diện để phát hiện các cách huy động kiến thức khác nhau.

Bước 3, Bước 4: Hoạt động điều khiển của GV và hoạt động học tập của HS

- Hoạt động của GV thể hiện qua định hướng và câu hỏi chủ yếu sau:

+ Mệnh đề cần chứng minh MN cắt và vuông góc với IJ tại trung điểm H

của MN liên quan đến kiến thức nào về phép biến hình mà em biết?.

Câu hỏi này nhằm mục đích để HS liên tưởng đến phép đối xứng trục:

Chứng minh M là ảnh của N qua phép đối xứng trục IJ. Hoạt động liên tưởng này

có ý nghĩa quan trọng trong việc bồi dưỡng trí tưởng tượng không gian cho HS.

+ Mệnh đề cần chứng minh MN cắt và vuông góc với IJ tại trung điểm H

của MN liên quan đến kiến thức nào về véctơ mà em đã biết?.

Câu hỏi này nhằm mục đích để HS liên tưởng đến ba vectơ

đồng phẳng; hai vectơ không cùng phương; . Hoạt động liên

tưởng này giúp HS tưởng tượng không gian nhờ sử dụng ngôn ngữ vectơ.

+ Mệnh đề cần chứng minh MN cắt và vuông góc với IJ tại trung điểm H

của MN liên quan đến kiến thức nào về tọa độ mà em đã biết?.

Câu hỏi này nhằm mục đích để HS liên tưởng đến lập phương trình đường

thẳng MN, IJ; tìm giao điểm H của hai đường thẳng MN và IJ; HM = HN. Hoạt

118

động liên tưởng này giúp HS phát triển TTTKG nhờ sử dụng ngôn ngữ tọa độ.

+ Để tìm cực trị của chu vi, ta cần tiến hành hoạt động nào?.

Để trả lời câu hỏi này đòi hỏi HS phải dựng thiết diện của hình lập

phương với mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng IJ và MN; xác định hàm của chu

vi theo độ dài các cạnh hoặc trải hình không gian lên mặt phẳng. Các hoạt động

này giúp HS phát triển TTTKG nhờ hình dung các đường giao tuyến của mặt

phẳng với hình lập phương; mối liên hệ giữa các hình không gian; trải hình

không gian lên mặt phẳng.

- Hoạt động học tập của HS:

+ Hoạt động học tập của HS tương ứng với định hướng thứ nhất của GV.

Từ các tam giác bằng nhau IBB’, JC’B’, JD’D, IAD suy ra IB’ = B’J = JD

= DI. Mặt khác, do tính chất hình lập phương nên IB’ // JD nên tứ giác DIB’J là

hình thoi. Do đó IJ vuông góc với DB’ tại trung điểm mỗi đường, suy ra điểm B’

biến thành điểm D qua phép đối xứng trục IJ.

Ta có AB vuông góc với IJ tại trung điểm I của AB nên điểm B biến thành

điểm A qua phép đối xứng trục IJ. Từ đó đoạn thẳng BB” biến thành đoạn AD

qua phép đối xứng trục IJ. Vậy điểm M biến thành điểm N qua phép đối xứng

trục IJ hay MN vuông góc với IJ tại trung điểm H của MN.

+ Hoạt động học tập của HS tương ứng với định hướng thứ hai của GV.

Đặt

Khi đó và Đặt

Ta có

Suy ra MN vuông góc với IJ.

Ta có , suy ra bốn điểm I, M, J, N cùng thuộc một mặt

phẳng. Mặt khác, tam giác IBM bằng tam giác IAN nên IM = IN, suy ra MN

vuông góc với IJ tại trung điểm H của MN.

+ Hoạt động học tập của HS tương ứng với định hướng thứ ba của GV.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho A’(0; 0; 0); B’(0; 1; 0); D’(1; 0; 0); A(0; 0;

119

1). Khi đó M(0; 1; 1 - t); N(t; 0; 1); I(0; ; 1); J(1; ; 0).

Ta có Suy ra MN vuông góc

với IJ.

Phương trình đường thẳng IJ đi qua I nhận làm vectơ chỉ phương:

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng MN, khi đó tọa độ điểm H là:

Thay tọa độ H vào phương trình đường thẳng IJ thoả mãn, suy ra điểm H

thuộc đường thẳng IJ. Hay MN vuông góc với IJ tại trung điểm H của MN.

+ Hoạt động học tập của HS tương ứng với định hướng thứ tư của GV.

Sử dụng tính chất giao của mặt phẳng thiết diện với hai mặt phẳng song

song tạo hai giao tuyến song song. Từ đó dễ dàng tìm được thiết diện là lục giác

A”

D”

I’

N’

D

N

C”

A '

I

K’

B

C

K

C”’

A’

M

D’

J’

J

B’

L

MLJKNI (Hình 4.26).

C’ Hình 4.26

Chu vi của lục giác MLJKNI bằng hai lần chu vi của hình thang INKL.

Cách 1: Ta trải hình vuông BCDA và CC’D’D lên mặt phẳng (A’AD’D)

theo phương vuông góc ta lần lượt được các hình vuông A”D”DA và

120

C”C”’D’D. Khi đó điểm I thành trung điểm I’ của AA” và điểm J thành trung

điểm J’ của C”C”’.

Gọi giao điểm của đường thẳng I’J’ với AD và DD’ lần lượt tại N’, K’. Như vậy, chu vi của thiết diện:

nhỏ nhất khi I’, N, K,

J’ thẳng hàng điểm N trùng với N’, điểm K trùng với K’.

Dễ dàng chứng minh được là tam giác vuông cân nên góc AN’I’

bằng

, hay N’ là trung điểm AD. Tương tự, điểm K’ là trung điểm của DD’. Khi đó, chu vi của thiết diện nhỏ nhất khi N, K lần lượt là trung điểm của

AD và DD’ hay M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BB’ và AD.

Vận dụng các tính chất của hình học phẳng, ta tính được chu vi của thiết

diện nhỏ nhất là:

Cách 2: Dùng công cụ đạo hàm với biến

Ta có

t

0

1

; = 0 .

-

0

+

Ta có bảng biến thiên:

Vậy chu vi của thiết diện nhỏ nhất là: khi t = , khi đó M, N lần

lượt là trung điểm của các cạnh BB’ và AD.

Bước 5: Hoạt động đánh giá, thể chế hóa kiến thức của GV, giao nhiệm

vụ tự học cho HS

Sau khi HS giải được bài toán, GV có thể yêu cầu HS hình dung lại các cách giải để chứng minh đường thẳng MN vuông góc với IJ tại trung điểm H của MN và phương pháp tìm cực trị của chu vi đạt giá trị nhỏ nhất.

Tiếp theo GV đánh giá kết quả đạt được về trình độ kiến thức, kĩ năng

121

hoặc thái độ của các HS. Từ đó, GV đưa ra những định hướng để khắc phục sai sót và khẳng định các kết quả của HS.

Sau đây là những tình huống GV giao HS tự học ở nhà:

1. Hãy tổng quát bài toán trên khi thay giả thiết hình lập phương bởi hình

hộp chữ nhật.

2. Hãy tổng quát bài toán trên khi thay giả thiết hình lập phương bởi hình

hộp bất kì.

Sau đây là một vài định hướng và chỉ dẫn để thực hiện nhiệm vụ học tập ở

nhà, cụ thể là:

Thực hiện các hoạt động so sánh sự khác biệt giữa hình lập phương và hình hộp chữ nhật; hình dung điều kiện BM = AN có thể diễn đạt cách khác:

Khi đó hai bài toán tổng quát cho hình hộp chữ nhật và hình

hộp bất kì sẽ được diễn đạt như thế nào?

Trả lời câu hỏi trên hướng tới hoạt động hình dung, tưởng tượng và đề

xuất giả thuyết cho hai bài toán mới sau đây:

- Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Các điểm M, N lần lượt thuộc

các cạnh BB’, AD sao cho Gọi I, J lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB, C’D’.

1. Chứng minh rằng MN cắt IJ tại trung điểm H của đoạn MN. 2. Xác định thiết diện của hình hộp chữ nhật tạo bởi mặt phẳng đi qua

MN và IJ.

Em hãy kiểm định giả thuyết ở trên và chứng tỏ rằng điều kiện MN vuông

góc với IJ không còn đúng nữa? Giải thích tại sao?

- Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh

BB’, AD sao cho Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, C’D’.

1. Chứng minh rằng MN cắt IJ tại trung điểm H của đoạn MN. 2. Xác định thiết diện của hình hộp tạo bởi mặt phẳng đi qua MN và IJ. Ví dụ 4.8. Xét tình huống thực tiễn: Em hãy quan sát hình 4.27, mô tả thiết bị nâng hạ giá đỡ trong thi công công trình? Em hãy sử dụng kiến thức toán học đã biết tại sao khi hai thanh thép bằng nhau được gắn với nhau hình chữ X

122

bởi trục đi qua trung điểm của hai thanh thép, có các đầu mút chuyển động trên hai giá nằm ngang có thể nâng hạ đồ vật lên cao, xuống thấp?.

Để giải thích điều này, các em hãy sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu toán học

để mô tả thiết bị nâng nói trên.

Hình 4.27

- GV đặt câu hỏi: Hai thanh thép bằng nhau được gắn vào trục ở giữa liên

hệ với đối tượng nào trong toán học?.

Trả lời câu hỏi này đòi hỏi HS phải hình dung, tưởng tượng, liên tưởng

B

A

I

C

D

đến hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD (Hình 4.28).

