Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ———————

NGUYỄN VĂN ĐẮC

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN CÓ TRỄ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ———————

NGUYỄN VĂN ĐẮC

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN CÓ TRỄ

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62 46 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. Trần Đình Kế PGS. TS. Cung Thế Anh

Hà Nội - 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Trần Đình Kế và PGS. TS. Cung Thế Anh. Các kết quả được phát biểu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình của các tác giả khác.

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Văn Đắc

LỜI CẢM ƠN

Luận án được thực hiện tại Bộ môn Giải tích Khoa Toán-Tin, trường Đại học sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo của PGS. TS. Trần Đình Kế và PGS. TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với hai Thầy, PGS.TS. Trần Đình Kế là người Thầy đã giảng dạy tác giả từ những ngày còn học đại học và sau đó dẫn dắt tác giả vào hướng nghiên cứu được trình bày trong luận án này, PGS.TS. Cung Thế Anh đã đem đến cho tác giả những bài giảng được chuẩn bị chu đáo, đầy cảm hứng và phương pháp làm việc khoa học. Những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của tập thể hướng dẫn dành cho tác giả luôn là động lực chính giúp tác giả không những hoàn thành được luận án mà còn có những định hướng cho nghiên cứu tiếp theo.

Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Giải tích đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả.

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Thủy lợi, các đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ Thông tin, Trường Đại học Thủy lợi đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án.

Tác giả

Mục lục

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2. ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG . . . 18

1.3. LÍ THUYẾT NỬA NHÓM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4. GIẢI TÍCH ĐA TRỊ VÀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG . . . 23

1.4.1. Một số vấn đề về giải tích đa trị . . . . . . . . . . . 23

1.4.2. Ánh xạ nén và một số định lí điểm bất động . . . . 26

1.5. TẬP HÚT LÙI CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHÔNG Ô-TÔ-NÔM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐA TRỊ 27

Chương 2. TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC

VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ HỮU HẠN . . . . . . . . . . 30

2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . 30

2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4. ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.1. Phương trình vi phân đạo hàm riêng hàm dạng đa diện 44

2.4.2. Hệ phương trình vi phân lưới . . . . . . . . . . . . 45

Chương 3. TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC

VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN . . . . . . . . . . . . 49

3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2. TIÊU CHUẨN TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . 49

3.3. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . 51

3.4. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5. ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Chương 4. TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN YẾU CHO BAO HÀM

THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN . . . . 66

4.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM PHÂN RÃ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH YẾU 66

τ , X) . . . . . . .

67 4.2.1. Độ đo không compact trên BC(R+

4.2.2. Sự tồn tại nghiệm phân rã . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.3. Tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường . 79

4.3. ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Chương 5. TÍNH HÚT TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN

CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN HÀM NỬA TUYẾN TÍNH . 86

5.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.3. TÍNH HÚT CỦA NGHIỆM TẦM THƯỜNG . . . . . . . . 87

5.3.1. Sự tồn tại nghiệm tích phân . . . . . . . . . . . . . 87

5.3.2. Tính hút của nghiệm tầm thường . . . . . . . . . . 90

5.4. ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN

QUAN ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài

Bao hàm thức tiến hóa là mô hình cho nhiều bài toán khác nhau. Xét

bài toán sau đây trong lí thuyết điều khiển (xem [9])

x(cid:48) = f (x, u), u ∈ U

trong đó u là nhân tố điều khiển. Khi đó, hệ điều khiển và bao hàm thức

(cid:91)

x(cid:48) ∈ f (x, U) :=

f (x, u)

u∈U

có tập quĩ đạo như nhau. Nếu tập các nhân tố điều khiển phụ thuộc vào x, tức là U = U(x), thì ta nhận được bao hàm thức

x(cid:48) ∈ f (x, U(x)).

Sự tương đương giữa hệ điều khiển và bao hàm thức vi phân tương ứng là yếu tố then chốt để chứng minh các định lí tồn tại trong lí thuyết điều khiển tối ưu. Ở một hướng nghiên cứu khác, ta xét phương trình vi phân

x(cid:48)(t) = f (x(t)), t ∈ [0, T ],

với f : Rn → Rn là một hàm không liên tục. Khi đó bài toán Cauchy

x(cid:48)(t) = f (x(t)), x(0) = x0

có thể vô nghiệm. Chẳng hạn, xét bài toán Cauchy sau

(cid:40)

1,

x < 0

, x(0) = 0.

x(cid:48)(t) =

−1,

x ≥ 0

Ta thấy bài toán này không có nghiệm theo nghĩa thông thường. Thật vậy, nếu x(t) < 0 thì nghiệm là x(t) = t + c− và x(t) > 0 thì x(t) = −t + c+ là nghiệm. Trong áp dụng, phương trình vi phân với vế phải không liên tục là mô hình cho một số bài toán trong vật lí, kỹ thuật, sinh học và kinh tế. Các bài toán dạng này được Filippov nghiên cứu trong [37], ở đó kỹ thuật chính quy hóa hàm phi tuyến ở vế phải dẫn đến các bao hàm thức vi phân.

Ngoài ra, khi nghiên cứu các bất đẳng thức vi biến phân, một trong những phương pháp hiệu quả là chuyển chúng về các bao hàm thức vi phân (xem [63]).

Có thể thấy rằng, bao hàm thức tiến hóa phát sinh từ các bài toán trong nhiều hướng nghiên cứu khác nhau, tiêu biểu là bài toán chính quy hóa phương trình vi phân với phần phi tuyến không liên tục, bài toán điều khiển và một số bất đẳng thức vi biến phân. Đối với các hệ tiến hóa mô tả các bài toán thực tế trong sinh học, hóa học, kỹ thuật, kinh tế,... trễ thời gian thường xuất hiện như một yếu tố tự nhiên, cho phép việc mô tả các quá trình chính xác hơn. Vì vậy, các bao hàm thức vi phân có trễ thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Trong luận án này, chúng tôi tập trung vào một trong những vấn đề trung tâm của lí thuyết định tính các hệ vi phân tiến hóa, đó là dáng điệu nghiệm của các bao hàm thức vi phân không ô-tô-nôm có trễ, bao gồm sự tồn tại nghiệm tích phân, sự tồn tại tập hút lùi, tính ổn định tiệm cận yếu và tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn của nghiệm.

Lí thuyết định tính các hệ vi phân trong không gian hữu hạn chiều (phương trình vi phân thường) đã được nghiên cứu từ đầu thế kỷ 20 và đã thu được những thành tựu quan trọng dựa trên lí thuyết ổn định Lyapunov (xem [32, 44]), trong đó phương pháp hàm Lyapunov là một công cụ hiệu quả được nhiều nhà nghiên cứu sử dụng. Ngoài ra, các phương pháp khác như phương pháp điểm bất động (xem [17]), phương pháp so sánh (xem [61]) cũng được lựa chọn để phân tích dáng điệu tiệm cận nghiệm. Với các bao hàm thức tiến hóa hữu hạn chiều, các cuốn chuyên khảo [9, 29] trình bày một cách hệ thống các kết quả về tính giải được, cấu trúc tập nghiệm. Tuy nhiên, do tính chất không duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho bao hàm thức vi phân, lí thuyết Lyapunov gặp nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm. Khi đó, khái niệm ổn định yếu đã được Filippov đề xuất (xem [37]) và phương pháp hàm Lyapunov cải tiến để chứng minh tính ổn định yếu cũng đã được xây dựng trong [1].

Trong khoảng hai thập kỷ qua, bao hàm thức vi phân trong không gian Banach tổng quát cùng những ứng dụng của nó đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học, trở thành chủ đề nghiên cứu có tính thời sự. Có thể tìm thấy trong các cuốn chuyên khảo tiêu biểu [48, 49, 51, 68] những kết quả nghiên cứu có tính hệ thống. Dựa vào lí thuyết nửa nhóm, các kết quả về tính giải được của các bao hàm thức tiến hóa đã được thiết

lập dưới nhiều điều kiện khác nhau (xem [25, 38, 62]). Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm, các công cụ như lí thuyết tập hút toàn cục hay lí thuyết ổn định Lyapunov đóng vai trò quan trọng. Lí thuyết tập hút toàn cục được xây dựng (xem [27, 67]) nhằm phân tích dáng điệu nghiệm của các hệ vi phân ô-tô-nôm (autonomous) dưới góc nhìn hệ động lực, theo nghĩa có tồn tại hay không một tập compact, bất biến và hút các quĩ đạo nghiệm. Lí thuyết này được phát triển mạnh mẽ và thu được nhiều kết quả có tính hệ thống cho cả hệ động lực đơn trị (xem [27, 42, 67]) và hệ động lực đa trị (xem [59, 60, 70]). Nói riêng với các hệ vi phân đa trị, lí thuyết tập hút được phát triển với một số lược đồ nghiên cứu, như lược đồ nửa dòng suy rộng của Ball [11, 12], nửa dòng đa trị của Melnik và Valero [59]. Hai cách tiếp cận này đã được so sánh trong [23]. Có thể tham khảo một số kết quả về dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng đa trị được thiết lập trong [3, 4, 52, 70] nhờ ứng dụng lược đồ của Melnik và Valero. Ngoài ra, Chepyzov và Vishik [26] cũng phát triển lí thuyết tập hút quỹ đạo để nghiên cứu dáng diệu của các hệ vi phân không duy nhất nghiệm.

Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các hệ vi phân không ô-tô-nôm (nonautonomous), lí thuyết tập hút đều và tập hút lùi được xây dựng cho cả trường hợp đơn trị và đa trị (xem [19, 20, 21, 60]). Trong đó, phải kể đến những kết quả nghiên cứu quan trọng của Caraballo, Kloeden cùng các cộng sự về tập hút lùi cho các hệ vi phân tất định và hệ vi phân ngẫu nhiên với lược đồ thống nhất. Gần đây, ở [28], các tác giả Zelati và Kalita đã đưa ra một cải tiến đáng chú ý trong lược đồ nghiên cứu tập hút lùi, đó là giảm nhẹ tính liên tục (chỉ yêu cầu tính đóng) đối với hệ động lực và đưa ra tiêu chuẩn compact tiệm cận dựa trên độ đo không compact.

Trong các lược đồ nghiên cứu về tập hút, bước then chốt để chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục là kiểm tra điều kiện về tính compact tiệm cận của hệ động lực sinh bởi hệ. Điều kiện này được thỏa mãn nếu nửa nhóm sinh bởi phần tuyến tính là nửa nhóm compact. Tuy nhiên, các hệ vi phân đạo hàm riêng trong miền không bị chặn nói chung không thỏa mãn điều kiện này, tức nửa nhóm sinh bởi phần tuyến tính không có tính chất compact. Trong trường hợp không gian pha là một không Hilbert tách được, để kiểm tra điều kiện compact tiệm cận, ta có thể kiểm tra điều kiện xấp xỉ hữu hạn chiều (flattening) (xem [28, 57, 75, 76]). Tuy nhiên, cách này không khả thi cho trường hợp hệ đạo hàm riêng có trễ khi không gian pha tương ứng có cấu trúc phức tạp hơn, theo nghĩa ta không thể tìm được một cơ sở của không gian pha để có thể áp dụng điều kiện xấp xỉ hữu hạn

chiều. Mục tiêu nghiên cứu đầu tiên của chúng tôi trong luận án này là xây dựng một số tiêu chuẩn để kiểm tra tính compact tiệm cận của hệ động lực trong tình huống kể trên.

Đề cập đến các khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov cho bao hàm thức vi phân, có thể thấy việc chứng minh tính ổn định theo phương pháp hàm Lyapunov là khó áp dụng vì tính không duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy. Do đó, các kết quả về tính ổn định cho các bao hàm thức vi phân theo nghĩa Lyapunov còn hạn chế. Mục tiêu tiếp theo của chúng tôi là sử dụng cách tiếp cận điểm bất động ở [17] (trong nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho các phương trình vi phân thường/vi phân hàm) để phân tích dáng điệu nghiệm của các bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có trễ vô hạn trong không gian Banach tổng quát, trong đó tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường (nghiệm không) được xem xét.

Theo một góc nhìn khác, mặc dù dáng điệu nghiệm của các hệ vi phân khi thời gian đủ lớn đóng một vai trò quan trọng trong nhiều bài toán thực tiễn, có lịch sử nghiên cứu lâu dài và đạt được những kết quả có tính hệ thống, dáng điệu nghiệm trong khoảng thời gian hữu hạn lại có vai trò quan trọng hơn trong các bài toán liên quan đến quá trình sinh-hóa (biochemical networks), quá trình chuyển đổi tín hiệu (signal transduction),... ở đó các quá trình cần quan sát chỉ xảy ra trong một khoảng thời gian ngắn. Từ đó, hướng nghiên cứu hệ động lực thời gian hữu hạn đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Một số kết quả tiêu biểu theo hướng nghiên cứu này cho các hệ vi phân thường có thể tìm thấy trong các công trình [14, 33, 34, 35, 39, 55]. Sử dụng các khái niệm về hệ động lực thời gian hữu hạn trong [39], chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu tính hút trong thời gian hữu hạn của các bao hàm thức tiến hóa nửa tuyến tính có trễ trong không gian Banach, trong đó chúng tôi tìm kiếm các điều kiện chấp nhận được áp đặt lên phần tuyến tính và phần phi tuyến để có thể chứng minh một số điều kiện đủ cho tính hút của nghiệm tầm thường.

Sau đây, chúng tôi trình bày một cách ngắn gọn về những nội dung nghiên

cứu chính.

Sử dụng lược đồ về tập hút lùi của Caraballo và Kloeden, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi cho một số lớp bao hàm thức vi phân hàm có trễ trong không gian Banach. Cụ thể, trường hợp hệ có trễ hữu hạn, chúng tôi xét lớp bài toán sau

(1)

u(cid:48)(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut), t ≥ τ,

(2)

u(t) = ϕτ (t − τ ), t ∈ [τ − h, τ ],

trong đó hàm trạng thái u lấy giá trị trong không gian Banach tách được X, A là một toán tử tuyến tính đóng và sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh trên X, F là một ánh xạ đa trị xác định trên R × X × C([−h, 0]; X), ut là hàm trễ, tức là ut(s) = u(t + s) với s ∈ [−h, 0]. Ký hiệu {U(t, τ, ·)}t≥τ là hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị sinh bởi hệ (1)-(2), tức là

U(t, τ, ϕτ ) = {ut : u(·, τ, ϕτ ) là một nghiệm tích phân của hệ (1)-(2)}.

Liên quan đến kết quả về sự tồn tại tập hút lùi, đóng góp chính của chúng tôi là đề xuất cách kiểm tra tính compact tiệm cận của U theo cách chứng minh tính nén của toán tử GT,t = U(t, t − T, ·) trên C([−h, 0]; X). Đáng lưu ý là cách tiếp cận này hiệu quả đối với các hệ có trễ bởi vì ta chỉ cần kiểm tra các ước lượng độ đo không compact trên phần phi tuyến. Điều này được thể hiện rõ trong phần áp dụng cho hệ vi phân lưới có dạng

(t) = ui+1(t) − (2 + α)ui(t) + ui−1(t) + fi(t, ui(t), ui(t − h)), t > τ,

dui dt

(3)

(4)

ui(τ + s) = φτ

i (s), s ∈ [−h, 0], i ∈ Z,

trong đó u = (ui)i∈Z là hàm trạng thái, α > 0 và fi : R3 → R, i ∈ Z, là các hàm liên tục. Mô hình này phát sinh từ một số bài toán liên quan đến xử lí ảnh, nhận dạng mẫu, kỹ thuật điện và một số lĩnh vực khác. Ngoài ra, nó cũng là kết quả của việc rời rạc hóa theo biến không gian của các phương trình đạo hàm riêng. Trong mô hình này, nửa nhóm sinh bởi phần tuyến tính không có tính chất compact và phần phi tuyến chỉ cần thỏa mãn một số điều kiện về tăng trưởng.

Trường hợp hệ có trễ vô hạn, chúng tôi xét lớp bài toán sau

(5)

(6)

u(cid:48)(t) ∈ Au(t) + F (t, ut), t ≥ τ, uτ (s) = ϕτ (s), s ∈ (−∞, 0],

trong đó hàm u và toán tử tuyến tính A giống như trong trường hợp trễ hữu hạn, F là ánh xạ đa trị xác định trên R × B, với B là không gian pha kiểu Hale-Kato [45] sẽ được định nghĩa trong Chương 1.

Một số kết quả nghiên cứu sự tồn tại tập hút trong trường hợp F là hàm đơn trị đã được công bố, chẳng hạn trong các công trình [16, 20]. Mục đích của chúng tôi là giải quyết trường hợp phần phi tuyến đa trị bằng cách sử dụng các ước lượng theo độ đo không compact. Việc chứng minh sự tồn tại

nghiệm cho bài toán (5)-(6) là tương tự như đối với hệ có trễ hữu hạn. Tuy nhiên, khi nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi ta gặp một số khó khăn. Cụ thể là sự xuất hiện trễ vô hạn đã gây ra một số khó khăn về mặt kỹ thuật trong việc chứng minh tính tiêu hao cũng như tính compact tiệm cận của hệ động lực đa trị tương ứng. Những khó khăn này xuất phát từ đặc điểm của không gian pha. Trên không gian này ta không có các tiêu chuẩn về tính compact, đồng thời cũng không có mối quan hệ đủ tốt giữa độ đo không compact trên không gian pha và độ đo không compact trên X như trong bài toán với trễ hữu hạn, dẫn đến việc các kỹ thuật sử dụng cho trường hợp trễ hữu hạn lại không khả dụng cho trường hợp trễ vô hạn. Ở đây, chúng tôi đề xuất một tiêu chuẩn mới cho tính compact tiệm cận đối với hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị dựa trên tính co theo độ đo không compact, từ đó chứng minh hệ động lực sinh bởi bài toán (5)-(6) có một tập hút lùi toàn cục khi không gian pha được chọn là Cγ. Kết quả ở phần này được áp dụng cho bài toán điều khiển với phản hồi đa trị sau

(7)

(t, x) = ∆u(t, x) + f0(t, x, u(t, x)) + b(x)v(t), x ∈ Ω, t > τ

∂u ∂t

(cid:90) 0 (cid:90)

(8)

v(t) ∈

ν(θ, y)(cid:2)f1(u(t + θ, y)), f2(u(t + θ, y))(cid:3)dydθ,

−∞

O u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > τ, u(τ + s, x) = ϕτ (s, x), x ∈ Ω, s ∈ (−∞, 0],

(9)

(10) (cid:3) = {µf1 + (1 − µ)f2 : µ ∈ [0, 1]}. Tập Ω ⊂ Rn là miền bị

trong đó (cid:2)f1, f2 chặn với biên trơn ∂Ω và O ⊂ Ω là một tập mở.

Bên cạnh việc sử dụng khái niệm tập hút lùi, chúng tôi cũng sử dụng khái niệm ổn định tiệm cận yếu để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của hệ (5)-(6) theo cách tiếp cận lí thuyết điểm bất động. Ký hiệu SOL(ϕτ ) là tập nghiệm ứng với dữ kiện đầu là ϕτ và giả sử rằng 0 ∈ SOL(0). Nghiệm tầm thường của hệ được gọi là ổn định tiệm cận yếu nếu nó thỏa mãn hai điều kiện

(i) ổn định, tức là với mọi (cid:15) > 0, tồn tại số dương δ sao cho khi |ϕτ |B < δ

thì |yt|B < (cid:15), ∀y ∈ SOL(ϕτ ) và t > τ ;

(ii) hút yếu, tức là với mỗi ϕτ ∈ B, tồn tại y ∈ SOL(ϕτ ) sao cho

|yt|B = 0.

lim t→+∞

Để giải quyết bài toán này, chúng tôi xây dựng một độ đo không compact trên không gian các hàm liên tục và bị chặn trên nửa trục BC([τ, +∞); X),

từ đó đưa ra một tiêu chuẩn compact trên không gian này để có thể khai thác nguyên lí điểm bất động cho các ánh xạ đa trị nén.

Kết quả lí thuyết được áp dụng cho bài toán điều khiển sau

(11)

(t, x) − ∆u(t, x) + λu(t, x) = f (t, x), x ∈ Rn, t ≥ τ

∂u ∂t

0 (cid:90)

(cid:90)

f (t, x) ∈ b(t, x)

ν(θ, y)(cid:2)k1(y, u(t + θ, y)), k2(y, u(t + θ, y))(cid:3)dydθ,

−∞

Ω

(12)

(13)

u(τ + s, x) = ϕτ (s, x), x ∈ Rn, s ∈ (−∞, 0],

trong đó Ω là một miền bị chặn trong Rn, ∆ là toán tử Laplace đối với biến x và λ > 0.

Nội dung nghiên cứu sau cùng trong luận án là tính hút của nghiệm tầm

thường trong khoảng thời gian hữu hạn của hệ vi phân hàm sau đây

(14)

(15)

u(cid:48)(t) ∈ Au(t) + F (t, ut), t ∈ [0, T ], u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0],

ở đó A và u là tương tự như các bài toán trước, F là ánh xạ đa trị xác định trên [0, T ] × C([−h; 0], X), ut là hàm trễ xác định trên [−h, 0]. Hàm ϕ ∈ C([−h, 0]; X) đóng vai trò là dữ kiện đầu.

Mục tiêu của chúng tôi là đưa ra các điều kiện đủ cho tính hút của nghiệm tầm thường của (14)-(15) khi hàm phi tuyến có thể tăng trưởng trên tuyến tính. Cuối cùng, chúng tôi áp dụng kết quả thu được cho hệ vi phân đạo hàm riêng

(16)

∂u ∂t

(17)

f (t, x) ∈ co

,

(t, x) = ∆u(t, x) + f (t, x), x ∈ Ω, t ∈ [0, T ], (cid:111) (cid:110) ˜fi(t, u(t − h, x)) : i = 1, 2, ..., m

(18)

u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0,

(19)

u(s, x) = ϕ(x, s), x ∈ Ω, s ∈ [−h, 0],

ở đó ˜fi : [0, T ] × R → R, i = 1, 2, ..., m, là các hàm liên tục và Ω ⊂ Rn là một miền có biên trơn ∂Ω.

2. Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu của luận án

2.1. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các bao hàm thức vi phân tiến hóa nửa tuyến tính không ô-tô-nôm có trễ bằng lí thuyết tập hút lùi và lí thuyết ổn định. Cụ thể

1) Tìm các điều kiện đủ để kiểm tra tính chất compact tiệm cận của hệ động lực đa trị sinh bởi các bao hàm thức vi phân chứa trễ hữu hạn hoặc vô hạn, từ đó chứng minh sự tồn tại tập hút lùi.

2) Thiết lập các điều kiện đảm bảo tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm

tầm thường của lớp bao hàm thức tiến hóa có trễ vô hạn.

3) Xây dựng các điều kiện đủ cho tính hút trong thời gian hữu hạn của nghiệm tầm thường của lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có trễ hữu hạn.

2.2. Đối tượng nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi xét hai lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến

tính không ô-tô-nôm trong không gian Banach tổng quát:

• Lớp thứ nhất: Bao hàm thức vi phân có trễ hữu hạn;

• Lớp thứ hai: Bao hàm thức vi phân có trễ vô hạn;

trong đó phần tuyến tính sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh và phần phi tuyến là hàm đa trị.

2.3. Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu được thể hiện thông qua các nội dung sau.

• Nội dung 1: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bao hàm thức vi

phân không ô-tô-nôm với trễ hữu hạn và trễ vô hạn;

• Nội dung 2: Nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi cho các bao hàm thức

vi phân nói trên;

• Nội dung 3: Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm

thường đối với các bao hàm thức vi phân với trễ vô hạn;

• Nội dung 4: Nghiên cứu tính hút trong thời gian hữu hạn của nghiệm

tầm thường cho bao hàm thức vi phân với trễ hữu hạn.

3. Phương pháp nghiên cứu

◦ Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bao hàm thức vi phân, chúng tôi sử dụng lí thuyết nửa nhóm [64], các ước lượng độ đo không compact [15, 51], các công cụ của giải tích đa trị và định lí điểm bất động cho ánh xạ nén [51].

◦ Trong nghiên cứu về sự tồn tại tập hút lùi cho quá trình đa trị không ô-tô-nôm, chúng tôi sử dụng lược đồ được đề xuất bởi Caraballo và Kloeden [20]. Trong đó, chúng tôi thực hiện các ước lượng theo độ đo không compact để thu được tính compact tiệm cận của quá trình đa trị.

◦ Để nghiên cứu tính ổn định yếu của nghiệm tầm thường cho hệ vi phân có trễ vô hạn và tính hút của nghiệm tầm thường cho hệ vi phân hàm, chúng tôi sử dụng nguyên lí điểm bất động cho ánh xạ nén ứng với độ đo không compact xây dựng tương tự trong [5] và kỹ thuật ước lượng tiên nghiệm.

4. Cấu trúc và các kết quả của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình đã công bố và Tài

liệu tham khảo, luận án được chia làm năm chương:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm và kết quả được sử dụng trong các chương tiếp theo về lí thuyết nửa nhóm, lí thuyết độ đo không compact, một số kiến thức về giải tích đa trị và lí thuyết tập hút lùi cho quá trình đa trị.

• Chương 2: Tập hút lùi cho bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính với trễ hữu hạn. Trong chương này, chúng tôi chứng minh tính giải được và sự tồn tại tập hút lùi cho một lớp bao hàm thức vi phân hàm với trễ hữu hạn.

• Chương 3: Tập hút lùi cho bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính với trễ vô hạn. Trong chương này, chúng tôi đưa ra một tiêu chuẩn về sự tồn tại tập hút lùi cho một quá trình đa trị tổng quát. Chứng minh tính giải được toàn cục của một lớp bao hàm thức vi phân hàm có trễ vô hạn và sự tồn tại tập hút lùi bằng cách sử dụng tiêu chuẩn nói trên.

• Chương 4: Tính ổn định tiệm cận yếu cho bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính với trễ vô hạn. Trong chương này, chúng tôi xét tính ổn định

tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường cho bao hàm thức vi phân có trễ vô hạn trên nửa trục. Trước tiên, chúng tôi chỉ ra sự tồn tại nghiệm phân rã của bài toán. Sau đó, sử dụng kết quả thu được để suy ra tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường.

• Chương 5: Tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn cho bao hàm thức vi phân hàm nửa tuyến tính. Chúng tôi xét hệ vi phân với biến thời gian thuộc tập compact cho trước và chứng minh nghiệm tầm thường có tính hút và hút mũ.

5. Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Các kết quả thu được trong luận án góp phần làm phong phú thêm hướng nghiên cứu ổn định nghiệm cho các bao hàm thức vi phân có trễ trong trong không gian Banach tổng quát, có thể áp dụng cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cũng như các hệ vi phân thường có trễ.

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo trên các tạp chí khoa học chuyên ngành (liệt kê ở mục "Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án"), 02 bài đã hoàn thành ở dạng tiền ấn phẩm.

Các nội dung chính trong luận án đã được báo cáo tại:

1) Xê mi na của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư

phạm Hà Nội;

2) Hội thảo cho Nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư

phạm Hà Nội, 2017;

3) Hội thảo "Vietnam-Korean workshop on selected topics in Mathemat-

ics", Đà Nẵng, tháng 2 năm 2017.

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng ta ký hiệu (E, (cid:107) · (cid:107)) là một không gian Banach

và 2E là họ các tập con của E. Ký hiệu

P(E) = {A ∈ 2E : A (cid:54)= ∅}, Pb(E) = {A ∈ P(E) : A là tập bị chặn}, Pc(E) = {A ∈ P(E) : A là tập đóng}, Kv(E) = {A ∈ P(E) : A là tập lồi và compact}, BE[a, r] = {x ∈ E : (cid:107)x − a(cid:107) ≤ r}.

1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM

Cho Ω là một tập con đo được và bị chặn trong Rn. Trong luận án, các

không gian hàm sau (xem [7]) được sử dụng.

• Lp(Ω), 1 ≤ p < +∞, là không gian bao gồm tất cả các hàm khả tích Lebesgue bậc p trên Ω. Chuẩn trên Lp(Ω) được định nghĩa như sau: (cid:16) (cid:90)

(cid:17)1/p

|u(x)|pdx

.

(cid:107)u(cid:107)Lp(Ω) :=

Ω

• L∞(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm đo được và bị chặn hầu

khắp nơi trên Ω với chuẩn

|u(x)|.

(cid:107)u(cid:107)L∞(Ω) := ess sup x∈Ω

• Lp

loc(Ω), 1 ≤ p < +∞, là không gian các hàm khả tích Lebesgue địa

phương bậc p trên Ω

Lp

loc(Ω) := {f : f ∈ Lp(K) với mọi tập compact K ⊂ Ω}.

Ngoài ra, ta sử dụng các không gian hàm phụ thuộc thời gian sau:

• C([a, b]; E) là không gian bao gồm tất cả các hàm u : [a, b] → E liên

tục, với chuẩn:

(cid:107)u(t)(cid:107)E.

(cid:107)u(cid:107)C([a,b];E) = sup t∈[a,b]

• Lp(a, b; E) là không gian bao gồm tất cả các hàm u : [a, b] → E sao

cho

(cid:17)1/p (cid:16) (cid:90) b

(cid:107)u(t)(cid:107)p

< +∞.

(cid:107)u(cid:107)Lp(a,b;E) :=

Edt

• Cτ := C([−τ, 0]; E), với τ > 0 cho trước.

Không pha sau đây được sử dụng trong Chương 3 và Chương 4, không gian loại này được giới thiệu trong [45]. Cho (B, | · |B) là không gian tuyến tính có trang bị nửa chuẩn gồm các hàm từ (−∞, 0] vào E và giả sử các tiên đề (B1)-(B4) phát biểu dưới đây được thỏa mãn.

