BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————–o0o———————

PHAN THỊ THỦY

CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD

VÀ TÍNH LEVEL CỦA MỘT SỐ LỚP IDEAL ĐƠN THỨC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 9 46 01 04

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2021

Luận án được hoàn thành tại:

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Công Minh

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Phản biện 1: GS.TSKH. Nguyễn Quốc Thắng

Viện Toán học

Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Thị Dung

Trường Đại học Nông Lâm - Đại học Thái Nguyên

Phản biện 3: TS. Lưu Bá Thắng

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ..... giờ ..... ngày ...... tháng ...... năm

20.....

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Cho R = K[x1, . . . , xn] là một vành đa thức trên trường K và I là

một ideal thuần nhất thực sự của vành R. Theo định lí syzygy của

βp(R/I) (cid:77)

β1(R/I) (cid:77)

Hilbert, R/I có giải tự do phân bậc tối tiểu độ dài hữu hạn dạng:

R(−dp,j) −→ · · · −→

R(−d1,j) −→ R

j=1

j=1

−→ R/I −→ 0,

F : 0 −→

trong đó p là chiều xạ ảnh của R-module R/I. Số β1(R/I) là số phần

tử sinh tối tiểu của ideal I và các số Betti βi(R/I) là số phần tử sinh

tối tiểu của module syzygy thứ i của R/I. Các số di,1, . . . , di,βi(R/I) là

bậc của các phần tử thuần nhất trong một hệ sinh tối tiểu (gọi tắt là

bậc sinh) của module syzygy thứ i. Về mặt tổng quát, giải tự do phân

bậc tối tiểu F của R/I vẫn chưa được biết. Trong luận án này, chúng

tôi nghiên cứu một số thông tin về giải tự do phân bậc tối tiểu F theo

cấu trúc tổ hợp của ideal đơn thức I, cụ thể là tính level và chỉ số chính

quy Castelnuovo-Mumford.

Hướng nghiên cứu thứ nhất trong luận án này liên quan đến tính

1

level của vành thương của vành đa thức cho một ideal đơn thức. Khái

2

niệm của tính level được R. Stanley giới thiệu vào năm 1977 để nghiên

cứu đặc điểm các h-vectơ của các vành Cohen-Macaulay. Vành R/I

là một vành level nếu và chỉ nếu nó là một vành Cohen-Macaulay và

R/I được sinh cùng bậc. Vì vậy khi R/I là một vành level, số Betti

module tự do cuối cùng trong giải tự do phân bậc tối tiểu của R-module

cuối cùng của R/I là hệ số của bậc cao nhất của đa thức tử số của

chuỗi Hilbert của nó. Mục tiêu của luận án này là tìm những điều kiện

cần hoặc/và những điều kiện đủ để R/I là một vành level theo tính

chất tổ hợp của I.

Hướng nghiên cứu thứ hai trong luận án liên quan đến chỉ số chính

quy Castelnuovo-Mumford của một số lớp ideal đơn thức. Khái niệm

chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford được bắt nguồn từ những công

trình về đường cong xạ ảnh của G. Castelnuovo và được D. Mumford

max{j | H i

phát biểu định nghĩa cho các đa tạp xạ ảnh.

m(R/I)j (cid:54)= 0}

m(R/I) (cid:54)= 0

ai(R/I) =

−∞

nếu H i Với mỗi số nguyên i ≥ 0, đặt:  

m(R/I) = 0,

nếu H i 

m(R/I) là module đối đồng điều địa phương thứ i của R/I

trong đó H i

với giá là ideal thuần nhất cực đại m = (x1, . . . , xn). Chỉ số chính quy

reg(R/I) = max{ai(R/I) + i | 0 ≤ i ≤ dim(R/I)}.