Hình 4.28

- Từ thiết bị nâng, em hãy cho biết trong hình chữ nhật biểu diễn nó, yếu

tố nào cố định, yếu tố nào thay đổi?

Trả lời câu hỏi này đòi hỏi HS phải xem xét các đại lượng không đổi, các

123

đại lượng biến thiên: Độ dài các đường chéo AC = BD = d (Const), còn các kích

thước AD = x; AB = y biến thiên.

Khi đó nhờ sử dụng định lý Pitago ta có hệ thức liên hệ giữa đường chéo

và các cạnh: (1).

- Từ hệ thức (1), em hãy làm sáng tỏ khi nào thì thiết bị nâng đưa đồ vật

lên tầng cao?

Việc trả lời câu hỏi này đòi hỏi các em phải hình dung, tưởng tượng

không gian: Khi nâng lên thì các đầu mút A, B chuyển động lại gần nhau, khi đó

từ hệ thức (1) suy ra, khi x càng bé thì y càng lớn do tổng các bình phương

không đổi. Có thể nói đó là nguyên lý toán học được sử dụng qua các

thiết bị vận dụng vào trong thực tiễn.

Như vậy, qua các ví dụ được trình bày trong dạy học khái niệm, định lý,

giải bài tập hình học thể hiện là những cơ hội để luyện tập các hoạt động thành

phần của các hoạt động hướng tới hình thành và phát triển TTTKG. Ngoài ra

những bài toán liên hệ với thực tiễn cũng là cơ hội để luyện tập các hoạt động

nói trên.

Kết luận chương 4

Trong chương này chúng tôi đã đưa ra được quy trình thiết kế gồm 6 bước

cho THDH với định hướng phát triển TTTKG. Quy trình được thiết kế dựa trên

các tư tưởng khoa học sư phạm sau đây, các cơ sở khoa học này đã được trình

bày trong Chương 2 và Chương 3:

- Tư tưởng đầu tiên được nhấn mạnh là: Tri thức, kĩ năng, tư duy cũng

như các biểu tượng đúng đắn về không gian được hình thành và phát triển thông

qua việc chủ thể tương tác với các tình huống, môi trường. Nội dung của tương

tác bao gồm hoạt động quan sát, so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,

trừu tượng hóa, đưa ra giả thuyết, kiểm định chúng, ...

- Các THDH hướng đến phát triển TTTKG là nơi cài đặt các hoạt động

thành phần của hoạt động phát triển TTTKG cho HS.

- Việc thiết kế các tình huống để đưa ra sử dụng cần đảm bảo tương thích

với đặc điểm nhận thức của HS, các tình huống được chấp nhận phải có điểm

tựa từ việc khảo sát hoạt động thực hành, tương tác với các tình huống của HS,

hướng vào các hoạt động thành phần của hoạt động hướng tới phát triển

124

TTTKG. Việc khảo sát hoạt động thực hành thông qua thiết kế các bảng hỏi và

chỉ dẫn của GV.

- Các tình huống được thảo luận qua nghiên cứu các bài học của GV theo

tổ bộ môn, có sự tham gia có ý kiến của các GV có kinh nghiệm trong dạy học

hình học ở trường THPT.

Trong chương này, chúng tôi đưa ra quy trình 5 bước vận dụng vào dạy

học hình học. Các bước này thể hiện các phương pháp dạy học tích cực được lựa

chọn nhằm định hướng hoạt động điều khiển của GV và thúc đẩy hoạt động học

tập tích cực tự giác của HS. Hoạt động học tập của HS thể hiện qua tương tác

với các tình huống nhằm hình thành, khắc sâu các biểu tượng về không gian.

Các hoạt động bồi dưỡng TTTKG được thể hiện qua hai cấp độ: Cấp độ khắc

sâu các biểu tượng đã có và cấp độ hình thành các biểu tượng mới thông qua

tưởng tượng, khái quát hóa. Hoạt động đánh giá khả năng tưởng tượng của HS

được quan tâm theo các bình diện:

- Khả năng tưởng tượng để gợi ý tưởng cho tiến trình lập luận giải quyết

vấn đề không gian.

- Vai trò của tưởng tượng đối với lập luận suy diễn.

- Tiến hành cụ thể hóa dạy học theo các quy trình được thiết kế khi dạy

học khái niệm, dạy học định lý và dạy học giải bài tập hình học. Khi vận dụng

quy trình chung vào tình huống cụ thể được cân nhắc, nhấn manh, bước này

giảm nhẹ bước kia theo mức độ hoạt động khi giải quyết các vấn đề khác nhau.

Khi triển khai các quy trình vào các tình huống điển hình nói trên cũng như khi

vận dụng các quy trình vào giải quyết các vấn đề thực tiễn, chúng tôi quan tâm

bồi dưỡng TTTKG cho HS thông qua giải thích các sự kiện thực tiễn nhờ sử

dụng các mô hình toán.

125

Chương 5

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

5.1. Mục tiêu của thực nghiệm - Đánh giá khả năng của GV toán trong việc thực hiện các bước của quy trình. Đặc biệt nhấn mạnh mức độ hiểu biết của GV thông qua thực hành trên một số nhóm về xây dựng và tổ chức vận dụng các tình huống được lựa chọn trong Chương 4 của luận án trên đối tượng HS được khảo sát. Đánh giá năng lực nghiên cứu bài học của nhóm GV được lựa chọn; quan tâm chủ yếu đến các hoạt động tranh luận, tư duy phê phán khi lựa chọn các tình huống đưa ra sử dụng.

- Đánh giá ưu, nhược điểm của HS trong việc thực hiện các hoạt động hướng đến phát triển TTTKG thông qua tương tác với các tình huống được thiết kế đã nêu trong Chương 4. Từ đó rút ra được kết luận về khả năng phát triển TTTKG cho HS thông qua việc thiết kế và sử dụng các tình huống.

5.2. Nội dung thực nghiệm - Đối với giáo viên. Chúng tôi giao nhiệm vụ cho 02 nhóm GV thuộc 02 trường THPT trên địa bàn tỉnh Nghệ An là: Trường THPT Lê Lợi, huyện Tân Kì; trường THPT Diễn Châu 5, huyện Diễn Châu; mỗi nhóm gồm 10 GV. Nhiệm vụ cụ thể như sau:

Nhiệm vụ 1 1. Thầy cô hãy đưa ra quy trình thiết kế tình huống hướng đến phát triển TTTKG cho HS khi dạy học định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng, SGK Hình học 11, trang 57. Quy trình này gồm 06 bước; đối tượng GV được thực nghiệm đã tiếp cận trước.

2. Làm sáng tỏ quy trình vận dụng tình huống thiết kế nêu trong phần 1:

Nêu các bước, làm sáng tỏ ý nghĩa của mỗi bước.

Nhiệm vụ 2 1. Thầy cô hãy làm sáng tỏ các hoạt động của HS có ý nghĩa đối với việc rèn luyện TTTKG khi giải thích tình huống thực tiễn sau đây nhờ sử dụng các tri thức toán học: Hình 5.1, là ảnh của hình biểu diễn thực của một thiết bị “Nâng, hạ” giá đỡ trong thi công công trình, đưa các thiết bị lên cao; chuyển các đồ vật từ trên cao xuống. Thầy cô hãy cho biết những tư tưởng toán học nào được sử dụng khi nâng các thiết bị lên và sử dụng khi hạ các đồ vật xuống.

126

2. Sử dụng quy trình thiết kế tình huống nhằm hỗ trợ phát triển TTTKG cho HS. Thầy cô hãy đưa ra một ví dụ về thiết kế một quy trình như vậy khi dạy học khái niệm: “Tâm đối xứng của một hình” trong bài “Phép đối xứng tâm” SGK Hình học 11, trang 12.

Hình 5.1

- Đối với học sinh. Nội dung thực nghiệm đối với HS chủ yếu là đưa ra

các tình huống đã nêu trong Chương 2, 3, 4 để HS tương tác, trải nghiệm, đưa ra

phán đoán, phát hiện vấn đề và hình dung được các bước giải quyết vấn đề để

chiếm lĩnh tri thức. HS tương tác với các tình huống thông qua bảng hỏi và chỉ

dẫn của GV. Dưới đây là các tình huống để kiểm tra chất lượng về TTTKG của

HS, các tình huống đưa ra kiểm tra với tư cách là nhiệm vụ nhận thức được

chuyển giao cho HS:

Nhiệm vụ 1

Trên hình 5.2 - Hình biểu diễn của sân bóng đá và hình 5.3 là mô hình

toán của sân bóng đá, có dạng hình chữ nhật.

127

E

D

A

I

B

C

Hình 5.2

F Hình 5.3

Trên mô hình toán của sân bóng ABCD, có dạng hình chữ nhật với đường trung bình EF. I là giao điểm của EF và đường chéo AC. Các em hãy làm sáng tỏ các câu hỏi sau:

- Chứng tỏ I là tâm của hình chữ nhật ABCD. Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh của hình chữ nhật. Hãy chứng minh qua phép đối xứng tâm I, ảnh của điểm M là điểm M’ cũng thuộc cạnh của hình chữ nhật trên?.