Nếu v : (−∞, σ+T ] → E, ở đó σ ∈ R và T là số thực dương, là một hàm sao cho v|[σ,σ+T ] ∈ C([σ, σ + T ]; E) và vσ ∈ B với vσ(s) = v(σ + s) khi s ∈ (−∞, 0], thì ta có

(B1) vt ∈ B với t ∈ [σ, σ + T ];

(B2) hàm t (cid:55)→ vt là liên tục trên [σ, σ + T ];

(B3) |vt|B ≤ K(t − σ) sup{(cid:107)v(s)(cid:107) : σ ≤ s ≤ t} + M (t − σ)|vσ|B với mỗi t ≥ σ, trong đó K, M : [0, +∞) → [0, +∞), K là hàm liên tục, M là hàm bị chặn địa phương và các hàm này độc lập với v;

(B4) tồn tại (cid:96) > 0 sao cho (cid:107)φ(0)(cid:107) ≤ (cid:96)|φ|B, với mọi φ ∈ B.

Một ví dụ điển hình cho không gian B là Cγ, được định nghĩa như sau

eγθφ(θ) tồn tại trong E}.

Cγ = {φ ∈ C((−∞, 0]; E) sao cho lim θ→−∞

Nếu γ > 0 thì Cγ là không gian Banach với chuẩn xác định bởi

eγθ(cid:107)φ(θ)(cid:107).

|φ|γ = sup θ≤0

Trong trường hợp này K(t) = 1, M (t) = e−γt, với mọi t ≥ 0.

g, được đưa ra sau đây: Giả sử 1 ≤ p < +∞, 0 ≤ r < +∞ và g : (−∞, −r] → R là một hàm đo được Borel và không âm trên (−∞, −r). Ký hiệu CLp g là lớp các hàm ϕ : (−∞, 0] → E sao cho ϕ liên tục trên [−r, 0] và g(·)(cid:107)ϕ(·)(cid:107)p ∈ L1(−∞, −r). Nửa chuẩn trên CLp

g được xác định bởi

Một ví dụ quan trọng khác là không gian CLp

(cid:104) (cid:90) −r (cid:105) 1 (1.1)

{(cid:107)ϕ(θ)(cid:107)} +

g(θ)(cid:107)ϕ(θ)(cid:107)pdθ

.

|ϕ|CLp

g = sup −r≤θ≤0

−∞

Giả sử rằng

(cid:90) −r

(1.2)

g(θ)dθ < +∞, với mọi s ∈ (−∞, −r) và

(1.3)

g(s + θ) ≤ G(s)g(θ) với s ≤ 0 và θ ∈ (−∞, −r),

ở đó G : (−∞, 0] → R+ là bị chặn địa phương. Nếu có (1.2)-(1.3), thì CLp g thỏa mãn (B1)-(B4) với (cid:96) = 1 (xem [47]). Hơn nữa, ta có thể lấy

1

với 0 ≤ t ≤ r,   (1.4)

K(t) =

(cid:105) 1 (cid:104) (cid:82) −r

1 +

−t g(θ)dθ

với t > r; 

p }

(cid:105) 1 (cid:104) (cid:82) −r với 0 ≤ t ≤ r,

, G(−t)

−r−t g(θ)dθ

 

M (t) =

(cid:105) 1

max{1 + (cid:104) (cid:82) −r

max{

, G(−t)

p }

−r−t g(θ)dθ

với t > r. 

(1.5)

Một số ví dụ khác về không gian pha B được trình bày trong tài liệu tham khảo [43, 47].

Ký hiệu P là không gian B hoặc Cτ và J = [σ, T ], T > σ, σ ∈ R cố

định. Khi đó, đặt

Cφσ = {v ∈ C(J; E) : v(σ) = φσ(0), với hàm cho trước φσ ∈ P},

ta được Cφσ là không gian con đóng của không gian C(J; E) với chuẩn sup nên Cφσ là không gian Banach.

1.2. ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm độ đo không compact và

một số ước lượng liên quan (xem [2, 51]).

Định nghĩa 1.1. Hàm β : Pb(E) → R+ được gọi là một độ đo không compact trong E nếu

β(co Ω) = β(Ω) với mọi Ω ∈ Pb(E),

trong đó co Ω là bao lồi đóng của Ω. Độ đo β được gọi là:

(i) đơn điệu nếu Ω1, Ω2 ∈ Pb(E), Ω1 ⊂ Ω2 kéo theo β(Ω1) ≤ β(Ω2);

(ii) không suy biến nếu β({x} ∪ Ω) = β(Ω) với mỗi x ∈ E, Ω ∈ Pb(E);

(iii) bất biến với nhiễu compact nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω) với mọi tập compact

tương đối K ⊂ E và Ω ∈ Pb(E);

(iv) nửa cộng tính β(Ω0 ∪ Ω1) ≤ max{β(Ω0), β(Ω1)} với mọi Ω0, Ω1 ∈

Pb(E);

(v) nửa cộng tính đại số nếu β(Ω1+Ω2) ≤ β(Ω1)+β(Ω2) với mỗi Ω1, Ω2 ∈

Pb(E);

(vi) chính quy nếu β(Ω) = 0 tương đương với tính compact tương đối của

Ω.

Một ví dụ quan trọng về độ đo không compact là độ đo Hausdorff χ(·),

được định nghĩa như sau: Hàm χ : Pb(E) → R+ xác định bởi

χ(B) = inf{(cid:15) > 0 : B có một (cid:15)-lưới hữu hạn},

được gọi là độ đo không compact Hausdorff trên E.

Dựa vào độ đo Hausdorff χ, ta đưa ra khái niệm độ đo rời rạc χ0 như

χ0(Ω) = sup{χ(D) : D ∈ ∆(Ω)},

trong đó ∆(Ω) là họ tất cả các tập con không quá đếm được của Ω (xem [2]). Ta có

χ(Ω) ≤ χ0(Ω) ≤ χ(Ω),

1 2

với mọi tập bị chặn Ω ⊂ E. Khi đó, ta có tính chất sau:

Mệnh đề 1.1. Xét χ là độ đo Hausdorff trong E và Ω ⊂ E là một tập bị chặn. Khi đó, với mọi (cid:15) > 0, tồn tại một dãy {xn} ⊂ Ω sao cho

χ(Ω) ≤ 2χ({xn}) + (cid:15).

Ký hiệu J = [σ, T ].

Định nghĩa 1.2. Cho D ⊂ L1(J; E). Ta gọi D là tập bị chặn tích phân nếu tồn tại hàm ν ∈ L1(J) := L1(J; R+) sao cho

(cid:107)f (t)(cid:107) ≤ ν(t)

với mọi f ∈ D và với hầu khắp t ∈ J.

Mệnh đề 1.2 ([51], Định lí 4.2.2). Nếu {wn} ⊂ L1(J; E) bị chặn tích phân, thì (cid:90) t (cid:16)(cid:110) (cid:90) t (cid:111)(cid:17)

χ

≤ 2

wn(s)ds

χ({wn(s)})ds,

với t ∈ J.

Áp dụng Mệnh đề 1.1 và Mệnh đề 1.2, ta có mệnh đề sau đây.

Mệnh đề 1.3. Nếu D ⊂ L1(J; E) sao cho D bị chặn tích phân và

χ(D(t)) ≤ q(t), với hầu khắp t ∈ J

và q ∈ L1(J; R+), thì

(cid:19) (cid:18)(cid:90) t (cid:90) t

χ

D(s)ds

≤ 4

q(s)ds

(cid:90) t (cid:26)(cid:90) t

(cid:27) . với t ∈ J, ở đây

D(s)ds =

ξ(s)ds : ξ ∈ D

Chứng minh. Với (cid:15) > 0, tồn tại một dãy {ξn} ⊂ D sao cho

(cid:111)(cid:17) (cid:17) (cid:16)(cid:110) (cid:90) t (cid:16) (cid:90) t

D(s)ds

≤ 2χ

+ (cid:15),

χ

ξn(s)ds

do Mệnh đề 1.1. Áp dụng Mệnh đề 1.2, ta có

(cid:90) t (cid:17) (cid:16) (cid:90) t

D(s)ds

≤ 4

χ

χ({ξn(s)})ds + (cid:15)

σ (cid:90) t

q(s)ds + (cid:15).

≤ 4

Do (cid:15) là bất kì, ta có điều phải chứng minh.

Trong không gian tách được, ta có kết quả sau:

Mệnh đề 1.4 ([51], Định lí 4.2.3). Cho E là không gian Banach tách được. Nếu D ⊂ L1(J; E) là bị chặn tích phân và

χ(D(t)) ≤ p(t),

với p ∈ L1(J; R+), thì

(cid:19) (cid:18)(cid:90) t (cid:90) t

χ

D(s)ds

≤

p(s)ds

với t ∈ J.

Giả sử L(E) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên E, ta nhắc lại định nghĩa χ-chuẩn của một ánh xạ tuyến tính bị chặn T (xem [2]):

(1.6)

(cid:107)T (cid:107)χ = inf{β > 0 : χ(T (B)) ≤ βχ(B), ∀B ∈ Pb(E)}.

Ta biết rằng χ-chuẩn của T được tính bởi công thức

(cid:107)T (cid:107)χ = χ(T (B1)) = χ(T (S1)),

trong đó B1 và S1 tương ứng là khối cầu đơn vị và mặt cầu đơn vị trong E. Ta cũng có

(cid:107)T (cid:107)χ ≤ (cid:107)T (cid:107)L(E),

với (cid:107)T (cid:107)L(E) là chuẩn toán tử trong L(E). Rõ ràng, T là toán tử compact khi và chỉ khi (cid:107)T (cid:107)χ = 0.

1.3. LÍ THUYẾT NỬA NHÓM

Mục này được dùng để trình bày một số khái niệm và kết quả trong lí thuyết nửa nhóm, chi tiết có thể xem trong các cuốn chuyên khảo [36, 64].

Định nghĩa 1.3. Một họ các ánh xạ S(t) ∈ L(E), 0 ≤ t < +∞, được gọi là nửa nhóm các ánh xạ tuyến tính bị chặn (gọi tắt là nửa nhóm) trên E nếu nó thỏa mãn:

(i) S(0) = I, I là phép đồng nhất trên E,

(ii) S(t + s) = S(t)S(s) với mọi t, s ≥ 0.

Định nghĩa 1.4. Ta nói rằng toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của nửa nhóm tuyến tính {S(t)}t≥0 nếu nó được xác định bởi:

,

Ax = lim t→0+

S(t)x − x t

với mọi x ∈ D(A), trong đó D(A) là miền xác định của A, được xác định như sau

tồn tại trong E}.

D(A) = {x ∈ E : lim t→0+

S(t)x − x t

Định nghĩa 1.5. Nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (C0-nửa nhóm) nếu

S(t)x = x,

lim t→0+

với mọi x ∈ E.

Định lí sau cho ta một điều kiện cần để toán tử tuyến tính A sinh ra một

C0-nửa nhóm:

Định lí 1.1. Toán tử sinh của một C0-nửa nhóm phải là một toán tử tuyến tính đóng và xác định trù mật.

|f (s)| < +∞}

Ví dụ. Xét E = Cub(R+) = {f : R+ → R : (cid:107)f (cid:107) = sup s∈R+

là không gian các hàm liên tục đều và bị chặn trên R+. Họ toán tử {S(t)}t≥0 được xác định như sau:

S(t) : E → E

(S(t)f )(s) = f (t + s), s ∈ R+.

Khi đó {S(t)}t≥0 là một C0-nửa nhóm và toán tử sinh là toán tử đạo hàm

Af (s) = f (cid:48)(s),

với miền xác định D(A) = {f ∈ E : f khả vi và f (cid:48) ∈ E}.

Định lí 1.2. Giả sử {S(t)}t≥0 là một C0-nửa nhóm. Khi đó tồn tại các hằng số ω ∈ R và M ≥ 1 sao cho

(cid:107)S(t)(cid:107) ≤ M eωt, với mọi t ≥ 0.

Nếu ω ≤ 0, M = 1 thì {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm co.

Định nghĩa 1.6. Cho {S(t)}t≥0 là một C0-nửa nhóm trên E. Nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là:

(i) ổn định mũ nếu tồn tại các số dương M, α sao cho

(cid:107)S(t)(cid:107) ≤ M e−αt, với mọi t ≥ 0;

(ii) compact nếu S(t) là toán tử compact với mỗi t > 0;

(iii) χ-giảm nếu tồn tại các số N, β > 0 sao cho

(cid:107)S(t)(cid:107)χ ≤ N e−βt, với mọi t ≥ 0;

(iv) liên tục theo chuẩn nếu t (cid:55)→ S(t) là liên tục với t > 0.

π 2

Định nghĩa 1.7. Xét ∆δ = {z ∈ C : |arg z| < δ}, với 0 < δ < Họ {S(z)}z∈∆δ∪{0} ⊂ L(E) được gọi là nửa nhóm giải tích nếu

(i) S(0) = I;

(ii) S(z + z(cid:48)) = S(z)S(z(cid:48)), với mọi z, z(cid:48) ∈ ∆δ;

(iii) z (cid:55)→ S(z)x liên tục tại mọi z ∈ ∆δ, với x ∈ E;

(iv) z (cid:55)→ S(z) là hàm giải tích trong ∆δ.

Từ các định nghĩa, ta thấy rằng nếu C0-nửa nhóm S(·) ổn định mũ thì χ-giảm. Hơn nữa, nếu S(·) là compact thì S(·) là χ-giảm với β = +∞. Ngoài ra, nếu nửa nhóm {S(t)}t≥0 là khả vi, nửa nhóm compact hoặc nửa nhóm giải tích thì {S(t)}t≥0 liên tục theo chuẩn (xem [36]).

1.4. GIẢI TÍCH ĐA TRỊ VÀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

1.4.1. Một số vấn đề về giải tích đa trị

Trong mục này, chúng tôi trình bày về một số khái niệm và kết quả của giải tích đa trị, chi tiết hơn có thể xem trong [51]. Cho Y là một không gian metric.

Định nghĩa 1.8. Ánh xạ đa trị F : Y → P(E) được gọi là:

(i) nửa liên tục trên nếu F −1(V ) = {y ∈ Y : F(y) ∩ V (cid:54)= ∅} là tập con

đóng của Y với mọi tập đóng V ⊂ E;

(ii) nửa liên tục trên yếu nếu F −1(V ) là tập con đóng của Y với mọi tập

đóng yếu V ⊂ E;

(iii) đóng nếu đồ thị ΓF = {(y, z) : z ∈ F(y)} là tập đóng trong Y × E;

(iv) compact nếu F(Y ) compact tương đối trong E;

(v) tựa compact nếu ánh xạ hạn chế trên một tập con compact A ⊂ Y bất

kì là compact.

Ta có kết quả sau về điều kiện nửa liên tục trên của một ánh xạ đa trị.

Bổ đề 1.1 ([51], Định lí 1.1.12). Cho G : Y → P(E) là ánh xạ đa trị đóng, tựa compact và có giá trị compact. Khi đó G nửa liên tục trên.

Bổ đề 1.2 ([15], Mệnh đề 2). Cho E là một không gian Banach và Ω là một tập khác rỗng của một không gian Banach X. Giả sử rằng G : Ω → P(E) là ánh xạ đa trị có giá trị lồi, compact yếu. Khi đó G nửa liên tục trên yếu nếu và chỉ nếu {xn} ⊂ Ω với xn → x0 ∈ Ω và yn ∈ G(xn) kéo theo tồn tại dãy con của yn hội tụ yếu về y0 ∈ G(x0).

Sau đây nhắc lại khái niệm hàm chọn và nêu một số kết được dùng trong

các chương sau.

Định nghĩa 1.9. Hàm f : [a, b] → E, với [a, b] ⊂ R, được gọi là hàm chọn đo được mạnh của hàm đa trị F : [a, b] → Kv(E) nếu f đo được mạnh và

f (t) ∈ F (t), với hầu khắp t ∈ [a, b].

Đặt I = (−∞, σ] hoặc I = [σ − τ, σ] và J = [σ, T ]. Ký hiệu P là B hoặc Cτ . Với mỗi v ∈ Cφσ, φσ ∈ P, hàm v[φσ] là hàm liên tục được xác định như sau

(cid:40)

(1.7)

v[φσ](t) =

v(t) nếu t ∈ J, φσ(t − σ) nếu t ∈ I.

Xét hàm đa trị F : J × E × P → Kv(E), thỏa mãn

(G)(1) t (cid:40) F (t, x, y) có một hàm chọn đo được mạnh với mỗi (x, y) ∈ E × P và (x, y) (cid:40) F (t, x, y) là nửa liên tục trên với hầu khắp t ∈ J;

loc(R; R+) sao

(G)(2) tồn tại các hàm không âm a, b ∈ L1(J) và hàm g ∈ L1

cho

(cid:107)F (t, x, y)(cid:107) ≤ a(t)(cid:107)x(cid:107) + b(t)(cid:107)y(cid:107)P + g(t), ∀x ∈ E, y ∈ P,

ở đây (cid:107)F (t, x, y)(cid:107) = sup{(cid:107)ξ(cid:107) : ξ ∈ F (t, x, y)} và (cid:107)y(cid:107)P được hiểu là nửa chuẩn trong B hoặc là chuẩn sup trong C([−τ, 0]; E) của y.

Cho v ∈ Cφσ, đặt

PF (v) = {f ∈ L1(J; E) : f (t) ∈ F (t, v(t), v[φσ]t) với hầu khắp t ∈ J},

ở đó v[φσ]t là hàm trễ xác định như sau: v[φσ]t(s) = v[φσ](t + s), s ∈ (−∞, 0] nếu P là B và s ∈ [−τ, 0] nếu P = C([−τ, 0]; E).

Ta có các kết quả sau về sự tồn tại hàm chọn và tính chất của PF .

Mệnh đề 1.5. Giả sử (G)(1)-(G)(2) được thỏa mãn. Khi đó PF (u) (cid:54)= ∅ với mỗi u ∈ Cφσ. Ngoài ra, ánh xạ đa trị PF : Cφσ → P(L1(J; E)) là nửa liên tục trên yếu và có giá trị lồi, compact yếu.

Chứng minh. Cho u ∈ Cφσ. Lấy dãy các hàm bậc thang un sao cho un → u và fn là các hàm đo được mạnh với fn ∈ PF (un). Ta thấy {fn(t)} ⊂ C(t) := F (t, {un(t), un[φσ]t}), và C(t) là một tập compact với mỗi t ∈ J

do F (t, ·, ·) là nửa liên tục trên với hầu khắp t ∈ J. Hơn nữa, từ (G)(2) ta có dãy {fn} bị chặn bởi hàm khả tích. Do vậy dãy {fn} compact tương đối yếu trong L1(J; X) (xem [30]) nên ta có thể giả sử fn (cid:42) f . Khi đó theo Định lí Mazur tồn tại (cid:101)fn ∈ co{fi : i ≥ n} sao cho (cid:101)fn → f trong L1(J; X) và (cid:101)fn(t) → f (t) với hầu khắp t ∈ J, ít nhất là đúng với một dãy con. Để kết luận rằng f (t) ∈ F (t, un(t), un[φσ]t) với hầu khắp t ∈ J, ta lập luận như sau. Do F là hàm nửa liên tục trên với giá trị compact nên ta có:

F (t, un(t), un[φσ]t) ⊂ F (t, u(t), u[φσ]t) + B(cid:15)

với n đủ lớn, (cid:15) > 0 cho trước và B(cid:15) là hình cầu tâm 0 bán kính (cid:15) trong E. Do vậy: fn(t) ∈ F (t, u(t), u[φσ]t) + B(cid:15) với hầu khắp t ∈ J. Do tính lồi của F (t, u(t), u[φσ]t) + B(cid:15) bao hàm thức trên cũng đúng với (cid:101)fn(t). Từ đó suy ra f (t) ∈ F (t, u(t), u[φσ]t) + B(cid:15) với hầu khắp t ∈ J. Do (cid:15) nhỏ tuỳ ý, ta có f ∈ PF (u). Vậy PF (u) (cid:54)= ∅. Lập luận tương tự như trên nhưng thay các hàm bậc thang bởi các hàm un trong Cφσ và sử dụng Bổ đề 1.2 ta có PF nửa liên tục trên yếu với giá trị compact yếu.

Định nghĩa 1.10. Dãy {fn} ⊂ L1(J; E) được gọi là nửa compact nếu dãy này bị chặn tích phân và {fn(t)} ⊂ K(t) với hầu khắp t ∈ J, trong đó K(t) ⊂ E, t ∈ J, là một họ các tập compact.

Ta biết rằng nếu {fn} là một dãy nửa compact trong L1(J; E), thì {fn}

compact yếu (xem [30, 51]).

Cho A là một toán tử tuyến tính đóng và sinh ra nửa nhóm liên tục

mạnh {S(t)}t≥0 trên E. Đặt

(cid:90) t

(1.8)

W(f )(t) =

S(t − s)f (s)ds, với f ∈ L1(J; E),

Toán tử W được gọi là toán tử Cauchy. Ta có kết quả sau về W.

Mệnh đề 1.6. Cho S(·) là nửa nhóm liên tục theo chuẩn. Nếu D ⊂ L1(J; E) bị chặn tích phân thì W(D) đồng liên tục trong C(J; E), ở đó toán tử W : L1(J; E) → C(J; E) được cho bởi (1.8). Ngoài ra, nếu {fn} ⊂ L1(J; E) là dãy nửa compact thì {W(fn)} compact tương đối trong C(J; E). Hơn nữa, nếu fn (cid:42) f ∗ trong L1(J; E) thì W(fn) → W(f ∗) trong C(J; E).

Chứng minh. Phát biểu đầu tiên được chứng minh bằng cách kiểm tra trực tiếp. Ta chứng minh phát biểu thứ hai. Giả sử {fn} ⊂ L1(J; E) là dãy nửa

(cid:19) (cid:18) compact. Khi đó {fn(t)} ⊂ K(t) với K(t) là tập compact trong E, với hầu khắp t ∈ J, dẫn đến {fn(t)} compact tương đối với hầu khắp t ∈ J. Ta có: (cid:90) t (cid:8)

χ({W(fn)(t)}) = χ

S(t − s)fn(s)ds(cid:9)

(cid:90) t

≤ 2

(cid:107)S(t − s)(cid:107)χ({fn(s)})ds = 0.

Kết hợp với {W(fn)} là dãy đồng liên tục ta có {W(fn)} là tập compact tương đối trong C(J; E). Do W : L1(J; E) → C(J; E) là ánh xạ liên tục nên từ fn (cid:42) f ∗ suy ra W(fn) (cid:42) W(f ∗). Từ đây kết hợp với {W(fn)} compact tương đối ta được W(fn) → W(f ∗).

1.4.2. Ánh xạ nén và một số định lí điểm bất động

Lí thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén là công cụ cơ bản để chứng minh sự tồn tại nghiệm cho các bài toán trong luận án. Ngoài ra lí thuyết điểm bất động cũng được sử dụng để nghiên cứu tính ổn định của các hệ vi phân theo đề xuất của Burton và Furumochi [17, 18]. Chi tiết hơn về ánh xạ nén và các định lí điểm bất động cho ánh xạ nén, có thể xem trong [2, 51].

Định nghĩa 1.11. Ánh xạ liên tục F : Z ⊆ E → E được gọi là một ánh xạ nén theo độ đo β (β-nén) nếu với tập bị chặn Ω ⊂ Z, bất đẳng thức

β(Ω) ≤ β(F(Ω))

suy ra tính compact tương đối của Ω.

Với β là một độ đo đơn điệu và không suy biến trong E, từ Hệ quả 3.3.1

và Mệnh đề 3.5.1 trong [51] ta có định lí điểm bất động sau.

Định lí 1.3. Cho M là một tập con lồi, đóng, bị chặn của E và F : M → Kv(M) là ánh xạ đóng và β−nén. Khi đó Fix(F) := {x ∈ F(x)} là tập khác rỗng và compact.

Nguyên lí điểm bất động sau đây được coi là hệ quả của Định lí 1.3.

Định lí 1.4. Cho M là một tập con lồi, compact trong E và F : M → P(M) là một ánh xạ đa trị đóng với giá trị lồi. Khi đó Fix(F) là tập khác rỗng.

1.5. TẬP HÚT LÙI CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHÔNG Ô-TÔ-NÔM ĐA

TRỊ

Sau đây chúng tôi sẽ nhắc lại một số khái niệm và kết quả về D-hút lùi

d×E → Pc(E), ở đó R2

cho hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị (xem [20]).

Định nghĩa 1.12. Ánh xạ đa trị U : R2 d = {(t, τ ) ∈ R2 : t ≥ τ }, được gọi là một hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị hoặc quá trình đa trị trên E nếu và chỉ nếu

1) U(t, t, x) = {x} với mọi t ∈ R, x ∈ E;

2) U(t, τ, x) ⊂ U(t, s, U(s, τ, x)) với mọi τ ≤ s ≤ t, x ∈ E.

Quá trình đa trị U được gọi là ngặt nếu U(t, τ, x) = U(t, s, U(s, τ, x)) với mọi τ ≤ s ≤ t, x ∈ E.

Cho D là một họ các hàm đa trị xác định trên R lấy giá trị trong Pc(E) và có tính chất đóng với bao hàm thức, tức là: nếu D ∈ D và D(cid:48) là một hàm đa trị sao cho D(cid:48)(t) ⊂ D(t) với mọi t ∈ R, thì D(cid:48) ∈ D. Họ D như vậy được gọi là một tập phổ quát (universe).

Định nghĩa 1.13. Hàm đa trị B ∈ D được gọi là tập D-hấp thụ lùi nếu với mỗi D ∈ D, tồn tại một số T = T (t, D) > 0 sao cho

U(t, t − s, D(t − s)) ⊂ B(t), với mọi s ≥ T.

Ta nói rằng hàm đa trị B ∈ D có tính chất D-hút lùi (đối với quá trình U ) nếu với mọi D ∈ D, ta có

distE(U(t, t − s, D(t − s)), B(t)) = 0,

lim s→+∞

với mọi t ∈ R. Trong đó distE(·, ·) là nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập trong E, được xác định như sau

(cid:107)a − b(cid:107).

inf b∈B

distE(A, B) = sup a∈A

Định nghĩa 1.14. Hàm đa trị A ∈ D được gọi là một D-hút lùi toàn cục đối với quá trình U nếu nó thỏa mãn

(i) A(t) là tập compact với mỗi t ∈ R;

(ii) A có tính chất D-hút lùi;

(iii) A là bất biến âm, tức là A(t) ⊂ U(t, τ, A(τ )) với mọi (t, τ ) ∈ R2 d.

Nếu trong yêu cầu (iii) dấu bao hàm thức được thay bởi dấu bằng thì D-hút lùi toàn cục A được gọi là bất biến.

Với hàm đa trị D, ta định nghĩa tập ω-giới hạn lùi của D là một tập phụ

thuộc vào t như sau

(cid:91) (cid:92)

U(t, t − s, D(t − s)).

Λ(t, D) =

s≥τ

τ ≥0

Bổ đề 1.3 ([20]). Cho U là một hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị trên E và là ánh xạ nửa liên tục trên, nói khác đi U(t, τ, ·) là nửa liên tục trên với mỗi (t, τ ) ∈ R2 d. Giả sử rằng B là một hàm đa trị sao cho U compact tiệm cận đối với B, tức là với mỗi dãy sn → +∞ và t ∈ R, thì dãy bất kỳ yn ∈ U(t, t − sn, B(t − sn)) là compact tương đối. Khi đó với t ∈ R, tập ω-giới hạn lùi Λ(t, B) là tập khác rỗng, compact và

distE(U(t, t − s, B(t − s)), Λ(t, B)) = 0,

lim s→+∞ Λ(t, B) ⊂ U(t, s, Λ(s, B)), với mọi (t, s) ∈ R2 d.

Bổ đề này giúp ta có một điều kiện đủ cho sự tồn tại của D-hút lùi toàn

cục sau đây.

Định lí 1.5 ([20]). Cho U là một hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị nửa liên tục trên xác định trên E, và B ∈ D là tập D-hấp thụ lùi đối với U sao cho U là compact tiệm cận ứng với B. Khi đó hàm đa trị A xác định bởi

A(t) = Λ(t, B)

là một D-hút lùi đối với U , và A là phần tử duy nhất trong D có tính chất này. Hơn nữa, nếu U là một quá trình đa trị ngặt thì A là bất biến.

Nhận xét 1.1. Có hai khái niệm hút lùi cho hệ động lực không ô-tô-nôm. Với khái niệm thứ nhất, yêu cầu đặt ra là tập hút lùi phải hút các tập bị chặn ô-tô-nôm, tức là distE(U(t, t − s, B), A(t)) → 0 khi s → +∞ với mọi tập B ∈ Pb(E). Với khái niệm thứ hai, tính chất hút lùi có liên quan đến tập tổng quát D như đã nêu ở trên và được sử dụng trong công trình này, cụ thể tính chất hút lùi được hiểu là

distE(U(t, t − s, B(t − s)), A(t)) = 0, ∀B ∈ D,

lim s→+∞

tức là A(t) hút các tập không ô-tô-nôm. So sánh giữa hai khái niệm này trong trường hợp hệ động lực không ô-tô-nôm đơn trị đã được công bố trong

[58] và trường hợp đa trị được công bố trong [66]. Trong cả hai công trình này, với một số giả thiết phù hợp, các tác giả đều đưa ra khẳng định: khi tập phổ quát D chứa các họ dạng {B(t) = B, ∀t ∈ R : B là bị chặn} và tồn tại cả hai tập hút lùi, thì tập hút lùi theo nghĩa thứ nhất là tập con của tập hút lùi theo nghĩa thứ hai. Ngoài ta, nếu tập hút lùi theo nghĩa thứ hai là bị chặn lùi thì hai tập hút trùng nhau.

Nhận xét 1.2. Trong một công bố gần đây ở [28], Coti Zelati và Kalita đã cải tiến phần lược đồ về tập hút lùi của hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị theo khái niệm thứ nhất, trong đó tính liên tục của hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị được thay bằng tính đóng. Trong lược đồ sử dụng khái niệm thứ hai, điều kiện về tính nửa liên tục trên của U có giảm nhẹ được hay không vẫn còn là một vấn đề cần được nghiên cứu.