Castelnuovo-Mumford của R/I được định nghĩa là số

Mối liên hệ giữa khái niệm này và bậc sinh của các module syzygy

3

của R/I được thiết lập bởi D. Eisenbud và S. Goto. Cụ thể, chỉ số

reg(R/I) = max{di,j − i | i = 1, . . . , p và j = 1, . . . , βi(R/I)}.

chính quy Castelnuovo-Mumford của R/I được tính bởi công thức

Như vậy chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford vừa là một chặn trên

của bậc không triệt tiêu của các module đối đồng điều địa phương với

giá là ideal thuần nhất cực đại, vừa được sử dụng để chặn trên các bậc

sinh của các module syzygy trong giải tự do phân bậc tối tiểu của R/I.

Luận án này quan tâm tới vấn đề tính chỉ số chính quy Castelnuovo-

Mumford của các lớp ideal đơn thức đặc biệt theo cấu trúc tổ hợp

tương ứng của chúng.

Tóm lại, luận án của chúng tôi, với tiêu đề: “Chỉ số chính quy

Castelnuovo-Mumford và tính level của một số lớp ideal đơn thức”,

hòa vào dòng chảy nghiên cứu các tính chất đại số của một ideal đơn

thức theo dữ liệu tổ hợp ban đầu. Đây là một hướng nghiên cứu đã và

2 Mục đích nghiên cứu

đang phát triển mạnh mẽ trong Đại số giao hoán tổ hợp.

Mục đích nghiên cứu của luận án là tính chỉ số chính quy Castelnuovo-

Mumford và đặc trưng tính level của một số lớp ideal đơn thức theo

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

cấu trúc dữ liệu tổ hợp của ideal.

Đối tượng nghiên cứu cụ thể của luận án gồm: các ai− bất biến, chỉ

số chính quy Castelnuovo-Mumford, các số Betti, các số Betti phân

4

bậc và tính level của một số lớp ideal đơn thức đặc biệt trong vành đa

thức R = K[x1, . . . , xn] với K là một trường.

Lớp ideal đầu tiên mà luận án nghiên cứu là các lũy thừa thường và

các lũy thừa hình thức của ideal Stanley-Reisner: Cho ∆ là một phức

đơn hình trên [n] = {1, . . . , n}. Ideal Stanley-Reisner I∆ của ∆ (trên

(xi | i (cid:54)∈ F ), trong đó F(∆) là tập tất cả các

K) là ideal của R được sinh bởi các đơn thức không chứa mũ xi1 . . . xip

F ∈F(∆)

sao cho {i1, . . . , ip} /∈ ∆. Từ định nghĩa, ta biết rằng I∆ có phân tích nguyên sơ I∆ = (cid:84)

(xi | i (cid:54)∈ F )t.

∆ = (cid:84)

F ∈F(∆)

mặt cực đại của ∆. Khi đó với t ≥ 1, lũy thừa hình thức thứ t của I∆ được xác định bởi I (t)

Lớp ideal thứ hai mà luận án nghiên cứu là các ideal trong lớp

(xk | k (cid:54)= i, j)wi,j ,

1≤i

Cn(α, β), tức là các ideal của vành R có dạng (cid:84)

trong đó wi,j nhận một trong hai giá trị nguyên dương α hoặc β với

mọi 1 ≤ i < j ≤ n và α > β > 0.

R/I t

∆ và ∆ theo ∆ với một số nguyên t ≥ 3 nào đó; nghiên cứu tính level và

Phạm vi nghiên cứu của luận án là đặc trưng tính level của R/I (t)

chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của một ideal trong lớp Cn(α, β)

4 Phương pháp nghiên cứu

theo cấu trúc tổ hợp của đồ thị {{i, j} | wi,j = α, 1 ≤ i < j ≤ n}.

Chúng tôi sử dụng công thức Takayama mô tả cấu trúc phân bậc

của các module đối đồng điều địa phương và phức đơn hình Koszul

dưới cho việc tính toán các số Betti đa phân bậc.