- Lập luận tương tự tạo ảnh của điểm M’ là M cũng thuộc cạnh hình chữ nhật?. - Chứng minh rằng nếu điểm M nằm trong hình chữ nhật thì ảnh M’ của nó qua phép đối xứng tâm I cũng thuộc hình chữ nhật?. Hãy lập luận nếu ảnh M’ ở trong hình chữ nhật thì tạo ảnh của nó qua phép đối xứng tâm I cũng nằm trong hình chữ nhật?.

Khi sáng tỏ các nhiệm vụ nêu ra ở trên thì người ta nói rằng: Qua phép đối xứng tâm I, hình chữ nhật ABCD có ảnh là chính nó. Lúc đó ta nói rằng I là tâm đối xứng của hình chữ nhật.

128

Nhiệm vụ 2

Cho hình tròn (C) có tâm O. Em hãy chứng tỏ rằng O là tâm đối xứng của

hình tròn (C).

- Từ hai tình huống nêu trên, em hãy nêu định nghĩa: Điểm I là tâm đối

xứng của hình H?.

- Em hãy cho ví dụ chứng tỏ rằng nếu I là tâm đối xứng của hình H thì I

có thể thuộc H hoặc không thuộc H?.

Nhiệm vụ 3

Trong hệ tọa độ trực chuẩn (Oxyz) cho hai đường thẳng d:

và d’: và điểm . Lập phương trình đường thẳng đi qua

và cắt hai đường thẳng d; d’.

Việc kiểm tra thực hiện nhiệm vụ này nhằm tìm hiểu HS có sai lầm hay

không khi giải bài toán chỉ chú ý đến hình thức (Cú pháp) mà ít để ý đến “Ngữ

nghĩa”, thiếu chú ý đến nội dung - Hình dung vị trí giữa các điểm và đường xét

trong bài toán.

Nhiệm vụ 4

Ước lượng khối lượng của một ống thép có hình trụ chiều dài 6 m, đường

kính thiết diện đo theo mặt ngoài 6 cm, đường kính thiết diện đo theo mặt trong

5,4 cm. Khối lượng riêng của thép là 7.850 kg/ .

Thực hiện nhiệm vụ này HS phải biết hình dung tính thể tích của ống thép

đo theo kích thước mặt ngoài và thể tích của ống thép đo theo kích thước mặt

trong (Phần rỗng), từ đó tính được khối lượng của ống thép.

Nhiệm vụ 5

Tồn tại hay không bốn đường thẳng đôi một chéo nhau và vuông góc với nhau?

Thực hiện nhiệm vụ này đòi hỏi HS phải tưởng tượng được: Nếu một

đường thẳng c vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau a và b thì đường thẳng

c vuông góc với mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng a, b. Khi đó lập

luận tương tự, chứng minh được đường thẳng thứ tư d cũng vuông góc với mặt

phẳng (P). Từ đó suy ra đường thẳng c song song với đường thẳng d. Điều này

mâu thuẫn với đường thẳng c và d chéo nhau.

129

Chúng tôi giao nhiệm vụ nhận thức cho 04 nhóm HS, mỗi nhóm 08 HS ở 02 trường THPT trên địa bàn tỉnh Nghệ An là: Trường THPT Lê Lợi; trường THPT Diễn Châu 5.

5.3. Hình thức thực nghiệm Chúng tôi tiến hành tìm hiểu thực tiễn bằng con đường nghiên cứu trường hợp, bằng cách kiểm tra một hoặc một nhóm đối tượng về nhận thức, biểu hiện TTTKG trong dạy học hình học ở trường THPT. Thực hiện kiểm tra thực nghiệm theo hình thức này đòi hỏi người nghiên cứu phải nghiên cứu hoạt động quan sát, hành vi của GV hoặc HS bộc lộ khi tiếp cận với các câu hỏi, quan sát tinh thần, thái độ của GV, HS khi tiến hành các hoạt động hướng đến hỗ trợ phát triển TTTKG. Trong quá trình thực nghiệm, chúng tôi đã tiến hành ghi âm, ghi hình những trao đổi, thảo luận của GV và HS. Những vấn đề này bổ ích cho việc đánh giá định tính kết quả việc trả lời các câu hỏi, đánh giá định tính về hiểu biết của GV trong việc thiết kế và sử dụng các tình huống để luyện tập các hoạt động hướng đến phát triển TTTKG cho HS. Đặc biệt là đánh giá khả năng tưởng tượng không gian của HS: Hình dung vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học; ước lượng các đại lượng hình học; khả năng hình dung, tưởng tượng trước khi thực hiện giải quyết vấn đề bằng con đường suy diễn.

Việc đánh giá định lượng chủ yếu dựa vào kết quả bằng điểm số cho việc trả lời các câu hỏi, kết quả giải quyết vấn đề dựa vào vào tần số, tần suất trong thống kê.

5.4. Tổ chức thực nghiệm Việc tiến hành thực nghiệm do bản thân người nghiên cứu tiến hành cùng với 02 tổ trưởng tổ toán của hai trường THPT đối với GV là: Trường THPT Lê Lợi, trường THPT Diễn Châu 5 tỉnh Nghệ An. Khi tiến hành thực nghiệm đối với HS, chúng tôi thỏa thuận nhờ giúp đỡ của GV tổ bộ môn toán là: thầy giáo Nguyễn Ngọc Hoàng, tổ chức thực nghiệm nhóm của lớp 11A1 (08 HS); thầy giáo Bùi Văn Đức, tổ chức thực nghiệm nhóm của lớp 12A3 (08 HS) trường THPT Lê Lợi; thầy giáo Thái Doãn Ân, tổ chức thực nghiệm nhóm của lớp 11A1 (08 HS), cô giáo Võ Thị Bích Hà, tổ chức thực nghiệm nhóm của lớp 12A1 (08 HS) trường THPT Diễn Châu 5.

Các GV tiến hành tổ chức thực nghiệm đã được nghiên cứu các nội dung sau: - Các đặc trưng của TTTKG trong dạy học hình học ở trường THPT.

130

- Các hoạt động cần luyện tập để phát triển TTTKG.

- Quy trình thiết kế các tình huống để tổ chức dạy học nhằm phát triển

TTTKG cho HS; quy trình vận dụng các tình huống đã được thiết kế vào dạy

học nhằm phát triển TTTKG cho HS.

5.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm

Việc phân tích tiên nghiệm thực chất là dự đoán kết quả các câu trả lời, giải

thích, kết quả làm bài của GV và HS qua các nhiệm vụ được giao trong thực nghiệm.

5.5.1.1. Đối với giáo viên

5.5.1. Phân tích tiên nghiệm

Nhiệm vụ 1

- Từ nội dung phần 1 của nhiệm vụ 1 và đối chiếu với quy trình 06 bước

và từ tri thức về nội dung, định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng, chúng tôi dự

đoán đa số GV thiếu tri thức kinh nghiệm và tri thức về phương pháp luận để

tìm tòi các tình huống thực tiễn, từ đó để HS có thể thuận lợi tiến hành mô hình

hóa để làm phương tiện trực quan cho việc hình thành định lí.

Nhiều GV chưa có thói quen thực hiện thăm dò HS để lấy ý kiến phản

hồi. Khó khăn chủ yếu là đưa ra số lượng các tình huống đủ để HS quan sát,

phân tích, so sánh, khái quát hóa rút ra mệnh đề tổng quát về định lí; khó khăn

nữa là khi khảo sát cần phải xây dựng bảng hỏi và chỉ dẫn, điều này phụ thuộc

nhiều vào tri thức, nội dung bài học và tri thức phương pháp định hướng cho HS

nhằm hình thành và phát triển TTTKG.

Từ đó chúng tôi dự kiến đánh giá phần 1 của nhiệm vụ 1 chỉ có 50% GV

trả lời đạt kết quả mong muốn.

- Phân tích tiên nghiệm phần 2 của nhiệm vụ 1.

Khi làm sáng tỏ quy trình vận dụng, chúng tôi hình dung GV gặp khó

khăn trong hoạt động điều khiển của mình là việc đưa ra các câu hỏi, định

hướng để HS tiến hành các hoạt động giải quyết vấn đề trong các bước chứng

minh định lý sao cho có ý nghĩa đối với việc phát triển TTTKG cho HS.

Khó khăn thứ 2 là cách định hướng để HS biết phân hoạch các trường

hợp riêng: Trường hợp có hai giao tuyến cắt nhau và trường hợp có hai giao

tuyến song song. Chúng tôi dự kiến có 60% GV thực hiện được nội dung phần 2

của nhiệm vụ 1.

131

Nhiệm vụ 2 - Từ nội dung phần 1 của nhiệm vụ 2, chúng tôi dự đoán GV gặp chướng ngại do thiếu nhảy cảm phát hiện các tư tưởng toán học đối với hiện tượng nâng, hạ giá đỡ. Khó khăn trong nhận thức quá trình nâng, các đầu mút của hai thanh sắt dùng để di chuyển giàn đỡ tạo thành 04 đỉnh của hình chữ nhật (Do hai đường chéo bằng nhau kết nối với nhau nhờ trục đi qua điểm chính giữa của thanh sắt). Lúc đó tiến trình nâng giá đỡ là tiến trình tăng chiều dài và giảm chiều rộng của hình chữ nhật (Kết luận này có được nhờ TTTKG). Việc giảm chiều rộng là nhờ hai lực đẩy ngược chiều và có độ lớn bằng nhau để đầu mút của hai thanh sắt trượt trên rãnh (Hình 5.4).

