Luận án Tiến sĩ Toán học: Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc

§„i h(cid:228)c hu(cid:213)

ph„m th(cid:222) c(cid:243)c

Tr›Œng ﬁ„i h(cid:228)c s› ph„m

H(cid:214) nh'n t(cid:246)

trong nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c

lu¸n ‚n ti(cid:213)n s(cid:220) to‚n h(cid:228)c

Hu(cid:213) - 2014

§„i h(cid:228)c hu(cid:213)

Tr›Œng ﬁ„i h(cid:228)c s› ph„m

H(cid:214) nh'n t(cid:246)

trong nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c

Chuy“n ng(cid:181)nh: §„i sŁ v(cid:181) l(cid:253) thuy(cid:213)t sŁ

M• sŁ: 62. 46. 05. 01

ph„m th(cid:222) c(cid:243)c

lu¸n ‚n ti(cid:213)n s(cid:220) to‚n h(cid:228)c

Ng›Œi h›(cid:237)ng d(cid:201)n khoa h(cid:228)c:

1. PGS. TS. Nguy(cid:212)n Ti(cid:213)n Quang

2. GS. TS. L“ V¤n Thuy(cid:213)t

Hu(cid:213), 2014

LŒi cam ﬁoan

T«i xin cam ﬁoan ﬁ'y l(cid:181) c«ng tr(cid:215)nh nghi“n cłu cæa t«i ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t chung v(cid:237)i c‚c ﬁ(cid:229)ng

t‚c gi¶. Nh(cid:247)ng k(cid:213)t qu¶ vi(cid:213)t chung v(cid:237)i c‚c t‚c gi¶ kh‚c ﬁ• ﬁ›(cid:238)c sø nh˚t tr(cid:221) cæa c‚c ﬁ(cid:229)ng t‚c

gi¶ khi ﬁ›a v(cid:181)o lu¸n ‚n. C‚c sŁ li(cid:214)u, k(cid:213)t qu¶ ﬁ›(cid:238)c tr(cid:215)nh b(cid:181)y trong lu¸n ‚n l(cid:181) trung thøc v(cid:181)

ch›a tıng ﬁ›(cid:238)c ai c«ng bŁ trong b˚t kœ c«ng tr(cid:215)nh n(cid:181)o kh‚c.

T‚c gi¶

Ph„m Th(cid:222) C(cid:243)c

LŒi c¶m ‹n

Lu¸n ‚n ﬁ›(cid:238)c ho(cid:181)n th(cid:181)nh d›(cid:237)i sø h›(cid:237)ng d(cid:201)n cæa PGS. TS. Nguy(cid:212)n Ti(cid:213)n Quang v(cid:181) GS.

TS. L“ V¤n Thuy(cid:213)t. LŒi ﬁ˙u ti“n, em xin b(cid:181)y tÆ l(cid:223)ng bi(cid:213)t ‹n ch'n th(cid:181)nh v(cid:181) s'u s(cid:190)c nh˚t ﬁ(cid:213)n

c‚c Th˙y. C‚c Th˙y kh«ng ch(cid:216) truy(cid:210)n cho em ni(cid:210)m ﬁam m“ nghi“n cłu khoa h(cid:228)c, t¸n t(cid:215)nh

h›(cid:237)ng d(cid:201)n v(cid:181) gi(cid:243)p ﬁ(cid:236) em v(cid:210) m(cid:228)i m˘t, m(cid:181) c(cid:223)n d(cid:181)nh cho em sø c(cid:230) v(cid:242) v(cid:181) ﬁØng vi“n trong

suŁt qu‚ tr(cid:215)nh h(cid:228)c t¸p v(cid:181) nghi“n cłu cæa m(cid:215)nh.

T«i xin tr'n tr(cid:228)ng c¶m ‹n c‚c th˙y c« trong Khoa To‚n, Ph(cid:223)ng Sau ﬁ„i h(cid:228)c - Tr›Œng

§„i h(cid:228)c s› ph„m - §„i h(cid:228)c Hu(cid:213), Ban ﬁ(cid:181)o t„o sau ﬁ„i h(cid:228)c - §„i h(cid:228)c Hu(cid:213) v(cid:181) c‚c th˙y c« trong

BØ m«n §„i sŁ, Khoa Khoa h(cid:228)c tø nhi“n - Tr›Œng §„i h(cid:228)c H(cid:229)ng §łc - Thanh Hªa ﬁ• t„o

m(cid:228)i ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n thu¸n l(cid:238)i cho t«i h(cid:228)c t¸p, nghi“n cłu v(cid:181) ho(cid:181)n th(cid:181)nh ch›‹ng tr(cid:215)nh nghi“n cłu

cæa m(cid:215)nh.

T«i c(cid:242)ng xin g(cid:246)i lŒi c¶m ‹n ﬁ(cid:213)n Th„c s(cid:252) Nguy(cid:212)n Thu Thæy v(cid:215) nh(cid:247)ng sø gi(cid:243)p ﬁ(cid:236) ch'n

th(cid:181)nh.

CuŁi c(cid:239)ng, t«i muŁn b(cid:181)y tÆ l(cid:223)ng bi(cid:213)t ‹n s'u s(cid:190)c ﬁ(cid:213)n gia ﬁ(cid:215)nh t«i v(cid:215) nh(cid:247)ng sø ﬁ(cid:229)ng c¶m,

ﬁØng vi“n v(cid:181) chia s˛ nh(cid:247)ng khª kh¤n trong suŁt thŒi gian t«i l(cid:181)m nghi“n cłu sinh v(cid:181) ho(cid:181)n

th(cid:181)nh lu¸n ‚n n(cid:181)y.

Ph„m Th(cid:222) C(cid:243)c

M(cid:244)c l(cid:244)c

1 MØt sŁ ki(cid:213)n thłc chu¨n b(cid:222) 16

1.1 Nhªm ph„m tr(cid:239) (b(cid:214)n) ph'n b¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.1 Nhªm ph„m tr(cid:239) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.2 Nhªm ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n v(cid:181) c‚c t›‹ng ﬁ›‹ng ch(cid:221)nh t(cid:190)c . . . . . . . . . 17

1.1.3 Nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.4 Nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ph'n b¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1.5 H(cid:181)m t(cid:246) monoidal, t›‹ng ﬁ›‹ng tø nhi“n monoidal . . . . . . . . . . . 19

1.2 Ann-ph„m tr(cid:239) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.1 Ann-ph„m tr(cid:239) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.2 Ann-h(cid:181)m t(cid:246) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.3 Ann-ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Ph'n l(cid:237)p c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u (ϕ, f ) v(cid:181) łng d(cid:244)ng 25

2.1 Ph'n l(cid:237)p ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u (ϕ, f ) . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Ph'n l(cid:237)p c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Ph'n l(cid:237)p c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

. . . . . . 45 2.4 Ph'n l(cid:237)p c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ph'n b¸c bºi h(cid:214) nh'n t(cid:246) . . . . . . . . . . . 37 2.5 ‚p d(cid:244)ng v(cid:181)o b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm c(cid:230) ﬁi(cid:211)n . . . . . . . . . . .

2.5.1 Nhªm ph„m tr(cid:239) cæa mØt h„t nh'n trıu t›(cid:238)ng . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5.2 H(cid:181)m t(cid:246) monoidal v(cid:181) b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ v(cid:181) mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o 53

3.1 Nhªm ph„m tr(cid:239) li“n k(cid:213)t v(cid:237)i mØt m«ﬁun ch—o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Ph'n l(cid:237)p c‚c m«ﬁun ch—o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3 B(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o: l(cid:253) thuy(cid:213)t c¶n trº v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p 58

4 Nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c ch˘t chˇ v(cid:181) mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun

65 ch—o

4.1 L(cid:253) thuy(cid:213)t ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n cæa Cegarra . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 Nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c thu g(cid:228)n v(cid:181) h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ph'n b¸c ki(cid:211)u (ϕ, f ) . 66

4.2.1 X'y døng nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c thu g(cid:228)n th«ng qua ph„m tr(cid:239) khung 67

4.2.2 X'y døng nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c thu g(cid:228)n b»ng ph›‹ng ph‚p h(cid:214) nh'n

t(cid:246) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.3 Ph'n l(cid:237)p c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ph'n b¸c ki(cid:211)u (ϕ, f ) . . . . . . . . . . 72

4.3 Γ-m«ﬁun ch—o v(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c li“n k(cid:213)t . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4 Ph'n l(cid:237)p c‚c Γ-m«ﬁun ch—o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.5 B(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o: l(cid:253) thuy(cid:213)t c¶n trº v(cid:181)

ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5 Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ v(cid:181) mº rØng v(cid:181)nh ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui 88

5.1 L(cid:253) thuy(cid:213)t ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u v(cid:181)nh cæa Mac Lane v(cid:181) Shukla . . . . . . . . . . . . 88

5.2 Song m«ﬁun ch—o v(cid:181) E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3 Ph'n l(cid:237)p c‚c E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.4 Mº rØng v(cid:181)nh ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

B¶ng k(cid:253) hi(cid:214)u

K(cid:253) hi(cid:214)u ObG MorG (0, g, d) Ngh(cid:220)a t¸p c‚c v¸t cæa ph„m tr(cid:239) G t¸p c‚c m(cid:242)i t“n cæa ph„m tr(cid:239) G r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222) cæa ph—p cØng

(1, l, r) Π = π0G A = π1G SG Hom(ϕ,f )[S, S(cid:48)]

r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222) (cæa ph—p nh'n) t¸p c‚c l(cid:237)p v¸t ﬁ…ng c˚u cæa G t¸p c‚c tø ﬁ…ng c˚u cæa v¸t ﬁ‹n v(cid:222) I ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n cæa ph„m tr(cid:239) G t¸p c‚c l(cid:237)p ﬁ(cid:229)ng lu'n c‚c h(cid:181)m t(cid:246) ki(cid:211)u (ϕ, f ) tı S ﬁ(cid:213)n S(cid:48) nhªm ph„m tr(cid:239) ki(cid:211)u (Π, A)

nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ki(cid:211)u (Π, A)

h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (Γ-ph'n b¸c)

Ann-h(cid:181)m t(cid:246)

c‚c t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal ch(cid:221)nh t(cid:190)c

c‚c t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal Γ-ph'n b¸c ch(cid:221)nh (Π, A), (Π, A, k) (cid:82) Γ(Π, A, h) (F, (cid:101)F ) (F, ˘F , (cid:101)F ) (H, (cid:101)H), (G, (cid:101)G) (HΓ, (cid:101)HΓ), (GΓ, (cid:101)GΓ)

t(cid:190)c

Ann-ph„m tr(cid:239) ki(cid:211)u (R, M )

c‚c nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u nhªm

c‚c nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n

c‚c nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u v(cid:181)nh cæa Mac Lane

c‚c nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u v(cid:181)nh cæa Shukla (R, M ), (R, M, h) H i(Π, A) H i Γ(Π, A) H i M acL(R, M ) H i Shu(R, M )

v(cid:181)nh c‚c song t(cid:221)ch cæa v(cid:181)nh A

t¸p c‚c l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng c‚c mº rØng nhªm

(Γ-)m«ﬁun ch—o, E-h(cid:214)

t¸p c‚c l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng c‚c mº rØng nhªm MA Ext(Π, A, ψ) M, (B, D, d, θ), B d→ D ExtB→D(Q, B, ψ)

ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o

B→D(Q, B, ψ)

ExtΓ t¸p c‚c l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng c‚c mº rØng nhªm

ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o

B¶ng thu¸t ng(cid:247)

Ti(cid:213)ng Anh Thu¸t ng(cid:247)

Ann-category Ann-ph„m tr(cid:239)

strict Ann-category Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ

regular Ann-category Ann-ph„m tr(cid:239) ch(cid:221)nh qui

reduced Ann-category Ann-ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n

Ann-functor Ann-h(cid:181)m t(cid:246)

single Ann-functor Ann-h(cid:181)m t(cid:246) ﬁ‹n

Ann-morphism Ann-m(cid:242)i t“n

Ann-t›‹ng ﬁ›‹ng Ann-equivalence

canonical Ann-equivalence Ann-t›‹ng ﬁ›‹ng ch(cid:221)nh t(cid:190)c

obstruction c¶n trº

stick ﬁ(cid:221)nh

coherence condition ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n kh(cid:237)p

E-system E-h(cid:214)

regular E-system E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui

monoidal functor h(cid:181)m t(cid:246) monoidal

regular monoidal functor h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ch(cid:221)nh qui

symmetric monoidal functor h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ﬁŁi xłng

graded monoidal functor h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ph'n b¸c

regular graded monoidal functor h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ph'n b¸c ch(cid:221)nh qui

abstract kernel h„t nh'n trıu t›(cid:238)ng

factor set h(cid:214) nh'n t(cid:246)

regular factor set h(cid:214) nh'n t(cid:246) ch(cid:221)nh qui

pseudo-functor gi¶ h(cid:181)m t(cid:246)

crossed module m«ﬁun ch—o

equivariant crossed module m«ﬁun ch—o ﬁ…ng bi(cid:213)n

equivariant group extension mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n

crossed product extension mº rØng t(cid:221)ch ch—o

categorical group nhªm ph„m tr(cid:239)

strict categorical group nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ

braided categorical group nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n

graded braided categorical group nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ph'n b¸c

graded categorical group nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c

strict graded categorical group nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c ch˘t chˇ

discrete categorical group nhªm pham tr(cid:239) rŒi r„c

reduced categorical group nhªm ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n

skeletal category ph„m tr(cid:239) khung

monoidal category ph„m tr(cid:239) monoidal

symmetric monoidal category ph„m tr(cid:239) monoidal ﬁŁi xłng

Picard category ph„m tr(cid:239) Picard

graded ph'n b¸c

constraint r(cid:181)ng buØc

braided constraint r(cid:181)ng buØc b(cid:214)n

unit constraint r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222)

commutativity constraint r(cid:181)ng buØc giao ho‚n

associativity constraint r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p

crossed bimodule song m«ﬁun ch—o

bimultiplication song t(cid:221)ch

permutable bimultiplication song t(cid:221)ch giao ho‚n

compatibility sø t›‹ng th(cid:221)ch

pre-stick ti(cid:210)n ﬁ(cid:221)nh

categorical equivalence t›‹ng ﬁ›‹ng ph„m tr(cid:239)

monoidal natural equivalence t›‹ng ﬁ›‹ng tø nhi“n monoidal

object v¸t

s‹ ﬁ(cid:229) mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a c‚c kh‚i ni(cid:214)m, thu¸t ng(cid:247)

(cid:64)(cid:64)

(cid:0)(cid:0)

(cid:64)

(cid:0)

(cid:64)

(cid:0)

(cid:64)

(cid:0)

Ann-ph„m tr(cid:239) Nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c

(cid:27)

(cid:45)

(cid:27)

⊃

Nhªm ph„m tr(cid:239)

(cid:0)

(cid:64)

(cid:0)

(cid:64)

(cid:0)

(cid:64)

(cid:0)(cid:0)

(cid:64)(cid:64)

(cid:27)

1. Nhªm ph„m tr(cid:239) M«ﬁun ch—o Nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ

(cid:27)

(cid:45)

(cid:27)

⊃

Mº rØng nhªm Mº rØng nhªm ⊃ ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o

(cid:0)

Γ-m«ﬁun ch—o 2. Nhªm ph„m tr(cid:239) Nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c ch˘t chˇ

(cid:0)

(cid:64)

(cid:0)(cid:0)

(cid:64)

(cid:27)

⊃

ph'n b¸c (cid:64)

(cid:27)

(cid:45)

(cid:27)

⊃

Mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o Mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n

(cid:0)

(cid:64)

(cid:0)

(cid:64)

(cid:0)

(cid:64)

(cid:0)(cid:0)

(cid:64)(cid:64)

(cid:27)

E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui 3. Ann-ph„m tr(cid:239) Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ

Mº rØng v(cid:181)nh Mº rØng v(cid:181)nh ⊃ ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui

Mº ﬁ˙u

Kh‚i ni(cid:214)m ph„m tr(cid:239) monoidal (hay ph„m tr(cid:239) tens‹) ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:210) xu˚t bºi B—nabou [44], S.

Mac Lane [26], G. M. Kelly [23], ... v(cid:181)o ﬁ˙u nh(cid:247)ng n¤m 60 cæa th(cid:213) kß tr›(cid:237)c. §ª l(cid:181) mØt

ph„m tr(cid:239) C ﬁ›(cid:238)c trang b(cid:222) mØt song h(cid:181)m t(cid:246) ⊗ : C × C → C cª t(cid:221)nh k(cid:213)t h(cid:238)p (sai kh‚c mØt

ﬁ…ng c˚u tø nhi“n) v(cid:181) mØt v¸t I vıa l(cid:181) ﬁ‹n v(cid:222) tr‚i vıa l(cid:181) ﬁ‹n v(cid:222) ph¶i ﬁŁi v(cid:237)i ph—p to‚n ⊗

(c(cid:242)ng sai kh‚c mØt ﬁ…ng c˚u tø nhi“n). C‚c ﬁ…ng c˚u tø nhi“n k(cid:213)t h(cid:238)p v(cid:181) ﬁ‹n v(cid:222) ph¶i thÆa

m•n nh(cid:247)ng ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n kh(cid:237)p nh˚t ﬁ(cid:222)nh ﬁ(cid:211) ﬁ¶m b¶o r»ng t˚t c¶ c‚c bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) ph(cid:239) h(cid:238)p l(cid:181) giao

ho‚n. N(cid:213)u c‚c ﬁ…ng c˚u n(cid:181)y ﬁ(cid:210)u l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng nh˚t th(cid:215) ta nªi c‚c r(cid:181)ng buØc l(cid:181) ch˘t chˇ, v(cid:181) ph„m

tr(cid:239) ﬁang x—t l(cid:181) ph„m tr(cid:239) monoidal ch˘t chˇ. M(cid:231)i ph„m tr(cid:239) monoidal ﬁ(cid:210)u t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i

mØt ph„m tr(cid:239) monoidal ch˘t chˇ. Ph—p to‚n tens‹ th«ng th›Œng l(cid:181)m cho c‚c kh«ng gian

vect‹, c‚c nhªm aben, c‚c R-m«ﬁun ho˘c c‚c R-ﬁ„i sŁ trº th(cid:181)nh ph„m tr(cid:239) monoidal. Do

ﬁª, ph„m tr(cid:239) monoidal cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c xem nh› t(cid:230)ng qu‚t hªa cæa c‚c kh‚i ni(cid:214)m n(cid:181)y v(cid:181) nhi(cid:210)u

v(cid:221) d(cid:244) kh‚c.

Ph„m tr(cid:239) monoidal ﬁ›(cid:238)c "m(cid:222)n hªa" ﬁ(cid:211) trº th(cid:181)nh ph„m tr(cid:239) v(cid:237)i c˚u tr(cid:243)c nhªm khi b(cid:230)

sung th“m kh‚i ni(cid:214)m v¸t kh¶ ngh(cid:222)ch. Trong tr›Œng h(cid:238)p ph„m tr(cid:239) n(cid:210)n l(cid:181) mØt groupoid (ngh(cid:220)a

l(cid:181) m(cid:228)i m(cid:242)i t“n trong ph„m tr(cid:239) ﬁ(cid:210)u l(cid:181) ﬁ…ng c˚u) th(cid:215) ta thu ﬁ›(cid:238)c mØt l(cid:237)p ph„m tr(cid:239) quan tr(cid:228)ng,

ﬁª l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239). MØt nhªm ph„m tr(cid:239) (hay Gr-ph„m tr(cid:239) theo c‚ch g(cid:228)i cæa H. X. S(cid:221)nh

[50]) l(cid:181) mØt ph„m tr(cid:239) monoidal trong ﬁª m(cid:228)i m(cid:242)i t“n ﬁ(cid:210)u kh¶ ngh(cid:222)ch v(cid:181) m(cid:228)i v¸t ﬁ(cid:210)u cª

ngh(cid:222)ch ﬁ¶o y(cid:213)u (º ﬁ'y ngh(cid:222)ch ﬁ¶o y(cid:213)u cæa mØt v¸t X l(cid:181) mØt v¸t Y sao cho X ⊗ Y v(cid:181) Y ⊗ X

ﬁ(cid:210)u ﬁ…ng c˚u v(cid:237)i v¸t ﬁ‹n v(cid:222) I). §˘c bi(cid:214)t, mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ (theo c‚ch g(cid:228)i cæa

A. Joyal v(cid:181) R. Street [22]) l(cid:181) mØt ph„m tr(cid:239) monoidal ch˘t chˇ trong ﬁª m(cid:228)i m(cid:242)i t“n ﬁ(cid:210)u kh¶

ngh(cid:222)ch v(cid:181) m(cid:228)i v¸t ﬁ(cid:210)u cª ngh(cid:222)ch ﬁ¶o ch˘t chˇ (X ⊗ Y = I = Y ⊗ X). Kh‚i ni(cid:214)m n(cid:181)y c(cid:223)n

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) G-groupoid theo R. Brown v(cid:181) C. Spencer [8], hay 2-nhªm theo B. Noohi [29],

hay 2-nhªm ch˘t chˇ theo J. C. Baez v(cid:181) A. D. Lauda [3], hay Gr-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ theo H.

X. S(cid:221)nh [51]. Nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ﬁ›(cid:238)c trang b(cid:222) th“m r(cid:181)ng buØc b(cid:214)n.

Trong tr›Œng h(cid:238)p r(cid:181)ng buØc b(cid:214)n l(cid:181) ﬁŁi xłng th(cid:215) ta thu ﬁ›(cid:238)c kh‚i ni(cid:214)m nhªm ph„m tr(cid:239) ﬁŁi

xłng (hay ph„m tr(cid:239) Picard, Pic-ph„m tr(cid:239) theo [50]) hay 2-nhªm ﬁŁi xłng.

Nh(cid:247)ng t‚c gi¶ ﬁ˙u ti“n nghi“n cłu v(cid:210) nhªm ph„m tr(cid:239) m(cid:181) ta cª th(cid:211) k(cid:211) ﬁ(cid:213)n l(cid:181) N. Saavedra

Rivano [49], H. X. S(cid:221)nh [50], M. L. Laplaza [24], ... Trong lu¸n ‚n cæa m(cid:215)nh n¤m 1975 [50],

H. X. S(cid:221)nh ﬁ• m« t¶ c˚u tr(cid:243)c cæa nhªm ph„m tr(cid:239) v(cid:181) ph„m tr(cid:239) Picard v(cid:181) ph'n l(cid:237)p ch(cid:243)ng bºi

nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u chi(cid:210)u 3 cæa c‚c nhªm. Do trong l(cid:237)p ph„m tr(cid:239) n(cid:181)y m(cid:228)i m(cid:242)i t“n ﬁ(cid:210)u l(cid:181)

ﬁ…ng c˚u n“n c‚c b˚t bi(cid:213)n ﬁ˘c tr›ng cæa m(cid:231)i ph„m tr(cid:239) thuØc l(cid:237)p n(cid:181)y ﬁ(cid:210)u ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh. Theo ﬁª, m(cid:231)i nhªm ph„m tr(cid:239) G x‚c ﬁ(cid:222)nh ho(cid:181)n to(cid:181)n ba b˚t bi(cid:213)n: nhªm Π = π0G c‚c l(cid:237)p v¸t ﬁ…ng c˚u cæa G, Π-m«ﬁun A = π1G c‚c tø ﬁ…ng c˚u cæa v¸t ﬁ‹n v(cid:222) cæa G v(cid:181) mØt l(cid:237)p

ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u chu¨n t(cid:190)c chi(cid:210)u 3 cæa nhªm Π v(cid:237)i c‚c h(cid:214) t(cid:246) trong Π-m«ﬁun A. H‹n n(cid:247)a,

m(cid:231)i nhªm ph„m tr(cid:239) ﬁ(cid:210)u t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ki(cid:211)u (Π, A) qua c‚c t›‹ng

ﬁ›‹ng ch(cid:221)nh t(cid:190)c ﬁ›(cid:238)c x'y døng nhŒ kh‚i ni(cid:214)m ﬁ(cid:221)nh. Do ﬁª, sø ph'n l(cid:237)p c‚c nhªm ph„m

tr(cid:239) ho(cid:181)n to(cid:181)n cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c thøc hi(cid:214)n mØt c‚ch ﬁ‹n gi¶n h‹n tr“n l(cid:237)p c‚c ph„m tr(cid:239) lo„i n(cid:181)y

(c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ti(cid:210)n ﬁ(cid:221)nh ki(cid:211)u (Π, A)). K(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y ﬁ• cho ph—p x‚c l¸p mŁi li“n h(cid:214)

gi(cid:247)a l(cid:253) thuy(cid:213)t nhªm ph„m tr(cid:239), ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u nhªm v(cid:181) b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm c(cid:230) ﬁi(cid:211)n cæa

Schreier - Eilenberg - Mac Lane [51]. Sau ﬁª, l(cid:253) thuy(cid:213)t nhªm ph„m tr(cid:239) v(cid:237)i t(cid:221)nh kh‚i qu‚t

cæa nª ng(cid:181)y c(cid:181)ng cª nhi(cid:210)u łng d(cid:244)ng.

Lu¸n ‚n cæa H. X. S(cid:221)nh [50] cª th(cid:211) xem nh› l(cid:181) ﬁ• tr(cid:215)nh b(cid:181)y mØt c‚ch ﬁ˙y ﬁæ c‚c v˚n ﬁ(cid:210)

c‹ b¶n li“n quan ﬁ(cid:213)n nhªm ph„m tr(cid:239), nh›ng c«ng tr(cid:215)nh n(cid:181)y kh«ng ﬁ›(cid:238)c xu˚t b¶n v(cid:181) c(cid:242)ng

r˚t khª t(cid:215)m. J. C. Baez v(cid:181) A. D. Lauda [3] sau ﬁª ﬁ• cª mØt t(cid:230)ng k(cid:213)t kh‚ t(cid:216) m(cid:216) cho c‚c nhªm

ph„m tr(cid:239), tuy nhi“n c‚c t‚c gi¶ n(cid:181)y l„i kh«ng ﬁ(cid:210) c¸p t(cid:237)i b(cid:181)i to‚n ph'n l(cid:237)p.

C‚c nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ﬁ›(cid:238)c gi(cid:237)i thi(cid:214)u l˙n ﬁ˙u ti“n trong [20] bºi A. Frohlich

v(cid:181) C. T. C. Wall. G˙n ﬁ'y, nhi(cid:210)u v(cid:221) d(cid:244) th(cid:243) v(cid:222) kh‚c v(cid:210) nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c c(cid:242)ng xu˚t

hi(cid:214)n trong t«p« ﬁ„i sŁ v(cid:181) l(cid:253) thuy(cid:213)t v(cid:181)nh (xem [14, 16]). Trong [14], A. M. Cegarra v(cid:181) c‚c

ﬁ(cid:229)ng t‚c gi¶ ﬁ• chłng ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p ch(cid:221)nh x‚c cho c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c v(cid:181) c‚c

h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ph'n b¸c bºi nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u ﬁ…ng bi(cid:213)n chi(cid:210)u thł 3 theo ngh(cid:220)a trong

[15]. Sau ﬁª, c‚c k(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ‚p d(cid:244)ng ﬁ(cid:211) ﬁ›a ra lŒi gi¶i th(cid:221)ch h(cid:238)p cho b(cid:181)i to‚n mº

rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n cæa nhªm v(cid:237)i h„t nh'n kh«ng aben trong [14]. §'y l(cid:181) mØt d„ng kh‚i qu‚t

cæa b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm c(cid:230) ﬁi(cid:211)n, m(cid:181) º ﬁ'y nª xu˚t hi(cid:214)n nh› l(cid:181) mØt tr›Œng h(cid:238)p ﬁ˘c bi(cid:214)t

łng v(cid:237)i Γ = 1. K(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y cho ta th˚y mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a bØ ba: l(cid:253) thuy(cid:213)t nhªm ph„m tr(cid:239)

ph'n b¸c, mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n v(cid:181) ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u ﬁ…ng bi(cid:213)n.

Nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ﬁ›(cid:238)c x—t t(cid:237)i l˙n ﬁ˙u trong [22] bºi A. Joyal v(cid:181) R. Street nh› mØt mº

rØng cæa ph„m tr(cid:239) Picard, trong ﬁª c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ph'n l(cid:237)p bºi nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u aben H 3 ab(M, N ). T(cid:215)nh huŁng t(cid:230)ng qu‚t h‹n ﬁŁi v(cid:237)i c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) Picard ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra bºi A. Frohlich v(cid:181) C. T. C. Wall v(cid:237)i t“n g(cid:228)i nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c [20] (sau

n(cid:181)y, A. M. Cegarra v(cid:181) E. Khmaladze [18] g(cid:228)i l(cid:181) ph„m tr(cid:239) Picard ph'n b¸c). C‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:253)

ph'n l(cid:237)p ﬁ(cid:229)ng lu'n cho ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ph'n b¸c, v(cid:181) tr›Œng h(cid:238)p ri“ng cæa

nª l(cid:181) ph„m tr(cid:239) c‚c ph„m tr(cid:239) Picard ph'n b¸c ﬁ• ﬁ›(cid:238)c tr(cid:215)nh b(cid:181)y theo thł tø trong [17] v(cid:181)

[18]. Trong ph—p chłng minh c‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p n(cid:181)y, ph˙n th(cid:243) v(cid:222) nh˚t v(cid:181) c(cid:242)ng l(cid:181) phłc

t„p nh˚t l(cid:181) ph—p døng 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh ﬁ›(cid:238)c c¶m sinh bºi mØt nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ph'n b¸c

(ho˘c ph„m tr(cid:239) Picard ph'n b¸c) qua ph„m tr(cid:239) khung m(cid:181) m(cid:231)i l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng cæa c‚c ph„m

tr(cid:239) c(cid:239)ng lo„i l(cid:181) t›‹ng łng v(cid:237)i mØt l(cid:237)p ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u chi(cid:210)u 3.

Trong b(cid:181)i b‚o [34], N. T. Quang ﬁ• gi(cid:237)i thi(cid:214)u mØt c‚ch ti(cid:213)p c¸n kh‚c cho b(cid:181)i to‚n ph'n

l(cid:237)p ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c døa tr“n ph›‹ng ph‚p h(cid:214) nh'n t(cid:246) (hay gi¶ h(cid:181)m

t(cid:246) theo ngh(cid:220)a cæa A. Grothendieck [47]). Ph›‹ng ph‚p n(cid:181)y døa tr“n (cid:253) t›ºng sau. M(cid:231)i nhªm

ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ﬁ›(cid:238)c xem nh› mº rØng cæa mØt nhªm ph„m tr(cid:239) bºi nhªm Γ. Do m(cid:231)i

nhªm ph„m tr(cid:239) l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ki(cid:211)u (Π, A) n“n 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh c¶m

sinh cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh tı mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) t›‹ng tø nh› c‚ch x‚c ﬁ(cid:222)nh c‚i c¶n trº cæa b(cid:181)i

to‚n mº rØng nhªm. Ph›‹ng ph‚p n(cid:181)y cª nhi(cid:210)u tri(cid:211)n v(cid:228)ng trong vi(cid:214)c ‚p d(cid:244)ng cho ph„m tr(cid:239)

c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n Γ-ph'n b¸c.

N(cid:213)u nh› nhªm ph„m tr(cid:239) ﬁ›(cid:238)c xem nh› l(cid:181) mØt phi“n b¶n ph„m tr(cid:239) cæa c˚u tr(cid:243)c nhªm

th(cid:215) v(cid:181)o n¤m 1988 N. T. Quang [1] ﬁ• ﬁ›a ra kh‚i ni(cid:214)m Ann-ph„m tr(cid:239), xem nh› mØt ph„m

tr(cid:239) hªa cæa kh‚i ni(cid:214)m v(cid:181)nh, v(cid:237)i nh(cid:247)ng ﬁ(cid:223)i hÆi v(cid:210) t(cid:221)nh kh¶ ngh(cid:222)ch cæa c‚c v¸t v(cid:181) cæa c‚c

m(cid:242)i t“n trong ph„m tr(cid:239) n(cid:210)n. C(cid:242)ng trong [1], N. T. Quang ﬁ• x‚c ﬁ(cid:222)nh ﬁ›(cid:238)c c‚c b˚t bi(cid:213)n

ﬁ˘c tr›ng cæa mØt Ann-ph„m tr(cid:239) bao g(cid:229)m mØt v(cid:181)nh R, mØt R-song m«ﬁun M v(cid:181) mØt ph˙n t(cid:246) thuØc nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u Mac Lane H 3 M acL(R, M ) theo ngh(cid:220)a trong [48]. Tı ﬁª x‚c l¸p ﬁ›(cid:238)c mØt song ‚nh gi(cid:247)a t¸p c‚c l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng cæa c‚c Ann-ph„m tr(cid:239) ti(cid:210)n ﬁ(cid:221)nh ki(cid:211)u

(R, M ) v(cid:237)i t¸p c‚c l(cid:237)p ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u c‚c c˚u tr(cid:243)c cæa Ann-ph„m tr(cid:239) ki(cid:211)u (R, M ) (§(cid:222)nh l(cid:253)

3.4, Ch›‹ng IV [1]). Sau ﬁª, b(cid:181)i to‚n ph'n l(cid:237)p c‚c Ann-h(cid:181)m t(cid:246) ﬁ• ﬁ›(cid:238)c N. T. Quang v(cid:181) D.

D. Hanh gi¶i quy(cid:213)t trong [35] nhŒ c‚c nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u chi(cid:210)u th˚p cæa ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u

v(cid:181)nh Mac Lane. C(cid:242)ng trong b(cid:181)i b‚o n(cid:181)y, c‚c t‚c gi¶ ﬁ• ch(cid:216) ra mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a b(cid:181)i to‚n mº

rØng v(cid:181)nh v(cid:181) l(cid:253) thuy(cid:213)t c¶n trº cæa c‚c Ann-h(cid:181)m t(cid:246).

L(cid:237)p c‚c Ann-ph„m tr(cid:239) ch(cid:221)nh qui (r(cid:181)ng buØc ﬁŁi xłng thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n cX,X = id ﬁŁi v(cid:237)i m(cid:228)i v¸t X), n¶y sinh tı b(cid:181)i to‚n mº rØng v(cid:181)nh, ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ph'n l(cid:237)p trong [1] bºi nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u cæa ﬁ„i sŁ k(cid:213)t h(cid:238)p H 3 Shu(R, M ) theo ngh(cid:220)a cæa Shukla trong [52]. G˙n ﬁ'y nh˚t, b(cid:181)i to‚n ph'n l(cid:237)p c‚c Ann-ph„m tr(cid:239) trong tr›Œng h(cid:238)p t(cid:230)ng qu‚t ﬁ• ﬁ›(cid:238)c N. T. Quang

gi¶i quy(cid:213)t tr(cid:228)n v(cid:209)n trong [37].

M«ﬁun ch—o cæa c‚c nhªm ﬁ›(cid:238)c J. H. C. Whitehead ﬁ›a ra v(cid:181)o n¤m 1949 trong c«ng

tr(cid:215)nh nghi“n cłu cæa «ng v(cid:210) bi(cid:211)u di(cid:212)n 2-d„ng ﬁ(cid:229)ng lu'n [43] m(cid:181) kh«ng cª sø tr(cid:238) gi(cid:243)p cæa

l(cid:253) thuy(cid:213)t ph„m tr(cid:239). Trong b(cid:181)i b‚o ﬁ›(cid:238)c xu˚t b¶n n¤m 1976 [8], R. Brown v(cid:181) C. Spencer ﬁ•

ch(cid:216) ra r»ng m(cid:231)i m«ﬁun ch—o ﬁ(cid:210)u x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt G-groupoid (ngh(cid:220)a l(cid:181), mØt nhªm ph„m tr(cid:239)

ch˘t chˇ) v(cid:181) ng›(cid:238)c l„i, do ﬁª m«ﬁun ch—o cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu bºi l(cid:253) thuy(cid:213)t ph„m tr(cid:239).

K(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y cho ph—p x‚c l¸p mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a l(cid:253) thuy(cid:213)t nhªm ph„m tr(cid:239) v(cid:237)i m«ﬁun ch—o,

mØt kh‚i ni(cid:214)m c‹ b¶n v(cid:181) cª ngu(cid:229)n gŁc tı t«p« ﬁ„i sŁ. MØt c‚ch ch(cid:221)nh x‚c, R. Brown v(cid:181) C.

Spencer ﬁ• chłng minh r»ng (§(cid:222)nh l(cid:253) 1, [8]) ph„m tr(cid:239) c‚c m«ﬁun ch—o l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i

ph„m tr(cid:239) c‚c G-groupoid (trong ph„m tr(cid:239) thł nh˚t c‚c m(cid:242)i t“n l(cid:181) c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u m«ﬁun ch—o,

c(cid:223)n trong ph„m tr(cid:239) thł hai m(cid:242)i t“n l(cid:181) c‚c h(cid:181)m t(cid:246) b¶o to(cid:181)n ph—p to‚n nhªm). Tr›(cid:237)c ﬁª, k(cid:213)t

qu¶ n(cid:181)y ﬁ• ﬁ›(cid:238)c t(cid:215)m ra mØt c‚ch ﬁØc l¸p bºi J. -L. Verdier v(cid:181)o n¤m 1965 trong mØt c«ng

tr(cid:215)nh cæa «ng nh›ng kh«ng ﬁ›(cid:238)c c«ng bŁ. Sau ﬁª, k(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y ﬁ• ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng v(cid:181) tr(cid:221)ch d(cid:201)n

trong kh‚ nhi(cid:210)u nghi“n cłu cæa c‚c t‚c gi¶ kh‚c cª li“n quan t(cid:237)i m«ﬁun ch—o ho˘c nhªm

ph„m tr(cid:239). MØt d„ng kh‚i qu‚t hªa cæa §(cid:222)nh l(cid:253) 1 trong [8] cho c‚c m«ﬁun ch—o trong nhªm

v(cid:237)i ph—p to‚n v(cid:181) c‚c ph„m tr(cid:239) trong ﬁ• ﬁ›(cid:238)c T. Porter gi(cid:237)i thi(cid:214)u trong [32]. Nh› v¸y, cª th(cid:211)

xem nh› R. Brown v(cid:181) C. Spencer l(cid:181) nh(cid:247)ng t‚c gi¶ ﬁ˙u ti“n ﬁ• ﬁ›a ra ﬁ›(cid:238)c mØt t›‹ng ﬁ›‹ng

ph„m tr(cid:239) gi(cid:247)a mØt b“n l(cid:181) ph„m tr(cid:239) c‚c m«ﬁun ch—o v(cid:181) mØt b“n l(cid:181) ph„m tr(cid:239) cæa mØt lo„i

ﬁ„i sŁ ph„m tr(cid:239). Tuy nhi“n, trong t›‹ng ﬁ›‹ng n(cid:181)y, ngo(cid:181)i vi(cid:214)c x'y døng ﬁ›(cid:238)c t›‹ng łng

gi(cid:247)a c‚c v¸t cæa hai ph„m tr(cid:239), c‚c t‚c gi¶ m(cid:237)i ch(cid:216) x'y døng ﬁ›(cid:238)c t›‹ng łng tr“n mØt l(cid:237)p

c‚c m(cid:242)i t“n v(cid:181) c‚c h(cid:181)m t(cid:246) r˚t ﬁ˘c bi(cid:214)t. Do ﬁª, t›‹ng ﬁ›‹ng n(cid:181)y ch›a ph¶n ‚nh ﬁ›(cid:238)c b¶n

ch˚t cæa tenx‹ ph„m tr(cid:239), ﬁª l(cid:181) mŁi li“n h(cid:214) v(cid:237)i ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u nhªm. MŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a nhªm

ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ, m«ﬁun ch—o v(cid:181) ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u nhªm ﬁ• ﬁ›(cid:238)c A. Joyal v(cid:181) R. Street ch(cid:216) ra

trong b¶n th¶o b(cid:181)i b‚o n¤m 1986 [21], nh›ng sau ﬁª l„i b(cid:222) bÆ ﬁi trong phi“n b¶n cuŁi c(cid:239)ng

[22].

B(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o ﬁ›(cid:238)c gi(cid:237)i thi(cid:214)u trong [42] v(cid:181) [46] ﬁ• ﬁ›(cid:238)c

R. Brown v(cid:181) c‚c cØng sø nghi“n cłu trong c‚c c«ng tr(cid:215)nh [7], [9], [10]. Trong ﬁª, c‚c t‚c

gi¶ ﬁ• gi¶i th(cid:221)ch ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) v(cid:210) sø t(cid:229)n t„i v(cid:181) ph'n l(cid:237)p c‚c mº rØng lo„i n(cid:181)y b»ng c‚ch s(cid:246) d(cid:244)ng

ph›‹ng ph‚p phłc ch—o, t›‹ng tø nh› ph›‹ng ph‚p phłc x(cid:221)ch trong ﬁ„i sŁ ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u. C‚c

k(cid:213)t qu¶ v(cid:210) b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o ﬁ• ﬁ›(cid:238)c bi(cid:211)u di(cid:212)n (th(cid:211) hi(cid:214)n) qua ﬁŁi

ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u nhªm, t›‹ng tø nh› k(cid:213)t qu¶ c(cid:230) ﬁi(cid:211)n cæa Eilenberg - Mac Lane (M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 8.3,

Ch›‹ng IV [27]). Trong [51], H. X. S(cid:221)nh c(cid:242)ng ﬁ• s(cid:246) d(cid:244)ng nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ ﬁ(cid:211) t(cid:215)m

l„i §(cid:222)nh l(cid:253) 9.2, Ch›‹ng IV, [27] v(cid:210) sø th(cid:211) hi(cid:214)n mØt 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh nhªm nh› l(cid:181) c‚i c¶n

trº cæa b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm. §i(cid:210)u n(cid:181)y g(cid:238)i (cid:253) cho c‚c nghi“n cłu v(cid:210) vi(cid:214)c th(cid:211) hi(cid:214)n nh(cid:247)ng

kh‚i ni(cid:214)m li“n quan ﬁ(cid:213)n m«ﬁun ch—o qua ng«n ng(cid:247) nhªm ph„m tr(cid:239), v(cid:181) tı ﬁª łng d(cid:244)ng trº

l„i c‚c k(cid:213)t qu¶ cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t nhªm ph„m tr(cid:239) cho c‚c b(cid:181)i to‚n v(cid:210) m«ﬁun ch—o.

Kh‚i ni(cid:214)m m«ﬁun ch—o cæa J. H. C. Whitehead [43] ﬁ• ﬁ›(cid:238)c t(cid:230)ng qu‚t hªa theo nhi(cid:210)u

c‚ch kh‚c nhau døa tr“n c‚c quan ﬁi(cid:211)m kh‚c nhau khi xem ch(cid:243)ng l(cid:181) 1-m«ﬁun ch—o hay

m«ﬁun ch—o tr“n c‚c nhªm. M«ﬁun ch—o (hay 1-m«ﬁun ch—o) m« t¶ c‚c 2-d„ng ﬁ(cid:229)ng lu'n

li“n th«ng v(cid:181) do ﬁª ch(cid:243)ng ﬁªng vai tr(cid:223) quan tr(cid:228)ng trong ﬁ„i sŁ ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u. N¤m 1984, D.

Conduch— [45] ﬁ• ﬁ›a ra kh‚i ni(cid:214)m 2-m«ﬁun ch—o v(cid:181) m« t¶ ch(cid:243)ng nh› l(cid:181) c‚c 3-d„ng li“n

th«ng. Sau ﬁª, v(cid:181)o n¤m 2009 Z. Arvasi v(cid:181) c‚c ﬁ(cid:229)ng t‚c gi¶ ﬁ• gi(cid:237)i thi(cid:214)u kh‚i ni(cid:214)m t(cid:230)ng

qu‚t h‹n, 3-m«ﬁun ch—o, v(cid:181) m« t¶ ch(cid:243)ng nh› l(cid:181) c‚c 4-d„ng ﬁ(cid:229)ng lu'n ﬁ„i sŁ [2].

Nh› ﬁ• nªi º tr“n, m(cid:231)i m«ﬁun ch—o tr“n c‚c nhªm ﬁ›(cid:238)c xem nh› mØt nhªm ph„m tr(cid:239)

ch˘t chˇ, v(cid:181) ch(cid:243)ng th›Œng ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu nhi(cid:210)u nh˚t d›(cid:237)i d„ng n(cid:181)y. Sau ﬁª, H. -J. Baues

[4] ﬁ• gi(cid:237)i thi(cid:214)u kh‚i ni(cid:214)m m«ﬁun ch—o tr“n c‚c k-ﬁ„i sŁ (k l(cid:181) tr›Œng). C‚c m«ﬁun ch—o

tr“n c‚c k-ﬁ„i sŁ v(cid:181) l(cid:181) k-ch˛ ra cª c(cid:239)ng h„t nh'n M v(cid:181) ﬁŁi h„t nh'n B ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ph'n l(cid:237)p bºi nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u Hochschild H 3 Hoch(B, M ) [5]. Trong [6] c‚c t‚c gi¶ thay th(cid:213) tr›Œng k bºi v(cid:181)nh giao ho‚n K v(cid:181) g(cid:228)i c‚c m«ﬁun ch—o tr“n c‚c K-ﬁ„i sŁ l(cid:181) song m«ﬁun ch—o. §˘c bi(cid:214)t, v(cid:237)i K = Z th(cid:215) ch(cid:243)ng t«i thu ﬁ›(cid:238)c kh‚i ni(cid:214)m song m«ﬁun ch—o tr“n v(cid:181)nh.

Kh‚i ni(cid:214)m m«ﬁun ch—o tr“n c‚c nhªm cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh tr“n v(cid:181)nh theo mØt c‚ch

kh‚c, m(cid:181) ch(cid:243)ng t«i g(cid:228)i l(cid:181) E-h(cid:214). Tr›Œng h(cid:238)p ﬁ˘c bi(cid:214)t cæa E-h(cid:214), E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui, tr(cid:239)ng v(cid:237)i

kh‚i ni(cid:214)m song m«ﬁun ch—o tr“n v(cid:181)nh, v(cid:181) do ﬁª kh‚i ni(cid:214)m E-h(cid:214) l(cid:181) y(cid:213)u h‹n kh‚i ni(cid:214)m song

m«ﬁun ch—o tr“n v(cid:181)nh. T›‹ng tø nh› m«ﬁun ch—o tr“n c‚c nhªm, kh‚i ni(cid:214)m E-h(cid:214) ch(cid:221)nh

qui m(cid:181) ch(cid:243)ng t«i ﬁ›a ra nh»m m(cid:244)c ﬁ(cid:221)ch k(cid:213)t nŁi v(cid:237)i kh‚i ni(cid:214)m Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ (m(cid:228)i

r(cid:181)ng buØc trong nª ﬁ(cid:210)u l(cid:181) ch˘t chˇ) th«ng qua mØt t›‹ng ﬁ›‹ng ph„m tr(cid:239), l(cid:181) mº rØng cæa

t›‹ng ﬁ›‹ng ph„m tr(cid:239) ﬁ• ﬁ›(cid:238)c thi(cid:213)t l¸p bºi R. Brown v(cid:181) C. Spencer. N»m trong chu(cid:231)i c‚c

b(cid:181)i to‚n mº rØng ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o, ch(cid:243)ng t«i ﬁ›a ra v(cid:181) gi¶i quy(cid:213)t b(cid:181)i to‚n mº rØng v(cid:181)nh

ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui, xem nh› l(cid:181) mØt łng d(cid:244)ng cæa kh‚i ni(cid:214)m E-h(cid:214) c(cid:242)ng nh› cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t

Ann-ph„m tr(cid:239).

MØt phi“n b¶n kh‚c cæa kh‚i ni(cid:214)m m«ﬁun ch—o tr“n c‚c nhªm l(cid:181) kh‚i ni(cid:214)m m«ﬁun ch—o

tr“n c‚c Γ-nhªm, th›Œng ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) m«ﬁun ch—o Γ-ﬁ…ng bi(cid:213)n (hay ﬁ‹n gi¶n l(cid:181) Γ-m«ﬁun

ch—o). Kh‚i ni(cid:214)m n(cid:181)y ﬁ• ﬁ›(cid:238)c B. Noohi gi(cid:237)i thi(cid:214)u trong [30] khi so s‚nh c‚c ph›‹ng ph‚p

kh‚c nhau ﬁ(cid:211) ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u nhªm v(cid:237)i c‚c h(cid:214) t(cid:246) trong mØt m«ﬁun ch—o. Do ﬁª,

v˚n ﬁ(cid:210) t(cid:215)m ra mØt l(cid:237)p ph„m tr(cid:239) ph(cid:239) h(cid:238)p ﬁ(cid:211) bi(cid:211)u di(cid:212)n c‚c Γ-m«ﬁun ch—o, tı ﬁª ph'n l(cid:237)p c‚c

Γ-m«ﬁun ch—o, ... ﬁang c(cid:223)n l(cid:181) v˚n ﬁ(cid:210) mº.

Nh› v¸y, b“n c„nh nh(cid:247)ng k(cid:213)t qu¶ ﬁ• cª v(cid:210) mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a m«ﬁun ch—o, nhªm ph„m

tr(cid:239) ch˘t chˇ, ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u nhªm v(cid:181) b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm c(cid:230) ﬁi(cid:211)n; mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a nhªm

ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c, l(cid:253) thuy(cid:213)t ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u ﬁ…ng bi(cid:213)n v(cid:181) b(cid:181)i to‚n mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n; mŁi

li“n h(cid:214) gi(cid:247)a l(cid:253) thuy(cid:213)t Ann-ph„m tr(cid:239), ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u v(cid:181)nh v(cid:181) b(cid:181)i to‚n mº rØng v(cid:181)nh, ch(cid:243)ng

t«i ti(cid:213)p t(cid:244)c nghi“n cłu mØt c‚ch cª h(cid:214) thŁng mŁi c‚c li“n h(cid:214) n(cid:181)y v(cid:181) c‚c phi“n b¶n t(cid:230)ng

qu‚t hªa cæa ch(cid:243)ng. K(cid:252) thu¸t h(cid:214) nh'n t(cid:246) ﬁ• ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng xuy“n suŁt c¶ ﬁ(cid:210) t(cid:181)i nghi“n cłu

ﬁ(cid:211) gi¶i quy(cid:213)t nhi(cid:210)u v˚n ﬁ(cid:210). Do ﬁª, d›(cid:237)i sø h›(cid:237)ng d(cid:201)n cæa PGS. TS. Nguy(cid:212)n Ti(cid:213)n Quang v(cid:181)

GS. TS. L“ V¤n Thuy(cid:213)t, ch(cid:243)ng t«i ch(cid:228)n ﬁ(cid:210) t(cid:181)i "H(cid:214) nh'n t(cid:246) trong nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n

b¸c" ﬁ(cid:211) gi¶i quy(cid:213)t c‚c v˚n ﬁ(cid:210) n“u tr“n.

M(cid:244)c ﬁ(cid:221)ch cæa lu¸n ‚n tr›(cid:237)c h(cid:213)t l(cid:181) nghi“n cłu v(cid:210) l(cid:237)p h(cid:181)m t(cid:246) monoidal gi(cid:247)a c‚c nhªm

ph„m tr(cid:239) ki(cid:211)u (Π, A), ﬁ(cid:211) tı ﬁª ph'n l(cid:237)p ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) v(cid:181) ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm

ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n. Hai l(cid:181), ph'n l(cid:237)p c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ph'n b¸c bºi c‚c h(cid:214) nh'n t(cid:246). Ba l(cid:181),

nghi“n cłu mØt sŁ phi“n b¶n cæa m«ﬁun ch—o tr“n c‚c nhªm cæa J. H. C. Whitehead, bao

g(cid:229)m: sø bi(cid:211)u di(cid:212)n cæa ch(cid:243)ng qua c‚c l(cid:237)p ph„m tr(cid:239) n(cid:181)o ﬁª (g(cid:228)i l(cid:181) ph„m tr(cid:239) li“n k(cid:213)t), mŁi

li“n h(cid:214) gi(cid:247)a c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u m«ﬁun ch—o lo„i ﬁª v(cid:237)i c‚c h(cid:181)m t(cid:246) gi(cid:247)a c‚c ph„m tr(cid:239) li“n k(cid:213)t

t›‹ng łng, v(cid:181) s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c k(cid:213)t qu¶ cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t ph„m tr(cid:239) c(cid:239)ng lo„i ﬁ(cid:211) gi¶i quy(cid:213)t b(cid:181)i to‚n

mº rØng ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o t›‹ng łng, xem nh› l(cid:181) mØt łng d(cid:244)ng cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t chung.

§Łi t›(cid:238)ng nghi“n cłu cæa lu¸n ‚n tr›(cid:237)c h(cid:213)t l(cid:181) mØt sŁ l(cid:237)p ph„m tr(cid:239) v(cid:237)i c˚u tr(cid:243)c v(cid:181) łng

d(cid:244)ng cæa ch(cid:243)ng, bao g(cid:229)m: nhªm ph„m tr(cid:239), nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n, nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c,

nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ph'n b¸c, v(cid:181) Ann-ph„m tr(cid:239). §Łi t›(cid:238)ng ti(cid:213)p theo m(cid:181) lu¸n ‚n quan t'm

nghi“n cłu ﬁª l(cid:181) m«ﬁun ch—o v(cid:181) c‚c phi“n b¶n cæa nª, c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u m«ﬁun ch—o v(cid:181) c‚c

h(cid:181)m t(cid:246) gi(cid:247)a c‚c ph„m tr(cid:239) li“n k(cid:213)t v(cid:181) b(cid:181)i to‚n mº rØng ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o t›‹ng łng.

§(cid:210) t(cid:181)i nghi“n cłu ﬁ›(cid:238)c c˚u tr(cid:243)c th(cid:181)nh 5 ch›‹ng, kh«ng k(cid:211) c‚c ph˙n mº ﬁ˙u, k(cid:213)t lu¸n,

t(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o v(cid:181) danh m(cid:244)c tı khªa.

Ch›‹ng 1, MØt sŁ ki(cid:213)n thłc chu¨n b(cid:222), tr(cid:215)nh b(cid:181)y mØt sŁ kh‚i ni(cid:214)m v(cid:181) k(cid:213)t qu¶ ﬁ• bi(cid:213)t

v(cid:210) l(cid:253) thuy(cid:213)t nhªm ph„m tr(cid:239) v(cid:181) Ann-ph„m tr(cid:239) ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng cho c‚c ch›‹ng sau.

Ch›‹ng 2, Ph'n l(cid:237)p c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u (ϕ, f ) v(cid:181) łng d(cid:244)ng, bao g(cid:229)m mØt sŁ

nØi dung sau. TTr›(cid:237)c h(cid:213)t, ch(cid:243)ng t«i m« t¶ v(cid:210) c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal gi(cid:247)a c‚c nhªm ph„m tr(cid:239)

ki(cid:211)u (Π, A) (h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u (ϕ, f )), tr(cid:215)nh b(cid:181)y l(cid:253) thuy(cid:213)t c¶n trº v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p

cho c‚c h(cid:181)m t(cid:246) lo„i n(cid:181)y (§(cid:222)nh l(cid:253) 2.6). K(cid:213)t qu¶ ph'n l(cid:237)p n(cid:181)y kh«ng nh(cid:247)ng ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:211)

chłng minh ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p cho ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) (§(cid:222)nh l(cid:253) 2.7) v(cid:181) ph„m tr(cid:239)

c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n (§(cid:222)nh l(cid:253) 2.10), m(cid:181) c(cid:223)n ﬁ›(cid:238)c n'ng l“n cho nh(cid:247)ng c˚u tr(cid:243)c phłc t„p

h‹n ﬁ(cid:211) s(cid:246) d(cid:244)ng trong c‚c ch›‹ng sau. §(cid:229)ng thŒi ch(cid:243)ng t«i gi(cid:237)i thi(cid:214)u mØt łng d(cid:244)ng ﬁ„i sŁ

cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t c¶n trº cæa c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal li“n quan ﬁ(cid:213)n mØt trong nh(cid:247)ng b(cid:181)i to‚n c(cid:230)

ﬁi(cid:211)n cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t nhªm l(cid:181) b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm (§(cid:222)nh l(cid:253) 2.18). C(cid:242)ng trong Ch›‹ng 2

n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i chłng minh ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p cho ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ph'n b¸c

b»ng ph›‹ng ph‚p h(cid:214) nh'n t(cid:246).

Ch›‹ng 3, Nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ v(cid:181) mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o, nghi“n

cłu v(cid:210) mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a m«ﬁun ch—o, nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ v(cid:181) b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm

ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o. Ch(cid:243)ng t«i x'y døng mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u m«ﬁun ch—o v(cid:237)i c‚c

h(cid:181)m t(cid:246) monoidal gi(cid:247)a c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ li“n k(cid:213)t, tı ﬁª thu ﬁ›(cid:238)c mØt t›‹ng ﬁ›‹ng

ph„m tr(cid:239) (§(cid:222)nh l(cid:253) 3.4) m(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng ph„m tr(cid:239) cæa R. Brown v(cid:181) C. Spencer trong [8] ch(cid:216)

l(cid:181) tr›Œng h(cid:238)p ri“ng. §(cid:229)ng thŒi, ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ v(cid:181) k(cid:213)t qu¶

v(cid:210) c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ﬁ• nªi º Ch›‹ng 2 ﬁ(cid:211) thu l„i k(cid:213)t qu¶ cæa b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm

ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o cæa R. Brown v(cid:181) c‚c cØng sø [9], xem nh› mØt łng d(cid:244)ng cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t

nhªm ph„m tr(cid:239) cª li“n quan t(cid:237)i m«ﬁun ch—o.