5

5 Những đóng góp mới của luận án

Luận án đóng góp những kết quả mới về chỉ số chính quy Castelnuovo-

(cid:136) Đặc trưng được tính level của lũy thừa thường và lũy thừa hình

Mumford, tính level và số Betti của các ideal đơn thức như sau:

t ≥ 3. Với t = 2, luận án đưa ra câu trả lời trong trường hợp phức

thức thứ t của ideal Stanley-Reisner của một phức đơn hình với

(cid:136) Đặc trưng được hoàn toàn tính level cho một ideal I bất kì thuộc

đơn hình là một phức matroid chiều 1.

R/I khi nó là level.

(cid:136) Đưa ra các công thức cho a1(R/I), a2(R/I) và chỉ số chính quy

lớp Cn(α, β). Hơn nữa, luận án cũng tính số Betti cuối cùng của

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Castelnuovo-Mumford của R/I với mỗi ideal I thuộc Cn(α, β).

Các kết quả đạt được trong luận án sẽ góp phần làm phong phú

thêm các thông tin về giải tự do phân bậc tối tiểu, số Betti, tính level

7 Cấu trúc của luận án

và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của các ideal đơn thức.

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, danh sách hình vẽ, bảng các kí

hiệu, bảng thuật ngữ, luận án gồm 4 chương.

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trình bày một số kiến thức đã

biết liên quan đến các đối tượng được nghiên cứu trong luận án.

6

Chương 2. Tính level của các lũy thừa của ideal Stanley-

Reisner. Chương này được trình bày trong ba mục. Mục 2.1 dành để

trình bày một vài nhóm đồng điều rút gọn không triệt tiêu. Mục 2.2

t của ideal Stanley-Reisner của một phức đơn hình với một số t ≥ 3

đặc trưng tính level cho lũy thừa thường và lũy thừa hình thức thứ

nào đó (Định lí 2.4). Trong Mục 2.3, chúng tôi nghiên cứu tính level

của lũy thừa hình thức thứ 2 của ideal Stanley-Reisner của một phức

matroid chiều 1 (Định lí 2.12).

Chương 3. Tính level của ideal đơn thức trong lớp Cn(α, β).

Chương này gồm ba mục. Trong mục đầu tiên, chúng tôi chỉ ra một số

bậc không triệt tiêu của số Betti phân bậc thứ n − 2 của R/I với một

ideal I ∈ Cn(α, β) . Mục thứ hai đặc trưng tính level của R/I trong

trường hợp (α, β) = (2, 1) (Định lí 3.12). Cuối cùng, chúng tôi nghiên

cứu tính level của R/I trong trường hợp (α, β) (cid:54)= (2, 1) (Định lí 3.18),

và tính số Betti cuối cùng của R/I khi nó là level (Định lí 3.19).

Chương 4. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của

ideal đơn thức trong lớp Cn(α, β). Chương này chia thành 3 mục.

Mục 4.1 xác định giá trị của a1(R/I) (các Định lí 4.3. 4.4, 4.5, 4.6, 4.7)

với mỗi I ∈ Cn(α, β). Trong Mục 4.2, chúng tôi thiết lập các công thức

reg(R/I) (Định lí 4.12). Mục 4.3 đưa ra một điều kiện để ideal trong

cho a2(R/I) (Định lí 4.11) và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford

lớp Cn(α, β) có giải tự do tuyến tính.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một số vấn đề cơ bản liên

1.1 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford

1.2 Vành level

1.3 Phức đơn hình

1.4 Nhóm đồng điều rút gọn

1.5 Công thức Takayama

1.6 Phức đơn hình Koszul dưới

1.7 Matroid

1.8

Ideal Stanley-Reisner

quan đến các đối tượng được đề cập trong luận án.

Trong toàn bộ luận án, ta luôn xét R = K[x1, . . . , xn] là một vành

đa thức trên trường K và m = (x1, . . . , xn) là ideal thuần nhất cực đại

7

của R.