Hình 5.4

Việc tăng chiều dài và giảm chiều rộng nhờ sử dụng định lí Pythagore: (1); trong đó d là độ dài đường chéo hình chữ nhật biểu thị độ dài thanh

sắt không đổi; x, y là độ dài hai cạnh hình chữ nhật. Khi đó từ (1) suy ra: Nếu độ dài . Tương tự, khi chiều rộng càng tăng thì x giảm thì độ dài y tăng, với điều kiện

chiều dài của hình chữ nhật càng bé. Khi đó tương ứng với trường hợp giá đỡ hạ xuống.

Từ phân tích trên cho thấy hoạt động của HS có ý nghĩa đối với việc phát triển TTTKG là hoạt động giải thích hiện tượng nâng, hạ nhờ sử dụng mô hình toán của thiết bị nâng, hoạt động hình dung các hình không gian thông qua tưởng tượng.

Do những khó khăn phân tích ở trên, chúng tôi cho rằng số GV hiểu vấn đề tham gia thảo luận để giải thích hiện tượng nâng, hạ nhờ sử dụng tư tưởng của toán học chỉ chiếm khoảng 45% số lượng GV của hai nhóm. Con số này cũng nói lên việc làm nổi bật các hoạt động để rèn luyện TTTKG sẽ không vượt quá 50%.

- Chúng tôi tiên nghiệm GV có thể đưa các hình sau đây là các hình có

132

tâm đối xứng: Hình tròn; đường tròn. Tuy nhiên số GV đưa ra được phong phú

các ví dụ còn ít. Chúng tôi dự kiến có khoảng 60% GV đưa ra được các ví dụ

nói trong phần 2 của nhiệm vụ 2. Tuy vậy, để giải thích được tâm I là tâm đối

xứng của một hình H nếu phép đối xứng tâm I biến H thành chính nó thì còn

nhiều GV chưa có kĩ thuật. Họ chưa hiểu được bản chất của hình H biến thành

hình H qua phép đối xứng tâm I là gì. Điều đó dẫn tới việc điều khiển HS bằng

các câu hỏi, các định hướng để HS hoạt động góp phần phát triển TTTKG là khó

khăn đối với GV.

5.5.1.1. Đối với học sinh

Nhiệm vụ 1

- Khi trả lời ý 1, HS cần chứng tỏ đường chéo BD của hình chữ nhật cũng

đi qua I. Điều đó có thể thực hiện được nhờ kĩ thuật chứng minh phản chứng

hoặc kĩ thuật sử dụng định lí Talet trong tam giác. Cả hai kĩ thuật này đều khó

với HS trung bình và yếu. Giải đáp phần nhiệm vụ này chỉ có HS khá, giỏi mới

làm được. Do số HS của hai nhóm có số HS khá, giỏi chưa đến 50% nên chúng

tôi dự đoán chưa đến 50% HS giải quyết được ý 1 của nhiệm vụ trên.

Để lập luận mỗi điểm M thuộc cạnh hình chữ nhật có ảnh là điểm M’ qua

phép đối xứng tâm I cũng thuộc cạnh hình chữ nhật, ta phải sử dụng các tam

giác bằng nhau để gắn IM = IM’ là các cạnh tương ứng của hai tam giác bằng

nhau đó. Chúng tôi cho rằng chỉ có HS khá, giỏi mới có ý tưởng như vậy, từ đó

chúng tôi tiên nghiệm có xấp xỉ 50% HS giải quyết được nội dung này.

- Chúng tôi tiên nghiệm giải quyết phần 2 của nhiệm vụ 1, HS phải

khai thác, tận dụng kết quả nếu điểm M thuộc cạnh thì ảnh của nó qua phép

đối xứng tâm I cũng thuộc cạnh và sử dụng nếu điểm K thuộc IM thì ảnh M’

của nó qua phép đối xứng tâm I thuộc IM’. Lập luận này chỉ có thể là HS

khá, giỏi và từ đó chúng tôi dự đoán khoảng 45% HS có thể giải quyết được

phần 2 của nhiệm vụ 1.

Nhiệm vụ 2

Để lập luận chứng minh nếu điểm M ở trên đường tròn thì ảnh M’ của M

qua phép đối xứng tâm O cũng thuộc đường tròn thì chỉ cần chứng tỏ OM’ =

OM = R. Điều này thì HS trung bình trở lên có thể giải quyết được.

Nếu M nằm trong đường tròn, khi đó OM cắt đường tròn tại K. HS cần lập

133

luận điểm M’ thuộc OK’, trong đó M’ là ảnh của M, K’ là ảnh của K. Để vẽ

đường phụ OK thì chỉ có HS khá, giỏi mới có thể làm được nên chúng tôi cho

rằng 45% HS có thể giải quyết được phần 2 của nhiệm vụ này.

Nhiệm vụ 3

Chúng tôi dự đoán HS sẽ làm theo quy trình sau:

- Lập phương trình mặt phẳng đi qua và d; đó là phương trình

- Lập phương trình mặt phẳng đi qua và d’, đó là phương trình

- Kết luận đường thẳng cần tìm là .

Tuy nhiên kết quả này không đúng. Các em HS có thể chứng tỏ được mặt

phẳng đi qua và d song song với đường thẳng d’. Khi đó một đường thẳng

đi qua và cắt d thì không thể cắt d’, vậy bài toán vô nghiệm. Chúng tôi dự

đoán đại đa số HS bị sai lầm.

Nhiệm vụ 4

Khi giải quyết nhiệm vụ này chúng tôi tiên nghiệm HS sẽ gặp khó khăn

tính thể tích của ống thép vì phải tính thể tích theo kích thước mặt ngoài, mặt

trong rồi tính hiệu của chúng. HS có thể quên công thức tính khối lượng của ống

thép theo thể tích và khối lượng riêng. Giải quyết nhiệm vụ này chỉ phù hợp với

HS khá, giỏi và chúng tôi ước tính có 40% giải quyết được nhiệm vụ này. Vấn

đề quan trọng của câu hỏi này là HS phải có TTTKG mới có thể tính được thể

tích của ống thép.

Nhiệm vụ 5

Khó khăn đối với HS khi thực hiện nhiệm vụ này là không biết mô tả

mệnh đề trên do không biết sử dụng các mô hình để sáng tỏ cho hai đường thẳng

chéo nhau và vuông góc với nhau a; b thì tồn tại mặt phẳng (P) song song với

hai đường thẳng a; b. Khi đó nếu hai đường thẳng c; d chéo nhau và vuông góc

với nhau, đồng thời chúng vuông góc với hai đường thẳng a; b thì c và d lần

lượt vuông góc với mặt phẳng (P). Từ đó dẫn tới c song song với d. Điều này

trái với giải thuyết c và d chéo nhau.

Một khó khăn nữa đối với HS là chưa có trải nghiệm về việc chứng minh về

134

sự tồn tại một đối tượng hay một quan hệ hình học nào đó. Nếu HS có TTTKG tốt

thì có thể giải bài toán này nhờ tưởng tượng không cần mô tả trên giấy. Chúng tôi

tiên nghiệm rằng chỉ có HS giỏi mới giải quyết được nhiệm vụ trên.

5.5.2. Phân tích hậu nghiệm kết quả giải quyết các nhiệm vụ đối với

5.5.2.1. Phân tích kết quả thực nghiệm đối với GV

giáo viên và học sinh

Trong quá trình thực nghiệm, chúng tôi tiến hành quan sát tinh thần, thái

độ của GV khi trình bày câu trả lời. Các GV cũng biểu lộ hứng thú để trả lời câu

hỏi. Tuy nhiên vấn đề do hiểu biết về TTTKG của GV chưa tường minh, việc

nắm các biểu hiện của TTTKG chưa đầy đủ; đặc biệt là chưa nắm hết các hoạt

động hướng đến phát triển TTTKG. Từ đó việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra

cho GV còn bộc lộ các nhược điểm do thiếu chuẩn bị tri thức, kĩ năng đối với

việc thiết kế các tình huống và vận dụng chúng.

Dưới đây chúng tôi phân tích kết quả hậu nghiệm thu được của GV qua

việc thực hiện các nhiệm vụ được giao.

Phân tích nhiệm vụ 1

- Ở ý 1, GV đã nêu được các bước thiết kế. Tuy nhiên khi cụ thể hóa các

bước, đặc biệt là bước tạo tình huống, họ chỉ quan tâm các mô hình ba giao

tuyến đồng quy lấy từ góc tam diện của hình tứ diện, góc tam diện lấy từ hình

hộp. Họ không tìm được các mẫu vật lấy trong thực tiễn. Trong khi đó những

mẫu vật này có thể tìm thấy nếu GV quan tâm quan sát các thiết bị xây dựng.

Số GV đưa ra được tình huống có thể dùng để gợi động cơ cho hoạt động

phát hiện, có ý tưởng bồi dưỡng TTTKG chiếm 55% GV thực nghiệm.

- Khi thực hiện mục 2 của nhiệm vụ 1, GV đã nêu được các bước của quy

trình. Tuy nhiên, họ chưa nhấn mạnh được ý nghĩa của việc chuyển giao nghiệm

vụ nhận thức đối với việc thực hiện các hoạt động phát triển TTTKG. Đặc biệt là

chưa làm rõ hoạt động điều khiển bằng bảng hỏi để HS trả lời hướng vào nhiệm

vụ phát triển TTTKG. Có 50% GV thực nghiệm giải quyết được nội dung này.

Phân tích nhiệm vụ 2

- Khi tiếp cận ý 1 của nhiệm vụ 2, chúng tôi đã yêu cầu GV làm sáng tỏ các

hoạt động TTTKG trong thiết bị “Nâng, hạ”. Một số GV đã nêu được tư tưởng

toán học chủ yếu trong thiết bị nâng hạ là hai thanh sắt bằng nhau được gắn kết

135

qua một trục đi qua trung điểm của các thanh sắt này. Sáng tỏ được khi hai thanh

sắt chuyển động quanh trục thì các đầu mút của các thanh sắt luôn là 04 đỉnh của

hình chữ nhật (Khám phá này là do tưởng tượng). Một số GV nêu được để nâng

cần có lực tác động làm cho chiều rộng của hình chữ nhật bé dần, khi đó chiều dài

tăng dần. Một số GV biết minh họa quy luật trên nhờ sử dụng định lý Pythagore

(Hình 5.5). Tuy nhiên họ cũng chưa nói được lực tác động làm cho hai đầu mút

của thanh sắt trượt trên rãnh để chiều rộng bé dần. Họ chưa nêu bật được các hoạt

động chủ yếu để giải thích thiết bị nâng hạ có ý nghĩa phát triển TTTKG là: Hoạt

động nhận dạng hình chữ nhật; hoạt động tưởng tượng mối liên hệ giữa chiều

rộng và chiều dài khi chiều rộng bé dần; hoạt động mô hình hóa các mẫu vật có

trong thực tế. Số GV giải quyết được nội dung này chiếm 45%.

Hình 5.5

- Khi giải quyết ý 2 của nhiệm vụ 2, các GV gặp khó khăn trong việc lựa

chọn các mô hình thực tiễn để thiết kế nhằm luyện tập các hoạt động hướng đến

phát triển TTTKG cho HS. Họ chỉ quan tâm tới các mô hình hình học như

đường tròn, hình chữ nhật, đoạn thẳng để làm tình huống gợi động cơ, để phát

hiện hình có tâm đối xứng. Tuy nhiên đại đa số GV chưa lập luận chứng tỏ

136

được: Để chứng minh qua phép đối xứng tâm I hình H biến thành chính nó thì

cần chứng minh cụ thể như thế nào? Có 40% GV thực nghiệm giải quyết được

nội dung này.

5.5.2.2. Phân tích, đánh giá kết qủa thực nghiệm của học sinh

Phân tích nhiệm vụ 1

- Khi thực hiện ý 1 của nhiệm vụ 1, đại đa số HS xác định được I là tâm

của hình chữ nhật ABCD. Một số ít HS chứng tỏ được nếu M thuộc cạnh của sân

bóng thì ảnh của M là M’ cũng thuộc cạnh. Không có HS lập luận nếu M’ thuộc

cạnh thì tạo ảnh của nó là M cũng thuộc cạnh. Việc chứng minh M thuộc cạnh

thì ảnh của nó M’ cũng thuộc cạnh chủ yếu dựa vào trực quan. Giải quyết được

nội dung này có 47% HS thực nghiệm.

- Khi giải quyết ý 2 của nhiệm vụ 1, chỉ có 02 HS giải quyết được. Số còn

lại của nhóm không biết kĩ thuật để giải quyết. Nhìn chung việc chứng minh qua

phép đối xứng tâm I, hình chữ nhật biến thành chính nó là khó khăn đối với HS.

Giải quyết được nội dung này có 6% HS thực nghiệm.

Phân tích nhiệm vụ 2

- Đa số HS lập luận được nếu điểm M nằm trên đường tròn thì ảnh của M

là M’ cũng nằm trên đường tròn. Khi lập luận M nằm trong hình tròn thì ảnh M

của nó cũng nằm trong đường tròn thì nhiều HS còn dựa vào trực quan, chưa

biết so sánh với bán kính. Giải quyết được nội dung này có 50% HS thực

nghiệm.

- Đại bộ phận HS chỉ ra được nếu I là tâm đối xứng của hình H thì I có thể

thuộc H hoặc không thuộc H. Họ chỉ ra được đó là đoạn thẳng hoặc đường tròn.

Giải quyết được nội dung này có 81% HS thực nghiệm.

Phân tích nhiệm vụ 3

Đại đa số HS khi thực hiện nhiệm vụ này theo quy trình sau (Được minh

họa trên hình 5.6):

- Lập phương trình mặt phẳng đi qua và d; đó là phương trình

- Lập phương trình mặt phẳng đi qua và d’, đó là phương trình

137

- Kết luận đường thẳng cần tìm là .

Hình 5.6

Qua kết quả làm bài cho thấy, kết quả làm bài theo cách này chỉ đúng khi

điểm không thuộc mặt phẳng chứa d và song song với d’ hoặc ngược lại

không thuộc mặt phẳng chứa d’ và song song với d. Trường hợp cụ thể trên có

thể kiểm tra được điểm thuộc mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’. Từ

đó suy ra không tồn tại một đường thẳng đi qua cắt d và d’. Điều này

khẳng định rằng HS không hiểu được nội dung, ý nghĩa hình học. Họ chỉ quen

làm việc với các phép toán hình thức, các biểu thức hình thức. Hay nói cách

khác học không hình dung được khả năng xẩy ra đường thẳng đi qua một điểm

và cắt hai đường thẳng chéo nhau. Thực chất là TTTKG của HS còn yếu.

Khi giải quyết bài toán trên không có HS nào chứng tỏ được bài toán vô

nghiệm. Điều này gợi ra sự cần thiết bồi dưỡng TTTKG cho HS.

138

Phân tích nhiệm vụ 4

Khi thực hiện nội dung này thì HS phải thảo luận trao đổi về cách tính thể

tích tính theo kích thước mặt ngoài và thể tích tính theo kích thước mặt trong.

Từ đó tính hiệu thể tích đo được. Sau đó họ cũng cần trao đổi trong nhóm để

nhớ lại công thức tính khối lượng theo thể tích và khối lượng riêng của ống thép.

Giải quyết được nội dung này có 75% HS thực nghiệm.

Phân tích nhiệm vụ 5

Có 05 HS thực nghiệm giải quyết được nhiệm vụ này (Được minh họa

trên hình 5.7). Họ giải quyết được nhiệm vụ này nhờ khả năng quan sát các mô

hình của hình lập phương, hình hộp chữ nhật và nhờ sử dụng mệnh đề: Nếu

đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau b và c thì nó vuông

góc với mặt phẳng (P) song song với b ; c.

Hình 5.7

139

Kết luận chương 5

Trong chương này, chúng tôi quan tâm các nội dung kiểm tra thực nghiệm

sau đây:

- Đánh giá hiểu biết của GV (Thông qua nghiên cứu trường hợp cho hai

nhóm GV, mỗi nhóm 10 GV thuộc trường THPT Lê Lợi, trường THPT Diễn

Châu 5, tỉnh Nghệ An) về quy trình thiết kế các tình huống hướng tới việc hình

thành và phát triển TTTKG cho học sinh THPT. Quy trình này gồm 06 bước với

yêu cầu GV giải thích làm rõ nội dung các bước, làm sáng tỏ các hoạt động

được cài đặt trong các tình huống có ý nghĩa đối với việc phát triển TTTKG

trong dạy học hình học. Yêu cầu kiểm tra GV về việc nhận thức được các bước

của quy trình vận dụng. Trong đó đặc biệt coi trọng vai trò của các bước đối với

việc phát triển TTTKG cho HS.

- Việc kiểm tra thực nghiệm đối với GV được chú trọng các nhiệm vụ cụ

thể hóa các bước của quy trình thiết kế và quy trình vận dụng vào dạy học khái

niệm, định lý, giải bài tập hình học theo hướng hỗ trợ phát triển TTTKG cho HS

trong dạy học hình học ở trường THPT.

- Trong kiểm tra thực nghiệm đối với HS, chúng tôi quan tâm cài đặt các

hoạt động sau đây vào các tình huống được GV thiết kế và các tình huống vận

dụng quy trình vào dạy học khái niệm, định lý, bài tập toán. Trong kiểm tra thực

nghiệm, chúng tôi đặc biệt coi trọng các tình huống thực tiễn hàm chứa các hoạt

động hướng tới phát triển TTTKG: Hoạt động giúp HS tưởng tượng xác định vị

trí các điểm là ảnh của các điểm nằm trên cạnh của sân bóng; ảnh của các điểm

nằm trong sân bóng qua phép đối xứng tâm là điểm phát bóng (Trên mô hình

toán học, tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật).

- Trong các nhiệm vụ được giao để kiểm tra thực nghiệm thì việc giải

quyết vấn đề trong các nhiệm vụ đó được làm sáng tỏ thông qua kết quả

TTTKG. Chẳng hạn HS cần tưởng tượng để tính thể tích của một ống thép hình

trụ tròn xoay, làm cơ sở cho việc ước tính khối lượng của nó.

- Một số nhiệm vụ được giao đòi hỏi mức độ cao của TTTKG. Để giải

quyết các nhiệm vụ đó đòi hỏi trí tưởng tượng phải liên kết với tư duy lôgic, liên

kết với trực quan mô tả, hoạt động mô hình hóa các mẫu vật lấy từ các tình

huống thực tiễn.

140

- Việc đánh giá thực nghiệm chủ yếu thông qua phân tích định tính, quan

sát hành vi của HS, nghe HS thảo luận, ghi âm, hoạt động giao tiếp để thấy được

biểu hiện nỗ lực của HS, sự hứng thú làm bài và tham khảo kết quả qua chất

lượng các câu trả lời, chất lượng giải các bài toán được cụ thể.

- Việc tiến hành phân tích định tính để đánh giá kết quả của GV và HS

dựa vào phân tích tiên nghiệm và hậu nghiệm.

Qua nghiên cứu thực nghiệm, đặc biệt là phân tích kết quả thực nghiệm đã

chứng tỏ rằng luận án đã trả lời được các câu hỏi nghiên cứu a, b, c, e:

+ Dựa trên cơ sở lí luận và thực tiễn nào để đưa ra khái niệm về TTTKG?

+ TTTKG được biểu hiện như thế nào trong dạy học hình học ở trường

THPT? Bằng cách nào để phát hiện những biểu hiện đó?

+ Có những hoạt động chủ yếu nào cần luyện tập để phát triển TTTKG

cho học sinh?

+ Có những cấp độ nào về phát triển TTTKG của học sinh THPT trong

dạy học hình học?.

Phần lớn các hoạt động hướng tới phát triển TTTKG đã được HS thể hiện

thông qua giải quyết các nhiệm vụ trong phần thực nghiệm này. Qua thực nghiệm có

thể kết luận đa phần việc bồi dưỡng phát triển TTTKG cho HS là khai thác sâu cấp độ

1 của TTTKG.

Như vậy, giả thuyết khoa học của luận án đã được kiểm chứng và nhiệm vụ

nghiên cứu của luận án đã hoàn thành.

141

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

I. Kết luận

Luận án đã đạt được các kết quả chính sau:

1. Tổng hợp được các vấn đề lí luận từ các bình diện giáo dục toán học,

tâm lí học, triết học để làm cơ sở khoa học sư phạm cho việc làm sáng tỏ các

khái niệm then chốt trong luận án: TTTKG; mối liên hệ và quan hệ giữa

TTTKG, trực quan, lôgic, tri thức; các thành tố đặc trưng của TTTKG; các hoạt

động hướng tới phát triển TTTKG.

2. Đưa ra được khái niệm về TTTKG đặc trưng bởi 11 khả năng. Chỉ ra được

có 02 cấp độ về phát triển TTTKG của học sinh THPT trong dạy học hình học.

Nghiên cứu và thiết kế các bảng hỏi khảo sát trên đối tượng học sinh và các câu

hỏi trắc nghiệm để khảo sát đội ngũ giáo viên làm bộc lộ các biểu hiện về các

hoạt động tương thích với các đặc trưng của TTTKG đối với học sinh.

3. Đưa ra được 13 hoạt động chủ yếu để luyện tập cho HS nhằm hỗ trợ

phát triển TTTKG. Vai trò của việc bồi dưỡng TTTKG cho HS trong dạy học

hình học ở trường THPT.

4. Đã nghiên cứu, khảo sát làm sáng tỏ những khó khăn, hạn chế của GV,

HS trong dạy và học hình ở trường THPT theo hướng phát triển TTTKG.

5. Đã đưa ra được quy trình thiết kế gồm 06 bước cho THDH và quy trình

05 bước vận dụng các tình huống đã thiết kế vào dạy học hình học với định

hướng phát triển TTTKG. Đã thiết kế được các tình huống cụ thể lấy trong nội

bộ toán, đặc biệt là tìm tòi phát hiện được các tình huống lấy từ các mẫu vật lấy

trong thực tiễn cuộc sống nhằm hướng tới phát triển TTTKG cho học sinh

THPT trong dạy học hình học.

6. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi, hiệu quả của các quy

trình thiết kế, quy trình vận dụng các tình huống đã thiết kế vào dạy học hình học ở

trường THPT nhằm hỗ trợ phát triển TTTKG.

7. Đã công bố 5 bài báo khoa học liên quan đến đề tài luận án.

Các kết quả được nêu ở trên cả về mặt lí luận và thực tiễn cho phép phân

tích làm sáng tỏ việc trả lời các câu hỏi nghiên cứu nêu ở Chương 1.

142

II. Kiến nghị

1. Trong quá trình làm luận án, dựa trên kết quả khảo sát của GV ở các

trường THPT, kết quả TNSP chúng tôi cho rằng cần tạo điều kiện về thời gian,

cơ sở vật chất để GV được trang bị các kiến thức về nghiên cứu bài học, phương

pháp luận trong nhận thức, tri thức luận về các nội dung: Vai trò của việc bồi

dưỡng TTTKG cho HS trong dạy học hình học; các hoạt động chủ yếu cần luyện

tập cho HS nhằm hướng đến phát triển TTTKG; trải nghiệm trong thực hành chuẩn

bị thiết kế và tổ chức các THDH phát triển TTTKG của GV; nghiên cứu bài học về

nội dung chuẩn bị các THDH phát triển TTTKG trong dạy học môn toán.

2. Chúng tôi cũng cho rằng, HS cần được dạy và học toán thông qua các

THDH phát triển TTTKG nhiều hơn nữa để góp phần hình thành và phát triển năng

lực giải quyết vấn đề không chỉ trong nội bộ toán học mà còn trong thực tiễn -

Những năng lực then chốt mà chương trình GDPT môn Toán 2018 hướng đến.

3. Luận án đã đề xuất quy trình thiết kế, sử dụng các THDH nhằm phát

triển TTTKG cho học sinh trong dạy học hình học ở trường. Tuy nhiên, mới chỉ

làm tường minh các quy trình này trong một số ví dụ, cần có sự quan tâm nhiều

hơn của các nhà sư phạm, các thầy cô giáo nghiên cứu soạn thảo các tài liệu về

thiết kế các THDH phát triển TTTKG trong dạy học toán ở trường phổ thông.

143

CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ LUẬN ÁN

LIÊN QUAN ĐẾN NỘI DUNG LUẬN ÁN

1. Đậu Anh Tuấn, Ngô Tất Hoạt (2016), Năng lực tổ chức hoạt động nhận thức

của học sinh cần bồi dưỡng cho sinh viên Toán các trường Cao đẳng Sư

phạm, Tạp chí Dạy và Học ngày nay, tháng 6/2016, tr.17 - 18.

2. Đậu Anh Tuấn (2016), Thiết kế và sử dụng các tình huống dạy học nhằm hỗ

trợ phát triển trí tưởng tượng không gian cho học sinh trong dạy học hình

học ở trường Trung học phổ thông, Tạp chí Dạy và Học ngày nay, tháng

8/2016, tr. 69 - 72.

3. Đào Tam, Đậu Anh Tuấn (2018), Trí tưởng tượng không gian và vai trò của

nó trong giáo dục toán học, Tạp chí Khoa học Giáo dục Việt Nam, số 02, tháng

02/2018, tr. 50 - 54.

4. Đào Tam, Đậu Anh Tuấn (2019), Khai thác mối liên hệ giữa trực quan, trí

tưởng tượng không gian và tư duy toán học trong dạy học hình học ở trường

Trung học phổ thông, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội,

tập 64, số 9, 2019, tr. 158 - 164.

5. Đậu Anh Tuấn (2020), Tổng quan nghiên cứu về trí tưởng tượng không gian

trong dạy học hình học ở trường Trung học phổ thông, Tạp chí Khoa học

Trường Đại học Vinh, tập 49, số 3B/2020, tr. 70 - 78.

6. Đậu Anh Tuấn (2019), Vấn đề bồi dưỡng trí tưởng tượng không gian cho học

sinh trong dạy học hình học không gian ở lớp 11 theo chương trình môn toán

năm 2018, Kỷ yếu Hội thảo khoa học trường Đại học Vinh năm 2019 về

nghiên cứu và dạy học toán đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay.

144

TÀI LIỆU THAM KHẢO

A. Tiếng Việt 1. M. Alêcxêep, V.Onhisuc, M.Crugliăc, V. Zabôtin, X. Vecxcle (1976),

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Phát triển tư duy học sinh, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Như An (1993), Hệ thống kỹ năng giảng dạy trên lớp và quy trình rèn luyện kĩ năng đó cho sinh viên khoa Tâm lí - Giáo dục, Luận án Tiến sĩ giáo dục học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Nguyễn Như An (1991), Giải bài tập tình huống sư phạm - một biện pháp phát huy tính tích cực sáng tạo của sinh viên, thông báo (số 2), Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. O.A Apduliana, Về kĩ năng sư phạm trong “Những vấn đề về giáo dục học đại cương cho giáo viên tương lai” Matxcơva, (bản dịch viết tay của Đinh Loan Luyến - Lê Khánh Bằng, Tổ tư liệu - Đại học Sư phạm Hà Nội I). Ban Tuyên giáo Trung ương (2013), Tài liệu học tập Nghị quyết Hội nghị lần thứ tám Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam khóa XI, Nhà xuất bản Chính trị Quốc gia - Sự thật, Hà Nội. Anne Bessot, Francoise Richard (1990), “Mở đầu lí thuyết các tình huống - Giới thiệu các tình huống Didactic”, Báo cáo Hội nghị chuyên đề Didactic Toán tại Đại học Sư phạm Huế. Bộ Giáo dục và Đào tạo (1994), Tài liệu hội nghị chuyên đề “Nâng cao chất lượng đào tạo bậc Đại học để đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, Hà Nội. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 11 trung học phổ thông môn Toán học, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2007), Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục trung học phổ thông môn Toán, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

10. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2014), Tài liệu hội thảo Xây dựng CT GDPT

theo định hướng phát triển năng lực học sinh, Nghệ An, tháng 12/2014.

11. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán (Ban hành kèm theo thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo), Hà Nội.

12. S. Bloom Benjamin (1995) (Đoàn Văn Điều biên dịch), Nguyên tắc phân

loại mục tiêu giáo dục, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

145

13. Nguyễn Gia Cầu (2006), Về sự kết hợp hài hòa của các phương pháp dạy

học, Tạp chí Giáo dục, Kì 2, tháng 11.

14. Lê Văn Cầu (2010), Thiết kế bài soạn môn toán trung học phổ thông theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học, Tạp chí Giáo dục số 239, kỳ 1. 15. Lê Thị Hoài Châu (2015), Dạy học hình học ở trường phổ thông, Nhà

xuất bản Giáo dục Việt Nam.

16. Nguyễn Hữu Châu (2005), Những vấn đề cơ bản về chương trình và quá

trình dạy học, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

17. Lê Thị Hồng Chi, Rèn kĩ năng lập kế hoạch bài học môn Toán theo yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học cho sinh viên ngành giáo dục Tiểu học, Tạp chí Giáo dục số 241, kỳ 1, 7/2010.

18. Hoàng Chúng (2000), Phương pháp dạy học hình học ở trường Trung học

cơ sở, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

19. Đặng Ngọc Diệp (1996), Tâm lý học, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. 20. V.A. Cruchetxki (1981), Những cơ sở của tâm lí học sư phạm (tập 1,2),

Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

21. Nguyễn Hữu Dũng (1989), Những vấn đề đổi mới công tác đào tạo bồi dưỡng GV ở các nước trên thế giới, Dự báo Giáo dục, Viện Khoa học Giáo dục - Hà Nội.

22. Vũ Dũng (chủ biên) (2008), Từ điển Tâm lý học, Nhà xuất bản Từ điển

Bách khoa, Viện Tâm lí học, Hà Nội.

23. Phan Đức Duy (1999), Sử dụng bài tập tình huống để rèn luyện cho sinh viên kỹ năng tổ chức bài lên lớp sinh học, Luận án tiến sỹ Giáo dục học. 24. M.A. Đanilop, M.N. Skatkin (1980), Lý luận dạy học ở trường học, Nhà xuất

bản Hà Nội.

25. V. V. Đavưđôv (2000), Các dạng khái quát hóa trong dạy học, Nhà xuất

bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

26. Nguyễn Văn Đoành, Nguyễn Văn Khuê (1994), Hình học sơ cấp (Giáo

trình đào tạo giáo viên tiểu học), Đại học Sư phạm Hà Nội.

27. Phạm Gia Đức, Nguyễn Mạnh Cảng, Bùi Huy Ngọc (1998), Phương pháp dạy học môn toán (Giáo trình Cao đẳng Sư phạm), Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

28. Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang (2002), Hoạt động hình học ở trường

Trung học cơ sở, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

29. Nguyễn Hữu Điển (2003), Sáng tạo trong toán học phổ thông, Nhà xuất

146

bản Giáo dục, Hà Nội.

30. Lê Văn Đoán (2009), Lôgic nội tại của sự phát triển Toán học, tạp chí

Giáo dục, Kì 2,3/2009.

31. Howard Gardner (2016), Cơ cấu trí khôn, Nhà xuất bản Tri thức (Phạm

Toàn dịch).

32. Cao Thị Hà (2006), Dạy học một số chủ đề hình học không gian (Hình học 11) theo quan điểm kiến tạo, Luận án tiến sỹ Giáo dục học, Viện chiến lược và chương trình Giáo dục.

33. Cao Thị Hà (2009), Phát triển tư duy biện chứng cho học sinh trong dạy

học Toán ở trường phổ thông, Tạp chí Giáo dục, kì 1,4/2009.

34. Cao Thị Hà (2007), Dạy học khái niệm toán học cho học sinh phổ thông toán học theo quan điểm kiến tạo kiến thức trong dạy học Toán, Tạp chí Giáo dục, Số 165.

35. Cao Thị Hà (2008), Dạy học định lý toán học ở trung học phổ thông theo

quan điểm kiến tạo, Tạp chí Giáo dục, số 181.

36. Hoàng Thị Thu Hà (2003), Nhu cầu học tập của sinh viên sư phạm, Luận

37.

án Tiến sỹ tâm lý. Phạm Minh Hạc (chủ biên) (1998), Tâm lí học (tập 1), Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

38. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện (2007), Hình học 11, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

39. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên (2008), Hình học 12, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

40. Phạm Văn Hoàn (chủ biên) (1981), Giáo dục học môn Toán, Nhà xuất

bản Giáo dục, Hà Nội.

41. Đặng Vũ Hoạt (1995), Giáo dục học đại cương II, Nhà xuất bản Giáo dục,

Hà Nội.

42. Hà Sỹ Hồ (1990) - Những vấn đề cơ sở của phương pháp dạy và học môn

toán cấp I, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

43. Hội thảo khoa học Việt - Pháp (2011), Nghiên cứu Didactic Toán và ứng

dụng trong đào tạo giáo viên.

44. Hội thảo khoa học (2007), Về đào tạo giáo viên và phương pháp dạy học

hiện đại, Viện nghiên cứu Sư phạm.

45. Lê Văn Hồng, Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thành (1998), Tâm lý học lứa

147

tuổi và tâm lý học sư phạm, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia, Hà Nội. 46. Bùi Văn Huệ (2000), Giáo trình Tâm lý học, Nhà xuất bản Đại học Quốc

gia, Hà Nội.

47. Bùi Văn Huệ (1994), Tâm lý học tiểu học, Nhà xuất bản Đại học Quốc

gia, Hà Nội.

48. Madelin Hunter, Robin Hunter, Làm chủ phương pháp giảng dạy, Nhà

xuất bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.

49. Nguyễn Sinh Huy, Nguyễn Văn Lê (1999), Giáo dục học đại cương, Nhà

xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

50. Đặng Thành Hưng (2005), Thiết kế bài học nhằm tích cực hóa học tập.

Tạp chí Giáo dục số 107.

51. Nguyễn Thành Hưng (2009), Phát triển tư duy biện chứng của học sinh trong dạy học hình học ở trường trung học phổ thông, Luận án Tiến sỹ Giáo dục học.

52. Đỗ Thế Hưng (2007), Tình huống dạy học môn Giáo dục học, Nhà xuất

bản Đại học Sư phạm Hà Nội.

53. Nguyễn Bá Kim (Chủ biên) (1994), Phương pháp dạy học môn Toán (Phần 2: Dạy học những nội dung cơ bản), Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

54. Nguyễn Bá Kim (2002), Phương pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất bản

Đại học Sư phạm, Hà Nội.

55. M.Iu. Koliagin (1980), Phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông,

Nhà xuất bản Giáo dục Matxcova.

56. V.A. Kơrutexxki (1973), Tâm lí năng lực toán học của học sinh, Nhà xuất

bản Giáo dục, Hà Nội.

57. Nguyễn Kỳ (1995), Phương pháp giáo dục tích cực lấy học sinh làm

trung tâm, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

58. Phan Quốc Lâm (2007), Xây dựng nội quy, quy trình hình thành kĩ năng sư phạm theo chuẩn nghề nghiệp cho sinh viên ngành giáo dục tiểu học qua hoạt động rèn luyện nghiệp vụ sư phạm thường xuyên, Đề tài nghiên cứu khoa học và công nghệ trọng điểm cấp Bộ.

59. Trần Ngọc Lan (2000), Nội dung và phương pháp dạy học phân số ở tiểu học theo yêu cầu phổ cập và tương đối hoàn chỉnh, Luận án Tiến sĩ Giáo dục. 60. Trần Ngọc Lan (2009), Rèn luyện kỹ năng tư duy sáng tạo cho học sinh tiểu học thông qua hoạt động tạo lập bài toán từ các tình huống mở, Tạp

148

chí Giáo dục, số 227/2009. I.Ia. Lecne (1977), Dạy học nêu vấn đề, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

61. 62. A.N. Lêônchiep (1989), Hoạt động - Ý thức - Nhân cách, Nhà xuất bản Giáo

dục, Hà Nội.

63. Nguyễn Phú Lộc (2008), Các phương pháp dạy học không truyền thống,

Giáo trình phương pháp dạy học Toán, Đại học Cần Thơ.

64. Nguyễn Văn Lê (1998), Cơ sở khoa học của sự sáng tạo, Nhà xuất bản

Giáo dục, Hà Nội.

65. A.M. Macchiuskin (1972), Tình huống có vấn đề trong tư duy và trong

dạy học, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

66. Hoàng Lê Minh (2007), Tổ chức dạy học hợp tác trong môn toán ở trường trung học phổ thông, Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

67. Hoàng Lê Minh (2012), Thiết kế tình huống dạy học nhằm tăng cường hoạt động học tập của học sinh trong dạy học môn Toán, Tạp chí Giáo dục, kì 2, tháng 8 năm 2012.

68. Vương Dương Minh (2006), Tích cực hóa hoạt động học tập môn Toán

của học sinh trung học phổ thông, Tạp chí Giáo dục, kì 2, tháng 12 năm 2012.

69. Bùi Thị Mùi (2004), Tình huống sư phạm trong công tác giáo dục học

sinh phổ thông, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

70. Phạm Sỹ Nam (2013), Nâng cao hiệu quả dạy học một số khái niệm giải tích cho học sinh trung học phổ thông chuyên toán trên cơ sở vận dụng lý thuyết kiến tạo, Luận án Tiến sỹ Giáo dục học, Trường Đại học Vinh. 71. Phan Trọng Ngọ (chủ biên) (2000), Tâm lý học hoạt động và khả năng

ứng dụng vào lĩnh vực dạy học, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia, Hà Nội.