Chương 2

TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ HỮU HẠN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính không ô-tô-nôm trong không gian Banach với trễ hữu hạn. Bằng các ước lượng theo độ đo không compact, chúng tôi chứng minh tính giải được toàn cục và sự tồn tại tập hút lùi cho quá trình đa trị sinh bởi hệ. Chúng tôi đưa ra một cách chứng minh tính compact tiệm cận của hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị sử dụng độ đo không compact. Phương pháp này hữu hiệu đối với các hệ vi phân mà nửa nhóm sinh bởi phần tuyến tính không có tính compact.

Nội dung của chương này dựa trên bài báo số 1 trong Danh mục công

trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án.

2.1. ĐẶT BÀI TOÁN

Cho (X, (cid:107) · (cid:107)) là một không gian Banach tách được. Ta nghiên cứu lớp

bao hàm thức tiến hoá sau:

(2.1)

(2.2)

u(cid:48)(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut) với t ≥ τ, u(t) = ϕτ (t − τ )

với t ∈ [τ − h, τ ],

trong đó hàm trạng thái u lấy giá trị trong X, A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh {S(t)}t≥0 trên X, F là một ánh xạ đa trị xác định trên R × X × C([−h, 0]; X), ut là hàm trễ xác định trên [−h, 0] với h > 0 cho trước, và ϕτ ∈ C([−h, 0]; X) là dữ kiện đầu.

2.2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kết quả về tính giải được và

tính chất của nghiệm đối với hệ (2.1)-(2.2) trên đoạn J = [τ, T ].

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân, ta giả thiết

(A) Nửa nhóm S(·) sinh bởi A liên tục theo chuẩn.

(F) Ánh xạ đa trị F : J × X × Ch → Kv(X) thỏa mãn

(1) t (cid:40) F (t, x, y) có một hàm chọn đo được với mỗi (x, y) ∈ X × Ch và (x, y) (cid:40) F (t, x, y) là nửa liên tục trên với hầu khắp t ∈ J;

loc(R; R+) sao cho

(2) tồn tại các số không âm a, b và hàm g ∈ L1

(cid:107)F (t, x, y)(cid:107) ≤ a(cid:107)x(cid:107) + b(cid:107)y(cid:107)Ch + g(t), ∀x ∈ X, y ∈ Ch,

ở đây (cid:107)F (t, x, y)(cid:107) = sup{(cid:107)ξ(cid:107) : ξ ∈ F (t, x, y)};

(3) Nếu nửa nhóm S(·) không có tính compact, thì tồn tại các hàm

p, q ∈ L1

loc(R; R+) sao cho

χ(C(θ))

χ(F (t, B, C)) ≤ p(t)χ(B) + q(t) sup θ∈[−h,0]

với mọi tập bị chặn B ⊂ X, C ⊂ Ch.

Nhận xét 2.1. Nếu X là không gian hữu hạn chiều, (F)(3) có thể bỏ được vì nó là hệ quả trực tiếp của (F)(2). Cụ thể F (t, B, C) bị chặn khi B, C bị chặn và vì vậy nó compact tương đối trong X.

Nhận xét 2.2. Với các giả thiết (A) và (F), ta được các kết quả trong Mệnh đề 1.5 và Mệnh đề 1.6.

Sau đây là định nghĩa về nghiệm tích phân của hệ (2.1)-(2.2).

Định nghĩa 2.1. Hàm u : [τ −h, T ] → X được gọi là nghiệm tích phân của hệ (2.1)-(2.2) nếu u ∈ C([τ − h, T ]; X), u(t) = ϕτ (t − τ ) với t ∈ [τ − h, τ ] và tồn tại hàm f ∈ PF (u|[τ,T ]) sao cho

(cid:90) t

(2.3)

u(t) = S(t − τ )ϕτ (0) +

S(t − s)f (s)ds

với mỗi t ∈ [τ, T ].

Chúng ta định nghĩa toán tử đa trị F : Cϕτ → P(Cϕτ ) như sau

(cid:90) t (cid:110) (cid:111)

F(v)(t) =

S(t − τ )ϕτ (0) +

.

S(t − s)f (s)ds | f ∈ PF (v)

Khi đó

F(v)(t) = S(t − τ )ϕτ (0) + W ◦ PF (v)(t).

là điểm bất động của F khi và chỉ khi u = v[ϕτ ] là Ta thấy, v ∈ Cϕτ nghiệm tích phân của hệ (2.1)-(2.2). Do đó, F được gọi là toán tử nghiệm.

Sự tồn tại nghiệm của bài toán được trình bày trong định lí sau.

Định lí 2.1. Giả sử (A) và (F) thỏa mãn. Khi đó hệ (2.1)-(2.2) có nghiệm tích phân với mỗi dữ kiện đầu ϕτ ∈ Ch.

Chứng minh. Phép chứng minh được chia thành ba bước.

Bước 1. Ta tìm một tập lồi, đóng M0 ⊂ Cϕτ sao cho F(M0) ⊂ M0.

Lấy z ∈ F(u), u ∈ Cϕτ . Từ định nghĩa của toán tử nghiệm, ta có

(cid:90) t

(cid:107)z(t)(cid:107) ≤ M (cid:107)ϕτ (0)(cid:107) + M

[a(cid:107)u(s)(cid:107) + b(cid:107)u[ϕτ ]s(cid:107)Ch + g(s)]ds

(cid:90) t

≤ M (cid:107)ϕτ (0)(cid:107) + M (cid:107)g(cid:107)L1(J) + M

(a(cid:107)u(s)(cid:107) + b(cid:107)u[ϕτ ]s(cid:107)Ch)ds,

trong đó M = sup

(cid:107)S(t)(cid:107).

t∈[0,T −τ ]

Mặt khác

(cid:107)u[ϕτ ](s + θ)(cid:107)

(cid:107)u[ϕτ ]s(cid:107)Ch = sup

θ∈[−h,0]

(cid:107)u(ρ)(cid:107).

≤ (cid:107)ϕτ (cid:107)Ch + sup

ρ∈[τ,s]

Do vậy

(cid:90) t

(cid:107)z(t)(cid:107) ≤ K + M (a + b)

(cid:107)u(ρ)(cid:107)ds,

sup ρ∈[τ,s]

ở đó K = M (cid:107)ϕτ (0)(cid:107) + M (cid:107)g(cid:107)L1(J) + M b(cid:107)ϕτ (cid:107)Ch(T − τ ). Do hạng tử cuối không giảm theo t nên:

(cid:90) t

(2.4)

(cid:107)z(ρ)(cid:107) ≤ K + M (a + b)

(cid:107)u(ρ)(cid:107)ds.

sup ρ∈[τ,t]

sup ρ∈[τ,s]

Kí hiệu

(cid:107)u(s)(cid:107) ≤ ψ(t), t ∈ J},

M0 = {u ∈ Cϕτ : sup s∈[τ,t]

với ψ là nghiệm của phương trình tích phân

(cid:90) t

ψ(t) = K + M (a + b)

ψ(s)ds.

Ta được M0 là tập con lồi đóng của Cϕτ và đánh giá (2.4) suy ra rằng F(M0) ⊂ M0.

Bước 2. Ta tìm tập con lồi, compact M ⊂ Cϕτ bất biến dưới tác động

của F . Đặt

Mk+1 = coF(Mk), k = 0, 1, 2...

ở đây kí hiệu co dùng để chỉ bao lồi đóng của một tập con trong Cϕτ . Khi đó Mk lồi và đóng. Hơn nữa, do F(M0) ⊂ M0 và M0 là tập lồi đóng nên M1 ⊂ M0. Bằng quy nạp, ta được

Mk+1 = coF(Mk) ⊂ coF(Mk−1) = Mk

với k = 1, 2, ... Lấy M =

Mk thì M là tập con lồi đóng của Cϕτ và

∞ (cid:84) k=0

F(M) ⊂ M. Ta sẽ chỉ ra rằng M compact bằng cách sử dụng định lí Arzelà-Ascoli. Thật vậy, trước tiên ta chứng minh tính compact của M(t) với mỗi t ≥ τ . Điều này xảy ra nếu

hk(t) = χ(Mk(t)) → 0 khi k → +∞.

Với (cid:15) > 0, lấy dãy {uj(t)} ⊂ Mk+1(t) sao cho

hk+1(t) = χ(Mk+1(t)) ≤ 2χ({uj(t)}) + (cid:15).

Vì Mk+1 = coF(Mk), ta có thể chọn một dãy {vj} ⊂ Mk sao cho uj ∈ coF(vj). Hiển nhiên

(2.5)

χ({vj(t)}) ≤ χ(Mk(t)) = hk(t).

Ngoài ra, với fj ∈ PF (vj) ta nhận thấy

• nếu S(·) compact thì

χ ({S(t − s)fj(s)}) = 0 với hầu khắp s ∈ [0, t],

• nếu S(·) không compact thì (cid:34)

χ({S(t − s)fj(s)}) ≤ M

p(s)χ({vj(s)})

(cid:35) χ({vj[ϕτ ](s + r)})

+ q(s) sup r∈[−h,0]

(cid:34) (cid:35)

≤ M

,

χ({vj(θ)})

p(s)χ({vj(s)}) + q(s) sup θ∈[τ,s]

theo (F)(3). Vì vậy

(cid:27) (cid:17) (cid:16) (cid:26)(cid:90) t

χ({uj(t)}) = χ

S(t − s)fj(s)ds | fj(s) ∈ F (s, vj(s), vj[ϕτ ]s)

(cid:90) t

≤ M

χ({vj(r)})]ds

[p(s) χ({vj(s)}) + q(s) sup r∈[τ,s]

(cid:90) t

≤ M

χ({vj(r)})ds

[p(s) + q(s)] sup r∈[τ,s]

τ (cid:90) t

≤ M

hk(r)ds,

[p(s) + q(s)] sup r∈[τ,s]

nhờ Mệnh đề 1.3. Do đó

(cid:90) t

hk+1(t) ≤ 2χ({uj(t)}) + (cid:15) ≤ 2M

hk(r)ds + (cid:15).

[p(s) + q(s)] sup r∈[τ,s]

Vì (cid:15) > 0 tuỳ ý nên

(cid:90) t

hk+1(t) ≤ 2M

hk(r)ds.

[p(s) + q(s)] sup r∈[τ,s]

Do hạng tử cuối không giảm theo t nên

(cid:90) t

ηk+1(t) ≤ 2M

[p(s) + q(s)]ηk(s)ds,

hk(r). Cho k → +∞, ta được

trong đó ηk(s) = sup r∈[τ,s]

(cid:90) t

η∞(t) ≤ 2M

[p(s) + q(s)]η∞(s)ds,

ηk(t), giới hạn tồn tại vì {ηk(t)} là dãy giảm. Sử dụng

ở đó η∞(t) = lim k→+∞

bất đẳng thức Gronwall, suy ra η∞(t) = 0 với mọi t ∈ J. Do 0 ≤ hk(t) ≤ ηk(t), t ∈ J nên hk(t) → 0 khi k → +∞. Như vậy M(t) là compact với mỗi t ∈ J.

Sau đây, ta chứng tỏ rằng M đồng liên tục. Nhắc lại rằng

F(Mk) = S(· − τ )ϕτ (0) + W ◦ PF (Mk).

Từ (F)(2), suy ra PF (Mk) bị chặn tích phân. Do đó, theo Mệnh đề 1.6, F(Mk) là tập đồng liên tục với mọi k ∈ N. Vì vậy M là tập đồng liên tục.

Bước 3. Xét F : M → P(M). Để áp dụng nguyên lí điểm bất động cho trong Định lí 1.4, ta chỉ cần chứng minh F có đồ thị đóng. Lấy {un} ⊂ M với un → u∗ và vn ∈ F(un) với vn → v∗. Khi đó

(2.6)

vn(t) = S(t − τ )ϕτ (0) + W(fn)(t), fn ∈ PF (un).

Sử dụng Mệnh đề 1.5, ta được PF nửa liên tục trên yếu. Do vậy ta có fn (cid:42) f ∗ trong L1(J; X) và f ∗ ∈ PF (u∗). Do F (t, ·, ·) nửa liên tục trên,

K(t) = F (t, {un(t), un[ϕτ ]t}) là compact và {fn(t)} ⊂ K(t) với hầu khắp t ∈ J. Mặt khác, từ điều kiện (F)(2), ta thấy {fn} bị chặn tích phân. Vì vậy, theo Mệnh đề 1.6 thì ta được tính compact của {W(fn)} trong C(J; X). Chuyển qua giới hạn trong (2.6) để nhận được đẳng thức

(cid:90) t

v∗(t) = S(t − τ )ϕτ (0) +

S(t − s)f ∗(s)ds

với f ∗ ∈ PF (u∗). Điều này nghĩa là v∗ ∈ F(u∗), định lí được chứng minh.

Kết quả sau đây được chứng minh nhằm sử dụng cho việc chỉ ra sự tồn

tại của tập D-hút lùi của hệ động lực sinh bởi bài toán.

Ký hiệu πT , T > τ, là toán tử cắt trên [τ, T ] tác động lên không gian C([τ, +∞); X), tức là, với mỗi z ∈ C([τ, +∞); X), πT (z) là hạn chế của hàm z trên [τ, T ]. Đặt

Σ(ϕτ ) = {u ∈ C([τ, +∞); X) : u[ϕτ ] là nghiệm tích phân

của hệ (2.1)-(2.2) trên [τ − h; T ] với mọi T > τ }.

Ta thấy

(2.7)

πT ◦ Σ(ϕτ ) = S(· − τ )ϕτ (0) + W ◦ PF (πT ◦ Σ(ϕτ )),

n}) là compact trong n} ⊂ Ch là một dãy hội tụ. Nói riêng, πT ◦ Σ(ϕτ ) là

với mọi T > τ và πT ◦ Σ(ϕτ ) = Fix(F), với Fix(F) tập điểm bất động của toán tử nghiệm F của hệ (2.1)-(2.2) trong Cϕτ .

Bổ đề 2.1. Với giả thiết của Định lí 2.1, πT ◦ Σ({ϕτ C([τ, T ]; X) nếu {ϕτ tập compact với mỗi ϕτ ∈ Ch.

n), n ∈ N. Ta có

Chứng minh. Lấy dãy vn ∈ πT ◦ Σ(ϕτ

vn(t) = S(t − τ )ϕτ

n(0) + W(fn)(t), fn ∈ PF (vn).

Sử dụng (F)(2), ta được {vn} bị chặn trong C([τ, T ]; X), vì vậy {fn} bị chặn tích phân. Do đó {W(fn)} đồng liên tục theo Mệnh đề 1.6. Điều đó có nghĩa là {vn} đồng liên tục. Ngoài ra ta có

χ({vn(t)}) ≤ χ({W(fn)(t)}) (cid:90) t

≤

χ({S(t − s)fn(s)})ds

(cid:90) t

≤ M

χ({vn(s + θ)})]ds

[p(s)χ({vn(s)}) + q(s) sup θ∈[−h,0]

τ (cid:90) t

≤ M

χ({vn(ρ)})ds.

[p(s) + q(s)] sup ρ∈[τ,s]

Do vậy (cid:90) t

νn(t) ≤ M

[p(s) + q(s)]νn(s)ds,

χ({vn(ρ)}). Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có

với νn(t) = sup ρ∈[τ,t]

νn(t) = 0 với mọi t ∈ [τ, T ], điều này tương đương với {vn(t)} com- pact tương đối với t ∈ [τ, T ]. Tính đóng của πT ◦ Σ({ϕτ n}) đạt được bằng lập luận như trong Bước 3 chứng minh của Định lí 2.1.

Đặt Σ(t, τ, ϕτ ) = πt ◦ Σ(ϕτ ). Ta sẽ chứng minh Σ(t, τ, ·) nửa liên tục

trên trong Bổ đề dưới đây.

Bổ đề 2.2. Với các giả thiết (A) và (F)(1)-(F)(3), Σ(t, τ, ·) là nửa liên tục trên và có giá trị compact với mỗi (t, τ ) cho trước.

Chứng minh. Ta có Σ(t, τ, ϕτ ) = πt ◦ Σ(ϕτ ) compact trong C([τ, t]; X) với mỗi ϕτ ∈ Ch như trong Bổ đề 2.1, tức là Σ(t, τ, ·) có giá trị compact.

Theo Bổ đề 1.1, chỉ còn phải chứng minh Σ(t, τ, ·) tựa compact và có đồ

thị đóng.

Trước tiên, ta chỉ ra rằng Σ(t, τ, ·) là tựa compact. Lấy K ⊂ Ch là một tập compact và {zn} ⊂ Σ(t, τ, K), lấy một dãy {φτ n} ⊂ K sao cho zn ∈ Σ(t, τ, φτ n). Theo Bổ đề 2.1, πt◦Σ({φτ n}) là compact trong C([τ, t]; X). Do đó tồn tại một dãy con của {zn} (lại kí hiệu bởi {zn}) sao cho zn → z∗ trong C([τ, t]; X).

n} là một dãy n) sao cho ξn hội tụ đến ξ∗ trong

Tiếp theo, ta chứng minh Σ(t, τ, ·) có đồ thị đóng. Lấy {ϕτ

trong Ch hội tụ đến ϕ∗ và ξn ∈ πt ◦ Σ(ϕτ Ch. Lấy fn ∈ PF (ξn) sao cho:

(2.8)

ξn(r) = S(r − τ )ϕτ

n(0) + W(fn)(r), r ∈ [τ, t].

Từ (F)(2) và {ξn} bị chặn, suy ra {fn} bị chặn tích phân. Hơn nữa, K(r) = F (r, {ξn(r), ξn[ϕτ n]r}), r ∈ [τ, t], là tập compact và {fn(r)} ⊂ K(r). Vậy {fn} là dãy nửa compact. Áp dụng Mệnh đề 1.6, ta được fn (cid:42) f ∗ và W(fn) → W(f ∗). Qua giới hạn trong (2.8), thì

ξ∗(r) = S(r − τ )ϕ∗(0) + W(f ∗)(r), r ∈ [τ, t].

Do PF nửa liên tục trên yếu, ta có f ∗ ∈ PF (ξ∗). Vậy ξ∗ ∈ πt ◦ Σ(ϕ∗). Định lí được chứng minh.

Nhờ vào sự tồn tại nghiệm, chúng ta định nghĩa hệ động lực không ô-tô-

d × Ch → Pc(Ch),

nôm đa trị U sinh bởi hệ (2.1)-(2.2) như sau:

U : R2 U(t, τ, ϕτ ) = {ut : u[ϕτ ] là nghiệm tích phân của hệ (2.1)-(2.2)}

= {ut : u ∈ Σ(ϕτ )}.

Lí luận tương tự như trong [20], thì U là một hệ động lực không ô-tô-nôm ngặt. Ngoài ra, ta có tính chất sau đây.

Bổ đề 2.3. Với các giả thiết (A) và (F)(1)-(F)(3), U(t, τ, ·) là nửa liên tục trên, có giá trị compact với mỗi (t, τ ) ∈ R2 d.

Chứng minh. Suy trực tiếp từ Bổ đề 2.2.

2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI

Trong phần này, ta giả thiết:

(A*) Nửa nhóm S(t) = etA liên tục theo chuẩn, ổn định mũ và χ-giảm, tức

là tồn tại các số N ≥ 1, α, β > 0 sao cho

(2.9)

(cid:107)S(t)(cid:107) ≤ e−αt, (cid:107)S(t)(cid:107)χ ≤ N e−βt, ∀t > 0.

(F*) Hàm phi tuyến F thỏa mãn (F) với a + b < α; p, q ∈ L∞(R; R+) sao

cho

N ((cid:107)p(cid:107)∞ + (cid:107)q(cid:107)∞) < β,

loc(R; R+) thỏa mãn

và g ∈ L1

(cid:37)(t) := ess supτ ≤t g(τ ) < +∞, t ∈ R.

Trong trường hợp tổng quát, điều kiện (2.9) là (cid:107)S(t)(cid:107) ≤ Ce−αt với C ≥ 1. Tuy nhiên, có thể lấy C = 1 bởi vì chuẩn trong X có thể thay bằng chuẩn tương đương |(cid:107)x(cid:107)| = sup{eαt(cid:107)S(t)x(cid:107) : t ≥ 0} và ta có

(cid:107)x(cid:107) ≤ |(cid:107)x(cid:107)| ≤ C(cid:107)x(cid:107), |(cid:107)S(t)x(cid:107)| = e−αt sup{eα(t+s)(cid:107)S(t + s)x(cid:107) : s ≥ 0} ≤ e−αt|(cid:107)x(cid:107)|.

Trong mục này, ta xét trường hợp nửa nhóm S(·) là không compact. Nếu nửa nhóm S(·) là nửa nhóm compact thì chọn β = +∞.

Ký hiệu χC là độ đo không compact Hausdorff trên Ch. Ta có các tính

chất sau của χC (xem [2]):

χ(D(s)) ≤ χC(D) với mọi tập bị chặn D ⊂ Ch;

sup s∈[−h,0]

χ(D(s)).

2) nếu D là tập đồng liên tục thì χC(D) = sup s∈[−h,0]

Với số cố định T > h và t ∈ R, ta định nghĩa toán tử đa trị GT,t như sau:

GT,t : Ch → P(Ch) GT,t(φ) = U(t, t − T, φ).

Ta sẽ chứng minh tính nén của GT,t để từ đó suy ra tính compact tiệm cận của hệ động lực U . Ta cần sử dụng bất đẳng thức Halanay sau đây (xem [41] (§4.5), hoặc [73] cho trường hợp tổng quát).

Mệnh đề 2.1 (Bất đẳng thức Halanay). Cho hàm liên tục f : [t0−h, T ) → R+, t0 < T < +∞ thỏa mãn bất đẳng thức vi phân hàm sau

f (cid:48)(t) ≤ −γf (t) + ν sup

f (s),

s∈[t−h,t]

với t ≥ t0, và các số cố định γ > ν > 0. Khi đó

f (t) ≤ κe−(cid:96)(t−t0), t ≥ t0,

trong đó κ = sup

f (s) và (cid:96) là nghiệm của phương trình γ = (cid:96) + νe(cid:96)h.

s∈[t0−h,t0]

Sử dụng bất đẳng thức Hanalay, ta thu được tính nén của GT,t trong bổ

đề sau.

Bổ đề 2.4. Nếu các giả thiết (A*) và (F*) thỏa mãn, thì tồn tại các số T > h và ζ ∈ (0, 1) sao cho

(cid:0)GT,t(B)(cid:1) ≤ ζ.χC(B) với mọi tập B ∈ Pb(Ch).

χC

Chứng minh. Đặt D = Σ(B), nhắc lại rằng

(cid:90) s

(2.10)

D(s) = S(s − τ )B(0) +

S(s − r)PF (D)(r)dr, ∀(s, τ ) ∈ R2 d.

Rõ ràng tập D(s) là tập bị chặn. Ta định nghĩa hàm v như sau

(cid:40)

r ≥ τ,

(2.11)

v(r) =

χ(cid:0)D(r)(cid:1), χ(B(r − τ )),

r ∈ [τ − h, τ ].

Từ (2.10), suy ra

(cid:16) (cid:90) s

v(s) ≤ χ(S(s − τ )B(0)) + χ

(cid:17) .

S(s − r)PF (D)(r)dr

Sử dụng (A*) và (F*), ta có các ước lượng sau

χ(S(s − τ )B(0)) ≤ N e−β(s−τ )χ(B(0)),

χ (S(s − r)PF (D)(r)) ≤ N e−β(s−r)(cid:16)

(cid:107)p(cid:107)∞χ(D(r))

χ(D[B](θ))

(cid:17) ,

+ (cid:107)q(cid:107)∞ sup

θ∈[r−h,r]

trong đó

(cid:40)

D(θ),

θ ≥ τ,

D[B](θ) =

B(θ − τ ),

θ ∈ [τ − h, τ ].

Theo Mệnh đề 1.4, ta được v(s) ≤ e−βs(cid:104)

(cid:17) (cid:105)

N eβτ χ(B(0))+ (cid:90) s eβr(cid:16)

+ N

χ(D[B](θ))

dr

,

(cid:107)p(cid:107)∞χ(D(r)) + (cid:107)q(cid:107)∞ sup

θ∈[r−h,r]

Ký hiệu z(s) là vế phải của bất đẳng thức cuối và đặt z(r) = N v(r) khi r ∈ [τ − h, τ ], ta có v(s) ≤ z(s), ∀s ≥ τ − h và

(cid:32) (cid:33)

z(cid:48)(s) = −βz(s) + N

v(r)

(cid:107)p(cid:107)∞ v(s) + (cid:107)q(cid:107)∞ sup

r∈[s−h,s]

z(r), s ≥ τ.

≤ −(β − N (cid:107)p(cid:107)∞)z(s) + N (cid:107)q(cid:107)∞ sup

r∈[s−h,s]

Áp dụng bất đẳng thức Halanay cho z, ta được

z(s) ≤ sup

z(r)e−(cid:96)(s−τ ) = N sup

v(r)e−(cid:96)(s−τ ), s ≥ τ,

r∈[τ −h,τ ]

trong đó (cid:96) là nghiệm của phương trình β − N (cid:107)p(cid:107)∞ = (cid:96) + N (cid:107)q(cid:107)∞e(cid:96)h. Do đó

v(s) ≤ z(s) ≤ N sup

χ(B(r − τ )) e−(cid:96)(s−τ )

r∈[τ −h,τ ]

≤ N e−(cid:96)(s−τ )χC(B), s ≥ τ,

nhờ vào định nghĩa của v trong (2.11). Với s > h + τ , thì

(2.12)

v(s + θ) ≤ N e−(cid:96)(s−h−τ )χC(B),

sup θ∈[−h,0]

Sử dụng (2.10), ta được

(cid:90) s+θ

Ds(θ) = S(s + θ − τ )B(0) +

S(s + θ − r)PF (D)(r)dr, θ ∈ [−h, 0],

(2.13)

trong đó Ds = {us : u ∈ D} ⊂ Ch. Vì s − τ > h và S(·) là liên tục theo chuẩn, tập các hàm Ξ1 xác định bởi Ξ1(θ) = S(s − τ + θ)B(0) là đồng liên tục trong Ch. Hơn nữa, tập các hàm Ξ2 cho bởi

(cid:90) s+θ

Ξ2(θ) =

S(s + θ − r)PF (D)(r)dr

cũng là tập đồng liên tục trong Ch. Vì vậy, Ds = Ξ1 + Ξ2 là tập đồng liên tục trong Ch và khi đó

v(s + θ) ≤ N e−(cid:96)(s−h−τ )χC(B),

χC(Ds) = sup θ∈[−h,0]

χ(D(s + θ)) = sup θ∈[−h,0]

(cid:96) ln N , ta được

nhờ vào (2.12). Chọn τ = t − T với T > T ∗ = h + 1

GT,t(B) = U(t, t − T, B) = {ut : u ∈ Σ(B)} = Dt,

và khi đó

χC(GT,t(B)) = χC(Dt) ≤ ζ · χC(B),

với ζ = N e−(cid:96)(T −h) < 1. Phép chứng minh kết thúc.

Lấy d ∈ (b, α − a) và gọi (cid:96) là nghiệm của phương trình

(2.14)

α − a = (cid:96) + d e(cid:96)h.

Trong phần còn lại của chương này, ta xét tập phổ quát D gồm tất cả các hàm đa trị D lấy giá trị trong Pc(Ch) sao cho D(τ ) ⊂ BCh[0, r(τ )] với r(τ ) thỏa mãn

r(τ )e(cid:96)τ = 0.

lim τ →−∞

Bổ đề sau đây chỉ ra dáng điệu của U .

Bổ đề 2.5. Giả sử (A*) và (F*) thỏa mãn. Khi đó U có một tập D-hấp thụ lùi.

Chứng minh. Lấy D ∈ D, D(τ ) ⊂ BCh[0, r(τ )]. Với T > τ và ϕτ ∈ D(τ ), ta xét nghiệm u[ϕτ ] xác định bởi

(cid:90) t

u(t) = S(t − τ )ϕτ (0) +

S(t − s)f (s)ds, với t ∈ [τ, T ],

trong đó f ∈ PF (u). Sử dụng (F)(2) và (A*), ta được

(cid:90) t

(cid:107)u(t)(cid:107) ≤ e−α(t−τ )(cid:107)ϕτ (0)(cid:107) +

e−α(t−s)[a(cid:107)u(s)(cid:107) + b(cid:107)us(cid:107)Ch + g(s)]ds.

(2.15)

= d < α − a, ở đó (cid:37) được định nghĩa

Lấy R = R(T ) sao cho b +

(cid:37)(T ) R(T )

trong (F*). Mục đích của chúng ta là chỉ ra sự tồn tại của T ∗ = T ∗(D) > 0 sao cho (cid:107)uT (cid:107)Ch ≤ R(T ) với mọi u ∈ Σ(ϕτ ) khi T − τ ≥ T ∗, từ đó suy ra rằng

U(T, τ, ϕτ ) ⊂ BCh[0, R(T )], ∀ϕτ ∈ D(τ ), τ ≤ T − T ∗.

Trước hết, nếu (cid:107)ut(cid:107)Ch > R(T ) với mọi t ∈ [τ, T ], thì

(cid:16) (cid:17)

b +

b(cid:107)us(cid:107)Ch + g(s) ≤ (cid:107)us(cid:107)Ch

= d(cid:107)us(cid:107)Ch, với mọi s ∈ [τ, T ].

(cid:37)(T ) R(T )

Nên từ (2.15) suy ra

(cid:90) t

(cid:107)u(t)(cid:107) ≤ e−α(t−τ )(cid:107)ϕτ (0)(cid:107) +

e−α(t−s)[a(cid:107)u(s)(cid:107) + d(cid:107)us(cid:107)Ch]ds, t ∈ [τ, T ].

Đặt

τ e−α(t−s)[a(cid:107)u(s)(cid:107) + d(cid:107)us(cid:107)Ch]ds, t ≥ τ,

(cid:40)

v(t) =

e−α(t−τ )(cid:107)ϕτ (0)(cid:107) + (cid:82) t (cid:107)u(t)(cid:107), t ∈ [τ − h, τ ].