Ch›‹ng 4, Nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c ch˘t chˇ v(cid:181) mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u

Γ-m«ﬁun ch—o, tr(cid:215)nh b(cid:181)y mØt kh‚i qu‚t chung cho c¶ hai l(cid:253) thuy(cid:213)t mº rØng nhªm ki(cid:211)u

m«ﬁun ch—o v(cid:181) l(cid:253) thuy(cid:213)t mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n. §ª l(cid:181) l(cid:253) thuy(cid:213)t mº rØng nhªm ﬁ…ng

bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o. Tr›(cid:237)c h(cid:213)t, ch(cid:243)ng t«i ﬁ›a ra kh‚i ni(cid:214)m nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c

ch˘t chˇ ﬁ(cid:211) k(cid:213)t nŁi v(cid:237)i kh‚i ni(cid:214)m Γ-m«ﬁun ch—o cæa B. Noohi th«ng qua mØt t›‹ng ﬁ›‹ng

ph„m tr(cid:239) (§(cid:222)nh l(cid:253) 4.9. K(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y l(cid:181) mº rØng cæa §(cid:222)nh l(cid:253) 3.4 º Ch›‹ng 3 (łng v(cid:237)i Γ = 1),

v(cid:181) do ﬁª l(cid:181) mº rØng cæa §(cid:222)nh l(cid:253) 1 cæa R. Brown v(cid:181) C. Spencer trong [8]. B“n c„nh ﬁª,

ch(cid:243)ng t«i tr(cid:215)nh b(cid:181)y l(cid:253) thuy(cid:213)t Schreier ﬁŁi v(cid:237)i c‚c mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun

ch—o nhŒ c‚c Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (§(cid:222)nh l(cid:253) 4.11 v(cid:181) §(cid:222)nh l(cid:253) 4.13), tı ﬁª thu l„i ﬁ›(cid:238)c §(cid:222)nh

l(cid:253) ph'n l(cid:237)p c‚c mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o cæa R. Brown v(cid:181) O. Mucuk (§(cid:222)nh l(cid:253) 5.2

[9]) v(cid:181) §(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p c‚c mº rØng cæa c‚c Γ-nhªm cæa A. M. Cegarra v(cid:181) c‚c ﬁ(cid:229)ng t‚c

gi¶ (§(cid:222)nh l(cid:253) 4.1 [14]) nh› nh(cid:247)ng tr›Œng h(cid:238)p ri“ng. Tr›Œng h(cid:238)p thł nh˚t łng v(cid:237)i Γ = 1 v(cid:181)

m«ﬁun ch—o t(cid:239)y (cid:253), tr›Œng h(cid:238)p thł hai łng v(cid:237)i m«ﬁun ch—o c‚c tø ﬁ…ng c˚u cæa mØt nhªm

v(cid:181) Γ t(cid:239)y (cid:253). §i(cid:210)u ﬁ˘c bi(cid:214)t h‹n n(cid:247)a l(cid:181) khi c¶ hai tr›Œng h(cid:238)p n(cid:181)y ﬁ(cid:229)ng thŒi x¶y ra (ngh(cid:220)a l(cid:181)

Γ = 1 v(cid:181) m«ﬁun ch—o l(cid:181) m«ﬁun ch—o c‚c tø ﬁ…ng c˚u cæa mØt nhªm) th(cid:215) ta thu ﬁ›(cid:238)c b(cid:181)i

to‚n mº rØng nhªm c(cid:230) ﬁi(cid:211)n.

Ch›‹ng 5, Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ v(cid:181) mº rØng v(cid:181)nh ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui, nghi“n

cłu v(cid:210) E-h(cid:214), mŁi li“n h(cid:214) cæa ch(cid:243)ng v(cid:237)i mØt sŁ kh‚i ni(cid:214)m li“n quan ﬁ• bi(cid:213)t v(cid:181) t(cid:215)m ki(cid:213)m łng

d(cid:244)ng li“n quan ﬁ(cid:213)n b(cid:181)i to‚n mº rØng. Kh‚i ni(cid:214)m E-h(cid:214) m(cid:181) ch(cid:243)ng t«i ﬁ›a ra ﬁ›(cid:238)c xem nh›

mØt phi“n b¶n cæa m«ﬁun ch—o tr“n c‚c nhªm cho v(cid:181)nh. Tr›Œng h(cid:238)p ﬁ˘c bi(cid:214)t, kh‚i ni(cid:214)m

E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui l(cid:181) tr(cid:239)ng v(cid:237)i kh‚i ni(cid:214)m song m«ﬁun ch—o tr“n v(cid:181)nh. NhŒ vi(cid:214)c bi(cid:211)u di(cid:212)n c‚c

E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui th«ng qua c‚c Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ (c(cid:223)n g(cid:228)i l(cid:181) 2-v(cid:181)nh ch˘t chˇ) v(cid:181) nh(cid:247)ng

nghi“n cłu v(cid:210) mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui v(cid:237)i c‚c Ann-h(cid:181)m t(cid:246) gi(cid:247)a c‚c

Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ li“n k(cid:213)t m(cid:181) ch(cid:243)ng t«i thu ﬁ›(cid:238)c k(cid:213)t qu¶ ph'n l(cid:237)p ph„m tr(cid:239) c‚c E-h(cid:214)

ch(cid:221)nh qui (§(cid:222)nh l(cid:253) 5.7). CuŁi c(cid:239)ng, ch(cid:243)ng t«i ﬁ›a ra v(cid:181) gi¶i quy(cid:213)t b(cid:181)i to‚n mº rØng v(cid:181)nh

ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui (§(cid:222)nh l(cid:253) 5.10), xem nh› l(cid:181) mØt łng d(cid:244)ng cæa kh‚i ni(cid:214)m E-h(cid:214) c(cid:242)ng nh›

cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t Ann-ph„m tr(cid:239).

Ch›‹ng 1

MØt sŁ ki(cid:213)n thłc chu¨n b(cid:222)

Sau khi kh‚i ni(cid:214)m ph„m tr(cid:239) monoidal ﬁ›(cid:238)c gi(cid:237)i thi(cid:214)u bºi J. B—nabou trong [44], S. Mac

Lane trong [26], G. M. Kelly trong [23], ... v(cid:181)o ﬁ˙u nh(cid:247)ng n¤m 60 cæa th(cid:213) kß tr›(cid:237)c, nª

ﬁ• ﬁ›(cid:238)c nhi(cid:210)u ng›Œi quan t'm nghi“n cłu v(cid:181) ph‚t tri(cid:211)n kh‚ nhanh. Nh(cid:247)ng nghi“n cłu li“n

quan t(cid:237)i mØt sŁ l(cid:237)p ph„m tr(cid:239) monoidal ﬁ˘c bi(cid:214)t nh› nhªm ph„m tr(cid:239), Ann-ph„m tr(cid:239), ... ﬁ•

ﬁ„t ﬁ›(cid:238)c nh(cid:247)ng k(cid:213)t qu¶ s'u s(cid:190)c nhŒ nh(cid:247)ng ph‚t hi(cid:214)n, n¶y sinh mØt c‚ch tø nhi“n, v(cid:210) mŁi

li“n k(cid:213)t t›‹ng łng v(cid:237)i l(cid:253) thuy(cid:213)t ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u nhªm, ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u v(cid:181)nh, ... V(cid:215) v¸y, trong

ch›‹ng n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i tr(cid:215)nh b(cid:181)y mØt sŁ kh‚i ni(cid:214)m v(cid:181) k(cid:213)t qu¶ c‹ b¶n li“n quan ﬁ(cid:213)n: nhªm

ph„m tr(cid:239) døa theo t(cid:181)i li(cid:214)u [50], nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c døa theo t(cid:181)i li(cid:214)u [14], nhªm ph„m

tr(cid:239) b(cid:214)n ph'n b¸c døa theo t(cid:181)i li(cid:214)u [17] v(cid:181) Ann-ph„m tr(cid:239) døa theo t(cid:181)i li(cid:214)u [1].

Trong to(cid:181)n bØ lu¸n ‚n n(cid:181)y, ﬁ(cid:211) cho ti(cid:214)n, ﬁ«i khi ch(cid:243)ng t«i k(cid:253) hi(cid:214)u XY ho˘c X.Y thay

1.1 Nhªm ph„m tr(cid:239) (b(cid:214)n) ph'n b¸c

1.1.1 Nhªm ph„m tr(cid:239)

cho t(cid:221)ch tenx‹ X ⊗ Y cæa hai v¸t.

MØt ph„m tr(cid:239) monoidal (G, ⊗, I, a, l, r) l(cid:181) mØt ph„m tr(cid:239) G c(cid:239)ng v(cid:237)i mØt song h(cid:181)m t(cid:246) ⊗ : G × G → G, mØt v¸t cŁ ﬁ(cid:222)nh I g(cid:228)i l(cid:181) v¸t ﬁ‹n v(cid:222) cæa ph„m tr(cid:239) v(cid:181) c‚c ﬁ…ng c˚u tø nhi“n

aX,Y,Z : X ⊗ (Y ⊗ Z) → (X ⊗ Y ) ⊗ Z, lX : I ⊗ X → X , rX : X ⊗ I → X,

t›‹ng łng g(cid:228)i l(cid:181) r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p, r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222) tr‚i v(cid:181) r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222) ph¶i. C‚c

r(cid:181)ng buØc n(cid:181)y ph¶i tho¶ m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n kh(cid:237)p, l˙n l›(cid:238)t g(cid:228)i l(cid:181) ti“n ﬁ(cid:210) ng(cid:242) gi‚c v(cid:181) ti“n ﬁ(cid:210)

tam gi‚c

(1.1) (aX,Y,Z ⊗ idT ) aX,Y ⊗Z,T (idX ⊗ aY,Z,T ) = aX⊗Y,Z,T aX,Y,Z⊗T ,

(1.2) idX ⊗ lY = (rX ⊗ idY )aX,I,Y .

MØt ph„m tr(cid:239) monoidal ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ch˘t chˇ n(cid:213)u r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p a v(cid:181) c‚c r(cid:181)ng buØc

ﬁ‹n v(cid:222) l, r ﬁ(cid:210)u l(cid:181) c‚c ph—p ﬁ(cid:229)ng nh˚t.

MØt nhªm ph„m tr(cid:239) G l(cid:181) mØt ph„m tr(cid:239) monoidal m(cid:181) t˚t c¶ c‚c v¸t ﬁ(cid:210)u kh¶ ngh(cid:222)ch v(cid:181)

1.1.2 Nhªm ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n v(cid:181) c‚c t›‹ng ﬁ›‹ng ch(cid:221)nh t(cid:190)c

ph„m tr(cid:239) n(cid:210)n l(cid:181) mØt groupoid, ngh(cid:220)a l(cid:181) t˚t c¶ c‚c m(cid:242)i t“n ﬁ(cid:210)u l(cid:181) ﬁ…ng c˚u.

Cho G l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239). Khi ﬁª t¸p π0G c‚c l(cid:237)p v¸t ﬁ…ng c˚u cæa G l(cid:181) mØt nhªm, trong ﬁª lu¸t h(cid:238)p th(cid:181)nh, k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) ph—p nh'n, ﬁ›(cid:238)c c¶m sinh bºi ph—p to‚n ⊗, ph˙n t(cid:246) ﬁ‹n v(cid:222) 1 l(cid:181) l(cid:237)p c‚c v¸t ﬁ…ng c˚u v(cid:237)i v¸t ﬁ‹n v(cid:222) I. T¸p π1G = Aut(I) c‚c tø ﬁ…ng c˚u cæa v¸t ﬁ‹n v(cid:222) I l(cid:181) mØt nhªm giao ho‚n v(cid:237)i ph—p to‚n nhªm, k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) ph—p cØng, ch(cid:221)nh l(cid:181) ph—p h(cid:238)p th(cid:181)nh h(cid:238)p th(cid:181)nh. H‹n n(cid:247)a, π1G l(cid:181) mØt π0G-m«ﬁun tr‚i v(cid:237)i t‚c ﬁØng ﬁ›(cid:238)c cho bºi:

X δX(u), X ∈ s, s ∈ π0G, u ∈ π1G,

su = γ−1

γX (u)

δX (u)

(cid:45)

trong ﬁª γX, δX l˙n l›(cid:238)t ﬁ›(cid:238)c cho bºi bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) giao ho‚n sau:

(cid:45)u⊗id

(cid:45)id⊗u

X (cid:54) X (cid:54) X (cid:54) rX X (cid:54) lX

I ⊗ X I ⊗ X X ⊗ I X ⊗ I.

R(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p cæa G c¶m sinh mØt 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh nhªm k ∈ Z 3(π0G, π1G).

V(cid:237)i c‚c d(cid:247) ki(cid:214)n n(cid:181)y, ta x'y døng ﬁ›(cid:238)c mØt ph„m tr(cid:239) SG cª c‚c v¸t l(cid:181) c‚c ph˙n t(cid:246) cæa nhªm π0G v(cid:181) c‚c m(cid:242)i t“n l(cid:181) nh(cid:247)ng tø ﬁ…ng c˚u (s, u) : s → s, s ∈ π0G, u ∈ π1G. Ph—p h(cid:238)p th(cid:181)nh cæa hai m(cid:242)i t“n ﬁ›(cid:238)c c¶m sinh bºi ph—p cØng trong π1G,

(s, u) ◦ (s, v) = (s, u + v).

Ph„m tr(cid:239) SG t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i ph„m tr(cid:239) G nhŒ c‚c t›‹ng ﬁ›‹ng ch(cid:221)nh t(cid:190)c ﬁ›(cid:238)c x'y døng nh› sau. V(cid:237)i m(cid:231)i s = [X] ∈ π0G ta ch(cid:228)n mØt ﬁ„i di(cid:214)n Xs ∈ G sao cho X1 = I v(cid:181) v(cid:237)i m(cid:231)i X ∈ s ta ch(cid:228)n mØt m(cid:242)i t“n ﬁ…ng c˚u iX : Xs → X sao cho iXs = id. H(cid:228) (Xs, iX) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt ﬁ(cid:221)nh cæa nhªm ph„m tr(cid:239) G n(cid:213)u

iI⊗Xs = lXs, iXs⊗I = rXs.

V(cid:237)i m(cid:231)i ﬁ(cid:221)nh (Xs, iX) ch(cid:243)ng ta thu ﬁ›(cid:238)c hai h(cid:181)m t(cid:246)

G : G → SG H : SG → G

G(X) = [X] = s H(s) = Xs

Y f iX))

f → Y ) = (s, γ−1 Xs

      G(X (i−1 H(s, u) = γXs(u).

Hai h(cid:181)m t(cid:246) G v(cid:181) H l(cid:181) nh(cid:247)ng t›‹ng ﬁ›‹ng ph„m tr(cid:239) bºi c‚c ph—p bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i tø nhi“n

α = (iX) : HG ∼= idG, β = id : GH ∼= idSG.

Ch(cid:243)ng ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) nh(cid:247)ng t›‹ng ﬁ›‹ng ch(cid:221)nh t(cid:190)c.

Bºi ph—p chuy(cid:211)n c˚u tr(cid:243)c nhŒ bØ bŁn (G, H, α, β), ph„m tr(cid:239) SG trº th(cid:181)nh mØt nhªm

ph„m tr(cid:239) v(cid:237)i ph—p to‚n ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh nh› sau:

s ⊗ t = s.t, s, t ∈ π0G,

(s, u) ⊗ (t, v) = (st, u + sv), u, v ∈ π1G.

Nhªm ph„m tr(cid:239) SG cª r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222) l(cid:181) ch˘t chˇ v(cid:181) cª r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p as,r,t = (srt, k(s, r, t)), v(cid:237)i k ∈ Z 3(π0G, π1G).

H‹n n(cid:247)a, c‚c t›‹ng ﬁ›‹ng G v(cid:181) H trº th(cid:181)nh c‚c t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal c(cid:239)ng v(cid:237)i c‚c

ﬁ…ng c˚u tø nhi“n

Xs⊗Xt

(1.3) : XsXt → Xst. (cid:101)GX,Y = G(iX ⊗ iY ) , (cid:101)Hs,t = i−1

1.1.3 Nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c

Nhªm ph„m tr(cid:239) SG ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt thu g(cid:228)n cæa nhªm ph„m tr(cid:239) G. Ch(cid:243)ng ta cª th(cid:211) nªi SG cª ki(cid:211)u (Π, A, k), ho˘c ﬁ‹n gi¶n l(cid:181) ki(cid:211)u (Π, A), khi ta thay th(cid:213) π0G, π1G bºi c‚c nhªm Π v(cid:181) Π-m«ﬁun A mØt c‚ch t›‹ng łng.

Trong lu¸n ‚n n(cid:181)y, k(cid:253) hi(cid:214)u Γ l(cid:181) mØt nhªm cŁ ﬁ(cid:222)nh. Ta nh(cid:190)c l„i r»ng mØt Γ-nhªm Π l(cid:181)

mØt nhªm Π ﬁ›(cid:238)c trang b(cid:222) th“m mØt Γ-t‚c ﬁØng tr‚i bºi c‚c tø ﬁ…ng c˚u, v(cid:181) mØt Π-m«ﬁun

(tr‚i) Γ-ﬁ…ng bi(cid:213)n l(cid:181) mØt Γ-nhªm aben A ﬁ›(cid:238)c trang b(cid:222) mØt c˚u tr(cid:243)c Π-m«ﬁun sao cho σ(xa) = (σx)(σa), v(cid:237)i m(cid:228)i σ ∈ Γ, x ∈ Π v(cid:181) a ∈ A. MØt Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u f : Π → Π(cid:48) gi(cid:247)a c‚c Γ-nhªm l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm thÆa m•n f (σx) = σf (x), σ ∈ Γ, x ∈ Π.

Nhªm Γ ﬁ›(cid:238)c xem nh› mØt ph„m tr(cid:239) v(cid:237)i ﬁ(cid:243)ng mØt v¸t k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) ∗, m(cid:242)i t“n l(cid:181) c‚c ph˙n

t(cid:246) cæa Γ v(cid:181) ph—p h(cid:238)p th(cid:181)nh l(cid:181) ph—p to‚n nhªm. H‹n n(cid:247)a, Γ l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239), g(cid:228)i l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) rŒi r„c. Ph„m tr(cid:239) G ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) Γ-ph'n b¸c n(cid:213)u cª mØt h(cid:181)m t(cid:246) gr : G → Γ. Ph'n b¸c ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) (cid:230)n ﬁ(cid:222)nh n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:231)i X ∈ Ob G v(cid:181) m(cid:231)i σ ∈ Γ t(cid:229)n t„i mØt m(cid:242)i t“n f trong G v(cid:237)i ﬁŁi mi(cid:210)n X sao cho gr(f ) = σ.

MØt ph„m tr(cid:239) monoidal Γ-ph'n b¸c G = (G, gr, ⊗, I, a, l, r) bao g(cid:229)m: i) mØt ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c (cid:230)n ﬁ(cid:222)nh (G, gr), c‚c h(cid:181)m t(cid:246) Γ-ph'n b¸c ⊗ : G ×Γ G → G

v(cid:181) I : Γ → G,

ii) c‚c ﬁ…ng c˚u tø nhi“n b¸c 1 aX,Y,Z : (X ⊗ Y ) ⊗ Z ∼→ X ⊗ (Y ⊗ Z), lX : I ⊗ X ∼→

X, rX : X ⊗ I ∼→ X thÆa m•n hai ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n kh(cid:237)p (1.1) v(cid:181) (1.2).

MØt nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c l(cid:181) mØt ph„m tr(cid:239) monoidal ph'n b¸c G trong ﬁª m(cid:228)i v¸t

ﬁ(cid:210)u kh¶ ngh(cid:222)ch v(cid:181) m(cid:228)i m(cid:242)i t“n ﬁ(cid:210)u l(cid:181) ﬁ…ng c˚u.

Trong tr›Œng h(cid:238)p n(cid:181)y, ph„m tr(cid:239) con KerG bao g(cid:229)m c‚c v¸t cæa G v(cid:181) c‚c m(cid:242)i t“n b¸c

1.1.4 Nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ph'n b¸c

1 trong G l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239).

MØt nhªm ph„m tr(cid:239) G ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n n(cid:213)u cª mØt r(cid:181)ng buØc b(cid:214)n c, ngh(cid:220)a l(cid:181) mØt ﬁ…ng c˚u tø nhi“n c = (cX,Y ) : X ⊗ Y → Y ⊗ X, t›‹ng th(cid:221)ch v(cid:237)i a, l, r theo ngh(cid:220)a thÆa m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n kh(cid:237)p sau

(1.4) (idY ⊗ cX,Z)aY,X,Z(cX,Y ⊗ idZ) = aY,Z,XcX,Y ⊗ZaX,Y,Z,

X,Z,Y (idX ⊗ cY,Z) = a−1

Z,X,Y cX⊗Y,Za−1

X,Y,Z.

(1.5) (cX,Z ⊗ idY )a−1

N(cid:213)u b(cid:214)n c thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n cX,Y ◦ cY,X = idY ⊗X th(cid:215) nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) ﬁŁi xłng hay ph„m tr(cid:239) Picard. Khi ﬁª h(cid:214) thłc (1.4) tr(cid:239)ng v(cid:237)i h(cid:214) thłc (1.5).

MØt ph„m tr(cid:239) monoidal Γ-ph'n b¸c b(cid:214)n bao g(cid:229)m: mØt ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c (cid:230)n ﬁ(cid:222)nh (G, gr), c‚c h(cid:181)m t(cid:246) Γ-ph'n b¸c ⊗ : G ×Γ G → G v(cid:181) I : Γ → G, c‚c ﬁ…ng c˚u tø nhi“n b¸c 1 aX,Y,Z : (X ⊗ Y ) ⊗ Z ∼→ X ⊗ (Y ⊗ Z), lX : I ⊗ X ∼→ X, rX : X ⊗ I ∼→ X v(cid:181) cX,Y : X ⊗ Y ∼→ Y ⊗ X, v(cid:237)i I = I(∗), thÆa m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n kh(cid:237)p (1.1), (1.2), (1.4) v(cid:181) (1.5).

Khi KerG l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n th(cid:215) ta nªi G l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n Γ-ph'n

1.1.5 H(cid:181)m t(cid:246) monoidal, t›‹ng ﬁ›‹ng tø nhi“n monoidal

b¸c.

Gi¶ s(cid:246) G = (G, ⊗, I, a, l, r) v(cid:181) G(cid:48) = (G(cid:48), ⊗, I (cid:48), a(cid:48), l(cid:48), r(cid:48)) l(cid:181) nh(cid:247)ng ph„m tr(cid:239) monoidal. MØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal tı G ﬁ(cid:213)n G(cid:48) l(cid:181) mØt bØ ba (F, (cid:101)F , F∗) trong ﬁª F : G → G(cid:48) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246), F∗ l(cid:181) mØt ﬁ…ng c˚u tı I (cid:48) ﬁ(cid:213)n F I v(cid:181) ﬁ…ng c˚u tø nhi“n (cid:101)FX,Y : F X ⊗ F Y → F (X ⊗ Y ) thÆa m•n

F X,F Y,F Z,

(1.6) F (aX,Y,Z) ◦ (cid:101)FX,Y Z ◦ (idF X ⊗ (cid:101)FY,Z) = (cid:101)FX⊗Y,Z ◦ ( (cid:101)FX,Y ⊗ idF Z) ◦ a(cid:48)

(1.7) l(cid:48) F X = F (lX) ◦ (cid:101)FI,X ◦ (F∗ ⊗ idF X). r(cid:48) F X = F (rX) ◦ (cid:101)FX,I ◦ (idF X ⊗ F∗),

∗ = αI ◦ F∗ v(cid:181)

MØt t›‹ng ﬁ›‹ng tø nhi“n monoidal, hay mØt ﬁ(cid:229)ng lu'n α : (F, (cid:101)F , F∗) → (F (cid:48), (cid:101)F (cid:48), F (cid:48) ∗) gi(cid:247)a nh(cid:247)ng h(cid:181)m t(cid:246) monoidal tı G ﬁ(cid:213)n G(cid:48) l(cid:181) mØt ﬁ…ng c˚u tø nhi“n α : F → F (cid:48) sao cho F (cid:48)

X,Y ◦ (αX ⊗ αY ).

(1.8) αX⊗Y ◦ (cid:101)FX,Y = (cid:101)F (cid:48)

MØt t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal gi(cid:247)a c‚c ph„m tr(cid:239) monoidal l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal F : G → G(cid:48) sao cho t(cid:229)n t„i mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal F (cid:48) : G(cid:48) → G v(cid:181) c‚c ﬁ(cid:229)ng lu'n α : F (cid:48) ◦ F → idG, β : F ◦ F (cid:48) → idG(cid:48). (F, (cid:101)F , F∗) l(cid:181) mØt t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal khi v(cid:181) ch(cid:216) khi F l(cid:181) mØt t›‹ng ﬁ›‹ng.

N(cid:213)u G, G(cid:48) l(cid:181) hai ph„m tr(cid:239) monoidal Γ-ph'n b¸c, th(cid:215) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal Γ-ph'n b¸c (F, (cid:101)F , F∗) : G → G(cid:48) bao g(cid:229)m mØt h(cid:181)m t(cid:246) Γ-ph'n b¸c F : G → G(cid:48), c‚c ﬁ…ng c˚u tø nhi“n b¸c 1 (cid:101)FX,Y : F X ⊗ F Y → F (X ⊗ Y ), v(cid:181) mØt ﬁ…ng c˚u b¸c 1 F∗ : I (cid:48) → F I thÆa m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n kh(cid:237)p (1.6) v(cid:181) (1.7).

∗) l(cid:181) hai h(cid:181)m t(cid:246) monoidal Γ-ph'n b¸c. MØt t›‹ng ﬁ›‹ng tø nhi“n monoidal Γ-ph'n b¸c α : F ∼→ F (cid:48) l(cid:181) mØt t›‹ng ﬁ›‹ng tø nhi“n monoidal α : F ∼→ F (cid:48) cæa c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal sao cho t˚t c¶ c‚c ﬁ…ng c˚u αX : F X → F (cid:48)X ﬁ(cid:210)u cª b¸c 1.

Gi¶ s(cid:246) (F, (cid:101)F , F∗), (F (cid:48), (cid:101)F (cid:48), F (cid:48)

N(cid:213)u (G, c), (G(cid:48), c(cid:48)) l(cid:181) nh(cid:247)ng nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n th(cid:215) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal b(cid:214)n (F, (cid:101)F ) : G → G(cid:48) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal t›‹ng th(cid:221)ch v(cid:237)i c‚c b(cid:214)n c, c(cid:48) theo ngh(cid:220)a thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n

F X,F Y = F (cX,Y ) (cid:101)FX,Y .

(1.9) (cid:101)FY,Xc(cid:48)

Gi¶ s(cid:246) (G, gr) v(cid:181) (G(cid:48), gr(cid:48)) l(cid:181) hai ph„m tr(cid:239) monoidal b(cid:214)n Γ-ph'n b¸c. MØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal b(cid:214)n Γ-ph'n b¸c tı (G, gr) ﬁ(cid:213)n (G(cid:48), gr(cid:48)) l(cid:181) mØt bØ ba (F, (cid:101)F , F∗), trong ﬁª F : (G, gr) → (G(cid:48), gr(cid:48)) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) Γ-ph'n b¸c, (cid:101)FX,Y : F X ⊗ F Y → F (X ⊗ Y ) l(cid:181) nh(cid:247)ng m(cid:242)i t“n tø nhi“n b¸c 1 v(cid:181) F∗ : I (cid:48) → F I l(cid:181) mØt ﬁ…ng c˚u b¸c 1, sao cho c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n kh(cid:237)p (1.6), (1.7), (1.9) ﬁ(cid:243)ng.

∗) l(cid:181) hai h(cid:181)m t(cid:246) monoidal b(cid:214)n Γ-ph'n b¸c. MØt t›‹ng ﬁ›‹ng tø nhi“n monoidal Γ-ph'n b¸c b(cid:214)n α : F ∼→ F (cid:48) ch(cid:221)nh l(cid:181) mØt t›‹ng ﬁ›‹ng tø nhi“n monoidal.

1.2 Ann-ph„m tr(cid:239)

Gi¶ s(cid:246) (F, (cid:101)F , F∗), (F (cid:48), (cid:101)F (cid:48), F (cid:48)

1.2.1 Ann-ph„m tr(cid:239)

C‚c kh‚i ni(cid:214)m v(cid:181) k(cid:213)t qu¶ trong ph˙n n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c tr(cid:215)nh b(cid:181)y theo [1].

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a. MØt Ann-ph„m tr(cid:239) g(cid:229)m: (i) Ph„m tr(cid:239) A c(cid:239)ng v(cid:237)i hai song h(cid:181)m t(cid:246) ⊕, ⊗ : A × A → A; (ii) V¸t cŁ ﬁ(cid:222)nh 0 ∈ Ob A c(cid:239)ng v(cid:237)i c‚c ﬁ…ng c˚u tø nhi“n a+, c, g, d sao cho (A, ⊕, a+, c, (0, g, d)) l(cid:181) mØt ph„m tr(cid:239) Picard; (iii) V¸t cŁ ﬁ(cid:222)nh 1 ∈ Ob A c(cid:239)ng v(cid:237)i c‚c ﬁ…ng c˚u tø nhi“n a, l, r sao cho (A, ⊗, a, (1, l, r)) l(cid:181) mØt ph„m tr(cid:239) monoidal;

(iv) C‚c ﬁ…ng c˚u tø nhi“n L, R

LA,X,Y : A ⊗ (X ⊕ Y ) −→ (A ⊗ X) ⊕ (A ⊗ Y ) RX,Y,A : (X ⊕ Y ) ⊗ A −→ (X ⊗ A) ⊕ (Y ⊗ A)

sao cho c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n sau ﬁ›(cid:238)c tho¶ m•n: (Ann - 1) §Łi v(cid:237)i m(cid:231)i v¸t A ∈ Ob A, c‚c c˘p (LA, ˘LA), (RA, ˘RA) x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi c‚c h(cid:214) thłc:

LA ˘LA RA ˘RA = A ⊗ − X,Y = LA,X,Y = − ⊗ A X,Y = RX,Y,A

(cid:27)aA,B,X⊕Y

(cid:45)idA⊗ ˘LB

(AB)(X ⊕ Y )

A(B(X ⊕ Y ))

A(BX ⊕ BY )

˘LAB

˘LA

(cid:63)

(cid:27) aA,B,X ⊕aA,B,Y

(AB)X ⊕ (AB)Y

A(BX) ⊕ A(BY )

(cid:45)aX⊕Y,B,A

(cid:45)˘RB ⊗idA

(X ⊕ Y )(BA)

((X ⊕ Y )B)A

(XB ⊕ Y B)A

˘RBA

˘RA

(cid:63)

aX,B,A⊕aY,B,A

(cid:45)

(cid:63) X(BA) ⊕ Y (BA)

(XB)A ⊕ (Y B)A

idA⊗ ˘RB

(cid:27)aA,X⊕Y,B

(cid:45)

(A(X ⊕ Y )B

A((X ⊕ Y )B)

A(XB ⊕ Y B)

˘LA⊗idB

˘LA (cid:63)

(cid:63)

(cid:45)˘RB

(cid:27)a⊕a

(AX ⊕ AY )B

(AX)B ⊕ (AY )B

A(XB) ⊕ A(Y B)

(cid:27)˘LA⊕B

(cid:45)˘RX⊕Y

(A ⊕ B)X ⊕ (A ⊕ B)Y

(A ⊕ B)(X ⊕ Y )

A(X ⊕ Y ) ⊕ B(X ⊕ Y )

˘RX ⊕ ˘RY

˘LA⊕ ˘LB

(cid:63)

(cid:45)

(AX ⊕ BX) ⊕ (AY ⊕ BY )

(cid:63) (AX ⊕ AY ) ⊕ (BX ⊕ BY )

l(cid:181) nh(cid:247)ng ⊕-h(cid:181)m t(cid:246) t›‹ng th(cid:221)ch v(cid:237)i a+ v(cid:181) v(cid:237)i c. (Ann - 2) §Łi v(cid:237)i m(cid:228)i A, B, X, Y ∈ Ob A, c‚c bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau giao ho‚n:

˘L1

˘R1

(cid:45)

1(X ⊕ Y )

(X ⊕ Y )1

1X ⊕ 1Y

X1 ⊕ Y 1

(cid:17)

(cid:81)

rX⊕Y

lX⊕Y

(cid:81)(cid:81)(cid:115)

(cid:17) (cid:17)(cid:17)(cid:43) lX ⊕lY

(cid:17) (cid:17)(cid:17)(cid:43) rX ⊕rY

X ⊕ Y

X ⊕ Y.

trong ﬁª v = vU,V,Z,T : (U ⊕ V ) ⊕ (Z ⊕ T ) −→ (U ⊕ Z) ⊕ (V ⊕ T ) l(cid:181) m(cid:242)i t“n duy nh˚t ﬁ›(cid:238)c x'y døng tı ⊕, a+, c, id trong ph„m tr(cid:239) monoidal ﬁŁi xłng (A, ⊕). (Ann - 3) §Łi v(cid:237)i v¸t ﬁ‹n v(cid:222) 1 ∈ Ob A cæa ph—p to‚n ⊗, c‚c bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau giao ho‚n:

Ann-ph„m tr(cid:239) A ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ch(cid:221)nh qui n(cid:213)u r(cid:181)ng buØc ﬁŁi xłng thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n

cX,X = id, v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ch˘t chˇ n(cid:213)u m(cid:228)i r(cid:181)ng buØc trong nª ﬁ(cid:210)u ch˘t chˇ.

1.2.2 Ann-h(cid:181)m t(cid:246)

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a. Cho A v(cid:181) A(cid:48) l(cid:181) nh(cid:247)ng Ann-ph„m tr(cid:239). MØt Ann-h(cid:181)m t(cid:246) tı A ﬁ(cid:213)n A(cid:48) l(cid:181) mØt bØ bŁn (F, ˘F , (cid:101)F , F∗), trong ﬁª F : A → A(cid:48) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246),

˘FX,Y : F (X ⊕ Y ) → F (X) ⊕ F (Y ); (cid:101)FX,Y : F (X ⊗ Y ) → F (X) ⊗ F (Y )

(cid:45)(cid:101)F

(cid:45)id⊕ (cid:101)F

F (X(Y ⊕ Z))

F X.F (Y ⊕ Z)

F X(F Y ⊕ F Z)

F (L)

(cid:63)

(cid:45)˘F

(cid:45)(cid:101)F ⊕ (cid:101)F

L(cid:48) (cid:63) F X.F Y ⊕ F X.F Z,

F (XY ⊕ XZ)

F (XY ) ⊕ F (XZ)

(cid:45)(cid:101)F

(cid:45)˘F ⊗id

F ((X ⊕ Y )Z)

F (X ⊕ Y ).F Z

(F X ⊕ F Y )F Z

F (R)

(cid:45)˘F

(cid:45)(cid:101)F ⊕ (cid:101)F

(cid:63) F (XZ ⊕ Y Z)

F (XZ) ⊕ F (Y Z)

R(cid:48) (cid:63) F X.F Z ⊕ F Y.F Z.

l(cid:181) nh(cid:247)ng ph—p bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i tø nhi“n, v(cid:181) F∗ : F (1) → 1(cid:48) l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n sao cho (F, ˘F ) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monodial ﬁŁi xłng ﬁŁi v(cid:237)i ph—p to‚n ⊕, (F, (cid:101)F , F∗) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ﬁŁi v(cid:237)i ph—p to‚n ⊗ v(cid:181) thÆa m•n hai bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) giao ho‚n sau:

C‚c bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) giao ho‚n n(cid:181)y c(cid:223)n ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) sø t›‹ng th(cid:221)ch cæa h(cid:181)m t(cid:246) F v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc

ph'n phŁi.

∗) gi(cid:247)a c‚c

MØt Ann-m(cid:242)i t“n (hay mØt ﬁ(cid:229)ng lu'n) α : (F, ˘F , (cid:101)F , F∗) → (F (cid:48), ˘F (cid:48), (cid:101)F (cid:48), F (cid:48)

Ann-h(cid:181)m t(cid:246) l(cid:181) mØt ⊕-m(cid:242)i t“n, ﬁ(cid:229)ng thŒi l(cid:181) ⊗-m(cid:242)i t“n.

∗) : A(cid:48) → A v(cid:181) c‚c Ann-m(cid:242)i t“n F (cid:48)F ∼→ idA, F F (cid:48) ∼→ idA(cid:48), ta nªi (F, ˘F , (cid:101)F , F∗) l(cid:181) mØt Ann-t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:181) A l(cid:181) Ann-t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i A(cid:48).

1.2.3 Ann-ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n

Trong tr›Œng h(cid:238)p t(cid:229)n t„i mØt Ann-h(cid:181)m t(cid:246) (F (cid:48), ˘F (cid:48), (cid:101)F (cid:48), F (cid:48)

Cho A l(cid:181) mØt Ann-ph„m tr(cid:239). T¸p R = π0A c‚c l(cid:237)p v¸t ﬁ…ng c˚u cæa A l(cid:181) mØt v(cid:181)nh ﬁŁi v(cid:237)i hai ph—p to‚n +, × ﬁ›(cid:238)c c¶m sinh bºi c‚c lu¸t ⊕, ⊗ tr“n A, c(cid:223)n t¸p M = π1A = Aut(0) c‚c tø ﬁ…ng c˚u cæa v¸t 0 l(cid:181) mØt nhªm aben m(cid:181) lu¸t h(cid:238)p th(cid:181)nh trong nª ﬁ›(cid:238)c k(cid:253) hi(cid:214)u bºi

d˚u +. H‹n n(cid:247)a, M l(cid:181) mØt R-song m«ﬁun.

Ann-ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n SA cæa A ﬁ›(cid:238)c x'y døng nhŒ ph—p chuy(cid:211)n c˚u tr(cid:243)c (chi ti(cid:213)t xem [37]) cª c‚c v¸t l(cid:181) c‚c ph˙n t(cid:246) cæa π0A, c‚c m(cid:242)i t“n l(cid:181) nh(cid:247)ng tø ﬁ…ng c˚u, (s, u) : s → s, s ∈ π0A, u ∈ π1A. H(cid:238)p th(cid:181)nh cæa hai m(cid:242)i t“n ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

(s, u) ◦ (s, v) = (s, u + v).

V(cid:237)i m(cid:231)i s ∈ π0A ta ch(cid:228)n mØt v¸t Xs ∈ Ob A, sao cho X0 = 0, X1 = 1, v(cid:181) mØt h(cid:228) c‚c ﬁ…ng c˚u iX : X → Xs tho¶ m•n iXs = idXs. MØt ﬁ(cid:221)nh trong A g(cid:229)m mØt h(cid:214) ﬁ„i di(cid:214)n (Xs, iX) sao cho

i0⊕Xs = gXs, iXs⊕0 = dXs,

i1⊗Xs = lXs, iXs⊗1 = rXs, iXs⊗0 = (cid:98)LXs. i0⊗Xs = (cid:98)RXs,

G : A → SA H : SA → A

G(X) = [X] = s H(s) = Xs

X ))

f → Y ) = (s, γ−1 Xs

Ph„m tr(cid:239) A t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i ph„m tr(cid:239) SA nhŒ c‚c h(cid:181)m t(cid:246)       G(X (iY f i−1 H(s, u) = γXs(u)

v(cid:237)i X, Y ∈ s v(cid:181) f : X → Y , c(cid:223)n γX : Aut(0) → Aut(X) l(cid:181) ‚nh x„ ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

(1.10) γX(u) = gX ◦ (u ⊕ id) ◦ g−1 X .

Hai ph—p to‚n tr“n SA ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi:

s ⊕ t = G(H(s) ⊕ H(t)) = s + t,

s ⊗ t = G(H(s) ⊗ H(t)) = st,

(s, u) ⊕ (t, v) = G(H(s, u) ⊕ H(t, v)) = (s + t, u + v),

(s, u) ⊗ (t, v) = G(H(su) ⊗ H(t, v)) = (st, sv + ut),

v(cid:237)i s, t ∈ π0A, u, v ∈ π1A. C‚c r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222) trong A ﬁ›(cid:238)c ch(cid:228)n t›‹ng łng l(cid:181) (0, id, id) v(cid:181) (1, id, id). H(cid:228) c‚c r(cid:181)ng buØc c(cid:223)n l„i h = (ξ, η, α, λ, ρ) ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh nhŒ t(cid:221)nh t›‹ng th(cid:221)ch v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc a+, c, a, L, R cæa A qua h(cid:181)m t(cid:246) H v(cid:181) c‚c ﬁ…ng c˚u h(cid:181)m t(cid:246)

Xs⊕Xt

Xs⊗Xt

˘H = i−1 . (1.11) , (cid:101)H = i−1

Khi ﬁª (H, ˘H, (cid:101)H) : SA → A l(cid:181) mØt Ann-t›‹ng ﬁ›‹ng. §(cid:229)ng thŒi, h(cid:181)m t(cid:246) G : A → SA c(cid:239)ng v(cid:237)i c‚c ﬁ…ng c˚u h(cid:181)m t(cid:246)

˘GX,Y = G(iX ⊕ iY ), (cid:101)GX,Y = G(iX ⊗ iY )

c(cid:242)ng l(cid:181) mØt Ann-t›‹ng ﬁ›‹ng.

Ta g(cid:228)i SA l(cid:181) mØt Ann-ph„m tr(cid:239) ki(cid:211)u (R, M ), v(cid:181) g(cid:228)i (H, ˘H, (cid:101)H), (G, ˘G, (cid:101)G) l(cid:181) c‚c Ann- t›‹ng ﬁ›‹ng ch(cid:221)nh t(cid:190)c. H(cid:228) c‚c r(cid:181)ng buØc h = (ξ, η, α, λ, ρ) cæa SA ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt c˚u

tr(cid:243)c cæa Ann-ph„m tr(cid:239) ki(cid:211)u (R, M ), hay ﬁ‹n gi¶n l(cid:181) mØt c˚u tr(cid:243)c tr“n (R, M ).

C‚c nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u Mac Lane [28], Shukla [52] t„i c‚c chi(cid:210)u th˚p ﬁ• ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng

Shu(R, M ).

ﬁ(cid:211) ph'n l(cid:237)p c‚c Ann-ph„m tr(cid:239) [37], c‚c Ann-ph„m tr(cid:239) ch(cid:221)nh qui [1]. MØt c˚u tr(cid:243)c h cæa Ann-ph„m tr(cid:239) SA l(cid:181) mØt ph˙n t(cid:246) thuØc nhªm c‚c 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh Mac Lane Z 3 M acL(R, M ). Trong tr›Œng h(cid:238)p A ch(cid:221)nh qui th(cid:215) h ∈ Z 3

(cid:47) π0A(cid:48), [X] (cid:55)→ [F X],

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.1. [M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3 [37]] Cho A v(cid:181) A(cid:48) l(cid:181) hai Ann-ph„m tr(cid:239). Khi ﬁª: i) m(cid:231)i Ann-h(cid:181)m t(cid:246) (F, ˘F , (cid:101)F ) : A → A(cid:48) c¶m sinh mØt Ann-h(cid:181)m t(cid:246) SF : SA → SA(cid:48) ki(cid:211)u (p, q), trong ﬁª (cid:47) p = F0 : π0A

(cid:47) π1A(cid:48), u (cid:55)→ γ−1

F 0 (F u),

(cid:47) q = F1 : π1A

v(cid:237)i γ l(cid:181) ‚nh x„ cho bºi c«ng thłc (1.10).

ii) F l(cid:181) mØt t›‹ng ﬁ›‹ng khi v(cid:181) ch(cid:216) khi F0, F1 l(cid:181) nh(cid:247)ng ﬁ…ng c˚u, iii) Ann-h(cid:181)m t(cid:246) SF tho¶ m•n h(cid:214) thłc

SF = G(cid:48) ◦ F ◦ H,

v(cid:237)i H, G(cid:48) l(cid:181) nh(cid:247)ng Ann-t›‹ng ﬁ›‹ng ch(cid:221)nh t(cid:190)c.

Gi¶ s(cid:246) S = (R, M, h), S(cid:48) = (R(cid:48), M (cid:48), h(cid:48)) l(cid:181) nh(cid:247)ng Ann-ph„m tr(cid:239). Bºi v(cid:215) ˘Fx,y = (•, τ (x, y)), (cid:101)Fx,y = (•, ν(x, y)), n“n ta sˇ g(cid:228)i gF = (τ, ν) l(cid:181) c˘p h(cid:181)m li“n k(cid:213)t v(cid:237)i ( ˘F , (cid:101)F ), v(cid:181) ta cª th(cid:211) xem mØt Ann-h(cid:181)m t(cid:246) F : S → S(cid:48) l(cid:181) mØt bØ ba (p, q, gF ). Do t(cid:221)nh t›‹ng th(cid:221)ch cæa F v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc ta suy ra

q∗h − p∗h(cid:48) = ∂(gF ),

q∗−→ Z 3

p∗ ←− Z 3

trong ﬁª p∗, q∗ l(cid:181) c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u ch(cid:221)nh t(cid:190)c

M acL(R, M (cid:48))

M acL(R(cid:48), M (cid:48)).

M acL(R, M )

Z 3

H‹n n(cid:247)a, hai Ann-h(cid:181)m t(cid:246) (F, gF ), (F (cid:48), gF (cid:48)) ﬁ(cid:229)ng lu'n khi v(cid:181) ch(cid:216) khi F (cid:48) = F , ngh(cid:220)a l(cid:181) ch(cid:243)ng cª c(cid:239)ng ki(cid:211)u (p, q), v(cid:181) cª mØt h(cid:181)m t : R → M (cid:48), tho¶ m•n gF (cid:48) = gF + ∂t.

N(cid:213)u F : S → S(cid:48) l(cid:181) mØt Ann-h(cid:181)m t(cid:246) ki(cid:211)u (p, q), th(cid:215) h(cid:181)m

M acL(R, M (cid:48))

k = q∗h − p∗h(cid:48) ∈ Z 3

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt c¶n trº cæa Ann-h(cid:181)m t(cid:246) F .

M acL(R, M (cid:48)). Khi ﬁª t(cid:229)n t„i song ‚nh:

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.2 (§(cid:222)nh l(cid:253) 4.4, 4.5 [35]). H(cid:181)m t(cid:246) F : S → S(cid:48) ki(cid:211)u (p, q) l(cid:181) mØt Ann-h(cid:181)m t(cid:246) n(cid:213)u v(cid:181) ch(cid:216) n(cid:213)u c‚i c¶n trº k tri(cid:214)t ti“u trong H 3

(p,q)[S, S(cid:48)] ↔ H 2

M acL(R, M (cid:48))(= H 2

Shu(R, M (cid:48))),

(p,q)[S, S(cid:48)] l(cid:181) t¸p c‚c l(cid:237)p ﬁ(cid:229)ng lu'n cæa c‚c Ann-h(cid:181)m t(cid:246) ki(cid:211)u (p, q) tı S ﬁ(cid:213)n

HomAnn

trong ﬁª HomAnn S(cid:48).

Ch›‹ng 2

Ph'n l(cid:237)p c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u

(ϕ, f ) v(cid:181) łng d(cid:244)ng

Trong ch›‹ng n(cid:181)y, tr›(cid:237)c h(cid:213)t ch(cid:243)ng t«i ch(cid:216) ra r»ng m(cid:231)i h(cid:181)m t(cid:246) monoidal gi(cid:247)a c‚c nhªm

ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) ki(cid:211)u (ϕ, f ) (M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.5). Tı ﬁª, ﬁ›a ra kh‚i ni(cid:214)m c¶n trº

cæa mØt h(cid:181)m t(cid:246) ki(cid:211)u (ϕ, f ) v(cid:181) ph'n l(cid:237)p ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u n(cid:181)y (§(cid:222)nh

l(cid:253) 2.6). Sau ﬁª, k(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y sˇ ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng nh› mØt k(cid:252) thu¸t chung ﬁ(cid:211) chłng minh ﬁ(cid:222)nh

l(cid:253) ph'n l(cid:237)p cho ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) (§(cid:222)nh l(cid:253) 2.7) v(cid:181) ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239)

b(cid:214)n (§(cid:222)nh l(cid:253) 2.10). §(cid:229)ng thŒi, ch(cid:243)ng t«i tr(cid:215)nh b(cid:181)y hai łng d(cid:244)ng cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t c¶n trº cæa

h(cid:181)m t(cid:246) monoidal gi(cid:247)a c‚c nhªm ph„m tr(cid:239). Thł nh˚t, ch(cid:243)ng t«i x'y døng nhªm ph„m tr(cid:239)

cæa mØt h„t nh'n trıu t›(cid:238)ng, v(cid:181) ﬁi(cid:210)u n(cid:181)y d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n mØt k(cid:213)t qu¶ th(cid:243) v(cid:222): cª th(cid:211) ﬁ›a mØt nhªm

ph„m tr(cid:239) v(cid:210) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ. Hai l(cid:181), s(cid:246) d(cid:244)ng nhªm ph„m tr(cid:239) cæa mØt h„t nh'n

trıu t›(cid:238)ng ﬁ(cid:211) ph'n l(cid:237)p c‚c mº rØng nhªm nhŒ c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal gi(cid:247)a c‚c nhªm ph„m

tr(cid:239). B“n c„nh ﬁª, ch(cid:243)ng t«i c(cid:242)ng ﬁ›a ra mØt c‚ch ti(cid:213)p c¸n kh‚c cho b(cid:181)i to‚n ph'n l(cid:237)p c‚c

nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ph'n b¸c b»ng ph›‹ng ph‚p h(cid:214) nh'n t(cid:246), t›‹ng tø nh› c‚ch ti(cid:213)p c¸n cæa

N. T. Quang ﬁŁi v(cid:237)i b(cid:181)i to‚n ph'n l(cid:237)p c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c trong [34].

2.1 Ph'n l(cid:237)p ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u (ϕ, f )

C‚c k(cid:213)t qu¶ cæa ch›‹ng n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t døa theo [36, 41].

Trong m(cid:244)c n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i sˇ ch(cid:216) ra r»ng m(cid:231)i h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) : G → G(cid:48) c¶m sinh mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal SF tr“n c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n cæa ch(cid:243)ng. §i(cid:210)u ﬁª cho ph—p nghi“n cłu b(cid:181)i to‚n t(cid:229)n t„i h(cid:181)m t(cid:246) monoidal v(cid:181) ph'n l(cid:237)p ch(cid:243)ng tr“n c‚c nhªm ph„m

tr(cid:239) ki(cid:211)u (Π, A).

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) sau ﬁ›(cid:238)c nh(cid:190)c t(cid:237)i trong kh‚ nhi(cid:210)u c«ng tr(cid:215)nh cª li“n quan t(cid:237)i nhªm ph„m tr(cid:239).

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.1. (§(cid:222)nh l(cid:253) 1, trang 196, [50]) Gi¶ s(cid:246) (F, (cid:101)F ) : G → G(cid:48) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal.

Khi ﬁª (F, (cid:101)F ) c¶m sinh c˘p ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm

[X] (cid:55)→ [F X],

F I (F u),

F0 : π0G → π0G(cid:48), F1 : π1G → π1G(cid:48), u (cid:55)→ γ−1

tho¶ m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n F1(su) = F0(s)F1(u), trong ﬁª ﬁ…ng c˚u γX(u) ﬁ›(cid:238)c cho bºi:

γX(u) = lX ◦ (u ⊗ id) ◦ l−1 X .

K(cid:213)t qu¶ ﬁ˙u ti“n cæa ch(cid:243)ng t«i l(cid:181) l(cid:181)m m„nh M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.1 bºi M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.4 khi kh…ng ﬁ(cid:222)nh r»ng m(cid:231)i h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) : G → G(cid:48) c¶m sinh mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal SG → SG(cid:48). Tr›(cid:237)c h(cid:213)t, ch(cid:243)ng t«i c˙n t(cid:237)i hai b(cid:230) ﬁ(cid:210) sau:

(cid:45)γF I (u)

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2. Cho hai ⊗-ph„m tr(cid:239) G, G(cid:48) v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc t›‹ng łng l(cid:181) (I, l, r) v(cid:181) (I (cid:48), l(cid:48), r(cid:48)). Gi¶ s(cid:246) (F, (cid:101)F , F∗) : G → G(cid:48) l(cid:181) mØt ⊗-h(cid:181)m t(cid:246) t›‹ng th(cid:221)ch v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222). Khi ﬁª h(cid:215)nh vu«ng d›(cid:237)i ﬁ'y l(cid:181) giao ho‚n

F∗

(cid:45)u

F I (cid:54) F I (cid:54) F∗

I (cid:48) I (cid:48).

∗ F (u)F∗.

F I (F (u)) = F −1

Tı ﬁª suy ra γ−1

Chłng minh. R(cid:226) r(cid:181)ng γI (cid:48)(u) = u. H‹n n(cid:247)a, h(cid:228) (γX (cid:48)(u)), X (cid:48) ∈ Ob G(cid:48), l(cid:181) mØt tø m(cid:242)i t“n cæa h(cid:181)m t(cid:246) ﬁ(cid:229)ng nh˚t idG(cid:48). V(cid:215) v¸y h(cid:215)nh vu«ng tr“n l(cid:181) giao ho‚n.

F I (F (u)).

K(cid:213)t lu¸n cuŁi c(cid:239)ng suy ra tı h(cid:215)nh vu«ng giao ho‚n tr“n khi thay u bºi γ−1

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.3. V(cid:237)i c‚c gi¶ thi(cid:213)t ﬁ• cho nh› trong B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2, ta cª

F I

F (u)). F γX (u) = γF X (γ−1

l(cid:48) (4)

Chłng minh. X—t bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) d›(cid:237)i ﬁ'y

F (lX ) (cid:47)

F∗⊗id(cid:47)

(cid:47) F I ⊗ F X F I ⊗ F X F I ⊗ F X F I ⊗ F X

(cid:47) F (I ⊗ X) F (I ⊗ X) F (I ⊗ X) F (I ⊗ X)

(cid:47) F X F X F X

F u⊗id

F γX (u)

F (u⊗id)

(cid:15) (cid:15) (cid:47) I (cid:48) ⊗ F X I (cid:48) ⊗ F X I (cid:48) ⊗ F X

(cid:101)F (2)

γ−1 F I F u⊗id

(cid:101)F (cid:47)

F∗⊗id

F (lX )

l(cid:48)

(1) (3) (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) F (I ⊗ X) F (I ⊗ X) F (I ⊗ X) F (I ⊗ X) I (cid:48) ⊗ F X I (cid:48) ⊗ F X I (cid:48) ⊗ F X F I ⊗ F X F I ⊗ F X F I ⊗ F X F I ⊗ F X F X(cid:79) F X F X (cid:79) (5)

F I F (u)(cid:1).

(cid:0)γ−1 Trong bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) n(cid:181)y, c‚c mi(cid:210)n (4), (5) giao ho‚n nhŒ sø t›‹ng th(cid:221)ch cæa h(cid:181)m t(cid:246) (F, (cid:101)F ) v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222). Mi(cid:210)n (3) giao ho‚n nhŒ ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa γX (l˚y ¶nh qua F ), mi(cid:210)n (1) giao ho‚n theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2. Mi(cid:210)n (2) giao ho‚n nhŒ t(cid:221)nh ch˚t tø nhi“n cæa m(cid:242)i t“n ﬁ…ng c˚u (cid:101)F . Tı ﬁª, mi(cid:210)n ngo(cid:181)i l(cid:181) giao ho‚n, ngh(cid:220)a l(cid:181) F γX(u) = γF X

Cho S, S(cid:48) l˙n l›(cid:238)t l(cid:181) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ki(cid:211)u (Π, A, h) v(cid:181) (Π, A, h(cid:48)). MØt h(cid:181)m t(cid:246)

F : S → S(cid:48) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) h(cid:181)m t(cid:246) ki(cid:211)u (ϕ, f ) n(cid:213)u

F (x) = ϕ(x), F (x, a) = (ϕ(x), f (a)),

trong ﬁª ϕ : Π → Π(cid:48), f : A → A(cid:48) l(cid:181) mØt c˘p ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm thÆa m•n f (xa) = ϕ(x)f (a), v(cid:237)i x ∈ Π, a ∈ A.

Trong ph—p chłng minh §(cid:222)nh l(cid:253) 1, Ch›‹ng II [50], H. X. S(cid:221)nh cª ﬁ(cid:210) c¸p ﬁ—n h(cid:181)m t(cid:246) SF ﬁ›(cid:238)c c¶m sinh tı c‚c ﬁ…ng c˚u F0 v(cid:181) F1 v(cid:181) nh¸n x—t r»ng SF = G(cid:48)F H, nh›ng kh«ng m« t¶ c(cid:244) th(cid:211) h(cid:181)m t(cid:246) n(cid:181)y. D›(cid:237)i ﬁ'y, ch(cid:243)ng t«i sˇ ch(cid:216) ra r»ng m(cid:228)i h(cid:181)m t(cid:246) monoidal gi(cid:247)a c‚c

nhªm ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n l(cid:181) cª ki(cid:211)u (ϕ, f ), sau ﬁª x‚c ﬁ(cid:222)nh h(cid:181)m t(cid:246) c¶m sinh v(cid:181) chłng minh h(cid:214) thłc SF = G(cid:48)F H.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.4. M(cid:231)i h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) : G → G(cid:48) c¶m sinh mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal SF : SG → SG(cid:48) ki(cid:211)u (ϕ, f ), v(cid:237)i ϕ = F0, f = F1. H‹n n(cid:247)a,

SF = G(cid:48)F H,

v(cid:237)i H, G(cid:48) l(cid:181) nh(cid:247)ng t›‹ng ﬁ›‹ng ch(cid:221)nh t(cid:190)c.