Chương 2

Tính level của các lũy thừa của ideal Stanley-Reisner

Cho ∆ là một phức đơn hình trên tập đỉnh [n] và I∆ là ideal Stanley-

Reisner của nó. Các điều kiện cần và các điều kiện đủ của tính Cohen-

Macaulay của I∆ theo ∆ được cho bởi G. Reisner. Do đó tính level

trong trường hợp này được biết thông qua công thức Hochster.

∆

∆ và R/I (t) với một số nguyên t ≥ 3 nào đó. Với t = 2, chúng tôi đưa ra một điều

Trong chương này, chúng tôi đặc trưng tính level của R/I t

∆ khi ∆ là một phức matroid chiều 1.

2.1 Một vài nhóm đồng điều rút gọn không triệt tiêu

kiện cho tính level của R/I (2)

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số nhóm đồng điều rút gọn

không triệt tiêu. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong đánh

giá một số bậc không triệt tiêu của các số Betti cuối cùng của các lũy

8

thừa hình thức của một ideal Stanley-Reisner.

9

2.2 Trường hợp số mũ t ≥ 3

Cho ∆ là một phức đơn hình chiều (d − 1) ≥ 0 trên tập đỉnh [n].

∆ với một

Trong phần này, chúng tôi sẽ đặc trưng tính level của R/I (t)

số t ≥ 3 nào đó.

∆ thì các circuit của ∆ tương ứng với các phần tử sinh tối tiểu của I∆. Từ tính level của một lũy thừa hình thức R/I (t)

∆ với t ≥ 2, ta luôn

Ta biết rằng nếu I∆ là ideal Stanley-Reisner của một phức matroid

nhận được điều kiện rằng I∆ được sinh cùng bậc như sau.

∆ là một vành level với một

t ≥ 2 nào đó thì mọi circuit của ∆ có cùng số phần tử.

Định lí 2.3. Cho ∆ là một phức matroid chiều d − 1 ≥ 0 và I∆ là ideal Stanley-Reisner của ∆. Nếu R/I (t)

Kết quả chính của đầu tiên của chương này là đặc trưng tính level

∆ với số mũ t ≥ 3.

∆ và R/I t

của R/I (t)

Định lí 2.4. Cho ∆ là một phức đơn hình chiều d − 1 ≥ 0 và I∆ là

ideal Stanley-Reisner của ∆. Khi đó các khẳng định sau là tương

(1) R/I t

∆ là một vành level với mọi t ≥ 1.

(2) R/I t

∆ là một vành level với một t ≥ 3 nào đó.

(3) R/I (t)

∆ là một vành level với mọi t ≥ 1.

(4) R/I (t)

∆ là một vành level với một t ≥ 3 nào đó.

(5) ∆ là một phức matroid mà các circuit của nó có cùng số phần

đương.

tử và đôi một rời nhau.

10

Chúng tôi cũng lưu ý rằng tồn tại các phức đơn hình ∆ mà lũy thừa

hình thức thứ hai của nó là level nhưng lũy thừa thường thứ hai không

2.3 Trường hợp số mũ t = 2

phải là level (xem ví dụ trong phần tiếp theo).

Mục đích chính của phần này là đặc trưng tính level của lũy thừa

hình thức thứ hai của I∆ khi ∆ là một phức matroid chiều 1. Khi đó

các mặt cực đại của ∆ được xem như là các cạnh của một đồ thị đơn

trên tập đỉnh [n]. Do đó ∆ có thể được coi là một đồ thị matroid. Kết

quả chính trong phần này được phát biểu trong định lí dưới đây.

n ≥ 2. Khi đó R/I (2)

∆ là một vành level nếu và chỉ nếu ∆ là một đồ

Định lí 2.12. Cho ∆ là một đồ thị matroid trên tập đỉnh [n] với

thị đầy đủ hoặc một đồ thị hai phần đầy đủ.