Khi đó (cid:107)u(t)(cid:107) ≤ v(t) với mọi t ∈ [τ − h, T ], và thu được ước lượng sau

v(cid:48)(t) ≤ −(α − a)v(t) + d sup

v(s), t ≥ τ.

s∈[t−h,t]

Sử dụng bất đẳng thức Halanay, suy ra

(cid:107)u(t)(cid:107) ≤ (cid:107)ϕτ (cid:107)Che−(cid:96)(t−τ ) ≤ r(τ )e−(cid:96)(t−τ ), với mọi t ∈ [τ, T ],

ở đó (cid:96) được xác định bởi (2.14). Bất đẳng thức cuối cho thấy (cid:107)ut(cid:107)Ch tiến về 0 khi τ → −∞, nên ta có thể tìm được số t1 ∈ (τ, T ] sao cho (cid:107)ut1(cid:107)Ch < R(T ). Mâu thuẫn này chỉ ra rằng tồn tại số t0 ∈ [τ, T ] sao cho (cid:107)ut0(cid:107)Ch ≤ R(T ).

Nếu t0 = T thì ta được điều phải chứng minh. Trái lại, ta sẽ chứng minh rằng (cid:107)ut(cid:107)Ch ≤ R(T ) với mọi t ∈ [t0, T ]. Thực vậy, nếu điều ngược lại đúng, thì tồn tại t1 ∈ [t0, T ) sao cho

(cid:107)ut1(cid:107)Ch ≤ R(T ) nhưng (cid:107)ut(cid:107)Ch > R(T ) với mọi t ∈ (t1, t1 + θ), trong đó θ > 0, t1 + θ < T . Với nghiệm u[ϕτ ] trên [t1, t1 + θ), ta có

(cid:90) t

S(t − s)f (s)ds.

u(t) = S(t − t1)u(t1) +

Khi đó

(cid:90) t

(cid:107)u(t)(cid:107) ≤ e−α(t−t1)(cid:107)u(t1)(cid:107)+

e−α(t−s)[a(cid:107)u(s)(cid:107)+d(cid:107)us(cid:107)Ch]ds, t ∈ [t1, t1+θ).

Sử dụng các lập luận như trên, ta thấy rằng với mọi t ∈ (t1, t1 + θ)

(cid:107)u(t)(cid:107) ≤ (cid:107)ut1(cid:107)Che−(cid:96)(t−t1) ≤ (cid:107)ut1(cid:107)Ch ≤ R(T ).

Do đó, với t ∈ [t1, t1 + θ), thì

(cid:107)u(t + s)(cid:107) = sup

(cid:107)u(r)(cid:107)

(cid:107)ut(cid:107)Ch = sup s∈[−h,0]

r∈[t−h,t]

≤ sup

(cid:107)u(r)(cid:107)

r∈[t1−h,t] = max{ sup

(cid:107)u(r)(cid:107)}

r∈[t1−h,t1]

(cid:107)u(r)(cid:107); sup r∈[t1,t]

(cid:107)u(r)(cid:107)} ≤ R(T ).

= max{(cid:107)ut1(cid:107)Ch; sup r∈[t1,t]

Ta gặp mâu thuẫn.

Tóm lại, (cid:98)B = {BCh[0, R(t)] : t ∈ R} là một tập D-hấp thụ lùi đối với

U , ở đó

.

R(t) =

(cid:37)(t) d − b

(cid:37)(τ )e(cid:96)τ = 0, điều này suy ra rằng (cid:98)B ∈ D.

Vì (cid:37)(·) là không giảm, nên lim τ →−∞ Hơn nữa, (cid:98)B là không giảm, nghĩa là (cid:98)B(τ ) ⊂ (cid:98)B(t) với mọi (t, τ ) ∈ R2 d.

Bổ đề 2.6. Giả sử (A*) và (F*) thỏa mãn. Khi đó hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị U là compact tiệm cận đối với tập hấp thụ (cid:98)B trong Bổ đề 2.5.

Chứng minh. Trước hết ta chỉ ra rằng, với mỗi (cid:15) > 0 đều tồn tại số dương T(cid:15)(t, (cid:98)B) > 0 sao cho

χC(U(t, t − s, (cid:98)B(t − s))) < (cid:15), ∀s ≥ T(cid:15)(t, (cid:98)B).

Lấy T > T ∗ và ζ ∈ (0, 1) như trong Bổ đề 2.4. Vì (cid:98)B là tập hấp thụ nên ta có thể lấy (cid:98)T > 0 sao cho

(2.16)

U(t, t − s, (cid:98)B(t − s)) ⊂ (cid:98)B(t), ∀s ≥ (cid:98)T .

Chọn n ∈ N là số sao cho

ζ nχC( (cid:98)B(t)) < (cid:15).

Với s ≥ T(cid:15)(t, (cid:98)B) := nT + (cid:98)T , ta có

U(t, t − s, (cid:98)B(t − s)) = GT,t ◦ GT,t−T ◦ ... ◦ GT,t−(n−1)T (U(t − nT, t − s, (cid:98)B(t − s))) ⊂ GT,t ◦ GT,t−T ◦ ... ◦ GT,t−(n−1)T ( (cid:98)B(t − nT )),

nhờ vào (2.16). Áp dụng Bổ đề 2.4, ta được

χC(U(t, t − s, (cid:98)B(t − s))) ≤ ζ nχC( (cid:98)B(t − nT )) ≤ ζ nχC( (cid:98)B(t)) < (cid:15).

Lấy sk → +∞ và ξk ∈ U(t, t − sk, (cid:98)B(t − sk)). Ta sẽ chỉ ra rằng {ξk} là compact tương đối trong Ch. Do (cid:15) > 0 nhỏ tùy ý nên ta sẽ thu được điều này nếu χC({ξk}) < (cid:15).

Gọi N ∈ N là số cố định sao cho sk ≥ T(cid:15)(t, (cid:98)B) + (cid:98)T với mọi k ≥ N . Khi

đó

U(t, t − sk, (cid:98)B(t − sk)) = U(t, t − T(cid:15), U(t − T(cid:15), t − sk, (cid:98)B(t − sk)))

⊂ U(t, t − T(cid:15), (cid:98)B(t − T(cid:15))), ∀k ≥ N,

ở đây ta sử dụng (2.16), và T(cid:15) ≡ T(cid:15)(t, (cid:98)B). Như vậy

{ξk : k ≥ N } ⊂ U(t, t − T(cid:15), (cid:98)B(t − T(cid:15))),

và khi đó

χC({ξk : k ≥ N }) ≤ χC(U(t, t − T(cid:15), (cid:98)B(t − T(cid:15))) < (cid:15).

Vì tập {ξk : k < N } là hữu hạn nên

χC({ξk}) ≤ χC({ξk : k < N })+χC({ξk : k ≥ N }) = χC({ξk : k ≥ N }) < (cid:15).

Ta có điều phải chứng minh.

Kết hợp các Bổ đề 2.3, 2.5 và 2.6, ta thu được kết quả chính sau đây.

Định lí 2.2. Nếu (A*) và (F*) thỏa mãn, thì hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị U sinh bởi hệ (2.1)-(2.2) có một tập D-hút lùi trong Ch.

2.4. ÁP DỤNG

2.4.1. Phương trình vi phân đạo hàm riêng hàm dạng đa diện

Cho Ω ⊂ Rn là miền bị chặn với biên trơn ∂Ω. Ta xét bài toán sau đây:

(2.17)

(t, x) = ∆u(t, x) + f (t, x), x ∈ Ω, t > τ,

∂u ∂t f (t, x) ∈ co {fi(t, x, u(t, x), u(t − ρ(t), x)) : i = 1, 2, ..., m} , (2.18) u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > τ, (2.19)

(2.20)

u(τ + s, x) = ϕτ (x, s), x ∈ Ω, s ∈ [−h, 0],

ở đó ρ : R → [0, h], fi : R × Ω × R2 → R, i = 1, 2, ..., m, là các hàm liên tục,

(cid:41) (cid:40) m (cid:88)

.

co {f1, f2, ..., fm} =

ηifi : ηi ≥ 0, η1 + η2 + · · · + ηm = 1

i=1

0 (Ω), X = L2(Ω)

Chọn A = ∆ với D(A) = H 2(Ω) ∩ H 1 và Ch = C([−h, 0]; L2(Ω)). Khi đó, ta biết rằng A là toán tử sinh của nửa nhóm co, compact trên X (xem [71], Định lí 7.2.5). Hơn nữa, nửa nhóm S(t) = etA là ổn định mũ, cụ thể là (cid:107)S(t)(cid:107) ≤ e−λ1t, t ≥ 0, ở đó λ1 > 0 là giá trị riêng lớn nhất của −A. Do vậy, ta có (A*) với α = λ1 và β = +∞.

Về các hàm phi tuyến fi, ta giả sử thêm rằng:

(P) |fi(t, x, y, z)| ≤ a|y| + b|z| + g(t, x) với mọi (t, x, y, z) ∈ R × Ω × R2, ở đây a, b là các số không âm và hàm g : R × Ω → R+ là hàm liên tục,

(cid:90)

|g(t, x)|2dx ≤ C(1 + t2)γeωt với γ ∈ R; C, ω > 0.

Ω

Ký hiệu ˆfi : R × X × Ch → X là các hàm xác định bởi

ˆfi(t, v, w)(x) = fi(t, x, v(x), w(−ρ(0), x)). Xét F (t, v, w) = co{ ˆfi(t, v, w) : i = 1, 2, ..., m}. Khi đó F : R×X ×Ch → P(X) là ánh xạ đa trị có giá trị lồi, đóng. Hơn nữa, ta thấy rằng với mỗi (t, v, w), thì F (t, v, w) là một tập bị chặn trong không gian hữu hạn chiều span{ ˆf1, ˆf2, ..., ˆfm} ⊂ X, vì thế F có giá trị compact. Ta sẽ chỉ ra rằng F (t, ·, ·) là nửa liên tục trên. Thật vậy, lấy {vn, wn} ⊂ X × Ch hội tụ đến (v, w). Khi đó, với tính liên tục của các hàm fi và định lí hội tụ trội Lebesgue, ˆfi(t, vn, wn) → ˆfi(t, v, w) trong X. Với (cid:15) > 0, tồn tại N ∈ N

sao cho

ˆfi(t, vn, wn) ∈ ˆfi(t, v, w) + (cid:15)BX[0, 1], ∀n ≥ N ; i = 1, 2, ..., m.

Điều này suy ra

F (t, vn, wn) ⊂ F (t, v, w) + (cid:15)BX[0, 1], ∀n ≥ N.

m (cid:88)

Kết hợp với việc F có giá trị compact, ta suy ra tính nửa liên tục trên của F (t, ·, ·). Lấy z ∈ F (t, v, w), từ giả thiết (P) và cách thiết lập F ta có

|z(x)| ≤

ηi|fi(t, x, v(x), w(−ρ(0), x))|

i=1

≤ a|v(x)| + b|w(−ρ(0), x)| + |g(t, x)|.

Sử dụng bất đẳng thức Minkowskii, ta được

√

C(1 + t2)

2 γe

2 ωt.

(cid:107)z(cid:107) ≤ a(cid:107)v(cid:107) + b(cid:107)w(cid:107)Ch +

Như vậy (F*) thỏa mãn nếu a + b < λ1. Theo Định lí 2.2, Hệ động lực đa trị không ô-tô-nôm sinh bởi (2.17)-(2.20) có một tập D−hút lùi trong C([−h, 0]; L2(Ω)).

2.4.2. Hệ phương trình vi phân lưới

(t) = ui+1(t) − (2 + α)ui(t) + ui−1(t) + fi(t, ui(t), ui(t − h)), t > τ,

Xét hệ vi phân sau dui dt

i (s), s ∈ [−h, 0], i ∈ Z,

(2.21)

ui(τ + s) = φτ (2.22) trong đó u = (ui)i∈Z là hàm trạng thái, α > 0, fi : R3 → R, i ∈ Z, là các hàm liên tục.

Cho (cid:96)2 là không gian các dãy số thực x = (xi)i∈Z thỏa mãn (cid:107)x(cid:107)2 = i < +∞. Khi đó (cid:96)2, với tích vô hướng (x, y) = (cid:80) x2 i∈Z xiyi, trở thành

(cid:80) i∈Z không gian Hilbert tách được với hệ cơ sở là {ek}k∈Z trong đó ek = (δki)i∈Z, dãy mà ở đó các phần tử là số 0 ngoại trừ vị trí thứ k là số 1. Gọi Rn : (cid:96)2 → (cid:96)2 là toán tử tuyến tính xác định bởi

(cid:88)

xiei.

Rn(x) =

|i|>n

Nhắc lại rằng, độ đo không compact Hausdorff trong không gian (cid:96)2 được cho bởi công thức sau (xem [10], Định lí 4.2)

(2.23)

χ(B) = lim sup

(cid:107)Rn(x)(cid:107)].

n→∞

[sup x∈B

Ta định nghĩa các toán tử A, B : (cid:96)2 → (cid:96)2 như sau

(Ax)i = xi+1 − 2xi + xi−1, (Bx)i = xi+1 − xi.

Khi đó, toán tử B∗ cho bởi (B∗x)i = xi−1 − xi là toán tử liên hợp của B và −A = BB∗ = B∗B. Phần tuyến tính của (2.21) được viết dưới dạng

= Au − αu, t > τ.

du dt

Từ đó suy ra

(cid:107)u(cid:107)2 = (Au, u) − α(cid:107)u(cid:107)2

1 2

d dt

= −(B∗Bu, u) − α(cid:107)u(cid:107)2 = −(cid:107)Bu(cid:107)2 − α(cid:107)u(cid:107)2 ≤ −α(cid:107)u(cid:107)2.

Điều này dẫn đến

(cid:107)u(t)(cid:107) ≤ e−α(t−τ )(cid:107)u(τ )(cid:107).

Do đó C0-nửa nhóm S(t) = et(A−αI) ổn định mũ, cụ thể là (cid:107)S(t)(cid:107) ≤ e−αt. Hơn nữa, vì A − αI là một toán tử bị chặn trên không gian (cid:96)2 nên S(·) có thể thác triển thành một C0-nhóm khả vi. Do đó {S(t) : t ∈ R} liên tục theo chuẩn nhưng không compact (vì I = S(t)S(−t) không compact). Đến đây, ta thấy (A*) thỏa mãn với β = α, N = 1. Đối với các hạng tử phi tuyến fi, i ∈ Z, ta giả sử

(Q) Tồn tại a, b > 0, g = (gi) : R → (cid:96)2 sao cho

|gi(t)| ≤ Ci(1 + t2)γeωt, (Ci)i∈Z ∈ (cid:96)2, γ ∈ R, ω > 0, |fi(t, x, y)|2 ≤ ax2 + by2 + |gi(t)|2.

Với v = (vi)i∈Z ∈ (cid:96)2, w = (wi)i∈Z ∈ C([−h, 0]; (cid:96)2), đặt

F (t, v, w) = (fi(t, vi, wi(−h)))i∈Z .

Khi đó F : R×(cid:96)2 ×Ch → (cid:96)2 là một hàm liên tục, ở đây Ch = C([−h, 0]; (cid:96)2). Mặt khác, từ giả thiết (Q) ta được

(cid:88)

(cid:107)F (t, v, w)(cid:107)2 =

|fi(t, vi, wi(−h))|2

i∈Z

(cid:88) (cid:88) (cid:88)

≤ a

|vi|2 + b

|wi(−h)|2 +

|gi(t)|2

i∈Z

= a(cid:107)v(cid:107)2 + b(cid:107)w(−h)(cid:107)2 + (cid:107)g(t)(cid:107)2

(cid:107)w(s)(cid:107)2 + (cid:107)g(t)(cid:107)2.

≤ a(cid:107)v(cid:107)2 + b sup s∈[−h,0]

Nên

√

(2.24)

(cid:107)F (t, v, w)(cid:107) ≤

a(cid:107)v(cid:107) +

b(cid:107)w(cid:107)Ch + (cid:107)g(t)(cid:107).

1 2

Hơn nữa, sử dụng (2.23), với các tập bị chặn bất kỳ V ⊂ (cid:96)2, W ⊂ Ch, ta có

 

(cid:88)

χ(F (t, V, W )) = lim sup

|fi(t, vi, wi(−h))|2

n→∞

 

sup (v,w)∈V ×W

|i|>n

1 2



(cid:88) (cid:88) (cid:88)

≤ lim sup

|vi|2 + b

|wi(−h)|2 +

|gi(t)|2

n→∞

 a 

sup (v,w)∈V ×W

|i|>n

|i|>n √

(cid:16)√ (cid:17)

≤ lim sup

a(cid:107)Rn(v)(cid:107) +

b(cid:107)Rn(w(−h))(cid:107) + (cid:107)Rn(g(t))(cid:107)

n→∞

(cid:19)

√

sup (v,w)∈V ×W (cid:18)√

≤ lim sup

(cid:107)Rn(w(−h))(cid:107) + (cid:107)Rn(g(t))(cid:107)

(cid:107)Rn(v)(cid:107) +

b sup w∈W

√

=

n→∞ a χ(V ) +

a sup v∈V √ b χ(W (−h))

√

(2.25)

≤

a χ(V ) +

χ(W (s)).

b sup s∈[−h,0]

√

a +

Kết hợp các kết quả (2.24)-(2.25), ta thấy rằng giả thiết (F*) thỏa mãn b < α. Như vậy, hệ động lực đa trị không ô-tô-nôm sinh bởi nếu (2.21)-(2.22) có một tập D-hút lùi trong C([−h, 0]; (cid:96)2).

Kết luận Chương 2

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có trễ hữu hạn trong không gian Banach tách được. Các kết chính bao gồm:

1) Chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục đối với bài toán Cauchy

(Định lí 2.1).

2) Chứng minh được sự tồn tại tập tập hút lùi cho quá trình đa trị sinh

ra bởi bài toán (2.1)-(2.2) (Định lí 2.2).

3) Hai bài toán minh họa cho các kết quả lí thuyết đã được đưa ra ở Mục 2.4, một bài toán về phương trình đạo hàm riêng dạng đa diện trên miền bị chặn và bài toán còn lại là về hệ vi phân lưới trên miền không bị chặn.

Trong lược đồ chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục của Melnik-Valero cũng như lược đồ chứng minh sự tồn tại tập hút lùi của Caraballo và

Kloeden, việc chỉ ra tính compact tiệm cận của hệ động lực đa trị sinh bởi hệ là một bước then chốt và khó. Để chứng minh được tính chất này, thông thường ta cần giả thiết nửa nhóm sinh bởi phần tuyến tính (tức là S(·)) là compact. Với các hệ vi phân đạo hàm riêng trên miền không bị chặn, thì giả thiết về tính compact của S(·) là không thực tế. Bằng cách sử dụng các ước lượng độ đo không compact, chúng tôi đã vượt qua được khó khăn này với giả thiết rằng S(·) là liên tục theo chuẩn, không nhất thiết phải là nửa nhóm compact. Chúng tôi sử dụng bất đẳng thức Halanay để thu được tính nén của toán tử GT,t(·) với T > h, từ đó thu được tính compact tiệm cận của quá trình sinh bởi hệ. Điều đó đã giúp cho cách tiếp cận của chúng tôi là hiệu quả đối với hệ có trễ vì ta chỉ cần kiểm tra các ước lượng độ đo không compact trên phần phi tuyến. Các kết quả của chương này là mới ngay cả khi phần phi tuyến là đơn trị.

Chương 3

TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi cho lớp các bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính không ô-tô-nôm với trễ vô hạn bằng cách sử dụng độ đo không compact. Các kết quả đạt được có thể áp dụng cho hệ điều khiển ở dạng phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính với phản hồi đa trị.

Nội dung của chương này dựa trên bài báo số 2 trong Danh mục công

trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án.

3.1. ĐẶT BÀI TOÁN

Cho (X, (cid:107) · (cid:107)) là một không gian Banach. Ta xét bài toán sau

(3.1)

(3.2)

u(cid:48)(t) ∈ Au(t) + F (t, ut), t ≥ τ, uτ (s) = ϕτ (s), s ∈ (−∞, 0],

trong đó hàm trạng thái u lấy giá trị trong X, A là toán tử tuyến tính sinh ra C0-nửa nhóm {S(t)}t≥0 trên X, F là ánh xạ đa trị xác định trên R×B, ut là hàm trễ của hàm trạng thái tính đến thời điểm t, tức là ut(s) = u(t + s) với s ∈ (−∞, 0]. Hàm ϕτ ∈ B lấy giá trị trong X, là dữ kiện đầu của bài toán. Sự tồn tại nghiệm tích phân sẽ được chứng minh trong trường hợp B là không gian pha tổng quát, sau đó ta sẽ chứng minh hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị sinh bởi bài toán có tập hút lùi khi không gian pha là Cγ.

3.2. TIÊU CHUẨN TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI

Dựa trên khái niệm về tính co theo độ đo của quá trình đa trị và tính chính qui của độ đo không compact, chúng tôi đưa ra một tiêu chuẩn mới cho tính compact tiệm cận của hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị, có thể xem nó là một mở rộng kết quả của Sell và You trong [65] (thiết lập cho hệ động lực ô-tô-nôm đơn trị). Nhờ đó, chúng tôi nêu ra điều kiện đủ cho sự tồn tại tập hút lùi cho hệ động lực đa trị. Điều kiện này được chúng tôi sử dụng cho bài toán (3.1)-(3.2).

Trước hết, ta đưa ra định nghĩa về tính co của quá trình đa trị. Cho χ

là độ đo không compact Hausdorff trên không gian Banach X.

Định nghĩa 3.1. Hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị U được gọi là χ-co trên tập phổ quát D nếu tồn tại một hàm liên tục k : R × R → R+ sao cho k(t, τ ) → 0 khi τ → −∞ với mỗi t cố định và bất đẳng thức sau được thỏa mãn

χ(U(t, τ, B(τ ))) ≤ k(t, τ )χ(B(τ )), ∀τ ∈ R

và với mọi B ∈ D.

Sau đây là kết quả chính trong mục này.

Định lí 3.1. Cho U là một hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị nửa liên tục trên, xác định trên X. Nếu tồn tại một D-hấp thụ lùi đơn điệu B, nghĩa là B(t1) ⊂ B(t2) khi t1 ≤ t2, và U là χ-co, thì U có một D-hút lùi toàn cục.

Chứng minh. Theo Định lý 1.5, ta chỉ còn phải chứng minh U là compact tiệm cận đối với B. Với bất kỳ (cid:15) > 0 và t ∈ R cố định, tồn tại s0 > 0 sao cho

k(t, t − s)χ(B(t − s)) < (cid:15), ∀s ≥ s0.

Vì B là D-hấp thụ lùi, nên tồn tại một số dương T (t − s0, B) sao cho

U (t − s0, t − s0 − τ, B(t − s0 − τ )) ⊂ B(t − s0), ∀τ ≥ T (t − s0, B).

(3.3) Cho tn → ∞ và ξn ∈ U(t, t − tn, B(t − tn)). Chọn N0 ∈ N sao cho tn ≥ s0 + T (t − s0, B) với mọi n ≥ N0. Khi đó, nhờ vào (3.3), với mỗi n ≥ N0, ta có

U(t, t − tn, B(t − tn)) ⊂ U(t, t − s0, U(t − s0, t − tn, B(t − tn))

= U(t, t − s0, U(t − s0, t − s0 − (tn − s0), B(t − tn)) ⊂ U(t, t − s0, B(t − s0)).

Từ đó suy ra (cid:91)

U(t, t − tn, B(t − tn)) ⊂ U(t, t − s0, B(t − s0)).

n≥N0

Do đó

χ({ξn : n ≥ 1}) = χ({ξn : n < N0} ∪ {ξn : n ≥ N0})

(cid:33) (cid:32) (cid:91)

= χ({ξn : n ≥ N0}) ≤ χ

U(t, t − tn, B(t − tn))

n≥N0

≤ χ(U(t, t − s0, B(t − s0))) ≤ k(t, t − s0)χ(B(t − s0)) ≤ k(t, t − s0)χ(B(t)) < (cid:15).

Vì (cid:15) > 0 bé tùy ý nên ta được χ({ξn : n ≥ 1}) = 0. Do vậy, {ξn} là compact tương đối trong X. Định lí được chứng minh.

Nhận xét 3.1. Như đã đề cập trong Chương 1, có hai khái niệm về hút lùi. Trong lược đồ sử dụng khái niệm D-hút lùi, chúng ta có thể sử dụng điều kiện sau

(cid:32) (cid:33) (cid:91)

χ

U(t, t − s, B(t − s))

= 0, ∀B ∈ D,

lim τ →+∞

s≥τ

để thu được tính compact tiệm cận đối với U (chẳng hạn, xem [74]). Tuy nhiên, điều kiện này không dễ kiểm tra trong các mô hình áp dụng. Bên cạnh đó, với một phương trình vi phân đạo hàm riêng cụ thể, ta có thể dùng điều kiện xấp xỉ hữu hạn chiều (flattening) để thay thế điều kiện độ đo (xem [74]), tuy vậy điều kiện xấp xỉ hữu hạn chiều chỉ khả thi khi không gian pha là không gian Hilbert tách được. Trong bài toán đang xét, không gian pha có cấu trúc phức tạp nên việc kiểm tra hai điều kiện kể trên không khả thi. Do vậy ta sẽ sử dụng điều kiện χ-co để thu được tính compact tiệm cận của hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị sinh bởi hệ. Qua đó, ta thấy rằng điều kiện χ-co là công cụ hữu hiệu để chứng minh tính compact tiệm cận đối với các hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị sinh bởi các hệ vi phân có trễ.

3.3. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN

Mục này dành để định nghĩa và chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân

của bài toán (3.1)-(3.2). Ta cần các giả thiết sau:

(Aa) C0-nửa nhóm S(t) = etA liên tục theo chuẩn, tức là hàm với giá trị

toán tử t (cid:55)→ S(t) là liên tục với t > 0.

(Ba) Không gian pha B thỏa mãn (B1)-(B4).

(Fa) Ánh xạ đa trị F : J × B → Kv(X), ở đây J = [τ, τ + T ] với một số

dương T nào đó, thỏa mãn

(1) với mỗi φ thuộc B, hàm đa trị F (·, φ) : J → Kv(X) có một hàm

chọn đo được mạnh;

(2) ánh xạ đa trị F (t, ·) : B → Kv(X) là nửa liên tục trên với hầu

khắp t ∈ J;

(3) tồn tại hai hàm không âm m1, m2 ∈ L1(J) sao cho

(cid:107)F (t, φ)(cid:107) ≤ m1(t) + m2(t)|φ|B.

(4) Nếu nửa nhóm S(·) không có tính compact thì tồn tại hàm không

âm k ∈ L1(J) sao cho

χ(D(θ)),

χ(F (t, D)) ≤ k(t) sup θ≤0

với mọi tập bị chặn D ⊂ B và hầu khắp t ∈ J.

Nhận xét 3.2. Tương tự như trong Chương 2, nếu X là không gian hữu hạn chiều, thì giả thiết (Fa)(4) có thể bỏ được.

Nhận xét 3.3. Với các giả thiết (Aa) và (Fa), ta được các kết quả trong Mệnh đề 1.5 và Mệnh đề 1.6.

Định nghĩa 3.2. Hàm liên tục u : (−∞, τ + T ] → X được gọi là nghiệm tích phân của bài toán (3.1)-(3.2) nếu và chỉ nếu u(t) = ϕτ (t − τ ) với t ∈ (−∞, τ ] và tồn tại hàm f ∈ PF (u|[τ,τ +T ]) sao cho

(cid:90) t

(3.4)

u(t) = S(t − τ )ϕτ (0) +

S(t − s)f (s)ds

với mỗi t ∈ [τ, τ + T ].

Toán tử nghiệm F : Cϕτ → P(Cϕτ ) được định nghĩa như sau

(cid:90) t (cid:110) (cid:111) .

F(u)(t) =

S(t − τ )ϕτ (0) +

S(t − s)f (s)ds | f ∈ PF (u)

Ta có

F(u)(t) = S(t − τ )ϕτ (0) + Wτ ◦ PF (u)(t). Từ đó, u ∈ Cϕτ là điểm bất động của F khi và chỉ khi u[ϕτ ] là một nghiệm tích phân của (3.1)-(3.2) trên (−∞, τ + T ].

Sau đây là kết quả chính của phần này.

Định lí 3.2. Giả sử (Aa), (Ba) và (Fa) thỏa mãn. Khi đó, bài toán (3.1)- (3.2) có nghiệm tích phân với mỗi ϕτ ∈ B cho trước.

Chứng minh. Để sử dụng nguyên lí điểm bất động được phát biểu trong Định lí 1.4, trước hết ta chứng minh toán tử nghiệm là toán tử đóng với

giá trị lồi. Thật vậy, giả thiết (Fa) cho phép ta kết luận rằng F có giá trị lồi. Cho {un} ⊂ Cϕτ , un → u∗ và zn ∈ F(un) với zn → z∗. Khi đó

zn(t) ∈ S(t − τ )ϕτ (0) + Wτ ◦ PF (un)(t).

Lấy fn ∈ PF (un) sao cho

(3.5)

zn(t) = S(t − τ )ϕτ (0) + Wτ (fn)(t).

Vì PF có giá trị lồi, compact và nửa liên tục trên yếu nên ta sử dụng Bổ đề 1.2 để khẳng định rằng fn (cid:42) f ∗ trong L1(J; X) và f ∗ ∈ PF (u∗). Hơn nữa, đặt K(t) = F (t, {un[ϕτ ]t}) thì {fn(t)} ∈ K(t) với hầu khắp t ∈ J và K(t) là tập compact trong X. Từ (Fa)(3), suy ra {fn} bị chặn tích phân. Áp dụng Mệnh đề 1.6, ta được tính compact của {Wτ (fn)} trong C(J; X). Do đó, qua giới hạn hai vế của (3.5) để thu được

(cid:90) t

S(t − s)f ∗(s)ds

z∗(t) = S(t − τ )ϕτ (0) +

với f ∗ ∈ PF (u∗). Tức là z∗ ∈ F(u∗).