Chłng minh. §˘t K l(cid:181) h(cid:181)m t(cid:246) monoidal h(cid:238)p th(cid:181)nh G(cid:48)F H, ch(cid:243)ng ta d(cid:212) d(cid:181)ng th(cid:246) l„i r»ng K(s) = F0(s), v(cid:237)i s ∈ π0G. B'y giŒ ta chłng minh K(s, u) = (F0(s), F1(u)) v(cid:237)i m(cid:231)i m(cid:242)i t“n u : I → I. Ta cª

K(s, u) = G(cid:48)F H(s, u) = G(cid:48)(F γXs(u)).

X (cid:48)) n“n bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau l(cid:181) giao ho‚n

Bºi v(cid:215) H (cid:48)G(cid:48) (cid:39) idG(cid:48) nhŒ t›‹ng ﬁ›‹ng tø nhi“n β = (i(cid:48)

s(cid:48) = H (cid:48)G(cid:48)F Xs):

i(cid:48)

(ch(cid:243) (cid:253) r»ng X (cid:48)

H (cid:48)G(cid:48)F γXs (u)

−−−→ F Xs

i(cid:48)

X (cid:48) s(cid:48)   (cid:121)   (cid:121)F γXs (u)

−−−→ F Xs. X (cid:48) s(cid:48)

Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.3 ta cª

F I F (u)).

F γXs(u) = γF Xs(γ−1

M˘t kh‚c, do h(cid:228) (γX (cid:48)) l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng tø nhi“n cæa h(cid:181)m t(cid:246) ﬁ(cid:229)ng nh˚t idG(cid:48) n“n h(cid:215)nh

i(cid:48)

vu«ng d›(cid:237)i ﬁ'y giao ho‚n

(γ−1

F I F (u))

γX(cid:48) s

−−−→ F Xs

i(cid:48)

X (cid:48) s(cid:48)   (cid:121)   (cid:121)γF Xs (γ−1

−−−→ F Xs. X (cid:48) s(cid:48)

F I F (u)(cid:1). Tı ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa H (cid:48) ta ﬁ›(cid:238)c

(cid:0)γ−1 Tı ﬁª H (cid:48)G(cid:48)F γXs(u) = γX (cid:48)

F I F (u)) = (F0s, F1(u)).

G(cid:48)F γXs(u) = (F0s, γ−1

§i(cid:210)u ﬁª cª ngh(cid:220)a l(cid:181) K = SF .

B'y giŒ ch(cid:243)ng ta m« t¶ c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal tr“n c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ki(cid:211)u (Π, A).

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.5. M(cid:231)i h(cid:181)m t(cid:246) monoidal tı (F, (cid:101)F ) : S → S(cid:48) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) ki(cid:211)u (ϕ, f ).

Chłng minh. V(cid:237)i x, y ∈ Π, (cid:101)Fx,y : F (x) ⊗ F (y) → F (x ⊗ y) l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n trong S(cid:48). Tı ﬁª F (x).F (y) = F (xy), bºi v¸y n(cid:213)u ta ﬁ˘t ϕ(x) = F (x) th(cid:215) ϕ : Π → Π(cid:48) l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u

nhªm.

Gi¶ s(cid:246) F (x, a) = (ϕ(x), fx(a)). Do F l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) n“n ta cª

F ((x, a) ◦ (x, b)) = F (x, a) ◦ F (x, b).

Tı ﬁª suy ra

fx(a + b) = fx(a) + fx(b).

(cid:101)F−−−→ F (xy)

F (u)⊗F (v)

V¸y fx : A → A(cid:48) l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ Π. M˘t kh‚c, do (F, (cid:101)F ) l(cid:181) mØt ⊗-h(cid:181)m t(cid:246) n“n bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau l(cid:181) giao ho‚n

F (x).F (y)   (cid:121)   (cid:121)F (u⊗v)

(cid:101)F−−−→ F (xy),

F (x).F (y)

v(cid:237)i m(cid:228)i u = (x, a), v = (y, b). Bºi v¸y ta cª

F (u ⊗ v) = F u ⊗ F v

⇔ fxy(a + xb) = fx(a) + ϕ(x).fy(b)

(2.1) ⇔ fxy(a) + fxy(xb) = fx(a) + ϕ(x).fy(b).

Trong (2.1), thay x = 1 ta ﬁ›(cid:238)c fy(a) = f1(a). Tı ﬁª, fy = f1 v(cid:237)i m(cid:228)i y ∈ Π. §˘t fy = f v(cid:181) s(cid:246) d(cid:244)ng (2.1) ta ﬁ›(cid:238)c f (xb) = ϕ(x).f (b).

L›u (cid:253) r»ng, n(cid:213)u ta xem Π(cid:48)-m«ﬁun A(cid:48) nh› l(cid:181) mØt Π-m«ﬁun bºi t‚c ﬁØng xa(cid:48) = ϕ(x).a(cid:48) th(cid:215) f : A → A(cid:48) l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u gi(cid:247)a c‚c Π-m«ﬁun. Bºi v(cid:215) (cid:101)Fx,y = (F (xy), gF (x, y)) : F (x).F (y) → F (xy), v(cid:237)i h(cid:181)m gF : Π2 → A(cid:48) n“n ta sˇ g(cid:228)i gF l(cid:181) h(cid:181)m li“n k(cid:213)t v(cid:237)i (cid:101)F . T(cid:221)nh t›‹ng th(cid:221)ch cæa (F, (cid:101)F ) v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p cæa hai ph„m tr(cid:239) S v(cid:181) S(cid:48) d(cid:201)n t(cid:237)i h(cid:214) thłc

ϕ∗h(cid:48) − f∗h = ∂(gF ),

trong ﬁª

(f∗h)(x, y, z) = f (h(x, y, z)),

(ϕ∗h(cid:48))(x, y, z) = h(cid:48)(ϕx, ϕy, ϕz).

D(cid:212) th˚y r»ng, hai h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ), (F (cid:48), (cid:101)F (cid:48)) : S → S(cid:48) l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng lu'n khi v(cid:181) ch(cid:216) khi

F (cid:48) = F , ngh(cid:220)a l(cid:181) cª c(cid:239)ng ki(cid:211)u (ϕ, f ), v(cid:181) cª mØt h(cid:181)m t : Π → A(cid:48) sao cho gF (cid:48) = gF + ∂t.

K(cid:253) hi(cid:214)u Hom(ϕ,f )[S, S(cid:48)] l(cid:181) t¸p c‚c l(cid:237)p ﬁ(cid:229)ng lu'n cæa c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u (ϕ, f ). §(cid:211) t(cid:215)m ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁæ cho mØt h(cid:181)m t(cid:246) ki(cid:211)u (ϕ, f ) trº th(cid:181)nh mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal, ch(cid:243)ng t«i n“u kh‚i ni(cid:214)m c¶n trº nh› sau. N(cid:213)u h, h(cid:48) l(cid:181) c‚c r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p t›‹ng łng cæa S, S(cid:48) v(cid:181) F : S → S(cid:48) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) ki(cid:211)u (ϕ, f ) th(cid:215) h(cid:181)m

(2.2) k = ϕ∗h(cid:48) − f∗h

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt c¶n trº cæa h(cid:181)m t(cid:246) F .

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) d›(cid:237)i ﬁ'y cho ta ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n c˙n v(cid:181) ﬁæ ﬁ(cid:211) mØt h(cid:181)m t(cid:246) ki(cid:211)u (ϕ, f ) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246)

monoidal.

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.6. H(cid:181)m t(cid:246) F : S → S(cid:48) ki(cid:211)u (ϕ, f ) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal n(cid:213)u v(cid:181) ch(cid:216) n(cid:213)u c‚i c¶n trº k tri(cid:214)t ti“u trong H 3(Π, A(cid:48)). Khi ﬁª t(cid:229)n t„i c‚c song ‚nh: i) Hom(ϕ,f )[S, S(cid:48)] ↔ H 2(Π, A(cid:48)), ii) Aut(F ) ↔ Z 1(Π, A(cid:48)).

Chłng minh. N(cid:213)u (F, (cid:101)F ) : S → S(cid:48) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal th(cid:215) (F, (cid:101)F ) = (ϕ, f, gF ), v(cid:237)i

ϕ∗h(cid:48) − f∗h = ∂(gF ) ∈ B3(Π, A(cid:48)).

Tı ﬁª ϕ∗h(cid:48) − f∗h = 0 trong H 3(Π, A(cid:48)).

Ng›(cid:238)c l„i, tı ﬁ…ng thłc ϕ∗h(cid:48) − f∗h = 0 suy ra t(cid:229)n t„i mØt 2-ﬁŁi d'y chuy(cid:210)n g ∈ Z 2(Π, A(cid:48)) thÆa m•n ϕ∗h(cid:48) − f∗h = ∂g. L˚y (cid:101)F li“n k(cid:213)t v(cid:237)i g, ta cª (F, (cid:101)F ) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal.

i) Gi¶ s(cid:246) (F, (cid:101)F ) : S → S(cid:48) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal, khi ﬁª F = (ϕ, f, gF ). Ch(cid:243)ng ta cŁ ﬁ(cid:222)nh gF . B'y giŒ n(cid:213)u (K, (cid:101)K) : S → S(cid:48) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u (ϕ, f ) th(cid:215) ∂(gF ) = ϕ∗h(cid:48) − f∗h = ∂(gK). Tı ﬁª suy ra gF − gK l(cid:181) mØt 2- ﬁŁi chu tr(cid:215)nh. X—t t›‹ng łng:

Φ : [(K, (cid:101)K)] (cid:55)→ (gF − gK)

gi(cid:247)a t¸p h(cid:238)p c‚c l(cid:237)p t›‹ng ﬁ…ng cæa c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u (ϕ, f ) tı S ﬁ(cid:213)n S(cid:48) v(cid:181) nhªm H 2(Π, A(cid:48)). Tr›(cid:237)c h(cid:213)t ch(cid:243)ng ta ch(cid:216) ra r»ng t›‹ng łng tr“n l(cid:181) mØt ‚nh x„. Th¸t v¸y, gi¶ s(cid:246)

cª h(cid:181)m t(cid:246) monoidal

(K (cid:48), (cid:101)K (cid:48)) : S → S(cid:48)

v(cid:181) K, K (cid:48) l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng lu'n. Th(cid:213) th(cid:215) K, K (cid:48) l(cid:181) c(cid:239)ng ki(cid:211)u (ϕ, f ) v(cid:181) gK(cid:48) = gK + ∂t v(cid:237)i gK, gK(cid:48) theo thł tø l(cid:181) c‚c h(cid:181)m li“n k(cid:213)t v(cid:237)i (cid:101)K, (cid:101)K (cid:48), ngh(cid:220)a l(cid:181) (gF − gK(cid:48)) = (gF − gK) ∈ H 2(Π, A(cid:48)).

H‹n n(cid:247)a, Φ l(cid:181) mØt ﬁ‹n ‚nh.

CuŁi c(cid:239)ng ch(cid:243)ng ta ch(cid:216) ra t›‹ng łng Φ l(cid:181) mØt to(cid:181)n ‚nh. Th¸t v¸y gi¶ s(cid:246) g l(cid:181) mØt 2-ﬁŁi

chu tr(cid:215)nh b˚t kœ. Ta cª:

∂(gF − g) = ∂gF − ∂g = ∂g = ϕ∗h(cid:48) − f∗h.

Khi ﬁª t(cid:229)n t„i h(cid:181)m t(cid:246) monoidal

(K, (cid:101)K) : S → S(cid:48)

ki(cid:211)u (ϕ, f ), v(cid:237)i ﬁ…ng c˚u h(cid:181)m t(cid:246) (cid:101)K = (•, gF − g). V¸y Φ l(cid:181) mØt to(cid:181)n ‚nh.

ii) L˚y F = (F, (cid:101)F ) : S → S(cid:48) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal v(cid:181) t ∈ Aut(F ). Khi ﬁª, tı ﬁ…ng

2.2 Ph'n l(cid:237)p c‚c nhªm ph„m tr(cid:239)

thłc gF = gF + ∂t ta suy ra ∂t = 0, ngh(cid:220)a l(cid:181) t ∈ Z 1(Π, A(cid:48)).

Trong m(cid:244)c n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i sˇ s(cid:246) d(cid:244)ng §(cid:222)nh l(cid:253) 2.6 ﬁ(cid:211) chłng minh ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p cho

ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239).

V(cid:237)i m(cid:231)i nhªm ph„m tr(cid:239) G, nhªm π0G v(cid:181) π0G-m«ﬁun π1G l(cid:181) hai b˚t bi(cid:213)n ﬁ˙u ti“n cæa nª. T¸p c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) cª chung hai b˚t bi(cid:213)n ﬁ˙u ti“n ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ph'n l(cid:237)p bºi nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u H 3(π0G, π1G) (xem M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 13, trang 105 [50]). B'y giŒ ch(cid:243)ng ta sˇ tr(cid:215)nh b(cid:181)y ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p ch(cid:221)nh x‚c cho c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) v(cid:181) c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal gi(cid:247)a ch(cid:243)ng.

K(cid:253) hi(cid:214)u CG l(cid:181) ph„m tr(cid:239) cª v¸t l(cid:181) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239), c‚c m(cid:242)i t“n l(cid:181) c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal gi(cid:247)a ch(cid:243)ng. Ch(cid:243)ng ta x‚c ﬁ(cid:222)nh ph„m tr(cid:239) H3 Gr cª v¸t l(cid:181) bØ ba (Π, A, h), trong ﬁª Π l(cid:181) mØt nhªm, A l(cid:181) mØt Π-m«ﬁun v(cid:181) h ∈ H 3(Π, A). M(cid:242)i t“n (ϕ, f ) : (Π, A, h) → (Π(cid:48), A(cid:48), h(cid:48)) Gr l(cid:181) c˘p (ϕ, f ) sao cho t(cid:229)n t„i g : Π2 → A(cid:48) ﬁ(cid:211) (ϕ, f, g) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal trong H3 (Π, A, h) → (Π(cid:48), A(cid:48), h(cid:48)), ngh(cid:220)a l(cid:181) ϕ∗h(cid:48) = f∗h ∈ H 3(Π, A(cid:48)). H(cid:238)p th(cid:181)nh trong H3 Gr ﬁ›(cid:238)c cho bºi

(ϕ(cid:48), f (cid:48)) ◦ (ϕ, f ) = (ϕ(cid:48) ◦ ϕ, f (cid:48) ◦ f ).

Ta cª nh¸n x—t r»ng, hai h(cid:181)m t(cid:246) monoidal F, F (cid:48) : G → G(cid:48) l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng lu'n khi v(cid:181) ch(cid:216) khi Fi = F (cid:48) i , i = 0, 1 v(cid:181) gF = gF (cid:48). K(cid:253) hi(cid:214)u t¸p c‚c l(cid:237)p ﬁ(cid:229)ng lu'n cæa c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal

G → G(cid:48) c(cid:239)ng c¶m sinh c˘p (ϕ, f ) l(cid:181)

Hom(ϕ,f )[G, G(cid:48)],

ta ﬁ›a ra mØt phi“n b¶n cæa M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 8 [21]. Trong [21], kh‚i ni(cid:214)m nhªm ph„m tr(cid:239) ﬁ›(cid:238)c

g(cid:228)i l(cid:181) "compact monoidal groupoid", v(cid:181) c‚c t‚c gi¶ ﬁ• ch(cid:216) ra ﬁ›(cid:238)c r»ng cª mØt song t›‹ng ﬁ›‹ng T : H3 Gr → CG. Tuy nhi“n, h(cid:181)m t(cid:246) d trong ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) d›(cid:237)i ﬁ'y kh«ng ch(cid:216) ﬁ‹n gi¶n l(cid:181) "ng›(cid:238)c" cæa h(cid:181)m t(cid:246) ph'n l(cid:237)p T m(cid:181) nª cho ta nh(cid:247)ng th«ng tin ﬁ˙y ﬁæ h‹n trong sø ph'n l(cid:237)p

n(cid:181)y.

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.7 (§(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p). T(cid:229)n t„i mØt h(cid:181)m t(cid:246) ph'n l(cid:237)p:

d :

CG → G

H3 Gr (cid:55)→ (π0G, π1G, hG) (cid:55)→ (F0, F1) (F, (cid:101)F )

cª c‚c t(cid:221)nh ch˚t sau:

i) dF l(cid:181) mØt ﬁ…ng c˚u khi v(cid:181) ch(cid:216) khi F l(cid:181) mØt t›‹ng ﬁ›‹ng.

ii) d l(cid:181) mØt to(cid:181)n ‚nh tr“n t¸p c‚c v¸t. iii) d l(cid:181) ﬁ˙y ﬁæ nh›ng kh«ng trung th(cid:181)nh. V(cid:237)i (ϕ, f ) : dG → dG(cid:48) th(cid:215) cª mØt song ‚nh

(2.3) d : Hom(ϕ,f )[G, G(cid:48)] → H 2(π0G, π1G(cid:48)).

§Łi v(cid:237)i c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal G F→ G(cid:48) F (cid:48) → G(cid:48)(cid:48), d(cid:212) th˚y (F (cid:48)F )0 = F (cid:48) Chłng minh. Trong nhªm ph„m tr(cid:239) G, v(cid:237)i m(cid:231)i ﬁ(cid:221)nh (Xs, iX) ta cª th(cid:211) x'y døng ﬁ›(cid:238)c mØt nhªm ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n (π0G, π1G, h). Khi thay ﬁ(cid:230)i c‚ch ch(cid:228)n ﬁ(cid:221)nh th(cid:215) 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh h ﬁ›(cid:238)c thay th(cid:213) bºi 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh h(cid:48) c(cid:239)ng l(cid:237)p ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u v(cid:237)i h. Bºi v¸y G x‚c ﬁ(cid:222)nh duy nh˚t mØt ph˙n t(cid:246) h ∈ H 3(π0G, π1G). §i(cid:210)u n(cid:181)y chłng tÆ d l(cid:181) mØt ‚nh x„ tr“n t¸p c‚c v¸t. 0F0. Do (F (cid:48)F )∗ l(cid:181)

c‚i h(cid:238)p th(cid:181)nh

∗→ F (cid:48)I (cid:48) F (cid:48)(F∗)

I (cid:48)(cid:48) F (cid:48) → F (cid:48)F I,

n“n v(cid:237)i u ∈ Aut(I) ta cª:

∗ (F (cid:48)F )(u)(F (cid:48)F )∗

(F (cid:48)F )1(u) = (F (cid:48)F )−1

∗ F (cid:48)(F −1

∗ )F (cid:48)F (u)F (cid:48)(F∗)F (cid:48) ∗

= F (cid:48)−1

∗ F (cid:48)(F1(u))F (cid:48)

∗ = F (cid:48)

1(F1(u)).

= F (cid:48)−1

Ngh(cid:220)a l(cid:181) d(F (cid:48) ◦ F ) = (dF (cid:48)) ◦ (dF ).

D(cid:212) th˚y d(idG) = iddG. Bºi v¸y d l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246). i) Do M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.1.

Gr th(cid:215) S = (Π, A, h) l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ki(cid:211)u

ii) N(cid:213)u (Π, A, h) l(cid:181) mØt v¸t cæa H 3

(Π, A) v(cid:181) hi(cid:211)n nhi“n dS = (Π, A, h) .

(dG, dG(cid:48)), th(cid:215) t(cid:229)n t„i h(cid:181)m g : (π0G)2 → iii) Gi¶ s(cid:246) (ϕ, f ) l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n trong HomH3

π1G(cid:48) sao cho

ϕ∗hG(cid:48) = f∗hG + ∂g.

Th(cid:213) th(cid:215) theo §(cid:222)nh l(cid:253) 2.6 ta cª h(cid:181)m t(cid:246) monoidal

K = (ϕ, f, g) : (π0G, π1G, hG) → (π0G(cid:48), π1G(cid:48), hG(cid:48)).

Khi ﬁª, h(cid:181)m t(cid:246) monoidal h(cid:238)p th(cid:181)nh F = H (cid:48)KG : G → H c¶m sinh dF = (ϕ, f ). §i(cid:210)u n(cid:181)y chłng tÆ h(cid:181)m t(cid:246) d l(cid:181) ﬁ˙y ﬁæ.

§(cid:211) chłng minh song ‚nh (2.3) ta chłng minh t›‹ng łng

(2.4) Ω : Hom(ϕ,f )[G, G(cid:48)]→Hom(ϕ,f )[SG, SG(cid:48)]

[F ] (cid:55)→ [SF ]

l(cid:181) mØt song ‚nh.

R(cid:226) r(cid:181)ng n(cid:213)u F, F (cid:48) : G → G(cid:48) ﬁ(cid:229)ng lu'n th(cid:215) c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal c¶m sinh SF , SF (cid:48) : SG → SG(cid:48) l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng lu'n. Ng›(cid:238)c l„i, n(cid:213)u F, F (cid:48) cª SF , SF (cid:48) l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng lu'n th(cid:215) c‚c h(cid:238)p th(cid:181)nh E = H (cid:48)(SF )G v(cid:181) E(cid:48) = H (cid:48)(SF (cid:48))G ﬁ(cid:229)ng lu'n, v(cid:237)i H (cid:48), G l(cid:181) c‚c t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal ch(cid:221)nh t(cid:190)c. C‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal E, E(cid:48) l˙n l›(cid:238)t ﬁ(cid:229)ng lu'n v(cid:237)i F, F (cid:48). Bºi v¸y, F v(cid:181) F (cid:48) ﬁ(cid:229)ng lu'n. §i(cid:210)u n(cid:181)y chłng tÆ Ω l(cid:181) mØt ﬁ‹n ‚nh.

N(cid:213)u K = (ϕ, f, g) : SG → SG(cid:48) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal th(cid:215) c‚i h(cid:238)p th(cid:181)nh

F = H (cid:48)KG : G → G(cid:48)

l(cid:181) h(cid:181)m t(cid:246) monoidal cª SF = K, ngh(cid:220)a l(cid:181) Ω l(cid:181) to(cid:181)n ‚nh. B'y giŒ, song ‚nh (2.3) l(cid:181) h(cid:238)p th(cid:181)nh cæa song ‚nh i) (§(cid:222)nh l(cid:253) 2.6) v(cid:181) song ‚nh (2.4).

Do §(cid:222)nh l(cid:253) 2.7 ta cª th(cid:211) ﬁ‹n gi¶n hªa b(cid:181)i to‚n ph'n l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng c‚c nhªm ph„m

tr(cid:239) b»ng vi(cid:214)c ph'n l(cid:237)p c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) cª chung (theo ngh(cid:220)a sai kh‚c mØt ﬁ…ng c˚u) hai

b˚t bi(cid:213)n ﬁ˙u ti“n. §i(cid:210)u n(cid:181)y ﬁ• ﬁ›(cid:238)c thøc hi(cid:214)n bºi H. X. S(cid:221)nh trong [50]. Tuy nhi“n, º ﬁ'y

ch(cid:243)ng t«i tr(cid:215)nh b(cid:181)y chi ti(cid:213)t k(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y døa theo c‚c k(cid:213)t qu¶ vıa n“u tr“n.

Cho nhªm Π v(cid:181) Π-m«ﬁun A. Ta nªi nhªm ph„m tr(cid:239) G cª ti(cid:210)n ﬁ(cid:221)nh ki(cid:211)u (Π, A) n(cid:213)u t(cid:229)n t„i c˘p ﬁ…ng c˚u nhªm p : Π → π0G, q : A → π1G t›‹ng th(cid:221)ch v(cid:237)i t‚c ﬁØng cæa m«ﬁun q(su) = p(s)q(u), v(cid:237)i s ∈ Π, u ∈ A.

C˘p (cid:15) = (p, q) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt ti(cid:210)n ﬁ(cid:221)nh ki(cid:211)u (Π, A) ﬁŁi v(cid:237)i nhªm ph„m tr(cid:239) G.

(cid:45)F0

(cid:45)F1

MØt m(cid:242)i t“n gi(cid:247)a hai nhªm ph„m tr(cid:239) G, G(cid:48) cª ti(cid:210)n ﬁ(cid:221)nh ki(cid:211)u (Π, A) (v(cid:237)i c‚c ti(cid:210)n ﬁ(cid:221)nh (cid:15) = (p, q), (cid:15)(cid:48) = (p(cid:48), q(cid:48)) t›‹ng łng) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) : G → G(cid:48) sao cho c‚c tam gi‚c sau giao ho‚n

(cid:64)(cid:64)(cid:73) p

(cid:64)(cid:64)(cid:73) q

(cid:0)(cid:0)(cid:18) p(cid:48)

(cid:0)(cid:0)(cid:18) q(cid:48)

(cid:64)

(cid:0)

(cid:64)

(cid:0)

π1G π0G π1G(cid:48) π0G(cid:48)

Π A

trong ﬁª F0, F1 l(cid:181) hai ﬁ(cid:229)ng c˚u c¶m sinh tı (F, (cid:101)F ).

R(cid:226) r(cid:181)ng, tı ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a ta suy ra ngay r»ng F0, F1 l(cid:181) nh(cid:247)ng ﬁ…ng c˚u v(cid:181) do ﬁª F l(cid:181) mØt

t›‹ng ﬁ›‹ng. K(cid:253) hi(cid:214)u

CG[Π, A]

l(cid:181) t¸p c‚c l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng cæa c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ti(cid:210)n ﬁ(cid:221)nh ki(cid:211)u (Π, A).

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.8. (§(cid:222)nh l(cid:253) 1, trang 196 [50]) T(cid:229)n t„i mØt song ‚nh:

Γ : CG[Π, A] → H 3(Π, A),

∗ p∗hG.

[G] (cid:55)→ q−1

Chłng minh. Theo §(cid:222)nh l(cid:253) 2.7 m(cid:231)i nhªm ph„m tr(cid:239) G x‚c ﬁ(cid:222)nh duy nh˚t mØt ph˙n t(cid:246) hG ∈ H 3(π0G, π1G), v(cid:181) do ﬁª x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt ph˙n t(cid:246)

∗ p∗hG ∈ H 3(Π, A).

εhG = q−1

B'y giŒ, n(cid:213)u F : G → G(cid:48) l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n gi(cid:247)a hai nhªm ph„m tr(cid:239) ti(cid:210)n ﬁ(cid:221)nh ki(cid:211)u (Π, A) th(cid:215) h(cid:181)m t(cid:246) monoidal c¶m sinh SF = (ϕ, f, gF ) thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n

ϕ∗hG(cid:48) = f∗hG.

Khi ﬁª d(cid:212) d(cid:181)ng suy ra ε(cid:48)hG(cid:48) = εhG.

§i(cid:210)u n(cid:181)y chłng tÆ Γ l(cid:181) mØt ‚nh x„. H‹n n(cid:247)a, nª l(cid:181) mØt ﬁ‹n ‚nh. Th¸t v¸y, n(cid:213)u cª Γ[G] = Γ[G(cid:48)] th(cid:215) ε(cid:48)(hG(cid:48)) − ε(hG) = ∂g. Do ﬁª t(cid:229)n t„i h(cid:181)m t(cid:246) monoidal J ki(cid:211)u (id, id) tı J = (Π, A, ε(hG)) ﬁ(cid:213)n J(cid:48) = (Π, A, ε(cid:48)(hG(cid:48))). C‚i h(cid:238)p th(cid:181)nh

H (cid:48) → G(cid:48)

G G→ SG → J J→ J(cid:48) ε(cid:48) ε−1 → SG(cid:48)

chłng tÆ [G] = [G(cid:48)], v(cid:181) Γ l(cid:181) ﬁ‹n ‚nh. Hi(cid:211)n nhi“n Γ l(cid:181) to(cid:181)n ‚nh.

2.3 Ph'n l(cid:237)p c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n

Trong m(cid:244)c n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i sˇ s(cid:246) d(cid:244)ng §(cid:222)nh l(cid:253) 2.6 ﬁ(cid:211) chłng minh ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p cho

ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n.

Cho nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n B = (B, ⊗, I, a, l, r, c). Khi ﬁª t¸p M = π0B c‚c l(cid:237)p v¸t ﬁ…ng c˚u cæa B l(cid:181) mØt nhªm aben v(cid:237)i ph—p to‚n c¶m sinh bºi t(cid:221)ch ⊗, v(cid:181) t¸p N = π1B c‚c tø ﬁ…ng c˚u cæa v¸t ﬁ‹n v(cid:222) I l(cid:181) mØt nhªm aben v(cid:237)i ph—p h(cid:238)p th(cid:181)nh (xem [21]). Ta x'y døng ph„m tr(cid:239) SB cª c‚c v¸t l(cid:181) c‚c ph˙n t(cid:246) cæa nhªm π0B v(cid:181) c‚c m(cid:242)i t“n l(cid:181) nh(cid:247)ng tø ﬁ…ng c˚u (x, a) : x → x, trong ﬁª x ∈ π0B, a ∈ π1B. H(cid:238)p th(cid:181)nh cæa hai m(cid:242)i t“n ﬁ›(cid:238)c c¶m sinh bºi ph—p cØng trong π1B : (x, a) ◦ (x, b) = (x, a + b). Ph—p to‚n ⊗ ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh nh› sau

x ⊗ y = x.y, x, y ∈ π0B,

(x, a) ⊗ (y, b) = (xy, a + b), a, b ∈ π1B.

C‚c r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222) trong SB l(cid:181) ch˘t chˇ. C‚c r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p v(cid:181) b(cid:214)n cæa SB cª d„ng

(cid:45)iXx⊗Xy

t›‹ng łng l(cid:181) ax,y,z = (xyz, h(x, y, z)) v(cid:181) cx,y = (xy, η(x, y)), trong ﬁª b(cid:214)n c¶m sinh (•, η) ﬁ›(cid:238)c cho bºi bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) giao ho‚n sau (trong ﬁª (Xx, iX) l(cid:181) mØt ﬁ(cid:221)nh cæa nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n B theo ngh(cid:220)a º m(cid:244)c 1.1.2)

(η(x,y))

γXxy

(cid:45)iXy ⊗Xx

(cid:63) Xy ⊗ Xx

(cid:63) Xyx.

Xx ⊗ Xy Xxy

Do c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n kh(cid:237)p (1.1), (1.4), (1.5) cæa mØt ph„m tr(cid:239) monoidal b(cid:214)n n“n c˘p (h, η) nh›

v¸y thÆa m•n c‚c h(cid:214) thłc:

h(y, z, t) − h(x + y, z, t) + h(x, y + z, t) − h(x, y, z + t) + h(x, y, z) = 0,

h(x, y, z) − h(y, x, z) + h(y, z, x) + η(x, y + z) − η(x, y) − η(x, z) = 0,

h(x, y, z) − h(x, z, y) + h(z, x, y) − η(x + y, z) + η(y, z) + η(x, z) = 0.

Do t(cid:221)nh t›‹ng th(cid:221)ch cæa r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p v(cid:237)i r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222) ch˘t chˇ trong SB n“n h(cid:181)m

h thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n chu¨n t(cid:190)c:

h(1, y, z) = h(x, 1, z) = h(x, y, 1) = 0,

ngh(cid:220)a l(cid:181) c˘p (h, η) l(cid:181) mØt 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh aben cæa nhªm π0B l˚y h(cid:214) t(cid:246) trong π1B theo ngh(cid:220)a trong [25]. Ta k(cid:253) hi(cid:214)u SB = (M, N, h, η) v(cid:181) g(cid:228)i l(cid:181) mØt thu g(cid:228)n cæa nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n B. H‹n n(cid:247)a, khi ﬁª (H, (cid:101)H), (G, (cid:101)G) x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi (1.3) l(cid:181) nh(cid:247)ng t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal b(cid:214)n.

Gi¶ s(cid:246) S = (M, N, h, η), S(cid:48) = (M (cid:48), N (cid:48), h(cid:48), η(cid:48)) l(cid:181) nh(cid:247)ng nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n. Tı M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.5 suy ra m(cid:231)i h(cid:181)m t(cid:246) F : S → S(cid:48) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) ki(cid:211)u (ϕ, f ), ngh(cid:220)a l(cid:181) cª c˘p ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm ϕ : M → M (cid:48), f : N → N (cid:48) thÆa m•n

F (x) = ϕ(x), F (x, a) = (ϕ(x), f (a)).

x, i(cid:48)

X) thay cho ﬁ(cid:221)nh (Xx, iX) th(cid:215) 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh t›‹ng łng

N(cid:213)u trong B ta ch(cid:228)n ﬁ(cid:221)nh (X (cid:48)

(h(cid:48), η(cid:48)) thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (h(cid:48), η(cid:48)) − (h, η) = δg, v(cid:237)i 3-ﬁŁi bŒ δg ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

δg(x, y, z) = g(y, z) − g(x + y, z) + g(x, y + z) − g(x, y),

δg(x, y) = g(x, y) − g(y, x).

ab(π0B, π1B).

§i(cid:210)u n(cid:181)y chłng tÆ m(cid:231)i nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n B x‚c ﬁ(cid:222)nh duy nh˚t ph˙n t(cid:246) (h, η) ∈ H 3

Tı M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.4 d(cid:212) d(cid:181)ng suy ra.

H(cid:214) qu¶ 2.9. M(cid:231)i h(cid:181)m t(cid:246) monoidal b(cid:214)n (F, (cid:101)F ) : S → S(cid:48) l(cid:181) mØt bØ ba (ϕ, f, g), trong ﬁª

ϕ∗(h(cid:48), η(cid:48)) − f∗(h, η) = ∂ab(g).

V(cid:237)i nh(cid:247)ng chu¨n b(cid:222) tr“n, b'y giŒ ch(cid:243)ng ta cª th(cid:211) x‚c ﬁ(cid:222)nh ph„m tr(cid:239)

BGr

ab(M, N (cid:48)).

m(cid:181) v¸t cæa nª l(cid:181) c‚c bØ ba (M, N, (h, η)), v(cid:237)i (h, η) ∈ H 3 ab(M, N ). M(cid:242)i t“n (ϕ, f ) : BGr l(cid:181) c˘p (ϕ, f ) sao cho t(cid:229)n t„i g : M 2 → (M, N, (h, η)) → (M (cid:48), N (cid:48), (h(cid:48), η(cid:48))) trong H3 N (cid:48) ﬁ(cid:211) (ϕ, f, g) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal b(cid:214)n (M, N, (h, η)) → (M (cid:48), N (cid:48), (h(cid:48), η(cid:48))), ngh(cid:220)a l(cid:181) ϕ∗(h(cid:48), η(cid:48)) = f∗(h, η) ∈ H 3

K(cid:253) hi(cid:214)u

BCG

l(cid:181) ph„m tr(cid:239) cª v¸t l(cid:181) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n v(cid:181) m(cid:242)i t“n l(cid:181) c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal b(cid:214)n, ch(cid:243)ng

t«i ph‚t bi(cid:211)u ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p d›(cid:237)i ﬁ'y, m(cid:181) ph—p chłng minh cæa nª thu ﬁ›(cid:238)c tı H(cid:214) qu¶ 2.9

v(cid:181) tı ph—p chłng minh c‚c §(cid:222)nh l(cid:253) 2.7, §(cid:222)nh l(cid:253) 2.8 v(cid:237)i nh(cid:247)ng ﬁi(cid:210)u ch(cid:216)nh th(cid:221)ch h(cid:238)p. §(cid:222)nh

l(cid:253) n(cid:181)y l(cid:181) mØt phi“n b¶n cæa M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 14 [21], v(cid:237)i nh(cid:247)ng thay ﬁ(cid:230)i t›‹ng tø nh› §(cid:222)nh l(cid:253) 2.7.

BGr

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.10. [§(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p] T(cid:229)n t„i mØt h(cid:181)m t(cid:246) ph'n l(cid:237)p

d : BCG → B

H3 (cid:55)→ (π0B, π1B, (h, η)B) (cid:55)→ (F0, F1) (F, (cid:101)F )

cª c‚c t(cid:221)nh ch˚t sau:

i) dF l(cid:181) mØt ﬁ…ng c˚u khi v(cid:181) ch(cid:216) khi F l(cid:181) mØt t›‹ng ﬁ›‹ng.

ii) d l(cid:181) mØt to(cid:181)n ‚nh tr“n t¸p c‚c v¸t. iii) d l(cid:181) ﬁ˙y ﬁæ nh›ng kh«ng trung th(cid:181)nh. V(cid:237)i (ϕ, f ) : dB → dB(cid:48) th(cid:215)

(ϕ,f )[B, B(cid:48)] ∼= H 2

ab(π0B, π1B(cid:48)),

(ϕ,f )[B, B(cid:48)] l(cid:181) t¸p c‚c l(cid:237)p ﬁ(cid:229)ng lu'n cæa c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal b(cid:214)n tı B ﬁ(cid:213)n

HomBr

trong ﬁª HomBr B(cid:48) c¶m sinh c˘p (ϕ, f ) .

K(cid:253) hi(cid:214)u

BCG[M, N ]

l(cid:181) t¸p c‚c l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng cæa c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ti(cid:210)n ﬁ(cid:221)nh ki(cid:211)u (M, N ). Khi ﬁª, s(cid:246)

d(cid:244)ng H(cid:214) qu¶ 2.9 ta cª th(cid:211) chłng minh ﬁ›(cid:238)c k(cid:213)t qu¶ t›‹ng tø nh› §(cid:222)nh l(cid:253) 2.8.

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.11. T(cid:229)n t„i mØt song ‚nh

ab(M, N ),

Γ : BCG[M, N ] → H 3

∗ p∗(h, η)B.

[B] (cid:55)→ q−1

º ﬁ'y, ch(cid:243)ng t«i b(cid:181)n lu¸n v(cid:210) mØt k(cid:213)t qu¶ ph'n l(cid:237)p kh‚c cæa A. Joyal v(cid:181) R. Street. Trong

[22] c‚c t‚c gi¶ ﬁ• ph'n l(cid:237)p c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n bºi c‚c ‚nh x„ to(cid:181)n ph›‹ng m(cid:181) ta cª

th(cid:211) nªi tªm t(cid:190)t nh› sau.

‚nh x„ ν : M → N gi(cid:247)a hai nhªm aben ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ‚nh x„ to(cid:181)n ph›‹ng theo ngh(cid:220)a:

ab(M, N ) l(cid:181) ‚nh x„

h(cid:181)m h(x, y) = ν(x) + ν(y) − ν(x + y) l(cid:181) song tuy(cid:213)n t(cid:221)nh v(cid:181) ν(−x) = ν(x). V(cid:213)t cæa mØt 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh aben (h, η) ∈ Z 3

tη : M → N, tη(x) = η(x, x).

Nª l(cid:181) mØt ‚nh x„ to(cid:181)n ph›‹ng, v(cid:181) S. Eilenberg - S. MacLane [19, 25] ﬁ• chłng minh r»ng

v(cid:213)t x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt ﬁ…ng c˚u

ab(M, N ) ∼= Quad(M, N ), [(h, η)] (cid:55)→ tη,

H 3 (2.5)

trong ﬁª Quad(M, N ) l(cid:181) nhªm aben c‚c ‚nh x„ to(cid:181)n ph›‹ng tı M v(cid:181)o N . K(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y

ﬁªng vai tr(cid:223) c‹ b¶n trong ph—p chłng minh §(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p (§(cid:222)nh l(cid:253) 3.3 [22]) cæa A. Joyal v(cid:181) R. Street. H(cid:228) ﬁ• ch(cid:216) ra r»ng, m(cid:231)i nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n B x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt h(cid:181)m to(cid:181)n ph›‹ng qB : π0B → π1B, v(cid:181) tı ﬁª g(cid:228)i Quad l(cid:181) ph„m tr(cid:239) cª c‚c v¸t l(cid:181) (M, N, t), trong ﬁª t l(cid:181) c‚c ‚nh x„ to(cid:181)n ph›‹ng t : M → N gi(cid:247)a hai nhªm aben M, N v(cid:181) c‚c m(cid:242)i t“n (ϕ, f ) : (M, N, t) → (M (cid:48), N (cid:48), t(cid:48)) bao g(cid:229)m c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u ϕ, f tho¶ m•n h(cid:215)nh vu«ng giao

(cid:45)ϕ

ho‚n

(cid:45)f

(cid:63) N

t(cid:48) (cid:63) N (cid:48).

M M (cid:48)

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.12 (§(cid:222)nh l(cid:253) 3.3 [22] ). H(cid:181)m t(cid:246)

Quad

T : BCG → B (cid:55)→ (π0B, π1B, qB)

cª c‚c t(cid:221)nh ch˚t sau: i) V(cid:237)i m(cid:231)i v¸t Q cæa Quad, t(cid:229)n t„i mØt v¸t B cæa BCG v(cid:181) mØt ﬁ…ng c˚u T (B) ∼= Q; ii) V(cid:237)i b˚t kœ ﬁ…ng c˚u ρ : T (B) ∼→ T (B(cid:48)) cæa Quad, t(cid:229)n t„i mØt t›‹ng ﬁ›‹ng F : B → B(cid:48) sao cho T (F ) = ρ, v(cid:181)

iii) T (F ) l(cid:181) ﬁ…ng c˚u n(cid:213)u v(cid:181) ch(cid:216) n(cid:213)u F l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng.

Ch(cid:243)ng ta th˚y r»ng ﬁ…ng c˚u (2.5) c¶m sinh mØt ﬁ…ng c˚u gi(cid:247)a c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n

BGr → Quad

V : H3

(M, N, (h, η)) (cid:55)→ (M, N, tη)

(ϕ, f ) (cid:55)→ (ϕ, f )

v(cid:181) T ch(cid:221)nh l(cid:181) c‚i h(cid:238)p th(cid:181)nh

V→ Quad.

BGr

2.4 Ph'n l(cid:237)p c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ph'n b¸c bºi h(cid:214) nh'n

t(cid:246)

BCG d→ H3

B(cid:181)i to‚n ph'n l(cid:237)p cho c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c, nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ph'n b¸c, v(cid:181)

tr›Œng h(cid:238)p ri“ng cæa nª l(cid:181) c‚c ph„m tr(cid:239) Picard ph'n b¸c ﬁ• ﬁ›(cid:238)c gi¶i quy(cid:213)t tr(cid:228)n v(cid:209)n l˙n

l›(cid:238)t trong [14], [17], [18] bºi A. M. Cegarra v(cid:181) c‚c ﬁ(cid:229)ng t‚c gi¶. Trong m(cid:231)i tr›Œng h(cid:238)p,

c‚c t‚c gi¶ tr“n ﬁ• x'y døng mØt l(cid:253) thuy(cid:213)t ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u Γ-to‚n t(cid:246) th(cid:221)ch h(cid:238)p v(cid:181) ph'n l(cid:237)p

c‚c ph„m tr(cid:239) ﬁang x—t bºi c‚c 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh t›‹ng łng.

Trong [34], N. T. Quang ﬁ• gi(cid:237)i thi(cid:214)u mØt c‚ch ti(cid:213)p c¸n kh‚c cho b(cid:181)i to‚n ph'n l(cid:237)p

ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c døa tr“n ph›‹ng ph‚p h(cid:214) nh'n t(cid:246). Theo [13], m(cid:231)i

nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ﬁ›(cid:238)c xem nh› mØt mº rØng cæa mØt nhªm ph„m tr(cid:239) bºi nhªm

Γ. Do m(cid:231)i nhªm ph„m tr(cid:239) l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ki(cid:211)u (Π, A) n“n n¶y sinh

mØt c'u hÆi tø nhi“n l(cid:181): m(cid:231)i nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c cª t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i mØt Γ-mº rØng

cæa mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ki(cid:211)u (Π, A) hay kh«ng? N(cid:213)u c'u tr¶ lŒi l(cid:181) kh…ng ﬁ(cid:222)nh th(cid:215) b(cid:181)i to‚n

ph'n l(cid:237)p cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c thøc hi(cid:214)n mØt c‚ch ﬁ‹n gi¶n h‹n tr“n c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c

ki(cid:211)u n(cid:181)y.

Trong ph˙n n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i ‚p d(cid:244)ng ph›‹ng ph‚p nªi tr“n cho ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm ph„m

tr(cid:239) b(cid:214)n Γ-ph'n b¸c. Ch(cid:243)ng t«i ﬁ• chłng tÆ ﬁ›(cid:238)c r»ng cª mØt ﬁ…ng c˚u gi(cid:247)a ph„m tr(cid:239) c‚c

nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n Γ-ph'n b¸c v(cid:181) ph„m tr(cid:239) c‚c h(cid:214) nh'n t(cid:246) tr“n Γ, l˚y h(cid:214) t(cid:246) trong ph„m tr(cid:239)

c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ki(cid:211)u (M, N ).

Tr›(cid:237)c h(cid:213)t, ch(cid:243)ng t«i nh(cid:190)c l„i theo A. M. Cegarra [13] r»ng: MØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) (chu¨n t(cid:190)c) F tr“n Γ v(cid:237)i c‚c h(cid:214) t(cid:246) trong mØt ph„m tr(cid:239) monoidal C (hay mØt gi¶ h(cid:181)m t(cid:246) tı Γ t(cid:237)i ph„m tr(cid:239) c‚c ph„m tr(cid:239) monoidal theo ngh(cid:220)a cæa A. Grothendieck [47]) bao g(cid:229)m mØt h(cid:228) c‚c tø t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal F σ : C → C, σ ∈ Γ, v(cid:181) c‚c ﬁ…ng c˚u h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ησ,τ : F σF τ → F στ , σ, τ ∈ Γ, thÆa m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n:

ησ,τ F γ −−−−→ F στ F γ

i) F 1 = idC, ii) η1,σ = idF σ = ησ,1, σ ∈ Γ, iii) v(cid:237)i m(cid:228)i σ, τ, γ ∈ Γ, bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau giao ho‚n

F σητ,γ

(2.6)  .  (cid:121)ηστ,γ

ησ,τ γ −−−→ F στ γ.

F σF τ F γ   (cid:121) F σF τ γ

Ta vi(cid:213)t F = (C, F σ, ησ,τ ).

V(cid:237)i m(cid:231)i nhªm Γ v(cid:181) mØt ph„m tr(cid:239) C, ta g(cid:228)i

Psd(Γ, C)

l(cid:181) ph„m tr(cid:239) cæa c‚c h(cid:214) nh'n t(cid:246) (chu¨n t(cid:190)c) tı Γ ﬁ(cid:213)n C.

Ch(cid:243)ng ta m« t¶ chi ti(cid:213)t ph„m tr(cid:239) Psd(Γ, BCG). C‚c v¸t cæa nª l(cid:181) c‚c h(cid:214) nh'n t(cid:246)

F : Γ → BCG tı Γ t(cid:237)i ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n. H(cid:214) nh'n t(cid:246) F bi(cid:213)n v¸t duy nh˚t ∗ cæa Γ th(cid:181)nh mØt nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n B. V(cid:237)i m(cid:231)i σ ∈ Γ th(cid:215) F σ = (F σ, (cid:101)F σ, (cid:98)Fσ) : B → B l(cid:181) mØt tø t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal b(cid:214)n. V(cid:237)i m(cid:231)i σ, τ ∈ Γ th(cid:215) ησ,τ : F σF τ → F στ l(cid:181) mØt ﬁ…ng

c˚u gi(cid:247)a c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal b(cid:214)n thÆa m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n i), ii), iii) º tr“n.

N(cid:213)u F = (B, F σ, ησ,τ ), F (cid:48) = (B(cid:48), F (cid:48)σ, η(cid:48)σ,τ ) l(cid:181) hai h(cid:214) nh'n t(cid:246) cæa c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n th(cid:215) mØt ph—p bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i b(cid:214)n (T, ψ) : F → F (cid:48) gi(cid:247)a c‚c h(cid:214) nh'n t(cid:246) g(cid:229)m h(cid:181)m t(cid:246) monoidal b(cid:214)n T : B → B(cid:48) v(cid:181) h(cid:228) ﬁ…ng c˚u ψσ : T F σ → F (cid:48)σT (σ ∈ Γ) sao cho:

T ησ,τ

(cid:45)

i) ψ1 = idT , ii) v(cid:237)i m(cid:231)i c˘p σ, τ ∈ Γ, bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau giao ho‚n

ψσF τ

T F σF τ T F στ

(cid:45)F (cid:48)σψτ

(cid:45)η(cid:48)σ,τ T

(cid:63) F (cid:48)σT F τ

(2.7)

ψστ (cid:63) F (cid:48)στ T.

F (cid:48)σF (cid:48)τ T

K(cid:253) hi(cid:214)u ΓBCG l(cid:181) ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n Γ-ph'n b¸c. §(cid:211) ph‚t bi(cid:211)u v(cid:181) chłng minh ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p cho ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n Γ-ph'n b¸c bºi c‚c h(cid:214) nh'n t(cid:246),

ta nh(cid:190)c l„i r»ng mØt h(cid:181)m t(cid:246) Φ : C → C(cid:48) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt ﬁ…ng c˚u ph„m tr(cid:239) n(cid:213)u Φ l(cid:181) mØt song ‚nh tr“n t¸p c‚c v¸t v(cid:181) t¸p c‚c m(cid:242)i t“n.

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.13. V(cid:237)i m(cid:231)i nhªm Γ, t(cid:229)n t„i mØt ﬁ…ng c˚u

Ω : ΓBCG (cid:39) Psd(Γ, BCG).

Chłng minh. B›(cid:237)c 1. V(cid:237)i m(cid:231)i nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n Γ-ph'n b¸c (B, gr), ta x'y døng h(cid:214) nh'n t(cid:246) FB : Γ → BCG nh› sau.

FB bi(cid:213)n v¸t duy nh˚t ∗ cæa Γ th(cid:181)nh nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n KerB. V(cid:237)i m(cid:231)i X ∈ KerB, do X : X ∼→ F σ(X). §˘c bi(cid:214)t, X = idX. V(cid:215) v¸y, ta cª h(cid:181)m t(cid:246) F σ : KerB → KerB, trong ﬁª v(cid:237)i m(cid:231)i m(cid:242)i

Υσ

X−−−→ F σ(X)

ph'n b¸c gr l(cid:181) (cid:230)n ﬁ(cid:222)nh n“n t(cid:229)n t„i m(cid:242)i t“n ﬁ…ng c˚u b¸c σ, Υσ F 1(X) = X v(cid:181) Υ1 t“n f : X → Y cæa KerB th(cid:215) F σ(f ) ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh duy nh˚t bºi bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) giao ho‚n sau

Υσ

(2.8) X   (cid:121)   (cid:121)F σ(f )

Y−−−→ F σ(Y ).

X,Y : F σ(X) ⊗ F σ(Y ) ∼−→ F σ(X ⊗ Y ) ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh duy nh˚t

§…ng c˚u tø nhi“n (cid:101)F σ

(cid:101)F σ

X,Y

bºi t(cid:221)nh giao ho‚n cæa c‚c bi(cid:211)u ﬁ(cid:229):

F σ(X ⊗ Y )

(cid:45) (cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:42) Υσ

Υσ

(cid:8)(cid:8)

(cid:72)(cid:72)

X⊗Y

(2.9) F σ(X) ⊗ F σ(Y ) (cid:72)(cid:72)(cid:72)(cid:89) X ⊗Υσ Y X ⊗ Y.

H‹n n(cid:247)a, v(cid:237)i m(cid:231)i c˘p σ, τ ∈ Γ, ﬁ…ng c˚u gi(cid:247)a c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ησ,τ : F σF τ ∼−→ F στ

Υτ

X−−−→ F τ (X)

Υσ

F τ (X)

ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi t(cid:221)nh giao ho‚n cæa bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau, v(cid:237)i m(cid:228)i X ∈ Ob B

Υστ X

ησ,τ

(2.10) X   (cid:121)   (cid:121)

X←−−− F σF τ (X).

F στ (X)

D(cid:212) th˚y η1,σ = idF σ = ησ,1. T(cid:221)nh t›‹ng th(cid:221)ch cæa (F σ, (cid:101)F σ) v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p a v(cid:181) b(cid:214)n c l˙n l›(cid:238)t ﬁ›(cid:238)c suy

(cid:27) (cid:102)F σ

(cid:27)(cid:102)F σ⊗F σ(Z)

ra tı t(cid:221)nh giao ho‚n cæa v(cid:223)ng ngo(cid:181)i c(cid:239)ng c‚c bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau.

F σ((XY )Z) (F σ(X)F σ(Y ))F σ(Z)

(cid:72)(cid:72)(cid:72)(cid:89)

(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:42)

(2.9)

(cid:72)(cid:72)(cid:72)

(cid:8)(cid:8)(cid:8)

Υ⊗Υ

(Υ⊗Υ)⊗Υ

(cid:72)(cid:72)(cid:72)

(cid:8)(cid:8)(cid:8)

(cid:72)

(cid:8)

F σ(XY )F σ(Z) (cid:54)

F σ(a)

(2.8)

(∗)

(cid:63) X(Y Z)

(cid:8)(cid:8)

(cid:72)(cid:72)

Υ⊗(Υ⊗Υ)

(cid:8)(cid:8)(cid:8)

(cid:72)(cid:72)(cid:72)

Υ⊗Υ

(2.9)

(cid:72)(cid:72)(cid:106)

(cid:8)(cid:8)(cid:8) (cid:27)

(cid:27)

(cid:8)(cid:8)(cid:25) (cid:63) F σ(X(Y Z))

(cid:63) F σ(X)F σ(Y Z)

(cid:72)(cid:72)(cid:72) (cid:63) F σ(X)(F σ(Y )F σ(Z)),

(cid:102)F σ

F σ(X)⊗ (cid:102)F σ

(XY )Z

(∗∗)

(cid:45) (cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:42)

(cid:72)(cid:72)(cid:72)(cid:89) Υ⊗Υ (cid:72)

Υ⊗Υ (cid:8)

(cid:45)c

(2.9)

F σ(X)F σ(Y ) F σ(Y )F σ(X)

(cid:102)F σ

(cid:8)(cid:8)

(cid:8)(cid:8)(cid:25) Υ

(2.8)

(cid:72)(cid:72) (cid:72)(cid:72)(cid:106)Υ (cid:45)

(cid:63) F σ(XY )

(cid:63) F σ(Y X),

F σ(c)

XY Y X

trong ﬁª, c‚c mi(cid:210)n (*), (**) giao ho‚n l˙n l›(cid:238)t do t(cid:221)nh tø nhi“n cæa a v(cid:181) c.

Tı (2.8) v(cid:181) (2.10) ta cª c‚c ﬁ…ng thłc sau

F τ F γ .Υτ F τ F γ .Υτ

F γ .Υγ, F γ .Υγ.

X l(cid:181) c‚c ﬁ…ng c˚u n“n ta suy ra: ηστ,γ.ησ,τ F γ = ησ,τ γ.F σητ,γ. Do

Υ(στ )γ = (ηστ,γ.ησ,τ F γ).Υσ Υσ(τ γ) = (ησ,τ γ.F σητ,γ).Υσ

V(cid:215) Υ(στ )γ = Υσ(τ γ), Υσ v¸y, FB l(cid:181) mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246).

B›(cid:237)c 2. X'y døng nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n Γ-ph'n b¸c BF li“n k(cid:213)t v(cid:237)i h(cid:214) nh'n t(cid:246) F =

(a,σ) → Y

(B, F σ, ησ,τ ) : Γ → BCG.

V¸t cæa BF l(cid:181) v¸t cæa B. M(cid:242)i t“n X → Y trong BF l(cid:181) c˘p (a, σ), trong ﬁª F σX a→ Y (b,τ ) → Z l(cid:181) m(cid:242)i t“n (c, τ σ) : X → Z,

F τ (a) −−−→ F τ (Y )

ητ,σ X

l(cid:181) m(cid:242)i t“n trong B. V(cid:237)i σ, τ ∈ Γ th(cid:215) h(cid:238)p th(cid:181)nh X v(cid:237)i c ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt c‚ch tø nhi“n theo bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) giao ho‚n sau:

F τ F σ(X)   (cid:121) F τ σ(X)   (cid:121)b c−−−→ Z,

ngh(cid:220)a l(cid:181),

X , τ σ).

(b, τ ) ◦ (a, σ) = (b ◦ F τ (a) ◦ (ησ,τ )−1

Tı c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n chu¨n t(cid:190)c v(cid:181) ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁŁi chu tr(cid:215)nh ta suy ra ﬁ›(cid:238)c ph—p h(cid:238)p th(cid:181)nh cæa

c‚c m(cid:242)i t“n trong BF cª t(cid:221)nh k(cid:213)t h(cid:238)p v(cid:181) ﬁ‹n v(cid:222). H(cid:181)m t(cid:246) ph'n b¸c gr : BF → Γ cho bºi

(a,σ) → Y ) (cid:55)→ σ.

X (cid:55)→ ∗, (X

T(cid:221)ch tenx‹ gi(cid:247)a c‚c v¸t trong BF ch(cid:221)nh l(cid:181) t(cid:221)ch tenx‹ trong B, t(cid:221)ch tenx‹ gi(cid:247)a c‚c m(cid:242)i t“n trong BF ﬁ›(cid:238)c cho bºi

(a,σ) → X (cid:48)) ⊗ (Y

(b,σ) → Y (cid:48)) = (X ⊗ Y

(d,σ) → X (cid:48) ⊗ Y (cid:48)),

( (cid:101)F σ)−1

trong ﬁª d l(cid:181) h(cid:238)p th(cid:181)nh

d : F σ(X ⊗ Y ) → F σX ⊗ F σY a⊗b→ X (cid:48) ⊗ Y (cid:48).