Ví dụ sau đây chỉ ra một phức đơn hình không phải là một phức

matroid nhưng lũy thừa hình thức thứ hai của ideal Stanley-Reisner

của nó vẫn là level.

F(∆) = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 7}, {3, 8}, {4, 9},

{5, 10}, {6, 8}, {6, 9}, {7, 9}, {7, 10}, {8, 10}}.

Ví dụ 2.13 (ii). Cho n = 10 và ∆ là một phức đơn hình với

Ta có thể xem ∆ như là đồ thị Petersen

11

∆ có giải tự do phân bậc tối tiểu

0 → R(−11)90 −→ R(−10)684 −→ R(−9)2240 −→ R(−8)4095

−→ R(−6)5 ⊕ R(−7)4500 −→ R(−5)60 ⊕ R(−6)2945

−→ R(−4)75 ⊕ R(−5)1068 −→ R(−3)30 ⊕ R(−4)165 −→ R

−→ R/I (2)

∆ → 0.

Sử dụng Macaulay2, R/I (2)

∆ là một vành level. Hơn nữa, sử dụng Macaulay2,

Từ đó suy ra R/I (2)

∆ là

0 → R(−13)20 −→ R(−12)210 −→ R(−11)1080 −→ R(−10)3444

−→ R(−9)7280 −→ R(−8)10395 −→ R(−7)9960 −→ R(−6)6180

−→ R(−5)2268 −→ R(−4)380 −→ R −→ R/I 2

∆ → 0.

ta cũng nhận được giải tự do phân bậc tối tiểu của R/I 2

∆ không là một vành Cohen-Macaulay. Vì vậy R/I 2

∆ không

Do đó R/I 2

là một vành level.

Qua ví dụ trên, ta cũng thấy được rằng tính level của lũy thừa thường

và lũy thừa hình thức thứ hai của ideal Stanley-Reisner là khác nhau.

Chương 3

Tính level của ideal đơn thức trong lớp Cn(α, β)

Cho I là một ideal của vành đa thức R có dạng:

I =

P wi,j i,j ,

1≤i

(cid:92)

trong đó Pi,j là các ideal của R được sinh bởi tập {x1, . . . , xn} \ {xi, xj}

và wi,j là các số tự nhiên với mọi 1 ≤ i < j ≤ n. Kí hiệu Cn(α, β) là

G = {{i, j} | wi,j = α, 1 ≤ i < j ≤ n}.

tập các ideal I có dạng trên với wi,j ∈ {α, β}, trong đó α > β > 0. Đặt

V (G) ⊆ [n] và tập cạnh E(G) = {{i, j} | {i, j} ∈ G}. Trong chương

Ta có thể coi G là một đồ thị đơn không có đỉnh cô lập với tập đỉnh

này, chúng tôi đặc trưng tính level của R/I theo cấu trúc của đồ thị G

với I ∈ Cn(α, β).

Rõ ràng rằng nếu n = 2, 3 thì R/I luôn là level (kể cả khi wi,j ∈ N

với mọi 1 ≤ i < j ≤ n). Hơn nữa, nếu G = ∅ hoặc G là một đồ thị đầy

đủ với V (G) = [n] thì I là một lũy thừa hình thức của ideal Stanley-

12

Reisner của một phức đơn hình chiều 1 đầy đủ trên tập đỉnh [n]. Khi

13

đó tính level của R/I đã được giải quyết. Trong chương này, ta giả

thiết rằng các điều kiện sau được thỏa mãn.

(1) n ≥ 4;

(2) G (cid:54)= ∅;

3.1 Một số bậc không triệt tiêu của số Betti phân bậc thứ

(n − 2)

(3) Nếu G là một đồ thị đầy đủ thì V (G) (cid:54)= [n].

Trong phần này, chúng tôi đưa ra các bổ đề cho biết một số bậc

không triệt tiêu của số Betti cuối cùng của R/I. Đây là những kết quả

3.2 Trường hợp (α, β) = (2, 1)

được sử dụng để chứng minh các định lí chính của chương này.

Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu tính level của R/I với một

ideal I ∈ Cn(2, 1). Chúng tôi nhận được kết quả chính như sau.

Định lí 3.12. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn(2, 1). Khi đó R/I là một vành

(1) n ≥ 4 và G là một đồ thị hai phần đầy đủ với V (G) = [n];

(2) n = 4 và G là một cặp cạnh rời nhau.

3.3 Trường hợp (α, β) (cid:54)= (2, 1)

level nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:

Mục đích của phần này là đặc trưng tính level của R/I trong trường

hợp (α, β) (cid:54)= (2, 1) và tính số Betti cuối cùng của R/I khi nó là một

vành level.

14

Kết quả chính đầu tiên của phần này là đưa ra một đặc trưng cho

tính level của một ideal I ∈ Cn(α, β) khi (α, β) (cid:54)= (2, 1).

R/I là một vành level nếu và chỉ nếu n = 4, β = 1 và G là một đồ

Định lí 3.18. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn(α, β) với (α, β) (cid:54)= (2, 1). Khi đó

thị hai phần đầy đủ K2,2.

R/I chính là hệ số cao nhất của đa thức tử số của chuỗi Hilbert của

Ta biết rằng nếu R/I là một vành level thì số Betti cuối cùng của

nó. Định lí dưới đây cho ta biết hệ số này.

Định lí 3.19. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn(α, β). Giả sử rằng R/I là một

vành level. Khi đó

r

n − r

(n − r)

    

2

2

G = Kr,n−rvới 1 ≤ r ≤ n − 1;

βn−2(R/I) =

4

nếu n ≥ 4, α = 2 và     + r    

nếu n = 4, α = 2 và G là một

α + 2

cặp cạnh rời nhau;

nếu n = 4, α ≥ 3 và G = K2,2,  

m

k

trong đó quy ước   = 0 nếu m < k. 

Theo Định lí 3.19, tính phi-Gorenstein của một ideal I ∈ Cn(α, β)

được cho bởi hệ quả sau.

Hệ quả 3.20. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn(α, β). Khi đó R/I không phải

là một vành Gorenstein.

Chương 4

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của ideal đơn thức trong lớp Cn(α, β)

Trong suốt chương này, cho I là một ideal đơn thức thuộc Cn(α, β).

Chúng tôi sẽ đưa ra công thức tính chỉ số chính quy Castelnuovo-

reg(R/I) = max{ai(R/I) + i | i = 0, 1, 2}.

Mumford của R/I. Ta biết rằng dim(R/I) = 2 nên

Tuy nhiên, do m = (x1, . . . , xn) (cid:54)∈ Ass(R/I) nên a0(R/I) = −∞. Chúng

tôi chỉ cần tính các giá trị của a1(R/I) và a2(R/I). Hơn nữa, nếu n = 2

hoặc n = 3 thì I là một ideal chính, và nếu G = ∅ thì I là một lũy

thừa hình thức của ideal Stanley-Reisner của một phức đơn hình chiều

1 đầy đủ. Do đó reg(R/I) hoàn toàn đã biết trong các trường hợp này.

4.1 Giá trị của a1(R/I)

Vì vậy ta luôn giả thiết n ≥ 4 và G (cid:54)= ∅.

Mục đích của phần này là đưa ra các công thức cho a1(R/I). Chúng

15

tôi luôn giả thiết R/I không phải là một vành Cohen-Macaulay (tức

16

là a1(R/I) (cid:54)= −∞ ).

Kết quả chính đầu tiên trong mục này là xác định giá trị của a1(R/I)

α + β − 2

trong trường hợp n = 4.

a1(R/I) =

2α − 2

nếu G có duy nhất một cạnh; Định lí 4.3. Cho n = 4. Khi đó  

nếu G có nhiều hơn một cạnh. 