Trong phần còn lại của phép chứng minh, chúng ta sẽ xây dựng tập con lồi, compact M trong Cϕτ sao cho F(M) ⊂ M. Trước hết ta tìm tập con lồi, đóng M0 ⊂ Cϕτ thỏa mãn F(M0) ⊂ M0. Lấy z ∈ F(u), từ định nghĩa của toán tử nghiệm, ta có

(cid:90) t

(cid:107)z(t)(cid:107) ≤ N(cid:107)ϕτ (0)(cid:107) + N

[m1(s) + m2(s)|u[ϕτ ]s|B]ds

(cid:90) t

m2(s)|u[ϕτ ]s|Bds,

≤ N(cid:107)ϕτ (0)(cid:107) + N(cid:107)m1(cid:107)L1(J) + N

(cid:107)S(t)(cid:107).

với N = sup t∈[0,T ]

Lưu ý rằng

|u[ϕτ ]s|B ≤ K(s − τ ) sup{(cid:107)u(θ)(cid:107), τ ≤ θ ≤ s} + M (s − τ )|uτ |B

(cid:107)u(r)(cid:107) + MT |ϕτ |B,

≤ KT sup r∈[τ,s]

ở đó

M (θ),

KT = max 0≤θ≤T

K(θ); MT = sup θ∈[0,T ]

ta thu được

(cid:90) t

(cid:107)u(r)(cid:107)ds,

(cid:107)z(t)(cid:107) ≤ C1 + C2

m2(s) sup r∈[τ,s]

trong đó C1 = N((cid:107)ϕτ (0)(cid:107)+(cid:107)m1(cid:107)L1(J)+MT |ϕτ |BT (cid:107)m2(cid:107)L1(J)); C2 = NKT . Do hạng tử cuối tăng theo t, nên

(cid:90) t

(3.6)

(cid:107)u(ρ)(cid:107)ds.

(cid:107)z(ρ)(cid:107) ≤ C1 + C2

sup ρ∈[τ,t]

m2(s) sup ρ∈[τ,s]

Ký hiệu

(cid:107)u(s)(cid:107) ≤ ψ(t), t ∈ J},

M0 = {u ∈ Cϕτ : sup s∈[τ,t]

trong đó ψ là nghiệm của phương trình tích phân

(cid:90) t

ψ(t) = C1 + C2

m2(s)ψ(s)ds.

τ Dễ thấy rằng tập M0 là tập con lồi đóng của Cϕτ và ước lượng (3.6) suy ra rằng F(M0) ⊂ M0. Đặt

Mk+1 = coF(Mk), k = 0, 1, 2...

∞ (cid:92)

ở đây, ký hiệu co là bao lồi đóng của tập con trong Cϕτ . Khi đó, ta thấy Mk là tập lồi đóng và Mk+1 ⊂ Mk với mọi k ∈ N. Từ (Fa)(3), suy ra PF (Mk) là bị chặn tích phân. Hơn nữa F(Mk) đồng liên tục với mỗi k ≥ 0, theo Mệnh đề 1.8. Thế nên Mk+1 cũng đồng liên tục. Đặt

M =

Mk,

k=0 khi đó M là tập con đồng liên tục, lồi và đóng của Cϕτ và F(M) ⊂ M. Để sử dụng Định lí Arzelà-Ascoli, ta cần phải chứng minh rằng M(t) là compact với mỗi t ≥ τ . Ta sẽ có điều này nếu chứng chứng minh được rằng

hn(t) := χ(Mn(t)) → 0 khi n → +∞.

Sử dụng các tính chất của độ đo không compact và Mệnh đề 1.3, ta được

hn+1(t) = χ(Mn+1(t)) = χ(F(Mn)(t))

(cid:19) (cid:18)(cid:90) t

≤ χ

S(t − s)PF (Mn)(s)ds

(cid:90) t

≤ 4

χ (S(t − s)PF (Mn)(s)) ds.

Nếu nửa nhóm S(·) là compact, thì χ (S(t − s)PF (Mn)(s)) = 0 với hầu khắp s ∈ [τ, t], do đó ta được hn+1(t) = 0. Trái lại, sử dụng (Fa)(4) ta suy ra rằng

(cid:90) t

χ(Mn[ϕτ ](s + θ))ds

hn+1(t) ≤ 4N

k(s) sup θ≤0

(cid:90) t

= 4N

χ(Mn(r))ds

k(s) sup r∈[τ,s]

τ (cid:90) t

= 4N

hn(r)ds.

k(s) sup r∈[τ,s]

hn(r), khi đó

Đặt νn(t) = sup r∈[τ,t]

(cid:90) t

νk+1(t) ≤ 4N

k(s)νk(s)ds.

τ Do {νn(t)} là một dãy giảm, nên cho n → +∞, từ bất đẳng thức cuối ta được

(cid:90) t

ν∞(t) ≤ 4N

k(s)ν∞(s)ds

trong đó ν∞(t) = lim νn(t). Dựa vào bất đẳng thức Gronwall-Bellman, n→+∞ ta suy ra ν∞(t) = 0 với mọi t ∈ J. Như vậy M(t) là tập compact. Xét F : M → P(M) và áp dụng Định lí 1.4, ta có điều phải chứng minh.

3.4. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI

Trong phần này, ta giả thiết

(Aa*) C0-nửa nhóm S(t) = etA là compact và ổn định mũ, tức là tồn tại

α > 0, N ≥ 1 sao cho

(cid:107)S(t)(cid:107) ≤ N e−αt, ∀t ≥ 0.

(Ba*) Không gian pha B = Cγ, γ > 0.

(Fa*) Ánh xạ F thỏa mãn giả thiết (Fa) với m2 ∈ L∞(τ, +∞), và m1 là

hàm không giảm.

Đặt

Σ(ϕτ ) = {u ∈ C([τ, +∞); X) : u[ϕτ ] là một nghiệm tích phân

của (3.1)-(3.2) trên (−∞, T ] với mọi T > τ }.

Ta được

(3.7)

Σ(ϕτ )(t) ⊂ S(t − τ )ϕτ (0) + Wτ ◦ PF (Σ(ϕτ ))(t), ∀t > τ.

Hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị sinh bởi bài toán (3.1)-(3.2) được xác định như sau:

(3.8)

U : R2

d × Cγ → P(Cγ),

(3.9)

U(t, τ, ϕτ ) = {ut : u ∈ Σ(ϕτ )}.

Sử dụng lập luận như trong [20], ta được U là hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị ngặt. Tính nửa liên tục trên của U được chứng minh trong Bổ đề sau.

n} ⊂ K sao cho zn ∈ U(t, τ, φτ

Bổ đề 3.1. Với các giả thiết (Aa*), (Ba*) và (Fa*), thì U(t, τ, ·) là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị compact với mỗi (t, τ ) ∈ R2 d.

n} hội tụ đến φ∗ trong Cγ. Lấy un ∈ Σ(φτ

n) sao cho

Chứng minh. Vì Fix(F) là tập compact trong C([τ, t]; X) với mỗi ϕτ ∈ Cγ nên U(t, τ, ·) có giá trị compact. Theo Bổ đề 1.1, ta còn phải chỉ ra rằng U(t, τ, ·) là tựa compact và có đồ thị đóng. Trước tiên, ta chứng minh rằng U(t, τ, ·) là ánh xạ tựa compact. Giả sử K ⊂ Cγ là một tập compact. Lấy {zn} ⊂ U(t, τ, K) và chọn một dãy {φτ n), và {φτ

(3.10)

zn(s) = un[φτ

n](t + s), s ∈ (−∞, 0].

Trước hết, {un} là compact tương đối trong C([τ, t]; X). Thật vậy, vì

un(r) ∈ S(r − τ )φτ

n(0) + Wτ ◦ PF (un)(r), r ∈ [τ, t],

nên {un} bị chặn trong C([τ, t]; X). Lấy fn ∈ PF (un) sao cho

un(r) = S(r − τ )φτ

n(0) + Wτ (fn)(r).

Vì {un} bị chặn nên từ (Fa)(3) suy ra {fn} bị chặn tích phân. Theo giả thiết, S(·) là compact nên {Wτ (fn)} compact tương đối. Như vậy {un} là compact tương đối. Khi đó, có một dãy con {un} (lại ký hiệu bởi {un}) sao cho un → u∗ trong C([τ, t]; X). Do đó, từ (3.10), ta được {zn} hội tụ đến u∗[φ∗]t. Nói khác đi, {zn} là compact tương đối trong Cγ.

n} là một dãy trong Cγ, hội tụ đến ϕ∗ và ξn ∈ U(t, τ, ϕτ n) sao cho {ξn} hội tụ đến ξ∗ trong Cγ. Ta phải chứng minh ξ∗ ∈ U(t, τ, ϕ∗). Chọn un ∈ Σ(ϕτ n) sao cho ξn(s) = un[ϕτ n](t + s). Theo các lập luận trên, {un} có một dãy con (vẫn được ký hiệu bởi {un}) hội tụ đến u∗, khi đó ξ∗(s) = u∗[ϕ∗](t + s), s ∈ (−∞, 0]. Sau đây, ta chứng minh u∗ ∈ Σ(ϕ∗). Lấy fn ∈ PF (un) sao cho

Bây giờ, ta chứng minh U(t, τ, ·) có đồ thị đóng. Lấy {ϕτ

(3.11)

un(r) = S(r − τ )ϕτ

n(0) + Wτ (fn)(r), r ∈ [τ, t].

Sử dụng (Fa)(3) và {un} bị chặn, suy ra {fn} ⊂ L1(τ, t; X) bị chặn tích n]r}), r ∈ [τ, t], là tập compact nên phân. Hơn nữa, vì K(r) = F (r, {un[ϕτ

{fn} là dãy nửa compact. Áp dụng Mệnh đề 1.6, ta được fn (cid:42) f ∗ và Wτ (fn) → Wτ (f ∗). Lấy giới hạn hai vế của đẳng thức (3.11) thì được

u∗(r) = S(r − τ )ϕ∗(0) + Wτ (f ∗)(r), r ∈ [τ, t].

Do PF nửa liên tục trên yếu nên f ∗ ∈ PF (u∗). Từ đó ta được u∗ ∈ πt ◦ Σ(ϕ∗). Phép chứng minh kết thúc.

Trong phần tiếp theo, ta xét tập phổ quát D là họ tất cả các hàm đa trị D lấy giá trị trong Pc(Cγ) sao cho D(τ ) ⊂ Bγ[0, r(τ )] với bán kính r(τ ) thỏa mãn

(3.12)

r(τ )e(min{α,γ}−N κ)τ = 0, κ := ||m2||∞.

lim τ →−∞

Ký hiệu χγ là độ đo không compact Hausdorff trong Cγ.

Bổ đề 3.2. Giả sử ta có (Aa*), (Ba*) và (Fa*). Khi đó, hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị U được xác định bởi (3.8)-(3.9) có một D-hấp thụ lùi đơn điệu nếu min{α, γ} > N κ và

m1(τ )e(min{α,γ}−N κ)τ = 0.

lim τ →−∞

Chứng minh. Lấy t > τ là một thời điểm cố định. Ta sẽ đi tìm R(t) > 0 thỏa mãn: với mọi ϕτ ∈ D(τ ), D ∈ D, thì

|U(t, τ, ϕτ )|γ = sup{|z|γ : z ∈ U(t, τ, ϕτ )} ≤ R(t),

khi τ → −∞.

Lấy z ∈ U(t, τ, ϕτ ). Khi đó, tồn tại u ∈ Σ(ϕτ ) sao cho z = ut. Ta có

(cid:40)

θ < τ − t,

ut(θ) =

τ − t ≤ θ ≤ 0,

ϕτ (t + θ − τ ), S(t + θ − τ )ϕτ (0) + (cid:82) t+θ

τ S(t + θ − s)f (s)ds,

ở đây f ∈ PF (u). Khi đó

(cid:26) (cid:27)

(3.13)

eγθ(cid:107)ϕτ (t + θ − τ )(cid:107),

.

|ut|γ = max

eγθ(cid:107)ut(θ)(cid:107)

sup τ −t≤θ≤0

sup θ<τ −t

Ta thấy

eγ(r+τ −t)(cid:107)ϕτ (r)(cid:107) ≤ e−γ(t−τ )|ϕτ |γ,

eγθ(cid:107)ϕτ (t + θ − τ )(cid:107) = sup r<0

sup θ<τ −t

và khi θ ∈ [τ − t, 0] thì

eγθ(cid:107)ut(θ)(cid:107)

(cid:33) (cid:32) (cid:90) t+θ

≤ eγθ

(cid:107)S(t + θ − τ )(cid:107) · (cid:107)ϕτ (0)(cid:107) +

(cid:107)S(t + θ − s)(cid:107) · (cid:107)f (s)(cid:107)ds

(cid:33) (cid:32) (cid:90) t+θ

≤ N eγθ

e−α(t+θ−τ )|ϕτ |γ +

e−α(t+θ−s)[m1(s) + m2(s)|us|γ]ds

τ (cid:90) t+θ

(cid:18)

≤ N eγθ

e−α(t+θ−τ )|ϕτ |γ +

e−α(t+θ−s)m1(s)ds

(cid:90) t+θ

+ κ

(cid:19) .

e−α(t+θ−s)|us|γds

Do đó, từ (3.13) suy ra

(cid:26) (cid:18)

eγθ

|ut|γ ≤ max

e−γ(t−τ )|ϕτ |γ, N sup

e−α(t+θ−τ )|ϕτ |γ

τ −t≤θ≤0

(cid:90) t+θ (cid:90) t+θ

(cid:19)(cid:27) .

+

e−α(t+θ−s)m1(s)ds + κ

e−α(t+θ−s)|us|γds

Trường hợp 1: Nếu α < γ, thì

(cid:26) (cid:18)

eαθ

|ut|γ ≤ max

e−α(t−τ )|ϕτ |γ, N sup

e−α(t+θ−τ )|ϕτ |γ

τ −t≤θ≤0

(cid:19)(cid:27) (cid:90) t+θ (cid:90) t+θ

+

e−α(t+θ−s)|us|γds

e−α(t+θ−s)m1(s)ds + κ

(cid:90) t (cid:90) t

e−α(t−s)m1(s)ds + N κ

e−αteαs|us|γds.

≤ N e−α(t−τ )|ϕτ |γ + N

Bất đẳng thức này tương đương với

(cid:90) t (cid:90) t

eαsm1(s)ds + N κ

eαs|us|γds.

eαt|ut|γ ≤ N eατ |ϕτ |γ + N

Vì m1 là hàm không giảm nên ta có

(cid:90) t

(eαt − eατ ) + N κ

eαt|ut|γ ≤ N eατ |ϕτ |γ +

eαs|us|γds.

N m1(t) α

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, thu được

(eαt − eατ )

N m1(t) α

eαt|ut|γ ≤ N eατ |ϕτ |γ + (cid:18)

(cid:19) (cid:90) t

+ N κ

(eαs − eατ )

eN κ(t−s)ds

N eατ |ϕτ |γ +

N m1(s) α

= N eατ |ϕτ |γ +

(eαt − eατ ) + N eατ |ϕτ |γeN κt(e−N κτ − e−N κt)

N m1(t) α

(cid:90) t (cid:16)

+

eN κt

e(α−N κ)s − eατ −N κs(cid:17)

ds

N 2κ m1(t) α

(eαt − eατ ) + N eατ |ϕτ |γ(e−N κτ eN κt − 1)

= N eατ |ϕτ |γ +

τ N m1(t) α

(cid:35) (cid:34)

.

+

eN κt

+

N 2κ m1(t) α

e(α−N κ)t − e(α−N κ)τ α − N κ

eατ (e−N κt − e−N κτ ) N κ

Do đó

(1 − e−α(t−τ ))

|ut|γ ≤ N e−α(t−τ )|ϕτ |γ +

N m1(t) α

+ N |ϕτ |γ(e−(α−N κ)(t−τ ) − e−α(t−τ ))

(cid:35) (cid:34)

+

e−(α−N κ)t

+

N 2κ m1(t) α

e(α−N κ)t − e(α−N κ)τ α − N κ

eατ e−N κt − e(α−N κ)τ N κ

(1 − e−α(t−τ ))

≤ N e−α(t−τ )|ϕτ |γ +

N m1(t) α

+ N |ϕτ |γ(e−(α−N κ)(t−τ ) − e−α(t−τ ))

(cid:35) (cid:34)

+

1 − e−(α−N κ)(t−τ ) α − N κ

e−α(t−τ ) − e−(α−N κ)(t−τ ) N κ

≤

+

+ N |ϕτ |γe−(α−N κ)(t−τ )

N 2κ m1(t) α(α − N κ)

≤

+ N r(τ )e(α−N κ)τ e−(α−N κ)t

+ 1 khi τ → −∞,

≤

N 2κ m1(t) α N m1(t) α N m1(t) α − N κ N m1(t) α − N κ vì α > N κ, t cố định và

r(τ )e(min{α,γ}−N κ)τ = 0.

lim τ →−∞

Trường hợp 2. Nếu α ≥ γ, thì

(cid:26) (cid:18)

eγθ

|ut|γ ≤ max

e−γ(t−τ )|ϕτ |γ, N sup

e−γ(t+θ−τ )|ϕτ |γ

τ −t≤θ≤0

(cid:19)(cid:27) (cid:90) t+θ (cid:90) t+θ

+

e−γ(t+θ−s)m1(s)ds + κ

e−γ(t+θ−s)|us|γds

(cid:90) t (cid:90) t

≤ N e−γ(t−τ )|ϕτ |γ + N

e−γ(t−s)m1(s)ds + N κ

e−γteγs|us|γds.

τ Sử dụng các lập luận tương tự như trường hợp đầu, ta được

+ 1

|ut|γ ≤

N m1(t) γ − N κ

khi τ → −∞.

+ 1 và (cid:96) =

Như vậy, ta chọn B(t) = Bγ[0, R(t)] với R(t) =

N m1(t) (cid:96) − N κ

min{α, γ} là D-hấp thụ lùi đơn điệu của U .

Bổ đề 3.3. Giả sử (Aa*), (Ba*) và (Fa*) thỏa mãn. Khi đó hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị U là χγ-co.

Chứng minh. Ta bắt đầu bằng việc tách U thành tổng gồm hai hạng tử:

U(t, τ, ·) = U1(t, τ, ·) + U2(t, τ, ·),

ở đó

(cid:40)

U1(t, τ, ϕτ )(θ) =

S(t + θ − τ )ϕτ (0), nếu τ − t ≤ θ ≤ 0 ϕτ (t + θ − τ ),

nếu − ∞ < θ < τ − t,

và

(cid:40)

U2(t, τ, ϕτ )(θ) =

Wτ ◦ PF (Σ(ϕτ ))(t + θ), nếu τ − t ≤ θ ≤ 0 0,

nếu θ < τ − t.

Với hạng tử thứ nhất, ta có

|U1(t, τ, ϕτ )|γ (cid:26)

(cid:27)

≤ max

eγθ(cid:107)ϕτ (t + θ − τ )(cid:107)

sup τ −t≤θ≤0

eγθ(cid:107)S(t + θ − τ )(cid:107) · (cid:107)ϕτ (0)(cid:107), sup θ<τ −t

(cid:26) (cid:27)

≤ max

N sup

eγr(cid:107)ϕτ (r)(cid:107)

eγθe−α(t+θ−τ )(cid:107)ϕτ (0)(cid:107), e−γ(t−τ ) sup r≤0

(cid:110) (cid:111)

≤ N max

τ −t≤θ≤0 e− min{α,γ}(t−τ )(cid:107)ϕτ (0)(cid:107), e−γ(t−τ )|ϕτ |γ

≤ N e− min{α,γ}(t−τ )|ϕτ |γ.

Từ đó suy ra (cid:107)U1(t, τ, ·)(cid:107)L(Cγ ) ≤ N e− min{α,γ}(t−τ ).

d. Lấy B(τ ) là một tập bị chặn trong Cγ và D = Σ(B(τ )), khi đó U2(t, τ, B(τ ))(θ) = {0} với θ < τ − t, và

Ta sẽ chứng minh U2(t, τ, ·) là compact với mỗi (t, τ ) ∈ R2

(cid:90) t+θ

U2(t, τ, B(τ ))(θ) =

S(t + θ − s)PF (D)(s)ds, θ ∈ [τ − t, 0].

Ta thấy U2(t, τ, B(τ )) là một tập con của

(cid:40) (cid:41) (cid:90) ξ

Ξ :=

y ∈ C([τ, t]; X) : y(ξ) ∈

,

S(ξ − s)PF (D)(s)ds

theo nghĩa là với z ∈ U2(t, τ, B(τ )), tồn tại u ∈ Ξ thỏa mãn z(θ) = u(t + θ), θ ∈ [τ − t, 0].

Vì B(τ ) là tập bị chặn nên D bị chặn trong C([τ, t]; X). Khi đó PF (D) bị chặn tích phân. Do S(·) là compact, ta được Ξ là tập compact tương đối trong C([τ, t]; X). Lấy dãy {zn} ⊂ U2(t, τ, B(τ )), khi đó tồn tại {un} ⊂ Ξ sao cho zn(θ) = un(t + θ). Hơn nữa,

eγθ(cid:107)zn(θ) − zm(θ)(cid:107)X = sup

eγθ(cid:107)zn(θ) − zm(θ)(cid:107)X

|zn − zm|γ = sup θ≤0

= sup

θ∈[τ −t,0] eγθ(cid:107)un(t + θ) − um(t + θ)(cid:107)X

θ∈[τ −t,0]

≤ sup

(cid:107)un(t + θ) − um(t + θ)(cid:107)X = (cid:107)un − um(cid:107)C([τ,t];X).

θ∈[τ −t,0]

Vì thế {zn} là một tập compact tương đối trong Cγ. Từ đó χγ(U2(t, τ, B(τ ))) = 0. Như vậy

χγ(U(t, τ, B(τ ))) ≤ χγ(U1(t, τ, B(τ ))) + χγ(U2(t, τ, B(τ )))

≤ (cid:107)U1(t, τ, ·)(cid:107)L(Cγ ) · χγ(B(τ )) ≤ N e− min{α,γ}(t−τ ) · χγ(B(τ )).

Chọn k(t, τ ) = N e− min{α,γ}(t−τ ), ta thấy rằng k(t, τ ) → 0 khi τ → −∞ và do vậy U(t, τ, ·) là χγ-co. Phép chứng minh kết thúc.

Kết hợp các Bổ đề 3.1, 3.2, 3.3 và Định lí 3.1, ta thu được kết quả chính

sau đây.

Định lí 3.3. Giả sử (Aa*), (Ba*) và (Fa*) thỏa mãn. Khi đó hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị U sinh bởi hệ (3.1)-(3.2) có một D-hút lùi toàn cục trong Cγ nếu min{α, γ} > N κ và

m1(τ )e(min{α,γ}−N κ)τ = 0.

lim τ →−∞

3.5. ÁP DỤNG

Cho Ω ⊂ Rn là miền bị chặn với biên trơn ∂Ω và O ⊂ Ω là một tập mở.

Xét hệ điều khiển sau

(3.14)

(t, x) = ∆u(t, x) + f0(t, x, u(t, x)) + b(x)v(t), x ∈ Ω, t > τ

∂u ∂t

(cid:90) 0 (cid:90)

(3.15)

v(t) ∈

ν(θ, y)(cid:2)f1(u(t + θ, y)), f2(u(t + θ, y))(cid:3)dydθ,

−∞

(3.16)

(3.17)

u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > τ, u(τ + s, x) = ϕτ (s, x), x ∈ Ω, s ∈ (−∞, 0],

trong đó (cid:2)g1, g2

(cid:3) = {µg1 + (1 − µ)g2 : µ ∈ [0, 1]}, ∀g1, g2 ∈ R. Đây là bài toán điều khiển với điều khiển dạng phản hồi v, được xác định

qua một dạng năng lượng của hàm trạng thái, đến thời điểm t.

0 (Ω) ∩ H 2(Ω). Khi đó A sinh

Chọn X = L2(Ω), A = ∆ với D(A) = H 1

ra nửa nhóm compact {etA}t≥0 trên X, và thỏa mãn

(cid:107)etA(cid:107)L(X) ≤ e−λ1t, t ≥ 0,

X : (cid:107)u(cid:107)X = 1(cid:9) .

trong đó λ1 > 0 là giá trị riêng lớn nhất của toán tử −∆: λ1 = sup (cid:8)(cid:107)∇u(cid:107)2

Khi đó, giả thiết (Aa*) thỏa mãn với N = 1 và α = λ1.

τ = [τ, +∞). Sau đây, ta đề cập đến các giả thiết cho phần

Ký hiệu R+

phi tuyến.

(A1) Hàm ν : (−∞, 0] × Ω → R là liên tục sao cho tồn tại một số dương β và một hàm không âm k ∈ L2(O) thỏa mãn |ν(θ, x)| ≤ k(x)eβθ.

τ × Ω × R → R là hàm liên tục sao cho

(A2) f0 : R+

|f0(t, x, z)| ≤ l1(t) + l2(t)|z|,

τ ) và l2 ∈ L∞(R+

τ ) là các hàm không âm và l1 là một

loc(R+ ở đó l1 ∈ L1 hàm không giảm.

(A3) f1, f2 : R → R là các hàm liên tục. Hơn nữa, tồn tại số dương η sao

cho

|fi(z)| ≤ η|z|, i = 1, 2; ∀z ∈ R.

(A4) b ∈ L2(Ω).

Ta chọn không gian pha B = Cγ với γ ∈ (0, β).

τ × Cγ → X và F1 : Cγ → P(X) được xác định như

Các ánh xạ F0 : R+

F0(t, φ)(x) = f0(t, x, φ(0, x)),

(cid:90) 0 (cid:90)

F1(φ)(x) = b(x)

ν(θ, y)(cid:2)f1(φ(θ, y)), f2(φ(θ, y))(cid:3)dydθ.

−∞

Khi đó, sử dụng (A2) ta có

(cid:19) 1 (cid:18)(cid:90)

(cid:107)F0(t, φ)(cid:107)X =

|f0(t, x, φ(0, x)|2dx

Ω (cid:18)(cid:90)

(cid:19) 1

=

|l1(t) + l2(t)|φ(0, x)|2dx

Ω (cid:18)(cid:90)

(cid:19) 1 (cid:19) 1 (cid:18)(cid:90)

≤

+

(l2(t)|φ(0, x)|)2dx

Ω

|l1(t)|2dx (cid:113)

≤ l1(t)

|Ω| + l2(t)(cid:107)φ(0, ·)(cid:107)X

(cid:113) (3.18)

|Ω| + l2(t)|φ|γ,

≤ l1(t)

trong đó |Ω| là thể tích của Ω.

Với F1, cho g ∈ F1(φ) ta có

(cid:90) (cid:90) 0

g(x) = b(x)

ν(θ, y)(cid:2)µf1(φ(θ, y)) + (1 − µ)f2(φ(θ, y))(cid:3)dydθ,

−∞

với µ ∈ [0, 1]. Khi đó

(cid:90) 0 (cid:90)

k(y)|φ(θ, y)|dydθ

eβθ

(cid:107)g(cid:107)X ≤ η(cid:107)b(cid:107)X

−∞

O (cid:90) 0

eβθ(cid:107)φ(θ, ·)(cid:107)Xdθ

≤ η(cid:107)b(cid:107)X(cid:107)k(cid:107)L2(O)

−∞

(3.19)

≤

(cid:107)b(cid:107)X(cid:107)k(cid:107)L2(O)|φ|γ.

η β − γ

Đặt F (t, φ) = F0(t, φ) + F1(φ). Từ (3.18) và (3.19) suy ra rằng (cid:19) (cid:18) (cid:113)

(cid:107)b(cid:107)X(cid:107)k(cid:107)L2(O)

|φ|γ.

(cid:107)F (t, φ)(cid:107)X ≤

|Ω| l1(t) +

l2(t) +

η β − γ

Như vậy F thỏa mãn (Fa)(3) với m1(t) = (cid:112)|Ω| l1(t) và

m2(t) = l2(t) +

(cid:107)b(cid:107)X(cid:107)k(cid:107)L2(O).

η β − γ

Lưu ý rằng, nếu t và φ được cho trước, thì F0(t, φ) là đơn trị và F1(φ) là một tập bị chặn, đóng và lồi trong không gian con một chiều span{b} ⊂ L2(Ω). Do đó F (t, φ) là tập compact và lồi trong X. Có nghĩa là F có giá trị lồi và compact. Với mỗi ξ ∈ F1(φ), fξ(·) = F0(·, φ) + ξ là một hàm chọn đo được mạnh, nên F thỏa mãn (Fa)(1). Mặt khác, (Fa)(4) rõ ràng thỏa mãn vì etA là nửa nhóm compact.

Với một tập compact K trong Cγ, thì F0(t, K) cũng là tập compact vì F0(t, ·) là ánh xạ liên tục. Hơn nữa, do F1(K) là tập bị chặn trong span{b} nên nó là tập compact tương đối. Vì vậy F (t, K) = F0(t, K) + F1(K) là một tập compact tương đối, và như thế F là tựa compact. Để chứng minh rằng (Fa)(2) thỏa mãn, ta chỉ cần chứng minh F (t, ·) là ánh xạ đóng. Lấy {φn} là một dãy trong Cγ hội tụ về φ∗ và ξn ∈ F (t, φn) sao cho ξn → ξ∗. Ta có

ξn(x) =f0(t, x, φn(0, x))+

(cid:90) (cid:90) 0

+ b(x)

ν(θ, y)(cid:2)µnf1(φn(θ, y)) + (1 − µn)f2(φn(θ, y))(cid:3)dydθ,

−∞

trong đó {µn} ⊂ [0, 1]. Vì f0, f1, f2 là các hàm liên tục và các hàm dưới dấu tích phân bị chặn tích phân, nên ta có

ξ∗(x) =f0(t, x, φ∗(0, x))+

(cid:90) (cid:90) 0

+ b(x)

ν(θ, y)(cid:2)µ∗f1(φ∗(θ, y)) + (1 − µ∗)f2(φ∗(θ, y))(cid:3)dydθ

−∞

µn. Do đó F (t, ·) là ánh xạ đóng. Theo Bổ đề 1.1, F (t, ·) là

với µ∗ = lim n→∞

ánh xạ nửa liên tục trên. Từ đó suy ra (Fa)(2) thỏa mãn.