H(cid:181)m t(cid:246) ﬁ‹n v(cid:222) Γ-ph'n b¸c

I : Γ → BF ∗ (cid:55)→ I

( (cid:98)F σ,1) → F σ(I)).

σ (cid:55)→ (I

C‚c r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p, b(cid:214)n Γ-ph'n b¸c a, c l˙n l›(cid:238)t ﬁ›(cid:238)c cho bºi

aX,Y,Z = (aX,Y,Z, 1) : (XY )Z → X(Y Z),

cX,Y = (cX,Y , 1) : XY → Y X,

trong ﬁª aX,Y,Z, cX,Y l˙n l›(cid:238)t l(cid:181) c‚c ﬁ…ng c˚u k(cid:213)t h(cid:238)p, b(cid:214)n trong B.

C‚c r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222) Γ-ph'n b¸c l, r cho bºi

lX = (lX, 1) : I ⊗ X → X,

rX = (rX, 1) : X ⊗ I → X,

trong ﬁª lX, rX l(cid:181) c‚c r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222) trong B.

B›(cid:237)c 3. X'y døng h(cid:181)m t(cid:246) monoidal b(cid:214)n ph'n b¸c (K, (cid:101)K) : B → B(cid:48) c¶m sinh bºi ph—p bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i b(cid:214)n (T, ψ) : FB → FB(cid:48) gi(cid:247)a c‚c h(cid:214) nh'n t(cid:246), trong ﬁª FB = (B, F σ, ησ,τ ), FB(cid:48) = (B(cid:48), F (cid:48)σ, η(cid:48)σ,τ ).

(cid:45)

Ta ﬁ˘t F (X) = T (X) v(cid:181) F (f ) = T (f ) v(cid:237)i m(cid:228)i X ∈ ObB v(cid:181) m(cid:228)i m(cid:242)i t“n f b¸c 1 trong B. V(cid:237)i m(cid:242)i t“n f : X → Y b¸c σ trong B th(cid:215) ta cª mØt m(cid:242)i t“n b¸c 1, Y → F σ(X), ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) giao ho‚n sau:

(cid:64)

(cid:0)

Υσ X

(cid:64)

(cid:0)

(cid:0)(cid:0)(cid:9) (cid:64)(cid:64)(cid:82) F σ(X).

X Y

Υσ X ◦f −1 −→ F σ(X) l(cid:181) m(cid:242)i t“n b¸c 1 trong B. Khi ﬁª, m(cid:242)i t“n K(X)

K(f ) −−−→ K(Y ) ﬁ›(cid:238)c

V(cid:215) v¸y Y

(cid:45)K(f )

x‚c ﬁ(cid:222)nh duy nh˚t bºi bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) giao ho‚n sau

Υ(cid:48)σ

K(Υσ

K(X)

K(X) K(Y )

X ◦f −1)

(cid:63) KF σ(X).

(cid:63) F (cid:48)σK(X)

(cid:27) ψσ(X)

(2.11)

K ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh nh› tr“n l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal b(cid:214)n ph'n b¸c.

B›(cid:237)c 4. V(cid:237)i m(cid:231)i h(cid:181)m t(cid:246) monoidal b(cid:214)n ph'n b¸c K : (B, gr) → (B(cid:48), gr(cid:48)), ta x'y døng

ph—p bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i b(cid:214)n (T, ψ) : FB → FB(cid:48) gi(cid:247)a c‚c h(cid:214) nh'n t(cid:246) nh› sau.

ψσ(X)

(cid:45)

(cid:81)

(cid:17)

L˚y T : KerB → KerB(cid:48) l(cid:181) thu h(cid:209)p cæa K tr“n KerB. Th(cid:213) th(cid:215) T l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal b(cid:214)n. V(cid:237)i m(cid:231)i σ ∈ Γ, ﬁ…ng c˚u ψσ : T F σ → F (cid:48)σT ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh nhŒ t(cid:221)nh giao ho‚n cæa bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau

(cid:81)

(cid:17)

X )

T (X)

(2.12) T F σ(X) (cid:81)(cid:81)(cid:107) T (Υσ F (cid:48)σT (X) (cid:17)(cid:17)(cid:51) Υ(cid:48)σ

T (X).

T F σ(f )

(cid:45)

Khi ﬁª, t(cid:221)nh tø nhi“n cæa ψσ ﬁ›(cid:238)c suy ra tı bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) giao ho‚n sau.

T (Υσ

(2.8)

(cid:17)(cid:17)(cid:51)

Y ) (cid:17)

(cid:81)(cid:81)(cid:107) T (Υσ X ) (cid:81) (cid:81)

(cid:17)

(cid:45)T (f )

(2.12)

ψσ(X)

ψσ(Y )

T F σ(X) T F σ(Y )

(cid:81)

Υ(cid:48)σ

(2.8)

(cid:17) (cid:17) (cid:17)(cid:17)(cid:43) Υ(cid:48)σ

(cid:81)(cid:81)(cid:115)

T (X)

T (Y )

(cid:45)

(cid:63) F (cid:48)σT (X)

(cid:63) F (cid:48)σT (Y ).

F (cid:48)σT (f )

T (X) T (Y )

Ta cª ψ1(X) = idT (X) n“n ψ1 = idT .

T ησ,τ Z

(cid:45)

M˘t kh‚c, v(cid:223)ng ngo(cid:181)i cæa bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau giao ho‚n

T F στ (Z)

(cid:17)(cid:17)(cid:51)

T (Υσ

(2.10)

(cid:81)

(cid:17)

F τ (Z))

(cid:81)

(cid:17)

(cid:81)

T (Υστ Z ) (cid:17)

(2.12)

(cid:81)

(cid:17)

(cid:27) T (Υτ Z )

(cid:17)

(cid:81) T F τ (Z) (cid:19)

T F σF τ (Z) (cid:81)(cid:81)(cid:107)

(cid:17)

(2.12)

(cid:19)

(cid:83)

(2.12)

ψσ(F τ (Z))

ψστ (Z)

(cid:17)

(cid:19)

(cid:83)

(cid:17)

(cid:17) Υ(cid:48)τ

T (Z)

(cid:19)

(cid:83)

ψτ (Z) (cid:17)(cid:17)(cid:43)

Υ(cid:48)σ

Υ(cid:48)στ

(cid:19)

(cid:83)

T F τ (Z)

T (Z)

(cid:19)

(cid:83)

(cid:63) F (cid:48)τ T (Z)

(2.10)

(cid:19)

(cid:83)

(cid:19)

(cid:83)

(cid:19)

(cid:83)

Υ(cid:48)σ

(2.9)

F (cid:48)τ T (Z)

(cid:19)

(cid:83)

(cid:19)(cid:19)(cid:47)

(cid:83)(cid:83)(cid:119)

η(cid:48)σ,τ T (Z)

(cid:45)F (cid:48)σψτ (Z)

(cid:45)

(cid:63) F (cid:48)σT F τ (Z)

(cid:63) F (cid:48)σF (cid:48)τ T (Z)

(cid:63) F (cid:48)στ T (Z),

T (Z) (cid:83)

ngh(cid:220)a l(cid:181) (T, ψ) thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (2.7).

T F σ (X⊗Y )

(cid:45)

T F σ(X) ⊗ T F σ(Y )

T F σ(X ⊗ Y )

(∗)

T (cid:103)F σ

X,Y

(cid:101)TF σ (X),F σ (Y )

(cid:0)(cid:18)

(cid:64)(cid:73)

(cid:0)

(cid:64)

(cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:122)

(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:58)

(cid:0)

(cid:64)

T (Υσ

(2.9)

Y )

X )⊗T (Υσ

T (F σ(X) ⊗ F σ(Y ))

(cid:0)

(cid:64)

T Υσ

X⊗Y

(cid:0)

(cid:64)

X ⊗Υσ

Y )

(cid:0)

(cid:64)

(cid:72)(cid:72)(cid:72)(cid:72)(cid:89)

(∗∗)

(cid:64)

(cid:101)TX,Y

T (Υσ (cid:72)(cid:72) (cid:45)

(2.12)

ψσ (X)⊗ψσ (Y )

ψσ (X⊗Y )

(cid:0) T (X ⊗ Y )

T (X) ⊗ T (Y )

Υ(cid:48)σ

T (X)⊗T (Y )

(cid:64)

(cid:0)

(cid:72)(cid:72)

(cid:64)

(cid:0)

(cid:72)(cid:72)(cid:72)(cid:106)

Υ(cid:48)σ

(cid:64)

(cid:0)

T (X⊗Y )

T (X)⊗Υ(cid:48)σ

T (Y )

F (cid:48)σ(T (X) ⊗ T (Y ))

(cid:64)

(cid:0)

(2.9)

(cid:64)

(cid:0)

(cid:64)

(cid:0)

(∗)

F (cid:48)σ

(cid:103)F (cid:48)σ

(cid:64)(cid:82)

(cid:0)(cid:9)

(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:58)

(cid:63)

(cid:101)TX,Y

T (X),T (Y )

(cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:88)(cid:122)

(cid:45)

(cid:63) F (cid:48)σT (X) ⊗ F (cid:48)σT (Y )

F (cid:48)σT (X ⊗ Y ),

(cid:94)F (cid:48)σ T X,Y

CuŁi c(cid:239)ng, m(cid:228)i ψσ ﬁ(cid:210)u l(cid:181) monoidal do t(cid:221)nh giao ho‚n cæa c‚c bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau.

(cid:0)

(*)

(cid:64)

(cid:0)

= Υ(cid:48)σ

(cid:99)F (cid:48) (cid:64) (cid:64)(cid:82)

(2.9)

(cid:98)T (cid:0) (cid:0)(cid:9) T (I)

I (cid:64)

(cid:64)

(cid:91)T F σ

T (cid:99)F σ

F (cid:48)σ (cid:98)T (cid:92)F (cid:48)σT

(cid:64)

(2.12)

Υσ (cid:64)

(cid:64)

(cid:63)

ψσ(I)

(cid:45)

(cid:64)(cid:82) (cid:45)

F (cid:48)σ(I) (*)

(cid:27) F (cid:48)σT (I)

T F σ(I)

trong ﬁª, mi(cid:210)n (*) giao ho‚n do ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa h(cid:238)p th(cid:181)nh hai h(cid:181)m t(cid:246) monoidal b(cid:214)n, mi(cid:210)n

(**) giao ho‚n do t(cid:221)nh h(cid:181)m t(cid:246) cæa ph—p to‚n ⊗.

Suy ra, (T, ψ) l(cid:181) mØt ph—p bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i b(cid:214)n gi(cid:247)a c‚c h(cid:214) nh'n t(cid:246).

Nh› v¸y, ta ﬁ• x'y døng ﬁ›(cid:238)c h(cid:181)m t(cid:246)

(2.13) Ω : ΓBCG → Psd(Γ, BCG).

(cid:12)KerB, T (cid:48) = K (cid:48)(cid:12) (cid:12)KerB n“n ta cª K(cid:12)

H(cid:181)m t(cid:246) (2.13) l(cid:181) trung th(cid:181)nh v(cid:181) ﬁ‹n ‚nh tr“n t¸p c‚c v¸t. Th¸t v¸y, gi¶ s(cid:246) K, K (cid:48) : (B, gr) → (B(cid:48), gr(cid:48)) l(cid:181) hai h(cid:181)m t(cid:246) monoidal b(cid:214)n Γ-ph'n b¸c sao cho ΩK = ΩK (cid:48) : KerB → KerB(cid:48), ngh(cid:220)a l(cid:181) (T, ψ) = (T (cid:48), ψ(cid:48)). Do T = K(cid:12) (cid:12)KerB = K (cid:48)(cid:12) (cid:12)KerB. V(cid:237)i f : X → Y l(cid:181) m(cid:242)i t“n (cª b¸c σ) b˚t kœ trong B th(cid:215) K(f ) = K (cid:48)(f ) do bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) (2.11) giao ho‚n. V(cid:215) v¸y K = K (cid:48), v(cid:181) do ﬁª Ω l(cid:181) trung th(cid:181)nh. H(cid:181)m t(cid:246) (2.13) l(cid:181) ﬁ‹n ‚nh

tr“n t¸p c‚c v¸t ﬁ›(cid:238)c suy ra tı B›(cid:237)c 1 v(cid:181) B›(cid:237)c 2. H(cid:181)m t(cid:246) (2.13) l(cid:181) ﬁ˙y ﬁæ ﬁ›(cid:238)c suy tı B›(cid:237)c

CuŁi c(cid:239)ng, theo B›(cid:237)c 2, v(cid:237)i m(cid:231)i v¸t F cæa ph„m tr(cid:239) Psd(Γ, BCG) ﬁ(cid:210)u t(cid:229)n t„i mØt v¸t

BF cæa ph„m tr(cid:239) ΓBCG sao cho ΩBF = F. §(cid:222)nh l(cid:253) ﬁ›(cid:238)c chłng minh ho(cid:181)n to(cid:181)n.

Nh¸n x—t 2.14. Ch(cid:243)ng ta cª th(cid:211) m« t¶ chi ti(cid:213)t nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n Γ-ph'n b¸c SF li“n k(cid:213)t v(cid:237)i gi¶ h(cid:181)m t(cid:246) F tı Γ t(cid:237)i ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ki(cid:211)u (M, N ) nh› sau.

Gi¶ s(cid:246) h(cid:214) nh'n t(cid:246) F bi(cid:213)n v¸t duy nh˚t ∗ cæa Γ th(cid:181)nh nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n S ki(cid:211)u (M, N ). V¸t cæa SF ch(cid:221)nh l(cid:181) c‚c ph˙n t(cid:246) x ∈ M . V(cid:237)i x, y ∈ M m(cid:242)i t“n x → y trong SF l(cid:181) m(cid:242)i t“n (a, y) : F σx → y trong S, hay cª th(cid:211) vi(cid:213)t l(cid:181) bØ ba (a, y, σ), trong ﬁª a t(cid:239)y (cid:253) thuØc N , σ ∈ Γ sao cho y = σx. H(cid:238)p th(cid:181)nh cæa hai m(cid:242)i t“n

(a, y, σ) : x → y, (b, z, τ ) : y → z

ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

(b, z, τ ) ◦ (a, y, σ) = (b + τ a − t(x, τ, σ), z, τ σ),

trong ﬁª t l(cid:181) h(cid:181)m li“n k(cid:213)t v(cid:237)i ητ,σ. T(cid:221)nh k(cid:213)t h(cid:238)p cæa ph—p h(cid:238)p th(cid:181)nh suy ra tı ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa h(cid:214) nh'n t(cid:246). D(cid:212) th˚y SF l(cid:181) ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c bºi h(cid:181)m t(cid:246) gr : SF → Γ, gr(x) = ∗, gr(a, y, σ) = σ.

§Łi v(cid:237)i hai m(cid:242)i t“n (a, y, σ) : x → y, (a(cid:48), y(cid:48), σ) : x(cid:48) → y(cid:48), t(cid:221)ch tenx‹ ph'n b¸c l(cid:181) m(cid:242)i

t“n ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a bºi

(a, y, σ) ⊗ (a(cid:48), y(cid:48), σ) = (a + y(a(cid:48)) − f (x, x(cid:48), σ), yy(cid:48), σ),

trong ﬁª f l(cid:181) h(cid:181)m li“n k(cid:213)t v(cid:237)i (cid:101)F σ. C‚c m(cid:242)i t“n ﬁ…ng c˚u k(cid:213)t h(cid:238)p, b(cid:214)n l(cid:181)

ax,y,z = (ξ(x, y, z), xyz, 1),

cx,y = (η(x, y), xy, 1).

2.5 ‚p d(cid:244)ng v(cid:181)o b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm c(cid:230) ﬁi(cid:211)n

Γ-h(cid:181)m t(cid:246) ﬁ‹n v(cid:222) I : Γ → SF ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi: σ (cid:55)→ (0, 0, σ). Do v¸y (SF , gr) l(cid:181) mØt Γ-ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n cª π0(SF ) = M, π1(SF ) = N.

Trong ph˙n n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i sˇ tr(cid:215)nh b(cid:181)y hai łng d(cid:244)ng cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t c¶n trº cæa c‚c h(cid:181)m

t(cid:246) monoidal gi(cid:247)a c‚c nhªm ph„m tr(cid:239). Tr›(cid:237)c h(cid:213)t, ch(cid:243)ng t«i ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a nhªm ph„m tr(cid:239) cæa

mØt h„t nh'n trıu t›(cid:238)ng v(cid:181) ch(cid:216) ra nhªm ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n cæa nª. Tı ﬁª chłng minh ﬁ›(cid:238)c

r»ng m(cid:231)i nhªm ph„m tr(cid:239) l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i mØt nhªm pham tr(cid:239) ch˘t chˇ. Sau ﬁª, v(cid:201)n s(cid:246)

d(cid:244)ng nhªm ph„m tr(cid:239) cæa mØt h„t nh'n trıu t›(cid:238)ng, ch(cid:243)ng t«i t(cid:215)m l„i ﬁ›(cid:238)c k(cid:213)t qu¶ cæa b(cid:181)i

2.5.1 Nhªm ph„m tr(cid:239) cæa mØt h„t nh'n trıu t›(cid:238)ng

to‚n mº rØng nhªm c(cid:230) ﬁi(cid:211)n.

Kh‚i ni(cid:214)m h„t nh'n trıu t›(cid:238)ng ﬁ›(cid:238)c bi(cid:213)t t(cid:237)i trong [27]. §ª l(cid:181) mØt bØ ba (Π, G, ψ), v(cid:237)i

ψ : Π → AutG/InG l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm. Trong ph˙n n(cid:181)y ch(cid:243)ng ta sˇ m« t¶ c˚u tr(cid:243)c

nhªm ph„m tr(cid:239) cæa mØt h„t nh'n trıu t›(cid:238)ng v(cid:181) łng d(cid:244)ng nª v(cid:181)o ph—p ch˘t chˇ hªa c‚c r(cid:181)ng

buØc cæa mØt nhªm ph„m tr(cid:239). Ph—p to‚n trong G ﬁ›(cid:238)c k(cid:253) hi(cid:214)u bºi d˚u +. T'm cæa G, k(cid:253)

hi(cid:214)u bºi ZG, g(cid:229)m c‚c ph˙n t(cid:246) c ∈ G sao cho c + a = a + c v(cid:237)i m(cid:228)i a ∈ G.

Ch(cid:243)ng ta nh(cid:190)c l„i r»ng c‚i c¶n trº cæa (Π, G, ψ) l(cid:181) mØt ph˙n t(cid:246) k ∈ H 3(Π, ZG), ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh nh› sau. V(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ Π ch(cid:228)n ϕ(x) ∈ ψ(x) thÆa m•n ϕ(1) = idG, th(cid:215) cª mØt h(cid:181)m f : Π2 → G sao cho

(2.14) ϕ(x)ϕ(y) = µf (x,y)ϕ(xy).

trong ﬁª µc l(cid:181) tø ﬁ…ng c˚u trong cæa nhªm G, sinh bºi c ∈ G. Khi ﬁª c˘p (ϕ, f ) c¶m sinh mØt ph˙n t(cid:246) k ∈ Z 3(Π, ZG), x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi h(cid:214) thłc

ϕ(x)[f (y, z)] + f (x, yz) = k(x, y, z) + f (x, y) + f (xy, z). (2.15)

V(cid:237)i m(cid:231)i nhªm G, ta cª th(cid:211) x'y døng ﬁ›(cid:238)c mØt ph„m tr(cid:239), k(cid:253) hi(cid:214)u bºi AutG, m(cid:181) c‚c v¸t l(cid:181) c‚c ph˙n t(cid:246) cæa nhªm c‚c tø ﬁ…ng c˚u AutG. V(cid:237)i hai ph˙n t(cid:246) α, β cæa AutG, ta ﬁ˘t

Hom(α, β) = {c ∈ G|α = µc ◦ β},

V(cid:237)i hai m(cid:242)i t“n c : α → β; d : β → γ cæa AutG, ph—p h(cid:238)p th(cid:181)nh cæa ch(cid:243)ng ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a bºi d ◦ c = c + d (ph—p cØng trong G).

Ph„m tr(cid:239) AutG l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ v(cid:237)i t(cid:221)ch tenx‹ ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

α ⊗ β = α ◦ β v(cid:181)

c+α(cid:48)(d) −−−−→ α(cid:48) ⊗ β(cid:48).

(α c→ α(cid:48)) ⊗ (β d→ β(cid:48)) = α ⊗ β (2.16)

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) sau m« t¶ nhªm ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n cæa AutG.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.15. Cho h„t nh'n trıu t›(cid:238)ng (Π, G, ψ) v(cid:237)i k ∈ H 3(Π, ZG) l(cid:181) c¶n trº cæa nª. Gi¶ s(cid:246) nhªm ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n cæa nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ AutG l(cid:181) S = (Π(cid:48), C, h), th(cid:215): i) Π(cid:48) = π0(AutG) = Aut G/InG, C = π1(AutG) = ZG, ii) ψ∗h c(cid:239)ng l(cid:237)p ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u v(cid:237)i k.

id⊗ (cid:101)H−−−→ HrH(st)

(cid:101)H−−−→ H(r(st))

Chłng minh. i) Suy ra trøc ti(cid:213)p tı ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa ph„m tr(cid:239) AutG v(cid:181) ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n. ii) Gi¶ s(cid:246) (H, (cid:101)H) l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal ch(cid:221)nh t(cid:190)c tı S ﬁ(cid:213)n AutG. Khi ﬁª bi(cid:211)u ﬁ(cid:229)

(2.17) Hr(HsHt) (cid:13) (cid:13) (cid:13)   (cid:121)H(•,h(r,s,t))

(cid:101)H(r,s)⊗id −−−−−→ H(rs)Ht

(cid:101)H−−−→ H((rs)t)

(HrHs)Ht

giao ho‚n v(cid:237)i m(cid:228)i r, s, t ∈ Π(cid:48). Bºi v(cid:215) AutG l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ n“n ta cª

γα(u) = u, ∀α ∈ AutG, ∀u ∈ ZG = C.

K(cid:213)t h(cid:238)p v(cid:237)i ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa H ta ﬁ›(cid:238)c H(•, c) = c, ∀c ∈ C. Tı bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) giao ho‚n (2.17)

v(cid:181) tı h(cid:214) thłc (2.16) ta cª

Hr[g(s, t)] + g(r, st) = g(r, s) + g(rs, t) − h(r, s, t), (2.18)

trong ﬁª g = gH : Π(cid:48) × Π(cid:48) → G l(cid:181) h(cid:181)m li“n k(cid:213)t v(cid:237)i (cid:101)H.

V(cid:237)i h„t nh'n trıu t›(cid:238)ng (Π, G, ψ) ta ch(cid:228)n h(cid:181)m ϕ = H ◦ ψ : Π →AutG. R(cid:226) r(cid:181)ng

ϕ(1) = idG. H‹n n(cid:247)a, do

(cid:101)Hψ(x),ψ(y) : Hψ(x)Hψ(y) → Hψ(xy)

l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n trong AutG, n“n v(cid:237)i m(cid:228)i x, y ∈ Π ta cª

ϕ(x)ϕ(y) = Hψ(x)Hψ(y) = µf (x,y)Hψ(xy) = µf (x,y)ϕ(xy),

trong ﬁª f (x, y) = (cid:101)Hψ(x),ψ(y). Bºi v¸y c˘p (ϕ, f ) thÆa m•n (2.14) v(cid:181) do ﬁª l(cid:181) mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) cæa h„t nh'n trıu t›(cid:238)ng (Π, G, ψ). Nª c¶m sinh mØt c¶n trº k(x, y, z) ∈ Z 3(Π, ZG) thÆa

m•n h(cid:214) thłc (2.15). B'y giŒ v(cid:237)i r = ψ(x), s = ψ(y), t = ψ(z) th(cid:215) ﬁ…ng thłc (2.18) trº

th(cid:181)nh

ϕ(x)[f (y, z)] + f (x, yz) = +f (x, y) + f (xy, z) − (ψ∗h)(x, y, z).

So s‚nh v(cid:237)i h(cid:214) thłc (2.15) ta cª ψ∗h = k.

D›(cid:237)i ﬁ'y, ch(cid:243)ng ta sˇ s(cid:246) d(cid:244)ng M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.15 v(cid:181) §(cid:222)nh l(cid:253) v(cid:210) sø th(cid:211) hi(cid:214)n cæa c¶n trº trong

b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm (§(cid:222)nh l(cid:253) 9.2, Ch›‹ng IV [27]) ﬁ(cid:211) ch(cid:216) ra r»ng m(cid:231)i nhªm ph„m tr(cid:239)

ﬁ(cid:210)u t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ (M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.17). Tr›(cid:237)c h(cid:213)t ch(cid:243)ng t«i c˙n

chłng minh b(cid:230) ﬁ(cid:210) sau ﬁ'y.

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.16. Gi¶ s(cid:246) H l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ v(cid:181) SH = (Π, C, h) l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n cæa nª. Cho ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm ψ : Π(cid:48) → Π. Khi ﬁª t(cid:229)n t„i mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ G, t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal v(cid:237)i nhªm ph„m tr(cid:239) J = (Π(cid:48), C, h(cid:48)), trong ﬁª C ﬁ›(cid:238)c xem l(cid:181) Π(cid:48)-m«ﬁun v(cid:237)i to‚n t(cid:246) xc = ψ(x)c, v(cid:181) h(cid:48) c(cid:239)ng l(cid:237)p ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u v(cid:237)i ψ∗h.

Chłng minh. Ch(cid:243)ng ta x'y døng nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ G nh› sau:

Ob(G) = {(x, X)| x ∈ Π(cid:48), X ∈ ψ(x)},

Hom((x, X), (x, Y )) = {x} × HomH(X, Y ).

T(cid:221)ch tenx‹ tr“n c‚c v¸t v(cid:181) tr“n c‚c m(cid:242)i t“n cæa G ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a nh› sau:

(x, X) ⊗ (y, Y ) = (xy, X ⊗ Y ),

(x, u) ⊗ (y, v) = (xy, u ⊗ v).

§‹n v(cid:222) cæa G l(cid:181) (1, I) trong ﬁª I l(cid:181) ﬁ‹n v(cid:222) cæa H. Ch(cid:243)ng ta d(cid:212) th(cid:246) l„i r»ng G l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ. H‹n n(cid:247)a, ta cª c‚c ﬁ…ng c˚u:

λ : π0G → Π(cid:48), f : π1G → π1H = C,

[(x, X)] (cid:55)→ x (1, c) (cid:55)→ c

v(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) : G → H ﬁ›(cid:238)c cho bºi:

F (x, X) = X, F (x, u) = u, (cid:101)F = id.

G(cid:228)i SF = (φ, (cid:101)φ) : SG → SH l(cid:181) h(cid:181)m t(cid:246) monoidal c¶m sinh bºi (F, (cid:101)F ) tr“n c‚c ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n, ta cª

φ(x, X) = F0(x, X) = [F (x, X)] = [X] = ψ(x),

φ(1, u) = F1(1, u) = γF (1,I)F (1, u) = γI(u) = u,

v(cid:237)i u l(cid:181) m(cid:242)i t“n trong G. Ngh(cid:220)a l(cid:181) F0 = ψλ v(cid:181) F1 = f , hay SF l(cid:181) h(cid:181)m t(cid:246) ki(cid:211)u (ψλ, f ).

B'y giŒ gi¶ s(cid:246) hG l(cid:181) r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p cæa SG. Theo §(cid:222)nh l(cid:253) 2.6 c‚i c¶n trº cæa c˘p

(ψλ, f ) ph¶i tri(cid:214)t ti“u trong H 3(π0G, π1H) = H 3(π0G, C), ngh(cid:220)a l(cid:181)

(ψλ)∗h = f∗hG + δ (cid:101)φ.

B'y giŒ n(cid:213)u ta ﬁ˘t h(cid:48) = f∗hG th(cid:215) c˘p (J, (cid:101)J) v(cid:237)i J = (λ, f ), (cid:101)J = id, l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal tı SG t(cid:237)i J = (Π(cid:48), C, h(cid:48)). Khi ﬁª c‚i h(cid:238)p th(cid:181)nh

(J, (cid:101)J) −→ J

G (G, (cid:101)G) −→ SG

l(cid:181) mØt t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal tı G t(cid:237)i J = (Π(cid:48), C, h(cid:48)).

CuŁi c(cid:239)ng ta chłng tÆ r»ng h(cid:48) l(cid:181) c(cid:239)ng l(cid:237)p ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u v(cid:237)i ψ∗h. G(cid:228)i K = (λ−1, f −1) :

(Π(cid:48), C, h(cid:48)) → SG. Th(cid:213) th(cid:215) K c(cid:239)ng v(cid:237)i (cid:101)K = id l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal, v(cid:181) c‚i h(cid:238)p th(cid:181)nh

(φ, (cid:101)φ) ◦ (K, (cid:101)K) : (Π(cid:48), C, h(cid:48)) → SH

l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal, l(cid:181)m bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau giao ho‚n

(cid:81)(cid:81)(cid:107)

(cid:45) (cid:17)(cid:17)(cid:51)

(cid:81)

(cid:17)

(cid:81) K

(cid:17) φ◦K

(cid:81)

(cid:17)

SG SH

J = (Π(cid:48), C, h(cid:48)).

R(cid:226) r(cid:181)ng φ ◦ K l(cid:181) h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u (ψ, id) v(cid:181) bºi v¸y c‚i c¶n trº cæa nª tri(cid:214)t ti“u. Theo (2.2) ta cª ψ∗h − h(cid:48) = ∂g, ngh(cid:220)a l(cid:181) h(cid:48) c(cid:239)ng l(cid:237)p ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u v(cid:237)i ψ∗h.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.17. M(cid:231)i nhªm ph„m tr(cid:239) ﬁ(cid:210)u t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal v(cid:237)i mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t

chˇ.

Chłng minh. Gi¶ s(cid:246) C l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) v(cid:181) SC = (Π(cid:48), C, k) l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n cæa nª. Theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) v(cid:210) sø th(cid:211) hi(cid:214)n c¶n trº (§(cid:222)nh l(cid:253) 9.2 [27]), 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh k ∈ H 3(Π(cid:48), C) cª th(cid:211) hi(cid:214)n l(cid:181) nhªm G v(cid:237)i t'm ZG = C c(cid:239)ng ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm ψ : Π(cid:48) → AutG/InG sao cho ψ c¶m sinh c˚u tr(cid:243)c Π(cid:48)-m«ﬁun trong C v(cid:181) h„t nh'n trıu t›(cid:238)ng (Π(cid:48), G, ψ) cª c¶n trº l(cid:181) k. Theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.15, nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ AutG cª nhªm ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n SAutG =(AutG/InG, C, h), trong ﬁª ψ∗h = k.

‚p d(cid:244)ng B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.16 v(cid:237)i H = AutG, ﬁ(cid:229)ng c˚u ψ : Π(cid:48) → AutG/InG x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ G, t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal v(cid:237)i nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ J = (Π(cid:48), C, h(cid:48)). C‚c c˚u tr(cid:243)c Π(cid:48)-m«ﬁun cæa C trong SC v(cid:181) trong J l(cid:181) tr(cid:239)ng nhau. H‹n n(cid:247)a, ψ∗h = h(cid:48). Tı ﬁª suy ra h(cid:48) = k. Bºi v¸y t(cid:229)n t„i h(cid:181)m g : Π(cid:48) × Π(cid:48) → C sao cho h(cid:48) − k = ∂g. Khi ﬁª, theo

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.6,

(K, (cid:101)K) = (idΠ(cid:48), idC, g) : SC → J

l(cid:181) mØt t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal. Suy ra C t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ G.

2.5.2 H(cid:181)m t(cid:246) monoidal v(cid:181) b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm

MØt c‚ch chłng minh kh‚c cæa M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.17 cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c t(cid:215)m th˚y trong [51].

Trong ti(cid:211)u m(cid:244)c n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i ‚p d(cid:244)ng §(cid:222)nh l(cid:253) 2.7 ﬁ(cid:211) thu l„i ﬁ›(cid:238)c §(cid:222)nh l(cid:253) c(cid:230) ﬁi(cid:211)n

Schreier v(cid:210) mº rØng nhªm [53].

K(cid:253) hi(cid:214)u Ext(Π, G) l(cid:181) t¸p c‚c l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng c‚c mº rØng cæa G bºi Π, ta ph‚t bi(cid:211)u

ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) sau ﬁ'y.

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.18. Cho c‚c nhªm G v(cid:181) Π. Khi ﬁª:

i) T(cid:229)n t„i mØt ph'n ho„ch ch(cid:221)nh t(cid:190)c

ψ trong ﬁª, v(cid:237)i m(cid:231)i ﬁ(cid:229)ng c˚u ψ : Π → AutG/InG th(cid:215) Ext(Π, G, ψ) l(cid:181) t¸p c‚c l(cid:237)p t›‹ng

Ext(Π, G, ψ), Ext(Π, G) = (cid:96)

ﬁ›‹ng cæa c‚c mº rØng nhªm E : G → B → Π cæa G bºi Π c¶m sinh ψ.

ii) M(cid:231)i h„t nh'n trıu t›(cid:238)ng (Π, G, ψ) x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt l(cid:237)p ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u (chu¨n t(cid:190)c) chi(cid:210)u 3, Obs(Π, G, ψ) ∈ H 3(Π, ZG) (v(cid:237)i c˚u tr(cid:243)c Π-m«ﬁun tr“n ZG thu ﬁ›(cid:238)c qua ψ), g(cid:228)i l(cid:181) c‚i c¶n trº cæa (Π, G, ψ). H„t nh'n trıu t›(cid:238)ng cª mº rØng khi v(cid:181) ch(cid:216) khi c¶n trº cæa nª tri(cid:214)t

ti“u. Khi ﬁª, cª mØt song ‚nh

Ext(Π, G, ψ) ↔ H 2(Π, ZG).

D›(cid:237)i ﬁ'y, ch(cid:243)ng t«i sˇ ch(cid:216) ra r»ng m(cid:231)i h(cid:214) nh'n t(cid:246) (ϕ, f ) cæa mØt mº rØng nhªm cª th(cid:211)

n'ng l“n th(cid:181)nh mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal F : DisΠ → AutG, trong ﬁª Dis Π l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) ki(cid:211)u (Π, 0, 0), v(cid:181) do ﬁª cª th(cid:211) ph'n l(cid:237)p c‚c mº rØng nhªm b»ng ph›‹ng ph‚p s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c

h(cid:181)m t(cid:246) monoidal.

K(cid:253) hi(cid:214)u Hom(ψ,0)[DisΠ, AutG] l(cid:181) t¸p c‚c l(cid:237)p ﬁ(cid:229)ng lu'n cæa c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal tı

DisΠ t(cid:237)i AutG c¶m sinh c˘p ﬁ(cid:229)ng c˚u (ψ, 0), ta cª:

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.19. (L(cid:253) thuy(cid:213)t Schreier cho c‚c mº rØng nhªm) T(cid:229)n t„i mØt song ‚nh

∆ : Hom(ψ,0)[Dis Π, AutG] → Ext(Π, G, ψ).

Chłng minh. B›(cid:237)c 1: X'y døng mº rØng nhªm EF cæa G bºi Π ﬁ›(cid:238)c c¶m sinh bºi h(cid:181)m t(cid:246) monoidal F : Dis Π → AutG.

Cho h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) : DisΠ → AutG. Th(cid:213) th(cid:215) (cid:101)Fx,y = f (x, y) l(cid:181) mØt h(cid:181)m

Π2 → G thÆa m•n

(2.19) F (x) ◦ F (y) = µf (x,y) ◦ F (xy).

T(cid:221)nh t›‹ng th(cid:221)ch cæa (F, (cid:101)F ) v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p, ﬁ‹n v(cid:222) cho c‚c h(cid:214) thłc

F (x)[f (y, z)] + f (x, yz) = f (x, y) + f (xy, z), (2.20)

f (x, 1) = f (1, y) = 0. (2.21)

Døng nhªm BF = {(a, x)|a ∈ G, x ∈ Π} v(cid:237)i ph—p to‚n

(a, x) + (b, y) = (a + F (x)(b) + f (x, y), xy).

p → Π → 1,

Khi ﬁª, BF l(cid:181) mº rØng cæa G bºi Π,

EF : 0 → G i→ BF

v(cid:237)i i(a) = (a, 1), p(a, x) = x. Do c‚c h(cid:214) thłc (2.19), (2.20) suy ra t(cid:221)nh k(cid:213)t h(cid:238)p cæa ph—p

to‚n trong BF . Do (2.21) ph˙n t(cid:246) ﬁ‹n v(cid:222) cæa ph—p cØng trong BF l(cid:181) (0, 1), v(cid:181) ph˙n t(cid:246) ﬁŁi cæa (a, x) ∈ BF l(cid:181) (b, x−1) ∈ BF , v(cid:237)i b l(cid:181) ph˙n t(cid:246) sao cho F (x)(b) = −a + f (x, x−1).

§(cid:229)ng c˚u li“n h(cid:238)p ψ : Π → AutG/InG ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi ψ(x) = [µ(0,x)]. B»ng ph—p t(cid:221)nh ﬁ‹n gi¶n ta cª µ(0,x)(a, 1) = (F (x)(a), 1). §(cid:229)ng nh˚t G v(cid:237)i ¶nh iG ta ﬁ›(cid:238)c ψ(x) = [F (x)].

B›(cid:237)c 2: F v(cid:181) F (cid:48) ﬁ(cid:229)ng lu'n khi v(cid:181) ch(cid:216) khi EF v(cid:181) EF (cid:48) t›‹ng ﬁ…ng. Gi¶ s(cid:246) F, F (cid:48) : Dis Π → AutG l(cid:181) hai h(cid:181)m t(cid:246) monoidal v(cid:237)i ﬁ(cid:229)ng lu'n α : F → F (cid:48). Khi

(cid:45)(cid:101)F

ﬁª, theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa m(cid:242)i t“n monoidal, bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau giao ho‚n

αxy

αx⊗αy

(cid:45)(cid:101)F (cid:48)

(cid:63) F (cid:48)(x) ⊗ F (cid:48)(y)

(cid:63) F (cid:48)(xy).

F (x) ⊗ F (y) F (xy)

Ngh(cid:220)a l(cid:181)

x,y,

(cid:101)Fx,y + αxy = αx ⊗ αy + (cid:101)F (cid:48)

hay

(2.22) f (x, y) + αxy = αx + F (cid:48)(x)(αy) + f (cid:48)(x, y).

B'y giŒ, ta ﬁ˘t

β : BF → BF (cid:48),

(a, x) (cid:55)→ (a + αx, x).

L›u (cid:253) r»ng F (x) = µαx ◦ F (cid:48)(x), v(cid:181) ‚p d(cid:244)ng (2.22) ta chłng minh ﬁ›(cid:238)c β l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u. H‹n n(cid:247)a, nª l(cid:181) mØt ﬁ…ng c˚u l(cid:181)m cho bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau giao ho‚n

(cid:47) 1

(cid:47) G i

(cid:47) BF

(cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) 0 Π EF :

p(cid:48)

(cid:47) 1,

(cid:47) G i(cid:48)

(cid:47) Π

(cid:47) BF (cid:48)

(cid:15) (cid:15) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) 0 EF (cid:48) :

ngh(cid:220)a l(cid:181) EF v(cid:181) EF (cid:48) t›‹ng ﬁ…ng.

Chi(cid:210)u ng›(cid:238)c l„i cæa m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) cª th(cid:211) thu ﬁ›(cid:238)c theo l¸p lu¸n ng›(cid:238)c l„i tıng b›(cid:237)c.

V(cid:237)i B›(cid:237)c 2 n(cid:181)y, d(cid:212) th˚y t›‹ng łng ∆ : [F ] (cid:55)→ [EF ] l(cid:181) mØt ﬁ‹n ‚nh. B›(cid:237)c 3: Chłng minh ∆ l(cid:181) to(cid:181)n ‚nh.

Gi¶ s(cid:246) ta cª mØt mº rØng nhªm

p → Π → 1,

E : 0 → G i→ B

li“n h(cid:238)p v(cid:237)i ﬁ(cid:229)ng c˚u ψ : Π → AutG/InG. V(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ Π, ta ch(cid:228)n mØt ﬁ„i di(cid:214)n ux trong B, ngh(cid:220)a l(cid:181) p(ux) = x. §˘c bi(cid:214)t, ch(cid:228)n u1 = 0. Khi ﬁª, c‚c ph˙n t(cid:246) cæa B ﬁ›(cid:238)c bi(cid:211)u di(cid:212)n duy nh˚t d›(cid:237)i d„ng a + ux, v(cid:237)i a ∈ G, x ∈ Π, v(cid:181)

ux + a = µux(a) + ux.

V(cid:215) t(cid:230)ng ux + uy n»m trong c(cid:239)ng mØt l(cid:237)p v(cid:237)i uxy, n“n t(cid:229)n t„i duy nh˚t ph˙n t(cid:246) f (x, y) ∈ G sao cho

ux + uy = f (x, y) + uxy.

H(cid:181)m f ch(cid:221)nh l(cid:181) mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) cæa mº rØng E. Nª thÆa m•n c‚c h(cid:214) thłc:

(2.23) µux[f (y, z)] + f (x, yz) = f (x, y) + f (xy, z), x, y, z ∈ Π.

f (x, 1) = f (1, y) = 0. (2.24)

Ta x'y døng mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal F = (F, (cid:101)F ): DisΠ → AutG b»ng c‚ch ﬁ˘t F (x) = µux, (cid:101)Fx,y = f (x, y).

R(cid:226) r(cid:181)ng, c‚c h(cid:214) thłc (2.23), (2.24) chłng tÆ r»ng (F, (cid:101)F ) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal gi(cid:247)a

c‚c nhªm ph„m tr(cid:239).

B'y giŒ ta chłng minh §(cid:222)nh l(cid:253) 2.18.

Cho h„t nh'n trıu t›(cid:238)ng (Π, G, ψ). V(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ Π ta ch(cid:228)n ϕ(x) ∈ ψ(x) thÆa m•n ϕ(1) = idG. H(cid:228) c‚c ϕ(x) c¶m sinh h(cid:181)m f : Π2 → G thÆa m•n h(cid:214) thłc (2.14). C˘p (ϕ, f ) c¶m sinh mØt c¶n trº k ∈ Z 3(Π, ZG) bºi h(cid:214) thłc (2.15). §˘t F (x) = ϕ(x) ta ﬁ›(cid:238)c mØt h(cid:181)m t(cid:246) DisΠ → AutG.

G(cid:228)i S = (AutG/InG, ZG, h) l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n cæa AutG. Th(cid:213) th(cid:215) F c¶m sinh c˘p ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm (ψ, 0) : (Π, 0) → (AutG/InG, ZG), v(cid:181) theo (2.2) th(cid:215) mØt c¶n trº cæa h(cid:181)m t(cid:246) F l(cid:181) ψ∗h. Theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.15, ψ∗h = k, ngh(cid:220)a l(cid:181) c‚i c¶n trº cæa h„t nh'n trıu t›(cid:238)ng (Π, G, ψ) tr(cid:239)ng v(cid:237)i c‚i c¶n trº cæa h(cid:181)m t(cid:246) F . Tı ﬁª, theo §(cid:222)nh l(cid:253) 2.6, (Π, G, ψ) cª

mº rØng khi v(cid:181) ch(cid:216) khi c‚i c¶n trº cæa nª tri(cid:214)t ti“u.

Theo §(cid:222)nh l(cid:253) 2.7 t(cid:229)n t„i song ‚nh

Hom(ψ,0)[DisΠ, AutG] ↔ H 2(Π, ZG),

do π0(DisΠ) = Π, π1(AutG) = ZG. C(cid:239)ng v(cid:237)i §(cid:222)nh l(cid:253) 2.19 ta cª:

Ext(Π, G, ψ) ↔ H 2(Π, ZG).

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.18 ﬁ›(cid:238)c chłng minh.

K(cid:213)t lu¸n cæa Ch›‹ng 2

Trong ch›‹ng n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i ﬁ• thu ﬁ›(cid:238)c mØt sŁ k(cid:213)t qu¶ ch(cid:221)nh sau ﬁ'y:

• M« t¶ v(cid:181) ph'n l(cid:237)p c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u (ϕ, f ) gi(cid:247)a c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ki(cid:211)u

(Π, A).

• Ph'n l(cid:237)p c‚c nhªm ph„m tr(cid:239), nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n nhŒ c‚c k(cid:213)t qu¶ v(cid:210) c‚c h(cid:181)m t(cid:246)

monoidal ki(cid:211)u (ϕ, f ).

• Ph'n l(cid:237)p c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ph'n b¸c b»ng ph›‹ng ph‚p h(cid:214) nh'n t(cid:246).

• Chłng minh m(cid:231)i nhªm ph„m tr(cid:239) t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ v(cid:181)

gi¶i b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm c(cid:230) ﬁi(cid:211)n nhŒ c‚c k(cid:213)t qu¶ v(cid:210) c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u (ϕ, f ).

Ch›‹ng 3

Nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ v(cid:181) mº rØng

nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o

R. Brown v(cid:181) C. Spencer ﬁ• ch(cid:216) ra r»ng ph„m tr(cid:239) c‚c m«ﬁun ch—o l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i

ph„m tr(cid:239) c‚c G-groupoid (§(cid:222)nh l(cid:253) 1 [8]). Trong ch›‹ng n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i kh«ng ch(cid:216) bi(cid:211)u di(cid:212)n

k(cid:213)t qu¶ tr“n b»ng ng«n ng(cid:247) cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t nhªm ph„m tr(cid:239) m(cid:181) c(cid:223)n nghi“n cłu mŁi li“n h(cid:214)

gi(cid:247)a c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u m«ﬁun ch—o v(cid:181) c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal gi(cid:247)a c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ

li“n k(cid:213)t (c‚c B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.2, 3.3). Tı ﬁª, thu ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p c‚c m«ﬁun ch—o (§(cid:222)nh l(cid:253)

3.4), l(cid:181) mº rØng cæa §(cid:222)nh l(cid:253) 1 [8].

H‹n n(cid:247)a, b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o ﬁ›(cid:238)c gi¶i quy(cid:213)t bºi R. Brown v(cid:181)

c‚c cØng sø trong [9, 10] nhŒ ph›‹ng ph‚p phłc ch—o ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ch(cid:243)ng t«i chłng minh b»ng

mØt ph›‹ng ph‚p kh‚c, s(cid:246) d(cid:244)ng l(cid:253) thuy(cid:213)t c¶n trº cæa cæa h(cid:181)m t(cid:246) monoidal v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c xem

nh› l(cid:181) mØt łng d(cid:244)ng cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t nhªm ph„m tr(cid:239) (c‚c §(cid:222)nh l(cid:253) 3.6, 3.7). V(cid:237)i c‚ch ti(cid:213)p c¸n

n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i kh«ng ch(cid:216) thu l„i ﬁ›(cid:238)c k(cid:213)t qu¶ cæa b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm m(cid:181) c(cid:223)n cª th(cid:211) ‚p

d(cid:244)ng ﬁ›(cid:238)c cho mØt sŁ lo„i b(cid:181)i to‚n mº rØng kh‚c (xem Ch›‹ng 4, Ch›‹ng 5).

3.1 Nhªm ph„m tr(cid:239) li“n k(cid:213)t v(cid:237)i mØt m«ﬁun ch—o

C‚c k(cid:213)t qu¶ cæa ch›‹ng n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t døa theo [40].

Tr›(cid:237)c h(cid:213)t, ch(cid:243)ng t«i nh(cid:190)c l„i ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a m«ﬁun ch—o tr“n c‚c nhªm cæa J. H. C. White-

head [43]. Tuy nhi“n, º ﬁ'y ch(cid:243)ng t«i ﬁ• thay ﬁ(cid:230)i c‚ch ph‚t bi(cid:211)u ﬁ(cid:211) ph(cid:239) h(cid:238)p cho vi(cid:214)c s(cid:246)

d(cid:244)ng trong c‚c t(cid:221)nh to‚n v(cid:210) sau.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a [43]. MØt m«ﬁun ch—o l(cid:181) mØt bØ bŁn M = (B, D, d, θ) trong ﬁª d : B →

D, θ : D → AutB l(cid:181) c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm thÆa m•n c‚c h(cid:214) thłc sau:

C1. θd = µ, C2. d(θx(b)) = µx(d(b)), x ∈ D, b ∈ B,

trong ﬁª µx l(cid:181) tø ﬁ…ng c˚u trong sinh bºi x.

§(cid:211) cho ti(cid:214)n, m«ﬁun ch—o (B, D, d, θ) ﬁ«i khi c(cid:223)n ﬁ›(cid:238)c k(cid:253) hi(cid:214)u bºi B d→ D, ho˘c ﬁ‹n gi¶n l(cid:181) B → D v(cid:181) ta sˇ k(cid:253) hi(cid:214)u c‚c ph—p to‚n trong B l(cid:181) ph—p cØng, ph—p to‚n trong D l(cid:181)

ph—p nh'n.

MØt sŁ v(cid:221) d(cid:244) ﬁi(cid:211)n h(cid:215)nh v(cid:210) m«ﬁun ch—o cª th(cid:211) k(cid:211) ﬁ(cid:213)n l(cid:181): i) (B, D, i, θ0), trong ﬁª i : B → D l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u bao h(cid:181)m cæa mØt nhªm con chu¨n t(cid:190)c,

θ0 ﬁ›(cid:238)c cho bºi li“n h(cid:238)p.

ii) (B, D, 0, θ), trong ﬁª 0 : B → D l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u kh«ng, B l(cid:181) D-m«ﬁun v(cid:181) θ l(cid:181) t‚c

ﬁØng m«ﬁun.

iii) (B, Aut B, µ, id), v(cid:237)i µ : A → AutB l(cid:181) ‚nh x„ tø ﬁ…ng c˚u trong cæa nhªm B. M«

ﬁun ch—o n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) m«ﬁun ch—o c‚c tø ﬁ…ng c˚u cæa nhªm B.

iv) (B, D, p, θ0), trong ﬁª p : B → D l(cid:181) to(cid:181)n c˚u nhªm v(cid:237)i h„t nh'n chła trong t'm

cæa B, θ0 ﬁ›(cid:238)c cho bºi li“n h(cid:238)p.

C‚c t(cid:221)nh ch˚t sau ﬁ'y ﬁ›(cid:238)c suy ra trøc ti(cid:213)p tı ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa m«ﬁun ch—o.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.1. Cho m«ﬁun ch—o M = (B, D, d, θ). Khi ﬁª:

i) Kerd ⊂ Z(B),

ii) Imd l(cid:181) nhªm con chu¨n t(cid:190)c trong D,

iii) ﬁ(cid:229)ng c˚u θ c¶m sinh ﬁ(cid:229)ng c˚u ϕ : D → Aut(Kerd) cho bºi

ϕx = θx|Kerd,

iv) Kerd l(cid:181) Cokerd-m«ﬁun tr‚i v(cid:237)i t‚c ﬁØng

sa = ϕx(a), a ∈ Kerd, x ∈ s ∈ Cokerd.

Theo R. Brown v(cid:181) C. Spencer, m(cid:231)i m«ﬁun ch—o cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c xem nh› mØt G-groupoid

(ch(cid:221)nh l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ) [8]. §'y c(cid:242)ng ch(cid:221)nh l(cid:181) nh¸n x—t cæa A. Joyal v(cid:181) R. Street

trong [22]. §(cid:211) ti(cid:214)n s(cid:246) d(cid:244)ng cho nh(cid:247)ng ph˙n sau, ch(cid:243)ng t«i tr(cid:215)nh b(cid:181)y chi ti(cid:213)t k(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y

theo ng«n ng(cid:247) cæa nhªm ph„m tr(cid:239). Ngh(cid:220)a l(cid:181), n(cid:213)u cho tr›(cid:237)c mØt m«ﬁun ch—o th(cid:215) cª th(cid:211) x'y

døng ﬁ›(cid:238)c mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ, v(cid:181) ng›(cid:238)c l„i.

V(cid:237)i m(cid:231)i m«ﬁun ch—o (B, D, d, θ) ta cª th(cid:211) x'y døng ﬁ›(cid:238)c mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ

PB→D := P, g(cid:228)i l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) li“n k(cid:213)t v(cid:237)i m«ﬁun ch—o B → D, nh› sau.

ObP = D,

Hom(x, y) = {b ∈ B/x = d(b)y}, v(cid:237)i hai v¸t x, y ∈ D.

H(cid:238)p th(cid:181)nh cæa c‚c m(cid:242)i t“n ﬁ›(cid:238)c cho bºi

(x b→ y c→ z) = (x b+c→ z).

Ph—p to‚n tenx‹ tr“n c‚c v¸t ﬁ›(cid:238)c cho bºi ph—p nh'n trong nhªm D, v(cid:181) v(cid:237)i hai m(cid:242)i t“n (x b→ y), (x(cid:48) b(cid:48) → y(cid:48)) th(cid:215)

(x b→ y) ⊗ (x(cid:48) b(cid:48) → y(cid:48)) = (xx(cid:48) b+θyb(cid:48) −→ yy(cid:48)). (3.1)

Tı ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa m«ﬁun ch—o cª th(cid:211) ki(cid:211)m tra r»ng v(cid:237)i c‚ch x‚c ﬁ(cid:222)nh n(cid:181)y P l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh ﬁ(cid:210)u l(cid:181) ch˘t chˇ.

Ng›(cid:238)c l„i, v(cid:237)i nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ (P, ⊗) ta cª th(cid:211) x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt m«ﬁun ch—o li“n

k(cid:213)t MP = (B, D, d, θ) nh› sau. L˚y

D = ObP, B = {x b−→ 1|x ∈ D}.

C‚c ph—p to‚n tr“n D v(cid:181) B l˙n l›(cid:238)t cho bºi

xy = x ⊗ y, b + c = b ⊗ c.

Khi ﬁª D l(cid:181) nhªm v(cid:237)i ﬁ‹n v(cid:222) 1, ngh(cid:222)ch ﬁ¶o cæa x l(cid:181) x−1 (x ⊗ x−1 = 1). B l(cid:181) nhªm v(cid:237)i ﬁ‹n v(cid:222) l(cid:181) m(cid:242)i t“n (1 id1−→ 1) v(cid:181) ngh(cid:222)ch ﬁ¶o cæa m(cid:242)i t“n (x b−→ 1) l(cid:181) m(cid:242)i t“n (x−1 b−→ 1), v(cid:237)i b ⊗ b = id1.

C‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u d : B → D v(cid:181) θ : D → Aut B l˙n l›(cid:238)t cho bºi

idy+b+idy−1 −−−−−−−→ 1).

d(x b−→ 1) = x,

θy(x b−→ 1) = (yxy−1

3.2 Ph'n l(cid:237)p c‚c m«ﬁun ch—o

D(cid:212) th(cid:246) l„i r»ng (B, D, d, θ) x‚c ﬁ(cid:222)nh nh› tr“n l(cid:181) mØt m«ﬁun ch—o.

§(cid:211) thu ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p c‚c m«ﬁun ch—o, tr›(cid:237)c h(cid:213)t ch(cid:243)ng t«i nghi“n cłu v(cid:210) mŁi

li“n h(cid:214) gi(cid:247)a c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u m«ﬁun ch—o v(cid:181) c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal gi(cid:247)a c‚c nhªm ph„m tr(cid:239)

li“n k(cid:213)t t›‹ng łng. D›(cid:237)i ﬁ'y, ch(cid:243)ng t«i nh(cid:190)c l„i ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a ﬁ(cid:229)ng c˚u m«ﬁun ch—o theo R.

f0(x)f1(b),

Brown v(cid:181) O. Mucuk [9]. §(cid:222)nh ngh(cid:220)a [9]. MØt ﬁ(cid:229)ng c˚u (f1, f0) : (B, D, d, θ) → (B(cid:48), D(cid:48), d(cid:48), θ(cid:48)) gi(cid:247)a hai m«ﬁun ch—o bao g(cid:229)m c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm f1 : B → B(cid:48), f0 : D → D(cid:48) thÆa m•n:

H1. f0d = d(cid:48)f1, H2. f1(θxb) = θ(cid:48) v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ D, b ∈ B.

B(cid:230) ﬁ(cid:210) d›(cid:237)i ﬁ'y ch(cid:216) ra r»ng m(cid:231)i ﬁ(cid:229)ng c˚u m«ﬁun ch—o c¶m sinh mØt h(cid:181)m t(cid:246) gi(cid:247)a c‚c

nhªm ph„m tr(cid:239) li“n k(cid:213)t, v(cid:181) ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁ(cid:211) h(cid:181)m t(cid:246) c¶m sinh ﬁª l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal.