Với n ≥ 5, giá trị của a1(R/I) không những phụ thuộc vào cấu trúc

của đồ thị G mà còn phụ thuộc vào mối liên hệ giữa α và β. Các kết

quả chính tiếp theo được cho bởi các định lí sau đây.

α + β − 2

Định lí 4.4. Cho n ≥ 5. Giả sử α = β + 1. Khi đó

a1(R/I) =

α + β − 1

nếu β là một số lẻ;  

nếu β là một số chẵn. 

Trong trường hợp α ≥ β + 2 và (α, β) (cid:54)= (4, 2), ta cần định nghĩa hai

(G1) Tồn tại một cặp cạnh rời nhau của G không được chứa trong bất

điều kiện của đồ thị G như sau:

(G2) Tồn tại {i, j} (cid:54)∈ G sao cho {i, j} ∪ G là một đồ thị không liên thông.

kì 4-chu trình nào;

Chú ý rằng R/I không phải là một vành Cohen-Macaulay nên G

phải thỏa mãn điều kiện (G1) hoặc điều kiện (G2) bởi N. C. Minh và

Y. Nakamura.

17

2α − 2

Định lí 4.5. Cho n ≥ 5. Giả sử α ≥ β + 3. Khi đó

a1(R/I) =

α + β − 2

nếu G thỏa mãn (G1);  

 nếu G không thỏa mãn (G1).

Trong trường hợp α = β + 2 và (α, β) (cid:54)= (4, 2), ta cũng cần định

(G3) Mọi cặp cạnh rời nhau {i, j}, {p, q} của G không được chứa trong

nghĩa thêm một số điều kiện của G khi nó đã thỏa mãn điều kiện (G1).

bất kì 4-chu trình nào thì đồ thị con cảm sinh G[i, j, p, q] có dạng:

Định lí 4.6. Cho n ≥ 5. Giả sử α = β + 2 và (α, β) (cid:54)= (4, 2). Khi đó

α + β nếu α lẻ, G thỏa mãn (G1); hoặc α chẵn,

G thỏa mãn (G1) nhưng không thỏa mãn (G3);

a1(R/I) =

α + β − 1 nếu α chẵn, G thỏa mãn cả (G1), (G3);

α + β − 2 nếu α lẻ, G không thỏa mãn (G1);

α + β − 3 nếu α chẵn, G không thỏa mãn (G1).

 

Trong trường hợp (α, β) = (4, 2), việc tính giá trị của a1(R/I) là

(G4) Nếu G[i, j, p, q] có dạng như trong (G3) thì với t ∈ [n] \ {i, j, p, q}

phức tạp hơn. Ta cần đưa ra thêm vài điều kiện của G như sau:

bất kì, đồ thị con cảm sinh G[i, j, p, q, t] có một đồ thị con có dạng

18

(G5) {i, j} ∪ {i, t} ∪ {t, j} ∪ G là một đồ thị liên thông với mọi {i, j} (cid:54)∈ G

và t ∈ [n]\{i, j}.

R/I là một vành Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu G thỏa mãn các điều

Chú ý rằng nếu I ∈ Cn(4, 2) thì theo N. C. Minh và Y. Nakamura,

kiện (G3), (G4) và (G5).

Định lí 4.7. Cho n ≥ 5 và (α, β) = (4, 2). Khi đó

6 nếu G không thỏa mãn (G3);

a1(R/I) =

5 nếu G thỏa mãn (G3) nhưng không thỏa mãn (G4);

3 nếu G thỏa mãn (G3), (G4) nhưng không thỏa mãn (G5).

4.2 Giá trị của a2(R/I)

 

Trong mục này, chúng tôi xác định giá trị của a2(R/I) và đưa ra một

công thức cho chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(R/I).

G không có chu trình nào thì ta quy ước girth(G) = ∞. Giá trị của

a2(R/I) được xác định bởi định lí dưới đây.