Từ các Định lí 3.2 và 3.3, ta thu được các kết quả sau đây.

Định lí 3.4. Giả sử rằng (A1)-(A4) thỏa mãn. Khi đó

(i) Với mỗi dữ kiện đầu ϕτ ∈ Cγ, hệ (3.14)-(3.17) có ít nhất một nghiệm

tích phân trên (−∞, τ + T ] với mọi T > 0.

(ii) Hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị sinh bởi hệ (3.14)-(3.17) có một

D-hút lùi toàn cục trong Cγ nếu

min {λ1, γ} ≥ (cid:107)l2(cid:107)∞ +

(cid:107)b(cid:107)L2(Ω)(cid:107)k(cid:107)L2(O)

η β − γ

l1(τ )e(min{λ1,γ}−κ)τ = 0.

và lim τ →−∞

Kết luận Chương 3

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu lớp bao hàm thức vi phân

nửa tuyến tính với trễ vô hạn. Các kết quả chính bao gồm:

1) Chứng minh sự được tồn tại nghiệm tích phân với không gian pha

tổng quát (Định lí 3.2).

2) Trong trường hợp không giam pha B = Cγ, chúng tôi chứng minh được sự tồn tại tập hút lùi (Định lí 3.3) bằng cách sử dụng điều kiện đủ do chúng tôi đề xuất (Định lí 3.1).

3) Cuối cùng, chúng tôi áp dụng các kết quả thu được vào bài toán điều

khiển với phản hồi đa trị ở Mục 3.5.

Đã có một số công trình về sự tồn tại tập hút lùi cho các hệ đơn trị, kết quả của chúng tôi là sự tồn tại tập hút lùi cho bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính với trễ vô hạn bằng cách sử dụng các ước lượng độ đo không compact. Sự xuất hiện của trễ vô hạn đã làm cho các kĩ thuật chứng minh tính tiêu hao và tính compact tiệm cận của hệ động lực đa trị sinh bởi bài toán được dùng cho hệ có trễ hữu hạn không còn khả dụng. Lí do là trên không gian pha, ta chưa tìm thấy các tiêu chuẩn đủ tốt về tính compact, đồng thời cũng chưa xây dựng được mối quan hệ giữa độ đo không compact trên không gian pha Cγ và không gian X. Chúng tôi vượt qua khó khăn này bằng cách đề xuất môt tiêu chuẩn mới cho tính compact tiệm cận đối với hệ động lực không ô-tô-nôm sinh bởi hệ dựa trên tính co theo độ đo không compact. Ngoài ra, sự xuất hiện của trễ vô hạn cũng làm cho chúng tôi chưa bỏ được giả thiết về tính compact của nửa nhóm sinh bởi phần tuyến tính. Việc bỏ tính compact của S(·) cũng như xét sự tồn tại của tập hút lùi trong không gian chứa trễ vô hạn tổng quát B vẫn là một vấn đề cần được nghiên cứu tiếp.

Chương 4

TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN YẾU CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN

Trong chương này, chúng tôi sử dụng khái niệm ổn định tiệm cận yếu được trình bày [6] và xét dáng điệu nghiệm của bao hàm thức vi phân có trễ vô hạn trong không gian Banach tổng quát.

Nội dung của chương này dựa trên bài báo số 3 trong Danh mục công

trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án.

4.1. ĐẶT BÀI TOÁN

Cho (X, (cid:107) · (cid:107)) là một không gian Banach. Chúng ta xét bài toán sau

(4.1)

(4.2)

u(cid:48)(t) ∈ Au(t) + F (t, ut), t ≥ τ, uτ (s) = ϕτ (s), s ∈ (−∞, 0],

τ × B với R+

trong đó u nhận giá trị trong X, A là toán tử tuyến tính sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh {S(t)}t≥0 trên X, F là ánh xạ đa trị lấy giá trị trong X và xác định trên R+ τ = [τ, +∞), ut là hàm trễ của hàm trạng thái.

Trong chương này, khái niệm ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường được định nghĩa như sau (xem [6]): Ký hiệu SOL(ϕτ ) là tập nghiệm của hệ với dữ kiện đầu ϕτ và giả sử 0 ∈ SOL(0). Nghiệm tầm thường của hệ được gọi là ổn định tiệm cận yếu nếu nó có các tính chất:

(i) ổn định: với mỗi (cid:15) > 0, tồn tại số dương δ sao cho nếu |ϕτ |B < δ thì

|yt|B < (cid:15), ∀y ∈ SOL(ϕτ ) và t > τ ;

(ii) hút yếu: với mỗi ϕτ ∈ B, tồn tại y ∈ SOL(ϕτ ) sao cho

|yt|B = 0.

lim t→+∞

4.2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM PHÂN RÃ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH YẾU

τ , X) là không gian các hàm liên tục bị chặn trên R+ τ lấy giá trị trong X, là một không gian Banach với chuẩn sup. Trong phần tiếp theo, chúng tôi giới thiệu một độ đo không compact trong không gian

Ký hiệu BC(R+

BC(R+ τ , X) và sử dụng nó để chứng minh sự tồn tại nghiệm phân rã của bài toán trên (−∞, +∞), sau đó dựa vào kết quả thu được để suy ra tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường.

4.2.1. Độ đo không compact trên BC(R+

τ , X)

Với số cho trước T > τ , công thức xác định độ đo không compact

Hausdorff trên không gian C([τ ; T ]; Rn) được đưa ra như sau (xem [2])

(4.3)

(cid:107)x(t) − x(s)(cid:107).

χT (D) =

lim δ→0

max t,s∈[τ,T ],|t−s|<δ

1 2

sup x∈D

Độ đo này còn được sử dụng để đo tính liên tục đồng bậc của các tập trong C([τ, T ]; Rn). Trong không gian C([τ, T ]; X), với X là không gian vô hạn chiều, độ đo không compact Hausdorff không có công thức tường minh như (4.3). Tuy nhiên, với tập liên tục đồng bậc D ⊂ C([τ, T ]; X), thì

(4.4)

χ(D(t)),

χT (D) = sup t∈[τ,T ]

ở đây χ là độ đo không compact Hausdorff trên X và χT là độ đo không compact Hausdorff trên C([τ, T ]; X). Trong trường hợp tổng quát, chúng ta có

χ(D(t)).

χT (D) ≥ sup t∈[τ,T ]

τ ; X), cụ thể πT (x) τ ; X) trên đoạn [τ, T ]. Hàm χ∞ được xác định

τ ; X),

Ký hiệu πT (·) là toán tử hạn chế trên không gian BC(R+ là hạn chế của x ∈ BC(R+ như sau: với D ⊂ BC(R+

(4.5)

χT (πT (D)),

χ∞(D) = sup T >τ

τ ; X). Độ đo χ∞ có các tính chất

là một độ đo không compact trên BC(R+ nêu ra trong Định nghĩa 1.1, ngoại trừ tính chính quy.

τ ; X), ta định nghĩa

Với D ⊂ BC(R+

(4.6)

(cid:107)x(t)(cid:107),

dT (D) = sup x∈D

sup t≥T

(4.7)

dT (D),

(4.8)

d∞(D) = lim T →∞ χ∗(D) = χ∞(D) + d∞(D).

τ ; X) (xem

Khi đó χ∗ là một độ đo không compact trên không gian BC(R+ [13]).

4.2.2. Sự tồn tại nghiệm phân rã

Sự tồn tại nghiệm của bài toán trên đoạn compact đã được chứng minh trong Chương 3. Trong phần này, chúng tôi xét bài toán trên nửa trục và chứng minh tồn tại nghiệm phân rã. Nhằm đạt được mục đích, chúng tôi xây dựng một tập con ổn định trong không gian BC(R+ τ ; X) và chứng minh toán tử nghiệm có điểm bất động trên đó. Cụ thể: Ta xét tập gồm các hàm u ∈ BC(R+ τ ; X) thỏa mãn h(t)(cid:107)u(t)(cid:107) = O(1) khi t → +∞, trong đó h là một hàm liên tục, dương và xác định trên R với các tính chất sau:

h(t) = +∞;

(H1) h là một hàm không giảm trên (0, +∞) và lim t→+∞

(H2) tồn tại β ∈ (0, 1) sao cho h(t)h−1(βt) = O(1) khi t → +∞.

Lưu ý rằng, với hàm h như trên, ta có

h(t)e−γt = 0, với mỗi γ > 0.

lim t→+∞

Thật vậy, theo (H2) thì tồn tại hằng số C > 1 sao cho h(t) < Ch(βt) với mọi t ≥ 0. Điều này dẫn đến h(t)e−γt < C nh(βnt)e−γt với mọi số nguyên dương n. Với (cid:15) > 0 cho trước, tồn tại một số dương t((cid:15)) sao cho: với t > t((cid:15)), ta có

) − (− logβ t) > 2

logC(eγt (cid:15) M h(x). Khi đó, có thể lấy n là số nguyên dương thỏa

trong đó M = max [0;1]

mãn

)

− logβ t < n < logC(eγt (cid:15) M

điều này tương đương với

C ne−γt <

và βnt < 1.

(cid:15) M

Do đó

h(t)e−γt < (cid:15) với mọi t > t((cid:15)).

loc(R), định nghĩa (cid:90) t

Với σ > 0 và f ∈ L1

e−σ(t−s)f (s)ds

Λσf (t) =

và ký hiệu

Mσ = {f ∈ L1

loc(R) : Λσf ∈ BC(R)}.

|f (s)|ds < +∞, thì f ∈ Mσ. Thật

(cid:82) t+1 t

Ta thấy, nếu f thỏa mãn supt∈R vậy, ta có

(cid:90) (cid:90) t

e−σ(t−s)|f (s)|ds

e−σ(t−s)f (s)ds

(cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:90)

≤ e−σt

eσs|f (s)|ds

−∞

t−j (cid:90)

∞ (cid:88)

≤ e−σt

eσs|f (s)|ds

j=0

t−(j+1)

t−j (cid:90)

∞ (cid:88)

≤ e−σt

eσ(t−j)

|f (s)|ds

j=0

t−(j+1)

t−j (cid:90)

∞ (cid:88)

≤

e−σj

|f (s)|ds < +∞.

j=0

t−(j+1)

Các giả thiết sau sẽ được sử dụng:

(Ab) Toán tử A sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh S(t) = etA, t ≥ 0, liên tục

theo chuẩn và ổn định mũ, tức là

(cid:107)S(t)(cid:107) ≤ N e−αt, ∀t > 0,

với N ≥ 1, α > 0.

(Bb) Không gian B thỏa mãn (B1)-(B4) với K ∈ BC(0, +∞; R+) và M là

hàm thỏa mãn

h(t)M ((1 − β)t) = O(1) khi t → +∞.

τ × B → Kv(X), là ánh xạ đa trị thỏa mãn các

(Fb) Hàm phi tuyến F : R+

điều kiện sau

τ → Kv(X) có một hàm chọn đo được mạnh địa phương, tức là với mỗi T > τ tồn tại một hàm đo được mạnh f : [τ, T ] → X sao cho f (t) ∈ F (t, φ) với hầu khắp t ∈ [τ, T ];

(1) với mỗi φ trong B, hàm đa trị F (·, φ) : R+

(2) ánh xạ đa trị F (t, ·) : B → Kv(X) là nửa liên tục trên với hầu

khắp t ∈ R+ τ ;

(3) tồn tại hàm m ∈ Mκ, ở đó κ ∈ (0, αγ) với γ ∈ (0, 1) sao cho

(cid:107)F (t, φ)(cid:107) ≤ m(t)|φ|B.

(4) Nếu nửa nhóm S(·) không có tính compact, thì tồn tại hàm không

loc(R+

τ ) sao cho

âm k ∈ L1

χ(D(θ)),

χ(F (t, D)) ≤ k(t) sup θ≤0

τ ; X)

với mọi tập bị chặn D ⊂ B và với hầu khắp t ∈ R+ τ .

Cho ϕτ ∈ B, BCϕτ là một không gian con đóng của không gian BC(R+ theo chuẩn sup. Với mỗi v ∈ BCϕτ , thì v[ϕτ ] ∈ BC(R; X) và đặt

PF (v) = {f ∈ L1

loc(R+

τ ; X) : f (t) ∈ F (t, v[ϕτ ]t) với hầu khắp t ∈ R+

τ }.

Mệnh đề sau đây về PF sẽ được sử dụng trong việc chứng minh một số

kết quả tiếp theo.

loc(R+

Mệnh đề 4.1. Giả sử (Fb)(1)-(Fb)(3) thỏa mãn. Khi đó, mỗi u ∈ BCϕτ thì PF (u) (cid:54)= ∅. Hơn nữa, nếu {un} ⊂ BCϕτ với un → u∗, và fn ∈ PF (un) τ ; X) với f ∗ ∈ PF (u∗). thì fn (cid:42) f ∗ trong L1

Chứng minh. Lấy u ∈ BCϕτ , với các giả thiết (Fb)(1)-(Fb)(3), ta được PF (u) (cid:54)= ∅ (xem [40]). Ta thấy {fn(t)} ⊂ C(t) := F (t, {un[ϕτ ]t}) và C(t) là tập compact với hầu khắp t ∈ R+ τ . Với mỗi số dương cố định T > τ , {fn|[τ,T ]} là bị chặn tích phân, do giả thiết (Fb)(3). Nên {fn} là compact yếu trong L1(τ, T ; X), vì thế có thể giả sử fn (cid:42) f 1∗ trong L1(τ, T ; X). Lập luận tương tự như trong Mệnh đề 1.5, ta được f 1∗(t) ∈ PF (u∗(t)), với hầu khắp t ∈ [τ, T ].

loc(R+

τ ; X) được xây dựng như sau

Lặp lại lí luận ở trên cho t ∈ [(k − 1)T, kT ], n = 1, 2, ... ta có fn (cid:42) f k∗ trong L1((k − 1)T, kT ; X) với f k∗(t) ∈ F (t, u∗[ϕτ ]), t ∈ [(k − 1)T, T ] hầu khắp nơi. Hàm f ∗ ∈ L1

(cid:40)

f ∗(t) =

f 1∗(t), nếu t ∈ [τ, T ]; f k∗(t), nếu t ∈ [(k − 1)T, T ], k = 1, 2, 3...

Từ đó ta thu được điều phải chứng minh.

Nhận xét 4.1. Nếu X là không gian hữu hạn chiều, thì từ (Fb)(3) ta suy ra (Fb)(4).

Định nghĩa 4.1. Một hàm liên tục u : R → X được gọi là nghiệm tích phân của bài toán (4.1)-(4.2) nếu và chỉ nếu u(t) = ϕτ (t − τ ) khi t ∈ (−∞, τ ] và tồn tại hàm f ∈ PF (u|[τ,+∞)) sao cho

(cid:90) t

(4.9)

u(t) = S(t − τ )ϕτ (0) +

S(t − s)f (s)ds

với mọi t ∈ [τ, +∞).

Toán tử nghiệm F : BCϕτ → P(BCϕτ ) được định nghĩa như sau

(cid:90) t (cid:110)

F(u)(t) =

S(t − τ )ϕτ (0) +

(cid:111) .

S(t − s)f (s)ds | f ∈ PF (u)

Đặt

(cid:90) t

(4.10)

S(t − s)f (s)ds, với f ∈ L1

Wτ (f )(t) =

loc(R+

τ ; X),

ta có

F(u)(t) = S(t − τ )ϕτ (0) + Wτ ◦ PF (u)(t), t > τ. Khi đó, hàm u ∈ BCϕτ là điểm bất động của toán tử F khi và chỉ khi u[ϕτ ] là nghiệm tích phân của bài toán (4.1)-(4.2) trên (−∞, +∞).

Nhận xét 4.2. Với các giả thiết (Ab) và (Fb), ta được kết quả trong Mệnh đề 1.6.

Để chứng minh F có điểm bất động, ta sẽ chứng minh F là toán tử đa

trị đóng trong bổ đề sau.

Bổ đề 4.1. Với các giả thiết (Ab) và (Fb), toán tử nghiệm F là toán tử đóng với giá trị lồi.

Chứng minh. Thật vậy, F có giá trị lồi vì F có giá trị lồi. Lấy một dãy bất kỳ {un} ⊂ BCϕτ , un → u∗ và zn ∈ F(un) với zn → z∗. Ta có

zn(t) ∈ S(t − τ )ϕτ (0) + Wτ ◦ PF (un)(t), t > τ.

Gọi fn ∈ PF (un) sao cho

(4.11)

zn(t) = S(t − τ )ϕτ (0) + Wτ (fn)(t), t > τ.

loc(R+

τ ; X) và f ∗ ∈ PF (u∗). Theo Mệnh đề 4.1, ta được fn (cid:42) f ∗ trong L1 Hơn nữa, với t ∈ [τ, T ], đặt K(t) = F (t, {un[ϕτ ]t}) thì {fn(t)} ⊂ K(t) với hầu khắp t ∈ [τ ; T ] với K(t) là compact trong X. Mặt khác, từ (Fb)(3),

suy ra {fn|[τ,T ]} là bị chặn tích phân. Mệnh đề 1.6 đảm bảo rằng Wτ (fn) → Wτ (f ∗) trong C([τ, T ]; X). Nói riêng Wτ (fn)(t) → Wτ (f ∗)(t). Vì thế, từ (4.11) suy ra

(cid:90) t

z∗(t) = S(t − τ )ϕτ (0) +

S(t − s)f ∗(s)ds

với f ∗ ∈ PF (u∗). Tức là z∗ ∈ F(u∗). Như vậy F là toán tử đóng.

Sau đây, ta sẽ xây dựng tập con của không gian BCϕτ mà mỗi phần tử thuộc tập đó phân rã với tốc độ được xác định bởi hàm h và chứng minh toán tử nghiệm có điểm bất động ở trên đó. Đặt

Bh

h(t)(cid:107)y(t)(cid:107) ≤ ρ},

R(ρ) = BR ∩ {y ∈ BCϕτ : sup t≥τ

trong đó BR là hình cầu đóng trong BCϕτ có tâm là gốc tọa độ, bán kính R > 0 và ρ là một số dương. Từ cách xác định trên, ta thấy Bh R(ρ) là một tập khác rỗng, đóng và lồi trong BCϕτ . Ta sẽ chỉ ra một tập Bh R(ρ) có tính bất biến với toán tử nghiệm trong bổ đề sau.

Bổ đề 4.2. Giả sử rằng (Ab), (Bb) và (Fb) thỏa mãn. Nếu

(cid:90) t

(4.12)

e−α(t−s)m(s)K(s − τ )ds < 1

N sup t≥τ

(cid:90) t

(4.13)

e−α(t−s)m(s)K(s − βs)ds < 1,

∗ sup t≥T

βt

R(ρ)) ⊂ Bh

R(ρ), ở đây T =

và N h2

(h(t)h−1(βt)).

β2 } và h∗ = sup

t≥T

thì tồn tại hai số dương R, ρ sao cho F(Bh max{0, τ

Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh sự tồn tại hình cầu BR bất biến đối với F . Thật vậy, giả sử điều ngược lại xảy ra. Khi đó, với mỗi n ∈ N, tồn tại un ∈ BCϕτ và zn ∈ F(un) sao cho (cid:107)un(cid:107)BC ≤ n nhưng (cid:107)zn(cid:107)BC > n. Lấy fn ∈ PF (un) sao cho

(cid:90) t

zn(t) = S(t − τ )ϕτ (0) +

S(t − s)fn(s)ds, ∀ t > τ.

Khi đó

(cid:90) t

(cid:107)zn(t)(cid:107) ≤ (cid:107)S(t − τ )(cid:107) · (cid:107)ϕτ (0)(cid:107) +

(cid:107)S(t − s)(cid:107)m(s)|un[ϕτ ]s|Bds

(cid:90) t

≤ N (cid:107)ϕτ (0)(cid:107) + N

e−α(t−s)m(s)|un[ϕτ ]s|Bds.

Mặt khác

(cid:107)un(θ)(cid:107) + M (s − τ )|ϕτ |B

|un[ϕτ ]s|B ≤ K(s − τ ) sup θ∈[τ,s] ≤ nK(s − τ ) + M (s − τ )|ϕτ |B ≤ nK(s − τ ) + M∞|ϕτ |B,

M (t).

ở đây M∞ = sup t≥0

Nên

(cid:90) t

e−α(t−s)m(s)K(s − τ )ds

(cid:107)zn(t)(cid:107) ≤ N (cid:107)ϕτ (0)(cid:107) + nN

(cid:90) t

e−α(t−s)m(s)ds. (4.14)

+ N M∞|ϕτ |B

Hơn nữa, theo giả thiết ta có

(cid:90) t

e−α(t−s)m(s)ds < +∞.

C := N (cid:107)ϕτ (0)(cid:107) + N M∞|ϕτ |B sup t≥τ

Do vậy, từ (4.14) suy ra

(cid:90) t

e−α(t−s)m(s)K(s − τ )ds +

.

1 <

≤ N sup t≥τ

(cid:107)zn(cid:107)BC n

C n

Qua giới hạn hai vế của bất đẳng thức cuối cùng khi n → +∞, ta gặp mâu thuẫn với (4.12).

Tiếp theo, ta chỉ ra rằng tồn tại số dương ρ sao cho

F(Bh

R(ρ)) ⊂ Bh

R(ρ).

R(n)

Giả sử điều ngược lại xảy ra. Khi đó với mỗi n ∈ N, tồn tại un ∈ Bh với

h(t)(cid:107)zn(t)(cid:107) > n,

sup t≥τ

trong đó zn ∈ F(un). Ta có

(cid:19) (cid:18) (cid:90) t

(cid:107)S(t − τ )(cid:107)(cid:107)ϕτ (0)(cid:107) +

h(t)(cid:107)zn(t)(cid:107) ≤ h(t)

(cid:107)S(t − s)(cid:107)(cid:107)fn(s)(cid:107)ds

(4.15)

≤ N eατ (cid:107)ϕτ (0)(cid:107)h(t)e−αt + I(t),

t (cid:82)

ở đây I(t) = N h(t)

e−α(t−s)m(s)|un[ϕτ ]s|Bds.

Từ tính chất của hàm h, ta được

(4.16)

N eατ (cid:107)ϕτ (0)(cid:107)h(t)e−αt < +∞.

C1 = sup t≥τ

Mặt khác

I(t) + sup

I(t),

sup t≥τ

I(t) ≤ sup t∈[τ,T ]

t∈[T,+∞)

β2 }.

trong đó T = max{0, τ

Vì I(t) là hàm liên tục, nên

(4.17)

I(t) < +∞.

C2 = sup t∈[τ,T ]

Xét

I(t), ta thấy

sup t∈[T,+∞)

(cid:90) t (cid:16) (cid:90) βt

+

I(t) = N h(t)

βt

(cid:17) e−α(t−s)m(s)|un[ϕτ ]s|Bds.

Vì un ∈ BR, ta được

|un[ϕτ ]t|B ≤ K(t − τ ) sup{(cid:107)un(θ)(cid:107) : τ ≤ θ ≤ t} + M (t − τ )|ϕτ |B

≤ K∞R + M∞|ϕτ |B = C ∗, ∀t ≥ τ,

M (t). Do đó

với K∞ = sup t≥0

K(t) và M∞ = sup t≥0

(cid:90) βt (cid:90) βt

e−α(t−s)m(s)ds

N h(t)

e−α(t−s)m(s)|un[ϕτ ]s|Bds ≤ N C ∗h(t)

(cid:90) βt

≤ N C ∗h(t)

e−α(1−γ)(t−s)e−αγ(t−s)m(s)ds

(cid:90) βt

≤ N C ∗h(t)e−α(1−γ)(1−β)t

e−κ(t−s)m(s)ds.

Vì vậy

(cid:90) βt

(4.18)

N h(t)

e−α(t−s)m(s)|un[ϕτ ]s|Bds < +∞

C3 = sup

t∈[T,+∞)

theo tính chất của hàm h và giả thiết (Fb). Mặt khác, ta có

(cid:90) t

N h(t)

e−α(t−s)m(s)|un[ϕτ ]s|Bds

sup t≥T

βt

(cid:90) t

(4.19)

h(t)

(cid:104) e−α(t−s)m(s)

(cid:107)un(θ)(cid:107)

≤ N sup t≥T

K(s − βs) sup βs≤θ≤s

βt

(cid:105)

ds

+ M (s − βs)|un[ϕτ ]βs|B

(cid:90) t

h(t)

(cid:107)un(θ)(cid:107)ds + C4,

≤ N sup t≥T

e−α(t−s)m(s)K(s − βs) sup βs≤θ≤s

βt

ở đó

(cid:90) t

h(t)

e−α(t−s)m(s)M (s − βs)|un[ϕτ ]βs|Bds.

C4 = N sup t≥T

βt

Dựa vào các giả thiết (H1), (H2), (Bb) và (Fb), ta được

(cid:90) t

h(t)

e−α(t−s)m(s)M (s − βs)C ∗ds

C4 ≤ N sup t≥T

βt (cid:90) t

h(s)e−α(t−s)m(s)M (s − βs)C ∗ds < +∞.

h(t) h(βt)

≤ N sup t≥T

βt

Hơn nữa

(cid:90) t

h(t)

(cid:107)un(θ)(cid:107)ds

N sup t≥T

e−α(t−s)m(s)K(s − βs) sup βs≤θ≤s

(cid:90) t

h(s)e−α(t−s)m(s)K(s − βs)

h(θ)(cid:107)un(θ)(cid:107)ds.

βt h(t) h(βt)

1 h(βs)

≤ N sup t≥T

sup βs≤θ≤s

βt

Nếu t ≥ T thì β2t ≥ τ , nên

h(θ)(cid:107)un(θ)(cid:107)

sup θ≥βs

h(θ)(cid:107)un(θ)(cid:107)

h(θ)(cid:107)un(θ)(cid:107) ≤ sup θ≥β2t ≤ sup θ≥τ ≤ n.

Ta nhận được

(cid:90) t

N h(t)

e−α(t−s)m(s)|un[ϕτ ]s|Bds

sup t≥T

(cid:90) t

e−α(t−s)m(s)K(s − βs)ds + C4

h(s) h(βs)

≤ nN sup t≥T

βt

βt h(t) h(βt) (cid:90) t

(4.20)

≤ nN h2

e−α(t−s)m(s)K(s − βs)ds + C4.

∗ sup t≥T

βt

Kết hợp (4.15)-(4.20), ta đi đến kết quả sau

4 (cid:88)

(cid:90) t

e−α(t−s)m(s)K(s − βs)ds.

h(t)(cid:107)zn(t)(cid:107) ≤

Ci + nN h2

sup t≥τ

∗ sup t≥T

βt

i=1

Từ đó suy ra

1 <

h(t)(cid:107)zn(t)(cid:107)

sup t≥τ

1 n

4 (cid:88)

(cid:90) t

≤

e−α(t−s)m(s)K(s − βs)ds.

Ci + N h2

1 n

∗ sup t≥T

βt

i=1

Qua giới hạn hai vế của bất đẳng thức cuối cùng khi n → +∞, ta gặp mâu thuẫn với giả thiết (4.13).

R(ρ).

Từ đây, ta xét toán tử nghiệm trên tập Bh

Bổ đề 4.3. Giả sử (Ab), (Bb), (Fb) thỏa mãn và

(cid:90) t

(4.21)

(cid:107)S(t − s)(cid:107)χk(s)ds < 1.

4 sup t≥τ

Khi đó toán tử nghiệm F là χ∗-nén.

R(ρ). Trước tiên, ta chỉ ra rằng

Chứng minh. Lấy D ⊂ Bh

d∞(F(D)) = 0.

Thật vậy, vì (cid:107)u(cid:107)BC < R với mọi u ∈ D, nên

h(t)(cid:107)F(u)(t)(cid:107) ≤ ρ, ∀ t ≥ τ,

theo Bổ đề 4.2. Nghĩa là

(cid:107)F(u)(t)(cid:107) ≤ ρh−1(t), ∀u ∈ D, ∀t ≥ τ.

Suy ra

(cid:107)F(u)(t)(cid:107) ≤ ρh−1(T ),

dT (F(D)) = sup u∈D

sup t≥T

với T > τ . Hệ quả là

(4.22)

dT (F(D)) = 0.

d∞(F(D)) = lim T →+∞

Mặt khác, do πT (D) là bị chặn trong C([τ, T ]; X) với T > τ , ta thấy rằng PF (πT (D)) là bị chặn tích phân trong L1([τ, T ]; X). Do đó, tập

πT (F(D)) = S(· − τ )ϕτ (0) + Wτ ◦ PF (πT (D))

là đồng liên tục trong C([τ, T ]; X), theo Mệnh đề 1.8. Khi đó

χ (πT (F(D))(t))

χT (πT (F(D))) = sup t∈[τ,T ]

(cid:27) (cid:26)(cid:90) t

χ

S(t − s)PF (πT (D))(s)ds

≤ sup t∈[τ,T ]

(cid:90) t

(4.23)

χ (S(t − s)PF (πT (D))(s)) ds.

≤ 4 sup t∈[τ,T ]

Nếu nửa nhóm S(·) là compact, thì

χT (πT (F(D))) = 0

vì

χ (S(t − s)PF (πT (D))(s)) = 0, với hầu khắp s ∈ [τ, t].