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.2. Cho ﬁ(cid:229)ng c˚u gi(cid:247)a c‚c m«ﬁun ch—o (f1, f0) : (B, D, d, θ) → (B(cid:48), D(cid:48), d(cid:48), θ(cid:48)). G(cid:228)i P, P(cid:48) l(cid:181) hai nhªm ph„m tr(cid:239) li“n k(cid:213)t l˙n l›(cid:238)t v(cid:237)i c‚c m«ﬁun ch—o (B, D, d, θ) v(cid:181) (B(cid:48), D(cid:48), d(cid:48), θ(cid:48)). Khi ﬁª: i) T(cid:229)n t„i mØt h(cid:181)m t(cid:246) F : P → P(cid:48) x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi F (x) = f0(x), F (b) = f1(b), v(cid:237)i x ∈ ObP, b ∈ MorP. ii) §…ng c˚u tø nhi“n (cid:101)Fx,y : F (x)F (y) → F (xy) c(cid:239)ng v(cid:237)i F l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal khi v(cid:181) ch(cid:216) khi (cid:101)Fx,y = ϕ(x, y) v(cid:237)i ϕ ∈ Z 2(Coker d, Ker d(cid:48)).

f1(b)

Chłng minh. i) V(cid:237)i (x b→ y) l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n trong P th(cid:215)

F (x b→ y) = (cid:0)f0(x) → f0(y)(cid:1)

l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n trong P(cid:48). Th¸t v¸y, theo c‚ch x‚c ﬁ(cid:222)nh m(cid:242)i t“n trong ph„m tr(cid:239) x'y døng bºi mØt m«ﬁun ch—o, ta cª x = d(b)y. Do f0 l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm n“n

(H1) = d(cid:48)(f1(b))f0(y),

f0(x) = f0(d(b))f0(y)

ngh(cid:220)a l(cid:181) F (b) = f1(b) l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n trong P(cid:48).

H‹n n(cid:247)a, d(cid:212) th˚y F (idx) = idF (x), v(cid:181) v(cid:237)i m(cid:228)i b, b(cid:48) ∈ MorP, do f1 l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u n“n ta cª

F (b ◦ b(cid:48)) = F (b + b(cid:48)) = f1(b + b(cid:48)) = f1(b) + f1(b(cid:48)) = F (b) ◦ F (b(cid:48)).

V¸y F x‚c ﬁ(cid:222)nh nh› trong b(cid:230) ﬁ(cid:210) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246).

ii) Gi¶ thi(cid:213)t c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm f1, f0 thÆa m•n H2 l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i ﬁ…ng thłc

F (b ⊗ c) = F (b) ⊗ F (c),

v(cid:237)i hai m(cid:242)i t“n (x b→ x(cid:48)) v(cid:181) (y c→ y(cid:48)) trong P.

M˘t kh‚c, do f0 l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u v(cid:181) F (x) = f0(x) n“n (cid:101)Fx,y : F (x)F (y) → F (xy) l(cid:181) m(cid:242)i

t“n trong P n“n khi v(cid:181) ch(cid:216) khi d(cid:48)( (cid:101)Fx,y) = 1(cid:48), ngh(cid:220)a l(cid:181)

(cid:101)Fx,y ∈ Kerd(cid:48) ⊂ Z(B(cid:48)).

(cid:45)(cid:101)Fx,y

Khi ﬁª t(cid:221)nh tø nhi“n cæa (F, (cid:101)F ), tłc l(cid:181) t(cid:221)nh giao ho‚n cæa bi(cid:211)u ﬁ(cid:229)

F (b)⊗F (c)

(cid:63) F (x(cid:48))F (y(cid:48))

F (b⊗c) (cid:63) F (x(cid:48)y(cid:48))

(cid:45) (cid:101)Fx(cid:48),y(cid:48)

F (x)F (y) F (xy)

l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i h(cid:214) thłc (cid:101)Fx,y = (cid:101)Fx(cid:48),y(cid:48), v(cid:237)i x = (db)x(cid:48), y = (dc)y(cid:48). §i(cid:210)u n(cid:181)y x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt h(cid:181)m ϕ : Coker d × Coker d → Ker d(cid:48) bºi

ϕ(x, y) = (cid:101)Fx,y.

Do F (1) = 1(cid:48) n“n t(cid:221)nh t›‹ng th(cid:221)ch cæa (F, (cid:101)F ) v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222) t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i t(cid:221)nh chu¨n t(cid:190)c cæa ϕ. T(cid:221)nh t›‹ng th(cid:221)ch cæa (F, (cid:101)F ) v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i h(cid:214) thłc

θ(cid:48) F (x)( (cid:101)Fy,z) + (cid:101)Fx,yz = (cid:101)Fx,y + (cid:101)Fxy,z,

v(cid:181) do ﬁª

xϕ(y, z) + ϕ(x, y z) = ϕ(x, y) + ϕ(x y, z),

trong ﬁª t‚c ﬁØng cæa Coker d l“n Ker d(cid:48) ﬁ›(cid:238)c c¶m sinh ch(cid:221)nh t(cid:190)c bºi t‚c ﬁØng cæa Coker d(cid:48) l“n Ker d(cid:48) nhŒ ﬁ(cid:229)ng c˚u f0: xb(cid:48) = f0(x)b(cid:48). Bºi v¸y, ϕ ∈ Z 2(Coker d, Ker d(cid:48)).

Do B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.2 ta cª th(cid:211) x‚c ﬁ(cid:222)nh ph„m tr(cid:239)

Cross

0, ϕ(cid:48)) : (B(cid:48) d(cid:48)

1, f (cid:48)

→ D(cid:48)) → (B(cid:48)(cid:48) d(cid:48)(cid:48) → D(cid:48)(cid:48)) ﬁ›(cid:238)c cho bºi cª v¸t l(cid:181) c‚c m«ﬁun ch—o, c(cid:223)n m(cid:242)i t“n l(cid:181) c‚c bØ ba (f1, f0, ϕ), trong ﬁª (f1, f0) : (B d→ D) → (B(cid:48) d(cid:48) → D(cid:48)) l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u m«ﬁun ch—o v(cid:181) ϕ ∈ Z 2(Cokerd, Kerd(cid:48)). Ph—p h(cid:238)p th(cid:181)nh v(cid:237)i m(cid:242)i t“n (f (cid:48)

1, f (cid:48)

0, ϕ(cid:48)) ◦ (f1, f0, ϕ) = (f (cid:48)

1f1, f (cid:48)

0f0, (f (cid:48)

1)∗ϕ + f ∗

0 ϕ(cid:48)).

(f (cid:48)

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a. H(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) : P → P(cid:48) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ch(cid:221)nh qui n(cid:213)u F b¶o to(cid:181)n ph—p to‚n ⊗, ngh(cid:220)a l(cid:181):

S1. F (x) ⊗ F (y) = F (x ⊗ y), S2. F (b) ⊗ F (c) = F (b ⊗ c),

v(cid:237)i x, y ∈ ObP, b, c ∈ MorP.

B(cid:230) ﬁ(cid:210) d›(cid:237)i ﬁ'y ch(cid:216) ra r»ng m(cid:231)i h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ch(cid:221)nh qui gi(cid:247)a c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) li“n

k(cid:213)t x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt m(cid:242)i t“n trong ph„m tr(cid:239) Cross.

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.3. Gi¶ s(cid:246) P v(cid:181) P(cid:48) l(cid:181) hai nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ l˙n l›(cid:238)t li“n k(cid:213)t v(cid:237)i c‚c m«ﬁun ch—o (B, D, d, θ) v(cid:181) (B(cid:48), D(cid:48), d(cid:48), θ(cid:48)), (F, (cid:101)F ) : P → P(cid:48) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ch(cid:221)nh qui. Khi ﬁª, bØ ba (f1, f0, ϕ), trong ﬁª

f1(b) = F (b), f0(x) = F (x), ϕ(x, y) = (cid:101)Fx,y,

v(cid:237)i b ∈ B, x ∈ D, x ∈ Coker d, l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n trong ph„m tr(cid:239) Cross.

Chłng minh. Do ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n S1 n“n f0 l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm. Do F b¶o to(cid:181)n ph—p h(cid:238)p th(cid:181)nh c‚c m(cid:242)i t“n n“n f1 l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm.

(F (db) M(cid:231)i ph˙n t(cid:246) b ∈ B cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c xem nh› l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n (db b→ 1) trong P v(cid:181) do ﬁª F (b) → 1(cid:48)) l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n trong P(cid:48), ngh(cid:220)a l(cid:181) ta cª H1: f0(d(b)) = d(cid:48)(f1(b)), v(cid:237)i m(cid:228)i

b ∈ B.

Theo ph—p chłng minh B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.2, do f1 l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u thÆa m•n S2 n“n ta cª H2. Nh›

v¸y, c˘p (f1, f0) l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u cæa c‚c m«ﬁun ch—o.

B'y giŒ, theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.2, (cid:101)Fx,y ∈ Ker d(cid:48) ⊂ Z(B(cid:48)), v(cid:181) nª x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt h(cid:181)m ϕ ∈

Z 2(Cokerd, Kerd(cid:48)) bºi ϕ(x, y) = (cid:101)Fx,y.

K(cid:253) hi(cid:214)u Grstr l(cid:181) ph„m tr(cid:239) cª c‚c v¸t l(cid:181) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ v(cid:181) m(cid:242)i t“n l(cid:181) c‚c

h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ch(cid:221)nh qui. Ta thu ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) sau ﬁ'y v(cid:210) sø ph'n l(cid:237)p ph„m tr(cid:239) c‚c m«ﬁun

ch—o.

§(cid:222)nh l(cid:253) 3.4 (§(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p). T(cid:229)n t„i mØt t›‹ng ﬁ›‹ng

(B → D)

(f1, f0, ϕ) Φ : Cross → Grstr, (cid:55)→ PB→D (cid:55)→ (F, (cid:101)F )

trong ﬁª F (x) = f0(x), F (b) = f1(b), (cid:101)Fx,y = ϕ(x, y), v(cid:237)i x, y ∈ D, b ∈ B.

Chłng minh. Gi¶ s(cid:246) P, P(cid:48) l˙n l›(cid:238)t l(cid:181) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) li“n k(cid:213)t v(cid:237)i c‚c m«ﬁun ch—o B → D, B(cid:48) → D(cid:48). Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.2, t›‹ng łng (f1, f0, ϕ) (cid:55)→ (F, (cid:101)F ) x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt ﬁ‹n ‚nh tr“n c‚c t¸p Hom:

Φ : HomCross(B → D, B(cid:48) → D(cid:48)) → HomGrstr(PB→D, PB(cid:48)→D(cid:48)).

Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.3 th(cid:215) Φ to(cid:181)n ‚nh.

N(cid:213)u P l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ, v(cid:181) MP l(cid:181) moﬁun ch—o li“n k(cid:213)t v(cid:237)i nª th(cid:215)

Φ(MP) = P (kh«ng ch(cid:216) l(cid:181) ﬁ…ng c˚u). V¸y Φ l(cid:181) mØt t›‹ng ﬁ›‹ng.

Nh¸n x—t. §(cid:222)nh l(cid:253) 1 [8] cæa R. Brown v(cid:181) C. Spencer kh…ng ﬁ(cid:222)nh r»ng ph„m tr(cid:239) G c‚c

3.3 B(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o: l(cid:253) thuy(cid:213)t

c¶n trº v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p

G-groupoid v(cid:181) ph„m tr(cid:239) C c‚c m«ﬁun ch—o l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng. Ta th˚y r»ng ph„m tr(cid:239) G l(cid:181) ph„m tr(cid:239) con cæa ph„m tr(cid:239) Grstr m(cid:181) m(cid:242)i t“n ch(cid:216) g(cid:229)m nh(cid:247)ng h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) cª (cid:101)F = id. Ph„m tr(cid:239) C l(cid:181) ph„m tr(cid:239) con cæa ph„m tr(cid:239) Cross g(cid:229)m nh(cid:247)ng m(cid:242)i t“n (f1, f0, ϕ) v(cid:237)i ϕ = 0. Bºi v¸y §(cid:222)nh l(cid:253) 3.4 l(cid:181) chła §(cid:222)nh l(cid:253) 1 [8].

Tr›(cid:237)c h(cid:213)t, ch(cid:243)ng ta nh(cid:190)c l„i kh‚i ni(cid:214)m mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o theo [9] (c(cid:242)ng

xem [46, 42]).

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a [9]. Cho M = (B d→ D) l(cid:181) mØt m«ﬁun ch—o v(cid:181) Q l(cid:181) mØt nhªm. MØt mº rØng cæa B bºi Q ki(cid:211)u M l(cid:181) mØt bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm

(cid:47) 1,

(cid:47) B

(cid:47) E

(cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) Q E : 0

(cid:47) D

(cid:15) (cid:15) (cid:47) B d

trong ﬁª d(cid:223)ng tr“n l(cid:181) kh(cid:237)p, h(cid:214) (B, E, j, θ0) l(cid:181) mØt m«ﬁun ch—o v(cid:237)i θ0 l(cid:181) ph—p l˚y li“n h(cid:238)p, v(cid:181) (idB, ε) l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u cæa c‚c m«ﬁun ch—o.

Hai mº rØng cæa B bºi Q ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o B d−→ D ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng n(cid:213)u bi(cid:211)u

ﬁ(cid:229) sau giao ho‚n

(cid:47) 1,

(cid:47) B

(cid:47) E

(cid:47) D

(cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) Q E : 0 E ε

j(cid:48)

p(cid:48)

ε(cid:48)

(cid:47) 1,

(cid:47) Q

(cid:47) B

(cid:47) D

(cid:47) E(cid:48)

(cid:15) (cid:15) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) E (cid:48) : 0 E(cid:48)

v(cid:181) ε(cid:48)α = ε. Hi(cid:211)n nhi“n α l(cid:181) mØt ﬁ…ng c˚u.

(cid:47) B

(cid:47) E

Trong bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) 1, Q (3.2) 0

q (cid:47)

(cid:47) D

(cid:47) Cokerd

(cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:47) B d

do d(cid:223)ng tr“n l(cid:181) kh(cid:237)p v(cid:181) do q ◦ ε ◦ j = q ◦ d = 0 n“n cª mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u ψ : Q → Cokerd sao

cho h(cid:215)nh vu«ng thł hai giao ho‚n. H‹n n(cid:247)a, ψ ch(cid:216) ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng cæa mº

rØng E. Khi ﬁª, ta nªi mº rØng E c¶m sinh ﬁ(cid:229)ng c˚u ψ.

M(cid:244)c ﬁ(cid:221)ch cæa ch(cid:243)ng t«i l(cid:181) nghi“n cłu t¸p

ExtB→D(Q, B, ψ)

c‚c l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng c‚c mº rØng cæa B bºi Q ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o B → D, c¶m sinh

ψ : Q → Cokerd. MØt sŁ ph—p chłng minh kh‚c cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p ﬁŁi v(cid:237)i c‚c mº rØng

n(cid:181)y cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c t(cid:215)m th˚y trong [9] (§(cid:222)nh l(cid:253) 5.2) ho˘c [11] (Ch›‹ng 2, m(cid:244)c 2.5).

B'y giŒ, ch(cid:243)ng t«i sˇ s(cid:246) d(cid:244)ng l(cid:253) thuy(cid:213)t c¶n trº cæa c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ﬁ(cid:211) chłng minh

k(cid:213)t qu¶ v(cid:210) sø t(cid:229)n t„i v(cid:181) ph'n l(cid:237)p c‚c mº rØng lo„i n(cid:181)y. Trong ﬁª, k(cid:213)t qu¶ ph'n l(cid:237)p thu ﬁ›(cid:238)c

nh› l(cid:181) mØt h(cid:214) qu¶ cæa L(cid:253) thuy(cid:213)t Schreier (§(cid:222)nh l(cid:253) 3.6) nhŒ c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal gi(cid:247)a c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ Dis Q v(cid:181) PB→D, v(cid:237)i Dis Q l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) ki(cid:211)u (Q, 0, 0) (v(cid:181) c(cid:242)ng ch(cid:221)nh l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) li“n k(cid:213)t v(cid:237)i m«ﬁun ch—o (0, Q, 0, 0)). K(cid:252) thu¸t ﬁ›(cid:238)c ch(cid:243)ng t«i

s(cid:246) d(cid:244)ng trong ph˙n n(cid:181)y l(cid:181) k(cid:252) thu¸t h(cid:214) nh'n t(cid:246) ﬁŁi v(cid:237)i c‚c mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o. B(cid:230) ﬁ(cid:210) d›(cid:237)i ﬁ'y cho ch(cid:243)ng ta th˚y c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal Dis Q → P l(cid:181) h(cid:214) d(cid:247) li(cid:214)u ph(cid:239)

h(cid:238)p ﬁ(cid:211) x'y døng c‚c mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o.

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.5. Cho m«ﬁun ch—o B → D v(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm ψ : Q → Coker d. V(cid:237)i m(cid:231)i h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) : Dis Q → P thÆa m•n F (1) = 1 v(cid:181) c¶m sinh c˘p (ψ, 0) : (Q, 0) → (Cokerd, Kerd), t(cid:229)n t„i mº rØng EF cæa B bºi Q ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o B → D c¶m sinh ψ.

Mº rØng EF ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mº rØng t(cid:221)ch ch—o li“n k(cid:213)t v(cid:237)i h(cid:181)m t(cid:246) monoidal F .

Chłng minh. Gi¶ s(cid:246) (F, (cid:101)F ) : Dis Q → P l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal thÆa m•n F (1) = 1 v(cid:181) c¶m sinh c˘p (ψ, 0). Khi ﬁª, ta ﬁ˘t h(cid:181)m f : Q × Q → B bºi

f (x, y) = (cid:101)Fx,y.

Do (cid:101)Fx,y l(cid:181) m(cid:242)i t“n trong P ta cª

F (x).F (y) = df (x, y).F (xy).

Nh› trong ph—p chłng minh cæa B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.2, f l(cid:181) mØt h(cid:181)m chu¨n t(cid:190)c thÆa m•n

(3.3) θF (x)f (y, z) + f (x, yz) = f (x, y) + f (xy, z).

Ta cª th(cid:211) x'y døng ﬁ›(cid:238)c t(cid:221)ch ch—o E0 = [B, f, Q] nh› sau: E0 = B × Q c(cid:239)ng v(cid:237)i ph—p

to‚n

(b, x) + (c, y) = (b + θF (x)(c) + f (x, y), xy).

p0→ Q → 1,

E0 l(cid:181) mØt nhªm do t(cid:221)nh chu¨n t(cid:190)c cæa f v(cid:181) do h(cid:214) thłc (3.3). Ph˙n t(cid:246) kh«ng cæa E0 l(cid:181) (0, 1) v(cid:181) −(b, u) = (b(cid:48), x−1), trong ﬁª θF (x)(b(cid:48)) = −b − f (x, x−1). Khi ﬁª ta cª d•y kh(cid:237)p c‚c nhªm

j0→ E0

EF : 0 → B

trong ﬁª j0(b) = (b, 1), p0(b, x) = x, b ∈ B, x ∈ Q. Do j0(B) l(cid:181) nhªm con chu¨n t(cid:190)c trong E0 n“n j0 : B → E0 l(cid:181) mØt m«ﬁun ch—o v(cid:237)i t‚c ﬁØng li“n h(cid:238)p θ0 : E0 → Aut B.

‚nh x„ ε : E0 → D ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

(3.4) ε(b, x) = dbF (x), (b, x) ∈ E0,

0 [µ(b,x)(c, 1)] = µb(θF (x)c),

(b,x)(c) = j−1 θ0

l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u. H‹n n(cid:247)a, c˘p (idB, ε) l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u cæa c‚c m«ﬁun ch—o. Th¸t v¸y, d(cid:212) th˚y r»ng ε ◦ j0 = d. H‹n n(cid:247)a, v(cid:237)i m(cid:228)i (b, x) ∈ E0, c ∈ B, ta cª:

θε(b,x)(c) = θdbF (x)c = µb(θF (x)c).

V¸y ta cª mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o

(cid:47) B

(cid:47) E0

(cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) Q 1. EF : 0

q (cid:47)

(cid:47) D

(cid:47) Cokerd

(cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:47) B d

V(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ Q ta cª

qε(b, x) = q(db.F (x)) = qF (x) = ψ(x),

ngh(cid:220)a l(cid:181) mº rØng n(cid:181)y c¶m sinh ψ : Q → Coker d.

Trong b(cid:230) ﬁ(cid:210) tr“n, c˘p ‚nh x„ (θF , f ) m« t¶ mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal tı Dis Q t(cid:237)i P l(cid:181) mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) ﬁŁi v(cid:237)i mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o (B → D). Tr›Œng h(cid:238)p m«ﬁun ch—o

(B → D) l(cid:181) m«ﬁun ch—o c‚c tø ﬁ…ng c˚u cæa B th(cid:215) c˘p (θF , f ) nh› v¸y ch(cid:221)nh l(cid:181) mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) Schreier ﬁŁi v(cid:237)i mº rØng nhªm th«ng th›Œng.

K(cid:253) hi(cid:214)u Hom(ψ,0)[DisQ, PB→D] l(cid:181) t¸p c‚c l(cid:237)p ﬁ(cid:229)ng lu'n cæa c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u

(ψ, 0) tı Dis Q t(cid:237)i PB→D. V(cid:237)i gi¶ thi(cid:213)t nªi trong B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.5 ta cª.

§(cid:222)nh l(cid:253) 3.6 (L(cid:253) thuy(cid:213)t Schreier cho c‚c mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o). Cª mØt song

‚nh

Ω : Hom(ψ,0)[DisQ, PB→D] → ExtB→D(Q, B, ψ).

Chłng minh. B›(cid:237)c 1: C‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ), (F (cid:48), (cid:101)F (cid:48)) : DisQ → PB→D ﬁ(cid:229)ng lu'n khi v(cid:181) ch(cid:216) khi c‚c mº rØng li“n k(cid:213)t t›‹ng łng EF , EF (cid:48) l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng

Tr›(cid:237)c h(cid:213)t do m(cid:231)i h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) ﬁ(cid:229)ng lu'n v(cid:237)i mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (G, (cid:101)G)

cª G(1) = 1, bºi v¸y c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal d›(cid:237)i ﬁ'y ﬁ(cid:210)u ﬁ›(cid:238)c xem l(cid:181) cª t(cid:221)nh ch˚t n(cid:181)y.

Gi¶ s(cid:246) F, F (cid:48) : DisQ → P l(cid:181) hai h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ﬁ(cid:229)ng lu'n, v(cid:237)i ﬁ(cid:229)ng lu'n α : F → F (cid:48). F theo thł tø li“n k(cid:213)t v(cid:237)i F, F (cid:48). Khi ﬁª, theo ﬁ(cid:222)nh

Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.5, t(cid:229)n t„i c‚c mº rØng EF , E (cid:48) ngh(cid:220)a cæa mØt ﬁ(cid:229)ng lu'n ta cª α1 = 0 v(cid:181)

(3.5) F (x) = d(αx).F (cid:48)(x).

T(cid:221)nh tø nhi“n cæa α cho

x,y.

(cid:101)Fx,y + αxy = αx ⊗ αy + (cid:101)F (cid:48)

Theo h(cid:214) thłc (3.1),

(3.6) f (x, y) + αxy = αx + θF (cid:48)(x)(αy) + f (cid:48)(x, y),

x,y. B'y giŒ ta ﬁ˘t

v(cid:237)i f (x, y) = (cid:101)Fx,y, f (cid:48)(x, y) = (cid:101)F (cid:48)

α∗ : E0 → E(cid:48) 0

(b, x) (cid:55)→ (b + αx, x)

V(cid:237)i m(cid:228)i (b, x), (c, y) ∈ E0, ta cª

α∗[(b, x) + (c, y)] =α∗[(b + θF (x)(c) + f (x, y), xy)]

=(b + θF (x)(c) + f (x, y) + αxy, xy),

α∗(b, x) + α∗(c, y) =(b + αx, x) + (c + αy, y)

=(b + αx + θF (cid:48)(x)(c + αy) + f (cid:48)(x, y), xy).

T(cid:221)nh ﬁ(cid:229)ng c˚u cæa α∗ l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i

b + θF (x)(c) + f (x, y) + αxy = b + αx + θF (cid:48)(x)(c + αy) + f (cid:48)(x, y).

§i(cid:210)u n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c suy ra tı

(3.5) = θdαxF (cid:48)(x)(c) + f (x, y) + αxy (C1) = µαx(θF (cid:48)(x)c) + f (x, y) + αxy (3.6) = αx + θF (cid:48)(x)(c + αy) + f (cid:48)(x, y).

θF (x)(c) + f (x, y) + αxy

H‹n n(cid:247)a, d(cid:212) th˚y bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau giao ho‚n

(cid:47) 1,

(cid:47) B

(cid:47) D

(cid:47) EF

(cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) Q 0 EF

j(cid:48)

p(cid:48)

ε(cid:48)

(cid:47) 1,

(cid:47) Q

(cid:47) B

(cid:47) D

α∗ (cid:47) EF (cid:48)

(cid:15) (cid:15) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) 0 EF (cid:48)

Ta c(cid:223)n ph¶i ch(cid:216) ra ε(cid:48)α∗ = ε. Do c‚c h(cid:214) thłc (3.4), (3.5) ta cª:

ε(cid:48)α∗(b, x) = ε(cid:48)(b + αx, x) = d(b + αx).F (cid:48)(x)

= d(b).d(αx).F (cid:48)(x) = d(b).F (x) = ε(b, x).

V¸y hai mº rØng EF v(cid:181) EF (cid:48) l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng.

Ng›(cid:238)c l„i, n(cid:213)u cª ﬁ…ng c˚u α∗ : EF → EF (cid:48) sao cho (idB, α∗, idQ) l(cid:181) mØt t›‹ng ﬁ›‹ng

gi(cid:247)a hai mº rØng th(cid:215) d(cid:212) th˚y

α∗(b, x) = (b + αx, x),

v(cid:237)i α : Q → B l(cid:181) h(cid:181)m thÆa m•n α1 = 0. Thøc hi(cid:214)n ng›(cid:238)c l„i tıng b›(cid:237)c l¸p lu¸n tr“n ta ﬁ›(cid:238)c α l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng lu'n cæa F v(cid:181) F (cid:48).

B›(cid:237)c 2: Ω l(cid:181) to(cid:181)n ‚nh.

Gi¶ s(cid:246) E l(cid:181) mØt mº rØng E cæa B bºi Q, ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o B → D, v(cid:181) c¶m sinh

ψ : Q → Coker d theo bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) giao ho‚n (3.2). Ta ch(cid:216) ra r»ng E cª mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) li“n k(cid:213)t,

ngh(cid:220)a l(cid:181) nª t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i mØt mº rØng t(cid:221)ch ch—o EF li“n k(cid:213)t v(cid:237)i mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) : DisQ → P.

V(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ Q, ch(cid:228)n ﬁ„i di(cid:214)n ex ∈ E sao cho p(ex) = x, e1 = 0. M(cid:231)i ph˙n t(cid:246) trong E cª th(cid:211) bi(cid:211)u di(cid:212)n duy nh˚t d›(cid:237)i d„ng b + ex v(cid:237)i b ∈ B, x ∈ Q. H(cid:214) ﬁ„i di(cid:214)n {ex} c¶m sinh mØt h(cid:181)m chu¨n t(cid:190)c f : Q × Q → B cho bºi

(3.7) ex + ey = f (x, y) + exy,

v(cid:181) c¶m sinh c‚c tø ﬁ…ng c˚u ϕx cæa B cho bºi

ϕx = µex : b (cid:55)→ ex + b − ex.

Do ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n H2 ﬁŁi v(cid:237)i ﬁ(cid:229)ng c˚u (id, ε) : (B → E) → (B → D) cæa hai m«ﬁun ch—o ta cª θεex = ϕx. Khi ﬁª, ta cª th(cid:211) m« t¶ c˚u tr(cid:243)c nhªm tr“n E bºi:

(b + ex) + (c + ey) = b + ϕx(c) + f (x, y) + exy.

B'y giŒ, ta døng h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) : Dis Q → P nh› sau. Do ψ(x) = ψp(ex) =

qε(ex) n“n ε(ex) l(cid:181) mØt ﬁ„i di(cid:214)n cæa ψ(x) trong D. V(cid:215) v¸y, ta ﬁ˘t

F (x) = ε(ex), (cid:101)Fx,y = f (x, y).

Do F (x) = qε(ex) = ψ(x) n“n F c¶m sinh c˘p (ψ, 0). H(cid:214) thłc (3.7) chłng tÆ (cid:101)Fx,y l(cid:181) nh(cid:247)ng m(cid:242)i t“n ph(cid:239) h(cid:238)p trong P. R(cid:226) r(cid:181)ng F (1) = 1. §i(cid:210)u n(cid:181)y c(cid:239)ng v(cid:237)i t(cid:221)nh chu¨n t(cid:190)c cæa h(cid:181)m f (x, y) k—o theo t(cid:221)nh t›‹ng th(cid:221)ch cæa (F, (cid:101)F ) v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222). Lu¸t k(cid:213)t h(cid:238)p cæa ph—p to‚n trong E k—o theo h(cid:214) thłc (3.3). H(cid:214) thłc n(cid:181)y chłng tÆ (F, (cid:101)F ) t›‹ng th(cid:221)ch v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p. T(cid:221)nh tø nhi“n cæa (cid:101)Fx,y v(cid:181) ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n F b¶o to(cid:181)n h(cid:238)p th(cid:181)nh cæa c‚c m(cid:242)i t“n l(cid:181) hi(cid:211)n nhi“n.

CuŁi c(cid:239)ng, d(cid:212) ki(cid:211)m tra r»ng mº rØng t(cid:221)ch ch—o EF li“n k(cid:213)t v(cid:237)i (F, (cid:101)F ) l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng

v(cid:237)i mº rØng E nhŒ ﬁ…ng c˚u β : (b, x) (cid:55)→ b + ex.

Gi¶ s(cid:246) P = PB→D l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ li“n k(cid:213)t v(cid:237)i m«ﬁun ch—o B → D. Do

π0P = Coker d v(cid:181) π1P = Ker d n“n nhªm ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n SP cª d„ng

SP = (Cokerd, Kerd, k), k ∈ H 3(Cokerd, Kerd).

Khi ﬁª, theo (2.2) ﬁ(cid:229)ng c˚u ψ : Q → Cokerd c¶m sinh mØt c¶n trº

ψ∗k ∈ Z 3(Q, Kerd).

V(cid:237)i kh‚i ni(cid:214)m c¶n trº n(cid:181)y ch(cid:243)ng ta cª th(cid:211) ﬁ›a ra chłng minh m(cid:237)i cho §(cid:222)nh l(cid:253) 5.2 [9]

døa tr“n c‚c k(cid:213)t qu¶ nghi“n cłu v(cid:210) h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u (ϕ, f ) º Ch›‹ng 2.

§(cid:222)nh l(cid:253) 3.7. (§(cid:222)nh l(cid:253) 5.2 [9]) Cho m«ﬁun ch—o (B, D, d, θ) v(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm ψ : Q → Cokerd. Khi ﬁª sø tri(cid:214)t ti“u cæa ψ∗k trong H 3(Q, Kerd) l(cid:181) ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n c˙n v(cid:181) ﬁæ ﬁ(cid:211) t(cid:229)n t„i mº rØng nhªm cæa B bºi Q ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o B → D c¶m sinh ψ. H‹n n(cid:247)a, khi ψ∗k tri(cid:214)t ti“u th(cid:215) t¸p c‚c l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng cæa c‚c mº rØng nh› v¸y l(cid:181) song ‚nh v(cid:237)i H 2(Q, Kerd).

Chłng minh. N(cid:213)u ψ∗k = 0 th(cid:215) theo §(cid:222)nh l(cid:253) 2.6 t(cid:229)n t„i mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (Ψ, (cid:101)Ψ) : Dis Q → SP. L˚y h(cid:238)p th(cid:181)nh v(cid:237)i h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ch(cid:221)nh t(cid:190)c (H, (cid:101)H) : SP → P ta ﬁ›(cid:238)c mØt

h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) : Dis Q → P. R(cid:226) r(cid:181)ng h(cid:181)m t(cid:246) monoidal n(cid:181)y c¶m sinh c˘p (ψ, 0) n“n theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.5 thu ﬁ›(cid:238)c mº rØng li“n k(cid:213)t EF .

Ng›(cid:238)c l„i, gi¶ s(cid:246) cª mº rØng ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o l(cid:181)m cho bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) (3.2) giao ho‚n. G(cid:228)i P(cid:48) l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ li“n k(cid:213)t v(cid:237)i m«ﬁun ch—o B → E. Th(cid:213) th(cid:215) theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.2, t(cid:229)n t„i mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal F : P(cid:48) → P. Bºi v(cid:215) nhªm ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n cæa P(cid:48) l(cid:181) Dis Q n“n theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.4, F c¶m sinh h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u (ψ, 0) tı Dis Q t(cid:237)i (Coker d, Ker d, k). B'y giŒ, theo §(cid:222)nh l(cid:253) 2.6, c‚i c¶n trº cæa c˘p (ψ, 0) ph¶i tri(cid:214)t ti“u trong H 3(Q, Ker d), ngh(cid:220)a l(cid:181) ψ∗k = 0.

Ph˙n c(cid:223)n l„i cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁ›(cid:238)c suy ra tı §(cid:222)nh l(cid:253) 3.6.

Tr›(cid:237)c h(cid:213)t, cª mØt song ‚nh tø nhi“n

Hom[Dis Q, P] ↔ Hom[Dis Q, SP].

Tı ﬁª do π0(Dis Q) = Q, π1(SP) = Ker d n“n theo §(cid:222)nh l(cid:253) 3.6 v(cid:181) §(cid:222)nh l(cid:253) 2.6 ta suy ra cª mØt song ‚nh

ExtB→D(Q, B, ψ) ↔ H 2(Q, Kerd).

Nh¸n x—t. i) §(cid:222)nh l(cid:253) 3.7 l(cid:181) chła M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 8.3, Ch›‹ng IV [27]. Th¸t v¸y, ﬁŁi v(cid:237)i m«ﬁun

µ → Aut B ta cª ψ : Q → Aut B/InB, Ker µ = ZB, v(cid:181) m(cid:231)i mº rØng ki(cid:211)u

ch—o B

m«ﬁun ch—o n(cid:181)y l(cid:181) mØt mº rØng nhªm th«ng th›Œng cæa B. Do ﬁª, ta thu ﬁ›(cid:238)c song ‚nh Ext(Q, B, ψ) ↔ H 2(Q, ZB).

ii) Tr›Œng h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng c˚u d cæa m«ﬁun ch—o M l(cid:181) ﬁ‹n c˚u th(cid:215) bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) (3.2) chłng tÆ r»ng

mº rØng (E : B → E → Q) l(cid:181) nh¸n ﬁ›(cid:238)c tı mº rØng (D : B → D → Cokerd) bºi ψ,

ngh(cid:220)a l(cid:181) E = Dψ (xem [27]). Do Kerd = 0 n“n theo §(cid:222)nh l(cid:253) 3.7 ta nh¸n ﬁ›(cid:238)c mØt k(cid:213)t qu¶

quen thuØc.

H(cid:214) qu¶ 3.8. Cho mº rØng nhªm D : B → D → C v(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u ψ : Q → C cæa c‚c nhªm.

Th(cid:213) th(cid:215) mº rØng Dψ t(cid:229)n t„i v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh duy nh˚t sai kh‚c mØt t›‹ng ﬁ›‹ng.

K(cid:213)t lu¸n cæa Ch›‹ng 3

Trong ch›‹ng n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i ﬁ• thu ﬁ›(cid:238)c mØt sŁ k(cid:213)t qu¶ ch(cid:221)nh sau ﬁ'y:

• Bi(cid:211)u di(cid:212)n m«ﬁun ch—o cæa c‚c nhªm qua ng«n ng(cid:247) cæa nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ.

• Ph‚t bi(cid:211)u mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u m«ﬁun ch—o v(cid:181) c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal gi(cid:247)a

c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) li“n k(cid:213)t.

• Ph'n l(cid:237)p c‚c m«ﬁun ch—o.

• Gi¶i b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o nhŒ c‚c k(cid:213)t qu¶ cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t nhªm

ph„m tr(cid:239).

Ch›‹ng 4

Nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c ch˘t chˇ v(cid:181)

mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun

ch—o

Trong ch›‹ng n(cid:181)y, tr›(cid:237)c h(cid:213)t ch(cid:243)ng t«i nh(cid:190)c l„i l(cid:253) thuy(cid:213)t ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n

cæa A. M. Cegarra [15] ﬁ(cid:211) d(cid:239)ng cho c¶ ch›‹ng. Ti(cid:213)p theo, ch(cid:243)ng t«i x'y døng nhªm ph„m

tr(cid:239) ph'n b¸c thu g(cid:228)n cæa mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ﬁ• cho b»ng ph›‹ng ph‚p s(cid:246) d(cid:244)ng h(cid:214) nh'n

t(cid:246), cª so s‚nh v(cid:237)i ph›‹ng ph‚p s(cid:246) d(cid:244)ng ph„m tr(cid:239) khung cæa A. M. Cegarra v(cid:181) c‚c cØng sø

trong [14]. Ch(cid:243)ng t«i c(cid:242)ng tr(cid:215)nh b(cid:181)y l(cid:253) thuy(cid:213)t c¶n trº cæa c‚c Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal v(cid:181) thu

ﬁ›(cid:238)c k(cid:213)t qu¶ ph'n l(cid:237)p c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u (ϕ, f ) (M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 4.5).

T›‹ng tø nh› ﬁŁi v(cid:237)i c‚c m«ﬁun ch—o, ﬁ(cid:211) bi(cid:211)u di(cid:212)n c‚c Γ-m«ﬁun ch—o, ch(cid:243)ng t«i gi(cid:237)i

thi(cid:214)u kh‚i ni(cid:214)m nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ch˘t chˇ. Kh‚i ni(cid:214)m n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra døa tr“n

kh‚i ni(cid:214)m h(cid:214) nh'n t(cid:246) ch(cid:221)nh qui cæa nhªm Γ l˚y h(cid:214) t(cid:246) trong mØt nhªm ph„m tr(cid:239). Tı ﬁª,

t(cid:215)m ﬁ›(cid:238)c mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u Γ-m«ﬁun ch—o v(cid:181) c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ph'n b¸c

ch(cid:221)nh qui gi(cid:247)a c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c li“n k(cid:213)t, l(cid:181)m c‹ sº cho ph—p chłng minh ﬁ(cid:222)nh

l(cid:253) ph'n l(cid:237)p c‚c Γ-m«ﬁun ch—o (§(cid:222)nh l(cid:253) 4.13). §(cid:229)ng thŒi, ch(cid:243)ng t«i c(cid:242)ng ph‚t bi(cid:211)u v(cid:181) gi¶i

quy(cid:213)t b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o (c‚c §(cid:222)nh l(cid:253) 4.11, 4.13).

4.1 L(cid:253) thuy(cid:213)t ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n cæa Cegarra

C‚c k(cid:213)t qu¶ cæa ch›‹ng n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t døa theo [39].

L(cid:253) thuy(cid:213)t ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n ﬁ›(cid:238)c xem l(cid:181) mØt c«ng c(cid:244) ph(cid:239) h(cid:238)p ﬁ(cid:211) gi¶i

quy(cid:213)t mØt c‚ch cª h(cid:214) thŁng c‚c b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n nªi chung, ch…ng h„n

xem [14]. Trong ch›‹ng n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i sˇ s(cid:246) d(cid:244)ng l(cid:253) thuy(cid:213)t n(cid:181)y ﬁ(cid:211) thu ﬁ›(cid:238)c k(cid:213)t qu¶ ph'n

l(cid:237)p c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal Γ-ph'n b¸c ki(cid:211)u (ϕ, f ) v(cid:181) ph'n l(cid:237)p c‚c mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u

Γ-m«ﬁun ch—o.

Γ (Π, A) cæa Γ-nhªm Π l˚y h(cid:214) t(cid:246) trong Π-m«ﬁun Γ-ﬁ…ng bi(cid:213)n A, v(cid:237)i n ≤ 3, cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c t(cid:221)nh nh› l(cid:181) nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u cæa phłc ﬁŁi x(cid:221)ch

Theo [15], nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u H n

b(cid:222) ch˘n

Γ(Π, A) → 0,

Γ(Π, A) ∂−→ Z 3

Γ(Π, A) ∂−→ C 2 Γ(Π, A) bao g(cid:229)m t˚t c¶ c‚c ‚nh x„ chu¨n t(cid:190)c f : Π → A, C 2

˜CΓ(Π, A) : 0 → C 1

trong ﬁª C 1 Γ(Π, A) bao g(cid:229)m t˚t c¶ c‚c ‚nh x„ chu¨n t(cid:190)c g : Π2 ∪ (Π × Γ) → A v(cid:181) Z 3 Γ(Π, A) bao g(cid:229)m t˚t c¶ c‚c ‚nh x„ chu¨n t(cid:190)c h : Π3 ∪ (Π2 × Γ) ∪ (Π × Γ2) → A tho¶ m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh sau

ﬁ'y:

xh(y, z, t) + h(x, yz, t) + h(x, y, z) = h(x, y, zt) + h(xy, z, t), (4.1)

σh(x, y, z) + h(xy, z, σ) + h(x, y, σ) = h(σx, σy, σz) + (σx)h(y, z, σ) + h(x, yz, σ), (4.2)

σh(x, y, τ ) + h(τ x, τ y, σ) + h(x, σ, τ ) + (στ x)h(y, σ, τ ) = h(x, y, στ ) + h(xy, σ, τ ), (4.3)

σh(x, τ, γ) + h(x, σ, τ γ) = h(x, στ, γ) + h(γx, σ, τ ), (4.4)

v(cid:237)i m(cid:228)i x, y, z, t ∈ Π; σ, τ, γ ∈ Γ.

Γ(Π, A), ∂f ﬁ›(cid:238)c cho bºi:

V(cid:237)i m(cid:231)i f ∈ C 1

(∂f )(x, y) = xf (y) − f (xy) + f (x),

(∂f )(x, σ) = σf (x) − f (σx).

Γ(Π, A), ∂g ﬁ›(cid:238)c cho bºi:

V(cid:237)i m(cid:231)i g ∈ C 2

(∂g)(x, y, z) = xg(y, z) − g(xy, z) + g(x, yz) − g(x, y),

(∂g)(x, y, σ) = σg(x, y) − g(σx, σy) − (σx)g(y, σ) + g(xy, σ) − g(x, σ),

(∂g)(x, σ, τ ) = σg(x, τ ) − g(x, στ ) + g(τ x, σ),

v(cid:237)i m(cid:228)i x, y, z, t ∈ Π v(cid:181) σ, τ ∈ Γ.

Tr›Œng h(cid:238)p ﬁ˘c bi(cid:214)t khi Γ = 1 l(cid:181) nhªm t˙m th›Œng th(cid:215) ta thu ﬁ›(cid:238)c l(cid:253) thuy(cid:213)t ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng

4.2 Nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c thu g(cid:228)n v(cid:181) h(cid:181)m t(cid:246) monoidal

ph'n b¸c ki(cid:211)u (ϕ, f )

ﬁi(cid:210)u nhªm th«ng th›Œng.

Trong m(cid:244)c n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i tr(cid:215)nh b(cid:181)y hai nØi dung ch(cid:221)nh. MØt l(cid:181), x'y døng nhªm ph„m

tr(cid:239) ph'n b¸c thu g(cid:228)n cæa mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c cho tr›(cid:237)c, t›‹ng tø nh› k(cid:213)t qu¶ cæa

H. X. S(cid:221)nh [50] cho tr›Œng h(cid:238)p kh«ng ph'n b¸c. Hai l(cid:181), x'y døng l(cid:253) thuy(cid:213)t c¶n trº v(cid:181) ph'n

l(cid:237)p c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal Γ-ph'n b¸c ki(cid:211)u (ϕ, f ), l(cid:181) mº rØng cæa §(cid:222)nh l(cid:253) 2.6 º Ch›‹ng 2.

4.2.1 X'y døng nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c thu g(cid:228)n th«ng qua ph„m tr(cid:239)

khung

Trong [14], A. M. Cegarra v(cid:181) c‚c cØng sø ﬁ• ch(cid:216) ra r»ng v(cid:237)i m(cid:231)i nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c G th(cid:215) cª mØt h(cid:214) d(cid:247) li(cid:214)u li“n k(cid:213)t bao g(cid:229)m: mØt Γ-nhªm Π, mØt Π-m«ﬁun Γ-ﬁ…ng bi(cid:213)n A v(cid:181) mØt 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh h ∈ Z 3 Γ(Π, A). Tı c‚c d(cid:247) ki(cid:214)n n(cid:181)y, c‚c t‚c gi¶ ﬁ• x'y døng ﬁ›(cid:238)c mØt nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c, k(cid:253) hi(cid:214)u (cid:82) Γ(Π, A, h), v(cid:181) kh…ng ﬁ(cid:222)nh (kh«ng chłng minh) r»ng nª t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal v(cid:237)i G. D›(cid:237)i ﬁ'y, ch(cid:243)ng t«i nh(cid:190)c l„i mØt c‚ch ng(cid:190)n g(cid:228)n ph—p døng n(cid:181)y v(cid:181) chłng minh sø t›‹ng ﬁ›‹ng gi(cid:247)a hai ph„m tr(cid:239) n(cid:181)y (M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 4.1).

i) T¸p Π = π0G c‚c l(cid:237)p v¸t 1-ﬁ…ng c˚u trong G l(cid:181) mØt Γ-nhªm. ii) T¸p A = π1G c‚c 1-tø ﬁ…ng c˚u cæa v¸t ﬁ‹n v(cid:222) I l(cid:181) mØt Π-m«ﬁun Γ-ﬁ…ng bi(cid:213)n (chi

Γ(π0G, π1G) ﬁ›(cid:238)c x'y døng th«ng qua mØt ph„m tr(cid:239) khung

ti(cid:213)t xem M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.2 [14]).

iii) 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh h ∈ Z 3 ˆG t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i G nh› sau.

V(cid:237)i m(cid:231)i s ∈ π0G, ch(cid:228)n mØt v¸t Xs ∈ s, v(cid:237)i X1 = I v(cid:181) v(cid:237)i b˚t kœ v¸t X kh‚c thuØc s

ta cŁ ﬁ(cid:222)nh mØt m(cid:242)i t“n b¸c 1,

iX : X → Xs, v(cid:237)i iXs = idXs, iI⊗Xs = lXs, iXs⊗I = rXs.

Khi ﬁª, ph„m tr(cid:239) ˆG cª c‚c v¸t l(cid:181) t˚t c¶ c‚c Xs, s ∈ π0G, l(cid:181) mØt ph„m tr(cid:239) con ﬁ˙y cæa G v(cid:237)i ˆgr = gr| ˆG, ˆ⊗ = ⊗| ˆG, ˆI = I v(cid:181) ˆl = id = ˆr. V(cid:237)i s ∈ π0G th(cid:215) c‚c ﬁ…ng c˚u nhªm

ˆδ← π1

Aut1(Xs) ˆG = π1G ˆγ → Aut1(Xs)

ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi ˆδXs(a) = Xs ˆ⊗a, ˆγXs(a) = a ˆ⊗Xs.

V(cid:237)i m(cid:231)i σ ∈ Γ v(cid:181) m(cid:231)i s ∈ π0 ˆG = π0G th(cid:215) cª mØt m(cid:242)i t“n trong ˆG v(cid:237)i ﬁŁi mi(cid:210)n Xs v(cid:181)

cª b¸c σ,

Υ(s,σ) : Xs → Xσs, Υ(1,σ) = ˆI(σ), Υ(s,1) = idXs.

H‹n n(cid:247)a, n(cid:213)u f : Xr → Xs l(cid:181) m(cid:242)i t“n cª b¸c σ trong ˆG th(cid:215) v(cid:237)i a ∈ π1 ˆG = π1G, ta cª

(4.5) f ˆγXr(a) = ˆγXs(σa)f, f ˆδXr(a) = ˆδXs(σa)f.

S(cid:246) d(cid:244)ng c‚c ﬁ…ng c˚u nhªm ˆγ n(cid:181)y ta x‚c ﬁ(cid:222)nh ﬁ›(cid:238)c mØt 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh ﬁ…ng bi(cid:213)n h

bºi c‚c ﬁ…ng thłc

ˆaXr,Xs,Xt = ˆγXrst(h(r, s, t)),

(4.6) Υ(rs,σ) = ˆγXσ(rs)(h(r, s, σ))(Υ(r,σ) ˆ⊗Υ(s,σ)),

Υ(τ r,σ)Υ(r,τ ) = ˆγX(στ )r(h(r, σ, τ ))Υ(r,στ ).

B'y giŒ, nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c (cid:90) (cid:90) (Π, A, h) = (cid:0) (Π, A, h), gr, ⊗, I, a, l, r(cid:1)

ﬁ›(cid:238)c x'y døng nh› sau: c‚c v¸t l(cid:181) c‚c ph˙n t(cid:246) x ∈ Π v(cid:181) m(cid:242)i t“n cæa ch(cid:243)ng l(cid:181) c‚c c˘p

(a,σ) −−→ y

(a, σ) : x → y bao g(cid:229)m ph˙n t(cid:246) a ∈ A v(cid:181) σ ∈ Γ sao cho σx = y.

(b,τ ) −−→ z) ﬁ›(cid:238)c cho bºi

H(cid:238)p th(cid:181)nh cæa hai m(cid:242)i t“n (x

(b, τ )(a, σ) = (b + τ a + h(x, τ, σ), τ σ).

Γ(Π, A, h) ﬁ›(cid:238)c cho bºi

(a,σ)

Γ(Π, A, h) ×Γ → y) ⊗ (x(cid:48) (b,σ)

Γ(Π, A, h) → (cid:82) → y(cid:48)) = (xx(cid:48) (a+yb+h(x,x(cid:48),σ),σ)

(cid:82) T(cid:221)ch tenx‹ ph'n b¸c (cid:82)

−−−−−−−−−−−→ yy(cid:48)). (x

C‚c m(cid:242)i t“n ﬁ…ng c˚u k(cid:213)t h(cid:238)p ﬁ›(cid:238)c cho bºi

ax,y,z = (h(x, y, z), 1) : (xy)z → x(yz).

Γ(Π, A, h) cho bºi

H(cid:181)m t(cid:246) ph'n b¸c ﬁ‹n v(cid:222) I : Γ → (cid:82)

(0,σ) −−→ 1).

I(∗ σ−→ ∗) = (1

C‚c r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222) l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng nh˚t lx = (0, 1) = rx : x → x.

Γ(Π, A, h) l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal v(cid:237)i nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n

Nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c (cid:82)

Γ(Π, A, h) → G x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

b¸c G do m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) d›(cid:237)i ﬁ'y. M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 4.1. Γ-h(cid:181)m t(cid:246) (HΓ, (cid:101)HΓ, id) : (cid:82)

ˆγXs (a)◦Υ(r,σ) −−−−−−−−→ Xs)

HΓ(s) = Xs

(a,σ) → s) = (Xr

HΓ(r

Xr⊗Xs

   , ( (cid:101)HΓ)r,s = i−1

(a,σ) → s), (s

v(cid:237)i σr = s, l(cid:181) mØt t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal Γ-ph'n b¸c.

Chłng minh. Tr›(cid:237)c h(cid:213)t, ta cª: HΓ(ids) = HΓ(0, 1) = idXs = idHΓ(s). (b,τ ) → t) ta cª: V(cid:237)i c‚c m(cid:242)i t“n (r

HΓ[(b, τ ) ◦ (a, σ)] =HΓ[b + τ a + h(r, τ, σ), τ σ]

ˆγXt (b+τ a+h(r,τ,σ))◦Υ(r,τ σ) −−−−−−−−−−−−−−−−→ Xτ σr)

=(Xr

(4.6) = ˆγXτ σr(b) ◦ ˆγXτ σr(τ a) ◦ Υ(σr,τ ) ◦ Υ(r,σ) (4.5) = ˆγXτ σr(b) ◦ Υ(σr,τ ) ◦ ˆγXσr(a) ◦ Υ(r,σ)

=ˆγXτ σr(b) ◦ ˆγXτ σr(τ a) ◦ ˆγXτ σr(h(r, τ, σ)) ◦ Υ(r,τ σ)

ˆγXτ s (b)◦Υ(s,τ ) −−−−−−−−→ Xt) ◦ (Xr

ˆγXσs (a)◦Υ(r,σ) −−−−−−−−→ Xs)

=(Xs

=HΓ(b, τ ) ◦ HΓ(a, σ).

V¸y HΓ l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) Γ-ph'n b¸c.

Γ(Π, A, h) nh› sau

Ta x'y døng h(cid:181)m t(cid:246) Γ-ph'n b¸c (GΓ, (cid:101)GΓ, id) : G → (cid:82)

(i−1

Y f iX Υ−1

(s,σ)),σ)

f → Y ) = (s

(ˆγ−1 Xσs −−−−−−−−−−−−−→ σs)

 GΓ(X) = [X] = s

GΓ(X

  ( (cid:101)GΓ)Xr,Xs = GΓ(iXr ⊗ iXs),

trong ﬁª, f : X → Y l(cid:181) m(cid:242)i t“n cª b¸c σ v(cid:181) σ[X] = [Y ]. H‹n n(cid:247)a, do iXs = id n“n

Y f iXΥ−1

Y f iX,

(s,σ)), σ) = i−1

(i−1 HΓGΓ(X) = HΓ(s) = Xs, HΓGΓ(f ) = HΓ(ˆγ−1 Xσs

GΓHΓ(s) = GΓ(Xs) = s,

GΓHΓ(a, σ) = GΓ(γXs(a) ◦ Υ(r,σ)) = (a, σ).

V¸y ta cª c‚c ﬁ…ng c˚u h(cid:181)m t(cid:246)

iX : HΓGΓ(X) ∼→ X, ids : GΓHΓ(s) ∼→ s.

Do ﬁª, HΓ l(cid:181) mØt t›‹ng ﬁ›‹ng gi(cid:247)a c‚c ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c.

H‹n n(cid:247)a, c‚c h(cid:181)m t(cid:246) Γ-ph'n b¸c GΓ v(cid:181) HΓ l(cid:181) c‚c t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal ph'n b¸c.

C‚c t›‹ng ﬁ›‹ng GΓ, HΓ ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) nh(cid:247)ng t›‹ng ﬁ›‹ng ph'n b¸c ch(cid:221)nh t(cid:190)c. Nh¸n x—t: Ta th˚y r»ng c‚c t›‹ng ﬁ›‹ng ph'n b¸c ch(cid:221)nh t(cid:190)c HΓ, GΓ ﬁ›(cid:238)c x'y døng ho(cid:181)n to(cid:181)n t›‹ng tø nh› c‚c t›‹ng ﬁ›‹ng ch(cid:221)nh t(cid:190)c G, H trong [50] (M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 7, Ch›‹ng II) nh›ng

4.2.2 X'y døng nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c thu g(cid:228)n b»ng ph›‹ng ph‚p

h(cid:214) nh'n t(cid:246)

ﬁ›(cid:238)c l(cid:181)m gi(cid:181)u th“m t(cid:221)nh ch˚t Γ-ph'n b¸c.

Kh‚i ni(cid:214)m h(cid:214) nh'n t(cid:246) trong l(cid:253) thuy(cid:213)t Schreier-Eilenberg-Mac Lane v(cid:210) mº rØng nhªm

ﬁ• ﬁ›(cid:238)c l“n c˚p ﬁØ ph„m tr(cid:239) bºi A. Grothendieck [47] v(cid:237)i t“n g(cid:228)i gi¶ h(cid:181)m t(cid:246). Sau ﬁª, v(cid:181)o

n¤m 2001 A. M. Cegarra - A. R. Garzªn - J. A. Ortega ﬁ• s(cid:246) d(cid:244)ng kh‚i ni(cid:214)m n(cid:181)y ﬁ(cid:211) ph'n

l(cid:237)p c‚c ph„m tr(cid:239) monoidal ph'n b¸c trong [13]. Tuy nhi“n, trong c‚c c«ng tr(cid:215)nh ti(cid:213)p theo sø

ph'n l(cid:237)p c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c trong [14] v(cid:181)o n¤m 2002, ph'n l(cid:237)p c‚c nhªm ph„m

tr(cid:239) b(cid:214)n ph'n b¸c trong [17] v(cid:181) ph'n l(cid:237)p c‚c ph„m tr(cid:239) Picard ph'n b¸c trong [18] v(cid:181)o n¤m

2007 th(cid:215) A. M. Cegarra v(cid:181) c‚c cØng sø l„i kh«ng s(cid:246) d(cid:244)ng ph›‹ng ph‚p h(cid:214) nh'n t(cid:246). Nh¸n

th˚y tri(cid:211)n v(cid:228)ng cæa ph›‹ng ph‚p n(cid:181)y, N. T. Quang ﬁ• ﬁ(cid:210) ngh(cid:222) mØt c‚ch ti(cid:213)p c¸n m(cid:237)i cho

b(cid:181)i to‚n ph'n l(cid:237)p c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c s(cid:246) d(cid:244)ng ph›‹ng ph‚p h(cid:214) nh'n t(cid:246) ﬁ(cid:211) v(cid:181) thu

ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p b»ng con ﬁ›Œng kh‚ ng(cid:190)n g(cid:228)n. Sau n(cid:181)y, trong c«ng tr(cid:215)nh [12] v(cid:237)i

sø cØng t‚c cæa M. Calvo, A. M. Cegarra v(cid:181) N. T. Quang, c‚c t‚c gi¶ ﬁ• quay l„i s(cid:246) d(cid:244)ng

ph›‹ng ph‚p h(cid:214) nh'n t(cid:246) ﬁ(cid:211) nghi“n cłu v(cid:210) nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n th(cid:237).