Kí hiệu girth(G) là độ dài của chu trình ngắn nhất trong G. Nếu

19

Định lí 4.11. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn(α, β). Khi đó ta có

3α − 3

2α + β − 3 nếu girth(G) (cid:54)= 3 và G chứa ít nhất một

a2(R/I) =

nếu girth(G) = 3;

α + 2β − 3 nếu mọi đỉnh của G đều có bậc 1.

đỉnh có bậc lớn hơn 1;

 

R/I được thiết lập như sau.

Bây giờ công thức tính chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của

Định lí 4.12. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn(α, β). Khi đó

3α − 1

2α + β − 1 nếu girth(G) (cid:54)= 3 và G chứa ít nhất một

nếu girth(G) = 3;

reg(R/I) =

α + 2β − 1 nếu G gồm t ≥ 2 cạnh đôi một rời nhau

đỉnh có bậc lớn hơn 1;

2α − 1

và α ≤ 2β, hoặc G có duy nhất một cạnh;

nếu G gồm t ≥ 2 cạnh đôi một rời nhau

4.3

Ideal có giải tự do tuyến tính

và α > 2β.  

Mục này trình bày một ứng dụng của Định lí 4.12, cụ thể là chúng

tôi sẽ đưa ra điều kiện cần và điều kiện đủ để I ∈ Cn(α, β) có giải tự

do tuyến tính.

20

Kết luận

Luận án nghiên cứu những vấn đề thời sự về chỉ số chính quy

Castelnuuovo-Mumford và tính level của một số ideal đơn thức và đã

1. Đặc trưng được tính level của lũy thừa thường và lũy thừa hình

thu được các quả sau:

t ≥ 3 (Định lí 2.4). Trường hợp t = 2, luận án đạt được kết quả

thức thứ t của một ideal Stanley-Reisner với một số nguyên dương

2. Đặc trưng được tính level của mỗi ideal I trong lớp Cn(α, β) (các

trong chiều 1 và phức đơn hình là một matroid (Định lí 2.12).

Định lí 3.12, 3.18). Hơn nữa, khi R/I là một vành level, luận án

3. Đưa ra được các công thức cho a1(R/I) (các Định lí 4.3, 4.4, 4.5,

đã tính được số Betti cuối cùng của nó (Định lí 3.19).

4.6, 4.7), a2(R/I) (Định lí 4.11) và chỉ số chính quy Castelnuovo-

Mumford reg(R/I) (Định lí 4.12) với mỗi ideal I ∈ Cn(α, β).

21

Danh mục các công trình liên quan đến luận án

[1] N. C. Minh, N. Terai, P. T. Thuy (2019), “Level property of

ordinary and symbolic powers of Stanley-Reisner ideals”, Journal

of Algebra 535, pp. 350–364.

[2] N. C. Minh, P. T. Thuy (2020), “A computation of the Castelnuovo-

Mumford regularity of certain two-dimensional unmixed ideals”,

Communications in Algebra 48, pp. 2028–2040.

[3] P. T. Thuy, “On the level property of two-dimensional monomial

ideals”, submitted.

(cid:136) Hội nghị Toán học toàn quốc (Nha Trang - Khánh Hòa): 8/2018.

(cid:136) Workshop “Giải tự do và các bất biến đối đồng điều địa phương”

Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại:

(cid:136) Hội nghị Đại số - Lý thuyết số - Hình học - Tôpô (Bà Rịa - Vũng

(Viện Toán học): 10/2019.

(cid:136) Hội nghị nghiên cứu sinh của Khoa Toán Tin, Trường Đại học Sư

Tàu): 12/2019.

(cid:136) Xêmina Đại số và lý thuyết số, Bộ môn Đại số và lý thuyết số,

phạm Hà Nội: 12/2018, 12/2019, 12/2020.

(cid:136) Xêmina Đại số và lý thuyết số, Viện Toán học: 5/2021.

Khoa Toán Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội: 5/2021.