Nếu S(·) không là nửa nhóm compact, ta có

χ(πT (D)[ϕτ ](s + θ))

χ(πT (D)(r)),

χ (S(t − s)PF (πT (D))(s)) ≤ (cid:107)S(t − s)(cid:107)χk(s) sup θ≤0 ≤ (cid:107)S(t − s)(cid:107)χk(s) sup r∈[τ,s]

ở đây ta sử dụng (Fb)(4) và D[ϕτ ](r) = {ϕτ (r)} với mỗi r ≤ τ . Thay vào (4.23), ta được

(cid:90) t

χ(πT (D)(r))ds

χT (πT (F(D))) ≤ 4 sup t∈[τ,T ]

(cid:107)S(t − s)(cid:107)χk(s) sup r∈[τ,s] (cid:19)

τ (cid:90) t

(cid:18)

≤

(cid:107)S(t − s)(cid:107)χk(s)ds

χT (πT (D)).

4 sup t≥τ

Do vậy

χT (πT (F(D)) ≤ ζ · χT (πT (D)), ∀ T > τ,

ở đó (cid:90) t

(cid:107)S(t − s)(cid:107)χk(s)ds.

ζ = 4 sup t≥τ

Suy ra

(4.24)

χ∞(F(D) ≤ ζ · χ∞(D).

Kết hợp (4.22) và (4.24), ta đi đến kết quả sau

χ∗(F(D)) = χ∞(F(D)) + d∞(F(D)) ≤ ζ · (χ∞(D) + d∞(D)) ≤ ζ · χ∗(D).

Vì vậy, nếu χ∗(D) ≤ χ∗(F(D)) thì

χ∗(D) ≤ ζ · χ∗(D).

Kết hợp với điều kiện ζ < 1, ta được χ∗(D) = 0. Trong phần còn lại, ta chứng minh D là tập compact tương đối. Thật vậy, lấy một dãy {un} trong D. Vì d∞({un}) = 0 nên với mọi (cid:15) > 0 cho trước, tồn tại T > 0 đủ lớn sao cho

, với mọi t ≥ T và n ∈ N∗.

(cid:107)un(t)(cid:107) <

(cid:15) 3

Mặt khác: χ∗({un}) = 0 kéo theo χT (πT ({un})) = 0. Suy ra {un|[τ,T ]} có dãy con hội tụ trong C([τ, T ]; X), ta lại ký hiệu là {un|[τ,T ]}. Như thế, tồn tại số tự nhiên N ((cid:15)) sao cho

, ∀m, n ≥ N ((cid:15)).

(cid:107)un(t) − um(t)(cid:107) <

(cid:15) 3

sup t∈[τ,T ]

Suy ra

(cid:107)un(t) − um(t)(cid:107)

(cid:107)um(t)(cid:107)

(cid:107)un(t) − um(t)(cid:107) + sup t≥T (cid:107)un(t) − um(t)(cid:107) + sup t≥T

(cid:107)un(t)(cid:107) + sup t≥T

+

= (cid:15).

≤

(cid:107)un − um(cid:107)BC = sup t≥τ ≤ sup τ ≤t≤T ≤ sup τ ≤t≤T (cid:15) 3

(cid:15) 3

τ ; X). Phép chứng

Do vậy {un} là dãy Cauchy trong không gian BC(R+ minh kết thúc.

Kết hợp Bổ đề 4.2 và Bổ đề 4.3, ta được Định lí sau đây.

Định lí 4.1. Với giả thiết trong các Bổ đề 4.2 và Bổ đề 4.3, thì bài toán (4.1)-(4.2) có nghiệm tích phân u trên (−∞, +∞) thỏa mãn

h(t)(cid:107)u(t)(cid:107) = O(1) khi t → +∞.

Chứng minh. Để sử dụng nguyên lí điểm bất động được phát biểu trong Định lí 1.3, ta chứng minh F có giá trị compact. Thật vậy, với u ∈ Bh R(ρ), thì

χ∗(F(u)) ≤ ζ · χ∗({u}) = 0,

R(ρ) → Kv(Bh

R(ρ)) ta được

với những lập luận như trong Bổ đề 4.3. Vì thế F(u) là tập compact tương đối. Do F là toán tử đóng theo Bổ đề 4.1, nên F có giá trị compact. Như vậy, bằng việc xét toán tử nghiệm F : Bh điều phải chứng minh.

Nhận xét 4.3. Điều kiện (4.21) được thỏa mãn nếu S(·) là nửa nhóm compact. Hơn nữa, nếu K ∈ L∞(R+) và m ∈ L∞(R) thì bất đẳng thức (4.12) được thay bằng

N (cid:107)K(cid:107)∞(cid:107)m(cid:107)∞ < α.

4.2.3. Tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường

Trong định lí tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường của

bài toán (4.1)-(4.2) là ổn định tiệm cận yếu.

Định lí 4.2. Với các giả thiết trong Bổ đề 4.2 và Bổ đề 4.3, nghiệm tầm thường của bài toán (4.1)-(4.2) là ổn định tiệm cận yếu.

Chứng minh. Từ (Fb)(3), ta thấy u ≡ 0 ∈ SOL(0). Với mỗi ϕτ ∈ B, ta có Fix(F) ⊂ SOL(ϕτ ). Lấy u ∈ Fix(F) và lặp lại các lập luận như trong Bổ đề 4.2, ta được

(cid:107)u(θ)(cid:107) + M (t − βt)|uβt|B

(cid:107)u(θ)(cid:107) + M (t − βt)C ∗

|ut|B ≤ K∞ sup θ∈[βt,t] ≤ K∞ sup θ∈[βt,t]

+ M (t − βt)C ∗

ρ h(θ)

+ M (t − βt)C ∗.

≤ K∞

≤ K∞ sup θ∈[βt,t] ρ h(βt)

Do đó

|ut|B = 0.

lim t→+∞

Ta còn phải chứng minh rằng, với mọi (cid:15) > 0 tồn tại một số dương δ sao cho nếu |ϕτ |B < δ thì |ut|B < (cid:15), ∀u ∈ SOL(ϕτ ) và t > τ . Thật vậy, với u ∈ SOL(ϕτ ) thì tồn tại f ∈ PF (πt(u)) sao cho

(cid:90) t

S(t − s)f (s)ds.

u(t) = S(t − τ )ϕτ (0) +

Suy ra

(cid:90)

e−α(t−s)m(s)K(s − τ )ds

(cid:107)u(t)(cid:107) ≤ N (cid:96)|ϕτ |B + (cid:107)u(cid:107)BCN

(cid:90)

+ N

M∞e−α(t−s)m(s)|ϕτ |Bds

(cid:90)

e−α(t−s)m(s)ds(cid:1)

≤ |ϕτ |BN (cid:0)(cid:96) + M∞

(cid:90)

e−α(t−s)m(s)K(s − τ )ds.

+ (cid:107)u(cid:107)BCN

t (cid:82)

Điều này dẫn đến

e−α(t−s)m(s)ds)

N ((cid:96) + M∞

(cid:107)u(cid:107)BC ≤

|ϕτ |B.

t (cid:82)

N

e−α(t−s)m(s)K(s − τ )ds

1 − sup t≥τ

Sử dụng tiên đề (B3) và bất đẳng thức vừa thu được, ta có

|ut|B ≤ K∞(cid:107)u(cid:107)BC + M∞|ϕτ |B

(cid:17)

≤

+ M∞

|ϕτ |B,

(cid:16)K∞C5 C6

ở đây

(cid:90)

e−α(t−s)m(s)ds)

C5 = N ((cid:96) + M∞

và

(cid:90)

N

e−α(t−s)m(s)K(s − τ )ds.

C6 = 1 − sup t≥τ

(cid:15) và thu được điều phải

C6 K∞C5+M∞C6

Như vậy, nếu (cid:15) > 0 thì ta chọn δ = chứng minh.

Chú ý. Trong kết quả về nghiệm phân rã ở trên, tốc độ phân rã đạt được (ít nhất) là cấp đa thức với số mũ dương tùy ý. Tuy nhiên, nếu thay điều kiện (Ab) bởi điều kiện sau

(Ab’) Tồn tại các số C > 0 và α > 0 sao cho (cid:107)S(t)(cid:107) ≤ C(1 + t)−α, ∀t ≥ 0,

cùng với một số điều chỉnh thích hợp trên giả thiết của Bổ đề 4.2, thì ta được nghiệm phân rã với cấp đa thức và số mũ của đa thức nhỏ hơn α bằng các lập luận tương tự.

4.3. ÁP DỤNG

Xét bài toán điều khiển sau đây

(4.25)

(t, x) − ∆u(t, x) + λu(t, x) = f (t, x), x ∈ Rn, t ≥ τ

∂u ∂t

0 (cid:90)

(cid:90)

f (t, x) ∈ b(t, x)

ν(θ, y)(cid:2)k1(y, u(t + θ, y)), k2(y, u(t + θ, y))(cid:3)dydθ,

−∞

Ω

(4.26)

(4.27) (cid:3) = {µg1 + (1 − µ)g2 :

u(τ + s, x) = ϕτ (s, x), x ∈ Rn, s ∈ (−∞, 0], trong đó Ω là một miền bị chặn trong Rn, (cid:2)g1, g2 µ ∈ [0, 1]}, ∀g1, g2 ∈ R, ∆ là toán tử Laplace đối với biến x và λ > 0.

Đây là bài toán điều khiển với phản hồi đa trị. Cho X = L2(Rn), A = ∆ − λI với D(A) = H 2(Rn). Khi đó A sinh ra nửa nhóm S(t) = e−λtT (t) trên X, trong đó T (·) là nửa nhóm giải tích trên X sinh bởi ∆ (xem [36], Định lí 5.15). Hơn nữa T (·) là nửa nhóm co, nên ta có

(cid:107)S(t)(cid:107)L(X) ≤ e−λt, t ≥ 0,

Như thế, giả thiết (Ab) được thỏa mãn với N = 1 và α = λ.

Sau đây chúng ta giả thiết cho phần phi tuyến

(G1) b(·, x) ∈ Mκ với κ ∈ (0, λγ) và b(t, ·) ∈ L2(Rn) với hầu khắp t ∈ R+ τ . (G2) ν : (−∞, 0] × Ω → R là một hàm liên tục và tồn tại Cν > 0 sao cho

|ν(t, x)| ≤ Cνeν0t

với mọi t ∈ (−∞, 0], x ∈ Ω và 0 < ν0 < 1.

(G3) kj : Ω×R → R, j = 1, 2 là các hàm liên tục và tồn tại hàm ξ ∈ L2(Ω)

sao cho

|kj(y, z)| ≤ ξ(y)|z|, j = 1, 2.

g với r = − 1 ln(1 − ν0) ν0 τ × B → P(X) được xác định như sau

0 (cid:90)

Trong ví dụ này, ta xét không gian pha B = CL2 và g(s) = eν0s. Ánh xạ đa trị F : R+

(cid:90)

F (t, φ)(x) = b(t, x)

ν(θ, y)(cid:2)k1(y, φ(θ, y)), k2(y, φ(θ, y))(cid:3)dydθ.

−∞

Ω

Khi đó, với mỗi tập bị chặn V ⊂ B thì F (t, V ) ⊂ span{b(t, ·)}. Hơn nữa, F (t, V ) là tập bị chặn, theo (G2). Như thế F (t, V ) là tập compact tương đối. Tức là

χ(F (t, V )) = 0.

Giả thiết (Fb)(4) thỏa mãn với k ≡ 0.

0 (cid:90)

Về giả thiết (Fb)(3), với g ∈ F (t, φ) ta có

(cid:90)

g(t, x) = b(t, x)

ν(θ, y)(cid:2)µk1(y, φ(θ, y)) + (1 − µ)k2(y, φ(θ, y))(cid:3)dydθ,

−∞

Ω

với bất kỳ µ ∈ [0, 1]. Khi đó, với k(y) = µk1(y, φ(θ, y))+(1−µ)k2(y, φ(θ, y)) ta có

0 (cid:90)

(cid:90) (cid:90)

(cid:107)g(t, ·)(cid:107)2

dx

ν(θ, y)k(y)dydθ

X =

−∞

Ω

0 (cid:90)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)b(t, x)

(cid:90) (cid:104) (cid:105)2

|ν(θ, y)|ξ(y)|φ(θ, y)|dydθ)

≤ (cid:107)b(t, ·)(cid:107)2 X

−∞

Ω 0 (cid:90)

(cid:90) (cid:105)2 (cid:104)

≤ C 2

eν0θξ(y)|φ(θ, y)|dydθ)

,

ν (cid:107)b(t, ·)(cid:107)2

−∞

Ω

nhờ vào các giả thiết (G2) và (G3).

0 (cid:90)

Sử dụng bất đẳng thức H¨older và r đã chọn, ta được

0 (cid:90)

(cid:90) (cid:105)2 (cid:17)2 (cid:16) (cid:104)

eν0θξ(y)|φ(θ, y)|dydθ)

≤ (cid:107)ξ(cid:107)2

eν0θ(cid:107)φ(θ, ·)(cid:107)Xdθ

L2(Ω)

−∞

Ω

0 (cid:90)

ν0 2 θe

(cid:16) (cid:17)2

= (cid:107)ξ(cid:107)2

e

ν0 2 θ(cid:107)φ(θ, ·)(cid:107)Xdθ

L2(Ω)

−∞

0 (cid:90)

≤

(cid:107)ξ(cid:107)2

eν0θ(cid:107)φ(θ, ·)(cid:107)2

L2(Ω)

Xdθ

1 ν0

−∞

−r (cid:90)

0 (cid:90)

(cid:17) (cid:16)

=

(cid:107)ξ(cid:107)2

+

eν0θ(cid:107)φ(θ, ·)(cid:107)2

L2(Ω)

Xdθ

1 ν0

−r

−∞

−r (cid:90)

(cid:16) (cid:17)

(cid:107)ξ(cid:107)2

≤

(cid:107)φ(cid:107)2

eν0θ(cid:107)φ(θ, ·)(cid:107)2

.

L2(Ω)

C([−r,0];X) +

Xdθ

1 ν0

−∞

Vì thế

(4.28)

Cν(cid:107)ξ(cid:107)L2(Ω)(cid:107)b(t, ·)(cid:107)X|φ|B.

(cid:107)g(t, ·)(cid:107)X ≤

1 √ ν0

Như vậy (Fb)(3) thỏa mãn với

m(t) =

Cν(cid:107)ξ(cid:107)L2(Ω)(cid:107)b(t, ·)(cid:107)X.

1 √ ν0

Tiếp theo, nếu cho trước t và φ, thì từ cách xác định F , ta thấy F (t, φ) là một tập bị chặn, đóng và lồi trong không gian con một chiều span{b(t, ·)}

0 (cid:90)

của L2(Rn). Do đó F (t, φ) là một tập compact và lồi trong X, tức là F có giá trị lồi và compact. Với mỗi µ ∈ [0, 1], hàm

(cid:90)

f (t, x) = b(t, x)

ν(θ, y)(cid:2)µk1(y, φ(θ, y))+(1−µ)k2(y, φ(θ, y))(cid:3)dydθ,

−∞

Ω

là hàm chọn đo được mạnh. Vì vậy, ta có thể khẳng định rằng hàm F thỏa mãn (Fb)(1).

τ và mỗi tập bị chặn V ⊂ B, ta có F (t, ·) là compact địa phương. Lưu ý rằng B là một không gian Frétchet, nên để kiểm tra giả thiết (Fb)(2), ta còn phải chỉ ra rằng F (t, ·) là đóng theo dãy. Lấy {φn} là một dãy trong B hội tụ đến φ∗ và ξn ∈ F (t, φn) là một dãy sao cho ξn → ξ∗. Ta có 0 (cid:90)

Vì χ(F (t, V )) = 0 với hầu khắp t ∈ R+

(cid:90)

ξn(x) = b(t, x)

ν(θ, y)(cid:2)µnk1(y, φn(θ, y)) + (1 − µn)k2(y, φn(θ, y))(cid:3)dydθ,

−∞

Ω

ở đó {µn} ⊂ [0; 1]. Do các hàm k1 và k2 là liên tục và các hàm dưới dấu tích phân bị chặn tích phân, nên 0 (cid:90) (cid:90)

ξ∗(x) = b(t, x)

ν(θ, y)(cid:2)µ∗k1(y, φ∗(θ, y)) + (1 − µ∗)k2(y, φ∗(θ, y))(cid:3)dydθ

Ω

−∞ µn. Do đó F (t, ·) là đóng. Theo Mệnh đề 1.1, F (t, ·) là nửa liên tục trên. Từ đó (Fb)(2) được kiểm chứng. Như vậy, giả thiết (Fb) thỏa mãn.

với µ∗ = lim n→∞

g, trong đó r = − 1 ν0

Đối với không gian pha B = CL2

ln(1 − ν0) và g(s) = eν0s, ta thấy rằng (1.2)-(1.3) thỏa mãn khi G(s) = g(s). Do đó B có các tính chất (B1)-(B3) với

(cid:40)

√

K(t) =

e−ν0r − e−ν0t,

0 ≤ t ≤ r, t > r,

1, 1 + 1 √ ν0

2 ν0t, 1 +

(cid:40)

(1 − e−ν0t)},

0 ≤ t ≤ r,

(cid:113) e−ν0r ν0

M (t) =

t > r,

max{e− 1 e− 1 2 ν0t,

theo các công thức cho K và M trong (1.4) và (1.5).

Về tốc độ phân rã, ta chọn (cid:40)

tη nếu t ≥ 1

h(t) =

, η > 0.

1 nếu t < 1

Khi đó h thỏa mãn (H1)-(H2) và (Bb) với bất kỳ β ∈ (0, 1) và 0 < γ < 1.

Cuối cùng, ta đề cập đến các giả thiết trong Bổ đề 4.2 và Bổ đề 4.3. Do

k ≡ 0, giả thiết trong Bổ đề 4.3 thỏa mãn.

ν0erν0 . Với N =

Dựa vào công thức xác định K, ta thấy K(t) < 1 + 1√

Cν(cid:107)ξ(cid:107)L2(Ω)(cid:107)b(t, ·)(cid:107)X, ta có

1, α = λ và m(t) = 1 √ ν0

(cid:90)

N

e−α(t−s)m(s)K(s − τ )ds

(cid:90)

√

< (cid:0)1 +

(cid:1)Cν(cid:107)ξ(cid:107)L2(Ω) √

e−λ(t−s)(cid:107)b(s, ·)(cid:107)Xds

1 ν0erν0

ν0

(cid:90)

√

< (cid:0)1 +

(cid:1)Cν(cid:107)ξ(cid:107)L2(Ω) √

e−λ(t−s)(cid:107)b(s, ·)(cid:107)Xds.

sup t≥τ

1 ν0erν0

ν0

∗ = 1

βη , nên suy ra

Hơn nữa h2

(cid:90)

N h2

e−α(t−s)m(s)K(s − βs)ds

∗ sup t≥T

βt

(cid:90)

√

(cid:0)1 +

<

(cid:1)Cν(cid:107)ξ(cid:107)L2(Ω) √

e−λ(t−s)(cid:107)b(s, ·)(cid:107)Xds

1 βη

sup t≥T

1 ν0erν0

ν0

βt

(cid:90)

√

< (cid:0)1 +

e−λ(t−s)(cid:107)b(s, ·)(cid:107)Xds.

sup t≥τ

(cid:1)Cν(cid:107)ξ(cid:107)L2(Ω) βη√

1 ν0erν0

ν0

Vì vậy, nếu

(cid:90)

√

(cid:0)1 +

e−λ(t−s)(cid:107)b(s, ·)(cid:107)Xds < 1

sup t≥τ

(cid:1)Cν(cid:107)ξ(cid:107)L2(Ω) βη√

1 ν0erν0

ν0

thì (4.12) và (4.13) thỏa mãn.

Khi đó, ta có định lí sau đây.

Định lí 4.3. Giả sử các giả thiết (G1)-(G3) thỏa mãn và

(cid:90)

√

(cid:0)1 +

e−λ(t−s)(cid:107)b(s, ·)(cid:107)Xds < 1.

sup t≥τ

(cid:1)Cν(cid:107)ξ(cid:107)L2(Ω) βη√

1 ν0erν0

ν0

Khi đó hệ (4.25)-(4.27) có nghiệm tích phân u trên (−∞, +∞) với tính chất tη(cid:107)u(t, ·)(cid:107)X = O(1) khi t → +∞. Hơn nữa, nghiệm tầm thường của hệ là ổn định tiệm cận yếu.

Kết luận Chương 4

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định tiệm cận yếu của điểm cân bằng cho lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có trễ vô hạn. Các kết quả đạt được bao gồm:

1) Chứng minh được sự tồn tại nghiệm phân rã trên nửa trục của bài toán

(4.1)-(5.1) (Định lí 4.1);

2) Chứng minh được tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường

cho bài toán (4.1)-(5.1) (Định lí 4.2).

3) Áp dụng kết quả về tính ổn định tiệm cận yếu cho bài toán điều khiển

(Mục 4.3).

Theo khảo sát của chúng tôi, chưa có kết quả nào về tốc độ phân rã nghiệm của bao hàm thức tiến hóa cấp một nửa tuyến tính với trễ vô hạn xét trong không gian pha tổng quát. Chúng tôi đã xây dựng được hệ điều kiện để chỉ ra tốc độ phân rã nghiệm đặc trưng bởi lớp hàm thỏa mãn (H1)-(H2). Về phương diện kỹ thuật, việc chỉ ra sự tồn tại của tập Bh R(ρ) là tương đối khó và đóng vai trò quyết định trong phép chứng minh.

Chương 5

TÍNH HÚT TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN HÀM NỬA TUYẾN TÍNH

Trong chương này, chúng tôi mở rộng khái niệm về tính hút và hút mũ trong khoảng thời gian hữu hạn do Giesl và Rasmussen đề xuất trong [39] và xét các tính chất này của nghiệm tầm thường đối với lớp bao hàm thức vi phân hàm nửa tuyến tính.

Nội dung của chương này dựa trên bài báo số 4 trong Danh mục công

trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án.

5.1. ĐẶT BÀI TOÁN

Cho (X, (cid:107) · (cid:107)) là một không gian Banach, xét bài toán sau

(5.1)

(5.2)

u(cid:48)(t) ∈ Au(t) + F (t, ut), t ∈ [0, T ], u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0],

ở đó hàm trạng thái u lấy giá trị trong X, A là một toán tử tuyến tính sinh ra một C0-nửa nhóm {S(t)}t≥0 trên X, F là hàm đa trị xác định trên [0, T ] × Ch và ut là hàm trễ của u tính đến thời điểm t. Hàm ϕ ∈ C([−h; 0], X) đóng vai trò là dữ kiện đầu của bài toán. Trong mô hình trên, ta giả thiết T > h.

Dựa trên khái niệm về tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn của nghiệm đối với hệ không ô-tô-nôm không có trễ đã được đề xuất trong công trình [39], chúng tôi đưa ra khái niệm tương ứng cho hệ vi phân có trễ. Sau khi chứng minh một điều kiện đủ cho tính hút mũ của hệ có trễ, chúng tôi sử dụng điều kiện này cho bài toán đang xét. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một ví dụ minh họa cho các kết quả lí thuyết.

Ký hiệu S(ξ) là tập các nghiệm của hệ với dữ kiện đầu là ξ.

Định nghĩa 5.1. (Hút trong khoảng thời gian hữu hạn). Cho µ : [−h, T ] → X là một nghiệm của hệ (5.1)-(5.2) ứng với dữ kiện ban đầu ϕ (µ ∈ S(ϕ)).

(i) µ được gọi là hút trên [0, T ] nếu tồn tại số η > 0 sao cho

(cid:107)uT − µT (cid:107)Ch < (cid:107)ξ − ϕ(cid:107)Ch

với mọi ξ ∈ Bη(ϕ) \ {ϕ} ⊂ Ch và u ∈ S(ξ).

(ii) µ được gọi là nghiệm hút mũ trên [0, T ] nếu

(cid:107)uT − µT (cid:107)Ch < 1.

1 η

lim sup η(cid:38)0

sup u∈S(ξ)

sup ξ∈Bη(ϕ)

Từ định nghĩa, ta suy ra rằng nếu một nghiệm có tính hút mũ thì nó

cũng có tính hút.

5.2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ

Sau đây là điều kiện đủ cho tính hút mũ của một nghiệm.

Bổ đề 5.1. Cho µ ∈ S(ϕ) là một nghiệm của (5.1)-(5.2). Khi đó µ là hút mũ trên [0, T ] nếu

(5.3)

< 1.

sup u∈S(ϕ+ξ)

(cid:107)uT − µT (cid:107)Ch (cid:107)ξ(cid:107)Ch

lim sup →0 (cid:107)ξ(cid:107)Ch

(cid:107)uT − µT (cid:107)Ch

Chứng minh. Ta có 1 η

sup u∈S(ξ)

sup ξ∈Bη(ϕ)

(cid:107)ξ(cid:107)Ch η

sup u∈S(ξ+ϕ)

= sup <η (cid:107)ξ(cid:107)Ch

.

sup u∈S(ξ+ϕ)

(cid:107)uT − µT (cid:107)Ch (cid:107)ξ(cid:107)Ch (cid:107)uT − µT (cid:107)Ch (cid:107)ξ(cid:107)Ch

≤ sup <η (cid:107)ξ(cid:107)Ch

Suy ra

.

1 η

lim sup η(cid:38)0

sup u∈S(ξ)

(cid:107)uT − µT (cid:107)Ch ≤ lim sup →0

sup u∈S(ϕ+ξ)

sup ξ∈Bη(ϕ)

(cid:107)xT − µT (cid:107)Ch (cid:107)ξ(cid:107)Ch

(cid:107)ξ(cid:107)Ch

Từ định nghĩa hút mũ và bất đẳng thức (5.3), ta được kết luận của Bổ đề.

5.3. TÍNH HÚT CỦA NGHIỆM TẦM THƯỜNG

5.3.1. Sự tồn tại nghiệm tích phân

Khác với mô hình bài toán trong Chương 2, ta xem xét tính giải được của (5.1)-(5.2) khi hàm phi tuyến có thể tăng trưởng trên tuyến tính. Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán trên J = [0, T ], ta giả thiết

(A) Nửa nhóm liên tục mạnh S(·) sinh ra bởi A là nửa nhóm liên tục theo

chuẩn và (cid:107)S(t)x(cid:107) ≤ M (cid:107)x(cid:107) với mọi x ∈ X.

(F) Hàm F : J × Ch → Kv(X) thỏa mãn

(1) F (·, x) có hàm chọn đo được mạnh với mỗi x ∈ Ch và F (t, ·) nửa

liên tục trên với hầu khắp t ∈ J;

(2) tồn tại hàm m ∈ L1(J; R+), và một hàm không âm giá trị thực,

liên tục và không giảm Ψ sao cho

(cid:107)F (t, x)(cid:107) ≤ m(t)Ψ((cid:107)x(cid:107)Ch), ∀x ∈ Ch; (3) Nếu S(·) không là nửa nhóm compact, thì tồn tại hàm k ∈ L1(J; R+)

sao cho

χ(B(θ)),

χ(F (t, B)) ≤ k(t) sup θ∈[−h,0]

với mọi tập bị chặn B ⊂ Ch.

Nhận xét 5.1. Với các giả thiết (A) và (F), bằng lập luận tương tự, ta được các kết quả trong Mệnh đề 1.5 và Mệnh đề 1.6.

Ta nhắc lại định nghĩa nghiệm tích phân của bài toán.

Định nghĩa 5.2. Một hàm liên tục u : [−h, T ] → X được gọi là một nghiệm tích phân của bài toán (5.1)-(5.2) nếu và chỉ nếu u(t) = ϕ(t) với t ∈ [−h, 0] và tồn tại f ∈ PF (u|[0,T ]) sao cho

(cid:90) t

(5.4)

S(t − s)f (s)ds

u(t) = S(t)ϕ(0) +

với mỗi t ∈ [0, T ].

Toán tử nghiệm F : Cϕ → P(Cϕ) được định nghĩa như sau (cid:90) t

(cid:110) (cid:111) .

F(u)(t) =

S(t)ϕ(0) +

S(t − s)f (s)ds | f ∈ PF (u)

Ta thấy

F(u)(t) = S(t)ϕ(0) + W ◦ PF (u)(t), t ∈ [0, T ],

với W : L1(0, T ; X) → C([0, T ]; X) là toán tử xác định bởi

(cid:90) t

W(f )(t) =

S(t − s)f (s)ds.

Khi đó, u ∈ Cϕ là điểm bất động của F khi và chỉ khi u[ϕ] là nghiệm tích phân của (5.1)-(5.2) trên [−h, T ]. Bằng lập luận như trong Chương 2, ta thu được Định lí sau.

Định lí 5.1. Giả sử rằng (A), (F) thỏa mãn và Ψ(r) = 1 + r. Khi đó bài toán (5.1)-(5.2) có nghiệm tích phân với mỗi dữ kiện đầu cho trước.

Lưu ý rằng, phần phi tuyến trong Định lí 5.1 có độ tăng trưởng dưới tuyến tính. Trong trường hợp F có độ tăng trưởng trên tuyến tính, ta có kết quả sau.

≥ M,

Định lí 5.2. Giả sử (A) và (F) thỏa mãn. Nếu tồn tại R > 0 sao cho R (cid:107)ϕ(0)(cid:107) + (cid:107)m(cid:107)L1(J)Ψ((cid:107)ϕ(cid:107)Ch + R)

thì bài toán (5.1)-(5.2) có ít nhất một nghiệm tích phân.

Chứng minh. Trước hết, bằng lập luận như trong phép chứng minh Bổ đề 4.1 ở Chương 4, ta được F là toán tử đóng và có giá trị lồi. Để sử dụng nguyên lí điểm bất động trong Định lí 1.4, ta phải chứng minh rằng hình cầu đóng BR trong Cϕ có tâm là gốc tọa độ với bán kính R là bất biến đối với F . Thật vậy, với mỗi u ∈ BR và z ∈ F(u), ta có

(cid:90) t

(cid:107)z(t)(cid:107) ≤ M (cid:107)ϕ(0)(cid:107) + M

m(s)Ψ((cid:107)us(cid:107)Ch)ds

(cid:90) t

m(s)ds

≤ M (cid:107)ϕ(0)(cid:107) + M Ψ((cid:107)ϕ(cid:107)Ch + R)

≤ M (cid:107)ϕ(0)(cid:107) + M Ψ((cid:107)ϕ(cid:107)Ch + R)(cid:107)m(cid:107)L1(J) ≤ R.

n khác rỗng. Hơn nữa, F(M) ⊂ M. Bằng lập luận như Bước 2 trong Định lí 2.1, ta được M là tập compact. Ta được điều phải chứng minh.

Bất đẳng thức cuối đảm bảo rằng F(u) ⊂ BR với mọi u ∈ BR. Tiếp theo, ta xây dựng tập con lồi M ⊂ BR sao cho F(M) ⊂ M. Đặt M0 = BR và Mn = coF(Mn−1) với n = 1, 2, .... Bằng qui nạp, ta được dãy {Mn} thỏa mãn Mn ⊂ Mn−1. Đặt M = (cid:84) Mn. Khi đó, M là tập lồi, đóng và

Nhận xét 5.2. Điều kiện trong Định lí 5.2 cho phép hàm phi tuyến tăng trưởng trên tuyến tính. Ví dụ trường hợp Ψ(r) = (cid:96)r + r2, ta có thể chọn số R trong Định lí 5.2 sao cho

≤ R ≤

,

a − δ 2M (cid:107)m(cid:107)L1(J)

a + δ 2M (cid:107)m(cid:107)L1(J)

ở đó

a = 1 − M (2(cid:107)ϕ(cid:107)Ch + (cid:96))(cid:107)m(cid:107)L1(J)

(cid:113)

δ =

(1 − (cid:96)M (cid:107)m(cid:107)L1(J))2 − 4M (cid:107)m(cid:107)L1(J)((cid:107)ϕ(cid:107)Ch + M (cid:107)ϕ(0)(cid:107)),

với điều kiện là

1 ≥ M (cid:107)m(cid:107)L1(J)(2(cid:107)ϕ(cid:107)Ch + (cid:96)) (1 − (cid:96)M (cid:107)m(cid:107)L1(J))2 ≥ 4M (cid:107)m(cid:107)L1(J)((cid:107)ϕ(cid:107)Ch + M (cid:107)ϕ(0)(cid:107)).

Điều kiện sau cùng được thỏa mãn với (cid:107)m(cid:107)L1(J) nhỏ hoặc (cid:96) và dữ kiện ban đầu nhỏ.

5.3.2. Tính hút của nghiệm tầm thường

Trong phần này, ta xét tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn cho

nghiệm tầm thường của bài toán (5.1)-(5.2).

Để đạt được các kết quả mong muốn, chúng ta cần các giả thiết mạnh

hơn cho A và F :

(A*) Nửa nhóm S(t), t ≥ 0 là liên tục theo chuẩn và ổn định mũ, tức

là

(cid:107)S(t)x(cid:107) ≤ M e−αt(cid:107)x(cid:107), với mọi t ≥ 0, x ∈ X,

ở đó M ≥ 1, α > 0.

(F*) Hàm phi tuyến F thỏa mãn (F) với Ψ là hàm Lipschitz cục bộ

và ta có Ψ(r) = βr + o(r) khi r → 0 với β là một số không âm.

Nhận xét 5.3. Từ (F*), ta có F (t, 0) = 0. Tức là hệ có nghiệm tầm thường.

Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau.

Bổ đề 5.2. Với các giả thiết (A*) và (F*), ta có

(cid:107)ut(cid:107)Ch = 0, ∀t ∈ (0, T ].

→0

sup u∈S(ϕ)

lim (cid:107)ϕ(cid:107)Ch

Chứng minh. Trước tiên ta chú ý rằng nếu v là nghiệm tích phân của bài toán Cauchy

v(cid:48)(t) = p(t)Ψ(v(t)), t ∈ (0, T ], v(0) = 0,

trong đó p ∈ L1(J; R+), tức là

(cid:90) t

v(t) =

p(s)Ψ(v(s))ds, ∀ t ∈ [0, T ]

thì v là nghiệm tầm thường do giả thiết Ψ có tính chất Lipschitz cục bộ. Từ đó theo nguyên lý so sánh, nếu v ∈ C(J; R+) thỏa mãn (cid:90) t

0 ≤ v(t) ≤

p(s)Ψ(v(s))ds, ∀t ∈ [0, T ],

thì v ≡ 0.

Bây giờ với mọi u ∈ S(ϕ), theo giả thiết ta có đánh giá sau (cid:90) t

(cid:107)u(t)(cid:107) ≤ M (cid:107)ϕ(0)(cid:107) + M

m(s)Ψ((cid:107)us(cid:107)Ch)ds

0 (cid:90) t

≤ M (cid:107)ϕ(0)(cid:107) + M

(cid:107)u(τ )(cid:107))ds.

m(s)Ψ((cid:107)ϕ(cid:107)Ch + sup τ ∈[0,s]

Do biểu thức cuối là hàm tăng theo biến t nên ta có

(cid:90) t

(cid:107)u(τ )(cid:107) ≤ M (cid:107)ϕ(0)(cid:107) + M

(cid:107)u(τ )(cid:107))ds,

sup τ ∈[0,t]

m(s)Ψ((cid:107)ϕ(cid:107)Ch + sup τ ∈[0,s]

với mọi u ∈ S(ϕ). Qua giới hạn khi (cid:107)ϕ(cid:107)Ch → 0, ta có

(cid:90) t

v(t) ≤ M

m(s)Ψ(v(s))ds,

(cid:107)u(τ )(cid:107). Từ đây, ta suy ra kết luận của bổ

→0

sup u∈S(ϕ)

sup τ ∈[0,t]

với v(t) = lim (cid:107)ϕ(cid:107)Ch

đề.

Kết quả chính của chương này được trình bày trong định lí sau.

Định lí 5.3. Giả sử (A*) và (F*) được thỏa mãn. Khi đó nghiệm không của (5.1)-(5.2) là hút mũ trên đoạn [0, T ] nếu ta có

(5.5)

ln M + αh + M βeαh(cid:107)m(cid:107)L1(J) < αT.

Chứng minh. Theo giả thiết (F*) về hàm Ψ, với (cid:15) > 0 bất kỳ, tồn tại δ > 0 sao cho

(5.6)

Ψ(r) ≤ (β + (cid:15))r, ∀r ∈ (0, δ).

Theo Bổ đề 5.2, tồn tại η > 0 sao cho với (cid:107)ϕ(cid:107)Ch < η và u ∈ S(ϕ) ta có (cid:107)ut(cid:107)Ch < δ. Kết hợp với (5.6), ta có

Ψ((cid:107)ut(cid:107)Ch) ≤ (β + (cid:15))(cid:107)ut(cid:107)Ch, ∀t ∈ (0, T ],

khi (cid:107)ϕ(cid:107)Ch < η. Do vậy, với θ ∈ [−h, 0], ta có đánh giá

(cid:90) T +θ

(cid:107)u(T + θ)(cid:107) ≤ M e−α(T +θ)(cid:107)ϕ(0)(cid:107) + M

e−α(T +θ−s)m(s)Ψ((cid:107)us(cid:107)Ch)ds

(cid:33) (cid:32) (cid:90) T

≤ M eαh

e−αT (cid:107)ϕ(0)(cid:107) +

.

e−α(T −s)m(s)Ψ((cid:107)us(cid:107)Ch)ds

Từ đó suy ra

(cid:33) (cid:32) (cid:90) T

(cid:107)ϕ(0)(cid:107) +

,

eαT (cid:107)uT (cid:107)Ch ≤ M eαh

m(s)(β + (cid:15))eαs(cid:107)us(cid:107)Chds

khi (cid:107)ϕ(cid:107)Ch < η. Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta thu được

(5.7)

eαT (cid:107)uT (cid:107)Ch ≤ M eαh(cid:107)ϕ(0)(cid:107)eM eαh(β+(cid:15))(cid:107)m(cid:107)L1(J).

Từ điều kiện (5.5), ta có thể chọn (cid:15) > 0 sao cho

(5.8)

ln M + αh + M (β + (cid:15))eαh(cid:107)m(cid:107)L1(J) < αT.

Khi đó, bất đẳng thức (5.7) cho ta

(cid:107)uT (cid:107)Ch < (cid:107)ϕ(cid:107)Ch, ∀u ∈ S(ϕ), ∀ϕ ∈ Bη(0).

Hơn nữa, nếu cố định (cid:15) sao cho (5.8) thỏa mãn, từ (5.7) ta có

(cid:107)uT (cid:107)Ch ≤ M e−αT +αh+M eαh(β+(cid:15))(cid:107)m(cid:107)L1(J)(cid:107)ϕ(cid:107)Ch, ∀u ∈ S(ϕ), ∀ϕ ∈ Bη(0).

Do vậy

< 1.

sup u∈S(ϕ)

(cid:107)uT (cid:107)Ch (cid:107)ϕ(cid:107)Ch

lim sup →0 (cid:107)ϕ(cid:107)Ch

Định lí được chứng minh.

5.4. ÁP DỤNG

Cho Ω ⊂ Rn là một miền bị chặn với biên trơn ∂Ω. Ta xét bài toán

(5.9)

∂u ∂t

(5.10)

f (t, x) ∈ co

,

(t, x) = ∆u(t, x) + f (t, x), x ∈ Ω, t ∈ [0, T ], (cid:111) (cid:110) ˜fi(t, u(t − h, x)) : i = 1, 2, ..., m

(5.11)

u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0,

(5.12)

u(s, x) = ϕ(x, s), x ∈ Ω, s ∈ [−h, 0],

(cid:41) (cid:111)

ở đó ˜fi : J × R → R, i = 1, 2, ..., m, là các hàm liên tục, (cid:40) m (cid:88)

=

.

(cid:110) ˜f1, ˜f2, ..., ˜fm

˜fi : ηi ≥ 0, η1 + η2 + ... + ηm = 1

ηi

i=1

Xét

X = C0(Ω) = {v ∈ C(Ω) : v = 0 trên ∂Ω},

|v(x)|.

với chuẩn (cid:107)v(cid:107) = sup x∈Ω

Đặt A = ∆ với D(A) = {v ∈ C0(Ω) ∩ H 1 0 (Ω) : ∆v ∈ C0(Ω)}, và Ch = C([−h, 0]; C0(Ω)). Khi đó, ta có A là toán tử sinh của nửa nhóm co trên X, tức là (cid:107)S(t)(cid:107) ≤ 1, ∀t ≥ 0 (xem [71], Định lí 4.1.4). Hơn nữa, S(·) là nửa nhóm compact (xem [8], Định lí 2.3), nên giả thiết (F)(3) thỏa mãn.

0 (Ω), tức là

(cid:110)(cid:82)

: u ∈ H 1

(cid:111) .

λ1 = sup

0 (Ω), u (cid:54)= 0

Ký hiệu λ1 là giá trị riêng đầu tiên của −∆ trên H 1 Ω |∇u|2dx (cid:82) Ω u2dx

Theo Định lí 4.2.2 trong [46], ta có

(cid:107)S(t)(cid:107) ≤ M e−λ1t, M = exp

(cid:17) .

2 n

(cid:17)

.

Như vậy, (A*) thỏa mãn với α = λ1 và M = exp

(cid:16)λ1|Ω| 2 4π (cid:16) λ1|Ω| 4π

Các hàm ˜fi : [0, T ] × R → R, i = 1, m, thỏa mãn

(1) ˜fi(·, z) là đo được với mọi z ∈ R; ˜fi(t, ·) là liên tục với mỗi t ∈ J; (2) | ˜fi(t, z)| ≤ m(t)z2 với mọi (t, z) ∈ J × R, ở đây m ∈ L1(J, R+);

Xét các hàm fi : J × Ch → X được cho bởi fi(t, v)(x) = ˜fi(t, v(−h, x)). Đặt F (t, v) = co{fi(t, v) : i = 1, 2, ..., m}. Khi đó F : J × Ch → P(X) là ánh xạ đa trị với giá trị lồi đóng. Ta thấy rằng, với mỗi cặp cố định (t, v), F (t, v) là tập bị chặn trong không gian hữu hạn chiều span{f1, f2, ..., fm}, nên F có giá trị compact. Ta chỉ ra rằng F (t, ·) là nửa liên tục trên. Thật vậy, lấy dãy {vk} ⊂ Ch hội tụ đến v. Khi đó, theo tính liên tục của ˜fi, thì fi(t, vk) → fi(t, v) trong X. Với (cid:15) > 0, tồn tại số N ∈ N

fi(t, vk) ∈ fi(t, v) + (cid:15)BX[0, 1], ∀k ≥ N ; i = 1, 2, ..., m.

Từ đó suy ra

F (t, vk) ⊂ F (t, v) + (cid:15)BX[0, 1], ∀k ≥ N.

Vì F có giá trị compact, nên bao hàm thức cuối cùng suy ra tính nửa liên tục trên của F (t, ·). Như vậy, (F)(1) thỏa mãn. Lấy z ∈ F (t, v),

theo cách xác định F ta có

m (cid:88)

|z(x)| ≤

ηi| ˜fi(t, v(−h, x))|

i=1

≤ m(t)|v(−h, x)|2.

Khi đó

.

(cid:107)z(cid:107) ≤ m(t)(cid:107)v(−h, ·)(cid:107)2 ≤ m(t)(cid:107)v(cid:107)2 Ch

Tức là

.

(cid:107)F (t, v)(cid:107) ≤ m(t)(cid:107)v(cid:107)2 Ch

Như vậy, (F*) được thỏa mãn với Ψ(z) = z2 (β = 0).

2 n

Do đó điều kiện (5.5) thỏa mãn nếu T > h + |Ω|

4π . Theo Định lí 5.3,

nghiệm tầm thường của bài toán (5.9)-(5.12) là hút mũ trên [0, T ].

Kết luận Chương 5

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính hút của nghiệm tầm thường trong khoảng thời gian hữu hạn cho bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính với trễ hữu hạn. Các kết quả đạt được bao gồm:

1) Chứng minh tính hút mũ của nghiệm tầm thường cho bài toán

(5.1)-(5.2) (Định lí 5.3)

2) Áp dụng kết quả thu được cho hệ vi phân đạo hàm riêng dạng đa

diện (Mục 5.4).

Theo sự hiểu biết của chúng tôi, các kết quả trong chương này là những nghiên cứu đầu tiên về tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn cho hệ vi phân trong không gian Banach tổng quát. Các kĩ thuật ước lượng và lược đồ chứng minh có thể được sử dụng để nghiên cứu một số lớp bài toán khác.

KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

1. Các kết quả đạt được

Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của một số lớp bao hàm thức vi phân hàm có trễ trong không gian Banach. Luận án đã đạt được các kết quả sau:

(a) Đối với lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính không ô-tô-nôm

với trễ hữu hạn, nhận được:

• Sự tồn tại nghiệm tích phân, sự tồn tại tập hút lùi. Áp dụng kết quả cho hệ vi phân đạo hàm riêng dạng đa diện với trễ biến thiên và hệ vi phân lưới.

• Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm trên đoạn compact với phần phi tuyến có thể tăng trưởng trên tuyến tính. Tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn cho nghiệm tầm thường. Áp dụng kết quả lí thuyết cho một hệ vi phân đạo hàm riêng dạng đa diện.

(b) Đối với lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính không ô-tô-nôm

với trễ vô hạn, thu được:

• Kết quả về tính giải được; sự tồn tại tập hút lùi bằng cách sử dụng một tiêu chuẩn mới do chúng tôi đề xuất về tính compact tiệm cận của quá trình đa trị sinh bởi bài toán. Áp dụng kết quả cho hệ điều khiển với biến không gian thuộc vào miền bị chặn có biên đủ trơn.

• Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm phân rã và tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường. Áp dụng kết quả lí thuyết cho lớp phương trình đạo hàm riêng parabolic đa trị trong Rn.

2. Đề xuất một số vấn đề nghiên cứu tiếp theo

Bên cạnh các kết quả đã đạt được trong luận án, một số vấn đề

mở liên quan cần được tiếp tục nghiên cứu:

• Tìm điều kiện đủ hoặc cải thiện các điều kiện đủ cho sự tồn tại tập hút của các nửa dòng/quá trình đa trị. Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận (theo cách tiếp cận của lí thuyết tập hút hoặc lí thuyết ổn định) của một số lớp bao hàm thức vi phân với trễ biến thiên hoặc đa trễ cùng với các vấn đề liên quan như tính chính qui của nghiệm, tính trơn của tập hút.

• Nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm cho các hệ vi phân đa trị bậc phân số hoặc một số bất đẳng thức vi biến phân trên đoạn compact hoặc trên nửa trục.

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1) N.V. Dac, T.D. Ke, Asymptotic behavior for non-autonomous func- tional differential inclusions with measures of noncompactness, Topo- logical Methods in Nonlinear Analysis, Volume 49:2 (2017), 383-400.

2) N.V. Dac, T.D. Ke, Pullback attractor for differential evolution inclusions with infinite delays, Applied Mathematics and Computa- tion, Volume 265 (2015), 667-680.

3) N.V. Dac, T.D. Ke, Decay solutions and weak stability for differ-

ential inclusions with infinite delays, submitted.

4) N.V. Dac, T.D. Ke, Finite-time attractivity for semilinear differen-

tial inclusions with finite delays, submitted.

Tài liệu tham khảo

[1] S. Adly and L.B. Khiet (2014), Stability and invariance results for a class of non-monotone set-valued Lur’e dynamical systems. Appl. Anal. 93, no. 5, 1087-1105.

[2] R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S. Potapov, A.E. Rodkina and B.N. Sadovskii (1992), Measures of Noncompactness and Condensing Op- erators, Birkh¨auser, Boston-Basel-Berlin.

[3] C.T. Anh, N.M. Chuong and T.D. Ke (2010), Global attractor for the m-semiflow generated by a quasilinear degenerate parabolic equation, J. Math. Anal. Appl. 363, 444-453.

[4] C.T. Anh and T.D. Ke (2010), On quasilinear parabolic equations in- volving weighted p-Laplacian operators, Nonlinear Differ. Equ. Appl. 17, 195-212.

[5] N.T. Anh and T.D. Ke (2015), Decay integral solutions for neutral fractional differential equations with infinite delays, Math. Methods Appl. Sci. 38 , No.8, 1601-1622.

[6] N.T. Anh, T.D. Ke and N.N. Quan (2016), Weak stability for integro- differential inclusions of diffusion-wave type involving infinite delays, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 21, 3637-3654.

[7] W. Knapp (2005), Basic Real Analysis, Birkh¨auser, Boston-Basel-

Berlin.

[8] W. Arendt and P. Bénilan (1999), Wiener regularity and heat semi- groups on spaces of continuous functions, in Topics in Nonlinear Anal- ysis. Progress in Nonlinear Differential Equations Application, vol. 35, 29-49.

[9] J.P. Aubin and A. Cellina (1984), Differential Inclusions. Set-valued

Maps and Viability Theory, Springer-Verlag, Berlin.

[10] J. M. Ayerbe Toledano, T. Domínguez Benavides and G. López Acedo (1997), Measures of Noncompactness in Metric Fixed Point Theory.

Operator Theory: Advances and Applications, 99. Birkh¨auser Verlag, Basel.

[11] J.M. Ball (1997), Continuity properties and global attractor of gener- alized semiflows and the Navier-Stokes equations, J. Nonlinear Sci. 7, 475-502.

[12] J.M. Ball (2004), Global attractor for damped semilinear wave equa-

tions, Discrete Contin. Dyn. Syst. 10, 31-52.

[13] J. Banas and L. Olszowy (2009), On a class of measures of noncom- pactness in Banach algebras and their application to nonlinear integral equations, J. Anal. Appl. 28, 475-498.

[14] A. Berger (2011), On finite-time hyperbolicity, Commun. Pure Appl.

Anal. 10, 963-981.

[15] D. Bothe (1998), Multivalued perturbations of m-accretive differential

inclusions, Israel J. Math. 108, 109-138.

[16] H. Bouzahir, H. You and R. Yuan (2011), Global attractor for some partial functional differential equations with infinite delays, Funkcialaj Ekvacioj 54, 139-156.

[17] T.A. Burton (2006), Stability by Fixed Point Theory for Functional

Differential Equations, Dover Publications, New York.

[18] T.A. Burton and T. Furumochi (2001), Fixed points and problems in stability theory for ordinary and functional differential equations, Dyn. Sys. Appl. 10, 89-116.

[19] T. Caraballo, M. J. Garrido-Atienza, B. Schmalfuss and J. Valero (2008), Non-autonomous and random attractors for delay random semi- linear equations without uniqueness. Discrete Contin. Dyn. Syst. 21, 415-443.

[20] T. Caraballo and P.E. Kloeden (2009), Non-autonomous attractors for integro-differential evolution equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S 2, 17-36.

[21] T. Caraballo, J. A. Langa, V. S. Melnik and J. Valero (2003), Pullback attractors of nonautonomous and stochastic multivalued dynamical sys- tems, Set-Valued Analysis 11, 153-201.

100

[22] T. Caraballo and K. Lu (2008), Attractors for stochastic lattice dynam- ical systems with a multiplicative noise, Front. Math. China 3, no. 3, 317-335.

[23] T. Caraballo, P. Marin-Rubio and J.C. Robinson (2003), A comparision between to theories for multi-valued semiflows and their asymptotic behaviour, Set-Valued Anal. 11, 297-322.

[24] T. Caraballo, F. Morillas and J. Valero (2014), On differential equa- tions with delay in Banach spaces and attractors for retarded lattice dynamical systems, Discrete Contin. Dyn. Syst. 34, no. 1, 51-77.

[25] T. Cardinali and P. Rubbioni (2006), Mild solutions for impulsive semi- linear evolution differential inclusions. J. Appl. Funct. Anal. 1:3, 303- 325.

[26] V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik (1997), Evolution equations and their

trajectory attractors, J. Math. Pures Appl. 76, 913-964.

[27] V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik (2002), Attractors for Equations of Mathematics Physics, in: American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 49, American Mathematical Society, Providence.

[28] M. Coti Zelati and P. Kalita (2015), Minimality properties of set-valued processes and their pullback attractors, SIAM J. Math. Anal. 47, 1530- 1561.

[29] K. Deimling (1992), Multivalued Differential Equations, Walter de

Gruyter-Berlin-New York.

[30] J. Diestel, W. M. Ruess and W. Schachermayer (1993), Weak compact-

ness in L1(µ, X), Proc. Amer. Math. Soc. 118, 447-453.

[31] P. Drábek and J. Milota (2007), Methods of Nonlinear Analysis. Applications to Differential Equations, Birkhauser Advanced Texts, Birkhauser, Basel.

[32] R.D. Driver (1977), Ordinary and Delay Differential Equations,

Springer-Verlag, New York.

[33] L.H. Duc and S. Siegmund (2008), Hyperbolicity and invariant mani- folds for planar nonautonomous systems on finite time intervals, Inter. J. Bifur. Chaos 18, 641-674.

101

[34] L.H. Duc and S. Siegmund (2011), Existence of finite-time hyperbolic trajectories for planar Hamiltonianows, J. Dyn. Diferential Equations 23, 475-494.

[35] L.H. Duc, J.P. Ch´avez, D.T. Son and S. Siegmund (2016), Finite-time Lyapunov exponents and metabolic control coeficients for threshold detection of stimulus-response curves, J. Biol. Dyn. 10, 379-394

[36] K.-J. Engel and R. Nagel (2000), One-Parameter Semigroups for Lin- ear Evolution Equations, in: Graduate Texts in Mathematics, vol. 194, Springer-Verlag, New York.

[37] A. F. Filippov (1988), Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides, Translated from the Russian, Mathematics and its Applications (Soviet Series), Kluwer Academic Publishers, Dor- drecht.

[38] E. P. Gatsori, L. Górniewicz, S. K. Ntouyas and G. Y. Sficas (2005), Existence results for semilinear functional differential inclusions with infinite delay, Fixed Point Theory 6:1, 47-58.

[39] P. Giesl and M. Rasmussen (2012), Areas of attraction for nonau- tonomous diferential equations on finite time intervals. J. Math. Anal. Appl. 390, 27-46.

[40] C. Gori, V. Obukhovskii, M. Ragni and P. Rubbioni (2002), Existence and continuous dependence results for semilinear functional differential inclusions with infinite delay, Nonlinear Anal. 51, 765-782.

[41] A. Halanay (1966), Differential Equations, Stability, Oscillations,

Time Lags, Academic Press, New York and London.

[42] J. K. Hale (1988), Asymptotic Behavior of Dissipative Systems, Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 25, Amer. Math. Soc., Providence.

[43] J.K. Hale and S.M. Verduyn Lunel (1993), Theory of Functional Dif-

ferential Equations, Springer-Verlag, New York.

[44] J.K. Hale and S.M. Verduyn Lunel (1993), Introduction to Fuctional

Differential Equations, Springer-Verlag, New York.

[45] J.K. Hale and J. Kato (1978), Phase spaces for retarded equations with

infinite delay, Funkcial. Ekvac. 2111-41.

102

[46] A. Haraux and M.A. Jendoubi (2015), The Convergence Problem for Dissipative Autonomous Systems. Classical Methods and Re- cent Advances, Springer, New York.

[47] Hino Y, Murakami S and Naito T (1991), Functional Differential Equations with Infinite Delay, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1473. Springer-Verlag, Berlin.

[48] S.Hu and N.S Papageorgiou (1997), Handbook of Multivalued Analy-

sis. Vol.I. Theory. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.

[49] S.Hu and N.S Papageorgiou (1997), Handbook of Multivalued Analy-

sis. Vol.II. Theory. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.

[50] L.V. Hien and D.T. Son (2015), Finite-time stability of a class of non- autonomous neural networks with heterogeneous proportional delays, Appl.Math.Comput. 251, 14–23

[51] M.Kamenskii, V.Obukhovskii and P.Zecca (2001), Condensing Mul- tivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in: de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol. 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York.

[52] T.D. Ke and D. Lan (2014), Global attractor for a class of functional dif- ferential inclusions with Hille-Yosida operators, Nonlinear Anal. 103, 72-86.

[53] C. T. Kinh, L. V. Hien and T. D. Ke (2016), Short-time behaviour anal- ysis of fractional-order model of generalized pantograph-type neural networks, International Journal of Computer Mathematics: Com- puter Systems Theory, 1:3-4, 113-128

[54] M.P. Lazarevi´c and A.M. Spasi´c (2009), Finite-time stability anal- fractional order time-delay systems: Gronwall’s approach,

ysis of Math.Comput.Model. 49, 475–481.

[55] M. Rasmussen (2007), Attractivity and Bifurcation for Nonau- tonomous Dynamical Systems, Lecture Notes in Mathematics 1907. Springer, Berlin.

[56] G. Raugel, Global Attractors in Partial Differential Equations, In Handbook of Dynamical Systems, Vol. 2, North-Holland, Amsterdam.

103

[57] Q. Ma, S.Wang and C. Zhong (2002), Necessary and sufficient condi- tions for the existence of global attractors for semigroups and applica- tions, Indiana Univ. Math. J. Vol. 51, 1541-1559.

[58] P. Marin-Rubio and J. Real (2009), On the relation between two dif- ferent concepts of pullback attractors for non-autonomous dynamical systems, Nonlinear Anal. 71, 3956-3963.

[59] V.S. Melnik and J. Valero (1998), On attractors of multivalued semi- flows and differential inclusions, Set-Valued Analysis 6, 83-111.

[60] V.S. Melnik and J. Valero (2000), On global attractors of multivalued semiprocesses and nonautonomous evolution inclusions, Set-Valued Analysis 8, 375-403.

[61] P.H.A. Ngoc (2015), Novel criteria for exponential stability of nonlinear differential systems with delay. IEEE Trans. Automat. Control 60, no. 2, 485-490.

[62] V. Obukhovskii and P. Zecca (2011), On semilinear differential inclu- sions in Banach spaces with nondensly defined operators, J. Fixed Point Theory Appl. 9:1, 85-100.

[63] J.-S. Pang and D.E. Stewart (2008), Differential variational inequali-

ties, Math. Program. Ser. A 113, 345-424.

[64] A. Pazy (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications

to Partial Differential Equations, Spring-Verlag, NewYork.

[65] G.R. Sell and Y. You (2002), Dynamics of Evolutionary Equations,

Springer-Verlag, New York.

[66] J. Simsen and J. Valero (2016), Characterization of pullback attrac- tors for multivalued nonautonomous dynamical systems, Advances in Dynamical Systems and Control, Studies in Systems, Decision and Control 69, 179-195

[67] R. Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Me-

chanics and Physics, Springer-Verlag, New York.

[68] A.Tolstonogov (2000), Differential Inclusions in a Banach Space, Translated from the 1986 Russian original and revised by the au- thor. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.

104

[69] F. Tr¨oltzsch (2010), Optimal Control of Partial Differential Equa-

tions, American Mathematical Society.

[70] J. Valero (2001), Attractors of parabolic equations without uniqueness,

J. Dynam. Differential Equations 13, 711-744.

[71] I.I. Vrabie (2003), C0-Semigroups and Applications, North-Holland

Publishing Co., Amsterdam.

[72] B. Wang (2006), Dynamics of systems on infinite lattices, J. Differen-

tial Equations 221, no. 1, 224-245.

[73] W. Wang (2010), A generalized Halanay inequality for stability of non- linear neutral functional differential equations, J. Ineq. Appl., Vol. ArtID 475019, 16 pages.

[74] Y. Wang and S. Zhou (2009), Kernel sections on multi-valued pro- cesses with application to the nonlinear reaction-diffusion equations in unbounded domains, Quart. Appl. Math. 67, 343-378.

[75] Y. Zhang, C. Zhong and S. Wang (2010), Attractors in Lp(RN ) and H 1(RN ) for a class of reaction-diffusion equations, Nonlinear Anal. 72, 2228-2237.

[76] C. Zhong, M. Yang and C. Sun (2006), The existence of global attrac- tors for the norm-to-weak continuous semigroup and applications to the nonlinear reaction-diffusion equations, J. Differential Equations. 223, 367-399.

[77] C. Zhao and S. Zhou (2009), Sufficient conditions for the existence of global random attractors for stochastic lattice dynamical systems and applications, J. Math. Anal. Appl. 354, 78-95.