Γ(Π, A, h). Tr›(cid:237)c h(cid:213)t, b»ng ph—p x'y døng t›‹ng tø nh› trong B›(cid:237)c 1 cæa ph—p chłng minh §(cid:222)nh l(cid:253) 2.13, ta cª th(cid:211) ch(cid:216) ra ﬁ›(cid:238)c r»ng m(cid:231)i nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c (G, gr) c¶m sinh mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) F tr“n Γ v(cid:237)i c‚c h(cid:214) t(cid:246) trong nhªm ph„m tr(cid:239) KerG.

Theo (cid:253) t›ºng n(cid:181)y, º ﬁ'y, ch(cid:243)ng t«i sˇ ch(cid:216) ra r»ng m(cid:231)i nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c G c¶m sinh mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) F m(cid:181) mº rØng t(cid:221)ch ch—o cæa nª, ∆F, l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal v(cid:237)i G. H‹n n(cid:247)a, ∆F ch(cid:221)nh l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c (cid:82)

C(cid:242)ng t›‹ng tø nh› B›(cid:237)c 2 cæa ph—p chłng minh §(cid:222)nh l(cid:253) 2.13, ta th˚y r»ng tı mØt h(cid:214)

nh'n t(cid:246) F cª th(cid:211) x'y døng ﬁ›(cid:238)c mØt nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c, k(cid:253) hi(cid:214)u ∆F, g(cid:228)i l(cid:181) mº

rØng t(cid:221)ch ch—o cæa F.

H‹n n(cid:247)a, m(cid:231)i nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c G l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i mº rØng t(cid:221)ch ch—o cæa mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) F v(cid:237)i h(cid:214) t(cid:246) trong nhªm ph„m tr(cid:239) Ker G bºi t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal Γ-ph'n b¸c (K, (cid:101)K, K∗) : ∆F → G cho bºi

(a,σ) → Y ) = (X

a◦Υσ X→ Y ), (cid:101)KX,Y = id, K∗ = id.

K(X) = X, K(X

Ta c˙n t(cid:237)i k(cid:213)t qu¶ sau ﬁ'y ﬁ(cid:211) ch(cid:216) ra r»ng thøc ra G t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i mº rØng t(cid:221)ch ch—o

cæa mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) l˚y h(cid:214) t(cid:246) trong nhªm ph„m tr(cid:239) ki(cid:211)u (Π, A).

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 4.2. (M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.1 [34]) N(cid:213)u G, G(cid:48) l(cid:181) hai nhªm ph„m tr(cid:239) t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal th(cid:215) m(cid:231)i h(cid:214) nh'n t(cid:246) F l˚y h(cid:214) t(cid:246) trong G c¶m sinh mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) F (cid:48) l˚y h(cid:214) t(cid:246) trong G(cid:48). H‹n n(cid:247)a, c‚c mº rØng t(cid:221)ch ch—o t›‹ng łng l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng Γ-ph'n b¸c.

B'y giŒ, theo l›u (cid:253) º tr“n, G t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i mº rØng t(cid:221)ch ch—o ∆F, v(cid:237)i F l(cid:181) h(cid:214) nh'n t(cid:246) l˚y h(cid:214) t(cid:246) trong nhªm ph„m tr(cid:239) Ker G. Do Ker G t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal v(cid:237)i nhªm ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n SKer G cæa nª n“n theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 4.2, F c¶m sinh h(cid:214) nh'n t(cid:246) FS l˚y h(cid:214) t(cid:246) trong SKer G = (Π, A) sao cho ∆F t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i ∆FS. Do ﬁª G t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i ∆FS.

Γ(Π, A).

§(cid:222)nh l(cid:253) 4.3. (§(cid:222)nh l(cid:253) 3.2, M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 4.1 [34]) Gi¶ s(cid:246) Γ l(cid:181) mØt nhªm, S l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) ki(cid:211)u (Π, A, h). Khi ﬁª m(cid:231)i h(cid:214) nh'n t(cid:246) F = (S, F σ, ησ,τ ) c¶m sinh c‚c c˚u tr(cid:243)c Γ-nhªm tr“n Π, Π-m«ﬁun Γ-ﬁ…ng bi(cid:213)n tr“n A v(cid:181) mØt 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh chu¨n t(cid:190)c hF ∈ Z 3

Chłng minh. Theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.5, m(cid:231)i h(cid:181)m t(cid:246) monoidal F σ : S −→ S l(cid:181) mØt c˘p ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm (ϕσ : Π → Π, f σ : A → A). H‹n n(cid:247)a, do F σ l(cid:181) mØt tø t›‹ng ﬁ›‹ng n“n ϕσ, f σ l(cid:181)

nh(cid:247)ng tø ﬁ…ng c˚u nhªm.

: F σF τ (x) −→ F στ (x) l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n trong S = (Π, A) M˘t kh‚c, n(cid:213)u σ, τ ∈ Γ th(cid:215) ησ,τ x

n“n ta cª

F στ (x) = (F σF τ )(x), ∀x ∈ Π.

Suy ra, ϕστ = ϕσϕτ .

V(cid:237)i σ ∈ Γ, x ∈ Π, a ∈ A, ta ﬁ˘t

σx = ϕσ(x), σa = f σ(a).

Ta cª

(στ )x = ϕστ (x) = ϕσ(ϕτ (x)) = σ(τ x),

σ(xy) = ϕσ(xy) = ϕσ(x)ϕσ(y) = σxσy.

Do ﬁª Π l(cid:181) mØt Γ-nhªm.

M˘t kh‚c, r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p h cæa nhªm ph„m tr(cid:239) S thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh

(4.1) (suy tı ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n kh(cid:237)p (1.1)).

∗ = id n“n

x,y = ( (cid:101)f (x, y, σ), σ(xy)). Do F σ l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal v(cid:181) F σ

B'y giŒ ﬁ˘t (cid:101)F σ

ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n kh(cid:237)p (1.6) trº th(cid:181)nh

(cid:101)f (y, z, σ) − (cid:101)f (xy, z, σ) + (cid:101)f (x, yz, σ) − (cid:101)f (x, y, σ) = σ(h(x, y, z)) − h(σx, σy, σz),

§'y ch(cid:221)nh l(cid:181) ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh (4.2). §i(cid:210)u ki(cid:214)n kh(cid:237)p (1.7) k—o theo t(cid:221)nh chu¨n t(cid:190)c cæa h(cid:181)m (cid:101)f : (cid:101)f (x, 1, σ) = (cid:101)f (1, y, σ) = 0.

x ), v(cid:237)i

x = (t(x, σ, τ ), στ x) : F σF τ x −→ F στ x. ησ,τ

B'y giŒ x—t ﬁ…ng c˚u h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ησ,τ = (ησ,τ

Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa mØt ph—p bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i tø nhi“n cæa c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ta cª c‚c h(cid:214) thłc

sau.

f σf τ = f στ , (4.7)

(4.8) (cid:101)f (x, y, στ ) − (cid:101)f (τ x, τ y, σ) − σ( (cid:101)f ((x, y, τ )) = t(y, σ, τ ) − t(xy, σ, τ ) + t(x, σ, τ ),

v(cid:181) t thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n chu¨n t(cid:190)c t(1, σ, τ ) = 0.

H(cid:214) thłc (4.7) x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm

f : Γ → Aut A,

do ﬁª A l(cid:181) mØt Γ-m«ﬁun.

H(cid:214) thłc (4.8) ch(cid:221)nh l(cid:181) ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh (4.3).

§i(cid:210)u ki(cid:214)n (2.6) cæa h(cid:214) nh'n t(cid:246) d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n h(cid:214) thłc

σt(x, τ, γ) + t(x, σ, τ γ) = t(x, στ, γ) + t(γx, σ, τ ).

Γ(Π, A).

§'y l(cid:181) ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh (4.4). V¸y hF = (h, (cid:101)f , t) l(cid:181) mØt 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh chu¨n t(cid:190)c thuØc Z 3

Γ(Π, A).

H(cid:214) qu¶ 4.4. M(cid:231)i nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c G c¶m sinh c‚c c˚u tr(cid:243)c Γ-nhªm tr“n Π = π0G, Π-m«ﬁun Γ-ﬁ…ng bi(cid:213)n tr“n A = π1G, v(cid:181) c¶m sinh mØt 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh chu¨n t(cid:190)c h ∈ Z 3

Tı Nh¸n x—t 2.14, ta suy ra r»ng v(cid:237)i F l(cid:181) h(cid:214) nh'n t(cid:246) l˚y h(cid:214) t(cid:246) trong nhªm ph„m tr(cid:239) SG

4.2.3 Ph'n l(cid:237)p c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ph'n b¸c ki(cid:211)u (ϕ, f )

ki(cid:211)u (Π, A, h), th(cid:215) nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ∆F c(cid:242)ng ch(cid:221)nh l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c (cid:82) Γ(π0G, π1G, h) ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:210) c¸p ﬁ(cid:213)n º m(cid:244)c 4.2.1. Ta g(cid:228)i ﬁª l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c thu g(cid:228)n cæa nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c G. Ta cª th(cid:211) nªi (cid:82) Γ(π0G, π1G, h) cª ki(cid:211)u (Π, A, h) ho˘c ﬁ‹n gi¶n l(cid:181) ki(cid:211)u (Π, A) khi ta thay th(cid:213) π0G, π1G bºi c‚c Γ-nhªm Π v(cid:181) Π-m«ﬁun Γ-ﬁ…ng bi(cid:213)n A mØt c‚ch t›‹ng łng.

Trong ti(cid:211)u m(cid:244)c n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i sˇ m« t¶ v(cid:181) ph'n l(cid:237)p c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal Γ-ph'n b¸c

gi(cid:247)a c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c nh› ﬁ• l(cid:181)m ﬁŁi v(cid:237)i c‚c h(cid:181)m t(cid:246) ki(cid:211)u (ϕ, f ) º Ch›‹ng 2. Gi¶ s(cid:246) S = (Π, A, h), S(cid:48) = (Π(cid:48), A(cid:48), h(cid:48)) l(cid:181) nh(cid:247)ng nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c. MØt h(cid:181)m

t(cid:246) Γ-ph'n b¸c F : S → S(cid:48) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i cª ki(cid:211)u (ϕ, f ) n(cid:213)u

F (x) = ϕ(x), F (a, σ) = (f (a), σ), x ∈ Π, a ∈ A, σ ∈ Γ,

trong ﬁª ϕ : Π → Π(cid:48) l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u ﬁ…ng bi(cid:213)n (v(cid:215) v¸y A(cid:48) trº th(cid:181)nh mØt Π-m«ﬁun Γ-ﬁ…ng bi(cid:213)n qua ϕ) v(cid:181) f l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u Π-m«ﬁun Γ-ﬁ…ng bi(cid:213)n (ngh(cid:220)a l(cid:181) vıa l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u Γ-nhªm,

vıa l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u Π-m«ﬁun).

K(cid:253) hi(cid:214)u Hom(ϕ,f )[S, S(cid:48)] l(cid:181) t¸p t˚t c¶ c‚c l(cid:237)p ﬁ(cid:229)ng lu'n cæa c‚c Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u

(ϕ, f ) tı S = (Π, A, h) t(cid:237)i S(cid:48) = (Π(cid:48), A(cid:48), h(cid:48)).

T›‹ng tø nh› tr›Œng h(cid:238)p kh«ng ph'n b¸c, ta g(cid:228)i h(cid:181)m

(4.9) ξ = ϕ∗h(cid:48) − f∗h

l(cid:181) mØt c¶n trº cæa h(cid:181)m t(cid:246) Γ-ph'n b¸c F : S → S(cid:48) ki(cid:211)u (ϕ, f ). Tı M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.4 v(cid:181) §(cid:222)nh l(cid:253) 2.6, b»ng mØt v(cid:181)i thay ﬁ(cid:230)i c˙n thi(cid:213)t ta thu ﬁ›(cid:238)c k(cid:213)t qu¶ sau.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 4.5. Cho G, G(cid:48), S = (Π, A, h), S(cid:48) = (Π(cid:48), A(cid:48), h(cid:48)) l(cid:181) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c. Khi ﬁª: i) M(cid:231)i Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) : G → G(cid:48) th(cid:211) hi(cid:214)n mØt Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal SF : SG → SG(cid:48) ki(cid:211)u (ϕ, f ), v(cid:237)i ϕ = F0, f = F1 ﬁ›(cid:238)c cho bºi

[X] (cid:55)→ [F X],

F I (F u).

F0 : π0G → π0G(cid:48), F1 : π1G → π1G(cid:48), u (cid:55)→ ˆγ−1

ΓF HΓ, trong ﬁª HΓ, G(cid:48)

Γ l(cid:181) nh(cid:247)ng Γ-t›‹ng ﬁ›‹ng ch(cid:221)nh t(cid:190)c.

Γ(Π, A(cid:48)). Khi ﬁª t(cid:229)n t„i song ‚nh

H‹n n(cid:247)a, SF = G(cid:48) ii) M(cid:231)i Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) : S → S(cid:48) l(cid:181) mØt Γ-h(cid:181)m t(cid:246) ki(cid:211)u (ϕ, f ). iii) Γ-h(cid:181)m t(cid:246) F : S → S(cid:48) ki(cid:211)u (ϕ, f ) cª th(cid:211) hi(cid:214)n l(cid:181) mØt Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal n(cid:213)u v(cid:181) ch(cid:216) n(cid:213)u c‚i c¶n trº ξ tri(cid:214)t ti“u trong H 3

Γ(Π, A(cid:48)).

4.3 Γ-m«ﬁun ch—o v(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c li“n k(cid:213)t

Hom(ϕ,f )[S, S(cid:48)] ↔ H 2

Kh‚i ni(cid:214)m Γ-m«ﬁun ch—o l(cid:181) mØt kh‚i qu‚t cæa kh‚i ni(cid:214)m m«ﬁun ch—o cæa c‚c nhªm

cæa J. H. C. Whitehead [43]. Tr›(cid:237)c h(cid:213)t, ta cª nh¸n x—t r»ng n(cid:213)u B l(cid:181) mØt Γ-nhªm th(cid:215) nhªm

AutB c‚c tø ﬁ…ng c˚u nhªm cæa B c(cid:242)ng l(cid:181) mØt Γ-nhªm v(cid:237)i t‚c ﬁØng ﬁ›(cid:238)c cho bºi

(σf )(b) = σ(f (σ−1b)), b ∈ B, f ∈ Aut B.

Khi ﬁª, ﬁ(cid:229)ng c˚u µ : B → Aut B, b (cid:55)→ µb (µb l(cid:181) tø ﬁ…ng c˚u trong cæa B ﬁ›(cid:238)c cho bºi li“n h(cid:238)p v(cid:237)i b) l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u gi(cid:247)a c‚c Γ-nhªm. Th¸t v¸y, v(cid:237)i m(cid:228)i σ ∈ Γ, a, b ∈ B ta cª

µσb(a) = σb + a − σb = σ(b + σ−1a − b) = σ(µb(σ−1a)) = (σµb)(a).

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a [30]. Cho B, D l(cid:181) c‚c Γ-nhªm. MØt Γ-m«ﬁun ch—o l(cid:181) mØt bØ bŁn M =

(B, D, d, θ) trong ﬁª d : B → D, θ : D → AutB l(cid:181) c‚c Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u thÆa m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n

C1. θd = µ, C2. d(θx(b)) = µx(d(b)), C3. σ(θx(b)) = θσx(σb),

trong ﬁª σ ∈ Γ, x ∈ D, b ∈ B, µx l(cid:181) tø ﬁ…ng c˚u trong sinh bºi x.

Γ-m«ﬁun ch—o c(cid:223)n ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) m«ﬁun ch—o ﬁ…ng bi(cid:213)n bºi B. Noohi trong [30].

§˘c bi(cid:214)t, n(cid:213)u Γ = 1 l(cid:181) nhªm t˙m th›Œng th(cid:215) ta thu ﬁ›(cid:238)c kh‚i ni(cid:214)m m«ﬁun ch—o tr“n

c‚c nhªm cæa J. H. C. Whitehead.

V(cid:221) d(cid:244). Ta cª th(cid:211) th˚y ngay nh(cid:247)ng v(cid:221) d(cid:244) ﬁi(cid:211)n h(cid:215)nh v(cid:210) Γ-m«ﬁun ch—o l(cid:181):

i) (B, D, i, θ0), v(cid:237)i i : B → D l(cid:181) Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u bao h(cid:181)m cæa mØt Γ-nhªm con chu¨n t(cid:190)c,

θ0 ﬁ›(cid:238)c cho bºi li“n h(cid:238)p.

ii) (B, D, 0, θ), v(cid:237)i B l(cid:181) mØt D-m«ﬁun, Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u kh«ng 0 : B → D, v(cid:181) θ l(cid:181) t‚c ﬁØng

m«ﬁun.

iii) (B, Aut B, µ, id), v(cid:237)i µ : B → Aut B l(cid:181) Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u cho bºi ph—p l˚y li“n h(cid:238)p. iv) (B, D, p, θ0), v(cid:237)i p : B → D l(cid:181) mØt Γ-to(cid:181)n c˚u gi(cid:247)a c‚c Γ-nhªm sao cho Ker p ⊂

ZB, θ0 ﬁ›(cid:238)c cho bºi li“n h(cid:238)p.

§(cid:211) cho ti(cid:214)n, giŁng nh› ﬁŁi v(cid:237)i m«ﬁun ch—o, ta sˇ k(cid:253) hi(cid:214)u ph—p to‚n trong B l(cid:181) ph—p

cØng v(cid:181) ph—p to‚n trong D l(cid:181) ph—p nh'n, Γ-m«ﬁun ch—o (B, D, d, θ) ﬁ«i khi c(cid:223)n ﬁ›(cid:238)c k(cid:253) hi(cid:214)u bºi B d→ D, ho˘c ﬁ‹n gi¶n l(cid:181) B → D.

K(cid:213)t qu¶ d›(cid:237)i ﬁ'y ﬁ›(cid:238)c suy ra tı ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa mØt Γ-m«ﬁun ch—o.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 4.6. Cho Γ-m«ﬁun ch—o (B, D, d, θ). Khi ﬁª:

i) Kerd l(cid:181) Γ-nhªm con cæa ZB,

ii) Imd l(cid:181) mØt nhªm con chu¨n t(cid:190)c trong D ﬁ(cid:229)ng thŒi l(cid:181) mØt Γ-nhªm,

iii) Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u θ c¶m sinh Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u ϕ : D → Aut(Kerd) cho bºi

ϕx = θx|Kerd,

iv) Kerd l(cid:181) Cokerd-m«ﬁun tr‚i Γ-ﬁ…ng bi(cid:213)n v(cid:237)i c‚c t‚c ﬁØng

sa = ϕx(a), σs = [σx], a ∈ Kerd, x ∈ s ∈ Cokerd.

Nh› ch(cid:243)ng ta ﬁ• bi(cid:213)t m(cid:231)i m«ﬁun ch—o cæa c‚c nhªm cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c xem nh› mØt nhªm

ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ. Kh‚i ni(cid:214)m m«ﬁun ch—o cæa c‚c nhªm cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c l(cid:181)m gi(cid:181)u theo nh(cid:247)ng

h›(cid:237)ng kh‚c nhau ﬁ(cid:211) trº th(cid:181)nh m«ﬁun ch—o tr“n v(cid:181)nh (E-h(cid:214)) ho˘c m«ﬁun ch—o ﬁ…ng bi(cid:213)n.

Theo h›(cid:237)ng thł nh˚t cª th(cid:211) xem m(cid:231)i E-h(cid:214) nh› mØt Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ (xem Ch›‹ng

5). Theo h›(cid:237)ng thł hai, d›(cid:237)i ﬁ'y ch(cid:243)ng t«i sˇ ch(cid:216) ra r»ng m(cid:231)i m«ﬁun ch—o cæa c‚c Γ-nhªm

cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c xem nh› l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ch˘t chˇ theo ngh(cid:220)a d›(cid:237)i ﬁ'y.

Tr›(cid:237)c h(cid:213)t, mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) F = (G, F σ, ησ,τ ) tr“n Γ v(cid:237)i c‚c h(cid:214) t(cid:246) trong nhªm ph„m tr(cid:239) G ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ch(cid:221)nh qui n(cid:213)u ησ,τ = id v(cid:181) F σ l(cid:181) h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ch(cid:221)nh qui, v(cid:237)i m(cid:228)i σ, τ ∈ Γ.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a. Nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c (P, gr) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ch˘t chˇ n(cid:213)u: i) Ker P l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ, ii) P c¶m sinh mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) ch(cid:221)nh qui F tr“n Γ v(cid:237)i c‚c h(cid:214) t(cid:246) trong nhªm ph„m tr(cid:239) Ker P. MØt c‚ch t›‹ng ﬁ›‹ng, nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c (P, gr) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ch˘t chˇ n(cid:213)u nª l(cid:181)

Γ-mº rØng cæa mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ bºi mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) ch(cid:221)nh qui.

D›(cid:237)i ﬁ'y, ch(cid:243)ng t«i tr(cid:215)nh b(cid:181)y ph—p døng mØt nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ch˘t chˇ theo

ngh(cid:220)a º tr“n tı mØt Γ-m«ﬁun ch—o cho tr›(cid:237)c, v(cid:181) ng›(cid:238)c l„i.

Cho Γ-m«ﬁun ch—o M. Nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ch˘t chˇ PM := P li“n k(cid:213)t v(cid:237)i M

ﬁ›(cid:238)c x'y døng nh› sau.

C‚c v¸t cæa P l(cid:181) c‚c ph˙n t(cid:246) cæa nhªm D, σ-m(cid:242)i t“n x → y l(cid:181) c˘p (b, σ), trong ﬁª

b ∈ B, σ ∈ Γ sao cho σx = d(b)y. H(cid:238)p th(cid:181)nh cæa c‚c m(cid:242)i t“n ﬁ›(cid:238)c cho bºi

(b,σ) → y

(c,τ ) → z) = (x

(τ b+c,τ σ) −−−−−→ z).

(x (4.10)

H(cid:238)p th(cid:181)nh cª t(cid:221)nh k(cid:213)t h(cid:238)p v(cid:181) cª ﬁ‹n v(cid:222) do B l(cid:181) mØt Γ-nhªm.

V(cid:237)i m(cid:231)i m(cid:242)i t“n (b, σ) trong P, ta cª

(b, σ)−1 = (−σ−1b, σ−1),

do ﬁª P l(cid:181) mØt groupoid.

(b,σ)

Ph—p to‚n tensor tr“n c‚c v¸t ﬁ›(cid:238)c cho bºi ph—p nh'n trong nhªm D, v(cid:181) v(cid:237)i hai m(cid:242)i t“n → y), (x(cid:48) (c,σ) (b,σ) (x → y(cid:48)) th(cid:215)

(x → y) ⊗ (x(cid:48) (c,σ) −−→ y(cid:48)) = (xx(cid:48) (b+θyc,σ) −−−−−→ yy(cid:48)). (4.11)

T(cid:221)nh h(cid:181)m t(cid:246) cæa ph—p to‚n tenx‹ ﬁ›(cid:238)c suy ra tı t(cid:221)nh th›‹ng th(cid:221)ch cæa t‚c ﬁØng θ v(cid:237)i Γ-t‚c

(c,τ )

ﬁØng v(cid:181) c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n trong ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa Γ-m«ﬁun ch—o nh› sau.

(b,σ) → y

(τ b+c,τ σ)

(c,τ )

(4.10)

→ y(cid:48) (c(cid:48),τ ) → x), (x(cid:48) (b(cid:48),σ) → z(cid:48)) trong P, ta cª V(cid:237)i c‚c m(cid:242)i t“n (x

(b,σ) → y

(4.11)

−−−−−→ z) ⊗ (x(cid:48) (τ b(cid:48)+c(cid:48),τ σ) −−−−−−→ z(cid:48)) −−→ x) ⊗ (x(cid:48) (b(cid:48),σ) −−−→ y(cid:48) (c(cid:48),τ ) −−−→ z(cid:48)) (x

(b,σ)

(c,τ )

= (x = (xx(cid:48) (τ b+c+θz(τ b(cid:48)+c(cid:48)),τ σ) −−−−−−−−−−−−→ zz(cid:48)),

(4.11)

[(x −−→ y) ⊗ (x(cid:48) (b(cid:48),σ) −−−→ y(cid:48))]◦[(y −−−→ z(cid:48))]

(4.10)

−−→ z) ⊗ (y(cid:48) (c(cid:48),τ ) −−−−−−→ yy(cid:48)) ◦ (yy(cid:48) (c+θzc(cid:48),τ ) −−−−−→ zz(cid:48))

= (xx(cid:48) (b+θyb(cid:48),σ) = (xx(cid:48) (τ (b+θyb(cid:48))+c+θzc(cid:48),τ σ) −−−−−−−−−−−−−→ zz(cid:48)).

T(cid:221)nh h(cid:181)m t(cid:246) cæa ph—p to‚n ⊗ t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i

τ b + c + θz(τ b(cid:48) + c(cid:48)) = τ (b + θyb(cid:48)) + c + θzc(cid:48).

§i(cid:210)u n(cid:181)y ﬁ(cid:243)ng do

(C1) = µc(θz(τ b(cid:48))).

(C3) = θτ y(τ b(cid:48)) = θ(dc)z(τ b(cid:48))

τ (θyb(cid:48))

C‚c r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p v(cid:181) ﬁ‹n v(cid:222) cæa ph—p to‚n tenx‹ l(cid:181) ch˘t chˇ. H(cid:181)m t(cid:246) ph'n b¸c gr : P → Γ cho bºi

(b, σ) (cid:55)→ σ.

H(cid:181)m t(cid:246) ph'n b¸c ﬁ‹n v(cid:222) I : Γ → P cho bºi

(0,σ) −−→ 1).

I(∗ σ−→ ∗) = (1

Do ObP = D l(cid:181) mØt nhªm v(cid:181) x ⊗ y = xy n“n m(cid:228)i v¸t cæa P ﬁ(cid:210)u kh¶ ngh(cid:222)ch, v(cid:181) do ﬁª Ker P l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ.

x = (x

Ta sˇ ch(cid:216) ra r»ng P c¶m sinh mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) ch(cid:221)nh qui F tr“n Γ v(cid:237)i c‚c h(cid:214) t(cid:246) trong KerP. (0,σ) −−→ σx) l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n trong P n“n ta ﬁ˘t F σ(x) = σx. V(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ D, σ ∈ Γ, do Υσ Khi ﬁª, theo B›(cid:237)c 1 cæa ph—p chłng minh §(cid:222)nh l(cid:253) 2.13, ta cª F σ(b, 1) = (σb, 1) v(cid:181) ησ,τ = id. B'y giŒ, tı c˚u tr(cid:243)c Γ-m«ﬁun ch—o cæa B → D ta suy ra ﬁ›(cid:238)c F σ l(cid:181) h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ch(cid:221)nh qui tr“n Ker P.

V¸y P l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ch˘t chˇ. Ng›(cid:238)c l„i, ta x'y døng Γ-m«ﬁun ch—o li“n k(cid:213)t v(cid:237)i nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ch˘t chˇ

P cho tr›(cid:237)c nh› sau.

L˚y D = Ob P, B = {x b−→ 1 | x ∈ D, gr(b) = 1}. C‚c ph—p to‚n tr“n D v(cid:181) B l˙n l›(cid:238)t cho bºi

xy = x ⊗ y, b + c = b ⊗ c.

Khi ﬁª D l(cid:181) nhªm v(cid:237)i ﬁ‹n v(cid:222) 1 v(cid:181) ngh(cid:222)ch ﬁ¶o cæa x l(cid:181) x−1, v(cid:237)i x ⊗ x−1 = 1. B l(cid:181) nhªm v(cid:237)i ph˙n t(cid:246) kh«ng l(cid:181) m(cid:242)i t“n (1 id1−→ 1) v(cid:181) ﬁŁi cæa m(cid:242)i t“n (x b−→ 1) l(cid:181) m(cid:242)i t“n (x−1 b−→ 1), v(cid:237)i b ⊗ b = id1.

Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa P th(cid:215) h„t nh'n Ker P l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ v(cid:181) P c¶m sinh mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) ch(cid:221)nh qui (Ker P, F σ, ησ,τ ). Bºi v¸y D, B l(cid:181) nh(cid:247)ng Γ-nhªm v(cid:237)i t‚c ﬁØng t›‹ng łng cho bºi

σx = F σ(x), x ∈ D, σ ∈ Γ,

σb = F σ(b), b ∈ B.

C‚c t›‹ng łng d : B → D v(cid:181) θ : D → Aut B l˙n l›(cid:238)t cho bºi

idy+b+idy−1 −−−−−−−→ 1).

d(x b−→ 1) = x,

θy(x b−→ 1) = (yxy−1

4.4 Ph'n l(cid:237)p c‚c Γ-m«ﬁun ch—o

Do B, D l(cid:181) c‚c Γ-nhªm n“n d(cid:212) th˚y d, θ l(cid:181) nh(cid:247)ng Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u.

Trong m(cid:244)c n(cid:181)y, tr›(cid:237)c h(cid:213)t ch(cid:243)ng t«i sˇ tr(cid:215)nh b(cid:181)y v(cid:210) mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u Γ-

m«ﬁun ch—o v(cid:181) c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal Γ-ph'n b¸c gi(cid:247)a c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c li“n k(cid:213)t

t›‹ng łng. Tı ﬁª ph‚t bi(cid:211)u v(cid:181) chłng minh ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p cho c‚c Γ-m«ﬁun ch—o.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a [39]. MØt ﬁ(cid:229)ng c˚u (f1, f0) : M → M(cid:48) gi(cid:247)a hai Γ-m«ﬁun ch—o bao g(cid:229)m c‚c Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u f1 : B → B(cid:48), f0 : D → D(cid:48) sao cho:

H1. f0d = d(cid:48)f1,

f0(x)f1(b),

H2. f1(θxb) = θ(cid:48) v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ D, b ∈ B.

(b,σ) −−→ y trong PM cª th(cid:211) ph'n t(cid:221)ch th(cid:181)nh

(0,σ) −−→ σx

(b,1) −−→ y,

Ta cª nh¸n x—t r»ng m(cid:231)i m(cid:242)i t“n x

v(cid:181) m(cid:231)i Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) : PM → PM(cid:48) x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt h(cid:181)m f : D2 ∪ (D × Γ) → B(cid:48), cho bºi

(0,σ) → σx)

(f (x, σ), σ) = F (x (4.12) (f (x, y), 1) = (cid:101)Fx,y,

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 4.7. Cho ﬁ(cid:229)ng c˚u (f1, f0) : M → M(cid:48) cæa c‚c Γ-m«ﬁun ch—o. Khi ﬁª, t(cid:229)n t„i mØt Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) : PM → PM(cid:48) sao cho F (x) = f0(x), F (b, 1) = (f1(b), 1) n(cid:213)u Γ(Coker d, Ker d(cid:48)), v(cid:181) p : D → Coker d l(cid:181) ph—p chi(cid:213)u ch(cid:221)nh v(cid:181) ch(cid:216) n(cid:213)u f = p∗ϕ, v(cid:237)i ϕ ∈ Z 2

t(cid:190)c.

Chłng minh. Do f0 l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u v(cid:181) F (x) = f0(x) n“n (cid:101)Fx,y : F (x)F (y) → F (xy) l(cid:181) m(cid:242)i t“n b¸c 1 trong P(cid:48) khi v(cid:181) ch(cid:216) khi df (x, y) = 1(cid:48), hay f (x, y) ∈ Ker d(cid:48) ⊂ Z(B(cid:48)).

(f (x,σ),σ) −−−−−→ F (σx) l(cid:181) m(cid:242)i t“n b¸c σ trong P(cid:48) khi v(cid:181) ch(cid:216) khi df (x, σ) = 1(cid:48), hay f (x, σ) ∈ Ker d(cid:48) ⊂ Z(B(cid:48)). §˘c bi(cid:214)t, khi σ = 1 th(cid:215) f (x, 1Γ) = f1(0) = 0.

C(cid:242)ng nh› v¸y, do f0 l(cid:181) Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u n“n F (x)

T(cid:221)nh ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm cæa f1 l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n F b¶o to(cid:181)n t(cid:221)nh h(cid:238)p th(cid:181)nh c‚c

m(cid:242)i t“n b¸c 1. §i(cid:210)u ki(cid:214)n F b¶o to(cid:181)n c‚c m(cid:242)i t“n d„ng (0, σ) t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i

τ f (x, σ) + f (σx, τ ) = f (x, τ σ). (4.13)

(cid:45)(cid:101)Fx,y

§Łi v(cid:237)i ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁ(cid:211) (cid:101)Fx,y l(cid:181) tø nhi“n, ta x—t hai tr›Œng h(cid:238)p sau. Tr›Œng h(cid:238)p 1: §Łi v(cid:237)i c‚c m(cid:242)i t“n b¸c 1, ta x—t bi(cid:211)u ﬁ(cid:229):

F (b,1)⊗F (c,1)

(cid:63) F (x(cid:48))F (y(cid:48))

F [(b,1)⊗(c,1)] (cid:63) F (x(cid:48)y(cid:48)).

(cid:45) (cid:101)Fx(cid:48),y(cid:48)

F (x)F (y) F (xy)

Do f0, f1 l(cid:181) c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n H2 n“n

F (b, 1) ⊗ F (c, 1) = F [(b, 1) ⊗ (c, 1)].

Khi ﬁª do f (x, y), f (x(cid:48), y(cid:48)) ∈ Z(B(cid:48)) n“n bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) tr“n l(cid:181) giao ho‚n khi v(cid:181) ch(cid:216) khi

f (x, y) = f (x(cid:48), y(cid:48)), x(cid:48) = d(b)x, y(cid:48) = d(c)y.

Bºi v¸y (cid:101)F x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt h(cid:181)m ϕ : Coker2 d → Ker d(cid:48) cho bºi

ϕ(r, s) = f (x, y), r = p(x), s = p(y),

trong ﬁª p : D → Coker d l(cid:181) ph—p chi(cid:213)u ch(cid:221)nh t(cid:190)c.

(cid:101)Fx,y

(cid:45)

Tr›Œng h(cid:238)p 2: §Łi v(cid:237)i c‚c m(cid:242)i t“n d„ng (0, σ), ta x—t bi(cid:211)u ﬁ(cid:229):

F (0,σ)⊗F (0,σ)

F [(0,σ)⊗(0,σ)]

(cid:63) F (σx)F (σy)

(cid:63) F (σx)(σy) = F σ(xy).

(cid:45) (cid:101)Fσx,σy

F (x)F (y) F (xy)

Bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) tr“n giao ho‚n khi v(cid:181) ch(cid:216) khi

F (σx)f (y, σ) − f (xy, σ),

σf (x, y) − f (σx, σy) = f (x, σ) + θ(cid:48)

hay

σf (x, y) − f (σx, σy) = f (x, σ) + (σx)f (y, σ) − f (xy, σ). (4.14)

(f (x,σ),σ) (cid:45)

M˘t kh‚c, t(cid:221)nh giao ho‚n cæa h(cid:215)nh vu«ng

F (b,1)

F (σb,1)

(cid:63) F (y)

(cid:63) F (σy)

(cid:45) (f (y,σ),σ)

F (x) F (σx)

k—o theo

f (x, σ) + f1(σb) = σf1(b) + f (y, σ).

Do f1 l(cid:181) Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u n“n tı ﬁª suy ra f (x, σ) = f (y, σ), v(cid:237)i y = d(b)x. §i(cid:210)u n(cid:181)y x‚c ﬁ(cid:222)nh h(cid:181)m ϕ : Coker d × Γ → Ker d(cid:48)

ϕ(r, σ) = f (x, σ), r = p(x).

Nh› v¸y, ta cª mØt h(cid:181)m

ϕ : Coker2 d ∪ Coker d × Γ → Ker d(cid:48).

H(cid:181)m ϕ chu¨n t(cid:190)c theo ngh(cid:220)a

ϕ(1, s) = ϕ(r, 1) = 0 = ϕ(r, 1Γ).

Hai ﬁ…ng thłc ﬁ˙u ti“n cª ﬁ›(cid:238)c do F (1) = 1(cid:48) v(cid:181) do (F, (cid:101)F ) t›‹ng th(cid:221)ch v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222). §…ng thłc cuŁi ﬁ(cid:243)ng do f (x, 1Γ) = 0.

T(cid:221)nh t›‹ng th(cid:221)ch cæa (F, (cid:101)F ) v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p cho

(4.15) θ(cid:48) F (x)(f (y, z)) + f (x, yz) = f (x, y) + f (xy, z).

Γ(Coker d, Ker d(cid:48)).

Tı c‚c h(cid:214) thłc (4.13)-(4.15) suy ra ϕ ∈ Z 2

1, f (cid:48)

Γ(Coker d, Ker d(cid:48)). Ph—p h(cid:238)p th(cid:181)nh v(cid:237)i m(cid:242)i t“n (f (cid:48)

Do B(cid:230) ﬁ(cid:210) 4.7 ta cª th(cid:211) x‚c ﬁ(cid:222)nh ph„m tr(cid:239) ΓCross cª v¸t l(cid:181) c‚c Γ-m«ﬁun ch—o, c(cid:223)n m(cid:242)i t“n l(cid:181) c‚c bØ ba (f1, f0, ϕ), trong ﬁª (f1, f0) : M → M(cid:48) l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u Γ-m«ﬁun ch—o v(cid:181) ϕ ∈ Z 2 0, ϕ(cid:48)) : M(cid:48) → M(cid:48)(cid:48) ﬁ›(cid:238)c cho

bºi

0 ϕ(cid:48)).

1, f (cid:48)

0, ϕ(cid:48)) ◦ (f1, f0, ϕ) = (f (cid:48)

1f1, f (cid:48)

0f0, (f (cid:48)

1)∗ϕ + f ∗

(f (cid:48)

L›u (cid:253) r»ng nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ch˘t chˇ P c¶m sinh Γ-t‚c ﬁØng tr“n nhªm D c‚c v¸t v(cid:181) tr“n nhªm B c‚c m(cid:242)i t“n b¸c 1, ta cª ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a sau.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a. H(cid:181)m t(cid:246) monoidal Γ-ph'n b¸c (F, (cid:101)F ) : P → P(cid:48) gi(cid:247)a hai nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ch˘t chˇ ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ch(cid:221)nh qui n(cid:213)u:

S1. F (x ⊗ y) = F (x) ⊗ F (y), S2. F (b ⊗ c) = F (b) ⊗ F (c), S3. F (σb) = σF (b), S4. F (σx) = σF (x),

v(cid:237)i x, y ∈ Ob P, v(cid:181) b, c l(cid:181) nh(cid:247)ng m(cid:242)i t“n b¸c 1 trong P.

Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal nªi trong B(cid:230) ﬁ(cid:210) 4.7 l(cid:181) ch(cid:221)nh qui.

K(cid:253) hi(cid:214)u p : D → Coker d l(cid:181) ph—p chi(cid:213)u ch(cid:221)nh t(cid:190)c, ta cª:

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 4.8. Gi¶ s(cid:246) P, P(cid:48) l(cid:181) hai nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ch˘t chˇ, l˙n l›(cid:238)t li“n k(cid:213)t v(cid:237)i c‚c Γ-m«ﬁun ch—o M, M(cid:48), v(cid:181) (F, (cid:101)F ) : P → P(cid:48) l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal Γ-ph'n b¸c ch(cid:221)nh qui. Khi ﬁª, bØ ba (f1, f0, ϕ), trong ﬁª i) f0(x) = F (x), (f1(b), 1) = F (b, 1), σ ∈ Γ, b ∈ B, x, y ∈ D, ii) p∗ϕ = f , v(cid:237)i f ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi (4.12), l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n trong ph„m tr(cid:239) ΓCross.

(f1(b),1) −−−−→ 1(cid:48)) l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n trong P(cid:48), ngh(cid:220)a l(cid:181) ta cª H1:

Chłng minh. Do ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n S1 n“n f0 l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm, do S4 n“n f0 l(cid:181) mØt Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u. Do F b¶o to(cid:181)n ph—p h(cid:238)p th(cid:181)nh c‚c m(cid:242)i t“n b¸c 1 n“n f1 l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u, do S3 n“n (b,1) f1 l(cid:181) mØt Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u. M(cid:231)i ph˙n t(cid:246) b ∈ B cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c coi nh› l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n (db → 1) trong P v(cid:181) do ﬁª (f0(db)

f0(db) = d(cid:48)(f1(b)).

Do ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n S2 v(cid:181) do f1 l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u n“n cª H2:

f0(y)f1(c).

f1(θyc) = θ(cid:48)

Nh› v¸y (f1, f0) l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u cæa c‚c Γ-m«ﬁun ch—o. Bºi v¸y theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 4.7, h(cid:181)m Γ(Coker d, Ker d(cid:48)), v(cid:237)i f = p∗ϕ, v(cid:181) p : D → Coker d l(cid:181) ph—p

t(cid:246) F x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt h(cid:181)m ϕ ∈ Z 2 chi(cid:213)u ch(cid:221)nh t(cid:190)c. Bºi v¸y (f1, f0, ϕ) l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n trong ΓCross.

K(cid:253) hi(cid:214)u ph„m tr(cid:239) cæa c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ch˘t chˇ v(cid:181) c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal

ph'n b¸c ch(cid:221)nh qui bºi ΓGrstr, ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) sau ﬁ'y ch(cid:216) ra r»ng c‚c ph„m tr(cid:239) ΓCross v(cid:181) ΓGrstr l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng.

§(cid:222)nh l(cid:253) 4.9 (§(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p). T(cid:229)n t„i t›‹ng ﬁ›‹ng

(f1, f0, ϕ) Φ : ΓCross → ΓGrstr, (cid:55)→ PB→D (B → D) (cid:55)→ (F, (cid:101)F )

trong ﬁª F (x) = f0(x), F (b, 1) = (f1(b), 1), v(cid:181)

(0,σ) → σx) = (ϕ(px, σ), σ), (cid:101)Fx,y = (ϕ(px, py), 1),

F (x

v(cid:237)i x, y ∈ D, b ∈ B, σ ∈ Γ.

Chłng minh. Gi¶ s(cid:246) P, P(cid:48) l˙n l›(cid:238)t l(cid:181) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c, li“n k(cid:213)t v(cid:237)i c‚c Γ- m«ﬁun ch—o M, M(cid:48). Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 4.7, t›‹ng łng (f1, f0, ϕ) (cid:55)→ (F, (cid:101)F ) x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt ﬁ‹n ‚nh tr“n c‚c t¸p Hom:

Φ : HomΓCross(M, M(cid:48)) → HomΓGrstr(PM, PM(cid:48)).

Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 4.8 th(cid:215) Φ to(cid:181)n ‚nh.

N(cid:213)u P l(cid:181) mØt nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ch˘t chˇ, v(cid:181) MP l(cid:181) m«ﬁun ch—o li“n k(cid:213)t v(cid:237)i

nª th(cid:215) Φ(MP) = P (kh«ng ch(cid:216) l(cid:181) ﬁ…ng c˚u). V¸y Φ l(cid:181) mØt t›‹ng ﬁ›‹ng.

Nh¸n x—t. X—t tr›Œng h(cid:238)p Γ = 1 l(cid:181) nhªm t˙m th›Œng. Khi ﬁª, ph„m tr(cid:239) 1Cross = Cross cª c‚c v¸t l(cid:181) c‚c m«ﬁun ch—o, v(cid:181) m(cid:242)i t“n l(cid:181) c‚c bØ ba bØ ba (f1, f0, ϕ), trong ﬁª (f1, f0) : M → M(cid:48) l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u m«ﬁun ch—o v(cid:181) ϕ ∈ Z 2(Coker d, Ker d(cid:48)). Ph„m tr(cid:239) 1Grstr = Grstr cª v¸t l(cid:181) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ v(cid:181) m(cid:242)i t“n l(cid:181) c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ch(cid:221)nh qui. Hai ph„m tr(cid:239) Cross v(cid:181) Grstr l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng qua Φ theo §(cid:222)nh l(cid:253) 3.4. Nh› v¸y,

§(cid:222)nh l(cid:253) 4.9 chła §(cid:222)nh l(cid:253) 3.4, v(cid:181) do ﬁª nª chła §(cid:222)nh l(cid:253) 1 [8].

4.5 B(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o:

l(cid:253) thuy(cid:213)t c¶n trº v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p

Trong ph˙n n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i gi(cid:237)i thi(cid:214)u l(cid:253) thuy(cid:213)t mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun

ch—o, l(cid:181) mº rØng cæa c¶ hai l(cid:253) thuy(cid:213)t mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o [42, 46, 9] v(cid:181) l(cid:253)

thuy(cid:213)t mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n [14]. §(cid:222)nh ngh(cid:220)a [39]. Cho Γ-m«ﬁun ch—o B d→ D v(cid:181) mØt Γ-nhªm Q. MØt mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n cæa nhªm B bºi nhªm Q ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o B d−→ D l(cid:181) mØt bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) c‚c Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u

(cid:47) 1,

(cid:47) B

(cid:47) E

(cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) Q E 0

(cid:47) D

(cid:15) (cid:15) (cid:47) B d

trong ﬁª d(cid:223)ng tr“n l(cid:181) kh(cid:237)p, h(cid:214) (B, E, j, θ0) l(cid:181) mØt Γ-m«ﬁun ch—o v(cid:237)i θ0 l(cid:181) ph—p l˚y li“n h(cid:238)p, v(cid:181) (id, ε) l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u cæa c‚c Γ-m«ﬁun ch—o.

Hai mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n cæa B bºi Q ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o B d−→ D g(cid:228)i l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng

n(cid:213)u bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau giao ho‚n

(cid:47) 1,

(cid:47) B

(cid:47) E

(cid:47) D

(cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) Q 0 E ε

p(cid:48)

j(cid:48)

ε(cid:48)

(cid:47) 1,

(cid:47) Q

(cid:47) B

(cid:47) D

(cid:47) E(cid:48)

(cid:15) (cid:15) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) 0 E(cid:48)

v(cid:181) ε(cid:48)α = ε. Hi(cid:211)n nhi“n α l(cid:181) mØt Γ-ﬁ…ng c˚u.

(cid:47) B

(cid:47) E

Trong bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) 1, Q (4.16) 0

q (cid:47)

(cid:47) D

(cid:47) Cokerd

(cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:47) B d

do d(cid:223)ng tr“n l(cid:181) kh(cid:237)p v(cid:181) do q ◦ ε ◦ j = q ◦ d = 0 n“n cª mØt Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u ψ : Q → Cokerd

sao cho h(cid:215)nh vu«ng thł hai giao ho‚n. H‹n n(cid:247)a, ψ ch(cid:216) ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng cæa

mº rØng E, v(cid:181) ta nªi E c¶m sinh ψ. T¸p c‚c l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng c‚c mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n cæa B

bºi Q ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o B → D c¶m sinh ψ : Q → Cokerd ﬁ›(cid:238)c k(cid:253) hi(cid:214)u bºi

B→D(Q, B, ψ).

ExtΓ

B'y giŒ, ﬁ(cid:211) nghi“n cłu t¸p n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i sˇ ‚p d(cid:244)ng l(cid:253) thuy(cid:213)t c¶n trº cho c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal Γ-ph'n b¸c gi(cid:247)a c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ch˘t chˇ DisΓ Q v(cid:181) PB→D, trong ﬁª nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c rŒi r„c DisΓ Q ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

(cid:90) (Q, 0, 0). DisΓ Q =

Nª c(cid:242)ng ch(cid:221)nh l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ch˘t chˇ li“n k(cid:213)t v(cid:237)i Γ-m«ﬁun ch—o (0, Q, 0, 0).

C‚c v¸t cæa DisΓ Q l(cid:181) c‚c ph˙n t(cid:246) cæa nhªm Q, c‚c m(cid:242)i t“n σ : x → y l(cid:181) c‚c ph˙n t(cid:246) σ thuØc Γ sao cho σx = y. H(cid:238)p th(cid:181)nh cæa c‚c m(cid:242)i t“n l(cid:181) ph—p nh'n trong Γ. H(cid:181)m t(cid:246) ph'n

b¸c gr : Γ Dis Q → Γ ﬁ›(cid:238)c cho bºi gr(σ) = σ. T(cid:221)ch tenx‹ ph'n b¸c ﬁ›(cid:238)c cho bºi

(x σ−→ y) ⊗ (x(cid:48) σ−→ y(cid:48)) = (xx(cid:48) σ−→ yy(cid:48)).

H(cid:181)m t(cid:246) ph'n b¸c ﬁ‹n v(cid:222) I : Γ → Γ Dis Q cho bºi

I(∗ σ−→ ∗) = (1 σ−→ 1).

C‚c r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p, ﬁ‹n v(cid:222) l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng nh˚t.

T›‹ng tø nh› ﬁŁi v(cid:237)i b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o º Ch›‹ng 3, º ﬁ'y ch(cid:243)ng

t«i sˇ s(cid:246) d(cid:244)ng k(cid:252) thu¸t h(cid:214) nh'n t(cid:246) ﬁŁi v(cid:237)i c‚c mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o. B(cid:230) ﬁ(cid:210) d›(cid:237)i ﬁ'y cho th˚y c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal Γ-ph'n b¸c DisΓ Q → PB→D l(cid:181) h(cid:214) d(cid:247) li(cid:214)u ph(cid:239) h(cid:238)p ﬁ(cid:211) x'y døng c‚c mº rØng nh› v¸y.

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 4.10. Cho B d→ D l(cid:181) mØt Γ-m«ﬁun ch—o v(cid:181) ψ : Q → Coker d l(cid:181) mØt Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u. Cho h(cid:181)m t(cid:246) monoidal Γ-ph'n b¸c (F, (cid:101)F ) : DisΓ Q → PB→D, sao cho F (1) = 1 v(cid:181) c¶m sinh c˘p Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u (ψ, 0) : (Q, 0) → (Coker d, Ker d). Khi ﬁª, t(cid:229)n t„i mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n

EF cæa B bºi Q ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o B → D c¶m sinh ψ.

Mº rØng EF ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n t(cid:221)ch ch—o li“n k(cid:213)t v(cid:237)i Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal

F .

Chłng minh. Gi¶ s(cid:246) (F, (cid:101)F ) : DisΓ Q → P l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal Γ-ph'n b¸c. Th(cid:213) th(cid:215) theo (4.12) nª x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt h(cid:181)m f : (Q × Q) ∪ (Q × Γ) → B, chu¨n t(cid:190)c theo ngh(cid:220)a

(4.17) f (x, 1Γ) = 0 = f (x, 1) = f (1, y).

§…ng thłc thł nh˚t cª ﬁ›(cid:238)c do F b¶o to(cid:181)n m(cid:242)i t“n ﬁ(cid:229)ng nh˚t, c‚c ﬁ…ng thłc c(cid:223)n l„i do gi¶ thi(cid:213)t F (1) = 1 v(cid:181) t(cid:221)nh t›‹ng th(cid:221)ch cæa (F, (cid:101)F ) v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222).

Tı ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa m(cid:242)i t“n trong P ta cª

σF (x) = df (x, σ)F (σx), (4.18)

F (x)F (y) = df (x, y)F (xy). (4.19)

Theo ph—p chłng minh B(cid:230) ﬁ(cid:210) 4.7 h(cid:181)m f thÆa m•n c‚c h(cid:214) thłc (4.13)-(4.15). Tuy nhi“n

º ﬁ'y f nh¸n gi‚ tr(cid:222) trong B (thay cho Ker d(cid:48)).

Tr›(cid:237)c h(cid:213)t, ta x'y døng t(cid:221)ch ch—o ﬁ…ng bi(cid:213)n E0 = B ×f Q. C˚u tr(cid:243)c Γ-nhªm tr“n E0

ﬁ›(cid:238)c cho bºi c‚c qui t(cid:190)c

(b, x) + (c, y) = (b + θF (x)(c) + f (x, y), xy),

σ(b, x) = (σb + f (x, σ), σx).

B ×f Q l(cid:181) mØt nhªm nhŒ c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (4.17), (4.19), (4.13). Ph˙n t(cid:246) ﬁ‹n v(cid:222) l(cid:181) (0, 1) v(cid:181) −(b, x) = (b(cid:48), x−1), trong ﬁª θF (x)(b(cid:48)) = −b − f (x, x−1). H‹n n(cid:247)a nª l(cid:181) mØt Γ-nhªm do c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (4.18), (4.14) v(cid:181) (4.15).

p0→ Q → 1,

Khi ﬁª ta cª d•y kh(cid:237)p

j0→ E0

EF : 0 → B

trong ﬁª j0(b) = (b, 1); p0(b, x) = x, b ∈ B, x ∈ Q. Do j0(B) l(cid:181) nhªm con chu¨n t(cid:190)c trong E0 n“n j0 : B → E0 l(cid:181) mØt Γ-m«ﬁun ch—o v(cid:237)i t‚c ﬁØng li“n h(cid:238)p θ0 : E0 → Aut B.

Ti(cid:213)p theo, ﬁ(cid:211) nh(cid:243)ng EF v(cid:181)o trong bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) (4.16), ta x‚c ﬁ(cid:222)nh Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u ε : E0 → D. Theo gi¶ thi(cid:213)t (F, (cid:101)F ) c¶m sinh mØt Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u ψ : Q → Coker d bºi ψ(x) = [F (x)] ∈ Coker d. Nh› v¸y c‚c ph˙n t(cid:246) F (x) l(cid:181) mØt h(cid:214) ﬁ„i di(cid:214)n cæa Coker d trong D. Khi ﬁª, v(cid:237)i

(b, x) ∈ E0 ta ﬁ˘t

ε(b, x) = db.F (x). (4.20)

NhŒ c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (4.18) v(cid:181) (4.19) ta chłng minh ﬁ›(cid:238)c ε l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u ﬁ…ng bi(cid:213)n.

(b,x)(c) = θε(b,x)(c).

D(cid:212) th˚y r»ng ε ◦ j0 = d. H‹n n(cid:247)a, v(cid:237)i m(cid:228)i (b, x) ∈ E0, c ∈ B, ta cª θ0

(b,x)(c) = j−1 θ0

0 [µ(b,x)(c, 1)] = µb[θF (x)(c)],

Th¸t v¸y, cª th(cid:211) ki(cid:211)m tra ﬁ›(cid:238)c r»ng

θε(b,x)(c) = θdb.F (x)(c) = µb[θF (x)(c)].

V¸y ta ﬁ• nh(cid:243)ng ﬁ›(cid:238)c EF v(cid:181)o trong bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) (4.16).

Sau c(cid:239)ng, v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ Q ta cª

qε(b, x) = q(db.F (x)) = q(F (x)) = ψ(x) = ψp0(b, x),

ngh(cid:220)a l(cid:181) mº rØng EF c¶m sinh Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u ψ : Q → Coker d.

Trong b(cid:230) ﬁ(cid:210) tr“n, c˘p ‚nh x„ (θF , f ) m« t¶ mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal Γ-ph'n b¸c tı DisΓ Q t(cid:237)i P l(cid:181) mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) ﬁŁi v(cid:237)i mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o (B → D). Tr›Œng h(cid:238)p m«ﬁun ch—o (B → D) l(cid:181) m«ﬁun ch—o c‚c tø ﬁ…ng c˚u cæa B th(cid:215) c˘p (θF , f ) nh› v¸y ch(cid:221)nh l(cid:181) mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) ﬁ…ng bi(cid:213)n ﬁŁi v(cid:237)i mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n ﬁ›(cid:238)c x—t trong

[14]. Tr›Œng h(cid:238)p Γ = 1 l(cid:181) nhªm t˙m th›Œng th(cid:215) c˘p (θF , f ) ch(cid:221)nh l(cid:181) mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) ﬁŁi v(cid:237)i mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o ﬁ›(cid:238)c x—t º Ch›‹ng 3.

V(cid:237)i gi¶ thi(cid:213)t nªi trong B(cid:230) ﬁ(cid:210) 4.10 ta cª:

§(cid:222)nh l(cid:253) 4.11 (L(cid:253) thuy(cid:213)t Schreier cho c‚c mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o). Cª mØt

song ‚nh

B→D(Q, B, ψ).

Ω : Hom(ψ,0)[DisΓQ, PB→D] → ExtΓ

Chłng minh. B›(cid:237)c 1: C‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal Γ-ph'n b¸c F, F (cid:48) : Γ Dis Q → P l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng lu'n khi v(cid:181) ch(cid:216) khi c‚c mº rØng li“n k(cid:213)t t›‹ng łng EF , EF (cid:48) l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng.

Tr›(cid:237)c h(cid:213)t, do m(cid:231)i Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng lu'n v(cid:237)i mØt Γ h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (G, (cid:101)G) cª G(1) = 1. Bºi v¸y c‚c Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal d›(cid:237)i ﬁ'y ﬁ(cid:210)u ﬁ›(cid:238)c xem l(cid:181) cª t(cid:221)nh ch˚t n(cid:181)y.

Gi¶ s(cid:246) F, F (cid:48) : DisΓ Q → P l(cid:181) hai Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ﬁ(cid:229)ng lu'n, v(cid:237)i ﬁ(cid:229)ng lu'n α : F →

F (cid:48). Khi ﬁª, t(cid:229)n t„i h(cid:181)m g : Q → B sao cho αx = (g(x), 1), ngh(cid:220)a l(cid:181)

F (x) = dg(x)F (cid:48)(x). (4.21)

T(cid:221)nh tø nhi“n cæa α cho ta

f (x, σ) + g(σx) = σg(x) + f (cid:48)(x, σ). (4.22)

§i(cid:210)u ki(cid:214)n kh(cid:237)p (1.8) cæa ﬁ(cid:229)ng lu'n α cho ta g(1) = 0 v(cid:181)

(4.23) f (x, y) + g(xy) = g(x) + θF (cid:48)(x)g(y) + f (cid:48)(x, y).

Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 4.10, t(cid:229)n t„i c‚c mº rØng EF , EF (cid:48) l˙n l›(cid:238)t li“n k(cid:213)t v(cid:237)i F, F (cid:48). Ta ﬁ˘t

α∗ : EF → EF (cid:48)

(b, x) (cid:55)→ (b + g(x), x).

Khi ﬁª, nhŒ c‚c h(cid:214) thłc (4.22) v(cid:181) (4.23), α∗ l(cid:181) mØt Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u gi(cid:247)a c‚c Γ-nhªm. H‹n

n(cid:247)a, d(cid:212) th˚y bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau giao ho‚n

(cid:47) 1,

(cid:47) B

(cid:47) D

(cid:47) EF

(cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) Q 0 EF

p(cid:48) 0

ε(cid:48)

j(cid:48) 0 (cid:47)

(cid:47) 1,

(cid:47) Q

(cid:47) B

(cid:47) D

α∗ (cid:47) EF (cid:48)

(cid:15) (cid:15) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) 0 EF (cid:48)

v(cid:181) do ﬁª α∗ l(cid:181) mØt ﬁ…ng c˚u. Ta c(cid:223)n ph¶i ch(cid:216) ra ε(cid:48)α∗ = ε. Do h(cid:214) thłc c‚c (4.20) v(cid:181) (4.21)

ta cª ε(cid:48)α∗(b, x) =ε(cid:48)(b + g(x), x) = d(b + g(x))F (cid:48)(x)

=d(b)d(g(x))F (cid:48)(x) = d(b)F (x) = ε(b, x).

V¸y hai mº rØng EF v(cid:181) EF (cid:48) l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng.

Ng›(cid:238)c l„i, n(cid:213)u α∗ : EF → EF (cid:48) l(cid:181) mØt Γ-ﬁ…ng c˚u gi(cid:247)a c‚c mº rØng t›‹ng ﬁ›‹ng th(cid:215) d(cid:212)

th˚y

α∗(b, x) = (b + g(x), x),

v(cid:237)i g : Q → B l(cid:181) h(cid:181)m thÆa m•n g(1) = 0. Thøc hi(cid:214)n ng›(cid:238)c l„i tıng b›(cid:237)c l¸p lu¸n tr“n ta ﬁ›(cid:238)c αx = (g(x), 1) l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng lu'n cæa F v(cid:181) F (cid:48).

B›(cid:237)c 2: Ω l(cid:181) to(cid:181)n ‚nh.

Gi¶ s(cid:246) E l(cid:181) mØt mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n E cæa B bºi Q ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o B → D c¶m

sinh ψ : Q → Coker d theo bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) giao ho‚n (4.16). Ta sˇ chłng tÆ r»ng E cª mØt h(cid:214) nh'n

t(cid:246) li“n k(cid:213)t, ngh(cid:220)a l(cid:181) nª t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i mØt mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n t(cid:221)ch ch—o EF li“n k(cid:213)t v(cid:237)i mØt Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) : ΓDisQ → PB→D.

V(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ Q, ch(cid:228)n ﬁ„i di(cid:214)n ux ∈ E sao cho p(ux) = x, u1 = 0. M(cid:231)i ph˙n t(cid:246) trong E cª th(cid:211) bi(cid:211)u di(cid:212)n duy nh˚t d›(cid:237)i d„ng b + ux v(cid:237)i b ∈ B, x ∈ Q. H(cid:214) ﬁ„i di(cid:214)n {ux} c¶m sinh mØt h(cid:181)m chu¨n t(cid:190)c f : (Q × Q) ∪ (Q × Γ) → B cho bºi

(4.24) ux + uy = f (x, y) + uxy,

(4.25) σux = f (x, σ) + uσx.

v(cid:181) c¶m sinh c‚c tø ﬁ…ng c˚u ϕx cæa B, cho bºi

ϕx = µux : b (cid:55)→ ux + b − ux,

Do ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n H2 cæa ﬁ(cid:229)ng c˚u (id, ε) gi(cid:247)a c‚c Γ-m«ﬁun ch—o ta suy ra

θεux = µux = ϕx.

Khi ﬁª, c˚u tr(cid:243)c Γ-nhªm tr“n E ﬁ›(cid:238)c m« t¶ nh› sau

(b + ux) + (c + uy) = b + ϕx(c) + f (x, y) + uxy,

σ(b + ux) = σb + f (x, σ) + uσx.

Do ψ(x) = ψp(ux) = qε(ux) n“n ε(ux) l(cid:181) mØt ﬁ„i di(cid:214)n cæa ψ(x) trong D. Bºi v¸y ta

døng mØt Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) : DisΓ Q → P nh› sau.

F (x) = ε(ux), F (x σ→ σx) = (f (x, σ), σ), (cid:101)Fx,y = (f (x, y), 1).

C‚c h(cid:214) thłc (4.25), (4.24) l˙n l›(cid:238)t chłng tÆ F (σ), (cid:101)Fx,y l(cid:181) nh(cid:247)ng m(cid:242)i t“n ph(cid:239) h(cid:238)p trong P. T(cid:221)nh chu¨n t(cid:190)c cæa h(cid:181)m f (x, σ) k—o theo F (idx) = idF (x). R(cid:226) r(cid:181)ng F (1) = 1. §i(cid:210)u n(cid:181)y c(cid:239)ng v(cid:237)i t(cid:221)nh chu¨n t(cid:190)c cæa h(cid:181)m f (x, y) k—o theo t(cid:221)nh t›‹ng th(cid:221)ch cæa (F, (cid:101)F ) v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222). Lu¸t k(cid:213)t h(cid:238)p v(cid:181) t(cid:221)nh Γ-nhªm cæa B l˙n l›(cid:238)t k—o theo c‚c h(cid:214) thłc (4.13)- (4.15), trong ﬁª θF (x) ﬁ›(cid:238)c thay bºi ϕ(x). Nh(cid:247)ng h(cid:214) thłc n(cid:181)y l˙n l›(cid:238)t chłng tÆ (F, (cid:101)F ) t›‹ng th(cid:221)ch v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p, t(cid:221)nh tø nhi“n cæa (cid:101)Fx,y, v(cid:181) F b¶o to(cid:181)n h(cid:238)p th(cid:181)nh cæa c‚c m(cid:242)i t“n. CuŁi c(cid:239)ng, cª th(cid:211) ki(cid:211)m tra ﬁ›(cid:238)c r»ng mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n t(cid:221)ch ch—o EF li“n k(cid:213)t v(cid:237)i (F, (cid:101)F )

l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i mº rØng E nhŒ Γ-ﬁ…ng c˚u α : (b, x) (cid:55)→ b + ux.

M(cid:231)i mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n cæa c‚c Γ-nhªm ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu trong [14] cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c xem

nh› l(cid:181) mØt mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n cæa c‚c Γ-nhªm ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o (B, Aut B, µ, 0). Khi ﬁª, PB→Aut B ch(cid:221)nh l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c to(cid:181)n h(cid:215)nh HolΓ B cæa Γ-nhªm B. §ª l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c cª c‚c v¸t l(cid:181) c‚c ph˙n t(cid:246) cæa nhªm Aut B, m(cid:242)i t“n b¸c

σ (σ ∈ Γ) l(cid:181) c˘p (b, σ) : f → g, v(cid:237)i b ∈ B, f, g ∈ Aut B sao cho σf = µbg. H(cid:238)p th(cid:181)nh cæa hai m(cid:242)i t“n ﬁ›(cid:238)c cho bºi

(b,σ) −−→ g

(c,τ ) −−→ h) = (f

(τ c+b,τ σ) −−−−−→ h),

(b,σ)

t(cid:221)ch tenx‹ ph'n b¸c ﬁ›(cid:238)c cho bºi

−−→ g) ⊗ (f (cid:48) (b(cid:48),σ) −−−→ g(cid:48)) = (f f (cid:48) (b+g(b(cid:48)),σ) −−−−−−→ gg(cid:48)), (f

v(cid:181) h(cid:181)m t(cid:246) ﬁ‹n v(cid:222) ph'n b¸c ﬁ›(cid:238)c cho bºi

(0,σ) −−→ idB).

I(∗ σ−→ ∗) = (idB

C‚c r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p, ﬁ‹n v(cid:222) ﬁ(cid:210)u l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng nh˚t. Do ﬁª ta cª:

H(cid:214) qu¶ 4.12 (§(cid:222)nh l(cid:253) 4.2 [14]). §Łi v(cid:237)i c‚c Γ-nhªm B, Q, t(cid:229)n t„i mØt song ‚nh

HomΓ[DisΓQ, HolΓB] → ExtΓ(Q, B).

Gi¶ s(cid:246) P = PB→D l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) Γ-ph'n b¸c ch˘t chˇ li“n k(cid:213)t v(cid:237)i Γ-m«ﬁun ch—o B → D. Do π0P = Coker d v(cid:181) π1P = Ker d n“n nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c thu g(cid:228)n cæa P l(cid:181)

Γ(Cokerd, Kerd).

SP = (Cokerd, Kerd, h), h ∈ Z 3

Khi ﬁª theo (4.9), Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u ψ : Q → Cokerd c¶m sinh mØt c¶n trº

Γ(Q, Kerd).

ψ∗h ∈ Z 3

V(cid:237)i kh‚i ni(cid:214)m c¶n trº n(cid:181)y, ch(cid:243)ng ta ph‚t bi(cid:211)u ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) sau.

Γ(Q, Kerd).

§(cid:222)nh l(cid:253) 4.13. Cho Γ-m«ﬁun ch—o (B, D, d, θ) v(cid:181) Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u ψ : Q → Cokerd. Khi ﬁª sø tri(cid:214)t ti“u cæa ψ∗h trong H 3 Γ(Q, Kerd) l(cid:181) ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n c˙n v(cid:181) ﬁæ ﬁ(cid:211) t(cid:229)n t„i mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n cæa B bºi Q ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o B → D c¶m sinh ψ. H‹n n(cid:247)a, khi ψ∗h tri(cid:214)t ti“u th(cid:215) t¸p c‚c l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng cæa c‚c mº rØng nh› v¸y l(cid:181) song ‚nh v(cid:237)i H 2

Chłng minh. N(cid:213)u ψ∗h = 0 th(cid:215) theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 4.5 t(cid:229)n t„i mØt Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (Ψ, (cid:101)Ψ) : DisΓ Q → SP. L˚y h(cid:238)p th(cid:181)nh v(cid:237)i Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ch(cid:221)nh t(cid:190)c (H, (cid:101)H) : SP → P ta ﬁ›(cid:238)c mØt Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal (F, (cid:101)F ) : DisΓ Q → P, v(cid:181) theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 4.10 thu ﬁ›(cid:238)c mº rØng li“n k(cid:213)t EF .

Ng›(cid:238)c l„i, gi¶ s(cid:246) cª mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o thÆa m•n bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) (4.16). G(cid:228)i P(cid:48) l(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c ch˘t chˇ li“n k(cid:213)t v(cid:237)i Γ-m«ﬁun ch—o B → E. Th(cid:213) th(cid:215) theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 4.7, t(cid:229)n t„i mØt Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal F : P(cid:48) → P. Bºi v(cid:215) nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c thu g(cid:228)n cæa P(cid:48) l(cid:181) DisΓ Q n“n F c¶m sinh mØt Γ-h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u (ψ, 0) tı DisΓ Q t(cid:237)i SP. B'y giŒ, theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 4.5, c‚i c¶n trº cæa c˘p (ψ, 0) ph¶i tri(cid:214)t ti“u trong H 3 Γ(Q, Ker d), ngh(cid:220)a l(cid:181) ψ∗h = 0.

K(cid:213)t lu¸n cuŁi c(cid:239)ng cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁ›(cid:238)c suy ra tı M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 4.5 v(cid:181) §(cid:222)nh l(cid:253) 4.11.

B→D(Q, B, ψ) ch(cid:221)nh l(cid:181) t¸p c‚c l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng c‚c mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu trong [42, 46, 9] v(cid:181)

Ch(cid:243) (cid:253) r»ng khi Γ = 1 l(cid:181) nhªm t˙m th›Œng th(cid:215) th(cid:215) t¸p Ext1

trong Ch›‹ng 3. V(cid:215) v¸y, trong tr›Œng h(cid:238)p n(cid:181)y, §(cid:222)nh l(cid:253) 4.13 chła §(cid:222)nh l(cid:253) 3.7

§Łi v(cid:237)i Γ-m«ﬁun ch—o (B, Aut B, µ, 0) th(cid:215) m(cid:231)i mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o

(B, Aut B, µ, 0) ch(cid:221)nh l(cid:181) mØt mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu trong [14]. Do

Coker µ = Out B, Ker µ = ZB n“n ta thu ﬁ›(cid:238)c h(cid:214) qu¶ sau.

H(cid:214) qu¶ 4.14 (§(cid:222)nh l(cid:253) 4.1 [14]). Cho B, D l(cid:181) c‚c Γ-nhªm v(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u ﬁ…ng bi(cid:213)n ψ : Q → OutB. Khi ﬁª cª mØt l(cid:237)p c¶n trº Obs(ψ) ∈ H 3 Γ(Q, ZB) m(cid:181) sø tri(cid:214)t ti“u cæa nª l(cid:181) ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n c˙n v(cid:181) ﬁæ ﬁ(cid:211) t(cid:229)n t„i mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n cæa B bºi Q c¶m sinh ψ. H‹n n(cid:247)a, khi Obs(ψ) tri(cid:214)t ti“u th(cid:215) t¸p c‚c l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng cæa c‚c mº rØng nh› v¸y l(cid:181) song ‚nh v(cid:237)i H 2 Γ(Q, ZB).

K(cid:213)t lu¸n cæa Ch›‹ng 4

Trong ch›‹ng n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i ﬁ• thu ﬁ›(cid:238)c mØt sŁ k(cid:213)t qu¶ ch(cid:221)nh sau ﬁ'y:

• X'y døng nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c thu g(cid:228)n b»ng ph›‹ng ph‚p h(cid:214) nh'n t(cid:246).

• §›a ra kh‚i ni(cid:214)m nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c ch˘t chˇ v(cid:181) bi(cid:211)u di(cid:212)n c‚c Γ-m«ﬁun ch—o

qua kh‚i ni(cid:214)m n(cid:181)y.

• Ph‚t bi(cid:211)u mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u Γ-m«ﬁun ch—o v(cid:181) c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ph'n

b¸c gi(cid:247)a c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c li“n k(cid:213)t.

• Ph'n l(cid:237)p c‚c Γ-m«ﬁun ch—o.

• Ph‚t bi(cid:211)u v(cid:181) gi¶i b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o nhŒ c‚c k(cid:213)t

qu¶ cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c.

Ch›‹ng 5

Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ v(cid:181) mº rØng v(cid:181)nh

ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui

Trong ch›‹ng n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i gi(cid:237)i thi(cid:214)u mØt phi“n b¶n m«ﬁun ch—o tr“n nhªm cæa J. H.

C. Whitehead cho c‚c v(cid:181)nh, g(cid:228)i l(cid:181) E-h(cid:214). §˘c bi(cid:214)t, E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui ch(cid:221)nh l(cid:181) c‚c song m«ﬁun

ch—o tr“n v(cid:181)nh (§(cid:222)nh l(cid:253) 5.2). C(cid:242)ng nh› ﬁŁi v(cid:237)i (Γ-)m«ﬁun ch—o, ch(cid:243)ng t«i ch(cid:216) ra r»ng m(cid:231)i

E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ, v(cid:181) ng›(cid:238)c l„i. Tı ﬁª, nghi“n cłu v(cid:210) mŁi

li“n h(cid:214) gi(cid:247)a c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui v(cid:181) c‚c Ann-h(cid:181)m t(cid:246) ﬁ‹n gi(cid:247)a c‚c Ann-ph„m tr(cid:239)

li“n k(cid:213)t (c‚c B(cid:230) ﬁ(cid:210) 5.3, 5.4), v(cid:181) ph'n l(cid:237)p ph„m tr(cid:239) c‚c E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui (§(cid:222)nh l(cid:253) 5.7). CuŁi

c(cid:239)ng, ch(cid:243)ng t«i ph‚t bi(cid:211)u b(cid:181)i to‚n mº rØng v(cid:181)nh ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui, x'y døng l(cid:253) thuy(cid:213)t

c¶n trº v(cid:181) chłng minh ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p cho c‚c mº rØng lo„i n(cid:181)y (§(cid:222)nh l(cid:253) 5.10).

Ri“ng ph˙n ﬁ˙u cæa ch›‹ng, ch(cid:243)ng t«i tr(cid:215)nh b(cid:181)y s‹ l›(cid:238)c v(cid:210) c‚c nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u

v(cid:181)nh cæa Mac Lane v(cid:181) Shukla ﬁ(cid:211) s(cid:246) d(cid:244)ng cho vi(cid:214)c ph'n l(cid:237)p c‚c mº rØng v(cid:181)nh ki(cid:211)u E-h(cid:214).

5.1 L(cid:253) thuy(cid:213)t ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u v(cid:181)nh cæa Mac Lane v(cid:181) Shukla

C‚c k(cid:213)t qu¶ cæa ch›‹ng n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t døa theo [38].

C‚c nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u chi(cid:210)u th˚p cæa v(cid:181)nh theo ngh(cid:220)a Mac Lane ﬁ• ﬁ›(cid:238)c N. T. Quang

v(cid:181) D. D. Hanh s(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:211) ph'n l(cid:237)p c‚c Ann-h(cid:181)m t(cid:246) gi(cid:247)a c‚c Ann-ph„m tr(cid:239) [35], v(cid:181) m(cid:237)i

ﬁ'y ﬁ• ﬁ›(cid:238)c N. T. Quang s(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:211) ph'n l(cid:237)p c‚c Ann-ph„m tr(cid:239) t(cid:230)ng qu‚t [37].

Theo c‚ch x'y døng ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u v(cid:181)nh cæa Mac Lane, gi¶ s(cid:246) R l(cid:181) mØt v(cid:181)nh M acL(R, M ), M acL(R, M ) c‚c 3-ﬁŁi d'y chuy(cid:210)n cæa v(cid:181)nh R l˚y h(cid:214) t(cid:246) trong

v(cid:181) M l(cid:181) mØt R-song m«ﬁun th(cid:215) c‚c ph˙n t(cid:246) cæa nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u chi(cid:210)u 3, H 3 ﬁ›(cid:238)c m« t¶ nh› sau. Nhªm Z 3 R-song m«ﬁun M bao g(cid:229)m c‚c bØ bŁn h = (σ, α, λ, ρ) c‚c ‚nh x„ chu¨n t(cid:190)c

σ : R4 → M, α, λ, ρ : R3 → M,

thÆa m•n 8 ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n. Nhªm con B3 M acL(R, M ) ⊂ Z 3 M acL(R, M ) c‚c 3-ﬁŁi bŒ l(cid:181) nh(cid:247)ng bØ bŁn h = (σ, α, λ, ρ) sao cho t(cid:229)n t„i c‚c ‚nh x„ g = (µ, ν) : R2 → M thÆa m•n 4 ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n.

M acL(R, M ) (M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 7.2, 7.3 [33]). Theo ﬁª, nhªm Z 3

Tuy nhi“n, ﬁ(cid:211) thu¸n l(cid:238)i cho vi(cid:214)c s(cid:246) d(cid:244)ng ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u v(cid:181)nh cæa Mac Lane v(cid:181)o b(cid:181)i to‚n

ph'n l(cid:237)p c‚c Ann-ph„m tr(cid:239), N. T. Quang ﬁ• ﬁ›a ra mØt m« t¶ kh‚c cho nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u v(cid:181)nh H 3 M acL(R, M ) c‚c 3-ﬁŁi d'y chuy(cid:210)n cæa v(cid:181)nh R l˚y h(cid:214) t(cid:246) trong R-song m«ﬁun M bao g(cid:229)m c‚c bØ n¤m h = (ξ, η, α, λ, ρ)

c‚c ‚nh x„

ξ, α, λ, ρ : R3 → M, η : R2 → M,

thÆa m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n sau v(cid:237)i m(cid:228)i x, y, z, t ∈ R:

S1. ξ(y, z, t) − ξ(x + y, z, t) + ξ(x, y + z, t) − ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0,

S2. ξ(x, y, z) − ξ(x, z, y) + ξ(z, x, y) + η(x + y, z) − η(x, z) − η(y, z) = 0,

S3. η(x, y) + η(y, x) = 0,

S4. xη(y, z) − η(xy, xz) = λ(x, y, z) − λ(x, z, y),

S5. η(x, y)z − η(xz, yz) = ρ(x, y, z) − ρ(y, x, z),

S6. xξ(y, z, t) − ξ(xy, xz, xt) = λ(x, z, t) − λ(x, y + z, t) + λ(x, y, z + t) − λ(x, y, z),

S7. ξ(x, y, z)t − ξ(xt, yt, zt) = ρ(y, z, t) − ρ(x + y, z, t) + ρ(x, y + z, t) − ρ(x, y, z),

S8. ρ(x, y, z + t) − ρ(x, y, z) − ρ(x, y, t) + λ(x, z, t) + λ(y, z, t) − λ(x + y, z, t) =

ξ(xz + xt, yz, yt) + ξ(xz, xt, yz) − η(xt, yz) + ξ(xz + yz, xt, yt) − ξ(xz, yz, xt),

S9. α(x, y, z + t) − α(x, y, z) − α(x, y, t) = xλ(y, z, t) + λ(x, yz, yt) − λ(xy, z, t),

S10. α(x, y + z, t) − α(x, y, t) − α(x, z, t) = xρ(y, z, t) − ρ(xy, xz, t) +

λ(x, yt, zt) − λ(x, y, z)t,

S11. α(x + y, z, t) − α(x, y, t) − α(y, z, t) = −ρ(x, y, z)t − ρ(xz, yz, t) + ρ(x, y, zt),

S12. xα(y, z, t) − α(xy, z, t) + α(x, yz, t) − α(x, y, zt) + α(x, y, z)t = 0,

v(cid:181) thÆa m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n chu¨n t(cid:190)c:

ξ(0, y, z) = ξ(x, 0, z) = ξ(x, y, 0) = 0,

α(1, y, z) = α(x, 1, z) = α(x, y, 1) = 0,

α(0, y, z) = α(x, 0, z) = α(x, y, 0) = 0,

λ(1, y, z) = λ(0, y, z) = λ(x, 0, z) = λ(x, y, 0) = 0,

ρ(x, y, 1) = ρ(0, y, z) = ρ(x, 0, z) = ρ(x, y, 0) = 0.

M acL(R, M ) ⊂ Z 3

M acL(R, M ) c‚c 3-ﬁŁi bŒ l(cid:181) nh(cid:247)ng bØ n¤m h = (ξ, η, α, λ, ρ)

Nhªm con B3

sao cho t(cid:229)n t„i c‚c ‚nh x„ g = (µ, ν) : R2 → M tho¶ m•n

S13. ξ(x, y, z) = µ(y, z) − µ(x + y, z) + µ(x, y + z) − µ(x, y),

S14. η(y, x) = µ(x, y) − µ(y, x),

S15. α(x, y, z) = xν(y, z) − ν(xy, z) + ν(x, yz) − ν(x, y)z,

S16. λ(x, y, z) = ν(x, y + z) − ν(x, y) − ν(x, z) + xµ(y, z) − µ(xy, xz),

S17. ρ(x, y, z) = ν(x + y, z) − ν(x, z) − ν(y, z) + µ(x, y)z − µ(xz, yz),

º ﬁª µ, ν thÆa m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n chu¨n t(cid:190)c µ(0, y) = µ(x, 0) = 0 v(cid:181) ν(0, y) = ν(x, 0) =

ν(1, y) = ν(x, 1) = 0.

Nh› v¸y, v(cid:237)i c‚ch m« t¶ n(cid:181)y th(cid:215) m(cid:231)i 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh theo ngh(cid:220)a cæa Mac Lane n(cid:213)u thÆa

m•n th“m ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n

η(x, x) = 0

c(cid:242)ng ch(cid:221)nh l(cid:181) mØt 3-ﬁŁi chu tr(cid:215)nh theo ngh(cid:220)a cæa Shukla (trong ﬁª v(cid:181)nh R ﬁ›(cid:238)c xem nh› l(cid:181) Z-ﬁ„i sŁ). §i(cid:210)u n(cid:181)y l(cid:181) ho(cid:181)n to(cid:181)n ph(cid:239) h(cid:238)p v(cid:237)i k(cid:213)t qu¶ ph'n l(cid:237)p c‚c Ann-ph„m tr(cid:239) ch(cid:221)nh qui bºi nhªm H 3 Shu(R, M ) trong [1], v(cid:181) nh› v¸y cª mØt ﬁ‹n ‚nh (H(cid:214) qu¶ 1 [33])

Sh(R, M ) (cid:44)→ H 3

M acL(R, M ).

M acL(R, M ) ⊂ Z 2

H 3

Nhªm Z 2 M acL(R, M ) bao g(cid:229)m c‚c 2-ﬁŁi d'y chuy(cid:210)n g = (µ, ν) cæa v(cid:181)nh R l˚y h(cid:214) t(cid:246) trong R-song m«ﬁun M tho¶ m•n ∂M acLg = 0. Nhªm con B2 M acL(R, M ) cæa c‚c 2-ﬁŁi bŒ g(cid:229)m nh(cid:247)ng c˘p (µ, ν) sao cho t(cid:229)n t„i c‚c ‚nh x„ t : R → M tho¶ m•n

(µ, ν) = ∂M acLt, ngh(cid:220)a l(cid:181):

S18. µ(x, y) = t(y) − t(x + y) + t(x),

S19. ν(x, y) = xt(y) − t(xy) + t(x)y,

trong ﬁª t tho¶ m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n chu¨n t(cid:190)c t(0) = t(1) = 0.

M acL(R, M ) bao g(cid:229)m c‚c 1-ﬁŁi d'y chuy(cid:210)n t cæa v(cid:181)nh R l˚y h(cid:214) t(cid:246) trong R-song M acL(R, M ) cæa c‚c 1-ﬁŁi

M acL(R, M ) ⊂ Z 1

Nhªm Z 1

m«ﬁun M tho¶ m•n ∂M acLt = 0. Nhªm con B1 bŒ l(cid:181) nh(cid:247)ng h(cid:181)m t sao cho t(cid:229)n t„i a ∈ R tho¶ m•n t(x) = ax − xa.

C‚c nhªm th›‹ng

M acL(R, M ) = Z i

M acL(R, M )/Bi

M acL(R, M ), i = 2, 3,

H i

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u Mac Lane thł i cæa v(cid:181)nh R v(cid:237)i h(cid:214) t(cid:246) trong R-song m«ﬁun

M .

Trong c‚c tr›Œng h(cid:238)p i = 1, 2 ta cª:

M acL(R, M ) = H 1

Shu(R, M ), H 2

M acL(R, M ) = H 2

Shu(R, M ).

H 1

5.2 Song m«ﬁun ch—o v(cid:181) E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui

Kh‚i ni(cid:214)m m«ﬁun ch—o tr“n c‚c k-ﬁ„i sŁ (k l(cid:181) tr›Œng) ﬁ• ﬁ›(cid:238)c J. -H. Baues gi(cid:237)i thi(cid:214)u

trong [4] khi nghi“n cłu v(cid:210) c‚c ﬁ„i sŁ thł c˚p (secondary algebra). Sau ﬁª, c‚c m«ﬁun ch—o

tr“n c‚c k-ﬁ„i sŁ ﬁ• ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:211) ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a c‚c mº rØng ch—o cæa mØt ﬁ„i sŁ B bºi

mØt B-song m«ﬁun M [5]. Trong [6], c‚c t‚c gi¶ ﬁ• thay th(cid:213) tr›Œng k bºi v(cid:181)nh giao ho‚n, cª ﬁ‹n v(cid:222) K v(cid:181) thu ﬁ›(cid:238)c kh‚i ni(cid:214)m song m«ﬁun ch—o. MŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a kh‚i ni(cid:214)m n(cid:181)y v(cid:237)i c‚c mº rØng ch—o v(cid:181) nhªm ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u Hochschild chi(cid:210)u 3 ﬁ• ﬁ›(cid:238)c xem x—t trong [31].

Tr›(cid:237)c h(cid:213)t, ch(cid:243)ng t«i nh(cid:190)c l„i kh‚i ni(cid:214)m song m«ﬁun ch—o v(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u song m«ﬁun

ch—o theo [31]. §(cid:222)nh ngh(cid:220)a [31]. i) MØt song m«ﬁun ch—o l(cid:181) mØt bØ ba (B, D, d), trong ﬁª D l(cid:181) K-ﬁ„i sŁ k(cid:213)t h(cid:238)p, B l(cid:181) D-song m«ﬁun v(cid:181) d : B → D l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u D-song m«ﬁun thÆa m•n

d(b)b(cid:48) = bd(b(cid:48)), b, b(cid:48) ∈ B. (5.1)

ii) MØt ﬁ(cid:229)ng c˚u (k1, k0) : (B, D, d) → (B(cid:48), D(cid:48), d(cid:48)) gi(cid:247)a hai song m«ﬁun ch—o bao g(cid:229)m c˘p ﬁ(cid:229)ng c˚u k1 : B → B(cid:48), k0 : D → D(cid:48), trong ﬁª k1 l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u nhªm, k0 l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u K-ﬁ„i sŁ thÆa m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n

(5.2) k0d = d(cid:48)k1,

(5.3) k1(xb) = k0(x)k1(b), k1(bx) = k1(b)k0(x),

v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ D, b ∈ B.

§i(cid:210)u ki(cid:214)n (5.3) chłng tÆ k1 l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u D-song m«ﬁun khi xem B(cid:48) l(cid:181) D-song m«ﬁun

v(cid:237)i t‚c ﬁØng xb(cid:48) = k0(x)b(cid:48), b(cid:48)x = b(cid:48)k0(x).

Khi v(cid:181)nh c‹ sº K ﬁ›(cid:238)c l˚y l(cid:181) v(cid:181)nh c‚c sŁ nguy“n Z th(cid:215) song m«ﬁun ch—o (B, D, d)

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) song m«ﬁun ch—o tr“n v(cid:181)nh.

Ti(cid:213)p theo, ﬁ(cid:211) tr(cid:215)nh b(cid:181)y kh‚i ni(cid:214)m E-h(cid:214) ch(cid:243)ng t«i nh(cid:190)c l„i mØt sŁ thu¸t ng(cid:247) theo S. Mac

Lane [28]. MØt song t(cid:221)ch cæa v(cid:181)nh A l(cid:181) mØt c˘p ‚nh x„ a (cid:55)→ ζa, a (cid:55)→ aζ tı A v(cid:181)o ch(cid:221)nh nª

thÆa m•n

ζ(a + b) = ζa + ζb, (a + b)ζ = aζ + bζ,

ζ(ab) = (ζa)b, (ab)ζ = a(bζ),

a(ζb) = (aζ)b,

v(cid:237)i m(cid:228)i ph˙n t(cid:246) a, b ∈ A. T(cid:230)ng ζ + ω v(cid:181) t(cid:221)ch ζω cæa hai song t(cid:221)ch ζ v(cid:181) ω ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

(ζ + ω)a = ζa + ωa, a(ζ + ω) = aζ + aω,

(ζω)a = ζ(ωa), a(ζω) = (aζ)ω,

v(cid:237)i m(cid:228)i a ∈ A.

T¸p t˚t c¶ c‚c song t(cid:221)ch cæa A l(cid:181) mØt v(cid:181)nh ﬁ›(cid:238)c k(cid:253) hi(cid:214)u bºi MA. V(cid:237)i m(cid:231)i ph˙n t(cid:246) c

cæa A, song t(cid:221)ch µc x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

µca = ca, aµc = ac, a ∈ A,

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt song t(cid:221)ch trong. Khi ﬁª CA = {c ∈ A|µc = 0} ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) song t'm cæa A. Hai song t(cid:221)ch ζ v(cid:181) ω ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) giao ho‚n n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:228)i a ∈ A,

ζ(aω) = (ζa)ω, ω(aζ) = (ωa)ζ. (5.4)

B'y giŒ, kh‚i ni(cid:214)m E-h(cid:214) m(cid:181) ch(cid:243)ng t«i n“u ra d›(cid:237)i ﬁ'y ﬁ›(cid:238)c xem nh› mØt phi“n b¶n

cæa m«ﬁun ch—o cho c‚c v(cid:181)nh.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a [38]. MØt E-h(cid:214) l(cid:181) mØt bØ bŁn (B, D, d, θ) trong ﬁª d : B → D, θ : D → MB l(cid:181) c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u v(cid:181)nh thÆa m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n sau:

θ ◦ d = µ, (5.5)

(5.6) d(θxb) = x.d(b), d(bθx) = d(b).x,

v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ D, b ∈ B.

E-h(cid:214) (B, D, d, θ) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ch(cid:221)nh qui n(cid:213)u θ l(cid:181) 1-ﬁ(cid:229)ng c˚u (ﬁ(cid:229)ng c˚u bi(cid:213)n ﬁ‹n v(cid:222) th(cid:181)nh

ﬁ‹n v(cid:222)) v(cid:181) c‚c ph˙n t(cid:246) thuØc θ(D) l(cid:181) giao ho‚n.

MØt ﬁ(cid:229)ng c˚u (f1, f0) : (B, D, d, θ) → (B(cid:48), D(cid:48), d(cid:48), θ(cid:48)) gi(cid:247)a hai E-h(cid:214) bao g(cid:229)m c‚c ﬁ(cid:229)ng

c˚u v(cid:181)nh f1 : B → B(cid:48), f0 : D → D(cid:48) sao cho

(5.7) f0d = d(cid:48)f1

v(cid:181) f1 l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u to‚n t(cid:246), ngh(cid:220)a l(cid:181)

f0(x)f1(b), f1(bθx) = f1(b)θ(cid:48)

f0(x).

(5.8) f1(θxb) = θ(cid:48)

§(cid:211) cho ti(cid:214)n, E-h(cid:214) (B, D, d, θ) ﬁ«i khi c(cid:223)n ﬁ›(cid:238)c k(cid:253) hi(cid:214)u bºi B d→ D, ho˘c ﬁ‹n gi¶n l(cid:181)

xb = xb, bθ0 θ0

x = bx, x ∈ D, b ∈ B.

B → D. C‚c v(cid:221) d(cid:244). 1. N(cid:213)u B l(cid:181) mØt ideal hai ph(cid:221)a cæa D th(cid:215) ta cª E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui (B, D, d, θ0), trong ﬁª d l(cid:181) ph—p nh(cid:243)ng, θ0 : D → MB ﬁ›(cid:238)c cho bºi ph—p l˚y song t(cid:221)ch, ngh(cid:220)a l(cid:181)

2. Cho D l(cid:181) mØt v(cid:181)nh, B l(cid:181) mØt D-song m«ﬁun, 0 : B → D l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u kh«ng gi(cid:247)a c‚c D-song m«ﬁun. Khi ﬁª B l(cid:181) mØt v(cid:181)nh v(cid:237)i ph—p nh'n ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi b.b(cid:48) = 0(b)b(cid:48) =

b0(b(cid:48)) = 0 v(cid:237)i m(cid:228)i b, b(cid:48) ∈ B, v(cid:181) ta cª E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui (B, D, 0, θ), v(cid:237)i θ ﬁ›(cid:238)c cho bºi t‚c

ﬁØng song m«ﬁun.

3. Cho B l(cid:181) mØt v(cid:181)nh, MB l(cid:181) v(cid:181)nh c‚c song t(cid:221)ch cæa B, µ : B → MB l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u bi(cid:213)n m(cid:231)i ph˙n t(cid:246) b ∈ B th(cid:181)nh song t(cid:221)ch trong cæa B. Khi ﬁª ta cª E-h(cid:214) (B, MB, µ, id). Nh(cid:215)n chung, E-h(cid:214) n(cid:181)y kh«ng ch(cid:221)nh qui.

Tı ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a E-h(cid:214), ta th˚y ngay c‚c t(cid:221)nh ch˚t sau ﬁ'y.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 5.1. Cho E-h(cid:214) (B, D, d, θ). Khi ﬁª:

i) Kerd ⊂ CB, ii) Imd l(cid:181) iﬁ“an trong D,

iii) ﬁ(cid:229)ng c˚u θ c¶m sinh ﬁ(cid:229)ng c˚u ϕ : D → MKerd cho bºi ϕx = θx|Kerd, iv) Kerd l(cid:181) Cokerd-song m«ﬁun v(cid:237)i t‚c ﬁØng

sa = ϕx(a), as = (a)ϕx, a ∈ Kerd, x l(cid:181) mØt ﬁ„i di(cid:214)n cæa s ∈ Cokerd.

§(cid:222)nh l(cid:253) d›(cid:237)i ﬁ'y nªi l“n mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a hai kh‚i ni(cid:214)m E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui v(cid:181) song m«ﬁun

ch—o tr“n v(cid:181)nh.

§(cid:222)nh l(cid:253) 5.2. Ph„m tr(cid:239) c‚c E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui v(cid:181) ph„m tr(cid:239) c‚c song m«ﬁun ch—o tr“n v(cid:181)nh l(cid:181)

ﬁ…ng c˚u.

Chłng minh. Cho E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui =(B, D, d, θ). Khi ﬁª nhªm aben cØng B l(cid:181) mØt D-song

m«ﬁun v(cid:237)i t‚c ﬁØng

(5.9) xb = θxb, bx = bθx

v(cid:237)i x ∈ D, b ∈ B. Cª th(cid:211) ki(cid:211)m tra r»ng c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n cæa mØt song m«ﬁun ch—o ﬁ›(cid:238)c thÆa

m•n. Ch…ng h„n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (5.1) ﬁ›(cid:238)c suy ra tı ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (5.5),

(5.5)= bθd(b(cid:48)) = bd(b(cid:48)),

d(b)b(cid:48) = θd(b)(b(cid:48)) (5.5)= µb(b(cid:48)) = bb(cid:48) = bµb(cid:48)

do µb, µb(cid:48) l(cid:181) c‚c song t(cid:221)ch trong cæa v(cid:181)nh B. Ngo(cid:181)i ra, t(cid:221)nh ch(cid:221)nh qui cæa E-h(cid:214) l(cid:181) c˙n v(cid:181) ﬁæ ﬁ(cid:211) m«ﬁun hai ph(cid:221)a B l(cid:181) D-song m«ﬁun.

Ng›(cid:238)c l„i, n(cid:213)u (B, D, d) l(cid:181) mØt song m«ﬁun ch—o tr“n v(cid:181)nh th(cid:215) B cª c˚u tr(cid:243)c v(cid:181)nh v(cid:237)i

ph—p nh'n

b ∗ b(cid:48) := d(b)b(cid:48) = bd(b(cid:48)), b, b(cid:48) ∈ B. (5.10)

Khi ﬁª, d : B → D l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u v(cid:181)nh do v(cid:237)i m(cid:228)i b, b(cid:48) ∈ B ta cª

d(b ∗ b(cid:48)) = d(d(b)b(cid:48)) = d(b)d(b(cid:48)).

‚nh x„ θ : D → MB ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi t‚c ﬁØng song m«ﬁun (5.9). §(cid:229)ng c˚u θ cª ¶nh trong MB v(cid:181) hai ph˙n t(cid:246) cæa θ(D) giao ho‚n do t(cid:221)nh D-song m«ﬁun cæa B. H‹n n(cid:247)a, θ

thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (5.6) do d l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u song m«ﬁun. §i(cid:210)u n(cid:181)y chłng tÆ t›‹ng łng

M (cid:55)→ (B, D, d) l(cid:181) mØt song ‚nh tr“n t¸p c‚c v¸t.

N(cid:213)u (f1, f0) : (B, D, d, θ) → (B(cid:48), D(cid:48), d(cid:48), θ(cid:48)) l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n gi(cid:247)a c‚c E-h(cid:214) th(cid:215) hi(cid:211)n nhi“n

(5.8) = θ(cid:48)

(f1, f0) l(cid:181) c˘p ﬁ(cid:229)ng c˚u thÆa m•n h(cid:214) thłc (5.2). M˘t kh‚c, v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ D, b ∈ B ta cª

(5.9) = f1(θxb)

(5.9) = f0(x)f1(b) = xf1(b).

f0(x)f1(b)

f1(xb)

T›‹ng tø, ta cª f1(bx) = f1(b)x. Ngh(cid:220)a l(cid:181) c˘p (f1, f0) l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n gi(cid:247)a hai song m«ﬁun ch—o.

Ng›(cid:238)c l„i, cho (k1, k0) : (B, D, d) → (B(cid:48), D(cid:48), d(cid:48)) l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n gi(cid:247)a c‚c song m«ﬁun ch—o. Ta chłng tÆ k1 l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u v(cid:181)nh. Theo c‚ch x‚c ﬁ(cid:222)nh ph—p nh'n tr“n B ﬁ(cid:211) D-m«ﬁun B trº th(cid:181)nh mØt v(cid:181)nh, ta cª

(5.10) = k1(d(b)b(cid:48))

(5.3) = k0(d(b))k1(b(cid:48))

(5.2) = d(cid:48)(k1(b))k1(b(cid:48))

(5.10) = k1(b) ∗ k1(b(cid:48)),

k1(b ∗ b(cid:48))

v(cid:237)i m(cid:228)i b, b(cid:48) ∈ B. H‹n n(cid:247)a, c˘p (k1, k0) thÆa m•n (5.8).

Do ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) tr“n, kh‚i ni(cid:214)m E-h(cid:214) ﬁ›(cid:238)c xem nh› l(cid:181) sø l(cid:181)m y(cid:213)u cæa kh‚i ni(cid:214)m song m«ﬁun

5.3 Ph'n l(cid:237)p c‚c E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui

ch—o tr“n v(cid:181)nh.

Trong m(cid:244)c n(cid:181)y, ﬁ(cid:211) ph'n l(cid:237)p c‚c E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui døa v(cid:181)o ﬁ˘c tr›ng cæa c‚c song m«ﬁun

ch—o tr“n v(cid:181)nh nh› trong §(cid:222)nh l(cid:253) 5.2, tr›(cid:237)c h(cid:213)t ch(cid:243)ng t«i ch(cid:216) ra r»ng c‚c E-h(cid:214) c(cid:242)ng ch(cid:221)nh

l(cid:181) c‚c Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ.

V(cid:237)i m(cid:231)i E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui (B, D, d, θ), ta cª th(cid:211) x'y døng ﬁ›(cid:238)c mØt Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t

chˇ A = AB→D g(cid:228)i l(cid:181) Ann-ph„m tr(cid:239) li“n k(cid:213)t v(cid:237)i E-h(cid:214) (B, D, d, θ) nh› sau:

ObA = D.

V(cid:237)i hai v¸t x, y cæa A th(cid:215)

Hom(x, y) = {b ∈ B/y = d(b) + x}.

H(cid:238)p th(cid:181)nh cæa c‚c m(cid:242)i t“n ﬁ›(cid:238)c cho bºi

(x b→ y c→ z) = (x b+c→ z).

Hai ph—p to‚n ⊕, ⊗ tr“n c‚c v¸t ﬁ›(cid:238)c cho bºi hai ph—p to‚n +, × trong v(cid:181)nh D. §Łi v(cid:237)i c‚c

m(cid:242)i t“n ta ﬁ˘t

(x b→ y) ⊕ (x(cid:48) b(cid:48) → y(cid:48)) = (x + x(cid:48) b+b(cid:48) −→ y + y(cid:48)),

−−−−−−−−→ yy(cid:48)). (x b→ y) ⊗ (x(cid:48) b(cid:48) → y(cid:48)) = (xx(cid:48) bb(cid:48)+bθx(cid:48) +θxb(cid:48)

Do t(cid:221)nh ch(cid:221)nh qui cæa E-h(cid:214), c(cid:244) th(cid:211) l(cid:181) do t(cid:221)nh giao ho‚n cæa c‚c song t(cid:221)ch thuØc θ(D), t›‹ng

ﬁ›‹ng v(cid:237)i t(cid:221)nh k(cid:213)t h(cid:238)p cæa ph—p to‚n ⊗ tr“n c‚c m(cid:242)i t“n n“n ta cª th(cid:211) ch(cid:228)n r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p a l(cid:181) ch˘t chˇ. C‚c r(cid:181)ng buØc c(cid:223)n l„i tr“n A c(cid:242)ng ﬁ(cid:210)u ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:181) ch˘t chˇ.

Ng›(cid:238)c l„i, v(cid:237)i Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ (A, ⊕, ⊗) ta cª th(cid:211) x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui

MA = (B, D, d, θ) li“n k(cid:213)t v(cid:237)i A nh› sau. §˘t

D = ObA, B = {0 b−→ x| x ∈ D}.

Khi ﬁª, D l(cid:181) mØt v(cid:181)nh v(cid:237)i hai ph—p to‚n

x + y = x ⊕ y, xy = x ⊗ y,

v(cid:181) B l(cid:181) v(cid:181)nh v(cid:237)i hai ph—p to‚n

b + c = b ⊕ c, bc = b ⊗ c.

C‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u d : B → D v(cid:181) θ : D → MB l˙n l›(cid:238)t cho bºi

b⊗idy−−−→ yx).

d(0 b−→ x) = x,

idy⊗b −−−→ yx), (0 b−→ x)θy = (0

θy(0 b−→ x) = (0

D(cid:212) th(cid:246) l„i r»ng (B, D, d, θ) ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh nh› tr“n l(cid:181) mØt E-h(cid:214).

Trong c‚c b(cid:230) d›(cid:237)i ﬁ'y ch(cid:243)ng ta lu«n gi¶ thi(cid:213)t r»ng AB→D v(cid:181) AB(cid:48)→D(cid:48) l(cid:181) hai Ann-ph„m tr(cid:239) l˙n l›(cid:238)t li“n k(cid:213)t v(cid:237)i c‚c E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui (B, D, d, θ) v(cid:181) (B(cid:48), D(cid:48), d(cid:48), θ(cid:48)). C‚c b(cid:230) ﬁ(cid:210) n(cid:181)y nªi

l“n mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui v(cid:181) c‚c Ann-h(cid:181)m t(cid:246) gi(cid:247)a c‚c Ann-ph„m

tr(cid:239) li“n k(cid:213)t.

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 5.3. Cho ﬁ(cid:229)ng c˚u (f1, f0) : (B, D, d, θ) → (B(cid:48), D(cid:48), d(cid:48), θ(cid:48)) gi(cid:247)a c‚c E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui. Khi ﬁª: i) T(cid:229)n t„i mØt h(cid:181)m t(cid:246) F : AB→D → AB(cid:48)→D(cid:48) x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

F (x) = f0(x), F (b) = f1(b), x ∈ Ob A, b ∈ Mor A.

ii) C‚c ﬁ…ng c˚u tø nhi“n ˘Fx,y : F (x + y) → F (x) + F (y), (cid:101)Fx,y : F (xy) → F (x)F (y) c(cid:239)ng v(cid:237)i F l(cid:181) mØt Ann-h(cid:181)m t(cid:246) n(cid:213)u ˘F v(cid:181) (cid:101)F l(cid:181) c‚c h»ng thuØc Ker d(cid:48) sao cho v(cid:237)i m(cid:228)i x, y ∈ D,

F (x)( (cid:101)F ) = ( (cid:101)F )θ(cid:48) θ(cid:48)

F (y) = (cid:101)F ,

(5.11)

F (x)( ˘F ) = ( ˘F )θ(cid:48) θ(cid:48)

F (y) = ˘F + (cid:101)F .

(5.12)

Khi ﬁª, ta nªi r»ng F l(cid:181) mØt Ann-h(cid:181)m t(cid:246) d„ng (f1, f0).

Chłng minh. i) M(cid:231)i ph˙n t(cid:246) b ∈ B cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c coi nh› l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n (0 b→ d(b)) trong F (b) → F (db)) l(cid:181) mØt m(cid:242)i t“n trong A(cid:48). Do c‚ch x‚c ﬁ(cid:222)nh Ann-ph„m tr(cid:239) li“n A. Khi ﬁª, (F (0) k(cid:213)t v(cid:237)i mØt E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui n“n F x‚c ﬁ(cid:222)nh nh› tr“n l(cid:181) mØt h(cid:181)m t(cid:246).

ii) Ta x‚c ﬁ(cid:222)nh c‚c ﬁ…ng c˚u tø nhi“n

˘Fx,y : F (x + y) → F (x) + F (y), (cid:101)Fx,y : F (xy) → F (x)F (y)

sao cho F = (F, ˘F , (cid:101)F ) trº th(cid:181)nh mØt Ann-h(cid:181)m t(cid:246). Tr›(cid:237)c h(cid:213)t, ta th˚y r»ng do

F (x) + F (x(cid:48)) = F (x + x(cid:48)),

n“n d(cid:48)( ˘Fx,x(cid:48)) = 0. T›‹ng tø, d(cid:48)( (cid:101)Fx,x(cid:48)) = 0, do ﬁª

(5.13) ˘Fx,x(cid:48), (cid:101)Fx,x(cid:48) ∈ Kerd(cid:48) ⊂ CB(cid:48).

B'y giŒ v(cid:237)i (x b→ y) v(cid:181) (x(cid:48) b(cid:48) → y(cid:48)) l(cid:181) hai m(cid:242)i t“n trong A th(cid:215):

f1(b+b(cid:48)) −−−−→ f0(y + y(cid:48))(cid:1),

f1(b)

• F (b ⊕ b(cid:48)) = F (x + x(cid:48) b+b(cid:48) −−→ y + y(cid:48)) = (cid:0)f0(x + x(cid:48))

f1(b(cid:48)) −−−→ f0(y(cid:48))(cid:1) f1(b)+f1(b(cid:48)) −−−−−−−→ f0(y) + f0(y(cid:48))(cid:1).

F (b) ⊕ F (b(cid:48)) = (cid:0)f0(x) −−→ f0(y)(cid:1) ⊕ (cid:0)f0(x(cid:48))

= (cid:0)f0(x) + f0(x(cid:48))

Do f1 l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u v(cid:181)nh n“n

F (b ⊕ b(cid:48)) = F (b) ⊕ F (b(cid:48)). (5.14)

(cid:45)

F (b⊕b(cid:48))

F (b)⊕F (b(cid:48))

Do (5.13), (5.14) v(cid:181) do gi¶ thi(cid:213)t ˘F l(cid:181) h»ng ( ˘Fx,x(cid:48) = ˘Fy,y(cid:48)), n“n bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau giao ho‚n ˘Fx,x(cid:48) F (x + x(cid:48)) F (x) + F (x(cid:48))

(cid:45)

(cid:63) F (y + y(cid:48))

(cid:63) F (y) + F (y(cid:48)),

˘Fy,y(cid:48)

(5.15)

ngh(cid:220)a l(cid:181) (cid:101)F thÆa m•n t(cid:221)nh tø nhi“n.

f1(bb(cid:48)+bθx(cid:48) +θxb(cid:48)) −−−−−−−−−−→ f0(yy(cid:48))(cid:1),

f1(b)

• F (b ⊗ b(cid:48)) = F (xx(cid:48) bb(cid:48)+bθx(cid:48) +θxb(cid:48) −−−−−−−−→ yy(cid:48)) = (cid:0)f0(xx(cid:48))

f0(x(cid:48))

f1(b(cid:48)) −→ f0(y)(cid:1) ⊗ (cid:0)f0(x(cid:48)) −→ f0(y(cid:48))(cid:1) f1(b)f1(b(cid:48))+f1(b)θ(cid:48) +θ(cid:48) f0(x)f1(b(cid:48)) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ f0(y)f0(y(cid:48))(cid:1).

F (b) ⊗ F (b(cid:48)) = (cid:0)f0(x)

= (cid:0)f0(x)f0(x(cid:48))

f0(x)f1(b(cid:48)) v(cid:181) f1(bθx(cid:48)) = f1(b)θ(cid:48)

f0(x(cid:48)) n“n

Theo (5.8) ta cª: f1(θxb(cid:48)) = θ(cid:48)

F (b ⊗ b(cid:48)) = F (b) ⊗ F (b(cid:48)). (5.16)

(cid:45)(cid:101)Fx,x(cid:48)

Do (5.13), (5.16) v(cid:181) do gi¶ thi(cid:213)t (cid:101)F l(cid:181) h»ng ( (cid:101)Fx,x(cid:48) = (cid:101)Fy,y(cid:48)), n“n bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau giao ho‚n

F (b⊗b(cid:48))

F (xx(cid:48)) F (x)F (x(cid:48))

(cid:45)

(cid:63) F (yy(cid:48))

F (b)⊗F (b(cid:48)) (cid:63) F (y)F (y(cid:48)),

(cid:101)Fy,y(cid:48)

(5.17)

ngh(cid:220)a l(cid:181) (cid:101)F thÆa m•n t(cid:221)nh tø nhi“n.

T(cid:221)nh t›‹ng th(cid:221)ch cæa (F, (cid:101)F ) v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p suy ra tı ﬁ…ng thłc (5.11). T(cid:221)nh

t›‹ng th(cid:221)ch cæa (F, ˘F , (cid:101)F ) v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc ph'n phŁi suy ra tı ﬁ…ng thłc (5.12).

Ann-h(cid:181)m t(cid:246) (F, ˘F , (cid:101)F ) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁ‹n n(cid:213)u F (0) = 0, F (1) = 1 v(cid:181) ˘F , (cid:101)F l(cid:181) nh(cid:247)ng h»ng.

V(cid:237)i kh‚i ni(cid:214)m n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i ph‚t bi(cid:211)u m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) ﬁ¶o cæa m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) tr“n.

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 5.4. Cho Ann-h(cid:181)m t(cid:246) ﬁ‹n (F, ˘F , (cid:101)F ) : AB→D → AB(cid:48)→D(cid:48). Khi ﬁª cª mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u (f1, f0) : (B → D) → (B(cid:48) → D(cid:48)) gi(cid:247)a c‚c E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui, ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

f1(b) = F (b), f0(x) = F (x),

v(cid:237)i m(cid:231)i b ∈ B, x ∈ D.

B(cid:48)→D(cid:48) ta suy ra

Chłng minh. Do F (0) = 0, F (1) = 1 v(cid:181) do ˘F , (cid:101)F l(cid:181) c‚c h»ng n“n ta suy ra ˘F , (cid:101)F ∈ Ker d(cid:48). Tı ﬁª, theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa m(cid:242)i t“n trong A(cid:48)

F (x + y) = F (x) + F (y), F (xy) = F (x)F (y),

v(cid:181) bºi v¸y f0 l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u v(cid:181)nh. Do ˘F l(cid:181) h»ng thuØc Ker d(cid:48) n“n tı bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) giao ho‚n (5.15) suy ra

F (b ⊕ b(cid:48)) = F (b) ⊕ F (b(cid:48)).

Ngh(cid:220)a l(cid:181) f1(b + b(cid:48)) = f1(b) + f1(b(cid:48)).

Do (cid:101)F l(cid:181) h»ng thuØc Ker d(cid:48) n“n tı bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) giao ho‚n (5.17) suy ra

F (b ⊗ b(cid:48)) = F (b) ⊗ F (b(cid:48)).

Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa lu¸t ⊗ ta suy ra

f0(x(cid:48)) + θ(cid:48)

f0(x)f1(b(cid:48)).

(5.18) f1(bb(cid:48)) + f1(bθx(cid:48)) + f1(θxb(cid:48)) = f1(b)f1(b(cid:48)) + f1(b)θ(cid:48)

Trong h(cid:214) thłc tr“n l˙n l›(cid:238)t ch(cid:228)n b = 0, b(cid:48) = 0 ta thu ﬁ›(cid:238)c

f0(x)f1(b(cid:48)), f1(bθx(cid:48)) = f1(b)θ(cid:48)

f0(x).

f1(θxb(cid:48)) = θ(cid:48)

Tłc l(cid:181) (5.8) ﬁ›(cid:238)c thÆa m•n. §(cid:229)ng thŒi khi ﬁª ﬁ…ng thłc (5.18) trº th(cid:181)nh f1(bb(cid:48)) = f1(b)f1(b(cid:48)), ngh(cid:220)a l(cid:181) f1 l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u v(cid:181)nh. CuŁi c(cid:239)ng ta chłng tÆ h(cid:214) thłc (5.7) ﬁ›(cid:238)c thÆa m•n. Th¸t v¸y, v(cid:237)i m(cid:228)i m(cid:242)i t“n (x b→ y) trong A, ta cª y = d(b) + x. Suy ra

f0(y) = f0(d(b) + x) = f0(d(b)) + f0(x).

f1(b) → f0(y)) l(cid:181) m(cid:242)i t“n trong AB(cid:48)→D(cid:48) n“n ta cª:

M˘t kh‚c, (f0(x)

f0(y) = d(cid:48)(f1(b)) + f0(x).

V¸y f0(d(b)) = d(cid:48)(f1(b)) v(cid:237)i m(cid:228)i b ∈ B.

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 5.5. Hai Ann-h(cid:181)m t(cid:246) c(cid:239)ng d„ng (F, ˘F , (cid:101)F ), (F (cid:48), ˘F (cid:48), (cid:101)F (cid:48)) : AB→D → AB(cid:48)→D(cid:48) l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng lu'n.