72. Phan Trọng Ngọ (2005), Các lý thuyết phát triển tâm lí người, Nhà xuất

bản Đại học Sư phạm Hà Nội.

73. Phan Trọng Ngọ (2005), Dạy học và phương pháp dạy học trong nhà

trường, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.

74. Phan Trọng Ngọ và các cộng sự (2004), Tâm lý học trí tuệ, Nhà xuất bản

Đại học Quốc gia, Hà Nội.

75. Bùi Văn Nghị, Vương Dương Minh, Nguyễn Anh Tuấn (2005), Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên trung học phổ thông chu kỳ III (2004- 2007), Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.

76. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lý luận và thực tiễn dạy học môn toán ở

149

trường phổ thông, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.

77. Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn

Toán, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.

78. Vũ Thị Nguyệt (2007), Quy trình xây dựng bài tập tình huống (phần lý luận dạy học) ở trường Cao đẳng Sư phạm, Tạp chí Giáo dục số 166. 79. Nikolxki (1999), Từ điển bách khoa phổ thông toán học, tập 1, Nhà xuất bản

Giáo dục, Hà Nội.

80. A.V. Petrovxki (1982), Từ điển Tâm lí học, Nhà xuất bản “Sách chính

trị”, Hà Nội.

81. Hoàng Phê (Chủ biên) (2003), Từ điển Tiếng Việt, Nhà xuất bản Đà Nẵng. 82. G. Piaget (1997), Tâm lí học và Giáo dục học, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà

Nội.

83. G. Piaget, B. Inhelder, Vĩnh Bang (2000), Tâm lý học trẻ em và ứng dụng tâm lý học Piaget vào trường học, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia, Hà Nội.

84. K.K. Platônoov, Tâm lý học và Giáo dục học, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà

Nội.

85. G. Polya (1997), Giải một bài toán như thế nào? Nhà xuất bản Giáo dục,

Hà Nội.

86. G.Polya (1997), Sáng tạo toán học, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. 87. G.Polya (1997), Toán học và những suy luận có lí, Nhà xuất bản Giáo

dục, Hà Nội.

88. Nguyễn Ngọc Quang (1986), Lý luận dạy học đại cương (tập 1), Trường

quản lý Giáo dục Trung ương I.

89. Bùi Văn Quân, Thiết kế nội dung học tập theo lý thuyết nhận thức linh

hoạt, Tạp chí Giáo dục số 1 (10/2005).

90. XL. Rubinstein (1946), Cơ sở tâm lý học đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục,

Hà Nội.

91. XL. Rubinstein (1958), Về tư duy và các con đường nghiên cứu tư duy

Matxcova, Nhà xuất bản Viện hàn lâm Khoa học Liên xô.

92. G.I. Ruzavin, A.ssanbaev, G.Shliakhin (1983), Một số quan điểm triết học

93.

trong toán học, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. Đào Tam (2004), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.

94. Đào Tam, Phạm Thanh Thông, Hoàng Bá Thịnh (2005), Thực hành

150

phương pháp dạy học toán ở tiểu học, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

95. Đào Tam, Lê Hiển Dương (2008), Tiếp cận các phương pháp dạy học không truyền thống trong dạy học Toán ở trường Đại học và trường Phổ thông, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.

96. Đào Tam, Trần Trung (2010), Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.

97. Vũ Thị Thái (2001), Bước đầu hình thành và phát triển trí tưởng tượng không gian cho học sinh tiểu học thông qua dạy học các yếu tố hình học, Luận án Tiến sỹ Giáo dục học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

98. Nguyễn Thạc, Phạm Thành Nghị (1992), Tâm lí học sư phạm đại học,

Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

99. Nguyễn Chiến Thắng, Đào Tam (2017), Giáo trình Hình học sơ cấp và

Lịch sử Toán, Nhà xuất bản Đại học Vinh.

100. Nguyễn Văn Thiêm, Tri giác không gian, phát huy trí tượng tượng tri giác không gian của học sinh khi dạy học hình học phẳng, Tạp chí nghiên cứu giáo dục, số 11, 12/1984.

101. Trần Trọng Thủy (1998), Tâm lý học, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. 102. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học, tập II, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia, Hà Nội.

103. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học, tập I, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia, Hà Nội.

104. Nguyễn Cảnh Toàn (chủ biên) (1998), Quá trình dạy - tự học, Nhà xuất

bản Giáo dục, Hà Nội.

105. Nguyễn Cảnh Toàn (chủ biên) (2002), Học và dạy cách học, Nhà xuất bản

Đại học Quốc gia, Hà Nội.

106. I.P. Tơ-rê-Phi-Lôp (1962), Gây hứng thú toán học cho học sinh như thế

nào (Vũ Đức Mai dịch), Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

107. Phạm Thị Thanh Tú (2013), Hình thành cho sinh viên đại học sư phạm ngành giáo dục tiểu học kĩ năng thiết kế và tổ chức các tình huống dạy học Toán theo hướng tăng cường hoạt động tìm tòi, phát hiện kiến thức của học sinh lớp 3, 4, 5, Luận án Tiến sĩ khoa học giáo dục, Trường Đại học Vinh.

151

108. Nguyễn Mạnh Tuấn, Trí tượng tượng không gian và việc phát triển trí tượng tượng không gian cho học sinh những năm đầu tiểu học (lớp 1, 2) bằng phần mềm giáo dục, Tạp chí giáo dục, tr. 7, số 248, kì 2 - 10/2010.

109. Hoàng Tụy (2001), Dạy toán ở trường phổ thông còn nhiều điều chưa ổn,

Tạp chí tia sáng, 12/2001.

110. Thái Duy Tuyên (2007), Triết học giáo dục Việt Nam, Nhà xuất bản Đại

học Sư phạm Hà Nội.

111. Thái Duy Tuyên, Bùi Hồng Thái (2010), Tìm hiểu dạy học tình huống và tình huống dạy học, Tạp chí Khoa học Giáo dục, tr. 12, số 63, tháng 12/2010.

112. Nguyễn Quang Uẩn (2010), Tuyển tập nghiên cứu về Tâm lí - Giáo dục,

Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.

113. Nguyễn Quang Uẩn (Chủ biên), Trần Hữu Luyến, Trần Quốc Thành

(1999), Tâm lí học đại cương, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.

114. Trần Vui (2017), Từ các lý thuyết học đến thực hành trong giáo dục toán,

Nhà xuất bản Đại học Huế.

115. Trần Vui (2006), Dạy và Học hiệu quả môn Toán theo những xu hướng

mới, Nhà xuất bản Đại học Huế.

116. Xavier Roegiers (1996), Khoa sư phạm tích hợp hay làm thế nào để phát

triển các năng lực ở nhà trường, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

117. M.N. Xcatkin (Chủ biên), M.A. Đanilôp (1980), Lí luận dạy học của trường phổ thông - Một số vấn đề của lí luận dạy học hiện đại, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội (Đỗ Thị Trang và Nguyễn Ngọc Quang trích dịch). 118. M.H. Xcatkin (1982), Lí luận dạy học ở trường phổ thông, Nhà xuất bản

Giáo dục Matxcova.

119. Franz Emanuel Weinert (1998), Sự phát triển nhận thức học tập và giảng

dạy, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

120. Nguyễn Thị Xuân (2012), Phát triển năng lực tư duy và trí tưởng tượng không gian của học sinh tiểu học qua bài học toán về cắt - ghép hình, Tạp chí Giáo dục, số 289, (kì 1-7/2012), trang 42-44.

121. Wilbert J. McKeachie (2003), Những thủ thuật trong dạy học, các chiến lược, nghiên cứu và lý thuyết về dạy học dành cho các giảng viên đại học và cao đẳng, Sách Dự án Việt - Bỉ.

B. Tiếng Anh 122. A. C. Ornstein, D.U. Levine (2008), Foundations of Education, Houghton

152

Mifflin Company.

123. C. Greenes, M. Lason, M. A.Leiva, J. M.Shaw, L. Stiff, B. R.Vogeli, K.

Yeatts (2007), Math, Houghton Mifflin Company.

124. I. Clarkson (2008), Critical issues in Mathematics education, Springer. 125. D. H. Clements, S. Swaminathan, M. A. Z. Hannibal, J. Sarama (1999), Young childrens’ concepts of shape, Journal for Research in Mathematics Education, Vol.30, No.2, pps. 192-212.

126. M. G. McGee (1979), Human spatial abilities, New York, NY: Preager. 127. S. Johnston-Wilder, J. Mason (2005), Developing Thinking in Geometry,

The Open University.

128. L. Ma (1999), Knowing and teaching Elamentary Mathematics (Teachers Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States), Printed in the United States of America.

129. OECD (2019), PISA 2018 Assessment and Analytical Framework, PISA,

OECD Publishing, Paris, https://doi.org/10.1787/b25efab8-en.

130. W. Susilawati, D. Suriady, J. A. Dahlan (2017), The improvement of mathematical spatial visualization ability of student through cognitive conflict, Mathematics Education, 2017, Vol.12, No.2, pps. 155-166. 131. I.S. Yakimanskaya (1991), The development of spatial thinking in school

children, NCTM, Reston, USA.

153