Chłng minh. Gi¶ s(cid:246) F, F (cid:48) l(cid:181) hai Ann-h(cid:181)m t(cid:246) cª c(cid:239)ng d„ng (f1, f0). Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 5.3, ˘F , ˘F (cid:48) l(cid:181) c‚c h»ng. Ta chłng tÆ α = ˘F (cid:48) − ˘F l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng lu'n cæa F v(cid:181) F (cid:48). D(cid:212) d(cid:181)ng ki(cid:211)m tra t(cid:221)nh tø nhi“n cæa α v(cid:181) t(cid:221)nh t›‹ng th(cid:221)ch cæa α v(cid:237)i ph—p to‚n ⊕. B'y giŒ ta chłng tÆ α t›‹ng th(cid:221)ch

(cid:45)(cid:101)F

v(cid:237)i ph—p to‚n ⊗, ngh(cid:220)a l(cid:181) bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau giao ho‚n

F (xy) F (x)F (y)

(cid:45)

(cid:63) F (cid:48)(xy)

α⊗α (cid:63) F (cid:48)(x)F (cid:48)(y).

(cid:101)F (cid:48)

(5.19)

Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 5.3 ta cª

F (x)( ˘F (cid:48)) − ˘F (cid:48)) − (θ(cid:48)

F (x)( ˘F ) − ˘F ) = θ(cid:48)

F (x)(α) − α.

(cid:101)F (cid:48) − (cid:101)F =(θ(cid:48)

M˘t kh‚c, do α ∈ Ker d(cid:48) ⊂ CB(cid:48) n“n

F (cid:48)(x)(α)

α ⊗ α =α.α + (α)θ(cid:48)

F (cid:48)(y) + θ(cid:48) F (cid:48)(x)(α).

F (cid:48)(y) + θ(cid:48)

=(α)θ(cid:48)

V(cid:237)i y = 0 ho˘c x = 0 ta ﬁ›(cid:238)c

F (cid:48)(y) = θ(cid:48)

F (cid:48)(x)(α) = θ(cid:48)

F (x)(α).

α ⊗ α = (α)θ(cid:48)

Bºi v¸y, (cid:101)F (cid:48) − (cid:101)F = α ⊗ α − α, ngh(cid:220)a l(cid:181) bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) (5.19) giao ho‚n.

Hai Ann-h(cid:181)m t(cid:246) (F, ˘F , (cid:101)F ), (F (cid:48), ˘F (cid:48), (cid:101)F (cid:48)) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng lu'n m„nh n(cid:213)u ch(cid:243)ng ﬁ(cid:229)ng

lu'n v(cid:181) F = F (cid:48). Tı B(cid:230) ﬁ(cid:210) 5.5 ta cª ngay k(cid:213)t qu¶ sau.

H(cid:214) qu¶ 5.6. Hai Ann-h(cid:181)m t(cid:246) F, F (cid:48) : AB→D → AB(cid:48)→D(cid:48) l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng lu'n m„nh khi v(cid:181) ch(cid:216) khi ch(cid:243)ng c(cid:239)ng d„ng.

K(cid:253) hi(cid:214)u ph„m tr(cid:239) cæa c‚c Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ v(cid:181) c‚c Ann-h(cid:181)m t(cid:246) ﬁ‹n bºi Annstr.

Ta cª th(cid:211) ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a ph„m tr(cid:239) ﬁ(cid:229)ng lu'n m„nh HoAnnstr cæa Annstr nh› l(cid:181) mØt ph„m

tr(cid:239) th›‹ng v(cid:237)i c(cid:239)ng c‚c v¸t nh›ng c‚c m(cid:242)i t“n l(cid:181) c‚c l(cid:237)p ﬁ(cid:229)ng lu'n m„nh cæa c‚c Ann-h(cid:181)m

t(cid:246) ﬁ‹n:

. HomHoAnnstr(A, A(cid:48)) = HomAnnstr(A, A(cid:48)) ﬁ(cid:229)ng lu'n m„nh

K(cid:253) hi(cid:214)u ESyst l(cid:181) ph„m tr(cid:239) cª c‚c v¸t l(cid:181) c‚c E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui v(cid:181) m(cid:242)i t“n l(cid:181) c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u

gi(cid:247)a ch(cid:243)ng, ta cª k(cid:213)t qu¶ sau l(cid:181) mº rØng cæa §(cid:222)nh l(cid:253) 1 [8].

§(cid:222)nh l(cid:253) 5.7. [§(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p] T(cid:229)n t„i t›‹ng ﬁ›‹ng ph„m tr(cid:239)

Φ : ESyst → HoAnnstr,

(B → D) (cid:55)→

(cid:55)→ AB→D [F ] (f1, f0)

trong ﬁª F (x) = f0(x), F (b) = f1(b), v(cid:237)i x ∈ ObA, b ∈ MorA.

Chłng minh. Theo H(cid:214) qu¶ 5.6, t›‹ng łng Φ tr“n c‚c t¸p Hom:

Φ : HomESyst(B → D, B(cid:48) → D(cid:48)) → HomHoAnnstr(AB→D, AB(cid:48)→D(cid:48))

l(cid:181) ﬁ‹n ‚nh. Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 5.4, m(cid:231)i Ann-h(cid:181)m t(cid:246) ﬁ‹n F : AB→D → AB(cid:48)→D(cid:48) x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u (f1, f0) : (B → D) → (B(cid:48) → D(cid:48)), v(cid:181) r(cid:226) r(cid:181)ng Φ(f1, f0) = [F ], ngh(cid:220)a l(cid:181) Φ l(cid:181) to(cid:181)n ‚nh tr“n c‚c t¸p Hom .

5.4 Mº rØng v(cid:181)nh ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui

N(cid:213)u MA l(cid:181) E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui li“n k(cid:213)t v(cid:237)i Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ A th(cid:215) theo c‚ch x‚c ﬁ(cid:222)nh Ann-ph„m tr(cid:239) li“n k(cid:213)t v(cid:237)i mØt E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui ta cª Φ(MA) = A (kh«ng ch(cid:216) l(cid:181) ﬁ…ng c˚u). V¸y Φ l(cid:181) mØt t›‹ng ﬁ›‹ng gi(cid:247)a hai ph„m tr(cid:239).

Trong m(cid:244)c n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i ph‚t bi(cid:211)u b(cid:181)i to‚n mº rØng v(cid:181)nh ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui, t›‹ng

tø nh› b(cid:181)i to‚n mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o trong [9]. §(cid:229)ng thŒi gi¶i quy(cid:213)t b(cid:181)i to‚n

n(cid:181)y b»ng l(cid:253) thuy(cid:213)t c¶n trº cæa c‚c Ann-h(cid:181)m t(cid:246), xem nh› l(cid:181) mØt łng d(cid:244)ng cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t

Ann-ph„m tr(cid:239).

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a [38]. Cho E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui (B, D, d, θ). MØt mº rØng cæa v(cid:181)nh B bºi v(cid:181)nh Q

ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui B → D l(cid:181) mØt bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u v(cid:181)nh

(cid:47) 0,

(cid:47) B

(cid:47) E

(cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) Q 0

(cid:47) D

(cid:15) (cid:15) (cid:47) B d

trong ﬁª d(cid:223)ng tr“n l(cid:181) kh(cid:237)p, h(cid:214) (B, E, j, θ0) l(cid:181) mØt E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui v(cid:237)i θ0 l(cid:181) ph—p l˚y song t(cid:221)ch, c˘p (id, ε) l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u cæa c‚c E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui.

Hai mº rØng cæa B bºi Q ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui (B, D, d, θ) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng n(cid:213)u

bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau giao ho‚n

(cid:47) 0,

(cid:47) B

(cid:47) E

(cid:47) D

(cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) Q (5.20) 0 E ε

j(cid:48)

p(cid:48)

ε(cid:48)

(cid:47) 0,

(cid:47) Q

(cid:47) B

(cid:47) D

(cid:47) E(cid:48)

(cid:15) (cid:15) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) 0 E(cid:48)

v(cid:181) ε(cid:48)α = ε. Hi(cid:211)n nhi“n α l(cid:181) mØt ﬁ…ng c˚u.

Trong bi(cid:211)u ﬁ(cid:229)

(cid:47) B

(cid:47) E

(cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) 0, Q (5.21) E : 0

q (cid:47)

(cid:47) D

(cid:47) Cokerd

(cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:47) B d

v(cid:237)i q l(cid:181) ph—p chi(cid:213)u ch(cid:221)nh t(cid:190)c, do d(cid:223)ng tr“n l(cid:181) kh(cid:237)p v(cid:181) q ◦ ε ◦ j = q ◦ d = 0 n“n cª mØt ﬁ(cid:229)ng

c˚u v(cid:181)nh ψ : Q → Cokerd sao cho h(cid:215)nh vu«ng thł hai giao ho‚n. H‹n n(cid:247)a, ψ ch(cid:216) ph(cid:244) thuØc

v(cid:181)o l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng cæa mº rØng E. M(cid:244)c ti“u cæa ch(cid:243)ng t«i l(cid:181) s(cid:246) d(cid:244)ng l(cid:253) thuy(cid:213)t c¶n trº

cæa c‚c Ann-h(cid:181)m t(cid:246) ﬁ(cid:211) nghi“n cłu t¸p c‚c l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng c‚c mº rØng v(cid:181)nh cæa B bºi Q

ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui B → D c¶m sinh ψ,

ExtB→D(Q, B, ψ).

Trong ph˙n n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i ti(cid:213)p t(cid:244)c mº rØng k(cid:252) thu¸t h(cid:214) nh'n t(cid:246) ﬁŁi v(cid:237)i b(cid:181)i to‚n mº

rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o º Ch›‹ng 3 sang cho b(cid:181)i to‚n mº rØng v(cid:181)nh ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui. Trong b(cid:230) ﬁ(cid:210) d›(cid:237)i ﬁ'y, c‚c Ann-h(cid:181)m t(cid:246) Dis Q → AB→D l(cid:181) h(cid:214) d(cid:247) li(cid:214)u ph(cid:239) h(cid:238)p ﬁ(cid:211) x'y døng c‚c mº rØng nh› v¸y.

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 5.8. Cho E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui (B, D, d, θ) v(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u v(cid:181)nh ψ : Q → Coker d. V(cid:237)i m(cid:231)i Ann-h(cid:181)m t(cid:246) (F, ˘F , (cid:101)F ) : Dis Q → A c¶m sinh c˘p (ψ, 0) ﬁ(cid:210)u t(cid:229)n t„i mØt mº rØng EF cæa B bºi Q ki(cid:211)u E-h(cid:214) B → D c¶m sinh ﬁ(cid:229)ng c˚u ψ : Q → Coker d.

Mº rØng EF ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mº rØng t(cid:221)ch ch—o li“n k(cid:213)t v(cid:237)i Ann-h(cid:181)m t(cid:246) F .

Chłng minh. Theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.1 (F, ˘F , (cid:101)F ) c¶m sinh Ann-h(cid:181)m t(cid:246) K : DisQ → SA ki(cid:211)u (ψ, 0). G(cid:228)i (H, ˘H, (cid:101)H) l(cid:181) Ann-h(cid:181)m t(cid:246) ch(cid:221)nh t(cid:190)c SA → A x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi ﬁ(cid:221)nh (xs, ix). Khi ﬁª theo (1.11) ta cª

H(s) = xs, H(s, b) = b, ˘Hs,r = −ixs⊕xr, (cid:101)Hs,r = −ixs·xr.

100

H−→ A,

C(cid:242)ng theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.1, (F, ˘F , (cid:101)F ) l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng lu'n v(cid:237)i c‚i h(cid:238)p th(cid:181)nh

DisQ K−→ SA

Do ﬁª cª th(cid:211) l˚y (F, ˘F , (cid:101)F ) ch(cid:221)nh l(cid:181) h(cid:238)p th(cid:181)nh n(cid:181)y. Khi ﬁª theo c‚ch x‚c ﬁ(cid:222)nh cæa ˘HK,(cid:93)HK ta cª

(5.22) ˘Fu,v = f (u, v) = f (cid:48)(u, v) − ixs+xr,

(5.23)

(cid:101)Fu,v = g(u, v) = g(cid:48)(u, v) − ixs·xr ∈ B, v(cid:237)i u, v ∈ Q, s = ψ(u), r = ψ(v), f (cid:48)(u, v) = ˘Ku,v, g(cid:48)(u, v) = (cid:101)Ku,v. Do t(cid:221)nh t›‹ng th(cid:221)ch cæa (F, ˘F , (cid:101)F ) v(cid:237)i c‚c r(cid:181)ng buØc ch˘t chˇ cæa DisQ v(cid:181) A n“n f, g l(cid:181) nh(cid:247)ng h(cid:181)m chu¨n t(cid:190)c thÆa m•n c‚c ﬁ…ng thłc:

f (u, v + t) + f (v, t) − f (u, v) − f (u + v, t) = 0, (5.24)

f (u, v) = f (v, u), (5.25)

(5.26) θF (u)g(v, t) − g(uv, t) + g(u, vt) − g(u, v)θF (t) = 0,

(5.27) g(u, v + t) − g(u, v) − g(u, t) + θF (u)f (v, t) − f (uv, ut) = 0,

(5.28) g(u + v, t) − g(u, t) − g(v, t) + f (u, v)θF (t) − f (ut, vt) = 0.

H(cid:181)m ϕ : Q → MB x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

ϕ(u) = θF (u) = θxs (s = ψ(u))

thÆa m•n c‚c h(cid:214) thłc

(5.29) ϕ(u) + ϕ(v) = µf (u,v) + ϕ(u + v),

(5.30) ϕ(u)ϕ(v) = µg(u,v) + ϕ(uv).

Th¸t v¸y, ta sˇ chłng minh h(cid:214) thłc (5.29), c(cid:223)n h(cid:214) thłc (5.30) ﬁ›(cid:238)c suy ra t›‹ng tø tı h(cid:214) thłc (5.23). Do f (cid:48)(u, v) = ˘Ku,v ∈ Ker d n“n theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 5.1 ta cª f (cid:48)(u, v) ∈ CB. Khi ﬁª theo (5.22) th(cid:215) µf (u,v) = µ(−ixs+xr). Bºi v¸y,

ϕ(u) + ϕ(v) = θxs + θxr = θxs+xr

= θ[d(−ixs+xr) + xs+r] = θ[d(−ixs+xr)] + θxs+r = µ(−ixs+xr) + ϕ(u + v) (5.22)= µf (u,v) + ϕ(u + v).

Do h(cid:228) c‚c h(cid:181)m (ϕ, f, g) thÆa m•n c‚c h(cid:214) thłc (5.24) - (5.30) n“n theo [28] ta cª th(cid:211)

x'y døng t(cid:221)ch ch—o E0 = [B, ϕ, f, g, Q], ngh(cid:220)a l(cid:181) E0 = B × Q c(cid:239)ng v(cid:237)i hai ph—p to‚n

(b, u) + (b(cid:48), u(cid:48)) = (b + b(cid:48) + f (u, u(cid:48)), u + u(cid:48)),

101

(b, u).(b(cid:48), u(cid:48)) = (b.b(cid:48) + bϕ(u(cid:48)) + ϕ(u)b(cid:48) + g(u, u(cid:48)), uu(cid:48)).

E0 thÆa m•n c‚c ti“n ﬁ(cid:210) cæa v(cid:181)nh nhŒ c‚c h(cid:214) thłc tr“n. Trong ﬁª, ﬁ‚ng ch(cid:243) (cid:253) l(cid:181) t(cid:221)nh k(cid:213)t h(cid:238)p cæa ph—p nh'n trong E0 cª ﬁ›(cid:238)c khi v(cid:181) ch(cid:216) khi E-h(cid:214) (B → D) l(cid:181) ch(cid:221)nh qui. Th¸t v¸y, ta cª c‚c t(cid:221)ch

[(b, u)(b(cid:48), u(cid:48))](b(cid:48)(cid:48), u(cid:48)(cid:48)) = ((bb(cid:48))b(cid:48)(cid:48) + bϕ(u(cid:48))ϕ(u(cid:48)(cid:48)) + [ϕ(u)b(cid:48)]ϕ(u(cid:48)(cid:48))

+ g(u, u(cid:48))ϕ(u(cid:48)(cid:48)) + ϕ(uu(cid:48))b(cid:48)(cid:48) + g(uu(cid:48), u(cid:48)(cid:48)), (uu(cid:48)(cid:48))u(cid:48)(cid:48)),

(b, u)[(b(cid:48), u(cid:48))(b(cid:48)(cid:48), u(cid:48)(cid:48))] = (b(b(cid:48)b(cid:48)(cid:48)) + bϕ(u(cid:48)u(cid:48)(cid:48)) + ϕ(u)[b(cid:48)ϕ(u(cid:48)(cid:48))]

+ ϕ(u)ϕ(u(cid:48))b(cid:48)(cid:48) + ϕ(u)g(u, u(cid:48)) + g(u, u(cid:48)u(cid:48)(cid:48)), u(u(cid:48)u(cid:48)(cid:48))).

p0→ Q → 0

Do (5.26), (5.30), lu¸t k(cid:213)t h(cid:238)p ﬁŁi v(cid:237)i t(cid:221)ch trong B, Q, v(cid:181) lu¸t giao ho‚n ﬁŁi v(cid:237)i t(cid:230)ng trong B, ﬁ˘c bi(cid:214)t do h(cid:214) thłc (5.4): [ϕ(u)b(cid:48)]ϕ(u(cid:48)(cid:48)) = ϕ(u)[b(cid:48)ϕ(u(cid:48)(cid:48))], ta thu ﬁ›(cid:238)c lu¸t k(cid:213)t h(cid:238)p ﬁŁi v(cid:237)i t(cid:221)ch trong E0. Ta ﬁ›(cid:238)c d•y kh(cid:237)p c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u v(cid:181)nh

j0→ E0

EF : 0 → B

v(cid:237)i j0(b) = (b, 0); p0(b, u) = u, b ∈ B, u ∈ Q. Do j0(B) l(cid:181) iﬁ“an hai ph(cid:221)a trong E0 n“n j0 : B → E0 l(cid:181) mØt E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui v(cid:237)i θ0 : E0 → MB l(cid:181) ph—p l˚y song t(cid:221)ch.

§(cid:229)ng c˚u v(cid:181)nh ε : E0 → D ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

ε(b, u) = db + xψ(u), (b, u) ∈ E0,

trong ﬁª xψ(u) l(cid:181) ﬁ„i di(cid:214)n cæa ψ(u) trong D. Ta chłng tÆ c˘p (idB, ε) thÆa m•n c‚c h(cid:214) thłc (5.7), (5.8). D(cid:212) th˚y r»ng ε ◦ j0 = d. H‹n n(cid:247)a, v(cid:237)i m(cid:228)i (b, u) ∈ E0, c ∈ B ta cª

0 [(b, u)(c, 0)] = bc + ϕ(u)c,

θ0 (b,u)c = j−1

(b,u)c = θε(b,u)c. T›‹ng tø, cθ0

θε(b,u)c = θdb+xψ(u)c = bc + ϕ(u)c.

Do ﬁª θ0 (b,u) = cθε(b,u). V(cid:215) v¸y (idB, ε) l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u cæa c‚c E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui, ngh(cid:220)a l(cid:181) ta cª mº rØng ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui (5.21), trong ﬁª E ﬁ›(cid:238)c thay

bºi E0.

Do v(cid:237)i m(cid:228)i u ∈ Q ta cª qε(0, u) = q(xψ(u)) = ψ(u) n“n mº rØng EF c¶m sinh

ψ : Q → Coker d.

Trong b(cid:230) ﬁ(cid:210) tr“n, bØ ba (ϕ, f, g) m« t¶ mØt Ann-h(cid:181)m t(cid:246) tı Dis Q t(cid:237)i A l(cid:181) mØt h(cid:214) nh'n t(cid:246) ﬁŁi v(cid:237)i mº rØng v(cid:181)nh ki(cid:211)u E-h(cid:214) (B → D). Nª l(cid:181) mº rØng cæa kh‚i ni(cid:214)m h(cid:214) nh'n t(cid:246) ﬁŁi

v(cid:237)i mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o ﬁ›(cid:238)c x—t º Ch›‹ng 3 sang cho tr›Œng h(cid:238)p hai ph—p

to‚n.

§(cid:222)nh l(cid:253) d›(cid:237)i ﬁ'y l(cid:181) phi“n b¶n cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t Schreier cho c‚c mº rØng v(cid:181)nh ki(cid:211)u E-h(cid:214)

ch(cid:221)nh qui.

102

§(cid:222)nh l(cid:253) 5.9 (L(cid:253) thuy(cid:213)t Schreier cho c‚c mº rØng v(cid:181)nh ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui). Cª mØt song

‚nh

(ψ,0)[DisQ, A] → ExtB→D(Q, B, ψ).

Ω : HomAnn

Chłng minh. B›(cid:237)c 1: C‚c Ann-h(cid:181)m t(cid:246) (F, ˘F , (cid:101)F ), (F (cid:48), ˘F (cid:48), (cid:101)F (cid:48)) ﬁ(cid:229)ng lu'n khi v(cid:181) ch(cid:216) khi c‚c mº rØng li“n k(cid:213)t t›‹ng łng EF , EF (cid:48) l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng

Gi¶ s(cid:246) F, F (cid:48) : DisQ → A l(cid:181) hai Ann-h(cid:181)m t(cid:246) ﬁ(cid:229)ng lu'n, v(cid:237)i ﬁ(cid:229)ng lu'n α : F → F (cid:48). Khi

˘Fu,v

(cid:45)

(cid:45)(cid:101)Fu,v

ﬁª, theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa Ann-m(cid:242)i t“n, c‚c bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau giao ho‚n

αu+v

αuv

αu+αv

(cid:45)

(cid:63) F (cid:48)(uv)

αu⊗αv (cid:63) F (cid:48)(u)F (cid:48)(v).

(cid:63) F (cid:48)(u + v)

(cid:63) F (cid:48)(u) + F (cid:48)(v),

u,v

(cid:102)F (cid:48)

˘F (cid:48)

u,v

F (u + v) F (u) + F (v) F (uv) F (u)F (v)

Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a ph—p to‚n ⊗ tr“n A ta cª

αu ⊗ αv = αuαv + αuθF (v) + θF (u)αv.

u,v, g(u, v) = (cid:101)Fu,v, g(cid:48)(u, v) = (cid:101)F (cid:48)

u,v ta cª

Tı ﬁª, v(cid:237)i f (u, v) = ˘Fu,v, f (cid:48)(u, v) = ˘F (cid:48)

(5.31) f (cid:48)(u, v) − f (u, v) = αu − αu+v + αv,

(5.32) g(cid:48)(u, v) − g(u, v) = αuαv + αuθF (v) + θF (u)αv − αuv.

B'y giŒ ta ﬁ˘t

α∗ : EF → EF (cid:48)

(b, u) (cid:55)→ (b − αu, u).

Ch(cid:243) (cid:253) r»ng θF (cid:48)(u) = µαu + θF (u) v(cid:181) s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c h(cid:214) thłc (5.31), (5.32), ta chłng minh ﬁ›(cid:238)c α∗ l(cid:181) mØt ﬁ…ng c˚u. H‹n n(cid:247)a, bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) (5.20) giao ho‚n, trong ﬁª E v(cid:181) E(cid:48) l˙n l›(cid:238)t ﬁ›(cid:238)c thay bºi EF v(cid:181) EF (cid:48).

Ta c(cid:223)n ph¶i ch(cid:216) ra ε(cid:48)α∗ = ε. Do α : F → F (cid:48) l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng lu'n n“n F (u) = xψ(u) =

F (cid:48)(u). Bºi v¸y xψ(u) = d(αu) + xψ(u), hay d(αu) = 0. Khi ﬁª,

ε(cid:48)α∗(b, u) = ε(cid:48)(b − αu, u) = d(b − αu) + xψ(u)

= d(b) − d(αu) + xψ(u) = d(b) + xψ(u) = ε(b, u).

V¸y hai mº rØng EF v(cid:181) EF (cid:48) l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng.

Ng›(cid:238)c l„i, n(cid:213)u hai mº rØng EF v(cid:181) EF (cid:48) l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng th(cid:215) t(cid:229)n t„i ﬁ…ng c˚u v(cid:181)nh (b, u) (cid:55)→ (b − αu, u) tı EF ﬁ(cid:213)n EF (cid:48). Do v¸y, b»ng c‚ch l¸p lu¸n ng›(cid:238)c l„i tıng b›(cid:237)c, ta thu ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:229)ng lu'n α : F → F (cid:48).

103

B›(cid:237)c 2: Ω l(cid:181) to(cid:181)n ‚nh.

Gi¶ s(cid:246) E l(cid:181) mØt mº rØng E cæa B bºi Q ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui (B, D, d, θ) c¶m sinh

ψ : Q → Coker d nh› trong bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) giao ho‚n (5.21). Ta sˇ chłng tÆ r»ng E cª mØt h(cid:214) nh'n

t(cid:246) li“n k(cid:213)t, ngh(cid:220)a l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i mØt mº rØng t(cid:221)ch ch—o EF li“n k(cid:213)t v(cid:237)i mØt Ann-h(cid:181)m t(cid:246) (F, ˘F , (cid:101)F ) : DisQ → A n(cid:181)o ﬁª.

G(cid:228)i A(cid:48) = AB→E l(cid:181) Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ li“n k(cid:213)t v(cid:237)i E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui (B, E, j, θ(cid:48)). Khi ﬁª theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 5.3, c˘p ﬁ(cid:229)ng c˚u (idB, ε) trong bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) (5.21) x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt Ann-h(cid:181)m t(cid:246) ﬁ‹n (K, ˘K, (cid:101)K) : A(cid:48) → A.

Do π0A(cid:48) = Q, π1A(cid:48) = 0 n“n Ann-ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n SA(cid:48) ch(cid:221)nh l(cid:181) Ann-ph„m tr(cid:239) Dis Q. Trong A(cid:48) ta ch(cid:228)n ﬁ(cid:221)nh (eu, ie), e ∈ E, u ∈ Q (ngh(cid:220)a l(cid:181) {eu} l(cid:181) mØt h(cid:214) ﬁ„i di(cid:214)n cæa Q trong E). Khi ﬁª theo (1.11) Ann-h(cid:181)m t(cid:246) ch(cid:221)nh t(cid:190)c (H (cid:48), ˘H (cid:48), (cid:101)H (cid:48)) : DisQ → A(cid:48) ﬁ›(cid:238)c cho bºi

u,v = −ieu+ev = g(cid:48)(u, v), (cid:101)H (cid:48)

u,v = −ieu.ev = h(cid:48)(u, v).

H (cid:48)(u) = eu, ˘H (cid:48)

Khi ﬁª h(cid:238)p th(cid:181)nh F = K ◦ H (cid:48) x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt Ann-h(cid:181)m t(cid:246) DisQ → A, v(cid:237)i

u,v = g(cid:48)(u, v), (cid:101)Fu,v = (cid:101)H (cid:48)

u,v = h(cid:48)(u, v).

F (u) = ε(eu), ˘Fu,v = ˘H (cid:48)

Theo ph—p chłng minh §(cid:222)nh l(cid:253) 5.10, ta x‚c ﬁ(cid:222)nh ﬁ›(cid:238)c mº rØng EF cæa t(cid:221)ch ch—o E0 = [B, ϕ, g(cid:48), h(cid:48), Q], li“n k(cid:213)t v(cid:237)i (F, ˘F , (cid:101)F ).

ε0

B'y giŒ ta chłng tÆ E v(cid:181) EF t›‹ng ﬁ›‹ng, tłc l(cid:181) cª bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) sau giao ho‚n

(cid:47) 0,

(cid:47) B

(cid:47) D

(cid:47) E0

(cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) Q EF : 0 E0

(cid:47) 0,

(cid:47) Q

(cid:47) B

(cid:47) E

(cid:47) D

(cid:15) (cid:15) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) E ε E : 0

v(cid:181) εα = ε0.

Do m(cid:231)i ph˙n t(cid:246) cæa E vi(cid:213)t ﬁ›(cid:238)c duy nh˚t d›(cid:237)i d„ng b + eu, b ∈ B, n“n ta cª th(cid:211) x‚c

ﬁ(cid:222)nh mØt ‚nh x„

α : E0 → E, (b, u) (cid:55)→ b + eu.

§(cid:211) ch(cid:216) ra α l(cid:181) mØt ﬁ(cid:229)ng c˚u v(cid:181)nh, tr›(cid:237)c h(cid:213)t ta th˚y r»ng h(cid:214) ﬁ„i di(cid:214)n {eu} cª mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t sau:

eu, c ∈ B,

ϕ(u)c = θ(cid:48) (5.33)

(5.34)

eu(c), cϕ(u) = cθ(cid:48) eu + ev = −ieu+ev + eu+v = g(cid:48)(u, v) + eu+v, eu.ev = −ieu.ev + eu.v = h(cid:48)(u, v) + euv.

(5.35)

(§…ng thłc (5.33) cª ﬁ›(cid:238)c do c˘p (idB, ε) l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u m«ﬁun ch—o. §…ng thłc (5.34), (5.35) cª ﬁ›(cid:238)c do ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa m(cid:242)i t“n trong A(cid:48)). V(cid:215) v¸y, ta cª

(5.34) = b + c + eu + ev = (b + eu) + (c + ev) = α(b, u) + α(c, v).

α[(b, u) + (c, v)] = α(b + c + g(cid:48)(u, v), u + v) = b + c + g(cid:48)(u, v) + eu+v

104

α[(b, u)(c, v)] = α(bc + bϕ(v) + ϕ(u)c + h(cid:48)(u, v), uv)

euc + euev

ev + θ(cid:48)

= bc + bϕ(v) + ϕ(u)c + h(cid:48)(u, v) + euv (5.33),(5.35) = bc + bθ(cid:48)

= bc + b.ev + eu.c + eu.ev

= (b + eu).(c + ev) = α(b, u).α(c, v).

CuŁi c(cid:239)ng, ta ch(cid:228)n ﬁ„i di(cid:214)n eu sao cho ε(eu) = xψ(u). §i(cid:210)u n(cid:181)y cª th(cid:211) thøc hi(cid:214)n ﬁ›(cid:238)c do tı (5.21) ta cª q(ε(eu)) = ψp(eu) = ψ(u). Khi ﬁª:

εα(b, u) = ε(b + eu) = ε(b) + ε(eu) = d(b) + xψ(u) = ε0(b, u),

ngh(cid:220)a l(cid:181) E v(cid:181) EF l(cid:181) hai mº rØng t›‹ng ﬁ›‹ng.

Gi¶ s(cid:246) A = AB→D l(cid:181) Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ li“n k(cid:213)t v(cid:237)i E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui B → D. Do

π0A = Coker d v(cid:181) π1A = Ker d n“n Ann-ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n SA cª d„ng

Shu(Cokerd, Kerd) do A v(cid:181) SA l(cid:181) nh(cid:247)ng Ann-ph„m tr(cid:239) ch(cid:221)nh qui. Khi ﬁª

SA = (Cokerd, Kerd, k),

trong ﬁª k ∈ H 3 ﬁ(cid:229)ng c˚u ψ : Q → Cokerd c¶m sinh mØt c¶n trº

Shu(Q, Kerd).

ψ∗k ∈ H 3

D›(cid:237)i ﬁ'y, ch(cid:243)ng t«i ph‚t bi(cid:211)u k(cid:213)t qu¶ ch(cid:221)nh cæa m(cid:244)c n(cid:181)y, l(cid:181) mØt mº rØng cæa §(cid:222)nh l(cid:253) 5.2

[9]. H‹n n(cid:247)a, m(cid:231)i mØt ∂-mº rØng ﬁ›(cid:238)c x—t trong [6] thøc ra l(cid:181) tr›Œng h(cid:238)p ri“ng cæa E-h(cid:214)

ch(cid:221)nh qui khi Q = Cokerd, v(cid:181) ψ = idCokerd n“n k(cid:213)t qu¶ cæa ch(cid:243)ng t«i l(cid:181) chła §(cid:222)nh l(cid:253) 4.4.2 [6].

§(cid:222)nh l(cid:253) 5.10. Cho E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui (B, D, d, θ) v(cid:181) ﬁ(cid:229)ng c˚u v(cid:181)nh ψ : Q → Cokerd. Khi ﬁª sø tri(cid:214)t ti“u cæa ψ∗k trong H 3 Shu(Q, Kerd) l(cid:181) ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n c˙n v(cid:181) ﬁæ ﬁ(cid:211) t(cid:229)n t„i mº rØng v(cid:181)nh cæa B bºi Q, ki(cid:211)u E-h(cid:214) B → D c¶m sinh ψ. H‹n n(cid:247)a, khi ψ∗k tri(cid:214)t ti“u th(cid:215) t(cid:229)n t„i mØt

song ‚nh

Shu(Q, Kerd).

ExtB→D(Q, B, ψ) ↔ H 2

Chłng minh. N(cid:213)u ψ∗k = 0 th(cid:215) theo §(cid:222)nh l(cid:253) 1.2 t(cid:229)n t„i mØt Ann-h(cid:181)m t(cid:246) (Ψ, (cid:101)Ψ) : Dis Q → SA. L˚y h(cid:238)p th(cid:181)nh v(cid:237)i Ann-h(cid:181)m t(cid:246) ch(cid:221)nh t(cid:190)c (H, ˘H, (cid:101)H) : SA → A ta ﬁ›(cid:238)c mØt Ann-h(cid:181)m t(cid:246) (F, ˘F , (cid:101)F ) : Dis Q → A, v(cid:181) theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 5.8 thu ﬁ›(cid:238)c mº rØng li“n k(cid:213)t EF .

Ng›(cid:238)c l„i, gi¶ s(cid:246) cª mº rØng ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui thÆa m•n bi(cid:211)u ﬁ(cid:229) (5.21). G(cid:228)i A(cid:48) l(cid:181) Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ li“n k(cid:213)t v(cid:237)i E-h(cid:214) B → E. Th(cid:213) th(cid:215) theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 5.3, t(cid:229)n t„i mØt

105

Ann-h(cid:181)m t(cid:246) F : A(cid:48) → A. Bºi v(cid:215) Ann-ph„m tr(cid:239) thu g(cid:228)n cæa A(cid:48) l(cid:181) Dis Q n“n theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.1, F c¶m sinh mØt Ann-h(cid:181)m t(cid:246) ki(cid:211)u (ψ, 0) tı Dis Q t(cid:237)i (Coker d, Ker d, k). B'y giŒ, theo §(cid:222)nh l(cid:253) 1.2, c‚i c¶n trº cæa c˘p (ψ, 0) ph¶i tri(cid:214)t ti“u trong H 3 Shu(Q, Ker d), ngh(cid:220)a l(cid:181) ψ∗k = 0.

B'y giŒ, song ‚nh nªi trong ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁ›(cid:238)c suy ra nh› sau. Tr›(cid:237)c h(cid:213)t, cª mØt song ‚nh

tø nhi“n

Hom[DisQ, A] ↔ Hom[DisQ, SA]

Tı ﬁª do π0(DisQ) = Q, π1(SA) = Kerd n“n theo §(cid:222)nh l(cid:253) 5.9 v(cid:181) §(cid:222)nh l(cid:253) 1.2 ta cª song ‚nh

Shu(Q, Kerd).

ExtB→D(Q, B, ψ) ↔ H 2

K(cid:213)t lu¸n cæa Ch›‹ng 5

Trong ch›‹ng n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i ﬁ• thu ﬁ›(cid:238)c mØt sŁ k(cid:213)t qu¶ ch(cid:221)nh sau ﬁ'y:

• §›a ra kh‚i ni(cid:214)m E-h(cid:214), E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui, ch(cid:216) ra sø t›‹ng ﬁ›‹ng gi(cid:247)a c‚c E-h(cid:214) ch(cid:221)nh

qui v(cid:181) c‚c song m«ﬁun ch—o tr“n v(cid:181)nh.

• Bi(cid:211)u di(cid:212)n E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui qua ng«n ng(cid:247) cæa Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ.

• Ph‚t bi(cid:211)u mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui v(cid:181) c‚c Ann-h(cid:181)m t(cid:246) gi(cid:247)a c‚c

Ann-ph„m tr(cid:239) li“n k(cid:213)t.

• Ph'n l(cid:237)p c‚c E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui.

• Ph‚t bi(cid:211)u v(cid:181) gi¶i b(cid:181)i to‚n mº rØng v(cid:181)nh ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui nhŒ c‚c k(cid:213)t qu¶ cæa l(cid:253)

thuy(cid:213)t Ann-ph„m tr(cid:239).

106

K(cid:213)t lu¸n

M«ﬁun ch—o v(cid:181) nhªm ph„m tr(cid:239), mØt c‚ch ﬁØc l¸p, ﬁ• ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng rØng r•i trong nhi(cid:210)u

khung c¶nh kh‚c nhau. C‚c k(cid:213)t qu¶ v(cid:210) nhªm ph„m tr(cid:239) cæa H. X. S(cid:221)nh (1975) ﬁ• ﬁ›(cid:238)c n'ng

l“n cho nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c bºi A. M. Cegarra v(cid:181) c‚c cØng sø, v(cid:181) cho tr›Œng h(cid:238)p v(cid:181)nh

ph„m tr(cid:239) (hay Ann-ph„m tr(cid:239)) bºi N. T. Quang. B“n c„nh ﬁª, R. Brown v(cid:181) C. Spencer (1976)

ﬁ• ch(cid:216) ra r»ng m«ﬁun ch—o cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu bºi c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ. §i(cid:210)u

n(cid:181)y g(cid:238)i (cid:253) cho ch(cid:243)ng t«i r»ng cª th(cid:211) nghi“n cłu c‚c l(cid:237)p ph„m tr(cid:239) phłc t„p h‹n nh›: nhªm

ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c ch˘t chˇ, Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ, ﬁ(cid:211) tı ﬁª nghi“n cłu c‚c c˚u tr(cid:243)c g˙n

v(cid:237)i m«ﬁun ch—o nh›: m«ﬁun ch—o ﬁ…ng bi(cid:213)n, E-h(cid:214). Lu¸n ‚n ﬁ• gi¶i quy(cid:213)t v˚n ﬁ(cid:210) n(cid:181)y v(cid:237)i

nh(cid:247)ng k(cid:213)t qu¶ ch(cid:221)nh nh› sau:

1. X‚c ﬁ(cid:222)nh ki(cid:211)u cæa mØt h(cid:181)m t(cid:246) monoidal gi(cid:247)a hai nhªm ph„m tr(cid:239) v(cid:181) l(cid:253) thuy(cid:213)t c¶n trº

cæa mØt h(cid:181)m t(cid:246). Tı ﬁª ﬁ›a ra ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ph'n l(cid:237)p ch(cid:221)nh x‚c cho ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239)

v(cid:181) ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n.

2. Ph'n l(cid:237)p c‚c m«ﬁun ch—o v(cid:181) x'y døng l(cid:253) thuy(cid:213)t Schreier cho c‚c mº rØng nhªm ki(cid:211)u

m«ﬁun ch—o døa tr“n c‚c k(cid:213)t qu¶ cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ. C‚c k(cid:213)t qu¶ thu

ﬁ›(cid:238)c l(cid:181) mº rØng c‚c k(cid:213)t qu¶ cæa R. Brown v(cid:181) c‚c ﬁ(cid:229)ng t‚c gi¶.

3. Nghi“n cłu nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c ch˘t chˇ, v(cid:181) tı ﬁª ph'n l(cid:237)p c‚c Γ-m«ﬁun ch—o

v(cid:181) x'y døng l(cid:253) thuy(cid:213)t Schreier cho c‚c mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o. C‚c

k(cid:213)t qu¶ thu ﬁ›(cid:238)c l(cid:181) bao h(cid:181)m l(cid:253) thuy(cid:213)t mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n cæa A. M. Cegarra - J. M.

Garc(cid:221)a-Calcines - J. A. Ortega v(cid:181) l(cid:253) thuy(cid:213)t mº rØng nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o cæa R. Brown

- O. Mucuk.

4. Nghi“n cłu Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ, tı ﬁª ph'n l(cid:237)p c‚c E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui v(cid:181) c‚c mº

rØng v(cid:181)nh ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui.

5. Ph'n l(cid:237)p ph„m tr(cid:239) c‚c nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n Γ-ph'n b¸c nhŒ c‚c h(cid:214) nh'n t(cid:246) tr“n Γ v(cid:237)i

h(cid:214) t(cid:246) trong nhªm ph„m tr(cid:239) b(cid:214)n ki(cid:211)u (M, N ).

107

Danh m(cid:244)c c‚c c«ng tr(cid:215)nh cæa t‚c gi¶ cª li“n quan

ﬁ(cid:213)n lu¸n ‚n

1. N. T. Quang, N. T. Thuy, P. T. Cuc, Monoidal functors between (braided) Gr-categories

and their applications, East-West J. of Mathematics, 13, No 2 (2011), 163-186.

2. N. T. Quang, P. T. Cuc, Crossed bimodules over rings and Shukla cohomology, Math.

Commun., 17 No. 2 (2012), 575-598.

3. N. T. Quang, P. T. Cuc, Classification of graded braided categorical groups by pseudo-

functors, Journal of Science, Hue University, Vol. 77, No. 8 (2012), 59-68.

4. N. T. Quang, P. T. Cuc, N. T. Thuy, Crossed modules and strict Gr-categories, Commu-

nications of Korean Mathematical Society, Vol. 29 (2014), No.1, 9-22.

5. N. T. Quang, P. T. Cuc, Equivariant crossed modules and cohomology of groups with

C‚c k(cid:213)t qu¶ trong lu¸n ‚n ﬁ• ﬁ›(cid:238)c b‚o c‚o v(cid:181) th¶o

lu¸n t„i:

operators, arXiv: 1302.4573v1 [math.CT] 19 Feb 2013.

- HØi th¶o khoa h(cid:228)c v(cid:210) MØt sŁ h›(cid:237)ng nghi“n cłu m(cid:237)i trong to‚n h(cid:228)c hi(cid:214)n ﬁ„i v(cid:181) łng

d(cid:244)ng, Thanh Hªa (do Tr›Œng §„i h(cid:228)c H(cid:229)ng §łc, Vi(cid:214)n To‚n h(cid:228)c Vi(cid:214)t Nam v(cid:181) Tr›Œng §„i

h(cid:228)c s› ph„m H(cid:181) NØi phŁi h(cid:238)p t(cid:230) chłc), 5/2011.

- HØi ngh(cid:222) to(cid:181)n quŁc v(cid:210) §„i sŁ - H(cid:215)nh h(cid:228)c - T«p«, Th‚i Nguy“n, 11/2011.

- §„i hØi To‚n h(cid:228)c Vi(cid:214)t Nam l˙n thł 8, Nha Trang, 8/2013.

- Xeminar BØ m«n §„i sŁ - H(cid:215)nh h(cid:228)c, Khoa To‚n, Tr›Œng §„i h(cid:228)c s› ph„m, §„i h(cid:228)c

Hu(cid:213).

- Xeminar BØ m«n §„i sŁ, Khoa Khoa h(cid:228)c tø nhi“n, Tr›Œng §„i h(cid:228)c H(cid:229)ng §łc, Thanh

Hªa.

108

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o

[1] N. T. Quang, Ann-ph„m tr(cid:239), Lu¸n ‚n Ti(cid:213)n s(cid:220), 1988, H(cid:181) NØi.

Ti(cid:213)ng Anh

[2] Z. Arvasi, T. S. Kuzpinari, E. ¨O. Uslu, Three-crossed modules, Homology Homotopy

and Appl., 2 (2009), 161-187.

[3] J. C. Baez, A. D. Lauda, Higher dimensional algebra V: 2-groups, Theory Appl. Categ.,

12 (2004), 423-491.

[4] H.-J. Baues, Secondary cohomology and the Steenrod square, Homology Homotopy

Appl., 4 (2002), No. 2, part 1, 29-62.

[5] H.-J. Baues, E. G. Minian, Crossed extensions of algebras and Hochschild cohomology,

Homology Homotopy Appl., 4 (2002), No. 2, 63-82.

[6] H-J. Baues, T. Pirashvili, Shukla cohomology and additive track theories,

arXiv:0401158v1 [math.CT] 14 Jan 2004.

[7] R. Brown, Groupoids and crossed objects in algebraic topology, Homology Homotopy

and Applied, 1 (1) (1999), 1-78.

[8] R. Brown, C. Spencer, G-groupoids, crossed modules and the fundamental groupoid

of a topological group, Proc. Konn. Ned. Akad. v. Wet., 79 (1976), 296 - 302.

[9] R. Brown, O. Mucuk, Covering groups of non-connected topological groups revisited,

Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 115 (1994), 97-110.

[10] R. Brown, T. Porter, On the Schreier theory of nonabelian extensions: generalisations

and computations, Proceeding Royal Irish Academy, 96A (1996), 213-227.

[11] R. Brown, P. J. Higgins, R. Sivera, Nonabelian algebraic topology: filtered spaces,

crossed complexes, cubical homotopy groupoids, EMS Tracts in Mathematics, 15, 703

pages (August 2011).

[12] M. Calvo, A. M. Cegarra, N. T. Quang, Higher cohomologies of modules, Algebraic

& Geometric Topology 12 (2012) 343 - 413.

109

[13] A. M. Cegarra, A. R. Garzªn, J. A. Ortega, Graded extensions of monoidal categories,

J. Algebra, 241 (2) (2001), 620-657.

[14] A. M. Cegarra, J. M. Garc(cid:221)a - Calcines, J. A. Ortega, On graded categorical groups

and equivariant group extensions, Canad. J. Math., 54 (5) (2002), 970-997.

[15] A. M. Cegarra, J. M. Garc(cid:221)a - Calcines, J. A. Ortega, Cohomology of groups with

operators, Homology Homotopy Appl. Vol. 1, No. 4 (2002), 1-23.

[16] A. M. Cegarra, A. R. Garzªn, Some algebraic applications of graded categorical group

theory, Theory and Applications of Categories, 11 (10) (2003), 215-251.

[17] A. M. Cegarra, E. Khmaladze, Homotopy classification of braided graded categorical

groups, J. Pure and Applied Algebra, 209 (2007), 411-437.

[18] A. M. Cegarra, E. Khmaladze, Homotopy classification of graded Picard categories,

Adv. Math., 213 (2007), 644-686.

[19] S. Eilenberg, S. MacLane, On the groups H(Π, n) I, II, Ann. of Math. 58 (1953) 55-

106, 60 (1954), 49-139.

[20] A. Fr¨ohlich, C. T. C. Wall, Graded monoidal categories, Compositio Mathematica, 28,

No. 3 (1974), 229-285.

[21] A. Joyal, R. Street, Braided monoidal categories, Macquarie Mathematics Report No.

860081, November 1986.

[22] A. Joyal, R. Street, Braided tensor categories, Adv. Math., Vol. 2, No. 1 (1993), 20-78.

[23] G. M. Kelly, Tensor products in categories. J. Algebra, 2, No.1 (1965), 15-37.

[24] M. L. Laplaza, Coherence for categories with group structure: an alternative ap-

proach, J. Algebra, 84 (1983), 305-323.

[25] S. MacLane, Cohomology theory of abelian groups, Proc. International Congress of

Mathematicians, Vol. II (1950), 8-14.

[26] S. MacLane, Natural associativity and commutativity, Rice University studies, 49 No.

4 (1963), 28-46.

[27] S. Mac Lane, Homology, Spinger - Verlag, Berlin-G‹ttingen-Heideiberg, 1963.

[28] S. Mac Lane, Extensions and obstructions for rings, Illinois J. Mathematics, 2 (1958),

316-345.

[29] B. Noohi, Notes on 2-groupoids, 2-groups and crossed modules, Homology, Homotopy

Appl. 9 (2007), 75-106.

[30] B. Noohi, Group cohomology with coefficients in a crossed module, Journal of the

Institute of Mathematics of Jussieu, Volume 10 - Issue 02, April 2011, 359-404.

110

[31] T. Pirashvili, Algebra cohomology over a commutative algebra, arXiv:0309184v1

[math.CT] 10 Sep 2003.

[32] T. Porter, Extensions, crossed modules and internal categories in categories of groups

with operations, Proc. Edinb. Math. Soc., 30 (1987) 373-381.

[33] N. T. Quang, Structure of Ann-categories and Mac Lane-Shukla cohomology, East-

West Journal of Mathematics, 5, No 1 (2003), 51-66.

[34] N. T. Quang, The factor sets of Gr-categories of the type (Π, A), International Journal

of Algebra, 4 (2010), No. 14, 655-668.

[35] N. T. Quang, D. D. Hanh, Homological classification of Ann-functors, East-West J. of

Mathematics, 11, No. 2 (2009), 195-210.

[36] N. T. Quang, N. T. Thuy, P. T. Cuc, Monoidal functors between (braided) Gr-categories

and their applications, East-West J. of Mathematics, 13, No 2 (2011), 163-186.

[37] N. T. Quang, Cohomological classification of Ann-categories, Math. Commun., 18

(2013), 1-18.

[38] N. T. Quang, P. T. Cuc, Crossed bimodules over rings and Shukla cohomology, Math.

Commun., 17 No. 2 (2012), 575-598.

[39] N. T. Quang, P. T. Cuc, Equivariant crossed modules and cohomology of groups with

operators, arXiv: 1302.4573v1 [math.CT] 19 Feb 2013.

[40] N. T. Quang, P. T. Cuc, N. T. Thuy, Crossed modules and strict Gr-categories, Com-

munications of Korean Mathematical Society, Vol. 29, No.1 (2014), 9-22.

[41] N. T. Quang, P. T. Cuc, Classification of graded braided categorical groups by pseudo-

functors, Journal of Science, Hue University, Vol. 77, No. 8 (2012), 59-68.

[42] R. L. Taylor, Compound group extensions I, Trans. Amer. Math. Soc., 75 (1953), 106-

135.

[43] J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy II, Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949),

453-496.

Ti(cid:213)ng Ph‚p

[44] J. B—nabou, Cat—gories avec multiplication, C.R. Acad. Sci. Paris, 256, No. 9 (1963),

1897-1890.

[45] D. Conduch—, Modules crois—s g—n—ralis—s de longeur 2, J Pure Appl. Alg., 34 (1984),

No 2-3, 155-178.

Π et H 2

Π non ab—liens, C. R. Acad. Sci. Paris, 258

[46] P. Dedecker, Les foncteurs ExtΠ, H 2

(1964), 4891-4894.

111

[47] A. Grothendieck, Cat—gories fibr—es et d—scente, (SGA I, expos— VI), Lecture Notes in

Math., 224 (1971), Springer, Berlin, 145-194.

[48] S. Mac Lane, Homologie des anneaux et des modules, Colloque de Topologie al-

g—brique, Louvain (1956), 55-80.

[49] N. Saavedra Rivano, Cat—gories Tannakiennes, Lecture Notes in Math., 265 (1972),

Spriger-Verlag, Berlin and New York.

[50] H. X. Sinh, Gr-cat—gories, Th(cid:204)se de doctorat, Universit— Paris VII, 1975.

[51] H. X. Sinh, Gr-cat—gories strictes, Acta mathematica Vietnamica, Tom. 3, No. 2 (1978),

47-59.

[52] U. Shukla, Cohomologie des algebras associatives, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 7

(1961), 163-209.

Ti(cid:213)ng §łc

[53] O. Schreier, ¨U ber die Erweiterung von Gruppen I, Monatsh. Math. Phys. 34 (1926),

165-180,

112

Ch(cid:216) sŁ

H n cæa h(cid:181)m t(cid:246) monoidal, 29

Γ (Π, A), 66 HoAnnstr, 99

cæa Ann-h(cid:181)m t(cid:246), 24

c˘p h(cid:181)m li“n k(cid:213)t, 24, 29 Γ-m«ﬁun ch—o, 73

c˚u tr(cid:243)c cæa Ann-ph„m tr(cid:239), 23 li“n k(cid:213)t, 76

Γ-nhªm, 18 E-h(cid:214), 92

ch(cid:221)nh qui, 92

li“n h(cid:238)p, 95

h(cid:181)m t(cid:246) monoidal, 19

Γ-ﬁ(cid:229)ng c˚u, 18 Hom(ϕ,f )[S, S(cid:48)], 72 Π-m«ﬁun Γ-ﬁ…ng bi(cid:213)n, 18 (cid:82) Γ(Π, A, h), 67 Annstr, 99 h(cid:181)m t(cid:246) Γ-ph'n b¸c

ESyst, 99 ki(cid:211)u (ϕ, f ), 72

H(cid:181)m t(cid:246) monoidal

ph'n b¸c

Psd(Γ, Brg), 38 Psd(Γ, C), 38 ΓBCG, 38 ch(cid:221)nh qui, 79

h(cid:181)m t(cid:246) monoidal Ann-h(cid:181)m t(cid:246) b(cid:214)n, 20

ph'n b¸c, 20 d„ng (f1, f0), 95 ﬁ‹n, 97 ch(cid:221)nh qui, 57 ﬁ(cid:229)ng lu'n m„nh, 98 h„t nh'n trıu t›(cid:238)ng, 45 Ann-m(cid:242)i t“n, 22 h(cid:214) nh'n t(cid:246), 38, 51 Ann-ph„m tr(cid:239), 20 ch(cid:221)nh qui, 74 ch˘t chˇ, 21

ch(cid:221)nh qui, 21 m«ﬁun ch—o, 53

ki(cid:211)u (R, M ), 23 c‚c tø ﬁ…ng c˚u, 54

li“n k(cid:213)t, 94 li“n k(cid:213)t, 55

thu g(cid:228)n, 22 ﬁ…ng bi(cid:213)n, 73

Ann-t›‹ng ﬁ›‹ng, 22 mº rØng

ch(cid:221)nh t(cid:190)c, 23 t(cid:221)ch ch—o, 60

mº rØng nhªm c¶n trº ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o, 59 cæa h(cid:181)m t(cid:246) Γ-ph'n b¸c, 72 t›‹ng ﬁ›‹ng, 59

113

song t(cid:221)ch, 91 mº rØng t(cid:221)ch ch—o, 70, 100

giao ho‚n, 92 mº rØng v(cid:181)nh ki(cid:211)u E-h(cid:214)

trong, 92 t›‹ng ﬁ›‹ng, 100

sø t›‹ng th(cid:221)ch, 22 mº rØng v(cid:181)nh ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui, 99

mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n ti“n ﬁ(cid:210) ng(cid:242) gi‚c, 16 t(cid:221)ch ch—o, 82 ti“n ﬁ(cid:210) tam gi‚c, 16 mº rØng ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun ch—o, 81 ti(cid:210)n ﬁ(cid:221)nh ki(cid:211)u (Π, A), 32 t›‹ng ﬁ›‹ng, 81 t'm, 45

t›‹ng ﬁ›‹ng ch(cid:221)nh t(cid:190)c, 18 nhªm ph„m tr(cid:239), 17

t›‹ng ﬁ›‹ng monoidal, 20 b(cid:214)n, 19

t›‹ng ﬁ›‹ng ph'n b¸c ch(cid:221)nh t(cid:190)c, 69 b(cid:214)n thu g(cid:228)n, 34

t›‹ng ﬁ›‹ng tø nhi“n monoidal, 19 ki(cid:211)u (Π, A), 18

ph'n b¸c, 20 li“n k(cid:213)t, 54

b(cid:214)n, 20 ph'n b¸c, 19

ch˘t chˇ, 74 v¸t ﬁ‹n v(cid:222), 16 ki(cid:211)u (Π, A), 72

li“n k(cid:213)t, 74 ﬁ(cid:221)nh, 17, 23

thu g(cid:228)n, 72 ﬁ(cid:229)ng c˚u

rŒi r„c, 18 Γ-m«ﬁun ch—o, 76

thu g(cid:228)n, 18 E-h(cid:214), 92

ﬁŁi xłng, 19 m«ﬁun ch—o, 55

song m«ﬁun ch—o, 91 ph'n b¸c, 18 to‚n t(cid:246), 92 (cid:230)n ﬁ(cid:222)nh, 18 ﬁ(cid:229)ng lu'n, 19, 22 ph„m tr(cid:239) monoidal, 16

ch˘t chˇ, 17

ph„m tr(cid:239) monoidal

ph'n b¸c, 18

b(cid:214)n, 19

ph„m tr(cid:239) Picard, 19

r(cid:181)ng buØc b(cid:214)n, 19

r(cid:181)ng buØc k(cid:213)t h(cid:238)p, 16

r(cid:181)ng buØc ﬁ‹n v(cid:222), 16

song m«ﬁun ch—o, 91

song t'm, 92

114

Luận án Tiến sĩ Toán học: Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc

H(cid:214) nh'n t(cid:246)

trong nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c

M(cid:244)c l(cid:244)c

Mº ﬁ˙u

Ch›‹ng 1

MØt sŁ ki(cid:213)n thłc chu¨n b(cid:222)

Ch›‹ng 2

Ph'n l(cid:237)p c‚c h(cid:181)m t(cid:246) monoidal ki(cid:211)u

(ϕ, f ) v(cid:181) łng d(cid:244)ng

Ch›‹ng 3

Nhªm ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ v(cid:181) mº rØng

nhªm ki(cid:211)u m«ﬁun ch—o

Ch›‹ng 4

Nhªm ph„m tr(cid:239) ph'n b¸c ch˘t chˇ v(cid:181)

mº rØng nhªm ﬁ…ng bi(cid:213)n ki(cid:211)u Γ-m«ﬁun

ch—o

Ch›‹ng 5

Ann-ph„m tr(cid:239) ch˘t chˇ v(cid:181) mº rØng v(cid:181)nh

ki(cid:211)u E-h(cid:214) ch(cid:221)nh qui

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o

Ch(cid:216) sŁ

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok